אלגברה לינארית-דף עבודה 7 מרחבים וקטורים 1 1.1 תיאוריה 1.1.1הגדרת מרחב וקטורי )מ“ו( מ“וֹ Vהוא קבוצה ) כלומר אוסף של איברים שנקראים וקטורים( יחד עם שתי פעולות -אחת שתקרא חיבור ותסומן ב ⊕ והשנייה שתקרא כפל בסקלר ותסומן כך שמתקיימים כל התנאים הבאים: .1סגירות לחיבור לכל שני וקטורים v, u ∈ Vמתקיים v ⊕ u ∈ V .2קיום איבר ניטראלי קיים ב Vאיבר ניטראלי שנסמנו ב Oוייקרא איבר האפס המקיים: לכל ,v ∈ V v⊕O =v .3קיום איבר נגדי לכל v ∈ Vקיים ב Vאיבר נגדי שנסמנו ב ′ − v ′המקיים v ⊕ (−v) = O .4קומוטטיביות ) חילופיות( לכל שני וקטורים v, u ∈ Vמתקיים v ⊕ u = u ⊕ v .5אסוציאטיביות לכל שלושה וקטורים v, u, w ∈ Vמתקיים v ⊕ (u ⊕ w) = (v ⊕ u) ⊕ w .6סגירות לכפל בסקלר לכל וקטור v ∈ Vוסקלר α ∈ Fמתקיים α v ∈ V 1 .7כפל בסקלר 1לכל v ∈ Vמתקיים כי 1 v = vכאשר 1הוא הסקלר ) המספר( 1 .8אסוציאטיביות לכל v ∈ Vוסקלרים α, β ∈ Fמתקיים α (β v) = (αβ) v .9דיסטריבוטיביות 1לכל v ∈ Vוסקלרים α, β ∈ Fמתקיים )(α + β) v = (α v) ⊕ (β v .10דיסטריבוטיביות 2לכל v, u ∈ Vו α ∈ Fמתקיים )α (v ⊕ u) = (α v) ⊕ (α u 1.1.2 תכונות כלליות במרחבים וקטורים עבור מ“וֹ Vיחד עם הפעולות ⊕ ו מתקיים: .1לכל v ∈ Vמתקיים 0 v = Oכאשר 0 ∈ Fהוא המספר אפס ו Oהוא איבר האפס במרחב הוקטורי .V .2האיבר הניטראלי ) איבר האפס( ב Vהוא יחיד. .3לכל v ∈ Vהאיבר הנגדי −v ∈ Vהוא יחיד. .4לכל v ∈ Vמתקיים (−1) v = −v .5לכל α ∈ Fמתקיים כי α O = O .6אם α v = Oכאשר α ∈ Fו v ∈ Vאז α = 0או v = O 2 1.1.3 דוגמאות מרכזיות של מ“וֹ הנה רשימה מאוד חלקית של מ“וֹ חשובים שנעבוד איתם בקורס: Rn .1 Cn .2 .3מרחב במטריצות מגודל Mn×m (R) : n × m .4מרחב הפולינומים במשתנה P[x] :x .5מרחב הפונקציות הממשיות 1.1.4 תתי מרחבים וקטורים יהא Vמרחב וקטורי יחד עם הפעולות ⊕,ותהא U ⊆ Vתת קבוצה .אז Uהוא תת מרחב וקטורי של Vאם Uיחד עם הפעולות ) ⊕,המגיעות מ ( Vהוא בעצמו מרחב וקטורי. משפט :באותם סימונים מהשורה הקודמת ,בכדי להראות ש Uהוא תת-מרחב של V מספיק לבדוק את שלושת התנאים הבאים: .1הקבוצה Uאינה ריקה ) .או באופן שקול O ∈ U :כאשר Oהוא איבר האפס של .V .2סגירות לחיבור ב :Uלכל שני וקטורים v, u ∈ Uמתקיים כי v ⊕ u ∈ U .3סגירות לכפל בסקלר ב :Uלכל וקטור u ∈ Uוסקלר α ∈ Fמתקיים כי .α u ∈ U 1.1.5 דוגמאות לתתי מרחבים וקטורים .1קבוצת הפתרונות של מערכת לינארית הומוגית ב Rn .2אוסף כל המטריצות הסימטריות מגודל n × nהוא תת מרחב של )Mn×n (R .3אסוף כל הפולינומים ממעלה קטנה שווה ל nהוא תת מרחב של מרחב הפולינומים ממעלה כלשהי .את המרחב הזה נסמן בדכ ב P≤n 3 2תרגילים 2.1 מרחבים וקטורים 2.1.1 המרחב הוקטורי R3 בתרגיל זה נבדוק כי התנאים של מרחב וקטורי מתקיימים עבור R3ועבור וקטורים ספציפיים במרחב. 3 3 3 יהא Rיחד עם הפעולות הרגילות של חיבור וקטורים ב Rוכפל וקטור בסקלר ב .R יהיו: 1 2 0 v= 2 , u= 1 , w = 1 , α = 2, β=5 3 4 1 .1מיצאו את האיבר הניטראלי .O ∈ R3 .2מיצאו את האיבר הנגדי −vוהראו במפורש כי .v ⊕ O = v .3הראו את תכונת הסגירות לחיבור על הוקטורים .v, u .4בידקו את תכונת הקומוטטיביות של החיבור על הוקטורים .v, u .5בידקו את תכונת האסוציאטיביות של החיבור על הוקטורים .v, u, w .6בידקו את תכונת הסגירות לכפל בסקלר על הסקלר αוהוקטור .v .7בידקו את תכונות האסוציאטיביות 1, 2ו 3של פעולת הכפל והוקטורים והסקלרים כפי שרשומים למעלה. 2.1.2 מרחב הפולינומים ]P[x את שאלה זו עדיף שתפתרו בסוף דף התרגילים כשאלה אקסטרה. יהא ] P[xמרחב הפולינומים במשתנה xיחד עם הפעולות הרגילות של חיבור פולינומים וכפל פולינום בסקלר .יהיו: p(x) = x2 + 1 q(x) = 3x3 + 2x2 + x + 5 r(x) = 3x3 − 2x2 − x + 7 α = 3β = 6 חיזרו על השאלה הקודמת עבור הפולינומים הנ“ל. 4 2.2 תכונות מרחבים וקטורים בתרגיל זה תוכיחו חלק מתכונות המרחבים הוקטורים המופיעים בסעיף 2.1.1 2.2.1יהא Vמרחב וקטורי כלשהו יחד עם הפעולות .⊕, .1הוכיחו כי לכל v ∈ Vהאיבר הנגדי −v ∈ Vהוא יחיד. .2לכל α ∈ Fמתקיים כי α O = O .3אם α v = Oכאשר α ∈ Fו v ∈ Vאז α = 0או v = O 2.3 תתי מרחבים וקטורים 2.3.1 חקירת ההגדרה :הסבירו למה עבור תת מרחב Uשל מרחב וקטורי )Vכלומר ⊆ U Vתת מרחב( מספיק לבדוק את שלושת התכונות הכתובות במשפט בסעיף 1.1.4ואין צורך לבדוק את כל התכונות של מרחב וקטורי. 2.3.2 מטריצות משולשות עליונות מסדר .3 × 3בידקו שאוסף כל המטריצות המשולשות עליונות מגודל 3 × 3הוא תת מרחב וקטורי של אוסף כל המטריצות מגודל .3 × 3 2.3.3תתי מרחבים של :R2נתבונן במרחב הוקטורי R2ובקבוצת הפתרונות של המערכת הלינארית 3x − 2y = 0 )שימו לב שבתרגיל כיתה הקודם חקרתם הרבה את הקבוצה הזו (.הראו כי קבוצת הפתרונות הנ“ל היא תת-מרחב וקטורי של המרחב .R2האם תוכלו לרשום בדרך זו תת-מרחב נוסף של R2 5
