ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL
Llamado también canónico o estándar, es aquel
ángulo trigonométrico cuyo vértice coincide con
el origen del sistema de coordenadas rectangulares
y su lado inicial coincide con el semieje positivo de
abscisas (Eje X).
y
a
O
x
Definimos
Sena =
Ordenada =
Radio vector
y0
r
Cosa =
Abscisa =
Radio vector
x0
r
Tana =
Ordenada =
Abscisa
y0
x0
Csca = Radio vector =
Ordenada
r
y0
Radio vector =
Abscisa
r
x0
Seca =
Abscisa =
Ordenada
Cota =
x0
y0
a: Ángulo en posición normal positivo del IIC
y
Nota:
Llamamos ángulos coterminales a aquellos
ángulos en posición normal que tienen el mismo
lado final.
O
x
q
Propiedades:
i) a - q = 360ºk; k ∈ Ζ
ii) RT(a) = RT(q)
q: Ángulo en posición normal negativo del IIIC
y
Razones trigonométricas de un ángulo en
posición normal
y
Xo : Abscisa del punto
Yo : Ordenada del punto
r: Radio vector
Y0
Por Pitágoras:
a
q
r
r2 = Xo2 + Yo2
r>0
x
P(Xo;Yo)
O
a
x0
X
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Las razones trigonométricas que no se encuentren mencionadas en los cuadrantes se consideran negativas.

Ejemplo : Determine el signo de E =
Cos 200ºSen 300º
Csc 100º
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
1. Si “” es un ángulo en posición normal cuyo lado
final
pasa
por
(-2,
-3).
Determinar
:
13 Sen  + 6 Tg 
a) -1
b) 1
d) 4
e) 6
5 Csc  - Tg 
4. Calcular : A =
c) 2
Y
a)
3
b)
4
c)
5
d)
6
e)
7
(-2,1)
X

2. Si el punto Q(5, -12) pertenece al lado final del
ángulo en posición normal “”. Calcular :
5. Si : Ctg  = -2. Calcular “m”
E = Sec  + Tg 
a) 0,5
b) -0,5
d) -0,2
e) 1
c) 0,2
3. Del gráfico, determine : E = Tg  + Tg 
Y
a)
-5
b)
-4
c)
-3
d)
-2
e)
3
Y
(m-5,m-2)

X
6. Del gráfico. Hallar “x”
5
-3
-4

X
a)
-5
b)
-7
c)
-9
d)
-4
e)
-6

b) -0,25
d) 0,5
e) 8,25
c) 0,25
a)
0,6
b)
-0,6
c)
0,8
d)
-0,8
e)
-0,3
Y
X
(k+3,-2)
(k+1,-3)
7. Del gráfico, hallar Cos 
-3
a) -0,5

(x,8)
Y
10

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8. De la figura, hallar : 5 Sen  + 13 Cos 
Y
a)
1
b)
-1
c)
7
d)
-7
e)
D = Tg 100º . Cos 180º + Sec 300º . Csc 200º
Si   IIC ;   IVC

E = Tg  . Cos  - Csc  Tg  Cos 

X
(12,-5)
(-3,-4)
8
12. Determine el signo de D, E
9. Determine a que cuadrante pertenece “”, si :
Sen  > 0  Tg  > 0
a) (+)(+)
b) (+)(-)
d) (-)(-)
e) 0
13. Si : Sen  = -
3
5
c) (-)(+)
,   IVC. Calcular :
E = Sec  - Tg 
a) I
b) II
c) III
d) IV
e) Ninguno
a) 1
b) 2
d) -1/2
e) 1/2
c) -2
10. Determine a que cuadrante pertenece “”, si
14. Si : Sec x =
Sec  > 0  Csc  < 0
a) I
b) II
c) III
d) IV
e) Ninguno
11. Determine el signo de A, B, C si :
Sec 250º . Tg 350º . Sen 150º
A=
B=
C=
E = Tg x +
5 , además : Sen x < 0. Calcular :
5 . Cos x
a) 0
b) 1
d) -2
e) -1
15. Si : (Tg )(Tg )
Cos 100º
E=
Sen 220º  Cos 320º
2
c) 2
= 2, además   IIIC. Calcular
6 Sen  +
2 Ctg 
Sec 120º
Tg 110 º  Sec 210º
Sen 310º
a) (-)(-)(+)
b) (-)(+)(+)
d) (+)(+)(-)
e) (-)(-)(-)
a) 0
b) 1
d) 2
e) -2
c) -2
c) (+)(-)(+)
TAREA DOMICILIARIA Nº 2
1. Si “” esta en posición canónica y su lado final pasa
por (-2, -1). Determine: D =
a) -1
b) -2
d) 2
e) 3
3. Del gráfico, hallar : E = Sen  - 2 Ctg  + Cos 
5 Sen  - Ctg 
c) -3
2. Si “” es un ángulo en posición normal cuyo lado
final esta en el punto (-3, 1). Calcular :
D = Sec2  - Tg 
Y
a)
0,1
b)
2,9
c)
1,7
d)
1,5
e)
1,8
4
X
-3

4. Del gráfico, calcular : D = Tg  . Ctg  + 5/7
a) 13/9
b) 11/9
d) 11/3
e) 7/9
c) 13/3
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Y
a) IC
b) IIC
c) IIIC
d) IVC
e) I y II
7
10. Determine el cuadrante donde cae “”, si se
cumple : Cos 

X
-5

 Tg  < 0
a) I
b) II
d) II y IV
e) IV
c) III
11. Si :   IIC
  IIIC
(-5,-12)
a) 0
b) 1
d) 2
e) -2
5
5. Si : Tg  =
Sen  = 0,6

Indicar el signo de las proposiciones
c) -1
Cos  < 0. además :
I.
Sen  . Cos 
II.
Tg  . Ctg 
III. Sec  . Csc 
Cos  < 0. Calcular :

D = Cos  + Csc2 
a) 1/4
b) 1/5
d) 1
e) 2/5
a) (+)(+)(+)
b) (-)(-)(-)
d) (-)(-)(+)
e) (+)(-)(+)
c) (+)(+)(-)
c) 2
12. Si :   IIIC
  IVC
6. Si los puntos A(a,
a-4) y B(5-a, a-1)
pertenecen al lado final del ángulo en posición
normal “”. Hallar el valor de Ctg 
a) 0
b) 1
d) 2
e) -2
c) -1
13
b)
15
c)
-13
d)
16
e)
-15
b)
5
c)
8
d)
9
e)
4
b) (+)(-)(+)
d) (-)(+)(-)
e) (-)(-)(-)

Tg   Sen2
Cos 3
c) (-)(-)(+)
  IIC. Calcular :
35 Ctg  + Cos 
(x+1,2x)
17

X
Y
7
a) (+)(+)(+)
E=
Y
8. Del gráfico, calcular : E = 25 Sen  + Tg 
a)
A = Sec  + Tg  . Sen  ; B =
13. Si : Sec  = -6
7. De la figura, calcular : E = 13 Tg 
a)
Calcular el signo de A, B
(24a,7a)
a) -7
b) -5/6
d) 7/6
e) -7/6
c) 5/6
14. Si se sabe que : 72Csc x + 3 = 1 Tg x < 0. Calcular
A = Sec x + Tg x
a)
d) -
5
b) 2
5 /5
e)
5
c) -
5
5 /5


X
(-2a,-4a)
9. Determine a que cuadrante pertenece “”, si
Ctg  < 0  Csc  < 0
15. Si : 2Tg

= 8, además :   IIIC. Calcular :
D = 10 Sen  . Cos 
a) 1
b) 2
d) 4
e) 5
c) 3