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Introduccion a la ingenieria quimica

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INTRODUCCIÓN
A LA INGENIERÍA QUÍMICA
PROYECTO EDITORIAL
CIENCIAS QUÍMICAS
Director:
Guillermo Calleja Pardo
COLECCIÓN
Ingeniería Química
Director: Guillermo Calleja Pardo
COLECCIÓN:
Tecnología Bioquímica y de los Alimentos
Director: José Aguado Alonso
INTRODUCCIÓN
A LA INGENIERÍA QUÍMICA
Editor
Guillermo Calleja Pardo
Autores
Guillermo Calleja Pardo
Francisco García Herruzo
Antonio de Lucas Martínez
Daniel Prats Rico
José Miguel Rodríguez Maroto
EDITORIAL
SINTESIS
Reservados todos los derechos. Está prohibido, bajo las sanciones penales y el resarcimiento civil
previstos en las leyes, reproducir, registrar o transmitir esta publicación, íntegra o parcialmente
por cualquier sistema de recuperación y por cualquier medio, sea mecánico, electrónico, magnético,
electroóptico, por fotocopia o por cualquier otro, sin la autorización previa por escrito de
Editorial Síntesis, S. A.
© G. Calleja Pardo, F. García Herruzo, A. de Lucas Martínez, D. Prats Rico y J. M. Rodríguez Maroto
© EDITORIAL SÍNTESIS, S. A.
Vallehermoso, 34 - 28015 Madrid
Teléf.: 91 593 20 98
http://www.sintesis.com
Depósito
M. 25.776-2008
ISBN: Legal:
978-84-995810-9-5
ISBN: 978-84-773866-4-3
Impreso en España - Printed in Spain
ÍNDICE
NOMENCLATURA .............................................................................................................................................
11
PRÓLOGO.............................................................................................................................................................
17
1. INTRODUCCIÓN .........................................................................................................................................
19
1.1. La industria química: orígenes y evolución de la Ingeniería Química ............................................
1.1.1. Período precientífico ................................................................................................................
1.1.2. Inicio del período científico .....................................................................................................
1.1.3. Periodo científico. La evolución de la enseñanza en Ingeniería Química .........................
1.1.4. La Ingeniería Química en España ..........................................................................................
1.2. Objeto y estructura de la Ingeniería Química ....................................................................................
1.3. La Ingeniería Química como profesión ..............................................................................................
1.4. Tendencias actuales y futuras de la Ingeniería Química ...................................................................
20
21
22
22
24
25
28
29
2. PROCESOS QUÍMICOS ...............................................................................................................................
31
2.1.
2.2.
2.3.
2.4.
Introducción ...........................................................................................................................................
Los procesos químicos en la actualidad y perspectivas de futuro ....................................................
Impacto de los procesos químicos sobre el medio ambiente ...........................................................
Descripción, a modo de ejemplo, de un proceso químico-industrial ..............................................
32
34
35
37
3. OPERACIONES BÁSICAS DE LOS PROCESOS QUÍMICOS ...........................................................
43
3.1.
3.2.
3.3.
3.4.
3.5.
3.6.
3.7.
Introducción ...........................................................................................................................................
Concepto de operación básica .............................................................................................................
Operaciones continuas, discontinuas y semicontinuas ......................................................................
Contacto entre fases inmiscibles: continuo o discontinuo ................................................................
Flujo en paralelo, en contracorriente y cruzado ................................................................................
Clasificación de las operaciones básicas y de los reactores químicos. Flujos controlantes ..........
Variables de diseño de las operaciones básicas ..................................................................................
3.7.1. Cálculo del número de variables de diseño ...........................................................................
3.7.2. Cálculo del número de variables de diseño de una etapa de contacto ...............................
3.7.3. Cálculo del número de variables de diseño de una cascada de etapas de contacto ..........
3.7.4. Cálculo del número de variables de diseño de sistemas complejos ....................................
Problemas .........................................................................................................................................................
45
45
46
47
49
52
54
54
55
56
57
58
4. INTRODUCCIÓN A LOS FENÓMENOS DE TRANSPORTE............................................................
61
4.1. Generalidades ........................................................................................................................................
4.2. Mecanismos del transporte molecular y del transporte turbulento ................................................
4.2.1. Régimen laminar: transporte molecular ................................................................................
4.2.2. Régimen turbulento: transporte turbulento ..........................................................................
4.3. Ecuaciones cinéticas en transporte molecular: Leyes de Newton, de Fourier y de Fick ..............
4.3.1. Ley de Newton ..........................................................................................................................
63
66
67
68
68
69
6
Introducción a la Ingeniería Química
4.3.2. Ley de Fourier ...........................................................................................................................
4.3.3. Ley de Fick ................................................................................................................................
4.4. Transporte turbulento: coeficientes de transporte ............................................................................
4.5. Capa límite .............................................................................................................................................
4.5.1. Capa límite fluidodinámica ......................................................................................................
4.5.2. Capas límite térmica y de concentración ...............................................................................
Problemas ..........................................................................................................................................................
71
72
73
78
78
79
80
5. ANÁLISIS DIMENSIONAL Y CAMBIO DE ESCALA .......................................................................
83
5.1.
5.2.
5.3.
5.4.
Introducción ........................................................................................................................................... 85
Sistemas de magnitudes y unidades ..................................................................................................... 85
Ecuaciones dimensionales y adimensionales ..................................................................................... 91
Análisis dimensional ............................................................................................................................. 93
5.4.1. Métodos de análisis dimensional. Método de Rayleigh ....................................................... 94
5.5. Cambio de escala en procesos químicos ............................................................................................. 96
5.5.1. Consideraciones del cambio de escala .................................................................................... 97
5.5.2. Teoría de la semejanza ............................................................................................................. 98
5.5.3. Métodos de extrapolación de datos ........................................................................................ 102
5.6. Procedimientos experimentales de obtención de datos para el cambio de escala ......................... 106
Problemas ......................................................................................................................................................... 107
6. BALANCES DE MATERIA......................................................................................................................... 111
6.1.
6.2.
6.3.
6.4.
Introducción ...........................................................................................................................................
Ecuación general de conservación de cualquier propiedad extensiva ............................................
Balances de materia macroscópicos: expresión general ...................................................................
Balances de materia macroscópicos en régimen estacionario .........................................................
6.4.1. Balance de materia en una operación sin reacción química ................................................
6.4.2. Balance de materia en una operación con reacción química ...............................................
6.4.3. Balance de materia en un proceso con recirculación ...........................................................
6.4.4. Balance de materia en un proceso con recirculación y purga .............................................
6.4.5. Balance de materia en un sistema multifásico .......................................................................
6.5. Balances de materia macroscópicos en régimen no estacionario ....................................................
6.5.1. Balance de materia en una operación discontinua ...............................................................
6.5.2. Balance de materia en una operación continua ....................................................................
Problemas ..........................................................................................................................................................
112
114
116
118
118
119
121
122
123
124
125
126
127
7. BALANCES DE ENERGÍA......................................................................................................................... 129
7.1.
7.2.
7.3.
7.4.
Introducción ...........................................................................................................................................
Formas de expresión de la energía ......................................................................................................
Balances de energía macroscópicos: expresión general ....................................................................
Balances entálpicos ...............................................................................................................................
7.4.1. Cálculo de las entalpías ............................................................................................................
7.4.2. Entalpías de reacción ................................................................................................................
7.5. Balances macroscópicos de energía en algunos casos particulares .................................................
7.5.1. Balances de energía en sistemas cerrados ..............................................................................
7.5.2. Balances de energía en sistemas abiertos en régimen estacionario ....................................
131
132
135
137
137
142
144
144
146
Índice
7
7.5.3. Aplicación del balance de energía a operaciones sin reacción química ............................. 146
7.5.4. Aplicación del balance macroscópico de energía a una operación con reacción química 148
Problemas .......................................................................................................................................................... 149
8. INTRODUCCIÓN AL FLUJO DE FLUIDOS.......................................................................................... 151
8.1.
8.2.
8.3.
8.4.
8.5.
Generalidades ........................................................................................................................................
Viscosidad de los fluidos .......................................................................................................................
Clasificación de los fluidos ...................................................................................................................
Flujo laminar y flujo turbulento ...........................................................................................................
Ecuaciones básicas en el flujo interno de fluidos ..............................................................................
8.5.1. Balance de materia ...................................................................................................................
8.5.2. Balance de energía total ...........................................................................................................
8.5.3. Balance de energía mecánica: ecuación de Bernouilli .........................................................
8.6. Pérdidas de energía por rozamiento ...................................................................................................
8.6.1. Cálculo del factor de rozamiento ............................................................................................
8.6.2. Pérdidas de carga menores ......................................................................................................
8.6.3. Diámetro equivalente ...............................................................................................................
8.6.4. Circulación de gases por conducciones ..................................................................................
8.6.5. Factores de rozamiento en la entrada de una conducción ...................................................
8.7. Potencia necesaria para el flujo ...........................................................................................................
8.7.1. Bombas .......................................................................................................................................
8.7.2. Condiciones de succión de una bomba: cavitación ...............................................................
8.7.3. Rendimiento y potencia de una bomba .................................................................................
8.7.4. Ventiladores, soplantes y compresores ...................................................................................
8.7.5. Potencia y rendimiento de un compresor ..............................................................................
8.8. Medida de caudales ...............................................................................................................................
8.8.1. Medidas de la presión ...............................................................................................................
8.8.2. Diafragmas, boquillas y venturímetros ..................................................................................
8.8.3. Tubo de Pitot .............................................................................................................................
8.8.4. Rotámetros ................................................................................................................................
Problemas ..........................................................................................................................................................
153
154
157
159
161
161
162
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167
167
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175
175
178
180
180
183
183
184
185
187
187
188
9. OPERACIONES BASADAS EN EL FLUJO DE FLUIDOS................................................................. 191
9.1.
9.2.
9.3.
9.4.
9.5.
Introducción ...........................................................................................................................................
Factor de rozamiento en el flujo externo ...........................................................................................
Flujo en lechos porosos .........................................................................................................................
Operaciones basadas en el flujo externo de fluidos ..........................................................................
Filtración .................................................................................................................................................
9.5.1. Aspectos prácticos de la filtración ..........................................................................................
9.5.2. Equipos de filtración ................................................................................................................
9.5.3. Fundamento teórico de la filtración .......................................................................................
9.6. Sedimentación ........................................................................................................................................
9.6.1. Sedimentación libre ..................................................................................................................
9.6.2. Sedimentación impedida ..........................................................................................................
9.7. Centrifugación .......................................................................................................................................
9.8. Fluidización ............................................................................................................................................
Problemas ..........................................................................................................................................................
193
194
196
200
202
202
203
205
211
211
214
217
218
223
8
Introducción a la Ingeniería Química
10. INTRODUCCIÓN A LA TRANSMISIÓN DE CALOR. CAMBIADORES DE CALOR .............. 225
10.1. Generalidades ........................................................................................................................................
10.2. Mecanismos de transmisión de calor ...................................................................................................
10.2.1. Conducción ................................................................................................................................
10.2.2. Conductividad térmica .............................................................................................................
10.2.3. Convección ................................................................................................................................
10.2.4. Radiación ...................................................................................................................................
10.3. Conducción de calor en sólidos de geometría sencilla ......................................................................
10.3.1. Placa plana .................................................................................................................................
10.3.2. Combinación de placas planas en serie ..................................................................................
10.3.3. Superficies cilíndricas ...............................................................................................................
10.3.4. Superficies esféricas ..................................................................................................................
10.4. Transmisión de calor por convección. Coeficiente de transmisión de calor ...................................
10.4.1. Convección forzada ..................................................................................................................
10.4.2. Convección natural ...................................................................................................................
10.5. Cambiadores de calor ...........................................................................................................................
10.5.1. Cambiador de calor de tubos concéntricos. Coeficiente global de transmisión de calor. .
10.5.2. Integración de la ecuación de diseño de un cambiador de calor. Diferencia
de temperatura media logarítmica ...........................................................................................
10.5.3. Tipos de cambiadores de calor ................................................................................................
10.5.4. Factores de corrección de la diferencia de temperatura media logarítmica ......................
10.6. Evaporación ...........................................................................................................................................
10.6.1. Ecuación de diseño de un evaporador ...................................................................................
10.6.2. Modos de operación .................................................................................................................
Problemas ..........................................................................................................................................................
227
227
230
230
234
237
240
240
241
243
245
246
247
250
253
253
255
259
264
267
267
270
271
11. INTRODUCCIÓN A LA TRANSFERENCIA DE MATERIA............................................................. 275
11.1. Generalidades ........................................................................................................................................
11.2. Equilibrio entre fases ............................................................................................................................
11.2.1. Criterios y condiciones de equilibrio ......................................................................................
11.2.2. Diagramas de equilibrio ...........................................................................................................
11.3. Transporte molecular de materia: difusión ........................................................................................
11.3.1. Difusión ordinaria simple en mezclas binarias ......................................................................
11.3.2. Difusión en materiales porosos ...............................................................................................
11.4. Transporte turbulento: coeficientes de transferencia de materia ....................................................
11.5. Transferencia de materia entre fases. Coeficientes globales ............................................................
11.6. Determinación experimental de los coeficientes de transferencia de materia ..............................
Problemas .........................................................................................................................................................
277
277
279
282
292
294
298
299
302
305
307
12. OPERACIONES BÁSICAS DE TRANSFERENCIA DE MATERIA ................................................ 311
12.1. Introducción ...........................................................................................................................................
12.2. Operaciones básicas de transferencia de materia ..............................................................................
12.2.1. Operaciones gas-líquido y líquido-vapor ...............................................................................
12.2.2. Operaciones líquido-líquido. Extracción ................................................................................
12.2.3. Operaciones líquido-sólido ......................................................................................................
12.2.4. Operaciones de separación por membranas ..........................................................................
12.3. Ecuaciones básicas de diseño para contacto discontinuo .................................................................
312
313
313
317
319
324
328
Índice
12.4. Destilación y rectificación de mezclas binarias ..................................................................................
12.4.1. Destilación diferencial abierta ................................................................................................
12.4.2. Destilación súbita (flash) .........................................................................................................
12.4.3. Rectificación continua ..............................................................................................................
12.4.4. Rectificación discontinua .........................................................................................................
12.5. Ecuaciones básicas de diseño para contacto continuo.......................................................................
12.6. Absorción en columnas de relleno ......................................................................................................
12.6.1. Absorción-desabsorción de mezclas diluidas ........................................................................
Problemas ..........................................................................................................................................................
9
329
331
331
332
340
340
342
343
352
13. INTRODUCCIÓN A LA INGENIERÍA DE LA REACCIÓN QUÍMICA ........................................ 355
13.1.
13.2.
13.3.
13.4.
13.5.
Generalidades ........................................................................................................................................
Clasificación de las reacciones químicas .............................................................................................
Velocidad de reacción y ecuación cinética ..........................................................................................
Tipos de reacciones según su estequiometría .....................................................................................
Análisis de las ecuaciones de velocidad ..............................................................................................
13.5.1. Reacciones homogéneas ..........................................................................................................
13.5.2. Reacciones heterogéneas. Etapas físicas y químicas ............................................................
13.6. Catálisis heterogénea ............................................................................................................................
13.7. Mecanismo de la catálisis. Adsorción .................................................................................................
13.8. Catalizadores sólidos .............................................................................................................................
13.8.1. Composición y características ..................................................................................................
13.8.2. Desactivación ............................................................................................................................
13.8.3. Clasificación de los catalizadores ............................................................................................
13.8.4. Propiedades fisicoquímicas de los catalizadores ...................................................................
13.8.5. Preparación de los catalizadores .............................................................................................
Problemas .........................................................................................................................................................
357
357
358
361
361
364
369
372
373
376
376
377
378
379
380
381
14. REACTORES QUÍMICOS ........................................................................................................................... 385
14.1. Introducción ...........................................................................................................................................
14.2. Diseño de reactores ideales ..................................................................................................................
14.3. Reactores homogéneos ideales ............................................................................................................
14.3.1. Reactor discontinuo ..................................................................................................................
14.3.2. Reactor de mezcla completa ....................................................................................................
14.3.3. Reactor tubular .........................................................................................................................
14.3.4. Balance de energía en reactores de flujo ...............................................................................
14.4. Estudio comparativo .............................................................................................................................
14.5. Reactores heterogéneos ........................................................................................................................
14.5.1. Reactor por cargas ....................................................................................................................
14.5.2. Reactor de lecho fijo .................................................................................................................
14.5.3. Reactor de lecho fluidizado .....................................................................................................
14.5.4. Otros tipos de reactores heterogéneos ...................................................................................
Problemas ..........................................................................................................................................................
387
390
391
391
397
400
402
404
409
411
411
414
416
418
15. FUENTES DE ENERGÍA EN LOS PROCESOS QUÍMICOS .............................................................. 421
15.1. Introducción ........................................................................................................................................... 422
15.2. Fuentes fósiles de energía ..................................................................................................................... 424
10
Introducción a la Ingeniería Química
15.2.1. Carbón ........................................................................................................................................
15.2.2. Petróleo ......................................................................................................................................
15.2.3. Gas natural .................................................................................................................................
15.3. Fuentes alternativas de energía ...........................................................................................................
15.3.1. Energía solar ..............................................................................................................................
15.3.2. Energía eólica ............................................................................................................................
15.3.3. Energía de la biomasa ..............................................................................................................
15.3.4. Energía geotérmica ...................................................................................................................
15.4. Energía nuclear ......................................................................................................................................
15.5. Expectativas de la energía ....................................................................................................................
426
427
429
429
430
433
435
436
437
439
16. INTRODUCCIÓN A LA INGENIERÍA AMBIENTAL......................................................................... 443
16.1. Generalidades ........................................................................................................................................
16.2. La contaminación ambiental: origen y efectos ...................................................................................
16.2.1. Contaminación atmosférica .....................................................................................................
16.2.2. Contaminación de las aguas .....................................................................................................
16.2.3. Contaminación de los suelos ...................................................................................................
16.2.4. Residuos sólidos ........................................................................................................................
16.3. Prevención y control de la contaminación ..........................................................................................
16.4. Tecnologías de depuración ...................................................................................................................
16.4.1. Depuración de efluentes gaseosos ..........................................................................................
16.4.2. Depuración de efluentes líquidos ...........................................................................................
16.4.3. Tratamiento de residuos sólidos ..............................................................................................
16.4.4. Técnicas de descontaminación de suelos ...............................................................................
445
445
446
450
451
453
456
457
457
461
467
471
17. PROCESOS DE LA INDUSTRIA QUÍMICA.......................................................................................... 477
17.1. Aprovechamiento químico-industrial de las materias primas ..........................................................
17.2. La industria química inorgánica: fabricación de amoníaco y obtención de ácido nítrico .............
17.2.1. La fabricación de amoníaco .....................................................................................................
17.2.2. La obtención de ácido nítrico ..................................................................................................
17.2.3. Fertilizantes químicos ...............................................................................................................
17.2.4. Aspectos medioambientales ....................................................................................................
17.3. La industria química orgánica: el refino del petróleo y la industria petroquímica ........................
17.3.1. El refino del petróleo ...............................................................................................................
17.3.2. La industria petroquímica ........................................................................................................
479
479
479
485
488
488
489
489
497
SOLUCIONARIO DE LOS PROBLEMAS .................................................................................................... 503
BIBLIOGRAFÍA .................................................................................................................................................. 511
ÍNDICE DE MATERIAS ................................................................................................................................... 517
FACTORES DE CONVERSIÓN DE UNIDADES ....................................................................................... 525
NOMENCLATURA
A
Área (m2)
Sección transversal del flujo (m2). Sección
transversal del filtro (m2)
Caudal de corriente de alimentación (mol/s,
kg/s)
Factor de frecuencia
Ap
Área proyectada sobre el plano perpendicular (m2)
At
Área de trasmisión de calor (m2)
Aml
Área media logarítmica (m2)
a
Área interfacial de transferencia por unidad
de volumen (m2/m3)
ai
Actividad del componente i
as
Área superficial del relleno seco por unidad
de volumen (m2/m3)
C
Número de componentes de la mezcla
Concentración molar total (mol/m3)
Coeficiente de descarga (ecuación [8.54])
c
Concentración molar en la fase líquida
(mol/m3)
Concentración de sólidos en la suspensión
(kg/m3)
cA cB
Concentración molar de A y de B, respectivamente (mol/m3)
cAe
Concentración molar de A en el equilibrio
(mol/m3)
cAi
cA0
cAS
ci
ci0
ci∞
co
cp
c–p
cs
cv
CNPA
D
Concentración molar de A en la interfase
(mol/m3)
Concentración molar inicial de A (mol/m3)
Concentración molar de A en la superficie
sólida (mol/m3)
Concentración molar superficial de A
(mol/m3)
Concentración molar del componente i
(mol/m3)
Valor instantáneo de la concentración
(mol/m3)
Concentración molar del componente i en la
superficie sólida (mol/m3)
Concentración molar del componente i en la
corriente libre (mol/m3)
Concentración inicial de sólidos en la suspensión (kg/m3)
Calor específico a presión constante (J/kgK)
Calor específico medio a presión constante
(J/kgK)
Concentración másica de sólidos en la suspensión (kg/m3)
Calor específico a volumen constante (J/kgK)
Carga neta positiva de aspiración (m)
Diámetro de la conducción (m)
Caudal molar de destilado (mol/s)
12
Introducción a la Ingeniería Química
DAB
Coeficiente de difusión molecular de A en la
mezcla A + B (m2/s)
ΣF
Pérdida de energía por rozamiento por unidad de masa (J/kg)
Da
Difusividad aparente en materiales porosos
(m2/s)
ΣFmen
Pérdidas menores de energía por rozamiento por unidad de masa (J/kg)
De
Diámetro equivalente de la conducción (m)
G
Velocidad másica (kg/m2s)
Cantidad de propiedad extensiva (materia,
energía) generada por unidad de volumen y
de tiempo
Energía libre de Gibbs o entalpía libre (J)
Caudal molar de fase gaseosa (mol/s)
G′
Caudal molar de fase gaseosa exenta de soluto (mol/s)
Gr
—
G ki
Número de Grashof
(m2/s)
Def
Coeficiente de difusión efectivo
Di
Coeficiente de difusión del componente i en
una mezcla (m2/s)
DK
Coeficiente de difusión de Knudsen (m2/s)
Dp
Diámetro de la partícula (m)
DS
Coeficiente de difusión superficial (m2/s)
E
Energía interna del fluido (W)
Eficacia global de la columna de pisos
Ea
Energía de activación (J/mol)
Eu
Número de Euler
e
Energía interna por unidad de masa (J/kg)
Espesor de la pared (m)
e–
Energía interna media por unidad de masa
(J/kg)
EE EI
Número de ecuaciones extensivas e intensivas, respectivamente
F
Fuerza (N/m2)
Número de fases
Caudal molar de alimentación (mol/s)
Factor de corrección en el diseño de cambiadores de calor (ecuación [10.55])
—
G i*
Entalpía libre molar parcial del componente i en la fase k (J/mol)
Entalpía libre molar parcial del componente i como gas ideal (J/mol)
g
Aceleración de la gravedad (m/s2)
gc
Constante dimensional de la ley de Newton
H
Constante de Henry (conc. del gas/conc. del
líquido)
Entalpía por unidad de masa (J/kg)
—
H
Entalpía media por unidad de masa (J/kg)
Hc
Entalpía de combustión (J/kg)
Hf
Entalpía de formación (J/kg)
Hi
Constante de Henry referida al componente i
FA
Caudal molar del componente A (mol/s)
FA0
Caudal molar del componente A a la entrada (mol/s)
Hg He HG HL
(m)
FG
Factor geométrico de visión (ecuación [10.5])
∆HM
Entalpía de mezcla (J/kg)
Fr
Número de Froude
∆HR
Fε
Factor función de las emisividades de las
superficies (ecuación [10.5])
Entalpía de reacción (calor de reacción)
(J/kg, J/mol)
∆H R0
Entalpía estándar de reacción (J/kg, J/mol)
F0
Fuerza de rozamiento del fluido sobre la
superficie (N/m2)
h
f
Factor de rozamiento
fD
Factor de rozamiento medio en flujo externo
fi
Fugacidad del componente i (N/m2)
Coeficiente individual de transmisión de
calor (W/m2K)
Altura de la suspensión en un proceso de
sedimentación (m)
Altura de la columna de relleno (m)
fi 0
Fugacidad del componente i en estado normal (N/m2)
h′
Coeficiente individual de transmisión de
calor del fluido caliente (W/m2K)
f *i
h′′
Fugacidad del componente i como gas ideal
(N/m2)
Coeficiente individual de transmisión de
calor del fluido frío (W/m2K)
h0
fm
Valor medio del factor de rozamiento
Altura inicial de la suspensión en un proceso de sedimentación (m)
Altura de la unidad de transferencia
Nomenclatura
13
J
Equivalente mecánico del calor
kx ky
Ji
Flujo molar del componente i respecto a un
plano con velocidad media másica v→
(mol/m2s)
Coeficiente individual de transferencia de
materia referido a la diferencia de fracciones
molares x e y, respectivamente
(ka)
Flujo molar de A respecto a un plano con
velocidad media molar →
v * (mol/m2s)
Coeficiente volumétrico de transferencia de
materia
L
Número de grados de libertad
Longitud (m)
Caudal molar de la fase líquida (mol/s)
→
→
J A*
→
(J A* )S
Flujo molar superficial de A (mol/m2s)
ji
Flujo másico del componente i respecto a un
plano con velocidad media molar →
v * (kg/m2s)
L′
jA
Flujo másico de A respecto a un plano con
velocidad media másica v→ (kg/m2s)
Caudal molar de la fase líquida exenta de
soluto (mol/s)
Le
K
Factor de escala (capítulo 5)
Energía cinética del fluido (J)
Constante característica de cada “accidente”
de la conducción (ecuación [8.29])
Constante de Kozeny (ecuación [9.6])
Coeficiente global de transferencia de materia
Constante de equilibrio de reacción (capítulo 13)
Longitud equivalente de la conducción (m)
Número adimensional de Lewis
Len
Longitud de entrada (m)
Lm
Caudal de mojado (m3/hm)
l
Espesor (m)
M
Masa (kg)
Peso molecular
MD
Masa de gas descargada (kg)
Mi
Caudal molar del componente i (mol/s)
MiT
Masa total del componente i en el sistema
(kg)
MT
Masa total del sistema (kg)
m
Caudal másico (kg/s)
Masa de catalizador (kg)
Masa de la mezcla de reacción (kg)
mA
Caudal másico de A (kg/s)
Conductividad calorífica (W/mK)
Energía cinética por unidad de masa (J/kg)
Constante específica de velocidad de reacción (s–1 en 1.er orden)
mC
Relación de concentraciones iniciales (cB0/cA0,
capítulo 13)
mi
Caudal másico del componente i (kg/s)
mT
Masa total del sistema (kg)
Energía cinética media por unidad de masa
(J/kg)
N
Número de etapas de contacto; número de
platos teóricos
Frecuencia con que las moléculas cruzan un
plano
Trabajo realizado o consumido por un aparato mecánico (bomba, turbina, etc.) (W)
Número de moles de A o de B, respectivamente (mol)
→
→
KG
Coeficiente global de transferencia de materia referido a la diferencia de presiones parciales
KC KL
Coeficiente global de transferencia de materia referido a la diferencia de concentraciones
Kx Ky
Coeficiente global de transferencia de materia referido a la diferencia de fracciones
molares x e y, respectivamente
k
–
k
kc kl
Coeficiente individual de transferencia de
materia para la fase líquida referido a la diferencia de concentraciones (mol/m2s)
kg kp
Coeficiente individual de transferencia de
materia para la fase gaseosa referido a la
diferencia de presiones parciales
NA NB
ki
Razón de equilibrio del componente i (ecuación [11.8])
NA0 NB0 Número de moles iniciales de A o de B, respectivamente (mol)
k1
Constante específica de velocidad de reacción directa (s–1 en 1.er orden)
NC
Número de corrientes que conectan etapas
contiguas
k2
Constante específica de velocidad de reacción inversa (s–1 en 1.er orden)
Ng NG
Número de unidades de transferencia referidas a la fase gaseosa
14
Introducción a la Ingeniería Química
Nl NL
Número de unidades de transferencia referidas a la fase líquida
–rA
Velocidad de reacción química (desaparición
de A) (mol/m3s)
Nr
Número de platos reales
ri
Nt
Número de moles totales (mol)
Nu
Número de Nusselt
Masa de componente i producida por reacción química, por unidad de volumen y de
tiempo (kg/m3s)
n
Exponente de comprensión politrópica
(ecuación [8.44])
Orden global de reacción química
S
→
ni n
i
Flujo másico del componente i respecto a un
plano fijo (kg/m2s)
Sección transversal (m2)
Superficie externa de una región finita de
fluido (m2)
Superficie de la interfase (m2)
Sg
Superficie específica del sólido (m2/g)
P
Presión; presión total (N/m2)
S0
PA
Presión parcial de A (N/m2)
Presión de admisión en una bomba o compresor (N/m2)
Superficie externa de las partículas por unidad de volumen de éstas (m2/m3)
Sc
Número de Schmidt
Sh
Número de Sherwood
T
Temperatura (K)
Esfuerzo rasante (capítulo 4) (N/m2)
T′
Temperatura del fluido caliente (K)
(N/m2)
PA0
Presión parcial de A en la interfase
PD
Presión de descarga en una bomba o compresor (N/m2)
P 0i
Presión de vapor del componente i
T′′
Temperatura del fluido frío (K)
Pm
Perímetro de mojado (m)
T0
Temperatura estándar de referencia (K)
Pr
Número de Prandtl
Te
p
Presión parcial de soluto en la fase gaseosa
o vapor (N/m2)
Trabajo realizado por las fuerzas externas
por unidad de tiempo (W)
TF
Temperatura del fluido de intercambio (K)
Ti
Trabajo realizado por las fuerzas internas por
unidad de tiempo (W)
T0
Temperatura de la superficie sólida o de la
interfase (K)
Temperatura inicial o temperatura de la
entrada (K)
T∞
Temperatura de la corriente libre (K)
∆Tml
Diferencia de temperatura media logarítmica (ecuación [10.49]) (K)
t
Tiempo (s)
Tiempo de reacción (s)
U
Coeficiente global de transmisión de calor
(W/m2K)
U′
Coeficiente global de transmisión de calor
referido al fluido caliente (W/m2K)
U′′
Coeficiente global de transmisión de calor
referido al fluido frío (W/m2K)
V
Número total de variables
Velocidad media del fluido (m/s)
Volumen (m3), volumen de reacción (m3)
Caudal molar de fase vapor (mol/s)
Va
Velocidad de arrastre de las partículas (m/s)
pi
Presión parcial del componente i
∆P
Pérdida de presión (N/m2)
Fuerza impulsora (N/m2)
Q
(N/m2)
(N/m2)
Caudal de calor (W)
Caudal de calor intercambiado con el exterior (W)
Caudal de calor por unidad de masa de fluido (capítulos 7 y 8) (J/kg)
Qv
Caudal volumétrico de fluido (m3/s)
q
Flujo de calor (W/m2)
R
Radio de la conducción cilíndrica (m)
Resistencia al transporte de una propiedad
extensiva (materia, energía...)
Constante de los gases ideales (J/molK)
Relación de reflujo (capítulo 12)
Número de Reynolds
Número de Reynolds referido a la partícula
Resistencia del medio filtrante
Radio hidráulico (m)
Resistencia de la torta filtrante
Coordenada de posición radial (m)
Calor latente de vaporización (J/kg, J/mol)
Re
Rep
RF
Rh
RT
r
Nomenclatura
15
Fracción molar del componente más volátil
en la fase líquida
VC
Número de variables de construcción
VD
Número de variables de diseño
VE VI
Número de variables extensivas e intensivas,
respectivamente
xA
Fracción molar de A
Conversión de A en la reacción química
Ve
Velocidad eficaz (m/s)
xA0
Vg
Volumen de poros por unidad de masa de
sólido (m3/kg)
Fracción molar de A en la interfase
Conversión inicial de A en la reacción química
Vh
Volumen de la embolada (m3)
xAe
Fracción molar de A en el equilibrio
Vmf
Velocidad mínima de fluidización (m/s)
xD
V0
Velocidad del fluido en la interfase (m/s)
Velocidad del fluido referida a la columna
vacía (V0 = Qv /A) (m/s)
Velocidad de filtración (m/s)
Fracción molar del componente más volátil
en el destilado
xF
Fracción molar del componente más volátil
en la alimentación
xi
Fracción molar del componente i
Vp
Volumen de la partícula (m3)
xW
V∞
Velocidad libre de la corriente de fluido (m/s)
Velocidad terminal o de sedimentación libre
(m/s)
Fracción molar del componente más volátil
en el residuo
Y
Razón molar de soluto en la fase gaseosa
(ecuación [12.36])
v
Volumen específico (m3/kg)
Velocidad de sedimentación de la partícula
(m/s)
y
v→
Velocidad de la corriente (capítulo 4) (m/s)
Velocidad local del fluido (m/s)
Velocidad media másica (cuadro 11.5) (m/s)
Coordenada de posición (m)
Fracción molar en la fase vapor o gaseosa
Fracción molar del componente más volátil
en la fase vapor
yi
Fracción molar del componente i
z
Coordenada de posición (m)
v→*
Velocidad media molar (cuadro 11.5) (m/s)
v→i
Velocidad del componente i (m/s)
vmax
Valor máximo de v→ (m/s)
Letras griegas
→
vx vy vz Componentes de la velocidad v en la dirección x, y, z, respectivamente
–v
valor promedio de v (capítulo 8) (m/s)
x
Velocidad eficaz de sedimentación de la partícula (m/s)
W
Trabajo (J)
Trabajo por unidad de masa de fluido (J/kg)
Masa de sólido (kg)
WT
X
x
Difusividad calorífica (m2/s)
Parámetro que relaciona la velocidad media
con la velocidad eficaz (ecuación [8.13])
Resistencia específica de la torta filtrante
(m/kg)
αij
β
Selectividad relativa, volatilidad relativa
Γ
Caudal de propiedad extensiva
γ
Exponente de las transformaciones adiabáticas
γi
δ
δc
δT
ε
Coeficiente de actividad del componente i
x
vS
Wa
Wi
Wn
WS
α
Potencia o trabajo de accionamiento (W, J/kg)
Potencia o trabajo indicado (W, J/kg)
Trabajo de compresión politrópica (J/kg)
Trabajo de compresión adiabática o isentrópica (J/kg)
Trabajo de compresión isotérmica (J/kg)
Razón molar de soluto en la fase líquida
(ecuación [12.37])
Coordenada de posición (m)
Fracción molar en la fase líquida
Cociente de diámetros (ecuación [8.51])
Coeficiente volumétrico de expansión
Espesor de la capa límite fluidodinámica
Espesor de la capa límite de concentraciones
Espesor de la capa límite térmica
Coeficiente de transporte individual
Emisividad de una superficie
16
Introducción a la Ingeniería Química
Rugosidad de la superficie (m)
Porosidad del lecho de partículas o de relleno
Π0
Concentración de propiedad extensiva en la
interfase
εA
Variación relativa de volumen con la conversión de la reacción
ΠV
Concentración de propiedad extensiva en la
fase V
εL
Coeficiente de transporte individual en la
fase L
πi
ρ
Módulo adimensional
εP
Porosidad del sólido
εV
Coeficiente de transporte individual en la
fase V
ετ
Coeficiente de transporte de cantidad de
movimiento
ηS
ηSi
θ
Rendimiento isentrópico del compresor
λ
Calor latente de cambio de estado (J/kg)
Rendimiento volumétrico de compresión
Rendimiento isentrópico indicado
Fracción de centros activos superficiales ocupados por la especie adsorbida
Densidad (kg/m3)
Concentración másica (kg/m3)
ρA
Concentración másica de A (kg/m3)
Densidad en las condiciones de aspiración
(kg/m3)
ρA0
Concentración másica de A en la interfase
(kg/m3)
ρe
ρi
Densidad efectiva de la suspensión (kg/m3)
ρp
ρs
σ
Densidad de la partícula (kg/m3)
τ
Tensión rasante de rozamiento (N/m2)
Factor de tortuosidad
Tiempo espacial (s)
Concentración másica del componente i
(kg/m3)
Densidad del sólido
µ
µa
µe
µi
µ ki
Viscosidad (kg/ms)
Potencial químico del componente i en la
fase k
τij
µ*i
Potencial químico del componente i como
gas ideal
Componente del tensor de tensiones rasantes (N/m2)
τ0
υ
Difusividad de cantidad de movimiento
Tensión rasante de rozamiento en la pared
(N/m2)
Φ
Energía potencial del fluido (W)
φ
Flujo de propiedad extensiva debido a diferencias de concentración de dicha propiedad
Energía potencial por unidad de masa (J/kg)
φ–
Energía potencial media por unidad de masa
(J/kg)
φS
ωi
Factor de esfericidad (ecuación [9.9])
Viscosidad aparente (kg/ms)
Viscosidad efectiva de la suspensión (kg/ms)
Potencial químico del componente i
Viscosidad cinemática (m2/s)
υi
υ 0i
Coeficiente de fugacidad del componente i
ξ
Π
ΠL
Coeficiente global de transporte
Coeficiente de fugacidad del componente i
en estado normal
Concentración de propiedad extensiva
Concentración de propiedad extensiva en la
fase L
Constante de Stefan-Boltzmann (ecuación
[10.4])
Factor de forma
Fracción másica del componente i
PRÓLOGO
La Ingeniería Química es probablemente una de
las áreas científicas y tecnológicas que más se ha desarrollado en los últimos tiempos, abordando campos
muy diversos de la Industria Química y también, más
recientemente, sectores fronterizos con otras ramas del
saber, como la biotecnología, la biomedicina, la tecnología de los alimentos, la electrónica, los nuevos materiales, los fenómenos superficiales, el diseño y control
de procesos asistidos por ordenador, las nuevas fuentes de energía y la protección ambiental y gestión de
residuos, por citar algunos de los más destacados.
El reto que supone afrontar este continuo crecimiento y expansión de la Ingeniería Química, y la
necesidad de responder, en consecuencia, a una progresiva demanda de obras en castellano que cubran
significativamente las diversas áreas de esta fértil rama
de la ingeniería, ha llevado a la inclusión, dentro del
Proyecto Editorial de Ciencias Químicas, de una colección específica sobre Ingeniería Química, buscando la
contribución de diversos autores de reconocida experiencia en la materia, todos ellos procedentes de las
Universidades y Centros Superiores españoles. Con
esta colección se pretende, pues, proporcionar a los
lectores –profesores y estudiantes universitarios, preferentemente, pero también profesionales deseosos
de mantener, actualizar y complementar sus conocimientos– una amplia fuente de información escrita de
carácter didáctico sobre las principales áreas de la
Ingeniería Química, con una visión realista y un enfoque práctico.
La oportunidad de esta obra –y de las restantes
que constituyen esta colección– se justifica también
por la progresiva implantación en las universidades
españolas de la titulación de Ingeniería Química, de
reciente creación, y de otras titulaciones afines.
Este libro va dirigido preferentemente a los estudiantes que se inician en la Ingeniería Química, no
sólo de la titulación de este mismo nombre, sino también de otras relacionadas con ella, como la Ingeniería Técnica Industrial (especialidad de Química Industrial), la licenciatura en Ciencias Químicas y las
licenciaturas de Tecnología de los Alimentos y de
Ciencias Ambientales, muchas de ellas presentes en
numerosas Universidades españolas.
La obra que aquí se presenta, Introducción a la
Ingeniería Química, pretende dar al lector una visión
de conjunto de los procedimientos y contenidos propios del área, así como de su amplio alcance y repercusión. Ofrece una síntesis amplia de los contenidos,
de por sí extensos, de la Ingeniería Química, cuidando especialmente los fundamentos y conceptos básicos, pero a la vez tratando de aplicarlos a situaciones
de interés práctico, a fin de proporcionar una dimensión y visión de conjunto adecuadas. Los más de sesenta ejemplos resueltos incluidos en el texto contribuyen a alcanzar este objetivo.
18
Introducción a la Ingeniería Química
El contenido del libro se ha estructurado en 17
capítulos, algunos de los cuales –los dos primeros– son
de carácter general y descriptivo y los restantes, en su
mayoría, de contenido más conceptual y específico:
los capítulos 3 a 7 incluyen conceptos y herramientas
de gran interés en la Ingeniería Química (fenómenos
de transporte, balances de materia y energía, etc.) que
luego se utilizan en los restantes capítulos. Éstos se
han ordenado en bloques temáticos definidos, correspondientes a áreas bien establecidas dentro de la Ingeniería Química: Flujo de fluidos (capítulos 8 y 9),
Transmisión de calor (capítulo 10), Transferencia de
materia (capítulos 11 y 12) e Ingeniería de la reacción
química (capítulos 13 y 14). En algunos casos, dada la
extensión de la materia, se ha optado por elegir solamente una de las posibles áreas temáticas que comprende el capítulo correspondiente. Éste es el caso,
por ejemplo, de las operaciones de separación basadas en la transferencia de materia, habiéndose seleccionado la rectificación –para contacto por etapas– y
la absorción –para contacto continuo– (capítulo 12).
Se completa la obra con tres capítulos finales, dos de
ellos (15 y 16) dedicados a sendas áreas de creciente
importancia: recursos energéticos e ingeniería ambiental, con una visión amplia pero resumida de los múltiples aspectos que abarcan, y un tercero (capítulo 17)
a la descripción de algunos procesos químicos industriales de importancia –se han elegido como ejemplos
la fabricación de amoníaco y sus derivados y el refino
del petróleo/industria petroquímica– donde se aplican muchos de los aspectos expuestos en capítulos
anteriores. Este último capítulo viene a complementar, además, el capítulo 2 de carácter general sobre los
procesos químicos, permitiendo una mayor comprensión de las etapas y procesos que los constituyen
en situaciones reales como las presentadas en los ejemplos mencionados.
El libro se ha escrito procurando mantener al máximo los criterios didácticos, incorporando ilustraciones claras y descriptivas y evitando tratamientos matemáticos complejos. Para facilitar el seguimiento de la
obra se ha optado por una nomenclatura única, que
se presenta en las páginas iniciales. Por otro lado, en
la bibliografía se ofrecen algunas obras generales y
publicaciones específicas de la materia tratada por
capítulos, al objeto de que el lector pueda hacer una
consulta más amplia.
Los autores, todos ellos profesores de Ingeniería
Química de la Universidad (Complutense, Rey Juan
Carlos, Castilla-La Mancha, Málaga y Alicante) reúnen una notable experiencia docente en sus respectivos centros. Debo aquí expresar muy sinceramente
mi agradecimiento a Antonio de Lucas, José Miguel
Rodríguez Maroto, Francisco García Herruzo y Daniel
Prats, profesores universitarios dedicados y vocacionales entusiastas, sin cuya excelente aportación y
esfuerzo continuo este libro no habría sido posible.
Quiero también expresar de forma muy especial
mi agradecimiento a Victoria Nebot, Pilar Roiz, Carlos Fruzzetti y Javier Marugan, por su eficaz colaboración en la preparación de textos y figuras y por su
ejemplar paciencia conmigo. También vaya mi agradecimiento a cuantas personas han colaborado con los
restantes autores de esta obra, ayudándoles a preparar el material de cada capítulo.
Esperamos que este manual resulte de utilidad a
cuantos lo tengan en sus manos y les permita adentrarse e interesarse por la Ingeniería Química, sirviéndoles de estímulo para ampliar su formación y su
horizonte cultural. A todos ellos les agradecemos de
antemano las críticas y sugerencias que puedan hacernos llegar para intentar mejorar esta obra, pues somos
conscientes de sus limitaciones.
Finalmente, mi gratitud a la Editorial Síntesis, por
la afectuosa acogida que ha dado a estas páginas y el cuidado que ha puesto en su edición, y por la apuesta valiente de poner en marcha una colección de Ingeniería Química en su Proyecto Editorial, de la que este volumen
constituye de alguna forma su punto de arranque.
Esta obra va dedicada a nuestros maestros y profesores, con reconocimiento y gratitud por la formación recibida y por haber sabido transmitirnos la vocación universitaria y el entusiasmo por la labor docente.
Y de manera especial a Enrique Costa Novella –Don
Enrique–, maestro ejemplar de muchos de nosotros,
creador de escuela y universitario infatigable, sin cuyo
empuje la Ingeniería Química en España no tendría
hoy letras mayúsculas.
Guillermo Calleja
1
INTRODUCCIÓN
1.1. La industria química: orígenes
y evolución de la Ingeniería Química
1.2. Objeto y estructura de la Ingeniería
Química
1.3. La Ingeniería Química como profesión
1.4. Tendencias actuales y futuras
de la Ingeniería Química
20
Introducción a la Ingeniería Química
E
ste capítulo contiene una introducción a los orígenes de la Ingeniería Química y a su evolución a través del tiempo, mostrando su desarrollo desde una etapa puramente descriptiva hasta
una fase más científica y abstractiva. Se hace a con-
tinuación una breve descripción del objetivo y estructura de la Ingeniería Química actual, de su alcance
profesional, así como de las tendencias actuales y
futuras y de su creciente importancia en los diversos
campos industriales.
GLOSARIO
industria química. Industria que se ocupa de transformar químicamente materias primas o productos iniciales, frecuentemente de origen natural, en otros
productos de mayor interés, valor añadido y utilidad. Las transformaciones suelen implicar cambios
de composición y de contenido energético. Cuando las materias primas proceden del petróleo, el término aplicado es industria petroquímica.
operación unitaria. Cada una de las operaciones específicas que se llevan a cabo sistemáticamente en la
industria química, y que son esencialmente las mis-
1.1. La industria química: orígenes y
evolución de la Ingeniería Química
La industria química desarrolla una actividad productiva a escala industrial cuyo objetivo es transformar sustancias –materias primas– mediante una serie
de procesos que modifican sus características físicas y
químicas hasta obtener productos útiles que demanda el mercado.
Durante la elaboración se pueden generar subproductos (productos secundarios de reacciones no
deseadas) que deben ser tratados para su reutilización
en la misma u otra instalación. Además, se pueden
obtener residuos no utilizables que deben ser acondicionados para su correcta eliminación o vertido.
Los cambios a que se someten las sustancias implican un consumo energético que debe ser optimizado
en todos los casos. En la figura 1.1 se esquematizan
las transformaciones apuntadas, distinguiéndose tres
niveles de actuación de complejidad creciente que se han
sucedido en el tiempo. El nivel I se corresponde con la
primera etapa de desarrollo industrial (siglo XIX), en la
que se prestaba poca atención a los aspectos de reutili-
mas con independencia del proceso en el que se
aplican. Son ejemplos de operaciones unitarias la
destilación, la extracción, la filtración, la evaporación, etc. Sinónimo: operación básica.
residuo. Subproducto o materia residual de un proceso, sin valor o interés, que además puede representar un riesgo para el medio ambiente.
subproducto. Producto secundario de una reacción
química, que generalmente no es deseado, por su
menor interés o por la complicación que puede
ocasionar en el proceso.
zación, energéticos y medioambientales. Posteriormente (segunda mitad del siglo XX), la progresiva escasez y
encarecimiento de las materias primas así como la crisis
energética obligó a la industria a optimizar sus rendimientos y a la recuperación de productos valiosos, como
se indica en el nivel II. Actualmente (comienzo del XXI),
la creciente preocupación medioambiental obliga al tratamiento apropiado de todos los residuos para minimizar el posible impacto ambiental, completándose todas
las actuaciones que comprende el nivel III y que se
corresponden con la moderna industria química.
Los productos obtenidos cubren la demanda de
muchos e importantes sectores de consumo (alimentación, plásticos, medicamentos, detergentes, materiales de
construcción, hidrocarburos, fibras textiles, productos
básicos intermedios, nuevos materiales, etc.). Esta gran
diversificación, la competividad impuesta por la economía de mercado y la inevitable complejidad ya indicada
para las modernas instalaciones, demanda ingenieros
químicos profesionales con suficiente capacidad para
conjugar los aspectos científicos, técnicos, económicos
y medioambientales en el diseño y operación de las plantas industriales. Los conocimientos necesarios se adquie-
Capítulo 1: Introducción
21
FIGURA 1.1. Transformaciones en la industria química.
ren a través de una disciplina, relativamente reciente, la
Ingeniería Química.
1.1.1. Período precientífico
Los orígenes de la Ingeniería Química se pueden
situar a finales del siglo XIX, aunque muchos de los
procesos relacionados con ella se llevan a cabo de forma rudimentaria desde la Prehistoria (descubrimiento y aplicaciones del fuego).
La fitración es la primera operación de proceso de
la que se tiene noticia. Según se refleja en algunas pinturas que datan del año 3000 a. C., en Egipto (IIIª Dinastía), las operaciones de filtrado eran de uso habitual. Los
testimonios de materiales cerámicos, tintes y metalurgia
del cobre son algo posteriores, así como el proceso de
fermentación para obtener cerveza y vino. Los hornos
de cal eran empleados en Mesopotamia en el año 2500
a. C. La Edad del Bronce (3000 a. C.) y del Hierro (1500
a. C.) marcan los inicios de la metalurgia.
La escala de operación, el carácter artesanal, así
como el empirismo para introducir modificaciones,
determinan que estas operaciones de proceso incipientes no puedan considerarse aún como actividades
propias de la Industria Química, si bien son la base de
las actuales operaciones industriales. Este estado, que
se podría denominar “pre-ingenieril”, perdurará
muchos siglos.
El Imperio romano ha sido reconocido como
“ingenieril”, alcanzándose un nivel tecnológico que
no se superó en mucho tiempo. Se desarrollaron los
aspectos prácticos de la circulación de fluidos en redes
de abastecimiento y saneamiento, las conducciones
de plomo, la destilación y otras técnicas.
El movimiento alquimista se inició en Egipto, China, Babilonia y Bizancio entre los años 1000 y 300 a. C.
Durante 1500 años perduró con más o menos fuerza
mezclando reflexiones filosóficas con los ensayos para
alterar y mejorar las propiedades de las sustancias. Los
alquimistas, pese a su ocultismo, podrían ser un ejemplo del intento de relacionar ciencia y tecnología, con
una experimentación al azar en la que empleaban para
las transformaciones químicas el baño maría, destiladores, cristalizadores, hornos, evaporadores, etc., cuando el método científico no había sentado sus bases.
La Edad Moderna significó un cambio cualitativo
y cuantitativo en todos los aspectos. El razonamiento
causal se introduce en la explicación del mundo y el
hombre del Renacimiento auna la ciencia, las artes y
22
Introducción a la Ingeniería Química
la técnica. Cambia la escala de operación de los procesos y la artesanía va dando paso a la industria. Hacia el
año 1500 se desarrolla considerablemente en Europa
la energía hidráulica, aprovechando los hallazgos árabes de siglos anteriores. Este hecho se considera como
el precursor de la Revolución industrial, que se completa por el uso del carbón en los siglos XVII y XVIII. La
desforestación de Inglaterra debida al esfuerzo de construcción naval durante el siglo XVI generó la necesidad
de explotar sus minas de carbón para obtener energía.
El problema generado por los humos tóxicos y corrosivos requirió de procedimientos para aislarlos, así como
de la conversión de carbón a coque. Ello culminó con
la invención del alto horno por Darby en 1709.
En plena Revolución industrial, las crecientes necesidades de la población desarrollaron una gran demanda de productos químicos. Así, el ácido sulfúrico, que
hasta ese momento se obtenía en recipientes de vidrio
por descomposición de sulfatos, comenzó a producirse
mediante el método de las cámaras de plomo, propuesto por Roerbruck en 1746. Nicolás Leblanc (1742-1806)
es el primer personaje conocido en la historia que diseñó un proceso químico a escala industrial, siguiendo un
plan establecido para convertir unos productos químicos en otros, teniendo en cuenta la economía del proceso y la prioridad del producto final deseado. El objetivo era la obtención de sosa cáustica (NaOH) a partir
de cal, proceso para el que la Academia Francesa había
convocado un premio de 100.000 francos en 1755. El
método, que se basaba en una primera transformación
para obtener carbonato sódico (reacción global 2ClNa
→ 2 ClH + 4CO + SCa +
+ H2SO4 + 4C + CaCO3 ←
Na2CO3) y posterior caustificación con cal (Na2CO3 +
→ 2NaOH + CaCO3), es uno de los más
Ca(OH)2 ←
importantes de la industria química y para muchos autores significó el proceso desencadenante de la misma en
su concepción actual. Otros procesos como el de obtención de carbonato sódico, o como los de producción de
colorantes sintéticos, se desarrollaron e implantaron
mucho antes de que comenzara a utilizarse el término
“Ingeniería Química”.
En la figura 1.2 se esquematizan algunos de los
precedentes significativos del período precientífico
anterior a la Revolución industrial del siglo XIX.
1.1.2. Inicio del período científico
Ya en el siglo XIX, el crecimiento y diversificación
de la industria química fue especialmente importan-
te en Europa. A principios del siglo XX, Alemania iba
cincuenta años por delante de los Estados Unidos en
lo que a industria química se refería. Por ejemplo, el
proceso Haber para la síntesis del amoníaco fue una
aportación alemana, desarrollada entre 1904 y 1909,
y revolucionaria por múltiples razones. La formación
de las personas que hicieron posible la gran industria
alemana seguía un doble camino: químicos e ingenieros mecánicos que, al final de sus estudios, recibían
una cierta especialización en Ingeniería de Procesos.
Este sistema influyó decisivamente en toda Europa
continental.
En Gran Bretaña y Estados Unidos surgió una
alternativa distinta, que puede considerarse como el
nacimiento de la Ingeniería Química en su concepción
actual. Consistía en la preparación de profesionales
con una formación entre la Ingeniería y la Química
suficiente para desarrollar los procesos, operar y controlar las plantas de la industria química. Sin embargo, en Alemania hubo una cierta resistencia a aceptar la necesidad del ingeniero químico, tal como lo
concebían los británicos y los norteamericanos. También en estos países pioneros hubo inicialmente una
cierta oposición al nuevo concepto. Así, en Gran Bretaña, G. E. Davis intentó crear en 1880 una sociedad
de ingenieros químicos, pero no lo pudo conseguir
hasta 1922, y la sanción real no llegó hasta 1957. En
Estados Unidos, el American Institute of Chemical
Engineers (AIChE) se constituyó en 1908, aunque no
sin la oposición de numerosos miembros de la American Chemical Society.
1.1.3. Período científico. La evolución de
la enseñanza en Ingeniería Química
Un aspecto indicativo de la evolución de la Ingeniería Química en el período científico viene dado
por la evolución de su enseñanza. El primer Departamento de Ingeniería Química en los Estados Unidos se estableció en el Massachussets Institute of
Tecnology (MIT) en el año 1888. El profesor L. M.
Norton organizó durante ese mismo año el primer
curriculum académico con la denominación de Ingeniería Química. El contenido consistía esencialmente
en Ingeniería Mecánica con cursos de Química
Industrial, en cuya introducción se incluía una breve descripción de lo que hoy día se conoce como
operación unitaria, también denominada operación
básica.
Capítulo 1: Introducción
23
FIGURA 1.2. Algunos antecedentes
significativos en la
evolución histórica
de la industria química.
En esta primera etapa, entre los años 1888 y 1923,
los departamentos de Ingeniería Química ofrecían principalmente cursos de Química Industrial. En estos cursos se describían conjuntamente las secuencias de operaciones que tenían lugar en los procesos químicos, lo
que no permitía la discusión en profundidad de los
principios científicos implicados en cada industria.
Entre los años 1923 y 1950 se puede apreciar una
etapa definida como de expansión clásica o ingenieril.
En ella la enseñanza se basa en el concepto fundamental de operación unitaria. Otro hecho importante
de esta etapa es el comienzo del desarrollo de la industria del petróleo, que permitió la puesta a punto de una
serie de técnicas, tales como destilación a diferentes
presiones, extracción continua con disolventes, control y regulación automática de las operaciones, etc.,
y provocó que los ingenieros químicos realizasen trabajos de determinación de propiedades termodinámicas y de correlación de las mismas, presentándolas
en forma de ábacos y gráficas.
Entre 1950 y 1960 puede situarse una tercera etapa en el desarrollo de la enseñanza de la Ingeniería
Química que podría denominarse de generalización.
Se advierte que los principios teóricos en que se basan
muchas operaciones unitarias son los mismos, ya que
se basan en los mismos fundamentos y conceptos generales, aunque su desarrollo, independiente hasta el
momento, haya determinado el uso de una nomenclatura y un enfoque distintos.
A partir de 1960 se inicia un cuarto período, ya totalmente abstractivo, en el que profundizando en los principios de las operaciones unitarias, no sólo se llega a una
representación más racional y a una clasificación más
sistemática de éstas, sino que además se advierte que
todas ellas se basan en procesos de transporte de tres propiedades: materia, energía y cantidad de movimiento.
Además se observa que, aunque los fenómenos que se
desarrollan y el mecanismo por el que transcurren estos
procesos no son los mismos en los tres casos, existe una
gran analogía entre ellos, pudiendo realizarse un tratamiento conjunto y unificado de los mismos, con un enfoque más científico. Este nuevo concepto se recoge en el
término “fenómenos de transporte” (capítulo 4).
A partir de los años setenta, la Ingeniería Química se diversifica enormemente, apareciendo otros estudios, aparte de los convencionales, tales como Medio
Ambiente, Biomedicina, Polímeros y Plásticos, Tecnología de Alimentos, Tecnología Cerámica y, más
recientemente, Control y Dinámica de Procesos, Economía y Estrategia de Procesos, Biotecnología, Nue-
24
Introducción a la Ingeniería Química
vos Materiales, etc. Además comienza a darse mayor
importancia al carácter científico de las materias que
componen la Ingeniería Química, a pesar de la reticencia de algunos sectores en favor de la finalidad eminentemente práctica de toda ingeniería.
En la figura 1.3 se resume la evolución comentada, cuya etapa final de diversificación ha dado lugar
al desarrollo de nuevas áreas específicas dentro de la
Ingeniería Química, como son la Ingeniería de la Reacción Química, la Ingeniería Bioquímica, el Control de
Procesos, etc.
1.1.4. La Ingeniería Química en España
La expansión industrial española tiene lugar con
un notable retraso con respecto a otros países europeos. El aislamiento durante un largo período, la inversión extranjera y un fuerte proteccionismo arancelario han sido características históricas de la evolución
industrial en España. En el cuadro 1.1 se indican las
fechas y características más significativas.
De forma paralela, la Ingeniería Química no fue
introducida en la enseñanza universitaria hasta 1922,
apareciendo, inicialmente, como una asignatura del
último curso de la Licenciatura en Ciencias Químicas
con el nombre de “Química Técnica”. Durante esos
años, el papel del químico en la industria estaba prácticamente limitado a la función de control de calidad
y determinación de las características físico-químicas
de las materias primas y de los productos.
En 1944, el profesor A. Rius Miró, impulsor de la
Ingeniería Química en España, publicó el primer libro
de Ingeniería Química en nuestro país, Introducción
a la Ingeniería Química, y promovió el doctorado en
Química Industrial en la Universidad Complutense
de Madrid, incluyendo las asignaturas de Física Industrial, Química Industrial, Metalurgia y Fisicoquímica
de los Procesos Industriales.
A partir de 1953 comenzó una etapa de expansión,
derivada en parte de los acuerdos firmados ese mismo año con los Estados Unidos. Esta evolución supuso una serie de modificaciones en el planteamiento y
en los contenidos de la enseñanza de la Ingeniería Química. Así, ese mismo año, la Química Técnica ya se
imparte en dos años, en los cursos cuarto y quinto, lo
que constituye un reconocimiento de la importancia
creciente de esta materia.
En la década de los setenta continúa la tendencia
a la especialización en los dos últimos años de la Licenciatura en Ciencias Químicas. En el curso 1973/1974
se inicia el nuevo Plan de estudios de la misma, en el
que los tres primeros cursos son comunes para todas las
Universidades, incluyendo en tercero la Química Técnica. Los dos últimos cursos son de especialización, estableciéndose, en la mayoría de las Facultades de Química, la rama de Química Técnica o Química Industrial.
La formación que reciben los alumnos de la especiali-
FIGURA 1.3. Evolución de
la enseñanza en Ingeniería Química en el período
científico.
Capítulo 1: Introducción
25
CUADRO 1.1
Características más significativas en la evolución de la industria química en España
1832
José Bonaplata, en Barcelona, empleó el vapor como fuerza motriz en la industria algodonera.
1842
Primera fábrica de papel en continuo en Tolosa.
1848
Primer horno alto de coque en Trubia.
1872
Se constituyó en Bilbao la Sociedad Española de la Dinamita, para fabricar explosivos. Se puede considerar como el
nacimiento de la moderna industria química española.
1930 Durante este período se inició la fabricación de productos intermedios fundamentales, que hasta entonces se habían impor-1953 tado. Así, en 1930 se instala la primera refinería en Tenerife (CEPSA). En 1939 la Unión Química del Norte de España obtenía fenol y metanol a partir de alquitranes. En 1944 se intentaban aprovechar las pizarras bituminosas de Puertollano.
1953
-1973
Desarrollo limitado del sector químico hasta 1962. En la década de los sesenta gran impulso general y creación de polos
de desarrollo en Huelva, Tarragona, Puertollano, etc.
1975
La industria química española recuperó parte de su retraso respecto a los países más industrializados, pero muy dependiente del petróleo como materia prima y fuente de energía. Estas nuevas y crecientes necesidades de técnicos cualificados tuvieron una influencia determinante en la evolución de la Ingeniería Química en nuestro país.
1975
-1980
Los efectos de la crisis energética provocan la crisis de la industria química española. El crecimiento se detuvo y los costes salariales se dispararon. La inversión disminuyó notablemente.
1980
-1989
Crecimiento continuado. Puesta en marcha de ampliaciones y mejoras de procesos. Interés industrial por la creación de
nuevas plantas de tamaño pequeño. La superación de la crisis precisó de la racionalización de los procesos productivos. Se introdujeron significativas mejoras en los rendimientos energéticos y medidas destinadas a disminuir el impacto
medio ambiental.
1990
-1998
Falta de competitividad internacional que provoca crisis de inversión y producción. Entre otros factores se puede citar la
progresiva eliminación de barreras aduaneras (tendencia a mercados supranacionales) y los elevados costes energéticos.
dad es básicamente análoga a la de los alumnos de universidades europeas. No obstante, los planes de estudio
no son estrictamente comparables.
Actualmente existe una nueva titulación, Ingeniero
Químico, de cinco años de duración, equivalente a la
de la mayoría de los países desarrollados, con unos
contenidos comunes para todas las universidades y
materias variables dependientes de la orientación que
quiera dar cada universidad. Asimismo, y como titulación de ciclo corto, existe la Ingeniería Técnica
Industrial (especialidad de Química Industrial).
1.2. Objeto y estructura
de la Ingeniería Química
Desde su aparición, la Ingeniería Química ha sido
definida de múltiples formas, que se han modificado
y adaptado de acuerdo con su evolución. Estas definiciones van perfilando su objetivo como disciplina.
Algunas de las más significativas son:
• En 1922, el Dr. Little, del Instituto Americano
de Ingenieros Químicos, AIChE, la definía de
la siguiente forma: “La Ingeniería Química,
como se desprende del considerable número
de temas que comprenden los cursos que llevan este nombre, no es una combinación de
Química e Ingeniería Mecánica y Civil, sino
una rama de la Ingeniería, cuya base son las
operaciones básicas que adecuadamente ordenadas y coordinadas constituyen un proceso
químico tal y como opera a escala industrial”.
• En 1935, el AIChE consideró que la mencionada definición resultaba insuficiente, y estableció el siguiente enunciado: “La Ingeniería
Química es la rama de la Ingeniería que trata
del desarrollo y aplicación de procesos de fabricación en los que están involucradas transformaciones químicas y/o ciertas transformaciones físicas de las materias primas. Estos
procesos constan, generalmente, de series coordinadas de operaciones básicas físicas y procesos químicos unitarios”. En cuanto a la formación del ingeniero químico y sus funciones el
AIChE agregaba: “El trabajo del ingeniero químico es el diseño, la construcción y/o la operación de equipos y plantas en las que se aplican
26
Introducción a la Ingeniería Química
estas series de operaciones básicas y procesos
unitarios. La Química, la Física y las Matemáticas son las ciencias base de la Ingeniería Química y la Economía su guía práctica”.
• El profesor Cathala (fundador del Institut du
Génie Chimique de Toulouse), la definió en
1951 como “el arte de concebir, calcular, diseñar, hacer construir y hacer funcionar las instalaciones donde efectuar a escala industrial
cualquier transformación química”, y Letort,
del mismo Instituto, añade al final: “[...] transformación química u operación física de separación inmediata”, pues algunos procesos,
como el refino del petróleo, aunque son en
esencia procesos físicos de separación y no procesos químicos, caen de lleno en el campo de
la Ingeniería Química.
• En el Simposium Internacional sobre enseñanza de la Ingeniería Química celebrado en
el Imperial College de Londres en 1981 se dio
la siguiente definición: “La Ingeniería Química
es una disciplina en la que los cuatro procesos
de transferencia de calor, masa y cantidad de
movimiento y de cambio químico (incluyendo
cambio bioquímico), representados por las ecuaciones fundamentales de conservación, se combinan con las leyes de la termodinámica, para
aclarar los fenómenos que tienen lugar en los
equipos y las plantas de proceso”.
• El Instituto de Ingenieros Químicos de Gran
Bretaña es mucho mas explícito y amplía estos
conceptos (1982): “La Ingeniería Química es
una rama de la ingeniería, relacionada con los
procesos en los que las materias primas sufren
un cambio de composición, contenido energético o estado físico, con los medios para el procesado, con los productos resultantes y con su
aplicación a la consecución de objetivos útiles”,
y añade: “La Ingeniería Química tiene sus fundamentos en las Matemáticas, la Física y la Química. Sus operaciones se desarrollan sobre la
base de los conocimientos aportados por esas
ciencias, por otras ramas de la Ingeniería, por
la Biología y por las Ciencias Sociales”. En
cuanto a la práctica de esta disciplina indica:
“La práctica de la Ingeniería Química consiste en la concepción, el desarrollo, el diseño, la
construcción, la operación, el control y la dirección de plantas químicas además de la investigación y la enseñanza en estos campos”.
• Finalmente, en el denominado Informe
Amundson, elaborado en los Estados Unidos
por el National Research Council en 1988, se
afirma: “El objeto de la Ingeniería Química
ha sido siempre el desarrollo de procesos
industriales que cambian el estado físico o la
composición química de los materiales. Los
ingenieros químicos están implicados en la
concepción, diseño, comprobación, cambio
de escala, operación y control de estos procesos”.
A modo de síntesis, de las definiciones anteriores
se deriva que la Ingeniería Química es una disciplina
que sistematiza los conceptos físicos, químicos y de
otras áreas auxiliares para su aplicación al diseño, desarrollo y operación de procesos a escala industrial. La
Ingeniería Química participa no sólo en la industria
química que le es propia, sino en otros sectores industriales como la minería, la metalurgia, los materiales
de construcción, la tecnología de los alimentos, el tratamiento de vertidos y residuos, la producción de energía, etc. El papel del ingeniero químico se orienta al
estudio del cambio de la composición, o del estado
físico o del contenido energético que experimentan
los materiales en el proceso industrial.
En los últimos años, la confluencia de avances
científicos, desafíos tecnológicos y otros de naturaleza fundamentalmente económica y medioambiental perfilan un nuevo modelo para la Ingeniería Química, así como nuevas tareas para los ingenieros
químicos. Los aspectos que contribuyen a esta evolución son:
1. La aparición de nuevos productos y materiales que continuarán entrando en el mercado
durante las próximas décadas, productos que
fabricarán industrias dedicadas a aspectos tan
diversos como biotecnología, materiales avanzados, electrónica, etc. y que crearán nuevas
oportunidades para los ingenieros químicos.
2. El incremento de la competitividad en los mercados mundiales, ya que la calidad de los
productos y su elaboración esmerada están llegando a ser factores importantes en la competencia global.
3. La creciente toma de conciencia acerca de los
riesgos para la salud y del impacto medioambiental derivados de la manufactura, uso, transporte y destino final de los productos químicos.
Capítulo 1: Introducción
4. La curiosidad intelectual inherente a todo científico y por supuesto al ingeniero químico, que
no ahorrará esfuerzos para crear nuevas herramientas y procedimientos más eficaces y menos
contaminantes para obtener todo tipo de productos a nivel industrial. Ésta es probablemente
la más importante fuerza impulsora del desarrollo futuro de la Ingeniería Química, la misma que ha actuado en décadas precedentes,
acentuada en la actualidad por la época de gran
expansión tecnológica en que nos encontramos.
Para cubrir los objetivos expuestos, la Ingeniería
Química, además de apoyarse en las ciencias básicas
como las Matemáticas, la Física, la Química, la Biología, etc. (figura 1.4), se estructura en unos contenidos específicamente orientados a adquirir los conocimientos científicos y técnicos necesarios para poder
diseñar y desarrollar las operaciones que integran los
procesos químicos industriales. Estos contenidos son
los siguientes:
• Operaciones unitarias o básicas. Estudio sistemático del fundamento, diseño y operación de
todas las transformaciones físicas de las sustancias que tienen lugar en un proceso industrial, y que se repiten sistemáticamente de uno
FIGURA 1.4. Soporte y objetivo de la Ingeniería Química.
27
a otro: destilación, extracción, absorción, evaporación, impulsión de líquidos, filtración, etc.
• Ingeniería de la reacción química. Diseño y operación de los reactores en los que se realizan
las transformaciones químicas que tienen lugar
en un proceso industrial, dependiendo del tipo
de reacción química y de las condiciones en que
se lleva a cabo.
• Ingeniería de procesos. Optimización de las diferentes operaciones de transformación físicas o
químicas cuando se conectan entre sí para obtener los productos deseados.
• Materias complementarias. Conjunto de materias que aportan conocimientos básicos necesarios directamente relacionados con los
objetivos de la Ingeniería Química. Las fundamentales son:
a) Termodinámica. Estudio de las leyes de conservación, relaciones de equilibrio y estimación de propiedades físico-químicas.
b) Cinética química. Estudio de la velocidad
de las reacciones químicas.
c) Fenómenos de transporte. Leyes por las que
se rige el transporte de materia, energía y
cantidad de movimiento en las operaciones
básicas.
28
Introducción a la Ingeniería Química
FIGURA 1.5. Posibles funciones
del ingeniero químico.
d) Control y Dinámica de sistemas. Conocimiento sobre la evolución de los sistemas
ingenieriles a lo largo del tiempo y de su respuesta a las perturbaciones. Control de los
procesos industriales.
e) Economía. Estudio y optimización económica de las alternativas posibles sobre un
proceso o conjunto de procesos químicos.
f) Gestión ambiental. Consecuencias medioambientales de los procesos industriales.
Minimización y medidas correctoras (evaluación y corrección de impactos ambientales). Gestión de residuos.
g) Disciplinas auxiliares. Se completa la formación con otras disciplinas comunes a diferentes ramas de la ingeniería, entre las que
se encuentran: Ciencia de los Materiales,
Termotecnia, Electrotecnia y Expresión
Gráfica.
1.3. La Ingeniería Química
como profesión
Una característica importante relativa a la formación del ingeniero químico es su amplio conocimiento, tanto de las materias básicas de distintas ramas de
la ciencia como de las específicas de la Ingeniería Química y otras herramientas científicas auxiliares, según
se acaba de exponer. Todo ello le confiere una gran
versatilidad para poder aplicar sus conocimientos a
múltiples actividades relacionadas con los procesos
industriales. En consecuencia, el campo de trabajo
profesional de los ingenieros químicos abarca actualmente un gran número de actuaciones, como se muestra en la figura 1.5.
De todas estas actividades las más “tradicionales”
son las que se realizan en planta industrial o laboratorio de investigación y desarrollo. Un segundo grupo se corresponde con funciones también muy relevantes pero que pueden ser realizadas en un contexto
distinto, como ingenierías de diseño, administración
pública, etc. Finalmente, un tercer grupo corresponde a funciones de educación y otras muy variadas relacionadas con la continua expansión de la Ingeniería
Química hacia sectores emergentes, como modelización, medio ambiente o biotecnología.
Los sectores industriales en los que más trabajan
actualmente los ingenieros químicos son los de la
industria química, combustibles y alimentación. Hay,
no obstante, otros sectores y actividades industriales
con significativa participación, tal como se muestra en
la figura 1.6.
Capítulo 1: Introducción
29
presentan un mayor incremento de actividad.
También el campo de la biotecnología, la microelectrónica y las nuevas formas de energía.
4. La actualización tecnológica de las instalaciones y procesos adquiere cada vez mayor importancia.
5. Aumentan las incorporaciones de los ingenieros químicos en la pequeña y mediana industria,
y en la administración, fundamentalmente en
áreas de medio ambiente.
En cuanto al papel de la Ingeniería Química en la
investigación y el medio ambiente, cabe señalar lo
siguiente:
FIGURA 1.6. Porcentaje de ocupación de ingenieros químicos en diferentes sectores y actividades industriales
(1990).
1.4. Tendencias actuales y futuras
de la Ingeniería Química
En los últimos años se observan algunas tendencias en el campo profesional del ingeniero químico
que reflejan la situación actual y la posible orientación de futuro de esta disciplina. Se pueden destacar
como más significativas las siguientes:
1. Los usos y conceptos propios de la Ingeniería
Química se extienden cada vez más en las
diversas industrias.
2. Se observa una progresiva inclusión de ingenieros químicos en grupos de investigación multidisciplinares, particularmente en Química.
Las fronteras entre la Química y la Ingeniería
Química se difuminan.
3. Hay un aumento de responsabilidades del ingeniero químico en tareas de mantenimiento,
logística y medio ambiente. Los campos relativos a seguridad y medio ambiente son los que
• En investigación se incorporan a los grupos de
trabajo los procedimientos propios del área,
abriendo al futuro ingeniero químico un interesante campo de actividad, sobre todo teniendo
en cuenta la dinámica acelerada de cambios en
los procesos y la necesaria actualización tecnológica para mantener la competitividad.
• El campo medioambiental es sin duda uno de
los más prometedores para el ingeniero químico. La formación que proporciona la Ingeniería Química permite realizar el diseño y la operación de las instalaciones necesarias para
resolver problemas tales como el tratamiento
de residuos sólidos, líquidos y gaseosos generados en la industria, la recuperación y reciclaje de materiales (tecnologías limpias, “vertido
cero”) y la depuración de aguas residuales
(urbanas e industriales). Dentro de este campo
se debe citar la necesaria aportación del ingeniero químico en la optimización energética de
los procesos, adoptando las medidas necesarias
para minimizar pérdidas y mejorar la recuperación del calor. Asimismo se abre un amplio
campo de actividad profesional en el uso y
desarrollo de energías alternativas. Todo ello
se tratará más adelante en esta obra (capítulos
15 y 16).
2
PROCESOS
QUÍMICOS
2.1. Introducción
2.2. Los procesos químicos en la actualidad
y perspectivas de futuro
2.3. Impacto de los procesos químicos
sobre el medio ambiente
2.4. Descripción, a modo de ejemplo,
de un proceso químico-industrial
32
Introducción a la Ingeniería Química
E
n este capítulo se consideran los aspectos generales que caracterizan a un proceso químico,
su situación actual y sus perspectivas de futuro. El enfoque es muy general, dejando para capítulos posteriores el estudio de las operaciones básicas que constituyen todo proceso químico. Se hace
hincapié en el impacto de los procesos químicos
sobre el medio ambiente y la necesidad de racio-
nalizar el uso de los recursos energéticos que se
requieren, apuntando algunas tendencias y recomendaciones al respecto. El capítulo finaliza con
una descripción resumida sobre los diferentes procedimientos industriales para la fabricación del ácido acético como ejemplo de un proceso químico
en el que se observa el carácter dinámico de la
industria química.
GLOSARIO
bio-proceso. Proceso químico en el que intervienen
organismos vivos (microorganismos), aprovechando la gran capacidad y selectividad de los procesos biológicos naturales. Suelen desarrollarse en
condiciones suaves de temperatura, si bien requieren un cuidadoso control de las condiciones de
operación. Ejemplos: procesos de fermentación
alcohólica, de depuración biológica de aguas residuales, etc.
proceso químico. Sucesión ordenada de operaciones
físicas y químicas interconectadas con las que se
transforman unos productos en otros a escala
2.1. Introducción
La industria química se encarga de la obtención
en cantidades importantes de productos químicos de
interés comercial. Para poder efectuar la transformación de las materias primas de partida en los productos deseados son necesarias una serie de operaciones
interconectadas entre sí y que en conjunto constituyen lo que se conoce como un proceso químico.
En general, un proceso químico implica reacciones
químicas y operaciones físicas de separación o tratamiento. Estas últimas pueden ser una etapa previa de
acondicionamiento de las materias primas o una etapa
posterior a la reacción química, para separar el producto principal de los subproductos y residuos (capítulo 13).
Los subproductos pueden a su vez transformarse en
otros productos útiles o tener ciertas aplicaciones de
interés comercial. Además, las corrientes de productos
residuales que se originan durante un proceso químico
han de ser tratadas adecuadamente antes de su eliminación final o vertido exterior. Por su parte, la materia
industrial. El número y variedad de los procesos
químicos es considerable, constituyendo su conjunto el núcleo de la industria química. Ejemplos:
fabricación de ácido nítrico, fraccionamiento del
petróleo crudo, gasificación del carbón, etc.
tecnología limpia. Tecnología no contaminante, que
no genera residuos ni produce emisiones de sustancias nocivas para el medio ambiente, en comparación con otras tecnologías clásicas que sí producen dichos efectos. Ejemplos: combustión de
hidrógeno, sistemas de calefacción solar, producción de energía eléctrica fotovoltaica, etc.
prima no convertida debe recircularse a la entrada del
sistema de reacción para mejorar su aprovechamiento.
En la figura 2.1 se presenta un esquema de un proceso
químico que recoge los aspectos ya comentados.
Así, el número de operaciones físicas y químicas
implicadas en un proceso químico puede ser muy considerable. Según cuáles sean sus operaciones y en qué forma se interconecten, el número de productos finales obtenidos podrá ser elevado y su naturaleza muy diversa.
Cualquier producto químico ha de diseñarse sobre
la base de sus posibilidades comerciales (capacidad de
producción) y de otros aspectos como disponibilidad
y coste de materias primas (selección de la fuente de
suministro), tecnología disponible (elección del procedimiento), servicios auxiliares (electricidad, vapor
de agua, etc.), consideraciones socio-económicas (disponibilidad y coste de la mano de obra, regulaciones
legales, mercado de subproductos, etc.) y consideraciones ambientales (normativa legal, etc.) que, por lo
general, determinan la localización geográfica de un
procedimiento de fabricación.
Capítulo 2: Procesos químicos
33
FIGURA 2.1. Esquema de un proceso químico simplificado.
En la figura 2.2 se muestra un esquema de los factores que intervienen en el desarrollo de un nuevo proceso químico, que, como se observa, son muy diversos.
Entre ellos cabe destacar el factor económico, pues la
fabricación industrial de cualquier producto químico
debe resultar rentable. En este sentido, el desarrollo de
nuevos procesos que hagan posible la consecución de
una mayor rentabilidad, al poder aumentar los beneficios como consecuencia de una reducción de los costes de fabricación correspondientes, determina la sustitución de otros procesos anteriores.
Así, por ejemplo, los costes de un determinado
proceso químico de fabricación pueden disminuirse
cuando se den algunas de las siguientes circunstancias:
• Cambio de una materia prima determinada por
otra de mayor disponibilidad (menor coste,
mayor abundancia, etc.) o de mayor calidad
(pureza).
• Reducción del número de operaciones o etapas necesarias para la obtención de un determinado producto (simplificación del proceso),
así como el cambio de procesos discontinuos a
continuos (capítulo 3).
• Disminución de la formación de subproductos, al conseguir un aumento de la selectividad y del rendimiento de las reacciones, con
la eliminación en lo posible de reacciones
secundarias o competitivas. La utilización de
catalizadores adecuados bajo unas condi-
FIGURA 2.2. Factores más importantes para el desarrollo de un proceso químico.
34
Introducción a la Ingeniería Química
ciones de operación más favorables ha determinado, en no pocos casos, una mejora
considerable de los procesos productivos actuales (capítulo 13).
• Desarrollo de los procesos de separación
mediante la utilización de nuevas técnicas o
mejora de las existentes.
Por otra parte, la posibilidad de que un proceso
químico genere o no una sustancia contaminante que
pueda afectar a la salud o al medio ambiente puede
ser otro factor decisivo a la hora de su elección. En
este sentido, por ejemplo, la eliminación progresiva
del plomo de las gasolinas ha originado el empleo de
otras que no contengan dicho contaminante; es el
caso de las denominadas gasolinas “sin plomo”, obtenidas por reformado catalítico (capítulo 17) o que
utilizan otros aditivos, como el metil-tercbutil-éter
(MTBE).
También es digna de mención la creciente tendencia a incorporar a los procesos químicos etapas en las
que intervienen organismos vivos (microorganismos),
a veces denominados “bio-procesos”, aprovechando la
gran capacidad y selectividad de los procesos biológicos naturales, que además no requieren condiciones
extremas de temperatura o presión. Los procesos de
fermentación en la industria y tecnología de los alimentos, los procesos de depuración biológica de aguas
residuales, los procesos químicos catalíticos que utilizan como catalizadores enzimas inmovilizadas son algunos ejemplos destacables de “bio-procesos”. Algunos
de ellos se comentarán en los capítulos finales de este
libro.
En cualquier caso, y de forma general, debe destacarse que el desarrollo y establecimiento de nuevos
procesos químicos está fuertemente determinado por
la capacidad de disponer de materias primas adecuadas (accesibilidad y precio son factores clave) y de
desarrollar tecnologías más avanzadas y ambientalmente aceptables para obtener el producto deseado.
En este sentido, es importante señalar los grandes
esfuerzos realizados tanto por los investigadores químicos en la síntesis de nuevas moléculas y de nuevas
rutas de síntesis química (más directas y selectivas),
como por los ingenieros y técnicos en el diseño y desarrollo de nuevos procesos más competitivos.
La estrecha colaboración entre la ciencia (la investigación) y la industria (sector productivo) ha generado siempre notables beneficios para el desarrollo industrial, como demuestra la historia.
2.2. Los procesos químicos
en la actualidad
y perspectivas de futuro
La industria química actual, con una amplia variedad de materias primas disponibles y con la incorporación de una tecnología cada vez más innovadora,
conseguida a través de elevadas inversiones fruto de
la investigación y el desarrollo, se ha consolidado como
un sector de producción de vanguardia dentro del
panorama socio-económico actual.
Desde 1950 la industria química ha crecido a notable velocidad debido principalmente al sector petroquímico, crecimiento que alcanza su máxima expansión en los inicios de la década de los sesenta, dado
los elevados índices de crecimiento de muchos productos. Así, se produce una rápida expansión que
conduce a la construcción de plantas químicas cada
vez mayores, hecho favorecido a su vez por los avances conseguidos en el diseño y construcción de equipos y en el control automático mediante la utilización de ordenadores. De hecho se construyen plantas
con capacidades de producción que rondan las
500.000 T/año en los sectores de fertilizantes y del
petróleo (unidades de craqueo para la obtención de
etileno).
La economía de escala, basada en el aumento de
tamaño, permite reducir los costes de producción y
abaratar los productos al aumentar la capacidad de
producción sin que por ello los costes de inversión y
fabricación se incrementen en la misma proporción.
La figura 2.3 muestra una relación de los productos
químicos básicos (productos intermedios entre las
materias primas y productos finales) más importantes fabricados en EE.UU. en 1996, donde puede
advertirse el considerable volumen de producción
alcanzado.
En cuanto a las perspectivas de desarrollo de los
procesos químicos, dado el creciente papel que juegan los avances tecnológicos en áreas como la electrónica, la informática y la tecnología de materiales,
cabe esperar las siguientes actuaciones:
• Desarrollo de nuevos productos químicos de
elevada pureza con mercados especiales y aplicaciones específicas (farmacia, industria alimentaria, etc.).
• Mejora de los sistemas de reacción y separación, a través de un análisis riguroso de las reacciones y fenómenos de transferencia de calor
Capítulo 2: Procesos químicos
35
2.3. Impacto de los procesos químicos
sobre el medio ambiente
FIGURA 2.3. Fabricación de productos químicos
intermedios en EE.UU. (1996).
y de materia que puedan producirse en un proceso, con objeto de disminuir los tamaños de
los equipos para su utilización en plantas más
compactas y económicas.
• Avances en aspectos medioambientales y de
seguridad, tanto de los procesos de fabricación
como de los productos obtenidos. Las cada vez
más estrictas demandas ambientales y de seguridad exigirán un desarrollo e investigación crecientes que permitan la implantación de procesos productivos menos contaminantes.
• Desarrollo de tecnologías que, aparte del control del proceso, permitan la gestión y control
de la producción, donde deben contemplarse
el análisis de costes de fabricación a tiempo
real, inventarios, calidad del producto, etc.
De esta forma es posible tomar decisiones tanto sobre el proceso como sobre la productividad.
Además, ante los posibles cambios que puedan
avecinarse, la industria química actual debe desarrollar su estrategia desde un punto de vista global que
contemple, a nivel mundial, tanto la producción como
el mercado. Así lo hacen ya compañías multinacionales que cubren cualquier campo de fabricación de
productos químicos utilizados en muy diversos sectores como farmacia, agricultura, automóvil, etc.
Aunque la importancia actual y futura de la industria química resulta indiscutible, también es cierto que
en su desarrollo más reciente (segunda mitad del siglo
XX) dicha industria ha contribuido al progresivo agotamiento de importantes materias primas y recursos
energéticos, así como al deterioro del medio ambiente en áreas concretas.
La industria química en la actualidad se enfrenta
a unos retos importantes que, dependiendo de la forma en que se consideren y de las posibles soluciones
que se aborden, afectarán, en gran medida, a su desarrollo futuro.
La producción a gran escala y el uso intensivo y
creciente de la energía ha provocado que en menos
de doscientos años se estén consumiendo recursos
energéticos primarios (combustibles fósiles) que tardaron miles de años en formarse. Gran parte de la
industria química actual está basada en el gas natural
y el petróleo, por lo que para alargar sus reservas todo
lo posible debe contenerse su consumo. En este sentido, la adopción de algunas medidas como las que se
indican a continuación ayudarían a la consecución de
tal objetivo:
• Reducción del consumo de petróleo como combustible, ya que aproximadamente sólo el 1015% del petróleo consumido se utiliza como
materia prima y el resto para producción de
energía (motores de combustión interna, combustible industrial, etc.). Puede alargarse la vida
del petróleo si se utiliza para fines más nobles,
sustituyendo su contribución energética por
otras fuentes de energía limpias y abundantes.
La solución de recurrir al carbón (más abundante pero más contaminante) no debe considerarse más que coyuntural y excepcional,
dados los problemas ambientales que genera
(capítulo 16).
• Consecución de mayores eficacias y rendimientos energéticos mediante la recuperación
de calor de otras fases del proceso (reacciones
exotérmicas, por ejemplo), la prevención de
pérdidas energéticas (aislamientos) y la mejora de los sistemas de producción de energía
(sistemas de cogeneración para la obtención
conjunta de energía mecánica y térmica) (capítulo 10).
36
Introducción a la Ingeniería Química
• Desarrollo de nuevas fuentes energéticas que
posibilite un aumento de su contribución al
consumo energético actual. Dentro de este apartado deben considerarse tanto los nuevos sistemas de producción energética (eólica, solar, geotérmica, etc.) como las fuentes de energía
renovable (combustión de residuos forestales y
agrícolas, residuos sólidos urbanos, etc.) (capítulo 15).
• Aprovechamiento integral de las materias primas y productos residuales, mediante la mejora de las condiciones de operación del proceso,
la incorporación de técnicas que permitan la
recuperación y/o reutilización de residuos, así
como la introducción de nuevos procesos productivos, o modificación de los ya existentes,
que propicien una menor generación de residuos. En definitiva, un cambio hacia lo que hoy
se conoce como tecnologías limpias.
• Diversificación de las fuentes de materias primas actuales en la que se contemplen nuevas
opciones para un próximo futuro. Actualmente del petróleo y el gas natural se obtiene la
mayoría de los productos químicos orgánicos
básicos o intermedios, de los que a su vez se
deriva otro gran número de productos finales.
La ampliación del número de materias primas
susceptibles de aprovechamiento como el carbón o los recursos renovables, mediante pro-
cesos tecnológicos respetuosos con el medio
ambiente, permitiría aumentar el abanico de
posibilidades de utilización tal como se recoge
en la figura 2.4.
Por otra parte, en lo que respecta a la contaminación ocasionada por la industria química, el sistema
de producción convencional, que no ha tenido en cuenta su compatibilidad con el medio ambiente, ha ocasionado en muchos casos un grave deterioro del mismo. Algunos accidentes y vertidos producidos como
consecuencia de negligencias o fallos técnicos y de
diseño (muchas veces propiciados por la ausencia de
una legislación adecuada y un control riguroso), así
como una creciente preocupación por parte de la opinión pública de los efectos que sobre la salud y el
entorno medioambiental producen las sustancias químicas (dióxido de azufre, metales pesados , pesticidas
no biodegradables, etc.) han hecho posible la adopción de medidas legislativas cada vez más estrictas,
sobre todo en los países desarrollados. Estas medidas
van encaminadas a reducir los riesgos de contaminación y a la consecución de una serie de objetivos entre
los que se priorizan la protección de la salud humana
y la preservación, protección y mejora del medio
ambiente (capítulo 16).
En cualquier caso, y de cara al futuro, la Ingeniería Química y en consecuencia la industria química deben ser capaces no sólo de evitar los proble-
FIGURA 2.4. Utilización esperada de las materias primas y productos químicos orgánicos básicos.
Capítulo 2: Procesos químicos
mas ambientales, sino de desarrollar técnicas y procesos capaces tanto de prevenir los riesgos como de
aportar soluciones eficaces a esos problemas en caso
de presentarse. Es un reto que ya se está afrontando y que habrá de alcanzarse en este comienzo del
siglo XXI.
2.4. Descripción, a modo de ejemplo,
de un proceso químico-industrial
El elevado nivel tecnológico del que dispone la
industria química actual, unido a la intensa investigación y desarrollo de este sector, da lugar a un continuo descubrimiento y comercialización de nuevos productos químicos (ante nuevas necesidades del
mercado), así como a la mejora de los procesos de
fabricación de otros comercializados. Son precisamente estas situaciones las que provocan un rápido
envejecimiento técnico de muchas instalaciones industriales.
En ocasiones es muy rápida la evolución que un
determinado proceso químico puede sufrir a lo largo
de los años. Un caso ilustrativo es la producción del
ácido acético que se expone a continuación. Dicha
fabricación representa un claro ejemplo de la búsqueda encaminada hacia la disminución de los costes
de producción, lo que a su vez se traduce en una
mayor competitividad. En este sentido, el coste de las
materias primas y de la energía constituyen los factores más importantes a tener en cuenta a la hora de
elegir el procedimiento de fabricación del ácido acético, si bien no deben olvidarse otros aspectos como
el proceso en sí mismo y los equipos e instalaciones
necesarios.
La producción de ácido acético es una de las más
importantes de la industria química, pues es la base de
otros productos químicos entre los que destacan el acetato de vinilo, utilizado para la fabricación de una amplia
variedad de polímeros, y el acetato de celulosa, compuesto destinado principalmente hacia la obtención de
plásticos en forma de película o lámina. Otras aplicaciones que consumen cantidades importantes de ácido
acético son su empleo como disolvente en la oxidación
en fase líquida del p-xileno para producir ácido tereftálico (industria textil), la fabricación de una amplia variedad de ésteres como el acetato de etilo (disolvente de
amplio uso) o su utilización como sustrato de fermentación para la obtención de aminoácidos, empleados a
su vez como suplemento de productos alimenticios.
37
El antiguo procedimiento de fabricación a partir de
la fermentación del etanol sigue utilizándose hoy día,
aunque básicamente se orienta hacia la obtención de
vinagre, ya que el alto coste de la materia prima junto
con la necesaria concentración y purificación del ácido
acético obtenido impiden su viabilidad comercial. Por
su parte, la destilación de la madera fue durante años la
principal fuente de obtención, pero los elevados costes
de instalación y operación obligaban a la recuperación
de otros subproductos como el metanol. Por lo tanto,
estas vías de obtención sólo pueden considerarse atractivas desde un punto de vista medioambiental, ya que
permiten la posibilidad de aprovechamiento local de
residuos procedentes de sectores como los de fabricación de pastas celulósicas, industrias de la transformación de la madera o los propios residuos agrícolas y
forestales, si bien estas soluciones deben contemplarse
dentro de unas capacidades de producción limitadas en
pequeñas instalaciones locales.
La necesidad de disponer cada vez de mayores cantidades de ácido acético, como consecuencia del gran
empuje experimentado por la industria de polímeros
al término de la segunda guerra mundial, determinó
la aparición de nuevas rutas de síntesis cuya mejora y
desarrollo a lo largo de los años ha posibilitado la aparición de procesos cada vez más competitivos mediante la disminución de los costes de producción.
Así, cronológicamente se han implantado tres procedimientos de fabricación industrial de ácido acético:
a) Oxidación en fase líquida del acetaldehído.
b) Oxidación en fase líquida de hidrocarburos
(butano y naftas principalmente).
c) Carbonilación del metanol por reacción con el
CO.
A continuación se describe brevemente cada uno
de ellos.
A) Oxidación en fase líquida del acetaldehído
Durante la década de 1930 el ácido acético se obtuvo a partir del etileno (producto abundante procedente del craqueo térmico de fracciones petrolíferas para
la producción de gasolinas), si bien su producción
incluía tres etapas de síntesis: hidrólisis ácida del etileno con formación de etanol (la primera planta comercial de etanol sintético se instala en 1930), deshidrogenación catalítica a acetaldehído con catalizadores de
cromo y cobre y oxidación directa de éste en fase líqui-
38
Introducción a la Ingeniería Química
da con aire u oxígeno en presencia de acetato de cobalto disuelto a 50-80 ºC y 2-10 atm con formación de ácido acético:
H2SO4
Cu/Cr
CH2 = CH2 → C2H5OH →
H2O
Cu/Cr
O2/Co
→ CH3CHO →
CH3COOH +
+ subproductos
por lo tanto cara) y la utilización progresiva del etileno para otros fines provocó que en los años cincuenta se introdujera un nuevo proceso, con una sola etapa, consistente en la oxidación directa, en fase líquida,
de n-butano a ácido acético.
En este caso, el butano, disuelto en ácido acético
junto con un catalizador homogéneo de acetato de
cobalto, es oxidado con aire a presiones elevadas (160180 ºC y 45-55 atm):
O2/Co
En estas condiciones se obtienen elevadas conversiones (> 90%) y selectividades (94%), si bien resulta inevitable la presencia de impurezas que deben eliminarse en columnas de destilación. La mezcla de
ácido y subproductos resulta ser bastante corrosiva,
por lo que debe utilizarse acero inoxidable como material de construcción, más costoso que el acero convencional. La figura 2.5 muestra un esquema del proceso de fabricación de ácido acético a partir del
acetaldehído.
B) Oxidación en fase líquida de hidrocarburos
El elevado coste de la materia prima utilizada (el
acetaldehído es una materia prima muy elaborada y
C4H10 → CH3COOH + subproductos
En el producto oxidado, junto al ácido acético formado (57%) se obtienen varios componentes oxigenados entre los que se incluyen: cetonas (principalmente metil-etilcetona), ácido fórmico y otros
aldehídos y ésteres. La presencia del ácido fórmico
complica la posterior purificación del ácido acético
obtenido, ya que forma un azeótropo con el agua que
se produce en la reacción (22,6% en peso de agua)
con un punto de ebullición (107 ºC) superior al de los
dos componentes puros. Por ello su separación requiere una destilación extractiva o azeotrópica con un tercer componente.
Así pues, la recuperación de subproductos tales
como el ácido fórmico y el ácido propiónico o butírico puede alterar el coste de fabricación del ácido acé-
FIGURA 2.5. Producción de ácido acético por oxidación de acetaldehído.
Capítulo 2: Procesos químicos
tico por este proceso, por lo que la mejora de la rentabilidad sólo puede conseguirse si todos los subproductos son reciclados y queda el ácido acético como
producto único. También en este caso existen problemas de corrosión debido a los ácidos orgánicos formados.
Este proceso puede también aplicarse a cualquier
otra parafina o mezcla de parafinas, como la nafta (fracción de la destilación del petróleo, capítulo 17), producto más asequible y de menor coste inicial, si bien
la mayor complejidad de su composición se traduce en
un mayor coste de separación del ácido acético obtenido. En la figura 2.6 se presenta un diagrama de flujo simplificado de la obtención de ácido acético
mediante la oxidación de butano en fase líquida.
C) Carbonilación del metanol
Ya en 1925 se había conseguido la producción de
ácido acético por reacción del metanol con monóxido de carbono utilizando como catalizador ácido fosfórico con promotores de plata o cobre, si bien eran
necesarias altas temperaturas y presiones:
CH3OH + CO → CH3COOH ∆Hº298: –550 kcal
El bajo rendimiento en ácido acético alcanzado
(28%) unido a la elevada corrosividad de la mezcla
39
de reacción para las condiciones de operación empleadas (310 ºC y 199 atm), determinaron el abandono de
estas investigaciones.
En los años sucesivos se desarrollan nuevos catalizadores, llegándose a la utilización de sistemas cobalto/iodo para la carbonilación del metanol a presiones
de trabajo elevadas (500-650 atm) y temperaturas de
220-250 ºC. En estas condiciones es posible obtener
una conversión del metanol del 90% así como una elevada selectividad (90-95%), resultados que permitieron a la compañía alemana BASF (Badische Anilin
und Soda Fabrik) la construcción de una planta comercial para la producción de 3.600 t/año de ácido acético en 1960 y de otras posteriores con capacidades
superiores a las 45.000 t/año.
Sin embargo, el descubrimiento en 1969 de un catalizador homogéneo formado por complejos de rodio
utilizando iodo como promotor, y desarrollado por la
compañía Monsanto, supuso un logro de tal importancia que en pocos años pasó a ser el proceso de fabricación de ácido acético más utilizado y que ha terminado por desplazar a todos los demás, existiendo
actualmente plantas en funcionamiento con capacidades de producción de 135.000 t/año. Las razones de
su éxito se encuentran en el catalizador, ya que éste
permite trabajar en fase líquida y en condiciones de
operación menos severas (150-200 ºC y 30-65 atm),
consiguiendo, además, la práctica conversión de todo
el metanol con selectividades respecto al ácido acéti-
FIGURA 2.6. Producción de ácido acético por oxidación de butano en fase líquida.
40
Introducción a la Ingeniería Química
co del 99%, lo que simplifica de gran manera el proceso de separación posterior con el consiguiente ahorro energético. En la figura 2.7 se representa el esquema de fabricación del ácido acético a partir del
metanol. Básicamente, el proceso consta de tres partes esenciales:
a) La preparación del catalizador a partir de ioduro de rodio disuelto en ácido acético caliente y
bajo presión en atmósfera de monóxido de carbono.
b) La carbonilación del metanol en fase líquida
en un reactor de tanque agitado, con formación de dos corrientes: una fase gaseosa, que
contiene principalmente CO y CO2 que, después de enfriarse, se lava con metanol para la
recuperación de la materia prima y una corriente líquida que al expansionarse (destilación
súbita o flash, capítulo 12) da lugar a una fase
vapor que contiene el ácido acético y agua, junto con algo de ácido fórmico y ácido propiónico, y una fase líquida con el complejo catalítico que vuelve al reactor.
c) La separación del ácido acético de las impurezas que le acompañan realizada en varias columnas de destilación, obteniéndose un producto
con pureza superior al 99%.
A pesar de los avances alcanzados con este último
proceso, las investigaciones sobre nuevas rutas de
fabricación de ácido acético (oxidación en fase vapor
de olefinas, utilización de gas de síntesis CO + H2, etc.)
están siendo recogidas en patentes que, en un corto
plazo, pueden desembocar en la aparición de nuevos
procesos comerciales.
Como se observa, y a modo de resumen, en este
caso y en otros muchos procesos químico-industriales
la tendencia evolutiva se dirige hacia la utilización de
alguna o varias de las siguientes propuestas:
• Materias primas abundantes y baratas, con
moléculas cada vez más sencillas, llegando,
incluso, casi a nivel atómico (CO, CO2, H2O,
O2, H2, …).
• Catalizadores cada vez más activos y selectivos, pero, a su vez, más complejos, costosos y
sensibles a las condiciones de reacción y a los
“venenos” (capítulo 14).
• Número de etapas más reducido, como consecuencia de la simplificación que suponen los
dos puntos anteriores, así como operaciones
de separación más sencillas e inmediatas.
• Con frecuencia, condiciones de operación más
severas, sobre todo respecto a la presión, cuando se trata de sustancias gaseosas sencillas.
FIGURA 2.7. Producción de ácido acético a partir de metanol.
Capítulo 2: Procesos químicos
En el límite, la solución ideal para cualquier proceso en el que interviene una reacción química sería la
síntesis de los productos a partir de sus respectivos elementos (C + H + O+ N + …→ CxHyOzNw…), situación
de la que no está tan lejos la propia naturaleza, con sus
complicadas síntesis químicas y bioquímicas (síntesis
41
clorofílica, por ejemplo). Es ésta la dirección en la que
actualmente se desarrollan muchas investigaciones que
ya han conducido a importantes avances mediante la
utilización de catalizadores de enzimas inmovilizadas
y técnicas similares a las que se observan en los propios procesos naturales de los seres vivos.
3
OPERACIONES
BÁSICAS
DE LOS PROCESOS
QUÍMICOS
3.1. Introducción
3.2. Concepto de operación básica
3.3. Operaciones continuas, discontinuas
y semicontinuas
3.4. Contacto entre fases inmiscibles:
continuo o discontinuo
3.5. Flujo en paralelo, en contracorriente
y cruzado
3.6. Clasificación de las operaciones
básicas y de los reactores químicos.
Flujos controlantes
3.7. Variables de diseño de las operaciones
básicas
44
Introducción a la Ingeniería Química
E
n este capítulo se presenta el concepto de operación básica y se describen los tipos de operaciones básicas atendiendo a diversos factores: dependencia del tiempo, modos de producirse
el contacto entre fases y tipos de flujo que corresponden a la circulación de las corrientes en los
equipos. Asimismo se clasifican las operaciones
según diversos criterios, como el tipo de transformación que se produce en las mismas, la superficie presente entre las fases o el flujo de propiedad
extensiva (materia, energía o cantidad de movimiento) que controla la velocidad del proceso global. Finalmente, se establece el concepto de variable de diseño y se muestra el método operativo
para determinar el número de las mismas, aplicándolo a algunos ejemplos sencillos. Adicionalmente, con objeto de facilitar la comprensión del
capítulo sin obstaculizar su lectura, se incluye al
final del mismo un cuadro-resumen con los objetivos de las operaciones básicas de mayor interés.
GLOSARIO
contacto continuo. Modo de contacto entre las fases
inmiscibles en el que éstas están en contacto permanentemente, sin interrupción, por lo que no
llegan a separarse en el interior del equipo utilizado. En las operaciones de transferencia de
materia se lleva a cabo, por ejemplo, en columnas de relleno.
contacto discontinuo (o intermitente). Modo de contacto entre las fases inmiscibles en el que éstas se
separan y se vuelven a mezclar en etapas de contacto sucesivas, a lo largo del equipo utilizado. En
las operaciones de transferencia de materia se lleva a cabo, por ejemplo, en columnas de pisos o platos, con flujo en contracorriente.
etapa de equilibrio. Etapa de contacto entre fases
inmiscibles en la que se alcanza el equilibrio de
éstas, ya que se supone que el contacto es intenso
y suficientemente prolongado. Por tratarse de un
caso ideal, también se conoce como etapa ideal. En
las etapas de contacto reales no se llega a alcanzar el equilibrio, por lo que su eficacia no es del
100%.
flujo en contracorriente. Flujo de corrientes que se
desplazan en la misma dirección pero sentidos
opuestos. La entrada de una corriente y la salida
de la otra se encuentran en el mismo extremo del
equipo. Es muy frecuente, por su mayor eficacia
respecto a otros tipos de flujo.
flujo cruzado. Flujo de corrientes que se desplazan en
direcciones perpendiculares entre sí. Suele ser una
alternativa al flujo en contracorriente, cuando una
de las fases es gaseosa. Ejemplo: secado de sólidos
con corriente de aire.
flujo en paralelo. Flujo de corrientes que se desplazan en la misma dirección y sentido. Las corrientes entran juntas por un extremo del equipo y salen
juntas por el contrario. Es poco frecuente por su
menor eficacia.
operación continua. Operación que transcurre continuamente, sin etapas de carga y descarga, por lo
que las corrientes entran y salen permanentemente
del equipo en el que se produce la transformación.
Suelen transcurrir en régimen estacionario.
operación discontinua. Operación que consta de una
fase inicial (carga), una fase de transformación y
una fase final (descarga), que transcurre por tanto en régimen no estacionario. También se denomina operación por cargas.
operación semicontinua. Operación en la que unos
componentes siguen el proceso de una operación
discontinua (carga, transformación y descarga)
mientras que otros entran y salen en una corriente permanente durante la transformación, como
en una operación continua.
régimen estacionario. Régimen de funcionamiento en
el que las variables no dependen del tiempo, manteniéndose los valores constantes durante el proceso. Es característico de las operaciones continuas a escala industrial.
Capítulo 3: Operaciones básicas de los procesos químicos
45
régimen no estacionario. Régimen de funcionamiento
en el que las variables dependen del tiempo, modificando sus valores durante el transcurso del proceso. Es característico de las operaciones discontinuas.
variable de diseño. Cada una de las variables independientes de un sistema que son fijadas para que
el mismo quede determinado (tenga igual número de incógnitas que de ecuaciones independientes). Ello permite determinar el resto de las variables del sistema, denominadas variables de estado.
3.1. Introducción
proceso químico-industrial. Estas operaciones, que se
repiten en los diferentes procesos químicos, se basan
en principios científicos comunes y tienen técnicas de
cálculo semejantes independientemente de la industria en que se apliquen y del producto que esté siendo obtenido. La filtración, la absorción, la rectificación, la extracción, la lixiviación o la adsorción
constituyen ejemplos de operaciones básicas de gran
aplicación en la industria química; su fundamento,
desarrollo, técnica de cálculo, etc. es la misma, con
independencia de si se aplica en la industria del cemento o en la del petróleo.
De entre las operaciones básicas destacan por su
importancia el conjunto de aquellas conocidas como
operaciones de separación por transferencia de materia, cuya actuación se produce sobre una corrientealimento formada por una mezcla de compuestos en
una fase única, con el objetivo de separar dos o más
corrientes-producto de diferente composición. Para
ello es necesaria la presencia de una segunda fase
inmiscible con el alimento que actúe como receptora
de alguno de los compuestos que se desean separar.
En algunos casos esta segunda fase se genera a partir de la inicial, por evaporación o condensación, al
cambiar las condiciones de presión y temperatura:
caso de la destilación, la rectificación o la evaporación. Pero en otros casos la segunda fase aparece por
adición sin proceder de la mezcla original, es decir,
añadiendo un disolvente adecuado: es el caso de la
extracción o la absorción.
En la actualidad, los aspectos medioambientales
y energéticos impulsan el desarrollo de operaciones
que no necesitan de la generación de una segunda fase,
porque en lugar de basarse en el equilibrio entre fases
inmiscibles se fundamentan en la cinética de la transferencia. En este sentido, los procesos de separación
a través de membranas semipermeables o mediante
aplicación de campos eléctricos (separación de compuestos con carga) o campos magnéticos presentan
unas expectativas crecientes de uso industrial.
En general, en cualquier proceso químico industrial han de producirse tres conjuntos sucesivos de etapas cuyos objetivos son la preparación de los reaccionantes, la reacción química y la separación de los
productos obtenidos, si bien alguno de los mismos puede resultar innecesario en procesos concretos. Cuando
se aborda el estudio de dichos procesos industriales se
siguen básicamente dos enfoques alternativos: el más
clásico se centra en la descripción de los procedimientos seguidos y de los equipos empleados en cada industria, recorriendo las diversas operaciones que comprende (enfoque típico de la Química Industrial),
mientras que el otro consiste en el estudio sistematizado de cada una de las operaciones que son comunes a
diversos procesos industriales clasificadas de acuerdo
con su función específica (Operaciones Básicas).
Este segundo enfoque, menos descriptivo y más
científico y sistemático será el considerado en esta
obra. En efecto, el conocimiento tanto de los principios fundamentales y de las variables que determinan
la naturaleza y desarrollo de cada operación en particular, como de sus aplicaciones, resulta de gran utilidad para el ingeniero químico con independencia del
tipo de industria en que se vaya a emplear. Por ello,
el estudio de las operaciones básicas constituye un
método adecuado para ordenar y aplicar los conocimientos de la Ingeniería Química al objetivo de proyectar y hacer funcionar las instalaciones químicoindustriales.
3.2. Concepto de operación básica
Una operación básica, también conocida como
operación unitaria, es cada una de las operaciones o
etapas individuales con una función específica diferenciada que, coordinadas, permiten llevar a cabo un
46
Introducción a la Ingeniería Química
3.3. Operaciones continuas,
discontinuas y semicontinuas
Según el modo en que las corrientes de alimento
y producto entren y salgan del equipo a lo largo del
tiempo pueden distinguirse tres tipos de operaciones
básicas: continuas, discontinuas y semicontinuas.
En las operaciones continuas la corriente de entrada
se alimenta permanentemente al equipo sin interrupción, a la vez que los productos son retirados del mismo
de igual modo. Por esta razón, el tamaño del equipo
necesario para una determinada operación, por ejemplo su volumen (m3), vendrá determinado por el caudal
de alimento que se desea tratar o de producto que se
desea obtener (m3/h) y por la velocidad con que se lleva a cabo la operación (h–1), que a su vez será función
de las condiciones que influyen sobre ella (P, T, …).
El régimen normal de funcionamiento de las operaciones continuas (excepto durante los períodos de parada y puesta en marcha) es el régimen estacionario, lo que
significa que el tiempo no influye sobre los valores de las
variables intensivas características del proceso (presión,
temperatura, etc.). Así, en las operaciones continuas se
espera que el comportamiento del sistema sea el mismo
en cualquier instante, como se muestra en la figura 3.1a.
El hecho de que el régimen sea estacionario (el
tiempo no influye) no implica que las variables sean
constantes, puesto que sus valores cambian con la posición, sino únicamente que en cada punto no se modifican a lo largo del período de funcionamiento de la
operación. No obstante, conviene mencionar que en
la práctica industrial resulta inevitable que en algunos
momentos se produzcan alteraciones no deseadas de
los valores de las variables (fluctuaciones) así como
que aparezcan descensos progresivos en la velocidad
de operación del sistema debidos a deterioros, ensuciamientos, envejecimiento o envenenamiento de catalizadores, etc. que conllevan un descenso en la eficiencia del mismo. Lo más habitual es que dichas
alteraciones en el régimen sean incorporadas en los
cálculos operando con valores promedio de las variables, por lo que realmente habría que hablar de régimen estacionario promedio.
En las operaciones discontinuas (figura 3.1b), también conocidas como operaciones intermitentes o por
cargas, el procedimiento consiste habitualmente en
introducir inicialmente en el equipo la totalidad del alimento que va a ser tratado (carga), procesarlo y finalmente retirar la totalidad de los productos (descarga).
Éste es el modo en que operan los reactores disconti-
nuos (carga-reacción-descarga) o los equipos de extracción líquido-líquido por cargas (mezcla de fases-extracción-separación de fases). Sin embargo hay operaciones en que esto no es así, como en la destilación
diferencial, en la que el alimento se introduce en la caldera en una sola carga, pero el destilado se retira del
equipo continuamente a lo largo de la operación (capítulo 12).
En cualquier caso, y a diferencia de las operaciones continuas, el tiempo aquí sí influye, y de manera
decisiva. Precisamente, la variable clave que determina el tamaño del equipo en las operaciones discontinuas es el tiempo de operación necesario para
alcanzar las características deseadas del producto. Por
tanto, el régimen de funcionamiento de las operaciones discontinuas es el régimen no estacionario, en el
cual las variables modifican sus valores, desde un valor
inicial hasta un valor final.
Al ser, en general, la productividad de las operaciones continuas más elevada que la de las discontinuas, la mayoría de las operaciones de los procesos
químicos resultan económicamente más rentables si
se mantiene el equipo operando de modo continuo,
es decir con el mínimo de paradas y puestas en marcha. Las operaciones implicadas en la obtención de
productos de gran tonelaje (etileno, benceno, amoníaco, hidrógeno, etc.) suelen ser continuas, como la rectificación del crudo en las refinerías de petróleo, la
absorción para la preparación de ácidos sulfúrico y
nítrico o la extracción de aromáticos, previa a la formulación aceites lubricantes (capítulo 17).
Sin embargo, cuando se opera a pequeña escala,
se fabrican compuestos de alto valor añadido o existen algunas condiciones específicas del producto
(corrosión, etc.) que motiven que las paradas hayan
de ser frecuentes, puede resultar más adecuada la operación discontinua. Ejemplos de operaciones discontinuas en procesos industriales son: la filtración para
separaciones en la industria agroalimentaria, la cristalización en balsas empleada en la producción de sal,
los reactores químicos en la fabricación de colorantes
y productos farmacéuticos o el templado del acero.
En algunas operaciones, una de las corrientes entra
y sale continuamente del equipo mientras que otra u
otras se cargan y descargan de forma discontinua. Estas
operaciones, de características intermedias entre las
anteriores, se denominan operaciones semicontinuas y
en ocasiones, si se emplean combinando varias unidades, puede conseguirse con ellas un resultado global
semejante al que se alcanzaría con una operación con-
Capítulo 3: Operaciones básicas de los procesos químicos
47
FIGURA 3.1. Esquema de una operación: a) continua, b) discontinua, y c) semicontinua.
tinua. Sin embargo, a diferencia de éstas, las operaciones semicontinuas transcurren en régimen no estacionario, puesto que los valores de las variables evolucionan a lo largo del tiempo (figura 3.1c).
Ejemplos de aplicación industrial de operaciones
semicontinuas son la lixiviación de minerales o el secado de materiales en corriente de aire. En el primer caso,
se carga el mineral y se somete a una corriente de ácido
que va disolviendo parte del mismo (mena), obteniéndose una corriente más rica en mineral a la salida. El
mineral agotado se descarga al final de la operación.
Análogamente, en el secado de sólidos, se carga el material y se pone en contacto con una corriente de aire seco,
hasta que se elimina la cantidad de agua deseada, descargándose a continuación el material seco.
Tradicionalmente se ha considerado todo un conjunto de ventajas e inconvenientes de las operaciones
continuas frente a las discontinuas, destacando entre
las ventajas los aspectos relativos a la escala de ope-
ración, la eficiencia energética o la automatización y
entre las desventajas la falta de versatilidad o los
requerimientos de uniformidad de las materias primas. En el cuadro 3.1 se presentan algunas de ellas.
En la actualidad, debido a la evolución tecnológica y
económica de las dos últimas décadas, las características de las operaciones discontinuas han cambiado
notablemente, por lo que resulta recomendable que
las reflexiones comparativas de detalle se efectúen
caso por caso.
3.4. Contacto entre fases inmiscibles:
continuo o discontinuo
Un gran número de operaciones básicas industriales
implican la transferencia de materia entre dos o más
fases inmiscibles, es decir, el paso de algunos componentes de una fase a otra como, por ejemplo, en la extrac-
48
Introducción a la Ingeniería Química
CUADRO 3.1
Ventajas y desventajas tradicionales de las operaciones continuas respecto a las discontinuas
Ventajas
Economía de escala (grandes producciones)
Fácil recuperación o aportación de calor
Reducción de la mano de obra (automatización)
Eliminación de tiempos muertos (carga y descarga)
Mayor uniformidad de los productos
Mayor producción por unidad de volumen
ción con disolventes (dos líquidos inmiscibles) o en la
destilación (fases líquido y vapor). Para ello resulta
imprescindible que las fases se pongan en contacto adecuadamente.
Un modo muy utilizado de conseguir este objetivo
consiste en mezclar intensamente las fases inmiscibles
para facilitar que la transferencia de materia se produzca rápidamente y dejar que transcurra el tiempo necesario hasta que se haya alcanzado entre las mismas el transporte de propiedad deseado (idealmente hasta alcanzar
el equilibrio), posteriormente dejar que las fases resultantes se separen y conducirlas a otra nueva etapa similar. Este modo de operar, en el que las fases alternan los
períodos en que están en contacto con otros períodos en
los que no lo están, se conoce como contacto discontinuo,
intermitente o por etapas, también denominado contacto
interrumpido. Si las fases disponen del suficiente tiempo
para alcanzar el equilibrio en cada etapa, ésta se conoce
como etapa de equilibrio o ideal. Obviamente esto último
supone una simplificación del comportamiento del sistema ya que, como es sabido, el tiempo de contacto necesario para alcanzar el equilibrio termodinámico tiende a
infinito. Por ello, en la práctica, el equipo se evalúa expresando los cambios que se producen en una etapa real
como una fracción de los que se producirían si se alcanzara el equilibrio. Esta fracción es conocida como rendimiento o eficacia de la etapa.
Aunque en algún caso las operaciones puedan contar con una única etapa de contacto, lo más habitual es
el empleo del contacto múltiple (distintas etapas sucesivas), que permite un mayor transporte de propiedad.
Los cálculos fundamentales para establecer el tamaño del equipo en el que se llevan a cabo operaciones
básicas industriales con contacto múltiple se efectúan
a partir de las relaciones estequiométricas y de equilibrio del sistema, y consisten principalmente en la determinación del número de etapas de equilibrio necesarias. Conocido éste y la eficacia de la etapa, resulta
sencillo calcular el número necesario de etapas reales.
Desventajas
Se requiere uniformidad de composición de materias primas
y reaccionantes
Difícil versatilidad (adaptación de la producción al consumo)
Arranque y parada complicados (grandes instalaciones)
Equipo de instrumentación y control costoso
En general, el equipo para las operaciones de contacto discontinuo varía ampliamente en sus formas,
tamaños y detalles de construcción. Sin embargo destacan por la frecuencia de su uso las columnas de pisos
o platos, consistentes básicamente en un recipiente
cilíndrico dividido en pisos, a cada uno de los cuales
acceden las fases ascendentes y descendentes que han
de ponerse en contacto a través de los dispositivos
adecuados. En la figura 3.2 se representa esquemáticamente una sección de este tipo de columnas y de
uno de los pisos que la constituyen.
FIGURA 3.2. Columna de contacto intermitente múltiple:
a) esquema de la columna, b) detalle de la circulación de
las fases (L,V), y c) detalle de un piso (vista superior).
Capítulo 3: Operaciones básicas de los procesos químicos
A diferencia del caso anterior, si durante la operación las fases están permanentemente en contacto, es
decir, no existen etapas o períodos de contacto diferenciados ni períodos o zonas de separación de las fases,
el modelo se denomina contacto continuo. En este caso
la variable clave para el diseño del equipo es la velocidad con la que se produce el transporte de propiedad
por unidad de superficie o de volumen del mismo. Los
equipos de contacto continuo más frecuentemente utilizados son las columnas de relleno que consisten en una
carcasa o recipiente (normalmente cilíndrico), en el interior del cual se encuentra un material de relleno, que
está formado por cuerpos sólidos que pueden ser de
diferentes formas y tamaños, y cuyo objetivo es favorecer la transferencia entre las fases, proporcionando
la máxima superficie de contacto con la menor pérdida
de presión posible. En la figura 3.3 se muestra el esquema de una columna de contacto continuo y de algunos
tipos de rellenos, cuyo funcionamiento se estudiará más
adelante en el capítulo 12.
La mayor parte de las operaciones de separación
industriales se desarrollan con contacto continuo y, si
el concepto se emplea en sentido amplio, incluso las
operaciones cuyo objetivo no es la transferencia de
materia presentan con frecuencia este tipo de contacto. De hecho, el transporte de otras propiedades
extensivas, como la energía o la cantidad de movimiento o la mayoría de las reacciones químicas se producen con contacto continuo entre las corrientes implicadas. Ejemplos al respecto se encuentran en el
calentamiento o enfriamiento de fluidos en cambia-
49
dores de calor (capítulo 10) o en los reactores de lecho
fijo y lecho fluidizado (capítulo 14).
3.5. Flujo en paralelo,
en contracorriente y cruzado
Como se ha indicado anteriormente, en muchas
de las operaciones básicas de la industria química se
ponen en contacto, continuo o discontinuo, dos
corrientes con objeto de que se produzca entre las mismas el transporte de una o varias propiedades extensivas, materia, energía o cantidad de movimiento y/o
una reacción química. El éxito en la consecución del
objetivo mencionado depende, entre otros factores,
de las características de la circulación de las fases a
través del equipo, por lo que resulta importante establecer el tipo de flujo que presentan y su repercusión
sobre los resultados de la operación.
Cuando las corrientes se mueven en la misma
dirección y sentido, la circulación se denomina flujo
en paralelo y el transporte máximo de propiedad que
puede producirse está limitado por las condiciones de
equilibrio termodinámico entre las fases a su salida
del equipo. Esto supone que una operación continua
con flujo en paralelo nunca puede superar los resultados que se alcanzarían en una única etapa de equilibrio. Esta circunstancia se muestra gráficamente en
la figura 3.4, donde se representa la circulación de las
corrientes y la evolución de la concentración de propiedad extensiva a lo largo del equipo. Las condicio-
FIGURA 3.3. a) Columna de relleno, contacto continuo, b) rellenos.
50
Introducción a la Ingeniería Química
FIGURA 3.4. Operación con flujo en paralelo.
nes de equilibrio, en el mejor de los casos, se alcanzarían en el punto (2), que corresponde a las condiciones de salida de ambas corrientes.
Si las corrientes se desplazan en la misma dirección,
pero en sentidos opuestos, será posible alcanzar mayores transportes de propiedad extensiva y superar por
tanto el límite anterior, independientemente de que su
contacto sea continuo o intermitente. Ahora la operación es equivalente a varias etapas ideales, con el límite para el transporte establecido por las condiciones de
equilibrio entre una corriente a la salida y la otra a la
entrada, ambas en uno de los extremos del equipo (figura 3.5). Este tipo de circulación se conoce como flujo
en contracorriente y se utiliza en la mayoría de las operaciones de la industria química por su mayor eficacia.
De hecho, así se desarrollan habitualmente las operaciones de rectificación, absorción, extracción, enfriamiento de agua en torres de relleno, etc. Por su parte,
el flujo en paralelo suele aplicarse únicamente en situaciones muy específicas como, por ejemplo, la absorción
de un gas puro o el intercambio de calor en que uno de
los fluidos experimenta un cambio de estado. En estos
casos, las condiciones de una de las corrientes no cambian a lo largo del equipo y por tanto se puede alcanzar el mismo transporte con flujo en paralelo que en
contracorriente. En la figura 3.5 se presentan los esquemas y perfiles de concentración de propiedad en dos
equipos con flujo en contracorriente. Las condiciones
de equilibrio se podrían alcanzar en el punto (1) o en
el punto (2), pero serían en cualquier caso más favorables que las de equilibrio del caso anterior, figura 3.4
punto (2).
FIGURA 3.5. Operación con flujo en contracorriente:
a) contacto continuo, y b) contacto intermitente.
Cuando las corrientes se mueven en direcciones
diferentes, perpendicularmente entre sí, su circulación
se conoce como flujo cruzado y, paralelamente al caso
anterior, el transporte está limitado por las condiciones de equilibrio entre las diferentes corrientes de salida, pero en cada zona del equipo, por lo que también
resulta equivalente a varias etapas de equilibrio. Un
ejemplo de este tipo de flujo es el que se produce en
algunas configuraciones de cambiadores de calor (capítulo 10), como la que se representa en la figura 3.6 o
también en el secado de sólidos en cintas transportadoras (cinta horizontal y corriente de aire vertical), y
en algunas torres de enfriamiento de agua (agua descendente y corriente de aire horizontal).
Cuando en una operación continua el flujo es en
contracorriente, el contacto puede ser, como ya se ha
visto, continuo o discontinuo, mientras que cuando su
Capítulo 3: Operaciones básicas de los procesos químicos
51
F IGURA 3.6. Cambiadores de calor con flujo cruzado
con un paso por los tubos.
flujo es en paralelo o cruzado sólo tiene sentido el contacto continuo. Sin embargo, puede ocurrir que en una
operación con flujo cruzado una de las corrientes tenga contacto múltiple, es decir, que una de las salidas
de cada etapa constituya un producto mientras que la
otra sea puesta de nuevo en contacto con alimento
fresco. Este modo de operar se denomina contacto
repetido y se pueden encontrar ejemplos de aplicaciones industriales del mismo en la extracción líquido-líquido, la lixiviación de minerales y semillas, etc.
En la figura 3.7 se presentan los esquemas y perfiles
de concentración en dos aparatos con flujo cruzado,
con contacto continuo y repetido respectivamente. En
el caso de los ejemplos de extracción y lixiviación citados, la corriente A sería la corriente a tratar y la
corriente B el disolvente.
En el cuadro 3.2 se resumen los distintos métodos
de trabajo en las operaciones básicas, incluyendo los
tipos de flujo, así como los de operación y contacto
entre fases.
Conviene destacar que los tipos de flujo indicados
están referidos al equipo en su conjunto, a escala
macroscópica, y no a cada uno de los puntos del mismo. Un ejemplo que puede ilustrar esta diferencia aparece en la operación de rectificación con contacto discontinuo en columnas de pisos de campanas o placas
perforadas (capítulo 12). Si se observa con detalle el
flujo en un piso (ver figura 3.2) se aprecia que el gas
fluye verticalmente hacia arriba atravesando el líquido, mientras que éste lo hace lateral o radialmente
FIGURA 3.7. Operación con flujo cruzado: a) con contacto continuo, b) con contacto repetido.
sobre el plato desde su punto de acceso procedente del
piso superior hasta el de su descarga al piso inferior
(de izquierda a derecha). No obstante, el tipo de flujo
global que caracteriza a las corrientes en esta operación es en contracorriente, ya que el vapor asciende y
el líquido desciende a lo alto de la columna.
CUADRO 3.2
Métodos de trabajo en las operaciones básicas
Régimen
Estacionario
No estacionario
Operación
Continua
Discontinua
Semicontinua
Flujo
En contracorriente
En paralelo
Cruzado
Contacto entre fases
Continuo (relleno)
Por etapas o intermitente (pisos)
Repetido (varias corrientes)
52
Introducción a la Ingeniería Química
En muchos casos se requieren separaciones con
unas especificaciones que no resulta posible alcanzar con ninguno de los tipos de flujo mencionados
anteriormente, incluido el flujo en contracorriente
con equilibrio. En dichas circunstancias puede conseguirse una separación más completa generando
reflujo en uno o ambos extremos del equipo de contacto e introduciendo la corriente de alimentación
en una zona intermedia del mismo. En la figura 3.8
se esquematiza una operación con reflujo en el extremo superior del equipo, mostrándose que la corriente de reflujo procede de una de las corrientes de salida originales.
Un ejemplo de operación con reflujo lo constituye
la destilación fraccionada o rectificación continua, en la
que la corriente de reflujo es una parte de la corriente
“destilado”, que se devuelve como líquido a la columna. Su misión es proporcionar una corriente descendente que permita un contacto con la fase vapor ascendente, a la que “enriquece” en los componentes más
volátiles, retirando de ella los componentes más pesados (menos volátiles). Esta operación y el importante
papel que juega la corriente de reflujo se describe con
más detalle en el capítulo 12.
FIGURA 3.8. Operación en contracorriente con reflujo
en un extremo de la cascada.
3.6. Clasificación de las operaciones
básicas y de los reactores químicos.
Flujos controlantes
El concepto de operación básica resulta aplicable tanto a aquellas operaciones que suponen un
cambio en alguna característica física de las corrientes tratadas como a las que implican transformaciones químicas: las primeras se suelen denominar operaciones básicas físicas y las segundas, por analogía,
operaciones básicas químicas. Entre las primeras destacan la filtración, la sedimentación, la fluidización,
la evaporación, la rectificación, la absorción, la
extracción, la lixiviación, la adsorción, la humidificación, la cristalización o la liofilización, y entre las
segundas se encuentran todas las que conllevan algún
tipo de reacción química: nitración, cloración, oxidación, hidrólisis, etc. Debe señalarse, no obstante,
que así como el concepto de operación básica física
es de gran utilidad y aplicación, por tratarse de idénticos fundamentos y formas de aplicación con independencia del sistema de que se trate (mezcla binaria a separar, naturaleza del líquido y del sólido, etc.),
no puede decirse lo mismo en el caso de las operaciones básicas químicas, ya que de por sí cada reacción química tiene sus propias características (naturaleza de reaccionantes y productos, termodinámica,
cinética, etc.), lo que la hace intrínsecamente distinta a las demás.
Por su parte, las operaciones básicas físicas de separación por transferencia de materia pueden clasificarse de acuerdo con diversos criterios. Así, según el
tipo de superficie interfacial a través de la que se produce el transporte, se clasifican en sólido-líquido, líquido-líquido, líquido-gas y sólido-gas. No tendría sentido en Ingeniería Química el estudio de las operaciones
sólido-sólido, por su extraordinaria lentitud, aunque
tienen interés desde el punto de vista metalúrgico (formación de fases en aleaciones, etc.). Tampoco lo tienen las operaciones con superficie interfacial gas-gas
por no existir nada más que una fase.
Entre las operaciones de separación gas-líquido se
encuentran la absorción-desorción, la humidificacióndeshumidificación de aire, la rectificación y la evaporación; entre las operaciones de separación con superficie interfacial líquido-líquido destaca la extracción,
entre las operaciones líquido-sólido, la adsorcióndesorción, el intercambio iónico, la lixiviación y la cristalización y entre las operaciones gas-sólido la adsorción-desorción (cuadro 3.3).
Capítulo 3: Operaciones básicas de los procesos químicos
53
CUADRO 3.3
Clasificación de las operaciones básicas de separación
Criterio
Según las
fases que
Fases y mecanismos
Gas-líquido
Absorción/desabsorción
Rectificación
Humidificación/deshumidificación
Evaporación
Líquido-líquido
Extracción
Líquido-sólido
Adsorción/desorción
Intercambio iónico
Lixiviación (extracción líquido-sólido)
Cristalización
Gas-sólido
Adsorción/desorción
Secado
Liofilización
Transferencia de materia
Rectificación
Absorción/desabsorción
Adsorción/desorción
Extracción
Lixiviación
Intercambio iónico
Transmisión de calor
Evaporación
Tranferencia de materia +
+ transmisión de calor
Humidificación/deshumidificación
Secado
Cristalización
Liofilización
intervienen
Según el
mecanismo
controlante
Operación básica
Si se toma en consideración un segundo criterio,
la propiedad extensiva cuyo flujo controla la velocidad global de la operación, también denominado
mecanismo controlante (este concepto se estudia más
detalladamente en el capítulo 5), la clasificación resultante difiere de la anterior. Hay que tener en cuenta
que la transferencia de materia que caracteriza a estas
operaciones va acompañada siempre del transporte
de las otras propiedades extensivas, cantidad de movimiento y energía, que también influirán de un modo
decisivo en el diseño del equipo. El transporte de cantidad de movimiento puede determinar las condiciones fluidodinámicas del sistema y por tanto el propio
grado de contacto entre las fases. Por su parte, el transporte de energía puede ser determinante por su decisiva influencia sobre los cambios de estado físico de
los componentes de las fases, controlando con ello la
velocidad con que transcurre la operación.
Así, las operaciones de rectificación, absorción,
adsorción, extracción, lixiviación e intercambio iónico son controladas por el flujo de transferencia de
materia, la evaporación por el flujo de transmisión de
calor y las de cristalización, humidificación-deshumidificación, secado y liofilización presentan control mixto de los transportes de materia y calor.
De este modo, por ejemplo, la destilación de una
mezcla binaria etanol-agua, para obtener alcohol de
96%, está controlada por la velocidad con la que el
componente más volátil (etanol) es capaz de pasar de
la fase líquida a la fase vapor, en la que se concentra,
pero no está controlada por la velocidad con que se
aporta la energía calorífica para el cambio de fase. Por
el contrario, en la evaporación de un líquido (disolvente de una disolución) la velocidad de la operación
está controlada por el flujo de calor necesario para el
cambio de fase (en este caso no hay enriquecimiento
de la fase vapor, pues sólo se evapora un componente, el disolvente).
Respecto a las operaciones básicas químicas, aunque los principios en que se fundamente su diseño sean
siempre los mismos, las diferencias que las distintas
reacciones químicas presentan entre sí, como ya se ha
indicado, conducen a la existencia de una extraordinaria variedad de equipos en los que llevarlas a cabo.
54
Introducción a la Ingeniería Química
Así, dependiendo del tipo de reacción química y de
las fases implicadas en la misma se utilizan reactores
diferentes, por ejemplo reactores de tipo tanque agitado o reactores tubulares para las reacciones homogéneas; reactores de lecho fijo o de lecho fluidizado
para las reacciones heterogéneas con presencia de sólidos, etc. (capítulo 14). Además hay una gran variedad
de reacciones específicas que requieren un tipo de
reactor característico y propio de las mismas como,
por ejemplo, los fermentadores, los reactores electroquímicos y los fotoquímicos, etc.
pendientes que las relacionan. De esta manera se dispondrá de un sistema en el que existan tantas ecuaciones como incógnitas.
Las variables cuyo valor se fija para tener el sistema determinado se denominan variables de diseño
(VD) y las que se calculan a partir de las mismas variables de estado.
Una adecuada selección de las variables que se
constituirán en variables de diseño resulta de extrema importancia, ya que determinará los métodos de
cálculo necesarios y, por tanto, la dificultad que supondrá la obtención de los valores del resto de las variables.
3.7. Variables de diseño
de las operaciones básicas
3.7.1. Cálculo del número de variables de diseño
Las operaciones básicas de la industria química
implican el concurso de un elevado número de variables (V) que es necesario conocer y controlar para
obtener los resultados deseados. De ellas, las variables de construcción (VC) se refieren a las características de los diferentes elementos o etapas que componen el sistema (número y dimensiones de los
mismos), mientras que las variables intensivas (VI) y
las variables extensivas (VE) caracterizan a las corrientes que entran o salen de dichas etapas: las primeras
son la presión, la temperatura y las concentraciones
de cada corriente y las segundas los caudales de dichas
corrientes.
V = VI + VE + VC
De acuerdo con lo expuesto en el apartado anterior, la primera etapa de la selección de las variables
de diseño consistirá en la determinación del número
de éstas que es necesario fijar.
El método a seguir consiste en hacer la determinación en unidades sencillas para, a partir de ellas,
obtener las que corresponden a esquemas más complejos. Para el caso más simple, una etapa aislada, el
número de variables de diseño puede expresarse como:
VD = V − E = ( VI + VE ) − (EI + E E ) + VC =
= (VI − EI ) + (VE − E E ) + VC
[3.2]
[3.1]
Estas variables se encuentran ligadas entre sí por
las leyes de equilibrio, las leyes cinéticas y las de conservación de materia, energía y cantidad de movimiento, así como por el hecho de que sus valores,
cuando corresponden a una corriente que comunica
dos etapas entre sí (corrientes comunes) han de ser
los mismos para ambas (etapa de la que sale y etapa
en la que entra).
Todo ello permite generar un conjunto de ecuaciones independientes (E), cuyo número es normalmente menor que el de las variables a determinar, de
modo que el sistema obtenido consta de más incógnitas que ecuaciones, es decir, no está determinado.
En esta situación, para poder llevar a cabo el diseño del sistema y fijar sus condiciones operativas resulta imprescindible que previamente sean establecidos
los valores de una cantidad de variables igual a la diferencia entre su número total y el de ecuaciones inde-
donde EE y EI representan el número de ecuaciones
independientes que relacionan entre sí a las variables
extensivas e intensivas respectivamente.
El número de variables intensivas y extensivas
libres será por tanto (VI – EI) y (VE – EE). Las primeras se denominan libertades (L) y, para un sistema
cualquiera en equilibrio, de acuerdo con la regla de
las fases, pueden calcularse como:
VI − EI = L = (C + 2 ) − F
[3.3]
donde C es el número de componentes del mismo y
F el número de las fases que lo integran.
Si la etapa incluyera varios sistemas en equilibrio,
su número total de libertades se obtendría sumando
las libertades correspondientes a todos ellos:
LEtapa = ∑ L Sistemas eq.
[3.4]
Capítulo 3: Operaciones básicas de los procesos químicos
Por otro lado, si lo que se pretende es calcular el
número de variables de diseño de un equipo formado por varios elementos, pero con un cierto número
NC de corrientes que conectan elementos contiguos,
el número total de variables de diseño del mismo se
corresponderá con la suma de la totalidad de las variables de diseño de las etapas independientes menos el
número de éstas que sean comunes para cada dos etapas que conectan.
Como cada corriente está caracterizada por (C – 1)
concentraciones más la temperatura y la presión como
variables intensivas y el caudal como variable extensiva, el total de variables comunes para cada corriente es
(C + 2) y el total para NC corrientes NC(C + 2).
Cuando corresponda, al resultado obtenido de las
operaciones anteriores hay que adicionarle el número de variables de construcción a considerar (VC).
A continuación, a modo de ejemplo, se presenta el
cálculo del número de variables de diseño de algunos
casos sencillos de carácter general.
De acuerdo con su propia definición, en una etapa de contacto ideal se alcanza el equilibrio (eficacia
del 100%), por lo que no es necesario alargar el tiempo de contacto o ampliar el volumen recorrido por las
fases. Es decir, no hay una variable adicional (variable de construcción) que deba considerarse para tener
en cuenta el grado de acercamiento al equilibrio. Por
lo tanto, en el caso considerado de la etapa ideal, será
VC = 0. Como se verá, esto no ocurre en la etapa real,
en la que la eficacia podrá ser mayor o menor según
el tamaño de ésta, la intensidad de la mezcla y el tiempo de contacto.
Por otro lado, si se considera que la etapa está constituida por dos sistemas monofásicos de entrada y un
sistema bifásico en equilibrio de salida (dos fases que
abandonan la etapa en equilibrio, y que se separan posteriormente en dos corrientes monofásicas), de acuerdo con lo expuesto en el apartado anterior puede calcularse el número de variables intensivas libres:
(V
I
− EI
)
e
= LEtapa = ∑ L Sistemas =
(
)
= 2 C + 1 + C = 3C + 2
3.7.2. Cálculo del número de variables
de diseño de una etapa de contacto
Una etapa de contacto entre fases es aquella en
la que éstas son mezcladas con la pretensión de alcanzar el máximo de transferencia. Si este objetivo se
logra, se alcanza el equilibrio y la etapa es ideal, de
lo contrario, se trata de una etapa real. En la figura
3.9 se representan esquemáticamente ambos tipos de
etapas.
55
[3.5]
Este cálculo, como puede comprobarse fácilmente, es equivalente a considerar que existen cuatro
corrientes monofásicas, pero con dos de ellas ligadas
por las (C + 2) relaciones correspondientes a equilibrio de composición, presión y temperatura.
Por su parte, el número total de variables extensivas (VE) se corresponderá con el número de caudales
representativos de las corrientes que entran o salen
de la etapa. En este caso existen cuatro caudales de
materia y uno de energía neta (calor suministrado –
calor retirado): VE = 5.
Las ecuaciones (EE) que relacionan las variables
extensivas son los balances de materia de los C componentes y los de cantidad de movimiento y energía,
resultando en total EE = C + 2.
De todo lo anterior se obtiene que el número de
variables de diseño para una etapa ideal o teórica no
adiabática, de acuerdo con [3.2], será:
VD = (VI − EI ) e + (VE − E E ) e + VC =
(
)
= ( 3C + 2) + 5 − (C + 2) + 0 =
= 2C + 5
FIGURA 3.9. Etapa de contacto aislada: a) etapa de equilibrio (V y L en equilibrio), b) etapa real.
[3.6]
La diferencia fundamental entre la etapa ideal y la
etapa real, en cuanto a las variables se refiere, reside
56
Introducción a la Ingeniería Química
en que, mientras en la etapa ideal las corrientes que
la abandonan se encuentran ligadas por las relaciones
de equilibrio entre ambas, en la etapa real esto no ocurre, por lo que habría presentes cuatro corrientes
monofásicas independientes y, como consecuencia, el
número de variables intensivas libres sería:
(V
I
− EI
)
e
(
)
= LEtapa = ∑ L Sistemas = 4 C + 1
[3.7]
Por su parte, el número de variables de construcción en una etapa real no será cero, ya que la eficacia
de la etapa dependerá de las dimensiones de la misma. Así en este caso: VC = 1.
El número de variables extensivas (materia, cantidad de movimiento, etc.) no se ve afectado porque
el sistema no se encuentre en equilibrio, por lo que no
hay ningún cambio respecto a la etapa ideal. Sin
embargo, las ecuaciones que las relacionan sí se modifican, al conjunto de balances de materia, energía y
cantidad de movimiento hay que sumarle un número
igual de ecuaciones que se corresponden con las de
transporte de las mismas propiedades (ecuaciones
cinéticas). En el equilibrio, las condiciones de salida
del sistema están determinadas y no son necesarias las
ecuaciones cinéticas, pero no es así cuando no se alcanza el equilibrio. De hecho, el régimen de equilibrio
puede considerarse como el límite del régimen cinético. De este modo, el número de variables extensivas
libres para una etapa de contacto real será:
(VE − EE ) e = 5 − 2(C + 2)
anterior, se puede calcular directamente el número de
variables de diseño de una cascada de etapas de contacto como la que se presenta en la figura 3.10.
De acuerdo con el procedimiento indicado, el
cálculo se efectúa sumando el número de variables
de diseño de todas las etapas que componen la cascada, sustrayendo de la suma resultante el número
de variables comunes y adicionando las nuevas
variables de construcción que pueda haber.
En la cascada de N etapas de contacto, el número
de corrientes que conectan las etapas es NC = 2 (N – 1),
con lo que el número de variables comunes resulta:
VCOMUNES = N C (C + 2 ) = 2( N − 1)(C + 2 ) [3.10]
[3.8]
Por lo tanto, sustituyendo en la ecuación [3.2] los
resultados parciales alcanzados se obtiene el número
de variables de diseño para la etapa de contacto real:
FIGURA 3.10 Cascada de etapas de contacto.
VD = (VI − EI ) e + (VE − E E ) e + VC =
(
)
= 4(C + 1) + 5 − 2(C + 2) + 1 =
= 2C + 6
[3.9]
3.7.3. Cálculo del número de variables de diseño
de una cascada de etapas de contacto
Por otro lado, el número de etapas de contacto que
componen la cascada es por sí mismo una variable de
construcción a tener en cuenta: VC = 1. Con todo ello,
el número de variables de diseño de la cascada, si las
etapas son de equilibrio, resultará:
VD = ∑ VD, Etapa − VCOMUNES + VC =
N
Aplicando el procedimiento descrito en el apartado 3.7.1 y partiendo de los resultados del apartado
= N ( 2C + 5 ) − 2( N − 1)(C + 2 ) + 1 =
= 2C + N + 5
[3.11]
57
Capítulo 3: Operaciones básicas de los procesos químicos
y si se trata de etapas reales:
VD = ∑ VD, Etapa − VCOMUNES + VC =
N
= N ( 2C + 6 ) − 2( N − 1)(C + 2 ) + 1 =
= 2C + 2 N + 5
[3.12]
En caso de que, como se representa en la figura
3.10, las etapas de contacto fueran reales y adiabáticas, N de las variables de diseño de la ecuación [3.12]
estarían fijadas como consecuencia de ser nulos los
caudales netos de calor. Así, para la cascada de etapas reales adiabáticas resultaría un número de variables de diseño:
VD = 2C + N + 5
[3.13]
Si todas las etapas tuvieran la misma eficacia (igual
grado de aproximación al equilibrio), habría que disminuir el número de variables de diseño en (N – 1)
que estarían fijadas, de modo que en ese caso el número de variables de diseño sería:
VD = 2C + 6
[3.14]
3.7.4. Cálculo del número de variables
de diseño de sistemas complejos
Aplicando el mismo procedimiento del apartado
anterior es posible obtener el número de variables de
sistemas complejos a partir de la combinación de los
valores conocidos del número de variables de diseño
de unidades sencillas (incluidas cascadas de etapas de
contacto) que lo componen.
En la figura 3.12 se recogen los esquemas representativos de algunas de las unidades sencillas de
mayor interés junto con el número de variables de
diseño correspondientes a cada una de ellas. Estos
valores se obtienen de manera análoga a la aplicada
en el apartado 3.7.2 para una etapa de contacto.
A modo de ejemplo-resumen, a continuación se
presenta el cálculo de una cascada de etapas de extracción con reflujo, como la representada en la figura
3.11.
Se opera a partir del conocimiento de las variables
de diseño correspondientes a las etapas simples o conjuntos de etapas implicados.
FIGURA 3.11. Cascada de etapas de equilibrio
de una extracción con reflujo.
Así, de la figura 3.12 y de los apartados 3.7.2 y 3.7.3
se obtiene:
— Etapa de concentración: VD = C + 4.
— Cascada de etapas de la zona de enriquecimiento, con un total de N etapas: VD = 2C + N + 5.
— Etapa de alimentación: VD = 3C + 7.
— Cascada de etapas de agotamiento, con un total
de M – 1 etapas: VD = 2C + (M – 1) + 5.
De modo que el total de variables de diseño se calcula sumando los valores anteriores, correspondientes a las etapas o conjuntos de etapas implicados y restando del resultado el número de variables que son
comunes entre ellas por caracterizar a corrientes que
las comunican entre sí. A este valor se le sumaría, en
su caso, las variables de construcción necesarias.
De acuerdo con ello, teniendo en cuenta que en
este caso VC = 0 (total de variables de construcción
adicionales nulo) resulta:
VD = (C + 4 ) + ( 2C + N + 5 ) + ( 3C + 7 ) +
+ 2C + ( M − 1) + 5 − 2( 4 − 1)(C + 2 ) + 0 ∴
∴VD = 2C + M + N + 8
[3.15]
58
Introducción a la Ingeniería Química
FIGURA 3.12. Número de variables de diseño de elementos que componen las unidades.
El número de variables de diseño obtenido
correspondería a un sistema con intercambio de
calor en todas las etapas (no adiabáticas), pero en
el sistema cuyo número de variables de diseño se
está calculando, tal como está representado en la
figura 3.11, sólo existe intercambio de calor en una
de ellas, siendo el resto (M + N) adiabáticas, por lo
que el número final de variables de diseño estará
reducido en (M +N) variables de diseño, resultando finalmente:
VD = 2C + 8
[3.16]
Problemas
1. Calcular el número de variables de diseño de una
columna de rectificación con condensador y caldera parciales formada por una cascada de etapas
adiabáticas:
a) De equilibrio.
b) Reales.
2. Determinar el número de variables de diseño de
una columna de absorción formada por una cascada de etapas ideales no adiabáticas.
3. Establecer el número de variables de diseño de
una columna de rectificación formada por una cascada de etapas ideales adiabáticas, una etapa de
alimentación y otra de extracción de producto también ideales y adiabáticas y dotada de condensador total y caldera parcial.
4. Determinar el número de variables de diseño de una
columna de extracción, formada por una cascada de
etapas reales adiabáticas, a la que se alimentan dos
Capítulo 3: Operaciones básicas de los procesos químicos
59
disolventes, uno por su base y otro por la parte superior de la misma. El alimento se introduce en una
etapa intermedia y se extrae una corriente por cada
uno de sus extremos.
7. Una columna de absorción adiabática se puede
considerar formada por una cascada de etapas reales. Determinar su número de variables de diseño
si todas ellas tienen la misma eficacia.
5. Una unidad de lixiviación está formada por una
cascada de etapas adiabáticas, cuyo número se
encuentra especificado y todas ellas tienen la misma eficacia. Calcular su número de variables de
diseño:
8. Calcular el número de variables de diseño de una
columna formada por una cascada de etapas ideales adiabáticas, una caldera parcial y una etapa de
alimentación situada por encima de la cascada.
a) Cuando las etapas son ideales.
b) Cuando son reales.
6. En un equipo de destilación súbita adiabática se
alimenta una corriente líquida y se obtiene una
corriente líquida y otra vapor en equilibrio. Determinar el número de variables de diseño.
9. Una columna de destilación extractiva está compuesta por tres cascadas de etapas de equilibrio
adiabáticas, un condensador total con divisor de
corrientes, una caldera parcial y dos pisos de alimentación ideales y adiabáticos, en uno de ellos
se introduce la mezcla a separar y en otro el
disolvente. Calcular el número de variables de
diseño.
CUADRO-RESUMEN
Objetivos de las operaciones básicas
• Absorción. Separación de uno o varios componentes
de una mezcla gaseosa mediante su disolución selectiva en un líquido. (Ejemplo: absorción del NH3 del
aire en agua.)
• Adsorción. Separación de uno o varios componentes
de una mezcla líquida o gaseosa mediante un sólido
adsorbente. (Ejemplo: adsorción de compuestos fenólicos en disolución acuosa con carbón activo.)
• Centrifugación. Separación de sólidos o líquidos de
emulsiones o suspensiones mediante la actuación de
la fuerza centrífuga. (Ejemplo: separación del agua
mezclada con aceites vegetales en su proceso de
extracción.)
• Cristalización. Separación de un soluto de una disolución líquida mediante contacto con un sólido generado a partir de la misma. (Ejemplo: obtención de cloruro sódico del agua del mar.)
• Desabsorción (Inversa de la Absorción). Separación
de uno o varios componentes de una mezcla líquida
mediante un gas. (Ejemplo: tratamiento de aguas contaminadas por compuestos volátiles mediante arrastre
con aire.)
• Deshumidificación de aire. Separación parcial del
vapor de agua contenido en un aire húmedo median-
te agua a una temperatura suficientemente baja. (Ejemplo: acondicionamiento del aire.)
• Desorción (inversa de la Adsorción). Separación de
las sustancias adsorbidas sobre un sólido mediante un
disolvente, un vapor o un gas. (Ejemplo: recuperación
de olefinas previamente separadas de una fracción
petrolífera por adsorción en zeolitas.)
• Destilación. Separación de una mezcla líquida por
vaporización parcial de la misma y condensación del
vapor generado. (Ejemplo: obtención de alcohol etílico a partir de mezclas hidroalcohólicas.)
• Evaporación. Separación de los componentes volátiles
de una disolución en la que el soluto no es volátil por
generación de su vapor a partir de la misma mediante
calefacción. (Ejemplo: concentración de zumos de frutas por eliminación del agua.)
• Extracción. Separación de los componentes de una mezcla líquida mediante un disolvente inmiscible con ella.
(Ejemplo: extracción de aromáticos de los aceites lubricantes con furfural.)
• Filtración. Separación de las partículas suspendidas en
un fluido mediante su retención sobre un material poroso que es atravesado por éste. (Ejemplo: tratamiento
de aguas residuales mediante lechos de arena.)
60
Introducción a la Ingeniería Química
• Flotación. Separación de los componentes de una mezcla de sólidos por su diferencia de densidad y propiedades superficiales. (Ejemplo: separación de la
mena de la ganga en la industria metalúrgica mediante espumas.)
• Fluidización. Suspensión de partículas sólidas en el
seno de una corriente ascendente de fluido. Se emplea
como operación complementaria para facilitar el transporte de materia y calor. (Ejemplo: secado de sólidos,
adsorción, reacciones químicas heterogéneas, etc.)
• Humidificación de aire (Enfriamiento de agua). Transferencia de agua desde una corriente acuosa a una de
aire mediante su evaporación parcial sin aporte de calor
del exterior. (Ejemplo: acondicionamiento del aire, refrigeración del agua en una torre de una central térmica.)
• Lixiviación. Separación de uno o varios componentes contenidos en un sólido mediante un disolvente.
(Ejemplo: separación del aceite de cacahuete por
disolución en n-hexano, en el tratamiento de las semillas.)
• Rectificación. Separación, a través de sucesivas vaporizaciones parciales, de uno o varios componentes de
una mezcla líquida o gaseosa mediante la calefacción
o enfriamiento de ésta. (Ejemplo: separación del crudo de petróleo en fracciones petrolíferas de distinta
volatilidad.)
• Secado. Separación de un líquido que impregna un
sólido, mediante su vaporización en un gas, normalmente aire. (Ejemplo: secado de materiales cerámicos
porosos en corriente de aire caliente.)
• Sedimentación. Separación de partículas sólidas o
gotas de un fluido mediante la actuación de la gravedad. (Ejemplo: separación de lodos producidos en
el tratamiento de aguas residuales.)
4
INTRODUCCIÓN
A LOS FENÓMENOS
DE TRANSPORTE
4.1. Generalidades
4.2. Mecanismos del transporte molecular
y del transporte turbulento
4.3. Ecuaciones cinéticas en transporte
molecular: Leyes de Newton,
de Fourier y de Fick
4.4. Transporte turbulento: coeficientes
de transporte
4.5. Capa límite
62
Introducción a la Ingeniería Química
S
e realiza una introducción al estudio conjunto
de los transportes de tres propiedades extensivas de interés en Ingeniería Química: cantidad
de movimiento, energía y materia. Se analizan cualitativamente los mecanismos del transporte molecular de estas tres propiedades, basado en el movimiento individual de las moléculas y del transporte
turbulento, basado en el desplazamiento de grupos
o “enjambres” de moléculas. Mediente un tratamiento
fenomenológico se estudia el transporte molecular,
llegándose a los flujos de las mencionadas propiedades extensivas, expresados mediante las leyes de
Newton, Fourier y Fick. Asimismo, se introducen los
conceptos de coeficientes de transporte individuales
y globales para el tratamiento del transporte turbulento. Por último, se introduce el concepto de capa
límite fluidodinámica, sobre una superficie sólida
debido al transporte de cantidad de movimiento, y
se hace una extensión del concepto a las capas límite térmica y de concentración.
GLOSARIO
capa límite. Región de un fluido en movimiento en las
proximidades de una superficie sólida que se ve
influenciada por la presencia de ésta. En la capa
límite existen importantes gradientes de velocidad,
y puede haberlos también de temperatura y de
concentración (capas límite térmica y de concentración, respectivamente), concentrándose en ella
la mayor parte de la resistencia al transporte de
cantidad de movimiento, energía o materia.
coeficiente de transferencia de materia. Coeficiente
de transporte correspondiente a la transferencia de
materia. Relaciona el flujo de un componente
de una mezcla con la diferencia de concentraciones que lo produce.
coeficiente de transmisión de calor. Coeficiente de
transporte correspondiente a la transmisión de
calor. Relaciona el flujo de calor con la diferencia
de temperaturas que lo produce.
coeficiente de transporte. Constante que relaciona el
flujo de propiedad transportada (materia o energía) en un fluido en régimen turbulento con la fuerza impulsora –diferencia de concentración de dicha
propiedad– que lo provoca. Los coeficientes de
transporte se obtienen empíricamente y tienen su
justificación al no poderse aplicar en régimen turbulento las ecuaciones del régimen laminar para
el cálculo de los flujos de propiedad.
ley de Fick. Ley cinética del transporte molecular que
expresa la variación del flujo de componente de
una mezcla con el gradiente de concentración de
dicho componente (ecuación [4.13]). La variación
es lineal, siendo la constante de proporcionalidad
la difusividad o coeficiente de difusión molecular
del componente.
ley de Fourier. Ley cinética del transporte molecular
que expresa la variación del flujo de energía calorífica con el gradiente de temperatura (ecuación
[4.8]). La variación es lineal, siendo la constante
de proporcionalidad la conductividad calorífica del
fluido o sólido.
ley de Newton. Ley cinética del transporte molecular
que expresa la variación del flujo de cantidad de
movimiento con el gradiente de velocidad del fluido (ecuación [4.3]). La variación es lineal, siendo
la constante de proporcionalidad la viscosidad del
fluido.
perfil de concentraciones. Distribución de concentración de un componente de una mezcla en un fluido en la dirección del flujo de materia de ese componente. Se produce como consecuencia del
transporte de materia.
perfil de temperaturas. Distribución de temperaturas
en un fluido (o en un sólido) en la dirección del
flujo de calor. Se produce como consecuencia del
transporte de energía.
perfil de velocidades. Distribución radial o transversal de velocidades de un fluido en una conducción,
siendo la velocidad nula en contacto con la superficie sólida y máxima en el centro de conducción.
Se produce como consecuencia del transporte de
cantidad de movimiento.
Capítulo 4: Introducción a los fenómenos de transporte
tensión rasante. Fuerza de rozamiento viscoso que
ejerce un fluido en movimiento sobre una superficie sólida paralela al flujo (o un plano del propio
fluido) referida a la unidad de superficie. En una
conducción, es máxima en la superficie de la pared
y nula en el eje de la conducción.
transporte másico (flujo másico). Transporte de un
componente de una mezcla que se produce como
consecuencia del movimiento de un fluido, independientemente de que existan o no gradientes
de concentración de ese componente. Se superpone al transporte originado por dichos gradientes.
4.1. Generalidades
Prácticamente todas las operaciones básicas de la
industria química, sean físicas o químicas, se llevan a
cabo mediante el manejo de fluidos y sólidos, a los
que hay que impulsar, mezclar, calentar, enfriar, separar, concentrar o hacer reaccionar. Habitualmente,
estas actividades se realizan en el seno de una sola fase
–líquida o gaseosa–, o por contacto entre dos fases
inmiscibles, pudiendo haber uno o más mecanismos
controlantes (capítulo 3).
Pero a pesar de la amplia variedad de operaciones, desde el punto de vista conceptual, las transformaciones que están ocurriendo se pueden interpretar
teniendo en cuenta que lo que en realidad se está
transportando –tanto en una sola fase como entre dos
transporte molecular. Transporte de propiedad basado en el desplazamiento individual de las moléculas de un fluido debido a un gradiente de concentración de dicha propiedad. Es el único mecanismo
de transporte en régimen laminar.
transporte turbulento. Transporte de propiedad basado en el desplazamiento aleatorio de grupos o
“enjambres” de moléculas, debido a la existencia
de un gradiente de concentración de dicha propiedad. Se produce en régimen turbulento superpuesto al transporte molecular, que en este caso
pierde significación ya que el transporte turbulento
es mucho más intenso y efectivo.
fases distintas– es una o varias de las tres propiedades
extensivas fundamentales: cantidad de movimiento,
energía o materia (cuadro 4.1).
El diseño de las instalaciones en las que se llevan a
cabo estas operaciones, requiere el conocimiento de la
velocidad con que se realizan los transportes de estas
tres propiedades extensivas, generalmente expresados
como flujo de propiedad:
Flujo de propiedad =
Cantidad de propiedad extensiva
tiempo × superficie
[4.1]
Este flujo de propiedad se produce en el seno de
fluidos o entre fluidos y sólidos como consecuencia de
diferencias de concentración de propiedad extensiva
CUADRO 4.1
Expresiones de la concentración y del flujo de las propiedades extensivas
Propiedad extensiva
Cantidad de
movimiento
Concentración
de la propiedad extensiva
ρv (N/s)
Energía
ρc pT (J/m 3 )
Materia
ρ (kg/m 3 )
63
Flujo
de la propiedad extensiva
kg ⋅ m/s
m 2s
J
m 2s
=
=
N
m2
W
w
m2
kg
m 2s


fuerza


 unidad de superficie 
 potencia energética 


 unidad de superficie 

caudal másico 


unidad
de superficie 

64
Introducción a la Ingeniería Química
–gradientes de concentración de propiedad–, o del
denominado transporte másico. En el primer caso
representando la tendencia natural de los sistemas a
evolucionar espontáneamente hacia el equilibrio, con
una velocidad directamente proporcional a la diferencia entre las condiciones del sistema y las que
corresponderían al equilibrio. En el segundo caso debido al propio movimiento del fluido, lo que implica un
transporte de las tres propiedades vinculadas a éste.
Trataremos de centrar estas ideas con tres ejemplos
sencillos:
• En la circulación de un fluido por el interior de
una conducción (figura 4.1), debido al rozamiento con sus paredes se produce una pérdida de energía, estableciéndose regiones del fluido con distinta velocidad. El resultado es que
se establece un perfil de velocidades, es decir,
una distribución radial de velocidades, vx(r), y
por ello un transporte de cantidad de movimiento desde las zonas de mayor velocidad
hacia las de menor velocidad (véase también
capítulo 8). Pues bien, el cálculo de la energía
necesaria para impulsar el fluido requiere el
conocimiento de estas pérdidas por rozamiento, es decir, de los flujos de cantidad de movimiento, representados por las tensiones rasantes o de rozamiento.
• De forma similar, en el calentamiento de un
fluido que circula por el interior de una conducción (figura 4.2), debido al aporte de calor
a través de sus paredes se establecen regiones
del fluido con distinta temperatura, dando
como resultado la formación de un perfil de
temperaturas, T(r), y por ello un transporte de
energía desde las zonas más calientes hacia las
más frías. En este caso, el cálculo del área de
calefacción necesaria requiere el conocimiento del flujo de calor transferido en cada sección
transversal de la conducción.
• Paralelamente, en la evaporación de un líquido, como por ejemplo el alcohol, que se
encuentra en un recipiente abierto en contacto
con una corriente de aire (figura 4.3), se produce en la fase gaseosa una variación de la
composición en alcohol, lo que determina un
perfil de concentraciones, y por ello un transporte de materia (alcohol) desde la superficie
del líquido, (interfase alcohol-aire), hacia la
corriente del aire libre. En este caso, el cálculo de la cantidad de alcohol evaporada y la
sección transversal necesaria para ello requerirá el conocimiento del flujo de materia transferido.
Estos tres casos de fenómenos de transporte, físicamente muy diferentes entre sí, tienen sin embargo
mucho de común en su concepción y expresión matemática, hasta el punto de que podría hacerse un tratamiento común para los tres. Las leyes que los rigen,
como se verá más adelante, son similares en su forma
y en su significado.
En la mayoría de las operaciones básicas, los tres
fenómenos de transporte comentados se producen
simultáneamente, siendo el más lento de ellos el fenómeno controlante, es decir, el que determina la velocidad global del proceso, y por tanto en el que debe
fijarse la atención para diseñar los equipos necesarios.
FIGURA 4.1. Perfil de velocidades
en la circulación de un fluido en
una conducción cilíndrica.
Capítulo 4: Introducción a los fenómenos de transporte
65
FIGURA 4.2. Perfil de temperaturas en el calentamiento de un
fluido circulando por una conducción cilíndrica.
Los mecanismos de los transportes de cantidad de
movimiento, energía y materia, están estrechamente
relacionados, existiendo analogías entre ellos, como
ya se ha indicado. Sin embargo, esta analogía no es
completa por dos causas fundamentales:
• La concentración de cantidad de movimiento,
ρ→
v , es una magnitud vectorial y las concentraciones de energía, ρcpT, y de materia, ρ, son
magnitudes escalares (cuadro 4.1).
FIGURA 4.3. Perfil de concentraciones en la evaporación
de alcohol en el seno de aire en una probeta cilíndrica.
• El transporte de materia implica necesariamente sistemas de más de un componente
(mezclas binarias o superiores), mientras los
transportes de cantidad de movimiento y
energía pueden producirse en sistemas de un
solo componente (líquidos puros o gases
puros).
Es importante nuevamente resaltar que el transporte de estas tres propiedades se debe a dos motivos:
• Una diferencia de concentración de propiedad
extensiva (gradiente de concentración de propiedad), que constituye la fuerza impulsora.
Estas fuerzas impulsoras estarán representadas por magnitudes vectoriales en los casos de
energía, ∇T, y de materia, ∇ρ, y por una magnitud tensorial en el caso de cantidad de movi→ (en este caso, el término “gradiente
miento, ∇v
de velocidad” sería incorrecto estrictamente
hablando, pues sólo hay gradientes de magnitudes escalares y no de magnitudes vectoriales. Sin embargo, se acepta universalmente el
término por analogía con los otros casos). Debe
observarse que estas diferencias de concentración de propiedad pueden darse también en el
caso de que el fluido no esté circulando, sino
en reposo.
• El desplazamiento másico del fluido, produciéndose transporte de propiedad independientemente de que existan o no gradientes de con-
66
Introducción a la Ingeniería Química
centraciones. Se produce como consecuencia del
movimiento del fluido, con una cierta velocidad
finita. Si el fluido está en reposo, el transporte
másico es cero.
En el transporte de estas tres propiedades, a su
vez, pueden plantearse dos situaciones dependiendo
de cuál sea el régimen de circulación del fluido, laminar o turbulento (capítulo 8):
• Transporte molecular, basado en el desplazamiento individual de las moléculas y cuyo estudio se puede abordar de forma teórica, con ecuaciones que tienen solución analítica. Éste se
produce en fluidos en reposo o que circulan en
régimen laminar.
• Transporte turbulento, basado en el desplazamiento de grupos o “enjambres” de moléculas
y cuyo estudio se resiste al tratamiento teórico
debido al desconocimiento de la turbulencia,
por lo que es necesario recurrir al empirismo.
El transporte turbulento se produce en fluidos
que circulan en régimen turbulento. Las ecuaciones que resultan, al no tener solución analítica, se aplican introduciendo unos parámetros
empíricos denominados coeficientes de transporte.
Por último, debe resaltarse que el interés de la
Ingeniería Química se centra en los transportes de
cantidad de movimiento, energía y materia en el seno
de los fluidos y que a través de los sólidos sólo resulta de interés el transporte de energía (conducción de
calor).
4.2. Mecanismos del transporte
molecular y del transporte
turbulento
Considérese la circulación de un fluido newtoniano (fluido que cumple la ley de Newton, apartado
4.3), de dos componentes, que fluye en régimen estacionario entre dos placas paralelas, en la dirección +x
(figura 4.4). Supóngase, asimismo, que las placas se
encuentran a una temperatura T0, inferior a la del
fluido y que éstas son de una naturaleza tal que sobre
ellas se produce una reacción de isomerización, que
transforma el componente i en otro j de igual masa
molecular.
En esta situación, la velocidad del fluido, vx, la temperatura, T, y la concentración de componente i, ci ,
serán máximas en el plano central equidistante de las
placas, disminuyendo gradualmente hacia las mismas.
Se establecerán, por tanto, perfiles de velocidad, temperatura y concentración análogos a los representados
en la figura 4.4.
Evidentemente, con independencia del transporte másico del fluido en la dirección +x, se producirá
un transporte de las tres propiedades extensivas en la
dirección z, debido a los gradientes existentes de cantidad de movimiento, energía y materia (componente i). Si se observa, tales gradientes, matemáticamente coincidentes con las derivadas dvx/dz, dT/dz, dci/dz,
serán máximos en contacto con las paredes (z = a) y
nulos en el centro (z = 0).
Para una mejor comprensión de los mecanismos
de transporte de las tres propiedades extensivas fundamentales, se considerarán por separado los regímenes laminar y turbulento.
FIGURA 4.4. Perfiles de velocidad, temperatura y concentración en la circulación de un fluido entre placas paralelas.
Capítulo 4: Introducción a los fenómenos de transporte
4.2.1. Régimen laminar: transporte molecular
Si la circulación del fluido es en régimen laminar,
las moléculas del mismo tendrán un desplazamiento
neto en la dirección +x (vx ≠ 0), pero no en la dirección z. No obstante, las moléculas, de forma individual, podrán moverse aleatoriamente en todas las
direcciones, ya que en un fluido éstas no ocupan posiciones fijas como en un sólido.
Considérese el plano I, paralelo a las placas, situado a una distancia z de las mismas (figura 4.5). Evidentemente las moléculas del fluido cruzarán dicho
plano con igual frecuencia (N moléculas/s m2), de abajo arriba y de arriba abajo, puesto que la velocidad
neta del fluido en la dirección z es nula (vz = 0).
De acuerdo con los perfiles de propiedad establecidos (figura 4.4), las moléculas procedentes de la
región superior tendrán menor cantidad de movimiento y energía y serán en menor número de componente i, ocurriendo todo lo contrario con las moléculas procedentes de la región inferior. Por ello, las
moléculas que llegan al plano I procedentes de la
región superior deberán ser aceleradas, requiriéndose para ello una fuerza sobre las mismas en la dirección +x, y además, mediante choques con las otras
moléculas, adquirir su defecto de energía. Contra-
FIGURA 4.5. Mecanismo
del transporte molecular.
67
riamente, las moléculas procedentes de la región inferior serán deceleradas mediante una fuerza en la
dirección –x, y mediante choques perderán parte de
su energía.
Las indicadas fuerzas, que actúan sobre el plano
I, iguales y de sentido contrario, referidas a la unidad
de superficie del mencionado plano constituyen las
denominadas tensiones rasantes, tangenciales o de rozamiento. Estas tensiones, que se manifiestan siempre
que exista una diferencia de velocidad, tienden a deformar el fluido.
Se puede advertir que mientras los transportes de
cantidad de movimiento y energía implican dos etapas, la de desplazamiento de las moléculas al plano I
y la de homogeneización mediante choques en el mismo de la propiedad transportada, el transporte de
materia finaliza con la llegada de las moléculas a dicho
plano. La importancia relativa de estas dos etapas de
transporte difiere de gases a líquidos, dada la menor
movilidad de los átomos y de las moléculas en éstos.
En los sólidos, los átomos, moléculas o iones, no
gozan de la posibilidad de traslación y su movimiento está restringido a los de vibración y rotación sobre
sus posiciones fijas de equilibrio. Por ello, la primera de las dos etapas mencionadas para los fluidos queda limitada a la amplitud de las vibraciones de las
68
Introducción a la Ingeniería Química
partículas, transportándose las propiedades por la
colisión de las mismas con las inmediatas en la red,
es decir, exclusivamente por la segunda de las etapas.
Excepcionalmente en el caso de los sólidos conductores, como los metales, el gas electrónico se comporta de modo parecido a las moléculas en los gases,
contribuyendo al transporte de las propiedades las
dos etapas mencionadas. Por ello, y dado que la materia no se transporta por la segunda de las etapas, es
fácil de entender la escasa importancia de la transferencia de materia en los sólidos excepto en aquellos casos en los que éstos presenten defectos estructurales.
4.2.2. Régimen turbulento: transporte turbulento
La mayoría de los flujos de fluidos que se presentan en las operaciones industriales son turbulentos. El
fenómeno de la turbulencia, puesto de manifiesto por
Reynolds a principios de siglo (capítulo 8), implica el
movimiento caótico y fluctuante al azar de “enjambres” o grupos macroscópicos de moléculas, que se
produce simultáneamente al movimiento principal del
fluido. En estas condiciones se favorece el transporte
de las tres propiedades extensivas fundamentales, cantidad de movimiento, energía y materia, debido a un
aparente y apreciable aumento de las correspondientes difusividades.
Así, el mayor flujo de cantidad de movimiento produce un aumento de la energía disipada por rozamiento entre el fluido y la superficie sólida, encontrándose mayor resistencia al movimiento relativo
entre ambos. A cambio, se favorecen los flujos de
energía y materia, disminuyendo la resistencia que
oponen los fluidos al transporte de estas propiedades,
con lo que el tamaño de los equipos en los que se llevan a cabo las distintas operaciones resulta también
menor. Esta circunstancia es particularmente importante a la hora del diseño, como ya se verá.
Las medidas precisas de las variables macroscópicas características del estado de un fluido en movimiento: velocidad, presión, temperatura y concentración, ponen de manifiesto que estas variables, en
régimen turbulento, fluctúan con el tiempo respecto
de sus valores medios temporales, que son los que se
observan habitualmente con los equipos convencionales de medida.
A modo de ejemplo, en la figura 4.6 se comparan
las variaciones de la temperatura y su media tempo-
ral en flujo laminar y en flujo turbulento, para los estados estacionario y no estacionario.
Análogamente a lo que ocurría con las moléculas
individuales en su movimiento microscópico al azar
en régimen laminar, son ahora los “enjambres” de
moléculas o partículas de fluido las que se desplazan
al azar en régimen turbulento, siendo ellos los responsables del mayor transporte de cantidad de movimiento, energía y materia. Esta contribución turbulenta se
superpone siempre a la laminar, pudiendo ésta llegar a
ser despreciable cuando coexisten ambas. Sin embargo, dada la naturaleza imprevisible del propio movimiento caótico en régimen turbulento, y la dificultad
de expresar analíticamente las fluctuaciones de las
variables, no puede hacerse un tratamiento exclusivamente teórico, como el que se hará a continuación
para el régimen laminar.
4.3. Ecuaciones cinéticas en transporte
molecular: Leyes de Newton,
de Fourier y de Fick
Como ya se ha indicado, en fluidos en reposo o circulando en régimen laminar, las tres propiedades
extensivas fundamentales (cantidad de movimiento,
energía y materia) se transportan debido al desplazamiento de las moléculas individuales, de acuerdo con
el mecanismo de transporte molecular comentado en
el apartado 4.2.1.
En estas circunstancias, las ecuaciones cinéticas o
de velocidad de transporte pueden deducirse de la teoría cinética elemental, ecuaciones que expresan los
flujos de cada propiedad extensiva en función del gradiente de concentración de ésta y de una propiedad
característica del fluido: viscosidad en el caso de transporte de cantidad de movimiento, conductividad calorífica en el caso de transporte de energía y difusividad
en el caso de transporte de materia.
A continuación se presentan las tres ecuaciones
cinéticas que tienen en común la forma general
siguiente:
Caudal de propiedad =
o bien:
Fuerza impulsora
Resistencia al transporte
Γ=
∆Π
R
[4.2]
Capítulo 4: Introducción a los fenómenos de transporte
69
FIGURA 4.6. Variaciones de temperatura en un punto de un fluido: a) régimen laminar y estacionario; b) régimen turbulento
y estacionario; c) régimen laminar y no estacionario, y d) régimen turbulento y no estacionario.
siendo ∆Π la fuerza impulsora, expresada como diferencia de concentración de propiedad extensiva. En
el caso más intuitivo del transporte de materia, ∆Π
sería la diferencia de concentración del componente
que se esté transportando, R la resistencia que se opone a ese transporte y Γ el caudal de materia resultante (cantidad de componente transportada por unidad
de tiempo). Análogamente se podría aplicar la ecuación [4.2] a los otros dos casos de transporte de cantidad de movimiento y de energía.
Se observará la analogía de la ecuación [4.2] con
la Ley de Ohm, I = ∆V/R, en la que el flujo de propiedad sería el caudal de corriente eléctrica transportada (intensidad), la fuerza impulsora una diferencia
de potencial eléctrico y la resistencia la propia resistencia eléctrica del material.
De acuerdo con estas expresiones, el flujo será
máximo cuando la fuerza impulsora sea máxima, y se
irá haciendo menor al disminuir ésta, hasta hacerse
cero en el equilibrio (en estas condiciones ya no existirá fuerza impulsora).
Las tres leyes cinéticas que a continuación se presentan son de gran importancia en la Ingeniería Química, y permiten además establecer una analogía clara entre los tres fenómenos de transporte.
4.3.1. Ley de Newton
Volviendo a la figura 4.5, el transporte de cantidad
de movimiento entre láminas de fluido paralelas determina un perfil de velocidades, como el indicado en la
figura 4.7. Cuanto mayor sea el gradiente de velocidades, dvx/dz mayor será el transporte de cantidad de
movimiento y por tanto mayor la tensión rasante de
rozamiento que resulta, τ. Ambas magnitudes son proporcionales, por lo que pueden relacionarse mediante la ecuación:
70
Introducción a la Ingeniería Química
τ zx = − µ
dv x
(N/m2)
dz
en la que la constante de proporcionalidad, µ, es la
viscosidad del fluido, propiedad física que sólo depende para cada fluido de la presión y la temperatura. El
signo negativo procede del criterio de tomar tensiones rasantes positivas, puesto que la derivada (dvx/dz)
es negativa (al aumentar z, disminuye vx).
La ecuación [4.3] se conoce como Ley de Newton
del transporte de cantidad de movimiento. La tensión
rasante de rozamiento viscoso que en ella aparece (τzx),
tiene unidades de fuerza por unidad de superficie, y
representa el flujo de cantidad de movimiento en la
dirección z, debido al gradiente de velocidad.
Si en vez del flujo se quisiera expresar el caudal de
cantidad de movimiento (cantidad de movimiento por
unidad de tiempo) se tendría:
Tzx = τ zx A = − µ A
dvx
(N)
dz
υ=
[4.3]
[4.4]
siendo A el área transversal al transporte de propiedad y Tzx dicho caudal, denominado esfuerzo rasante
(con unidades de fuerza).
Si se tiene en cuenta la definición de viscosidad
cinemática (υ) como el cociente entre la viscosidad (µ)
y densidad (ρ):
µ
ρ
[4.5]
la ecuación (4.4) se podrá expresar así:
Tzx = −υA
d ( ρvx )
d ( ρvx )
(N)
=−
dz
dz
υA
[4.6]
Esta ecuación tiene la misma forma que la ecuación [4.2], es decir, Tzx es el caudal de propiedad transportada, d(ρvx) la fuerza impulsora –diferencia de concentración de cantidad de movimiento– y R = dz/υ A
la resistencia que se opone al transporte. Puede observarse que esta resistencia aumenta con la distancia,
dz, y disminuye al aumentar la viscosidad cinemática.
Como se verá enseguida, la viscosidad cinemática se
conoce también como difusividad de cantidad de
movimiento, y tiene unidades de m2/s.
Por último, debe indicarse que si se considera un
flujo de fluido tridimensional, además del término τzx
expresado por la ecuación [4.3], representativo del flujo de cantidad de movimiento en la dirección +z, debido al componente de velocidad vx, habrá otros ocho
términos más, τij, correspondientes a las combinaciones posibles de i = x, y, z con j = x, y, z. Así, de forma
general, el flujo de cantidad de movimiento en cual-
FIGURA 4.7. Perfil de velocidades en régimen laminar.
Capítulo 4: Introducción a los fenómenos de transporte
quier dirección
está representado por un tensor vis
coso, R , con nueve componentes:
 τ xx
R =  τ yx

 τ zx
τ xy
τ yy
τ zy
τ xz 
τ yz 

τ zz 
[4.7]
4.3.2. Ley de Fourier
De forma análoga a la anterior, puede deducirse
una ecuación cinética para el transporte de energía
calorífica, aplicable no sólo a un fluido en reposo o en
régimen laminar (figura 4.2), sino también a un sólido. De hecho, una de las aplicaciones de mayor interés en Ingeniería Química es precisamente la transmisión de calor en sólidos.
Si se supone el caso de una superficie o pared de
un cierto espesor, con diferentes temperaturas en
ambos lados –como consecuencia del aporte de calor
en uno de los extremos–, se establecerá un gradiente
de temperaturas T(z) como el indicado en la figura 4.8.
Obsérvese que la dirección del transporte de propiedad extensiva –energía– es la misma que en el caso
anterior (dirección z).
Cuanto mayor sea el flujo de energía que recibe la
pared, q, mayor será el gradiente de temperatura, dT/dz.
La proporcionalidad existente entre ambas magnitudes
puede expresarse ahora así:
FIGURA 4.8. Transmisión de calor a
través de una pared sólida.
q z = −k
dT
(J/m2s)
dz
71
[4.8]
ecuación en la que k, la constante de proporcionalidad, representa la conductividad calorífica del material sólido (o del fluido, si se tratara del caso representado en la figura 4.2), que es también –como la
viscosidad– una propiedad física de las sustancias, y
que en la bibliografía también se suele denominar conductividad térmica. El signo negativo, nuevamente,
surge de considerar positivos los flujos de calor en la
dirección +z, ya que la derivada es negativa.
La ecuación [4.8] se conoce como Ley de Fourier
del transporte de energía y expresa el flujo de calor
que atraviesa un cuerpo sólido o un fluido en reposo
o en régimen laminar, en los que existe un cierto gradiente de temperatura.
Si se quisiera expresar el caudal de calor (cantidad
de calor por unidad de tiempo), habría que multiplicar el flujo de calor por el área transversal de paso
(perpendicular a la dirección z):
Qz = qz A = −kA
dT
dz
(J/s)
[4.9]
Definiendo la difusividad calorífica, α, como el
cociente:
72
Introducción a la Ingeniería Química
α=
o bien:
k
ρcp
[4.10]
N Az = −DAB
la ecuación [4.9] podría expresarse así:
Qz = −αA
d ( ρcpT )
dz
d ( ρcpT )
=−
dz
αA
[4.11]
Esta expresión, análoga a la [4.2], expresa el caudal de calor como cociente entre una fuerza impulsora –diferencia de concentración de energía, J/m3– y
una resistencia que se opone al transporte: R = dz/αA.
Se observa que tal resistencia depende del espesor de
la pared, del área transversal de paso de calor y de las
propiedades físicas del material (α).
También en este caso debe indicarse que si se consideran las variaciones de la temperatura respecto a
los otros dos ejes coordenados se llegaría al vector q
representativo del flujo de energía en cualquier dirección:
 ∂T ∂T ∂T 
q = −k 
+
+

∂z 
 ∂x ∂y
en la que nAz y NAz, representan los flujos de materia
que se difunden en la dirección z; dρA/dz y dcA/dz los
gradientes de concentración de A que originan el flujo de materia y DAB la constante de proporcionalidad
entre ambos, denominada difusividad o coeficiente de
difusión molecular del componente A en la mezcla.
Esta difusividad, análogamente a los casos anteriores,
es una propiedad física, dependiente de la presión y la
temperatura.
Análogamente a los casos anteriores, si se quiere
expresar el caudal de materia (componente A) que se
difunde, se tendrá:
mAz = nAz A = −DAB A
=−
dρ A
dz
DAB A
dρ A
=
dz
(kgA/s)
[4.15]
ecuación en la que el caudal másico de A, mAz, se expresa como cociente entre la fuerza impulsora, dρA –diferencia de concentración de A–, y la resistencia que se
opone a la difusión, R = dz /DAB A.
De forma similar, se llegaría a la correspondiente
expresión en unidades molares:
4.3.3. Ley de Fick
La ecuación cinética que expresa la velocidad de
transporte de materia por mecanismo molecular, equivalente a las leyes de Newton (transporte de cantidad
de movimiento) y de Fourier (transmisión de calor),
se denomina Ley de Fick de la difusión, y se aplica al
transporte de un componente A, de una mezcla binaria (A + B) o multicomponente, a través de un fluido
en reposo o en régimen laminar, en el que existe un
gradiente de concentración de componente A.
Así, en el caso citado, que podría corresponder a
la difusión del vapor generado por un líquido volátil
en el aire circundante, tal como se representa en la
figura 4.9 (análoga a la 4.3), se tendría:
dρ A  kgA 


dz  m 2 s 
[4.14]
[4.12]
expresión generalizada de la ecuación [4.8].
nAz = −DAB
dcA  mol A 


dz  m 2 s 
[4.13]
MAz = N Az A = −
dcA
dz
DAB A
[4.16]
Análogamente al caso de energía, generalizando
la ecuación [4.13] se llegaría al flujo de componente
A en cualquier dirección:
 ∂ρ
∂ρ
∂ρ 
n A = −D AB  A + A + A 
∂y
∂z 
 ∂x
[4.17]
Generalizando los tres casos, como puede observarse, el término de resistencia al transporte de las
tres propiedades extensivas (R) tiene forma análoga
y similar significado físico, y en ella aparece la corres-
Capítulo 4: Introducción a los fenómenos de transporte
73
FIGURA 4.9. Difusión del
componente A en la mezcla gaseosa A + B.
pondiente difusividad, que en todos los casos tiene las
mismas unidades (m2/s) (cuadro 4.2).
Las tres propiedades de transporte que aparecen
en las leyes cinéticas, µ, k y DAB pueden determinarse
experimentalmente, expresándose sus respectivos valores en función de P y T (Reid, R. C. y col., 1987). También se pueden obtener estos valores a partir de planteamientos teóricos, basados en las teorías cinética
elemental y rigurosa, por ejemplo. La precisión obtenida en el cálculo depende lógicamente de las limitaciones de cada teoría.
Finalmente, debe añadirse que es muy frecuente
la utilización de las razones entre difusividades, que
constituyen números adimensionales con denominación propia (cuadro 4.3). Todos ellos representan una
combinación de propiedades físicas del fluido considerado, y son por tanto función de la temperatura y
también, en menor medida, de la presión.
4.4. Transporte turbulento:
coeficientes de transporte
Como se ha comentado en el apartado 4.2.2, la
complejidad de la turbulencia, dado el movimiento
fluctuante de los “enjambres” de moléculas, hace que
su estudio se resista al tratamiento teórico. Esta situación se podría salvar si se llegase a conocer bien este
fenómeno y se pudiese formular una teoría rigurosa
sobre ella, lo que permitiría llegar a expresiones de
los flujos turbulentos equivalentes a las leyes de Newton, de Fourier y de Fick, planteadas para el transporte molecular.
Aparecerían en este caso unos términos adicionales, las tres difusividades turbulentas υ(t), α(t), DA(t),
representativas del transporte turbulento, pero que
no sólo no se pueden calcular a priori, sino que además no son propiedades físicas del fluido y por lo tan-
CUADRO 4.2
Difusividades moleculares en el transporte de las propiedades extensivas
Propiedad extensiva
Difusividad
Cantidad de movimiento
Difusividad de cantidad de movimiento
o viscosidad cinemática
Energía
Difusividad calorífica
Materia
Difusividad o coeficiente de difusión
Expresión
υ=
α=
Unidades
Ley en que aparece
µ
ρ
m2
s
Ley de Newton
k
ρc p
m2
s
Ley de Fourier
m2
s
Ley de Fick
DAB
74
Introducción a la Ingeniería Química
CUADRO 4.3
Difusividades: significado físico, expresiones y denominación
Significado físico
Expresión
Denominación
Difusividad de c. movimiento
Difusividad de materia
υ
µ
=
= Sc
DAB
ρDAB
Número de Schmidt
Difusividad calorífica
Difusividad de materia
α
DAB
υ
α
Difusividad de c. movimiento
Difusividad calorífica
k
= Le
ρc pDAB
=
to dependen del punto considerado y de cada sistema
y sus condiciones.
La solución a este problema se obtiene recurriendo a unos coeficientes empíricos, en función de los cuales se expresan los flujos de las tres propiedades de
transporte. Estos coeficientes se denominan coeficientes de transporte, y las ecuaciones que resultan sustituyen a las de Newton, de Fourier y de Fick cuando se
trata de flujo turbulento.
=
c pµ
k
= Pr
Número de Lewis
Número de Prandtl
riéndose el término “individual” a que es en una sola
fase y el término “local” a que corresponde a un punto concreto, en una determinada posición x.
Esta ecuación, que no constituye ley física alguna,
y que es tan sólo la definición del coeficiente de transporte, se suele expresar también, de acuerdo con la
ecuación general [4.2], de la forma:
dΓ =
Π0 − Π
1
ε x dA
[4.19]
A) Coeficientes de transporte individuales
Supóngase una superficie interfacial, A, que separa dos fases inmiscibles (sólido-fluido, líquido-gas,
etc.) y a través de la cual se produce el transporte de
una propiedad extensiva, debido a un gradiente de
concentración de la misma. Supóngase, además, que
el fluido circula en régimen turbulento, en la fase considerada.
Debido a que las concentraciones de propiedad en
el seno del fluido, Π, varían de un punto a otro de acuerdo con el esquema de la figura 4.10, se establecerá un
caudal diferencial de propiedad dΓ a través del elemento diferencial de superficie interfacial dA, perpendicularmente a la misma, que será proporcional a dicha
superficie y a la diferencia de concentración de propiedad entre la superficie interfacial (Π0) y el seno del
fluido (Π). Dicho caudal de propiedad vendría dado
por la expresión:
dΓ = ε x dA( Π0 − Π )
[4.18]
en la que la constante de proporcionalidad εx representa el coeficiente de transporte individual local, refi-
Si la superficie interfacial considerada es finita, se
puede determinar el caudal medio de propiedad transferido en función de una fuerza impulsora media, convenientemente establecida, y del coeficiente de transporte individual medio:
Γ = εA( Π0 − Π ) m
[4.20]
Para cada caso concreto, según la propiedad extensiva de que se trate, el coeficiente de transporte se
expresa de una manera y con una terminología diferente:
• Transporte de energía
La ecuación equivalente a la [4.20] sería la siguiente:
Q = hA (T0 – T) (J/s)
[4.21]
en la que Q es el caudal de calor transportado por convección, A el área perpendicular a la dirección del flu-
75
Capítulo 4: Introducción a los fenómenos de transporte
FIGURA 4.10. Perfil de concentración de una propiedad extensiva en el seno de un fluido.
jo, T0 – T la diferencia de temperatura media entre la
interfase y el fluido, y h el coeficiente individual de transmisión de calor para la fase considerada (J/m2 s ºC).
De forma equivalente, el flujo de calor (caudal por
unidad de superficie perpendicular a la dirección del
flujo) sería:
q=
Q
= h(T0 − T ) (J/m2 s)
A
[4.22]
Recuérdese que esta expresión no constituye una
ley, sino que es una ecuación de definición del coeficiente h. Este coeficiente es función de la geometría
del sistema, de las propiedades del fluido y del flujo,
y de la magnitud del ∆T.
En el capítulo 10 se tratará más detenidamente
este coeficiente de transporte y la forma de calcularlo y aplicarlo a las operaciones en que interviene la
transmisión de calor entre fluidos y sólidos.
• Transporte de cantidad de movimiento
En este caso, y por razones prácticas, la ecuación
de definición del correspondiente coeficiente de transporte normalmente utilizada no es la que se deduce
inmediatamente de la expresión [4.20], como en el
caso anterior:
T = τ ⋅ A = ε τ Aρ(V0 − V )
[4.23]
sino que se utiliza la siguiente:
1
1

τ ⋅ A = − fA ρV 2  ∴ τ = − fρV 2
2

2
(N/m2)
[4.24]
ecuación en la que ya se ha tenido en cuenta que
V0 = 0 (la velocidad del fluido en la misma interfase,
z = 0, es nula), y que expresa la tensión rasante de
rozamiento en la interfase, τ, en función de la energía
cinética del fluido, siendo ambas magnitudes proporcionales, y el factor de proporcionalidad, f, el denominado factor de rozamiento (adimensional).
En el capítulo 8 se tratarán con más extensión el
cálculo y aplicaciones del factor de rozamiento f.
• Transporte de materia
El transporte de un componente de una mezcla
desde la superficie interfacial (sólido-fluido, líquidogas, etc.) hasta el seno del fluido de una de las fases
puede expresarse de varias formas, según la fuerza
impulsora que se elija.
Generalmente se utilizan expresiones como las
siguientes, derivadas de la ecuación [4.20]:
m A = k ρ A( ρ A0 − ρ A ) (kg A/s)
[4.25]
76
Introducción a la Ingeniería Química
M A = k c A( c A0 − c A ) (mol A/s)
[4.26]
en las que las constantes de proporcionalidad kρ y kc
son los coeficientes individuales de transferencia de
materia, referidos a concentraciones másicas o molares, respectivamente.
Los respectivos flujos de materia serían:
nA =
NA =
mA
A
= k ρ ( ρ A0 − ρ A ) (kg A/m2 s)
MA
= k c ( c A0 − c A ) (mol A/m2 s)
A
[4.27]
[4.28]
De forma paralela podrían expresarse ecuaciones cinéticas similares a las anteriores, utilizando
otras fuerzas impulsoras: diferencia de presiones parciales (en gases), diferencia de fracciones molares,
etc. En cada caso se utilizarían los correspondientes
coeficientes individuales de transferencia de materia con las distintas unidades, si bien todos ellos estarían relacionados entre sí de una forma sencilla. En
el capítulo 11 se verán algunos casos de aplicación
práctica.
Tanto las ecuaciones [4.27] y [4.28] como sus equivalentes en los transportes de energía y cantidad de
movimiento se aplican al caso de transporte por convección, es decir, el que se produce en régimen turbulento por desplazamiento de porciones finitas de
fluido a través de las líneas de corriente del mismo.
Sin embargo, en el transporte por convección existe siempre una delgada película de fluido próxima a
la superficie interfacial en la que el régimen es laminar, con independencia de que el flujo global del fluido sea turbulento (como se verá más detalladamente
en el apartado 4.5). Por ello, el propio transporte molecular está también presente y juega un papel impor-
tante en el proceso de transporte por convección, pues
es en esa delgada lámina donde reside una considerable parte de la resistencia al transporte. A pesar de
ello, y dada la dificultad de considerar por separado
ambas contribuciones (molecular y turbulenta), el
transporte por convección se aborda siempre con las
ecuaciones cinéticas presentadas en este apartado,
debiendo por tanto calcularse los correspondientes
coeficientes de transporte.
Por último, cabe añadir que el cálculo de estos coeficientes puede hacerse por tres métodos:
1. A partir de datos experimentales, aplicando las
técnicas de análisis dimensional.
2. A partir de las ecuaciones derivadas de la teoría de la capa límite (soluciones exactas o soluciones aproximadas).
3. A partir de las analogías entre los transportes
de cantidad de movimiento, energía y materia.
Los coeficientes de transporte suelen utilizarse
también, en combinación con otras variables y propiedades físicas, formando números adimensionales
(cuadro 4.4). Como se observa, estos números adimensionales representan el cociente de las resistencias al transporte por mecanismo molecular (conducción de calor, difusión) y por mecanismo
turbulento (convección). En los capítulos 10 y 11 se
verán con más detalle las expresiones y aplicaciones
de estos números adimensionales.
En el caso del factor de rozamiento, f, no tiene sentido hacer un tratamiento similar, ya que es por sí mismo adimensional.
B) Coeficientes de transporte globales
Supóngase ahora una superficie interfacial A entre
dos fases fluidas, V y L, en movimiento relativo. Si
CUADRO 4.4
Coeficientes de transporte: expresión, significado y denominación
Coeficiente de transporte
Expresión
Significado físico
Transmisión de calor
hL
Nu =
k
Denominación
convección
conducción
Número de Nusselt
Transferencia de materia
Sh =
k cL
DAB
convección
difusión
Número de Sherwood
Capítulo 4: Introducción a los fenómenos de transporte
ambas fases no estuviesen en equilibrio, se produciría
un transporte de cantidad de movimiento, energía o
materia, debido a los correspondientes gradientes de
concentración, estableciéndose perfiles de concentración de propiedad como los indicados en la figura 4.11.
La propiedad extensiva considerada encontrará tres
resistencias en serie durante el transporte por convección: las ofrecidas por cada una de las dos fases V y L,
acumuladas en su mayor parte en la región inmediata
a la superficie interfacial, y la que pueda ofrecer esta
propia superficie. En general, esta última puede despreciarse sin error apreciable, si se admite que en ella
se alcanza instantáneamente el equilibrio, lo cual ocurre casi siempre.
Si se aplica a cada fase el mismo tratamiento del apartado anterior, y teniendo en cuenta que al suponerse régimen estacionario el caudal de propiedad que pierde una
de las fases es igual al que gana la otra, de acuerdo con
la ecuación [4.19] se tendrá:
− dΓV = dΓL = dΓ =
=
Π0 − Π L
1
ε L dA
=
Π V − Π0
1
ε V dA
ΠV − ΠL
1
1
+
ε V dA ε L dA
Análogamente, se podría definir un coeficiente global de transporte ξ, si se elige una fuerza impulsora
global, para las dos fases:
dΓ = ξdA(Π V − Π L ) =
ΠV − ΠL
1
ξdA
[4.29]
[4.30]
Esta ecuación de definición de coeficiente global
de transporte tiene el mismo significado físico que la
correspondiente a una sola fase, ecuación [4.19], si
bien se refiere a la fuerza impulsora total (con la ventaja de no necesitar las condiciones de la interfase) y
a la resistencia global, que lógicamente será la suma
de las resistencias individuales de cada fase.
Así, igualando las dos últimas ecuaciones, se obtendrá la relación entre los coeficientes individuales de
transporte y el coeficiente global:
1
1
1
1
=
+
∴ξ =
1
1
ξdA ε V dA ε L dA
+
εV εL
=
77
[4.31]
En el caso de transporte de energía entre dos fluidos que se encuentran a distinta temperatura, a través de una pared sólida que los separa, habría que con-
FIGURA 4.11. Perfiles de concentración de una propiedad
extensiva entre dos fases inmiscibles en contacto.
78
Introducción a la Ingeniería Química
siderar también la resistencia adicional que opone la
misma a la transmisión de calor por conducción y referir el coeficiente de transporte global a una de las
superficies interfaciales o a la media. En el capítulo
10 se estudiará este aspecto en detalle.
4.5. Capa límite
Como ya se ha indicado, cuando un fluido circula
sobre una superficie sólida se forma un perfil de velocidades debido a la propia viscosidad del fluido, anulándose la velocidad para las moléculas de fluido en
contacto con la superficie. Incluso para números de
Reynolds muy elevados, (Re = VDρ/µ), los efectos del
rozamiento en el fluido se siguen manifestando en una
lámina de fluido, próxima al límite de la superficie sólida, a la que se designa con el término de “capa límite”.
Se denomina, pues, capa límite fluidodinámica o simplemente capa límite, a la región del flujo de fluido cuya
velocidad está afectada por la presencia de la superficie sólida. Este concepto, que fue propuesto por Prandtl
en 1904 y para el que desarrolló una teoría, es de gran
utilidad en Ingeniería Química y está ampliamente estudiado en la bibliografía (Schlichting, H., 1968).
A continuación se desarrollan cualitativamente los
aspectos más destacados sobre la capa límite, considerando los casos de flujo externo e interno.
4.5.1. Capa límite fluidodinámica
Considérese el flujo de un fluido que circula paralelamente sobre una placa plana (figura 4.12). Si en
una sección perpendicular a la misma se hiciera una
exploración de la velocidad del fluido a distintas distancias del borde de la misma, se observaría un perfil
de velocidades, vx(z), similar al representado en la
figura, con una velocidad nula sobre la placa (z = 0) y
una velocidad máxima, V∞, correspondiente a la
corriente libre. Esta circunstancia se repite a cualquier
distancia x del borde de la placa, pudiéndose observar que el espesor de la capa límite fluidodinámica (δ),
definida como la región del fluido afectada por la presencia de la placa sólida, aumenta en la dirección de
la corriente.
Evidentemente la definición de espesor de capa
límite es arbitraria, puesto que la velocidad del fluido
en ella, vx(z), se aproxima asintóticamente a la velocidad libre de la corriente, V∞. No obstante es habi-
tual cuantificar el espesor, considerando como tal la
distancia a la placa para la que la velocidad del fluido
sólo se diferencia en un 1% sobre la velocidad libre
de la corriente.
z = δ , v x = 0, 99V∞
[4.32]
Dado que el espesor variable de la capa límite,
δ (x), es siempre muy reducido, aunque el fluido sea
muy viscoso, en la figura 4.12 se ha ampliado considerablemente la escala del eje z a fin de poder visualizar mejor dicha capa.
Incluso para fluidos poco viscosos las tensiones
rasantes de rozamiento, dada la gran variación de la
velocidad, son considerables dentro de la capa límite
y muy poco significativas fuera de ella. En consecuencia, el estudio del flujo externo de fluidos poco
viscosos puede simplificarse si se divide éste en dos
regiones: la correspondiente a la fina capa límite próxima a las superficies sólidas, en las que se consideran
las tensiones de rozamiento, y la región externa a la
misma, en la que se desprecian estas tensiones y a la
que se aplica la teoría de los fluidos ideales o perfectos (fluidos con viscosidad nula).
En las proximidades del borde frontero de la placa el régimen del flujo del fluido en la capa límite es
siempre laminar, pero si la velocidad de la corriente
V∞ fuese muy elevada o la placa de suficiente longitud, el régimen pasaría a ser turbulento, aumentando notablemente tanto el espesor de la capa límite
como la tensión rasante de rozamiento sobre la placa. No obstante, en la capa límite turbulenta siempre
existe una delgada subcapa laminar, contigua a la
superficie, en la que el régimen sigue siendo laminar,
y donde existen elevados gradientes de velocidad
(figura 4.12).
Evidentemente, este cambio de régimen se realiza a través de una zona difusa de transición de longitud finita, tal y como se indica en la figura. No obstante, se define una distancia crítica, xcrit, al citado
borde como aquella a la que el régimen del flujo deja
de ser claramente laminar, definiéndose para ello un
número de Reynolds longitudinal crítico en función
de la misma:
Rexcrit =
V∞ xcrit
υ
[4.33]
Experimentalmente se ha establecido que la región
laminar de la capa límite se extiende hasta valores
Capítulo 4: Introducción a los fenómenos de transporte
79
FIGURA 4.12. Capa límite fluidodinámica sobre una capa plana.
inferiores a 3,2 · 105 de este número de Reynolds,
mientras que la capa límite es siempre turbulenta a
partir del valor 3 · 106.
En el caso de cuerpos redondeados, cuerpos faltos
de filo, como por ejemplo cilindros y esferas, a causa
de las elevadas tensiones de rozamiento y los gradientes
adversos de presión que se producen (dp/dx < 0), la
capa límite fluidodinámica no puede permanecer en
la superficie sólida, produciéndose una separación de
la capa límite, con formación de torbellinos y una estela de los mismos. Esta estela explica la succión que en
ocasiones se ejerce sobre ciertos cuerpos inmersos en
el fluido en movimiento, fenómeno que se conoce
como rozamiento de forma (debido a la forma del
cuerpo), simultáneo con el rozamiento ordinario.
Todos estos fenómenos se estudiarán con más detalle
en el capítulo 8.
4.5.2. Capas límite térmica y de concentración
Análogamente a la capa límite fluidodinámica,
pueden definirse la capa límite térmica y la capa límite de concentración, afectadas respectivamente por las
variaciones de temperatura y de concentración en el
fluido, debido a la presencia de la superficie sólida.
Así, si la placa estuviese a distinta temperatura que
el fluido, se formaría una capa límite térmica, como la
que se indica en la figura 4.13. La región del fluido afectada térmicamente por la presencia de la placa (zona
donde T0 > T > T∞) constituiría dicha capa límite.
Aunque la naturaleza de la capa límite térmica está
íntimamente ligada a las características del flujo en la
capa límite fluidodinámica, ambas capas no tienen por
qué coincidir. Así, paralelamente a la definición del
espesor de capa límite fluidodinámica, se puede definir el de la capa límite térmica, δT(x), como la región
en la que la temperatura alcanza el 99% del valor de
la temperatura en la corriente libre T∞:
TδT = T∞ − 0, 01(T∞ − T0 )
[4.34]
Paralelamente, si el fluido multicomponente y la
naturaleza de la placa es tal que hace que la concentración del componente A sobre la misma cA0 sea distinta a la correspondiente a la corriente libre del fluido cA∞, también se formaría una capa límite de
concentraciones, tal como se indica en la figura 4.13.
Esta capa límite, influida por las capas fluidodinámica y térmica, tampoco tiene por qué coincidir con ellas.
Su espesor δc, paralelamente a las definiciones anteriores, vendría implícitamente definido en la expresión siguiente, análoga a la ecuación [4.34]:
( c A )δ c = c A − 0, 01( c A∞ − c A0 )
[4.35]
Por integración de las ecuaciones de conservación
de cantidad de movimiento, energía y materia aplicadas a las capas límite, se pueden deducir los espesores de estas capas límite, los perfiles de velocidad, temperatura y concentración y las tensiones rasantes en
las mismas. A partir de ellos, es posible también deducir expresiones para los tres coeficientes de transporte, en función de un reducido número de grupos adimensionales. Esta deducción queda, no obstante, fuera
del alcance de esta obra.
80
Introducción a la Ingeniería Química
FIGURA 4.13. Capas límite térmica y de concentraciones sobre una placa plana.
Problemas
1. En un viscosímetro se ha medido el comportamiento reológico de un aceite a 20 °C (ρ = 850
kg/m3), obteniéndose los siguientes resultados:
τzx (N/m2)
−
∂vx −1
(s )
∂z
0,10
0,16
7,30
9,70
0,20
13,9
0,28
18,7
0,50
32,9
es lineal y la temperatura ambiente es de 20 °C calcular la disminución de las pérdidas de calor producidas.
4. Repetir el problema anterior para el caso de un
horno esférico, sabiendo que en este caso el perfil
radial de temperaturas viene expresado por:
T = T1 +
Calcular la viscosidad ordinaria y la viscosidad
cinemática del fluido.
2. El aceite del problema 1 se hace circular con una
velocidad de 0,5 m/s entre dos placas paralelas
separadas por una distancia 2a = 0,04 m. Calcular
la tensión de rozamiento que ejerce la pared sólida sobre el fluido, sabiendo que el régimen es laminar y que el perfil de velocidades viene expresado
por la ecuación:
3 
z2 
vx = V 1 − 2 
2 
a 
3. La pared de un horno está formada por una capa
de 20 cm de ladrillo (k = 50 kJ/h m K), cuyas temperaturas interior y exterior son 900 K y 453 K,
respectivamente. A fin de disminuir las pérdidas
caloríficas del horno, su pared exterior se aísla con
una capa de corcho de 5 cm de espesor, (k = 0,16
kJ/h m K). Sabiendo que el perfil de temperaturas
 1 1
T1 − T2
− 

 1   1   R1 r 
  − 
 R2   R1 
Calcular el error que se cometería al suponer
que este perfil es lineal.
5. Se ha medido la concentración de alcohol a lo largo de la probeta esquematizada en la figura 4.3,
pudiéndose expresar mediante la siguiente ecuación:
p A = P − (P − p A1 )
L− z
L
(P ) z / L
Si el experimento se ha realizado con etanol a
presión atmosférica y 293 K, con un volumen tal
que la longitud de la probeta inicial sin llenar medía
40 cm, calcular transcurridas 24 horas el descenso
de líquido en la probeta.
6. Calcular el error cometido en el cálculo realizado
en el problema 5 si se supone que el perfil de concentraciones es lineal.
Capítulo 4: Introducción a los fenómenos de transporte
7. Para determinar la difusividad de clorobenceno en
aire se hace un experimento de vaporización de
aquél a 333 K y presión atmosférica. El experimento se realiza en una probeta de 3 mm de diámetro y 15 cm de longitud que inicialmente se llena con 11 cm de clorobenceno, obteniéndose los
siguientes resultados (nivel de líquido en la probeta, en función del tiempo):
h (cm) de clorobenceno
t (h)
9,9
70
8,5
120
Calcular la difusividad suponiendo:
a) Un perfil lineal de concentraciones.
b) Un perfil similar al del problema 5.
8. Calcular para el sistema aire-agua a 293 K y presión atmosférica los números adimensionales de
Schmidt, Lewis y Prandtl.
9. A fin de determinar el coeficiente individual de
transmisión de calor medio, se hace circular agua
por el interior de una conducción de cobre, de 2,54
cm de diámetro interno y 0,5 m de longitud, cuya
temperatura se mantiene a 100 °C mediante vapor
de agua que condensa exteriormente. Sabiendo
que el agua entra en la conducción a 293 K con
caudal másico de 830 kg/h y sale con una temperatura de 299,7 K, calcular dicho coeficiente.
10. El experimento del problema 9 se repite variando
el caudal másico de agua alimentada, obteniéndose los siguientes resultados:
m (kg/h)
Tsalida (K)
2.170
298,6
4.430
297,8
6.210
297,5
7.490
297,3
81
Relacionar mediante una ecuación empírica el
coeficiente individual de transmisión de calor
medio obtenido con el número de Reynolds.
11. Por una conducción lisa de acero de 6,35 cm de
diámetro interno circula agua a 20 °C con un caudal de 4 l/s. Calcular el coeficiente de transporte
de cantidad de movimiento y la tensión de rozamiento, sabiendo que para este sistema de flujo se
cumple la ecuación:
f = 0,079 Re–0,25
12. Un aceite mineral (cp = 2,5 kJ/kg K) con un caudal de 1.000 kg/h se calienta desde 298 hasta 358
K, haciéndolo circular por el interior de una conducción sobre la que condensa exteriormente
vapor de agua a 377 K. Como consecuencia de una
avería en la caldera de vapor se reduce el caudal
de éste de tal manera que, manteniéndose la temperatura de condensación, el coeficiente global
medio de transmisión de calor se reduce al 50%
respecto de su valor inicial. Conocidos los coeficientes individuales de transmisión de calor del
vapor h′ = 4.200 kJ/h m2 K y del aceite h′′ = 2.510
kJ/h m2 K, calcular la nueva temperatura de salida de éste.
13. Agua a 20 °C incide con una velocidad de 1 m/s
sobre una placa plana, de 4 m de longitud, situada
paralela al flujo. Calcular el punto de la placa en
el que la capa límite deja de ser laminar.
14. Repetir el problema 13, suponiendo que el fluido
que circula paralelamente a la placa es aire a 293
K y presión atmosférica, con una velocidad de 90
km/h.
82
Introducción a la Ingeniería Química
5
ANÁLISIS
DIMENSIONAL Y
CAMBIO DE ESCALA
5.1. Introducción
5.2. Sistemas de magnitudes y unidades
5.3. Ecuaciones dimensionales
y adimensionales
5.4. Análisis dimensional
5.5. Cambio de escala en procesos químicos
5.6. Procedimientos experimentales
de obtención de datos para el cambio
de escala
84
Introducción a la Ingeniería Química
E
n este capítulo se presentan los sistemas tradicionales de magnitudes y unidades, así como
el sistema internacional y se introduce el análisis dimensional, sus objetivos y principios, detallándose las etapas de operación del método de
Rayleigh, que se ilustra con un ejemplo.
Se analizan los objetivos y problemas del cambio de escala en los procesos químicos, su base
formal (teoría de la semejanza), los tipos de semejanza, las condiciones para que se cumpla cada
una de ellas y los métodos de cambio de escala.
Asimismo se presenta un ejemplo de cambio de
escala con y sin semejanza estricta y se describen
algunos de los procedimientos que se emplean para
obtener datos experimentales útiles para el cambio
de escala.
Por último se incluye un conjunto de ejercicios
representativos del análisis dimensional y del cambio de escala aplicados a operaciones físicas y químicas de interés en Ingeniería Química.
Con objeto de facilitar la identificación de los
módulos obtenidos por análisis dimensional, se
recogen en diversos cuadros-resumen aquellos
módulos adimensionales más relevantes en Ingeniería Química, su expresión matemática y su significado físico.
GLOSARIO
análisis dimensional. Método físico-matemático que
permite establecer la relación existente entre las
variables que intervienen en un fenómeno, agrupándolas en un número reducido de módulos sin
dimensiones. Se suele aplicar en el estudio de sistemas físicos con gran número de variables, cuya
interpretación matemática resulta compleja.
cambio de escala. Paso de la escala de laboratorio o
de planta piloto a la escala industrial, basada en la
utilización de la información obtenida en el laboratorio o planta piloto para establecer las condiciones de funcionamiento y predecir los resultados que han de esperarse a escala industrial.
ecuaciones de definición. Ecuaciones que expresan
una magnitud derivada como una función potencial de las magnitudes fundamentales del sistema
elevadas a exponentes positivos, negativos o nulos.
equivalente mecánico del calor. Constante dimensional que permite igualar numérica y dimensionalmente las dos formas de energía en tránsito:
calor y trabajo. En el sistema MKS tiene el valor
J = 4,184 · 103 julios/kcal.
etapa controlante. Etapa correspondiente al fenómeno físico o químico de un proceso complejo, que
al ser más lento que las demás etapas en serie que
lo componen, determina la velocidad con que
transcurre el proceso global.
magnitud. Toda propiedad o cualidad física que es susceptible de medida y, por ello, de ser expresada
cuantitativamente.
magnitudes derivadas. Magnitudes no fundamentales
de un sistema que se expresan como funciones
potenciales de las magnitudes fundamentales del
mismo. Por ejemplo, el volumen o la densidad.
magnitudes fundamentales. Magnitudes elegidas arbitrariamente que expresan diversos conceptos físicos y sirven de base para la definición del resto de
las magnitudes del sistema. Por ejemplo, la longitud o el tiempo.
maqueta. En la teoría de la semejanza, réplica en
tamaño reducido del sistema de mayor tamaño,
denominado prototipo. El estudio con la maqueta permite, mediante la teoría de la semejanza,
deducir las condiciones de funcionamiento del prototipo, lo que tiene gran interés en el cambio de
escala.
módulo adimensional. Agrupación de variables que
carece de dimensiones físicas. Resulta de gran utilidad en el análisis dimensional.
sistema de magnitudes. Conjunto de magnitudes fundamentales elegidas arbitrariamente, y de magnitudes derivadas que se obtienen con ellas
mediante las ecuaciones de definición, con las cuales se pueden definir y medir todas las variables y
Capítulo 5: Análisis dimensional y cambio de escala
85
propiedades que intervienen en los fenómenos
físicos.
dos o más ecuaciones de dimensiones (de definición)
diferentes.
sistema redundante. Sistema de magnitudes en el que
una misma variable física puede expresarse según
sistema de unidades. Conjunto reducido de unidades
elegidas arbitrariamente que permite medir todas
las magnitudes.
5.1. Introducción
Un sistema de unidades es, por tanto, un conjunto
reducido de unidades elegidas arbitrariamente que
permite medir todas las magnitudes. Se considera que
una unidad es el valor obtenido al fijar arbitrariamente
la cantidad de cada una de las magnitudes de un sistema, que va a ser utilizada como referencia para
medir una variable cualquiera de su misma naturaleza mediante comparación. Ejemplos de unidades son
el metro cúbico, el Newton o el Julio.
En lo que a sus magnitudes se refiere, los sistemas
de magnitudes y unidades constan de:
Ya que el objetivo básico del ingeniero químico es
transformar cualquier concepción de laboratorio en
un proceso eficiente de fabricación, la información
que generan los estudios realizados a escala de laboratorio o planta piloto ha de servir para establecer las
condiciones de funcionamiento y predecir los resultados que han de esperarse a escala industrial. Este
problema se conoce como cambio de escala de los procesos químicos.
Los fundamentos teóricos, los métodos que se han
de aplicar y los procedimientos experimentales que
pueden ayudar en el estudio del cambio de escala son,
por ello, importantes y son el objeto esencial de este
capítulo. Para la aplicación de dichos métodos se
requiere un ágil manejo de las magnitudes y unidades,
de los métodos de análisis dimensional y de la aplicación de la teoría de la semejanza.
Antes de pasar revista a los diferentes sistemas de
magnitudes y unidades, conviene destacar que, a pesar
de los intentos de unificación de todos ellos en un único sistema (Sistema Internacional), en la actualidad
todavía se siguen utilizando otros sistemas tradicionales, fruto de la arraigada costumbre y del gran volumen de información acumulado a lo largo de años en
diversas magnitudes y unidades. Éste es el caso, por
ejemplo, del denominado Sistema ingenieril.
5.2. Sistemas de magnitudes y unidades
Se entiende por magnitud toda propiedad o cualidad física que es susceptible de medida y que, por tanto, puede ser expresada cuantitativamente, como el
volumen, la fuerza o la energía calorífica. Para poder
operar con las magnitudes en los campos científico y
técnico resulta imprescindible disponer de los medios
para poder identificarlas, relacionarlas entre sí y determinar su valor numérico. Estas necesidades son cubiertas por los sistemas de magnitudes y unidades.
a) Magnitudes fundamentales. Son un conjunto de
magnitudes elegidas arbitrariamente que expresan diversos conceptos físicos.
b) Ecuaciones de definición. Son expresiones de
las leyes de la Física que, a partir de las magnitudes fundamentales, permiten definir el resto de las magnitudes del sistema.
c) Magnitudes derivadas o no fundamentales del
sistema, que definidas según se ha indicado, se
expresan como funciones potenciales de las
magnitudes fundamentales.
En Mecánica son suficientes tres magnitudes fundamentales para constituir un sistema. En los sistemas
absolutos o científicos las elegidas son la longitud (L),
la masa (M) y el tiempo (t). Estos sistemas se conocen también como (M, L, t) o dinámicos. Se observará que en ellos la fuerza (F) es una magnitud derivada ([F] = MLt–2 ), como muchas otras.
A partir de estas tres magnitudes fundamentales
se pueden definir las restantes (magnitudes derivadas) sin más que acudir a sus ecuaciones de definición.
Así, por ejemplo, en estos sistemas la ecuación
dimensional de la velocidad (V = espacio/tiempo) es
[V] = Lt–1, la de la aceleración (a = velocidad/tiempo),
[a] = Lt–2, la de la fuerza (F = masa × aceleración),
[F] = MLt–2, la de la presión (P = fuerza/superficie),
[P] = ML–1t–2 , la del trabajo (W = fuerza × distancia),
[W] = ML2t–2 , etc. En el cuadro 5.1 se recogen las mag-
86
Introducción a la Ingeniería Química
CUADRO 5.1
Sistemas absolutos de magnitudes y unidades
Unidades
Magnitudes fundamentales
Longitud (L)
Masa (M)
Tiempo (t)
Temperatura (T)
Calor (Q)
Cegesimal
(CGS)
Giorgi
(MKS)
Inglés
(FPS)
Centímetro (cm)
Gramo (g)
Segundo (s)
Grado Celsius (°C)
Caloría (cal)
Metro (m)
Kilogramo (kg)
Segundo (s)
Grado Celsius (°C)
Kilocaloría (kcal)
Pie (ft)
Libra (lb)
Segundo (s)
Grado Farenheit (°F)
British thermal unit (Btu)
Dina (g . cm . s–2)
g . cm–3
Ergio (g . cm2 . s–2)
Dina . cm–2
Poise (g . cm–1 . s–1)
Newton (kg . m . s–2)
kg . m–3
Julio (kg . m2 . s–2)
Newton . m–2
kg . m–1 . s–1
Poundal (lb . ft . s–2)
lb . ft –3
Poundal · pie (lb . ft2 . s–2)
Poundal . ft –2
lb . ft –1 . s–1
Magnitudes derivadas
Fuerza
[F] = MLt –2
Densidad
[ρ] = ML–3
Trabajo
[W] = ML2t –2
Presión
[P] = ML–1t –2
Viscosidad [µ] = ML–1t –1
nitudes fundamentales y las derivadas de mayor interés de los sistemas absolutos, junto con las unidades
que les corresponden.
Los sistemas técnicos, estáticos o terrestres difieren
de los anteriores en que emplean como magnitud fundamental la fuerza (F) en lugar de la masa, siendo ésta
una magnitud derivada. Así, en este caso, las tres magnitudes fundamentales de la mecánica son longitud,
fuerza y tiempo (L, F, t) y las magnitudes derivadas se
definen análogamente, por ejemplo: la masa (M = fuerza/aceleración) es [M] = FL–1t2, la presión [P] = FL–2,
el trabajo [W] = FL, etc.
En el cuadro 5.2 se presentan las magnitudes fundamentales de los sistemas técnicos, así como algunas
magnitudes derivadas, con sus unidades correspondientes.
Un tercer grupo de sistemas de magnitudes y unidades es el formado por los sistemas ingenieriles o mixtos, que incluyen simultáneamente como magnitudes
fundamentales la masa y la fuerza, además de la longitud y del tiempo. Dado que masa y fuerza están relacionadas por el principio fundamental de la mecánica (fuerza = masa × aceleración), cualquier variable
que dependa de la fuerza podría ser expresada como
una función de ésta, o de la masa, la longitud y el tiempo. Así, el trabajo (W= fuerza × distancia) podría
expresarse como: [W] = FL o como [W] = ML2t–2. En
el cuadro 5.3 se recogen las magnitudes fundamentales y las derivadas más significativas para estos sistemas.
Como se ha recogido en los cuadros 5.1 a 5.3, en
todos los sistemas tradicionales, además de las magnitudes fundamentales de la Mecánica, se incluye una
magnitud adicional, la temperatura (T), y sus correspondientes unidades, ya que resulta necesaria para los
estudios de transmisión de calor. Tanto en los sistemas
absolutos como en los técnicos y en los ingenieriles
dicha magnitud es coincidente; sin embargo sus unidades no son las mismas en los sistemas europeos y en
los ingleses: los europeos emplean el grado Celsius (ºC)
y los ingleses el grado Farenheit (ºF).
Por otro lado, todos los sistemas tradicionales
incluyen también el calor (Q) como magnitud fundamental, de modo que cualquier forma de energía puede ser expresada según la ecuación de dimensiones y
las unidades del trabajo [W], derivadas de la Mecánica, o según las dimensiones y unidades del calor [Q]
procedentes de la Termodinámica.
En estos casos en los que un sistema de magnitudes y unidades dispone de dos magnitudes para expresar una misma variable física, o, lo que es lo mismo,
una de sus magnitudes fundamentales no es dimensionalmente independiente (puede expresarse como
una ecuación dimensional de las otras), se dice que el
sistema es redundante. Si el sistema tiene dos magnitudes fundamentales no independientes el sistema
sería doblemente redundante, etc.
Por ejemplo, en los sistemas absolutos y en los técnicos el calor puede expresarse como tal (Q) o en función de otras magnitudes fundamentales, (ML2t–2) en
Capítulo 5: Análisis dimensional y cambio de escala
87
CUADRO 5.2
Sistemas técnicos de magnitudes y unidades
Unidades
Magnitudes fundamentales
Longitud (L)
Fuerza (F)
Tiempo (t)
Temperatura (T)
Calor (Q)
Métrico
Inglés
Metro (m)
Kilogramo-fuerza (kgf)
Segundo (s)
Grado Celsius (°C)
Kilocaloría (kcal)
Pie (ft)
Libra-fuerza (lbf)
Segundo (s)
Grado Farenheit (°F)
British thermal unit (Btu)
Unidad técnica de masa (kgf . m–1 · s2)
(u.t.m.) . m–3
kgf . m
kgf . m–2
kgf . m–2 . s
Slug (lbf . ft –1 . s2)
Slug . ft –3
lbf . ft
lbf . ft –2
lbf . ft –2 . s
Magnitudes derivadas
Masa
Densidad
Trabajo
Presión
Viscosidad
[M] = FL–1t2
[ρ] = FL–4t2
[W] = F . L
[P] = FL–2
[µ] = FL–2t
CUADRO 5.3
Sistemas ingenieriles de magnitudes y unidades
Unidades
Magnitudes fundamentales
Longitud (L)
Masa (M)
Fuerza (F)
Tiempo (t)
Temperatura (T)
Calor (Q)
Métrico
Inglés
Metro (m)
Kilogramo (kg)
Kilogramo-fuerza (kgf)
Segundo (s)
Grado Celsius (°C)
Kilocaloría (kcal)
Pie (ft)
Libra (lb) (*)
Libra-fuerza (lbf)
Segundo (s)
Grado Farenheit (°F)
British thermal unit (Btu)
kg . m–3
kgf . m
kgf . m–2
kgf . m–2 . s
lb . ft–3
lbf . ft
lbf . ft–2
lbf . ft–2 . s
Magnitudes derivadas
Densidad
[ρ] = ML–3
Trabajo
[W] = F . L
Presión
[P] = FL–2
Viscosidad [µ] = FL–2t
(*) También denominada libra-masa (lbm).
los sistemas absolutos o (FL) en los técnicos, por lo
que ambos tipos de sistemas son redundantes. Por su
parte, en los sistemas ingenieriles, la energía puede
expresarse como calor (Q) o como trabajo ([W] = FL)
y además, dado que tanto la fuerza como la masa son
magnitudes fundamentales, las fuerzas pueden expresarse como fuerza (F) o como masa × aceleración ([F]
= MLt–2), de modo que los sistemas ingenieriles son
doblemente redundantes.
Cuando se da la circunstancia de que un sistema
es redundante se han de incorporar al mismo unas
constantes dimensionales que permitan expresar las
variables físicas según cualesquiera de las magnitudes del sistema susceptibles de representarlas. De
este modo surge, por ejemplo, el equivalente mecánico del calor (J), que permite que una energía
expresada como calor pueda ser expresada como trabajo y viceversa. Más adelante se comentan con
detalle las características y aplicaciones de las constantes dimensionales y en el cuadro 5.8 se incluyen
las correspondientes a los diferentes sistemas estudiados.
88
Introducción a la Ingeniería Química
En los sistemas de unidades eléctricas, las unidades provenientes de la mecánica se completan con unidades electromagnéticas definidas a partir de la ley de
Coulomb. Así, en los sistemas absolutos eléctricos,
también conocidos como prácticos, se utilizan adicionalmente como unidades fundamentales de electricidad el Amperio, el Ohmio y el Voltio, que se conocen
como unidades absolutas.
De acuerdo con todo lo expuesto, puede apreciarse fácilmente que los diversos sistemas de unidades se diferencian entre sí, bien en sus magnitudes
fundamentales o bien en las cantidades elegidas de
éstas como unidades fundamentales, constituyendo
en su conjunto un amplio catálogo de unidades disponibles.
Ante la dificultad de operar con una variedad tan
grande de unidades, desde mediados de siglo la Conferencia General de Pesas y Medidas ha tratado de
implantar el Sistema Internacional de Unidades basado en el sistema MKSA (metro-kilogramo-segundoamperio), muy utilizado en electricidad, incorporándole adicionalmente el Kelvin como unidad de
temperatura, la candela como unidad de intensidad
luminosa y el mol como unidad de cantidad de sustancia, entre otras.
El Sistema Internacional (SI) se establece con
vocación universal y es el único no redundante, ya que
no incluye ni la fuerza ni el calor entre sus magnitudes fundamentales. Utiliza el sistema métrico decimal
para definir los múltiplos y submúltiplos de sus unidades, de modo que los correspondientes a una misma magnitud son diez, cien, mil, etc. veces mayores o
menores que la unidad principal de cada clase y para
formarlos se antepone a cada una de las unidades principales el prefijo adoptado por el Comité Internacional de Pesas y Medidas. En los cuadros 5.4 y 5.5 se
muestran las magnitudes fundamentales del Sistema
Internacional y algunas magnitudes derivadas con sus
unidades y en el cuadro 5.6 se recogen los prefijos
mencionados con su significado.
El propio Sistema Internacional, a pesar de su filosofía de normalización, presenta excepciones a su regla
general de formación de múltiplos y submúltiplos,
incluso para las unidades de sus magnitudes fundamentales. Así, siendo el kilogramo la unidad fundamental de masa, no es respecto a éste sino al gramo
al que están referidos todos los múltiplos y submúltiplos (miligramo, centigramo, etc.). Por su parte, los
múltiplos de la unidad de tiempo, el segundo (s), tampoco cumplen la regla general, puesto que se emplean
múltiplos específicos, minuto, hora, día, etc. que no
siguen el sistema métrico decimal.
CUADRO 5.4
Sistema Internacional de magnitudes y unidades
Magnitudes fundamentales
Longitud (L)
Masa (M)
Tiempo (t)
Temperatura (T)
Unidades
Metro (m)
Kilogramo (kg)
Segundo (s)
Kelvin (K)
Magnitudes fundamentales
adicionales
Cantidad de sustancia
Intensidad de corriente eléctrica
Intensidad luminosa
Ángulo plano
Ángulo sólido
Mol (mol)
Amperio (A)
Candela (cd)
Radián (rad)
Estereorradián (sr)
Además, el Sistema Internacional mantiene nombres especiales para algunas de sus unidades, múltiplos y submúltiplos que tampoco respetan la norma
general –en el cuadro 5.7 se recogen algunos de ellos–,
lo que refleja la dificultad de conseguir el desarrollo
y aplicación de un único sistema que disponga de una
normativa y una nomenclatura homogénea y racional.
Finalmente, debido a que todavía existen numerosos datos en la bibliografía que se expresan en unidades del Sistema Inglés, resulta muy útil disponer
de los factores de conversión de estas unidades a las
del Sistema Internacional. En la tabla que aparece al
final del libro se resumen los de más frecuente aplicación en Ingeniería Química.
• Constantes dimensionales
Las ecuaciones que responden a una ley física,
por ejemplo, fuerza = masa × aceleración, y relacionan dos miembros formados por combinaciones de
variables han de tener en los dos miembros las mismas dimensiones y unidades, así como el mismo valor
numérico. Por ello, como ya se ha indicado, cuando
los sistemas de magnitudes son redundantes resulta
imprescindible el empleo de constantes dimensionales que, aplicadas adecuadamente, permitan igualar los valores dimensionales y numéricos de ambos
miembros.
Capítulo 5: Análisis dimensional y cambio de escala
89
CUADRO 5.5
Sistema Internacional de magnitudes y unidades
Magnitudes derivadas
Aceleración
Aceleración angular
Unidades
[a] = Lt –2
t –2
m · s–2
rad · s–2
m . s–1
Velocidad
[v] = Lt –1
Velocidad angular
[ω] =
Área
[A] = L2
m2
L3
m3
t –1
rad · s–1
Volumen
[V] =
Densidad de masa
[ρ] = ML–3
kg · m–3
Viscosidad cinemática
[ν] = L2t –1
m2 · s–1
Viscosidad dinámica
[µ] =
Fuerza
[F] = MLt –2
Tensión superficial
[σ] =
Presión
[P] = ML–1t –2
Energía
[E] =
ML2t –2
ML2t –2T–1
ML–1t –1
Mt –2
kg . m–1 . s–1
Newton (N) (kg . m . s2)
N · m–1
Pascal (Pa) (Newton . m–2)
Julio (J) (Newton . m)
Julio/Kelvin
Entropía
[S] =
Potencia
[P] = ML2t –3
Watio (W) (J . s–1)
Calor específico
[cp] = L2t –2T–1
Julio kg–1 · K–1
Conductividad térmica
[k] = MLt –3T–1
W . m–1 · K–1
Mt –3
W . m–2
ML–1t –2
J . m–3
Flujo de calor
Densidad de energía
[q] =
Frecuencia
[ω] =
t –1
Hertzio (Hz) (s–1)
Difusividad
[DAB] = L2t –1
m2 · s–1
Densidad de corriente
IL–2
A . m–2
Intensidad de campo magnético
IL–3
A . m–3
Cantidad de electricidad
[Q] = It
Culombio (C) (amperio · s)
Densidad de flujo eléctrico
IL–2t
C . m–2
Densidad de carga eléctrica
IL–3t
C . m–3
Diferencia de potencial eléctrico
Intensidad de campo eléctrico
[V] =
ML2t –3I –1
MLt –3I –1
ML2t –3I –2
Resistencia eléctrica
[R] =
Longitud de onda
[λ] = L
Así, si en un sistema de magnitudes y unidades la
fuerza y la masa son magnitudes fundamentales, caso
del Sistema Ingenieril, y se establece para el mismo
que la fuerza con la que el campo gravitatorio terrestre atrae a la unidad de masa del sistema ha de coincidir con el valor de la unidad de peso (fuerza), según
Voltio (V) (vatio · amperio–1)
V . m–1
Ohmio (Ω) (voltio · amperio–1)
m
la ley de Newton (peso = masa × aceleración, es decir
F = m . g) el peso tendría una expresión dimensional
F = MLt–2. En esta ecuación los dos miembros tienen
diferentes dimensiones, dado que en este sistema tanto la fuerza como la masa son magnitudes fundamentales. Ello hace necesario multiplicar uno de sus miem-
90
Introducción a la Ingeniería Química
CUADRO 5.6
Múltiplos y submúltiplos del Sistema Internacional de magnitudes y unidades
Múltiplos
Submúltiplos
Prefijo
Símbolo
Equivalencia
decahectokilomegagigaterapetaexa-
da
h
k
M
G
T
P
E
10
102
103
106
109
1012
1015
1018
Prefijo
decicentimilimicronanopicofemtoato-
Símbolo
Equivalencia
10–1
10–2
10–3
10—6
10—9
10—12
10—15
10—18
d
c
m
µ
n
p
f
a
CUADRO 5.7
Unidades, múltiplos y submúltiplos del Sistema Internacional con denominaciones específicas
Magnitud
Masa (M)
Longitud (L)
Tiempo (t)
Fuerza (MLt—2)
Volumen (L3)
Presi n (ML—1t—2)
Energ a (ML2t—2)
Potencia (ML2t—3)
Viscosidad (ML—1t—1)
Potencial el ctrico (ML2t—3I—1)
Cantidad de electricidad (It)
Resistencia el ctrica (ML2t—3I—2)
Frecuencia (t–1)
Nombre (s mbolo)
Tonelada (t)
Angstrom ( )
Micra ( m)
Minuto (min)
Hora (h)
Newton (N)
Litro (l)
Pascal (Pa)
Bar (bar)
Atm sfera (atm)
Julio (J)
Watio (W)
Poise (p)
Centipoise (cp)
Voltio (V)
Culombio (C)
Ohmio (Ω)
Hertzio (Hz)
bros por un factor con dimensiones, constante dimensional, para que las dimensiones de ambos se igualen.
Dicha constante, que para este caso se representa
como (gc), tiene una ecuación de dimensiones [gc] =
F–1MLt–2 , de modo que cuando es multiplicada por el
primer miembro (F) iguala las dimensiones de éste
con las del segundo: [gc] . F = (F–1MLt–2) . F = MLt–2
Como ya se ha comentado, además de que coincidan las dimensiones de ambos miembros, también es
necesario que lo hagan sus respectivos valores numé-
Equivalencia
1.000
10—10
10—6
60
3.600
1
10—3
1
105
101.300
1
1
10—1
10—3
kg
m
m
s
s
kg . m/s2
m3
N/m2
N/m2
N/m2
N.m
J/s
kg/m . s
kg/m . s
(W . A—1)
(A . s)
(V . A–1)
(s–1)
ricos. Por esta razón, la constante ha de tener un valor
numérico determinado que dé lugar a dicha igualdad.
En este caso la constante, gc, conocida como coeficiente de conversión o constante dimensional de la ley
de Newton, tiene el mismo valor numérico que la aceleración normal de la gravedad (g) en las unidades del
sistema redundante (ingenieril) de que se trate, tal
como se recoge en el cuadro 5.8.
Cuando el calor (Q) es incluido como magnitud
fundamental en los sistemas, se produce una situación
Capítulo 5: Análisis dimensional y cambio de escala
análoga a la anterior, en este caso la energía puede
tener expresión dimensional y unidades de calor (energía térmica), o de trabajo (energía mecánica), teniendo sin embargo que conducir a resultados coincidentes.
A la consideración de calor y trabajo como diferentes manifestaciones de un mismo fenómeno, la
energía, le correspondería una expresión dimensional
[Q] = [W] es decir, Q = FL o, en su caso, Q = ML2t–2,
dependiendo de que se trate de sistemas absolutos o
técnicos con magnitudes fundamentales del sistema,
masa, longitud y tiempo (M, L, t), o fuerza, longitud
y tiempo (F, L, t), respectivamente. En cualquiera de
los casos, ello hace necesario el empleo de una constante dimensional que permita igualar ambos miembros dimensional y numéricamente. Dicha constante
dimensional se representa por J y sus dimensiones son
[J] = Q–1 FL o [J] = Q–1 ML2t–2, y, como ya se ha indicado, se conoce habitualmente como equivalente mecánico del calor. Su valor numérico, que depende del sistema de unidades de que se trate, se incluye el cuadro
5.8 para los diferentes sistemas absolutos, técnicos e
ingenieriles.
5.3. Ecuaciones dimensionales
y adimensionales
Las ecuaciones que se emplean en las distintas áreas de la ingeniería pueden estar fundamentadas en las
leyes físicas o bien ser simples correlaciones empíricas. En este segundo caso, las ecuaciones pueden ser
dimensionalmente no homogéneas, es decir, que sus
miembros no tengan las mismas dimensiones. Además, en ellas se emplean con frecuencia unidades dife-
91
rentes para una misma magnitud, siendo imprescindible que las unidades utilizadas sean las indicadas por
los autores, pues de lo contrario se obtendrán resultados incorrectos. Un buen ejemplo de este tipo de
ecuaciones se encuentra en la expresión empírica que
se utiliza para el cálculo del tiempo necesario para la
separación de dos líquidos inmiscibles en un decantador (figura 5.1a), que determinará el tamaño del
mismo. Dicho tiempo, t, depende de la diferencia de
la densidad entre los líquidos que se desea separar y
de la viscosidad de la fase continua, y se calcula a partir de la expresión:
t=
6, 24 µ
ρ A − ρB
[5.1]
donde t es el tiempo necesario para la separación en
horas, ρA y ρB las densidades de los líquidos a separar,
A y B en lb/pie3 y µ la viscosidad de la fase continua
en centipoises. Resulta evidente que el valor numérico 6,24 es una constante dimensional empírica.
Otro ejemplo típico de esta clase de ecuaciones es
la expresión empírica para el coeficiente individual de
transmisión de calor por convección natural (capítulo 10) en el caso de un tubo horizontal:
 ∆T 
h = 0, 50 

 D 
0 ,25
[5.2]
donde h es el coeficiente individual de transmisión de
calor en Btu/h ft2 ºF, ∆T la diferencia de temperatura
entre la pared del tubo y los alrededores, en ºF, y D el
diámetro exterior del tubo, en pulgadas (figura 5.1b).
CUADRO 5.8
Constantes dimensionales en diversos sistemas
Constante
Dimensiones
Sistema de magnitudes y unidades
gc
F–1MLt–2
Ingenieril métrico
Ingenieril inglés
J
ML2t–2Q–1
CGS
MKS
FPS
J
FLQ–1
Métrico técnico e ingenieril
Inglés técnico e inglés ingenieril
Valor (unidades)
9,807 (kg . m . s–2 . kgf–1)
32,174 (lb . ft . s–2 . lbf–1)
4,184 · 107 (ergios . cal–1)
4,184 · 103 (julios . kcal–1)
25,020 · 103 (poundal . ft . Btu–1)
426,65 (kgf . m . kcal–1)
777,67 (lbf . ft . Btu–1)
92
Introducción a la Ingeniería Química
No ocurre así con las ecuaciones dimensionales,
en las que el valor numérico de las constantes depende de las unidades utilizadas.
Ejemplo 5.1. El tiro teórico de una chimenea puede calcularse mediante la ecuación dimensional:
1
1
∆p = 0, 256 hP  − 
T
T

c 
donde ∆p es el tiro o diferencia de presión en pulgadas de agua (in), h la altura de la chimenea en
pies (ft), P la presión barométrica en pulgadas de
mercurio (in Hg), T la temperatura ambiental en
grados Rankin (ºR) y Tc la temperatura media en
el interior de la chimenea en grados Rankin (ºR).
Calcular el tiro teórico de una chimenea de 45
metros de altura que se encuentra a una temperatura media de 260 ºC, si la temperatura exterior es
20 ºC y la presión barométrica 750 mm de Hg.
FIGURA 5.1. a) Decantador por gravedad; b) transmisión
de calor por convección en un tubo horizontal.
Frente a este tipo de ecuaciones, conocidas como
ecuaciones dimensionales, se encuentran aquellas que,
procediendo de leyes físicas, tienen las mismas magnitudes y unidades en los diferentes términos aditivos
que componen sus miembros, es decir, son dimensionalmente homogéneas. Cuando los diferentes términos de estas ecuaciones se dividen por uno de ellos,
se obtienen unas nuevas ecuaciones cuyos términos
no tienen ni magnitudes ni unidades, sino que poseen
únicamente valores numéricos. Estas nuevas expresiones se conocen como ecuaciones adimensionales y
las constantes que en ellas aparecen son constantes
adimensionales.
Las ecuaciones dimensionalmente homogéneas y
las ecuaciones adimensionales son muy abundantes
en la bibliografía sobre Ingeniería Química y pueden
emplearse con las unidades de cualquier sistema sin
necesidad de utilizar factores de conversión. Sólo ha
de tenerse en cuenta que si el sistema es redundante
deben incluirse las constantes dimensionales correspondientes.
Solución:
Puesto que se trata de una ecuación dimensional es fundamental operar en las unidades indicadas, de modo que hay que proceder a su conversión antes de operar.
Así:
h=
P=
45 m
= 147,64 ( ft)
0, 3048 m/ft
750 mm
= 29,53 ( inHg)
25, 4 mm/in
9

T = ( 20 + 273, 16 )K °R/K = 527,69 (°R)
5

9

TC = ( 260 + 273, 16 )K °R/K = 959,69 (°R)
5


y sustituyendo en la ecuación dimensional, resulta:
1 
 1
∆p = 0, 256(147, 64 )( 29, 53 )
−
=
 527, 69 959, 69 
= 0, 952 pulgadas de agua
Capítulo 5: Análisis dimensional y cambio de escala
Ejemplo 5.2. Para calcular el coeficiente de transmisión de calor de un líquido orgánico que circula perpendicularmente a un conjunto de tubos puede emplearse la ecuación:
h=b
0 ,6
Vmax
D00 ,4
donde b es una constante que tiene un valor de
0,408 si en la ecuación se emplean unidades del
Sistema Inglés, Vmax en ft/h y el diámetro externo
de los tubos en ft, obteniéndose h en las unidades
Btu/h ft ºF.
Calcular el valor que debería tener la constante b, para poder emplear la ecuación con Vmax y D0
en unidades del Sistema Internacional (m/s) y (m)
respectivamente y obtener el coeficiente de transmisión de calor, h, en J/m2 s K.
Solución:
b=
Btu/ft 2 h °F ⋅ (ft)0,4
hD00 ,4
0
,
408
=
0 ,6
(ft/h)0,6
Vmax
Sustituyendo cada una de las unidades del Sistema Inglés por el número de unidades equivalentes de la que le corresponde en el Sistema Internacional, resulta:
b = 0, 408
 5
1055 J /( 0, 3048 2 m 2 )3.600 s  °C ⋅ ( 0, 3048 m ) 0, 4
 9
( 0, 3048 m / 3.600 s ) 0, 6
b = 399, 79
J/m 2 s °C ⋅ (m )0,4
(m/s )0,6
Luego el valor buscado de la constante b para
operar en el Sistema Internacional es:
b ≈ 400
93
5.4. Análisis dimensional
Cuando en un fenómeno fisicoquímico se conocen todas las variables que intervienen pero se desconoce la relación exacta que existe entre ellas, debido a la dificultad de integración de las ecuaciones
diferenciales o a otras causas, el análisis dimensional
puede ser un instrumento adecuado para facilitar el
establecimiento de una relación empírica entre dichas
variables, resultando de gran utilidad tanto para la
planificación de experimentos como para la interpretación de los resultados obtenidos en los mismos.
El método empírico convencional para obtener
una ecuación que relacione cada variable por separado con la variable dependiente requiere una experimentación en la que se modifique cada una de las
variables en una serie de experimentos, manteniendo
constantes el resto de las mismas. Este procedimiento conduce a un trabajo experimental considerablemente extenso cuando el número de variables es elevado.
Por el contrario, los métodos de análisis dimensional operan agrupando las variables que intervienen en el fenómeno en un conjunto de combinaciones sin dimensiones físicas denominadas módulos o
“números” adimensionales. De este modo, la ecuación
empírica que relacione las variables entre sí podrá
expresarse en función de dichos módulos, en lugar de
hacerlo en función de cada variable por separado. Esto
supone que la experimentación necesaria sea menos
extensa y la ecuación obtenida más sencilla, ya que el
número de módulos adimensionales es siempre menor
que el de variables, generalmente en un valor igual al
de las magnitudes fundamentales del sistema empleado.
Los “principios” en que se fundamenta el análisis
dimensional son los siguientes:
a) Todas y cada una de las magnitudes físicas pueden expresarse como un producto de potencias
de un reducido número de magnitudes fundamentales.
b) Las ecuaciones que representan fenómenos fisicoquímicos han de ser dimensionalmente
homogéneas. Es decir, todos los términos aditivos de sus miembros han de tener las mismas
dimensiones en el sistema de magnitudes elegido.
c) Cualquier relación general entre magnitudes
físicas puede expresarse en función de un con-
94
Introducción a la Ingeniería Química
junto de grupos adimensionales que contengan
las variables que intervengan en el fenómeno
y las constantes dimensionales del sistema de
magnitudes utilizado. Este principio, que procede de los anteriores, es conocido como Teorema de π de Buckingham.
A pesar de las notables ventajas de la aplicación
del análisis dimensional, hay que tener en consideración que los resultados obtenidos de su aplicación estarán limitados por el hecho de que las hipótesis previas
establecidas respecto a las variables que influyen en
el fenómeno han de ser válidas y completas, esto es,
que han de haberse incluido todas las variables que
influyen en el fenómeno, siendo la comprobación
experimental la única base segura para determinar si
dichas hipótesis son correctas y adecuadas.
5.4.1. Métodos de análisis dimensional.
Método de Rayleigh
Para obtener los módulos adimensionales que
caracterizan un fenómeno fisicoquímico se emplean
tres métodos, dos de los cuales son algebraicos: los de
Rayleigh y de Buckingham, y uno que no lo es: el
método de las ecuaciones diferenciales. En esta obra
se presentará únicamente el primero de ellos, por su
mayor sencillez y amplia utilización.
El método de Rayleigh fue propuesto en 1899 y
constituye un procedimiento simple y directo de agrupar las variables en números adimensionales. Opera
a partir del conocimiento previo de las variables que
intervienen en el fenómeno (dicho conocimiento procederá de estudios preliminares bibliográficos o experimentales) y en su aplicación se siguen los siguientes
pasos:
a) Se expresa una de las variables, Y, generalmente la de mayor interés, como una función
potencial de las restantes variables, Xi, y de las
constantes dimensionales del sistema de magnitudes elegido, que estarán elevadas a exponentes a determinar, ai.
Y = C ⋅ X1a1 X 2a2 X 3a3 … X nan
[5.3]
donde C es un factor adimensional, habitualmente relacionado con la geometría del sistema.
b) Las variables y constantes dimensionales son
sustituidas en la función potencial por sus ecuaciones de dimensiones, en un mismo sistema
de magnitudes.
c) Se plantea una ecuación de condición de homogeneidad para cada una de las magnitudes fundamentales, estableciendo que en éstas ha de
cumplirse que el exponente al que está elevada cada una de las magnitudes fundamentales
en el primer miembro de la ecuación ha de ser
igual a la suma de los exponentes a los que se
encuentra elevada esa misma magnitud en los
términos que constituyen el producto en el
segundo miembro.
d) Siendo n el número de variables a considerar, el
número de incógnitas (exponentes a determinar)
será n – 1, por lo que si el sistema elegido tiene
p magnitudes fundamentales y por lo tanto p
ecuaciones de condición, el sistema normalmente
estará indeterminado, ya que (n – p – 1) > 0.
Dicha circunstancia hace que sea necesario fijar
(n – p – 1) incógnitas para que el sistema pueda
ser resuelto y calcular de ese modo las p incógnitas (exponentes) restantes, expresadas en función de las fijadas previamente. Cuando dos o
más ecuaciones de condición, c, resulten equivalentes, únicamente una de ellas establece una
condición independiente, por lo que el número
de ecuaciones útiles se reduce a p′ = p – c + 1
y habría de fijarse un número mayor de incógnitas (n – 1 – p′) para obtener las p′ restantes.
e) Los exponentes así calculados junto con los elegidos previamente se sustituyen en la función
potencial inicial, agrupándose las variables elevadas a los mismos exponentes. De este modo
se obtiene un módulo adimensional π1 elevado
a exponente unidad, que suele mantenerse en
el primer miembro, mientras que en el segundo miembro aparecen (n – 1 – p) o (n – 1 – p′)
grupos adimensionales πi elevados a los exponentes fijados previamente, constituyéndose en
las nuevas variables independientes del sistema.
Así, finalmente se obtiene una relación de la forma π1= φ ( π2, π3,…), la cual contiene algunos módulos que representan razones con un solo término en
el numerador y otro en el denominador; dichos módulos se denominan factores de forma y suelen representarse por ω1,ω2, etc. Así, es frecuente expresar la
ecuación anterior como: π1= φ ( π2, π3, ω1,ω2, …).
95
Capítulo 5: Análisis dimensional y cambio de escala
A continuación se presenta un ejemplo de aplicación del método de Rayleigh.
Ejemplo 5.3. Se ha realizado un gran número de
investigaciones sobre la transferencia de materia
en lechos de relleno entre las partículas sólidas del
mismo y el fluido circulante (figura 5.2). Esta situación podría corresponder al de una reacción catalítica, donde los reaccionantes han de transferirse
desde el líquido hasta la superficie de las partículas sólidas de catalizador. Aunque las correlaciones experimentales difieren, todos los estudios
coinciden en que el coeficiente de transferencia de
materia kc, que determina la velocidad del proceso de dicha transferencia de materia (capítulo 4)
depende del diámetro de las partículas de sólido
que forman el lecho, Dp, de las propiedades del
fluido: viscosidad, µ, y densidad, ρ, de la difusividad del soluto en la fase móvil, DAB, y de la velocidad del fluido, V, que en estos casos se suele
expresar como velocidad másica de desplazamiento
del fluido G (definida como G = m/S = ρV, siendo
m el caudal másico y S la sección transversal de la
columna). Obsérvese que, aunque para un gas
variasen V y ρ en su recorrido, G permanecería
constante.
Solución:
a) La variable de mayor interés en este caso es el
coeficiente de transferencia de materia, kc, tal
y como se define en el capítulo 4. De acuerdo
a lo indicado anteriormente (ecuación [5.3])
puede expresarse como:
a a a
a
a
k c = C ⋅ D p 1 µ 2 ρ 3 D AB4 G 5
b) Si se opera en el Sistema Internacional, al tratarse de un sistema de magnitudes no redundante –no necesita del empleo de constantes
dimensionales– sus magnitudes fundamentales
son (L, M, t), de modo que las ecuaciones de
dimensiones de las variables que intervienen
en el fenómeno son:
[k ] = L t
[D ] = L
[ µ ] = ML
[ρ ] = ML
[D ] = L t
[ G ] = ML
−3
−1
c
2 −1
AB
p
−1 −1
t
−2 −1
t
Sustituyendo estas expresiones en la función potencial se obtiene:
[k c ] =C [Dp ]a1 [ µ ]a2 [ρ ]a3 [DAB ]a4 [G ]a5 ⇒ (L t −1 ) =
a
a
a
a
a
= (L ) 1 ( ML−1 t −1 ) 2 ( ML−3 ) 3 (L2 t −1 ) 4 ( ML−2 t −1 ) 5
c) Las ecuaciones de condición de homogeneidad
son:
∑ M : 0 = a 2 + a 3 + a 5

∑ L : 1 = a 1 − a 2 − 3 a 3 + 2 a 4 − 2 a 5
∑ t : − 1 = − a − a − a
2
4
5

FIGURA 5.2. Esquema de un lecho de relleno y del proceso
de transferencia de masa desde el fluido a la partícula.
Establézcanse los módulos adimensionales que
intervienen en el proceso.
d) En este caso, el número de exponentes ai que
se deben determinar es 5 (uno menos que el
número de variables, n = 6) y el número de magnitudes fundamentales y de ecuaciones de condición independientes es p = 3. Así, resulta necesario fijar (n – 1 – p) = 2 exponentes. Se pueden
fijar dos cualquiera de los 5, sin que por ello se
altere el resultado. Eligiendo en este caso los
exponentes a2 y a5 el problema se resuelve de
96
Introducción a la Ingeniería Química
un modo muy sencillo, por lo que la resolución
del sistema de tres ecuaciones permite obtener
los tres exponentes restantes que resultan:
a1 = –1 + a5
a3 = –a2 – a5
a4 = 1 – a2 – a5
e) Sustituyendo estos valores en la función potencial se obtiene:
a a a a a
k c = C ⋅ Dp 1 µ 2 ρ 3 DAB4 G 5 =
−1 + a5 a2 − a2 − a5 1 − a2 − a5 a5
= C ⋅ Dp
µ ρ
DAB
G
Al reordenar esta expresión, agrupando las
variables elevadas a exponentes numéricos en el
primer miembro y los elevados a cada uno de los
exponentes fijados en el segundo, resulta:
a
 k c Dp 
 µ  2  G Dp 
C
=


 D 
 ρ DAB   ρ DAB 
 AB 
a5
Los módulos adimensionales resultantes o combinaciones sencillas de los mismos son muy conocidos y de gran utilización en Ingeniería Química,
por lo que tienen nombre propio:
k D 
π1 =  c p  = Sh; Módulo de Sherwood
 D AB 
 µ 
π2 = 
 = Sc; Módulo de Schmidt
 ρD AB 
 GDp 


π 3  ρDAB   GD   VDρ 
=
=
 =
=
π2  µ   µ   µ 


 ρDAB 
= Re; Módulo de Reynolds
Por tanto, la conclusión final es que se puede
establecer una relación matemática del tipo:
Sh = φ (Re, Sc)
Para esta relación algunos autores han propuesto una expresión: Sh = 1,17 Re0,585 Sc1/3 obte-
nida a partir del ajuste de resultados experimentales, válida para rellenos de partículas esféricas
en lechos con una porosidad del 40-50%.
La aplicación del análisis dimensional a este
caso práctico ha permitido reducir el número de
variables a estudiar de seis a tres (Sh, Re, Sc) y además suministra una información muy valiosa a la
hora de efectuar el cambio de escala, como se indica en los próximos apartados.
5.5. Cambio de escala en procesos
químicos
En los estudios de investigación y desarrollo de los
procesos químicos uno de los problemas que merece
más atención y con frecuencia resulta más complejo
es la extensión y aplicación de los resultados del laboratorio a escala industrial y comercial, es decir, el denominado cambio de escala.
La operación de cambio de escala requiere pasar
de manejar cantidades que oscilan entre los gramos y
los kilogramos (escala de laboratorio) a hacerlo con
cantidades que frecuentemente se extienden desde las
toneladas hasta los miles de toneladas (escala industrial) y su objetivo es reproducir en la escala superior
los resultados alcanzados en el laboratorio. En término prácticos, se trata de obtener al menos las mismas conversiones, selectividades y rendimientos cumpliendo con las especificaciones exigidas.
Debe indicarse que las capacidades de producción
de los diversos procesos químicos industriales son muy
variadas. Así, por ejemplo, para los productos petrolíferos y petroquímicos (gasolinas, disolventes, etc.)
las cifras alcanzan los cientos de miles de toneladas/año, mientras que para los productos farmacéuticos (medicamentos, etc.) pueden alcanzarse tan sólo
unas pocas toneladas al año. A pesar de su diferente
magnitud, ambos son procesos químicos industriales,
y comparten las exigencias y características propias
de los mismos. Sin embargo, es evidente que el problema del cambio de escala en ambos casos resulta de
distinta envergadura.
Pasar del laboratorio a la instalación industrial
no es tarea sencilla y lo normal es que haya que realizar una o varias series de experimentos complementarios que permitan obtener toda la información
necesaria en el mínimo tiempo y con el mínimo coste posible. Por ello, una adecuada metodología de
Capítulo 5: Análisis dimensional y cambio de escala
cambio de escala resulta decisiva para el éxito de la
operación.
En el desarrollo de un proceso pueden distinguirse diferentes etapas en función de la escala empleada. Así, se emplean términos como: escala de laboratorio, planta piloto, escala “un cuarto”, media escala,
unidad de demostración, escala semi-industrial, etc.
Esta clasificación, si bien puede resultar indicativa respecto a los costes que conllevará, no lo es tanto desde el punto de vista de la metodología empleada.
En cualquier caso, pueden establecerse tres clases
genéricas de experimentos:
a) A escala de laboratorio. Se investigan ciertos
detalles del proceso mediante el empleo de
pequeñas cantidades de materias primas. Presenta las ventajas de su facilidad operativa, flexibilidad y economía.
b) A escala de planta piloto. En ellos se tienen en
cuenta las restricciones que pueden aparecer
en el proceso a escala industrial, por ejemplo
las impurezas presentes en las materias primas,
las posibles variaciones de composición de
éstas, los largos períodos de operación continuada, los materiales de construcción, el control automático del proceso, etc. En estos experimentos afloran con frecuencia los problemas
relacionados con las restricciones anteriores
dando la oportunidad de encontrar soluciones
a los mismos. La cantidad procesada en este
tipo de experimentos presenta un gran intervalo de variación.
c) A escala de unidad de demostración. Son experimentos en una instalación industrial, aunque
con una escala menor que la instalación definitiva para la producción (alrededor de 1/10).
Este tipo de experimentos resulta extraordinariamente caro y además genera importantes
retrasos, de incluso varios años, en la puesta en
marcha de la instalación definitiva, por lo que
es conveniente evitarlos siempre que no resulten imprescindibles.
Aunque hoy día los modelos de simulación de procesos químicos han experimentado un considerable
desarrollo y resultan útiles para estudiar los problemas del cambio de escala sin otros datos que los obtenidos en el laboratorio, continúan siendo insuficientes a la hora de asegurar el comportamiento del
proceso a escala industrial. Por ello, sigue siendo
97
importante una buena planificación y un estudio experimental completo de cambio de escala.
5.5.1. Consideraciones del cambio de escala
Al proceder al cambio de escala hay que tener en
cuenta que los sistemas de transformación de la materia son sistemas complejos, en el sentido de que están
formados por un gran número de elementos que se
encuentran interconectados por numerosas variables,
y que tienen que satisfacer, además de las leyes de
equilibrio y de cinética química, los balances de materia, cantidad de movimiento y energía para cada una
de las fases presentes.
Todos los procesos químicos implican, además de
la conversión química, diversos fenómenos que generalmente no actúan de modo independiente sino acoplados de forma simultánea. Entre éstos se encuentran: los equilibrios termodinámicos, físicos y químicos,
las reacciones químicas paralelas, la transmisión de
calor, la transferencia de materia (en una sola fase o
entre fases) y la circulación de los fluidos (por convección natural o forzada).
Cuando uno de los fenómenos que determinan la
velocidad con que transcurre el proceso global es mucho
más lento que los demás, se denomina etapa controlante y las ecuaciones que han de considerarse en el
diseño resultan simplificadas en cada caso particular
dependiendo de cuál sea el fenómeno más lento.
Así, cuando el control corresponde a la cinética química sólo los términos representativos de velocidad de
reacción, rA (mol A/m3 s), y de energía producida o consumida como causa de la transformación química,
(–∆H) rA (J/m3s), y los módulos adimensionales correspondientes (módulos de Damköhler) resultarán relevantes.
Por otro lado, el efecto de la escala o tamaño del
equipo es notablemente diferente, dependiendo de
cuál sea la etapa controlante. Por ejemplo, los dos términos de reacción química anteriormente comentados son, por su naturaleza, independientes del tamaño del equipo y, con frecuencia, tienen poca influencia
sobre el comportamiento físico del sistema, si bien a
veces el efecto térmico de la reacción puede afectar
al mismo a través de la aparición de efectos de convección natural o de dificultad de disipación rápida
del calor generado, cuando éste es considerable.
Todo ello resulta de gran importancia a la hora de
abordar el cambio de escala de los procesos químicos,
98
Introducción a la Ingeniería Química
puesto que permite suprimir los términos de reacción
química de las ecuaciones de diseño durante dicho
estudio, analizándose únicamente los efectos del cambio de escala sobre el comportamiento físico del sistema, mucho más sensible a las modificaciones de
tamaño. De este modo, pueden hacerse experimentos especiales que no conlleven reacción química en
equipos de mayor tamaño, lo que conduce al empleo
de equipos conocidos como modelos físicos en los procedimientos experimentales utilizados en el cambio
de escala.
Por ejemplo, la mezcla de sustancias viscosas para
estudiar una reacción de polimerización en la que la
homogeneidad de la mezcla es clave o la velocidad de
circulación de los gases en lechos móviles o fluidizados para el estudio del flujo en reacciones sólido-gas
o catalizadas son casos en los que se aplican modelos
físicos.
Todo lo anterior no excluye que, aunque la velocidad de reacción química en sí no esté afectada ni por
el tamaño ni por la estructura del reactor, la velocidad
de reacción con que transcurre el proceso global resulte afectada de manera indirecta a través de la influencia de la escala y de la geometría del reactor sobre los
transportes de calor y de materia.
5.5.2. Teoría de la semejanza
La teoría de la semejanza se ocupa únicamente de
la forma de los sistemas fisicoquímicos, prescindiendo
del resto de sus características (tamaño y composición),
pero entendiendo por forma no sólo la que se refiere a
la geometría de los equipos sino a los perfiles de las propiedades intensivas en el interior del mismo: perfiles de
velocidades, fuerzas o presiones, temperaturas y concentraciones.
Cuando se emplean equipos de reducido tamaño,
maquetas, operando con o sin reacción química, para
la obtención de datos útiles para el cambio de escala
fundamentados en la teoría de la semejanza, se parte
del conocimiento previo de los módulos adimensionales que caracterizan los principales mecanismos que
controlan el proceso.
Así, cuando se desea determinar el valor de una
variable en un equipo de tamaño industrial, prototipo, por ejemplo un coeficiente de transporte de calor
o de materia, a partir de los resultados que se obtengan en una maqueta, hay que proceder en primer
lugar a realizar el análisis dimensional correspon-
diente, para reducir el número de variables que intervienen en el fenómeno a una serie de módulos adimensionales.
Como ya se ha indicado en los apartados anteriores, el análisis dimensional conducirá a una ecuación
de la forma: π1 = φ ( π2, π3, π4, ω1, ω2, …) donde, si se
opera adecuadamente, sólo el módulo π1 incluirá la
variable de interés. Dicho módulo se analiza como
variable dependiente frente a los demás, que se comportan como variables independientes.
Una vez que se dispone de la relación π1 = φ (π2,
π3, π4, ω1, ω2, …), se procede a aplicar la ley o principio de semejanza, que implica que manteniendo en
ambas escalas los valores de todos los módulos adimensionales independientes que aparecen en el segundo miembro π2 , π3 , π4 , etc., así como los valores de
todos los factores de forma ω1 , ω2 , etc., también el primer miembro de la ecuación, π1, mantendrá su valor
en ambas escalas. Cuando se cumple esta circunstancia se dice que la maqueta y el prototipo tienen semejanza completa o estricta.
En Ingeniería Química no siempre es posible que
se cumpla simultáneamente la igualdad de todos los
factores que conducen a la semejanza estricta, por ello,
en función de cuáles sean las condiciones que cumplan los sistemas, se pueden establecer distintos tipos
de semejanza parcial: semejanza geométrica, semejanza mecánica (dinámica y cinemática), semejanza
térmica, semejanza de concentraciones y semejanza
química.
Para poder determinar las condiciones que han de
cumplirse para cada uno de los tipos de semejanza es
necesario establecer previamente la existencia en
maqueta y prototipo (figura 5.3) de los denominados
puntos correspondientes, aquellos que mantienen una
relación constante entre sus coordenadas de posición
(x, y, z) en ambas escalas, de modo que se cumple la
siguiente relación:
x ′ y ′ z′
=
=
= Kg
x
y
z
[5.4]
donde Kg se conoce como factor de escala geométrico,
(x, y, z) son las coordenadas de posición en la maqueta o modelo y (x′, y′, z′) las coordenadas de posición
en el prototipo.
Si la expresión anterior se generaliza para cualquier otra magnitud, se obtiene que el principio de
semejanza puede expresarse de la forma siguiente:
99
Capítulo 5: Análisis dimensional y cambio de escala
FIGURA 5.3. Semejanza:
a) modelo; b) prototipo.
m′ = Km
[5.5]
donde m′ y m son los valores de una magnitud cualquiera en los puntos correspondientes de los equipos
de mayor y menor tamaño respectivamente y el factor de proporcionalidad, K, es el factor de escala que
corresponde a dicha variable genérica.
A partir de estos conceptos se establecen las condiciones que han de satisfacer los módulos, o lo que
es lo mismo, las variables que intervienen en el fenómeno para que se cumpla cada una de las semejanzas
parciales. A continuación se detallan en orden creciente de complejidad.
L′ D′ ε ′
=
=
= ... = K g
L
D
ε
Cuando además de cumplirse esta condición las propiedades físicas y químicas en ambas escalas son iguales, los sistemas se denominan sistemas homólogos.
La condición de semejanza geométrica puede asimismo expresarse en función de los factores de forma,
parámetros que representan el cociente entre dos
dimensiones lineales características del sistema y surgen del análisis dimensional. Dichos factores de forma han de ser iguales en maqueta y prototipo para
que exista semejanza geométrica. Así, dicha condición se expresa como:
A) Semejanza geométrica
Existe semejanza geométrica cuando todos los puntos del modelo tienen un punto correspondiente en el
prototipo y viceversa. Es decir, todas las dimensiones
lineales del sistema aumentan o disminuyen en una
misma proporción, denominada, como ya se ha indicado, factor de escala geométrico, Kg:
[5.6]
ω1=
L L′
ε
ε′
h
h′
=
, ω2= =
, ω3= =
, etc.
D D′
D D′
D D′
[5.7]
Cuando uno o más de los factores de forma no
cumplen esta condición pero el resto sí lo hace, se
habla de semejanza geométrica distorsionada, que en
100
Introducción a la Ingeniería Química
ocasiones resulta de utilidad en los cambios de escala. Se produce por ejemplo cuando se realizan ensayos de laboratorio con productos naturales y luego se
pasa operar a escala real, como ocurre en el secado
de grano en lecho fluidizado, liofilización del café, etc.
En la figura 5.4 se muestra esquemáticamente un ejemplo de semejanza geométrica estricta y otro de semejanza geométrica distorsionada (particulas sólidas de
igual tamaño en maqueta y prototipo).
 F ′
  = KF
F
[5.8]
Ello implica que si, por ejemplo, en un fenómeno
intervinieran fuerzas de inercia, de rozamiento viscoso, de presión y de gravedad, habría de cumplirse que:
Finercia
F′
′
 F ′
= roz. visc . =
  = KF =
F
Finercia Froz. visc.
=
Fpres.
′
Fpres.
=
Fgravedad
′
[5.9]
Fgravedad
con lo que, operando con la serie de igualdades anteriores, resultarían tres razones adimensionales independientes de fuerzas que habrían de ser iguales en
maqueta y prototipo:

Finercia
F
′
= inercia 
Froz.
′ visc. Froz. visc. 

Fpres.
F
′
= pres.

Finercia
Finercia 
′

Finercia
F
′
= inercia 
Fgravedad
Fgravedad 
′
FIGURA 5.4. Semejanza geométrica: a) semejanza geométrica estricta; b) semejanza geométrica distorsionada.
B) Semejanza mecánica (dinámica y cinemática)
Dos sistemas son dinámicamente semejantes cuando, además de existir semejanza geométrica entre
ambos, también existe semejanza de los perfiles de fuerzas. De acuerdo con el principio de semejanza eso exige que exista un único valor del factor de escala, KF ,
para todas las fuerzas (F), es decir, que todas las fuerzas que intervienen en el fenómeno mantengan una
relación constante entre sus valores en todos los puntos correspondientes de maqueta y de prototipo:
[5.10]
Como consecuencia de ello, los módulos adimensionales que representen estas razones entre fuerzas han
de ser iguales en maqueta y prototipo.
Al final del capítulo, en el cuadro-resumen 5.1 se
recogen algunos de los módulos relacionados con la
semejanza dinámica y su correspondiente significado
físico. De acuerdo con el mismo, de las igualdades
anteriores se concluye que para el caso presentado la
condición de semejanza dinámica implica la necesidad de igualdad de los módulos de Reynolds, Euler y
Froude en maqueta y prototipo:
 ρ ′V ′L ′   ρ VL  
Re ′ = Re = 

 =
 µ'   µ  

∆p ′
∆p
=
Eu ′ = Eu =

2
2
ρ ′V ′
ρV


V′ 2 V2

=
Fr ′ = Fr =
gL ′ gL

[5.11]
Como ya se indicó, el análisis dimensional permite
obtener los módulos adimensionales, πi, que intervienen
Capítulo 5: Análisis dimensional y cambio de escala
en un fenómeno, llegándose al criterio de semejanza
π1 = φ (π2, π3,…). Así pues, para establecer la condición
de semejanza dinámica, en la práctica, sólo restaría identificar cuáles de ellos corresponden a cocientes de fuerzas e igualarlos para modelo y prototipo. Con ello, las
ecuaciones obtenidas, conocidas como ecuaciones de
escala, permiten relacionar los valores de las variables
en el prototipo con los que tienen en la maqueta. Haciendo referencia al Ejemplo 5.1, de acuerdo con el criterio
de semejanza obtenido, Sh = φ (Re, Sc), para que existiera semejanza dinámica sería precisa la igualdad de los
módulos de Reynolds en maqueta y prototipo, por lo
que la ecuación de escala correspondiente sería:
 ρ ′V ′L ′   ρ VL 
Re ′ = Re = 

 =
 µ′   µ 
[5.12]
Por su parte, la semejanza cinemática (semejanza
de los perfiles de velocidad), se encuentra ligada a la
semejanza dinámica debido a que los elementos de
fluido situados en puntos correspondientes recorrerán trayectorias semejantes con velocidades proporcionales siempre que los sistemas sean dinámicamente
semejantes, es decir, cuando en maqueta y prototipo
todas las fuerzas que intervengan cumplan la ecuación [5.8].
No obstante, cuando el movimiento de los fluidos
se produce en regímenes extremos de flujo, régimen
laminar o muy turbulento, los perfiles relativos de
velocidades no se ven afectados por las variaciones en
los perfiles de fuerza y, por tanto, se mantendrá la
semejanza cinemática en un amplio intervalo, con
independencia de la existencia de igualdad de los
módulos antes indicados, siempre y cuando no se produzca un cambio en el régimen de circulación.
C) Semejanza térmica
La existencia de semejanza térmica supone la igualdad de forma de los perfiles de temperatura en ambas
escalas. Para ello, es condición previa la existencia no
sólo de semejanza geométrica, sino también de semejanza cinemática, como consecuencia de la directa intervención del movimiento del fluido (convección) en la
velocidad con que se produce la transmisión de calor,
que determina, lógicamente, el perfil térmico.
Debido a que el perfil de temperatura depende de
los flujos de calor, la condición de semejanza térmica
101
se concreta en la condición de igualdad en maqueta y
prototipo de las razones de todos los flujos de transmisión de calor y de los términos de generación de
calor significativos para el proceso. Con ello, por el
mismo motivo que en el caso anterior, la condición de
semejanza térmica reside en la necesidad de que todos
los módulos adimensionales que relacionan los flujos
de calor y, en su caso, aquellos que relacionan los anteriores con la generación o consumo de energía por
reacción química u otro motivo sean iguales en maqueta y prototipo.
Así, por ejemplo, en un sistema donde se produjera la circulación de un fluido con generación de calor
por rozamiento y transmisión de calor por convección
y conducción, para que hubiera semejanza térmica
habría de cumplirse que el factor de escala de calor
tuviera un valor único para todos los términos de calor
implicados:
KQ =
Q′
Qroz.
Q′
′
= conv. = cond.
Qroz. Qconv. Qcond.
[5.13]
y operando de modo análogo a la semejanza dinámica ello conduciría a que de las tres igualdades anteriores pueden obtenerse dos razones adimensionales
independientes:
Qconv.
Q
′
= conv. ;
Qcond.
Qcond.
′
Qroz.
Q
′
= roz.
Qcond.
Qcond.
′
[5.14]
Consultando el cuadro-resumen 5.2, donde se recogen los módulos más habituales relacionados con este
tipo de semejanza, se concluye que para que existiera semejanza térmica en este caso habrían de ser iguales en maqueta y prototipo los módulos de Peclet y de
Brinkman:

ρ ′ cp′ V ′L ′ ρ cp V L 
=

k′
k

2
2
µ′V ′
µV

=
Br ′ = Br =

k ′∆T ′ k ∆T

Pe ′ = Pe =
[5.15]
El módulo de Peclet es igual al producto del módulo de Reynolds por el de Prandtl, lo que refleja la incidencia de la semejanza dinámica o cinemática sobre
la semejanza térmica.
102
Introducción a la Ingeniería Química
D) Semejanza de concentraciones
E) Semejanza química
La semejanza de concentraciones aparece cuando son semejantes los perfiles de concentraciones en
maqueta y prototipo. Precisa de la existencia previa
de semejanza geométrica y cinemática y, análogamente al caso anterior, la condición de semejanza se
traduce en la necesaria igualdad en maqueta y prototipo de todos los módulos adimensionales que relacionan velocidades de transporte de materia del componente de interés por diferentes mecanismos y, en
su caso, de su velocidad de generación por reacción
química.
Así, por ejemplo, en un sistema donde hubiera
transporte de materia por convección y difusión y reacción química de un componente A, para que existiera semejanza tendría que cumplirse:
La velocidad con que transcurren los procesos químicos viene determinada por la temperatura y la concentración de los reaccionantes que intervienen en la
misma. Por ello, la condición de semejanza química
precisa de la existencia de semejanza térmica y de
semejanza de concentraciones, requiriendo la igualdad en maqueta y prototipo de todos los módulos adimensionales correspondientes a las mismas que intervengan en cada caso concreto. Cuando en la operación
desarrollada en modelo y en prototipo se pretenda
que las conversiones y los tiempos de reacción sean
semejantes, la velocidad de circulación de los fluidos,
en caso de tratarse de reactores de flujo, resultaría
muy diferente en ambas escalas y sólo existiría semejanza cinemática en caso de operar con regímenes
extremos, laminar o muy turbulento, en los que, como
se ha indicado anteriormente, la semejanza cinemática no se ve afectada por la semejanza dinámica.
No obstante, el cambio de escala de reactores químicos por medio de la aplicación de la semejanza química se encuentra limitada a sistemas reaccionantes
relativamente sencillos, como por ejemplo las reacciones homogéneas de primer orden, porque, en general, dicha semejanza resulta muy difícil de alcanzar
por el gran número de condiciones de igualdad entre
módulos (ecuaciones de escala) que implica. Por ello,
en las reacciones complejas sólo es posible el cambio
de escala de los reactores aplicando la semejanza química cuando se producen casos extremos de control
del proceso global: por ejemplo cuando la reacción
química es muy rápida, siendo controlante la etapa
física de transferencia de materia o de transmisión de
calor, o cuando la reacción química es muy lenta con
control químico del proceso global. En estos casos, los
criterios de semejanza resultan simplificados, desapareciendo de los mismos un buen número de módulos adimensionales, puesto que al no resultar determinantes de la velocidad global del proceso ya no han
de tenerse en consideración en el cambio de escala.
K MA =
T. Con ′. T. Dif ′. Reacc. Q.′
=
=
T. Con. T. Dif.
Reacc. Q.
[5.16]
donde KMA es el factor de escala de materia del componente A, lo que daría lugar a dos razones adimensionales independientes que habrán de ser iguales en
maqueta y prototipo:
Reacc. Q.′ Reacc. Q.
=

T. Con ′.
T. Con. 

T. Con ′. T. Con. 
=
T. Dif ′. T. Dif. 
[5.17]
En el cuadro-resumen 5.3, donde se recogen los
módulos adimensionales más frecuentes relacionados
con la semejanza de concentraciones, puede comprobarse que dichas razones se corresponden con los
módulos de Damkhöler I y Peclet másico, que tendrían, por tanto, que tener el mismo valor en maqueta y prototipo para que hubiera semejanza de concentraciones.
El módulo de Peclet másico es igual al producto
del módulo Schmidt, que es función exclusivamente
de las propiedades físicas del fluido (ver cuadro-resumen 5.4) por el módulo de Reynolds, lo que refleja la
importancia de las condiciones dinámicas para alcanzar la semejanza de concentraciones.
5.5.3. Métodos de extrapolación de datos
Cuando no es posible o no resulta conveniente conseguir la semejanza entre dos sistemas, el cambio de
escala puede llevarse a cabo mediante la aplicación
de ecuaciones empíricas. Para obtener éstas, se parte
del conocimiento de los criterios de semejanza obte-
Capítulo 5: Análisis dimensional y cambio de escala
nidos mediante análisis dimensional π1= φ (π2, π3,…)
y se establece la suposición de que la expresión que
relaciona el módulo independiente π1 con los demás
es una función potencial:
π 1 = C π x2 π y3π z4 ...
[5.18]
De este modo, una experimentación adecuadamente planificada permite obtener el valor del coeficiente C (factor de forma), muy relacionado con
la geometría del sistema, y de los exponentes x, y,
etc., que suelen ser prácticamente independientes
de ésta.
Estas ecuaciones, que son correlaciones empíricas,
podrán emplearse directamente para el diseño del
equipo siempre que las formas geométricas de aquél
en el que se pretenda aplicar no difieran sensiblemente
de las de los modelos en que se obtuvieron, lo que
limita notablemente sus posibilidades de aplicación
directa, obligando para ello al desarrollo de experimentación con maquetas semejantes geométricamente
al prototipo que se pretende desarrollar.
Sin embargo, como se ha indicado previamente,
los exponentes dependen muy débilmente de la geometría del sistema por lo que resultará posible utilizar para el cambio de escala valores de los mismos
obtenidos en equipos de geometría diferente a la de
la maqueta y prototipo implicados. Así, mediante la
construcción de una maqueta semejante geométricamente al equipo que se pretende diseñar a escala superior y, utilizando dichos valores obtenidos de la bibliografía, será posible aplicar estas ecuaciones en las dos
escalas:
π 1′ = C (π 2′ ) x (π 3′ )y (π 4′ ) z ... para el prototipo
[5.19]
π 1 = C ⋅ π x2 π y3 π 4z ... para la maqueta
[5.20]
Efectuando su cociente se hace desaparecer el factor de forma C, que tendrá el mismo valor (si bien, probablemente desconocido) para maqueta y prototipo:
x
y
π 1′  π 2′   π 3′   π 4′ 
=
π 1  π 2   π 3   π 4 
z
[5.21]
103
Ello supone que, conocidos los valores de los
módulos independientes en ambas escalas, y mediante una experimentación muy reducida, que permita
conocer el módulo dependiente en la maqueta, será
posible estimar el mismo en el prototipo. Con ello, a
partir de éste, se podrá conocer el valor del parámetro de diseño buscado, bien sea un coeficiente de
transmisión de calor, de transferencia de materia, etc.
A continuación se presenta un ejemplo donde se efectúa el análisis dimensional para obtener el criterio de
semejanza y se realiza el cambio de escala de dos
maneras, aplicando el criterio de semejanza estricta y
mediante extrapolación de los datos obtenidos en la
maqueta.
Ejemplo 5.4. Se pretende calentar un fluido que
circula por el interior de una conducción cilíndrica, suministrándole energía calorífica (Q) desde el
exterior (figura 5.5). El caudal de calor que se le
puede aportar al fluido viene determinado por las
características de éste, y se expresa a través de un
coeficiente de transmisión de calor individual (capítulo 4). En los experimentos previos del estudio
sobre transmisión de calor se ha encontrado que
el coeficiente individual medio, h, depende de las
siguientes variables: diámetro del tubo empleado,
D; densidad, ρ; viscosidad, µ; calor específico, cp;
conductividad calorífica, k, y velocidad de circulación del fluido, V.
a) Establézcanse los números adimensionales que
intervienen en el proceso.
b) Si se desea diseñar un equipo de 5 m de diámetro para un sistema homólogo al del experimento n.º 1 de la tabla adjunta, indíquese cuáles serían las condiciones de operación para
que en éste se cumpliera la semejanza estricta
con el experimento referido. ¿Cuál sería el
valor del coeficiente individual, h, en dicho
equipo para esas condiciones?
c) Suponiendo que los módulos obtenidos se
pueden relacionar mediante una función
potencial del tipo π 1 = C ⋅ π x2 π y3 , siendo π1 el
único número adimensional que incluye el
coeficiente, h, calcúlese el valor del factor de
forma C y de los exponentes x, y, etc. que se
corresponderían con los siguientes resultados
experimentales:
104
Introducción a la Ingeniería Química
ρ
N.º Exper. (kg/m3)
1
2
3
4
5
1.000,000
998,000
988,000
,00 0,911
1.000,000
µ
(cp)
cp
(kcal/kg ºC)
k
(kcal/hmºC)
D
(cm)
V
(m/h)
h
(kcal/hm2 ºC)
1,792
1,009
0,549
0,012
1,792
1,008
1,000
0,998
0,512
1,008
0,491
0,517
0,555
0,022
0,491
25
25
25
50
75
258
146
80
1.900
258
194
164
134
86
156
[ h ] = Mt T
[D ] = L
[µ ] = ML t
[ V ] = Lt
−3
[ρ ] = ML
[c ] = L t T
[ k ] = MLt T
−1
−3
2 −2
−1
p
−1 −1
−3
−1
−1
y sustituyendo estas expresiones en la función
potencial se obtiene:
FIGURA 5.5. Calefacción de un fluido que circula
por una conducción cilíndrica.
a
h = C ⋅D 1 µ
a2
ρ
a3
a
cp 4 k
a5
V a6
( Mt −3T −1 ) = (L ) 1 ( M L−1 t −1 )
a
d) Prescindiendo de la semejanza estricta, aplíx
y
quese la ecuación obtenida π 1 = C ⋅ π 2 π 3
para calcular el coeficiente individual medio
que tendría un equipo semejante geométricamente al empleado en el laboratorio, pero con
3 m de diámetro, que operara a una velocidad
V = 200 m/h y empleara el mismo fluido del
experimento n.º 1. Aplíquese el método de
extrapolación de datos.
a2
(ML )
−3 a 3
⋅ (L2 t −2T −1 ) 4 ( ML t −3T −1 ) 5 (L t −1 )
a
a
⋅
a6
así, las ecuaciones de condición de homogeneidad resultantes son:
∑ M : 1 = a 2 + a 3 + a 5
∑ L : 0 = a − a − 3 a + 2 a + a + a
1
2
3
4
5
6

3
2
3
t
a
a
a
a
∑
−
=
−
−
−
−
:
2
4
5
6

∑ T : − 1 = − a4 − a5
Solución:
a) La variable de mayor interés en este caso es el
coeficiente de transmisión de calor, h, tal y
como se definió en el capítulo 4. De acuerdo
con lo indicado anteriormente (ecuación [5.3])
puede expresarse como:
a
h = C ⋅D 1 µ
a2
ρ
a3
a
cp 4 k
a5
V
a6
Las ecuaciones de dimensiones de las variables que intervienen en el fenómeno para el
sistema de unidades (M, L, t, T) son:
Para resolver este sistema de 4 ecuaciones
con 6 incógnitas (ai), habrá que fijar dos exponentes. Los exponentes elegidos, a3 y a4, permiten resolver el sistema, resultando:
a1 = a3 – 1; a2 = –a3 + a4; a5 = 1 – a4 y a6 = a3
que sustituidos en la función potencial conducen a la expresión:
h = D a3 − 1 µ
−a3 + a4
ρ
a3
a
cp 4 k
1 − a4
V
a3
Capítulo 5: Análisis dimensional y cambio de escala
Agrupando las variables, de acuerdo con los
exponentes a los que se encuentran elevadas:
 hD   ρ VD 

=
 k   µ 
a3
 cp µ 


 k 
a4
consecuencia de la igualdad de los módulos
anteriores también el módulo de Nusselt será
igual en ambas escalas y existirá semejanza
completa entre ambos sistemas. Igualando los
módulos de Nusselt es posible calcular el valor
del coeficiente de transmisión de calor en el
prototipo:
Estos módulos adimensionales son fáciles
de reconocer, así:
 hD 
π1 = 
 = Nu;
 k 
105
 h ′D ′   hD 

 =
 ⇒ ( h ′ D ′ ) = ( hD )
 k′   k 
 ρ VD 
π2 = 
 = Re
 µ 
( 194)(0, 25) = h ′(5 ) ∴
∴ h ′ = 9, 7 (kcal/hm 2 º C)
y
 cp µ 
π3 = 
 = Pr
 k 
y la relación entre ellos constituye el criterio
de semejanza del sistema:
Nu = φ (Re, Pr )
b) De acuerdo con lo indicado en el apartado
5.5.2, en este caso la semejanza estricta en el
sistema requerirá la igualdad de los módulos
de Reynolds y Prandtl en maqueta y prototipo. Por tratarse de dos sistemas homólogos,
el valor del módulo de Prandtl en maqueta y
prototipo siempre será igual en ambas escalas, puesto que dicho módulo no es más que
una combinación de propiedades físicas del
fluido.
En cuanto al módulo de Reynolds, la ecuación de escala correspondiente será:
Re ′ = Re ;
 V ′ρ ′D ′   V ρ D 

 =

 µ′   µ 
c) A partir del criterio de semejanza obtenido
Nu = φ (Re, Pr) suponiendo que la función es
potencial del tipo Nu = C . Rex Pry y utilizando los resultados experimentales disponibles,
es posible obtener los valores del coeficiente
C y de los exponentes x e y.
Los resultados experimentales conducen a
los siguientes valores de los módulos obtenidos en la experimentación:
Nº de Exper.
1
2
3
4
5
 ρ VD 
Re = 

 µ 
10.000
10.000
10.000
20.000
30.000
 c µ
Pr =  p 
 k 
 hD 
Nu = 

 k 
13,20
07,02
03,56
01,00
12,20
99,000
79,500
60,600
63,470
238,76
Tomando logaritmos en la función potencial se obtiene:
ln Nu = ln C + x ln Re + y ln Pr
que al ser µ′ = µ y ρ′ = ρ en ambas escalas se
simplifica a:
V D = V ′ D′
( 258 )( 0, 25 ) = V ′(5 ) ∴ V ′ = 12, 9 (m/h)
Es decir, la velocidad de circulación del fluido en el prototipo habrá de ser V′ = 12,9 m/h
para que exista semejanza dinámica. Como
Ajustando el logaritmo del número de
Nusselt frente al de Prandtl para los experimentos n.os 1, 2 y 3 en los que módulo de Reynolds permanece constante, se obtiene el
valor de y = 0,3985, y haciéndolo con (ln Nu
– y ln Pr) vs. ln Re para los n. os 3, 4 y 5 se
obtiene el de x y el de ln C; x = 0,8 y ln C =
–3,778. Con todo ello, la ecuación final que
representa el fenómeno es:
106
Introducción a la Ingeniería Química
 hD 
 V ρD

 = 0, 02285 

 k 
 µ 
∴
0, 8
 cp µ 
 k 


0 , 3985
Nu ≈ 0, 023 Re 0, 8 Pr 0, 4
Este tipo de correlación, de gran utililidad
en transmisión de calor, se tratará más adelante (capítulo 10, [10.34]).
d) Para aplicar el método de extrapolación de
datos (apartado 5.5.3) se utilizará la ecuación
obtenida en ambas escalas. Así, para sistemas
homólogos (equipos semejantes geométricamente y propiedades físicas iguales), aplicando la ecuación para la maqueta y el prototipo,
y dividiendo una por otra se tendrá:
 h ′ D ′    V ′ρ ′D ′  

 

 k′   µ′  
=
  V ρD 
 hD 



 
 k 
  µ  
0, 8
  cp′ µ ′  


 k′  


 cp µ  
  k  


 h ′D ′   V ′D ′ 
=

 =
 hD   V D 
0, 4
=
0, 8
 h ′D ′   200 (m/h ) 3 (m ) 

 =

 hD   258 (m/h ) 0, 25(m ) 
0, 8
= 5, 955
De donde puede calcularse el coeficiente
de transmisión de calor para el prototipo:
 D
h ′ = 5, 955 h   ∴
 D′ 
 0, 25 
2
h ′ = 5, 955 (194 ) 
 = 96, 27 (kcal/hm º C )
3


Como puede apreciarse, en el caso presentado el valor del coeficiente obtenido (sin semejanza estricta) resulta muy superior (casi diez
veces mayor) que cuando se impone la semejanza estricta. Ello es debido a que el objetivo
perseguido en este caso no es conseguir semejanza sino calcular el valor del coeficiente h
para unas determinadas condiciones operativas, por lo cual se ha prescindido de que los
perfiles de velocidad sean iguales en maqueta
y prototipo; la velocidad de circulación del fluido en el prototipo V ′ es muy superior a la que
ha de haber para que exista semejanza y lo mismo ocurre con el módulo de Reynolds. Si se
tiene en cuenta que el módulo de Nusselt es
proporcional al módulo de Reynolds elevado
a 0,8, ello explica que el aumento del valor de
este módulo presente un efecto positivo sobre
coeficiente de transmisión de calor en el intervalo estudiado y que por esa razón en este caso
dicho coeficiente sea mayor que cuando existe semejanza.
5.6. Procedimientos experimentales
de obtención de datos
para el cambio de escala
Como ya se ha indicado, la experimentación necesaria para el proceso de cambio de escala se divide
básicamente en tres tipos de estudios que se complementan: de laboratorio, en planta piloto y con modelos físicos (sin reacción química).
Los resultados de las medidas efectuadas a escala
de laboratorio sólo son de aplicación directa en una
escala superior cuando se refieren a fenómenos independientes del tamaño. En concreto, cuando se trata
de datos de equilibrio termodinámico, cinética química o valores de las propiedades físicas implicadas:
densidades, viscosidades, calores específicos, etc. en
los intervalos de operación ensayados.
En los estudios en planta piloto se pretende obtener un conocimiento de los efectos simultáneos de los
fenómenos físicos y químicos y de sus interacciones.
La planta piloto con frecuencia puede ser bastante
pequeña (por cuestión de costes) comparada con la
planta real de producción. En esta etapa se observan
las modificaciones que se producen cuando se cambia
de escala, no sólo por el cambio de tamaño de los equipos utilizados, sino por las características de los mismos (hay que tener en cuenta que los equipos de laboratorio y los industriales son diferentes, aunque
pretendan cumplir una misma función).
Por último, los estudios con modelos físicos (sin
reacción química), son muy diversos, pudiendo tener
como objetivo la evaluación de un gran número de
parámetros de equilibrio, cinéticos, hidrodinámicos y
de transporte. Entre ellos destacan las medidas de distribución de tiempos de residencia, las de velocidad
Capítulo 5: Análisis dimensional y cambio de escala
del fluido (o de las partículas) y las de retención relativa de fases (fracción volumétrica de fase sólida, líquida y gaseosa), así como la determinación de coefi-
107
cientes de transporte (este último caso, aplicado a los
coeficientes de transferencia de materia se analizará
más extensamente en el capítulo 11).
Problemas
1. La velocidad global con que transcurren las reacciones isotérmicas sólido-fluido, del tipo
A(fluido) + B(sólido) → productos
con sólidos de diversas formas geométricas, está
influida por la importancia relativa de las sucesivas etapas de transferencia de materia existentes
en las mismas. Por ello, la conversión del sólido xB
depende de las siguientes variables: coeficiente de
transferencia de materia sólido-fluido (k) y constante cinética de reacción por unidad de superficie de sólido (ks), difusividad eficaz en las cenizas
(De), radio equivalente de la partícula (R), densidad del sólido (ρB) y concentración media del reaccionante A en el seno de la corriente de fluido (cAf).
a) Obtener mediante análisis dimensional los
módulos adimensionales implicados en las reacciones sólido-fluido en estas condiciones.
b) Cuando las reacciones sólido-fluido se desarrollan en condiciones no isotérmicas, su velocidad global se ve también afectada por los
fenómenos de transmisión de calor. Por tanto,
la conversión, xB, depende, además de las variables indicadas en a), de: la conductividad térmica eficaz en la partícula (ke), el calor de reacción (–∆H), la temperatura media del fluido
(Tf) y el coeficiente de transmisión de calor sólido-fluido (h). Realizar el análisis dimensional
para esta nueva situación.
2. El transporte de energía por convección natural
térmica implica el movimiento del fluido adyacente
a la superficie sólida, producido como resultado
de las diferencias de densidad generadas por los
gradientes de temperatura.
Obtener mediante análisis dimensional los
módulos que intervienen en el fenómeno sabiendo que el coeficiente de transmisión de calor (h)
depende de una dimensión característica del sistema (L), de la conductividad (k), la viscosidad (µ)
y el calor específico del fluido (cp) y de la fuerza
ascensional térmica, expresada como (ρ g β ∆T),
siendo β el coeficiente de dilatación térmica del
fluido, g la aceleración de la gravedad y ∆T la diferencia de temperatura entre el fluido y la superficie del sólido.
Este caso particular de transmisión de calor por
convección natural a un fluido adyacente a una
superficie vertical o a un cilindro de gran longitud
fue resuelto analíticamente por Lorenz en 1881
considerando flujo laminar en estado estacionario
y puede ser representado por una expresión adimensional π1 = 0,548 (π2 . π3)1/4. Identificar los
módulos π1,π2 y π3, sabiendo que sólo el primero
incluye la variable h.
3. El área interfacial efectiva de contacto entre el gas
y el líquido en una columna de relleno, a (m2/m3),
depende de las siguientes variables: diámetro del
relleno (d), altura del relleno (h), aceleración de la
gravedad (g), densidad (ρ), y viscosidad (µ), del líquido, tensión interfacial gas-líquido (σ) y caudal volumétrico de líquido por unidad de perímetro mojado
(Lm, m3/hm). Agrupar estas variables en módulos
adimensionales.
4. En un estudio realizado sobre sistemas de reacción líquido-líquido se observó que los coeficientes de transferencia de materia, KL, son función
de las siguientes características del sistema: difusividad del soluto en el disolvente, (DAB), potencia consumida por unidad de volumen de fase dispersa (P/V) y viscosidad (µ) y densidad (ρ) de la
fase continua.
a) Determinar mediante análisis dimensional qué
módulos adimensionales intervienen.
b) Suponiendo que se relacionan adecuadamente
mediante una función π1 = C · π2x π3y ... donde
108
Introducción a la Ingeniería Química
sólo π1 incluye KL, calcular el factor de forma C
y los exponentes x, y, etc. a partir de los siguientes datos experimentales:
P/V
(kW/m3)
µ
(cp)
ρ
(kg/m3)
DAB
(cm2/s)
KL
(m/s)
3
3
3
1
1
1
1.000
1.000
1.000
10–5
2 · 10–5
5 · 10–6
5,4 · 10–5
8,6 · 10–5
3,4 · 10–5
c) Se desea construir un reactor semejante al de
laboratorio, con un factor de escala geométrico Kg = 5. ¿Cuál sería la potencia necesaria para
conseguir idénticos valores de los coeficientes
de transferencia de materia para sistemas
homólogos?
5. Shulman y colaboradores establecieron (AIChE
1, 253, 1955) que el coeficiente de transferencia de
materia en fase líquida, KL, para columnas de contacto gas-líquido con rellenos de sillas Berl o anillos Raschig dependía de las siguientes variables:
difusividad del gas en las fase líquida (DL), diámetro equivalente de una esfera que tuviera la misma superficie efectiva que una pieza de relleno
(Dp), densidad (ρ) y viscosidad (µ) del líquido y
velocidad másica del mismo (GL, kg/m2s).
a) Realizar el análisis dimensional correspondiente para obtener los módulos adimensionales que intervienen.
b) Identificar los módulos obtenidos.
c) Si la ecuación π1 = C · π2x π3y representa adecuadamente el sistema, incluyendo KL únicamente el primero de los módulos, calcular el
valor de x, y, etc. sabiendo que en un estudio
de laboratorio se encontró que cuando se mantienen constantes el resto de las variables, si se
multiplica por cinco la velocidad másica, el coeficiente de transferencia de materia lo hace por
2,063, y cuando se cuadruplica la difusividad,
se duplica dicho coeficiente.
d) Si se desea diseñar un equipo industrial con un
coeficiente de transferencia de materia igual al
del equipo empleado en el laboratorio, ¿cuál
sería la relación entre los tamaños de los rellenos y entre las velocidades másicas de los líquidos para ambos equipos?
Nota: Las propiedades físicas de los fluidos se mantienen a escala industrial.
6. En un reactor de tipo tanque agitado se efectúa la
reacción A + B → C, habiéndose observado que
la velocidad global con que transcurre el proceso,
(rA), está influida por los siguientes factores: velocidad de agitación (ω), longitud de las palas del
agitador (L), propiedades físicas del fluido, densidad (ρ), viscosidad (µ), conductividad térmica (k),
y calor específico (cp), concentración de los reaccionantes (ρA y ρB) y difusividad en la mezcla (DA).
a) Agrupar dichas variables en módulos adimensionales.
b) Si se desea pasar de un reactor de laboratorio
a un prototipo industrial de volumen 1.000
veces mayor, establecer las condiciones operativas de éste respecto a las de laboratorio para
que exista semejanza.
c) Calcular la relación entre la producción del
compuesto C en el prototipo y la que se obtiene en el reactor de laboratorio.
Capítulo 5: Análisis dimensional y cambio de escala
CUADROS-RESUMEN
CUADRO-RESUMEN 5.1
Módulos adimensionales de interés en Ingeniería Química.
Módulos que representan cocientes de fuerzas (semejanza dinámica)
Nombre
Símbolo
Expresión
Reynolds
Re
V ρL
µ
fzas. de inercia
fzas. derozamiento
Euler
Eu
∆p
ρV 2
fzas. de presión
fzas. de inercia
Froude
Fr
V2
gL
fzas. de inercia
fzas. de gravedad
Grashof
Gr
ρ 2L3 gβ ∆T
GrAB
ρ 2L3 g ξ A ∆ρ A
We
ρ V 2L
σs
Grashof de
concentración
Weber
µ
Significado físico
(fzas. de inercia ) (fzas. de convección térmica)
(fzas. de rozamiento viscoso)
2
2
µ2
(fzas. de inercia )(fzas. de convección concentración )
(fzas. de rozamientoviscoso)
2
fzas. de inercia
fzas. de tensión superficial
CUADRO-RESUMEN 5.2
Módulos adimensionales de interés en Ingeniería Química.
Módulos que representan cocientes de flujos o de términos de generación de calor (semejanza térmica)
Nombre
Símbolo
Expresión
Significado físico
Nusselt
Nu
hL
k
Calor transmitido por conducción y convección
Calor transmitido por conducción
Stanton
St = Nu/Pe
h
ρ c pV
Calor transmitido por conducciónyconvección
Calor transmitido por convección
Peclet
Pe = Re · Pr
ρ c pV L
Calor transmitido por convección
Calor transmitido por conducción
Damköhler III
DaIII
Damköhler I DaIV = DaIII · Pe
Thring
Th
Brinkman
Br
k
(− ∆H ) r
A
L
ρ c p V ∆T
(− ∆H ) r
A
k ∆T
ρ cpV
σ εT
3
µV 2
k ∆T
L2
Calor dereacción química
Calor transmitido por convección
Calor dereacción química
Calor transmitido por conducción
Calor transmitido por convección
Calor transmitido por radiación
Calor generadopor rozamiento
Calor transmitidopor conducción
109
110
Introducción a la Ingeniería Química
CUADRO-RESUMEN 5.3
Módulos adimensionales de interés en Ingeniería Química.
Módulos que representan cocientes de transporte de materia y de términos de reacción química
(semejanza de concentraciones)
Nombre
Símbolo
Expresión
Significado físico
Damköhler I
DaI
rA L
ρ AV
Generación o consumo de A por reacción química
Transporte de A por convección
Damköhler II
DaII
rAL2
DAB ρ A
Generación o consumo de A por reacción química
Transporte de A por difusión
Peclet másico Pe = Re . Sc
VL
DAB
Transporte de A por convección
Transporte de A por difusión
Sherwood
k AL
DAB
Transporte de A por convección y difusión
Transporte de A por difusión
Sh
CUADRO-RESUMEN 5.4
Módulos adimensionales de interés en Ingeniería Química.
Módulos mixtos
Nombre
Símbolo
Expresión
Significado físico
c pµ
k
Difusividad decantidad demovimiento
Difusividad térmica
Prandtl
Pr
Schmidt
Sc
µ
ρ DAB
Difusividad de cantidad de movimiento
Difusividad de materia
Le = Sc/Pr
k
ρ c pDAB
Difusividad térmica
Difusividad de materia
Lewis
6
BALANCES
DE MATERIA
6.1. Introducción
6.2. Ecuación general de conservación
de cualquier propiedad extensiva
6.3. Balances de materia macroscópicos:
expresión general
6.4. Balances de materia macroscópicos
en régimen estacionario
6.5. Balances de materia macroscópicos
en régimen no estacionario
112
Introducción a la Ingeniería Química
E
n este capítulo se estudia una de las leyes fundamentales de la Ingeniería Química, la ley de conservación de materia, base de los balances macroscópicos de esta propiedad que se aplican extensamente
tanto en el diseño como en la operación de los procesos químicos industriales. En primer lugar se deduce la ecuación general de conservación de cualquier
propiedad extensiva, que posteriormente se particulariza para el caso del transporte de materia, obteniéndose ecuaciones generales macroscópicas de balance de materia total y de cualquier componente de un
sistema. Por último, estas ecuaciones generales se aplican a casos sencillos de equipos y de procesos que
operan en régimen estacionario y no estacionario.
GLOSARIO
acumulación. Cantidad de propiedad extensiva acumulada en un elemento de volumen de un sistema
y que suele referirse a la unidad de tiempo (ec.
[6.1]). Cuando el sistema se encuentra en régimen
estacionario la acumulación es nula.
conservación de materia. Principio que establece que
la materia no puede crearse ni destruirse, solamente transformarse. Es válida para los fenómenos físicos y químicos, a excepción de los que implican reacciones nucleares. Cuando se aplica la ley
de conservación de la materia a un sistema determinado la ecuación resultante se conoce como
balance de materia.
difusión. Transporte molecular de uno o más componentes de una mezcla fluida. Su flujo debido a un
gradiente de concentración se expresa mediante
la ley de Fick (ec. [4.13]).
flujo de propiedad. Caudal de propiedad extensiva
que atraviesa una superficie referida a la unidad
6.1. Introducción
Una de las leyes fundamentales de gran utilidad
en las ciencias y la ingeniería es la ley de conservación
de la materia, que básicamente establece que la materia ni se crea ni se destruye, únicamente se transforma. Este enunciado es general y tiene validez en todas
las situaciones físicas posibles, con la excepción de las
reacciones nucleares, en las que sí se destruye parte
de la materia para convertirse en energía, según la
famosa ecuación de Einstein E = mc2.
de ésta. Cuando el transporte de propiedad se debe
a un gradiente de concentración de propiedad y el
régimen es laminar, el flujo se expresa en función
de las leyes de Newton, Fourier o Fick, en los casos
de cantidad de movimiento, energía o materia respectivamente. Cuando el régimen no es laminar el
flujo se expresa en función de los respectivos coeficientes de transporte.
generación. Cantidad de propiedad extensiva generada en un elemento de volumen de un sistema y
que suele referirse a la unidad de tiempo (ec. [6.1]).
En los sistemas en los que no se producen reacciones químicas la generación de materia es nula.
propiedad extensiva. Cualquier propiedad característica de una sustancia o de un sistema que sea directamente proporcional a su masa. En los procesos
químicos se conservan tres propiedades extensivas: materia, energía y cantidad de movimiento,
correspondiendo a cada una de ellas una ecuación
de conservación.
Así pues, exceptuadas las reacciones nucleares,
puede establecerse que en un proceso que se desarrolla en régimen estacionario la masa total de todas
las corrientes de entrada en un determinado recinto
(o “volumen de control”, según la bibliografía anglosajona) ha de ser igual a la masa total de la suma de
las corrientes de salida.
Pero de forma más general, si el régimen es no
estacionario (puede haber variaciones de caudales,
composiciones, etc. con el tiempo) y existen reacciones químicas entre los compuestos presentes (unos
Capítulo 6: Balances de materia
desaparecen y otros se forman), la expresión general
de la ley de conservación de la materia incorpora dos
términos nuevos, uno para responder de la acumulación de materia en el recinto considerado y otro para
responder de la generación de materia (aparición o
desaparición) debida a las reacciones químicas. De
esta forma, se podría establecer:
 Cantidad   Cantidad   Cantidad   Cantidad neta
 de materia   de materia   de materia  de materia 

 +
 −
 =

 acumulada   que entra   que sale   que se genera 
 en el recinto  en el recinto  del recinto  en el recinto 

 
 
 

113
líquido en el tanque sólo puede establecerse mediante los correspondientes balances de materia. En este
caso, para cada componente A, B y C se podría establecer una ecuación matemática sencilla siguiendo la
expresión [6.1] y utilizando caudales másicos. Para el
componente A, por ejemplo sería:
 Kg de A que 
 Kg de A que 
 se acumulan   Caudal másico   Caudal másico  desaparecen 

 =  de A que entra −  de A que sale  − 

 
  por reacc. q. 
 en el tanque  
  del tanque
 

 por unidad de t  al tanque
 por unidad de t


0
0
o más simplemente:
[A] = [E] – [S] + [G]
[6.1]
Esta sencilla expresión, cuyos términos suelen referirse a la unidad de tiempo, representa la ecuación o
balance de materia general, y puede aplicarse a cada caso
concreto una vez elegido el volumen del recinto que
corresponda. Cuando el volumen del recinto es finito
(columna de destilación, reactor químico, proceso global de fabricación, etc.) el balance de materia se denomina macroscópico, obteniéndose una ecuación algebraica. Pero en ocasiones resulta más útil plantear el
balance de materia en un volumen diferencial del sistema considerado (elemento diferencial de un reactor
tubular o de una columna de absorción, etc.), en cuyo
caso el balance se denomina microscópico, resultando
una ecuación diferencial que habrá de integrarse posteriormente.
Los términos del balance general de materia [6.1], al
referirse a la unidad de tiempo, representan la velocidad con que se produce la acumulación, entrada, salida
o generación de materia. Ello permite expresar los términos de entrada y salida como simples caudales másicos (kg/s), por lo que su aplicación resulta muy sencilla
a las situaciones en que intervienen fluidos en movimiento, impulsados por el interior de conducciones o a
través de equipos de reacción o separación.
A modo de ejemplo, considérese el reactor de tanque agitado semicontinuo representado en la figura
6.1, en el que una disolución de un componente A
reacciona con una corriente gaseosa del componente
B, para transformarse en otro compuesto C que permanece en la fase líquida (cloración de hidrocarburos
líquidos, oxidación de compuestos aromáticos, etc.).
La relación entre las composiciones y caudales de
las corrientes de entrada y salida y la composición del
FIGURA 6.1. Reactor semicontinuo de tanque agitado,
con reacción líquido-gas.
En esta ecuación se puede observar que los términos de entrada y salida serían nulos (supuesto A no
volátil, y por tanto ausente de la corriente gaseosa), y
que por tanto la cantidad de A acumulada en el tanque –en este caso negativa, ya que al aumentar el tiempo la cantidad de A disminuye–, sería igual a la cantidad de A que ha reaccionado químicamente,
desapareciendo del tanque –término de generación
que lleva el signo negativo, por ser desaparición–.
De la misma forma se establecerían los balances
de materia para los componentes B y C. Para B, por
ejemplo, quedaría así:
 Kg de B que 
 Kg de B que 
 se acumulan   Caudal másico  Caudal másico  desaparecen 

 =  de B que entra −  de B que sale  − 

  por reacc. q. 
 
 en el tanque  

  del tanque
 
 

  al tanque

 por unidad de t
 por unidad de t
114
Introducción a la Ingeniería Química
Como se observa, en este caso no se anularía en
principio ningún término, pues la corriente gaseosa B
entra y sale del reactor y puede acumularse en el tanque, sobre todo si B es soluble y la reacción es lenta.
Más adelante en este capítulo se explicarán estos
tipos de balances estableciendo las correspondientes
ecuaciones matemáticas, siendo aquí el propósito mostrar simplemente la estructura general de los mismos.
La importancia de los balances de materia es que permiten calcular caudales y composiciones de las corrientes en distintos puntos de la instalación, a partir de
datos conocidos de otras corrientes.
Generalizando el balance de materia a otras propiedades extensivas que también se conservan, como
la energía y la cantidad de movimiento (capítulo 4),
se podría llegar a una expresión genérica, dada la
similitud o analogía entre el transporte de estas tres
propiedades extensivas. Esta generalización se verá
a continuación.
6.2. Ecuación general de conservación
de cualquier propiedad extensiva
Considérese una región finita y fija de un fluido
en movimiento, de volumen V, limitada por una superficie S, que es atravesada por las distintas porciones
del fluido que se desplazan con la velocidad de la
corriente v , tal como se indica en la figura 6.2.
La cantidad de propiedad extensiva que se acumula en el recinto de fluido considerado vendrá dada
por:
∂Π
∫ V ∂t
dV
siendo Π la concentración de propiedad extensiva en el
recinto (cantidad de propiedad extensiva por unidad de
volumen), variable de un punto a otro.
Esta variación de la cantidad de propiedad extensiva en el interior del recinto (acumulación) se deberá a la diferencia neta entre la que entra y la que sale
del recinto –que puede hacerlo por varios mecanismos– y la que se genera en su interior, de acuerdo con
la expresión [6.1].
La propiedad extensiva que entra y sale del recinto de fluido puede hacerlo por el mecanismo de transporte molecular, debido a una simple diferencia de
concentración de propiedad extensiva (mecanismos
de difusión o conducción de calor) o debido al propio
flujo
o circulación del fluido con una cierta velocidad
v (mecanismo de convección), como ya se vio en el
capítulo 4. En la ecuación general de conservación
resulta conveniente diferenciar estos dos mecanismos.
Así, el caudal neto de propiedad extensiva que abandona el recinto de fluido a través de la superficie S por
transporte molecular será:
−
∫
S
φ ⋅ dS
representando φ el flujo de propiedad extensiva debido a gradientes de concentración, variable para cada
elemento de superficie (cantidad de propiedad que
atraviesa la unidad de superficie S en la unidad de
tiempo). El signo negativo indica que es un caudal
neto que sale del recinto.
Análogamente, el caudal neto de propiedad
extensiva que abandona el recinto por el mecanismo de convección
(movimiento del fluido con velo
cidad v ) será:
FIGURA 6.2. Región finita
de volumen V y superficie
S en un fluido en movimiento.
Capítulo 6: Balances de materia
− Πv ⋅ dS
∫S
Se entiende que este término sería nulo si v = 0,
es decir, si el fluido estuviera en reposo, lo que no
impide que hubiera transporte molecular por difusión (φ ≠ 0).
Finalmente, la generación de propiedad extensiva
en el interior del propio recinto vendrá dada por:
∫ G dV
V
siendo G la cantidad de propiedad extensiva que se
genera en el recinto por unidad de volumen y de tiempo (magnitud escalar o vectorial). Esta generación, en
el caso de la materia y la energía, sería siempre como
consecuencia de las reacciones químicas que tuvieran
lugar en el recinto.
De acuerdo con lo anterior, la ecuación general de
conservación de cualquier propiedad extensiva (materia, energía o cantidad de movimiento), en el recinto
de fluido considerado, vendrá expresada por la ecuación:
∂Π
dV = − φ ⋅ dS − Πv ⋅ dS + GdV
V ∂t
S
S
V
∫
∫
A
∫
E–S
∫
[6.2]
G
o bien, por la forma diferencial de esta ecuación, fácil
de deducir convirtiendo las integrales de superficie en
integrales de volumen (Costa y cols., 1984):
∂Π
+ ∇ ⋅ (Πv ) = −∇ ⋅ φ + G
∂t
115
[6.3]
La ecuación [6.3], particularizada para cada una
de las tres propiedades extensivas fundamentales, cantidad de movimiento, energía y materia, aplicada a
cada sistema de flujo considerado e integrada con las
condiciones límite que procedan, conducirá a los perfiles de velocidad, temperatura y concentración de
cada componente en el mismo. Estos perfiles permitirán a su vez calcular los correspondientes flujos de
propiedad, imprescindibles para el dimensionado de
las instalaciones industriales.
A modo de ejemplo se aplicará la ecuación [6.2]
al sistema representado en la figura 6.3, consistente
en un tramo de conducción de sección variable, de
longitud L, en la que puede existir una máquina (bomba, compresor o turbina), capaz de aportar o eliminar energía mecánica del sistema y que puede intercambiar energía calorífica con el exterior a través de
sus paredes.
Teniendo en cuenta el teorema del valor medio del
cálculo integral y el significado físico de la divergencia,
la ecuación [6.2] aplicada a este sistema conduce a la
siguiente expresión, que constituye la ecuación general
de conservación de cualquier propiedad extensiva:
d
( Π mV ) = − ∑ φ i ⋅ S i + ( Π 1Qv1 − Π 2Qv2 ) + G mV [6.4]
dt
i
A
E–S
G
FIGURA 6.3. Sistema de flujo a
través de un conducto de sección variable.
116
Introducción a la Ingeniería Química
en donde Πm y Gm representan los valores medios de
la concentración y de generación de propiedad extensiva respectivamente en el sistema considerado, Π1 y
Π2 los valores medios de concentración de propiedad
extensiva en las corrientes de entrada y salida respectivamente, cuyos caudales volumétricos son:
Qv1 = V1 ⋅ S 1
Qv2 = V2 ⋅ S 2
tración másica de componente i, MiT su masa total en
el sistema considerado y rim la masa neta de componente i generada por unidad de tiempo y volumen en
todo el sistema, como consecuencia de todas las reacciones químicas en que este compuesto intervenga.
Como puede observarse, no aparecen ya los términos correspondientes al transporte molecular (difusión), lo que no quiere decir que este mecanismo no
intervenga. Estos términos sí serían significativos,
como ya se ha dicho, si el fluido estuviera en reposo
(Qv = Qv = 0).
Aplicando la ecuación [6.5] a todos los componentes de la mezcla y sumando todas ellas, siendo:
1
y siendo:
∑φi ⋅ Si
2
i
la suma de los caudales netos de propiedad que abandonan el sistema a través de las distintas superficies (S1,
S2, S), debidos a diferencias de concentración de propiedad (mecanismo molecular).
Esta ecuación general de conservación puede aplicarse al caso de la materia, siendo entonces Π la concentración de materia (kg/m3) –como se verá a continuación–, pero puede aplicarse también a las demás
propiedades extensivas, pudiendo ser entonces Π la concentración de energía (J/m3) o la concentración de cantidad de movimiento (kg/m2s). Estos dos últimos casos
se estudiarán en los capítulos 7 y 8, respectivamente.
6.3. Balances de materia macroscópicos:
expresión general
La ecuación general de conservación de materia
puede deducirse directamente aplicando la expresión
general [6.1], o bien obtenerse al particularizar la ecuación [6.4], pues en ambos casos se llega al mismo resultado.
Así, si se considera la situación de la figura 6.3, en
la que una mezcla de n componentes (i = 1, 2, ..., n)
circula por una conducción de sección variable, y considerando despreciables los términos de difusión a través de las superficies Si (flujos φi en la ecuación [6.4])
frente a los términos de convección debidos al movimiento del fluido, la ecuación general quedaría reducida a la siguiente expresión:
d
( MiT ) = ( ρ i 1Qv1 − ρ i 2Qv2 ) + rimV
dt
[6.5]
que constituye la ecuación macroscópica de conservación del componente i, donde ρi representa la concen-
∑M
i
iT
= MT ,
∑ρ
i
=ρ
i
se llega a la ecuación macroscópica de conservación
de materia total:
d
( MT ) = ( ρ 1Qv1 − ρ 2Qv2 )
dt
[6.6]
En esta ecuación se observa que ha desaparecido el
término de generación, ya que la materia total generada en el sistema es nula (expresada en unidades másicas). Si se utilizaran unidades molares (mol/s), esta simplificación no podría hacerse, pues en las reacciones
químicas no tiene por qué conservarse el número total
de moles.
La ecuación [6.5] puede plantearse para cualquier
sustancia de la mezcla, en unidades másicas o molares,
e incluso es aplicable también a los distintos elementos químicos presentes en el sistema. Es decir, es posible plantear balances de materia de los siguientes tipos:
•
•
•
•
•
•
•
De todos los componentes (balance global).
De un componente, por ejemplo H2O.
De una molécula, por ejemplo O2.
De un ion, por ejemplo H+.
De un átomo, por ejemplo O.
De un grupo de átomos, por ejemplo OH.
De un componente o componentes de composición no especificada, siempre que permanezcan constantes en el sistema, por ejemplo gas
inerte o disolvente.
Cuando se planteen estas ecuaciones para los distintos componentes, moléculas o átomos, habrá de
Capítulo 6: Balances de materia
tenerse cuidado de que sean independientes y no haya
alguna combinación lineal de las demás (el balance de
materia total suele ser redundante con los balances
individuales de todos los componentes).
Por otro lado, el sistema abierto que se considere
podrá ser:
• Una planta química, por ejemplo una refinería.
• Un proceso de una planta, por ejemplo el proceso de fabricación de olefinas de una refinería.
• Una unidad de una planta, por ejemplo la
columna de rectificación.
• Una parte de una unidad, por ejemplo el condensador de la columna de rectificación.
• Un tramo de una conducción, por ejemplo la
unión o bifurcación de dos conducciones en un
sistema de flujo, etc.
Independientemente de cuál sea el sistema abierto considerado, si se ignora la complejidad interna
del mismo, éste podrá considerarse, a los efectos del
balance, como una “caja negra” que intercambia
materia con sus alrededores por medio de los caudales de las distintas corrientes que entran y salen. En
la figura 6.4 se representa a modo de ejemplo un diagrama de bloques de un hipotético proceso, indicándose los sistemas abiertos que habitualmente se pueden considerar para plantear correctamente los
balances:
FIGURA 6.4. Diagrama de bloques de un
proceso: posibles
recintos donde plantear los balances de
materia.
117
• Todo el proceso (Global), línea 1.
• Una parte del proceso (Reactor + Separador),
línea 2.
• Una unidad (Reactor, Separador), línea 3.
• Un tramo de una conducción (unión de las
corrientes alimento y recirculación o bifurcación de la corriente de salida gaseosa del separador), línea 4.
Por último, para plantear correctamente los balances de materia es aconsejable elegir previamente una
base de cálculo a la que referir todos los términos del
balance. La complejidad de los cálculos a realizar
dependerá en gran medida del acierto en la elección
de dicha base de cálculo. Aunque no existe una regla
clara para su elección, como norma general puede
tomarse el siguiente criterio de prioridad:
1. Una cantidad de uno de los componentes de la
mezcla, que no reacciona químicamente y que
entra y abandona el sistema con el mismo caudal y formando parte de la misma corriente,
por ejemplo 100 kg de disolvente en una columna de absorción.
2. Una cantidad de una de las corrientes, generalmente de la que se tenga más información,
por ejemplo 100 kmol de aire en un horno de
combustión.
3. Un intervalo de tiempo, por ejemplo una hora.
Por otro lado, de la elección que se haga del tipo
de balance (molecular, atómico, etc.), del recinto ele-
118
Introducción a la Ingeniería Química
gido, de la base de cálculo y de las unidades que se
utilicen, dependerá la complejidad del sistema de
ecuaciones matemáticas resultante y por ello de su
resolución. No es posible dar normas generales al respecto y es normalmente la experiencia la que ayudará a tomar las decisiones.
Como se verá mas adelante, los balances de materia son indispensables para el tratamiento teórico de
las operaciones básicas. Además resultan imprescindibles para completar datos en la elaboración de un
proyecto, así como para la comprobación de instalaciones en funcionamiento y la determinación de los
rendimientos del proceso.
Con el fin de aclarar los principios y consideraciones hasta ahora expuestos, los apartados siguientes se dedicarán a tratar distintos sistemas de complejidad creciente, ilustrados con ejemplos.
6.4. Balances de materia macroscópicos
en régimen estacionario
Dadas sus ventajas, la mayoría de los procesos
industriales son continuos, con un mínimo de alteraciones y paradas, como se indicó en el capítulo 3. En
este tipo de procesos, a excepción de los períodos de
puesta en marcha y paradas, el tiempo no es una variable a considerar, por lo que las variables intensivas
dependen solamente de la posición, siendo el régimen
estacionario.
El fraccionamiento de los crudos petrolíferos en
las refinerías, la fabricación del cemento, las plantas
depuradoras de aguas residuales, etc., constituyen buenos ejemplos de procesos continuos estacionarios. En
todos ellos, al ser el régimen estacionario, el primer
miembro de la ecuación [6.1] o [6.5] se anula, simplificándose a la siguiente:
S–E=G
ρ i 2Qv2 − ρ i 1Qv1 = rimV
[6.7]
que a su vez se simplifica más en aquellos sistemas en
los que no se produzca reacción química (rim = 0):
6.4.1. Balance de materia en una operación
sin reacción química
Como ejemplo para explicar cómo se plantean los
balances de materia en una operación sin reacción química se considera una operación de separación por
membranas. Éstas son operaciones controladas por la
transferencia de materia, de gran aplicación en la industria alimenticia (sectores lácteos, enológico, de bebidas
y zumos, etc.) y en el tratamiento de aguas. Entre ellas
destacan por su mayor aplicación la microfiltración, la
ultrafiltración y la ósmosis inversa (véase capítulo 12).
Esta última, que constituye uno de los métodos
más rentables para la desalinización de aguas, consiste en la separación de las sales y/o microsolutos contenidos en un líquido mediante la difusión de éste a
través de una membrana semipermeable, utilizando
como fuerza impulsora una diferencia de presión
hidrostática entre 2 y 10 Mpa. Así, se obtiene un líquido con bajo contenido en sales denominado permeado y una solución concentrada denominada rechazo.
Ejemplo 6.1. Supóngase que en una planta de
desalinización de ósmosis inversa se tratan 4.000
kg/h de una disolución salina con un 4% en peso
de sal, y que las condiciones de operación son tales
que se obtienen 1.200 kg/h de agua desalinizada
con un 0,3% en peso de sales (figura 6.5). Se desea
calcular el caudal volumétrico y la salinidad de la
salmuera de rechazo.
Solución:
Se tomará como base de cálculo 1 h, y se representará por S los kg de salmuera que abandonan
la planta de ósmosis y por x el porcentaje de sal
que contiene.
De acuerdo con la ecuación [6.8], se pueden
plantear balances de agua, de sal y total, siendo
solamente dos de ellos independientes (el tercero
es combinación lineal de los otros dos):
E=S
ρ i 1Qv1 = ρ i 2Qv2
∴ mi 1 = mi 2
Total: 4.000 = 1.200 + S
[6.8]
siendo mi el caudal másico del componente i (kg/s).
Sal :
4.000
4
0, 3
x
= 1.200
+ S
100
100
100
[1]
[2]
Capítulo 6: Balances de materia
119
FIGURA 6.5. Esquema de la operación
de ósmosis.
Agua : 4.000
100 − x
96
99, 7
[3]
= 1.200
+ S
100
100
100
Resolviendo el sistema constituido por dos de
las ecuaciones anteriores, por ejemplo las ecuaciones [1] y [2], se obtiene:
S = 2.800 (kg/h)
x = 5,6%
La ecuación [3] permitirá comprobar que los
cálculos han sido correctos:
4.000
6.4.2. Balance de materia en una operación
con reacción química
En la industria química el agente de calefacción
más comúnmente utilizado es el vapor de agua. Éste
se obtiene en una caldera de vapor aprovechando el
calor producido en la combustión de un combustible
gaseoso (gas natural o propano), líquido (fueloil) o
sólido (carbón).
Como ejemplo para el planteamiento de balances
de materia en una operación con reacción química se
considera una caldera de vapor que utiliza gas propano como combustible.
96
99, 7
 100 – 5,6 
= 1.200
+ 2.800 



100
100
100
3.840 = 1.196 + 2.643
correspondiendo las diferencias (< 0,3%) a los
redondeos efectuados.
FIGURA 6.6. Esquema de la cámara de combustión).
Ejemplo 6.2. A la cámara de combustión de una
caldera se alimenta una mezcla gaseosa formada
por propano y oxígeno, con un 80% del primero,
que se quema con un 200% de exceso de aire.
Sabiendo que un 80% del propano se transforma
120
Introducción a la Ingeniería Química
en CO2, un 10% en CO y el resto permanece sin
quemarse, se desea calcular la composición del gas
de combustión.
1.ª Reacción = 80 (5) (0,8) = 320 (kmol)
2.ª Reacción = 80 (3,5) (0,1) = 28 (kmol)
y, por lo tanto, el oxígeno que sale en el gas de chimenea se obtendrá mediante el correspondiente
balance alrededor de la cámara de combustión, de
acuerdo con la ecuación [6.7]:
Solución:
Se tomará como base de cálculo 100 kmol de
mezcla propano-oxígeno. En primer lugar, se calcula el oxígeno necesario para la combustión completa a partir de la ecuación estequiométrica indicada en la figura 6.6:
O 2 en gas chimenea =
= (oxígeno entra) – (oxígeno cosumido) =
= (1.140 + 20) − (320 + 28) = 812 (kmol)
80 (5) = 400 kmol de O2
El O2 teórico requerido será la cantidad anterior menos la que ya se introduce en la propia
corriente de combustible:
Análogamente para el resto de los componentes se tendrá:
O 2 requerido = 400 − 20 = 380 (kmol)
H2O = 80 (0,8) (4) + 80 (0,1) (4) 288 (kmol)
y como el aire se introduce en el horno con un
200% de exceso, se tendrá:
C3H8 = 80 (0,1) = 8 (kmol)
O2 que entra con el aire =
N2
= 380 + 2(380) = 1.140 (kmol)
= 4.289 (kmol)
CO2 = 80 (0,8) (3) = 192 (kmol)
N 2 que entra con el aire =
 79 
= 1.140  = 4.289 (kmol)
 21 
CO = 80 (0,1) (3) = 24 (kmol)
El oxígeno que se consume en cada reacción,
de acuerdo con la estequiometría indicada en la
figura y los rendimientos de las combustiones a
CO2 y CO, será el siguiente:
Como resumen, en la siguiente tabla se indica
la composición de todas las corrientes del proceso, en kmoles (cuadro 6.1).
CUADRO 6.1
Composición de las corrientes del Ejemplo 6.2
Componente
Combustible
Aire
Gas Combustión
(%)
C3H8
O2
N2
CO2
CO
H2O
080
20
–
–
–
–
–
1.140
4.289
–
–
–
.0008
.0812
4.289
.0192
.0024
.288
0,14
14,47
76,41
3,42
0,43
5,13
Total
100
5.429
5.613
100
Capítulo 6: Balances de materia
6.4.3. Balance de materia en un proceso
con recirculación
Como ejemplo de un proceso sencillo con recirculación, se considera el constituido por un evaporador y un cristalizador en serie, en el que se elimina parte del disolvente de la disolución inicial,
concentrándose el soluto y separando los cristales
formados.
Ejemplo 6.3. Considérese un sistema de evaporador y cristalizador como el de la figura 6.7 en el
que se tratan 10.000 kg/h de una disolución que
contiene 20% de sólido en peso. La disolución
concentrada con un 50% en peso de sólidos que
sale del evaporador se lleva al cristalizador donde se enfría, cristalizando el sólido y extrayéndose los cristales con un 4% de agua. La disolución
saturada, conteniendo 0,6 kg sólido/kg de agua,
se recircula, incorporándose a la corriente de alimento del evaporador. Se desea calcular los caudales de sal húmeda producida, de disolución
recirculada y de agua evaporada.
Solución:
Se tomará como base de cálculo 1 h, representando V los kg de agua que abandonan el evaporador, A los kg de disolución al 50% que abando-
FIGURA 6.7. Esquema de las operaciones de evaporación
y cristalización.
121
nan el mismo, C los kg de cristales que salen del
cristalizador y R los kg de aguas madres que se
recirculan.
Se plantean balances de materia total y de sólidos alrededor de todo el sistema, en kg (línea 1),
de acuerdo con la ecuación [6.8]:
Total: 10.000 = V + C
[1]
Sólido: 0,2 (10.000) = 0,96 C
[2]
Resolviendo el sistema constituido por estas
dos ecuaciones, se obtiene:
V = 7.917 (kg/h)
C = 2.083 (kg/h)
Análogamente se pueden plantear los correspondientes balances de materia alrededor del evaporador, en kg (línea 2):
Total: 10.000 + = A + V
 0,6 
Sólido: 0, 2(10.000) + 
 R = 0,5 A
 0,6 + 1 
[3]
[4]
Sustituyendo los valores calculados y resolviendo este nuevo sistema de ecuaciones se obtiene:
R = 7.668 (kg/h)
A = 9.751 (kg/h)
122
Introducción a la Ingeniería Química
6.4.4. Balance de materia en un proceso
con recirculación y purga
Como ejemplo de un proceso con recirculación y
purga se considera una planta de producción de amoníaco sintético, por reacción química entre el nitrógeno y el hidrógeno.
En primer lugar, se calcula la composición de
los gases reactivos a la entrada del reactor, teniendo en cuenta que habrá un 5% de argón:
H2 = 3N2
[1]
H2 + N2 = 95
[2]
Ar = 5
Ejemplo 6.4. Al reactor catalítico de una planta
de fabricación de amoníaco se debe alimentar una
mezcla de N2 y H2 en la proporción 1/3, para alcanzar una conversión del 25% a NH3 (figura 6.8). El
amoníaco formado se separa por condensación y
los gases no convertidos se recirculan al reactor.
La mezcla inicial N2/H2 contiene un 0,2% de argón,
por lo que es necesario eliminarlo del proceso, purgándose continuamente. Suponiendo que ha de
mantenerse la concentración de argón en la entrada al reactor en un valor máximo del 5%, se desea
calcular la fracción de la corriente de recirculación
que debe eliminarse continuamente como corriente de purga.
De las dos ecuaciones, [1] y [2], se deduce:
N2 = 23,75 (mol)
H2 = 71,25 (mol)
Un balance alrededor del reactor (línea 1)
para cada componente, según la ecuación [6.7],
teniendo en cuenta la conversión de amoníaco
permite calcular la composición de los gases a la
salida:
N2 sale = 23,75 – 23,75 (0,25) = 17,81 (mol)
[3]
H2 sale = 71,25 – 3(23,75) (0,25) = 53, 44 (mol) [4]
Solución:
NH3 sale = (23,75) (0,25) 2 = 11,87 (mol)
Para la resolución de este problema es conveniente tomar como base de cálculo 100 moles a la
entrada del reactor. Se representará por A los
moles de alimento fresco que entran al proceso,
por R los que se recirculan, por S los de gases no
convertidos que salen del condensador y por P los
que se purgan.
Ar sale = 5 (mol)
[5]
[6]
Análogamente, mediante balances en el condensador, a la salida del mismo se obtiene:
Corriente líquida: 11,87 mol NH3
FIGURA 6.8. Esquema de la planta de
amoníaco.
Capítulo 6: Balances de materia
Corriente gas: Ar: 5 (mol)
N2: 17,81 (mol)
H2: 53,44 (mol)
Total: S = 76,25 (mol)
(6,6%)
(23,4%)
(70,0%)
(100%)
Para calcular las corrientes A y R se establecen
balances molares en el nodo 2:
Total: A + R = 100
[7]
Ar: 0,002 A + 0,066 R = 5
[8]
de donde se obtiene:
A = 25 (mol)
R = 75 (mol)
Por último, mediante un balance global en el
nodo 3:
P = S – R = 76,25 – 75 = 1,25 (mol)
Por lo tanto, la fracción de corriente de recirculación que se purga será:
% Purga =
P
1, 25
100 =
100 = 1,66 %
R
75, 0
FIGURA 6.9. Esquema del
proceso de fabricación de
óleum.
123
6.4.5. Balance de materia en un sistema
multifásico
Se presenta a continuación un caso en el que resulta muy útil establecer los balances de materia por grupos de átomos, que pueden o no coincidir con un grupo molecular o compuesto químico específico.
Ejemplo 6.5. El ácido sulfúrico fumante (óleum)
se fabrica absorbiendo SO3 gaseoso sobre H2SO4
del 98% en una columna de relleno. El agua contenida en el ácido sulfúrico utilizado como absorbente se combina con SO3 para formar H2SO4 y,
además, el ácido sulfúrico absorbe el exceso de
SO3 para formar el óleum. El SO3 se obtiene
mediante oxidación catalítica de SO2 gaseoso y
seco con aire, de forma que la mezcla gaseosa
resultante, además del SO3 formado, contiene el
SO2 y el oxígeno no combinados y el nitrógeno del
aire seco utilizado.
En un ensayo de 10 horas para comprobar el
funcionamiento de la columna de absorción se
obtuvieron los siguientes datos (figura 6.9):
a) Ácido sulfúrico fumante (óleum):
Cantidad obtenida: 18.350 kg
Compos.: H2SO4 = 80%; SO3 = 20%(peso).
b) Ácido concentrado absorbente:
Compos.: H2SO4 = 98%; H2O = 2%(peso).
124
Introducción a la Ingeniería Química
c) Composición de los gases que salen y entran
de la torre de absorción (% en volumen):
Componente
Gas entrante
Gas saliente
SO2(*)
SO3
O2
N2
0,2%
7,5%
10,3%
82,0%
0,2%
—
11,1%
88,7%
(*) Los porcentajes de SO2 en ambas corrientes aunque
son ligeramente diferentes coinciden a causa del
redondeo.
Se desea calcular los caudales másicos medios
de ácidos y gases que entran y salen de la torre de
absorción.
Sustituyendo en esta ecuación el valor de x que
se acaba de calcular, se obtiene:
y = 81 kmol/h de gas tratado
Este caudal molar, expresado como caudal
másico, será:
(0, 002)61 + ( 0, 075 )80 + 
y=
 81 = 2.623 (kg/h)
 +(0,103)32 + (0, 82)28 
Un balance global de N2(en kmol), permite
expresar:
y 0,82 = z 0,887
y teniendo en cuenta el valor de y obtenido, se
deduce:
Solución:
Para la resolución de este problema resulta
práctico tomar como base de cálculo 1 hora. Se
representará por x los kg/h de H2SO4 del 98% que
entran a la columna, por y los kmol/h de mezcla
gaseosa a tratar y por z los kmol/h de gas residual.
Obsérvese que en este caso, el SO2 actúa como un
inerte en la columna de absorción pues se supone
que no se disuelve en el H2SO4.
El hidrógeno entra y sale, combinado con O2
o en forma de H2SO4, por una sola corriente. Ello
permite establecer un simple balance para calcular el caudal de una de las corrientes. Así, mediante un balance global de H2O, en kg (libre y combinada), o lo que es lo mismo, un balance de H2
combinado, se obtiene:
 18  18.350
 18 
x 0, 02 + x 0, 98  =
( 0, 80 ) 
 98 
 98 
10
de donde se deduce:
x = 1.348 kg/h de ácido sulfúrico 98%
De la misma forma, un balance global de SO3 en
kg (libre y combinado como H2SO4) conduce a:
 80 
y 0, 075( 80 ) + x 0, 98   =
 98 
 80 
= 1.835( 0, 2 ) + 1.835( 0, 8 )  
 98 
z = 75 kmol/h de gas residual
que, expresado como caudal molar, será:
( 0, 002 )64 + ( 0, 111)32 + 
z= 
 75 = 2.139 (kg/h)

+( 0, 887 )28 )
Un balance másico total en la columna permitirá comprobar los resultados:
x + y = 1.835 + z ∴ 1.348 + 2.623 = 1.835 + 2.139
las diferencias, inferiores al 0,1%, se deben a los
errores de redondeo.
6.5. Balances de materia macroscópicos
en régimen no estacionario
Son también muchos los casos en los que las operaciones y procesos se desarrollan de forma discontinua o por cargas. Por las razones apuntadas en el capítulo 3, esta forma de operar es con frecuencia la más
adecuada para producciones a pequeña escala y en
procesos u operaciones en los que, por su naturaleza,
se está obligado a numerosas paradas.
En este tipo de operaciones, al ser el tiempo una
variable a considerar (régimen no estacionario), deberán utilizarse formas de los balances de materia en los
Capítulo 6: Balances de materia
que aparecen los términos de acumulación, como indican las ecuaciones [6.5] y [6.6].
La fabricación del caucho, los procesos y operaciones de la industria farmacéutica en general, la producción industrial de hielo, etc., constituyen buenos ejemplos de operaciones discontinuas no estacionarias.
En muchas ocasiones en estas operaciones, exceptuando los períodos de carga y descarga, no hay
corrientes que entren ni salgan del sistema, por lo que
las ecuaciones [6.1] y [6.5] se simplifican respectivamente a las siguientes:
d
( MiT ) = rimV
dt
concentración de saturación del componente soluble en el disolvente a la temperatura del ensayo.
Solución:
Se tomará como base de cálculo 10 kg de agua,
representando C la concentración de sólido en el
disolvente en cada instante (C = C (t), kg/l).
Haciendo un balance de sólido disuelto en el sistema, por aplicación de la ecuación [6.9] se obtiene:
dC
= k (C S − C )
dt
A=G
125
[1]
[6.9]
Otras veces, uno o más materiales se cargan inicialmente en el equipo, donde permanecen un cierto
tiempo en contacto con corrientes que entran y salen
continuamente, desarrollándose así una operación
semicontinua (por ejemplo el secado de un sólido en
corriente de aire, los lechos fijos de adsorción e intercambio iónico, etc.).
En este caso el régimen sigue siendo no estacionario, no pudiéndose anular ninguno de los términos
de la ecuación general [6.1].
siendo CS la concentración de saturación del componente soluble en el disolvente a la temperatura del ensayo y k una constante de proporcionalidad. Se observará que el término de generación
k(Cs− C) equivale en este caso al término rimV de
la ecuación [6.9], correspondiente a la generación
por reacción química. También podría considerarse, a los efectos de balance, que el término
k(Cs− C) es un término de entrada de soluto en el
sistema (disolución), siendo nulos los términos de
salida y generación.
6.5.1. Balance de materia en una operación
discontinua
Como ejemplo de operación discontinua en régimen no estacionario se considera la lixiviación de
un mineral (disolución de la mena que contiene) con
un disolvente, lo cual se lleva a cabo en un tanque
agitado discontinuo. La velocidad de extracción del
componente soluble del mineral en cada instante es
directamente proporcional a la diferencia entre
la concentración de saturación de dicho componente
en el disolvente a la temperatura de operación y su
concentración en cada instante.
Ejemplo 6.6. En un ensayo de lixiviación con 10 kg
de mineral con un contenido en material soluble del
20% y 10 litros de disolvente, se observa que transcurridos 63 minutos se ha disuelto la cuarta parte y
que a los 134 minutos se ha disuelto la mitad de
dicho material (figura 6.10). Se desea calcular la
FIGURA 6.10. Esquema del tanque de lixiviación.
La ecuación diferencial [1], por integración,
conduce a:
− ln(C s − C ) = kt + ln K ′
y considendo la condición inicial t = 0, C = 0, se
deduce:
126
Introducción a la Ingeniería Química
6.5.2. Balance de materia en una operación
continua
ln K ′ = − lnC S
Por tanto la ecuación representativa de la variación de la concentración de soluto con el tiempo
en el tanque de lixiviación será:
ln
CS
= kt
CS −C
[2]
Sustituyendo valores en esta ecuación:
t = 63 minutos:
C=
0, 2 ⋅ 10
= 0, 05 (kg/l)
4 ⋅ 10
t = 134 minutos:
C=
0, 2 ⋅ 10
= 0, 10 (kg/l)
2 ⋅ 10
se obtiene:
CS
= k ⋅ 63
C S − 0, 05
[3]
CS
= k ⋅ 134
C S − 0, 10
[4]
ln
ln
A modo de ejemplo para explicar el planteamiento de balances de materia en una operación continua
en régimen no estacionario, se considera el acondicionamiento de una salmuera en un tanque de homogeneización mezclando dos disoluciones salinas de distinta concentración.
Ejemplo 6.7. Considérese un tanque de mezcla
que inicialmente contiene 450 kg de salmuera con
un 10% en peso de sal, al que se empieza a añadir
un caudal de 9 kg/min de una corriente de salmuera más concentrada, con 20% en peso de sal.
Simultáneamente se empieza a extraer de su parte inferior 4,5 kg/min de la mezcla existente, que
puede considerarse homogénea debido a la fuerte agitación aplicada (figura 6.11). Se desea calcular la variación de la cantidad de sal en el tanque
y el tiempo necesario para que dicha cantidad sea
de 90 kg.
y dividiendo ambas expresiones se deduce la ecuación no lineal:
134
=
63
CS
C S − 0, 10
CS
ln
C S − 0, 05
ln
que, resuelta mediante tanteos, conduce al valor
buscado:
CS = 0,5 (kg/l)
Finalmente, sustituyendo este valor en las ecuaciones [3] o [4], se puede deducir el valor de la
constante k. Por ejemplo, de la ecuación [3] se
deduce:
k=
1
0, 5
ln
= 1, 67 ⋅ 10 −3 (min −1 )
63 0, 45
FIGURA 6.11. Esquema del tanque de homogeneización.
Solución:
Será aplicable la ecuación [6.5], con el término de generación nulo (rimV = 0).
Se representarán por m y M los kg de soluto y
de salmuera (soluto más disolvente) del tanque en
cada instante, respectivamente.
Se plantean balances de materia alrededor de
todo el sistema. Así, un balance total de salmuera
conduce a:
Capítulo 6: Balances de materia
dM
= 9 − 4 ,5 = 4 ,5 (kg/min)
dt
127
La solución de esta ecuación diferencial exacta es:
100 m + m . t – 0,9 t2 – 180 t = C2
e integrando:
M = 4,5 + C1
y teniendo en cuenta las condiciones iniciales
t = 0, m0 = 45
Teniendo en cuenta las condiciones iniciales:
t = 0, M0 = 450
se obtiene C2 = 4.500 y, por lo tanto, despejando
m se deduce:
se obtiene C1 = 450 y por lo tanto:
M = 4,5 t + 450
Igualmente, el balance total de soluto conducirá a:
dm
m
m
= 9 ( 0 ,2 ) − 4 ,5
= 1 ,8 −
∴
dt
M
t + 100
dm
m
+
= 1 ,8
dt t + 100
m =
0, 9 t 2 + 180 t + 4.500
100 + t
Esta ecuación representa la variación de la cantidad de sal en el tanque. Si en ella se sustituye
m = 90 kg, se obtiene el tiempo necesario para
alcanzar esta cantidad de sal en el tanque:
t = 36,6 (min)
Problemas
1. A un cristalizador se alimentan 6.000 kg/h de una
disolución acuosa con un 50% en peso de sal, obteniéndose una salmuera con un 18% de sal y un sólido cristalino con un 6% de humedad. Calcular los
caudales másicos de los efluentes obtenidos.
2. Calcular el incremento de salinidad que se produce en el permeado del Ejemplo 6.1, cuando la salinidad del agua alimentada se incrementa en un
50%, manteniendo constantes las restantes condiciones.
3. Un gas procedente de una planta de tostación de
piritas, cuya composición en volumen es: 8% SO2,
15% O2, 76% N2 y 1% H2O, se lava con agua en
una columna de absorción. El gas abandona la
columna a 298 K, saturado de agua y con un contenido en SO2 del 0,48%. Sabiendo que el gas de
tostación se alimenta a 353 K y presión atmosférica y que el agua efluente contiene un 2,5% en peso
de SO2, calcular:
a) La composición del gas de tostación efluente
en base seca y en base húmeda.
b) El volumen de gas efluente por cada m3 de gas
tratado.
c) La cantidad de agua necesaria para tratar 1 m3
de gas de tostación.
4. Repetir el Ejemplo 6.2, utilizando aire enriquecido (35% de oxígeno) y sabiendo que en estas
condiciones la combustión del propano es completa.
5. En una planta industrial se dimeriza etileno a buteno con una conversión en el reactor catalítico del
40%. La corriente efluente del reactor se conduce a un condensador para separar el buteno y el
etileno gaseoso no reaccionado, el cual se recicla
al reactor.
Sabiendo que la corriente de buteno condensado contiene un 1% de etileno en peso y que la
corriente gaseosa reciclada contiene un 5% en
volumen de buteno, calcular por cada mol de etileno fresco alimentado:
a) Los moles de buteno producidos.
b) Los moles de etileno reciclados.
6. Repetir el problema 5 suponiendo que en el condensador se separa totalmente el etileno del buteno.
128
Introducción a la Ingeniería Química
7. En una planta de producción de metanol se sintetiza éste a partir de una mezcla gaseosa de H2 y
CO, en proporciones estequiométricas, que contienen además un 0,5% en volumen de gases inertes. En el reactor catalítico, que funciona a presión, se alcanza una conversión del 60%. El gas
efluente del reactor se conduce a un condensador,
separándose totalmente los gases no reaccionados
que se reciclan al reactor.
Dado que para el correcto funcionamiento del
reactor la concentración de compuestos inertes en
el mismo no debe superar el 2%, la corriente reciclada se purga parcialmente. Calcular el porcentaje de corriente de purga necesario respecto a la
corriente de gas reciclado.
8. Una corriente de aire húmedo, con 0,06 kg de
agua/kg aire seco, se seca en una torre de relleno
poniéndolo en contacto con una disolución de ácido sulfúrico del 72%. Este ácido se prepara recirculando parte del ácido sulfúrico que sale de la
columna (concentración del 67%) y mezclándolo
con ácido sulfúrico del 98%. Si la columna está
diseñada para tratar 440 m3/h de aire húmedo
medidos a presión atmosférica y 360 K con un rendimiento del 91%, calcular los caudales másicos
de todas las corrientes implicadas.
9. El sistema de absorción de una fábrica de ácido
sulfúrico está constituido por dos torres de relleno en serie, ambas con recirculación del líquido
absorbente. El sistema está diseñado para producir 1.000 kg/h de óleum (SO3 disuelto en H2SO4)
con un 20% de SO3 libre, que se extrae de la primera columna, en la que se trata la corriente gaseosa procedente del convertidor corriente, que
contiene un 12% en SO3.
El disolvente utilizado en la primera columna
es óleum con un 102% de SO3 libre, que se prepara mezclando una fracción del líquido que abandona esta columna, que contiene un 102% en
H2SO4, con parte del óleum del 20% producido.
Análogamente el disolvente utilizado en la segunda columna, que es ácido sulfúrico del 95%, se prepara diluyendo con agua parte del ácido sulfúrico
del 102% obtenido en la misma. El resto, como ya
se ha indicado, se envía a la primera columna.
Sabiendo que en la primera columna se absorbe el 75% del SO3 y que en la segunda lo hace el
resto, determinar:
a) El diagrama de flujo de la instalación.
b) Los caudales másicos y composiciones de todas
las corrientes.
10. En un fermentador de 50 l de capacidad se está llevando a cabo un tratamiento aerobio manteniendo constante la concentración de oxígeno en el caldo de cultivo e igual a 3,2 · 10–4 mol/l. Una avería
en el cuadro eléctrico hace que se pare el compresor que suministra el aire al sistema.
Sabiendo que el cultivo no puede permanecer
en condiciones anaerobias (concentración de O2
inferior a 6 · 10-5 mol/l) un tiempo superior a 2
horas y que el consumo de oxígeno del sistema es
directamente proporcional a la concentración de
oxígeno según la ecuación:
N = 4,2 . 10–2 . C (mol/l . s)
calcular el tiempo máximo para la reparación.
11. En un tanque perfectamente agitado, que inicialmente contiene 100 kg de agua pura, se prepara una salmuera mezclando 150 kg/h de agua
con 30 kg/h de sal. Calcular la variación de la concentración de la salmuera con el tiempo en la
corriente de salida, si se extrae un caudal de 120
kg/h.
12. A un reactor continuo de mezcla perfecta de 50
m3 se comienza a alimentar 10 m3/h de una disolución que contiene un compuesto A con una concentración de 1 kg/m3, el cual se transforma según
la ecuación cinética de primer orden:
−
dρ A
= 20 ρ A
dt
(kg/m3 · h)
Si el reactor se encuentra inicialmente vacío y
no se comienza a extraer disolución hasta que se
llena totalmente, calcular:
a) La concentración del compuesto A en la
corriente de salida cuando el régimen es estacionario.
b) La evolución de la concentración de la disolución de salida con el tiempo durante el período de puesta en marcha.
7
BALANCES
DE ENERGÍA
7.1. Introducción
7.2. Formas de expresión de la energía
7.3. Balances de energía macroscópicos:
expresión general
7.4. Balances entálpicos
7.5. Balances macroscópicos de energía
en algunos casos particulares
130
Introducción a la Ingeniería Química
E
n este capítulo se estudia otra de las leyes fundamentales de la Ingeniería Química como es la
ley de conservación de la energía, base de los
balances macroscópicos de esta propiedad extensiva. En primer lugar se definen las diferentes formas
de energía que puede poseer un sistema, así como
las distintas formas en que ésta puede transferirse. A
continuación se deduce la ecuación general de conservación de energía, a partir de la más general de
conservación de cualquier propiedad extensiva, que
se aplicará a cada sistema concreto. Por último, se
plantean los balances de energía en sistemas abiertos y cerrados en régimen estacionario con y sin reacción química. Los balances de energía tienen gran
importancia y muy amplia utilización en procesos y
operaciones industriales donde es preciso calentar,
enfriar o aislar térmicamente, lo que ocurre en la mayoría de los casos.
GLOSARIO
calor. Energía en tránsito debido a una diferencia de
temperaturas en un sistema. El calor fluye de forma espontánea del foco más caliente al más frío,
produciéndose una pérdida de energía interna en
el primero y un aumento, a consecuencia del aporte de calor en el segundo.
conservación de energía. Principio que establece que
la energía no puede crearse ni destruirse, aunque
puede convertirse de una de sus formas a otra.
Sólo deja de cumplirse en el caso de las reacciones nucleares. Cuando se aplica la ley de conservación de la energía a un sistema determinado, la
ecuación resultante se conoce como balance de
energía.
energía. Capacidad de un cuerpo o sistema para producir trabajo. Ésta puede adoptar varias formas,
convertibles unas en otras directa o indirectamente.
Las formas de energía asociadas con la materia son
la energía potencial, la energía cinética y la energía interna.
energía cinética. Energía de un cuerpo material en
movimiento asociada a su velocidad. Se corresponde en cada momento con el semiproducto de
la masa por el cuadrado de la velocidad (ec. [7.3]).
energía interna. Suma de energías potencial y cinética internas de las partículas elementales (átomos
y moléculas) constitutivas de los cuerpos. Es una
variable termodinámica de estado cuyo aumento
en un sistema cerrado es igual a la suma del calor
recibido y del trabajo realizado contra el mismo.
energía mecánica. Suma de las energías cinética, potencial y elástica. En un sistema material en movi-
miento bajo la acción de fuerzas conservativas esta
energía permanece constante.
energía nuclear. Energía que se desprende en las reacciones entre núcleos o partículas atómicas. Es una
forma de energía química relacionada con las reacciones de fisión y fusión nuclear.
energía potencial. Energía de un cuerpo material debida a su posición en un campo de fuerzas, normalmente el gravitatorio. Representa el trabajo realizado por las fuerzas del campo para trasladar una
partícula desde un punto hasta el infinito.
entalpía de combustión. Variación de entalpía producida en la combustión completa de un mol o una
unidad de masa de un compuesto a presión y temperatura constantes. Conceptualmente es sinónimo de calor de combustión.
entalpía de formación. Variación de entalpía producida en la formación de un mol de un compuesto
químico a partir de sus elementos, en su estado
físico normal a la presión de una atmósfera y a la
temperatura de 25 °C.
entalpía de reacción. Variación de entalpía producida en una reacción química, a presión y temperatura constantes, por mol o unidad de masa de producto formado o reaccionante consumido (ecs.
[7.24] y [7.25]). A presión de 1 atm y 25 °C de temperatura se denomina entalpía de reacción normal
o estándar. Si la variación es negativa, se produce
desprendimiento de calor y la reacción es exotérmica, y en caso contrario se absorbe calor y la reacción es endotérmica.
Capítulo 7: Balances de energía
trabajo mecánico. Energía en tránsito debido a la
acción de fuerzas mecánicas que vencen una resistencia al recorrer un espacio. El trabajo y el calor
son las dos formas de energía en tránsito o inter-
7.1. Introducción
La energía es un concepto fundamental de gran
aplicación en las ciencias y la ingeniería, y al igual que
la materia, sus variaciones en un sistema considerado
pueden expresarse mediante una ley de conservación.
Sin embargo, mientras que no hay más que una forma de expresar la materia, son muy variadas las formas de energía, ya que se trata de un concepto más
amplio.
En efecto, aunque de forma general la energía se
puede definir como la capacidad para producir trabajo,
en realidad este concepto engloba formas de energía
tan variadas como la energía cinética, la potencial, la
elástica, la electromagnética, la nuclear, la química, la
metabólica o la calorífica.
Sin embargo, a la hora de establecer una ley basada en el principio de conservación de la energía, el cual
establece que la energía ni se crea ni se destruye, sino
que únicamente se transforma, deben considerarse las
formas de energía susceptibles de transformación entre
sí, como se verá en el apartado siguiente. Debe aclararse no obstante que en este principio de conservación queda excluida, como es natural, la energía nuclear, ya que en este caso se genera energía por
desintegración de la materia (ecuación de Einstein).
El establecimiento de las variaciones de energía
que se producen en una operación o proceso industrial, o bien el cálculo de las necesidades de energía
en un determinado caso son ejemplos claros de las
tareas propias de un ingeniero químico. Algunos
ejemplos típicos pueden ser el cálculo de la energía
que se necesita en una caldera de ebullición de una
columna de destilación, la que se necesita en un evaporador, o la que ha de eliminarse en una corriente
fluida que se quiere enfriar en un cambiador de calor,
o en un reactor químico donde se desarrolla una reacción exotérmica en régimen estacionario. Algunos de
estos casos se estudiarán en los capítulos 10 y 14. En
el capítulo 15, a su vez, se presentarán las principales
fuentes de energía industriales, tanto en uso como en
desarrollo.
131
cambio, pero no corresponden a un “contenido”
de energía propio del sistema, como en los demás
casos (interna, cinética, potencial, etc.).
En cualquiera de estas situaciones es imprescindible plantear y resolver los balances de energía, del
mismo modo que se hizo con los balances de materia
en el capítulo anterior para determinar variaciones de
composición o caudal.
La ley que gobierna los balances de energía es el
citado principio de conservación de la energía, el cual
constituye, como es sabido, la primera ley de la termodinámica.
Exceptuadas las reacciones nucleares, la aplicación
de este principio a un sistema material sometido a transformaciones físicas y químicas, que transcurren en régimen no estacionario, permite escribir la siguiente expresión para un instante dado:
  Cantidad de
  Cantidad de

 Cantidad de   Cantidad de
  energía recibida  energía liberada  energía generada
 energía
 +
 −

 =

  en el interior
  al exterior

 acumulada   del exterior
 
 

 


 en el sistema  por el sistema   por el sistema   del sistema
o de forma más sencilla:
[A] = [E] – [S] + [G]
[7.1]
Esta ecuación, idéntica a la [6.1] para la conservación de materia, representa la forma más esquematizada y general del balance de energía, y puede aplicarse a cada caso concreto, una vez conocido el
volumen del sistema o recinto considerado. Las unidades que pueden emplearse pueden ser extensivas
(J) o intensivas, es decir, por unidad de masa (J/kg),
o también en el caso de corrientes fluidas, referidas a
la unidad de tiempo (W).
Como se ha visto en el capítulo anterior, los balances de materia permiten relacionar los caudales y composiciones de todas las corrientes implicadas en una
operación o proceso. Sin embargo, en la mayor parte
de los casos esto no es suficiente, pues también es necesario conocer la temperatura y presión de cada una de
estas corrientes y sus posibles variaciones. Para ello es
imprescindible el planteamiento de los balances de
energía y en su caso de cantidad de movimiento.
132
Introducción a la Ingeniería Química
Así, por ejemplo, en el reactor de tanque agitado
semicontinuo esquematizado en la figura 6.1, los balances de materia permitirán establecer los caudales y
composiciones de las corrientes fluidas de entrada y
salida y la composición del líquido en el interior del
reactor. Sin embargo, no es factible establecer la relación entre las temperaturas y presiones de dichas
corrientes y la del líquido en el reactor sin plantear
los correspondientes balances de energía y de cantidad de movimiento. El balance de energía permitiría
en este caso conocer variables como las temperaturas
citadas, la cantidad de calor que debe eliminarse (reacción exotérmica) o aportarse (reacción endotérmica)
para mantener una cierta temperatura, etc.
En numerosas ocasiones deben resolverse de forma simultánea los balances de materia y energía, ya
que la temperatura influye en la velocidad de reacción química, que está incluida en el término de
generación del balance de materia. Además, este término de reacción química es matemáticamente no
lineal (variación exponencial con la temperatura),
lo que puede complicar la resolución matemática del
sistema.
Entre los problemas típicos que pueden resolverse mediante balances de energía cabe destacar los
siguientes:
• Cálculo del calor necesario para modificar la
temperatura o el estado físico de una determinada cantidad de materia (calentamiento de
un sólido, vaporización de un líquido, condensación de un vapor, enfriamiento de un gas,
etcétera).
• Cálculo del caudal de calor necesario para que
una operación se realice en condiciones isotermas (lecho catalítico, columna de absorción,
etcétera).
• Cálculo del consumo de energía de una máquina (bomba, compresor, turbina, etc.) funcionando en una planta química.
• Cálculo del consumo de combustible para producir el calor necesario en una operación (horno, caldera de vapor, caldera de una columna
de rectificación, etc.).
• Cálculo del caudal de fluido refrigerante o de
calefacción necesario para mantener las condiciones de trabajo de una operación (líquido
refrigerante en un cambiador de calor, vapor
de agua en la caldera de una columna de rectificación, etc.).
En sucesivos apartados se establecerán las ecuaciones representativas de los balances de energía en
sistemas cerrados y abiertos en régimen estacionario,
con y sin reacción química. Para ello se partirá de la
ecuación general de conservación de energía, que se
aplicará a cada sistema concreto, deducida a partir
de la más general de conservación de cualquier propiedad extensiva (ecuación [6.4]). Previamente se
definirán los diferentes tipos de energía que puede
poseer un sistema y las formas en que ésta puede
transferirse.
Los balances de energía en régimen no estacionario, en procesos discontinuos y en las puestas en marcha y paradas de los procesos continuos, por su mayor
complejidad, quedan fuera del alcance de esta obra.
7.2. Formas de expresión de la energía
Aunque desde el punto de vista científico la energía es única, ésta puede adoptar diferentes formas
interconvertibles directa o indirectamente:
• Energía mecánica, que incluye la energía cinética acumulada por un cuerpo en movimiento,
la potencial y la elástica.
• Energía electromagnética, que incluye las distintas manifestaciones de la energía debida a
los campos electrostático y magnético y a la
corriente eléctrica.
• Energía interna o térmica, que engloba la energía potencial y cinética internas de las partículas elementales de los cuerpos (moléculas, átomos, partículas subatómicas), manifestándose
al exterior en forma de temperatura.
También suelen distinguirse, a efectos de clarificación, otras formas de energía asociadas con las
transformaciones químicas y cambios de composición,
y que implican, lógicamente, a las anteriormente citadas:
• Energía química. Es la energía de los compuestos relacionada con las reacciones químicas.
• Energía metabólica. Es la energía generada en
los organismos vivos por oxidación de los alimentos ingeridos.
• Energía nuclear. Es un caso particular de energía química, que está relacionada con las reacciones de fusión y fisión nuclear.
Capítulo 7: Balances de energía
Las expresiones matemáticas de cada una de estas
formas de energía es diferente, debiendo hacerse en
función de las variables susceptibles de medida experimental.
Así, la energía potencial, es decir, la que tiene un
cuerpo material en función de su posición en el campo gravitatorio, referida a una masa de fluido que circula con un caudal másico m (kg/s) será:
Φ = mgz
(W)
[7.2]
siendo z la altura respecto del nivel de referencia al que
arbitrariamente se le asigna una energía potencial nula,
y g, la aceleración de la gravedad.
La energía cinética es la que posee un cuerpo material en movimiento en función de su velocidad. Para
un fluido que circula con un caudal másico m (kg/s),
la energía cinética que le corresponde en una sección
determinada es:
K=
1
2
mVe
2
(W)
[7.3]
siendo Ve la velocidad eficaz del fluido en la sección
transversal considerada, que como se verá en el capítulo 8, dedicado al estudio del flujo de fluidos, coincide con la velocidad media de la corriente, V, en esa sección en el caso de flujo turbulento.
El contenido de energía interna de un cuerpo, como
ya se ha comentado, corresponde a la suma de las
energías potencial y cinética asociada a las partículas
elementales constitutivas del mismo, moléculas, átomos y partículas subatómicas.
Dado que la energía interna de una sustancia es
función de su temperatura, composición y estado de
agregación y prácticamente independiente de la presión, ésta se puede medir en cualquier sistema material de forma aproximada en función de la temperatura. Así, si en una transformación de un sistema no
se modifica su temperatura, su fase, ni su composición
química y, además, todos sus componentes son sólidos, líquidos o gaseosos y la presión es moderada, la
variación de energía interna asociada a dicha transformación es nula.
Por tanto, para una sección transversal del flujo
de un fluido con caudal másico m (kg/s), que se
encuentra a una temperatura T, considerando como
estado de referencia la presión del sistema, la temperatura Tref y el mismo estado de agregación en que se
encuentra, la energía interna del fluido será:
E=m
∫
T
Tref
(
cv dT = mcv T − Tref
)
133
[7.4]
siendo cv el calor específico a volumen constante y
Tref la temperatura de referencia considerada, habiéndose asignado arbitrariamente un valor nulo de la
energía interna en el estado de referencia considerado.
Por otro lado, el calor y el trabajo deben considerarse como formas de energía en tránsito, de tal manera que el aporte de calor o de trabajo a un sistema son
formas de aumentar su contenido de energía en alguna de las formas anteriores (potencial, cinética, interna). El calor es la energía en tránsito debida a una
diferencia de temperaturas. El trabajo es energía en
tránsito debido a la acción de fuerzas mecánicas que
vencen una resistencia al recorrer un espacio.
El calor siempre se transmite del foco caliente al
foco frío, siendo el gradiente de temperaturas la fuerza impulsora, como ya se vio en el capítulo 4. El mecanismo por el que se produce esta transmisión es variable, como se verá en el capítulo 10, pero a los efectos
de un balance de energía no tiene relevancia.
En cuanto al trabajo, es una forma de energía de
gran interés práctico, que al igual que el calor sólo tiene sentido cuando está en tránsito, es decir, cuando se
produce o se consume en un sistema determinado (no
se puede hablar de “contenido de trabajo”).
Así, el trabajo mecánico de expansión de un fluido, muy importante en Ingeniería Química, viene
expresado mediante la ecuación:
W=−
∫
P2
P1
P ⋅ dV
[7.5]
siendo P la presión y V el volumen. El signo negativo
corresponde al criterio de considerar negativo el trabajo realizado por el sistema (expansión, P2 < P1).
De forma general, un sistema puede intercambiar
energía con los alrededores por las siguientes causas:
•
•
Transferencia de materia. Dado que la materia
lleva asociada una cantidad de energía, la transferencia de aquélla supone siempre un intercambio de ésta con los alrededores.
Transferencia de energía. Siempre que existan
diferencias de temperatura entre el sistema y
los alrededores, se producirá de forma espontánea un flujo de calor desde el foco más calien-
134
•
Introducción a la Ingeniería Química
te al más frío y por ello un intercambio de
energía del sistema con el medio circundante.
Trabajo de fuerzas mecánicas. Siempre que
existan fuerzas mecánicas actuando sobre un
sistema de tal manera que realizan un trabajo,
se transfiere energía al mismo si el trabajo se
produce sobre el sistema, o se transfiere energía de éste al exterior si el trabajo lo realiza el
sistema.
Ejemplo 7.1. Considérese la instalación esquematizada en la figura 7.1, en la que se bombea agua
de un pozo, con una profundidad de 200 m, hasta
un tanque de almacenamiento de 10 m3 de capacidad, situado 30 m por encima del nivel del suelo, con un caudal de 3 kg/s. El agua sale del pozo
a 283 K y la temperatura ambiente es de 298 K.
Analizar y cuantificar, durante el proceso de llenado y vaciado del depósito, las transformaciones
producidas entre las distintas formas de energía.
[
]
Φ 12 = mg( z2 − z1 ) = 3(9, 81) 30 − ( −200 ) =
= 6.769 (W)
La energía cinética del agua en la sección 2, si
la velocidad media del fluido en la conducción es
de 1 m/s, aplicando la ecuación [7.3] a la sección
2, y teniendo en cuenta que en estas condiciones
el régimen será turbulento (Re ≥ 10.000), se tendrá
K2 =
1
1
mVe2 = ( 3 )(1) 2 = 1, 5 (W)
2
2
y teniendo en cuenta que el agua en la superficie
del pozo está quieta, se tendrá:
K 21 = K 2 − K 1 = 1, 5 (W)
La velocidad con que el agua aumentará su
energía interna, de acuerdo con la ecuación [7.4],
será:
∆E = E f − E i = mcp (T f − Ti ) =
Solución:
El aumento de energía potencial del agua entre
las secciones 1 y 2, aplicando la ecuación [7.2] a
cada una de estas secciones y restando, será:
= 3( 4.180 )( 298 − 283 ) = 188, 1 ⋅ 10 3 ( W)
Este aumento de energía interna del agua
durante el proceso espontáneo de calentamiento
hasta la temperatura ambiente es debido a un cau-
FIGURA 7.1. Instalación de bombeo y almacenamiento de agua.
Capítulo 7: Balances de energía
dal de calor que el medio circundante le aporta
(foco caliente):
∆E = Q = 188,1 ⋅ 10 3 (W)
La potencia de la bomba utilizada para la
extracción del agua del pozo se habrá invertido no
sólo en vencer las pérdidas de energía por rozamiento producidas en la circulación del agua por
la tubería, sino también en aumentar su energía
potencial y cinética:
W ≅ Φ 12 + K 12 = 6.769 + 1,5 = 6.770,5 (W)
Finalizado el llenado del depósito y transcurrido el tiempo suficiente para que toda el agua
almacenada en el mismo alcance la temperatura
ambiente, toda su energía estará en forma de energía potencial e interna, habiéndose transformado
toda su energía cinética en potencial. Es decir, la
energía total acumulada en el depósito lleno de
agua, aplicando las ecuaciones [7.2] y [7.4], referidas ahora no al caudal de fluido sino a la masa total
de éste, mT (kg), será:
 230 + 224 
ΦT = mT gz = 10.000(9, 81)
=
2


= 2, 2 ⋅ 10 7 (J)
135
unas formas de energía en otras, el trabajo suministrado al sistema se ha empleado en aumentar
su contenido energético y el calor intercambiado
por el agua con el medio circundante ha modificado su contenido de energía.
7.3. Balances de energía macroscópicos:
expresión general
La ecuación general de conservación de energía
puede deducirse directamente aplicando la expresión
general [7.1], o bien obtenerse particularizando la
ecuación general de conservación de cualquier propiedad extensiva [6.4], pues en ambos casos se llega
al mismo resultado.
En el sistema de flujo descrito en el capítulo anterior (figura 6.3), que nuevamente se reproduce en la
figura 7.2, habrá que considerar las dos formas de
energía asociadas a la materia: energía potencial, y
cinética e interna. Además, dadas las características
del sistema considerado, éste podrá intercambiar energía con el exterior mediante un flujo de calor a través
de sus superficies límites S1, S2 y S, debido al trabajo
realizado por las fuerzas de presión sobre las superficies S1 y S2 debido al trabajo realizado por la máquina (bomba o turbina, compresor, etc.).
ET = mT cp (T – Tref ) =
= 10.000( 4.180 )( 298 − 283 ) = 6, 3 ⋅ 10 8 ( J)
Energía total = ΦT + ET =
= 2, 2 ⋅ 10 7 + 6, 3 ⋅ 10 8 ≅ 6, 5 ⋅ 10 8 ( J)
habiendo considerado un nivel medio de agua en
el depósito y como temperatura de referencia la
del agua en el pozo.
Durante el proceso de vaciado del depósito la
energía potencial del agua se transformará progresivamente en energía cinética, siguiendo el proceso inverso. Si además el agua se enfriase espontáneamente como consecuencia de una disminución
de la temperatura ambiente, lo haría su energía
interna cediendo al medio circundante (foco frío)
un caudal de calor equivalente a esta disminución.
Como se ha podido observar en este sencillo
ejemplo, se han producido transformaciones de
FIGURA 7.2. Sistema de flujo a través de una conducción
de sección variable.
Por lo tanto, despreciando la posible transmisión
de calor debida a gradientes de temperatura en las
secciones S1 y S2 (conducción de calor) frente a los
136
Introducción a la Ingeniería Química
correspondientes términos energéticos debidos a la
convección forzada (circulación del fluido), se obtiene la ecuación macroscópica de conservación de energía total:
d
( ΦT + ET + KT ) =
dt
= [(φ1 + e1 + k1 )ρ1Qv1 − (φ 2 + e2 + k 2 )ρ 2Qv2 ] +
+ Q + [PQ
1 v1 − P2Qv 2 + W ]
P
ρ
(J/kg)
[7.9]
con lo cual la expresión [7.8] queda de la forma:
1
g( z1 − z2 ) + ( H 1 – H 2 ) + (Ve21 − Ve22 ) +
2
+ Q+W = 0
(J/kg)
[7.10]
[7.6]
representando φ, e y k las energías específicas medias
potencial, interna y cinética, respectivamente, en cualquier sección transversal de la conducción; ΦT, ET y
KT las correspondientes energías totales del fluido
contenidas en el sistema considerado; Q el caudal de
calor comunicado al fluido desde el exterior a través
de la superficie S de la conducción; Qv el caudal volumétrico; ρ la densidad del fluido; P su presión y W el
trabajo intercambiado entre el fluido y la máquina
(positivo si fuese bomba o compresor y negativo si
fuese una turbina).
Esta ecuación, en la que todos sus términos vienen
expresados en watios, puede simplificarse teniendo
en cuenta la definición de caudal másico, m = ρ · Qv y
considerando el caso de régimen estacionario:
[
H = e+
]
m (φ 1 + e1 + k 1 ) − (φ 2 + e2 + k 2 ) +
 P

P 
+ Q + m  1 − 2  + W  = 0
  ρ 1 ρ 2 

[7.7]
Teniendo en cuenta las ecuaciones [7.2] y [7.3]
y dividiendo todos los términos de esta ecuación
por el caudal másico, m, se llega a la siguiente expresión:
1
g( z1 − z2 ) + ( e1 − e2 ) + (Ve21 − Ve22 ) +
2
 P1 P2 
+ Q+
−
 + W = 0 (J/kg)
 ρ1 ρ2 
Esta nueva expresión de la ecuación de conservación de energía en régimen estacionario indica que las
variaciones de energía potencial, entalpía y energía
cinética, junto a las aportaciones de trabajo y de calor
(producidos o consumidos) se han de compensar, de
tal manera que la suma total de todas ellas es cero. Al
igual que se vio en el Ejemplo 7.1, puede ganarse o
perderse un tipo de energía determinado, puede convertirse un tipo de energía en otro, pero el contenido
global de energía del sistema no se altera, porque la
suma neta de todas las variaciones es nula.
Ejemplo 7.2. Considérese la turbina de vapor esquematizada en la figura 7.3, que funciona con vapor
de agua que incide sobre la misma con una velocidad de 60 m/s, a una presión de 4.000 kN/m2 y 673
K. El vapor sale de ella, con un desnivel de 6 m respecto de la entrada, a presión atmosférica y una
temperatura de 398 K, con una velocidad de 300
m/s. Sabiendo que la turbina se ha diseñado para
producir una potencia teórica de 40 kW con un caudal másico de vapor de 450 kg/h y que las pérdidas
totales de calor producidas durante su funcionamiento en régimen estacionario son de 90.000 kJ/h,
calcular el rendimiento de la turbina.
[7.8]
ecuación que se corresponde con el primer principio
de la termodinámica para sistemas abiertos, y en la que
ahora todos sus términos, y por lo tanto también Q y
W, vienen expresados en J/kg.
Esta ecuación puede expresarse también en función
de la entalpía, variable termodinámica de gran utilidad
relacionada con la energía interna:
FIGURA 7.3. Esquema de la turbina de vapor.
Capítulo 7: Balances de energía
137
Solución:
7.4. Balances entálpicos
De las tablas termodinámicas del vapor de agua
se deducen los valores de la energía interna y la
densidad:
Ocurre con frecuencia que en muchas operaciones y procesos de la industria química en régimen
estacionario las variaciones de energía potencial y
cinética son prácticamente despreciables frente a los
restantes términos de la ecuación [7.10]. Si además
no existe máquina, esta ecuación se reduce a la
siguiente:
P1 = 4.000 kN/m2; T1 = 673 (K) →
→ e1 = 2.920 kJ/kg; ρ1= 13,6 (kg/m3)
P2 = 101,3 kN/m2; T2 = 398 (K) →
→ e2 = 2.542 kJ/kg; ρ2= 0,55 (kg/m3)
A este proceso le será aplicable la ecuación [7.8],
con el siguiente valor de cada uno de sus términos:
g( z1 − z2 ) = 9, 81(6) = 59 (J/kg)
e1 − e2 = ( 2.920 − 2.542 ) ⋅ 10 3 = 3, 78 ⋅ 10 5 (J/kg)
1 2
1
(Ve 1 − Ve22 ) = (V12 − V22 ) =
2
2
=
1
(60 2 − 300 2 ) = −4, 32 ⋅ 10 4 ( J/kg)
2
 P1 P2  4.000 ⋅ 10 3 101, 3 ⋅ 10 3
−
= 1, 1 ⋅ 10 5 (J/kg)
−
=

13, 6
0, 55
 ρ1 ρ2 
Q=
−90.000 ⋅ 10 3 −90.000 ⋅ 10 3
=
= −2, 0 ⋅ 10 5 (J/kg)
m
450
Sustituyendo estos valores en [7.8] y despejando W se obtiene el trabajo que realiza la turbina:
W = −59 − 3, 78 ⋅ 10 5 + 4, 32 ⋅ 10 4 +
+ 2, 0 ⋅ 10 5 − 1, 1 ⋅ 10 5 = −2, 45 ⋅ 10 5 (J/kg)
Multiplicado este valor por el caudal másico se
obtiene la potencia producida por la turbina:
W=−
450
⋅ 2, 45 ⋅ 10 5 = −30, 6 (kW)
3.600
donde el signo negativo indica que es una potencia realizada por el sistema.
Por último, si la potencia teórica es de 40 kW,
el rendimiento de funcionamiento será:
Rendimiento =
30,6
⋅ 100 = 76, 5%
40
H2 – H1 = Q
[7.11]
representativa el denominado balance entálpico, que
coincide en su forma con la ecuación general [7.1],
haciendo en ella nulo el término de acumulación.
Dado que no se pueden calcular valores absolutos
de la entalpía, para aplicar esta ecuación se requiere
establecer un estado de referencia. Se considera como
tal el correspondiente a los elementos libres de todas
las sustancias (sin combinar) a una presión y temperatura de referencia. En la ecuación [7.11] no aparece explícitamente la entalpía de reacción, al estar
incluidos en H1 y H2 las entalpías de formación de
todos los compuestos que entran y salen con las
corrientes del sistema, respectivamente. Además, en
estos términos están incluidos los calores sensibles de
todas las sustancias que componen las distintas corrientes (variación de temperatura y presión respecto a los
de referencia), y los correspondientes calores latentes, si hay cambio de estado de agregación.
Para poder aplicar la ecuación [7.11] a casos concretos se requiere calcular la entalpía del sistema, es
decir, la suma de entalpías de cada componente de la
mezcla a la temperatura y la presión a que se encuentre, tomando el estado de referencia citado. Este cálculo detallado se describe a continuación.
7.4.1. Cálculo de las entalpías
La función termodinámica que expresa la entalpía
cuando se refiere a la unidad de masa (entalpía específica) viene definida por la ecuación:
H = e+P⋅v = e+
P
ρ
(J/kg)
[7.12]
siendo v el volumen específico y ρ la densidad. Al igual
que la energía interna, la entalpía de una sustancia
depende casi exclusivamente de su composición quí-
138
Introducción a la Ingeniería Química
mica, estado de agregación y temperatura y es prácticamente independiente de la presión (para gases ideales es rigurosamente independiente de P), de tal
manera que si en una transformación no se produce
un cambio en la temperatura, composición o en el estado físico, se puede considerar que prácticamente la
variación de entalpía es nula.
De acuerdo con la termodinámica, la entalpía puede considerarse como una variable de estado, lo que
quiere decir que en una transformación su variación
depende del estado final e inicial y no del camino recorrido.
Suponiendo despreciable la variación de entalpía
específica con la presión, para un compuesto puro, ésta
se podrá calcular respecto de una temperatura de referencia mediante la ecuación:
T
H = H f ref +
∫
T
Tref
T
cp dT = H f ref + cp (T − Tref ) [7.13]
rigurosamente cierta para transformaciones a presión
constante y para cualquier transformación de un gas
ideal, pero sólo aproximada para transformaciones no
isobaras de gases reales, líquidos o sólidos. Si el estado de agregación de la sustancia fuese diferente al considerado en el estado de referencia, la ecuación [7.13]
se aplicaría de la forma siguiente:
T
H = H f ref + cpa (T − Tref ) + λTab' + cpb (T − T ′ ) [7.14]
siendo T ′ la temperatura a la que se produce el cambio de estado a → b, y λab el calor latente de ese cambio de estado. Para más de un cambio del estado de
agregación esta ecuación se generalizaría de la forma:
en la que Hi corresponde, para cada componente, a la
expresión [7.13] o [7.15], según el caso, y ∆HMi es la
entalpía de mezcla correspondiente a cada componente.. Si se pueden despreciar las entalpías de mezcla,
∆HMi , normalmente muy inferiores en magnitud a los
términos entálpicos Hi, la ecuación anterior se simplifica a la siguiente:
c
H=∑
i= 1
∴
ρi
Hi
ρ
c ρ
ρ i Tref
H f + ∑ i cpi (T − Tref ) [7.17]
i
i= 1 ρ
i= 1 ρ
c
H=∑
ecuación en la que se ha supuesto que no hay cambios
de estado, para mayor simplicidad de la expresión; en
caso de haberlo, Hi tomaría la forma dada por la ecuación [7.15]. Por otro lado, debe observarse la inclusión de los términos ρi /ρ, que corresponden a las fracciones másicas de cada componente, ya que no podrían
sumarse directamente los calores de formación o calores latentes de los componentes de la mezcla sin considerar la proporción en que se encuentra cada uno.
Si en esta ecuación o en cualquier otra se prefiriese
utilizar fracciones molares en vez de másicas, aparecería ci /c (concentraciones molares) en vez de ρi /ρ
(concentraciones másicas).
Expresada, pues, la entalpía de la mezcla mediante la ecuación [7.17], se puede ahora desarrollar el
balance entálpico [7.11], aplicándolo a las condiciones iniciales (1) y finales (2):
H 2 − H1 = Q
II
+ λTII + … + cPN (T − T N )
[7.15]
Por otro lado, para una mezcla de C componentes,
cuyas composiciones másicas son ρi y cuyas entalpías
individuales son Hi , la entalpía se podrá expresar mediante la siguiente ecuación:
[7.18]
c
∴∑
I
∴
ρi2
ρ
cpi (T2 − Tref ) − ∑ i 1 cpi (T1 − Tref ) +
ρ
i= 1 2
i= 1 ρ 1
c
H = H Tref
+ cPI (T I − Tref ) + λTI + cPII (T II − T I ) +
f
∴
Diferencia de calores sensibles
c ρ
ρ i 2 Tref
T
H fi − ∑ i 1 H firef = Q
i= 1 ρ 2
i= 1 ρ 1
c
+∑
Entalpía de las reacciones químicas
T
Σ∆H Rref
o más simplificadamente:
c ρ
ρ
H = ∑ i H i + ∑ i ∆H Mi
i= 1 ρ
i= 1 ρ
c
[7.16]
T
∆H 2 − ∆H 1 + Σ∆H Rref = Q
[7.19]
Capítulo 7: Balances de energía
139
siendo:
ρi1
cpi (T1 − Tref )
i= 1 ρ 1
[7.20]
ρi2
cpi (T2 − Tref )
ρ2
[7.21]
c ρ
ρ i 2 Tref
T
H fi − ∑ i 1 H firef
i= 1 ρ 2
i= 1 ρ 1
[7.22]
c
∆H 1 = ∑
c
∆H 2 = ∑
i= 1
c
Σ∆H Rref = ∑
T
Respecto a la temperatura de referencia, ésta suele tomarse igual o inferior a la más baja de las existentes en cada corriente, a fin de no manejar valores
negativos en el cálculo de los calores sensibles. En los
sistemas con reacción química suele tomarse como
referencia 298 K, ya que las entalpías de reacción
(entalpías de formación) se encuentran tabuladas a
esta temperatura, como entalpías de reacción normal
o estándar.
En cuanto a la presión, al ser muy pequeñas –incluso despreciables– las variaciones de entalpía con la
presión, suele considerarse como valor de referencia
para los cálculos de entalpías la presión media del sistema.
Para las sustancias que cambian de estado de agregación suele considerarse como estado de referencia
el correspondiente al más bajo nivel entálpico (generalmente, sólido < líquido < gas).
Por último, debe señalarse que los términos de la
ecuación [7.19] pueden expresarse en J/kg, J/mol o J/s,
dependiendo de la base de cálculo utilizada para el
balance.
La ecuación [7.19] también puede expresarse
siguiendo el sencillo diagrama de la figura 7.4, representativo de la ley de Hess, lo que requiere cambiar
el signo del término ∆H1, al invertir la diferencia de
temperaturas, según el esquema de la figura.
Con ello, el balance entálpico [7.19] queda de la
siguiente forma:
T
∆H 1 + Σ∆H R ref + ∆H 2 = Q
[7.23]
Esta ecuación indica, de acuerdo con la figura 7.4,
que el cambio entálpico que supone pasar de las condiciones iniciales o de entrada (1) a las condiciones
finales o de salida (2), recorriendo el itinerario en tres
FIGURA 7.4. Diagrama del balance entálpico entre las condiciones (1) y (2), aplicando la ley de Hess.
tramos (primer sumando de la ecuación), es igual al
intercambio de calor con el exterior. Los términos
∆H 1 y ∆H 2 llevan ahora una flecha para indicar que
las diferencias de temperatura corresponden con el
sentido de la trayectoria en el diagrama de la figura
7.4, es decir, del punto (1) al punto (2). Es evidente
que ∆H1 = − ∆H 1 y ∆H 2 = ∆H 2 .
La ecuación [7.23], que no requiere memorizar signos (todos son positivos), se aplica con independencia
de que sea T1 > T2 o T1 < T2, y de que la temperatura
de referencia que se tome sea una u otra, siempre que
sea la misma para todos los términos entálpicos. El valor
de Q resultará positivo si el sistema gana calor del exterior, y negativo si lo pierde. Esta circunstancia se observa claramente en el caso de que las entalpías ∆H1 y ∆H2
T
sean iguales, con lo que resultaría Σ∆H R ref = Q ; es
decir, que si el conjunto de las reacciones resulta exotérmico (entalpía de reacción global negativa), sería
Q < 0, pues debe eliminarse calor del sistema para
mantener la temperatura constante, como exige el
régimen estacionario. Análogamente, si el conjunto
de reacciones resulta endotérmico, será Q > 0 debiendo aportarse calor al sistema.
140
Introducción a la Ingeniería Química
Ejemplo 7.3. Calcular la variación de entalpía asociada a la transformación de hielo a presión atmosférica y 253 K, en vapor de agua sobrecalentado a
400 kN/m2 y 423 K.
Solución:
La variación de entalpía se podrá calcular suponiendo cualquier trayectoria entre el estado inicial
y final del sistema, como por ejemplo la indicada
en la figura 7.5.
Así, la ecuación
[7.23], al no haber reacción
?
T
química Σ ∆H R ref = 0 y aplicarse a los 6 tramos,
quedaría de la forma:
6
∑ ∆H
i
=Q
i=1
siendo Q el calor necesario para producir la variación de entalpía solicitada.
Por tanto, de acuerdo con la trayectoria supuesta, la variación total de entalpía será igual a la suma
de las variaciones de entalpía de cada una de las
transformaciones:
Q = ( H 7 − H 1 ) = ∆H 1 + ∆H 2 + ∆H 3 +
= ∆H 4 + ∆H 5 + ∆H 6
y sustituyendo en esta ecuación las variaciones de
entalpía correspondiente a cada una de las transformaciones, deducidas de las tablas termodinámicas del agua, ya resumidas en la figura 7.5, se
obtiene:
Q = 41 + 333 + 419 + 2.257 + 101 − 24 =
= 3.127 (kJ/kg)
En este sencillo ejemplo se puede comprobar
que el calor sensible del hielo ∆H1 es muy inferior
a su calor latente de fusión ∆H2, que los calores
sensibles del agua y de su vapor ∆H3 y ∆H5 son
muy inferiores a su calor latente de vaporización
∆H4 y que la variación de entalpía del vapor de
agua recalentado (gas real) con la presión, ∆H6 es
muy pequeña. Este último término es, además,
negativo, pues en la compresión se produce calor
por efecto Joule, mientras que en los demás términos el calor se consume.
FIGURA 7.5. Esquema de la transformación de hielo en vapor de agua sobrecalentado.
Capítulo 7: Balances de energía
Para el cálculo de los calores sensibles correspondientes a las ecuaciones [7.20] y [7.21] se requiere disponer de los calores específicos a presión constante,
que son función de la naturaleza de la sustancia, su
estado de agregación y su temperatura, e independientes de la presión cuando ésta es reducida. Si las
variaciones de temperatura no son muy grandes, pueden tomarse valores medios de los calores específicos
para esos intervalos; en caso contrario, debe considerarse la función cp(T) que corresponda y calcular la
integral para cada componente, según se indica en la
ecuación [7.13].
Los calores latentes de cambio de estado están
igualmente tabulados para la temperatura que corresponda, y se encuentran también en la bibliografía,
variando su magnitud en función directa del grado de
desorden molecular o transformación cristalina que
se produzca en dicho cambio.
Por otro lado, la entalpía de mezcla corresponde a
la cantidad de calor intercambiada cuando se disuelve un sólido o un gas en un líquido o cuando se mezclan dos líquidos o gases distintos. Como se sabe, en
estos procesos se produce una variación entre las fuerzas de atracción molecular, con absorción o desprendimiento neto de energía, siendo la energía interna y
la entalpía de la mezcla distintas de las de los componentes puros que la constituyen. Esta variación se
puede considerar despreciable en el caso de mezclas
gaseosas y líquidas cuando la naturaleza de los compuestos es similar.
En la bibliografía especializada sobre propiedades
termodinámicas se encuentra información suficiente
para poder calcular los mencionados calores específicos, calores latentes y entalpías de mezcla.
141
Dado que es una mezcla gaseosa, serán despreciables los calores de mezcla y, por lo tanto,
aplicable la ecuación [7.17] en unidades molares,
en la que ya no aparecerá el término de calores de
formación, pues se ha tomado como referencia las
sustancias ya combinadas a partir de sus elementos, lo que es habitual:
c
ci
cpi (T − Tref )
i= 1 c
H=∑
Esta ecuación se aplicará para aquellos componentes de la mezcla que no cambian de estado,
mientras que para el agua, que sí lo hace, habrá de
incluirse también el calor latente (ecuación [7.14]).
Tomando de la bibliografía los siguientes valores medios para los calores específicos molares a
presión constante (J/mol K), en estos intervalos:
cp CO = 43;
(
2
)
cp O = 31;
( 2)
( N 2 ) = 30
( 298 − 623 K)
cp H O, l = 75
( 298 − 623 K)
cp H O,v = 35
( 373 − 623 K )
cp
(
(
2
2
)
)
y para el calor molar de vaporización del agua a
373 K el siguiente:
r = 40,62 kJ/mol
se pueden calcular las entalpías de cada componente individual por separado:
H CO2 = 43(623 − 298 ) = 13.975 ( J/mol)
H O2 = 31(623 − 298 ) = 10.075 ( J/mol)
Ejemplo 7.4. Cálcular la entalpía de una corriente gaseosa, efluente de un horno de combustión,
que se encuentra a presión atmosférica y a una
temperatura de 623 K, y tiene la siguiente composición: 10% CO2, 5%O2, 73% N2 y 12% H2O.
Solución:
En primer lugar hay que establecer un estado
de referencia. Se considerará el siguiente: sustancias combinadas, agua en estado líquido, presión
atmosférica y una temperatura de 298 K.
H N 2 = 30(623 − 298 ) = 9.750 ( J/mol)
H H2O = 75( 373 − 298 ) + 40.620 +
+ 35(623 − 373 ) = 54.995 ( J/mol)
y a partir de ellas la entalpía de la mezcla gaseosa,
teniendo en cuenta la fracción molar de cada componente:
H = 0,1(13.975) + 0, 05(10.075) + 0, 73(9.750) +
+ 0,12(54.995) = 15.618 (J/mol)
142
Introducción a la Ingeniería Química
7.4.2. Entalpías de reacción
Todas las reacciones químicas se desarrollan con
variación de entalpía y por lo tanto con intercambio
de energía con los alrededores. Cuando una reacción
química se realiza a presión constante, como es en la
mayoría de los casos, ésta se desarrolla con absorción
o desprendimiento de calor, igual en magnitud a la
variación de entalpía producida.
Como ya se ha indicado, para una reacción química
determinada la entalpía de reacción, a una presión y temperatura constantes, se calcula como diferencia entre la
suma de las entalpías de formación de los productos de
reacción y la de las entalpías de formación de los reaccionantes:
Tref
∆H RTref = ∑ H Tref
f , p − ∑ H f ,r
[7.24]
o también como diferencia entre la suma de las entalpías de combustión de los reaccionantes y la correspondiente a los productos de reacción:
∆H RTref = ∑ H cTref
− ∑ H cTref
,r
,p
[7.25]
Cuando esta variación de entalpía es negativa, la
reacción es exotérmica, es decir se realiza con desprendimiento de calor. Por el contrario, cuando esta
variación es positiva la reacción es endotérmica, es
decir, se realiza con absorción de calor.
La entalpía de reacción a una atmósfera de presión
y 298 K se denomina entalpía de reacción normal o
estándar y sus valores están tabulados en la bibliografía especializada. Así, de acuerdo con las ecuaciones
[7.24] y [7.25], se tendrá:
∆H R0 = ∑ H f0, p − ∑ H f0,r =
= ∑ H c0,r − ∑ H c0, p
[7.26]
indicando los subíndices f y c, formación y combustión respectivamente, y los subíndices r y p, reaccionantes y productos. El superíndice, 0, se refiere al estado normal o estándar.
Para reacciones químicas a presiones moderadas
la entalpía de reacción es función sólo de la temperatura, dado que la presión no influye sobre la entalpía
de los gases ideales y prácticamente no lo hace sobre
la de los sólidos, líquidos y gases reales. En este caso,
la variación de la entalpía de reacción con la temperatura puede calcularse aplicando la conocida ley de
Kirchhoff , como se verá en el ejemplo expuesto a continuación. Sin embargo, a presiones elevadas, al desviarse apreciablemente el comportamiento de los gases
del modelo ideal, no puede ignorarse la influencia de
la presión, debiendo calcularse la variación de la ental-
FIGURA 7.6. Cálculo de la variación
de la entalpía de reacción química
con la temperatura: ley de Kirchhoff
(a presión constante).
Capítulo 7: Balances de energía
143
FIGURA 7.7. Cálculo de la variación de la
entalpía de reacción química con la presión (a temperatura constante).
pía de reacción con la presión de forma experimental
o teórica con ayuda de la termodinámica.
En las figuras 7.6 y 7.7 se muestran esquemáticamente estas variaciones con la temperatura y la presión, y las expresiones de cálculo correspondientes.
Ejemplo 7.5. Calcúlese la variación de entalpía en
la reacción de obtención de etanol por hidratación
de etileno en fase gaseosa a presión atmosférica y
400 K.
Solución:
La reacción transcurre según el esquema:
C 2 H 4 (g) + H 2 O(g) → C 2 H 5OH(g)
En primer lugar se calculará la entalpía de reacción estándar a partir de los valores de las entalpías de formación, utilizando la ecuación [7.26].
Los valores para cada componente, a 298 K, se
obtienen de la bibliografía:
C 2 H 4 (g) = 52, 3
(kJ/mol)
H 2 O(g) = −241,6
(kJ/mol)
C 5 H 5 OH(g) = −235,1
(kJ/mol)
H 2 O(l) = −285,6
(kJ/mol)
[
]
∆H R0 = −235, 1 − 52, 3 + ( −241, 6 ) = −45, 8 (kJ/mol)
Aplicando el esquema de la figura 7.4 a este
caso, se tendrá:
Reaccionantes
a 400 K
∆HR4 00
Productos
a 400 K
Reaccionantes
a 298 K
∆HR0
Productos
a 298 K
obteniéndose:
∆H R400 = (1 ⋅ cp(C2H4 (g)) + cp(H2O(g)) )( 298 − 400 ) +
+ ∆H R0 + 1 ⋅ cp(C2H5OH(g)) ( 400 − 298 )
y sustituyendo los valores medios de los calores
específicos molares a presión constante, encontrados en la bibliografía para este intervalo de temperaturas, se obtiene:
∆H R400 = (53 + 35 )( 298 − 400 ) − 45.800 +
(
)
+ 84 400 − 298 = −46.208 (J/mol)
Si como estado de referencia se hubiese considerado agua líquida en lugar de vapor, en el cálcu-
144
Introducción a la Ingeniería Química
lo de la entalpía estándar de reacción debería utilizarse el calor de formación del agua líquida:
7.5. Balances macroscópicos de energía
en algunos casos particulares
(
7.5.1. Balances de energía en sistemas cerrados
)
∆H R0 = −235, 1 − 52, 3 + ( −285, 6 ) =
= −1, 8 (J/mol)
Si se compara esta cifra con la anterior, se
observa la gran disminución en valor absoluto de
la entalpía de reacción, debido a que prácticamente
toda la energía producida en la reacción se invierte en vaporizar el agua. Aplicando ahora la ley de
Hess, considerando el cambio de estado del agua
a 373 K, de acuerdo con el siguiente esquema, se
obtendría:
R a 400 K, H2O (g)
P a 400 K (g)
Una operación o proceso se considera como un
sistema cerrado cuando no existe transferencia de
masa a través de sus límites, en el período de tiempo
al cual se aplica el balance de energía. Así, las operaciones discontinuas, exceptuando los períodos de carga y descarga, deben considerarse como sistemas cerrados y las operaciones semicontinuas y continuas como
sistemas abiertos.
En un sistema cerrado, al no existir corrientes
materiales de entrada o salida y no distinguirse las secciones 1 y 2 por las que entran o salen, la ecuación
general de conservación de energía [7.6] se reduce a
la siguiente:
E f − Ei = Q + W ∴
R a 373 K, H2O (g)
∴
∆E = Q + W
[7.27]
R a 373 K, H2O (l)
R a 298 K, H2O (l)
∆H R400
P a 298 K (g)
 1 ⋅ cp(C2H4 (g)) ( 298 − 400 ) +


 +1 ⋅ cp(H2O(g)) ( 373 − 400 ) −
=
+
−1 ⋅ rvap(H2O) +



 +1 ⋅ c
−
(
298
373
)


p(H2 O(I))
+ ∆H R0 + 1 ⋅ cp(C2H5OH(g)) ( 400 − 298 )
53( 298 − 400 ) + 35( 373 − 400 ) − 
∆H R400 = 
−
−43.256 + 75( 298 − 373 )

− 1.800 + 84(400 – 298) = −49.164 J/mol
Como era de esperar, el resultado es prácticamente el mismo, ya que este cálculo es independiente del estado de referencia considerado. Las
diferencias observadas, inferiores al 7%, se deben
a la utilización de calores específicos medios en el
cálculo de los calores sensibles.
en la que Ei y Ef representan la energía interna del sistema cerrado en los momentos inicial y final, respectivamente. Si se observa, esta diferencia se correspondería con un término de acumulación de energía,
según la ecuación [7.1], siendo (Q + W) el correspondiente a los términos de entrada/salida de energía y
de generación (caudal neto de energía transferida).
La ecuación [7.27] constituye la forma básica del primer principio de la termodinámica para sistemas cerrados, y resulta de gran utilidad en muchos casos.
Ejemplo 7.6. Dedúzcanse las ecuaciones representativas del balance de energía para cada una de
las etapas de funcionamiento del ciclo convencional de un compresor alternativo, esquematizado
en la figura 7.8.
Solución:
Durante el tiempo que dura un ciclo de un
compresor alternativo éste puede considerarse
como un sistema cerrado. Las cuatro transformaciones en serie que componen este ciclo se
representan en el diagrama P-V de la figura 7.8.
Capítulo 7: Balances de energía
145
FIGURA 7.8. Diagrama convencional de un compresor alternativo
del émbolo).
Aplicando las ecuaciones [7.5] y [7.27] a cada una
de las cuatro transformaciones indicadas, suponiendo comportamiento ideal para el gas, se tendrá:
— Transformación 4-1 (admisión isobara del gas
en el cilindro a presión PA). Suponiendo que
durante la admisión del gas en el cilindro su estado permanece constante (P y T ctes.), se tiene:
Variación de energía interna:
∆E41 = 0
γ −1




P
γ
 D γ

− 1 > 0
W12 =
PA v1 

γ −1
 PA 


Calor intercambiado:
Q12 = 0
— Transformación 2-3 (descarga isobara del gas
del cilindro a presión PD). Suponiendo que
durante la expulsión del gas del cilindro su estado no cambia (P y T ctes.), se tiene:
Trabajo realizado por el gas:
Variación de energía interna:
W41 = PA (v4 – v1) < 0
∆E23 = 0
Calor transferido desde el medio:
Q41 = –W41 = PA (v1 – v4) > 0
— Transformación 1-2 (compresión del gas).
Suponiendo que esta transformación es adiabática, se tiene:
Aumento de la energía interna del gas:
∆E12 = W12 > 0
Trabajo realizado sobre el gas:
Trabajo realizado sobre el gas:
W23 = PD (v2 – v3) > 0
Calor transferido al medio:
Q23 = –W23 = PD (v3 – v2) < 0
— Transformación 3-4 (reexpansión a las condiciones iniciales). Suponiendo que esta transformación es adiabática, se tiene:
146
Introducción a la Ingeniería Química
Disminución de la energía interna del gas:
∆E34 = W34 < 0
Todas las operaciones básicas físicas de la industria química, como son rectificación, absorción, secado, evaporación, intercambio de calor, filtración, etc.,
se realizan sin reacción química. En estos casos será
de aplicación la ecuación [7.10], en la que las entalpías se calcularán sin tener en cuenta los calores de
formación o las entalpías de reacción química. Si los
términos de energía cinética y potencial son despreciables frente a los restantes, será aplicable el balance entálpico [7.11] (supuesto W = 0).
Dependiendo de cuál sea la operación considerada,
se anularán los términos que procedan de la ecuación
[7.10], simplificándose en cada caso. Veamos algunos
ejemplos:
Trabajo realizado por el gas:
γ −1


γ
 PA  γ

−
W34 =
PD v3 
1

<0
γ −1
 PD 


Calor intercambiado:
Q34 = 0
7.5.2. Balances de energía en sistemas abiertos
en régimen estacionario
Una operación o proceso se considera como un
sistema abierto cuando existe transferencia de materia a través de su frontera. Así, por definición, las
operaciones continuas y semicontinuas deben considerarse como sistemas abiertos, como ya se ha indicado.
La mayoría de las operaciones y procesos de la
Ingeniería Química son continuos y funcionan en régimen estacionario, y por lo tanto serán aplicables las
ecuaciones [7.7], [7.8], [7.10], [7.11] y [7.19], según proceda.
También para estos sistemas será aplicable la ecuación más general [7.1], haciendo nulo el primer término correspondiente a la acumulación de energía en
el sistema:
[E]
+
[G]
=
[S]
7.5.3. Aplicación del balance de energía
a operaciones sin reacción química
•
g( z1 − z2 ) +
•
El término de entrada se refiere a la transferencia
total de energía (cinética, potencial, e interna) asociada a todas las corrientes de entrada, más la energía que se transfiere al sistema en forma de calor y trabajo. El término de salida se refiere a la energía total
asociada a las corrientes de salida y a la transferida
por el sistema en forma de calor y trabajo.
1 2
(Ve1 − Ve22 ) + W = 0
2
•
[7.31]
En las toberas y difusores se tendrá:
( H1 − H 2 ) +
•
[7.30]
En los condensadores y calderas será aplicable
la ecuación:
H1 – H2 = Q
•
[7.29]
En los intercambiadores de calor, evaporadores, secadores, etc., esta ecuación se simplifica
a la siguiente:
H1 – H2 = 0
[7.28]
 Generación 


 Entrada  de energía
 Salida

 de energía  en r. químicas  de energía


En el transporte de fluidos por conducciones
son numerosas las ocasiones en las que esta
ecuación se reduce a la siguiente:
1 2
(Ve1 − Ve22 ) = 0
2
[7.32]
En las turbinas de vapor o de gases será aplicable la ecuación:
H1 – H2 = W
[7.33]
En definitiva, a la hora de particularizar la ecuación [7.10] a cada caso concreto es necesario evaluar
el grado de significación de los distintos términos de
esta ecuación, sin que a priori se pueda establecer una
regla general.
Capítulo 7: Balances de energía
Ejemplo 7.7. Considérese la destilación súbita de
una mezcla líquida (apartado 12.4.2) que se expande hasta presión atmosférica y 360 K, en la cámara adiabática esquematizada en la figura 7.9. El alimento líquido, constituido por una mezcla de
benceno y tolueno con un 70% en moles del primero, fruto de la expansión, se desdobla en una
corriente vapor (60%), con una fracción molar de
benceno del 76%, y otra líquida (40%), ambas en
equilibrio. Calcúlese la temperatura de la corriente alimento.
147
–
λ
cp
Calor latente (kJ/(kg·K) (273 – 423 K)
vap (kJ/kg) líquido
vapor
Benceno 353,1
394,0
1,758
1,298
Tolueno 383,6
363,4
1,842
1,423
Teb
(K)
Para plantear el balance entálpico se empleará la ecuación [7.30], tomando como estado de
referencia: presión atmosférica, T = 273 K y estado líquido. Así se tendrá:
H 1 = H 2 ∴ hA = 0, 6 H vap + 0, 4 hliq
Solución:
Base de cálculo: 100 kmol de alimento.
Balance de benceno (en kmol):
x
70
76
⋅ 100 =
⋅ 60 +
⋅ 40
100
100
100
de donde se obtiene:
x = 61%
A presión atmosférica se dispone de los siguientes datos termodinámicos:
siendo:
(
)
hA = 0, 7( 78 )1, 758 + 0, 3(92 )1, 842 (TA − 273 ) =
= 146, 8(TA − 273 ) (kJ/mol)
1, 758(353,1 – 273) + 394 + 
H vap = 0, 76( 78 )
+

+ 1, 298( 360 − 353, 1)
1, 842( 383, 6 − 273 ) + 363, 4 + 
+ 0, 24(92 )
=

+ 1, 423( 360 − 383, 6 )
= 44.014 (kJ/mol)
FIGURA 7.9. Esquema de la cámara de destilación súbita.
148
Introducción a la Ingeniería Química
(
)
hliq = 0, 61( 78 )1, 758 + 0, 39(92 )1, 842 ( 360 − 273 ) =
= 13.027 (kJ/mol)
y sustituyendo se obtiene:
146, 8(T A − 273 ) = 0, 6( 44.014 ) + 0, 4(13.027 )
ésta es endotérmica (∆HR > 0) es necesario aportar
calor (Q > 0).
De acuerdo con la ecuación [7.19], si el reactor fuese adiabático toda la energía generada por reacción
química se invertiría en modificar la entalpía de los
productos de reacción respecto a la de los reaccionantes:
T
∆H 2 + Σ∆H Rref = ∆H 1
de donde se deduce:
TA = 488 (K)
7.5.4. Aplicación del balance macroscópico
de energía a una operación
con reacción química
Generalmente en los reactores químicos las variaciones de energías potencial y cinética son prácticamente despreciables, por lo que las ecuaciones [7.11]
o [7.19] son la base de los balances de energía en los
mismos, dependiendo del estado de referencia considerado. Para mayor facilidad en el planteamiento de
estos balances entálpicos es aconsejable utilizar la
ecuación [7.19], en la que se consideran los elementos combinados como estado de referencia, apareciendo por lo tanto explícitamente la energía generada en las reacciones químicas.
En la mayoría de las ocasiones los reactores químicos operan en condiciones isotermas, de tal manera que si la reacción es exotérmica (∆HR < 0), es necesario eliminar calor (Q < 0) para mantener las
condiciones de operación o, por el contrario, cuando
[7.34]
A continuación se verá un ejemplo de aplicación
de esta ecuación.
Ejemplo 7.8. Considérese el reactor catalítico adiabático esquematizado en la figura 7.10, en el que se
lleva a cabo la hidratación de etileno con vapor de
agua para producir etanol. Sabiendo que la mezcla
gaseosa alimentada está constituida por etileno
(60%), agua (30%) y metano (10%), que la conversión en las condiciones de reacción es del 5% y
que el gas efluente abandona el reactor a 400 K, calcular la temperatura a la que debe introducirse la
mezcla alimento para mantener las condiciones de
funcionamiento en régimen estacionario.
Solución:
Base de cálculo: 1 mol de alimento.
Para plantear los balances entálpicos, al ser el
reactor adiabático, se aplicará la ecuación [7.34],
considerando como estado de referencia la presión del sistema, T = 400 K y el agua en fase vapor.
Los términos del balance serán los siguientes:
FIGURA 7.10. Reactor químico adiabático para la
obtención de etanol por
hidratación de etileno .
Capítulo 7: Balances de energía
 0,6 cp( C H ) + 0, 3 cp( H O, v ) + 
2 4
2
 (TA − 400 ) =
∆H 1 = 
+ 0,1cp(CH )

4


= 0,6(53) + 0, 3(35) + 0,1(40) (TA − 400 ) =
(
)
= 46, 3TA − 17.230 ( J)
∆H2 = 0
5
Σ∆H R400 =
( −46.208 ) = −2.310, 4 (J)
100
149
sustituyendo valores en la ecuación [7.34] se obtiene:
–46,3 TA + 17.320 – 2.310,4 = 0
de la que se deduce:
TA = 324 K (51 °C)
Problemas
1. El sistema de calefacción de un reactor químico,
en el que se lleva a cabo una reacción isoterma,
consta de un circuito cerrado de vapor de agua que
se condensa en la camisa exterior del reactor. Básicamente este circuito, perfectamente calorifugado, está constituido por la camisa de calefacción
del reactor, una caldera para producir el vapor a
partir del agua caliente reciclada, una bomba de
impulsión situada a la salida de la caldera a 10 m
por debajo del reactor (éste se encuentra elevado
para su fácil descarga) y una conducción de retorno del agua condensada a la caldera. Analizar las
transformaciones producidas entre las distintas formas de energía en el fluido de calefacción.
2. En la turbina de vapor del Ejemplo 7.2 se producen fugas en el sistema de producción de vapor que
hace que su caudal disminuya en un 10%. Hasta
que se pueda reparar la avería, se compensan temporalmente estas pérdidas disminuyendo en un
15% su presión. Calcular cuál debe ser la nueva
temperatura del vapor alimentado.
3. En una tobera ampliada se expanden 3 kg/s de aire
caliente a 3.500 K desde una presión de 10 bar hasta 1,5 bar. Suponiendo que el aire se comporta
idealmente, que el proceso es adiabático (γ = 1,4)
y que la velocidad del aire a la entrada es de 40
m/s, calcular la temperatura y la velocidad del aire
efluente.
4. Los gases de combustión de un cohete (peso molecular M = 26,7) abandonan su cámara de combustión, a 2.800 K y 18 bar a través de una tobera
ampliada de 0,6 m2 de sección de entrada y 0,2 m2
de sección mínima. Suponiendo que el comportamiento de los gases es ideal y que su expansión en
la tobera hasta la presión atmosférica es adiabática (γ = 1,2), calcular la energía cinética e interna
de los gases a la salida.
5. Calcular el calor necesario para transformar 1 kg
de nieve a presión atmosférica y 253 K en vapor
de agua sobrecalentado a 2 bar y 473 K.
6. Repetir el Ejemplo 7.4 tomando como estado de
referencia agua líquida y una temperatura de 273 K.
7. En un reactor de hidrodesalquilación en el que se
produce benceno, se trata una mezcla gaseosa de
tolueno y xilenos a presión atmosférica con un gas
de reformado. Si la mezcla se alimenta al reactor
a 673 K con la siguiente composición: tolueno
(20%), xilenos (15%), hidrógeno (55%) y metano
(10%), calcular su entalpía respecto a la temperatura de operación del reactor, que es de 873 K.
8. Calcular el calor de reacción en la deshidrogenación de metanol a formaldehído, en fase gaseosa,
a 950 K y 1 bar:
CH3OH(g) → HCOH(g) + H2(g)
9. En un secadero se tratan 1.200 kg/h de azúcar de
caña a 293 K para reducir su humedad del 25% al
2%. Para ello se utilizan 13.000 m3/h de aire seco
a 343 K y 0,95 bar con una humedad absoluta del
3%. Suponiendo que las pérdidas de calor en el
secadero son de 70.000 kJ, calcular la humedad
relativa y la temperatura del aire a la salida.
10. En el horno de una caldera de vapor, se quema gas
natural con un 20% en exceso de aire. El gas natural utilizado tiene la siguiente composición: CH4
(87,5%), C2H6 (8,5%), n-C3H8 (2%), n-C4H10 (1%)
150
Introducción a la Ingeniería Química
y N2 (1%). Sabiendo que la mezcla combustible se
alimenta al horno a 298 K y que las pérdidas de
calor producidas son de 120 kJ/kg de combustible,
calcular:
a) El caudal másico de gases de combustión por
kg de gas natural quemado.
b) La composición y temperatura de los gases de
combustión obtenidos.
11. Si la caldera del problema anterior se ha diseñado
para producir vapor de agua saturado seco a una
presión de 10 bar, utilizando agua líquida a 288 K,
calcular los kg de vapor producidos por kg de gas
natural quemado.
12. En el reactor de hidrodesalquilación del problema 7 se producen las siguientes reacciones:
C6H5CH3 + H2 → C6H6 + CH4
C6H4(CH3)2 + 2H2 → C6H6 + 2CH4
Suponiendo que el reactor opera adiabáticamente y que se alcanza en las condiciones de reacción una conversión del 70%, calcular la temperatura de la corriente gaseosa efluente.
13. En el problema 10 se sustituye el quemador del
horno para poder utilizar fuelóleo como combustible y se mejora su aislamiento reduciéndose las
pérdidas al 50%. Si el fuelóleo utilizado contiene
un 85% de carbono y un 15% de hidrógeno, y se
quema con un 10% en exceso de aire enriquecido
(30% de oxígeno), calcular:
a) La masa de gases de combustión obtenidos por
kg de fuelóleo quemado.
b) La composición sobre base seca de los gases de
combustión y su temperatura.
c) La cantidad de vapor de agua saturado y seco
producido por kg de fuelóleo.
14. En un proceso continuo se produce formaldehído
por oxidación de éter dimetílico según la siguiente reacción:
C2H6O + O2 → 2CH2O + H2O
Al reactor, que opera en condiciones isotermas
a 753 K con una conversión del 100%, se alimenta una mezcla gaseosa constituida por el éter y un
40% en exceso de aire, que previamente se calien-
ta hasta 373 K. Calcular por cada kg de formaldehído producido:
a) El calor consumido en la precalefacción de la
mezcla alimento que originalmente se encuentra a 293 K.
b) El calor que es necesario eliminar en el reactor para mantener las condiciones isotérmicas.
15. El proceso Deacon para producción de cloro se
basa en un catalizador que activa la oxidación del
ácido clorhídrico gaseoso seco con aire, de acuerdo con la siguiente reacción:
4HCl + O2 → 2Cl2 + 2H2O
Cuando la reacción se lleva a cabo a 723 K y se
utiliza aire enriquecido (35% O2) con un 20% en
exceso, se alcanzan conversiones del 65%. Calcular para estas condiciones:
a) La composición de la corriente de entrada al
reactor.
b) La composición de la corriente de salida del
reactor.
c) La temperatura a la que deben alimentarse los
reaccionantes para que el funcionamiento del
reactor sea isotermo.
16. El proceso de obtención de ácido sulfúrico por el
método de contacto consta de dos etapas. En la
primera etapa se tuesta pirita de hierro de elevada pureza (FeS2), con un 20% de exceso de aire
sobre el estequiométrico para convertir todo el
azufre en SO2 y todo el hierro en Fe2O3, de acuerdo con la siguiente reacción:
2FeS2 + 11/2O2 → 4SO2 + Fe2O3
En la segunda etapa los gases resultantes de la
primera (gases de tostación), con alto contenido
en oxígeno, pasan a un reactor catalítico adiabático en el que el SO2 se oxida a SO3 con una conversión del 80%. Calcular:
a) La composición de los gases de tostación que
se alimentan al reactor.
b) La composición de los gases que abandonan el
reactor.
c) La temperatura de los gases que abandonan
el reactor si su temperatura de entrada es de
700 K.
8
INTRODUCCIÓN
AL FLUJO
DE FLUIDOS
8.1.
8.2.
8.3.
8.4.
8.5.
Generalidades
Viscosidad de los fluidos
Clasificación de los fluidos
Flujo laminar y flujo turbulento
Ecuaciones básicas en el flujo interno
de fluidos
8.6. Pérdidas de energía por rozamiento
8.7. Potencia necesaria para el flujo
8.8. Medida de caudales
152
Introducción a la Ingeniería Química
E
n este capítulo se estudian los fundamentos básicos del comportamiento de los fluidos en circulación por el interior de conducciones (flujo interno). Se presenta una clasificación de los fluidos
atendiendo a su viscosidad, introduciendo el concepto de fluido newtoniano y se establecen los distintos tipos de régimen de flujo: laminar y turbulento, aplicando en cada caso el concepto de factor de
rozamiento.
Asimismo se presentan las ecuaciones básicas
que describen el movimiento de los fluidos, las pérdidas de energía por rozamiento, la potencia necesaria para el flujo y los métodos de medida de caudales.
Estos aspectos básicos permiten abordar, en el
capítulo siguiente, algunas de las operaciones de
separación basadas en el flujo externo, como la filtración, la sedimentación, la centrifugación y la fluidización.
GLOSARIO
carga neta positiva de aspiración (CNPA). Carga
requerida a la entrada de una bomba (brida de
admisión) en exceso sobre la presión de vapor del
líquido a la temperatura de la admisión, para que
no se produzca cavitación. Depende del tipo de
bomba, de su diseño y del caudal que se le exija.
Si la CNPA que corresponde a la instalación (ecuación de Bernouilli) no es igual o superior a la
CNPA requerida por la bomba, se produce cavitación.
cavitación. Vaporización de un líquido en la rama de
aspiración de una bomba, producido por la baja
presión a la que se encuentra o por encontrarse a
temperatura próxima a la de ebullición; en ambos
casos la presión de vapor del líquido en las condiciones de aspiración es superior a la presión reinante, por lo que el líquido se vaporiza. La posterior condensación brusca en el interior de la
bomba, cuando se produce, llega a ocasionar graves daños mecánicos en las partes internas de la
bomba.
compresión escalonada. Compresión en varias etapas,
entre las cuales se produce un enfriamiento del gas
para eliminar el calor generado. Permite reducir
sensiblemente el trabajo teórico de compresión, al
alejarse de las condiciones adiabáticas. Además,
permite alcanzar relaciones de compresión elevadas, que en una sola etapa serían inviables.
compresión politrópica. Compresión en condiciones intermedias entre la isotérmica y la adiabáti-
ca (P . vn = cte., 1 < n < γ). Es la que se produce
habitualmente en los compresores reales.
ecuación de Bernouilli. Ecuación de conservación de
la energía mecánica total de un fluido. Expresa que
en un recinto considerado, a través del cual circula un fluido, las variaciones que se producen en la
energía cinética, la energía potencial, la presión y
las pérdidas de energía por rozamiento han de ser
iguales en su conjunto al trabajo mecánico intercambiado con el exterior.
ecuación de Weymouth. Ecuación simplificada que se
aplica para calcular la pérdida de presión por rozamiento en la circulación de gases por el interior de
conducciones (ec. [8.36]). Es una forma modificada de la ecuación de Fanning, y resulta válida para
velocidades lineales del gas pequeñas (V< 35 m/s).
factor de rozamiento. Factor de proporcionalidad en
la ecuación de Fanning [8.22]. Da idea de la fricción o rozamiento viscoso que sufre un fluido en
movimiento. Depende de las propiedades del fluido (densidad, viscosidad), de la velocidad del fluido y del diámetro y rugosidad interna de la conducción por donde circula, y ha de determinarse
experimentalmente.
fluido newtoniano. Fluido que sigue la Ley de Newton (ec. [8.2]), por lo que su viscosidad no depende ni de la tensión rasante de rozamiento ni del
perfil de velocidades, siendo una propiedad física
del fluido. Todos los gases y algunos líquidos sencillos de baja viscosidad se comportan como fluidos newtonianos.
Capítulo 8: Introducción al flujo de fluidos
flujo laminar. Régimen de flujo en el que las partículas del fluido recorren trayectorias paralelas, sin
entremezclarse, siendo el mecanismo de transporte
exclusivamente molecular. Se da en fluidos con
velocidades bajas o viscosidades altas, cuando se
cumple que el número de Reynolds es inferior a
un cierto valor crítico (Recrit= 2.100 en conducciones cilíndricas).
flujo de un fluido. Se aplica a la circulación de un fluido, tanto por el interior de una conducción (“flujo interno”) como alrededor de un cuerpo sumergido (“flujo externo”). También expresa, de forma
cuantitativa, el caudal másico de fluido por unidad
de superficie transversal a la dirección del fluido
(kg/m2s).
flujo plenamente desarrollado. Flujo en el que el perfil de velocidades se ha desarrollado completamente, ocupando toda la sección transversal de la
conducción. Se alcanza a partir de una cierta distancia de la boca o entrada de la conducción (“longitud de entrada”), que habitualmente es igual a
50 veces el diámetro de la propia conducción.
flujo turbulento. Régimen de flujo en el que las partículas de fluido se entremezclan al azar, macroscópicamente, desplazándose con continuos cambios de dirección, aunque en promedio se
mantenga una trayectoria definida. El mecanismo
de transporte turbulento es más efectivo que el
laminar. Se da en fluidos con velocidades altas o
viscosidades bajas, a partir de un cierto valor crítico del número de Reynolds.
número de Reynolds (Re). Número adimensional
representado por la expresión Re = VDρ/µ, siendo V la velocidad media del fluido, D el diámetro
de la conducción, ρ la densidad y µ la viscosidad
del fluido, respectivamente. Físicamente representa el cociente entre las fuerzas de inercia del
fluido en movimiento y las fuerzas de rozamiento
8.1. Generalidades
La circulación o flujo de los fluidos tiene una gran
importancia no sólo en la Ingeniería Química, sino en
todas las ramas de la Ingeniería, hasta el punto de
constituir una disciplina con identidad propia conocida como Mecánica de fluidos. Su estudio es funda-
153
viscoso. Su valor numérico indica si el régimen de
flujo es laminar o turbulento.
pérdida de carga. Pérdida de energía por rozamiento
de un fluido en circulación, expresada como “carga”, es decir, en unidades de longitud (ecuación
[8.19]). Corresponde siempre a una energía perdida, que no puede recuperarse ni convertirse en
energía mecánica.
pérdidas de carga menores. Pérdidas de carga producidas por los “accidentes del flujo”, es decir, por
los estrechamientos, válvulas, codos, uniones, etc.
presentes en las conducciones por las que circula
el fluido. Tienen en general un valor numérico relativamente pequeño, comparado con las pérdidas
de carga ocasionadas por los tramos rectos de conducción, razón por la que se denominan “menores”.
potencia de accionamiento. Potencia realmente consumida en el accionamiento de una bomba o compresor, incluidas las pérdidas por rozamiento de
todo tipo (en el fluido, la bomba o compresor, el
motor que acciona la bomba o compresor, etc.).
velocidad másica. Producto de la velocidad media de
un fluido por su densidad, G = V . ρ. Es una forma de expresar la velocidad del fluido, con la ventaja de que en el caso de los gases, para una conducción de sección transversal constante, se
mantiene invariable, pues representa un flujo másico: G = V . ρ = m/S.
viscosidad. Propiedad física de un fluido (líquido o
gas) que indica su mayor o menor facilidad para
fluir. Es consecuencia del rozamiento que se produce entre las partículas de fluido en movimiento,
por el cual las más rápidas arrastran a las más lentas y las más lentas frenan a las más rápidas. Este
fenómeno da lugar a un perfil curvo de velocidades en un fluido en movimiento sobre una superficie.
mental para comprender y predecir el comportamiento
de líquidos y gases en muy diversas situaciones tanto
de interés práctico, como pueden ser el simple problema de diseñar el sistema de riego de un jardín, o
bombear agua de un pozo, como de interés industrial,
entre las que se podía citar el diseño de un gaseoducto para el transporte de gas natural, las operaciones
154
Introducción a la Ingeniería Química
de filtración y sedimentación en el tratamiento de
aguas residuales, el estudio de los perfiles de cuerpos
aerodinámicos en los túneles de viento o la compresión del nitrógeno y el hidrógeno en una planta de
producción de amoníaco.
Los fundamentos básicos del comportamiento de
los fluidos, en éstos y otros casos, son siempre los mismos, y el objetivo de este capítulo es presentarlos de
forma resumida y ordenada. Se estudiarán, pues, las
características más destacadas del movimiento o circulación de fluidos –Flujo de fluidos–, tanto líquidos
como gases, las pérdidas de energía que se producen
por rozamiento, la potencia necesaria para el flujo, las
formas de medir el caudal y las correspondientes ecuaciones básicas que describen todos estos fenómenos.
Conviene distinguir entre fluido y flujo de fluido,
pues este último se refiere al movimiento o circulación del fluido, cuyas condiciones pueden ser variables, pero no a la naturaleza o propiedades físicas del
fluido, que normalmente permanecen inalteradas aunque varíe el flujo. Así, si el fluido está en reposo, no
existe flujo, lo cual no significa que no haya aspectos
de interés que deban ser estudiados (la parte de la
Mecánica de Fluidos que estudia la variación de la
presión con la posición en un fluido en reposo se denomina Estática de fluidos, y aunque no se abordará
expresamente en este capítulo, sí tiene importancia
en algunos casos concretos).
Sin embargo, resulta de mayor interés el movimiento de gases y líquidos por la acción de las fuerzas
que actúan sobre ellos –Dinámica de fluidos–, es decir,
la variación de la velocidad y la presión del fluido a lo
largo de un recorrido (una conducción cilíndrica, el
interior de un aparato, etc.).
Ambas variables del flujo, velocidad y presión,
están directamente influenciadas por el rozamiento
que el fluido experimenta durante su movimiento, el
cual tiene su origen en las denominadas “fuerzas viscosas” que se oponen al deslizamiento del fluido. Este
fenómeno, que ya fue citado al estudiar el concepto
de viscosidad y la Ley de Newton (capítulo 4), se volverá a considerar ahora con más detalle.
El flujo de fluidos tiene interés en Ingeniería Química tanto en la circulación por el interior de una conducción o aparato (flujo interno), como alrededor de
cuerpos sólidos sumergidos en el seno del fluido (flujo externo), como se indica en la figura 8.1.
En ambos casos, el rozamiento entre sólido y fluido influye decisivamente en la velocidad relativa entre
ambos, pero las ecuaciones que describen las variaciones de presión y la velocidad resultantes son diferentes, por lo que se consideran por separado.
8.2. Viscosidad de los fluidos
Si un fluido circulara entre dos planos paralelos y
su viscosidad fuera nula (µ = 0), es decir, no existiera
rozamiento alguno entre los planos o “láminas” paralelas del fluido en movimiento, todos los elementos
del fluido tendrían la misma velocidad, independientemente de su distancia a los planos, ya que no habría
FIGURA 8.1. Clasificación del
flujo de fluidos según la forma
de circulación del fluido.
Capítulo 8: Introducción al flujo de fluidos
155
FIGURA 8.2. Clasificación
del flujo de fluidos según
su viscosidad (µ).
transporte de cantidad de movimiento (capítulo 4).
Éste es el caso del denominado flujo ideal, que aunque no se da en la práctica, es un modelo de flujo de
referencia, de interés en algunos casos concretos (figura 8.2).
Pero si el fluido que circula tiene una cierta viscosidad (µ), se producirán interacciones moleculares en
el deslizamiento de las láminas, como ya se indicó en
el capítulo 4, de tal manera que unas láminas frenarán a otras (rozamiento viscoso), dando lugar a una
distribución o perfil de velocidades.
Así, en el caso más sencillo de un líquido sobre un
plano horizontal, inicialmente en reposo, y al que se
aplica una fuerza que hace que su superficie (lámina
superior) se deslice con velocidad constante V0 (figu-
ra 8.3), se observa que en el instante inicial (t = 0), sólo
se mueve la lámina superior, estando el resto del fluido en reposo, pero que inmediatamente, por la acción
de las fuerzas viscosas, se produce un efecto de arrastre progresivo entre los planos o láminas del líquido
(transporte de cantidad de movimiento en la dirección r), consecuencia de lo cual se empieza a desarrollar un perfil de velocidades, vx (r). Transcurrido
un tiempo suficiente (tf) se alcanza el régimen estacionario, desarrollándose completamente el perfil de
velocidades (en este caso una distribución lineal):
dv
∆vx V0
∇v = x =
=
= cte.
∆r
dr
L
[8.1]
FIGURA 8.3. Desarrollo de un perfil de velocidades sobre una lámina horizontal.
156
Introducción a la Ingeniería Química
Para que esta situación permanezca, hay que mantener aplicada la misma fuerza F sobre la lámina superior en la dirección x. Esta fuerza referida a la unidad
de superficie (F/A) se denomina tensión rasante o
esfuerzo cortante (τ) y es la que da lugar al transporte de cantidad en movimiento.
De acuerdo con la ecuación anterior, si las tensiones rasantes de rozamiento entre las láminas de
fluido son muy grandes, el gradiente de velocidades
también será mayor. Así, si en el ejemplo citado se
fuerza al líquido a circular con una velocidad doble
(2 V0), el gradiente de velocidades resultante y las
tensiones rasantes de rozamiento también serían el
doble.
Existe, pues, una relación directa entre la tensión
rasante de rozamiento y el gradiente de velocidades
producido, que viene expresada por la ley de Newton,
como ya se vio en el capítulo 4 (ecuación [4.3]):
τ = −µ
dv x
dr
[8.2]
La constante de proporcionalidad µ es, por definición, la viscosidad del fluido, y es una propiedad física del mismo, sólo dependiente de la temperatura y
algo también de la presión. En la figura 8.4 se resumen las unidades de la viscosidad en los sistemas más
habituales.
Algunos valores de la viscosidad de líquidos y gases
a temperatura ambiente se muestran como ejemplo
en el cuadro 8.1. Como puede verse, los valores son
muy diversos, pudiendo variar en 4 o 5 órdenes de
magnitud. Asimismo, en la figura 8.5 se observa la
gran influencia que tiene la temperatura sobre la viscosidad. En el caso de los líquidos, ésta disminuye
fuertemente con la temperatura, mientras que en los
gases, aumenta ligeramente.
FIGURA 8.4. Unidades de la viscosidad en los distintos
sistemas de medida.
Los valores de la viscosidad se pueden determinar,
bien de forma teórica, a partir de la Teoría Cinética, o
bien de forma empírica, a partir de correlaciones en función de la presión y temperatura reducidas. También se
pueden obtener experimentalmente, con distintos tipos
de viscosímetros, la mayoría de ellos basados en hacer
que el fluido circule o se mueva a través de un estrechamiento y estableciendo la relación entre la pérdida
CUADRO 8.1
Viscosidad de algunos líquidos y gases a temperatura ambiente (20 °C)
 kg 
µ 

 m⋅ s
 kg 
µ 

 m⋅ s
Metano
1,09 · 10–5
mercurio (l.)
1,55 · 10–3
Aire
1,81 · 10–5
n-butanol
2,95 · 10–3
Éter (C2H5)2O
2,45 · 10–4
H2 SO4 (98%)
2,65 · 10–2
Acetona
3,45 · 10–4
aceite de linaza
4,5 · 10–2
Benceno
6,47 · 10–4
etilenglicol
5,1 · 10–2
Agua
1,00 · 10–3
glicerina
1,07
Capítulo 8: Introducción al flujo de fluidos
157
de presión que experimenta el fluido y el caudal (ecuación de Poiseuille, apartado 8.6). Con frecuencia se
miden también las viscosidades de líquidos en viscosímetros rotatorios de tubos concéntricos, uno fijo y uno
giratorio, entre los que se encuentra el fluido, y en los
que se relaciona la fuerza que se aplica para la rotación
con la velocidad angular resultante, dependiente de la
viscosidad. También se utilizan viscosímetros de esfera, dispositivos en que se deja caer una esfera en el seno
del líquido, hasta alcanzar velocidad constante, aplicándose la ecuación de Stokes (ecuación [9.4]).
8.3. Clasificación de los fluidos
FIGURA 8.5. Variación de la viscosidad de algunos gases
y líquidos con la temperatura (tomado de Welty, J. R., Wicks,
C. E. y Wilson, R. E.).
FIGURA 8.6. Viscosidad en
los fluidos newtonianos.
No todos los fluidos cumplen la ley de Newton,
ecuación [8.2], sino sólo algunos: los gases y los líquidos de bajo peso molecular. Este tipo de fluidos, en
los que las tensiones rasantes son siempre directamente proporcionales al gradiente de velocidades, se
conocen como fluidos newtonianos. Para ellos, la constante de proporcionalidad en la ecuación [8.2] es la
viscosidad del fluido, como ya se ha dicho. En la figura 8.6 se representa la ley de Newton correspondiente a estos fluidos y las tensiones rasantes resultantes
τ (z), en régimen laminar. Como puede observarse,
dicha tensión rasante es nula en el centro, correspondiente a (vx)max y máxima en las paredes, donde el
valor (dvx / dz) es máximo.
158
Introducción a la Ingeniería Química
Hay, sin embargo, una gran variedad de fluidos de
naturaleza compleja, como los líquidos de elevado
peso molecular, mezclas de líquidos, suspensiones,
emulsiones, etc., que no se comportan de acuerdo con
la ley de Newton, por lo que se conocen como fluidos
no newtonianos. En estos casos, la tensión rasante no
varía linealmente con el gradiente de velocidades, por
lo que tampoco puede hablarse de la viscosidad del
fluido como propiedad física del mismo, sino en todo
caso de una viscosidad aparente (µa), variable con la
tensión rasante.
En la figura 8.7 se presentan varios casos de fluidos no newtonianos, que se comentan a continuación:
• Fluidos pseudoplásticos. Su viscosidad aparente
disminuye al aumentar el gradiente de velocidad. Se comportan así la pulpa del papel, los
polímeros líquidos, la mahonesa y las mermeladas.
• Fluidos dilatantes. Su viscosidad aparente
aumenta con el gradiente de velocidad. Por
ejemplo, las suspensiones de almidón, la goma
arábiga, etc.
 dv 
µa = f  x  ≠ cte.
 dz 
[8.4]
La función [8.4] puede describirse a menudo de
forma potencial (ley de la potencia), de acuerdo con
el modelo de Ostwald de Waele:
 dv 
µ a = m x 
 dz 
n–1
[8.5]
Como puede observarse, para los fluidos pseudoplásticos resulta n < 1, mientras que para los dilatantes, n > 1. A su vez, la ecuación [8.5] conduce a la propia ley de Newton cuando n = 1, resultando m = µ.
Tanto en estos tipos de fluidos no newtonianos,
como en los newtonianos, el fluido se deforma continuamente bajo la acción de las tensiones rasantes. Sin
embargo, hay otros fluidos, denominados “plásticos”,
en los que la deformación no se produce hasta que se
alcanza un valor mínimo de la tensión rasante:
• Fluidos plásticos ideales o plásticos de Bingham. Hasta que las fuerzas rasantes no alcanzan el valor crítico τ0, no hay deformación del
fluido, pero a partir de ese valor el fluido se
comporta como newtoniano. Pertenecen a este
grupo las suspensiones de arcilla en agua, las
suspensiones de penicilina, etc.
• Fluidos plásticos reales. Son análogos a los anteriores, pero no siguen un comportamiento newtoniano a partir del valor crítico τ0.
En la figura 8.8 se representan los perfiles de velocidad y esfuerzos cortantes de los fluidos plásticos.
FIGURA 8.7. Tipos de fluidos no newtonianos.
La ecuación equivalente a la ley de Newton que
podría aplicarse a los fluidos pseudoplásticos y dilatantes sería:
τ = – µa
siendo:
dv x
dz
[8.3]
FIGURA 8.8. Perfiles de velocidad y esfuerzos cortantes
de los fluidos plásticos.
Capítulo 8: Introducción al flujo de fluidos
Finalmente, existen fluidos en los que la viscosidad aparente también depende del tiempo de aplicación de los esfuerzos cortantes. Así, en la figura 8.9 se
esquematizan dos ejemplos:
• Fluido tixotrópico. Su viscosidad aparente disminuye con el tiempo. Ejemplos: pinturas y
barnices.
• Fluido reopéctico. Su viscosidad aparente
aumenta con el tiempo. Ejemplos: algunas suspensiones de arcillas y algunos coloides.
En ambos casos, al decrecer las tensiones rasantes, se observa un ciclo de histéresis, lo que pone en
evidencia que en el fluido se producen cambios en su
estructura interna, probablemente en la configuración
de las macromoléculas o partículas que lo constituyen. El tipo de interacciones que se producen entre
los constituyentes de los fluidos complejos es muy
variable, lo que da lugar a una amplia gama de comportamientos.
La ciencia que estudia el comportamiento de los
fluidos no newtonianos, su flujo y su deformación se
denomina Reología.
8.4. Flujo laminar y flujo turbulento
Como ya se indicó en el capítulo 4 al comentar los
mecanismos de los fenómenos de transporte, las condiciones de circulación de un fluido pueden ser dis-
159
tintas, diferenciándose entre régimen laminar y régimen turbulento. En régimen laminar, las partículas de
fluido circulan en trayectorias paralelas, no hay mezcla macroscópica del fluido, y el único mecanismo de
transporte de materia, energía y cantidad de movimiento es el transporte molecular (apartado 4.2); por
el contrario, en régimen turbulento, las partículas y
porciones macroscópicas de fluido (que circulan a
mayor velocidad) se entremezclan al azar, desplazándose en todas direcciones, por lo que el transporte
ahora tiene una contribución adicional superpuesta al
transporte molecular, que es la dominante: transporte turbulento.
El experimento de Reynolds en 1883 puso de
manifiesto la existencia de estos dos regímenes, haciendo circular un líquido por una conducción de vidrio,
al que inyectaba –en el centro de la misma– una fina
vena del mismo líquido coloreado, observando la permanencia de dicha vena a lo largo de la conducción
(figura 8.10).
Así, a velocidades bajas del líquido (V1), el régimen era laminar, pues la vena coloreada mantenía
su propia identidad. Su escaso ensanchamiento se
debía únicamente al transporte molecular por difusión en la dirección radial. A velocidades mayores
(V2), la vena se hacía más inestable y se ensanchaba
más rápidamente, y a velocidades aún superiores
(V 3), la vena coloreada se deshacía casi instantáneamente, perdiendo su identidad y ocupando el
colorante toda la sección de paso de la conducción
por acción de los remolinos: se había alcanzado el
régimen turbulento.
FIGURA 8.9. Fluidos no newtonianos: a) tixotrópico, b) reopéctico.
160
Introducción a la Ingeniería Química
FIGURA 8.10. Regímenes de circulación de un fluido.
Experimento de Reynolds.
Reynolds definió un número adimensional, que
lleva su nombre, y que reúne las variables que determinan cuándo existe régimen laminar o régimen turbulento:
VDρ
Re =
µ
siendo V la velocidad media del fluido (cociente entre
el caudal volumétrico y la sección de paso), D el diámetro de la conducción, ρ la densidad y µ la viscosidad del fluido. Físicamente el número de Reynolds
representa el cociente entre las fuerzas de inercia y
las fuerzas de rozamiento viscoso (capítulo 5, cuadro
resumen 5.1). Aunque la velocidad crítica para la que
el régimen deja de ser laminar puede ser distinta,
según el fluido y la conducción de que se trate, el
valor crítico correspondiente del número de Reynolds
es siempre el mismo (Rec = 2.100 para conducciones
cilíndricas) y permite, por tanto, generalizar de la
siguiente manera:
Re < 2.100
2.100 < Re < 10.000
Re > 10.000
Régimen laminar
Régimen de transición
Régimen turbulento
En la zona de transición puede mantenerse en ocasiones el régimen laminar de forma metaestable, pero
cualquier alteración hace que se pierda y pase a ser
turbulento. Asimismo, el régimen turbulento se empieza a desarrollar para valores bajos del número de Reynolds en la zona de transición, si bien no se desarrolla
completamente hasta alcanzar el valor Re = 10.000.
Por encima de 10.000 es imposible que exista régimen
laminar y por debajo de 2.100 es imposible que exista
régimen turbulento, siempre en conducciones cilíndricas. Sin embargo, es importante señalar que, para
regímenes claramente turbulentos, persiste en las proximidades de las superficies de contacto (paredes de
la conducción) una fina película de fluido donde el régimen continúa siendo laminar, denominada subcapa
laminar (figura 8.11). Esta subcapa, ya mencionada en
el apartado 4.5.1, es la que ofrece la mayor resistencia
al transporte de las tres propiedades extensivas, lo que
resulta de gran importancia en los transportes de materia y de energía.
Finalmente, de forma comparativa se incluyen los
perfiles de velocidad característicos del régimen laminar y del turbulento, para conducciones cilíndricas de
paredes lisas:
— Régimen laminar:
  r 2
vx = vmax  1 –   
  R 


[8.6]
— Régimen turbulento:
 R –r
vx = vmax 

 R 
1/ n
[8.7]
con los siguientes valores de n:
Re = 4.000
Re = 10.000
Re = 3,2 · 106
n=6
n=7
n = 10
Esta última ecuación, conocida como Ley de la
potencia, es empírica, y proporciona perfiles de velocidad ligeramente diferentes según sea el valor del
número de Reynolds. Habitualmente se toma el valor
n = 7, cuando no se requiere mucha precisión.
Existen otras ecuaciones más desarrolladas para los
perfiles de velocidad en régimen turbulento, como la
Capítulo 8: Introducción al flujo de fluidos
denominada distribución universal de velocidades,
pudiendo encontrarse fácilmente en la bibliografía.
Por otro lado, como se observa en la figura 8.11,
la relación entre la velocidad media (V) y la velocidad
máxima (vmax) es muy distinta en régimen laminar y
en régimen turbulento, pues en este último caso el perfil de velocidades es mucho más aplastado y dicha relación se aproxima más a la unidad.
8.5. Ecuaciones básicas en el flujo
interno de fluidos
La circulación de un fluido por el interior de una
conducción se produce siempre con una pérdida de
energía por rozamiento, debida a la propia viscosidad del fluido, como ya se ha indicado. El flujo en
estas circunstancias, denominado flujo viscoso, se
caracteriza por presentar un gradiente de velocidades análogo al descrito en el apartado anterior y una
disipación de energía por rozamiento que, de no ser
repuesta mediante algún mecanismo externo (bom-
161
ba, compresor, etc.), haría que el fluido perdiera energía cinética, presión o alguna otra forma de energía
asociada al flujo, llegando incluso a impedir su circulación.
El cálculo de las pérdidas de energía por rozamiento viscoso y de la potencia necesaria para impulsar a los fluidos a fin de compensar los efectos del rozamiento son factores clave para el adecuado diseño y
funcionamiento de cualquier instalación por donde
han de circular líquidos o gases.
Las ecuaciones fundamentales que permiten el
estudio y comprensión del comportamiento de los fluidos en circulación son: los balances de materia, los
balances de energía y las leyes de rozamiento. Todas
ellas se verán de forma resumida a continuación.
8.5.1. Balance de materia
Para un fluido que circula en régimen estacionario por el interior de una conducción, con posible
intercambio de calor o energía mecánica con el exterior, el balance de materia aplicado a las secciones de
entrada y salida, de acuerdo con la figura 8.12, es el
siguiente:
m1 = m2 ∴ V1 S 1 ρ 1 = V2 S 2 ρ 2 (kg/s)
[8.8]
siendo V la velocidad media, S la sección transversal
de paso y ρ la densidad del fluido. Si ésta puede suponerse constante (flujo incompresible), se tendrá:
V1 S 1 = V2 S 2 ∴ Qv2 = Qv2 (m 3 /s)
[8.9]
balance que establece la igualdad de caudales volumétricos. Si se tratara de un gas en condiciones de flujo compresible (ρ ≠ cte., V ≠ cte.), es evidente que el
caudal volumétrico no se conserva.
En estos casos, y cuando las secciones transversales son iguales (conducción cilíndrica, etc.), se puede
establecer:
m1 m2
=
∴ V1 ρ1 = V1 ρ1 ∴ G1 = G 2
S1
S2
FIGURA 8.11. Perfiles de velocidad en régimen laminar
y turbulento. Detalle de la subcapa laminar.
[8.10]
El producto V · ρ se conoce como velocidad másica (G), por lo que el balance de materia en este caso
se expresa igualando dichas velocidades másicas.
162
Introducción a la Ingeniería Química
2
2
1
(Ve 2 − Ve 1 ) =
2
= Q + W ( J/kg )
H 2 − H 1 + g( z2 − z1 ) +
[8.12]
ecuación coincidente con la [7.10]. El término Ve representa la denominada velocidad eficaz, que no coincide necesariamente con la velocidad media, V.
La velocidad eficaz se define en función de la energía cinética, mientras que la velocidad media se define en función del caudal volumétrico:
FIGURA 8.12. Sistema de flujo interno con intercambio
de energía con el exterior.
Ec =
1
mVe2 ( J/s )
2
Qv = VS (m3 /s)
8.5.2. Balance de energía total
Supóngase el mismo esquema de la figura 8.12,
pudiendo el fluido intercambiar calor (Q) o energía
– –
mecánica (N) con el exterior. Si se expresa por H, e,
– –
φ y k la entalpía, la energía interna, la energía potencial y la energía cinética medias (por unidad de masa
del fluido), respectivamente, de la forma:

P
H =e+
( J/kg) 
ρ


φ = g∆z ( J/kg ) 

1
k = Ve2 ( J/kg ) 
2

Estas dos velocidades, coincidentes cuando el perfil de velocidad es plano, no coinciden, sin embargo,
cuando es curvo. La relación entre ambas se deduce
fácilmente al calcular las magnitudes, Ec y Qv, por integración a partir de un elemento diferencial de área
transversal (figura 8.13).
dE c =
1
1
d ( mv 2 ) = ( ρv 2πrdr )v 2 = πρrv 3 dr
2
2
Ec =
[8.11]
el balance de energía general visto en el capítulo 7
(ecuación [7.7]), se podrá expresar:
∫
R
0
πρv 3rdr
por otro lado:
Ec =
1
( ρVeπR 2 )Ve2
2
FIGURA 8.13. Elemento diferencial
del perfil de velocidades.
Capítulo 8: Introducción al flujo de fluidos
igualando ambas expresiones:

 R
3
 0 π ρ v rdr 
Ve = 

 1 ρVπR 2 

 2
163
igual a la unidad cuando v = cte. = V, situación que
correspondería a un flujo muy turbulento. Si el flujo
es laminar, es fácil comprobar que resultaría α = 0,5.
Para situaciones intermedias –régimen de transición–
resultarían valores de 0,5 < α < 1, como se muestra en
la figura 8.14.
La ecuación [8.14] representa el balance de energía total en el sistema de flujo, incluyendo tanto los
términos de energía mecánica como los términos caloríficos (H, Q).
1/ 2
∫
Y para la velocidad media
R
∫ vdS = ∫ 2πrvdr
V=
0
πR 2
S
Como se observa, las expresiones de Ve y V no son
coincidentes salvo que sea v = cte. = V, es decir, para
un perfil plano de velocidades.
Por tanto, para utilizar la ecuación [8.12] se hace
necesario definir un nuevo parámetro (α) que relaciona la velocidad eficaz con la velocidad media:
α=
V2
Ve2
[8.13]
con lo que dicha ecuación [8.12] quedaría finalmente
de la forma:
V2
V2
H 2 − H1 + g( z2 − z1 ) + 2 − 1 = Q + W [8.14]
2α 2 2α1
El parámetro α, cuyos valores pueden determinarse a partir de las ecuaciones integrales de V y Ve
(conociendo el perfil de velocidades, v(r)), sólo será
8.5.3. Balance de energía mecánica:
ecuación de Bernouilli
Es frecuente el caso de un sistema abierto en régimen estacionario, en el que sólo se intercambia energía mecánica con el exterior, siendo nulos los intercambios caloríficos (figura 8.12, Q = 0). Para un
sistema en estas condiciones se puede aplicar el teorema de las fuerzas vivas –una de las leyes fundamentales de la Mecánica–, que establece: “En un sistema en movimiento, la variación de energía cinética
es igual a la suma del trabajo realizado sobre el sistema por las fuerzas exteriores (Te) y del trabajo realizado por las fuerzas interiores (Ti)”. Es decir:
 V2
V2 
∆E c = m 2 – 1  = Te + Ti (J/s)
 2α 2 2α1 
[8.15]
Las fuerzas exteriores que realizan un trabajo
sobre el sistema serán las debidas a la gravedad (g), a
la presión (P) y a la acción de una bomba, turbina o
similar (N). Por tanto:
Te = mg( z1 − z2 ) + P1Qv1 − P2Qv2 + N ( J/s ) [8.16]
siendo N > 0 si el fluido gana energía (bomba) y
N < 0 si la pierde (turbina).
Por otro lado, las fuerzas interiores que actúan
sobre un elemento de fluido (figura 8.15) pueden desdoblarse en fuerzas normales, que realizarán un trabajo compresión/expansión (Tn) y fuerzas rasantes o
tangenciales, que implicarían un trabajo de fricción o
rozamiento (Tµ). Estas últimas son las denominadas
fuerzas viscosas, pues tienen su origen en la viscosidad del fluido, como ya se indicó. Por tanto:
FIGURA 8.14. Valoración del parámetro α = V2/Ve2
con el número de Reynolds, Re = VDρ/µ.
Ti = Tn + Tµ = Tn − mΣF ( J/s )
[8.17]
164
Introducción a la Ingeniería Química
FIGURA 8.15. Trabajo que realizan las fuerzas interiores
sobre un elemento de fluido.
Como se observa, es habitual representar la
suma de las fuerzas rasantes de rozamiento viscoso
Tµ por unidad de masa (ΣF), siendo m el caudal másico
(Tµ = –mΣF). El signo negativo corresponde a que en
este caso se trata de un trabajo cedido siempre al exterior, pues siempre hay pérdida por rozamiento, no
ganancia.
Sustituyendo las ecuaciones [8.16] y [8.17] en la
expresión de la energía cinética [8.15] y, considerando el flujo incompresible (Tn = 0), se obtiene:


m
−
 = mg( z1 – z2 ) + P1Qv2 –
 2α 2 2α 1 
V22
V12
[8.14] no aparecen ni la entalpia (H) ni el término calorífico (Q). La ecuación establece que entre las secciones 1 y 2 del sistema considerado, las variaciones
de energía cinética, energía potencial y presión, y la
energía perdida por rozamiento por cada kg de fluido, se compensan con la aportación de trabajo mecánico desde el exterior (caso de la bomba) o hacia el
exterior (caso de la turbina), según las situaciones. En
cualquier caso, y en el recinto considerado, se conserva la energía mecánica total.
Es importante resaltar que esta forma de la ecuación de Bernouilli sólo es aplicable si el flujo es incompresible, siendo ρ1 = ρ2 = ρ. Para el caso de flujos compresibles (operaciones de compresión de gases, etc.)
al ser Tn ≠ 0, el término correspondiente a ∆P / ρ debe
obtenerse por integración, a partir de la ecuación de
Bernouilli en su forma diferencial, como se verá más
adelante.
Si todos los términos de la ecuación [8.18] se dividen por la aceleración de la gravedad g (m/s2), quedan expresados en unidades de longitud, denominadas cargas:
 V22
V12 
 2α g – 2α g  + ( z2 – z1 ) +
 2
1 
+
P2 – P1 ΣF W
+
=
(m)
ρg
g
g
[8.19]
P2 P1
–
+ ΣF = W (J/kg) [8.18]
ρ2 ρ1
las tres primeras son la carga cinética, la carga
potencial y la carga de presión, respectivamente.
Estos tres términos, tanto individual como conjuntamente, indican las cantidades que pueden convertirse directamente para producir energía mecánica. Sin embargo, Σ F/ g se denomina pérdida de
carga, pues el rozamiento supone siempre una energía perdida, que nunca puede convertirse en energía mecánica.
Es conveniente indicar, al aplicar la ecuación de
Bernouilli, que deben elegirse convenientemente las
secciones 1 y 2 del sistema en estudio, pues en muchos
casos algunos de los términos pueden anularse. El
ejemplo siguiente es ilustrativo.
Esta expresión se conoce como ecuación de Bernouilli para flujos estacionarios, isotermos e incompresibles (todos los líquidos y algunos gases en determinadas condiciones) y representa el balance de
energía mecánica, ya que a diferencia de la ecuación
Ejemplo 8.1. Obténgase una expresión simplificada para la velocidad con que sale el líquido de
un tanque como el representado en la figura, suponiendo régimen estacionario.
– P2Qv2 + N – mΣF (J/s)
o bien, dividiendo por el caudal másico, m, y llamando W = N/m al trabajo realizado por la bomba o la turbina por unidad de masa de fluido (J/kg), la ecuación
anterior resultará:
 V22
V12 
−
 2α
 + g( z2 – z1 ) +
 2 2α 1 
+
Capítulo 8: Introducción al flujo de fluidos
165
en las que también aparecen las propiedades del fluido y los parámetros geométricos de la conducción o
sistema de que se trate. Las ecuaciones utilizadas varían según que el régimen sea laminar o turbulento:
• Régimen laminar. Se utiliza la conocida ecuación de Poiseuille:
∆P 32 µV
( Pa/m)
=
L
D2
Solución:
Tratándose de un líquido, puede aplicarse la
ecuación de Bernouilli [8.18], entre las secciones
① y ② de la figura. En este caso, al no existir trabajo mecánico (no hay bomba o máquina equivalente) W = 0. Además, el término de rozamiento
ΣF será muy pequeño, prácticamente despreciable frente a los restantes términos de la ecuación,
pues la velocidad del líquido dentro del tanque es
insignificante (V1 = 0) y las pérdidas de rozamiento menores en la boca de descarga son muy pequeñas. Por tanto, considerando además régimen turbulento en el flujo de salida (α = 1), se tendrá:
V22
P − P1
− g( z2 − z1 ) + 2
=0
2α 2
ρ
Teniendo en cuenta, además, que la presión en
ambas secciones abiertas a la atmósfera son iguales (P1 = P2 = Patm), la velocidad de salida resultante será:
V2 = 2 gh
que, como se observa, es independiente de las propiedades del líquido y de la geometría del tanque.
8.6. Pérdidas de energía por rozamiento
El término de energía perdida por rozamiento que
experimenta el fluido, como consecuencia de su viscosidad, puede tener mucha importancia en la ecuación de Bernouilli. Su cálculo se realiza en función de
la velocidad del fluido, de acuerdo con las expresiones
[8.20]
que expresa la pérdida de presión, por unidad
de longitud, debida al rozamiento de un fluido
de viscosidad µ que circula con velocidad media
V por una conducción cilíndrica de diámetro
D. Expresada en las unidades de la ecuación
de Bernouilli [8.18], sería:
ΣF =
∆P 32 µVL
=
( J/Kg )
ρ
ρD 2
[8.21]
La ecuación de Poiseuille se deduce fácilmente de un balance de cantidad de movimiento en la conducción cilíndrica y de la relación de
velocidades que corresponde al régimen laminar, V/vmax = 0,5 (figura 8.11). Debe recordarse
que su validez se limita a las condiciones de fluido newtoniano, régimen laminar y estacionario,
flujo incompresible y plenamente desarrollado.
• Régimen turbulento. En este caso es preciso
recurrir a una ecuación empírica, que puede
obtenerse por análisis dimensional (capítulo
5), ya que en régimen turbulento no se puede
hacer como en régimen laminar una deducción
analítica a partir del balance de cantidad de
movimiento.
La expresión utilizada se conoce como
ecuación de Fanning:
∆P
ρV 2
( Pa/m)
= 2f
L
D
[8.22]
ρV 2 L
(Pa)
D
[8.23]
∴ ∆P = 2 f
en la que f representa el denominado factor de
rozamiento, parámetro empírico que depende
de las propiedades del fluido, de la velocidad
de éste y del diámetro y rugosidad interna de
166
Introducción a la Ingeniería Química
la conducción. Este parámetro representa en
realidad un coeficiente de transporte de cantidad de movimiento, como ya se indicó en el
capítulo 4. Si se expresa la ecuación anterior
en energía por unidad de masa de fluido en vez
de unidad de longitud, se tiene:
ΣF =
∆P
V 2L
= 2f
( J/Kg )
D
ρ
[8.24]
nueva forma de la ecuación de Fanning que
permite su inclusión en la ecuación de Bernouilli [8.18]. El uso de la ecuación de Fanning
puede hacerse de forma generalizada, con independencia del tipo de régimen, ya que en régimen laminar no habría más que darle al factor
de rozamiento la expresión resultante de igualar las ecuaciones [8.21] y [8.24]:
f =
16 µ
16
=
VDρ Re
[8.25]
La anterior ecuación está de acuerdo con los resultados experimentales y es la manifestación de que los
efectos viscosos en el fluido eliminan cualquier irregularidad en el flujo producida por la rugosidad superficial de la conducción.
En régimen turbulento, las expresiones del factor
de rozamiento son más complejas, y son función no
sólo del número de Reynolds, sino también de la rugosidad de la superficie interna de la conducción (figura 8.16), dependiente a su vez del tipo de material,
como se verá a continuación.
Ejemplo 8.2. Dedúzcase, aplicando la técnica del
análisis dimensional, una expresión general para
el factor de rozamiento en conducciones rectas,
cilíndricas, con flujo turbulento e incompresible.
Solución:
Las variables significativas y sus respectivas
dimensiones son las siguientes (capítulo 4):
Caída de presión
∆P
[M/Lt2]
Velocidad
V
[L/t]
D
L
ε
[L]
[L]
[L]
ρ
µ
[M/L3]
[M/Lt]
Conducción
{
Diámetro
Longitud
Rugosidad
Propiedades
del fluido
{
Densidad
Viscosidad
Considerando que hay dos factores de forma,
L ε
,
D D
el análisis dimensional conduce a los siguientes
grupos adimensionales:
 VDρ L ε 
∆P
,
, 
= φ
2
D D
 µ
ρV
↓
↓
↓
Euler
Reynolds
Rugosidad
relativa
Experimentalmente se observa que la caída de
presión es siempre directamente proporcional a la
razón L/D, por lo que ésta puede incluirse en el
primer término de la ecuación, quedando:
FIGURA 8.16. Rugosidad interna de una conducción (ε).

ε
∆PD
= φ  Re, 

D
ρV 2 L
Capítulo 8: Introducción al flujo de fluidos
La función φ , que depende solamente del
número de Reynolds y de la rugosidad relativa,
se designa como 2f, doble del valor del factor de
rozamiento, por lo que la ecuación queda finalmente:
∆P = 2 f
ρV 2 L
D
que es coincidente con la ecuación de Fanning.
8.6.1. Cálculo del factor de rozamiento
Así como en régimen laminar el factor de rozamiento (por otro lado innecesario, si se utiliza directamente la ecuación de Poiseuille [8.21]), se calcula de
forma inmediata y sencilla a partir de la ecuación [8.25]
en función exclusivamente del número de Reynolds,
en régimen turbulento la función 2f = φ (Re, ε/D) debe
obtenerse experimentalmente, y expresarse en forma
de correlaciones que incluyen la rugosidad del material de conducción.
Existen diversas correlaciones, tanto gráficas como
matemáticas, para el factor de rozamiento en conducciones cilíndricas, aunque aquí sólo se presentarán las dos más usuales.
A) Correlación gráfica de Moody
Los datos experimentales de numerosos autores,
obtenidos con distintos valores de las variables V, ρ,
µ, L, D y ε, fueron representados por Moody (1944)
de forma gráfica, resultando las curvas presentadas en
la figura 8.17.
Dicha gráfica permite calcular el factor de rozamiento, conocido el número de Reynolds, y la rugosidad relativa ε/D. Ésta se determina también a
partir de datos experimentales, representados gráficamente como se indica en la figura 8.18, para cada
tipo de material y diámetro de la conducción. Debe
tenerse en cuenta que la rugosidad relativa ε/D puede variar considerablemente con el paso del tiempo; sobre todo si hay abrasión o depósitos de materiales en las paredes. En este caso, su determinación
se hace difícil.
Para tubos hidráulicamente lisos (ε = 0), el factor
de rozamiento es mínimo (curva inferior de la figura
167
8.17), mientras que para tubos rugosos el factor de
rozamiento en régimen turbulento es mayor, por lo
que la pérdida de presión para un mismo caudal sería
también mayor. Obsérvese que todas las curvas tienden a un valor asintótico de f para valores elevados
del número de Reynolds.
En la figura 8.17 también se ha representado la
ecuación [8.25] para régimen laminar, que correspondería a una recta. Su validez sólo puede asegurarse hasta Re = 2.100, pues por encima de este valor
se entra en la zona de transición donde el régimen
laminar es generalmente inestable (línea de puntos).
Cuando las conducciones no son circulares, se
puede utilizar generalmente el concepto de diámetro equivalente (De), que se describe en el apartado
8.6.3. Sin embargo, esta simplificación no es recomendable en régimen laminar.
B) Ecuación de Chen
Entre las diversas ecuaciones empíricas para el
cálculo de f, una de las más utilizadas es la ecuación
de Chen, válida para régimen turbulento:
 1

ε 5, 0452
= 4 log
−
log( a + b )
3
,
7065
D
Re


f
1
[8.26]
siendo:
a=
1 ε
 
2, 8257  D 
1, 1098
b = 5,8506 . Re–0,8981
[8.27]
[8.28]
8.6.2. Pérdidas de carga menores
La pérdida de carga calculada con la ecuación de
Fanning [8.24] es solamente parte de la pérdida de carga total que produce el rozamiento de los fluidos en
las conducciones y circuitos de flujo, pues corresponde sólo a los tramos rectos de tubería.
Existen además otras pérdidas de carga adicionales debido a la presencia de válvulas, codos, empalmes y otros diversos accesorios que provocan un cam-
FIGURA 8.17. Factor de rozamiento en función del número de Reynolds (Re) y de la rugosidad relativa (ε/D). Gráfico de Moody (tomado de Moody,
L. F., Trans, ASME (1944), 66, 671).
168
Introducción a la Ingeniería Química
Capítulo 8: Introducción al flujo de fluidos
bio de dirección del flujo o de la sección transversal
de paso de fluido. A estos accesorios se les denomina habitualmente accidentes del flujo y su contribución total a la pérdida de carga puede llegar a ser
muy considerable, aunque individualmente considerados sea pequeña, de ahí el nombre de “pérdidas
menores”.
El valor de estas pérdidas de carga menores es función de la geometría del accesorio, de la rugosidad de
la superficie y de la energía cinética del fluido, pudiéndose expresar de la forma:
ΣFmen =
∆Pmen
V2
=K
ρ
2
(J/Kg)
[8.29]
169
donde K es una constante característica de cada accidente del flujo. En el cuadro 8.2 se recogen los valores de K para algunos casos concretos.
Las pérdidas de carga menores también pueden
calcularse utilizando la propia ecuación de Fanning,
cuando el flujo es muy turbulento, introduciendo el
concepto de longitud equivalente (Le):
ΣF = 2 f
V 2 Le
D
[8.30]
CUADRO 8.2
Constantes y longitudes equivalentes de los accidentes
de flujo (ecs. [8.29] y [8.30])
Accidente
K
Válvula de asiento (tot. abierta)
Válvula de compuerta (tot. abierta)
(3/4 abierta)
(1/2 abierta)
(1/4 abierta)
Válvula en ángulo (tot. abierta)
Codo estándar de 90o
Codo de gran radio de 90o
Codo de pequeño radio de 90o
Codo estándar de 45o
“Te” entrada central
“Te” entrada lateral
Uniones y acoplamientos
7,5
0,15
0,85
4,4
20
3,8
0,75
0,4
0,9
0,35
1,5
0,4
0,05
Le/D
350
7
40
200
900
170
32
20
41
15
67
20
2,0
La longitud equivalente es la longitud de conducción recta que produciría la misma pérdida de
carga que el accidente correspondiente. Si hay varios,
en la ecuación [8.30] deberá incluirse la suma de
todos ellos, (Le)TOT. Los valores de la longitud equivalente en cada accidente del flujo se encuentran
tabulados en función del tipo de accidente y diámetro de la conducción (cuadro 8.2). También existen
ábacos más generales, como el representado en la
figura 8.19.
8.6.3. Diámetro equivalente
FIGURA 8.18. Rugosidades relativas de conducciones cilíndricas de diferentes materiales (tomado de Moody, L. F.,
Trans. ASME (1944), 66, 671).
Las anteriores ecuaciones han sido deducidas para
tuberías de sección circular. Pero también pueden
170
Introducción a la Ingeniería Química
FIGURA 8.19. Longitudes equivalentes de los accidentes del flujo (tomado de Vián, A. (1997):
Elementos de Ingeniería Química, Aguilar, Madrid).
aplicarse en situaciones en que la sección sea distinta, como en el caso de las conducciones de aire acondicionado (sección cuadrada o rectangular), cambiadores de calor de tubos concéntricos (sección
anular entre los tubos concéntricos), etc. Para ello,
es preciso sustituir en las ecuaciones el diámetro de
la conducción circular por el denominado diámetro
equivalente de la conducción no circular, que se define como:
De = 4
sección transversal del flujo
A
=4
perímetro mojado
Pm
[8.31]
La relación entre la sección transversal que ocupla el flujo y el perímetro mojado por éste se conoce
como radio hidráulico, (Rh):
Rh =
A
Pm
[8.32]
Es fácil comprobar que esta definición del diámetro equivalente conduce al diámetro D para las conducciones circulares. En otros casos frecuentes se
obtienen expresiones sencillas, como se indica en la
figura 8.20.
Capítulo 8: Introducción al flujo de fluidos
171
Solución:
Se podrá aplicar la ecuación de Bernouilli [8.18]
entre las secciones 1 y 2, ambas abiertas a la atmósfera, por lo que P1 = P2 = Patm. Además, al suponer
que el nivel de líquido en el lago no se mueve, será
V1 ∼– 0.
La velocidad del líquido en la conducción será:
V=
Q (100 ⋅ 10 −3 )/ 60
=
= 3, 59 (m/s)
S π
( 2, 43 ⋅ 10 −2 ) 2
4
y por tanto, Re = 8,72 ⋅ 104.
Para esta conducción de acero comercial resulta ε /D = 0,0019, por lo que del gráfico de Moody
(figura 8.17) se tiene:
4f = 0,0255
FIGURA 8.20. Diámetros equivalentes de conducciones
de sección no circular.
Aplicando la ecuación de Fanning [8.24] quedará:
V 2 (L + Le )
=
D
0, 0255 ( 3, 59 ) 2 ( 40 + 6 )
= 311 (J/Kg)
=
2
2, 43 ⋅ 10 −2
ΣF = 2 f
Ejemplo 8.3. Un lago abastece de agua a un depósito situado a 10 m por encima del nivel del lago.
Ha de suministrarse un caudal de 100 l/min, disponiéndose de una conducción cilíndrica de acero comercial de 1 pulgada de diámetro (diámetro
interno 2,43 cm).
y, por tanto, sustituyendo en la ecuación de Bernouilli:
V22
+ g( z2 − z1 ) + ΣF = W
2α 2
( 3, 59 ) 2
+ 9, 8(10 ) + 311 = W
2
∴ 6, 44 + 98 + 311 = W
∴ W = 415 ( J/Kg)
Por tanto, la potencia teórica que habrá de
suministrar la bomba, será:
Si las pérdidas de energía por rozamiento en
los codos, uniones y válvulas existentes equivalen
a 6 m de longitud equivalente y la longitud de la
conducción recta es de 40 m, calcular la potencia
necesaria que ha de suministrar la bomba.
N = W ⋅ m = W ⋅ Qv ⋅ ρ =
 100 ⋅ 10 −3 
3
= ( 415 )
 (10 ) = 692 W
60


172
Introducción a la Ingeniería Química
Ejemplo 8.4. Se desea calcular la pérdida de carga que se producirá en una instalación constituida
por una conducción de acero de 150 m de longitud y 6,35 cm de diámetro interno, en la que existen 2 válvulas de compuerta medio abiertas, 10
uniones y 4 codos de 90 º de radio medio. El caudal de agua que circula es de 0,57 m3/min.
Para este caudal, resultan:
Re =
] ( 32)
2
=
= 55, 4 (J/kg)
Por tanto, la pérdida de carga total será:
ΣF = 212,6 + 55,4 = 268 (J/kg)
o bien,
Solución:
V =
[
ΣFmen = 2( 4, 4 ) + 10( 0, 05 ) + 4( 0, 75 )
Q
0,57/60
=
= 3 (m/s)
S
π
(6, 35 ⋅ 10 −2 ) 2
4
VDρ ( 3 )(6, 35 ⋅ 10 −2 )(103 )
=
= 190.500
µ
10 −3
La rugosidad relativa para aceros comerciales
(figura 8.18) es de:
ε/D = 0,0007
Aplicando la ecuación de Chen [8.26] con estos
valores, se obtiene:
∆P = ΣF · ρ = 268(103) = 268.000 (N/m2)
Ejemplo 8.5. Se quiere calentar agua mediante un
cambiador de calor multitubular, de carcasa y
tubos, como el representado en la figura. El cambiador de calor dispone de 9 tubos cilíndricos de
2,54 cm de diámetro externo, en el interior de una
carcasa cilíndrica de 12,7 cm de diámetro interno,
con una longitud de 1,50 m. El agua circulará por
el exterior de los tubos, dentro de la carcasa. ¿Cuál
será el máximo caudal que deberá utilizarse si la
pérdida de presión no debe superar los 2,068 · 103
N/m2?
f = 0,0050
La pérdida de carga se calculará teniendo en
cuenta los tramos rectos y los accidentes. Así, en
el primer caso, según la ecuación de Fanning:
ΣF = 2 f
V 2L
( 3 ) 2 (150 )
= 2( 0, 0050 )
=
D
(6, 35 ⋅ 10 −2 )
= 212, 6 (J/Kg)
Las pérdidas de carga de los accidentes serán
(ecuación [8.29]):
ΣFmen = ΣK i
V2
2
Teniendo en cuenta los valores de K en cada
caso (cuadro 8.2), se tendrá:
Solución:
Aplicando la ecuación de Bernouilli a la entrada y salida del cambiador, teniendo en cuenta que
V1 = V2, z1 = z2 y W = 0, se tendrá:
P2 − P1
+ ΣF = 0
ρ
Capítulo 8: Introducción al flujo de fluidos
El diámetro equivalente para la carcasa con los
tubos será [8.32]:
π
π
(12, 7 ) 2 − 9 ( 2, 54 ) 2 =
4
4
= 25, 80 ⋅ π ( cm 2 )
Sección transversal =
Perímetro mojado = π(12,7) + 9π(2,54) = 35,56 · π (cm)
Por tanto, el diametro equivalente será de acuerdo con
la ecuación [8.31]:
De = 4
25, 80 π
= 2, 90 (cm)
35, 56 π
Sustituyendo los valores conocidos en la ecuación de Fanning, se tendrá:
2.068
10 3
+ 2f
V 2 (1, 50 )
=0
2, 90
Puesto que f no puede calcularse sin conocer
antes V (necesario para obtener el número de Reynolds), se deberá proceder mediante un método
de tanteos, del siguiente modo:
1. Suponer un valor de f.
2. Calcular V de la expresión anterior.
3. Calcular el número de Re con ese valor de
V.
4. Calcular el valor de f con la ecuación de
Chen [8.26].
5. Si el valor de f calculado no coincide con el
supuesto en el paso 1, repetir el proceso de
cálculo con el nuevo valor de f hasta que
ambos coincidan.
Aplicando este procedimiento se obtienen los
siguientes valores:
V = 7,1 (m/s)
Qv = 0,058 (m3/s)
Debe señalarse que el método de cálculo propuesto puede realizarse también empezando por
suponer un valor de V o de Re; sin embargo, el
valor de f puede suponerse dentro de un intervalo mucho más reducido que el de V o Re, por lo
que el cálculo se simplifica.
173
8.6.4. Circulación de gases por conducciones
El flujo interno de gases presenta algunas características peculiares, que requieren un tratamiento
particular. Normalmente se trata de flujos compresibles, en los que varían tanto la densidad como la velocidad, aun siendo la sección transversal de paso constante. Por ello, resulta conveniente utilizar una nueva
variable, la velocidad másica (G) definida por la ecuación [8.10], que sí permanece constante en régimen
estacionario.
Por otro lado, los términos importantes en la ecuación de Bernouilli son el término cinético, el de presión y el de rozamiento, resultando normalmente despreciable el de energía potencial, dada la baja densidad
de los gases.
La deducción de la ecuación de Bernouilli en flujo compresible requiere, por tanto, partir de la ecuación diferencial, que para un elemento de longitud
dL y simplificada sin los términos de energía potencial (g ∆z) y de trabajo mecánico (W), sería:
dP VdV
V 2 dL
+
+ 2f
=0
D
ρ
α
[8.33]
Para integrar esta ecuación es preciso utilizar alguna ecuación de estado, f (P, v,T) = 0, que relacione presión y volumen específico (v = 1/ρ) para cada temperatura. En el caso más sencillo de comportamiento de
gas ideal se puede utilizar la expresión:
Pv =
1
RT
M
[8.34]
con lo que la integración de la ecuación [8.33], introduciendo el término de velocidad másica, G = V · ρ, y
suponiendo un valor medio de la temperatura, Tm,
conduce a la expresión:
M
G 2 P1
L
(P12 − P22 ) =
ln
+ 2 f mG 2
P2
D
2 RTm
α
[8.35]
cuyos tres términos corresponden, respectivamente,
al de variación de presión, variación de energía cinética y pérdida de energía por rozamiento.
Para velocidades lineales bajas –en la práctica inferiores a V = 35 m/s–, la expresión anterior puede sim-
174
Introducción a la Ingeniería Química
plificarse todavía más, obteniéndose la denominada
ecuación de Weymouth:
M
G 2L
(P12 − P22 ) = 2 f m
D
2 RT
[8.36]
que, como puede observarse, es una forma modificada de la ecuación de Fanning [8.22], representando fm
un valor medio del factor de rozamiento.
8.6.5. Factores de rozamiento en la entrada
de una conducción
Hasta ahora se ha supuesto que las condiciones
del flujo no variaban en la dirección de éste, lo que ha
permitido desarrollar métodos que permiten evaluar
y predecir los parámetros más importantes del flujo.
Sin embargo, en muchos casos reales, las condiciones del flujo sí varían a lo largo del recorrido. Es
el caso, por ejemplo, del flujo en la entrada de condiciones cilíndricas, donde se forma una capa límite en
la superficie interna de la conducción que va creciendo de espesor a lo largo del recorrido –como ocurre
con una superficie plana (capítulo 4)–, hasta ocupar
toda la superficie transversal del flujo. En la figura
8.21 se muestra el esquema correspondiente.
Como puede observarse, la capa límite va ocupando una mayor parte del flujo a medida que
aumenta el recorrido, hasta que lo ocupa completa-
mente para una cierta distancia x. A partir de esa
distancia el perfil de velocidades ya no cambia, y se
dice que el flujo está plenamente desarrollado. La
distancia a la que este hecho se produce se denomina longitud de entrada (Len). Puede observarse que
la velocidad del fluido fuera de la capa límite aumenta con x, lo cual es lógico, pues debe cumplirse la
condición de conservación de materia total (ecuación de continuidad). La velocidad en el centro de
la conducción para el flujo laminar plenamente desarrollado será vmax = 2V∞ , de acuerdo con la ecuación
[8.6].
La longitud de entrada para alcanzar el flujo laminar plenamente desarrollado depende del diámetro
de la conducción, de la velocidad del fluido y de las
propiedades de éste, pudiendo representarse mediante la ecuación:
Len
= 0, 0575 Re
D
[8.37]
Los factores de rozamiento medios a lo largo de
la longitud de entrada de conducciones circulares para
régimen laminar varían de la forma indicada en el cuadro 8.3.
En el caso de flujo turbulento la situación es más
complicada, no pudiendo predecirse fácilmente la
longitud de entrada. Además, ésta depende también
considerablemente del propio tipo de entrada (bordes vivos, bordes redondeados, etc.). Una norma
FIGURA 8.21. Desarrollo del perfil de
velocidades y variación del factor de
rozamiento en el flujo laminar a la
entrada de una conducción cilíndrica.
Capítulo 8: Introducción al flujo de fluidos
aproximada, de carácter general, es que al menos se
necesita una distancia igual a 50 diámetros de la conducción para que se alcance el flujo plenamente desarrollado.
175
to, al incremento necesario de energía potencial o al
de energía cinética, según los casos.
CUADRO 8.4
Aparatos para la impulsion de fluidos
CUADRO 8.3
Valores del factor de rozamiento medio para flujo laminar
a la entrada de una conducción circular
x /D
Re
f⋅
x
D
0,000205
0,0530
0,000830
0,0965
0,001805
0,1413
0,00535
0,2605
0,01373
0,461
0,02368
0,659
0,0449
1,028
0,0760
1,538
8.7. Potencia necesaria para el flujo
La energía mecánica W que debe suministrarse al
fluido para lograr su impulsión o su compresión (en
el caso de un gas) viene dada por la ecuación de Bernouilli [8.18], expresada como energía por unidad de
masa de fluido (J/kg). En efecto, un fluido sólo circula espontáneamente si su energía total disminuye en
la dirección del flujo, es decir, si:
V12
P
V2
P
+ gz1 + 1 > 2 + gz2 + 2
2α1
ρ1 2α 2
ρ2
siendo la diferencia entre ambos términos la energía
perdida por rozamiento, ΣF. En caso contrario, si se
quiere forzar su circulación, debe aportársele energía
mecánica mediante algún dispositivo.
Los aparatos utilizados para ello son de varios
tipos, denominándose habitualmente bombas los utilizados para impulsar líquidos, y ventiladores, soplantes y compresores los utilizados con gases (cuadro 8.4).
En todos los casos, estos aparatos consiguen proporcionar al fluido un aumento de presión que le permite hacer frente a la pérdida de energía por rozamien-
Fluido
Aparato
Aumento de presión
Líquidos
Bomba
(Variable)
Ventilador
Soplante
Compresor
pequeño
pequeño/mediano
grande
Gases
{
El tipo de aparato utilizado depende de cada situación, del tipo de flujo y de las propiedades del fluido
(particularmente su viscosidad). También es importante establecer el emplazamiento del aparato. Así,
por ejemplo, en el caso de una bomba para sacar agua
de un pozo, ésta ha de situarse preferentemente en
la parte baja del pozo, acortando la rama de aspiración para evitar problemas de cavitación (vaporización del líquido por ser su presión de vapor superior
a la presión reinante, apartado 8.7); y si se trata de
un oleoducto, debe calcularse la distancia adecuada
entre cada bomba para ir suministrando presión al
líquido en función de las pérdidas producidas a lo largo del recorrido.
8.7.1. Bombas
Son de muy diversos tipos, presentando en cada
caso unas características determinadas como su capacidad (caudal que puede suministrar) y su carga (altura a la que puede impulsar el líquido). En algunos tipos
de bombas, como las bombas centrífugas, existe una
relación inversa entre estas dos características, ya que
para un mismo aparato, si se le exige un mayor caudal, será a costa de una menor presión de descarga
(figura 8.22). En otras, como las del émbolo, ambas
características aumentan con la velocidad de giro del
motor.
En el cuadro 8.5 se presenta una clasificación resumida de bombas. Hay dos grandes grupos: las denominadas bombas volumétricas o de desplazamiento
positivo, en las que el líquido es confinado en pequeños volúmenes dentro de la carcasa de la bomba e
impulsado por la acción mecánica de unas piezas móvi-
176
Introducción a la Ingeniería Química
FIGURA 8.22. Curva característica carga-capacidad de una
bomba centrífuga y valores típicos del rendimiento.
les (émbolos, paletas, etc.), pudiendo alcanzar cargas
elevadas (altas presiones en el punto de descarga) aunque las capacidades son más bien bajas. En este grupo se encuentran las bombas de émbolo o pistón (también llamadas alternativas), las bombas rotatorias (de
paletas, de lóbulos, de tornillo, de engranajes, de eje
salomónico, de ruedas excéntricas y peristálticas). En
la figura 8.23 se muestra una representación esquemática de algunas de ellas.
En el segundo grupo están las denominadas bombas centrífugas, en las que el fluido –que entra por el
eje hueco de giro– recibe la energía cinética que le
proporcionan los álabes de un motor giratorio a gran
velocidad, energía que a la salida se va transformando en carga de presión gracias a la forma geométrica
CUADRO 8.5
Clasificación de las bombas
Grupo
Volumétricas
(desplazamiento
positivo)
Denominación
Características
Alternativas
–
–
–
–
–
De émbolo o pistón
Suministran caudales pulsantes, pero en promedio constantes
Alcanzan altas presiones
Caudales pequeños/medianos
Van bien con líquidos lubricantes y viscosos, pero mal
con líquidos que contengan sólidos abrasivos
– Necesitan válvulas de retención (entrada y salida)
Rotatorias
–
–
–
–
–
–
Velocidad de giro del motor ~500 rpm
Suministran presiones medias
Caudales pequeños/medianos
No necesitan válvulas de retención
Van bien con líquidos algo viscosos y no abrasivos
Requieren buen ajuste entre partes fijas y móviles
Centrífugas
Centrífugas
–
–
–
–
–
–
–
–
Caudales medios/elevados, pero cargas limitadas
Velocidad de giro elevada (hasta 4.000 rpm)
Pueden manejar líquidos con sólidos en suspensión
Se puede regular el caudal con una válvula a la salida
Necesitan válvulas de retención
No producen pulsación en la descarga
Pueden acoplarse directamente a un motor eléctrico
Pueden requerir la operación inicial de cebado
Especiales
Eyectores
–
–
–
–
Usadas como “bombas de vacío”
Se basan en el “efecto Venturi”
No tienen partes móviles
Pueden manejar fluidos corrosivos o abrasivos
Bomba Mamut
–
–
–
–
Funcionan por elevación con aire
No tienen partes móviles
Requieren un compresor
Pueden bombear líquidos corrosivos o con sólidos abrasivos
Capítulo 8: Introducción al flujo de fluidos
FIGURA 8.23. Bombas volumétricas.
del conducto de salida, cada vez de mayor sección
(“voluta” o “difusor”, según los casos, como se muestra en la figura 8.24).
FIGURA 8.24. Bomba centrífuga.
177
Las bombas volumétricas alternativas requieren
válvulas de entrada y salida, o válvulas “anti-retorno”, pues si el movimiento cesa, el líquido podría
retroceder. Pueden proporcionar presiones de salida elevadas y caudales relativamente pequeños –y
constantes–, particularmente las alternativas y la
mayoría de las rotativas. Las bombas de tornillo de
Arquímedes o de eje salomónico –a diferencia de las
anteriores– pueden impulsar líquidos con sólidos
abrasivos en suspensión, y las bombas peristálticas,
que constan de una tubería flexible que se comprime por unas ruedas giratorias, suele tener sus máximas aplicaciones a escala de laboratorio. Éstas, y las
bombas de diafragma, son las únicas que proporcionan una estanquidad total, al no tener superficies
deslizantes en contacto con el líquido, por lo que se
utilizan cuando se requieren máximas condiciones
de esterilidad.
Por su parte, las bombas centrífugas pueden proporcionar caudales muy variables y bastante elevados, permitiendo la regulación del caudal con una válvula en la conducción de descarga. No producen
pulsación en la descarga –al revés de lo que ocurre
en la mayoría de las bombas volumétricas–, además
permiten bombear líquidos con sólidos en suspensión, y son muy versátiles. Por otro lado, su construcción es muy sencilla y su coste relativamente bajo,
pudiéndose acoplar directamente en muchos casos a
un motor eléctrico (su velocidad de giro puede superar los 4000 rpm). Por todo ello, las bombas centrífugas se utilizan muy ampliamente en la industria química. No obstante, son poco recomendables para
líquidos muy viscosos, y además suelen requerir una
178
Introducción a la Ingeniería Química
operación previa de “cebado” cuando la línea de aspiración está inicialmente llena de aire. Esta última limitación no se presenta en las bombas de desplazamiento positivo, como es lógico, dada la succión
forzada que determinan las piezas móviles de sus compartimentos estancos.
Finalmente, cabe citar algunas bombas especiales,
que se salen de la clasificación anterior, basadas en el
intercambio de energía cinética, como los eyectores y
las bombas Mamut (cuadro 8.5). Los eyectores, también llamados bombas de chorro, actúan como bombas de vacío, basándose en el efecto Venturi, por el cual
un segundo fluido, a presión elevada (agua o vapor
de agua), succiona al fluido principal que se quiere
bombear, sea gas o líquido (figura 8.25). Al no tener
partes móviles, sus costes de operación y mantenimiento son escasos. Los eyectores de vapor son de uso
frecuente acoplados a calderas de vapor, proporcionando rendimientos elevados.
Por su parte, las bombas Mamut o de elevación
por aire permiten la impulsión vertical de un líquido
al mezclarlo con aire inyectado a presión, ya que la
mezcla resultante asciende por tener menor densidad.
Se utilizan para líquidos corrosivos (ácidos, álcalis...)
o con sólidos abrasivos. Tampoco presentan partes
móviles, por lo que su mantenimiento no es costoso,
si bien requieren la utilización de un compresor de
aire (figura 8.25).
8.7.2. Condiciones de succión de una bomba:
cavitación
Cuando una bomba ha de succionar un líquido de
un pozo o un depósito más bajo, o cuando ha de bombear un líquido cuya temperatura se encuentra próxima a la de ebullición, ha de prestarse especial atención a las condiciones de succión. Podría ocurrir que
la bomba no logre hacer ascender al líquido o que éste,
por tener una presión de vapor superior a la que reina en la rama de aspiración se vaporice. Ambas situaciones se muestran en la figura 8.26. Esta circunstancia se puede dar en cualquier tipo de bomba,
volumétrica o centrífuga, y se conoce como cavitación.
Las bruscas vaporizaciones y posteriores condensaciones que se producen en el interior de la bomba
como consecuencia de la cavitación, pueden producir
importantes daños mecánicos en la bomba, llegando
a inutilizarla.
Para evitar la cavitación debe haber una presión
suficiente en la entrada de la bomba, por lo que la altura de succión no debe ser excesiva o el líquido no debe
sobrepasar una cierta temperatura para evitar su ebullición (figura 8.26).
Estas dos condiciones quedan recogidas en el
concepto de carga neta positiva de aspiración
(CNPA) requerida por la bomba, que es la carga (o
presión) requerida a la entrada de la bomba (brida
FIGURA 8.25. Bombas
especiales.
Capítulo 8: Introducción al flujo de fluidos
179
F IGURA 8.26. Condiciones de
bombeo en los que la succión
puede ocasionar la cavitación:
a) altura de succión excesiva;
b) líquido caliente próximo a su
temperatura de ebullición.
de admisión) en exceso sobre la presión de vapor
del líquido a la temperatura de la admisión (figura
8.27):
 Carga total   Carga correspondiente 
CNPA =  en la boca  −  a la presión de vapor 

 

 de admisión  del líquido a T admisión

 

El valor de la CNPA de cada bomba es un dato
proporcionado por el fabricante y depende del tipo
de diseño de la bomba y del caudal que se le exija a
ésta.
Si la CNPA requerida por la bomba no es proporcionada por el sistema, la bomba cavita. Por tanto, el sistema –es decir, la instalación– debe proporcionar una CNPA igual o superior a la requerida, que
se calcula a partir de la ecuación de Bernouilli aplicada a la superficie libre del líquido y al plano de la
brida de admisión de la bomba (① y ② en la figura
8.26):
(CNPA) instal. =
P1 − Pv
∑F
−h−
(m)
ρg
g
[8.38]
FIGURA 8.27. Caída de presión
en el interior de una bomba
centrífuga, y carga neta positiva de aspiración requerida por
ésta (CNPA): a) se produce la
cavitación (evaporación del líquido); b) no hay cavitación.
180
Introducción a la Ingeniería Química
Ejemplo 8.6. Se desea utilizar una bomba para
succionar el líquido de un depósito en la situación
de la figura 8.26a. La presión de vapor del líquido
a la temperatura de la operación es de 5 kPa; la
presión atmosférica es de 90 kPa y la densidad del
líquido 103 kg/m3. La bomba se va a situar a 5 m.
de altura sobre el nivel del líquido, y la pérdida de
carga por rozamiento en la línea de aspiración se
estima en 1,2 m. La CNPA requerida por la bomba es de 4 m. ¿Podrá funcionar la bomba sin que
se produzca cavitación?
FIGURA 8.28. Expresiones de la potencia y rendimiento
de una bomba.
Solución:
— Rendimiento hidráulico:
La CNPA que proporciona la instalación puede calcularse con la ecuación [8.38]:
(CNPA) instal. =
=
(90 − 5 )10 3
3
10 (9, 8 )
P1 − Pv
∑F
−h−
=
ρg
g
− 5 − 1, 2 = 8, 7 − 5 − 1, 2 =
= 2, 47 (m)
Como se observa, al ser la CNPA que corresponde a la instalación inferior a la requerida por
la bomba (CNPA = 4 m), sí se producirá la cavitación. Por tanto, debería emplearse otra bomba o
utilizar otra configuración del sistema.
8.7.3. Rendimiento y potencia de una bomba
En el caso de las bombas volumétricas y centrífugas, no toda la potencia que se requiere para accionar la bomba –potencia de accionamiento, W a– es
aprovechada por el fluido. Una parte de esa potencia se pierde por rozamiento y otras causas en las
partes mecánicas móviles, por lo que la potencia verdaderamente desarrollada por la bomba (W´) es
menor. Pero además, no toda la potencia W´ desarrollada por la bomba es aprovechada por el fluido,
pues parte de ella se pierde por el propio rozamiento del fluido en las partes internas de la bomba (ΣFi).
Así, se pueden definir varios tipos de rendimientos
(figura 8.28):
ηh =
W
W′
[8.39]
— Rendimiento mecánico:
ηm =
W′
Wa
[8.40]
— Rendimiento total:
η t = η hη m =
W
Wa
[8.41]
Los rendimientos de las bombas dependen en
gran medida del diseño de éstas y de las condiciones
de funcionamiento. En las bombas centrífugas, por
ejemplo, el número de álabes, su forma geométrica
y disposición óptimas varían según el tipo de líquido a impulsar y obviamente influyen en el rendimiento de la bomba; también influyen en el rendimiento las condiciones de bombeo (caudal y presión),
existiendo una región óptima de máximo rendimiento
(figura 8.22).
8.7.4. Ventiladores, soplantes y compresores
Al ser la densidad de los gases muy inferior a la de
los líquidos, los aparatos para la impulsión de gases
pueden operar a velocidades mucho mayores. Por otro
lado, al ser también más pequeñas las viscosidades de
los gases, pueden producirse fugas más fácilmente,
sobre todo si las presiones son elevadas. Por lo demás,
los aparatos para la impulsión de gases se basan en los
Capítulo 8: Introducción al flujo de fluidos
mismos principios que los de impulsión de líquidos,
teniendo en cuenta que ahora, al ser los gases compresibles, puede reducirse el volumen considerablemente durante la compresión (cuadro 8.6).
CUADRO 8.6
Clasificación de los aparatos de impulsión de gases
Aparato
Tipo
o
N. de etapas
Ventiladores
• Axiales
• Centrífugos
1
1
Soplantes
• Axiales
• Centrífugas
• Alternativas
(rotatorias)
1 o más
1 o más
1 o más
Compresores
• Centrífugos
(turbo-compresores)
• Alternativos
(de cilindros)
Varias
Varias
Los ventiladores proporcionan normalmente caudales elevados de gas, con un pequeño aumento de
presión, hasta unos 30 kN/m2, aproximadamente. Los
gases son impulsados, pero no comprimidos (pequeña variación de densidad). Se suelen utilizar en instalaciones de secado y acondicionamiento de aire, etc.
Las soplantes suelen proporcionar caudales
medianos, con un aumento de presión intermedio
(hasta unos 400 kN/m2). Se utilizan ampliamente en
torres de enfriamiento de agua, inyección de aire a
hornos de combustión, operaciones de secado, flotación, aireación, etc. Finalmente, los compresores
pueden suministrar caudales variables con aumentos de presión muy elevados, sobre todo si tienen
varias etapas de compresión (hasta unos 400.000
kN/m2). Se utilizan sobre todo cuando se requieren
grandes presiones (alimentación de N2 y H2 en la síntesis de amoníaco, etc.) . Debe tenerse en cuenta que
la anterior clasificación es sólo aproximada, ya que
en realidad los intervalos de caudales y presiones se
solapan en los tres casos.
Tanto los ventiladores como las soplantes pueden
ser axiales o centrífugos. En el primer caso, la entrada y salida del flujo coinciden con la dirección del eje
de giro; en el segundo, el esquema es similar al de una
bomba centrífuga. Los ventiladores tienen una sola
etapa de compresión, mientras que las soplantes pue-
181
den tener varias, alcanzándose así relaciones de compresión (presión de salida / presión de entrada) de
hasta 4.
También hay soplantes de desplazamiento positivo, análogas a las bombas rotatorias: soplantes de
lóbulos, de paletas, de tornillo, etc. Llegan también a
conseguir relaciones de compresión de hasta 4.
Los compresores se utilizan, como ya se ha indicado, para elevar considerablemente la presión de los
gases. Ello requiere la utilización de varias etapas, en
cada una de las cuales la relación de compresión suele llegar hasta 3 o 4. El calor generado en la compresión por efecto Joule se disipa en cada etapa de compresión normalmente mediante cambiadores de calor.
En el caso ideal de una compresión isotérmica, en la
que el calor producido es totalmente eliminado, el trabajo de compresión sería mínimo, mientras que si la
compresión es adiabática el trabajo de compresión es
máximo. En la práctica, la situación real corresponde
a la denominada compresión politrópica, que corresponde a una situación intermedia. En la figura 8.29 se
muestran las tres curvas de compresión de un ciclo
teórico correspondiente a un compresor alternativo.
Para cada uno de estos ciclos, el trabajo de compresión correspondiente por unidad de masa de fluido
sería el siguiente:
Compresión isotérmica (Pv = RT/M):
WT =
∫
PD
PA
vdP =
RT PD
ln
(J/kg)
M
PA
[8.42]
Compresión adiabática o isentrópica (Pvγ = cte.):
γ RT A
WS =
γ –1 M
γ –1


 PD  γ

– 1 (J/kg)
 P 
A


[8.43]
Compresión politrópica (Pvn = cte.; 1< n < γ):
n–1


n RT A  PD  n

Wn =
1
–


 (J/kg)
n – 1 M  PA 


[8.44]
Si se tratara de una compresión escalonada, es
decir, en varias etapas, las ecuaciones anteriores se
aplicarían a cada etapa de compresión, según el dia-
182
Introducción a la Ingeniería Química
FIGURA 8.29. Diagrama teórico de compresión: compresión
isotérmica, politrópica y adiabática; v = volumen específico, PA = presión de admisión, PD = pesión de descarga (el
área sombreada corresponde al trabajo teórico de compresión por unidad de masa).
FIGURA 8.30. Diagrama teórico de la compresión
escalonada (4 etapas de compresión).
grama de la figura 8.30. Para el caso de s etapas, suponiendo la misma relación de compresión (r) para todas
ellas, y tratándose de ciclos teóricos (sin volúmenes
muertos, sin rozamiento mecánico en válvulas y cilindros, con refrigeración intermedia perfecta) la ecuación [8.44] sería ahora:
n RT A1
Wn = s ⋅
n–1 M
n–1


 PD1  n

– 1 (J/kg) [8.45]
 P 
 A1 



Como puede observarse en la figura 8.30, el trabajo realizado en la compresión con refrigeración
intermedia entre cada dos etapas (área rayada), es
menor que el que correspondería a una compresión
adiabática en una sola etapa, en el caso de que ésta
fuera posible (en la práctica no lo es, pues relaciones
de compresión r > 5 no resultan ventajosas).
En cuanto al tipo de compresores, cabe distinguir
entre los compresores alternativos y los centrífugos
de múltiples etapas (figura 8.31). Los compresores
alternativos son muy utilizados en la industria química y suelen tener también varias etapas de compresión.
Normalmente se trata de uno o varios cilindros
en serie refrigerados por aire o por agua, e incluso
con cambiadores de calor entre cada dos etapas, pues
FIGURA 8.31. Esquemas de tipos de compresores.
el calor liberado en la compresión puede ser considerable. Los émbolos o cilindros suelen actuar por
ambas caras (acción doble), a fin de mejorar el rendimiento. No obstante, éste es siempre inferior al de
una bomba alternativa de émbolo, pues en el compresor siempre hay un volumen muerto de gas que
se comprime y se expande cíclicamente. La regulación del caudal se consigue recirculando parte del
gas, aumentando el volumen muerto del compresor
o, en ocasiones, reduciendo la velocidad de giro del
motor.
Por su parte, los compresores centrífugos de múltiples etapas, también denominados turbo-compresores, son similares a las bombas y soplantes centrífugas
de varias etapas, siendo importante en este caso el
buen ajuste de las partes mecánicas (partes fijas y rotor
Capítulo 8: Introducción al flujo de fluidos
183
de giro) para impedir las fugas del gas a elevada presión. La regulación del caudal se hace recirculando
parte del gas o cerrando la válvula de salida.
8.7.5. Potencia y rendimiento de un compresor
La potencia teórica correspondiente a un diagrama teórico de compresión (figura 8.29) y expresada
por unidad de masa del fluido mediante la ecuación
[8.43] o la [8.44] es siempre inferior a la potencia real
que se consume. Ello se debe a que el ciclo real de
compresión es más complejo, existiendo volúmenes
muertos, oscilaciones de la presión en las fases de aspiración y descarga, depresión en la aspiración, sobrepresión en la descarga, rozamiento interno, etc., por
lo cual resulta un diagrama P – υ (denominado diagrama del indicador) similar al esquematizado en la
figura 8.32.
Consecuentemente, además de la potencia teórica (Ws = potencia isentrópica, ecuación [8.43]), se utiliza la denominada potencia indicada (Wi) que corresponde a la del diagrama del indicador (figura 8.32) y
la potencia de accionamiento (Wa), que es la realmente
consumida, incluyendo las pérdidas por rozamiento
en el motor que acciona el compresor.
Así pues, se definen a su vez dos rendimientos:
Ws
Wi
[8.46]
— Rendimiento isentrópico:
ηs =
Ws
Wa
[8.47]
Es evidente que la relación entre ambos correspondería al rendimiento mecánico (ηm), es decir, el que
corresponde al motor asociado al compresor y las pérdidas por rozamiento mecánico (ηm = ηs / ηsi = Wi /Wa).
Por otro lado, también se utiliza el denominado
rendimiento volumétrico (λ), referido a la masa de gas
descargada:
λ=
MD
Vh ρ A
siendo MD la masa de gas que se descarga en cada
embolada, Vh el volumen de la embolada y ρA la densidad del gas en las condiciones de aspiración de la
línea de admisión.
8.8. Medida de caudales
— Rendimiento isentrópico indicado:
η si =
FIGURA 8.32. Diagrama del indicador de un compresor de
émbolo (línea continua), comparado con el diagrama teórico (línea discontinua). ➀ = Punto de retroceso máximo
de émbolo y cierre de la válvula de admisión. ➁ = Punto
de presión máxima en el cilindro y apertura de la válvula
de descarga. ➂ = Posición más avanzada del émbolo y
cierre de la válvula de descarga. ➃ = Punto de mínima presión y apertura de la válvula de admisión.
[8.48]
Todo proceso químico en que se manejan fluidos
requiere conocer los caudales y, por lo tanto, poderlos medir con precisión. Existen dos métodos:
• Medida directa. Se mide el volumen de fluido,
en condiciones conocidas, que atraviesa un cierto dispositivo por unidad de tiempo. En este
grupo se encuentran los contadores de gas y de
líquido, que pueden ser de paletas, de lóbulos,
etc. (semejantes en su diseño a las bombas de
igual nombre), así como las presas y medidores térmicos (figura 8.33).
• Medida indirecta. Se mide una variación de presión, producida por una variación de velocidad
al oponer al fluido un obstáculo en la conducción. En este grupo se encuentran los medidores de tubo manométrico acoplados a diafragmas, boquillas y venturímetros, los tubos de
Pitot y los rotámetros. Al ser una medida indirecta requieren calibración. Por ser estos equi-
184
Introducción a la Ingeniería Química
pos de medida los más usuales, se tratarán con
mayor atención.
En casi todos estos casos se miden velocidades o
caudales medios. Sólo en el tubo de Pitot se miden velocidades puntuales, que deben finalmente promediarse.
8.8.1. Medidas de la presión
La presión del fluido en la medida indirecta de los
caudales es una variable esencial, que debe determinarse con precisión. Pueden definirse varios tipos de
presión, de acuerdo con la figura 8.34: presión estática (Ps), presión de impacto (Pi) y Presión cinética (Pc).
En cada caso, el desnivel de líquido manométrico hm
será distinto y directamente relacionado con la presión medida. Así, por ejemplo, de la figura 8.34a, se
deduce:
F IGURA 8.33. Formas de medida directa de caudales.
Las variables directamente relacionadas con el caudal son:
a) contador de paletas: n.o de vueltas del rotor; b) presa:
altura del líquido sobre la presa (h); c) medidor térmico:
temperatura T2 producida por la resistencia eléctrica R.
Ps = Patm + hm ρmg + lρg
[8.49]
siendo ρ la densidad del fluido y ρm la del líquido
manométrico (ambos inmiscibles).
FIGURA 8.34. Formas de medir la presión: a) con tubos manométricos; b) relación entre P y la carga de presión.
Capítulo 8: Introducción al flujo de fluidos
La presión se puede medir también con aparatos
mecánicos, como los manómetros de tipo Bourdon,
basados en la apertura parcial de un tubo metálico
curvado, conectado al fluido, por la acción de la presión; este movimiento se transmite mediante un mecanismo amplificador adecuado a una aguja con escala
graduada.
Son aparatos delicados que requieren calibración
y que sometidos a presiones oscilantes acaban perdiendo exactitud, por envejecimiento del metal del
tubo (acero o latón) y pérdida de elasticidad.
8.8.2. Diafragmas, boquillas y venturímetros
Son aparatos de medida basados en la provocación de un estrechamiento de la conducción, a cuyos
lados se conectan las ramas de un manómetro de tubos
en U con un líquido manométrico inmiscible con el
fluido y de densidad adecuada (figura 8.35).
185
La diferencia de presiones P1 – P2 se mide por el
desnivel manométrico hm, y se puede relacionar con
la velocidad del fluido aplicando la ecuación de Bernouilli, a las dos secciones conocidas, la de la conducción (diámetro D) y la del orificio del diafragma
(D0). Así, teniendo en cuenta que la pérdida de energía por rozamiento entre ambas secciones es muy
pequeña frente a las variaciones de velocidad y presión (∑F ≈ 0), y que la diferencia de alturas es despreciable (∆z = 0), se tendrá:
V02 − V12
=
2α
∫
P1
P0
vdP
[8.50]
Para fluidos incompresibles, v = 1/ρ = cte., cumpliéndose que:
2
2
4
 V1 
 S0 
 D0 
4
  =  =  =β
 V0 
 S1 
 D1 
FIGURA 8.35. Aparatos para
la medida de caudales: diafragmas y boquillas.
[8.51]
186
Introducción a la Ingeniería Química
De las dos ecuaciones anteriores se deduce, por
tanto:
V0 =
2α (P1 − P0 )
=
ρ (1 − β 4 )
2α∆h
1− β4
El coeficiente de descarga debe determinarse
mediante calibrado experimental, pudiendo representarse sus valores de forma gráfica como la indicada en la figura 8.36.
[8.52]
Siendo ∆h = ∆P / ρg la carga de presión diferencial y β = D0/ D1 el cociente de diámetros (el término
1− β4
se conoce como factor de aproximación). Por su parte, el término ∆h se puede obtener a partir de la lectura manométrica hm, aplicando la ecuación [8.49]:
ρ

∆h = hm  m − 1
 ρ

[8.53]
Conocida la velocidad del fluido en el orificio del
diafragma, el cálculo del caudal másico sería inmediato (m = V0S0 ρ).
No obstante, la ecuación [8.52] no es exacta, pues
coinciden dos circunstancias adversas: por un lado,
la toma de presión del tubo manométrico posterior
(posición 2 en la figura 8.35a) no coincide con la
sección del orificio (posición 0), pues físicamente
no es posible, debiendo retrasarse a una distancia
de ~ 1/3 del diámetro D donde se localiza aproximadamente la “vena contracta”, esto es, la sección
más estrecha de la vena de fluido donde las líneas
de corriente están más contraídas (la posición y sección exactas de la vena contracta no se pueden conocer con exactitud). Por otro lado, en las zonas muertas posteriores al orificio del diafragma se forman
unos remolinos y turbulencias que determinan una
pérdida de energía por rozamiento adicional, no
considerada.
Por todo ello, es necesario corregir la ecuación
[8.52] introduciendo un coeficiente empírico, denominado coeficiente de descarga, C, dependiente del
número de Reynolds y del diámetro del orificio y que
engloba al factor α. Así, la ecuación [8.52] queda finalmente de la forma:
V0 = C
2 ∆h
1− β4
[8.54]
FIGURA 8.36. Coeficiente de descarga para diafragmas con
conexiones “de garganta” (tubos manométricos a distancia
1D antes y 1/3D después de orificio, respectivamente).
Aunque los inconvenientes de los diafragmas acabados de comentar –y que motivan la introducción
del coeficiente de descarga– se ven atenuados en el
caso de las boquillas [figura 8.35], sólo llegan a eliminarse variando sustancialmente el diseño del aparato medidor, haciendo que las líneas de corriente
no se separen de la superficie y, por tanto, no existan zonas muertas, y que la toma de presión manométrica coincida con la posición exacta de la vena
contracta. Éste es precisamente el caso del venturímetro, representado en la figura 8.37, donde los ángulos de entrada (25º) y salida (7º) son los óptimos para
cumplir los requisitos indicados: no hay zonas muertas y la vena contracta se halla situada en la garganta del venturímetro, donde está la toma de presión
manométrica. Así, los correspondientes coeficientes
de descarga en régimen turbulento, para este tipo de
aparatos, si están bien diseñados, son casi la unidad
(C ≈ 0,98), siendo prácticamente invariables con el
número de Reynolds. En cualquier caso, los rendimientos, como todos los demás aparatos de medida
de caudales, deben ser calibrados antes de su utilización.
Capítulo 8: Introducción al flujo de fluidos
187
basa en la medida de la presión cinética (Pc =Pi –Ps,
figura 8.34), utilizando unos tubos concéntricos unidos a los tubos manométricos, como se indica en la
figura 8.39. A partir de la ecuación de Bernouilli es
fácil deducir la expresión de la velocidad local del fluido, que corresponde a la posición en que se encuentra el tubo de Pitot:
v = 2 g∆h
FIGURA 8.37. Venturímetro.
[8.55]
en donde ∆h viene dada por la ecuación [8.53].
Cuando se trata de un caudal gaseoso en el que el
flujo no puede considerarse incompresible, las ecuaciones anteriores deben corregirse introduciendo un
nuevo coeficiente, denominado factor de expansión
(Y) que depende del cociente de presiones P1/ P0, de
la relación del diámetro β y del coeficiente de compresión adiabático γ. Dicho factor, cuyos valores están
tabulados, tiende a la unidad cuando el flujo es incompresible (figura 8.38).
FIGURA 8.39. Tubo de Pitot.
Al desplazar el tubo de Pitot a lo largo de la posición radial, se van tomando medidas de la velocidad
puntual, que permiten por integración obtener el caudal total. También se puede utilizar, aunque de forma
menos precisa, para medir la velocidad máxima (vmax)
–normalmente en el centro de la conducción– y deducir a partir de ella la velocidad media, según sea el
régimen laminar o turbulento (figura 8.11).
FIGURA 8.38. Factores de expansión de diafragmas,
venturímetros y boquillas.
8.8.4. Rotámetros
8.8.3. Tubo de Pitot
Es un dispositivo que permite medir velocidades
puntuales en vez de velocidades medias del fluido. Se
A diferencia de los medidores anteriores, en
los que el estrechamiento producido era de sección
fija (S0) pudiendo variar la diferencia de presiones
(P1 – P0), en los rotámetros el principio es el inver-
188
Introducción a la Ingeniería Química
so: la sección de paso del fluido es variable con el
caudal, manteniéndose constante la diferencia de presiones. Esto se consigue, como indica la figura 8.40,
disponiendo un flotador o boya en el interior de un
tubo troncocónico graduado. La altura de la boya
depende del caudal, que al aumentar empuja hacia
arriba la boya, liberando una mayor área transversal
de paso. El peso de la boya, que es constante, coincide con la diferencia de presión, equilibrándose
ambas en cada posición.
Los rotámetros han de intercalarse en la conducción, y han de ser calibrados. La altura que alcanza la boya en la escala graduada permite conocer
inmediatamente el caudal. Los tipos y tamaños de
flotador, que son muy diversos, permiten disponer
del aparato de medida adecuado para cada caso, en
función del caudal, la presión y las propiedades del
fluido.
FIGURA 8.40. Esquema de un rotámento.
Problemas
1. Comparar los perfiles de velocidad de un fluido en
una conducción circular de paredes lisas, con flujo
plenamente desarrollado en los casos siguientes:
a) Régimen laminar.
b) Régimen turbulento (tomar la ecuación [8.7]
con n = 7).
Para facilitar la comparación, representar en
cada caso vx/vmax frente a r/R.
2. Cuando existe un saliente en el fondo de un
canal de agua, como el de la figura, se produce
un ligero descenso del nivel de agua en ese punto, por efecto Venturi, lo que se aprovecha para
poder medir caudales del líquido. Si el saliente
tiene 30 cm de altura y el descenso del nivel producido es de 10 cm ¿cuál será el caudal de agua
por unidad de anchura del canal?, ¿es el caudal
proporcional al descenso del nivel? Suponer que
no se producen pérdidas de energía por rozamiento.
3. Un tanque cilíndrico de radio R está conectado
por su fondo con una tubería vertical de radio R0
y longitud L. El tanque está inicialmente lleno de
un líquido de viscosidad µ. Deducir una expresión
para el tiempo necesario para vaciar el tanque
(pero no la tubería) en los dos casos siguientes:
a) Flujo laminar en la tubería.
b) Flujo turbulento en la tubería.
Para el cálculo pueden despreciarse las pérdidas de carga en la entrada de la tubería y la energía cinética de la corriente de salida.
Capítulo 8: Introducción al flujo de fluidos
4. El sifón mostrado en la figura está lleno de agua y
descarga continuamente el agua del depósito.
Suponiendo despreciables todas las pérdidas de
carga, calcular el caudal volumétrico de descarga
a través del tubo. Puede suponerse que el depósito es suficientemente grande como para que el
nivel de líquido no varíe apreciablemente. El tubo
tiene 2 cm de diámetro interno.
189
6. Se quiere bombear agua de un depósito inferior
a un depósito superior, cuyos niveles de líquido se
encuentran a una diferencia de altura de 36 m.
Para ello se utiliza una bomba, cuya eficacia es del
75% para el caudal de bombeo utilizado, 27 l/s. La
tubería que conecta los depósitos es de acero fundido y tiene una longitud de 600 m. ¿Qué potencia real se necesita?
7. Calcular la potencia de la bomba necesaria para
mantener un caudal constante de agua en el sistema mostrado en la figura. Todas las conducciones
son cilíndricas, de 6 pulgadas de diámetro interno,
de acero comercial. Todos los codos son de 90º,
radio medio. Supóngase un valor de 0,7 para la
constante K característica del estrechamiento de
salida lateral del tanque (ecuación [8.29]), cuyo
orificio es de 4 pulgadas (todas las medidas de la
figura están en metros).
5. Dos tanques cilíndricos de gran tamaño, de diámetro D, están conectados por un tubo largo y estrecho, de longitud L y diámetro D0. Los dos tanques
están inicialmente llenos del mismo líquido, pero el
tanque de la izquierda sólo hasta un nivel H1(0) y
el de la derecha hasta un nivel H2(0). La presión
sobre el líquido en los dos tanques es la misma, P0,
y la densidad y viscosidad del líquido permanecen
constantes. Suponiendo que el flujo en el tubo es
siempre laminar y que son despreciables las pérdidas de carga en la entrada y salida de los tanques,
deducir una expresión para la variación del desnivel H1 – H2 con el tiempo en función del diámetro
D0. Puede suponerse también que
D, H1, H2, L >> D0
8. Una bomba con una presión de descarga constante de 50 kg/cm2 bombea aceite por una conducción
de diámetro uniforme, con un caudal de 2.400 m3/
día. Dicha conducción tiene una longitud de 150
km, es horizontal y descarga el aceite a un depósito de almacenamiento abierto a la atmósfera. Un
día se observa que el caudal que se descarga en el
depósito ha descendido a 1.800 m3/día. Hechas las
comprobaciones, se confirma que la bomba sigue
descargando a la misma presión de 50 kg/cm3, pero
que el caudal ha aumentado a 3.400 m3/día. Es evidente, pues, que existe una fuga de aceite en algún
punto de la conducción. Determínese la situación
190
Introducción a la Ingeniería Química
de esta fuga, suponiendo que el flujo del aceite es
siempre laminar.
9. Para medir diferencias de presión muy pequeñas
con suficiente exactitud, se utilizan manómetros
diferenciales con dos fluidos inmiscibles, de densidades ligeramente diferentes (ρA < ρB):
a) Deducir una expresión para la relación entre
el desnivel manométrico, h, y la diferencia de
presión P1 – P2.
b) Para una diferencia de presión dada, comparar el valor de dicho desnivel cuando las
densidades son ρA = 0,9 y ρB = 1,0 g/cm3 con el
desnivel manométrico en un manómetro diferencial ordinario (de un solo fluido e = 1 g/cm3).
9
OPERACIONES
BASADAS
EN EL FLUJO
DE FLUIDOS
9.1. Introducción
9.2. Factor de rozamiento
en el flujo externo
9.3. Flujo en lechos porosos
9.4. Operaciones basadas en el flujo
externo de fluidos
9.5. Filtración
9.6. Sedimentación
9.7. Centrifugación
9.8. Fluidización
192
Introducción a la Ingeniería Química
E
n este capítulo se presentan los aspectos fundamentales del flujo externo de fluidos y su aplicación a las operaciones de separación sólidofluido basadas en el mismo. La aplicación de los
principios expuestos en el capítulo anterior sobre el
rozamiento en el flujo de fluidos permite caracterizar el flujo a través de un lecho poroso de partícu-
las sólidas y obtener el factor de rozamiento correspondiente, que incluye el rozamiento de forma.
Entre las operaciones de separación basadas
en el flujo externo, y en particular el flujo a través
de lechos porosos, destacan las operaciones de filtración, sedimentación, centrifugación y fluidización, que se exponen brevemente en este capítulo.
GLOSARIO
diámetro equivalente. En un lecho poroso de partículas irregulares, es el diámetro que tendría una
partícula esférica del mismo volumen que la partícula real. En sedimentación de partículas, es el
diámetro que tendría una partícula esférica de igual
masa y velocidad de sedimentación que la partícula real. En ambos casos, este diámetro equivalente permite utilizar expresiones sencillas deducidas
para partículas de geometría esférica a casos reales en los que las partículas son irregulares y de
formas diversas.
elutriación. Separación de partículas sólidas muy finas,
generadas normalmente por el roce que se produce entre las partículas sólidas –más gruesas– de
un lecho fluidizado. La separación se produce por
la acción de arrastre del gas que atraviesa el lecho.
factor de esfericidad. Factor de forma que se aplica a
una partícula irregular para indicar su grado de
acercamiento a la forma esférica. Se define como
el cociente entre la superficie de una esfera de igual
volumen que la partícula y la superficie real de la
partícula (ecuación [9.9]). Tiene utilidad para poder
aplicar ecuaciones sencillas deducidas para geometrías esféricas a otras partículas irregulares, habituales en los casos reales.
flujo externo. Flujo de un fluido alrededor de un objeto sumergido en su seno. Tiene interés en el estudio de algunas operaciones básicas de separación
fluido-sólido, como la sedimentación, la centrifugación, la filtración, la fluidización, etc., y en la circulación de fluidos entre bloques de tubos en los
cambiadores de calor. Tiene también gran aplicación en otras ramas de la ingeniería, particularmente la aeronáutica y la naval.
lecho fijo. Lecho de partículas sólidas fijas, de pequeño tamaño, a través de las cuales circula un fluido.
Este tipo de contacto sólido-fluido se utiliza habitualmente en operaciones industriales semicontinuas, bien de separación fluido-sólido (filtración),
de transferencia de materia (adsorción, intercambio iónico, etc.), o de reacción química heterogénea (reacciones gas-sólido catalíticas, etc.).
lecho fluidizado. Lecho de partículas sólidas finas y
homogéneas que se mantienen suspendidas y en
continuo movimiento por la fuerza de empuje del
fluido ascendente que atraviesa el lecho. En estas
condiciones, en las que las partículas se mueven
libremente mezclándose unas con otras, el lecho
se comporta como un fluido (de ahí su nombre).
Los lechos fluidizados se utilizan en numerosas
operaciones sólido-fluido en las que se requiere
un buen contacto entre ambas fases, como las de
secado, adsorción, etc., o una buena transmisión
de calor (reacciones gas-sólido muy exotérmicas,
etc.).
ley de Stokes. Ecuación que expresa la fuerza de arrastre de un fluido sobre un sólido sumergido en su
seno para velocidades pequeñas del fluido, cuando se cumple que Rep ≤ 1. Viene dada por la ecuación [9.4]. El régimen fluidodinámico en el que se
cumple la ley de Stokes se denomina “régimen de
Stokes”.
medio filtrante. Material poroso que sirve de retén a
las partículas sólidas que quedan retenidas en el
filtro, durante el proceso de filtración de una suspensión de sólidos. Suelen ser de diversos tipos,
según las características del filtro, por ejemplo: tela
Capítulo 9: Operaciones basadas en el flujo de fluidos
filtrante, placa porosa, lecho de partículas inertes,
etc.
porosidad de un lecho. Fracción de huecos que queda entre las partículas de un lecho poroso (m3 huecos / m3 lecho). Numéricamente varía entre 0 y 1,
siendo habituales los valores comprendidos entre
0,4 y 0,6. La porosidad de un lecho influye directamente sobre la pérdida de carga que se produce
en el mismo.
rozamiento de forma. Rozamiento que se produce por
los cambios de dirección de un fluido al circular
sobre un objeto sumergido en su seno, produciéndose una depresión tras el objeto con formación
incluso de una estela. La resistencia al avance del
fluido que se produce por esta causa es adicional
al rozamiento ordinario superficial localizado en
la capa límite.
torta filtrante. Sólido acumulado sobre el medio filtrante en una operación de filtración. Está formado por las partículas sólidas que quedan retenidas,
a través de las cuales ha de pasar el líquido claro
durante la operación. Sus propiedades dependen
9.1. Introducción
En el capítulo anterior se presentaron las generalidades sobre el flujo de los fluidos y el comportamiento de éstos cuando circulan por el interior de conducciones (flujo interno), así como las ecuaciones que
describen dicho comportamiento y su aplicación a
casos de interés práctico, como el cálculo de la pérdida de presión que se produce en una conducción, la
potencia necesaria para impulsar el fluido y las técnicas de medida de caudales.
Existen además una serie de operaciones físicas
basadas en el flujo externo de los fluidos, es decir, el
flujo alrededor de cuerpos sumergidos en el seno del
fluido, en las que también son fundamentales los conceptos de pérdida de presión y rozamiento viscoso.
Estas operaciones básicas de separación fluido-sólido
tienen gran aplicación industrial y se presentan en
muchos de los procesos químicos: filtración, sedimentación, centrifugación, fluidización, separación
neumática, flotación, etc.
Las fuerzas que intervienen en estas operaciones
son fuerzas de gravedad, centrífugas y de flotación,
193
del tipo de sólido y del tamaño de las partículas,
pudiendo variar su porosidad si las partículas se
apelmazan o comprimen (torta compresible) o
mantener una porosidad constante si las partículas son rígidas (torta incompresible).
velocidad superficial. Velocidad del fluido en un recipiente referida a la sección transversal del recipiente vacío. Se define como el cociente entre el caudal
volumétrico del fluido y dicha sección transversal
(V= Qv / A). En el caso de un fluido que atraviesa un
lecho fijo de partículas sólidas, la velocidad superficial es, por tanto, inferior a la velocidad real del fluido por los canales o huecos del lecho.
velocidad terminal. Velocidad máxima de caída de una
partícula sólida en el seno de un fluido. Esta velocidad se alcanza cuando la resultante de todas las
fuerzas que actúan (gravedad, flotación y rozamiento) es nula. Es un parámetro de gran importancia en los procesos de sedimentación libre, pues
determina la velocidad de sedimentación. También se conoce como “velocidad limite” y “velocidad de sedimentación libre” (ecuación [9.44]).
así como las fuerzas mecánicas asociadas al propio
movimiento del fluido (fuerzas de inercia y fuerzas de
rozamiento viscoso). Son precisamente estas fuerzas
las que determinan la velocidad relativa entre el fluido y el sólido y, por tanto, la velocidad del desplazamiento o separación fluido-sólido. Así, por ejemplo,
en la sedimentación de partículas sólidas intervienen
las fuerzas de gravedad y de flotación (empuje de
Arquímedes), consecuencia de la diferencia de densidades entre el sólido y el fluido, a las que se suman
las fuerzas de rozamiento cuando las partículas sólidas están en movimiento (apartado 9.6).
El estudio del comportamiento del fluido al circular alrededor de los cuerpos sumergidos y el rozamiento
que se produce entre ambos es de gran importancia
para el diseño de las operaciones de separación fluido-sólido. Así, el flujo externo que se produce en distintas situaciones, como el flujo alrededor de partículas esféricas en sedimentación gravitatoria o centrífuga,
el flujo a través de lechos porosos de partículas sólidas
en filtración y secado, el flujo a través de partículas
sólidas suspendidas en un lecho fluidizado, etc., resultan de gran interés, pues permiten predecir tanto las
194
Introducción a la Ingeniería Química
fuerzas que actúan sobre las partículas sólidas como
las pérdidas de energía por rozamiento. La caracterización de este rozamiento se tratará a continuación.
9.2. Factor de rozamiento
en el flujo externo
El rozamiento que se produce en un fluido que
circula por el interior de una conducción, como se vio
en el capítulo anterior, es un rozamiento superficial,
ordinario, producido por una superficie lisa paralela
a la dirección del flujo, que determina un transporte
de cantidad de movimiento en dirección perpendicular a la trayectoria del fluido (capítulos 4 y 8). Las
líneas de corriente no se ven bruscamente alteradas
por la presencia de la superficie sólida. En este caso,
el valor medio de la fuerza de rozamiento por unidad
de superficie tangencial, denominada tensión rasante de rozamiento (τ0), es proporcional a la energía
cinética del fluido (ecuación [4.24]), pudiendo expresarse para una superficie plana como la de la figura
9.1a, de la forma:
τ0 =
F0
ρV∞2
= f
2
A
cambios de velocidad del fluido van lógicamente acompañados de una variación de la presión (ecuación de
Bernouilli [8.18]), produciéndose en la primera mitad
del recorrido un aumento de presión y en la segunda
mitad una disminución de ésta. Llega a producirse
incluso –si la depresión es grande y el rozamiento
superficial previo es considerable– una separación de
la capa límite, con formación de remolinos que dan
lugar a una estela posterior al objeto sumergido. A
causa de todos estos efectos, se produce una resistencia al avance del fluido y por tanto un rozamiento de
forma adicional al rozamiento superficial de la capa
límite.
El rozamiento de forma puede reducirse notablemente dándole al objeto sumergido una forma más
afilada, es decir, más aerodinámica (figura 9.1c). El
estudio de las formas geométricas y perfiles aerodi-
[9.1]
siendo f el factor de rozamiento superficial (adimensional).
Sin embargo, cuando se trata de un cuerpo sumergido con una determinada geometría, que obliga a una
alteración brusca de las líneas de corriente (figura 9.1b),
además del rozamiento ordinario superficial se produce un rozamiento adicional motivado por los cambios
de dirección del fluido, denominado rozamiento de forma, que depende de la geometría del sólido y de las propiedades del flujo.
Observando más detalladamente, alrededor del
cuerpo sumergido se forma una estrecha capa límite
adyacente a la superficie (apartado 4.5), en la cual, al
existir un gradiente de velocidad considerable, se produce una tensión rasante de rozamiento análoga a la
de la superficie plana, y por tanto un rozamiento
superficial ordinario como el comentado anteriormente. Pero fuera de esta capa límite el fluido altera
su dirección inicial al chocar frontalmente con el objeto, por lo que inicialmente las líneas de corriente se
estrechan acelerándose el fluido y posteriormente se
ensanchan haciendo que el fluido se decelere. Estos
FIGURA 9.1. Flujo externo alrededor de cuerpos sumergidos: a) superficie plana; b) esfera o cilindro transversal;
c) objeto de perfil aerodinámico.
Capítulo 9: Operaciones basadas en el flujo de fluidos
námicos tiene gran interés en ingeniería aeronáutica
y naval, excediendo lógicamente del alcance de esta
obra.
Así, para expresar el rozamiento total producido
entre un fluido y un objeto sumergido en el mismo, se
utiliza un factor de rozamiento medio, fD, que engloba
el rozamiento superficial y el rozamiento de forma, definiéndose de la misma manera que en la ecuación [9.1]:
F0
ρV∞2
= fD
2
Ap
[9.2]
siendo F0 la fuerza de arrastre que el fluido ejerce
sobre el sólido, Ap el área transversal del sólido perpendicular al flujo y V∞ la velocidad libre del fluido,
como se indica en la figura 9.2.
El factor de rozamiento medio, f D, es adimensional y se conoce en la bibliografía inglesa como
“drag coefficient”. Para cada tipo de objeto sumergido, este factor depende del número de Reynolds,
como ocurría en el flujo interno, el cual se expresa
ahora en función de la dimensión característica del
sólido, normalmente D p (diámetro de la partícula
esférica):
Rep =
DpV∞ ρ
µ
[9.3]
195
Se han obtenido correlaciones empíricas del factor de rozamiento medio en flujo externo, fD, con el
número de Reynolds expresado por la ecuación [9.3],
para numerosos tipos de geometría del sólido. En la
figura 9.3 se muestran algunas de estas correlaciones
gráficas para cilindros y esferas atravesados al flujo.
Como se puede observar, se produce un descenso
importante de fD con el número de Reynolds (análogo al de la gráfica de Moody para flujo interno, figura 8.17), descenso que se atenúa hasta desaparecer en
la región Rep ~ 102 – 103, tomando fD un valor prácticamente constante (fD ~ 0,4 para esferas). Para valores aún mayores del número de Reynolds el coeficiente fD desciende bruscamente, al pasar el régimen
laminar a turbulento dentro de la capa límite adyacente a la superficie.
En la región laminar, correspondiente a valores
del número de Reynolds Rep ≤ 1, la fuerza de arrastre
puede representarse adecuadamente mediante la ley
de Stokes, cuya expresión es:
F0 = 3πDpµV∞
[9.4]
con lo que combinando las ecuaciones [9.2] y [9.4], el
factor de rozamiento fD se podrá expresar en este caso:
fD =
24 µ
24
∴ fD =
( Re ≤ 1)
Dp ρV∞
Rep
[9.5]
FIGURA 9.2. Fuerza de arrastre
y factor de rozamiento sobre
una superficie sumergida en el
seno de un fluido en movimiento: a) superficie plana; b)
superficie esférica.
196
Introducción a la Ingeniería Química
FIGURA 9.3. Variación del coeficiente de rozamiento medio
con el número de Reynolds en
flujo externo, alrededor de esferas y cilindros atravesados al
flujo (diámetro Dp).
ecuación que representa una recta en coordenadas
logarítmicas, como se indica en la figura 9.3.
Para casos más complejos, como un conjunto de
cilindros paralelos atravesados al flujo –cambiador de
calor multitubular, capítulo 10– o un conjunto de partículas sólidas que sedimenta en el seno de un fluido,
estas simples expresiones del factor de rozamiento son
insuficientes, debiendo utilizarse ecuaciones empíricas más complejas, según el caso.
Ejemplo 9.1. Se deja caer una esfera metálica de
5 cm de diámetro en el seno del aire en reposo,
alcanzando una velocidad de 20 m/s. Calcular la
fuerza de rozamiento que ejerce el aire y el valor
del coeficiente de rozamiento medio en esas condiciones. Supóngase que el aire está a 10 ºC y presión atmosférica.
Rep =
DpV∞ ρ
µ
=
0, 05( 20 )(1, 246 )
= 7, 0 ⋅ 10 4
1, 78 ⋅ 10 −5
Con este valor, el coeficiente de rozamiento
medio que se obtiene de la figura 9.3 es:
fD = 0,45
y, por tanto, la fuerza de rozamiento que ejerce el
aire sobre la esfera, de acuerdo con la ecuación
[9.2] resulta:
ρV∞2
=
2
1, 246( 20 ) 2
π
= 0, 45 ( 0, 05 ) 2
= 0, 220 (N)
4
2
F0 = f D Ap
Solución:
9.3. Flujo en lechos porosos
A presión atmosférica (P = 101,3 kPa) y 10 ºC,
las propiedades del aire son:
Los lechos fijos de partículas sólidas, o más comúnmente lechos porosos, tienen gran aplicación en diversas áreas de la Ingeniería Química: separaciones fluido-sólido (filtración), operaciones de transferencia de
materia (adsorción, intercambio iónico, lixiviación) y
reacciones químicas fluido-sólido (catálisis heterogénea, combustión y gasificación de sólidos, etc.). En
algunos casos el sólido actúa como inerte (lecho de
partículas filtrantes, relleno de columnas de absorción,
µ = 1, 78 ⋅ 10 −5 (kg/ms)
ρ = 1, 246 (kg/m 3 )
con lo que el número de Reynolds (ecuación [9.3])
resultará:
Capítulo 9: Operaciones basadas en el flujo de fluidos
etc.) y en otros es un sólido activo (adsorbente, resina de intercambio iónico, catalizador de reacciones
químicas heterogéneas, etc.).
En cualquier caso, el paso del fluido a través de los
huecos que dejan las partículas sólidas en el lecho determina una pérdida de carga que en general interesa hacer
mínima, sin que se pierda eficacia en el contacto sólido-fluido o se disminuya sensiblemente el rendimiento de la operación de que se trate. Ello determina por
un lado la forma geométrica del sólido (esferas, cilindros, partículas irregulares, rellenos huecos comerciales, etc.) y por otro la relación entre el diámetro de las
partículas y el diámetro de la columna que las contiene. De hecho, éste no debe ser superior a 1:8, pues
podrían producirse canalizaciones preferentes del fluido en las zonas próximas a las paredes de la columna,
lo que se conoce como efecto pared.
Esta pérdida de carga producida en los lechos porosos es difícil de determinar teóricamente, dada la diversa naturaleza, forma y tamaño de los sólidos y de su
distribución en el lecho. Sin embargo, puede establecerse una analogía entre el flujo a través de los huecos
o canales de un lecho poroso y el flujo por el interior
de una conducción, en cuyo caso podrían aplicarse las
ecuaciones deducidas para el flujo interno (capítulo 8).
En efecto, si se considera el modelo de lecho
poroso de la figura 9.4, puede suponerse que el fluido circula a su través por un sistema de canales estrechos, paralelos, tortuosos, iguales entre sí, cuya superficie interna de contacto con el fluido es igual a la
superficie externa de las partículas y cuyo volumen
total es igual al volumen de huecos del lecho (volumen libre). Este último puede caracterizarse mediante la porosidad del lecho, o fracción de huecos ε (m3
huecos/m3 lecho). En estas condiciones se podrían
aplicar al sistema de canales las mismas ecuaciones
utilizadas para el flujo interno, presentadas en el capítulo anterior, para el cálculo de la pérdida de carga
por rozamiento.
Así, si se aplicara la ecuación de Poiseuille [8.20]
al conjunto de canales, se llegaría a la siguiente expresión:
S (1 − ε ) 2
∆P
= KµV0 0 3
L
ε
2
[9.6]
conocida como ecuación de Kozeny, válida para régimen laminar, Rep < 10, siendo el número de Reynolds
modificado:
Rep =
V0 ρDp
(1 − ε )µ
en la que ∆P es la pérdida de presión producida en el
lecho de espesor L, V0 la velocidad media del fluido
referida a la columna vacía (V0 = Qv / A), Qv el caudal volumétrico de fluido, S0 la superficie externa de
las partículas por unidad de volumen de éstas (m2/m3),
ε la porosidad del lecho, µ la viscosidad del fluido y K
una constante característica de cada lecho de partículas, función de la forma y orientación de éstas y del
grado de compresión del lecho (para lechos incompresibles y porosidades ε < 0,5; K ~ 5).
De forma análoga, aplicando la ecuación de Fanning [8.22] del flujo interno al flujo en los canales del
lecho, se obtendría la siguiente ecuación, válida para
régimen turbulento:
S (1 − ε )
∆P 1
= f c ρV02 0 3
2
L
ε
FIGURA 9.4. Modelo de lecho poroso de partículas sólidas.
197
[9.7]
Esta expresión se conoce como ecuación de Carman, aplicable para Rep > 103, y en ella aparece también una constante, fc, que representa un factor de rozamiento en los canales y que depende del tipo de
partículas sólidas o relleno y también del número de
Reynolds modificado, Rep, de forma similar a como
lo hacía el factor de rozamiento en conducciones y
198
Introducción a la Ingeniería Química
tuberías (gráfico de Moody, figura 8.17). Existen correlaciones en la bibliografía para fc (Rep).
Si se comparan las ecuaciones [9.6] y [9.7] se observa una dependencia de la pérdida de presión con la
velocidad del fluido que es lineal en régimen laminar
(∆P ~ V0) y función cuadrada en régimen turbulento
(∆P ~ V02), de la misma forma que ocurría con las
ecuaciones de Poiseuille y de Fanning, respectivamente.
No obstante, a fin de disponer de una ecuación
más general que abarque un amplio intervalo de régimen laminar y régimen turbulento, se pueden combinar linealmente las ecuaciones de Kozeny y Carman
[9.6] y [9.7], de tal forma que aparezcan dos sumandos, uno con el término ∆P ~ V0 y otro con ∆P ~ V02.
Así, se llega a la expresión final:
∆P
µ (1 − ε ) 2
ρ (1 − ε ) 2
= K1 2
V0 + K 2
V0
L
Dp ε 3
Dp
ε3
1
1
−
vol. huecos ρ L ρ P
ρ − ρL
ε=
=
= P
=
1
vol. lecho
ρP
ρL
1.600 − 950
=
= 0, 406
1.600
1, 5 ⋅ 10 −5 (1 − 0, 406 ) 2
∆P
( 1) +
= 150
L
( 0, 005 ) 2 ( 0, 406 ) 3
+ 1, 75
∆P
µ (1 − ε ) 2
ρ (1 − ε ) 2 [9.8]
= K1 2
V0 + K 2
V0
L
Dp ε 3
Dp
ε3
0, 70 (1 − 0, 406 ) 2
( 1) =
0, 005 ( 0, 406 ) 3
= 480 + 2.174 = 2.654 (Pa/m)
∆P = 2.654(2) = 5,3 · 103 (N/m2)
conocida como ecuación de Ergun, en la que K1 y K2
son dos constantes que dependen del tipo de partículas sólidas.
Un valor promedio de estas constantes, determinado experimentalmente a partir de diversos tipos de
sólidos y distintos tamaños y formas de partículas, puede tomarse como K1 = 150 y K2 = 1,75.
Ejemplo 9.2. Calcular la pérdida de presión que se
produce en un lecho catalítico de un reactor de craqueo, constituido por partículas sólidas de catalizador aproximadamente esféricas de diámetro 0,5
cm. El lecho poroso tiene una altura de 2 m y un
diámetro de 0,35 m, y la mezcla gaseosa reaccionante que lo atraviesa tiene una velocidad media
V0 = 1 m/s. Tómense los siguientes datos: densidad
de la partícula sólida ρp = 1.600 kg/m3, densidad del
lecho poroso ρL = 950 kg/m3, densidad de la corriente fluida ρ = 0,70 kg/m3, viscosidad del fluido µ =
1,5 · 10–5 kg/m · s, factor de rozamiento en esas condiciones, fc = 0,6.
Solución:
Aplicando la ecuación de Ergun [9.8], se tendrá:
Como se puede observar, la contribución del
término correspondiente al régimen turbulento
(∆P ~ V02 ) es claramente mayor que la del término laminar (∆P ~ V0). En estas condiciones, siendo predominante el término turbulento, podría
haberse utilizado la ecuación de Carman [9.7] que
habría conducido a un resultado no muy diferente. En efecto:
S (1 − ε )
∆P 1
= f c ρV02 0 3
2
L
ε
S0 =
6
6
=
= 1.200 (m 2 /m 3 )
Dp 0, 005
∆P 1
1.200(1 − 0, 406 )
= ( 0, 6 )0, 70(1) 2
=
L
2
( 0, 406 ) 3
= 2.236 (Pa/m)
∆P = 2.236(2) = 4,5 · 103 (N/m2)
valor próximo al anterior, dentro del margen de
error aceptable (el valor de fc es sólo aproximado, y tiene gran influencia sobre el resultado
final).
199
Capítulo 9: Operaciones basadas en el flujo de fluidos
Cuando las partículas del lecho no son esféricas,
sino de forma irregular, se utiliza para las mismas un
diámetro equivalente definido como el diámetro que
tendría una esfera del mismo volumen de la partícula real. Así, se define también el factor de forma o esfericidad de la partícula irregular (φs) como el cociente
entre la superficie de esta esfera de igual volumen que
la partícula y la superficie real de la partícula:
φs =
πDp2
Sp
Es evidente que para una esfera, al ser Sp = π
resultaría φs = 1. Por tanto, la superficie por unidad de
volumen de las partículas (irregulares) de un lecho
poroso, vendrían expresadas de la forma:
Sp
Vp
=
πDp2 / φ s
πDp3 / 6
=
6
(m 2 /m3 )
φ S Dp
[9.10]
Los valores de la esfericidad están tabulados para
partículas sólidas de distinta forma geométrica, como
se indica en el cuadro 9.1. Para materiales granulares, al ser difícil medir con exactitud la superficie y
el volumen real de la partícula para obtener el diámetro equivalente, se suele determinar Dp a partir
de medidas experimentales, bien de un análisis óptico o de un análisis de tamaños por tamizado. A su
vez, la superficie de la partícula se puede obtener por
medidas de adsorción. De esta forma, utilizando la
ecuación [9.10] se obtendrían los valores de la esfericidad φs de los materiales granulares. En el cuadro
9.1 se incluyen algunos de ellos, que suelen estar en
el intervalo 0,6-0,7.
CUADRO 9.1
Factores de esfericidad de algunos materiales
de los lechos porosos
Material
Esferas
Cubos
Cilindros (diámetro = altura)
Anillos Raschig
Sillas Berl
Carbón pulverizado
Arena (promedio)
Vidrio molido
S 0 = ∑ xi S 0 i
[9.11]
siendo xi la fracción volumétrica de partículas de superficie específica S0i. Así, combinando las ecuaciones
[9.10] y [9.11] se obtiene:
[9.9]
Dp2,
S0 =
Finalmente, si existen partículas de diverso tamaño, el diámetro equivalente se determina a partir del
área específica media:
Dp =
6
=
S0
6
∑ xi S 0 i
∴ Dp =
=
6
∴
 6 
∑ xi  φ D 
 s pi 
1
x
/(
∑ i φ s Dpi )
[9.12]
Esta expresión permite, pues, calcular el diámetro
medio equivalente de una distribución de tamaños de
partículas, conocido el porcentaje en volumen de cada
tamaño y la esfericidad de las partículas.
La esfericidad de las partículas sólidas y la porosidad del lecho que se puede formar con ellas guarda
relación, como se observa en la figura 9.5. Para lechos
muy empaquetados y partículas de elevada esfericidad, el valor de la porosidad del lecho disminuye hasta 0,3-0,4. Sin embargo, para lechos de partículas irregulares y muy poco empaquetados, como algunos lodos
de sedimentación poco comprimidos, la porosidad puede llegar a 0,8-0,9. Lógicamente, si las partículas son
de tamaños distintos, según una distribución típica, los
huecos del lecho disminuyen considerablemente, llegándose a porosidades incluso inferiores a 0,2.
Ejemplo 9.3. Un lecho poroso contiene una mezcla de partículas de varios tamaños, de acuerdo
con la distribución siguiente:
Esfericidad (φS)
1
0,806
0,87
0,3
0,3
0,73
0,75
0,65
% Vol.
5
10
15
20
20
15
10
5
Dpi (mm)
1
2
3
4
5
6
7
8
La esfericidad de las partículas es 0,70. Calcular el diámetro medio equivalente de las partículas y la superficie específica media del lecho.
200
Introducción a la Ingeniería Química
La superficie esférica media de las partículas
del lecho será, por tanto:
S0 =
6
Dp
=
6
2, 45 ⋅ 10 −3
= 2, 45 ⋅ 10 3 (m 2 /m 3 )
9.4. Operaciones basadas en el flujo
externo de fluidos
Las operaciones de separación sólido-fluido, basadas en el flujo externo, tienen gran importancia en la
industria química por su extendida utilización. Las
más importantes son las siguientes:
FIGURA 9.5. Variación de la porosidad de un lecho fijo
de partículas de igual tamaño con la esfericidad de las
partículas (φs).
Solución:
Aplicando la ecuación [9.12] se obtiene:
Dp =
=
1
=
x1
∑φ D
s pi
φ s ⋅ 10 −3
=
 0, 05 0, 10 0, 15 0, 20 0, 20 0, 15 0, 10 0, 05 
+
+
+
+
+
+
+


 1
2
3
4
5
6
7
8 
= 3, 508 ⋅ 10 –3 φ s = 3, 508 ⋅ 10 −3 ( 0, 70 ) =
= 2, 45 ⋅ 10 −3 (m)
( 2, 45 mm )
Como se observa, sale un valor medio (antes
de considerar la esfericidad) de 3,508 mm, inferior al valor intermedio de la distribución (4,5
mm), lo que es lógico ya que el cálculo se realiza
con fracciones volumétricas, no másicas. Es decir,
hay mucho mayor número de partículas pequeñas que de partículas grandes para un mismo porcentaje en volumen, por lo que las partículas
pequeñas tienen mayor influencia en el valor
—
medio de Dp .
• Filtración. Es la separación de partículas sólidas existentes en una suspensión, líquida o
gaseosa, haciéndola pasar a través de un medio
filtrante (placa perforada, lecho poroso previo,
etc.). El fluido atraviesa los huecos del medio
filtrante, mientras que las partículas sólidas
quedan retenidas.
• Sedimentación. Es la separación de partículas
sólidas existentes en una suspensión –normalmente líquida– por acción de la gravedad, al
dejar la suspensión en reposo. Evidentemente
se requiere que la densidad del sólido sea
mayor que la del fluido, y que las partículas
tengan un tamaño suficiente y unas propiedades adecuadas (la formación de suspensiones
estables, como las pinturas, no son fáciles de
separar en la práctica por simple sedimentación).
También tiene interés práctico la sedimentación de emulsiones, en las que la suspensión
está formada por gotas de un líquido en el seno
de otro líquido inmiscible con él. El proceso es
más complejo en este caso, pues se produce
también la coalescencia de las gotas.
• Centrifugación. Denominada también sedimentación centrífuga, tiene el mismo fundamento que la sedimentación gravitatoria, con
la diferencia de que ahora actúa una fuerza centrífuga en la separación, mucho mayor que la
fuerza gravitatoria. Esto permite alcanzar una
mayor efectividad en la separación y un menor
tiempo de operación, si bien el coste es considerablemente mayor (coste energético).
Capítulo 9: Operaciones basadas en el flujo de fluidos
• Fluidización. Es la suspensión de partículas
sólidas de un lecho en el seno de un fluido que
lo atraviesa en dirección ascendente. La velocidad del fluido es suficiente para vencer la pérdida de presión del lecho y el peso de las partículas, de tal forma que éstas se mantienen
suspendidas en el fluido. Por esa razón, se
denomina lecho fluidizado, caracterizándose
por un intenso grado de mezcla de las partículas sólidas. En realidad, la fluidización no es en
sí una operación de separación sólido-fluido,
sino una técnica basada en los mismos fundamentos del flujo externo que las demás operaciones citadas, y que tienen aplicación en ciertas operaciones de separación y reacciones
químicas, como se verá más adelante (apartado 9.8).
• Transporte neumático. Es el arrastre y transporte de partículas sólidas por un fluido –normalmente un gas– en condiciones de velocidad superiores a las de un lecho fluidizado. Al
ser mayor la velocidad del fluido, las partículas son arrastradas y transportadas a otro
lugar, donde se recogen en ciclones y sistemas
de filtros. Lógicamente, las partículas han de
tener un tamaño y una densidad suficientemente bajos.
• Clasificación hidráulica. Es una operación de
separación de partículas sólidas en función de
su tamaño, basada en el efecto de transporte y
arrastre que ejerce un líquido. Las partículas
más finas son arrastradas en suspensión por el
líquido, en comparación con las partículas más
gruesas, por lo que puede lograrse una separación o clasificación de las partículas en función de su diámetro equivalente. Tiene interés
en operaciones de minería, posteriormente a
las operaciones de reducción de tamaño de sólidos (trituración, molienda, etc.). Una variante de la clasificación hidráulica, en la que el fluido portador es un gas (normalmente aire), se
denomina separación neumática, muy similar
al transporte neumático, pero orientada a la
separación por tamaños. En realidad todas
estas operaciones son de separación de sólidos,
no de separación fluido-sólido, aunque intervienen los fluidos.
• Flotación. Es la separación de las partículas
sólidas de menor densidad de una mezcla heterogénea de partículas sólidas (de densidades
201
diferentes), por la acción selectiva de las fuerzas de flotación. Las partículas menos densas
se hacen flotar en el seno del líquido, con la
ayuda de los “agentes de flotación” (sustancias tensoactivas), formándose una espuma
que las arrastra, y quedando las de mayor densidad en el fondo del recipiente. La flotación
tiene gran interés en la separación de minerales en los procesos de extracción minera, pues
permite separar la mena (mineral de interés)
de la ganga (material inerte sin interés). Se
considera también una operación de separación de sólidos, no de separación fluido-sólido, aunque ocasionalmente se utilice para
separar partículas sólidas de una suspensión
acuosa.
En el cuadro 9.2 se resume este conjunto de operaciones sólido-fluido. Algunas de ellas se describirán
a continuación, por su mayor interés y frecuencia en
la industria química: filtración, sedimentación, centrifugación y fluidización.
CUADRO 9.2
Operaciones sólido-fluido basadas en el flujo externo
Operación
Principales
fuerzas que actúan
Fluido habitual
Filtración
Gravedad
Líquido o gas
Sedimentación
Gravedad
Rozamiento
Líquido
Centrifugación
Centrífuga
Líquido o gas
Fluidización
Gravedad
Rozamiento
Inercia
Líquido o gas
Transporte
neumático
Gravedad
Rozamiento
Inercia
Gas
Clasificación
hidráulica
Gravedad
Rozamiento
Inercia
Flotación
Líquido
Flotación
Gravedad
Flotación
Líquido
202
Introducción a la Ingeniería Química
9.5. Filtración
Como ya se ha indicado, en el proceso de filtración las partículas sólidas suspendidas en un fluido
(líquido o gas) se separan mediante la utilización de
un medio filtrante que permite el paso del fluido pero
retiene los sólidos, que van depositándose sobre él
(tela filtrante, placa porosa, lecho de partículas inertes, etc.). El fluido libre de partículas se conoce como
filtrado.
Las partículas sólidas que se someten a la filtración pueden tener tamaños muy diversos, variando
desde partículas micrométricas a partículas de varios
milímetros. Los poros del medio filtrante pueden ser
algo mayores que las partículas que deben separarse,
sin que se dificulte la operación, ya que al comienzo
de la filtración algunas partículas penetran en los poros
del medio filtrante, quedando posteriormente retenidas sobre su superficie formando un lecho o torta de
espesor progresivamente creciente. La figura 9.6 recoge el principio de la filtración, donde la torta formada pasa a ser la responsable de la filtración y no el
medio filtrante que actúa como soporte de la misma.
Es precisamente ese crecimiento del espesor de la
torta el que hace aumentar la resistencia al paso del
fluido, por lo que para vencerla ha de establecerse una
diferencia de presiones a ambos lados del filtro. Según
se aplique ésta, los filtros pueden clasificarse en los
siguientes tipos:
• Filtros de presión. El filtrado se encuentra a
presión atmosférica y la suspensión alimentada a una presión superior.
• Filtros de vacío. La alimentación está a presión
atmosférica y el filtrado a una presión inferior
a ésta, lo que se consigue haciendo vacío.
• Filtros centrífugos. La diferencia de presiones se
consigue por efecto de una fuerza centrífuga
desarrollada cuando el filtro (de geometría cilíndrica) se hace girar sobre su eje a velocidad elevada.
Asimismo, según sea el tipo de operación, los filtros pueden clasificarse en continuos y discontinuos.
A su vez, el producto principal puede ser el líquido
filtrado, el sólido retenido en el filtro o ambos.
Por su parte, en función de la concentración de
sólidos, los filtros actúan de diferente forma. Así, cuando la cantidad de sólidos en la suspensión es elevada,
la mayor parte de las partículas quedan retenidas en
la torta filtrante (filtración por torta) que se separa
posteriormente. Si la proporción de sólidos es pequeña, éstos penetrarán una profundidad mayor dentro
del medio filtrante antes de quedar fijados dentro de
los canales de flujo, no observándose generalmente la
formación de una capa de sólidos sobre la superficie
del medio filtrante (filtración en profundidad o filtros
clarificadores). En estos casos, el filtro puede operar
durante mayores períodos de tiempo antes de que
haya que interrumpir la operación para su limpieza.
9.5.1. Aspectos prácticos de la filtración
Desde el punto de vista práctico, es importante,
en primer lugar, la selección del medio filtrante, pues
como se ha indicado debe actuar como soporte de la
torta y presentar una resistencia mecánica y química
adecuada a la suspensión a tratar sin que su coste sea
excesivamente elevado.
En la selección del medio filtrante existe una gran
variedad de opciones, entre las que se encuentran algu-
FIGURA 9.6. Esquema de
la operación de filtración.
Capítulo 9: Operaciones basadas en el flujo de fluidos
nos materiales rígidos (placas cerámicas o metálicas
perforadas) y flexibles (tejidos de fibras naturales,
como el algodón o celulosa, o sintéticas como la lana
de vidrio). También se pueden utilizar filtros de lecho
granular rellenos de arena, tierra de diatomeas, etc.
En cualquier caso, la etapa inicial de la filtración
suele ser bastante importante, ya que puede producirse una obturación de los poros del material filtrante con la consiguiente disminución de caudal tras
un corto tiempo de operación. Este fenómeno suele
ocurrir cuando se trabaja con sólidos muy finos y
fácilmente deformables (sustancias gelatinosas), así
como cuando se intenta la filtración de soluciones
diluidas.
En estos casos, en los que existe el riesgo de una
obturación rápida del medio filtrante, es necesario
aumentar la porosidad de la torta mediante el empleo
de un agente coadyuvante de la filtración, normalmente
una sustancia de carácter granular, de elevada porosidad que retiene las partículas más finas y que presenta una resistencia mecánica suficiente para impedir su desintegración cuando se comprime. Al mismo
tiempo, el agente coadyuvante es capaz de generar
una red de canales en la torta, lo que facilita la filtración. Entre los coadyuvantes más utilizados se encuentra el kieselguhr, material formado por restos esqueléticos de algas microscópicas, y las perlitas, rocas de
origen volcánico.
Una vez finalizada la filtración debe procederse al
lavado de la torta para eliminar el líquido retenido en
los huecos de la misma. El líquido de lavado debe ser
miscible con el filtrado y debe tener propiedades físicas parecidas, siendo el agua el líquido de lavado de
uso más frecuente. Los dos aspectos más importantes
a tener en cuenta durante esta operación de lavado
son el volumen de líquido requerido y la velocidad de
flujo del mismo.
A la hora de establecer la cantidad de líquido de
lavado debe tenerse en cuenta si el líquido retenido
entre los huecos de las partículas sólidas es fácil de
desplazar (lavado por desplazamiento), en cuyo caso
sólo será necesario un volumen ligeramente superior
al volumen de filtrado retenido por la torta. Sin
embargo, para el caso de sólidos microporosos existen fenómenos de difusión –por lo general bastante
lentos– del líquido retenido (lavado por difusión),
siendo necesario, por lo tanto, una mayor cantidad
de líquido de lavado, cantidad que, para este tipo de
partículas, se incrementa con el aumento del tamaño de las mismas. En cualquier caso, al inicio de la
203
operación de lavado predomina el lavado por desplazamiento, para pasar posteriormente al lavado
por difusión. La figura 9.7 muestra la evolución de
los fenómenos comentados.
Una vez finalizado el lavado, debe recuperarse la
torta del filtro y procederse a su limpieza antes de utilizarlo en un nuevo ciclo de filtración.
FIGURA 9.7. Evolución de la concentración del efluente
durante el lavado de la torta de filtración.
9.5.2. Equipos de filtración
Para la elección del filtro más adecuado deben
tenerse en cuenta todos aquellos aspectos que determinen un coste global mínimo. Entre los factores más
importantes a tener en cuenta deben señalarse la resistencia específica de la torta filtrante y la cantidad y concentración de sólidos de la suspensión a filtrar.
A) Filtros de presión
Mediante la acción de la fuerza de gravedad
actuando sobre una columna de líquido (carga hidrostática) pueden conseguirse presiones ligeramente superiores a la atmosférica, conociéndose los filtros que
trabajan de esta forma como filtros de gravedad. El
medio filtrante está formado por un lecho de partículas gruesas tales como arena o dos lechos superpuestos de grava y arena, que se sitúa sobre un sopor-
204
Introducción a la Ingeniería Química
te perforado. La figura 9.8 recoge un esquema de funcionamiento de este tipo de filtros.
Este tipo de filtros se utiliza generalmente para
eliminar pequeñas cantidades de sólidos de grandes
volúmenes de líquido, por lo que sus aplicaciones
industriales más importantes se encuentran en la clarificación de agua potable y el tratamiento de aguas
residuales. Con el tiempo, debe detenerse la filtración
para proceder a la regeneración del filtro mediante
una corriente de agua limpia que se introduce en sentido contrario al de la filtración y que arrastra las sustancias retenidas en el lecho, evitando su colmatación.
vez ensamblados, forman las conducciones de entrada de la suspensión por la parte superior y de salida
del filtrado por la parte inferior, quedando el sólido
retenido en la tela filtrante situada a ambos lados
del marco. La filtración continúa hasta que no sale
líquido o existe un aumento brusco de la presión. En
ese momento, se procede al lavado del sólido, abriendo posteriormente la prensa para su descarga. Evidentemente, este tipo de filtro opera de forma discontinua.
En los filtros prensa el intervalo de presiones de
trabajo oscila entre 3 y 10 atmósferas, siendo por lo
tanto muy versátiles tanto en lo que se refiere a los
cambios de alimentación como a la capacidad de tratamiento (pueden añadirse o quitarse placas y marcos
según la necesidad), si bien el coste de la mano de obra
(desmontaje del equipo, descarga de la torta y nuevo
montaje) supone un capítulo importante dentro de los
costes de operación. Las características señaladas
hacen aconsejable su aplicación para el filtrado de
líquidos con gran cantidad de sólidos, en filtraciones
difíciles y cuando se van a tratar cantidades no muy
elevadas. Se utilizan habitualmente en la tecnología
de alimentos, particularmente en la industria de bebidas (fabricación de cerveza, vinos, producción de
zumos, etc.).
B) Filtros de vacío
FIGURA 9.8. Esquema de un filtro de gravedad.
Si se desean filtraciones más rápidas, debe aumentarse la presión sobre la suspensión por medio de una
bomba, lo que da lugar a los denominados filtros de
presión. En caso de que la suspensión se alimente
mediante una bomba centrífuga, por ejemplo, puede
regularse el intervalo de presiones de trabajo, lo que
permite mayor versatilidad, aunque, salvo raras excepciones, no pueden trabajar en continuo. Los filtros de
este tipo más comunes son los filtros prensa.
El filtro prensa contiene un conjunto alternado
de marcos huecos y placas entre los que se sitúa el
medio filtrante, generalmente una tela o lona. Dichos
elementos se colocan sobre un bastidor en el que se
acoplan mediante una prensa, tal como queda recogido en la figura 9.9. Los marcos y las placas tienen
unas perforaciones en sus esquinas, por lo que, una
Para la filtración a gran escala son más recomendables los filtros que funcionan a vacío, pues trabajan
en continuo y a baja presión (condiciones de succión),
desarrollándose las etapas de filtración, lavado y descarga de la torta de forma automática. Los dos tipos
más utilizados en la industria química son los filtros
rotatorios de tambor y de discos, sobre todo en procedimientos de fabricación de gran tonelaje (obtención de carbonato sódico mediante el proceso Solvay,
desparafinado de aceites lubricantes, etc.).
El filtro de tambor rotatorio, que se representa en
la figura 9.10a, consiste en un cilindro hueco cuya
superficie lateral se encuentra perforada o está formada por una malla metálica gruesa sobre la que se
sitúa la tela o lona filtrante. El cilindro se encuentra
dividido en una serie de sectores radiales en los que
se desarrollan las etapas de succión del filtrado (1),
escurrido (2), lavado (3), secado con aire (4) y descarga (5). La torta se retira del tambor mediante el
empleo de una rasqueta o una cuchilla, quedando el
Capítulo 9: Operaciones basadas en el flujo de fluidos
205
FIGURA 9.9. Filtración a presión. Esquema
de un filtro prensa (detalle del ensamblaje
de marcos y placas).
sector radial preparado para comenzar un nuevo ciclo
cuando vuelva a sumergirse en la suspensión.
El espesor de la torta puede regularse mediante el
ajuste de la velocidad de giro, obteniéndose una torta más delgada (mayor velocidad de filtración) cuando se aumenta dicha velocidad. Si en vez de un cilindro o tambor se utilizan una serie de discos paralelos
de superficie permeable y también con diferentes sectores, situados sobre un eje común horizontal, el filtro se denomina filtro rotatorio de discos y presenta
la ventaja de proporcionar en el mismo espacio un
área de filtración mayor. Sin embargo, el lavado es
menos eficaz y la descarga de la torta resulta más difícil de realizar (figura 9.10b).
Finalmente, existe la opción de utilizar filtros centrífugos, en los que la fuerza centrífuga –originada por
la rotación de la unidad alrededor de un eje–, es la
encargada de vencer la resistencia provocada por la
torta, la tela filtrante y la placa perforada que sopor-
ta la misma, obligando al líquido a pasar a través de
los sólidos retenidos (figura 9.11). El estudio de este
tipo de filtros se incluye dentro de las operaciones de
centrifugación.
9.5.3. Fundamento teórico de la filtración
Se distinguirá en el tratamiento entre filtración discontinua y continua.
A) Filtración discontinua
La filtración es un ejemplo claro de circulación de
un fluido a través de un lecho poroso que crece de
espesor de manera uniforme, por lo que si la presión
de trabajo permanece constante, la velocidad de flujo –y por tanto el caudal de líquido filtrado– dismi-
206
Introducción a la Ingeniería Química
FIGURA 9.10. Filtración
a vacío: a) esquema de
un filtro rotatorio de
tambor, b) filtro rotatorio de discos.
nuirá paulatinamente. En caso de que se pretenda
mantener constante la velocidad de filtración será preciso un aumento gradual de la presión.
Así pues, en este proceso de separación los principales factores de los que depende la velocidad de filtración son la diferencia de presión entre ambos lados
del filtro (∆P), la superficie transversal de filtro (A),
la resistencia de la torta (RT) y la resistencia del medio
filtrante (RF), según se recoge en la figura 9.12. El caudal de filtrado por unidad de área de la superficie filtrante se podrá expresar como cociente entre la fuerza impulsora (diferencia de presión) y la resistencia a
la filtración, de acuerdo con el concepto de ley cinética (ecuación [4.2]), pudiendo escribirse:
FIGURA 9.11. Esquema de funcionamiento de un filtro
centrífugo.
∆P
1 dV Fuerza impulsora
=
=
Resistencia
A dt
RT + RF
[9.13]
Capítulo 9: Operaciones basadas en el flujo de fluidos
VS = (1 – ε)AL
207
[9.16]
y si ρp es la densidad de las partículas, la masa total de
sólidos acumulados mS será:
mS = ρp(1 – ε)AL
[9.17]
Asimismo, si cS es la concentración másica de sólidos puede establecerse que:
mS = cS(V + εAL)
FIGURA 9.12. Pérdida de carga a través de un filtro.
donde dV es el volumen de filtrado recogido en el
tiempo dt.
Por otra parte, dado que las partículas que forman
la torta son de pequeño tamaño y que la velocidad del
fluido a través de los canales del lecho es lenta, puede asumirse una operación en régimen laminar, por
lo que el flujo a través del sólido puede describirse por
la ecuación de Kozeny [9.6] para determinar la pérdida de presión a través de la torta filtrante:
∆PT
S 2 (1 − ε ) 2
= KµV0 0 3
L
ε
[9.14]
donde ∆PT representa la pérdida de presión a través de un lecho de longitud L (es decir, la torta),
siendo V0 la velocidad de filtración, µ la viscosidad
del filtrado, S0 la superficie específica del lecho de
partículas (superficie por unidad de volumen de partículas), ε la porosidad de la torta y K la constante
de Kozeny.
En estos casos, la velocidad lineal del filtrado referida al área del filtro será variable con el tiempo, ya
que el caudal va disminuyendo al aumentar el espesor de la torta:
V0 =
dV / dt
A
[9.15]
Por su parte, el espesor de la torta L puede relacionarse con el volumen de filtrado V mediante un
simple balance de materia, ya que el volumen de sólidos VS contenidos en una torta de espesor L será:
[9.18]
donde el término (εAL) representa el volumen de filtrado retenido en la torta. Éste, sin embargo, suele ser
pequeño comparado con el volumen de filtrado V y
puede despreciarse, por lo que, igualando las dos ecuaciones anteriores se obtiene:
ρ P (1 − ε ) AL = c S V ∴
cSV
∴ L=
ρ (1 − ε ) A
[9.19]
P
Sustituyendo las ecuaciones [9.15] y [9.19] en la
ecuación de Kozeny [9.14] resulta finalmente:
1 dV
=
A dt
∆PT
µc V
α S
A
[9.20]
ecuación que comparada con la expresión [9.13] permite establecer la expresión de la resistencia de la torta:
RT = α
µc S V
A
[9.21]
donde α representa la denominada resistencia específica de la torta, siendo su expresión la que se deduce de la ecuación [9.20] y sus dimensiones, longitud/masa:
α=
KS02 (1 − ε )
ρPε 3
[9.22]
Por su parte, la resistencia ofrecida por el medio
filtrante, por analogía con la ecuación [9.20], puede
expresarse de la forma:
208
Introducción a la Ingeniería Química
1 dV ∆PF
=
A dt µRF
[9.23]
siendo ∆PF la pérdida de carga debida a la presencia
del elemento filtrante que ofrece una resistencia RF
al paso del filtrado y que tiene de dimensiones longitud–1.
Dado que las resistencias de la torta y del medio
filtrante son dos resistencias en serie, de acuerdo con
la ecuación [9.13] puede escribirse que:
1 dV
∆P
=
 αcS

A dt
V + RF 
µ
 A

Para determinar los valores de α y de R F será
necesario recurrir a la experimentación, realizando
ensayos a presión constante con un filtro de superficie conocida, en los que se miden los volúmenes
de filtrado recogidos para diferentes tiempos. Asimismo, mediante la realización de experimentos a
diferentes presiones de trabajo se obtendrían distintos valores de la resistencia específica de la torta
y del medio filtrante, tal como se recoge en la figura 9.13.
[9.24]
donde ∆P representa la pérdida de carga total (resistencia ofrecida por la torta y el medio filtrante).
A menudo la filtración se realiza a presión constante, por lo que las únicas variables de la ecuación
anterior son V y t. En este caso, la integración de la
ecuación diferencial anterior conduce a:
t=
αµcS V 2 µRF
V
+
A2∆P 2 A∆P
(∆P = cte.)
[9.25]
ecuación que establece el tiempo necesario para filtrar un volumen V.
Si se divide la ecuación [9.25] por V, se obtiene una
nueva forma de expresar el tiempo de filtración referido al volumen de filtrado:
V
t
αµc V
µ
RF = a + b
= 2 S
+
V A ∆P 2 A∆P
2
[9.26]
ecuación que representa una línea recta en un diagrama t/V frente a V, de pendiente a/2 y ordenada en
el origen b (figura 9.13), cuyos valores respectivos vendrán dados por:
a=
αµcS
A2∆P
[9.27]
b=
µRF
A∆P
[9.28]
FIGURA 9.13. Filtración a presión constante. Determinación
experimental de las resistencias de la torta y del medio filtrante (ecuación [9.26]).
Las variaciones correspondientes de α permiten a
su vez determinar el comportamiento de la torta, ya
que en caso de no existir variación, la torta es incompresible (α = cte.), mientras que el aumento de α con
∆P indica que se trata de una torta compresible. En
este último caso pueden utilizarse relaciones empíricas del tipo:
α = α0(∆P)S
[9.29]
donde los parámetros α0 (resistencia que ofrece el sólido si fuese incompresible) y s (coeficiente de compresibilidad) se determinan experimentalmente, como se
ha indicado antes.
El valor del coeficiente de compresibilidad ayuda
a conocer el comportamiento de la torta, ya que oscila entre cero (torta incompresible) y aproximadamente
0,8 (torta muy compresible).
209
Capítulo 9: Operaciones basadas en el flujo de fluidos
Ejemplo 9.4. En un filtro con una superficie de filtración de 0,125 m2 se trata una suspensión de carbonato cálcico de concentración 20g/l a 20 ºC (µ =
1,01 cp). La presión de trabajo se mantiene constante a lo largo de todo el experimento en 3 atm,
midiéndose los volúmenes de filtrado recogidos
para diferentes tiempos, cuyos resultados son:
t (min.)
0,95
V (litros)
5
3,2
10
7
12
20
15
20
25
µ
cS
A
∆P
1,01 · 10–3 (kg m–1s–1)
20 (kgm–3)
0,125 (m2)
3 atm = 304 (kN/m2)
=
=
=
=
Por lo tanto:
α=
aA2 ∆P ( 3, 6 ⋅ 10 6 )( 0, 125 ) 2 ( 304 ⋅ 10 3 )
=
=
µc S
(1, 01 ⋅ 10 −3 )20
= 8, 46 ⋅ 10 11 (m/kg)
RF =
bA∆P 1.520( 0, 125 )( 304 ⋅ 10 3 )
=
=
µ
1, 01 ⋅ 10 −3
= 5, 72 ⋅ 10 10 (m −1 )
Determinar la resistencia ofrecida por la torta
α y por el medio filtrante RF para las condiciones
del ensayo efectuado.
Solución:
De acuerdo con la ecuación [9.26] la representación de los datos de t/V frente a V determina una
línea recta de cuya pendiente se obtiene el valor
de α (ecuación [9.27]) y de su ordenada en el origen el valor de RF (ecuación [9.28]).
Así pues, a partir de los resultados experimentales, puede construirse la siguiente tabla:
Como ya se ha indicado, en un proceso de filtración a presión constante la velocidad de filtración disminuye lógicamente con el tiempo, como consecuencia del progresivo incremento de la resistencia ofrecida
por la torta. Por tanto, si se desea mantener constante el caudal de líquido filtrado, deberá aumentarse de
forma paulatina la diferencia de presión en el filtro.
Así, si la filtración se realiza con aumento de presión manteniendo el caudal de filtrado constante, la
velocidad lineal también lo será y se cumplirá:
Q
V
1 dV
=
= v∴
A dt
A⋅ t
A
V
∴ Qv = V0 A =
= cte.
t
V0 =
t (s)
57
192
420
720
1.200
V . 103 (m3)
5
10
15
20
25
t/V . 10–3(s/m3)
90
19,20
28,00
36,00
48,00
El ajuste de los datos de t/V frente a V por
regresión lineal (coeficiente de correlación r2 =
0,99) permite la obtención de la pendiente y de la
ordenada en el origen para la recta establecida,
cuyos valores son: pendiente: a/2 = 1,8 · 106 s/(m3)2
y ordenada en el origen: b = 1.520 s/m3
Su sustitución, junto con los demás datos experimentales, en las ecuaciones [9.27] y [9.28] proporcionan, como ya se ha indicado, los valores de
α y RF respectivamente.
[9.30]
siendo Qv el caudal de filtrado. Combinando esta ecuación con la [9.24] se obtiene que:
Qv =
∆P
 αc S
R 
µ
Qv t + F 
A
 A2
[9.31]
ecuación de la que puede despejarse el valor de ∆P,
resultando:
∆P =
µαc SQv2
µRF Qv
(α = cte., Qv = cte.) [9.32]
t+
A
A2
De esta ecuación se deduce que la presión ha de
aumentar linealmente con el tiempo para poder con-
210
Introducción a la Ingeniería Química
seguir un caudal de filtrado constante. En la práctica,
este aumento no se realiza de forma continua sino a
determinados intervalos de tiempo, obteniendo un
valor medio del caudal de filtrado, tal como se recoge en la figura 9.14.
El tratamiento efectuado se ha basado en suponer
que la torta es incompresible (α ≠ f(p)), lo que equivale a suponer las partículas de sólido como rígidas e
indeformables y que por tanto la porosidad del lecho
permanece constante en el intervalo de presiones de
trabajo. Sin embargo, en la mayoría de las ocasiones
las partículas son flexibles y deformables, por lo que
un aumento de la presión provoca la formación de una
torta cada vez más densa, con una resistencia más elevada, tal como indica la ecuación [9.29]. En este caso,
la ecuación [9.32] se transformaría en la siguiente:
∆P =
α 0 ( ∆P ) S µc SQv2
µRF Qv
t+
2
A
A
(Qv = cte.) [9.33]
expresión más compleja que requiere un cálculo por
tanteos.
tración, lavado, secado y desprendimiento de la torta), las condiciones en cada elemento o sector en los
que se encuentra dividido el filtro (figura 9.10a) cambian en función de la etapa que se esté desarrollando,
aunque la pérdida de carga permanece constante
durante el proceso de filtración. Por lo tanto, pueden
aplicarse las ecuaciones de filtración discontinua a presión constante, donde además puede despreciarse la
resistencia relativa que ofrezca la tela filtrante por ser
generalmente mucho menor que la resistencia de la
torta, pues ésta es relativamente gruesa si los tiempos
de ciclo son elevados.
Así pues, la ecuación [9.26] quedará como:
t=a
V2
2
[9.34]
En este caso, t es el tiempo de filtración o tiempo
que un elemento o sector del filtro permanece sumergido en la suspensión. Si f es la fracción del tambor
que se encuentra sumergida en la misma, se obtiene
que:
t = ftC
[9.35]
siendo tC el tiempo de un ciclo completo.
Igualando las ecuaciones [9.34] y [9.35] se obtiene:
 2 f tC 
V =

 a 
1/ 2
[9.36]
Teniendo en cuenta que la velocidad de filtrado,
en este caso, será:
FIGURA 9.14. Filtración a caudal constante. Evolución del
caudal de filtrado con el tiempo en función de la diferencia
de presiones establecida en el filtro (ecuación [9.32]).
B) Filtración continua
En el caso de filtros continuos, como los de tambor rotatorio, el régimen es estacionario con respecto a las velocidades de la alimentación, de filtrado y
de formación de la torta. Sin embargo, al existir diferentes etapas que conforman el ciclo de filtración (fil-
V0 =
V
AtC
[9.37]
la combinación de estas dos últimas ecuaciones, sustituyendo el valor de la constante a de la expresión
[9.27] conducirá finalmente a:
1/ 2
 2 f∆P 
V0 = 

 tC µαc S 
[9.38]
Capítulo 9: Operaciones basadas en el flujo de fluidos
211
ecuación que predice que la velocidad de filtrado es
inversamente proporcional a la raíz cuadrada de la
viscosidad y del tiempo de ciclo (el término cS representa los kg de sólido acumulados por m3 de filtrado).
Cuando los tiempos de ciclo son más cortos (velocidades de giro del tambor elevadas y por tanto espesores de torta delgados), la resistencia ofrecida por el
medio filtrante, al que puede quedar adherida parte
de la torta, no puede despreciarse, debiendo incluirse en la ecuación [9.34] el término b de la ecuación
[9.26].
9.6. Sedimentación
Como se indicó en el apartado 9.4, la sedimentación es una operación de separación sólido-fluido en
la que las partículas sólidas de una suspensión, más
densas que el fluido (líquido o gas), se separan de éste
por la acción de la gravedad. El producto de mayor
interés en unos casos es el fluido libre de partículas
sólidas, y en otros es el propio producto sólido, lo que
puede determinar la forma de llevar a cabo la operación, pues rara vez se consigue la separación total de
las dos fases de forma absoluta y nítida (figura 9.15).
A diferencia de la filtración, donde el criterio para
la separación de las fases es sólo el tamaño de las partículas, en la sedimentación, además de existir una
diferencia de tamaño debe existir una diferencia de
densidades. Lógicamente, cuanto mayor sea la diferencia entre la densidad del sólido y la del fluido, más
fácil será la separación.
Existen en cualquier caso una serie de limitaciones, normalmente relacionadas con la naturaleza de
la suspensión, pues si existen fuerzas de interacción
entre las partículas y éstas son suficientemente pequeñas (suspensiones de tipo coloidal, etc.) la sedimentación natural no es posible, debiendo antes proceder
a la coagulación o floculación de las partículas.
La sedimentación, como muchas de las operaciones de separación sólido-fluido, suele llevarse a cabo
en combinación con otras (filtración, etc.), pues con
una sola no suele conseguirse el máximo rendimiento en la separación de las fases.
Para que la sedimentación sea viable en la práctica, el tamaño de las partículas y la concentración de
las mismas en la suspensión deben tener unos valores
mínimos (como dato orientativo puede tomarse entre
1 y 10 micras, y aproximadamente 0,2% de sólido en
la suspensión, respectivamente).
FIGURA 9.15. Objetivos en la recuperación de fases puras
en las separaciones sólido-fluido: a) el producto principal
es el líquido puro sin presencia de sólidos; b) el producto
principal es el sólido puro sin líquido.
Cuando la suspensión es muy diluida y la relación
entre diámetro de la partícula y diámetro del recipiente es muy pequeña (1/200 aproximadamente), las
partículas se sedimentan libremente, sin choques entre
ellas, por lo que su movimiento no está afectado sensiblemente por el de las demás. En estas condiciones
ideales, el fenómeno se conoce como sedimentación
libre.
Sin embargo, cuando la concentración inicial de
sólidos es mayor o el recipiente tiene un diámetro
relativamente pequeño, las partículas chocan continuamente entre sí durante la sedimentación, retrasándose el proceso al reducirse la velocidad de descenso de las partículas. Este caso, frecuente en la
práctica, se conoce como sedimentación impedida.
Aunque el estudio de la sedimentación impedida es
más complejo, se suele abordar a partir del caso más
sencillo de sedimentación libre que se presenta a continuación.
9.6.1. Sedimentación libre
Una partícula que desciende en el seno de un fluido está sometida a un conjunto de fuerzas que actúan
a favor o en contra de dicho movimiento. Así, a favor
del movimiento actúa su peso, mientras que en con-
212
Introducción a la Ingeniería Química
tra actúan las fuerzas de flotación (empuje de Arquímedes) y de rozamiento (figura 9.16).
FIGURA 9.16. Fuerzas que actúan sobre una partícula
en sedimentación libre.
Si se considera una partícula de masa m, densidad
ρP y volumen VP, que desciende a una velocidad relativa v respecto a un fluido de densidad, ρ, las expresiones de las fuerzas que actúan serán:
— Peso:
Fp = mg = ρpVp g
[9.39]
— Fuerza de flotación:
Ff = ρVp g
[9.40]
ρ P VP
f ρv 2 AP
dv
= ρ P VP g − ρVP g − D
dt
2
[9.43]
que representa la ecuación de movimiento de la partícula libre respecto al fluido en función de sus características (densidad ρP y volumen VP) y de las del fluido.
Desde el momento en que se inicia el movimiento descendente de la partícula (t = 0; v = 0), hasta que
ésta alcanza su régimen estacionario existen dos períodos. Durante el primero, la fuerza resultante es positiva en el sentido de avance y, por tanto, se produce
un movimiento acelerado que incrementa paulatinamente la velocidad de la partícula. Al aumentar la
velocidad de ésta aumenta también la fuerza de rozamiento (ecuación [9.41]), hasta un punto en que la aceleración se anula y la fuerza resultante se hace cero,
alcanzándose en ese momento la velocidad máxima.
A partir de este momento se desarrolla el segundo
período, que se caracteriza por que la velocidad se
mantiene constante en ese valor máximo, que se conoce como velocidad terminal o velocidad de sedimentación libre (V∞ ). En la práctica, es este segundo período el importante, ya que el primero es muy corto (del
orden de las décimas de segundo) y apenas influye en
el proceso de sedimentación.
Por su parte, la velocidad terminal, V∞ , se puede
calcular a partir de la ecuación [9.43] teniendo en cuenta que dv/dt = 0. Así, se obtiene para la velocidad terminal la expresión:
V∞ =
2 g( ρ p – ρ )Vp
f D ρAp
[9.44]
— Fuerza de rozamiento:
F0 = f D
ρv 2
AP
2
[9.41]
donde fD es el coeficiente de rozamiento adimensional (ecuación [9.2]) y AP el área proyectada de la partícula sobre un plano perpendicular a su velocidad. La
variación de la cantidad de movimiento que experimenta la partícula ha de ser igual a la fuerza resultante; así:
m
dv
= mg − Ff − F0
dt
[9.42]
y sustituyendo en este balance las expresiones conocidas de las diferentes fuerzas resulta:
Si se trata de partículas esféricas, sustituyendo las
expresiones del volumen, Vp = (π/6)Dp3 , y de la superficie proyectada, Ap = (π/4)D2p, se particulariza la
expresión anterior, resultando:
V∞ = 2
g( ρ p – ρ )Dp
3 fD ρ
[9.45]
El coeficiente de rozamiento para esferas se calcula a partir de sus expresiones en función del número de Reynolds referido a la partícula, como ya se indicó anteriormente (Rep = ρ V∞ Dp /µ, ecuación [9.3] y
figura 9.3).
Algunas expresiones útiles para f D son las siguientes:
Capítulo 9: Operaciones basadas en el flujo de fluidos
• Rep ≤ 1 Régimen laminar (régimen de Stokes):
fD =
24
Rep
Así, el valor del módulo de Reynolds será:
[9.46]
Rep =
• 1 < Rep < 103 Régimen de transición:
fD =
µ
=
[9.47]
• 103 ≤ Rep ≤ 105 Régimen turbulento (régimen
de Newton):
fD ≈ 0,44
[9.48]
Ejemplo 9.5. Una suspensión acuosa contiene partículas esféricas de un sólido de densidad, ρp = 2,4
g/cm3. Calcular la velocidad terminal de sedimentación y el régimen de flujo para cada uno de los
siguientes diámetros de partícula: a) 0,1 mm; b) 2
mm y c) 4 mm. Se puede considerar que las partículas no interaccionan entre sí, y son prácticamente
esféricas. Viscosidad y densidad del agua µ = 1 cp;
ρ = 1 g/cm3.
y por tanto el régimen efectivamente es laminar,
puesto que Rep < 1.
Para las partículas de mayor tamaño, suponiendo régimen turbulento (103 ≤ Rep ≤ 105), se
podrá aplicar la ecuación [9.48], es decir, fD = 0,44.
Así, sustituyendo los valores en la ecuación [9.45]
resulta ahora:
g( ρ p − ρ )Dp
V∞ = 2
=2
3 fD ρ
Solución:
Al no haber interacción entre las partículas, se
supondrán condiciones de sedimentación libre.
Así, para las partículas de menor tamaño, suponiendo régimen laminar (ley de Stokes),
24
Rep
=
9, 81( 2.400 − 1.000 )4 ⋅ 10 −3
= 0, 408 (m/s)
3( 0, 44 )1.000
con lo que el valor del módulo Reynolds sería:
Rep =
fD =
V∞ ρDp
0, 0076(1.000 )0, 1 ⋅ 10 −3
= 0, 763
10 −3
=
24
(1 + 0, 15 Rep0, 687 )
Rep
213
V∞ ρDp
µ
=
0, 408(1.000 )4 ⋅ 10 −3
= 1.632
10 −3
que confirma que el régimen es turbulento.
A la vista de todo lo anterior, el movimiento
de la partícula de 2 mm de diámetro se producirá
probablemente en régimen intermedio (1 < Rep <
103), haciendo necesarios los tanteos para determinar su velocidad terminal. Así, partiendo de un
valor supuesto del módulo de Reynolds, siguiendo la secuencias de cálculo:
y aplicando la ecuación [9.45] resulta:
V∞ =
(
Rep → fD → V∞ → Rep
)
g ρ p − ρ Dp2
18 µ
Sustituyendo los valores se obtiene la velocidad terminal de sedimentación:
V∞ =
9, 81( 2.400 − 1.000 )( 0, 1 ⋅ 10 −3 ) 2
18 ⋅ 10 −3
= 0, 0076 (m/s)
y utilizando para la determinación de fD la ecuación empírica [9.47] correspondiente a la curva de
la figura 9.3 en el intervalo 1 < Re < 103:
fD =
=
24
(1 + 0, 15 Re0p ,687 )
Rep
se obtienen los siguientes valores:
214
Introducción a la Ingeniería Química
Rep
fD
V∞ (m/s)
Rep
1.000
578
524
515
513
0,438
0,533
0,553
0,556
0,557
0,289
0,262
0,257
0,256
0,256
578
524
515
513
513
Por tanto, las partículas de 2 mm de diámetro
tienen una velocidad terminal de 0,256 m/s correspondiendo a un régimen de sedimentación intermedio entre los dos anteriores.
Como puede comprobarse, el tamaño de partícula es un factor determinante de la velocidad
terminal de sedimentación, así como del régimen
de flujo; en consecuencia, constituye una característica importante para las posibilidades prácticas
de separación de una suspensión mediante sedimentación.
Si se opera con partículas no esféricas, los volúmenes, superficies proyectadas y coeficientes de rozamiento serán diferentes de los indicados anteriormente, si bien pueden emplearse la expresiones
anteriores utilizando, como ya se indicó, un diámetro
equivalente. Éste se define ahora como el diámetro
que tendría una partícula esférica de igual masa y velocidad de sedimentación que la partícula real.
9.6.2. Sedimentación impedida
En muchos casos prácticos de sedimentación, el
número de partículas por unidad de volumen es muy
elevado, de modo que la sedimentación de cada una
de ellas está interferida por las demás. Además, las partículas desplazan en su descenso un volumen equivalente de líquido que ascenderá en el interior del equipo haciendo que la velocidad relativa partícula-fluido
–y con ello la fuerza de rozamiento– aumente. A consecuencia de todo ello, la velocidad de sedimentación
real se hace menor que la velocidad terminal para sedimentación libre dada por la ecuación [9.44].
El primer efecto comentado, incremento de la
fuerza de rozamiento debido a las interacciones entre
partículas, puede ser representado y cuantificado de
modo aproximado a partir de la definición de pro-
piedades efectivas de la suspensión (viscosidad µe y
densidad ρe), de forma que para el cálculo del módulo de Reynolds, de la partícula, en lugar de emplear
la viscosidad µ y la densidad ρ del líquido puro se
emplean µe y ρe. Estas propiedades efectivas de la
mezcla dependen de la concentración volumétrica de
sólido (kg de sólido/m3 de suspensión) o, lo que es lo
mismo, de la fracción volumétrica de líquido en la misma, ε = volumen de líquido/volumen de suspensión.
Así, una vez conocida la fracción volumétrica de
líquido en la mezcla, es posible calcular las propiedades efectivas de la misma mediante expresiones empíricas como las siguientes:
µe = µ · 101,82(1 – ε)
[9.49]
ρe = ρε + ρp (1 – ε)
[9.50]
El segundo efecto, desplazamiento del líquido en
sentido ascendente, provoca que la velocidad eficaz de
sedimentación del sólido respecto al equipo, vS, sea
menor que la velocidad terminal de las partículas respecto al líquido (V∞), pudiendo estimarse su valor de
acuerdo con la expresión:
vs = V∞ · ε
[9.51]
Finalmente, considerando que las paredes del equipo también pueden afectar al comportamiento global
de la operación si el diámetro del sedimentador no
guarda una relación al menos de 200/1 respecto del
diámetro de las partículas, habrá que tener en cuenta también el efecto de las paredes sobre la velocidad
de sedimentación. Sin embargo, dado que habitualmente los sedimentadores tienen grandes diámetros,
de hasta 20 m, no es frecuente que apareza este último efecto.
Ejemplo 9.6. Calcular la velocidad de sedimentación de las partículas en un lodo que contiene un
60% en peso de sólidos, teniendo las partículas la
misma densidad que en el ejemplo anterior y un
tamaño de 0,05 mm.
Solución:
Puesto que las propiedades efectivas de la suspensión dependen de la fracción volumétrica, en
Capítulo 9: Operaciones basadas en el flujo de fluidos
primer lugar se calculará ésta a partir del contenido en peso de sólido, w (%):
ε=
=
(100 – w )/ ρ
=
(100 – w )/ ρ + w / ρ p
40 / 1.000
= 0, 615
( 40 / 1.000 ) + (60 / 2.400 )
Una vez conocida la fracción volumétrica es
posible calcular las propiedades efectivas mediante las ecuaciones [9.49] y [9.50]:
µe = 10–3 · 101,82(1 – 0,615) = 5 · 10–3 (kg/ms)
ρe = 1.000(0,615) + 2.400(1 – 0,615) =
= 1.539 (kg/m3)
Aplicando la ecuación [9.45] corregida con los
valores efectivos de las variables, teniendo en cuenta que fD = 24/ReP, se obtiene el valor de la velocidad de sedimentación:
vs =
=
g( ρ p – ρ e )Dp2 ε
18 µ e
=
9, 81( 2.400 – 1.539 )( 0, 05 ⋅ 10 –3 ) 2 0, 615
18(5 ⋅ 10 –3 )
=
= 1, 44 ⋅ 10 –4 (m/s)
Sustituyendo en la expresión del módulo de
Reynolds se comprueba que el régimen es laminar:
Rep =
=
vs ρ e Dp
µ eε
=
1, 44 ⋅ 10 –4 (1.539 )0, 05 ⋅ 10 −3
= 0, 0036
5 ⋅ 10 –3 ( 0, 615 )
A) Determinación experimental
de la velocidad de sedimentación
En general, el procedimiento más recomendable
para determinar la velocidad de sedimentación en
casos complejos de sedimentación impedida es la vía
experimental.
Para la obtención experimental en el laboratorio
de las velocidades reales de sedimentación se utiliza
un ensayo que consiste en la sedimentación de una
215
suspensión, de concentración de sólidos conocida, en
una probeta de vidrio. Las distintas etapas que se
observan se esquematizan en la figura 9.17.
Al comienzo del ensayo todas las partículas descienden en sedimentación libre y velocidad constante en la zona (B) de la suspensión, cuya concentración
de sólidos es también constante. Por encima de esta
zona aparece una zona (A), de líquido claro.
A lo largo del ensayo la altura h del límite de separación del líquido claro (A) y la zona de sólidos suspendidos (B), disminuye a velocidad constante y en
el fondo de la probeta aparece una nueva zona (D),
que contiene las partículas sedimentadas, al tiempo
que entre las zonas (B) y (D) surge una zona de transición (C) cuyo contenido en sólidos varía entre el que
existe en la zona (B) hasta el que hay en la zona (D)
(figura 9.17).
Cuando la sedimentación avanza, las zonas (B) y
(C) disminuyen de tamaño hasta desaparecer, marcando en ese momento el comienzo de la etapa de
compresión de la zona (D). Este instante se denomina punto crítico y, a partir del mismo, el líquido contenido en la zona A es desplazado por los sólidos, al
tiempo que el espesor de la zona de compresión disminuye.
Un balance de materia de sólidos conduce a la
igualdad:
c0h0 = ch + vct
[9.52]
donde h0 y c0 son la altura y la concentración iniciales
de la suspensión respectivamente, c y h la concentración y la altura en dicha línea de separación del líquido claro y v, la velocidad de desplazamiento de dicha
interfase. El producto (v · c) representa la velocidad
másica de sedimentación de los sólidos (kg/m2 · s) y t
el tiempo transcurrido desde el comienzo del ensayo.
Teniendo en cuenta el balance anterior, el movimiento de la interfase de separación líquido claro-suspensión (h) con el tiempo transcurrido (t) puede representarse por la ecuación:
h=
c0 h0
– vt
c
[9.53]
Así, la pendiente de las tangentes a la curva de
sedimentación h(t) en diferentes puntos permite calcular la evolución de la velocidad de desplazamiento
de la interfase (–dh/dt = v) en cada instante, al tiempo que su ordenada en el origen permite el cálculo de
la concentración correspondiente a ese instante (c).
216
Introducción a la Ingeniería Química
FIGURA 9.17. Etapas en una sedimentación discontinua: a) desarrollo del proceso en una probeta de laboratorio;
b) curva de sedimentación obtenida.
A partir de los valores de ambas variables, v y c,
puede obtenerse la curva de variación de la velocidad
másica de sedimentación con la concentración de sólidos en la interfase, c, dato esencial para el diseño
industrial de un sedimentador continuo con esa misma suspensión.
B) Equipos de sedimentación industrial
Aunque existen equipos de sedimentación discontinua, sin agitación, la mayoría de las separaciones industriales se llevan a cabo de forma continua
en equipos donde se alimenta continuamente la suspensión, mientras que los sólidos sedimentados y el
líquido claro salen continuamente en corrientes distintas.
Los sedimentadores industriales, también llamados espesadores, consisten en un depósito cilíndrico
que suele tener fondo cónico de poca inclinación. La
suspensión se alimenta por el centro del sedimentador, a una cierta profundidad por debajo del nivel del
líquido (justamente en la interfase A-B de la figura
9.18) y el líquido claro se retira por la parte superior
a través de un rebosadero.
Para facilitar la separación los equipos están dotados de unos rastrillos que giran lentamente, desplazando los sólidos hacia la parte central del fondo, desde donde se retiran mediante una bomba de lodos.
Estos equipos suelen tener gran tamaño, superando
frecuentemente los diez metros de diámetro y los dos
de altura.
La capacidad de operación de un sedimentador
(volumen de líquido claro por unidad de tiempo)
depende básicamente de su sección transversal, que
se convierte de este modo en su característica más
importante.
En los sedimentadores continuos pueden distinguirse también zonas de clarificación (A), las de sedimentación (B-C) y de compresión (D) (figura 9.18).
La diferencia fundamental con los equipos discontinuos es que al operar en régimen estacionario las
zonas son ahora permanentes y estables, aunque permitiendo un escaso margen de maniobra en las con-
Capítulo 9: Operaciones basadas en el flujo de fluidos
217
FIGURA 9.18. Esquema de un sedimentador industrial continuo.
diciones de operación (variaciones de caudal o concentración de la suspensión alimentada).
La zona de clarificación, situada por encima del punto de alimentación, está casi exenta de sólidos, y la velocidad ascendente del líquido ha de mantenerse en valores inferiores a la velocidad terminal de todas las
partículas sólidas que deseen separarse, ya que en caso
contrario (sobrecarga del sedimentador) serán arrastradas con el líquido que abandona el equipo por la parte superior. De ahí que si el objetivo de la sedimentación es obtener un líquido claro, sea el área transversal
de esta zona la que determine el diámetro mínimo necesario del equipo para llevar a cabo la operación.
Cuando el objetivo de la sedimentación es obtener una suspensión con una concentración elevada en
sólidos, el diámetro del equipo viene determinado por
la velocidad másica de los sólidos en las zonas de sedimentación y de compresión y por tanto por la sección
transversal de éstas. El diseño del sedimentador, que
básicamente consiste en el cálculo de la sección transversal del mismo, se realiza pues a partir de los datos
experimentales de laboratorio de las velocidades de
sedimentación en una probeta obtenidos con la misma suspensión.
Los sedimentadores tienen aplicación en numerosos procesos industriales, siendo de gran interés
en el tratamiento y depuración de aguas residuales
(capítulo 16).
9.7. Centrifugación
Cuando las partículas sólidas de una suspensión
no se separan fácilmente por gravedad, la operación
de sedimentación no es viable, requiriéndose la acción
de una fuerza mayor.
Con la aplicación de la fuerza centrífuga se consigue acelerar el proceso de separación sólido-fluido, al
aumentar la velocidad de las partículas, consiguiendo
incluso que se sedimenten las más pequeñas (que en
la sedimentación gravitatoria quedaban inevitablemente en la suspensión) al vencerse las corrientes de
convección y el movimiento browniano que las mantenía en el seno del fluido. Los aparatos en que se
desarrollan estas operaciones se llaman sedimentadores centrífugos o simplemente centrífugas.
Así, se consiguen separar partículas sólidas de densidad muy próxima a la del fluido, o partículas líquidas que forman una emulsión, lo que tiene gran importancia y aplicación en la tecnología de alimentos –entre
otras áreas de la Ingeniería Química–, como por ejemplo el descremado de productos lácteos, la estabiliza-
218
Introducción a la Ingeniería Química
ción y clarificación de zumos de frutas, aceites y cervezas, etc. También tiene aplicación al secado de cristales y sólidos valiosos, como etapa posterior a la cristalización.
Frente a la filtración, la centrifugación ofrece la
ventaja de poderse aplicar a la separación de sustancias coloidales, que taponarían los filtros, y de las partículas de muy pequeño tamaño, que atravesarían el
medio filtrante. Además, permite el desarrollo de la
operación en condiciones estériles, que no son fáciles
de mantener en las operaciones convencionales de
sedimentación y filtración.
Por otro lado, los equipos son más compactos que
los sedimentadores, lo que permite un ahorro importante de espacio. La contrapartida está lógicamente
en su mayor coste de operación, pues el consumo energético para conseguir altas velocidades de giro es lógicamente elevado, cuando se utilizan dispositivos mecánicos de rotación.
También es posible combinar en una sola operación la centrifugación con la filtración, obligando al
fluido a atravesar el medio filtrante por acción de una
fuerza centrífuga. Esta técnica se conoce como filtración centrífuga.
En general, las operaciones que utilizan la fuerza
centrífuga para aumentar la velocidad de separación
se conocen como separaciones centrífugas, y básicamente incluyen las ya citadas, sedimentación centrífuga y filtración centrífuga.
Los aparatos industriales más habituales, que operan de forma continua, disponen de una parte móvil
giratoria (rotor) que proporciona la fuerza centrífuga
a la suspensión, y una parte fija diseñada para guiar y
separar las dos fases, densa y ligera, que constituyen
las corrientes de salida. En la figura 9.19 se muestran
esquemas de algunos ejemplos, como los aparatos centrífugos de discos, que giran a velocidades comprendidas entre 3.000 y 10.000 rpm, las centrífugas tubulares para separación de líquidos, cuyo rotor gira a
velocidades de 15.000 a 50.000 rpm, o los filtros centrífugos, como el de eje horizontal, que giran hasta
2.000 rpm. En este último caso suele existir también
un sistema de separación y descarga de la torta de sólido mediante rascadores móviles, movimiento oscilatorio o vibracional, etc.
En el caso de los gases que contienen partículas
sólidas, un equipo de separación muy usual y de mecánica sencilla es el separador ciclónico, o simplemente
ciclón. Se aplica habitualmente a la separación de partículas sólidas suspendidas en el aire (polvo en la indus-
tria del cemento, polvo de partículas en las operaciones de trituración y molienda de sólidos, gases de combustión, etc.), y en ocasiones también a la eliminación
de pequeñas gotas de líquido de una corriente gaseosa. También se utilizan con frecuencia en la recogida
de partículas sólidas después de una operación de secado por pulverización.
Los ciclones no tienen partes móviles y se basan
en aprovechar la energía cinética de la corriente gaseosa que entra tangencialmente, haciendo que ésta recorra una trayectoria en espiral o hélice, donde la fuerza centrífuga hace desplazarse hacia el exterior a las
partículas más densas. En la parte cónica inferior se
recogen los sólidos y el gas sale por la parte superior.
En la figura 9.20 se muestra un esquema de un ciclón
y su funcionamiento.
Estos aparatos tienen la ventaja de ser poco costosos y no consumir energía ni requerir mantenimiento
importante, pero tienen limitaciones en cuanto a su
eficacia de separación, pues no consiguen separar partículas muy pequeñas, inferiores a 5 µm.
Por otro lado, para una mayor eficacia en la separación de las partículas, suelen utilizarse varios ciclones en serie, de tamaño decreciente, en los que se van
reteniendo partículas cada vez más pequeñas (figura
9.20).
9.8. Fluidización
Cuando un fluido atraviesa un lecho poroso de partículas sólidas a velocidad reducida se produce una
pérdida de carga que depende de la velocidad del fluido, como ya se indicó anteriormente, pero las partículas sólidas permanecen inmóviles. Al aumentar la
velocidad de paso del fluido, la pérdida de presión
aumenta (ecuación de Ergun [9.8]) pues la fuerza de
rozamiento es mayor, como se indica en la ecuación
[9.2]. Si la velocidad sigue aumentando, llega un
momento en que la fuerza de empuje o arrastre sobre
las partículas sólidas se hace igual al peso de las partículas, momento en el cual éstas empiezan a moverse libremente y a mezclarse unas con otras. La velocidad del fluido para la que se alcanzan estas
condiciones se denomina velocidad mínima de fluidización (Vmf) y el lecho de partículas con esa movilidad se conoce como lecho fluidizado.
En la figura 9.21 se presenta un esquema de cómo
se forma un lecho fluidizado a partir de un lecho fijo
de partículas cuyo peso es W, y cómo varía conse-
Capítulo 9: Operaciones basadas en el flujo de fluidos
219
FIGURA 9.19. Diversos tipos de aparatos de centrifugación: a) sedimentador centrífugo de discos; b) centrífuga tubular
para líquidos; c) centrífuga de discos para líquidos; d) filtro centrífugo cónico. (L: líquido, S: sólido.)
cuentemente la pérdida de presión a través del lecho.
Como puede observarse, cuando se alcanza la velocidad mínima de fluidización, Vmf, la pérdida de carga adquiere su valor máximo (W/A) y se mantiene
en él hasta que se produce el arrastre de las partículas, disminuyendo bruscamente en ese momento. La
velocidad se refiere siempre a la sección transversal
de paso libre, cociente entre el caudal volumétrico y
la sección transversal del lecho vacío (V = Qv / A),
velocidad que, en general, se conoce como velocidad
superficial.
También se observa durante este proceso una progresiva expansión del lecho, que va teniendo una porosidad, ε, cada vez mayor a partir del punto de velocidad mínima de fluidización (εmf). El intervalo de
velocidades útil para la fluidización está comprendi-
220
Introducción a la Ingeniería Química
Esta similitud entre el comportamiento de un
líquido y el de un lecho fluidizado de partículas sólidas resulta de gran interés y aplicación práctica en
numerosos casos de procesos físicos y químicos a
escala industrial. Así, las ventajas fundamentales de
un lecho fluidizado frente a un lecho fijo son:
FIGURA 9.20. Esquema de un ciclón y su funcionamiento.
do entre el valor Vmf y Va (velocidad de arrastre), para
la cual las partículas sólidas son arrastradas fuera del
lecho (figura 9.21).
En las condiciones de fluidización el lecho de partículas móviles se comporta como un fluido (de ahí
el origen del término “fluidizado”), recordando a un
líquido en ebullición. La semejanza de un lecho fluidizado con un líquido se observa en algunos hechos
coincidentes: los objetos de menor densidad que el
lecho fluidizado flotan en su superficie; la superficie
del lecho fluidizado está siempre horizontal aunque
se incline el recipiente; si se hace un orificio en éste
el sólido sale como lo haría un líquido; si dos lechos
fluidizados se comunican entre sí, se produce la igualdad de niveles en los mismos, comportándose como
vasos comunicantes, etc.
• Grado de mezcla elevado. Las partículas sólidas se mezclan intensamente, lo que facilita la
homogeneidad de composición y temperatura en el lecho. Esto es particularmente importante en algunas reacciones químicas heterogéneas (gas-sólido, líquido-sólido) muy
exotérmicas, que requieren una rápida y efectiva eliminación del calor generado (combustión de carbón, craqueo catalítico de hidrocarburos, etc.). También tiene aplicación en
operaciones de adsorción y secado. Los intercambios de calor y materia se ven muy favorecidos por la mezcla de las partículas, por lo
que tanto los coeficientes de transferencia de
materia entre las partículas y el fluido como
los de transmisión de calor entre las partículas y los tubos de intercambio calorífico sumergidos en el lecho son muy elevados (figura
9.22a).
• Facilidad de operación en continuo, al poderse retirar el sólido del lecho fluidizado y reponerlo continuamente, en caso de ser un catalizador o adsorbente que se desactiva o un sólido
que se consume (combustión de carbón, etc.).
En estos casos operan simultáneamente un
lecho fluidizado como reactor o adsorbedor
(capítulo 14) y otro como regenerador (figura
9.22b).
• Volumen reducido, ya que para una misma
capacidad de tratamiento un lecho fluidizado
es de menor tamaño que un lecho fijo.
Aunque los lechos fluidizados presentan notables
ventajas, también tienen algunos inconvenientes frente a los lechos fijos:
• Degradación mecánica de los sólidos. Debido
a la intensa mezcla y continua fricción de los
sólidos, las partículas se degradan y se reducen
de tamaño formando polvo muy fino que es
fácilmente arrastrado por el fluido. Este proceso de arrastre de finos generados por el roce
se denomina elutriación. El arrastre a otros
Capítulo 9: Operaciones basadas en el flujo de fluidos
221
FIGURA 9.21. Formación
de un lecho fluidizado a
partir de un lecho fijo de
partículas: a) fases del
lecho al aumentar V; b)
variación de la pérdida
de presión y de la altura
del lecho.
puntos de la instalación se evita diseñando el
lecho fluidizado con una zona superior más
ancha y de longitud suficiente, donde la velocidad lineal del fluido es menor. En todo caso,
es preciso además utilizar ciclones a la salida
de los lechos fluidizados para asegurar la retención de los finos (figura 9.22b).
• Erosión interna de los materiales del lecho fluidizado, producida por el continuo roce de las
partículas sólidas. Los materiales de construc-
ción deben ser suficientemente resistentes a la
abrasión, a pesar de lo cual el mantenimiento
y control de las instalaciones resulta de particular importancia.
• Limitación en el tipo de sólidos. No todos los
sólidos pueden tratarse en un lecho fluidizado, pues muchos de ellos no presentan cualidades para la fluidización (reblandecimiento,
aglomeración, desmenuzamiento, volatilidad,
etc.).
222
Introducción a la Ingeniería Química
escala de laboratorio a la escala de planta piloto, y de ésta a la escala industrial. Ello requiere estudios experimentales considerables, con
mayores riesgos en el cambio de escala.
A pesar de ello la operación de fluidización, por sus
notables ventajas, se aplica a escala industrial a numerosos procesos, entre los que se pueden destacar por su
magnitud los dos siguientes, a modo de ejemplo:
• Craqueo catalítico (FCC = “Fluid Catalytic
Cracking”), para la conversión de fracciones
más pesadas del petróleo en gasolinas, por rotura selectiva de las moléculas. Se produce una
serie de reacciones catalíticas heterogéneas en
las que actúan como catalizadores las denominadas zeolitas, siendo importante el control de
la temperatura. Las unidades de FCC de una
refinería de petróleo son de las más importantes y gracias a ellas se cubre la elevada demanda de gasolinas del mercado (capítulo 17).
• Combustión de carbón (FBC = “Fluidized Bed
Combustion”). El carbón granular se quema
F IGURA 9.22. Comportamiento de un lecho fluidizado
de partículas sólidas: a) operación continua con intercambio externo de calor; b) combinación de lechos fluidizados
con regeneración del sólido.
• Dificultad de establecer modelos de flujo. Los
flujos del gas (o líquido) y del sólido en el lecho
fluidizado son complejos y no pueden ser descritos con modelos sencillos. La simplificación
de considerar para el sólido un modelo de mezcla completa, como el de los reactores de tanque líquido agitado (capítulo 14), y para el fluido un modelo de flujo de pistón es sólo una
aproximación, alejada muchas veces de la realidad, sobre todo para el fluido. La descripción
fluidodinámica del lecho, en el que el gas (o el
líquido) pueden formar burbujas de tamaño creciente con el recorrido a través del mismo, constituye una dificultad que complica el tratamiento
matemático. Además, el control y estabilidad
de la operación son difíciles, pues pequeñas
variaciones en las condiciones de operación (caudales, tamaño de las partículas, densidad del sólido, etc.) pueden alterar el estado de fluidización.
• Dificultad de cambio de escala. Por las razones
anteriores es difícil extrapolar resultados de la
FIGURA 9.23. Esquema de un lecho fluidizado
para la combustión del carbón.
Capítulo 9: Operaciones basadas en el flujo de fluidos
en un lecho fluidizado de arena, aprovechándose la energía generada para producir vapor
de agua a presión elevada. Este vapor puede
utilizarse para mover una turbina y producir
electricidad (central térmica), o para otros fines
similares. La ventaja fundamental frente a la
combustión convencional es que los compuestos de azufre y nitrógeno del carbón se transforman en el lecho fluidizado, anulando su
acción contaminante en la atmósfera (SO2 y
NO, NO2).
En efecto, el SO2 es convertido en sulfato
cálcico –inerte y no volátil– al reaccionar en
el lecho fluidizado con partículas de piedra
caliza añadidas con el carbón, y los óxidos de
nitrógeno se reducen a nitrógeno molecular
223
por diversas reacciones fundamentalmente en
la parte superior del lecho, donde las temperaturas son todavía elevadas. En la figura 9.23
se muestra un esquema de un lecho fluidizado para la combustión de carbón, con indicación de las reacciones químicas más importantes que tienen lugar.
La técnica de combustión de carbón en
lecho fluidizado está cada vez más extendida,
pues reduce muy considerablemente la emisión
de contaminantes atmosféricos como el SO2,
NO y NO2, causantes de la lluvia ácida (capítulo 16). Las recuperaciones de SO2 en forma
de sulfato cálcico superan el 95 %, cifra muy
superior a la de las centrales térmicas convencionales.
Problemas
1. Un lecho de partículas sólidas, aproximadamente
esféricas, de 5 mm de diámetro y densidad 1,6 · 103
kg/m3, es atravesado por una corriente gaseosa
cuya velocidad superficial es de 0,9 m/s. La sección
transversal del lecho es de 0,09 m2, y su densidad
es de 960 kg/m3. ¿Cuál será la pérdida de presión
que se produce por unidad de longitud del lecho?
La densidad del gas es de 0,64 kg/m3 y su viscosidad 1,5 · 10–5 kg/ms.
2. Una corriente de aire a 21 ºC y 1 atm atraviesa una
columna de relleno de anillos Raschig con una
velocidad másica de 4.870 kg/h · m2. La columna
tiene 0,80 m de diámetro y el lecho ocupa 1 m de
altura; los anillos Raschig son de 2 pulgadas. Calcular la pérdida de presión que se produce en la
columna.
3. En un experimento de filtración en el laboratorio, se filtra una suspensión acuosa de carbonato
cálcico a 25 ºC, manteniéndose la presión constante e igual a 338 kN/m2. El área de filtración es
de 4,39 · 10–2 m2 y la concentración de sólidos en
la suspensión es de 23,47 kg/m3. Calcular la resistencia específica de la torta y la resistencia del
medio filtrante a partir de los siguientes datos del
laboratorio, en donde V es el volumen de filtrado
y t el tiempo correspondiente:
V(m3) · 103
1,0
2,0
3,0
t (s)
9,5
24,6
46,1
4,0
5,0
73,6 107,3
4. La suspensión de carbonato cálcico del problema
anterior se filtra en un filtro de placas y marcos
(como el de la figura 9.9), compuesto por 20 marcos con 0,873 m2 cada uno. La filtración se lleva a
cabo en las mismas condiciones de presión y temperatura, pudiendo considerarse que las propiedades de la torta y del medio filtrante son también
las mismas del problema anterior. Calcular el tiempo de filtración necesario para recoger un volumen filtrado de 3,37 m3.
5. La ecuación obtenida para el tiempo de filtración
de una suspensión acuosa de carbonato bárico en
un filtro prensa de 0,0414 m2 de área, a 267 kPa,
viene dada por la expresión:
t
= 10, 25 ⋅ 10 6 V + 3, 4 ⋅ 103
V
estando expresados t en segundos y V en m3. Si
esa misma suspensión se filtra en las mismas condiciones en un filtro de hojas, cuyo área es de 6,97
m2, ¿cuál será el tiempo necesario para obtener
224
Introducción a la Ingeniería Química
1 m3 de filtrado? (supóngase que los valores α y
RF no varían).
6. Comparar las velocidades de caída libre (velocidad máxima de caída) de una pequeña partícula
metálica de forma esférica en un estanque de agua
en reposo, a 20 ºC, en los siguientes casos:
a) El diámetro de la partícula es de 0,1 mm.
b) El diámetro es de 1 mm. La densidad del metal
es de 8.000 kg/m3.
7. Determinar y comparar la velocidad máxima con
la que desciende una gota de agua de 5 mm de diámetro en el seno del aire y la velocidad máxima
con la que asciende una burbuja de aire del mismo tamaño en el seno del agua. Supónganse ambas
partículas esféricas y una temperatura de 15 ºC
para ambos fluidos.
8. Calcular la velocidad terminal de sedimentación
de unas gotas de aceite de 20 µm en el seno de aire
en reposo a 38 ºC y 1 atm. La densidad del aceite
es de 900 kg/m3 y la viscosidad del aire 1,90 · 10–5
Pa·s.
9. Calcular la velocidad de sedimentación de una suspensión de partículas esféricas de 0,155 mm en el
seno de agua a 20 ºC. La suspensión contiene un
60% en peso de sólidos y la densidad de las partículas es de 2.467 kg/m3.
10. Una pequeña partícula esférica de radio R y densidad ρs se deja caer en el seno de un fluido de densidad ρ ( ρ <ρs). Deducir una expresión para el
tiempo necesario para que la partícula alcance el
95% de su velocidad terminal. Supóngase régimen
de Stokes y presión constante.
10
INTRODUCCIÓN A
LA TRANSMISIÓN
DE CALOR.
CAMBIADORES
DE CALOR
10.1. Generalidades
10.2. Mecanismos de transmisión de calor
10.3. Conducción de calor en sólidos
de geometría sencilla
10.4. Transmisión de calor por convección.
Coeficiente de transmisión de calor
10.5. Cambiadores de calor
10.6. Evaporación
226
Introducción a la Ingeniería Química
E
n este capítulo se estudian los fundamentos
de la transmisión de calor entre sólidos y fluidos, básica para entender y diseñar procesos que transcurren con intercambio de energía
(calefacción y enfriamiento de fluidos, operaciones isotérmicas, etc.). Se abordan en primer lugar
los mecanismos de transmisión de calor –conducción, convección y radiación–, aplicándolos luego a casos concretos de conducción de calor en
sólidos de geometría sencilla, convección forzada y convección natural, y combinación de convección y conducción en los cambiadores de calor.
Se estudia también el tipo y funcionamiento de los
cambiadores de calor, y finalmente se resume la
operación de evaporación, controlada por la transmisión de calor, indicándose las formas más frecuentes de realizar esta operación y algunos de
los evaporadores industriales habituales.
GLOSARIO
cambiador de calor. Dispositivo mecánico en el que
se produce el intercambio de calor entre un fluido
frío y uno caliente. Ambos circulan por su interior,
produciéndose la transmisión del calor a través de
la pared que los separa, que suele ser de un material de elevada conductividad térmica y presentar
una superficie elevada. Los cambiadores de calor
multitubulares son los más frecuentes.
coeficiente de transmisión de calor. Véase capítulo 4.
conducción de calor. Mecanismo de transmisión de
calor en los sólidos y también en los fluidos en
reposo, asociado a las interacciones de átomos y
moléculas individuales con las de su entorno inmediato. Se produce con facilidad en los metales y
con dificultad en los sólidos aislantes térmicos.
conductividad térmica. Propiedad física de un material (sólido o fluido) que indica su mayor o menor
facilidad para transmitir el calor por conducción.
Es la constante de proporcionalidad de la ley de
Fourier, entre el flujo de calor y el gradiente de
temperatura.
convección de calor. Mecanismo de transmisión de
calor en un fluido que se produce por efecto del
movimiento de éste, siendo sus moléculas portadoras de la energía térmica. Si el movimiento se
produce por acción de una fuerza externa (bomba de impulsión, gravedad, etc.) se denomina convección forzada y si se produce por la fuerza ascensional originada por una diferencia de densidades
–causada a su vez por una diferencia de temperaturas– se denomina convección natural.
evaporación de múltiples efectos. Evaporación realizada en varias etapas o “efectos” sucesivos, de tal
forma que el vapor generado en la cámara de evaporación de una etapa se utiliza como vapor de
calefacción en la siguiente. Ello permite un mejor
aprovechamiento de la energía, recuperando parcialmente la que se consume en el proceso.
factor de ensuciamiento. Resistencia térmica correspondiente al depósito acumulado sobre una superficie de un cambiador de calor por efecto del “ensuciamiento” que se produce con el tiempo. Es típico
el producido por los depósitos calcáreos de las
aguas duras.
longitud de entrada térmica. En una conducción en la
que se produce la calefacción o el enfriamiento de
un fluido desde el exterior, longitud medida desde la entrada para la que el perfil de temperaturas
está plenamente desarrollado.
radiación térmica. Mecanismo de transmisión de calor
asociado a la radiación electromagnética que emite un cuerpo en función de su temperatura. Dicha
transmisión de calor no requiere de un medio
material y es óptima en el vacío. El flujo de calor
transmitido es proporcional a la temperatura del
cuerpo elevada a la cuarta potencia (T 4).
resistencia térmica. Resistencia que opone un medio
a la transmisión de calor, relacionada con las propiedades físicas y geométricas del medio y de las
condiciones en que se encuentra. El caudal de calor
transmitido se puede expresar como el cociente
entre una diferencia de temperaturas –fuerza
impulsora– y dicha resistencia (ecuación [10.9]).
Capítulo 10: Introducción a la transmisión de calor. Cambiadores de calor
10.1. Generalidades
Prácticamente todos los procesos químicos transcurren con un intercambio de energía, siendo preciso
calentar o enfriar fluidos, cambiar de fase de agregación (vaporización, condensación, etc.), aislar térmicamente un equipo, mantener un proceso isotérmico,
etcétera.
En todos los casos se plantean problemas que
implican transferencia de energía, o de forma más precisa, transmisión de calor entre un foco caliente y uno
frío, siendo importante conocer la velocidad con que
se puede llevar a cabo la transmisión de calor, la cual
condiciona el tamaño del equipo necesario, así como
el equipo auxiliar requerido y los materiales de construcción adecuados.
La termodinámica trata de los sistemas de equilibrio, y por tanto permite predecir la cantidad de energía necesaria para hacer evolucionar el sistema de un
estado de equilibrio a otro. Sin embargo, no predice
la velocidad con que este proceso de cambio se produce; es el estudio sobre la transmisión de calor el que
permite establecer los mecanismos por los que ésta
transcurre y las correspondientes expresiones para el
flujo de calor en cada caso concreto.
En las figuras 10.1 y 10.2 se presentan algunos
casos frecuentes en los que es importante la transmisión de calor:
1. Aporte o eliminación de calor con la velocidad deseada. En las columnas de destilación
(capítulo 12), donde es preciso producir la
ebullición del líquido en el calderín y condensar el vapor con los componentes más
volátiles en el condensador superior (figura
10.1a). Ambas operaciones se hacen en un
cambiador de calor, mediante vapor de agua
en el caso del calderín y agua fría en el condensador.
En los reactores químicos, donde la mezcla
reaccionante ha de calentarse o enfriarse
–dependiendo de si la reacción es endotérmica o exotérmica– y de la temperatura requerida. Se puede hacer mediante una camisa de
calefacción exterior, un serpentín interior o un
cambiador de calor complementario (figura
10.1b).
2. Recuperación máxima del calor. En los procesos donde existen diversas corrientes calientes
y frías, donde se requiere un aprovechamien-
227
to óptimo de la energía, recuperando al máximo el calor. Por ejemplo, en la fabricación de
ácido nítrico a partir del amoníaco por oxidación catalítica a 700 ºC, en donde los gases
calientes que salen del reactor se aprovechan
para pre-calentar la corriente que se alimenta
al reactor (figura 10.2a).
3. Producción de calor. En hornos y calderas,
por combustión de fuel-oil, gas natural u otro
combustible. El calor se transmite a los tubos
del interior –por los que circula el fluido a
calentar– mediante los mecanismos de radiación y convección, fundamentalmente (figura 10.2b).
4. Aislamiento térmico. Aislamiento de tuberías,
reactores, hornos, calderas, etc., que se encuentran a temperaturas elevadas, a fin de evitar al
máximo las pérdidas de calor al exterior. Suelen utilizarse sucesivas capas de distintos materiales (figura 10.2c).
5. Evaporación de líquidos. Concentración de
líquidos por evaporación del disolvente,
mediante calefacción en un cambiador de calor
que produce la ebullición del líquido en el interior del aparato (figura 10.2d).
El cálculo y diseño de los equipos necesarios para
la transmisión de calor (bien se trate de calefacción
o enfriamiento), así como las correspondientes ecuaciones que permiten expresar la velocidad o caudal
con que se produce, depende del mecanismo dominante en la transmisión de calor. Los mecanismos que
pueden considerarse son tres: conducción, convección y radiación. Y aunque se estudian por separado,
en general no se dan de forma exclusiva o individual
en cada caso concreto, sino de forma combinada y
simultánea, siendo normalmente uno de ellos el dominante.
10.2. Mecanismos de transmisión
de calor
Como ya se vio en el capítulo 4, hay dos mecanismos fundamentales en el transporte de cualquier propiedad extensiva: transporte molecular (fruto de las
colisiones individuales a escala molecular, en las que
se intercambia cantidad de movimiento y energía ciné-
228
Introducción a la Ingeniería Química
FIGURA 10.1. Ejemplos de procesos en los que es importante la transmisión de calor.
tica) y transporte turbulento (resultado de los choques de porciones macroscópicas de fluido cuando
existe régimen turbulento).
Estos dos mecanismos, en el caso de la transmisión
de calor, corresponden a los de conducción de calor y
de convección de calor, respectivamente, si bien deben
hacerse algunos matices, que serán desarrollados a con-
tinuación. Pero, además, hay un tercer mecanismo de
transmisión de calor totalmente distinto, que es el de
radiación. Éste, a diferencia de los anteriores, no requiere ningún medio material, siendo óptimo en el vacío,
pues se trata en definitiva de un mecanismo de propagación de una onda electromagnética, como se verá
más adelante.
Capítulo 10: Introducción a la transmisión de calor. Cambiadores de calor
FIGURA 10.2. Ejemplos de procesos en los que es importante la transmisión de calor (cont.)
229
230
Introducción a la Ingeniería Química
10.2.1 Conducción
El mecanismo de conducción de calor tiene lugar
en los cuerpos sólidos y fluidos en reposo, y es equivalente al de transporte molecular de cantidad de
movimiento y al de difusión molecular (capítulo 4).
Se produce como resultado de las interacciones
moleculares, en las que las moléculas de mayor contenido energético (mayor temperatura) ceden energía a las de menor contenido energético (menor
temperatura); este proceso ocurre tanto en las moléculas libres de un fluido, por efecto de las colisiones
moleculares, como en las moléculas, átomos o especies iónicas de un sólido, por efecto de las vibraciones atómicas o moleculares en las posiciones recticulares.
Pero la conducción de calor también puede producirse, en el caso de los metales, por acción de los
electrones “libres”. La concentración de estos electrones libres varía considerablemente con el tipo de
metal o aleación, y resulta muy baja para los sólidos
no metálicos. Así, en los metales, la capacidad de conducir el calor varía directamente con la concentración
de electrones libres. Esto hace que los metales puros
(los mejores conductores de la electricidad) resulten
también los mejores conductores del calor. Por esta
misma razón, los aislantes eléctricos suelen ser también buenos aislantes térmicos.
En el caso de los fluidos, no existe desplazamiento neto de las moléculas en la dirección del flujo de
calor, a diferencia de lo que ocurre en el mecanismo
de convección.
Cuando existe un gradiente de temperatura en un
cuerpo (figura 10.3), se produce la transmisión de calor
por conducción desde la región de mayor temperatura hacia la de menor temperatura, siendo el flujo de
energía, q, proporcional al gradiente de temperatura,
de acuerdo con la ley de Fourier (ecuación [4.8]):
q = −k
dT
(W/m 2 )
dx
[10.1]
donde (dT/dx) es el gradiente de temperatura en la
dirección del flujo de calor y k la conductividad térmica del material. El signo negativo de la ecuación
[10.1] permite satisfacer la condición termodinámica de que el flujo de calor se produce en la dirección
en que disminuye la temperatura. Debe observarse
que, por analogía con la ley de Newton de transporte molecular de cantidad de movimiento (ecuación
k = Conductividad
térmica
q
x
l
q = – k dT
dx
LEY DE FOURIER
T
T (x)
pend. = dT
dx
0
l
x
FIGURA 10.3. Conducción de calor en un sólido
y perfil de temperatura: ley de Fourier.
[4.3]), la conductividad térmica en la conducción de
calor juega el mismo papel que la viscosidad en el
transporte de cantidad de movimiento.
10.2.2. Conductividad térmica
La conductividad térmica de un material o de un
fluido es una propiedad física de éste, y depende fundamentalmente de la temperatura, aunque también
de la presión en el caso de los gases. En la ecuación
Capítulo 10: Introducción a la transmisión de calor. Cambiadores de calor
FIGURA 10.4. Conductividad térmica de algunos materiales en función de la temperatura absoluta (°Reamur.
Tomado de M. Jacob y G. A. Hawkins,1957: Elements of Heat Transfer, McGraw-Hill, Nueva York.
(1 Btu/h ft °F = 1,7307 W/m °C).
231
232
Introducción a la Ingeniería Química
[10.1] la conductividad térmica se supone independientemente de la dirección, es decir, se considera un
medio isótropo; sin embargo, pueden darse otros casos
de medios anisótropos en que no sea así (sólidos de
estructura laminar, etc.).
La conductividad térmica de los fluidos puede
determinarse no sólo experimentalmente, a partir de
su ecuación de definición [10.1], sino también a partir de la teoría cinética, mediante tratamientos analíticos. En algunos casos existen teorías para la predicción de la conductividad térmica de líquidos y sólidos,
pero no están generalizadas.
En el cuadro 10.1 y la figura 10.4 se muestran los
valores de la conductividad térmica de algunos materiales y fluidos, y su variación con la temperatura.
Como se observa, son los metales los mejores con-
ductores de calor, si bien difieren mucho de unos a
otros, y resultan bastante sensibles a las impurezas o
presencia de otros metales (aleaciones). Entre ellos,
el sodio líquido (figura 10.4) es uno de los más utilizados como fluido refrigerante en los reactores nucleares (capítulo 15).
Por otro lado, y en el extremo opuesto, los gases
–y particularmente el aire– resultan buenos aislantes
térmicos, siempre que el único mecanismo de transmisión de calor sea el de conducción. Ésta es la razón
por la que resultan muy buenos aislantes térmicos los
materiales de embalaje modernos, constituidos por un
material polímero muy ligero con una porosidad muy
elevada, en los que el aire (hasta un 80% en volumen)
está recluido en pequeños poros independientes unos
de otros. En cualquier caso, el vacío es siempre el
mejor aislante térmico.
CUADRO 10.1
Conductividad térmica de algunos materiales a 0 °C
Material
k (W/m °C)
Metales
Plata (pura)
Cobre (puro)
Aluminio (puro)
Hierro (puro)
Acero (1% C)
Acero inoxidable (18% Cr, 8% Ni)
410
385
202
73
43
16,3
Ejemplo 10.1. Una conducción cilíndrica de acero al carbono de diámetro interno 1,88 cm y espesor de pared 3,9 mm mantiene constante tanto la
temperatura de su superficie exterior (99 ºC) como
la de su superficie interior (71 ºC). Calcular el caudal de calor que se transmite a través de la pared
metálica por metro de longitud, y el flujo de calor
referido a cada una de las superficies (interna y
externa) de la conducción.
Sólidos no metálicos
Cuarzo
Mármol
Arenisca
Vidrio (de ventana)
Serrín
Lana de vidrio
41,6
2,08 - 2,94
1,83
0,78
0,059
0,038
Solución:
Suponiendo régimen estacionario, y teniendo
en cuenta que sólo hay flujo de calor radial, el caudal de calor (que será constante) vendrá dado por:
Líquidos
Mercurio
Agua
Amoníaco
Aceite lubricante (SAE 50)
Freón 12 (CCl2 F2)
8,21
0,556
0,540
0,147
0,073
Q = −kA
dT
dr
Al tratarse de una conducción cilíndrica:
A = 2π rL
Gases
Hidrógeno
Helio
Aire
Vapor de agua (saturado)
Anhídrido carbónico (CO2)
0,175
0,141
0,024
0,206
0,0146
Sustituyendo en la ecuación anterior e integrando:
Q = −k ( 2π rL )
dT ;
dr
Q
∫
R2
R1
dr
= −k ( 2πL )
r
∫
T2
T1
dT
Capítulo 10: Introducción a la transmisión de calor. Cambiadores de calor
Q=
2π kL
(T1 − T2 )
ln( R2 / R1 )
Tomando el valor aproximado de k = 43 W/m2
ºC del cuadro 10.1 (acero al carbono) y sustituyendo valores en la ecuación anterior, para L = 1
m, se obtiene:
Q=
2π ( 43 )(1)(99 − 71)
= 21, 8 ⋅ 10 3 (W/m)
ln( 2, 66 / 1, 88 )
A su vez, los flujos de calor en cada superficie
serán:
233
A2 = 2πR2 L = π ( 2, 66 ⋅ 10 −2 )(1) = 0, 0835 (m 2 /m)
q1 =
Q
21, 8 ⋅ 10 3
=
= 369, 4 ⋅ 10 3 (W/m 2 )
A1
0, 0590
q2 =
Q
21, 8 ⋅ 10 3
=
= 261, 0 ⋅ 10 3 (W/m 2 )
A2
0, 0835
Como puede observarse, aunque el caudal de
calor es el mismo, el flujo de calor debe especificarse a qué superficie se refiere, pues no es constante. En este caso ambos flujos difieren en un
41%.
A1 = 2πR1L = π (1, 88 ⋅ 10 −2 )(1) = 0, 0590 (m 2 /m)
Ejemplo 10.2. Considérese el caso del ejemplo
anterior, en el que la conductividad térmica varía
con la temperatura de acuerdo con la expresión:
k = k0 (1 + αT )
Deducir una expresión general para el caudal
de calor, en régimen estacionario y conducción únicamente radial y compararla con que se obtendrá
tomando un valor medio aritmético para las dos
temperaturas de las superficies, T1 y T2.
Solución:
Siguiendo la nomenclatura del ejemplo anterior, la expresión del caudal de calor sería ahora:
Q = −kA
dT
dT
= −k 0 (1 + αT )( 2π rL )
dr
dr
Separando variables e integrando, se obtiene:
Q=
Q=
∫
R2
R1
dr
= −2πk0 L
r
∫
T2
T1
(1 + αT )dT

2πk 0 L  α
1 + (T1 + T2 ) (T2 − T1 )
ln( R0 / R1 ) 
2

que es la expresión final para el caudal de calor.
Si se tiene en cuenta que la media aritmética
de k1 y k2 es:
234
Introducción a la Ingeniería Química
k=
(1 + αT1 ) + (1 + αT2 )
k1 + k 2
= k0
=
2
2
α
= k0 1 + (T1 + T2 )
2
Sustituyendo esta ecuación en la expresión del
caudal de calor, se tiene:
Q=
2π kL
(T2 − T1 )
ln( R2 / R1 )
Si se compara esta expresión con la del ejemplo anterior se comprueba la coincidencia de
ambas. La razón de tal coincidencia debe buscarse no en la configuración geométrica, sino en la
forma lineal de la variación de la conductividad
térmica con la temperatura.
cula de fluido adyacente a la superficie del sólido la
velocidad es nula, el calor debe transmitirse a través
de ella sólo por conducción, aplicándose la ecuación
de Fourier [10.1]. ¿Por qué entonces se habla de convección y es necesario considerar la velocidad del fluido? La razón está en que el gradiente de temperatura depende de la rapidez con que el fluido es capaz
de eliminar el calor proveniente de la superficie, que
a su vez depende de la velocidad del propio fluido:
una velocidad del fluido elevada produce un mayor
gradiente de temperatura en la superficie (figura 10.5),
lo que facilita la eliminación del calor, aumentando
el flujo de calor, q.
Por ello, para expresar de forma global el efecto
de convección, se utiliza la ecuación que expresa el
flujo de calor, q, en función del gradiente de temperatura global:
q = h(T0 − T∞ ) (W/m 2 )
10.2.3. Convección
Es bien conocido el hecho de que una pieza metálica caliente se enfría más rápidamente expuesta a la
corriente de un ventilador que expuesta al aire en
reposo. En ambos casos el mecanismo dominante de
transmisión de calor se conoce como mecanismo de
convección. La convección de calor se ve influenciada apreciablemente por la velocidad del fluido, aunque debe anticiparse aquí que la relación entre ésta y
la velocidad de transmisión del calor no tiene por qué
ser lineal. También es conocido el hecho de que si la
pieza metálica se enfría sumergiéndola en el agua –a
la misma temperatura que el aire–, el enfriamiento es
también más rápido, lo que demuestra que las propiedades del fluido también influyen notablemente en
la velocidad de transmisión de calor por convección.
Estos hechos intuitivos ayudan a establecer el concepto de convección, su relación con la conducción,
así como las relaciones básicas que rigen el fenómeno, como se verá a continuación.
Considérese una superficie sólida caliente, a temperatura uniforme T0, en contacto con un fluido frío
a temperatura T∞, que circula paralelamente a la
superficie (figura 10.5). Se establecerá un perfil de
velocidades por efecto de la viscosidad (capítulo 4),
siendo nula la velocidad del fluido en inmediato contacto con la superficie. Puesto que en esta fina pelí-
[10.2]
El factor de proporcionalidad entre ambas magnitudes se denomina coeficiente de transmisión de calor
por convección (h), cuyo concepto ya se expuso en el
capítulo 4 (ecuación [4.25]).
Para una superficie de transmisión de calor conocida (A), el caudal de calor correspondiente sería:
Q = qA = hA(T0 − T∞ ) (W)
[10.3]
De lo anterior se deduce que el coeficiente de
transmisión de calor h dependerá, por una parte, de
la velocidad del fluido, y por otra de su viscosidad (que
a su vez influye en el perfil de velocidades y en el gradiente de temperatura en la interfase), y del resto de
las propiedades del fluido (conductividad térmica, densidad y calor específico). Además, el coeficiente h
dependerá en cada caso de la geometría del sistema.
Aunque en algunos casos sencillos puede calcularse
analíticamente, en general resulta necesario determinarlo experimentalmente.
Por otro lado, con respecto a la causa que origina
el movimiento del fluido, cabe distinguir entre convección forzada y convección natural. En el caso de
la convección forzada, el fluido es “forzado” a circular por la acción de una fuerza o mecanismo externo
(gravedad, bomba, ventilador, agitador, etc.), produciéndose una fuerte agitación del fluido. En el caso
del flujo interno, suele existir régimen turbulento.
Capítulo 10: Introducción a la transmisión de calor. Cambiadores de calor
235
FIGURA 10.5. Transmisión de calor por convección desde una superficie sólida. Efecto de la velocidad del fluido:
a) velocidad pequeña; b) velocidad elevada.
Por el contrario, en el caso de la convección natural no hay fuerza externa que mueva el fluido, sino
solamente una diferencia de densidades producida
por una diferencia local de temperaturas. Éste es el
caso, por ejemplo, del enfriamiento de una pared vertical en contacto con el aire, o de las corrientes de
convección en un líquido en reposo que se calienta
en un recipiente. La figura 10.6 muestra algunos de
estos ejemplos.
Evidentemente, en el caso de la convección natural, las velocidades locales del fluido son de magnitud
muy inferior a las correspondientes a la convección
forzada, por lo que los flujos de calor transmitidos son
también muy inferiores. Este hecho se refleja en los
valores típicos de los coeficientes de transmisión de
calor, algunos de los cuales se indican en el cuadro
10.2.
CUADRO 10.2
Valores aproximados de los coeficientes de transmisión
de calor por convección
Situación
Convección natural, aire
Convección forzada, aire
Convección forzada, agua
Agua hirviendo
Vapor de agua que condensa
h (W/m2 °C)
5 - 50
25 - 250
250 - 15.000
2.500 - 25.000
5.000 - 100.000
Como se observa, los coeficientes más altos se
obtienen en los sistemas en que se produce ebullición
o condensación sobre la superficie, dado el elevado
valor del calor latente de ebullición/condensación del
agua.
236
Introducción a la Ingeniería Química
FIGURA 10.6. Convección forzada y convección natural.
Ejemplo 10.3. Se desea mantener un reactor químico a 75 ºC mediante una camisa externa de calefacción (figura 10.1b), en cuyo interior se hará condensar vapor de agua saturado a 100 ºC. Al no
disponerse todavía del vapor, se estudia calentar
el reactor con un aceite mineral caliente, que cir-
culará por el interior de la camisa a la temperatura de 150 ºC. ¿En qué relación estarán los caudales de calor aportados en ambos casos? Tómense
como valores medios de los coeficientes de transmisión de calor para estas temperaturas los siguientes: vapor de agua = 6.000 W/m2 ºC, aceite = 1.500
W/m2 ºC.
Capítulo 10: Introducción a la transmisión de calor. Cambiadores de calor
Solución:
Los correspondientes caudales de calor se
podrán calcular con la ecuación [10.3]:
Vapor de agua (v):
Qv = hv A(100 − 75 ) = hv A ⋅ 25
Aceite (a):
Qa = ha A(100 − 75 ) = ha A ⋅ 75
Luego:
Qv
h 25 6.000 25
1
= v
=
⋅
= 4 ⋅ = 1, 33
Qa ha 75 1.500 75
3
Es decir, que el caudal de calor conseguido con
el vapor de agua será un 33% mayor que el conseguido con el aceite, a pesar de que con el aceite
la diferencia de temperatura es tres veces mayor.
Esto se debe a que predomina el valor muy elevado del coeficiente de transmisión de calor del
vapor, cuatro veces superior al del aceite.
10.2.4. Radiación
En contraste con los mecanismos de conducción y
convección en los que la propagación del calor requie-
237
re un medio material, el mecanismo de radiación no
requiere ninguno; de hecho, el flujo de calor entre dos
superficies que intercambian energía por radiación es
máximo cuando existe vacío entre ambas.
El mecanismo exacto de la transmisión de la energía radiante no se conoce completamente, existiendo
evidencia tanto a favor de las ondas electromagnéticas como de la teoría corpuscular. No obstante, y a
pesar de la relativa complejidad de la transmisión de
calor por radiación, suele utilizarse el concepto de
radiación electromagnética, pudiendo describirse el
proceso con expresiones analíticas relativamente sencillas. En la figura 10.7 se muestra el espectro de radiación electromagnética y el intervalo que corresponde
a la que se propaga a causa de una diferencia de temperaturas, denominada radiación térmica.
Normalmente, los sólidos suelen ser opacos a la
radiación térmica, a excepción de algunos casos
(cuarzo, vidrio, etc.). En el otro extremo están los
gases, que suelen ser “transparentes” a dicha radiación. La forma en que cada uno se comporta es, en
todo caso, muy variable, y depende de su naturaleza y propiedades.
La termodinámica demuestra que para un cuerpo
“radiador” ideal, denominado cuerpo negro, el caudal de energía que emite es proporcional a la cuarta
potencia de la temperatura absoluta a la que se
encuentra, hecho que explica por qué la radiación térmica se vuelve particularmente importante a temperaturas elevadas (no obstante, todo cuerpo radia energía térmica a T > 0 K).
FIGURA 10.7. Espectro de radiación electromagnética: radiación térmica.
238
Introducción a la Ingeniería Química
Así, cuando dos cuerpos negros a distinta temperatura (T1 y T2) intercambian energía térmica por
radiación, el intercambio neto viene dado por la expresión:
CUADRO 10.3
Emisividades de algunos materiales
Material
T (°C)
ε
Metales y óxidos metálicos
Q = σA(T14 − T24 )
[10.4]
donde A es el área de intercambio de calor y σ es una
constante de proporcionalidad denominada constante de Stefan-Boltzmann (σ = 5.669 ⋅ 10–8 W/m2K4). La
ecuación anterior se conoce como ley de Stefan-Boltzmann de la radiación térmica, y se aplica sólo a cuerpos negros (se denominan así porque las superficies
“negras”, como por ejemplo una superficie metálica
recubierta de negro de carbono, se comportan como
un radiador perfecto, de acuerdo con la ley anterior).
Sin embargo, otras superficies como las de un
metal pulido o una superficie recubierta de una pintura brillante no radian tanta energía como el cuerpo negro, a pesar de seguir cumpliendo la proporcionalidad de T 4. Para tener en cuenta la naturaleza
“gris” de estas superficies se introduce en la ecuación [10.4] un factor, denominado emisividad (ε) de
la superficie, que relaciona la radiación de la superficie gris con la de una superficie negra ideal (para
esta última sería ε = 1). En el cuadro 10.3 se muestran los valores de la emisividad de algunos metales
y diversos materiales refractarios y de construcción.
Como se observa, la emisividad depende para cada
material, no sólo de la temperatura, sino de la composición y rugosidad superficial. En el caso de varias
superficies radiantes debe incluirse en la ecuación
[10.4] un factor adicional, Fε , función de las emisividades de todas ellas, que puede depender de su configuración.
Por otro lado, no toda la radiación térmica procedente de una superficie llega a la otra (figura 10.8),
pues la radiación electromagnética se propaga en línea
recta y, por tanto, parte de ella se pierde en los alrededores. Así, resulta necesario introducir en la ecuación [10.4] un nuevo factor, denominado factor geométrico de visión (FG), que depende del tamaño, forma
y configuración de las superficies.
Por todo ello, la ecuación [10.4] generalizada a
superficies no negras y configuraciones diversas incorpora las dos funciones citadas (Fε y FG), resultando:
Q = Fε FGσA(T14 − T24 )
[10.5]
Aluminio en lámina (comercial)
Aluminio oxidado
Cobre pulido
Hierro oxidado
Acero inoxidable pulido
Acero oxidado rugoso
Plata pulida
Oro puro, pulido
100
100
100
20
100
200
200
200
0,09
0,20
0,052
0,69
0,074
0,95
0,026
0,018
Ladrillo de arcilla refractaria
1.000
Ladrillo de magnesita refractaria 1.000
Ladrillo de construcción
1.000
Vidrio pyrex
200
Mármol claro, pulido
20
Pinturas al aceite
100
Hormigón
20
Agua
0 - 100
0,75
0,38
0,45
0,95
0,93
0,92-0,96
0,88
0,95-0,96
Otros materiales
FIGURA 10.8. Intercambio de radiación térmica
entre dos superficies.
Capítulo 10: Introducción a la transmisión de calor. Cambiadores de calor
Un ejemplo típico de proceso en el que interviene la radiación térmica es el secado en continuo de
pinturas al horno (figura 10.9), en el que las piezas
metálicas recién pintadas se someten a la radiación
térmica de un horno durante un cierto tiempo, que es
el que tarda en atravesarlo la pieza sobre la cinta móvil
que lo transporta. La temperatura final que se alcanza en la pieza, de unos 120 ºC, se obtiene sin llegar al
equilibrio térmico, ya que la superficie radiante se
encuentra a unos 450 ºC.
Como resumen sobre los mecanismos de transmisión de calor cabe decir que aunque se han expuesto
por separado los tres mecanismos de conducción, convección y radiación, pueden darse casos en que los
tres intervengan simultáneamente de forma significativa, como se indica en el esquema simbólico de la
figura 10.10. En este caso, la combinación de los tres
mecanismos en el enfriamiento de una superficie sólida permite establecer que el calor transmitido por
conducción a través del sólido se elimina al exterior
mediante la acción simultánea de la convección y la
radiación, permitiendo expresar el siguiente balance
de energía en régimen estacionario:
 dT 
4
4
−kA
 = hA(T0 − T∞ ) + Fε FGσA(T0 − TS ) [10.6]
 dz  0
Conducción Convección
Radiación
en el que el subíndice 0 se refiere a la superficie de la
placa. En el caso de un cuerpo negro sin otros cuer-
239
pos alrededor, serían Fε = 1, FG = 1. En esta ecuación
se observa fácilmente que al aumentar considerablemente la temperatura de la superficie (T0), el término de radiación se vuelve mucho más importante que
el de convección, por estar la temperatura elevada a
la cuarta potencia.
Finalmente, debe señalarse que es frecuente el
caso de un sistema en el que existen distintas etapas donde intervienen de forma predominante uno
o más de los mecanismos de transmisión de calor.
Éste es el caso, por ejemplo, de un sistema de calefacción mediante paneles solares, en el que la calefacción del fluido térmico se realiza por radiación
solar en unos paneles formados por tubos situado
en el eje de un receptor parabólico; estos tubos suelen tener un material de elevada conductividad térmica y un tratamiento superficial de elevado poder
de absorción de la radiación térmica (ver apartado
15.3). Los mecanismos aquí implicados son: radiación, hasta la superficie externa de los tubos; conducción, a través de la pared de los tubos, y convección, de la pared interna de éstos al fluido
térmico. Si actúa la bomba de impulsión, se tendría
convección forzada, pero si no actúa, el agua también circularía (más lentamente) por diferencia de
densidades, teniéndose entonces convección natural. Además, tanto en los circuitos de fluido caliente como en el depósito acumulador y caldera habría
pérdidas de calor al exterior por conducción/convección, que habrían de hacerse mínimas mediante
el adecuado aislamiento térmico con un material de
baja conductividad térmica.
FIGURA 10.9. Horno de calefacción por energía radiante.
240
Introducción a la Ingeniería Química
FIGURA 10.10. Combinación de mecanismos
de conducción, convección y radiación.
10.3. Conducción de calor en sólidos
de geometría sencilla
A fin de aplicar la ley de Fourier de la conducción
de calor a algunos casos sencillos, en régimen estacionario y flujo de calor unidimensional, se considerarán los siguientes sistemas:
a) Placa plana y combinación de placas en serie.
b) Paredes cilíndricas.
c) Paredes esféricas.
Se supondrá en todos los casos, para mayor sencillez, que la conductividad térmica puede considerarse constante e independiente de la temperatura y de
la dirección (medios isótropos).
10.3.1. Placa plana
La ecuación de Fourier [10.1], puede aplicarse del
siguiente modo para expresar el caudal de calor:
Q = qA = −kA
dT
(W)
dx
[10.7]
Esta ecuación se podrá integrar fácilmente, ya
que la superficie de la placa (transversal a la con-
ducción de calor, figura 10.11a) no dependerá de la
distancia (x):
Q x2
dx
T1
A x1
T − T2
∆T
Q = kA 1
= kA
x2 − x1
e
−k
∫
T2
dT =
∫
[10.8]
siendo e el espesor de la placa plana. Esta misma ecuación puede escribirse de la forma:
Q=
∆T ∆T
=
(W)
e
R
kA
[10.9]
es decir, que el caudal de calor es el cociente entre la
fuerza impulsora, ∆T, y la resistencia que se opone a
la conducción de calor, R = e/ kA (su inversa, k A/e,
es la conductancia térmica). Como se observa, al disminuir la conductividad térmica, la resistencia R será
mayor, caso de los materiales aislantes térmicos.
Por otro lado, el perfil de temperatura en el interior de la placa podrá obtenerse de la condición de
que el caudal de calor ha de ser el mismo y no variar
con la posición x, pues se supone el régimen estacionario y no hay generación de calor:
Capítulo 10: Introducción a la transmisión de calor. Cambiadores de calor
241
FIGURA 10.11. Transmisión de calor por conducción en superficies planas y distribución de temperaturas en régimen
estacionario. Analogía eléctrica: a) placa plana; b) combinación de placas planas en serie.
dQ
=0
dx
[10.10]
Combinando esta ecuación con la [10.7], se tiene:
d 
dT 
d 2T
=0
 −kA
=0∴
dx 
dx 
dx 2
[10.11]
expresión que se conoce como ecuación de Laplace.
Integrándola con los límites indicados en la figura
10.11 (x = x1 , T = T1 y x = x2 , T = T2) se obtiene :
T ( x ) = T1 −
T1 − T2
x
e
[10.12]
que representa la distribución de temperaturas en la
placa, en este caso correspondiente a la ecuación de
una recta (perfil lineal).
10.3.2. Combinación de placas planas en serie
La superposición de paredes planas en serie, a través de las cuales se transmite el calor por conducción,
es un caso frecuente. El diseño de un horno típico suele incluir una pared metálica que le proporciona resistencia mecánica, una pared intermedia que actúa de
aislante térmico (a veces varias) y una pared exterior
de recubrimiento. También puede existir una pared
interior adicional, de material refractario.
En esta superposición de paredes (figura 10.11b),
la conducción de calor se producirá de forma análoga a la indicada en el apartado anterior, por lo que en
régimen estacionario se cumplirá, de acuerdo con la
ecuación [10.9]:
Q=
T1 − T2 T2 − T3 T3 − T4
=
=
e1
e2
e3
k 1 A1
k 2 A2
k 3 A3
(W) [10.13]
242
Introducción a la Ingeniería Química
Como se observa, el caudal de calor es el mismo
en todas las secciones. Por tratarse de una geometría
plana, y ser A1 = A2 = A3, también el flujo de calor,
q = Q/A será el mismo (q1 = q2 = q3). Sin embargo, las
fuerzas impulsadoras, ∆T, y las resistencias térmicas
son distintas en cada caso. Resolviendo las tres ecuaciones [10.13] simultáneamente, se tiene:
Q=
T1 − T4
e1
e
e
+ 2 + 3
k1 A1 k 2 A2 k3 A3
[10.14]
o bien, de forma más abreviada:
Q=
∆TTOT
T1 − T4
=
ΣRi
R1 + R2 + R3
[10.15]
expresión similar a la ecuación [10.9], como se puede
observar. Ambas ecuaciones recuerdan la ley de Ohm
del flujo eléctrico, I = ∆V/R, existiendo de hecho una
analogía entre ambos procesos de transporte, térmico y eléctrico, como ya se indicó en el capítulo 4 (apartado 4.3).
Cuando dos capas de material están en contacto
puede ocurrir que en la interfase y a nivel incluso
microscópico no haya buen contacto, bien por la
rugosidad de la superficie o por la formación de algún
óxido, pues ninguna superficie es perfectamente lisa
(figura 10.12). Por esta razón pueden aparecer perfiles de temperatura como los indicados en dicha figura, donde se observa la existencia de una nueva resistencia térmica en la interfase de contacto, cuya
conductividad térmica suele ser muy baja (aire ocluido en los huecos de la rugosidad superficial). Esta
nueva resistencia se conoce como resistencia de con-
FIGURA 10.12. Resistencia de contacto, Rc, y su efecto sobre el perfil de temperaturas.
243
Capítulo 10: Introducción a la transmisión de calor. Cambiadores de calor
tacto, y debe incluirse en la ecuación [10.15]. La forma habitual de expresarla, dada la dificultad de conocer con exactitud la conductividad térmica y el espesor que le corresponde, es a través de un coeficiente
de contacto (hc), similar a los coeficientes de transmisión de calor. Así, para el esquema de la figura
10.12, resultaría:
Q=
T1 − T3
e1
e
1
+
+ 2
k1 A1 hc Ac k 2 A2
[10.16]
ya que las temperaturas de los extremos se mantienen iguales.
Por tanto, tomando la unidad de área (A =
1 m2) las resistencias térmicas del ladrillo (R1) y
del yeso (R2) serán:
R1 =
e1
0, 10
=
= 0, 143 (m 2 º C/W)
k 1 A1 ( 0, 7 )(1)
R2 =
e2
0, 038
=
= 0, 079 (m 2 º C/W)
k 2 A2 ( 0, 48 )(1)
y por tanto,
Es evidente que para las placas planas sería A1 =
Ac = A2.
Ejemplo 10.4. La pared exterior de un edificio
está formada por dos capas, una de ladrillo de 10
cm de espesor (k = 0,7 W/m ºC) y otra de yeso de
3,8 cm espesor (k = 0,48 W/m ºC). Se desea reducir la pérdida de calor por conducción al exterior
en un 70%, por lo que se debe añadir una tercera
capa de material aislante de conductividad k =
0,080 W/mºC. ¿Qué espesor de este último deberá ponerse?
ΣR = R1 + R2 = 0, 143 + 0, 079 = 0, 222 (m 2 º C/W)
La resistencia térmica total, con el material aislante, será pues:
(ΣR)
A
=
ΣR 0, 222
=
= 0, 740 (m 2 º C/W)
0, 3
0, 3
Luego la resistencia sólo del material aislante
será:
R3 = ( ΣR ) A − ΣR = 0, 740 − 0, 22 =
= 0, 518 (m 2 º C/W)
y el correspondiente espesor:
Solución:
La pérdida de calor por conducción, de acuerdo con la ecuación [10.15], será:
∆TTOT
Q=
ΣRi
Aplicando esta ecuación a los dos casos, sin
material aislante (Q) y con material aislante (QA),
al reducirse el caudal de calor en un 70% se tendrá:
QA
= 0, 3
Q
y por tanto:
R3 = 0, 518 =
e3
e3
=
∴
k 3 A3 ( 0, 080 )(1)
∴ e3 = 0, 041 (m) (4,1 cm)
10.3.3. Superficies cilíndricas
En el caso de una superficie cilíndrica, como la de
la pared de una conducción o la del material aislante
que la recubre, la integración de la ecuación [10.7]
requiere expresar el área transversal de transmisión
de calor (A) en función del radio:
A = 2π rL
ΣR
= 0, 3
( ΣR ) A
[10.17]
Así, la ley de Fourier podrá escribirse en este caso
de la forma:
244
Introducción a la Ingeniería Química
Q = qA = −kA
Con lo que se llega a la solución:
dT
∴
dr
∴ Q = −k ( 2πrL )
dT
dr
−k
[10.18]
Q=
Esta ecuación diferencial se podrá integrar con las
siguientes condiciones límite, de acuerdo con la figura 10.13:
r = r1 T = T1 

r = r2 T = T2 
[10.19]
∫
T2
T1
dT =
Q
2πL
∫
r2
r1
dr
r
2π kL
(T1 − T2 ) (W)
ln(r2 / r1 )
[10.20]
Si se le da a esta ecuación la forma de la expresión
[10.9], equivalente la ley de Ohm, se tiene:
Q=
T1 − T2
∆T
=
ln(r2 / r1 )
R
2πkL
[10.21]
de donde se deduce la expresión de la resistencia térmica, R, en este caso. Es también frecuente expresar
la anterior ecuación en función del espesor de la pared
(e) y del área media logarítmica (Aml):
Q=
T1 − T2
e
kAml
[10.22]
siendo la media logarítmica, por definición:
Aml =
A2 − A1
A
ln 2
A1
[10.23]
La distribución radial de temperatura se obtendría ahora, para régimen estacionario, imponiendo la
misma condición [10.10] que en la placa plana –que
el caudal de calor (no así el flujo) permanece invariable con la distancia– pero expresada en coordenadas cilíndricas:
dQ
=0 ∴
dr
d  dT 
∴
r
=0
dr  dr 
FIGURA 10.13. Conducción de calor en un cuerpo cilíndrico y distribución de temperaturas en régimen estacionario.
Analogía eléctrica.
[10.24]
Obsérvese que en este caso, de geometría cilindrica, el flujo de calor no es el mismo en todas las secciones, sino que depende de la posición radial, q(r).
La ecuación de Laplace [10.24] se puede integrar con
las mismas condiciones límite [10.19], lo que conduce
al siguiente perfil de temperaturas:
Capítulo 10: Introducción a la transmisión de calor. Cambiadores de calor
T (r ) = T 1 −
T1 − T2
r
ln
ln(r2 / r1 ) r1
[10.25]
La curva que corresponde a esta ecuación se representa esquemáticamente en la figura 10.13, y muestra
la variación radial de la temperatura, según una función logarítmica. Como se recordará, el perfil de temperatura en la placa plana era lineal (ecuación [10.12]).
Ejemplo 10.5. Para evitar las pérdidas de calor de
una conducción cilíndrica de acero inoxidable, por
cuyo interior circula un fluido caliente, se recubre
la conducción de una capa de material aislante,
cuya conductividad térmica es k = 0,07 W/m ⋅ K.
Suponiendo que la temperatura de la pared interior de la conducción es de 500 ºC y la de la pared
exterior del aislante de 50 ºC, ¿cuál será la pérdida de calor al exterior por unidad de longitud?
¿Cuál será la temperatura en la superficie de contacto metal aislante? Tómese para los diámetros
interior y exterior de la conducción 4 y 6 cm respectivamente y para el espesor del aislante 3 cm;
conductividad del acero, k = 16 W/m ºC.
245
2π (T1 − T2 )
Q
=
L ln(r2 / r1 ) ln(r3 / r2 )
+
k1
k2
Sustituyendo valores directamente en esta
ecuación, se tendrá:
2π (500 − 50 )
Q
=
=
L ln( 3 / 2 ) ln(6 / 3 )
+
16
0, 07
=
2.827
= 285 (W/m)
0, 025 + 9, 902
b) La temperatura entre las dos capas de material, Ti , se obtendrá de la expresión del caudal
de calor aplicada a una sola de las capas, por
ejemplo a la del acero:
2π (T1 − Ti ) 2π (500 − Ti )
Q
= 285 =
=
∴
ln(r2 / r1 )
ln( 3 / 2 )
L
k1
16
∴ Ti = 498 (º C)
10.3.4. Superficies esféricas
Haciendo un tratamiento análogo al de las superficies cilíndricas, pero referido ahora a la geometría
y coordenadas esféricas, se tendrá figura 10.14:
— Área de transmisión de calor:
A = 4π r 2
[10.26]
— Ley de Fourier:
Q = −k ( 4π r 2 )
Solución:
a) De acuerdo con la figura y las ecuaciones
[10.15] y [10.21], el caudal de calor podía expresarse así:
dT
dr
[10.27]
— Caudal de calor:
Q=
4π k
∆T
(T − T2 ) =
1 1 1
R
−
r1 r2
[10.28]
246
Introducción a la Ingeniería Química
También se incluyen en el mismo cuadro las expresiones correspondientes a los mecanismos de convección y radiación, que se verán en los apartados
siguientes.
10.4. Transmisión de calor por convección.
Coeficiente de transmisión de calor
El caudal de calor que se transmite por convección, tanto si se trata de convección natural, como
de convección forzada, viene dado como ya se indicó por la ecuación [10.3]:
Q = hA(T0 − T∞ ) (W)
[10.31]
El coeficiente de transmisión de calor (h) que en
ella aparece, dependiente tanto de la geometría del
sistema como de las propiedades físicas del fluido y
de su velocidad, puede determinarse:
FIGURA 10.14. Conducción de calor en un sólido de geometría esférica y distribución de temperaturas en régimen
estacionario. Analogía eléctrica.
1. Experimentalmente, obteniéndose correlaciones cuya forma general se deduce del análisis
dimensional (capítulo 5).
2. A partir de la teoría de la capa límite, mediante análisis y tratamiento matemático de las
capas límite fluidodinámica y térmica.
3. Por analogía con otros fenómenos de transporte, particularmente con el transporte de cantidad de movimiento.
— Ecuación de Laplace:
d  2 dT 
r
=0
dr  dr 
[10.29]
— Perfil de temperaturas:
T (r ) = T 1 −
T1 − T2  1 1 
−
1 1  r1 r 
−
r1 r2
[10.30]
ecuación esta última que corresponde a un perfil hiperbólico.
En el cuadro 10.4 se resumen las diferentes expresiones de los caudales de calor por conducción y las
correspondientes resistencias térmicas, según el tipo
de geometría y mecanismo de transmisión de calor.
Los dos últimos métodos sólo son aplicables a
casos sencillos, especialmente si el régimen es laminar. El tratamiento de estos métodos queda fuera del
alcance de esta obra, por lo que se aludirá solamente
a las correlaciones experimentales.
En el caso frecuente de transmisión de calor por
convección en flujo interno turbulento, es decir, en
conducciones a través de las cuales circula un líquido
o un gas que se quiere calentar o enfriar desde el exterior, existen diversas correlaciones empíricas basadas
en una relación general que se deduce del análisis
dimensional:
Nu = f(Re, Pr)
[10.32]
siendo Nu el número de Nusselt, que engloba al coeficiente de transmisión de calor, Re el número de
Reynolds y Pr el de Prandtl (cuadros 4.3 y 4.4):
Capítulo 10: Introducción a la transmisión de calor. Cambiadores de calor
247
CUADRO 10.4
Expresiones de los caudales de calor y de las resistencias térmicas
Flujo de calor
q = Q/A
Geometría
Caudal de calor
Q
Resistencia
R
CONDUCCIÓN
Plana
kA
q = cte.
Cilíndrica
q(r)
Esférica
q(r)
T1 − T2
∆x
∆x
kA
2πkL
(T1 − T2 )
ln(r2 r1 )
ln(r2 r1 )
2πkL
4πk
(T1 − T2 )
1 r1 − 1 r2
1 r1 − 1 r2
4πk
CONVECCIÓN
hA(T1 − T2 )
Interfase sólido-fluido
1
hA
RADIACIÓN
Fε FGσ A (T14 − T24 )
Radiación entre 2 superficies
hD
Nu =
k
VDρ
Re =
µ
cp µ
Pr =
k









[10.33]
La correlación general [10.32] es válida para los
casos de convección forzada y flujo plenamente desarrollado, ya que si se trata de convección natural intervienen otras fuerzas, las denominadas fuerzas de flotación y consecuentemente un nuevo número
adimensional, como se verá más adelante.
El flujo plenamente desarrollado se alcanza una
vez sobrepasada la longitud de entrada térmica (Len),
como se indica en la figura 10.15, cuyo concepto es
análogo al de longitud de entrada fluidodinámica
comentado en el capítulo anterior. A partir del valor
de Len, el perfil de temperaturas está plenamente desarrollado.
Las dos situaciones más simplificadas de transmisión de calor por convección en el flujo interno plenamente desarrollado se esquematizan en la figura
10.16, y corresponden a los casos de flujo de calor uniforme y temperatura de la superficie uniforme.
En el primer caso, al ser Q/A = – k (dT/dr)0 = cte.,
la temperatura del fluido –y de la pared– aumentan
continuamente. En el segundo, al mantener T0 = cte.,
el flujo de calor va disminuyendo, hasta hacerse finalmente nulo cuando se alcanza el equilibrio.
En la práctica no es frecuente que se den estas dos
situaciones en estado puro, sino que suelen darse otras
intermedias más complejas de modelizar.
10.4.1. Convección forzada
Entre las numerosas correlaciones empíricas para
flujo interno que relacionan el coeficiente de transmisión de calor en convección forzada con las variables
del flujo y del fluido, cabe destacar la muy conocida
de Dittus-Boelter (Dittus, F. W. y Boelter, L. M. K.,
248
Introducción a la Ingeniería Química
FIGURA 10.15. Longitud
de entrada térmica (Len)
en el flujo interno (T f =
temperatura del fluido
antes de ser calentado;
T 0 = temperatura de la
pared).
FIGURA 10.16. Modelos de
transmisión de calor por
convección en flujo interno
plenamente desarrollado:
a) flujo de calor uniforme;
b) temperatura de la pared
uniforme.
Capítulo 10: Introducción a la transmisión de calor. Cambiadores de calor
Univ. Calif. Berkeley, 1930, II: 443), deducida para flujo turbulento y tubos cilíndricos lisos:
 VDρ 
hD
= 0, 023

K
 µ 
0, 8
n
 cp µ 
 k  ∴


∴ Nu = 0, 023 Re 0, 8 Pr n
[10.34]
n = 0,4 para calefacción
n = 0,3 para enfriamiento
La aplicación de esta ecuación está restringida para
fluidos en los que 0,6 < Pr < 100, y con moderadas
diferencias de temperatura entre la pared y el fluido.
Las propiedades físicas del fluido se evalúan a la temperatura media de éste.
Si las diferencias de temperatura entre pared y fluido son muy grandes, puede haber también una variación apreciable de la viscosidad, lo que requiere el uso
de otras correlaciones más complejas. También exis-
249
ten en la bibliografía correlaciones para régimen laminar en flujo interno, para convección forzada en tanques agitados, etc.
Asimismo, hay numerosas correlaciones empíricas para el caso de transmisión de calor por convección en el flujo externo, sobre todo para el caso de los
bloques de tubos sumergidos en el seno del fluido,
como por ejemplo en los cambiadores de calor con
flujo cruzado que se describirán en el apartado 10.5
(figura 10.24).
A título ilustrativo, en la figura 10.17 se muestran
los valores del coeficiente de transmisión de calor
para líquidos en régimen laminar y de transición a
través de bloques de tubos de diámetro D perpendiculares al flujo, en distintas configuraciones. Se representan también en la misma figura, a título informativo, los correspondientes valores del factor de
rozamiento, f, para cada configuración. Como puede
observarse, hay una clara similitud entre las variaciones de ambos coeficientes (h y f), lo que demuestra la analogía entre el transporte de calor y el de cantidad de movimiento.
FIGURA 10.17. Correlaciones
gráficas del coeficiente de
transmisión de calor, h, y del
factor de rozamiento, f, para
bloques de tubos perpendiculares al flujo en régimen laminar y de transición, con distintos modelos de configuración.
Viscosidad µ0 a la temperatura de la pared; velocidad
máxima Gmax = (V · ρ)max basada en la mínima sección transversal de flujo (mínimo espaciado); resto de las propiedades a la temperatura media del
fluido. Tomado de O. P. Bergelín, G. A. Brown y S. C.
Dober-Stein, Trans. A.S.M.E.,
74, 1958 (1952).
250
Introducción a la Ingeniería Química
Ejemplo 10.6. Un tubo de acero de 20 m de longitud y 1 cm de diámetro se utiliza para calentar el
petróleo que circula por su interior con una velocidad de 2 m/s. Para ello, se hace condensar vapor de
agua en el exterior del tubo a 110 ºC. La temperatura de entrada del petróleo es de 20 ºC y la de salida de 80 ºC. Calcular el valor del coeficiente de transmisión de calor del tubo al petróleo y comprobar si
varía apreciablemente de un extremo a otro del tubo.
Las propiedades físicas del petróleo son:
Densidad:
Calor específico:
Viscosidad:
Conductividad
térmica:
ρ =
cp =
µ =
µ =
900 kg/m3 (20 a 80 ºC)
2,09 kJ/kg K (20 a 80 ºC)
2,5 · 10–3 kg/m s (20 ºC)
1,5 · 10–3 kg/m s (80 ºC)
k = 0,585 kJ/h m K (20 ºC)
k = 0,502 kJ/ h m K (80ºC)
 VDρ 
( 2 )(10 −2 )(900 )
= 12.000
Re2 = 
 =
 µ 2
1, 5 ⋅ 10 −3
 c µ
( 2, 09 )(1, 5 ⋅ 10 −3 )
= 22, 5
Pr2 =  p  =
0, 502 / 3.600
 k 2
Como puede observarse, se cumplen los requisitos de régimen turbulento y 0,6 < Pr < 100. Por
tanto, de la ecuación [1] se obtiene:
h1 =
=
0, 585
kJ
( 0, 023 )( 7.200 ) 0, 8 ( 32, 1) 0, 4 = 6.566
−2
10
hm 2 K
h2 =
=
k1
0, 023( Re1 ) 0, 8 (Pr1 ) 0, 4 =
D
k2
0, 023( Re2 ) 0, 8 (Pr2 ) 0, 4 =
D
0, 502
kJ
( 0, 023 )(12.000 ) 0, 8 ( 22, 5 ) 0, 4 = 7.356
−2
10
hm 2 K
Así pues, el coeficiente de transmisión de calor
aumenta a lo largo del tubo, siendo a la salida un
12% mayor que a la entrada.
Solución:
Suponiendo que las paredes interiores del tubo
son lisas (rugosidad despreciable) se podrá utilizar la ecuación de Dittus-Boelter [10.34], siempre
que se cumplan las condiciones de régimen turbulento y 0,6 < Pr < 100:
 VDρ 
hD
= 0, 023

k
 µ 
0 ,8
 cp µ 


 k 
0 ,4
[1]
En esta ecuación las propiedades físicas deben
calcularse a la temperatura media másica del fluido, en cada sección, que coincidirán prácticamente con los valores medidos de 20 y 80 ºC. Así, se
tendrá:
10.4.2. Convección natural
En el caso de la transmisión de calor por convección natural entre una superficie plana y el fluido que
la rodea (figura 10.6b), como ocurre por ejemplo en
una pared vertical de un horno en contacto con aire
en reposo, las correlaciones empíricas más frecuentes
para el coeficiente de transmisión de calor tienen la
forma siguiente:
Nu =
hL
= a(Gr ⋅ Pr ) m
k
[10.35]
Entrada (1):
 VDρ 
( 2 )(10 −2 )(900 )
=
= 7.200
Re1 = 

 µ 1
2, 5 ⋅ 10 −3
 c µ
( 2, 09 )( 2, 5 ⋅ 10 −3 )
= 32, 1
Pr1 =  p  =
0, 585 / 3.600
 k 1
Salida (2):
donde Gr, representa el número de Grashof referido,
como el número de Nu, a la dimensión característica
de la superficie, en este caso su altura L. Las constantes a y m dependen de la geometría y posición de
la superficie.
Gr =
gβ (T0 − T∞ )L3
υ2
[10.36]
Capítulo 10: Introducción a la transmisión de calor. Cambiadores de calor
El término β representa el coeficiente volumétrico de expansión (para gases ideales, β = 1/T, T= temperatura absoluta), L la longitud o altura de la superficie y υ la viscosidad cinemática del fluido (υ = µ/ρ).
El número de Grashof puede interpretarse físicamente como la relación entre las fuerzas de empuje o
flotación (debidas a las diferencias de densidad del
fluido) y las fuerzas de viscosidad en el flujo por convección natural. Este número adimensional desempeña un papel similar al del número de Reynolds en
convección forzada.
También en el caso de la convección natural puede producirse el paso de régimen laminar a turbulento en la capa límite de fluido contigua a la superficie.
Ello hace que las ecuaciones empíricas para el coeficiente de transmisión de calor puedan tener expresiones distintas, según el caso. En el cuadro 10.5 se
muestran algunas de ellas, basadas en la ecuación
[10.35], para el caso de la temperatura de la superficie constante.
Existen expresiones similares para condiciones de
flujo de calor constante, en cuyo caso la temperatura ya no es uniforme (Holman, 1997). En la figura
10.18 se observan algunas fotografías obtenidas por
interferometría de las capas límite alrededor de algunas superficies que se enfrían al aire por convección
natural.
Ejemplo 10.7. Una placa horizontal de acero se
deja enfriar poniéndola en contacto con aire en
reposo a 21 ºC. La temperatura inicial de la placa
es de 93 ºC, y durante el enfriamiento la variación
de la temperatura de la placa en dirección vertical
es despreciable. Si la placa es cuadrada, con 15 cm
de lado y 2,5 mm de espesor, calcular el tiempo
necesario para que su temperatura sea de 38 ºC.
Datos: Propiedades del aire: viscosidad µ = 1,75 · 10–5
kg/ms; calor específico cp = 1,024 kJ/kg ºC; conductividad térmica k = 0,025 W/m ºC. Propiedades del acero: densidad ρs = 7.800 kg/m3; calor específico cps = 0,473 kJ/kg ºC; gβ /υ2 = 107 (m3 ºC)(del
número de Grashof).
CUADRO 10.5
Valores de las constantes de la ecuación Nu = a (Gr · Pr)m [10.35] para la transmisión de calor
por convección natural en superficies isotérmicas (Holman, 1997)
Geometría
Gr · Pr (b)
Régimen
Placas y cilindros verticales (a)
104 – 109
109 – 1013
Cilindros horizontales (a)
a
m
Laminar
Turbulento
0,59
0,10
1/4
1/3
104 – 109
109 – 1012
Laminar
Turbulento
0,53
0,13
1/4
1/3
cara superior
2 · 104 – 8 · 106
8 · 106 – 1011
Laminar
Lam + turb.
0,54
0,15
1/4
1/3
cara inferior
105 – 1011
2 · 104 – 8 · 106
Lam + turb.
Laminar
0,58
0,27
1/5
1/4
Placas horizontales calientes:
(a)
(b)
251
Para cilindros, L = diámetro del cilindro.
Números de Gr y Pr calculados a la temperatura de la película de la capa límite, Tf = 0,5 (T0 + T∞).
252
Introducción a la Ingeniería Química
Así, del cuadro 10.5 se obtienen las siguientes
expresiones:
Cara superior:
Nu1 =
h1L
= 0, 54(Gr ⋅ Pr )1 4
k
Cara inferior:
Nu2 =
h2 L
= 0, 27(Gr ⋅ Pr )1 4
k
siendo:
Gr =
gβ (T0 − T∞ )L3
υ2
Pr =
cp µ
k
El proceso de enfriamiento vendrá representado por el siguiente balance de energía, en el que
se considera la temperatura de la placa variable
con el tiempo, T0 (t):
− ms cps
dT0
= h1 A(T0 − T∞ ) + h2 A(T0 − T∞ )
dt
siendo A el área superficial de cada cara de la placa. Por tanto, el balance de energía se podrá expresar de la forma:
dT0
= ( h1 + h2 ) A(T0 − T∞ ) =
dt
kA
= ( Nu1 + Nu2 )
(T0 − T∞ )
L
o bien, en función de los números de Grashof y
Prandtl:
− ms cps
FIGURA 10.18. Visualización de la capa límite alrededor
de superficies calientes que se enfrían al aire por convección natural: a) placa plana vertical; b) cilindro horizontal.
Las franjas claras y oscuras obtenidas por interferometría,
corresponden a las líneas de T constante (tomado de Holman, 1997).
Solución:
Como se observa en la figura, la placa se enfría
por sus dos caras, si bien las expresiones del número de Nusselt que corresponden a cada una son
distintas, pues los efectos de la convección natural también lo son (líneas de corriente diferentes).
− ms cps
dT0
kA
= ( 0, 27 + 0, 54 )(Gr ⋅ Pr )1 / 4
(T0 − T∞ ) =
dt
L
 gβ 
= ( 0, 27 + 0, 54 ) 2 
υ 
1/ 4
kA
(T0 − T∞ )5 / 4
L
La masa de la placa será:
ms = vs ρ s = ( 0, 15 ) 2 ( 0, 0025 )( 7.800 ) = 0, 4387 (kg)
y el número de Prandtl:
Capítulo 10: Introducción a la transmisión de calor. Cambiadores de calor
Pr =
cp µ
=
k
(1, 024 ⋅ 103 )(1, 75 ⋅ 10 −5 )
= 0, 72
0, 025
Por tanto, la ecuación del balance quedará:
dT0
=
dt
0, 025( 0, 15 ) 2
(T 0−21)5 / 4
0, 15
0, 4387( 0, 473 ⋅ 103 )
= 0, 81(10 7 ⋅ 0, 72 )1 / 4
∴−
dT0
= 7, 583 ⋅ 10 −4 (T0 − 21) 5 / 4
dt
Esta ecuación diferencial se resuelve fácilmente
haciendo el cambio de variable θ = T0 – 21 (dθ =
dT0) y calculando la integral con los límites inicial
y final T0i (0), T0f (t):
dθ
= 7, 583 ⋅ 10 −4 θ 5 / 4 ∴
dt
θ f dθ
∴ −
= 7, 583 ⋅ 10 −4 t ∴
θi θ 5 / 4
θf
 1
1 
 1 
∴ 4  1 / 4  = 4  1 / 4 − 1 / 4  = 7, 583 ⋅ 10 −4 t ∴
θ i 
 θ θ i
 θ f


1
1
= 7, 583 ⋅ 10 −4 t
∴ 4
−
1/ 4
1/ 4 
−
−
(
38
21
)
(
93
21
)


−
∫
de donde resulta:
t = 787 (s)
253
10.5. Cambiadores de calor
Los equipos donde se intercambia energía entre
fluidos calientes y fríos se denominan cambiadores de
calor. Su diseño es de gran importancia económica,
pues la óptima recuperación de la energía y el óptimo
tamaño y peso del cambiador de calor suelen ser factores fundamentales que afectan a la economía del
proceso.
En general, para la calefacción o enfriamiento de
un fluido en un proceso químico determinado se plantean diversas posibilidades respecto a las variables
implicadas (área de transmisión de calor, velocidad de
transmisión de calor, energía mecánica para el bombeo, etc.). La figura 10.19 muestra esta situación,
observándose la existencia de una región óptima, a la
que corresponde un coste de operación mínimo, para
la cual debe diseñarse el cambiador de calor.
En el presente capítulo, sin embargo, no se abordarán las consideraciones económicas, aunque deban
de tenerse en cuenta en la práctica, sino solamente las
consideraciones técnicas desde el punto de vista del
diseño y aplicación, como son el cálculo del área necesaria (y por tanto el tamaño del cambiador de calor)
para una determinada operación, así como los tipos
más frecuentes de cambiadores de calor.
Debe señalarse también que, en general, los mecanismos fundamentales de transmisión de calor que
intervienen en un cambiador son los de convección y
conducción. Esto no implica que el mecanismo de
radiación no tenga importancia en algunos casos concretos, pero en general, y no tratándose de temperaturas muy elevadas, su papel es poco relevante.
(13 min 6 s)
10.5.1. Cambiador de calor de tubos
concéntricos. Coeficiente global
de transmisión de calor
En ocasiones aparecen situaciones prácticas en las
que son significativos los dos mecanismos simultáneamente, convección forzada y convección natural, por
lo que no se puede despreciar ninguno de los dos. Esto
ocurre, por ejemplo, cuando se fuerza a un fluido a
circular sobre una superficie caliente, con una velocidad baja, comparable con la que resulta de las fuerzas ascensionales debidas a una disminución de la densidad del fluido en las proximidades de la superficie
(velocidad convectiva). En estas condiciones, los coeficientes de transmisión de calor son el resultado de
la combinación de ambos mecanismos.
El dispositivo más sencillo para intercambiar calor
entre un fluido frío y uno caliente es el cambiador de
calor de tubos concéntricos, esquematizado en la figura 10.20a. Uno de los fluidos circula por el tubo interior, mientras que el otro lo hace por el espacio anular entre los dos tubos, pudiendo ser los flujos en
paralelo o en contracorriente. Este tipo de cambiador
de calor, de fácil construcción, se utiliza solamente
para caudales pequeños.
Las resistencias térmicas que se oponen al intercambio calorífico entre los fluidos frío y caliente a lo
254
Introducción a la Ingeniería Química
FIGURA 10.19. Condiciones
óptimas para el diseño de un
cambiador de calor (área de
intercambio A) respecto a la
potencia de bombeo.
FIGURA 10.20. Cambiador de calor de
tubos concéntricos: a)
esquema del cambiador (fluidos en
contracorriente); b)
distribuciones de temperaturas longitudinales; c) perfiles de
temperatura transversales y resistencias
térmicas implicadas.
Capítulo 10: Introducción a la transmisión de calor. Cambiadores de calor
largo del cambiador de calor se representan en la figura 10.20c, observándose que las dos resistencias de convección que corresponden a los fluidos vienen caracterizados por un coeficiente individual de transmisión
de calor h (ecuación [10.31]), mientras que la de conducción, correspondiente a la pared metálica del tubo,
está caracterizada por la conductividad térmica del
material k (ecuación [10.22]). Así pues, en régimen
estacionario, para estas tres resistencias en serie, se
podrá expresar el caudal de calor para un elemento
diferencial de longitud, dx, de la siguiente forma:
dQ =
T ′ − T0′ T0′ − T0′′ T0′′− T ′′
=
=
1
1
e
h ′dA′
kdAml
h ′′dA′′
[10.37]
siendo r′′ y r′ los radios externo e interno del tubo interior, y dA′, dA′′ las áreas diferenciales correspondientes a dx en contacto con los fluidos caliente y frío,
respectivamente. (Obsérvese que se reseña el superíndice ′ para el fluido caliente y el ′′ para el fluido
frío.)
A partir de la ecuación anterior se deduce fácilmente la expresión:
dQ =
T ′ − T ′′
T ′ − T ′′
=
1
e
1
1
+
+
h ′dA′ kdAml h ′′dA′′
UdA
[10.38]
1
1 e dA′
1 dA′
+
+
h ′ k dAml h ′′ dA′′
10.5.2 Integración de la ecuación de diseño
de un cambiador de calor. Diferencia
de temperatura media logarítmica
La ecuación diferencial de diseño [10.39] puede
integrarse teniendo en cuenta la relación entre las
variables dQ y d(∆T), la cual viene dada por un balance diferencial de energía en cada fluido, de acuerdo
con la figura 10.21:
dQ = − m ′c p′ dT ′ = m ′′c p′′dT ′′
Q = m ′cp′ (T1′ −T ′ 2) = m ′′cp′′(T2′′− T1′′ )
[10.43]
dT ′ − dT ′′ = d (T ′ − T ′′ ) = d∆T =
[10.40]
 1
1 
= − dQ
+

 m ′cp′ m ′′cp′′ 
y sustituyendo esta expresión en la ecuación [10.39]:
 1
d∆T
1 
= −UdA
+

∆T
 m ′cp′ m ′′cp′′ 
ln
[10.41]
[10.44]
Suponiendo un coeficiente global de transmisión
de calor U = cte., la integración de la ecuación anterior conduce a la siguiente:
siendo evidentemente:
U ′dA′ = U ′′dA′′ = UdA
[10.42]
Obsérvese que el signo negativo en el segundo término corresponde al flujo en paralelo (si fuera en contracorriente, sería positivo). La forma integrada de la
ecuación anterior será:
[10.39]
siendo ∆T= T′ – T′′ la fuerza impulsora diferencia de
temperatura local (variable a lo largo del cambiador),
dA el área diferencial de intercambio referida a uno
de los dos fluidos (dA′ o dA′′) y U el denominado coeficiente global de transmisión de calor, también referido a uno de los dos fluidos (U′ o U′′) y cuya expresión se deduce de las dos últimas ecuaciones:
U′ =
La ecuación diferencial [10.39], que constituye la
ecuación básica de diseño del cambiador de calor,
habrá de integrarse teniendo en cuenta la variación
de ∆T, así como la del coeficiente global U, que también depende de la temperatura y por tanto de la posición dx.
De la ecuación [10.42] se deduce:
o bien de forma abreviada:
dQ = UdA∆T
255
∆T( 2 )
∆T(1)
 1
1 
= −UA
+

 m ′cp′ m ′′cp′′ 
[10.45]
256
Introducción a la Ingeniería Química
siendo los subíndices de ∆T los correspondientes a los
extremos del cambiador de calor (figura 10.21; obsérvese que las expresiones de ∆T(1) y ∆T(2) son distintas,
según se trate de flujo en contracorriente o en paralelo). Del balance integral de energía [10.43] se obtienen las relaciones:
T ′ − T2′ 
1
= 1

m ′cp′
Q


T2′′− T1′′ 
1
=

m ′′cp′′
Q

ln
∆T( 2)
∆T( 1)
=−
(
Reordenando esta expresión, de acuerdo con los
significados de ∆T(1) y ∆T(2) (figura 10.21b):
Q = UA
[10.46]
que sustituidas en la ecuación [10.45] conducen a:
)
UA
(T1′ − T1′′ ) − (T2′ − T2′′ )
Q
o bien:
∆T( 2 ) − ∆T(1)
∆T
ln ( 2 )
∆T(1)
Q = UA∆Tml
FIGURA 10.21. Perfiles longitudinales de temperatura en un cambiador de calor: a) flujo en contracorriente;
b) flujo en paralelo; c) condensador.
[10.47]
[10.48]
Capítulo 10: Introducción a la transmisión de calor. Cambiadores de calor
en donde:
∆Tml =
∆T( 2) − ∆T( 1)
ln( ∆T( 2) / ∆T( 1) )
[10.49]
El término ∆Tml se conoce como diferencia de temperatura media logarítmica entre los extremos del cambiador. Esta ecuación final es válida tanto para flujo
en paralelo como en contracorriente, debiendo sustituirse en cada caso los ∆T por las diferencias de temperatura correspondientes, según el caso (figura 10.21).
Las únicas suposiciones realizadas son: a) el coeficiente global de transmisión de calor, U, es constante
a lo largo del cambiador y no depende por tanto de la
temperatura b) los calores específicos cp′ y cp′′ son también constantes. Aunque la segunda suposición es
muchas veces aceptable, no puede decirse lo mismo
de la primera, debido sobre todo a los efectos de entrada del fluido, y a las variaciones de viscosidad y conductividad térmica.
Volviendo a la figura 10.21, debe señalarse que en
general es preferible la disposición de flujo en contracorriente, ya que la temperatura de salida del fluido que se calienta (T2′′) puede sobrepasar la de salida del fluido calefactor (T2′), cosa que es imposible
en la disposición en paralelo. Esto demuestra una vez
más las ventajas del contacto en contracorriente, ya
mencionadas en el capítulo 3. Por otro lado, si uno de
los fluidos fuera un vapor puro que condensa (por
ejemplo, vapor de agua), al ser su temperatura de condensación constante, resultaría una distribución de
temperaturas como la de la figura 10.21c.
Finalmente, debe indicarse que desde el punto
de vista práctico, y también por consideraciones económicas, suele dejarse una diferencia de temperaturas entre ambos fluidos en los dos extremos del
cambiador (∆T(1) y ∆T(2)) no inferior a 10 ºC.
Ejemplo 10.8. Un cambiador de calor de tubos
concéntricos se utiliza para calentar un aceite desde 35 hasta 85 ºC, empleando vapor de agua saturado que condensa en el espacio anular de los tubos
a 104 ºC, siendo su coeficiente de transmisión de
calor 4.200 kJ/h m2 K. El caudal de aceite que se
calienta es de 10.000 kg/h, circulando por el tubo
interno que es de acero de 4 mm de espesor. En un
momento dado y por un fallo en la caldera que
suministra el vapor, el caudal de éste debe reducirse, siendo entonces el valor del coeficiente individual de transmisión de calor del vapor la mitad.
257
En estas nuevas condiciones, ¿cuál será la temperatura de salida del aceite? Tómese para éste un
valor medio de su calor específico de 2,5 kJ/kg K,
y un valor medio de su coeficiente de transmisión
de calor individual de 2.668 kJ/h m2 K. La conductividad térmica del acero, supuesta constante,
es de 168 kJ/h m K.
Solución:
La ecuación [10.43] permite calcular el caudal
de calor intercambiado antes de la avería:
Q = m ′′cp′′ (T2′′− T1′′ ) = 10.000( 2, 5 )( 85 − 35 ) =
= 1, 25 ⋅ 10 6 (kJ/h)
Este caudal podrá sustituirse en la ecuación de
diseño del cambiador, que al ser constantes U y cp,
vendrá dada por la expresión [10.48]:
Q = UA∆Tml
siendo:
∆Tml =
=
∆T( 2) − ∆T( 1)
=
∆T( 2)
ln
∆T( 1)
(104 − 85 ) − (104 − 35 )
= 38, 8 ( º C)
104 − 85
ln
104 − 35
Para el cálculo del coeficiente global de transmisión de calor, supuesto también constante, se
tomará la ecuación [10.40]. Sin embargo, en este
caso, al no tener datos de los diámetros de los tubos,
no pueden calcularse los términos A′/A′′ y A′/Aml.
Por ello se supondrá que A′ ≈ A′′ ≈ Aml, ya que el
espesor del tubo interno es muy pequeño. Así pues:
1
=
1 e
1
+ +
h ′ k h ′′
1
=
=
1
0, 004
1
+
+
4.200
168
2.668
1
=
=
23, 8 ⋅ 10 −5 + 2, 38 ⋅ 10 −5 + 37, 5 ⋅ 10 −5
U=
= 1.571 (kJ/hm 2 K)
258
Introducción a la Ingeniería Química
En efecto, el término e/k (segundo sumando
del denominador) es muy inferior a los otros dos,
1/h′ y 1/h′′, por lo que haberlo despreciado no
hubiera alterado sensiblemente el resultado.
Sustituyendo valores en la ecuación de diseño,
puede obtenerse el área de transmisión de calor
del cambiador:
1,25 · 106 = (1.571) A (38,8) ∴ A = 20,5 (m2)
Con este mismo cambiador y el caudal de vapor
reducido se tendrá:
U=
1
=
( 2 )23, 8 ⋅ 10 −5 + 2, 38 ⋅ 10 −5 + 37, 5 ⋅ 10 −5
= 1.143 (kJ/hm 2 K)
Q = UA∆Tml =
(104 − 35 ) − (104 − T2′′)
= (1.143 )( 20, 5 )
104 − 35
ln
104 − T2′′
Q = m ′′cp′′(T1′′ − T2′′) = 10.000( 2, 5 )(T2′′− 35 )
Igualando las dos últimas expresiones y resolviendo por tanteos, se llega al valor:
T2′′ = 77 (º C)
Luego el aceite saldrá 85 – 77 = 8 ºC más frío
que antes.
siendo (∆T · U)mlc, la denominada media logarítmica
cruzada, definida como:
( ∆T ⋅ U ) mlc =
U = a + b∆T = a + b(T ′ − T ′′ )
[10.50]
siendo a y b dos constantes. Así, para el caso de un
cambiador dividido en dos tramos (I y II), es fácil
demostrar que la solución a la que se llega en la integración de la ecuación [10.39] es la siguiente:
Q = A(∆T . U)mlc
[10.51]
[10.52]
donde los subíndices I y II se refieren a los valores
medios de ∆T y U en los tramos I y II, respectivamente.
Por otro lado, es frecuente que con el tiempo se
produzcan progresivamente depósitos de sólidos sobre
las superficies de los tubos del cambiador (depósitos
calcáreos de las aguas duras, etc.) o también que se
produzca corrosión y oxidación del material de los
tubos si se utilizan fluidos agresivos. En estos casos,
el depósito acumulado producido representa una resistencia adicional a la transmisión de calor, disminuyendo por tanto la eficacia del cambiador. El efecto
resultante se representa normalmente mediante el
denominado factor de ensuciamiento o resistencia al
ensuciamiento (Rf), que debe por tanto incluirse junto con las demás resistencias térmicas en la expresión
y cálculo del coeficiente global de transmisión de calor,
de la misma forma que se hizo con la resistencia de
contacto en la conducción de calor en dos sólidos en
serie (ecuación [10.16]).
Los factores de ensuciamiento deben obtenerse
experimentalmente, a partir del coeficiente global de
transmisión de calor determinado en condiciones “limpias” y “sucias” del cambiador. Así, el factor de ensuciamiento será:
Rf =
Para los casos en que no se pueda suponer constante el coeficiente global de transmisión de calor, el
problema se puede abordar dividiendo imaginariamente el cambiador de calor en tramos o elementos
para los que se pueda considerar una variación lineal, del tipo:
∆TIUII − ∆TIIUI
∆T U
ln I II
∆TIIUI
1
1
−
U sucio U limpio
[10.53]
y, por tanto, la expresión del coeficiente global [10.41]
para una superficie finita quedará de la forma:
U′ =
1
e A′
1
1 A′
+ R f′ +
+
+ R ′′f
k Aml h ′′ A′′
h′
[10.54]
donde Rf′ y Rf′′ representan las resistencias de ensuciamiento en la superficie externa e interna, respectivamente, del tubo del cambiador a cuyo través se
transmite el calor.
A menudo resulta muy útil en los estudios con
cambiadores de calor estimar de forma rápida y apro-
Capítulo 10: Introducción a la transmisión de calor. Cambiadores de calor
259
ximada valores de las distintas variables y parámetros
(caudales, temperaturas, áreas, etc.). Sin embargo, es
más difícil de estimar rápidamente el coeficiente global de transmisión de calor, por lo que resultan muy
útiles las tablas de valores aproximados de la bibliografía, como la preparada por A. C. Mueller (Purdue
Univ. Engr. Expt. Sta. Engr. Bulletin Res. Ser. 121
(1954)) y reproducida en el cuadro 10.6.
CUADRO 10.6
Valores aproximados y orientativos del coeficiente global
de transmisión de calor
Combinación de fluidos
Agua - aire comprimido
Agua - agua
Agua - gasolina
Agua - gasóleo
Agua - aceites lubricantes
Agua - freón 12 (que condensa o hierve)
Vapor de agua - agua
Vapor de agua - fueloil pesado
Vapor de agua - fracc. ligeras de petróleo
Vapor de agua - gases
Orgánicos ligeros - orgánicos ligeros
Orgánicos pesados - orgánicos pesados
Orgánicos pesados - orgánicos ligeros
Petróleo crudo - gasóleo
U (kcal/m2h oC)
50 - 150
750 - 1.350
300 - 450
150 - 300
100 - 300
250 - 750
1.000 - 3.000
50 - 150
250 - 1.000
25 - 250
200 - 350
50 - 200
50 - 300
150 - 250
10.5.3. Tipos de cambiadores de calor
Además del tipo de cambiador más sencillo ya
comentado –cambiador de calor de tubos concéntricos–, existen otros tipos en los que se busca aprovechar mejor el área de contacto en dispositivos más
compactos y eficientes. Entre ellos, pueden destacarse como más habituales dos grupos: los multitubulares, de carcasa y tubos, y los de flujo cruzado.
a) Cambiadores de calor multitubulares,
de carcasa y tubos
En este caso uno o los dos fluidos realizan múltiples recorridos o pasos por el cambiador. En la figura 10.22 se muestran algunos ejemplos. Así, si el fluido frío pasa una sola vez por los tubos y el caliente
una sola vez por la carcasa bañando exteriormente los
tubos, el cambiador se denomina 1-1 (figura 10.22a).
FIGURA 10.22. Cambiadores de calor multitubulares de carcasa y tubos: a) un paso por la carcasa y un paso por los
tubos (cambiador 1-1); b) un paso por la carcasa y dos
pasos por los tubos (cambiador 1-2).
Y si el fluido frío pasa dos veces por los tubos a lo
largo del cambiador (figura 10.22b), éste se denomina 1-2; como puede comprobarse, en este último caso
los fluidos circulan en contracorriente en la mitad del
cambiador y en paralelo en la otra mitad. También
existen otros cambiadores, como los 2-4, 2-6, etc., con
igual significado para las cifras, que representan el
número de pasos de cada fluido.
En todos los cambiadores multitubulares el fluido
exterior que circula por la carcasa se ve obligado a
atravesar el bloque de tubos con flujo cruzado más
que en paralelo, forzado por la presencia de unos tabiques deflectores perpendiculares a los tubos. De esta
forma se consigue una mayor turbulencia y por tanto
un valor más alto del coeficiente de transmisión de
calor para el fluido externo.
En la figura 10.23 se muestra con más detalle la
estructura de un cambiador multitubular de carcasa y
tubos. En la mayor parte de los casos, uno de los extremos del bloque de tubos no está fijado a la carcasa, con
260
Introducción a la Ingeniería Química
FIGURA 10.23. Detalle de un cambiador de calor de carcasa y tubos.
Capítulo 10: Introducción a la transmisión de calor. Cambiadores de calor
lo que se evitan posibles deformaciones por dilatación
debido a los cambios de temperatura del metal; por
ello se denominan cambiadores de cabeza flotante. Los
cambiadores multitubulares son los más utilizados en
la industria, en particular los del tipo 1-2 y 2-4.
b) Cambiadores de calor de flujo cruzado
Son muy frecuentes cuando uno de los fluidos es
un gas, siendo típico el ejemplo de la calefacción de
aire con vapor de agua. El esquema del dispositivo del
cambiador más característico se muestra en la figura
10.24. Uno de los fluidos, generalmente líquido, circula por el interior de los tubos, mientras que el otro
(gas) circula perpendicularmente a los tubos por convección forzada o natural. A su vez, los fluidos –uno
o los dos– pueden circular “canalizados”, es decir, confinados en un espacio determinado a base de tabiques
o paredes separadas (figura 10.24), lo que influye en
los gradientes de temperatura y por tanto en el coficiente global de transmisión de calor.
c) Otros dispositivos
Existe una amplia variedad de cambiadores especiales y dispositivos adicionales para mejorar el inter-
FIGURA 10.24. Cambiadores de flujo
cruzado: a) bloques
de tubos con fluido
externo sin canalizar; b) bloques de
tubos con fluido
externo canalizado;
c) láminas corrugadas con los dos fluidos canalizados.
261
cambio calorífico, con aplicaciones específicas. En la
figura 10.25 se muestran algunos de ellos.
Entre los más frecuentes cabe destacar el cambiador de calor en espiral por su carácter compacto, en el
que los fluidos circulan en contracorriente entre láminas arrolladas en espiral (figura 10.25a); los serpentines de refrigeración o calefacción, muy utilizados en
tanques y reactores agitados para facilitar la transmisión de calor al líquido del interior (figura 10.25b) y
los cambiadores de calor de placas planas, del tipo filtro-prensa, en los que ambos fluidos circulan en contracorriente entre placas rectangulares separadas por
anillos de cierre elásticos que están apretadas formando un conjunto compacto (son además fáciles de
desmontar y limpiar, figura 10.25c).
Mención aparte merecen las denominadas aletas,
que son prolongaciones de la superficie externa de la
tubería (figura 10.25d); suelen tener forma de anillos
paralelos perpendiculares al tubo o láminas rectangulares colocadas en la dirección de los radios y a lo
largo del tubo. Su objetivo, de acuerdo con la ecuación [10.31], es aumentar el caudal de calor que se disipa al exterior incrementando el área de transmisión
de calor (A). Tienen también gran aplicación fuera de
la Ingeniería Química en la refrigeración de transistores y elementos electrónicos, de motores térmicos
y eléctricos, etc.
262
Introducción a la Ingeniería Química
FIGURA 10.25. Cambiadores de calor especiales: a) cambiador en espiral; b) serpentín; c) cambiador de calor de placas;
d) aletas en tubos cilíndricos.
Capítulo 10: Introducción a la transmisión de calor. Cambiadores de calor
Como se observa, es importante el papel que juega el aumento de superficie cuando se quiere mejorar la transmisión de calor intercambiado. Sin embargo, cuando se busca el efecto contrario –reducir el
caudal de calor–, como ocurre en los problemas de
aislamiento térmico, esta influencia del aumento de
superficie es lógicamente negativa. Así, por ejemplo,
en el caso de una conducción en la que se quieren
reducir las pérdidas de calor al exterior, como se vio
en el Ejemplo 10.5, se recubre la conducción con un
material térmico aislante. Parece lógico pensar que
al aumentar el espesor de éste, será mejor el aislamiento y menor el caudal de calor disipado al exterior. Sin embargo no es siempre así, pues puede ocurrir que inicialmente predomine el efecto del aumento
del área externa (por aumento del radio del aislante)
sobre el aumento del espesor, provocando así el efecto contrario: un aumento del caudal de calor que se
elimina. Por ello, existe el concepto de espesor crítico de aislamiento, para el cual el caudal de calor disipado es mínimo. En el ejemplo siguiente se ilustra
este caso.
Ejemplo 10.9. Calcular el radio crítico de aislamiento térmico de una conducción cilíndrica. Aplicarlo al caso del Ejemplo 10.5 suponiendo un coeficiente de transmisión de calor al exterior h = 265
W/m2 ºC.
Solución:
A partir de la ecuación [10.21] para el caudal
de calor que se transmite por conducción a través del aislante y de la ecuación [10.31] para el
caudal de calor que se disipa al exterior por convección, se tiene
[10.21]:
[10.31]:
Q=
Ti − Te
ln(re / ri )
2π kL
Q = h( 2π re L )(Te − T∞ )
Teniendo en cuenta que en régimen estacionario ambos caudales han de ser iguales:
Q=
263
Ti − Te
T e − T∞
=
=
1
ln(re / ri )
h( 2π re L )
2π kL
=
2π L(Ti − T∞ )
ln(re / ri )
1
+
k
hre
Se observará que en esta ecuación el radio re
influye de forma inversa sobre Q en los dos términos del denominador. Como el caudal de calor
es función del radio externo del aislamiento, re,
podrá calcularse su valor máximo hallando la derivada e igualándola a cero:
dQ
=0=
dre
 1
1 
−2π (Ti − T∞ )
− 2
 kre hre 
 ln(re / ri )
1 
+


k
hre 

2
expresión de la que se deduce:
1
1
k
−
= 0 ∴ re = rcrit =
kre hre2
h
Es decir, que el radio crítico de aislamiento térmico coincide con la relación k/h. Si el radio exte-
264
Introducción a la Ingeniería Química
rior del aislamiento es inferior a esta relación, el
caudal de calor aumentará al añadir más aislamiento. Si el radio exterior es mayor que esta relación, un aumento del espesor del aislamiento hará
disminuir el caudal de calor.
En la figura superior se observa este efecto.
Obviamente, si el radio externo de la conducción
sin aislar (ri) ya iguala o supera el valor del radio
crítico, como se muestra en la parte derecha de la
figura, no se producirá el efecto de aumento del
caudal de calor con el espesor. Esto sólo ocurre si
ri < rcrit.
Para el ejemplo 10.5 el radio crítico de aislamiento será:
rcrit =
16(W/m °C)
k
=
= 0, 0603 (m)
h 265(W/m 2 °C)
Es decir, por debajo del espesor 6,0 cm, el aislante favorece la transmisión de calor en vez de
reducirla. En el ejemplo propuesto se utilizaba un
espesor de 3 cm, que por lo tanto resulta insuficiente para lograr el adecuado aislamiento de la
conducción.
10.5.4. Factores de corrección de la diferencia
de temperatura media logarítmica
En los cambiadores de calor más complejos que
los de simples tubos concéntricos, como los considerados en el apartado anterior, no es posible aplicar
directamente la ecuación de diseño [10.48] con la diferencia de temperatura media logarítmica (∆Tml) dada
por la ecuación [10.49], ya que no se podrían definir
cuáles son las diferencias ∆T correspondientes a cada
extremo del cambiador. El incremento de temperatura que debería figurar en estos casos en la ecuación
de diseño, (∆Tm)real, resulta difícil de calcular, por lo
que es preferible introducir un factor de corrección F,
definido por la relación:
( ∆Tm ) real = ∆Tm l F
quedando por tanto la ecuación de diseño del cambiador como:
Q = UAF∆Tml
[10.55]
siendo ∆Tml la diferencia de temperatura media logarítmica para un cambiador de calor equivalente de
tubos concéntricos y flujo en contracorriente con las
mismas temperaturas de los fluidos frío y caliente
(ecuación [10.49] ) y F el factor de corrección correspondiente a cada tipo de cambiador.
Este factor de corrección se determina experimentalmente, y se encuentra representado en gráficos en función de dos parámetros:
Z=
T1′− T2′
T2′′− T1′′
[10.56]
Y=
T2′′− T1′′
T1′− T1′′
[10.57]
En la figura 10.26 se muestran algunos de estos gráficos para cambiadores de calor de carcasa y tubos y
cambiadores de flujo cruzado. En general, no es recomendable utilizar cambiadores de calor en condiciones para las que resulte F < 0,75, debiendo buscarse
en este caso otras configuraciones de carcasa y tubos.
Capítulo 10: Introducción a la transmisión de calor. Cambiadores de calor
265
Este parámetro Y, multiplicando y dividiendo la
ecuación anterior por m′′ cp′′, expresaría el rendimiento
de calefacción, es decir, el caudal de calor realmente
transmitido al fluido frío (m′′cp′′(T2′′ – T1′′)) respecto
del máximo teórico que se podría llegar a transmitir
(m′′cp′′(T1′ – T1′′)).
Ejemplo 10.10. Calcular el área de transmisión de
calor de un cambiador de calor de tubos concéntricos que debe enfriar un caudal de 135.900 kg/h
de aceite mineral desde 95 hasta 60 ºC, utilizando
agua fría a 15 ºC con un caudal disponible de
68.000 kg/h. Puede suponerse un valor constante
del coeficiente global de transmisión de calor U =
2.570 W/m2 ºC y un calor específico medio del aceite cp = 2,0 kJ/kg ºC. Considérense los siguientes
casos: a) circulación en paralelo; b) circulación en
contracorriente.
Solución:
Aplicando el balance global de energía (ecuación [10.43]) se obtiene la temperatura de salida
del agua fría:
Q = m ′cp′ (T1′ − T2′ ) = m ′′cp′′(T2′′− T1′′ )
135.900( 2, 0 )(95 − 60 ) = 68.000( 4, 18 )(T2′′− 15 ) ∴
∴ T2′′ = 48 ( º C)
De acuerdo con la primera figura de este ejemplo (flujo en paralelo) la diferencia de temperatura media logarítmica (ecuación [10.49]) será:
∆Tml =
∆T2 − ∆T1
12 − 80
=
= 35, 8 (º C)
ln( ∆T2 / ∆T1 ) ln(12 / 80 )
Análogamente, para el flujo en contracorriente se tendrá:
∆Tml =
FIGURA 10.26. Factores de corrección para cambiadores de
calor multitubulares y de flujo cruzado: a) un paso por la
carcasa y 2, 4 o 6 pasos por los tubos; b) dos pasos por la
carcasa y 4 o 8 pasos por los tubos; c) flujo cruzado, un
solo paso, los dos fluidos canalizados.
45 − 47
= 46, 0 ( º C )
ln( 45 / 47 )
Por otro lado, el caudal de calor será:
Q = m ′cp′ (T1′ − T2′ ) = 135.900( 2 )(95 − 60 ) =
= 9, 513 ⋅ 10 6 (kJ/h) <> 2.642 (kW)
266
Introducción a la Ingeniería Química
Por tanto, de la ecuación de diseño del cambiador se tendrá:
Q = UA∆Tml ∴
∴A =
Q
2.642 ⋅ 10 3
=
UATml 2.570 ∆Tml
Para el flujo en paralelo resultará pues:
A=
2.642 ⋅ 10 3
= 28, 7 (m 2 )
2.570( 35, 8 )
ciente global de transmisión de calor y de los calores específicos son los mismos: a) calcular el área
necesaria para este nuevo cambiador; b) repetir el
cálculo para un tercer cambiador, de carcasa y
tubos, con cuatro pasos por el cambiador y dos por
la carcasa.
Solución:
Tratándose de un cambiador de calor de carcasa y tubos, deberá aplicarse la ecuación de diseño [10.55], con el factor de corrección de temperatura media logarítmica:
y para el flujo en contracorriente:
2.642 ⋅ 10 3
A=
= 22, 3 (m 2 )
2.570( 46, 0 )
Como puede observarse, la disposición en contracorriente es más efectiva, ya que requiere un
área menor (22% más pequeña). Ésta es la razón
por la que, salvo en casos especiales, la disposición
en paralelo no se utiliza industrialmente.
Ejemplo 10.11. En el ejemplo anterior, en lugar
de utilizar un cambiador de calor de tubos concéntricos, se quiere utilizar un cambiador de calor
de carcasa y tubos en el que el aceite circula por
el interior de los tubos, con dos pasos por el cambiador, y el agua fría circula por la carcasa con un
solo paso. Suponiendo que los valores del coefi-
Q = UAF∆Tml
Este factor de corrección F, debe determinarse gráficamente para el tipo de cambiador propuesto (figura 10.26), a partir de los siguientes
parámetros:
Z=
T1′− T2′ 91 − 60
=
= 0, 939
T2′′− T1′′ 48 − 15
Y=
T2′′− T1′′ 48 − 15
=
= 0, 434
T1′ − T1′′ 91 − 15
Así, para el primer caso (cambiador tipo 1-2),
de la figura 10.26a se obtiene:
F = 0,90
Y, por tanto, el área necesaria en el cambiador
de calor tipo 1-2 será:
Capítulo 10: Introducción a la transmisión de calor. Cambiadores de calor
A=
Q
2.642 ⋅ 10 3
=
= 31,9 (m 2 )
UF∆Tml 2.570( 0, 90 )( 25, 8 )
Como se observa, el área resulta algo superior
a la del cambiador de tubos concéntricos, ya que
el modelo de flujo en el cambiador de carcasa y
tubos se aleja algo del modelo puro de flujo en contracorriente. Análogamente, en el caso del tercer
cambiador de calor, tipo 2-4, de la figura 10.26b
se obtiene:
F = 0,97
siendo por tanto el área resultante para el cambiador:
A = 29,6 (m2)
Como puede observarse, el cambiador tipo 2-4
resulta más eficiente que el tipo 1-2, al requerir para
la misma operación un área de transmisión de calor
menor. La contrapartida es lógicamente su mayor
complejidad mecánica y mayor coste.
267
La evaporación tiene importancia a escala industrial en diversas áreas, como en la tecnología de alimentos (concentración de zumos, etc.) donde el producto valioso es la disolución, o en la desalación del
agua del mar, donde el producto más valioso puede
ser el vapor generado (agua).
En la figura 10.27 se muestran algunos esquemas
simplificados de un evaporador (en el capítulo 12 se
presentan otras figuras con los tipos más comunes de
evaporadores). Como puede observarse, en el caso de
los evaporadores de circulación externa, se trata realmente de un cambiador de calor conectado a un recipiente en el que se separan las fases. En los evaporadores de circulación interna, más compactos, ambas
operaciones –transmisión de calor y separación de
fases– se llevan a cabo en el mismo aparato. En cualquiera de los casos, y como forma esquemática de representación (figura 10.27c) se distingue entre la cámara
de ebullición, en la que se concentra la disolución y se
genera el vapor del disolvente, y la cámara de calefacción, en la que el vapor de calefacción se condensa
cediendo su calor latente a la cámara de ebullición.
10.6.1. Ecuación de diseño de un evaporador
10.6. Evaporación
La evaporación es una operación básica de separación cuyo objetivo es la concentración de una disolución. Básicamente consiste en separar parcialmente el disolvente volátil de la disolución por ebullición
de ésta, de tal forma que el vapor del disolvente se
separa y condensa posteriormente, quedando una disolución más concentrada.
Aunque la descripción de esta operación se hace
en el capítulo 12, junto a las demás operaciones de
transferencia de materia (apartado 12.2), debe señalarse que se trata de una operación controlada por la
transmisión de calor –no por la transferencia de materia–, por lo que tanto el diseño de un evaporador como
su funcionamiento se rigen por los mismos criterios
que los de un cambiador de calor. Se puede considerar, por tanto, que un evaporador es a fin de cuentas
un cambiador de calor más complejo, en el que además de producirse el cambio de fase pueden darse
otros fenómenos asociados a la concentración de la
disolución, como la formación de sólidos, la descomposición de sustancias, etc.
El diseño de un evaporador requiere determinar el
área de intercambio de calor entre ambas cámaras y el
caudal de calor suministrado. La ecuación básica de diseño es pues la misma que la de un cambiador de calor:
Q = UA∆T
[10.58]
donde ∆T es la diferencia de temperatura entre el
vapor que condensa y el líquido en ebullición. El caudal de calor, Q, habrá de determinarse a partir de los
balances de materia y energía en el evaporador, y el
coeficiente global de transmisión de calor, U, a partir
de los coeficientes de transmisión de calor individuales, como ya se indicó en el apartado 10.5.1.
En la figura 10.28 se muestra un esquema de un
evaporador con las variables de las corrientes que
intervienen: caudales másicos, fracciones másicas de
sólido en las disoluciones (x), entalpías (H,h) y temperaturas (T). Así se podrían establecer las siguientes
ecuaciones:
Balance de materia global:
A=V+L
[10.59]
268
Introducción a la Ingeniería Química
FIGURA 10.27. Esquemas de un evaporador: a) evaporador
con circulación externa de la disolución;
b) evaporador con
circulación interna;
c) diagrama de
representación.
Balance de sólido:
AxA = LxL
[10.60]
Balance de energía:
AhA + WHW = LhL + VHV + WhW
[10.61]
Q = Wλw ≈ VHV
Esta última ecuación puede simplificarse, teniendo en cuenta que el calor latente de condensación del
vapor es λw = HW – hW :
AhA + Wλw = LhL + VHV
Por otro lado, como las entalpías de los líquidos (h)
son muy inferiores a las entalpías de los vapores (H),
se cumple que AhA << WλW, LhL << VHV, siendo además los términos AhA y LhL del mismo orden de magnitud. Por tanto, y de forma simplificada, puede establecerse la aproximación:
[10.62]
[10.63]
es decir, que básicamente la energía aportada con la
condensación del vapor de calefacción (W λw), que
corresponde al calor intercambiado entre las cámaras
del evaporador (Q), se elimina de éste a través de la
Capítulo 10: Introducción a la transmisión de calor. Cambiadores de calor
269
dor, pues los efectos de ambas variables son considerables. Por un lado, la presión del vapor de calefacción, normalmente vapor de agua, determina su temperatura de condensación (TW), y la presión de la
cámara de ebullición determina la temperatura de ebullición del líquido (TL). Lógicamente si la diferencia
de temperatura TW – TL aumenta, el área de transmisión de calor necesaria (A) disminuirá (ecuación
[10.58]), y el coste del evaporador se reducirá. A su
vez, la forma de disminuir ∆T es utilizar un vapor de
agua de calefacción a mayor presión (PW) y reducir la
presión de la cámara de ebullición, haciendo incluso
el vacío parcial en la misma (P < 1 atm). Ambas soluciones tienen limitaciones de coste, por lo que la situación óptima se obtiene aplicando un balance económico.
Por otro lado, deben tenerse también en cuenta
otras consideraciones, como por ejemplo:
FIGURA 10.28. Esquema de un evaporador: a) variables que
intervienen en los balances de materia y energía; b) distribución aproximada del flujo de energía.
corriente de vapor del disolvente generado en la ebullición (VHV). Esta circunstancia se refleja gráficamente en el esquema de la figura 10.28b, y da lugar a
uno de los modos de operación que se describen en el
apartado siguiente.
Para resolver el balance de energía [10.62], se necesita calcular el valor del calor latente (λw) y de la entalpía de cada corriente, a la temperatura que les corresponde. En este último caso, dado que no es fácil
encontrar datos de entalpía-concentración para
muchas disoluciones, se suelen calcular las entalpías
de forma aproximada, considerando los calores latentes de las disoluciones como si fueran los de los líquidos puros a la misma temperatura de ebullición de las
disoluciones.
Además, es importante establecer las condiciones
de presión y temperatura adecuadas en el evapora-
a) Concentración del líquido de alimentación. Al
concentrarse la disolución durante la evaporación, aumenta su viscosidad, haciendo disminuir el coeficiente global de transmisión de
calor. Una agitación más fuerte puede contrarrestar este efecto.
b) Solubilidad del soluto. Puede producirse la cristalización o precipitación del soluto si se sobrepasa su solubilidad al concentrarse la disolución. Éste es el efecto deseado cuando se trata
de un proceso de cristalización por evaporación, pero en otras situaciones es un efecto no
deseado que se evita limitando la concentración de la disolución y evitando enfriamientos
excesivos de las corrientes concentradas (la
solubilidad disminuye al enfriar).
c) Descomposición de los productos. Si las temperaturas son excesivamente altas, pueden
degradarse o descomponerse los solutos, como
ocurre con los productos alimenticios cuando
se quieren concentrar (zumos de fruta, leche,
etc.). También pueden producirse depósitos
por descomposición de las sustancias disueltas,
recubriendo la superficie de intercambio calorífico y haciendo disminuir, por tanto, los coeficientes de transmisión de calor. Además, las
superficies metálicas pueden así deteriorarse
por corrosión. De nuevo, una de las soluciones
más frecuentes es trabajar a temperaturas más
bajas reduciendo la presión exterior (evaporación a vacío).
270
Introducción a la Ingeniería Química
d) Formación de espumas. Algunas disoluciones
forman espumas durante la ebullición, lo que
puede producir arrastres de líquido con el
vapor generado en la cámara de ebullición.
10.6.2. Modos de operación
Aunque se ha descrito el funcionamiento de un
evaporador como un solo aparato en el que se produce la ebullición, lo que se conoce como evaporador
de un solo efecto, es frecuente combinar varios de estos
evaporadores o efectos para realizar la evaporación
en varias etapas; en este caso se utilizan los evaporadores de múltiples efectos, aprovechando el vapor generado en cada uno como vapor de calefacción del
siguiente. En la figura 10.29a se muestra un esquema
de esta combinación de etapas.
La justificación del uso de evaporadores de múltiples efectos es evidente, a la vista de la figura 10.28a,
ya que la mayor parte de la energía aportada al evaporador sale de éste con la corriente de vapor generado, que de no recuperarse eficientemente supondría
un coste económico muy elevado.
Además, existe otra forma de recuperar la energía del vapor producido en el evaporador, que es
mediante la técnica de recompresión del vapor, como
se indica en la figura 10.29b. El ahorro que supone
tener solamente un efecto en el evaporador se compensa con el mayor coste que supone la etapa de compresión complementaria del vapor generado (recuérdese que la presión en la cámara de calefacción es
mayor que en la cámara de ebullición).
En el interior de los evaporadores la circulación
del líquido puede ser por convección natural o por
convección forzada mediante una bomba de impulsión externa. En este último caso, al ser mayor la velocidad del líquido, los coeficientes de transmisión de
calor serán también mayores, lo que mejora el rendimiento del evaporador. Sin embargo, esta ventaja tiene como contrapartida el mayor coste de inversión y
mantenimiento que supone el equipo de bombeo. En
el cuadro 10.7 se muestran algunos valores típicos de
dichos coeficientes.
CUADRO 10.7
Coeficientes globales de transmisión de calor
en los evaporadores
Tipo de evaporador
Con circulación por convección natural
Con circulación por convección forzada
FIGURA 10.29. Aprovechamiento del vapor generado en los
evaporadores: a) evaporador de múltiples efectos; b) evaporador con recompresión del vapor.
U (W/m2 °C)
1.000 - 3.000
2.300 - 11.000
Ejemplo 10.12. Se desea concentrar una disolución salina desde el 1% hasta el 1,5% en peso. La
disolución inicial tiene un caudal de 10.000 kg/h y
se encuentra a 40 ºC. Para realizar esta operación
se piensa utilizar un evaporador de un solo efecto, empleando vapor de agua saturado a 143 kPa.
La presión en la cámara de ebullición es la atmosférica y se estima que el coeficiente global de transmisión de calor es U = 1.700 W/m2 ºC. Calcular el
área de transmisión de calor necesaria en el evaporador, así como los caudales másicos de disolución concentrada y vapor producidos. El calor
específico de la disolución puede tomarse como
cp= 4,0 kJ/kg ºC.
Capítulo 10: Introducción a la transmisión de calor. Cambiadores de calor
271
λw = 2.230 (kJ/kg )
Solución:
Basándose en el esquema de la figura 10.28 y
aplicando los balances de materia global y de soluto se tendrá:
10.000 = V + L
Las entalpías de las corrientes de alimentación y
de disolución concentrada serán pues (Tref = 100 ºC):
hA = cPA (TA − Tref ) =
= 4, 0( 40 − 100 ) = −240 (kJ/kg)
10.000 (0,01) = L (0,015)
hL = cPL (T − Tref ) =
de donde se deduce:
= 4, 0(100 − 100 ) = 0 (kJ/kg)
L = 6.666,7 (kg/h)
V = 3.333,3 (kg/h)
Para establecer el balance de energía, al no disponer de datos sobre el punto de ebullición de la
disolución, se supondrá que éste es aproximadamente el mismo del agua pura (se trata en cualquier caso de disoluciones diluidas). Por tanto, se
tomarán los siguientes valores para la cámara de
ebullición:
T = 100 ºC
P = 101,33 (kPa)
Así, la entalpía del vapor en estas condiciones,
tomada de las tablas del vapor de agua de la bibliografía (Tref = 100 ºC), resulta:
Aplicando el balance de energía [10.62] con los
valores anteriores, se tendrá:
AhA + W λw = LhL + VHV
10.000 ( – 240) + W(2.230) = 3.333,3 (2257) ∴
∴ W = 4.450 kg/h de vapor de agua
El caudal de calor intercambiado se obtiene de
la ecuación [10.63]:
Q = W λw = (4.450) (2.230) = 9.923 · 106 (kJ/h)
∴ Q = 2.756 · 103 (W)
Finalmente, el área de intercambio de calor se
obtendrá de la ecuación de diseño [10.58]:
Q = UA∆T
HV = 2.257 (kJ/kg)
2.756 ⋅ 10 = 1.700 A(110 − 100 ) ∴
3
Por otro lado, el calor latente de vaporización
del vapor de agua de calefacción a PW = 143 kPa
(TW = 110 ºC), es:
A = 162 (m 2 )
Problemas
1. La sangre que circula por el dedo se mantiene a una
temperatura de 37 ºC a una distancia de 3,2 mm por
debajo de la superficie de la piel. Las terminaciones nerviosas, que actúan como indicadores de temperatura, se encuentran a 1,6 mm por debajo de la
superficie de la piel, y se supone que la sensación
de dolor aparece cuando las terminaciones nerviosas alcanzan una temperatura de 45º C. Mediante
este criterio, determinar la máxima temperatura del
agua en la que podría mantenerse sumergido el
dedo sin sentir dolor. Supóngase que el sistema puede representarse mediante un modelo de placa plana y que la conductividad térmica de los tejidos
humanos y de la sangre es de 0,60 W/ m ºC. Tómese para el coeficiente de transmisión de calor entre
el dedo y el agua el valor 568 W/m2 ºC.
272
Introducción a la Ingeniería Química
2. Un hilo de cobre de 1 mm de diámetro está uniformemente aislado con plástico, siendo el diámetro externo de la cubierta de 3,05 mm. El conjunto está expuesto al aire, que se encuentra a 38
ºC. El coeficiente de transmisión de calor de la
superficie externa del plástico al aire es de 8,517
W/m2 ºC. ¿Cuál es la máxima intensidad de
corriente eléctrica que puede pasar por el cable sin
que ningún punto del plástico supere el límite
máximo permisible de 93,3 ºC? Las conductividades térmicas y eléctricas de ambos materiales son,
respectivamente:
k (W/m2 ºC)
Plástico
Cobre
0,346
380,7
ke (ohm–1 cm–1)
0
5,1 · 105
3. Considérese el siguiente sistema como un modelo aproximado para la transmisión de calor en el
dispositivo de freno de un automóvil: dos placas
de espesor L1 y L2 respectivamente están en contacto bajo una presión P, moviéndose con una
velocidad relativa V. La fricción que se produce
entre ambas genera un flujo de calor que se puede expresar por q = 0,20 PV, transmitiéndose por
conducción a través de las placas y por convección
al ambiente. Determinar la distribución de temperatura en las dos placas en régimen estacionario y calcular la temperatura en la superficie interior de contacto y en las superficies exteriores de
cada placa.
Datos: L 1 = 1,0 cm; L 2 = 0,25 cm; k 1 = 43,3
W/m ºC; k 2 = 0,16 W/m ºC; h 1 = 28,4 W/m 2 ºC;
h 2 = 56,8 W/m 2 ºC; T ∞ = 21 ºC; P = 20,7
kN/m 2 ; V= 0,91 m/s.
4. Para determinar el tamaño de un equipo de calefacción doméstico es necesario estimar las pérdidas de calor al exterior en las condiciones más frías del invierno. Obtener los flujos de calor al
exterior para las siguientes superficies, habituales
en la construcción de viviendas:
a) Ventana de cristal simple de 3 mm de espesor.
b) Ventana de cristal doble, consistente en dos
cristales simples de 3 mm de espesor separados
por una cámara de aire estanco de 6 mm de
espesor.
c) Pared compuesta de tres capas: ladrillo exterior de 0,1 m de espesor; aislante de lana de
vidrio de 0,1 m de espesor y capa interior de
yeso de 0,01 m de espesor.
Supóngase que la temperatura del aire interior es de 20 ºC, y la temperatura exterior es de
–20 ºC, tomando para el coeficiente de transmisión de calor entre el aire y cualquiera de las
superficies (interna o externa) el valor de 10
W/m2 ºC.
Conductividades térmicas medias (en W/m ºC):
vidrio = 0,78; aire = 0,024; ladrillo = 0,69; lana de
vidrio = 0,040; yeso = 0,48.
5. Se introduce vapor de agua saturado a 1 atm en
una esfera hueca de radio interno 10,2 cm y radio
externo 12,7 cm. La conductividad térmica del
material es de 3,46 W/m ºC. Debido a la pérdida
de energía a través de las paredes, el vapor se
condensa y escurre, saliendo de la esfera por un
orificio inferior. Determinar la velocidad de condensación del vapor en la esfera suponiendo que
el aire exterior está a 26,7 ºC y que los coeficientes de transmisión de calor interno y externo son, respectivamente, 4.542 W/m 2 ºC y 5,7
W/m 2 ºC. El calor latente de condensación del
vapor de agua en esas condiciones es de 2.256
kJ/kg.
6. Deducir una expresión general para el flujo de
calor a través de una pared compuesta de bloques
de hormigón huecos, como los que se utilizan en
la construcción de edificios, cuya geometría se detalla en la figura. Supóngase que la transmisión de
calor es sólo por conducción y que se puede considerar unidimensional.
Capítulo 10: Introducción a la transmisión de calor. Cambiadores de calor
273
8. Un caudal másico de aceite caliente de 45.400 kg/h
a 315 ºC se quiere enfriar en un cambiador de calor
con otro aceite frío, cuyo caudal es de 34.050 kg/h
y cuya temperatura de entrada es de 38 ºC. Ambos
aceites tienen un calor específico de 2,1 kJ/kg ºC.
Debe diseñarse un cambiador de calor de carcasa
y tubos para esta operación, con la condición de
que el aceite frío a la salida tenga una temperatura de 238 ºC.
Suponiendo que el coeficiente global de transmisión de calor es de 142 W/m2 ºC: a) especificar
cuál es el tipo de cambiador más apropiado (tipo
1-2, 2-4, 3-6, ...) y el área de intercambio de calor
necesaria; b) representar el porcentaje de reducción del caudal de calor intercambiado en función
del caudal másico del aceite frío.
7. Una suspensión finamente dividida de partículas de canfeno (C10H16) en agua se va a calentar
desde 37,8 ºC hasta 54,4 ºC utilizando agua
caliente a 60 ºC. La suspensión contiene 20% de
canfeno y 80% de agua, y su caudal másico es de
4.540 kg/h. Para la calefacción se utilizará un simple cambiador de tubos concéntricos, por cuyo
tubo interior –de cobre, de 2 pulgadas de diámetro externo– circula la suspensión; el agua
caliente circula en contracorriente por el espacio anular entre el tubo de cobre y el tubo exterior de acero, cuyo diámetro interno es de 2,5
pulgadas. El coeficiente global de transmisión de
calor, basado en el área del tubo externo, es de
1.136 W/m2 ºC.
a) ¿Qué longitud deberá tener el cambiador de
calor si el caudal de agua caliente es de 8.172
kg/h?
b) ¿Y si el caudal de agua caliente se reduce a
6.356 kg/h?
Datos: La solubilidad del canfeno (sólido o líquido) en agua es despreciable. El cambiador de calor
está aislado térmicamente en su exterior.
Punto de fusión del canfeno = 50 (ºC)
Calores específicos:
Canfeno sólido = 1,591 (kJ/kg ºC)
Canfeno líquido = 1,675 (kJ/kg ºC)
Agua líquida
= 4,187 (kJ/kg ºC)
Calor latente de fusión del canfeno = 239,6 (kJ/kg).
9. Un cambiador de calor de carcasa y tubos está
compuesto por 400 tubos de acero inoxidable
de 2,67 cm de diámetro externo y 2,09 cm de
diámetro interno, cuya conductividad térmica
es de k = 21,63 W/m ºC. Se utiliza vapor de agua
para la calefacción, haciéndolo condensar en el
exterior de los tubos a 121 ºC. El coeficiente de
transmisión de calor del lado del vapor es de
5.110 W/m 2 ºC. Por los tubos se hace circular
agua con un caudal másico de 113.500 kg/h, que
entra a 37,8 ºC y sale a 93,3 ºC. En el interior
de los tubos hay un depósito calcáreo incrustado en las paredes, para el que se supone una
resistencia o factor de ensuciamiento de 0,0057
m2 ºC/ W.
a) Calcular el coeficiente global de transmisión
de calor referido al área interna de los tubos.
b) Calcular la longitud del haz de tubos necesaria para llevar a cabo la operación.
c) Para obtener una mayor transmisión de calor,
se ha pensado en reciclar una parte del agua
de salida, mezclándola con la de entrada al
cambiador. Si el caudal másico de agua reciclada fuera igual al de agua fría alimentada,
¿cuál sería la temperatura del agua a la salida
del cambiador?
Nota: para simplificar los cálculos, pueden evaluarse las propiedades a la temperatura intermedia de 65,5 ºC y utilizarse la ecuación de DittusBoelter para el cálculo del coeficiente de
transmisión de calor.
274
Introducción a la Ingeniería Química
10. Un tubo de cobre de una pulgada nominal y 3 m
de longitud que se encuentra al aire mantiene la
temperatura de su superficie externa a 116 ºC.
Suponiendo que el aire está en reposo y su temperatura es de 15 ºC, determinar el flujo de calor
cedido por el tubo por convección natural en los
dos casos siguientes: a) el tubo está vertical; b) el
tubo está horizontal.
11. Se desea concentrar una disolución acuosa de
hidróxido sódico con una concentración inicial del
20% hasta el 50%. Para ello se utilizará un evaporador con un vapor de agua de calefacción que
condensa a 172,4 kPa.
La presión en la cámara de evaporación es de
11,7 kPa, y puede suponerse que el coeficiente
global de transmisión de calor es de 1.560 W/m2
ºC. Calcular: a) el caudal másico de vapor de calefacción necesario; b) los kg de vapor generado en
la concentración por kg de vapor de calefacción
consumido y c) la superficie de calefacción necesaria.
11
INTRODUCCIÓN A
LA TRANSFERENCIA
DE MATERIA
11.1. Generalidades
11.2. Equilibrio entre fases
11.3. Transporte molecular de materia:
difusión
11.4. Transporte turbulento: coeficientes
de transferencia de materia
11.5. Transferencia de materia entre fases.
Coeficientes globales
11.6. Determinación experimental
de los coeficientes de transferencia
de materia
276
Introducción a la Ingeniería Química
E
n este capítulo se presentan los diferentes mecanismos a través de los cuales se produce la
transferencia de materia. Asimismo, se introducen los criterios de equilibrio termodinámico y
se definen algunos conceptos básicos útiles para
el establecimiento de las condiciones de equilibrio
entre fases: potencial químico, fugacidad, coeficiente de fugacidad y coeficiente de actividad. El
estudio del equilibrio se completa e ilustra con la
discusión de algunos de los diagramas de equilibrio de mayor aplicación en las operaciones bási-
cas de la Ingeniería Química. Respecto al transporte molecular de materia, se distinguen sus diferentes tipos de acuerdo con su fuerza impulsora y
se analiza la transferencia por difusión ordinaria,
detallándose el desarrollo matemático de algunos
casos de especial interés. Se aborda también el
transporte de materia en régimen turbulento en una
sola fase, incluyéndose diversas definiciones de los
coeficientes individuales de transporte y la transferencia de materia entre fases, definiéndose los
coeficientes globales de transporte de materia.
GLOSARIO
azeótropo. Mezcla líquida de composición definida en
la que los componentes presentan la misma volatilidad, por lo que las fases líquidas y vapor en equilibrio tienen la misma composición.
como consecuencia de un gradiente de concentración de los componentes de signo contrario, siendo el flujo neto global nulo. También se denomina contradifusión equimolecular.
coeficiente global de transferencia de materia. Factor de proporcionalidad entre el flujo de materia
del componente que se transfiere de una fase a
otra y la fuerza impulsora global (diferencia de
concentraciones o presiones parciales del componente en ambas fases). Es un coeficiente de
transporte (capítulo 4) de gran utilidad en el diseño de los equipos de las operaciones de transferencia de materia.
difusión de Knudsen. Difusión en el interior de los
materiales porosos, a presiones bajas, caracterizada por que el recorrido libre medio de las moléculas es mayor que el diámetro de los poros.
coeficiente individual de transferencia de materia.
Factor de proporcionalidad entre el flujo de materia de un componente en una fase y la diferencia
de concentración de éste entre la interfase y el seno
de dicha fase.
coeficiente volumétrico de transferencia de materia.
Coeficiente de transferencia de materia que representa un factor de proporcionalidad entre la cantidad de materia transferida por unidad de volumen de equipo y unidad de tiempo y la fuerza
impulsora que lo produce. Puede referirse a una
sola fase (coeficiente individual) o a las dos fases
(coeficiente global).
contradifusión equimolar. Transporte por difusión en
el que los dos componentes de una mezcla binaria
se difunden con igual flujo molar respecto a un plano fijo, pero en sentidos opuestos. Se produce
difusión superficial. Difusión de las especies adsorbidas sobre la propia superficie en que se encuentran, por desplazamiento de las moléculas sobre
dicha superficie. Se produce simultáneamente con
la difusión ordinaria en la fase fluida en contacto
con la superficie.
selectividad relativa. Cociente de los coeficientes de
reparto de equilibrio de dos componentes (i, j)
de una mezcla en dos fases distintas, inmiscibles:
αi, j = Ki / Kj. Da idea de la facilidad o dificultad
de separación de dichos componentes en las operaciones de transferencia de materia entre fases.
Su valor ha de ser distinto de la unidad para que
sea posible la separación.
transferencia de materia. Desplazamiento de uno o
varios componentes de una mezcla fluida respecto a la masa global de la misma. Normalmente se
produce por la existencia de un gradiente de concentración de los componentes, pudiendo producirse su transporte por distintos mecanismos según
el tipo de régimen fluidodinámico (laminar o turbulento).
Capítulo 11: Introducción a la transferencia de materia
11.1. Generalidades
El desplazamiento de uno o varios de los componentes de una mezcla fluida respecto a la masa global
de la misma debido a la acción de una fuerza impulsora se conoce como transporte o transferencia de materia. Esta fuerza impulsora es generalmente una diferencia de concentraciones del componente que se
desplaza.
Así, la difusión molecular, el transporte de materia por convección natural o la mezcla de componentes de un fluido por agitación (convección forzada)
son diferentes modos en que se produce la transferencia de dicha propiedad.
Por ejemplo, la penetración del SO2 contaminante del aire en los poros de un sólido adsorbente, la
disolución de un cristal de cloruro sódico en un recipiente con agua en reposo, o la disolución de amoníaco gaseoso en agua, en un tanque de burbujeo agitado mecánicamente, son tres casos donde se produce
transferencia de materia, si bien por distinto mecanismo. En el primero se trata de difusión molecular
del SO2, en el segundo de convección natural y en el
tercero de convección forzada. Como puede apreciarse, estos tres mecanismos, que ya se mencionaron
en el capítulo 4, tienen un paralelismo completo con
los tres mecanismos correspondientes de transmisión
de calor (capítulo 10): conducción, convección natural y convección forzada, respectivamente.
La transferencia de materia resulta fundamental,
no sólo en las operaciones de separación de mezclas
binarias o multicomponentes, sino también cuando se
llevan a cabo reacciones químicas. En este último caso,
antes de la propia reacción, ha de producirse el transporte de los reaccionantes hasta la zona de reacción.
Dicha transferencia previa de los reaccionantes puede producirse de manera relativamente rápida, caso
de las reacciones homogéneas en fase gaseosa o de las
reacciones homogéneas en fase líquida con buena mezcla (tanque agitado), o ser lenta, convirtiéndose en la
etapa controlante del proceso global. Éste es el caso
de la mayoría de las reacciones en las que los reactivos han de transportarse desde una fase a otra, como
por ejemplo en las reacciones catalizadas por sólidos.
Hay que destacar que la velocidad con que se produce la transferencia de las diversas especies, reaccionantes y/o productos que intervienen en los procesos químicos, además de influir sobre la velocidad
global de éstos puede, cuando existen varias reacciones paralelas, afectar de un modo importante a su
277
selectividad, es decir, a su capacidad de dar lugar al
producto deseado.
El estudio general de la transferencia de materia
puede dividirse en tres grandes áreas: difusión molecular en medios en reposo y en fluidos en régimen
laminar, transporte de materia en régimen turbulento
(mezcla) y transferencia de materia entre fases.
De todas ellas, la transferencia de materia entre
fases tiene un especial interés en Ingeniería Química
porque, como ya se ha indicado, resulta fundamental
tanto en la mayoría de las operaciones básicas de separación (capítulo 12) como en las reacciones heterogéneas (capítulo 13).
De hecho, el tamaño y el coste del equipo en el
que se va a desarrollar una operación determinada
que implique transferencia de materia entre fases es
casi inversamente proporcional al flujo de materia que
se consigue en su interior, por lo que dicho flujo juega un papel fundamental en el diseño. Sin embargo,
a pesar de su importancia, no siempre es fácil encontrar información sobre la velocidad de transferencia
de materia. Si se considera, además, que el coste de
los equipos de separación basados en la transferencia
de materia supera en algunos casos las tres cuartas
partes del coste total de las instalaciones, se comprende que el conocimiento de los factores que determinan la velocidad de transferencia de materia entre
fases haya sido con frecuencia una de las ocupaciones
y preocupaciones de los ingenieros químicos.
11.2. Equilibrio entre fases
La mayoría de las operaciones básicas de separación se basan en la existencia de dos o más fases en
las que los componentes tienen concentraciones distintas de las que corresponderían al equilibrio. Así, si
dos fases se ponen en contacto, se produce espontáneamente el transporte selectivo de una fase a otra
para aproximarse a los valores de equilibrio entre las
mismas.
Como es sabido, la condición de equilibrio en un
sistema monofásico homogéneo es la uniformidad de
concentración de todos sus componentes. Por ello, en
estos sistemas, si existe alguna diferencia de concentración (gradiente) de alguno de ellos, éste se transfiere desde la zona de mayor concentración a la de
menor hasta la igualdad de ambas.
Por el contrario, aunque las condiciones de equilibrio entre fases se basen en los mismos principios
278
Introducción a la Ingeniería Química
termodinámicos, en los sistemas multifásicos las conclusiones no son tan sencillas. En este caso, la condición final de equilibrio no implica la igualdad de
las concentraciones de todos los componentes en
todas las fases, sino que cada componente se reparte entre las fases de acuerdo con unas ciertas proporciones que sólo dependen de la temperatura y la
presión. Lógicamente, en cada una de las fases la condición de equilibrio monofásico ha de seguirse cumpliendo, siendo necesaria la uniformidad de concentración de todos los componentes en su interior. Así
en la figura 11.1 se muestra el perfil de concentración en un sistema bifásico, con transferencia de
materia entre fases (sin equilibrio) y con las fases en
equilibrio.
Las limitaciones en las operaciones de separación
provienen en más ocasiones de las propias condiciones poco favorables del equilibrio termodinámico que
de las velocidades de transferencia de materia. Así,
para que exista separación es imprescindible que se
cumpla la condición:
yi y j yk
≠
≠
…
xi x j xk
[11.1]
siendo x e y las fracciones molares de los componentes i, j, k... en las respectivas fases X e Y.
Dicho de otro modo, las razones de equilibrio o
coeficientes de reparto entre las fases, k = y/x, para
los componentes que se desea separar, no pueden
tener el mismo valor (ki ≠ kj ≠ kk...) en las distintas
fases. El cociente de los coeficientes de reparto,
expresado como:
α ij =
yi / xi k i
=
yj / xj kj
[11.2]
se denomina selectividad relativa de los componentes
i y j y su valor ha de ser distinto de la unidad para que
pueda producirse la separación de los mismos entre
dos fases. Así, la separación será tanto más fácil cuanto más alejado de la unidad se encuentre el valor de
la selectividad relativa.
Por otro lado, un segundo requisito –esta vez de
naturaleza mecánica– para llevar a cabo la separación
es que dichas fases puedan mezclarse fácil e íntimamente, y con posterioridad, finalizado el proceso de
transporte, puedan separarse rápida y eficazmente.
Sin embargo, es frecuente que si se cumple bien la
condición de facilidad de mezcla, se cumpla mal la de
facilidad de separación y viceversa, por lo que debe
llegarse a un punto de compromiso adecuado (por
ejemplo, la formación de emulsiones muy finas pero
muy estables no resulta adecuada para las operaciones de separación, aunque sí para la mezcla).
FIGURA 11.1. Perfiles de concentración de un sistema bifásico.
Capítulo 11: Introducción a la transferencia de materia
11.2.1. Criterios y condiciones de equilibrio
Si bien sólo existen cuatro clases de sistemas bifásicos de interés en Ingeniería Química: líquido-gas
(vapor), líquido-líquido, sólido-gas y sólido-líquido,
el número y diversidad de compuestos que pueden
intervenir en los mismos y, como consecuencia, el elevado número de combinaciones posibles, hacen que
sólo en aquellos casos de uso especialmente frecuente puedan encontrarse en la bibliografía datos experimentales de equilibrio adecuados para el sistema
buscado.
Cuando no es así, hay que recurrir a correlaciones
termodinámicas con las que pueda obtenerse la infor-
279
mación necesaria sobre las condiciones de equilibrio
entre fases a partir de datos empíricos disponibles, bien
de los componentes de la mezcla (propiedades críticas,
presiones de vapor, solubilidades, etc.) o bien de sus
mezclas binarias (azeotrópicas o a dilución infinita).
Conviene, por tanto, recordar algunos conceptos
básicos de termodinámica que ayudan a entender el
origen y el modo de aplicación de las correlaciones
mencionadas. Con objeto de facilitar su comprensión,
se recogen en el cuadro 11.1 algunos de los más utilizados.
El criterio general de equilibrio termodinámico para
un sistema cerrado (aquel que no intercambia materia con el exterior) establece que cualquier cambio
CUADRO 11.1
Conceptos termodinámicos más utilizados en transferencia de materia
Variable
Significado
Expresión
Unidades de
Potencial químico,
µi (entalpía
– libre molar
parcial, Gi)
Variación de la energía libre de Gibbs
de una fase, a T y P constantes, cuando
cambia el contenido en número de moles
de un componente i
 ∂GI 
∂N 

i  T , P, N
Fugacidad, fi
Pseudopresión termodinámica
(d ln f i ) T =
Fugacidad de un componente
puro en estado normal, f i0
(se emplea como referencia)
Fugacidad de un componente i puro en
iguales condiciones de presión, temperatura
y estado de agregación que se encuentra
en la mezcla
f i0
Presión
Fugacidad de un gas ideal i, fi*
La fugacidad de un componente i como gas
ideal en una mezcla es su presión parcial
y si está puro la presión total
fi* = pi = Pxi
y
fi* = P
Presión
Energía/mol
j ≠i
dµ i
RT
Presión
Coeficiente de fugacidad, υi
Desviación relativa de la fugacidad del
componente i respecto a su presión parcial
υi =
fi
pi
Adimensional
Coeficiente de fugacidad,
en estado normal υi0
Desviación relativa de la fugacidad en
estado normal de i respecto a la presión
υ i0 =
f i0
Pi
Adimensional
Actividad, ai
Cociente entre la fugacidad de un
componente en una mezcla y su
fugacidad en estado normal
ai =
Cociente entre la actividad de un
componente y su fracción molar
γi =
Coeficiente de actividad
fi
f i0
ai
xi
Adimensional
Adimensional
280
Introducción a la Ingeniería Química
infinitesimal que pueda producirse en su seno ha de
ser reversible. Teniendo en cuenta que los sistemas
implicados en las operaciones de separación son sistemas cerrados, este criterio resulta aplicable a los mismos. Además, de este criterio general se obtienen cuatro criterios restringidos de equilibrio que establecen,
según las variables que se conserven en el sistema, cuál
de las funciones termodinámicas, energía interna (U),
entalpía (H), energía libre de Helmholtz (A) o energía libre de Gibbs o “entalpía libre” (G) ha de permanecer constante. En el cuadro 11.2 se incluyen resumidamente las expresiones de los criterios de
equilibrio mencionados, junto con las restricciones
correspondientes.
Ya que en la mayoría de las operaciones de separación se mantienen constantes la presión y la temperatura locales en el interior del sistema, el criterio
de constancia de energía libre de Gibbs (dG = 0) es el
que mejor se adapta a las condiciones habituales de
operación, siendo por ello el de mayor aplicación en
Ingeniería Química.
Como se ha indicado anteriormente, en las operaciones de separación los sistemas son cerrados. Sin
embargo, están formados por dos o más fases inmiscibles que constituyen subsistemas abiertos del sistema principal, es decir, que intercambian materia entre
sí aunque no lo hagan con el exterior del sistema.
En dichos subsistemas abiertos (fases), el valor de
la energía libre de Gibbs, G, además de cambiar si lo
hace la presión, P, o la temperatura del sistema, T,
como ocurriría en un sistema cerrado (ver cuadro
11.2), también lo hace cuando cambia el número de
moles, Nik, de cada uno de los C componentes que
contiene la fase k. Así, la variación total de energía
libre de Gibbs para una fase cualquiera k, Gk, puede
expresarse como la suma de las variaciones debidas a
cada una de las tres causas indicadas: presión, temperatura y número de moles de los componentes:
 ∂G k 
 ∂G k 
dG k =
dP + 
dT +


 ∂T  P ,N k
 ∂P  T ,N k
i
i
 ∂G k 
+
dN ik

k 
i =1  ∂N i  T ,P ,N k
[11.3]
c
∑
j ≠i
En condiciones de presión y temperatura constantes, el cambio de la energía libre de Gibbs de una
fase k con el número de moles de una especie química i presente en la misma se conoce como entalpía libre
—
molar parcial, Gik o potencial químico, µ ik, de dicho
componente en esa fase. Esta variable permite establecer una nueva expresión de la condición de equilibrio al aplicar el criterio restringido a presión y temperatura constantes a un sistema cerrado multifásico
(F fases) y multicomponente (C componentes). Así,
puesto que la conservación de los moles totales presentes de cada especie i exige que su aumento o dis-
CUADRO 11.2
Criterios termodinámicos de equilibrio para sistemas cerrados
dS =
Criterio general
dQ
=0
T
Criterios restringidos
Restricciones
Criterios
S y V = constantes
dE = TdS – PdV = 0
S y P = constantes
dH = TdS + VdP = 0
T y V = constantes
dA = –SdT – PdV = 0
T y P = constantes
dG = –SdT + VdP = 0
S: entropía, P: presión, T: temperatura, V: volumen, E: energía interna, H:
entalpía, A: energía libre de Helmholtz, G: energía libre de Gibbs, Q: calor.
Capítulo 11: Introducción a la transferencia de materia
minución en una fase (I ) haya de compensarse disminuyendo o aumentando en el conjunto de las otras
k fases, se deduce que para que exista equilibrio, además de la presión y la temperatura también los potenciales químicos de cualquier componente han de tener
el mismo valor en todas las fases:
 T I = T II = T III = ... = T F = T 
 I

II
III
F
 P = P = P = ... = P = P 
 I

II
III
F
µ i = µ i = µ i = ... = µ i = µ i 


(i = 1, 2...C )


[11.4]
En este punto, conviene recordar que el objetivo
final que se pretende alcanzar es el conocimiento del
equilibrio de los sistemas, es decir, de sus constantes
de equilibrio. Por ello, el desarrollo se centra en la
búsqueda de relaciones entre las condiciones de equilibrio disponibles y algunos parámetros que puedan
conocerse (bien experimentalmente o mediante estimación).
En este sentido, el concepto de potencial químico
de un componente µi no resulta de aplicación directa,
ni se puede medir de forma inmediata, razón por la
cual a partir del mismo se define la fugacidad, fi, propiedad termodinámica que es más fácil de relacionar
con otros parámetros conocidos:
(dG i = dµ i = RT d ln f i )T
[11.5]
Como consecuencia de esta definición, para que
un sistema cerrado a presión y temperatura constantes se encuentre en equilibrio, también la fugacidad
ha de tener igual valor para cada componente en todas
las fases:
f i I = f i II = f i III = ... = f i F = f i
( i = 1, 2 ...C )
[11.6]
De los criterios y condiciones de equilibrio presentados, es esta última la que más fácilmente permite su aplicación práctica directa, que se efectúa básicamente a partir de la relación que puede establecerse
entre el valor de la fugacidad de cada componente de
una mezcla real, fi, y el de la presión parcial, pi, que
tendría en la misma si se comportara como gas ideal.
Así, conocido el valor de dicha razón (fi /pi ) denominada coeficiente de fugacidad, υi, se podrá calcular el
valor de la fugacidad de un componente i de una fase
281
cualquiera a partir del valor de su presión parcial como
gas ideal y con ello establecer las condiciones de equilibrio.
El coeficiente de fugacidad para cada componente,υi , expresa por tanto la desviación de su comportamiento real respecto al que tendría como gas ideal,
incluyendo tanto las interacciones entre los diferentes constituyentes de la fase como su propia desviación del estado ideal provocada por el alejamiento
entre las condiciones operativas reales y aquellas en
que se comportaría como gas ideal P → 0.
Las dos causas antes mencionadas de alejamiento de la idealidad (interacciones y condiciones operativas) pueden asimismo analizarse por separado.
Así, si se compara la fugacidad fi0 de un componente i puro (xi ≈ 1) en estado normal, es decir, a igual
temperatura, presión y estado de agregación que la
fase real en que se encuentra dicho componente, con
la presión del mismo como gas ideal puro, en idénticas condiciones de presión y temperatura, se obtiene
el coeficiente de fugacidad υi0, que representa la desviación de la idealidad que experimenta la sustancia
pura exclusivamente como consecuencia de las condiciones de operación en que se encuentra.
Por otro lado, la razón entre la fugacidad del componente i en una mezcla, fi, y la misma en estado normal, fi0, se denomina actividad, ai , y el cociente entre
ésta y la fracción molar del componente, xi, conocido como coeficiente de actividad, γi, constituye un indicador de la mayor o menor idealidad del comportamiento del compuesto i en la mezcla. Así, si sus
valores son cercanos a la unidad, γi ≈ 1, indica que se
trata de una mezcla ideal, o dicho de otra manera,
existe poca interacción entre el compuesto i y los otros
componentes de la mezcla. En este caso la actividad
del compuesto, a i, en la fase es igual a su fracción
molar, xi.
De este modo, a partir de las definiciones establecidas para los coeficientes de fugacidad υi y de actividad γi, la fugacidad de un componente i en una fase
X puede expresarse como:
f iX = f iX0 aiX = f iX0 (γ iX xi ) =
0
= (υ iX
P )(γ iX xi ) = υ iX P xi
[11.7]
y su razón de equilibrio k i entre dos fases X e Y,
teniendo en cuenta la condición de equilibrio de
igualdad de la fugacidad en ambas fases f iX = f iY,
resulta:
282
Introducción a la Ingeniería Química
ki =
υ 0 γ iX υ iX
yi
f0γ
= iX0 iX = iX
=
0
υ iY
xi
γ iY
f iY γ iY υ iY
[11.8]
Esta expresión, que resulta aplicable a los distintos sistemas bifásicos de interés en Ingeniería Química: líquido-gas (absorción, rectificación, etc.), líquidolíquido (extracción), sólido-líquido (cristalización,
adsorción) o sólido-gas (adsorción), unida a ecuaciones que hacen posible la estimación de los coeficientes de actividad, γi, y de fugacidad, υi , utilizando distintas correlaciones o gráficos termodinámicos, permite
calcular los valores de los coeficientes de reparto entre
fases (razones de equilibrio) y, con ello, la selectividad relativa αij (ecuación [11.2]) de los diferentes componentes de las mismas, es decir, permite la evaluación de la posibilidad de su separación mediante una
determinada operación de transferencia de materia
entre fases.
Para la estimación de los coeficientes de actividad
y/o fugacidad de mezclas de gases, se calculan previamente los volúmenes molares parciales en la fase gaseosa utilizando diferentes ecuaciones de estado (del virial,
Redlich-Kwong, etc.) y, conocidos éstos, se aplican
diversas ecuaciones para el cálculo de los coeficientes
citados. Por su parte, para calcular los coeficientes
correspondientes de las mezclas líquidas, si bien resulta posible disponer de una ecuación de estado que permita determinar previamente los volúmenes molares
parciales de los componentes en fase líquida en el intervalo de operación (temperatura, presión y composición), es más frecuente realizar la estimación de los
valores de los coeficientes de actividad y fugacidad a
partir de las funciones molares de exceso.
De este modo, una vez conocido el valor de la
entalpía libre molar de exceso, podrían calcularse los
coeficientes de actividad de mezclas líquidas. Para ello
se han propuesto diferentes modelos que, aunque fundamentados en una base teórica, incluyen parámetros
empíricos cuya estimación es necesaria.
De las ecuaciones empleadas para el cálculo de la
energía libre molar de exceso y de la relación de ésta
con el coeficiente de actividad se deducen expresiones
de cálculo de los coeficientes de actividad en función
de parámetros empíricos. En el cuadro 11.3 se recogen
algunas de las expresiones de este tipo más utilizadas.
Cuando se opera con mezclas ideales, sin interacciones entre sus componentes, todos los coeficientes
de actividad γi se hacen iguales a la unidad (la entalpía libre molar de exceso es nula) y cuando los com-
ponentes son ideales, si se trata de gases o vapores, su
coeficiente de fugacidad, υi0, también es la unidad,
mientras que si se trata de líquidos es igual al cociente entre su presión de vapor como compuesto puro a
la temperatura del sistema Pi0 y la presión total del
mismo: υi0 = Pi0/P.
Así, cuando las ecuaciones [11.7] y [11.8] se aplican a sistemas bifásicos que pueden considerarse ideales en una o en las dos fases, se obtienen expresiones
simplificadas de éstas, como es el caso, por ejemplo,
de la ley de Dalton-Raoult, de aplicación a sistemas
bifásicos ideales líquido-vapor. En el cuadro 11.4 se
recogen las simplificaciones más habituales para algunos sistemas bifásicos, junto con las expresiones resultantes de las mismas.
Las mezclas se aproximan a la idealidad cuando
los volúmenes molares (diámetros moleculares) de los
componentes son semejantes y no existen interacciones netas entre ellos. Como consecuencia, es de destacar que, desde el punto de vista práctico, las mezclas gaseosas suelen tener comportamientos muy
próximos al ideal en un amplio intervalo de condiciones, por lo que con frecuencia puede considerarse
υi = 1. Sin embargo, en las mezclas líquidas, aunque
los componentes puros suelen cumplir que υi = Pi0/P
en las condiciones más habituales de operación, en
muchos casos existen interacciones entre los componentes de las mezclas, haciendo imprescindible la evaluación de γi en la fase líquida.
11.2.2. Diagramas de equilibrio
Los diagramas de equilibrio suministran gráficamente la información sobre el equilibrio de los sistemas en diferentes condiciones, resultando una herramienta de gran utilidad tanto para la comprensión del
equilibrio como para el diseño de los equipos.
Los de mayor interés son los que se refieren a las
mezclas binarias líquido-vapor, líquido-gas, gas-sólido
y líquido-sólido y a las ternarias líquido-líquido. Aquí
se presentarán únicamente los dos primeros, que resultan necesarios para el diseño de las operaciones de destilación y de absorción que se incluyen en capítulo 12.
A) Equilibrio líquido-vapor de mezclas binarias
De la aplicación de la regla de las fases a los sistemas binarios (dos componentes, C = 2) con equilibrio
Capítulo 11: Introducción a la transferencia de materia
283
CUADRO 11.3
Coeficientes de actividad en mezclas líquidas binarias
Tipo de mezcla
Expresión de equilibrio
P y1 = P10 x1 ; (γ 1 = 1)
Ideales
(entalpía libre molar de exceso nula, gE = 0)
Ley de Dalton-Raoult
P y2 = P20 x 2 ; (γ 2 = 1)
P y1 = γ 1 P10 x1
Regular o real
P y2 = γ 2 P20 x 2
Mezclas regulares (sE = 0)
Método de:
Expresión de cálculo de γ
Margules
ln γ 1 = x 22 [ A12 + 2 x1 (A21 − A12 )]
ln γ 2 = x12 [ A21 + 2 x 2 (A12 − A21 )]
Van Laar
ln γ 1 =
A12

x1 A12 
1 +

x 2 A21 

2
ln γ 2 =
A21

x 2 A21 
1 +

x1 A12 

2
Mezclas reales (hE ≠ 0, sE ≠ 0)
Expresión de cálculo de γ
Método de:
Wilson
ln γ 1 = 1 − ln (x1 + x 2 Λ 12 ) −
x1
x 2 Λ 21
−
x1 + x 2 Λ 12 x 2 + x1 Λ 12
ln γ 2 = 1 − ln (x 2 + x1 Λ 21 ) −
x2
x1 Λ 12
−
x 2 + x1 Λ 21 x1 + x 2 Λ 12
líquido-vapor (dos fases, F = 2) resulta que el número
de grados de libertad de los mismos es L = C + 2 – F
= 2, lo que implica que los sistemas sólo están perfectamente definidos cuando se establecen los valores de
dos de sus variables intensivas (ver apartado 3.7). Las
dos variables que se suelen fijar son la fracción molar
del componente más volátil en la fase líquida y, la temperatura o la presión, dando lugar a los diagramas isotérmicos e isobáricos respectivamente. Puesto que la
destilación puede considerarse una operación que se
desarrolla prácticamente a presión constante, los diagramas isobáricos son de mayor aplicación.
Existen dos tipos de diagramas isobáricos para
representar el equilibrio líquido-vapor, los diagramas
(x,y), en los que se representa la fracción molar del
componente más volátil en la fase vapor (y) frente a
la misma en la fase líquida (x), y los diagramas (T-x,y)
en los que se representa la temperatura de equilibrio
de las fases frente a la fracción molar del componente más volátil en éstas. En la figura 11.2 se muestra un
ejemplo de cada uno de ellos.
En los diagramas (x,y), en la mayor parte de los
casos la curva de equilibrio se encuentra por encima
de la diagonal del diagrama (x = y) que se establece
como referencia, alejándose tanto más de ésta cuanto más distante de la unidad se encuentra el valor de
la selectividad relativa (volatilidad relativa, αij para
los sistemas líquido-vapor) de los componentes de la
284
Introducción a la Ingeniería Química
CUADRO 11.4
Expresiones simplificadas de las condiciones y relaciones de equilibrio
Sistema
Líquido-Vapor
Condición simplificativa
Condición de equilibrio
f iI = f iII
Razón de equilibrio
ki
0
Fase Vapor Ideal υ iV y γ iV = 1
0
υ iL
=
Pi0
P
P yi = γ i Pi0 x i
ki =
yi γ i Pi0
=
xi
P
Mezcla Líquida real γ iL ≠ 1
Líquido-Vapor
0
Fase Vapor Ideal υ iV y γ iV = 1
Fase Líquida Ideal
Líquido-Gas
0
υ iL
=
P yi = Pi0 x i
Pi0
y γ iL = 1
P
ki =
yi
P0
= i
xi
P
Ley de Dalton-Raoult
0
y γ iG = 1
Fase Gas Ideal υ iG
0
υ iL
=
Hi
∞
γ iL
P
γ 
P yi =  ∞i  H i x i
γ i 
ki =
yi  γ i  H i
=
x i  γ i∞  P
Mezcla Líquida real γ iL ≠ 1
Líquido-Gas
(Mezclas diluidas)
0
y γ iG = 1
Fase Gas Ideal υ iG
0
υ Li
=
Pi0
H
= ∞i
P
γ iL P
P yi = H i x i
Ley de Henry
ki =
yi
H
= i
xi
P
γ iE yi = γ iR x i
ki =
yi γ iR
=
x i γ iE
Mezcla Líquida real γ iL ≠ 1; x i → 0
Líquido-líquido
Fase extracto real γ iE ≠ 1
Fase refinado real γ iR ≠ 1
mezcla. Por su parte, en los diagramas (T-x,y) aparecen dos curvas de temperatura-fracción molar, la
superior, curva del vapor saturado (T,y), indica la
temperatura a la que empieza a condensar el vapor
a cada composición del mismo (temperatura de rocío),
mientras que la inferior (T,x) curva del líquido saturado, indica la temperatura a la que comienza a evaporarse éste a cada composición (temperatura de burbuja).
En la mayor parte de los sistemas binarios uno de
los componentes es más volátil –es decir, tiene mayor
fugacidad, fi– que el otro en todo el intervalo de com-
posición, figura 11.2. Éste es siempre el caso cuando
se trata de mezclas ideales, (fi = fi0xi) que además presentan volatilidad relativa, αij = Pi0/Pj0, prácticamente constante para cualquier composición. Pero también lo es en el caso de muchas mezclas reales que se
desvían de la idealidad, presentando volatilidades
relativas variables con la composición, pero siempre
αij > 1, como se observa en la figura 11.3. Además, en
estos casos, la desviación de la idealidad se aprecia
claramente en el cambio de forma de las curvas de
equilibrio, que ya no son simétricas respecto a la
segunda diagonal.
Capítulo 11: Introducción a la transferencia de materia
285
FIGURA 11.2. Diagramas de equilibrio líquido-vapor para mezclas ideales: diagrama isobárico (x,y);
b) diagrama isobárico (T-x,y).
F IGURA 11.3. Diagramas de
equilibrio líquido-vapor para
mezclas reales no azeotrópicas
a) diagrama (x,y ); b) diagrama (T-x,y ).
286
Introducción a la Ingeniería Química
Ejemplo 11.1. La mezcla de n-hexano (1) y n-heptano (2), dada la semejanza de ambos compuestos, constituye una mezcla binaria ideal. Construir
los diagramas (T-x,y) y (x,y) a 1 atmósfera de presión total (P = 760 mm de Hg) a partir de las presiones de vapor de los compuestos puros en función de la temperatura. Comprobar si
efectivamente la volatilidad relativa se mantiene
constante en todo el intervalo.
T (ºC)
68,7
70
75
80
85
90
95
99,2
P1o
760 780 915 1.020 1.255 1.405 1.577 1.765
(mm Hg)
P2o
295 302 348 426 498 588 675 760
(mm Hg)
x1 =
(P − P20 )
;
(P10 − P20 )
y1 =
P10
x1
P
de modo que a partir de los datos de presión de
vapor se obtiene:
T (ºC) 68,7
70
75
80
85
90
95
99,2
x1
1
0,958 0,727 0,562 0,346 0,211 0,094
0
y1
1
0,983 0,875 0,755 0,572 0,389 0,195
0
y con estos datos se construyen los diagramas
(T-x,y) y (x,y) mostrados en la figura.
Por su parte, la volatilidad relativa puede calcularse a partir de su ecuación de definición, teniendo en cuenta las leyes de Raoult y de Dalton:
α 12 =
y1 / x1 P10
=
y2 / x2 P20
Solución:
Aplicando las leyes de Dalton y Raoult (cuadro 11.4) a ambos compuestos:

P1 = P y1 = P10 x1

P2 = P y2 = P20 x2 = P (1 − y1 ) = P20 (1 − x1 )
y teniendo en cuenta que la presión total es la suma
de las presiones de los dos compuestos (P = P1 +
P2) resulta:
con lo que resulta:
T (ºC) 68,7
α12
70
75
80
85
90
95
99,2
2,576 2,583 2,629 2,395 2,520 2,389 2,336 2,323
Como puede apreciarse, la volatilidad relativa
se mantiene notablemente constante en el intervalo estudiado.
FIGURA 11.4. Diagramas de equilibrio líquido-vapor de la mezcla n-hexano-n-heptano: a) (x, y); b) (T-x,y).
Capítulo 11: Introducción a la transferencia de materia
Cuando cada uno de los dos componentes de la
mezcla es el más volátil (tiene mayor fugacidad) durante un cierto intervalo de composición (figura 11.5) las
mezclas se conocen como mezclas azeotrópicas, denominándose azeótropo a la composición para la que
ambos componentes tienen la misma fugacidad. En
este punto, la fracción molar de cada componente es
igual en ambas fases (y = x) y por lo tanto la volatilidad relativa de ambos componentes de la mezcla se
hace igual a la unidad αij = 1. En esta situación, de
acuerdo con lo indicado anteriormente, su separación
por destilación ordinaria resulta imposible, haciendo
que la destilación de mezclas que forman azeótropo
pueda conducir, como mucho, a obtener puro sólo uno
de los componentes.
287
Los azeótropos pueden presentar un punto de ebullición superior o inferior al punto de ebullición del
resto de las mezclas en todo intervalo de composición,
lo que motivará que tengan respectivamente menor
o mayor volatilidad relativa que el componente que
se encuentre en exceso en la mezcla respecto a la composición azeotrópica. En la figura 11.5 se representan
ambos tipos de azeótropos.
Por otro lado, puede darse la circunstancia de que,
coincidiendo con la formación de un azeótropo, se
produzca la separación de la fase líquida en dos fases
de diferente composición, dando lugar a lo que se
conoce como azeótropo heterogéneo, que siempre es
de mínimo punto de ebullición. El diagrama correspondiente se muestra asimismo en la figura 11.5.
FIGURA 11.5. Diagramas de equilibrio líquido-vapor con azeótropos: a) mezcla real con azeótropo de mínimo
punto de ebullición; b) mezcla real con azeótropo de máximo punto de ebullición; c) mezcla real parcialmente
miscible con azeótropo heterogéneo.
288
Introducción a la Ingeniería Química
Solución:
Ejemplo 11.2. Se desean obtener los datos de equilibrio líquido-vapor a una atmósfera de presión
total para una mezcla binaria azeotrópica cloroformo-metanol. Suponiendo que la única información disponible consiste en la composición y
temperatura del azeótropo x1(az) = y1(az) = 0,65
y T az. = 53,5 ºC y las presiones de vapor de los
componentes puros a dos temperaturas, realizar
el cálculo de las composiciones y temperaturas de
equilibrio aplicando el método de Van Laar y comparar los resultados obtenidos con los datos experimentales de equilibrio:
Datos de presión de vapor-temperatura
del cloroformo (1) y del metanol (2)
T1(ºC)
P10 y P20
(mmHg)
T2 (ºC)
25,9
200
34,8
61,2
760
64,7
Como únicamente se dispone de dos datos de
presión de vapor-temperatura para los compuestos a estudiar, es necesario obtener a partir de los
mismos una ecuación de variación de la presión de
vapor con la temperatura que incluya solamente
dos parámetros de ajuste. Así, aplicando la ecuación de Clausius-Clapeyron
lnP 0 = A −
B
T
a los dos datos disponibles, se obtiene el valor de
las constantes A y B para el cloroformo (1) y para
el metanol (2):
B1

( 273, 16 + 25, 9 ) 
A1 = 17, 943

⇒
 B1 = 3.781, 63
B1
ln 760 = A1 −

( 273, 16 + 61, 2 ) 
ln 200 = A1 −
B2

( 273, 16 + 34, 8 ) 
A2 = 20, 383

⇒
 B2 = 4.645, 60
B2
ln 760 = A2 −

( 273, 16 + 64, 7 ) 
ln 200 = A2 −
Datos de equilibrio líquido-vapor para el sistema
binario cloroformo-metanol
Fracción molar de
cloroformo en la
fase líquida, x1
Fracción molar de
cloroformo en la
fase vapor, y1
Temperatura
de equilibrio
ºC
0
0,04
0,095
0,146
0,196
0,287
0,383
0,459
0,557
0,636
0,667
0,753
0,855
0,904
0,937
1
0
0,102
0,215
0,304
0,378
0,472
0,54
0,58
0,619
0,646
0,655
0,684
0,73
0,768
0,812
1
64,7
63
60,9
59,3
57,8
55,9
54,7
54
53,7
53,5
53,5
53,7
54,4
55,2
56,3
61,2
Conocidos los parámetros de la ecuación de
Clausius-Clapeyron se pueden obtener las presiones de vapor de los dos compuestos a la temperatura del azeótropo. Así a Taz = 53,5 ºC resultan
P10(az) = 582,14 mm y P20(az) = 474,32 mm respectivamente.
Aplicando la condición de equilibrio para mezclas regulares o reales (cuadro 11.4) y teniendo en
cuenta que en el azeótropo x1 = y1 y x2 = y2, se tendrá:
γ 1 ( az) =
γ 2 ( az) =
P
P10 ( az)
P
P20 ( az)
=
760
= 1, 3055
582, 14
=
760
= 1, 6023
474, 32
Los valores obtenidos de los coeficientes de
actividad en el azeótropo permiten calcular los coeficientes de la ecuación de Van Laar. La ecuación
Capítulo 11: Introducción a la transferencia de materia
de Van Laar, teniendo en cuenta el efecto de la
temperatura, tiene las siguientes expresiones:
Taz ( K ) ⋅ ln γ 1 ( az) =
A 12

x1 ( az) A 12 
 1 + x ( az) A 

2
21 
∴ 326, 5 ln 1, 3055 =
Taz ( K ) ⋅ ln γ 2 ( az) =
T ln γ 1 =
A12

x2 ( az) A 21 
 1 + x ( az) A 

1
12 
∴
A 21
2
y1 =
(ln 1, 3055 0, 65 2 )
= 1, 9504
(ln 1, 6033 0, 35 2 )
2

x ( az)ln γ 2 ( az) 
A 12 = Taz ln γ 1 ( az) 1 + 2
=
x1 ( az)ln γ 1 ( az) 

= 350, 486;
A21 = 653, 588
2
A21

x2 A21 
1 +

x1 A12 

2
se calculan los valores de γ1 y γ2.
A esa misma temperatura se calculan las presiones de vapor de los compuestos puros. Con
estos valores y los de los coeficientes de actividad se calculan las fracciones molares en la fase
vapor:
A 21 ln γ 1 ( az) x12 ( az)
=
=
A 12 ln γ 2 ( az) x22 ( az)
=

x1 A12 

1 +
x2 A21 

T ln γ 2 =
2

0, 35 A 21 
 1 + 0, 65 A 

12 
A12
2
A 21
∴ 326, 5 ln 1, 6023 =
Una vez calculadas las constantes A12 y A21 se
eligen valores de x1 comprendidos entre cero y uno,
se supone un valor de la temperatura y con las ecuaciones corregidas por el efecto de la temperatura:
∴
2

0, 65 A 12 
 1 + 0, 35 A 

21 
289
γ 1 P10 x1
γ P0 x
, y2 = 2 2 2
P
P
Cuando la suma de las dos fracciones molares en fase vapor calculadas sea igual a la unidad la temperatura es correcta. De no ser así,
hay que proceder a suponer una nueva temperatura. En la figura 11.6 se muestran gráficamente los resultados obtenidos, y también en la
tabla siguiente:
FIGURA 11.6. Predicción de
datos de equilibrio líquidovapor del sistema cloroformometanol mediante la ecuación
de Van Laar.
290
Introducción a la Ingeniería Química
Predicción de datos de equilibrio mediante
la ecuación de Van Laar
x1
T(ºC)
γ1
γ2
y1
y2
y1+y2
0
0,04
0,095
0,146
0,196
0,287
0,383
0,459
0,557
0,636
0,667
0,753
0,855
0,904
0,937
1
64,7
62,68
60,39
58,64
57,23
55,31
54,04
53,45
53,08
52,99
52,99
53,12
53,67
54,51
55,58
61,20
2,822
2,719
2,576
2,442
2,312
2,082
1,852
1,684
1,488
1,349
1,299
1,178
1,068
1,032
1,014
1
1,000
1,000
1,005
1,013
1,026
1,063
1,129
1,212
1,380
1,597
1,713
2,180
3,258
4,186
5,079
7,725
0
0,114
0,238
0,327
0,396
0,488
0,554
0,591
0,625
0,645
0,652
0,670
0,704
0,740
0,783
1
1
0,885
0,762
0,673
0,604
0,511
0,445
0,408
0,374
0,355
0,348
0,330
0,297
0,262
0,218
0
1
0,999
1,000
1,000
1,000
0,999
0,999
0,999
0,999
1,000
1,000
1,000
1,001
1,002
1,001
1
B) Equilibrio líquido-gas de mezclas binarias
Aplicando la regla de las fases análogamente a
como se ha hecho para los sistemas líquido-vapor,
pero teniendo en cuenta que ahora el sistema está
formado por tres componentes –el soluto que se
transfiere, el gas portador y el disolvente líquido–
(C = 3) y por dos fases (F = 2), el número de grados
de libertad resulta L = C + 2 – F = 3. Por tanto, para
que los diagramas de equilibrio reflejen de forma
precisa el estado del sistema resulta necesario fijar
tres variables intensivas. Así, en la representación
de la figura 11.7 se han fijado la presión y la temperatura, que permanecen constantes, escogiéndose
como variable independiente la concentración del
soluto en una de las fases, por lo que de este modo
queda determinada en la otra. Lo más frecuente es
que en los diagramas se represente la presión parcial de soluto en la fase gaseosa frente a la concentración en la fase líquida, diagramas (p-c), o la fracción molar en la fase gaseosa respecto a la de la
líquida (y,x), aunque en el caso de las mezclas diluidas es más habitual representar las razones molares
(moles de soluto/mol de fluido portador) en ambas
fases (Y,X) por motivos de facilidad en el diseño
(capítulo 12).
En estos tipos de diagramas de equilibrio, la mayor
o menor solubilidad del soluto en el disolvente a la
presión y temperatura especificadas se refleja respectivamente en la menor o mayor pendiente de las curvas correspondientes, que se hacen rectas cuando se
cumple la ley de Henry (ver cuadro 11.4).
FIGURA 11.7. Diagramas de equilibrio líquido-gas: a) diagrama (p-c) a tres temperaturas;
b) diagrama (x, y) para tres solutos de diferente solubilidad.
Capítulo 11: Introducción a la transferencia de materia
Ejemplo 11.3. Una de las operaciones que se utilizan en el tratamiento de aguas residuales es la
flotación mediante aire disuelto, consistente en
disolver aire en agua a elevada presión para posteriormente descomprimir la mezcla y provocar la
formación de microburbujas que arrastran los contaminantes hasta la superficie. Para ello, parte de
la corriente de agua que se alimenta al equipo de
flotación se mezcla previamente con aire a elevada presión en un saturador para que el aire se
disuelva. En un sistema de este tipo se alimenta
agua a 20 ºC desde un depósito abierto (en equilibrio con aire a 1 atm) y se pone en contacto hasta alcanzar el equilibrio con aire procedente de un
compresor que se suministra a la misma temperatura y a 6 atm de presión. Calcular las fracciones
molares de equilibrio en la fase gaseosa y la concentración de oxígeno y nitrógeno en la fase acuosa que abandona el saturador.
Datos: El caudal de entrada y salida de agua es
cien veces el del aire. Constantes de Henry a 20 ºC
expresadas como cociente entre las concentraciones (mg/l) en la fase gaseosa y en la fase acuosa:
HN = 60,1 y HO = 30,0.
Solución:
Balance de materia de N2 en el saturador: N2
que entra con el aire + N2 que entra con el agua =
N2 de disuelto en la fase acuosa + N2 en la fase
gaseosa en equilibrio; es decir, en función de los
caudales:
CNAVA + CNWVW = (CNG/HN)VW + CNGVA
siendo CN la concentración de nitrógeno en cada
fase, VW el caudal volumétrico de agua alimentada, VA el caudal de aire y HN la constante de Henry
para el nitrógeno. La concentración de entrada de
nitrógeno con el aire comprimido a 6 atm de presión se calcula:
P yNA MN
=
RT
(6 atm)(0, 79) (28 g/mol)
=
= 5,521 (g/l)
(0, 082 atm l/mol K) (293,16 K)
C NA =
291
El nitrógeno de entrada con el agua se calcula
teniendo en cuenta que estará en equilibrio con el
aire a presión atmosférica (79% N2, 21% O2), para
el cual la concentración de nitrógeno será:
P yNA MN
=
RT
(1 atm)(0, 79)(28 g/mol)
=
= 0,92 (g/l)
(0, 082 atm l/mol K)(293,16 K)
C NA (1 atm ) =
Por lo tanto, dividiendo esta concentración por
la constante de Henry del nitrógeno a 20 ºC se
obtiene la concentración de nitrógeno en el agua
alimentada:
C NW =
C NA 0, 92
=
= 0, 0153 (g/l)
60, 1
HN
Sustituyendo estos valores en el balance de
nitrógeno y despejando la concentración de nitrógeno en la fase gaseosa a la salida del saturador
resulta:


VA
+ C NW 
C NA
VW


C NG =
=
VA
1
+
VW H N
(5, 521 ⋅ 0, 01 + 0, 0153 )
= 2, 6472 (g/l)
=
1 

0
,
01
+



60, 1 
y la concentración de nitrógeno en la fase acuosa
de salida del saturador:
CN =
C NG 2, 6472
=
= 0, 0440 (g/l)
60, 1
HN
Análogamente, para el oxígeno:
C 
C OA VA + C OW VW =  OG  VW + C OG VA
 HO 
siendo ahora CO la concentración de oxígeno en
cada fase y HO la constante de Henry para el oxígeno.
Las concentraciones de oxígeno en el aire y en
agua de entrada son:
292
Introducción a la Ingeniería Química
P yOA MO
=
RT
(6 atm)(0, 21) (32g/mol)
=
= 1, 6773 (g/l)
(0, 082 atm l/mol K) (293,16 K)
C OA =
y
C OA (a 1atm) P yOA MN
=
=
HO
H O RT
(1 atm) (0, 21) (32g/mol)
=
=
(30) (0, 082 atm l/mol K) (293,16 K)
= 0, 0093 ( g/l)
C OW =
Despejando del balance de oxígeno la concentración de éste en el aire de salida:
C OG


VA
+ C OW 
C OA
VW


=
VA
1
+
VW H O
y sustituyendo los valores conocidos se obtiene:
COG = 0,6021 g/l y por tanto CO = 0,021 g/l.
Conocidas las concentraciones molares en la
fase gaseosa pueden calcularse las fracciones molares correspondientes:
yNG
C NG (g/l)
MN (g/mol)
=
=
C NG (g/l)
C (g/l)
+ OG
MN (g/mol) MO (g/mol)
2, 6472
28
=
= 0, 834
2, 6472 0, 6021
+
28
32
yOG = 0,166
Como se observa, al disolver el aire en el agua,
la fase gaseosa resultante en el equilibrio es más
rica en nitrógeno que la original (83% frente a
79%), lo que indica que el oxígeno se ha disuelto
en el agua en mayor proporción que el nitrógeno.
Este resultado era previsible puesto que la constante de Henry del oxígeno es más pequeña que
la del nitrógeno (H menor implica solubilidad
mayor), como quedó reflejado en la figura 11.7.
11.3. Transporte molecular de materia:
difusión
La difusión molecular en una mezcla fluida suele
producirse como resultado de la existencia de un gradiente de concentración de la especie que se difunde.
El movimiento aleatorio de las moléculas tiende en
su conjunto a contrarrestar dicho gradiente, difundiéndose las especies desde el lugar de mayor concentración al de menor concentración.
Este modo de difusión, el más habitual, que tiene
su origen en un gradiente de concentración, se denomina difusión ordinaria.
Sin embargo, y ocasionalmente, puede producirse
la difusión por causa de otros gradientes: un gradiente de temperatura –que influye sobre la concentración
de gases–, conocido como difusión térmica; un gradiente de presión, que también ocasionaría la difusión
de las especies gaseosas de una mezcla (fenómeno que
se aplica a la separación de isótopos radiactivos); o un
gradiente de potencial eléctrico en el seno de una disolución, que da lugar al transporte de los iones presentes en el seno de la misma de acuerdo con su carga y
movilidad (procesos de electrodiálisis para la desalinización de aguas o de “electromigración” de metales
en la descontaminación de suelos, capítulo 16).
Hay que destacar que el transporte molecular de
materia (difusión), aunque análogo al transporte de
cantidad de movimiento en régimen laminar o a la
transmisión de calor por conducción (capítulo 4), resulta un fenómeno notablemente más complejo que éstos,
debido a que la difusión ha de producirse siempre en
el seno de una mezcla. En ésta, los componentes que
la forman se desplazan con diferentes velocidades, vi
, respecto a unos ejes coordenados fijos, existiendo
varios promedios de las mismas que representan adecuadamente la velocidad local media de desplazamiento
del fluido, y que sirven asimismo como referencia para
definir los flujos de transferencia de materia. En el cuadro 11.5 se relacionan y definen las velocidades promedio de mayor interés. Como se observa, las velocidades “media másica” y “media molar” no tienen por
qué coincidir, es más, dado que los diferentes componentes tendrán en general diferentes masas moleculares, lo más habitual es que no coincidan. Por tanto, de
acuerdo con las necesidades, resultará conveniente
emplear una u otra.
Los flujos de transferencia de materia por difusión
representan el movimiento relativo de un componente i respecto al conjunto del fluido o, dicho de otro
Capítulo 11: Introducción a la transferencia de materia
293
CUADRO 11.5
Velocidades promedio de mezclas fluidas
Velocidad
Símbolo
media másica
v
Ex. matemática
Significado físico
n
∑ρ v
i
i
i =1
n
∑ρ
Velocidad de desplazamiento de un plano
a través del cual el flujo másico neto es nulo.
Factor de promedio: fracción másica ωi
(ρi = concentración másica).
n
=
∑ω v
i
i
i =1
i
i =1
n
media molar
∑c v
i
v*
i =1
n
∑c
i
Velocidad de desplazamiento de un plano
a través del cual el flujo molar neto es nulo.
Factor de promedio: fracción molar xi
(ci = concentración molar).
n
=
∑x v
i
i
i =1
i
i =1
modo, el paso de ese componente a través de un plano que se desplaza con una de las velocidades promedio representativas del movimiento de la mezcla y se
expresan en (kg de i/m2 s) o (mol de i/m2 s). Por ello,
dependiendo de cuál sea la velocidad promedio elegida como referencia y las unidades empleadas, se obtienen diferentes expresiones para el flujo de materia.
El sumatorio total de los flujos individuales de cada
componente puede ser nulo o no, según el plano de
referencia que se haya tomado. Así, por ejemplo, el
flujo másico total, Σji , referido a un plano que se des
plaza con la velocidad media másica, v , siempre es
nulo. Sin embargo, el flujo molar total, ΣNi no tiene
por qué ser cero, ya que los flujos molares individuales de cada componente no se compensan.
La definición del flujo de materia más empleada
, que tomando como refeen Ingeniería Química es, N
i
rencia un plano fijo, expresa el flujo en unidades molares (moles de i por m2 de superficie transversal al flujo y segundo) y permite el cálculo de la transferencia
total de materia a través de una interfase fija en zonas
seleccionadas de los equipos. Del resto, la mayoría se
usan en escasas ocasiones, pudiendo destacarse la de
*
flujo molar respecto a la velocidad media molar J i, y
la de flujo másico respecto a la velocidad media másica j i. En el cuadro 11.6 se recogen las ecuaciones
CUADRO 11.6
Expresiones del flujo de materia en mezclas binarias A + B
Flujo
respecto a
un plano
fijo
respecto
a v
respecto
*
a v
Símbolo
(unidades)
NA
Definición
Expresión
en función de ∇ω A
c A vA
(mol i/m 2 s)
jA
2
(kg i/m s)
J A*
2
(mol i/m s)
Expresión
en función de ∇x A
Sumatorios
del flujo
x A (N A + N B ) − DAB C ∇x A
N A + N B =C v *
ρ A (vA – v)
−DAB ρ∇ω A
M M 
− A B  DAB C ∇x A
 M 
jA + jB = 0
c A (v A – v * )
M M 
− A B  DAB ρ∇ω A
 M 
−DAB C ∇x A
J A* + J B* = 0
MA: Peso molecular de A, MB; Peso molecular de B; M: peso molecular medio de la mezcla.
294
Introducción a la Ingeniería Química
correspondientes a estos flujos cuando se aplican a la
transferencia de materia por difusión ordinaria de un
componente A en el seno de una mezcla binaria de
componentes A y B.
11.3.1. Difusión ordinaria simple
en mezclas binarias
Como se ha indicado anteriormente, cuando se
estudia el transporte de un componente A por difusión en régimen estacionario a través de una superficie diferencial en reposo, el flujo de materia de mayor
interés práctico es el que se ha definido respecto a un
plano fijo, siendo habitualmente
lo más conveniente
calcular dicho flujo en moles, N A (cuadro 11.6):
N A = xA ( N A + N B ) + J A* = ( N A + N B ) − DABC ∇xA
[11.9]
Como puede apreciarse,
el flujo total de materia
referido a un plano fijo, N A , es la resultante de dos
contribuciones, la
aportación
del movimiento global de
todo el fluido ( N T = N A + N B ) al flujo de materia y la
con iguales flujos pero en sentidos opuestos, como se
indica en la figura 11.8. Podría ser el caso por ejemplo de dos gases (A y B) que se difunden desde dos
depósitos en los que se encuentran inicialmente puros,
a través de un estrecho canal de conexión, de tal forma que a lo largo del mismo la concentración total y
la presión no varían, pero sí lo hace la composición.
Se trata, pues, de un caso de difusión en proporción equimolar, es decir, difusión de igual número de
moles en una dirección que en la otra.
Dado que el transporte de ambos componentes es
equimolar, de acuerdo con la definición establecida para
la velocidad media molar v* (cuadro11.5) se tendrá:
* N A + NB
=0
N A = − NB ⇒ v =
c A + cB
[11.10]
y consecuentemente los flujos de cada componente
serán:
N A = cA vA = cA ( vA – v * ) = J A* = −DAB C ∇xA
N B = − N A = DAB C ∇xA
aportación de la difusión ordinaria (JA ). Si no hubiera
movimiento global de la mezcla fluida (por ejemplo,
por encontrarse en reposo), dicho primer término sería
nulo quedando sólo el término de difusión ordinaria.
Para poder abordar la resolución de la ecuación
anterior y obtener los perfiles de concentración de
cada componente y el flujo de materia correspondiente
resulta imprescindible conocer, además de las condiciones límite del sistema, alguna información adicional respecto
a los flujos de los dos componentes de la
mezcla, N A y N B.
Existen dos casos particulares especialmente representativos y sencillos que se presentan a continuación:
el de contradifusión
de ambos componen equimolar
tes, en el que N A = – N B (ambos componentes se
difunden a igual velocidad pero en sentidos opuestos)
y el de difusión del componente A a través del componente B que permanece
estacionario (en reposo),
siendo por tanto N B = 0 .
*
A) Contradifusión equimolar
En este caso los componentes A y B se difunden
FIGURA 11.8. Transferencia de materia con contradifusión
equimolar: a) esquema del sistema; b) perfil de concentración.
Capítulo 11: Introducción a la transferencia de materia
[11.11]
Por tratarse de un sistema en régimen estacionario y sin reacción química, el caudal másico a través
de las diferentes secciones de la zona ha de ser constante, puesto que no existe acumulación ni consumo
de materia. Teniendo en cuenta asimismo que la sección transversal de paso no varía a lo largo de la dirección z, el flujo (mol de A/m2 s) también habrá de ser
constante. Así, se tendrá:
N A = J A∗ = −DAB C
dxA
= cte.
dz
[11.13]
Considerando que la concentración total (C = c A
+ c B) y la difusividad no varían, a lo largo de la dirección z, la ecuación anterior se simplifica a:
d 2 xA
=0
d z2
estática de separación entre las fases líquida y vapor
en una operación de destilación, considerando el contacto entre una mezcla binaria líquida y otra vapor
con calores latentes semejantes de ambos componentes. Así, cada mol que condensa del compuesto
más pesado cede el calor latente necesario para la
vaporización de otro del más ligero, produciéndose
por ello transporte equimolar entre ambas fases (líquida y vapor) a través de la subcapa laminar de vapor
que las separa.
[11.12]
y, por consiguiente, su derivada respecto a z es nula:
dN A
dxA 
d 
= −  DAB C
=0
dz
dz 
dz 
295
B) Difusión de un componente A
en una mezcla binaria (A+B) a través
del componente B estacionario
En este caso la transferencia de materia por difusión ordinaria se produce en el interior de un sistema limitado por superficies permeables únicamente
a uno de los componentes (A) de la mezcla (figura
11.9), es decir, que sólo permiten la entrada y salida
[11.14]
que integrada, con las condiciones límite del sistema
(figura 11.8), conduce al perfil de concentraciones:
xA =
( x Aδ − x A0 )
z + x A0
δ
[11.15]
que es una función lineal, como se muestra en la figura 11.8, donde xA0 y xAδ son las fracciones molares del
componente A en las superficie límites interna y externa respectivamente de la zona de estudio y δ el espesor de la misma.
El flujo, por su parte, se calcula a partir de la ecuación [11.12] y del perfil de concentración [11.15], resultando:
( xA 0 − xAδ )
dx 
N A = − DAB C  A  = DAB C
[11.16]
δ
 dz 
La descripción del sistema analizado resulta bastante adecuada para estudiar, por ejemplo, el flujo unidireccional de componentes a través de la superficie
FIGURA 11.9 Transferencia de materia por difusión con un
componente estacionario: a) esquema del sistema; b) perfil de concentración.
296
Introducción a la Ingeniería Química
de éste.
Esta situación correspondería, por ejemplo, a la
absorción del amoníaco gaseoso (A) contenido en el
aire (B), al ponerlo en contacto con agua: el amoníaco se disuelve, pero el aire no.
Puesto que B se encuentra en reposo, su flujo
molar será nulo y la velocidad media molar (ver cuadro 11.5) resulta:
NB = 0 ⇒ v* = xA vA
ln
−DAB C  dxA 


(1 − xA )  dz 
x B0 − x Bδ
x
ln B0
x Bδ
[11.19]
[11.20]
Considerando, como en el caso anterior, que se
mantienen constantes la concentración molar total
(C = cA + cB) y la difusividad, resulta:
d  1  dx A  
 = 0


dz  1 − x A  dz  
[11.24]
siendo:
( x B ) m.l =
Puesto que el sistema opera en régimen estacionario y no hay reacción química, el flujo de componente A se mantendrá constante y, por lo tanto, su
derivada será nula:
dN A
d  D C  dx  
= −  AB  A   = 0
dz
dz  1 − x A  dz  
[11.23]
 D AB C 
NA =
 ( x A0 − x Aδ )
 δ ( x B )m . l . 
 dx 
N A = xA N A − DAB C  A  ∴
 dz 
∴ NA =
xB
z x
= ln Bδ
xB0 δ xB0
El flujo másico de A respecto a un plano fijo se
calcula sustituyendo la expresión del perfil de xA en
la ecuación [11.19], con lo que resulta:
[11.18]
Al ser el transporte unidireccional en la dirección
z, la expresión anterior queda de la forma:
1 − x A z 1 − x Aδ
= ln
1 − x A0 δ 1 − x A0
Esta ecuación indica una variación potencial de la
fracción molar con la distancia z, como se advierte en
la figura 11.9. Análogamente la expresión del perfil
de concentración del componente B será:
[11.17]
y la expresión del flujo N A (ecuación [11.9]) se simplifica a:
N A = xA N A − DAB C ∇xA
ln
[11.21]
que integrada con las condiciones límite correspondientes, idénticas a las del caso anterior, conduce al
perfil de concentración del componente A:
El caso analizado describe adecuadamente diferentes sistemas en los que únicamente existe transporte neto de uno de los componentes de la mezcla,
como ocurre en la vaporización, en la sublimación, en
la adsorción o en la absorción.
C) Otras relaciones entre los caudales molares
de los componentes A y B
Además de los casos particulares considerados
anteriormente pueden aparecer situaciones en las que
la relación entre ambos flujos molares tenga un valor
cualquiera, el cual depende tanto de las características de la operación como de los compuestos implicados. En estos casos, si se calcula el flujo unidireccional a través de un plano fijo, utilizando la ecuación
[11.9]:
N A = xA ( N A + N B ) − DAB C
se obtiene:
[11.22]
dxA
dz
Capítulo 11: Introducción a la transferencia de materia
[11.25]
DAB C dxA
N A dz = –
N 
(1 – x A ) – x A  B 
 NA 
que integrada entre los límites adecuados, idénticos
a los de los casos anteriores, conduce a una expresión para el flujo del componente A que es función
de la razón entre los flujos de ambos componentes
A y B:
 DABC

NA =  δ
 1 + N B
NA



(1 − xAδ ) − xAδ


ln



 (1 − xA 0 ) − xA 0


NB
NA
NB
NA





[11.26]
Por su parte, el perfil de concentraciones, con las
mismas condiciones límite de los casos anteriores viene expresado como:
NB
(1 − x Aδ ) − x Aδ
NA
z
ln
= ln
N
δ
(1 − x A 0 ) − x A 0 B
(1 − x A 0 ) − x A 0
NA
(1 − x A ) − x A
NB
NA
NB
NA
[11.27]
En la figura 11.10 se presentan gráficamente las
situaciones de algunos casos concretos y la corres-
297
pondiente relación de los flujos molares de A y B, a
los cuales se podrían aplicar las ecuaciones [11.26] y
[11.27]: a) combustión de carbón con oxígeno puro,
en las condiciones en que sólo se forma CO, y b) ciclación catalítica de etileno a ciclohexano.
Ejemplo 11.4. En un sistema binario (A + B) se
desean ensayar diferentes procedimientos para
aumentar la proporción de B en la mezcla mediante la separación o transformación de parte del componente A. Comparar los flujos molares unidireccionales NA para las tres alternativas a ensayar:
destilación, absorción de A en un disolvente no
volátil y transformación de A en B mediante una
reacción 3A → B catalizada por un sólido.
Considerar que el espesor de la subcapa laminar, δ, la difusividad, DAB y la concentración total
no varían de uno a otro procedimiento y que las
fracciones molares de A en la interfase, xA0 = 0,03
y en el límite de la subcapa xAδ = 0,2 tampoco lo
hacen.
Solución:
A la separación por destilación se le aplicaría
la ecuación [11.16], ya que se trata de un caso con
transporte equimolar de A y B (NA = – NB). Así el
flujo sería:
FIGURA 11.10. Transferencia de materia por difusión molecular en mezclas binarias con diferentes caudales molares de A y B: a) combustión del carbón en oxígeno puro para dar CO; b) ciclación de etileno a ciclohexano.
298
Introducción a la Ingeniería Química
( xA 0 − xAδ )
dx 
N A ( dest.) = − DAB C  A  = DAB C
δ
 dz 
En la absorción de A se trata de un caso de
transferencia de A a través de un componente B
que permanece estacionario (NB = 0), de manera
que habría que aplicar la ecuación [11.24]:
N A ( absor .) =
DABC
( xA 0 − xAδ )
δ ( xB ) ml
Por su parte, la transformación de A mediante una reacción catalizada sobre una superficie sólida 3A → B se corresponde con un caso en el que
NB = –(1/3) NA, de manera que el flujo NA se calculará adecuadamente sustituyendo el valor de la
razón de los flujos (NB /NA) en la ecuación [11.26]:
DABC
(1 – xAδ ) – xAδ
δ
N A (reac.) =
ln
N
1+ B
(1 – x A 0 ) – x A 0
NA

1 –

 3 DABC 
=
 ln
2 δ 

1 –

NB
NA
=
NB
NA
2

xAδ 

3
2

xA 0 

3
Tomando como referencia el flujo molar de A
que se consigue en la destilación, se pueden comparar los flujos correspondientes a los otros dos
procedimientos:
D ABC
( x A0 – x Aδ )
N A (absor .) δ ( x B )m.l
1
=
=
=
D ABC
N A (dest .)
( x B )m.l
( x A0 – x Aδ )
δ
1 – x A0
1 – 0, 03
ln
ln
1 – x Aδ
1 – 0, 2 = 1,13
=
=
0, 2 – 0, 03
x Aδ – x A0
2
xAδ
3
2
1 – xA 0
N A (reacc.)
3
=
=
DABC
N A ( dest.)
( xA 0 – xAδ )
δ
1 – ( 2 / 3 ) 0, 2
ln
3 1 − ( 2 / 3 ) 0, 03
=
= 1, 084
2 ( 0, 03 – 0, 2 )
3 DABC
ln
2 δ
1–
De acuerdo con estos cálculos, la absorción y
la reacción proporcionarían flujos de A un 13% y
un 8,4% superiores respectivamente al conseguido por destilación.
La razón de este comportamiento, como ya se
ha indicado anteriormente, es que la contribución
del flujo molar total al transporte de A es diferente
en cada caso:
a) Destilación: NT = NA + NB = NA + (–NA) = 0
b) Absorción: NT = NA + NB = NA + 0 = NA
c) Reacción: NT = NA + NB = NA + (–1/3) NA =
= (2/3) NA
11.3.2. Difusión en materiales porosos
La difusión en el interior de materiales porosos
presenta algunas características específicas respecto
de la difusión ordinaria o difusión libre, y es de particular interés en las operaciones donde intervienen sólidos de gran porosidad, como la adsorción y la catálisis heterogénea (capítulo 13). En el interior de los
sólidos porosos la difusión puede producirse por los
tres mecanismos siguientes: difusión ordinaria, difusión de Knudsen y difusión superficial.
La difusión de Knudsen se produce cuando la presión es suficientemente baja o el tamaño de los poros
es suficientemente pequeño como para que el recorrido libre medio de las moléculas de gas sea grande
comparado con el diámetro del poro. En esta situación las moléculas chocan más frecuentemente con las
paredes de los poros que entre ellas, razón por la cual
la difusividad de Knudsen de una especie dada, DK,
es independiente del resto de las especies presentes,
dependiendo sin embargo del radio de los poros.
Por su parte, la difusión superficial tiene lugar una
vez que las especies que se difunden se encuentran
299
Capítulo 11: Introducción a la transferencia de materia
rior de los poros.
De acuerdo con lo anterior, existe un intervalo de
tamaño de poros y de presiones donde son importantes tanto la contribucción de la difusión ordinaria como
la de Knudsen. En estas condiciones de transición,
cuando una de ellas aumenta la otra disminuye, de
modo que el sistema se comporta como si la fuerza
impulsora estuviera compartida. Así, la difusividad
aparente que resulta equivale a considerar que ambos
tipos de difusión constituyen un sistema con dos resistencias en serie. Al flujo así obtenido se le adiciona,
en caso de existir, el debido a la difusión superficial
en paralelo, resultando un flujo total:
J ∗A
FIGURA 11.11 Representación gráfica de la difusión ordinaria y la difusión superficial en materiales porosos.
adsorbidas sobre el sólido. Así, la capa adsorbida tiende a desarrollar un gradiente de concentración superficial del mismo signo y en la misma dirección que el
de la fase gaseosa, por lo cual, cuando la capa adsorbida es móvil (adsorción física, con calores de adsorción débiles), las moléculas tienden a desplazarse a lo
largo de la superficie en la dirección del gradiente, de
modo que la transferencia de materia por difusión
superficial se produce en paralelo con la del gas (figura 11.11).
En cuanto a la difusión ordinaria en medios porosos, el flujo de materia es siempre menor que en el
seno de un fluido debido a la disminución del área de
paso transversal y al aumento de recorrido que ha de
efectuar el compuesto que se difunde respecto a la distancia lineal entre dos puntos, a consecuencia de la
“tortuosidad” de los poros.
Por ello, para la difusión ordinaria en materiales
porosos, se suele definir un coeficiente de difusión
efectivo:
D ef =
D ABε
τ
 1
1 
=− 
+

D
D
 ef
K 
−1
d ( S g ρ p c As )
d cA
− DS
dz
dz
[11.29]
donde DS es el coeficiente de difusión superficial, cAs
(mol/m2 o kg/m2) la concentración superficial de la
especie adsorbida y el producto SgρpcAs la cantidad
adsorbida de A por unidad de volumen de masa porosa (Sg superficie específica, m2/kg; ρp densidad aparente del sólido, kg/m3, o densidad de la partícula porosa). En el apartado dedicado a la caracterización de
catalizadores del capítulo 13 se comentan algunas de
las técnicas empleadas para la obtención de estos parámetros.
Si además existe equilibrio lineal entre la capa
adsorbida y la fase gaseosa de los poros, la isoterma
de adsorción es SgρpcAs = KcA, por lo que la expresión
del flujo total adquiere una forma análoga a la de difusión ordinaria, pero con un valor aparente de la difusividad (Da) que incluye los tres fenómenos comentados:
J ∗A
−1

 dc
d cA
1
1 
A

=− 
+
+ K DS 
= −Da

 Def DK 
 dz
dz


[11.30]
[11.28]
siendo DAB la difusividad molecular, ε la fracción libre
de sección (volumen de huecos) y τ un factor de tortuosidad, parámetro experimental que incluye el efecto del aumento de distancia que han de recorrer las
moléculas y la existencia de estrechamientos en el inte-
11.4. Transporte turbulento: coeficientes
de transferencia de materia
Como se ha indicado en el capítulo 4 (apartado
4.4), cuando existe flujo turbulento las variables intensivas presentan fluctuaciones generadas por la mez-
300
Introducción a la Ingeniería Química
cla de fluido procedente de diversas zonas, ocasionando el incremento del transporte de las propiedades extensivas (cantidad de movimiento, materia y
energía). Dicho incremento, con el conocimiento que
se tiene actualmente de la turbulencia, resulta imposible de predecir teóricamente, lo que conduce a la
necesidad de introducir nuevos parámetros, denominados coeficientes de transporte o transferencia. Así
como en el estudio del flujo turbulento de fluidos
(capítulo 8) y de la transmisión de calor (capítulo 10)
se introdujeron los respectivos coeficientes de transporte turbulento (factor de rozamiento, f, y coeficiente
de transmisión de calor, h) ahora en la transferencia
o transporte de materia se introduce el coeficiente de
transferencia de materia, siguiendo la analogía.
En este apartado se analizan las características
de los coeficientes individuales de transferencia de
materia correspondientes a una fase representada
por un perfil de concentración como el esquematizado en la figura 11.12. Dicha fase podría ser la fase
vapor de una mezcla en contacto con su fase líquida
(destilación), una fase gaseosa en contacto con un
líquido disolvente (absorción o desabsorción), o con
un sólido adsorbente (adsorción-desorción), una fase
líquida en contacto con otra fase líquida inmiscible
(extracción), etc.
De acuerdo con el concepto genérico de coeficiente
individual de transporte (capítulo 4), el flujo de un
componente A, a través de una superficie debido
exclusivamente a los gradientes de concentración, JA*,
puede expresarse como:
J ∗A = k x ( x A0 − x A )
[11.31]
FIGURA 11.12. Perfil de concentración en una sola fase.
siendo kx el coeficiente de transferencia de materia
individual y (xA0 – xA) la fuerza impulsora del transporte de materia, diferencia de concentración de A
entre la superficie límite de la fase (interfase) y el valor
medio en el seno de la misma, expresadas ambas como
fracciones molares.
Sin embargo, pueden definirse análogamente otros
coeficientes individuales de transferencia a través de
la misma superficie, supuesta fija, que incluyen no sólo
el flujo debido a los gradientes de concentración, sino
también el ocasionado por el flujo másico global que
atraviesa la superficie. Dichos coeficientes también se
definen como factores de proporcionalidad entre el
flujo de materia y la diferencia entre la concentración
del soluto en la interfase y la concentración media en
el seno de la fase. Así, por ejemplo:
N A = k p ( p A0 − p A )

N A = k c (c A0 − c A )
N = k ′ ( x − x )
x
A0
A
 A
(mol A/ m2 s)
[11.32]
donde kp, kc y k′x son los coeficientes individuales de
transferencia de materia cuando la fuerza impulsora
considerada está expresada como presión parcial del
soluto, como concentración molar o como fracción
molar, respectivamente. Los coeficientes kp y kc se
representan con frecuencia como kg y kl en referencia
al estado físico de la fase a la que se aplican (gas o
líquido).
Como puede apreciarse, los coeficientes de transporte procedentes de las dos definiciones [11.31] y
[11.32] se refieren a flujos distintos y, por tanto, si ello
no se tiene en consideración a la hora de su aplicación, conducirán a resultados finales diferentes. No
obstante, siempre que se trate de sistemas en los que
el componente que se transfiere se encuentra diluido
(xA → 0) o el flujo molar neto (suma de flujos molares totales) es muy reducido o nulo, ΣN i ≈ 0 (por
ejemplo porque existe contradifusión equimolar),
ambos tipos de coeficientes adquieren el mismo significado al hacerse nula o muy reducida la contribución del flujo másico a la transferencia de materia
(recuérdese la ecuación [11.9]).
Para establecer comparaciones entre los coeficientes individuales de transporte de materia así definidos resulta de utilidad el empleo de una representación simplificada del fenómeno de la transferencia de
Capítulo 11: Introducción a la transferencia de materia
materia en régimen turbulento (teoría de la película
Lewis y Whitman), que establece que en las proximidades de una interfase se puede considerar que existe
una subcapa laminar de fluido, de espesor ficticio δ, en
la cual se concentra toda la resistencia a la transferencia, es decir, que opone una resistencia a la transferencia de materia equivalente a la total del sistema real
(figura 11.13) Así, puesto que los componentes que se
transfieren, para alcanzar o abandonar el seno de una
fase, han de atravesar obligadamente dicha subcapa,
donde el transporte es molecular y estacionario, se
podrá igualar el flujo por difusión ordinaria a través
de dicha capa con el que puede calcularse mediante
los coeficientes de transporte.
301
sar la igualdad:
N A = k x′ ( x A0 − x A ) = D AB C
= J A∗ = k x ( x A0 − x A )
( x A0 − x A )
=
δ
[11.33]
de la cual puede obtenerse una relación entre el coeficiente de transporte kx y los parámetros correspondientes a la resistencia en la subcapa laminar, es decir,
la difusividad molecular, la concentración total y el
espesor ficticio de la subcapa:
kx =
D AB C
δ
[11.34]
Este coeficiente, kx, resulta de especial utilidad, porque en los intervalos normales de trabajo (P < 40 atm)
resulta independiente de la presión y, cuando se refiere a una fase gaseosa o vapor, también de la temperatura. Contrariamente, el coeficiente kg, por ejemplo, es
inversamente proporcional a la presión del sistema.
Para el caso de la absorción de un componente A
en una fase líquida desde una mezcla gaseosa binaria
(A + B) en contacto con ella, considerando que A tiene que atravesar una subcapa gaseosa con transporte
molecular que se interpone entre las fases líquida y
gaseosa en movimiento turbulento, dado que B se
encuentra en reposo (NB = 0), el flujo de A según la
ecuación [11.24] será:
FIGURA 11.13 Transferencia de materia en régimen
turbulento. Subcapa laminar.
Los casos más representativos para transferencia
de materia por difusión simple en mezclas binarias
(contradifusión equimolar de A y B, y difusión de A
a través de una capa estacionaria de B) han sido desarrollados en el apartado anterior y se han obtenido
las expresiones correspondientes de los flujos de
transporte de materia por difusión a través de una
capa de espesor δ. Dichas expresiones, de acuerdo
con lo anteriormente citado, pueden ahora igualarse a las de los flujos expresados con los coeficientes
de transporte. Así, considerando por ejemplo el caso
de la presencia de una subcapa laminar de vapor, que
se interpone entre el líquido y el vapor que circulan
en régimen turbulento durante una operación de rectificación, dada la existencia de contradifusión equimolar, las ecuaciones [11.16] y [11.32] permiten expre-
N A = k x′ ( x A0 − x A ) =
=
D AB C
( x A0 − x A ) =
δ ( x B )m.l
kx
( x A0 − x A )
( x B )m.l
[11.35]
De aquí se deduce una expresión del coeficiente
individual, kx′, semejante a la anterior y con propiedades similares, pero dependiente de la concentración
del soluto:
 D AB C 
kx
k x′ = 
=

 δ ( x B )m.l  ( x B )m.l
[11.36]
Por otra parte, en muchos equipos resulta difícil
conocer el área interfacial efectiva de transferencia
de materia, por lo que resulta útil definir los coeficientes en función de la transferencia por unidad de
302
Introducción a la Ingeniería Química
volumen de equipo. Estos coeficientes reciben la denominación de coeficientes volumétricos de transporte y
se obtienen multiplicando todos los términos de las
expresiones [11.31], [11.32] y análogas por un parámetro que se corresponde con el área interfacial de
transferencia por unidad de volumen de equipo, a
(m2/m3). Así, paralelamente a las ecuaciones [11.32],
los coeficientes volumétricos que corresponden al flujo de materia por unidad de volumen vienen dados
por:
(N A a ) = (k pa )( p A0 − p A )

(N A a ) = (k c a )(c A0 − c A )  (mol A/m3 s)
[11.37]
(N A a ) = (k x′ a )( x A0 − x A )
Conviene mencionar que los cambios en la viscosidad de la fase líquida pueden producir modificaciones en los valores del parámetro a que habría que
tener en consideración si se van a emplear los coeficientes volumétricos para líquidos con propiedades
muy diferentes de las de aquellos con los que han sido
obtenidos.
de flujo con un componente estacionario como es
el caso de la evaporación. Así, de acuerdo con la
ecuación [11.36]:
k y′ =
=
ky
(1 − y A0 ) − (1 – y A )
ln
(1 – y A 0 )
(1 – y A )
donde la fracción molar de acetato de etilo en la
interfase, yA0, puede calcularse a partir de su presión de vapor y de la presión total:
y A0 =
Pv0(27 º C ) 100
=
= 0,1316
PT
760
y la fracción molar de acetato en el seno de la fase
gaseosa es nula, yA = 0, en la entrada del gas.
Por tanto:
ky′ =
Ejemplo 11.5. En un equipo experimental de laboratorio cuya superficie de contacto líquido-gas es
conocida se han efectuado medidas de coeficientes individuales de transferencia de materia a partir de ensayos de destilación de una mezcla binaria
cuyo componente más volátil es acetato de etilo.
El valor resultante es de ky = 10–4 kmol/s m2. En
ese mismo equipo se quiere ahora llevar a cabo la
evaporación de acetato de etilo puro. Calcular el
coeficiente de transferencia de materia para la evaporación, ky′, y los kg que se evaporarían por m2
de superficie y día en la entrada del equipo. La operación se lleva a cabo a 27 ºC y 1 atm de presión
total y el gas alimentado para el arrastre de vapor
producido está inicialmente exento de acetato. La
presión de vapor de acetato de etilo a 27 ºC es de
100 mm de Hg. Puede considerarse que la superficie de transferencia de materia coincide exactamente con la superficie de contacto líquido-gas.
ky
( yB ) m. l
=
ky
=
(1 − y A 0 ) − (1 − y A )
(1 − y A 0 )
ln
(1 − y A )
10 −4
= 1, 072 ⋅ 10 −4 (kmol/s m 2 )
(1 − 0, 1316 ) − (1)
ln(1 − 0, 1316 )
N A = ky′ ( yA 0 − yA ) = 1, 072 ⋅ 10 −4 ( 0, 1316 − 0 ) =
El flujo molar transferido
será:
= 1, 411 ⋅ 10 −5 (kmol/s m 2 )
y la cantidad de acetato de etilo evaporada, teniendo en cuenta que su peso molecular es 88,1:
nA = N A ⋅ MA = 1, 411 ⋅ 10 −5 ( 3.600 ) ( 24 ) 88, 10 =
= 107, 4 (kg/m 2 día)
11.5. Transferencia de materia entre
fases. Coeficientes globales
Solución:
El coeficiente determinado en la destilación ky
se obtuvo con flujo equimolar (flujo molar total
nulo), pero ahora se pretende utilizar en un caso
En el capítulo 4 se definieron los coeficientes de
transporte globales aplicados a la transferencia de materia entre dos fases (figura 4.11). El transporte de componentes de una fase a otra, que aparece en operacio-
Capítulo 11: Introducción a la transferencia de materia
nes como la destilación, la absorción, la extracción, etc.,
se desarrolla de un modo más o menos rápido en función del valor de los coeficientes de transferencia y de
lo alejado del equilibrio que se encuentra el sistema
(valor de la fuerza impulsora).
Por lo tanto, en estos sistemas existe una superficie interfacial con gradientes de concentración a ambos
lados de la misma, siendo el movimiento de cada especie a través de dicha superficie la suma de la contribución del transporte por difusión y del flujo másico
global, como ya se ha indicado en el caso de los coeficientes individuales.
En la figura 11.14 se representan los gradientes de
concentración en ambas fases del constituyente que
se transfiere, A, para un sistema como el indicado.
FIGURA 11.14 Perfil de concentración en un sistema
bifásico (X,Y).
En general, en el transporte de componentes de
una fase a otra se considera que existen tres resistencias en serie que se oponen a dicho transporte: la resistencia que opone la fase Y desde la que se transfiere,
la que opone la fase X que lo recibe y la que opone la
propia interfase. En la mayor parte de las aplicaciones prácticas, esta última no es significativa comparada con las de las otras dos, por lo que suele despreciarse. Sólo en algunos casos esta simplificación no es
aceptable, como por ejemplo cuando están implicadas sustancias tensioactivas, que tienden a acumularse mayoritariamente en la interfase, o cuando la velocidad de transferencia de materia entre fases es muy
elevada, pero éste no es el caso habitual.
303
Como el flujo de componente A que abandona la
fase Y y el que recibe la fase X son iguales, de acuerdo con las definiciones establecidas en el apartado
anterior, el flujo de materia puede expresarse como:
N A = k y ( y A − y A0 ) = k x ( x A0 − x A )
[11.38]
donde xA y yA son las fracciones molares medias de A
en cada fase, xA0 y yA0 sus correspondientes fracciones molares en la interfase y kx y ky los coeficientes
individuales de las fases, que son independientes de
la composición. Combinando estas dos ecuaciones se
obtiene:
yA − yA 0
k
kC
=− x =− l
xA − xA 0
ky
kgP
[11.39]
Esta nueva expresión, junto con la de la relación
de equilibrio del componente A para ambas fases,
yAe = f(xA), permite determinar las composiciones desconocidas en la interfase (xA0,yA0) siempre que se conozcan las composiciones promedio de las fases (xA,yA) y
los coeficientes individuales de transferencia de materia kx y ky. Téngase en cuenta que como la interfase no
ofrece resistencia a la transferencia, todos los puntos
de la superficie interfacial han de satisfacer la condición de equilibrio, de modo que yA0 = f(xA0).
En un diagrama de equilibrio (x,y) la ecuación
[11.39] corresponde a una recta conocida como recta
de reparto o unión, que une el punto (xA, yA) representativo de la fracción molar del soluto A en las fases
FIGURA 11.15. Transferencia de materia entre fases.
Diagrama de equilibrio (x,y) en un sistema bifásico.
304
Introducción a la Ingeniería Química
X e Y, con el punto (xA0, yA0) representativo de las
condiciones en la interfase y que se encuentra sobre
la curva de equilibrio (figura 11.15).
Una vez conocida la composición en la interfase,
se puede calcular la velocidad de transferencia de
materia a partir de las expresiones [11.38] o análogas,
si bien los coeficientes de transferencia en una sola
fase son con frecuencia difíciles de medir, excepto en
aquellas experiencias proyectadas de manera que el
gradiente de concentración a través de una de las fases
pueda considerarse nulo (como se verá a continuación).
En algunos casos resulta conveniente utilizar coeficientes globales de transferencia de materia Kx y Ky,
que, de forma análoga a los coeficientes individuales,
se definen por la expresión:
N A = K y ( y A − y Ae ) = K x ( x Ae − x A )
[11.40]
NA =
=
( y A − y A0 ) + ( y A0 − y Ae )
y A − y Ae
=
=
1
1 ( y A0 − y Ae ) ( x A0 − x A )
+
Ky
ky
kx
y A − y Ae
=
1 ( y A0 − y Ae ) ( x A0 − x A )
+
ky
kx
Así, puesto que los numeradores de todos los términos de la expresión anterior son iguales, también
habrán de serlo los denominadores, lo que conduce a:
1
1 ( y A0 − y Ae ) ( x A0 − x A )
=
+
=
Ky ky
kx
=
siendo xAe y yAe las fracciones molares que debería
haber en las fases X e Y para estar en equilibrio con
las fracciones molares yA y xA realmente existentes,
respectivamente. Así, yA = f(xAe) y yAe = f(xA) (figura
11.15).
Como quiera que el flujo de A expresado según la
ecuación [11.38] o la [11.40] ha de tener el mismo valor,
se cumple la igualdad:
N A = k y ( y A − y A0 ) = k x ( x A0 − x A ) =
= K y ( y A − y Ae ) = K x ( x Ae − x A )
[11.41]
en la que todos sus términos pueden expresarse como
cocientes entre las fuerzas impulsoras –individuales o
globales– y las correspondientes resistencias:
NA =
=
y A − y A0 x A0 − x A
=
=
1
1
ky
kx
y A − y Ae x Ae − x A
=
1
1
Ky
Kx
[11.42]
Esta expresión, reordenada, permite obtener la
relación existente entre los coeficientes individuales
y los globales para mezclas diluidas o con ΣNi ≈ 0:
[11.43]
y A − y Ae
=
( y A − y Ae ) ( x Ae − x A )
Kx
( y A − y Ae ) ( x Ae − x A )
Kx
[11.44]
De este modo, conocidos los valores de los coeficientes individuales, kx y ky, es posible obtener los de
los coeficientes globales, Kx y Ky. En el diagrama de
equilibrio de la figura 11.15 se han representado las
cuerdas de pendientes my y m, que se corresponden
con los numeradores del segundo y tercer miembros
de la ecuación [11.44]. De este modo la resistencia a
la transferencia puede expresarse como:
Resistencia =
1
1 my
m
=
+
=
Ky ky k x
Kx
[11.45]
Lógicamente, cuando se cumple la ley de Henry,
yA = HxA, todas las cuerdas tienen la misma pendiente, mx = my = m, coincidente con H.
Como se observa, en la ecuación [11.45], la resistencia que ofrece cualquiera de las dos fases disminuye al aumentar su coeficiente de transferencia de
materia kx o ky. Por otra parte, si my es muy grande,
es decir si A es prácticamente insoluble en la fase X
(por ejemplo en la absorción de oxígeno del aire en
agua), tiende a predominar la resistencia en dicha fase,
mientras que si el compuesto A es muy soluble en la
fase X, es decir, si my es muy pequeño (como ocurre
por ejemplo en la absorción de amoníaco en agua), la
resistencia predominante se encuentra en la fase Y.
Estas consideraciones pueden extenderse a sistemas
Capítulo 11: Introducción a la transferencia de materia
305
FIGURA 11.16. Resistencias a la transferencia de materia en un sistema bifásico.
con transferencia de dos o más componentes. En la
figura 11.16 se presentan los perfiles y los diagramas
correspondientes a las circunstancias comentadas.
Además, los ensayos experimentales en que una
de las fases es prácticamente pura –sólo la otra fase
puede ser controlante–, también resultan muy útiles
para determinar los coeficientes individuales. Así,
en la absorción de un gas puro (por ejemplo cloruro de hidrógeno en agua) resultaría nula la resistencia a la transferencia de materia en la fase gaseosa,
mientras que en la vaporización de un líquido puro
en el seno de una corriente gaseosa (por ejemplo
agua en aire seco) resultaría nula la resistencia en la
fase líquida.
Los coeficientes globales también se pueden expresar en función de kg y de kl, teniendo en cuenta su definición:
N A = KG ( p Ae − p A ) = K L ( c A − c Ae )
[11.46]
Así, por ejemplo, en caso de que el equilibrio esté
representado por la ley de Henry pAe = H cA, resulta:
[11.47]
1
H
1
H
=
+
=
KG k l k g K L
expresión análoga a la [11.45].
Este caso, particularmente ilustrativo, se ha representado en la figura 11.17, análogamente al caso
general.
Al igual que con los coeficientes individuales, también pueden definirse coeficientes globales por unidad de volumen de equipo (KGa · KLa, etc.), siendo
las relaciones entre los coeficientes globales volumétricos y los individuales volumétricos análogas a las
ya comentadas. En el capítulo 12 se aborda con más
detalle el empleo de los coeficientes volumétricos individuales y globales.
Finalmente, hay que mencionar que, a pesar del trabajo de investigación y aplicación desarrollado, los sistemas de transferencia de materia entre dos fluidos presentan numerosas dificultades para su evaluación debido
a que el comportamiento del flujo resulta complejo, la
interfase móvil es prácticamente inaccesible a la toma
de muestras, el área interfacial es generalmente desconocida y, en muchos casos de interés práctico, la situa-
306
Introducción a la Ingeniería Química
FIGURA 11.17. Resistencias a la transferencia de materia en un sistema gas-líquido con equilibrio lineal, PA = HcA.
de los coeficientes
de transferencia de materia
ción se complica al existir reacciones en fase líquida.
11.6. Determinación experimental
Existen diversos métodos para la determinación
CUADRO 11.7
Correlaciones empíricas de los coeficientes individuales de transferencia de materia en sistemas de flujo
Sistema
Expresión
Límite de validez
Flujo turbulento en conducciones
Sh = 0,023 Re0,83 Sc0,33
0,6 < Sc < 3.000
Flujo de gases sobre partículas esféricas
Sh = 2 + 0,552 Re0,53 Sc1/3
0,6 < Sc < 2,7
1< Re < 48.000
Flujo de líquidos sobre partic. esféricas
Sh = 2 + 0,95 Re0,50 Sc1/3
2< Re < 2.000
Flujo de líquidos en lechos fijos
1,09
Sh = ––––– Re1/3 Sc1/3
ε
Flujo de gases en lechos fluidizados
0,455
Sh = –––––––– Re0,513Sc1/3
ε
Flujo de líquidos en lechos fluidizados
1,107
Sh = –––––––– Re0,28Sc1/3
ε
0,0016< Re < 55
165 < Sc < 70.600
10 < Re < 4.000
1 < Re <10
Capítulo 11: Introducción a la transferencia de materia
experimental de los coeficientes individuales de transferencia de materia, basados en muchos casos en dispositivos donde el área de contacto interfacial (líquido-gas, sólido-líquido, etc.) es conocida y donde sólo
una de las fases es controlante. Así, por ejemplo, existen dispositivos de columnas de paredes mojadas, con
líquido descendente, en las que el área de contacto
interfacial es el área de un cilindro; columnas de esferas y cilindros alternados, formando una hilera vertical sobre la que desciende el líquido, etc.
En todos los casos se mide experimentalmente la
cantidad de componente transferido de una fase a otra
(midiendo diferencias de concentración) durante un
cierto tiempo y a través de la superficie interfacial
conocida. Con ello, se obtiene el valor del correspon-
307
diente coeficiente individual, de acuerdo con su ecuación de definición.
En la práctica, estos cálculos se realizan agrupando las variables en módulos adimensionales –de acuerdo con el método de análisis dimensional descrito en
el capítulo 5–, obteniéndose relaciones funcionales del
tipo:
Sh = f ( Re, Sc )
k d
Gd
Sh = c
Re =
µ
DAB


µ 
Sc =
ρDAB 
[11.48]
en las que kc es el coeficiente individual de transferencia de materia y DAB la difusividad del soluto en
la fase controlante, d el diámetro del tubo, G la velo-
Problemas
cidad másica de circulación y µ y ρ la viscosidad y la
densidad, respectivamente, del fluido que constituye
la fase controlante.
El ajuste de los resultados experimentales a expresiones de tipo potencial ha conducido a correlaciones
empíricas del tipo:
Sh = C ⋅ Re x Sc y
a) Obtener de acuerdo con dicha suposición, los
diagramas de equilibrio líquido-vapor (T-x,y)
y (y-x) a 1 atm de presión total.
b) Calcular la variación de la volatilidad relativa
αij con la composición de la mezcla para comprobar si la suposición de idealidad es correcta.
Pº(H)
mm de Hg
760
1.031
1.482
2.137
3.010
3.431
120
173
278
436
655
760
[11.49]
En la bibliografía se pueden encontrar numerosas
correlaciones para cada caso concreto. Algunas de
ellas se han resumido en el cuadro 11.7.
1. Las mezclas binarias de n-hexano (H) con n-octano (O) suelen considerarse ideales dada la semejanza de ambos hidrocarburos. Conocidas las presiones de vapor de ambos compuestos en función
de la temperatura que se refleja en la tabla:
T (ºC)
68,7
79,4
93,3
107,2
121,1
125,7
mm de Hg
Pº(O)
2. El sistema tetracloruro de carbono-benceno es una
mezcla binaria ideal. Calcular la volatilidad relativa media en todo el intervalo de fracciones molares (desde x = 0 a x = 1) a partir de los datos experimentales de equilibrio que se presentan en la
tabla y compárese el valor experimental de fracción molar del componente más volátil (CCl4) en
la fase vapor (y) con el obtenido utilizando la volatilidad relativa media (α) calculada.
T (ºC)
x
y
80
79,3
78,8
78,6
78,5
78,2
78
0
0,136
0,216
0,257
0,294
0,363
0,406
0
0,158
0,241
0,288
0,321
0,391
0,435
308
Introducción a la Ingeniería Química
77,6
77,4
77,1
76,8
0,527
0,620
0,722
1
0,548
0,638
0,733
1
3. Las mezclas binarias metanol-agua constituyen
mezclas reales no azeotrópicas. Conocidas las presiones de vapor de ambos compuestos a dos temperaturas, calcular, utilizando la ley de DaltonRaoult, los datos de equilibrio líquido-vapor que
le corresponderían si dicha mezcla fuese ideal y
compararlos sobre un diagrama (x,y) con los obtenidos experimentalmente a 1 atm de presión.
Presiones de vapor a 64,5 ºC: Pº (metanol) = 760
y Pº (agua) = 183,43 mm de Hg.
Presiones de vapor a 84 ºC: Pº (metanol) = 1.520
y Pº (agua) = 416,8 mm de Hg.
T(ºC)
x
y
100
87,7
81,7
78
75,3
73,1
71,2
69,3
67,5
66
64,5
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
0
0,418
0,579
0,665
0,729
0,779
0,825
0,870
0,915
0,958
1
4. Los datos experimentales de equilibrio del sistema
agua-etilenglicol obtenidos a 0,3 atm de presión
indican que la volatilidad relativa no permanece
constante, conduciendo a un diagrama líquidovapor no simétrico respecto a la segunda diagonal.
No obstante, los valores de equilibrio (x,y) pueden
reproducirse aceptablemente utilizando un único
valor de volatilidad para todo el intervalo. Calcúlese el valor que resultaría más adecuado.
T (ºC)
x
y
160,7
145
134,7
128
118,4
0
0,03
0,07
0,1
0,15
0
0,53
0,7
0,78
0,87
103,1
89,6
83,1
78,9
76,1
69,5
0,27
0,46
0,6
0,69
0,77
1
0,94
0,98
0,99
0,997
0,998
1
5. Las mezclas binarias etanol-agua presentan un
azeótropo de mínimo punto de ebullición a 78,15
ºC con una composición azeotrópica x = y = 0,894.
Aplicando el método de Van Laar, obtener los diagramas de equilibrio (x,y) y (T-x,y) y compararlos
con los datos experimentales a 1 atm que se incluyen en la tabla.
Nota: presiones de vapor: Pº (etanol, 48,4 ºC) =
200 mm de Hg, Pº (etanol, 78,4 ºC) = 760 mm de
Hg, Pº (agua, 48,4 ºC) = 85,42 mm de Hg y Pº
(agua, 100 ºC) = 760 mm de Hg para calcular las
constantes de la ecuación de Clausius-Clapeyron.
T (ºC)
100
86,7
82,7
81,5
80,7
79,8
79,3
78,74
78,41
78,15
78,4
x
y
0
0,097
0,234
0,327
0,397
0,508
0,573
0,676
0,747
0,894
1
0
0,437
0,545
0,583
0,612
0,656
0,684
0,738
0,781
0,894
1
6. La mezcla binaria acetona-cloroformo es un ejemplo de mezcla binaria con azeótropo de máximo
punto de ebullición. Aplicando las ecuaciones para
mezclas regulares y reales que aparecen en el cuadro 11.3, obtener los datos de equilibrio líquidovapor y representarlos en los diagramas (T-x,y) y
(x,y) junto con los datos experimentales (P = 1
atm) para su comparación.
T (ºC)
x
y
61,2
62,5
63,83
64,3
64,37
0
0,082
0,234
0,316
0,353
0
0,05
0,2
0,3
0,35
309
Capítulo 11: Introducción a la transferencia de materia
64,35
63,33
62,23
60,72
58,71
57,48
56,5
0,389
0,530
0,611
0,708
0,830
0,907
1
aire, DAB = 0,11 cm2/s, diámetro interno de la columna, D = 5 cm, velocidad de circulación del gas, V =
1 m/s. Presión de vapor de la acetona a 10 ºC ≈ 110
mm de Hg.
0,4
0,6
0,7
0,8
0,9
0,95
1
7. Por el interior de una columna de paredes mojadas desciende por gravedad acetona, que se pone
en contacto con aire que asciende en régimen turbulento por el espacio interior. Calcular el valor
del coeficiente individual de transferencia de materia para su evaporación, ky′, y el flujo molar en el
punto de entrada. La operación se lleva a cabo a
10 ºC y 1 atm. Para el cálculo del coeficiente utilícese la expresión:
Sh =
 VDρ 
kc D
= 0, 023

D AB
 µ 
0 ,83
 µ 


 ρD AB 
0 ,33
donde kc es el coeficiente individual de transferencia de materia con flujo equimolar.
Datos: viscosidad del aire, µ = 1,78 · 10–5 kg/m s, densidad, ρ = 1,246 kg/m3, difusividad de acetona en
8. En el interior de una columna de relleno se produce la absorción de oxígeno puro sobre agua
exenta de oxígeno. Calcular el valor del coeficiente
individual de transferencia de materia en la fase
líquida mediante la expresión:
Sh =
k c D 1, 09  VDp ρ 
=


ε  µ 
D AB
1 /3
 µ 


 ρD AB 
1 /3
donde el volumen de huecos del lecho es ε = 0,4,
el diámetro de las partículas del relleno Dp = 1 cm,
la difusividad del oxígeno en agua DAB = 2 · 10–9
m2 s–1, la velocidad media referida a la sección
transversal de la columna vacía V = 0,5 ms–1, la
densidad del agua ρ = 1.000 kg m–3 y la viscosidad
µ = 1 cp. Sabiendo que en las condiciones de operación la solubilidad del oxígeno en agua viene
representada por un valor de la constante de Henry
expresada como razón adimensional entre las concentraciones en las fases gaseosa y líquida, HO =
COG/COW = 30, calcular el flujo molar de oxígeno
que se transfiere.
12
OPERACIONES
BÁSICAS
DE TRANSFERENCIA
DE MATERIA
12.1. Introducción
12.2. Operaciones básicas de transferencia
de materia
12.3. Ecuaciones básicas de diseño
para contacto discontinuo
12.4. Destilación y rectificación de mezclas
binarias
12.5. Ecuaciones básicas de diseño
para contacto continuo
12.6. Absorción en columnas de relleno
312
E
Introducción a la Ingeniería Química
n este capítulo se presentan brevemente
algunas de las operaciones de separación
por transferencia de materia de mayor
aplicación en la industria química, los equipos
más utilizados en cada una de ellas y los
modos de operación más frecuentes. Se revisan los conceptos de contacto intermitente y
continuo y se presenta el método general de
diseño de los equipos para ambos tipos de
contacto. Como ejemplo de aplicación se aborda la rectificación continua de mezclas binarias en columnas de pisos como caso típico de
contacto intermitente. Finalmente, se presenta
el diseño de la absorción de mezclas diluidas
en columnas de relleno como ejemplo de contacto continuo.
GLOSARIO
destilación diferencial abierta. Destilación en la que
el líquido se alimenta en una sola carga en el calderín y el vapor producido se retira continuamente y se condensa. Se emplea fundamentalmente a
escala de laboratorio.
destilación súbita. Destilación en la que una corriente líquida a una cierta temperatura y presión se
descomprime bruscamente, provocando una vaporización parcial del líquido, lo que produce una
fase de vapor y otra líquida en equilibrio. Se utiliza cuando los componentes que se quieren separar tienen puntos de ebullición muy diferentes.
destilado. Producto obtenido por condensación del
vapor producido en una destilación, que contiene
principalmente los componentes más volátiles de
la mezcla inicial.
rectificación. Destilación en la que se producen sucesivas vaporizaciones y condensaciones parciales
a lo largo de la columna como consecuencia del
contacto de las corrientes vapor y líquida en contracorriente. La fase líquida descendente se origina al introducir en la zona superior de la columna una parte de la corriente de destilado,
denominada reflujo.
reflujo. Corriente líquida que se introduce en la parte superior de una columna de rectificación, pro-
12.1. Introducción
Las operaciones básicas de separación por transferencia de materia tienen como objetivo separar los componentes de una mezcla monofásica en dos o más
corrientes-producto de diferente composición. Para ello
cedente de la propia corriente de destilado, para
proporcionar la fase líquida descendente que se
pone en contacto con el vapor. Existe un valor
mínimo del caudal de reflujo para el que sería
necesario un número infinito de etapas teóricas en
la separación de componentes.
relación de reflujo. Cociente entre los caudales molares de la corriente de reflujo y de la corriente de
destilado de una columna de rectificación. Existe un valor óptimo de esta relación para la que
el número de pisos necesarios de la columna es
mínimo.
sector de agotamiento. Zona de la columna de rectificación situada por debajo de la entrada de la
corriente de alimentación. Se caracteriza por que
el líquido en el interior de esta zona se empobrece en los componentes más volátiles a medida que
desciende.
sector de enriquecimiento. Zona de la columna de rectificación situada por encima de la entrada de la
corriente de alimentación. Se caracteriza por que
el vapor en el interior de esta zona se enriquece
en los componentes más volátiles a medida que
asciende.
se requiere en general la presencia de dos fases inmiscibles cuyo contacto puede ser continuo o intermitente, como se indicó en el capítulo 3. Dependiendo de
cuál de estas dos formas de contacto entre fases es la
elegida, el método de estudio y diseño del equipo de
separación varía: en el caso del contacto continuo se
Capítulo 12: Operaciones básicas de transferencia de materia
calcula por integración del flujo de materia en todo el
equipo (columna de relleno, etc.) y en el del contacto discontinuo el cálculo se hace etapa por etapa.
A continuación se presentan brevemente los objetivos de algunas operaciones de transferencia de materia, así como sus equipos y modos de operación, pero
sin abordar el método de diseño de dichos equipos.
12.2. Operaciones básicas
de transferencia de materia
En el capítulo 3 se presentaron los diversos criterios que se emplean para la clasificación de las operaciones básicas de transferencia de materia así como
una breve definición de sus objetivos. En este apartado se presentan las de mayor interés industrial, ordenadas de acuerdo con las fases inmiscibles que intervienen.
12.2.1. Operaciones gas-líquido y líquido-vapor
A) Absorción
Cuando se ponen en contacto una fase gaseosa y
una fase líquida que contienen un soluto volátil y soluble cuya concentración en ambas fases no se corresponde con la de equilibrio, se produce espontáneamente su transporte desde la fase gaseosa a la líquida
(absorción) o de la líquida a la gaseosa (desabsorción),
hasta llegar al equilibrio.
En general, en la absorción la mezcla gaseosa alimentada está compuesta por un gas inerte (no soluble en el líquido) y un gas o vapor soluble (soluto),
mientras que el líquido está constituido por un disolvente de reducida volatilidad. Por su parte, en la
desabsorción (también conocida como stripping) el
soluto se encuentra inicialmente contenido en la fase
líquida. Así, el mecanismo de la absorción-desabsorción consiste en la transferencia selectiva de uno o
más componentes de una mezcla gaseosa a un disolvente líquido o viceversa, conforme a lo indicado en
el capítulo anterior.
Se considera que para que un líquido sea un buen
absorbente ha de tener las siguientes características:
buen disolvente del soluto, poco volátil, barato, no
corrosivo, estable, con baja viscosidad, no espumante y no inflamable. Entre los líquidos más utilizados
como disolventes en absorción se encuentran el agua,
313
los aceites minerales y los hidrocarburos poco volátiles.
Ejemplos de absorción son la disolución en agua
del amoníaco contenido en el aire, la disolución de
SO2 en disoluciones alcalinas, de CO2 en disoluciones
de monoetanolamina, etc. Ejemplos de desabsorción
son la eliminación de los hidrocarburos volátiles contenidos en hidrocarburos pesados o en aguas contaminadas, etc.
Aunque la absorción se utiliza normalmente para
recuperar productos de corrientes gaseosas con fines
de producción, también se emplea de modo creciente como método de control de emisiones de contaminantes a la atmósfera, reteniendo las sustancias contaminantes (compuestos de azufre, compuestos
clorados y fluorados, etc.). El disolvente debe ser selectivo, poco volátil y estable; entre los más utilizados
están el agua y las disoluciones acuosas –estas últimas
cuando hay absorción con reacción química–.
Los equipos habituales en los que se lleva a cabo
la absorción son las torres de pulverización y las
columnas de platos y de relleno, que se comentarán
más adelante.
La utilización de columnas de relleno es ventajosa cuando los productos son corrosivos, forman espumas o taponamientos o cuando la pérdida de presión
puede ser elevada. Además son más baratas que las
de platos en aplicaciones cuya escala permita el uso
de columnas de menos de un metro de diámetro.
Por su parte, las columnas de platos siguen prefiriéndose para las operaciones a gran escala, cuando
se precisan sistemas de enfriamiento interno o cuando el caudal de líquido es insuficiente para un adecuado mojado del relleno.
B) Destilación
En la destilación el contacto se realiza entre una
mezcla en fase líquida y una mezcla en fase vapor
generada por ebullición del líquido, pero que no se
encuentran inicialmente en equilibrio; a consecuencia de ello la fase vapor se condensa parcialmente y
la fase líquida se vaporiza también parcialmente, de
modo que, tras el contacto entre ambas, el vapor se
enriquece en los componentes más volátiles de la mezcla y el líquido lo hace en los menos volátiles (componentes “pesados”). Se utiliza fundamentalmente
para separar o purificar componentes de una mezcla
líquida.
314
Introducción a la Ingeniería Química
También en este caso el equipo de contacto más
frecuente lo constituyen las columnas de platos (o
columnas de pisos) y las columnas de relleno.
En las columnas de platos perforados la fase líquida es exclusivamente retenida sobre los platos por la
energía cinética del gas o del vapor ascendentes; por
ello, cuando se opera con caudales reducidos de gas
o de vapor, los platos disponen de válvulas u otros dispositivos análogos, que modifican el espacio libre para
el flujo en función del caudal de fase gaseosa o vapor
ascendente, ayudando así a impedir el goteo de la fase
líquida. Ésta desciende de un plato a otro de modo
continuo por los rebosaderos diseñados a tal efecto
(figura 12.1).
Otro tipo de platos que ha sido muy usado en el
pasado pero que ha ido cayendo en desuso debido a su
elevado coste son los platos de campanas de burbujeo,
en los cuales el gas o vapor penetra por los orificios de
las campanas y burbujea a través del líquido retenido.
Como ya se ha comentado anteriormente (capítulo 3), las columnas de relleno se utilizan para el contacto continuo entre fases. Consisten en una carcasa
cilíndrica vertical que contiene el relleno, constituido
por un material sólido que puede tener diferentes formas y tamaños y que se fabrica en muy diversos materiales. Su objetivo es distribuir la fase líquida que desciende en el interior de la columna de tal manera que
el volumen retenido de líquido sea reducido, facilitando el desplazamiento en contracorriente de la fase
ligera ascendente a través de los huecos del relleno y
haciendo que la superficie de contacto entre las fases
sea máxima, a fin de que también lo sea la transferencia de materia por unidad de volumen de lecho.
Existe un gran número y variedad de tipos de relleno comerciales cuyas características de resistencia física y química han ido mejorando a lo largo del tiempo. A medida que se han ido produciendo mejoras en
los rellenos (materiales más resistentes a la corrosión
y al esfuerzo físico y mayor volumen de huecos) ha
sido posible alcanzar mayores flujos de los fluidos en
el interior de la columna y, como resultado, las columnas de relleno han ido ganando terreno a las columnas de platos, construyéndose de diámetros y alturas
cada vez mayores.
El diseño de las columnas tiene como principal
objetivo conseguir la máxima transferencia de materia con la mínima pérdida de presión por unidad de
altura de la misma.
C) Humidificación de aire y enfriamiento de agua
Otro grupo de operaciones de transferencia de
materia que se lleva a cabo normalmente en colum-
FIGURA 12.1. Columnas: a) de platos perforados; b) de platos de campanas; c) de relleno.
Capítulo 12: Operaciones básicas de transferencia de materia
315
FIGURA 12.2. Cámaras
de pulverización: a) por
gravedad; b) por impulsión mecánica.
nas de relleno es el de las denominadas operaciones
de interacción aire-agua, en las que el vapor de agua
–equivalente al componente volátil– pasa de una fase
a otra, con el consiguiente efecto térmico del elevado
calor latente de vaporización/condensación. Las tres
operaciones más importantes de este grupo son la
humidificación de aire (el agua se vaporiza y pasa al
aire, aumentando su humedad), la deshumidificación
de aire (proceso inverso al anterior, por condensación
del vapor de agua) y el enfriamiento de agua (vaporización parcial del agua, enfriándose el resto del agua
líquida adiabáticamente).
Las dos primeras operaciones se utilizan para controlar la humedad del aire, mientras que la tercera se
emplea para