Формулы расчета объема выборки
Метод отбора
выборки
Объем выборки или число серий для определения
выборочной доли
Механический
и собственно–
случайный
повторный
Механический
и собственно–
случайный
бесповторный
Серийный при
бесповторном
отборе серий
Типический
при
повторном
случайном
отборе внутри
групп
Типический
при
бесповторном
случайном
отборе внутри
групп
nw =
выборочной средней
τ 2 w (1 − w )
nx =
∆2w
τ 2σ w2 N
nw = 2
∆ w N + τ 2σ w2
rw =
2
∆ ( R − 1) + τ δ
nw =
τ 2 σ 2w
2
w
∆
τ 2 σ 2w N
nw = 2
∆ w N + τ 2 σ 2w
∆2x
τ 2σ x2 N
nx = 2
∆ x N + τ 2σ 2x
τ 2δ 2w R
2
w
τ 2σ x2
2
w
rx =
τ 2δ 2x R
∆2x ( R − 1) + τ 2δ 2x
nx =
τ 2 σ 2x
∆2x
τ 2 σ 2x N
nx = 2
∆ x N + τ 2 σ 2x
где nw, nx – объемы выборок соответственно для определения ошибок
выборочной доли и выборочной средней;
rw , rx
– число отобранных серий соответственно для определения
ошибок выборочной доли и выборочной средней;
∆w ,∆x
– предельные ошибки соответственно выборочной доли и
выборочной средней.
9
Задача 1. В районе А проживает 2000 семей. Предполагается определить
средний размер семьи в районе по выборке, взятой методом механического
(или собственно-случайного) бесповторного отбора. При этом с вероятностью
0,997 ошибка среднего размера семьи в выборке (выборочной средней) не
должна превышать 0,8 человека при среднем квадратическом отклонении в
размере семьи 2 человека.
Определить необходимую численность выборки для определения
среднего размера семьи в районе.
Решение.
Необходимая численность выборки (см.табл.1.3) при вероятности 0,997
(гарантийный коэффициент τ = 3 ) определяется следующим образом:
τ 2σ x2 N
32 ⋅ 2 2 ⋅ 2000
~
nx = 2
2 2 =
2
2
2 = 54 ,7 = 55
∆ x N + τ σ x 0,8 ⋅ 2000 + 3 ⋅ 2
семей.
Проверка. Средняя ошибка среднего размера семьи составляет
µx =
σ x2
22
55
n
(1 − ) =
(1 −
) = 0,266 чел.
55
2000
n
N
Предельная ошибка выборочной средней при вероятности 0,997 ( τ = 3 )
∆ x = µx τ = 0,266 ⋅ 3 = 0,798 чел. не превышает заданной ошибки 0,8 чел.
Задача 2. В городе А имеется 10 тыс.семей. С использованием метода
выборочных наблюдений предполагается определить долю семей с числом
детей три и более.
Определить численность выборки, чтобы при механическом (или
собственно-случайном) отборе с вероятностью 0,954 ошибка выборки (доли
семей с числом детей три и более) не превышала 0,02, если на основе
предыдущих обследований известно, что дисперсия равна 0,2.
Решение.
Необходимая численность выборки для определения доли семей с числом
детей три и более (см.табл.1.3) при вероятности 0,954 (гарантийный
коэффициент τ = 2 ) определяется
для бесповторного отбора
τ 2 w(1 − w) N
2 2 ⋅ 0,2 ⋅ 10000
~ 1667
nw = 2
=
=
2
2
2
семей;
∆ w N + τ w(1 − w) 0,02 ⋅ 10000 + 2 ⋅ 0,2
для повторного отбора
nw =
τ 2 w(1 − w)
∆2w
2 2 ⋅ 0,2
=
= 2000 семей.
0,02 2
9
Задача 3. В механическом цехе предприятия имеется 10 бригад по 20 рабочих
в каждой бригаде. Для установления квалификации (среднего разряда)
рабочих цеха используется метод серийного бесповторного отбора.
Определить необходимое количество бригад, чтобы с вероятностью
0,997 ошибка выборки (средний разряд рабочего в цехе) не превышала одного
разряда. На основе предыдущих исследований известно, что межсерийная
дисперсия равна 0,9.
Решение.
С вероятностью 0,997 (гарантийный коэффициент τ = 3 ) численность
выборочной совокупности (число отобранных бригад) определяется
следующим образом (см.табл1.3):
τ 2δ x2 R
2 2
2
τ
δ
R
3
⋅ 0,9 ⋅ 10
x
~5
~
rx = 2
=
=
= 4,48 =
2 2
2
2 2
2
бр.
∆ x ( R − 1) + τ δ x
∆ x R + τ δ x 1 ⋅ 10 + 3 ⋅ 0,9
Задача 3. В трех населенных пунктах 10 тыс. семей. В первом − 5 тыс.; во
втором − 1 тыс.; в третьем − 4 тыс. семей. Для определения среднего размера
семьи в трех населенных пунктах проектируется типическая выборка со
случайным бесповторным отбором внутри типических групп.
Определить объем выборки (количество семей), чтобы с вероятностью
0,987 ошибка выборки при определении среднего размера семьи не
превышала 0,5 человека, если на основе предыдущих обследований известно,
что дисперсия равна 9.
Решение.
Численность типической выборки (при вероятности 0,987 гарантийный
коэффициент τ = 2,5 )
τ 2 σ x2 N
2,52 ⋅ 9 ⋅ 10000
nx = 2
=
= 220 семьи.
2
2
2 2
0
,
5
10000
2
,
5
9
⋅
+
⋅
∆x N + τ σx