Ecuaciones fundamentales de la
Estática y de la
Resistencia de materiales.
Roberto Godö Levensen
Ingeniero Civil EPFL MBA
Diciembre de 2007
Ecuaciones fundamentales de la Estática y de la Resistencia de materiales.
Contenido.
Introducción:
1) Relación momento-corte.
2) Relación momento-carga.
3) Relación momento-deflexión.
a) Relación curvatura-deflexión.
b) Relación curvatura-deformación unitaria longitudinal.
c) Relación esfuerzo longitudinal-deformación unitaria.
d) Relación momento-curvatura.
4) Relación carga-deflexión.
5) Relaciones entre cargas, corte, momento y deflexión.
1
Ecuaciones fundamentales de la Estática y de la Resistencia de materiales.
Introducción:
Como preámbulo a los métodos analíticos y numéricos de clases de análisis y diseño de
estructuras nos pareció importante redactar este fascículo para establecer las relaciones
fundamentales entre deformación, carga, momento y fuerza cortante. Este documento tiene como
propósito sentar las bases para el entendimiento del comportamiento de los sistemas lineales
estáticamente determinados e indeterminados. Se pretende enfatizar estos fundamentos al aplicar
un método por deformación. La metodología consiste a deformar sistemas para resolver
gráficamente el diagrama de los momentos, deducir el diagrama de los cortantes antes de aplicar
las ecuaciones de equilibrio a sistemas determinados o aplicar el principio de superposición a
sistemas indeterminados.
1) Relación momento- corte.
Con el fin de construir los diagramas de las fuerzas cortantes y los momentos flexionantes en
toda la longitud de una viga, se debe establecer las relaciones entre cargas, fuerzas cortantes y
momentos flexionantes. Para obtener estas relaciones se debe considerar un elemento de viga
cortado entre dos secciones transversales a una distancia dx en sí.
Para fines de análisis, consideremos una viga en voladizo.
La carga actuando sobre la superficie de la viga tiene una expresión matemática cuya proyección
vertical da q(x) y proyección horizontal n(x).
2
Ecuaciones fundamentales de la Estática y de la Resistencia de materiales.
Nota: Convención de signos:
1) Las cargas son positivas cuando actúan hacia abajo y negativas cuando actúan hacia arriba.
2) La convención de signos para la fuerza axial, cortante y momento es:
Aislando un elemento de viga de una longitud dx y aplicando las condiciones de equilibrio se
establecen las siguientes ecuaciones:
1) Primera ecuación de equilibrio: Proyección de las fuerzas horizontales.
∑ 𝐹𝑥 = −𝑁 + 𝑛(𝑥)𝑑𝑥 + 𝑁 + 𝑑𝑁 = 0
3
Ecuaciones fundamentales de la Estática y de la Resistencia de materiales.
Se deduce que la ecuación de la fuerza normal es la proyección horizontal de la ecuación de la
carga.
2) Segunda ecuación de equilibrio: Proyección de las fuerzas verticales.
∑ 𝐹𝑦 = −𝑉 + 𝑞(𝑥)𝑑𝑥 + 𝑉 + 𝑑𝑉 = 0
Se deduce que la primera derivada de la ecuación de corte es la ecuación de la carga.
Notas:
a) Si no se tiene una carga distribuida (es decir q = 0), entonces
𝑑𝑉
𝑑𝑋
= 0 o sea de la fuerza
cortante V es constante en esta parte de la viga.
b) Si se tiene una carga distribuida (q = constante), entonces
𝑑𝑉
𝑑𝑋
= constante, la fuerza cortante
varia linealmente en esa parte de la viga.
3) Tercera ecuación de equilibrio: Sumatoria de los momentos.
𝑑𝑥
∑ 𝑀𝐵 = −𝑀 + 𝑉𝑑𝑥 − 𝑞(𝑥)𝑑𝑥
+ 𝑀 + 𝑑𝑀 = 0
2
Por ser despreciables en comparación con los otros términos de la ecuación, se debe ignorar
𝑑𝑥
los productos de diferenciales 𝑑𝑥 ∗ 2 .
Se deduce que la primera derivada de la ecuación de momento es la ecuación de corte.
Notas:
𝑑𝑀
a) Si la fuerza cortante es cero en una región de la viga, o sea 𝑑𝑥 = 0, entonces el momento es
constante.
4
Ecuaciones fundamentales de la Estática y de la Resistencia de materiales.
b) Si la fuerza cortante es constante en una región de la viga (V = constante), entonces
𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒, el momento flexionante varia linealmente.
𝑑𝑀
𝑑𝑥
=
2) Relación momento-carga.
Combinando las ecuaciones (1) y (2)
Se deduce que la segunda derivada de la ecuación de momento es la ecuación de la carga.
Notas:
𝑑𝑉
a) Si no se tiene una carga distribuida (es decir q = 0), entonces 𝑑𝑥 = 0, o sea de la fuerza
cortante V es constante en esta parte de la viga (función de grado 0) y el momento flexionante
varia linealmente (función de grado 1).
𝑑𝑉
b) Si se tiene una carga distribuida (q = constante), entonces 𝑑𝑥 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 y la fuerza cortante
varia linealmente en esa parte de la viga y la ecuación del momento flexionante varia
parabólicamente (función de grado 2).
3) Relación momento-deflexión.
a) Relación curvatura-deflexión de una viga.
Para obtener la ecuación básica para la curva de deflexión de una viga se considera la misma
viga en voladizo con una carga concentrada actuando hacia arriba en el extremo libre del
voladizo.
5
Ecuaciones fundamentales de la Estática y de la Resistencia de materiales.
La deflexión v es el desplazamiento en la dirección y de cualquier punto sobre el eje de la viga.
Convención de signos: Como el eje y es positivo hacia arriba, las deflexiones también son
positivas hacia arriba.
Para obtener la ecuación de la curva de deflexión se debe expresar la deflexión v en función
de la coordenada x.
El punto m1 esta a una distancia x del origen y tiene una deflexión v.
El punto m2 esta a una distancia x del origen y tiene una deflexión v + dv, donde dv es el
incremento en deflexión entre m1 y m2.
No solo hay una deflexión cuando la viga se flexiona, pero también una rotación. El ángulo de
rotación Φ es el ángulo entre el eje x y la tangente a la curva de deflexión en el punto m 1. El
ángulo de rotación en el punto m2 es el ángulo Φ + dΦ, donde dΦ es el incremento angular entre
estos dos puntos. Si trazamos líneas normales a las tangentes de los puntos m1 y m2, se obtiene
un ángulo entre estas normales de dΦ. El punto de intersección de estas normales es el centro de
curvatura ubicado a una distancia r (radio de curvatura de los puntos m1 y m2).
6
Ecuaciones fundamentales de la Estática y de la Resistencia de materiales.
Por definición, se establece la relación entre r el radio de curvatura y dΦ la deformación angular
de la siguiente manera:
Donde ds es la distancia a lo largo de la curva de deflexión entre los puntos m1 y m2.
Por definición, la curvatura es igual al reciproco del radio de curvatura:
1
𝜌=𝑟=
𝜕𝛷
𝜕𝑠
(5)
La pendiente de la curva de deflexión es la primera derivada
y.
𝜕𝑦
= 𝑡𝑎𝑛𝛷
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑥
de la expresión para la deflexión
De manera similar, se obtiene:
𝜕𝑥
𝜕𝑠
= cos 𝛷 y
𝜕𝑦
𝜕𝑠
= sen 𝛷
Puesto que el ángulo Φ es muy pequeño, cos Φ = 1 o sea:
7
Ecuaciones fundamentales de la Estática y de la Resistencia de materiales.
La relación (5) entre radio de curvatura y curvatura se reescribe:
1
𝜌=𝑟=
𝜕𝜙
𝜕𝑥
(7)
Puesto que el ángulo θ es muy pequeño, se establece la siguiente aproximación:
𝜙 ≈ tan 𝜙 =
𝜕𝑦
𝜕𝑥
Al derivar esta expresión, se obtiene:
𝜕𝜙
𝜕𝑥
𝜕2 𝑦
= 𝜕2 𝑥
(8)
Se obtiene la relación curvatura-deflexión de una viga combinando las expresiones (7) y (8) al
𝜕𝜙
eliminar la variación angular 𝜕𝑥 .
1
𝜕2 𝑦
𝜌 = 𝑟 = 𝜕2 𝑥
(9)
Se deduce que la segunda derivada de la deformada (ecuación de la deformación o también
denominada elástica) es igual a la ecuación de la curvatura.
Nota: Esta ecuación es válida para una viga de cualquier material, siempre que las rotaciones
sean pequeñas.
b) Relación curvatura-deformación unitaria longitudinal en vigas
Para poder establecer esta relación se debe analizar la curvatura de una viga y las deformaciones
unitarias longitudinales asociadas.
8
Ecuaciones fundamentales de la Estática y de la Resistencia de materiales.
Debido a la acción de momentos flexionantes, la viga se flexiona y su eje adopta la forma de una
curvatura circular. Las secciones transversales de la viga permanecen planas y normales al eje
longitudinal.
Nota: El hecho que las secciones transversales de una viga en flexión pura permanezcan planas
es un fundamento de la teoría de vigas en flexión pura.
La parte inferior de la viga entre las secciones transversales se alarga y la parte superior de la
viga se acorta. En alguna región entre la parte superior y la parte inferior de la viga existe una
superficie en la que no hay cambio de longitud y donde se ubica el eje neutro de la sección. La
distancia entre los planos no cambia en el eje neutro por lo que la expresión 𝑟 𝑑𝜃 = 𝑑𝑠 puede
aplicarse.
En el resto de las regiones, las líneas longitudinales entre los dos planos se alargan o se acortan,
con lo cual se generan deformaciones unitarias 𝜀𝑥 .
Se escoge en la figura una línea ef a una distancia y del eje neutro. La longitud de la línea
después de la flexión es:
𝐿 = (𝑟 − 𝑦)𝑑𝜃
9
Ecuaciones fundamentales de la Estática y de la Resistencia de materiales.
Sustituyendo en esta expresión las ecuaciones (4) 𝑟 𝑑𝜃 = 𝑑𝑠 así como (6) 𝑑𝑠 ≈ 𝑑𝑥, se obtiene:
𝑦
𝐿 = (𝑟 − 𝑦)𝑑𝜃 = 𝑟 𝑑𝜃 − 𝑦𝑑𝜃 = 𝑑𝑠 − 𝑦𝑑𝜃 = 𝑑𝑥 − 𝑑𝑥
𝑟
Puesto que 𝑑𝑥 es la longitud original de la línea ef, se infiere que su alargamiento 𝑑𝐿 es:
𝑦
𝑑𝐿 = 𝐿 − 𝑑𝑥 = − 𝑑𝑥
𝑟
Por definición, la deformación unitaria es adimensional y se escribe 𝜀𝑥 =
𝑑𝐿
𝐿
.
Por lo tanto, la relación curvatura-deformación unitaria es igual
𝜀𝑥 =
𝑑𝐿
𝑦
= − = −𝜌𝑦
𝑑𝑥
𝑟
𝜀𝑥 = −𝜌𝑦
(10)
Nota: Convención de signos: Los alargamientos son positivos y los acortamientos negativos.
c) Relación esfuerzo longitudinal y deformación unitaria
La relación esfuerzo-deformación unitaria se encuentra frecuentemente en la ingeniería y es la
ecuación para un material elástico lineal. Esta relación conocida como Ley de Hooke se expresa
de la siguiente manera:
𝜎 = 𝐸𝜀𝑥
(11)
Donde 𝜎 es el esfuerzo axial, 𝜀𝑥 es la deformación unitaria axial y 𝐸son iguales a las del
esfuerzo.
Para establecer la relación esfuerzo-curvatura se combinan las expresiones (10) y (11) al
eliminar la deformación unitaria longitudinal.
𝜎𝑥 = −𝐸𝜌𝑦
(12)
10
Ecuaciones fundamentales de la Estática y de la Resistencia de materiales.
d) Relación momento-curvatura
La relación momento-curvatura de una viga puede escribirse aplicando la condición que el
momento de flexión 𝑀 proveniente de las acciones actuando en la sección transversal es igual al
momento resultante de los esfuerzos de flexión.
Se infiere que la integral de los momentos elementales sobre el área 𝐴 de la sección transversal
entera debe ser igual al momento flexionante.
𝑀 = − ∫𝐴 𝜎𝑥 𝑦𝑑𝐴
(13)
Al sustituir 𝜎𝑥 de la ecuación (12), se obtiene:
𝑀 = − ∫ 𝐸𝜌𝑦 2 𝑑𝐴
𝐴
Como 𝐸 y 𝜌 son constantes, la expresión se reescribe:
𝑀 = 𝐸𝜌 ∫ 𝑦 2 𝑑𝐴
𝐴
La integral de la expresión de la ecuación es una propiedad del área de la sección transversal
llamada momento de inercia.
11
Ecuaciones fundamentales de la Estática y de la Resistencia de materiales.
𝐼 = ∫𝐴 𝑦 2 𝑑𝐴 (14)
La relación del momento-curvatura puede reescribirse de la siguiente manera:
𝑀 = 𝜌𝐸𝐼
Esta relación se escribe también de la siguiente manera:
𝑀
𝜌 = 𝐸𝐼
(15)
La cantidad 𝐸𝐼 se llama rigidez por flexión.
En resumen, la ecuación del momento-curvatura muestra que la curvatura es directamente
proporcional al momento flexionarte 𝑀 e inversamente proporcional a la rigidez 𝐸𝐼.
Convención de signos:
La curvatura es positiva cuando se abre hacia arriba, de lo contrario la curvatura es negativa.
El momento y la curvatura tienen el mismo signo.
A un momento positivo corresponde una curvatura positiva, a un momento negativo una
curvatura negativa.
3) Relación momento-deflexión.
La relación curvatura-deflexión descrita más arriba se escribe:
𝜕2 𝑦
𝜌 = 𝜕2 𝑥
(9)
La relación del momento-curvatura descrita más arriba se escribe:
𝑀
𝜌 = 𝐸𝐼
(15)
Combinando estas dos relaciones al eliminar la curvatura se obtiene la relación momentodeflexión.
12
Ecuaciones fundamentales de la Estática y de la Resistencia de materiales.
𝜕2 𝑦
𝜕2 𝑥
𝑀
= 𝐸𝐼
(16)
Se deduce que la segunda derivada de la elástica (deformada) es igual a la ecuación de los
momentos dividido por la rigidez de la viga.
La relación momento-deflexión se escribe también de la siguiente manera:
𝜕2 𝑦
𝐸𝐼 𝜕2 𝑥 = 𝑀
(17)
4) Relación carga-deflexión
La relación momento-deflexión descrita más arriba se escribe:
𝜕2 𝑦
𝐸𝐼 𝜕2 𝑥 = 𝑀
(17)
Al derivar dos veces esta relación se obtiene:
𝜕4 𝑦
𝐸𝐼 𝜕4 𝑥 =
𝜕2 𝑀
𝜕2 𝑥
(18)
La relación momento-carga descrita más arriba se escribe:
𝜕2 𝑀
𝜕2 𝑥
= −𝑞(𝑥) (3)
Combinando las relaciones (3) y (18) al eliminar el momento se obtiene la relación cargadeflexión.
𝐸𝐼
𝜕4 𝑦
𝜕4 𝑥
= −𝑞(𝑥)
(19)
Se deduce que la cuarta derivada de la elástica es la ecuación de la carga.
5) Relaciones entre cargas, corte, momento y elástica
Generalizando la teoría más arriba: Asumiendo que la ecuación de las cargas es una ecuación
polinomial de grado𝑛, es decir una expresión:
13
Ecuaciones fundamentales de la Estática y de la Resistencia de materiales.
𝑞(𝑥) = 𝑎𝑥 𝑛 + 𝑏𝑥 (𝑛−1) + 𝑐𝑥 (𝑛−2) + ⋯ + 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
Se deduce de la ecuación (1)
de grado 𝑛 + 1.
𝜕𝑉
𝜕𝑥
Se deduce de la ecuación (3)
ecuación de grado 𝑛 + 2.
= −𝑞(𝑥) que la ecuación de la fuerza cortante es una ecuación
𝜕2 𝑀
𝜕2 𝑥
= −𝑞(𝑥) que la ecuación del momento flexionante es una
𝜕4 𝑦
Se deduce de la ecuación (19) 𝐸𝐼 𝜕4 𝑥 = −𝑞(𝑥) que la ecuación de la elástica es una ecuación de
grado 𝑛 + 4.
14
Ecuaciones fundamentales de la Estática y de la Resistencia de materiales.
Metodología:
a. Definir varios sistemas estáticos.
b. Elegir un sistema estático.
c. Definir las condiciones de apoyo.
d. Comprobar la determinación o indeterminación del sistema.
e. Definir las cargas.
f. Deformar el sistema.
g. Establecer los diagramas de Momento, Cortante, y fuerza axial.
h. Reducir eventualmente los Momentos al cambiar de sistema.
i. Determinar analíticamente los momentos, cortantes y fuerzas axiales.
j. Elegir el material.
k. Efectuar un control preliminar de la resistencia de los elementos.
Preámbulo.
Es de suma importancia hacer la diferencia entre fuerzas externas (acciones) actuando sobre un
sistema, las reacciones y las fuerzas internas. Por fuerzas externas se entiende las cargas
puntuales, distribuidas, lineales o cualquier carga que pueden expresar con una ecuación
matemática compleja de grado n que ejercen una acción sobre un sistema. Por reacciones se
entiende las reacciones que se producen en los apoyos en respuesta a las acciones que se ejercen
sobre un sistema.
Por fuerzas internas se entiende la respuesta del sistema en una sección transversal determinada.
Estas fuerzas internas son de diferente naturaleza (fuerza normal, cortante y momento) y
producen esfuerzos internos que son esfuerzos axiales, esfuerzos normales de tensión y
compresión por flexión, esfuerzos cortantes y esfuerzos de torsión.
La metodología tradicional consiste en aplicar las condiciones de equilibrio y resolver las
incógnitas del sistema que son las reacciones. Al determinar estas reacciones se aplica otra vez
las ecuaciones de equilibrio para determinar las fuerzas internas en cualquier punto del sistema
lineal.
Las condiciones de equilibrio que se aplica sobre un sistema S se escriben de la siguiente
manera:
Estas condiciones pueden también escribirse separando lo referente a las acciones y las
reacciones.
15
Ecuaciones fundamentales de la Estática y de la Resistencia de materiales.
O bien:
De manera práctica al sumar el número de incógnitas de todo el sistema basándose en la tabla
siguiente y a restar el número de ecuaciones se obtiene la siguiente ecuación:
16
Ecuaciones fundamentales de la Estática y de la Resistencia de materiales.
Principio de superposición:
17
Ecuaciones fundamentales de la Estática y de la Resistencia de materiales.
18