O Mercado de Renda Fixa
Brasília-DF.
Elaboração
Vinicius Montenegro Turtelli Lagreca da Silva
Produção
Equipe Técnica de Avaliação, Revisão Linguística e Editoração
Sumário
APRESENTAÇÃO.................................................................................................................................. 4
ORGANIZAÇÃO DO CADERNO DE ESTUDOS E PESQUISA..................................................................... 5
INTRODUÇÃO.................................................................................................................................... 7
UNIDADE I
CONCEITOS BÁSICOS............................................................................................................................. 9
CAPÍTULO 1
VISÃO GERAL............................................................................................................................ 9
CAPÍTULO 2
CARACTERÍSTICAS BÁSICAS E TERMINOLOGIA DA RENDA FIXA................................................. 11
CAPÍTULO 3
CLASSIFICAÇÃO BÁSICA DOS PRINCIPAIS INSTRUMENTOS DE RENDA FIXA................................ 14
CAPÍTULO 4
ALGUNS INSTRUMENTOS DE RENDA FIXA NO BRASIL................................................................. 17
UNIDADE II
ANÁLISE DE UM INSTRUMENTO DE RENDA FIXA...................................................................................... 21
CAPÍTULO 1
FLUXO DE CAIXA SIMPLIFICADO DE UM TÍTULO DE RENDA FIXA................................................ 21
CAPÍTULO 2
FLUXO DE CAIXA DA NTN-F..................................................................................................... 26
CAPÍTULO 3
RENTABILIDADE E PREÇO DE UM TÍTULO DE RENDA FIXA........................................................... 29
CAPÍTULO 4
MEDIDAS DE YIELD E RENTABILIDADE........................................................................................ 33
CAPÍTULO 5
PREÇO, RENTABILIDADE E VOLATILIDADE.................................................................................. 42
CAPÍTULO 6
DURATION MODIFICADA......................................................................................................... 47
CAPÍTULO 7
CONVEXIDADE....................................................................................................................... 51
UNIDADE III
TÍTULOS PÓS-FIXADOS E COM CORREÇÃO DE PRINCIPAL.................................................................... 56
CAPÍTULO 1
CONCEITOS BÁSICOS............................................................................................................. 56
CAPÍTULO 2
FLUXO DE CAIXA DE UM TÍTULO PÓS-FIXADO........................................................................... 58
CAPÍTULO 3
PREÇO DE UM TÍTULO PÓS-FIXADO.......................................................................................... 60
CAPÍTULO 4
MEDIDAS DE VOLATILIDADE DO PREÇO................................................................................... 66
CAPÍTULO 5
LETRAS FINANCEIRAS DO TESOURO – LFT................................................................................. 72
CAPÍTULO 6
ANÁLISE DE UM TÍTULO INDEXADO........................................................................................... 76
CAPÍTULO 7
NOTAS DO TESOURO NACIONAL – SÉRIE B (NTN-B)................................................................... 81
PARA (NÃO) FINALIZAR...................................................................................................................... 84
REFERÊNCIAS................................................................................................................................... 85
Apresentação
Caro aluno
A proposta editorial deste Caderno de Estudos e Pesquisa reúne elementos que se
entendem necessários para o desenvolvimento do estudo com segurança e qualidade.
Caracteriza-se pela atualidade, dinâmica e pertinência de seu conteúdo, bem como pela
interatividade e modernidade de sua estrutura formal, adequadas à metodologia da
Educação a Distância – EaD.
Pretende-se, com este material, levá-lo à reflexão e à compreensão da pluralidade dos
conhecimentos a serem oferecidos, possibilitando-lhe ampliar conceitos específicos da
área e atuar de forma competente e conscienciosa, como convém ao profissional que
busca a formação continuada para vencer os desafios que a evolução científico-tecnológica
impõe ao mundo contemporâneo.
Elaborou-se a presente publicação com a intenção de torná-la subsídio valioso, de modo
a facilitar sua caminhada na trajetória a ser percorrida tanto na vida pessoal quanto na
profissional. Utilize-a como instrumento para seu sucesso na carreira.
Conselho Editorial
5
Organização do Caderno
de Estudos e Pesquisa
Para facilitar seu estudo, os conteúdos são organizados em unidades, subdivididas em
capítulos, de forma didática, objetiva e coerente. Eles serão abordados por meio de textos
básicos, com questões para reflexão, entre outros recursos editoriais que visam a tornar
sua leitura mais agradável. Ao final, serão indicadas, também, fontes de consulta, para
aprofundar os estudos com leituras e pesquisas complementares.
A seguir, uma breve descrição dos ícones utilizados na organização dos Cadernos de
Estudos e Pesquisa.
Provocação
Textos que buscam instigar o aluno a refletir sobre determinado assunto antes
mesmo de iniciar sua leitura ou após algum trecho pertinente para o autor
conteudista.
Para refletir
Questões inseridas no decorrer do estudo a fim de que o aluno faça uma pausa e reflita
sobre o conteúdo estudado ou temas que o ajudem em seu raciocínio. É importante
que ele verifique seus conhecimentos, suas experiências e seus sentimentos. As
reflexões são o ponto de partida para a construção de suas conclusões.
Sugestão de estudo complementar
Sugestões de leituras adicionais, filmes e sites para aprofundamento do estudo,
discussões em fóruns ou encontros presenciais quando for o caso.
Praticando
Sugestão de atividades, no decorrer das leituras, com o objetivo didático de fortalecer
o processo de aprendizagem do aluno.
6
Atenção
Chamadas para alertar detalhes/tópicos importantes que contribuam para a
síntese/conclusão do assunto abordado.
Saiba mais
Informações complementares para elucidar a construção das sínteses/conclusões
sobre o assunto abordado.
Sintetizando
Trecho que busca resumir informações relevantes do conteúdo, facilitando o
entendimento pelo aluno sobre trechos mais complexos.
Exercício de fixação
Atividades que buscam reforçar a assimilação e fixação dos períodos que o autor/
conteudista achar mais relevante em relação a aprendizagem de seu módulo (não
há registro de menção).
Avaliação Final
Questionário com 10 questões objetivas, baseadas nos objetivos do curso,
que visam verificar a aprendizagem do curso (há registro de menção). É a única
atividade do curso que vale nota, ou seja, é a atividade que o aluno fará para saber
se pode ou não receber a certificação.
Para (não) finalizar
Texto integrador, ao final do módulo, que motiva o aluno a continuar a aprendizagem
ou estimula ponderações complementares sobre o módulo estudado.
7
Introdução
O mercado de renda fixa compreende os instrumentos financeiros que representam
dívidas, ou promessas de pagamento. Tradicionalmente este mercado é classificado
como de baixo risco, dada a volatilidade relativamente reduzida dos preços de seus
ativos. Talvez por isso, grande parte das pessoas que aplica seus recursos em renda fixa
tem pouco, ou muito pouco, conhecimento sobre aspectos básicos dos instrumentos
que negociam. Assim é que um grande número de aplicadores investe seu dinheiro na
caderneta de poupança, em um Certificado de Depósito Bancário ou em fundo de renda
fixa e não sabe dizer como o rendimento destes produtos é determinado. Um investidor
que pretenda, contudo, aplicar seus recursos de maneira mais consciente, precisa ir
além e analisar a estrutura das várias categorias de instrumentos que compõem este
mercado. Só assim será possível a compreensão correta das variáveis que movem a
rentabilidade dos produtos de renda fixa.
Muito da análise do mercado de renda fixa se baseia diretamente do instrumental da
matemática financeira, especialmente as noções de equivalência de capitais e de valor
do dinheiro no tempo. Neste Caderno de Estudos, esses conhecimentos são bastante
utilizados e o aluno deve possuir um conhecimento elementar, porém bem construído,
de matemática financeira. A ordem de apresentação dos temas segue o que é mais ou
menos padrão na literatura sobre o assunto: primeiro são apresentados os conceitos
básicos e os instrumentos do mercado de renda fixa; em seguida os títulos prefixados
são analisados em detalhe, provendo o instrumental que será utilizado para expandir a
análise para outros tipos de título.
É importante que o aluno percorra ordenadamente os capítulos que se seguem, resolvendo
os exercícios relacionados que serão disponibilizados na plataforma virtual. Para a
resolução dos exercícios, é fortemente aconselhado o uso de uma planilha eletrônica,
como Excel. Existem várias calculadoras financeiras e científicas que possuem várias
das funções necessárias ao cálculo da renda fixa. Porém, utilizando-as o aluno deixa de
percorrer os passos lógicos necessários para o bom aprendizado da disciplina.
Objetivos
»» Conhecer as características básicas dos instrumentos de renda fixa.
»» Compreender a composição temporal dos fluxos de caixa e sua relação
com o preço e o rendimento dos instrumentos de renda fixa.
»» Discutir as medidas de rentabilidade e de risco.
»» Analisar a estrutura dos títulos pós-fixados e indexados.
8
CONCEITOS
BÁSICOS
UNIDADE I
CAPÍTULO 1
Visão geral
Em finanças e no jargão do mercado financeiro, chamamos de renda fixa os
investimentos que possuem retornos regulares. Por “retornos regulares” queremos
dizer que a rentabilidade da aplicação é previsível, tanto do ponto de vista da taxa de
retorno quanto da periodicidade dos pagamentos a serem recebidos. Isso não significa
que o lucro de um investimento em um destes instrumentos seja realmente fixo, no
sentido de que o seu valor será sempre pré-definido no momento da aplicação, mas sim
que os fatores que o determinam são relativamente simples e previamente conhecidos
pelo investidor.
O mercado de renda fixa, que compreende os instrumentos de renda fixa, se opõe
naturalmente ao mercado de renda variável. Neste segundo, normalmente associado
ao mercado de ações, os fatores que determinam a rentabilidade de um investimento
são muito mais complexos e imprevisíveis, gerando uma variabilidade muito maior na
taxa de retorno final da aplicação. Muito da diferença entre os dois mercados vem do
fato de que os instrumentos de renda fixa remuneram o investimento com base em
uma taxa conhecida, enquanto o rendimento de uma aplicação em renda variável
depende fundamentalmente da valorização da própria ação. Esse ganho de capital, que
dá origem a boa parte do lucro do investimento em ações, é incerto e depende de uma
série de fatores que vão desde o desempenho da empresa emissora da ação até situação
econômico-financeira global.
Por estas características, os instrumentos de renda fixa são constituídos essencialmente
por operações de empréstimo. Quando um banco empresta dinheiro a uma empresa,
recebendo por isso um juro a ser pago periodicamente ou no final da operação, ele
está realizando um investimento em renda fixa, e dizemos que ele está na posição ativa
da operação. Da mesma forma, a empresa que tomou o empréstimo está na posição
passiva, ou devedora da operação. Esta dívida, de acordo com as regras do mercado e
9
UNIDADE I │CONCEITOS BÁSICOS
do contrato entre o banco e a empresa, pode ser negociável, isto é, o banco, ao invés de
esperar o vencimento da operação para reaver seu capital, pode vender os seus direitos
sobre os pagamentos a serem feitos pela empresa a outra instituição. Neste caso a
empresa é comumente chamada de emissora da dívida, que é outra forma de referir à
entidade que está na posição passiva da operação.
De forma geral, um instrumento de renda fixa é emitido e negociado dentro de um
país, já que os órgãos reguladores exercem forte supervisão sobre este mercado. Alguns
instrumentos, entretanto, são cautelosamente desenhados para atender as exigências
de mais de um país, podendo ter um mercado mais amplo. Neste trabalho vamos,
sempre que necessário, usar como estudo de caso o mercado brasileiro, que possui uma
série de características únicas.
O primeiro passo no estudo do mercado de renda fixa é tentar sintetizar os elementos que
compõem um instrumento de renda fixa tradicional e então classificá-los analiticamente
em alguns subgrupos de acordo com a praxe do mercado.
10
CAPÍTULO 2
Características Básicas e Terminologia
da Renda Fixa
Embora os instrumentos de renda fixa possam apresentar diferenças significativas entre
si e receber diferentes denominações, todos eles compartilham algumas características
básicas. Através destas definições, é possível agrupá-los em diversas categorias. Em
alguns instrumentos mais complexos, várias outras considerações são necessárias, mas
as características abaixo são as mais importantes. No decorrer da exposição destes
conceitos iremos apresentar também alguns termos bastante utilizados e que compõem
o jargão do mercado de renda fixa.
Emissor
Uma das mais importantes características de um produto de renda fixa é o seu emissor,
ou seja, a pessoa ou instituição que, recebendo os recursos dos investidores, deve
honrar os pagamentos de juros e do principal nas datas combinadas. Essa informação é
crucial, pois a cada entidade tomadora de empréstimos está associado o chamado risco
de crédito. De forma intuitiva, é claro que um investidor racional não vai emprestar
com a mesma disposição o seu dinheiro a um banco considerado sólido e confiável e a
uma empresa à beira da falência, pelo menos não a mesma taxa de juros.
Emissor e Titular, Emissões e Títulos
O investidor, a pessoa que empresta dinheiro ao emissor, torna-se possuidor do direito
ao recebimento dos pagamentos estipulados. Como detentor de direitos, o investidor
é chamado de titular. Como dissemos há pouco, o termo “emissor”, embora tenha
aplicação ampla, é mais utilizado em produtos negociáveis, isto é, aqueles que podem
ser transferidos de um investidor a outro, ou em outras palavras, produtos que possam
ter a sua titularidade transferida. Por este motivo, estes produtos são muitas vezes
chamados de emissões, levando-se em conta o lado do tomador, ou de títulos, olhandose pela perspectiva do investidor. É também bastante comum chamar os títulos de renda
fixa de papéis, termo que nos remete ao tempo em que os certificados de titularidade
eram impressos e guardados nos cofres dos bancos. Além desses nomes, e dependendo
de suas características específicas, os instrumentos são também chamados de letras,
certificados, notas e bônus, entre outras denominações.
11
UNIDADE I │CONCEITOS BÁSICOS
Principal ou Valor Inicial
O principal corresponde ao valor emprestado pelo investidor e tomado pelo emissor.
Muitos produtos permitem o investimento de qualquer valor, enquanto outros exigem
uma determinada quantidade mínima, ou ainda que o valor seja múltiplo de um
determinado número, por exemplo, 1.000.
Taxa de Juros e Cupom
Um título de renda fixa pode pagar juros periódicos ou apenas na data de encerramento
da operação. Em qualquer dos casos, o valor a ser pago é expresso como percentual do
principal, ou seja, como uma taxa de remuneração. Quando o pagamento é periódico,
esta taxa é chamada de cupom do título, normalmente presente em títulos de prazo
mais longo. Assim, uma emissão de R$1.000,00 com cupom anual de 15% ao ano, paga
R$150,00 de juros anualmente. Quando não há pagamentos intermediários de juros,
o título é dito zero cupom, e sua taxa de remuneração é similar à taxa de juros de um
empréstimo simples.
Vencimento
É o prazo total da operação, ao fim do qual todos os pagamentos de juros devem ter sido
feitos e o principal completamente amortizado.
Opcionalidade
Alguns instrumentos possuem uma ou mais opções embutidas, isto é, que são partes
inseparáveis dos títulos aos quais pertencem. Essas opções consistem em direitos que
podem ser tanto do titular quando do emissor, como, por exemplo, o resgate antecipado
do título a um preço previamente estabelecido.
Garantias
São ativos que funcionam como lastro da operação e que podem ser resgatados em
caso de inadimplência do emissor. As garantias podem ser estruturadas de diversas
formas, servindo para caucionar todo ou parte do principal, ou apenas os pagamentos
de cupons. Os ativos que formam a garantia podem ser os mais diversos, como recursos
financeiros, direitos, contratos, ações e ativos físicos. É comum também que a garantia
seja formada por outros títulos com menor risco de crédito, como títulos públicos. No
Brasil, como em muitos outros países, existe ainda o Fundo Garantidor de Crédito
12
CONCEITOS BÁSICOS│
UNIDADE I
(FGC) que, como o próprio nome diz, é um fundo que serve para garantir, entre outras,
várias operações de renda fixa no país.
Saiba mais sobre o FGC no site da instituição
<www.fgc.org.br>
13
CAPÍTULO 3
Classificação básica dos principais
instrumentos de Renda Fixa
Com base nas características e nas distinções apresentadas, podem-se classificar, de
forma elementar, os instrumentos de renda fixa, conforme o quadro no final deste
capítulo. Vale a pena lembrar que, como dissemos, existe uma grande variedade de
instrumentos de renda fixa que não são contemplados no resumo a seguir.
Tipos de Emissores
Em geral, e também no Brasil, é comum distinguir entre emissores públicos e privados.
Os emissores públicos são aqueles que fazem parte do setor governamental, por isso
contam com a capacidade de financiamento do Tesouro e, em situações normais,
são considerados com menor risco de crédito que os demais. Os emissores privados
compreendem, por um lado, os bancos e outras instituições financeiras, e, por outro, as
empresas não financeiras. É comum destacar as entidades do sistema financeiro porque
elas são, pela própria natureza do seu negócio, normalmente grandes emissoras.
Formas de Amortização
O principal pode ser pago em uma única parcela no momento de encerramento da
operação, ou amortizações podem ser feitas durante a vida útil da emissão. No primeiro
caso, o título é chamado, principalmente no mercado americano, de bullet. Como o
principal permanece constante durante o prazo da operação, usualmente o investidor
faz jus a um juro maior, mas também está exposto a um risco de crédito mais elevado,
já que permanece com o seu capital total emprestado por um período mais longo.
No segundo caso, o título pode receber o nome de amortizing bond. Os esquemas de
amortização podem variar muito, dependendo do produto. O formato mais usual é a
realização de pagamentos constantes do principal ao longo da operação, mas também
é possível que as amortizações sejam crescentes ou decrescentes, ou que comecem
apenas a partir de certo ponto na vida útil do título.
14
CONCEITOS BÁSICOS│
UNIDADE I
Correção do Principal
O principal pode permanecer fixo durante o prazo da operação, ou ele pode ser corrigido
por alguma fórmula ou índice, como, por exemplo, a taxa de inflação. Desta forma, o
principal cresce durante a operação, o que faz com que os juros pagos ao investidor
também cresçam. Essa é uma característica muito comum nos instrumentos de renda
fixa no Brasil, por causa do longo histórico de altas taxas de inflação do país.
Remuneração Pré e Pós-Fixada
O valor do cupom ou da remuneração de um título pode ser determinado no momento
da emissão ou definido durante a vida da operação. No primeiro caso, o título é chamado
de pré-fixado e sabemos exatamente qual é a taxa de remuneração do investimento. No
segundo caso, o produto é dito pós-fixado e a rentabilidade efetiva da aplicação somente
será conhecida durante o curso da operação, ou mesmo apenas no seu final. Vale a pena
mencionar que estas são as modalidades mais comuns de remuneração. Existem várias
outras formas criativas de referenciar a rentabilidade de um instrumento de renda fixa,
muitas delas feitas para atender as especificidades de um determinado mercado ou de
um comprador em particular.
Prazos das Operações
Operações com prazo inferior a um ano são costumeiramente enquadradas como de
curto prazo e operações mais longas como de longo prazo. Em geral, os prazos mais
longos situam-se entre 30 e 40 anos, embora existam emissões com prazos maiores.
Existem ainda títulos sem data de vencimento definida, embora não sejam tão comuns.
São chamados de perpetuidades e, em tese, devem pagar cupons indefinidamente.
Opcionalidades
Como um título pode conter uma ou mais opções embutidas, que podem assumir
diversas formas e transformar a análise do instrumento em uma tarefa relativamente
complexa, são listadas aqui apenas as mais comuns:
»» opção de resgate antecipado, que permite ao emissor encerrar a
operação antecipando o pagamento do principal;
»» provisão de venda, que é a opção dos titulares exigirem do emissor o
pagamento antecipado do principal;
15
UNIDADE I │CONCEITOS BÁSICOS
»» conversibilidade, que consiste na possibilidade dos investidores
em transformar seus títulos, geralmente após certo prazo, em ações,
usualmente da empresa emissora.
Quadro 01 – Resumo da classificação básica dos principais instrumentos de renda fixa
Emissor
Público
Amortização
Bullet
Amortizing
Principal
Fixo
Corrigido
Remuneração
16
Privado Setor Financeiro
Sem cupom
Prefixado
Pós-fixado
Privado Setor Não Financeiro
Cupom prefixado
Cupom pós-fixado
Vencimento
Curto prazo
Longo prazo
Perpétuo
Opcionalidade
Resgatáveis
Provisão de venda
Conversíveis
Garantias
Com garantias
Sem garantias
CAPÍTULO 4
Alguns instrumentos de Renda Fixa no
Brasil
Vamos mostrar agora alguns instrumentos de renda fixa mais conhecidos do mercado
brasileiro. A intenção não é ainda fazer uma análise detalhada de cada um deles, mas
sim dar uma ideia do que é negociado no mercado de renda fixa do país.
Caderneta de Poupança
Talvez a modalidade mais conhecida pelos pequenos investidores, na verdade, a
caderneta é um depósito remunerado, já que os recursos investidos podem ser sacados,
sem custos adicionais – exceto a perda da remuneração – a qualquer momento.
Entretanto, funciona exatamente como um instrumento de renda fixa. A figura do
emissor é desempenhada pelo banco que recebe o depósito, e que representa o risco
de crédito do investidor. Conduto, existe garantia do FGC, atualmente até o limite de
R$60.000,00 por investidor em cada instituição em que ele possuir o investimento.
O prazo da aplicação é de um mês, independentemente do número de dias úteis contidos.
A remuneração é pós-fixada, correspondendo à Taxa Referencial (TR) divulgada pelo
Banco Central no dia do vencimento, mais a taxa fixa de 0,5% ao mês. Não existem
pagamentos intermediários de juros, ou seja, não há cupons. Findo o prazo de um mês,
os juros são creditados na conta do investidor e incorporados ao principal. Um novo
ciclo mensal de investimento se inicia automaticamente.
Certificado de Depósito Bancário (CDB)
É um título que pode ser emitido apenas por bancos e pode ter rentabilidade prefixada
ou pós-fixada. Como um verdadeiro título, apenas no vencimento, o principal, acrescido
da remuneração pactuada, será devolvido ao investidor. O prazo é pactuado entre
as partes. O CDB pode ser transferido, isto é, o direito ao recebimento do principal
remunerado pode ser repassado a outra pessoa, o que na prática caracteriza a operação
de venda do papel. Também é possível que o certificado contenha uma cláusula prevendo
a possibilidade de resgate antecipado. O risco de crédito é do banco emissor, mas CDB
também conta com a garantia do FGC.
Certificado e Depósito Interfinanceiro (CDI)
O CDI tem uma estrutura semelhante ao CDB, porém a sua negociação, tanto na
posição credora quanto devedora, é exclusiva das instituições financeiras. Existem CDI
com prazos que variam de apenas um dia a vários anos, emitidos tanto com taxas pré
17
UNIDADE I │CONCEITOS BÁSICOS
quanto pós-fixadas. É o instrumento básico de troca de recursos entre estas entidades,
formando o chamado mercado interbancário. É interessante notar que o nome correto
do instrumento é apenas “DI” – depósito interfinanceiro. CDI é, na verdade, o nome
antigo, já que atualmente na negociação do produto não ocorre emissão de certificado.
Diariamente, a Cetip – câmara responsável pelo registro do DI – divulga a taxa DI over,
que é um importante referencial do mercado financeiro brasileiro. Resumidamente,
a taxa é a média das taxas de remuneração dos DIs prefixados com prazo de um dia,
daí a designação de “taxa over”, uma abreviação de overnight. No jargão do mercado,
operações overnight são operações com prazo de um dia.
A taxa é largamente utilizada pelos bancos como referencial tanto pela ótica dos
emissores quanto dos investidores. Pelo lado da emissão, a taxa representa o custo
básico de captação, ou seja, o quanto custa para a entidade financeira levantar recursos
para suas aplicações. Já pelo lado do investimento, a taxa DI over é uma proxi da taxa de
retorno de um investimento (praticamente) sem risco, que é um importante conceito da
teoria das finanças. A taxa é considerada sem risco porque representa um investimento
de curtíssimo prazo, normalmente considerado o de mais baixo risco.
Saiba mais sobre a Cetip e o DI na página da instituição
<www.cetip.com.br>
Títulos Públicos
São os papéis emitidos pelo poder público. No Brasil, o destaque é o governo federal,
que é o maior emissor não apenas entre os entes públicos, mas de todo o mercado de
renda fixa do país. A Secretaria do Tesouro Nacional do Ministério da Fazenda (STN)
administra um enorme estoque de títulos públicos, o que inclui emissões e resgates
regulares de papéis. Muitos destes títulos têm grande liquidez no mercado secundário,
sendo negociados por bancos, empresas não financeiras e pessoas físicas.
Os títulos públicos brasileiros apresentam uma grande quantidade e variedade de
títulos pós-fixados, ao contrário de outras economias mais maduras onde as emissões
são muito concentradas em papéis prefixados. O prazo de vencimento das emissões
também é, em média, muito mais curto do que o daqueles países. Isto ainda é reflexo da
enorme anarquia nas finanças públicas que existia até poucos anos atrás e, na medida
em que o controle sobre as contas do governo se consolide, o perfil dos títulos públicos
brasileiros deve convergir para o padrão das economias desenvolvidas.
Vamos listar aqui apenas alguns dos títulos mais negociados no mercado. O prazo de cada
um deles é definido pela STN no momento da emissão com base no perfil da demanda
esperada e pela estratégia para gestão da dívida pública traçada pela secretaria.
18
CONCEITOS BÁSICOS│
UNIDADE I
Letras do Tesouro Nacional (LTN) – são títulos do tipo zero cupom
prefixados.
Letras Financeiras do Tesouro (LFT) – títulos zero cupom pós-fixados
remunerados pela taxa Selic, que é a taxa média das operações de
financiamento de um dia cursadas no Selic.
Notas do Tesouro Nacional (NTN) – são títulos apresentados em
diversas versões, chamados de “séries” com diferentes características:
NTN-B – o principal é corrigido pelo Índice de Preços ao Consumidor
Amplo (IPCA) do IBGE. Há pagamento semestral de cupom com base
em uma taxa de juros fixa (definida no momento da emissão do título)
que incide sobre o principal atualizado pelo IPCA. O principal é pago
integralmente no vencimento, ou seja, é um título do tipo bullet;
NTN-C – semelhante à NTN-B, mas o principal é corrigido pelo Índice
Geral de Preços – Mercado, divulgado pela FGV;
NTN-D – semelhante às anteriores, com principal corrigido pela
variação da cotação do dólar americano;
NTN-F – é um título bullet prefixado, com pagamento de cupom
semestral de acordo com taxa de juros definida na emissão;
NTN-H – título zero cupom remunerado pela TR.
Existem dezenas de outros papéis, alguns praticamente sem negócios. A
STN possui em sua página a descrição completa de todos os títulos sob sua
responsabilidade
<www.stn.fazenda.gov.br/divida_publica/caracteristica_
titulos.asp>.
Letras de Câmbio (LC)
São instrumentos originados a partir de uma operação de financiamento, sendo usado
pelas sociedades de crédito, financiamento e investimento (também conhecidas como
“financeiras”) para a captação de recursos para financiar o crédito direto ao consumidor.
São negociáveis e podem ter taxas pré ou pós-fixadas. As letras de câmbio também
contam com a garantia do FGC.
Letras de Crédito Imobiliário (LCI)
Títulos emitidos para captar recursos para a concessão de crédito imobiliário.
Semelhantes a outro instrumento conhecido, as Letras Hipotecárias (LH) são garantidas
19
UNIDADE I │CONCEITOS BÁSICOS
justamente por estes créditos, além do FGC. Também podem ser pré ou pós-fixadas e
são negociáveis.
Debêntures
São papéis que só podem ser emitidos por empresas de capital aberto não financeiras.
Existe uma grande variedade de debêntures, pois a empresa emitente tem grande
flexibilidade sobre a forma de remuneração, amortização e de constituição de garantias.
Uma importante e comum característica é opção embutida em algumas debêntures
que permite ao investidor converter o título em ações da empresa emissora a um
determinado preço. Neste caso, a debênture é dita conversível.
A Associação Brasileira das Entidades dos Mercados Financeiros de Capitais
(ANBIMA), criada em 2009 com a união da ANBID – Associação Nacional dos
Bancos de Investimento e da Associação Nacional das Instituições do Mercado
Financeiro (ANDIMA), duas importantes entidades de representação do mercado
financeiro, mantém um web site com informaçãoes detalhadas sobre o mercado
brasileiro de debêntures.
<www.debentures.com.br>.
Consulte também o manual disponibilizado pela Ambima sobre debêntures, em:
<http://www.debentures.com.br/downloads/textostecnicos/cartilha_
debentures.pdf>
20
ANÁLISE DE UM
INSTRUMENTO DE
RENDA FIXA
UNIDADE II
CAPÍTULO 1
Fluxo de caixa simplificado de um Título
de Renda Fixa
Neste capítulo, analisaremos com mais detalhes os fluxos de pagamentos dos
instrumentos de renda fixa. Inicialmente, vamos considerar um título de curto
prazo prefixado sem cupom. Neste tipo de instrumento, um investidor aplica certo
montante por um prazo definido, ao final do qual o valor é devolvido, acrescido de
uma remuneração. Podemos representar o fluxo de caixa deste papel, pela ótica de um
investidor, de acordo com o diagrama a seguir.
onde P é o valor inicial investido, também chamado de valor aplicado, i é a taxa de
remuneração, n é o prazo do título, medido em alguma unidade de tempo e F é o valor
final do investimento, conhecido como valor de resgate. Podemos notar que o fluxo de
caixa de um instrumento com estas características não é diferente de uma operação de
empréstimo simples. Com isso, temos:
F = P (1 + in)
21
UNIDADE II │ANÁLISE DE UM INSTRUMENTO DE RENDA FIXA
se a remuneração tiver como base o regime de juros simples ou
F = P (1 + i)n
se for referenciada nos juros compostos, que é o caso mais comum no mercado de renda
fixa brasileiro.
Com essas relações básicas, encontramos o valor de qualquer uma das variáveis a partir
dos valores das outras três. Entretanto, é importante ficar atento para as convenções
do mercado com relação aos valores de P e F. Alguns instrumentos são denominados
em função de P, ou seja, do valor inicial investido. O investidor aplica o valor inicial
desejado e, após o fim do prazo, resgata o valor F, que é calculado a partir da taxa de
remuneração pactuada. Estes produtos costumam ser cotados pela taxa de remuneração,
ou seja, o investidor compara taxas para decidir qual é a melhor aplicação. Vamos ver
um exemplo da aplicação em um CDB, que pertence a esta categoria de instrumento.
Exemplo 1: Uma pessoa possui $15.000 que decidiu investir em Certificados de
Depósitos Bancários pelo período de 60 dias. Após uma pesquisa, encontrou, para este
valor, taxas que variam entre 6,9% e 7,9% ao ano. Aplicando o valor à melhor taxa, qual
será o valor de resgate?
Resolução: Em primeiro lugar, é importante notar que a cotação do CDB é feita com base
nas taxas de remuneração oferecidas pelos bancos. Em segundo lugar, para o cálculo do
valor de resgate é necessário utilizar as convenções corretas do regime de capitalização
e da contagem de dias. Para CDB normalmente são contados os dias corridos e, como a
grande maioria dos instrumentos brasileiros, juros compostos. Calculamos, então:
F = 15.000 * (1 + 0,079)(60 / 360)
F = 15.191,30
Em uma segunda categoria, temos outros instrumentos de renda fixa que têm como
referência o valor de F, que neste caso é chamado de valor nominal ou valor de face.
Neste grupo temos a maioria dos títulos públicos prefixados, do Brasil e do mundo,
onde cada papel tem um valor de resgate fixo, geralmente $1.000,00 ou expressa em
termos percentuais, 100%. Dada a taxa de remuneração oferecida e o prazo para o
investimento, calcula-se o valor a ser aplicado pelo investidor. Este tipo de instrumento
usualmente é cotado pelo valor inicial do investimento, o que corresponde ao preço do
título. Como exemplo temos a cotação dos preços de alguns títulos públicos prefixados.
Quadro 02
22
Título
Vencimento
Preço Unitário
LTN
01/01/11
R$910,97
LTN
01/01/12
R$805,44
ANÁLISE DE UM INSTRUMENTO DE RENDA FIXA│UNIDADE
LTN
01/01/13
R$709,49
NTN-F
01/01/14
R$925,67
NTN-F
01/01/17
R$869,24
II
Em qualquer das opções, o valor investido P é o valor em t = 0 de F, aferido à taxa de
remuneração i, ou em outras palavras, P é o valor presente de F. No caso do instrumento
sem cupom, temos:
P = F / (1 + in)
ou
P = F (1 + i)-n
nos casos de taxas simples e compostas, respectivamente.
O caso dos títulos com cupons periódicos vai exigir um pouco mais de análise, mas
segue exatamente o mesmo raciocínio. A grande maioria deste tipo de instrumento é
de prazo mais longo, é remunerado à taxa composta e resgatado por um valor nominal
fixo. Por isso vamos concentrar nossa análise em um título com estas características.
Para facilitar, vamos considerar novamente um papel prefixado e com pagamento do
principal apenas no vencimento. Vamos supor ainda que o prazo do título corresponda
exatamente a n pagamentos de cupons. O fluxo de caixa deste papel, novamente pela
ótica de um investidor, pode ser representado de acordo com o diagrama a seguir.
onde P é o valor aplicado, i é a taxa de remuneração, n é o prazo do título, c são os
cupons recebidos de t = 1 a t = n, e F é o valor de face do título. Neste caso, P, sendo o
único fluxo de saída do diagrama, é o valor presente de todos os fluxos de caixa futuros,
o que inclui cada um dos cupons e o valor de face do título. Temos, então:
P = c (1 + i)-1 + c (1 + i)-2 + c (1 + i)-3 + ... + c (1 + i)-n + F (1 + i)-n
23
UNIDADE II │ANÁLISE DE UM INSTRUMENTO DE RENDA FIXA
Os n primeiros termos do lado direito da equação formam um progressão geométrica de
primeiro termo c (1 + i)-1 e razão (1 + i)-1, podemos reescrever a expressão da seguinte
forma:
P = c [1 – (1 + i)-n] / i + F (1 + i)-n
que corresponde à soma dos valores presentes dos cupons mais o valor presente do
valor nominal do papel. Esta é a forma normalmente utilizada para calcular o preço de
um título prefixado com cupons. Vejamos um exemplo.
Exemplo 2: Calcule o preço de um título com valor de face de $1.000, prazo de 20
anos com cupom de 9% ao ano pagos semestralmente, se a taxa de rendimento é 12%
ao ano. Considere o regime de capitalização composta.
Resolução: O primeiro passo é determinar o fluxo de caixa do título. Para isso precisamos
determinar o valor do pagamento de cada cupom. Então, basta ter em mente que o
cupom corresponde a uma parcela de juros que incide diretamente sobre o valor de
face do título. Caso o pagamento fosse anual, o cupom seria de $90, que é igual a 9% de
$1.000. Como o cupom é semestral, é necessário utilizar a taxa equivalente semestral.
ie = (1 + 0,9)(1 / 2)
ie ≈ 4,40% ao semestre
ou podemos calcular diretamente o valor do cupom semestral
c = 1.000 * (1 + 0,09)(1 / 2)
c = $44,03
Vale lembrar que o cupom é constante durante toda a vida do papel, já que não há
amortização antes do final da operação.
Como os pagamentos são semestrais, temos na verdade um título de 40 semestres de
prazo. Para realizarmos o cálculo do valor presente, é necessário também calcular a
taxa de rendimento semestral equivalente. Temos:
i*e = (1 + 0,12)(1 / 2)
i*e ≈ 5,83% ao semestre
Temos então o seguinte fluxo de caixa:
24
ANÁLISE DE UM INSTRUMENTO DE RENDA FIXA│UNIDADE
II
Calculamos a soma dos valores presentes dos cupons:
Pc = c [1 – (1 + i)-n] / i
Pc = 44,03 * [1 – (1 + 0,0583)-40] / 0,044
Pc = $673,94
e somamos ao valor presente do valor nominal:
PF = 1.000 * (1 + 0,0583)-40
PF = $103,67
finalmente o preço do título:
P = 673,94 + 103,67
P = $780,61
Como o preço é menor do que o valor de face, diz-se o que o papel está com desconto,
ou seja, está sendo vendido com deságio. Isso ocorrerá para títulos prefixados sempre
que a taxa de remuneração for maior do que a taxa do cupom, conforme veremos mais
à frente. No caso contrário, quando o preço do título é superior ao valor nominal,
costuma-se dizer que o papel está premium, ou seja, está sendo negociado com ágio.
Quando o preço é igual ao valor de face, diz-se que o papel, ou seu preço, está ao par.
25
CAPÍTULO 2
Fluxo de caixa da NTN-F
No exemplo anterior, para simplificar a análise, consideramos que o prazo entre os
pagamentos é divisível em períodos idênticos, que é uma situação que só pode ocorrer
no momento da emissão do papel ou no dia dos pagamentos dos cupons. Mesmo
assim, é possível que o prazo não seja tão bem comportado. Além disso, é comum,
especialmente no mercado brasileiro, considerar o número exato de dias úteis que
ocorrem entre os pagamentos dos cupons, e não aproximar o prazo, como fizemos. No
caso de precificação de um título em que os prazos entre os pagamentos dos cupons não
são uniformes, não é possível utilizar a fórmula da soma da PG, e a única opção é avaliar
individualmente os fluxos de caixa.
Exemplo 3: Considere a NTN-F com vencimento em 01/01/2017. A STN informa que
seus cupons de 10% ao ano são pagos semestralmente nos dias 1° de janeiro e 1° de julho
de cada ano. Calcule o preço do papel em 21/01/2010 à taxa de remuneração de 13,20%
ao ano (padrão (dia úteis) / 252 % ao ano). Suponha que um investidor disponha de
$20.000 para investir nestas NTN-F nesta data. Quantos títulos ele poderá adquirir?
Qual será o valor total aplicado?
Resolução: Começamos calculando o valor do cupom:
c = 1.000 * (1 + 0,10)(1 / 2)
c = $48,80885
Ao calcular o valor presente dos fluxos, devemos considerar o prazo fracionário exato,
conforme o padrão indicado. Para isso precisamos contar o número de dias úteis entre
21/01/2010 e cada um dos dias em que ocorrem os pagamentos e usar uma tabela de
dias úteis ou uma planilha eletrônica. Um detalhe importante: como o dia 1° de janeiro
é sempre feriado, o pagamento ocorre na realidade no próximo dia útil. Observe que
isso não afeta, por convenção, o valor do cupom, $48,80885, mas afetará o cômputo
dos valores presentes. Levando tudo isso em conta, chegaremos a um cronograma de
pagamentos e prazos que será parecido com a tabela abaixo.
Tabela 3
Data do pagamento
26
Tipo do pagamento
Valor
Número de dias úteis
01/07/2010
cupom
48,80885
110
03/01/2011
cupom
48,80885
238
ANÁLISE DE UM INSTRUMENTO DE RENDA FIXA│UNIDADE
01/07/2011
cupom
48,80885
362
02/01/2012
cupom
48,80885
489
01/07/2012
cupom
48,80885
613
02/01/2013
cupom
48,80885
740
01/07/2013
cupom
48,80885
863
02/01/2014
cupom
48,80885
993
01/07/2014
cupom
48,80885
1.115
02/01/2015
cupom
48,80885
1.246
01/07/2015
cupom
48,80885
1.368
04/01/2016
cupom
48,80885
1.496
01/07/2016
cupom
48,80885
1.620
02/01/2017
cupom +valor de face
1.048,80885
1.747
II
O valor presente do primeiro pagamento será calculado então da seguinte forma:
VP1 = 48,80885 * (1 + 0,132)-(110 / 252)
VP1 = 48,80885 * 1,132 -0,436507937
VP1 = $46,237482778
o do segundo:
VP2 = 48,80885 * (1 + 0,132)-(238 / 252)
VP2 = $43,415380993
E, assim, sucessivamente. No final, teremos os seguintes valores, bem como o preço do
papel:
VP1 =
46,23748
VP2 =
43,41538
VP3 =
40,84583
VP4 =
38,37168
VP5 =
36,10065
VP6 =
33,91393
VP7 =
31,92243
VP8 =
29,94457
VP9 =
28,20003
VP10 =
26,43978
VP11 =
24,89943
VP12 =
23,37969
VP13 =
21,99596
VP14 =
444,0213
Preço = 869,6882
27
UNIDADE II │ANÁLISE DE UM INSTRUMENTO DE RENDA FIXA
No Brasil, é comum chamar o preço de um título, especialmente público, de preço
unitário, ou, abreviadamente, PU. Isso porque este é o preço de um título. Com base no
PU calculamos o número de títulos que o nosso investidor pode adquirir. Basta calcular:
N° de títulos = valor do investimento / PU
N° de títulos = 20.000 / 869,6882
N° de títulos ≈ 22,9967
Como a STN permite o fracionamento de um título em 5 partes para pequenos
aplicadores (é possível adquirir no mínimo 20% de um papel), o investidor poderia
comprar no máximo 22,8 destes títulos ao preço calculado. O valor do investimento
seria:
Investimento = n° de títulos * PU
Investimento = 22,8 * 869,6882
Investimento = $19.828,89
Vale observar que o cálculo dos preços dos títulos públicos segue uma rigorosa
metodologia de arredondamentos e truncamentos para evitar que, no fim de tantos
cômputos, existam diferenças entre os preços encontrados. Não apresentaremos
aqui estes detalhes, mas é importante ter em mente que se trata de um instrumento
amplamente negociado e que precisa de critérios rígidos de padronização.
Consulte, no web site da STN, os preços e taxas de alguns títulos públicos
<http://www.tesouro.fazenda.gov.br/tesouro_direto/consulta_titulos/
consultatitulos.asp>.
Consulte também a tabela com as datas de pagamentos de cupons em:
<http://www.tesouro.fazenda.gov.br/tesouro_direto/download/Tabela_NTNB_
NTNF.pdf>.
28
CAPÍTULO 3
Rentabilidade e preço de um título de
Renda Fixa
Antes de analisarmos alguns papéis com fluxos de caixa mais complexos, vamos dedicar
algum tempo à medida da rentabilidade de um instrumento de renda fixa. Para um
produto sem cupom, o rendimento pode ser encontrado sem maiores complicações
através da relação entre o valor aplicado e o resgatado.
F = P (1 + i)n
Então
i = (F / P)(1 / n)
Já no caso dos títulos com cupom periódicos podemos sofisticar um pouco a nossa
análise e identificar as possibilidades de se obterem rendimentos:
1. os pagamentos de cupons;
2. possíveis ganhos de capital quando o investidor vende ou resgata o título; e
3. rendimentos originados do re-investimento dos cupons recebidos.
O primeiro se refere, isoladamente, ao ganho obtido com o recebimento dos cupons,
que faz parte da própria estrutura do instrumento. O segundo é o lucro, ou prejuízo,
que o investidor obtém pela variação no preço do título. De forma intuitiva, quando
compramos um papel com cupom com valor de face de $1.000 por $900 e o vendemos
por $950, ou o resgatamos no vencimento pelo valor nominal, estamos tendo um ganho
de capital. De modo oposto, quando revendemos um título por um preço inferior ao
preço de compra, estamos realizando uma perda de capital, independentemente dos
cupons que possamos ter recebido entre os momentos de compra e venda. O terceiro
corresponde às receitas que são obtidas com a reaplicação dos cupons recebidos.
Embora este ganho possa parecer marginal, também deve ser levado em consideração
quando do cômputo da rentabilidade total de um título.
Os ganhos de capital que podem ser conseguidos no investimento em renda fixa são
circunstanciais. Isto é, por mais prováveis que sejam, não podem ser considerados como
certos. Mesmo quando compramos um título por um preço abaixo do valor nominal, é
necessário conservá-lo até o vencimento para realizar o lucro obtido com a valorização
29
UNIDADE II │ANÁLISE DE UM INSTRUMENTO DE RENDA FIXA
do capital. Se for preciso vendê-lo antes, pode ser que não aconteça ganho algum, ou
que ocorra mesmo uma perda, se houver redução no preço do papel.
Entretanto, basta manter um título na carteira para fazer jus ao pagamento proporcional
do cupom, mesmo que seja por um dia apenas. Isso porque, como o preço do papel é
a soma dos valores presentes de todos os pagamentos, a simples passagem do tempo
aumenta o preço do papel, ao aumentar o valor presente de cada um dos pagamentos.
Este efeito pode ser verificado no gráfico do preço da NTN-F do exemplo 3, mantendo
a taxa de rendimento fixa em 10% durante toda a vida do papel.
Gráfico 1
Observe que tão logo um cupom é pago, o preço cai abruptamente apenas para voltar
a crescer a partir do dia seguinte, atingindo um novo máximo no dia do pagamento do
próximo cupom. Neste dia, um eventual comprador receberá imediatamente um fluxo
de caixa, por isso deve pagar um preço mais alto. Se comprar no dia seguinte, terá de
esperar aproximadamente seis meses para o próximo pagamento, e, neste caso, o preço
será bem mais baixo. Por isso, mesmo se revender o título antes da data de pagamento
do próximo cupom, ou seja, mesmo que não receba nenhum pagamento da STN – o
comprador será recompensado pelo tempo em que permaneceu com o papel em sua
carteira.
Esta oscilação periódica do preço não deve ser confundida com uma valorização de
capital do título. Esta variação se deve exclusivamente ao efeito do pagamento dos
cupons.
30
ANÁLISE DE UM INSTRUMENTO DE RENDA FIXA│UNIDADE
II
Preço Limpo, Preço Sujo e Juros Decorridos
Algumas das análises que serão feitas durante boa parte deste trabalho podem ficar
um pouco complicadas por causa desta oscilação natural do preço de um título. Uma
opção para facilitar a compreensão é considerar, em alguns casos, que os títulos são
negociados e analisados sempre no dia de pagamento do cupom. Outra opção é usar o
chamado preço limpo (ou clean price), que é uma forma analítica de reduzir as variações
cíclicas do preço de um título, embora seja pouco utilizado no mercado brasileiro.
Por convenção do mercado, o preço limpo é o que obtemos quando excluímos do preço
de um título o valor prorrata do próximo cupom. Este valor prorrata, chamado de juros
decorridos (accrued interest), costuma ser calculado linearmente da forma abaixo:
JD = c (D1 / D2)
onde D1 é o número de dias decorridos desde o último cupom pago e D2 é o número
de dias entre o pagamento do último cupom e o pagamento do próximo cupom.
Normalmente os juros decorridos são explicados como a parcela do cupom devida
ao detentor de um papel que decide vendê-lo antes da data de pagamento do cupom.
Porém, é importante notar que isso é apenas uma aproximação, pois, ao analisarmos o
fluxo de caixa do título vemos que caso um investidor decida vender seu título antes de
receber o cupom, receberá na verdade a diferença entre os valores presentes de todos
os pagamentos calculado no dia da venda e no dia da compra, e não uma fração do valor
nominal do próximo cupom.
Nesta terminologia, o preço de um título, como calculamos até agora, é chamado de
preço sujo (dirty price, ou ainda full price). Temos, então:
Preço limpo = Preço sujo – juros decorridos
O preço limpo funciona como uma boa aproximação de um preço que é imune à
influência cíclica dos pagamentos dos cupons, como podemos ver no gráfico abaixo:
31
UNIDADE II │ANÁLISE DE UM INSTRUMENTO DE RENDA FIXA
Gráfico 2
A linha do gráfico deveria ser, idealmente, uma reta horizontal, já que mantendo
a taxa efetiva de rentabilidade fixa e isolando as variações causadas pelos cupons e
pela passagem do tempo, o preço do título deveria se manter totalmente constante. As
variações visíveis no gráfico refletem o fato de que o preço limpo é uma aproximação
deste preço ideal, além de possíveis erros de arredondamento.
Olhando o preço limpo, podemos analisar as variações de preço que são devidas a
mudanças na rentabilidade de um papel que geram ganhos ou perdas de capitais.
32
CAPÍTULO 4
Medidas de Yield e rentabilidade
Existem três medidas rotineiramente usadas para medir a lucratividade de um papel
com cupons periódicos, normalmente chamadas pelo nome em inglês yield. Cada
uma delas, de uma forma ou outra, oferecem alternativas para medir as formas de
rendimento discutidas acima: recebimentos de cupons, ganhos de capital e lucros de
reinvestimento dos cupons.
Current Yield
Uma primeira ideia é calcular a rentabilidade de um título unicamente em função de
seus cupons. Este conceito, conhecido como current yield, é definido como:
CY = ca / PL
onde ca é total de cupons recebidos em um ano, e PL é o preço limpo do papel.
O current yield não faz nenhuma referência a possíveis ganhos de capital que o
investidor possa vir a receber, apenas relaciona o recebimento dos cupons com o capital
investido. O uso do preço limpo se justifica porque, ao comprar um título entre as datas
de pagamentos de cupons, embora efetivamente o desembolso financeiro seja maior, o
investidor também receberá os cupons antes do prazo de um ano. O uso do preço limpo
compensa, aproximadamente, esta distorção.
Exemplo 4: Calcule o current yield da NTN-F do exemplo 3.
Temos c = 48,80885 e P = 869,6882. Podemos calcular os juros deferidos em
21/01/2010 usando o padrão de dias úteis da seguinte forma:
número de dias úteis decorridos desde o último cupom pago = 14
o número de dias úteis entre o pagamento do último cupom e o pagamento do
próximo cupom = 123
JD = 48,80885 * (14 / 123)
JD = 5,158659
Calculamos o preço limpo
PL = 869,6882 – 5,158659
PL = 864,529542
33
UNIDADE II │ANÁLISE DE UM INSTRUMENTO DE RENDA FIXA
Então o current yield será
CY = (48,80885 + 48,80885 ) / 864,529542
Ou
CY = 11,29% ao ano
Observe que o current yield é menor do que a taxa de remuneração que usamos para
calcular o preço do título no exemplo 3. Isso se deve justamente porque o current yield
não leva em consideração o ganho de capital que o investidor terá se mantiver o título
até o vencimento, quando poderá resgatá-lo por $1.000.
Yield to Maturity (YTM)
O yield to maturity (que significa “rendimento até o vencimento”), ou simplesmente
yield, ou YTM, é um das formas mais difundidas de se calcular a rentabilidade de
um instrumento de renda fixa. Ele corresponde justamente à remuneração que será
obtida pelo investidor caso mantenha o papel até o seu vencimento. Esta é a taxa de
remuneração que usamos para calcular o preço da NTN-F no exemplo 3. Como considera
todos os fluxos de caixa do papel, o YTM engloba em seu cômputo os ganhos ou perdas
de capital.
Formalmente, o yield de um título de renda fixa é a sua taxa interna de retorno (TIR
em português, ou IRR em inglês). A TIR é a taxa de desconto que torna o valor presente
líquido de um investimento, em uma determinada data, igual a zero. Olhando o fluxo
de caixa de um título vemos que
VPL = – P + c (1 + y)-1 + c (1 + y)-2 + c (1 + y)-3 + ... + c (1 + y)-n + F (1 + y)-n
onde VPL é o valor presente líquido e y é o YTM do papel.
Note que temos um fluxo negativo, o preço do título, que corresponde a uma saída
financeira, necessária à aquisição do papel. Todos os outros fluxos são entradas, por
isso são positivos. Fazendo VPL = 0 encontramos:
0 = – P + c (1 + y)-1 + c (1 + y)-2 + c (1 + y)-3 + ... + c (1 + y)-n + F (1 + y)-n
P = c (1 + y)-1 + c (1 + y)-2 + c (1 + y)-3 + ... + c (1 + y)-n + F (1 + y)-n
que é justamente a fórmula do preço de um título com cupons que usamos anteriormente.
Aqui, entretanto, desejamos encontrar y a partir de valores conhecidos de P, F, e c.
Como isso envolve encontrar raízes de difícil solução, geralmente são empregados
34
ANÁLISE DE UM INSTRUMENTO DE RENDA FIXA│UNIDADE
II
métodos numéricos para encontrar o valor de y. Estes métodos consistem basicamente
em tentativa e erro, mas existem várias técnicas para reduzir o número necessário de
tentativas antes de achar um valor que seja próximo o suficiente do verdadeiro valor.
Mesmo assim, o cálculo manual pode ser bastante cansativo e sujeito a erros. Planilhas
eletrônicas, contudo, podem realizar este cômputo rapidamente. Vejamos um exemplo.
Exemplo 5: Considere mais uma vez a NTN-F do exemplo 3. Sabendo que no dia
01/02/2010 o papel tem preço unitário de $920,574945, calcule o seu YTM.
Resolução: Vamos utilizar a ferramenta Atingir Meta do Excel. Na versão 2007, ela
se encontra no menu Dados>Ferramentas de Dados>Teste de Hipóteses. Nas versões
anteriores ela está no menu ‘Ferramentas’. Esta função exige que sejam inseridos três
dados:
»» Definir célula – neste campo colocamos a referência da célula (por
exemplo, A3, G14, D20 etc.) que queremos ver alterada, isto é, que tenha
um determinado valor, ou meta. Esta meta a ser atingida é colocada no
próximo campo;
»» Para valor – inserimos o valor que queremos que a célula definida no
campo anterior alcance;
»» Alterando a célula – aqui colocamos a referência de outra célula que
terá o seu valor alterado até que o valor da primeira célula atinja a sua
meta. É claro que para isso o valor da primeira célula precisa depender
do valor da segunda.
Para calcularmos o YTM, colocamos no primeiro campo o da célula que contém o
cálculo do valor presente líquido do papel; no segundo inserimos ‘0’, que é o valor que
precisamos do VPL para chegar ao yield to maturity; e no último colocamos a célula
que contém o valor do YTM. Existem várias formas de se organizar esta estrutura no
Excel. Vamos ver uma que é bastante simples.
Primeiro monte o cronograma de pagamentos exatamente como no exercício 3. Coloque
ao lado desta tabela a coluna com os valores presentes de cada um dos fluxos. É preciso
inserir um valor inicial para o yield, que servirá para o cálculo inicial dos VP e do VLP.
Contudo, pelo que já dissemos, é necessário que o yield não seja digitado nas fórmulas,
mas que seja colocado em uma célula, como no modelo abaixo.
A
B
C
D
Número de dias
úteis
E
1
Data do pagamento
2
1/7/2010
cupom
48,80885
110
=C2*(1+$AS18/100)^–(G2/252)
3
3/1/2011
cupom
48,80885
238
=C3*(1+$AS18/100)^–(G3/252)
Tipo do pagamento
Valor
Valor presente
35
UNIDADE II │ANÁLISE DE UM INSTRUMENTO DE RENDA FIXA
4
1/7/2011
cupom
48,80885
362
=C4*(1+$AS18/100)^–(G4/252)
5
2/1/2012
cupom
48,80885
489
=C5*(1+$AS18/100)^–(G5/252)
6
1/7/2012
cupom
48,80885
613
=C6*(1+$AS18/100)^–(G6/252)
7
2/1/2013
cupom
48,80885
740
=C7*(1+$AS18/100)^–(G7/252)
8
1/7/2013
cupom
48,80885
863
=C8*(1+$AS18/100)^–(G8/252)
9
2/1/2014
cupom
48,80885
993
=C9*(1+$AS18/100)^–(G9/252)
10
1/7/2014
cupom
48,80885
1.115
=C10*(1+$AS18/100)^–(G10/252)
11
2/1/2015
cupom
48,80885
1.246
=C11*(1+$AS18/100)^–(G11/252)
12
1/7/2015
cupom
48,80885
1.368
=C12*(1+$AS18/100)^–(G12/252)
13
4/1/2016
cupom
48,80885
1.496
=C13*(1+$AS18/100)^–(G13/252)
14
1/7/2016
cupom
48,80885
1.620
=C14*(1+$AS18/100)^–(G14/252)
15
2/1/2017
1.048,81
1.747
=C15*(1+$AS18/100)^–(G15/252)
cupom +
valor de face
16
Soma dos VP
=SOMA(E2:E15)
17
Yield
Preço de mercado
920,574945
18
13,2
NPV
=E16–E17
Na coluna ‘E’, nas linhas de 2 a 15, temos o cálculo do VP de cada um dos pagamentos,
utilizando o yield provisório (o mesmo do exemplo 3) da célula A18 e os números de
dias da coluna D. A soma destes valores, que nada mais é que o preço do titulo ao YTM
de 13,2% ao ano, aparece na célula E16 e o NPV dos fluxos de caixa na célula E18.
Queremos que o NPV seja igual a zero. Utilizando então a ferramenta Atingir Meta,
colocamos:
»» Definir célula: E18;
»» Para valor: 0;
»» Alterando a célula: A18.
Após apertar o botão ‘OK’, deverá ser exibida uma mensagem parecida com “atingir
Meta com a célula E18 encontrou uma solução”. O valor do yield aparecerá na sua
própria célula e, neste caso, é igual a 12. Isso só foi possível pois havia uma sequência
de dependência entre os valores das células E18 e A18, caso contrário, um aviso de erro
seria exibido.
Resposta: O yield to maturity do título é de 12% a ano.
O YTM é uma medida de rentabilidade de um título mais completa do que o current yield,
pois considera também os ganhos de capital do investidor, desde que mantenha o papel
até o seu vencimento. É interessante notar que o yield to maturity também considera
os rendimentos obtidos com o reinvestimento dos cupons recebidos. Porém, como é a
medida da taxa interna de retorno do papel, considera que os cupons são reinvestidos a
uma taxa de rendimento igual ao próprio YTM. Isso quer dizer que, quando calculamos
36
ANÁLISE DE UM INSTRUMENTO DE RENDA FIXA│UNIDADE
II
o yield da NTN-F acima em 12%, estamos assumindo implicitamente que os cupons,
quando recebidos, serão investidos também à taxa de 12 % ao ano. Um exemplo será
útil na compreensão desta característica da taxa interna de retorno e do YTM.
Exemplo 6: Compare o investimento em um título de renda fixa de 5 anos com valor
nominal de $1.000, cupons semestrais de 11% ao ano, YTM de 14% ao ano (preço
$899,61) com um depósito remunerado que rende a taxa efetiva de 14% ao ano. Verifique
as alternativas em que: a) os cupons recebidos são reinvestidos à taxa efetiva de 14% ao
ano; e b) os cupons não são reinvestidos. Considere que o investimento ocorre na data
de lançamento do título.
Resolução: Vamos começar com o depósito remunerado. Suponha que apliquemos o
mesmo que investiríamos no título, ou seja, $899,61. Como a taxa de remuneração é
efetiva anual, ao final de cinco anos teremos:
F = 899,61 * (1 + 0,14)5
F = $1.732,12
Podemos verificar que a taxa de remuneração, no caso de um instrumento do tipo zero
cupom, corresponde ao seu YTM. Basta observar que:
VPL = 0 = – 899,61 + 1.732 * (1+y)-5
899,61 = 1.732 * (1+y)-5
899,61 * (1+y)5= 1.732
y = 14% ao ano
Vejamos agora o título. Primeiro calculamos o valor dos cupons semestrais que serão
recebidos em t=1, t=2, ..., t=10.
c = 1000 * [(1 + 0,11)(1 / 2) – 1]
c = 53,565375
Caso os cupons sejam investidos imediatamente após o seu recebimento, na data de
resgate do título (em t=10) teremos:
1º cupom = c1 (10) = 53,565375 * (1 + 0,14)[(10 – 1)/2]
c1 (10) = 53,565375 * (1,14)(4,5)
c1 (10) ≈ 96,60
37
UNIDADE II │ANÁLISE DE UM INSTRUMENTO DE RENDA FIXA
2º cupom = c2 (10) = 53,565375 * (1 + 0,14)[(10 – 2)/2]
c2 (10) ≈ 90,47
E assim até o último pagamento, que inclui o valor de resgate. Podemos comparar este
resultado com a alternativa em que os cupons não são reinvestidos, permanecendo
constantes durante todo o período, na tabela abaixo:
Tabela 4
Com reinvestimento 14% ao ano
Sem reinvestimento
c1 (10) =
96,60
53,57
c2 (10) =
90,47
53,57
c3 (10) =
84,73
53,57
c4 (10) =
79,36
53,57
c5 (10) =
74,33
53,57
c6 (10) =
69,61
53,57
c7 (10) =
65,20
53,57
c8 (10) =
61,06
53,57
c9 (10) =
57,19
53,57
c10+F =
1.053,57
1.053,57
Total em t = 10
1.732,12
1.535,65
Vemos então que o título com yield de 14% ao ano só resultará em um montante igual
ao instrumento zero cupom em t = 10 caso todos os seus cupons sejam reinvestidos
à mesma taxa do YTM. Como o zero cupom também tem YTM igual a 14% ao ano,
vemos que o reinvestimento dos cupons é condição necessária para que o título tenha
o yield calculado.
Resumindo, o yield to maturity fornece a uma medida adequada da rentabilidade
de um título desde que ele seja mantido até o vencimento e os cupons possam ser
reinvestidos a uma taxa igual ao YTM. A necessidade do reinvestimento dos cupons
não é residual, como o último exemplo demonstrou, significando um considerável risco
à rentabilidade calculada. Como regra geral, quanto maior for o cupom de um título,
mais ele dependerá do lucro obtido com a aplicação dos cupons para garantir o YTM
calculado no momento da compra do papel.
Relação entre YTM, Preço e Cupom de um Título
Como o preço de um papel é a soma dos valores dos fluxos de caixa futuros descontados
pelo YTM, então temos uma relação inversa entre o preço e o yield de um título. Isso
se deve ao fato de que, tudo o mais constante, quanto maior o yield, menor será o
valor presente de cada pagamento, e quanto menor o yield, maior o valor presente. Esta
relação pode ser vista para a nossa NTN-F no gráfico abaixo.
38
ANÁLISE DE UM INSTRUMENTO DE RENDA FIXA│UNIDADE
II
Gráfico 3
Observe que o gráfico não é uma reta, o que era esperado, já que o PU não é determinado
linearmente pelo YTM, e vice versa. A curvatura da linha representa a convexidade do
título e será discutida mais à frente.
A proporção entre o yield e o cupom de um papel também tem algumas propriedades.
No dia do pagamento do cupom, (ou em qualquer dia, se usarmos o preço limpo) um
título prefixado, sem opções embutidas, quando o YTM é igual à taxa do cupom, tem o
preço igual ao valor de resgate. E, inversamente, quando o papel está sendo negociado
ao par, seu yield é igual ao seu cupom. Isto porque, nesta situação, o investidor não
fará jus a nenhum ganho de capital, apenas ao rendimento advindo do recebimento dos
cupons. Consequentemente, se o YTM está acima do cupom, o papel está sendo vendido
com desconto, ou, visto pelo outro lado, se o título está abaixo do par, seu yield supera
o seu cupom. Vale também o inverso: o YTM abaixo do cupom implica em um papel
premium, ou, um título vendido com ágio tem um yield menor do que seu cupom.
Total Return
Uma medida de rentabilidade que supere as conhecidas limitações do yield to maturity
deve levar em conta:
»» horizonte de investimento;
»» taxas futuras de reinvestimento dos cupons;
»» preço futuro de venda do título ao final do horizonte de investimento.
Na abordagem da lucratividade de um título conhecida como total return (ou análise
de retorno total), estas três variáveis devem ser fornecidas pelo investidor, ao invés
de serem pressupostos rígidos de uma fórmula matemática. Isso representa uma
abordagem muito mais realista do que a da taxa constante e do horizonte de investimento
39
UNIDADE II │ANÁLISE DE UM INSTRUMENTO DE RENDA FIXA
determinado do YTM. Contudo, a fixação destes parâmetros pode exigir algum esforço
analítico e ser muitas vezes complexa e sujeita a erros. Existem várias ferramentas e
técnicas utilizadas pelo mercado, como a análise de cenários, a observação de padrões
ou imperfeições do mercado, ou mesmo alguma avaliação subjetiva. Em qualquer caso,
para se proteger de superestimativas da rentabilidade de um título, o investidor pode
sempre optar por estimativas relativamente pessimistas, assumindo o que é chamado
perfil conservador.
O horizonte de investimento é o prazo durante o qual o investidor pretende permanecer
com o título em sua carteira. Pode ser definido com base, por exemplo, em algum
compromisso que deverá ser pago com os recursos investidos. Quando definimos este
horizonte, estamos tentando medir a rentabilidade de forma independente da data de
vencimento do título.
As taxas de juros as quais iremos realmente investir as receitas dos cupons são
desconhecidas. Podemos no máximo examinar indicadores que forneçam pistas sobre
as expectativas do mercado – como títulos de diferentes vencimentos – ou recorrermos
à análise de economistas. Podemos escolher taxas diferentes para cada um dos cupons,
seguindo, por exemplo, uma tendência de longo prazo para as taxas de juros. De qualquer
forma, temos a oportunidade de fazermos a nossa escolha, ao invés de adotarmos um
número predeterminado. Na mesma direção temos o preço do título ao final do horizonte
de investimento, que, como vimos, dependerá diretamente de seu YTM.
A análise de retorno total consiste em calcularmos o valor esperado ao final do horizonte
de investimento, considerando o ganho obtido com o recebimento e investimento dos
cupons bem como a valorização de capital esperada. Com esse valor e o preço pago pelo
título, calculamos a rentabilidade do investimento. Vamos ver um exemplo.
Exemplo 7: Uma pessoa deseja investir seus recursos para, daqui há 5 anos, comprar
um imóvel. Para isso resolve investir em um papel de renda fixa com prazo de 10 anos
com cupom semestral de 9% ano com preço de $884,69 (YTM de 11% ao ano). Ela
espera poder investir os cupons recebidos à taxa efetiva de 8% ao ano e vender o título
com 5 anos para o vencimento com yield de 9% ao ano. Calcule o retorno total esperado
para este título segundo estas hipóteses. Considere o título na sua data de lançamento.
Resolução: Começamos novamente computando valor de cada cupom:
c = 1000 * [(1 + 0,09)(1 / 2) – 1]
c = $44,030650
Calculamos agora qual será o valor dos cupons ao final de 5 anos, investidos à taxa
esperada de 8% ao ano.
1º cupom = c1 (10) = 44,030650 * (1 + 0,08)[(10 – 1)/2]
40
ANÁLISE DE UM INSTRUMENTO DE RENDA FIXA│UNIDADE
II
c1 (10) ≈ 62,25
2º cupom = c2 (10) = 53,565375 * (1 + 0,14)[(10 – 2)/2]
c2 (10) ≈ 59,90
E, assim, sucessivamente até chegarmos ao quadro abaixo.
Quadro 03
Rendimento 8%
ao ano
c1 (10) =
62,25
c2 (10) =
59,90
c3 (10) =
57,64
c4 (10) =
55,47
c5 (10) =
53,37
c6 (10) =
51,36
c7 (10) =
49,42
c8 (10) =
47,55
c9 (10) =
45,76
c10 =
44,03
Total em t = 10
526,75
Em segundo lugar calculamos o preço do título – agora com 5 anos para o vencimento
– a partir do yield esperado. Como o YTM é igual ao cupom, e estamos no dia do
pagamento do cupom, o preço será igual ao valor de face, ou seja, $1.000. Assim, em t
= 10, teremos um total de
F10 = 526,75 + 1.000
F10 = 1.526,75
Calculamos então a rentabilidade anual da forma costumeira
i = (1.526,75 / 884,69)(1 / 5) – 1
i = 11,53% ao ano
Podemos ver que o retorno total do título é ligeiramente superior ao seu YTM. Os fatores
que contribuíram, positiva ou negativamente, foram:
»» o papel não foi mantido até o vencimento, mas sim por 5 anos;
»» houve um ganho de capital, já que o preço do título subiu de $884,69
para $1.000. Isso ocorreu porque o yield caiu de 11% para 9% ao ano;
»» os cupons não foram reinvestidos a 11%, mas a 8% ao ano.
41
CAPÍTULO 5
Preço, rentabilidade e volatilidade
Como vimos no exemplo anterior, uma queda esperada no yield de um título levou
o investidor a prever um ganho de capital. Claro que, caso houvesse um aumento no
YTM, o preço do papel cairia, e o investidor sofreria uma perda. Esta possibilidade de
um título sofrer lucros ou prejuízos devido a mudanças em seu preço é conhecida como
risco de taxa de juros e existe em qualquer aplicação em um instrumento de renda fixa.
Entretanto, este risco varia significativamente de um título para outro e vai depender
da magnitude do ganho ou perda que um papel sofre quando ocorre uma mudança em
seu yield.
Vejamos o efeito que a variação no yield tem no preço de alguns títulos. Na tabela
abaixo mostramos a variação absoluta dos preços e a variação percentual dos preços
de quatro títulos: dois papéis de 5 anos com cupons de 7% e 11% e dois de 10 anos, com
cupons também de 7% e 11%. Partindo de um yield inicial de 9% ao ano, calculamos
as diferenças quando alteramos o YTM para cima e para baixo, conforme a primeira
coluna à esquerda.
Tabela 03
YTM inicial = 9,00 % ao ano
Vencimento
5 anos
Cupom
10 anos
7%
11%
7%
11%
YTM (% a.a.)
∆P (%)
∆P ($)
∆P (%)
∆P ($)
∆P (%)
∆P ($)
∆P (%)
∆P ($)
7,00
8,28
76,51
7,81
83,99
14,45
126,23
13,21
148,66
8,00
4,03
37,24
3,80
40,91
6,89
60,24
6,32
71,07
8,50
1,99
18,38
1,88
20,19
3,37
29,44
3,09
34,76
8,90
0,39
3,64
0,37
4,00
0,66
5,78
0,61
6,83
8,95
0,20
1,82
0,19
2,00
0,33
2,88
0,30
3,41
9,05
-0,20
-1,81
-0,19
-1,99
-0,33
-2,87
-0,30
-3,39
9,10
-0,39
-3,62
-0,37
-3,98
-0,66
-5,73
-0,60
-6,77
9,50
-1,94
-17,90
-1,83
-19,68
-3,22
-28,15
-2,96
-33,30
10,00
-3,83
-35,34
-3,61
-38,86
-6,30
-55,06
-5,79
-65,20
11,00
-7,46
-68,89
-7,05
-75,81
-12,07
-105,46
-11,12
-125,08
Em primeiro lugar, podemos observar que a relação entre preço o yield de qualquer
dos títulos não é linear, nem simétrica. Quando aumentamos o YTM de 9% para 9,05%
obtemos uma variação no preço, tanto percentual quanto absoluta, diferente da que
temos quando aumentamos o preço novamente, de 9,05% para 9,10%. Da mesma forma,
42
ANÁLISE DE UM INSTRUMENTO DE RENDA FIXA│UNIDADE
II
quando aumentamos o yield de 9% para 9,10% obtemos uma variação de magnitude
diferente da que conseguimos quando o reduzimos de 9% para 8,90%.
Em segundo lugar, quando comparamos dois títulos com cupons iguais, mas prazos
diferentes, o papel mais longo apresenta uma mudança mais intensa no preço para
a mesma variação do yield. Esse efeito pode ser melhor compreendido se olharmos
novamente a relação entre o preço e o fluxo de pagamentos de um título prefixado e
sem opcionalidades.
P = c (1 + y)-1 + c (1 + y)-2 + c (1 + y)-3 + ... + c (1 + y)-n + F (1 + y)-n
É possível observar que o valor presente dos pagamentos mais distantes será mais afetado
por uma variação de y do que o dos pagamentos mais próximos. Isto porque o fator de
desconto (1 + y) cresce exponencialmente de acordo com o prazo do pagamento, para
um yield constante. Por isso, quanto maior o prazo de um título mais seu preço variará
em resposta a uma variação do seu YTM. Podemos dizer então que quanto maior o
prazo de um título, maior é a volatilidade de seu preço, e maior o risco de taxa de juros
embutidos.
Quando olhamos para dois papéis com o mesmo prazo, mas cupons diferentes, o título
com o maior cupom apresenta variações absolutas de preço maiores no seu preço
do que o título com cupom menor, mas menores variações percentuais. Observando
novamente o fluxo de caixa, podemos ver que o papel com maior cupom terá sempre
o maior preço entre os dois, para um mesmo YTM. Isso leva este título a apresentar
variações absolutas de preços maiores do que o título com cupom menor.
Entretanto, a variação percentual é um indicador melhor do tamanho dos ganhos e
perdas de capital de um título frente a variações em seu rendimento. E, sob esta ótica,
o papel com menor cupom apresenta uma variação maior do que o outro título com o
mesmo vencimento. Usando o mesmo raciocínio anterior, vemos que quanto maior for
o cupom, mais equilibrado será o fluxo de pagamentos ao longo do tempo, o que reduz o
impacto da variação do YTM sobre os ingressos finais, especialmente o último, que, por
incluir o pagamento valor de face, é geralmente maior do que os fluxos intermediários.
Com isso, pagamentos intermediários contrabalanceiam o efeito do prazo do título
sobre a sensibilidade do preço do papel a uma mudança no yield. Assim, cupons maiores
reduzem a volatilidade do preço e há o risco de taxa de juros de um papel.
O prazo do papel e o seu cupom são os determinantes principais da relação entre
mudanças no YTM e variações no seu preço e, portanto, do risco de taxa de juros.
Existem várias maneiras de se medir este risco, as quais apresentamos as principais a
seguir.
43
UNIDADE II │ANÁLISE DE UM INSTRUMENTO DE RENDA FIXA
Duration
Partindo das ideias acima, podemos tentar unir os efeitos do prazo e do cupom sobre a
sensibilidade do preço de um título em único número. A ideia é calcular o prazo médio
de recebimento dos fluxos de caixa do título, ponderando cada pagamento pela sua
importância na formação do preço do papel. Com isso, definimos a duration como:
n
D=
∑ txVP
t
t
P
Onde D é a duration, t prazo até o pagamento, VPt é o valor presente do pagamento do
instante t, e P é o preço do título. A duration reúne, em um único número, as influências
do prazo do título e do valor do cupom. Assim, quanto maior a duration de um papel,
mais o seu preço será sensível a variações no YTM e maior será o risco de taxa de juros.
Vamos ver um exemplo.
Exemplo 8: Calcule a duration dos quatro títulos expostos na Tabela específica – a (5
anos com cupom de 7% e 11%, e 10 anos com cupom de 7% e 11%) considerando o YTM
de 9%.
Resolução: Vamos começar com o título de 5 anos e cupom de 7 %. A duration
é normalmente medida em anos para títulos mais longos, embora no Brasil seja
também comum medir a duration em dias para títulos mais curtos. Para evitar erros e
procedimentos desnecessários, é mais prático trabalhar desde o início dos cálculos com
uniformidade entre todas as unidades de tempo, tomando cuidado para que a taxa de
rendimento seja efetiva para a unidade de tempo escolhida. No nosso exemplo, vamos
denominar todas as unidades de tempo em anos. Como o pagamento dos cupons é
semestral, medindo os períodos em anos, temos:
t = 0,5, 1, 1,5, 2, ..., 4,5, 5
Calculamos o valor do cupom da forma usual:
c = 1000 * [(1 + 0,07)(1/2) – 1]
c = 34,408043
O valor presente do primeiro pagamento será:
VP1 = 34,408043 / (1 + 0,09) 0,5
VP1 = 32,956928
44
ANÁLISE DE UM INSTRUMENTO DE RENDA FIXA│UNIDADE
II
E o primeiro termo do somatório:
t * VPt = 0,5 * 32,956928 = 16,478464
Repetindo a operação para cada um dos fluxos de caixa, e arredondando um pouco os
dados, chegaremos ao resultado da tabela abaixo.
Tabela 04
Prazo do
pagamento (t)
Valor do
pagamento
Valor Presente (VP)
t x VP
0,5
34,408
32,957
16,478
1,0
34,408
31,567
31,567
1,5
34,408
30,236
45,354
2,0
34,408
28,961
57,921
2,5
34,408
27,739
69,348
3,0
34,408
26,569
79,708
3,5
34,408
25,449
89,071
4,0
34,408
24,376
97,502
4,5
34,408
23,348
105,064
5,0
1.034,408
672,294
3.361,471
Total
923,495
3.953,484
Observando que o preço do título é a soma dos valores presentes dos seus pagamentos,
temos que a duration do papel é:
D = 3.953,484 / 923,495
D ≈ 4,28 anos
Repetindo o procedimento para os outros títulos chegaremos ao resultado abaixo.
Vencimento
5 anos
10 anos
Cupom
7%
11%
7%
11%
Duration
4,28
4,04
7,18
6,59
Estes resultados estão de acordo com o que observamos anteriormente. Para um dado
cupom, quanto maior o prazo, mais sensível é o preço a variações no yield, e maior será
a sua duration (embora existam algumas exceções, em casos extremos, a esta regra).
E para um dado prazo, quanto menor o cupom mais volátil será o preço do papel (em
termos percentuais), e também sua duration.
É importante ter em mente que a duration não é uma característica imutável do título,
como a sua data de vencimento ou seu cupom. Primeiramente, a duration depende do
YTM. Assim, qualquer alteração no yield altera também a duration do papel. Vamos
45
UNIDADE II │ANÁLISE DE UM INSTRUMENTO DE RENDA FIXA
olhar novamente a tabela em que consideramos as variações de preços dos quatro
títulos frente a variações no YTM. Já observamos que as variações não são simétricas:
alterações para baixo no yield resultam em uma variação maior no preço do que uma
alteração de mesma magnitude para cima.
Com isso, é de se esperar que a duration de um título aumente quanto o yield se reduz,
ou seja, quando o preço aumenta. Por isso, dados dois títulos com prazo e cupons iguais,
o papel com preço mais alto também será o com o maior risco de taxa de juros. A tabela
abaixo apresenta a duration para um título de 5 anos e cupom de 9% para vários yields
e preços selecionados.
Tabela 05
Vencimento 5 anos, cupom de 9% ao ano
YTM
5,00
6,00
7,00
8,00
9,00
10,00
11,00
12,00
13,00
Preço
1.169,49
1.123,69
1.080,27
1.039,08
1.000,00
962,89
927,63
894,12
862,25
Duration
4,22
4,21
4,19
4,17
4,15
4,13
4,11
4,09
4,07
Em segundo lugar, vale lembrar ainda que a duration de um título é sempre menor
do que o seu prazo, com exceção de um papel do tipo zero cupom. Neste único caso,
como o título só tem um fluxo de pagamento, a duration será exatamente o prazo para
o vencimento.
46
CAPÍTULO 6
Duration Modificada
Vimos que a duration é uma forma de expressar o risco de taxa de juros de um papel:
quanto maior a duration maior a volatilidade do título diante de mudanças no YTM.
Ou seja, o valor da duration está relacionado com a proporção entre uma mudança no
yield e uma mudança no preço do papel. É possível provar matematicamente que esta
relação é a seguinte:
∆P
P
= -D
∆Y
(1 + y )
De onde se segue que
∆P
D
= x∆y
P
(1 + y )
Definimos então a duration modificada (modified duration) como:
Md =
D
(1 + y )
Ou seja,
n
Md =
∑ txVP
t
t
P (1 + y )
Podemos agora reescrever a igualdade anterior como:
∆P
=
−M d x∆y
P
Ou seja, a variação percentual do preço de um título (∆P / P) é igual ao negativo da
duration modificada vezes a variação do yield (∆y). Portanto, quanto maior a duration
modificada maior será a volatilidade do título e o risco de taxa de juros.
Existe certa confusão de nomenclatura entre duration e duration modificada à qual
é preciso estar atento. Para evitar confusões, a duration é muitas vezes chamada de
duration de Macaulay (“Macaulay duration”), em homenagem ao economista que
apresentou este conceito pela primeira vez. Já a duration modificada é às vezes chamada
simplesmente de ”duration“.
47
UNIDADE II │ANÁLISE DE UM INSTRUMENTO DE RENDA FIXA
Vamos ver agora um exemplo em que usamos a duration modificada para estimar a
variação no preço de um título.
Exemplo 9: Utilize os resultados do exemplo 8 para estimar variações no YTM inicial
de 9,0% e compare com os resultados obtidos.
Resolução: Anteriormente obtivemos:
Vencimento
5 anos
10 anos
Cupom
7%
11%
7%
11%
Duration
4,28
4,04
7,18
6,59
Para encontrarmos as durations modificadas, basta dividirmos cada duration por (1 + y):
Md (1) = 4,28 / (1+ 0,09)
Md (1) = 3,93
E, assim, sucessivamente até chegarmos ao resultado abaixo:
Vencimento
5 anos
10 anos
Cupom
7%
11%
7%
11%
Md
3,93
3,71
6,59
6,05
Vamos agora estimar o preço quando yield sobe para 9,05%.
∆y = 9,05 – 9,00
∆y = 0,05
A variação percentual estimada do preço do primeiro título (5 anos, cupom de 7%)
então será:
∆P1 / P1 = -3,93 * 0,05
∆P1 / P1 = 0,20%
E, novamente, prosseguimos com yields indicados até preencher a tabela com os dados
de todos os títulos.
48
ANÁLISE DE UM INSTRUMENTO DE RENDA FIXA│UNIDADE
II
Tabela 06
Vencimento
5 anos
cupom
10 anos
7%
11%
7%
11%
∆ YTM
∆P (%)
∆P (%)*
∆P (%)
∆P (%)*
∆P (%)
∆P (%)*
∆P (%)
∆P (%)*
-2,00
8,28
7,86
7,81
7,41
14,45
13,18
13,21
12,09
-1,00
4,03
3,93
3,80
3,71
6,89
6,59
6,32
6,05
-0,50
1,99
1,96
1,88
1,85
3,37
3,29
3,09
3,02
-0,10
0,39
0,39
0,37
0,37
0,66
0,66
0,61
0,60
-0,05
0,20
0,20
0,19
0,19
0,33
0,33
0,30
0,30
0,05
-0,20
-0,20
-0,19
-0,19
-0,33
-0,33
-0,30
-0,30
0,10
-0,39
-0,39
-0,37
-0,37
-0,66
-0,66
-0,60
-0,60
0,50
-1,94
-1,96
-1,83
-1,85
-3,22
-3,29
-2,96
-3,02
1,00
-3,83
-3,93
-3,61
-3,71
-6,30
-6,59
-5,79
-6,05
2,00
-7,46
-7,86
-7,05
-7,41
-12,07
-13,18
-11,12
-12,09
Onde ∆P (%) é a variação percentual verdadeira do preço e ∆P (%)* é a variação
obtida utilizando a duration modificada. Observe que para variações relativamente
pequenas (iguais ou menores do que 0,1 ponto percentual), obtemos estimativas
bastante precisas, mas conforme avançamos para variações maiores, começamos a
perceber imprecisões crescentes. Isto já era esperado, pois quando usamos a duration
modificada para estimar o preço, o fazemos de forma linear. Com isso, variações do
yield se transformam em variações proporcionais do preço, independentemente do
tamanho e da direção da variação. Mas já vimos que a relação entre yield e preço de um
título não é linear. Este fato aparece representado no gráfico a seguir. A linha convexa
representa a relação efetiva entre yield e preço, enquanto a reta tangente mostra a
relação estimada através da duration modificada calculada para os yield y.
Gráfico 4
49
UNIDADE II │ANÁLISE DE UM INSTRUMENTO DE RENDA FIXA
A reta tangencia a curva no ponto correspondente ao yield utilizado para computar
a duration modificada. Matematicamente, dizemos que o negativo da duration
modificada representa a inclinação da reta tangente em relação ao eixo horizontal.
Quando variamos o yield de y para y1 ou y2, vemos que os pontos correspondentes
sobre a curva e sobre a reta são muito próximos, de forma que os preços estimados pela
reta são muito próximos dos preços verdadeiros P1 e P2.
Quando, porém, mudamos o yield de y para y3 ou y4, os pontos correspondentes sobre
a curva e sobre a reta apresentam uma diferença bem maior. Por isso, para y3, a curva,
isto é, a relação efetiva entre yield e preço, mostra o preço P3, enquanto a reta, ou seja,
a estimativa linear obtida através da duration modificada, indica o preço P3*. O mesmo
pode ser verificado para y4.
50
CAPÍTULO 7
Convexidade
Como mencionamos anteriormente, a duration depende do YTM – quanto menor o
yield, maior a duration e vice-versa. O mesmo acontece com a duration modificada.
Este fato é ilustrado no próximo gráfico.
Gráfico 7
Podemos visualizar este fato observando que as retas tangentes correspondentes
aos yields ya e yb têm inclinações diferentes. Como yb é menor do que ya, a duration
modificada calculada para yb é maior do que a de ya. Por isso, a reta tangente
correspondente a yb é mais inclinada do que a reta de ya. Podemos dizer então, de
forma geral, que quanto maior a duration modificada, mais vertical será a reta tangente
correspondente.
Com isso em mente, podemos repensar os erros que obtemos quando estimamos as
variações percentuais do preço causadas por mudanças no YTM através da duration
modificada. Dissemos há pouco que a causa destes erros é que a estimativa feita desta
forma é linear, enquanto a relação verdadeira entre preço e YTM é convexa. Outra
maneira de enxergar esta situação é que quando o yield varia, a duration varia também.
Uma estimativa mais precisa deveria levar em conta este fato também.
A medida da variação da duration modificada ao longo da curva que representa a
relação preço-yield é chamada de convexidade do título. Sendo assim, quanto maior a
convexidade do título, maior a variação na duration ante a uma alteração no YTM. Esta
relação é apresentada no gráfico abaixo.
51
UNIDADE II │ANÁLISE DE UM INSTRUMENTO DE RENDA FIXA
Gráfico 8
As curvas com linhas contínua e pontilhada representam dois títulos hipotéticos, o “Título
A” e o “Título B”. Podemos ver que ambos apresentam a mesma duration modificada
no yield y, já que no ponto correspondente, a mesma reta tangencia ambas as curvas.
Portanto, uma pequena variação no yield a partir deste ponto levará a uma variação
percentual semelhante no preço dos dois papéis. Entretanto, a curva do Título B é mais
convexa, ou seja, mais “fechada”, do que a curva contínua. Percebemos isso ao verificar
que, por exemplo, nos pontos correspondentes ao yield y* a curva do Título B é mais
vertical do que a curva Título A. Ou seja, para este yield, a duration modificada do Título
B é maior do que a do Título A.
Da mesma foram que a duration, a convexidade do papel depende do prazo para o
vencimento e do cupom. Em geral, quanto mais longo e quanto menor o cupom maior
a convexidade, embora a relação entre as variáveis seja mais complexa neste caso.
Numericamente, a convexidade de um papel é calculada usando a fórmula abaixo:
n
C=
∑ tx ( t + 1) xVP
t
t
P (1 + 2 )
2
A fórmula pode parecer um pouco complicada a princípio, porém o seu cômputo pode
ser feito aproveitando a estrutura usada para o cálculo da duration modificada, como
veremos mais à frente. Uma vez tendo achado o valor da convexidade do papel, podemos
fazer melhor a nossa estimativa para a variação do preço em função da variação yield.
Anteriormente dissemos que:
∆P
=
−M d x∆y
P
Incorporando a convexidade temos:
52
ANÁLISE DE UM INSTRUMENTO DE RENDA FIXA│UNIDADE
Cx ( ∆y )
∆P
=−M d x∆y +
P
2
II
2
ou seja, a variação percentual do preço será igual ao negativo da duration vezes a
variação yield mais metade da convexidade vezes a variação ao quadrado do yield.
Podemos observar na equação, que o primeiro termo, isto é, o efeito da duration sobre
o preço do papel, depende da direção da variação do yield. Se a variação for positiva,
isto é, se o yield subir, o efeito da duration será negativo, ou seja, será no sentido de
reduzir o preço do papel. Se, ao contrário, o YTM cair, a variação será negativa, e o
primeiro termo da igualdade será positivo. Assim, o efeito da duration será na direção
de aumentar o preço do título. O segundo termo, que representa a contribuição da
convexidade para a variação percentual do preço, será sempre positivo, pois a variação
do YTM é elevada ao quadrado. Assim, independentemente do sinal da variação do
yield, a contribuição da convexidade será sempre no sentido de aumentar o preço do
papel.
Por isso, combinando os dois efeitos, vemos que a convexidade atua no sentido contrário
da duration quando o yield sobe, e no mesmo sentido quando o yield cai. Assim, nas
variações positivas do YTM, a convexidade reduz o impacto da duration na queda do
preço e, nas variações negativas, aumenta a força da duration sobre a alta do preço. Ao
atuar desta forma, a convexidade reduz o risco de taxa de juros de um título de renda
fixa.
Vamos ver um exemplo que ajudará a visualização destes conceitos.
Exemplo 10: Calcule a convexidade dos títulos da Tabela 03, considerando novamente
o yield de 9% e estime novamente as variações percentuais dos preços e compare com
os resultados obtidos no exemplo 9.
Resolução: Vamos começar novamente com o título de 5 anos e cupom de 7 %. Vale
relembrar a importância de mantermos a uniformidade entre as unidades de tempo e
de trabalhamos sempre com taxas efetivas. Isso evita transformações desnecessárias de
unidades e erros de cálculo. Já vimos que:
c = 34,408043
e
VP1 = 32,956928
O primeiro termo do somatório será:
t * (t + 1) * VPt = 0,5 * 1,5 * 32,956928 = 24,717696
53
UNIDADE II │ANÁLISE DE UM INSTRUMENTO DE RENDA FIXA
Prosseguindo até o último pagamento, temos a tabela abaixo.
Tabela 07
Prazo do pagamento (t)
Valor do pagamento
Valor Presente (VP)
t x (t+1) x VP
0,5
34,408
32,957
24,718
1,0
34,408
31,567
63,134
1,5
34,408
30,236
113,384
2,0
34,408
28,961
173,763
2,5
34,408
27,739
242,718
3,0
34,408
26,569
318,832
3,5
34,408
25,449
400,819
4,0
34,408
24,376
487,511
4,5
34,408
23,348
577,851
5,0
1.034,408
672,294
20.168,828
Total
923,495
22.571,557
A convexidade do título será então:
C1 = 22.571,557 / [923,495 * (1 + 0,09)2]
C1 = 20,57
Seguindo os mesmos passos, podemos calcular as convexidades dos quatro títulos. Os
resultados são apresentados abaixo.
Vencimento
5 anos
10 anos
Cupom
7%
11%
7%
11%
MD
3,93
3,71
6,59
6,05
C
20,57
19,00
59,19
52,21
Vamos agora estimar as variações dos preços dos títulos com base na duration
modificada e na convexidade. Vimos que no caso do primeiro título, a contribuição da
duration sobre a variação do preço quando o yield sobe de 9,00% para 9,00% é:
∆P1D / P1D = -3,93 * 0,05
∆P1D / P1D = – 0,20%
Ou, com mais precisão
∆P1D / P1D = – 0,196376%
Neste caso usamos diretamente a variação em pontos percentuais do yield (∆y = 0,05)
para encontrar a variação percentual do preço. No caso da convexidade é necessário
54
ANÁLISE DE UM INSTRUMENTO DE RENDA FIXA│UNIDADE
II
usar corretamente o formato decimal nos cálculos, por causa da presença da potência
na variação do YTM. Temos
y = 9,00% = 0,09
e, então,
∆y = 0,095 – 0,090 = 0,005
A contribuição da convexidade será:
∆P1c / P1c = (20,57 * 0,0052) / 2
∆P1c / P1c ≈ 0,000003 ≈ 0,000257%
A variação percentual total estimada do preço será a soma das duas contribuições.
Desta forma
∆P1 / P1 ≈ – 0,196376% + 0,000257%
∆P1 / P1 ≈ – 0,196119%
Podemos observar que o impacto da convexidade sobre o preço é muito menor que o
da duration, especialmente para variações pequenas no YTM. Contudo, esta pequena
correção permite chegarmos a estimativas bem mais rigorosas. Prosseguindo com os
cálculos, preenchemos a tabela abaixo.
Tabela 08
Vencimento
5 anos
cupom
10 anos
7%
11%
7%
11%
∆ YTM
∆P (%)
∆P (%)*
∆P (%)
∆P (%)*
∆P (%)
∆P (%)*
∆P (%)
∆P (%)*
-2,00
8,28
8,27
7,81
7,79
14,45
14,36
13,21
13,14
-1,00
4,03
4,03
3,80
3,80
6,89
6,88
6,32
6,31
-0,50
1,99
1,99
1,88
1,88
3,37
3,37
3,09
3,09
-0,10
0,39
0,39
0,37
0,37
0,66
0,66
0,61
0,61
-0,05
0,20
0,20
0,19
0,19
0,33
0,33
0,30
0,30
0,05
-0,20
-0,20
-0,19
-0,19
-0,33
-0,33
-0,30
-0,30
0,10
-0,39
-0,39
-0,37
-0,37
-0,66
-0,66
-0,60
-0,60
0,50
-1,94
-1,94
-1,83
-1,83
-3,22
-3,22
-2,96
-2,96
1,00
-3,83
-3,82
-3,61
-3,61
-6,30
-6,29
-5,79
-5,79
2,00
-7,46
-7,44
-7,05
-7,03
-12,07
-11,99
-11,12
-11,05
Comparando os resultados, podemos perceber que as variações calculadas estão bem
mais próximas das reais do que às da tabela do exemplo 8.
55
TÍTULOS PÓS-FIXADOS
E COM CORREÇÃO DE
PRINCIPAL
UNIDADE III
CAPÍTULO 1
Conceitos básicos
Vamos estender o que estudamos até agora sobre títulos prefixados para duas outras
modalidades de títulos muito comuns no Brasil: os títulos pós-fixados e os com
correção de principal. Como mencionamos no início deste Caderno, títulos pós-fixados
são aqueles em que a rentabilidade depende de alguma taxa de referência, que só será
conhecida no futuro. Observe, porém, que esta definição não exclui os papéis com
correção do principal, já que a rentabilidade destes títulos também não é conhecida a
princípio e também será definida em função de uma taxa ou índice futuro.
Embora a distinção entre estes dois tipos de títulos muitas vezes se sobreponha e esteja
sujeita a diferentes interpretações, podemos perceber a principal diferença entre eles na
forma como a rentabilidade de cada papel depende da taxa de referência. No caso dos
pós-fixados, geralmente é o cupom do título que é atrelado à taxa de referência, ou, no
caso do zero cupom, à própria rentabilidade do instrumento. Estes papéis também são
chamados de títulos com cupom variável ou flutuante, ou simplesmente títulos com taxa
variável ou flutuante (floating rate notes ou floating rate bonds, em inglês).
No caso dos papéis com correção do principal, como o próprio nome diz, é o valor de
face do título que é corrigido pela taxa de referência, e o cupom permanece, na maioria
dos casos, fixo. Como esta taxa fixa incide sobre um principal variável, a renda (ou juro)
gerada pelo título será também variável, ou pós-fixada. Estes papéis são chamados
também de títulos indexados.
Isso mostra que uma das diferenças principais entre os dois tipos de instrumento é
justamente o tipo de rentabilidade relativa que eles oferecem ao investidor. O título
pós-fixado garante ao investidor um rendimento alinhado com a remuneração oferecida
56
TÍTULOS PÓS-FIXADOS E COM CORREÇÃO DE PRINCIPAL│
UNIDADE III
correntemente no mercado de renda fixa. Isto protege o investimento quando os yields
sobem – e a remuneração do título é ajustada para cima – mas prejudica a rentabilidade
quando os yields caem – e a remuneração do papel é ajustada para baixo. Em qualquer
um dos casos, o investidor garante que a rentabilidade do seu título é adequada em
relação às opções atuais do mercado de renda fixa. Por isso, os títulos flutuantes
costumam ser vinculados a taxas de juros, ou índices de taxas de juros, como a Selic
e o DI no Brasil, e a taxa LIBOR, no mercado internacional. Estas taxas costumam
ser representativas da rentabilidade corrente dos instrumentos de renda fixa que elas
servem de índice.
Por outro lado, o título indexado permite ao investidor fixar a rentabilidade em relação
à taxa de referência. Neste caso, esta taxa pode ser a taxa de câmbio ou um índice
de preços. Na primeira situação, o investidor garante a rentabilidade em relação a
outra moeda, protegendo-se de eventuais desvalorizações cambiais, e expondo-se a
apreciações cambiais. No segundo caso, que é o mais comum no mercado atualmente,
o investidor tem garantida a chamada rentabilidade real, em oposição à rentabilidade
nominal de um título.
O rendimento nominal é o que calculamos diretamente do preço e do cupom do título,
conforme fizemos anteriormente. Já o rendimento real exclui a taxa da inflação, e
relaciona a lucratividade do papel ao poder de compra da renda gerada. A relação entre
taxa nominal e taxa real é expressa pela seguinte relação:
i∗
=
(1 + i ) − 1
(1 + π )
ou
i=
(1 + i ∗) x (1 + π ) − 1
onde i* é a taxa real, i é a taxa nominal e π é a taxa de inflação. Todas as variáveis
devem estar uniformizadas em um certo intervalo de tempo e, se necessário, devem ser
convertidas adequadamente.
Podemos ver que a taxa de rentabilidade real nada mais é que a taxa real descontada
pela taxa de inflação, ou, por outro lado, que a taxa nominal é a taxa real ajustada pela
taxa de inflação. O investidor de um título indexado a um índice de preço tem fixa a taxa
real do seu título, que corresponde ao cupom do papel. A taxa nominal dependerá da
taxa de inflação, ou seja, da correção do principal do título.
57
CAPÍTULO 2
Fluxo de caixa de um Título Pós-Fixado
Dissemos que o cupom de um título pós-fixado é atrelado a uma taxa de juros de
mercado. Invariavelmente, esta taxa será representativa de um determinado risco de
crédito. Com isso queremos dizer que esta taxa de juros é apropriada para determinados
prazos e determinada categoria de emissores. Por exemplo, a taxa DI é a taxa média das
operações com prazo de um dia entre as instituições autorizadas a operar no mercado
interbancário e representa para o mercado a taxa de juros (praticamente) livre de risco.
Para que esta taxa possa servir como referência para operações com outros prazos e
com outros emissores, é preciso considerar as prováveis diferenças no risco de crédito
envolvido. As formas mais comuns de se fazer isto são: determinar um percentual da
taxa de referência como o cupom do título; ou definir um valor fixo, conhecido como
spread, a ser somado (ou subtraído) da taxa de referência. No Brasil, a forma percentual
é mais comum, enquanto em mercados como o americano e o europeu, os spreads são
mais usuais. Em qualquer situação, vale lembra que o percentual ou o spread a ser
aplicado é fixo, ou seja, é uma característica do título, não sofrendo alterações durante
a vida do instrumento.
Exemplos do primeiro caso seriam títulos com cupom de 90% do DI, 110% do DI e
100% do DI (o que corresponde simplesmente à taxa DI); e do segundo caso, cupons
de (taxa DI – 1 ponto percentual) e (taxa DI + 1,5 pontos percentuais), ou, em outras
palavras, um spread de 1 ou 1,5 ponto percentual sobre a taxa DI. As duas situações não
são equivalentes: na primeira, o ágio (ou deságio) é fixo em termos percentuais, o que
leva a spreads variáveis; na segunda, o ágio (ou deságio) é fixo em termos absolutos, o
que leva a diferenças percentuais variáveis. De qualquer modo, cupom definidos abaixo
do DI estão associados a títulos com (ao menos a princípio, como veremos) a um risco
de crédito inferior ao risco expresso pela taxa DI. Similarmente, cupons acima do DI
estão relacionados a riscos de crédito maiores do que o das operações que servem de
base de cálculo para a taxa DI. Como o percentual ou spread é definido no lançamento
do papel e permanece fixo até o seu vencimento, ele reflete o risco de crédito envolvido
no momento da emissão do título. É possível e mesmo provável que este risco se altere
durante a vida do papel, como veremos abaixo.
Utilizando a forma percentual, podemos representar o fluxo de caixa de um título
pós-fixado de forma análoga ao fluxo de um papel prefixado, conforme a figura a seguir.
58
TÍTULOS PÓS-FIXADOS E COM CORREÇÃO DE PRINCIPAL│
UNIDADE III
onde r é a taxa de referência e s é o percentual da taxa a ser aplicado ao cupom do título.
Para simplificar a notação, a taxa r está expressa no mesmo intervalo de pagamento dos
cupons, isto é, caso o cupom seja anual, r é uma taxa anual, se o cupom é semestral, r
está expressa em semestres, e assim por diante. Na prática, como vimos, é mais comum
expressar todas as taxas em anos, calculando-se as taxas equivalentes sempre que
necessário.
O valor dos cupons usualmente é definido no período anterior ao seu pagamento.
Assim, em t = 1, o valor do cupom c1 será r0 * s, ou seja, o valor da taxa de referência
em t = 0 multiplicado pelo percentual s. Da mesma forma, em t = 2 o valor do cupom
c2 será r1 * s, e assim por diante. Com isso, na data de pagamento de um cupom já se
sabe antecipadamente o valor do próximo cupom. Podemos então reescrever o fluxo de
caixa do título pós-fixado da seguinte forma.
59
CAPÍTULO 3
Preço de um Título Pós-Fixado
Para determinar o preço de um papel pós-fixado, é necessário considerar
separadamente a taxa de referência r e o percentual s. Mencionamos que s é fixo e
definido no momento da emissão do título e expressa a relação entre o risco de crédito
do emissor e o da taxa de referência. Porém, este risco pode se alterar durante a vida do
papel, o que terá reflexos no preço do título. Vamos considerar primeiramente o caso em
que o risco de crédito do título permanece constante até o vencimento do instrumento.
O Percentual s Permanece Constante
Sabemos pelo que vimos para os títulos prefixados, que o preço de um papel é o valor
presente dos seus fluxos de pagamentos. Vamos começar analisando o preço do título
pós-fixado em t = (n-1), após o pagamento do penúltimo cupom. Neste ponto, temos
apenas um único pagamento restante, em t = n, composto de F + (rn-1*s). Calculando
o valor do pagamento do cupom cn temos:
cn = F * (rn-1*s)
O valor total do pagamento Pn será de:
Pn = F + F * (rn-1*s)
Pn = F * (1 + rn-1*s)
O valor presente do papel em t = (n-1) será então
VPn-1 = F * (1 + rn-1*s) / (1 + rn-1*s)
VPn-1 = F
ou seja, o preço do papel é o seu valor de face. Isto acontece porque utilizamos para
calcular o valor presente a própria taxa rn-1*s, que é a taxa relevante, em t = (n-1) para
este prazo e para esta categoria de emissor (na hipótese de que o risco de crédito do
papel permanece o mesmo).
Retrocedendo para t = (n-2), após o pagamento do cupom, teremos neste instante dois
pagamentos restantes:
Pn-1 = cn-1, em t = (n-1)
60
TÍTULOS PÓS-FIXADOS E COM CORREÇÃO DE PRINCIPAL│
UNIDADE III
e
Pn = F + cn em t = n
O valor de cn-1 será de:
cn-1 = F * (rn-2*s)
Como o valor de Pn em t = (n-1) é igual a F, temos então:
VPn-2 = (cn-1 + F) / (1 + rn-2*s)
VPn-2 = F * (1 + rn-2*s) / (1 + rn-2*s)
VPn-2 = F
Note que o valor presente foi calculado agora utilizando a taxa rn-2*s, que representa
a taxa de mercado em t = (n – 2) para este tipo de título. Repetindo o procedimento
vamos chegar à conclusão que
P=F
em qualquer dia de pagamento de cupons.
A ideia por trás do fato de que o preço de um título pós-fixado é sempre negociado ao
par no dia de pagamento dos cupons é que o seu cupom se adapta ao yield corrente do
mercado. Quando o YTM de um título prefixado se altera, por causa de mudanças nas
condições do mercado de renda fixa, é o seu preço que muda, pois o seu cupom é fixo.
No título pós-fixado, mudanças no yield de mercado levam a mudanças no cupom, o
que leva a estabilidade do seu preço.
Entretanto, como o cupom é reajustado periodicamente, entre as datas de ajuste, alterações
no rendimento do papel vão resultar em mudanças de preço. Vamos imaginar um instante
de tempo entre t = n e t = (n-1), mais especificamente t = (n – 0,5), ou seja, a metade do
tempo entre as datas dos pagamentos do penúltimo e do último cupom. Neste momento
só haverá um único pagamento restante:
Pn = F * (1 + rn-1*s)
Em t = (n – 0,5) a taxa de referência r será igual rn-0,5,que, em geral, será diferente de
rn-1. Assim, o valor presente do título em t = (n – 0,5) será:
VPn-0,5 = F * (1 + rn-1*s) / (1 + rn-0,5 * s)0,5
61
UNIDADE III │TÍTULOS PÓS-FIXADOS E COM CORREÇÃO DE PRINCIPAL
É necessário expressarmos corretamente o intervalo de tempo na taxa rn – 0,5, por
isso utilizamos (1 + rn-0,5 * s)0,5 no denominador da fração.
Há três pontos a serem destacados aqui. Em primeiro lugar, é fácil observar que, mesmo
se
rn-1 = rn-0,5
teremos
(1 + rn-1*s) > [(1 + rn-0,5)0,5 * s]
e então
VPn-0,5 > F
Isto se deve ao fato, já mencionado, de que o preço sujo de um papel tem um
comportamento periódico determinado pelas datas de pagamentos dos cupons. Caso
descontássemos os juros decorridos, eliminaríamos boa parte deste efeito. O segundo
ponto é que, de fato, em geral, rn-1 ≠ rn-0,5, o que expõe o título a variações da taxa de
referência entre as datas de pagamentos dos cupons.
Finalmente, para calcularmos o preço do papel em qualquer instante do tempo t =
k, precisamos saber apenas a taxa de referência em t = k e quando ela foi usada para
reajustar o cupom pela última vez antes desta data. Não há necessidade de conhecermos
nenhuma das taxas futuras (isto é, depois de t = k) que servirão para fixar os próximos
pagamentos. Vamos ver um exemplo numérico.
Exemplo 11: Considere um título com valor nominal de $1.000 com prazo de 3 anos e
cupom semestral flutuante de 110% da taxa Selic. Calcule o preço do papel nos dias em
que faltam 1 semestre e 3 meses para o vencimento, sabendo que nessas datas a taxa
Selic foi de 11% e 12,5% ao ano, respectivamente.
Resolução: Vamos contar os períodos em semestres. Assim, temos a emissão do papel
em t = 0 e pagamentos dos cupons de t = 1 até t = 6, quando o título é resgatado pelo
seu valor de face. Em t = 5, quando faltará um semestre para o vencimento, o próximo
cupom foi definido como:
c6 = 1.000 * [(1 + 0,11 * 1,1)0,5 – 1]
c6 = 1.000 * 0,058772
c6 = $ 58,772875
Nesta data, o valor presente do último pagamento restante será de:
VP5 = 1.000 + 58,772875 / [(1 + 0,11 * 1,1)0,5
62
TÍTULOS PÓS-FIXADOS E COM CORREÇÃO DE PRINCIPAL│
UNIDADE III
VP5 = 1.058,772875 / 1,058772
VP5 = $1.000
que é o resultado que esperávamos encontrar. Em t = 5,5, quando faltarem 3 meses
para o vencimento, ainda teremos o pagamento final P6 = $1.058,772875, mas a taxa
Selic agora está em 12,5% ao ano. Como o risco de crédito do emissor não variou desde
o lançamento do título, a taxa relevante de desconto é justamente o cupom do papel, ou
seja, 110% da Selic. O preço do título então é:
VP5,5 = 1.058,772875 / [(1 + 0,125 * 1,1)0,25
VP5,5 = 1.058,772875 / 1,032732516
VP5,5 = $1025,215008
Vale observar que, caso a taxa Selic tivesse permanecido constante o preço seria:
VP5,5 = 1.058,772875 / [(1 + 0,11 * 1,1)0,25
VP5,5 = 1.058,772875 / 1,028966897
VP5,5 = 1028,966897
O Percentual s Varia
Vamos considerar agora que o percentual s se altera durante a vida do título. Este é o
caso mais comum, já que é improvável que a percepção do risco de crédito do emissor
permaneça inalterada em relação à taxa de referência durante todo o prazo do título.
Nesta situação, o título não será mais negociado pelo seu valor de face nas datas de
pagamentos dos cupons. Podemos ver que em t = (n-1) o preço do papel será:
VPn-1 = F * (1 + rn-1*s) / (1 + rn-1*sm)
onde s é o percentual contratado no lançamento do título e sm é percentual que
representa a percepção de risco em t = (n-1) do risco de crédito do emissor do
instrumento. Se sm > s, então o risco associado correntemente à emissão é maior do
que o da época do lançamento. Como:
(1 + rn-1*s) < (1 + rn-1*sm)
então:
VPn-1 < F
63
UNIDADE III │TÍTULOS PÓS-FIXADOS E COM CORREÇÃO DE PRINCIPAL
ou seja, o papel será negociado com desconto. Caso contrário, se sm < s, a percepção do
risco de crédito se reduziu, e o papel será negociado em t = (n-1) com ágio. Prosseguindo
a análise para os instantes anteriores de tempo, vemos que
VPn-2 = (cn-1 + VPn-1) / (1 + rn-2*sm)
e então:
VPn-2 = {cn-1 + [F * (1 + rn-1*s) / (1 + rn-1*sm)]} / (1 + rn-2*sm)
Ao continuarmos retrocedendo no tempo, veremos que para calcularmos o preço
em t = k, precisamos conhecer todas as taxas rk, rk+1, rk+2, ... , rn-1, rn-1. Estas taxas,
entretanto, só serão conhecidas no futuro. Trata-se de uma situação bastante diferente
e bem mais trabalhosa do que o caso em que o percentual s permanecia constante e o
preço do papel era igual ao valor de face nas datas dos cupons independentemente do
comportamento das taxas futuras.
A solução geralmente utilizada para calcular o preço do papel nestes casos é trabalhar
com expectativas para estas taxas. Elas podem ser obtidas de diversas formas, como do
mercado de derivativos ou a partir de pesquisas ou análises de economistas. Vamos ver
um exemplo deste cálculo.
Exemplo 12: Um título com valor nominal de $1.000 e prazo de 2 anos é emitido
com cupom semestral variável correspondente a 100% da taxa Selic. Após 4 meses,
a remuneração exigida pelo mercado para este emissor é de 120% da taxa Selic. Qual
deve ser o preço do papel nesta data? Utilize a tabela abaixo com a Selic verificada do
dia de lançamentos do título e após 4 meses, e as expectativas para a taxa nos dias de
pagamento de cupons.
Período (em meses)
Taxa Selic
(efetiva ou expectativa)
0
13,0%
4
13,0%
6
12,5%
12
11,5%
18
12,0%
Resolução: Como a remuneração de mercado para o emissor elevou-se para 120% da
Selic, esta é a taxa de desconto adequada para o cálculo do valor presente do papel.
Em t=18, o último cupom (a ser pago em t = 24) será definido, de acordo com as
expectativas para a taxa Selic e o percentual definido no lançamento do título da forma
abaixo.
c24 = 1.000 * [(1 + 0,12 * 1)0,5 – 1]
64
TÍTULOS PÓS-FIXADOS E COM CORREÇÃO DE PRINCIPAL│
UNIDADE III
c24 = $58,300524
Somando-se o principal e aplicando o percentual de mercado à expectativa da taxa
Selic, o valor presente do título em t = 18 é de:
VP18 = 1.000 + 58,300524 / [(1 + 0,12 * 1,2)0,5
VP18 = 1.058,300524 / 1,069579
VP18 = $989,454890
Da mesma forma, em t = 12 o valor do cupom a ser pago em t = 18 será calculado como:
c18 = 1.000 * [(1 + 0,115 * 1)0,5 – 1]
c18 = $55,935604
E o valor do título em t = 12, de acordo com as expectativas, será de:
VP12 = (VP18 + c18) / [(1 + 0,115 * 1,2)0,5
VP12 = (989,454890 + 55,935604) / 1,066771
VP12 = 1.045,390494 / 1,066771
VP12 = $979,957894
Prosseguindo com os cálculos até t = 4, chegaremos ao resultado abaixo, com base nas
expectativas da taxa Selic.
Período (meses)
Selic x percentual
contratado (100%)
Selic x percentual de
mercado (120%)
Pagamento (Pt)
Preço (VPt)
0
13,0%
15,6%
-
961,14
4
13,0%
15,6%
-
1.008,73
6
12,5%
15,0%
63,01
970,38
12
11,5%
13,8%
60,66
979,96
18
12,0%
14,4%
55,94
989,45
24
-
-
1.058,30
1.000,00
Vemos que o preço em t = 4 é de $1.008,73. Como referência, caso o percentual
aplicado à taxa Selic continuasse em 100%, o preço seria de $1.041,58.
O Banco Central do Brasil divulga semanalmente em seu web site uma pesquisa
com várias instituições financeiras em que são apresentadas expectativas para
vários indicadores econômicos e financeiros, inclusive a taxa Selic.
<www.bcb.gov.br/?FOCUS>.
65
CAPÍTULO 4
Medidas de volatilidade do preço
Vimos anteriormente que a duration modificada era a medida usada para aproximar
linearmente a variação do preço de um papel prefixado perante a uma mudança no
seu yield. Assim, a duration podia ser usada como uma medida da sensibilidade – ou
volatilidade – do preço do título a mudanças no YTM. No caso dos títulos pós-fixados
estamos interessados em quantificar a volatilidade do preço do papel ante variações na
taxa flutuante, ou de forma matemática
∆P
=
−M d x∆ ( rxs )
P
onde P é o preço do título pós-fixado, Md é a duration modificada e (r * s) é a remuneração
flutuante, composta da taxa de referência r e do percentual s. Como vimos, e a fórmula
deixa claro, o preço do título pode variar tanto em função de uma mudança em r quanto
em s. Por isso, para este tipo de instrumento normalmente são calculados dois tipos de
duration: a duration do índice (index duration) ou duration de juros, que corresponde
à sensiblidade do preço a mudanças na taxa de referência; e a spread duration, que é
a volatilidade do preço ante uma variação no percentual (ou spread) s. Vamos analisar
as duas separadamente.
Index Duration
A duration do índice é calculada de forma similar à duration modificada de um título
prefixado, supondo-se que o percentual s permanece constante durante toda a vida do
papel. A sua representação matemática, entretanto, é bem mais simples:
Md =
t
(1 +rxs )
onde t é o prazo até o pagamento do próximo cupom. Conforme mencionamos no caso
dos papéis prefixados, para evitar complicações desnecessárias, é mais prático trabalhar
com t na mesma unidade de tempo da taxa de referência r.
A duration modificada do índice de um título pós-fixado é, portanto, apenas o prazo
até o pagamento do próximo cupom descontado pela taxa de remuneração deste
cupom. Isto é muito semelhante à duration de um título prefixado sem cupom. Assim,
quanto maior o prazo até o próximo pagamento, mais exposto estará o preço do título
66
TÍTULOS PÓS-FIXADOS E COM CORREÇÃO DE PRINCIPAL│
UNIDADE III
a oscilações da taxa de referência. Mas esta duration é muito inferior à duration de um
papel prefixado com o mesmo prazo de vencimento. Por isso, vários autores comparam
os títulos pós-fixados com uma sequência de títulos de curto prazo prefixados, por isso
têm um risco de taxa de juros bem menor.
Podemos calcular também a convexidade de um papel com cupom flutuante, que também
terá forma bem mais simples do que a que mostramos para os papéis prefixados.
C=
2t 2
(1 +rxs )
2
Onde t é novamente o prazo até o pagamento do próximo cupom. Podemos aproximar
a variação percentual do preço do título utilizando a mesma fórmula apresentada
anteriormente.
Cx ( ∆ ( rxs ) )
∆P
=
−M d x∆ ( rxs ) +
P
2
2
Veremos um exemplo logo a seguir.
Spread Duration
O cálculo da spread duration costuma ser feito de maneira indireta. Quando o
percentual s aplicado sobre a taxa de referência de um papel pós-fixado se altera,
o cômputo do preço do papel passa a depender de todas as taxas futuras que serão
usadas para reajustar os pagamentos dos cupons. Com isso, a determinação algébrica
da spread duration se torna complexa, o que nos leva a buscar uma estimativa de
seu valor. A ideia é simularmos pequenas variações no percentual s e calcularmos
a variação percentual do preço. Com base nas variações de s e do preço, estimamos
a spread duration. Utilizando esta técnica, a spread duration que encontramos é
equivalente a duration modificada (e não a duration de Macaulay), ou seja, é uma
medida da relação entre as variações do spread e do preço do título.
O primeiro passo do procedimento consiste em calcular o preço do título utilizado:
1. o percentual s corrente;
2. um percentual s1 = s + Δs;
3. um percentual s2 = s – Δs
67
UNIDADE III │TÍTULOS PÓS-FIXADOS E COM CORREÇÃO DE PRINCIPAL
com Δs > 0. Geralmente é utilizado um valor pequeno, como, por exemplo, 0,1 ou
1 ponto percentual. Mantendo as expectativas para a taxa de referência constantes,
teremos então:
P – o preço correspondente ao percentual s;
P1 – o preço correspondente a s1;
P2 – o preço correspondente a s2.
Pelo que sabemos, como Δs > 0, então:
s1 > s, então P1 < P. Desta forma, P1 – P = ΔP1 < 0
s2 < s, portanto P2 < P. Então ΔP2 > 0
A partir daí calculamos a relação entre o movimento dos preços e Δs
P1 − P ∆P1
=
∆S
∆S
e
P2 − P ∆P2
=
∆S
∆S
Calculamos então a média das duas relações, tomando o cuidado de uniformizar os
sinais das duas frações. A forma mais utilizada é:
 ∆P1 ∆P2 
−
∆P  ∆s ∆s 
=
∆s
2
Observe que com esta convenção a fração será negativa, o que é coerente com a ideia de
que o preço e o percentual s sempre se movem em direções contrárias. Simplificando a
fração e manuseando os sinais, chegamos à fórmula tradicionalmente usada
Sd =
1 P2 − P1
P 2∆S
onde Sd é a spread duration, que pode ser utilizada da mesma forma que a duration
modificada, de acordo com a fórmula conhecida.
∆P
=
−Sd x∆S
P
68
TÍTULOS PÓS-FIXADOS E COM CORREÇÃO DE PRINCIPAL│
UNIDADE III
Seguindo esta mesma técnica, poderíamos calcular também a chamada spread
convexity, que é a taxa de variação da spread duration quando variamos o percentual
s. Entretanto, este conceito não será abordado aqui. Vamos agora analisar um exemplo
da utilização destas medidas de sensibilidade do preço de um título pós-fixado.
Exemplo 13: Considere o título do exemplo 12 – valor nominal de $1.000, prazo de
2 anos e cupom semestral de 100% da taxa Selic. Calcule a duration e volatilidade do
índice e a spread duration em t = 4, considerando que o percentual s não se alterou
desde o lançamento do título. Utilize a tabela apresentada com as taxas Selic para os
períodos relevantes.
Resolução: Podemos calcular diretamente a duration e a convexidade do índice:
Md = (2 / 12) / (1 + 0,13 * 1)
Md = 0,147493
Observe que expressamos tanto o prazo para o pagamento do próximo cupom (2 meses)
como o prazo de referência da taxa Selic em anos. Seguindo este mesmo raciocínio, a
convexidade será:
C = 2 * (2 / 12)2 / (1 + 0,13 * 1)2
C = 0,43508
Para o cálculo da spread duration precisaremos primeiro achar o preço do papel em t =
4. Como o percentual s não se alterou, sabendo que o valor presente do título em t = 6 –
data de pagamento do primeiro cupom – é igual ao valor de face. Assim:
VP4 = (1.000 + c6) / [(1 + r4 * 1)(2 / 12)
Como a taxa Selic em t= 0, segundo a tabela apresentada, foi de 13% calculamos o
cupom
c6 = 1.000 * [(1 + 0,13 * 1)0,5 – 1]
c6 = $63,014581
Consultando a tabela novamente, vemos que a taxa Selic em t = 4 permaneceu em 13%
ao ano. O preço do título nesta data então será:
VP4 = (1.000 + 63,014581) / [(1 + 0,13 * 1)(2 / 12)
VP4 = $1.041,580437
69
UNIDADE III │TÍTULOS PÓS-FIXADOS E COM CORREÇÃO DE PRINCIPAL
Vamos agora considerar ∆s = 0,01 e calcular os novos preços P1 e P2 para s1 = s + 1
e s2 = s – 1. O procedimento é o mesmo usado no exemplo 12 e envolve calcularmos o
valor presente do papel nas datas de pagamentos dos cupons. No final chegaremos ao
resultado da tabela abaixo.
Tabela 09
Período
(meses)
Selic x s
(100%)
Selic x s1
(101%)
Selic x s2
(99%)
Pagamento (Pt)
0
13,0%
13,1%
12,9%
4
13,0%
13,1%
12,9%
Preço (P1)
Preço (P2)
-
998,00
1.002,01
-
1.039,89
1.043,27
6
12,5%
12,6%
12,4%
63,01
998,48
1.001,52
12
11,5%
11,6%
11,4%
60,66
998,98
1.001,02
18
12,0%
12,1%
11,9%
55,94
999,46
1.000,54
24
-
-
-
1.058,30
1.000,00
1.000,00
Temos então que t = 4, P1 = 1.039,893678 e P2 = 1.043,271967 (usando um
resultado mais preciso que será necessário logo abaixo). Podemos agora calcular a
spread duration.
Sd = (1 / 1.041,580437) * [(1.043,271967 – 1.039,893678) / (2 * 0,01)]
Sd = 0,162171
Na tabela abaixo, podemos ver a comparação entre a variação percentual efetiva do
preço em função de alteração na taxa r*s e aproximação calculada utilizando-se a
duration e a convexidade do índice de acordo com a fórmula:
Cx ( ∆ ( rxs ) )
∆P
=
−M d x∆ ( rxs ) +
P
2
2
Tabela 10
∆ r*s
∆P (%)
∆P (%)*
-10,00
1,56
1,50
-5,00
0,76
0,74
-2,00
0,30
0,30
-1,00
0,15
0,15
-0,50
0,07
0,07
0,50
-0,07
-0,07
1,00
-0,15
-0,15
2,00
-0,29
-0,29
5,00
-0,72
-0,73
10,00
-1,40
-1,45
Onde ∆P (%) é a variação efetiva do preço e ∆P (%)* é a variação estimada.
70
TÍTULOS PÓS-FIXADOS E COM CORREÇÃO DE PRINCIPAL│
UNIDADE III
Na próxima tabela estão as variações percentuais do preço em função de mudanças no
percentual s e a aproximação linear através da spread duration.
Tabela 11
∆s
∆P (%)
∆P (%)*
-0,10
1,64
1,62
-0,05
0,82
0,81
-0,02
0,33
0,32
-0,01
0,16
0,16
-0,01
0,08
0,08
0,00
-0,08
-0,08
0,01
-0,16
-0,16
0,02
-0,32
-0,32
0,05
-0,81
-0,81
0,10
-1,60
-1,62
71
CAPÍTULO 5
Letras Financeiras do Tesouro – LFT
Um dos títulos públicos brasileiros mais negociados é a LFT. Embora tenha características
que a aproximem dos títulos indexados (que veremos em seguida), é um papel atrelado
à taxa Selic, por isso podemos enquadrá-la também na categoria dos instrumentos pósfixados. A LFT é um título do tipo zero cupom, remunerado diariamente pela taxa Selic
mais um ágio (ou deságio) que é negociado no mercado e definido no momento da compra
do título. A LFT não é cotada com base no seu valor de face, ao contrário dos exemplos
que mencionamos até agora. Ao invés disso, o preço das LFTs, e também de vários
outros títulos públicos brasileiros, é definido com base em duas quantidades diferentes: a
cotação, que expressa o ágio ou deságio do título e o valor nominal atualizado (VNA), que
serve para atrelar o título à taxa Selic. Vamos analisar cada uma delas separadamente,
começando pelo VNA.
A STN definiu a data de 01/07/2000 como a data-base do valor nominal atualizado.
Nesta data, o VNA foi definido em R$1.000,00. A partir daí, este valor vem sendo
corrigido diariamente pela taxa Selic. Na tabela abaixo, vemos as primeiras atualizações
do VNA das LFTs (os dias 2 e 3 de julho de 2000 não foram dias úteis).
Tabela 12
Data
Taxa % anual (i)
Taxa % diária
(id = (1+i)
-1)
(1/252)
VNAt
(VNAt = VNAt-1 * (1+id))
1/7/2000
-
-
1.000,000000
3/7/2000
17,26
0,063204
1.000,632040
4/7/2000
17,22
0,063068
1.001,263119
5/7/2000
17,23
0,063102
1.001,894936
6/7/2000
17,28
0,063272
1.002,528855
7/7/2000
17,28
0,063272
1.003,163175
10/7/2000
17,01
0,062356
1.003,788707
As LFTs são resgatadas no seu vencimento pelo VNA, e não por um valor nominal
fixo. Ou seja, se um investidor comprasse uma LFT em qualquer data pelo preço
equivalente ao VNA do dia e mantivesse o título até o seu vencimento, sua remuneração
seria exatamente a taxa Selic acumulada no período. Entretanto, o mercado negocia o
papel por um preço acima ou abaixo do VNA, o que vai resultar em uma remuneração,
respectivamente, abaixo ou acima da taxa Selic.
72
TÍTULOS PÓS-FIXADOS E COM CORREÇÃO DE PRINCIPAL│
UNIDADE III
Esta diferença, que corresponde ao ágio (ou deságio) do papel, funciona como o
percentual, ou spread, da taxa de referência do título pós-fixado que analisamos há
pouco. Porém, no caso das LFTs, este spread assume uma forma um pouco mais
elaborada: ele é definido como uma taxa de juros anual que é composta junto com a
taxa Selic para gerar a rentabilidade do papel, conforme a fórmula abaixo:
r = [(1 + Selic) * (1 + a ) – 1]
Onde r é a rentabilidade da LFT, Selic é a taxa Selic e a é o ágio do papel. Note que r,
Selic e a são todas taxas anuais.
Vamos supor que um determinado investidor deseje comprar uma LFT em t = k e
mantê-la até o seu vencimento em t = n e receber como remuneração, além da taxa
Selic, um ágio igual a s. Como o título é resgatado pelo valor nominal atualizado M =
VNAn, para receber, ao final do período (n – k), a rentabilidade desejada, ele deve
pagar o seguinte preço P:
P * (1 + r) = VNAn
P * {1 + [(1 + Selic)[(n-k)/252] * (1 + a )[(n-k)/252]– 1]} = VNAn
P * (1 + Selic)[(n-k)/252] * (1 + a )[(n-k)/252] = VNAn
P (1 + a )[(n-k)/252] = VNAn / (1 + Selic)[(n-k)/252] *
Conforme a convenção do mercado brasileiro, contamos o prazo da operação (n – k)
em dias úteis e o ano com 252 dias úteis. Observe porém que:
como
VNAn / [(1 + Selic)[(n-k)/252] = VNAk
então
P = VNAk / (1 + a )[(n-k)/252]
Ou seja, o preço da LFT é o VNA da data de aquisição descontado pelo ágio equivalente
ao prazo do papel. A partir disso, a cotação da LFT é definida como:
C = 100 / (1 + a )[(n-k)/252]
Podemos reescrever o preço do papel em função do VNA e da cotação da forma abaixo
P = VNAk * (C / 100)
73
UNIDADE III │TÍTULOS PÓS-FIXADOS E COM CORREÇÃO DE PRINCIPAL
Duration
Existe uma certa confusão quanto à duration das LFTs. Alguns defendem que, como o
papel é atualizado diariamente – o menor intervalo de tempo no mercado financeiro – a
sua duration seria igual a zero. Isso significa que o investidor nunca teria o rendimento
do título diferente do rendimento do mercado, o que não é verdade, já que o ágio do
papel pode variar. Outras pessoas sugerem que, como é um papel do tipo zero cupom,
a sua duration seria o prazo até o seu vencimento.
Na verdade, pelo que estudamos da duration de um título pós-fixado, a duration do
índice – ou duration da taxa Selic – da LFT é igual a zero, pois o intervalo entre as
atualizações do papel pela taxa Selic é zero (ou seja, não contém nenhum dia). Podemos
ver isso no fato que, caso o ágio do papel seja igual a zero durante toda a vida do papel,
o investidor nunca receberá uma remuneração menor do que a taxa Selic, que é a taxa
de referência para títulos públicos.
Por outro lado, se o VNA fosse constante (o que equivaleria à taxa Selic igual a zero),
a LFT se comportaria como um título prefixado com a taxa do ágio sendo a sua única
remuneração. Por isso podemos dizer que a spread duration – ou a duration do ágio
– da LFT é igual ao prazo (n – k) até o vencimento do papel. Vale ressaltar, porém que
este é o conceito da duration de Macaulay de um título sem cupom. A spread duration
equivalente à duration modificada seria então:
Md = (n-k) / (1 + a)
Exemplo 14: Calcule a cotação e o preço da LFT com vencimento em 18/03/2009 em
02/01/2009 (quando faltavam 50 dias úteis para o vencimento) sabendo que nesta data
o título era negociado com deságio de 0,1%. O VNA nesta data era de $3.730,536765.
Resolução: Aplicamos diretamente a fórmula para calcular a cotação:
C = 100 / (1 + (-0,001)(50/252)
C = 100 / 0,999802
C = 100,019853
e o preço:
P = 3.730,536765 * (100,019853 / 100)
P = $3.731,277395
74
TÍTULOS PÓS-FIXADOS E COM CORREÇÃO DE PRINCIPAL│
UNIDADE III
Exemplo 15: O mesmo papel do exercício anterior, em 23/01/2009, faltando 35 dias
para o vencimento era negociado por $3.758,757905. De quanto era o ágio, sabendo
que o VNA nesta data era $3.758,810107?
Resolução: Podemos novamente aplicar diretamente a fórmula para calcular a cotação:
3.758,757905 = 3.758,810107 * (C / 100)
C = 100 * 3.758,757905 / 3.758,810107
C = 99,998611
e finalmente o ágio:
99,998611 = 100 / (1 + a)(35 / 252)
(1 + a )(35 / 252) = 100 / 99,998611
a = 1,000014 (252 / 35) -1
a = 0,01% ao ano
Podemos consultar a variação da taxa Selic no web site do Banco Central:
<www.bcb.gov.br/?SELICVARIA>
75
CAPÍTULO 6
Análise de um Título Indexado
Títulos com correção do principal, ou títulos indexados, costumam ser atrelados a
índices de preços. Com isso, oferecem um rendimento chamado de real, ou seja, acima
da inflação. Como o próprio nome diz, neste tipo de instrumento, o principal, ou valor
de face, é corrigido pelo índice de preços, o que resulta em pagamentos nominais
crescentes. Imagine um título com valor de face F e cupom real igual a c, pagos em t
= 1, 2, 3, ..., n, quando o papel vence. O principal é corrigido pela inflação medida pelo
índice de preços π. Em t =1 o pagamento do primeiro cupom será de:
c1 = c * F * (1 + π1)
c1 = c * F1
onde π1 é taxa de inflação entre t = 0 e t = 1 (medida pelo índice π). F1 é o principal
corrigido em t = 1. O próximo pagamento de cupom, em t = 2 será igual a:
c2 = c * F * (1 + π1) * (1 + π2)
c2 = c * F1 * (1 + π2)
c2 = c * F 2
onde π1 é taxa de inflação entre t = 1 e t = 2. Na hipótese de que as taxas de inflação
serão sempre positivas, o fluxo de caixa do papel será como na figura abaixo.
Fluxo de caixa nominal
76
TÍTULOS PÓS-FIXADOS E COM CORREÇÃO DE PRINCIPAL│
UNIDADE III
Este tipo de fluxo de caixa é chamado de nominal e representa as entradas e saídas
pelos seus valores efetivamente recebidos. Neste caso, os valores recebidos dos cupons
são crescentes para um título com principal corrigido, e constantes para um título
prefixado. Outra possibilidade é analisarmos o chamado fluxo de caixa real. Nesta
outra situação, desconta-se dos fluxos nominais a taxa de inflação acumulada desde o
início da operação, procurando-se medir o poder de compra dos pagamentos, ao invés
dos valores efetivamente recebidos. É claro que como o pagamento do primeiro cupom
nominal é igual a:
c1 = c * F * (1 + π1)
então o cupom real será simplesmente:
c1r = c * F * (1 + π1) / (1 + π1)
c1r = c * F
c1r = c
Portanto, em termos reais o fluxo de caixa de um título indexado será equivalente ao
fluxo de caixa nominal de um papel prefixado.
Fluxo de caixa real
Podemos ilustrar as diferenças entre os fluxos de caixa nominal e real dos títulos
indexados e prefixados através de um exemplo. Considere dois títulos com vencimento
em quatro anos: o primeiro prefixado com cupom 9% ano e o segundo indexado ao
índice de preços com cupom de 4% ao ano. Suponha uma taxa de inflação constante e
77
UNIDADE III │TÍTULOS PÓS-FIXADOS E COM CORREÇÃO DE PRINCIPAL
uniforme de 5% ao ano durante todo o período. Os fluxos de caixa real e nominal para
cada um dos títulos estão descritos na tabela abaixo.
Tabela 13
Taxa de inflação 5%
Vencimento 4 anos
Nominal
Real
Prefixado
cupom 9%
Indexado
cupom 4%
Prefixado
cupom 9%
Indexado
cupom 4%
0
-1.000,00
-1.000,00
-1.000,00
-1.000,00
1
44,03
20,29
42,97
19,80
2
44,03
20,79
41,93
19,80
3
44,03
21,31
40,92
19,80
4
44,03
21,83
39,94
19,80
5
44,03
22,37
38,97
19,80
6
44,03
22,93
38,04
19,80
7
44,03
23,49
37,12
19,80
8
1.044,03
1.239,58
858,93
1.019,80
9,00
9,20
3,81
4,00
Período
YTM (%)
O fluxo nominal dos cupons é constante para o papel prefixado e crescente para o
indexado; já o fluxo real é constante para o título indexado e decrescente para o nominal.
Podemos calcular também o yield nominal e o yield real dos papéis. O YTM nominal
é o que calculamos para os títulos prefixados a partir dos fluxos de caixa nominais; o
YTM real é o que computamos utilizando os fluxos de caixa reais, isto é, descontados
pela taxa de inflação acumulada. Podemos ver que, como os papéis estão com o preço
ao par, o YTM nominal do papel prefixado é igual ao seu cupom nominal e o seu YTM
real é dado pela relação apresentada anteriormente.
i∗
=
(1 + i ) − 1
(1 + π )
Assim
YTMr = [(1 + 0,9) / (1,05)] – 1
YTMr = 3,81%
Onde YTMr é o yield real do papel.
O yield real do título indexado é igual ao seu cupom real, e o seu YTM nominal é dado
por
i∗=
78
(1 + i ∗) x (1 + π ) − 1
TÍTULOS PÓS-FIXADOS E COM CORREÇÃO DE PRINCIPAL│
UNIDADE III
YTM = [(1 + 0,4) * (1,05)] – 1
YTM = 9,20%
Os yields nominais e reais dos dois papéis têm comportamento diferente diante
mudanças na taxa de inflação, o que pode ser observado nos gráficos a seguir.
O YTM real do título indexado não é afetado por variações na taxa de inflação, já que
o seu principal é ajustado para proteger a rentabilidade da inflação de altas no índice
de preços. Já o yield real do papel prefixado decresce linearmente conforme a taxa de
inflação aumenta.
O YTM nominal do papel prefixado é constante por definição, enquanto o yield nominal
do título indexado cresce conforme a taxa de inflação aumenta.
79
UNIDADE III │TÍTULOS PÓS-FIXADOS E COM CORREÇÃO DE PRINCIPAL
Em qualquer uma das medidas de rentabilidade, existe uma taxa de inflação que iguala
tanto o yield real quanto o nominal dos dois títulos. Esta taxa é conhecida como taxa de
inflação implícita e pode ser calculada no nosso exemplo pela relação:
π* = (1 + yp) / (1 + yi)
onde π* é a taxa de inflação implícita, yp é o YTM nominal do papel prefixado e yi é o
YTM real do papel indexado.
No nosso exemplo, esta taxa diz respeito à variação média anual do índice de preços no
período entre o início da operação e o vencimento dos papéis. Trata-se, em qualquer
caso, de uma taxa de inflação esperada, ou uma expectativa de inflação futura do mercado
de renda fixa. Esta expectativa traz informações importantes sobre a rentabilidade
comparada dos dois títulos. No exemplo que utilizamos, a taxa de inflação implícita é:
π* = (1 + 0,09) / (1 + 0,04i)
π* = 4,807692% ao ano
Caso a inflação média anual entre o início da operação e o vencimento dos papéis seja
maior do que a taxa de inflação implícita calculada, o título indexado terá um rendimento
– tanto real quanto nominal – superior ao do papel prefixado. Caso a inflação seja
menor, o título prefixado terá uma remuneração maior.
Volatilidade do Preço
O preço de um título com principal corrigido é determinado pelo seu yield real, e não pelo
seu yield nominal como os títulos prefixados. Podemos ver isso na tabela comparativa
entre os dois tipos de títulos onde o título indexado com cupom de 4% negociado ao par
tinha um YTM real de 4%. Como os yields nominais são determinados pelos yields reais
e pela taxa de inflação esperada, podemos concluir que mudanças na inflação esperada
não alteram os preços dos papéis indexados, ao contrário dos títulos prefixados.
A duration e a convexidade de um título com principal corrigido pela inflação são
calculadas exatamente da mesma forma que a dos títulos prefixados. A diferença é que
o YTM utilizado é o yield real.
80
CAPÍTULO 7
Notas do Tesouro Nacional – série B
(NTN-B)
A NTN-B é um título público brasileiro indexado ao Índice de Preços ao Consumidor
Amplo (IPCA) divulgado pelo IBGE. Há pagamentos semestrais de cupons que são
definidos no lançamento do papel (embora o cupom de 6% ao ano seja o mais comum).
Este cupom incide sobre o principal indexado, sendo, portanto, o cupom real do
papel. O principal corrigido é pago integralmente no vencimento. Assim como as LFTs,
a NTN-B não é resgatada por um valor de face definido, mas sim pelo seu valor nominal
atualizado. Neste caso, o VNA, que tem data-base em 15/07/2000, é atrelado ao IPCA,
que é divulgado mensalmente, o que exige algumas convenções para que possa ter um
valor nominal atualizado diariamente.
Resumidamente, convencionou-se que a variação do IPCA em um determinado mês
corrige o VNA até o dia 15 do mês seguinte. Assim, por exemplo, a variação do IPCA de
janeiro de um determinado ano serve para calcular o VNA do dia 15 de fevereiro. Para
os outros dias utiliza-se a variação proporcional do índice e projeções de mercado. A
Andima divulga diariamente em seu web site o VNA atualizado dos títulos públicos de
acordo com as convenções do mercado, o que facilita a negociação do título.
O preço do papel, também como no caso das LFTs, é definido em função do VNA e da
cotação, que depende por sua vez do YTM real do título. Como estes papéis possuem
cupom, para uma NTN-B com vencimento em t = n, a relação entre a cotação e o YTMr
anual em t = k é
Ck = c (1 + YTMr)-(DU1 / 252) + c (1 + YTMr)-(DU2 / 252) +... + (c + F)(1 + YTMr)-(DUn /
252)
Onde Ck é a cotação da NTN-B, c é o cupom real e F é o valor de face real. DU1, DU2,
..., DUn são os números de dias úteis entre a data dos pagamentos e t = k, já que estes
títulos, como a grande maioria dos títulos públicos brasileiros usa o padrão (dias
úteis/252). Como a cotação é expressa na forma percentual, definimos F = 100.
Já mencionamos que esta relação é equivalente a que existe entre o preço e o YTM
nominal de um título pós-fixado. Vamos ver um exemplo.
81
UNIDADE III │TÍTULOS PÓS-FIXADOS E COM CORREÇÃO DE PRINCIPAL
Veja mais sobre o IPCA no site do IBGE
<http://www.ibge.gov.br/home/estatistica/indicadores/precos/inpc_ipca/
defaultinpc.shtm>.
Consulte o VNA da NTN-B e de outros títulos públicos na Andima
<http://www.andima.com.br/vna/vna.asp>.
Consulte também a metodologia oficial da Andima, para o cálculo do VNA em:
<http://www.andima.com.br/vna/arqs/vna_metodologia.pdf>.
Exemplo 15: Em 15/01/2010, a NTN-B, com vencimento em 15/08/2010 e cupom de
6% ao ano, tinha um yield de 3,97% ao ano. Calcule o preço do papel, sabendo que nesse
dia o VNA divulgado para as NTN-Bs foi de $1.868,916525. Utilize a tabela abaixo com
as datas de pagamentos dos cupons e principal, bem como o número de dias úteis entre
essas datas e o dia 15/01/2010.
Pagamento
Data
Nº de dias úteis
Cupom
17/2/2010
21
Cupom + principal
16/8/2010
146
Resolução: Em primeiro lugar, vale a pena observar que os pagamentos deveriam ser
efetuados em 15/02/2010 e 15/08/2010, mas como estes dias não são dias úteis, eles
são postergados para o próximo dia útil. Começamos calculando os pagamentos. Com
o principal igual a 100, o cupom será de:
c = 100 * [(1 + 0,06)0,5 -1]
c = $2,956301
Temos, então, os pagamentos:
P1 = $2,956301
e
P2 = 100 + 2,956301
P2 = $102,956301
Temos então que:
82
TÍTULOS PÓS-FIXADOS E COM CORREÇÃO DE PRINCIPAL│
UNIDADE III
C = 2,956301 / [(1 + 0,0397)(21 / 252)] + 102,956301 / [(1 + 0,0397)(146 / 252)]
C = 2,9467257 + 100,660018
C = 103,606743
Finalmente chegamos no preço:
P = 1.868,916525 * (103,606743 / 100)
P = $1.936,323548
83
Para (não) Finalizar
Neste trabalho introduzimos os tópicos iniciais do estudo do mercado de renda fixa.
Esperamos que o aluno, no papel de um investidor consciente, tenha oportunidade
de utilizar os conhecimentos adquiridos. Sempre é importante lembrar que, como
em outras áreas ligadas à análise matemática, apenas a prática e o estudo continuado
podem levar ao verdadeiro aprendizado.
Com certeza, o estudo da renda fixa não acaba aqui. Vários tópicos foram deixados de
fora, como, por exemplo, as questões sobre títulos exóticos e estratégias avançadas de
renda fixa. Aspectos práticos, como tributação e o dia a dia do mercado de renda fixa
também não foram contemplado.
Existe uma vasta bibliografia sobre o tema que explora estes e muitos outros tópicos
avançados, principalmente em inglês, pois o mercado do exterior é muito mais
desenvolvido. Livros de vários graus de dificuldade, que podem ser bastante úteis no
desenvolvimento posterior da disciplina, são encontrados nas livrarias virtuais. O aluno
deve ter sempre em mente as características especiais do mercado nacional, procurando
adaptar o conteúdo destes livros à realidade do caso brasileiro.
84
Referências
Em português
ASSAF NETO, A.; LIMA, F. G. Investimentos no mercado financeiro. 2. ed.
Ribeirão Preto: Inside Books, 2008.
_____. Mercado financeiro. 9. ed. São Paulo: Atlas, 2009.
FORTUNA, E. Mercado financeiro – produtos e serviços. 17. ed. Rio de Janeiro:
Qualitymark, 2008.
SECURATO, J. R. Cálculo financeiro das tesourarias. 4. ed. São Paulo: Saint Paul,
2009.
_____. Mercado financeiro – conceitos, cálculo e análise de investimento. 3. ed.
São Paulo: Saint Paul, 2009.
Em inglês
CHOUDHRY, M. Advanced fixed income analysis. 1. ed. New York: ButterworthHeinemann, 2004.
_____. Fixed Income markets: instruments, applications, mathematics (Wiley
Finance Series). 1. ed. New York: John Wiley Trade, 2004.
COLIN, A. Fixed income attribution (The Wiley Finance Series). 1. ed. New York:
John Wiley Trade, 2005.
FABOZZI, F. J. Professional perspectives on fixed income portfolio (Frank J.
Fabozzi Series, v. 4). 1. ed. New York: John Wiley Trade, 2003.
_____. Fixed income analysis (CFA Institute Investment Series). 2. ed. New York:
John Wiley Trade, 2007.
FABOZZI, F. J. Fixed income analysis, workbook (CFA Institute Investment
Series). 2. ed. New York: John Wiley Trade, 2007.
_____. Fixed income mathematics – Analytical and Statistical Techniques. 4.
ed. New York: McGraw-Hill Professional, 2005.
85
REFERÊNCIAS
_____. The handbook of fixed income securities. 7. ed. New York: McGraw-Hill
Professional, 2006.
HENDERSON, T. Fixed income strategy: A Practitioner’s Guide to Riding the Curve
(The Wiley Finance Series). 1. ed. New York: John Wiley Trade, 2003.
KRGIN, D. The handbook of global fixed income calculations (Frank J. Fabozzi
Series). 1. ed. New York: John Wiley Finance, 2002.
MARTELLINI, L.; PRIAULET, P.; PRIAULET, S. Fixed income securities: valuation,
risk management and portfolio strategies (The Wiley Finance Series). 1. ed. New York:
John Wiley Trade, 2003.
NYHOLM, K. Strategic asset allocation in fixed income markets (The Wiley
Finance Series). 1. ed. New York: John Wiley Trade, 2008.
STRUM1EYER, G. Investing in Fixed Income Securities: Understanding the Bond
Market (Wiley Finance). 1. ed. New York: John Wiley Professional, 2005.
SUNDARESAN, S. Fixed income markets and their derivatives (Academic Press
Advanced Finance). 3. ed. New York: Academic Press, 2009.
TUCKMAN, B. Fixed income securities: tools for today’s markets, university Edition
(The Wiley Finance Series). 2. ed. New York: John Wiley Trade, 2002.
VERONESI, P. Fixed income securities. 1. ed. New York: John Wiley Professional,
2010.
WISE, M.; BHANSALI, V.; MCCONE, J. A. Fixed income finance – a Quantitative
Aproach. 1. ed. New York: McGraw-Hill Professional, 2009.
ZIPF, R. Fixed income mathematics. 1. ed. New York: Academic Press, 2003.
86