Laboratorio No. 2 Modelamiento de sistemas fı́sicos
Didier F. Villaquiran Samboni
Brandon Javier Rosero
Juan Pablo Ruano
Ingenierı́a electrónica
Universidad de Nariño
San Juan de Pasto, Colombia
didier.v@udenar.edu.co
Ingenierı́a electrónica
Universidad de Nariño
San Juan de Pasto, Colombia
brand78j@gmail.com
Ingenierı́a electrónica
Universidad de Nariño
San Juan de Pasto, Colombia
wanjuanito@hotmail.com
Resumen—El presente documento muestra el modelamiento
matemático de sistemas dinámicos por medio de ecuaciones
diferenciales, en donde se pretende llevar dichos sistemas a
una analogia con un circuito eléctrico y entender mejor el
funcionamiento de los elementos eléctricos como el capacitor,
el inductor y el resistor. Se realizará el análisis y modelamiento
de 5 diferentes sistemas dinámicos con sus respectivas ecuaciones
diferenciales y analogias, además se comparan las relaciones de
cada elemento de cada sistema con su análogo.
siguientes cambios de variables:
x3 = x03 + y2 ⇒ y2 = x3 − x03
x1 = x01 + y1 ⇒ y1 = x1 − x01
(1)
Donde x01 y x03 son las posiciones iniciales de la masa m1
y m2 respectivamente en referencia a la pared vertical, por
lo tanto x01 y x03 son constantes, las nuevas referencias se
ilustran en la siguiente gráfica.
Index Terms—Sistema, análogo, Circuito, Elementos, Ecuaciones diferenciales.
I.
I NTRODUCCI ÓN
Dentro del hámbito industrial es fundamental entender el
funcionamiento de algunos montajes mecánicos, hidráulicos o
térmicos ya que la aplicación de la ingenierı́a electrónica en
este aspecto requiere de un modelo que describa matemáticamente al sistema planteado, por lo tanto se requiere los
fundamentos fı́sicos para realizar una descripción matemática
correcta del sistema, si embargo, realizando una analogı́a con
las variables eléctricas se puede realizar la implementacion
del modelo en un circuito eléctrico lo cual evita el gasto
innecesario de recursos y permite verificar el funcionamiento
del modelo antes de realizar la implementación fı́sica.
II.
II-A.
Figura 2. Sistema mecánico I con referencias auxiliares y1 y y2 .
Los diagramas de fuerzas quedan de la siguiente manera:
TALLER DE APLICACI ÓN
Sistema Fı́sico 1
El primer sistema se representa en la siguiente figura:
Figura 3. Diagrama de fuerzas para el sistema mecánico I considerando las
referencias auciliares. a): diagrama de fuerzas para la masa m1 y b): diagrama
de fuerzas para la masa m2
Figura 1. Sistema mecánico I
Para realizar el modelo mecánico se consideran las
referencias auxiliares y1 y y2 que e ubican el el centro de
masa de m1 y m2 respectivamente , por lo tanto se tienen los
De la Fig.(3) se obtiene el modelo matemático, para la masa
m1 se tiene:
u = m1
dy1
dy2
d2 y1
+ K(y1 − y2 ) + c(
−
)
2
dt
dt
dt
Similarmente pata la masa m2 :
(2)
d 2 y2
dy2
dy1
0 = m2 2 + K(y2 − y1) + c(
−
)
(3)
dt
dt
dt
Aplicando el cambio de variable de la Ec.(1) en las ecuaciones Ec.(2) y Ec.(3) se obtiene que:
II-B.
Dos tanques en cascada
El Segundo sistema se representa en la siguiente figura:
d2 (x1 − x01 )
+ K(x1 − x01 − x3 + x03 )+
dt2
d(x1 − x01 ) d(x3 − x03 )
c(
−
)
(4)
dt
dt
Pero como x01 y x03 son constantes, la Ec.(4) se simplifica
de la siguiente manera:
u = m1
d2 x1
dx1 dx3
+ K(x1 − x01 − x3 + x03 ) + c(
−
) (5)
dt2
dt
dt
Para la masa m2 se obtiene:
u = m1
d2 x3
dx3 dx1
+ K(x3 − x03 − x1 + x01 ) + c(
−
) (6)
dt2
dt
dt
En este caso se modela un sistema eléctrico en serie por lo
tanto , las ecuaciones que modelan el circuito se obtienen a
partir de las ecuaciones Ec.(5) y Ec.(6):
0 = m2
Vu = L1
1
di1 (t)
+R[i1 (t)−i3 (t)]+
dt
C
1
di3 (t)
+R[i3 (t)−i1 (t)]+
0 = L2
dt
C
Figura 5. Sistema fı́sico de 2 tanques en cascada.
Y su sistema de ecuaciones se representa como:
Z
i1 (t)−i01 +i3 (t)+i03 dt
Z
A2
i3 (t)−i03 −i1 (t)+i01 dt
(8)
Con las ecuaciones diferenciales obtenidas se puede hacer
una analogia con un circuito eléctrico, compuesto por dos
inductores, un capacitor, dofuentes de corriente y una fuente
de voltaje, este circuito es representado en la siguiente figura:
dh1 (t) h1 (t)
+
= qin
dt
R1
(9)
h1 (t) h2 (t)
dh1 (t)
=
−
dt
R1
R2
(10)
A1
(7)
Donde:
R1 = ρ
l1
A1
(11)
R2 = ρ
l2
A2
(12)
Con las ecuaciones diferenciales obtenidas se puede
hacer una analogia con un circuito eléctrico equivalente
representado en la siguiente figura:
Figura 4. Circuito que modela de forma análoga al sistema mecánico I.
Figura 6. Circuito Eléctrico equivalente II.
Sus respectivas ecuaciones diferenciales son:
Medio C:
Nodo 1:
CC
i1(t) = C1
dV1 (t) V1 (t)
+
dt
R1
(13)
Las ecuaciones mostradas no son lineales por culpa de T0
que actua como un offset, por lo tanto, se hacen los siguientes
cambios de variables:
Nodo 2:
V1 (t)
dV2 (t) V2 (t)
= C2
+
R1
dt
R2
II-C.
dTC (t) TC (t) − TA (t) TC (t) − TB (t) TC (t) − T0
+
+
+
= qin
dt
RAC
RBC
RC0
(17)
(14)
T1 = TA − T0 ;
T2 = TB − T0 ;
$T3 = TC − T0
Con estos cambios de variables se hacen las siguientes
operaciones:
Sistema Térmico
El Tercer sistema se representa en la siguiente figura:
T1 −T2 = TA −TB ; T1 −T3 = TA −TC ; T2 −T3 = TB −TC
Además, las derivadas son:
dTA (t)
dt
=
dT1 (t)
dt ;
dTB (t)
dt
=
dT2 (t)
dt ;
dTC (t)
dt
=
dT3 (t)
dt
Y las ecuaciones diferenciales finalmente serian:
Medio A:
Figura 7. Sistema ??.
CA
De la Fig.5 se pueden ver 3 medios diferentes A,B y C
con Capacitancias CA , CB y CC respectivamente; Además,
cuentan con tempraturas TA , TB y TC y resistencias RAC y
RBC . Aparte de todo lo anterior, se debe tener en cuenta el
efecto del ambiente en cada uno de los medios, por lo que se
agragan los siguientes parametros: T0 , RA0 , RB0 y RC0 .
Su sistema de ecuaciones se representa como:
dT1 (t) T1 (t) − T3 (t) T1 (t)
+
+
=0
dt
RAC
RA0
(18)
dT2 (t) T2 (t) − T3 (t) T2 (t)
+
+
=0
dt
RBC
RB0
(19)
Medio B:
CB
Medio C:
Medio A:
CA
dTA (t) TA (t) − TC (t) TA (t) − T0
+
+
=0
dt
RAC
RA0
CC
(15)
Con las ecuaciones diferenciales obtenidas se puede
hacer una analogia con un circuito Hidráulico equivalente
representado en la siguiente figura:
Medio B:
CB
dTB (t) TB (t) − TC (t) TB (t) − T0
+
+
=0
dt
RBC
RB0
dT3 (t) T3 (t) − T1 (t) T3 (t) − T2 (t) T3 (t)
+
+
+
= qin
dt
RAC
RBC
RC0
(20)
(16)
Sus respectivas ecuaciones diferenciales son:
Nodo B:
CB
dvB (t) vB (t) − vC (t) vB (t)
+
+
=0
dt
RBC
RB
(25)
Nodo C:
Figura 8. Circuito Hidráulico equivalente
CC
Tanque A:
dhA (t) hA (t) − hC (t) hA (t)
+
+
=0
dt
RAC
RA0
AA
(21)
dvC (t) vC (t) − vA (t) vC (t) − vB (t) vC (t)
+
+
+
= i(t)
dt
RAC
RBC
RC
(26)
Se aclara que los voltajes vA (t), vB (t) y vC (t) son los
voltajes en los nodos A, B y C respectivamente, además que
son los mismos voltajes que caen sobre cada capacitor.
Tanque B:
AB
dhB (t) hB (t) − hC (t) hB (t)
+
+
=0
dt
RBC
RB0
II-D. Sistema Fı́sico 4: Tanques Acoplados
El cuarto sistema se representa en la siguiente figura:
(22)
Tanque C:
AC
dhC (t) hC (t) − hA (t) hC (t) − hB (t) hC (t)
+
+
+
= qin
dt
RAC
RBC
RC0
(23)
Figura 10. Tanques Acoplados.
Por último, se obtiene el circuito eléctrico equivalente:
La Fig.7 muestra 2 tanques unidos por una válvula con
resistencia R1 , con areas A1 y A2 , con una altura del lı́quido
interior h1 y h2 , una válvula de salida para cada uno con
resistencias R3 y R2 y un flujo de entrada qin sobre el tanque
2.
Su sistema de ecuaciones se representa como:
Tanque 2.
Figura 9. Circuito Hidráulico equivalente
A2
dh2 (t) h2 (t) − h1 (t) h2 (t)
+
+
= qin
dt
R1
R2
(27)
dh1 (t) h2 (t) − h1 (t) h1 (t)
+
+
=0
dt
R1
R1
(28)
Sus respectivas ecuaciones diferenciales son:
Nodo A:
CA
Tanque 1.
dvA (t) vA (t) − vC (t) vA (t)
+
+
=0
dt
RAC
RA
(24)
A1
Con las ecuaciones diferenciales obtenidas se puede
hacer una analogia con un circuito eléctrico equivalente
representado en la siguiente figura:
II-E.
Sistema Fı́sico 5
El quinto sistema se representa en la siguiente figura:
Figura 11. Circuito Eléctrico Equivalente.
Figura 12. Sistema mecánico, la fuerza sinusoidal se modela como F.
Sus respectivas ecuaciones diferenciales son:
Nodo 1.
Por lo tanto los diagramas de fuerza para m2 , m1 y el
estremo inferior del resorte k1 son los siguientes:
C2
dv2 (t) v2 (t) − v1 (t) v2 (t)
+
+
= i(t)
dt
R1
R2
(29)
dv1 (t) v2 (t) − v1 (t) v1 (t)
+
+
=0
dt
R1
R1
(30)
Nodo 2.
C1
Se aclara que los voltajes v1 (t) y v2 (t) son los voltajes
en los nodos 1 y 2 respectivamente, además de que son los
mismos voltajes que caen sobre cada capacitor.
Figura 13. a): Fuerzas que actuan sobre m1 , b): Fuerzas que actuan sobre
m2 , c): Fuerzas que actuan sobre el extremo inferior del resorte K1 .
Por lo tanto, las ecuaciones diferenciales que modelan al
sistema mecánico de la Fig.(10) son las siguientes:
0 = m2
d2 y(t)
dy(t) dx(t)
+ b[
−
] + K2 [y(t) − x(t)] (31)
dt2
dt
dt
0 = m1
dx(t) dy(t)
d2 x(t)
+ b[
−
] + K1 [x(t) − u(t)]+
dt2
dt
dt
K2 [x(t) − y(t)]
(32)
F = K1 [u(t) − x(t)]
(33)
Con las ecuaciones diferenciales obtenidas se puede hacer
una analogia con un circuito eléctrico, en este caso se hara
con un sistema eléctrico serie, se obtiene entonces el siguiente
sistema de ecuaciones:
0 = L2
di2 (t)
1
+R[i2 (t)−i1 (t)]+
dt
C2
Z
t
i2 (τ )−i1 (τ )dτ (34)
0
Z t
di1 (t)
1
0 = L1
i1 (τ ) − i3 (τ )dτ +
+ R[i1 (t) − i2 (t)] +
dt
C1 0
Z t
1
i1 (τ ) − i2 (τ )dτ
(35)
C2 0
1
VF = Asen(ωt + ϕ) =
C1
Z
t
i3 (τ ) − i1 (τ )dτ
(36)
0
Por lo tanto el circuito equivalente queda de la siguiente
manera:
Figura 14. Circuito del modelo análogo al sistema mecánico
III.
C ONCLUSIONES
El modelamiento de estos sistemas fı́sicos fue de ayuda
para poder entender el comportamiento de circuitos con
varios elementos pasivos, por lo que resulta más fácil
encontrar el análisis matemático del sistema fı́sico que
del eléctrico.
Se puede ver como las ecuaciones diferenciales son muy
útiles no solo en el ámbito de la ingenieria electónica,
sinó también en muchas circunstancias que se viven dı́a
a dı́a, como los tanques, el sistema térmico, los sistemas
de amortiguamiento de los carros, las propagaciones de
los virus, etc.
Una de las ventajas de realizar una equivalencia entre un
sistema fı́sico y un sistema eléctrico es que se adquiere
la capacidad de modelar sistemas que no necesariamente
tengan que ver con variables eléctricas, proponiendo
analogias se puede llegar a modelar sistemas mecánicos,
hidráulicos y térmicos sin necesidad de profundizar en
los fundamentos fı́sicos para realizar dicho modelado.
El proceso de realizar la implementación del modelo en
un circuito facilita el estudio del sistema fı́sico pues la
implementación de un circuito es mucho más sencilla que
la implementación fı́sica real del modelo.