•RDMI
•CHAPTER
7
•Pr. Rabie EL OTMANI
•Elotmani.r@ucd.ac.ma
Transformations du
contrainte et de la
deformation
•© 2021 L’UNIVERSITÉ Chouaib doukkali .
•RDM
Transformations of Stress and Strain
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•Pr. Rabie ELOTMANI
introduction
Transformation de la contrainte plane
Contraintes principales
Contrainte de cisaillement maximale
Exemple 7.01
Exemple de problème 7.1
Cercle de Mohr pour la contrainte plane
Exemple 7.02
Exemple de problème 7.2
État général de stress
Application du cercle de Mohr à l'analyse tridimensionnelle du stress
Critères de limite d'élasticité pour les matériaux ductiles sous contrainte
plane
Critères de rupture pour les matériaux fragiles sous contrainte plane
Contraintes dans les récipients sous pression à parois minces
•7 - 2
•© 2021 ENSAJ GC
•RDM
Introduction
•Pr. Rabie ELOTMANI
• L'état de contrainte le plus général en un point
peut être représenté par 6 composantes,
σ x ,σ y ,σ z
normal stresses
τ xy , τ yz , τ zx shearing stresses
(Note : τ xy = τ yx , τ yz = τ zy , τ zx = τ xz )
• Le même état de contrainte est représenté par
un ensemble différent de composants si les axes
sont tournés.
• La première partie du chapitre s'intéresse à la
façon dont les composantes des contraintes
sont transformées sous une rotation des axes
de coordonnées. La deuxième partie du
chapitre est consacrée à une analyse similaire
de la transformation des composantes de la
déformation.
•© 2021 ENSAJ GC
•7 - 3
•RDM
Introduction
•Pr. Rabie ELOTMANI
• Contrainte plane - état de contrainte dans lequel
deux faces de l'élément cubique sont libres de
contrainte. Pour l'exemple illustré, l'état de
contrainte est défini par
σ x , σ y , τ xy and σ z = τ zx = τ zy = 0.
• L'état de contrainte plane se produit dans une plaque
mince soumise à des forces agissant dans le plan
médian de la plaque.
• L'état de contrainte plane se produit également sur
la surface libre d'un élément structurel ou d'un
composant de machine, c'est-à-dire en tout point
de la surface non soumis à une force externe.
•7 - 4
•© 2021 ENSAJ GC
•RDM
Transformation of Plane Stress
•Pr. Rabie ELOTMANI
• Considérons les conditions d'équilibre d'un
élément
prismatique
avec
des
faces
perpendiculaires aux axes x, y et x'.
 Fx′ = 0 = σ x′∆A − σ x (∆A cosθ ) cosθ − τ xy (∆A cosθ )sin θ
− σ y (∆A sin θ )sin θ − τ xy (∆A sin θ ) cos θ
 Fy ′ = 0 = τ x′y ′∆A + σ x (∆A cos θ )sin θ − τ xy (∆A cosθ ) cos θ
− σ y (∆A sin θ )cos θ + τ xy (∆A sin θ )sin θ
• Les équations peuvent être réécrites pour donner
σ x′ =
σ y′ =
σ x +σ y σ x −σ y
+
2
2
σ x +σ y σ x −σ y
−
2
τ x′y′ = −
σ x −σ y
2
2
cos 2θ + τ xy sin 2θ
cos 2θ − τ xy sin 2θ
sin 2θ + τ xy cos 2θ
•7 - 5
•© 2021 ENSAJ GC
•RDM
Contraintes principales
•Pr. Rabie ELOTMANI
• Les équations précédentes sont combinées
pour donner des équations paramétriques
pour un cercle,
(σ x′ − σ ave )2 + τ x2′y′ = R 2
where
σ ave =
σ x +σ y
2
2
σ x −σ y 
2
 + τ xy
R = 
2


• Les contraintes principales se produisent
sur les principaux plans de contrainte avec
des contraintes de cisaillement nulles.
σ max,min =
tan 2θ p =
σ x +σ y
2
2
σ x −σ y 
2
± 
 + τ xy
2


2τ xy
σ x −σ y
Note : defines two angles separated by 90o
•© 2021 ENSAJ GC
•7 - 6
•RDM
Contrainte de cisaillement maximale
•Pr. Rabie ELOTMANI
La contrainte de cisaillement maximale se produit pour
σx′ =σave
2
σ x −σ y 
2
τ max = R = 
 + τ xy
2


σ x −σ y
tan 2θ s = −
2τ xy
Note : defines two angles separated by 90o and
offset from θ p by 45o
σ ′ = σ ave =
σ x +σ y
2
•7 - 7
•© 2021 ENSAJ GC
•RDM
Example 7.01
•Pr. Rabie ELOTMANI
SOLUTION:
• Trouver l'orientation de l'élément pour les
contraintes principales à partir de
2τ xy
tan 2θ p =
σ x −σ y
• Déterminer les contraintes principales de
σ max, min =
σx +σ y
2
2
±
σ x − σ y 
2

 + τ xy
2


Pour l'état de contrainte plane
indiqué, déterminez (a) les plans
principaux, (b) les contraintes • Calculer la contrainte de cisaillement maximale
avec
principales, (c) la contrainte de
2
σ x − σ y 
2
τ max = 
cisaillement maximale et la
 + τ xy
2


contrainte normale
correspondante.
σx +σy
σ′=
2
•7 - 8
•© 2021 ENSAJ GC
•RDM
Example 7.01
•Pr. Rabie ELOTMANI
SOLUTION:
• Find the element orientation for the principal
stresses from
2τ xy
2(+ 40 )
tan 2θ p =
=
= 1.333
σ x − σ y 50 − (− 10)
2θ p = 53.1°, 233.1°
σ x = +50 MPa
τ xy = +40 MPa
σ x = −10 MPa
θ p = 26.6°, 116.6°
• Determine the principal stresses from
σ max,min =
σx +σ y
2
= 20 ±
2
σ x −σ y 
2
± 
 + τ xy
2


(30)2 + (40)2
σ max = 70 MPa
σ min = −30 MPa
•© 2021 ENSAJ GC
•7 - 9
•RDM
Example 7.01
•Pr. Rabie ELOTMANI
• Calculate the maximum shearing stress with
2
σ x − σ y 
2
 + τ xy
2


τ max = 
=
(30)2 + (40)2
τ max = 50 MPa
σ x = +50 MPa
τ xy = +40 MPa
θ s = θ p − 45
σ x = −10 MPa
θ s = −18.4°, 71.6°
• The corresponding normal stress is
σ x + σ y 50 − 10
=
σ ′ = σ ave =
2
2
σ ′ = 20 MPa
•7 - 10
•© 2021 ENSAJ GC
•RDM
Sample Problem 7.1
•Pr. Rabie ELOTMANI
SOLUTION:
• Déterminer un système force-couple
équivalent au centre de la section
transversale passant par H.
• Évaluer les contraintes normales et de
cisaillement à H.
• Déterminer les plans principaux et
calculer les contraintes principales.
Une seule force horizontale P d'une
magnitude de 150 lb est appliquée à
l'extrémité D du levier ABD. Déterminer
(a) les contraintes normales et de
cisaillement sur un élément au point H
ayant des côtés parallèles aux axes x et
y, (b) les plans principaux et les
contraintes principales au point H.
•7 - 11
•© 2021 ENSAJ GC
•RDM
Sample Problem 7.1
•Pr. Rabie ELOTMANI
SOLUTION:
• Déterminer un système force-couple
équivalent au centre de la section
transversale passant par H.
P = 670 N
T = (670 N )(450mm ) = 301.5kNmm
M x = (670 N )(250mm ) = 167.5 kNmm
• Évaluer les contraintes normales et de
cisaillement à H.
σy = +
τ xy = +
(167.5kNmm )(15mm )
Mc
=+
4
1
I
4 π (15mm )
Tc
(301.5kNmm )(15mm )
=+
4
1
J
2 π (15mm )
σ x = 0 σ y = +63.2 MPa τ y = +56.9 MPa
•© 2021 ENSAJ GC
•7 - 12
•RDM
Sample Problem 7.1
•Pr. Rabie ELOTMANI
• Determine the principal planes and
calculate the principal stresses.
2τ xy
2(56.9 )
tan 2θ p =
=
= −1.8
σ x − σ y 0 − 6.32
2θ p = −61.0°,119°
θ p = −30.5°, 59.5°
σ max, min =
σx +σ y
2
σ −σ y 
2
±  x
 + τ xy
 2 
2
0 + 63.2
 0 − 63.2 
2
± 
 + (56.9 )
2
 2

2
=
σ max = +96.7MPa
σ min = −33.5 MPa
•7 - 13
•© 2021 ENSAJ GC
•RDM
Mohr’s Circle for Plane Stress
•Pr. Rabie ELOTMANI
• Une fois la signification physique du cercle de
Mohr pour la contrainte plane établie, il peut
être appliqué avec des considérations
géométriques simples. Les valeurs critiques
sont estimées graphiquement ou calculées.
• For a known state of plane stress σ x ,σ y ,τ xy
plot the points X and Y and construct the
circle centered at C.
σ ave =
σ x +σ y
2
2
σ x −σ y 
2
R = 
 + τ xy
2


• The principal stresses are obtained at A and B.
σ max,min = σ ave ± R
tan 2θ p =
2τ xy
σ x −σ y
Le sens de rotation de Ox à Oa est le
même que CX à CA.
•7 - 14
•© 2021 ENSAJ GC
•RDM
Mohr’s Circle for Plane Stress
•Pr. Rabie ELOTMANI
• Avec le cercle de Mohr défini de manière
unique, l'état de contrainte à d'autres
orientations d'axes peut être représenté.
• Pour l'état de contrainte à un angle θ par
rapport aux axes xy, construire un nouveau
diamètre X'Y' à un angle 2θ par rapport à XY.
• Les contraintes normales et de
cisaillement sont obtenues à partir des
coordonnées X'Y'.
•© 2021 ENSAJ GC
•7 - 15
•RDM
Mohr’s Circle for Plane Stress
•Pr. Rabie ELOTMANI
• Cercle de Mohr pour le chargement axial centré :
σx =
P
, σ y = τ xy = 0
A
σ x = σ y = τ xy =
P
2A
• Cercle de Mohr pour le chargement de torsion :
σ x = σ y = 0 τ xy =
Tc
J
σx =σy =
Tc
τ xy = 0
J
•7 - 16
•© 2021 ENSAJ GC
•RDM
Example 7.02
Pour l'état de contrainte plane
indiqué, (a) construire le cercle de
Mohr, déterminer (b) les plans
principaux, (c) les contraintes
principales, (d) la contrainte de
cisaillement maximale et la contrainte
normale correspondante.
•Pr. Rabie ELOTMANI
SOLUTION:
• Construction of Mohr’s circle
σ x + σ y (50 ) + (− 10 )
σ ave =
=
= 20 MPa
2
2
CF = 50 − 20 = 30 MPa FX = 40 MPa
R = CX =
(30)2 + (40)2 = 50 MPa
•7 - 17
•© 2021 ENSAJ GC
•RDM
Example 7.02
•Pr. Rabie ELOTMANI
• Principal planes and stresses
σ max = OA = OC + CA = 20 + 50
σ max = 70 MPa
σ min = OB = OC − BC = 20 − 50
σ min = −30 MPa
FX 40
=
CF 30
2θ p = 53.1°
tan 2θ p =
θ p = 26.6°
•© 2021 ENSAJ GC
•7 - 18
•RDM
Example 7.02
•Pr. Rabie ELOTMANI
• Maximum shear stress
θ s = θ p + 45°
τ max = R
σ ′ = σ ave
θ s = 71.6°
τ max = 50 MPa
σ ′ = 20 MPa
•7 - 19
•© 2021 ENSAJ GC
•RDM
Sample Problem 7.2
•Pr. Rabie ELOTMANI
Pour l'état de contrainte indiqué,
déterminez (a) les plans principaux
et les contraintes principales, (b) les
composantes de contrainte exercées
SOLUTION:
sur l'élément obtenues en faisant
pivoter l'élément donné de 30 degrés • Construct Mohr’s circle
dans le sens inverse des aiguilles
σ x + σ y 100 + 60
σ ave =
=
= 80 MPa
d'une montre.
2
2
R=
(CF )2 + (FX )2 = (20)2 + (48)2 = 52 MPa
•7 - 20
•© 2021 ENSAJ GC
•RDM
Sample Problem 7.2
•Pr. Rabie ELOTMANI
• Principal planes and stresses
XF 48
=
= 2.4
CF 20
2θ p = 67.4°
tan 2θ p =
θ p = 33.7° clockwise
σ max = OA = OC + CA
= 80 + 52
σ max = +132 MPa
•© 2021 ENSAJ GC
σ max = OA = OC − BC
= 80 − 52
σ min = +28 MPa
•7 - 21
•RDM
Sample Problem 7.2
•Pr. Rabie ELOTMANI
• Stress components after rotation by 30o
Points X’ and Y’ on Mohr’s circle that
correspond to stress components on the
rotated element are obtained by rotating
XY counterclockwise through 2θ = 60°
φ = 180° − 60° − 67.4° = 52.6°
σ x′ = OK = OC − KC = 80 − 52 cos 52.6°
σ y′ = OL = OC + CL = 80 + 52 cos 52.6°
τ x′y′ = KX ′ = 52 sin 52.6°
σ x′ = +48.4 MPa
σ y′ = +111.6 MPa
τ x′y′ = 41.3 MPa
•7 - 22
•© 2021 ENSAJ GC
•RDM
État général de contraintes
•Pr. Rabie ELOTMANI
• Considérez l'état général de contrainte 3D en un
point et la transformation de la contrainte due à la
rotation de l'élément
• State of stress at Q defined by: σ x ,σ y ,σ z ,τ xy ,τ yz ,τ zx
• Consider tetrahedron with face perpendicular to the
line QN with direction cosines: λx , λ y , λz
• The requirement  Fn = 0 leads to,
σ n = σ x λ2x + σ y λ2y + σ z λ2z
+ 2τ xy λx λ y + 2τ yz λ y λz + 2τ zx λz λ x
• La forme de l'équation garantit qu'une orientation de
l'élément peut être trouvée telle que
σ n = σ a λ2a + σ bλb2 + σ cλ2c
Ce sont les axes principaux et les plans principaux
et les contraintes normales sont les contraintes
principales.
•7 - 23
•© 2021 ENSAJ GC
•RDM
Application du cercle de Mohr à l'analyse
tridimensionnelle des contraintes
•Pr. Rabie ELOTMANI
• La transformation de la contrainte pour
un élément en rotation autour d'un axe
principal peut être représentée par le
cercle de Mohr.
• Les trois cercles représentent les
contraintes normales et de
cisaillement pour la rotation autour
de chaque axe principal.
• Les points A, B et C représentent les • Le rayon du plus grand cercle donne la
contraintes principales sur les plans contrainte de cisaillement maximale.
principaux (la contrainte de cisaillement
1
τmax= σmax−σmin
est nulle)
2
•© 2021 ENSAJ GC
•7 - 24
•RDM
Application du cercle de Mohr à l'analyse
tridimensionnelle des contraintes
•Pr. Rabie ELOTMANI
• Dans le cas d'une contrainte plane, l'axe
perpendiculaire au plan de contrainte est un
axe principal (contrainte de cisaillement égale
à zéro).
•© 2021 ENSAJ GC
• Si les points A et B (représentant les plans
principaux) sont de part et d'autre de
l'origine, alors
a) les
contraintes
principales
correspondantes sont les contraintes
normales maximale et minimale de
l'élément
b) la contrainte de cisaillement maximale
de l'élément est égale à la contrainte
de cisaillement maximale « dans le
plan »
c) les plans de contrainte de cisaillement
maximum sont à 45o par rapport aux
plans principaux.
•7 - 25
•RDM
Application du cercle de Mohr à l'analyse
tridimensionnelle des contraintes
•Pr. Rabie ELOTMANI
• Si A et B sont du même côté de l'origine
(c'est-à-dire ont le même signe), alors
cercle définissantσmax, σmin, et
τmax car l'élément n'est pasdans le
a) le
cercle
correspondant
aux
transformations dans le plan de
contrainte
b) la contrainte de cisaillement maximale
pour l'élément est égale à la moitié de
la contrainte maximale
c) les plans de contrainte de cisaillement
maximale sont à 45 degrés par rapport
au plan de contrainte
•© 2021 ENSAJ GC
•7 - 26