מרחבים וקטוריים
שדה – שדה הוא קבוצה Fעם שתי פעולות :חיבור וכפל.
מרחב וקטורי – מרחב וקטורי מעל שדה Fהוא קבוצה עם שתי פעולות :חיבור וכפל בסקלר.
(לא חייב להיות חיבור וכפל רגילים)
דוגמאות למרחבים וקטוריים
}𝑅 ∈ 𝑛𝑥 … 𝑅 𝑛 = {(𝑥𝑥1 ) : 𝑥1
𝑛
מרחב כל הוקטורים עם nשורות מעל R
𝑛𝑎1
}𝑅 ∈ 𝑗𝑖𝑎 ⋮ ) :
𝑛𝑚𝑎
⋯
⋱
⋯
𝑎11
⋮ ({ =
𝑎𝑚1
𝑛𝑥𝑚𝑀
מרחב כל המטריצות מעל שדה R
} 𝑅 ∈ 𝑅[𝑥] = {𝑝(𝑥 ) = 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑥 𝑛−1 … 𝑎1 𝑥 + 𝑎0
מרחב כל הפולינומים מעל שדה R
𝑧1
}𝐶 ∈ 𝑛𝑧 … ) : 𝑧1
𝑛𝑧
({ = 𝑛 𝐶
מרחב כל הוקטורים מעל שדה ( Cהמרוכבים)
טענות על מרחבים וקטוריים
לכל 𝑉 ∈ 𝑣 (כל איבר במרחב) האיבר הנגדי לו הוא יחיד
לכל 𝑉 ∈ 𝑣 מתקיים 𝑉0𝐹 ∗ 𝑣 = 0
(האיבר הניטרלי בשדה כפול איבר במרחב = האיבר הניטרלי במרחב)
מרחבים וקטוריים
תת מרחב וקטורי
אם Uהוא תת קבוצה של ,Vאז Uנקראת תת מרחב של Vאם מתקיימים
התנאים הבאים:
U ≠ ∅ .1או 𝑈 ∈ 𝑉0
.2לכל 𝑈 ∈ 𝑢1 + 𝑢2 ∈ 𝑈 ← 𝑢1 , 𝑢2
.3לכל 𝑈 ∈ δ ∗ 𝑢1 ∈ 𝑈 ← 𝛿 ∈ 𝐹 , 𝑢1
דוגמאות לתת מרחב
𝑥
}𝑅 ∈ 𝑥 V = R2 , U = {( ) :
0
קבוצת כל הוקטורים עם שתי איברים ,בהם האיבר השני הוא אפס,
היא תת קבוצה של ,R2והיא תת מרחב של .R2
}𝑉 = 𝑅𝑛 , 𝑈 = {𝑥 ∈ 𝑅𝑛 |𝐴𝑥 = 0
קבוצת כל הפתרונות של מערכת הומוגנית היא תת מרחב של 𝑛𝑅
}𝑉 = 𝑅3 [𝑥] , 𝑈 = {𝑝(𝑥) ∈ 𝑅3 [𝑥]|𝑝(1) = 0
קבוצת כל הפולינומים ממעלה לכל היותר שלישית שמקיימת את התנאי ,היא
תת מרחב של ]𝑥[ 𝑅3
דוגמאות לקבוצות שאינן תתי מרחב
𝑥1
}𝑈 = {( ) : 3𝑥1 + 2𝑥2 = 1
𝑥2
לא תת מרחב כיוון ש 0𝑉 -אינו איבר בקבוצה
𝑥1
}𝑈 = {( ) : 𝑥1 ∗ 𝑥2 = 0
𝑥2
לא תת מרחב כיוון ש (12)-לא איבר בקבוצה,
למרות שהוא חיבור של שתי איברים בקבוצה)(10) + (02) = (12
מרחבים וקטוריים
טענות על תתי מרחב
אם 𝑈1 , 𝑈2תתי מרחב של ,Vאז 𝑈1 ∩ 𝑈2גם תת מרחב
אם 𝑈1 , 𝑈2תתי מרחב של ,V
אז 𝑈1 ∪ 𝑈2גם תת מרחב ↔ 𝑈1מוכל ב 𝑈2 -או 𝑈2מוכל ב𝑈1 -
חיבור תתי מרחבים –
} 𝑈1 +𝑈2 = {𝑢1 + 𝑢2 : 𝑢1 ∈ 𝑈1 , 𝑢2 ∈ 𝑈2
כלומר מתקבלת קבוצה של סכומים של איברים מ 𝑈1 -ו𝑈2 -
אם 𝑈1 , 𝑈2תתי מרחב של ,Vאז:
𝑢1 , 𝑢2 .1שייכים ל( 𝑈1 +𝑈2 -כלומר כל איבר ב 𝑈1 , 𝑈2 -שייך ל)𝑈1 +𝑈2 -
𝑈1 +𝑈2 .2הוא תת מרחב של V
צירוף ליניארי
Vהוא מרחב וקטורי מעל 𝛿1 … 𝛿𝑛 ∈ 𝐹 ,𝑣1 … 𝑣𝑛 ∈ 𝑉 ,F
צירוף ליניארי של 𝑛𝑣 … 𝑣1הוא ביטוי מהצורה:
𝑛𝑣 𝑛𝛿 𝛿1 𝑣1 + 𝛿2 𝑣2 … +
דוגמאות לצירופים ליניאריים
1
0
0
כל וקטור ב 𝑅3 -הוא צירוף ליניארי של )(0) , (1) , (0
0
0
1
2
1
0
0
למשל )(4) = 2 (0) + 4 (1) + 9 (0
9
0
0
1
𝑎
1
2
מתי הוקטור ) 𝑏( הוא צירוף ליניארי של )? (2) , (1
𝑐
3
1
𝑎
1
2
כלומר ,מה התנאים על a,b,cכך שיהיו קיימים ? 𝑥1 (2) + 𝑥2 (1) = (𝑏) :𝑥1 , 𝑥2
𝑐
3
1
𝑎|12
מדרגים את המטריצה ובודקים לאילו ערכים של a,b,cיש אינסוף פתרונות ) 𝑏|(21
𝑐| 31
מרחבים וקטוריים
תלות ליניארית
הקבוצה } 𝑛𝑣 … {𝑣1נקראת תלויה ליניארית אם קיימים 𝑛𝛿 … 𝛿1שלא כולם
אפסים ,כך ש𝑣1 ∗ 𝛿1 + ⋯ + 𝑣𝑛 ∗ 𝛿𝑛 = 0 -
אם זה מתקיים רק כאשר כל הסקלרים הם אפס (באופן לא טריוויאלי) ,אז
הקבוצה נקראת בלתי תלויה ליניארית
דוגמאות איך בודקים אם קבוצה תלויה ליניארית
קבוצת עמודות של מטריצה –
עבור הקבוצת עמודות של מטריצה הבאה }){(12)(34)(56)(78
האם קיימים 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , 𝑥4כך שהצירוף הליניארי יהיה )? (00
נסתכל על המערכת:
𝑥1
0
1357 𝑥2
(
) ( = ) 𝑥( )
3
2468
0
𝑥4
זוהי מערכת עם שתי משוואות וארבעה נעלמים ,לכן יש אינסוף
פתרונות .כלומר ,יש פיתרון שאינו טריוויאלי ולכן קבוצת העמודות של
מטריצה Aהיא תלויה ליניארית.
*ניתן גם לדרג את המטריצה ולבדוק את הפתרון.
*ניתן לומר על כל מטריצה שמספר העמודות שלה גדול ממספר השורות ,שקבוצת
העמודות שלה תלויה ליניארית.
*ניתן לבדוק את הדטרמיננטה של המטריצה ,ואם היא הפיכה אז הפתרון היחיד
למשוואה ההומוגנית הוא הטריוויאלי ,לכן עמודת הפתרונות שלה בלתי תלויה ליניארית.
קבוצת משוואות –
עבור הקבוצת משוואות הבאה }{𝑥 + 1, 2𝑥 + 3, 𝑥 2 + 1
האם קיימים 𝛿1 , 𝛿2 , 𝛿3כך שהצירוף הליניארי יהיה ? 0
נסתכל על המשוואה:
2
𝛿1 (𝑥 + 1) + 𝛿2 (2𝑥 + 3) + 𝛿3 (𝑥 + 1) = 0
𝛿3 𝑥 2 + (𝛿1 + 2𝛿2 )𝑥 + (𝛿1 + 3𝛿2 + 𝛿3 ) = 0
𝛿3 = 0
001|0
(120|0) ← { 𝛿1 + 2𝛿2 = 0
𝛿1 + 3𝛿2 + 𝛿3 = 0
131|0
ונבדוק כמה פתרונות יש למערכת ההומוגנית ,בהתאם לכך נחליט אם
קבוצת המשוואות תלויה ליניארית או לא.
מרחבים וקטוריים
תלות ליניארית של איבר באיברי הקבוצה
נאמר ש 𝑉 ∈ 𝑣 (איבר במרחב) תלוי ליניארית בקבוצה } 𝑛𝑣 … ,{𝑣1אם הוא
צירוף ליניארי של איברי הקבוצה.
דוגמא:
1
0
2
הוקטור ) (1תלוי ליניארית בקבוצה }) {(0) , (1כי הוא צירוף ליניארי שלהם:
0
0
0
2
1
0
)(1) = 2 (0) + 1 (1
0
0
0
טענות על תלות ליניארית
קבוצת עמודות של מטריצה היא תלויה ליניארית אם למערכת
ההומוגנית יש אינסוף פתרונות
מטריצה ריבועית Aהפיכה אם קבוצת העמודות שלה בלתי תלויה
ליניארית שזה גורר שקבוצת השורות שלה גם בלתי תלויה ליניארית
קבוצה תהיה תלויה ליניארית אם אחד איברי הקבוצה תלוי ליניארית
בשאר האיברים בקבוצה
קבוצה של שני וקטורים בלבד תהיה תלויה ליניארית אם אחד הוקטורים
הוא כפולה של השני (כי הוא צירוף ליניארי שלו)
קבוצה של פולינומים שבה כל פולינום הוא ממעלה אחרת ,היא קבוצה
בת"ל
