UNIVERSIDAD CENTRAL DE VENEZUELA
FACULTAD DE INGENIERÍA
ESCUELA DE INGENIERÍA MECÁNICA
Departamento de Tecnología de Producción
Producción I
Prueba N°2
Prof. Rafael Porras
Br. Chompré, Francisco; C.I.: 27653633
Caracas, Diciembre de 2023
Pregunta 1
VARIABLE ALEATORIA CONTINUA

VARIABLE ALEATORIA CONTINUA
Una función de distribución acumulativa F(y) de una variable aleatoria
continua
y es una s curva, monótona creciente positiva continua,
definida en R

que toma valores en [ 0,1] definida así
FUNCIÓN DE DENSIDAD DE VARIABLE ALEATORIA CONTINÚA
Se puede definir una función de densidad f (y) como
Siendo f (y) > 0
1
Por ejemplo:
Si los ingresos brutos esperados a precio de venta unitario constante de
un determinado producto crecen linealmente según la producción prevista
entre el mínimo y el máximo de la capacidad operativa del sistema de
producción, entonces el modelo teórico que representa las ventas brutas
estimadas es
I=c*y
Donde:
c = precio unitario de un producto; y = cantidad de productos según
producción programada
Caso donde se utiliza f(z), z:
Tal que
para que un modelo lineal definido por:
𝐼
Donde:

C puede significar la velocidad de cambio en las ventas

z es una variable aleatoria continua 0< z < 1, que representa el
porcentaje de la capacidad de almacenaje disponible activa para
vender y según lo programado.

I puede representar la frecuencia de los cambios en las ventas de
productos observado el comportamiento del sistema de producción
durante un determinado periodo.
EJERCICIO 1
Con base en la información anterior y bajo las condiciones siguientes
*
C= precio unitario del producto es 750 Bs/ lt.
2
*
mínima capacidad de producción: 600.000 lts/ mes
*
Máxima capacidad de producción: 1.800.000 lts/ mes
*
Mensualmente se distribuye, entrega y se vende todo lo
que se produce.
a.- ¿Cómo pueden variar las ventas I en función de f (z)?
b.- Graficar F (z) y f (z) e interpretar dichas curvas para los intervalos
z: [ 0, 0.10 ] ; [ 0.10, 0.50] ; [ 0.50, 0.90] ; [ 0.90, 1.00]
1. Si
representa la medida de la probabilidad de
una opción operacional del sistema de producción que funcione y
produzca con una capacidad instalada y activa de respuesta
operacional disponible baja. Se puede tener (por ejemplo en el
caso de una red de distribución de un fluido líquido) que la entrega
se realice mediante una operación que responde a una capacidad
instalada operacional de respuesta baja (0.10); así la forma en que
podrían cambiar los ingresos es lenta debido a la probabilidad
P(0.10) manteniendo el precio de las entregas constantes. Con
base en lo anterior presentado y sabiendo que el precio unitario del
producto (C) es 750Bs/lt, la mínima capacidad de producción es
600000lt/mes,
la
máxima
capacidad
de
producción
es
1800000lt/mes y que mensualmente se distribuye, entrega y se
vende todo lo que se produce.
a. ¿Cómo pueden varias las ventas I en función de f(z)?
Considerando que mensualmente se distribuye y vende toda la
producción, se pueden modelar los ingresos brutos I como un modelo
lineal entre las capacidades mínimas y máximas de producción, es decir,
el modelo de ingresos bruto I por depender únicamente de las cantidades
de productos (dado que toda la producción se logra distribuir y vender),
se dice que es un modelo lineal en función de la densidad de capacidad de
producción f(z); así pues el ingreso bruto oscila entre 450M Bs/mes y
1350M Bs/mes. La expresión matemática del presente modelo se muestra
a continuación.
3
Tras aplicar la definición de los Modelos Probabilísticos de Variable
Continua y resolver la integral para el intervalo de interés [0, 1]
se obtiene:
b. Graficar F(z) y f(z) e interpretar dichas curvas para lo
intervalos de z [0, 0.10], [0.10, 0.50], [0.50, 0.90] y [0.90,
1.00]
Partiendo del comportamiento lineal predecible por el modelo
indicado en el apartado a), la mayor densidad (mayor capacidad de
producción), así como el mayor ingreso bruto se obtiene al alcanzar la
mayor capacidad de producción, pues esta, por el esquema productivo es
igual a la cantidad de producto. Justo este caso de estudio es el opuesto
al adjuntado en el texto explicativo del ejercicio actual, pues se estaría
hablando de un alto valor de z, lo cual se traduce a una capacidad
operativa instalada alta dado que la posibilidad de ocurrencia se estaría
asociando al alcance de los máximos ingresos, es decir, entre P(0.90) y
P(1.00) (una alta respuesta operacional para el presente modelo); lo cual
también indica que la forma en que pueden cambiar los ingresos es
drástica.
Del mismo modo se puede hacer el estudio del caso de probabilidad
de baja respuesta operacional usando los valores mínimos de z (entre 0 y
0.10). El resto de valores, dado la linealidad del modelo, no son más que
una recta de valores intermedios no significativos a efectos de la
interpretación de la capacidad de producción y distribución en el tiempo.
4
5
Pregunta 2:
PROBABILIDAD DE UN EVENTO SIMPLE O COMPUESTO
Donde:

consta de la proporción de veces que un evento ocurre en
una serie de ensayos muy larga n > N.

E Evento simple.
Puede existir el problema de repetir experimentos, por ejemplo repetir
una inversión basada en la probabilidad de lograr un determinado VPN
(Valor Presente Neto), con el fin de lograr comparaciones correctas entre
flujos de efectivo en diferentes periodos a lo largo del tiempo.
c.- ¿Que probabilidad hay de que una lámina de acero de la
muestra sea tipo Rolado en caliente de alta resistencia?
Sería una probabilidad del 0%, ya que el Rolado en Caliente con
alta resistencia tiene una participación de 0% en la muestra tomada.
6
d.- ¿Qué probabilidad hay de que una lámina de acero sea del tipo
rolado en frio?
El porcentaje total de probabilidad de una lámina rolada en frio
seria de:
Siendo que un 27% es rolado en frio con resistencia normal sin
chapa, un 12% es rolado en frio con alta resistencia sin chapa, un 30% es
rolado en frio con resistencia normal chapeada y por último un 15% es
rolado en frio con alta resistencia chapeada.
e.- ¿Que probabilidad hay de que una lámina de acero no este
chapeada?
El porcentaje total de probabilidad de una lámina rolada en frio
seria de:
27+12+8+5=52%
Siendo que un 27% es rolado en frio con resistencia normal sin
chapa, 12% es rolado en frio con alta resistencia sin chapa, 8% es rolado
en caliente con resistencia normal sin chapa y 5% es rolado en caliente
con alta resistencia sin chapa.
Pregunta 3
CARACTERÍSTICAS DE UNA VARIABLE ALEATORIA DE POISSON
1. Suponga que el número de personas atendidas por puntos de
ventas con cierto tipo de sistema de cobranzas tiene una
distribución de Poisson aproximada. Además, suponga que el
número medio de personas atendidas por puntos de ventas es 8.5.
¿Cuál es la probabilidad de que un punto de venta escogido al azar
tenga exactamente más de 8 personas atendidas?
7
Partiendo de la siguiente fórmula obtenemos la probabilidad de un
evento en un escenario que sigue el comportamiento de una distribución
de Poisson:
(
●
)
y=variable que define al evento que ocurre en el
instante, o que interesa evaluar (cantidad de personas
atendidas en un punto de venta).
●
λ=valor medio o esperado del evento (λ=μ en distribuciones
de Poisson) (8.5 en este caso).
●
y!= totalidad de eventos posibles.
La probabilidad de que un punto de venta tenga más de 8
personas atendidas se define matemáticamente usando la propiedad:
Resulta conveniente este procedimiento puesto que una cantidad
mayor a 8 personas implica abarcar un rango de posibilidades muy
amplio (de 9 hasta infinito en teoría), mientras que una cantidad de
personas menor a 8 resulta ser un rango finito que presenta la facilidad
de calcular la probabilidad para cada una de las cantidades que lo
conforman.
Siendo que si y tiene una distribución de probabilidades de Poisson
entonces
8
Cálculo de ejemplo para la probabilidad de 1 persona:
Número de personas
atendidas (y)
P(y)
1
0.001
7
2
0.007
4
3
0.020
8
4
0.044
3
5
0.075
2
6
0.106
6
7
0.129
4
8
0.137
5
Total
0.522
9
P(y)
%
0.17
29
0.73
50
2.08
26
4.42
55
7.52
33
10.6
58
1
12.9
41
9
13.7
50
8
52.2
90
2
Finalmente a probabilidad de que un punto de venta escogido al
azar tenga exactamente más de 8 personas atendidas es del 47.71%
9
2. Dos de cinco ingenieros mecánicos empleados por el departamento
de seguridad industrial tienen experiencias en el diseño de plantas
de energía eléctrica. Se le pide escoger al azar dos para trabajar en
diseño de una nueva planta de energía eléctrica. Que probabilidad
hay de usted escoja al menos a uno de los ingenieros con
experiencia?
Para el cálculo de la probabilidad, de definen los posibles escenarios
(sabiendo que son 2 la cantidad de sujetos escogidos):
Los dos ingenieros escogidos tienen experiencia:
Hay un ingeniero con experiencia y otro sin ella:

El ingeniero con experiencia es el primero escogido:
(1

) = 0. 4 * 0. 75 = 0. 3 = 30%
El ingeniero con experiencia es el segundo escogido:
10
(
)
(1
) = 0. 6 * 0. 5 = 0. 3 = 30%
Las probabilidades restantes (30%) se deben al caso donde
ninguno de los ingenieros seleccionados resultó ser experimentado en
el área. Se llega a concluir entonces que la probabilidad de que se
seleccione al menos 1 ingeniero con experiencia proviene de la suma
de todos los escenarios donde se cumple este requerimiento, es decir:
Pregunta 4
DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD NORMAL
La función de densidad f (y) para la distribución de fricción triangular
entre dos hojas de papel en una pila de alimentación de una
fotocopiadora viene dada por
f(y)= ((c- μ) + y) / c
y) / c
2
si (μ – c) < y < μ , c > 0 ; f(y)= ((c+ μ) +
2
si μ < y < μ + c , c > 0 ; f(y)= 0 en cualquier otro punto
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h. Grafique el modelo del coeficiente de fricción, calcule
media y la varianza de la fricción triangular.
, la
Para construir el modelo del coeficiente de fricción, se sustituye el
valor por σ para que la función densidad dependa de la media, varianza
y la desviación estándar σ.
∫
∫
∫
(
)
Como se mencionó anteriormente, c será la desviación estándar σ y
² la varianza σ².
A continuación, se presenta la función de distribución acumulativa ( ).
Se puede apreciar que su pico corresponde al valor más probable de
ocurrencia (moda), mientras que su extremo izquierdo corresponde al valor
mínimo y el derecho al valor máximo; ambos igual de probables puesto que se
evidencia que se trata de una distribución simétrica, teniendo los eventos a
cada lado de la moda con la misma probabilidad de ocurrencia que su
contraparte.
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i.- Si el coeficiente de fricción tiene una distribución normal con
¿Cuál es la probabilidad de que el coeficiente este
por debajo de 0.50 y en este caso que se puede esperar al poner a
funcionar la fotocopiadora?
Para esto, debe redefinirse y (variable aleatoria normal continua)
como una variable aleatoria normal estándar (z), la cual cuenta con una
media
y una desviación estándar
(
)
Por propiedades:
Ahora, se deben utilizar tablas definidas para las probabilidades de
variables aleatorias normales estándar. Con ella, se define:
Una vez obtenida la probabilidad, se define entonces que desde
una perspectiva de distribución al poner en marcha la fotocopiadora, las
hojas tendrán alta fricción entre sí, siendo prácticamente nula la
probabilidad de que las mismas estén sueltas, por tanto, siendo
prácticamente inevitable que ocurra un atascamiento en la máquina.
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