illustration_modes_vibration.nb
In[1]:=
1
<< Graphics`Legend`
Tracé de l'allure des modes de vibration
du problème présenté en classe
Note: Ce problème était celui d'une poutre encastrée libre. La poutre était encastrée au noeud 1 et libre au noeud 2. La poutre
rAL
EI
ÅÅÅÅ = 1000 et le rapport ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅ = 0.01. On avait calculé les fréquences naturelles
avait une longueur L = 1, le rapport ÅÅÅÅ
L3
420
w1 = 54.8 rad ê sec et w2 = 537 rad ê sec ainsi que les vecteurs propres. On avait obtenu les vecteurs propres suivants:
1
1
l1 = J
N et l2 = J
N. On va maintenant tracer l'allure de ces modes de vibration.
1.376
7.623
Définition des fonctions de forme d'une poutre
Dans les notes de cours, à la page 2-12, on donne les fonctions de forme pour un élément de poutre. On aura:
1 - 3 x2 + 2 x3
i
j
j
j
j
j 1 - 2 x2 + x3
j
In[2]:= Ni@x_D = j
j
j
j
3 x2 - 2 x3
j
j
j
-x2 + x3
k
Out[2]=
y
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
{
881 - 3 x2 + 2 x3 <, 81 - 2 x2 + x3 <, 83 x2 - 2 x3 <, 8-x2 + x3 <<
i v1 z
y
j
j
z
j
q1 z
j
z
j
z
T
j
z
Avec ces fonctions de forme, on peut calculer la flèche de la poutre comme v(x) = { Ni < {D}, où D=j
z
j
z. Pour les deux
j
v
2 z
j
z
j
z
j
z
k q2 {
modes, comme la poutre est encastrée au noeud 1, alors v1 = q1 = 0. On rappelle que les modes de vibration sont connus à
une constante arbitraire près. On va noter cette constante par a
Premier mode
0
y
i
z
j
z
j
z
j
0
z
j
z
j
z
j
In[3]:= D@a_D = j
z
z
j
z
j
a
z
j
z
j
z
j
a
1.376
{
k
Out[3]=
880<, 80<, 8a<, 81.376 a<<
On voit ici que l'on a introduit la constante a dans le mode de vibration. On va calculer maintenant la flèche dans l'élément de
poutre avec les fonctions de forme. On aura:
In[4]:=
v@x_, a_D = Expand@HTranspose@Ni@xDD.D@aDL@@1, 1DDD
Out[4]=
1.624 x2 a - 0.624 x3 a
illustration_modes_vibration.nb
2
Ceci donne l'expression de la flèche de la poutre en fonction de x et de la constante a. On va tracer maintenant l'évlotuion de
la flèche en fonction de la valeur a. Ici, a pour être vue comme une unité de temps, ce qui permet d'animer le mode de
vibration, comme on l'a vu avec ANSYS lors du dernier TP portant sur les fréquences naturelles d'un arbre.
In[5]:=
Plot@8v@x, 0.1D, v@x, 0.05D, v@x, -0.05D, v@x, -0.1D<,
8x, 0, 1<, PlotRange Ø All, PlotStyle Ø 88Dashing@80.05, 0.05<D<,
8Dashing@80.04, 0.04<D<, 8Dashing@80.03, 0.03<D<, 8Dashing@80.02, 0.02<D<<,
PlotLegend -> 8"a=0.1", "a=0.05", "a=-0.05", "a=-0.1"<D
0.1
0.05
0.2
0.4
a=0.1
-0.05
a=0.05
a=-0.05
-0.1
a=-0.1
Out[5]=
Ü Graphics Ü
On peut donc voir ici comment la poutre va vibrer en résonnance.
Deuxième mode
Pour le deuxième mode, on a obtenu le vecteur propre suivant:
0
i
y
j
z
j
z
j
z
j
0
z
j
z
j
z
In[6]:= D@a_D = j
z
j
z
j
z
a
j
z
j
z
j
z
a
7.623
k
{
Out[6]=
880<, 80<, 8a<, 87.623 a<<
Ce vecteur permet de définir la flèche:
0.6
0.8
1
illustration_modes_vibration.nb
3
In[7]:=
v@x_, a_D = Expand@HTranspose@Ni@xDD.D@aDL@@1, 1DDD
Out[7]=
-4.623 x2 a + 5.623 x3 a
Si l'on trace, on obtient:
In[8]:=
Plot@8v@x, 0.1D, v@x, 0.05D, v@x, -0.05D, v@x, -0.1D<,
8x, 0, 1<, PlotRange Ø All, PlotStyle Ø 88Dashing@80.05, 0.05<D<,
8Dashing@80.04, 0.04<D<, 8Dashing@80.03, 0.03<D<, 8Dashing@80.02, 0.02<D<<,
PlotLegend -> 8"a=0.1", "a=0.05", "a=-0.05", "a=-0.1"<D
0.1
0.05
0.2
0.4
0.6
a=0.1
-0.05
a=0.05
a=-0.05
-0.1
a=-0.1
Out[8]=
Ü Graphics Ü
On peut voir que ce mode présente un ventre et a une allure fort différente du premier mode.
0.8
1