ANÁLISIS
MATEMÁTICO III
(PARA ESTUDIANTES DE CIENCIAS E INGENIERÍA)
(TERCERA EDICION AMPLIADA)
♦ SUPERFICIES
♦ FUNCIONES VECTORIALES DE VARIABLE REAL
♦ FUNCIONES REALES DE VARIABLE VECTORIAL
♦ FUNCIONES VECTORIAL DE VARIABLE VECTORIAL
♦ INTEGRALES DOBLES
♦ INTEGRALES TRIPLES
♦ INTEGRALES CURVILINEAS
♦ INTEGRALES DE SUPERFICIES
♦ TEOREMA DE LA DIVERGENCIA
♦ TEOREMA DE STOKES
EDUARDO ESPINOZA RAMOS
IMPRESO EN EL PERÚ
39 EDICIÓN
01
-
10-2000
DERECHOS RESERVADOS
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I
^Este libro no puede reproducirse total ó parcialm ente por ningún método gráfico,^
*
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\ electrónico o m ecánico, incluyendo los sistemas de fotocopia, registros m agnéticosf
J o de alim entación de datos, sin expreso consentimiento del autor y Editor.
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Ns 19369978
\ Ley de Derechos del Autor
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\ Registro com ercial
\ Escritura Publica
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N9 13714
N9 10716
N9 4484
\
I
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tv.
PROLOGO
En la presente obra intitulada “Análisis Matemático III para Estudiantes de Ciencia e
Ingeniería” en su 3era. Edición ampliada y revisada; se expresa en forma teórica y práctica los
conceptos de superficies, las fiinciones vectoriales de variable real, las fiinciones reales de variable
vectorial, las funciones vectoriales de variable vectorial y sus respectivas aplicaciones, asi como las
integrales dobles, triples, curvilíneas en donde se ha incluido el concepto de circulación de campos
vectoriales y su cálculo, las integrales de superficies y los teoremas de la divergencia y de Stokes;
además variedad de ejercicios y problemas propuestas las diversas universidades.
La experiencia en la Docencia universitaria por lo señalado con la forma de expresar, resolver
y ordenar los problemas resueltos y propuestos, se ha puesto especial cuidado en los gráficos, pues
pensamos que un “buen dibujo” por señalar en forma natural, es el camino a seguir en la búsqueda de
la solución a un problema .
* La parte teórica se desarrolla de manera metódica y en especial cuidado, tratando de no
perder el rigor matemático pero tratando de no caer en el excesivo formalismo que confunde al lector.
La lectura provechosa del presente trabajo requiere del conocimiento previo del cálculo
diferencial e integral, así como su geometría analítica.
La presente obra es recomendable para todo estudiantes de ciencias matemáticas, físicas,
ingeniería, economía y para toda persona interesada en fundamentar sólidamente sus conocimientos
matemáticos del análisis real. Por último deseo agradecer y expresar mi aprecio a las siguientes
personas por sus valiosos sugerencias y criticas.
Doctor Pedro Contreras Chamorro
Ex-Director de la Escuela Profesional de Matemática Pura de la Universidad Nacional Mayor de San
Marcos.
Miembro Fundador de la Academia Nacional de Ciencias y Tecnología del Perú
Catedrático de la Universidad Ricardo Palma.
Lic. Sergio Leyva Haro
Catedrático de la Universidad Nacional del Callao.
Coordinador del Centro de Cómputo de la Facultad de Ingeniería Química de la UNAC.
Miembro del Tribunal de Honor de la UNAC.
Mg. Roei Vidal Guzmán
Catedrático de la Universidad Nacional del Callao.
Ex-Jefe de Departamento de Física y Matemática de la Universidad Nacional del Callao.
Ex-Director de la Escuela de Pos-grado de la Facultad.
Lic. Antonio Calderón Leandro
Catedrático de la Universidad Nacional del Callao.
Ex-Jefe de departamento académico de Matemática de la facultad de Ingeniería Pesquera.
Jefe de Departamento de Física y Matemática de la UNAC.
Coordinador del Area de Ciencias Matemáticas de la Facultad de Ingeniería de la Universidad Ricardo
Palma.
Mg. Euclides Moreno Jara
Catedrático Principal de la Universidad Nacional Mayor de San Marcos.
Catedrático de la Universidad Ricardo Palma.
Lic. Palermo Soto Soto
Catedrático de la Universidad Nacional Mayor de San Marcos.
Catedrático de la Universidad Ricardo Palma.
Lic. Juan Bernuy Barros
Catedrático de la Universidad Nacional Mayor de San Marcos.
Catedrático de la Universidad Nacional del Callao.
Eduardo Espinoza Ramos
PRESENTACION
Una vez más, Eduardo Espinoza Ramos nos muestra sus avances intelectuales y, sus siempre presentes
preocupaciones por dar lo mejor de sí a la juventud estudiosa universitaria. Una vez más, Eduardo me
muestra que ha escuchado mis pocas y sencillas recomendaciones en el contenido, forma y
presentación de los resultados matemáticos. El resultado de sus siempre renovados esfuerzos es: un
texto claro, preciso y bien presentado. Felicitaciones Eduardo.
Dr. Pedro C. Contreras Ch.
DEDICATORIA
Este libro lo dedico a mis hijos.
RONALD, KEVIN, JORGE y DIANA
Que Dios ilumine sus caminos para que puedan ser Guias de sus Prójimo
CAPÍTULO!
1
.
SUPERFICIES CUÁDRICAS
1
1. 1
Introducción.
2
1.2
Definición.
2
1.3
Superficies Cuádricas.
3
1.4
Discusión de la Gráfica de la Ecuación de una Superficie.
4
1.5
Estudio de las Principales Superficies Cuádricas.
7
1.6
Superficies Cilindricas.
T
1.7
Determinación de la Ecuación de una Superficie Cilindrica
2
1.8
Superficie Cónica.
2
1.9
Determinación de la Ecuación de la superficie Cónica.
2
1.10
Superficies de Revolución.
2
1.11
Traslación de Ejes.
3>
1.12
Rotación de Ejes en uno de los Planos Coordenados.
3
1.13
Ejercicios Desarrollados
3'
1.14
Ejercicios Propuestos.
5;
-
CAPÍTULO II
2.
FUNCIONES VECTORIALES DE VARIABLE REAL
74
2.1
Introducción.
75
2.2
Definición.
75
2.3
Definición.
75
2.4
Operaciones Algebraicas con Funciones Vectoriales.
80
2.5
Ejercicios Desarrollados.
82
2.6
Ejercicios Propuestos.
90
2.7
Límite de una Función Vectorial de Variable Real.
94
2.7.1
Definición.
94
2.7.2
Teorema.
95
2.8
Propiedades de Límites de Funciones Vectoriales.
98
2.9
Teorema.
99
2.10
Continuidad de una Función Vectorial de Variable Real.
100
2.11
Teorema.
100
2.12
Teorema.
102
2.13
Propiedades de la Continuidad.
102
2.14
Derivada de una Función Vectorial de Variable Real
103
2.15
Interpretación Geométrica de la Derivada.
104
2.16
Propiedades de la Dilérenciacion.
107
2.17
Definición.
107
2.18
Teorema.
107
2.19
Teorema.
109
2.20
Ejercicios Desarrollados.
110
2.21
Ejercicios Propuestos.
134
2.22
Integral Indefinida.
147
2.23
Propiedades de la Integral Indefinida
148
2.24
Integral Definida.
149
2.25
Teorema.
149
2.26
Teorema.
150
2.27
Propiedades de la Integral Definida.
151
2.28
Curvas.
152
2.29
Ecuaciones Paramétricas de una Curva en el Plano.
156
2.30
Obtención de la Ecuación Cartesiana de una Curva a partir de su
Representación Paramétrica.
160
2.31
Clases de Curvas.
161
2.32
Rcparamelrización de una Curva Regular.
163
2.33
Longitud de Arco.
164
2.34
Lema.
165
2.35
Teorema.
165
2.36
Vectores Unitarios: Tangente, Normal, Principal y Binormal.
168
2.37
Vector Curvatura y Curvatura.
171
2.38
Planos: Osculador, Normal y Rcctillcante.
175
2.39
Otra forma de expresar las Ecuaciones de los Planos:
Osculador, Normal y Rectificante.
177
2.40
Curvatura.
. 179
2.41
Definición.
180
2.42
Otra forma de la Curvatura.
81
2.43
Teorema.
81
2.44
Teorema.
182
2.45
Definición-
184
2.46
Torsión.
186
2.47
Fórmula de Frenet - Serret.
188
2.48
Componente Normal y Tangencial de la Aceleración.
188
2.49
Ejercicios Desarrollados.
190
2.50
Ejercicios Propuestos.
245
ICA PITU LO III
3.
FUNCIONES REALES DE VARIABLE VECTORIAL.
277
3.1
Introducción
278
3.2
Definición.
279
3.3
Dominio y Rango de una Función Real de Variable Vectorial.
279
3.4
Operaciones con Funciones de Varias Variables.
281
Hjercicios Desarrollados.
283
Hjercicios Propuestos.
294
Conjuntos Abiertos y Cerrados.
299
Conjunto Abierto en /?".
301
Conjunto Cerrado en /?".
301
Punto de Acumulación de un Conjunto en R " .
302
Límite de una Función de Varias Variables.
302
Interpretación Geométrica del Límite de una función de dos Variables.
303
Propiedades de Limites.
306
Teorema.
307
Teorema.
308
Continuidad de una Función de Varias Variables.
310
Hjercicios Desarrollados.
313
Hjercicios Propuestos.
337
Derivadas Parciales.
347
Definición.
348
Notación para las Primeras Derivadas Parciales.
350
Derivadas Parciales de una Función de Tres o más Variables.
351
Interpretación Geométrica de las Derivadas Parciales de una Función
de dos Variables.
354
Plano Tangente.
356
licuación de la Recta Tangente a la Intersección de Dos Superficies
en un Punto Dado.
358
Derivada Parcial de Orden Superior.
359
Definición.
360
Definición.
361
Teorema (Igualdad de las Derivadas Parciales Cruzadas).
362
Incremento y diferencial de una Función.
363
Funciones Dilcrenciablcs.
364
3.33
Teorema.-(Condición suficiente para la Difercnciabilidad).
364
3.34
Teorema (Diferenciabilidad Implícita).
365
3.35
Diferencial total y Aproximación.
367
3.36
Derivación de la Función Compuesta Teorema. (Regla de la Cadena).
369
3.37
Teorema (Regla de la Cadena).
371
3.38
Teorema (Regla de la Cadena General).
373
3.39
Derivada Implícita.
374
3.40
Teorema.
375
3.41
Teorema de la Función Implícita.
377
3.42
Ejercicios Desarrollados.
378
3.43
Ejercicios Propuestos.
420
3.44
Derivada Direccional y Gradiente de una Función de Varias Variables.
434
3.45
Definición.
437
3.46
Teorema.
438
3.47
Teorema.
439
3.48
Propiedades de la Derivada Direccional.
141
3.49
Gradiente de una Función.
12
3.50
Propiedades del Gradiente.
12
3.51
Forma Alternativa de la Derivada Direccional.
42
3.52
Planos Tangentes y Normales a las Superficies.
18
3.53
Ejercicios Desarrollados.
10
3.54
Ejercicios Propuestos.
>6
3.55
Aplicación de las Derivadas Parciales: Máximosy Mínimos de
Funciones de Varias Variables.
<5
3.56
Teorema.
S6
3.57
Definición.
• 86
3.58
Criterio de la Segunda Derivada.
488
3.59
Matriz Ilessiana de una Función de Varias Variables.
490
3.60
Criterio de la Matriz Hessiana para los Máximosy Mínimos.
493
3.61
Extremos Condicionados.
496
3.62
Métodos de los Multiplicadores de Lagrange.
496
3.63
Ejercicios Desarrollados.
501
3.64
Ejercicios Propuestos.
518
3.65
Funciones Homogéneas y Diferencial Exacta.
528
3.66
Diferencial Exacta.
531
3.67
Ejercicios Propuestos.
535
CAPITULO IV
4.
FUNCIONES VECTORIALES DE VARIAS VARIABLES
539
4.1
Definición.
540
4.2
Limites de una Función Vectorial de Varias Variables.
543
4.3
Teorema.
544
4.4
Propiedades.
544
4.5
Continuidad de un Función Vectorial de Varias Variables.
545
4.6
Teorema.
545
4.7
Derivadas Parciales de Funciones Vectoriales de más
de una Variable.
545
4.8
Regla de la Derivadas Parciales de Funciones Vectoriales.
546
4.9
Teorema.
546
4.10
Definición.
547
4.11
Definición.
548
4.12
Gradiente de una Función Escalar.
549
4.13
El Operador V
549
4.14
Introducción del Operador Diferencial V al Gradiente.
550
4.15
Propiedades del Gradiente.
550
4.16
Divergencia de una Función Vectorial.
551
4.17
Definición.
552
4.18
Rotacional de una Función Vectorial.
554
4.19
Propiedades.
554
4.20
Ejercicios Desarrollados.
555
4.21
Ejercicios Propuestos.
560
CAPITULO V
5.
INTEGRALES DOBLES
567
5.1
Introducción.
567
5.2
La Integral Doble sobre un Rectángulo.
568
5.3
Definición.
569
5.4
Funciones Integrales.
570
5.5
Interpretación Geométrica de la Integral Doble.
572
5.6
Propiedades Fundamentales de la Integral Doble.
572
5.7
Cálculo de Integrales Dobles por Medio de Integrales Iteradas.
.■75
5.8
Cálculo de Áreas y Volúmenes por Integrales Dobles.
80
5.9
Cambio del Orden de Integración.
83
5.10
Ejercicios Desarrollados.
585
5.11
Ejercicios Propuestos.
600
5.12
Integrales Dobles Mediante Coordenadas Polares.
617
5.13
Integrales Iteradas en Coordenadas Polares.
619
5.14
Jacobiano de una Función de n Variables.
623
5.15
Cambio de Variables en las Integrales Dobles.
625
5.16
Aplicaciones de la Integral Doble.
629
5.17
Ejercicios Desarrollados.
633
5.18
Ejercicios Propuestos.
667
5.19
Cálculo de Áreas de una Superficie.
687
5.20
Ejercicios Propuestos.
691
CAPITULO VI
6.
INTEGRALES TRIPLES
«95
6.1
Definición.
696
6.2
Definición.
696
6.3
Definición.
696
6.4
Propiedades de la Integral Triple.
697
6.5
Cálculo de Integrales Triples Mediante IntegralesIteradas.
697
6.6
Volúmenes Mediante Integrales Triples.
704
6.7
Ejercicios Propuestos.
708
6.8
Cambio de Variables para Integrales Tripies.
713
6.9
Coordenadas Cilindricas.
716
6.10
Integrales Triples en Coordenadas Cilindricas.
716
6.11
Coordenadas Esféricas.
720
Integrales Tripies en Coordenadas Esféricas.
721
6.13
Centro de Masa y Momento de Inercia de un Sólido.
724
6.14
Ejercicios Desarrollados.
727
6 .15
Ejercicios Propuestos.
736
6
.12
CAPITULO VII
7.
INTEGRALES CURVILÍNEAS O DELÍNEA
749
7.1
Introducción.
750
7.2
Definición.
751
7.3
Propiedades fundamentales de la Integral Curvih'nea.
751
7.4
Definición.
759
7.5
Independencia de la Trayectoria en Integrales Curvilíneas.
762
7.6
Teorema.
763
7.7
Corolario.
763
7.8
Ejercicios Desarrollados.
770
7.9
Ejercicios Propuestos.
790
7.10
Aplicaciones de la Integral Curvilínea.
806
7.11
Ejercicios Propuestos.
813
7.12
Circulación del Campo Vectorial y su Cálculo
819
7.13
Ejercicios Propuestos
823
7.14
Fórmula de Green.
824
7.15
Teorema de Green.
825
7.16
Cálculo de Áreas mediante la Integral de Linea
831
7.17
Ejercicios Propuestos
834
CAPITULO VIII
8.
INTEGRAL DE SUPERFICIE
841
8. 1
Representación Implícita y Explícita de Superficies.
841
8.2
Representación Paramétrica de una Superficie.
842
8.3
Definición de Superficie Paramétrica.
843
8.4
Hallar Ecuaciones Paramétrícas para las Superficies.
845
8.5
Vectores Normales y Planos Tangentes.
848
8.6
Vector Normal a una Superficie Paramétrica Suave.
849
8.7
Área de una Superficie Paramétrica.
850
8.8
Integrales de Superficies.
852
8.9
Orientación de una Superficie.
855
8.10
Integrales de Flujo.
856
8.11
Definición de Integral de Flujo.
857
8.12
Definición. Cálculo de Integrales de Flujo.
859
8.13
Teorema de la Divergencia.
861
8.14
Teorema
866
8.15
Definiciones Alternas del Gradiente, Divergencia y Rotacional.
868
8.16
Teorema de Stokes.
869
8.17
Teorema de Stokes para Coordenadas Cartesianas.
872
8.18
Ejercicios Desarrollados.
873
8.19
Ejercicios Propuestos.
879
Superficies Cuádricas
I
CAPITULO I
1.
SUPERFICIES Ct'ADRIC AS.Pre-requisitOS.-
Para la comprensión adecuada de este tema de superficies, se requiere de
los conocimientos previos de:
Elementos de geometría plana: recta, circunferencia, cónicas, etc.
Elementos de geometría del espacio: planos, secciones planas de un cuerpo, etc.
Objetivos.-
Establecer los fundamentos necesarios para la intensificación de las técnicas
para el trazado de las superficies a partir de sus ecuaciones como
premisas así como también las curvas y regiones, para la utilizarlos en las diversas aplicaciones.
Al finalizar el estudio de este capítulo el alumno debe ser capaz de:
-
Describir el procedimiento seguido en el trazado de las superficies.
Reconocer la forma de la ecuación de las cuádricas centradas.
-
Representar gráficamente las siguientes superficies: Elipsoide, Paraboloide, Hiperboloide
de una y dos hojas, Paraboloide Elíptico, Paraboloide hiperbólico.
Identificar las ecuaciones de cilindros y conos.
-
Determinar: la directriz, generatriz de los cilindros y conos.
-
Representar gráficamente a los cilindros y conos.
2
Eduardo Espinoza Ramos
fl.1 ¿ Íntroduecidá^i
Analíticamente la ecuación E(x,y) = 0, nos representa un lugar geométrico en el plano XY, a la
ecuación E(x,y) = 0, extenderemos al espacio tridimensional, cuya ecuación rectangular en tres
variables representaremos por:
I F(x, y, z) = 0 |
También .se conoce que todo plano se representa analíticamente por una única ecuación lineal
de la forma:
fP :
Ax + By + Cz + D = 0
De una manera más general, veremos si existe una representación analítica de una figura
geométrica, al cual denominaremos superficie, tal representación consistirá en una única
ecuación rectangular de la forma:
| F(x,y,z) = 0
... (1)
Por ejemplo, por medio de la distancia entre dos puntos se puede demostrar que la superficie
esférica de radio r con centro en el origen se representa analíticamente por la ecuación:
Llamaremos superficie al conjunto de puntos p(x,y,z) de 7? 3 que satisfacen una sola ecuación
de la forma:
| F(x,y,z) = 0
La ecuación F(x,y,z) = 0, contiene tres variables, sin embargo la ecuación de una superficie
puede contener solamente una o dos variables.
Por ejemplo la ecuación x = k, k constante, representa un plano paralelo al plano YZ.
Superficies Cuádticas
3
2
De igual manera la ecuación x + y~ = 4 considerada en el espacio representa un cilindro
circular recto.
Toda ecuación de la forma F(x,y,z) = 0, no necesariamente representa una superficie, por
ejemplo la ecuación x 2 + y 2 + z 2 +9 = 0 , no representa ningún lugar geométrico, además la
ecuación x 2 + y 2 + z 2 = 0 , tiene una solución real que es:
x = y = z =
0
, cuyo lugar
geométrico está constituido por un sólo punto, el origen.
1.3
Superficies (« a d ríc a s ^
Llamaremos superficies cuádricas a toda ecuación de segundo grado en las variables x,y,z que
tiene la forma: A x 2 + B v 2 + Cz2 + Dxy+ Exz+ Fyz+ Gx + Hy + Kz+ L = 0 donde A, B, C, D,
E, F, G, H, K son constantes, y por los menos una es diferente de cero.
4
Eduardo Espinoza Ramos
Para construir la gráfica de una superficie consideremos la siguiente discusión, mediante los
pasos siguientes:
1)
2
)
Intersección con los ejes coordenados.
Trazas sobre los planos coordenados.
3)
Simetrías con respecto a los planos coordenados, ejes coordenados y el origen.
4)
Secciones transversales o secciones paralelas a los planos coordenados.
5)
Extensión de la superficie.
6
)
Construcción de la superficie.
Consideremos la ecuación de una superficie.
F(x,y,z) = 0
Ahora describiremos todo el proceso a realizar en la construcción de la gráfica de dicha
superficie.
Is
2a
Intersección con los ejes coordenados.a)
Con el eje X:
En la ecuación F(x,y,z) = 0 se hace y=z=0, es decir: F(x,0,0)=0
b)
Con el eje Y:
En la ecuación F(x,y,z) = 0 se hace x=z=0, es decir: F(0,y,0)=0
c)
Con el eje Z:
En la ecuación F(x,y,z) = 0 se hace x=y=0, es decir: F(0,0,z)=0
Trazas sobre los planos coordenados.Es la curva de intersección de la superficie F(x,y,z) = 0 con cada uno de los planos
coordenados. Las trazas sobre los planos coordenados se obtienen de la siguiente forma:
a)
La traza sobre el plano XY: En la ecuación F(x,y,z) = 0 se hace z = 0, es decir:
F(x,y,0) = 0
b)
La traza sobre el plano XZ:
F(x,0,z) = 0
En la ecuación F(x,y,z) = 0 se hace y = 0, es decir:
5
Superficies Cuádricas
c)
La traza sobre el plano YZ:
En la ecuación F(x,y,z) = 0 se hace x = 0, es decir:
F(0,y,z) = 0
3-
Simetrías Respecto a los Planos Coordenados, Ejes Coordenados y el origen:
a)
Existe simetría respecto al:
- Plano XY, si F(x,y,z) = F(x,y,-z)
- Plano XZ, sí F(x,y,z) = F(x,-y,z)
- Plano YZ, si F(x,y,z) = F(-x,y,z)
b)
c)
42
Existe simetría respecto al:
-
Eje X, sí F(x,y,z) = F(x,-y,-z)
-
Eje Y, si F(x,y,z) = F(-x,y,-z)
-
EjeZ, si F(x,y,z) = F(-x,-y,z)
Con respecto al origen: SíF(x,y,z) = F(-x,-y,-z)
Secciones Transversales ó Secciones paralelas a los planos Coordenados.Es la curva de intersección de la superficie con los planos paralelos a los planos
coordenados.
Las secciones Transversales se pueden obtener de la siguiente forma:
52
a)
Sobre el plano XY:
S ehacez = k es decir: F(x,y,k) = 0
b)
Sobre el plano XZ:
Se hace y = k es decir: F(x,k,z) = 0
c)
Sobre el plano YZ:
Se hace x = k es decir: F(k,y,z) = 0
Extensión De La Superficie.Consiste en determinar el dominio de la ecuación F(x,y,z) = 0
62
Construcción De La Superficie.Con la ayuda de la discusión de la ecuación de una superficie se construye la gráfica.
6
Eduardo Espinoza Ramos
Ejemplo.-
2
2
Discutir y hacer la gráfica de la superficie cuya ecuación es: x + y - z
2
=1
Solución
1)
Intersecciones con los ejes coordenados.
a) Con el eje X, se hace y = z = 0, de donde
x 1 = \ entonces x = ±1, de donde los
puntos son: ( 1 ,0 ,0 ) , (- 1 ,0 ,0 )
b) Con
el eje Y, se hace x = z = 0, de donde
y
= 1 entonces y = ±1, de donde los
puntos son: (0 , 1 ,0 ) , (0 ,- 1 ,0 )
c)
Con el eje Z, se hace x = y = 0 , de donde z 2 = - l
entonces no existe intersección
con el eje Z.
2)
3)
Las trazas sobre los planos coordenados.
a)
La traza sobre el plano XY; se hace z = 0; x 2 + y 2 = 1 es una circunferencia.
b)
La traza sobre el plano XZ; se hace y = 0; x 1 - z 1 = 1 es una hipérbola.
c)
La traza sobre el plano YZ; se hace x = 0; y 2 - z 2 = 1 es una hipérbola.
Simetría con respecto a los planos coordenados, ejes coordenados y al origen.
La superficie es simétrica respecto al origen, a los ejes coordenados y a los planos coordenados,
puesto que la ecuación no cambia al aplicar el criterio establecido.
4)
Las secciones transversales o paralelas a los planos coordenados:
Consideremos las secciones paralelas al plano XY; sea z = k entonces x 2 + y 2 = \ + k 2 es
una familia de circunferencia.
5)
Extensión:
z = ± ^ x 2 +y 2 - 1 , x 1 + y 1 > 1
7
Superficies Cuádricas
1.5
Estudio de las Principales Superficies Cuádricág:»
A)
Es el lugar geométrico de todos los puntos p(x,y,z) de R* que satisfacen
Elipsoide.-
a la ecuación de la forma:
2
2
x
v
—^ + —t
a~ b~
:
2
+ —7
c~
= 1 . a^O, b^O, c^O, a ^ b , a ^ c ó b ^ c .
Graficando el Elipsoide se tiene:
a)
Intersecciones con los ejes coordenados.
Con el eje X, se hace y= z = 0, x =±a, A1(a, o, o) , A2( - a , o, o )
Con el eje Y, se hace x= z = 0, y = ±b, B1(o,b,o) , B , (o - b , o )
Con el eje Z, se hace x = y = 0, z = ±c,
b)
(o ,o ,c ), C, (o , o , - c )
Las Trazas sobre los planos coordenados.
La traza sobre el plano XY, se hace z = 0
2
2
x
y
— + — = 1 , es una elipse en el plano XY.
a~ b
8
Eduardo Espinoza Ramos
La traza sobre el plano XZ, se hace y = 0
— h— y = 1, es una elipse en el plano XZ.
a
c
La traza sobre el plano YZ, se hace x = 0
Y = L es una elipse en el plano YZ.
c)
Simetrías con respecto al origen, ejes y planos coordenados.
2
Sea E:
a
z
h— —= 1 , entonces.
b~ c
Con respecto al origen 3; si (x,y,z)eE <=> (-x,-y,-z)
6
E
Con respecto al eje X 3; sí (x,y,z)eE <=> (x,-y,-z) e E
Con respecto al eje Y 3; sí (x,y,z)eE <=> (-x,y,-z) e E
Con respecto al eje Z 3; sí (x,y,z)eE <=> (-x,-y,z) e E
Con respecto al plano XY 3; sí (x,y,z)eE <=> (x,y,-z) e E
Con respecto al plano XZ 3; sí (x,y,z)eE <=> (x,-y,z) e E
Con respecto al plano YZ 3; si (x,y,z)eE <=> (-x,y,z) e E
d)
Las secciones paralelas a los planos coordenados.
2
2
,2
x v
k
Los planos z = k, corta la superficie en la curva ~ + ~ Y = ^---- “ > que es una
a~ b
c"
familia de elipses donde -c < k < c
e)
Extensión de la superficie de ~ í + ~ ~ Y + ~ — 1 se tiene
a b e
7
7
x~ v"
donde —j~+~L T - l
a
b
de
Superficies Cuádricas
B)
9
La Esfera.-
La Superficie esférica es el lugar geométrica de todos los puntos
p(x,y,z) del espacio que equidistan de un punto fijo, la distancia
constante se llama radio y el punto fijo centro.
2
x
Si en la ecuación del elipsoide —
a"
2
y
h
2
z
j = 1 se tiene a = b = c = R * 0 , el elipse Je
c
se transforma en x~ + y 2 + z 2 = R 2, que es la ecuación de la esfera de radio R y centn el
origen de coordenadas.
Graficando la esfera se tiene:
a)
Intersecciones con los ejes coordenados.
Con el eje X, se hace, y = z = 0, x = ±R, Ai (R, o,o),
A2( - R ,o , o )
Con el eje Y, se hace, x = z = 0, y = ±R, ^ ( o ./J .o ) , B2(o, -R, o)
Con el eje Z, se hace, x = y = 0, z = ±R, C ,(o ,o ,/f),
b)
Las Trazas sobre los planos coordenados.
La traza sobre el plano XY, se hace z = 0.
x 2 + y 2 = R 2, es un circunferencia en el plano XY.
La traza sobre el plano XZ, se hace y = 0.
2
2
2
x + z = R , es un circunferencia en el plano XZ.
C2(o ,o ,- R)
10
Eduardo Espinoza Ramos
La traza sobre el plano YZ, se hace x = 0.
y 2 + z 2 = R 2, es una circunferencia en el plano YZ.
c)
Simétricas con respecto al origen, ejes y planos coordenados.
La ecuación de la esfera x 2 + y 2 + z 2 = R 2 es simétrica con respecto al origen, a los
ejes y planos coordenados.
d)
Las secciones paralelos a los planos coordenados.
Las secciones paralelas lo tomaremos con respecto al plano coordenado XY, es
decir, z = k se tiene x 2 + y 2 = R 2 - k 2, -R £
k
<, R, que es una familia de
circunferencia.
Teorema.-
La ecuación de la superficie esférica de centro el punto c(h,k,l) y de radio la
coastante R > 0 es: ( x - h ) 2 + { y - k ) 2 + ( z - 1)2 = R 2
Demostración
Sea P(x,y,z) un punto cualquiera de la esfera, luego por
definición de esfera se tiene :
E = {P ( x , y , z ) 6 R 3 l d ( p , c ) = /?}
^ ( x - h ) 2 + { y - k ) 2 + (z - / ) 2 = R de donde:
{ x - h ) 2 +(_y-A ) 2 + ( z -
/ ) 2
=R2
11
Superficies Cuadráticas
Observación.-
La ecuación ( x - h ) 2 + { y - k ) 2 + { z - l ) 2 = R 2 se conoce con el nombre
de la forma ordinaria de la ecuación de la esfera, si desarrollamos la
ecuación de la esfera se tiene:
x 2 + y 2 + z 2 —2 h x —2 k y —2l z +h 2 + k 2 +
/ 2
—R 2 = 0 , de donde se tiene:
x 2 + y 2 + z 2 + A x + B y + C z + D = Q,
luego una superficie esférica queda determinada por cuatro puntos no coplanares.
Ejemplo.-
Hallar la ecuación de la esfera que está en los planos paralelos 6 x - 3 y - 2z - 35 = 0,
—
»
Sea L = {(5,-1,-1) + t(6,-3,-2) /
1
e R}
S eaA e L a P 2 => A e L a A e P 2
Si A e L => A(5 + 6 t, -1 - 3t, -1 - 2t)
para algún t e R, como A e P 2 entonces
j pi: 6x-3y-2z-35 = 0
6(5 + 6 t) - 3(-l - 3t) - 2(-l - 2t) + 63 = 0 de dor <c
t = -2, A(-7,5,3), como c es punto medio de A y p se
P2: 6x-3y-2x+63 = 0
tiene: c(
5 -7
Paraboloide Elíptico.-
Es
2
2
E : (jc+ 1 ) 2 + ( y - 2 ) 2 + ( z - l ) 2 = 4 9
Además, r = d (c,p) = 7 por lo tanto:
C)
2
-1 + 5 -1 + 3
, ------- , ---------) = c(- 1 ,2 , 1)
el
lugar
geométrico
de
todos
los
puntos
p(x,y,z) de R 1 que satisfacen a la ecuación de la forma
x
y
—í + —
= z, donde a * 0 , b * 0 , a * b.
t .
a
b
Graficando el paraboloide elíptico se tiene:
/
Eduardo Espinoza Ramos
12
a)
Intersecciones con los ejes coordenados.
Con el eje X, se hace y = z = 0, x = 0 => A(0,0,0)
Con el eje Y, se hace x = z = 0, y = 0 => B(0,0,0)
Con el eje Z, se hace x = y = 0, z = 0 => C(0,0,0)
b)
Las Trazas sobre los planos coordenados
La traza sobre el plano XY, se hace z = 0
X
2
V
2
— +——= 0 que representa un punto P(0,0,0).
a" b~
La traza sobre el plano XZ, se hace y = 0
2
xc
z =—
~2 que representa a una parábola en el plano XZ.
a
La traza sobre el plano YZ, se hace x = 0
2
v
z = ~ y que representa a una parábola en el plano YZ.
b
c)
Simetrías con respecto al origen, ejes y planos coordenados.
Con respecto al origen 3 puesto que (-x,-y,-z) £ PB
Con respecto al eje X, 3 puesto que (x,-y,-z) £ PB
Con respecto al eje Y, 3 puesto que (-x,y,-z) £ PB
Con respecto al eje Z, 3 puesto que (-x,-y,z) e PB
Con respecto al plano XY, 3 puesto que (x,y,-z) £ P£
Con respecto al plano XZ, 3 puesto que (x,-y,z) e PB
Con respecto al plano YZ, 3 puesto que (-x,y,z)
6
P£
13
Superficies Cuadráticas
d)
Secciones paralelas a los planos coordenados.
Las secciones paralelas tomaremos con respecto al plano XY para esto se tiene
2
2
x
y
z = k que corta la superficie en la curva — + -^ - = Arque es una familia de elipses.
a
b
2
e)
Otras variantes
Extensión de la superficie:
2
x
y
2
z = - y + —r- es definido V(x,y) e R
a
b
14
Eduardo Espinosa Ramos
D)
Hiperboloide de una Hoja.-
Es el
lugar
P(x,y,z) de
x
a
2
y
b
2
z
geométrico
de
todos
que satisfacen a la ecuación.
2
= 1 , donde a * 0 , b * 0 , c * 0 .
e
Graficando el hiperboloide de una hoja se tiene.
a)
Intersecciones con los ejes coordenados.
Con el eje X, se hace y = z = 0, x = ±a, At (a,0,0), A2(a,0,0)
Con el eje Y, se hace x = z = 0, y = ±b, Bx(0 , 6 ,0 ), B2( 0 - b ,0 )
Con el eje Z, se hace x = y = 0, z 2 = - c 2 , 3 .
b)
Las trazas sobre Los Planos Coordenados.
La Traza sobre el plano XY, se hace z = 0.
X
2
V
2
—7 + —5 - = 1 , es una elipse.
a
b
La Traza sobre el plano XZ, se hace y = 0.
2
x
—
a
2
z
= 1 , es una hipérbola
c
La Traza sobre el plano YZ, se hace x = 0.
\
\
y
2
2
z
—7 - — = 1 , es una hipérbola.
b
c
c)
los
Simetrías.
Con respecto al origen es simétrica.
Con respecto a los ejes coordenados es simétrica.
Con respecto a los planos coordenados es simétrica.
puntos
Superficies Cuadráticas
d)
15
Secciones paralelas a los planos coordenados.
Los planos z = k corla a la superficie en la curva — + -^ - = 1+——, Que es una
a ' b~
c~
familia de elipses y los planos y = k
Otras variantes
.2
,2 . 2
k
h -k
= 1 + — = ------,— , -b < k < b, que es una familia de hipérbola.
c
c
b~
z
2
-
2
x
—
a
corta a la superficie en la curva
16
Eduardo Espinoza Ramos
E)
Hiperboloide de Dos Hojas.-
Es el lugar geométrico de todos los puntos
P(x,y,z) de
X
a
2
V
b
2
Z
/?3
que satisfacen a la ecuación:
2
= 1 , donde a * 0 , b * 0 , c * 0 .
e
Graficando el hiperboloide de dos hojas se tiene:
a)
Intersecciones con los ejes coordenados.
Con el eje X, se hace y = z = 0, x = ±a, ^,(a.0,0), A2( - a , 0.0)
Con el eje Y, se hace x = z = 0, y = ±-\]-h2 , 3
Con el eje Z, se hace x = y = 0, z = ± V - f 2 , 3
b)
Las Trazas sobre los planos coordenados.
La traza sobre el plano XY, se hace z = 0
X
2
V
2
—Y - —y = 1 . es una hipérbola
a
b
La traza sobre el plano XZ, se hace y = 0
2
2
X
z
— - — = 1 , es una hipérbola
a
c
La traza sobre el plano YZ, se hace x = 0
V
2
b
c)
Z
2
c
Simetrías.
Con respecto al origen, existe simetría.
Con respecto a los ejes coordenados, existe simetría.
Con respecto a los planos coordenados existe.
17
Superficies Cuadráticas
d)
Secciones paralelas a los planos coordenados.
.Y
2
Los planos z = k, corta a la superficie en la curva —
a
de hipérbolas.
2
k
=
b
2
,2
v
— T es una
c
2
.2
x
z
k
Los planos y = k, corta a la superficie en la curva ————=- = 1h— y es una familia
a c
b
de hipérbolas.
2
2
, 2
V z
k -a
Los planos x = k, corta a la superficie en la curva —y -\—- = 2
b e
a
k > a ó k < -a, que es una familia de elipses.
Otras Variantes
Z
2
donde
18
Eduardo Espinoza Ramos
F)
Hiperboloide Parabólico.-
Es el lugar geométrico de todos los puntos P(x,y,z) de
V
3
2
X
2
Z
R que satisfacen a la ecuación de la forma:-1-^------ 5- = —,
h
a
c
donde a y b son positivos y c # 0 .
Graficando el hiperboloide parabólico para el caso c > 0.
a)
Intersecciones con los ejes coordenados.
Con el eje X, se hace z = y = 0, x = 0, A(0,0,0)
Con el eje Y, se hace x = z = 0, y = 0, B(0,0,0)
Con el eje Z. se hace x = y = 0, z = 0, C(0,0,0)
b)
Las Trazas sobre los planos coordenados.
b
La traza sobre el plano XY, se hace z = 0, y = —x ,
a
y =
b
x , rectas.
a
c ,
La traza sobre el plano XZ, se hace y = 0 , z = — j x ~, parábola.
a
La traza sobre el plano YZ, se hace x = 0 ,
C
2
z = — y , parábola.
b
c)
Simetrías.
Con respecto al origen, 3
Con respecto a los ejes coordenados, con el eje Z 3 en los demás ejes 3 .
Con respecto a los planos coordenados 3 Pxy. 3 Pxz, 3 Pyz.
d)
Secciones paralelas a los planos coordenados.
Al plano XY, se hace z = k, — -----j = —, familia de hipérbolas.
b
a
c
Al plano XZ, se hace y = k ,
Al plano YZ, se hace x = k,
.v2
z k1 2
— -------j-, familia de parábolas.
a
c h
z- k1 2
= — 1—
familia de parábolas.
b
c a
v1
Superficies Cuadráticas
Otras variantes.
También el hiperboloide parabólico tiene las ecuaciones siguientes:
19
20
Eduardo Espinoza Ramos
G)
El Cono Elíptico o Circular.-
Es el lngar geométrico de todos los puntos p(x,y,z)
de R 1, que satisfacen a la ecuación de la forma:
2
2
X
v
2
~ + ~ =~
a b e
a)
2
» a * 0, b * 0, c * 0. Graficando el cono elíptico se tiene:
Intersecciones con los ejes coordenados:
Con el eje X, se hace y = z = 0, x = 0, A(0,0,0).
Con el eje Y, se hace x = z = 0, y = 0, B(0,0,0).
Con el eje Z, se hace x = y = 0, z = 0, C(0,0,0).
b)
Las Trazas sobre los planos coordenados:
La traza sobre el plano XY, se hace z = 0, x = y = 0 => p0,0,0).
a
La traza sobre el plano XZ, se hace y = 0, x = ± —z dos rectas.
c
h
La traza sobre el plano YZ, se hace x = 0, y = ± —z dos rectas.
c
c)
Simetrías:
Con respecto al origen, existe.
Con respecto a los ejes coordenados, existe.
Con respecto a los planos coordenados, existe.
d)
Secciones paralelas a los planos coordenados:
2
2
, 2
2
2
, 2
2
2
, 2
x y
k
Al plano XY, se hace z = k, —y + —y = —y , familia de elipses.
a b e
z
x
k
Al plano XZ, se hace y = k, — --- y = —y , familia de hipérbolas.
c
a
b
z
v
k
Al plano YZ, se hace x = k, — —— = —y , familia de hipérbolas.
c h a
Superficies Cuadráticas
Otras Variantes
21
22
Eduardo Espinoza Ramos
1.6 * Superficies Cilindricas^
Llamaremos superficie cilindrica a la superficie que es generada por una recta que se mueve a
lo largo de una curva plana dada, de tal manera que siempre se mantenga paralela a una recta
fija dada que no está en el plano de dicha curva.
La recta móvil se llama generatriz y la curva plana se llama directriz de la superficie cilindrica.
Si la generatriz de una superficie cilindrica es perpendicular al plano de la directriz; la
superficie se llama cilindro recto, en caso contrario cilindro oblicuo.
Íw7
Ía::E¿aaci6n. de una Superficie Q ündrica^
•
\
\
Consideremos la directriz en uno de los planos coordenados'por ejemplo, tomamos el plano
\F{y,z) = 0
YZ, entonces la ecuación de la directriz es: D: \
I
x =0
X
23
Superficies Cuádricas
Si p(x,y,z) es un punto cualquiera de la superficie, cuya generatriz tiene por números
directores [a,b,c] y si p '( 0 ,y ',z ') es el punto de intersección de la directriz con la generatriz
que pasa por el punto p(x,y,z) entonces el punto p '( 0 , y ' , z ' ) satisface a la ecuación de
la directriz:
| F ( y ’, z' ) = 0
( 1)
x'=0
I
Y la ecuación de la Generatriz es dado por:
G:
x-
0
z-z'
v-v'
De las ecuaciones (1) y (2) al eliminar los parámetros x ' , y ’, z ’ se tiene la ecuación de la
superficie cilindrica.
Ejemplo.- Hallar la ecuación de la superficie cuya directriz es la parábola
x 2 = 4 y , z = 0,
contenida en el plano XY, y cuya generatriz tiene por números directores [1,1,3].
Solución
La ecuación de la directriz es: D:
\x =4y
1,-0
Sea
/' /¡
p/v u
/ / / / / / / / n f -—* r ' A>" ’ l
/// i /J lL L 'J
p'(jc' , y ' , z ' )
directriz
punto
de intersección de
l.i
y la generatriz entonces satisface a
la
ecuación de la directriz.
D:
Jx ' 2 = 4 y ’
z'= 0
--- ( 1 )
La ecuación de la generatriz que pasa por el punto p 'f V .y ,z ') c o n números directores
[1,1,3] es:
x - x ’ v-v' z-z'
z
G . ---------= ^ ^ = --------, G: x - x ' = y - y ' = —
1
1
3
3
Ahora eliminamos los parámetros de (1) y (2)
...(2)
24
Eduardo Espinoza Ramos
z
x - x '= 3
y-y=-
z 3x - z
x '= x — = -------3
3
y=y-
z
3v - z
3
3
3x - z 2
3y - z
(--------) = 4 (-------- )
3
3
Reemplazando (3) en (1) se tiene:
:.9x 2 +
Ejemplo.-
.» (3)
z
2
- 6 x z + 3 6 y + l 2z = 0
2
2
2
Demostrar que la ecuación x + v + 2 z + 2xz - 2yz = 1 representa a una superficie
cilindrica; Hallar las ecuaciones de su directriz y los números directores de su generatriz.
Solución
Consideremos las secciones paralelas al plano coordenado XY, z = k, obteniendo
7
7
2
2
2
x~ + y~ + 2k + 2 k x - 2kv = 1. Completando cuadrado ( x + k ) +( v —k ) =1
Luego ( x + k ) 2 + ( v - k ) 2 = 1, z = k , es una familia de circunferencia caso particular k = 0, se
tiene la ecuación de la directriz x 2 + y 2 = 1 , z=
por lo tanto x 2 + y 2 + z 2 + 2xz - 2y z =
1
0
que es una circunferencia en el plano XY
es una superficie cilindrica circular.
La recta que une los centros (-k, k, k) de las circunferencias es paralela a la generatriz, por lo
tanto los números directores de las generatriz son [- 1 , 1 , 1 ].
Luego su gráfico es:
25
Superficies Cuádricas
1.8 • Superficie Cónica.-]
Llamaremos superficie cónica a la superficie que es generada por una recta que se mueve de
tal manera que siempre pasa por una curva plana dada fija y por un punto fijo que no está
contenido en el plano de la curva fija dada.
La recta móvil se llama generatriz y la curva fija dada directriz y el punto fijo se llama
vértice de la superficie cónica.
El vértice divide a la superficie cónica en dos porciones cada una de los cuales se llama hoja
o rama de la superficie cónica.
1.9
Petermináctón de la Ecuación de la Superficie Cóftica.-j
Consideremos la ecuación de la directriz en uno de los planos coordenados, por ejemplo en
el plano YZ, cuya ecuación es:
Z
directriz
\
V(*0 ,yo»*o)
Y ^
G: generatriz
Como P' (x', y ' , z ') pertenece a la directriz, por lo tanto lo satisface, es decir:
... (1)
26
Eduardo Espinoza Ramos
La ecuación de la generatriz que pasa por V y p ' es dado por.
Oí. —
V.
r-z 0
ry-fn
zf'-rw - r .
... (2)
De las ecuaciones (1) y (2) al eliminar los parámetros x ' ,y',z' se obtiene la ecuación de la
superficie cónica.
Ejemplo.-
Hallar
2
la
ecuación
2
4x + z =1
a
de
la
superficie cónica cuya directriz es la elipse
y = 4 y cuyo vértice es el punto V (l,l,3 )
Solución
De la ecuación (2) despejamos los parámetros jc’,.y \z' obteniéndose:
x-1
y
- 1
x'-l
3
z-3
y —1
. z'—3
3
3x+ y-4
x ' = ------ -----y- 1
(3)
3 y + 3 z —1 2
z' = — ----------y- 1
Ahora reemplazando (3) en (1)
3x+y-4 ,
3v + 3 z -1 2 2
4(------ ------)2 + (— ------------) = 1
y- 1
y- 1
de donde
36x2 + 1 2 y 2 + 9z 2 + 2 4 xy + 18xz - 96x -
102y - 72 z
+207 =
0
27
Superficies Cuádricas
Ejemplo.-
El eje OZ es el eje de un cono circular que tiene el vértice en el origen de coordenadas;
el punto M(3 ,-4,7) está situado en su superficie. Hallar la ecuación de este cono.
Solución
Sea A(0,0,7),
M(3,-4,7)
MA = A - M = { - X 4 $ )
R =|| A¿4 ||=V 9+16 = 3 es el radio de la sección
circular del cono.
(x - O) 2 + ( y - O) 2 + (z - 7 ) 2 = 25
Si z = 7, entonces la directriz es:
J x 2 + y 2 = 25
Sea D: i
pero como p '(x ',y ',z')
z=7
g
\x'2+ y 2 = 25
D entonces: Z): j
z'= 1
... (1)
Ahora calculamos la ecuación de la generatriz.
JC- 0
G : -----jc'-O
y
z- 0
= ------- ,
y ' - 0 z'-O
- 0
de donde:
x
y z
G :— = — = —
x' y' 7
... (2)
De la ecuación (2) despejamos los parámetros, x ' , y ' se tiene:
x _ 2
7 '~ 1
y_= L
y
?
Ix
X=■
(3)
z
Ahora reemplazando (3) en (1) se tiene: (— ) 2 + (—
)2
= 25 de donde 4 9x 2 +49y 2 = 25z 2
Eduardo Espinoza Ramos
28
Superficies de Revolución^
Llamaremos Superficie de revolución a la superficie que es generada por la rotación de una
curva plana entorno de una recta fija contenida en el plano de esa curva.
La curva plana se llama generatriz y la recta fija eje de revolución ó eje de la superficie.
Por el punto p(x,y,z) se hace pasar un plano perpendicular a) eje de revolución, la
intersección de la superficie con el plano es una circunferencia.
Si c es el punto de intersección del plano con la recta L y Q es el punto de intersección con
la curva C entonces se cumple d(P,C) = d(Q,C) que es la ecuación de la superficie de
revolución.
Si la superficie de revolución es obtenida por la rotación de una curva que está en uno de los
planos coordenados alrededor de uno de los ejes coordenados, su ecuación se determina
mediante el cuadro siguiente:
Eje Y
f(x); y = 0
Eje X
v2 + z 2 = ( / U ) ) 2
E jeX
V2 + z 2
Eje Z
x2+
£
N
=
II
=
x2 +z2 = (/0 -))2
0
O
z
f(y); z
N
=
II
x
hcuaci^rt^e k superficie
X
II
O
Ecuación d e la Generatriz „ Eje de Jtévolueiófc
Eje Y
z = f(y); x = 0
II
1.10
X = f(z), y = 0
Eje Z
X2 +Z2 = ( / (
v))2
= (/(* ))2
y 2 = (/(z ))2
x 2 +y 2 = { m ) 2
29
Superficies Cuádricas
Hallar la ecuación de la superñcie engendrada por la rotación de la hipérbola
Ejemplo.-
2
2
y —4 x = 4 , z = 0, entorno al eje Y.
Solución
La generatriz es de la forma x = f(y), z = 0 y el eje de rotación es el eje Y, por lo
tanto
la
la superñcie de revolución es: x 2 + z 2 = f 2( y ) , como
A
2
A
> ' - 4
2
2
2
y ~4
= --------- = / (y ) ahora reemplazando se tiene: x + z = --------- de
ecuación
de
2
2
2
y -4x
= 4=>x
2
donde 4 x 2 + 4 z 2 - y 2 + 4 = 0
Ejemplo.-
Hallar la ecuación de la superñcie engendrada por la rotación de la elipse.
2
2
x
y
a
b
,
r —i
, alrededor del eje OX.
z=0
Solución
i
X
Eduardo Espinoza Ramos
30
Consideremos un punto arbitrario en el espacio M(x,y,z) y c es el pie de la perpendicular del
punto M al eje OX.
El punto M lo trasladamos al plano OXY, mediante una rotación de esta perpendicular
alrededor del eje OX designemos a este punto por A^(jc',y',0).
Luego se tiene CM = C N , de donde CM
CN = v' entonces se tiene:
M = V v’ 2 + z 2
-- ( 1)
X = X
M está situado en la superficie de revolución, si y solo si, el punto N está en la elipse dada, es
decir:
... (2 )
T + V =x
ahora reemplazando ( 1 ) en (2 ) tenemos:
X
2
2
V +z
2
~ 2 +'--- j— = L que es la ecuación de la
a
b
superficie de revolución buscada.
1.11
Traslación de Ejes.-}
La Traslación de ejes en el espacio tridimensional se realiza en forma similar que la traslación
de ejes en el plano cartesiano; si O'(x0, y 0,z(]) es un punto en el sistema cartesiano OXYZ,
entonces en el punto O’(x0,y 0 ,z0) construiremos el nuevo sistema O’X ' T Z ' de tal manera
que los rayos positivos de los nuevos ejes sean paralelos y tengan el mismo sentido que el
sistema cartesiano original, es decir, en la forma:
Superficies Cuádricas
31
Un punto p en el espacio correspondiente al sistema OXYZ, tiene por coordenadas a (x,y,z)
es decir, p(x,y,z) y en el sistema O ' X ' Y Z ' tiene por coordenadas a ( x ' , y' ,z ' ) es decir
P (x ' , y ', z '). La relación entre estas coordenadas está dado por:
X = x0 + x'
■y = y0 +y'
z = z0 + z'
Ejemplo.-
Graficar la superficie mediante una traslación x 2 + y 2 + z 2 - 3 x + 4 y - 8 z = 0
Solución
2
9
2
2
9
Completando cuadrados se tiene: x - 3 x + —+ y + 4 y + 4 + z -8 z + 1 6 = —+ 4 + 1 6
4
4
(* --^ )2
2
1.12
+ (>' + 2 ) 2 + ( z - 4 ) 2 = ~ t
4
x ,2- y ' 2+z'2
4
donde 0 ' ( - , ~ 2 , 4)
2
Rotación de Ejes en Uno de los Pianos Coordenados,-!
Veremos la rotación de los ejes de los planos coordenados manteniéndose el otro eje fijo y el
mismo origen.
Suponiendo que efectuamos una transformación de coordenadas del plano XY en otro sistema
X ' Y ' en donde se mantiene fijo el origen y los ejes X ' e Y' son obtenidos rotando los ejes
X e Y en forma antihoraria en un ángulo 0 como se ilustra en la figura.
Eduardo Espinojja Ramos
32
Esta transformación en el plano XY es:
Cada punto p tendrá dos representaciones una en coordenadas (x,y) con respecto al sistema
original y la otra en coordenadas (x ' , y ') con respecto al nuevo sistema.
Ahora determinaremos la relación (x,y) y ( x \ y'), para esto tracemos las rectas OP, AP y BP
(Ver figura).
Superficies Cuádricas
33
Se observa que x = O A
, y = AP , x'= OB , y'= BP
Luego el triángulo A OAP se tiene: x = OPcos(6 + a ) , y = OPsen(8 + a ), de donde
I
x = ÓPcosG cosa - OPsenG sen a
... (1)
y = OPsenG cosa - OPsen a cosfi
En el triángulo A OBP se tiene:
x'=OPcosa,
y ’= OP sen a
—(2)
ahora reemplazando (2 ) en ( 1 ) se tiene:
I
x = x'cosfl - j's e n fl
al resolver el sistema se tiene:
y = Jt'sen 8 +y'cos8
f jc'= xcosfl +_vsen0
[_g'=_ycos0 -jcsenfl
...(3)
Por tratarse del plano XOY veremos el caso de la ecuación de segundo grado:
A x2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 , donde A.B.C no nulos simultáneamente,
como x = jc'cos©- y ’senG , y = x'senG + y'e o s6 se tiene:
A ( x 'c o s 6 - y ’senG )2 + B (x'cos6 - y 's e n 6 )(x 's e n 6 + y 'c o s6 ) +
C(x’sen 8 + y' eos 6 )2 + D(x' eos 8 —y' sen 6 ) + E (x ‘sen 6 + y ‘eos 8 ) + F = 0
desarrollando y simplificando se tiene:
(>4cos2 6 + B sen© eos6 + C sen 2 6 ) x ' 2+(A sen 2 6 —BsenG eos6 + C eos 2 8 ) y ’2
+(Z? eos28 - A sen 28 + C sai 28)x' y+D(eos8 + E sai 8)x'+(Eeos 8 - Deos8)y'+F = 0
Como el coeficiente de x ’y debe ser cero, entonces se tiene:
34
Eduardo Espinoza Ramos
cos2 0 A - C
Bcos20 - Asen20 + Csen20= O de donde Bcos20 = (A - C)sen 20 => --------- = -------- por lo
sen20
B
A -C
tanto c tg 2 0 =
que es la relación para obtener el ángulo de rotación.
B
Ejemplo.-
Graficar la superficie z = xy, mediante una rotación.
Solución
f x = x 'c o s6 - y 's e n 0
, Ahora reemplazamos en la ecuación de la superficie.
y = x 'se n 0 - y 'c o s 0
z = xy = (x 'co s 0 - y 's e n 0 )(x'sen 0 + y 'co s 0 )
z = x ' 2 eos6 s e n 6 - x ' y ' s e n 2 8 + x ' y c o s 2 6 - y ' 2 se n 8 eos6
z = x '2 eos6 sen8 - (eos2 8 —sen 2 8 ) x ' y ' —y '2 sen8 eos8
Si eos 8 - sen 8 = 0 => tg 0 = 1 = > 0 = —
4
.2
,2
n
n
71
71
X
y
z = x' eos— sen-------v' sen— eos— ---------- —
4
4
4
4
2
2
n/4
.2
de donde z2
,2
y_
2
35
Superficies Cuádricas
1.13
Ejercicios Desarrollados.-
1)
Discutir y graficar la superficie z = —ln(jt +2x y + y )
1
4
2
2
2
Solución
z = “ ln ( - * 4 + 2 x 2y + y 2) = ln | x 2 + y \ => \ y + x 2 \= e z
a)
Intersecciones con los ejes coordenados.
Con el eje X; se hace y = z = 0; x = ± 1
Con el eje Y; se hace x = z = 0; y = ± 1
Con el eje Z; se hace x = y = 0;3 , no existe intersección
b)
Las trazas sobre los planos coordenados.
Sobre el plano XY; z = 0; x 2 = - ( y ± 1) parábola.
Sobre el plano XZ; y = 0; z = ln x 2 .
Sobre el plano YZ; x = 0; z = ln | y | .
c)
Simetrías en el origen, Ejes y planos coordenados.
Con respecto al origen de coordenadas 3
Con respecto a los ejes coordenadas 3
Con respecto a los planos coordenadas es simétrico con respecto al plano YZ.
d)
Secciones paralelas a los planos coordenados.
Al plano X Y ;z = k, | y + x 2 \ = e k , familia de parábolas.
Al plano XZ; y = k, x~ =e~ —k .
_
*)
Al plano YZ; x = k, y = e" - k ~ .
36
Eduardo Espinoza Ramos
x
2)
Solución
a)
Intersecciones con los ejes coordenados.
x 2 +y 2 *
0
=> x * 0 , y *
0
Con el eje X; se hace y = z = 0; 3
Con el eje Y; se hace x = z = 0; 3
Con el eje Z; se hace x = y = 0; 3
b)
Las trazas sobre los planos coordenados.
Sobre el plano XY; se hace z = 0; x = 0, y e R.
2
Sobre el plano XZ; se hace y = 0; z = —.
Sobre el plano YZ; se hace x - 0; z = 0
= -(y -
1
)
37
Superficies Cuádricas
c)
Simetrías.
En el origen, existe.
En los ejes coordenadas, 3 eje X, 3 eje Y, 3 eje Z.
En los planos coordenadas, 3 plano XY, 3 plano XZ, 3 plano YZ.
d)
Secciones Transversales.
7
2
En el plano XY; se hace z = k, obteniéndose k ( x ~ + y ) = 2 x , familia de
1
1
k
k
circunferencias de centro (—, 0 ) y radio r = —.
3)
Discutir y gradear la superficie z = ln(x 2 + y 2)
Solución
a)
Intersecciones con los ejes coordenados.
Con el eje X; se hace y = z = 0; x = ±1
Con el eje Y; se hace x = z. = 0; y = ±1
Con el eje Z; se hace x = y = 0 ; 3 z e R
38
Eduardo Espinoza Ramos
b)
Las trazas sobre los planos coordenados.
2
2
2
2
Sobre el plano XY; se hace z=0,ln(jr + y ) = 0 de donde x + y = 1circunferencia.
Sobre el plano XZ; se hace y = 0; z = 2 ln|x|.
Sobre el plano YZ; se hace x = 0; z - 2 ln|_y|.
c)
Simetrías.
En el origen 3
En los ejes coordenadas, 3 eje X, 3 eje Y, 3 eje Z.
En los planos coordenadas, 3 plano XY, 3 plano XZ, 3 plano YZ.
d)
Secciones Transversales.
En el plano XY; se hace z = k,
familia de circunferencias.
de donde
ln(x 2 + y2) = & => x 2 + y 2 = e k,
39
Supeificies Cuádricas
4)
Discutir y graficar la superficie Ix | + 1y | = 1
Solución
a) Intersecciones con los ejes coordenados.
Con el eje X; se hace y = z = 0; x = ±1
Con el eje Y; se hace x = z = 0 ; y = ± l
Con el eje Z; se hace x = y = 0 ; 3 z e R
b)
Las trazas sobre los planos coordenados.
Sobre el plano XY; se hace z = 0, | x | + 1y | = 1 es un rombo.
Sobre el plano XZ; se hace y = 0; x = ±1.
Sobre el plano YZ; se hace x = 0; y = ±1.
c)
Simetrías.
En el origen 3
En los ejes coordenadas, eje X 3, eje Y 3, eje Z 3.
En los planos coordenadas, plano XY 3, plano XZ 3, plano YZ 3.
d)
Secciones Transversales.
En el plano XY; se hace z = k,
X
|x | + |y | = l
40
5)
Eduardo Espinoza Ramos
2
2
Discutir y graficar la superficie cuya ecuación es dada por x + y - 4 z = 0
Solución
a)
Intersecciones con los ejes coordenados.
Con el eje X; se hace y = z = 0 ; x = 0
Con el eje Y; se hace x = z = 0; y = 0
Con el eje Z; se hace x = y = 0 ;z = 0
b)
Las trazas sobre los planos coordenados.
Sobre el plano XY; se hace z = 0, x 2 + y 2 = 0 es un punto (0,0)
Sobre el plano XZ; se hace y = 0; 4z = x 2 es una parábola.
Sobre el plano YZ; se hace x = 0; 4z = y" es una parábola.
c)
Simetrías.
En el origen 3
En los ejes coordenadas, el eje X 3 , eje Y 3, eje Z 3.
En los planos coordenadas, plano XY 3 , plano XZ 3, plano YZ 3.
d)
Secciones Transversales.
En el plano XY; se hace z = k, x 2 + y 2 = 4 k , familia de circunferencias.
X
41
Superficies Cuádricas
6)
2
Trazar la superficie cuya ecuación es x - y
2
^
-2z~+2x = l
Solución
2
x -y
2
2
- 2 z +2x = h completando cuadrados
(x + 1 ) 2
y2
2
2
2_ i
es un hiperboloide de dos hojas de centro en C(-1,0,0).
Su intersección en el eje x es -1 + 4 Í . - 1 - V ? ,
haciendo el traslado del origen (0,0,0) al punto C(-1,0,0) se tiene.
7)
Hallar la ecuación de la superficie esférica que pasa por la circunferencia de
intersección
o
jc ' + v
2
de
las
superficies
esféricas
^
2
2
2
x +y +z - 4 x - 8 y + 6 z + 1 2 = 0 ;
+z~ - 4 x + 4 y - 6 z - 1 2 = 0 y que es tangente al plano x
+
2y-2z
=
3.
Solución
Aplicando el criterio de la familia de superficies.
x 2 + y 2 + z 2 - 4 x - 8 y + 6 z + 12 + A(jc¿ + y ¿ + z ¿ -4jc + 4 y - 6 z - 1 2 ) = 0
(1 + A')x2 +(1+A')y 2 +(1 + k ) z 2 -4(A + l ) x + 4 ( A - 2 ) y + ( 6 - 6 A ) z = 12A —12
2
1
2 a
4(A - 2) v 6(1-A )
12A-12
,
x + y~ + z - 4x + — ;— — + — — — z = —;— ;— , completando cuadrados
A +1
A+ 1
A+ l
42
Eduardo Espinoza Ramos
2
(x - 2 ) + ( y +
C( 2,
2 (* -2 )
2
-—)
* +1
3 ( 1 - * ) 2 2 9 * - 2 6 * + 17
+ (z + —;----- ) = ------- ;------\------ , de donde
*+1
(* + D
4-2*
3 (1 -* )
29* -2 6 * + 1 7
*+1
*+1
(* + 1)
como la superficie es tangente al plano P: x + 2y - 2z = 3
,
2
29* -2 6 * +17
d (c,p) = r =-
8 -4 * 6 - 6 *
2 + — — •+------- - 3
*+1
* +1
(* + 1)
29*2 -2 6 * + 17 (13 —11* ) 2
2
--------------::------ = ------------ r — => 35* + 1 3 * -4 = 0 de donde
9(1 + *)
(A +ir
(5* —1)(7* +4) = 0
4
1
,
para * = — => C(2,3,—2), r = 9
5
x 2 + y 2 + z2 - 4 x - 6 j + 4 z + 8 = 0
.\
8)
1
=> * = —, * = — ,
5
7
Hallar las ecuaciones de los planos tangentes a la esfera x 2 + y 2 + z 2 - 1 Ox + 2 y + 26z = 113
x + 5 y - 1 z + 13
x + 7 v+ 1
- y paralelas a las rectas L,: ------ = -------=
L 7 :------- = ------* 2
-3
2
3
-2
a
z=
8
Solución
2
2
2
E: x + y + z -10x+2_y+26z = 113, completando cuadrados se tiene:
E: ( x - 5 ) 2 + ( y + l ) 2 + (z + 1 3 )2 = 308, dedonde C(5,-1,-13) y r = V308
A-
x+5
Sea
In :
2
x+7
y —1 z + 13
- 3
v+1
2
= ------- , z =
_ > fl = ( 2 - 3 ,2 )
_
8
h fl
o =(3,-2,0)
como las rectas l ^ y L2 son paralelas al plano tangente entonces la normal al plano P es.
43
Superficies Cuadráticas
i
N = a vb
j
k
2 - 3
2
3 - 2
0
4 i
/ + 5 A' =(4,6,5)
+ 6
Ahora tomamos la recta que pasa por el cemro de la esfera en la dirección de la normal.
L = ¡(5,-1,-13) + t(4.6,5) /
SeaAeL=>
1
e R¡
A(4t + 5, 6 t - 1, 5t - 13). Se sabe que r = CA = A - C = (4t,6t¿t)
|| CA ||= /* = -x/lóT^-t-36/2 + 2 5 / 2 =-x/308,
de donde
7 7 r = 3 0 8 => t = ±2,
A(13.11,-3), A ' ( - 3 .-1 3 -2 3 ).
Las ecuaciones de los planos tangentes son:
(4.6.5).(x-13. v - 1 1,- +3) = 0
4jc + 6 y + 5 r = 103
=>
(4.6.5).(x + 3,>- +13 ,r + 23) = 0
9)
•
[4x + 6>- + 5r = -205
Hallar la ecuación del plano tangente a la esfera x ~+y ~ + z = 4 9 en el punto M(6,-3,-2)
Solución
OMI / N
pero
OM = M - O = (6 -3 ,2 )
—>
Luego N = (6-3.2) entonces la ecuación del
plano tangente en M será:
P :7V .(.y-6;_v+ 3.;-2) = 0
P:
6
x - 3y + 27 - 49 = O
44
10)
Eduardo Espinoza Ramos
2
2
2
Demostrar que el plano 2x - 6 y + 3z - 49 = 0, es tangente a la esfera x + y + z = 49.
Calcular las coordenadas del punto de contacto.
Solución
Si P: 2x -
6
x + 3z - 49 = 0
es tangente a la esfera
x Z + y 2 + z = 49 entonces d(C,P) = r
C: Centro de la esfera = (0,0,0)
r: radio de la esfera = 7
4 4 + 36 + 9
por lo tanto P es tangente al Plano
4 49
Para hallar el punto de contacto. Hallamos la recta que pasa por
el Centro y el punto de contacto, que por definición tendrá como
vector direccional el vector normal del Plano tangente:
L = (t(2,-6,3)/ t e R) intersectando L c on el plano
2 (2 t)-
6
P0 = (2-6,3)
(-6 t) + 3(3t)- 49 = 0 => 4 t + 3 6 t + 9t = 49 => t = l
—)
11)
Hallar la ecuación del cilindro cuyas generatrices son paralelas al vector a = (2,-3,4), si las
2
2
n
Jt + V = 9
ecuaciones de la directriz son:
Z=1
Solución
2
1
2
„
x + y =9
, la directriz.
z=l
45
Superficies Cuadráticas
\ x ' 2+ y 2 = 9
Sea P'(x' , y \ z ' ) e D entonces la satisface D: )
l
^ = 1
ahora calculamos la generatriz, es decir:
„ x-x' y - y ' z-z'
G : --------= --------= --------, de donde
2
-3
4
x -x'
G :--------=
2
z- 1
—= ------3
4
y-y'
( 2)
Eliminando los parámetros x ' , y ' de las ecuaciones (1) y (2).
Luego de la ecuación (2) se tiene:
1
x -x
2
4
y-y'
z-1
-3
4
2
x =-
x —z + 1
...(3)
4y+3z-3
reemplazando (3) en (1) se tiene:
(
2x-z +l 2
4 y + 3 z —3 2
) =9
-r+ (-
=> 4 ( 2 x - z + l ) + ( 4 y + 3 z - 3 ) =144
16x2 +16y2 + 13z2 —16xz + 24yz+16x —24_y-26z = 131
12)
Sean E : x 2 + y 2 + z 2 + 2 x - 2 y + 1 0 z = 29 y la recta L={(-6,-10,4)+ t (3,5,-4)/ t e R}. Hallar
la ecuación de la superficie cilindrica cuyos números directores de las generatrices resultan
al efectuar el producto vectorial de los vectores normales a los planos tangentes a la esfera E
en el punto de intersección de este cilindro es la curva que resulta de interceptar la esfera
con el plano XZ.
Solución
£: x 2
+>-2
+ : 2 + 2 x - 2 y + lOz = 29, completando cuadrados
E: (x + 1)2 + ( y - l ) 2 + ( z + 5 ) 2 = 5 6 donde C (-l, 1,-5) centro de la esfera:
L = {(-6 ,-10,4) + t (3,5,-4) /
Sea P e L n E
1
e R} =
entonces P e L
a
{(-6
+ 3t, -10 + 5t, 4 -4t) /
P e E. de donde
1
e R}.
FémgfidírEspámogaMlmmtos
46
-Si P e L =>! P< - 6 + 3t, -10-+ 5t¿ 4—4t) p a ra algún LeRL
Como P e E => (-5 + 3 / ) 2 + ( - l l + 5/ ) 2 + ( 9 —4/ ) 2 = 5 6 ,d e d o n d e
50/ - 2 5 6 / +
300=0
/j= 2 ,
=>
/2 =
3
(1.—1,1): para t2 = 3 ,
para / , = 2 ,
P; (4,4,-3).
Los vectores normales a los planos tangentes son:
~ ¡ ^ = CP1 =P1- C = a - 2 J S )
= CP2 =P2 - C = (5&2)
,
calculando el producto vectorial de las normales a los planos tangentes
i
p, x p 2 =
j
k
2-2
6
5
2
3
= (-22,26,16)
La curva directriz resulta de interceptar la esfera E can el plano XZ entonces y = 0 por lo tanto.
Í ( j c+ 1 ) 2 + ( z + 5 ) 2 = 5 5
Z>. t
l
la curva directriz
y=o
Sea P' (x', y*, z*) un punto de intersección de la directriz con la generatriz, entonces la satisface.
í(x ’+ l) -t-(z'+5 ) 2 =55
1
calculando la
~>< 1 )
y=o
recta generatriz del cilindro. G:
G:
x - íx
y
z —z
-11
13
8
y
-11
F3
.
z —z'
y
8
13
y —y
-22
26
de donde
16
— (2 )
de la ecuación (1) y (2) eliminamos losparámetros
x^x'
x —x
x'. ,z' de la ecuación (2) se tiene.
x = jr + -
y = z-
II y
13
jly
13
— (3)
47
Superficies Cuadráticas
ahora reemplazamos (3) en (1) tenemos:
llv
2
2
(x + ----- +1) + ( z - — + 5) = 55, desarrollando se tiene:
13
13
169x 2 + 1 8 5 v 2 + 1 6 9 z 2 + 286xv - 208yz+ 338x - 754 v + 1690z = 5070
13)
í 2 -v 2 =z
Ix
Hallar la ecuación del cilindro, si se dan las ecuaciones de la directriz i
y la
|x + y + z = 0
generatrices son perpendiculares al plano de la directriz.
Solución
í 2 - y 2 =z
Ix
Sea D: i
, la curva directriz.
[x + y + z = 0
Sea P’íx’.y '.z ') el punto de intersección de la directriz con la generatriz, entonces si
P 'íx '.y '.z ') e D se tiene:
Dr.
í x '2 —y ’2 = z*
... (1)
[x'+y'+z'= 0
como la generatriz es perpendicular al plano de la directriz, entonces el vector normal es la
—»
dirección de la generatriz es decir a = ( 1, 1 ,1)
ahora calculando la ecuación de la generatriz.
x -x ' v -v ' z-z'
G: --------= ^ - ^ -= ------1
1
...( 2 )
1
eliminando los parámetros x ' , y ' , z ' de las ecuaciones ( 1 ) y (2 ).
x-x'= z -z '
í x'= x - z + z'
y-y'= z-z'
\y'= y - z + z ’
reemplazando (3) en la ecuación x'+y'+z'= 0 se tiene:
... (3)
48
Eduardo Espinozja Ramos
x - z + z ' + y - z + z’+z '= 0
x ’= x —z +
2
'=
2z - x - y
2z - x - y
2x - z - y
=> x ' = -------------
z-x-y
2y - z - x
=> y ' = ------------3
2
y ’= y - z +
=>
3
ahora reemplazando en la ecuación x ' 2 +y'~ — Z
2x - z - y 2
2 > > - z - jc 2
2 z - x - y
(------------ ) —(-------------) = -------------- , desarrollando se tiene.
x 2 - y 2 - 2 xz + 2 y z ~ 2 z + x+ y = 0
14)
2
2
2
Las generatrices de un cilindro circunscrito en la esfera x + y +z =1 son perpendiculares
al plano x + y - 2 z + 5 = 0. Hallar la ecuación de este cilindro.
Solución
Considerando la curva directriz en el plano XY para esto z = 0, por lo tanto, la directriz es
dado por: D:
K
I
+/
=i
la curva directriz.
z-o
Sea
P '{x\y',z')
directriz con las
el punto de
generatriz
.2
jc
D:
,2
entonces lo satisface.
,
...
x-x
y-y
z
1
1
-2
de la
+y = i
z'
G:
intersección
(1 )
= 0
(2 )
De la ecuación (1) y (2) eliminamos los parámetros x'
49
Superficies Cuadráticas
2x + z
jc -
jc
X =■
=
.
... (3)
>+ z
> = --------
y - y =-
2
2
reemplazando
2
15)
jc 2
+ 2
2x + Z 2
(3) en (1) se tiene.
2y+z 2
(--------) + (-------- ) = 1 ,
2
2
desarrollando se tiene.
y 2 + z 2 + 2 xz + 2 yz = 2
H allarla ecuación
2
2
de la esfera que pasa por las circunferencias x +z = 2 5 , y = 2;
x 2 + z 2 = 16 , y = 3
Solución
x2 + z 2 = 2 5 . y = 2
Con los datos haremos un gráfico para vísualiz;
el planteamiento del problema.
Y
í2 + z 2
= 16
y= 3
|| C4 ||= r = V l6r2 + 36r2 + 2 5 r2 = ^308
Del gráfico se tiene A(0,2,5) y en el A ACD.
r 2 = ( 2 —b ) 2 +25
2
2
En el A BCE se tiene r = (3 - b ) +16,
por lo tanto al igualar se tiene.
( 2 - b ) 2 + 2 5 = ( 3 - ó ) 2 + 16 => b = -2. Luego el centro es C(0,-2.0) y el radio /-2 =41
x 2 + (y + 2 ) 2 + z 2 = 41
16)
2
Hallar la ecuación de la esfera que pasa por las circunferencias x + y
i/; z = 3-j
x 2 +. y 2 = 16,
Solución
Con los datos del problema haremos un bosquejo del gráfico.
2
= 25, z = 2 ;
50
Eduardo Espinoza Ramos
Sea C el centro de la esfera de Radio R luego en el
A ACD: R~ = (2 - a )2 + 25. En el ACBE se obtiene:
R = (3 —a)~ +16. Luego igualando se tiene:
(2 —a ) 2 +25 = ( 3 - a ) 2 +16 => 2a = -4 => a = -2
Luego el centro es C(-2,0,0) y el radio R =41 por lo
tanto la ecuación de la esfera es:
E: (jc + 2 ) 2 + y 2 + z 2 =41
El eje OY es el eje de un cono circular que tiene el vértice en el origen de coordenadas, sus
generatrices forman un ángulo de 60° con el eje OY. Hallar la ecuación de este cono.
Solución
Definimos a la curva directriz en el plano y = 1.
\x2 +z2 = 3
D: ]
l
y= i
, la curva directriz
Sea P'(_x',y',z ) 6 D a G entonces se tiene si P’( x \ y ' , z )
D:
?
■*
jc '+ z ,- = 3
v’= l
6
D entonces satisface a la ecuación
... (1)
Superficies Cuadráticas
51
x-
ahora calculamos la ecuación de la generatriz:
0
jc ' - O
x
de donde
v
v-
z-
0
0
"" v'-O ~ z’-O
z
(2 )
de la ecuación ( 1 ) y (2 ) eliminamos los parámetros x',y':
X
x
—= v
x'
x ’= —
y
... (3)
z =■
=y
X 2
2
Z
2
2
Reemplazando (3) en (1) se tiene: (—) + (—) = 3, de donde x + z = 3y
18)
2
Encontrar la ecuación del cono, con vértice en el origen, cuyas generatrices hacen un ángulo
de 30® con el vector unitario que forman ángulos iguales con los ejes X, Y, Z.
Solución
Por datos del problema se tiene ü = (c o s a , eos (i f iosy),
i
2a
como eos 2 a + eos 2 pa +cos 2 y = 1i = > 3 eos
=i
1
puesto que eos a = eos P = eos y
Y
^
co sa = ± ---2
Sea
VJ
=> u = ------(1,1,1)
3
r = (x, y, z) el vector de posición de un punto
cualquiera del cono, como por dato se tiene entonces,
r . u =|| r |||| u || eos 30a
>/3
l—2----- 2-----T V 3
(x ,y ,z ) -----( 1 , 1 , 1 ) = V* + v + z ■-----
- ( x + v + z) =
3
2(x + y + z ) =3*Jx2 + y 2 + Z 1
Eduardo Espinoza Ramos
52
19)
Hallar la ecuación del cono que tiene el vértice en el punto (0,0,C) ; si las ecuaciones de la
2
2
X
v
— + —y = 1 , z = 0
a~ b
directriz son:
Solución
X
2
2
V
5""*— T : ^
a
b
, la curva directriz. Si P' (x' ,y', z') e D entonces lo satisface,
Sea D:
z=0
*
D:
,2
,2
9 ”+
9 ” —^
z'=
i
... ( 1 ), ahora calculamos la ecuación de la generatriz donde V(0,0,C) es
0
el vértice de la superficie cónica. G
X
v z +c
G: — = — = -----x' y
—c
x
z —c
x'
-c
v
z-c
y
-c
——= ———= ——— y como z'= 0
x'-O y'-O
z'-c
... (2), de las ecuaciones (1) y (2) eliminamos x \ y '
xc
X =•
c-z
... (3)
,
reemplazando (3) en (1) se tiene:
cv
y =c —z
1I
XCI 2
1 CV 2
X2 V
— (------ ) + — (—1—) = 1 , simplificando se tiene — +
a c-z
b c-z
a h
20)
2
(, z - c )»2
j— = 0
c
Hallar la ecuación del cono que tiene el vértice en el origen de coordenadas, si las ecuaciones
de la directriz son:
| x —2 z +
v -z + l=
1
=0
0
Solución
Ix —2 z + 1 = 0
x ,2 - 2 z ' + 1 = 0
Sea D: i
Sí P’( x ' , y ' , z ’) e D entonces D: i
[y-z+ 1= 0
[_v'-z'+l = 0
... (1)
53
Superficies Cuadráticas
x-
La ecuación de la generatriz es: G:
y —O
0
z-
0
x'-O ~ v'-O ~ z'-O
de donde
G:
X
V
z
x'
y'
z'
... ( 2 )
de las ecuaciones ( 1 ) y (2 ) eliminamos los parámetros x ',y ',z '
x
z
i
xz'
x =-
_»
X
z
y
z
y'
z'
(3)
vz
V =■
reemplazando (3) en la ecuación y'+z'+l = 0
Z= ■
z-y
vz
x
X= ■
z- y
z'+l = 0
... (4)
y
y =-
z-y
2z
Ahora reemplazamos (4) en x ,2 -2 z '+ l = 0 , se tiene: (------ )“ —------- +1 = 0 simplificando
z-y
z-y
tenemos la ecuación
21)
2
x -z
2
+v
2
n
= 0
Una vez comprobado que el punto M (l,3,-1) está situado en el paraboloide hiperbólico
4 x 2 —z 2 = y , hallar las ecuaciones de sus generatrices que pasa por el punto M.
Solución
Sea H: 4 x 2 - z 2 = y => Af(l,3,-1) e H => 4 - 1 = 3
Las ecuaciones de sus generatrices que pasan por M son (2x + z)(2x - z)= y, de donde
v
L , :2 x + z = k a 2 x - z = —
1
k
—(1),
y
L - , : 2 x - z = k a 2x + z = —
k
—(2)
54
Eduardo Espinosa Ramos
de la ecuación ( 1 )
2
L : 2 x +z =
a 2 x - z = v =>
1
x + z = k =>
2
-
1
—k => k =
1
x
v+1
z- 1
= ------ = -----1 4 - 2
de la ecuación (2), 2x - z = k => 2 + I = k = > k = 3
: 2 x -z = 3
(x, v,z) e
y
a 2x + z = — => L-¡: z = 2 x - 3
3
a
v = 1 2 x -9
=>(x, v,z) = ( x ,1 2 x -9 ,2 x -3 ) = (0,-9,-3) + x(l,12,2)
x _ v+ 9 _ z + 3
i ——------- = -----1
22)
12
2
Hallar al ecuación de la superficie engendrada por rotación de la elipse
x =0
entorno del eje OY.
Solución
Consideremos un punto arbitrario del espacio M(x,y,z) y que C es el pie de la perpendicular
bajada del punto M al eje OY al punto M lo trasladamos al plano OYZ mediante una rotación
de esta perpendicular alrededor del eje OY y a este punto designamos por N(o,y,z) ahora
haremos el dibujo correspondiente a la superficie, mediante el cual daremos la ecuación de
dicha superficie.
Superficies Cuadráticas
55
CM = CN donde CAÍ = -Jx~ + z 2 , CA = 2 ,
de donde |z,| = -<]x~ + z 2
y, = y
además es evidente que
... (1)
... (2 )
El punto M(x,y,z) está situado en la superficie de revolución si y solo si N ( o 1 y í
2
2
y\
z¡
—r- + — =
la elipse dada, es decir:
2
de las igualdades (1) y (2) en (3) se tiene:—
b
Hallar
2
x
—
a
la
ecuación
de
la
... (3)
1
V
23)
) está en
X
2 , 2
+
Z
——= lque es la ecuación buscada.
c~
superficie engendrada por la rotación de la hipérbola
2
z
— = 1, y = 0, alrededor del eje OZ.
c
Solución
Sea M(x,y,z) un punto en el espacio
tomado
arbitrariamente, y D el pie de la perpendicular trazada
desde el punto M al eje OZ. El punto M lo
trasladamos al plano OXZ mediante una rotación de
esta perpendicular alrededor del eje OZ. Designemos
este punto en dicha situación por N ( x \ o , y ' ) .
Luego || DM || = || DN || donde
DM || = A/(A -0 ) 2 + ( 3 '- 0 ) 2 + U - z r = V *
además || DN || = |jc| por lo tanto |jc'| =
+ y" además z = z
2
+ v2
... (1)
El punto M está situado en la superficie de revolución si y solamente si, el punto N está en la
hipérbola dada, es decir: si — ——^- =
a
c~
1
... (2 )
56
Eduardo Espinoza Ramos
ahora
reemplazamos
(1)
en
(2 )
se
(■Jx~ + v 2 ) 2 z 2
-------- ^----------— - = 1 , simplificando
a
c~
tiene.
1
f
1
X~ +
x
j — - — = 1 , ecuación de la superficie engendrada.
a
c
2
24)
2
2
x
v
z
Demostrar que el hiperboloide de dos hojas, determinado por la ecuación —y + ~ i ~ ~ Y = —1
a b e
í 2
2
— —
1
se puede tener por rotación de la hipérbola. { c 2
a 2 entorno al eje OZ y una sucesiva
(
y =0
contracción uniforme del espacio al plano OXZ.
Solución
Primeramente hallaremos la ecuación de la superficie de revolución que se va a generar.
Sea M(x,y,z) un punto del espacio tomado arbitrariamente y D el pie de la perpendicular
trazada desde M al eje OZ, el punto M lo trasladamos por rotación de esta perpendicular
sobre el eje OZ hacia el plano OXZ. Asignamos a este punto en dicha situación por
N ( x ' . o ,:').L uego || DM ||= || D N || ,
de donde
|| DM || = t / ( .v - 0 ) 2 + (>’—0 ) 2 + ( z - z ) 2 =yjx2 + y 2
|.r1 = -y/jf2 + y 2
,2
y
y
|| DN || = | x | ,
luego
se
tiene
z = z' como en el punto N(x' .o,~') está en la hipérbola entonces
,2
z
r
—2------ y ~ 1’ P°r 1° tanto se tiene:
c
a
engendrada, suponiendo ahora que
2
2
2
z
x +v
—
j — = 1 ... ( 1 ) , es la superficie de revolución
c
a
se efectúa una contracción uniforme del espacio de la
a
superficie (1) hacia el plano OXZ con el coeficiente de contracción q = — y que el punto
b
M '(x',y' ,z ') es el punto que se traslada M(x,y,z) como MM' es perpendicular al plano
OXZ tenemos que jc = jc' ,
,2
Z
tiene.
—y
c
2
O
x' + (— V')
~ ------------ j
a
a
y = —y'
b
, z = z'
2
.2
Z
= 1.
simplificando
—
c
... (2) ahora reemplazando (2) en (1) se
,2
,2
X
V
— j - —— y =
a
b
,2
X
1
—
a
,2
,2
y’
Z
Y +— T ~ ~ 2~ = —^
b
e
57
Superficies Cuadráticas
2
25)
Demostrar que el elipsoide escaleno determinado por la ecuación
2
puede obtener como resultado de una rotación de la elipse:
*
a
2
2
x
y
z
—j- + —j - + — = 1 se
a b e
2
y
b
,
alrededor del
z=0
eje OX y una sucesiva contracción uniforme del espacio hacia el plano OXY.
Solución
Hallaremos primero la ecuación de la superficie de
revolución que se va a generar. Sea M(x,y,z) un
punto del espacio tomado arbitrariamente y D el pie
^
de la perpendicular trazado desde M al eje OX.
El punto M lo trasladamos por rotación de esta
perpendicular sobre el eje OX hacia el plano OXY,
designemos este punto en dicha situación por
N(x,y,o) luego || DM ||=|| ZW ||, de donde:
l\DM\\ = J ( x - x ) 2 + ( y - 0 ) 2 + ( z - o ) 2 = J y 2 + z 2 y || Z W || = M
por lo tanto |yj = -Jy 2 + z 2 ,
2
x =x’
•••(!)
2
x
y
como — + —y = 1, contiene al punto M si y solo si, el punto N está en la elipse dada,
a
b
es decir:
x'2 y ' 2
— +TT = 1
a
b
... (2 )
2
2
x
y +z
ahora reemplazando (2 ) en ( 1 ) tenemos — + ----r—
a
b
2
= 1
... (3)
La ecuación (3) es la ecuación de la superficie de revolución engendrada. Supongamos ahora
que se efectúa una contracción uniforme del espacio de la superficie (3) hacia el plano OXY,
c
con el coeficiente q = —, y que el punto M' { x' , y ' , z ' ) es el punto al que se traslada M(x,y,z);
b
como M M ' es perpendicular al plano OXY, tenemos:
Eduardo Espinoza Ramos
58
c
x ’= x , y = y' , z ’= —z
...(4 )
supongamos que M(x,y,z) es un punto arbitrario de la superficie de revolución (3)
2
b 2
y ,2 + ( - z ')2
C
sustituyendo aquí sus valores de la ecuación (4) se tiene —j- +------- 2------- = 1, simplificando
a
b
.2
x
a
,2
y
b
,2
z
2~
e
,2
2~ ^
Luego la ecuación (5) es la ecuación del elipsoide escalena.
1.14
Ejercidos. Propuestos^
Discutir y graficar las siguientes superficies:
1)
I x | + 1y | =
3)
z = ln(x + y 2)
2
6
2) 9 x 2 + 4 y 2 —12z = 0
-z
4) x 2 + y 2 = l n z
2
5)
— + — = 4y
36 25
7)
x 2 +z2 =tgy
9)
y2 +z = 2
)
6
8)
4x+ Jy+ 4z= 1
x 2 = 2 x + 4z
10) 4x 2 + 9 y 2 —z 2 = 3 6
x2
z~i i i i
\x\+\)]
12)
4 x 2y
13)
x 2 + z2 =4y
14) 4x 2 - 9 y 2 + z 2 = 3 6
15)
x 2 =2y+4z
16) y = |x 2 |- 2 |jt| + l
17)
3x 2 - 6 y 2 + 2z 2 = 6
18) x 2 - 3 y 2 - 4 z = 0
*z =
3
3
2x y + 2y x
59
Superficies Cuadráticas
y 2 +z2 = sen2 *
20)
)
4x+ 4^ =2
22
23)
x 2 = y 2 +z2
24) x 2 = |z|
25)
z + y 2- 2 y = 0
26)
27)
r = (jt + 2 ) 2 + ( y —3)2 —9
28) \x\2z - 2 x + ^ y f =0
29)
x 2 + y 2 +z2 -3 ( x + 2 z ) + ( y + 8 ) = 0
30)
31)
2x2- / + 8 z 2 = -8
32) z = (x + 2)2 + ( y - 3 ) 2 +9
19)
21
)
z = x 4 +y* - 4 x 2y 2
z = |y |
2
2
- — — = 9y
36 25
8 jc2
-4jQ/ + 5_y2 + z 2 = 3 6
33) Discutir y grañcar la superficie \x \ 2 z - 2 x + z \ y \2= 0
34) Discutir y graficar la superficie 8 jc2 - 4 x y + 5 y 2 + z 2 =36
35) Discutir y graficar analíticamente la gráfica de la superficie
a)
x 2 + y 2 + z 2 -3(x + 2z) + (y+8) = 0
b)
2 jc2
- y 2 +8z2
= - 8
36) Hacer una discusión completa del paraboloide de ecuación x 2 - y 2 - 2 x + 4y+
= 6
II.1)
Hallar la ecuación de la esfera de radio R = 3 y que es tangente al plano x + 2y + 2z = -3 en
el punto P (l, 1,-3).
2)
Í
R pta. ( x - 2 ) 2 + ( y - 3 ) 2 +(z + l ) 2 = 9
Hallar la ecuación de la esfera que pasa por el origen de coordenadas y por la circunferencia
2
2
2
„
\x 2 + y 2 +z 2 =
= 225!
2x-3y+5z =0
2
2
2
R pta. x + y + z -1 0 z + 1 5 y -2 5 z = 0
Eduardo Espinazo Ramos
60
3)
Hallar
la
ecuación
de
la
\ x 2 + y/ 2++ :z 2 - 2 xx + 3yy —6 z - 5 = 0
esfera
que
pasa
por
la
circunferencia
y por el punto P(2,-1,1)
5x + 2 y - z = 3
R pta.
4)
x 2 + y 2 + z 2 + 9 y - 9 z + 14 = 0
Hallar la ecuación de la esfera tangente en (4,3,6) al plano 3x + y + 5z - 45 = 0 y tangente
en (2,5,-4) al plano x + 3y - 5z - 37 = 0.
R pta.
5)
Hallar
la
ecuación
de
la
x 2 + y 2 + z 2 + 66x
. + 4 y - 2 z = 25;
( x - l ) 2 + ( y - 2 ) 2 + ( z - l ) 2 = 35
esfera
que
contiene
a
la
x 2 + y 2 + z 2 + 2 x —6 y + 1 2 z = 17
circunferencia
y
contiene al
punto ( 1 ,- 1 ,2 ).
Rpta.
6
)
17(x2 + y 2 + z 2) + 1 7 6 x - 6 6 y + 2 5 8 z - 9 5 0 = 0
Hallar la ecuación de la superficie esférica que pasa por la circunferencia de intersección de
las
dos
superficies
esféricas
2
2
2
x + y + z - 2 x + 2 y - 4 z + 2 = 0,
x 2 + y 2 + z 2 - 4 x - 2 y - 6 z + l 0 = 0 y también pasa por el punto (-2,4,0).
Rpta.
7)
x 2 + y 2 + z 2 - 1 9 x - 3 2 y - 2 1 z + 70= 0
Hallar la ecuación de la esfera que está en los planos paralelos n x: 2 x - y + 2 z + l = 0;
n 2: 2 x - y + 2 z - 17 = 0 conociendo que P(l,3,0) es el punto de contacto de uno de ellos.
8)
Hallar la ecuación de la esfera que tiene su centro en la recta L: 2x + 4 y - z - 7 —0
a
4 x + 5 y + ^ - 1 4 = 0 y es tangente a los planos x + 2 y -2 z - 2 = 0 , x + 2y-2z + 4 = 0.
Rpta.
9)
(x + l) 2 + { y - 3 )2 + ( z - 3 ) 2 = 4
Encuentre la ecuación de la esfera tangente en (1,-1,4) al plano P1:2 x - _ y + 3 z - 1 5 = 0
tangente en (l,-2,5) al plano P2: x - 2 y + 4 z - 2 7 = 0
y
Superficies Cuadráticas
10)
61
Halle la ecuación de la esfera concéntrica a x 2 + y 2 + z 2 + 6 y - 4 z + 9 = 0 y tangente al plano
Tt: 2x - 3y + 2z + 4 = 0.
11)
Halle la ecuación de la esfera cuyo centro está en el plano XY y es tangente al plano
3x + 2y - z -
12)
6
= 0 en (1,5,7).
Se dan dos puntos fijos P y Q, demostrar que el lugar geométrico de un punto P0 que
satisface a la igualdad || PP0 || = n || QP0 || es una esfera (con n constante, n * 1).
13)
Hallar la ecuación de la esfera tangente a los planos XZ y YZ en el primer octante si su radio
es 5 y pasa por el punto (9,2,6).
14)
Determinar el centro y radio de la circunferencia
U x - 3 ) 2 + ( y + 2 )2 + ( z - 1) 2 =100
[
2 x-2 y-z+ 9 =0
R pta.
15)
Calcular el
radio de
C(-l,2,3) , R =
la esfera que es
8
tangente a los planos 3x + 2 y - 6 z - 15=0,
3x + 2y - 6 z + 55 = 0.
Rpta.
16)
Hallar la ecuación de la esfera con el centro en C(2,3,-l), que corta en la recta 5x
- 4y + 3z + 20 = 0, 3x - 4y + z -
8
= 0, una cuerda de longitud igual a 16.
Rpta.
17)
R= 5
( x - 2 ) 2 + (_y-3 ) 2 + ( z + l ) 2 = 289
Hallar la ecuación del plano tangente a la esfera x 2 + y 2 + z 2 - 8 x - 2 y + 2 z + 10 = 0 y que sea
paralelo al plano x + 2y - 2z - 3 = 0.
Eduardo Espinoza Ramos
62
18)
Hallar las ecuaciones paramétricas de la recta que contiene el diámetro de la esfera
x 2 + y 2 + : 2 + 2x - 6y +4z -1 1 = 0, que es perpendicular al plano 5x-y + 2z -17 = 0.
Rpta.
19)
L: x = 5t - 1 , y = -t + 3 , z = 2t - 0.5
Hallar la ecuación canónica de la recta que contiene el diámetro de la esfera
x 2 + y 2 + z 2 - x + 3 y + z - l 3 = 0, que es paralelo a la recta x = 2t - 1, y = -3t + 5, z = 4t - 7.
Rpta.
20)
2
x -0 .5
y + 1.5 z+0.5
L: -------- = --------- = --------
2
Hallar en la esfera (x - 1 ) + ( y + 2 ) + ( z - 3) = 25 el punto M más próximo al plano
3x - 4z + 19 = 0 y calcular la distancia d del punto P a éste plano.
Rpta.
21)
M(-2,-2,7) , d = 3
Hallar la ecuación del plano que pasa por la línea de intersección de las dos esferas
2 x 2 + 2 y 2 + 2 z 2 + 3 x - 2 y + z - 5 = 0 ; x 2 + y 2 + z 2 - j c + 3 y - 2 z + l = 0.
Rpta.
22)
5x - 8 y + 5z - 7 = 0
El punto C (l,-l,-2 ) es el centro de una circunferencia que corta en la recta 2x —y+2z — 12=
0, 4x - 7y - z +
6
= 0
una cuerda de longitud igual a
8
. Hallar la ecuación de la
circunferencia.
Rpta.
23)
j ( x - l ) 2 + { y + \ ) 2 + (z + 2 ) 2 =65
C: 1
1 8 x -2 2 y + 5 z -3 0 = 0
Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los tres puntos A (3 ,-l,-2 ), B (l,l,-2) y
Superficies Cuadráticas
24)
63
7
2
2
Demostrar que el plano 2x - 6 y + 3z - 49 = 0 es tangente a la esfera x~ + y + z = 49,
calcular las coordenadas del punto de contacto.
Rpta.
25)
Hallar los valores de A para los cuales el plano x + y + z = A es tangente a la esfera
x 2 + v2 +z2 =
1 2
.
Rpta.
26)
(2,-6,3)
A=
± 6
Hallar la ecuación del plano tangente a la esfera ( x - 3 ) 2 + ( v - l ) 2 + (z + 2 ) 2 = 2 4
en el
punto M(-l,3,0).
Rpta.
27)
2x - y - z = -5
Hallar las ecuaciones de los planos tangentes a la esfera ( x - 3 ) 2 + ( y + 2 )2 + ( z - l ) 2 =25
paralelos al plano 4x + 3z - 17 = 0
Rpta.
28)
4x + 3 z -4 0 = 0
Determinar la ecuación del plano tangente al
paralelo al plano tangente de la esfera
elipsoide
;
4x + 3 z + 1 0 = 0
x 2 + ( y —l ) 2 + 4(z + 2 ) 2 = 4
jc2 + ( y - l ) 2 + (z + 2 ) 2 = 9
en el punto
( - 1. 1 - 2 + S ) .
Rpta.
29)
3jc - 6^¡2z + 2-^3 + 6 ^ 2 - 4 = 0 .
Deducir la condición, según la cual el plano Ax + Bv + C z + D = 0 , es tangente a la esfera
x 2 + y 2 + z 2 = R 2.
Rpta.
30)
A 2 R 2 + B 2R 2 + C 2 R 2 = D
Encuentre la ecuación de la esfera tangente en (1,-2,4) el plano n 1 : 2 x - y + 3 z -1 5 = 0 y
tangente en (1,-2,5) el plano n 2 - x - 3 y + 4 z - 2 1 =0.
64
31)
Eduardo Espinoza Ramos
Por los puntos de intersección de la recta x = 3 t - 5 , y = 5t —11,
z = - 4 y + 9 y la esfera
(x + 2 ) 2 + ( y - l ) 2 + (z + 5) 2 = 49 se han trazado planos tangentes a esta esfera. Hallar sus
ecuaciones.
Rpta.
32)
3 x - 2 y + 6 z - l l = 0, 6 x + 3 y + 2 z - 3 0 = 0
Hallar las ecuaciones de los planos tangentes a la esfera x 2 + y 2 + z 2 = 9 paralelo al plano
x + 2 v -2 z + 1 5 = 0.
Rpta.
33)
x + 2 v - 2 z - 9 = 0,
Demostrar que por la recta x = 4( + 4, v = 3 f+ l,
z = í + l se puede trazar solamente un
plano tangente a la esfera x 2 + y 2 + z 2 —2 x + 6 y + 2 z + 8 =
Rpta.
jc + 2 v -2 z + 9 = 0
0
y hallar su ecuación .
x-y-z-2
í 8 * -1 1 v + 8 z = 30
34)
Demostrar que se puede trazar por la recta i
esfera
35)
Hallar
[ x - y - 2z =0
, dos planos tangentes
a la
x 2 + y 2 + z 2 + 2 x - 6 v + 4 z -1 5 = 0
la
ecuación
de
la
esfera
que
está
en
n l -2 x - y + 2 z + 1 = 0, n 2 '.2x—y + 2 z - \1 = 0, conociendo que
los
planos
paralelos
/^ ( 1,3,0) es el punto de
contacto de uno de ellos.
36)
Hallar las ecuaciones de las esferas que contenga él circulo x 2 + y 2 + z 2 —5 , x+2y+ 3z = 3
y son tangentes al plano 4x + 3y = 15.
37)
Encontrar la ecuación de la esfera que es tangente al plano x — 8 y + 4z + 7 = 0 y es
concéntrica alaesfera x 2 + y 2 + z 2 - 1 2 x —4 y —6z+33 = 0 .
38)
Hallar la ecuación de la esfera cuyo centro esta en el eje X y pasa por los puntos Px(0,5,0) y
P2 ( - 2 .1.0 ).
Superficies Cuadráticas
39)
Encontrar la ecuación de la esfera cuyo centro esta enel plano XZ y es tangente al plano
2x
40)
65
y + z - 4 = 0 en el punto P( 1,7,4).
Hallar la ecuación del plano P que contiene a la recta L = {(1,2,3) + t(l,-l,0 ) / t € R) de
modo que dicho plano sea tangente a la esfera x 1 + y 2 + r~ = 1 .
41)
Í2.r + 4v —z = 7
Determinar la ecuación de una esfera cuyo centro esta sobre la recta (
y es
[4x+ 5y+ z = 14
tangente a los planos Px : x + 2 y - 2 z = 2 y P2 : j c + 2 v - 2 z + 4 = 0 .
42)
x
2
y
2
z
2
Demostrar que el elipsoide — + -— + — = 1 , tiene
81 36 36
un punto
común con
el plano
4x - 3 v + 12z - 54 = 0 y hallar sus coordenadas.
R pta.
2
43)
44)
2
2
plano 5x + 2 z + 5 = 0 y hallar sus coordenadas c(3.0 -
1 0 ).
X
V
z
Demostrar que el hiperboloide de dos hojas — +-— —— = -1 tiene un punto común con el
3 4
25
X
2
Demostrar que el paraboloide elíptico —
9
2x - 2 v- z -
10
z
2
h
= 2 4 tiene un punto común con el plano
4
= 0 y hallar sus coordenadas.
Rpta.
45)
c(6,-2,2)
c(9,5,-2)
Discutir y graficar las superficies cilindricas, rectas cuyas ecuaciones se da.
a)
jt2 -
4z=0
c)
9x2 + 4 y 2
= 36
b)
v2 + z ~ = 4
d)
y2 + z = 2
66
Eduardo Espinazo Ramos
e)
jc2 + v 2 —2v = 0
.
1-2
46)
1,2
x
g)
+z
f)
-
9 y 2 - 4 z 2 = 36
n)
=2
r
2 .3
+v
2 /3
,
=1
Dada la ecuación de la directriz y los números directores de las generatrices de una superficie
cilindrica. Hallar su ecuación y su gráfica.
47)
a)
v 1 =4.r,
c)
jr2 - .v 2 = I, z = 0 ; [0 ,2 - 1]
e)
4.v2 + z 2 + 4 z = 0, y = 0; [4,1,0]
g)
2
z
= 0; [ l - l , l ]
b) .r2 + r 2 = 1, v = 0; [2,1 ,-l]
d)
f)
r 2 +.v= 1, z = 0 ; [2 ,0 ,l]
v’ + z 3 = 1, y = 0; [3,1 ,-l]
h) x z = \ , y = 0 ; [ 2 , - l , 0 ]
y ~ + z 2 = 2 , ,t = 0 ; [l,2,3]
Hallar la ecuación de la superficie cilindrica cuya directriz es y 2 + z 2 = l, jr = 0 con
generatriz ortogonal al plano jr + 2 y - 2 z - 4 = 0.
48)
Las generatrices de un cilindro circunscrito en la esfera x 2 + y 2 + z 2 - 2jt+ 4 v + 2 z - 3 = 0,
son
paralelas
a la recta x = 2t - 3, y = -t+7, z = -2t + 5
Rpta.
49)
Las ecuaciones de una recta
x + 2 y - z = 4,
2x - y + z +
6
4 x 2 +4_y2 + z 2 +I 2y —6z + 8xz —4 vz = 27.
paralela a la generatriz de la superficie cilindrica es
= 0, y la ecuación de su directriz es 2 x 2 + y 2 = 4, se pide
hallar la ecuación de su superficie.
50)
Encuentre la ecuación del circulo que es perpendicular al plano XY, y cuya directriz es el
círculo en el plano XY con centro en c(4,-3,0) y radio 5.
55)
Hallar la superficie cilindrica cuya directriz es la intersección de las superficies
3.V2 - > ’+ 3z 2 = 1
a
2.v + 3y —z = 0
x - 1 v -4
z+ 2
L:------= ------- = ------- 1 2
3
y cuya
generatriz son
paralelos
a
la
recta
67
Superficies Cuadráticas
56)
Identificar y graíicar la superficie x 2 + y 2 + 4 z ’ - 2xy + 4xz —Ay: = 1.
57)
Graficar la supcrlicic .v2 + y 2 + 5z 2 - 2xz + 4 yz = 1, ¿es una superficie cilindrica? lis caso
afirmativo hallar sus elementos.
58)
Graficar la superficie x 2 +6_y2 + 2 5 z2 + 2xz-24_yz-16 = 0
en caso de ser superficie
cilindrica, hallar sus elementos.
59)
Demuestre que x 2 + 4 y 2 - 2xz + 8 >z + 5z 2 = 4 es una superficie cilindrica y conociendo sus
elementos, halle su gráfica.
x —]
60)
Encuentre la ecuación del cilindro de radio
61)
Halle la ecuación de la superficie cilindrica cuya directriz es 4jt 2 + z 2 + 4 z = 0 , y = 0 y la
2
y tiene por eje a la recta — ------ v = 3
- 2
generatriz tiene como números directores [4,1,0].
62)
Pruebe que la ecuación
x 2 + y 2 + 5 z 2 + 2 jcz + 4 yz- 4 = 0
representa una superficie
cilindrica. Halle la directriz y la generatriz esboce la gráfica.
63)
Hallar
la
ecuación
del
cilindro
circunscrito
a
las
dos
esferas
: U - 2 ) 2 + ( v - l ) 2 + z 2 = 2 5 , E 2 : x 2 + y 2 + z 2 =25.
64)
Demostrar que la ecuación
2 x 2 + 2 v 2 + 4 z 2 +4.vz-9vz = 2
representa una superficie
cilindrica, y hallar las ecuaciones de su directriz y los números directores de sus generatrices.
65)
Hallar al ecuación del cilindro cuyas generatrices son paralelas al vector a = (2,—3,4), si las
ecuaciones de la generatriz son
j x 2+ v2 =9
1
K pta.
- 1
16v2 + 1 6 v 2 + 1 3 z2 —16.xr + 24 vr +1 6 jc —24y = 26z
68
66
Eduardo Espinoza Ramos
)
Hallar la ecuación de un cilindro circular que pasa por el punto M (2,-l,l) sí la recta
x = 3t + 1, y = -2t - 2, z = t + 2, en el eje del mismo.
Rpta.
67)
5x 2 +10 > ' 2 + 13z2 + l2xy —6x : + 4yz + 26x + 2 0 y —3%: + 3 = 0
Demuestre que las ecuaciones dadas representan una superficie cilindrica y hallar la ecuación
de su directriz y los números directores de sus generatrices y construir su gráfica.
68
)
a)
7
7
l
4 v ~ + 6 4 v ~ + r -32jrv + 4z = 0
b)
8 jt 2
- 9 r 2 - 9z 2 - 6 .W + 22.v + 12y + 5 = 0
c)
7
7
7
x~ + 4 v “ + 5z~ + 2 .rz + 4 y z -4 = 0
d)
1 7 x " + 2 y 2 + z 2 - 8 x v - 6 .í z - 2 = 0
e)
xz + 2 yz -
f)
x 2 +5z 2 - 2 x z + 8 y z + 4 y 2 - 4 = 0
g)
2 x 2 + 4 y 2 - 4 x z + 6z 2 + 8 y z - 4 = 0
h)
z~ + je2 + 2 v 2 + 2 _vz —2 xy — 1 = 0
i)
2 x 2 + y 2 +3z 2 - 2 y z + 4 x z - 2 = 0
j)
z" +4.yv + 2 v “ -4.vz+6jf" + 4 = 0
1 = 0
Dadas las ecuaciones de la directriz y las coordenadas del vértice de una superficie cónica,
hallar su ecuación y hacer su gráfica.
a)
.v~ + v " = 4 , /. = 2,
V(0,0,0)
b)
v " = 2 r,
c)
z" = 4 v, v = 0, F(2,0,0)
z = -2, V(0,0,0)
Rpta.
x~ + y 2 = z 2
Rpta.
.v~ + yz = 0
Rpta.
z 2 +2.vi = 4 v
69
Superficies Cuadráticas
d)
y 2 + z 2 = 9 , x = 2 , K (- 1 , 1 ,0 )
Rpta.
e)
x
2-4
z2
69)
-9 y 2 -Qz2 -6 x y+ 2 2 \ + l2y +5 = 0
= 4. y = 3, F í —1,1,1)
Rpta.
f)
8x2
4x 2 - 7 y 2 —16z2 -4 x v + 16yz + 12x + 26_y + 48z = 31
y = x 3, z = 2 , K(0,0,0)
Rpta.
4x3 - y 2 = 0
Hallar la ecuación del cono circular, si los ejes de coordenadas son generatrices de él.
R pta. xy + xz + y z = 0
70)
Hallar la ecuación del cono que tiene el vértice en el origen de coordenadas, si la
generatrices son tangentes de la esfera (x + 2) 2 +(_y-1 ) 2 + (z —l ) 2 = 9 .
Rpta. x 2 + 4 y 2 - 4 z 2 + 4xy + 1 2xz - 6 _yz = 0
71)
Hallar la ecuación del cono que tiene el vértice en el punto P (5,0,0), si las generatrices son
tangentes a la esfera x 2 + y 2 + z 2 = 9 .
Rpta. 9x 2 - 1 6y 2 - 16z2 - 90x + 225 = 0
72)
Hallar la ecuación del cono cuyo vértice está en el punto (3,-1,-2) si las ecuaciones de la
I x 2 +. y 2 - z 2 =1i
x-y+ z
= 0
Rpta. 3x 3 - 5 y 2 + 7 z 2 - 6xy + 1Oxz - 2 yz - 4 x + 4_y - 4 z + 4 = 0
73)
La re c ta
x -2
y+1
z+ 1
= ^ — = ------ es el eje de un cono circular cuyo vértice está situado en ei
2
-2
-1
5
plano OYZ. Hallar la ecuación de éste cono, si se sabe que el punto A /(l,l,— ) está situadr
2
en la superficie.
Rpta. 35x2 +35_yZ- 5 2 z Z -232xy-116xz+ 116_yz + 2 3 2 x -7 0 _ y -1 1 6 z + 3 5 = 0
Eduardo Espinoza Ramos
70
74)
Hallar la ecuación de la superficie cuya directriz es la curva C: x =cos t, y = l + sent,
z=
75)
2
+ sen t , y , y cuyo vértice es el punto V (l,l,- 2 ).
Hallar la ecuación del cono cuyo vértice está en el origen de coordenadas, si se dan las
ecuaciones de su directriz.
2
a)
2
x
y
—j-h— 2 "= 1, z = c
a
h
2
b)
c)
76)
x
Rpt
2
2
z
X
2
h
2
~
a
2
—j-H— 2 ~= 1, x = a
b
c
y
2
z
~ r +T T ~~2
a
x
z
~ T + —T = 1’ */ = ^
a
cí
y
2
y
Rpt:
2
C
2
z
+ ~2
c
z
y
h-
2
X
c
b
2
a
2
2
2
2
2
V z
Hallar las ecuaciones de las generatrices del hiperboloide de una h o ja
h — —— = 1, que
4
9 16
X
son paralelos al plano 4x + 4_y + 3z - 1 7 = 0.
Rpta. G.
x
y —3
z
x-2
y
z
= -------= — , G1:------- = — = —
1
0
-2
0
3 -4
—>
77)
Hallar la ecuación delplano
que esperpendicular alvector
a = (2,-1 ,-2 ) y tangente al
2
2
x
y
paraboloide elíptico — + — = 2 z .
Rpta.
78)
;r:2 x -v -2 z -4 = 0
Hallar los valoresde m para los cuales la intersección
paraboloide elíptico
X
2
Z
delplano
;r:x + m y -2 = 0
2
v — = y , sea
2
3
a)
Una elipse.
b)
R pta.
a)
m * 0, m> — , pero si m = — resulta una elipse degenerada, un punto.
4
4
b)
m= 0 .
1
Una parábola.
1
con el
71
Superficies Cuadráticas
79)
Demuestre que las intersecciones del plano: n : 4 x + Sy + 1 0 z-2 0 = 0, con el hiperboloide de
X
2
V
2
una hoja — + 25 16
generatrices.
z
2
= 1 , son generatrices de éste. Hallar las ecuaciones de estas
4
Jy + 2z = 0
RP“ - C ,: U + 5
80)
í 2 x - 5z = 0
'
- 0
C ¡ : 1\ y +
4
X
=0
2
V
2
Z
2
Hallar las ecuaciones de las generatrices del hiperboloide de una hoja — + :------------ 1 , que
4 9
16
son paralelos al plano 6 x + 4 y + 3z - 17 = 0.
z
Rpta. L, :x = — , y = 3 ;
-2
81)
v
z
=— , x= 2
3 -4
Una vez comprobado que el punto A (-2,0,l) está situado en el paraboloide hiperbólico
x
2
y
2
— - — = z , determinar el ángulo agudo formado por sus generatrices que pasan por el
4
9
1
punto A.
82)
1
8 = are.cos(— )
Rpta.
17
Hallar la ecuación de la superficie cónica si suvértice es (0,-p,0) y su directriz está dado por:
2
X +V
2
2
„2
+Z = P
2
Rpta.
x
2
2
+ z - y - (iz = 0
y+z= P
83)
Hallar la ecuación del cono cuyo vértice esta en el punto (3,-1,2) si las ecu
í x 2 + v2 - z 2 = l
directriz son {
x-y+ z= 0
84)
Un punto P que se encuentra sobre la recta que pasa por los puntos (4,2,2) y (-2,0,6) es el
vértice de una superficie cónica, sabiendo que la segunda componente de P es 1 y que la
directriz del cono se encuentra en al intersección de la esfera x 2 + y z + z 2 —2x —4 y —2 z =3
con el plano z = 0. Hallar la ecuación de la superficie cónica.
72
85)
Eduardo Espinoza Ramos
Hallar la ecuación de la superficie de revolución generada por la rotación de la curva dada
entorno al eje indicado.
a)
C :z = e , x = 0 ,e je y
Rpta.
x + z = e 2y
b)
C :y = 3x, z = 0 , eje x
Rpta.
9x 2 - y
c)
C :y = lnz, x = O e je z
R pta.
x 2 + y 2 = ln z
d)
C:z = 2y, x = O ejey
Rpta.
x 2 + z 2 —2y = 0
e)
C : y 2 . z 2 = 4, x = 0 eje y
n
.
Rpta.
y2 -x
f)
C :9x 2 + 4 y 2 =36, z = 0
Rpta.
9 x 2 + 4 y 2 + 9z 2 = 3 6
2
2
- z 2 =0
-z
2
g)
C .x + 2 y = 6 , z = 0
Rpta.
x 2 + z 2 + 2y =
h)
C : y 2 = 2 z, x = 0
Rpta.
y 4 - 4 x 2 - 4z 2 - 0
i)
C :z = e \ y = 0
R pta.
z =e
j)
C :z =
Rpta.
y 2 + z2 = ■
|x|
—y , y =
1+ x
)
0
(1
,
+ x 2)
Hallar la ecuación de la superficie engendrada por rotación de la elipse.
2
2
y
z
—2” 1 T = ^
h
c
2
entorno el eje OY.
X
Rpta.
x=0
87)
6
4x
2
86
= 4.
2
X
2
+Z
— + ----j— = 1
b
c
Hallar la ecuación de la superficie engendrada por la rotación de la elipse.
2
2
x
y
—5"+—t~
a
b
z=0
1
alrededor del eje OX
R pta.
X
2
V
2
+Z
2
— + -— 5— =1
a~
h~
73
Superficies Cuadráticas
88
)
Hallar la ecuación de la superficie engendrada por la rotación de la hiperboloide
» '
2
*
—j
a
2
Z
2
7 = 1
c
alrededor del eje OZ.
Rpta.
y =o
2
2
x +y
z
----- —— - — = 1
a '
c
2
89)
2
2
x
y
z
Demostrar que el hiperboloide de una hoja determinado por la ecuación. —r + ^ y — T = 1»
a b e
X
2
2
Z
se puede obtener por rotación de la hipérbola — ----- 7 = 1 , y = 0 entorno del eje OZ y una
a
c
sucesiva contracción uniforme del espacio hacia el plano OXZ.
90)
Demostrar
2
2
que el
2
hiperboloide
de
dos
hojas,
determinado
por la
X
y
Z
Z
— — y ~ ~ j = - 1 , se puede obtener por rotación de la hipérbola —
a b e
c
2
X
ecuacu
2
- —7
= 1, y =
a
entorno del eje OZ y una sucesiva contracción uniforme del espacio hacia el plano OXZ.
74
Eduardo Espinoza Ramos
CAPITULO II
2.
P U N C IO N E S V E C T 0 R 1 Á L E S D E V A R I A B L E R E A L .
Pre-RequisitOS.-
Para la comprensión adecuada de este capitulo de funciones
vectoriales de variable real se requiere del conocimiento previo de:
Cálculo de funciones de una variable real.
Geometría Analítica.
Reglas básicas de diferenciación e integración para funciones de una variable real.
Objetivos.-
Establecer los conocimientos necesarios para el trazado de las curvas de tal
manera que en cada punto de la misma se determine
el triedro móvil, asi como los planos osculador, normal y rectificante.
Al término de este capitulo el estudiante debe ser capaz de:
Describir las curvas en el espacio por medio de ecuaciones paramétricas y como
intersección de superficies.
Utilizar las funciones vectoriales para describir el movimiento de un objeto a lo largo de
una curva en el espacio.
Definir el vector tangente unitario, el vector normal unitario y el vector binormal.
Calcular los planos: osculador, normal y rectificante.
Discutir la descomposición de la aceleración en sus componentes tangencial y normal.
75
Funciones Vectoriales de Variable Real
2.1
Introducción.-
Se ha estudiado la recta L en R 3 que pasa por el punto Po(xO’yo>zo)
y es paralela al vector a = (ü[ , a ^ , a^ ) como el conjunto
—
y
—
y
L = { p o + l a / t e R } . Luego a cada número real t le corresponde el punto p o +t a de la
recta, a tal correspondencia le llamaremos función vectorial de variable real y que
—>
denotaremos por f de donde su regla es:
/( * ) = P9 +t a = (* 0 + V ’ ? o +£V ’ zo * a ¿ )
El dominio de la función f (t) es el conjunto de los números reales y el rango de f ( t ) es la
—>
recta que pasa por el punto p 0 y es paralela al vector a , cualquier función que tiene como
dominio el conjunto de los números reales y como rango un conjunto de vectores se llama
función vectorial de variable real. En este capítulo estudiaremos a este tipo de funciones.
-á
2.2
2_
Definición.-l Sea I un subconjunto de los números reales (ICR), se llamara función
—>
vectorial de una variable real: / : / —»/?" si a cada elemento de I se le
—1
hace corresponder vía f un elemento único de R n es decir:
R
R"
donde las n funciones se denominan funciones componentes de la función vectorial / ( í ) y
son funciones reales de variable real, donde f¡ (t) se denomina la i-ésima componente de la
función vectorial; como caso particular daremos la siguiente definición.
2.3
Definición.-
Sean / , , / 2, / 3: / —>/?, tres funciones reales de variable real, entonces
V t e D f n D , n D , existe un vector definido por:
Ji
J2
/ 3
r
Eduardo Espinoza Ramos
76
al vector /'(/) se le llama función vectorial de variable real, al cual denotaremos por:
donde /¡ (t ) , / , ( t ) , / 3 (/) son las componentes de la función vectorial.
—9
Observación.-
1)
D_ = D r r \ D f r \ D f = Dominio de f (campo escalar)
2)
Rango de f - R , = R f \ j R r^
^
•' 1
*1
’3
—>
(campo vectorial)
—>
Ejemplo.-
La ecuación
f ( t ) = (1,2,3)+ í(2,5,l) = (l + 2f,2 + 5í,3 + /),
D_t = R
7
describe una
función vectorial de variable real; el rango de esta función es una recta en R 3 y la
función es una correspondencia o transformación de puntos sobre la recta real R en puntos
sobre la recta que pasa por (1,2,3) paralela al vector (2,5,1).
—►
El punto OeR se transforma en / ( 0 ) = (1.2,3).
—>
El punto 1 e R se transforma en / ( l ) = (3,7,4), etc.
Si f ( t ) se escribe en términos de sus componentes tenemos / ( / ) = ( / 1 (D ,/ 1 ( 0 . / 3 (o ).
donde /,( /) = 1+
f n(t) = 2 + 5t,
f-i (t) = 3 + t son funciones reales de variable real,
—►
llamadas componentes de la función vectorial / ( / ) .
—>
En general, si el rango de /
—►
f = ( / ’1 , ■
/ ’2
es un conjunto de vectores de R n podemos escribir:
->
*f w), donde f¡ (t) es la i-ésima componente de f ( t ) .
La representación de una función vectorial en términos de sus funciones componentes nos
permite aplicar a las funciones vectoriales los criterio desarrollados en el cálculo de
funciones reales.
11
Fundones Vectoriales de Variable Real
Ejemplo.-
Si f l (t) = x 0 + a lt, f 2(t) = y 0 + a2t, / 3 (í) = z0 + a 3í son las funciones componentes,
—
>
entonces la función vectorial f ( t ) es expresado en la forma:
/(O = / ,( ') i + / 2(0 j + f 3(t) k =(jco+« í) i +(>'„+«/) 7+(zo+«30 *
= (*o +a\‘>yo +a 2t ,z 0 + a 3 r)
ésta función vectorial representa una recta que pasa por el punto P o( x0 , y 0 , z 0) paralela al
vector a = ( a ^ a ^ a ).
Es importante que:
t eR
y fue
—>
transportado por f
regla
PnK.y»»*.)
Y
de
y procesado vía
correspondencia
de
/
transformándose en un vector en R 3
con origen en (0 ,0 ,0 ), estos vectores
“trazaran” a la Recta L.
Ejemplo.-
Si
/ , ( í ) = cosí, / 2 (í) = sen r, para t e
[0,27t], la función vectorial f ( t ) es
■4
—>
expresado por / ( / ) = cosí, i +sení. j , que representa una circunferencia en el plano
XY.
Ejemplo.-
Si f ( t ) = (3r, / ' ) es una función vectorial. Demuéstrese que el rango de / es una
,2
parábola en R
Solución
78
Eduardo Espinoza Ramos
R = {(.r, v) e R 2 l y = — }
/
Ejemplo.-
Si / ( / ) = (cr.cosh/, fesenhí), a > 0 y b > 0. Demuéstrese que el rango de /
,es una
rama de la hipérbola.
Solución
un punto (x, v) e R si y solo si f ( t ) =
r
para algún t de donde (acosht, b senht)=(x,y),
por lo tanto se tiene:
x
. 2
——- cosh t
\ x = a cosh t
l v = ósenhí
entonces
a
2
V
2
= senh t
X
2
—V
a2
y
2
2
t
b2
2
= cosh r- s e n h t =
1
79
Funciones Vectoriales de Variable Real
1
X" v“
como (x,y) está sobre la hipérbola —— ^ = 1 , y como x = a eos h t > 0 , entonces el rango
a~ b"
2
de f es una rama de la hipérbola.
Ejemplo.-
7
= {(x, v) e R 1
2
= 1»
a
b~
Trace la gráfica de la imagen de las siguientes funciones.
—
t
i)
/(M = (cos/. sen í. 2 )
Solución
Sea G = la gráfica de la función vectorial, si (x,y,z) e G entonces x = eos t , y =sen t,
7
7. = 2, para algún t. Así, V t
7
6
i
i
2
R. x~ + v~ = eos t + sen" t = 1 y z = 2, esto quiere decir que
la imagen de f ( t ) es la curva que está en la intersección del cilindro x 2 + y 2 = 1 y el plano
z=2.
ii)
/ ( 0
= ( 2 f ,3 /,r )
Solución
Si G = la gráfica de la función vectorial entonces (x,y,z) e G^ implica x =
7
2
t , y = 3t,
/
x2
z = t 2, de donde 3x = 2y y z = — , esto quiere decir que la imagen d e / es la curva de
4
X
2
intersección de las superficies 3x = 2 y , y z = — .
4
80
2.4
Eduardo Espinoza Ramos
Operaciones Algebraicas con Funciones Vectoriales.!
Las combinaciones de funciones vectoriales ó de una función vectorial en una función real se
obtienen mediante las operaciones del álgebra vectorial, las cuales son dadas mediante la
siguiente definición.
—y
Definición.- Consideremos las funciones vectoriales f ,g: R
>Rn con dominio D
y
f
D
respectivamente y sea <p: R
>R una función real con dominio D^; a
r
—>
—> —>
las funciones f + g . / —g . i p . f y f . g , definiremos mediante la siguiente regla de
correspondencia.
1)
(/ +
£ )( /) = / ( / ) + £ ( / ) , V t
g
D(
= D nD ^
f
2)
/'
(7 -g )(/) = / ( 0 - g ( 0 , v t e D
7-g
=
3)
_
4)
D
V -7
f
=D n D
f
R
= £> n D
v
f7
n
_
( f g)(n = f ( n g ( n = Y< fi( n g l(n,
* “*
Sea j ,g : R
>R
3
/ \ g está dado por:
=
f
í-l
5)
e
R
R
/
funciones vectoriales, entonces la función producto vectorial
( f * g )(0 = / (O* g l O , D_
f *R
f
R
—
■>
6
)
La función compuesta de <p: R ------ *R con
f\ R
>R" es dado por la regla de
corresponde nc ia:
( / ocpHO = 7(<P(0) = ( /i (<PÍ0),/2 (<P(0)
= (Ui
f„ (cp(0))
o«p)(0 . - , (/„ ocp)(í))
—
>
por lo tanto:
/o cp = ( / , ocp,
/ 2
o<p,ocp)
81
Funciones Vectoriales de Variable Real
Si f { t ) = {t'i , t 2 ,t) y
Ejemplo.-
=
í3
r2
0 - Hallar ( / . g ) ( I ) y ( / * g ) ( l )
Solución
1 1
1 1
49
Se conoce que ( f . g ) ( 1) = /'(l)-g (l) = (1,1,1).(—, -,1 ) = - + - + 1 = —
9 4
9 4
36
( / '£ ) ( ! > = / ( D 'g ( l ) =
j
k
1
1
1
4
1
I
9
a)
f { a + b)
b)
3
y
5
8
= (4 ’
1
Sean f ( t ) = ( / 2 + l,0,f3)
Ejemplo.-
Hallar
i
36)
g(t) = (se n í,-c o sí.O ).
g ( t - 3)
c)
/ ( s e n /) * g ( / +1)
Solución
a)
f ( a + b ) ~ ( ( a + h )2 +1,0 ,(a + b)i ) = (ci2 + h 2 + 2ab + l,0,a 3 +3a2b + 3ab 2 + b 3)
b)
g ( í - 3 ) = (s e n (í-3 ),-c o s (r-3 ),0 )
c)
/(s e n í) = (sen 2 i + 1, 0 ,sen 3 r), g ( t 2 + 1 ) = (sen(í 2 + 1 ), -c o s (í 2 + l),
—>
i
+ 1 )= sen 2 t + 1
•y
sen (í' + 1)
-»
i
—>
k
0
sen /
3
1
—cos(í“ + 1 )
0
= (sen 3 /.cos ( / 2 + l),sen 3 t.senft 2 + l),-(s e n 2 / + l)cos(í 2 + 1 ))
0
)
Eduardo Espinoza Ramos
82
2.5
Ejercicios Desarrollados.-
1)
' *
Consideremos las funciones vectoriales / ,g: R
i
>R , definimos por:
^ 2t- \
Vl~[M]
1_
n |K
/ ( o = ( n;
. - t= = . im d . ¿
í[| 2 í - l | ] - 2 í ’
o
n 2)1
[l, 2|]> fD'0)•
=
Hallar D , D^, D ^
I
K t 'K
Solución
Calculando el dominio de
=
-■—
V2 - í
D_ = D„ n
/;
n
V'-IM]
, donde / , ( í ) = —-------
, f i ( t ) = [M] • Ahora calculamos el dominio de cada función.
/ , (í) está definida si:
1 —[ |/ |]
>0
/[|2 f - 1|] - 2 / *
a
/[|2 í - l | ] - 2 r *
0
o / í
0
0
2
/*
0
<=>/*
0
1-
v [|2 í - 1|] -
3
como [|2 / —l|] —2 = 0 => - — <i < 2
/[| 2 / - 1|] -
=>
2
[|r|] > 0 => [|í|] <
*
1
0
entonces:
v /g
3
,2
—
2
Luego
=< —x,2 > n (< -oc,0 > u < 0, x > )n < —x,3 / 2 > u[2,a) >
D f = < -x>,0 > u < 0,3 /2 >
/i
/ , (/) está definida si
2 - 1
> 0 => t <
/ 3 íí) está definida para V t e R.
=>
2
=>
=R
=< -^o, 2 >
=» / < 2
,
83
Funciones Vectoriales de Variable Real
D^ = D r \ D
~f
r\D
fi
= (< -oo,0> u < 0,3/2 > )n (< —»,2 >)r\R
fy
D^ =< -oo,0 > u < 0,3 / 2 >
7
-*
V2 / - 1
ri j II
Calculando el dominio de g ; D- = Dg¡ n D gi n D f t , donde g 1( 0 = | | j ~~^j~. 82 Í, ) = [|í |Jg 3 (í) = r[|/|]. Calculamos el dominio de cada función.
g¡ (t) esta definida si
2 t- 1> 0
a
[|l — í|] *
— ,0 0 ) n ( <
2
0
í-
1> 0
=>
/ > —
a
[ |l
a
-
r |]
*
0
í g < 0 ,l]
- o o ,0 ] u < l,o o > ) = < l,+ o o > ,
ahora calculamos D ^
=D
7+ir
entonces
( [ |l- /|] =
para g i t t ) <8 3 (0
0
e sR .
=> 0
< / < l ) , donde
Luego £>_,=< !,+*>>
a
7
B
Z)_ _ = (< -oo, 0 > u < 0 , - > )n < L+oo > = < 1, —>
f+g
2)
2
2
Determinar el dominio de la función vectorial / ( / ) = (ln(t +1). -yl t 2 +2t —8 )
Solución
como D = D r \ D
7
'
donde /j( í) = ln(í +1), f 2 (t) = V i 2 + 2 r - 8 .
2
/ , (f) está definido si t +
1
>
0
=> t > - 1 ,
=< -l,oo >
/ 2
(t) está definido si
í 2 + 2 f - 8 > 0 => ( í + 4 ) ( t - 2 ) > 0
D = < -l,oo >
7
a (<
-oo,- 4 ] u [ 2 ,oo>) = [2 , 0 0 > =>
= [2 ,oo >
7
84
3)
Eduardo Espinoza Ramos
Determinar el dominio de la función vectorial:
-*
sen/
í + senr
‘ ^
^ |/|
/-s e n /’
se n 3 t-s e n /
ln(z + l)
^
Solución
sen /
/ + sen /
sen 3/ - sen /
Como D = D n D r^D donde / , (/) = — — , f 2(/) = ---------- , / , ( / ) = ----------------- .
/
A
A
A
|/|
/-s e n /
ln (z+ 1 )
Ahora calculamos el dominio de cada función.
/ j (/) está definida si t * 0 Luego
= R —{0}
f 2 (/) está definida si t - sen t * 0 , pero t - sen t = 0 <=> t =
0
por lo tanto
/ 3(/) está definida si t+ l > 0 a teO => te < - l, 0 > u < 0 ,oo> por lo tanto
=R-{0 }
=< —1 , 0 > u < 0 ,oo >
D = D C\D r \ D =< -1 ,0 > u < 0,oo>
7
A
A
A
4)
1- /
Determinar el dominio de la función vectorial / ( / ) = (----- “ , ( / + 2 ) 3/2, (z -4 ) *)
1+ r
Solución
Como D = D r r \ D r \ D .donde:
/
/
/ 'J
-'l
■'2
■
/
/ i CO/ 2
i-í
1 + z2
(/) = (/+ 2 )
-3 /2
/ 1(/) = ( / - 4 ) - 1
5)
Dy2 = A - {-2}, como
2
i i
P f, = R - { 4}
~r
= D n D n f l = A —{—2,4}
A
A
A
r
Determinar el dominio de la función vectorial / ( / ) = (ln(l + z), v*.
Solución
2
/
r)
1-/"
85
Funciones Vectoriales de Variable Rea!
Como D = D , r \ D r r \ D , donde las funciones
u
;
u
u
/ , ( / ) = ln(l + r) está definida si l + t >
f 2 (t) = -Jt está definida sí t £
2
/ 3 (í) =
/
0
0
=>
= < -l,o o >
=> Df = [0 ,oo >
/
2
j-e stá definida si 1 - /
* 0
=> t * ± l =>
\
por lo tanto D = D r \ D r \ D = [0.1 > u < l,oo >
y
f\
fi
'}
~t
6
)
Trazar la gráfica mostrando que la función vectorial
->
2 ->
f(t) =t i +1 j
representa una
parábola.
Solución
como / (/) = (x.y) = ( t j
7)
,
\X = t
) => ]
2 => v = x
Iv= /
2
que nos representa una parábol
Sea f ( t ) = (1 - s e n r . - 2 + sen/, 2sen/) tal que t e R, identifique el rango de la función / .
Solución
S e a a = l-s e n t, pero como -l< sen t< l => 0 < l- s e n t< 2 => 0 < a < 2 => a e [0, 2]
Luego f ( a ) = ( a , - \ —a , 2 —2 a ) , a e[0 ,2 ]ó sea / ( a ) = (0 ,-l,2 ) + a ( l , —1,—2)
por lo tanto f ( a ) es un segmento de recta donde a e [0 , a]
86
8)
Eduardo Espinoza Ramos
Graficar el rango de la función vectorial f ( t ) = e ' (eos 2 ^ t, sen 2 ^ r), t e R
Solución
Sea f : R
>R 2 / f ( t ) = ( x , y ) = e '(c o s 2 jrr, sen 2 n t)
I
x =e ' coslnt
y = e~' sen 2 ti t
x 2 + y z = e 2' ;
S í x 2 + y 2 = e 2'
e
-I
I 2 . 2
= VIx
* +y
x 2 + y 2 7z 0
cuando t
>+oo, e
-> 0
t
0
1
—»
/(/)
( 1 ,0 )
e 1/4 ( 0 , 1)
4
1
^
1/2
( - 1 ,0 )
2
1
5
4
3
2
e 1 ( 1 ,0 )
e “5 /4 ( 0 ,l)
^
3/ 2
( - 1 ,0 )
87
Funciones Vectoriales de Variable Real
9)
Descríbase el rango de la función vectorial:
f ( t ) = ( j — (e, - e ~ , )dt,f-^-(el +e~, )dt), a , P >0
Solución
Sea:
->
, —> f l e ' - e ')
r le‘ + e ’)
.
f : [a,ó]----- >R / f(t ) = (J a
dt, J 0
dt) = J (asenhr¿fr,3coshr¿fr)
Sí (x ,y ) 6 R j =>/ ( r ) = (x, >) = (acoshr + C\,psenht + c2 )
xx == aaccosh
+C
o s h rt +
c]1
_y= físenht + c 2
=>
(x -c , ) 2
-----a
.^ = { ( x .> ) e * 2/ < ^
/
a 2
10)
(> -c 2 ) 2
. . . .
= 1 es hipérbola
p á
- <
^
= 1}
P
Descríbase el rango de la función vectorial
f(t)
= (2cosr, 2 senr, r)
Solución
Si (x ,> ,z )e /? => / ( r ) = ( x , y , z ) = (2cosr, 2senr, r) entonces se tiene:
7
x = 2 eos/
x +y =4
> = 2 senr, de donde
z = r, r e R
z=r
Luego la curva está contenida en el cilindro circular, es decir, que es una curva hélice.
88
11)
Eduardo Espinoza Ramos
Descríbase el rango de la función vectorial / ( / ) = ( / eos/, / s e n / , /)
Solución
—)
3 / —*
Sea f : [ a , b \
/
\
>R / / ( / ) = ( /e o s /,/ , s e n /,/)
Si (jc,y ,z )e R
=> f ( t ) = (jc,y,z) = (rcosr, /se n /, /), de donde
7 '
x-tcost
2
2
2
y = t sen/ => x + y —z = 0 , es decir que la curva está contenida en el cono circular
.z = t
89
Funciones Vectoriales de Variable Real
12)
n —
1
Un punto se mueve sobre la curva y = V* + 1, partiendo de (0,1) en el instante t = — y se
mueve a la derecha, si la distancia del punto al origen es proporcional a t, hallar una función
vectorial que describa el movimiento.
Solución
De la condición del problema se tiene d(o,p) = kt de donde J x 2 + y 2 = k t , debemos
determinar la función f { t ) = (x(r), y (f)) como C: y = 4 x 2 +1, y"¿. 0 entonces y 2 - x 2 =1
(una rama de la hipérbola).
x 2 +y 2 = k 2 t 2
Luego se tiene
v1 - x 2
Luego
[ i7 * v
* » -y —
2
= 1
entonces:
=1
(l 6 t 2 - 1
i l 6 í2 + l
jc(r) *=y——
, y( t) = J -
movimiento del punto es:
s:
2
como v - x
-»
/ 16í2
- 1
por lo tanto la función vectorial que describe el
/ 16f2 + 1
v
2
}
90
I)
Eduardo Espinóla Ramos
Hallar el dominio de las siguientes funciones vectoriales.
-*
t2
1) 7 ( 0 = (— . 2 1 \
2
r+2
2)
7(0 = ( A
e
1
R pta. D = * - { - 2 ,- 1 }
— )
r+ 1
7
i)
R pta. D
7
'
=«-{0}
3)
■*
1
/ ( t) = (— , 0, ln(r + l))
R pta. D
4)
-*
_,2
2
1
/ ( 0 = (e . ln t , f i n - )
'
R pta. Z) =<0,oo>
7
5)
6
)
-*
/ ( O = (e
i
=< -1,0 > u < 0,oo>
7
I
T l - s e c (f —1)
, r + V l - r . ---------- V - 1) R pta. £> = < - l.l >
( í - 1)
7
/« )-< V l-r\
Jt
I-cos
^
. y - s r )R p u .C ; ^
/
i\
0
/i \
. - ^ - ^
4
\
7)
/ ( r ) = (ln (l + r), V7, ln (l + r))
R pta. £>^ = [0,® >
/
8)
7(0 = ( - ,
R pta.
> /9 -í2)
= [-3.0> u < 0.3]
9)
/ ( O = ( r + 2 , ------ , ------ )
r+ 2 r- 2
R pta. D = R - { - 2 , 2 \
j
10)
7(0 =(V73T. ¿T7)
R pta.
D= {4}
7
11) 7(0 =(ln(/ +l), Vr2 + 2 / - 8 )
R pta. D =(2,qo)
7
91
Funciones Vectoriales de Variable Real
12)
} ( t ) = ( h t - r . /. V 4 - 2 / )
Rpta. D =[0,2]
f
1)
Si / ( í ) = ( a c o s í , ftsení) donde a > 0 ,
b>0
H)
y D =[0,2 n \ . Demuéstrese que el
7
i
rango de f es una elipse en R~.
2)
Mostrar que la función vectorial f ( t ) = (t + 2, t~ + lj tiene por rango una parábola >
hacer su gráfico.
3)
R^ = {(x,y) e R 2 / y = x 2 - 4 x + 5\
Rpta.
Si f U ) = {h + acost, k + b s e n t ) , a > 0 ,
b>0
y D = [0,2n]. Demuéstrese que e
7
2
rango de f es una elipse en R .
4)
Si f { 0 ) - ( J —
- e 6 }d6 , j — [ e ° + e
con 3..P >
>
rango de f ( 0 ) es una hipérbola.
5)
-*
1 —t
S i / ( / ) = (----- j-,
i+ r
1t
*
- ) . descríbese el rango de f .
1+ T
Rpta. R = {(jr,y) e R~ !2x~ +y~ + 2 x y - 2 x - y = oj
t
6
)
Encontrar el rango / y graficar.
a)
t
/ ( í ) = ( 2 cosf, sení, —)
4
Rpta.
a)
b)
f (t) = (t. t. sen/)
R^ = | (x ,y, z ) e R* / x~ + 2 y 2 = 2j
7
b)
R^ = j(jc,y,z) e R* / x = y
a
y = arc.senzj
0
. Demostrar que e
92
Eduardo Espinoza Ramos
7)
Mostrar
que
/ ’(/) =
+ cos/, sen/,
(1
el
rango de
2
la
función
vectorial
/
definida
sen—), / e [—2 n , 2 n \ está sobre la esfera de radio
2
2
en el origen y sobre el cilindro (x 8
1)2
+y2 = 1.
) Hallar el dominio y el rango de cada una de las siguientes funciones vectoriales.
a)
c)
/ ( r ) = (V 7 ^ 2 , —
/-
)
b)
/ ( / ) = (V 4^7, - J t ^ )
d)
e)
/ ( * ) = (/. ( ^ V Ñ ) 2)
g)
7 ( 0 = (l + 2 sen/,
2
7
(t) =
2
0
- s e n /, 5)
/
=
-¡ ^ )
V í-5
(') = ( '. U sen/)
7
7 (0 = (
h)
1+
R pta. a)
c)
9)
(". V 4 - /2 )
f
/
-----1+/
< 2,oo >
b) < -2,0 > u < 0,2 >
{4J
d) < 5,oc >
¿ Qué curva representa el rango de la función f ?
a)
/ ( / ) = (3cos/ + 2, 2 s e n /-3 )
Rpta. a)
Una elipse
b)
b)
/ ( / ) = (2 + 3 tg /, l + 4sec/)
Una hipérbola
10) Dadas las funciones siguientes, gralicar y hallar el rango.
a)
_/(/) = (eos/,sen/)
c)
a ( t ) = ( / , — ,— )
4 9
e)
*
3 / 3 /
/( * ) = (----- ---------r )
]+ /
1+/
/ 2
b) / ( / ) = (3cosh/, 5senh/)
/ 3
d) f ( t ) = h t , í 2)
v
'
*>
*
( i
t 1—\
/( * ) = («.<? .V 2 /)
por
y centro
93
Funciones Vectoriales de Variable Real
g) 7(0 =(f2.f +l)
i)
h)
7(/) = (/.V/(2-f).V2(2-0
7 (/) = ( 3 / - / 2,3 í 2.3/ + / 3)
—>
j)
/ ( / ) = ( - 1 + sen 21 eos 3í,2 + sen 21 sen 3 í,-3 + cosí)
k)
/ ( í ) = (cosí + senf, c o s f-s e n í)
/ : [—3,3]------ >R
11) Defina una función vectorial
triángulo de vértice /^ (2 ,-l.l),
de tal manera que su rango sea el
(1,3,—1) y P2{ 1,0,2)
12) Defina una función vectorial del intervalo [a,b] sobre el segmento de recta de extremos
Pt) y P, de R".
13) Defina una función vectorial del intervalo [-2,2] en Tí3 cuya imagen es el triángulo de
vértice A (3,2,-l), 13(2,0,1), C(l,-2,1).
14) Proporcione una función vectorial del intervalo [0,1] sobre el segmento rectilíneo que
une los puntos:
a)
A(-l,2) ,B(3,5)
Rpta.
P0 y P, en R 2
b)
a)
/ ( í ) = ( - l + 4 / , 2 + 3í)
b)
f ( D = {P0 +t W
0
c)
A(l,4,7) , B(3,-2,l)
< / S 1}
c) 7(0 = {(1,4,7) +í( 2 ,- 6 ,6 ) / 0</ < 1}
15) Un punto P en el primer cuadrante de R 2 se mueve de tal manera que su distancia al
origen es igual a la pendiente t de la recta que va del origen a P.
Hallar una representación vectorial de la curva que describe P usando t como parámetro.
2
Rpta. / ( O = ( i 1
vi + í
i1
V i+t
., )
Eduardo Espinoza Ramos
94
16) Sea
/'(/) = (2/ \ ^ 4 ~ t 2 ),
g (/) = (ln(í+ l ) . - \ / / 2 + 2 / - 8 ). Calcular
( f+g)
y su
dominio de definición.
4
3
17) Sea la curva C definida por: f ( i ) = (—eos t, 1- sen t —y eos í ) , t > 0. Demuestre que
C es una circunferencia y encuentre su centro y radio.
Limite de una Función'Vectorial de Variable Reah-j
El concepto de límite de una función real de variable real extenderemos para las funciones
vectoriales de variable real, para esto recordemos la definición de limite de una función de
una variable.
Sea f una función real de variable real y “a” un punto de acumulación de £)-, (el punto “a”
/
es un punto de acumulación de D-, si todo intervalo abierto que contiene “a” contiene un
/
punto t en D_, distinto de “a”). Se dice que un número L es el límite de la función f|x) en “a”
/
si para cada e > 0, hay un número 8 > 0, tal que siempre que x e D_, y 0 < | x —a | < 8
/
entonces | f(x) - L | < e.
lim f ( x ) = L
Si L es el límite de f(x) en "a” escribiremos así:
x~*a
para las funciones vectoriales el concepto de limite tiene el mismo significado intuitivo.
—»
Luego por analogía tenemos la definición de
2.7.1
Definición.-
—►
lim f ( l ) = b .
i +rit
A *
Seff / ( / ) una función vectorial y rn un punto de acumulación de
D
se dice que el vector b es el limite de f { l ) cuando t se
—>
>
acerca a t 0 y se expresa como lim f ( t ) = b si y solo si, para cada número real
0
e >
0
0
, existe un número
8
>
0
tal que
II / (/) —ó ||< £
siempre que
< |f - f J < ¿ > , í e D . .
1
1
/
Es decir:
lim f ( i ) = b
<=> Ve>0, 3 6 > 0 / 0 < |f - f o| < S
=> | | / ( í ) - ó | | < £
95
Funciones Vectoriales de Variable ReaI
—
—
2
Demuestre que lim f ( t ) = (6.4), donde f ( t ) = (3t, t )
f- » 2
Ejemplo.-
•
Solución
/ < m / ( / ) = (6,4) o
Ve > 0 , 3 8 > 0 / 0 < | / - 2 ¡ < 8
=>
| | 7 ( 0 - ( 6 , 4 ) ||< e
/ —>2
II 7 ( 0 - ( 6 ,4 ) ||= ||(3 í,í 2 ) - ( 6 ,4 ) || = ||(3 í- 6 , í 2 - 4 ) || = V (3 í- 6 ) 2 + ( í 2 - 4
< V (3 í - 6 ) 2 + V (»2 - 4 ) 2 < 3 | í - 2 | + |í + 2 ||/ - 2 |
Sea |r - 2 |< 5 j = l => —l < r —2 < 1
)2
...(1 )
=> 3 < í + 2 < 5 => |í + 2 |< 5
|| 7(0 -(6 ,4 ) ||< 3|í - 2 | + |í + 2 ||í - 2 | < 382 + 5 8 2 = e
E
85, =
e
E
de donde 8 , = — . Luego 3 5 =min {1, —}
8
2.7.2
8
Sea f ' . I c z R
Teorem a.-
»/?", una función vectorial de variable real,
—►
entonces
donde L = ( L{
—►
lim f ( t ) - L
l-*lo
si y solo si
lim f¿(t) =
/->/„u
i=
1 ,2
n,
Ln ).
Demostración
i)
Si lim f U ) = L entonces V e > 0, 3
r~>rn
|| 7(0 - L || < e
=^{A ( 0 _
pero
¿ , ) 2
8
I I
> 0, tal que si t e I, 0 < | / - f o|< 5 entonces
|| 7(0 - 7 1|=|| (/, (0 - Lx, / 2(0 - ¿2
(0 ~L„)\\
+ ( / 2 ( 0 - L 2 ) 2 +■■■+(/„(t ) - Lnj 2 = ( £ ( / , - L , . ) 2) U2< e
1=1
rj
además |f¡
~ L ¿ ) 2 j 1'2 < £ , por lo tanto, V
e
> 0, 3
i=i
O<
| / - / 0| < 8
=> \f¡ -
| < e esto significa que lim f ¡ (t ) = Lr
8
> 0 tal que
Eduardo Espinoza Ramos
96
ii)
Recíprocamente.
Si lint f ¡ ( t ) = L¡,
i
= l,2,...,n
0 < |/ - /0| < S entonces |yj. -
para cada
> 0, entonces 3
e
8
entonces
se tiene, t e í, 0 <1/ - / J < <5 entonces || f ¡(i ) —
Sn | .
||< -l=
■Jn
\ \ 7 ( n - L \ \ - i ¿ ( í i ( t ) - L i f ) U2 < ( ¿ ( ^ = ) 2 )U 2 =B,
í=i
.=i
para cualquier e > 0 , existe
8
> 0 tal que si
< ei .
Sea e > 0 arbitrario y sea e¡ = —= , tomemos S = min{sl ,S-,
V«
Para tal
8
>
»
0
tal que l e I,
0
< |f —í 0 |<
8
=>
V i = l,2,...,n,
por lo
tanto,
|| f ( t ) - L ||< e ,
■»
esto significa, que lim / ( / ) = L
t *í(I
Observación.-
El teorema establece, que el límite de una función vectorial es igual al vector
—►
cuyas componentes son los limites de los respectivos componentes de / ( / ) , es
—
►
decir:
Si f ( t ) = ( f x( t ) , f 2 (t),f-i (tj) entonces el limite se expresa así:
lim f ( t ) = ( lim / , (í), lim f 2 (t), lim / 3 (í))
=
En general si
el limite es dado por:
lim f [ t ) = ( lim f (i), lim f ( í),..., lim f (/))
’-*t
t—>t 1
/->r 2
i->t n
Ejemplos.-
1^0
Calcular los siguientes límites.
1+
/
t
t
Solución
97
Funciones Vectoriales de Variable Real
í- » 0
1+í
í
í
1+»
= ( / ÍW [(1 + — )
W v 1+ f
/ftn--í-
/-♦£> 1 + r
_-^l
] 1+ " , lim t 2 - 1, lim ,
#-»o
~
r- » 0
f
= =)
,
-2
= ( e - ° 1+' , 0 - 1 ,
t
»-> 0
) = (e ‘ ,-1 ,-1 )
1+ 1
2)
Zi7n/ ( í ) donde / ( í ) =
/-» 3
í 2 - 2 í - 3 -» í 2 - 5 í + 6
i +t—3
f —3
Solución
í 2 - 2 í - 3 -*
í 2 - 5 í + 6 -*
lim f ( t ) = lim--------------» + lim
I-+3
í->3 í - 3
f-»3 í - 3
= lim
t ->3
3)
( í- 3 ) ( í + l)->
(í-3 )(í-2 )->
-*
i + lim----------------- i = /m¡(í + l) i + lim tt —2) j
í-3
Í—
*3
í-3
/—
>3
i-»3
-»
-*
sen í -» cosí - 1 -» , 2 -»
l i m f ( t ) donde / ( * ) =
h ----------- j + e k
/-*o
í
2 í
Solución
-*
sení -♦
cosí - 1 -♦
, 2 -♦
l i m f ( t ) = (lim
) i + (Iim----------) j + ( l i m e ) k = ( 1 ,0 , 1 )
í -»o
4)
/—
>o
í
/—
>o
2í
»-»o
lim[an,bn) donde a , = ¿ ] ( « 2 +«2) ^
i>-*o>
n
Solución
lim{a„,bn) = ( lim an, lim bn)
u -to o
n-*oo
u —*oo
... ( i)
+1
=4 i + /
98
Eduardo Espinoza Ramos
V'V
i\~m
2
lim an = lim ¿ J n +i j
„ ^ ¡=i
X -1
1
= lim ¿ j j : ■
- * » ,=iV n + i
= ^ o ^ J = llí X+ ^
^
n
vp
1
lim bn = fím / .— — j = lim
n-»cc
n-»oo
W +j
n-»oo , , , , 1
X '1
^
^X ’’
^
= llm
i
. - - ~ = ¡ im -¿ J ~ r
"-»” í=i ¡ + (I j 2 "
1 + (1 ) 2
I¡/o = ^ l+^
fi dx
/i
Jt
=J
j = arctg x / = arctg 1 - arctg O= —
M 0 1 + Jt
®
4
I
.2
lim (an ,bn )= (ln(l + ^ ) , ^ - )
4
n—>00
|Ü$ € Propiedades de ¿imites de Funciones Vectorlales,Si f ( t ) y g ( t ) son Funciones Vectoriales de Variable Real tal que lim f ( t ) = b
lim g{t ) = c y
i-*t0
1)
lim / ( í ) + g
t~¥t L
0
2
)
= !im f(t)+ lim g(t)= b+ c
(0
-I
t- * l
l~*t
0
0
J
/_►/
/-> /
lim f ( t ) . g { t ) = lim f ( t ) . lim g ( t ) = b . c
t~>t
4)
es un punto de acumulación de D - n D ; , entonces.
*
/ » » í / ( r ) - g ( r ) l = Hm f { t ) ~ lim g(t ) = b - c
t- ¥ t L
3)
/0
f-W
t-+t
lim ( f x g)(t) = ¡im f ( t ) x lim g ( t ) = b x c
t-*U
»->/„
/->f„
Demostración
Demostraremos la propiedad (1)
y
Funciones Vectoriales de Variable Real
99
como lim f ( t ) = a y lim g ( t ) = b , entonces para cada e > 0 , existe un 8 > 0 tal que para
í- * t
/-> /
O
0
I I
~*
~*
£
~*
~*
£
0 < | r - f 0|<¿> entonces
\\ f { t ) ~ a \\< — y | |g ( / ) - ¿ ||< —; aplicando la desigualdad
triangular tenemos.
II 7 ( 0
+
í
(0
- (7 + 7 ) II = II ( 7 ( 0
- a ) +
Luego V e > 0 , 3 8 > 0 tal que para
0
(g(l) - b) II < II 7 ( 0 -
a
II + II 7 ( 0 - b || < |
< Ir - / J < <5 entonces || ( f ( t ) + g ( t ) ) - ( a +
+ 1
8
= e
)||< e ,
por lo tanto l im( / (r) + "(r)> = a+ b = lim f (t ) + lim g(í)
Las demás propiedades se demuestran en forma similar.
2.9 r Teorenia¿-|
Si lim f { t ) = a y limq>(t) = c , e ntonces lim <p(t) f (t) = c a
í-yt
i-yin
1
Demostración
Si lim f { t ) = a y lim <p(t) = c, entonces para 0 < e'< 1 (c ' se hallará después).
' “"o
existe 8 > 0 tal que | / - f 0| <
8
entonces || f ( t ) ~ a ||< e ' y | cp(t)-c\< c’ , Luego se tiene.
|<p(0 | = |c+(<p(0 - c ) | < M+|<p(0 -c j < |c| + £'< |c| + 1
( p ( t ) f ( t ) - c a =q>U)f{t)-(p{.t)a + ( p ( t ) a - c a = <p(t)(f(t)~ a)+(<p(t)-c) a
ll< P (0 7 (0 -c n 11=11 < P (0 (7 (0 -a ) + {<P(0-c)a || < |< p ( 0 lll7 (0 - a ll+ l< P (0 -c ||| a ||
*
< (|c| + Oe'+e'H a || = (]c)+l+|| a ||)e'<
e
100
Eduardo Espinoza Ramos
Luego
e'
escogemos
€
e'<
y también £ '< 1 ,
—>
—>
|| cp ( í) f( t )~ ca ||< e
de donde
H + 1+IM I
lim (p(t)f(t) = c a
l-»n
2 . 1 0 Continuidad de una Función Vectorlái dé Vártablé Real>Í
En forma similar a lo que se hizo del concepto de límites de funciones reales de variable real
se extendió al concepto de límites de funciones vectoriales, también se puede hacer en forma
natural para el caso de la continuidad.
a)
Definición.-
La función f ( t )es continua en el punto í 0 de D_,, si para cada e > 0,
/
—f
I
I
\ t - t 0\ < 8 . Si í 0
en
—►
| | / ( 0 - / ( ío ) l <E siempre que t e D_ y
/
—
^
no es punto de acumulación de
entonces f ( t ) es continua
/
existe un
puesto que hay
8
> 0 , tal que:
un
8
>
0
, tal que “í0"
es
el
—P
único
punto
en
—►
D_r>< t 0 —S , í 0 +S > y entonces para cualquier e > 0, I I / ( 0 _ / ( , o)II< e siempre
/
que t e D _ n < tn —S , t 0 + S > .
f
Si í 0 es un punto de acumulación de D _, entonces la definición de continuidad es
/
—>
equivalente a decir:
La función f ( t ) es continua en el punto f0 si.
i) / ( / ) existe, es decir í 0 e D_,
2 ,1 1
ii) lim / ( í ) , existe
iii)
lim f { t ) = f ( t )
’ ^TéoreBnta.'^
f ( t ) = / t (í) i + f 2 (t) j + f 2 (t) k continua en t fí si y solo si f ¿es continua en r0para i=l,2,3.
Demostración
101
Funciones Vectoriales de Variable Real
Si f ( t ) es continua en
entonces lim / ( / ) = f O ) , de donde:
lim iM O ‘ + / z ( 0 y + / 3 ( 0 * ) = / i ( í 0) ' + f i ( tG ) j + f Á h ) k ’ Lue8 ° P°r el teorema 3.7.2
por lo tanto, por igualdad de vectores se tiene:
lim fi(t) = / , (ín), lim f 2 (t) = f 2 (tn), /wn / 3(/) = / 3 (r0)
/-►/„
de donde
lim f ¡ U) = f ¡ U 0) para i = 1,2,3, esto quiere decir que / ( / ) es continua en t 0,
para cada i = 1,2,3.
Demuestre el recíproco como ejercicio.
Ejemplo.-
I
3
La función f : R
3
2
\
>R definida p o r / ( r ) = Ir + r + l, r —2í —1, t + 3) es continua,
pues sus funciones componentes son polinomiales y, por lo tanto, continuas.
Ejemplo.-
La función / : R
3
*R , definida por:
, es discontinua en t = 0 , puesto que:
( 0 ,0 ,0 )
si t *
0
22 sen
senrt
-*
-*
lim / ( r ) = lim(t, r ,
) = ( 0 ,0 , 1 ) * ( 0 ,0 ,0 ) = / ( 0 )
como lim f ( t ) * f ( 0 ) entonces / ( / ) es discontinua en l = 0 .
102
Eduardo Espinoza Ramos
Ejemplo.-
Analizar la continuidad de la Función Vectorial
t -r
c s c f-c tg /
(“
m» ---------------) » ' * °
t —t
sení
1
si t = 0
( - 1, —)
2
Solución
f (t ) es continua en t -
í-»o
t-»o
i
n
m
—/
sen/
como lim f (/) = /(O )
f- » 0
,
n
t -t
1 -C O S Í
1
-♦
---------------------— ) = ( - 1 ,- ) = /(O )
c s c f-c tg í
) = lim(~— —
-
m
-*
t —t
l i m f ( t ) = lim{—
si lim / ( / ) = f ( 0 )
/-»o
0
f-»o
i
sen /
—t
2
/ ( / ) es continua en t = 0.
Si <p es continua en t 0 y / ( / ) es continua en tp(t 0 ) entonces / o <p es continua en r0.
Demostración
Mediante el teorema 3.11, / o <p es continua /„ si y solo si
o <p (i=l,2,...,n) es continua
en / = /„ como <p es continua en /„ y f¡ es continua en <p(/0), concluimos que
o <p es
continua en i 0 (ppr las propiedades de las funciones de variable real).
&.13
Propiedades de la Continuidad,-!
Sean / , g: I
>R
3
funciones vectoriales de variable real continuas en el punto /„ e / ,
entonces:
—>
—»
i)
f ( t ) ± g ( t ) es continua en f0
¡ii)
(f . g ) ( t ) es continua en /„
—> —>
—►
ii) ( A /) (/) es continua e n / „ , V X e R
—>
->
iv) / ( / ) * g ( í ) es continua en /„.
Funciones Vectoriales de Variable Real
103
Una función Vectorial f : R
O bservación-
>R
—
>
es continua en un conjunto 7czZ)_, si la
/
función / ( / ) es continua en cada uno de los puntos de I.
|2.I4 * Derivada d e p a
—T
La derivada de una función Vectorial de Variable Real
/(O = / j ( 0 '
+ / 2(0
7
+/ , (
0
j
/ :[a,b]
>R , tal que
* . está definida por:
f { t +h ) - f ( t )
/■ (f)= lim------------------h-tO
h
siempre y cuando existe este límite
Notación de la Derivada
Teorema.-
f'( t) = D f ( t ) =— /( í)
'
Si /"(/) es una función vectorial dada por: / ( / ) = / (0
entonces:
/ ' ( 0
= / j ’ÍO
' + / 2 ’( 0 7
+/
3 '( 0
1
+ / 2( 0
7
+ /^ (O A:,
siempre
que
/,'(» ), / 2 '(í), v / 3’(/) existan.
Demostración
Mediante la definición de derivada se tiene:
f i t + h ) - f ( t ) _ f ( t +h ) - f U / ( f + A ) - / ( f ) - »
/ +-*
2 — . / + - -----------f (t) = h m ------------------- = hm - !
h —>0
h
h~>(
h
h
h
= lint
a-»o
f U +h ) - f ( t ) _
/ , ( í +A )- / , ( / ) - .
Í A t +h ) - f l t ) _
i + lim
j +lim -----------------------Ar
h
h-t o
Ai
a->o
Ai
/ , (0 = / i '( 0 « + / 2 ,( Ó 7 + /3 , (ÓAr
104
Eduardo Espinoza Ramos
Si f ( t ) - (sen27r/, co s2 ;ri, 2 / - /~ ) . Calcular / ' ( i ) y /'(O )
Ejemplo.-
Solución
/ ( i ) = (sen 2 ;rf, cos 2 ;r i, 2 / - i 2) su derivada es:
f ' ( t ) = [2 n o o s 2 n t , -
2
sen 2 /ri, 2 - 2 / ) , evaluando en t= 0 tenemos que /'(O ) = (2;r, 0, 2)
3
-*
.
-»
i -»
Si. Calcular / ' = (—) si / (i) = ln(e + 1/ 1) / - [ | / + —|] j
2
2
Ejemplo.-
Solución
3
3
3
3
como — e [—,2 > =>para i e [—, 2 > se tiene: — < i < 2 =>
2
2
2
2
2
1
5
1
< / h— < —=> ÍU + — 11 =
2
2
2
2
/
Luego
7(/> = l n ( e '+ |/ |) í - 2
’
v
215
j . Entonces
/'(/) =- ;—
i -0 j
e +|/|
3 . 2ei n
=> /'(-)
=
2
2e
+2
+3
ipterpretación Geométrica déla Derivada^]
Consideremos las representaciones de los vectores / ( / ) , / ( / + Ai) y / ' (/) como en la gráfica.
z
*
La curva C es trazado por el punto final de la
-
—►
representación de posición de / ( / ) cuando t toma todos
\
/
h
x A
>
<
n t+ A t)-
Si el vector / ( / + A/) - / ( / ) lo multiplicamos por —
A/
obtenemos un vector que tiene la misma dirección y cuya
p
\
1
0
Y
1C
/ ( / + A/) —/ ( / )
Ai
longitud es —
At
por
la
magnitud del vector
/ ( í + A i ) - / ( i ) , ahora cuando Ai
>0, el vector
se aproxima a un vector que tiene una de sus representaciones tangente a
la curva C en el punto p.
105
Funciones Vectoriales de Variable Real
Observación.1)
El vector / ' ( í 0) es llamado vector tangente a la curva C: f ( t ) en el punto í0 e / .
—
»
La norma ||
->
—
>
) || es llamado la velocidad escalar de / en el punto f0 y / ' ( / 0) vector
velocidad.
—>
2)
El vector velocidad f ' { t ), cuando es diferente de cero, determina recta tangente a la curva
—
►
—>
C: f { t ) en el punto J U0), es decir:
3)
Asi como al vector velocidad se ha definido por V(t) = f ’( t), el vector aceleración se define
por a{t) = V'{t) = f " { t ) .
4)
La rapidez de una partícula es definido como la magnitud del vector velocidad, es decir:
II n o II=ii . h o ii=a/(/i ' (' >)2 + ( f i ' i o )2 + ( / j 'f o ) 2
Ejemplo.-
Sea f : R ------ >R 1, dado por / (t) = (3cosí, 3 sen í).
—>
La imagen de /
2
x +y
2
es una circunferencia de radio 3
=9 para todo t e R, el vector velocidad de f es
J 'U) = (-3 sen /, 3cos/).
La velocidad escalar es constante.
^ Hl 7 '( 0 11= 3 .
106
Eduardo Espinoza Ramos
Ejemplo.-
a)
Hallar
cuando
/ ( í ) = (í5/2, (í + 3)'1, sen4r)
/ (í) = (cos3í, sen3f, t 2)
b)
Solución
a)
/ '( ! ) =
Ejemplo.-
3(/ + 3)2 ,4 co s4 í)
Una
partícula
>
-
b)
se
»
-
/ '( í ) = (-3sen3r, 3cos3r, 2r)
mueve
»
-
describiendo
una
hélice
circular
»
f ( t ) —a.cos(ot i+ a.sentot j+ b .io t k , donde a >
0
, b >
0
, co >
0
, para cada
instante t, hallar:
a)
La velocidad
c)
La magnitud del vector aceleración
b)
La aceleración
d)
El ángulo que forma los vectores aceleración y velocidad.
Solución
—>
”>
—
y
—>
—>
a)
V(t) = f ' ( t ) = -atosen(ot i +atoco&tot j+ b co k
b)
a(t) = V'(t) = —ao3 costal i - acó s e n t o t j + Ok
c)
|| a ( t ) \ \ = ^ a 2 (aA eos 2 ojr + a 2 a>4 sen 2 tal = acy2
d)
8 = Z ( V , a ) , de donde cos0 =
2
2
V .a
II? IIII «II
por lo tanto eos©
= 0
n
=> 6 = —
2
2 3
2 3
a co sen ctfcoscoí - a co sen coicos co/
107
Funciones Vectoriales de Variable Real
2.16"'Próplert ades d éla Diferencjacién-j
Consideremos dos funciones vectoriales / ( / ) y g ( t) y a
1)
D '( f ( t ) ± g V ) ) = D i f i t ) ± D i g(t)
3)
Dt
4)
£ (7 (0 * g (0 ) = 7 ( f)*Dl
( 7 (/). ¿ ( 0 ) = 7 ( 0 - D t 7 ( 0 +
g (í).D t
2)
e R, entonces:
D(a.7(r)) = a.Z)f 7(r)
7 (0
g it)+ D J {t)x g (t)
2.17 ’• Definición.-]
Una función vectorial f (l) se dice que es diferenciable en un intervalo !, s i / '( 0 existe V t e I.
Observación.-
Sea / : /
>R
3
una función vectorial diferenciable; Si / ' ( 0
es continua,
->
-*(p )
entonces se dice que f ( t ) es una curva de falase C ', En general sí /
(r)
*
-*
p
(derivada de orden P de / ) es continua, entonces se dice que f (() es una curva de clase C .
Para todo n > 0,. la función vectorial f : R ----- >R 2, definida por f [ t ) = (í"+I, r"|f|) es
Ejemplo.-
de clase C ”.
248
Teorema^
Si / ( 0 es una función vectorial diferenciable-en un intervalo I y / ( 0
es
un
vector
—>
diferente de cero de magnitud constante y v dirección variable V t e I, entonces f ( t ) y
—>
D f { t ) son ortogonales.
Demostración
108
Eduardo Espinoza Ramos
2
Sea k (constante) la magnitud de f ( t ) , entonces f { t ) . f { t ) = k , luego diferenciando con
)) = 0 => D
respecto a t se tiene:
2
/ ( r ) .Z ) 7
Ejemplo.-
( 0
(t) + f ( t ) . D t f ( t ) = 0
= 0 =* 7 < r).Z )7 (r) = 0com o7(r).Z )f 7 (r) = 0 ^
7 ( 0 ± DJ (')•
La función vectorial /(/)= (cosr,senr) Vt e R, |j/(/)|j= l, Luego / '( í ) = (-sen r,co si),
V t e R y como: / ( 0 - / ' ( 0 = (cosí, senf).(—sení, cosí) » -c o s í sen t + eo s/sen / = 0
—
¥
—>
como
Observación.-
—♦
=
0
—►
entonces / ( / ) y f'{t) es ortogonal.
Las derivadas de orden superior de las funciones vectoriales están definidas en
relación con las derivadas de orden superior de las funciones reales, esto es:
—►
Si / ( ! ) es una función vectorial definida por:
? ( 0 = / j( 0 «+ /2(0 y '+ /3( 0 * . su primera derivada es: /'(< ) = / j V ) i + / 2’(0 j + f 3’(t)k , la
—>
—>
—>
->
segunda derivada de / ( / ) es: / " ( O - / j " ( 0
—»
—*
—
y
“♦
*+ / 2" (0
7
+ / 3" ( 0 ^ .Ia tercera derivada de / ( / ) es:
—
♦
/■"(,) =• • • ( , ) + f 2 "*(/) y + / 3 - ( r )
—
*
—
derivada de / ( / ) dado por: /
(/) =
* , y asi sucesivamente, hasta llegar a calcularlan-ésim a
—
>
i +f 2
—
>
(t)
j+ / 3
( 0
i
^•
109
Funciones Vectoriales de Variable Real
—»(n)
1
E n c o n tra r/ (/), donde / (/) = — ^
Ejemplo.-
1
i + -—- j
Solución
1
-
- 2. 1
1
.
->
22 1.2
f " ( 0 = ,n
, x3 / +
(2/ + 3)3
12
(l-/)3
- 2 3 .L2 J -»
(2 /+ 3 ) 4
>(")
(~ 2 )".n! ?
^ (n)
"
2.19
7
-»
1
12
J -
d -/r
( -2 )" .1 2 J ...n
1.23...n
(2/ + 3)n+1
( l - í ) " +1
ni
<0 _ (2/ + 3)”+1 ' + ( l - / ) n+1 1
Teorema.^
Si g: / ------ >/í es una función diferenciable en I y / : R
>R es una función vectorial
—>
diferenciable sobre un intervalo que contiene a g ( I ) - { g ( t ) 1 1 e 1 }, entonces f o g
diferenciable sobre I y
f [ g ( t ))) = f ' ( g ( t ) ) . g ' V ) , V t e 1.
Demostración
Aplicando el teorema 3.15. se tiene:
/ '( g ( 0 ) = ( / 1 (gC0). / ,( g ( 0 ) . / 3 (g(0))
es
110
Eduardo Espinoza Ramos
= ( / , ,(g( 0 ).g'(í), f 2'(g{t)).g'(t), f 3'{g(t)).g'(t))
= ( / , '( & ) ) . f 2 '(g ( 0 ). f 3 ’(g ( 0 )).g '( 0 . por la regla de la cadena.
= / 't e ( 0 ) . g ,(f), V t e 1.
Ejemplo.-
Sí g (t) = e~a , t e [0,a» y / ( r ) = ( í , r , H , t E <0,oo>. Hallar — ( / (g (í))).
3
dt
Solución
^ / ( g ( ') ) =
7
te ( 0 )-g'( 0 , donde ? ( f) = ( f ,f 2 , y ) = > /'(» ) = ( U í . í 2)
? ( « ( / ) ) = ( U g ( í ) ,g 2 (í)) = (l, 2 e aí, e-2<B)
g ( 0 = e -“' => g ' U ) = - a e ca
Luego reemplazando se tiene:
^ f ( g ( t )) = f ( g ( t ) ) g ' ( 0 = (l. 2e~“ , e~2ca). [-a e- " )
= - a e “ , (l, 2e a l , e 2a,J
1)
eos
t~
Calcular si existe lim(--------------- , --------- — )
f~»o
r
1 —eos i
Solución
eos t - J \ - t
t2
cosí - J l - í
I2
¡im(---------------- , ---------—) = ( lim---------------- , lim----------— )
/~»o
t
1 —eos í
/~»o
í
/~>ol —eos í
cosí - Vi - í
(cosí —l)
(-vi —/ —l)
1 -c o s í
... ( 1 )
-í
lim -------------------------- = lim { ------------------------------------------------ ) = lim { ------------------------------- : --------
í—
>o
í
/~>o
í
í
1
= -Q+ lim - .
í -»o
í
)
í ( v l - í + l)
1
■— = —
r—
.oVl-í +1 2
—(2 )
111
Funciones Vectoriales de Variable Real
■—
= lim
lim2
"- 2
/-♦ o l-co s t »-»osen t
=
... (3)
1
COSI —
i-*o
2)
t
1 -V l + í
Calcular si existe lim(-----------,
o l-i
V i-1
t
1
lim(--------------- , ----------— ) = (—,1)
ahora reemplazamos (2), (3) en (1).
i+ l
r
1 -c o s i
2
, 1)
Solución
í-V i+ f
lim{------------,
/~>o
l- i
t
i +l
, 1 )=
1 -V i+ t
t
(lim----------,-lim------, lim 1 ) = (
i-t o
j
3)
/—
»oi +1 i->o
1 -í
2/
1 - 1
1 -0
,
o
0+1
, 1 ) = ( 0 ,0 , 1 )
t
c o s l-v l-t
e —e
s e n 3 l-s e n i
-»
Sea / ( í ) = (---------------- , ------------------,
)- Calcular l i m f { t )
t
sen 2 f - s e n í
ln(l + í)
<-*o
Solución
Calculando los limites de las funciones componentes
c o s i-v l-f
( 1 - c o s /) \ l —t —1
1 -c o sr
1
1
1
lim----------------- = lim ( - -------------------------- )= lim------------- + —= = — = —0 + — = —
/-.o
i
t-*o
t
t
/~>o
i
V l-f + 1
2
2
2i
t
~ 21
t
~
,
e -e
2e - e
2 - 1
lim---------------- = lim------------------ = ------- =
f~>osen2 í - s e n i i~>o2 cos 2 í - c o s í 2 - 1
lim
/-•o
1
s e n 3 í-s e n f
3 c o s3 í-c o sr 3 -1
------------ lim —1 —, ■■ = ------= 2
ln(l + í)
*-»0
1
1
-
por lo tanto al reemplazar en cada función conpuesta
-:
-
-*
c o s í-y l-i
e 2t- e '
, s e n 3 í- s e n /v , 1 . . .
Hm f { t ) = (lim
—------. lim
—------- - , lim— — — -— ) = (—, 1 ^ )
r~>o
/->o
r
»-»osen2 í - s e n í r-»o ln (l+ r)
2
112
4)
Eduardo Espinoza Ramos
-*
-*
4 —3 tghf ln(sen2f)
, ——-------- )
Calcular lim g ( í ) , cuando la función es dada por g(t) = (—-------i-»o
7 - 6
1
ln(senf)
Solución
Calculando los límites de las funciones componentes.
..
llftl
4 '- 3 '
/-►o 7
.
' - 6
" ■*“
liftt
,
4'- 1
3' - 1
!Z
, " ,
4' -3 '
,
.
.
•-* o 7 - 6
-------r
—
"
l im
r-*o
,
7 -1
6 -1
f
r
4
I n 4 - ln 3
"■ 7
1,13
_ —
I n 7 - ln 6
»7
.7
in *
0
tgh/
e -e ‘
1
e1 - 1
- 1
1 /
_i\ 1 .
lim------- = /«n—:----—— = lim—---- —(----------------- ) = —\ \ n e - \ n e I = —(ln e + ln e ) =
/-*o t
/->o(e + e )f /->oe +e
t
t
2
2
2
1
eos 2 1
ln(sen 2 r)
sen 2 f
senf.cos 2 í
senf.cos 2 f
cos 2 í
lim------------- = lim------------= 2 lim---------------- = lim
= lim
— =
i-*o ln(senf)
•-*o cost
t-*o sen 2 f.cosr /->o senr.cosí.cosí r-*ocos t
sen t
1
Ahora reemplazamos en cada función componente
4
-*
4* - 3 l
lim g(t) = {lim ■ ■
r-»o
/-+07 - 6
tghí
ln(sen2í)
1 , 1)
lim— — , lim— --- — ) = ( —
/->o í
r-»o ln(sení)
, '
ln—
6
5)
Calcular
él
limite
si
existe
lim f { t )
/ —>0
sen(tg 2 f)
ea‘ - e ”
b‘ - a
^ tg(sení) ’ s e ñ a r-s e n ó f’ c - d ' ^
Solución
Calculando los limites de cada función componente
sen(tg 2 í)
2 sec 2 2 r. eos tg 2 r
lim —
= l im-------------j----------=
f-»o tg(senr)
/-*o cosí.sec (senr)
2
donde
la
función
es
dada
por
Funciones Vectoriales de Variable Real
e
ea' —ebt
lim
= lim
/-»<> s e ñ a r-s e n f>r i ->n
h '-l
,
lim
=lim 1
i -»n c —d' i * i > c ' - \
b '-a '
at
113
,
- 1
e
bt
.
- 1
Ine"-\neb alne-blne a - b
— = ---------------- = -----------------=
=
señar
senbt
a-b
a-b
a —b
a. ----------b -------at
bt
a2- l
,
1
d '- 1
c
lnf>-lna
l n í - ln r f
1
b
„
a
jn £.
c
d
ahora reemplazamos en cada función componente.
b
ln—
at
bt
¡_ t
t
sen(te 2 /)
e —e
b -a
a
Hm / (r) = ( lim— -----— , lim--------------- —, lim—— —) = ( 2 , 1 , — - )
i-fO
r-*o tg(scní) /->o se ñ a r-se ñ o r /-»0 c —d
^ c
6
)
em
Calcular si existe lim(
, senr, -Jl + t )
i *2 t
Solución
Como
//m[1/11
n
2
2 para t >2
11
para t <2
Luego 3 //m[|r|] , por lo tanto 3 lim(
t -,2
» - »2
r
7)
lim f ( t )
Calcular
si
existe,
, senr, -Jl + t )
donde
/-»0
1-
./ (r) = (
cosí senr) co sr—cosí senr)
1
i
,
5
’
)
sen '(senr)
r
t+n
Solución
Calculando los limites de cada función componente
la
función
es
dada
por
114
Eduardo Espinoza Ramos
l-c o s(se n í)
l-c o s(se n í)
l-c o s(se n í)
lim
:---------- =-lim--------- :--------- = lim
/-»o sen 2 (senr) /-»o 1 - c o s 2 (sent) t~>o (l-cos(sení))(l+ cos(senf))
1
1
1
= lim----------------- = ------= —
f~>o l + cos(senf) 1 + 1
2
c o s í-c o s í sen t)
( 1 -c o s í) l-c o s(se n í)
1
1
5------+ -------- =------- ) = — + - = 0
lim---------- j--------- = l i m { »- »0
t
r->o
t
t
2 2
1
1
1
lim
= --------= — , ahora reemplazamos en cada función componente.
/->0 Í + 7T 0+7T n
-»
l-c o s (se n í)
lim f ( t ) = (lim
j
/-»o
r->o sen (sení)
8
)
co sí-c o s(sen í)
I
1
1
---------- 2
, lim------- )= (—, 0 , —)
»-»o
t
t-tot+n
2
n
¡
\
a
a
a
a
Calcular si existe lim[an, b nJ , donde an = cos(—).cos(— ).cos(— )...cos(— )
n-w
2
2
CL
2
7
2
CL
i
¿2
AB=(i-tg2-X i-tg 2p-)...(i-tg2— )
Solución
lim ( a„ ,b n ) = ( lim a„ . lim b„ )
... ( 1 )
a
a
a
a
lim a„ = lim eos—.eos—=-.cos—r\..co s—
oZ
nZ 2
o3
nZ n
n~*oo n n~*co
Z
... ( 2 )
n—*a
n ->-r
n~*v
sen 2a
como sen 2a = 2 sena cosa => cosa = ---------, por lo tanto
2 sen a
a
a
a
sen— sen-^r
sen
r
a
a
a
a
sena
9
2
2
eos—.eos—r-co s—r...c o s— = ----------.----------- .----------- ....-----------9
•y1
o3
o"
a
a
a
a
2 sen— 2 s e n 2 sen—52 sen—
2
2
2
2"
ahora (3) reemplazamos en (2) se tiene:
sena
1
sena
lim a_ = l i m--------------= sena, l im------------- = -------
2
sena
... (3)
_
a
.sen—
2 "
Funciones Vectoriales de Variable Real
115
l imbn = lim ( \ - ig2 —) ( 1 —tg 2 —
rt—
*oo
n—
*cD
2
2
como eos 2 x =
2
2
2
2
2
1 —tg
=
- (4)
2
, .
eos x —sen x
sen x + cos x
—tg 2 ——)
1+
2
cos 2 x = (l —tg x)cos x => 1 - t g
2
”
2
x
2—
2
=
(1
- tg x)cos x
tg x
COs2x
x=
2
eos x
a
eos—
a
eos—r-
cosa
2
2
lim b = lim
a
2 a
' eos" — eos —r cos‘ —r2
2
-
2
= cosa lim
a
a
a
2
eos—. c o s - t . eos—r ... eos
eos'
2
2
”
2
a
-= cosa.a
a
a
a
sena
eos— eos—.eos—z-... eos—
2 ”
2
2
2 "
1
= eos a lim
n +oo
a
eos
1
2
2
a
tga
°
ahora reemplazando en cada función componente en ( 1 ).
lim (a „ • J = ( Um an • /,w
n—
*cc
n +00
n-+oo
9)
sena
a
) = (------- »
)
a
tg a
Calcular el limite si existe de lim (an , bn ) , donde
(n2 - 1 ) ( / ; 2 -2 )(w 2 -3 )...(w 2 - n )
a_ =
(«2
+ 1) ( « 2 + 3)(/i 2 + 5) . . . ( « 2 +2/I + 1)
n na+ 1
>
a n + 1 tg-t—
2 na
3
—
2(--------)
y K =
na
Solución
lim (an, />„) = ( lim an, lim bn) ; donde
i»-»oo
n—
>oo
(« 2 - 1 )(« 2 - 2 )(« 2 - 3 ) ...( « 2 - « )
lim an ~ lim — z-------- z
z-------------z----------n +qo
n—
+oo (n + !)(« +3)(« + 5)...(« + 2 « + l)
1_
= lim
n—
*co
n2 _2 _
n2 __ n_
[ o—
b2 w - ^ - ) t ] ” 2
- -------------------- — 2------------------2
n_ _3_
0
1
"
[(1 + —r ) ”2] ” . [ ( 1 + —7 ) 3 ] ” 2 —[ 0 + —~y ~ ) 2 ” +1 ]
n1
n2
1,2
”2
116
Eduardo Espinoza Ramos
i
—j-(l+2+3+...+n)
n(»+l)
e
= lim —¡n -> oo
e
■= lim
—j-(l+ 3 + 5 + ...+ (2 n + l)
2n
e 2
n (n + 1 )
n->co
3
=e
j
en
e ”
n
íi-»ocL
/ia + 1
-
7T WC+ 1
1
de donde
rrna+l
2
na 2 na )
na+ l
tg-(— )
2
na
na + 1
lim b_ = lim 3 —2(------ -)
n-»oo
1
,
,2
-2 —
= lim ( 1+— ) 2
/UZ
m—
(--a) _ —
_^_211H-K
cBfltg—
2 n
1
k
na+ l
4
7r
2
= / ^ x t g T (l + x) = - -
por lo tanto lim (an , bn) = ( lim a n, lim bn ) = (e 3/2, e4ln )
«-♦oo
n —>co
1
10)
;
Calcular lim(fl„ , b „ ) , donde an =
¿„ =
n
« + 1
Solución
lim (un , bn ) = ( lim an , lim bn ) ; donde
n —>oo
n —>oo
n f“
lim an = lim
n —>oo
ni
n —>oo
2
n¡
3
n/
y e + y e + \ e +...+ye
n
e
-= lim ■
1 /n
+e
2 /n
+e
3 /n
+...+e
n /n
n —>00
n —>00
= lim
1
lim bn = lim (
n->oo
1
1
+
n —>00 / l + l
W+ 2
1
1
) — lim (
+...+
2 /1
1
+
n-»oo
1
/I
1
= lim L
b-»o> ¡ =1
/.
fi dx
= J ----- = ln 2
n
u 1+x
1
lim (an, bn) = { lim a„, lim bn) = ( e - 1 , In 2 )
n —>00
n —>00
1
* +...+
+ —
/I
).
l + ~
/I
1
+
W
n+
2
1
+...+—
2n
117
Funciones Vectoriales de Variable Real
11)
Analizar la continuidad de la siguiente (unción:
t - arctg t
ew - e ^
(----------------------t
sen at - sen pt
/ ( ') =
1
B +a
(-,
3 a - p
-),t* 0
t =0
Solución
La función / ( i ) es continua en t = 0 sí 3 lim f ( i ) = /(O )
f- * 0
e ar - e -0t
-»
t - arctg t
Luego lim f (t) = (lim
;----- , lim­
)
r-»o
r-»o
r3
’ /-»oseñar —se n pt
ai
n - Bt
1
ae - p e
= (lim
j —, lim
,
r->o3(l+r ) »-»o a c o sa r—p eos pt
, ,
3 a —p
por lo tanto 3 lim f ( i ) = / ( O ) ; luego la función / ( / ) es continua en t = 0.
f- » 0
12)
Determinar si la función / : R
2
sen t
U, í , ------ ),
i
(0 ,0 ,0 ),
si t *
> R , dada por
0
es discontinua en t = 0 .
si t = 0
Solución
La función f (t) es discontinua sí lim f ( t )?* / ( 0 )
r->o'
-»
2 ser>{
lim f { t ) = lim(t, t ,
) = ( 0 ,0 , 1 ) * / ( 0 ) = ( 0 ,0 ,0 )
f- » 0
t
»-»0
por lo tanto / (t) es discontinua en t = 0 .
Eduardo Espinoza Ramos
118
r
13)
Dada
la
función
eos 2 t t2
/(f)= >
1 ( 1 ,0 , 1 )
_, J
1
’
^
Hallar
.
f=
los
punto
0
discontinuidad.
Solución
Los puntos críticos son 0 y 1. Analizando en el punto t = 0:
I)
7
( 0 ) = ( 1 ,0 .1 )
ii)
—
»
COS^ t —1
~2
lim f (t) = ( /im [|r|], l i m
^
, l i m e ' ) = ( 0 ,- l , 0 )
í-» o4
»-»0 *
/-»0 ‘
t
í-tO*
lim [|r|] = 0 , porque
o*
lim
/—
>0 *
0
< r < l => [|r|] = 0
eos t —l
sen t
^----- = lim - — ;— = - 1
t
i->0*
t
lim e'
f—
»0 +
= 0
y como lim f ( t ) * ( 1 ,0 ,1 )
/-»0 *
—
»
por lo tanto / ( / ) es discontinua en t = 0. Ahora analizando en t = 1:
—>
—>
/ ( 1 ) 3, pues la función no está definida, se concluye que / ( / ) no es continua en t = 1.
14)
*
-*
l
____
2
1 -c o s
2
Dada la función vectorial/ ( / ) definida p o r / ( r ) = ( V i - 1 ,
Determinar el dominio de / ( / ) .
b)
Hallar lim f (r), si existe.
r
4
j
(2 —
a)
1
(t— )
4
)2
Vt
, ------^ 0
I" * "
í-» 0
c)
Determinar los puntos de discontinuidad.
d)
Es posible redefinir f (/) de modo que sea continua sobre el intervalo <0,1>
—»
de
119
Funciones Vectoriales de Variable Real
Solución
a
a
eos—
eos—zr
9
? 2
¿
¿
- eos2 A r eos2 Ar
2
22
23
cosa
a)
lim b = h m n^ a' c o s 2
Como el dominio de / es:
í - -^)
= --------- j—
(t— ) 2
4
1i - c o s 2r
(
/ 1 (í) = V l - í 2 ,
^ ( 0
Dfi =
a
eosy ' _1
¿
eos 2 — . donde
2"
r
-
luego D7i ={í e / ? / l - / 2 > 0 ¡ = [-l,l]
= {/ e / f / l - / 2 > 0 } = [-l,l]
Df¡ = j í e R / l - e 2^ * 0 a f > 0 ¡ = /?+ -{0}
D—
i
f
-<4
b)
Se observa que: l i m
&>
■Jt
p- = l i m
/-►o* i _ e 2'*'
/-»o+
2J t
p-= l i m
e 2^
,-o *
1
2e
p- =
1
2
pero l i m
Jt
p-, 3
, - > o 'i _ e 2^
"7 T
por lo tanto para que 3 lim f ( t ) , es necesario que en cada una de las funciones componentes
/—
>o
—>
exista el límite, por lo tanto, 3 lim f { t )
/->o
c)
*
1
De la parte (a) se tiene que / ( / ) es discontinua en t = —.
4
d)
1
-*
Para que sea continua en t = — , se tiene que redefinir la función / ( / ) si es posible; para
4
-* 1
-*
esto observamos que: / ( —) = lim f ( t ) .
4^
^
r-»—
4
Eduardo Espinoza Ramos
120
2
1
_ ]
1 -c o s ( t — )
VT
/ ( - ) = litn / ( í ) = ( /iw v 1 - Í2 , lim--------- ,
, / / « ------ ^
(t— )
VÍ5
)= (
4
1
, 1.
2(1 —e)
)
l-co s~ (í ——)
(V T v .
/ ( 0
=
VÍ5
(
15)
4
1
, 1.
2(1 —e)
iT<
l-é
(*— ) '
4
1
t =—
4
),
Una partícula se mueve a lo largo de la curva / ( r ) = ( r 3 —4f) i + ( f 2 + 4f) y'+(8r2 —3f3)
para t = 2. Hallar la velocidad y la aceleración de la partícula.
Solución
—>
—♦
V(t ) —f ’(t) = velocidad de una partícula
V(t) = ^3í2 - 4 ) i + (2 r+ 4 ) y + ( l 6 f - 9 f 2) k , para t = 2 se tiene:
F (2 ) = 8 7 + 8 7 -4 A
a (t) - V ' ( t ) -
= aceleración de una partícula
a (t ) = 61 i + 2 j + (16—18r) k , de donde a ( 2) = 12 i + 2 j —2 0 k
16)
Sea C una curva de ecuación vectorial / ( í ) = | l - 2 í , f2, 2e2(í
recta tangente a C en el punto donde el vector f ’(t)cs paralelo a / ( / )
Solución
Hallar la ecuación de la
Funciones Vectoriales de Variable Real
121
Sea C: f ( t ) = \ \ - 2 t , í 2, 2e2(í
derivando se tiene / ' ( í ) = |- 2 , 2t, 4e2i‘ IlJ, debemos
f (í^).
donde el punto / ( / 0) debe cumplir que
Si f ’Uo) / / f U 0 ) => 3 A e / f / / ( í o) = A / '( r o) es decir:
( l - 2 / 0, t 2. 2e2(',,_,)) = a( - 2, 2/0, 4e2('*_,))
1
l - 2 r 0 = -2 A
A= —
2
lo ~ 2 to^
2e 2 (,I)- 1) =4A£ 2('«-,)
Luego:
=
1
A l) = (-1J,2); / ’(1)= (-2,2,4) = 2 ( - l,1,2)
por lo tanto:
17)
'0
Dados los vectores
= { (- 1, 1 , 2 ) + f ( - 1, 1,2 ) / 1 e /?}
I
2
3\
/ ( r ) = lr,r ,r 1 y
formado por los vectores
g (l ) = (1, r, 1—í) calcular el coseno del ángulo
a. D,
] y D, f ( 0 * g ( 0
cuando t =
a = ( 1,1, 1 )
Solución
7
(í) = (í, r 2, r 3)
J ( r ) = (l, r, 1 - t )
7 ’(0 = (l.
2
i. 3r2)
g' ( t) = (0 , 1 - 1 )
además /"(!) = (l.l.l) . g (l) = ( 1 ,1 ,0 )
/ ’(!) = (1.2,3)
áf'(l) = ( 0 , 1 ,—1)
1,
donde
122
Eduardo Espinoza Ramos
a [ 7 ( o - Í ( o ] = 7 ( i ) . í ,( i ) + 7 , ( i ) í d ) = 0 + 1
+ 2
=
3
a [ 7 d ) - Í ( d ] = 7 ’d ) - í ( i ) + 7 ( i ) í ' ( i ) =(-5,4,0)
a.Dí[7 (l)í(l)]= (U ,l)3 =(3,3,3
,3)
a -D, [/( l) . g(l)]-A [/(!)* g(l)]
CO S0 =
110.0,7(1)^(1)1111^7(1)^^0)11
(3,3,3).(-5,4,0)
11 (3,3’3)llll(
5A 0)I1
-1 5 + 12
1
1
= — ■=.— ■== - — ■== => 6 = arccos(—
)
3->/3 + V41
V123
Vl23
18)
—
>
/ / 2/
Sean las curvas f ( t ) = \ e , e
/\ —
*
g (í) = ( l - í , cosí, sen í). Hallar en el punto de
intersección el ángulo de intersección correspondiente.
Solución
El ángulo de intersección es el ángulo formado por los vectores tangentes a cada curva en el
punto de intersección de ambos.
—>
—♦
Sea P e Cj: / (í) r \ C2: g ( t ) , entonces
P e C,: 7 ( 0
Í p ^ ^ I - í T ')
P e C2: g (r)
[ P ( l - í , cosí, sení)
, para algún t e R.
Si
Luego [e , e 2' , \ - e *) = (1 —r,
c o s í,
sen í), de donde
e =1-1
e 2' = cosí
í = 0 ; P(1,1,0)
1 - e ' = sení
ahora calculamos los vectores tangentes a las curvas en el punto t = 0 .
123
punciones Vectoriales de Variable Real
f ( t ) = [ e , e 2' , l - e ')
~f'{t) = [ e ' , l e 2' ,e~')
—>
—>
g{t) = ( 1 - r , cosí, sení)
g '( r ) = ( - 1, - s e n í , c o s í)
p arat = 0, / '( 0 ) = (1,2,1), ^ ' ( t ) = (-1,0,1), || /(O ) || = V ó , || ^ (0 ) || = a/2
n
(1,2,1).(-1,0,1)
/■(O ).g'(O )
-1 + 0 + 1 n
COS 0 = --------------------------- = ---------- 7=—í= -------= --------7 = — = 0
11/(0) IIIU(O) ||
cos 0 =
19)
0
^/óV 2
VÍ 2
71
de donde 8 - -
Si / ( í ) es una función vectorial tal que ||/ ( í ) ||= A
donde k es constante. Hallar
/(o -o , 7 (o
Solución
->
-*
-»
2
Como || / ( / ) \\ = k entonces / ( í ) . / ( í ) = k , derivando se tiene
7 ( 0 - 0 , 7 ( 0 + 0 , 7 ( 0 7 ( 0 = 0 =>
2
7 (o .o f 7 (o = o
7 (0 0 ,7 (0 = 0
20)
Hallar la ecuación de la recta tangente de la curva f (t) = (sen í, cosí, 2 sen / - l) en el punto
de intersección con la curva g (í) = (cosí,
2
sení. cos~ f], r e [0 .2 ít].
Solución
Calculando el punto de intersección de las curvas.
P e C,: 7 ( /) n C2: g ( t)
=>
P e C,: / ( í )
Luego se tiene: / ( f , ) = g (í 2 ). de donde
a
P e C2: g (t )
124
Eduardo Espinoza Ramos
(sení,, cosí,,
2
senr, - l) = (cosí2, 2 senf2, eos 2 f2)
2
c o s í,
2
= 2 sení 2
sen í, —1 = sen í,
=> ( s e n í,- l )
sení, =
= 0
s e n í , - l = cos í 2
1
'> = 7
como cosí 2 = sen í, =>
c o s í2
=
1
=> t-,
= 0
n
\ n
•
,
para í, = — , / ( —) = ( 1 ,0 , 1 ), además f ' { í ) = (cosí, - s e n í,
2
2
La ecuación de la recta tangente, esta dado por:
2
,
+ n
cosí) => f '(— ) = (0 ,—1,0 )
2
í n
-* n /
1
Lt = i / ( —) + í f {— ) / í s K Í
L, = { ( 1 ,0 , 1 ) + í( 0 , - l , 0 ) / í e / f ¡
21)
Un proyectil se dispara con una velocidad inicial de Vo = 10(1,2,3) bajo la acción de un
campo gravitatorio g =
1 0 m i s / se g2,
si el disparo es hecho desde el punto (0 ,0 ,0 ) y no se
tomó en cuenta la resistencia del aire. Determinar la velocidad del proyectil y su posición
cuando se encuentra en el plano P: x + y + z + 800 = 0
Solución
Las ecuaciones son:
125
Funciones Vectoriales de Variable Real
reemplazando en ( 1 ) y en (2 ) se tiene:
7 ( 0 = (0 ,0 ,0 )+10(1,2,3)/+—( 0 ,0 , - 1 0 )í 2 tenemos 7 ( 0 = (I*/.
20
(, 3 0 /- 5 t 2)... (3)
2
v = 10(1.2.3) + (0.0.-10)/
entonces
v = (10, 20, 3 0 -1 0 /)
*
Sea p e C : J (t )r\ P => p e C: f ( t )
a
—(4)
pe P
Si p e C : 7 ( 0 => p ( 1 0 / .2 0 /.3 0 / - 5 r )
como p e P => 10/ + 20í+ 3 0 í - 5 í 2 +800 = 0
/ 2
—1 2 / —160 =
0
=> ( / - 2 0 )(/ + 8 ) -
0
=> / = 2 0
Luego el punto es P(200, 400, -1400)
|| v(20) ||= 171.76») / seg.
v (20) = (10, 2 0 .-1 7 0 ) y la rapidez es:
22)
Sean C,: 7 ( 0 = (l + O e * \ í 2 + /); / > 0
; C2: g( t) = (— , e4' , 1+ 2 0 ; ' > 0 .
1+ /
Calcular la ecuación de la recta tangente a la curvaC, en un punto de intersección deC,y C2.
Solución
Calculando el punto de intersección de C¡ y C2 ■
p e Cy. 7 ( 0 ^ C2: g ( t )
S ip e C ,: /( O
>
p e C 2: g (í)
=> p e C ¡ : f ( t )
=> p(l + í,, c 'l+1, / 2 + /,)
=>
p(
3
1+
4,
, e * , l + 2 r2)
O
(l + /,, e '1*1, r 2 + r,) = (-------, e4'2, l + 2 /2)
v
’
1 + í,
a
p e C2: g(t )
126
Eduardo Espinoza Ramos
1+
e
/, =
/,+l
1+
=e
.( 1 )
/,
4í2
.(2)
»! + í, = l + 2 / 2
de la ecuación (2) se tiene: /t + l = 4 / 2
•(3)
reemplazando en la ecuación ( 1 ) se tiene:
4 / , = ------- => 4í 2 + 4 í2 - 3 = 0 => / , = — ,/,_ = ----1 + /,
como t2 > 0, entonces t2 = ~ , reemplazando en (3)
/, + /,
= 2
=> (/j + 2 ) ( / j - l ) =
0
= > f j= ]
Luego / ( l ) = (2,í’",2) además f ' ( l ) = (l,e 2 ,3)
-*
La ecuación de la recta tangente Lt a la curva C, es: Lt =
>
+
e /?}
L, = { ( 2 , e 2,2) + t ( l , e 2, 3 ) / t e R }
—>
23)
Considere el arco C de la hélice cilindrica descrita por C: / ( / ) = (cosí, sen/, /); / e
0
.
n
—
2J
Demuestre que en ningún punto de C: / ' ( / ) es paralelo al vector cuyos extremos son /(O )
-» n
a / ( —)
2
Solución
Sea K(/) = / '( / ) = (- s e n /, eos/, 1)
parat = 0 , /¡( 1 ,0 ,0 ); / = — , P2 ( 0 , 1 .—)
2
2
un vector en la dirección de la cuerda es Pl P2 = (-1,1,—)
127
Funciones Vectoriales de Variable Real
Si v l l P i P2 = >3 X e R tal que v (/) = AP,P 2 >de donde
(-se n j, eos/, l) = (-A , A,— A) de donde
2
2
A= —
n
2
2
~,2 ,
sen r + cos r = 2A = 1
- sen t = A
eos/ = A
1=
24)
Xn
—j- =
n
--------
1
=> 7T
falso
= 8
Luego 3 A e / ? / v = XPí P2 es decir:
v(t)'HPlP2 , V / e [ 0 , —]
Considérese
por
la
hélice
descrita
la
función
vectorial
/ ( / ) =(</cosúíf, asencu/, bcot), co>0. Demuestre que la recta tangente, forma un ángulo
h
constante con el eje Z y que el coseno de este ángulo es
\
\ r~*
a +b
\
Solución
\
Sea
6 = Z. (V(/), k ) , donde
V (/) es la dirección de la recta tangente y k es el vector
dirección del eje Z.
-*
-*
,
,
ato cosco/, bco)
—>
II v (0 || = íiIa/u2 + b 2 , como co s 0 = ----- ^
—»
—
II v ( /) ||||* ||
(-aítfseníO/, acocoscot, bco).( 0 ,0 ,1 )
bco
eos6 - ------------------- ,
= -----,
íú4a~ +b2
CO^a" +b~
por lo tanto:
eos© =
b
128
25)
Eduardo Espinoza Ramos
Sean Cj y C2 las curvas descritas por las ecuaciones
f ( t ) = ( e , 2 se n (/+ — ), t 2 —2)
C2: g ( t) = {í , 2, t 2 - 3 ) .
y
Hallar el punto y el
ángulo de intersección correspondiente
Solución
Si p es el punto de intersección de C, y C2, entonces
p e Cx: f (t) n C2: g (t )
=>
f ( t l ) = g ( t 2 ), es decir
K
( e 1, 2 s e n (/,+ —), í, - 2 ) = (f2, 2, í 2 - 3 ) , de donde
e ' = r.
2
sen(í, + —) =
(1)
( 2)
2
fl2 - 2 = r22 - 3
(3)
de la ecuación (2 ) se tiene:
2
sen(í, + —) =
2
2
entonces
eos/, = 0 de donde f, = 0 al reemplazando en (1) ó (3) se tiene í2 = 1, por lo tanto el punto
—>
—»
de intersección es : /(O ) = g ( l) de donde P(l,2,-2).
El ángulo de intersección, es el ángulo formado por los vectores tangente a cada curva en el
punto de intersección.
Luego calculando los vectores tangentes
/(* ) = (.e' , 2 sen(í + —), í 2 - 2 )
g ( 0 = U,2,t - 3 )
/ '( O = (e, , J
’( 0
2
= (l,0 ,2 í)
sen t, 21)
129
Funciones Vectoriales de Variable Real
Luego /'(O ) = (1.0.0) : g '( l) = (1.0.2)
/ W g 'O )
1
, 1 ,
Sea eos a = ------------------------ —— => a = arccos(——)
ll/'W IN lí’U)!!
26)
Demostrar
que la pendiente de la recta tangente en / = /] a la cicloide x = a(t —sent);
y = a(l -cost) es ctg(—)
2
Solución
dv
Por demostrar que m, = —
' dx
como:
= c tg A )
2
\ x = a(t -s e n í)
dx
— = a ( l- c o s í)
dt
[ v = a (l
dv
-c o s í)
■= a sení
dt
dy
dy
='
dx t=i,
a sen í 1
dx
a ( l- c o s í ,)
—
dt
27)
-
dt
sen í,
1
2
h
h
sen — .eos—
-c o s ^
l\
eos—
• = rtg (— )
sen —
2
i
Bajo qué ángulo corta la curva x = a(l - eos t), y = a sen t, z = a t, a la recta que pasa por el
origen y forman ángulos iguales con los tres ejes coordenados.
Solución
El ángulo buscado es el que está formado por el vector dirección de la recta L con el vector
tangente a la curva en el punto de intersección, es decir:
Eduardo Espinoza Ramos
130
L = { p 0 + r a / r e R \ , donde p 0(0,0,0) y el vector
dirección es a = (eos©, eos©, eos©)
Sea filia => /> = (1,1,1) => II
11=n/3
L = {(0,0,0) + f( 1,1,1)// e
Sea p e L n C: f ( l ) = > p e L
a
p e C: / ( / )
Si /) € ¿ =>p{t,t,t) para algún t e R.
x = a (l - cos/0 ) = í()
p e C: f ( t ) => i v = a sen /„ = r0
=> /„ = 0
Luego para í 0 = 0 se tiene P(0,0,0), y / '( / ) = (a sen /, a cost, a) => /' (O) = (0, a ,a )
Si c = / ' ( 0 ) = (0 ,a ,a ) => | | c | = ^ o
fc.c
(Ul)-(P,fl,fl)
2
-Jó
como cos a = ------------ = ------ t=—f=------ = —¡== ----- entonces
*
3
28)
..
.
#V6
a = arccos(------)
3
Un muchacho lanza una pelota con una velocidad inicial de 60 p/seg. y un ángulo de
elevación de 60s hacia un muro de 50 pies de alto, que se encuentra a 30-/3 pies de distancia.
Si la mano del muchacho se halla a 5 pies del suelo:
a)
Hallar la función vectorial que describe la trayectoria de la pelota.
b)
¿Cae la pelota detrás del muro ó choca con él?. Si choca, determinar el ángulo con que choca.
Solución
131
Funciones Vectoriales de Variable Real
V() = 6 0 pies/seg., a = 60® , H = 50 pies
Datos del problema:
d = 30^3pies, y 0 =h = 5pies, g = 3 2 p / s e g .
y = V0sen a
x = (v0 cos60®)r => x = 3Or
at2
y = y 0 + y0y, + —— de donde
x = Vocosa
X
d = 30V3‘
y = ó + vn sen60®--■-— = 5 + 3 0 V 3 í-1 6 í2
2
a)
Por lo tanto la función vectorial es:
/ ( f ) = (30f, 5 + 30^3/ —16f2)
b)
Tenemos que: 30t = x pero para x 0 = d = 3 0 ^3 . Entonces 30í = 30^3
=> t = V3
ahora como _y = 5 + 3 0 V 3 f-1 6 f2 para t = J 3 , y = 5 + 90 - 48 = 47 pies.
Por lo tanto la pelota choca en el muro a 47 pies de altura, ahora para determinar el
ángulo de impacto, calculamos f ( t 0) con r„ = V3 es d e c ir :/'( 0 = (30, 30^3 - 32r) y,
/ #—\ /
f—\
v
/ '( V 3 ) =130, - 2 v 3 ) y com oa = arctg— => a = arctg(
V 7 '
1
x
29)
2
^/3 "
)= arctg(
30
)
15
Un proyectil es disparado^on rapidez inicial de 1,500 pies/seg. y un ángulo de elevación de
30® encuentre:
•
a)
La velocidad en el tiempo t,
b)
Su altura máxima,
c)
Su alcance.
d)
La rapidez con que choca el proyectil con el suelo.
Solución
Eduardo Espinoza Ramos
132
1
y = v0 sen30®.f- —g t
2
=> _y = 7 50í-16f
2
x = v„ eos 30® í = 75oV3f, por lo tanto: f ( t ) = { iS b J í t , 7501- 1 6 í 2)
■)
v (f ) = / ’(/) = ( 7 5 0 ^ 3 ,7 5 0 -3 2 0
b)
Altura máxima = v'= 750 - 32r = 0
750
dedondet = ------= 23.4375
32
750
750
375
v = 7 5 0 i-1 6 í2 => y = 750(----- ) —
16(-----)2= -----32
32
32
c)
Su alcanceespara t =
750
x = 750^3/ => x = 750^31
d)
piesde alturamáxima
reemplazando
750
32
) = 30,446.25 pies
La rapidez con que choca con el suelo.
Hv(t) ||=H f ' ( t ) 11=
+ (7 5 0 í-1 6 /2)2 => II v(^) 1
1=756.897
pies/seg.
133
Funciones Vectoriales de Variable Real
30)
Consideremos las curvas descritas por las ecuaciones
C,: / ( / ) = (ln(/ + 2), e
. * 5
+1. ------)
1+ /
y
-»
, 5
+ 51
C2: g(Z) = (ln2/, 3/ 2 - l . —— ). Hallar la2
ecuaciones de las rectas tangentes en cada punto de intersección de las curvas.
Solución
Calculando los puntos de intersección de las curvas.
Sea p e C , : / ( / ) n C2: g(t) => I U l ) = g ( t 2), es decir:
i
\ r
5
,
5 + 5/,
(ln (/,+ 2 ), e ' +1, ------ ) = (ln2/2, 3/ 2 -1 ,
- ) , de donde
l + /t
2
ln(/, + 2 ) = ln 2 / 2
<?'r + l = 3 i ? - l
5
5 + 5/,
l + /t
2
/,+
/,
2
reemplazando en (3)
2
= —-------+ 1
1+
/, + 2 = 2 / 2
...( 1 )
i2
2
íi +
=> - e ' = 3 /2 —2 ...(2) de (1) se tiene/, =
2
‘
2
- = l + / 2 ...(3)
1 + /,
/ j + 5 / , = 0 = > / , = 0 , f, = —5
2
para /, = 0 , se tiene Z2 =
1
en cambio, /, = —5, l 2 =
2
que satisface a la ecuación (2 )
no satisface a la ecuación (2 ), por lo tanto se considera í, = 0 ,
—>
—>
Z, = 1 obteniendo el punto Pfln 2, 2, 5) es decir que se tiene /(O ) - g (l),
—>
ahora calcularemos la ecuación de la recta tangente a la curva Cj: í ( t ) en p(ln 2, 2, 5
Luego: Lr = { (ln2,2,5) + Z / ’(0)/Z e R \ , de donde / ' ( / ) = (------ , 2 t e'
/+2
/"'(O) = (—,0,-5) entonces:
2
Z, =((ln2,2,5) + /(—,0 ,-5 ) // e 7?)
2
j ) com
d +0
134
Eduardo Espinozja Ramos
Calculando la recta tangente a la curva C2. g ( t ) .
L, = {(ln2,2,5) + r g '( l ) / 1 G R}, de donde ? ( r ) = (y .
/.
r, | )
* ’(!) = ( 1 .6 , - )
L, = {(ln 2,2,5) + r (1,6,—) / r e /?}
2.21
Ejercicios Propuestos.-
I.-
Calcular los siguientes límites si existen
1)
6
5* - 3* tgh t
lim(r, — )
/-*o 7 - 8 '
t
R pta.
5
ln—
(— j , 1)
ln—
8
2
)
3)
V f+ T - 1 Vt + 2 7 - 3
lim ( .
---- , ■
)
/—
+o v r + 1 - 1 Vf + 1 6 - 2
cosr
lim ( ,---— T ’
Va1 senr)
R pta.
3 32
)
27
2
7T
1 -s e n r
z
^(——
- t y“
R pta.
3
1
(— -¡=, 1, —)
2V2
2
R pta.
(0,0)
R pta.
( l,- l,2 )
R pta.
5 3
(7, —, —)
3 2
Rpta.
(-1, 0, l)
Rpta.
No existe
}
2
4)
1 -se n r
l + cos 2 r
lim (---------- , — ------- )
n
cosr
—-t
2
5)
6
)
7)
e -e
sen7r
lim {;
t->0 t
lim (
senr
í-> 7t t — n
8
)
lnr
, ------, 2r)
»-*i r-1 1-r
lim(
sen5r
sen 3r
,
sen 2r
1 +cosr
r
, —)
t
n
///«(lnr, Vl + r 2 ,
/ —»2
tg3r
7
4 -r
)
)
135
Funciones Vectoriales de Variable Real
9)
lim(
r-tl)
I-c o s5 í Vl + í sení -1
5----- ,
^----)
í
10)
í2- l
lim(e ,
i
í-1
11)
Rpta.
25 1
(— , —)
2
2
Rpta.
(e,2,2)
t + sen í sen 3/ —sen í
lim(---------- ,
)
r-><i í - s e n í
ln(í + l)
Rpta.
(o. 2)
12)
l + 5f
lim[
»-»o l - e
Rpta.
(ln5,
13)
e 21 - 1 1
lim(
/-»o l n ( l- 4 í)
Rpta.
1 9
(— , - )
2 4
14)
V(l + 0 3 - 1
V8 + 3 í - 2
i¡im(
i m y i
, Ai
j
, _ > 0 (l+ /)V l + í 2 - 1
V l 6 + 5í - 2
Rpta.
(— , 1.6)
25
15)
í '- l
sen Vi - 1
1- í 2
/;w(------- , — ^ ------- ,
)
/-»i í l n í í - I
s e n /rí
16)
2sen 2 í+ 9sen 3 1
lim(f- » 0
í2 -3 í5
17)
V T +7-1 e' + s e n í - l 81- 7 l
lim(------------ ,
, —---- - )
/-*«
í
ln(l + í)
6 -5
,
r + l)
sen2r
---------- )
ln(l + í)
sen 2 3/
-
-)
ln (l + 2 í)
e
al
-e
ht
1- 5
s e n o í-s e n 6 í
n
18)
19)
20)
1 —cosí
lim (----- 5— ,
arcsen 2 f ^
---------------,
3f
2
sen^ 7
l-e
t
^
'
7)
)
/imfl 5í + —I - í , (í —3 )ln (í-3 ),
1 <3
c o s í- V i —í
lim (/-.O
e
2/
-e
/
sen 2 í - s e n í
sen3í - sení
-)
ln(l + í)
2)
Eduardo Espinoza Ramos
136
II.1)
Calcular si existe lim(\t\, í[|/|], .
/-»3
V i+ 3
2)
S i / ( / ) = (/ +
3)
Calcular si existe /im([|i|], -Jt + 1, 4/j
í +2
)
, í+ 4 , 7) determinar lim f ( t ) y lim f ( t )
t-t6~'
r-t 6 * '
1+ 20
4)
/;
2
+ 20n
> donde a = --------------- + --------------- +....+---------'" ( 2 1 )
Calcular lim I/a„, h I,
»->v
'
1 + 2 0 /;
2 +20«
n + 2 0 /;
2
b = (V 2 /;+ l - V« + l )(t/ 2 /;~ + 1 - - J n 2 + 1 )sen'V2(—)1
n
Rpta.
1
21
2 ^ 2
(—ln(— )ln420, — = ----- ¿-)
2
20
(V 2 + 1 ) 2
5)
Calcular lim (o„, h ),
donde
1 2 3 4
«+ 1
a„ = —(—+ —+ —+.....+-------),
n 3 4 5
«+ 2
2 "-l
^
fc = —
5n
,
,«
(2
1/2
« 3 /4
« 7 /8
_
+ 2
+ 2
+ ...+2
2" *
z )
2
Rpta.
6
)
(1, j )
1
5/i2
2 4
2n
Calcular lim (an, hn ), donde an = .
■= (-------+ —+ —+...+-------- )
Vl + 9/i 2 4 + /z 4 7
3//+1
1 3
2 « -1
-(-)(— ) - (
)
+ 2 // + 1 6 1 2
6 /;
Rpta.
17 1
(— , - )
9 3
137
Funciones Vectoriales de Variable Real
,3
_3
1 + 2
7)'
Calcular lim (a
^ ti', btif), donde
an = -
2
+....+«
3
«4 + « - l
n
n
h = --------r-+ --------- T + -+ (n + 1 ) 2 (n + 2 ) 2
(n + n)1
1
Rpta.
8
8
)
2
Calcular lim (an, hn ), donde
tl--tJ
n
an = ^ ( n 2 + k 2 )
________________
1/2
, bn
con \i = 1 + —
”
Rpta.
9)
1
( - , —)
Calcular
lim(an, bn ), donde
«-»«>
(ln(l + V ? ), 4e
3/ 4
)
n
a_ = / — -----j-,
4_| Ar +«
1
,----------------------------------------------------------
= —!¡](an + b)(an + 2b)...{an + nb)
n
a
1+
^
R Pta-
10)
( 7 - ------—
4
Calcular lim (an, bn ), donde
o =
1+ 2« + 2«
—+ -------------- —+
r -+• ••+ —í
~
4 + 4 « + 2«~ 9 + 6 w+ 2«
n + 2n(n) + 2n~
2 ln2 ln3
ln(«)
h = sen(2 ;r eos—)(----- + -----+...+----------- )
n ln3 ln4
ln(n + l)
Rpta.
-
(o+ft)
n
(— -a rc tg 2, 1)
4
e.o
)
Eduardo Espinoza Ramos
138
11)
Usando la definición de límite demostrar que:
a)
b)
lim (t2 - 5 , r4, l - 2 r ) = (—4,1,3)
lim(3t2 - r 1, 3/2, 3r + r ’ ) = (2,3,4)
t-+ 1
c)
lim (t, V í(2 -« ), V2(2 - f)) = (1,1,V 2)
f-»i
d)
1
í
1
2
lim(
5- , V 5 f-1 , - p ) = (-----.3,— )
r ,2 1 - r 3
V2
7 V2
e)
2
1
3
1
s
¡im(t sen—, t eos—, r' )= (0 ,0 ,0 )
/-♦o
r
r
f)
4
/ 4
4
/ 4
/im (sen o/, e , eos h t ) =( s en cí0, e , eos Aí0 )
r->r0
12)
Analizar si los siguientes límites existen:
a)
lim{
, | í 2 - [ |í + l]]|, í 3)
/->i 2 - i 1
1
b)
4
l~ 2
/ 4 sen3(zr [|/|])
lim ( r \ V 5 í + l ,
r---- — )
r—
, 1/2
/ +1
c)
lim ^t2-
d)
lim (|2í + l|[|f - 3|], J 7 , ~ ^ = )
/->4
V 5 -Í
e)
1,1
í+“|J—
f)1_-^)
5
’ [|f4l])
Funciones Vectoriales de Variable Real
III.-
139
Analizar la continuidad de las siguientes funciones vectoriales:
1)
2
)
sent
/ ( , ) = ( '• — J» * i ' * 0
1 (0 , 1 )
si t = 0
/(/> =
í2- l
(- r r * ' ) s i t * 1
1(2 , 1 )
si t = 1
l- C O S Í
si t < 0
(t ~e, ■
3)
l - f -V l + í
ht
/ ( ') =
1
si t > l
( 2 , - V2 ),
2V3
4)
senW ?/
/« ) = '
5T ’
si t =
(0 , 1 )
0
•« [M] av par
5)
/(f) = i
( 2/ - M
6
)
/( « ) =
. <• H J
(senf, - —- ,
( - 1 ,0 ,3 )
2
es impar
f) si f e [0 , 1 >
si t e [ 1, 2 ]
2 arcsen i
n sen 2 f
(-----—----- , ís e n — , — -— ) si f e<
7)
0,1
/(0 =
(y ,
0
, 2) ,
si t e [l, 2 ]
gj
.
4
arcsen t
1
y ( fj _ H 4 í + 5 , ---, sení.seny) s i t ± 0
[(5, 0,0) ,
si í = 0
9)
f 0 ) = ( 1. L .2
. V -i^n-ñV) e n í 0
| / - 2 | ( / - 1) ’ ln(í 2 - [|/|
= 2
>
140
Eduardo Espinóla Ramos
10)
f2 - 3
/ ( 0 = ([M] + [|4 -í|], — 5— ), f e< 2,4 >
t +t~ + 1
11)
/ ( / ) = ([|f-3|], 5 ', e5') , t e / ?
12)
fU ) =
sen t - c o s r ( l - c o s t )
(3í, -------------- 5------------- ) si 0 < t < n
.vi f = 0
(0, 0, 5)
13)
;r 2arcsenf sen 3/
(fsen— , ----,
),
/(í) = j
2 {
</<
1
l< f <2
l<°- 3 ’ 3>
14)
0
VTT7—I c '+ s e n í - l
t
' ln(l + r)
/(f)= n
l =0
[ ( - , 2 , 1) ,
arcsen 2 í
)
t
í2- i
4t - 1
lít- iít
), t*
^se
n
(f-l)
’
s
e
n
(
tl)
’
1- í
15) / ( f ) =
O. j . - l )
IV.-
,
0
</<
1
1
t=l
Hallar los puntos, si es que existen, donde las siguientes funciones vectoriales no son
continuas.
1)
(í) = ( í , í , [ | 2 r|]);
7
.
2)
,
sen/
íe < M
=
1 (0
^
3)
t e [0 , 8 ]
, 1) ,
f=0
J ( - Í , - 2 t, t)
/ < 0 - j ( , , , J ( , _ 2 )M
si
t e [ - 2 ,0 ]
,2 ^
, S<02J
141
Funciones Vectoriales de Variable Real
((/ + 3)1/3 ( / - 2 ) 2/3,
r+ 3
/2
4)
, r +2/-3
/ ( / ) = (-
+2
, 2r + 6) ,
/ < —3
, ( /- l ) l n ( r + 4), ^ ( í - l ) ( í + 4 )4 ) , - 3 < r < 1
í2+ 1
(3 /-3 , e' - e , s e n n t ) , í> 1
1)
Hallar el punto de intersección de las curvas dadas por:
a)
f { t ) = (t2,
b)
f ( t ) = (t + l, e l+1, r 2 + 1 ), í
c)
/ ( 0
d)
/ O ) = (cos/r t, t 2 - 2 1 +5, 5e'), 0 < t < 1
3
Int), g(t ) = (er 2, — , ln(r + l))
r+ 1
( 0
= (e 2 , ,2sen(r + | ) . í 2 - 2 ) ,
= ( - ^ y , e 4',
2
r + l),
t
¿ 0
g(t) = (/,2 , / 2 - 3 )
—►
g (/) = (C0S7T/, /+ 5 , 4+ cos/), 0 < / < l
—>
2)
Determinar el punto de intersección de la recta / ( / ) = (9 + 3/, —10—4/, 7 + 2 /) con el
plano YZ.
R pta.
3)
*
(0,2,1)
2
2
Determinar los puntos en que la curva / ( / ) = (/ —1, / +1, 3/) corta al plano
3x —2y —z + 7 = 0.
R pta.
4)
A (3,5,6), B(0,2,3)
Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva / ( / ) = (s e n /,2 c o s /,2 s e n /- l) en el
punto de intersección de la curva g (/) = (cos/,
2
sen/, eos2 /).
142
Eduardo Espinoza Ramos
5)
Formas
las
ecuaciones
de
la
tangente
a
la
curva
x = e (cos/ + sen /),
v = e (s e n /-c o s í), z = e en el punto t = 0 .
Rpta.
X —1 2 - 1
L : ------ = -----2
6
)
a
y=
-1
1
En la línea f ( t ) = (eos/, sen/, e ). Hallar el punto en el cual la tangente es paralela al
plano -Jix + v - 4 = 0 .
Rpta. P [ ^ ~ ,
7)
e*'6)
Hallar en la curva C: x = / +1, y = t 2 + 1, z = r 3 el punto cuya tangente es paralela al
plano x + 2 y + z - 1 = 0 .
Rpta. ¿ ( Q A - l M í l - H
—* -*
Calcular a.A ,d o n d e
—>
_J_)
—
► fl
a = (2 ,-4 .1 ) y h = J ^ ( t e ' , t s e n h 2 t , 2 t e ~ '}
Rpta. 0
9)
Dado
d r
-» -*
d r d r d r
r = r (u), u = <p(x) expresar las derivadas —— , -----j - ,
s- por medio de
dx
dx
dx
d2 r
d2r
du ’ du2 ’ du 3
—
>
■
-f
—
>
—►
—
>
10) Dado /•(/) = a.cosco 1+ b sentó/, donde a ,b son vectores constantes. Demostrar que:
a)
-»
-» d r
-+ -*
r x — — = coa x b
dt
—
y
—►
.
b)
—
y
11) Demostrar que si r (/) = a e~m + b
, -»
d r
,
— ^-+co r = 0 .
d t2
—
y —
y
, donde a , b son vectores constantes. Se tiene:
Funciones Vectoriales de Variable Real
143
21
1- r 2
12) Sea a una función vectorial definida por: cr(f) = (----- 5-, ----- r-, 1), Demostrar que el
1+t
1+ t
—►
—►
ángulo formado por a (í) y a ' ( t ) es constante, esto es independiente de t.
—
>
13) Sea a ( t ) el vector de posición de una partícula en movimiento, donde t (t >0) es el
tiempo, describir la forma geométrica de la trayectoria y encontrar el vector velocidad,
aceleración y rapidez del movimiento de:
a)
-»
n
a ( t ) = (10cos27t /, 10sen27r t) en t = —
4
b)
cr(/) = (l + / 3 , 2 / 3,
c)
2
2
a ( / ) = (cosí , sení . 2sen3í)
d)
a ( í ) = (2 + 3 c o s2 í. 4 -3 s c n 2 í)
2
- í 3 )e n t= l
—
>
14) Hallar
el
ángulo con
que
se cortan
lascurvas
cuyas
ecuaciones son:
-»
t
-*
a ( t ) = (1 -c o s /, 4 sen —, í - s e n í ) g (í) = (sení, 1 -c o s í, /)
2
15) Si C tiene la representación paramétrica
[)2i|]
a ( í ) = (cosz, sení, ------ ),
n
t € [0, 4n],
Determinar todos los puntos en donde C tiene un vector tangente paralelo a uno de los
planos coordenados.
16)
¿Qué ángulo forma con el plano
z = 2-Jlt en el punto t = — ?
4
XY latangentea la hélice x = eos t, y= sen t,
Rpta. 70fi23*
—►
17) En el tiempo t una partícula tiene el vector posición
—
>
Demostrar que: a (r) tiene una magnitud constante.
ct(/) = (í + co sí, í+ s e n í) ,
144
Eduardo Espinoza Ramos
18)
Demuestre que la condición necesaria y suficiente para que un vector r ( r ) no nulo,
—>
-*
-*
d r (i)
tenga módulo constante es que r ( t ) . r ’(t)= r (t ). --------- = 0 .
di
19)
Demuestre que la condición necesaria y suficiente para que un vector
r (/), no nulo,
—»
-»
-»
*
d r (t )
tenga dirección constante es que: r ( t ) x r ' ( t ) = r ( t ) x
=0
dt
2
20)
Si C tiene la representación paramétrica
a (r) = (cosí, sen/,
1
),
t e [0,
4 7 t],
n
Determinar todos los puntos en donde C tiene un vector tangente paralelo a uno de los
planos coordenados.
—>
21)
Sea a (i) el vector de posición de una partícula que se desplaza sobre la esfera de
—»
centro en el origen y radio r. Demostrar que el vector velocidad es perpendicular a a (t)
en cada instante.
n
22) Un proyectil se lanza con un ángulo de elevación de — radianes y con velocidad inicial
6
—►
de 400 pies/seg. Determinar una función f ( t ) que describe la posición del proyectil en
función del tiempo. Hallar así mismo el tiempo del recorrido.
*
2
3
23) Una partícula P se mueve sobre la curva descrita por la función f ( u ) = (2u, u , u ), si
en el instante t =
0
se encuentra en el punto (2 , 1 , 1 ) y se mueve de tal manera que la
tercera coordenada de su posición se incrementa a razón de
2
unidades por segundo.
Hallar el vector velocidad de P cuando se encuentra en el punto (4,4,8) ¿Qué tiempo
tardará la partícula en llegar a este punto?.
145
Funciones Vectoriales de Variable Real
24) Sea C: r = r ( t ) , tal que
v e c to r
r(r)
r ( i ) # O y r ' ( t ) es paralelo a r ( í ) . Demostrar que el
es constante y que la curva descrita por r está contenida en la recta que
II '(OH
pasa por el origen de coordenadas.
♦
2
25) Averiguar si la curva descrita por / ( / ) = (sen2/, 2 sen I, 2 cosí) yace en una esfera con
3
centro en el origen de R . Encuentre el módulo de v(r) y demuestre que la proyección
de éste vector en el plano XY tiene módulo constante.
26) Una partícula parte del punto (2,0) en el instante t = 1 y se mueve sobre la curva
x 2 + y 2 —Jx* + y 1 - x = 0 en sentido antihorario. Volviendo a su posición inicial. Si su
rapidez es coastante e igual a 4, definir una función vectorial que describe el
movimiento.
27) Un punto P se mueve con una velocidad constante de 13 pics/seg. en sentido horario
alrededor de la circunferencia x 2 + y 2 = 25
donde X e Y están expresadas en pies,
cuando P pasa por el punto (4,3). Hallar la velocidad angular del segmento AP siendo
A(0,2).
28) Calcular la derivada de cada una de las funciones vectoriales en /„ = 0
f
a)
1
t
(í s e n - , ------— ) si t
f (0 =
r l +e
(0 ,0 )
si r = 0
b)
f(t) =
2
c)
/(* ) =
1
2
(r s e n - , 1 + t ) si t
t
( 1 .0 )
si r = 0
(e
2/
2
1
, t sen—) si t * 0
t
( 1 .0 )
si r = 0
* 0
* 0
146
Eduardo Espinoza Ramos
-T -*
3
29)
Sea / : R
a)
30)
-9
* R una función vectorial, tal que e x iste n /’, / " , D e m o s t r a r que:
— / • / " / '" = / / '
dt L
¿Si / ( O = (|2/ + 1|[|í -3 |], J7, ~ ¡ = ), existe / '( 4 ) ?
V 5 -í
32) Sea / : R
>R* tal que / ( / ) =
/ 2( 0
= sen 2 r,
/ , ( / ) = arctgr,
—»(m)
calcular /
(0) si existe. Sug: Encontrar una fórmula de recurrencia para todo t en
_>(m)
/
( 0 y luego tome limite cuando t —
>0 .
33)
Sea f ( t ) = (e‘ ,te ' , e ' ), verificar que jTfO) es ortogonal al vector (-1,0,1).
34)
Hallar / ’(/) de las siguientes funciones vectoriales.
35)
a)
/ ( / ) = (arcsen/, ln(l + 5í), t 1)
b)
/ ( / ) = (eosni, senh 4/, e ~51)
c)
7 ( 0
= (ln(l + / 2), — ¡-y , arctg /)
1 +r
Para t> 0 , sea f ( t ) = (2t, J t , e‘ ) , g (/) = (cos/, sen/, 1 - / ) , <p(t)=e 21, calcular:
b)
d) (7otp)'
c)
7 (0 ) + i ( |>
(tp/Y
Funciones Vectoriales de Variable Real
36)
147
Hallar el punto donde se cortan las curvas:
C, : a(t) = (e',2sen(í + y ) , f 2 - 2 )
—»
C 2 : a(t ) = (t,2 ,t 2 - 3 ) , así como el ángulo de intersección.
Rpta. (l,2,-2), c o s 0 = —
s
37)
Dada la curva C, descrita por / : / c /?------» /?3 , tal que f ' { t ) = a x f ( t )
-»
—►
-»
y
-»
f ( 0 ) = h , donde a y b son vectores unitarios. Hallar el ángulo entre a y b tal que
la curvatura en t = 0 sea mínima.
38)
Considerar la hélice descrita por la función vectorial f ( t ) = (a eos tai, a sen co, bcot) , o
> 0. Demostrar que la recta tangente forma un ángulo constante con el eje Z y que el
coseno de dicho ángulo es
■7 , además demostrar que los vectores velocidad y
V a2 + b2
—>
—>
■•
.
II v x a II
o
,
aceleración tiene longitudes constantes y que ----------- = — ----- —, v = velocidad,
I v ||
° +h
—>
a = aceleración.
2.22
Integral indefinida.-]
Definición.-
Si
/ : / ------ > R n
es una función vectorial de variable real dado por
—►
f(<) = ( / i ( 0 . / ?
-»
0
)-•■■• f n (O)* la integral indefinida de f ( t ) es dado por:
J f (t )d t = { \ j \ { t ) d t + cx, \ j 2(t)di + c2, . . . , \ f n(t}dt + cn )
=
f \ V ) d i , y f 2(t)dt,...,^ f„(t)dt) + (c\,c2,...,c„) =Q(t)+ c
Eduardo Espinoza Ramos
148
de donde D, Q ( t ) - f ( t ) , para el caso de las funciones vectoriales de / : /
por / ( / ) = / j (/) i + /
2
(/) j
+ / 3
|7(r)dr =(J/, (í)dí +
>R
dado
(/) k , la integral indefinida es dada por:
) /+(
J/2(r)Jr+ c2)
7
+(
J
/ 3
( /)dr+ c 3 ) k
Observadones.-
1) a J7('w =(^, (ía (*>*+ci )»+D, (í f i v w +ci >j + D, (í h v w +ci >7>
= / ,( o 7 + / 2(/)7 + /3 (o a = 7 (o
2)
fy{t)di
Las integrales
tienen por constante de integración a c , , c 2 , c 3
—>
—
9
*
respectivamente que al ser multiplicado por i . j y k se obtiene un vector constante al cual
f -*
—
>
—
>
—
>
*
denotaremos por c por lo tanto J f ( t ) d t = Q(t)+ c donde D, Q(t) = f ( I).
2.23
Propiedades de la Integra] Indefinida,-!
Consideremos dos funciones vectoriales f ( t ) y g ( t ) , a e R y
c un vector constante,
entonces:
1.
\a.f(t)dt = a \f(t)d t
2. f c . f {t)dt = c . J / (t)dt
3.
J ( f ( t ) ± g ( i ) d t = J f ( t ) d t ± ¡ g(t)dt
4.
Ejemplo.-
Encontrar
la
función
->
1
-+
1
R { t ) = ----- - 1 + .----l +t 2
vectorial
->
-*
j+ctgt.k
Solución
más
|¡ f ( t ) d t |< J|
general
cuya
7 ( 0
Idt
derivada
es
149
Funciones Vectoriales de Variable Real
{2.24
Integral Definida^
Definición.-
Consideremos una función vectorial
f~.\a,tí[------ >/?”, definida por:
/ ( O = ( / i ( 0 . fiU)* — '/»(*)) entonces la integral definida de /"(/) sobre
el intervalo cerrado [a, b] está dado por:
fh/ ( t ) d t
=
Ja
La integral
( f / i ( t ) d t , f / , (r
Ja
f/„ (r)rfr)
Ja
Ja
siempre existe si cada uno de las integrales ^ f ¡ ( t ) d i , i=l,2,3..,n
existen.
En particular, si / ( / ) es continua en [a, b] entonces
J f(t)dt existe.
El primer teorema fundamental del cálculo para funciones reales de variable real: “si f es
continua sobre el intervalo [a,b] y a, t e [a,b] entonces Dt j f ( t ) d t = f ( t ) ", puede extenderse
a funciones vectoriales de variable real.
Si / : [a ,¿]------ >/?” es una función vectorial de variable real continua sobre el intervalo
[a,b] y t e[a,b] entonces:
D,
f f(t)dt = 7 (í),
V t e [a b ]
Ja
Demostración
Aplicando el primer teorema fundamental del cálculo a cada una de las funciones
componentes.
150
Eduardo Espinosa Ramos
D,
f
} ( t ) d t = D l ( ¡ f ] ( t) d t, ¡ f 2 U)dt,...,
Ja
Ja
Ja
ff„(t)dt)
Ja
= (D, J / , (t)dt, D, J / 2 (/)dt„..,D, f / „ (t)dt) = ( /, (/). / 2(/)..... /„ (/)) = 7 ( 0
D, [ / ( í ) * = 7 ( 0 .
Jfl
V te [a ,b ]
El segundo teorema fundamental del cálculo para funciones reales de variable real: “Si
ffc
F' es continua sobre un intervalo [a,b] entonces I F'(x)dx = F { b ) - F ( a ) ”, puede extenderse
Ja
a funciones vectoriales de variable real.
f2.26
Teorema.-]
—>
Si F: [a,ó]
>R", tiene derivada continua sobre el intervalo [a,b] entonces:
?' (t)dt =?(/>)- 7(o)
Demostración
Aplicando el segundo teorema fundamental del cálculo a cada una de las funciones
componentes
f F'U)dt = ( \ hFx'{t)dt, ?F2'U)dt
Ja
Ja
Ja
?Fn'«)dt)
Ja
= ( f 1 ( A ) - ^ ( o ) . F2( b ) - F 2{a)....... F„(b)- Fn(a))
= (Fx(b). F2(b).......Fn(fc))-(F,(fl), F2(a).......F„(a))= F ( b ) - F ( a )
Ejemplo.1)
Calcular las siguientes integrales.
(sen/, cosí, tgt)dt
Solución
Funciones Vectoriales de Variable Real
151
(sen/, cosí, tg /)d /= (J|sen////, JÑ os////, J \ g í di) = (-c o s /, sen/, ln s e c /)/*
4
■jl - j l
¡—
-jl
-jl
f= ( - — • — . lnV 2 ) - ( - 1,0 .0 ) = í l - — , — ,ln V 2 )
2
)
f4 /
/
,
1 (f. “i
= , 4/ )dt
2
1+í
v i+/
Solución
f4
i
t
,
C* t di
i*
t dt
f4
,
VTTT7 ' 7 ^ ’ 4r Wí = (- l 7 7 7 ’ '27 ^ T ' i 41' A)
= (^ ln (l + / 2), VÑÑ7 , / 4) / J
= (—ln l7 , V r7, 256)- ( —ln5, >/5, 16) = ( - l n — , V l7 -V 5 , 240)
2
2
2
5
2.27
Propiedades de la Integral Definida.-}
1)
Sean / ,g : [ a ,f t ] ------>R" funciones vectoriales de variable real integrable, entonces la
—>
—>
función a . f ( l ) ± p g ( t ) , a, p e R es integrable en [a,b] y
(a f ( t ) ± P g(t))dt = a J f ( t ) d t ± P J g(t)dt
2)
Si / : [ « , * ] ------ >R” es una función vectorial de variable real y c es un vector
constante entonces.
nh
a)
3)
—
>—
>
—
> |»/j —
>
c.f{t)dt = c.\ f(t)dt
Ja
Si / : [o ,ó ]
b)
Ja
#/7 -> ->
>
r / ( / )dt = c <1
Ja
>
f(t)di
«a
>R" es una función vectorial de variable real y || / ( / ) || es integrable
en [a,b], entonces:
|| f
Ja
/(/)< * || < f || f ( t ) \ \ d t
Ja
152
2.28
Eduardo Espinoza Ramos
Curvas.Existen muchas formas de definir una curva, así por ejemplo podemos definir a una curva
como el rango de una función vectorial de variable real, también se puede definir como la
trayectoria de una partícula en movimiento, por lo tanto para nuestro estudio a una curva lo
—)
—)
—>
—>
representaremos por medio de una función vectorial f ( t ) —x(t) i + y(t) j + z ( t ) k , al cual
—)
denotaremos por C: f ( t ) , donde cada valor de r0 de t le corresponde un punto de la curva C
cuyo vector de posición es / ( r 0) es decir:
Observación.- La pregunta que se pueden hacer es como una función Vectorial de Variable
Real donde los elementos de su rango son Vectores pueden generar una gráfica (Curva).
En realidad al trasladar un elemento
3
t e D_> vía / a R y transformado por
/
la Regla de Correspondencia en un
vector con origen en (0 ,0 ,0 ) de modo
que su extremo se encuentra en la curva,
el “Paso” de este vector generara un
punto en la curva de esta manera la traza
de la Curva estará formado por las
“huellas” de todos los vectores
obtenidos al ser trasladados del ZL,
/
(imágenes de f).
También a una curva C, se puede definir por medio de las ecuaciones.
(* -* (/)
C: i
ly = y(0
te I
Llamadas ecuaciones paramétricas de la curva C donde la variable t se denomina parámetro.
153
Funciones Vectoriales de Variable Real
Ejemplo.1)
Cualquier recta L puede representarse en la forma:
f ( t ) = a + t h = («! + V ) ' + [a 2 + ^,2 Í) j + ( a 3 + * 3 f) k
donde a =( ax,a2,a3) y b = (Aj.¿ 2 .¿ 3 ) son vectores constantes y se dice que la recta L pasa
por el punto ^ (a , , a 2.ai j
cuyo vector de posición es a
y tiene la dirección del vector
A = (A,.A2 ,A ,).
2)
Solución
Las ecuaciones paramétricas de f ( t ) son:
fIx = a sen t
■>
x ~1
■j
, de donde —j + —j" = l, esta ecuación nos representa una elipse.
[y = Acosí
a
A
154
3)
Eduardo Espinoza Ramos
Discutir la gráfica de la función vectorial.
/ ( / ) —a .c o s/i+ fc se n / j + t k
Solución
x = acost
Las ecuaciones paramétricas de la curva son: C:
y = hsent
,
te R
z =t
x = aco s/
1
ly = ósenr
Y“ v, de donde - r - + ^ r = 1, esto quiere decir que la curva C se encuentra en el
a
b
cilindro elíptico, cuya directriz, es una elipse en el plano XY, y cuyas generatrices son
paralelas al eje Z.
t
X
y
z
0
a
0
0
n
4
a
42
n
4
b
n
4 i
n
0
2
3/r
4
2
a
b
41
0
0
-b
n
3n
2
0
0
2n
2
2n
Observación.-
S e a /:/
3n
4
-a
7t
3/r
b
>/?" una función vectorial diferenciable, cuando / ' ( / ) es continua se
dice que f ( t ) es una curva de clase C
1
,(*)
en general si /
derivable de orden k en / y continua diremos que / ( / ) es una curva de clase C
: / ------ >R" es
155
Funciones Vectoriales de Variable Real
—»
Teorema.-
*
j
Si f . g ' . [fl.fc]
>R" son funciones vectoriales de clase C , entonces:
a
a
a
Demostración
u =f ( t )
\dv=g'(t)dt
du - f ' ( t ) d t
[ v = g ( /)
J f U ) . g ' ( t ) d t = f { t ) g *( t ) ¡,b-Jfb~g*( t ) . f ( t ) d t
Definición.-
Se dice que una curva C c z R
es una curva parametrizada, si existe una
función vectorial a : [ a ,¿ ] ------ > / ? 3 tal que a ( [n ,¿ ])= C , a la
función
vectorial a (/) = ( a ^ í) , a 2 (0 , ct 3 (r)) se denomina parametrización de la curva C.
Ejemplo.-
La curva a: [0,27t]------ >/?2, definida por a (t) = (a.cos/, ¿sen/) es una curva
2
2
x
y
parametrizada de la curva C: —Y +~ T = *
a
b
Í 2 x, x < 0
Ejemplo.-
¡ La curva C dada por C: y = f ( x ) = I x 2
It
es una curva parametrizada?
‘ >0
Solución
Si x < 0, para x = t, y = 2t, Luego a (t ) = (t , 2t), t < 0
x > 0 , para x = t, y = — , luego
2
-»
í2
« ( ' ) = (' , y ) ,
t>0
Í ( í,2 /)
Luego la curva a: R
de la curva C.
>Rl definida por a (/)= i
/ 2
|( í , y ) .
,
í> 0
es una parametrización
í
< 0
156
Eduardo Espinoza Ramos
Ejemplo.-
\ x 2 + y 2 + z 2 =25
¿La curva C dada por C: i
es una curva parametrizada?
z =3
Solución
Si proyectando al plano XY, se tiene:
C: x 2 + v 2 = 2 5 - 9 = 16
C: x~ + v = 16
parametrizando C se tiene,
x = 4 eos t, y = 4 sen t, 0 < t < 2it
Luego 3 a: [o, 2 k \ ------ >/ ? \ t a l que a ( t ) = (4cos/, 4sen/, 3), 0 < t < 2 n
2.29
Ecuaciones Paramétricas de una Corva en el Plano-1
Consideremos una curva C dada por la ecuación cartesiana F(x,y) = 0, es decir:
C: F(x,y) = 0
donde cada una de las variables es una función de una tercera variable t, es decir:
x = f(t), y = g(t), donde cada t e l . Determina un par de valores reales “x” e "y” que
satisface a la ecuación F(x,y) = 0;
Las ecuaciones
C: i
x =f V )
, te R
v= g( 0
Se llama ecuaciones paramétricas de la curva C y la variable independiente t se llama
parámetro.
Nota.-
H1 intervalo I puede ser abierto, cerrado, semi-abierto ó < -x¡, +oo > = R.
157
Funciones Vectoriales de Variable Real
Ejemplos.-
Dar una representación paramctrica de la recta, la circunferencia y las cónicas.
—»
i)
Paramctrizando la recta L que pasa por /},(x(),y()) paralela al vector
decir:
como
a = (al ,a2 .a^). es
L = |(x u,y 0) + í(a 1 ,fl1) / t e /?}
L e
/?2
=> (x. v) e L <=> (.v,y) = (.v(), V„) + / ( a ,. í/ 2 )
(xO >)= (x „ + fl1/, y o + a 2t)
í x = x a + alt
L: i
,
{ y = y 0 +a 2t
te R
son las ecuaciones paramétricas de la recta L.
ii)
Paramctrizando la circunferencia
C: x 1 + y 2 = R 1,
R > 0 se elige un ángulo 0 formado por el semi eje X
y el radio vector
OP
moviéndose en sentido
antihorario, se obtiene las ecuaciones x = R eos 0,
y = R sen 0 , 0 e[0, 2n]. Luego la circunferencia
\ x = RcosG
dada en forma paramctrica es: C: i
„
„ , 0
[y = /?sen 0
e [0 ,2 n] donde
iü)
Parametrizando las parábolas de ecuaciones y = 4 p x
2
0
es el parámetro dado en radianes.
x = 4p y
,
2
, hay varias formas de
parametrizar para y = 4 p x 2, si x = t , y = 4 p t 2.
2
\X = t
P: y = 4 px = \
?
[y = 4 p t *
P: x = 4p y
7
| 4 / " 2
= 1
[‘
,
,
te R ,
/ e R
para x = 4py
2
siy = t , x = 4 pt
2
Eduardo Espinoza Ramos
158
Ejemplo.-
Parametrizar la parábola v = — + x
2
Solución
lx = t
Sea x = t , y = — +*
=>
2
Iv)
X
t e R
P: ^
-1
\y = —
+t
' 2
il'V
V
Parametrizando la elipse — — —= 1, se tiene:
a
b~
x
— = cos 6
a
— = sen 8
b
= acos6
b sení?
Ejemplo.-
x i
y i
(—)
+
(
a
bt ) =
1
x = acosO
y = b sen 6
,
0
e [0 ,2 n]
La epicicloide es una curva plana engendrada por el movimiento de un punto p de la
circunferencia C que rueda sin resbalar sobre el exterior de un círculo fijo C0. Hallar
una representación paramétrica de la epicicloide si C tiene radio r, C0 tiene su centro en el origen y
radio r0 y p está situado inicialmente en (rn ,0 ).
Solución
Funciones Vectoriales de Variable Real
159
Sea A el centro de la circunferencia C; 8 = Z ( OA , i ), || OB || = r0 , || BA ||= r
OA =|| OA ||c o s 0 / +|| OA ||s e n 0 j
Sea p = Z { A p , i )
de donde
BS - BP
=> OA = (ro + r)co s0 i+ ( r o + r)s e n 0 j
=> Z ( O A , A B) + p +8 = n
p = n - (8 + Z( O A , A B ))
... (2)
Ahora reemplazando (3) en (2) se tiene:
BP - rZ{ O A , Ap )J3S = r08
=>
— >— *
Z (O A ,A p ) =—
r
rZ ( O A , A p ) = r06
=>
. . . ( 1)
... (3)
P = n - ( 8 +— 6) = n - ——^-0
r
pero
r
... (4)
AP =|| AP || eosp i - | | A P || sen p j = r eos p i - r s e n p j
AP = r c o s ( n
r + rn
r + rn
6) i - r s e n ( n —
6) j
AP = - r c o s ( - ^ - 0 ) 7 - / - í e n ( - ^ - e ) 7
r
... (5)
r
Si P(x,y) es el punto móvil, entonces OP = (x,y) pero OP = 0 A + AP , reemplazando se
tiene
,
x
-* ¡
x
-*
r0 +r ->
r0 +r
(x,y) = (r + roJcos0 i + (r + roJsen0 j - r eos
8 i -rs e n —-— 6 j
rü+ r
-*
r0 + r
(x ,y) = ((r + ro)cos 0 - r e o s -------6 ) i + ((r + rn)sen ó - r s e n ( -------- )8) j
r
r
Luego las ecuaciones paramétricas de la epicicloide son
rn
(
\
0 +r
x = \ r +r 0) eos 8 - r cos(------ )6
r
í
\
ro + r
j = (r + roJsen0 - r s e n ( ------ )6
160
2.30
Eduardo Espinoza Ramos
Obtención de la Ecuación Cartesiana de una Curva a partir de su]
iRepresentación F^ramétrkJ
Dadas las ecuaciones paramétricas de una curva.
= m
Se puede obtener su ecuación cartesiana F(x,y) = 0, con solo eliminar el parámetro t por
métodos algebraicos o por medio de algunas identidades trigonométricas.
Ejemplo.-
Hallar la ecuación cartesiana de la curva. C:
|jK= a t +b
[_y = 2 r + c
Solución
De la ecuación y = 2t + c despejamos t.
y-c
t =reemplazando en la ecuación x = a t +b
y —c 2
x = a(—-—) + b de donde
2
a
2
C : x - b = — ( y - c ) , que es una parábola.
4
j x = 2 ( 1 + cosí?)
Ejemplo.-
Hallar la ecuación cartesiana de la curva
C:
[_y = 2 sen 0
Solución
De las ecuaciones despejamos eos 6 , sen 6 .
x-2
■- cosí?
— = señó
2
!
OI2
2
(* -2 )
y
2 n
2n .
-----------+ — = eos 6 + sen 0 = 1
4
4
(x - 2 ) 2 + / = 4
.". C: ( x - 2 ) 2 + y 2 = 4 , que es una circunferencia.
161
Funciones Vectoriales de Variable Real
2.31
Clases dé Curvas,^
Sea C c ü
una curva parametrizada, es decir, que existe una función vectorial
a : [a,ft]------ >/?3, tal que a M
) = C, entonces:
—►
i)
—♦
Diremos que C es una curva cerrada si a ( a ) - a (b) en caso contrario la curva C es una
curva abierta.
Ejemplo.-
Lacurva a: [0,2/r]------ * R2 definidapor a ( t ) = (4 cosí, 2 sen/) es una curva cerrada
puesto que a (0) = a [ 2 n ) = (4,0)
U)
Diremos que C es una curva con punto doble si
a ( l ¡ ) = a ( l 2) . í¡ * l2
Curva con puntos doblas
* Un punto de la curva C es un punto múltiple (doble, triple, etc.) si corresponde a dos
ó más valores diferentes del parámetro t.
Eduardo Espinoza Ramos
162
iii)
Diremos que C es una curva simple si no posee puntos dobles.
* C se llama simple si a es inyectiva.
Iv)
Si la curva C, está contenida en un plano, la curva C es denominada curva plana, en caso
contrario se denomina curva alabeada, por ejemplo, la circunferencia, la elipse,
son curvas planas, en cambio la hélice cilindrica es una curva alabeada.
v)
-»
i
-*
Diremos que C es una curva regular si a (/) e s d e c la s e C y a ' ( í ) ^ 0 , V t e [ a ,b ] ,e n
este caso t se llama parámetro regular.
Ejemplo.-
La curva a: R
>R
definida por a ( t ) = (4 cosí, 4 sen/, 5í) es una curva regular,
—>
puesto, que a' (t) = (—4 sení, 4 cosí, 5) * (0,0,0) , V t e R.
O bservación-
En general una curva puede admitir más de una representación paramétrica, pero es
suficiente que en una de estas representaciones se cumpla la condición de
regularidad para que la curva sea regular.
—>
—>
Los punto p(x,y,z) de la curva C, en donde a ’(í) * 0 para alguna representación paramétrica de la
—>
—
f
curva C se denomina puntos regulares, pero los puntos en donde a '( í ) = 0 , se denomina puntos
singulares.
163
Funciones Vectoriales de Variable Real
2.32
Reparamatrizaciónde mía Curva Regular.-]
Definición.- Sea CczT? 3 una curva regular, o sea que existe una función vectorial
a: [a,b]------ >R , tal que: a([a,ó ]j = C y a '( í ) * 0 ; una reparamatrización
de a ( í ) es una curva
y = a o y . \c ,d \------ >/?', donde
función diferenciable con i//'(w)
—
*
—>
y \c ,d \
es una
0, V u e [c,d] y sobreyectiva, además:
-*
y { u ) - { a o\y)(u) = a(\y(u)) , V u e[c,d]
Observación.
1)
Si y/'(t)> 0 se conserva la misma orientación en la curva reparametrizada.
2)
Si y (í) < 0 se invierte la orientación en la curva reparametriza.
3)
Si
—► —>
la
reparametrización
y: a o y \ c , d \
—
*
3
a: [a.b]------> R es continua .
^
>R
es
continua, entonces
la
curva
164
Eduardo Espinoza Ramos
Sea a : [0,27t]------ > R 2 una curva regular definida por a ( í ) = (cosf, se n í).
Ejemplo.I)
Sea y/: [O.l]------ >[0,27t] una función real definida por y(u) = 2iru entonces.
y ( u ) = ( a o i¡/)(u) = a ( i¡/(u)) = (cos 2 ;rw, sen 2 m ) es una reparametrización de la curva
« (O ii)
Sea y/: [0.2zr]-------»[0.2/r] una función real definida por y(u) - 2 n - u entonces.
—►
—►
Y ( u ) = {a
*
o
i¡/)(u) = a( y / ( u ) ) = [cos(2n —u ), sen(27r-w)J es una reparametrización de la
—»
curva a ( i ), como i//' (w) = —1 < 0 entonces se invierte la orientación.
2.33
Longitud de Arco»-|
—*
Consideremos una Curva C definida por la función vectorial f : [a ,¿ ]------ >/?” tal que
a
( 0
= [ fi ( 0 . f j U ) , - - , / „ ( 0 ) y consideremos una partición de [a,b],
/> = { /„ ./,......tk },
donde a = f0 < /, < t 2 <...< tk = b, toda partición P de [a,b] define una poligonal definida
por los segmentos rectilíneos de / ( / 0) a / ( / j ) de / ( / , ) a / ( / 2),..., de
a f { í k) para
el caso de P = jp /P e s u ñ a partición de[a,b]J, denotaremos la longitud de este arco
poligonal por L p , es decir:
¿i>=Íji 7 ( 0 - )i
1=1
Funciones Vectoriales de Variable Real
Definición.-
16S
La curva C defímda por la función vectorial /
de [a,b] se dice que es
rectificable si { l p //? e P j tiene una cota superior.
Si C
es rectificable, la longitud L de C es el supremo de { í p //? e P j es decir:
L = s u p .jip / p e P}.
Si seobtiene una partición P 2 de [a,b] agregando algunos puntos de lapartición a
P, de
[a,b] entonces L¡> < Lp^', a P2 le llamaremos refinamiento de P ,.
|2.34
LeinM
Si P 2 es un refinamiento de P, entonces Lp¡ < Lp^ .
Demostración
Este lema es una consecuencia inmediata de la desigualdad triangular.
Sea \f/j el primer tiempo de P2 que no esta en P, entonces para algún i, r|-_1 < y/¡ < t¡ y
iih , ) -
>n=ii7o,)- 7(vj >+7(vy)- 7(',i >i
^ii 7(m -7('7) ii+ii 7(v,)-7(',-i)«
añadiendo todos los puntos de P 2 a P, y obtenemos.
2.35
L P < LP^
Teorfema.-j
—
►
—>
Si / tiene una derivada continua sobre [a,b] y la curva C descrita por / ( / ) es rectificable
entonces la longitud de arco de la curva C es:
¿=fii7'(oii^
•a
Demostración
166
Eduardo Espinoza Ramos
ln} una posición de [a,b], por el teorema
Consideremos una curva C en fi 3 y P = {,o»,i
del valor intermedio:
* -»
-»
*
LP = £ l l / ( '. - ) - / ( ', - ! ) II = 2 > . - h- \ ) II (
1=1
¿=i
/ r
h * ti ”' lí " e < ti_
son continuas [a,b] están acotadas sobre [a,b]
como f \ ■>f - i ' f i '
fi'Oi"). /s W M I I
supongamos
para
algún
para toda t e [a,b], entonces:
i=i
para toda partición P de [a,b], por lo tanto {Z-p I p e p j esta superiormente acotada y C es
rectificable, sea L la longitud de C.
L = j¡’j r m d t
ahora demostraremos que
Sea e > 0 cualquiera, como L = sup.{Z-P / p e / 5} existe una partición P{ de [a,b] tal que:
L - e < LPi < L
mb —>
”>
como || / ' (t) || es continua en [a,b] entonces 3 I || / ' (í) || d i , es decir:
Ja
f IIr (0IIdt =. K
sr
=, K ¿II / ’ ) II(‘i - h-i)
mb —f
Luego 3 ¿>j > 0 , tal que | I || f ' ( i ) \ \ d t - S P | < e siempre que I/5) < S l ahora bien:
Ja
\ ? \ \ } ' m d t - L \ = \ ? \ \ f ' ( i ) \ \ d t - S P + SP - L P +LP - L \
Ja
Ja
-Lp\+\Lp
-4 I
167
Funciones Vectoriales de Variable Real
Luego | f || ^f'(t)\\dt - L\< e , luego L = f \ \ f ' { t ) \ \ d t .
Ja
Observación.-
Si C: / ( / ) = (*(/), y(/), z(t)j
para a < t S b entonces la longitud de arco de la
curva C es:
L = fll n o li dt = \ h^X'(t)2+ v'(t)2 + z ’(I)2d!
Ja
Ejemplo.-
Encontrar
Ja
la
longitud
de
la
curva
C
definida
por
C: a (t) =a.cost i + a.sen/ j + ct k de A(a,0,0) hasta B(a,0,2nc)
Solución
j / ( / , ) = (a, 0.0)
í/.
7
Calculando los limites de integración.
= 0
í 1
|/2
[ ( í 2) = (afi,2irc)
= 2 rr
a(t) = (a .co sr,ase n /,c/) => a' (t) = ( - a .s e n t,acost, c)
II a '( 0 ll='\/fl2 senZ t + a 2 eos 2 t + c 1 —-\la2 + c2
L = f2"|| a '( / ) || dt = ¡2R'Ja1 + c 2dt = 2ns¡a1 + c 2
Jo
Jo
Ejemplo.-
Hallar
la
longitud
de
arco
de
la
curva
—►
a ( r ) = (a(cos/ + /sen í), a(sen y - r e o s /) ) , a > 0 en [0 , 2 n]
Solución
a ( t ) = (afeosí + / sen/), a (s e n /-z c o s /)), derivando se tiene
C
definida
por
168
Eduardo Espinoza Ramos
Ejemplo.-
Calcular la longitud de la parábola y = x
desde x = 0 hasta x = 1.
Solución
Parametrizando la parábola
se tiene:
x = t, y = t 2 luego a ( t ) = [t,f2),
0
< t<
1
=> a'(0 =(l,2r) ^ ||a,(í)||=Vl +4/2
L = j j | a(í) || dt =
|0<5¡ 7
£
1
Vl + 47-dt = ^ - + ^ ln(\ + j 5 )
t nitari<iis:Virairi¿Í€rtte, Normal PrincipalBtilünnaK^
Definición.-
Sea
C
una
curva
regular
—
>
—
>
—
►
—
i
a ( t ) = x(í) i +y(í ) j + z ( t ) k . El
dado
por
la
función
vectorial
vector tangente unitario de la curta
C : a ( / ) en la dirección de a ' ( t ) denotado por T(t) es dado por: T(t) = -
a '(r)
II « ' ( 0 1 1
169
Funciones Vectoriales de Variable Real
como
r* i
o
í
r
L(C) = J \ x ' ( l ) ~ + v' UV + z ' ( t y d t , entonces definiremos S(t) = L(C) que es una
a
función longitud de arco. Luego
setiene.
como
P* /
5'(/) = J
2
">
2~
+ >’'( / ) " + "’( 0 d t , de donde al derivar
S ’(l) = -Jx'U)J + v '(r)2 +=’(/)2 = l| a ’ U)|| => 5 ’ (/ )= ||a '(/ )|
T(l)
es
un
vector
tangente
unitario, entonces
7"(/).7n(/) = l . de donde
derivando se tiene: T '{t ) . T ( t ) +T ( t ) . T' ( t ) = 0 => T ( l ) . r ’(l) = 0 por lo tanto T(l) y
—►
7” (r> son ortogonales.
Definición.-
Si C es una curva regular dada por C: a ( t ) , al vector unitario que tiene la
—»
misma dirección que T ’(t), se denomina vector normal principal a la curva
C en el punto f {!)
al cual denotaremos por N (t )
y es dado por N(t) = -
T'(t)
ii n o n
siempre que || 7" (011*0.
170
Eduardo Espinoza Ramos
Observaciones.—>
1)
3
Como a: \a,b\
—*
>R , es una curva regular, entonces la curva C descrita por a es
rectificable, la longitud de arco de C correspondiente al intervalo [a,t] será:
«.r -»
f( 0 = l II« '( “ ) II
-»
entonces f'(t) =|| a '( /) ||
Ja
Luego r ( / ) = | | a ’(u)|| <=> a '( í) = £'(l) T(í)
... (1)
—*
Si la curva C descrita por a es rectificable, entonces la ecuación (1) nos dice que la dirección
—>
—>
del vector velocidad a ' ( t ) es la del vector tangente unitario T(t) y la velocidad escalar o
—►
( ’(r) =|| a '(r) ||
rapidez es dado por:
—>
2)
—
>
—►
y T(t)
Si a '( r ) , es diferenciable en [a,b], es decir, existe a '( f ) en [a,b]. Entonces
existen en [a,b] y diferenciando tenemos :
2"(í)= r(t)T(t)+ £'(t)T'(í) ó
—►
3)
a " ( t) = r ■(t)T(t)+f( /) || r (/) || N (o
->
Si T'(t) = 0 , V t e[a,b], entonces el movimiento es lineal.
Definición.-
—* r
Sea a : [a,b\ — —>R
-»
3
—>
una curva regular tal que a " ( t ) -*■0 , V t G[a,b], se
-»
conoce que T(t) y N( t )
—>
-»
son ortogonales, por lo tanto T ( t ) x N ( t ) es
—►
—>
ortogonal tanto a T(t) como N{t) , además
—►
—►
—>
—>
—>
|| 7’(/)xAr(/)||= || r ( í ) |||| A^(í)||.sen90B= l
—>
—*
—
y
entonces T (t )x N( t) es unitario, luego el vector T (t )xN( t) denotaremos por B(t ) es decir:
171
Funciones Vectoriales de Variable Real
el cual es denominado vector binormal unitario, por lo tanto, a los tres vectores unitarios
T(t), N (t ) y B(t) que son ortogonales de una curva C, se denomina la TRIADA MÓVIL
deC .
2.37
Vector C urvatura y Curvatura.-]
*
Sea a: \a,b\
>/?
3
—
*/
una curva regular tal que a([a,b]) = C,
al vector curvatura
—>
denotaremos por k (t ) y es definido por:
donde T ( t ) es el vector tangente unitario.
—>
—►
—►
Si la curva C\a(t ) es dos veces diferenciable y si a ' ( t ) * Ü, la curvatura es dado por:
también al vector normal principal unitario se define por:
Eduardo Espinosa Ramos
172
Observación.-
Los vectores T (í ), N( t) , B(t)
que son determinados en cada punto a (/) d é la
curva C (tiene importancia en la ciencia y
la tecnología) puede tomarse
como un nuevo sistema de coordenadas de referencias, puesto que son vectores mutuamente
ortogonales que satisfacen las relaciones.
T (í ). N( t) = 0
Observación.-
;
T(t).B(t) = 0
;
N(t ). B( t) = 0
La curvatura también se define en función de su longitud de arco como parámetro.
Sea C: r (s) = A'(s) i + Y(s) j + Z(s) k , s e[0,l].
Diremos
que la curva C está
parametrizada por la longitud de arco si y solo si para cada s
—►
—►
e [0,1], r (s ) es un punto de la curva C a una distancia de arco s del punto r (.?)
arco de r ( 0 ) a r (s) el parámetro es la longitud de arco si y solo si:
í II r' (u)\\du = s , donde ||r '( . 9 ) ||= l
Jo
Luego una curva está parametrizada por la longitud de arco si y solo si el vector tangente
—
¥
r ’(s) es de longitud constante igual a 1 .
173
Funciones Vectoriales de Variable Real
Ejemplo.-
La curva, más generalmente, parametrizada por la longitud de arco es la circunferencia
de radio 1.
->
->
S
->
S
r (.v) = cos(.s) i + sen(.v) j el parámetro es la longitud de arco /‘(s) = p[cosf-) / +sen(—) j ] ,
P
P
s e[0,2jrp] es una circunferencia de radio p y de centro en el origen de coordenadas.
Observación.-
Consideremos cualquier curva parametrizada por la longitud de arco r ( s ) ; aunque
la longitud del vector tangente r '( s ) es la unidad, la dirección de este vector
—
y
puede variar al variar s y el vector r " ( s ) de esta variación de dirección el cual llamaremos vector
—>
curvatura y a su magnitud k =| r " (s ) | se denomina curvatura.
La curvatura da la variación en dirección por unidad de longitud de arco.
como r' (s) = 1 => r ’(s). r '(s) = 1, derivando se tiene que: r ’(s). r " ( 5 ) = 0 Entonces r ,(.í)±/-"(s)
Observación.-
No siempre se puede encontrar curvas distintas de la circunferencia parametrizada
por la longitud de arco. Por esto la curvatura se calcula en términos de un
parámetro arbitrario t, que por conveniencia se interpreta como el tiempo.
Ejemplo.-
Hallar los vectores tangente unitario y normal principal de la espiral cónica
—»
a { t ) = (a.cosí, bsent) t e [0 ,2 jt] , a ,b > 0 .
Solución
-»
-*
a ( t ) = (a.co sí, ¿ s e n /)
1
—>
=> ct’(t) = (-a .s e n /, ¿ e o s/) => || a'(t)\\ = y a 2 sen2 t + b 2eos2 1
—»
T( ,\-
_/
a '^ )
_^
II a ' ( 0 II
j ~
—fl.senf
~
~
~
V ^ se n -f+ fc -c o s-/
h. eos_/_______
~
~
/
y a ~ sen r + Zr eos t
—
- a!bs‘ " '
, ) =* i i n o i N ,
?t
■> ?
1
? t
a s e n ' ! + b~
( a s e n - f + b~ eos" /) (a~sen~/ + Zr eos" t ) 1
? • < „ = (—
~°h la x ‘
*j ^
1
,
eos-1
Eduardo Espinoza Ramos
174
Z,,^ = —T '(t ) =(—
,
N(t)
II 7 ” (í) II
-----h^x o s l
- a^. sen/^
^ )
"va2 sen2 / + ó 2 eos 2 / -va 2 sen 2 t + b 1 eos 2 /
-*
b.cost
- a . sen/
N (i ) = (— ¡, 2
)
■> * 2- = =2 . - j 1=2 ------------------=
2
,7
1
Va sen- /
eos" t v a sen" f + ¿ r eos" /
Ejemplo.-
9
Hallar la triada móvil de la curva y = x~ . z = 2x en el punto x = 2.
Solución
j y =x 2
Sea C: 1
. l a curva en forma paramétrica.
[== 2x
Sea a : [a,ó ]------ >R 3 / a (/) = ( / , / 2 ,2/) donde t - t 0 - 2 =>a '(/) = ( 1.2/.2) entonces
« '( 2 ) = (1.4,2) =>
/—
||a '( 2 ) || = V 2 l ^
-*
T(2)=
a '( 2 )
/
1
4
2
2
|| a ' ( 2 ) | |
La binormal también se calcula mediante la fórmula. i?(2) =
^ 21
g
)
^ 21 ^ 21
(^)
|| « '( 2 ), a " ( 2 ) ||
¿ e doníje
175
Funciones Vectoriales de Variable Real
2.38
Planos: Osculador Normal y Rectificante.Consideremos una curva regular a: [a,b]------ >/ ? 3 tal que Ct([«,fc]) = C c f i 3, entonces:
i)
El plano que pasa por el punto ct(r0) = (jeo'>'o’zo) que es paralelo a los vectores T(t0)
y N(t 0), se llama plano osculador, cuya ecuación es dada por:
P0: fi(?o)-[(A\y,2)-(.v 0 ,y 0 ,Zo)
ii)
El plano que pasa por el punto Ct(f0) = (jfo’^O’Zo)que es paralelo a los vectores A^/q)
y
b (/0) , se llama plano normal principal, cuya ecuación es dada por:
PN : T(t0 )[(x, y, z) —(*o >y o ’ Zo )]—0
iii)
El plano que pasa por el punto a ( f 0) = (jfo-yo'Zo) que es paralelo a los vectores fi(/0)
—>
y T ( t ) , se llama plano rectificante, cuya ecuación es dada por:
Pr - M fo )-[(* .y .z )-(* 0 ’:Vo»Zo)] = 0
Las rectas: tangente, normal y Binormal tiene por ecuación a:
Lr = {a(fo) + rL(r0) / r e /?}
LB={u[to) + P
e /?}
. LN = {a(f0) + Áiv(r0) / Ae R }
Eduardo Espinoza Ramos
176
—»
Ejemplo.-
/
»
-»
Sea la curva C: / (?) = (e3' , e 3í. 3V2/J. Hallar los vectores T y N y la ecuación del
plano osculador en el punto ( 1 , 1 ,0 )
Solución
Calculando el valoi de í = /„ de tal manera que f ( t 0) = (l,l,0)
( í '3 ,n , e 3,° , 3 > / 2 / 0 ) = ( 1 .1 .0 )
= > /o = 0
Calculando Z’íO) para esto f ' ( t ) = ( 3 e 3 í , - 3 e 3í,
7'(0) =(3,-3,3'v/2) => || 7*(0)|| =^/36 = 6
n / ’íom
Calculando 5(0) =
? de donde
ii 7
'( o> 7 " ío) ii
7 ‘(O = (te3*,-3é*~3' ,3^2 ) => 7 " ( í) = (9e3 ',9 e ‘ 3',o ) => 7 " ( 0 ) = (9,9,0)
i
y
/"(O),/"(O) = 3
-3
9
9
B(0) =
I I / '( 0 V / " (0 )||
A
3^2 = (-2 7 ^ 2 ,2 7 ^ 2 ,5 4 ) => || 7 '(0 k /" (0 ) ||= 5 4 ^
0
177
Funciones Vectoriales de Variable Real
2 39
Otra forma de Expresar las Ecuaciones oe los Alanos: Osculador]
N e r r o a í y 'R a r i f i c a n t e ^
Consideremos una curva alabeada, es decir que no está contenida en un plano, cuyas
ecuaciones paramétricas son:
x = x(r)
C: t y = y ( t ) ,
siendo t un parámetro.
\ z = z(t)
donde su ecuación vectorial es:
C: a ( t ) = x(t) i + y ( t ) j + z ( t ) k
En cada punto de la curva C se puede delinir un triedro trirectangular llamado INTRÍNSECO
o fundamental formado por los vectores unitarios, tangente, normal principal y binormal,
donde la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto (x, ,v¡ , z , ) es:
-r-
x'(t)
y'(t)
z'(f)
La ecuación de la binormal a la curva C en el punto (x, ,y , ,z , ) es:
Lt :
x -x ,
y-.V j
z-z,
siendo
A = y'(t)z"(t)-z'(t)y"(t) , B = z'{y)x"{t)-x'(t)z"(t) , C = x'{t)y"{t)-y'{t)x"(t)
La ecuación de la normal principal a la curva C en el punto (xt , y {, z x) es:
x —x x
N*
v’ ( 0
z'(í)
B
C
y-y¡
z'(t) x'(t)
C
A
z-z,
x'(f)
y' (t )
A
B
Eduardo Espinoza Ramos
178
El plano rectificante que es determinado por la tangente y la binormal, su ecuación es:
>•■(/)
PR:
x ’(t)
z(t)
B
C
(X -X !) +
A
C
* ■ (0
>■•(/)
A
B
(y-yi)+
(r -r,) = 0
El plano osculador que es determinado por la normal principal y la tangente, su ecuación
es:
x -x ,
P0-
-
-i
* '(/)
y' O)
='«) = 0
* " (/)
>■"(/)
="{!)
ósea P0: A ( x - x l ) + B ( y - y l ) + C ( : - z l ) = fí
El plano normal que es determinado por la normal principal u la binormal, su ecuación es:
PN: Jf,(/)(JC-Jc1 ) + y ( / ) ( y - y 1) + z,( /) ( _ - z ] ) = 0
Ejemplo.-
Determinar las ecuaciones de la recta tangente y del plano normal a la curva.
x = e eos/
C:
y = e sen/
z = V3e'
en el punto correspondiente a t =
0
y la ecuación del plano osculador en el mismo punto.
Solución
para t = 0, x = 1, y = 0, z = -j3. Luego P(l,0,-j3)
La ecuación de la recta tangente es:
x(t) = e eos/
y(t) = e sen/
LT:
x -x ,
y-y¡
x '( 0 )
> '( 0 )
x '(/) = e eo s/—e sen/
z'( 0 )
x '( 0 ) =
1
=> ' >•'(/) = e sen/ + e eos/ => ' / ( 0 ) =
1
II
/—s
O
"l 1
ll
srT
z’(/) = V3e
, de donde
179
Funciones Vectoriales de Variable Real
x —1
y -0
Z--J5
Z--J3
Lt : -------= :-------- = — ;=— => Lr : jc —1 = y = 1
-Jl
1
V3
La ecuación del plano normal es:
PN: x' ( 0 )(x - x l ) + y' ( 0 )(y - v ,) + z' ( 0 )(z - z ,) = 0
PN: ( x - l ) + (.y -0 ) + V 3 (z -V 3 ) = 0
PN : x + y + v/3z = 4
Pn: x'(fí)
x " (0 )
x' ' ( t ) = - 2 c sen/
y ' (t) = e sen i + c cos/ =>
_y"(/) = 2 ef eos/
v- I
2.40
y-
0
=
0
x " (0 ) = 0
=>
II
z’(/) = -Jle
z'( 0 )
v"( 0 ) z " ( 0 )
y "(0 ) =
O
II
x' ( t ) = e e o s /—e sen/
y'(fí)
2
tbi
La ecuación del plano osculador es:
Z--J3
I
1
VJ
0
2
VJ
= 0 => P(): >/3.y + -x/3V- 2z + -x/3 = 0
Curvatura.-]
Consideremos una curva C dada por la función vectorial / ( / ) = f\ (/) i + f 2 (/) j + f \ {<) k ,
llamaremos curvatura de flexión o simplemente curvatura a la razón instantánea de cambio de
dirección de los puntos de la curva C, con respecto a la longitud de arco.
/(L >) y ./( /[ )
son dos puntos de la curva C y T (/„) y T((¡) son las respectivas
—>
tangentes unitarias, entonces la curvatura en el punto / ( / „ ) es dado por k ( l ()).
180
Eduardo Espinoza Ramos
lir(/,)-r(/„]
II r ( / 0)||
M I
n n / , ) - r ( i 0)ii
'l - l a
k(t{]) = l i m
= lim — -------= lim ar-»n AS
'¡-“o S(I i ) —S(I q)
S(/¡ ) —S(/n)
I I /'(/o ) II
T (t.)
Observación.-
2.41
El cambio de dirección es dado por 0 pero para 0 pequeño se tiene© * ||A7f.
Definición.-]
Consideremos una curva regular C a R
—>
_
parametrizada por la longitud de arco es decir
■
»
3 y: [Q.L]........ >R
—
>
y ( [ 0 , L ] ) - C . Sea
tal que:
—>
r ( ^ ) = y '( 5 )
el vector tangente
unitario a la curva en el punto y ( S ) .
—>
—>
A la derivada del vector T(S) se denomina vector curvatura de la curva y
y denotaremos
~k(S) = T ' ( S ) = y " ( S ) .
por:
—>
—>
—►
—
>
Como T(S) es unitario es decir || T(S) ||= 1 entonces el vector T'(S) = y " (S)
Observación.-
es
perpendicular a T (S ), por lo tamo el vector curvatura tiene la misma dirección que
-»
el vector unitario normal principal N ( S )
—►
>
entonces existe un número real K(S) tal que
>
T'(S) = k ( S ) N ( S ) , luego al número k(S) se denomina curvatura de la curva en el punto y ( S ) y e s
dado por k(S) = || k (S) ¡|
181
Funciones Vectoriales de Variable Real
2.42
Otra forma de la Curéatuira.»]
Sea ü la medida del ángulo en sentido contrario a
—►
las manecillas del reloj desde i
—
f
—>
T (8 ) = cos6. i + s e n 6 . j
dT(6)
d6
—>
a T entonces
y
por
lo
tanto
*
d T (6)
- = - s e n 0 . / + co s 0 .y como --------- es un
d6
d T{6)
vector unitario y T (6 ).---------- = 0 además:
de
dT
k=\\ — \\ = n ~dG
dS
" dS^
dQ
2.43
— i i - i
dO
dS
dS
Teorema.-|
Para una curva plana descrita por la ecuación C: r ( t ) = x ( f ) . i + y ( t ) . j demostrar que la
|x '(Q .y "( 0 - x " ( f ) .y '( 0 |
curvatura viene dada por la expresión. k(t) = (x '(r ) 2 + y '( í ) 2 ) 3/2
182
Eduardo Espinoza Ramos
Demostración
D rí/)
~>
y'/A
Se conoce que k(t) =|| —
II, donde T(i) = — ——
II ^- ( 0 II
-»
-
>
—>
II r 'Í O ll
—>
—>
—►
como r{ t ) = x { t ) . i + y ( t ) . j => r ' ( t ) = x'(t). i + y'(t). j
lk'(0ll=^x'(02 + y (í)2
Ik 'ÍO B
-Jx'(t)2 + y ' ( t ) 2
Jx'(t)2 + / ( t ) 2
x"(í).y'(t)2 - x ( t ) . y " ( í ) . y ' ( t ) -? s'(Q V (
_>
(x '(í) 2 + y ( o 2 ) 3 / 2
0
-* '( Q jr '’(0 - > ’’ ( 0
( x '(o 2 + y ( í ) 2 ) 3 / 2
(x '(í) 2 + y ( o 2 ) 3 / 2
(x '(o 2 + y ( o 2 ) 3 / 2
¿ (0
J i A n o i i _ i* w ' ( o -* • w ( o i - M o
H; . ( 0 ||
(* '( o 2 + y ( o 2 ) 3 / 2
2
+ /(0
2
' ^x'(t)2 +y a ) 2
\ x ' U ) . / ’( t ) - x " ( t ) . y ' ( t ) \
1
2,44
( x ’(t)2 + y ' ( t ) 2)312
Teoretna.-j
Si una curva plana tiene la ecuación cartesiana C: y = f(x), demostrar que la curvatura
183
Funciones Vectoriales de Variable Real
Demostración
—►
—>
—►
forma parametrica r ( t ) - t i + f ( t ) j
Expresaremos a la curva plana en
de donde
x (t) = t, y(t) = f(t) de donde:
x"(t) = 0
[* '(/) = 1
1 / ( 0
= / ’(*) ^
/
’( 0
=/
" ( 0
|j r '( Q ./ '( 0 - x " ( Q . / ( / ) |
ademas
2
(x ' ( 0
+ / ( 0o
k( x ) =
de donde se tiene:
Ejemplo.-
2
|/ '( 0 |
7 v7
—
3/ 2
2)3'2
)
(! + /■ (/)-)
¡f"W ¡
, ,,,
O + f ( x ) 2)3'2
Hallar la curvatura de la curva dado por: C: x = e +e ‘ , y = e —é ' en t = 0.
Solución
\x = e ’ + e -‘
íx '= e ‘ -e ~ ‘
(V (0 ) = 0
j.y = e '- e ~ '
{ / = e '+ e ~ '
1
\x"=e'+e~’
1
/ ( 0) =
2
[x"= 2
'
/ - e' - e
i/
’= 0
JtfOl _ lx' (0)- / ' (0 )- * " ( 0)- / ( 0)l _ |0 -4 j _ 1
(x '(0 ) 2 + / ( 0 ) 2 ) 3 / 2
(0 + 4 ) 3 / 2
2
Ejemplo.-
Determinar la curvatura k de la curva y = In x en el punto (e, 1).
Solución
1
1
>' = Inx => y ' ( x ) = — => / ’(*) =
X
1
y
X
1
de donde y'{e) = — => y " (e ) =
e
e
184
Eduardo Espinoza Ramos
1
Í2.45
2
p
________________ Í ____________________
K , )=
k H
' ’
( l+ ,-(< o V
2
(1+ ^ )M
.
t(e ),
"
*W
e
(!« * )«
Pefmicidii.-I
Consideremos una curva C :f ( t ) ; el radio de curvatura p(t) en el punto / (t) de la curva C
es el recíproco de la curvatura en ese punto, es decir
p(í) =
, si
.
Llamaremos centro de curvatura de C en f ( t ) al punto C = / ( / ) + p(/) N ( l ) , donde N(t)
es el vector normal principal.
radio de curvatura
El centro de curvatura se encuentra en el lado cóncavo de la curva.
Ahora consideremos un punto P de la curva donde k * 0, considérese el círculo tangente a la
curva C en P que tiene la misma curvatura.
EL círculo cuyo centro es el centro de curvatura y su radio de curvatura se llama círculo de
curvatura (o círculo osculador o circunferencia osculatriz).
185
Funciones Vectoriales de Variable Real
Ejemplo.-
Hallar la circunferencia osculatriz de la curva f ( t ) = ( t, t 2, t 1) en el punto t = 1.
Solución
Calculando la curvatura /r(l) =|| m )
i i / 'd i n
7 '( 0 = (1.2í,3r2) =» 7'(1) = (1,2,3) =» || 7 '( l) ||= V l4
Il7 '(0 ll = 7 l + 4 t 2 + 9 t 4
7 (o= II /
(t)
’( 0
=c
II
de donde la tangente unitaria
2
1
1
3/
)
■s/l + 4 / 2 + 9 r 4 V l + 4 í 2 + 9 í 4 V l + 4 í 2 + 9 í 4
12r + 6f
4/ + 18í3
2—18/4
T'(t) = (—
)
(1 + 4 / 2 + 9 r 4 ) 3 /2 ’ (l + 4 í 2 + 9 / 4 ) 3 /2 ’ (l+ 4 r 2 + 9 í 4 ) 3/2
7” (1) = (-
11
8
9
7-^14 ’ 7^14 ’ 7-v/Í4
-*
r '( i )
i
N{ 1) = ----- (-1 1 -8 ,9 )
l|7” (l)ll
^266
-»
JÍ9
) => l|7” (l)ll= :V
Eduardo Espinoza Ramos
186
„ 7"(1) ,,
como la curvatura es fc(l) =j|--------I I /'( l) II
VÍ9
^
1
98
además el radio de curvatura es p( 1) = ------ = .... y el centro de la circunferencia
A(l) V266
osculatrizes c = / ( 1 )+ p (l) N(l ) - ( 1 ,1 ,1 )
c(
58
19
98
1
1>_ 8,9)
37 82
— ,— )
19 19
Luego la ecuación de la circunferencia osculatriz es:
58 2
37 2
82 2 6 8 6
( x + — ) 2 + { y + — ) 2 + ( z ------) 2 = -----19
19
19
19
2.46 Torsión.-)
La torsión o curvatura de torsión es un número real que indica el levantamiento de una
curva C en un punto respecto de su plano osculador en dicho punto.
Este valor está determinado por la razón de cambio instantáneo del vector binormal respecto
B'
a la longitud de arco, es decir — , como este vector es paralelo a la normal principal N , es
B’
decir — es igual a N multiplicado por un número real; al opuesto de este numero real se
—>
denomina Torsión de la curva C en f ( t ) y denotaremos por x es decir:
B'
-»
-»
-»
— = - r N => B ' = - S ' r N
O_________________________________
Observación.-
Si la curva C: / ( / ) es plana, entonces su torsión es nula (x = 0), por lo tanto B es
constante, la ecuación del plano osculador es el mismo en todos los puntos, al
recíproco de la Torsión se denomina radio de Torsión.
187
Funciones Vectoriales de Variable Real
Observación.-
1)
Si ? : [ 0 ,¿ ] ------ > / ? 3 es una curva parametrizada en términos de la longitud de arco, entonces
se tiene:
2)
Si a : [a,¿i]------ ►R 3 es una curva parametrizada arbitraria entonces se tiene:
t(í) =
Ejemplo.-
Hallar la Torsión de la curva a ( i ) = (l2, t , t 4) e n e lp u n to t= l
Solución
a (t) = (t2,r,t4) =>
1
o '( l ) x a " ( l ) = 2
2
t(l) =
a ' ( t ) = (2t,l,4t )
a '(1) = (2.1,4)
a " ( í ) = (2 ,0 , 1 2 / 2)
a"(l) = (2,0,12)
a " ' ( i ) = (0,0,24í)
a ' '"(1) = (0,0,24)
j
k
1 4 = (12,-16,-2) entonces || a ' (l)x a " (1) || = -y/l44 + 256 + 4 = -J404
0 12]
a'(l)jra"(l). a " '( l )
II a '( l) x a " ( l) ||
(12,-16,-2).(0,0,24)
48
12
404
404
101
Eduardo Espinoza Ramos
188
2.41
Fórmula de Frenet-Serret-J
Las fórmulas de Frenet - Serret, son las que describen el movimiento del triedro móvil a lo
largo de la curva C y son:
a)
T'(t) = kU) S' ( i) N( t)
b)
B ' ( í ) = - t S ' U )N (t )
c)
N(t) = - k ( t ) S' ( t) T'U) + t 5 ’(í) B( í)
Las dos primeras fórmulas se obtiene de las definiciones de curvatura y Torsión.
—►
—>
—>
La tercera fórmula se obtiene de N(t) = B(t)* T(t) de donde:
N'(t) = B ' U) x T( t) + B ( t ) * T'U) = ( - t S '{ t ) N ( t ) ) * T(í) + B U) x (k U) S’U)N(/ ))
= -rS \t) (NU )*T U)) + kU)S'U)(BU)*NU))
= t
S'U)(TU)*mt))-kU)S\t)NU)*B(t)
N'U) = r S ' U ) BU) - kU)S' U) TU)
2.48 Componente Normal y Tangencial <!e la AceféradóriV-l
Consideremos un punto P e C: f (i) de una curva plana, el vector unitario normal N(t) en p
->
¿c
1 dT
dT
definiremos mediante. N = --------- = --------- , de donde — = k N
k dS
dS
ahora bien T = eos#, i + sen#, j , de donde
189
Funciones Vectoriales de Variable Real
dT
d T dO
->
-d 6
- = (-s e n 0 . i + c o s 6 . j ) —— de lo cual se sigue que T . N = 0, por lo tanto N
dS
dS
dS
du
es un vector unitario perpendicular a f y que apunta al lado cóncavo de la curva.
Ahora expresaremos la aceleración vectorial a (t) en términos de T{t) y N(t ), es decir la
—>
descomposición del vector a(t ) en sus componentes Tangencial y normal a la curva
C: / ( / ) , puesto que el vector velocidad V (í) satisface
^ ( o H i^ to n n o = — m
dt
dV(t)
d 2S -
dS d T(t)
d 2S -
dS d T ( t ) dS
« (') = — r 1 = —
dt
•n t ) + —
7T - —
di '—dt
dt
dt '. —dtr 1 = —
d t 2 ■n o + —
dt1
de donde se tiene:
d 2S dS
a ( í ) = - ^ - r - 7 ’(r) + (— ) k N ( t )
Luego a a (/) expresaremos en la forma:
—>
—
p
—
y
a(t) = a T(t) T(t) + a N(t) N(Q donde las componentes de la tangente y normal son:
190
Eduardo Espinoza Ramos
d 2S
dS 2
a T^t ) = ~ 7 T y aN (t) = k(— )
______________dt
_______ at
para calcular aN (t) se necesita calcular la curvatura k, sin embargo, esto se puede evitar al
—*
—>
advertir que T(t) y N(t) son perpendiculares por lo tanto:
\\ a ( t ) ¡ 2 = (aT (t))2 +(aN (t))2
2.49
Ejercicios Desarrollado^]
1)
Una partícula que se mueve por la sola influencia de la gravedad, tiene por aceleración
—>
—>
/ " ( / ) = ( 0 ,0 ,—g) donde f ( t ) es el vector de posición y t representa el tiempo, si la partícula
—>
parte desde el origen cuando t = 0 con velocidad constante
V (t) = (2,0,1) probar que:
7 ( 0 = ( 2 <,0 ,f —j g r 2)
Solución
—>
—►
Se conoce que a (t) = / " ( / ) = (0,0,-g), además
? ( 0
=/
7
( 0 * = / (0 ,0 ,- g ) A = (q ,c 2 ,-g r + c 3 ) como
->
—
>
V ( 0 ) = ( 2 ,0 ,1 ) => V ( 0 ) —(Cj,c2 ,c3) = ( 2 ,0 ,1) entonces c, = 2 , c2 = 0 , c3 =
1
por lo tanto
V(t) = (2,0, -gt + 1) integrando J { t ) = \ v ( t ) d t = \ (2,0,1 - gt)dt = (2r + c ,, c2, t - g - y + c3 )
como /(O ) = (0,0,0) => / ( 0 ) = (cj,c 2 ,c3) = (0,0,0) entonces c, = c2 = c 3 = 0
191
Funciones Vectoriales de Variable Real
2)
Un móvil se mueve con velocidad constante, V > 0 siguiendo en trayectoria circular de radio
r, un cohete lo persigue con velocidad también constante V partiendo del centro de la
circunferencia y manteniéndose siempre en la recta que une el centro y el blanco. ¿Cuándo
da en el blanco el cohete?
Solución
V cohete = V = móvil = constante
radio = constante
y
V = constante entonces su vector de
—>
posición
será:
R = /?(cos0,sen0)
y
su
velocidad
-=♦
-*
d6
X y = R \ t ) = /? (-se n 0 ,c o s0 )——
dt
II V \li=V = W s e n 2 0 + cos 2 0 — = R — entonces
dt
dt
d6
V=R
... (1) ,
dt
para el cohete su vector de posición será
-»
-» d r
dr
de
r = rico s6 , sen6) => V = —— = (cos0 ,sen 0 )——i-r(-s e n 0 ,cos 0 )——
dt
dt
di
\ V ||=
|(— ) 2
" dt
+ r 2 ( — ) 2 = V = constante
dt
,2
, ^ r ,2
2 ,^® . 2
r = ( — ) + r ( ---- r
dt
dt
-.(2)
pero de la ecuación ( 1 ) se tien e
,2
dr 2
2 V
V = ( — ) + r —r ,
dt
R
2
R
dr
y^ÍR 2- r 2
de
V
= — que reemplazando en (2 ) tenemos
dt
r
dr 2
V
2 2
dr V
despejando tenemos (— ) = —x-(R - r ) => — = —
dt
R
dt
R
■= dt, integrando ambos miembros.
será
192
Eduardo Espinoza Ramos
R (R
dr
f'
R
r ¡R
R
Rn
— I —= = = = = I dt => — are sen— / = t de donde — aresen 1 = t => t = ----V 0 -Jr 1 —r 2
«
V
R '°
V
2V
donde R y V son datos y n constante.
3)
Dada
la
curva
engendrada
por
la
función
vectorial
de
variable
real
—>
/ ( / ) = (-l+ se n 2 /.co s3 í, 2 + s e n 2 /.s e n 3 /,-3 + cos2r) ¿Está sobre la esfera de radio 1 y
centro (-1,2,-3)?
Solución
—►
Las ecuaciones parametricas de la función vectorial / ( / ) son:
x = -1 + sen 2t. cos 3t , y = 2 + sen 2t. sen 3t
, z = -3 + cos 2t
—>
La curva C: f ( t ) está sobre la superficie esférica de radio 1 y centro (-1,2,-3) si al eliminar
el parámetro t de las ecuaciones paramétricas se obtiene la ecuación de la esfera de radio
1
y
centro (-l,2,-3).
x - -1 + senil, cos 3/
• y = 2 + senltseriSt
z = -3 + cos 2t
(x + 1 ) 2 = sen 2lt. cos 2 3/
= > ( y - 2 ) 2 = sen12t s e n 1 ?>t
(z + 3) 2 = eos 2 2 1_____
(jc + 1) 2 + ( y - 2) 2 + (z + 3) 2 = sen22/(cos 2 3t + sen2 3/) + eos 2 2 1 )
= sen 2 2 / + eos2 2t = 1
(x + 1)2 + ( > '- 2 ) 2 + (z + 3 ) 2 = 1
4)
Sean Cx y C 2 las curvas descritas por:
-»
Q : f( 0 =(
rt
21
Jo senxdx, c os í , —n -
1)
, f e [ 0 , 7r]
C2: g (0 ) = (ee , l - e 2e, 2 - 2 e e ) , 0 g R
Hallar, si existe, la intersección de Cj y C2; en caso de que exista, hallar el ángulo de
intersección.
193
Funciones Vectoriales de Variable Real
Solución
-*
21
A la curva C¡ se expresa f ( t ) = (1 - e o s t, c o s í ,
1)
71
—
>
—
>
Si 3 p e C¡nC2 => p e C,: / ( / ) a p e C2: g(6)
21
Q
2Q
Q
entonces p ( l- c o s r , c o s í , — -1 ) = p{e , 1 - e ,2 - 2 c ) para algún t, 0 e R.
7t
1
-c o s f = ee
e° = l- c o s í
eos t = l —e 2e
2
*
---- 1 = 2 —2 c
=> ' e10 = 1 -c o s r
igualando ( 1 ) y (2 ) se tiene c
3
ja
t
= ——— => para
2
g'( 0)
71
0
=e
o
=> e =
= 0 =>
71
2
g '( 0 ) = (ce - 2 e ° - 2 e e )
g'( 0) = (1-2,-2)
n
Luego / ( ~ ) = (1,0,0) = g(0) => 3 p e C ¡n C 2
ti
,
2 V
/ (—) = (s e n t - s e n t , —)
2
7T
ahora calcularemos el ángulo de intersección.
cosí? =
-y/l + 4 + 4
5)
/ '( f )
-(3 )
7X
2
e
eos 6 =
\ \ s 'm
e
71
como c
-(2)
1 + 1+
-
71
Hallar la representación paramétrica de la curva descrita por un punto P de una circunferencia
de radio a (a > 0 ) que rueda (sin deslizamiento) sobre una recta.
Solución
194
Eduardo Espinoza Ramos
Supongamos que la curva es descrita por el punto P(x,y) y además supongamos que el punto
P comienza a rodar a partir del origen de coordenadas y la recta sobre el cual rueda la
circunferencia es el eje X.
Sea OM = are. MP = aO
— (1)
En el A CQP, tenemos PQ = a sen 6 y CQ = a eos 8
para ON = OM = N M = a0 - PQ = a 6 —a sen 6
entonces x = a 0 - a sen 0
y = N P = M Q= M C —CQ= a - a c o s O
entonces
y = a - a eos 0
Luego las ecuaciones parametrícas de la curva son
x = a (0 -sen 0 )
esdecir:
6
)
,
/(
y = a ( l- c o s 0 )
0
,
0
^
0
^ 2 rt
) = o( 0 - s e n 0 , l - c o s 0 )
Hallar la representación vectorial de la curva C definida, como la intersección de las
superficies z = ^ 4 - x 2 - y 1 , x 2 + y 2 - 2 y = 0, dirigido de manera que z decrece cuando x
es positiva. Luego graficar la curva C y determinar una expresión para la longitud del arco.
Solución
195
Funciones Vectoriales de Variable Real
a)
De la ecuación
2
2
x + y - 2 y = 0 se tiene
2
x +y
2
= 2y que reemplazando en
z = ^ 4 —x 2 - y 2 resulta z = ^ 4 —2y ahora si y = t se tiene las ecuaciones parametricas
de la curva, x = ±-j2t - 1 1 , y = t, z = - j 4 - 2 t
f(t) = (± ^ 2 t- t2 ,t, -j4-2t).
b)
De la ecuación z = ^ 4 —x 2 - y 2 tendremos que x 2 + y 2 + z 2 = 4 que es la ecuación de
la esfera de centro (0 ,0 ,0 ) y radio r = 2 .
La ecuación
x 2 + y 2 = 2 y y se expresa x 2 + ( y - 1) 2 = 1,
(z = 0, x 2 + ( y - 1) 2 = 1
circunferencia en el Plano XY) que viene a ser un cilindro de centro (0,1,0) y radio 1 en
R 2 y generatriz al eje Z, es decir:
c)
Como / ( / ) = (W 2 t - t 2 , t, V ? —2 t ), calculamos su dominio es decir:
2/
A
- / 2
0
¿ 0 a 4 - 2 / ¿ 0 => / e [0,2]
l —/
= ( - ? = = = .» .-
1
V 4-2/
.
)
......
r» rrr
. . .
II / ' ( 0 II = -9 f+2-- por lo tanto 5 =
4 t-2 t
o \4t-2l2
Eduardo Espinoza Ramos
196
7)
Una particular parte del punto (2,—,V ?ln2) en el instante t = 0 y se desplaza sobre la curva
de ecuación C: J ( x ) = (ex , e x ,->¡2x), de tal manera que en cada instante t, la distancia
recorrida sobre la curva es 2t. Hallar una función vectorial en términos de t que describa el
movimiento.
Solución
Expresaremos x en términos de t, mediante la condición
2
/ = f II f ' ( x ) || dx de donde / ( x 0) = ( 2 , —,ln 2 ) entonces
Jln2
2
(ex° ,é~x° , - f í x 0) = {2,—,V 2 1 n 2 ) => e *
° = 2
=> x 0 = l n 2
/ ( * ) = (ex ,e x ,yf2x0) => f ' ( x ) = (ex - e x ,y¡2) => \ \ f \ x ) \ \ = 4 e 2x + 2 + e 2x = ex + e x
2
(ex +e~x )dx = (ex —e~x ) /
/= f
Jln 2
2
t=
2
senh x -
=2senhx /
/ ln 2
2
/ ln2
senh (ln 2 ) => senh x = t + senh (ln 2 )
3
elB2- e - ln2 2 ~ \
3
x - arcsenh(t + senh ln 2 ) = arcsenh(t + —) donde senh(ln 2 ) = -----= —- — = —
*
*
3
arcsenAíf+T)
-»rcsenA(f+4-)
I—
3
g ( t ) = f ( 0 = /(a rc s e n ( /+ —)) = (e
4 ,e
4 , V2 arcsenó(/+ —))
8
)
Una función vectorial / satisface a la ecuación t f ' ( t ) = f ( t ) + t A , V t > 0, donde
—►
un vector fijo, calcular / " ( l )
—»
-»
-»
y /(3) en función de A si f ( l ) = 2 A
Solución
Derivando a la ecuación t f ' ( t ) = f ( t ) + t A se tiene:
es
Funciones Vectoriales de Variable Real
197
/ ' ( / ) + / /"(í) = f ' ( t ) + A => / " ( í ) = — => / " ( l ) = y4 integrando / " ( í ) = — setiene.
t
t
J / " ( í ) í / í = J — d t + c => /'( < ) = A l n t + i
/ '( l ) = c
y
para
calcular
el
—►
vector
—»
—»
como / ( l ) = 2 A
-*
Si f ( t ) =
d
1 -c o sí
—>
sabe
que
Y
como
—>
/ ( 1) =
2
—»
—»
—»
—»
¿ = > /■ (!) = / ( l ) + ¿
por lo tanto / '( / ) = y41ní + 3^4, integrando / ( í ) = (íln í-í)y 4 + 3 y 4 í + £
—»
—►
—►
=> / ( l ) = 2 A + k
f(t) =(tlnt-t)A+ 3At
9)
se
—►
f (t) +1A
t f ' ( t ) = f ( t ) + t A => /■ (/) = — -------
entonces c = 3 A
c
constante
—>
=>
—»
—
*
—>
2.4 = 2 y4+
—
f
=> & = 0 por lo tanto
dedonde /( 3 ) = (31n3 + 6)y4
(cosí, sen í), d > 0, describe una parábola, hallar el ángulo que forma los
—>
—>
vectores f ' { t x) y / '( í - , ), donde f ( /j ) es el vértice y / ( í 2) el extremo del lado recto.
Solución
dcos t
rfsení
1-COSÍ
1 -c o sí
-*
/ ( 0
-*
= (-
d s en t
)
-
( 1)
-d
---------------------r ( Í ) = ( - n(1-C
OSí) 1-COSÍ}
Evaluando la ecuación (1)
... (2)
198
Eduardo Espinoza Ramos
Lado recta = LR = d ( A u A2), donde Ax(Q,d), A2(0,-d)
dcost-,
n
i'* —
dsení-.
■) = ( 0 ,d)
1 —COSÍ 2
1 - COSÍ 2
como el vértice es V = ( - —,0), entonces
dcost,
/ ( ', ) = (
1
dsent,
-c o s íj
1-
d
L ) = (--,0
eos íj
2
d sen í
-d
-» n
d
2
2
d
-»
------t- ,- ------) => / ' ( - ) = ( - - ~d) y / ’(*) = ((),--)
como / ' ( / ) = (-
( l - c o s í)
1-
cosí
2
además eos 6 =
II7 ' A I I I I 7 ’(") II
l
eos 6 =
10)
2>/5
0
= arccos(
2
2
V5
4
)
2
Dada la elipse 18x + 50y = 1800, alrededor de esta curva se forma un sólido de manera
que todas las secciones peipendiculares al eje de las X son elipses cuyos focos están sobre la
elipse dada, los ejes mayor y menor de cada sección son proporcionales a los de la elipse
dada. Hallar el volumen del sólido.
Solución
La elipse 18x2 + 50_y2 = 1800 se expresa en la forma
a =100
x2 y 2
-=■+—=- = 1 , entonces , ,
a
b2
ó 2 = 36
=
10
■
6
j
'2
La elipse transversal tiene por ecuación
como
los
a
b
a'~b' ^
ejes
10 6
a'~b' ^
son
proporcionales
5
a ' - 3 b' '
=L
se
tiene
199
Funciones Vectoriales de Variable Real
Según la figura O'/i
= c = y = -^VlOO-x 2
... (1)
y según la propiedad de la elipse:
c '2 + b ' 2 = a ' 2 =>c'2 = a ' 2 - b ' 2 como a ' 2 = —b' setiene
3
, 25b '2
,
16 ,
,
,
c'2 ------- - b --------- b ' 1 =>b'2 = 9 c ' 2
9
9
...(2)
9
9
2
----------( 1 0 0 - jc )
16 25
2
reemplazando (2 ) en ( 1 ) se tiene: b'
el área transversal es: A(x) = n a’b’
A(x) = n ^ b ,2 = ^ - ( 1 0 0 - x 2), luego
fxi
fio 27
2
V = ) A (x ) d x = 2] — rr(1 0 0 -x )dx
o go
F=450nu
i
—>
11)
Sea
la
curva
C
descrita
por
/,
que
reparametrizada
tiene
por
ecuación
-*
.s
-»
d 2 b(s)
2 -*
dt 2 *,
d 2t -»
ó (j) = (— ------+ l ) / ( 0 ) y se sabe que-------¿— = k / ( 0)(— ) e + á — 2 " / ( 0 )e . Hallar
|| 7 (0 ) ||
ds
la ecuación vectorial de la curva C en términos de t.
Solución
—»
—►
por determinar C: H( t) = H(y/(s))= h(s)
como h(s) =
— +1) /(O ) => h ' (j) = (——^---- v 0) /(O )
ii 7(0) ii
ii 7(0) ii
*
*
200
Eduardo Espinoza Ramos
d 2 h(s) 2 ->
di 2 kt
d 2t -»
¡j
además ------2— = * / ( 0 )(— ) e + /:— j - / ( 0 )c
ds
ds
di
—( 2 )
de ( 1 ) y (2 ) se tiene:
2
dt 2 t,
d 2í
* / ( 0 )(— ) e + ¿ — j " / ( 0 )e
di
ds
di , d 2/
*(~ r) + — r = 0 , resolviendo esta
ds
ds
= 0 , simplificando
dt
dp d 2t
ecuación sea p = — => — = — =- reemplazando se tiene:
ds
ds ds2
?2 + — = 0 = > Jtds + -^j- = 0 , integrando ib - — = c=>ks - c = — ,
ds
p2
P
P
1
di
1
ds
p = ~ ------ => — = - ------ => di =
ks-c
ds k s - c
ks-c
1
integrandof=
k
—ln (lb -c ) + c, entonces
( t - c x)k = ln (fa -c ) => k s - c = el,~c'*1 = A e b => Ae1' = k s - c de donde
c+Aeb
' = V i 1)
—- (3)
h(s) = (— ^-— + l ) / ( 0 )
11/
=>
,
reemplazando (3) en la función
H ( t ) = H ( y ( t ) ) = ~h(s)
( 0)11
c+.de*'
A(s) = ~ h £ ± ^ - ) = //( i) = (— ^ ------ + 1) 7 (0 )
11/
•H(t) = (
12)
( 0)11
/*+ Apb
*
+ l)/(0 )
* 11/ ( 0 ) 11
Una partícula se mueve en el plano XY, según la ecuación jc = e 2t eos 3/ , y = e 2í sen 3 f,
encontrar la longitud de la trayectoria desde el punto t =
Solución
0
a t = n.
201
Funciones Vectoriales de Variable Real
Sea O. f ( t ) —(e 2‘ cos3f, e 2‘ sen3f)» derivando se tiene
f ' ( t ) = e 21 (2cos3r + 3sen3í, 3 c o s3 r-2 se n 3 r)
II 7 ( 0 11= J e ~ 4' [(2 eos 3/ + 3 sen 3í ) 2 + (3 eos 3f —2 sen 3r) 2 ] = - J U e 1'
Luego
L = f l l 7 ( 0 \V‘ = f J Ü e 2,dt =
Jo
Jo
2
í
' o
Lr = — — { l - e- 2 » ).
2
13)
Calcular la longitud de la curva cuyas coordenadas cilindricas son r = l , 0 = t, z = t, 0
< t < 2 rc.
Solución
1
Las ecuaciones de la curva en coordenadas cilindricas son:
x = r cos 6
x = cost
y = r sen 6
y = sen t
z=z
z =t
Luego C: f (t) = (eos/,sen/, /), t e[0,2n], calculando su derivada
f ' ( t ) = ( - sen t ,cosí, 1 ) de donde ||/ '( f ) \\=-j2
entonces
L = J*"|| / ' (í) || dt = V2 j j * = 2-Jln
14)
L = 2-j2n
Hallar la longitud de arco de la curva descrita por:
-»
f/
f/
C: f ( t ) = (J^jrcosxdx, J^xsenxdx, t)
Solución
Por determinar
L=
Jo
|| f ' ( t ) || d i , de donde
/ ,(r) = (rco sr,rsen í,l) => || / ' ( 0 11=
+1
. - J S F T ld r
202
15)
Eduardo Espinoza Ramos
-*
f'co su
a(r) = (J
Encontrar la longitud de la curva definida por: C:
0
du.
u
frsenu
I
0 u
du,
r
4VO
entre t = 1 y / = /,, sabiendo que a (í,) es el punto donde a'(t¡) es paralelo al plano YZ;
1
< í,
< 2
Solución
-»
f/cosw
frsenu
r
como a (/) = (J
du, J
du, 4-Jt), derivando se tiene:
-*
=(
« • ( 0
cosí
.
sen/
2
-*
cosí, sení,
2
,- =f-r
)= >
—'« ■“ ( *\ ‘l,)/ -= (l
,
, r—J
■Jt
í,
/,
^ í,
como a 'f í j) // P l a n o YZ => a '( / i ) ± i =(1,0.0) entonces
-»
-»
cosí, sen/,
2
a'(í,)-í =0 =» (---------- ,~7=)-(l,0,0) =0
fi
cosí,
= 0 => cos/j
f«/2.
.
|<í’(í)|d / =
1
16)
Una
ÍT
=> í¡ = —
. .cosí sení 2 v
n -*.,*.,, y l - 4 t
a (/) = (------ ,-------,- = ) => ||a '( í ) || = -----------t
t
4t
t
, ,
ademas
L =J
= 0
fi Vfi
f»/2V l+ 4 í 2
J
1
curva
está
í
definida
(V2rr + l - l ) ( V 5 + l)
d/ =V2^+T-V5 + ln(—
por
las
ecuaciones
a +t
y = a ln(- 7 - ■■■--) - / , longitud de esta curva desde t =
y a 2- í 2
el valor de c.
Solución
0
-------)
2v 2
jt
parametricas
x = \ a 2 —t 1 ,
V?
hasta í = ——a es, a l n c calcular
^
203
Funciones Vectoriales de Variable Real
dx _
—t
~dt~ 4 a 2 - t 2
, , a + t -)»- t
y = a .ln(
-Ja2 - t
L = \
Jo
2
2
rfy
v r
2
+ ( - r )
d t =
t2
dt
a2- t 2
ÍT"" I t 2
- t*
I
J — 2 --------- 5 - + — j
T T
Jo \ a 2 - < 2 (a 2 - í 2 ) 2
f^ya
^ Í = J
J0
at
-dt = a ln c
a1- i
“ 2—
s a
(a2 - t 2) / 2 = a l n c , donde
/o
— [ln
2
4
17)
I dx
v <*
J ( ~ r )
dy
ln a l = a ln c
J
Consideremos
dos
=> —ln 4 = Inc
2
curvas,
=>
definidas
c =2
por:
C¡ : f ( t ) = (t,er), 0 < t < 1,
—>
C2: g (/) = (/ + l n í , / - l n í ) , l < t < e donde Lx y
¿ 2
son sus longitudes, respectivamente,
Calcular el valor de — .
L,
Solución
La longitud de una curva está dado por:
¿ = £ h 7 '( / ) h d t , calcularemos lar longitud L x
—
f
que corresponde a la curva C{. f ( t ) = ( t, e ') , 0 < t < l
7
'(í) = ( l.e ')
=> \ \ f ' ( t ) \ \ = 4 + e 2r
h = £ | | 7 ' u n d t = \ lo 4 4 ? r dt
... ( 1)
ahora calcularemos la longitud L2 que corresponde a la curva C2: g (t) = (t + l n ¿ , / - I n t ) ,
1
<t <e
Eduardo Espinoza Ramos
204
t
t
L2 = £ || g ¡(/) || dt = ^
2
£ ~ ^ d t
para t = 1 , e “ =1 => u =
\e
L2 =-Jl
i
t
0
0
sea t = e
, t = e, u = 1 .
——
—
—
—.eudu= V^JVl+e2" du =-Jl JVl+e2'/*
e
0
¿
4 2 J Vl + e2í di
Luego — = —» 11
= V2
A
V l+ e 2í dt
0
— = 42
A
J
18)
=> dl = e d u
Hallar la longitud del arco desde t = 0 a
t = -J ln
de la hélice cónica de ecuación
p = t , 0 = t, <p = —
4
Solución
Sea C: p = t, 0 = t,
jt
<p = — la hélice cónica que expresado en coordenadas esféricas se
4
tiene:
X=
x = pcosG sen<p
C:
> '= p s e n 0 sen ^5 => C:
42
/c o sí
2
42
y = ----/sen/
2
z = pcostp
42
z = ---- /
2
42
Luego C: / ( / ) = ---- (/e o s /,/s e n /,/) de donde
2
205
Funciones Vectoriales de Variable Real
L = f ^ l l / ' ( O I I dt = f " ^ 2
Jo
Jo
2
+ t>dt = ^ ¿ V
2 2
2
+ í 2 + l n |í + V 2 + í 2 |]
lo
= — [jc-Ji + jc2 +ln(Jt+-\/l + Jc2 )1 = 8.6406
2
—►
19)
Hallar la longitud de arco de la línea
r( t ) = (e eos/, e sen/, e ) desde el punto (1,0,1)
hasta el punto correspondiente al parámetro t.
Solución
Por calcular J* || r '(/) || d t , donde
—>
r (a) = (e° eos a, e° sena, e° ) = ( 1 ,0 ,1 ) => a =
—►
0
->
r ( t ) - { e eos/, e' sen/, e*) => r '( / ) = (e* c o st-e * sen/, e' sent +e ' eos/, e*)
=> II r'(/)||= V 3 e '
L= f || r '( / ) ||^ =
~j3erdt = ~j3(e' - 1)
Jo
Jo
20)
Consideremos la curva definida por la ecuación
—*
/
I
t
C,: f ( t ) = {e eost,e sen /,e );
*
^
^ 2 - S (t ) = (/ +1, / ' , / +1) 1 < t <i 2n, en cuanto debe de incrementarse t para que la longitud
de arco de Cj se incrementa en -J3(e—1 ) desde el instante en que C2 intercepta a C,.
Solución
Calcularemos
p e C ,: / ( / )
el
a
punto
de
intersección
C2: g (/) => f ( t 1) = g ( t 2) esdecir:
(e ‘ 1 eos/ ,,/ * se n /,,e f|) = ( / 2 + 1, / 2,
/2
+ 1), de donde:
de
las
curvas
Eduardo Espinoza Ramos
206
eh cos/j = t 2 +
. . . ( 1)
1
■e'sentl = tl
...( 2 )
y * = /2+ 1
...(3)
de (1) y (3) se tiene e ' cos/j = e ' => cos/j = 1 =>
= 0.
Luego para tl = 0, /, = 0 que satisface la ecuación (2).
Luego el punto de intersección es P(1,0,1), de la condición del problema se tiene
mf
—>
[ II f ( í ) \ \ d í
de donde / " ( /) = ( e 'c o s / - e 's e n / ,e 's e n / + e 'e o s /, e ')
Jo ‘
=> II f ' t i ) 11= V 3e' p o rlo tan to j ■J3e,dt = -J3(e-'L) => e( /^ = e e
21)
- 1
= e - 1 => / =
1
1
, por lo tanto el incremento de t es en t = 1 .
-»
/
/
Consideremos la curva descrita por: / ( / ) = (/, a cosh—, a senh—) , demuestre que la
a
a
distancia a largo de la curva desde (0,a,0) hasta P0 en la curva, es proporcional a la
distancia de P0 en el plano XY.
Solución
como í 2 1| y (/) || dt de donde / '( / ) = ( 1 , senh—, cosh—)
■"i
a
a
como / ’(/,) = ( 0 ,a , 0 ) => (/.aco sh — , asenh—) = ( 0 ,a , 0 ) => / j =
a
a
0
Luego f 2 ,11+senh 2 —+ cosh 2 —dt = í 2 J 2(1 + senh 2 —)dt
Jo V
a
a
Jo v
a
= - \ / 2 | cosh—dt = ' j 2 a senh— / 2 = ^¡2.asenh—
Jo
a
a1o
a
Funciones Vectoriales de Variable Real
207
k
h
h
Sea Pfí e C: / (r) => /J,(r 2 ,aco sh — , asenh— ) por lo tanto que L = k d ( p fí, P ) , k factor
a
a
de proporcionalidad.
L = ^/2 asen h 2 — = - j 2 d ( pn, P) donde k = *J2
a
22)
por lo tanto L es proporcional a d ( p 0, P ) .
2
Hallar la longitud de la curva definida por C: f ( t ) = ( t , l + t ), desde el punto en q u e / ( / ) y
f ' { t ) son paralelos y de sentido contrario hasta el punto en el que los mismos vectores son
ortogonales.
Solución
Para determinar
L = I II/'(O II d t , donde t l se encuentra con la condición que f ( t }) y
J'i
—>
/'(< !) sean paralelos y de sentido contrario, es decir:
7 ( / , ) / / / '( * ! ) => 3 l e R / f ( t ) = ¿ f ' ( t l )
íw
de donde
l + íx) = A(l, 2rt ) => i
.
[l+ /j
—>
para
rx =
1
=> íj = l ó ^ = - 1
= 2
A/j
—►
se tiene / ( 1 ) = ( 1 ,2 ) y / ' ( l ) = ( 1 ,2 ) como tiene el mismo sentido no se
—>
considera íj =
1
pero para f,
= -1
—►
/ ( - l ) = ( —1 ,2 ) , / ' ( - l ) = ( 1 ,- 2 ) tiene sentido opuestos,
—»
por lo tanto t¡ =
-1
si se considera, ahora calcularemos t2 con la condición que f { t 2 ) y
—►
—>
f ( t 2)sean ortogonales es decir:
(r2, l + í 2 ) . ( l , 2 <2) =
0
—>
—>
>
f ( ( 2) ± f ’(t2) => / ( í í ) - / ^ ^ ) =
de donde
=> 2 r 2 + 3 / 2 = 0
de donde í 2 = 0 como f { t ) = { t , \ + t 1) => / '( r ) = (l,2í) => ||/ '( f ) || = '\/l + 4 í2^
Eduardo Espinoza Ramos
208
L=
|| f (í) || dt = f V Ü V * = j [íVl + 4/ 2 + ln(2í + Vl + 4 /2 )]
[-V5 + ln( - 2 + V5)] = —[V 5 - ln(y¡5 -
=0
23)
2
)]
Sea C la curva en el primer octante que resulta de interceptar la esfera
a > 0 con el cilindro
2
jc
2
+_y + z
~2
ISa2 - t 7
-dt
\ 4a 2 - i 1
Solución
2
2
- 2
x +y + z = 4 a
Sea C:
2
jc
.
-2
2
+{y-a) = a
,
la curva de intersección.
Parametrizando la curva C se tiene:
x 2 + y 2 +z —4a
y 2 + z 2 —( y —a ) 2 =3a
x 2+ ( y - a f =a2
z +2ay = 4aí
4a2 - z2
y =-
2a
de donde
A 2 —z 2
4a
■= 2 a - —
para z = t , se tiene: y = 2a
2a
como x 2 = 4a 2 - y 2 - z 1
x 2 =4a 2 - ( 2 a - — ) - t 2
2a
W \a t' 2 - tA
x =•
2a
Luego C: / ( í ) = (
2
= 4a ,
+ (_y-a)“ = o “, verificar que la longitud de la curva C está dado
jc
por la siguiente integral L =
2
2
•^4a 2t 2 - t A
x(t) —
2a
>/4a 2t 2 - t A
■,2a------ , t )
2a
2a
=>
y(t) = 2 a -
2a
209
Funciones Vectoriales de Variable Real
r>
2a 2,t - t, 3
1)
/ '( / ) = (
a-y¡4a2t 2 - t 4
| | / ’(0 II= i p V - V
V4a —t
¡8a2 - f 2
L^
24)
dedonde
a
V 4a2 —t 2
Hallar una función vectorial de variable real que tenga como rango la curva trazada por un
punto P, que está sobre una circunferencia de radio 1, cuando ésta rueda sobre el lado
interior del círculo de radio 4. ¿Cuál es la longitud total de ésta curva?.
Solución
La ecuación cartesiana es: x 2n + y m = a 2n dedonde
jc =
4 cos3 0 ,
j = 4 s e n 3 <?
x m + y m = 4 2 /3 (sen 2 6 +cos 2 6)
x m + y 2n = 4 2 /3 ; por lo tanto se tiene:
/ ( 0 ) = (4cos 3 6 , 4 sen 3 6 ) , 0 e[0,27i]
Luego L ~
a
[
Jo
f'(Q) = ( - 1 2 cos 2
| | / '( 0 ) | | dQ. dedonde
0
se n 0 , 1 2 sen 2
0
cos 0 ) => | | / ' ( 0 ) ||= 1 2 sen 0 cos 0
fít/ 2
/ir/ 2
L = 4J 1 2 sen 0 e o s©dd = 2 4 sen 6 ¡
=24,
Jo
/ o
25)
/.
L = 24u
Sea C una curva descrita por la función vectorial
a(t) = ( f 2cos (nu2)du, f l s en ( n u 2)du, 2- j3 t) ,
Jo
Jo
t > 0. Hallar la curvatura k de C en
términos del parámetro longitud de arco S el cual se mida a partir del punto (0,0,0).
Solución
210
Eduardo Espinoza Ramos
Como a ( r ) = ( | I c o s n u 2du, I 2sen n u 2du, 2^3 í), derivando
Jn
'o
a '( í) = ( 2 c o s 7t/ 2 , 2 senjtf 2 , 2 -7 3 ) => ||cx'(í)||= 4
parametrizando en función de longitud de arco.
S = L(t) = f || a '( í) || dt = 4r
Jo
S = L(y(S)) = 4 \|/(S) => y ( s ) = ~
4
-»
fj/4
j
fí / 4
a (u /(j)) = (l 2 c o s n u du, I
'o
-»
y
1
'( s ) = (— eos
o
71 S2
1
, —sen
16
2
71 S
7TJ
Y " ( s) = (—
16
sen
2
16
k(s) =|| y " ( í) ||= ^K^ )
lo
2
.
) = v (j)
2
2
16
2^3 í
-J 3
71 S
,
senn u d u ,
, ---- )
16
2
2
->
71 S2
2
2
71S
eos
(sen 2 ^
lo
2
16
, 0) como
+ cos 2
lo
lo
71 S
por lo tanto k{s) = -----.
16
26)
Sea C la curva descrita por la función vectorial C: f { t ) = (e cosí, e sen/, e ) , t > 0,
Describa la curva C en términos de la longitud del arco s.
Solución
—»
Por determinar g(s) = / ( y/(í)) donde t = \|/(s)
como f ( t ) - e (cosí,sení, 1 ) => / ' ( / ) = e (e o s /-s e n í, sení + cosí, 1 )
II / ' ( 0 1 1 = 4 el> [(c o s í- s e n í ) 2 + (sen t + eost ) 2 + 1 )] = -J3e ‘
Funciones Vectoriales de Variable Real
211
S = j¡Q\ \ r ( t ) \ \ d t = ]¡Qj 3 e ' d t = 4 2 ( e ' - l )
r— f
g
S
S
como V3(e - 1 ) = r => e = 1 h—— => t = ln(ln— -=) = iy(s)
V3
v3
g( s) = f ( y ( s ) ) = (e
s
- (—
27)
!¡>(l+-f=)
v
s
cosln(l+-^=), e
s+ V3
posI ^ —
x
v
S
senln(l+-^=r), e
ln(1+_ñr>
v
)
V3 + j
s + V3 V 3+S
—
seota,—
), _ )
►
►
Si C es una curva definida en el espacio tridimensional y si B'(í) existe, demostrar que B' {t )
—
>
es paralelo al vector normal N ( t ) .
Solución
La derivada de un vector de módulo constante es perpendicular a dicho vector.
El producto vectorial de dos vectores paralelos es un vector nulo.
Luego tenemos B = T x N derivando con respecto a t
B ' = T \ N + T x N ' como N = - ^ -
ii n i
—>
T'xN = T'x ^
=
0
entonces B ' = T ' x N ' => B ' ± N ' como N ’L N entonces B ’JLN
II H |
28)
2
Sea a la trayectoria a (í) = (2í,t ,lnf) definido para t > 0, encontrar la longitud de arco de
—►
a entre los puntos A (2,1,0) y B (4,4,ln2)
Solución
Sea
—
*
2
C: a { t ) = {2t,t ,lnf)
una curva definida para l > 0 debemos de calcular
L = J* || a '(r) || d i , entonces calcularemos los valores de a y b.
Eduardo Espinoza Ramos
212
ja = 1
=> )
U> = 2
a ( a ) = ( 2 a , a 2 ,ln a ) = ( 2 ,l, 0 )
2
a (b) = (2b,b ,ln¿) = (4,4,ln2)
a '( í ) = ( 2 ,2 f,±) => ||a '( ,) ||=
Í
, además
4+4 r + i- = 2 í +i
V
t 2-
t
L = \ ||a '(í)||< * = f 2 (2í +-)£// = 3 + ln 2
Jl
Ja
29)
f
Hallar las ecuaciones de la recta tangente y la ecuación del plano normal de la curva
x = 2 t 2 +1, y = t - 1, z = 3t 2, en el punto en que corta al plano XZ.
Solución
La ecuación de la recta tangente es:
—►
L = {P0 + t f ' ( t 0) / í
g R}
, donde Pn
g
L
a
Pxz
o
2
La curva en forma vectorial es f ( t ) = (2t + 1 ,/ - l , 3/ ) y / ' ( / ) = (4 /,l. 6 f) como
—>
Po(x,0,z) en
—>
f ( í )
entonces t = 1. Luego Pn(3,0,3) y el vector tangente es / ' ( l ) = (4,1,6).
L = {(3,0,3) + /(4 ,1,6)/ r e í }
—>
La ecuación del plano normal es:
PN: / ' ( 1).(jc—3, y , z - 3) = 0
PN: 4jc+_v + 6z = 30
—
*
30)
Sea C la curva de ecuación vectorial
C: / ( ! ) = (/, ln(secí), ln(secr + tg/))- Hallar la
ecuación del plano osculador en el punto en el que la curva C corta al plano XZ.
Solución
Sea Pxz : plano coordenado XZ.
—>
p e C:
f ( t )
—►
a
Pxz => p e C:
f { t )
a
p e Pxz
213
Funciones Vectoriales de Variable Real
Sea p e C: f ( t ) => p(t, lnsecf,ln(secf+ tgf)) para algún t real,
y si p e Pxz => ln sec t = O => sec t = 1 => t = O, ± 2jc, ± 4n,..„
Luego para t = 0. P(0,0,0).
—►
—>
Como P0: B(0) .(( x,y,z ) - (0,0,0)) = 0 entonces calculamos el vector binormal 5(0)
—>
=
lnsecf, ln(sect + tg í)). derivando
f ' ( t ) = (l,tgt,sect)
/'(O ) = (1 ,0 ,1 )
f " ( t ) = ( 0 ,sec 2 í,sec t.tgt)
/ ' ( 0 )* /" (0 ) =
i
j
k
1
0
1
0
^
g (0 )=
1
" ( 0 ) = ( 0 ,1 ,0 )
7
= ( - 1 ,0 ,1 ) => | | / ' ( 0 ) x / " ( 0 ) 1 1 = ^ 2
o
r » r m
= ( '
n 7 '((i).7 "(0 )ii
Luego
^
,
'j 2
P0: 5 ( 0 ) .( j c - 0 ,y - 0 ,z - 0 ) = 0
P0: - j = , ( - l , 0 ,l)(x ,y ,z) =
0
P0: x —z = 0
31)
2
2
Dada la curvaC: a (/) = (/ +1, 8 r, t - 3 ) .hallar el vector tangente unitario en t= l, escriba
—>
la ecuación del plano normal, plano osculador y plano rectificante en a ( 1 ).
Solución
214
Eduardo Espinoza Ramos
Como a ( í ) = ( t 2 +1, 8 /, t 1 - 3 ) => a ' ( í ) - ( 2 í , 8 , 2t)
a ’(l) = (2 , 8 , 2 ) =>
T{ 1) =
U^
= - U (2,8,2) = ( - L ,
642
. (1 )|1
a ' ( t ) = (2 1 . 8
.2 0
11^
( 1)11 = 6 ^ 2
, -± = )
3^2 3V2 3^/2
=> a
" ( 0
= ( 2 ,0 ,2 ) => a " ( l ) = ( 2 ,0 ,2 )
j
k
<x'(l)*a"(l) = 2
8
2 = (16,0 ,-1 6 ) => || a '( l ) j r a " ( l ) 11=16^2
2
0
2
1
í m - :a mM: w
II a '(l)jra " (l) ||
AT(1) = £ (1 )^(1 ) =
—
►
—
►
—
►
i
i
k
42
2
un
.A
2
42
442
42
6
6
6
3 ’ 3 ’3
PN: 7’(l).((x ,^ ,z )-(2 ,8 ,-2 )) = 0 entonces PN:
V2
(l,4 ,l) .( x - 2 ,.y - 8 ,z + 2 ) = 0
6
PN: x + 4 v + z = 32
PR: 1V(1).((jc,> ', z ) - ( 2 , 8 , - 2 ) ) = 0 entonces PR: —( 2 , - l , 2 ) . U - 2 , > '- 8 , z + 2 ) = 0
PN: 2 jc-
j
+2z + 8 = 0
42
P0: £ (l).((x ,.y ,z)-(2 ,8 ,-2 )) = 0 entonces P0: — ( l , 0 , - l ) . ( x - 2 , j - 8 , z + 2)
Funciones Vectoriales de Variable Real
215
P0: x - z = 4
32)
2
2
Dada la curva parametrizada por a ( / ) = (3/ - 5 , 5 - / , 5 + 3/ ), hallar la ecuación de la recta
paralela al vector curvatura y que pasa por el punto a ( 1 ) en donde el radio de curvatura es
mínima.
Solución
Como a ( t ) = (3t2 - 5 , 5 - / , 5 + 3 /2) => a ' ( t ) = ( 6 /,- 1 ,6 / )
|| a '( 0 1 | = ^ 7 2 / 2 +1 => T{t) =
=■■■ \
II « ’ (011
6
^
(0 = (
"*■
k(t)
~
2
(7 2 / + 1 )
T '(t)
* 12t +1
72/
V2 •
2
(7 2 / + 1 )
(6 /,- 1 ,6 /)
6
1/7 j
5
(7 2 / + 1)
1/7 )
1
= — ------ = ------ -------- ( 6 ,72/, 6 ) entonces
II gl'(/) 1 ( 7 2 í 2 + 1 > 2
k(t)
=||
-*
k(t)
||=
Jl2
(72*2 + l ) í / 2
1
(7212 + \)m
como R(t) = —— - ------ ■==----- .Luego el radio de curvatura mínima estará dado por la
k[t)
v72
curvatura máxima esto se dará para t = 0 , aplicando el criterio de la derivada.
Luego Kmar= j 7 2 , para t = 0 se tiene a (0) = (0,5,5)el vector curvatura k (/) = (6,0,6)
—»
-»
Un vector en al dirección de L(0) es a = (1,0,1) por lo tanto la ecuación de la recta paralela
—►
a ¿(0 ) es:
33)
L = ((0,5,5)+ t (1,0,1)/ t e R}
Determinar la longitud de la curva C dado por:
/ 4
W 3 5/4
, z = 3t, desde
C: x = — , y = -------1
2
5
cuando el vector binormal a C es paralelo al plano 2x - 3z = 0, hasta cuando es paralelo al
plano 18x - z = 0 .
Solución
Eduardo Espinoza Ramos
216
Solucién
Calculando el vector binormal
B(l) =
n h th r m
t
4V 3
« /i
com o/ ( / ) = (— ,------ t 5, 2 J t ) =>
2
-i
»— -1/7
f ' ( t ) = (2 t \ 2 f i t v i
¿)
5
7"(/) = ( 6 í 2 3 V 3 / 1 /2 ,0 )
Sea
*
J
/3
2-^3/3/2
2
3 V 3 / ,/2
= ( - 9 - ^ 3 f 1/2, 1 8 / 2 , 6 ^ 3 / 7 /2 )
2 jc—3z = 0 de donde Ni =(2,0,—3)
B( t ) / 1 f " ( t )
como B / / P l =>
entonces
/■ ( i) » 7 " ( i) ± jv i => j v i .7 ,( o * 7 ,,( o = o
(2,0,-3). (-9-^3 r1/2.1 8 /2,6 ^ 3 í 7 /2 ) = 0, efectuando
-18>/3/1/2+18V3/7' 2 = 0
=>
f 1 / 2 ( l - f 3) = 0 => íj = l
Sea P2: 1 8 x - z = 0 de donde N 2 = (18,0,-1)
como f ' ( t ) , / ■ ' ( , ) l / P 2 => f ' ( t ) j , f " ( t ) ± N 2 entonces
jv 2 . 7 '( O ' 7 "(O = 0 => ( 1 8 ,0 ,- l ) .(-9 V 3/ 1 / 2 , 1 8 / 2 ,6>/3/ 7/2) =
0
-1 6 ^ 3 í 1/2 + 6^3 í 7 /2 = 0 => f 1/2 (—27 + í 3 /2 ) = 0 => t = 3
Luego
5 = f 2 1| 7 (011* donde 7 ’(í) = (2/ 3 ,2^/3/ 3 / 2 3 ) entonces
J,i
217
Funciones Vectoriales de Variable Real
|| / ’(t) ||= V 4/ 6 +12/3 + 9 = 2/ 1 + 3
h
34)
2
/ 1
‘
2
Sea C una curva definida por la función vectorial C: / ( / ) = (1------- , 1 - 2 / , /). Hallar la
ecuación del plano osculador de la curva, paralelo al plano x = - 2 .
Solución
->
—»
Se conoce que P0: B(t 0) . ( ( x , y , z ) - f ( t 0)) = 0, es la ecuación del plano osculador.
—>
—►
Sea P: x = -2 de donde N = i =(1,0,0), normal del plano
—>
como
7
P „ //P
-*
B(t0) / / i
entonces
y como B( t 0) / /
f " ( t 0)
entonces
’(í 0 ) ' 7 " O o ) / / ' . luego calculamos f ' V 0 ) * f " ( l 0 )
f [ t ) = (-4t2
f ' U 0) = (-4/o ,-^ / 0 . 1 )
=> -
7 m(/) = (-8 / - 4 ,0 )
i
f ' O o ) * f ,'U0) = ^ t 20
- 8 /0
L 7 " C í0) = (-8 /o,- 4 ,0 )
j
~4 / 0
-4
k
1 = ( 4 ,- 8 / 0 ,- 1 6 /0)
0
r { t 0) ' } " { t 0) = k 1 , dedonde ( 4 ,- 8 / 0,-16/0) = A(1,0,0) =>
7 , (0 > 7 ” (0) = (4,0,0)
=> || 7 ’(0)x7 " ( 0 ) ||= 4
por lo tanto 7 (0) =
= ( 1 ,0 ,0 )
II 7 ’ (0 )* 7 " (0 )ll
P0: (l,0 ,0 ).((x ,j\r )-( l,l,0 )) = 0
/0
= 0 , 7 ’ (0) = (1,1,0)
Eduardo Espinoza Ramos
218
35)
Sea C una curva descrita por
/'(O ) = (1,0,1), / ( 0 ) = (0,0,0).
3
>R , tal que
/:/
Hallar la ecuación del plano osculador y el plano
rectificante en el instante en que C corta al plano x = 2n.
Solución
->
/ " ( / ) = (0,sec~ f,se c /.tg í), integrando
f ' ( t ) = (c1, t g t+ c2, se ct +ci )
/ ’(0) = (Cj ,c2,1 + c3) = ( 1 ,0 , 1 ) => cl = l , c 2 = ci = 0
/ '( f ) = (l,tg /,s e c í), integrando / ( / ) = (/+C j,ln|sec/| + c2,ln|secf+ tg /|+ c 3)
/ ( 0 ) = (c, ,c2 ,c3) = ( 0 ,0 ,0 ) => c, = c 2 =
=
0
—i
/ ( r ) = (/.lnsec/.ln(sec/ + tg /)),
/ ' (r) = (l,tgr,sect)
=>
2
/ " ( / ) = (O.sec r,secf.tg f),
derivando:
|| / '( / ) ||= -Jl + t g2 t + s e c 2 1 = - J í sec t
como la curva corta al plano x - 2 n => t = 2n
219
Funciones Vectoriales de Variable Real
—
*
P0: ¿?(27r).((x,>\z)-(27r,0.0)) = 0 entonces
Fy
¡o
P0 : (— - , 0 . —^ - ) . ( x - 2 n , y , z )
=
0
Pq : x - z = 2n
PR : A^(27r).((x,.v,z)-(27r,0,0)) = 0
1
j
N(2n ) = B(2n)*T(2n) = . A
o
2
£
2
2
o
PR: ( 0 , l f i ) . ( x - 2 n , y , z ) = 0
36)
k
= (0,1,0)
^
2
PR: >>= 0 , que es el plano XZ.
2,
Formar las ecuaciones de la tangente y del plano normal a la curva C: x = a sen t,
2
71
y = b sent.cos t, z = c.cos t , en el punto t = — .
4
Solución
7r
a
ó
c
Para / = - , x 0 = - , r0 = - , z0 = - =>
x(t) = asen t
x'(t) = 2 a sen/cosí
y( t) = bsent cost
/ ( / ) = -ó s e n 2 r + óc<
2
z(t) = c eos r
a b e
z ‘(/) = - 2 ccos/.sen/
7T
7T
7T
7T
para / = — , x' (— ) = a , y (—) = 0 , z'(— ) = - c
4
4
4
4
La ecuación de la recta tangente es:
Eduardo Espinoza Ramos
220
La ecuación del plano normal es:
2
pn: *' (j ) - (* —j ) +y ' (j ) - ( y ~ - p +z'(^-)-(z- ~) =0
37)
Sea C la curva definida por la función vectorial
—► —>
pn: a x - c z =
a -c
2
2
C: f (t) = (e cosí, e sen/.
—>
determinar los vectores 7 , N , B y la ecuación del plano osculador cuando t = 0.
Solución
0)
7(0) = vector tangente unitario = ----------
II/'(O ) ||
t
I
t
t
t
I
f ( t ) = (e'cosí, e sení, t e ), derivando / ' ( 0 = (eí (cos< -sen/), e (sen/ + cosr), e (/ + 1))
7 '(0 ) = ( 1,1, 1) => II 7 ( 0 ) ||=V3
/. 7 ( 0) = ( - j= f-j =, -j =)
T ’(0)
7/(0)= vector normal principal unitario = --------—
i r (0 ) |
N ( 0) = B ( 0)* 7 (0 ), donde 5(0) =
/'(Q )*/"(Q )
ii7 '(o > 7 " (o )ii
=
(eos/-sení), e (sen/+cosr), e (/+!)) =>/'(0) =(1.1.1)
f " ( t ) = (2sent.e , I c o s í. e , 2e + t e ) => f " ( 0 ) = ( 0 ¿ ¿ )
i
/■ ( 0 )Jr / " ( 0 ) =
j
k
1
1
1
0
2 2
= ( 0 , - 2 , 2 ) => || /"(O )*?" (0 ) ||= 2 V 2 , por lo tanto:
221
Funciones Vectoriales de Variable Real
J m)
/ '( O k T í O )
°) - —
i
-------- -- ---------- --- ( O
i
- j= ,- ¡ = )
i r ( o ) * r (0) 11
-►
k
j
1
1
2
1
1
A T (0)=fi(0)jrr(0) =
v ? = (“ V 6 ’V 6 ’V 6 )
1
n
1
H
—»
plano osculador P0: 2 ? (0 ).(p -/(0 )) = 0 donde Z?(0) = - = ( 0 , - l , l ) , / ( 0 ) = (1,0,0)
V2
•• Po: x - > ' - z = l
38)
Determinar el plano osculador en /(O ) para la curva C descrita por la función
—»
f ( t ) = ( t - s e n t , 1 - c o s /,/)
Solución
La ecuación del plano osculador es:
r c o ^ r 'í o )
B{ 0) = — ------
—
>
—
>
~*
P 0 : B ( 0 ) . ( P - f ( 0 ) ) = 0 donde /(O ) = (0,0,0) y
-»
dedonde / ( / ) = (/ - s e n /, 1 - cosí, t), derivando
||7 ’ (0 )*7 " (0 )||
/ '( O = ( l - c o s í, sen/, 1 ) =>
7
'( 0 ) = (0 ,0 ,1 )
/ " ( / ) = (sent, cosf, 0 ) => / " ( 0 ) = ( 0 ,1 ,0 )
/ ' ( 0 ) jr /''( 0 ) =
i
j
0
0
0
1
k
1
o
= ( - 1,0 ,0 ) => || / ' ( 0 ) jr/" ( 0 ) ||=
1
Eduardo Espinoza Ramos
222
5 (0 ) =
/ ( ° V / (° )
= (-1 ,0 ,0 )
n / ' ( 0 K r ( 0 )ii
P0 :B(0).((x,y, z ) - (0 ,0 , 0 )) = 0
entonces P0 : ( - l, 0 ,0 ).(x - 0 , y. -
0
,z - 0) =
0
.\P 0 :x = 0
39)
Hallar las ecuaciones de los planos osculadores, normal y rectificante para la curva
determinado por x 2 + y 2 + z 2 -
6
, x 2 - y 2 + z 2 - 4 en el punto ( 1 , 1 ,2 )
Solución
Sea C:
x + y +z
.2
|x
-y
2
= 6
, _2
+z
la curva de intersección de las superficies
=4
ahora parametrizando la curva C.
j x 2 + y 2 +z 2 = 6
| x 2 —y 2 +z2 = 4
a: R
Í>' = ±1
^
\z=±j5-
, por lo tanto si x = t, se tiene
>R3 talque a ( t ) - ( t , l , ^ 5 - t 2 )
ahora calcularemos / = í0 para que a ( t 0) = (1,1,2), luego (t0, l , - j 5 - t 2 ) = (1,1,2) => í0 = l
x"(t) = 0
x(t) = t
x'(t) = l
y(t) = i
?
r( 0
z'( /) = ■
0) = 0
x ’( i ) = i , y d ) = o , z’( i ) = - -
x "(i) = o , y '( i ) = o , z " ( D = - g
y" (t)=0
z "(0 =
-5
(5 —/ 2 ) 3 / 2
223
Funciones Vectoriales de Variable Real
A =O
fl = z '(l)x " ( l)-x '( l) z " (l) = -
=> (fl = -
c = x '( i) v " (i)- y (i)jc " (i) = o
de acuerdo a
3.39, se tiene:
c =O
P0: A ( x - x { \ ) ) + B ( y —y (l)) + c ( z - z ( l) ) = 0
P„: 0 ( x - l ) + - ( > - - l ) + 0 ( z - 2 ) = 0
P0:> -= 1
PN: x '(l)(x - x(l)) + y (IX ->-(!)) + z '(l)(z+ z(l)) = 0
/. PN: 2 x - z = 0
z'(l)
z*(l)
/(l)
Pr :
B
C
( x - x ( l) ) +
x '(l)
A
C
x-(i)
y (i)
A
B
( ^ - ^ ( 1)) +
(z + z (l)) =
0
1
0
Pr : 5
-
—
2
0
1
(x - l) +
—
1
2
0
(y - l) +
1
0
0
5 (z -2 )= 0
-
0
PR: x + z = 3
8
8
40)
Formar las ecuaciones del plano osculador, la normal principal y binormal a la línea y = x,
x
= z en el punto ( 1 , 1 , 1 ).
Solución
Jy 2 =x
Sea C : ]
La línea de intersección de las superficies dadas.
\x = z
ahora parametrizando la curva C, se tiene:
para y = t, x = t 2, z = f 4.luego C: / (t) = ( t 2 ,t , í 4)
calculando t = t0 tal que / ( í 0) = ( 1 ,1 ,1 ) se tiene
= ( 1 , 1, 1 ) => í0 = 1 , además
Eduardo Espinoza Ramos
224
x ’(t) = 2 /
x(/) = í 2
y(t) = t
=>
/ ( ') =
=>
1
z '( / ) = 4 / 3
z(t) = t A
x"(r) =
2
y " (/) =
0
z"(r) =
1 2 /2
p a ra / 0 = l , *'(1) = 2 , / ( ! ) = ! , z'(l) = 4
x "(l) = 2 , / ’(!) = O , z"(l) =
A = y í D z - íO - y 'í O z - íl) = 12
12
A = 12
5 = z '(l)x " ( l)-x '( l) z " (l) = -1 6 => B = -16
C = jt-ÍD y (1) - JT"(1)/(1) = - 2
C = -2
P0: i4 ( x - l) + ¿ } (y -l) + c ( z - l ) = 0 entonces P0: 1 2 ( x - l ) - 1 6 ( y - l ) - 2 ( z - l ) = 0
P0:
6x
x -- 1
/ (l) z'(l)
I» :
41)
B
C
x-l
A
y-l
B
- 8y -z = 3
z- 1
x '(l) y '(l)
y-1
z'(l)
x-d)
c
yf
-i
c
T
=> L¡¡
A
- 1
j,
'
12
de donde Ln :
x-l
31
y
- 1
z-1
26
-2 2
x -l
> --1
B
y -l
16
de donde LB\
z- 1
Sea C la curva de intersección del cono z = -j2 -■Jx2 + y 2 con el cilindro x 2 - ( y - 1 ) 2 = 1
en el primer octante. Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto de intersección de la
curva C con el plano y = 1 que contiene a los vectores T y B en dicho punto.
Solución
Sea C:
z = V2 - V x 2 + /
La curva de intersección de las superficies dadas.
x2 -( y -l)2 = l
como C debe de estar en el primer octante entonces x,y,z > 0 ahora parametrizando la curva
C se tiene:
x = cosh t
y = 1 + senhf
. z = - j l - V 2 cosh 2 t + 2 senh2 1
además
: = V2 - V 2 cosh 2 r + 2 senh 2 /
225
Funciones Vectoriales de Variable Real
Luego la función vectorial es dada por:
f ( t ) = (coshf, l + senhf,V 2 - V 2 coshz f+ 2 senhz t )
ahora interceptando con el plano y =
1
se tiene: y =
1
+ senh t =
1
=> senh t =
0
=> t =
0
Luego /(O ) = (1,1,0) es el punto de intersección calculando la derivada de / ( / )
, - 2senhtcosht - 2 cosht ,
/ '( / ) = (.sen/tí.cosh/,— r
............
)
-\/2 cosh 2 t + 2senhzt
,
(2 cosh21 + 2senht)(2 + 4senh2t + senht)-(2senhtcost + cosht)1 ^
f ” (t) = (cosh t ,senht, ----------------------------_ _ _ ---- _ L _ -----------------------(2 cosh t + 2senh t)
3^2
/ ” ( 0 ) = ( 1 ,0 , - ------ )
4
Sabemos que T(t) = f
y B(t)= f
II/'(O II
■Ji
/'(O ) = (0,1,—~ —) =*
I
J
/■ ( 0 ) - / " ( 0 ) = o
1
1
o
HO)
¡2
1
11 /■ ( 0
{t)
I I / '( O '/ "
(011
)ii
k
V2
3V2 V2
-*
J 42
= (------,----- ,1 ) entonces | | / ’(0 ) * / " ( 0 )|| = ^ —
4
2
4
2
3V2
-
->
3
2
2
V2
=(C i J ’~ 7 3 ) y m = ( r m ' ~ W l T ¡ )
como T(0)
dicho plano es:
y 2?(0) están contenidos en el plano pedido, entonces la normal de
226
Eduardo Espinoza Ramos
i
j
«
N(0) = 7’(0)xfi(0) =
k
^
1
“ V3 - ^
2V2
V3
2
3
yf2\
yf2\
<2•-3•3 V Í,
yf2\
1
P: Ar(0).((x,>'.r) - /(O )) = O de donde P: - ^ = ( 2 ,-3,3V2).( jc- 1, y - l , z ) = 0
P: 2 x -3 > '+ 3 V 2 z + l = 0
42)
Dada la curva C :/ ( í ) = (sen í —2 ,í 2 + 2,í + 2 sen í -1 ) .Hallar la torsión en cualquier punto y
n
n
determinar la ecuación de los planos osculadores en t = 0 , í = — , y f = — .
Solución
La Torsión se determina mediante la expresión:
x(r) =
ii/w -ío ii2
2
como / ( t) = (sen t - 2 . t +2, t
2
+ 2
sen t - 1 ), derivando se tiene
/ ' ( í ) = (cosí, 2 í, 2 í +
2
cosí) => / " ( í ) = (- s e n í,
/ " ’(í) = ( - c o s í. 0 , -
2
cosí)
i
/ • ( í ) Jr/
" ( 0
j
= cosí
-se n í
2
2
2
,
2
-
2
sení)
k
f
2í + 2
2
-
2
co sí
= (- 4 ís e n í- 4 c o s í, 2 ísen í+ sen 2 f, 2 co sí+ 2 f sení)
sení
/ ' ( í ) j r / " ( í ) . / " '( í ) = (-4 í s e n í- 4 c o s í, 2 íse n í + sen2í. 2 c o sí+ 2 í sen í).(co sí,0 ,2 cosí)
2
2
= 4 íse n fc o sí + 4cos í - 4 í s e n í c o s í - 4 c o s í = 0
x(t) = 0
Funciones Vectoriales de Variable Real
227
ahora calculamos el plano osculador, que tiene como normal al vector B donde:
5 (0 =
/ W
" (0
I I / '(0 * / " (0 II
como f ' ( t ) x /
= ( - 4 í s e n f - 4 c o s f , 2 t sen/ + sen2t,
" ( 0
/'(0 ) ^ 7 " ( 0 ) = (-4,0,2)
=>
=
Luego
2
cos/ + 2 /s e n í)
| | / 1(0 > 7 " (0)||= 2^5
además /(O ) = (-2,2,1)
—►
la ecuación del plano osculador es dado por:
2
1
P0: (-^=\0,-^=).(jc+2, y - 2 , z + l) = 0
43)
—>
P0: f i(0 ) .(( x ,y ,z )- /( 0 )) = 0, dedonde
/. P0 : 2 j c - z + 3 = 0
-♦
i
7
1+ r
Consideremos la curva descrita por la ecuación C: f { t ) = ( \ \ + t , 1, r - l n ( ■------- )) y los
VI +
planos P: x + z = l
y Q: x - z = l , hallar la
t2
curvatura y Torsión en el punto de
intersección de la curva C y los planos P y Q.
Solución
—y
Interceptando P n Q
=> a ( i ) —(1, í ,0)
—>
ahora hallaremos el punto de intersección con la curva C: f ( t ) es decir:
p 0 e a ( t ) r \ f ( t ) => a ( t 1)= f ( t 2) esdecir (l,r 1 , 0 ) = (^ /l+ r 2 , 1 , t2 - ln ( ■ 2 ))
• í+ o
í i+q = i
i = t,
1+
t-i
r2 - ln (
í
1+0
0
=
0
228
Eduardo Espinoza Ramos
II/'(O ) II
/ ' ( 0 ) = ( 0 ,0 ,0 )
-21
/ " ( o = (-
7 "(0) = ( - 1,0,0)
a - / 2 )3 /2 , ° ’ (r 2 - l ) 2i
3f
6r
7
+ 2
además ||/'(O ) ||= 0 y || / '( 0 ) *
" 'Í 0 ) = (0 ,0 - 2 )
|| = 0 por lo tanto ¿(0) = — y lo mismo para x (0) = 0
a
#
por lo tanto para hallar la curvatura y la torsión cuando t = 0 se hace de la siguiente manera.
k(0)=iimk(í)
f- > 0
/ ' 1 (0)
r ( 0 ) = lim t ( í )
/-> o
y
k
J
,2
/'(r)*/ " (r) =
0
r2
1
2
0
(r 2 - l ) 2
i 7 w - ( o i = „ \ 5I1
d -r)J
o » ,
( l - r 2)5/2’ 0)
1
-
( l - r 2 ) 3 /2
i / w
= (0 , -1
.
n - Y
»7 v > r
Calculando f ' U ) *
decir que es una curva plana.
m o i h T 1^ 1
g
entonces * < o > - / » * « ) = »
1,1
= 0 por lo tanto x (t) = 0 entonces r(0 ) = lim r (/) = 0 es
f- » 0
Funciones Vectoriales de Variable Real
44)
229
f ( t ) = (2^[pt, t, 1), siendo p una constante positiva. En qué
Sea C la curva definida por
punto de C el radio de curvatura alcanza su valor mínimo, cuál es este valor.
Solución
1
Como
k=
el
radio
de
curvatura
p =—,
k
es
entonces
calcularemos
la
curvatura:
l l / '( 0 * / " ( 0 ll
II7 ' (OH3
? ' ( 0 = (s¡pt
17 2
4.0) => II / ' ( O I K F + l
—>
i
/ W
" ( 0
=
—
»
->
j
i
k
0
0
0
4
p
‘
además
/ " ( 0
,0,0)
=(
-3 /2
2
(0,0,1) ;
h7
' ( 0 - 7 , ' ( O I I = ^ - 3/2
- ■ ¡ p t - ' 11
3
,P , , . 3 / 2
ll/'ÍO ll = (r + i r "
como p = - =
II/'(O II
_ 2 (j / 2 /P ,
v/p
n 3 /2
*
para hallar el mínimo derivamos respecto a t.
descartamos t = -p, entonces para t = 0 , p = 0 .
45)
/ ( 0 ) = ( 0 ,0 ,1 )
Sea C la curva descrita mediante la función vectorial C: f ( t ) = ( t - s e n t , 1 -c o sr, 4 s e n y ),
calcular la curvatura y torsión en un punto de C donde el plano normal es paralelo al plano
z = 1.
Solución
Eduardo Espinoza Ramos
230
La ecuación del plano normal es:
PN : T (í 0 )((x, y, z) - f ( t o) ) - 0
donde el vector tangente unitario T(t0) es la normal del plano PN .
f ' ( t 0)// k = (0,0,1) entonces 3 A g R tal que / ' (r0 ) = A(0,0,1)
Si PN // Plano z = 1 =>
dedonde
/ '( í ) = ( l-c o s í,s e n í, 2 cos—) entonces:
(1—cosí, sent, 2 eos —) = (0,0, A) => / = 0 y A = 2
por lo tanto el punto donde el plano PN es // al plano z = 1 es / ( 0 ) = (0,0,0)
ahora calcularemos la curvatura k y la torsión x que está dado por las expresiones
k = I I / W / " (0) 11
T=
/■ ( 0 > / " ( 0 ) . / " ' ( 0 )
ll7'(0kT(0)||2
II7 ’(0 ) II3
/ ' (í) = ( 1 - eos í,sen í, 2 eos —)
/ ' ( 0 ) = ( 0 ,0 , 2 )
t
/ ' ' (í) = (sen í , eos í , - sen —)
/
,
co sí,
(í) = (c o s í,-se n r,— — )
7
" (0 ) = ( 0 ,1 .0 )
7
" ’( 0 ) = (1 ,0 , - | )
i
J
k
0
0
2 = ( - 2 ,0 , 0 ) =* II / ' ( 0 ) , / " (0 )||=
0
1
0
( / ' ( 0 k r ( 0 ) ) . / " '( 0 ) = ( - 2 ,0 ,0 ).( 1 ,0 , - —) = - 2
k . I I / ,(0 V / " ( 0 ) I I _
ii r (0) n3
^
2 _ 1
8
4
i= i
4
2
231
Funciones Vectoriales de Variable Real
7 ’ ( 0 ) * 7 " ( 0 ) ./ '" ( 0 )
2
1
h 7 ’(0 ),7 " (0 )h 2
4
2
I = ------—-------- —---------------- = --------= - -
46)
=>
1
T = -----2
*
^ 4
Si la curva descrita por Q : /(w ), corta a la curva C2: g(w) = ("j
,e
l + 2w), además
7 ( 0 ) = ( l .e ,l ) , 7 '( 0 ) = (l.e ,0 ), 7 " ( 0 ) = (0 .e .2 ), 7 ’"(M) = (0 ,e “+1,0). H allar la torsión x de
C, en el punto de intersección de C, y C2.
Solución
7 " ’(K) = (0 ,e B+1,0) ^
f"(u)
=
(c,eu+1+k,r)
7 " ( 0 ) = ( c ,e + * ,r ) = (0,e.2) => c = 0, k = 0, r = 2. Luego f " ( u ) = (0,eu+1¿ )
f ’(u) = (c,eu+I + k 2 u + r)
f " ( 0 ) = ( c , e + k , r ) - ( l , e , 0 ) => c = l,f r = 0, r = 0
f ' ( u ) - (l,e"+l2.u) => f ( u ) = (u + c,e“+1 + k , u 2 + r )
f ’(0) = ( c.e+k,r ) = (l,e,l) => c = l , k = 0 , r = l
C ¡ : f ( u ) = (u + l.e“+1. u2 + l)
Sea P0 e Q: f ( u ) n C 2: g(u) => / ( « ] ) = g ( u 2)
Eduardo Espinoza Ramos
232
ui = 1 , Uj = —
Luego 2^] = ui + l
2
para u, >
0
=> ux = 1 . Luego 7(1) = (2,e 2¿ )
7 '(1) = ( U 2 ,2 ), 7 " ( l ) = ( 0 ,e 2¿ ) , 7 ’" (l) = ( 0 ,e
e2
1
7 ,(l)< 7 " (l)-7 "■(1 ) =
0
e2
2
0
e2
0
= 2e2
1
—
> —>
A:
j
e 2 2 = (0 ,2 ,- e ‘ ) entonces
0
e2
—*
—>
—
>
/■ ( 1 ) , / " ( 1 ) =
2
*
2
T=
l l / 'a k T O
47)
)!!2
->
s-se n s
Sea C la curva definida por la función vectorial C: f ( s ) = (-----------,
2
1-c o ss
2
s
, 2 sen—), s
> 0. Hallar la torsión en un punto en donde la longitud de arco sea 2n.
Solución
El punto donde se va ha calcular la torsión es en donde el valor del parámetro es 2n.
Es decir f ( 2 n ) y como x =
2
233
Funciones Vectoriales de Variable Real
0
0 - 1
0
-
1
-
f'{2 a )xf"(2 n ) =
0
c
48)
0 - 1
1
0
2
0
2
4
1
-
4
= (—,0 ,0 ) entonces || / ' ( 2 n).</"( 2 n) ||= —
í o
/ ' ( 2 n ) f / " ( 2 n ) . / '" ( 2 n)
4
II / ' ( 2 n).T/” ( 2 n) | | 2
^
t
^
t=,
Sea C la curva en coordenadas polares descrita por la ecuación r = e , dibujar el círculo
osculador indicando centro, radio y una porción de C en un punto donde el vector normal
principal es paralelo al vector (- 1 , 1 ).
Solución
La relación de las coordenadas cartesianas y polares es x = r eos 0 , y = r sen 0 pero r = e
entonces la curva C es expresado por:
I
x = e° eos0
, La curva en forma parametrizada
y = e fí sen 6
C : / ( 0 ) = (eBeo s © , ? 11 sen 0 ) , derivando se tiene f ' ( 6 ) = e 6 (cosG -sen© , sen 0 +cos 0 )
La curvatura en coordenadas polares es:
Eduardo Espinoza Ramos
234
1
pero como
p ( 6 ) = -Jl e6
p(6) =
radio de la circunferencia osculatriz de
*(©)
acuerdo a las condiciones del problema debemos de calcular el vector normal principal
—>
->
->
f'
->
-+
¡V(0 )= T ' ( 6 ) donde T { Q ) = ^ - ^ ~
=>
| | / ’(0 ) || = V2 e e
ii 7 ' (6 )ii
/ ' (0 )
m =
e (eos 0 - sen 0 , eos 0 + sen 0 )
1
(eos 0 - sen 0 ,cos 0 + sen 0 )
42
I I /'O ) II
*
1
T ( 6 ) = —= (- s e n 0 - eos0 , eos© - sen©) =
42
]
= (sen0 + cos©, sen© - eos©)
ahora
42
—>
—>
determinaremos el valor de 0 con la condición que N ( 6 ) / / a = (—1,1) => 3 A e R tal que
1
N ( 6 ) = A (-l,l) entonces se tiene — — (sen© +cosO, sen© -eo s© ) = (-A,A) entonces:
42
A = - —=(sen© + co s0 )
V2
2
sen© =
0
=>
0 = 0
1
A = —p=(cos© —sen 0 )
42
Luego el punto /(O ) = (1,0), como 0 = 0 => p ( 0) = 4 2 radio del círculo osculador
1
1
C = / ( 0 ) + p ( 0 ) A r(0) = (l,0) + V 2(— ■=,—= ) => C = (0,1) centro del círculo osculador
V2 V2
235
Funciones Vectoriales de Variable Real
49)
Sea C una curva definida por la ecuación: W(t) = b I f ( t ) x f ' ( t ) d t , b constante diferente de
Ja
—>
cero, en donde
/ ( / ) es una función vectorial que cumple con la condición de qu
|| / ( , ) || = i y [ f ( t ) J ' ( t ) . f " ( t ) ] * 0 . Hallar la torsión.
Solución
_ Cf'(i)T'(n./ - a ) ]
7 ’( o - 7 " ( o - 7 " ,(o J J
como x = -------------------------- = -------------------------- , donde
i / w 'í o i 2
i i / w '( o i i 2
C : W ( t ) = b ( f ( t ) x f ' ( t ) d t , con b * 0
y
||7 '( 0 || = 1 ; [7 (0 -7 ’(0 -7 " (0] * 0
Ja
W{t) = b \J{ t )x~ f' { t) dt
=> W \ t ) = b . f ( t ) x f ' ( t )
Ja
W" U ) = b f U ) , f " U ) + b f ' U ) x f ' U ) = b f { t ) , f " U )
W " V ) = b f ( t ) * f " ( t ) => W " ' 0 ) = b f ' ( t ) x f " ( t ) + b f V ) * f " ' V )
como ||/ ( 0 ||= 1
(A
x
B)
x
=> f ( t ) l f ( t )
y además (A x B).(C x D) = (A.C)(B.D) - (A.D).(B.C)
(C X D) = [ABD]C - [ABC]D
W' (t).W' (t) = b 2( f ( t ) r f ' (/))• ( 7 d ) * / ’(O)
=b2\if{n. 7 m 7 ' (i).?■(0) - (7(0.7' u)>(7'(o7(0)]
= ¿ 2 II/'(O lí2 puesto que
||/ ( r ) | | 2=]
Eduardo Espinoza Ramos
236
w ,(t)*w "(t) = b 2(7(0-7' ( t ) H f ( t ) v/'' U ))
=b2[(f(t) /■(r>7"(O)7a) - (7(0 7' (o7(0)7'' (oj =b2[7(o7 (o7' ■wi 7(o
[VT (t)W" (/) W ' ’■(/)] = (W' (t)xW' '(/))• w ' " (o
=(*2[7(o7' (o7" (oí 7(0)0 7(o7' ” (t)+bf' &),/• ■(o)
=¿3[7w 7' (o7"(oí2
T_
[VVl(OVV"(/)VV-(r)]
_63[7(o7'(o7"(Q]2 . T=I
(Ív’(0 -v v " (0 )(v v '(0 -v 7 " (0 )
50)
¿ 4[ 7 (o 7 '( o 7 ” ( 0 ] 2
Sea C la curva definida por la función vectorial
¿
C: / ( / ) =
, | / 2-
l | ) . Hallar la
torsión en el punto de intersección de la curva con el plano x + y + z = 4.
Solución
Calcularemos el valor de / = r 0 en donde se obtiene el punto de intersección de la curva
—»
C: f ( t ) y el plano P: x + y + z = 4.
Sea p e C : / ( í )
a
p
=>
p e C :/(í)
a
pe P
Si p e C :f(t)=> p ( l -- Jt ,-Jt ,|r 2 - 1 1) para algún t e R pero como
p e P => 1—'Jt + ^[¡+\t2 —11= 4 entonces | f 2 —11= 3 =>
t~
= 4 v ; ‘ = —2 pero 3 r e / ?
—)
ta lq u e r~ = -2
=> t~ = 4 => / = +2, como el dominio de la función f ( t ) es para t > 0
entonces t = 2, además
| / 2
—1[= r 2 - l . V
t e D , entonces:
C: f ( t ) = (1 - y f t ,yft ,i~ -1 )
237
Funciones Vectoriales de Variable Real
]
1
1
1
r, 2t)
/'(* > = (-
4í
4r
3
3
/ ' " ( ' ) = (— vT. - v 7 . 0 )
8r
3
3
/ " ' ( 2 ) = (------P .
P .0)
32V2 32V2
8/
j
1
k
1
4
/ '( 2 )x /" (2 ) =
2 ^ 2
2
1
8 V2
7 ' í 2 ) x/ " ( 2 ) = - ^ = ( U , 0 )
2V2
V2
2 sf2
1
8 ^2
=*
II 7 ' ( 2 ) a / " ( 2 ) | | = —
2
7'(2)a7"(2).7'"(2) =^ ( l 1l,0).^ (-u ,0) =O
La torsión está dado por la expresión
t(2 )
51)
/ ' ( 2 > / " ( 2 ) . / " ’( 2 )
0
p
II ~f’( 2) x f" (2 ) | | 2
( | ) 2
r(2 )=
0
Sea C una curva definida por la función vectorial / : I c z R
>R y sean a y b dos
—»
vectores unitarios constantes que forman un ángulo
—1
0
,
0
<
0
—» —»
< 7t, si / '( < ) = a * f { t ) y
—>
/(O ) = b . Hallar la curvatura k(0) en función de 0 ¿para qué valor de 0 la curvatura k(0) es
mínima y cual es este valor?.
Solución
->
—»
-»
-»
como / ' ( / ) = a x f ( t ) entonces f ' ( 0 ) = a x f ( 0 ) = a x b
f ' U ) = a x f ( t ) => f ' \ t ) = a x f ' ( t ) => f ' ( 0 ) = a x f ' ( 0 )
Eduardo Espinoza Ramos
238
/ " ( O ) = a x ( a * / (0 )), además se tiene:
7 " ( 0 ) = a * 7 ' ( 0 ) => 7 ,( 0 ) * 7 " ( 0 ) = 7 '( o m 7 * 7 ,(0))
—>
—>
—►
como el vector a x f ' ( 0) es ortogonal al vector / '( O ) entonces
ll 7 / 0 ) * 7 " ( 0 ) | M | 7 / 0 ) * ( 7 * 7 / 0 ) ) | | = ll7 ’ (0)|||| a x f ' ( O ) || sen ^ = jl7 '(0 )||.|| a -7 'C 0 ) ||
como f ( 0 ) = a x f ( 0 ) = a x b entonces:
—
*
—►
II / ' ( 0 ) * / " ( 0 ) 11=11 / '(O ) || || a ' x ( a x b ) ||
...( 1 )
—»
como a x b es ortogonal al vector a entonces:
... (2)
|| a A (a *7 )||= || a DU a x b ||sen^-=|| a ||||a*71| =|| a |||| a |||| 7 ||sen 0
ahora a reemplazando (2) en (1) se tiene
II 7 '(0 )* 7 " (0 ) 11=117 '(0 ) IIII a ||2|| 7 1| sen©
... (3)
también ||7 '(0 ) ||= ||7 *7 ||= || a ||||7 ||sen e
m
...( 4 )
= II 7 '( 0 ) Jr7"C0> II =
II 7 (0 ) IIII7 II2II7 II se n e
I l 7 ’(0 )l|3
I l7 ’ (0 )||||7 ||2n 7 | | 2 sen2 0
/ m —
—
=
1
=
|| 7 1|sen0
=> F , e , , - 2 Í E Í £ i s e = o
|| ¿ | | senG
|| 7 (0 ) ||
cos0
n
sen6
2
=>------ = 0 => cose = o => e =—
F
co se c0 .ctg 2 0 + co se c30
~ ,, 7 r
, „
n
n
(0) = ---------------^ ----------------- => F (—) = 1> 0 entonces 3 m ínim o para 6 = —
ii 7(0) ii
por lo tanto:
2
¿(0 ) = — -—
11/(0)11
2
239
Funciones Vectoriales de Variable Real
52)
Sea
C
-»
la
curva
£
descrita
S
£
por
la
función
vectorial
S
C: f (.v) = (----- sen(—), l- c o s ( —), 4sen(—)), s > 0 siendo s la longitud de arco de C. Halle
2
2
2
4
la ecuación de la recta que pasa por el punto en donde la longitud de la curva C es it y en la
dirección del vector curvatura en dicho punto.
Solución
El punto por donde pasa la recta es cuando el valor del parámetro s es n es decir s = n.
Osea f ( n ) = (— —1,1, 2-^2) además k ( s ) = f " ( s ) donde
2
-»
f'(s) = (
1
2
.r 1
s
s
-*
l . v
l í l í
eos—, —sen—, eos—) y f " ( s ) = (—sen—, —eos—, ---- sen—)
2 2 2 2
4
4 2 4 2 4 4
1
1
k ( n ) = / " ( 7r) = ( - ,
4
0
V2
1
r, -------) = - ( 2 .0 -V 2 )
8
8
Luego L —{ f ( n ) + t k ( 0 ) / t e R]
L = [ ( — - 1 , 1, 2 V 2 ) + / ( 2 ,0 .- V 2 ) / / e /?}
2
53)
Encontrar la curvatura k, radio de curvatura p y el centro del circulo de curvatura C de la
curva definida por la función vectorial.
<•
-»
ff
nu 2
fi
ti u 2
C: f ( t ) = ( ' Io eos n du, ' ol sen n du ,l )
0
2
°
2
Solución
Se conoce que k(t) = ----- —------------.entonces
II7'(OH3
-*
/ ' ( / ) = (eos
nt
2
2
, sen
71 t
2
2
->
, 0 ) => / " ( / ) = ( - íj t s e n
71 t
2
2
,2
, /ric o s
Ttt
2
,0)
240
Eduardo Espinoza Ramos
nt
f'0 )x f" U ) =
- r /r s e n
sen
ni
j
7t t 1
k
0
i n eos
= ( 0 ,0 ,n t)
ni
0
2
2
/" '(0 11=1 y \ \ f ( t b f " ( t ) \ \ = K t .
Luego k( t) = n t como p(t ) =
1
1
k{t)
nt
f'lt)xf"(t)
BU) = ^
^
= (0,0,1)
II7 ' ( 0 - 7 "
(011
l
J
0
0
n t2
eos-
n t1
sen-
N (t ) = B ( i ) x T ( i ) =
el centro del círculo de curvatura es:
ff
ttí
o
2
C = (J eos
Ci
nu
= ( I eos----2
54)
fr
du, \ sen
ien
n it ~
22
' 0o
du, 1)H
1) H
= (-s e n
nt2
,cos
C =f ( l ) + p(t) N(t)
1i
n tr
(( - ss e n —
nn tt
2
2
,cos
n t2
,0 )
de donde
n t
2
,0)
2
1
n t~ Ci
nu
1
nt
— sen
, I sen------- du +---- eos
, 1)
ni
2"
'o "
2
ni
2
Sea C una curva en R
3
descrita por la función
x= a(t),
t > 0,
1
si | | a ’( /)||= ----- y
/+1
*
1
1 ■- /
-*
B'(t) = --------=-(-1,-1,
) para t > 0 y la torsión t (t) en cada punto a ( t ) e C es positiva,
( 1 + /)
fit
determina t (t), a medida que t crece ¿La curva C se tuerce más o menos? justifique.
Solución
de acuerdo a la fórmula de Frenett-Serretl
Funciones Vectoriales de Variable Real
241
B'(t) = - S ' (t)x(t) N = || a ' (i) ||t(í) N(t) de donde:
B'(t)
=-
r
=> || 4
^
| H , ( 0 | II ^ ( 0 II pero
II a* ( 0 1
II a ’(O II
n ^ ( o ii= i =* i - ~ - H * ( o |
II a ' ( 0 II
como || a '( O I I = ^ - r
y £ '( /) = ------ ^ - ( - l,- l,- ^ = 4 )
t+1
(1 + 0 "
J2 t
1
l+r
II a'(O
t
r(/) =
y 2 f(f + l ) 2
■J2t
cuando t crece, r(t) decrece menos.
55)
Determina la ecuación del plano osculador y la curvatura para la curva C descrita por la
función vectorial C: f { t ) = (ln(/ + Vl + <2 , ------, ln(l + r)) en un punto donde el vector
1+ í
tangente tiene la dirección de la recta x - 1 = y - 2 = z - 5 , también hallar la torsión.
Solución
1
7 ( / ) = (ln(/ + Vl + í 2 , ------, ln(l + 0 ), derivando
1+ í
/
’( 0
1
= ( '/ ----------------- ? ’
)
Vl+í
(1+ , > 1+ í
el valor de t = t0 se calcula con la condición que / ' ( / ) / / a donde a = ( 1 , 1 , 1 ) que es la
x — 1 y — 1 z —1
- » - » - »
dirección de la recta L: -------= — — = —j—, como / ' ( / ) / / a => f ’(t)x a = 0 , entonces
= ( 0 ,0 ,0 ) =>((l + o
1
2
1+í
1
o + o 2 ’ 1+'
1
-) = ( 0 ,0 ,0 )
(i+o
1
de donde por igualdad se tiene t = 0, como P0: B(0) .(p —f (0)) = 0, donde
242
Eduardo Espinoza Ramos
->
f* (0)r/*"(0)
B( ) = ■^
^
0
y /(O ) = (0,0,0)
II7 ' (0 ) * / " ( 0 ) ||
1
/ ’(/) = (
1
1
-)
V T ^ ’n + o 2
/" Í0 = (
-í
/■(O) = (1,1,1)
1+f'
- 2
-1
7
(1 + í 2 ) 3 '
/ ' ( 0 )x /" (0 ) =
2
'( 1 + / ) 3 ’(l+ 0
/
j
k
1
1
1
0
-2
-1
||/ - ( 0 ) , / " ( 0 ) |
” (0 ) = (0 - 2 - 1 )
2
= (1,1-2)
=> || 7 '( 0 ),7 " (0 ) ||= V 6
V6
1
p#: ^ = r ( l,l,- 2 )((x ,.y ,z )-( 0 ,0 ,0 )) =
Pq = x + y —2z = 0
0
k(0) = —
ahora calculamos la curvatura
P donde ||/'(0)||= -y/3
ii 7 '( 0 ) ii3
k(0)
■jé
J2J3 ji
p -y =
¡=~ = ----(v 3 )
3j3
3
j í
fc(0 )= ----3
encontrando la torsión
\\r(0 )* T 'm 2
-t
/" ( O
- 2
-1
= ( ----------7 1 7 7 ’ ------------- 7 , -------------7 ) ,
(1 + í )
0 +0
(l + O
derivando
243
Funciones Vectoriales de Variable Real
-1 + 2 12
6
r iñ ’
/ " '( ') = (
(1
+ / 2 ) 3' 2
(1
+0
-»
2
7'
T> =* /" '(O ) = ( - 1 , 6 ,2 )
(1+ r) 3
/ ,( 0 ) x / " ( 0 ) . / ’"(0) = (1.1,-2 ).(-l,6 ,2 ) = -1 + 6 - 4 = 1
=i
n 7 ’(0 ).7 " (0 )ii!
56)
La curva C es
la
. t(0)=i
6
6
intersección del cilindro
2
2
x + y + 2 ( y - x ) = 2 con el plano x -
y - 2 z - 2 = O, determinar la curvatura y torsión, así como el plano osculador en el punto
(3,-1.1).
Solución
Sea
C i
+V
(x -y -2z-
2
=0
2 -0
parametrizando la curva se tiene:
2
curva ¿g intersticio de las superficies dadas
^
x -_ v - 2
x - v - 2 z - 2 = 0 => z = ---- ^
... ( 1 )
2
2
2
además x + y + 2 ( y - x ) - 2 = 0, expresamos en la forma (x - 1 ) + ( y + 1) = 4
Í x - l = 2 cos 0
)
, ->
a ,6
( y + l = 2 sen 0
6
r
,
Ix = l + 2 cos 0
r „ i
[0,27r] => i
, ,a 6 e [0 .2 zr 1
1
J
[v = - l + 2 sen 0
1
1
reemplazando (2 ) en ( 1 ) se tiene:
... ( 2 )
' '
l + 2 cos 0 + l - 2 sen 0 - 2
z = --------------------------------- = cos 0 - sen 0
2
Luego / ( 0 ) = (l + 2 c o s 0 , - l + 2 se n 0 , c o s0 -se n © ) además / ( 0 ) = (3 ,-l,l) => 0 = 0
/ ' ( 0 ) = (-2 s e n 0 , 2 c o s 0 ,- s e n 0 - c o s 0 ) => /'(O ) = (0.2,—1)
/ " ( 0 ) = ( - 2 c o s 0 .- 2 s e n 0 , s e n 0 - c o s 0 ) => /" ( O ) = (-2.0,-1)
r
7
"*(0 ) = ( 2 sen 0 , -
2
cos 0 ,c o s 0 - s e n 0 ) => / ' " ( 0 ) = ( 0 - 2 ,1 )
Eduardo Espinoza Ramos
244
/
j
0
2 - 1
-2
k
= (-2.2.4) => || 7 ’(0 )* /"(0 ) | | = ^ 4
0 -1
/'(O ) = (0,2,-1) => || / '( 0 ) ||= -\/5 calculando la curvatura k(0) =
II7 ' (0 )||
calculando la torsión ,( 0 ) ■ / W
(
0
> ./ " '( 0 ) =
= 0z ± ü =
ll? ( 0 > 7 " ( 0 ) ll!
5-J5
3
0
24
para determinar el plano osculador se tiene: P#: B ( 0 ) .( p - / ( 0 ) ) = 0, donde / ( 0 ) = (3,-1,1)
7(0) = { ' (° )jr{ " (0) = - - = (-2,2,4) = - L (-1,1,2)
II / ' ( 0 ) * / " ( 0 ) || V 2 4
V6
P0: ^ = ( - U , 2 ) [ ( x , j \ z ) - ( 3 ,- l , l ) ] = 0
57)
••• P0 : x - y - 2 z =
2
El salto de un sapo es descrita por la función vectorial / ( / ) = ( / 2,|/|), calcular la longitud
1
recorrida en el intervalo
-1
1
< t < 1 , la curvatura y torsión en (—,—= )
2 V2
Solución
fi —>
fO —>
Se debe calcular L = J || / '(/) || dt = 2 J || / ’(/) || dt
como
->
J(r ,r)
/ ( / ) = "! .
[(r ,-í)
para r >
p ara/
< 0
0
, derivando se tiene:
-»
/'
^
f( 2 r,l)
para t > 0
[( 2 /,- l)
para t < 0
245
Funciones Vectoriales de Variable Real
L = £ | | / ' (t) || dt = £ || ~ f -( t ) || dt + £ | | /■ (t) || dt
= £ -J4t2 +ldt + £ - U t 2 +ldt
= ^[t^¡4t2 + 1 + l n | 2 í + -j4í 2 + 1 1 ] ^
+ ^ [ t ^ 4 t 2 + l + \ n \ 2 t + 4 4 t 2 +l \] f
r
1
y¡5 + 2
r
r
= V5 + —ln(—p
) = V5 + In(V5 + 2)
2
V 5 -2
-*
f(2 ,0 ) , r >
/,,W “ U
. * < 0
f ' ( ~ ) = (y/2J)
V2
-»
0
,
-
>
1
1
=* l l / ” (0ll = 2 COm° / ( í ° ) = ( 2 V ?
=* t 0 = T 2
/ " ( - p ) = ( 2 ,0 )
y¡2
-* 1
r(T }
como k(-j=) = || — — p — 1| donde || f ( - j = ) || = ^ 2 2
V2
||/ '( - L ) ||
/ ' ( í ) = ( 2 í,l)
1
para t >
=> || /
0
' ( 0 11 =
= 45
^4t2+1
->
2r
1
~>
T(t) = ( - f = = = , r— — = ), derivando T'(t) = (■
— ¿
V 4r2 +1 V 4r2 +1
+1
—4r
;----- j¡^)
2
(4 r2 + l) 3/2 ( 4 r + l) 3/~
1
2
entonces Í ( 7 2 , ' ll^ . ; f “ l|- . | = 3 |
42
2.50
Ejercicios Propuestos.'
I.1)
Calcular a . b . sí a = (2,-4,1) y b = I (/ e " ,/cosh 2t, 2t e
o
Rpta. 0
)dt
246
Eduardo Espinoza Ramos
2)
Calcular las siguientes integrales.
r
—
>
—
>
r
a) J (4sent /'+3cosr j ) d t
c)
f1
J (t,t
i
,e )dt
1/ 2
J b i t . -Jt + l ) d t
3)
Hallar la función vectorial / ,
—>
—>
J
—
>
i +t j ) d t
J (te ‘
d)
fn / 2
J (senr, cosí, tg t)dt
f)
j (e ,t e ) d t
continua en el intervalo
w —>
i. —
>
b)
< 0,+°° > tal que
—>
f ( x ) = x e x A+ — I / {t)dt V x > 0, siendo A un vector fijo no nulo.
x Ji
—»
—»
—>
R pta. f ( x ) = e * ( x + l ) A —e A
—>
4)
—>
Una función vectorial / , que nunca es cero y tiene derivada continua
V t,
—
>
siempre es paralela a su derivada, demostrar que existe un vector constante A y una
—>
—»
función real positiva t|/ tal que f (t) = y / ( t ) A , V t.
5)
—
>
—
>
—
>
—
>
—
>
Una función vectorial / satisface la ecuación t / ' ( / ) = f ( t ) + t A V t >0, donde >4 es
—»
—»
—>
un vector fijo. Calcular / " ( l ) y / ( 3 ) en función
—»
—»
de Así / ( l ) = 2 A.
Rpta. / " ( 1 ) = A , / ( 3 ) = (6+31n3)A
6
)
—
> —
>
—
>
—
> —
>
V * 0 yunafunción vectorial / , tal que: f ( t ) . V = í , V t e R y tal
—
>
—
>
—
>
que el ángulo formado por f ’(t) y V es constante. Demostrar que
f " ( t ) es ortogonal a
Dado un vector
7 '( o .
7)
Sea una curva C descrita por una partícula móvil en R 3. Dar una demostración o poner
un contra ejemplo.
247
Funciones Vectoriales de Variable Real
8
a)
Si el vector velocidad es constante, la curva es plana.
b)
Si el vector aceleración es constante, la curva es plana.
c)
Si el vector velocidad es perpendicular al vector aceleración la curva es plana.
)---- Determine una función / : / < = / ? ---- >R que parametrice la curva indicada.
a)
La recta y = 2x, recorrida del tercero al primer cuadrante.
b)
La cuarta parte del circulo x 2 + y 2 = 3 que se encuentra en el segundo cuadrante,
corrido en sentido antihorario.
c)
El cuadrado |x| +|y| = 1 recorrido en sentido antihorario.
d)
El segmento de la curva y = 11- |x|| comprendido entre x = -2 y x = 2 recorrido de
izquierda a derecha.
e)
El segmento de la curva y = |x 2 - 1| comprendido entre x = -2 y x = 2 recorrido de
derecha a izquierda.
3
9)
Determine una función f : I c : R ---- >R que parametrice la curva indicada.
a)
La parte de la recta y = 2x = 3z que se encuentra en el primer octante, comenzando
en el origen.
b)
La parte de la recta que resulta de la intersección de
los dos planos
x + 2y -z = 0, 3x - y + 5z = 0, correspondiente a z ¿ 0 , comenzando en el origen.
c)
Él circulo que resulta de la intersección del paraboloide z = x 2 + y 2 con el
plano
z = 4 comenzando en el punto (0,2,4) con
(0,2,4) —>(-2,0,4)-H0,-2,4)—>(2,0,4)-*(0,2,4).
el
sentido de recorrido
248
Eduardo Espinozja Ramos
10)
Encuentre una representación paramétrica de las siguientes curvas dadas.
a)
_
íz2 ^2ax
C: { 2
[9_y = 16xz
Rpta. C: a (/) =
b)
C:x2+ y2 =9 , z = 0
R pta. C: a ( / ) = (3cos/, 3 sen /,0 )
c)
C :y = 3x2 , z = 0
R pta. C: <*(/) = (/, 3 / 2 ,0)
d)
2
3
C: x = 4 v , x = 24z
e)
C: ( x - l ) 2 + 4 ( y - 2 ) 2 = 4 , z = 0
i2
4 r 3/ 2
t)
2a 3-j2a
/ 2
/ 3
R pta. C: a ( r ) = ( f , — ,— )
4 24
R pta. a (i) = (1 + 2 eos/, 2 + sen/,0)
f)
c . \ x 2 +y 2 + z 2 = a { x +y)
' \x +y = a
Rpta.
C: a ( 0 ) = (—( l- c o s 0 ) , —(l + cos0),— senO)
2
11)
2
2
Dadas las siguientes curvas, encontrar su representación paramétrica.
a)
[GCMl]x2 + y 2 - 6 x - 4 y + 1 2 = 0 , z = 0
R pta. / ( / ) = (3 + cos/, 2 + sen/,0)
b)
2
2
2 .
„
x + y + z = 4 , x +y - z = 0
Rpta.
c)
12)
f (6)=
■■.■■■■ (V Tcos6, -Jl sen6, y¡2(sen6 + eos6)
Vl + sen 0 cos 0
y 2 + z 2 = 25 , x 2 + y 2 =10
Rpta. / (/) = (±V lO -
/ 2
, /. ± ^ 2 5 - 12 )
Sea a la trayectoria a (/) = (2/, t 2, ln /) definida para t > 0. Encontrar la longitud de
arco de a entre los puntos (2,1,0) y (4,4,ln2). Rpta.
3 + ln 2
Funciones Vectoriales de Variable Real
249
13) Hallar la longitud de arco de las líneas que se indican.
a)
/ ( / ) = ( / e o s /,/s e n /,/) , / e [ 0 ,2 ]
b)
—>
/ (/) = ( ( 1 + cos/)cos/,
c)
y = aresen— , z = —ln(
x
a
a
4
(1
+ cos/)sen/) , / e [0 ,2 ]
a+x
a an a
) desde (0,0,0) hasta (—, ---- , —ln3).
a-x
2 6 4
a
1
R pta. L = —(1+ —ln3)
2
d)
2
—*
a-Jl a-Jl
a
/ ( / ) = (aco s/, a se n /,a ln c o sí) desde (0 ,0 ,0 ) hasta (------, --------, — ln 2 )
2
2
2
14) Hallar la longitud de arco de las siguientes curvas
a)
b)
/ ( / ) = ( 2 sen 2 /,se n 2 /, 2 1 n(cos/), f e [ —, —]
6
3
(í) = ( / 2,|/|) , / e [ - l , l ]
7
15) Hallar la longitud de arco de la curva descrita por
1 V3
^3
3 V3
desde el punto (—, -----, 2 1 n(---- )) hasta el punto (—, ---- ,
2
2
2
2
/ ( / ) = (2sen /, sen2/, 21ncos/)
2 2
1
2 1 n —).
2
Rpta. 21n(3+2V3)
—►
16) Hallar la longitud del arco de la hélice cónica C: a (/) = (ae eos/, ae s e n t , a e )
desde el punto 0(0,0,0) hasta el punto A(a,0,a).
R pta. L = a-Jl
17) Calcular
0
n
2
a
—>
para la función vectorial definida por: a (/) = (neos/, a sen t , c t ) en
Eduardo Espinoza Ramos
250
18)
-*
O eos©
ffsenO
r
Encontrar la longitud de la curva definida por / ( / ) = (I —- = r d Q , I —= = -í/0 ,4 v O
« 4e
0 Ve
—>
—>
entre t = 1 y t = f,, sabiendo que / (fj) es el punto donde f ' ( t x) es paralelo al
plano YZ (1 < f, < 2).
19)
Una partícula se mueve en el plano XY según la ecuación x = e 21 cos3r, y
y = e 2í sen3r, encuentre la longitud de la trayectoria desde t =
0
a t = ji.
-*
t
t
20) Considere la curva descrita por / ( / ) = (/, a cosh(—), a senh(—)) demuestre que la
a
a
distancia a lo largo de la curva desde (0 ,a,0 ) hasta P0 en la curva es proporcional a la
distancia de P0 al plano XY.
21) Sea la función r = g(0) con derivada continua en < a,b >. Demuestre que la longitud de
r* 1
la curva es L = J \ g
a
2
2~
+(g' ) d d .
22) Sea la elipse descrita por x = a eos t,
y= b eos t,
t e [0,2n], 0 < b < a. Demostrar que la
Í
nl 2 ¡ 2 2
y l —e eos t d t , donde e es la excentricidad de la
elipse .
23) Hallar la longitud de arco de la linea C: x 2 = 3y , 2xy = 9z desde el punto (0,0,0) hasta
el punto (3,3,2).
Rpta. L = 5
24) Hallar la longitud de arco de la línea C:
z2 = 2ax,
9y 1 = 16xz desde el punto (0,0,0)
8a
hasta el punto ( 2 a , — , 2 a ) .
Rpta. L = 4a
251
Funciones Vectoriales de Variable Real
25)
Encontrar la longitud de arco de las siguientes curvas:
a)
a (t) = ( a ( t -s e n /) , 1 - cosí), a >
b)
a (t) = ( a ( t - s e n l ) , 1 -c o sr, 4sen—) , t c [0,2tt]
longitud total
0
2
c)
d)
26)
3
3
a ( t ) - ( a eos /.a s e n /), a >
0
longitud total.
t
t
a (l) - ( f - a t g h —, a s e c li(-)) desde t = -a hasta t = 2 a
a
a
—*
Encontrar la longitud de arco de las curvas
a)
a ( f ) = (/,ln se c/,ln (se c/+ tg /)), r e [ 0 , —]
4
R pta. V 21n(l+V 2)
b)
—^
a
T~~ -)
R pta. v 2 (e -1 )
c)
—>
n
a (/) = (/, lnsec/,3) desde t = 0 a t = —
4
d)
—►
a (t) = (a(cos/ + /sen /), a ( s e n /-/c o s /)), a >
=
cosí, e' sen/) , /e [0 ,2 ]
fR pta. ln(I + V2)
0
en [0 ,2 tt]
Rpta. 2an 2
e)
->
c2
c2
a ( t ) = (— eos31,— sen3/) en [0 ,2 tt] donde c2 = a 2 - b 2 ,
a
b
Rpta.
0
<b<a
4 (a 3 -fe3)
ab
f)
a (l) = (a (s e n h /-/). a ( c o s h í- l) ) ,
0 < t< T , a > 0
j,
V 2cosh— + -Jcosh T
R pta. 2a(cosh—VcoshY -1 ) - -J2a ln(------------— ■=.--------- )
2
1+ V2
252
Eduardo Espinoza Ramos
27)
—*
t
Sea C la curva descrita por la función vectorial f (t) = a ( t ~ s e n t , 1 -c o s /, 4 sen —)con
2
a > 0. Hallar la longitud de arco de C desde el punto a(
n- 2
?
, 1, 2-J2) hasta el punto
a(n,2 ,4)
28) La porción de una partícula en el instante t es: x(t) = 1 - cos t , y(t) = t - sent. Hallar e l ,
recorrido de lapartícula entre t = 0 y t = 1 .
29) Halle la longitud de arco dela epicicloide como función de «p a lo largo de la curva
->
rn + r
r0 + r
o (<P) = (0‘o + /')c o s(p -rc o s(
), (r0 + r)se n ^ > -rsen (
r
r
q>))
4 r(rn - r )
rn
Rpta. L = -------^-(1 —eos— 8 )
r0
2 r
30)
I
2
7: y = \V22<rt
a x - vr , z == aI
Hallar la longitud de arco de la linea C:
a In(
2
a
) desde el
2a-x
origen de coordenadas hasta el punto (x,y,z).
Rpta. ¿ = aln
■J2a +-Jx
■J2a--Jx
31) Hallar la longitud de arco de la linea C
4ar =(v + z )“9 ,
4z
2
+3y 2 =3z 2
desde
el
origen de coordenadas hasta el punto (x,y,z).
Rpta. L = V2z
—^
ftgr
dx
/(/) = (
ctgVí 1+ x
J
32) Dado
n
r,Jf/senx
1
X
dx,
Ocosx
J1
,
,,,n
g (l) = (l-2t, t 2 , 2eU‘ 1}),
dx) y
X
—>
0 < t < — . Hallar la longitud de la curva a lo largo de /
—>
—►
donde t 0 es el punto en el que g '(/) es paralelo a g (/).
1
desde / = / 0 hasta / = —
253
Funciones Vectoriales de Variable Real
33)
Calcular la longitud del arco y parametrice la curva en el
dada por las ecuaciones x 2 + y 2 + z 2 = a ( x + y ) , x + y
34)
parámetro S donde la curva es
= a.
Hallar la distancia que recorre una partícula que se desplaza
2
2
2
C: x + y + z
= 1
a
sobre la
curva
1 V2
1
x + z = 1 desde el punto A( 1,0,0) hasta el punto B{—,----- ,—)
2 2 2
41
Rpta. L = ---- 3i
4
35) a)
Hallar la representación paramétrica de la curva descrita por un punto P de una
circunferencia de radio a (a > 0 ) que rueda (sin deslizamiento) sobre una recta.
b)
Hallar la longitud de arco de la curva encontrada en a)
36) Sea C una curva descrita por la función a: [0,1]
—►
—>
>R
si a ' (0) = (1,2,2) y
—p
a " ( t ) = 2t T{t) + k ( t ) N { t ) calcular la longitud de la curva.
Rpta.
37) Si C es una curva en R
3
10
L =—
3
*
(
r
.
descrita por a (f) = ( f - s e n r , 1 -e o s? ,—4 eos—),? e [0,2jr\.
2
Hallar la longitud de arco C entre el punto de curvatura máxima y el punto de curvatura
mínima.
38) Sea C una curva
Rpta.
L - 4-Jl
de ecuación vectorial f ( t ) = ( / - s e n /,l - c o s r ,- 4 s e n —),f e [0 . 2 * ].
2
Hallar la longituddel arco C entre el punto de curvatura máxima y el punto de curvatura
mínima.
39)
Rpta. L = 4 ^ 2
Sea C una curva de R? cuyas ecuaciones paramétricas en coordenadas cilindricas son:
C: r = / , ( / ) , 0 = / 2(í) , z = / 3(í)- Demostrar que la longitud de arco de C, desde el
punto t = a hasta el punto t = b es: L =
J -J(Dtr ) 2 + r 2(Dl 6 ) 2 + {Dtz ) 2 dt
Eduardo Espinoza Ramos
254
40)
En la ecuación de la curva y 2 = x 3, hallar la longitud de arco que une los puntos
A (l,-1) a B{1,1).
41) Sea g una función real derivable en [a,b] y sea C la gráfica polar r = g(0). Entonces C
esta descrita por
—>
—>
—►
/ = g . u sobre [a,b], donde u = (eos 0 , sen 0 ) pruebe que:
->
- > —>
f ' { G ) = g' u + g u '
42) Un movimiento circular de una barra OA alrededor del punto fijo O, está definida por
la relación 6 - 0.15 í 2 donde 0 se expresa en radianes y t en segundos. Un bloque B se
desliza a lo largo de la barra de acuerdo a al relación, r = 3 —0.4012 donde r es la
distancia al punto fijo O, expresada en pies y t en segundos. Determinar la velocidad
total y la aceleración total del bloque B, después que la barra OA ha rotado 30a.
R pta.
flv ||= 1 .7 4 p i e s f s e g
,
Ha \{=lJ80pies/seg2
43) Sea a = a( u) la función vectorial del escalar u donde u a su vez es una función escalar
—►
del escalar básico t, suponiendo que a( u) y u = u(t) son diferenciales tantas veces
como sea necesario. Hallar la expresión para las derivadas de la función compuesta:
da d2 a
~ d T ’ dt
44) Hallar la trayectoria del movimiento para el cual el radio vector del punto móvil
—»
satisface a la condición
d r
-» -»
-»
= a * r , donde a es un vector constante.
dt
—»
R pta. La trayectoria es una circunferencia cuyo plano es perpendicular al vector a
255
Funciones Vectoriales de Variable Real
45)
Demostrar que la curva
C: x = l + 3í + 2 r2,
y = 2 - 2 í + 5/2, z = 1+ f 2 , es plana.
Hallar el plano en que se encuentra.
R pta. P: 2x + 3 y + 1 9 z = 27
x = 3t4 + t 2 - 3
46) Averiguar si es plana la curva. C: ( y = 3t 3 + 12 +1
Si es plana determinar el plano
[z = t 4 +2 r3 + t 2
a que pertenece.
Rpta. x + 2 y - 3 z + l = 0
47) Una partícula se mueve sobre C e / ? 3 de tal manera que su aceleración en cualquier
instante t es a sen t + b , siendo a y b vectores constantes, si se parte del punto
2
(— ,2 ,2 ) con velocidad inicial (2 ,- 1 ,2 ).
a)
Por diferenciación calcular aproximadamente la distancia de la partícula al origen
en t = 0 . 2 seg.
b)
-*
-*
2
Si a = (-2,1,-2) y b = (—,-2 ,-2 ) bosqueje a la trayectoria de la partícula.
R pta. || 7 (0 .2 ) ||= 3
—
>
—
*
h
h
h
48) La curva y esta determinado por y(t) = (be ' ,be ' eos t,be ' sen í)a)
Determinar el rango de la curva e identiñcarlo (graficar).
b)
Halle la longitud de arco desde el punto A(0,0,0) hasta B(b,b,0).
c)
Parametrice la curva respecto a la longitud de arco
—■>
49) Consideremos la elipse descrita por la transformación f(<p) = (asen<p, fleos<p) con 0
< <p < 2n, demuestre que la longitud de arco de tal elipse es 4 a
- J l - e 2 sen 2 <p dtp
Eduardo Espinoza Ramos
256
II.1)
Sea f ( t ) = (e' cosí, e' sen l ,e ) , Po = / ( 0 )
a)
2)
Hallar T (0) , N ( 0) , B(fí)
Determinar
T ,N ,B ,k,r
b)
Los planos fundamentales en t = 0.
para la curva C descrita por
la función vectorial
/ ( / ) = (c2 cosí, c 2 sent , d 2t)en cualquier punto c y d son constantes.
3)
Determinar T , N y B para cada una de las siguientes curva.
—>
—>
a)
/ ( / ) = (cosí,sen/) , /e[0 ,2 7 r]
c)
/ ( / ) = (3 / 2 ,2 + 8 / 2 , - 5 / 2) en t = 0
b)
d)
/ ( / ) = ( / e o s /,/s e n /,/)
/ ( / ) = (9cos/, 9 sen /, 3)
—►
4) Dado la función vectorial / ( / ) = (acosG>/,asenG>/); donde a > 0, b > O.Determinar
T,N ,B ,k,T,V l.
—> —>
5)
—>
—>
Determinar 7\Af >' B y los planos osculador, normal y rectificante en /(O ) para las
siguientes curvas:
—>
a)
O
6
)
—>
/ ( / ) = ( / - sen. 1 - eos/,/)
=
,cos/, sen/) en t =
1
b)
/ ( / ) = ( / e o s / ,/ s e n / ,/)
d)
/ ( / ) = (/, 1 - / , / + / )en ( 1 ,0 ,2 )
~>
2
2
Dada la curva / ( / ) = (/ + 1 ,8 /,/ - 3 ) . Hallar el vector tangente unitario en t = 1,
escriba la ecuación del plano normal, plano osculador y el plano rectificante en el
punto / ( l ) .
7)
Hallar la ecuación de los planos osculador, normal y rectificante a la curva
a (/) = (e + l,e ' —1 , /) en t = 0 .
R pta. PN: x - y + z = 2 , PR: x + y = 2 , P0: x - y - 2 z = 2
257
Funciones Vectoriales de Variable Real
8
)
a ( t ) = (/, lnsecf, ln(sec/ + tg/))- Hallar los
Sea C una curva de ecuación vectorial
—
>—
> —
>
vectores T , N y B y la ecuación del plano osculador en el punto en que la curva corta
al plano YZ.
R pta. r(0 ) = -^ (1 ,0 ,1 ) , M 0 ) = (0,1,0) ,5 ( 0 ) = - ^ ( -1 ,0 ,1 ) , P 0: x - z = 0
V2
9)
v2
Formar las ecuaciones del plano osculador, la normal principal y la binormal de la línea
2
2
x = 2az, y = 2 bz en un punto cualquiera.
10) Hallar la ecuación del plano osculador a la curva x 2 = 4 y , x 3 = 24z en el punto (6,9,9).
11)
-*
Sea C la curva descrita por la función vectorial /(< ) = a ( x - s e n x , 1-
c o s jc ,
x
4sen—), a
2
constante. Hallar la ecuación de la recta tangente y el plano normal a la curva en el
plano (2 n,0 ,0 ).
12)
Hallar
la
ecuación
del
plano
-»
r2 r3
/ ( O = (*.
~ ) , para t = 2.
osculador
a
la
curva
C
descrita
por
R pta. P0: l 2 x - 6 y + z - 8 = 0
2
2
13) Dada la función vectorial / ( / ) = (se n í- 2 , t + 2 , t + 2 s e n / - l ) . Hallar la torsión en
71
71
cualquier punto y determinar la ecuación del plano osculador en t = 0 , í = — , í = — ,
R pta. t = 0 , P0 : 2 x + y - z + \ = 0
explique su respuesta.
1
14) Hallar el vector normal y una ecuación del plano osculador para lo = ~ cuan^o
/ ( r ) = (arcsenr,/ , - ( ! - < )
i/y
).
Eduardo Espinoza Ramos
258
15)
Hallar
la
intersección
del
plano
XY
con
el
plano
normal
a
la
curva
-»
n
/ ( / ) = e o s / / + sen/ j + t k en el punto r = —
2
16) Sea la curva C: / ( / ) = (cosh/, senh/,/). Hallar la ecuación del plano osculador en el
punto donde el radio de curvatura es mínima.
17) Sean C y P la curva
—
>
y el plano definido por: C: / ( / ) = (cos4/, sen 4 /,/) y P :
x + 4z - 3 = 0. Determine en que punto de la curva, el plano osculador es paralelo a P.
Hallar también la ecuación del plano osculador.
R pta. /»(0,1,—) ; P 0: x + 4 z = —
8
2
-»
1+/
1- t 2
18) Si C es una curva con representación parametrica a (/) = (/,----- , -------- ).
/
/
a)
Calcular su torsión.
b)
Determinar la ecuación del plano osculador en el punto t = 1.
R pta.
a)
t =0
b)
P0: x - y + z + 1 = 0
19) Determinar las ecuaciones de la recta tangente y del plano normal para la línea dadas en
los puntos indicados:
a)
b)
-*
k6
f ( 6 ) = ( ac o s 6 , a s e x \ 6, — ) en p (
ln
a j í
a j í
k
,------ ,—)
2
2
8
->
z4 / 3 / 2
/ (r) = (— , — , — ), en un punto cualquiera además demostrar que la tangente en
4 3 2
todos los puntos de la curva C forma un mismo ángulo con el eje OZ.
259
Funciones Vectoriales de Variable Real
X-
Rpta.
a)
Lt :
a-Jl
2
20)
k
,
8
kz
= - = ------ -=— = — ¡— , PN: - x + y +
-a j2
aj2
L
'
na^2
n
í4
b)
a-Jl
V -------------------- Z
2
í3
,2
k
8 m S
í2
X~ J
Z~ J
2
r6 t 4 t 2
— r— = -------- = --------- , PN: t x + ty + z = — + — + —
f2
t
JL
4
3
2
a
Hallar las ecuaciones de la tangente, del plano normal y el plano osculador de la curva
a ( l ) = (r,r2, / 3) en el punto (2,4,8).
x-2
y - 4 z-8
Rpta. L , : —j— = —- — -- ■
, PN: x + 4 y + 1 2 z = 1 4 4 , P0: 1 2 x - 6 y + z - 8 = 0
2
2
21) Dada la curva a (/) = ((t + 1) i , 8 / j ,(t - 3) k ) . Hallar el vector tangente unitario en t
=
1,
escriba la ecuación del plano normal, plano osculador y plano rectificante en el
—>
punto a ( l ) .
—> —► —>
22) Hallar los vectores T , N , B , la curvatura k, las ecuaciones de la tangente y la ecuación
del plano osculador a las curvas dadas en el punto indicado.
a)
a ( t ) = (e‘ cosí, e sen/, e‘) , t = 0
b)
-»
t
t
a ( r ) = ( 2 cosh—, 2 senh—, 2 r) , t = 0
2
2
Rpta.
a)
k =—
, P0: x + y - 2 z + l = 0
b)
k = — , P0: 2 y - z = 0
10
260
Eduardo Espinoza Ramos
Formar las ecuaciones de la tangente y del plano normal a la curva x =
23)
e' sen t
<?' COS t
y = 1 , z - — ?=— en el punto t = 0 .
v/2
R pta. L . — = -----— a y = 1 , PN: 2 x + 2 z - - J l = 0
1
1
24) Dada la ecuación de la hélice C: a ( / ) = (a co s/, a se n /, ■<¡R1 - a 21). Hallar las
ecuaciones de los planos osculador, rectificante y normal en cualquier punto.
R pta.
P 0 : 4 e 2 - a 2 sen tjc —>¡R2 - a 2 eost . y + a r = a ^ R 2 - a 2í
PR : c o s/.x + s e n /.y = a
PN: a s e n / . x - a c o s / .y —■<¡R2 - a 2 z + ( R 2 - a 2 )t = 0
25) D adalacurva C: x = 6 t , y = 3/ 2 , z - t 3, en el punto t = 1 , hallar la curvatura k,
la torsión t, plano osculador, plano rectificante y el plano normal.
2
2
R p ta.* :(l)= — , r ( l ) = — ,P 0 : x - 2 y + 2z = 2 ,PR: 2 x - y - 2 z = 7 ,P N :2x + 2y + z - 1 9 = 0
26) Sea la curva alabeada
C: x = e sen 2 /
,
y = e eos2/
,
z = 2e , para el punto
P(0,l,2). Hallar la curvatura k, los planos normal rectificante y osculador y las rectas
tangentes, normal y binormal.
R pta.
k-
2-Js
. PN: 2 x + y + 2 z - 5 . PR: x - 2 y + 2 - 0 , P0: 4x + 2 y - 5 z + 8 = 0
x y 1*! * —
' 2 1
1
z-2
x y —
» ¿w • —
2
1 - 2
1
x y A Z —0 , Zíd- —
B 4
2
1
z-2
—
-5
Fundones Vectoriales de Variable Real
27)
261
Formar las ecuaciones del plano osculador, la normal principal y binormal a las líneas
dadas en los puntos indicados.
a)
C: y 2 = x , x 2 = z en el punto (1,1,1)
b)
C:x 2 =
c)
C: a ( t ) = (e‘ ,e ' ,i¡2t) en el punto (e,e X,-j2)
2az
, y 2 = 2 bz en un punto cualquiera-
Rpta.
a)
x —1 y - 1 z - 1
JC-1y - 1
z -1
Pn: 6 x - 8 v - z + 3 = 0, L N: ------= -------=
, L „ : ------- = -------= -----0
N
6
-8
-1
* 31
26
-2 2
b)
P0; ^ b ( x - x o ) - 4 a { y - y 0) = 0, LN:
Lb -
c)
z
= z0,
z ~Z q
y¡2az0
^ 2 bz0
-(a+b)
1
fx-e
y-M e
z--j2
P0: —x - e y - y 2 z + 2 = 0 , LN: ------- = -----------= — p — ,
e
-M e
e
y2
Lt¡ .
B
28)
=
x-e
y-\le
Z--J2
1
1
-V 2 se n h l
Demostrar que la tangente en todos los puntos de la línea forma un mismo ángulo con el
eje OZ y hallar la tangente y el plano normal.
a)
C: x = a t , y =
at 2
at 3
, z = ----- , en el punto (6 a, 8 a, 72a)
2
3
262
Eduardo Espinoza Ramos
c)
C: 2 x 2 + 3y 2 + z 2 = 4 7 , x 1 + 2 y 1 = z , en el punto (-2,1,6 )
d)
C: x 3 + z 3 = a 3 , y 3 + z 3 = b 3, e n un punto cualquiera.
R pta.
a)
b)
y-8a
z-12a
L.\ x - 6 a = -------- = ---------6
36
x - —+ 1
Lt ’ — ^ — = ^ ~ T = Z
1
1
c)
x + 2 y —1 z - 6
L.\ ------------------27
28
4
•*)
Ef.
.
V2
,
PN: x + 6 v + 3 6 z = 2706a
’
¥N :x + y + ^¡2z = ^- + 4
2
,PN:27x+ 28y +4 z + 2
=0
*-*o -v ~-v0 z ~ z o
„ *~*o y - y o £ z f o _ n
2 2 — 2 2 _ 2 2 ’ *N2
+
2
+
2
“ U
^0Z0 *ozo W o
xo
yo
zo
29) Mostrar que las tangentes, las normales principales
y
binormal de la línea
—>
a (/) = (e cosí, e sen/, e ) forman ángulos constantes con el eje Z.
30) Mostrar que la línea a ( / ) = (2/ + 3, 3/ —1, t 2) tiene entre los puntos un mismo plano
osculador. Interpretar este hecho desde un punto de vista geométrico.
—>
R pta.
P0: 3 z - 2 y - l l = 0 en todo punto de a (/)
31) Hallar las ecuaciones de la tangente, de la normal principal y de la binormal en un punto
t4
t3
t2
x = — . y = — . z = — , Hallar los puntos en que la
4
3
2
tangente a ésta curva es paralela al planox + 3y+ 2z -1 0 = 0.
arbitrario de la curva
C
Funciones Vectoriales de Variable Real
32)
263
Hallar las ecuaciones de la tangente, del plano osculador, de la normal principal y de la
t2
binormal de la curva x = t, y = -t, z = — en el punto t = 2. Calcular los cosenos de la
2
binormal en este punto.
__
,
x- 2
v+ 2 z - 2
_
„ ,
x- 2
v+ 2
z- 2
R pta. L. : ------- =
= --------, P0 : x + y = 0 , L N : ------- =--------= --------,
'
1
1
2
0
J
N
1
-1
-1
Lb :
x-
2
y +2
1
1
z-
2
0
sen2 r
33) Calcular el plano rectificante y el plano normal de la curva C: x = sen t , y = 2
1
z = ~ (f -s e n fc o s í) en el punto t = n.
34) Una curva C en el espacio está definida por:
R pta.
PR: y = 0 , PN: x = 0
C: x = arctg (s), y
V2
ln (í
2
+1), z
2
= s - arctg s donde s es la longitud de arco. Hallar
a)
Los vectores T , N , B
b)
El radio de la curvatura y el radio de torsión.
Rpta.
l~
2~*
I—
1
r~
r~
-* i + - j 2 s j + s k -» —J 2 s i + ( l —s ) i + - j 2 s k -» s i - - j 2 s j + k
a) T = -------- ^ --------- , N = ----------------------^ ------------ , B = --------j— ^----s +1
j +1
s +1
b) R =
V?
2
(ass +1)
2
,
V2 2
p = ---- (s 2 + l)
2
35) Hallar los planos osculador, normal y rectificante para la curva determinada por:
x2 + y 2 + z2
= 6
, x 2 - y 2 + z 2 = 4 en el punto (1,1,2).
R pta. PN: 2 x - z = 0 , P0: y - 1= 0 , PR: x + 2 z - 5 = 0
264
Eduardo Espinoza Ramos
36)
—
*
2í
Si C esta descrita por f ( t ) = (cosí,sen f,[ | — |] ) , r e [o,4/r]. Halle todos los puntos de
K
C donde tiene un vector tangente paralelo a los planos coordenados.
37)
4
3
Sea C una curva descrita por la función vectorial f ( s ) = (—eos s, 1- s e n í, — co sj).
s
s
Hallar || N ( ^ ) + T ( ^ ) + B { ^ ) || +k(s) + 1 ( ^ )
38) Hallar las ecuaciones de la tangente, ecuación del plano osculador de la curva
x 2 + 3 y 2 = 1, x 2 + 3y 2 + z 2 = 5 en el punto (—,—,2).
2 2
1
1
x—
y ---R pta. Lt \ — j-^- = — p -
a
z = 2 , P0: z - 2 = 0
3
39) Dada la curva C: x 2 —2yz = 0
40)
a
y + z - - J l x - 1 = 0.
1
1
1
a)
Hallar la ecuación del plano osculador en el punto (----- ■=,—
.
2 ^ 4 4
b)
Hallar la curvatura y la torsión en dicho punto.
Un
punto
se
mueve
en
el
espacio
según
la
ecuación
vectorial
—►
a (t) = (4cosí, 4 s e n /,4 c o s r).
a)
Probar que la trayectoria es una elipse y hallar la ecuación del plano que contiene a .
dicho elipse.
b)
Probar que el radio de curvatura es 2 ^ 2 1 (1 + sen 2 t ) V2
265
Funciones Vectoriales de Variable Real
3
41)
t
2
Hallar el ángulo formado por el plano tangente a la curva x = 2 / ----- , y —t ,
z = 2/h
t
3
en el punto t = 1 , con el plano rectificante, de la misma curva en el punto t
Rpta. 6 = arccos(— ) = 38fi7’
91
42)
Formar las ecuaciones de la recta tangente, el plano normal, la binormal, el plano
osculador, la normal principal y el plano rectificante a las líneas dadas en los puntos
indicados.
a)
C: x = t 2 , y = 1 - / , z =
b)
x 2 + y 2 + z 2 = 3 , x 2 + y 2 = 2 en el punto (1,1,1)
c)
■Jl -Jl
C: a (t) = (sen/, eos/, tg/) en el punto (-----,----- ,1)
2
2
d)
C: a (/) = (/ —i - 5 , 3 / + 1 ,2 / -1 6 ) en el punto correspondiente al valor del
3
2
en el punto (1,0,1)
/3
2
3
parámetro t = 2 .
„
R pta.
.
a)
x —1
y
z —1 „
, „
L , : —— = — = — , PN: 2 x - y + 3 z - 5 = 0
x —1 y z - 1
Lb : ------ = - = ------ , P0: 3 x + 3 v - z - 2 = 0
3
3 - 1
x —1
y
z-l
L v : ------= ------=
8
X - 1
b)
Lt :
j
-
1
1
v —1
=”
-
, P „:
8x
-
11
v + 9z + 1 = 0
9
z = 1 , PN: x - y = 0
a
LB\ x = 1 , y = 1 , P0: z = l
Ln :
x-1
y-1
-----------= — j —
a
z
= 1
, PR: x + y - 2
=
0
Eduardo Espinoza Ramos
266
x - ^
c)
wi
t
x-
=~ i r =z~ T
V2
' p- ^ - ^ +4- °
Jl
y - ----
LB- - —= ? - = -----p - = —
V2
3V2
1
, P0: y¡2x + 3 y Í 2 y + z - 5 = 0
V?
V2
xy ------L * : ------ — = ------— = ——p r, PR: -1 3 x + 3^+ 4V 2 z +V 2 = 0
13
-3
-^W2
d)
L ,\
x+1
2
v -1 3 z
= -------- = 3
6
, PN: 2x + 3 v + 6 z = 2 7
x+ 1
v -1 3
z
L„: ------ = -------- = —
B
6
2
-3
, P0: 6 x + 2_y - 3z = 20
°
x+ 1 v -1 3
L n : -------= ------=
3
- 6
, P„: 3 x - 6 v + 2 z = -81
z
—
2
43) Escribir las ecuaciones de la tangente y del plano normal a las siguientes curvas.
a)
2
^
C: z = x +y~ , y = x en el punto (1,1,2)
b)
C: x 2 + y 2 + z 2 = 25 , x + z = 5 en el punto (2,2^3,3)
44) Hallar la ecuación del plano normal a la curva z = x 2 - y 2 , y = x en el origen de
coordenadas.
Rpta. P n - x + y = 0
45) Hallar las ecuaciones de los planos osculador a las curvas dadas en el punto indicado.
a)
C: x 2 +_y2 + z 2 = 9 , x 2 - y 2 = 3 en el punto (2,1,2)
b)
C: x 2 = 4y , x 3 = 24z en el punto (6,9,9)
c)
C: x 2 + z 2 = fl 2 , y 2 + z 2 = b 2 en cualquier punto a la curva (x 0, y 0, z 0 )
267
Funciones Vectoriales de Variable Real
Rpta.
a)
.
c)
45) Hallar
las
4x - y - z = 9
,2
3
3 3
b)
, 2
.2 .
9 x -6 y + 2z= 18
3
2. 2,
2
. 2.
b x 0x - a y 0y + ( a - b )z0z = a b (a - b )
ecuaciones
del
plano
osculador
a
la
curva
C: x 2 - y 2 + z 2 = 1,
y 2 - 2 x + z = 0 en el punto ( 1 , 1 , 1 )
46) En qué punto del plano XY hará impacto una partícula de la cual se sabe que para el
tiempo t =
0
estaba situada en el punto (0,0,1600) y que su velocidad está dada por
—>
V (/) = (500,1000. —32 /), donde t representa al tiempo. Determinar también el radio de
curvatura o de la trayectoria de la partícula cuando t = 5.
R pta. Punto de impacto P(5000, 1000,0)
-^266740,000
(1775,600)3/2
47) Un hombre observa que un insecto se posa en el extremo del minutero de un reloj, de
radio r, al medio día y empieza a caminar hacia el centro del reloj con una rapidez V
constante. Si el reloj funciona normalmente, hallar la curvatura de la trayectoria del
insecto, observada por el hombre, después de t segundos.
48) Determinar
las
constantes
reales
a
y
b
de
manera
que
las
curvas
C, : 4x2 + 4 x y + y 2 - 1 0 x - 1 0 y + ll = 0 , C 2 : ( y + b x - \ - b ) 2 - a ( b y - x + \ - b ) = 0 se
corta ortogonalmente en ( 1 , 1 ) y tengan la misma curvatura en ese punto.
49)
curva. Hallar la torsión de la curva en el punto
t=0.
50) Demuestre que si R(t) —(/¡(Z), / 2(/), / 3(/)) es la ecuación vectorial de la curva C y
k(t) es la curvatura de C, entonces. k(t) =
||D f R(t)*D}R{t)\\
IID, R(t)
||3
268
Eduardo Espinoza Ramos
2
2
51) Sea C la curva descrita por / ( / ) = (2/ , 1 - / , 3 + 2/ ) y P0 el centro de curvatura de C
en el punto donde la curvatura es máxima. Hallar la ecuación de la recta que pasa por
1 25
Rpta. L = {(—,1,— ) + /(-4,0,4) / / e R }
8
8
P0 paralela al vector curvatura.
—►
52) Sea C, la curva descrita por la función / ( x ) = (x + l , e
3
-
2
*, ln(x + 2x +1) - ln 4) y C,
la curva descrita por g (x ) = (—, 4 -Jjx j-l, - l n x ) . Hallar la torsión de la curva C¡ en
x
el punto de intersección de estas curvas.
53) Hallar la curvatura k(rr) y la torsión x (ir) para la curva C descrita por:
- > 4
3
f ( s ) = (—c o s í , 1 - s e n í, — coss) siendo s la longitud de arco de curva C sobre que
s
s
superficie se encuentra la curva C.
R pta. k( 7t) = 1, x (ir) = 0 , 3x + 4z = 0
54) Hallar la curvatura k y la torsión x de la curva descrita por la función
/ ( / ) = ( a eos/, a se n /, bt)
55) ‘Sean
las
curvas
dadas
-+
s
s bs
C2- g(s) = (a eos—, a sen—,
l _ . — ),
c
c c
por:
C,: / ( / ) = (3/ —/ 3, 3/2, 3 / + / 3)
r~i
j
c = \ a +b ,
teR ,
C3: h ( t) = (e co s/, ¿ s e n /) . Hallar
la suma de los valores de la curvatura total de las curvas.
- > 4
3
56) Sea la curva C definida por: / ( / ) = (—eos/, 1 - s e n / , - —eos/) , t > 0. Demuestre que
C es una circunferencia y encontrar su centro y radio.
57) Una partícula se desplaza en el plano R 2 a lo largo de la curva C de ecuación
n —
V3
y = ln ( x + \x - l ) , x > l con rapidez constante — mts / seg y parte del punto ( 1 ,0 ) en
el instante t = 0. Hallar la ecuación de la circunferencia de curvatura de C en el punto
en que se encuentra la partícula después de haber transcurrido 2 seg. desde su partida.
269
Funciones Vectoriales de Variable Real
58) Hallar
la
curvatura
1
k
y
la
torsión
x
de
la
curva
descrita
por
1
7
f ( 8 ) = (a cosd. a sen8.b G) en cualquier punto, con a,b constantes.
59) Hallar
el
círculo
de
curvatura
de
la
curva
descrita
por
—»
C :f { t ) = (eos t + 1 sen í,sen t - 1eos / ) , t >
0
en un punto de donde el vector tangente es
paralelo al eje X.
r2 í3
60) Sea C una curva de ecuación vectorial a { t ) = ( 2 t , —j= , — ).
V2 3
—>
a)
Hallar el centro de la circunferencia de curvatura en a (0)
b)
¿Cuál de los puntos
p 2{2-jl,2-\¡2,0) y p i (V ?,0,0) pertenece a la
circunferencia de curvatura?
Rpta.
a)
C(0,2^2 ,0 )
1 - 2 1 fr
61) Dada la curva parametrizada por a (í) = (----- , J e
2
o
b)
solamente p 2
dx, t). Hallar la circunferencia
1
de curvatura de C en el punto donde la curva intercepta al plano x + y + z = —.
2
3
3
R pta. C(2,3,— ), radio R = —\ 6
2
2
62) Hallar el
radio
de
curvatura
de
3
2
3
la curva a ( t ) = ( 3 t - t , 3 t , 3 t + t ) en el
punto (-2,12,14).
>
s
s
s
63) Sea la curva C: v ( í) = (—=r+l)(cos(ln(—= r+ l), sen(ln(—= r+ l)), í)
V3
V3
V3
donde s es el
parámetro de longitud de arco. Determinar, para el punto (1,0,1) e C, las coordenadas
3 1
del centro del circulo de curvatura ¿están los puntos p x ( 1 ,----- ,—) , p 2 ( 0 ,2 ,- l ) sobre
2 4
él circulo de curvatura?
1 3
Rpta. C(—
,1) , p, está
2 2
270
Eduardo Espinoza Ramos
64) Hallar las coordenadas del centro de curvatura de la curva C, descrita por
g ( t ) = (t + 6 , 3 / + 4 , / ') en un punto de intersección con la curva C2 descrita por
7 (0 =
(/2
- 3 . 3 /- 5 . ln(e4' + / - 1 ) ) .
65) Hallar el centro de la circunferencia de curvatura y el plano osculador de la curva
C : a ( t ) e R 3,
te R
en
a (0 ) = (0,0,1).
si
-»
2
-»
t2
r ( l ) = - ( 9 ,1 - 2 ) , T’(t) es paralela a ( - r ,
9
9
se
sabe
que
a '( 0 ) - (0,0,2)
-»
-*
-»
1,/) y a " ( t ) = 2t T(t) + 2 N ( t ) .
R pta. C(0,2,1) , P0: x = 0
66
) Si una curva plana tiene por ecuación cartesiana, y = f(x). demuestre que el centro de
curvatura C(m,n) en un punto p(x,y) de la curva es:
/ ( i + / 2)
n = x --------------
,
m = y+-
i+ y 2
—f
—
7
—f
_ _ —f
67) Probar que, la curvatura y la torsión de la curva alabeada r (t) = é i + e~' j +-J 2t k
son k = —t =
V2
,
sec h t
4
1
68
) Demostrar que la torsión dada por la fórmula
t
= — ( T ( t ) . ( T ' ( t ) x T " ( t ) ) donde k es
k
la curvatura y T es la tangente unitaria.
—►
69) Dada la curva parametrizada por a ( 0 ) = ( 0 - s e n 0 , l- c o s 0 ) 0 < 0 < 2ir y sea L la
n
recta que pasa por el centro de a circunferencia de curvatura de la curva en 6 = — .e n
3
la dirección del vector curvatura. Hallar la intersección de L con el eje X.
271
Funciones Vectoriales de Variable Real
70) Si un punto se mueve dé manera que los vectores aceleración y velocidad, siempre tiene
módulo constante, probar que la curvatura es constante en todos los puntos del camino y
-*
-*
expresarla en función || V || y || a || .
Rpta. k =
II a II
v.v
71) Demostrar que el radio de curvatura de la curva cuyas ecuaciones parametricas son
2
x = x (s), y = y ( s ) , z = z (s) es dado por:
p =
ds
2 1
2
+
ds
+
ds
*
—
f
72) Hallar el radio de torsión de la línea a (/) = (cosí, sen/, cosh/)
cosh 2 /
Rpta. --------senhr
73) Hallar el radio de curvatura de la línea
a ( t ) = (lncos/, lnsen/, -Jl /),
0 < / < — ,•
2
mostrar que la torsión en cualquier punto suyo es igual a la curvatura en este punto.
Rpta. p = -Jl esc 2/
74) Demostrar, que si a curvatura de torsión es igual a cero en todo los puntos de una curva,
está es una curva plana.
75) Hallar los puntos donde la espiral r = 0, tiene curvatura máxima, justifique su respuesta.
Rpta. (0,0,0)
*
/
76) Si C es una curva descrita por la ecuación vectorial /"(/) = (/ —sen/, 1 -c o s/, - 4 c o s —),
2
/ e [0,27r]. Hallar el centro de curvatura en el punto donde el radio de curvatura es
máxima.
Rpta. C(n,-6,0)
272
Eduardo Espinoza Ramos
77) Una partícula se desplaza en el plano R 2 a lo largo de la curva C de ecuación
n —
V3
y = ln(x + Vx - 1 ), x > 1 , con rapidez constante
mts/seg. y parte el punto ( 1 ,0 ) en
2
el instante t = 0. Hallar la ecuación del circulo de curvatura de C en el punto en que se
encuentra la partícula de haber transcurrido 2 seg. después de su partida.
2^2
R pta. x 2 +(yH— ---- ln(3+2V 2 ) ) 2 =81
78) Demostrar que la curvatura de la curva y = ln x, en cualquier punto (x,y) es
x
— 2----- 37 T-
(x +1) '
2
Demostrar también que la curvatura máxima absoluta es — ■= lo cual
3V3
V2
ln 2
ocurre en el punto (-----,------- ).
2
2
79) Sean f > 0 y g > 0 funciones diferenciables arbitrarios de valores reales, definidas
en I c R , considérese la curva:
c m = i i m
sen t dt, \ m
eos t dt, j g ( O f V ) d t ) .Hallar la curvatura y la torsión
deC .
Vll/'(0ll2ll/"(0II2 -(/'(O /"(O )2
80) Sea C la curva descrita por / , demostrar: k = -
II7 ' (OH3
81) Sea r = f(0) es la ecuación polar, demostrar que su curvatura es dado por la fórmula.
| / 2 ( 0 ) - / ( 0 ) / " « 7 ) + 2 / ' 2|
k~
82)
í / 2 (0 ) + /
' 2
( 0 ) ) 3/ 2
Si C es una curva en R , descrita por / . Demostrar que:
273
Funciones Vectoriales de Variable Real
a)
k_ in f)* r m
b)
T / , ( o ^ / " ( o / ,,,(o
II ? (0*7"(O II2
ll?(O II3
c)
Bit)
d)
i
83)
Si
N
ii ( f o u r u w i t )
i
11
la trayectoria de una partícula está definida por x = t 2 —1 , y = 2 t 2 —1 ,
z = í 2 + 5 í, t > 0 donde t = tiempo, encuentre los componentes tangencial y normal de
la aceleración.
84) Una partícula se mueve en el espacio sobre una curva C de manera que su vector de
posición f ( t ) en cualquier instante satisface la ecuación f (i)- c = e
donde c es un
vector constante y su vector velocidad V(t) forma un ángulo constante
0<,6
6
con c ,
Hallar la componente tangencial de la ecuación en el instante t.
!t
85) Encontrar las componentes tangencial y normal de la aceleración en el instante t = 2
para
el
movimiento
de
una
i
n —
a ( / ) = (ln(/ +1), 2arctgt, 2Vt + 1).
86
partícula
descrita
R pta. n r = 0
por
la
12
, aN
) Una partícula se mueve a lo largo de la curva a(7) = ( / 3 - 4 t , t 2 + 4 /.
curva
8/2
- 3 / 3) para
t = 2 , hallar la conponente tangencial y la conponente normal de la aceleración.
i
R pta. a T = 16 , a N = 2- J li
87) Una
—>
partícula
—
9
parte
—>
del
reposo
del
punto
P(2,2,3)
con ^una
—>
a ( t ) = 2t i + 4 í j + 3/ k calcular después de un segundo de la partida.
a)
La trayectoria de la partida.
aceleración
274
Eduardo Espinoza Ramos
b)
Las componentes tangencial y normal de la aceleración.
c)
Las coordenadas del centro de curvatura.
b)
88)
flr = V29
, aN =
0
Una partícula se mueve sobre la curva x = 3t2, y = 2t3, z = 3t, encontrar p arat= l.
a)
La curvatura y torsión
b)
Los componentes tangencial y normal de la aceleración-
Rpta.
a)
2
k =—
2
b)
fly —1 2
t
—6
89) Una partícula P desliza sin rozamiento a lo largo de un alambre arrollado en forma de
hélice circular recta. Si tomamos el semieje positivo Z hacia abajo, las coordenadas
cilindricas de P en el instante t son r = a, z = b0 en donde a y b son constantes positivas.
Si la partícula parte de r = 0, 0 = 0 con velocidad inicial nula y cae por acción de la
gravedad, la ley de la conservación de la energía nos dice que su velocidad después de
haber descendido una distancia vertical Z está dado por -Jlgz
d6
para 0 = 2n.
a)
Calcúlese la velocidad angular
b)
exprésese 0 y Z en función del tiempo t.
c)
Dígase si hay componente de la aceleración en la dirección de la binormal.
Rpta.
de
dt
pg6b
a)
W -------
c)
Como la aceleración esta contenida en el plano osculador, nunca existe
componente de la aceleración en la dirección de la binormal.
275
Funciones Vectoriales de Variable Real
d r d2 r d r
r
90) Demostrar que ----- .— zr-x— z~ = — 7 ds ds2
ds 3
p2
91) Demostrar que la aceleración a de una partícula que se mueve a lo largo de una curva
—
»
en el espacio con velocidad F viene dada por:
—
»
¿/y —
» p* —
>
►
a = — .T-i-------N , donde T es el
dt
p
—>
vector tangente unitario a la curva, N la normal principal y p es el radio de curvatura.
92)
Sea / ( / ) = (cos wt ,sen w t , e Awt); A, w constantes reales:
a)
Calcular la curvatura y torsión en el punto t = 0.
b)
Calcular el vector normal y binormal en el punto t = 0.
,
93) Encontrar
la
curvatura
.
[V
nu
y(r) = J sen
de
la
curva
C
definida
2
ft
nu
x (í) = Jocos-------du,
por:
2
du
2
94) Sea S el sólido encerrado por el cilindro parabólico z = 4 - y
2
y por el paraboloide
elíptico z = x 2 + 3y 2 y C la curva de intersección de ambas superficies. Hallar la
longitud y la curvatura de C.
f3
2
t 2
95) Sea f ( t ) = ( t — —,t >' + y )
a)
Calcular T{t), N(t)
b)
Evaluar r ( 0 ) , N(0), B(0)
c)
Hallar los planos fundamentales en t = 0.
Eduardo Espinoza Ramos
276
96) Calcular la torsión en cualquier punto de la curva, que se obtiene al interceptar las
\x2 +y 2 + z 2 = 6
superficies. t
[x + y = z
—>
.
1
—>
|
97) Sea Cj : f { i ) = (t , —,ln í) y C 2 : g(f) = ( e ^ 2, ----- ,l n ( í - l ) ) , hallar las ecuaciones
3
r+ 1
del plano osculador, normal y rectificante de C{ en el pimto de intersección de Q y
C2
98) Sea la curva descrita por / ( r ) = (eos t, sen t, cosh t) . Hallar la curvatura y torsión para
cualquier t.
99) Una partícula se mueve en la trayectoria x = e ' ,
y = e~‘ ,
z = -y¡2t para t = 0, hallar:
a)
La curvatura y torsión de la trayectoria.
b)
Los componentes tangencial y normal de la aceleración.
R pta. a)
b)
*= — , T =~—
4
4
a T = 0 , aN = V 2
100) Demostrar que si la ecuación vectorial g(s) esta dado por
C:
g ( s ) = (x(s),y(í), z(s)),
donde s es la longitud de arco, entonces la torsión en el punto donde a longitud de arco
es s, esta dado por: 3 (í)
=(P
■
y
(s))(g'(s)x g ” ( s ) ) . g " ’(s ), así:
x'Cs) y’(s) z’(s)
3(5) =(z"(í)2+y"(í)2+z"(5)2)-1* " ( 5 ) / ' ( 5 ) Z" ( s )
x'"{s)
curvatura.
y'"{s)
z"'(sí
donde P(s) es el radio de
Funciones Reales de Variable Vectorial
277
CAPITULO III
3.
FUNCIONES REALES DE VARIABLE VECTORIAL.)
Pre-Requisitos.-
Para la comprensión adecuada de este capítulo de funciones reales de
variable vectorial se requiere de los conocimientos previos de:
Rectas y planos en R*.
Superficies.
Cálculo diferencial de funciones reales de variable real.
Objetivos.-
Definir las derivadas parciales de una función de dos ó más variables.
Proporcionar una interpretación geométrica de las derivadas parciales.
Discutir el criterio de las derivadas parciales de segundo orden para extremos relativos.
Utilizar la diferencial total como aproximación de Az.
Mostrar la relación del gradiente con la derivada direccional.
Mostrar el uso del gradiente para hallar el plano tangente a un superficie.
278
j3.1
Eduardo Espinoza Ramos
Introducción]
Sea
f:IczR
*R, una función real
de variable real donde el rango y dominio son
números reales. Ahora veremos funciones cuyo rango son números reales, pero el dominio
será un sub-conjunto de R" . es decir, funciones del tipo / : U c R" ■— —> R,
llamada
función real de n variables reales ó bien funciones reales de variable vectorial (a los
elementos de R" lo veremos como vectores), ó bien campos escalares.
Tenemos pues que una función / : U c z R ”
>R es una regla que asocia a cada n-ada
ordenada de números reales (*,, x 2,...,x n ) e U , donde el conjunto U es el dominio de f y su
rango de f es el conjunto de z e R, para los cuales existe x e U tal que z = / ( x ) es decir:
—>
—>
rango de / = {z e R l z - f ( x ) , x e ( / } , se observa que cada una de estas funciones está
constituida por:
1.
Su dominio U c R"
2.
Una regla que asocia a cada x e U el número f ( x ) e R, imagen de x
bajo f.
Esquemáticamente se tiene:
Usaremos indistintamente las notaciones f (x], x 2,-..,xn ) o / ( x ) para denotar la imagen
—>
bajo f del vector x = (x ,, x 2,..., x n ) e R ".
279
Funciones Reales de Variable Vectorial
3.2
Definición!
Una función real de variable vectorial f ó de n variables es una correspondencia de un
conjunto A de vectores de R n, a un conjunto B de números reales y denotaremos por
—♦
/: A ^ R ”
> 5 c / í , tal que, para cada vector x = ( x t , x 2
un elemento f ( x )
g
x„) g A , existe uno y sólo
B.
El valor real de la función f se denota por z = f ( x x, x 2,...,x„) donde las variables
x, ,x 2
xn,se denominan variables independientes de la función f
y
z variable
dependiente.
3.3
Dominio y Rango de unaFuncióttReal de Variable Vectorial.!
Consideremos la función / : R n
>R , el dominio de existencia de la función f,
denotaremos por Df , y es el conjunto definido por:
Df = {x = [ x l , x 2,.. ., x„)
g
R ” /3
z g
R
a
z
= / ( x , , x 2 .......x„)}
al rango de la función f denotaremos por R ¡ y es el conjunto definido por:
Ejemplo.-
Determinar el dominio y rango de la función f ( x , y ) = - J 2 5 - x 2 - y 2
Solución
Como z = / ( x , y ) => z = ^ 2 5 - x 2 - y 1 , luego z es real si, 2 5 - x 2 - y 2 > 0 , entonces
x 2 + y 2 < 25, que representa a una circunferencia y el interior de la misma.
Luego D f = j(x ,y )
g
R 2 / x 2 + y 2 < 25}, cuya representación gráfica es:
Eduardo Espinoza Ramos
280
Ahora determinaremos el rango, como z = -^25-jc2 - v2 entonces
7
>
0 a
z2
= 2 5 - x 2 - y".
de donde x 2 + v 2 = 2 5 - z 2 > 0, V(x,y) e R 2.
2 5 - z 2 > 0 => z2 < 25 o
Observación.-
- 5 < z < 5 , pero como z > 0
= \z e R / 0 < z < 5}
Sea / : A czR" —* R, una función con dominio A, definamos la gráfica de f como el
sub-conjunto de /?n+1 denotado por:
gráfica de / = G f = {(xx, x 2, . . . , x n , f ( x x, x 2, . . . , x n ))l ( x x, x 1, . . . , x n ) e d } c / ? " +1, para el caso de
la función f : R 2 —> R tal que f ( x , v ) = j 2 5 - x 2 - y 2 su gráfica es en el espacio R 3.
z = f ( x , y ) = - ^ 2 5 - x 2 - y 2 , z > 0 => z 2 = 2 5 - jc2 - y 2, esdecir, p ar a z>0 , x 2 + y 2 + z 2 = 25.
para y = 0, x 2 + z 2 = 25 es semicircunferencia en el plano XZ.
x = 0, y 2 + zT = 25 es semicircunferencia en el plano YZ.
z = 0, jc2 + y 2 = 25 es semicircunferencia en el plano XY.
281
Funciones Reales de Variable Vectorial
Observación.-
Una manera muy práctica de visualizar la gráfica de una función de n variables es a
través de las curvas de nivel, para esto consideremos la función f : R 2 —>R tal
que 7 = f(x,y), cuya gráfica de esta función es una superficie en R*. Supongamos que la superficie z
= flXy) se corta mediante una familia de planos paralelos al plano coordenado XY, que son de la
forma z = f(x,y) = k (k = 0 , ± 1 , ± 2 .....±n) cuyas intersecciones son curvas, que al proyectarlo sobre
el plano XY, tiene por ecuación f(x,y) = k, a estas curvas se le llaman curvas de nivel de la función f
en k y al conjunto de curvas de nivel se llama mapeo de contorno.
fin forma similar para el caso / : Z? 1 —> R, se obtienen f(x,y,z) = k llamadas superficies de nivel.
Ejemplo.-
Sea
/ :R2 -> R tal que r = /(.v, v) = .v2 + y 2 , hallar las curvas de nivel y hacer la
gráfica de esta superficie.
Solución
Determinaremos las curvas de nivel, haciendo z = k, es decir x 2 + y 2 = k que son familias de
circunferencias.
3.4
Operaciones con Funciones de Varias Variables.
Definición.-
Consideremos dos funciones de n variables f , g : R" —> R, con dominios
D f y D k , respectivamente, entonces definimos las operaciones siguientes:
i)
( í ± g \ x ) = / ( A ) ± g ( . Y ) , V a- e D f±K = D f n D f,
ii)
(/.g)(.v) = . / ( . v ) . g ( r ) , V . v e D rje = D r n, Dg
—>
♦
>
->
*
iii)
, V v e Df¡¡i = D f r \ D g - { x / g ( x ) = 0}
( ^ )(-r) =
g
íí(v)
282
Eduardo Espinozja Ramos
Definición.-
Consideremos f: R”
»R y g. R
>R dos funciones con dominios
D f y Dk , respectivamente, entonces definimos la función compuesta por:
(g o f ) ( x ) = g ( f (.v)) = g ( f (.V, ,.v2 ..... *„)), donde Dgof =
Ejemplo.-
e Df / f ( x ) e R f r \ D g }
Dado g(x) = are .eos x, y /(.y, y) = yjx1 + y 2 - 1 6 , encontrar la función g o f y su
dominio.
Solución
Calculando
el
dominio
de
las funciones
g y f
y D f = {( jc, y) e R 2 / x 2 + y 2 - 1 6 > o }, calculando la función
donde
go f
Dg = [-M ]
esdecir:
(g ° . f ) ( x , y ) = g { f ( x , y )) = árceos-^jc2 + _y2 - 16 , calculando el dominio de g o f es decir:
Dgof = { ( x , y ) e R 2 / f ( x , y ) e Dg } = |(x ,y ) e R2 / f j x 2 + y 2 - 1 6 e [-1,1]j
= j(jr,y) e R 2 / - l < tJ x 2 + y 2 - 1 6 < l | = |(.v,y) e R 2 / 0 < x 2 + y2 - 1 6 < l}
= {(*,.y) g R2 ! \ 6 < x 2 + y 2 < \ l )
283
Funciones Reales de Variable Vectorial
35
Ejercicios Desarrolladosj
Hallar y representar gráficamente el dominio de las ocho funciones siguientes:
1)
z = / ( * , y) = l n ú + y)
Solución
La función z = f(x,y) está bien definida, si se cumple,
v 2 + y > 0 , que nos representa la parte del plano por
encima de la parábola y = - x 2
Luego Dj = {(jc,y) e R 2 / x 2 + v > o |
2
)
z = /(.v ,y ) =
Solución
La función z = ffx.y) está bien definida, sí
y-V 7
> 0
a
x
>
0,
de donde
y >
V7
A
X
>
0,
que nos representa la parte del plano sobre la rama de la
parábola y = -J x, y a la derecha del eje Y sin incluirlo.
Luego:
D f = [(x,y) e R~ / y > ->/*}
3)
Solución
dt
Sea
z = f { x , y) = h(x, y) + g(x, y ) = \ ^ x 2 - y 2 | + | J x y | , donde h ( x , y ) = \ ^ j x 2 - y
gÍJt.y) = |V ^ | lueg° su dominio son:
Dh = {(x,y) & R 2 I x 2 - y 2 > o} =
{ ( jc , y )
e R 2 / x > y v x < - v}
Dg = [(x,v) g R 2 I xy > o} = {(x,y) e R 2 1 ( x> 0 a y > 0) v ( x < 0 a v < 0 ) )
2
| y
284
Eduardo Espinoza Ramos
y el dominio de z = fix.y) es D f = D h
D f = \ x , y ) e R 2 I x > y v x < ~ y \r \
n
e R 2 f(x > OAy > 0) v (jc < 0 Ay < 0)}
Df = |( jc ,y ) e /? 2 / ( j c > y v j c < - y ) n ( ( j c > 0 A y > 0 ) v ( j c < 0 A y < 0 ))}
Df
= |( j c , y) e
R 2 !{x > y v x
5
-y)n(x> 0/\y> 0)v(x> yvx< -y)n(x<
0 a
y < 0 )}
D f = {(x,y) g R 2 /(x > y v x < - y ) n (x < 0 A y < 0)}
4)
z = f ( x , y ) = -yj(¿c2 + y 2 - a 2 )(2a 2 - x 2 - y 2) , a > 0
Solución
La f mción z = f[x,y) está bien definida si se cumple que ( r 2 + y
de donde se tiene:
(r 2 + y 2 - a 2 >
0 a 2
a2 - x 2 - y 2 >o)/(r2
y2-a 2<
+
( t 2 + y 2 > a 2 a j c 2 + y 2 < 2a 2)s[x2 + y 2 < a 2
( f 2 < x 2 + y 2 a j c 2 + y 2 < 2 o 2 )v«|» = (a 2
< jc 2
a jc 2
0 a 2
o2
+ y 2 > 2 a 2)
+ y 2 <2 a 2)
■■Df = \ x , y ) e R 2 l a 2 < x 2 + y 2 < 2 a 2}
-jc 2
- y 2 <o)
Funciones Reales de Variable Vectorial
285
5)
Solución
La función z = f(x,y)
está bien definida si se cumple
jc2 - v
----- 2 ~ ^ 0» luego la
jt^+ y-16
solución de esta inecuación se obtiene de la manera siguiente:
X y
jc2 + y 2 - 1 6
> 0
(x2 - y > 0 / \ x 2 + y 2 -1 6 > 0 ) v (x2 - y ^ 0/\x2 + y 2 -16 < 0 )
o
o
Cy<x2 a í
2
+ y 2 >16)
v
( x 2 < y / \ x 2 + y 2 <16)
D j = {íjr.y) g R 2 /(y < x 2 a j c 2 + y 2 > 16)
6)
z = f ( x , y ) = arcsen(—)
x
Solución
v
(x2 < y
a jc 2
+ y 2 < 16)}
286
Eduardo Espinoza Ramos
y
y
Como z = f ( x , y) = arcsen(—) <=> sen z = — , pero como la variación de sen z, está
x
x
y
en tre - 1 y 1 , se tiene: - l < s e n z < l o
- 1 < — < 1 , desarropando la inecuación
x
-i< £ < i
X
«,
-i< £ a£ < i
=>
£ ± £ > 0
X X
a £z
X
£ < 0
X
Luego D f = { ( x , y ) G R 2 / £ í £ > 0 a y X < O}
x
x
Sí X +-—> 0
x
<=> (y + x > O A j c > 0 ) v ( y + x < 0 A x < 0 )
Sí £ ——< 0 <=> (_y —x < 0 Aje > 0) v (y —x > Oajc < 0)
Graficando la región se tiene:
7)
z = f { x . y ) = \ J y 2 - l \ + 1 ^1-jc 2 |
Solución
Sea z = f(x,y) = h(x,y) + g(x,y), donde h(x,y) = \ j y 2 - 1 1 , g ( x , y ) =| - J l - x 2 | ,
luego sus dominios son:
D h = {pe,y) e R 1 1 y 1 - 1 > o }= {(x.j') g R 1 /_y >1 v y < - l j
Dg = \ x , y ) G R 2 l \ - x 2 ) = \ x , y ) G R 2 ! - \ < x < \ \ ,
y el dominio de la función z = f(x,y) es:
D f = D h n D g = \ x , y ) s R 2 ! y > \ v y < - l } n j(x,y) e R 1 / - I < x < l}
... (A )
287
Funciones Reales de Variable Vectorial
fY
v.jí/.í
? # ; ■ív.v.W
#'V
*<S
•• 1
0
-i
•:‘íí:fíííi-ÍA»
1
JÍLtS
8)
■%
z = f ( x , y ) = J y sen,r
Solución
La función 7. = f(x,y) está bien definida si se cumple:
ysenx>
0
<=> ( y >
0
scnx>0 )
a
o (y>0 a
2n n<. x
v
(y<
0
a
scnx<0 )
<(2«+l);r) v (y<0 a (2// +1)jt <x <(2n + 2)ir)
D f = {(x,y) g R 2 / (y > 0 a 2 n n < x < { 2 n +
l);r) v
(y
<0 a (2 n+ l);r < x < (2h+ 2 );r)}
Y
- 2 jt
—3/r
2n
r
|
9)
Determinar el rango de la función f(x,y) definida por:
I
2
X +
/ (*,V) =
V
si
2
< x 2 + v2 <
1
si- 1I < x 2 + v 2 < 3->
IX2 + V2
A/x 2 + y 2
0
-
1
5< x 2 + y 2
3/r
—rpz
An
288
Eduardo Espinoza Ramos
Solución
Calcularemos el rango en cada región donde f(x,y) está definida.
2
2
Sí 0 < x + y
—» < 2
1
1
1
=> 1 < —,
y < ‘x ‘ ^
x~ + y
<1
---- ;----- —<
x~ + y
1
=> - o o < z < 1 ,
_ * < ---- 5
x~ + y
y
luego para la región
—~ *
0
<x
2
2
+v < I
elrango
es
R f = < —QO.l],
Si
1< x 2 + y 2 < 3
f ( x , y ) = [ |x 2 + y 2 |], entonces redefiniendo la funciónf(x,y)
=>
considerando el máximo [| |] entero en la región 1 < r 2 + y 2 < 3
11
2
w
1
< r 2 + y2 < 2
si2< x
+ y <3
Luego para la región 1 < x 1 + y 2 < 3 el rango es R f = {1.2}
S i 5 < x 2 + v 2 se tiene f ( x , y ) = ^ x 2 + y 2 -1
Luego 5 < x 2 + y 2 => 4 ^ x 2 + y 2 - 1 => 2 £ ^ x 2 + y 2 - 1 = f ( x , y )
2
2
Luego p<*ra 5 < x + y se tiene z
R f = [2,oo>
10)
2
2
2, por lo tanto para la región 5 < x + v el rango es
R f = < -» ,l]u { l,2 } u [2 ,o o > = < -» ,l]u [2 ,o o >
Sea / : R 2------>/? una función definida por z = / (x .y ) = ^ l —x 2 - y 2 . Hallar su dominio,
rango y graficar.
Solución
2
La lúnción z = f(x,y) está definida si 1 - x - y
2
2
2
> 0 => x + y <1
Luego D f = {(x, y) s R 2 / x 2 + y 2 < ij Calculando el rango de
f(x.y) = - J l- x 2- y 2 :
Funciones Reales de Variable Vectorial
289
Como x 2 + y 2 < 1 y V x,yeR, x 2 + y 2 > 0 => 0 < x 2 + y 2 < 1 =>-1 < - x 2 - y 2< 0
0
< l - x 2 —y 2 <
1
=> 0 < - J l —x 2 —y 2 <
1
=>
0
< z <
1
=>
z e [0 , 1 ], de donde
R f -[O.lJPara graficar: Como z = -^l —x 2 - y 2 , z > 0 de donde x 2 + y 2 + z 2 = 1, se tiene:
7 = 0, x 2 + y 2 = 1 circunferencia en el plano XY.
y = 0, x 2 + z 2 = 1 semi-circunferencia en el plano XZ.
x = 0, y 2 + z 2 = 1 semi-circunferencia en el plano YZ.
11)
v
I
j
Sea z = j c / ( —), determinarlas funciones f y z, sí z = -^l + y . P a r a x = l
x
Solución
Como z = -y/l + y 2 para x = 1, entonces z = / ( > ’) = ^/l + y 2
v
I
2
Luego sí z = x f ( —) y / (y) = \ 1+ .V , entonces
Eduardo Espinoza Ramos
290
12)
Determinar F(x), si F (—) =
x
, x, y > 0 .
y
Solución
y
Como F (—) =
X
V * 2 +y 1
y
I
x~
I
se tiene F(u) ■
13)
1
y
= . l l + —5- = ll+
, haciendo u = —
1
y
1 !
(Z jí
x
••• F(x)
477]
W
....................
, f(x)g(y)-f(y)g(x)
Dada la luncion F ( x , y ) = ----------------------------- . Hallar F(a, —): en particular, poner
g(xy)f(xy)
a
f ( u ) = u 3, g(u) = u 2
Solución
. ..
.
/W íW -/W * M
>.
F ( x , y ) = ---------------------------- => F(a, —) = -----------------------------g(xy)f(xy)
a
/(l)g (l)
,
^
F{aX ) = — í
a
14)
ya
fl-I
2
a -1
F1?,( a , K
- ) = -------a
a
=
( 1)( 1)
1
a
Expresar el volumen z del cono en función de su generatriz x y la altura y.
Solución
Por
Pitágoras
en el A ABC se tiene x 2 = r 2 + y 2
... (1)
de donde r 2 = x 2 - y 2, además h = y = altura, el volumen del
n r 2h
cono es: V - ■
entonces:
n
2
.. 3 ,
V = T ( x 2 - y 2) y = i - ( x ' y - y J)
z = V (x , y ) = — ( x 2y - y 3).
3
291
Funciones Reales de Variable Vectorial
15)
Expresar el área S del triángulo en función de sus tres lados x, y, z.
Solución
El perímetro del triángulo ABC es: 2p = x + y + z
g
P=
x+ v + z
i ----
...
( 1)
Luego el área S en función del semiperímetro p es:
C
S = Jp(p-x){p-y)(p-z)
... ( 2 )
ahora reemplazando ( 1 ) en (2 ) se tiene:
lx + v +z x + v + z
x + v +z
x + v +z
S=J
1----- (----- :--------x )(----- :----- -- v)(---- :-------- z)
V 2
2
2
2
W = S( X, v,z) = —J ( x + v + z)(v + z - x)(x + z - v)(x+ v - z )
4
16)
La función z =f(x,y), que satisface idénticamente la relación f'(mx, mv) = tn f ( x , y)
para
cualquier m, es llamada función homogénea de k-ésimo orden, mostrar que la función de
k v
k-ésimo orden z = f(x, y) siempre puede ser representada en forma z = x F (—)
x
Solución
1
*
Sea m = —. Reemplazando en la función ./ (mx, mv) = m f ( x , v), se tiene
x
f ( \ , —)= — f ( x , v ) ,
X
de donde J' (x ,y) = x kf { 1, —). Como / ( l , —)depende de—,
X
X
X
entonces F(—) = / ( ! , —). Luego, f ( x , y ) = x k f ( \ , —) = x l F(—).
x
x
x
x
17)
Construir las curvas de nivel de la función f ( x , y ) = 8 - x
Solución
2
-2 y.
X
292
Eduardo Espinoza Ramos
f(x,y) = k, es una curva de nivel para cada k e Z. Luego
2
8
-x
2
—2 y = k,
entonces
* -8
2
x = —{ 2 y + k —8 ) =>x = —2 (y + ----- ), representa parábolas que son las curvas de nivel.
18)
Hallar el dominio, rango y construir las curvas. De nivel, para k = 0 y k = 1, de la lünción
f{x, y) = sen (y - x).
Solución
Sea z = f(x, y) = sen(y - x) en donde las variables x, y no tienen ninguna restricción, por lo
tanto D f = R2. Además -1 < sen (y - x) < 1 => -I < z < 1, por lo tanto RT = [-l,l], para
las curvas de nivel se tiene: sen (y - x) = k , de donde para k = 0
= 0 => y - x = nrt por lo tanto las curvas de nivel para k =
=
1
se tiene sen(y - x) =
1
0
se tiene
sen(y - x)
es un conjunto de rectas y para k
=> y - x = ^ + 2 n n , las curvas de nivel es un conjunto de
rectas.
Lincas de nivel k = 0
Lincas de nivel k = 1
293
Fundones Reales de Variable Vectorial
19)
Dado f ( x . y . z ) = \ x
+ > ' 2 - 4 z —2x , hallar el dominio de f, rango y construir la superficie
de nivel para k = 0 y k = 1 .
Solución
V
i
■> 2
x" + v’ -4 - - 2 .V , la función es bien definida si x~ + v - 4 z —2 x > 0,
luego:
= ((x,v,z) e / x
■Jx" + v 2 —4z —2x > 0 =>
2
oj >0.
+ y 2 > 4z+ 2xj
como
x 2 + y 2 - 4 z - 2 x > 0 =>
Rf = [0,to>
Luego
La superficie de nivel son w = f(x, y, z) = k , k e z. para el caso en que k = 0 se tiene
Vx 2 + y 2 —4z —2 x = 0 , de donde x 2 + y 2 - 4 z - 2 x = 0 completando cuadrado se tiene
(x -1 ) + y
2
2
Ahora
superficie
7
la
7
1
= 4(z H— ) es un paraboloide elíptico.
4
de
nivel para
2
k =
?
1 es
1
-Jx2 + y 2 - 4 z —2x = 1
x + v - 4 z - 2 x = l dedonde ( r —1) + v“ = 4 (z + —) es un paraboloide elíptico.
entonces
Eduardo Espinoza Ramos
294
20)
Hallar las superficies de nivel de la fimción u - ln(
i + V*2 +>-2 +--2
, ^
= )
l - \ x ~ +y +:
Solución
Sea u = c entonces ln(
i+ * [ 7 7 /7 7
.
= ) = c levantando el logaritmo se tiene:
l —J x ' + y +z~
l + V* +y + :
-ec = k =>
1
1—yrx 2 + y 2 + r T
(1
1+
/ 2 . 2 . 2 , , ¡ 1 . 2
2
^ x 2 + y 2 + z 2 = k - k - J .x + y + r
+k)-^x2 + y 2 + z 2 = k —1 => ^/x 2 + y 2 + z 2 =
^
1
2
2
2
,k
^2
= > x + y + r = ( -------)
A-+ 1
*+1
Las superficies de nivel son esferas de centro en el origen.
3.6
Ejercicios Propuestos.1
I.-
Hallar y representar gráficamente el dominio de las siguientes funciones:
1)
f ( x , y) = ^ x - J y
2)
/ ( x , y ) = arcsen(
Rpta. Df = [(x,y) e í?2 / x > 0, y > 0, x 2 > y |
y -
1
)
Rpta. l - x < y < l + x ,
x>0
x
1
+x < y<
1
-x, x
< 0
3)
f{x, y) = ln(xy)
Rpta. Ia y 3a cuadrante sin la frontera
4)
f ( x , y ) = ln Í3 6 -4 x 2 - 9 y 2)
'
7
R p ta .
5)
f ( x , y ) = -J~xy ln(y - 4 x 2)
Rpta. Df = |( x ,y ) e R 2 I xy < 0a y > 4x2}
)
f ( x , y ) = -Jsenn^x2 + y 2)
Rpta. 2/j < x 2 + j
2
6
2
v— <1
9
4
2
< 2/j + l
Funciones Reales de Variable Vectorial
2
7)
295
2
x +V
2 2
f ( x , v) = arcsen(---------- ) + are sec(x + y )
R pta. l < x
2 2
+v
<4
2
8
)
f i x - y ) = arctg(
R pta. Df = R 2
Z'VZ)
1 + jr y
9)
f ( x , y , z ) = -Jx + ^ v + ‘J z
10) f ( x , y ) = 4 x + J x y
11)
= | ( x , y, z ) e /?3 I x > O, y > O, z> oj
Rpta.
Rpta. D f = {(jc, y) e R 2 I x > 0, y > o |
x
/ (jt, y) = arcsen(------- )
x +y
Rpta. D f = {(x, y ) e R 2 / y > 0 a y > -2x}u{(jr, y ) ! y < 0 a y < - 2 x \
■J25-X2 - y2
12) f ( x , y ) = ----------------------
1
2
2
2
I
Rpta.D f = \ ( x , v ) e . R ¡ x * 0 , x + y <25}
13) f ( x , y ,z) = (x + y ) - J z - 2
Rpta.
= {(x,y,z) e
/?3
/z > 2|
14) f(x,y,z) = aresen x + aresen y + aresen z
Rpta. D { = {(*,y .z) e V? 3 / - I < x < 1, - l < y < l , - 1 < z < l|
15)
í(x,v)=
,
V25- x 2 - y 2
16) f(x, y, z) = ln(xyz)
Rpta. D , = {(x, y) e R 2 l x 2 + y 2 <25^
Rpta. I, III, VI, VIII ociantes (excluyendo fronteras)
17) f(x, y, z) = aresen x + aresen y + arctg z
Rpta.
18) f(x, y) = ln(x ln (y - x »
Df = {(x,y,z) e R 3 ¡\x\ <
R pta. y > x + 1 ; x > 0
x < y < x + 1 ; x<0
1
, |y| < l}
296
Eduardo Espinoza Ramos
19)
/ ( x , y ) = l ^ x v - x 1 - y* + x 2y 2)
R p ta. D¡ = {(x, y ) / 0 < x < 1 a x 2 < y < V x } u { (x , y ) / x > 1 a V x < y < x 2}
u { ( x , y ) / x < 0 a y < x 2}
20) f { x , y ) = 4 x 2 - 4 + ^ 4 - y 2
21
Rpta. Df = {(x,y) e R 2 / |x |¿ 2
a
|y¡ < 2 }
) f(x, y) = ln x - ln (sen y)
Rpta. D f = {(x, y ) / x > 0
a
l n n < v < 2(« + l);r}, n e z
l n ( x - 2 y)
22) / ( x , v ) = —. _ .
Jy-2x
,
Rpta. D f = \ ( x , y ) / x —2 v > 0
a
,
y -2 x > 0 {
23) f ( x , v ) = arcsenj2 y( 1 + x 2) - lj
1
R pta.
j y su asíntota, incluyendo
Parte del plano comprendido entre la linea v =
1+ x
la frontera.
24)
f ( x , y ) = arctg(-y/x2 - y 2 )
Rpta. D f = {(x, v ) / x > y v x < -y}
25)
/ (x ,y ) = [|x |] + -Jl- v 2
Rpta. D f = {(x,y) e R 2 / - I < y < l}
26)
/ ( x , v,z) = -Jx2 + y 2 + z 2 - 4 + l n ( 9 - x 2 - y2 - ¿ 2)
Rpta. D f = { (x ,y ,z )/4 < x 2 + y 2 + z 2 < 9 |
27)
/ ( x , y ) = —j = = = =
Rpta. Df = {(x,_y) / x 2 +.y 2 < l}
■y/l-x - y
28) ffa, y) = are sen (x + y )
Rpta. La banda comprendida entre las rectas paralelas x + y = 1 y x + y = -l
Funciones Reales de Variable Vectorial
a2- x 1- y 1- z
297
29)
f(x.y.z) -
30)
/ ( x , v, z ) = arcsen( ■
-)
I 2
\ X +V
Rpta. Df = |(jc, y , z ) / x 2 + y 2 + z 2 ^ a 2j
2
Rpta. La región del espacio exterior al cono
v2 +. y 2
31)
2
n ; - y Ix 2 +. y ^ ^< z <
^ yIx 2 +>■
. í"
= 0
f(x,y,z) =
ln (l- x ~ - v * - z ' )
Rpta.
II.-
L1 interior de la esfera x 2 + y~ + z 2 < 1, excepto el origen de coordenadas.
32)
f ( x , y ) = \ nx - y 2 + k /w
33)
/ ( * . v ) = [W ]+ [_V l-v 2
Determinar las curvas de nivel y graficar las funciones siguientes:
1)
2
)
V7
./(x , v ) = -----
Rpta.
r
Familia de parábolas kv = \ x
/ ( . t , y ) = ln 1|—
Rpta.
Familia de rectas que pasan por el origen en el l s
2*
y 3® cuadrante y = e x
Rpta.
Hipérbolas equiláteras x 1 —y 2 = k
z=^
Rpta.
Hipérbolas equiláteras xy = k
5)
: = l - H - |y |
Rpta.
Contorno de rombos |x| + (y) = 1- k
)
z = ln(x 2 + y )
Rpta.
Parábolas y = k - x
7)
z = are sen xy
Rpta.
Hipérbolas xy = k, I k I < 1
3)
z =ijx2- y
4)
6
2
Eduardo Espinoza Ramos
298
8)
2jf
z = — ----- 2
2
Rpta. Familia de circunferencias x + y
2
- 2kx
x~ + y
9)
x 2+ v 2
:-ex
Rpta.
10) z = tJ\QQ-25x2 - 4 y 2
III.-
2
Familia de circunferencias x + y
Rpta.
2
= ln /: , k > 1
Familia de Elipses.
Hallar las superficies de nivel de las siguientes funciones:
a)
u = x + y + 3z
Rpta.
b)
u = ( x 2 + y 2 + z 2 ) 2 Rpta.
Familia de esferas x 2 + y 2 + z 2 = k , k > 0.
c)
2 , 2
x
u - ----------
d)
’
1 +J
Familia de planos x + y + 3z = k
2
2
Rpta. Familia de Paraboloides de revolución x + y = kz
x >+ y 2 +=2
= )
2 , 2 ’
+-
u —ln(---- 1-------
¡2
1 —yjc
'
Rpta.
Familia de esferas x í + y í + z í =(
c —1
)z
c+1
2
2
2
e)
u = sig(sen(x + y +z ))
f)
u —x
1)
Expresar el volumen V de una pirámide cuadrangular regular en función de su altura
2
2
-z
2
Rpta. Familia de esferas
Rpta. Familia de hiperboloides
IV.“x” y de su arista lateral ‘y ’.
Rpta.
2)
2x
9
2
y = — ( y 2 - x 2)
Expresar el área S de la superficie lateral de un tronco de la pirámide hexagonal
regular en función de los lados x e y de las bases y de la altura z.
Rpta.
2(x+y) i ;
T
S = ----------- \ 4 z ~ + 3 ( x - y )
Funciones Reales de Variable Vectorial
299
Probar que la función z = F(x, y) = xy satisface a la ecuación:
F(ax + bu, cy + dv) = ac F(x, y) + be F(u,y) + ad F(x,v) + bd F(u,v).
4)
Probar que la función z = F(x, y) = lnx.lny, satisface a la ecuación:
F(xy,uv) = F(x.u) + F(x,v) + F(y,u) + F(y,v), x,y,u,v > 0.
5)
Hallar los valores que toma la función f(x, y) = 1 + x - y, en los puntos de la parábola
2
2
y - x y construir la gráfica de la función F(x) = f ( x , x )
6)
Construir las curvas de nivel de la función
Rpta.
3.7
z
2ay
= arctgf—
j
x +y -a
j-),
a >0
Familia de circunferencias.
Conjuntos Abiertos y Cerrados.}
Distancia entre Dos puntos.-
A la distancia entre los puntos A ( x l , x 2, — . x n ) y
B(y¡ ,y 2
Bola Abierta en R".-
y „ ) de R n, definiremos por:
Una bola abierta de centro en el punto a
6
R" y radio r > 0,
denotado por B(a,r) es definido por el conjunto:
B(a,r) = j.t g R " / d ( x , a ) < r}
Bola Reducida en R n
Una bola reducida de centro en el punto a e R ” y radio r
> 0, denotado por B' (a,r) es definido por el conjunto:
d)
Bola Cerrada en R ”.-
B(a, r) = {x
g
R” / d(x,a)< r}
Eduardo Espinoza Ramos
300
Observación.-
Entenderemos por una vecindad de un punto a e R", a una bola abierta con centro
en el punto a.
Ejemplo.1.-
En el espacio n-dimensional se tiene:
Para n = 1, se tiene la recta real R.
_(--------1----- ¿ ------1
i- r
-{
a
v-
-r
a
4-
a-r
2
.-
+
)_
x-
B(a,r) = { a - r .a + r)
]-
,
B{a,r) = \ a - r , a + r\
a +r
a +r
Para n = 2, se tiene el plano R
*t -i
i
i
,
a +r
,
B'{a.r) = ( a - r , a + r } - { a )
2
fl(a ,r) = { (x ,^ )e R 2 / ( x - a t ) 2 + ( v - a 2 )2 < r 2J
Yt
B(a,r) = {(x,y) e R 2 ! ( x - a x) 2 + ( y - a 2) 2 < r 2 }
B' (a,r ) = { ( x , y ) e R 2 /O <
( jt-
= B(a,r)-{a\
a x) 2 + ( y - a 2) 2 < r 2 }
301
Funciones Reales de Variable Vectorial
3.-
Para n = 3, se tiene el espacio R 3.
B( a, r ) = {(x ,y, z) e R 3 / ( x - a , ) 2 + ( y - a 2) 2 + ( z - a i ) 2 < r 2 }
3.8
Conjunto A lerto en Fij
Un conjunto A cz R"es abierto en R " ^ i y solo si ,V x gA,3
8
> 0, tal que B(x,8 ) c A.
Ejemplos.-
3.»
1)
A = <a,b>, intervalo abierto es un conjunto abierto en R.
2)
y4 = {(x,y) g R 2 t x < o \ es un conjunto abierto en R 2.
3)
A = { ( x ,y )
4)
R n y (j) son conjuntos abiertos en R".
g
R 2 /y > o| no es un conjunto abierto.
Conjunto Cerrado
Un conjunto A c R n es cerrado en R", si y solo si, C A es abierto en R n.
Ejemplos.1)
A = [a,b] c: R, es cerrado.
3)
A = {(*, v) g R 2 / xy < l}, es cerrado puesto que , CA = R 2 - A es abierto.
4)
A = {(x , y )
g
R 2 / a < x <b
2)
a
A = [a,b> c R , no es cerrado.
c < v < d } , es un conjuntocerrado.
302
3.10
Eduardo Espinoza Ramos
Puntó de Acumulación de iin Conjunto En R".
Llamaremos punto de acumulación de un conjunto A <z R ”, a un punto p () e R" , si toda
bola reducida B ' ( p n,r) contiene algún punto de A; esdecir:
Ejemplo.-
B ' ( p 0, r ) n A * <¡>, V r > 0.
Sea A = {(jc,_v) e R 2 I x < 0, y < o} <z R 2, el punto (0,0) es un punto de acumulación de
A, y además cualquier punto de éste conjunto es un punto de acumulación.
j3.11
Limite de un* Fundón de Varias VartablesJ
Definición.- Sea / : D c z R "
>R, una (unción de n variables definida en un conjunto
abierto D c z R ” y A un punto de acumulación de D, entonces el límite de la
—>
—>
—P
Función f ( x ) cuando x se aproxima al punto A (lim f ( x ) = L), es el número real L, si y
x - pA
—p
—>
solo si, para todo £ > 0, existe 5 > 0 , tal que, si 0 < ||x - y 4 ||< 5 entonces \ f ( x ) - L \ < e ,
esdecir: lim f ( x ) = L <=> Ve > 0, 35 > 0/siO <|| x —A ||<
8
=> \ f ( x ) —L \ < z
x - pA
Esta definición en términos de vecindad es :
lim f ( x ) = L <=> V e > 0 , 3 5 > 0 / V x e B ' ( A , S ) c z D f => f ( x ) e B (L ,e)
x -* A
Funciones Reales de Variable Vectorial
3.12
303
Interpretación Geométrica del Limite de una Función de Dos Variables.!
Consideremos
■»
f : AczR'
„
2
>R . una función definida en el conjunto A<^R y sea
(a,h) e R2 un punto de acumulación de A, por definición de límite se tiene:
lim
f(x,y) = L o
(jt.v) -t(aji)
V £ > 0 ,3 8 > 0 /0 < ¡(x ,y )-(a .ó )|| < S =>\ f { x , y ) - 1 \ < e
Además 0 <||( x. y ) - í a , 8 )¡| <6 < = > |r-n | <
Ejemplo.-
lint
Demostrar que:
8
a
|y - f t | <
8
3x + 2y = 12
<*.!■
)-*<2.3)
Solución
Se debe demostrar que: V
para esto se tiene que:
e
> 0 ,3 5 > 0 /0 <||(jc. v) —(2.3)|| < á => |3x + 2y —12| < c
0 < ||(.t,.v )-(2 ,3 )||< 8 => | x - 2 | < 8
a
|y - 3 |< 8
Luego operando en la forma: |3x + 2 y -1 2 | =|3(x —2) + 2 (y - 3 )| < 3|x—2| + 2|_y—3|
... (1)
... (2)
304
Eduardo Espinoza Ramos
|3;c+ 2y-12| < 3 |jc -2 |+ 2 |y -3 | < 3 6 + 2 6 = 5 6 = e
por lo tanto de (1) y (2) se tiene:
es decir, que es suficiente tomar
e
= — de donde:
6
V t> 0 , E 8 = ^ / 0 < ||(x ,y )- (2 ,3 ) ||< 6
lim
lo cual demuestra que:
=> |3jc + 2 y -1 2 | <£
3x + 2 y = 12
(jr ,> ) - > (2 ,3 )
Ejemplo.-
Demostrar que:
lim
x 2 +2xy = 3
Solución
Se debe demostrar que:
V
como 0 < ||fjc»_v) —(3,—1) | | <
e
> 0 ,3 6 > 0 / 0 < ||(jr,y) - (3.—1)|| <
= > |jc -3 |< 6
6
a
|y + l| <
=> |x 2 + 2xy - 3| <
6
e
6
ahora a la expresión jjc2 + 2xy - 3| expresamos en términos de
| jc —3|
y |y + 1|, esto es:
|x 2 + 2 x y - 3| = |( jt2 - 9) + 2 y ( x - 3) + 6{y + 1)|
= |(jí + 3)0r —3) + 2 y( x —3) + 6 (y + 1)| < |x + 3 ||x -3 | + 2 |j|jc - 3 | + 6 ¡y + l|
Sea |jc - 3| < 6 , =
1
... (1)
=> —I < x - 3 < 1 => 5 < jc + 3 < 7 => |jc + 3| < 7
| y + l | < 6 j = l => - I < y + l < l
=> - 2 < y < 0 < 2 => | v | < 2
2
1
I
x +2jt>--3| < 762 + 4 6 2 + 6 6
por lo tanto si escogemos
0 < Ikjc.y) - (3,-1)11 < 6
6
= min{l,— } , se tiene que
por lo tanto
lim
( * • > ) —* (3 ,- 1 )
| jc 2
£
2
= 1 7 6 2 = e => S 2 = —
+ 2 x y -3 | < e siempre que
x 2 + 2xy = 3
305
Funciones Reales de Variable Vectorial
Ejemplo.-
Si f ( x , v ) =
JtV
. . , V (x,y) * (0,0), probar que:
lim
M+|v|
(*.v)-»(0 .0 )
f { Jt.v) = 0
Solución
Se debe demostrar que: Ve > 0, 3 8 > 0 / 0 < ||(jr, v )- (0 ,0 ) ||< 5
=> |
—0 1< e
H+W
como 0 < |( x . > ’) - ( 0 . 0 ) | | < 5 <=>|jr|<5 a | > j < ¿
ahora a la expresión | ■P*
-
0 1
expresamos en términos de
| jc|
, M , es decir:
M+M
| — —------ 0 1 - 1 — S —
M+lyl
- O)
Ul +lyl l*l+| y|
por otro lado se tiene |jc| < V* 2 + y 2 - W ¿ J x l + y 2
■Jx2 + y 2 ^ J * 2 + V 7 - H + M
<=> - ■ l . -. < < 1 2
W + M V* +JV
••• T2)
ahora reemplazando (2 ) en ( 1 ) se tiene:
.2
o ,,
—
\*\+ \y\
por lo
0
Ejemplo.-
tanto,
. ..z
i^iiyi s * *>
M +M
si elegimos
£
5 = —, se tiene
2
< |( x , j ') _ ( 0 ,0 ) 1 < 8 , lo cual demuestra que:
Demostrar que
lim
'
que:
xy
I . , . , —0 1< e,
W + |jj
lim
.=
(í.>)-»(0.0)|jf| + |_v|
siempre
que
0
x 2 + v2 = 5
Solución
Se debe demostrar que: V £ > 0 ,3 <5 > 0 / 0 < |(x.>-)- ( 1 ,2 ) | < 8 entonces |x2 + > 2 - ^ < £
306
Eduardo Espinoza Ramos
como 0 < |(jc .v )- (1 ,2 ) |< 5 < = > |x -l|< £
|y —2 |< f i
a
ahora a la expresión |x 2 + y 2 - 5 | expresaremos en términos de |x - l|, |y —1\, es decir:
|* 2
+ v 2 - ^ = |(x 2 - l ) + ( r 2 - 4 ) | = |(x + l ) ( x - 1)+ ( y+2)( y - 2 ) |
< U + l ||x - l |+ |y + 2 | | y - 2 |
. .. ( 1 )
Sea |x -1 | < S l = 1 => - 1 < x - l < 1=>1 < x + 1 < 3 =>|jr+l| < 3
|y —2| < á 2 = 1 => - 1 <>>-2 < l= > 3< > '+ 2 < 5 = > |.y+ 2|< 5
ahora reemplazando en ( 1 ) se tiene:
|x 2 + / - ^ < 3 á 2 +55 2 = 8 5 2 = e => Sj —~
por lo tanto, si se escoge 6 = miw{l, —}
0
3.13
se tiene que
|jt 2 + y 1 - ^ < £
lim
< |(jc,_y) —( 1 ,2 ) 1 < 6 , lo cual demuestra que:
siempre que
x 1+y 1 =5
Propiedades de Limites!
Si / , g\ R "
>R , son funciones tal que:
lim f ( x ) y lim g ( x )
.r -* A
punto de acumulación de D ^ r \ D g entonces:
x ■* A
existen y sí A es
307
Funciones Reates de Variable Vectorial
Nota.- La demostración de estas propiedades es lo mismo que las propiedades correspondientes para
las funciones reales de variable real. (Ver Análisis Matemático I para Estudiantes de Ciencia
e Ingeniería).
3.14
Teorema j
Suponiendo que la función / : D c z R ------ >R, está definida en todos los
una bola
abierta de
centro
(a,b)
excepto
posiblemente
en
puntos de
(a,b),
entonces
—»
lim
f ( x , y ) = L <=> V
curva
a ( t ) = (x(l), y(t))
que pasa por (a,b), (es decir
( x .y ) - * ( a jb )
<*(tn) = (x(tn). y ( t n)) = {a,b)) setiene:
lim
f { x , y ) = lim f ( x ( t ) , y ( t ) ) = L
f,
{x,y)-*(ajb)
«a(t»
/
Nota.-
nPm
Este teorema es muy útil en el sentido: Si encontramos dos curvas a (t ) = (jc(í). y(t)) y
P (í) = (x(t), y(/))
P 0 1) =
que
pasan
por
). y ( h )) = (a, b)) tales que:
(a,b),
lim
decir
lim f ( a (í)) = 1 ,
/ - > /„
* ¿ 2 , entonces
(es
f ( x , y ) no existe.
a ( l fí) = (x(l0), y ( l 0)) = (a,b)¡
y
lim f ( P ( t )) =
i
-+ i ,
donde
i
Eduardo Espinoya Ramos
308
3;Ís'''"Teór'feímaj
Si la función / : R ------ >R, tiene limites diferentes cuando (x,y) se aproxima a (jr„,y0) a
través de dos conjuntos diferentes que tienen a (jtn,v n)como punto de acumulación, entonces
lim
f ( x , y ) no existe
(*.>')-♦(Wo)
Demostración
Sean T y S, dos conjuntos diferentes de R 2 que tiene a (xft,v„) como punto de acumulación
y sean:
lim
f ( x , y ) = Ll y
lim
f ( x , y ) = Lv
(*.>•)->{•>■„)
( r.»•)-»( r0.vn)
lim
Supongamos que
f(x._v) existe, entonces por el teorema 4.14 se tiene
=
¿ 2
•
( v.v)
pero por hipótesis tenemos L, * I.2 por lo tanto se tiene una contradicción, por lo tanto.
lim
Ejemplo.-
f(x,y)
no existe
Calcular el limite
xv
- y - — j , V (x,y) * (0,0)
(jr.v)-»(0 .0 ) x + y
lim
Solución
—>
—>
Sea a ( f ) = (í,/) = > a ( f 0) = (/„.<„) = (0.0) => /o = 0
xy
r
1
lim
—;---- J = lim — y = ~
(jr,>)-»(o.o) x + y
i-*o2 í
2
xy
2t
2
lim
—j-----y =
— 2----u,>)-»(o,o) x + y
f-»o5r
5
s
*
lim
s
XV
entonces
3
lim
xv
309
Funciones Reales de Variable Vectorial
2
Ejemplo.-
Determinar si
X V
lim
2
f ( x , y ) existe, donde f ( x , y ) = —
j
(r.y)->(0 ,0 )
'
'
x +y
Solución
Tomamos dos caminos diferentes que tenga (0,0) como punto de acumulación.
S = |(* ,v ) g R 2 / y = *} y T - {(v, y) e R 2 / y = 4.rJ
x
x
lim
f ( x , y) = lim — 7 = lim — = 0
(v.r) >(0.0)'
v >o2.v‘ < >o 2
s
16.v
16.v
lim
f { x , y ) = lim
y = li m
=0
(.1.1) >(0.0)'
.< >0 17.Í
r >o 17
í
lim
de acuerdo al teorema 4.14, no se puede afirmar que
(a . y)
í(x.y) = 0 ,
> (0.0)
es decir , tenemos que demostrar este límite.
lim
(A .V )
J' (x ,v) = 0 <=> V e > 0 .
> 0 /0 < |( jr ,v ) - ( 0 .0 ) |< /> => \ j (x, v ) - 0 | < e
> (0.0)
además 0 < ||(jr,_y)-(0,0)|| < S <=>|x|<5 a | v | < 5
2, 1
2,
X (X + V )
2 2
|/ ( x ,^ ) - 0 | =
X
2
2
x
2
+ y
2
=UI2 <¿>2
se tiene:
'V
|j (x, v ) - 0 | =
2
>>
+
luego tomando S
x y
+
V
2
a : £ siempre que 0 < ||(x , v )-(0 ,0 )|| < S
®
por lo tanto queda demostrado que
hm
(AT.y)->(0.0)
f ( x , y) =
0
310
3.16
Eduardo Espinoza Ramos
Continuidad de una Función de Varias Variables»!
A)
Definición de Continuidad p ara una Función de dos Variables.
Una función f de dos variables es continua en un punto (x0 , y 0) de una región abierta
R si / ( x n,y 0)cstá definido y es igual al límite de f(x,y) cuando (x,y) tiende
a(.r0 ,)'o ) *es decir, sí
lim
f ( x , y ) = f ( x 0, y n) .
(-*•>')-*(W o)
La función f es continua en la región abierta R si es continua en todos los puntos de R.
B)
Propiedades de las Funciones Continuas de dos Variables.Sea
k constante, f y g funciones continuas en (Jt0 ,y 0), entonces las siguientes
funciones son continuas en (jt0 ,y 0):
Ejemplo.-
1)
k.f
2
3)
f.g
4)
)
f± g
/
— con g (x o.y „ ) * 0
Determinar si f es continua en (0,0) donde:
xy
,
si (x ,y) * ( 0 ,0 )
f(x,y) = w +H
0
, si ( x ,y ) = ( 0 ,0 )
Solución
Primeramente f(0,0) = 0, ahora veremos si se cumple
lim f
(*,v)->
(0.0)
(jc, y) = f (0,0) = 0, para
esto calculamos el límite por caminos.
—»
T: y = x , a ( t ) = (t,t)
cc(í0) —(¡o,I q) —( 0 ,0 ) => tg —0
lim
f ( x , y) = lim 4 - 7 = lim ^ = 0
(jr.y)—jr->(0,0)
/->0 2|/| f-»0 2
S: y = 3x, f) (/) = (/ 3 0
Funciones Reales de Variable Vectorial
311
P (lo ) - (ln<3lo) —(0.0) => /0 —0
3t
3)í|
f ( x , v ) = lim —¡-r = lim — = 0
lim
( t . v ) — j- ^ ío .o)'
como
lim
, -»o4 |r|
,- » n 4
lim
=
lim
f { x . v) = 0 , entonces demostraremos que efectivamente
(i.v)—r-»(n.n) <v.v)—j-»(0.0)
f (x, v) = 0 , para esto V e > 0 , 3 Í > 0 tal que sí 0 <||(jt, v) —( 0 ,0)1 < <5 entonces
( x .,) - ,< 0 .0 ) ‘
n
-
■
| / ( x , v ) - 0 | < g , de donde 0 < |(x ,_ v )-(0 ,0 )| < S <=>|x | < 6 a | v| <¿>-
*y
XV
W 4)
w+W
, de donde
Ejemplo.-
íW W = 6
2
= e , por lo tanto es suficiente lomar
lim
f ( x , y ) = 0 = f ( 0 ,0 ), se concluye que es continua en (0 ,0 ).
(*,>>)—j-»(0 ,0 )
Determinar sí la función f definida por:
xv
z ' i
f(x,y) = x + y
• ( x ,y ) * ( 0 ,0 )
es continua en (0 ,0 )
. (x,y) = (0 ,0 )
0
Solución
Como f(0,0) = 0, f está definida en (0,0), ahora veremos si se cumple que
lim
(x.>)-»
<0.0)'f ( x , v) = A
0 ,0
) = 0 , para esto calculamos el límite por caminos.
T:a(t) = (/./) => ct(/0) = (/0,/0) = (0,0) =>to = 0
lim
ci
i
/ ( x , v) = lim —y = —
•i 2t* 2
(x.i)-f-»(0.0)
^
- “7* 7
S :p(t) = (í,4í) => /)(/„) = (/ 0 ,4/„) = (0,0) => t0 = 0
4r 2
4
lim
f ( x , v ) = lim-----r = —, como
(x.rl-r-KO.O)
•
,-,o I 7r 2
7
312
Eduardo Espinoza Ramos
lim
f{x,v)*
lim
f ( x , v ) =>
(.<..1') y >(«.«)'
‘
(*•>•)—^->(0.0)'
'
2
lim
f ( x , y ) por lo tanto f(x,y) es
(jr.i>)-»(0,0)’
discontinua en (0 ,0 ).
C)
Definición de continuidad para una función de Varias Variables.—>
Una función f de varias variables es continua en un punto a = ( a ,, a 2 ,...,an ) de una
región abierta D de R" sí / ( « ) = f ( a l , a 2,...,a„ ) está definida y es igual al límite de
f(x\,x2
x n)
-»
cuando
-»
(jr,,jr 2
xn)
-»
tiende
a
(al , a 2....,an ),es
decir,
si
—>
Jim^ / ( x ) = / ( a ), donde x = ( j t , , x 2.....x „ ), a = ( a ,, a 2 ,...,a„).
La función f es continua en la región D si es continua en todos los puntos de D.
D)
Continuidad de una Función Compuesta.Si g es continua en (x 0 , y 0) y f es continua en g(jrn, vn), entonces la función
compuesta dada por ( / o g)(x, y) = f ( g ( x , y))es continua en
lim
Ejemplo.-
(jrn, v(1)es decir
f { g ( x , v ) ) = /(g (-v n, y „ )).
Consideremos la función f definida p o r:
l - c o s ( jr - v )
f(x,y) =
, para x * y
x-y
0
. Probar que f es continua en todo R 2
, para x = y
Solución
Sea f ( x , y ) = g o F ( x ,y) = g { F( x , y » , donde F( x ,y ) = x - y
y g(z) =
Í
l —C 0S2
lo
, 2= 0
F es continua en todo R 1 y g es continua en todo R entonces g o F es continua en todo R 2.
Funciones Reales de Variable Vectorial
313
3.17
Ejercicios Desarrollados^
I.
Mediante la definición de limite demostrar que'
1)
Lim (jr+ y )sen — = 0
(*,>■)-.(0 ,0 )
'
x
Solución
1
Consideremos f ( x , v) = (x+ v) sen—, entonces
x
lim
f { x , y) = 0 <=> V e> 0,3¿> > 0 /0 < |(jr, v) —(0,0)11 < 8 => l/X * . v ) - 0 | < e .
(jr,y) ♦«>.»)'
’
" '
Además 0 <||(-t,.v)-(0,0)|| < 8 <=>|jc| <<5 a |v | < 8 entonces
If ( x, i ' ) - 0 |= |(jr+ v)sen —|< |j c ||s e n ~ |+ | y ||s e n - |< |j r | + | v | es decir:
X
X
X
| f ( x , y) - 0 1 < | x | + 1v | < 8 + 8 = 28 = e => 8 = ^ . Luego si tomamos 8 =— tenemos
|/ {x, v) - 0 | < |.t|+ |.v| < 2 8 = 2 ( y ) = e , siempre que
demuestra que
2
)
lim
0
<||(jc, y ) - ( 0 ,0 )J< 8 , lo cual
lim (jr+ y) sen— = 0
<.í,v)-»<0 .0 )
'
x
4xz-Jy+ 4x= 2
< .t.> .z)-> (1.4.9)
Solución
Consideremos f ( x , y , z ) =
lim
—J y + J x , entonces
-Jxz - ■ J y + Jx = 2 <=> V e> 0 ,3 8 > 0 / 0 < fl(jr,_y,z)-(l,4,9)|| < 8 donde
(z .v .z ) -> C 1 .4 ,9 )
|-v/xz -* J y + 4 x - 2 | < e . Como 0<||(jt,.y,z)-(l,4,9)|| <
8
c^|jc-1| < á [ y - 4 | < 8 |z - 9 | < 8
Eduardo Espinozfl Ramos
314
se tiene: [V*z - J y + 4 x - 2| = \4 x (Vz - 3) + 4(J x - 1) - ( J y - 2)|
■Jx
| —¡=
4
v —4
(z - 9 ) + —==— (jc —1) — 7 =
1 y por la desigualdad triangular se tiene:
VZ+3
V* +l
-Jy+ 2
\ f ( x , y , z ) - 2 \ < \ ^ \ \ - ^ — \ \ z - 9 \ + \ - ¡á — \ \ x - l \ + \ - íJ — \ \ y - 4 \
4z+ 3
|j r - l |< 8 j = l
( 1)
V v+ 2
+1
=> - l < . r - l < l
0 < x <2
como:
V*
=> |V*] < -\/2 < 2
(2)
0< V* < -J2
1 <-Jx +1 < V2 +1
1 < - 7=—
1 < 1. => , -r=1— K
. 1,
—7=—
V2 + 1
|y -4 ) c
8 2
=1
Vx + 1
Vx +1
-1 <>’- 4 < 1 entonces
3<y<5
(3)
V3 < -/y <V5
■fi + 2 < J y + 2 < 4 5 + 2
-J5+2
f i +2
-J5 + 2
J y +2
I<1
|r - 9 ( < 8 3 = 1 => - 1 < z - 9 < 1
=> |V*] < -v/ 2 < 2
8
<z<10
2
V2 < -Jz <VlO
(4)
2-J2 + 3 < V i + 3 < / i 0 + 3
1
1
1
<—
< —
<1
VlO + 3 Vz + 3 2V2 + 3
-\[z + 3
I<1
Funciones Reales de Variable Vectorial
315
reemplazando (2),(3) y (4) en (1)
|/ ( j c ,.v ) - 2 |< 2 8 2 + 4 8 2 + 8 2 = e
3)
lim
=>
Luego 38 = min\l, ~\
x 2 + v 2 - 4 x + 2v = -4
Solución
Consideremos f ( x , y ) = x 2 + y 2 - 4 r + 2 i \ entonces
lim
f ( x , v) = - 4 o V e > 0,38 > 0 / 0 < ||( jc, v )-(3 ,-l)||< 8 => If ( x , v) + 4| < e
<*..>) m í . i)'
11
11
1
'
además 0 <||t-v. y )-(3 ,-l)|| < 8 <=>|jc —3| < 8 a |v + i |< 8
|./ (x, y) + 4] = |.v2 + y 2 - 4x + 2y + 4| = |(x - 3)( r +1) + (>■+1 )(>• +1 )|
< \x + l||x - 3| +|>' + 1|| v + 1|
...
(1)
ahora acotando las funciones |jc + 1| y |> +1| se tiene como
|:r-3 | < 8, = 1 => —1<jt —3<1
3<
jc+
I< 5 = > | jc+ 1|<5
|>• + 1| < 8, ==>(>• + 1| < 1
...(3)
reemplazando (2) y (3) en (1) se tiene:
|/(jc, v) + 4| < 582 + 8 2 =e=^ 82 - — por lo tanto 38 = min{\, e }
6
6
4)
lim
...(2)
yfx - J v - yfz + J x v + -Jxz + J v z = 7
Solución
Consideremos / ( x, y , z ) = yfx - J y - -Jz + ^Jxv + -Jxz + -J y z, entonces
316
Eduardo Espinoza Ramos
lim
f ( x , v,z) =
7«
V g> 0,35
0 / 0 <||(jc, y , z ) - ( 1,4,9)11 < 5
>
(jro-.z)-.(1.4,9)
= > |/( x ,.v ,z ) - 7 |< g
además 0 < |(jr,> ,r) - (1,4,9)j| < 5 <=>|jc —1| < 5 a [ v —4¡ < 5 a |z —9| < 5
\ f (x, y, z) - 7| = |V i -
- V z + J x y + J x z + J y z - 7|
= |J x ( J x -1) +Vz(-Jx -1) +Vz(J v
-2
)+2(Vz -3) +(Vi -1 )|
<|-/v||>/i“ l||Vz||Vi - 1|+1Vz|\Jy - 2| +2|Vz - 3¡+1Vi - 1|
<|
| 1 1 Vi -11+1Vi 1I- 7=!— 11*■11+1Vi 11-t-Í—11y -4 1+
'v J f + l
*Jx + ]
‘y j y -i- 2,
2
je —]
+ | - Í — ||z - 9 W '
Vz + 3
V í+ 1
1
2
ahora acotando a las funciones J v ,—¡=— , V z,—7=---- , - 7 =
V* +1
V-V 2 Vz + 3
| jc - 1| < 8 , = 1
( 1)
como:
-1 < jc-1 < 1
=
0 < x <2
=> |V i| < V2 < 2
0 < V i < V2
1
1
1
V i-1
< -^= —
1 +V 2
4j<8,=l
(2)
< V i + i < V2 + 1
. => .1 - 7 =1— .1< 11
V i+ 1
<1
=> —l<_y —4 < 1
3< v<5
=> |Vi] < V i < 3
V i <V i <V i
(3)
V3 + 2 < V i + 2 < V i + 2
1
< ——1
V i +2
Vv
1
< — -------<1. =>1
2
2
1
1
-/i+ 2
|- ¡ =1 ----- 1< 1
Funciones Reales de Variable Vectorial
317
|- - 9 j < S, =1 => —1 < z - 9 < 1
8 < z < 10
2^/2 < -Jz < -n/10 < 4
=> |-\/z j< 4
(4)
2 V 2 + 3 < V r+ 3 < V ÍÓ + 3
1
-v/lO +3
— < — — <1 => I — — 1<1
V z+3 2 ^2 + 3
V z+3
además jjr —1| < 5 2 , |>'—4| < S 2 . | r - 9 | < 8 2
—(5)
reeemplazando (2),(3),(4) y (5) en (1) se tiene:
|f ( x , y. z) - 7| < 252 + 452 + 452 + 282 + 82 = e
g
, e.
de donde 1382 = e entonces 8 2 = — por lo tanto 35 = min {1,— }
5)
lim
x 2-Jv + V'íx = 6
(i.iF > ( l.4 )
Solución
Consideremos f { x , y ) = x 2J v + v-Jx, entonces
= 6<=> V e > 0 ,3 5 > 0 /0 < ||(x , v )- (l,4 )J < 8 = » |/ ( x ,v ) - f i|< e
Además 0 < |(.r,.v) -
<S < » |x - 1 |< 5 a |> '- 4 |< 5
| / ( x, y) - ó| = \x2J y + y-Jx - ó| = |x2 ( J y - 2)| + 2(x 2 - 1) + v(4 x -1 ) + ( y - 4)
= l* 2 -¡ñ"— ( y - 4 ) + 2(x + l ) ( x - l) + y - 7J — ( x - l ) + ( y - 4 ) |
■Jy + 2
jx +1
< |* |2| - J — | | y - 4 |+ 2 |x + l | | x - l | + | . H f ^ j — ||a r - l | + | v - 4 | . „ ( l )
-y/V+2
sIX+l
318
Eduardo Espinoza Ramos
Como | a: — 11< Sj =1
0 < jc <2
=>
2.
H <
|j t + 1 | < 3
0 <-Jx <-j2
(2)
1 < -\/x +1 < -Jl +1
1
V2 +
1
< - 7=1
4x+ \
<1
, => |-. j= 1 . |< , 1
yfx + l
| v - 4 | < 8 , =1 => - I < v - 4 < 1
3<v<5
=> |.v|<5 ■
■sl3<Jv<4s
■J5+ 2 <
;
(3)
+ 2 < -\/5 + 2
1 •< —;=—
1 <!
1— 1<
, 1, =>
^ 5 + 2 f i + 2 \¡3 +2
M.*
■
como
|x - lj < 5 2 ,
y[y + 2
I<1
(4)
<¿>2
reemplazando (2), (3), (4) en (1) tenemos:
|/( jc .J ') —6| < 4¿>2 + 6 8 2 + 58 2 +¿>2 = e de donde 1682 = e ^ S 2 = —
por lo tanto 3 S = m in{ 1,— }
16
Solución
Consideremos / ( jt. v . z ) =<J-x - J y z , entonces
lim
f(x,v,z) =0 »
<A.y.í)-.( 1.1.1)'
V e> 0,38 > 0 / 0 <|(jr, v , z ) - (-1,1,1)!< 8
=> |/(x ,_ v ,z)-0 ¡ < e
319
Funciones Reales de Variable Vectorial
Además O < |¡(x. y. z ) —) -1,1,1 )||< S <=> |x + 1| < 8
a
|y - 1] < 8
|z - 1| < 8
a
\ f { x , y , z ) - ^ = \yf^x - J y z - ( \ = \ ^ ^ í ^ x - ] ) - ^ y ( ■ J z - \ ) - ( - J v -1 )|
=1
(y -l)|
■J-x - I
1
< |
J z +1
■yfy + 1
||X + 1 |+ |^ ||- = .L
h x +1
1
||Z_1|+|
Vz + 1
1
r1
Ahora acolando las funciones ,— — , ^ v ,
V-jr^+1
VT+1
I
como |x +1] < 8 , = 1 -1 < x + 1 < 1
■_
-/v + l
II
y.
(1)
>/y + 1
-2 < x < 0
0 < -x < 2
0 < 4 - x < *J2
(2)
1 < -\J—x +1 < -\¡2 +1
- = 1— < - = 1— <1
V2 + 1 V -Jr + 1
j v -l] < 8, =1
0 <y < 2
=> ,| - = 1 — ,1<1.
V -Jf + l
=> —1 < >*—1 < 1
=> | *Jv |< -Jl < 2
0 < J y <sf2
(3)
0 < sjy +1 < ~Jl +1
1
'J l + 1
-Jv + 1
=> I ~F=--- 1<1
-J y +1
| r - l | < 8 , =1 => - 1 < r - l <1
V2 + 1 < J z + l
<1
Vz + 1
<1
(4)
Eduardo Espinosa Ramos
320
corno \x + l| <
• |>’- l| < ¿ 2 ' l - - l | <
••• (5)
<?2
reemplazando (2), (3), (4) y (5) 4 en (1)
| / (x ,y ,z )-o | < S2 + 262 + S2 =e=> S 2 = — por lo tanto 35 = m /n{l,—}
7)
-Jx - J v + J z + Jto = 6
lim
(jr.y.z.<B)-»(1.4.9.16)
Soluclén
Consideremos f ( x , y , z , ( ú ) = J x - J y + J z + J t o , entonces
f ( x , v , z,to) = 6 <p> V e > 0 ,3 5 > 0 / 0 < |(.v, v , z , í u ) - (1,4,9,16)¡< 5
lim
=>\f{x.y,:,<o)-(\ < e
- (1,4,9,16)|<5 <=>|jt —1| < 5 a | v - 4 ¡ < 5 a | z - 9 | <8 A |m -16j< 5
como 0 < |(.v.
\ f ( x , y ,z,< u )-6 | = \ J x - J y + J z + J o j - í | = |(V* - l ) - ( J y - 2 ) + ( J z - 3 ) + (Jci) - 4 ^
= 1- 7=^— ( * - 1 ) — 7= — ( v —4)+ r *
J x +1
<
1
| | x-l | + |-= !-
Jx + l
Jz + 3
J y +2
1
-v/w + 4
1
|| V-4| + | J _ ||z - 9 | +h ‘
J.V + 2
Ahora acotando las funciones
(z-9) + -pJ—-(w-16)|
Jv)+ 4
Jz +i
1
Jx + 1 Jy + 2
1
1
||w-16¡ ...(1)
como:
J z + 3 Jto+4
(2)
|r-S j < 5 , = 1 =>
|ü)-16j < 5 , =1 => | —= !
1< 1
yjeo + 4
321
Funciones Reales de Variable Vectorial
como |jr-l]< ¿>2. |y - 4 ¡ < 5 2. l-¿—9| < 5 2, |«)-16| < S 2
—(3)
reemplazando (2), (3) en (1) se tiene.
\ f ( x , y , z , t o ) - á < S 2 + S 2 + S 2 +S 2 =e=> S 2 = — por lo tanto 3 5 = m in {l, —}
4
4
xv
lim
7TTT = 0
(*.v) >(().(» |x| + | v|
•
V ( x ,y ) * ( 0 ,0 )
Solución
JCV
tV
lim
= 0 <=> V e > 0 , 35 > 0 / 0 < || (*, v) -(0,0) ||< 5 => | , - r - r- r - ° l <e
( v. . )—(«»-(») |JC]+| v|
'
W +W
Además 0 < ||(jt, y) - (0.0)|| < 5 <=>|,t| < 5
1— 2
I t ] + I Vi
^
l* l + l.l'l
o h
|JT| + I.V|
a
| yj < 5
< ||,|( l < |H ' | l ’l> - [ v | < 8 - e
|jf|+ L v |
JCV
Luego tomando o = e se tiene | ----- :------ |< e
|.v|+|y|
Siempre que 0 < ||(x .y )-(0 .0 )||< 5 , con lo que se demuestra que:^
II.
lim ^ ^ f ( x , y ) = 0
Cálculo de Límites
1)
Calcular el límite
X\}
lim — —y , si existe
(v. v)-»(0 .0 ) x + v
Solución
Para ver si existe
lim
—
xv
■
. ■
i
j , tomaremos dos camino, si estos limites son iguales,
u .v )-> (u .o ) x " + v
intentamos demostrar y en el caso de ser diferentes diremos que no existe el limite.
322
Eduardo Espinazo Ramos
T:a(t)
= ( t , t ) de donde a (/„) = (/„ ,/„ ) = (0.0) => /„ = 0
2
,
1
¡im
— - = lim — - = —
(.i.i-)->(o.o) x~ + v ' i »«2/' 2
T
XV
I
S: P(t) = (/,3í)de donde /J (f„) = (/„.3/„) = (0,0) =>/„ = 0
xv
3/ 2
3
¡im —7 ^— —= ¡im
= — como:
(jT.v) *(<>-<>) x~ + v‘ i ><>10í~ 10
xv
—7 ^ — - *
¡im
r
*
( t . i ) -»(«.«) X - + V"
xv
xv
——— y => 3
lim ——— —
(jt.v)-»(
(j>.v) *(<•.<») x~ + v
\ 0 .0 ) x ~ + v
lim
4
2)
, 2
3
5
X v + 4x V “ V
Hallar
lim f ( x , y ) si existe, donde f ( x , v ) = — :— 5---- ~i " 2 "—
(*,>•) >(d.0 )
(x + v )
Solución
A la función fíx,y) expresaremos en la forma
/v„
»'(*4 + 4 x 2y 2 - y 4)
Mx A + 4 x 2y 2 + y '1,
l / ( * .y ) l I
t
22
I ly ll
2
22
I
( x ~ + y 2) 2
(x 2 + y 2)2
1
— (1)
*J
■ x 4 = /(x 2V
Ademas
) 2 ^< ,(x 2 + y 2V
);y 4 = ,(y 2V
) 2 ^^ /(x 2 + y 2V
)2
4
.
2
2
4
2
2. 2
2
2
„
2
2
.
,
2
2
,
,,
2
. ..
2. 2
x + 4 x y + y < (x + y ) + 4(x + y )(x + y ) + (x + y ) = 6(x + y )
-..(2)
reemplazando (2) en (1) se tiene
(x4 + 4 x 2 v 2 + v* 1
íx 2 + v 2 )2
| / ( x . y ) | < | y | --------—
y — < ó | y [ — —'-■ - = 6 |y |
(x + y )
por lo tanto 0 < I f (x, y)l < ólyl, de donde
11
(x + y )
lim
(jt. v)-»(0.0)
0<
lim
\ f ( x , v)| <
(.t,v) .(o.o)1
'
1
lim
(r.,-)
.(n.n)
ólvl
'• 1
323
Funciones Reales de Variable Vectorial
limI/(.r, v)| < O entonces
0<
( r . v ) —>(<U>r
'
lim
4
lim
3)
í . r . r ) —»( 0 .0 )
Demuestre que
2
'
1
5
x v + 4x v + v
— :—^
—=0
f { r, v) =lim
( f . v ) - í ( 0 .0 ) ‘
\ f ( x , v) = 0 , de donde
( . t . r ) - » ( 0 .0 )
1
( x “ + V“ ) “
lim
f ( x , v ) no existe, para la función J ( x , y ) = ln(
( . t . v ) - ^ ( o ,í / ) ’
a- x
) donde x
Q — V
< a, y < a.
Solución
lim
Para demostrar que no existe
f ( x , y ) , es suficiente tomar dos líneas que pasan
por el punto (a,a) y que los límites sean diferentes.
¿i = f(jt,y) e R 2 / y = 2 x - a \ y Z,2 = {(*•>') e R 2 />’= 4 x -3 a }
/ ( .r . v) = lim ln(
lim
f ( x , y ) = lim ln(
x -* a
(,t,v)->(o .o )
lim
G —2x + Q
*-»«
f ( x , y) *
¿f
4)
a —x
1
------ ) = lim ln—= - l n 2
lim
M
a —x
a - 4 x + 3a
lim
x-> a
2
1
) = lim ln — = - ln 4
*->«
4
f ( x , y ) => 3
lim
f{x,y)
l2
1
jcvsen— , x * 0
x
Sea f ( x , y ) =
0
, x=0
Determinar
lim
f (x,y) y verificar dicho límite, mediante la definición.
(jr.v)-»<n.o)‘
Solución
Observamos que la función está definida en todo R 2. Luego tomaremos dos caminos.
S = {(x.y) e R 2 l x = o} y T = {(x.y) e R 2 l y = x}
Eduardo Espinoza Ramos
324
lim
f ( x , y ) = lim f ( 0 , y ) = Um0 = 0
(.t.jF)->(0,0)
JF-»0
’
lim
y
V-»0
f(x,y)= lim x
(r,y)-.(0,0)
( r ,y ) e S
,t->0
1
sen—= 0
X
( '. ^ > 6 ^
por lo tanto intentamos demostrar que el límite existe y vale cero.
lim
f ( x , y ) = 0 <=> V e>0,3¿> > 0 /0 <|(x, v)-(0,0)j < S => |/ ( x , > ') - 0 |< £
l / ( * . y ) - 0 | = |x y s e n - |= |j r ||y ||s e n - |< | x ||y |< 5 2 = e
Luego
0 < B(jc, y) - ( 0 , 0 )
5)
S =
tomamos
<
y
así
se
tiene
¿ ,1 o cual demuestra que
Comprobar que no existe
que
| x y sen — | < e
lim
f(x,y) =
x
siempre
que
0
4xy2 - 3 x i
lim
,
,
(*.>0 ->(o.o) x - y
Solución
Tomaremos dos caminos que pasen por (0,0)
5 = { ( x ,y ) £ / ? 2 / y = 0} y
lün
4^ 2 - 3^
(r.j')-’(o.o) x —y
= lim ^
v_>0
T = { (x ,y) e R 2 I x = y 2 - y ]
(y
- W r .y ¿ L \ =o
y)
y
.. ( y - l ) ( l + 6 y - 3 y 2) 1
lim
.
_ .
v —2
2
y- +o
4xy2 - 3 x 3
0 -3 x 3
„
„
= lim - 3x - 0
lim
— ^----- 5— = lim — ñ
(jroO-»(0 (0 ) x - y
*->o x - 0
*->o
s
como
4xy2 - 3 x 3
4,ry2 - 3 .r 3
4jty2 - 3 x 3
lim
—
,— *
lim
— H---- j— , entonces 3
lim
,
,
(t,>.)->(o,o) x - y
(t,x)->(o.o) x - y
(*,>o->(o,o) x - y
t
s
325
Funciones Reales de Variable Vectorial
6)
lim
Calcular si existe
U ,v ) ^ ( 3 .1 )
f ( x , y ) donde
' V
-
x 2y - 6 x y - x 2 + 6 x - 9 y —9
A-----------¡r----f ( x , v) = ----------- 1— ~
( x - 3 ) + (y —1)
Solución
A la funcitSn f(x,y) expresaremos en forma factorizada.
x 2 v - 6xv - x 2 + 6x + 9 y - 9
í(X 'y) ~
f(x,y) =
(x -3)4 + (y -l)2
x 2 (y - 1 ) - 6x(y - 1 ) + 9(y - 1)
"
( x - 3 ) 4 + ( y —l)2
(x 2 - 6 r + 9 ) ( v - l )
(x —3)2( v —1)
íx —3)4 + ( y —l)2
( x - 3 ) 4 + ( y - l)2
Tomemos dos caminos que pasen por el punto (3,1)
r= { ( x ,y ) £ R 2 ! y = l + ( x - 3 ) 2)
lim
X
(.r.y )-> (3 .1 )
f (x, v) = lim f {x,—) = lim
'
* >3
3’
,r - » 3
( ,r-3 )4 + ( - ~ l )2
S
lim
um
>3 9(x -
3 (x - 3 ) 3
2
3)
3(x —3)
„
—
= uml m ---------- 5^----j —
---- = 0
+ (x - 3)
*->3 9(x - 3 ) 2 +1
2 (x -3 ) 4
lim f ( x , y ) =
lim
/ ( x ,l + 2 ( x - 3 ) 2) = lim --—4 —
r r =7
(r,.v)-^(3,l)
(jt,>>)-£(3.1)
Jr->3 ( x - 3) + 4(x —3)
Luego como
lim
r
f(x,y)*
(.r ,v ) - > ( 3 ,l)
7)
Comprobar que no existe
lim
s
f ( x , y ) => 3
U .v J ^ O .lV
lim
lim
(. t. jv)-» (3 .1 )
4 xy 2 —3x 3
Solución
Tomaremos dos caminos que pasen por (0,0)
5 = {(x,y)e R 2 / y = 0} y
T= {(x ,y) e R 2 / x = y 2 --y\
/ ( x ,y )
5
Eduardo Espinoza Ramos
326
4 x r - 3* 3
i
i\TY\
hm
y—
>0
y-*0
(y -l)(l + 6 y -3 y )
>>-2
lim
s
como
0 - 3 jc
= lim -3 jc = 0
*->0
4 rv 2 - 3x3
4 rv 2 - 3x3
4 rv 2 - 3jr3
lim
— ñ
^— *
lim
— ,
ñ— , entonces 3
lim
— ;------ —
(*..?)-»<O.ii) Í " - V
(jr,.y)—
KU.0) JC2 - V 2
(Jr,y)->(0.0) x 2 - y 2
T
III.
O'2 - * ) 2 - * 2
*->0 JC - 0
- y -
n
— U
1
i— = lim
X
v)23 (jc -3 )
=—
2
4 jo ’2 - 3 jc3
(Jr,.y)->(0,0)
(y2~y)(4y2
-3 )(y 2 ’
t -1- ■ ^
^
— llff t
x 1 —V2
(.r.y)->(0.0)
r
S
Ejercicios Sobre Continuidad
1)
Analizar la continuidad de la función
a~ ( x 2 + y 2)
2
f(x,y) ='
x +y
0
si ( x , y ) *(0,0)
2
,
si (x ,y )* (0 ,0 )
Solución
U o .J'o )* (0 .0 ) => f ( x 0,y 0) = — 2-------y = f ( Xo,yo)
de
donde
*o +y<>
lim
f ( x , y ) = f ( x 0, y 0) entonces f(x,y) es continua en R 2 - {(0,0)}
(*.y)->(Wo)
«)
Si
b)
Veamos si f es continua en (0,0). Sí (x,y) -» (0 ,0 ) =>- x 2 + y 2 = 0 +.
2
2
Sea u = x + y =>
Luego
e - (*W )
e-u
1
1
lim — j------ ~ = l i m
= l i m — —= —¡- = -h»
(r.yi^to.o) x + y
u—
>o+ u
u-»o* ue
0
lim
/ ( * , y) * / (0,0) = 0
(*.y)-,(0.0)
.-. f no es continua en (0,0)
Funciones Reales de Variable V'ectorial
2)
327
Analizar la continuidad de la función
xjv
si u \ J ’) * (0,0)
M +W
si ( x , y ) = (0 ,0)
Solución
Para que la función esté bien definida, y > 0
a)
f no es continua en S = {(x, y) e R2 / Y < 0)
puesto que sí, y < 0 =>
b)
y por lo tanto 3 f(x, y)
f es continua en T={(x, v) e R 2 / y > 0¡ puesto que sí (x0,yo) e T entonces
xo-\[yñ
./(xn»>’o )=}—n —í y P°r,otanl°
c)
~ f ( xo<yo)
Ahora veremos si f es continua en (0, 0).
Sea C= {(jc, y) e R 2 / y = x, y SO} entonces
xJv
x-Jx
ifx
j—r= l i m
= l im
= 0,
u.v) >(ii.í» |.r| + |v| x-»n 2|.v| x-»o 2
lim
lim
f ( x . v) = 0 «
ahora
demostraremos
que
V e> 0,35 > 0 /0 < |(x ,y )-( 0 .0 )] < S = > |/( x ,y ) - 0 | < e
0 < |(x .y) - (0.0)| < 5 =>|x| < 5 a|_v! < 5
de donde
l*l+|y|
Ul+lyl
\x \
|y|< C2 => 3 S = £ 2
f es continua en (0, 0) puesto que
continua en { ( x , y) e R 2 / v i 0}
lim
f ( x , y ) = 0, por lo tanto f es
Eduardo Espinoza Ramos
328
3)
Analizar la continuidad de la función
, 2 +. v 2
xcos-dx
/ ( * , v) = >
sen 2 x
2
n + v2
yjc
x +y
■vz (x ,y ) * (0,0)
2
0
si ( x , v ) —(0,0)
Solución
a)
Para (x0, y n) * (0,0) = > /(x „ ,y 0) =
lim
f(x,y) =
lim
r„cos ^ x n2 + y fí2
Vx 02 + y 02
I 2, F
x co sy x + _y-
x0 c o s f i ¿ ¿2 + V 2
Vv+ v"
lim
Luego, como
sen2 x„
2 2
x o +.n>
2
sen x
2
sen JC0
v+ v
f ( x , y ) = f ( x 0, y 0), entonces f es continua en todo
R 2 - {(0,0)}, ahora analizaremos si es continua en (0, 0).
Sea
S = {(x, y) e R2 / y = 0 }
/ 2, 2
2
i I
2
xcos-dx + y
sen x
xcoslx sen x
lim -----■---------- — — j----- r = lim— —--------- z—
(j:,>.)-.(0 .0 )
^ x 2+y2
x +y
*-> 0
|x|
x
0
.vi x > 0
[-2 si x < 0
por lo tanto 3
lim
f ( x , y ) , luego la función f(x,y) es
<jr,.y)->(0,m
discontinua en (0,0)
xy
4)
S i/( x ,y ) =
í
. 2
x 2 +y
0,
si ( x ,y ) * (0,0)
. Determinar si f es continua en (0,0)
s¡
(* ,y ) = (0,0)
329
Funciones Reales de Variable V'ectoria!
Solución
La función f(x, y) es continua en (0,0) si y solo si
lim
f ( x . y) = f (0.0) = 0. por lo
(r.j) *(11.0)'
tanto, calcularemos el limite de la función fix, y)
xv
lim
i
= / ’(0,0) = 0, para que sea continua, para esto tomaremos dos
(*.»•) ►(().(>) J x2 + v2
caminos diferentes.
Sea S = {(x, y) e R2 / y = 2x} y T = {(x, y) e R " / y =5x}
xy
lim
- = lim —i
ix..i')—*(o,o) •! x 2 + v 2
y
x(2x)
2x
— = lim —= = 0
*“* 0 ^ x~ + 4 x 2
»
x-tOifS
XV
5x
5x
. '
-■= lim - ■■ ■ = ■ = lim —== = 0
(.r.v)-*(o.o) y x~ + t;2 <-*°V t 2 +25x2 *-*» v26
lim
lim
ahora para decir que
f ( x . v ) —0; debemos demostrarlo, es decir:
( r . v ) * ( 0 .0 ) '
V e> 0,35 > 0 / 0 < |(x ,y ) -(0,0)|| < 5 = > |./(x ,y )-0 | < e
Además 0 < ¡(x,y) - í 0.0)| < 5 <=>|x| < 5
l/(Jc..v)-0|=|
XV
- 0 |=
X2 + V2
a
| y| < 5
|x||y|
-Jx2 + y 2 | y|
/ x 2 + v2
p ~ +y 2
= 1 v|<e
X )'
Luego tomamos 5 = 6 , tal que
lim
,---------- = 0 => / ( x , y ) es continua en (0,0).
(r.v)-»(0.0) J x2 + y2
4 X V *»
»
5)
si (x ,y ) * (0,0)
2
2 "> *
Dada la (unción f definida por: / (x ,y ) = ' (x + v )0,
Determinar el conjunto de puntos donde f es continua.
si
( x, y) = (0,0)
Eduardo Espirtoza Ramos
330
Solución
4jr„v|¡
Sí (xn,v „ ) * ( 0 .0 ) = > f ( x 0, y u) = — l
U o + .'-o )'
lim
f{x,y) =
lim
Luego como
Ahora
veremos
lim
<>.V)
4 xv4
4jrnvo4
— = ------;------ T T =
(.r" + v ~ )
(jr()- + v„-)
—^
-vo)
J (x ,y) = f { x 0 v„), la función f(x,y) es continua V (x,y)*(0,0).
si
f ( x , y )
lim
entonces
es
continua
en
(0,0),
es
decir
que
veremos
que
si
= f { 0,0) = 0 para esto tomaremos dos caminos que pasen por (0,0).
Sea 5 = {(*,>>) e R 2 / y = x } y T= {(x,.y) e R 2 / y = o}
4x5
= l im—— = lim 4x = 0 y
lim
(jr.y ) -»(jrn .y „)
* -» 0 X
4x(0)
f ( x , y ) = li m— j------J = l'm 0 = 0
lim
í>()
(jr,v )-» (x 0 ,>■„)
Luego demostraremos quelim
f(x ,v )
(.v.v)-*(0.0)'
=
.r-» 0 ( x
+ 0)
.r-» 0
0
V e> 0,35 > 0 / 0 < ||(x,y) - (0,0)|| < 5 => ¡ f ( x , y ) - 0¡| < e
Además 0 < ¡(x.y) —(0,0)|| < 5
(x
+ v
)
<=> | jc| <
<5 a
(X + y
)
|y | <
5.
(x + v
)
e
e
4xv4
por lo tanto |x |< —, luego tomamos 5 = — de tal manera que | — -—:——- - 0 | < e ,
4
4
(x + v )
siempre
lim
que
f
(jc , y )
0 < ||(x ,y )-(0 ,0 )|| < 5
= f
lo
cual
demuestra
2
(0,0) = 0 y por lo tanto f(x,y) es continua en todo R .
que
331
Funciones Reales de Variable Vectorial
6)
Dada la fiinción f definida por:
XV
X
2
+ V
si (x, y) * (0,0)
6
. Determinar si f es continua en (0,0).
, si (x, v) = (0,0)
0
Solución
Para que f(x,y) sea continua en (0,0) debe cumplir:
i)
(0,0) e Df , o que esté definida en (0,0) es decir f(0,0) = 0, existe.
ii)
Que
lim
3
.f(x,y)
y para esto primeros tomaremos
dos caminos
( .r .v ) - » ( 0 . 0 )
■£ = {(*,y ) e R 2 ! x = 0} y T = { ( x , y ) e R 2 l x = y*}
0
f ( x , v ) = l i m — =l im 0 = 0 y
lim
( jr .v ) - » ( 0 .0 ) '
y
S
por lo tanto como
*fl V
■
lim
v -» 0
T
f{x,v)*
( j r .v ) - » ( 0 .ll) ‘
lim
7)
lim
/( x ,y )
( v .r ) - i ( l ) . O )
S
entonces 3
v
f ( x , v ) = lim
( v . i ) - » ( 0 .0 ) '
v->o„ v <* +. v6
lim
T
f ( x . y ) , luego f(x,y) no es continua en (0,0).
Dada la función f definida por:
f(x,y) =
x 2v
■
2 ' ¿ , si (x, y) * (0,0)
v +x
. Determinar si f es continua en (0,0).
0
, si (x, y) = (0,0)
Solución
Para que f sea continua en (0.0)
je cumplir:
i)
r (0,0) s D r
Que f(0,0) = 0 existe. c>
2T
332
Eduardo Espinoza Ramos
il)
3
lim
f ( x , v ) ; para esto tomamos dos caminos que pasan por (0,0) tales
como:
S = {(.v, v) e R 2 / y = o} v T= {(x, y) e R 2/ y = x 2 }
lim
/ (x, v) = lim ^ = lim = 0
(t.i)—^->(0.»)'
j-.o o + x
■»-»" x
xA
j =x +x
limJ ( x , v ) = lim —
(-1 ..D r ►<<».«)
i
lim
por lo tanto como
(.r .v )
entonces
1
2
f[x,v)*
— ►<().»)
Um
3 lim f ( x , y ) , luego f(x,y) no escontinua en (0,0).
( «.!■) +(».0)'
i
8)
f(x,v)
<*..>■)— p -> (( 1 .0 )
Dada la función f definida por: f ( x , y ) = i
,
.w
y
a.
v -y
| x+v
. Analizar la continuidad
, si y = x
en todo su dominio.
Solución
2
La función dada f(x,y) tiene su dominio en todo R analizaremos la continuidad en la
'orma siguiente:
2
i)
Si
y^x ^
2
x -y
f ( x , y ) = ---------- = x + y analizando la continuidad en la región
x-y
y # x se tiene si (xn,y„) es un punto de la región y * x, entonces
lim
f ( x , y ) = xn + y n = f ( x 0, y 0) entonces
f(x,y)
es
continua en la
región y * x.
II)
Ahora analizaremos la continuidad en todo los puntos sobre la recta y = x, sea
(x0,y 0) puntos sobre la recta y = x.
333
Funciones Reales de Variable Vectorial
lim
f(x,y) =
(jr.>J-»(jr0,y0)
lim
t*.v)-»U0,y0)
x + y = lim x + x = 2 x 0.
x-it0
lim
Luego para jc0 * 0 . 3
f ( x , y ) , por lo tanto f(x,y) no es continua en
(jc .y )-» (jc 0 .>0 )
lim
y = x, x * 0 para x = 0,
f ( x , y ) = /(0 ,0 ) = 0, lo cual demostraremos,
( jf .y ) - * ( 0 .0 )
es decir, V £ > 0, 3 8>0, tal que, 0 < ||(jc,y)- (0,0)|| < 5 => \ f ( x , y ) - oj < e
además 0 < ||(x,y) —(0,0)|| < 5 => |jc| < 5 a | y¡ < S
|/(A ',y )-0 ¡ = |x + y |< |jc | + | y | < 5 + 5 = e = > 5 = —. Luego
tal
que,
|/ ( j r , y ) - 0 | < e ,
demuestra que
lim
siempre
tomamos
que 0 < |( x , y ) - ( 0 ,0 ) |< 5 , lo
<5 = —
cual
f ( x , y ) = 0 , entonces la función f es continua en (0,0),
( x . y ) —> (0,0)
por lo tanto diremos que la función es continua en todos ios puntos en que y = x y
en el origen.
•\ f(x,y) es continua en todo R 2
9)
Dada la función f definida por:
z.xy
2
—
y » si 0 < x + y
X~ + V
/( x ,y ) =
1
x ' + y2
2
<1
, si x 2 + y 2 = 1
, si x 2 + y 1 > 1 ó (x ,y ) = (0,0)
estudiar la continuidad de la función f sobre su dominio
Solución
•>
De acuerdo a la definición de la función su dominio es todo (x,y) de R~
Eduardo Espinoza Ramos
334
2
2xy2
?
Analizando para la región 0 < x + r* <" 1 => / (x, i') = —------.v + v“
7
esfunción racional.
i
entonces es continua en la región 0 < x" + r “ < I. Ahora analizaremos en la región
**2
x~ + y
2
7
> 1, es decir la parte exterior a la circunferencia x + y" = 1 y como ¡a función
■>
■>
J ( x . y ) = x~ +y~ es polinomica, es continua en todo su dominio, en particular en la
región x~ + y~ > 1.
Ahora analizaremos L. continuidad en la circunferencia x~ + v" = 1, es decir, veremos
si existe el límite en cualquier punto (x()ty,)) sobre la circunferencia, o sea jr|¡ + v,2 = 1,
para esto consideremos dos caminos S = j(x, v) e R 2 / x 1 + y 2 > lj, si nos acercamos al
(x0, y 0)
punto
a
través
del
conjunto
S = j(.v,y ) e R 2 I x 2 + y 2 > ij
y
sea
7’= {(x ,y ) e R 2 / C ^ * 2 + y 2 < lj y si nos acercamos al punto (x0, y 0) a través de este
conjunto T = {(x,y) e R 2 / O < x 2 + y 2 < l}
lim
f(x,y)=
( r . v ) — ¡ - t ( x 0 ,y „ )
hm
(*■>)—
o-v»)
lim
x 2 + y 2 = x£ +_Vq = 1
—(1)
( x .y ) — ^ ( x B.y „ )
f ( x ,y)=
hm
2xy 2
—
j =~
2 x nyo
x n + y„
+ y
lim
y por lo tanto de ( I ) y (2) se concluye que 3
( x .v )
2 x „ (l-x 2)
J = ~ ---------- T i
v(j + ( l - x 0 )
— t 2)
/ ( v,v), luego la función f(x,y)
y„)
no es continua sobre la circunferencia. Analizando la continuidad en (0,0), se tiene:
i)
f(0,0) = 0, la función está bien definida.
Ii)
Ahora veremos si 3
lim /(.v , y), para esto tomaremos dos caminos diferentes
(A.V)-»(«.0)
í
**
2)
que pasan por (0,0) sea, S = |(.r, v) e R~ ¡ x = v J entonces:
335
Funciones Reales de Variable Vectorial
2 *»
V
í
2
)
lim
f ( x , v ) = lim—
j = 1 y sea T = wat, v) e 7? / v = OJ, entonces
<*.»■)—^->(0 .0 )'
’
>■-»<• v + v
2x(0)
0
lim
f ( x , v ) - lim — ----- = lim — = 0 . Por lo tanto como
(*.v)—y-MO.O)
v-»«jr + 0 ir—
»o x
( v .i)
lim
f(x.v)*
- - .« u n
entonces 2
lim
( i . v) —
í
f(x,v)
( ( i.( ii
lim
f ( x , y ) , luego la función í(x,y) no es continua en (0,0), por
(jr.v)->(0.0)
lo tanto la función es discontinua en la circunferencia x 2 + y 2 =1 y en el origen
( 0 ,0 ).
10)
Dada la función f definida por:
2
vx
\ x + ~ — 2 ' ■«'(*.»')*(o.o)
j\x%
y) = 1
x +y
. Determinar si f es continua en (0,0)
[
0
, si (x, V ) = (0,0)
Solución
La función f(x,y) es continua en (0,0) si
lim
f ( x , y ) = f ( 0,0), para esto
consideremos S = j(.r, y) e R 1 / y = mxJ una familia de rectas que pasan por el punto
(0,0), entonces:
lim
f(x,y)=
(* ..v )— j-»(0 .0 )
lim
2
\x
2
mx
(x + — ----- j ) = lim(x + —r------ 5-
x +y
(jr.v » —
x +m~x
7
)
2
mx
= lim (x + —j----- 2 ")= 0
a—
*o
x +m
2
para decir que 3
lim
f ( x , y ) = 0, debemos demostrar dicho limite, es decir:
V e > 0 , 3 5 > 0 /0 < J ( x ,j')- (0 ,0 ) J < 5 => | / ( x , y ) - 0 | < e
336
Eduardo Espinoza Ramos
además O < ¡(x, v) - (0,0)|| < <5 => |x|<<5
x +y
|>j < S
a
x +v
x +y
además se tiene (x ‘ -|> ])2 > O => x* + y 2 > 2 |> |x|2
1
^
-I
ll |2
2|v|U|
1
.
~
4
X
+V
~
1
eS ^ e c ' r
x
4
1
~ —
+y~
|
.2 1 I
•*•
2|jt| |v|
reemplazando (2) en (1) se tiene:
i/(*. v) - oj < m :*+y j d h i < W2 +k i i = 2 W2 < £
x +y
2
2
i i |2 e
.
I2e
entonces |x| < J — = S . Luego tomamos Ó = — tal que:
V3
\ 3
I\1(x, V ) - q < —
3 i|-v|“ < —.—
3 2 £=£
2
2 3
siempre que 0 < |(* .v ) - ( 0 .0 ) | < S , lo cual demuestra que
(jr.ylim
)-»(0.0) f ( x , y ) = 0
La función f(x,y) es continua en (0,0)
11)
Analizar la continuidad de la función / ( x , y ) = [ \ x 2 —x + y\ ]
Solución
f ( x , y ) - [x2 - x + y |] = [ | ( x - ^ ) 2 + ( y - ^ ) | ] , cuando se tiene ( x ~ ) 2 + y ~ ^ = k ,
k e z, la función no es continua, para esto tomamos un punto en la parábola
1 2
*
(x — ) + v
= k y coasidercmos una curva C, en el interior de la parábola, es decir:
2
4
337
Funciones Reales de Variable Vectorial
( x - —) 2 +
2
lim
4
A: => [ | ( x - - ) + (v ——) |] = A —1 por lo tanto
2
4
f(x,v) = k - l
••• (1)
en forma similar tomaremos la curva C2 en el exterior de la parábola, es decir en
1 2
I ■
( * - - ) + y —¿ >k =>
por lo tanto
lim
,.
1
v ——i] = a-
f(x,v) = k
de (1) y (2) se tiene que:
3
1 2
™ (2)
lim
f(x,y)*
lim
f ( x , y ) entonces
f ( x , y ) por lo tanto la función fl[x,y) es continua en la región
lim
(*,>)-»(■*o-Xo)
R 2 - j ( x , y ) e R 2 / x 2 - x + y = A:}, gráficamente sería:
(3.18 Ejercí
Mediante la definición de limite demostrar que:
1)
x~+2x- y = 4
lim
2)
3)
lim
(jr.v)-*( 1.1)
X2
3x2 - 4 y 2 = - 4
lim
(■*.»•) -»(2.-2>
( .r .y ) - * ( 2 .4 )
+ V2 = 2
4)
lim
( x .v ) - » ( 3 .1 )
x 2 - y 2 + 2 x - 4 v = 10
338
Eduardo Espinoza Ramos
5)
lim
x 2 + y 2 —4 x + v = 4
6)
> (3 .-1 )
7)
x +2x- y= 4
lim
8)
e lax - e lDy + 4 x - 8 y = 3
lim
10)
(v.v)->(2.1)
11)
2 x 2 - y 2 = -1
lim
x 2 + v2 - 2 x + 2 y = 2
(jr.y)->(U)
( jr .y ) - > ( 2 .4 )
9)
lim
( jr .v ) > (2.3)
lim
^ y 2 - x 2 = ->¡5
( Jr,> ) - > ( 2 .3 )
lim
(jr.y.z)->(l.l.l)
■Jx+Jy + J z = 3
12)
-J- x - J y z = O
lim
( r .v v z ) —> ( - 1 . 1 . 1 )
-
13)
lim
-Jxz-Jy + ^ = 2
14)
(jr j - j ) - » ( 1 . 4 , 9 )
15)
lim
x 2J y + v-Jx = 6
16)
lim
J x v + 5v~
— ------— = 2
(Jr.v)—
>(1.1)
19)
18)
,t + 2v
x 2v 2 - v 2z 2 - 5 V z = - 1 7
lim
20)
lim
ijxvz - 6
xz-y
kk)-i(0,1,4)
lim
4 x -J v -4 z+ J x y + J v z =4
(jr,j\í)—
>(1,4.9)
24)
lim
(.r.>v)->(-4,-1.1)
25)
lim
x 2 + 2 J ^ + z 2+ 2 x = n
2 x 2y + z 2 + - Jz+ 1 + ^ / y - 2 = 2 5
( x ,y j : ) - > ( l ,6 .3 )
. . .
26)
hm
lim
J-xJ-y = \
U.|.j,/)->(i, íj.i)
lim
=
.
0
2x z - v
,.1 /3
(jrvzí)
,
,.1 /3
- ( v z í)
,1 /3
+(
,
=1
4
lim
(>.v.i)->(3.-2.1) yz + .r 2
( jr.i-jr) -> (1 .4 .9 )
23)
lim
•= 0
(jr.v)->(0 .0 ) x 2 + y 2
(t.v)->(0 .0 ) y 2 (jr2 + y 2 )
( j r .v ¿ ) - > ( - 3 .1 .4 )
21)
3
(JT.V)->(-!.-!)
( .r .v ) —> (1.4)
17)
3
2x - y
11
339
Funciones Reales de Variable Vectorial
x 2y 2z 2 - 9 v z 3 - J v +1
— --------- — j—
=O
lim
-
27)
(J r..v jr)-» í3 .1 .1 )
28)
yZ + X
V1-Jx +z x2 - v4~z
lim------ ------------------ :------= 3
í *.v j )-»(1.-2.4)
II.
3z+4v
29)
lim
xyz - 2 x z —-J2xy - -jiy z + 2-j2x - -JZy + 2 -jiz - -2-Jb
(jr.y¿)-»(V3.2.^2)
30)
lim
xv = I
(>.l)->(<).<))
Calcular los siguientes limites si existen:
2
1)
X
lim
2
+ V
—========—
Rpta. 2
(jr,>)-((>.(» yjc + y +1 _1
2)
3)
V ^v+ i-i
lim ------^ j —
(jr.>)->(0 ,0 ) x ~ + y
sen xy
lim
(jr.y)-*(0 .2 )
Rpta. 0
Rpta. 2
x
4)
sen(x3+ v3)
lim ----- 5----- j—
(jr.y)-»(0 .U) x + y
Rpta. 0
5)
cosxy - cos(sen 2 xy)
lim
------------5— 5-------—
(.r.v)-»(0.0)
XV
3
Rpta. —
2
lim (l + x 2y2)e * +y
(jr.y>-*(0.0)
Rpta. 1
6
)
7)
8
)
lim
(x.y)->(2.l)
Jxy- 2+ jtV -8
J X 2 V2 -
4
1
n xv
x y + sen(— —)
lim
.
^
(i.i)-»(1.2)^v 2 J|. _ C0S2 ^ x
1
Rpta. —
2
2
Rpta. —=
v3
340
Eduardo Espinoza Ramos
9)
lim
(jr.v-)->(0.0)
2
2
jrv
2
10)
1
(x + y )sen(— )
2
X V
4 ' 4
lim
Rpta. 0
Rpta. 3
x +y
11)
12)
lim
x+ y
— — ■—j"
Rpta. 0
(l+ -)x
Rpta. e k
(jr,j’)-*(oo,co) X + V
lim
(jr,v)-»(ao.i)
13)
14)
X
X
2
- V
2
Rpta. 3
—i -----y
lim
(jr.>)-»(0 .0 ) x + v
lim
4
Rpta. 0
4
(*.>•)-»<0 .0 ) x + v
?
?
l- c o s ( x “ + v' )
15)
16)
17)
lim----- — }---- j— Í~i~
<*.>•>-♦<0.0) ( x “ + .V
1-cos(sen4xv)
j---------- '—
lim
(jr.v)-»(0 .0 ) sen (sen3jrv)
lim
1 -co s(sen h (x + v))
------ 5-----------------—
(.<.>■) -»(«.o) sen ' (senh(2x + 2 v))
cos(sen(x + v ) ) - c o s ( x + v)
----------------- 1----- 5----------1—
18)
(*.v)-»(0.0)
19)
lim
20)
lim
(.rt>0-»(2.0)
Rpta. 3
)X y~
(*+_)>)
x + ln( 1 + xv)
1+ X+ J>
arcsen(ry -
8
Rpta. —
9
1
Rpta. —
8
Rpta. 0
2
Rpta. —
3
2)
lim
(jr.>)-»(2 ,i) arctg(3xj>-6)
1
Rpta. —
3
341
Funciones Reales de Variable Vectorial
21)
23)
x 4 + 3x2 v2 + 2xv3
(jr.v)->(0 .0 )
(jr2 + v2) 2
22)
lim
lim
1
(r..i)-»(i.2)x 2 + y 2 - 2 x - 4 v + 5
1
(x + v )sen —sen—
x
v
24)
lim
x+ v+ z
27)
29)
26)
x+z
(..»)->( 0 .o)
(.T.y.z)—>(0.0.0) x
2
+V
2
i
lim
(jr,v)->(0,0)
34)
lim
(r .v )-> (0 .0 )
1C,
35)
37)
2
30)
2
- z
1 — XV
\+ XV + X
2
4
scn(.r + v )
lim
?
lim
x~
(jr.v)->(4.Jt)
ln(l +
)'
sen—
X
J 0 'Z )
V x I + v 2 - 1, x 2 + xy 2
y— j — '-í------ + — 5— ’-rr-)
X
+ y
-1
X
x 2v 2
2 2— =
x *y 2
+ (x —
—
y )
se n 1 ( x v - r 2)
— — -=— — -
lim
( j r .r .z ) —> (o.o.o)
36)
XV
1
n
2
3 3
.rvzsen(— + z ) + x v z
2
( jr .i \z ) - > ( 0 .0 .0 )
nm
2
1
4
28)
x + v —z
lim
< i.i.z) >(1.2.2) 5x" + V
31)
+Z
1
lim
(jr.y)->(0.0)
x 2z 2 + 2
lim
lim
(*. v)-»(O.D) xv + V
(a.v)->(0 .0 )
25)
xv —2 x —v + 2
lim
(x y
lim
3* V
lim
XV
(.v.y)->(0.0) x 3 + ,,3
(jr..v)->(0.0) x 2 + y6
- z )
+ _)>
x
33)
y
( x + .v )sen—y . eos—=>(0,0)
'
y
x
lim
Rpta.
3
2
1
R pta. -
8
V
2
Eduardo Espinoza Ramos
342
III.
Problemas sobre continuidad
1)
Determinar si f es continua en (0,0), donde:
x+v
—— —
, si (x.y) * (0,0)
x~ + v”
, si (x,v) = (0,0)
0
Rpta. Discontinuidad en (0,0)
2)
Determinar si la función f es continua ó no, donde:
sen ( x - v )
i , . .
M +PI
f(x.y) =
0
3)
| . , ,
> P ^ a |x| + | y | * 0
Rpta. Continua en todo R
, para (x,.v) = (0,0)
Averiguar si es continua la función: f ( x , y ) =
V i- * 2 - v
n
0
.
SI
,
X
2 2 .
+ V
> 1
Rpta. Es continua en todo R~
4)
Determinar si f es continua en (0.0), donde
f(x,y) =
xv
2
i
X +V
0
si (x, r) * (0,0)
, si (x, v) = (0,0)
x +v
5)
, si (x, v) * (0,0)
Determinar si fes continua en (0,0), donde / (x, v) = i |x| + |_v|
, si (x, v) = (0,0)
0
2
2
6)
(X , V) * (0,0)
3 V 3
,
Si
0
,
si (X ,.v) = (0,0)
Determinar si f es continua en (0,0), donde f { x , y ) = X + V
Funciones Reales de Variable Vectorial
7)
343
Determinar si la función f es continua en todo R donde:
sen(xv)
f(x,y) =
xv
1
8)
, para x = 0
v =
0
Analizar la continuidad de la función
xz- v
f ( x , y,z) =
— ------- 5------X + V + z “
,
( x , v . z ) * ( 0, 0, 0 )
si
( x , y , z ) = ( 0, 0 , 0 )
, si
2
3 - 3 sen(
9)
v
Sea:
2
2
x + v +z + n
1---------------)
2
’
“> 2
(x + v~ +z ~)
f{x,v,z) =
, (x,v,2 :) * (0,0,0)
3
, (jt, v,^) = (0,0,0 )
8
Analizar la continuidad de f en el punto (0,0).
10)
Estudiar la continuidad de la función en todo R
xy
,
(* ,v ) * (0,0)
f(x,y) = • J x 2+ y2
0
11)
, (x, v) = (0,0)
Analizar la continuidad de la función f en (0,0) donde:
/ 2
C O Syjf
f(x,y) =
X
2
+V
+ V
2
2
sen
2
x
-5
x +v
y
• si (-*..»') * ( 0 .0 )
, si (x, v) = (0,0)
344
Eduardo Espinoza Ramos
12) Analizar la continuidad de la función f en (0,0) donde:
\
X
1(x,v) =
r + .v-t
V
, si (x. v )* (0 ,0 )
. ' 2,
4
+ V
X
0
xi (jt,_y) = ( 0 ,0 )
,
x i'
13)
Determinar la región de discontinuidad, si: f (x, \>) = ( x 2 + v 2
2
X
2
2
2
x +v
Dada la función f definida por:
2x v~
2
—
t-, .vi 0 < x~ + y <1
x +y
iI
2
-x
, vi
?
2 2= 1 i
+ v
7
x + v“ , .vix ~ +y ~
16)
7
> 1 o (x, y) = (0,0)
Determinar la región de continuidad de la función f definida por:
j—
r
J { x , y ) = ^ x +y~
0
• •«' (-r,F) * (0.0)
, .vi (.t, v) = (0,0)
7
si 0 < x~ +y~ < 1
+ V
■Jx2 + V2 - 1
15)
(0 ,0 )
1
2Estudiar la continuidad de la función / ( x , y ) =
*
, .vi' (A,.v) = (0,0)
1
14)
vi ( x , v )
2 + v2 < 3i
si■ 1i ^ jc
. -
.
2
, si 5 < x + y
2
345
Funciones Reales de Variable Vectorial
17)
Determinar la región de continuidad de la función f definida por:
scn(v-x )
/(.t,v ) =
, si v * x
y-x~
1
18)
SI
,
v = JC
Determinar los puntos donde la función dada es discontinuidad y la región donde la
función es continua.
senfln 3
n * .y ) =
—
. si | * + > j * 0
ln3'
, si | x+y| = 0
-1
19) Si:
7TTTT1 •
f(x,y) = |3x|+|3y|
-1
,
(x, y) = (0,0)
Analizar si la función f es continua ó no en el punto (0,0).
20)
Analizar la continuidad de la funcii n f(x,y) en el punto (0,0) donde:
-2 2
2 jt v
( r —xv +1)
sen ;r----------------
, si x * - v
f{x,v) =
, si x = - v
21) Analizar la continuidad de la función f(x,y) si:
3
3
3
scn.r cosv + c o s .t .senv
.1
, si (*,>’) *(0,0)
f(x,y) =
0
, si (x,_v) = (0,0)
22) Estudiar la continuidad de la función en todo R
x 2. 2
si ( x , y ) * ( 0,0)
f ( x , y) = I JC3 1+ 1 VI3
0
, si (x, y) = (0,0)
2
346
Eduardo Fspinozfl Ramos
sen(tv)
23) Sea la función:
/ (x, y ) =
2
i x -*-y
, (x, y) * (0,0)
2
0
, (*, v) = (0,0)
Analizar la continuidad de f en el punto (0,0)
2( v +1)
si jr * 0 , v , v + x < 0
x ’ í l - y 1)
24) Sea:
f(x,v) =
( , t-l)x
si 0 < v + x
, ó x —0
v +v+l
¿En qué puntos sobre el eje Y, es f continua?
¿En qué puntos sobre la parábola v + x = 0, f continua?
25)
xv
.2
2 2
2
./( x , y , z , u ) = \ x + y + 2 +u
Es la función:
•
(x, v.z.u) * (0,0,0,0)
, ai (x, v,z,u) = (0,0,0,0)
Continua en el origen?. Justifique su respuesta.
26)
Determinar los puntos en los que la función es continua
sen (x-_v)
f(x,y) =
0
27)
, si |x |+ |j/|* 0
M +M
, si x = v = 0
Analizar la continuidad de la función
-|r
/(x,v) =
)
1
1
-s e n — .sen—
x
v
0
, (x, v) * (0,0)
, si (x, v) = (0,0)
347
Funciones Reales de Variable Vectorial
28)
Analizar la continuidad de la función g(x,y) en (0,0) donde:
(V2 x y )2
g(x,y) =
29)
+ v3
lg(-7r)
si (x,v) * (0,0)
si (x, y) = (0.0)
Estudiar la continuidad de la función
f(x,y) =2 7TX
i 7TV
eos — + cos“ —^
lg(x2 + v2 )
30) Analizar si la función f ( x , y) =
x 2 +y 2
si (x,>’)* (0 ,0 )
si (x, y) = (0,0)
Es continua en (0,0) ¿es continua en todo R ?
31) Demostrar que la función
x 2+ V2
. . .
si ( X , y ) * ( 0,0)
f ( x , y ) = 1*1 + 1y |
0
si (x, v) = (0,0)
Es continua en el punto (0,0).
"1- cos(sen 4xy)
32)
Sea f ( x , y ) - - sen (sen 3xy)
0
si sen" (sen 3xv) * (0,0)
si (x ,y) = (0,0)
¿f(x,y) es continua en (0,0)? Justifique su respuesta.
{3.20
Derivadas Parciales.)
Para las funciones de una variable / : / c R
> R, definidas en el intervalo abierto I de R,
se ha definido la derivada de f en xn e / , denotado por / ' (xn) como el valor del límite
/ ' ( * „ ) = lim
A.V-»0
cuando este límite existe.
f ( x n + A x ) - f ( x ())
At
Eduardo Espinozfl Ramos
348
Si /'(.* „ ) existe,
función y
»u valor nos da la pendiente de la recta tangente de la gráfica de la
fix) en el punto (x0, / ( x ü)) por lo tanto las funciones importantes a estudiar
son las funciones diferenciables por darnos información a partir de su derivada, el simple
hecho que f ' ( x 0 ) existe nos habla del comportamiento suave de la gráfica de la función
alrededor del punto ( r n, /'(*„)), el signo de / '( * „ )
nos habla del crecimiento y/o
decrecimiento de las funciones alrededor de un punto etc. por lo tanto el concepto de
diferenciabilidad también es importante para funciones de varias variables.
Luego a continuación trataremos de las derivadas parciales.
3.21
Definición j
Consideremos la función f : D c z R 2 ------ >R, de dos variables definida en un conjunto
abierto D c í 2, entonces las primeras derivadas parciales de f se define:
i)
La derivada parcial de f con respecto a x, es la función denotada por £ > ,/, tal que su
valor en el punto ( x , y ) e D está dado por:
L
*
....
-ME.» , UX
'K
siempre y cuando exista el límite.
¡i)
La derivada parcial de f con respecto a y, es la función denotada por D2 f , tal que su
valor en el punto (x ,y ) e D está dado por:
; Ai >0
siempre y cuando exista el límite
Ejemplo.-
Calcular Dxf ( x , y ) y D2 f ( x , y ) si f ( x , y ) = 2 x 2y + x y 2 + x - 5 y
Solución
349
Fundones Reales de Variable Vectorial
f ( x +A x ,y )- f(x ,y )
Dlf ( x , y ) = Hm
A s —>0
= lim
Ax
(2(x +Ax) 2 y+ (x + Ax ) y 2 + (* + A x ) - 5 y ) - ( 2 x 2 V+ x y 2 + x - 5 y )
Ajt-> 0
2
= lim
A jr->0
2
4xy. Ax + 2(Ax) + y Ax + Ax
= lim 4j9' + 2Ax + j/2 + 1 = 4 j9 '+ j/2 +1
Ax
A * -» 0
Dlf { x , y ) = 4 x y + y 2 +l
En forma similar que D2f (x ,y) = 2 x 2 + 2xy - 5
Observación.-
La definición de derivada parcial dada indica que si z = flXy), entonces para calcular
D1f {x,y) consideramos que y es constante y derivamos con respecto a x, en forma
similar para calcular D2f ( x , y ) consideramos que x es constante y derivamos con respecto a y.
Ejemplo.-
2
2
3
Calcular Dlf ( x , y ) y D2f ( x , y ) para f ( x , y ) = 5 x - 3 x y + 3 x ' y
Solución
Para calcular Dl f ( x , v ) consideramos a y como constante es decir:
Dlf ( x , y ) = 5 - 6 x y 2 + 9 x 2v
para calcular D2f { x , y ) consideramos a x como constante es decir:
D2f ( x , y ) = - 6 x 2y + 3 x \
Observación.- Al proceso de encontrar una derivada parcial se llama diferenciación parcial.
350
Eduardo Espinoza Ramos
3.22; Notación para las Primeras Derivadas Parciales.]
Si z = f(x,y) es una función de dos variables, entonces las derivadas parciales Dxf ( x ,y ) y
D2 f ( x , y ), se denotan.
D¡ f (x ,y) =
df(x,y)
3c
dz
= f x (x ,y) = — = zx , derivada parcial de f con respecto a x.
3c
cf{x,y)
dz
D 7 f (x, v) = ----------- = f v ( x , y ) = — = r v , derivada parcial de f con respecto a y.
dy
3y
y
Las primeras derivadas parciales evaluadas en el punto p(a,b) se denotan por:
Ejemplo.-
^allar
d f ( x , y ) d f (x , y)
----, ------ ;
3c
dy
y evaluar en el punto p(l , ln 2) para la función
2
J
y) = x e
x y
Solución
-e
x\
df(x,y)
„
2
+ 2 x ye
3c
de
&(X, y)
.
&y
3 _jr2j
c.
= e'n2+21n2e'n2 = 2 + 41n2
jr2,-
^
P(lJn2)
% (x , y )
dy
-e
P ( l,ln 2 )
ln 2
_
=2
351
Funciones R eales de Variable Vectorial
3.23
Derivadas Parciales de una Función de Tres o más Vaiiables^
El concepto de derivada parcial para funciones de dos variables puede extenderse para
funciones de tres o más variables en una forma natural.
Si w = f'(x,y,z) es una función de tres variables, entonces se tiene tres derivadas parciales, los
cuales se obtienen considerando cada vez dos de las variables constantes, es decir:
Para definir la derivada parcial de w con respecto a x, consideramos que y, z son constantes,
osea.
dw
f ( x + Ax, v ,z )~ f ( x , v,z)
— —f„ ( x ,y ,z ) = l i m --------------------------------dx
a*->o
Ax
Para definir la derivada parcial de w con respecto a y, consideramos quex, z son constantes,
osea.
dw
„ ,
,
f( x ,y + A y ,z ) - f( x ,y ,z )
— = f (x ,v ,z )= l im --------------------------------dy
Av-»°
AP
Para definir la derivada parcial de w con respecto a z, consideramos que x e y son constantes,
osea.
dw
/(-*, y , z + A z ) - f { x ,v , z )
— = J z (x ,y ,z )= lim --------------------------------dz
Az->o
Az
En general si / : D c R "
>R
entonces hay n derivadas parciales
es una función definidaen el conjunto abierto D c / í " ,
df
de,
,
df
df
,.. ., ------ , con respecto a la primera, segunda,
dx2
¿kn
tercera,..., n-ésima variable y denotaremos por:
d f(x i , x ,
xn)
f { x J, x 2, ...,x i +Axi , .. ., x n ) - f ( x l t x 2....... x n )
-----------=----------- =--lim--------------------------------------------------------------- = / r. (*)
(k¡
Ar,.-*0
Ax,donde i = 1,2,3,...,n
Para hallar las derivadas parciales con respecto a una de las variables consideramos las otras
como constante y derivamos con respecto a la variable indicada.
352
Eduardo Espinoza R am os
Ejemplo.-
dw rVt rVv
2
2
2
Hallar — , — , — donde w = xz + vx +zy
(k rk ck
Solución
w = xz
Ejemplo.-
2
2
2
^ 2
+ yx +Z}> => — = z
rk
dw
2
— = x + 2vz
dy
+2x}' ,
,
^
— = 2xz+ _y2
dz
d f(x , v) d f(x ,v )
2
2
Hallar ----------- ,-------- :— donde / (x, v) = ln(.x + v + xv)
(be
(\>
Solución
2
2
f { x , y ) = \n(x + v +xy) =>
Ejemplo.-
<lf(x,v)
—
¿k
2x+ v
T----x + y + xy
d f{ x ,v )
dy
~2
x + y + xy
Hallar Dl/(O ,0) y D2f ( 0,0) si existen, donde:
f
x 2
I —T y i •
/( .x ,y ) = jx + y
(* ,v )* (0 ,0 )
, si (x,v) = (0,0)
[ o
Solución
aplicando la definición de derivada.
~
, / ( 0 + Ar,0) —/(0 ,0 )
/( A x ,0 ) - / (0,0)
D \J (0,0) = l im --------------------------- = l i m ----------------------Ar >0
Ax
Av—
»0
Ax
Ax.(O)
r ^ — '0
(Ax) + 0
o
= lim ------------------= lim — = 0
Av- > 0
Ax
Ai »() Ax
r,
, /( 0 ,0 + Av) - / (0,0)
/ ( 0 ,A y ) - / ( 0 ,0 )
D2f ( 0,0)= l i m --------------------------- = l i m ----------------------Ai’h C
Av
Ar
-»0
Av
O.Av
0+ Av
0
= lim -------:---------= lim ------=
A v—*0
Av
Al—>0 Av
2y + x
2
353
Funciones Reales de Variable Vectorial
Ejemplo.-
Hallar D j/tO .v ) y D2f (x fl) si existen, donde:
, ■> 2
xv(.r" - v )
^----- 2— , si (.r,y )* (0 ,0 )
x~ + y
f(x ,y ) =
, si (x ,y ) = (0,0)
0
Solución
a)
Si y * 0 entonces, por definición se tiene.
, / ( 0 + A x ,y ) - /( 0 ,v )
/ (Ar, v ) - / ( 0 , y)
D [/(0 , y) = l im ---------------------------- = lin t------------------------A» »ii
Ar
Ar -*n
Ar
Arv.(At2 - y 2)
A r2 + y2
y(Ax2 - y 2) y ( 0 - y 2)
= l i m ------------ :------------ =-lim ------- j---- 5— = --------- i— = ~ y
A v -> o
Ar
Ajt- * o
Ar + y
0+ y
A A r .O ) - f ( 0 , 0 )
Si y = 0 , D ¡/(0,0) = lim
A>-><)
=0
Av
co m o D ,/(0 ,y ) = —v
si y * 0
y
D, /'(0,0) = 0 entonces se tiene Dvf (0, y) = —y para todo y.
b)
Si x * 0, entonces por definición se tiene:
D2f ( x f i ) = l i m
A v. jc.( jc2 - Ay2 )
0 x{x2 - 0 )
x 2 + Av2
x 2 +0
f(x ,A y ) -f(x fi)
:-------------- = lim
A y—>0
Av
A v—>0
Av
A y.x(x2 - A v 2)
x ( x 2 - A y2) x ( x 2 - 0 )
= lim
j
2
=
2 ------ 2 — = ---- 2 --------= X
Ay->o Ay(x +Ay )
Ay->o x + Ay
x +0
Si x = 0 , D , / ( 0,0)= lim
A y—*0
Drj (0,0) = 0 entonces:
f ( 0 ,A v ) - f(0 ,0 )
= 0 comoD2f ( x , 0 ) = x para
AV
D2f( x ,0 ) = x para todo x.
x * 0
y
354
|3J4
Eduardo Espinoza R am os
Interpretación G ^ m étrca de las Derivadas parciales de una Función de|
2
.
2
Sea / : D c R ------ »R, una función definida en un conjunto abierto D c R , cuya gráfica
es la superficie G f = \(x ,y , f ( x , v)) e R* / z= f ( x , v ) , V(x, y) e /)} c R 3.
Si (jr„, v„) e D, entonces la derivada parcial de f con respecto a x en el punto (x„, y(l) por
definición es:
rT(x„,v0)
/ ( x „ +Ax,y(|) - / ( . r 0,y ())
------------- = lim ---------------------------------<}c
\r-*0
A.Y
en donde y = y„ se mantiene como una constante, pero y = y 0 es un plano paralelo al plano
Q(xn,y n,0) e D
coordenada XZ que pasa por el punto
y que al interceptar a la
—>
superficie z = f(x,y) se obtiene una curva a que pasa por el punto (x0,y t), f ( x (í, v0)) e Gf
ahora calculando la pendiente de la recta secante Ls que pasa por P0 y P en el plano y = y 0,
es decir:
/■(*„ + Ax,y0) - / ( x 0,y 0)
mL = ---------------------------------Ax
de donde la pendiente de la recta tangente Lt es:
/ í ^ + A r,v0) - / ( x 0,y 0) ¿ f(x a,v 0)
mLt = h m ---------------------------------- = -------------v.v-yfi
Ax
¿be
dT(x0,v 0 )
-»
Luego ------------- es la pendiente de la recta tangente Lt a la curva a en el punto
dx
fn íW o ./fW n » Entonces
la
ecuación
L r z ~ za = ----------1 ---------- ( x - x t))
¿x
de
a
y = yn
la
recta
tangente
L,
será:
355
Funciones Reales de Variable Vectorial
Expresado en forma simétrica se tiene:
1
x-xn
z-z.
—= - 5^7
-—1
< y (w o >
ñc
L, :
'
y = yn
■
a
de donde el vector dirección de Lt es:
-*
c f ( x n,v „)
a L, = (1.0,-------------- ), En la misma forma, para la derivada parcial de f(x,y) con respecto
i Jt
a y en el punto (x„,y0).
^ ( W
n )
-------------=
py
Luego
lim
= mLt
/ K . . . v 0 + A v ) - / ( x 0 ,v 0 )
A y -» o
Ay
d f(x ^ , y0)
-»
---------1— es la pendiente de la recta tangente Lt ' a la curva fi en el punto
3y
<T(x0,y 0)
/J,(x0, v0, / ( x 0, v0)). en la definición —------ :— a x = x0 se mantiene como una constante,
dy
pero x = xn es un plano paralelo al plano coordenado YZ, Lugo la ecuación de la recta
tangente L ,' será:
<T(x0,y 0)
Lt ' = z - z 0 =-—-------:— ( v - v 0) a x = x0
dx
Expresado en forma simétrica se tiene:
L '\
'
v -v 0
z-z0
-— 1— = -=¡n
1
^
o
J
o
a
)
8y
de donde su vector dirección de L, ’ es:
/ ( * . v) =
-*
íT (x0,v n )
a L ,'= (0,1,---------------)
dy
tg (3*-3y)
|3 x |+ |3 y |
I
(Xty)#(OLO)
-1
,
(x,y) = (0,0)
x
= xn
0
356
[3.25
Eduardo Espinoza R am os
Plano Tangente]
Consideremos la ecuación de una superficie z = f(x,y), el plano tangente a la superficie en el
punto /J,(x0,_y0,z0) es determinado por las rectas tangentes L, y L, ' , cuyo vector normal es:
í
í
N = a i'
x
a i
= 0
1
1
0
k
'T U O ’.Vo)
dy
dx
dx
#"(*() •.v0>
dx
Luego la ecuación del plano tangente a la superficie z = ffx.y) en el punto ^)(* 0, v0,z0 ) es
—¥
dado por:
PT: N .( ( x ,y ,z ) - ( x 0 , y0 ,z 0 )) = 0
<T(x0,y „ ) d f(x n, y 0)
PT: (-----,------ l ) . ( x - x „ , y - y 0, z - z 0 ) = 0
r3c
iV
„
Pr : -------------- ( x - x 0 ) +
dx
Ejemplo.-
f f { x n. y a)
dv
(y —.v„) —(z —zn) = 0
Encontrar la ecuación del plano tangente a la superficie z = 3x2 + y2 +2 en el punto
(-1,2,9).
Solución
dz
-»
dz
Calculando el vector normal N = (—
dx P dv
,2
2 : = 3x + y +2 =>
dz
— = 6x
dx
dz
— =2y
dy
^
,-D
dz
—
dx
= -6
dz
—|
dy
=4
N = (-6,4,-1)
PT: N .( ( x ,y ,z ) ~ (-1,2,9)) = 0, ecuación del plano.
PT: (-6 ,4 ,-1 ).(jc+ 1, y - 2 , z - 9 ) = 0, de donde
PT: 6 x - 4 y + z + 5 = 0
357
Funciones Reales de Variable Vectorial
Ejemplo.-
Hallar la ecuación del plano tangente a la superficie : = ^ l - x 2 - y 2 en el punto
Pn{a,h,c) donde
Solución
—a
Px rí,
z = - J l - x 1 - v2
c
-v
*
-b
b
^ \ - x 2 - v2
dv
V i- a 2 - h 2
a
(Z
La ecuación del plano es: PT: —
Px
Pz
(x -a )+ —
( v —b) —( z - c ) = 0, de donde
Ptr Pn
a
b
PT: — ( x - a ) — { y - h ) - ( z - c ) = 0
c
c
Ejemplo.-
-J l- a 2 - I
a
.\
Pr : a ( x - a ) + b ( y - b ) + c ( z - c ) = 0
Encontrar los puntos de la superficie z = xy(l - x - y) donde el punto tangente es
paralelo al plano coordenado XY.
Solución
Como el plano tangente debe ser paralelo al plano coordenado XY entonces la normal del
plano tangente es un múltiplo de (0,0,1) por lo tanto:
Pz
— = v ( l - 2 x - v) = 0
Px
■
resolviendo el sistema se tiene.
Pz
— =x(l-x-2v) = 0
Pv
1 1
los puntos (0,0),(—
(1,0)
y
(0,1), por lo tanto se tiene cuatro piarais tangentes
horizontales a la superficie en los puntos.
(0,0,0),
1 1 I
(—, —, — ),
3 3 27
(1,0,0),
(0,1,0)
358
3,26
Eduardo Espinoza R am os
Ecuación de la Recta Tangente a la intersección de Pos Superficies Enj
un Punto Dado.
Consideremos las ecuaciones de dos superficies z = f(x,y) y z = g(x,y) de tal manera que se
cortan en una curva C.
La recta tangente a la intersección de las dos superficies en el punto P() de la curva C, es por
definición la recta de intersección de los planos tangentes a z = f(x,y) y z = g(x,y) en el
punto Pn.
Para hallar la ecuación de la recta tangente a la intersección de dos superficies en el punto
f¡,(xfí, y n,z n), se determina el vector normal al plano tangente a la superficie z = f(x,y) en el
punto P(¡.
rn w o > ?
i'o)-r . . ?
/ + -------:
/ + ( - i ) ap = ------ ;
Px
Pv
y el vector normal al plano tangente a la superficie z = g(x,y) en el punto P{),
dx
La recta de intersección de estos planos tangentes es perpendicular a sus normales \x y v y
->
-»
—
* —
►
—
»
como los vectores p y v no son paralelos, entonces el vector p x v es perpendicular a p
y v de donde w — p x v = (a.b.c) luego la recta de intersección de los planos tangentes es:
L. x ~ xo _ -v ~-vo _ z ~ zo
a______ b______ c
Ejemplo.-
Hallar la ecuación de la recta tangente a la intersección de las dos superficies
z = x 2 + 2 y 2, z = 2 x 2 - 3y~ +1 en el punto (2,1,6).
Solución
calculando las normales a cada una de las superficies
359
F unciones R eales de Variable Vectorial
*
dz
dz
dz
dz
-1 ) = (4 .4 -1 ) y v = (— , — , -1 ) = {8,-6,-l)
(—
dx p dv
dx p
p
p
ahora calculamos el vector dirección de la recta tangente:
—
» -» —
»
fl = /ix V = 4
-*
j
-»
k
4
-1 = -2(5,2,28)
8
-6
-1
1
Luego la ecuación de la recta es:
3,27
Lt :
jt- 2
y -1
z-6
5
2
28
Derivada Parcial de Orden Superiorj
En forma similar que las derivadas ordinarias, es posible hallar derivadas parciales de una
función de Varias Variables de segundo, tercer ordenes y superiores, siempre y cuando tales
derivadas existen.
A las derivadas parciales de orden superior denotamos por el orden de su derivada.
Por ejemplo hay cuatro derivadas parciales de segundo orden de z = f(x,y):
1®
Derivar dos veces con respecto a x.
el d f
r .f
l k (~ac) = ~ a F = f "
2a
Derivar dos veces con respecto a y.
d_df_ _ d j _ _
* V
3®
&
Derivar primero con respecto a x y a continuación con respecto a y.
el d f
d f
( )=
= f ,■O'
dy dx
dyék
4®
Derivar primero con respecto a y y a continuación con respecto a x.
360
Eduardo Espinoza R a m o s
El 3a y 4a caso se conoce como derivadas parciales cruzadas.
Se debe observar que hay dos tipos de notación para las derivadas parciales cruzadas.
P P¡
fy ¿k
P1f
PyPx
— (— ) = — —, orden es de derecha a izquierda indica que primero se deriva con respecto a
x.
( f y )x —f „ , orden es de izquierda a derecha indica que primero se deriva con respecto a y.
Í3.2S
Definición}
Si f ' . D a R "
>R es una función definida en un conjunto abierto D a R " , entonces la
derivada parcial de f con respecto a la i-ésima componente (i = l,2,3...n) es:
D ,f ( x l ,x 2,...,x H) = lim
Si D¡ f : D a R "
f ( x l ,x 2,...,x i +Axi ,...,x n) - f { x l ,x 2,...,x H)
Ar,
>R , es una función definida en un conjunto abierto D a R " , entonces
la derivada parcial de D ¡ f con respecto a la j-esima variable se le llama derivada parcial de
segundo orden y denotaremos por:
D¡iD¡f ( x l ,x 2
)) = D jif ( x x. *2. . * „ ) = d
donde i = l,2,....,n y j = 1,2,
Si D - f : D a R "
PxjPx,
= f * ,vM i ’ * 2 ............)
n.
> R , es una función definida en un conjunto abierto D a R " , entonces
la derivada parcial de D -¡f con respecto a la k-ésima componente se le llama derivada
parcial de tercer orden de f y denotaremos por:
D k (D jjf(xl ,x 2 ,—,x „)) = Dkjif ( x l , x 2,—, x n) = — t " - —
— = f x¡y. (xt, x 2,...,x„)
(7Xj (7Xdonde i = 1,2
n , j = 1,2,
n. y k = 1,2,3
n
361
F unciones Reales de Variable Vectorial
En esta misma forma se puede hallar las derivadas parciales de orden superior si es que
existe.
Ejemplo.-
d 2z
Hallar —
dx2
d 'z
d 2z
d ~z
dy
dydx
dxdy
— x-, -------, ------ sí z = x 4 - 3 x 2y 2 + y 4
Solución
d z
2
2
( - 66y*
y
z = x 4 - 3 x 2y 2 + y 4 => — = 4 x 3 —6 xy2 ; — ^-= H x*
dx
n
dx¿
dz
2
— = -6jc y + 4 y
dy
3.29
3
d 2z
2
; — r- = -6 x + 12y
dy‘
2
;
d 2z
= - 1 2 xy
dydx
;
d 2z
= -12xy
dxdy
Definición.
La función / : R
-+/Í, se llama función armónica, si verifica la ecuación de Laplace, es
decir, sí:
Ejemplo.-
Probar que la función f ( x , y ) = x 3y —xy 3 es armónica
Solución
d f ( x , y)
f ( x , y) = x 3y - xy 3
dx
d f(x ,y )
dy
= 6xy
dx2
=x 3 - 3qx y 2
d 2f { x , y )
= —6xv
dy2
d 2f { x , y) t d 2f { x , y) _ p
dx2
por lo tanto la función f(x,y) es armónica.
dy2
362
Eduardo Espinoza Ram os
330
Teorema.- (Igualdad de las Derivadas Parciales Cruzadas)J
Si
2
d f d f d 2f d ~ f
/ : O c / í ------ >R, es una función continua para lo cual — , — , -------,------- son
dx dy dydx dxdy
2
continuas en la región abierta D (Z R , entonces para cada (x,y) E D se cumple.
d 2f ( x , y )
d 2f ( x , y )
dydx
dxdy
Demostración
Sea h (x ,y ) = f y ( x ,y ) ,
V (x,y) e D, entonces si y 0 es una constante cualquiera tal que
(x ,y 0 ) e D
Tenemos f ( x , y ) = f ( x , y 0) + f ( x , y ) ~ f ( x , y 0) = f { x , y 0) + \ h (x ,t)d t.
y0
Luego derivando con respecto a x se tiene:
f x { x ,y ) = f x {x .y 0) + J hx (x ,t)d t
derivando ahora con respecto a y, para lo cual usamos el teorema fundamental del cálculo, se
tiene
Observación.-
f „ ( x , y ) = hx (x ,y ) = f JX( x ,y )
d 2f ( x , y )
=
d ~ f (x ,y )
Una consecuencia de este teorema es que se puede intercambiar el orden de la
derivación de una función de varias variables.
Sí por ejemplo:
/ : R2------ >R, es una función que tiene derivadas parciales de orden superior
continuas en algún conjunto abierto de R 2, entonces:
/ 2n
= f i 2 i = -A 1 2 ’ f u i 1 = - / 21 2 1 = fiizi y 351 sucesivamente.
Observación.-
d ~ f { x ,y ) d " f (x, v)
La igualdad --------------= -------------- puede ser falsa si las derivadas mixtas no son
dydx
dxdy
continuas.
363
F unciones R eales d e V enable Vectorial
Sea z = ln(x2 + y 2 ), Hallar las segundas derivadas parciales.
Ejemplo.-
Solución
, ,
2
2
.
A
2x
z = ln(x + y )=>— =
A
x2+ y 2
2y
ik
2 . ..2
x*+_v‘
’
¿ 2z = 2(y2 - x 2) _ ¿ 2z
2(x 2 - v z )
A2
(x 2 + v2)2
(x 2 + y 2)2
d 2z
4xv
A2
P 2z
4 xy
( x 2 + y 2) 2 ’ A A '
(x2 + y 2 )2
Los incrementos de la función y = f{x) y de la variable x se ha definido por:
Ax = dx
Ay = fix + Ax) - fix)
también se ha definido el diferencial de la función y = f(x) por dy = f '( x ) d x , en forma
similar daremos los conceptos de incremento y diferencial para las funciones de dos o más
variables.
Definición.-
Consideremos la función / : R 2
>/? tal que z = ftx.y), entonces el
incremento de la función fe n el punto (xQ, y 0 ) e D¡- que denotaremos por
ñ f (x0, y„) está expresado por:
¥ ( *o yV0 ) = f ( * o +
Ax. v0+ Av)- f
(x 0. y 0 )
para el caso de las funciones f : R 3------>R tal que w = f(x,y,z), el incremento de la función f
en el punto (x0 ,v 0,z 0 ) e Df es:
| 4 f ( x 0 . v0.z 0 ) = / ( x 0 + Ar. .v0 + Av. z 0 + A z ) - / ( x 0 , v0 ,
donde Ax = dx
,
Ay = dy
,
Az = dz
z^)
364
Í3.32
Eduardo Espinoza Ram os
Fiincioaes Diferenciabas.}
Definición.-
La función / : D a R 2
» R es difercnciable en el punto (xn,v 0 ) si
tfix & y o ) .
. .
.....................................
existen ------------- , --------------- de manera que todo vector 'Ax, Ay) tal
3c
iV
rT(xn,v 0)
Que (j^,y n)+(A!r,Ay)e D se tiene: A /(x0, v0) = ------------- Ar-+ -------------- A v+ ^A r + CjAv
3c
3y
'
donde ambos e t y e 2 -> 0 cuando (Ax.Ay) -> (0,0) y diremos que f es diferenciable en la
región D si es diferenciable en todo punto de D a R 2.
{3.33
Si f es una función de x e y, con / , f x , f
continuas en una región abien^D c R 2, entonces
f es diferenciable en D.
Demostración
Sea S: z= f(x,y) la ecuación de una superficie donde
son continuas en (x,y).
365
Funciones R eales de Variable Vectorial
Sean A, B y C puntos de la superficie como se muestra en la figura; del gráfico veremos la
variación de la función f desde el punto A hasta el punto C que es dado por.
Az = f ( x + A x , y + A y ) - / ( x ,y )
= [ / ( * + Ax , y ) - f ( x , y ) \ + [ / ( * + Ar, y + Ay) - f ( x + Ar.y)] = Az1 + Az2
Entre A y B, y es constante mientras que x varía, por lo tanto por el teorema del valor medio,
hay un valor x l entre x y x + Ar tal que Az, = f ( x + A x , y ) - f ( x , y ) = f x (xl ,y)A x
... (1)
En forma similar, entre B y C se fija x, mientras que y varía, luego un valor y ,, entre y, y, y +
Ay tal que Az2 = / ( x + Ac,y + A y ) - / ( j t + Ac,y) = / v(jt+ A c,y 1)Ay
... (2)
Luego de (1) y (2) se tiene: Az= Az, + Az2 = / jr(x1,y)Ac + f v(x + Ax, y,)Ay
Si definimos e, y e2 por e, = f x ( X y , y ) - f t (x ,y ) y
deduce qué:
e2 = f y (x + A x ,y x) ~ f y (x ,y ) se
Az = AZj + Az2 = [e, + / v(x,y)]A r + |e 2 + / v(x,y)jAy
= f x ( x ,y ) A x + fv(x, y )Av +
Entonces por la continuidad de f x y de /
Ar + e2Ay
y, además, x < x x < x + Ar e y < y, < y +A y, se
sigue que e, —> 0 y e2 —> 0, cuando Ax —>0 , Ay —> 0 en consecuencia por definición se
tiene que f es diferenciable.
3J 4
Teorema (Pifere'nciabilidad implica continuidad).!
Si / : D c iR 2
»R es una función diferenciable en un punto /^ (x 0,y 0) entonces f es
continua en P0(x0,y 0).
Demostración
Como f es diferenciable en P0(x0, y 0) entonces
366
Eduardo E spinoza R am os
donde ambos e, y e2 —> 0, cuando (Ax, Ay) —> (0,0) sin embargo, por definición, sabemos
que A/'(xn, v()) viene dado por:
A/’Uo.Vn) = /( x „ + A r , y n + A y ) - / ( x 0,y n)
Luego haciendo x = xn + Ax, y = y0 + Ay, obtenemos
...............................................ó H W o ) .
S f{x 0,y 0) .
/ (x , y ) - / (xft, y0) = -------------- Ax+ ------------- Ay+ e , Ax+ e2Ay
<3c
dy
¿ T íW o ),
. ¿ T Í W o ) ........................................................................
= ------: ------ ( * - * 0) + ------ I------ ( j'- J 'o ) + e i( * - * ó ) + * 2 (J'-J'o )
¿k
dy
ahora tomando limite cuando (x,y) —> (x0,y 0)
se tiene:
lim
lim
( / ( x , y ) - / ( x 0,y 0)) = 0, dé donde
( i . v ) - » ( x 0 .> „)
/ ( x , y ) = / ( x 0,y 0) lo
( * ..y )-> (W o )
cual significa que f es continua en (x0,y 0) .
Observación.-
Si una función f : R ----- >R es continua en un punto, esto no implica que f sea
diferenciable en este punto.
Ejemplo.-
Demostrar que la función
/ ( x , y ) = ^/x3 + y 3 es continua en (0,0) pero no es
diferenciable en (0,0).
Solución
I)
f(0,0) = 0
,
U)
3
lii)
lim f ( x , y ) = f ( 0.0) = 0
(jt.v)^(O.O)
lim f (x,y) =
lim
^/xJ + y J = 0
(jr.>)->(0.0)
(jr.>)->(0.0)
por lo tanto f es continua en (0,0), por otro lado
c f( x ,y )
x2
A
tf(x 2+ y 2)2
& (x ,y )
'
&
y2
' ilíx '+ y * ) 2
no existe en (0,0), luego f no es diferenciable en (0,0).
367
Funciones R eales de Variable Vectorial
3.3S
Diferencié Total y Aproximad
Definición.-
Si f : R 2
>R es una función diferenciable en (x, y) e R 2 entonces la
diferencial total de f es la función dffx,y) que es expresado por:
d f(x ,v )
(J (x ,y )
d f{ x ,y ) = ---------- d x+ ----------- dy
dx
di>
donde Ax = dx , Ay = dy.
En forma similar para la función / : /?5------>R , donde f es diferenciable en (x ,j ,z) e R i
entonces la diferencial total es la función df(x,y,z) que es expresado por:
d f( x ,y ,z ) = ------------- dx+ --------------d y+ -------------- dz
dx
dz
&
ahora haremos una comparación entre Af(x,y) y df(x,y) para esto se tiene:
Si f : D c zR 2
4/
>R es una función diferenciable en el punto fj,(x0,y 0) € D , entonces
(j:o*3'o) =
,
dx
. ^ (W o ) .
dy
.
.
Ax+ --------------------- Ay + e,Ax+e2Ay
donde e, y e2 —> 0, cuando (Ax,Ay) —> (0,0)
...(2)
(*o* .Vo) = -------------- A x+ --------------4 y
dx
dy
Luego de (1) y (2) se tiene:
A f (xQ,y 0) = d f (x0,y 0)
(= aproximadamente igual)
pero como b f { x 0,jy0) = f ( x 0 + Ax, jyn + Ay)- f ( x 0, y 0)
.
A Ó T (W o ) .
df ( x 0,y 0) = ------; -------Ax + ----- ;-------Ay, entonces
dx
dv
368
Eduardo Espinoza R am os
............................................. 'T ( W c ) .
^ (W o ) .
J ( x u + Ax, Vn + Ay)
y0) = ------------- A x + ------ ;------ Ay
dx
dv
„
. .
# ‘(*0.J'o) .3 f( x 0, y 0)
f ( x 0 + Ax, y 0 + Ay) = f ( x n, y 0) +------ :------- Ax-+------ :------- Ay
dx
dv
En forma similar para el caso de la función / : D c z R i
/ ( x n + Ay^ 0 + Av,z0 + Az)g / ( ^ 0,z0) + -^
^
dx
>R se tiene
Ac + ^
Af df
Además, también se tiene: error relativo = — = — ,
/
/
Ejemplo.-
A
Z^ A^+ ^
sy
^
&
ZP) AZ
Af
df
error porcentual = 100— = 100—
/
/
Hallar el valor aproximado de ^/(5.02)2 +(11.97)2
Solución
Sea z = -Jx2 + y 2 , x = 5
, y = 12 , Ax =0.02
,
Ay =-0.03
. < r(W o ) .
<3r(*0.J'o> .
f ( x fí + Ax, _Vq+ Av) = f(X(), yn) + ------------- A r+ -------------- Av
dx
rV
dz _
z = y jx 2 + y 2
x
&
i/x 2 + y 2
dz
y
*
-Jx2 + y2
<T(5,12)
dx
m 5,12)
d>
5
13
12
13
d f( 5,12)
d f( 5,12)
/ ( 5 + 0 .0 2 ,12-0.03) = / (5,12) + -— ----- ^(0.02) + — -----^(-0.03)
dx
dy
V(5+0.02)2 + (1 2 -0 .0 3 )2 = V25+144 +-^-(0.02) —^-(0.03)
¡
J------------ r
1.01.0-0.36
0.36
0.64
V(5.02) +(11.97) = 1 3 + ------------ = 13+-------= 13.05
13
13
/--------\------------ T
.\ V(502) + (1 1 9 7 )2 = 13.05
369
Funciones Reales de Variable Vectorial
3.36
Derivación de la Función Compuesta.}
Teorema (Regla de La C adenasSea / : R 2------ >R una función dada por z = f(x,y), donde f es una función diferenciable de
x e y. Si x = g(l) e y = h(t) siendo g y h funciones derivables de t, entonces z es una
función derivable de t y
dz
dz dx dz dy
dt
dx dt dy dt
Demostración
Hacemos un diagrama para la regla de la cadena de una variable independiente.
como g
y
h son funciones derivables de t, sabemos que Ax y
cuando At —> 0, y como f es una función diferenciable de x e y.
dz
dz
Az = ó f (jc,y ) = — Ax h-----Ay + e, Ax+ e , Ay
dx
dv
donde £, y £2 —> 0, cuando (Ax, Ay) —> (0,0)
Ay
tiende a cero,
370
Eduardo E spinoza R a m o s
dz Ax
Ar
dz Ay
Ay
+ ” - + £j - + £ 2 ■
A/
A/
A A/ dv bi
Az
Luego para At * 0, tenemos
Ar
dz
taz dz dx dz dy
dx
dv dz dx dz dy
de donde se deduce que: — = lim — = — .— h
+ 0 (— )+ 0 (— ) = — .— + —
dt
A/-+0 At dx. dt dy dt
dt
dt
dx dt dy dt
Ejemplo.-.-
dz
dz dx
dz dy
dt
dx dt
dv dt
dz
2
2
/
/
Hallar — si z = r + y , x = e , y = e
dt
Solución
dz
—
dt
Observación.-
dz dx
dz dy
,
,
= 2jc e + 2 y ( -e ') = l e ' - 2e
dz = 2e
o 21 - 2e
n ~2‘
.. —
dt
dx di dy dt
La regla de la cadena del teorema puede extenderse a un número cualquiera de
variables, si cada x¡ es función derivable de una sola variable t entonces para
w= / ( j t j . j t j , .. .,•*„) tenemos:
Observación.-
dw
dw dxx
dw dx2
dw dxn
di
dx¡
dx2 di
dxn di
dt
Si f : D e . R ------ >R es una función tal que z = f(x,y) es diferenciable en x e y .
donde y = <p(x), entonces la derivada total
mediante la expresión siguiente:
dz
dz dz dy
dx
dx dy dx
de
z
respecto a x es calculado
371
Funciones R eales de Variable Vectorial
3J7
Teorema (Regla De La Cadena: Dos Variables Independientes).)
Sea f :R~-------> R una función dada por 7 = f(x,y), donde f es unafuncióndiferenciable de
dx dx rV dv
x e y six = g(s,t) e y = h(s,t) donde — , — , — , — existen todas, entonces
ds di ds di
dz dz dx
existen y están dadas p o r :— = — .-v—
dx dx dx
dz dv
...(1)
d\>dx
dz
dz dx dz dv
— = — .— h
di
dx ñ dv di
dz
—
ds
dz
y—
dt
—(2)
Demostración
Demostraremos la parte (1), la demostración de la parte (2) es semejante:
si se mantiene a t fijo y s cambia en cantidad As, entonces Ax = g(s + As,t) - g(s,t),
Ay = h(s + As,t) - h(s,t)
como f es diferenciable, entonces:
dz
dz
Az = — Ax + — Av + ^A x+ ejA v ...(a )
dx
dy
donde £ , - > 0 , e 2 - > 0 cuando (Ax,Ay)->(0,0)
además, pedimos que £j = 0 , e 2 = 0 cuando Ax = Ay = 0 ponemos como requisito para
que e, y e 2 que son funciones de Ax y Ay sean continuas en (Ax,Ay) = (0,0), ahora a (a)
dividimos entre As * 0, tenemos
Az dz A* dz Av
A*
— = — .------ 1---- — + e 2
As dx As dy As
As
Av
——
Ax
tomando límites en ambos lados cuando As se aproxima a cero, obtenemos
Az dz
Ax
lim — = — l i m
Aí->n Av dx Aí-*o As
dz
1
Av
Ax
Av
lim —:- + lim e, lim — + lim e 2 lim —
dy Aí-*o As Aí-»o 4j-*d As Aí-*o Aí-»o As
Az
f i x + A s , y ) - f ( x , v) d f(x , v)
dz
tenemos lim — = lim ---------------------------- = ------------ = —
Aí As Aí->o
As
dx
dx
Ax
g ( s + A s ,t) - g ( s ,t)
dx
hm — = h m ------------------------- = ----------- = —
/Yy—
>0 Av As-»f)
As
ds
db
Av
h{s + A s ,t) - h ( s ,t) fh (s ,t) di’
lim ——= lim --------------------------= ----------= - :a.v-»o As Aí->o
As
ds
dx
372
Eduardo Espinoza Ram os
dx dv
como — , — existen y g, h son continuas con respecto a la variable S, por tanto, tenemos.
lim Ax= lim g { s + & s ,t)-g (s ,t) = g { s ,t) - g ( s ,t) = 0
As-*0
As-*0
lim Ay= lim h(s+ A s ,t) -h { s ,t) = h (s ,t) - h ( s ,t) = 0
A¿—>0
A¿—>0
por lo tanto cuando As se aproxima a cero Ax, Ay se aproxima a cero, entonces lim e, = 0,
Aj - » 0
8z dz dx dz dv
lim e2 = 0 . Luego — = — .— + — + —
Aí-»o
(k dx ds dy rfc
haremos un diagrama para la regla de la cadena de dos variables independientes
dz dz dx dz dy
1
f+ 1
2 ($ + l)
2 (r+ l)
--------------= 2x.—+ 2 y ( ------------------ r ) -------- j------------ i—
ds dx ds dy ds
i
s
t
s
dz dz dx
—=
dz
dy
í+ 1
1
2 (j+ 1 )
+ ^ - = 2 x . ( - — ) + 2y . - = ------- j
2(t + l)
-----—
373
F unciones R eales de Variable Vectorial
3.38
Teorema (R eglaPe La CadenaGeneral)-!
Supongamos que / : D c zR "
>R es una función diferenciable en (xl ,x 2,...,x n ) tal que
u= f ( x x,x 2,...,x a) y que cada x¡
x¡ = x (y x,y 2,
es una función de m variables y ¡, y 2,--., vm es decir
v i = 1.2,3,...,n
Supongamos que cada derivada parcial
dx¡
, i = 1,2,3,...,n , j = 1,2,...m existen, entonces u
acj
es una función de y1,y2, - , y m’> y
dyx
<2c, dyx
dx2 dyx
dx.n dyx
du
du drx
ñ t dx2
du dxn
dy2
dxx dy2
dx2 dy2
dxn dy2
di
du dxx
du dx2
du dxn
La demostración de este teorema es una extensión del teorema anterior.
Ejemplo.-
Sí z = f(x,y) donde x = r eos 0 , y = r sen 0; probar que:
dz -y
dz 7
dz 7
1 dz 7
(— >2 + ( — r = (— r +— (— )
dx
dv
dr
r dQ
Solución
mediante la regla de la cadena se tiene:
374
Eduardo E spinoza R am os
dz dz dx dz dv
dx
— = — .— + —
, como — = cos0,
dr dx dr dy dr
dr
dy
— = s c n 0 , entonces se tiene:
dr
dz
dz
dz
— = cos0 — + sen 6 — ,elevandoal cuadrado
dr
dx
dy
se tiene:
(— ) 2 = co s2 0(— )2 + 2 c o s 0 s e n 0 — — + sen2 0(— ) 2
dr
dx
dx dy
dy
—(1)
dz
dz dx dz dv
dx
ñ’
= — .— + —
, como — = - r s e n # , —1—= rc o s 0 , entonces se tiene:
de dx de dy de
de
de
dz
dz
dz
= - r sen 6 — + r eos©— , dividiendo entre r.
de
dx
d/
1 dz
' dz
dz
= - sen 6 — + cos0 — , elevando al cuadrado se tiene
r dO
dx
dv
1 dz j
7
dz j
dz dz
j
dz -j
—r ( — ) = sen 6 (— ) - 2 s e n 0 c o s 0 — .— + cos 0 ( — )
r de
dx
dx dy
dy
—(2)
sumando (1) y (2) se tiene:
dz j
1 dz 7
9
7
dz 7 7
7
dz 7
(— ) + —r ( ----- ) = (sen 6 + cos 0 )(— ) +(sen 0 + cos 0 )(— )
dr
r de
dx
dy
dz 7
dz 7
dz 7 1 dz
'• ( dx
T ) + ( Tdy ) = ( Tdr ) + ~r (^de
7
Í3 J9
Una de las aplicaciones de la regla de la cadena es en la determinación de la derivada de una
función definida implícitamente.
Supongamos que x e y están relacionados mediante la ecuación F(x,y) = 0, donde se supone
que y = f(x) es una función derivable en x.
375
Funciones R eales de Variable Vectorial
Para hallar — usaremos la regla de la cadena:
dx
z = F(x,y) = F(x,f(x))
3
dF 3
dF Pv
dz
flp
fiy
c o mo — - 0 entonces
-h
.--= 0 .
— = — .---- 1—
3c
3c 3
3’ 3
dx
3
cV 3
—
dF
dv
a
Sí — * 0 de donde — = —¿jr
3
dx
3
Un procedimiento análogo puede usarse para hallar las derivadas parciales de funciones de
varias variables definidas implicitamcnte.
Definición.-
F: D e R 2
Sea
>R, una función definida en el conjunto abierto
D e R 2. Se dice que la ecuación F(x,y,z) = 0, define z implícitamente como
una función de x e y, cuando existe una función F: U czR 2
abierto U e R 2, tal que F(x,y,z) = 0 o
Ejemplo.-.-
z = f(x,y), V(x,y) e U.
La ecuación x 2 + 4 y 2 + z 2 =25 , representa implícitamente a las funciones,
r = f { x , y ) = f¡ 2 5 - x 2 - A y 2 ,
¡3.40
> R, definida en un conjunto
z = g ( x .y ) = —j 2 J - x 2~ -4 y 2
Teorema!)
Si la ecuación F(x,y,z) = 0, define a z = f{x,y) implícitamente como función diferenciable
de x e y, entonces:
dF
dF
3
3
3
~ dF
3
3
y
dy ~
3
dF
3
’
dF
— *0
3
376
Eduai dn Espinoza R am os
Demostración
aplicando la regla de la cadena se tiene:
dw dw dx dw dz
— = — .-----1----- .— ,
dx
dx dx dz dy
dw
como — = 0
dx
8F_
dF dF dz
dz
fa
— + — .— = 0 de donde — = —
dx
dz dy
dy
dF_
dz
dw dw dv dw dz
— = — .— + — .— ,
dv
dv dv dz dv
dw
como — = 0 . entonces
dy
dF_
SF cF dz
dz
dv
— + — .— = 0 de donde — = - —ir?
dy
dz dv
dy
dz
dz
dz
dx
dy
dz
dy
dF
*0
dz
dz
Este teorema puede extenderse a funciones diferenciables definidas implícitamente con un
número cualquiera de variables.
377
F u n d o n e s Reales de Variable Vectorial
3 41
Teorema De La Función Implícita!
Sea F: U c : R " 1
> R, una función con derivadas parciales continuas hasta el orden
k > 1, definida en el conjunto abierto U, si un punto x = (x’, , x '2
, x ' n ,x 'n+1 ) e í / es tal
dF (x)
—
—,
PF( x )
<3rn+l
q u e / r(jc) = 0 y —------ * 0, entonces se tiene: — —
nt'
(VCi
(bc¡
--------;—
dF (x)
V i = 1,2,3,...,n
^xn+1
—>
donde la función xntl = / ( x ) = / ( x , , x 2......x„) está definida implícitamente por la
ecuación:
Ejemplo.-.-
F(x, , x 2
dz dz
Hallar — , —
dx d\>
x„ ,x II+1) = 0 <=> x n+1 = f ( x )
donde: x eos y + y eos z + z eos x = 1
Solución
Sea F(x,y,z) = x eos y + y eos z + z eos x -1 , calculando las derivadas parciales
dF
dF
dF
— = c o s x -z s e n y , — = -x s e n y + cosz,— = - y sen z+ eos*
dx
dy
’
dz
dF_
dz
dx
cosy —zsenx
z s e n x -c o s y
-y s e n z + cosx
c o s x -y s e n z
dz
?L
dz
dy
dy
-x s e n y + cosz xs env —cosz
-y s e n z + c o sx c o s x -y s e n z
dz
378
Eduardo E spinóla R a m o s
(3.42
Ej erciclos Desarrollados.!
I.
Hallar las primeras derivadas parciales de las siguientes funciones.
1)
p
2
dx + V -X
z = l n ( - p = = = -----)
I 2
2
y x + y +x
Solución
V * 2 +y2
,, n
r
. ., n
r
.
•= ln(—p=
■_■■■
) = ln(yx + y - x ) - l n ( y x + y +x)
\ x +y~ + x
x
dz
x
7~l
-Jx2 + v '
/v
/2 r
*•“ y.v + v - x
I
/%
7
y x “ +_v
r 2+ .v
2~
a- ~ y/x 2 +, y r - x
¿fe
^
2)
+1
-Jx2 + y 2
y.v" + v
/
2
1
r+x
1
2~
v
1
W * 2 + V’2
<//
JC
Solución
z=1f*’esen/ di, =- fJ
I resen/ dt.
*
3)
y
+ 3'
1
r - / 2 r (V'T
/ 2 + -v r _ x Vx/ 2 + v r +jc ^
+ .v +JC V* + v
2x
z = f ( x ,y ) =
2
dz
r~2 r V'Tr 1+ v r ■a ~ V*P
V'T +V
=>
^ =-<?sen*
—
,
^ =<
—
?sen^'
&
dy
, 2
2 2 ., I~2
2 T
fi) = (x + y + z ) l n y x + y + z
Solución
2 . 2
2
, 2
2 2 ., /"I
2 T x + V +Z
2
2 2,
(0 = (x + y + z J lnyx +_y + z = ---------------- ln(x +_y + z )
"
2
379
Funciones Reales de Variable Vectorial
da
2
2
2
2
= xln( i ‘ + ví +z~) +
*
2
+ V
2
•
dx
ra
2
+Z
2
2
i
2
■= vln(x + v" +z~) +
X
2
+ Y
2
+Z
2
2
2
x + v +z
{(ú
2
4)
z = f ( x , v) = e "
1
2
2
2
2
2
= i'+vln(.r +\> +z )
dv
2
^
•} x + v + z
2z
= zln(x" +y~ +z~ )H
:---------------5--dz
2
x~+y'+z~
ca
2
— = x+xln(x + v +z )
dx
7
2v
2
2
í ’(ú
7
JC" + v~ + z~
2
•
dv
x
7
(■(ú
•> 2
■>
— = z+zm(x + v +z")
a
c o s ( x - y)
Solución
dz
z = e ’ cos(x-_)0 => — = e ■cos(x—y ) - e
sen(x-_y)
dx
dz
— = e**y cos(x - y ) +ex+} sen(x - y )
dy
5)
to = / (x .y .z) =
xvz
3xv
+ arctg(— )
z
Solución
w
ft) = e
3xv
da
+ arctg(— ) => — =
z
dx
da
dz
6)
= XW
3vz
+
m
+
4
2
z +9x ^
2
da
• “ = JC2<?
+
3xz
' ~2~
z +9x ^
~4
6xvz
z + 9n x 2 v 2
4
.
z = arctg(ln(xv))
Solución
1
I
x
z = arctg(ln(xv)) => — = ■ - ,
dx l+ln~(xv) x(l + ln xy)
7)
Sí z = J sen t d t . Hallar z v - z v
Solución
dy
1
,
2
l + in*(xi') _y(l + ln xy)
380
Eduardo Espinozfl R am os
[y
,
f'
dz
z = I sen í a i = - I sen í dt => — = z
r
x
dz
= -sen x , — = z
=sen.v
CX
zx —z v = - sen x - sen v
8)
2
2
2
^U ^
^
2
Si u = xz + yx +zy . p r o b a r q u e — + — + — = (x + y + z)
dx
dv
dz
Solución
d i
2
— = z +2 xy
dx
2
2
u = xz +yx + zy
du
2
2
— = x + 2y z
sumando se tiene:
du
j
— = 2xz + v
dz
di
di
du
dx
dv
dz
— + ---- 1
2
2
2
= x + y + z +2(xy + xz+ yz) = (x + y + z)
2
du du du
2
— + — + — = (x + y + z)
de dy
dz
9)
f>
(y
2
2
SI u = J co sí dt , v = J sení dt
Calcular
“>•
V.v
Solución
Í*y c o sí 2 dt = —If*>■co sí 2dt
fv
u = J sen í
U X„
y
V
X
y
2
f*
2
dt = - J sen t dt
-co sx
cos .y
2
2
-se n x
sen .y
2
=> u r = - c o s x 2 , u = c o s y 2
vx = - s e n x
2
, v>,= sen> '
2
2
2
2
2
2
,2 2 .
= cosx sen_y + sen x cos_y = sen (x —y
)
381
F unciones Reales de Variable Vectorial
II.
1)
Demostrar que x
dz
dz
1-v— = 2, sí
dx ' dy
z = ln(x
2
2
+ y + xy)
Solución
2 2
&
2x + y
dz
2v +x
z = ln(x + y + xv) => — = —
j
, — = " 2 ' 2-----<2r x + y + Jiy
r^' x + y + xy
A
ri
2x2+xy
2v2 +xy
2 (x 2 + y2 + xy)
x — + y — = —-----— +~ T — 2-----------= — 2— 1 ----— = 2
dy x + y +xy x + y +xy
x + y +x y
2)
dz
*— +y
<5c
dz
dz
yj t
Demostrar que x — + y — = xy + z sí z = xy + xe
Solución
^
z = x y+ xe v/jr => —
= y + e vy/x
de
3" ylx
X
^
, —
= x + e y/i
¿y
0¿.
dz
y ¡ x
y/X
ylx
y/x
x — + y — = x y + xe
- y e + xy + ye
= xy + xy + xe7 = x y + z
dx
dy
dz
dz
x — + y — = xy + z
dx
dy
3)
dz
dz
Demostrar que, z = f(x+ay), donde f es una función diferenciable, entonces — = a — .
dy
dx
Solución
Sea z = f(u) donde u = x + ay
z = f(u)-----dz
dz du dz
dz
dz du
dz
— = -------- = — = f '( u ) , — = -------- = a — = a f'(u )
de
du dx A
dv
A dv
A
382
Eduardo Espinosa R a m o s
dz
a — = a f'(u )
dx
'
4)
dz
y — = a f ( u ) entonces
dv
dz
dz
— = a—
dv
dx
Si z = f(u) F(v), donde u = x + y , v = y/x y ambas son funciones arbitrarias, 'üemuestrc
dz
dz
x — + y — = u f ’(u)F(v)
de
dv
que:
Solución
ck dz
aplicando la regla de la cadena para —
se tiene:
dx ¿y
d zdzdudzdv
lk ^ lk lk * ~ d > l k '
¿k dz
dx du
dz dz du
— =
dy du dy
dz
—
dy
dz
du
y dz
x 2 dv
dz dv
dv dy
1 dz
— =>
x dv
dz
dx
dz y dz
du x dv
du
e d o n d e dx
dv
’ dx =
y
—O )
du
dv
1
de donde — =1 — = —
dy
dy
x
y
dz
=y
dz
v dz
Y-----du x dv
—(2)
sumando (1) y (2) se tiene:
¿ k d z d z v d z d z y d z
dz
x — + y — = x -------:------+ y — + ------= f ( u ) F ( v ) = (x + y )— , de donde se tiene:
dx
di'
ñd x dv
du x dv
du
dz
— = f(u )F (v )
du
dz
dz
dz
por lo tanto .r— + y — = (x + y ) — = u f'( u ) F ( v )
dx
dy
du
dz
dz
x — + y — = u f ’(u)F(v)
dx
¿y
383
Funciones Reales de Variable Vectorial
5)
La sustitución x = es, y = e transforma f(x,y) en g(s,t); siendo g (s,t) = f ( e ' \ e ' ), si se
sabe que f satisface la ecuación en derivadas parciales.
2 d 2f
2 d 2f
df
di
d 2g d 2g
x — y + v — r ' + J f — + v— = 0, demostrar que — =-+— = 0
dx2 ' ds2
dx
ds2
dt2
Solución
g(s,t) = f(x,y)
d g d f d x d f
— = -------- = x — donde x - c
ds dx ds
dx
s
^
dx
s
=> — = e = x
ds
df_
*X
»>S
dx
-*■y
*t
d 2g dx d f
d ff
dx d f
d 2f dx
df
2 d 2f
— y = — .— + x — (— ) = — .— + x ( — 5----- ) = x — + x — y
rfc
ds dx
ds dx ds dx
dx ¿k
dx
dx
ds
2 —X
+
dx
X
j
•••O )
dx2
dg d f dy
di '
,
dy
,
— = ------- -- y— donde \ ~ e => — = e = y
dt dv dt
¿V
'
dt
d 2g
dv d f
d df
df
d df
— y = — .— + y — (— ) = v— + y — (— )
dt
dt dv
dt dy
dy
di dy
d
df
— (—
dt dd
d d f dg
) = —
dy
(—
)—
dy dt
d 2f
=y ~ T
dy
P ° r lo
tanto
d 2g
df
2 d 2f
— y =y — +y — y
dt
dy
dy
...(2)
384
Eduardo Espinoza R am os
sumando í l ) y (2) se tiene:
s 2g
fg
<5?
a 2
2a \f
2d \f
dr
af
dv
dx
' dv
„
— 5r + — r = x — r + y — r + * — + v— =o
6)
dx2
d 2g
d 2g
ds2
di-
n
• — 2-+—r =o
2
? 2
dz
di
Dado F { x + v + z ,x + y~ + z ) = 0, probar que: (y - x ) + ( y - z )-----i-(z-jr) — = 0
dx
dy
Soludén
F (x + y + z, x 2 + y 2 + z2)= F (u,v) donde u = x + y + z ,
v = x í + y 2 + z2
dz dz
se debe calcular las derivadas parciales — , — por derivación implícita, es decir:
dx dy
dF
dF
~
dk
dx
dF
dy
~ dF
dy
dz
dz
dF
dF du
dF dv
dF
^ dF
dF
dF du
dF dv
dF
dF
dx
du dx
rV dx
du
dv
dy
d t dy
dv dy
du
dv
dF
dz
=
dF du
du dz
dF_
A
de
dx
&
+
dF dv
dF
dv dz
du
dF
dF
— +2 x —
du____ dy_
dF
dF
— +2z—
du
dv
dF
+ 2z —
dF
dz
dy
*
dz
dF
dF
+ 2 y -------
du____ dy_
dF
dF
— +2z—
du
dv
385
F unciones Reales de Variable Vectorial
(y -x ) +( y - z ) ~ +( z - x ) ^ =
ox
dy
^L + 2x—
^ L + 2y —
— + 2z —
du
dv
— + 2z —
du
dv
— +2r—
^ L +2y —
= (,-x ) + ( z - v , ( ^ - % ) + ( x - z ) ( |—
k2 z —
— + 2z—
du
dv
du
dv
dF
dF
( z - y + x - z ) ~ ~ + ( 2 x ( z - y ) + 2 y ( x - z ) ) —~
- s r ^ w
du
(■*■—v)— - + 2
,
z
dF
( x
= ( y - x ) + ------------ — ---------------------—
'
dF „ dF
— + 2z—
du
dv
---
dv
-
v
dF „ dF
—- +2 z —-
)
= ( v —x ) + ( x - V ) — ----------— = v - x + V
'
1
• ' dF
dF
— + 2z —
du
dv
y
y
(v -x ) +( y - z ) ^ +( z - x ) ^ =O
dx
dy
..
7)
c .
Si <« = x
if.y
z
x x
~
Demostrar que:
x
do)
dcj
dx
dy
da
, 3 „, v z ,
= 3x / ( —,—)
dz
x x
hz —
Solución
3
.y z
3
y
z
Sea c o - x / ( —,—) = x f ( u ,v ) , u = — , v = —
x x
x
x
ÍÚ = X 3f ( U , V )
-i i r ,
v 3 d f{u ,v)d u
3 d f(u ,v )d v
. 2
„
S f(u ,v )
— = 3x f(u ,v ) + x — + x v ’ — = 3 x f(u ,v )~ x v
-x z
dx
du dx
dv dx
du
d f(u ,v )
dv
386
Eduardo E spinoza R am os
x
d«>
, 3.,
.
2 #"(«.*)
2 #■(«.*)
= 3x f ( u , v ) - x y
—x z ---------du
dv
dx
d(o
¿V
=x
3
d f(u ,v) du
2 d f(u,v)
-------------= x --------¿V
^
... (1)
entonces
v
don
i d f ( u ,v ) d v
2 <Y(U<V)
— = x —----------- = x
entonces
dz
dv
dz
dv
dio
dy
2
« T í" .w)
= x v---------'
du
...
—(2)
í?<u
2 d f(u ,v )
z ------ = x z ---------dz
dv
...
... (3)
sumando (1), (2) y (3) se tiene:
x
da
+y
dx
8)
dw
+z
dw
dy
3
,
= 3x /( « ,v ) = 3x / ( « , v )
dz
Dado z = « (x ,/)e
ax+bv
;
= 0. Hallar a y b. tal q u e
dxdy
í?2z
dxdy
^
^
— - — +z= 0
dx dy
Solución
.
.
z = u (x ,v)e
a x+ by
^
=> — = e
<2r
ax+ bv ^
. .
• — +aw (x,y)e
<5r
ax+bv
^
ax+by t d^
,
. dz
ax+by du , .
. ax+by dz
ax+by , ^
, .
..
— = t? *(— + a u ( x , y ) ) , — = e
— + bu(x,y)e
y, — =e
y (— + b u (x ,y))
dx
dx
dy
dy
dy
dy
d 2z
■=ae
dxdy
d 2z
dxty
■= e
„x+h.,
(— + b u(x,y))+ e
dy
(a
.
r>2«
rb
(------ + b— )
dxdy
dx
du
d 2u
du
\-abu(x,y) +------- 1-b — )
dy
'
dxdy
dx
d 2u
perocomo ------ = 0, entonces se tiene:
dxd>
d 2z
=e
dxdy
d 2z dz dz
com o-------------------- hz = 0, entonces reemplazamos
dxdv dx dv
ar+év du
du
(a — + a b u (x,y)+ b — )
dy
dx
387
Funciones Reales de Variable Vectorial
em+by(a — + abu(x, v) + b — )~ eax+by(— + au (x ,y ) —
dfy
dx
dx
_ e a x+ b y ( d ¿ + b u ( x y ) ) + w(jC) y ) e ™ + by = O
dv
eax+byX{a - 1) — + (b -1 ) — (ab - a - b - !)«(*, y)] = O de donde
dy
dx
du
du
( a - l ) — + ( b - l ) — ( a b - a - b - l ) u ( x ,y ) = 0 por igualdad
dy
de
a -
1= 0
b - 1= 0
I
=>
a=1
,
h= 1
[ a h - a - h - 1= 0
9)
2
Demostrar que la función z = e y <¡>(ye v ) satisface a la ecuación.
2
7 dt
dt
(x - y ~ ) — +xv — = xyz
dx ' dy
Solución
v
2
v
2
Sea z = e vtj)(ye * ) = e v$(w) donde u = ye '
____
tf(u )
rX
JT2
d<f>(u) d<}>(u) du
du
x TJ
aplicando la regla de la cadena se tiene: -------- = ------------- , donde — = — e y .
de
du de
de y
d<f>(u)
d<j){u) du
x
— ■-T = _ í>
2
2
* (W)
2
< 9^( k )
dy
d<}>(u) du
du
= -------------, donde — —e
du dy
dy
TT
2
jc 2
----- z-e
y
J-T
388
Eduardo Espinoza R am os
2
d<j>(u)
dv
c<Hu) du
2i
= -------- .— = {e >
du
dv
2
x
2v: . , w .
je
)< n « )
2
,
* = e v ---------=
^ ( u)
x ey. e 2y12¿A' i(u)*
como z = e A (u), entonces:
—
—.
dx
dx
y
2
dz
..d<f>(u)
r T7
— = e <f>(u) + e
- e tj>(u)+e ( e
dv
dv
^
je
xl
T?
)<¡>'(u)
v
dz
^
x2
—~ = e l 4>(u) + e xe 2y <¡¡'(u)— j e ve íy 4>'(u )
dy
y
2
2
A. X 3e-V —
—
2
1 dz
2¿
V 2vZ
(* + /)— =
e ' <j>'(u)-xye}e 2y ^ ' ( «)
3c
y
... (1)
2
3
jry— = xyey$ (u ) + xyeye 2y $ '(u )
dy
eye 2y $ '(u )
y
sumando (1) y (2) se tiene:
X
2
2
2
dZ
„
,,
2y1
(x + y )---- vx y — = xye ${u) = xye $ {y .e r ) = xyz
dx ' dy
2
i dz
dz
{x - y )
v x y — = xyz
dx
dv
10)
dz
dz
Calcular el valor de la expresión E = a — + b— si $ ( c x - z a , c v - b z ) = 0.
dx
dy
Solución
Sea o = $ ( c x - a z , c y —bz) =
du
du
dv
dv
— = c , — = -a , — = c , — = -b
dx
dz
dv
dz
donde u = ex - az , v = c y -b z , además
— (2)
389
Funciones Reales de Variable Vectorial
01 = lf>(u, V)
como la función (|>es implícita entonces
dco
don
dz
dx
dz_
dx
don
dy
d(ú
dv
dz
dz
dco
dco dco
Luego calculando — , --- , ------ , se tiene mediante regla de la cadena.
dx
dv dz
dco
dco du
dco
dco
dco dv
dco
dx
du dx
du
dy
dv dy
dv
dco
dco du
dco dv
dco
dco
dz
¿hi dz
dv dz
du
dv
dco
dz_
dx
dx
dco
---dz
dco
dz
i
-o
+
dv
c[
1
li
dco
be---dv
■8
Si
dco
ac—
du
dco
dco
a — +¿>—
du
dv
du
■8
11)
dco
c—
dv
dco
dco
»-
dz
dz
i— ■ h__
O
dx
dy
dco
c—
dv
dco
dco
- a ------ b
du
dv
a
Ó’
dco ~
---dz
dco
c ---du
dco
dco
a — +/>—
du
dv
1
dy
dea
c—
du
dco
dco
- a ---- - h —
du
dv
a ---- + b----du
dv
dco
' du
dco
' du
dco
’dv]
■= c
dco
i---dv
a
dz
dz
vb — = c
dx
dv
z = f(x +y, x - y) y f es una función que tiene derivadas parciales continuas.
Demostrar que:
dz dz d i 2
&
— .— = (— )- ( — )
dx dv
du
dv
2
390
Eduardo E spinoza R am os
Solución
Si z =
+ y, x - y) = f(u,v) donde u = x + y , v = x - y .
z = f(u,v)
aplicando la regla de la cadena
dz
d f du
<f
fL
*dx
¿b dx
dv dx
du
dv
dx
dz dr du dr dv dr d i
— = — .— + — .— = — - — entonces
dy du dy dv dy du dv
a = f(x ,y ,z ) = x + y - z ,
Si
~.(1)
dv
dz dr d f
— =— - —
dy du dv
••• (2)
dz dz
df df df df
df 2 df 2
— .— = (— + — ).(— - — ) = (— ) - ( — )
dx dv
du dv du dv
du
dv
multiplicando (1) y (2) se tiene:
12)
du
x = e cosí,
y = e se n /,
z = e . calcular:
da
a
dea
a
Solución
rX =
O) = f ( x , y , z )
►y=
*-z—
aplicando la regla de la cadena se tiene
da
a
d a
a
d a dx d a dy
dx
r
dy
r
= ---- .— + -----.— donde — = e cos/ , — = e sen /
dx a
dv a
r
a
= 2xe senf + 2ye sen/ = 2e
2r
a
2
cos f + 2e
2r
2
d a
sen t ; -----= 2e
a
2r
391
Funciones R eales de Variable Vectorial
dco
d (0 dx reo ¿h' d a dz
dr
r
dv
r
dzz
t
= ---- .
h
.— + -----.— , donde — = - e sení , — = e cosí , -----= e
dt
dx di dy dt dz dt
dt
dt
di
d(Ú = 2 x ( -e r senf) + 2>>er c o s f-2 z e t = -2 e 2 r senrcosf + 2e 2 r s e n rc o s f-2 e 2 t = —2e 2 /
dt
13)
Demostrar que la función z, determinada por la ecuación F(x - az, y - bz) = 0, donde F
dz
dz
es una función diferenciable cualquiera de dos argumentos, satisface: a ----- vb — = 1.
dx
dy
Solución
C o m o F (x-az, y - bz) = F(u,v) = 0 donde
u = x - a z , v = y —bz
du
dv
dt
dv
de donde — =1 , — =1 , — = -a , — =
dx
dv
dz
dz
-b
F(u,v)
aplicando la regla de la cadena se tiene:
dF
¿ F _ r F ¿b
dx
du dx
du
dF
dF dv
dF
dy
dv dy
dv
dF dF du
dF dv
dF
dF
— = — .— + — .— = - a ------b —
dz du dz
dv dz
du
dv
dF
d1
dx
ñ, ~ ~ 8F
<*
dz
dF
d¿
dy~
dF
~
dF
du
dF ~
dz
dF
du
.
dz
du
dF dF
entonces - ~ dF
dF
- a -b --------A
a
+ h---du dv
du
dv
8F_
,,v
(I)
8F_
dv
dF_~
dv
dF^ b &_
dz
du
dv
.
dz
nCCS Sy ~
<F_+ b &_
dt
dv
"
392
Eduardo E spinoza R a m o s
multiplicando (1) y (2) por a y b respectivamente
dx
dF , d F
a — +h —
du
dv
'
dy
y
&
.d F
a— +o—
du
dv
dF
L dF
dF , dF
^
^
fl
b
o
"hb
a — + b — = ------- & ----- + -------- ¿v----- = _ d u ------- dy__ ¡
dx
dv J F
dF+
dF
dF
J F
dF
a— +o—
a— + o—
a— +o—
du
dv
du
dv
du
dv
14)
^
a dx
d"í ^ d 2z
Si z = f ( x , y), x = <p(r,s), y = \¡r(r,s) hallar fórmulas p a r a — —. — y
dr ds
Solución
aplicando la regla de la cadena se tiene:
dz dz dx dz dy
..
.
— =— .— + — .— , a esta expresión derivamos con respecto a r, se tiene.
dr dx dr dy dr
d dz
d dz dx d z d y
— (— ) = — (— .---- h— .— ), efectuando
dr dr
dr dx dr dy dr
dv
393
Funciones R eales d e Variable Vectorial
aplicando la regla de la cadena para calcular
8
dz 8
ck
8 8z
8
8z dx 8 dz dy
— (— )>’— ( — ) se tiene: — (— ) - y — ( — ) — + — (— ) —
dr dx dr dy
8r dx
dx dx 6r dy dx dr
8
dz d 2z dxx
8 2z 8y
— (— ) = — r - ----- + -------•—
dr dx dx
dr
dydc drr
— (2)
d
dz d
dz dx
8
dz
dy
dr
dy ^ dx
dy dr
dy
dy
drr
8
—
dr
dz
8 2z dx
( — ) = ----------- •—
dx dxdy dr
d 2y dy
+ —
T -
dry
— (3)
8r
reemplazando (2), (3) en (1) se tiene:
d 2z
d 2x dz 8x , 8 2z dx d 2z dy
d 2y dz dy , d 2z
dx ^ z
= ----- _— i-— r-------- _— i------- . ) h
----+___(____ •___ + -------.— )
d r2 8r2 dx dr dx2 8r dydx dr
d r1 dy dr dxdy dr dry2 dr
d 2z d 2z dx 2 d 2z
dv 2 ~>d2z dx dv 8 2x dzd 2y dz
r - = ---—(-----) +.------ )
+ 2 ---- .---.— + -----—.--- + ---- ------d r2 dr2dr
dydr
dydx dr
dr dr de
d r2 dy
d 2z
en forma similar para el caso de — j- se tiene.
ík
d 2z
d 2z dx 7 d 2z dy 2
d 2z dx dy d 2x dz d 2y dz
— t - — — )' +■— r ( — ) + 2 ------. — . — + — r-,— + — —
ds
dx1"ds
dy
ds
dydx ds ds ds dx
ds~ dy
15)
Si f es una función diferenciable de x e >, además u = f ( x , y ) , x = r c o s 6 ,
y = r sen6 , muestre que.
ftt
du sen 6 du
dz
du eos6 d t
— = cos©------------- .— , — = s e n # — + -------- .—
dx
dr
r
80
dy
dr
r
80
Solución
394
Eduardo Espinoza Ram os
aplicando la regla de la cadena se tiene:
du du dx du dy
dx
dy
— = — .— + — .— , donde — = eos©,— = sen©
dr dx. dr dy dr
dr
dr
du
du
du
— = eos©
ksen 0 —
dr
dx
dv
( 1)
du du dx
du dy
— = — .— + — .— , donde tenemos que:
d6 dx dO dy de
dx
dy
du
du
du
— = —r sen 0 , — = r cos© — = —r sen 6 .— +r cos 0 —
de
de
de
dx
dy
(2)
de (1) y (2) se tiene el siguiente sistema:
eos©
du
du du
i-rsen©— - —
dx
dy dr
—r sen©
du
du du
i-r eos© — = ---dx
dy de
du
sen©
—
dr
du
reos©
dx
eos 6
dv
i
©
de
i
du
¿hi
du
du
despejando — y — se tiene
dx
dy
du
du
r eos© — -rse n © —
dr________dO
sen©
entonces
du
du sen© du
= eos©— dx
dr
r de
—
reos©
du
cos 0
—
-rsen©
du
—
dr
de
eos©
sen©
-rsen©
reos©
du
du
eos© — - + rse n 0 de
dr
du
entonces —
dv
eos© du
du
------------- hsen© —
r dB
dr
395
Funciones Reales de Variable Vectorial
16)
Si f
y
g son diferenciables de x e y. u = ílx,y). v= g(x,y) tales que
du
dv
dx
dy ^
du
dv
du 1 dv
dv
\_du_
— = -— , entonces si x = reos©, y rsen 0 , muestra que: — =
y — =
fy
dx
dr r dd
dr r de
Soluclén
u = f(x,y)
mediante la regla de la cadena se tiene:
ñi
d i ¿k d i di’
dx
d’
— = ------- + ------ —, donde — = e o s © = sen©
dr
dx di d\’ dr
dr
dr
di
du
di
— = cos©.— + sen© —
dr
dx
dy
(1)
du du dx du dy
dx
dy
— = — .— +
, donde — = -r s e n © ,------ = reos©
de dx de dy de
de
der
du
du
du
— = -rse n © — +rcos© —
d6
dx
dy
... (2)
du
du
du
— = eos©— +sen© —
dr
dx
dy
Luego de (1) y (2) se tiene:
•
du
du
di
— = - r sen 0 — r eos 0 —
dO
dx
dv
(o)
•
396
Eduardo Espinoza Ram os
mediante la regla de la cadena ->e tienedv dv dx dv dv
fa
dv
dv
dv
dv
— - — .— + — .— , donde— = eos6, — = scn0; —= c o s 0 — + sen0 —
dr dx dr dv dr
dr
dr
dr
dx
dy
dv
de
... (3)
dv dx dv dv
= — .---- + —
, donde tenemos que:
dx de dy de
dx
dy
— = -rse n O ,-^ - =
de
de
dv
dv
dy
reos©; — = - r s e n 0 — + r eos© —
de
dx
dv
dv
dv
dv
— = eos© — + sen© —
dr
dx
dy
Luego de (3) y (4) se tiene el sistema
dv
dv dv
— = -rsen©— + —
de
dx d-
...(4)
... (p)
dv
d i dv du
Como — = —— ,— = — , entonces se tiene:
dx
dy dy dx
dv
du
di
du
di
— = - s e n © (-— ) + rcos© — = r(cos©— +s en ©— )
de
d’
dx
dx
ty
dv
du
du 1 dv
— = r — , por lo tanto se tiene: — = —.—
de
dr
dr r de
de
= - r sen 0 — + re os 0 — = - r sen 0 — + r eos 0 ( - — )
=
dx
rV
rV
dx de
A;
A
Ai
= -r(co s 0 — + sen 0 — ) = - r —
dx
dv
dr
dv
por lo tanto: —
dr
17)
1 di
--------r de
y 2
La ecuación / ( —,—) = 0 , define a z implícitamente como función de x e y, sea esa
x x
efe dg
función z = g (x ,y ). Demuestre que: x — + — = g (x ,y ).
dx
dy
397
F unciones Reales de Variable Vectorial
Demostración
y z
y
z
Sea eo = / ( —, —) = f ( u , v ) donde u = —, v = —
x x
x x
m = f(u,v)
aplicando
du
dx
y
la
regla
de
la
cadena
se
tiene:
dco
dco du
6(0 dv
dx
du dx
dv dx
— = ---- .— + ----- .— ,
donde
dv
T ’T "
x
dx
6(0
1
d(o
— =— Hv— +
de
x
du
2
d(o
— )
dv
d(o
dco du
du
1
= ---- .— .donde — = —
di’
du dy
dy x
dco
1 dco
entonces -----= --------dy x du
dco
dco dv
dv 1
dco
1dco
= ---- .— , donde — = — entonces -----= -------dz
dv dz
dz x
dz x dv
d(o
ck
dx
dx
do
l , dco
x
dy
.
,* .
dco.
du
dco. 1
dz . dco
dco. 1
X— = ( v — + z —
dv dco
dx
du
dv dco
dv
dv
1 (v — +z—
=—
_
1 6(0
x dv
dz
¿fe
dco.
(y—+z—)
du dv _
x
dco
1 dco
dco
dy
dco
x du
1 dco
du
a, > y~w =~ y ^
6(0
dy
dco
~dz
x dv
dv
dco
dz
dt
- ( 2)
dv
sumando (1) y (2) se tiene
d(o
dz
dz
dco
dco
x — +.v— = (v — + z —
dx
dy
du
1
a,
= z = g ( x ,y )
dv
dv
^
dv
dz
dz
dx
dy
x — + y — = g (x, v)
398
Eduardo E spinoza R am os
18)
1
d 2z a 2 d
2 dz
Si z = —(5 (a x + y)+ y /( a x - y ) ) , mostrar q u e — j = — 5-----(y — )
y
dx.
y ¿fy
dy
Solución
1
1
z = —(S ( c a + v ) + y /( a x - v ) ) = —(S(u)+ y/(v)) donde u = a x +_y.
y
’
v
2
1
= —(S(u)+ y/(v)), u = ca + y, v = a x - y
y
V
•u = d
■vr —1
y
■X
dz dz du dz dv
du
dv
— = — .— + — .— , donde — = a , — = a
dx du dx dv dx
dx
dx
1
dz
1
dz 1
como z = —(¿>(u)+ y/(v)) => — = —ó '(u ),— = —y/'(v).
dz
a
— = — (S'(u)+y/'(v)).
dx v
aplicando la regla de la cadena se tiene:
d z
—
dx
d
dz du
d
dz dv
du dx dx
dv
dx dx
d
dz
a
= — S ’(u)
du dx y
d dz
a
du
dv
— (— ) = — y/'(v), — = a , — = a
dv dx
v
dx
dx
d 2z
d
dz
du
d
dz dv
a2
a2
V m(v)
~7T
=—
(— ) ~ Z + ~ T ( -T>— = y 6 "(u)+--dx
du dx dx d t dx dx
y
1
-ax-y.
399
Funciones R eales de Variable Vectorial
c¿ i2 z a 2
— = ---- ( 5 ' ( u ) + y/’(v)
dx
y
...(I)
aplicando la regla de la cadena en el diagrama (*)
dy
= — y (S(u) + y(v)) + - [ - | - (8(n)+ v ( v ) ) ^ - + ( 6 ( u ) + v (v ) )|^ ]
y
y cu
dy dv
dy
— = - -^ -(5 (u )+ y/(v))+—(5' (n )~ yt'(v)) y 2 — = - 5 ( u ) ~ y ( v )+ y (8 '(u )~ y/'(v))
dy
y
y
dy
+ y(5"(u)------ *y"(v)— ) = -¿>'(u) + v/'(v) + 5 ' ( « ) - v ' ( v ) + v ( 5 *(«) + w"(v )
dy
dy
d
¿)z
— ( y 2— ) = y (S "(u )+ y /’(v))
d\>
dy
a2 d
2 dz
a2
— — ( / — ) = ---- ( 5 » + ^ » )
v dy
dy
y
de (1) y (2) se tiene:
19)
d 2z a 1 d
2d z
— z- = —;-----(v ------)
dx2 y 2 ¿ y '
dy
2
á dz
S iz = f ( x .jrseny.jf+y), Hallar— ,—
d t dy
Solución
Si z = / ( j c 2, jeseny, x + y ) = / ( u , v , í ) donde u = x 2 , v = x s e n y , t = x + y
z = f(u,v,t)
aplicando la regla de la cadena se tiene:
dz dz du dz dv dz dt
du
dt’
dt
— = — .— + — .— + — .— , donde — = 2 x . — = sen v , — =1.
de d t dx dv d t dt di
dx
dx
dx
...(2)
400
Eduardo Espinoza R am os
dz
dz
dz dz
— = 2 x — + seny— + —
de
du
dv dt
dz dz dv dz dt
— = — .— + — .— ,
dv dv dy dt dy
dv
dt
donde — = jccos>' , — =1
d’
dy
dz
dz dz
— = jrcosv-— + —
dy
dv di
x+v
Una función es definida por una ecuación de la forma w = x v f ( ----—) probar que
JCV
2 dw
2 dw
satisface a la ecuación, x
v
= G (x,y)w y encontrar G(x.y).
dx ' dy
Solución
x +y
v
Sea w = x y f (-------) - u f (—), donde u = x y , v = x + y.
xy
u
aplicando la regla de la cadena se tiene:
dw
dw du
dw dv
du
dv
= ---- .— + -----.— donde— = v , — =1 entonces
dx du de
dv dx
dx ' dx
dw
dx
=y
dw
dw
+ -du dv
-
20)
2 dw
7 dw
2 dw
x ---- = x ~ y ----- + x —
¿be_______ ¿it
dv
-
( 1)
dw
dw ¿he
dw dv
íh
¿hv
dw
dw dw
= ---- .— +
.— , donde— = x ,— entonces — —x
+ ---dv du dy
¿>v rV
dv
dv
¿\>
¿ht dv
2 dw
2 dw
2 dw
y -----= x v
+y
dy
¿hi
dv
restando (1) y (2) se tiene:
- (2)
401
Funciones Reales de Variable Vectorial
x
2 da
dx
2 da
2
2 da
2
2 da
da
da
y -----= (x y ~ x y )-----+ (x - y )-----= x y ( x - v ) ----- + (x-_y)(.r+_y)---dv
du
dv
du
dv
da ,
,d a .
= ( x - y)[xy — + (.x+ yy— ]
cu
dv
...(3)
da
v
v
v da
v
p e ro — = / ( - ) — / ' ( - ) , - = / ' ( - )
du
u
u
u
dv
u
...(4)
reemplazando (4) en (3) se tiene:
x 1 ~ - y 2^ - = ( x - y ) [ u ( f ( - ) — / ' ( - ) ) + v / '( - ) ] = ( x - y ) u f { - ) = G(x,y)a
dx
dy
u u
u
u
u
de donde
21)
g(x,y) =x - y.
z B^ z
Dada la función z = f ( x , v), x = e ‘ cosv, v = e“ sen v. Calcular — - + — —
dx2 d y 2
Solución
Mediante el resultado del ejercicio (14) se tiene.
d 2z d 2z dx 2 d 2z dv 2
d 2z dx dy dz d 2x dz d 2y
— Y ~ — t”(
) + — r ( ) +2
- - +
■ Y+
■ T
du ¿ic du
dy du
dydx du <\t dx dU
dy d i
x = e eos v
y = e sen v
dx
= e cosv
di
dy
ii
— = e sen v
dt
d 2x
= e eos v
du
d 2y
•0 )
... (2)
„
= e sen v
du‘
reemplazando (2) en (1) se tiene:
d 2z
j ii
2
d 2z
2 d 2z
2u
d 2z
u
dz
dz
— r = e (eos v— r-+sen v — x~)+e sen2v
+e (cosv— + s e n v — )
du
dx2
dy2
dydx
dx
dy
da 2z
en la misma forma para — j-, es decir:
dv
... ( í i
402
Eduardo E spinóla R am os
d 2z
d 2z dx 2
d 2z dy 2
d 2z dx dy dz d 2x
dz d 2y
d v2
dx2 dv
dy2 dv
dydx dv dv dx dv2
dy dv2
x - e u cosv
dx
dv
— = -e
=> '
y = e u sen v
u
sen v
dy
i.
— = e eos v
dv
(4)
= - e cosv
dv2
... (5)
& y = —e sen v
dv2
reemplazando (S) en (4) se tiene:
d 2z
— j- = e
dv
2ii
2 d 2z
2 d 2z
j ii
d 2z
u
dz
dz
(sen v — r-+cos v — r ) + e sen2v
- e (cosv— + s e n v — ) ...(6)
dx
dy
dydx
dx
dy
sumando (3) y (6) se tiene:
,2
d z
a2
d z
— Y+— r =e
du2
22)
dv2
,2
2u d z
,2
d z
,2
d z
(— T + — r ) « de donde
dx2
dy2
32
d z
— r - + — j- = e
dx2
dt
du
Aplicando la regla de la cadena, hallar — y — si
ds
di
n
n
cuando s = — , t = —
4
4
dy2
x —y
-2
_2u o■ z
,2
d z
(— r - + — r-).
du2
u = ------- , x =
dv2
tg s , y = tg t,
l + xy
Solución
Mediante el diagrama se tiene:
y mediante la regla de la cadena.
dx du dx
du -(1 + y) dx
2
n
— = — .— , donde — = ----------z-, — = sec s , cuando s = t= — , se tiene: x=l, y=l
ds dx ds
dx (l + xy)
ds
4
du
Luego — =1
dx
dx
di
chi dx l
, — = 2 , entonces — = — .— = —(2) = 1
ds
ds
dx ds 2
di
— =1
ds
403
Funciones Reales de Variable Vectorial
du du dv
du -(l-*-jr) du
2
71
— =—
de donde— ----------- y ,— = sec i cuando s= t = — , se tiene: x=l, y=l
di a dt
dy (l + xy) di
4
¿\t
1 rV
du du dv
1
Luego — = — . — = 2 entonces — = —
= (— )(2) = - l ;
dy
2 dt
di dy dt
2
23)
Aplicando la regla de la cadena, hallar
dco
y
dx
d(0
du
— = -1
a
y +l
, v = ------ ,
2
2
si to = u + v , u =
dy
x
y
cuando x = 1; y = 2.
Solución
aplicando la regla de la cadena se tiene:
dco dco a
dea
a
dea
du
dx
a dx
du
dx
a*
dx
1 dco
y
^
a
dv
y +1
a
x2
dco 2 u 2v(v + l)
----------- ~2
, cuando x = 1, y = 2, se tiene u = 1, v = 3 entonces
a
y
x
dco
a
= 1—18 = —17
dco
dw a
dco a
dy
a
a
dy
dy
^ ^
a
jc+l
a
l
¿ko
¿y
y1
dy
x
a
^
2
a
dco
1
cuando x = 1, y = 2, u = 1, v = 3, entonces — = 2(— ) + 6(l) = - 1 + 6 = 5
dy
2
24)
Sea f (x ,y ) = x 2"e
Hallar un valor de la constante n tal que f satisfaga a la
d f{ x ,y )
d
d f(x ,y )
siguiente ecuación: — ; ------ =4 — ( y
-----)
a
dy
dy
404
Eduardo Espinoza R a m o s
Solución
dy
4x
/
.
2n 1
yx
_v/4,
y -----------------e ' =>
dy
4
4
«
«*/</
v
2n—1
2n—
2
8 ' & {x,y)^
X
_ „ , 4jt
yx
_ y/4j
— ( y ----------- )-= ----------e y + ----------e
dy
ty
4
16
d
d f( x ,y )
_y/4
x 2n“2
2n_,
4— (y
---- ) = e y ( y — — x
)
dy
dy
4
y ,
,
J ( x ,y ) = x
2n
e
-y /4 jr
^
=> ----------- = 2nx
dx
- y /4 jr , y X 2 n ~ 2
<§r ( * . J ' )
----------- = <? '
<3r
(
4
„
+2wx
2 n -l
...( I )
-y /4 jr
e ■
A**
*"
-y /4 jr
+ --------- e y
4
2n K
)
...(2 )
igualando (1) y (2) se tiene:
e
2n-2
2n-2
2 n -l ,
-y /4 jr,
*
„
2 n -l ,
(y ---------- x
) = e ' (y --------+2wx
)
4
4
- y /4 x ,
2 n -2
c
y
4
25)
e
X
—y U x ¡ y
■-
(— x ) = x
4
2 n -2
e
-y /4 x , y
«
,
(—+2wx), simplificando
4
y
1
x = —+2nx => (2n + l)x = 0 => 2« + l = 0
4
n =—
2
a2
a 2
<7 2
da 22 <7
2
Dada la ecuación y4— —+ 2B ------ + — = 0, siendo A.B y C constantes, determinar
dx"
dxdy dy
M y N también constantes para que al efectuar el cambio de variables t = x + My,
u = x + Ny, resulta una expresión de la form a
da 22
dudv
Solución
=0
405
F unciones Reales de Variable Vectorial
►x
►X
-y
►y
►X
►
X
►
X
►y
*y
-y
►X
“y
<k ■
dz
d zd dz du
di
du
aplicando la regla de la cadena, se tiene: — = ------ + — .— , donde — =1 . — = 1.
dx
dldx du dx
dx
dx
dz dz dz
d~z
r dz dz
d dz
d dz
— = — + — . entonces — 2 = — (— + — ) = — (— ) + — (— )
dx dt du
dx
dx di du
dx d
dx d t
d
dz
d dz dt d dz du
— (— ) = — (— )— + — (— )—
dx di di di dx du di dx
d
(
dx
dz d dz di d dz du
)= ( )
H-----( )
d i di d i dx d i d t dx
(í)
d 2z di
d 2z du
d 2z
d 2z
di
dudl dx
di
dudi
dx
d z
d z
1---- Y
ddu du
(2)
(3)
d 2z d 2z d 2z d 2z d 2z
reemplazando (2), (3) en (1) se tiene: — j- = — j-h--------- 1------ +— j
dx
rs2
d z
-,2
d z
- +
dx
2-
d ¿
d z
,2
d z
d dt
di
d
d td
ddu du
(4)
dz dz d
dz du
d
du
dz
dz
dz
— = — .— + — .— , donde — = M , — = N , entonces — = M — + N —
dy d d ’
du dy
dy
dy
dy
d
dt
d z
d
dz
dz
d dz
d dz
■= — ( M — + N — ) = M — (— ) + N — (— )
dy
dy
d
du
dy d
fy du
d
dz
dy d
(5)
-.2
,2
dz du
a z
d z
d dz
a z
d z
=>
{— ) = M _ 2 + N
. .(6)
)— = M - -+ N
dy du d dy
d‘
dud
dud
dy ' d
d
dz d
d
d
d
dz
d dz d
d
di
d
d t dv
d
d. 2z_
da 2Z
d 2z
d 2z
d dz
= M -------+ N — y => — (— ) = M ------+ N — 5 - —(7)
du dt dv
ddu
du
dv d
dldt
dt
d
& dt
reemplazando (6), (7) en (5)
406
Eduardo E spinoza R am os
d 2z
2 d 2z
d 2z
d 2z
2^ 2
— y = M ~^r+ MN
+ N M ------ + N 2 — y
dy
di
dxdt
dudi
du
d 2z
2 d 2z
d 2z
2 d 12
— y = M — - + 2 M N ------ + N — y
dy
di"
dudt
du
...(8)
d 2z
d
dz
dz
d dz
d dz
= — ( M — + N — ) = M — (— ) + N — (— )
dxdy
dx
di
du
dx dt
dx du
d
dz d
dz di
d dz du
d 2z
d"z
dx
di dt di dx
du dt dx
dt
dudt
d
dz d 2z d 2z
— (— ) = - T + — T
dx
di dt
dudt
d
dz d
dx
dx dt du dx
...(9)
-(1 0 )
dz di
d dz du
d 2z
dx du de
dtdu
d 2z
du2
d
dz d 2z d 2z
— (— ) = — +
dx
du du
dtdu
...(11)
reemplazando (10), (11) en (9) se tiene:
d 2z
d 2z d 2z
d 2z d 2z
= M (— ¿"+
) + N (— Y + ------)
dxdy
di
dudt
du
dtdu
^2
O z
02
O z
dxdy
di
-.2
o z
«2
«2
o z
o z
+ N ------ + N — y
dudt
¿kdx
dx
...(12)
por lo tanto de (4), (8) y (12) se tiene:
a2
d z
,2
-.2
32
d z
d z
d z
■—A y + 2 A
+ A~
dx2
dt2
didx
du*
d 2z
d2 z
d 2z
d 2z
d 2z
2B -------= 2 B M — y + 2 B M --------+ 2 B N ------ + 2 B N — y , sumando se tiene:
dxdy
di
dudz
dtdu
du
d 2z
2 d 2z
d 2z
2 d 2z
C— y = CM 2 — r + 2M NC------ + C N 2 — y
dv
dt
dudt
du
407
Funciones Reales de Variable Vectorial
8a 2z
8 2z
8 2z
(A + 2BM + C M 2) - ~ y + (2 A + 2BM + 2M N C + 2 B N ) - ^ - + ( A + 2BN+ C N 2)— \ = 0
di
8udt
du
3a 2Z
y
2
como -------= 0, entonces se tiene: CM +2BM + A = 0 y CN + 2 B N + A - 0
dudt
-2 B ± ^ 4 B 2-4 A C
M =2C
-B ± 4 b 2-A C
C
—2 B ± ^ A B 2 - 4 A C
-B ± '¡ B 1 - A C
N =•
2C
~
C
26)
Si (o es una función de u y v donde u2 = x 2 + y 2 + z 2
dli
du
du
dx
dy
dz
que:----- x — + y — + z —
,
z tg v = ^ x 2 + y 2 , Demostrar
dco
= u ---ñi
Solución
_
\—
Como z t g v = 7j x + y
J x 2+ y2
=>tgv = ----------- , de donde:
t
» ,V-----------x 2 + y 2 )^ , u 2 = x 2 + y 2 + z 2
v = arctg(rX
>y
‘Z
►X
►y
►z
aplicando la regla de la cadena se tiene:
dco
d c o d u d c o d v ^ ^ ^ d u x
dv
xz
dx
du dx
dx
u 2^ x 2 + y 2
dco
x dco
xz
dco
dco
dx
u du
u 2^ x 2 + y 2
dv
dx
dv dx
dx
u
x
“
dco
du
2
X z
dco
—
u2J x 2 + y 2 dv
— (1)
408
Eduardo Espinazo R a m o s
da
d a d u d a d v ^ ^ ^ d u
y
dv
yz
dy
du dy
u
dy
u2^ x 2 + y 2
da
dy
dv dy
dy
y da
yz
da
u du
u 2J x 2 + y 2
= --------- + ------- ■.-------------------
=>
y
da
y
2
da
2
y z
da
du
u 2^]x 2 + y 2
dv
= ----- . ------ + -------- :
dy
u
da
d a du d a dv
di z
dv
J * 2+ y2
— = — .— + — .— , de donde — = — , — --------- 5----dz
du dz dv dz
dz u
dz
u
da
z da
dz
u du
r ~í
y
y x ~ +_v
u2
da
da
dv
dz
z
2
u
da
z^ x ~ +_v
du
2”
u2
da
dv
sumando (1),(2) y (3) se tiene:
da
da
da x 2 + y2 + z2 da
x 2z + v 2z z J x 2 + y 2 d a
---------------j------- ) ---x ------- + y ------ + z -= ----------------- .--- + (-■
dx
dy
dz
u
du
u 2^ x 2 + y 2
u
&
u2 daz J x 2 + y2
= - • — + (-
u
du
zJ x 2+ v2
-
" 2
u
u
2 '
da
>—
dv
da
da
da
da
x ---- 1- y
v z -----= u----dx
dy
dz
du
27)
Hallar Z ),/(0,0) y Z)2 / (0,0), si existen, de la función:
3
3
2
' 2 »
x -y
f(x ,y ) = ' x +y
si (x*yy*(°»°)
, si (x ,y ) = (0 ,0 )
0
Solución
h3- 0
D , / (0.0) = Lim f (h'0)
A-»o
.-.
h
f {0'0) = Lim a L í l 5
D J ( 0,0) = 1.
h-to
h
= Lim — = Lim 1 = 1.
h
h—
>0
... ( 2 )
409
Funciones Reales de Variable Vectorial
...............
D2 j ( 0 ,0 )
0 - AJ
—
0
.. / ( 0 .A )-/ (0 ,0 )
..
0+k
= J im --------------------------- -- Lim ---------- = L tm
í-*o
h
t->o
A
t- * o
—=
A
L im - 1 = - 1.
t ->o
'.D2f (0 , 0)— l
28)
Hallar D , / ( 0,0) y D2/(0 ,0 ). si existen, de la función:
x>'
f(x,y) =
, si (x ,y ) * (0,0)
x" +y~
, si (x ,y ) =(0,0)
0
Solución
0
—0
.....................
/(ó ,0 )-/(0 ,0 )
h 2 +0
D ,/(0 ,0 ) = L tm --------------------- = Lim — ------ = o
*->o
/(0 ,* )-/(0 ,0 )
D J ( 0,0) = Lim
*-*o
29)
*-»o
h
A:
= Lim
*->o
h
0
—0
tP-
*
= 0.
Hallar Z ^ / ( l ,- l ) y D2/ ( l , - l ) , de la función definida por:
X
f(x.y)=
2
-X V
x+y
1
2
,
si x + y * 0
,
si x + y = 0
Solución
/(l+ ó,-l)-/(l,-l)
D , / ( l ,- l ) = ¿ im --------------------------- , es por definición de derivada
A —* 0
Ó
(l+ h f - ( 1+0)1
= Z-i/n
A-»0
l+ó-l
1+2Ó+A - l - ó - ó
-= Li/n= ¿«m —5 - = 1
A-»0 Ó
A-*o
410
Eduardo Espinoza R am os
f ( \ , - \ +k ) - f ( \ , - \ )
D2f (1,-1) = L im ---------------------------- , es por definición de derivada
*—
»o
k
l - ( - l + *)2 - l
-1 + 2 k - k 2
1
= L im -------------------- = Lim-----------------= Lim (— + 2 - k ) = oo
*-*o
l+it-l
*->o
k
*-» o k
Luego D , / ( l ,- l ) = l y l D 2f ( l , - l )
30) Dada la función f(x,y) definida por:
,
V
xy
e<?A ±£?y
+ er + , ^ 2 s i(x ,y )* (0 ,0 )
x +y
.hallar
f( x ,y ) =
2
si (x, y ) = (0,0)
d 2f ( 0,0)
---- — y
dx
d 2f { 0,0)
dx dy
Solución
En estas derivadas parciales se tienen dos casos: cuando (x,y)^O,0) y cuando
(x,y)=(0,0).
,
v
xy
f f ( x iy )
*
v(y ~ x )
Si (x ,y )* (0 ,0 )= > f(x ,y ) = é +e + —;----í-,d e d o n d e ------------ = e +-, 2
2.2
(x + y )
x +v
dx
<f(0,0)
dx
r
f(x ,0 )-f(0 ,0 )
r ey *-1-2 , ex - \
t
x ,
= L im
= Lim------------ = Lim------- = Lim e = 1
jc-»o
por lo tanto:
X
x -» 0
d f( x ,y )
dx
¿ 7 ( 0,0)
= Lim
x—
>0
X
x —, 0
x y (y ~ x )
e +— j
— si (x,y) * (0,0)
(x + y )
si (x ,y ) = (0,0)
1
Luego
x —>0
d f (x,0)
^ (0 ,0 )
dx
dx
-= Lim
x->0
e - 11
x
¿ 7 ( o ,o )
= 1, por lo tanto:------ 2----- =1
x
¿ 7 ( 0 ,0 )
d f(x ,y )
v x(x2 —y 2)
En forma similar para calcular------------- . Si(x,y) * (0,0) =>
=e dxdy
dy
x2 +y 2
d f ( 0,0)
f ( 0 , y ) ~ f (0,0)
y -----------= L im ---------------------- = Lim
dy
y—*o
y
j>-»o
ey - 1
v
t
=1
411
F unciones R eales de Variable Vectorial
í v xa* 2 - y 2 )\
sí ( * . v ) * ( 0 , 0 )
ty ( x ,y ) j e y + — 5----- 2
por lo tanto:-----------= i
(x + y )
dv
|l
S i (x,y) = (0,0)
^ 2/ ( 0 ,0 )
d f(x , 0)
d f( 0,0)
3'
¿v
^
r
1+ x 4 _ I
,
1
------------- = L iw ------------------- *----- = L im -------------- = Lim ——=oo
dxdy
JT-»0
JC
JT-»0
JC
JT->0 JC
¿ 2/ ( 0.0)
■=
31)
+00
Dada la función f(x,y) definida por:
2
f ( x 'y )=
_
2
51
jev(—
2— r> ’
x +y
0
muestre que:
,
a)
86 (°.°)
si
( x , y ) = (0 ,0 )
df(0,y)
-------------- = - y , para toda y
dx
. v
b)
<TÍ*.0)
= —x, para toda x.
dy
Solución
/ 2
2V
x (* - y )
,
a)
„
i)
■
„ d f ^ y ) .. /í* ..v ) - /( 0 ,y ) r . ^ x2 + y z
si v * 0 =>-----------= L im ---------------------- = L im --------------------dx
* -» 0
JT-» 0
X
,2
V
v(x - V )
= Lim — 5--- 5—
t-»o x + y
...
ii)
0
3
V
r = -.v
y
.
„ <T(0 ,0 ) r . / ( x , 0 ) - / ( 0 ,0 ) r . 0
si y= 0 =>----------= L im --------------------- -- L im
dx
r-» 0
X
X
Jr-» 0
- 0
m
=0
X
W d> )
.
„
^ (0 ,0 ) ^
^
por lo tanto ---------- = - y si y * 0 y ---------- = 0 s iy = 0
dx
dx
412
Eduardo Espinoza Ramos
.
<T(0 ,v)
se concluye q u e
= - v, para toda y
dx.
x2- y 2
b)
i)
si,«o
dy
y->o
y
y-*
0
y
°
,2
2.
3
x(x - y ) x
- Lim
----- 5— = —=- = x
y^ 0 X + y
X
sí,=o ^ i l . a A W
dy
y-*0
I W
y
df(xfi)
por lo tanto---------- = x si x * 0 , y
dy
. a H . ,
y-tO y
df ( 0 ,0 )
---------- = 0
dy
si x = 0
df(x, 0 )
se concluye que —
=x , para toda x.
dy
32)
Dada la función f(x,y) definida por:
f
x2_ 2
\xy( — - - ) , si ( x , y ) * ( 0 ,0 )
f(x,y)= \
x 2+ y2
, si ( x , y ) = ( 0 ,0 )
*0
_df{x,v)
dí(x,v)
Determinar si----------- y ----------- son continuas en (0,0). Es diferenciablc en (0,0)?.
dx
dy
Solución
Haciendo las mismas operaciones del ejercicio (30) se tiene las derivadas parciales
siguientes:
df(x,y)
t 4
v(x
+ 4y.x 2 y 2 - y )
J
2~2------ >
(x + y )
* Si
* (°-°)
dx
0
, si (x ,y ) = (0 ,0 )
413
F unciones R eales de V ariable Vectorial
, 4 - 4y.x 2y 2 -V 4 )x
x(x
5----- 2 ~ 2
(,f ( x , y )
)
(x'+ y )
dy
, si (x,y) * (0,0)
si ( x , y ) = ( 0 , 0 )
0
df(x,y)
éf{x.v)
La función----------- es continua en (0,0),si
Lim ------- :— = /(0 ,0 )= 0.Ahora
dx
(t.v)->(0 ,0 ) dx
Lim
calculando el
( x , j . ) ~ . ( 0 .o )
df(x.v)
----------- , A través de un camino que pase por (0,0),
dx
r
2
>
S = |( x , v ) e R / y = x j ,
Lim
(*.> -) - » ( s . 0 )
d f(x, V)
—------ :— = Lim x = 0, por lo tanto para S este
dx
x -» n
limite existe, debe valer cero.
Luego lo demostraremos:
Dado
e>0, 38= ? / si 0 < ||(x , y )-(0 ,0 )||<
0 < |(x ,.y )-(0 ,0 )||< 5 o |x| < 5
. df(x,y)
'
( x 2 + y 2)2
x 4=(x2) 2<(x2 + y 2) 2
además
4
x
2
4
2
. ,
2
- 0 |< £ , además
dx
x * + 4 x 2y * + y *
' ' yfí
2 .2
(x 2 + y 2) 2
[x 2 < x 2 + v 2
2 ..2 . , 2 ,
2x2
{ ,
' , de donde x í y < (x + y )
[Y2<x 2+ y 2
=>
y 4=(y2) 2<(x2 + y 2) 2
.
=> |
[y |< 5
Q. _ ly ( x 44 x 2y 2y 2 - y 4
' *
&
a
8
..
2
2 ,
.
2
2 ,2
,,
2 .
2. 2
Luego x + 4 x y + y < (x +_v ) + 4 (x + y ) + (x + y ) = 6 (x + y )
,,x
- .( 2 )
reemplazando (2 ) en ( 1 ) se tiene:
dx
( x 2 + y 2)
<»
por lo tanto es suficiente tomar S = — para que se tenga |
6
_ o | <e , siempre que
dx
0<||(x, v) - (0,0)11 < 5 , con lo que se demuestra que
Lim
^
11
11
j*
(x,j-)-»(0 .0 )
dx
df (x, v)
concluimos que - ——-—es continua en (0 ,0 ).
dx
= 0 , luego
414
Eduardo Espinosa Ramos
df(x,y)
en forma similar se demuestra que ----------- es continua en (0,0), y por lo tanto la
dx
(unción f es diferenciable en (0,0).
, 2
3x y
33)
—— y
• si (*• y ) * (°-°)
0
, si ( x , y ) = (0,0)
Dada la fiinción f (x.y) definida por: f { x , y ) = x + y
y/
Determinar si
<
y»
— '— y
dx
»
son continuas en (0,0).¿Es f diferenciable en (0,0)?.
dv
Solución
¿f{x,y) df(x,y)
Para calcular las derivadas parciales-----------,
se considera dos c a s o :
dx
dy
Si (x,y) * (0,0), y si (x,y) = (0,0)
i)
si {x,y) * (0,0),
d f ( x ,v )
dx
II)
6x y 3
~ , 2
2.2 •
(x + y )
# (x ,y )
dv
#•(0,0)
# ( 0,0)
si (x,y) = (0,0), calcularemos ---------- y -----------dx
'
dy
# (0 ,0 )
f ( x , o ) - f ( 0,0)
0 -0
----------= Lim--------------------- = Lim
=0
dx
*-»o
x
*->o x
# (0 ,0 ) r / ( 0 , y ) - / ( 0 , 0 )
0 -0
----------= Lim--------------------- = Lim
=0
dv
v-»0
y
v-» 0
y
por lo tanto se tiene las derivadas parciales.
# (* ,.v )
dx
6xy )
— 2 — r r ) • xi ( x ' y ) * ( °-°)
(x + y )
0
df(*,y)
dv
, si ( x , y ) = (0,0)
1 2 (x
í 2 - y 2 .)
3x
2— n ~ ’si
(x + y )
0
,si ( x , y ) = (0,0)
3x 2( x 2 - y 2)
/ 2 . 2^2
(* +y )
Funciones Reales de Variable Vectorial
415
d¡(x,y)
Las f u n c io n e s ------------- y
df (x, y)
dx
# (jc ,v '
L i m ------------= 0 , v
dx
(jt.v)-»(o.o)
c\>
son
de
i
í
T \(x ,
(0,0),
si
-----------= 0 .
dy
'
1)
S=
{ (jc. v )
e
R2 I y
= jc}
# (jc .v )
6a4
3
# (x .v )
---------- = L i m ----- j- y = —* 0 ,L uego----------- no es continua en (0,0).
(x,v)->{o.n)
iii)
en
df (jr,y )
Lim
consideremos dos caminos que pasen por (0,0):
Lim
continuas
v )e R ~
/
v
*->o (2 x )
2
i
d f ( x ,v )
Lim
(j».y>-»(0.01
= 2jc|,
dx
#
3jc2 (jc2 - 4 j c 2 )
9
= Lim---5---- 2 , ---------* 0
r-»0
( x ~ + 4 x )~
25
d f( x, v)
Luego ------------no es continua en (0,0).
dx
por lo tanto si las derivadas parciales no son continuas no se puede concluir nada sobre
la diferenciabilidad.
Lo cual puede ser ó no diferenciable en (0,0).
Como A/'(0,0) = f ( A x , A y ) =
entonces se puede escribir:
3(Ac) 2 Av
¿
7 , además
(Ax)“ +(A)')
# ( 0 ,0 )
# (0 ,0 )
=0
y
de
=0
dY
# (0 ,0 )
# (0 ,0 )
Af(0,0)= --------- A c + ----------- A y+fjA x+fjA y , aquí se
dx
dy
3AxAy
tiene dos posibilidades que £1 =---- =------— ^ y £ ) =
^
^
(Ar) +(Ay)
0
o £ i=
0
3(Aic)
y £ , = -------;--------- 7
' (Ar) + (Ay)
ahora es suficiente considerar una de las dos posibilidades:
3Ar.Av
.,
. . . .
Lim £, = L i m
j
:— j~ Para e s t 0 consideramos el camino siguiente:
(Ar.Av)->(0 ,0 )
(Ax) + (Ay)
1
t
\
S = {(Ar.Ay)/:)?' /Ay = Ax)};
3 Ac 2
3 _
=L im
- = —* 0
(A x .A v )-» (0 .0 ) Ajr“*0 2Ac
2
Lim £,
por lo tanto f no es diferenciable en (0 ,0 ).
416
Eduardo Espinoza Ramos
34) La altura de un cono circular es de 30 pulg. en un cierto instante y crece a razón de 2
pulg./seg, el radio de la base en ese mismo instante es de 20 pulg./seg. y crece a razón
de 1 pulg./seg. Aqué velocidad crece el volumen en aquel instante?
Solución
Datos del problema:
altura = y = 30 pulg.
radio
= x = 20 pulg.
dx
dv
— = 1 pulg./seg. ,
= 2 pulg./seg.
n r 2ih n x 2 y
Volumen del cono: V = ------- = --------3
3
d\’
además nos pide calcular — velocidad con que crece el volumen
dt
dv
dt
dv dx
dx di
dv dy
dy di
reemplazando los datos.
v
dv
2 n x v dx n x ' dy 240^
400n
800^
— =------ — + -------------- = ------- (1)+-------- (2 )= 4 0 0 ^ + ------dt
3
di
3 dt
3
3
3
dv 200
,
• • ~ £ =~ n Pul& lseZ-
35)
El radio de una esfera disminuye a razón de 2cm/seg. y el radio de un cono recto inscrito
en dicha esfera aumenta a razón de 1 cm/seg. Calcular la rapidez con que varía el
volumen del cono cuando el radio de la esfera es 10 cm. y el radio de la base del cono
6 cm.
Solución
417
Funciones Reales de Variable Vectorial
Datos del problema:
radio de la esfera = R -1 0 cm.
radio de la base del cono = r = 6 cm
dR
dr
——=—2cmlseg., — = l c m / s e g .
dt
dt
volumen de la esfera =V=—n R ,
Del gráfico se tiene:
volumen del cono =V =— n h
h = altura del cono = R+5
— (1)
S = -J r 2 —r 2
—(2)
h - R + ^ R 2- r 2
... (3)
además S 2 = R 2 - r 2
de donde
reemplazando (2) en (1) se tiene:
n r 2h n r 2
/ - 5 --- r
reemplazando en el volumen del cono, V = — -— = —— (R+-JR - r )
dv
como nos piden — se tiene:
*
dt
dv
di
dv
n r2
2nr
rri
-
dv dr
dr dt
dv dR
de donde al calcularse tiene.
dR dt
dr
reemplazando los datos del problema se tiene:
*
dt
3
[20 + 1S- “ X I H ^ [ 1 + í®K-2,.
8
3
8
— =2n[— ]+l 2jt[1+ —](-2)=63n - 54rc=9n
dt
2
4
dv
— =9 n c n ? iseg.
dt
n r2
R
dR
)~T
418
Eduardo Espinoza Ramos
36)
Una pared hace un ángulo de 120° con el suelo, una escalera de 20 cm. de longitud está
recargada contra la pared y su parte superior está resbalando a la rapidez de 3
cm/seg. Qué rápido está cambiando el área del triángulo formado por la escalera, la
pared y el suelo cuando la escalera hace un ángulo de 30Bcon el suelo.?
Soluclén
Haremos el gráfico de acuerdo a los datos del problema.
v x J 5 -J5
dA
Area del triángulo = A = -7 -------= -----xv, nos piden calcular— = ?, entonces:
2 2
4 "
dt
dA
dA dx
di
ebe
dA
-J5
dx
■JJ
dy
di
4
dt
4
dt
dt
dA dy
^
di
dy
^
dA
-J5
dA
VJx
dx
4
dy
4
... (1)
dx
¿/y
se conoce que cuando 0 = 30°, — = - 3 cm f seg y x = y, luego debemos calcular — y
dt
di
para esto se tiene mediante la ley de cosenos, z 2 = x 2 + y - 2 x y eos30a
2 0
0
= x 2 + y 2 - xy derivando implícitamente respecto a t, se tiene:
dx
dv
dv
dx
= 2 x — + 2 v— - x — —v — de donde
dt
dt
dt ' dt
dx
dy '
( 2 x - y)— + ( 2 v - x ) — = 0 como x = y
’ dt
dt
dv
dx
entonces — = ----dt
di
dA
VJ
^3
dx
por lo tanto — = (
vx) — , pero x = y =>
dt
4 '
4
dt
dA
.\ — = 0 .
dt
Funciones Reales de Variable Vectorial
419
37) La longitud de una caja rectangular crece a razón de 3 cm/seg., su ancho decrece a razón
de 2 cm/seg. y su altura crece a razón de 1 cm/seg. ¿Cuál es la rapidez de variación del
dv
volumen (— )cn el instante en que la longitud es 15 cm. ancho, 10 cm. y altura 8 cm.7
di
Solución
Datos del problema:
x = longitud = 15 cm.
dy
dt
y = ancho
= 10 cm.
z = altura
= 8 cm.
dz
l e m / s e g . , — =1 cm/seg.
dt
el volumen de la caja es: V=xyz, donde su derivada total con respecto a t es:
dv
di
=
dv dx dv dy dv dz
. +
. H .
dx dt dy dt dz dt
dv
dv
dx
d’
—= v z , —=.rz,
... (1)
d'
— - xy
dz
reemplazando (2) en ( 1) se tiene:
—(2)
dv
dx
dv
dz
— = y z — + x z - L- + x y —
dt
dt
dt
' dt
—(3)
reemplazando los datos en (3) se tiene:
dv
— = 80(3)+ 1 2 0 (-2 )+ 150(1) = 2 4 0 - 240+150, por lo tanto tenemos:
dt
dv
3
— = 150 cm / seg.
dt
1 ,
38) La energía cinética de una partícula de masa m y velocidad v es k=—mv~ . Si el erroi
2
máximo al medir m es del 1% y al medir v es de 3%, calcular cuál sería
aproximadamente, el error máximo al calcular k.
Eduardo Espinoza Ramos
420
Solución
El error máximo de m al medirlo es 1% de m
m
-----, el error máximo de v al medirlo es
100
3v
de 3% de V =-^—, el error máximo de k se obtendrá cuando los errores en las
100
...
_ .
. 1 2, ,
, dk
v 2 dk
mediciones sean máximas. Por lo tanto como k =—mv de donde — = — y — =mv
2
dm
2
dv
2
v
m
v
además dk = — dm + mvdv como dm = ----- v dv = ----2
dk=
100
v2
m
(3v)
v~m
1
6
2
100
100
2
100
100
100
'
—.--- + mv ---- =----(-- +---)
dk - k .
7
=> dk - 7% de k.
100
entonces el error máximo que se cometería, sería de 7% del valor de k.
Í&43
Ejercicios Propuestos.}
1)
dz dz
H allar— , — si:
dx di1
a)
z = arcsen I—;
-y2
7
n
dz x y 2 ^ 2 x 2 - 2 y 2
Rpta. — =
&
dz
&
x 2y -¡2x2 - 2 y 2
M í*4 - / )
7
2
I
2
TT
dz
2xv + y 2
b) z = \ n ( x y ' + y x + J l + ( x y +yx ) )
Rpta. — = ■■■
■■
dx-Jl + (xy +y x
dz
dy
2
.
)
xy + x 2
J l + i x y 2 + y x 2 )2
421
Fundones Reales de Variable Vectorial
v
c)
z~xye
s e n ( jr .r y )
n
.
di
•'*
Rpta. — —y e
s e n ( f f -»>)/*
.
(l+TrxycosTrxv)
dx
— = xe9en(’rí;v) (1+ n x v eos itxv)
dy
d)
. . 2, l-T¡x2+ y 2
.2
z = (x + y )— v.
Rpta.
1 +J x 2+ y2
ck. 1 -jc2- y 2-yjx2 + y 2
&
0 + f é + y 2 )2
dz l - x 2 - v2 - J x 1 + \ 2
--2 y
~ = ---------- 'i
e)
I
z =J l~ (
|
x +y 2
)
xv
+ arcsen(
x+y
xv
)
fy
(1 + ^ x 2+ y 2)2
dz
1 l xrvv -- xx - y
Rpta. — = — y - -------dx
x
yxy+x +y
dz
1 Ix y -x -y
dy
y 2 \x y + x + y
i
dz
dz
.verifique, que x — + v — - z
x+y
dx
dv
xv
2)
:
Si: z =
3)
Si: z - arcsen(
4)
3
1
3
^
dz
Si: z = x - 3x~ y - 2 v , verifique, que x — + y— = 3z
dx
dv
5)
Si: u = sen(
6)
2
■)
2
du d i d i
2
Si: u = x y + y ~ z + z x , verifique, que — + — + — = (x + y + z)
dx dv dz
7)
dz
dz
—), verifique, que x — + y — = 0
x+v
dx
dv
x- v
x+v
du
du
du
—), verifique, que x — + y — + z — = 0
z
dx ' dy
dz
1
Si: z = —;------i
x+ y
dz dz
. Demostrar que: x — + y — = -2 z (l + z)
—1
dx ' dy
'
422
Eduardo Espinoza Ramos
8)
x + v +z
du
du
du
Si: u = — 2
j
2 1/2 • Demostrar que: x — + y — + z — = 0
(jr + y + z ) '
dx ' dy
dz
9)
dz
dz
2 2
Demostrar que: x — + y — = 2 si z = L n ( x + y +jcy)
dx
dy
10)
dz
dz
Demostrar que: x — + y — = xy + z si
dz
dy
11)
z
d i du
du
Si: u = ---------------- .probarque: x — + y — + z — + « = 0.
xy+yz+xz
de " dy
dz
12)
y z x
du du du
Si: « = —+ —+ —.probarque: x — + y — + z — = 0.
x x y
dx ' dy dz
13)
2
1/jr
2 du
du
2
Si: u = y + tg(ye ), probar que: x — +y — = 2y .
dx
dy
14)
e™
du du
du
Si: u = -------- ;
.probarque: — + — + — = u(xv + x z + y z - l ) .
ex +e} +ez
dx dy
dz
15)
x - v +z „
di du
du
Si: u = (----- :----- ) .probarque: x — + y — + z — = 0.
x+ y-z
dx ' dy
dz
16)
d i d i di
Si: u = (x - y)(y - z)(x - z), probar que: — + — + — = 0 .
dx dy dz
17)
Si: u = -
18)
Si: u = x +
19)
x2
Demostrar que la función z = —
2y
20)
Demostrar que la función z - y
z = xy + xe
y / x
i
z
di di
di
—= , probar que: 3(jr— + y — + z — ) = u.
*Jx 2 + y 2
dx dy
dz
x-y
du du du
.probarque: — + — + — = 1.
y-z
dx dy dz
y/x
x
1 1
2 dz
i d z x*
— satisface la ecuación x — + y — = — .
2 x y
dx
dy y
}'
2 ^
sen—, satisface la ecuación x — + xy
x
dx
423
Funciones Reales de Variable Vectorial
21)
x
da 2 z da 2 z
Si: z = e (x c o s y -y s e n y ). Demostrar que: — y + — 5- = 0
dx
c¡y
22)
Demostrar
que
la
d 2z d 2z
— y + — r = 0,
dx1 dy2
ecuación
se
satisface
por
z = Ln-Jx2 + v2 + —arctg(—)
2
x
23)
Si:
2x
K = arctg(—
j-), Demostrai que:
x -v
rV
i)
dv
d 2v
x — + v— = 0
dx
' dy
ii)
d 2v
— 5- + — r = 0
dx
dv
24)
d~v d~v d~v
1
Demostrar que la ecuación — 5^- +' — y2 +— y2 =—0 se satisface
adllMflLbpor
J-AJI Vf =“
dx
dy
dz
-Jx2 +\v2 +z 2
25)
Demostrar que $ = Ae
- 1,12
d 2<f> 1 d 2$
senpi.c 0 s.7 jc, satisface a la ecuación— -y = —y ( — j~ + * ---- )
dx
c
dt
dt
k2
2
2 2
K
siempre que p = c q -----4
da 2U
da 2 U
+ 20------- 1- 25— y = 0
dx
dxdy
dy
Si: u =
27)
Demostrar que la función z = f (x).g(y), satisface la ecuación z
28)
dz dz
d 2z
Demostrar que la función z = g(x)+ vg’( x ), satisface la ecuación — = — + y
dx dy
dxdy
29)
y
da 3z
da 3 z
Si: z = arctg—, mostrar q u e— 5— = -------y
x
dv~dx dxdv
(1 +
x) sen h (5x - 2y), comprobar que
da 2 U
26)
4 — y
d 2z
dz dz
= — .—
dxdy dx dy
424
30)
Eduardo Espinoza Ramos
r~2
5
T
r = L n y x +y + z ,
Si:
<?2 ln r
r*2 ln#*
2
■*
A2
31)
Si:
r?2 ln r
mostrar
d 2r
r d 2r 2
— —+ — y + — Y = ~
dx" dv
dz
r
que:
1
2 — 2
A*
A2
r
d 2u
2 d 1u
u = A eos (m(x + at)) + B sen (n(x - at)), probar que: — T ~ a — T
di
dx
V A,B,n,a
constantes.
•¡2
-2
-¡2
32)
d z
d z d z
Si: z = (x - y) Ln (x + y) verifique que:— 5- - 2 -------+ — 5- = 0
dx
dxdy dy
33)
x
Si: z = ye + xe
34)
Si: u -
35)
Si: z = L n ( e
36)
Demostrar que si z = 2xy + x f (y/x) entonces: x — + y — = z -2 x y
dx
dy
37)
Si:
38)
v
dz
dz
Si: z = (x + y ) f ( —), donde f es una función arbitraria, demostrar que: x — + y — = z
x
dx
dy
39)
Si:
d 2z
d 2z
d*z
probar que ------- = — ;— + — ,—
dxdy dx dy dy dx
1
1
d 2u d 2u d 2u
d 2u
d 2u d 2u
+ -------+ ------- , mostrar que: — 5 - + — j-+ — r + 2(------- + ------ + -------) = 0
x - v y - z z —y
dx
dy
dz
dxdy dxdz dzdx
1
r
r
dz dz
d 2z d 2z
d 2z 2
+e ), mostrar q ue:— + — = I y q u c — y .— y - ( ------ ) = 0
dx i y
dx dy
dxdy
dk
2
dz
Sd 2 z
x
2 d3 2z
2 dJ32z
z = / ( —); demostrar que: x — r + 2 x y -------+ y — r = 0
y
dx
dx¿\
dy
y
y
V( x ,y ) = x f ( —) + g ( —), donde
x x
d 2v
d 2v
2 d 2v
x — y + 2 x y -------+ y — y = 0
dx
dxdy
dv
f y g son funciones arbitrarias de
y
—, demuestre que:
x
425
Funciones Reales de Variable Vectorial
40)
Si
f(x,y) es una función de x e y donde x = cos h (u + v) , y = sen h (u - v) demuestre que:
d 2f ( x , y ) d 2f ( x , y )
m 1 , 2 ' , : ; 2 „ d 2f { x , y )
;--------------- ;----- = 4 j ( x - l ) ( v + 1 )------------du
dxdy
41)
1r
,
d 1z a 2 d 2 d¿
Si:z = —I f ( a x + v) + g ( a x - y)| mostrar q ue:— - = ——.— (y — )
v
'
'
dx~ y~ dy
dy
42)
d 2v r 2f . . - 2 f j ij x, + f ? f „
Si:---f(x,y) = 0. Demostrar que: — =- = —-------------------------------8X
( fy)
43)
Probar que si f(x - ao>, y - boj, z - cío) = 0 entonces aaix + beo +ccoz = 1
44)
Demostrar que la función z = f ( x y ) + -Jxygi—) satisface a la ecuación:
2 d Z
id z
— 5— V — — = 0
a2
X
dx1
a 2
'
rV
45)
u
u
da 2 z da 2 z
Dada la función z = f(x,y) donde x - e cosv, y = e sen v. Calcular— t-h
=dx
dy
46)
2 3
S
7
11
d 2Z
d 2z
Sea la función I -(x, y,z) = xy z + ( x - 3 ) (v + 2) ( z - 1 ) .hallar — j- y — j - en los puntos
dx
dy
de la superficie Je nivel de F que pasa por el punto (3,-2,1).
47)
Si:
y = f(x
da 2 y
da 2 y
at) + g(x ■+ al), mostrar que: — T ~ a " — T cualesquiera que sean las
dt
de
funciones f y g dcnvables dos veces.
48)
x
Mostrar que la función z = arctg—, donde x = u + v ,
J'
dz dz
u —v
T _ + ~T = ~
T
n i dv v + u
y = u - v, satisface la relación
426
49)
Eduardo Espinoza Ramos
Si:
du
du
dy
dx
u = senx + f(seny - scnx), mostrar que — cos.t + — eos y = cosxcos y cualquiera que
sea la función derivable F.
50)
Mostrar que la función z = f ( x 2 +_y2), donde f(u) es una función derivable, satisface la
di
dz
dx
dy
relación y — —x — = 0 .
51)
z=
j
f(x
52)
y
• mostrar q u e
2
-y
)
1
dz 1 dz
x dx
z
+ ------- = — cualquiera que sea la función derivable f.
y dy
y
dx dy
dy dz dx
dy dx
dz dx dy
Si: F(x,y,z) = 0. Demostrar que: — .— = 1 , — .— .— = -1 .
d 2u
53)
¿hi
Si: u = / ( j r ) + g (y )+ (* -_ y )g '(y ), comprobar que ( x - y ) ---------= — , (f,g son funciones
dxdy
dy
derivables dos veces).
54)
2 2
1 dz 1 dz
z
Si: z = y f ( x - y ), comprobar q u e : ------ + ------ = —y (f es la función derivable)
x dx
55)
Si:
y dy
d-J2z
d3 2z d-32z
z = x f(x + y) + y g(x + y), mostrar que: — 5— 2 -------+ — r = 0
dx
56)
Dado
y
dxdy
dy~
z = f ( y 2 - x 2, y - x ) , una función con derivadas parciales de segundo orden
d 2z
d 2z
dx
dxdy
continuas. Halle: — 5 - , ------
57)
Dada la función f { x , y ) = e“*+hyg ( x , y ) , donde gx (x, y) = g y ( x ,y ) = 1. Hallar los valores de
las constantes a y b tales que f x (x ,y) = f y(x ,y) , 1 + f xx(x , v) = a + f xy(x ,y) .
58)
La ecuación sen (x+y+ z) + sen xz = 1, define z como una función implícita de x e y
dz
dz
dx
dy
Determinar — , —
427
Funciones Reales de Variable Vectorial
59)
Si:
du d 2u
z, u y v dependen de x e y, hallar — , — j-,
dx dx
2
Íú + U
d 2u
2
2
.siendo u + v = x , v + o = y ,
dzdy
= Z.
2
V
x +y
60)
2
1
** 3 /2
+ (x “ + y )
—»
superficie S en cualquier punto (x.y.z) * (0,0,0), si
lim
el eje Z. Hallar
—f ~ *
y N = N ( x , y , z ) un vector normal a la
6
es el ángulo formado por el vector N y
eos6
( x .y j) - + ( 0 .0 ,0 )
61)
Si: / ( x , , * 2
1
*„) = -----------------------------.calcular f x^ + /* 2*2+-+./*„*„
(*?+*2+..-+■*’ ) 2
62)
U
u
^ Z ^ 2z
Dada la función z = f(x,y) donde x = e cosv, y = e senv, calcular— =-+— =-
63)
Si: u = F(x,y), x = r eos h s, y = r sen h s, calcular:
64)
Sea f ( x , v ) = xye*'v. Hallar el valor de la constante “n” tal que satisfaga:
d 2f d , d 2f .
x/y,
x
~ r r +~ ( y ~ r r ) = e ( «
dx
65)
dy
ax
y
y
u^-u^
r>
Sea / : 7? 2 ------->/?, una función diferenciable Hallar la expresión en la que se transforma la
df
df
«
v
-«
v
ecuación x — + y — = 0 , mediante el cambio de valores x = e +e , y = e - e .
dx
dy
66
)
x
x
2
da 2 a> da 2 o)
Sean u = e cosv, v = e sen v y 10 = ro(u,v), una función de c .S i — 5- + — 5- = 0, pruebe
du
dv
d 2(ú d 2(ú
que — t- + — r- = 0
dx
dy2
67)
Si z = f(x,y) es solución de la ecuación F(x + y + z, Ax + By) = 0, A y b son constantes.
dz
dz
Demuestre que B — - A — = c , c constante. Hallar el valor de c.
dx
dv
Eduardo Espinoza Ramos
428
68)
„
f*+vsen((x+ v)t)
Sea G(x,y) = J
--------------------- d
t
69)
2
2
2
du du du
Dado u = xyz f ( x y + z, y z + x , z x + y ) . Hallar — , — , —
dx dy dz
70)
Si x + y
=
(u + v)n,
jc -
v
= (u -
v)
dG(x,v)
H alle --------------dx
t.
pruebe que:
”
2 2 ¿V
S 2f
2 2
2 8 2f
(u - v )(— y ~ — j- ) = w (jc —y (—
du
dv
dx
71)
d 1/
— ~ ) donde f es cualquier función de x e y.
dy
2
2
2
Sea la función z dada por la ecuación x + y + z = f i a x + b y + c z ) donde f es una función
cualquiera
diferenciable
y
a,b,c
constantes.
Demostrar
que:
dz
dz
( c y - b z ) — + ( a z - ex) — = b x - a y .
dx
dy
72)
Demostrar que la función z, determinada por la ecuación F(x - az, y - bz) = 0, donde F es una
dz
dz
función diferenciable cualquiera satisface a la ecuación: a — +b — = 1
dx
dy
73)
Demostrar que la función z, determinada por la ecuación y = x f(z) + g(z) satisface a al
d 2z dz 2
dz dz d 2z d 2z dz 2
ecuación: — —(— ) - 2 — .— .------- + — j-(— ) = 0
dx~ rV
dx dy dxdy ¿y dx
74)
x v{x2 - v 2)
2
j
2— , si x + y * 0
Si f ( x , y ) =
x+ y
probar que / 12(0,0) = -1 , / 21(0,0) = 1
, si ( x, y) = 0
0
75)
\ex +ey + ^
2 , si (x, v) * (0,0)
Dada la función: f ( x , y ) =n
x +y
l
„
d 2f ( 0,0)
d 2m O )
Hallar ------- ;----- y
dx
dxdy
2
, si (x,y) = (0,0)
n ^
d 2n m
Rpta.dx
,
8 2f ( 0,0)
;-= 1 , --------- = -K»
dxdy
429
Funciones Reales de Variable Vectorial
76)
Sea / ( x , y ) =
x arctgv—) —y arctg(—) , si (x.y) * (0,0)
x
y
0
probar que
/ 12(0,0) = -1 ,
, si (x.y) = (0,0)
/ 21(0,0) = 1
i ,
2
x +V
2
— 5------ , si y + x * 0
77)
Hallar / * ( - ! , 1) y f y { - 1,1) de la función f ( x , y ) =
y‘ +x
0
R pta.
/ X(x0,y 0) = -1 , f r (x0, y fí) = 6y¿ para (x0,y„) puntos de x = y
2
. y --y
78)
, si y ‘ + x = 0
Dada la función f definida por f ( x , y ) =
X
2
+ V
2
2
2 , ÍI (x.y) * (0,0)
, si (x.y) = (0,0)
0
Calcular Dn f ( 0 , 0 ) y D21/(0 ,0 ).
79)
Sea la función F(x + z, 2x + 2y) = 0, donde z = f(x,y). Si F es una función con derivadas
parciales de segundo orden continuas, halle la expresión en términos de las derivadas
parciales de F para calcular
8 z
dydx
X
80)
+XZ
y z + —2
j- , si x * 0 , y * 0
x +y
Dada la función f definida por: / (x .y ,z) = '
, si x = 0 , y = 0
8 d df
Hallar — (— (— ))(0,0,0).
dx dv dz
81)
-2
-2
/I
r
<7 a> d (ú
Si ( ú = F ( x y , \ x + z ), halle
430
Eduardo Espinoza Ramos
2
X
82)
Dada la función f definida por: f ( x , y ) = '
-
V
xy(— —
X
+ _ )'
0
2
y)
* si (x >y) * (° ’°)
,
.Vi
(x,
V)
= (0,0)
Determinar Dn f (0,0) y D2lf { 0.0) si existen.
Rpta.
83)
£>12/(0 ,0 ) = - l , D21/(0 ,0 ) = 1
4
Si la función f es definida por: f ( x , y ) = x + y
4
0
si ( x , y ) * ( 0,0)
si (x ,y) = (0,0)
Determinar D12/( 0 ,0 ) y D2, / ( 0,0) si existen.
Rpta.
84)
85)
D12/(0 ,0 ) = 0 , D21/(0 ,0 ) = 0
Demostrar que si la ecuación implícita F(x,y) = 0 define y = y(x) se verifica que:
d 2y
1
dx2
(Fy ) 3
0
F*
F
F
Fy
F*y
Fy
F*y
Fyy
XX
X
Considerando la función f(x,y) definida por:
f ( x >y) ='
X
2_
2
2 —^
r ) - si { *, y )* (o , o)
+y
0
86)
. Hallar: / ^ ( x , y ) y
, si (x,y) = (0,0)
( j e r ¿r
Hallar — , — , — , donde f es la función dada por:
rk
dv dz
a)
y
x
/ ( x , v) = aresen—+ árceos—
x
y
b)
/(x ,y ) = x ln y -y ln x
c)
f { x , y , z) = xy sen z +xz cosy + y z tg x
0,0)
431
Funciones Reales de Variable Vectorial
87)
Si z = 4> (x,y) es una función real de variable real, diferenciable en R. Demuestre que la
función dada satisface la expresión indicada.
a)
f ( x , y ) = x"4>(x2y ) ,
dx
df
b)
f ( x , y ) = y(p(x+y) ,
2
2
dy
df
y (— - — ) = z
dy
O f ( x , y ) = x t/>(3x + y ) ,
= 2z
x~~2y—
2xy
dx
df
df
dx
dv
3x— = 4yz
(Y'
(^f
3x------- \ — = 3z
dx
dy
d)
f ( * , v ) = x<P(xyi )
e)
f ( x , y ) = ex*v4>(xey ) ,
,
cY’ cY
x - ------ — = z ( x - l )
dx d\>
88)
$ 2^
Constate que la función z = sen(x + v") satisface la ecuación v — - dx
89)
Constate que la función
2
2
u = ( x - a t ) +(x + at)
^ 2^
jc---------- —=
dydx dy
0
J32tí
J32
Í7
2 ^ ^
satisface la ecuación — 5- = a — 5dt
dx
(ecuación del calor).
90)
Sea
z = g ( x 2 + y 2), donde g es una función real de variable real, dos veces derivable.
Demuestre que:
91)
d 2z
d 2z dz
y—t ~x
— =0
dx"
dydx dy
Sea z = x <|>(x + y) + y y (x - y) donde <J>, y son funciones reales de variable real, dos veces
d 2z
d 2z dz
derivable, demuestre que: y — 5— x ------------- - 0
dx
dydx dy
92)
Sea
/ : R 2----- >7?
una
función
de
F( u, v) = f (u v, —(u2 - v 2)). Demuestre que
2
clase
C 2,
considere
la
(u 2 + v 2 ) [ ( | ^ ) 2 + ( ^ ) 2] = ( - ^ - ) 2
dx
dy
du
función
+ ( ^
dv
) 2
Eduardo Espinoza Ramos
432
93)
Sea f ( x ¡ , x 2,...,xn) = In(x,,jr2,jr-,,...,Arn).Calcular
94)
x. Jr,
jr„_,
^
df
Sea /( jr ,,jr 2,...,jrn) = — + — +...+------ . Demuestre que / .jc, — - = O
í=i
95)
j c c o s v - vcosjc
, „
dZ
dz
Si z = --------1— =-------- , hallar — y — para x = y = 0.
1+ senjc+sen y
dx dy
96)
o,
J
2
i. . . .
du du du
Si u =ln(l+jr~ + y + z~ ) , h a lla r— , — , — para x = y = z = 1
dx dv dz
97)
Hallar
98)
Dada f ( x , y ) = 7 7 /
g/(3,4) d f (3,4)
si f ( x , y ) = x + y - ^ J x 2 + y 2
dx '
dv
0
Rpta.
«
=»
Sea f ( x , y ) =
dv
f - j
jc
+y
0
100)
si ( x . y ) * (0,0) CalcuIar « 0 |
dx
si (x, v) = (0,0)
Sea w = ( x + : ) e y*z donde z=f(x,y).
_
dw
D e m o strarq u e
dx
101)
•'Í , ' ^ l ' (0-°) . D e , ™ ¡na r ' ,« 0-0 > W >
dx ’
dv
si (x, y) = (0,0)
=1
dx
99)
---- (1,1...... 1)
,=i * i
¿hv
1
Calcular — y — si:
dx
dy
dv
dz dz v+z
= (l + x + z)(l + — h---- )ey
dx dv
w
.
dv
433
Funciones Reales de Variable Vectorial
a)
3 x 2 +y 2 + z 2 - 3 x y +4 x - l 5 = 0
b)
z = (jc2 +>'2)s e n x r
c)
ye*** cos3jíz = 5
d)
zey z + 2xex z- 4 e x y =3
102)
Dado w = sen(—) + ln(—) compruebe que r — + ;■— = 0 .
i
r
dt
dr
103)
Siw = x 2 + y 2 + z 2, x = rsen<peos0, y = r sen <p sen 0, z= rcos< p.
„ , ,
dw dw dw
Calcular — , —— , — .
dr dtp 86
104)
Si z = x 2y - y 2x , donde x = u c o sv , y = u sen v .
dz dz
Hallar — , —
du dv
105)
Dada la función u(x,y,r) = e~(m +"
sen mx.eos n y .Verificar que satisface
a laecuación
u, = A(wxr +Uyy) para cualquier elección de las constantes m y n.
106)
Si G(x,y), se transforma en II(u,v) mediante la transformación x = u + v, y = uv 2 . Hallar:
d 2H{u,v)
dudv
8 2H{ 1,1)
dudv
S » G x = G }y - G xy - G x x = G y x ~ l
107)
Una función / :
R"
>R es homogénea de grado
r e R, sipara cualquier
t e R,
-»
-»
1
/ ( / , x) = t r f ( x ) , si z = f(x,y) es una función homogénea de.grado r > 1 y de clase C L,
2 vd 2zZ „
Vd 2zZ
2 Vd 2zZ
probar que: x — - + 2xv------- + v — - = r ( r - l ) z .
ex2
’ dxdy ' dv
434
3:44
Eduardo Espinoza Ramos
Derivada Direccional y Gradiente de ana Función dé Vairias Variables.!
Para z = f(x,y) se ha definido las derivadas parciales — , — de la siguiente forma.
dx dy
^ (* 0^ 0 )
, ./'(x0 Ax, ) —VC-r0 , v0 )
---------------= lim-----------------------------------dx
ai -*o
Ax
'■yUo'.Vo)
,
/(* o -> 'o + 4 v )-/(* o » > 'o )
---------------=
lim-----------------------------------dy
Av—>0
Av
que representa la pendiente de las rectas tangentes en dos direcciones diferentes, en la
dirección del eje X y en la dirección del eje Y respectivamente. Luego para determinar la
pendiente de la recta tangente en una dirección arbitraria, definiremos un nuevo tipo de
derivada llamada “Derivada Direccional” para esto tomemos z = fjx,y) la ecuación de una
superficie y F (x0,v n ) e D¡ , la pendiente de la recta tangente en la dirección del vector
unitario \x = (a, b) arbitrario, la cual mostraremos en el gráfico.
El punto P ( x n, y 0, z 0 ) se encuentra en la superficie S: z = f(x,y), la recta tangente Lt a la
—>
curva C es la razón de cambio de z en la dirección de ¡u
435
Funciones Reales de Variable Vectorial
Si Q(x,y,z) es otro punto de C y P \ Q ' son las proyecciones de P y Q en el plano XY,
►
—>
»
—>
entonces el vector P' Q’ es painielo al vector ¡j , entonces P’Q" = h ¡j = ( h a j i h ) para algún
h real por lo tanto ( r - x 0, y - i'0 ) - (ha, h b), de donde
í X- A'0 = ha
í
[ y - y0 = h h
entonces
x = .r0 + ha
Az
z-z„
/ (xn + h a , y n + h b ) - / ( j f n.y r,l
h
h
h
v = y 0 + hb
, entonces
si se toma límite cuando h —> 0, se obtiene la razón de cambio de z (con respecto a la
—>
distancia) en la dirección de f.t, la cual se llama derivada direccional de f en la dirección
de fi .
Definición.-
La derivada direccional de f en el punto PfjCp. Vp) en la dirección de un
—^
vector unitario // = (a, b) es:
D ^ f { x 0, v ())= l i m----------------------------------------n
n—*0
fl
Definición.-
si este límite existe.
La derivada parcial de f en el punto P( x 0, y n, z n)
en la dirección de un
—>
vector unitario f j = ( a , h , c ) e s
„
/ l * 0 + h a . y „ + h h , z 0 + h c ) - f ( x 0, y 0, z 0 )
D ^ J { x „, y „ , z0 ) = li m---------------------------------------------------------- si este límite existe.
ft
ll
Generalizando y usando la notación vectorial.
Definición.-
La derivada direccional de f en el punto xn , en la dirección del vector
unitario fi es:
D ^ f { x „ ) = lim
ft
h~ * 0
f ( x v+h / i ) - / ( x n )
si este límite existe.
436
Eduardo Espinoza Ramos
3
Hallar la derivada de 'a función f ( x , y ) = x - xy - 2 v
Ejemplo.-
2
en el punto P(l,2) y en la
dirección que va desde este punto al punto N(4,6).
Solución
—>
>
Sea a = P N = N - P = (4,6)-(1,2) = (3,4)
—>
|| a ||= 5
=>
—►
a
3 4
el vector unitario es p = ——— = (—,—), por definición de derivada direccional se tiene:
il a II
D „ / ( U
H
) .
¡ m
iih
h-* 0
h
5 5
z im
, limn " f
h-fO
’ ^ T )- /(U >
}\
[(l + ^ ) 3 - ( l + ^ ) ( 2 + ^ ) - 2 ( 2 + ^ ) 2] - ( l - 2 - 8 )
=
H m -------- 2--------------- 2---------- 2---------------- 2----------------------fc->o
h
=
lim (
27
fc~>o 125
,
12 2
h +— h 25
37
1
27
h ) — = lim (
h
5
h
o 125
—
2
12
+—
25
h-
37
37
— )= - —
5
5
Observación.1)
La derivada direccional da la razón de cambio de los valores de la función f(x,y) con respecto a
—>
la distancia en el plano XY, medida en la dirección del vector unitario p = ( a , b ) .
2)
La derivada direccional D _ / ( / ,0) representa geométricamente la pendiente de la recta tangente
—>
a la curva a en el punto Pfí.
3)
—^ —>
Si el vector unitario se toma p = i = (1,0) se tiene
h-to
h
dx
es decir que se obtiene la derivada parcial de f con respecto a x.
437
Funciones Reales de Variable Vectorial
4)
Si el vector unitario se toma n = j = (0,1) se tiene
D - f ( x (í, y 0)= lim
u
h—
>0
/ ( * o. v0 + h) - f ( X 0, y q)
d f (x0, y 0 )
dy
es d ecir, se obtiene la derivada parcial de f con respecto a y.
Ejemplo.-
2
2
Hallar la derivada direccional de f { x , v ) - x - y en el punto P(4,3) en la dirección
Solución
->
1 -» -»
1
1 1
Como u = —= •( i + / ) = —=-(1,1) = (~p=, —p=), por definición de derivada direccional.
V2
V2
V2 V2
/((4 ,3 ) + A ( - ^ , - ^ ) ) - / ( 4 , 3 )
/ ( 4 + - J U 3+ - ^ ) - / ( 4 , 3 )
D ,/( 4 ,3 ) = Km----------------v 2 _ V 2
=^
-------- V2------------ii
h—
>0
/|
A—
>0
}\
A—
>0
fo.45
/|
(Z z ^ L E . =
A
A—
>0
h
h—*0 /|
. ^
Definición.)
Sea f una función de dos variables x e y y sea /i = cosfi. i + sen6. j un vector unitario,
—>
entonces la derivada direccional de f en la dirección del vector n se denota por £>_> / y
es expresado por:
/( x + /ic o s 0 , v + / i s e n 0 ) - /( x ,y )
f ( x , y ) = li m----------------------- ------------------ —
f¡
h-*u
h
Eduardo Espinoza Ramos
438
fo.46
Teorcmaj
Si f es una función diferenciable de x e y, entonces la derivada direccional
—►
—>
—>
de f
en
la
dirección
del
vector unitario
p - c a s 6. i + sen 6. j
es:
D_^f(x.y) -
eos© +
^
r-
señó
dy
donde 0 es el ángulo formado por el vector
►
p con el eje OX.
Demostración
—*
i ---------------
p ||=-yJa2 + h 2
—r
=1
a
eos© = —
1
por ser unitario p
j a = eos0
Ió = sen0
b
sen© —
1
si se define una función g de una variable h mediante g(h) = f ( x 0 + h a , y 0 + hb ) entonces
por definición de derivada se tiene.
S (0 + A )- S (0)
gW -g(Q )
g (0) = hm-------------------- = lim---------------o
h
*->o
h
fiX fí+ ha^o +h t y - f í x ^ y o )
„
= h m --------------------= D _ ,/(x 0,.y0)
h —>0
ti
por otra parte
podemos
^
escribir g(h) = fix.y)
en donde x = x0 + ha, y = y 0 + hb,
luego por la regla de la cadena se tiene.
é f ( x ’y ) ^
¿ f { x , y ) dy
g ( h ) = ----------- .— + ----------- .—
dx
dh
dy
dh
df{x,y)
dx
tf(x,y)
df{x,y)
&(.x,y)
.cos© + ----------- .sen©
-.a+-.b = dy
dy
dx
si se sustituye h = 0 se tiene x = x0, y = y 0
... (l)
439
Funciones Reales de Variable Vectorial
d f ( x 0, y Q)
o d f ( x G, y G)
g ( 0 ) = -------------- .eos6 + --------------- .sen©
dx
dy
...(2)
comparando (1) y (2) se tiene:
~
.
< r ( w 0)
„
< f(W o )
o
D - f ( x 0, y 0) = --------------cos6-+ -------------- sene
dx
dy
d f(x, y)
df (x , v)
Düf ( x , y ) = ----------- cose-+ ------------sene
dx
¿)v
Ejemplo.-
2
Hallar la derivada de la función z = f ( x , y ) = x - xy - 2 y
2
en el punto P( 1,2) y en la
dirección que forma con el eje X un ángulo de 60E.
Solución
D_>/(1,2) =
df(\,2)
df( 1,2)
’ cos60s+ ■
„
sen60s
dx
dy
f(x,y) =x 2 - x y - 2 y 2
1
a/3
d f (x , v)
= 2x - y
dx
d f (x, y)
=- x - 4 v
dv
#(1,2)
= 22=0
dx
d f fl.2)
= -1 —8 = —9
dv
9 a/ J
£>_>/ ( l,2 ) = 0 ( - ) - 9 ^ - = — f -
Si f es una función
diferenciable de x, y, z,
de f en la dirección del vector unitario
D_>/(x „ ,.v 0,z0) =
entonces
la derivada direccional
—►
—>
—>
—►
n = c o s a . / + eos P . j + cosy. k ,es:
-cosa +-
COS P
f f ( x o , y o ,z0)
-eos y
dz
donde a , P y y son los ángulos directores de /i
Demostración
La demostración, es similar al teorema anterior, se deja como ejercicio.
Eduardo Espinoza Ramos
440
Ejemplo.- Hallar la derivada de la función f ( x , y , z ) = x y2 + z 3- xyz en el punto p (l,l,2 ) en la
dirección que forma ángulos de 60®, 45® y 60® respectivamente, con los ejes coordenadas.
Solución
Z>_>/(1,1.2) =
t¡
<T(U,2)
df ( 1.1.2)
< rn ,l, 2)
eos60®+
cos45®+
eos 60®
dx
dz
dv
/ (x, y, z) = xv 2 + z 3 - xyz
<n_x1_ > ^ ) = y 2 _ yz
dx
df (x, y, z)
= 2xv - x\>
df(U1,2)
= -1
dx
#•(1,1.2)
=0
rV
# 0 ,1 ,2 )
= 11
dz
dy
dz
ahora reemplazando se tiene:
1
V2
1
1 11
£> _ /( 1,1,2) = ( - l ) ( - ) + 0.-- + 11(-) -------+ — = 5
n
2
2
2
2 2
Ejemplo.- ¿Cuál
es el
valor del
ángulo
6
para
el
D _ ,/(l,l,2 ) = 5
cual
la
derivada direccional
de
/ ( x . y ) = V25 - x 2 —y 2 en el punto p(l,2) es mínimo, y cuál es éste valor mínimo.
Solución
Sea ¡x = (cos0, sen 6 ) el vector unitario, entonces:
# ( 1,2)
„ . # (1 ,2 )
„
D _ ) f (1,2) = — i — cos0 + — i— sen0
dx
dy
dx
f(x ,y ) =y]25-x2 - y 2
df(x,y) _
ahora reemplazando estos datos en (1)
(I)
# ,)
0 2
^25- x 2 - y 2
dx
y
# 0 .2)
^25- x 2- y 2
dv
2^/5
1
'V s
441
Funciones Reales de Variable Vectorial
eos© sen©
eos© sen©
D _ ^ f ( 1,2) = —-^-j=------- f j - = F ( 6 ) => F ( 6 ) = — ^ —¡=----- 7t ~ =0
2^5
V5
2V5
V5
b
números críticos-
sen©
eos 0
2>/5
V5
Para
obtener
los
= 0 => tg(©) = 2 => 0 = arctg 2
eos© sen©
F " ( 6 ) = — =-H---- — , evaluando en 0 = are tg 2.
2V5
^
2
1
como sen© = —=• , eos© = —=
S
V5
1 2
5
1
F " (arctg 2) = — + —= — = —> 0
10 5 10 2
por lo tanto 0 = arctg 2 corresponde a un valor mínimo. Luego el valor mínimo de la derivada
direccional es:
D _ > /( 1,2) = -
eos©
sen©
2>/5
V5
1 2
10
1
5
2
3.48,< Propiedades de la Derivada Dirección*
Si
f,g:D czR n
>R, son funciones diferenciables en el conjunto abierto D e /? " ,
entonces se tiene:
1)
D_>( / ± g ) ( x ) = D_>/ ( 0 x ) ± D _ >g (x )
b
b
b
2)
D_* ( / . g)( x ) = / ( x ). D_» g( x ) + g( x )D _*/( x)
b
b
b
g( x )D _»/( x) - / ( x ). D_*g( x )
3)
D _ > (-)(x ) = b S
si g ( x ) * 0 , V x s D
442
3.49
Eduardo Espinoza Ramos
Gradiente de una Función.}
Si la función
—>
/ : D e R . ”----- >R es definida en un conjunto abierto D e R n en donde
—¥
—¥
Dlf ( x ) , D2f ( x ) , . . . D nf ( x )
existen, entonces el vector gradiente de f es denotado por
V /(x ) = g r a / ( x ) y es definido por: gra f ( x ) = V f ( x ) - ( D lf ( x ) , D2f ( x )
para el caso de la función / : D e R i
A A % % V
.
donde — , — , — existen, se tiene:
dx dv dz
D„f(x))
►R definida en un conjunto abierto D e /?3, en
d f ( x , v , z ) d f ( x , y , z ) df ( x , v , z )
V f ( x , y , z ) = (------------- ,
,-------------dx
dv
dz
Gradientej
Si las funciones / ,g: D e R.”------*R, son diferenciables en D, entonces se tiene:
1)
V ( / ± g ) ( x ) = V /-(x )± V g (x )
2)
V ( a . / ( * ) ) = a V /( x )
3)
V ( / .g ) ( x ) = /( x ) .V g ( x ) + g ( * ) .V /( x )
4)
8(*)-V f(x)-f(x).V g(x)
.
-»
V(—) ( x ) = ----------------, si g ( x ) * 0
*
i)
G r(*>)2
Si f es una función diferenciable de x e y, la derivada direccional de f en la dirección del
vector unitario p es.
D->f(x,y) = Yf ( x , y ) . p
H
Funciones Reales de Variable Vectorial
ii)
443
Si f es una función diferenciable de x,y,z, la derivada direccional de f en la dirección del
vector unitario n es.
y, z) = V / (x, y , z). n
H
Ejemplo.-
Hallar la derivada direccional de la (unción / ( x , y ) = ( x - l ) y 2e*y
en (0.1) en la
dirección hacia (-1,3).
Solución
—
>
Como D ^ f (0,1) = V / (0,1). fx, entonces calculamos
n
df df
■,
■>
■>
V/"(x,_y) = (— , — ) = (y e ” + ( x - l ) y e**, 2 ( x - l ) y e v + x ( x - l ) y exy) dedonde
dx dy
V/(0,1) = ( 1 - 1 , - 2 + 0) = (0,-2) => V /(0,l) = (0,-2)
Sea a = AB = B - A = (-1,3)-(0,1) = (—1,2) donde A(0,1) y B(-l,3)
como a = (1,2) => || a ||= ^ í + 4 =y¡5 => | | a | | = >/5
Si p =
ü
= (—
’~7 =) ’ ahora calculando D_*/(0,1) = V f (0,1). ¡x = (0,-2). (— j =, —f=)
»
|| a ||
4
4
D - * f { 0,1) = 0 — j= = — j=
fi
v5
v5
Ejemplo.-
dedonde
V5 V5
4
D_,/(0.1) = - - p
n
V5
Hallar la derivada direccional de la (unción f(x,y,z) = xy + yz + xz en el punto p( 1,1,1)
y en la dirección del vector a = (2,1,-1).
Solución
444
Eduardo Espinoza Ramos
Como a =(2,1,-1) => | | a | | = -\/6, entonces un vector unitario en la dirección de a es
-*
a
2
1
1
df
H ^ ll
S
Vó
Vó
<2r
df
df
|i = -------= ( - = , - = , — ~¡=) => V /(x , v,z) = (— , — , — ) = { y + z , x + z , x + 1')
adem ásV /(l,l,l) = (2,2,2)
2
1
= (2, 2, 2). (—
V6 v 6
Observación.-
<3r
como Z)_»/(l,l,l) = V/"(l,l,l). /a
1
4
2
2
v6
v6
\6
v6
4
2^6
— ----------------V6
3
u
2 ^6
D _>/( 1,1,1)=— —
3
Si a es el ángulo entre V /( x ) y ¿i entonces.
D -» /( x ) = V /(x ) .p =1| V /(x )|| || (i ||c o s a =|| V /(x ) ||c o s a
es decir: D_>/ ( x ) = || V /( x) || eos a
además sabemos: -1 í eos a á 1
- II V f ( x ) I!<|| V /(x ) || eos a <|| V /(x ) ||
—►
por lo tanto en cada punto x
—►
el valor máximo de la derivada direccional es || V /( x ) || y el valor
—►
mínimo de la derivada direccional es - 1| V /( x ) | | .
Entre todas las direcciones a lo largo de las cuales la función f crece, la dirección del gradiente es la
del crecimiento mas rápido, mientras que el gradiante cambiado de signo señala la dirección de
máxima disminución.
Ejemplo.-
x
Para la función f ( x , y ) = ------- ,
x + J'
en el punto (3,2), hallar la mínima derivada
direccional y el vector unitario en esa dirección.
Solución
445
Funciones Reales de Variable Vectorial
Calculando el gradiente de f, es decir:
d f tT
v
-x
2
V f ( x , y ) = (— ,-^ -) = (
' 2 , --------- j ) => VA3,2) = (—
dx dy
(x + v )
(x + y )
25
3
)
25
—
»
La derivada direccional mínima se produce cuando el vector unitario /i y el vector gradiente
V /(3,2)
W ( 3,2) tienen sentidos opuestos, es decir: u = —¡
z
\ .f (3,2 )|
2
3
como V f (3,2) = (— , --------)
25
25
V /(3,2)
2
" ' 'i T o i j
„
i
VÍ3
=> V /(3,2)| = -"
1
25
3
" v i? '
y la derivada direccional mínima es:
Ejemplo.-
2
3
i f ■v n ’
£)_»/(3,2) = - J v / (3,2)| = ~~r~~
fj
25
La distribución de temperatura de una placa metálica está dada por la función
T (x, y) = xe2y+ y 3e*.
I)
¿En qué dirección aumenta la temperatura más rápidamente en el punto (2,0)? ¿Cuál es el
coeficiente de variación?.
II)
¿En qué dirección decrece la temperatura más rápidamente?
Solución
i)
En el punto (2,0) la temperatura aumenta más rápidamente en la dirección del gradiente
V r(2 .0 ).
V7 TV \
^
í 2y
3 i . 2y , 2 jr
V E (x,^) = (— , — ) = (e + y e , 2xe + 3y e )
dx dy
V7’(2,0) = (1 + 0, 4 + 0) = (1,4). El coeficiente de variación es |V7’(2,0)| = -Jvi
II)
La temperatura disminuye más rápidamente en la dirección de -V 7 \2 ,0 ) = (-1 ,-4 )
446
Eduardo Espinoza Ramos
Ejemplo.-
Hallar la derivada de la función z = arc.tg(xy) en el punto (1,1) en la dirección de la
bisectriz del primer ángulo coordenado.
Solución
Como la dirección del vector unitario es la bisectriz del primer ángulo coordenado, entonces
&
&
2
2
el vector unitario es p = (cos45®, 86045®) = (-----, -----)
sea z = f(x,y) = arc.tg (xy), calculando el gradiente
v/ (^
df df
y
x
11
) = (Tdx ' Tdy ) = í T1+ x^ yt - 1—
r
r
>
=>
v
/o
.1
)
=
(
1+ x v
2 .2- )
-> 1 1 - J í - J í
-Jí -Jí -Jí
Luego D ^ f ( l , l ) = V f ( \ , l ) . p = ( - , - ) '. ( ----, ----- )-= ----- + ----- = ----^
2
2
2
2
4
4
2
Ejemplo.-
La ecuación de la superñcie de un cerro es z = 900- 2 x 2 - 2 y2, donde la distancia se
mide en metros, el eje X apunta al Este, y el eje Y apunta al Norte.
Un hombre está en el punto correspondiente a (6, - -JÍ4, 800).
I)
¿Cuál es la dirección de la ladera más pronunciada?.
II)
Si el hombre r,¿ mueve en la dirección NOR-ESTE ¿está ascendiendo o descendiendo? ¿Cuál
es la rapidez?
I«)
Si el hombre se mueve en la dirección SUR-OESTE ¿está ascendiendo o descendiendo?
¿Cuál es su rapidez?
Solución
i)
La dirección de la ladera más pronunciada es la dirección del gradiente de donde el vector
i—
-+ V /( 6 ,- V Í 4 )
unitario en la dirección del gradiente W ( 6 , - V l 4 ) es u = ü---------- de donde
|/ ( 6 , - V Í 4 ) |
/y /y
V n * , y) = (— . — ) = (-4 x ,-4 y )
dx ¿y
y
V /(6, - V Í4) = (-24, 4 ^ 1 4 )
->
W 2 V7
p = (------, ----- ) es la dirección de la ladera más pronunciada.
de
donde
447
Funciones Reales de Variable Vectorial
ii)
Graficando de acuerdo a los datos se tiene.
Para la dirección Noreste tenemos
0 = 45°, entonces
->
-Js -yfz
H = (cos45°, sen45B) = (----, ----- (como
2
2
V /'( 6 ,-V l4 ) = (-24, 4^1 4 )
D_> f ( 6, - V l4 ) = V A 6, - V Í4). J
■Jl -Jl
D ^ J (6, - V Í4 ) = (-24, 4 V Í4 ). 0 ^ - , — ) = -1 2 ^ 2 + 2-^28 = -1 i j l + 4 ^ 7 = -6.39
n
2
2
por lo tanto, el hombre esta bajando con una rapidez de 6.39 m/seg.
ü¡)
&
&
2
2
Para este caso se tiene 0 = 225B, entonces fj = (cos225B, sen225°) = (------ , -------- )
por lo tanto £»_>./( 6, - V Í4) = ( - 2 4 ,4 V l 4 ) . ( - 2 - ,
u
2
2
1 2> /2-4-/7 = 9.44
por lo tan to , el hombre esta bajando con una rapidez de 9.44 m/seg.
Ejemplo.-
La derivada direccional de una función z = f(x,y) en el punto p 0(l,2 ), en la dirección
haciap,(2,3)es 2yf2,y en la dirección hacia p 2(l,0)es -3. Calcular la derivada
direccional en p 0(l,2 ), en la dirección hacia p 3(4,6).
Solución
448
Eduardo Espinoza Ramos
calculando
p 0p, =(1,1) => ||p 0Pi 11= ^ 2
entonces
p,
= - -P(- - ' - = ( - ) = , - ) = )
.í
’ i.
II PoPi II
P 0 P 2 = (0 .-2 ) => II P0 P 2 11= 2 entonces
p 2 = ■PoP2
>
-^2 V2
= (0 ,-l)
II PoP 2 II
PoK =(3.4) => IIPoK 11= 5 entonces ~p7 = - ^ - = ( J . * )
II PoP, II
—>
como D -,/(x , v) = y/"(x, v)-p , entonces tomemos V/"(l,2)= (a,b), de donde
o'
I I
a h
£)_>/ ( l,2 ) = y A l,2 ).p 1 = ( a ,A ) ( - ^ ,- ^ r ) = - ^ r + - ^ r = 2V2
D_>/ ( U ) = V /(l,2 ).p 2 = (a,¿)(0 ,-l) = 0 - ¿ = -3
=> a + b = 4
= > b = 3 dedonde a = l
porlotanto Z )_»/(l,2) = y / '( U ) .p 3 = ( l ,3 ) ( - ^ ,^ ) = - + — = 3
p?
3 3
5 5
f3.S2
...(1)
D _ » /( 1,2) = 3
nj,
Planos Yan^ntes y Ntirniafes a las Superfidesj
Definición.- Si la ecuación de una superficie S es dado por S: F(x,y,z) = 0, donde Ex , F v,Fz
son continuas y no todos ceros en el punto p fí (x0,_y0 ,z 0 )de S,
entonces
un
vector
normal
a
la superficie
S
en
el
punto
/>o(JCn».t'o«zn)
es
N = VF(xl), y fí, z (t).
Definición.- Si la ecuación de una superficie es dado por S: F(x,y,z) - 0, donde F es
diferenciable en el punto Pn(xn, y 0, z n ) con S7F(xu, y 0, z 0) * 0. Entonces
♦
el plano que pasa por /Jn(x0,y n,z n) y que tiene como normal N = V F(xn, i'n, z 0 ) se
conoce como el plano tangente a la superficie S en P() cuya ecuación es:
449
Funciones Reales de Variable Vectorial
P:
N .[(x, v, z) - (x„ ,y „, z „ )] = O
como W = VF( xH,y 0, z()) = ( /^ (xn, y 0,z„), Fv(x„,y0.z0). Fz(xK,y 0,z„))
F (Fx (xn,yt],z0 ), F v(x(),y 0,z0). Fz(jr0,.v0,z0))-(.r-x 0, v - y Q, z - z 0 ) = 0
F. Fx (x0, yn,z0 ) ( x - x n ) + Fr(x0, l 0,zn)(y - y n )+ F z(xn,y 0,zfí)( z -z „ ) = 0
Definición.-
La recta normal a la superficie S: F(x,y.z)= 0 en el punto p Q(x0, y Q,z0) g S
es la recta que pasa a través del punto p 0 y sigue la dirección del
vector normal el plano tangente a la superficie S en el punto p 0y su ecuación simétrica de
la recta normal a S en p í)(xü, y ü,ztl) es:
L .
Ejemplo.-
( x - x 0)
^
(y - y 0)
^
( z - z 0)
F j x 0, y n,z0) Fv(x0. v0.zn) Fz(xn,y n.z0)
Hallar la ecuación del plano tangente y de la recta normal a la superficie
x 3' 2 + y i n + z 3/2 -1 7 en el punto (4,4.1 )•
Solución
Sea F(x, y ,z) = x 3/2 + y 3/2 + z 3/2 -1 7 donde la normal del plano tangente a la superficie es
— dF dF dF
3
3 r- 3
-* 3
N - (— , — , — ) = (—Vx, —J y , —Vz) en el punto (4,4,1) se tiene N = —(2,2,1)
dx dy dz
2
2y
2
2
—»
P: N . ( ( x , y , z ) ~ (4,4,1)) = 0 entonces P: (2 ,2 ,l).(x -4 , y - 4 , z - 1) = 0
P :2 x + 2v + z = 1 7
Ejemplo.-
, L s = {(4,4,1)+ /(2 ,2 ,1 )//g
Hallar la ecuación del plano tangente y de la recta normal a la superficie
4 x 2 + y 2 - 16z = 0 en el punto (2,4,2).
Solución
450
Eduardo Espinoza Ramos
Sea F(x, v,z) - 4 x 2 + y 2 - 1 6 z , donde la normal del plano tangente a la superficie es
-*
dF 8F dF
N = (— , — , — ) = (8jc, 2y, -1 6 ) en el punto (2,4,2) es N = (16, 8, -1 6 ) = 8(2,1,-2)
dx dy dz
P :W .((x ,.y ,z )-(2,4,2)) = 0 =» P: (2 ,l,- 2 ) .( x - 2 ,.y - 4 , z - 2 ) = 0
P: 2 x + y - 2 z = 4 , LN = {(2,4,2) + /(2,1 , - 2 ) / / e /?}
13.53: . Eteretetos PesarroliadosJ
1)
Sean los puntos A (l,l), B(4,5),
C(5,4). Hallar la derivada direccional de la función
/ (x , y ) = J l x 2 + 2V2y + 5 en la dirección de la bisectriz del ángulo BAC en A.
Solución
—>
AB = B - A = (3,4)
—►
AC = C - A = (4,3)
—► —► —►
—>
I—
AD = AB+ A C = (7,7) =» \\AD\\=7^J2
V/(x, y) = ( f j , f ) = (2^x.2V 2)= > V /(l,l) = (2 ^ ,2 V 2 )
dx dy
D ^ f ( 1,1) = V /(l,l). 1 = (2>/2, 2 ^2 ). (-jL , -j=) = 2 + 2 = 4
2)
Sea
£ > _ / ( 1,1) = 4
n
/ ( x . j '. z ) = 1 0 0 (2 ^ + ln z ), Hallar la derivada direccional de f en la dirección
a =(2,0,1).
Solución
451
Funciones Reates de Variable Vectorial
Calculando el vector unitario en la dirección de a = (2,0,1); es decir:
II a II
V
V
V
V
V
dx dy
dz
V /(x,jv,z) =
|
lO O íve^'.xe^',-), como D - * f ( x , y , z )
z
m
->
„ 1
V f { x . y , z ) . » = 100(ve , x e ^ ,
z
3)
2
1
200ve**'
100
0, - p ) = ------=.— + 0 + - = V5
V5
V5
V5z
100
„
1
= — (2 ve + - )
V5
z
2xv
2 • 2 ; ■«'(*. .y) * (0,0)
Sea f ( x , y ) = x + y
1 ; .v/(x, v) = (0,0)
Hallar los vectores yt en los cuales existe la derivada direccional /)_ » /(0 ,0 ).
n
Solución
Consideremos el vector unitario
„
£>_»/(0,0) = h m
f(( ° fi) +
h-f o
fj
= (eos 6 , sen 6 ) , entonces:
h P )-/(0 ,0 )
/(A c o s 6 , A s e n 6 ) -/(0 ,0 )
= li m------------------ ------------------h
A—>0
h
I h 1sene cose
_ j-m h2 eos2 6 + h 2sen2 6
h —>0
h
—1
_ j-m sen26
h—*0
h
1
sen 2 6 - 1
Luego Z)_>/(0,0) = l i m ------ ------ existe si sen 20 - 1 = 0 y en este caso £>_* /(0,0) = 0,
¡a
h-*o
h
n
es decir, la derivada direccional existe, si sen 20 - 1 = 0, de donde sen 26 = 1 => 26 = — ó
2
5n
n
5n
-*
26 = — o sea 6 = — ó 6 = — , como el vector unitario es n = (eos6 , sen 6 ) entonces
2
4
4
-*
n
n
■Jl ■Jl
-*
5it
5n
■Jl
-J2
u = (eos— , sen—) = (----,
) ó u = (eos— , sen— ) = (------ , --------)
4
4
2
2
4
4
2 2
452
4)
Eduardo Espinosa Ramos
Si
f'.R
es una función tal que f. ( x + y. ) = .f ( x. ) f ( y ) y £>_»/(
0) = 1
^
>R
—*
—»
y
—»
f { O) = 1, Demostrar que £>_» f ( x ) = / ( x )
P
Solución
r,
£)_» J
^
(x) = hm
A—>0
f{x+hp)-f{x)
----------------
=
h
hm
f{x).f(hp)-f(x)
A—*o
------------------ ------------------h
-* f ( h p ) - l
-*
f(0+hp)-f{0)
= / i m / U ) p — ----- ) = /(•*)■ l im- --------- ------------- = / ( x ) Z > _ / ( 0 ) = / ( x ) . l = / ( x )
A-*o
A
ft-»n
A
D _ » /(x ) = / ( x )
P
5)
Sea la
función
2x + y + z = 2 ;
n
;
l
f ( x , y , z ) = e**y*z
y C la curva de intersección d élas superficies
2x2 + y - z = 0.
Hallar la derivada direccional de f en el punto (0,0,0) y en la dirección del vector curvatura de
C ,en el punto (0,1,1).
Solución
| 2x+_y + z = 2
; la curva de intersección de las dos superficies.
2x + y - z = 0
Ahora parametrizaremos la curva C.
| 2x+
, v+ z= 2
i
=> v = 1- x - x
2
,
, z = l - x +x
2
2x2 + y - z = 0
Luego para x = t, y = l —t ~ t 2, z = \ - t + t 2
2
7
por lo tanto la curva C en forma vectorial es: C: a (/) = (/, 1 - f - / , l- < + í “ ), derivando se
tiene: a ' ( t ) = ( 1 . - 1 - 2 / , - 1 + 2 /), a " ( t ) = (0 -2 ,2 ) como a ( t n) = (0,1,1) => t0 = 0 de
donde: a ' (0) = (1, -1 , -1 ) , « " ( / ) = (0,-2,2).
Funciones Reales de Variable Vectorial
El vector curvatura
Ar(0)
453
tiene la dirección de la normal
N(0 )= ,« ,(0 ) -a " (0 ),a -(0 ) ^ entonces
=
II a ' (0)aa " (0) t a ' (0) ||
i
a ,(0 )ra"(0 )T O ,(0) = -4
1
-
tanto
-
el
vector
k
1
-1
-1 = (- 4 ,-2 ,-2 )
2
=> ||a'(0).r a"(0).r a '(0 )||= 6 V 2
-1 -1
= (Q
1
||a '( 0 ) ,a " ( 0 ) J,a '( 0 ) ||
lo
j
*
-2 -2 = (0 -6 ,6 )
^ (Q)= a - ( 0 ) . a - ( 0 ,a - ( 0 )
por
de donde
i
0 - 2
./
N(0),
1
^2
unitario
en
1 1
la
p = N(0) = (0 ,-— ,— ), además f ( x , y , z ) = e
V2 V2
dirección
, +v+r
del
vector
curvatura
df
df
es
df
entonces V / ( x , y, z ) = (— , — , — )
dx dy dz
V /(.r,y , z ) = (e*+y+z, ex+y+z, e '+y+2) => V /(0,0,0) = (1,1,1)
calculando D _ ,/(0 ,0 ,0 ) = V / (0,0,0). p = (1,1,1).(0,—
= 0— p +~ p = 0
n
V2 V2
V2 V2
Z>_/(0,0,0) = 0
v
6)
Hallar los valores de las constantes a,b y c
tales que la derivada direccional de
f ( x . y, z) = axy2 +byz+cxiz 2 en el punto (1.2.-1) tenga el valor máximo 64 en la dirección
paralela al eje Z.
Solución
La derivada direccional máxima se produce cuando el vector unitario p
y el vector
V/"(x, y, z) tienen la misma dirección, y como el valor de la derivada direccional tiene el
valor máximo 64, en la dirección paralela al eje Z, entonces V /( l,2 ,- l) // eje Z.
454
Eduardo Espinoza Ramos
di
(J
df
dx
dy
dz
,
V f ( x , v , z ) = (— . — , — ) = (av + 3c.y' z ", 2axy + hz, hy + 2ex z )
V/"(l,2,—1) = (4a + 3c, 4 a - h , 2 h - 2 c )
como V /(I,2 ,-I)//(0 ,0 ,1 ) = > 3 A e / Í tal que V f { \ , 2 -1) = A(0,0,1)
(4 a+ 3 c, 4 a - b . 2 b - 2 c ) = (0,0,A)
4a + 3c = 0
4 a —b = 0
b = 4a
4a
3
2b-2c= A
además ¡V /(l,2 , - l ) | = J{4a + 3c)2 + ( 4 a - b ) 2 + ( 2 b - 2 c ) 2 = 64
= í |0 + 0 + (8a + — ) = 64 entonces 32a = 196 => a = 6, b = 24, c =-8
■i
7)
La ecuación de una colina es f ( x , y ) = 7 4 - y 2 - l x y - 4 y 2, el eje Y, señala hacia el norte y
el eje x hacia el este; un hombre está en el punto (-1,5,8) sobre la colina y se mueve hacia el
Nor-Oeste ¿Está subiendo ó bajando? ¿En qué dirección descenderá más rápidamente?.
Solución
Calculando el gradiente de flx.y) en el punto (-1,5)
V /(x , v) = (— , — ) = (-2 x - 7 v, - 7x - 8 y ),
dx ¿V
de donde
V /(-l,5 ) = (-33, -3 3 )
Si el hombre se mueve hacia el Nor-Oeste, entonces el
ángulo que da su dirección e s
~in
y por lo tanto el vector
4
-*
3n
3n
yf2 -J2
unitario en esta dirección es u = (eos— , sen— ) = (------, ----- ) y la derivada direccional
4
4
2
2
de f en el punto (-1,5) es:
Funciones Reales de Variable Vectorial
455
■jl - j l
33^2
= ( - 3 3 -3 3 ).( — — , — ) = —
¿
¿
L
D _ » /( - 1,5) = V/ (-1,5).
fi
33^2
— =O
L
es
decir
D _ » /(—1,5) = O, como la derivada direccional es cero, esto quiere decir que no hay variación
en la función, por lo tanto el hombre al caminar hacia el Nor-oeste no sube ni baja, es decir
que se desplaza siguiendo la trayectoria de una curva de nivel.
El hombre descenderá más rápidamente si se mueve en la dirección contraria al vector
gradiente, es decir en la dirección del vector (33, 33).
8
)
Consideremos la función f definida por:
2
y 2
f ( x , y ) = x +y
4
0
si ( x ,y ) * (0 ,0 )
si { x , y) = {0 ,0 )
Demostrar que f tiene derivada direccional en cualquier dirección en (0,0) pero no es
diferenciable en ese punto.
Solución
—>
Consideremos el vector unitario fu = (cosí), sen6 ) , entonces:
^
,. f ((0 ,0 ) + h n ) - / ( 0 ,0 ) , /(/ic o sO , /isen 0 ) - / ( 0 ,0 )
D -» /( 0 ,0 ) = h m -------------- ---------------= h m -----------------------------------u'
h
*_,()
fj
h 2 eos 2 O. hs enB - 0
h* eos2 O.senO
eos2 6 . sen©
- l im
2-----7------- i----- )
= /íw — — 5---- 2---------- 5
; lim — 5------ 2--------- 5—
*-»<>/i(/f eos d + h ' s c n ' 6 ) h-*oh (h~ eos 0 +sen 0 )
eos 0 +sen 6
eos 2 6
-, si sen 0 * 0
senO
f ( h c o s 6 , 0 ) ~ A 0,0)
0 -0
Si sen 0 = 0 entonces D _>/(0,0) = lim -----------=-l i m------- = 0
fi'
h-*o
h
por lo tanto a la derivada direccional expresaremos así:
h -*o h
Eduardo Espinoza Ramos
456
eos2 6
Z ),/(0,0) = i sen 6
/«
0
si sen6 * 0
si sen 0 = 0
Luego la función f tiene derivada direccional en toda dirección.
lim
Ahora veremos si f es continua en (0,0), para esto se debe tener
f ( x, v) = f ( 0,0)
< r.v ) - > ( 0 .0 )
Luego tomaremos un camino que contenga a (0,0) como punto de acumulación.
S = { (jc ,.y )e rt2 /.y = jc2 )
lim
x4
1
f ( x , y ) = lim — -----j = ~ * 0 = /(0 ,0 )
x —»o x + x
2
por lo tanto f no es continua en (0,0), Luego concluimos que f no es diferenciable en ese
punto.
9)
2
2
Calcular la derivada direccional de f ( x , y, z ) = x +2y - z
2
a lo largo de la curva de
intersección de las superficies 2 x 2 + 2y 2 - z 2 =25 a jc2 + v2 = z 2 en el punto (3,4,5).
Solución
-*
Por
(3,4,5) = V f (3,4,5). p ,
calcular
donde
"
a
yi = ^
siendo
II ** II
a = V/r(3,4,5).rVC(3,4,5) y F ( x , y , z ) = 2 x 2 + 2 y 2 - z 2 -2 5 , G( x , y , z ) = x 2 + y 2 - z 2
-»
/U
457
Funciones Reales de Variable Vectorial
dF dF dF
V F( x , y , z) = (4x.4y,-2z) = (— ,— , — )
ax
tr
ÍVF(3,4,5) = (12.16,-12)
rz
-y i
jvC?(3,4,5) = (6,8,-10)
V G (x,y,z) = ( r— , - — , — ) = (2jr,2y,-2z)
«r r-V dz
« j
a = VF(3,4,5)j>VC(3,4,5) = 12 16
6
8
a
4 3
-*
M = — = ( - 5 ’5 ’0) => H
l* U
*
- 1 0 = 20(-4,3,0) =>
|| a ||= 100
-1 0
4 3
0)
V /(jr,v ,z) = ( ^ . ^ , ^ ) = (2jr,4v,-2z) => ^ (3 .4 .5 ) = (6.16-10)
ax dy dz
4 3
24 48
24
Z)_>/(3,4,5) = V /(3,4,5)./i = (6 ,1 6 ,- 1 0 ).( --,
0) = — + — + 0 = —
n
5 5
5
5
5
24
/>_*/( 3,4,5)= —
5
10)
Si la ecuación F(x,y,z) = 0 define implícitamente a una superficie S, entonces el vector
VF(x,y,7) es un vector normal a la superficie S en el punto (x.y.z). Halle, la derivada
2
2
direccional de la función f ( x , y , z ) = x + x y + y + v en el punto (1,2,1) y en la dirección de
un vector ortogonal a la superficie z = 2*2 —3y2 +1 en (2,1,6).
Solución
El vector ortogonal a la superficie S ,: F ( x , y , z ) = 2jc2 - 3 v2 - z + 1 es:
riF (2 ,l,6 )
r T (2 ,l,6 )
r F ( 2 ,l,6 )
VF(2,1,6) = (------------, ------------- , --------------)
dx
dz
dv
2
2
dF dF dF
V F ( x , y , z ) = 2x - 3 y - z + 1 => VF(x,.v,z) = (— , — , — ) = (4 jt,-6 v ,-1 )
dx dy dz
458
Eduardo Espinoza Ramos
VF( 2,1,6) = (8 -6 ,-1 ) => ¡VH2,1.6)|| = VÍÓT
->
VF( 2,1,6)
8
-6
-1
como p =
= (||v f (2, i ,6)¡
VíoT ’ V io í ’ VíoT
v y y
V /(y, v,z) = y 2 + .yv+ \ + z 2 => V/(.y, v,z) = (- / ' ,-'- ) = ( 2 x + y , x + l,2z) de donde
dx rSf Pz
V f(l,2 ,l) = (4,2,2).
D-*F( 1,2,1) = VF{ 1 .2 ,1 ) .= (4,2,2) . ( - p = , - f i = , - p L )
u
v io i V ioi V ioi
32
12
2
18
VToT
VióT
VióT
V io !
^ -» /(l,2 ,l) = —f==
»
v io i
11)
Sea la función f ( x , y , z ) = x 2 + cos(jc + v) - z 2. Halle la derivada direccional de f en el punto
p 0 ( l,—1,1) y en la dirección de un vector ortogonal a la superficie de nivel de f que contiene a
PoSoluelón
Primeramente hallaremos la superficie de nivel de f que contiene a p n es decir:
c = x 2 +cos{x + y ) —z 2 la superficie de nivel, como contiene al punto p„( 1,-1,1), entonces
c = 1+ 1 - 1 => C = l . Por lo tanto la superficie de nivel de f que contiene al punto p n es:
F { x, y , z ) = x 2 + cos(x+ v ) - z 2 - 1
PF PF PF
ahora calculamos el vector ortogonal a la superficie de nivel V F(jr,v,z) = (--- , -----, -----)
Px
A-
Pz
VF(x, v,z) = (2 x -se n (x +y),-scn(.Y + y ) , - 2 z ) de donde V f’(l.- l.l) = (2.0.-2) tomando
-» VF( 1-1,1)
1
el vector unitario u - ñ------------- ¡7= (—?=
||VF(1,-U)||
V2
1
V2
Fundones Reales de Variable Vectorial
459
f ( x , y , z ) = x 2 + c o s ( x + y ) - z 2 => V/~(x, v,z) = (2jr-sen(jc+ v), -sen (jc+ v ), - 2 z )
de
donde V /( l,- l,l) = ( 2 - 0 , 0, - 2 ) = (2 ,0 -2 )
/ (1-1,1) = V/’(l,-l,l). p = ( 2 ,0 ,- 2 ) .( - p , 0. — )=) = -?= + -?= = 2 j l
V2
u
V2
V2 V2
/)_> /(1-1,1) = 2 ^2
h
X
12)
2
2
V
Z
2
Mostrar que la ecuación del plano tangente al elipsoide —Y +^ Y +~ J = * cn cualquier punto
a b e
x 0x vn_v z0z
suyo M ( x n, y 0,z0) tiene la siguiente forma: —~ +~ 2~+ ~ r ~ *
a b e
Solución
2
2
2
x
y
z
/
,
Sea F (jc ,y ,z )= —j-+ —j-+ — - 1 . La normal al plano tangente en el punto Mljc0,y 0,z0Jes:
a b e
,
\
dF dF dF
2 x 2v 2z
/ / = VF(jr0,.y0,z 0), dedonde, V F ( x , y , z ) = (— , — , — ) = (— . “ y . - y )
ftc dy dz
a b e
w
^
2jc0 2 v0 2z0
A' = v F (x 0,j'0,z0) = (—5” , “73” »—2 ”)* ^ ecuación del plano tangente esta dado por:
a b e
P: ^V ((x.y,z)-(jco ,y o ,z o)) = 0
2x0
2v0
2z0
P: (— T •T 2 ~ ’ —r M x - X o * y~ Vo. z - zo ) = °
a
b
e
„
^o.v zoz x o 2 yo2 zo2 ,
P: — + T r + — = — + t t + — =1
a
b
c
a
b
z
13)
••
_
p:
y (,v z0z
T + ~¿~2~+ ~ ~r =
a
b
e
X ()x
Hallar la ecuación del plano tangente a la superficie z = e y sen(jt + z) en el punto en que el
plano tangente es paralelo al plano n: 2x + z - 5 = 0
Solución
Eduardo Espinoza Ramos
460
Considerémosla función F ( x , y , z ) = z - e ' sen(jr + z).
La normal del plano tangente a la superficie es: N = V F (x 0 ,y0 ,¿n) dofide
8F dF 8F
V F {x , y, z ) = (— , — , — ) = ( - e cos(jc +z), - e sen(jt+z), 1 - e cos|x + z))
dx dy dz
N = V F(x0.>n,z0) = (~ey" cos(.t0 + -o). -<?
sen(xn + z0). l - e 3" cos(jc0 + z0))
/M
—>
como n: 2x + z - 5 = 0 su normal es
= (2,0.1) además el plano pedido P es paralelo al
plano n entonces VF(jc0.y 0.z0) / / N { => 3A e R, tal que :
VF(x0,y 0, zn) = A (2,0,l)-e3’0 cos(x0 + z 0) , - e ,'° sen(jr0 + z0) , l - e Vn cos(x0 + z„)) = (2A,0,A)
- e " cos(j:0 + zn) = 2 A
- e y" sen(jr0 + z0) = 0
=* x 0 + z0 = 0
1- e y° cos( x0 + z0) = A
- e * = 2A
=> e " = 2 => y0 = ln 2
como x0 + z0 = 0
l-e
=A
además z = e v(x + z) => z0 = 2 senO = 0 => z0 = - x 0 = 0 por lo tanto el punto de tangencia
es />0(0,ln2,0)
P: yV .((jc,^,z)-(0.ln2,0)) = 0 entonces P: (2 ,0 ,l).(x ,y -ln 2 ,z ) = 0
14)
Encontrar
la
P: 2 x + z = 0
ecuación del plano tangente a la superficie definida por x = ucosv,
n
y = usenv, z = 2u, en el punto en que u = 1, v = —
Solución
461
Funciones Reales de Variable Vectorial
La ecuación de la superficie dada por S: x = u eos v,
y = u sen v, z = 2u, expresaremos en
forma cartesiana.
JC = UCOSV
v = usenv
z = 2u
2
2
eos V
2 2 2
v = u se n v =>
2
z~= 4 u
X
=>
2
= u
X
+ y
= u
z = 4w
Luego S: z 2 = 4(jc2 + y 2), definido en forma implícita es S: F ( x , v , z ) = 4 x 2 + 4 y 2 - z 2
n
J2
además para u = 1, v = — , x = ---- , v = ----- , z = 2
4
2 ‘
2
N = V F (^ -,
V F(
r
r
, 2) = (4V2, 4V2, - 4 )
,
2
2) donde V F( x , y , z ) = (8x, 8.y, - 2z)
2
'
V2 V 2
P: N . ( ( x , y , z ) - ( ---- , ------, 2)) = 0
2
2
La ecuación del plano tangente es:
P: (4-^2, 4V2, - 4 ) . ( x ~ — , y - — , z - 2 ) = 0
2
15)
P: -J2x + j 2 y - z = 0
2
Hallar el valor de k para que se verifique que en todo punto de intersección de las dos esferas
( x - k ) 2 + y 2 + z 2 = 4; x 1 + ( y - 1)2 + z 2 = 1, los correspondientes planos tangentes sean
perpendiculares uno al otro.
Solución
A las ecuaciones de la esfera expresaremos por:
F(x,y,z) = ( x - k ) 2 + y 2 + z2 - 4 ;
G( x, y, z) = x + ( y - 1 ) 2 + z 2 - 1 y sea F(jr0,_v{),z0) el
punto de intersección de ambas superficies .
Sean n ] y n 2 los planos tangentes a las superficies donde
^1
= ^ f r{xn.yo,ti0) = {2(xa —k),2y^,2Zfl) y
N 2 —VG(jf(),>'n,z0) = (2jf0,2(>’f| —l),2z())
462
Eduardo Espinoza Ramos
como
Jil± n 2
V F ( x n, y 0,z(])LVG(x0, y 0,z(])
son ortogonales entonces
donde
VF(jr„, y 0,z0).VG(;t0,y 0,z0) = 0
(2(x0 - Ar),2v0,2z0).(2x0,2( y 0 - l),2z0) = 0 de donde :
x% + y l +z¿ = k x 0 + y 0 ... (1) ,
además P(x0, y 0,z0) está en las dos superficies esféricas :
(*„-A:)2+ v l+ z l =4
...(2)
;
+(v0-1)2+ z\ = 1
...(3)
por lo tanto de (1) y (2) se tiene 2A jr0 + 4 - k 2 = k x 0 + y 0, de donde v0 = k x fí - k 2 + 4 ... (4)
de (1) y (3) se tiene 2v0 = k x ()+ y 0 de donde yn = A:jc0
... (5)
de (4) y (5) se tiene A:2 = 4 => k = ±2
por lo tanto los planos tangentes son ortogonales cuando k toma los valores k = ±2.
16)
Hallar la ecuación del plano tangente a la superficie
^
+
+ z2 = 1
que es
paralelo al plano que pasa por los puntos (2,-2,3), (3,3,-2) y es perpendicular al plano 2x
+ y - z = 0.
Solución
—>
Sea P: N . ( p - p 0) = 0, el plano pedido.
—*
P,: el plano que pasa por (2,-2,3) y (3,3,-2) de donde a = (3,3,-2) - (2,-2,3) = (1.5.-5)
->
P //P i
a //P
P2: 2jc + y - z = 0 , con normal N 2 = (2,1 ,-1) como
=> ,
=> a , N 2 H P
P j-Pi •
//2 //P
—>
—>
—>
por lo tanto la normal de P es N = a x N 2
463
Funciones Reales de Variable Vectorial
Si
(x -2 )2
F ( x , y , z ) = -------
(y + 3)2
,
+
+z -1
2
si
P(x0, y 0,z0)
es el punto de tangencia
2
entonces V F ( x 0, y 0,z0)= (—(x0 - 2 ) , —(>0 + 3),2z0) como V F ( x 0, y 0,z0) / / N => 3A e R
-»
2
2
tal que V F (x 0. y 0,z0) = AA (—(x0 - 1),—(y0 + 3),2z0) = A(0,1,1) de donde
»
5
9
|( x 0-l) = 0
5
Í ^ ( v 0 + 3 )= A
*o = l
=> y 0 = - 3 ± - 4 2
_
2^o = A
0
J2
5
F (0 ,l,l).(jr-l, _v+ 3 ± —-Jl, z±~~~) = 0 /. P,: y + z+ 3- 2- J2 = 0 y P2: y + z +3+2i ¡2 = 0
17)
Demostrar que los planos tangentes a la superficie xyz = m (m es una constante) forma con
los planos coordenados tetraedros de volumen constante.
Solución
A la superficie definiremos por F(x,y,z) = xyz - m. y sea Po(x0, y 0,z0j
un punto de la
■*
c F SF dF
superficie => jc0,y 0,z0 = m, además la normal del plano es N =
- —) de donde el
de cy dz
—»
punto p„(*o.Vo.zo) es N = (yozO’ X0z0, x 0y 0).
—t
Luego la ecuación del plano tangente es:
P: N . ( x - x 0, y - y 0, z - z o) = 0
P: ( V o - V o - W o )•(*-*<>. y - > 0 ’ z ~ za) = 0 => P: y 0zfíx + x0z0y + x 0y 0z - 3x0y 0z0 = 0
1 D3
como V = - \ —— |, donde A = y 0z0, B = x 0zf), C = x 0y 0, D = - 3 x 0y 0z0
o Ad C
V = \ I (~3x°y °Z° ) \ = 21- A \ (JCn>-nZ(l) \ = ^ \ x ()y 0z 0 \ = ~ m
6 y 0z 0x0z0x„y0
6
(x0y 0z 0)
2
2
V = y /n es una constante.
464
18)
Eduardo Espinoza Ramos
Determinar la ecuación del plano tangente al elipsoide
paralelo al plano
plan tangente de la esfera
•f
x ~ + ( j >-1)
•y
y
+ 4( z + 2 ) = 4
x 2 + ( y - 1)2 + (z + 2 )2 = 9
quesea
en el punto
(-1, 1 .- 2 + V 8 ) .
Solución
A la superficie definiremos por la funciónF(x,j>,z) = x 2 + ( y - l ) 2 + ( z + 2 ) 2 - 9 , de donde la
->
r
->
dF dF ¿F
normal al plano tangente es N. = V F (—1,1, —2 + V8) de donde N. = (— , -----, — )
¿k dy dz
N l = ( 2 jc, 2 ( y —1), 2(z+ 2)) en el punto (-1, 1, - 2 + V 8 ) se tiene: N¡ = ( - 2 ,0 , 2 ^8 ) que
es la normal del plano tangente a la esfera en el punto (-1, 1, - 2 + J & ) .
Sea G(x ,y ,z ) = x 2 + (^ - 1)2 + 4 (z+ 2)2 - 4 , de donde
N = V G( x 0, y 0,z0) = (2x0,2(y0 -1 ), 8(z0 +2)) es la normal del plano tangente al elipsoide,
como los planos tangentes son paralelos es decir:
7V,//W =>3A e F tal que N = A N , , de donde (2x0 , 2(y0 -1 ), 8(z0 + 2)) = A (-2,0 ,2-Js)
por lo tanto:
2x0 — 2A
A= - x 0
2(>’0 - 1 ) = 0
>’o = 1
8(z0 + 2) = 2V8A
z0
= -2 + y
A
como p ( x 0, y 0,z0) está en el elipsoide se tiene: x ¿ + fy 0 + l)2 + 4(z0 + 2) = 4 , por lo tanto
465
F unciones R eales de V ariable Vectorial
donde se tiene: P: N . ( x - x 0, y - y n. ~ - z 0) = 0 de donde P: x - l - J l z + l - f i - 4 - J 2 = 0
19)
Demostrar que los planos tangentes a la superficie -Jx + -Jy+-Jz = -Ja interceptan en los
ejes coordenados segmentos cuya suma es constante.
Solución
Calculando el plano tangente a la superficie en el punto P0(x0, y 0, za)
punto P0{x0, y 0,z0) es: N = (— ==•, — ==•, — = r ) , la ecuación del plano es:
2V*o 2-Jy0 2Vzo
1
1
1
r~
P: 7V.((jc+y + z )-(jc 0,>'0,z0» = 0 entonces P: —= x + —= y + —= z = -JA
V* o
V-^o
Vzo
Ahora encontraremos los puntos de intersección del plano con los ejes coordenados.
z
S e a p e P n e j e X => y = z = 0
R
x = , j A x 0 => P ( j A x 0 , 0, 0)
Sea Q e P n eje Y => x = z = 0
Q
Y
y = T¡Ay0 de donde Q(0, j A y 0 , 0)
Sea R e P n e j e Z
=> x = y = 0
de donde z = (*Ja z 0 , R(0,0,^jAz0 ) de la condición del problema se tiene:
|| OP || + 1| OQ || + 1| OR ||= es una constante, es decir:
Eduardo Espinoza Ramos
466
—r
—^
—t
___
___
___
__
__
__
\\OP\\ + \lOQ\\ + \\OR\\ = j A x ¿ + j A y 0 + j A z ^ = 4 A ( J x ^ + J y ^ + -Jz ¿) = 4 a 4 a = A
—y
—y
—y
|| OP || + 1| OQ || + 1| OR ||= A es una constante
20)
Dada la función x 2 + 2 y 2 + 3z2 = 21, trazar a ella planos tangentes que sean paralelos al
plano x+ 4y + 6z = 0
Solución
->
—y
Sea N = V F ( x 0 , y 0 , z0 ) la normal al plano tangente P donde N = (2x0, 4y0 , 6z0) y sea
—>
-*
->
n:x+4y+6z=0 donde N x = (1,4,6) como P / / n => 3 X e R tal que N = A . N X entonces
A
(2x0, 4y0, 6z0) = A( 1,4,6) => x0 = — , y 0 = A , z0 = A
£
como X g + 2 y l + 3 z l =21 => — +2A2 +3A2 => A = ±2
4
Luego el punto de tangencia es p 0(± l, ± 2, ± 2 ).
—♦
La ecuación del plano tangente es: P: N . ( ( x , y , z ) - ( ± 1, ± 2 , ±2)) = 0
P: (l,4 ,6 ).(x ± l,y ± 2 , z ± 2 ) = 0
j3.54
Ejercicios
I)
Gradiente y derivada direccional.
1)
P: x + 4 y + 6 z = ± 21
Hallar el gradiente de f, en el punto indicado:
a)
f(x,y,z) = J x 2+ y 2+ z2,
P(IA,2)
Rpta.
b)
f(x,y) = ]n$x2+ y 2 .
P(1.2)
Rpta.
f { x , y , z ) = x e yz,
P(l,4,2)
Rpta.
. c)
(e* ,2e8,4é?8)
467
Funciones Reales de Variable Vectorial
d)
f ( x , y, z) = seríix. eos 2 xJgx, P( 0, —, —)
2 4
e)
f ( x , y , z ) = x +z + y + z y ,
f)
Hallar V/-(4.2> si f ( x + y. x - y ) = x y + y 2
g)
Si f ( x - y
h)
Si ffx
v
r ,
+
z
—
x
z , y —x
y, x —2y
y
z
—
P (2,l,l)
z , z —x-- y )
=
=
xyz
Rpta.
(1, 1, 2 + 2 ln 2)
Rpta.
(3,-2)
z. Hallar el gradiente de f en
+
569 829
Rpta.
(1,2,1,-2).
i)
(0.0,0)
x y + y 2 + y z . Calcular V f(2,2,2)
3z, 3x —2z, w — 1 )
+
Rpta.
388
450 ’ 450 ’ 450
Calcular V F(4,2) si F { x + y, x - y ) = x 2y + y 2
—
y
En cada ejercicio calcular Z)_*/ en el punto P para el cual p es un vector unitario en
t¡
la dirección de P Q :
3)
a)
ffx.y.z) = ln(x + y + z)
P( 1,0,0), Q (4,3,l)
b)
f { x ,y .z ) = ijx2+ y 2+z2 ,
P ( l,l,l) , Q(7,8,0)
c)
f ( x . y ) = e c o sy + e ^ se n x ,
P( 1,0), Q(-3,2)
d)
f ( x , y ) = x +xy + y ,
P(l,2), Q (l,3)
e)
f ( x , y ) = e x arctgy,
P(0,2), Q(-2,5)
2
3
y
1 41
Hallar la derivada de la función z = arctgf—) en el punto (—, — ) perteneciente a la
x
2
2
2
2
circunferencia x + y - 2 x - 0 en la dirección de la tangente a ésta.
4)
Calcular la derivada de la función w =arcsen(—
z
x +y
dirección del vector M N siendo N(3,2,3).
j)
1
Rpta. —
6
1
Rpta. —
2
en el punto M( 1.1,1) en la
Eduardo Espinoza Ramos
468
5)
Hallar la derivada de la función z = ln(e* + e v) en el punió (1,2) perteneciente a la
J2
2
parábola y = 4 x , en la dirección de ésta.
6)
Rpta. - y
Calcular la derivada de la función z = x 2 - y 2 en el punto M (l,l) en la dirección del
vector que forma un ángulo de 60e con el sentido positivo del eje X.
R pta. 1 - ^ 3
7)
4
Hallar la derivada direccional de z = 3 x - x y + y
3
en
el
punto (1,2)siguiendola
dirección que forma con el eje X un ángulo de 60s, la tangente a esta.
Rpta. 5+11
8)
Sea f ( x , y , z ) = ln(x2 + y 2 + z 2). Hallar la derivada direccional de f en el punto (1,3,2)
2
2
36* + 4 y + 9 z
a lo largo de la curva de intersección de las superficies
2
2
2
=108 y
2
.SV x + y - 5 z = 0 , si al mirar éste, desde el origen de coordenadas, el sentido es
horario.
9)
Rpta. Z)_>/(1,3,2) = —
ft
36
7Vi 94
Sea f ( x , y , z ) = x y 1 + y 1z * + z l x. Hallar la derivada direccional de f en el punto (2,1,1) en la dirección de la recta tangente a la curva de intersección de las superficies
.Sj: 36x2 + 4 y 2 + 9 z 2 = 108 y
S2: x 2 + y 2 - 5z2 = 0, en el punto (1,3,2) y en la
dirección en que disminuya.
10) La temperatura en el punto (x,y,z) en un trozo de metal viene dada por la fórmula
f ( x , y , z ) = e 2x+v+3z grados, ¿En qué dirección, en el punto (0,0,0), crece más
rápidamente la temperatura?
Rpta.
En la dirección (2,1,3)
469
Funciones Reales de Variable Vectorial
11)
Si C es la curva de intersección
2
2
S 2'• z = 2x - 4 y +2.
2
2
Hallar
la
2
S x\
de las superficies
derivada
z = x +2y
2
direccional
y
de
2
f ( x , y , z ) = x + y + z + eos n xy, en el punto (2,1,6) a los largo de la curva C.
206
Rpta. D _ > /(2,1,6) = - - =
V266
12)
Si C
es
la curva de intersección
S2:2 5 +z 2 = 2 x 2 + 2 y 2.
Hallar
la
de
S,: x 2 + y 2 = z 2
dos superficies
derivada
direccional
de
y
la función
f ( x , y , z ) = x 2 + y 2 - z 2, e n el punto (3,4,5) a los largo de la curva C.
Rpta. D_>/(3 ,4 ,5 ) = 0
u
13) Sea C la curva de intersección de los cilindros x 2 + y 2 = 1 y x 2 + z 2 = 1, en el primer
2
2
2
octante. Hallar la derivada direccional de la función f ( x , y , z ) = x + y + z , a los
V2 V2 V2
largo de la curva en el punto (---- , -----, ----- )
2
2
2
y/2
&
&
if6
2
2
2
3
Rpta. £>_»/(— , — , — ) — —
n
14)
Hallar la derivada direccional de '/ ( * , y,z) = Jt2yz3 en el punto (1,1,-1) y en la
dirección de la tangente a la curva de intersección de la superficie z = 3 x 2 + y 2 +l con
el plano x = 2 en el punto (2,-1,14).
7
R pta. £)_>/( 2 ,- l,1 4 ) = ±~j=
H
V5
15) Hallar la minima derivada direccional y el vector unitario en esa dirección para
f(x,y)
x
en (3,2).
VÍ3
Rpta. D ^ f (3.2) = ------
x+y
25
16) Dada la ñinción f ( x , y , z ) = ( x - 1 ) 2 + 2 ( y + 1)2 + 3 ( z - 2 ) 2 - 6 , encontrar la derivada
■*)
—►
—►
direccional de la función en el punto (2,0,1) en la dirección del vector i + j + 2 k .
14
Rpta. D_>/(2 ,0 ,1 ) = ——=
H
V6
470
Eduardo Espinoza Ramos
1
2
2
2
2
17) Hallar la derivada de la íunción p = —, donde r = x + y + z , en la dirección del
r
1
gradiente.
Rpta.
—.
r
4x2
2
18) Dada la distribución de temperatura T ( x , y ) = 4S — — - 3 y . Hallar la razón de
cambio de temperatura.
I)
En ( 1 1 ) en la dirección del enfriamiento máximo.
il) En (1,2) en la dirección de i .
iii) En (2,2) en la dirección que se aleja del origen.
19) Si u = xy + yz + xz encontrar la razón de cambio de u en el punto (-1,1,7).
i)
Rpta. 10
En la dirección del punto (-1,1,7) al punto (7,7,7).
li) En la dirección del punto (-1,1,7) al punto (1,3,8).
Ui)
En la dirección perpendicular al plano 3x + 4y - 12z = 12.
20) La temperatura es T grados en cualquier punto (x,y,z) en el espacio R 3 y
60
T - —:---- z
----- , la distancia se mide en pulgadas.
x + y + z +3
i)
Encontrar la rapidez de cambio de la temperatura en el punto (3,-2,2) en la
- * - » - »
36
dirección del v ector-2 i'+ 3 j - 6 k
Rpta. —
35
li)
Encontrar la dirección y la magnitud de la máxima rapidez de cambio de T en
(3,-2,2).
Rpta. (
9
10
6
c
153
,— , ---- ) , ---10
10
100
21) El cambio de temperaturas correspondiente a los diversos puntos (x,y) de una placa está
x
dado por T ( x, y ) = — ----- —. Hallar la dirección de máximo aumento de temperatura en
x +y
471
Funciones Reates de Variable Vectorial
22)
La
temperatura
distribuida
en
el
espacio
está
dada
por la función
n n
f(x,y) = 1 0 + 6 cosx cosy + 3 eos 2x + 4 eos 3y, en el punto (— ,—). Encontrar la
3 3
dirección de mayor crecimiento de la temperatura y en la dirección de mayor
decrecimiento en la temperatura.
9^3
3^3
Rpta. Mayor crecimiento en la dirección (-----------
)
9 ^3 3^3
Mayor decrecimiento en la dirección (------ ,------ )
2
2
23)
Hallar la derivada direccional de f ( x , y , z ) = 3x2 + y z + z i en el punto (1,1,1) según la
dirección de la recta de pendiente más pronunciada (mayor pendiente) que caracteriza la
2
3
superficie z = 2 + 3y cosx + Jt en el punto ( n ,
2 * 2
,z0)
Rpta. £>_,/(!,1,1) =
"
24) Hallar
la
mayor
razón
de
cambio
/ ( x , y ,z ) = e (Jr 3) c o s(^ (x + 2 y ))+ 3 Jr+>" 2, en el punto
jc0 ,
14+ 100;r2
5->/l + 25tt 2
de
la
función
donde x0 es el punto en el
2
2
2
primer octante de la superficie z = x - 2 y + 3 y - 6 en el que el plano tangente es
paralelo al plano 3 x — y - z + 8 = 0.
Rpta. |v /'(3 ,2 ,l)||= 151.97
25) Calcular el valor de la derivada direccional de la función z = ln(x + y) según la dirección
de la pendiente, mas pronunciada que caracteriza la superficie 2 z= ln(ex + ey ) cuando
Rpta. D fif ( x , y ) = - ,
z=l.
ye
26)
Sea f ( x , y ) = x 2y
e
■2e
¿Qué ángulo forma el vector dirección con el eje X positivo, si la
derivada direccional en (-1,-1) es 2?.
472
Eduardo Espinoza Ramos
27) El potencial eléctrico es V voltios en cualquier
punto (x,y) en el plano XY y
V = e 2* cos2y, la distancia se mide en pies.
I)
n
Encontrar la rapidez de cambio de potencial en el punto (0,—) en la dirección del
4
-»
n -*
n -»
vector unitario u = eos— i + s e n — /
Rpta. -1
6
II)
6
Encontrar la dirección y la magnitud de la máxima rapidez de cambio de
(0 ,-).
4
Rpta. (0,-1) ,
V en
|V F || = 2
28) Si f ( x , y ) = 4 x 2 + 9 y 2, encuentre la dirección en el punto (2,1) para la cual la derivada
direccional de f tiene el valor cero.
1
Rpta. ± —= = -(9 ,-8 )
V145
29) Si f ( x , y ) = < J m - x 2 - y 2 , encuentre la dirección en el punto (3,4) para la cual la
1
derivada direccional de f tiene el valor cero.
Rpta. ± —(4,-3)
30) En qué dirección es que la función f ( x , y , z ) = (x + y ) 2 + ( y + z ) 2 + (x + z ) 2 crece más
rápidamente en el punto P(2,-l,2) ¿Cuál es la razón instantánea de cambio f por unidad
de distancia en esta dirección.
R pta. dirección (-10,4,10), máx = M
= V216
31) El potencial eléctrico V en el punto P(x,y,z) en un sistema coordenado rectangular, está
dado por V = x 2 + 9 y 2 + 4 z2, calcular la razón de cambio de V en P(2,-l,3) en la
dirección de P al origen.
¿Encuentre la dirección en la que la razón de crecimiento de V es máxima en P? ¿Cuál
es la razón de crecimiento mínimo?.
32) Un objeto está situado en un sistema de coordenadas rectangulares de tal manera que la
2
2
2
temperatura T en el punto P(x,y,z) está dado por T = 4 x - y +16z , calcular la razón
—►
—>
—►
de cambio de T en el punto P(4,-2,l) en al dirección del vector 2 / + 6 j - 3 k . En qué
dirección a partir de P aumenta más rápidamente T?. ¿Cuál es la razón de cambio
máximo en P?.
473
Funciones Reales de Variable Vectorial
33)
La ecuación de la superficie de u n cerro es z = 1 2 0 0 - 3x2 - 2 y 2, d o n d e la d istan c ia se
m ide en m etros, el eje X apu n ta al este y el eje Y ap u n ta al norte, un h o m b re e s tá en el
p u n to correspondiente a (-10, 5, 850).
i)
¿C uál es la d irección de la lad era m ás p ro n u n ciad a?
R p ,a '
ii)
Si el hom bre se m ueve en dirección del este, ¿E stá ascen d ien d o o descen d ien d o ?
¿C uál es su rapidez?
iii)
Si el
hom bre
se
R p ta . S ub ien d o a 60 m /seg.
m ueve
la dirección
descendiendo? ¿C uál es su rapidez?.
34)
U na función / : R 2
del
S ureste
¿E stá
asce n d ien d o
o
R p ta . B ajan d o a 20^2 m /seg.
>R definida en el p u n to (3,4) tiene las sig u ien tes d eriv ad as
direccionales o 3 en la dirección al p u n to (4,4); 1 en la d irección al p u n to (3,2).
D eterm in ar V f(3,-4).
35) U na función / : R2
R p ta . V f(3,4) = (3,-1)
> R tal que z = ífx,y), tien e en el p u n to (1,2) d eriv ad as
direccionales 2 en la dirección al p u n to (2,2) y -2 en la d irecció n al p u n to (1,1).
C alcule la derivada direccional de f en (1,2) en dirección al p u n to (4,6).
1
36) L a función f(x,y,z) tiene en el p u n to P (2,-3,5) la s d eriv ad as d ireccio n ales — en la
3
3
1
dirección al p u n to A (0.1.9). — en la dirección al p u n to B (5 ,-3 ,l) y — en la dirección
5
4
al p u n to C (4,-2,7). C alcu lar la derivada direccional de f en la d irección a l p u n to
D( 1,3,6).
R p ta . £L> f ( 2 - 3 ,5 ) - —
M
52-738
474
Eduardo Espinoza Ramos
37)
La
superficie
exterior
de
2
una
m ontaña
se
describe
m ediante
la
ecuación
2
h{x,y) = 4 0 0 - 0 .0 1 x - 0 . 0 4 . S upóngase que un alpinista está en el p unto (500,
300, 3390). ¿E n qué dirección debe m overse el alpinista para ascender al m ayor ritm o
posible?
38)
H allar la derivada direccional de la función f ( x , y , z ) = x 2 + y - z 2 en el punto (1,1,1),
en la dirección del producto vectorial de la norm al a la superficie S: 2 x + y 2 - z = 2 en
—►
el punto (1,1,1) y el vector a = (1,0,1).
39)
H allar la derivada direccional de F(x,y,z) = x 2yz en el punto (1,1,-1) y en la dirección
de la tangente a la curva de intersección de la superficie z = 3jc2 + y 2 + 1 co n el plano x
Rpta.
= 2 en el p unto (2,-1,14).
7
£ > _ » /(2 , l , - l ) = ± - p
n
40)
41)
v5
S ea f ( x , y , z ) = 2x2 + 2 x y - y 2 - 5 x + 3 y - 2
i)
¿E n qué dirección crece m as rápidam ente en el punto (1,1)?
ii)
¿C uál es la d erivada direccional de f en esta dirección y en ese punto?.
D em uestre que la función f definida por:
f(x,y) =
0
,
si (x,y) * (0,0)
,
si {x,y) = 0
tiene la d erivada direccional en toda dirección en el punto (0,0) pero no es diferenciable
en (0,0).
42 )
S ea
/( * ,y ) =
^
[
n V+ 7 7 7
0
’ ^
,
(jC*V) ^ (° ’0)
para ( x ,v ) = (0.0)
En qué dirección existe la d erivada direccional en el p unto (0,0).
475
Funciones Reales de Variable Vectorial
43 )
U n avión se m ueve según su plano de equilibrio co n la función f ( x , y ) = x 2 + y 2, si hay
V 2 V2
u n viento cuya d irección es (----- ,----- ) .
2
2
i)
¿C uál es la v elocidad del avión co n dirección al viento?
II)
Si el viento cam bia de dirección en 4 5 a en sentido horario ¿C uál es ah o ra su nueva
velocidad con respecto al viento?.
2
44 )
2
2
x y z
D em ostrar que la d erivada de la función u = — + ^ y + — en cualquier p u n to M (x,y,z)
a
b
e
2u
en la dirección que va desde el origen d e co o rdenadas es igual a
, donde
r
f~2 2 2
r = ^ x + y +z
45 )
Será F una función diferenciable con dom inio en /J 3 tal que F(y,—, l n |/ ( x z 2)|) = 0 ,
F 1(3 ,V 2 ,0 ) = 1, F 2 (3 ,V 2 ,0 ) = 2 , F 3(3 ,V 2 ,0 ) = 1; f un a función diferenciable co n
dom inio en R tal que / ( 2 ) = / ' ( 2 ) = 1.
46)
H alle la derivada direccional de f(x,y,z) = x sen n y z + 2ytgnx en el p u n to (1,2,3) y en la
dirección
de
2
la recta tangente a la curva d ad a p o r las ecuaciones x + y
2
+z 2 = 1 4 ,
x + 2y - z = 0.
47)
¿Q ué ángulo form a la tangente de la línea z = -Jl + x 2 + y 2 , x = 1 en el p u n to (1,1,-73)
con la dirección p ositiva d el eje de coordenadas?
48)
x2+y2
¿Q ué ángulo form a la tangente a la linea z = ------------ , y = 4 en el punto (2,4,5) co n la
4
dirección positiva d el eje de abscisas?.
476
Eduardo Espinoza Ramos
49 )
H allar la m ínim a derivada direccional y la dirección del vector unitario en la que se
x
obtiene p ara f ( x , y ) = -------- en (3,2). H allar tam bién d o s vectores unitarios p ara los
x+y
cuales la derivada direccional es cero.
R p ta . p = —^ ( - 2 , 3 ) , p = - t L - ( 3 ,2 ) , p = ( - 3 , - 2 ) - ^
V13
V13
V l3
50)
D eterm inar los puntos (x,y) y las direcciones p ara los cuales tiene su v alor m áxim o la
d erivada direccional d e
f ( x , y ) = 3 x 2 + y 2, si (x,y) es un punto d e la d erivada
x 2+y2 =1.
51) H allar la derivada direccional de la función f { x , y , z ) = x e yt +yen +zexy en el punto
P0(1,0,2) en la dirección que va d e P0 al punto P{(5 ,3 ,3 ).
52) D em ostrar que la derivada de la función u = f(x,y,z) en la dirección de su gradiente es
igual al m odulo de este.
53)
x2- v 2
¿E n que dirección la derivada direccional d e f ( x , y ) = — — — en (1,1) es igual a
x +y
cero?.
54)
La distribución de tem peratura de una p laca m etálica viene d ad a p o r la función
T{x,y) = xe2y + y 3ex .
a)
¿E n que dirección aum enta la tem peratura de un a p la ca m etálica en el p u n to (2,0)?
b)
¿E n que dirección decrece la tem peratura m as rápidam ente?
Rpta.
a)
V T(2,0) = (1,4)
b)
-V T(2,0) = (-1,-4)
477
Funciones Reales de Variable Vectorial
55)
H allar la derivada de la función u = xy 2 + z 3 - x y z en el p unto M ( l,l,2 ) en la d irección
que form a ángulos d e 60°, 45°, 60° respectivam ente con los ejes coordenados.
Rpta.
II.
5
Planos Tangentes a una Superficie.
1)
E scriba las ecuaciones de los plano tangentes y las norm ales en los puntos indicados,
para las superficies dadas.
a)
z = -Jx2 + y 2 —xy en el punto (3,4,-7)
Rpta. P: 17x + 12y + 5 z = 64 , L:
b)
z
y
n
x
4
jf-3
y-4
z+7
17
11
5
= arctg— en el punto (1,1,,—)
n
)T
Rpta. F . x - y + 2z = —
x —1
,
L:—
2
c)
x
y
z
a
b
e
—
a-JÍ b-JÍ c-J3
=1 en el punto (------ ,------ ,------ )
x y z
rRpta. P: — + — + — = v 3
a b e
d)
1
2
,
2
2
a- j 3
L: a ( x
3
b-J3
c-J3
) = ¿»(v--------- ) = c(z ----------)
3
3
x3+y3+ z 3 + xyz = 6 en el punto (1.2.-1)
Rpta. P: x + l l y + 5 z -18 = 0
e)
V—1 ^ ?
= ± — = ------í- 1 2
,
x —1
y - 2
z+1
1
11
5
L: -------= -------- = -------
3 x 4 - 4 y i z + 4 x y z 2 - 4 x z +1 = 0 en el punto (1.1.1)
x -1
y -1
z -1
3
-2
-2
Rpta. P: 3x - 2y - 2z + 1 = 0 , L: ------- = ------- -- -------
478
Eduardo E spinoza R am os
O
(.z2 ~ x 2)x}-z-yi = 5 en el punto (1,1,2)
x — 1 y - 1 z —2
L : ------- = -------= --------
R p ta . P: 2x + y + l l z = 25 ,
2
R p ta . P: 5x + 4 y + z = 28 ,
1
x-2
y - 3 z —6
L: ------- = -------- = ------5
i.»
h)
1/2
x
+y
1/2
1/2
+z
4
1
.
.
,
, ,,
= 4 en el punto (4,1,1)
R p ta . x + 2y + 2z = 8
I)
x - 4
y -1
z+ 1
,-- ------- = -------= ------1
2
2
* 2' 3 + y 2/3 + z 2/3 = 14 en el punto (-8,27,1)
x+8
R p ta . P: 3x - 2y - 6z + 84 = 0
z-1
-
2
-
6
x2 + y 2 - 3z = 2 en el punto (-2,-4, 9)
R p ta . P: 4 x + 8y + 3z + 22 = 0
2)
y —27
L: ------- = ---------- = -------
,
3
j)
11
,
x+2
y+4
z-6
4
8
3
L: --------= -------- = ------*>
2
2
H allar la ecuación del plan o tangente al elipsoide x~ + 2y -t-z = 1 d e tal m odo que sea
paralelo al plano x - y + 2 z = 0.
fñ
R p ta . x - y + 2z = J —
3)
;
ÍU
x - y +2 z = - J —
2
2
2
Sea S una superficie d e ecuación x + y + z - 4 y - 2 z + 2 = 0 , p o r el p unto (1,1,2) d e S
pasa el plano x + y - z = 0 y l a superficie 3 x 2 + 2 y 2 - 2z = 1 que originan las curvas d e
intersección con S respectivam ente. H allar la ecuación d el plano que p asa p o r las
tangentes a dichas curvas en el p unto dado.
Rpta. x - y + z = 2
Funciones Reales de Variable Vectorial
4)
479
E ncuentre una ecuación del plano tangente en cu alq u ier punto (a,b,c) d e las superficie
S: x V2 + y V1 + z il2 = k V2, y luego m uestre que la sum a d e las intersecciones d e este
plano tangente con los ejes coordenados es u n a constante.
X
5)
3
X
2
S: z - ~ y + — . D em ostrar que to d o s los p lan o s tangentes, en
Sea la superficie
y
y
cualquier punto de S, tiene un punto en com ún.
6)
E scribir la ecuación del plano tangente peip en d icu lar a la recta ~ ~ ~ ~ =
=
»
para la superficie z = xy.
Rpta. P: 2x + y - z = 2
7)
T razar un plano tangente a la superficie x 2 - y 2 = 3z , de tal m odo qu e p asa p o r e l p unto
x
y
z
A (0,0,-1) y que sea paralelo a la recta — = — = — .
2
1 2
Rpta. 4 x - 2y - 3 z + 3 = 0
8)
2
2
2
En la superficie x + y +z - 6 y + 4z= 12. H allar lo s p u n to s en los cu ales los p lanos
tangentes sean paralelos a lo s planos coordenados.
Rpta. En el plano X Y
En el plano Y Z
, (0,3,3), (0,3,-7)
, (5,3,-2), (-5,3,-2)
En el plano X Z , (0,-2,-2), (0,8,-2)
9)
M ostrar que el plano tangente a la superficie xyz = a 3, en cu alq u ier punto cuya form a
es un tetraedro de volum en constante con los p lanos coordenados.
10) M ostrar que las superficies
x + 2 y -ln z + 4 = 0
y x 2 - x y - 8 x + z + 5 = 0, son
tangentes, esto es, tiene un plano com ún tangente en el punto (2,-3,1).
480
Eduardo Espinoza Ramos
11)
D em ostrar que las superficies x 2+ y 2 +z2 =ax y x 2+ y 2 +z2 =by son ortogonales
entre si.
2
2
2
x y z
12) T razar el plan o tangente al elipsoide —j +~ Y +~ T ~
a b e
ta^ m odo que corte
segm entos de igual longitud en los sem i ejes positivos.
Rpta. x + y + z = ^ a 2 +b2 +
13)
D eterm inar
la
ecuación
de
lo s
planos
que
pasan
por
c 2
la
recta
L = {(1,— ,0) + f ( l , - l , 0 ) / f e /?} tangentes a la superficie 2x 2 +4 y2 - z = 0 .
Rpta. P: z = 0
14)
H allar la ecuación del plano tangente a la superficie
x2
2
,
— + y + l z = 1 2 6 , que es
ortogonal a la recta tangente en (2,1,6) a la curva d e intersección d e las superficies
z = x 2 + 2y 2, z = 2 x 2 - 3 y 2 + l
Rpta. 5.v + 2 v + 2 8 z ± 166.1— = 0
V 83
15)
( x - 2 ) 2 ( v + 3 )2
2
H allar la ecuación del plano tangente a la s u p e rfic ie ------------ + ------------ + z = 1 , que es
5
9
paralela al plano que
pasa po r los puntos (2,-2,3), (3,3,-2) y perp en d icu lar al p lano
2x + y - z = 0.
16)
i
I 2
2
S ea S la superficie definida p o r la ecuación F{y~ - x , z - y , \ x + y ) = 0 , p o r
P ( 1,2,1) de S se trazan planos perpendiculares a lo s ejes X e Y determ inando sobre S
dos curvas, hallar el plano que pasa p o r las rectas tangentes a dichas curvas si
D ,F ( 3 ,- 1 ,V 2 ) = - 1 , D 2 (3 ,-1 ,V 2 ) = 3, D 3(3 ,-1 ,V 2 ) = -J2
17) H allar la ecuación del plano tangente a la superficie x 2 + y 1 —z 2 = 1, que contiene a la
recta de intersección de los p lanos Px: x + y + z= 1, P2: x + 3 y - 3 z = 3.
481
Funciones Reales de Variable Vectorial
18) H allar la ecuación del plano tangente a la superficie 6 x 2 - y 2 - 3 z 2 + 4 = 0 , qu e p asan
p o r la recta 4 x - 3 z = 0, y = 4.
1 1
2
y 2
1 9 ), H allar la ecuación del plano que pasa p o r (1,—,— ) que es tangente z = 3x + — en el
2
2
4
punto (2,a,b) y es ortogonal al plano y + z = 0.
R p ta . 12x + y - z = 13
20)
D ada
la
ecuación
de
la
esfera
x 2 + y 2 + z2 = 4
y
la
ecuación
de
la
recta
L = { (4,0,0)+ f (—1,1,1)/» e R}. D eterm inar u n plano que p asa p o r L y sea tangente a la
esfera.
Rpta. 2 x + ( l - V 5 ) y + ( l + V 5 * = 8 .
21)
T razar a la superficie
x 2 + 2 y 2 + 3 z2 = 1 1 ,
lo s p lanos tangentes p aralelos al p lano
11
Rpta. x + y + z±—j= = 0
x+y + z = l .
V6
22)
¿E n qué punto del gráfico de la ecuación
x 2 +4y 2 + 16z 2 -2xy
= 12, so n los p lanos
tangentes paralelos al plano X Z?.
Rpta. (2,2,0) y (-2,-2,0)
23)
F orm ar las ecuaciones de lo s planos tangentes a la superficie x 2 + 2y2 +3z2 = 2 1 y
paralelo x + 4 y + 6z = 0.
Rpta. x + 4 y + 6 z ± 2 1 = 0
24) H allar la ecuación del plano tangente y d e la recta
x ' 2 + y V2 + zm = 24 en el punto (4,4,4).
R p ta . P: x + y + z = 1 2
, L: x - 4 = y - 4 = z - 4
norm al
a la superficie
Eduardo Espinoza Ramos
482
25)
D eterm inar el plano tangente a la superficie x 2 + (y - 1)2 + 4 ( z + 2 ) 2 = 4 que es paralela
al plano tangente a la esfera x 2 + (y + l ) 2 + ( z + 2 )2 = 9 en el punto (1 ,-1 ,2 + V 8 ).
x +2 - J l z + 2 - j l = 0 , x + l - j l z + b - J l = 0
R p ta .
26)
H allar la ecuación del plano tangente a la superficie x 2 - Ay2 - 4 z = 0 , que intercepta al
plano X Y según la recta x + A
3
y+ —
=0.
2
27)
( jc - 1 ) 2 (y+2)2
2
H allar la ecuación del plano tangente a la s u p e r f ic ie ------------- 1+ z = 1, que es
4
9
paralelo al plano que pasa p o r los puntos (1,-1,2) , (2,2,-1) y perp en d icu lar al plano
x + y - z = 0.
X
28)
V
2
D em ostrar que una ecuación del plano tangente a la superficie z = — Y + ~~2 en
a
í
29)
2
\
D eterm inar
Z + Z0 _
la
^*q
a2
ecuación
X
pn i
del
p
Punto
y~
plano
tangente
que
pasando
por
la
recta
L = {(4,2,1) + í( 4 ,- 3 ,0 ) / t e i?}, es tangente al elipsoide — + \ 2 + z 2 = 1.
96
30)
Sean las superficies
'
5 ,: x 2y 2 + 2 x + z 3 = 16 , S 2: 3 x 2 + y 2 - 2 z = 9 , S, y S 2, se
interceptan con la superficie 5: x 2 + 3 y 2 + 2 z 2 = 15. D eterm inando d o s curvas C, y
C2, respectivam ente, las que pasan po r el punto (2,1,2). H allar la ecuación del plano que
contiene a las rectas tangentes a estas curvas en dicho punto.
31)
D eterm inar el valor de m p ara que el plano x - 2 y - 2 z + m = 0 sea tan g en te a la
superficie de ecuación x 2 + 4 y 1 + 16z2 - 1 4 4 = 0 .
483
Funciones Reales de Variable Vectorial
32)
Sea S u n a superficie de ecuación x
2
2
2
+ y + z - 4 y - 2 z + 2 = 0. P o r el punto (1,1,2) de
S p asa el plano x + y - z = 0 y l a superficie 3x2 + 2y 2 - 2z = 1 que o rig in a las cu rv as de
intersección con S respectivam ente. H allar la ecuación d el p lan o que p asa p o r las
tangentes d e dichas curvas en el punto dado.
R p ta . x - y + z = 2
33)
Sea C la cu rv a en el plano Y Z definida p o r la función z = ln y, y > 1, se rota la cu rv a C
alrededor del eje Y generando una superficie S.
H alle la ecuación del plano tangente a S en el punto (-J2,e2,-j2)
R p ta . - J 2 x - — y+-j2z = 2
e
34)
Sea P un plano tangente a la superficie x 2 + 3 y 2 + 4 z 2 = 8 en el p unto (a ,b ,l) y sea x
+ 3y = 8, la ecuación de la intersección del plano P co n el p lano X Y , se p id e hallar el
punto ( a ,b ,l) y la ecuación del plano P.
R p ta . x + 3y + 4 z = 8
35)
Sea x 0(2 ,l,7 ) u n punto que pertenece a la superficie S d escrita p o r z = x 2 +xy + y * , y
L la recta tangente a S en x 0 , d e m ayor pendiente. H alle la ecuación del plano que
contiene a L y es p aralelo al vector norm al d e S e n x 0 .
x2
y2
2
36) ¿E n qué punto del elipsoide — +— +z = 1, la norm al fo rm a ángulos ig u ales qpn los
4
4
ejes de coordenados?.
37)
4
R p ta . x = ± — , y =
3
E ncontrar el ángulo entre la recta L= {(-2,5,12) +
2
2
t (4,1,-3)/ t e
2
R)
4
y la norm al a la
esfera x +y +z = 121, en el punto de intersección d e la recta y la esfera.
R p ta . eos 6
1
± — , z =±—
3
3
Eduardo Espinoza Ramos
484
38)
Las tres ecuaciones F(u,v) = 0 , u = xy , v = -Jx2 +y 2 definen una superficie en el
espacio X Y Z. H allar un vector norm al a esa superficie en el punto x = y = 1, z = V ? , si
se sabe que: D ,F (1 ,2 ) = 1 y D2F{ 1,2) = 2 .
39)
2
La superficie z = 2x +y
2
^
2
es cortada po r la curva x = — , y = t - 1, z = t - 1 , en el
t
punto (-1,1,3) cuál es el ángulo form ado entre la norm al a la superficie y la tangente a la
curva?
40)
H allar el plano tangente y norm al al hiperboloide x 2 + y 1 —z 2 = 18 en (3,5,-4).
41)
E ncontrar
la
ecuación
del
plano
tangente
a
la
superficie
la
superficie
S : e** sen x +en sen+ ev sen z = 0 en el punto P0(0, n,2n ) .
42)
H allar
la
ecuación
del
plano
tangente
a
F(x, y, z) - yze sen * + xzeseny +xyesm1 en el punto Pn (;r,0 ,0 ).
43)
H allar la ecuación del plano tangente a la superficie z = ex c o s(y + z ) , en el p unto
donde el plano tangente e s paralelo al plano P: y + 2 z —3 = 0.
44)
D eterm inar la ecuación de la recta tangente a la cu rv a d e intersección d e la superficie
x2 y 2 z2
— + — + — = 1 con el plano y = l en el punto (1,1,1).
4
2
4
45)
E scribir la ecuación del plano tangente al elipsoide x 2 + 2 y 2 + : 2 =1 d e tal m odo que
sea paralelo al plano x —y + 2z = 0.
46)
H allar el plano tangente a la superficie
r =
plano es paralelo al plano n: 2x + z - 5 = 0.
ey sen(x +
z)
en el punto en el que este
R p ta .
2x + z = 0
485
Funciones Reales de Variable Vectorial
3 .5 5 .
A p lic a c io n e s
de
Jas
D e riv a d a s
P a rc ia le s ,
M á x i m o s vy
M ín im o s
5^
U n c io n e s d e V a r ia s V a ria b ie s j
a)
Definición.- L a función f : Dcz R 2
►R,
definida
en
un
conjunto
abierto
D e /? 2, tiene un valor m áxim o absoluto sobre el conjunto D e / ? 2, si
existe un punto P(x0, y (i) e D
tal que f ( x , y ) < f ( x 0, y 0),
V ( x , y ) e D , en este
caso f ( x 0, y a) es e l valor m áxim o absoluto de f en D.
b)
Definición.- La función / : D e / ? 2 ----- ►/?, definida en un conjunto abierto D e / ? 2,
tiene u n valor m ínim o absoluto sobre el conjunto D e / ? 2, si existe un
punto
/ >(jc0 , v0 ) e D
tal que
/ ( j c 0 , v 0 ) < / ( * , y),
V (x,y)eD ,
en este caso
f (jc0 , y0 ) es el v alo r m ínim o absoluto de f en D.
Observación.-
Si la función / : D c / ? 2 — >/?, es continua en un conjunto cerrado D e / ? 2,
entonces existe al m enos u n punto P e D d onde f tiene un valo r m áxim o absoluto
y al m enos un punto Q e D , donde f tiene un valor m ínim o absoluto.
c)
Definición.- La función / : D e /?” ----->/?, definida en un conjunto abierto D e /?”,
—>
tiene u n v alor m ínim o relativo en el p unto x Q e D , si existe un a b o la
-f
—>
-f
abierta B(x0, e ) c D tal que f ( x 0) < f ( x ) , V i e B(x0, e ) c D.
d)
Definición.- L a función / : D e /?” — >/?, definida en u n conjunto abierto D e /?",
—P
tiene u n valo r m áxim o relativo en el punto x 0 e D , si
abierta B( x 0, e ) c. D , tal que : f ( x ) < f ( x 0) ,
Observación.-
V i e B(x0.e)c .
existe u n a b o la
D.
A los valores m áxim o y m ínim os relativos de la función / : D e / ? ” ----->/? le
llam arem os extrem os de la función f.
Eduardo Espinoza Ramos
486
|3.S6 Teorema.]
Si la función / : D c R "
>R, definida en un conjunto abierto Dcz R", tiene un v alor
—»
extrem o en
—»
jt0 e f l
->
y D 4 /'(jc0 ) existe, entonces Dkf ( x {)) = 0 , V k = 1,2,3,....n
D em o stra ció n
—»
—►
Si la función f tiene un valor m áxim o relativo en „rn e D ento n ces 3 2?(jc„,c) c D tal que:
“*
“*
f ( x ) < f ( x 0) . V j t e S ( r # , £ ) ,
—>
p 4 =(0,0
luego
//'w
a-* o’
f { x n+ h p . ) - f { x n)
<0
donde
—
*
—>
—
>
1,0,...) esto es debido a que, para cad a x0+ h p k e B(x0,e)
se tiene
h
—
»
—>
—
>
*
f ( xQ+hl1k ) - f ( xo)
f (xQ+ h p k ) < f (jc0) , esto nos im plica que si h > 0 se tie n e
< 0
ahora si h < 0, entonces
—
»
f ( x 0+h p k ) - f ( x 0)
-*
l i m ------------------------------- > 0 , com o £ > ./(jc n) existe se tiene que:
h->cr
h
—>
~
—
»
,.
Dkf ( x n) = h m
A-»0+
—
>
/)
—>
—>
f ( xo + h Bk ) - . f ( xo)
„ ,
,
„
„
= l i m -------------------------------- = 0 d o nde Dk f ( x ñ) = 0 .
A-»0~
h
por lo tanto, los valores extrem os de una función, / : D cz Rn — >/?, definida en el conjunto
abierto D puede ocurrir en puntos donde las prim eras derivadas parciales d e f son ceros.
3.57 Pefinicién.1
Sea la función / : Dcz Rn — >R, definida en un co n junto d e abierto D<z R"
Los
puntos jcf) e D donde todas las derivadas parciales d e prim er orden de f son ceros o
no existen, se llam an puntos estacionarios o puntos c rítico s d e f.
487
Funciones Reales de Variable Vectorial
E je m p lo .-
H allar
los
puntos
críticos
o
estacionarios
de
la
función:
f ( x , y ) = x 2y 2 - 5 x 2 - K x y - 5 y 2
S olución
df{x,y)
dx
Sf(x,y)
dy
=
0
=
0
, para calcu lar los puntos críticos o estacionarios
df(x*y) =2xy2 - 1 0 x - 8 y = 0 ....(1)
dx
df(x,y) _ 2x 2y _ 8* _ lü y = 0 ....(2 )
dv
Sy
4y
de la ecuación (1) d espejam os x = — r---------= —;------ahora reem plazam os en (2)
2y - 1 0 y - 5
4y
2
4y
4
2
2y(—j ------ ) —8(—=---- ) - 10_y = 0 , sim plificando y (y - lO y + 9 ) = 0 entonces:
y -5
y -5
y ( y 2 - 9 ) ( y 2 - 1 ) = 0 , d e donde y = 0 , y = ± 1 , y = ± 3
para y = 0, x = 0, (0,0); p ara y = 1, x = -1, (-1,1)
y = - l , x = 1, ( 1 ,- 1 ), y = -3 , x = -3 , (-3,-3)
y = 3 , x = 3 , (3,3)
Luego los puntos críticos son (0,0), (-1,1), (1,-1), (-3,-3), (3,3)
O b serv ac ió n .-
L a condición necesaria para que una función tenga extrem o relativo en u n punto,
donde sus derivadas parciales existen, e s que este p unto sea u n punto estacionario o
crítico, sin em bargo esta condición no e s suficiente, p o r ejem plo, la función f ( x , y ) = y 2 - x 2 cu y as
derivadas parciales son:
488
Eduardo Espinosa Ramos
df(x,y)
~ = -2x = O
dx
df(x,y)
de donde x = y = 0,
= 2v = 0
dv
a pesar d e esto la función no tiene m áxim o ni m ínim o relativo, en este caso, a este tipo de pu n to s se
denom inan puntos de silla.
O b se rv a c ió n .-
U n punto critico que no es de un m áxim o ó m ínim o relativo es llam ado punto silla
(ó de m o n ito r ).
f3.58 Criterio de la Segunda Derivada]
Sea f . D c z R
—►R una función definida en el conjunto abierto D d e tal m anera q ue las
derivadas parciales p rim e ra s.y segundas de f sean continuas en la región abierta D que
t
,
df(a,b) „
contiene un punto (a,b) tal que
=0
y
dx
df(a,b)
dy
------------= 0 .
P ara d eterm inar si en dicho punto hay un extrem o relativo d e f, definim os la cantidad
d f (a,b) d f (a,b)
dx1
dy1
d1 f(a,b)^2
-’ Y
(-
dvdx
489
Funciones Reales de Variable Vectorial
i)
Si A > 0
ii)
y
Si A > 0
y
d f (a, b)
"
>0
, entonces f (a,b) es un valo r m ínim o relativo.
ax2
d 2f(a,b)
< 0 , entonces f (a,b) es un v alor m áxim o relativo.
dx2
iil)
Si A < 0 , entonces (a,b, f (a,b) ) es un punto silla,
iv)
Si A = 0, este criterio no da inform ación.
N o ta .-
E n form a práctica se puede recordar la fórm ula A en el criterio de la segunda
derivada y que viene dado p o r el determ inante.
d2f(a,b )
dx2
A=
d2f( a ,b )
dxdy
E je m p lo .-
d f (a, b)
dvdx
d 2f {a,b)
siendo
d2f{a,h)
dydx
d2f (a, b)
dxdy
dv2
D eterm inar los extrem os relativos de la función f ( x , y ) = x 2 + xy + y 2 —6x + 2
S olución
C alculando lo s puntos críticos ó estacionarios
df(x,y)
=2x + y - 6 = 0
dx
df (x, y)
=x + 2y=0
dy
Jx = 4
b= -2
Luego el punto crítico es p (4,-2)
d f{x,y)
dx2
d2f ( x , y )
=2
=
2 =>
dy2
d2f{x, y)
=1
dydx
g Z/ ( 4 , - 2 )
=2
dX2
a 2/ ( 4 , - 2 )
=2
5y2
d 2f ( 4 ,- 2 )
=1
dydX
P( 4 .- 2 )
490
Eduardo Espinoza Ramos
A hora aplicando el criterio de la segunda derivada
A
a 2/ ( 4 - 2 ) a 2/( 4 ,- 2 >
( a 2/ ( 4 , - 2 ) )2
dydx
.2
A = (2 ) (2 ) - ( l ) x = 4 - 1 - 3
com o A = 3 > 0 y
=> A = 3
^ = 2 > 0, entonces en el punto P (4,-2 ) hay un m ínim o relativo,
dx
cuyo valor m ínim o es f (4,-2) = 1 0 .
3,59
Matriz Hessiana de una Función de Varías VariablesJ
a)
D efinición.- U na form a cuadrática F : R" —» R, es una función cuyo v alo r en
a = ( a , , a 2,
F(a) =
1=7 7 =
*
a „ )e s dado por:
a¡ a ■ donde //= [ /( ..]
es una m atriz sim étrica d e o rden n x n,
J
L J J nxn
esto es:
h
/i,,
a12
1n
*21
h 22
2n
y H1= H
= l[ k J]*nxn =
A l
hn2
-
K
En form a sim étrica la form a cuadrática está definida por:
f
\
■*.1
*12
•-
* ,„ '
«i
*21
* 22
•-
*2-
«2
F(a) =a H a' = ( a , , . . . , a n )
= Z Z * .> a i a J
í=i j=i
A i
*n2
nn j
A
,
491
Funciones Reales de Variable Vectorial
O b se rv a c ió n .-
Se observa que el desarrollo de una form a cu adrática en térm inos d e las v ariables
, a 2, .........a„,
ot]
corresponde a un polinom io
hom ogéneo de grado 2, en
donde los coeficientes de los térm inos cuadráticos ía,-2 )so n los elem entos d e la diagonal d e la m atriz
sim étrica H , y ca d a coeficiente de un térm ino rectangular a i a j e s el doble del elem ento h¡¡ d e la
m ism a m atriz (i* j )-
E je m p lo .-
H allar la m atriz correspondiente a la form a cuadrática F : R 2 —» R definida p o r
F { x x,x2) = x 2 -
x ,x
2 + 3 x 22
S olución
O bservar que Ji12 es la m itad del coeficiente (-1) es d ecir /z,2 =
- / /2
, com o la m atriz es
sim étrica hl2 = h2l
1
-----
1
Luego H =
—
2
1
3
L 2
E je m p lo .-
H allar la m atriz correspondiente a la form a cuadrática F : R
R definida por:
F ( x l,x2,xJ) = x 2 +x2 + x 2,xxx2 + 2jc13 + 6jc2jc3.
S olución
1
1
H= —
1
—
1
1
3
3
1
2
2
1
b)
D efin ició n .- S ea f . D s R " —>R, una función definida en el conjunto abierto D.
E ntonces la diferencial de segundo orden co n respecto a las variables
independientes x l,x 2,...,xn es cero, es decir:
f)f
f)f
dz = d f = — dx¡+
dx2
8xl
dx2
492
Eduardo Espinoza R am os
, 2
.2
r
d
df ,
ÍÍC|
d2f
2 *1
dx 2
Ctj
df
0X2
d
VX2
v .
d2f
^d2f
8f
uX\
ud2f.
^ri y 7
* 1 + ^ T ¿ T * 2 *1 +V - r - * 1 *2 +T " T * 2 * 2
dx2dxl
dx2ac,
a c ,a r 2
a c 22
L a m atriz correspondiente a esta form a cuadrática es:
E sta m atriz H será sim étrica si;
3 7
_
B
f
A ' - - " - *■>*■2
^* r¡ dx ¡d xj
d2f
dx2
d2f
dxjdx
d2f
dx2dxl
dx2
d2f
3xi¿bc2
D efln icló n .- C onsiderem os la función / :
D c .R " -* R definida en el conjunto abierto
B f
B^ f
8xt
dx¡dxj
D tal que existen -— - y
H =
= A
3 7
S r2cí*i
c)
df ,
0X2
V p = (jc,,jc 2,
e
D.
L a form a hcssiana de la función f en el punto p e D, denotado p o r H ( f (p )) está
definida por:
m n p ) ) =d 7 ( / » = ¿ ¿
*,- * y
Í=1 j=l fóiOXj
Luego a la m atriz hessiana de la función en el punto p será:
d 2f
¿ )V
d 2f
dx,dx1
*1
d 2f
dx2dxx
d2f
fa
d2f
dx„dxx
d2f
dx„dx2
dx,
d 2f
dxxdx„
d 2f
dx rdxm
m f(P))=
d 2f
dx2
493
Funciones Reales de Variable Vectorial
E je m p lo s.-
2
2
2
f(x ,y ,z ) = x +y + z - 7xy + 5 x - 3z
H allar la m atriz hessiana de la función:
S olución
— = 2x-7y +5
dx
d 2f
d\f
s2f = 0
= 2,
= -7 ,
dxdy
dxdz
dx2
— = 2y —7x
dy
s2f = - 7 , ¿ V = 0
s 2f
= 2,
dydx
dzdv
dy2
— = 2z - 3
d2f
s2f = 0 , 8 2/ = 0
= 2,
dzdx
¿h’dz
dz1
dz
2
H ( f (x , y , z )) =
-7
0
-7
2
0
0
0
2
C onsiderem os la función / : D cz R.” —>R , en donde sus derivadas p arciales de segundo
orden son continuas en un conjunto abierto D c í " y sea x0 e D un p unto p ara el cuál
Dlf ( x0) = 0, D2f (xQ) = 0,...,Dnf ( x a) = 0, supongam os que el determ inante de la matriz,
H essiana H ( f (x 0 ))se denota por:
D i \ f( xo)
^ i i J í x o)
^ 2 i f ( x a)
D ? i f ( x o)
•••
D2nf { x
A. =
Dn i f( xo)- Dn2f ( x 0)
Entonces:
Dlnf ( x 0)
...
0)
D22f ( x 0 )
494
Eduardo Espinoz/a Ramos
xD corresponde a un m ínim o relativo si A, > 0, A 2 > 0
I)
An > 0 cuyo calo r m ínim o es
/ ( * o)-
II)
x0 corresponde a un m áxim o relativo si
< 0 , A 2 > 0,
A 3 < 0 ,...,c u y o v alor m áxim o
e s /(*„).
D eterm inar los extrem os relativos de la función f (x,y,z) = 4x + x y - x 2 - y 2 - z 2 - y z
E je m p lo .-
S olución
H allarem os los puntos críticos de la función f.
— = 4 + v-2x = 0
dx
x =3
- = x - 2 y - z = 0 ^ ■y = 2 = > p ( 3 ,2 ,- l)
dy
z = - 1
ii
■3* ^
ii
$ *
- =- y - 2 z = 0
dz
^ = 1
dydx
,
^ = - 2
Sydv
^ - O
.
d 2f
dx2
s 2f
A=
dydx
s 2f
dxdv
d 2f
dzdx
s 2f
dzdx
5 ! /-o
cbrSr
.
s V - .
dydz
d2f = -2
dz2
^ = - 1
dzdv
dv2
df
dzdy
d 2f
ch’dz
df
dydz
d 2f
dz2
-2
1
0
1
-2
-1
0
-1
-2
Funciones Reales de Variable Vectorial
A j= -2 < 0 ,
495
A 2 = 3 > 0 , A 3 = - 4 < 0 entonces f tiene un m áxim o relativo en el p unto
p (3,2,-1) y s u valo r es f (3,2,-1)=6.
Ejemplo.-
H allar las dim ensiones de una caja rectangular (cerrada) d e m áxim o v olum en cuya
superficie total es A m2
S olu ció n
S ean x,y,z las dim ensiones de la caja rectangular, p o r lo tanto el
volum en d e la caja es V =xyz
El área total de la caja rectangular es:
A-2xy
A = 2xv + 2xz+2vz => z = ■
2x + 2v
xy (A - 2 x v)
x > 0, y > 0, xy< A.
com o V = xyz = ------------------ ,
2x + 2v
el cual se desea que sea m áxim o.
dv
y 2(2A —Bxy—4 x 2)
dx
(2x + 2 v ) Z
resolviendo el sistem a de ecuaciones
dv _ x 2( 2 A - B x y - 4 y 2)
dy
(2x + 2y)
=0
=0
A
A
x = J — , y = J — es u n punto critico de V que corresponde a un m áxim o relativo cuyo
valor m áxim o es:
A A 3
V =- J - u 3
6 | 6
Luego las dim ensiones d e la ca ja son:
A
x =J —
A
A
, y = J — , z =J —
Eduardo Espinoza Ramos
496
3.61
Extremos Condicionados.)
M uchos problem as de optim ización tiene restricciones o ligaduras en los valores que p ueden
usarse para lograr la solución óptim a, tales ligaduras tienden a com plicar los p ro b lem as de
optim ización ya que la solución óptim a puede o currir fácilm ente en un punto frontera del
dom inio., para superar estas dificultades usarem os una técnica que se conoce co n el nom bre
de “m é to d o de los m u ltip lic a d o re s d e L a g ra n g e ” y p ara esto darem os las definiciones
siguientes:
a)
D efinición.- C onsiderem os una función / : Dcz Rn —» R definida en el conjunto
abierto D
y sea
p(xl,x2,...,xn) e D, se dice qu e las variables
x , ,x 2 ,...,x n satisface condiciones de enlace si, existen funciones <ply<p2,...,<pn:R" —» R
tal que:
tp1(xi,x2,...,x„)=0
q>2 (xu x 2...,xn) = 0
(*)
(P„(x 1,*2
b)
x n) = 0
,m < n
D efin ició n .- C onsiderem os una función
f :D cR"-*R
definida en
el
conjunto
abierto D. D irem os que el punto Pfí e D corresponde a un
m áxim o
condicionado
de
f
(m ínim o
condicionado
de
0
si
f ( p ) < f ( p {)) ( f ( p 0)< f ( p ) ) V p y p n que cum plan las condiciones de enlace (*).
3.62
Método délos Multiplicadores de Lagrange.j
Supongam os que se m axim iza o m inim iza, una función de dos variables z = f(x,y) en donde
las variables están sujetas a la restricción g (x,y)=0.
Luego se construye una función introduciendo un a incógnita A llam ada el m ultiplicador de
L agrange.
F (x,y,A) = f(x,y) + X g(x,y)
... (1)
497
Funciones Reales de Variable Vectorial
A hora determ inarem os los puntos críticos o estacionarios de F, es decir:
dF(x, y , X) _ d f (x, y) + ^ 8g(x,y) = Q
dx
dx
dx
dF(x,y,X) df(x,v) [ ^ dg(x, y ) = Q
dy
dy
dv
d F (x ,y ,X )
dX
...(2 )
= g(x, v) = 0
al resolver el sistem a (2) se obtienen los puntos críticos o estacionarios, luego se ev alú a la
función f en cada uno de los puntos críticos, el m ayor valor d e f es el m áxim o d e f sujeto a la
restricción y el m enor valor d e f es el m ínim o d e f sujeto a la restricción.
M axim izar la función f ( x , y ) = e " som etida a la restricción x 2 + y 2 - 8 = 0
E je m p lo .-
S olución
Calculando los puntos críticos, para esto definim os la función F introduciendo la incógnita X.
F(x,y,X) = f ( x , y ) +X(x2 + y 2 - 8 ) d e d o n d e F ( x , y , A) = e** + A ( r ' + y í - 8 )
— = vexv+2Xx = 0
\ =
dx '
2x
xe
dF
— = xexy + 2 Xy = 0 =>X = —
dy
2y
x 2 + y 2 =8
^
=JC2 + y 2 _ 8 = 0
dX
ye*>'
2x
xe*?
=> x 2 = _v2, d e d o n d e 2 x 2 = 8 => x 2 = 4 => x = ±2 , y = ±2
2y
Luego los puntos críticos son Px(± 2 ,± 2 ), Pf+2,±2) y com o f ( x , y ) = e*y => f(±2+2) = e 4
/ ( + 2 ,± 2 ) = e~*
Luego el valor máximo es /(±2,±2) = e4
498
Eduardo Espinoza Ramos
O b se rv a c ió n .-
En algunos casos las ecuaciones de las restricciones pueden reem plazarse en la
función que se va m axim izar o m inim izar así el p roblem a se reduce a los m áxim os
y m ínim o sin restricciones. S in em bargo este procedim iento no siem pre es factible, especialm ente si la
función que se va a m axim izar o m inim izar tiene m as de dos variables y varias restricciones.
E ntonces para estos casos se aplica el m étodo de los m ultiplicadores de Lagrange del m odo siguiente:
S ea
f: DczRn
> R una función definida en el conjunto abierto D tal qu e existen derivadas
parciales de f hasta el segundo o rden inclusive, p ara obtener los extrem os condicionados de
z = f ( x l,x2,...,xn) sujeta a las condiciones de enlace:
< ¡» i(*i, * 2 .......*-»> = 0
<p2(xlfx2,...,x„) = 0
<P„(x l , x 2
>m<n
xn) = 0
se procede del siguiente m odo:
I)
C onstruim os la función de Lagrange.
=
F ( x l . x l
donde \ ^
II)
,..., ^
,.* 2
X n ) + \ < P \ i X \ ’ X 2 .........* n ) + - ~ + 4 < P m ( * l . J f2 ...........* » >
se llam an m ultiplicadores de Lagrange.
Los extrem os A condicionados de F (condicionados de f) se obtiene h a p artir d e las
ecuaciones siguientes:
499
Funciones Reales de Variable Vectorial
8F_
=0
dxx
SF
= 0
dx2
8F
= 0
dx„
dF
= 0
dkx
SF
= 0
dX7
dF
= 0
dX„
Sea /
q
uno de estos puntos
n-mn- m
111)
Se construye la fo n n a cuadrática:
obtiene a p artir de:
B(dx, ,dx7
2
dx
A(dxx,dx2,...,dxn) = d F =
) = / . / Jbudxidx,
*=i i=i
]2,
.
i=i y=i « f
d F
lo
cual
dx,dx¡ y d e las diferenciales
de las condiciones de enlace.
d<px(xx,x2,...,x„) = 0
d<p2(x x,x2,...,xn) = 0
d<Pn(x x,x2.......x j = 0
lv)
se
A sociar a B su m atriz correspondiente y estudiar el com portam iento en cad a p unto crítico.
500
Eduardo Espinozfl Ramos
E je m p lo .-
H allar los extrem os condicionados de f(x,y,z) = xyz, estando ligados las variables x,y,z
p o r las relaciones <[>,(*, y ,z) = x + v - z - 3 , <p2(x,y,z) = x - y - z - %
S olución
D efiniendo la función de Lagrange
F(x, y ,z ,A , P ) = f ( x , y , z ) + k<p1(x,v,z) + P<p2{x,y,z )
C alculando los puntos críticos
F(x,y,z,?L,p) = xyz + X(x + y - z - 3) + P(x - y -z - 8)
ex
8F
—
dy
dF
^ dz
dF
OA.
dF
—
= y z + X + P = 0 ...(1)
= xz + X - p = 0 ...(2 )
= x y - X - p = 0 ...(3)
= x + y - z - 3 = 0 ...(4)
= x - y - z - 8 = 0 ...(5)
de la ecuación (1) y (3) elim inam os k y p.
yz + x y = 0 => y(x + z) = 0
=> y = 0
v x+ z=0
si y = 0, no existe solución, luego suponem os para y * 9 se tiene z = -x reem plazando en la
ecuación (4) y (5) se tiene.
p o r lo tanto P{—
------) es u n punto crítico.
3 3 QÍp
Luego A(dx, dy, dz) = Y Y ——— dx¡dxj
tÍM ^dxj
(Xl = x , xl = y , x^ = z)
501
Funciones Reales de Variable Vectorial
d<px(x, y, z) = dx + dy - dz = 0
dy = 0,dx = dz
d<p2[x,y,z) = d x - d y - d z = 0
ahora reem plazando (1) en A (dx, dy, dz) se tiene
8 2F
8 2F
8 2F
d 2F_
A(dx, dy, dz) = — —dxdx + ------- dxdz +
dzdx +
dzdz
dx2
dxdz
dzdx
dz2
d 2F
dxí
dxdx + (
d 2F
dxdz
d 2F w ^
d 2F „ d 2F
)dxdx + -d- *F
- - - dxdx = (— 4 - + 2
dzdx
dz
dxdz
dx2
d 2F
)dxdx
dz2
= (0 + 2y + 0 ) dx dx = 2y dx dx = B(dx)
p o r lo tanto B(dx) = 2y dx dx, entonces
B (dx)(p) = -5 dx dx =>
An = -5 < 0.
Luego
11
5
11
P í — , - y , — —)
co rresponde u n m áxim o
condicionado de f.
3.63 Ejercicios Desarrollados,]
i)
H a lla rlo s extrem os relativos de la función
f ( x , y ) = x*+y* +9x2 - 3 y 2 + I 5 x - 9 y .
S olu ció n
C alculando lo s puntos crítico s de f(x,y)
df(x.y) = 3x2 + 1 8 jc+ 1 5 = 0
dx
df(x,y)
= 3y 2 - 6 y - 9 = 0
dy
resolviendo el sistem a se tiene:
3( jc+ 1 )( jc + 5) = 0
x = - 1 , x = -5
3 (y + 1)( V- 3) = 0
y =- 1 . y = 3
L os puntos críticos son:
P | ( - l , - l ) , P2 (-1 ,3 ) , P3( - 5 , - l ) , PA( - 5 ,3 ).
— (1)
Eduardo Espinoza Ramos
502
C alculando las segundas derivadas
dx2
= 6x + 18 .
aplicando el criterio de la segunda derivada:
= 6 y- 6, ^
dy2
A= ^
^
ñ r2
dy2
dydx
_q
/ ( * ’ -*))2
dvd*
para / > ( - l . —1). A = (12).(-12) - 0 = - 144 < 0
Luego
se tiene en P( (—1,—1) un punto silla para / ^ í —1,3), A= (12).(12) - 0 = 144 > 0
q 2 /•/ j
y com o — - — — = 1 2 > 0
entonces se tiene un m ínim o P2 (-1 ,3 ) cuyo
v alo r m ínim o
dx
es fl-1,3) = -34
^2
^ j\
para P3( - 5 , - l ) , A = (-12).(-12) - 0 = 144 > 0 y com o --------- -1
= - 1 2 < 0 , entonces se
dx
tiene un
m áxim o
en
/ ^ ( - S . - l ) cuyo valor m áxim o es ft-5 ,-1) = 30, p ara PA( - 5 ,3 ) ,
A = (-12).(12) - 0 = -144 < 0 entonces se tiene en el punto PA(—5,3) un punto silla.
2)
H allar lo s extrem os relativos de la función z = f { x , y ) = x 3 + v 3 - 1 5 x y .
S olución
C alculando los puntos críticos de la función f.
^ ( ,- ' W
dx
- l 5 v
=0
....(1,
dy
x
d e la ecuación (1) se tiene y = — , reem plazando en (2)
4
3(——) - 1 5x = 0 => Jt(x 3 - 1 2 5 ) = 0 => x = 0, x = 5
25
p ara x = 0, y = 0, P¡ (0,0) punto crítico , x = 5, y = 5, P2 (5,5) punto crítico
Funciones Reales de Variable Vectorial
calculando las segundas derivadas
503
^ /( * » y) _
dx
^
f!__f S x\ v) _ 5 ^,
dy
d f(x,y) _
^
_ j ^
dydx
aplicando el criterio de la segunda derivada
A _ d 2f ( x , y ) d 2f ( x , y )
dx2
d 2f ( x , y ) 2
dy2
tydx
p ara / , ( 0 , 0 ) , A|¿>(00) = ( 0 ) ( 0 ) - ( - 1 5 ) 2 = - 2 2 5 < 0 , entonces / j (0.0) u n p unto silla
para
A (5,5),
A L , , , , = ( 3 0 ) ( 3 0 ) - 2 2 5 = 6 5 0 > 0 y com o
2
m inim o relativo en el punto
3)
=
3 0
> o , entonces 3
dx2
(5,5) cuyo valor m ínim o es f(5,5) = -125.
2
H allar los extrem os relativos d e la función f ( x , v , z ) = 4 x + x y - y z —x —y
2
—z
2
S olución
P ara encontrar los puntos críticos:
df{x,y,z)
= 4 + _ v - 2 j c = 0 ....(1)
dx
df(x,y,z )
= x - y - 2 y = 0 ....(2)
dy
df{x,y,z )
= - y - 2 z = 0 ....(3)
dx
y =2x-4
de las ecuaciones (1) y (3) se tiene :
y = -2 z
=> z = 2 - x
en la ecuación (2) reem plazam os y = 2 x - 4 , z = 2 - x
x - (2 - x) - 2 ( 2 x - 4 ) = 0 => x = 3 para x = 3 , y = 2 , z = - l => P (3 ,2 ,-l) p unto critico.
d 2f ( x , y , z ) =
dx¿
_ 2
d 2f ( x , y , z) = l
dydx
d 2f { x , y , z ) =
dzdx
504
Eduardo Espinozja Ramos
d 2f ( x , y , z) = j
dxdv
d 2f ( x , y , z ) = _2
d 2f ( x , y , z ) = _ ^
dzdv
d 2f ( x , y , z ) _ j
dxdv
d 2f ( x , y , z ) _ ^
d 2f { x , y , z )
dzdy
S 2f ( x , y, z) = Q
dxdz
d 2f ( x , y, z) =
dydz
d 2f ( x , y, z)
dx2
d 2f ( x , y , z)
A=
dxdy
d 2f ( x , y , z )
dxdz
=- 2 < 0
dy
d 2f ( x , y, z )
(Vñr
d 2f ( x , y , z )
dy2
d 2f ( x , y , z )
dydz
}
d 2f ( x , y , z ) = _ 2
dz1
d 2f ( x , y , z)
dzdx
d 2f ( x , y , z )
dzdy
d 2f ( x , y , z )
-2
1
-1
1
-2
-1
0
-1
-2
dz2
, A2 = 3 > 0 , A3 = ^ < 0
Luego f tiene u n m áxim o relativo en P0(3,2-Y) y su valor m áxim o es fl3 ,2 ,-l) = 6.
4)
H allar los extrem os relativos de la función (m áxim o y m ínim o) de la función.
n
» / 2
2. -(x2+v2)
.2
2
S olución
P ara encontrar los puntos críticos, cada una de las derivadas parciales igualarem os a cero.
df(x,y,z) = ^ - ( x 2 J ) (2 _ 2 jc2 - 2 y 2 ) - 2] = 0
dx
x =y = 0
df(x,y,z) = ^ e ~{xl+yl)( 2 - 2 x 2 - 2 y 2) -2 ] = 0
dy
Luego P (0,0) es p unto crítico, ahora aplicam os el criterio de la segunda d erivada
d2f ( x . y ) = e - ( A , - ) L 4 +4x2y2 _ W x 2 _ 2 y 2 + 2J—2
505
Funciones Reales de Variable Vectorial
3
f(x,y)
+4x2y
2
_ 1 0 v 2
_ l x 2
+2]_ 2
3v
£ /l¿ Z W < ,w > [ i.J + ta V - íj.]
dvdx
d'f{x,y)
=0
,
d~ f ( x , y)
dx~
A=
=0
,
dy2
8 f{x,y)
dx1
3 f(x,y)
8y
3 f(x,y)
=0
dydx
d 2f ( x , y ) 2
tydx
=
0 - 0=0
com o A = O puede ocurrir que exista extrem os o no, entonces p ara esto se tiene:
V ( . x , v ) e / ? 2 , x 2 + y 2 > 0 => - ( j r 2 + y 2) ¿ 0
2 2,
de donde O á e
* y ¿ 1, m ultiplicando por
x 2 +y 2 = > 0 á.( ,j r 2 +y 2.)e
<x 2 +y 2, restam os
^ y í ) ^ (/ x^ 2í +
^ y í \)e
- ( x 2+ y 2) => ~ ( x 2í +
, . 2
*yX )’ ~ (/ x 2í ^+ y 2>
í)^ 0
com o / ( x , y ) = ( x 2 + y 2 ) e (Jr *y * —(jc2 + y 2) < 0
entonces f(x,y) < 0
V ( x , y ) e R2
entonces en (0,0) existe m áxim o y cuyo valor m áxim o es f(0,0) = 0.
5)
H allar los valores m áxim os y m ínim os de la función
jc2 + y 2 < 4 .
S olu ció n
x =e
2_ 2
2
2
v (2x + 3 y ) en el circulo
506
Eduardo Espinoz# Ramos
encontraremos los puntos críticos en el interior de la región.
Es decir haciendo cero a cada una de las derivadas parciales.
— = 2xe u2+yl )\ l - 2 x 2 - 3 v 21=0
dx
j
=2ye-u l *yl)\ i - 2 x 2 - 3 y 2]=0
el sistema (1) es equivalente al sistema siguiente.
x ( 2 - 2 x 2 —3y2) = 0
de donde se tiene:
jt( 3 - 2 x 2 -
3 /) =0
j x = 0 v 2 - 2 x 2- 3 y 2 = 0
j
[y = 0 v 3 - 2 x 2 - 3 y 2 = 0
x =0aj> = 0
jt =
px{ m
Oa 3 - 3 jt2 - 3 y 1 = 0
/>2(0,±1)
2 - 2 x 2 - 3 . v 2 = 0 a .v = 0
P) (±1.0)
2 - 2 x 2 - 3 v2 = 0 a 3 - 2 x 2 - 3 ^ 2 = 0
puntos críticos en la región interior del circulo ahora hallaremos los puntos críticos en l a .
frontera de la región x 2 + y 2 =4.
z = e ' ix2+yl}(2x2 +3y 2) = e~(xl+yl)(2x2 +2 y 2 + y 2)
z = e~*{ 8-y 2) => — = 2ye~* = 0 =>
dy
= 0, x=±2
Luego PA(±2,0) es punto crítico
z=e~(x2+y2)(2x2 +3y2) = e~(xI+yZ)(3x2 +3y2 - x 2)
z =e~* ( 1 2 - x 2) => — = -2xe~* = 0
dx
=> .r = 0, ^ = ±2
Luego P5(0,±2) también es punto crítico por lo tanto
507
Fundones Reales de Variable Vectorial
z = f ( x , y ) =e
+v \ 2 x
ft0,0) = 0 , / ( 0 ,± 1 )
+ 3 /)
=— ,
/ ( ± 1 ,0 ) = - ,/ ( + 2 ,0 ) = 4 - » / (0 ,± 2 ) = —j-
e
e
El valor mínimo es 1(0,0) = 0 y se encuentra
e
e
en elpunto
(0,0) el valor máximo es
3
/ (0,±1) = — y se encuentra en el punto (0,±1).
e
6)
3
3
2
2
Hallar los extremos relativos de la función f ( x , y ) = x + y +9x - 3 y + 15.r - 9y
S olu ció n
Encontrando los puntos críticos de f(x,y).
« ^ - 3 , '. H
dx
8 , + I5 .0
...
« * • '> = 3 /- 6 ,- 9 = 0
dy
resolviendo el sistema se tiene:
3(.r + l)(.r + 5) = 0
x = - l , x = -5
3(y+l)(y-3) = 0 ^
y =-l ,
y =3
los puntos críticos se obtienen combinando las soluciones:
/ J ( - l . - l ) , p2( - 1,3) , 7*3(-5,-1) , PA(-5,3)
d 2f { x , y )
= 6x + 18
dx 2
d2f ( x", jy ^) = 6 y - 6
dy
8lf(x,y)
=0
dydx
8 / H -*) = 12
dx2
d 2f ( - 1,-1) = -1 2
dy
g y (-i-i)
dydx
=0
(1)
Eduardo Espinozja Ramos
508
a 2/ ( - i , - i ) / / ( - ! , - ! )
dx2
dy2
a 2/ ( - i - i )
2
_
m < 0
dydx
Luego se tiene Px( - 1 ,- 1 ) es punto silla.
A = a 2/ ( - u ) ¿ / H j ) - ( a V ( - U ) ) Z = ( , 2 , (, 2 , _ o = l 4 4 > o
5x2
Sj'
5vchr
com o
A > 0
y
^2 /*/ j
— - ——-— = 12 > 0 entonces en el punto
P-, (-1 ,3 ) se tiene un m ínim o
dx
relativo, cuyo valor m ínim o es:
A = d V t " 5 "O
f(-l,3 ) = -34
d 2/ ( - 5 , - l ) _ ( ¿>Z/ ( - 5 , - l ) )Z = (_ 12)(_ 12) = i 4 4 > 0
dx2
dy2
com o A > 0 y — ^
dx2
dydx
^ = - 1 2 < 0 entonces en el punto P-,( - 5 ,- 1 ) se tiene un m áxim o
relativo, cuyo valor m ínim o es:
f(-5 ,-1) = 30.
w < (
dx
dy2
dydx
com o A < 0, se tiene que Pt (-5 ,3 ) es punto silla.
7)
H allar los puntos estacionarios de la función
condición x > 0, y > 0, y analizar su carácter.
S olución
3
2
z = x y (12 —x —y) que satisfagan la
509
Funciones Reales de Variable Vectorial
el sistem a (1) es equivalente escribir en la form a.
jcV (3 6 -4 jr-3 v ) = 0
com o x > 0, y > 0
x y(24-2x-3y) =0
se puede sim plificar el sistem a
3 6 -4 x -3 y = 0
x= 6 , y =4
p o r lo tanto P (6,4) es punto estacionario
2 4 - 2 jc —3y = 0
d \n M )_
■= -2 ,3 0 4
dx
d 2f{f>A)
5 / ( í l ^ = 7 2 V -1 2 * V -6 * > -3
dx~
d ^ X' ^ = 12x2y - E x 3y - 9 x 2y 2
dydx
= -1 7 2 8
dy2
a 2/ ( 6 ,4 )
í ! ¿ ! ^ > . 2 4 , J -2 4 x ‘ - f a V
A=
g 2/ ( 6 ,4 ) g 2/ ( 6 , 4 )
g r2
gy2
A = 2985984 > 0 y com o
g 2/ ( 6 ,4 )
= -2 5 9 0
dy2
dy‘
= (-2 3 0 4 )(-2 5 9 0 )-(-1 7 2 8 K
gyg«
g 2/ ( 6 ,4 )
= -2 3 0 4 < 0
g r2
E ntonces en el punto P (6,4) existe u n m áxim o.
8)
E n el plano O X Y hallar el punto tal que la sum a de los cuadrados d e distancias que m iden
entre las tres rectas x = 0, y = 0, x + 2 y - 1 6 = 0 y e l punto buscado sea el m enor posible.
Solución
Y
510
Eduardo E spinoza R a m o s
Sabem os que la distancia de un punto a la recta esta dado por:
\Ax+Bv+c\
d (P L) = — ; - - —
-Ja 2 + b 2
Luego calculando las distancias se tiene:
d(P,Li) = W
=*
d l {P.Li) = al . rf(i>.¿2) = N
|a + 2 A -1 6 |
,
^
=>
d2{P.L1) = b 2
(a + 2 6 - 1 6 ) 2
d (PL,)=
5
p o r co ndiciones del problem a se tiene:
2
2
2
S = d ( p.Lt) + d (P.L1)+ d'(P m
Li)
=>
2
2
(fl + 26 —16)
S = a +b +--------------------
ahora calculando los puntos críticos.
2
DtS = 2a +—(a + 2b -16) = 0
.„ (!)
4
D2S = 2A + —(ú¡ + 2 A - 16) = 0
„ .( 2 )
d e la ecuació n (1) se tiene: b = 8 - 3 a
— (3)
de la ecuación (2) se tiene: 2a + 9 b —3 2 * 0
— (4)
reem plazando (3) en (4) se tiene:
8
16
2 a + 9 ( 8 - 3 a ) - 3 2 = 0 => a = — ,h = —
5
5
8 16
p o r lo tanto el punto crítico es P0(—,— )
ahora v etem os si este p unto corresponde a u n m áxim o o a un m ínim o.
S il
Funciones Reules de Variable Vectorial
entonces existe extrem o, pero com o
.
12
Z), ¡S| ^ = — > 0
8
entonces el p u n to
16
p0( ~ ,— )
8 16
corresponde a un m ínim o, p o r lo tanto el punto buscado es p 0 (—, — ).
9)
T razar un plano que pase por el punto (a,b,c) y que el volum en del tetraed ro reco rtad o p o r
dicho plano del triedro coordenado sea el m enor posible.
Solución
C onsiderem os la ecuación sim étrica del plano.
P:
x y z
— k— + —= 1 com o p(a,b,c) e P entonces:
r
s t
a b e
—
r
s
rsc
—= 1 de donde t = ----------------
i
... (a)
r s - a s —br
sabem os que el volum en del tetraedro es:
V = —rst (de la figura).
6
2
sustituyendo el v alo r de t se tiene:
ahora calcularemos el punto critico.
V(r,s) =
2 2
rsc
6 (rs-as —br)
Eduardo Espinoza Ramos
512
dV _ 1 ^2rs2c ( r s - a s —br) —(s —b)r2s 2c^
dr 6
(rs —as—br)
dV
__
^
^
1 / 2 r 2s c ( r s - a s - b r ) - ( r - a ) r 2s 2c^ _ n
(
r
) —U
(r.v —a.v - ftr)
-
&
6
de la ecuación (1) se tiene: r > 0 , s > 0 , c > 0 y
(rs —as—br)2 > O => 2 (rs -a s—br) —(s —b)r = 0 d e d o n d e r s - 2 a s - b r = 0
— (3)
de la ecuación (2) se tiene:
r > 0, s > 0, c > 0 ,(rs —as —br)2 > 0 => 2 (rs —as —br) —s(r —a) = 0 => rs -a s —2br = 0 ... (4)
\rs-2as-br = 0
Luego (3) y (4) se tiene:
I rs - as - 2br = 0
=> hr - as = 0 => br = as
as
de donde r = — reem plazando en (3).
b
as
— 2as—as= 0 => s = 3 b , r = 3a
entonces p 0(r,s) = p 0(3a,3b) es un punto crítico reem plazando p 0(3a,3b) en ( a ) se
81a~b~c 9
tiene t = 3c adem ás Vm.in. = ■
■= —abe y la ecuación del plano p edido es:
18ab
2
x
y
z
P: — + — + — = 1
3 a 3b 3c
10)
Sean dados n puntos
x y z
.\
P:
- + - + - =3
a b e
A2(x2,y2,z1), A3(xit y 3,z3),
Atl(xn,yn,zn). E n el
plano O X Y hallar el punto tal que la sum a de los cuadrados de distancias que m iden entre
todos los puntos dados buscado sea la m enor posible.
S olu ció n
C onsiderem os un punto en el plano O X Y , P(x,y,0) p o r condición del pro b lem a se tiene:
513
F unciones R eales de Variable Vectorial
ti
ti
F ( x ,y ) = X d 2(P,A,) = ^ [ ( x - x i )2 + ( y - y¡ ) 2 + ...+ (0 -z¡ ) 2]
1=1
Í=1
ahora encontram os los puntos críticos o estacionarios.
dF(x,y)
= ^ 2 (jr-jrI) = 0
dx
1=1
^
...(1)
= ± 2 i y - y¡) = 0
^
...(2)
,=i
n
tt
de la ecuación (1) se tiene: ^ 2 ( x - x f) = 2 ^ J( x - x ¡) = 0
i=i
1=1
n
n
n
n
- x¡ ) =
i=i
1=1
ti
- ^ x (- = n x i=i
/=!
2 > i1
^
= 0 de donde x = — —
n
n
d e la ecuación (2) se tiene ^ 2 ( y - y . ) = 2 ^ ( y - y , )
i=i
;=i
n
n
n
X ( v - yi ) =
i=l
n
- X - Vi = n-v - X - v. = 0
í=l
í=l
i=l
2 > ,
de donde y = —
n
2> ,
n
d 2F(x,y) = 2n ' d F(x,y)
dx2
^
^
^ d 2F(x,y)
dy2
d 2F(x,y) d 2F(x,y)
p
dx2
X *
Luego el punto P(— —
.
dy2
dlydx
d 2F(x,y)
tydx
2^ p
— , 0) es punto crítico
n
Q
514
Eduardo Espinoza Ramos
com o A||> > 0 => 3 extrem o en P p ero com o
^ F(x,y) = 2 n > 0 , Luego la función F(x,y)
dx
I *
11)
H allar
la
ecuación
del
t»
P(— —
n
tiene un m ínim o en el punto.
plano
tangente
— ,0)
n
a
la
superficie
de
la
ecuación
siguiente
- x 2 - y 2 = 0 , en el punto de la
1 función representada p o r dicha superficie tenga
x + y + zz++xxyy—
un valor extrem o ¿Q ué clase de extrem o es?
S olución
2
Sea z = f ( x , y ) = x + y
2
- x - y - x y , ecuación d e la superficie encontrarem os los puntos
críticos de f.
Sf(x,y)
= 2x —l —y = 0
dx
df(x,y)
=2 y - l - x =0
dy
d 2f ( x , y )
dx2
2
y =1
d2f ( x , y)
’
dy2
d2f ( *. y) d 2f ( x , y )
d r2
dy 2
com o
x =1
d 2f ( x , y )
dx¿
de donde P ( l , l ) punto crítico
d 2f ( x , y )
’
dydx
, d 2f ( x , y )-) 2 = 4 - l = 3 > 0
dydx
entonces existe extrem o relativo y
> 0 , entonces en el punto PC 1,1) existe un m ínim o.
para x = y = 1 => z = - l => Q ( l,l,- 1 )
N = VF(x,y,z) = (2x—y —\ , 2 y —x —\ . —\) entonces N = V F (1 ,1,-1) = (0 ,0 ,-1 )
PT :
A ^ . ( x - l , y - 1. 2+ 1) = 0 entonces PT : ( 0 , 0 , - l ) . ( j r - l , y - l , z + l ) = 0 .'.
PT : z + l = 0
Funciones Reales de Variable Vectorial
12)
515
U na caja rectangular sin tapa deberá tener u n volum en fijo. ¿C óm o deb erá hacerse la caja
para em plear en su m anufactura la cantidad m ínim a de m aterial?
S olución
Sean x,y,z las dim ensiones de la caja de volum en fijo V .
V = xyz
de la condición del problem a, el área lateral de la caja está dado por:
com o
A = xy+ 2xz+ 2yz ...(I)
V = xyz => z = —
— (2)
XV
reem plazando (2) en (1) se tiene:
2V 2V
A = ,rv+ ------ 1-----
y
x
6A
2V
dx
x
dA
2V
— = jr = —r = 0
dy
y
— =y— r =o
... (o)
al resolver el sistem a ( a ) se tiene: x = y = \¡2V.
Luego el punto P(yf2V,yf2V)es punto crítico y m ediante el criterio de la segunda d eriv ad a
corresponde a un m ínim o, adem ás z = —
d e donde p ara x = y = \¡2V, z = \¡2V p o r lo
xy
tanto las dim ensiones de la caja deben ser
x = \¡2V , y = \¡2V
, z = i¡2V
516
13)
Eduardo Espinoza Ramos
D eterm inar entre lo s triángulos de perím etro dado el de área m áxim a.
S olu ció n
Sean x,y,z los lados del triángulo, cuyo perím etro es:
2S = x + y + z
adem ás el área de un triángulo en función de su perím etro y lado es:
A = tJ S ( S - x ) ( S - v ) ( S - z )
com o 2S = x + y + z => z = 25 - x
reem plazando (2) en (1) se tiene:
— (1)
y
... (2)
A2 = 5 (S -x )(S -_ v )(x + v - S ) = f(x ,y )
Luego f(x,y) = S(S - x)(S - y)(x + y - s)
dx
y) =2s i - 2 S 2x - 3 S 2y + 2Sxv+Sy2 = 0
d f ( x , y ) = _ 3 S 2x + S x 2 + 2 S j
dy
restando (1) y (2) se tiene:
2
2
V -S y = x -Sx
...(1)
- 2 y S i +2Sxy = 0
2
2
S x - S y - x +y = 0
^2
=> ( y ----- ) = ( x
2
^ y
)
...(2)
de donde
=> x = v
2
Luego y = x reem plazando en (1)
2S2- 2 S 2x - 3 S 2x + 2Sx2 + Sx2 = 0 sim plificando 3 x 2 - 5 S x + 2 S 2 = 0
5S ± V 2 5 S 2 - 24 S 2
x = -----------------------------6
2
=> x = S 3 , x = —S , z = 2 S - x - y para
3
2
2S
3
3
x = v = —S , z = —
25
que m ediante el criterio de la segunda derivada se tiene un área m áxim a, p ara x = y = z = —
es decir el triángulo de perím etro dado de área m áxim a es un triángulo equilátero.
517
Funciones Reales de Variable Vectorial
14)
2
2
H allar el m áxim o y m ínim o de z = / ( x , v ) = eos x + cos y, estando ligados las variables x e
y p o r la relación v - x = —
4
S olución
Sea g(x,y) = y - x
la restricción de x e y definim os la función F(x,y,A.) por:
4
F(x,y,X) = flx,y) + Xg(\,y) = e o s 2 x + e o s 2 y + X(y - x -
4
ahora encontram os los puntos críticos.
dF(x,y,X)
= - 2 eos x sen x - X = 0
dx
dF(x, y, X)
= - 2 eo s y sen y+X. = 0
dy
dF{x, y, X)
= V-x
=0
4
dX
...(1)
—(2)
...(3)
I A = - 2 sen x eos x = - s c n 2 x
de (1) y (2) se tiene:
[ A = 2 sen v e o s v = s e n 2 y
restando estas ecuaciones se tiene:
sen 2x + sen 2y = 0
n
...( 4 )
n
de la ecuación (3) v = x + — , que reem plazando en 4 se tiene s e n 2 x + s e n ( 2 x + — ) = 0 , de
4
2
se n 2 x
donde sen 2x + eos 2x = 0 => sen 2x = - eos 2x, p o r lo tanto. ---------- = - 1
co s 2 x
despejando tenem os que:
n
n
x = - — +k —
2x =
4
8
+kn
2
n
n
v =— +k —
'
8
2
,
JteZ
=> tg 2 x = - 1 ,
518
Eduardo Espinóla Ramos
Luego
n
n n
n
+
P¡, (------ + k — , — + k — ), k e Z son puntos críticos, ahora aplicarem os el criterio
8
2
8
2
p ara lo s extrem os condicionados:
d 2F
2 2
d 2F
- = dxidxJ (xi = x ,x 2 = y)
i=i j=i t o f o i
dg(x,y) = dy - dx = 0 => dy = dx
adem ás
v" F
v" F o F
B(dx) = (— — + 2 ------- + — —)dxdx = (-2 eo s 2x - 2 eos 2y) dx dx
dx2
B(dx) I
= -2
dxdy
V2
dy2
* V2
*
(-1)*+
(-1 )* dxdx = { -\) k 2-Jl dx dx
p o r lo tanto: si k e s im par A „ > 0 =* al punto Pt le corresponde u n m ínim o condicionado.
si k es p ar A n < 0 => al punto Pk le corresponde a un m áxim o condicionado.
3 .6 4 . E j e i ^ j e k t t j P r e i
1)
D eterm inar los valores extrem os relativos de f si existen.
»)
/ ( x , y ) = 1 8 x 2 -32.y2 -3 6 x -1 2 8 y -1 1 0
1
64
x
y
b> f ( x , y ) = 4 x y 2 - 2 x 2y - x
c)
f(x,y) =
d)
/( x ,y ) = x 3 + y 3 -18xy
e)
f ( x'.v) = —
'i--x +y +1
I)
f { x ,y ) = x i + y 2+ 3 y 2 - 3 x - 9 y + 2
g)
xy
x y
* = — ( 4 7 - x - y ) ( —+ —)
2
3 4
h)
z = xy ( 1 - x - y )
I)
z = x2+xy+y2-3 x -6 y
J)
f(x,y) = xi + y i -\5xy
+xy
2x+2y+l
519
Funciones Reales de Variable Vectorial
k)
f ( x , y) = T¡(a-x) (a- v)( x + y - a )
I)
f ( x , y ) = x i +_y3 —3jt—12y + 20
II)
f ( x , y ) = x 2 +xy + y 2 - 2 x - y
m)
f ( x , y ) = x 4 + v4 - 2x2 + 4 x y - 2 v 2
n)
f(x ,y ) =x y j l —
l a b
P) f ( x , y ) = -T = = = = r
VI + x 2+ y 2
r)
f(.x,y) = 4 - ( x 2 + y 2)2n
t)
/ ( x , v ) = e 2+*2+cosVcosv
*>)
f ( x . y ) = x i +y* +3xy2 - l t y x + y )
°)
f { x , y ) = \ - ( x 2+ y 2)2n
q)
f ( x , y ) = —+ —+ y,x>0,y>0
x y
s)
f ( x , y ) = x i - 3 x y 2 +2yi
2)
C alcular los valores extrem os de la función f ( x , y) = 3axy - x 3 - y 3.
3)
D eterm inar los extrem os relativos de la íunción f(x,y) = (x - y)(xy - 1) si existen.
4)
H a lla rlo s extrem os de la íunción si existen f ( x , y ) = x 2 + y 3 - 6 x y + 3x + 6 v - 2 .
5)
H allar los valores extrem os relativos o puntos de ensilladura d e las siguientes funciones:
a)
6)
f ( x , y) = x 3 +6x2 - y 2 + 9 x + 8
b)
f(x,y.) = x 2 - 3 x y 1+ 2y <i
C alcular los extrem os relativos de las siguientes funciones:
a)
f ( x , y ) = Ln(x2 + y 2 + 1)
c)
f ( x , y ) = x - 2 y + Ln-Jx +y + 3arc. tg — , x > 0 .
I
2
b)
2
V
/( x ,_ y ) = (5x + 7 .v -2 5 )e ~ (jr+JT+V *
520
7)
Eduardo Espinoza Ramos
H allar los extrem os relativos de las funciones siguientes:
*)
f{.x,y,z) = 4x + x y - y z - x 2 - y 2- z 2
b)
f ( x , y , z ) = — - 3 x y - 3 x z - 3 v + —z - 5 x - 2
Xi
2
3
c)
8)
'
3 2
2
f ( x . y . z ) = x 2 + y 2 +z2 - x y +x - 2 z
y
2
z
2
-
2
d)
f(x,\,z) =x + — + — + — , x > 0 , y > 0 , z > 0
Ax y z
*)
f ( x , y , z ) = x 2 + 2 y 2+z2 + x y - 2 z - 7 x + 12
I)
f ( x , y , z ) = x + x z ~ y + y +yz + 3z
g)
f ( x , y , z ) = 3 1 n x + 2 1 n y + 5 1 n z + ln ( 2 2 - x -.y -z )
2
2
2
H allar los valores m áxim os y m ínim os de la función z = x 2 + 2x v -A x + Sy en el rectángulo
lim itado p o r las rectas x = 0, y = 0, x = 1, y = 2.
9)
D eterm inar el m áxim o y m ínim o absoluto de las funciones.
a)
10)
f ( x , y ) = x 2y
b)
f ( x , y ) = x 2 - y 2 en la región x 2 + y 2 á 1.
D eterm inar el m áxim o y m ínim o absoluto de la función f ( x , y ) = x 2 + y 3 - 3 xy en la reg ió n
0 á x ¿ 2 , -i<,y<,2.
11)
H allar los valores m áxim os de la función z = x 2y ( 4 - x - y ) en el triángulo lim itado p o r las
rectas x = 0, y = 0, x + y= 6.
12)
H allar los valores m áxim os y m ínim os de la función z = sen x + sen y + sen (x + y) en el
n
rectángulo.
O i r á —
2
n
,
Oáyá—.
'
2
Funciones Reales de Variable Vectorial
13)
521
D eterm inar el m enor y m ayor v alor de la función
z =x
2
2
+3_y + x - y en el triángulo cuyo
borde son las rectas x = 1, y = 1, x + y = l.
14)
D eterm inar el m ayor y m enor valor de la función z = xy + x + y en el rectángulo cuyo b orde
son las rectas x = l , x = 2 , y = 2 ,
15)
y = 3.
D eterm inar el m enor y m ayor valor de la función z = x 2 - x y + y 2 —4 x en el dom inio cerrado
cuyo b orde son las rectas x = 0 , y = 0 , 2x + 3y - 1 2 = 0.
16)
D eterm inar el m enor y el m ayor valor de la función z = l —x
2
—y
2
en él circulo
(x -l)2+ (y -l)2 < l.
17)
D eterm inar el m enor y m ayor valor de la función
3n
dom inio 0 < x < ------
2
18)
3n
, 0 < y < ----- .
'
2
D eterm inar el m enor o m ayor valor de la función z = eos y + eo s (x + y) en el dom inio
0<
19)
z = sen x + sen y + eos (x + y) en el
x
<
ti , 0 < y < ti .
U n disco circular tiene la form a de la región acotada p o r la circunferencia x
2
2
+y = 1 si T
grados es la tem peratura de cualquier punto (x,y) del disco y T = 2x2 + y 2 —y , en co n trar los
puntos m ás calientes y m as fríos en el disco.
20)
H allar lo s valores m ínim os de la función z = x 2 + y 2 e n e l circulo ( x - t f l ) 1 + ( y - t f l ) 2 < 9
21)
Si la tem peratura en cualquier punto de la esfera
x2
+y
2+z2
= 4 , está d ado p o r
T = 3x 1/3 y 2/3z 1/3. H allar los puntos m ás fríos y m as calientes de la esfera.
22)
La tem peratura en grados centígrados en cualquier punto de la región lim itada p o r las rectas
x = 0, y = 0, x + y = 3, está dada p o r f(x,y)=8x2 yfoy+óy2 -4x-8y. D eterm inar la m áxim a y
m ínim a tem peratura en la región incluida las líneas fronteras.
Eduardo Espinoza Ramos
522
23)
H allar los valores m áxim os y m ínim os de la función z = x2—y2 en él circulo x2 + y2 < 4.
24)
Sea la íunción f ( x . y) = x 2 —2xy + 2 y 2 —3x + 5 y . D eterm inar los extrem os d e f en la región
encerrada por las curvas I yl = x+2 ; x=0.
25)
H allar los extrem os de la íunción f(x,y) = sen x + cosy + cos(x —y) en la región definida p o r
n
n
0<x < —, 0< y< —
2
2
26)
D eterm inar entre los triángulos inscritos en una circunferencia el de m ayor área.
27)
En el plano X O Y , hay que hallar un punto M (x,y) tal que la sum a de los cuadrados de sus
distancias hasta las tres rectas x = 0, y = 0, x - y + 1 = 0, sea la m enor posible.
28)
D eterm inar entre los rectángulos de área S dada, el de m enor perím etro.
29)
D esarrollar el núm ero “a ” en tres sum andos positivos de m odo que el producto de estos tenga
el valor m áxim o.
30)
R epresentar al núm ero “a” en la form a de producto de cuatro factores positivos cuya sum a sea
la m enor posible.
31)
T razar un plano de m odo que pase p o r el punto (a,b,c) y que el volum en d el tetraedro
recortado por dicho plano del triedro coordenado sea el m enor posible.
32)
D ados tres puntos A (0,0,12), B (0,0,4) y C (8,0,8) en el plano OXY. H allar un punto D tal que
la esfera que pase p o r estos tres puntos tenga el m enor radio posible.
33)
Inscribir en la esfera dada de diám etro 2R un paralelopídedo rectangular que tenga el m ayor
volum en posible.
34)
En el plano x + y — 2 z = 0, hallar el punto tal que la sum a de los cuadrados de las distancias
que m iden entre dichos puntos y los planos x + 3z = 6; y + 3 z = 2, sea la m enor posible.
523
Funciones Reales de Variable Vectorial
35)
H allar la ecuación del plano que contiene el punto (1,2,1) y que co rta en un tetraed ro de
volum en m ínim o en el prim er octante.
36)
¿Cuál es el volum en del m ayor paralelepípedo que puede se r inscrito en un elip so id e
37)
Se quiere construir una cisterna m etálica abierta p ara agua, co n un triángulo rectángulo com o
base y lados verticales. Si el volum en d e la cistern a debe ser de 2m 3. ¿Q ué diseño red u n d ará
en el área del m etal.?
38)
E ncontrar la distancia m ínim a entre el punto (0,-2,4) y los puntos d el plano x + y - 4 z = 5.
39)
U n paralelepídedo rectangular tiene tres de sus caras en los p lanos coordenados y el vértice
opuesto al origen en el prim er ociante y en el plano 2x + y + 3 z = 6. E ncontrar el volum en
m áxim o que puede tener este paralelepípedo.
40)
E ncontrar las constantes a y
de tal m anera que:
F ( a , p ) = f " (sen x - (ax 2 + )3r)) 2 dx , sea m ínim o.
41)
x
2
y
2
¿En qué punto de la elipse ~ + ~ ¡ r = 1, la tangente a ésta, form a con los ejes co o rd en ad o s el
a
b
triángulo de m enor área.?
42)
H allar el paralelopipedo rectangular de volum en m áxim o que tiene tres caras en lo s planos
x y z
coordenados y un vértice en el plano — + —+ —= 1.
a b e
43)
D em ostrar que en el interior del triángulo A BC , hay u n p unto P tal que:
(d(P,A))2 +(d(P,B))2 +(d(P,C ))2, es m ínim o, id en tificar el punto.
524
44)
Eduardo Espinoza Ramos
E ncontrar las
distancias
m áxim as y
m ínim o
d esde
el origen
hasta
la
superficie
(—) 4 + (—) 4 + (—) 4 = 1, donde a > b > c > 0.
a
45)
b
e
E ncontrar el volum en m axim ado p o r los p lanos x = 0, y = 0, z = 0 y un p lano tangente a la
x
2
2
2
y
z
elipsoide —j +~ T +~Y = 1 . e n el prim er octante.
a b e
46)
E ncontrar los extrem os relativos de la función d ad a en ca d a uno de los casos, sujeta a las
restricciones dadas.
x
a)
z = xy
b)
z = x m +ym(m > 1)
c)
d)
x
p ara
2
x 2+y 2 =.22a
para
x + y = 2, (x > 0, y > 0)
x V
para —+ — = 1
2 3
2
=x + v
2
2
z = cos x + cos y
p ara
y —x
^
=—
4
1 1 1
—r + —r = —T
z = —+—
x y
I)
z = a cos x + b cos y para y - x = —
g)
z = 2 5 - x 2 - y 2 para x 2 + y 2 - 4 y = 0
h)
z = 4x2 + 2 y 2 +5
i)
47)
1 1
e)
z = x2+ y
para
x1
para
y1
aL
x2+y2-2y=0
para x 2 + y 2 = 9
j)
z = xy
p ara
x2+ y 2 =4
E ncontrar lo s extrem os relativos de la función d ad a en cad a uno de los caso s sujeta a las
restricciones dadas.
525
Funciones Reales de Variable Vectorial
a)
f(x, y, z) = x 3 + y i + r3
b)
fix, y, z) = x 2 + v2 +z2 p ara —7 + ^ - " y =
c)
fix, y, 7 ) = x v 'z 3 p ara x + y + z = 1 2
d)
fix, y.
c)
t\x,y,z)= a ( a - x ) ( a - y ) ( a - z ) para x+ y + z = 2a
í)
f(x, y, z) =
v2
x2
a
z)
= jn
z
b
e
z2
1
(a > b > c )
( x > 0 , y > 0 , z> 0)
1 1 1
p a r a — + — + —= 1
x
v
z
(a > 0)
+ y 2 +z2 para 3 x - 2 y + z - 4 = 0
g)
f(x, y, z) = xyz p ara x 2 + 2 y 2 + 4 z 2 = 4
h)
fíx, y, z) = y 3 + xz2 p ara x 2 + y 2 + z 2 = 1
I)
f(x, y, z) = x 2 + y 2 +z2 para xvz = 1
j)
l^x, y, z) = xyz para x 2 +y 2 +z2 = 1
k)
48)
p ara x + y + z = l
fíx, y, z) = x +y + z para x 2 + y 2 +z2 = 9
Sea C la curva de ecuaciones x 2 +z = 8,
x 2 + 8 y 2 —z = 0 x > 0. H allar el p unto d e C m ás
alejado del plano z=10.
49)
H allar las distancias
m áxim as y m ínim as de un punto de la elipse x 2 + 4 y 2 = 4 a la recta
x + y = 4.
50)
Sea C la curva de intersección de las superficies x 2 + z 2 = 2 y,
x - y + z + 3 = 0 , en co n trar el
punto , en la curva C, que esté m ás alejado del plano xz.
3
51)
Sea C la cu rv a de intersección de las superficies y = 1 + (z - í ) 2 ; x = 1, h allar el p u n to de la
curva m ás próxim o al p lan o XY.
526
52)
Eduardo Espinoza Ramos
C alcular las dim ensiones exteriores que deberá ten er un cajón rectangular abierto, del que se
dan el espesor de las paredes 5 y la capacidad (interior)V ; p ara que al h acerlo se gaste la
m enor cantidad posible de m aterial.
53)
f1
valor posible si:
54)
2
D eterm inar las constantes a y b p ara que la integral Jo ( a x + A - f{ x) ) dx, tom e e l m enor
a)
f(x) =x2;
b)
f ( x ) = ( x 2 + 1)-1 .
?
2
Encontrar los puntos en la curva d e intersección del elipsoide x~ + 4y~ +4z = 4 y el plano
x + 4 y - z = 0 que estén m ás cercanos al origen y encontrar la distancia m ínim a.
55)
L a sección transversal de una b atea e s un trapecio isósceles.
/ ( x , > ) = x 2 - 2 x y +2 y 2 - 3 x + 5 y
Si la batea se construye doblando los lados de una franja de m etal de 18 pulg. de ancho,
¿C uáles serían las dim ensiones, para que el área de la sección transversal sea m áxim a.?
siendo h, L las variables independientes.
56)
L os hiperplanos x + y - z - 2 c o - 1,
x —y + z + co = 2 , se cortan en el conjunto j en R
4
E ncontrar el punto de j que diste m enos al origen.
57)
Supongam os
que
tenem os
una
cu rv a
definida
por
la
ecu ació n
G (x , v) = Ax2 + 2Bxy + Cy1 - 1 = 0 . E ncontrar la distancia m áxim a y m ínim a de la cu rv a al
origen.
58)
E ncontrar la distancia m ínim a entre la p arábola y = - x 2 y e l plano 2 x +y + z = 4 .
59)
En el plano 3 x - 2z = 0, hallar el punto tal que la sum a de los cuadrados de las distancias que
m edian entre dichos puntos y los puntos ^4 (1,1,1) y fí (2,3,4) sea la m ayor posible.
527
Funciones Reales de Variable Vectorial
60)
Encuentre las distancias m ás corta del origen a la curva d ad a por la intersección de las
superficies xyz = a ,
61)
En
la
superficie
y = fox,
x
a > 0. b > 0.
2
2
2
+96 y +96z =96,
hallar
los
puntos
cuyas
distancias
a,
3x + 4 y + 1 2z = 288 sea la m enor posible y la m ayor posible.
62)
2
7
T
H allar la distancia m ás corta entre el elipsoide de 36x +9y" + 4 z " = 36 y el plano
2 x + y + z + 4 = 0.
63)
E ncuéntrese los punios m ás cercanos al origen de la intersección del hiperboloide de un a h o ja
x 2 + y 2 —z 1 = 1 y el plano 2x+y + z = 0.
64)
E n la parábola
2
**
2x - 4 x y + 2 y - x - y = 0, hallar el punto m ás próxim o a la recta
9 x - 7 y + 1 6 = 0.
65)
D ados los puntos A (4,0,4), B (4,4,4), C (4,4,0). H allar un punto M en la superficie d e la esfera
x 2 + y 2 + z 2 =4 de m odo que el volum en de la pirám ide M A B C sea el m ayor posible.
R p ta .
66)
M (-2,0,0)
U na fabrica produce taladros y sierras cuyos precios p o r unidad son S/. 500.00 y S/. 70.00
respectivam ente.
El
costo
de
producir
“x”
sierras,
“y ”
talad ro s
es
xy x 2 \ 2
C(x, y ) = 4 5 x + 32 v — —H------ h — . H alle los valores x e y p ara que la utilidad sea m áxim a.
’
30
40
80
R p ta .
x = 9102, y = 12288
67)
H allar los puntos sobre la superficie z = x 2 + y 2 que están m ás próxim o al punto (3,-6,4).
68)
En que punto de la curva x = a sen t, y = b eos t, t e [0,2 ti] la recta tangente a esta cu rv a
form a con los ejes coordenados un triángulo de área máxima.
528
Eduardo Espinoza Ramos
|3.65 Funciones Homogéneas y Diferencial Exacta!)
a)
D efin ició n .- La función f : D c z R " —> R , definida p o r z = / ( x , , x 2 , . . . , x n ), se llam a
hom ogénea de grado k, si para cualquier núm ero real A, si se cum ple:
/ ( A x , , A x 2 , . . . , A x „ ) = A* / ( x , , x 2, . . . x n )
E je m p lo .-
b)
Las funciones siguientes son hom ogéneas:
1)
f ( x , _v) = x 2 +y 2 + xy , hom ogénea de grado 2
2)
v
y
/ ( x , v) = x s e n — + v e o s — , hom ogénea de grado 1
x
x
3)
f(x,y) =x
4)
f ( x , y , z ) = are.tg—+arco.sen— , hom o g én ead e grado cero
3e ‘-+ y 3sen y— , hom ogénea de grado
v
v
x
x
3
P ro p ie d a d e s d e las F u n c io n e s H o m o g én e as
z = / (x , y)
le r o . Sea
x
y
z=x <
¡>(—) = y
x
x
una
función
hom ogénea
de
grado
A,
entonces
x
y
(—) , donde <j> y y son funciones de una so la variable,
D em o stra ció n
C om o z = f (x,_y) es de grado A, podem os escribir:
y
z = f (x .l, x .—) y p o r hom ogeneidad (A . x).
x
i
v
V
y
z = x / ( 1 , —) , llam em os <j>(—) = / ( l , —) tenem os
x
x
puede hacerse co n la variable y.
x
z= x
x
y
<j>(—) ; en form a sim ilar
x
529
Funciones Reales de Variable Vectorial
2do.
Si z = ííx.y) es una función hom ogénea de grado X, entonces cu alq u iera de las
derivadas parciales de prim er o rden es un a función hom ogénea de g rado X - 1.
Demostración
x
v
P or la p ropiedad le ra , tenem os que z = x <p(—) , derivando com o p ro d u cto y aplicando
x
la regla de la cadena: — = Xxk 1(J>(—) + x X(j>'(— - - ) = X x ^ 1()>(—) - x x~2_)■<)>’( ‘V) ah o ra si
¿he
x
x
reem plazam os (x,y) p o r (r x, r y ), <
f> v
x
x
no se verán alterados de m odo que en los
factores x A 1 y x* 2 será posible factorizar r X *, lo cual p ru eb a que — es hom ogénea
dx
de grado X - 1.
3ero. Teorema de Euler.- Si z = / ( x , v ) e s una función hom ogénea de grado X,
dz
dz ,
entonces x — + v — =Xz
dx ' dv
Demostración
k V
C om o z = x <J>(—) , derivando se tiene:
dx
x
x
|dv
W - V < Zx >
x — = Xxk <(>(—) - x k 1 y<|>'(—)
dx
x
x
m ultiplicando p o r x a — se tiene:
dx
m ultiplicando p o r y a — se tiene:
dx
v — = x >'“ ly(j>'( '^ )
dx
x
sum ando (1) y (2) se tiene: x — + y — =Xxk§(—)=Xz
dx
' dv
x
... ( I )
— (2)
: . x — =+— =Xz
dx
dv
530
Eduardo Espinoza Ramos
4to.
Teorema de Euler.- U na condición necesaria y suficiente para que una función
/ ( x , , x 2,...,xn), definida y diferenciable en un a región
abierta D aR .", sea hom ogénea de grado k es que la función f d eb e satisfacer la
x l-^-+x2-^— + ...xn-^—= k f ( x l, x 2,—x„)
dx,
8x 2
dxn
relación de Euler:
5 to .
Si z = f i x , y ) es una función hom ogénea de grado k , entonces.
2 d 2Z
.
d 2Z
2 d 2Z . . .
|4
x — - + 2 xv------- 1- v — -=k(k - 1)z
dx 2
dxdy ■ dv2
Demostración
C om o
el
teorem a
de
E uler
establece
una
igualdad
de
funciones,
dz
dz .
x — + y — =kz .
dx
dy
C alculando las derivadas parciales, se tiene:
d
dz
dz
d
d
dz
dz
d ... .
efectuando estas derivadas parciales se tiene:
d2z dz
d2z , dz
x — r + — + v ------- = k —
dx
dx
dydy
dx
d2z
d2z dz , dz
f v — - h------ =kdydx dy
dy
dy
m ultiplicando p o r x a la prim era ecuación y p o r
y a la segunda ecuación.
tenem os:
531
Funciones Reales de Variable Vectorial
-> d~z
X‘
=- + X
rx~
d2z
dz
d'z , dz
h XV
= A x ----dx ' dxdz
dx
2
d2z
dz
dz
x v — + v + —, + v — Av—
dvdx '
rfy
' dv ' dv
2 c Pz
c^z
2
sum ando las dos ecuaciones.
dz
dz
. .x d z
dz
2 d 2z
dx
dy
dx
' dy
dx
r — T + 2xv------ + y +— =-+x— +y — = A(— + v— ) x — =-h
ele
' dxdy
dy
2_
,2
_
d z
2 d z
- 2
+ 2xv
+ v — - + Az = A z
' dxdy '
dv2
2 d 2z _ d 2z
2 d 2z .
x — x- + 2xy — — + y — - = A ( A - I ) z
dx2
dxdv
dv2
13.66 Diferencial Exactaj
1)
U na expresión de la form a M(x,y)dx+ N(x,v)dy se denom ina diferencial ex acta si
existe una función f . D a R2 —» R tal que df (x,y) = M(x, v)dx+ N(x,v)dy.
2)
U na expresión de
diferencial
exacta
la form a p(x,y,z)dx + Q(x,y,z)dv + R(x,v,z)dz
si
existe
un a
función
f:D aR *-*R
se denom ina
tal
que
d f (x , v ,z ) = p(x,y,z)dx + Q(x, y,z)dy+ R(x,y,z)dz.
3)
T e o re m a .-
S upongam os
que
M y N, son funciones continuas con derivadas
parciales de prim er orden continuas en D. E ntonces la expresión
M(x,y)dx + N(x, v)dv es una diferencial ex acta si y solo sí
E je m p lo .-
dy
= — ,V (x, y) e D
dx
E xam inar si (ex sen y -2 y s e n x ) d x + (e* cos_y + 2 c o s x )í/v es una diferencial exacta.
Solución
Eduardo Espinoza Ramos
532
M =ex sen v - 2 v s e n x
dv
N =e «• c o s v + 2 c o s x
com o
4)
= e' co y - 2 s e n x
dN = e x cosv-2senx
dx
dM dN
...
=
,cs una diferencial exacta.
dv
dx
Teorema.-
Supongam os que
P, Q , y R, son funciones continuas en D entonces,
P(x, v,z)dx + Q(x,y,z)dv + R(x, y,z)dz, e s una diferencial exacta en
dP
dv
D
Ejemplo.-
dQ
dx
dP
dz
dR
dx
— =— , — =— ,
dQ dR
=— .
dz dv
D eterm inar si la diferencial dada es exacta {2xy + z l )dx + (2\’z + x 1)dy + (2xz + y 2)dz
Solución
dP_?
| P = 2xy + z 2
dv
[Q = 2yz +x 2
í ^ = 2x
dp
dQ
dy
dx
&
^
dx
í
2
)P=2xy + z
\ r = 2xz + y 2
&
fe "
^
^
= 2z
^
dx
dQ
í@ = 2.vz + x 2
dz ~
íl? = 2 xz+ v2 ^
—
dv
2y
= 2v
dQ = flR
^
&
&
'
por lo tanto la expresión dada es una diferencial exacta.
533
Funciones Reales de Variable Vectorial
O b se rv a c ió n .-
Suponiendo que
3f(x, v) tal que
estas dos ecuaciones,
-3
ex
M(x,y)dx + N(x,v)dv sea una diferencial ex acta entonces,
dx
t
dv
= JV; se puede
tom ar cualq u iera de
^ = M { x , v ) , integrando respecto a x.
f ( x , y ) = J M(x, y)dx + g( y ) , derivando respecto a y.
df(x,y)
d
= — f A /(x , y)dx + g '( V) = N(x, y )
dv J
dy
dy
g'(y)
= W (x ,y ) - ^ j - J M ( x , y)dx , integrando
g(y)
= J [ jV (x ,y ) -
J a / ( x , y)dx]dy
dy-
• • /( * . v) = |A / ( x ,y ) í £ r + J [ A r( x , y ) - ^ | A / ( x , y )dx]í/y
E je m p lo s.-
E)emostrar que la diferencial dada es exacta y hallar la función f de la cual es diferencial
total.
1)
2
2y3
3
•>
3
3y2
(3x t g y ------ —)dx + (x s e c " y + 4 y + — j ~)dv
X
X
S o lu ció n
A/ = 3x2 t g y - - ^ - + z 2
x
^
dy
= 3x2 sec2 y - * * !
'
x3
3 y-
TV = x 3 s e c 2 v + 4 y 3 H—
com o
dN
2
2
= 3x sec y
dx
'
óy*
—
x3
dM dN
df(x,y )
= ------, es exacta, entonces 3 / ( x ,y ) tal que
— =M y
dy
dx
dx
df(x,y) XT
= N
dy
E duardo Espinoza R am os
534
2
dx
2 V3
= M =3x t g y —
integrado / ( x , v) =
x
2
22_v3
v3 .
(3x tg v — -x~)dx + g (y )
x3
J
x
f
3
V
f ( x , y ) = x tg v + — + g ( v), derivando
x
* ^ x’
dy
= x3 sec2 _v+— +
x
= N = x3 sec2 _v+ 4j '3 +
x
g'(>0 = 4 y 3 => g (y ) = y 4 entonces f ( x , y ) = x 3 t g y + ^ y + y 4
x
2)
(2xyz - 3_v2z+8xy2 + 2)<¿r + (x 2z - 6xyz+8x2y +1 )dy + ( x 2y - 3xy2 + 3)dz
S olución
| P = 2xyz-3>'2z + 8xv2 + 2
yQ = x 2z -6 x y z + 8 x 2>' + l
[ p = 2xyz-3.v2z + 8xv2 + 2
| p = x 2_yz-3xy2 +3
¥ - , l x z - < , y z + l<,V
^
^ - 2 * z - 6 r e + 16W
dx
dP ■>
~dz= ™
i ^
y
*
dP = dR
dz
dx
- =2xy-3y2
dx
dQ
*
2 .
Q = x 2z - 6 x y z + 8x 2y + l
— = x - 6 xy
dz
dQ
dR
R = x 2 v ~ 3 x v 2 +\
8R = x 2- 6. xv
—
dz
dy
dv
por lo tanto la deferencial dada es exacta, ahora calcularemos la función f (x,y)
d/(x,y,z)
■= P = 2xyz - 3y 2z + 8xy2 + 2 , integrado
dx
/ ( x , y , z ) = j (2 xyz - 3 y 2z + Sxy2 + 2 )dx + g(y, z)
535
Funciones Reales de Variable Vectorial
f ( x , y , z ) = x 2y z - 3 x y 2z + 4 x 2y 2 + 2x + g ( y , z ) , derivando
cf ( x ' J ) _ x 2z - 6 x v z + 8 x 2 v + g . . ( v , z ) = Q = x 2z - 6 x v z + 8 x 2 y + 1
dy
g v(y>z ) = 1 => g (y ,z) = y + h ( z )
f ( x , y , z ) = x 2y z - 3 x y 2z + 4 x 2y 2 + 2x + y + h ( z ) , derivando
d f ( x , y , z ) = x i v -3i x y 2 +h(z)
. t / i
= RD = x 2 v -3 x y 2 +1,
dz
"
h(z) = 1 =>/i(z) = z
/ ( x , v,z) = x 2y z - 3 x y 2z + 4 x 2y 2 + 2x + y + z
3.67" "Éil^cicios Propuestos!)
1)
Probar que las siguientes funciones son homogéneas y hallar su grado:
.
2)
...
*
3
.
3
a)
J ( x , y ) = ax +by
c)
f (x,y) =—
e)
f ( x , y ) = A x 2 +2By + c y2
2 ,2
axv +bx v
x+y
. v
r/ (i x , y y) = a4x1/y<¡
d)
f(x,y) = ln( 3
b)
f)
3/5
3 3
x -v
x +v
f(x,y) =
+z
1/5
3)
i¡ 7 7 : 2
Mostrar que la función homogénea de orden cero z = f ( y / x )
satisface la relación
dz
dz
x — + y — = 0.
dx
dy
3)
4)
o- r ,
y
,
u
Si / ( x , y ) = xln(—) .probarque:
x
2 d 2f ( x , y ) ' n
d 2f ( x , y )
2 d 2f ( x , y )
x ------- r----+ 2xy— — — + y -------- ----- = 0
dx
dydx
dy
k z y
Mostrar que la función homogénea de k-ésima orden u = x F (—,—) , donde F es una función
x z
........................
,
...
du
du
du ,
denvable satisface la relación x— + v— + z— = ku.
dx ’ dv
dz
536
5)
Eduardo E spinoza R am os
Demostrar
que
z = (ax + by)a (cr + í/v)1 “ y
z = axa y X a + b x ^ y 1 ^
son
funciones
homogéneas y comprobar en cada caso , el teorema de Euler.
6)
Demostrar que si <|> (x,y) es una función homogénea de grado n y <p(x,y) es una función
homogénea de grado 1-n, entonces la función /(x,_y) = <¡>{x,y) + <p(x,y) (que en general no
es homogénea), satisface la relación.
ex1
7)
dxdy
dy1
Para la función homogénea z = axa y ^ , demuestre que x— + y— = (a + P)z
dx ' dv
2 d 2z d 2z
2 d 2z
x — —+ 2xy——— + y — - = ( a + f i - l ) z .
dx'
8)
dydx
dy1
Si y = / ( x , , x 2,...,x ()) es una función homogénea de grado r, demuestre que:
x 2 x,
y = x,r 0 (— ,—
X,
X,
x„
— ), siendo <Ji una determinada función de (n-1) variables. Deducir que
X,
. ,
■.
.
.
,
. ✓
dv
dv
dv
la derivadas parciales son homogéneas de grado (r-1) y q u ex j—^— + x 2—^ + ...+ x „—1— = r v .
dxl
dx2
dxn
Determinar cuales de las diferenciales son exactas, en caso que sea una diferencial exacta,
hallar la función para la cual es diferencial total.
a)
(x 3
+ 3x 2y)dx + ( x 2+ y 3)dy
b)
(2 y ) dx + ( 2 x + —)dy
x
y
c)
(ye** +2xy)dx + (xex> + x 2)dy
d)
(x2 + 2 xy)dx + ( y i - x 2)dy
e)
(x + co sx tg y)dx + ( y i - x 2)dy
I)
(3x2 l n y - x 3)dr + (x+tgx.cos.y)</y
-
9)
537
F unciones Reales de Variable Vectorial
g)
10)
1
x 2 lnx
(2xln y +— )dx + (---------- ¿-)dv
xv
y v
h)
(ev + co sx co s> ')^r_ (se n x .sen > '-x e, V
i)
(2x-_v + 3z)rfr+(3v + 2z-x)</v + (2x + 3y-z)</z
J)
( 2xy +z 2)dx + (2v z + x 2) dv + (2x z + y 2)dz
k)
(
1
—
yz
z
1
x
z
í )dx + ( — 2 “ 2^)
x'z x 'v
xz y z
xy
v
5
1
d
xv
-
x
y
yz~
v
~ )d¿.
xz~
Demostrar que la diferencial dada es exacta y hallar la función f de la cual es diferencial total.
a)
(seny + ysenx + —)íir+ (x co sy -co sx H — )dy
x
y
b)
1
x
( —sen
y
y
c)
(3x tg y ----—)ax + (x sec y + 4 y + —^“ Jflry
2
v
y
l y x x l
-y eos—+ l)d!x+ (—eos-------^-sen—+—y)dy
x
x
x
x y
y y
2 V
3
2
3
X
^^
,
X
d)
\a Cos(ax+ by) - bs e n ( d x + a y ^ d x + \b cos(ax + b y) —a sen (Ax + ay)]dy
e)
v + senxcos xy
x
j
dx + (----j— +sen v)dy
eos xy
eos xy
2
X
2
I)
(x ln y + v ln x + v )í£ r+ (— + x ln x)dv
g)
(ex sen y -2 y se n x )í£ r + (eJr cos_v + 2cosx)í/v = 0
h)
3
2 2
(2xy +ycosx)í£c + (3x y +senx)rfv
I)
(
2y
v
1+ x
j+arc.\gy)dx+(
x
,-i + y
j + a r c. l gx )d y
538
Eduardo Espinoza R am os
11)
Demostrar que la diferencial dada es exacta, y hallar la función f de la cual es diferencial
total.
1 x
1 V
)dx + {------ j ) d y + ( - — - ) d z
z y
x z
a)
1 z
(—
y x
b)
( 2 x y z - 3 y 2z + 8 x y 2 + 2) dx + (x 2z - 6 x y z + 8 x 2y + l)dy + ( x 2y - 3 x y 2 + 3 )dz
c)
(x1 - y)d x-(x-3z)dy+ (z+ 3y)d z
d)
yzdx + xzdy + xydz
e)
{ze* + ey )dx + (xey - e )dy + (-.ve* + e )dz
I)
( I x c o s y - 3)dx - ( x 1 seny + z2 )dv - (2yz - z)dz
g) (2y3- %xz1)dx + ((>xy1 + l)</y-(8x2z + 3 z 2)</z
12)
Determinar la constante a para que la diferencial sea exacta.
a)
(x+.ve2" )dx + axe2xydy
b)
1
1
a x+ l
(— + — )dx+— — dy
x
y
y
c)
(eax+y + 'ix2y 2 )dx + (2yxi +eax*y )dy
F unciones Vectoriales de Varias Variable
539
CAPITULO IV
4. * F U N C I < » S \ n ^ ^
Pre-requisitOS.-
Para la comprensión adecuada de este capitulo de las funciones
vectoriales de varias variables se requiere del conocimiento previo de:
Calculo diferenciales e integral.
Funciones vectoriales de variable real.
Funciones de varias variables.
Superficies.
Objetivos.- Establecer los fundamentos necesarios para la interpretación del gradiente de
una función de varias variables, la divergencia, el rotacional, de tal manera
que al concluir el estudio del presente capitulo el estudiante debe ser capaz de:
Utilizar estos conceptos en las integrales Curvilíneas.
En el teorema de la divergencia de Gauss y el teorema de Stokes.
Las aplicaciones en física, química e ingeniería.
Las aplicaciones de la integral de superficie para la determinación de la masa de una
superficie y la densidad de flujo de un campo de velocidad a través de una superficie.
Se ha estudiado las funciones reales de variable real o funciones reales de una variable
f : R
— > R , así mismo se ha estudiado las funciones vectoriales de variable real
/: R
» R " . también se ha estudiado las funciones reales de vanas vanables
/ : R" —— >R , ahora estudiaremos las funciones vectoriales de varias variables que
—>
denotaremos por / :
R”
»R m .
540
4.1
E duardo Espinazo R am os
D e f in ic ié ü j
Una función vectorial de variable vectorial es una correspondencia de un conjunto A de
vectores a un conjunto B de vectores de tal manera que para cada vector
x e A existe un
vector f ( x ) e B , es decir, es una transformación del conjunto A en el conjunto B.
—►
Si A es un conjunto de R n y B es un conjunto de R m entonces diremos que / es una
—>
función de R n en R m cuya notación es / : R n
Ejemplo.-
Las funciones / : R
* R" y / : R "
>/?” .
> R son funciones de este tipo de
funciones.
—»
Ejemplo.-
—»
La función F definida por F (x , y ) = (x + 4, y + 5) es una función vectorial de dos
variables.
Ejemplo.-
El gradiente de una función de R n en R es una función de R n en R ”. Sí,
f ( x , y . z ) = x 2y + y z
=>
V /'fx.y, z)
dx dy dz
de
donde
V f ( x . y . z ) = (2xy. x 2 + z, y ) .
—
»
>
Luego F : /?3 ------ >/?3 tal que F ( x , y , z ) = V f ( x , v,z) = ( 2 x y , x 2 + z , y )
Observación.- Las funciones vectoriales de una parte del plano R 2 o del espacio con rango un
conjunto de vectores de R 2 es definido por:
F : D a R 2 ------ >R 2 tal que F ( x , y ) = P(x,y) i + Q(x,y) j
541
F unciones Vectoriales de Varias Variable
F : D e R ------ * R ' tal que F(x, y , z) = P(x, y, z) i + Q{x, y, z) j
Si el rango de la función vectorial es un conjunto de vectores de R 3 , estas funciones son
definidas por:
F : D e R 2 ----- > R 3 tal que F{x, y) = P(x,y) i + Q(x,y) j + R( x ,y ) k
F : D e R 3 ---------» R 3 tal que F(x, v,z) = P ( x , y , z ) i + Q(x,
y , z)
j + R(x,y,z)k
donde P, Q y R se denominan funciones componentes o funciones coordenadas.
En los problemas físicos, a las funciones vectoriales F de R n en R m le llaman campos
vectoriales.
Ejemplo.-
La función
V : R ------ » R
es el campo de velocidades de una corriente estacionaria
de un fluido(es decir, con velocidad independiente del tiempo).
—»
A cada punto (x,y,z) del fluido corresponde un vector V(x,y, z) velocidad de una partícula
-»
en el punto x .
Ejemplo.-
—*
V(x, y, z) = V¡ (x, y , z) i + V2 (x, y, z) j +(x, y, z) k
Consideremos la curva.
F ( x , y , z ) = P(x, y, z) i + Q(x,y, z) j + R ( x , y , z) k
campo de vectores tangentes a la curva.
542
Eduardo E spinoza R am os
Ejemplo.-
Sea S: F(x,y,z) = 0 una superficie.
Campo de vectores normales a una superficie.
Ejemplo.-
Campo de velocidad de un cuerpo en rotación.
Ejemplo.-
Suponga que un objeto esférico de masa M (por ejemplo la tiena) tiene su centro en el
origen.
—»
Deduzca la formula del campo gravitacional de la fuerza F(x, y, z ) ejercida por esta masa
sobre un objeto ubicado en el punto (x.y.z) del espacio.
Solución
Supongamos que se puede manejar el objeto de mav M como un punto de masa situado en el
origen.
M
543
F unciones Vectoriales de Varias Variable
Sea
-»
g nm
r = x i + v j + z k entonces, la magnitud de F sea || F || = -------- , F esta dirigida
II r
||2
hacia el origen, es decir. F tiene la dirección del vector u n i t a r i o
concluimos que
l k II
^
vnm
r
.,
r
F(x, v, 2 ) =
— -(----— ) = - g M m — —
H .I [ U J J y
tí
¡4,2.
Limite de una Función Vectorial de Varias: Variables.
Estas definiciones son extensiones de las definiciones de las funciones estudiadas.
—»
>
-r
Se dice que el vector b es él limite de la función F en a y escribiremos
Definición.-
—> —>
—r
lim F ( x ) = h
si para cada numero e > 0 , existe un numero 8 > 0 ,
tal que x g D_ y 0 < ||x - a ||< 8
F
entonces | | F ( x ) - ó | | < e
544
4.3.
E duardo Espinoza R am os
Teorema.}
Sea h = (bt ,b2,
) e R m, F = (Fl , F 1 ,...,Fm) una función de F : R " ------ * R m y a
—► —►
es
un
punto
de
acumulación
de
£>„ entonces
F
—>
lim F { x ) =b
sí y solo sí
■
*-
x —>a
lim Fk ( x ) = bk , V k = 1,2,3,.. „m; la demostración de este teorema es similar al caso de las
x~*a
funciones vectoriales de variable real.
4.4.
j*
iáid.'e'sJ
Sean F , G : R n
>Rm funciones vectoriales tal que
lim F ( x ) ~ b y
lim G ( x ) = c ,
t —» o
x —* a
entonces:
I)
lim X F ( x ) = k lim X F ( x ) = X b , X es un escalar
ii)
lim
( F ( x ) ± G ( x ) ) = lim
F ( x ) ± lim
G(x) = b ± c
-* -»
-♦ -*
-* -♦
x —* a
x-*a
x —>a
Ul)
lim F ( x ) . G ( x ) = lim F(x). lim G( x ) = b . c
Iv)
lim || F { x ) H= || lim F ( x ) || = | | ¿ | |
v)
Sí
«p:
R”
entonces:
una función real y a un punto de acumulación de
—* —
*
—
>
—
» -»
lim
(<p
F)
(
x)
=
lim
<p(x).
lim
F
(x)
-» -»
-t
-»
-*
x -+a
x -» a
jr- » 0
F n£>^
545
F unciones Vectoriales de Varias Variable
4.5
Continuidad de una Fiineidii Vectorial de Varias variables.!
Definición.- La función F es cent;nua en el punto a de D ,, si para cada e > 0, existe un
F
8 >0, tal que: || F ( x ) - F ( a ) ||< e , siempre que x e £>_, y || x —a ||< <5
F
|4.6
Teorema j
La función F es continua en
a si y solo si cada una de sus funciones componentes
es
—
y
continua en a . La demostración es similar al de las funciones vectoriales de variable real,
por lo tanto se deja como ejercicio.
j&j
Derivadas Parciales dé Fundones Vectoriales de más de ana Variable.
Sea F : R 3
>R 3 una función vectorial definida por:
—y
—y
y
-
*
F(x, y, z) = F, (-T, y, z) i + F2 (x, y, z) j + F 3 (x, y, z) k
—y
La derivada parcial de F con respecto a x se define por:
dx
Ar-»o
Ar
siempre que él limite exista.
—y
De modo similar definimos las derivadas parciales de F con respecto a y,z así:
F y f x . y . z ) = —- = lim F l x . y * ^ . z ) - F ( x . y . z )
dy
Av->o
Ay
dz
lim F ( F . y . > * ^ - F ( x . y . z )
Az—
>o
Az
siempre que estos limites existan.
546
Eduardo E spinazo Ram os
Las derivadas parciales de orden superior se pueden definir de esta manera.
■t .
F xx (x ,y ,z)
,
d2F
= — y
dx
dx
d2 F
F y y (X ,y ,Z
d d F
= — -(—
) = —
dy
y
=
dx
d ,0 F
— (—
dy
d 2F
-
F xy (x .y .z)
),
= - —
dydx
d.dF
= - ( - _ - )
dy
dx
)
dy
Regla 4 e las Perivá4as Parciales dé Fiinciones Vectoriales^
Sean F y G funciones vectoriales diferenciables de x, y, z, y <p es una función escalar
diferenciable de x,y,z entonces.
I)
d
— (F+G) = F x + G x ,
dx
lii)
d
~
— (F.G) = F . G x + F x . G
dx
il)
d
d ^
— {<pF} = <p.Fx+q>xF
dx
~
Iv) — (F xG) = F x G x+ F x x G
dx
(mantener el orden de los factores)
Teorema.1
Si F ( x ,y , z) = F1( x , y , z ) i + F2( x , y , z ) j + F i ( x , y , z ) k . lintonces su derivada parcial esta
dado por:
-±
dF
dF\ -? dF2 -? dF3 ,
Fx =
= — L i + — - j +— - k
dx
dx
dv
dz
Demostración
Por definición de derivada parcial se tiene:
, dF
F(x + b x , y , z ) - F ( x , y , z )
Fx(x, y. z) = ----- = l i m ------------------ — ----- --— dx bx^a
Ax
-
[4.9
547
F unciones Vectoriales de Varias Variable
: lim [
Ar-»o
F1(x + A x , y , z ) - F 1(x,y,z)-> F 2(x + Ax, y, z) - F2 (x, y, z) -»
i H-------------------------------------- j +
Ax
Ax
F3 ( x + Ax, y, z) - F3 ( x , y, z)
+ ---------------- -------------------k ]
Ax
dF, -* 8F2 -* 8F, 7
í + --- - j +
k ,
dx
dx
dx
~* d F
8Fl
8F2
8F3 -*
F = ------ = — - i + — - j + — - k
dx
dx
dx
dx
=---
Ejemplo.-
Si F ( x , y ) - e * y i + { x - y ) j+ x sen y k , calcular F x, F y, F x x F y
Solución
F(x, y) = e** i + ( x —y ) j + x sen y k
de donde se tiene:
-> d
8
~X
d
F x = — e *y «'+ — (x - y ) j + — xsenj>it = ye** / + j + s e n y k
dx
dx
dx
-*
8
d
d
^
F y = — e** i+ — (x - y ) j + — xsen_yit = xe** i —j + x c o s y k
dy
dy
dy
«
g
S
j
Fx x F y = ye**
1
xe**
-1
i d
k
sen y = (x c o sj' + sen.y) i+ x(sen j'-^ c o s_ y ) j —(x + y)e** k
x co s^
i l
Si F : R "
>Rm es una función vectorial diferenciable en x entonces cada una de las
funciones componentes F¡, es diferenciable en x , luego a la función matricial definiremos
548
Eduardo E spinoza R am os
D ,F ,(x )
D 2Fl ( x )
...
DnFx{x)
D\ F2( x )
D 2F2( x )
...
DnFA{x)
kA Fm( x )
D 2Fm( x )
... D„Fm( x )
DF(x) =
—>
se llama matriz jacobiana de la íunción F de R" en R m .
Ejemplo.-
Hallar el valor de la matriz jacobiana en el punto (x,y,z) de la función
F ( x , y , z ) = {xy, y 2, x 2z ) .
Solución
(8
-=-(*y)
dx
DF( x, y, z) = | < / >
dx
ox
Sea
8
„
8
„
-¿-w)
T-(xy)
dy
dz
4 - í r 1)
dy
|( / >
dz
qy
&
f y
0
2xz
x
2y
0
0t\ \
0
x2
F una función de R" en R m , si la matriz jacobiana de F es continua sobre un
—>
conjunto abierto D a R n entonces F es diferenciable sobre D.
Ejemplo.-
Sí
F ( x , y , z ) = (x + y z y z se n x v ). Demuestre que F es diferenciable en cualquier
(x,y.z)eR *.
Solución
—>
El valor de la matriz jacobiana de F en cualquier punto (x,y,z) es dado por:
549
F unciones Vectoriales de Varias Variable
r3
3
3
— (x 2 + y z ) — (x 2 + y z ) — (x 2 + y z )
dx
dy
dz
DF(x,y ,z) =
d ,
d ,
d ,
— (z sen xv) — (zsenxy) — (zsenxy)
dx
'
dy
dz
la matriz Jacobiana es continua en todo (x,y,z) de R
(
2x
z
y
yz eos xy
xz eos xv
sen xv
entonces F es diferenciable en (x,y,z).
14.12 : Graáienite dg MiigFitacíoe fesgálarj
Sea (J>(x,y,z) una función escalar; al gradiente de la función escalar <|>(x,y,z) denotaremos por
grad (<]>), y es el vector definido por:
grad(¿) = — i + — j + — k
dx
dy
dz
Ejemplo.-
Si <|i (x,y,z) = xy + yz + xz Hallar el grad <(>(1,1.3)
Solución
Si <J>(x,y,z) = xy + yz +xz sus derivadas parciales son:
d<t>,
— (x,y,z) = y + z
dx
dtp
(U,3) = 4
dx
a * ,( x , y , z ) = x + z
—
dy
dy
df,
— (x,y,z) = x +y
dz
dtp
(1,1,3) = 2
dz
í1»1»3) = 4
gra ¿(¿(1,1,3)) = ^ (.U 3 ) 7 + a<fr(j ’1,3) 7 + m : l 3) * ,
dx
dz
dy
4.13
Et Operador V j
El operador vectorial diferencial es dada por:
„
d ■? 5 -r 5 1
V = — i + — j +— k
dx
dy
dz
gra ¿(¿(1,1,3)) = 47 + 47 + 2 *
550
Eduardo Espinoza R am os
El operador vectorial diferencial no es un vector, sino un operador, sin embargo puede
considerarse como un vector simbólico. Si <j)(x,y,z) es un campo escalar, entonces t)> V es un
operador, mientras que V 4> da la importante función vectorial llamada gradiente, en forma
—>
similar si f
—►
—>
es una función vectorial diferenciable, entonces f . V y f x V son operadores,
—>
—»
mientras V . / y V x f da importantes funciones escalares y vectoriales respectivamente.
Nota.- El operador diferencial V se lee NABLA.
4.14
lotrodacclén de! Óperagor' Diferencial V
Como V = — i' + — j + -
dx
M.15
dy
dz
dd> ^ d á ^ dd> ^
k , entonces: grad(^) == — /' + — j + — k
dx
dy
dz
Propiedades del Gradiente!
Sean (J>y y funciones escalares diferenciables y c una constante.
1)
V(c,<|>) = cV(|)
2)
V(<J» + y ) = V<J>+ Vy
3)
V(4»y) = <]>V\j/ +\j/V<]>
4)
V /(u, v, w) = ^ - V u + — V v + ^ —Vw
Ejemplo.-
Para un vector arbitrario constante a , mostrar que:
du
dv
V(a, r) = a , donde r es el
vector de posición.
Solución
■4
—►
Sean a = ( a iya 2,a 3) y r =(x,y,z)
- 4 —*
=> a . r =a¡x + a2y + a}z
d(a,r)~* d(a,r)~* d ( a , r )
v
i+ — - — j +—
k = a l i + a2 j + a 3 k =(al t a2,a 3) = a
dx
dy
dz
V ( a ,r ) = —
-» -»
y
V(a, r) = a
dw
551
F unciones Vectoriales de Varias Variable
Sí <]>= (J>(x,y,z,) Mostrar que V§.d r =d§
Ejemplo.-
Solución
-4
Sea
r = x i + y j + z k , su diferencial d r =dx i +dy j + d z k , calculando el gradiente de <]>
_ ,
dá ■? dá
d<f>?
VA = —— i + — / h--- k
dx
dy
dz
V f d 7 = ( ^ - T + - ^ - 7 + — k ) . ( d x l + d y ~ j + d z k ) = ^ - dx + ^ - dy + ^ - dz = d<p
dx
dy
dz
dx
dy
dz
V<¡>xl r =d<f>
K l6 D ivergencia de una Función Vectorial.!
—4
Si una función vectorial es
, donde f x
/ =
son funciones escalares,
—>
entonces el producto escalar de la función vectorial /
y el vector simbólico V es decir:
—>
—4
—4
V / se denomina la divergencia de la función vectorial y se denota por d i v ( f ) = V . f es
decir:
dx
a)
Teorem a.-
Si
/
y
g
son
dv
dos
dz
funciones
vectoriales,
mostrar
que
V .( 7 + g ) = V . / + V . J
Demostración
—>
—>
sí f =
-4
-»
y g = ( g i , g 2 . f 3 ) ^ entonces f + g ^ ( f i + g u f i + g i ’A + g i )
dx
dy
dz
= V ./+ V .g
dx
dy
dz
dx
dy
dz
552
Eduardo Espinoza Ram os
b)
Teorem a.-
Si (J>es una función escalar, entonces la divergencia del gradiente de (J>es
d i v(gra d i )
d 2<¡,
d 24
d 2<P
= — T +— - +— T
dx2 dv2 dz2
Demostración
di
di
d i -*
di~> di~> di~>
Como gra d ( i ) = V 4 = ^ i +
j + - ^ k => gra d ( i ) =
i +^ j + ^ [ k
dx
dy
dz
dx
dy
dz
d dá
d dó d d i
d2i
div{ gra d{i )) = V.(V¿) = ¿
(^ ) +
(^) =
dx dx dy dy
dz dz
dx
d2i
dy
d 2i
dz
La divergencia del gradiente V V se escribe como V 2. Entonces V.(V<]>) se escribe
como V . V i = V 2i . Al operador V 2 le llamamos el Laplaciano, es decir:
, .
d2
d2
d2
Laplaciano = V = — - + — —+ — - entonces se tiene:
dx
dy2 dz2
_ 2.
4.17
, d2
d2
d2
d 2i
d 2i
d 2i
dx2
dv 2
dz 2
dx2
dv 2
dz2
Definición.}
Una función escalar <]>se dice armónica si es continua, tiene segundas derivadas continuas y
satisface a la ecuación de Laplace.
V 2i = 0
Ejemplo.-
Mostrar que la función —.donde r =|| r ||= (x2 + y 2 + z2)1/2 esuna función
r
armónica siempre que r * 0
Solución
Claramente —es continua, puesto que x 2, y 2, z 2 y r son continuas entonces el Laplaciano es:
r
553
F unciones Vectoriales de Varias Variable
dx1
r
dv2
- 4 - ( * 2
c*2
+
dz2
+.v2 « V
V 2 + Z 2 ) - 1' 2 +
'
'J
- ^ - ( x 2 + y - + z 2) -112 + - ^ ( x 2 + v2 + z 2) l' 2 ... (1)
dv2
dz2
de donde la primera y segunda derivada parciales de — con respecto a x son:
r
Í-0 r2+ /
¿br
S2
—
ax2
+ z 2)-1/2 = - x ( x 2 + y 2 + z 2)"3/2
( x 2 + / + z 2 r l/2 = - ( x 2 + / + z 2r 3/ 2 + 3 x 2 ( x 2 + / + z 2r 5/2
en forma similar, las derivadas parciales de — con respecto a las variables x,y,z.
r
- ^ - ( x 2
+ y 2 + z 2) _1/2
= -(X 2
+ y2+
Z 2 )~ 3/2
+ 3 j'2(x 2 + v2 +
Z 2 y í/2
dy
r-(x 2 + ^ 2 + z 2) 1/2 = —(x 2 + y 2 + z 2)
d z2
3 /2 + 3 z 2 ( x 2
+ y 2 + z 2) 5/2
Luego al momento de reemplazar en (1) se tiene:
v 2( i ) = - ( x 2 + v 2 + z 2r 3/2+ 3x2(x2 + / + 2 2r 5/ 2- ( x 2 + /
r
+ z 2r 3/2 +
+ 3 / ( x 2 + y 2 + r 2)"5/2 - ( x 2 + y 2 + z 2 y i / 2 + 3 z 2( x 2 + / + z 2 y s n
= -3(x2 + / + z 2r 3/2 +3(x2 + / + z 2)(x2 +>-2 + z 2r 5/2
= _ 3 (x2 + /
+ r 2 } - 3 / 2 + 3 ( j c 2 + > ,2 ^ Z j - 5 / 2
= Q
Como satisface la ecuación de Laplace, la función — es armónica.
554
Eduardo E spinazo R am os
4.18 Rotacioaal de una Función Vectorial^
Si una función vectorial/ =
d o n d e /1 , / 2 , / j
son funciones escalares con
primeras derivadas continuas entonces su producto vectorial o cruz con el vector simbólico V
es:
i
d
V x f = ( ^ H r ~ j + j - k ) x ( f x i +f 2 y + / 3 * ) =
dx
ay
dz
dx
/.
dy
dz
dz
dx
dx
j
d
dy
h
k
d
dz
h
dy
Llamamos a esta función el rotacional (roí f ) de la fimción vectorial / es decir:
—>
—
>
Rotacional / = V x /
Nota.-
—*
—»
Vx / no necesariamente es perpendicular a / .
1)
Sean f y g fiinciones vectoriales entonces:
V x ( /+ g ) = V x /+ V x g
2)
Sea (J>una función escalar con segundas derivadas continuas entonces:
Vx(V(0)) = O
—»
3)
Sea f una función vectorial con segundas derivadas continuas entonces:
V .(V x /) = 0
555
F unciones Vectoriales de Varias Variable
4)
Sean f y g funciones vectoriales, entonces:
i f xV)g =f.(Vxg)
4.20 Ejercicios Desarrollados^
1)
Sí <t>= <t*(u) donde u = u(x,y) entonces mostrar que V(j> = V(j>(w) = 4>'(w)Vw
Solución
dé -* dé -* dé~*
= V ^fu) = — i + — j + — k
. dx
dy dz
Como el gradiente de ^ es:
du
= 4, ' ( u ) ^ i +
du~*
etc
dy
*
du
dz
du~* du~* du~*
= 4>'(u)(™* + W + -=- * ) = f ( w)Vw
mr
dy
dz
2)Si r =|| r || = ( jc 2 + y 2 + z 2)1/2 . Hallar V>-* y V(—), donde n es cualquier numero real.
v.
r
Solución
Sea (|>= <(Kr ) = r ” . P°r el ejercicio anterior se tiene:
Vr" = — (r")V r = nrH l ( , — *-------- 7 + ,
y
>+ r ■■ --------- * )
-Jx2 + y 2 + z 2
-Jx2 + y 2 + z 2
■)Jx2 + y 2 + z 2
= nr” 1
— - - ~ ( xi + y j + z k ) = nrn 2. r
12
2 +Z2 '"
■y\X + y
para n se tiene:
«v (—
A ) = — *—r
r
3)
r3
Hallar la divergencia de / { x. y, z) = xyz i + x 2y 2z j + y z * k
Solución
W ) - V . 7 = f - + & . & = > I + 2I ^
dx v y
cz
+3 ^ 1
556
4)
Eduardo E spinoza R am os
Hallarel rotacional de f ( x , y , z ) =xyz i + x 2y 2 j + y z 3 k
Solución
Como el rotacional es dado por:
I
j
d
d
Vxf =
dr
dv
JCVZ x 2y 2z
k
d
dz
i
yz
=[ ^ - ( v z 3 ) “
( * V ) ] ' + [7 - ( x y z ) - ~ { y z ' ) \ i + l ^ ( x 2y 2z ) - ^ ( x y z ) ]
dy
dz
dz
dx
dx
dy
= (z 3 - * V ) i + xy j + ( 2 x y 2z - x z ) k
5)
Hallar
—♦
(7-V)<|>
—♦
y
(/V )g
—>
en
(1,1,1)
si
f(x ,y ,z) = (-v,x,z),
—>
g(x, y, z) = 3xyz 2 i + 2xy j - x 2y z k y ()»(x,y,z) = xyz.
Solución
C om o
de
dy
dz
tenemos (/.V)(j» = /.V(J) = - y ( y z ) + x(xz)+ z(xy) = - y 2z + x 2z + xyz
Por tanto, en (1,1,1), (/.V )(l,l,l) = - 1 +1 + 1 = 1 ; ahora calculando ( /.V ) .g
557
F unciones Vectoriales de Varias Variable
= -3 y z 2 i - 2 y 4 j + 2 x y 2z k + 3 x 2z 2 i + 6 x 2y 2 j - x i z k + í>xyz2 i - x 2y z k
= (-3 y 2z 2 +3x 2z 2 + 6 x yz 2) i + ( - 2 y 4 + 6 x 2y 2) j + ( 2 x y 2z - x i z - x 2y z) k
(/.V ).g (l,l,l) = 6 i + 4 j + O k =(6,4,0)
por lo tanto en (1,1,1) se tiene:
6)
(d r .V) / = d f
Mostrar que:
Solución
►
-»
->
^
d
d * d *
d
d
d
d r .V = {dx i +dv j + d z k ).{— i + — / + — k =dx — + dy — + dz —
dx
dv
dz
dx ' dy
dz
J f5/
J Sí
. df
d f ,
df , df ,
+d y ^ ^ +d z
= ——d x h
dy +
dz = d f
dx
dy
dz
dx
dy
dz
(d r S 7 ) f - d x
7)
Demostrar que:
V.((j>./) = (|)V/+/.V(j>
Solución
dx
=«
8)
dy
dz
dx
dx
| u f +| . ) + ( / * + / * + /j| W
dx
dy
dz
dx
dy
dz
dy
dy
Solución
Por propiedad de gradiente se tiene:
dz
. 7 + 7 .v *
Hállese el gradiente de la función <p = u 2v — ^=r. Sí u = 3 x e x + y ,
-v/w’
w = 3x2 + l + z .
dz
v2 = x 2 + l - y ,
558
Eduardo Espinoza R am os
reemplazando (2) en (1) se tiene:
Vtp = 2(3xex +y)(x2 +l-y)[(3xex +3ex) i+ j] + 3(3xex + y ) 2(2x i —j )
2-^3x2 +1 + z(3x2 +1 + z)
9)
(6jc i + k)
„
d r _
du du
Demostrar que:---(----- , v ) u = ----------- , si u = u(x,y,z,t)
dt
dt
dt
Solución
Si u = u(x,y,z,t) la diferencia total es:
,
d u . d u . d u . 6 u ,
du du dx du dv du dz du
du = — dx +— dv + — dz + — dt => — = --------+ ------ —+ ---------+ —
dx
3y
dz
dt
dt dx dt dv dt dz dt dt
,dx d
dy d dz du .
du
du
= (-------- + —-----+ -------- )u + — = (d r.V )u + —
dt dx
10)
Determínese
dt dy
la
—>
dt dz
dt
divergencia
—>
—
♦
dt
y
.
(d r .V)u =
el
rotacional
de
la
función
—
+
f ( x , y , z ) = xc osz i + y ln x j - z ex k
Solución
Calculando la divergencia de f se tiene:
div(f) = V f = — (xcosz) + — (y ln x ) + — (~z2e x) = cosz + l n x - 2 z e x
dx
dy
dz
Calculando el rotacional de función vectorial /
—>
/?or(/) = V x / =
i
d
dx
xcosz
—*
i
d
dy
y\nx
k
d
dz
7
-z~e
du _
dt dt
vectorial
559
Funciones Vectoriales de Varias Variable
rd ( - z 2e x)
=[
r
dv
= (0 -0 )
11)
d , ,
rd ,
„ d , 2 x
T d , . „ d(xcosz),
— 0>ln*)] i + [ — ( x c o s z ) - — (- z e )]./ + [— (>-ln x )
----- ]
dz
dz
dx
dx
dv
i
1
V
i
V
+ ( - z s e n z + z e * ) j + { - — 0 ) k = 0 i + (z e x + x s e n z ) j + — k
2
Siendo f ( x , y , z ) = x y i —2xz j + 2 y z k . Hallar rot(rot f )
Solución
rot(rot f ) = V*(V* / ) =
—*
->
->
i
d
i
d
k
d
dx
dy
- 2xz
dz
2yz
* 2y
12)
—>
—>
/
d
dx
2x+ 2 z
j
d
dy
= Vjr[(2* + 2z) i - ( x 2 + 2 z ) k ]
k
d_
dz
= (2x+2) i
0
Sí f { x , y , z ) = 2yz i - x 2y j + x z 2 k y ^ x , y . z ) = 2 x 1y z i
Hallar
a)
( f xV)fy
b)
fx(V$)
Solución
a)
( f xV)$=[{2xyz i - x 2y j + x z 2 k)x(^~- i + ^ ~ j + ^ - k j ) f t
dx
dy
dz
560
Eduardo E spinoza R am os
,
2
óf
=-(* y ^dz- +xz
2
.
/•
2
o ?.
c*q>
:
2
.
^ k
dy~ ) i + (xz ^dx: ~ 2yz ^dz J + (2y z ^dyr + x y dx
t
-(6x4y 2z 2 + 2x 3z 5) i + ( 4x 2y z 5 —12jc2y 2z 3) j + ( 4 x 2y z 4 + 4 x 3y 2z 3) k
b)
->
t *
od>
dé
dd> “*
f x ( V Q ) = (2vz i - x y j + xz k ) x ( — i + ^ j + ~ k )
dx
dv
dz
i
j
2yz - x 2y
d§
d§
dx
dv
k
2
,
z t t y ^
t i d f y ^
d b ^
.
, - d
á
2
T
x z 2 = (—jc v— -jcz — ) i +(xz — ~ 2 v z — ) f + ( 2 v z — +x v — ) k
dz
dv
dx ■ dz
dv
- dx
d§
dz
= -(6 x V z 2+ 2 x
V
)
i
+ (4 x 2 vz 5 - 1 2 x 2y V ) j + ( 4 x 2y z 4 + 4 x 3y 2z 3) k
|4.21
Ejercicios Propuestos.!
I.-
Escríba la matriz Jacobiana de la íunción en el punto indicado.
1)
f :R 2
>R2 / f ( x , y ) = (alx + bly, a 2x + b2y ) en P(x0, y 0)
2)
/ : R3
>R3 / f { x , y , z ) = (x, x + y , x + y + z ) en P (x0, y 0, z 0)
3)
/: R
2
Tt
v R / f ( x , y) = (sen x, sen x eos y, cosy) en P(0,—)
4)
f : R3
>R2 / / ( * , y ) = (— —r-,(z + x 2 )(z + y 2 )) e n P ( l,l,l)
1+ z"
5)
f .R
6)
f :R
>R* I f ( t ) = {t,t2, t 3, t 4) en P (l)
>R / f ( x , v ) = ( x y , v x , e xy, x e y , y e )
enP(l,2)
561
F unciones Vectoriales de Varias Variable
II.-
Demuéstrese que f es diferenciable en todos los
puntos (x,y,z) de D-,
y determínese
f
D f(x,y,z)
—*
1)
3)
III.-
—*
2 )f ( x , y , z ) = (xy, y 2, x 2z)
f ( x , y , z ) = (xz, y + z )
f ( x , y , z ) = ( - , 2y + l, x z 2)
f ( x , y , z ) = ( x 2y, zex , x + z)
4)
y
Gradiente, divergente y rotacional.
1) Si <J»(x,y,z) = xy + yz + zx. Hallar V(j> en (1,1,3).
2)
R pta.
(4,4,2)
Hallar la divergencia y el rotacional de la función
—>
—>
—*
—>
f(x,y,z) = ( x - y ) i +( y - z ) j + ( z - x ) k , y
_
—►
—►
—
>
g ( x . y , z ) = (x + y z ) i + (y + xz) j + ( z 2 +xy) k
Rpta.
3)
Si $ ( x , y . z ) = 3 x 2 - y z y f ( x , y , z ) = 'ixyz2 /+2x>’3 j - x 1y z k . H allaren (1,-1,1)
a)
V4>
b)
V -7
c)
e)
V.(d*7)
0
Vx(«),7)
g)
c)
Rpta.
4)
V . / = 3 , V * 7 = (l.l,l), V. J = 2 (x + y + z ) , V x j = 0
a)
(6,-1,1)
b)
4
f)
(-3,-41,-35) g)
6
V x7
f .Vf y
d)
(-1,-8,-5)
d)
-15
e)
Siendo t y x . y , z ) = 2xz4 - x 2y . Hallar V(j> y ||V(j>||enelpunto(2,-2,-l)
Rpta.
7 7 7
10 - 4 - 16 ,
2'j93
1
562
Eduardo E spinoza R am os
5)
Siendo f ( x , y , z ) = 2x
—
>
i-3yzj+ xz
k y §(x,y,z) = 2 z - x l y
—
>
Hallar /.V(j> y f x V§ en el punto (1,-1,1)
—
>
—
>
5, 7 i - j —l l k
Rpta.
6)
Hallar V y siendo y = ( x 2 + y 2 + z 2)e^* *y +z .
7)
Siendo V<|»=2xyz3 /' + x 2z 3 j + 3 x 2y z 2 k , h allar (j>(x,y,z) sabiendo que <|>(l,-2,2) = 4
Siendo V<|>=(y2 - 2 x y z l ) i + ( 3 + 2 x y - x 1z i ) j+ibz* - 3 x 1y z 1) k , hallare)».
§ = x y 2 - x 2y z 3 +3y + ^ z * +c
R pta.
—♦
9)
(2 + r) e r r
4»(jr, y, z) = x 2y z i + 20
Rpta.
8)
R pta.
—►
—*
H allar div(2x z i - x y 2z j+ 3 vz
£ ) R pta.
4 x z —2xyz + 6yz
10) H allar 4» = 3 x 2>!z-_y2z 3 + 4 jr3y + 2 x - 3 y - 5 , h allar V 2(j>
V 2<j>= 6yz+24xy—2zi - 6 y 2z
Rpta.
11) S iendo f { x , y , z ) = 3xyz2 i + 2xy3 j - x 2y z k
a)
R pta.
12)
b)
V ./
a)
/.V < )>
b)
4
c)
-15
S iendo f ( x , y , z ) = 2xz i - y z j + 3 x z
H allar a)
Vx f
b)
rot(t|>/ )
y <J>= 3 x 2 - y z . H allar
V.(<(>/ )
d)
c)
1
d)
k
y fy = x yz
c)
V .(V ^) e n el p u n to (1 ,-1 ,1 )
6
Vjt(Vjc f )
d ) V [ / .r o r ( / ) ]
—>
e)
Rpta.
a)
i+j
rot(grad(§ f ) ) en el punto (1,1,1)
b)
Si-3j-4k
c)
Si+3k
d) - 2 i + j
e)
0
Funciones Vectoriales de Varias Variables
563
13) Siendo F - x 2y z , G = x y —3 z 2 . Hallar:
a)
[VF.VG]
Rpta.
b)
V.[VFxVG]
c)
Vx[VFxVG]
a)
( 2 y 2z + 3 x 2z - l 2 x y z ) i + ( 4 x y z - 6 x 2z) j + { 2 x y 2 + x 3 - 6 x 2y ) k
b)
0
c)
( x 1z - 2 4 x y z ) i ~ ( \ 2 x l z + 2xvz) j + ( 2 x y 2 +12y z 2 + x 3) k
14) Calcular:
a)
V r2
b)
donde r 2 = x 2+ y 2 + z 2 y
V (r4 + r 7) c)
f(r),
V [/( r) + g ( - ) ] ,
r
g (r) = — son funciones arbitrariosde r y
r
—
r
Respectivamente.
Rpta.
a)
2r
r 2(4 + 7 r 2) r c)
b)
r 3[ r 2/ ' ( r ) - / ' ( —)] r
r
*
2
2
'
*
15) Siendo f ( x , y , z ) = y z i - 3xz j + 2 x y z k y g ( x , y , z ) = (3x, 4 z , - x y ) y (J»= xyz
Hallar
R pta.
a)
/jr(V * )
a)
- 5 x 2y z 2 i + x y 2z 2 j + 4 x y z 3 k
b)
- 5 x 2y z 2 i + x y 3z 2 j + 4 x y z 3 k
c)
- 1 6 z 3 i' + (8x2yz-1 2 jrz2) j + 3 2 x z 2 k
16) Calcular:
V(a.r)
a)
b)
r = x i + v j + z k , siendo
(V xf)xg
c)
Vf(r)(a.r)
—*
donde
(fxV)b
b)
c)
—►
V [(a . r ) ( b . r)]
->
a y b vectores constantes y f ( r ) una función
arbitraria de r.
—»
Rpta.
a)
a
b)
f ( r ) a+f'(r)(ct. r ) —
r
c)
(a . r) b + (b . r) a
564
E duardo E spinoza R am os
17) Sí f ( x , y , z ) = 2z i + x 2 j + x k y <|>= 2 x 1y 1z 1 . Hallar (/*V)(j>eneIpunto (1,-1,1).
Rpta.
(-8,-4,4)
18) Calcular:
a)
div(x y i + y z j + z 2 k )
b)
J/v[( x + y 2 + z 2)( x i + y j + z k )]
3 x 2y +3 y 2z + 2z
b)
2(2x2 +2 y 2 + z 2 - z )
Rpta.
a)
2
2
2
2
f ( x , y , z ) = x y i + (4xz + y ) j + ( 5 z +xy ) k , calcular
19) Dado
r o t ( f ) y hallar su
valor en los puntos (1,1,1) y (1,2,3).
Rpta. 2 x ( y - 2 ) i - y 2 j + ( 4 z - x 2) k ;
20) Si
-2 i-j+ 3 k\
-»
_—
* _—
► _—
» -»
-»
-»-»
A = x i +y j+ z k , B - x i + y j + z k
(AxV)xB
a)
- 4 j + 11 k
calcular:
b)
(BxV)x A
b)
- 2 x ( y + z) i - 2 y { z + x) j - 2 z ( x + y ) k
—+
R pta.
-2 A
a)
21) Dado V = x z } i - 4 x 2y z j + 3 x z l k . Hallar rot(rotV)
R pta. z(19z-14jc) i + 8 y z 7 + (3z2 - 4 x 2) k
22) Si <p=x2y 2 + y 2z 2 + z 2x 2, V = xy i + yz j +xz k , calcular:
a)
rot(grad ()>)
Rpta.
a)
0
b)
div(rot V)
b) 0
565
Funciones Vectoriales de Varias Variables
23)
Hallar la divergencia de cada una de los siguientes campos vectoriales.
a)
f(r) r
b)
(a.r)r
c)
r ”f ( - ) r
r
d)
(x i +y j ) x r
e)
axr
I)
(x i + y j ) x ( z j + x k )
1
1
donde / ( —) es una función arbitraria de —, a es un vector constante, n e z +
r
r
R pta.
a)
3f ( r ) + r f ' ( r )
c)
( 3 + « ) r 7 ( V r " 4 / '( - )
r
r
I)
y+x
24) Usar la identidad:
a)
4{ a . r )
b)
0
d)
e)
0
div(<fi V) = V.(<fiV) = $d¡v(V) + V .(V $), para hallar:
V .( r " r )
b)
V .[ ( a .r ) r ]
c)
V [r(V r2)]
—>
donde a es un vector constante.
Rpta.
a)
(n + 3)r"
b)
4 (a . r)
c)
8r
25) Se definen las funciones escalares <]> y y mediante las ecuaciones
y/ = b .Vr
-3
, donde a y b son vectores constantes, calcular:
a)
b
toi (4>r )
b)
b rot[div{r r ) ( a x r ) ] + 5r a rot[div(r
c)
rot(4>\¡/ r )
—►
—r a jrot(yi r )
r )( b jc r )]
<f>= a .Vr3,
566
E duardo Espinoza R am os
V 2 (r4)
b)
V 2($yr) =$V2yr +2V$.Vyr+v/V2$ , donde
i)y y
26) Por medio de la identidad V
Rpta.
27)
a)
= V.V$ . Hallar:
12r2
Demuestre que
b)
a)
V 2 (ln r)
3r~2
son funciones
escalares.
—>
28)
Demuestre que elcampo vectorial
—fr
—f
F = (xyz)m(x" i + y " j + z n
—>
k)
es Solenoidal
solamente si m + n = 0.
29)
Demuestre que (yz i + zx j + x y k ) es a la vez irrotacional y Solenoidal.
30)
Si las segundas derivadas parciales de las funciones <|>y y existen,
entonces,demostrar
que:
y 2
V'
—>
31)
—>
—>
—> —>
Sí V x / = 0 ,d o n d e f { x , y , z ) = (xyz)m( x ” i + y n j + z " k ) , mostrar que m
n = -1.
32) Demostrar que V / ( r ) =
C(r)
r
= 0 o bien
567
Integrales Dobles
P re-R eq u ÍS ÍtO S .-
Para la comprensión adecuada de éste capítulo de las integrales
múltiples se requiere del conocimiento previo de:
Métodos de integración.
Geometría analítica.
Superficies.
Coordenadas polares.
Objetivos- Establecer los fundamentos necesarios para la interpretación y aplicación de
la integral doble, al finalizar éste capitulo el alumno debe estar en capacidad
de utilizar la integral doble en el cálculo de áreas, volumen, centro de masa, etc., así como
también el cálculo en coordenadas polares y emplear los jacobianos.
fo t 4 | Introduce
En el estudio de las integrales ordinarias J*f ( x ) d x , la función f(x) es definida en un
intervalo cerrado [a,b], ahora estudiaremos las integrales dobles de la función f(x,y) definida
sobre una región R, al cual denotaremos por \ \ f ( x , y ) d x d y
568
Eduardo E spinoza Ram os
5.2 * La Integral Doble sobre un Rectájfigiuíój
Consideremos una función f definida en el rectángulo:
Y
d
R = {(x.y)
TTTTr
A
I
»'i '*1
L\
I
I
b
e
R x R/ a< x < b
a
c<
y
<d}
Consideremos una partición p del rectángulo R y para esto
sea
X
A ={-)c0,x 1,...,jrm} una partición de [a,b] y
P2 = {yo , y l
y„}
una
participación
de
[c,d],
llamaremos partición de R a un conjunto de la forma:
P = P\ XP 2 = \ x i , y j ) e R*R/ x¡ e p y a y ¡ e p 2 }
La partición P del rectángulo R, descompone al rectángulo R en m x n rectángulos, es decir:
Ry = {(*.>0 e R 1 /* ,•- 1 < x < x ¡
a y }_x < y < y ¡ }
569
Integrales Dobles
En cada rectángulo Ry , la función f toma un valor máximo M y y un valor mínimo my ;
Luego se tiene:
A/y-(área de Rg ) = M y (x,- - x,-_, )(y,- - y ^ ) = M i} Ax,-. Ay,
m¡j (área de Rg) = my (x¡ - x u l )(y,- - y ¡_x) = my Ax,. Ay,- ahora formando las suma se tiene:
i=l ¡~\
i=l ¡=i
que reciben los nombres de suma superior p de f, y se denota por:
m n
U f ( p ) = ' E ' E M » A x ' A>,j
.•=i j =i
y suma inferior p de f, y se denota por:
«=i ;=i
En forma similar del caso de las funciones de una variable se tiene:
Si f es una función continua, existe un número I que satisface la desigualdad.
L f (p) < I < U j- (p), para toda partición p de R.
5.3 a Definiciéa.]
El único número I que satisface la desigualdad Ly (p) < I <,U y (p) para toda partición p de
R, se denomina la integral doble de f sobre R y que simbolizaremos por:
\\f{x,y)dxdy
R
570
5.4
Eduardo E spinoza R a m o s
Funciones Integrablw]
Definición 1.- Una función / : D c / ? 2------ ►/?, es acotada en D, si existen r, s
que:
r < f(x,y) < s, V (x,y)
g
g
R, tal
D.
Sea / : D e / ? 2
►/?, una función acotada en
la región cerrada D del plano y f(x,y) > 0, V
(x,y) g D. Trazaremos
ejes
y
denotaremos
rectas paralelas a
los
i\,r2,...,rn
los
por
2
rectángulos contenidos en D e R .
Luego el conjunto p = [rl ,r2 ,...,r„) constituye
una partición de la región D.
La norma de la partición p representada por | P I se define como la longitud de la diagonal
mayor de los rectángulos contenidos en D.
Consideremos el i-ésimo rectángulo r¡,
i =l,2,...,n contenido en D, el área es
A(r¡) = Axí .Ay¡, y sea (x^ v, ) un punto del rectángulo r¡.
Luego la suma de Riemann de la función / : D e / ? 2------ >R , asociada a la partición p será:
n
1=1
ti
x¡ >y¡)A(r¡) = X / ( * . • vi )-Ar1..AvI.
i=l
Geométricamente la suma de Riemann representa el volumen aproximado del sólido bajo la
superficie z = fix,y) y que tiene como base la región cerrada D.
571
Integrales Dobles
Definición 2.- Consideremos
fiD cR 2
una
íunción
acotada
en
la
región
cerrada
D,
n
>R, el limite de la suma de Riemann £ f ( x ¡ , y i )A(r¡) es
1=1
n
un número L, sí V e > 0, 3 8 > 0, tal que: | ^ / (x ¡, yi )A(ri ) - L | < e , para toda partición
í=i
con I pI < 8 y (x ¡ , y ¡ ) e r¡, que lo representaremos por:
siempre y cuando el limite existe.
Definición 3.- Una función acotada f : D c R 2----- >R, es integrable sobre la región
n
cerrada D, si existe el número real, L = lim ' ^ ' f ( x i ,y¡)A(r¡) . A éste
/=i
número L se le llama integral doble de f en D y se representa por:
572
Eduardo E spinoza R am os
ÍÉÍ|^bÍteÍÍ
2
S i/: D c z R ------ >R, es una función integrable en la región cerrada D y ffx,y) £ O,
V(x,y)e D, entonces V(S) = J K
, y)dA es el volumen del sólido S bajo la superficie
D
z = ffx,y) y que tiene como base la región cerrada D.
Propiedades Fundamentales dé la Integral Doble.)
1®
Si la íunción / : D e / ! 2------ »R es continua en la región cerrada D, entonces f es
integrable en D.
2®
Si la función f : D c z R 2
>R es integrable en la región cerrada D y k e R, entonces
kf es integrable en D y J J * f ( x , y)dA = * J J / ( j c , y)dA
3®
Si las funciones f , g : D c z R 2------ >R , son integrables en la región cerrada D, entonces
f ± g es integrables en D, y
JJ [f (x, y ) ± g(x, y)]iA = J J f { x , y)dA ± J J g(x, y)dA
4®
Las funciones
f , g : D c z R 1------ >R,
f(x,y) > g(x,y), V(x,y) e D, entonces:
5®
Si la función / : D c z R 2
son
integrable en la región cerrada D y
J J f ( x , y)dA > J J g(x, y)dA
>R, es integrable en la región cerrada D y m y M, son
respectivamente los valores mínimo y máximo absoluto de f en D, es decir:
m < f(x,y) á M,
V(x,y) e D,
entonces
m A ( D ) < ^ f (x,y)dA<,M A(D) , donde
D
A(D) = área de la región cerrada D.
573
Integrales Dobles
6S
Si la función / : D<^R
» R, es continua en la región cerrada D y D = D ,u Z )2,
donde Dl y D2 regiones cerradas disjuntas, entonces.
JJ/(*. y)dA =JJ/(*»y)^+JJ/(*,y)dL4
D,
X>
7*
X>J
Sí f(x,y) £ 0, V(x,y) e Q y D c f i entonces
JJ / ( * . y )dA ^ JJ/ ( * . y)^4
o
8*
Si la función / : D c R 2
n
>R , es continua en la región cerrada entonces:
JJ/(*.y)¿4^ Jíl/< , y)|^
x>
Ejemplo.-
x>
Hallar m y M de la propiedad (5) en la integral doble
+ 4 y 2 +9)í£cíf>’, donde D
es el círculo x 2 + y 2 <4.
Solución
Calculamos los puntos críticos en el interior de la región
f ( x , y ) = x 2 + 4 y 2 + 9.
d f{ x ,y )
= 2x = 0
dx
x =y =0
= 8y = 0
dy
Luego el punto crítico es Pl (0,0) ahora calculamos los puntos críticos en el borde como
x 2 + y 2 = 4 => y 2 = 4 - x 2 => F ( x ) = f ( x , y ) = x 2 + 4 ( 4 - x Z) + 9
F(x) = - ‘i x 2 +25 => F' ( x) = - 6 x = 0 => x = 0, y = ±2 => P2(0¿2)
para x 2 = 4 - y 2 =>
F ( y ) = f ( x , y ) = 4 - y 2 + 4 y 2 +9
574
Eduardo E spinoza R a m o s
F{ y) = 3 / + 13 => F' ( y) = 6y = O => y = O, x = ±2 => ^ (± 2 ,0 )
f(0,0) = 9 , fí± 2 ,0 )= 1 3 , f(0, ± 2) = 25
Luego el valor mínimo es f(0,0) = 9 y el valor máximo es f(0, ±2)= 25 de acuerdo a la
propiedad 5 se tiene.
mA(D)<
j j ( x 2 + 4 y 2 +9)dxdy<.M A(D)
D
9(4n) < JJ(x 2 + 4 y 2 + 9)dxdy <, 25(4n)
D
36n< I < lOOn
Ejemplo.-
+y 2 )dxdy, donde D está
Hallar m y M de la propiedad (5) en la integral doble
D
limitada por las rectas x = -2, y = 3, y = x + 2, y = -2
Solución
Graficando la región D.
<3.5)
D = |(x ,y )/ -2 < x < 3
f.D czR 2
a
-2 < y < x+2)
>R / f ( x , y ) = x 2 + y 2
calculando los puntos críticos en el interior de la región.
T7
(-2.-2)
d f (x , y)
* * *
, *
dx
df(x,y)
(3.-2)
dy
= ¿.
= U
=
2xX =
0
= 2y = 0
ahora calculamos los puntos críticos en el borde de D.
parax = -2 , F ( y ) = f ( - 2 , y ) = 4 + y 2 entonces
F ' ( y ) = 2 y = 0 => y = 0 entonces P2 (-2 ,0 ).
r
_
Íxjc = 0
y =0
/í(0 ,0 )
575
Integrales Dobles
parax = 3 , F ( v) = / ( 3 , v) = 9 + y2 => F ' (y) = 2y = O = > y = O entonces p 3(3,0).
para y = -2 , F( x ) = f ( x , - 2 ) = x 2 + 4 => F' (x) = 2x => x = 0 entonces p 4 (0,-2).
para y = x + 2, F ( x ) = f ( x , x + 2) = x 2 + ( x + 2)2 = 2 x 2 + 4 x + 4 => F '(x ) = 4 x + 4 = 0
entonces x= -1, y = 1, entonces P5( - l,l) ;
parax = 3, y = 5 => p 6(3,5)
ahora evaluamos la función f { x , y ) = x 2 + y 2 en los puntos críticos f(0,0) = 0, f(-2,0) = 4,
f(3,0) = 9, f(0,-2) = 4, fí-1.1) = 2. f(3,5) = 34.
Luego el valor mínimo es f(0,0) = 0 = m y el valor máximo es f(3,5) = 34 = M, de tal manera
que: m < f(x,y) < M , como el área de D es A(D) = 22.5u2
Luego por la propiedad (5) se tiene:
mA(D) <
/ ( x , v)dxdy < M A(D)
Consideremos tres casos para el cálculo de las integrales dobles.
I2
Caso.- Si
f : D ( ^ R 2------ >R,
D ={(x,y)eR 2/a< x< b
es
una
a
c <y
función
continua
</] es un rectángulo.
sobre
D,
donde
576
Eduardo E spinazo R a m o s
\ \ f {x,y)d x d y = J \ f{ x ,y )d y d x = J { \ f{x,y)dy)dx
a c
a c
... (1)
D
J J / r * , y )dxdy = J j f ( x , y ) d x < f y = J (J /(x ,y )< fr = </y
c a
c a
-(2 )
D
a las integrales de (1) y (2) se llaman integrales iteradas de f.
22
Caso.- Si
f. D a R
->R,
D = j(x, y ) e R 2 / a < x < b
es
a
una
función
continua
<p(x) < y < v/(jc)| es
sobre
D,
donde
una región cerrada en
R 2y <p.y/: \ a.b\------ >R son funciones continuas en [a,b], tal que <p(x)<\y(x), Vxe[a,b].
La integral iterada de f sobre D es:
JJ / ( * . y)dxdy = £ (JJ^ f ( x , y)dy)dx
D
3fi
Caso.- Si
f ’. D a R 2
» R,
D = {(x,v) b R 2 / c < y < d
es
a
una
función
continua
sobre
D,
donde
<p(y) < x < y/(v)} es una región cerrada en R 2
donde <p,y/: \c,d\ -> R son funciones continuas en [c,d], tal que, (p(y)^y(y), Vye[c,d],
577
Integrales Dobles
La integral iterada de f sobre D es:
JJ f ( x , v ) d y d x = J[* ( J ^
n
x dxdy
f ( x , y ) dx ) d v
, donde D: 0 < x á 1 ,
0<y< 1
1+ v
Solución
íí^ f-í'lí
o
l+y
Jo Jo1+ y
f1 * 3 — //1dv
j = If1-----dy——-— = —
1 arctgv //• = —
n
= I
•*° 3(l + y ) ' 0
Ejemplo.-
Calcular la integral doble
J°3(l + ^ 2)
J J x 2y eos xy 2dxdy
3
/ o
12
donde Z): 0 S x < -y , OS y< 2
D
Solución
J J x 2ycosxy2<£uíy =
r<rxycosxy ííy)<£c
2
= r» / 2 x s e n x ^2 /2
Jo
2
' o
J‘n/2xsen4x
» “ i- *
Ejemplo.-
Calcular
J J Ixdxdy
D
w
— 16
donde D es la región limitada por 4 y = x 2, x-2y +4= 0.
Solución
578
E duardo E spinoza R am os
Calculando los puntos de intersección
\4y = x
2
=> x = - 2 , x = 4
U-2y+4 =0
x+4
ii
2
2 2x dy)dx
2x dx dy =
■■ i
x
= 1f4 (x(x + 4 ) ------)dx=
18
-2
Ejemplo.-
2
Calcular j j x d A , donde D = j(x,.y) e R 2 / 0 < y < 2
a
0 < x < ^ 4 - y 2 |.
Solución
¡¡xdA = J 2
£>
=
f2x2 /V^V
1 f2
2
/
<V = —J ( 4 - y )</y
J—
2
1
0
7
Calcular la integral doble j"J —j-<£t¿y
C -v
x = 2, y = x y la hipérbola xy = 1.
2 o
y 3 /2 8
= — ( 4 y - - — ) /
Ejemplo.-
x dx)dy
7
-
' o 7
donde D es un dominio acotado por las rectas
Solución
Graficando
la
región D
que es limitado por las
líneas x = 2, y = x, xy = 1.
J-
r, J2o ’ - '* *
=
4
) / 2= 2 / t
4
579
Integrales Dobles
Ejemplo.-
Evaluar la integral doble
JJ\ x 1' 2 - y 2 )dxdy , donde R está limitada por y = x 2, x = y*
D
Solución
Graficando la región R y calculando los puntos de
intersección
X
2
=
V
2
x =x
X =
JJ(.ry2 - y 2 )dxdy
Ejemplo.-
V
v2)dx)dv =
Calcular la integral doble
„
.
=> x = 0, x = 1
8
f (—x 3/2 - v 2x)
Jo 3
'
r?
dv
/ V4 '
J J (¡x] +|y])<¿w/v
H+H<i
Solución
Sea D = {(x,y) / 1xl +1 y! < 1}. Graficando la región D se
tiene.
Se observa que: D = D¡ u D2 u
m
D
+H )dxdy = / / « +W )dxdy +
D¡
u D4
+ \}\)dxdy + J J (¡x| +\)\)dxdy+ J J «
D2
Dj
+\]\)dxdy ...{Y)
D4
ahora calculando cada una de las integrales.
J J (M + \y\)dx dy = J J (x + y)dx dy = J^ (Jo(x + y)dy)dx
D,
o.
fi
y 2 / 1- x
fi 1
X2
1
= J ( x y+ — )
dx= I (
)dx = J0
7 » o
« 2 2
3
... (2)
Eduardo Espinoza Ramos
580
J J (]xj + \y\)dxdy
= J | ( - x + y)dxdy = J
^( | ( - * + v)dy)dx
d2
dz
=J
-i
V
/* * ■
+ ;— ) /
2
f0
1
X
dx = J (
0
12
JJ (H + M )dx dy = JJ (- x - y)dx dy = J ^(J
1
... (3)
)dx = 2
3
^( - x - y)dy)dx
£>,
D,
fo
=
2
VV2
/O
J' - 1 ( - x y - —72 ) •/
1 fí)
2
1
dx = —J ( 1 - x )dx = -
—
x—1
7 •'-l
7
JJ (W+ 1y\)dx dy = JJ (x- y)dx dy = J^(J ^ ( x - y ) d y ) d x = ^
Ü4
... (4)
... (5)
*>A
JJ|x| + 1v| dx dy = —+ —+—+—= —
ahora reemplazamos (2), (3) y (4) en (1):
D
5.$
Cálculo de Áreas y Volúmenes por integrales Dobles.]
ls
Consideremos la función f : D c . R 2------->R, continua sobre la región cerrada D. El
volumen del sólido S bajo la superficie z = f(x,y), que tiene como base la región D es
dado por la expresión:
V(S) = j j f ( x , y ) d A
___________ D _______________
2-
Consideremos la función f . D c ^ R 2------ >R, continua en la región cerrada D, tal que:
f(x,y) = 1, V(x,y) e D, entonces el área de la región plana D es dado por:
A{D) = ^ f { x , y ) d A =
D
JJ
D
dA¡
581
Integrales Dobles
Ejemplo.-
Calcular el volumen del sólido limitado superiormente por el paraboloide
t
2
z = 4 - x ~ - 2 y e inferiormente por el plano XY.
Z
Solución
z = 4 - x2 - 2 y 2 Proyectando al plano XY, se tiene z = 0 de donde:
* 2 + 2y
2 =4 , y = 0, y = ± 4 l , x = 0, x = ± 2
4-x
'2 IV 2
4J ( I
(4 - x2 - 2y í )dy)dx
= 4 p ( Í ^ 2 zdy)dx =
= 4¡
4J i rKl2
,
I
4 eos 0.2 eos 0.2 eos 6d6
3 Jo
X
sen© = —
2
X x = 2sen0
dx = 2cos0d0
64^/2 r /2
4 / 1 ,_ 64^/2 f»/ 2í l + cos 2 0 4 2
1 eos OaO =
1 '
'r< /0
Jo
Jo
T
2cos0 =-v/4-x2^ X 2
4 c o s 20 = 4 -
=
x
16^2 r*/2
(1 + 2 eos 20 + eos 2 20 )d8
2
\fy J 2 («12
J
3
2
rv
o
1+ COS40
I&J2 («12 3
Ü
cos40
-)d6
(l + 2cos20 + ------------ ) d 0 = -------- J
(—+ 2cos20 + —
3 0
2
I&J2 3x
sen40
¡«n
,
= ------- (— + sen 20 + --------- ) /
= 4-j2 n u
3
2
8
' 0
Ejemplo.-
Hallar el área por integración doble de la región limitada por las parábolas
y = 2-Jx, y la recta x = 4.
y = -Jx,
582
Eduardo E spinoza R am os
Solución
r4
■'n
Ejemplo.-
-i
*o
16 3
/. A(R) = — u
3
37
Hallar el volumen del cuerpo limitado por los planos coordenados, los planos x = 4
e y = 4 y el paraboloide de revolución z = x 2 + y 2 +1
Solución
V = j j zdxdy = j"J(x2+ y2+ \)dxdy
D
'Q '
4
Ejemplo.-
X
D
=J'o (J'o (x 2 + y 2 +l)</y)<£c= 1862/3u 3
Hallar el volumen del cuerpo limitado por los planos coordenados y el planos
x y z
- + —+ - = 1
a b e
Solución
583
Integrales Dobles
V = \\z d x d y = \ \ c ( \ - - - - ) d x d y =
D
D
o
Í0 C(V
2
XV
a
O
V 2
/ * ( 1 -7 )
-- ) /
2b
a ' o
3
f“(J*"
c (\---^ )d y )d x
b
a
0
6
f
X
1
I
aL
a
2
a J
X
1
te
fa
X
2 o
a
2
6(1 11----- (1-- )kitr=—J (1—)
dx = c )
0
b
dx
6
!Camjt>i<>,der Orden de integira^ió^j
En muchos casos una integral iterada puede evaluarse más fácilmente si se invierte el orden
de las variables en la integración. Esto se obtiene conociendo perfectamente la región.
Ejemplo.-
Calcular J^2 eos2 y - J l - P 1 sen2 x dxdy , 0 < P 2 < 1
'0 'o
Solución
0< x < v
Sea '
n
=>
D= Ux,
y)
e R2/0
<
x<y
a
0<y<—
0<y<— }
2
2
Grafícando la región de integración D se tiene.
J j eos 2 y y l - P 2 sen2 dxdy =
=JoP(fJo eos2 y ^ ] l - P 2 sen2 xdy)dx
2
9x
= — f 2 sen2xVl —P 2 sen2 x
2 o
dx
584
Eduardo E spinoza R am os
fl fy ve"
Calcular la integral doble I J 2
dxdy
0 y x
Ejemplo.-
Solución
ÍO<^ál
Graficando la región D.
Sea D :
[y2 < x <y
í \\—
y x
ve
dxdy = .P0 ([Jf 2
0 y x
dx)dy
dx
-j
9 0
(e*-xe*)dx =- ( 2 e x - x e ) / ' =
9
e-2
' 0
f4 f2
s
Ejemplo.- Evaluar la integral J J .yeos* dxdy
0 -Jy
Solución
10 < < 4
Sea D: \
[Jy<x<2
Graficando la región D.
x=2
2
5
f4 f4
*
, , —vcosx d x d v = \ ( | _ v c o s x dx)dy
o Jy
'
0 Jy
= J|)(J^ y c o8 xSdy) d x=j ^ ^— cosx5 j o dx
if
<•*
2
4
5
sen*
x cosx dx =-
/2
sen32
T• 0- :
1*4 1*4 _ 2
Ejemplo.-
Calcular la integral J J e
0
x
Solución
585
Integrales Dobles
J0<x<4
Sea D: \
jr < v < 4
Grafícando la región D.
yV -y 2
»n
' o 0’ x-
e ' dydx
dvdx = 0t\
\I \ (I\0í\ e
o
2 /v
f4
2
e V /4
l
x e } / dv = J ve y d v =
/ = — (e
Í4
o
'o ■
2
o
-1 )
2
(1 —e 16)
n * e y dvdx = —
2
,
1)
/ o •
dx)dy
Jo
"o '’ xt
Calcular la integral doble J Jc o s(x + y ) d x d y , donde D es un dominio acotado por las rectas
D
x = 0, y = ti, y = x.
Solución
JJ
c o s ( jc
+ y)dx dy = í ; . í ; cos(x + y)dy)dx
- I sen(x + y ) /* dx = 1 (sen(x + n ) —sen 2x)dx
"o
-r
eos 2x
'o
IX
1
1
JJ cos(jr + y)dxdy = - 2
D
2)
Calcular la integral doble
JJ x 2y d A , donde
Solución
D esta limitado por y = 2 x + l , y = x 2 + 1 .
586
Eduardo Espinoza Ramos
Y
J
v
=
at
+1
2
j
y = 2x+1/
[y=2jr+l
=> x +1 = 2x +1
x 2 = 2x => x = O, x = 2
*
1
/
jf
¡
son los puntos de intersección
0
X
. £ < £ '* ' atW
r - £
D
\ \ x 2y d A = J ^ y [(2x+1)2 - ( x 2 + l)2]d* = £ (2at3 + at4
3)
Calcular la integral doble J J xydxdy en la que el recinto de integración S está limitado por los
s
3
3
ÍT
ejes de coordenadas y por el Astroide x = Reos t , y = R sen t , 0 < í < —
2
Solución
l-T = 7?eos t
2/3
2/3
„2/3
, „2/3
2/3.3/2
3 =¡>x +y
=R
=>y = (R - x
)
ff
fu C(R
JJ xy dx dy = J^ (J^
s
C R x y 2
=
-x
/ ( R 1,,- x 2 n f 2
JJo - r2 - // o
y
xydy)dx
l
Cr
= - I x ( R 2/ i- x 2 n) 3dx
2 o
= - f jc(K2 - 3 R 4,2x 2,i + 3K2/V /3 —x 2)dx = *
80
2 o
4)
Calcular la integral doble
JJ Jty/icdv,
x 2 v2
- 7 - + ^ = 1 y sitúa' ' en el primer i uadrnr
a
h
donde D es un dominio limitado por la elipse
587
Integrales Dobles
Solución
y = -V a 2 - x
a
v »
x2
—z-h— ^- = 1, de donde 0 < x <a
a
b2
2
= ío (I«»oxydy
j jx y d x d y
2
2a
5)
Jo2 a2
x4
b ¿2 a*
~4
/“
4 / o ~ 2a2
Calcular la integral doble
Y'
)dx
.
¡°x
2
2 ,
b 2 fD 2
,
dx= \ —.——(a - x Ufr = — ^1 (a jr —jc )dx
T» 2 / o
fc2 a 2x 2
* 1 - 5 -----j< —v a - x
a
0<y
rt**-2
►
a X
f“X y 2
= I ------- /
a
2
2a2 0
a*
-4
a- ''ó 2
a 2* 2
8í a 2
8
4
j j ( x y + 2x 2)dA, siendo R:
,
Í U
- - ^
y = - J x , y = -x, x = 0, x = 4.
R
k
Solución
II
Graficando la región R se tiene:
■pl? 4
0 N. *
rS-k
§§(xy + 2 x 2)dA =
= 1\oM
{ x y + 2 x 2)dy)dx
x r
II
=\ \ —
■’o
?
+ Z x 2y ) / ' f7d x = \ \ - x 1 +— + 2 x 5/3)dx = 179.81
/
-x
■’o ?
?
Solución
Graficando la región D se tiene:
1
¡
n
r
7o
2
X
* ff2y-l
f* f° 2y-l
f2 v y
II—— dxdy= 1 (1
d v ) d r = | - ----- -;
x+1
x+ 1
-
/o
x + 1 '2 * - «
24x -1 8 x + 20
-dc = 36-421n3
f
x+1
dx
588
7)
E duardo Espinoza R am os
Calcular j*j*( j c 2 + y 2 )dxdv, donde D es la región acotada por la recta y = x y la parábola
2
y =x .
Solución
Graficando la región D se tiene:
0< x < 1
.
x=0
2 => x = x=> ^ _ j > D : | 2
[y = x
x2 <y<x
\y =x
\ \ ( x 2 + y 2 }d x d y = \ o ( \ j ( x 1 + y 2 )dy)dx
)dx
y )dxdy = —
n
(x+ 2y )d x d y , donde D es la región limitada por las rectas
y = 3, y = 1, x = 7.
Solución
Graficando la región D se tiene:
(J
\\(x+2y)dxdy = \
{x + 2y)dx)dy
'1 2y-l
X
=7
~ +lxy)/2_ldy=\x(2 4 + 1 8 y -6 y 3)dy
=| (
= (24y + 9y2- 2 y ' ) f =
,JJ(x +2y)dxdy = 68
D
(72 + 81 -5 4 )-(2 4 + 9 -2 ) = 68
y
x+1
= ---- ,
589
Integrales D obles
9)
Hallar la integral doble
fh x - y\dx dy
Solución
Í 0 < jt< 1
D = \ (x , y ) e R 2 /O < x < 1
|o< y < 1
a
0< v<l}
Graficando la región D se tiene:
\x-y
jr- y = i
[y —x
si x"¿ y
si x < y
Luego D = D. u D ,
JJ|* - )\dxdy = JJ |jt -y]dxdy + J J |* ~ y\dxdy
= J J (x - y )dxdy + J J ( v - x )dxdy
D,
D2
-M
(x-y)dy)dx +
£<JV
x)dy)dx
x
0
\ \ \ x - )\dxdy = \'o{ x y - ^ ) l X
odx + \ la ¿ - - x y ) l l' dX
Cix2
fi 1
x2
1 1 1 1 1
= I — dx+ ' In (—
- x + — ) d x = — V—
—
<■»
0 2
o 2
6 2 2 6 3
10)
•• Í Í \ * ~ A * ^ = 7
x 2\dxdy
Calcular el valor de la integral
Solución
íj o0 <- ^ - 1
f
2
=> £> = {(*,,y )e R / 0 < x < \
a
\
0<j/<1J
590
Eduardo E spinoza R am os
Graficando la región D se tiene:
Y
k
V
y —x 2
1
D,
y=x
X
1
y~x
=
2
x -y
por lo tanto:
^ x2
si y >
si y < x
2
D = Dl u D 2
y - x 1^dxdy = JJ| y —x 2^dxdy + JJ| v - x 21dxdy
D
D,
= |) (fo
fl
( x 2 - y)dy)dx +J¡o (J 2(y - x 1 )dy)dx
.
=J
,
1
(x - x 2 +—)dx
o
2
11)
Calcular la integral
X5 X3 X ti
1 1 1
II
= (— - — +—) / = — - + —= —
5
3 2 / o 5 3 2 30
ff.
I\\y -x
^
Í1¡*- 2| sen y dxdy
Solución
Ubiquemos la región D de integración.
¡I< xí4
í
1 0 < 3 / <, n
=> D = { ( j c . _ y ) /1 < x < 4
Y
a
0 < y < n }.
Graíicando la región D se tiene:
.
*
|Í ||:
0
1
fjr-2
si j r >2
|jr- 2 | = u[ 2 - x
si j r <2
X
2
4
JJ|x - 2| sen ydxdy = JJ|x -
por lo tanto D = Dl \j D2 entonces
2| sen y dxdy + JJ|x - 2[ sen y dxdy
11
\dxdy = —
1
30
591
Integrales Dobles
j*j*|jc —2¡ s e n = J* (J (2 - jc)senydv)dx + J (J ( x - 2)sen ydy)dx
D
= J ( j r - 2 ) c o s v / dx + J (2 —j c ) / dx = l ( 4 - 2 x ) d x + \ ( 2 x - 4 ) d x
"’l
' / O
J2
10
■’l
J2
= ( 4j r- j r2) / j + ( j r 2 - 4 j r ) / *
= 4 -3 + 0-(4-8)= 1+4 = 5
■■ f Jl* —2|sen_yífarfy = 5
12)
Calcular la integral
i í
" —j' + lJrfrflFy, donde D es la región limitada por las curvas
D
y = ( x - l ) 3 + l , y = I + Vat-1
Solución
Graficando la región D, y para esto calcularemos los puntos de intersección.
\ y = (x —1)3 + 1
( jc — l ) 3 =
Vx-
[y = Vjc-1 + 1
( jc—l)9 = Jr—1 = > ( x - l ) * = l
1
=>
x
=
1 dedondey=l
x - 1 = ± 1 => x = 2 , x = 0. Luego la región D es:
D = £>,u£>2
JJ(x- y +1)dxdy - JJ(jr- y +\)dxdy+ JJ(x - y +\)dxdy ...(1)
ff
fi
f ( * - n 3+ i
J J ( x - y + l)drdv = Jo (Ji 3/_
A
fi
1
,
/i+ (.t-i)’
{ x - y + l ) d y ) d x = ]o- - ( x - y + l) / i+^ - d x
= - ^ \ lJ ( - x 3 + 3x2 - 2 x + l)2 - { x - l ¡ T ^ ) 2]dx = l + i = i i
...(2)
592
Eduardo Espinoza R a m o s
n
^2
f2 fi+VTT
fi i
/í+V^T
(J
(x -y + \)d y )d x =J - ~ { x - y + 1) /
dx
( x - y + \) d x d y = J
*1
l+ ( jr - ir
=
•'o
... (3)
[ ( x - \ f x ^ Í )2 ~ ( x - { x - l f ) 2]dx =
l3
1
n (x-y+ l)dxdy =—
+— = 1
ahora reemplazamos (2), (3) en (1):
13)
f 1+ ( j t + 1)
2
14
14
J J c * - v ) d x d y , sobre la región D por arriba de y = |x - l | y
Calcular la integral doble
debajo de y = 4 - |x|
Solución
Grafícando la región D, de donde se observa que:
D = D i Kj D2 <j D3
y =x' 1
Luego a la integral doble expresaremos en la forma
1
5/2
(2x - y) dxdy =
4
jj(2x-
\
X
y) dxdy + JJ (2 x- y) dxdy + JJ (2jc - y)dxdy
-
( 1)
A
fo
(2x-y)dxdy = J^ ^
fo
C&+x
1 8x'
=-(
72 k' 33
y2
/4+*
^ dx
=
f°
(2x-y)dy)dx = J 3/2( 2 * v - y ) / , * = ) y i
/oo
x - 15x) /
(2x - v)dxdy = J( (J (2 x - y ) d y ) d x
'/
-3
- 3 /2
/2
8x2 + 2 x - 1 5
45
8
=J^( 2 x y - ^ ~ ) /
ilSx-15
-dx
j
dx
593
Integrales Dobles
ff
f 5 /2
f4 -jr
f 5 /2
v2
/4 -x
JJ(2x-^)drífv = Ji (J i(2Ar-^)</y>fe = ^ (2xv— ^ ' ) / jr l¿í
Dy
X
1 f5/2
=-J
,
1
8JC3
,
( - 8x + 26jr - 15)<ir = —(— — -»-13jc2 -15jc)
/5
25
^ _ 25 _ 7 _ i Z
= 2 4 _ ( _ 3 ) = 24 + 3 = 8
14)
Evaluar
J
0
j y X y 2(x3 + y 3 ) l22dxdy + ^ ^y x y 2(x 3 + y i ) 112dxdy
2
1 y
Solución
Ubicando la región sobre el cual se realiza la integral
=í f
-
+y ,f> r ,
f£
f j;
^ ' 2
,.2 /„ 3
, „ 3 x- l / 2 .
^ j f 1
loJ¿,JryZ(jr3+>'3) ll2d x d y + ^ Jz xyz(Jr3 +.y3) u í dxdy =
I
15)
- 1í
Calcular la integral
JJ[|— |] J —e
x = 1, x = 2, y = x, y = 3x.
4 (3 -V 2 )
21
I—
d xd y, donde D es la región plana limitada por las rectas
594
Eduardo Espinoza R am os
Solución
Graficando la región D.
Ahora definimos el máximo entero de [| — |] en la región Dl
x
=
=
1
2
1< — < 2
x
[| —1] = 1
—= 2
2 íl< 3
—= 3
¡¡[¡f
D
*
=>
[| — |] = 2
X
X
dxdy = j f [ \ ^ l ] l í e ^ d x d y + f f [ t ^ n l í e ^ dxdy
' y
Dt
X
X
* 'V
■ í í j ^ e ^ d x d v + 2 í í j ^ e ^ eixdy = ^ ( í x ^ e f * d y ) d x + 2
= J| 2x e ^* j
^(f2^ e f * d y ) d x
d x+ l\^ 2xe^* j ^ dx=j^ ( 2 x e ^ -2xe)efx + 4 ^ ( x e ^ - x e ^ ) d x
= ( e ^ - e) x2 ¡ \ + 2(eS - e41 )x2 / * = 6 e 5 -
- 3e
\\[ \^ \\^ - e ^ d x d y =3(2e^-e'*2 -e)
n
vy
16)
Calcular el área de la región comprendida por: D: y = x 2,
Solución
y
2 = j c , por integración doble.
595
Integrales Dobles
AD)
=JJ
dxdy = J^( j ^ d y )d x
D
p
17)
r
2
2 x 3' 2
x3
/i
2
1
1
Hallar el área de la región R limitada por las curvas y = x —x , v = sen n x
Solución
Dibujando la región R.
Luego la región R es dado por.
x 2 - x < y < senrr x}
R = {(x,_y)/0< x< 1 a
Luego el área es dado por:
A(R) = JJ dxdy
fl
= I (I
Jo
fsennx
J jc
¡i
dy)dx = I (sen(7rx)-x +x)dx
Jo
jc
cosrr x x 3 x 2 /i
1
= ( - ---------- — + — ) / = ( —
n
3
2
0
^
7
1 1
+7 )-(
3
2
1
n
0
22 1
)= -+ - =
n 6
2
18)
^
+12
6n
2
x
y
Hallar el área de la región R encerrada por la elipse ~ + ~ Y = 1> a,b > 0.
a
b
Solución
Luego la región R descrita por R= { ( x , y ) / - a < x < a
a
— J a 2 - x 2 < y < —J a 2 - x 2 }
a
596
Eduardo Espinoza Ramos
= A{R) = \ \ d x d y = [
R
=f
19)
(
-a a
( \ “^ Z T dy)dx
°
7"^
J ¿ ~ 7 )d x =— f
a -a
-
Hallar el volumen del cuerpo limitado por el paraboloide
dx = a b n
z = x 2 + y 2, los planos
coordenados y el plano x + y = 1.
Solución
V = jj z d x d y =
jj ( x 2 + y 2 )d x d y = jo (J'o
f1 i
=v x y
y
fl~x
( x 2 + y 2 )dv)dx
p - 4 x +6x - 3 x + l
1
5------------ * - 6
V = j \ z d x d y = —u 1
20)
Hallar el volumen del cuerpo limitado por los planos coordenados y los planos x = a, y = b y
x2 y2
el paraboloide elíptico z - -j —+ — .
Solución
597
Integrales Dobles
V = jjzdxdy =jj
(|~ +^
) dxdy
D
1 f« ffc x 22
2 rfo rfo p
.2
y2
q
l [a b 7 b3
2 o p
3q
1 a 3b
2 3p
ab3
3q
ff
ab a 2 b 2 ,
V = )J zd xd y = — (— +— )u
6
21)
P
<¡
Calcular el volumen del cuerpo limitado por las superficies x 2 + y 2 = a 2, x 2 + z 2 = a 2
Solución
Calculando el volumen de octava parte del cuerpo dado en la figura.
Y
ik
b
V ff
— = J J zdxd y, de donde
O
D
V
t "
**
V ^
V - 8j*J*zdxdy -- 8j"j"Va2 - x 2 dxdy
" - 4*
ú
v
0
D
a
D
=8[“(í’k X-Ja2 - x2 dy)dx =8[“-ja2- x 2 y / ^ “ * dx
X'
y0 0
=
•'o
' o
3
16a3
(a2 - x 2)dx = 8(a2* - y ) / “ = 8(a3 - y ) =
/. V = % \\zd xdy =•
16a3
j
D
22)
Hallar el volumen limitado por las superficies y 2 = x , z + x = 1, z = 0
Solución
Proyectando al plano XY, se tiene.
v = \ \ záxdy = J J f 1—x)dxdy = Jo (J' * (1 - x)dy)dx
D
D
V = { l( l - x ) y
r-dx = 2J \ l - x)Jx dx = 2 P(jc*/2 - x V1) dx
Jo
/ -4x
o
o
598
Eduardo Espinoza Ramos
= 2[—x 3/2 - —x5/2] t = 2[— ] - 0 = 2(— ) = —
3
5
/o
3 5
15
15
K = JJzdxrfy = -j^u 3
D
23)
J J t g x 2dxdv
Calcular la integral
Solución
Ubicando la región D sobre el cual se calcula la integral
ÍO<_v< 1
,
Dr. i
, => D = {(x, v ) / 0 < y < 1
l_y<x<l
.
a
v<x<l
'
Gradeando la región D.
JJ tg x 2dxdv = ¡ (J tg x 2dx)dy
0 y
como la integral J tg x 2dx se puede calcular por ningún
y
^
método de integración, en este caso se cambia el orden de
integración.
JJ tg x 2dxdy = JT(J tg x 2dx)dy = J^(J^tg
D
y
= i x tg x 2íix = —lnsecx2 / = —lnlsecll
Jo
2
/ o 2
24)
Evaluar la integral
•JJ
tgx dxdy = —ln(secl)
t0 í x - j x ^ + y=2 d y d x
Solución
0<x<a
Ubicando la región D sobre el cual se realiza la integral D:
x^y^a
599
Integrales Dobles
Grafícando la región D.
JJ
D
-J x
t
25)
f« f«
X
2+
dx dy = J (J y
X
dy)dx
>i¡x2 +y 2
2
& y-y vy=
/ ¡ =
r ° 2
Calcular la integral J J ey/xdxdy
o Jy
Solución
Ubicando la región se tiene:
í0--^ -1
[Jy < x < i
^
(
D = \(x ’y ) / 0 ^ y ^ 1 *
r-
)
Grafícando la región.
J0 \Vve
ylxdx dv =
J° (JJJy e ylxdx)dy
= P ( f X e>’/xd y ) d x = j 1x e Wx / ' dx
'í) J0
J0
• 0
f1
r
X2
/*
= )0(x e - x ) d x = ( { x - l ) e — ^ ~ ) / 0
=(0 -Í)-(-i-0 )= l
600
Eduardo Espinoza Ramos
|S.11|^ Ejercicios Propuestos.]
1)
Calcular la integral sobre
JJ e x+ien>' eos y dxd y,
si
la
región D es el rectángulo
D
0 < x < ti,0 <y<— ,
2)
Rpta. ( e - lK e ” -1 )
Calcular la integral doble
JJ e x+y d xdy, donde D es la
región 0 < x ^ l , 0 ^ y ^ l .
Rpta. (e —l)2
3)
JJ
Calcular la integral JJ —
y d x dy
j— 2 ^3/2 » donde D es la región 0 < x < 1 , 0 < y <1.
Rp“ - n(T r j r )
4)
Calcular la integral
j j x 2y e " í l x í f f ,
donde D esla reg ió n 0 < x < 1, 0 £ y £ 2 .
D
Rpta. 2
5)
Calcular las siguientes integrales.
a)
Jo Jfx-2|sen
vdrdy
'i
Rpta. 2(1-eos 2)
b)
í í (v„x 2 + y )d yd x
'o
Rpta.
c)
J J0 (8* + 2y)d yd x
f2 f2
i
Rpta.
6
152
-j-
Integrales Dobles
g)
R pta.
Jo Jo |cosxy|ííc£(y
*> í0 t'0
6)
601
sen2 x.sen2 y dxdy
Calcular la integral doble
J/l'
2n
Rpta.
71
+ ^ d x d y , donde D: [-l,l]x [-l,l].
R pta. -
7)
Calcular la integral doble j"j"-y/|_y-jc2| dxdy, donde D: I xl < 1, 0 < y < 2.
Rpta.
8)
20+3;r
12
Calcular j*j*f ( x , y ) d x d y , donde D: [-n,6]x[-2,2]
|y -s e n x | si - n < x < n
f ( x , y ) = x +y
a -2<y< 2
si x < 5 + y 2
si x > 5 + y
73
Rpta. 61+— + S 7 r - n 2
9)
Calcular j"j"f ( x , y ) d x d y , donde D: [ - 1 , 2 ] ^ - - siendo
|x - t g y |
si |x|< 1
a
71 X
V > ---------
Si
y+— <—
2
371
10)
371
SÍ
Calcular la integral doble
y = x, x = 0, y = 1, y = 2.
R pta. 2 + — 71
—
4
71 X
+ y 2)dxdy, si la región D está limitada por las lineas
Rpta. S
602
11)
Eduardo Espinoza Ramos
Calcular
JJ(3* 2 - 2 x y + y)d xd y,
si la región D está limitada por las líneas x = 0, x = y 2,
D
244
R p t a . --------21
y = 2.
n 2 y -l
— 5-----dxdy,
,
donde D está limitada por y = 4 - x . y = 0.
n * Z+1
80
Rpta. 4 arctg 2 — —
13)
f f senx.dxdv
t
.
n
i
Calcular 11
donde D = {(x, v ) / 0 < x < — , 0 < v ^ x }
" 4 -se n v
2
Rpta. —ln3
4
14)
Calcular
JJ eos(x+ v)dxdy, donde D es un trapezoide limitado mediante segmentos de rectas
D
n
n
n
k
de los puntos ( y ,0 ) , ( r r .y ) , { - n , — ) , ( - y , 0 ) .
Rpta.
5)Calcular
Jj"-^..y - y■’ d x d y ,
n
y
donde D es un triángulo de vértices en los puntos 0(0,0),
D
A(10,l) y B (l,l).
6)
Calcular
Rpta. 6
JJ e x+ydxdy , donde D es el interior del triángulo de vértice (-7,-6), (5,3), (0,0).
R p ta .
T)
Calcular
JJ y ln xd x d v,
3e8 3e-13 41
1h----56
91
24
si la región D esta limitado por las líneas xy = 1, y = V 7 , X = 2.
D
5(2 ln 2 -1 )
Rpta. -
Calcular
JJ (2jcy —3x 2)dxdy, donde D es limitado por
y = ln]jc|, y = 0, y = -2.
603
Integrales Dobles
19)
Calcular
j"J(jc + y)dA , donde D es la región limitada por xy = a 2, 2(x + y) = 5a.
D
Rpta.
20)
9a3
Calcular J*J*(3x + v ) d x d y , si la región D se define por las desigualdades x 2 + y 2 < 9 ,
D
2x
y > — +3
3*
21)
Calcular
432
R p t a . --------169
Jj"||x]-
|y| - l|í£tt/y, donde
D = Dl 'u D 1
D, = [0,3]jr[-2,2] y D2 el
siendo
D
triángulo formado por las rectas x = 0, y = 2, y = 8 - 2x.
22)
j"j"sig(x2- y 2 + 2)dxdy,
Calcular la integral doble
Rpta.
donde D
142
----3
es la
región limitada por
D
4n
l + V?
Rpta.----- +81n(— ■=—)
3
V2
2 2
x +y < 4.
23)
Calcular J"J"^ |[ |y - x 2|] d x d y , donde D: x 2 < y < 4
D
Rpta. - ( 4 - 3 V 2 + 4 V 3 )
3
24)
Demuéstrese que sí f(x,y) = g(x) h(y) entonces
J \ f ( x , y ) d y d x = ( \ g (x )d x )(\h (y )d y )
a c
a
c
25)
Hallar el
valor
- x 3 - y 3 dxdy, donde D es la región limitada por las
de
3
3
b 'neasx> 0, y > 0 , x + y <1.
Rpta.
n
2 l4 í
26)
Calcular
Jj*jc2y2(a3- x 3 -
y i )1/2d xdy,
donde D es la región limitada por x > 0, y > 0,
604
27)
Eduardo Espinoza Ramos
Calcular
j"j"y dxdy , donde D es el recinto dado por:
x 2+ y2-2 y < 0 .
D
R pta. n
28)
Calcular
j"j"x y 2d x d y , donde D es el recinto dado por x 2 + y 2 - 2 x < 0 .
n
R pta. —
8
29)
Calcular las siguientes integrales dobles.
a)
f2 f 2x
I I dydx
b)
J[
sen 71 x dydx
Rpta.
f2fy
x+v
ydxdy
4 ,2
e - 3 e +2e
Rpta. -----------------2
Rpta.
3
—
n 2-4
c)
l i e
Ji Jo
2n
3
[n !2 f y
J sen x.dxdy
-V
d)
J
0
e)
JmJ dydx
-1*0
+ y)dydx
o
g)
J(
h)
f2f3e*
J J i— ¿xdyd x
0
J J
o
ex+ydxdy
y4—x
Rpta. 0
Rpta.
Rpta.
Rpta.
1
e 2 —2
e - 3 -1i
e -21 i 1i
2
3
e
3 4 25
Rpta. —e ------2
6
y,
—sec/ia ,(—)dydx
X
x
Rpta.
csch4
ln(---------) - 2 t g h l
csch2
ÍonoJfl+cosxy j senxd ydx
Rpta.
4
—
3
2 x
605
Integrales Dobles
C n/2 fl
k)
I
I
■'o
■'eos*
fir/2 f3cosy
I)
30)
1 5 7 T -1 6
.
y dydx
I
I
- ir/2 0
Rpta.--- ----------150
.
,
12
x sen y dxdy
R pta.
Calcular la integral doble J J x-Jy d xd y, donde D es la región encerrada por y = x 2,
y = - x 2+1
31)
32)
Rpta. -
*
15^2
Calcular j j ( 2 x + 2 y ) d x d y , donde D es la región acotada por las curvas y = x 3, x = y 2.
Rpta.
53
—
70
R pta.
—a
3
R pta.
----------------36
Calcular las siguientes integrales dobles.
fo fV ^ V
»)
b)
33)
—
5
x + y ) dydx
J-fl )^0
Sx + y
t e t *1
I I In y d vd x
1v
'
Calcular
JJ (1 + x) sen y d x d y , donde
2
3
4e3+ 9 e2 - 7
D es el trapezoide de vértice (0,0), (1,0), (1,2), (0,1).
D
3
R pta. — i-cosl + se n l-c o s 2 —2sen2
2
34)
Calcular
JJ e x+vdxdy , donde
D = \ ( x , y ) l |x| + [y| < lj
1
R pta. e —
e
35)
Calcular las siguientes integrales dobles.
606
Eduardo Espinoza Ramos
n i-V
31
Rpta. —
60
( x + y ) dydx
o'o
*>
n
d)
f2 f*2 2
I I xy dydx
Jo Jo
íW V
i -O
* *
n
n
V sen( K
R p*.
32
Rpta. —
3
x)dy dx
R pta.
« J
2
36)
e " - 3 e í +2e
Rpta.--- -----------------
J J 3ydydx
o 'o
Í
n ¡2
n 2- 4
--------- r —
2n
y x+
e dxdy
1 'O
g)
21
fsenx
J
Rpta.
1
(] + —= = ) d y d x
Rpta.
a3
n 2+8
Calcular ^ j x c o s ( x + y ) d x d y , donde D es el triángulo cuyos vértices son (0,0), (rc.O), (n,n).
3n
R p t a . -----2
37)
Calcular
JJ cos(x + y ) d x d y ,
n
n
puntos (±7T,—) y (±— ,0).
2
38)
Calcular
2
JJ ( x 2 + y ) d x d y ,
sobre el trapezoide definido al conectar mediante rectas los
Rpta. 0
donde D es un dominio acotado por las parábolas y = x 2 e
D
y 2 =x .
39)
Calcular la integral doble
33
R pta. ----140
JJ|x + y \d xd y, donde
D: [-l,l]x [-l,l].
607
Integrales Dobles
40)
Calcular la integral doble
JJ -\jiy ~ x 2 \dxdy , donde
D: |x| < 1,0 <y <2.
D
41)
Calcular la integral J J y ^ e ^ d x d y , donde R esta limitada por x = y 2 ,x = 4y 2 , x = 4.
R
42)
Evaluar
JJ|jr2+y2|dxdy
donde D: 0 < x , 0 < y , x + y =
1.
D
43)
Calcular las siguientes integrales:
3)
í í (jf2 +y 1 )d x d y , donde la región
D
esta
limitada por las
rectas
y = x,
D
4a 4
R pta. ------
x + y = 2a, x = 0.
b)
JJ (x + 2y)dx d y , donde la región D esta limitada por las curvas
y = x 2 e y = -Jx
9
Rpta. —
20
c)
JJ ( 4 - y ) d x d y , donde la región D esta limitada por las curvas
x 2 = 4 y , y = 1, x = 0,
D
(x > 0).
d)
R pta. —
JJ-\/a2+ x 2d x d y ,
donde la región D esta limitada por las curvas y 2 —x 2 = a 2 ,
D
x =a, x = 0, y = 0, (y > 0).
44)
Calcular la integral
JJ e x+yd x d y , donde la región D
4a 3
R pta.-------
esta limitada por las curvas y = e x ,
D
x = 0, y = 2.
Rpta. e
Eduardo Espinoza Ramos
608
n
xdxdy
— ----- =-, donde la región D esta limitada por las curvas y = x tg x,
D x + -v
y = x.
46)
Rpta.
32
Calcular la integral ^ j ^ x y - y 2 d xd y , donde D es el trapecio con vértice A (l,l), B(5,l),
D
C(10,2), D(2,2).
47)
Rpta. ^
Calcular la integral j j y d x d y , donde D es un triángulo con vértices 0(0,0), A (l,l), B(0,1).
D
Rpta. 1
48)
Calcular el área limitada por las lineas y 2 = 4 x - x 2, y 2 = 2 x (fuera de la parábola)
R pta. (2 n
16
)u
2
3
49)
Calcular el área de la región limitada por las líneas x = y 2 - 2 y , x + y = 0
„
1 2
Rpta. —u
6
50)
Encontrar el área de la región en el primer cuadrante acotada por las parábolas x 1 = 4y ,
x2 = 8-4y.
51)
2
Hallar el área de la región limitada por las líneas y = 4 ( l - x ) ,
parábola).
52)
Rpta. y 1*2
Hallar el área
2
2
x + y =4
(fuera de
la
8 2
Rpta. (2n - —)u
2
2
de la región encerrada por las gráficas de x = 4 y , y = 4 x , x + y = 3,
609
Integrales Dobles
53)
Hallar el área de la región acotada por las lineas
2
9
2
9
2
a)
y = x +2, y = x + 4
b)
v =x , y =x+2
c)
x =y , x = 2 y - y
d)
y =x, i - v = 2
R pta. —u
e)
>' = W» 4 j' = 4 x 2 + l
Rpta. — u2
12
I)
x = y - v , x+_y = 0
Rpta. —u
g)
x 2 =4y, 2 y - x - 4 =0
Rpta. 9u2
h)
v = jr3 - 2 x , y = 6 x - x 3
R pta. 16u2
i)
>| 2 = 2 x , x 2 + y 2 - 4 y = 0
Rpta. ( n - —)u2
J)
y = x 2 —9, y = 9 - x 2
R pta. 72 u 2
k)
y =4 x - x , y = x
R pta. —u
2
I)
)>2 = 9 + jr, >’2 = 9 - 3 j t
R pta. 36 u 2
2
2
R pta. —u
2
R pta. —u
2
2
2
2
2
1
R pta. —u
9
2
2
2
4
9
2
2
II) v, + 12 = x 2, _y = |jrl
R pta. 68 u 2
m) y = e*, y = ln x , x = 1, x = 2
Rpta. (e2 -2 1 n 2 + l —e ) u Á
n) y = ex, y = - x 2, x = - 2 , x = 2
Rpta. (-y + e2 -e ~ 2)u 2
610
54)
Eduardo Espinoza Ramos
Hallar el área de la región plana limitada por la parte de arriba por x 2 + y 2 = 2 , y en la parte
2
de abajo por y = x .
55)
Calcular el área de la región del plano XY, acotado por las gráficas de las curvas x = y i ,
x + y = 2, y = 0.
56)
Rpta. 8 u 2
Por integrales dobles, calcular el área de la región D acotado por las curvas
y —1 - 6 x 2
58)
Rpta. - u 2
4
Por medio de la integral doble, hallar el área de la región D comprendida entre las curvas
y 1 =4 - x y y 1 =4 -4 x.
57)
^
^ 2
Rpta. (— +—)u
2 3
Calcular el volumen del cuerpo limitado
y = 1, z = 0.
y =x 4,
Rpta. ^ u 2
por
las superficies z = x 2 + y 2,
Rpta.
88
y = x 2,
u2
105
59)
Calcular el Volumen del sólido cuya base de la región en el plano XY acotada por las curvas
y = 4 - x 2, y = 3 x y cuyo techo es el plano z = x + 4.
625
Rpta. -----
12
60)
Hallar el volumen del cueipo limitado por el paraboloide hiperbólico z = x 2 —y 2 y los
planos z = 0, x = 3.
61)
Rpta. V = 27w3
Hallar el volumen del cuerpo limitado por las superficies del paraboloide hiperbólico
z = xy, el cilindro y - -Jx y los planos x + y = 2, y = 0, z = 0.
3 ,
Rpta. V = —w
O
62)
Hallar el volumen del sólido en el primer octante limitado por las superficies x + z 2 = 1,
611
Integrales Dobles
63)
Calcular el volumen del cuerpo limitado por las superficies x 2 + 4 y 2 + z = l , z = 0.
n \
Rpta. — u
4
64)
Hallar el voliunen del sólido indicado.
a)
El tetraedro acotado por los planos coordenados y el plano z = 6 - 2x - 3y.
R pta. 6 u 3
b)
El tetraedro limitado por los planos coordenados y el plano 3x + 4y + z —2 = 0
R pta. 2 0 u 3
c)
El sólido del
2
1er octante limitado por la superficie 9x + 4 y
66)
= 3 0 y el plano
Rpta. 10 u 3
9x + 4 y - 6 z = 0.
65)
2
Hallar el volumen del sólido limitado por las superficies.
a)
z = 4 - y 2, y + z = 2,
b)
z = y, z = x +v ■
2
x = 0,
x=2
2
Hallar elvolumen encerrado entre las superficies
Rpta.
9«3
R pta.
—
32
^
x 2 + 3y2 —z = 0 , 4 —y 2 = z
R pta. 4 n u
67)
Calcular
el
volumen
del sólido limitado por las superficies
Calcular
el
volumen
R pta.--------10
del sólido
x + y + z = 3, x + y + z = 4.
69)
2
27-Jl
z + 2y - 4 = 0, y = 0.
68)
2
z = x , z =4 - x ,
limitado por
las
superficies
y = 2x, y = 2 x 2,
1 3
R pta. —u
Calcular el volumen delsólido en el primer octante acotado por los planos coordenados y el
plano 2x + y + z = 6.
Rpta. 18«3
612
Eduardo Espinoza Ramos
70)
Hallar el volumen de la región limitado por el cilindro x 2 + z= 1 y por los planos
4 j
R pta. —u
x + y = l , y = 0 y z = 0.
71)
Hallar el volumen del sólido limitado por la gráfica de z = l —x 2 - 4 y 2 e inferiormente
2 . .
2
.
,
„
72)
Rpta. —7r a 3 u 3
4
Hallar el volumen del espacio
comprendido debajo del plano x + y + z = 8, arriba de
z = 0 y entre los planos x + 2 y = 8 , x - 2 y = 8.
74)
2 j
Rpta. 170—u
3
2
2
Hallar el volumen del sólido en el primer octante limitado por el paraboloide z = x + y , el
2
2
cilindro x + y = 4 y los planos coordenados.
75)
3
Hallar el volumen del sólido limitado arriba por y 2 = a 2 - a z y abajo por z = 0 y dentro de
x 2 + y 2 = a 2.
73)
.
Rpta. ~ ^ u
por la gráfica de x + 4 y - 4 z = l.
Rpta. 2 n u
3
2
•
2
Hallar el volumen del sólido limitado superiormente por el paraboloide 2x + 4 y = 4 - z e
2
2
inferiormente por el paraboloide 2x +4y = 4 + 4z . Rpta. —=
V2
76)
Hallar el volumen del espacio comprendido debajo de z = 4 - y 2 arriba de z = 0 y dentro de
2
2
las superficies cilindricas y - 2 x = 0 , y
77)
= 8-2x.
R pta.
512 3
Hallar el volumen del espacio comprendido debajo de z = 2x + a, arriba de z = 0 y dentro de
x 2 + y 2 =2ax.
Rpta. 3 iza u
Integrales Dobles
78)
613
2
de la región limitada por estas superficies.
79)
R pta. 157tu 3
R pta. 28t t u 3
2
=2x.
43
R pta. — n u
16
3
Hallar el volumen del sólido limitado por x + y 2 = az y x 2 + y 2 = 2a x , en el primer octante.
37ia2
Rpta.
Hallar el volumen del sólido limitadosuperiormente por el paraboloide 2 x 2 + 4 2 = 4 - z e
inferiormente por el paraboloide 2x2 + 4 y 2 = 4 + 4z .
R pta.
-^r
V2
83)
2
Hallar el volumen del espacio comprendido debajo de 4 z = 1 6 - 4 x 2 —y 2 arrib a d e z = 0
2
82)
= 4 x . Hallar el volumen
2
ydentrodex + v
81)
2
Calcular el volumen de la región sobre el plano XY dentro del cilindro x + y = 4 y debajo
de paraboloide 2 z + x 2 + y 2 = 16.
80)
2
El plano XY y la superficie y = 1 6 -4 z cortan al cilindro x + y
Calcular las siguientesintegrales dobles.
ey'xdxdy
a)
b)
fir/2 Cx senx
J
I --------- 5— dydx
o o 4 -s e n y
Rpta.
R pta.
fi f« 1+ x
4 e-9
c) ' X ~ dydx
d)
Rpta- ~2~
— d xd y
lln>
n v vy
Rpta.
r
Í ir/2 fir/2 senv
J
-yd y d x
Rpta.
J J
1
o
Jx
ln3
----2
y
8
3
1
614
Eduardo Espinoza Ramos
Rpta.
g)
h)
I)
84)
O
y
r r (x - 1h/l - e l y dy dx
'i 'o
f'íf' —
Jo
Jy
Rpta.
tg x ¿)dxdy
(J
Rpta.
Rpta.
1 —eos 1
J ^(J
f ( x , y)dx)dy
Cambiar el orden de integración:
a) JO
f ( Jy¡ ^ f (x ,y )d x )d y
c)
fl
b)
Wt-Jr-
f4
y(y(x,y)dy)dx
d)
g)
| ( \ h x,y)dy)dx
k)
f ?(p f
*
-j c
» 'I /W
b)
rilrx-.
0<J>-
J \x ,y ) d y )
l 'í f c
J*a
e) Jof (T
f ( x ,y )d v )d x
J 2x
85)
In2
^ [ 2 V 5 - V 2 + l n ( ^ ^ ) - i ( 5 3/2 - 2 3/2)]
2
V2+1
6
¿t)¿y
X
e -1
>6 p 31-Jl 214x a2
y)dy)dx
"
f ( x ,y )d y )d x
f ( x ,y ) d y ) d x
<»
r ,<
1 J -i3 - V l 2 + 4 j r - J t 2
I)
í (fX
f (x ,y ) d y ) d x
Jo Jo
Representar en una sola integral iterada a la suma de las siguientes integrales.
-1 /d—
■2 f e '
Rp“- C . L - * *
615
Integrales Dobles
86)
Representar en una sola integral iterada a la suma de las integrales
f 2 /3 l - y ü
■L V
•r .. i.
y_.
-6
f2
f2
f(x ,y )d x d y + 1 1 /
— ++y~
2 /3 —
y- 1
f(x ,y )d x d y +
4
— + y-\
ffi f - 2 + J l 6 - ( j t - 2 )2
f 2 /3 f - 2
[2 C 2 + jfl6 -(y + 2 )2
RP‘a- J J ^ +
87)
Representar en una sola integral iterada a la suma de las integrales.
1 J
0
r ¡ —t (* 2 + y 2) 1'2d x d y + \ J
a—y a - y
O a
^ ~y ( x 2 + y 2) U1 dxdy ,
a (y¡2 a x-x2
Rpta88)
f0 í0
a>0
2
2
m
(x* + y ‘ ) u‘ dydx
Representar en una sola integral iterada a la suma de las integrales.
C7 "
y )* * * ■
+&
2
í / f c , y ) dydx
Í 2 fx
Rpta.
f
7T X
f4 f2
J J sen(----- ) d y d x + ] J
i Vx
2y
2
7T X
90)
Calcular a siguiente integral doble.J J (x + y )dxdy+ J J
'o 'o
'i 'o
2
,
f2 ( 2 - y
4
Rpi*. 3
Calcular la siguiente integral doble
í t e^ d^dx+!X eX^ dydx
4(71+2)
sen(----- )d y d x = ------ j—
2y
n
Demostrar que:
fl fy
y f(x,y)d x d y
f
y
89)
91)
f(x ,y )d x d y
4 ,- 4
s 2e
R pta. 4e +—
(x + y )dxdy
616
Eduardo Espinoza Ramos
92)
Cambiar el orden de integración escribiendo la expresión dada en forma de una integral
iterada de segundo orden.
r' ry
r3 r1
a)
£ (J / / ( * , y)dx)dy+ | ( p f ( x , y)dx)dy
b>
\Alf{x'y)dy)dx+[ ^\/^x'y)dy',dx
c)
£ ( £ / ( * . y)dy)dx+ 1 (£"*~ f ( x , y)dy)dx
x1
1
3
3 ~x
10
x+2
d)
J 2 (£"*” / ( * , y)dy)dx +
Í
7
f3
f9
(Jo f ( x , y ) d y ) d x + ^
x+2
( j ^ i — f ( x , y)dy)dx
p lO - .r
(Jg f( x ,y ) d y ) d x
f2 fl-^4x~x2-2
1 fjr3
Í ( ] f ( x . y ) d y ) dx + J ( J f ( x 9y)dy)dx
93)
Hallar el valor de
J (J
(J
( x 2 + y 2)dx)dy +
y (x 1 + y 2 )dx)dy.
jr
J
»4
dx,
calcular
en
función
M,
el
x
i
f1 f2 S^ d x d y + í ‘ [As^ d x d y + f3( f 3 s^ d x ) d y .
X
Jo J 2 X
Jl jy+l X
Jo Jl+j>
[V iü * )* .
h Jí X
95)
Calcular ( V i S Í
Jl Jl x
96)
Calcular I (I
97)
Calcular la integral j j y 3e xydxdy, donde R esta limitada por x = y 2, x = 4y 2.
M
J- l
f j9 + 9 x
J - j9 + 9 x
«15
f j9 + 9 x
y dy)dx+ I (I
Jo
Jjr-3
y dy)dx
valor
de:
617
Integrales Dobles
5.12 ¿ Integrales Dobles Mediante Coordenadas Polares.]
En ésta sección veremos cómo se realiza el cambio de variables de una función ffx,y) de las
coordenadas (x,y) a las coordenadas polares (r,0). La transformación de las cartesianas a las
polares se ha estudiado en el libro de Análisis Matemático II para estudiantes de Ciencia e
Ingeniería, aquí veremos su efecto sobre las integrales dobles.
Consideremos una región D c z R 2 acotada por a < 0 < P y a < r < b; es decir:
Trazando rectas a través del polo y círculos con centro en el polo, se obtiene una partición P
de la región D, que viene a ser una red de “n” regiones llamadas rectángulos curveados.
A la norma de la partición representaremos por IP| y es la longitud de la diagonal más grande
de los rectángulos curveados.
El área del i-ésimo rectángulo curveado r¡ es igual a la diferencia de las áreas de los sectores
circulares, es decir:
r2
A(ri ) = -^ - (0 í
r2
donde r¡ = r' +£ ~ l , Ar¡ = r ¡ -
1
- e i_l ) = - ( r i + r¡_1)(ri - r i_i )(ei - 0 i_l )= rl .Ar{.A6¡
, A0¡ = 6, - 6 ^
618
Eduardo Espinoza Ramos
Consideremos una función f : D e . R 2
»R continua sobre D y sea (r¡,6¡) un punto en
la i-ésima sub-región con 0,- j <, 6¡ <. Q¡ , luego formando la suma de Riemann se tiene:
] £ / ( / • ,6i)A(ri )= X / f o . ei )r¡ •Ar¡ .A 6¡
i=i
1=1
tomando límite cuando I P| —> 0 se tiene:
n
n
• di )Mr¡)= Urn^ X / t o •di K ■ ■A6i
a este limite denotaremos por J J f ( r , 6)dA, es decir:
D
\ \ f ( r , e ) d A = j j f ( r , 0 ) r d r d 6 = lim ' ^ lf ( r i ,e i )ri .Ari .A6i
D
Observación.-
D
M ^ ° .= l
Sobre la región D en el plano coordenado polar situaremos una superficie z = f(r,0),
donde f : D c z R 2
>R es una función continua sobre D con
f(r,0) > 0, en D.
Luego el sólido comprendido en la región D y la superficie z = f(r,0) tiene un volumen V _
dado por:
V(s) = jjf(r ,Q )r d rd Q
D
619
Integrales Dobles
{5 13
Integrales Iteradas en Coordenadas Polarisi
Consideremos dos casos para el cálculo de las integrales mediante coordenadas polares,
le r Caso.- Consideremos la región polar D dado por: D={(r,0)/ a <,
y sea / : D a R 2
a
<p(0)< r <, v/(0)}
> R , una función continua sobre D.
Luego la integral en coordenadas polares es:
rr
fP fV(6)
J J / ( r , 0 ) ^ = Ja ( J
/( r ,0 W r ) t/0
D
2do Caso.- Consideremos la región polar D dado por: D={(r,0) / a < r^b
sea / : D e . R 2------ *R , una función continua sobre D.
Y'
~ 6 = v (f)
Luego la integral doble en coordenadas polares es:
JJ f ( r , 6)dA = £
D
(J^ ( ’ f ( r , 6)rd6)dr
a
<p(r)< 0 á y(r)} Y
620
Eduardo Espinoza Ramos
Observación.-
Para pasar de una integral doble en coordenadas cartesianas a una integral doble en
coordenadas polares se tiene la relación:
x = r eos 0 , y = r sen 0 , por lo tanto:
JJ f( x ,y ) d x d y = JJ /
Ejemplo.-
(r eos 0, r sen Q)rdrdQ
JJ - J l - x 2 - y 2 d x d y , donde D es la cuarta parte del círculo
Calcular la integral doble
x 2 + y 2 < 1, que se halla en el primer cuadrante.
Solución
x 2 + y 2 =1
Sea x = r eos 0 , y = r sen 0
x 2 + y 2 = 1 => r 2 = 1 => r = 1
JJ - J l - x 2 -
y 2 dxdy = JJ -Jl - r 2 rdrdQ
D
D
= J* /2( f V l - r 2 r d r)d 0
0
o
\ j - J l - x 2 -V 2 d x d y = J n/2——( l - r 2)3/2 / *
^
Ejemplo.-
'
Jo
3
/ o
=- —J ( 0 —1) d e = - j d d =—
3 ■'o
3 ■'o
6
Calcular la integral doble j j y d x d y , donde D es la región encerrada por la cardiode
r = 1+ eos 0 , sobre el eje X.
Solución
Sea x = r eos 0 , y = r sen 0
D (O S0Í«
O á r á l + cos0
Ahora calculamos la integral doble, mediante coordenadas ,
polares.
621
Integrales Dobles
\ \ y d x d y = \ \ r sen B.jdr.dO = J J s e n O.r2 drdtí
D
D
D
Í.>n Ju(Veos# r~ sen
(I
1 f*
f7r /* 1
/Heos#
— I — sen# /
d6
Jo 3
'o
6 dr)d6
•,
(l + cos©)4 /*
= — I (l + c o s 0 ) ' sení? d 6
3
Ejemplo.-
------------------- /
12
ii
Calcular
JJe
/ o
1
16
4
i?
i?
3
= - — [0 —16] = — = —
(v ' 1 ' <¿r<ív , donde D es la región en el primer cuadrante acotado por la
circunferencia x 2 + y 2 = a 2 y los ejes coordenados.
Solución
Sea x = r eos 0 , y = r sen 0
2
2
2
2
0<6
< —
2
x + v = a = > r = a => r = a
K
DA
2
[o < r < a
Luego cambiando a coordenadas polares mediante la
transformación x = r eos 0 , y = r sen 0 se tiene:
JJe *'v+v J dxdv = j j e ~ r rdrdO = J (J e
D
2
fu /2
= 1
e
1
¡a
---------/
J0
10
7
e
- 1
7
Ejemplo.-
r rdr)d6
u
1
7
/jt/2
6
/ o
f ;r / 2
í/e= — I
o
e
2
- 1 )d6
(e
- l a :
=2
2
k
4
2
(e
-l) = - ( l - e
4
)
Hallar el volumen de la región en el espacio limitado superiormente por el cono
z = V *2 + y 2 , dentro del cilindro x 2 t y 2 = 1 y sobre el eje X.
622
Eduardo Espinoza Ramos
Solución
Sea x = r c o s 0 , y = r s e n 0 , f ( x , v ) = -Jx2 + y 2 => f ( r c o s 6 , r s e n 6 ) = i
Í0 < 6 < n
D:
10 < r < 1
V = J J f ( x , y ) cbcdv = jjr.rdr.dO =
D
Ejemplo.-
DO
2
( f r2dr)dO =
0
dO = J * — = — u
J0 J7 / 0
m
7
J
7
J
Hallar el área de la región plana D ubicada en el interior del círculo r = 3cos 0 y en el
exterior de la cardioide r = 1 + eos 0.
Solución
Graficando la circunferencia, la cardioide.
Calculando las intersecciones para obtener los limites para 0
[r = l + cos0
1
n
cos0 = - => 6 = — ,
rr
Cnf3 r3cos0
A(D) = JJ dxdy = J
(J
rdr)d6 =
Í/ r / 3
f?-
1 [nt 3 r
d6=—I
9cos 6 - ( l + cos0)~\d6
l+ co s f l
2 J-tt/3L
J
/3cos0
— ¡
-ff/3 2 /
n
—
Integrales Dobles
623
ín/3
1 f/r/3
1 f»
= —II
(8cosz 0 - 2cos0 - 1)í/0 = — I
(4(l + c o s 2 0 )-2 c o s 0 - \)d6
2 -> r/3
2 - * ;3
1 f«/3
1
/>t / 3
,
= —I
(4 c o s 2 0 -2 c o s 0 + 3W0 = —( 2 s e n 2 0 - 2 s e n 0 + 3 0 ) /
= ;rw
2 -*/3
2
/ - jt/3
¡é.14:• JacoSlano á¿ una función 3é h VpriablesJ
a)
Definición.- Sea F \ S < z R 2
» D c z R 2 una función (transformación) continuamente
diferenciable dado por F(u,v) = (x,y), donde x=x(u,v), y = y(u,v).
El Jacobiano de F es dado por:
J(u, v) =
8(x,y)
d(u, v)
dx
du
dy
du
Ejemplo.-
dx
dv
dy_
dv
La función F: R ------ > R que transforma coordenadas polares en coordenadas
cartesianas
está dado por F(r,0) = (x,y) donde x = r eos 0, y = r sen 0 entonces el
Jacobiano de F es:
d(x,y)
o(r,Q)
dx
dr
dy
dr
dx
dé
8y
00
COS0 - r s e n G
sen0
ahora daremos la definición en forma más general.
rc o s0
624
Eduardo Espinoza Ramos
b)
Definición.- Consideremos una función g definida en un conjunto cerrado D, es decir:
g: Dc zR m
>R.
Supongamos que F: U cz R m
>R m es una función continuamente diferenciable y
uno a uno en un conjunto abierto U.
Si S es un conjunto cerrado contemdo en U tal que g es la imagen de F en S; es decir:
F(s) = D = {(x, ,x2
xm) e R m I (jc,,x2
= (Fi (>i *y2 .y mh F2 (yi
xm) = F ( y x,y 2
y m) =
.............y * ) ......Fm(y\ <y2........>»))}
goF
*1=^1 (y¡,y2..... y,
entonces el Jacobiano de F es:
d(x,, x 2,—, x m)
dxj dx.
dx,
dy, dy2
dx2 dx2
dVm
dx.
fyi fyi
fym
3(.vi, y 2....., v m)
dy, dy2
■>xm = Fn,(yi>yi
.^m)
625
Integrales Dobles
Ejemplo.-
Sea F: / í 3
>RJ una transformación definida por F { y , ,y 2, y 3) = ( x , , x 2,x 3) donde
jq = 2y, - 3 y 2,
y 2 = 3y 2, x 3 = y 2 —y 3, entonces el Jacobiano de F es:
J (yu V20'3) =
15,15'
C m b i*
dx.
dx.
dy.
dx2
dy2
dx2
Sxj
dy3
dx2
dyx
dx3
dy2
dx3
dy3
dx3
dy,
dy2
dy3
2 -3
0
0
3
0 = -6
0
1
-II
de friables en las
En las integrales ordinarias el método de sustitución nos permitía calcular integrales
complicadas, transformándola en otras más sencillas, es decir:
En forma similar existe un método para las integrales dobles, es decir, que se transforma una
integral doble de la forma
JJ f
(x, y )d x d y , extendida a una región D del plano XY en otra
D
integral doble Í H
s
v)dudv extendida a una región S del plano uv.
Para esto se verá la relación entre las regiones D y S y los integrandos f(x,y) y F(u,v).
El método de sustitución en las integrales dobles es más laborioso que en las integrales
simples, puesto que en lugar de una función ahora se tiene dos funciones X e Y que
relacionan a x,y con u,v en la forma siguiente X = x(u,v), Y = y (u,v).
626
Eduardo Espinoza Ramos
Geométricamente, puede considerarse que las dos ecuaciones definen una “aplicación” que
hace corresponder a un punto (u,v) del plano uv, el punto imagen (x,y) del plano XY y que la
aplicación puede expresarse mediante una función vectorial.
—»
En el plano trazamos el radio vector r que une el origen (0,0) con el punto (x,y) de la región
—»
D, el vector r depende de u y v, y se puede considerar como una función vectorial de dos
variables definida por la ecuación:
r (u ,v ) = x
( k ,v )
i + y{u,v) j Sí (u,v) e S
esta ecuación se llama ecuación vectorial de la aplicación. Como (u,v) recorre puntos de S, el '
—»
vector r(u ,v) describe puntos de D.
La fórmula para la transformación de integrales dobles puede escribirse asi.
donde el factor J(u,v) es el Jacobiano de la aplicación.
Ejemplo.-
Sea R la región triangular del plano XY limitado por: x = 0, y = 0, x + y = 1, encontrar
x-y
el valor de J J e x+y dydx
R
Solución
Transformaremos la región R: x = 0, y = 0, x + y = l
627
Integrales Dobles
para x = O=
u +v
=> v = —u
v-u
v = O= ------- => v = u
;
x + y = v = 1 => v = 1
D = {(u,v) / v = -u , v = u, v = 1}
Calculando el Jacobiano J(u, v) = ^
se tiene
d(u,v)
d(x,y)
J(u, v) =
d(u,v)
dx
dx
1
du
dy_
du
dv
dy_
dv
2
ffeJ+>'dxdv = ffev1
1
I
| J ( u , v ) | í / « í/v
e —e
2
Ejemplo.-
1
i_ ¿
2
1 ~4 4_ 2
2
1
JTevdu dv = —2 fo ( f ve'd u )d v = —2 J0 v e v /-v dv
=—
2
p
e —e
I vdv = -----0
Calcular la integral doble
f f y 2 cosjry
JJ
—dA, donde
D
D es la región limitada por las
X
parábolas y = x 2, x = y 2, x 2 = 4y , y 2 = 4x
Solución
Transformando la región D: y = x 2, jt = y 2, x 2 = 4 v ,
cambio de variable siguiente:
y 2 =4x
para esto hacemos el
Eduardo Espinoza Ramos
628
-=1
x =y
4x = v2
v
— =4
x
2
u =■
2
X
y =x
1< v < 4
v=■
y
2
X
— =4
4v = x 2
por
1< u < 4
X
lo
tanto
la
región
D
se
transforma
en
R = |(« ,v ) g R 2 /1 < u< 4 a 1 < v < 4j
Graficando las regiones se tiene:
u =-
fx = u l/3v 2' 3
x
JCV= uv
2
S(x,y)
J(u,v) = -
d(u,v)
dx
dx
du
dy
du
dv
rV
dv
1 u 2/3,V 2/3
—
3
-u -'-V 3
13
U
1
v= -
V
3
i u 2 Jv -2''3
3
1 4
= 9~ 9
la
región
F
donde
Integrales Dobles
ff v cosxv
JJ
D
629
ff
,
.
1 ff
1 f4 f4
dA = JJ ucosu\\J{u,vydudv = —JJ ucosuvdudv = —) (J^mcosmvdv)du
R
1 f4
R
/4
1 f4
lí cos4« l-cos u 1\ f^/4
= - J ( senuv I ^du = —J (sen 4 u - s e n u)du = —i
lf
co sió
cos4
1 1f 5
cosió
1
= — (cos 4 - ---------) - ( ---------+cos 1) 1= —I —c o s 4 - -------- - c o s í
3L
4
4
J 3L4
4
J
1
= — [5cos4 - cos 1 6 - 4cosl]
12
5,1(> Aplicaciones de la integral PoblcJ
lro . C entro de M asa de una Lámina.Consideremos una lámina que tiene la forma de una región cerrada R en el plano XY, y sea p
la medida de la densidad de área de la lámina en cualquier punto (x,y) de R, donde
p: R a R 2
>R es una función continua sobre R.
Entonces la masa total de la lámina R está dado por:
M = J J p ( x ,y )d / l
i)
El momento de masa de una lámina R con respecto al eje X es:
M x = f j y p ( x ,y ) d A
ii)
El momento de masa de una lámina R con respecto al eje Y es:
M y = JJ*P (x,y)dA
630
Eduardo Espinoza Ramos
Luego el centro de masa de la lámina es el punto P (x ,y ) donde:
2do. Momento de Inercia de una Lámina.Consideremos una partícula de masa m que se encuentra a una distancia d unidades de una
recta L, entonces llamaremos momento de inercia de la partícula respecto a L al número.
I =md2
El momento de masa de una partícula, usualmente se le llama el primer momento y el
momento de inercia el segundo momento de la partícula respecto a L.
Consideremos un sistema de n partículas de masas m ,,m2,...,mn situados a distancias
d l ,d 2,...,dn respectivamente desde una recta L, tiene un momento de inercia I que se define
como la suma de los momentos de las partículas individuales.
/ = ¿ m í£/Ii=l
El momento de inercia de una lámina que tiene la forma de una región plana S y una función
densidad p: S a R 2------ >R continua, puede encontrarse respecto a cualquier recta L.
En particular, los momentos de inercia de la lámina respecto a los ejes X e Y están dados por:
I x = j j y 2p(x,y)dA , I y = j j x 2p(x,y)dA
S_______________________________ £ __________________
El momento polar de inercia alrededor del origen O está dado por:
h = h + l y = J J V 2 + y 2)p(*. y)dA
S
Integrales Dobles
Observación.-
631
Consideremos en el plano XY una lámina S que tiene una densidad continua
p: S d R 2
>R, entonces los primeros momentos M x, M 2 de S respecto a las
rectas x = a, y = b, están dadas respectivamente por:
M “ = jj(x-a )p (x,y)d A ; M \ =
JJ(y -b )p (x,y)d A
Observación.- Los momentos de inercia de la lámina S respecto a
las rectas Ll : x = a, z = 0;
¿ 2 : y = b, z = 0; L-j: x = a , y = b son respectivamente.
I\ = JJ(*~ «)2P(*>y)dA ; l\ = JJ(.v - b)2p(x,y)dA
s
s
i ? = { { [(x - a ) 2 + ( y - ó )2 })(x,y)£L4
s
O bservación-
El radio de giro de un objeto respecto de un eje L es el número R definido por
R =J —
VM
donde I es el momento de inercia respecto de L y M es la masa total del
objeto.
Ejemplo.-
Encontrar la masa y el centro de masa de la lámina en la forma de una región rectangular
acotada por las rectas x = 3, y = 2 y los ejes coordenados.
Si la densidad de área en cualquier punto es xy2 Slups/p2
Solución
Sea p ( x , y ) = x y 2
M = JJ p(x, y)dA = JJ x y 1dxdy
f3
ti
,
1*3 x y 3
•
#2
8
f3
= I (I xy dy)dx= I ------ / d x = — I x d x = \2slups
■'o ■'o
2
0
3
'o
632
Eduardo Espinoza Ramos
M
= ITy p (x ,y )d A = Íf xv dxdv = \ ( í xy dv)dx= f
'
'
o o
o
R
a
/ dx = 4 f xdx = 18
I o
Jo
R
M y = \ \ x p (x , -v)dA = jfji x 2v
- 2dxdv= jÍ0 (— ,— ) // o)dx = — f x l dtx = 24
- =^ L =Ü = 2
M
12
-
Mx
18
3
^
M
12
2
x=
2
_ 3
v= —
'
2
Luego el centro de masa es (x,y) = (2,—)
2
Ejemplo.-
Encontrar el momento de inercia de la lámina homogénea de la forma de la región
acotada por 4y = 3x , x =4 y el eje X, correspondiente al eje Y, si la densidad de
Solución
I y = j j x 1p(x,y)dA donde p(x,y) = p
I v = \ \ x l P dxdy = \ 0 (.f0 4 x* p d y )d x
R
Jo
I =
Ejemplo.-
• o
3 p
A
4
4
Jo
Ia
2
x / = 4 8 p slugs/p .
• 0
Encontrar el momento de inercia de la lámina homogénea de la forma de la región
acotada por la parábola x 2 = 4 - 4 y
2
de área es p slugs/p
Solución
y el eje X, sí la densidad
Integrales Dobles
633
I x = \ \ y ' p { x , y ) d A = \ \ y 2p d x d y
m m4~X
f2 f
pf2
2
- p J 2<J0 4 y
/ =
P
0
2
4 -X
,
j j _ 2(—
) *
f2
2
4 6
173 p
I (6 4 -4 8 * + 12* - * )dx =
192 -2
280
5.17
Ejercidos Desarrollados!
1)
Calcular la integral doble J"J e (x ' y ]dA , donde R es la región en el primer cuadrante
acotado por el circulo * “ + y 2 = 4 y los ejes coordenados.
Solución
x 2 + y* _ 4 *
r =2
Pasando a coordenadas polares
x = r eos 0 , y = r sen 0, donde el Jacobiano es J(r,0) = r.
ahora sustituyendo en la integral dada, se tiene:
n
.
_ 2
2
e
2
fni2 f2
2
tic/2 e
d A -J
(I e r r d r)d 6 = J
Jo
Jo
o
/2
/ d6
2 10
2 J J (e~4 - l ) d 0 = — (l —e~4)
2
2)
Dada la región R en el primer cuadrante entre los círculos * + y
0 < a < b. Calcular el valor de la integral doble
J J dxdy
*
Solución
2 , 2
+ V
2
2
2
=a , x + y
2
2
=6 ,
634
Eduardo Espinoza Ramos
Graficando la región R, pasando a coordenadas polares,
x = r eos 0 , y = r sen 0 , donde el Jacobiano es J(r,0) = r.
ahora sustituimos en la integral doble, se tiene:
fr ffc /'
ff f* dr
= l a — dr)dO = Jo (Jfl - ) d 0
x 2 + y 2 'o "o r
n
dx dv
f2i
lh »
b fy
n
b
= J In r / dO = l n—J dfí = —
—ln(—)
Jo
3)
Calcular
la
integral
doble
graficando
l a
la
región
a
Jo
sobre
2
el
cual
a
se
calcula
2
2
^ja 2 _ x l _ y l
Solución
Ubicando la región sobre el cual se realiza la integral
Y'
r =a
a
/f
j - a < x <a
\x + v = a
\--J a 2 - x 2 < y < -Ja2 —x 2
|.r = ±a
2
D:
^<
pasando a coordenadas polares
-aV
' ‘*B*’ ’ ’ '
I a
x*
\ .v > »
x = r eos 0, y = r sen 0 , donde el Jacobiano es J(r,0) = r.
ahora pasando a coordenadas polares se tiene:
f f 3 ( x 2 + v2) - 2 a
f« fVa’ -jr- 3(.r2 + y 2)-2 a
J J - 7 1 -----==^=" dxdy = J J r r - r - n -----^----- T l
D y a —x — v~
- r y a —x — v
(ln
(a
3r~ —2a
= J (I ■
0
0
.rdr)d6
=
r 2n
Jo
fu
[ -=
T<ir
Jü J ca 2 —r 2
d6
= 4 n ( a 3 - a 2)
- f o (2a3 - 2 a 2 )d6 = 8(a3 - a 2)—
2
2 ar
i
dr]d6
635
Integrales Dobles
4)
Calcular la integral doble
-x
2
-y
2
dxdy, donde D es dado por las desigualdades
+y
x 2 + y 2 < 1, x > 0, y > 0.
Solución
Graficando la región D, pasando a coordenadas polares
x = r eos 0 , y = r sen 0 , de donde el Jacobiano es
J ( r ,6 ) =
d ( x ,y )
— =r
d ( r ,6 )
ahora reemplazando en la integral dada se tiene:
t'í^ rd
r>áe
J
J
■)dr)d6
° ° VTv
= £ (y a re s e n r2
5)
VTv
/'d O =
f
Calcular la integral doble pasando a coordenadas polares
2
=
~2)
JJ-JR2 —x 2 —y 2 dx dy
donde D es
2
el círculo x + y < Rx
Solución
Graficando la región
2
D\ x + y
2
= Rx, completando
R 2
2 R2
cuadrado ( x ——) + v = ---2
'
4
pasando a coordenadas polares: x = r eos 0, y = r sen 0,
donde el Jacobiano es J ( r , 6 ) =
d (x ,y )
d (r ,B )
=r
636
Eduardo Espinoza Ramos
(u2 + l ) ( v 2 - 1 ) = O => v = ±1
para y 2 = —4 ( x - 1) => 4 m 2 v 2 = - 4 ( u 2 - v2 -1 )
u2v2 = - u 2 + v2 + 1 => m 2 ( v 2 +1) = v2 + 1 dedonde (u2 - l ) ( v 2 + 1) = 0
Luego D = {(u,v)/-I < u < 1
2
a
-1
<
v
=>
u =± ]
<1}
2
Como x = u —v , y = 2 u v, calculando el Jacobiano
d ( x ,y )
J(u,v) = d(u,v)
J(u,v) =
-2 u
-2v
2v
2u
dx
dx
du
dy
dv
dy
du
dv
= 4 (u + v )
I 2. 2
r~2
2*2 - 2 2 . 2 , 2 .
Yx + y = \ ( u —v ) + 4 u v = ( « + v )
ahora reemplazando en la integral doble
\ \ P
+ y 2dA = \ \ i u 2 + v 2)\j(u,v)\dudv
= 4 J J ( « 2 + v 2 ) 2^
v = 1 6 | ) ( J (u1 + v 2)2dv)du = l ó j (w4v + — m 2 v
3 + —
) j^d u
D
1. ,
448
= 16 f (w4 + —u 2 + —)du =
Jo
3
5
~45
11)
’■JJV-
448
+ y 2dA =
45
Calcular J J ^ 4 x 2 + y 2 dxdy, utilizando el siguiente cambio de variable x = uv, y = u 2 - v 2
R
donde R es la imagen de la región D= {(u,v) / 1 < u < 2 a -1 < v < 1}
Solución
? ( x ,y )
Calculando el Jacobiano J(u,v) = ---------- , es decir:
d(u,v)
Integrales Dobles
J(u ,v) =
637
d ( x ,y )
d (u,v)
dx
dx
du
dy
dv
dy
du
dv
u
V
2u
iv
= - 2 (v2 + u 2)
^ 4 x 2 + y 2 = ^ 4 u V + («2 —v2) 2 = «2 + v2, ahora reemplazando en la integral doble
Y4
1
U
x 2 + y 2 dxdy = \ \ (u2 + v2 )|j(u , v)\dudv
Xj
w-Mtíst
0
1
xxti&m
2 X
=
-1
12)
Calcular la integral doble
JJ
JJ2 (u
2 + v 2 ) 2 í/mí/v =
(2jc —v) dxdy
2 p (J*
'1
(m2 +
-1
v2)dv)du =
14.32
45
, si D es la región en el plano XY, limitado por
l - 4 x +y
las rectas y = 2x, y = 12 + 4x, y = 4x, y + 2 = 2x.
Solución
Transformando la región D: y = 2x, y = 2x - 2, y = 4x, y = 4x + 12 para esto hacemos el
cambio de variable siguiente.
|2 x - y = u
\0 < u < 2
I v - 4x = v
[o<v<12
, de donde R = {(u,v) e R x R / 0 < u < 2
a
0 < v < 1 2 !
Luego la región D del plano XY se transformando en la región R del plano uv, cuyo gráfico
es:
V
12
í'
■!’í '
'í í
R
0
2
u
638
Eduardo Espinoza Ramos
Ahora calculamos el Jacobiano
2x - y = u
Iv -4 x = v
** 1- 4 x + y
u +v
x=—
<?(*,.V)
J(u,v) =
d(u,v)
y = -(2 « + v)
dx
du
dy
dv =
dy
du
dv
1
1
2
-2
2
-1
1
2
2 0 0 1+v
'
'1+ v
1 f2 ,
/12
= — I u ln(l + v ) / du =
2 0
/o
~(2X y )
-JE1 - 4x + y
n -
¿k
lnl3
?
f2 ,
4
I u du = — lnl3
ri)
3
dxdv = - l nl3
3
( x - v)dxdv
, donde R es el cuadrilátero de vértices (2,0), (4,2),
R - /l3 + x 2 - y2
(2,4), (0,2).
Solución
Graíicamos R y hallamos las ecuaciones de los lados del
paralelogramo.
Transformando la región R en otra región mediante el
cambio de variable.
u+v
| u = x +y
lv = x - y
o
u-v
y =-
Í2 < u < 6
1-2 < v < 2
Luego la región R se transforma en la región D = {(«, v) e R~ / 2< u< 6
gráfica es:
a
- 2 < v < 2 } cuya
639
Integrales Dobles
ahora calculamos el Jacobiano
u + 2v
X = •
\u = x - 2 y
[v = 2x + v
v=-
1
2
y(u,v) = 5
2
5
1
5
5
y(«,v) =
v -2 u
1 4
25
25
r*(x,v)
dx
dx
dU
dv
dy
du
dv
d(u,v)
5
1
25
5
Luegó reemplazando en la integral doble
J | (x -
2 v + 3) 2e lx+y+i dxdv = JJ (u + 3)2e v+l \J(u, v)| dudv = —JJ (u +3 ) 2e v+ldudv
R
D
D
= —J ( f {u-r'i)2e v^Xdv)du = —\ (u + 'i)1\eA - ^ d u = --------(w+3)3 /
S o
e4 - l
15
10)
51
i
i 63 4
[ 2 1 6 - 2 7 ] = — (e - 1 )
5
1
15
1
lo
J J ( * - 2 v + 3)1 e2x+y+1dxdv = — (e4 -1 )
5
La región R se encuentra en el semiplano superior del plano XY y está limitada por las
parábolas v 2 = 4 ( l ± j r ) y el eje X, calcular
JJ-y/x2+ y~ d A ,
haciendo el cambio de
variables x = « 2 - v 2, y = 2 u v.
Solución
Graficando la región R
y 2 = 4(x+l)
;
=>
y
= 4(l±x)
y 2 = 4(x —1)
Transformando la región R, a otra región.
y 2 = 4(x + 1) => 4 « V =4(1 + m 2
u2 v 2 =, 1 +u 2 - v 2
u
2, 2
(v
,,
- v 2)
,
— 1) = 1 — V
2
de donde
640
Eduardo Espinoza Ramos
(u2 + l ) ( v 2 - 1 ) = 0 => v = ±1
para y 2 = - 4 ( x —1) => 4m2v2 = - 4 ( u 2 - v2 -1)
u2v2 = -m2 + v2 +1 => u2(v2 + 1) = v2 +1 dedonde (w2 - l)(v'2 +1) = 0 => « = ±1
Luego D = {(u,v)/ - 1
<
u<
1
a
-1
<
v
<
1)
Como x = u2 - v2, y = 2 u v, calculando el Jacobiano
J(u ,v) =
J{u,v) =
2
" T
x +y
d ( x ,y )
-2u
—2v
2v<
2u
í~~i
dx
dx
du
dy
dv
dy
du
dv
a , 2 + v 2.)
= 4(u
2
T2
.
2
2
,
2
2
.
= ^ ( u —v ) +4u v = (« + v )
ahora reemplazando en la integral doble
U 2+ y 1dA = JJ(w2+v2)|y(u,v)\dudv
R
D
= 4 f f ( u 2 + v 2) 2dudv = 16 f ( f (u2 + v 2) 2dv)du = 16f (w4v + —w2v3 + — ) / du
JJ
Jo Jo
Jo
3
5 • o
D
=
11)
Calcular
16f (w4+ —u 2+ -)1.d .u
V
ííyR+
3
5
=
448
45
R
y 2 d x d y , utilizando el siguiente cambio de variable x
R
donde R es la imagen de la región D= {(u,v) /1 < u < 2
Solución
V)
Calculando el Jacobiano J[u,v) = ---------- , es decir:
d(u,v)
a
-1 < v < 1}
= uv,
y = u2 —v 1
641
Integrales Dobles
J(u,v) =
d ( x ,y )
d(u,v)
dx
dx
du
dy
¿V
dy
du
¿V
V
v
u
2u
—2V
= -2-i/(v 2 +u 2 )»
2
2
I 2 2
2 2 2
2
2
4x + y = \ 4 u v +(u —v ) = u + v , ahora reemplazando en la integral doble
Y‘
1
JJ^4x2+ y 2 dxdy = JJ(«2+ v2))./(«, v)|í/mí/v
u
0
R
1
D
2 X
12)
(J* (u2+v2)dv)du=-------
= ff2(w2 + v 2)2dudv = l j Z
-1
JJ
Calcular la integral doble
1
-1
45
n
( l x - y ) 2dxdy
------------------- , si D es la región en el plano XY, limitado por
1 -4 x + y
las rectas y = 2x, y = 12 + 4x, y = 4x, y + 2 = 2x.
Solución
Transformando la región D: y = 2x, y = 2x - 2, y = 4x, y = 4 x + 1 2 para esto hacemos el
cambio de variable siguiente.
Í2x-^ = u
\y - 4 x = v
Í0< w< 2
^
[o<
12
, de donde R = {(u,v) e R x R / 0 < u < 2
a
0<v<12}
Luego la región D del plano XY se transformando en la región R del plano uv, cuyo gráfico
es:
642
Eduardo Espinoza Ramos
Ahora calculamos el Jacobiano
u+ v
x=—
J(u,v) =
=>
d (x , y)
d(u,v)
y = -(2 u +v)
dx
dx
du
dy
dv =
dy
du
dv
1
1
2
-2
2
-1
1
2
n ( 2 x - v)
ff u |
.
1 f2 fu U dv
dxdv =J J ------ | J ( u , v ) | í / u í / v = — J (J ------- )du
'1 - 4' x + y'•
1+ v
”2 "“ "o 1+v
’
1 f2 2
tu
lnl3 f 2 ,
4
= — I u ln(l + v) / du = -------1 u du = —ln 13
2 0
/o
9 o
1
-JJi
’(2x ^ dxdy = —lnl3
1 - 4x + >■
3
13)
Hallar la integral doble
(2,4), (0,2).
n
{x-y)dxdy
l~
2
2 r donde R es el cuadrilátero de vértices (2,0), (4,2),
13 + x —y
Solución
Graficamos R y hallamos las ecuaciones de los lados del
paralelogramo.
Transformando la región R en otra región mediante el
cambio de variable.
u+ v
|u =x+ y
[v = x - y
2
u -v
v = ------
Í2 < u < 6
(-2< v < 2
Luego la región R se transforma en la región D = j(u, v ) e í 2 / 2 < u < 6 a - 2 < v < 2 j cuya
gráfica es:
643
Integrales Dobles
Calculando el Jacobiano
J(u,v) =
d ( x ,y )
d(u,v)
dx
dx
du
dy
dv
dy_
du
dv
1
2
1
2
1
2
1
2
por lo tanto reemplazando en la integral dada se tiene.
.
R^ju+ x-y2
JJ
V
1
D V13+UV
1 f2
f6
JJ vdudv
2 D V13+uv
V dw
1 f2
/6
2 ~2 2Vl3 + uv
51>/Í7-205
f2 r --------= J ^[Vl3 + 6v —Vl3 + 2vjdv = ----------------
Í J ('X ~ y ) d x d y
D ^/l3+x2 - y 2
14)
51^ - 205
9
Calcular j j 2 n ( x 2 - y 2) s e n n ( x - y ) 2dA, donde D = [(*,>) e R 2 /|x |+ |v |< l]
D
Solución
Transformando la región D, mediante el siguiente cambio de variable se tiene:
I
u =x +y
Í-1<m<1
v =x - y
} - 1 < v < 1
Luego la región D se transforma en la región R donde R = {(u,v) / -1 < u < 1
ahora graficamos las regiones.
a
-1 á v á 1}
644
Eduardo Espinoza Ramos
Ahora calculamos el Jacobiano
X—
\u = x + y
como
u+v
u -v
1v = x y
y ~
8(u, v)
2
dx
du
dy_
du
dx
1
dv = 2
1
dv
2
1
2
1
2
_1_
2
Luego sustituiremos en la integral dada.
JJ 2n(x2 —y 2)sen n(x -
y ) 2 dA = JJ 2ravsen nv2dudv
d
R
f 1 fi
2
1 fi
2 /i
1 fi
= 1 (I ; ruvs en; rv dv)du = — I ucosrrv / d u = — \ u(cosn u - c o s j t ) d u = 0
M
2 -1
' -1
2 -•
15)
JJcos[(2x-y)2 + 2 ( x + y ) 2]dA, siendo D la región en el primer
Calcular la integral doble
D
2
2
cuadrante acotada por 2x + y
= 4 y los ejes coordenados.
Solución
Y
Dibujando la región D acotada por 2x 2 + y 2 = 4
2
2 y
.
, * 2 ,y .i ,
X + — = 2 => (~¡=) + ( - ) =1
r
0
2
X
-2
n
0<6 < —
2 , Ahora calculando el Jacobiano
[y = 2 r s e n0
J{r, 6) =
S(r,0)
2
cambiando de variable se tiene.
|x = V a re o s #
S(x,y)
V2
0<r < 1
etc
dr
dy
dr
dx
so
■J2 COS0
- V ersen 0
2 sen 0
2rcos0
ae
además (2x-_y)2 +2(x+_y)2 = 3(2x2 + y 2) = 4r 2
= 2^2 r
Integrales Dobles
Luego reemplazando en la integral dada
J"Jcos[(2jc-j')2 + 2 ( x + y ) 2 jiA = JJ cos3(2x2 + y 2 )dxdy
= J J co sl2 r2|J (r, Q^drdQ = JJ c o s l 2 r 2 2^¡2rdrdQ
r - f f fi
,
f y s e n l 2 r 2 /i
= 2v2| (I eos 12r .r d r )d 6 = 2v2J ---/ d6
Jo Jo
Jo
24
• o
■J2 fy
t¡2 n sen 12
=
12 JoI senl2</0 =- 24
16)
.
Calcular la integral doble JJcos(, x ~ y—)d
x d y , donde
«
D es
la región limitada por las rectas
x + >'
x + y = 1, x + y = 4, x = 0, y = 0.
Solución
Transformando la región D: x + y = 1, x + y = 4, x = 0, y = 0 para esto hacemos la
sustitución siguiente:
|u =x - y
u +v
x =■
2
fv = x + y
v- u
para x = 0 =
u+v
2
= > v = -u
v —u
; y = 0 = ------- => v = u
2
jc+_y = v => 1< v < 4
Luego la región D se ha transformado en la región R = {(u, v) e R2 / v = —u,v = u, 1< v < 4}
Graficando las regiones se tiene:
646
Eduardo Espinoza Ramos
d(x, v)
d(u, v)
J(u ,v ) =
dx
du
dy
du
dx
dv
dy
dv
1
2
1
2
1
2
1
2
Ahora sustituiremos en la integral dada
JJ cosí---—)dxdy = JJ eos—\j[u, v)|du ¿/v = —JJ cos(—) = du dv
2 "
v
x+v
D
1 f4 fv
1Í4
U
U
/v
= —J (J eos—du)dv = — I vsen—/ dv
2 i
v
v
2'
v ' -v
senl
1 f4
f4
v2 / 4
= — I v(sen l-sen (-l)< /v = I vsenlrfv=senl.— / = 8 sen 12 i
*
2 ' 1
17)
Calcular la integral
j^^jlcvdx dy, donde D es un dominio limitado por la línea
D
2
2
X
V
4
xy
(— +-— ) = —= situado en el primer cuadrante.
2
3
V6
Solución
Cambiando de variable se tiene:
fx = V2it
v
15senl
r~
xy = J 6 u v
'
2
2
aX
yV 4
i
como (— + — ) = —=■
2
3
V6
entonces (u2 + v2) 4 = uv, además tenemos
647
Integrales Dobles
■Jxy = ifbyfüv =%Í6(u2 +
=> .Jxy = t¡ 6 (u 2 +
v 2)2
Ahora calculamos el Jacobiano: J(u ,v) =
v 2)2
d(x,y)
d(u,v)
dx
J(u ,v) = A
dv
dy_
J2
0
0
V3
= ■Jfi => J(u ,v) = ■JE
dv
A
Luego reemplazando en la integral dada
dxdy = JJV 6 (u 2 + v2) 2|7(ií,v)|</uí/v =
D
R
\ \ ( u2 + v2) 2 dudv
R
ahora pasando a coordenadas polares se tiene:
I u = rcosQ
, 2
2 n2
(u +v ) = r
I v = rse n 0
2
2 2
como R: (u + v )
8
4
sen 20
2
= uv = > r = r sen 0 eos 0 , de donde r
la integral
11 -Jxy dxdy = 11
r* \j(r,6 )\d rd r =
H rS drdO
6
1 f ys en20
cos20 /y
-¿0== -4/7"l *r
Vó 0 2
4^6 // oo "
1 1 ^ ^ =^
««Í E¡i#
1
4^6
1 1]
jiTi
2^6
, reemplazando
Eduardo Espinóla Ramos
648
18)
Calcular
la
integral
2fV+5v ^ arctg(
JJe
D
— )dA,
donde:
X ~ 2 y
D = {(*.>0 /1 < 2x2 - 2xy + 5y 2 < 9, (1 - -J3)x+(1 + 2-j3)y < 0, J i( x + y ) £ jc - 2y)
Solución
Haciendo el cambio de variable se tiene:
i
2
2
~
2
\u = x + y
\u = x +2 x y + y
[v = x - 2 y
I 2
2 .
.2
[v = x —4 x y + 4 y
2
2
-
2
-
, 2
u + v = 2 x —2xy+5y
como 1 ú l x 2 - 2 x y + 5 y 2 ú 9 => l ^ u 2 + v 2 ^ 9
( l - - j 3 ) x + (l + 2-j3)y ú 0 => u ^ ^ 2 v
■J3(x+y)> x - 2 y => -J 3 u > v
Luego la región D se ha transformado en la región R donde:
R=
|( l i,v ) / U
<y
fí V A
VA
1 <, U' + V ^ ú
9|
Graficando la región:
U
Suponiendo que:
1
1
= ~ 7 = V => tg0 = r -v 0 = V3
6
V3
u = V3v => tg0 = ->¡3 => 6 = —
ahora reemplazando en la integral dada.
ii- *
jc
- 2 jr y + 5 > ’ )
arctgf ^ 2 L )dA = \ \ ex-2 y
calculando el Jacobiano J(u, v) =
d(x,y)
d(u,v)
^
u
arctg(—)|/(u
, v)\du dv
v
649
Integrales Dobles
2u + v
dx
J(u, v) = du
dy
du
« = x+y
Luego \
=>
lv = x-2_y
“
_
entonces
v
J J e í2x 2x>’+5>’ *arctg(----- — )d A = —\ \ e
x - 2•v
n
dx
dv
dy
dv
2
3
1
3
1
3
1
3
+v } arctg(—)dudv
' o3 „
v
| u = rsen©
pasando a coordenadas polares se tiene: i
=> J ( r , 6 ) = r , '
Iv = rcosO
f f -(2 * * -2 W ) SKtt f J ! ± y . )t¡A = - f | V (,'W ) arctg(—)</«í í / v
JJ
x-2y
3JJ
w
n
= | ¡ ¡e ' 2 arctg(---SenQ ) | J ( r , 0) |drdQ = | Í J ( í
3 JJ
r cos0
3 J- Ji
R
6
1
-C
arctg(tg0)rdr)dQ
^
6
e -1 —e„
9
,n 2
n2
e - 1 —e - 9
o
------------ (----------- )-= ------------- 71
12
9
36
144
19)
Calcular la integral doble
iíJ^
x+y
2 jt+ 3 y
dxdy, donde D es el triángulo limitado por
«V * + J'
4-2x
y = -------- y los ejes coordenadas.
Solución
Haciendo la sustitución por:
Iu = x + y
Jx = 3 u - v
[ v = 2 x + 3_y
[_y=v —2u
ahora transformando la región D se tiene:
x = 0 = 3u —v
v = 3u
y =0 =v-2u -
v = 2u
2x + 13y = 4 = v
v=4
Luego la región D se transforma en la región R = {(u,v) / 2u < v ¿3u, v= 4}
Eduardo Espinoza Ramos
650
Y
1
4
3
2X
0
Calculando el Jacobiano J(u, v) =
d(x,y)
J{u,v) =
d(u, v)
dx
du
¿5y
du
dx
dv
dy_
dv
X
d(x,y)
d(u,v)
3
-1
-2
1
=3-2=1
ahora reemplazando en la integral dada.
11
dxdy=11^ e^k(w
-v)|dudv=11
dudv=lo(Jj J^e^du)dv
=£ 2vé^dv =2(e^ -e^ )j*vdv=l6(e^-e^)
20)
Calcular í í J x y d xd v donde F = { ( x , y ) l ( —+—) 2 < —}, y > 0 .
Jj>
2 4
F
6
S olución
[x x y
lx
como y > 0 => - J —< — h—< ,1— , x > 0
V6 2 4 V6
=> 2 x + y < 4 ^ — =>_>><-2 x + 4 ^ => - 2 x + 4 ^ >0 => x < 2 ^ ~
\o (lo
¡¡^dxdy =
^^fidy)dx=^l yfc(-2x+4^f/2dx
2
0< x < —
3
651
Integrales Dobles
sea x = 6t
2
2
1
=> dx = \2 td t para x = O, t = O ; x = — , t = —
3
3
Í f j * y d x dy = ~ f
«
3°
F6
4 x ( - 2 x + 4 .f—) V2d x = —j i/6 t(-1 2 t2 + 4 t)3/212tdt
\ 6
3 °
= 8^6 •f»
J 13/ 2(-1 2 f2 + 4 / ) V2 í/f = 64^6 •A
J 13( 1 - 3 /) 3/2í 3V/ dt
...( I )
2
2
Sea 3/ = sen 0 => dt = —sen 0 co s0 rf0
3
-
6,
í r 3 J t ( 1- 3f) 3/2 dt = í (1 - sen2 6 ) 3/2 —sen 0 eos6 d6 = — í sen 7 0 .eos 4 0 dO
27
3
81
= — f ( - e o s 1 0 0 -3 c o s 8 0 + 3eos6
81
2
= — eos
81
cos^
5
0
01
11
0
+ eos4
0
)se n 0 r/ 0
eos 4 0 3cos 2 0 1 ,
h---------------------------- 1
3
7 5
= A 0 _ 3, ) « > [^
81
11
+ 0Z3 0 l-iü z !0 .1 ]
3
7 5
. ..(2)
reemplazando (2 ) en ( 1 )
4
81
21)
5
11
3
7
5"
81
r1 r1_JC ~
Calcular la integral doble I I e x+ydydx
Jo Jo
Solución
Ubiquemos la región sobre el cual se realiza la integración.
33,35
81
Eduardo Espinoza Ramos
652
[0<x<l
Sea D : {
, graficando la región
lOiSviSl-x
Para y = l - x
=> x + y = 1
Aplicando Jacobiano se tiene:
{
x +y = u
y =v
íx = u - v
[y = v
d(x,y)
J(u,v) =
d(u,v)
dx
du
dy
du
dx
dv
dy
dv
1 - ll
=
0
1
1- 0 = 1
Calculando la región R en el plano uv, teniendo en cuenta la transformación x = u —v , y = v
y = 0,
Para
V= 0
x = 0, v = u
x + y = u =1
, luego se tiene:
u =1
/? = {(«,v ) e / ? / v = u. v = 0, u =1}
Graficando la región R se tiene:
J J
e x+ydydx = j j e * +ydxdy
° °
D
=jje"
-
\J (u ,v )\d u d v
=J (J
1 u —
e udv)du
R
u ¿2 /i
f1
/1 e —1
= \ ( u e - u ) d u = ( e - l ) — / =■
Jo
22)
Calcular
2
i
o
J J 2 x v (2 -3 x )
2
2 -dxdy, donde F = {(x,_y) e R 2 I x > 0 , y ^ O , y 2 < ——x}
7 x +2y
2
*
Solución
653
Integrales Dobles
La función no es continua en (0,0), pero es acotada en D, puesto que 0 ú
2xy(2 —3x)
j---- j— - U es
x +y
pues integrable.
Graficando la región F se tiene.
x l +2 y ¿
o
Jo
,-------,
x+ 2y
dy)dx
f
1
= JJ* (2 - 3x)[ln(l - x) - ln x]ú!x = —
23)
Una región R en la parte superior del eje X esta limitada por la izquierda por la recta y = -x
y por la derecha por la curva 3(x2 + y 2) 1/2 - 3x = x 2 + y 2. Hallar su área.
Solución
A(K) = JJ dxdy
pasando a coordenadas polares
I
x = rc o s0
=> J ( r , 0 ) = r
y = r sen0
como 3(x2 + y 2) 2 - 3 x = x 2 + y 2
=> 3 r - 3 r c o s 0 = r 2 de donde r = 0, r = 3 - 3 cos 0
Eduardo Espinoza Ramos
654
A(R) = JJ dxdy = JJ \J{r, QprdQ = JJ rdrdQ =
(JP~fd r)d 6
= ^ J ^ r2 ^
í/6
81;r 9 ^ 2 9 ,
1
9
cos¿2 6 )d6 = (-------------------- )u
= - J o (3 - 3 c o s 6 )2</e = - J .n („_l - 20 cos0
— ° +----2 o
16
2
9
24)
Calcular la integral doble
JJ ^ ] l 6 - x 2 - y 2dx dy ,
donde D es la región limitada por la
inecuación x 2 + y 2 < 4 y
Solución
Para graficar la región D completamos cuadrados en la ecuación x 2 + y 2 —4 y = 0 es decir:
( y 2 - 4 y + 4) + x 2 = 4 es decir que: x 2 + ( y - 2 ) 2 < 4 .
Y
/
r *
V
x 2 + y 2 = 4y
k& 'A
w r
Pasando a coordenadas polares
r = 4 sen 0
x = r eos 0, y = r sen 0, dx dy = r dr d0
x 2 + y 2 =4y
=> r 2 = 4 rse n 0
=> r = 4 s e n 0
X
0
La región D es coordenadas polares es: D = {(r,0) / 0 ¿ 0 ¿ n
Reemplazando en la integral
JJ
a
0 ¿ r < 4 sen 0}
1 6 - x 2 - y 2 dxdy se tiene:
D
JJ-^16—x 2 —y 2dxdy = JJ"\/l6 —r 2r d r d 0 = J
pn
1
-
—
/4 se n 0
= Jo - - ( 1 6 - r 2) 2 / o
6 4 cn
i
(J
~ J l6 -r 2 rdr)dO
I
n
-
—
d6 = - - J Q [(1 6 -1 6 sen 2 0 ) 2 -64]d0
6 4 cn
-»
- — —J (eos 0 - l ) d 0 = — J [1 -(1 -s e n 0 )c o s0]d0
655
Integrales Dobles
25)
Calcular la integral
JJ x y d x d y , donde D es un dominio limitado por la elipse
x 2 v2
—2 + —
=1
a
b.2
y situado en el primer cuadrante.
Solución
x2 y2
Graficando la región D : — + =
a
b
1
x 2
y 2
A la ecuación de la elipse expresamos (—) + (—) =1
a
b
pasando a coordenadas polares se tiene:
— = rc o s0
a
x = arcos6
y
y = br sen 0
— = rsenfl
b
ebe
Calculando el Jacobiano J{r,6 ) = ¥
dr
ebr
00
dy
00
a eos 6
- ra sen 0
bsenB
6 rsen 0
de donde J(r,0) = abr
j j x y dxdy = j j ar eos OJjr sen 6. \ J ( r ,6 ) | d rd 6
D
D
-J J
r 2 sen6 eos6.a b r d r d 6 = a 2b 2 j j r 3 sen0 eos0 dr d&
D
D
n 1
= a 2b 2 f2 ( í r-3 senfl cosfl dr)dd
Jo Jo
a 2»o 2 .£
P sen6 eos6 d6 =
Jo
26)
2l 2
8
£
sen2 6 / 2 =
/ o
21.2
Encontrar el área de la región en el primer cuadrante del plano XY limitado por las curvas
x 2 + 2 y 2 = l , x 2 + 2 y 2 = 4 , y = 2x, y = 5x.
Solución
656
Eduardo Espinoza Ramos
D ibujando la región acotada.
cam biando las variables se tiene
x 2 +2 y 2 =
1
u =x 2+
2 +2
x
—=
=> 1 < k < 4
2 y 2
y2=4
2
=> v = — => 2 < v < 5
X
—= 5
Luego la región D se transform a en la región R, donde f? = {(u,v) e R¿ / l<u<4
a
2<v<5}
ahora calculando el Jacobiano
ti
V
5
d(x,y)
J(u,v) =
d(u, v)
t Y- >4'^.".
. /'’-r, ;
*«*
,
2
0
1
u
4
* ü l í > . 2 + 4 ( ') ! = 2 + 4v!
d(x, y)
=»
x
p o r lo tanto J(u,v) =
d(u, v)
d(x, y)
d(x,y)
8(u,v)
«
d(u, v)
=2
du
dx
dv
dx
dx
du
dy
du
du
dv
dv
dy
dx
dv
dy
dv
2x 4 y
_y_ I
x
2
X
L
+ 4 v2
1
2 + 4v2
-dv
A(D) = \ \ d x d y = \\\j(u,v)\dudv = \ \ - - “ * j = f ( f )dv = ¡
2+4v2 2 Ji 2 + 4 v 2
2 2+4v
= -^=-arctg(V 2 r) j ^
2
2^2
[arctg5^2 - arctg 2 V 2 ]u2
657
Integrales Dobles
27)
2
2
2
H allar el área de la región lim itada p o r la linea (x + y ) = 2 ax
3
Solución
D ibujando la región com prendida p asando a coordenadas polares
x = r cos 0 , y = r sen 0
r4 =
f t f 2 oCOS3e
2
Pj-
=
,
I r '/
Jo
/ 2 ocos
J
a
~2
0
I cos
Jo
6 d6
2
2
8
•,
2 0
+ c o s 26)d6
a2 n
sen 3 22 00 l / f
------66
J' 0 ~ 2 L2
3
30
se n 4 0 sen 2 6
H— sen 2 0 + ------ 1----------- h— - —
A(R)=-
28)
0
ff- l + c o s 2 0 ,
o ff
2
(
ó
) d 6 = — J (l + 3 c o s2 0 + 3 c o s
= 4a
2
5jt a
H allar el área lim itada p o r la linea ( x 2 + y 2 )
3
= x A+ y A
Solución
pasando a coordenadas polares se tiene.
Íx = rcos0
^
=> x2+ / = r 2
[y = r seno
y J(r,0) = r
(x2+ y 2)3 = x A+ y A => r 6 = r 4(cos4 0 +sen4 0) dedonde
r=
0
, r =4
eos4 0 +sen4 0 ,
O<0 <
2
ti,
0
0
=JJ |J{r, 0)|drdQ = JJ rdrdQ
d6=4a
o
,
=> r = 0 r = 2a eo s 3
a r 3 eo s 3 0
A(R) =JJ
y *
= 2JJo (JJo r dr )d6
2
=> J(r,0 ) = r
<
r < Veos4 0 + sen4 0
3 7r l
4 J
5^ a 2
8
658
Eduardo Espinoza Ramos
fr
=
fr,
rr
JJ dxdy = JJ|7 ( r , 0 ) |d rd 0 = JJ rdrdB =
1 f 2 ir
= —I
9 0
.
,
1
f 2jr
fV c o s ^ e + s e n 'e
(J^
rdr)d6 =
Cln
1
(eos 0 + sen 6)d6 =— I ( 3 + c o s 4 0 ) d 0 = —(3 0 +
8 0
C
f 2ir r 2
/V cos4 fl+sen4fl
d6
— / q
sen40
d
/ 2 ir
,
) /
- — u
' O
4
3n
yl(^?) = J J d x d y = —
4
29)
2
2 2
2
2
H allar el área de la región lim itada po r la línea (x + y ) = 2 a (x - y
2
) (L em niscata de
B em oulli)
S olu ció n
D ibujando
la
región
com prendida
y
pasan d o
a
coordenadas polares.
x = rc o s fl
T/
x 2 +y 2 = r 2 y J(r,0
)= r
y - rse n G
com o
, 2
2. 2
~
2 , 2
(x +y ) = 2a (x - y
2.
4
-
2 2
~n
) => r = 2a r c o s 2 6
de donde
r=
0
, r = a-Jl e o s 2 0 ,
4
v4(/?) = J J dxdy = J J \J (r,
R
0
< G < — , 0 < r < a-j2cos26
4
)¡drd 0
R
= J J rdrdB = 2 ^ (j '<rdr)dB = j ^ r 2 / “V2cos2fl
R
7
~7
ir
=J
4
2
a
2
eos26d6 = a 2 sen26 j * = a 2 ( s e n y - s e n - - y ) = a 2 (l + l) = 2 a 2
d (/? ) = J J dxdy = 2 a 2« 2
R
Integrales Dobles
30)
659
C alcular el volum en del sólido lim itado p o r el plano X Y , el p araboloide z = —s-H— r- y el
a
ó
2
2
x
y
2 x
cilindro ~ + ~ = —
a
b
a
S olu ció n
* 2 >'2
V = JfJf zdxdy = fJ fJ (—t-h—
r-)dxdy, aplicando co o rdenadas polares, se tiene:
o
b
D
D
x = a r eo s
6
, y = b r sen 6 , d onde el Jacobiano es:
dx.
dx.
dr de
dy_ ÉL
fr de
a cos6
- a rsen ©
ó sen©
—breóse
2
2
x
y
2x
adem ás c o m o — + — = — => r =
a
b
2
eos
0
a
y ' ^ ' ■ 7 * V )ixiy ‘
Jo VJo
ab f f
=—
f f l + co s2 0
(----------
lóeos 6d6 =
7
7
2C(t
2 Jo
/ o
) d0
ff
■)
ff 3
co s4 0
= 2abJ^ ( l + 2 c o s 2 0 + c o s 26)d6 =2ab]^ (—+ 2 c o s 2 0 h----- — )d6
_ , ^ 30
sen40
= 2ab(— + sen 2 0 + -------- ) /
'2
31)
8
/f
=
/ o
3
a ¿ 7T
2
u
3
C alcular las coordenadas del centro de gravedad d e la figura lim itada p o r las líneas
y 2 = 4 x + 4, y 2 = -2 x + 4
Solución
Eduardo Espinoza Ramos
660
C om o la figura es sim étrica co n respecto a x => y = 0, luego nos
queda calcular x calculando el área de la figura
r2 4 _ v 2 y2—4
=J_2
f2
5 =J_2
r r=F
JJ xdxdy
1 2
X =
1 (2
8
64
32)
.
1
-
2,2
J-2
2
X
1
3y 2
=J-2(3
A 2
4-y
f (— 2— )
16
f r -
2
(y2-*)2..
] d y = 2- ,
4
2
f2
f:
2
=8
2-4.
y
- ( - --------)
~2
2
4
2
Luego ( x ,y ) = ( - , 0 )
5
5
E ncontrar la m asa y el centro de m asa de la lám ina en la form a d e un a región aco tad a p o r la
curva y = sen x y el eje X de x = 0 a x =
ti,
si la densidad de área v aría co n la d istancia al
eje X.
S olución
M=J
J
y ^dA' d onde p ^x,y^ = y
R
y = sen x
M = \ \ y d x d y = J^ (\j>dy)dx
R
y 2
/sen*
= J — /
Jo 2 • o
. v_ - c o s 2 x ) ¿ t = — .
4 o
4
M„
= ]]y
M y =
\ \ x
Luego M = — slugs
4
’=\\y2
p { x , y) á x dy = l ) y í dxdy = Jo (Jo
R
y 2 dy)dx = ^
R
P(*> y ) d x d y
1
= \ \ x y d x d y = \^
(j x y d y ) d x =
fit
dx = — I sen xdx
2
o
661
Integrales Dobles
n
_
x=
Mv
71
T
M
n_
4
2
4
33)
—_ M x _
9
_ 16
^
n
9n
M
E ncontrar la m asa de
r = a eos
0
,
la lám ina que tiene la fo rm a d e la región dentro del sem i círculo
ít
<6 < — , adem ás encontrar el centro d e m asa de la lám in a cu y a m edida d e
0
densidad d e área en cualquier punto es proporcional a la m ed id a d e su d istan cia al polo (m asa
en slugs y la distancia en pies).
Solucl6n
L a densidad p(x,y) = k ^ x 2 + y 2 , calculando la m asa se
r = acosfi
tiene:
M = J J p(x,y)dxdy = ffk-Jx2+ y 2 dxdy
*
-S -
v # ,
R
D
M = A :J J r .|y ( r , 0 )¡d rí / 0 = ¿ J J r 2drd6
M
J*Y ffl COS#
ka ff
r ‘ dr)d6 = (I
’ofi 'o
3
'o
JV
sen 6 ) eos 6 dQ
ka3
1
2 ka3
M = ------ ( 1 - —) = -----------slugs
3
3
3
calculando el centro de m asa ( x ,y ) , el m om ento d e m asa co n respecto al e je X .
Mx=JJ yp(x, y)dxdy
=
JJ rse n QJcr.rdrdQ
662
Eduardo Espinoza Ramos
el m om ento d e m asa con respecto al eje Y.
M y = jjxp(x,y)dxdy =
D
il
re o s OJcrrdrdQ =
D
D
f- faco«e 3
(J
r cos 8 dr)d6
o 'o
Í
M
=>
Mx
-
k Cn/2 .
,
2 kaA
=— I a co s 6 d& = -------4‘ 0
15
— 3a
x =—
-_M y_
3a 3a
p (— ,— )
5
'
— 3a
y =—
40
y~ M
34)
A;JJ r 3 cos OdrdQ
5
centro d e m asa.
40
E ncontrar el m om ento de inercia de la lám ina hom ogénea d e la form a d e la reg ió n aco tad a
p o r un círculo de radio “a” unidades con respecto a su centro, si la d ensidad d e áre a es p
slugs / p 2.
Solución
/°
=JJ ( jc
2
+ y 2)p(x, y)dA , donde p(x,y) = p entonces:
R
h = j j P ( x 2 + y 2)dxdy = J q (Jq p r 2.rdr)d0
P fln
=T -l
35)
a
P fl4
a d6 = — ~
p a *it
ln
^
2
7° =— ^ — slus ^ p
D eterm inar el m om ento de inercia de u n a lám ina en la form a de la región en cerrad a p o r la
2
2
L em niscata r =a c o s 2 0
respecto al eje polar. L a densidad de área v aría co n la d istan cia
desde el polo.
Solución
El m om ento de inercia con respecto al polo es
h =JJ(*2+y )p(x,y)dxdy,
2
donde p(x,y) = p
663
Integrales Dobles
Io
= JJ P(*2 + y 2)dxdy = p j j r 2.rdrd0
R
R
| W c o s 26
Í t
= 2 p I"
(I
'o 'o
H allar
las
coordenadas del
r = a ( l + eos
0
p a *
2
pa* f f
J
o(1 + um4B)d0
„
36)
,
r 3 dr)dO =-?—
p a 4f
fy
} ' eos 28 d8
o
s e n 40
1
/f
centro de gravedad d e la figura lim itada p o r la cardioide
)
S olución
a(l+cos0)
M
rdr)d6
fff 2
2
3 rra
= J a ( l + c o s fl) <¿0 =
se tiene
fo O + c o s fl)
o
2a
2
(I
o
e o s 0.r
7
[e o s 0 + 3(1- s e n 2
J
[4 co s0 -3 sen
o
2
f
3
Jo
0
i
•«
dr )d d = — | e o s 0 a (l + c o s 0 ) dQ
Jr
a " r 'ff
y =
(1
-
p o r la sim etría d el eje X
0
) c o s 0 + —(l + c o s 2 0 ) +
7
COS
c o 4s0 4
2
8
c o s 0 + —+ 2 c o s 2 0 +
+ eos 2 0 )"
0 ,5 ^ a 3
]d0 =
]¿0
664
Eduardo Espinoza Ramos
37)
H allar las coordenadas del centro de gravedad de u n sector circular d e radio a, cuyo ángulo
central es igual a 2 a (ver figura)
Í
a
ta
la
[a r 2
2
(jrdr)dO = 2 J —
=a a
p o r ser sim étrica co n respecto a X se tiene y = 0
1
2 fa ,
/a
2 a3
M = 2 1 (J r cos6.dr)d6 =—J r e o s 6 / dO = ----- - s e n a
y Jo Jo
_
A/v 2 a s e n a
Lugo x = ------ = -------------
M
38)
/o
-»Jo
-i
2a sena
p o r lo tanto ( x ,y ) = (— ------- ,0)
3a
3a
H allar el m om ento de inercia de u n anillo circular de diám etro d y D (d < D)
a) C on respecto a su propio centro ,
b)
C on respecto a su diám etro.
Solución
a)
7o =
JJ (x l + y 2)p{x,y)dxdy
D
I0 =
JJ (jc
2
+ y 2)dxdy, donde
p(x,y) =
1
, p o r ser
D
m om entos de inercia d e figuras planas, ah o ra usan d o
coordenadas
tiene:
polares
x = r eos
0
, y = r sen
0
,
se
Integrales Dobles
665
D4 - d 4
A) = J J ( ^ 2 + y 1 )dxdy = 'Oí ( ¿d/2 r 3dr)d8 =
I?
-n
D
b)
36)
= f í r 3 sen 2 8 dO dr = í ( í 2 r 3 sen2 8 dr)d6 = — (Z)4 - d 4)
I
D
4
0
64
En una lámina de lado “a”, la densidad es proporcional a la distancia hasta uno de sus
vértices, calcular el momento de inercia de dicha lámina con respecto a los lados que pasan
por este vértice.
S olución
De acuerdo a las condiciones del problema se tiene:
p ( x , y ) = k ^ x 2 + y 2 , el momento de inercia se determina con respecto al eje X.
I„ =
Jj 2
y p (x , y ) dx d y =
D
T
4
2
39)
'o
Ara5
Í t
CocosecB
¿
r sen 6 dr ) d 6 + J „ (J o
k
=—
Ií * r * sen2 O8 // °
=
r 2 se n 2 8 Jcr 2d r d 8
D
Í^ (Jo
5
jj
“ Ce
'o
5
k
d 8 -\—
J r* sen 2 8 / / « c o . « c f l d 8
A D
/o
5
2
y
sen 6 dr ) d 6
Jo sec A sen 8 d 8 +
Ara5 f i
2
J^ co secfl.sen 8 d 8
AraSr ¡ -
¡- r
= - ^ - [ 7 V 2 + 3 1 n ( l + V2)J
Determine la masa de lamina delgada que tiene la forma de la región limitada por la gráfica
x2
v2
a2
a
b
2
de la ecuación ~ Y + ^ f = x + y si su densidad en cada punto es p(x, y ) = \ x ------- 1
S olu ció n
666
Eduardo Espinoza Ramos
x 2 v2
P ara graficar la ecuación ——H— — =x + y se deb e com pletar cuadrados, es d ecir e n la form a
a
b
= 1 , que es una elipse d e centro el punto
4 - ( „ ! + ¡>! )
4
a2 b2
4
gráfica es:
P asando a coordenadas p o lares se tiene:
x
a
2
v
'
ó2
2
a I
= —Va
+ o7T reos©«
2
2
b I -> 7T
=—
«ú +o rsen©
2
x = ^— + — ^ a 2 + b 2 reos©
2
¿ 2
2
¿ n
v = — h— V a
2
rr
+o rsen©
2
L a ecuación d e la elipse en form a p o la r es r = 1 es decir se transform a en un circulo
C alculando el Jacobiano
dx
J(r,6) = dr
dy
dr
dx
ab
2
. 2 ■»
de = —
(a +b ) r
dy
4
de
L a m asa d e la lam ina es M = j j p(x,y)dxdy. == j1j \ x - ^ - \ d x d y
íl*
P asando a coordenadas p o lares m odiñeadas se tiene:
y su
667
Integrales Dobles
M
= JJ|x - —
2
D
=
jj\
\dxdy
= JJl~ 4 a 2 + b 2 re o s© \\J(r,6}\drd6
JJ 2
R
2
|—
— 4 o 2 + b 2rcosO
( a 2 + b 2)rdrdO
,
3
= —— ( a 2 + b 2 ) 2
j
(J |cos 0 \ r 2dr)d6
R
=—
2
(a2 +b2) 2
Ó
{ ( r 2 eos 6 dr)d6 = —
Jo Jo
6
(a 2 +b2) 2 p e o s 6 d 6 = —
Jo
6
(a2 +b2) 2
js.lS f Ejercicic
1)
E valuar la integral doble j j e * +y dA, donde D e s la región en cerrad a p o r x 2 + y 2 < 4 .
D
R p ta . 7r(e4 - l )
n
C alcular
2
2
donde D es el recinto dado p o r x + y - 2x < 0.
i—
(4 - x 2 - y 2)112
d
3)
dxdv
^
R p ta . 2n + 2
JJ ex +y dxdy
,
+ =
donde D es la región acotada p o r las circunferencias x 2 y 2
1 y
D
x 2+ y 2 = 9.
4)
R p ta . n e (e 8 - 1 )
x 2y 2 dxdy
2
donde D e s e l anillo 1 < jc + y
" ( x 2+ y 2)2 '
ff
C alcular La integral doble 11— 2
2
<4.
R p ta . —
5)
ff I
**
E valuar la integral J J J l — 5
D» a
x 2 y2
elipse —7 + 1~y = 1a
b
/"
Tdxdy a > 0, b >0, donde D es la región lim itada p o r la
h
2n ab
R p ta . — -—
3
668
Eduardo Espinozft Ramos
J-
6
)
C alcular la integral
..2
JJ x y d xd y , donde D es un dom inio lim itado p o r la elip se ~ Y +~ Y = * y
D
Rpta.
situado en el prim er cuadrante.
ff
7)
dxdv
C alcular J J
x2 y 2
■' . ■
x2
d
V
y2
+ fcr
, a > 0, b > 0, y D e s la región lim itada p o r la elip se —T + - y = 1-
a
a
ff
2nab{i¡5-2)
W
x2
y2
.
- dx d y , donde D es el disco acotado p o r — h— y = 1 d y x 2 +y2
a
b
)
C alcular J J
9)
C alcular
JJ ( x2 + y 2) dA , donde D es la región lim itada p o r
)
C alcular
x 2 + y 2 = 2x , x 2 + y 2 = 4x
,
Rpta.
x2+ y 2 =2y , x 2 + y 2 =6y
10
b
+ 4
Rpta.
8
a 2b 2
JJ ^Ja2 —x 2 - y 2 d x d y ,
donde D esta lim itado p o r la hoja d e L em niscata
D
XSO.
nV4
x y 2 dxdv
•
F
Rp.a.
=
—:
, donde F es la región lim itada p o r la curva
- x 2 - y 2 ( x 2 + y 2)V2
x 2 + y 2 = 2y.
12)
C alcular
donde D = \ ( x , v ) / x + v —a - j 2 > 0 , y —x + a-<f2>o\
f f ^x
( x 2 + v 2) 2
13)
C alcular la integral doble
‘
JJ d x dv ,
donde el recinto D está lim itado p o r la curva
Integrales Dobles
14)
669
C alcular J J f ( y 4 ---- j—
donde D es u na parte de anillo elíptico lim itada p o r los
D
x2
y2
x2
elipses - = - + —=- =
V
a2
y2
, — r - + — r = l y situado en el p rim er cuadrante.
4 a2 4 b2
F
1
b2
Rpta. a b j 2( J / ( r c o s 0 , r s e n 0 ) r d r ) d 6
'o
15)
'i
f* N r2-x2
M ediante coordenadas polares calcular J J
l n ( l + jc + y )dydx
o 'o
R pta. y [ ( l + . R 2 ) ln ( l+ .R 2 ) - . R 2]
r~:
Ca C ^ a z - x 2
16)
C alcular
J J
—
n o *
J x + y dydx
o o
Rpta.
1
f2 N a - y 2
r - i ---
\x
17)
C alcular J^Jo
18)
f 2 fV4-xl
C alcular I J
e
47T
+ y dxdy
,
2
2
fj - 2 —r
n
.
dydx
*'o o
f o fVo
N o --X
x2
Rpta. —
____________
C alcular
J J
20)
C alcular
J J^C*2+ y 2)
21)
C a l c u l a r / J r-------r sen ( x 2 + y 2) d x d y
2 2
)
'o "y
-y
dydx
m dxdy
f 2 o | *^2ax-x2
\
J J dydx
0
2$)
ya - x
o -yit-
C alcular
C alcular /
)
/ — 2 -------- 2 ---------T
19)
o 'o
A
Rpta. — ( 1 - e
4
Rpta.
6
Rpta. J l - l
7t
R pta. — ( l - c o s l 8 )
°8
7t O
R pta.
0
¡— j ^ 1 6 - x 2 - y 2 dydx
2 J2-'jA~i2 »
/
Rpta.
*
64 rr
3
4
9
670
Eduardo Espinoza Ramos
24)
P f * n ----- 2
C alcular J J y x +y dydx
'o 'o
25)
C alcular I
26)
C alcular
/,
T
2
V 2 + ln(V 2 + l )
Rpta. --------------------
_
2
¿
2. 7
,
,
_
„
R pta.
x£ + / ) ' flfytZr
n
ff
F
la
integral
= { ( x ,.y ) /x 2 + y 1
J(a,R) =
doble
< R 2j
J J — ¿-2
f (a + x + y )
TT
“ bre el
disco
circu lar
. D eterm inar los valores d e “a” p ara los cuales J(a,R ) tiene lim ite
cuando R —>+ ao.
ffc N S - x 1 r ~
2 b1
7
-y
Rpta. ——
27)
E valuar la integral
cfydx
28)
,
2
2
2
. 1/2
r f 2 y x (sen x - x + c o s x)
E valuar la integral J J ----------------- 2----- 2 --------------- ^
V +x
siendo F la región acotada p o r las
F
g
curvas x > 0 , y > 0
29)
Rpta. —
y x2 +y2 - l < 0
U sando coordenadas polares calcular J
J
0
fo N a 1- ! 1
2
r j
T
y x + y dydx
X
71
R pta. —
6
2 1/2
(a - y )
dydx
2a 3
30)
C alcular la integral doble J^ J^
31)
C alcular J J ln ( x y + x 2 + y 2 + xy eos n )d x d y , siendo F la región en el p rim er cu adrante entre
2
las circunferencias x +y
2
=a
2
2
, x +y
2
=b
2
Rpta. ——
con0 < a < b .
R pta. y[¿> 2 ( l n ¿ - - ^ ) - a 2( l n a - - j ) ]
32)
Expresar como una sola integral y evaluar (a > 0)
Integrales Dobles
671
C í a r' 4 l a x - x 2
33)
C alcular la integral I I
■'o ■'o
fu C ^ a 2- y 2
34)
C alcular
35)
C alcular
JO
j
2
2
(x^ + v*)dvdx
3a * n
Rpta.
'
4
2
tt
(x + y )dxdy
Rpta. -------
f 2(x2+ y 2) V2dydx
Rpta. -J2 —1
x
y~*
36)
C alcular
ff e y+xdxdy,
donde D es el triángulo lim itado p o r la recta x + y = 2 y los ejes
D
R pta. e —e 1
coordenados.
37)
) c o s ( x 2 + 2 x y - y 2)dA, d o n d e D es la región en el p rim er cuadrante,
C alcular
D
lim itado p o r las curvas
Rpta.
38)
C alcular
eo s 5 - eos
6
x 2- y 2 =\, x 2 - y
=
2
, x y = l,
xy =
2
.
+ eos 4 - eos 3
J J e ^x+2ydxdy , donde D e s
la región lim itada
por
las
rectas
x + 2 y = 4,
D
R pta. e2 + 3
x - 2y = 0 y el eje X .
fí f1-^ 2
2~
7 2- 2
f ( x , y ) = (x+y) e* y ;
D es
39)
C alcular la integral I I
{x - v ) 2dxdy
o y
40)
Sea
x + y=l, x + y =
_
41)
2
. C alcular
una
1
9
Rpta. —
reg ió n
ff
en
X Y lim itada p o r x = 0 , y = x,
1
e"'
J J f(x,y)dydx Rpta. —[ 3 + — ------- — ]
^
x +y
J a f4o-Jt
G rafícar la región de integración y calcular la integral J J
0
3jt
------------------- j d y d x
( 3 x - y + 8 a)
5
Rpta. (2 1 n 2 -—)a
4
672
Eduardo Espinoza Ramos
x~ 2 y
42)
C alcular
43)
C alcular
e x+2y dxdy
Rpta. 2 ( e - e 1)
J J < * - y ) 2 s e n 2 (x + y)dxdy ,
donde R es el paralelogram o c o n vértice
(n,0),
R
^4
(2rt,n), ( ji,2 ji), (0 , ji)
R p ta .-----3
0
y - 2x
44)
e-e
C alcular \ \ e v+2xdxdy donde D: 0 < y
D
45)
<x
2
JJ(2x+y)e*
E valuar la integral
-i
Rpta. ---------
x+ v S
2
vdxdy
sobre el paralelogram o determ inado p o r los
D
vectores ( 1 , 1 ) y ( 1 ,- 2 ) eligiendo un cam bio lineal d e variable apropiado.
3 (e 3 - 1 )
R pta. —-------2
46)
Sea
D
el
paralelogram o
con
vértice
(0,0),
(1,1),
(1,-1)
y
(2,0).
H allar
1
Jj[(Jt + y)2 + { x - y ) 2^xdy
R pta. —
3
n
,
y dxdy
, donde D es el interior del cuadrilátero curvilíneo lim itado p o r
las parábolas v 2 = 4 ( x + l ) , y 2 =2(x + —), y2 = 6 (----- x ) , y 2 = 4 ( l - x ) .
2
2
Rpta. 8 ( V 6 - l - - * / 2 )
48)
C alcular el valor d e
JJ e~a(x +y ' c o s (x
2
+ v 2 )dxdy extendida a todo el espacio.
D
na
Rpta. — ---a +1
Integrales Dobles
673
2
x v V l- * 2
I
2
2 )
2-------j— dxdy, donde D = \ ( x , y ) / x 20 , y > O, x + y < l |
n
50)
,
, ,
f\^
A
3
3
JJ(x2+ y
2
ln 2
x
^ ,.4 /3
—(b
4
C alcular
2
D = { ( x , y ) / a x 2 < y < b x 2, — < y < — }
donde
Rpta.
0<a<b,0<c<d.
51)
8
R p ta .
f f (x + y)dxdy,
C alcular
n
x +y
4 /3 w
1
1
.
3
—c )(—^ - - [/3 ) + —( a
b
a
5
)dxífy, donde Z) = { (x .jO / x
2 0
5 /3
com o
x
-c
5 /3
)(a
1 /3
—b
1/3
)
, y 2 + 2 x < l}
6
Rpta. —
35
52)
C alcular J J f
2" ^ 2 d W y , donde D = { ( x , y ) / x 2 + y
| x(x + y )
53)
C alcular
!í
JJ(x2- y
2
)<Z«Zy, donde D = { ( x , y ) / x 2 + y 2 -
2
2
- 2 y <0, y < x >
y < 0, y<x)
D
54)
C alcular j j ( x + y ) 3 ( x - y ) 2 í£cí/y,
donde
D
es
el
cuad rad o
lim itado p o r las rectas
2 0
x + y = l , x - y = l , x + y = 3, x - y = - l
55)
ff
C alcular 11 —
dx dy
R pta. —
I
, si D esta lim itado p o r la sem icircunferencia y = V 1 - x
2
y el eje X .
¡j x + y +1
n
Rpta. — ln 2
2
2
jo ;
w-aicuiar
V
x +y
j j — . ... .
d
x 2 + y 2 =?r 2.
2
- dxdy ,
donde
2
2
2
71
D está lim itado p o r las Une as x + y -= ----- ,
s x2+y2
9
Rpta. 3^
674
57)
Eduardo Espinozft Ramos
C alcular JJ dxdy , donde D esta lim itado po r las lineas xy = 1, xy = 2, y = x , y = 3x.
In3
Rpta. ----2
58)
j j x 2y 2dxefy,
C alcular
donde D es
la
región
acotada entre
las
d o s h ipérbolas
D
2
R pta. —ln 2
xy = 1, xy = 2 y las lineas rectas y = x, y = 4x.
59)
jje*~y dxdv,
C alcular
donde D es el interior del triángulo encerrado p o r los ejes
D
coordenados y la recta de ecuación x + y = 1 .
60)
r r
la I x
sec 2 X
E valuar la integral I I
,
■ dydx, a > 0 .
J 0 J 0 j ( a - x)(x - y )
61)
C alcular el valor de la integral
j jx yd xdy , donde D es la región aco tad a p o r las curvas
D
y -2x =
62)
0
, y -2x +
2
=
0
, x -y =
0
, y = x+l.
E valuar la integral graficando la región d e integración Jf*nJf«ri
n* - r = r' = = dydx
0
63)
C alcular la integral
J J ( 4 x +y ) e l6x ~y dxdy,
0 -y/l + Jt
+y
d onde D es la reg ió n lim itad a p o r el
D
1
1
cuadrilátero de vértice (0,0) , (— ,2 ), (1,0) , ( - , - 2 ) .
2
2
64)
E valuar
Rpta.
e 16 - 1 7
-----------4
ff* * - 4 y ) 2 s e n (x 2 - I 6 y 2) dx dy , donde D es el rom bo d e v értices (0,0), (4,-1),
D
(8,0), (4,1).
65)
E valuar
JJ -^36- ( x - y ) 2 - ^ - d x d y ,
C,: 4 ( j t - y ) 2 + y 2 - 2 4 x + 2 4 y = 0 ,
donde R es la región lim itada p o r las curvas
C2:4(x - y ) 2 + y 2 > 3 6
675
Integrales Dobles
fn
7
fo fV«
f v o 2-Jt‘
-*
66
)
C alcular
xy
xyee -jr 2 -yr 2
J ^ ^
x
67)
~
+ y
.
1
—
dydx
*
-
C alcular J f j x 2- y 2 dxdy,
sobre
e o2
2
~ ~ ( e“ + ----- ¿2 —)
R pta.
4
la
,
+ 1
cr
región D en cerrada p o r las rectas x = 1, y = x,
D
n
R pta. —
y = -x (sug. x = u, y = u sen v)
6
6 8
)
jjf(x,y)dxdy,
C alcular
donde
D
es
la
reg ió n
lim itada
por
las
curvas
D
Cji y = \ - t] i x - x 2 ,
C2 : y =l + 2 - ^2 x -x 2
----------------------------
la
Un
^ /(x -l)2 + ( y - l ) 2, y £ l
f(x,y) =
y
R pta.
<j4-4{x-l)2- [ y - l ) 2, y > 1
69)
íu n ció n
f(x,y)
d ad o
por
2
--=
9
E valuar J J sen y i dA, donde D es la región lim itada p o r y = r x , y =
2
,x =
0
.
D
Rpta.
l- c o s 8 •
3
»
2
70)
¿
2
— ) 2
=~j= situado en el
3 ^ / 6
n
Rpta. —
prim er cuadrante.
71)
„2
C alcular [[-Jxy d x d y , d onde D esta lim itada p o r la elip se (—— h —
«4
8 ^ 6
C alcular la integral doble pasando a coordenadas polares
Jo Jo
ex
y dy)dx.
e ' 2+3,\
R pta. ^ ( e fl2 -1 )
2
72)
C alcular
í h
2
1 + y 3 )dx dy
do nde
D
es
la
reg ió n
676
73)
Eduardo Espinoza Ramos
J J -Jx2 + y 2 —9 dx d y , donde la región D e s u n anillo entre dos
C alcular la integral doble
D
2
circunferencias x + y
74)
2
2
=9
2
y jc + y
C alcular la integral doble I K
Rpta.
=25.
128
“y
71
+ y 2)dxdy, donde la región D esta lim itada p o r las curvas
D
x 2 + y 2 =ax, x 2 + y 2 =2ax, y = 0 ( y > 0 ) .
’fl r l ^ - y 1
( 1 1------- . -
J
C alcular la integral doble
fr
11
d
x2
y2
1
)dy ■
R p ta .
a
dxdy
.——■■■■ -■ ■■■ - (c > 1) d o nde la región D esta lim itada p o r la
2 xV2 yV2
a2
elipse — h— —=
a
b
— na4
64
J S - S - , 2
»
76)
dx
-
R pta.
b2
(pase a coordenadas polares generalizadas x = ar eos 0 , y = b r se n
0
).
Rpta. 2 n a b ( c - 4 c 2 - 1 )
1)
dxdy
rr
C alcular la im cgral doble 11
, donde la región D es una p arte del circulo de
d Vfl2-x 2- y 2
radio a con el centro en el punto
0
( 0 , 0 ) la cual esta situada en el p rim er cuadrante.
Tía
Rpta. —
C alcular la integral doble
donde la región D esta lim itada p o r las cu rv as
3¿ x +y
x 2 = ay, x 2 + y 2 =2 a 2, y = 0 ( x > 0 , a > 0 ) . R pta. ^ ( 2 - l n 2 )
C alcular la integral doble J J x - J x 2 + y 2dx dy , donde la región D esta lim itada p o r el pétalo
D
de la LEMNISCATA (x 2 + y 2) 2 = a 2(x2 - y 2) (x > 0 ).
Rpta.
677
Integrales Dobles
80)
H allar los lim ites de integración de j j f ( x , y ) d x d y , d onde D esta lim itada superiorm ente
D
p o r y = 2 + ^ J l - x 2 e inferiorm ente p o r y =
81)
2
|x|.
Sea D la región lim itada p o r las rectas x —2y = 0, x —2y = -4, x + y = 4 , x + y = l , calcu lar
la integral doble
JJ 3xy dx d y .
'O [ a + ij a 2- y 2
J0
(I
n
¿y
x-)dv
(4a +
+ xr +
+yv i)
(da
ir
'
dxdy
83)
C alcular [ [ ---------------- ■—, donde D es el triángulo d e V értices (0,0), (2,0), (1 ,-^3 ).
_ (l+*2 + y 2) 2
84)
C alcular el v alor de la integral j j x d x d y , d onde D e s la región aco tad a p o r
las lineas
F
y —2 x = 0 , y —2 x +
85)
2
= 0 , x —y = 0 , y = x + l .
H allar e l área de la región lim itada p o r las curvas xy = 4 , x y =
8
, xy1
= 15,
x y 3 = 5.
R p ta . 2 1 n 3 .u 2
8 6
)
H allar e l área lim itada p o r la elipse. ( x - 2 y + 3)2 + ( 3 x + 4 y - l ) 2 = 100
R p ta . 10n u2
87)
?
?
x = by, y = a x
8 8
)
x 2 = ay ,
H allar el área del cuadrilátero curvilíneo lim itado p o r los arco s d e las paráb o las
,
?
y =/)x(0<a<b, 0<a<P)
H allar el área de la región lim itada p o r las líneas
(—
a
) 2/ 3
R p ta .
+
(—
b
) 2/3
( b~o) ( P- a)
---------------------- u
= 1,
2
( — ) 2/3+ ( ~ ) 2 3
a
b
=4,
678
89)
Eduardo Espinoza Ramos
H allar el área de la región lim itada p o r la parte ex terio r d el círculo
2
interior a la circunferencia ( x - 6 ) +y
90)
2
(x -4
+y 2 = 1 6 e
) 2
=36.
2
2
3
4
3rr
4
H allar el área de la región lim itada p o r la línea (x +y ) = x +y .
R pta. — u
j
4
91)
2
x2
2
xy
a 2 bt 2 2
H allar el área de la región lim itada p o r la línea (—2 - + — ) = — . R p ta . ------ r—u
a
92)
93)
94)
H allar el área d e la región lim itada p o r la linea (
H allar el
área
de la
región
lim itada
x
2
y
2
h— )
4
9
por
2c
la
2 x
cu rv a
2
2
y_ +
6
u
= 1, x = 0, y = 0,
ab 7
2
2
3 tt
3
4
2
=2x,
R p ta . (— +—)u
jjxdxdy
y
2
25
--------------- Rpta.
4
9
H allar el área de la región lim itada p o r las líneas x + y
C alcular
2
,3n9 tt
Rpta.-------- u
R p ta . — u
70
y = 0.
96)
e
2 .
x 2 2y
2
x+
y 2
H allar el área d e la región lim itada p o r la linea (— + — ) = ------------4
9
25
a>0, b>0.
95)
b
sobre
la
región
2
x +y
2
= 4 x , y = x,
j
encerrada p o r las parábolas
y = x 2 , x = y 2.
D
y - 1 = (x - 1), ( y - 1 )
97)
2
= x-l
R p ta . - -
3
E ncontrar el área de la región en el cuadrante positivos del plano X Y lim itad a p o r las curvas
x 2 + 2 y 2 = l , x 2 + 2 y 2 = 4 , y = 2x, y = 5 x .
98)
H allar el área de la región acotada p o r la curva y
2
=
jc4 ( jc +
4) .
679
Integrales Dobles
99)
.
,
.
jc
v
H allar el area de la región lim itada p o r la curva (— +
a
100)
2
x
R pta.
=— .
b
c
7Ta b
—
2c
H allar el área de la región lim itada p o r el buche de la cu rv a (jc + _y)
4
=ax2 y q ue se
q2
encuentra e n el prim er cuadrante ( a > 0 ) .
101)
H állese el área de la figura lim itada p o r las curvas x 2 + y 2 = 2 ax , x 2 + y 2 = a b x , y = x,
h2 - a2
Rpta.
y= 0 (0<a<b).
102)
R pta. y y ^
(n + 2)
H állense el área lim itada p o r las curvas y 2 = 4ax + 4a2 y x + y = 2 a (a > 0).
Rpta. ~ a 2
103)
8
a1
H állense el área d e la figura lim itada p o r las curvas y = — --------—, x = 2y, x = 0 (a > 0).
x +4 a
Rpta. a 2( n —1)
104)
H állense
el
área
de la
(0 < p < q, 0 < a < b).
figura
lim itada
por
las
y 2 =px,
curvas
Rpta. —---- P ^
y = ax,
y = bx
^
6a b
105)
E ncontrar el volum en del sólido del prim er octante bajo el parab o lo id e z = x
2
del cilindro, x +y
2
=9
81
Rpta. — n u
2
+ y 2 y den tro
3
8
106)
H allar el volum en del sólido S lim itado p o r el cono z
2
2
= x +y
2
y e l parab o lo id e
680
107)
Eduardo Espinoza Ramos
2
2
de la función z = x + y
108)
2
E ncontrar el volum en de la región situada sobre el disco x + (y —1) < 1 y aco tad a p o r arrib a
2
R p ta .
3?r
*
3
u
2
H allar el volum en lim itado p o r las superficies 2az = x 2 + y 2, x 2+ y 2- z 2 = a 2, z = 0
na
R p ta .
3
,
u
3
109)
C alcular el volum en del sólido lim itado p o r el plano X Y , la superficie z = ae
cilindro, x 2+ y 2 = R2
110)
2
2
2
2
-
y el
R p ta . n a ( l - e R ) u 3
H allar el volum en del sólido lim itado p o r el paraboloide
x +y +z =3a
-íjr*+
2az = x 2+ y 2 y la esfera
(se sobre entiende el volum en situado dentro del paraboloide).
na
3
R p ta . ------ ( 6 ^ 3 - 5 )u
3
111)
H allar el
volum en del
sólido
lim itado p o r las superficies
z = x + y, x y = l , xy = 2,
3
y = x, y = 2x, z = 0 ( x > 0 , y > 0 )
R p ta .
(2v2-l)u
3
112)
z =a - ^ x 2+ y2 ,
H allar el volum en del sólido lim itado superiorm ente p o r el cono
inferiorm ente p o r el plano X Y y lateralm ente por el cilindro, x 2 + y 2 = ax
3
R p ta . — ( 9 n - l 6 ) u 3
36
113)
H allar
2
el
2
volum en
2
del
sólido
lim itado
superiorm ente
por
la
superficie
2
x +y +z = 4 , inferiorm ente p o r el plano X Y y lateralm ente p o r el cilindro x +y
esférica
2
= 1
681
Integrales Dobles
3
114)
H allar el
2
2
volum en del cuerpo lim itado p o r los cilindros x +y = R
^
2
, z=—
y e l plano
a
4 R5
3
z = 0, x > 0 . ---------------------------------------------------- R p ta .----- u
15a
2
z2
X
115)
H allar el volum en del cuerpo lim itado p o r el cilindro elíptico — + — = 1 y los p lanos
a
y = —x , y = 0, z = 0, ( x > 0 )
R p ta . ------ u
3
a
116)
H allar el volum en
(jt-l)2 + ( y - l )
117)
2
del sólido com prendido
=1,
dentro
z = 0.
C alcular el volum en del cuerpo
c
abe 3
b
d e la superficie
z
= xy,
jc
2
+y
2
= 1,
Rpta.-(— ----) u 3
4
lim itado p o r
3
x
2
2
y
las superficies — + — = 1,y
a
2,
b
x
= 0,z = —,
2
a b 3
R p ta .----- u
z = x.
3
118)
H allar el volum en del sólido lim itado inferiorm ente p o r el plano X Y , superiorm ente p o r el
elipsoide
de revolución
2 2 2 2 2 2 2 2
b x +b y +a z =a b
y lateralm ente
por
el
cilindro
2
7 7
x + y =ay
R pta.
----^ ( 3 ; r - 4 ) u 3
9
119)
E ncontrar el volum en encerrado p o r las superficies definidas p o r las ecuaciones x 2 + y 2 = cz,
7
2
x + y = ax,
120)
3?r a 3
R p ta . ------ u
z = 0.
32 c
2
H allar el volum en total del espacio com prendido entre el cono 2(x + y
hiperboloide x 2 + y 2 - z 2
=-a2
R pta.
4 a 1n
----- ( V 2 - l
3
) « 3
2
)-z 2 =0
y el
682
121)
Eduardo Espinoza Ramos
H allar el volum en d el sólido D, en el prim er octante lim itada por:
x2 +
2
= 64
3 x + 4 y = 24
D:
x =
y =
=
2
122)
0
0
0
2
E ncontrar el volum en acotado p o r las superficies z = x +y
2
1
2
2
y z - —(x +y + 1 ) .
2
71 3
R p ta . — u
4
123)
2
H allar el volum en del sólido lim itado po r las superficies, x +y
3n
R p t a . ----- u
4
y z = 0.
124)
2
2
2
2
=2x, 2 - x - y
2
- 2
=0
3
2
C alcular el volum en del sólido lim itado por x +y +z = 9 c
2
2
2
2
y x +y =4c , in terio r al
cilindro.
125)
2
2
2
C alcular el volum en V del cuerpo acotado p o r la superficies esférica x +y +z =4a
2
cilindro x + y
?
2
y el
1 6 a3
R p ta . V = -------- ( 3 n - 4 )
- 2ay = 0
9
126)
H allar el volum en de la región sólida S lim itada superiorm ente p o r
inferiorm ente p o r el plano z =
127)
1
2
=2x y
8
H allar el
volum en
—y
2
e
2
y =8 - 2 x
del sólido lim itado p o r el paraboloide
2
2 . 2
a -x -4y
= --------------------
a
3
plano z = 0.
2
- y 2, p o r encim a d e z = 0 y
2
128)
= 1 -x
- y.
H allar el volum en del sólido com prendido por debajo de z =
dentro de las superficies y
2
R pta.
a n
u
3
y el
683
Integrales Dobles
2 y
2
129)
2 r ~~
R pta. a -Jacn u
plano paralelo al plano Y Z, x = a.
130)
3
H allar el volum en del sólido lim itado p o r el plano X Y , el cono z
2
2
3
x +y = 2 ax
131)
2
E ncontrar el volum en del sólido que se obtiene cortando la superficie — + — = 2x p o r un
c
b
2
2
= x +y
2
entre
y = 0, y = h
Rpta.
a 2h n
y e l cilindro*
2
=h 2 (x 2 +z 2 )
3
R pta. — a u
9
E ncontrar el volum en del sólido en el prim er octante acotado p o r e l cono a y
y
2
3
u
12
132)
E ncontrar el volum en del sólido en el prim er octante acotado p o r lo cilindros p arab ó lico s
2
486^3
2
z = 9 - j t , x = 3 - y , y = 0, x = 0. Rpta.
u
3
35
133)
E ncontrar
el
volum en
del
sólido
com prendido
a2z = H( a2- x 2 - y 2) y el plano X Y .
134)
d el
p arab o lo id e
de
n Ha'
u3
E ncontrar el volum en del sólido en el prim er octante acotado p o r los p lan o s co o rd en ad o s y
2
2
los cilindros a y = b(a - x
135)
R pta.
dentro
2
2
2
2
), a z=c(a - x )
2
2
H allar el volum en del sólido en el interior del cilindro x +y
2
2
2
a z= h (x +y )
2
R pta.
Sabe 3
——u
R pta.
Jl Q
2
= a , en tre z = 0 ,
y
,
rt
u
-y
2
136)
2
2
2
2
H allar el volum en del sólido com prendido dentro de la esfera x +y +z = 4 a y cilin d ro
Eduardo Espinoza Ramos
684
137)
H allar el volum en del sólido com prendido en e l interior d el p rism a acotado p o r los p lanos
y = x, y =
l~ 2
a
0
, x = —= y entre el plano z =
■v2
y el cono z = A y x +y
0
Y
R pta. ^ [ l + ^ l n ( l + x / 2 ) ]
138)
C alcular la m asa y el centro de m asa de la lám ina indicada p ara la d ensidad qu e se
proporciona.
a) Lám ina: T riangular co n vértice (0,0), (0,a), (a,0) densidad p (x ,y ) = x
2
2
+y .
a A 2a 2 a
Rpta. — ,(— ,— )
6
2
b ) Lám ina: R egión lim itada p o r y = x , y
2
5
=x, densidad proporcional al cuadrado de la
6
275 275
Rpta. — K,( ------ , ------ )
distancia al origen.
35
139)
5
432 432
C alcular la m asa de una p la ca cuadrada de lado “a”, cuya densidad en cu alq u ier p u n to es
proporcional al cuadrado de la distancia entre este punto y uno de los vértices d el cuadrado.
Rpta.
140)
2
4
—a k , k= coeficiente de proporcionalidad.
C alcular la m asa de u n a placa circular de radio r,
si su densidad es inversam ente
proporcional a la d istancia entre un punto y el centro y e s igual a
8
en el b o rd e de la placa.
R pta. 2 n r 2S
141)
E ncontrar el centro de m asa de una lám ina que tiene la form a de una reg ió n lim itada p o r la
2
curva: x +y
142)
2
= 6 4 , de densidad p(x,y) = x
2
+ y 2 en cad a p unto (x,y).
E ncontrar la m asa d e u n a región p lana acotada p o r un arco de la cu rv a y = sen x , y el eje X,
si al densidad es proporcional a la distancia d esde el eje X.
tc k
Rpta. ----4
685 •
Integrales Dobles
143)
E ncontrar la m asa y el centro de m asa de la región de la form a de un cuadrado d e v értices
( 1 , 1 ), ( 1 ,- 1 ), ( - 1 , 1 ), ( - 1 ,- 1 ) y de densidad p ( x , y )
= |*I + H
R pta. 4, centro en (0,0)
144)
E ncontrar la
m asa y
el
centro de m asa de la región com prendida p o r las lin eas x > 0,
2 2
^
y>0, x + v Si-
Rpta. — ,
4
145)
12
12
(--- , --- )
In In
D eterm inar la m asa y el centro de m asa de la lám ina si la densidad de área es com o se indica.
L a m asa se m ide en kilogram os y la distancia en metros.
a)
U na
lám ina en form a de la región lim itada p o r la p aráb o la x
= 8
y , la recta
y = 2, y el eje Y, la densidad de área varía c o n la distancia d esde la recta y = - 1
R pta.
176
15
b)
U na
lám ina
en
2
form a
circunferencia x + y
2
de
la
35
102
22
77
k kg , (— , ----- )
región en el prim er cuadrante, lim itad a p o r la
= a 2 y los ejes coordenados, la d ensidad de área v aría c o n la
sum a de las distancias, desde las aristas rectas.
2k
3a
3a
R pta. — kg , (— ( 2+n), — ( 2+t t ) )
3
146)
32
D eterm inar la m asa de la lam ina que tiene form a de la región lim itada p o r las rectas
x = 0,
y = 0,
x + y = n
p(x, y) = e* y sen(x + y ) .
147)
32
sabiendo que su densidad en cad a punto
P(x,y) es
e* - e ~ n
R pta. --------------
L a densidad en cualquier punto de una lam ina sem icircular de radio R es p ro p o rcio n al de su
distancia al origen. Encontrar el centro de m asa d e la lam ina.
686
148)
Eduardo Espinoza Ramos
H allar la m asa de la lam ina correspondiente a la región del prim er cuadrante del circulo
x 2 + y 2 = R 2 , siendo la densidad en cualquier punto interior proporcional a la distancia
R pta. M —
entre el punto y el centro.
149)
kñ'n
C alcular el m om ento de inercia respecto al eje X , de un a lam ina d elg ad a lim itada en el plano
X Y , p o r las curvas y = -Jlx , y = 0, x = 2. L a densidad en un punto cualquiera de la lam ina es
24
Rpta. I x = —
p(x,y) = |x - y |.
150)
U na lam ina delgada tiene la form a del triángulo de V értice A (0,0), B (n,n) y C (2n,0). H alle la
m asa
de
la
lam ina
sabiendo
que
su
densidad
en
ca d a
p unto
es
2
p(x,y) = (x + y ) 2 sen(x2 - y 2) .
151)
R pta. M = n 2 _
sen4?r
4
C alcular el centro de m asa de la lam ina delgada representada p o r la región R que se encuentra
p o r encim a del eje X y entre las gráficas de las ecuaciones y = x, y = - x,
x 2 +y 2 = 6 y ;
y > 0
p(x,y) = T¡x2T y 2 .
152)
x2+ y 2 = 4y,
siendo la densidad en cada punto P(x,y) d e la lam ina
Rpta. (x,y) = ( ° > ^ ^ )
U na lam ina delgada tiene la form a de la región R y con densidad p(x,y) = (x2 + y 2) 2 .
H allar la m asa de la lam ina, si R es la región que es interior a la circunferencia
x 2 + ( y —2)2 = 4 y exterior a la circunferencia x 2 + y 2 = 4 .
687
Integrales Dobles
5.1$. Cálculo del Area de ana Suj
Si la función z = f(x,y) y sus derivadas parciales
dx
-v^
y
dy
son continuas en
una región cerrada D del plano X Y , entonces el área de la superficie S: z = f(x,y) sobre D
viene dado por:
área de la superficie
S = A(S) = j j d S = JJ J l + (P/^x’^ )2 +
D
d
'
la proyección de la superficie dada sobre el plano XY.
Si la superficie está definida p o r la ecuación x = f(y,z) entonces:
donde D es la p royección d e la superficie sobre el plano YZ.
Si la ecuación de la superficie está definida p o r y = f(x,z), entonces:
donde D es la proyección de la superficie sobre el plano X Z
dxdy d onde D es
^
688
Eduardo Espinoza Ramos
E je m p lo .-
z = -Jx1 + y 2
H allar el área de la parte del cono
2 . 2
x + y = 2x
com prendida dentro del cilindro
S olución
com o z = ^¡x2 + y 2 =>
dz
x
&
dz
-jx2 + y 7
y
&
y*
la región D es el circulo lim itado p o r la ecuación
x 2 + y Z = 2x = > ( x - l ) 2 + y 2 =
1
pasando a coordenadas polares x = r eos
2
2
,— f f
,— f i r / 2
-J2
f2 c o s fl
= V 2 \\dxdv = j 2 I
( I rdr)d6=
'
-ir / 2 0
fít/2
I
2
,
,
x +v
V
2
0
, y = r sen
0
dxdy
,— f í r / 2
4cos0d0=V2j
- */2
-ir /2
(l + c o s 2 6)d6
D
= *J2[0 + ^ ^ - ] /
2
E je m p lo .-
2 = V 2 [ ( - + 0 ) - ( - - + 0 )] = V 2 W
/ -n/2
2
2
C alcular el área de la parte superior del paraboloide
x = l-y
2
-z
2
co rtad a p o r el
cilindro y 2 +z2 = 1
S olución
L a región de integración es la circunferencia y +z = 1 situada en el plano YZ.
ahora de la ecuación del paraboloide se tiene: x = 1 - v 2 - z
2
=> — = - 2 y ,
dy
— = -2z
dz
Integrales Dobles
689
A(s) = JJ J l + ( | V
n
I
+ ( ^ - ) 2 dxdy =
*
JJ ^Jl + 4 y 2 +4z2dydz
r»
y
pasando a coordenadas polares se tiene:
A(S)
E je m p lo .-
=**
JJVl +4 r
2
rdrd6=J
*0
(J Vl+ 4 r 2rdr)d6= —J
* n
0
1
12
( 5 ^ 5 - 1 )d6
— n ¡i2
*
0
2
2
2
C alcular el área de la porción de la superficie de la esfera x +y +z = 2ay
cortada p o r u n m anto del cono y
2
2
= x +z
que es
2
S olución
2
2
2
2
C om o la esfera es x +y + z = 2ay entonces x + { y - a )
La ecuación de la m itad de la superficie es
2
2
2
+z =a cuyo centro es (0 ,a,0).
I 2
2
2
y = a + -ya - x —z , La pro y ecció n de la
superficie en el prim er octante, es la región.
D = j ( x , z ) / 0 ^ x <, a
a
0<,z<-Ja2 - x 2
j
cuya gráfica es:
2
2
a -x
V
dy
x
f r ~ ~ 4 a 2 - x 2- z 2
dy
dz
-<ja2 - x 2- z 2
dx
dz
a -x -z
A(S) = 2 n a 2yi2
690
Eduardo Espinoza Ramos
E je m p lo .-
2
2
2
H allar el área de la superficie S que es parte de la esfera x + y +z = 1
2
cono x +y
2
dentro del
2
_ „
=z , p a r a z > 0 .
S olución
S: x 2 + y 2 + z2 = 1 la esfera ahora verem os la v ariació n
de z y esto corresponde a la intersección de:
\x2 + y 2+ z2 =1
1
2
para este v alor de z la superficie se encuentra sobre el disco x + y
2
p o r lo tanto S: F(x, v,z) = x
2
2
2
1
< — en el plano X Y.
i
+y +z - 1 , para —■=< z< 1
V2
dz _
dx
Fx _
Fz
2x _
2z
AS)•íí}+(l
D
x
z
dz _
dy
'
)! +(f' ^
"
:- ID f j
Fy _
Fz
2y _
2z
y
z
+7+?**-
dxdv
d
'
D
pasando a coordenadas polares se tiene:
n
A(S)=.
L
d
dxdv
ff r d r d O
(2n tv-Ji
- 7= — =--- ---- 11-¡—===== I (I
Jo
v j0
\ l - ( x +y )
Vl-r
f
2
2.
J J
d
L
2
rdr
f 2 ff V 2
2 -V 2
= -J
(----- - \) d G = ----------- 2n = ( 2 - - J l ) n p
0
2
(2n
i
y / u^
~¡=
)de = I -Vi—r2 /
f\
2
J0
/
Vi —r
2
0
d6
691
Integrales Dobles
5.20
Ejercicios Propuestos.)
I.
Á re a s de S u p erfic ie s.
1)
C alcular el área de la parte del plano
6
x + 3y + 2 z = 12 que está situada en el p rim er
2)
2
2
= x +z
2
2
H allar el área de la función del cilindro x + y
2
H allar el área de la superficie y = x +z
)
2
)
2
2
co rtad a p o r el cilindro x +z = 1 y situada
2
2
= 2x y el plano x = 6 .
2
R p ta .
224 a 2
nu
2
H allar el área de la superficie que se fo rm a cuando los p lanos x = 0, x = 1, y = 0,
H allar el
área de la parte de
2
co rtad a p o r los p lanos x = 1,
¡2 2
R p tai.. 4 0 J1- u
H allar el área de la parte de la esfera
cilindro*
R p ta . -Jé u2
la superficie z = 2xy
y = 4 , z = 0.
8
com p ren d id a entre el plano
S /5 -l
2
R p t a . ----------- n u
24
y = 1 cortan al plano 2x + y + z = 4.
7)
=4
H allar el área de la superficie del parabolo id e y +z = 8 y , in tercep tad a p o r el cilindro
parabólico y
6
2
R p ta . 8 0 u 2
en e l prim er octante.
5)
que está dentro del
R p ta . 4 0 n
z = 5x el plano X Y .
4)
x 2 + y 2 +z 2 = 8 y
H allar el área de la superficie esférica
p araboloide y
3)
2
R p ta . 26 u
octante.
2
á- v = ay.
2
2
2
2
2
x + y +z = a , co m p ren d id a d en tro del
2
^
2
R p ta . 4 a (------ 1)u
2
692
Eduardo Espinoza Ramos
9)
2
2
2
H allar el área de la parte de la esfera x + y +z = 4
X
2
1Ó 7T
9
— +y =1.
R pta.
4
u
cortada p o r el cilindro
,
3
10) H allar el área de la porción de la superficie que se form a al co rtar la esfera
2
x +y
11)
2
2
+ 2
2
2
2
= 4x p o r una hoja del cono v +z = x . Rpta.
8
n
2
H allar el área d e la p arte del plano z = x encerrado dentro del cilindro x + y
encim a del plano z = 0.
=4
por
Rpta. 2-Jl n u2
z= x 2
12) H allar el área de la parte de la superficie del cilindro
x + y = J 2, x = 0 , y = 0.
2
5
Í2
6
2
co rtad a p o r lo s p lanos
Rpta. [ + — In(3 + 2^2)]u 2
2
2
13) H allar el área d e la p arte de la superficie del cilindro x +y = a
entre los p lanos z = 5x y z = 2x.
2
(z > 0 ) co m prendida
R p ta . 12 o 2
14) Calcula*- el área de la superficie del cono situada dentro del cilindro x 2 + y 2 = 1.
R p ta .
u2
x 2 +z 2 =4 situada dentro d el cilindro
15) C alcular el área de la superficie del cilindro
x 2 +_y2 = 4 .
jt
R p ta . 3 2 u 2
2
16) C alcular el área de la parte de la superficie del cilindro x +y
entre el plano X Y y el cono x 2 + v 2 = z 2. R p ta .
17) H allar el área de la parte del plano
x
v
8
2
= 2 ax
a2
z
—+ — + —= 1 co m prendida entre lo s p lan o s
a b e
coordenados.
co m prendida
1
I
2
2
2
2
2
R p ta . — v a b +b c +a c
2
2
~
693
Integrales Dobles
18)
x 2 + y 2 =2ax.
19)
Rpta. 8 a
H allar el área de la parte
2
paraboloide 3z = x +y .
2
2
co rtad a p o r el cilindro
¿
®
arcsen(—)
a
co rtad a p o r el cilindro
2
2
2
x +y +z =4z
Rpta. 4 n u
y que está dentro del
2
2
H allar el área de la parte de la superficie z =4x reco rtad a p o r el cilindro y
16
r
Rpta. — ( v 8 - 1 )u
y el plano x = 1.
23)
del cilindro
Rpta. ■J2a1u2
H allar el área de la parte de la esfera
2
2
z = -Jx2 + y 2
del cono
(x2+ y 2) = a 2(x2- y 2).
22)
2
2
x v
a
b
21)
2
x + y + z =a
C alcular el área de la parte de la esfera
2
2
= y ,situado dentro
Rpta. 3a 2n u2
—2—•-—2 ~= 1•
20)
2
H allar el área de la parte de la superficie del cono x
2
2
H allar el área de la parte del cono z = x +y
recortada p o r el plano z = V 2 ( ^ + 1).
Rpta.
2
2
=4x
2
situada p o r encim a del plano X Y y
8
nu2
24) C alcular el área de la parte de la superficie del cono x 2 - y 2 = z 2, situada en el p rim er
octante y lim itada p o r el plano y + z = a.
25)
&
2
2 2
Rpta. - — a u
C alcular el área de la parte de superficie del paraboloide y 2 + z 2 = 2 ax, com prendida
dentro del cilindro y
2
=ax y el plano x = a.
71Q
2
i—
R p ta . --------( 3 V 3 - 1 )u
2
2
26)
D em ostrar que las áreas de las partes de las superficies de los p arab o lo id es
x 2 + y 2 = 2az y x 2 - y 2 = 2az cortadas p o r el cilindro x 2 + y 2 = R 2 so n iguales.
694
Eduardo Espinoza Ramos
27)
H allar el área de la superficie de aquella p o rción d e la esfera x 2 + y 2 +z2 = a2 que se
2
encuentra dentro del cilindro x + y
28)
2
= ax.
R p ta . 2 a (n —2)u
2
2
2
2
= 2a x .
R p ta . 371 a u
2
2
2
H allar el área de la parte del cono z =x +y
2
2
2
x = y +z
H allar el área de la parte de la superficie del cono
cilindro x + y
29)
2
situado d en tro del
2
2
2
del cilindro x +y
dentro
=2a x .
R p ta . 3 n a 2-j2u2
30)
2
2
2
2
2
H allar el área total de la esfera x + y +z = 4 a
2
dentro del cilindro x + y
= 2a y .
R p ta . a2( n - 2 )
31)
2
H allar el área cortada de la superficie az = y - x
2
2
p o r el cilindro x + y
71Q
#—
R p ta . ( 5 V 5 - 1 )
2
2
=a .
2
u
y
6
32)
2
2
x +z = a
H allar el área total de la parte del cilindro
2
dentro del cilindro
, 2 ~ ax.
x 2 +y
33)
H allar el área de la porción de la esfera
ram a superior del cono z 2 = x 1 + y 2.
34)
x 2 +y 2 + z 2 =2a 2 que está co rtad a p o r la
R p ta . 2a1 (2--J2) n u2
2
2
H allar el área de la porción de la superficie x +_y = z
2
2
2
X Y y lim itada p o r la esfera x + y + z = 2 a x .R p ta .
2
situada p o r encim a del plano
71Q
^ p l.
------------ u
4
2
695
Integrales Triples
CAPITULO VI
6.
IN T E G R A L E S TR IPLES*
C onociendo las integrales dobles
JJ" f (x , v ) d x d y , estudiarem os las integrales triples
D
j j j f(x,y,z)dxdydz , cuya diferencia está, en lugar de tratar con funciones d e d o s v ariab les
s
continuas en una región del plano D, traiarem os con funciones de tres variables co n tin u as en
una porción S del espacio.
C onsiderem os u n a función f acotada en una región S c R 3, es d ecir / : S a R *
trazam os
, P2
planos
paralelos
a
los
p lanos
Pn que están contenidos en S.
coordenados,
obteniéndose
>R,
paralelep íp ed o s
Eduardo Espinoza Ramos
696
[6.1
Definición^
C onsiderem os una p artición de la región S al conjunto P=
, p2
p n }, d o n d e la norm a
de esta partición es IP | que es la diagonal m ayor de los paralelep íp ed o s que form an la
partición.
Sea
y(P') = AX' .AV' .ÁZ'-
el volum en del i-ésim o paralelepípedo
P¡ , i = 1,2,...,n y
(xi , y . , z , ) un punto arbitrario escogido en Pf .
La sum a de R iem ann asociado a la partición P de la función f es:
n
n
^ f { x i ,yi ,zi )V{Pi ) = ' Y ^ f ( x i ,yi ,z¡)^xr ¿Syi. ^ z ¡
(= 1
[6.2
1= 1
Definición^
n
El lím ite d é l a sum a de R iem ann
^ éf ( x i9y¡9zi )V(P¡) es un núm ero real L, sí V e > 0 , 3
1= 1
n
8
> 0, tal que:
|^
f ( x ¡ , y i,zi)V(Pi ) - L \ < e , p ara to d a p artició n P con IPÍ <
8
,
1= 1
(*/ ,.vI ,zI ) e P¡
6.3
Defliiiciófij
L a función / : S c z R i
> R, es integrable en la región S e
si existe un núm ero L,
donde el núm ero L es la integral triple de f en S, al cual denotarem os por:
f=i
siem pre que exista el límite.
Integrales Triples
16.4
697
Propiedades dé la Integral Tripte]
1)
JJJkf{x,
V,
s
z)dV = k j j j f ( x ,
s
y ,
z)dV
.z ) ± g (x ,.v ,z ) ] c /E =
, z)dV ±
s
3)
J J J g(x, v, z)dV
s
JJ J /(* , v, z)dV = JJJ f ( x ,
S
s
v, z)dV + JJ J/(x , y, z)dV
S,
Si
siendo S la unión de dos subconjuntos disjuntos Sj y S2.
O b serv ac ió n .-
La función / : S a R 3
> R es integrable en la región S c R 3, si f es
continua en una región cerrada S cz R3.
Cálculo de Jntegrales Tnpies Mediante Integrales Iteradas]
En el cálculo de la integral triple p o r m edio de integrales iterad as se presen tan seis órdenes:
dx dy d z
,
d y dx dz
,
d z dx dy
dx d z d y
,
d y dz dx
,
dz d y dx
D escribirem os una región que se considera sim ple con respecto al o rden d z d y dx, los otros
cinco órdenes se describen en form a sim ilar.
P ara calcular la integral triple en el orden
plano X Y .
D = { (* ,y )
d z d y dx, co nsiderem os una región cerrad a en el
R 2 la < x <b a
e
<Pj(x) <y < <p2 ( x ) j d onde
(px,(p2. \a,b\ >R
-
6.5
son funciones continuas y adem ás <p¡ (x ) < q>2 ( x) , V x e [a,b].
Si
v ',, \¡/2: D a R -------» R
i//](x ,j') < y/2 ( x , y ) ,
son
funciones
continuas
en
la
región
cerrada
D
y
V (x,y) e D, considerem os un a región cerrad a S de R 3 dado por:
S = {(x,y,z) e R 3/ a £ x < b
a
<p1 (x ) < y < (p2 (x )
a
( x ,y ) ¿ z <
Eduardo Espinoza Ramos
698
Si / : S<^R ------- > R, es una función continua en S, entonces la integral iterada de f es:
\\\f(x.y,z)dv= \
JJJ
Ja
(J<z>,(j) (I
f(x,y,z)dz)dv)dx
J<//,(x,y)
z
*
V
,
V
-z = v ,(x )
z=v/j(x)
s
J
'
[>'
E je m p lo .-
¥
C alcular j j j ( 2 x + 3v-z)dxdydz, si el dom inio T es un prism a triangular lim itado p o r
T
los planos z =
0
, z = a, x =
0
,y =
0
,x+ y=b
(a > 0 , y > b).
S olución
T=
|(jc,y,z)
e R3 / 0
<
x <b
a
0 <
z=0
v
<b — x
a
0 < z < a},
ahora graficando esta región:
699
Integrales Triples
\ \ \ { 2 x + 3y-z)dxdvdz
= J (í
‘'o o
( \(2x+3y-z)dz)dy)dx
o
jjj
( 2 jc + 3 _ v ) z - —
-M
o 'o r
( 2 jc + 3
2
f¿>
3av a y /ba
w>
= J (2axy + — 1------------- ) /
dx = [( 2ax
o
2
2
' 0
=
E je m p lo .-
rhr3ah2 - a 2h
Jo
y ) a ------- dy)dx
2
a2
a*2-,,
[---------------- + (-------- ab) x -------- 1dx =
2
2
2
a
)(ó -jc )
3 a
->
+ — ( h - x ) ]dx
2
oh2
2
(10¿ - 3a)
12
C alcular la integral jjjxyzdxdydz , donde T es la región lim itada p o r x = y 2, x 2 = y,
T
z=xy, z =
0
.
S olu ció n
T =
{(x,y,z) e
R 2
/0<,x<, 1
x 2 < y < -J x
a
Y
a
0<záxyj
jjjxyzdzdydx =J0 ( f f (P* xyzdz)dy)dx
JT
O
^ y = j^ L fi fVT jcyz2 ¡*y
J0
S" =
C-J* x 3y 3
X
0
E je m p lo .-
fi
8
' *
8 o
96
C alcular j j j f ( x , y , z ) d V , donde f(x,y,z) = 1 y
3;
^
e /? / - 2 < , x < 2
a
1 r.
z . . 1 r
2
— \ 4 - x < v < — V 4 --Jjc
2
Solución
a x
■
2
, 2
„ „
2,
+ 3 y ¿ z < 4 - y.. }
700
Eduardo Espinoza Ramos
f f f f { x , y , z ) d V = \\\dxdy dz = ¡ 2
(J7
dz)dy)dx
= Jr 2(Jr j ^ r i ^ - y 2- x 2- 3 y 2)dy)dx = }r 2(jr ^
2
2
- r ( 4 - x 2 - 4 y 2)dy)dx
4 4 - x 2 -J4 -JC2
3
4 M 2
= -1 f' n( 4 - * 2)3/2¿* = 2;r
3 0
Ejemplo.-
zdxdvdz , si la región T está lim itada p o r los p lanos x + y + z = l ,
C alcular
z=
0
, y =
0
,x=
0
.
S olución
P r o y e c t a n d o a l p la n o X Y s e
tiene z - 0 . entonces y * 1 • x
fff zdxdvdz = f (f
■’o Jo
T
=
(J
■'o
} zdz)dy)dx = —J
2
J (1-x-v)1
/
'
/ o
6 'o
dx = —J
(J (1- x ~ v ) 2dv)dx
0 0
’
[o-(l-x)3J]<¿r
¿ • 'o í
=—J0 (]-jr)3rfr=--( l - x ) J =---- (0-1) =—,
-74
• 0
OA
-74
fff zdxdvdz =—
74
701
Integrales Triples
E je m p lo .-
C alcular j j j x y 2z 2dxdydz, si el dom inio T está lim itado p o r las superficies z = xy,
y = x, x =
1
, z=
0
.
S olución
fffxy2z2dxdydz ,
1
N '< í %
'o 'o 'o
r
2 3
f v XV Z
Í
/n >
1JP /f*
(J •*4v
C alcular
o
'
dxdydz
JJJ
los planos coordenados y p o r el plano x + y + z =
1
S olu ció n
dxdydz
3
1P 10w
1
dv)dx = — I x dx = ----18 0
198
------- j-, donde T es el recinto de integración que está lim itada p o r
T (x +y + z+l)
JJÍ
T (x+y + z+l)
*>*■>*
/
o(J■'o 3 /
o dv)dx
3 0
E je m p lo .-
v
—~f\
i vj" í \
0
0
\j•'n
0
dz
(x+y + z+l)
r)dy)dx
702
Eduardo Espinoza Ramos
1 fi y
1
/ 1-Jt
= - - J ( —+ -----------) /
2 0 4 x+y+l l o
1
2
3
L
(— — l n 2
L 4 8
E je m p lo .-
1 fi 3 jc
1
1 3x x 2
/i
dx = — J(--------------- )dx = — (------------ l n( x+l ) ) f
2 ° 4
In2
5
2
16
4
x+1
2
4
8
' °
) - 0
j j j x 2dxdydz , donde S está lim itado p o r las superficies y 2 + z 2 =4ax.
C alcular
y = a x , x = 3a.
S olución
S = j( jc ,y ,z ) /O < x < 3a
jj\x
2 dxdydz = \
0
5
=
E jem p lo .
a
- -Jax < y < -Jax
a
- - ^ 4 ax—y 2 <z< -^4 ax —y 1 1
( J “* ( K " ' 2 x 2 dz)dy)dx
-Va* -v4a*->’
f3a fVñJ
, i
r
f3a (vj3a + 4an •,
3-^3+2n
(I r—2x J 4 a x - y d\>)dx= J ------------------ x dx = 2 1 a { ---------------)
Jo J-4ax
¥
Jo
3
2
1
E valuar la integral j j j ( 3 z + xz)dxdvdz, donde el sólido S está lim itado p o r el
s
2
cilindro x +z
2
= 9 y los planos x + y = 3, z = 0, y = 0 sobre el p lano XY.
S olución
J j j ( 3 z + xz)dxdydz -
J i< n
( \ { 3 z + zx)dy)dz)dx
s
+y=3
f3
, z 2 ¡4 7 7
1 f3
, ,
648
= 1 (9 —jc ) — /
dx = - \ ( 9 - x ) dx = -----3
2 1o
2-3
5
703
Integrales Triples
¡ir*
2
E je m p lo .-
C alcular la integral triple
cfccj^
rJ~^~
dy)^ 2 xdz
S olu ció n
Sea D: 0 < x < 2
Jo
Jo
a
0 <
Jo
4 x —y 2
2-Jx a
^
v
0 < z <
Jo Jo
=
2
Jo
Jo Jo
r2 —í¡=,v
r 4x
[— -v/4jc-v + —
h -jl
2^
2
fa
'a
E je m p lo .-
.
I
2
(in jíx2
4-J2
.v . / 2jx
2^ d,x = \f2
dx =
n
arcsen -V - J /
2-yJx / o
f.
d a 2 - x 2- y 2
N a 2-- x 2
C alcular la integral triple J dx J
V
Jo
2
3
dz
dy)
¡ 2
2
y¡a
-x - y
2
S olu ció n
J0
J0
II 22
J0
yla2-X2
N
X
I
2
2
/
2
Jo
J0
JJ0
0
d a 2-x2—y2
,
/
2
2 /
yja - x - y
0
X
Ia
"'O
"'O
ry d * XZ
+ — arcsen 1 +
Z
— e o s — dzdydx
y
2
&
0
y
Solución
2
2
)dy)dx
f a f 4a2-x2 f a l ~ j
T
dv)dx= J ( J dy)dx = J V a - i dx
2
Q
C alcular ) 2) 2x J
I 22
-)Ja
-x 2-
J0
■'o
2
7
—x + — a rc se n — / =
2
a /o
r „ r_
E je m p lo .-
- y 22
z
.
I
= —v a
~ 22
Va - x
Q
0
Tí
= ------4
704
Eduardo Espinoza Ramos
n n
r
fW *
j
f - fr y - f x 2CZ
72
XZ
Z
- e o s — dzdvdx = I 2( I 2x ( I—
— dz)dv)dx
Ji
Jn
y
v
eos
J
6
C^ X
2(j2 x _ sen— / y
—
1
v
2
6
f-
^—
°
—
COSja / —
2
6
6.6
1
'
2
6
1 f-
= J 2 ------------- / 2x dx
J!L
*^ |*® ^
1
dy)dx= I 2 (J2jr —sen vxdv)dx
' x
J
1
2
( 0 -c o sjc )< it =
7 -
,k /2
1
—s e n * / =—
! n«> a
; Volúmenes Mediante Integrales Triples;!
C onsiderem os
/: S e R
3
una
junción
f
definida
en
una
región
cerrada
Se: R , es d ecir
------- >/ ?, tal que f(x,y,z) = 1, V (x,y,z) e S entonces el volum en del sólido S es
dado por:
E (S ) = í í í dV = J J J dxdvdz
E je m p lo .-
E ncontrar el volum en del sólido lim itado p o r arriba, p o r el p araboloide z = 4 - x
y p o r abajo p o r el plano z = 4 - 2x
S olución
\
a
|z = 4- x
2
- y
2
X 2 +2x + y 2 = 0
|z = 4 - 2 x
( .y - 1)2
+ y2
= 1
es la proyección de la intersección d e las superficies.
D ibujando la intersección
f2
C^ 2x
x2
[ 4 - x 2- y 2
y - l (t J Í Z 7 (L ,
[2
=
N 2
tí
x x
2
(2x —x 2 —y 2 )dy)dx
f2
4
2 .3/2 ,
I — ( 2 jc — jc )
dx =
° 3
dz)áy)'h
71
—
2
u
2,
—y~,
705
Integrales Triples
Encontrar el volumen del sólido en el primer octante acotado inferiormente por el
plano XY, superiormente por el plano z = y, lateralmente por el cilindro y 2 = x y el
plano x = 1.
E je m p lo .-
S olu ció n
Dibujando la región correspondiente se tiene:
fi
cja
V=v i
E je m p lo .-
fv
<4
*
>
n f\/x
* >
n
y2 / / a
*
-
i .
* ' J o 2 ‘fe' T ' « “ 4 U
ci x
x2 n
Encontrar el volumen en el primer octante, acotado inferiormente por el paraboloide
z = x 2 + y 2, el cilindro y 2 = x y los planos y = x, z = 0.
S olu ció n
Eduardo Espinoza Ramos
706
k=Í0(J2(J0 * dz)dy)dx = ^
0
x
0
( \ ^ x 2 + y 2)dy)dx = \ {x2y + ^ - ) / 2dx
O x
O
= í l (x 3 + T
x1
x5
)_(x' + T
x4
//iI
J
)} f e = í (T
2
1
_ x ' + f x3) í i r
10-7
“ í _ 21 ~ 5 + 3 V o - 7 _ 5 “
E je m p lo .-
' x
7-5
35
3
3
3
35 *
C alcular p o r m edio de una integral triple, el volum en del cuerpo lim itado p o r las
superficies y 2 =4a2—3ax, y 2 =ax, z = ± h .
S olución
Proyectando la intersección de las superficies al plano X Y , y
2
= —3a ( x
), y
2
=ax
ax = v
de d o nde
3ax = 4a2 - y 2
3 y 2 = 4 a2 - y 2 => y = ±a
V = \\\dxdvdz =
ÍA
4a ~v“
2 1a
.V - /
f" f 2 V, 2hdx)dv = Jf" (2 /i(---4" —-----” V -V
— )dy
= 1 (J
—o
y
—a
5(7
Q
■= f“ 2-,l.Aa2V 2- I v 1^
2flrA 2 4 3 /«
/¡(-----------------— )úfv = — [4« v - - V ] /
J-a
3a
3a
3
•
2 h I(A j 4 a 3
, , . 3 4 a 3 2 /¡ r 8 a 3
8 a 3,
32 a'h 32a2h
y = — [(4a3 — — ) —(—4 a h i - )] = T - i - r +- r ] = - ¿ — = —
3o
3
3
3o 3
3
9a
9
..
(J ^ dz)dx)dy
707
Integrales Triples
E je m p lo .-
E ncontrar el
volum en del sólido en el prim er octante acotado inferiorm ente p o r el
plano X Y , superiorm ente p o r el plano z = y, lateralm ente p o r el cilindro y 2 = x y el
plano x =
1
.
S olu ció n
[Jx
fl V //x
1 fl X
X2 /I 1 ,
="'oJfl (JJofj* JoJfVdz)dv)dx = ]fl ()vdy)dx
= ) -—/ d x = —) —dx = —/ =—
u
o
2
V
2
0
2
0 2
4
0
4
8
E je m p lo .-
H allar el volum en en el prim er octante del sólido acotado p o r el cilindro z = —
y
x +4
los planos y = x, x = z, y =
0
,z =
0
.
S olución
El sólido S acotado p o r el cilindro y los planos e s :
S = {(x,y, z) / 0< x <,2 a 0 Z y < x a 0 < z < — ------} , P royectando al p lano X Y se tiene:
x +4
' = J (J (f^dz)dy)dx =
J0 "’o
J (J —
•’o •’o
jrz + 4
dy)dx
f2 8 y
jx
[2 8 x
= I -rf—
dx= I —2
dx
o je + 4 o
0 x
+4
,2
V = 41n(x2 + 4 ) / 0 = 4 1n8-41n4 = 41n2w3
708
1)
Eduardo Espinoza Ramos
C alcular j j j x y 2z 2dxdydz , si la región T está lim itada p o r las superficies z = xy, y = x,
T
1
x = 1, z = 0.
2)
C alcular J J J f x 2 + y
R p t a . -----364
2
+ z 2)dxdydz, si la región T es el paralelepípedo rectangular definido
T
por las desigualdades 0 < x < a , 0 < y < b , 0 < z < c
2
.
2
2
a +b +c
R p ta . abc( ------------------)
3)
E valuar la integral triple J J J ydxdydz , si S es la región lim itada p o r el tetraedro form ado p o r
s
el plano 12x + 20y + 15z = 60 y los planos coordenados.
15
R p ta . —
2
4)
C alcular J J J x\¡dxdydz, si el dom inio T está lim itada p o r la esfera
x 2 + y 2 + z 2 = 1 y los
T
planos x = 0, y = 0, z = 0.
5)
R p ta .
C alcular jjjxydxdydz , donde D es u n dom inio lim itado p o r el p araboloide hiperbólico
D
1
z = x y , y lo s p lanos x + y = 1 , z = 0 (z > 0).
6
)
R p ta . ----180
C alcular JJJycos(.r + z)<£tt/ydz, donde D es un dominio limitado por el cilindro y = V T . y
D
Jí
los p lanos y = 0, z = 0 , x + z = — .
2
2
.
Jí
1 3
R p ta .--(----- — )u
16
2
709
Integrales Triples
h2
C alcular J J J zdxdydz , donde S es el recinto lim itado p o r el cono z 1
7)
P pta.
plano z = h.
=—¿~(x2 + y 2)
y p o r el
h 2R 2n
6
8
C alcular j jj x d x d y d z , donde D es el recinto de todos lo s puntos que cum plen 0 < z < 3,
)
x 2 + y 2 < z.
R pta. 0
C alcular j j j d x d y d z , donde D es la región lim itada p o r las superficies
9)
z = x + y,
D
z =T l-2 x 2- 2v2
Rpta.
243 n
2
10
)
C alcular JJjV *+v+7dxdydz , donde D es el tetraedro de vértices ( 0 , 0 ,0 ), (3,2,0), (0 ,3 ,0 ) y
D
(e - e + e
3
R pta. —
(0,0,2).
11
)
C alcular J J j x 2ydxdydz ,
donde
D es el
S
5
sólido lim itado
3
5
por
D
1
0
-1 )
< z< — ,
0
<y<a,
2
2a
R p ta . -------
0 < x < y eos z.
45
12)
H allar
jjjeal dxdydz,
donde D es el
sólido lim itado p o r las superficies
y3 + z = 4 ,
D
9
y + z = 2, z = 0,
R p ta . — (e2a - 1 )
z = 2.
2a
13)
C alcular
f f f ydxdvdz
J J J -—j—
'—j—,
donde D es
2
2
s yr + z
el sólido lim itado
5n
R pta. —
0 < z < y.
8
f9 [ y ! 3 (V .v 2 - »
14)
C alcular I J
J o Jo
J
Jo
729
, 2
zdzdxdv
R pta. ----4
por
2 < x < 3 ,
0
<y<x,
710
15)
Eduardo Espinoza Ramos
fl [l-x fl+.y2
C alcular J I
I
xdzdydx
0 O
2y
*
m
1
Rpta. —
10
(x +y + z)dzdydx
i
Rpta. —
u » •)
g
17)
j’jr/2 fir /2 f»z
y
C alcular J
J
J eo s— dydx dz
'0
'r
’O
z ■
18)
C alcular I I I ye dzdxdv
i y o '
n
f
47
x vzdxdydz
I
¿ i/*
20)
2
fln .v
[2 [y
1
n
R pta. — -1
o
R pta. —
24
'
28
ln 2
Rpta. — h------
'
9
6
C alcular las siguientes integrales triples.
y
m
J
-* u
c)
,
(z - y ) d z d x d y
1
120
V pr |V
J„ J1 JJ^ x)>senyzdzdydx
' 5
•o o o
ff22 Cj*2i xXCCjlxy
jix y
d)
e)
- y -— j dzdydx
f t f 'V
yy +¡
+z
J. I J,
0
0
f2 [ i ¡ 2 x ^ ?
J J i
J0 ‘
g)
[ 4 - x '- y 2
r-l
- ilx - x 1
n 3 —n s e n r r '2
Rpta.
2
zdzdydx
A1 - *l Jt//IT xT -"y? -x *—
+ j, 2—
+z r
1
77
Rpta. -----
4~ 2x
8I l V 3
R Pt a - l n ' 2o
9
4,
Rpta. —
2
n
dzdydx
Rpta. —
2
jo [Ja -x [Ja -x -y l~ j
j
2
71°
II
I
J a —x - y dzdydx Rpta. -----J0 J0
J0
*
C
711
Integrales Triples
21)
ff-l
Cex-l
fx + y + e
ln (z — X — V)
C alcular I dx I
dvl
------------------------ dz
0
22)
0
( x - e ) ( x +y - e )
0
Í J-y' y-y
S í x: +'■>y1dzdxüy
C alcular la integral triple J J' <— - J
2
Rpta. 2e
R pta. —
32
0
23)
C alcular
JJJ (2x + 3y - z)dx dy d z , donde
D
5
= {(x,y,z )/ 0 < x < b, 0 < y < b —x , 0 < z < a )
T
Rpta.
ab2(I0b —3a)
12
24)
C alcular
j j j ( x + y + z)d x d y d z , donde T es un tetraedro lim itada p o r los p lanos
r
a4
x + y + z = a, x = 0, y = 0, z = 0.
Rpta. —
8
25)
C alcular jj j x y z d x d y d z , donde la región T esta lim itada p o r las superficies y = x 2,
T
x = y 2, z = xy, z = 0.
Rpta.
^
96
26)
C alcular ^ ( x + y + z)dxdy dz, donde T es la reg ió n lim itada p o r l < x < 3 , l < y < 3 ,
T
1<z<3.
27)
C alcular
Jj"Jx dx dy d z , donde T es la región com prendida en tre los p lan o s co o rd en ad o s y el
T
plano x + 2y + z = 4 en el prim er cuadrante.
28)
C alcular
fff
,
, donde T = [0 ,2 ]x [0 ,l]x [-l,4 ]
-Jx + y + z + 2
Rpta.
29)
1688
15
E ncontrar el volum en del sólido acotado inferiorm ente p o r el parab o lo id e
superiormente por el plano z = 2y.
n 3
Rpta. —u
2
z = x 2 +y 2 y
712
30)
Eduardo Espinoza Ramos
H allar el volum en del sólido S lim itado superiorm ente p o r el cilindro p arabólico z = 4 —v
2
e
inferiorm ente por el paraboloide elíptico z = x 2 +3y2
R pta. l l n
31)
H allar el volum en del sólido lim itado superiorm ente p o r el plano z = y e inferiorm ente p o r
^
z = x 2 + v2
R pta. —
32
32)
H allar el volum en encerrado entre las superficies x 2 + 3 y 2 - z = 0 , 4 - y 2 —z = 0
Rpta. 4n
2
40)
y =2 x - x
H allar el volum en del cuerpo lim itado p o r las superficies z = —
2
y los p lanos
x
1
3
2
2
x = —, x = —, z = 0 en el prim er octante.
41)
R pta. 4 1 n 3 - 2
H allar el volum en del sólido lim itado por los tres planos coordenados, las superficie
2
2
z = x +y y el plano x + y = 1.
1
R p t a . —u
3
6
42)
C alcular el volum en entre las superficies y = 2x, y = 2 x 2, x + y + z = 3,
x + y + z = 4.
R p ta . 1
43)
2
H allar e l volum en del cuerpo lim itado p o r las superficies z = x + y
R p ta . — u
planos y = x, y = 2x , x = 1.
7
2
2
7
y z =x +2y~ y los
3
12
44)
E ncontrar el
volum en
z = 0, z = 1 + 3x + 2y.
del
sólido acotado
p o r los cilindros y = x 2, y = x 3 y los p lan o s
Rpta.
210
713
Integrales Triples
45)
H allar e l
volum en
en
el
prim er
octante, del só lid o acotado p o r
3x + 4 y - 24 = 0, x = 0, y = 0, z = 0.
46)
R p ta . 1280
H allar el volum en del cuerpo lim itado po r el p araboloide (x —l ) 2 + y 2 = z
2x + z = 2.
47)
z + x 2 -6 4 = 0,
y el plano
R p ta . y
2
H allar el volum en del cuerpo lim itado po r el paraboloide z = x + y
2
y e l cilindro z = 4 - x
2
M ,& .Cambio dé Variables paralniegrates Triples^
S e a T: R 3
una transformación tal que: (x,y,z)= T (u,v,w )= (x(u,v,w ),y(u,v,w ),z(u,v,w ))
continuam ente diferenciable y uno a uno e n D y co n Jacobiano no nulo, es decir:
d(x,y,z)
J(u, v, w) = --------------- * 0.
d(u,v,w)
Sea S c D c U V W u n conjunto cerrado y acotado y sea T (S ) = E la im agen d el conjunto S
v ía
la
transform ación
T,
entonces:
si
es
in teg rab le
sobre
E,
la
f 0T(u, v, w) = f(x(u, v, w ), y(u, v, w), z(u, v, w)) es integrable sobre S
JJJ/ ( * , y, z)dxdydz = J J J /(x (u , v, w), y(u, v, w), z(u, v, tv))|y(t/, v, w)\dudvdw
C uando f(x,y,z) = 1, V (x,y,z) e E se tiene el volum en del sólido E, e s decir:
V(E) = jjjdxdydz = jfj \J(u,v, w)\dudvdw
E je m p lo .-
C alcular J J J x 2dxdvdz, donde E: - 1 < x - z < l ,
E
Solnclón
0
<y + z <
2
,
0
<x + z
< 1
im agen
714
Eduardo Espinoza Ramos
x =-(u+ w )
\ x - z =u
Sean i y + z = v
1
y =v - - ( w - ü )
[x + z = vw
z =^ ( w - u )
Luego la nueva región es D : - l < u < l , 0 < v ^ 2 , 0 ^ w < l
C alculando el Jacobiano se tiene:
8(x,y,z)
J(u, v, w) =
d(u, v, w)
dx
du
dy_
du
dz
du
dx
dv
dx
dw
dv
dz
dv
dw
dz
dw
1
0
2
1
2
1
2
2
- i
2
_1_
0
2
p o r lo tanto la integral triple
JJJ.2dxdydz = Jíí—
(u + w) 1\j(u, v, w)|¿/u dv dw = —J J J ( u + w)
' 1 f , (í (I (" +",)2
E jem p lo .-
2
dudvdw
=í J-, (Jl íí¥ l /I ^
E valuar la integral J J J (x + y + z)(x + y - z ) ( x —y - z)dxdydz , d o n d e S es el tetraedro
s
lim itado p o r los planos x + y + z =
0
, x + y —z =
Solución
T ransform ando él integrando se tiene
0
, x - y —z =
0
y
2
x—y =
1
.
Integrales Triples
715
u+w
x=■
2
íu = x + y + z
V —w
Sean \ v = x + y —z
J(u,v,w) = - —
v=-
4
2
w = x —y - z
u-v
z =-
T ransform ando la región S se tiene
x+y+z=-
x +y - z =
JC -
u+w
v -w
2
2
U+W
iv —v
-=
w
V—
u-v
2
2
2
u+w
v -w
u-v
0
■= 0 => v =
0
■=
v - Z = ■
2x-y =\-u + w -
=> iv =
0
2
0
=> w =
0
v —w
= 1 => 2 iv - v + 4 w = l
Luego D = i (u,v,w ) / u = 0, v = 0, w = 0, 2u - v + 4 w =
iifc
1
}
+ y + z )(x - y —z)dxdvdz = J"JJivvu|j(iv, v, w^dudvdw
s
D
1 fi
= — I (I
4 Jo Jo
f2 « + 4 w = -l
1 fi
(I wuvdwdv)dw)du = — \ ( I
Jo
4 Jo Jo
Wv 2
/2 « + 4 h^1
w —— /
2
/ 0
dw)du
716
Eduardo Espinoza Ramos
A las coordenadas cilindricas d e un punto p d el espacio
denotarem os p o r p (r, 0 ,z) donde (r, 0 ) es la coord en ad a
polar de la proyección de p sobre el plano p o lar y z es la
distancia dirigida del plano p o lar al punto p.
U n punto p del espacio tiene d o s representaciones un a en
coordenadas cartesianas p(x,y,z) y la o tra en co o rd en ad as
cilindricas p(r,0,z). L a relación que existe entre las
coordenadas cartesianas y las coordenadas cilindricas es:
x = r eos
donde las coordenadas cilindricas r,
0
, y = r sen
0
0
, z= z
son las coordenadas polares del punto (x,y, 0 ) en el
plano X Y , que es la proyección ortogonal del punto p sobre el plano X Y .
Calculando el Jacobiano de las coordenadas cilindricas:
d(x,y, z)
J ( r , 0 ,z ) =
d(r, 0 , z)
6,10
dx
dx
dx
dr
dy
dr
dz
dr
d6 dz
dy dy
d6
dz
dz
dz
dz
¿30
COS0
- m od s e n 0
0
- r sen
0
0
rco s0
0
0
1
=> J(r,0,z) = r
Integrales Triples cn Coordenadas Cilindricas.
Si una región S c V ? 3, tiene un eje de sim etría, las integrales triples se p ueden calcu lar en
form a m uy sim ple usando coordenadas cilindricas, cuya relación entre las cartesianas es
x = r eo s 0 , y = r sen
0
, z = z.
>R es una función continua sobre S, entonces la transform ación d e la
Si / : S c V ? 3-
integral triple J J J / (x, y, z)dxdydz en coordenadas cilindricas es dado por:
s
J J J f ( x , y, z)dxdydz = J J J f ( r eos 6, r sen 6, z )|./ (r, 6 , zj^dzdrdd
s
s
Integrales Triples
717
<?(x,y,z)
donde J(r,B ,z) = -----= r, es el Jacobiano, por lo tanto se tiene:
d(r,6,z)
{ { { /(* , v, z)dxdydz -
J"JJ /(/• eos 6, r sen 6, z)rdzdrd6
un sólido en coordenadas cilindricas es un conjunto
de la forma:
S = {(r,6,z)/ a\ < r < a 2 / \ a < 8 < P a dt < z < d2)
que geométricamente es una cuña cilindrica.
Suponiendo que S es un sólido en coordenadas
cilindricas y que flr,0,z) representa la deasidad en
cada punto (r,0,z), entonces la masa del cilindro S se
calcula mediante la integral triple, es decir:
M = masa de S =
ííí
Cuando la densidad f(r,0,z) = 1 V (r,0,z) e S, se obtiene el volumen del sólido S, es decir:
V[S) =
rdrdBdz
s
Ejemplo.-
(jc2 + y 2)dxdydz, donde el dominio T está limitado por las superficies
Calcular
r
z = —( x 2 + y 2), z = 2.
2
Solución
Pasando a coordenadas cilindricas
x = r eos 0 ,
y = r sen 0 ,
T - { ( /',0 ,z ) /O < r <2
a
z=z
0 < 0 < 2tt A y < z < 2 )
\ \ \ ( x + v ) d x d v d z = \ ( \ ( í , r~.rdz)dQ)dr
Jo Jo
r‘/2
T
= Jn2( f r \ 2 - r- ) d 6 ) d r = J j2 rr( 2 r3 ~ ' - ) d r
. y
r \ /2
16
= 2n[---------- ] / = — n
2
12/o
3
718
Eduardo Espinoza Ramos
Ejemplo.-
Jr2 dxJ|rV2 ¿/v’J* z-^x2 + y 2d z ,
Calcular
transformando
previamente
a
las
coordenadas cilindricas.
Solución
0<x<2
Sea Dr.
0< y < - J l x - x 2 =>
=0 ,
y =0 ,
y = 2-<¡2x-x2 , y > 0
0 <z<a
x=0
x=2
z
,
z-a
4
pasando a coordenadas
Y
r = 2cos0
x = r eos 0 , y = r sen 0 , z = z
O < 0 < — , 0 < r< 2 c o s ©
,
0 <z<a
además J(r,0,z) = r
C -Jlx * 2
i
f > r /2
i— ---------- —
fo
dy l z\ x + y dz = l 0
V /2
Jo
f2 c o s 0
_ 7“
f 2cosfl
d•'O
Ia
fo
(\z
*0.r.rd z )d r )d 6
Q2
[n / 2 f 2 c o s 0
r ^2- L ' dr^d
o 6 = - 2T i o
(J
f */2
/ 2c os 0
t
/ o
4a2
(j
f */2
l
eos 8 d6
4a f n ' 2
4a‘
1
->
J
(1 —sen* 0 )co s0 dO =
1 _ 3J
~3 Jn
Ejemplo.-
.
rdr)d0
8a¿
Calcular el volumen de la parte del cilindro x~ +y~ - 2 a x , comprendido entre el
paraboloide x 2 + y 2 = 2az y el plano XY.
Solución
719
Integrales Triples
como V = JJJ dxdydz, pasando a coordenadas cilindricas
x = r cos 0 , y = r sen 0 , z = z => J(r,0,z) = r
r = 0 , r = 2acos6
2
x 2 + y 2 = 2 ax
2
x +y
z =■
2a
Í
ít / 2
'o
2
Z = ■
2a
f2 < icn s0
1 C n /2 f ?
=- }
a o
/2 a co s0
~
4 ' o
fn /2
= 4a I
Jo
C r2/2 a
C a /2
(J r d z ) d r ) d B = 2 ]
'o
n
(J
'or¡
d0=
]
Cn
- J /216a
a o
4
f2 « c o s 0 f ^
— dr)dO
2a
(J
o
I
COS
eos 0 d6 = 4a i J•ílf*'2
cos?4 B dB
u
»
,.
1+ COS20 ,
1 f'r/2
i
(------------ ) ~ d 6 = a I (l + 2cos20 + cos- 2 6 ) d 6
2
Jo
sen40
, fír/2 3
cos40
, 30
= a I (—+ 2 cos20 +
) d 8 = a —-+ se n 2 0 + — -—
. 2
2
Jo
2
0
l / * /2 _3ff 3
J/o
4 a
3
720
6.11
Eduardo Espinoza Ramos
Coordenadas Esféricas]
En un sistema de coordenadas esféricas se tiene: un
plano polar y un eje Z perpendicular al plano polar
con el origen del eje Z en el polo del plano polar.
A las coordenadas esféricas de un punto del espacio
denotaremos por p(p,0,<p), en donde p =|op| > 0 , 0
es el ángulo polar de la proyección de p en el plano
polar y (p es el ángulo entre la dirección positiva del
eje Z y el radio vector op.
Larelación entre
lascoordenadas
cartesianas
y
esféricas
y = p sen 0sen <p, z = p eos <p, p > 0, 0 < 0 < 2it , 0 < <p < n.
Calculando el Jacobiano de las coordenadas esféricas se tiene:
dx
dx
dp
dy
dQ d(p
dy dy
dz
dQ dtp
dz dz
dp
dQ d(p
7 (p ,0 ,(p )= ^ X,^ Z| =mod]
dp
5(p,0,<p)
dx
es:
x = p eos 0 sen <p,
721
Integrales Triples
eos# sen<p
-p se n 0 se n < p
J ( p , 6 , ( p ) = mod sen 6 sen (p
p eos 6 sen (p
eos ¡p
p eos# eos<p
p sen Os eos (p = p
sen<p
- p sen <p
0
J(p,6,<p) = p sen<p
|B.12
Integrales Triples en Coordenadas Esféricas,
Si una región 5 c / ? 3, tiene un eje de simetría, las integrales triples también se pueden
calcular en forma muy simple, usando coordenadas esféricas y cuya relación entre las
coordenadas cartesianas es:
x = p eos 0 sen <p , y = p sen 0 sen <p ,
z = p eos <p
Si / : 5 c / ? 3 ------ >R es una función continua sobre S, entonces la transformación de la
integral triple
JJJ/(•*. v, z)dxdydz
en coordenadas esféricas es dado por:
J J J / ( * , V, z)dxdvdz = J J J / ( p eos 6 sen cp, p sen 6 sen cp, p eos <p)|./( p, 6, (p\dpd<pd6
donde J{ p , 6 ,<p) = p 2 sen(p , por lo tanto.
J J J f ( x , y, z)dxdydz = J J J / (p eos0 sen tp,p sen üsen<p,pcos<p)p2 sen (pdpdcpdO
5
5
Cuando f(p eos 0 eos <p, p sen 0 sen <p, p eos <p) = l se tiene el volumen del sólido S, es
decir:
V(S) = J J J p 2 sen (pdpdcpdO
s
un sólido en coordenadas esféricas es un conjunto de la forma:
S={(p,6,(p)lax < p < a 2
una cuña esférica
a
a <6 < P
a
(px < <p
< <p2
} que geométricamente representa
Eduardo Espinoza Ramos
722
Calcular
J
p ¡R 2- x '
fy¡R2x : -y
^
fV K - x
rK
Ejemplo.-
dxJ
( x 2 + y 2)dz,
transformando
previamente
a
coordenadas esféricas.
Solución
Como
0 < z < tJ r 2 - x 1 —y 1 =>z = t¡ R 2 - x 2 —y 2
viene ha ser el recinto V y su
proyección sobre el plano XY es x 2 + y 2 = R 2 , ahora pasando a coordenadas esféricas se
tiene: x = p eos 0 sen <p , y = p sen 0 sen <p , 7 = p eos <p donde O < p < R , O < 0 < 2n,
0 < ( p < ^ , siendo el Jacobiano J{p,6,<p) = p 2 senip
<jr
J*2iz ñ— *R
y
* y )dz
y
_
^
y
^
( l 2 (l ( p - cos- 0sen <p+ p~ sen" 0sen" qj){3 sen (pdp)d<p)d6
o Jo Jo
=
p in f — (R
,
,
r 2 ir
n Rr>5
-
f —
,
( 2 ( (sen <P-P dp)d(p)d6 =
( - — sen <pd<p)dd
Jo Jo Jo
Jo Jo 5
Integrales Triples
723
í?~*
fin
= ------5 Jo
f—
_
/?■*
/?5 f2ir
1
fin
C O S2 (D
<p)sen<pd<p)dd =
í
5 Jo
( í 2 ( l- c o s
Jo
1
47?5
/ i
(-cose> + — ) /
3 / o
d6
4/J5
=—J
«1—3)-(-1+-))d
0 =— fde=-^-n
5 0
3
15 Jo
15
Ejemplo.-
[i N*~y
Evaluar la integral J J
00
(y*~*
y
dzdxdy
— ----- ------—, usando coordenadas esféricas.
x + y +z
Solución
J
o
pasando a coordenadas esféricas
o<z<
f ?
7
x = p eos 0 sen <p
D: 0 < x < ^ ¡ 4 -y 2
y = p sen 0 sen <p
0 < y <2
z = p eos <p
D: 0 < 6 < . —
2
, 0<qj£ —
2
,
0<p£2
además el Jacobiano J ( p,6,<p) = p 2 sen^>
fz N* y2 N* *2-yl dzdxdy
J0
-x +y i+ z
0
J0
0 J0
0
Í
Ejemplo.-
fna C n / i C i p 2 sen<p
0 (J0
0 0 (J o J L -p r L ) d P
i = l
n ll
C n ll
fn / 2
( ¡ 2 sen (p)d(p )d6 =
Encontrar el volumen del sólido acotado por
coordenadas esféricas.
Solución
Usando coordenadas esféricas se tiene:
)d<p)de
/>r/2
-2 eos <pj
2
la esfera
Cn/2
dd = J2. d6 = n
2
2
2
x + y + z = a , usando
724
Eduardo Espinoza Ramos
V = j j j d x d y d z = j j j\ J( p,6, (p^dpd(pd6 =
Cn/2 Cn/2 Ca .
J J J P 2 sen <pdpd<pd6
Cn/2 Cn12 p 3
¡a
sen<pdp)d(p)d6 =8]
sen/p / dg>)d6
o
3
=
8•
J'o U'o (Jo P
■’o (J
=
8a 3 f«/2 Cn/2
8 a3 f*'2
/ ” /z
8 a3 f«'2
4a
J
(J seag>dg>)d6 = —— Jq - e o s g>j
dQ = - ^ - ) - { 0 - \ ) d Q =
-7CU
/o
Ul*
Sea p ' . D c z R 3------ >R una función continua sobre D c / Í 3, siendo p ( x , y , z ) la densidad
en el punto (x,y,z), entonces:
1*
La masa total del sólido D está dado por:
M = j j j p (x ' y ’ z )dxdydz
2*
Los momentos de masa, respecto a los planos coordenados, del sólido D, con íunción
densidad p: Dcz R i
>R, son expresados por:
Mxy=í í í Zp(x’y'zytcdydz’M*t =jj¡yp(x'y>^¿xdydz,
= jjjxp(x,y,z)dxdydz
y el centro de masa del sólido D es el punto ( x , y , z ) dado por:
JJj xp(x ,y, z) dx dydz
J Jf yp (x ,y ,z )dx dy dz
J Jj z p( x, y, z) dxd yd z
—--------------------- , y ——---------------------- , z =——-------------------jjjp (* ,y,z)d xd ydz
JJJp(x, y, z)dxdydz
Jj j p(x,y,z )dxefydz
Integrales Triples
725
Los momentos de inercia del sólido D c z R , respecto a
3a
los ejes coordenados, se
definen por:
I x = J J J ()'2 + z 2) p ( x , y , z ) d x d y d z , respecto al eje X.
D
I y =
(jc
2 + z 2) p ( x , y , z ) d x d y d z , respecto al eje Y.
D
Iz =
Ejemplo.-
(a:2 + v 2 )p(x, y, z)dxdydz, respecto al eje Z.
Hallar la masa del cuerpo limitado por el paraboloide
x 2 + y 2 - 2az
y la esfera
x 2 + y 2 + z 2 = 3 a 2 (z > 0) si la densidad en cada punto es igual a la suma de los
cuadrados de las coordenadas.
Solución
Usando coordenadas cilindricas se tiene:
x = r c o s 0 , y = rs e n 0 , z = z
2
2
2
/,
, 2
2
donde J(r,0,z) = r
: = V3a —r
x + y +z =3 a
2
,
í x 2 + y 2 = 2 az
x 2 + v 2 + z 2 = 3a2
además p ( x , y , z ) = x 2 + y 2 + z 2
z =•
2a
x 2 + y 2 = 2 az
proyectando al plano X Y
^
z 2+2az-3a2 =0
=> z = a
Luego x 2 + y 2 = 2 a2 => 0 < r < - j 2 a , 0 < 6 < 2 n , — < z < ^ 3 a 2 - r 2
M = J J J p(x, y, z)dxdydz = J J J ( x 2 + y 2 + z 2)dxdydz = J J J ( r 2 + z 2)rdzdrd6
D
D
D
fin f j i a d l a 2-r 2
*2it yjia
yp
l'Ji‘¡2- r2
= Jo (Jo ( J ^
(r + z )rdz)dr)d6 = £ ( £
(r3z + — ) ¡
dr)d6
2a
~2a
Eduardo Espinoza Ramos
726
- Í 'C
« ^ - f ' i * 1'
la
(in 97 , 54^3 <¡
na
= 1 (— a ' + ------- a ) d 6 =
o
60
30
5
Ejemplo.-
r- 97
(1 8 V 3 -— )
6
na5
r- 97
A /= ------- (1 8 V 3 -— )
5
6
Determine el momento de inercia alrededor de un diámetro del sólido que está entre dos
esferas concéntricas cuyos radios son “a” pies y 2a pies, la densidad del volumen varia
inversamente con el cuadrado de la distancia al centro y se mide en slugs por pie cúbico.
Solución
k
Sea p ( x , y , z ) = —
j---- j , la función densidad, donde k es el factor de proporcionalidad.
x +y +z
como I z - f f f ( x + y )p( x,y ,z )dx dydz entonces Iz
Jy
s
+ y 2) — ----- ^--- 2'¿bidydz
x +y +z
Transformando a coordenadas esféricas se tiene:
x = p eos 0 sen <p ,
y = p sen 0 sen <p , z = p eos <p
7
n
n
donde J ( p , 6 , ( p ) = p sen <p , S: a < p < 2 a , O < 0 < — , 0 < ^ < —
2
2
2
o
(( ( k(x + v ”)
7z =
JJJ X + y
Íml
0
(n!2
(J
0
^ 2 2
(mi (ni 2 ( l a k p~ sen w . p sen<p
2^dxdydz= Z)
(J
(J -------------- ¡------------ d(p)d(p)d6
+z
(la
0
,
■,
0
a
p
fm i
(J k p sen <pdp)d<p)d6 = 8ArJ
o
o
(n i2 n 3
(J
o
,
/-ü
——sen <p / d<p)d6
3
/ u
5 6 k a i (n'i (n/2
2
56Ara3 (mi
eos3y l na
= — -— Jo (J^ (1 - e o s ' (p)sen(pd<p)d6 = — -— Jo (-e o s <p+ — -— ) J ^ d0
56Ara3 ( m i
1
5 6 k a 2 (n /2
5 6 k a 2n
1
-I*n (0 - (-1 h —"»))d6 = -------12
d6 = -----------slugs / p
n
'íi
~
3
n
3
9
0
9
727
Integrales Triples
jfi.14
Ejercicios Desarrollados^
1)
Evaluar la integral
x 2 + v 2 dydxdz, usando coordenadas cilindricas.
Solución
0 < v< i j 9 - x 2
Sea
D: 0 < x < 3
0<2 <4
pasando a coordenadas cilindricas se tiene:
0< r < 3 ,
0<0<—
2
,
0<z<4
x = r cosí?
v = rsen 6
J(r,6,z) = r
z =z
f4 f3 r^9 x¿
x 2 + y 2dydxdz = f ^ ( f ( f *r,rdz)dr)dB = P ( í r 2 z / í/r)¿0
Jo Jo Jo
Jo Jo
/o
= P ( í 34 r 2í/r)í/e=
— / í/0 =360 / 2 = 18n
Jo Jo
Jo 3 / o
/o
2)
Calcular
r1 rjí-y7 r/2-*2-*2 ,
I
Jo Jo
.-----Jjx 2+y2
z dzdxdv
Solución
0<
Z):
j
<1
0 < x < t¡ 1- y 2
-Jx2 + y 2 < z < ^ 2 - x 2 - y 2
Luego:
pasando a coordenadas cilindricas se tiene
x = rcosO, y = rsenO, z = z
=> J (r ,6, z) = r
I>. r < z < ^ ¡ 2 - r 2 , 0 < r < l , 0 < fl< —
2
728
Eduardo Espinoza Ramos
rb - * w
Ifi Ir V iv Jo-T
->
z~
dzdxdy=Jk0
y jr +y
0 0
(Jf1(Jf ^
- f ( [ l ^
Jo Jo 3
3)
r
0
7
f> zV
z2 rdz)dr)dO=]r0 / {\—
r ó /
f 2 - ri v n
3
i r* r 1
3 Jo
5
dr)d6
r
4
.5 /•
j / '
5 /0
Si D es la región limitada por dos planos x = 1, x = 2 y por los cilindros
2
y +zz2= 4 ,
y2+z2=9 calcular J’jjex-Jy2+z2dxdydz
D
Solución
Pasando a coordenadas cilindricas
y=rcos0 , z—rse n il
, x=x
=> J { r , 6 ,x) =r
JJíe*^y2+z*dxdydz=
exr.rdx)dr)d6
D
4 < J } v / ' í/r)í/e
0 J2
/ !
,
f 2 í r T-3
/3
=(e -e)j —/ de={e
o
3 /
f2 )r
-e )J
2
8
(9 —- )d0
o
3
19
38
=—(e -e).2n =—(e
-e)n
3
4)
3
dxdvdz
Calcular JJJ
---- —
SDi -—
x + y + ( z - 2)
donde D es el cilindro
Solución
2 2
x + y < 1, -1
<z< 1
729
Integrales Triples
pasando a coordenadas cilindricas
/
x = rcosO
j = rs e n 0 => J ( r , 6 , z ) = r
z= z
ÍSS
V
=
( f ' J s +iz-Z )2/ 'd z ) d 6 =
= f
Jo
= J 2*
Jo
5)
rdr
dxdvdz
I
2
,
-.2
x + y + ( z - 2)
"’O
' • ’- l ' • ’O
2
2
2
.
- .2 .
dz)dQ
(JPJV l + U - 2 ) 2 - ( - ( z - 2 ) ) ] * ) r f e
[——- J l + ( z - 2 ) 2 + —l n | z - 2 + V^2 - 4 z + 5 | —— 2z] /
2
/
v r +(2-2) )
2
/ -i
dO
+ 11 „ |
| _ | ]í/e = [(3>/ i ó - ^ 2 - 3 ) + ln |
i]*
2
vlO —3
2
-x/lO-3
2
2
2
2
Encontrar el volumen del sólido acotado por la esfera x + y + z = a usando.
a) Coordenadas cilindricas.
b) Coordenadas esféricas.
Solución
a)
Usando coordenadas cilindricas
0<r <a
n
o<e<—
2
0
<z<Va2—r2
V = jj¡dxdydz=¡¡¡\J(r. O, z^dzdrdO = j j jr d zd r dd
730
Eduardo Espinoza Ramos
- .■"oJ Wo
o
8
2
=— J
■2 "'o
b)
A nlz)dr)d0
2 1 / /fl
( a 2 - r 2) 3/ 2
/ i.’ O
o
a 2 - r 2 dr)d0
o
8fl3
*
23
29
d 6 = ------ ( - ) = -
4 fl3;r
7T
7T
0 < p < a , 0 < 6 < — , 0 <<p< —
2
2
Usando coordenadas esféricas:
= J J J p 1 senip dpd<p d6
s
F = j"Jj"<fttfyrfz =
s
s
= s j k f ^ í j ^ p 2 sen^o d(p)d6)dp =
cosip f ^ d 6 ) d p
=% \l\"\°+p2)de)dp = 8Jj p 2° í t dp =4n i - / I =—2r
...
6)
^2 ^2 ^2
Calcular J J J(1 - — - — - ~ ) Vi dxdydz donde S es la región encerrada por el
a b e
s
X
2
2
V
Z
2
elipsoide— + ^ y + — = 1
a b e
Solución
Usando coordenadas esféricas se tiene:
x
— = p cosí? sen^>
a
y
2
— = p sen 6 sen <p => J{ p , 6 ,tp) = abep sen (p , es el Jacobiano
b
z
—= peostp
c
donde 0 < p < l , O < 0 < 2 ^ , O < ^ < ^
2
JXf(l—~2
a
s
2
2
~T ~~ 2 )dxdydz = \
b e
o o o
n_ 2 abe
p 2)y2abc p 2 sen <p.dp)d<p)d0 =
g
731
Integrales Triples
7)
Hallar el volumen del cono de helado seccionado en una esfera de radio 6 por un cono con un
semiángulo de 30a, tal como se muestra en la figura.
n
En coordenadas esféricas, la ecuación de la esfera es p = 6 y el cono <p = — por lo tanto el
sólido es:S = { ( p , 6 , <p)/O < p < 6, 0<<p< — , 0 < 6 < 2 ^ } ,ademásJ(p,q>,6) = p 2 sen ^
6
entonces el volumen de S es.
V = jjjdxdydz = £
'o
( £ ( £ p 2 sen<pdp)d(p)dO = £
'o
o
f2*
PA
= 72Jo - c o s v / y e
í2”
(JT
sen<p/gd<p)d6
V3
= -7 2 Jq (— -V)d0
2 -V 3
r
= 72(---------)2n = 7 2(2-V 3)rr
2
8)
f f f z2 dxdydz
Mediante coordenadas esféricas, calcula el valor de la integral JJJ ■.—
r, donde S
~2
2 2
x + y +z
V
es la región por arriba del plano XY y entre las esferas de radios respectivamente a y b
centradas en el origen (0< a<b).
Solución
Eduardo Espinoza Ramos
732
x = p co s B ser\q>
y = psen© sen^o => J(p,<p,8) = p 2 sen<p
Z -
p c o sip
S = { ( p , ( p , 9 ) / a < p <b, 0 < 8 < 2 n , O <
jjj
, r f r i , f j - W
J Í J V* + > + 2
*
OT ^
m
*
^2ít f—p 4
2
b
= I ( 12
eos <í>senp / d<p)d6
Jn Jo
4
ft - a
9)
' a
rln eos (p
<p #j
r2*
Jo
3 / 0
2¿e = -
*
- a
f 2'
(0-\)d6 =
o
12
2
2
2
2
b —a
3
Calcular el volumen de la región limitada por la superficie (x + y + z ) = a x
Solución
Pasando a coordenadas esféricas se tiene:
, 2
(p
eos
2„
0
sen
2
2 „
2
2
x = p eos 0 sen <p, y = p sen 0 sen <p, z = p eos <p
2
p sen ©sen p ) + p eos
2 . 2
3
= a pcos©sen<p
p 4 = a 3 pcos© senp => p = a ^ c o s © sen 4 )
Luego S’= { ( p , 0 , ^ ) / O < p < a^/cos© sen<p a 0 < ( p < n a 0 < 0 < 27t}
además se tiene J ( p , B , ( p ) = p 2 sen <p
f f f
f 2 *r (V fo « /c o 8 0 sen^p
7
K = III dxdvdz = I ( J (J
p sen<pdp)d<p)dB
5
2»
Í"o
3
¡u V co s0 s e n <p
fir p
(J
'o
3
senq>¡
a
I"2 " , f *
_
2
d(p)dB = — J (J eos© sen <p = d(p)dd
3 0
0
3
a f 2 n fu
l-cos2<p
al fon
sen 2©
= —*i *nI (I*o eos6 -----------dm)dd = —y I* n cos8(<p-----------) '/ U dB
^
^
3 o
o
6 "o
3
2a n
a f2 n
4a ;r
^2a* «n
/ /y2
= —s "n
| n cosdd = r «ITí eos 6 dd = o sen 0 '/ W =
6
0
6 °
733
Integrales Triples
10)
Hallar
JJJ
z'dxdydz
d
\ x 2+ y 2 +z2
= • donde D es la región acotada por el plano XY en la parte inferior
y entre las esferas de radio 4 y 1 respectivamente centrados en el origen.
Solución
Usando coordenadas esféricas tenemos: x = p eos 6 sen <p, y = p sen 0 sen <p,z= p eo s<p
entonces x 2 + y 2 +z2 = p 2, además J (p ,(p ,6 ) = - p 2 sen^p,
A = { (p ,< p ,0 )/ 1< p < 4 ,
0 < 6 < 2 ;r,
0 <<p<n/ 2}
fff
Z3dxdvdz
f4
f”/ p 3 eos 3 (O 2
JJJ I 2
2 = f = 1 <JL (J0
p s en<pd(p)dG)dp
d
y x + y +z
P
f4 (2n C'A 4
3
f 2>r p 4 COS4 <D .*/
= Jj (Jn U0 P cos <P-sen(pd<p)dO)dp=^ ( J ^ -----------/ Qd6)dp
Í4 f2ir p 4
f4 .
«p5 4 1023#
=J (J — d e = J P 4 - r f p = - ^ / = --------• o 4
i
2
10 1
10
11)
Encontrar el momento de inercia con respecto al eje Z del sólido homogéneo acotado por la
esfera x 2 + y 2 +z2 = 4. La densidad del volumen en cualquier punto es k slug / p 3.
Solución
Aplicar simetría, tenemos en el primer
£ > = { (p ,0 ,< p )/O < p < 2 ,
x = peos© senqj,
O < 0 < y , 0< < p< j}
y = psen0sen<p, z= pcosq>, J(p,6,q>) = p sen^p
l z = J J J (x 2 + y 2 )p(x, y, z)dxdydz
D
Í 2 Clic
2
2
2
2
0 (J0 U0 (P cos <Psen <P+P sen
2
2
2
<p)Kp sen <pdq>)d6)dp
734
Eduardo Espinoza Ramos
f2 ['A
4
3
f2 2 4
1ÓK- f2 K 4
= 8 k : (J^ (J^ p sen q>d<p)d6)dp= 8 * ^ (Jq — p d 6 ) d p = ---------— p dp
8 ten p 5 p
256
= ------------ . -----------/ „ = ------------ K J t
3
5
0
15
12)
Encontrar la masa de un sólido esférico de radio “a” sí la densidad de volumen en cualquier
punto es proporcional a la distancia del punto al centro de la esfera. La densidad de volumen
se mide en slug / p 3.
Solución
La densidad es p ( x , y , z ) = k ^ x 2 + y 2 + z
M =
2
JJJ p(x,y,z)dxdydz = JJJ k ^ x 2 + y 2 + z 2
D
D
("A ('/i
2
f"^ f ^ « 4
4 Í’A ,
= 8J (I (I ( Kp. p sen rarfp )d<p )d0 = 8 1 (I — sen (pd<p)d6 = 2a k j d6
o o o
'o 'o 4
”0
4
7Z
4
= l a tc(—) = ;ra K'
2
13)
M = nica
4
Encontrar el momento de inercia con respecto al eje Z del sólido homogéneo dentro del
paraboloide x 2 + y 2 = z y fuera del cono x 2 + y 2 = z 2, p es la densidad del volumen
constante es K s u l g / p 3.
Solución
Iz = JJJ k ( x 2 + y 2)dxdydz = J
0
(j'0 Jz
K r 3 dz)dr)de
r
Integrales Triples
14)
735
Encontrar el centro de masa del sólido dentro del paraboloide x 1 + y2 = z y fuera del cono
x 2 + y 2 = z 2 , p es la densidad de volumen constante es k slug / p 3.
Solución
|x 2 + y 2 = z
+y
2
Jz = 0
=> z = z => ]
. Luego pasado a coordenadas cilindricas
lz = l
=z
£)= |( r ,0 , z / O < 0 <27r, 0 < r < l ,
M ry = í0 (J0 (J 2 zkrdz)dr)dO = £
£
f 2 ir
r 4
r 6
r 2 < z < r j hallados los momentos de masa.
( £ ^ ( r 5 - r 5 )¿r)¿0
fr
fl
=- J 0 (—-y)(J0U2 zkrdz)dr)d6 =
2r 2 cos6kdz)dr)d8 = 1
r
f 2 ir
4
= 1 (k c o s8 (
Jo
4
S
(271
fl
3
5
(J^¿cos0r2(r—r 2)dr)dd
k ( 2n
r~ ,
k
( ^ - ( r - r )dr)d6
k
k
) / n d 0 = — I cos 0dO = — s e n 0 /o = — ( 0 - 0 ) = 0
5
20 0
20
20
=f* (J^(J2rsen0.rkdz)dr)d0=kj (J^sen0r2)(r-r2)dr)d0
(2t¡
r4 r5 ,
k
7k
= k \ sen 0 (— - — ) l n d 6 = — ( - c o s 0 ) / 2 = - — (1 -1 ) = 0
®
4
5
20
20
M =J
Jo
£
=
( í (J . krdz)dr)dd = — J
Jo v*
f 2 )i
fi
“2 Jo (J0 (r
2
,
M
o
* = - ^ = — = 0,
M
^
,
—r )dr)d6 =
0
El centro de masa es (0,0,1)
0
f 2 jr r 3
r4 .
k f 2 ir
kn
J (--------- ) / 0l d B = ------J d0 = —
2 0
3
4
240 0
12
k
M„
y = ^ - = 0,
M
12
(J r ( r - r 2 )dr)dd
nk
- M xy ~ ñ
Z = — 2L = J f = l
M
12
736
Eduardo Espinoza Ramos
Ejercicios Propuestos!}
i.
1)
Calcular la integral triple
z=
2)
JJLF + y 2dxdydz,
x 2+ y2 , z = 1
Calcular
donde D es el sólido limitado por
Rpta. —
6
J J J cos(x2 + y 2 + z)dxdvdz, donde
ü
superficiesx~ +y~ =2,
D es el sólido acotado por las
x 2 + y2 = 4, z = 0, z = 4
Rpta. t t ( c o s 4 - c o s 8 + c o s 6 - c o s 2 )
3)
+ y 2)dxdydz, donde la región T está limitada por las superficies
Calcular
T
x 2+ y 2
z = -------:— ; z = 2
4)
Rpta.
Calcular j ^ x d x d y d z , donde D es el recinto de todos los puntos que cumplen
0 < z < 3 , x 2+ y2 <z
5)
\(>7I
R pta. 0
Calcular j j j ( x 2 + y 2)dxdydz, donde el dominio D viene determinado por las
D
7
7
2
2
desigualdades z £ 0 , r < x + y + z < R
6)
2
5
5
Rpta. ---- (/?“ —r “)
Calcular J J J dxdydz, donde la región T es la esfera x 2 + y 2 + z 2 < r 2.
T
Rpta.
1)
Calcular
4 nr2.
2 +y~ + z 2)dxdydz si el dominio T está limitado por el cilindro
T il
Integrales Triples
8)
Calcular ^ Q ( x + y + z ) 2 dxdydz, donde la región T es la parte común del paraboloide
T
2
2
X + y
2
z>---------y de la esfera x +
2a
9)
J J J zdxdydz,
r
Calcular
x 2 + v2 + z2 < 1, x 1 +
2
y
siendo
y2
< z2,
+z
<3a
V
el
2
2
2
m
710
/ - " /
Rpta. ----- (18V3-------)
5
6
sólido
z> 0
definido
por
las
desigualdades
Rpta. —
8
10) Calcular JJJ -Jl + {x2 + y 2 + z 2 )% dxdydz, si T es la esfera x 2 +y 1 +z2<1
T
Sjz
Rpta. -----(2 V 2 -1 )
9
11)
Calcular
JJJ
,
donde D es la esfera x 2 + _y2 + z 2 < 1
-Jx2 + y + ( z - 2 ) 2
2n
R pta. ---3
d
12) Calcular
J
Jo
dx\
Jo
dv \ z J x 2 + y 2 dz Rpta.
• Jo v
f2 N i k - x 2 C^ar - x 2 /
13) Calcular J^
—r J 0
16a 1
9
8/f3
..
Rpta.------- ( n - % )
dzdydx
14) Calcular J J J e (jr +v 1 ^ dxdydz, donde D es la esfera unitaria con centro en el origen
D
Rpta.
15) Calcular f
’o 'o
16)
^
'o
^ * ^ x 2 + y 2 + z- 2 dzdvdx
’
f ff
dxdydz
Calcular JJJ — j
J
~ * donde ^
D (x + y + z )
es
x 2 + y 2 + z 2 = a 2, x 2 + y 2 + z 2 = b 2, 0 < b < a
4 7 r(e -l)
R pta.
n
—
g
región limitada por las esferas
R pta.
4x Ln (—)
b
738
Eduardo Espinoza Ramos
rf fr fr
17)
X
2
y2
Z2
Calcular JJJ (—¿-+—¿-+— )dxdydz, donde D es el sólido limitado por el elipsoide
a b e
2
2
. ,
2
x
y
z
— ■
+ ~ 2 + — =1
a b e
18)
Aabcn
Rpta. — —
5
z2
x 2 y2 z 2
Calcular JJ J J l - —y - —y - — dxdydz,donde D está definido por —y + —y + — < 1
D V a b e
a b e
fff?
Rpta.
aben1
1 2
* +y
19) Calcular JJJ»? 1 dxdydz,donde D es el sólido interior a la superficie -Jx2 + y 2 = z,
D
limitado por los planos x + y = 0 ,
z = a,
a> 0
Rpta. | [ e D( a - l ) - ~ + l]
20) Calcular J"J"J(jc2 + y 2 + z 2) V2dxdydz,donde D está limitado por : x 2 + y 2 + z 2 = 1
D
ln
R pta. ----
21) Calcular
fff
JJJ
D
xyz dxdvdz
p
— .......— ,
donde
D es el
primer
octante
de
la
esfera
y x 2 + y 2 + z 2
5
x 2 +jy2 + z 2 < a 5
22)
Rpta. —
40
f f f Ixvzldxdydz
Probar que la integral triple JJJ ■■^¿=_ - - — - , sobre el sólido D acotado por el
D ijx2+y2+z2
x2 y 2 z 2
8 a 2b 2c 2
(bc+ca + ab)
elipsoide —y + —y + —5- = 1, tiene el valor------------ .------------------------a b e
15
(b + c)(c+a)(a + b )
739
Integrales Triples
23) Calcular
JJJ[(x-a)2+(y-ft)2+ ( z - c ) 2] ^ dxdydz,
donde D es el sólido esférico de
D
radio R y centro en el origen, y (a,b,c) es un punto fijo fuera de la esfera.
R pta. —n B? (ai1 + b 2 + c 2) ^
24) Calcular J J J -Jx2 + y 2 + z2dxdydz, donde D es el sólido limitado por las superficies
D
z = J x 2 + v2 , z = 3
Rpta. (21-42------ )7r
2
25) Calcular J J J xdxdydz, donde D es el sólido limitado superiormente por la esfera
D
x 2 + y 2 + z 2 =16 e inferiormente por el paraboloide 6z = x 2 + y 2
R pta. 0
26) Calcular
¡ \ \ x , p + y 2 dxdydz,
donde
D
es
el
sólido
exterior
al
cilindro
x 2 + y 2 - 2 y = 0 y limitado por las superficies z = -Jx2 + y 2 , x 2 + y 2 = z + 12,
x + _y > 0
Rpta. 410.31
Í
fl
p /o
-x
fh
( I .------( I h
- a ' J - 4 a 1- * 1 VJ A ( ^ + j ,2 ) ^ jx
-a J-\a2-x2 J—' 2 2'
cilindricas.
28)
Calcular la integral
Udz
L
-)dy)dx pasando a coordenadas
*
2 + y 2
4
R pta. j itah
r2 r^A-x1 r-J&x2-y2 ,
,
,
( ,-----( I .
(x + y + z )dz)dy)dx
J-2 J-V4-jr2 J^xz+y2
256 pr
R pta. —— (V2 - \)n
Eduardo Espinosa Ramos
740
29)
Calcular la integral
fR
d R 2—x 2
fV ^d22" ' 2- ■/ dz
I (I .
(I
J R J-^R2-x2 Jo
^f=)dy)dx
g 2
Rpta. —n R 2
esféricas.
[2 b
[- ilb x - x 1
r ¡4 b 2- x 2- y 2
dz)dy)dx , b > 0.
30)
Calcular la integral I ( I ------ ( I
Jo J -^2bx x2 Jo
31)
Utilice coordenadas cilindricas para las integrales triples:
a)
pasando a coordenadas
Evalúe J J J (x 2 + y 2 )dx dy dz en donde T es la región limitada por el cilindro
T
x 1 + y 2 = 4 y los planos z = -l, z = 2.
b)
Evalúe
R pta. 24n
JJJ Vdx dy dz en donde T es el sólido que se encuentra comprendido entre
T
los cilindros x 2 + y 2 =1 y x 2 + y 2 —4 sobre el plano XY y debajo del plano
z = x + 2.
Rpta. 0
c)
Evalúe j j j x 2d x d y d z , en donde T es el sólido que se encuentra dentro del
T
cilindro x 2 + y 2 = 1, arriba del plano z = 0, y debajo del cono z 2 = 4 x 2 + y 2 .
2n
Rp«a. —
d)
Evalúe J J J -*Jx2 + y 2 dx dy dz en donde T es el sólido limitado por el paraboloide
z = 9 - x 2 - y 2 y el plano XY.
e)
Evalúe J J J x z d x d y d z , en donde T es el sólido limitado por los planos z = 0,
z = y, y el cilindro x 2 + y 2 =1 en el semiplano y > 0.
Integrales Triples
0
741
i.Ccr'kv
{x * y
A fVl-Jr2 pl*2+y1
g) l (f
32)
(£L.
Utilice coordenadas polares de las integrales triples:
a)
Evalúe ^ j ^ ( x 2 + y 2 + z 2 ) d x dy dz , en donde S es la esfera sólida unitaria
2
2 ? .
x + y +z <1.
b)
^
47T
Rpta. —
Evalúe j j j y 2¿tcdydz, en donde S es la porción de la esfera sólida unitaria
2
2
2
* + y + z 5 1 que se encuentra en el primer octante.
Rpta. —
30
c)
Evalúe
JJJ(jc2 + y 2) d x d y d z ,
en donde S es la región hemisférica situada arriba
D
del plano XY y debajo de la esfera x 1 + y 2 + z 2 = 1 .
d)
Evalúe j j j x e ^ ^ ^ d x d y d z , en donde S es el sólido comprendido entre las
s
esferas x 2 + y 2 + z 2 =1 y x 2 + y 2 + z 2 = 4 en el primer octante.
C>
Í J ^ S !
^ W-*2 + y 2 + z 2dz)dy)dx
742
Eduardo Espinoza Ramos
A . ..2
33)
Calcular
[ff
* + ^ — —dxdy d z , donde T esta limitada por las superficies
x +y +z
x 2 + y 2 = z 2 , x 2 + y 2 =3 z 2 y x 2 + y 2 + z 2 =4.
II.
Problem as de Aplicación
1)
Calcular el volumen del cuerpo limitado por el plano z = 0, la superficie cilindrica
1
2
2
2
2
2
x = — (x + y ) y la esfera x + y + z = 4 (en el interior del cilindro).
2
8
R pta. —(37T-4)
9
2)
2
2
2
2
x +y = a .
3)
2
2
Encontrar el volumen del sólido acotado por la esfera x + y + z = 4 a y el cilindro
i 8 ” 3^3
R pta. 4 na (---------- )
Encontrar el volumen del sólido en el primer octante acotado por el paraboloide
z~x
2
2
2
+ y , el cilindro y = x y los planos y = x, z = 0.
3
—
R pta.
'/
2
4)
2
z x
y
Encontrar el volumen del paraboloide —= ~ + ~ cortado por el plano z = 0.
c a
b
nabc
R pta. ------2
5)
2
Encontrar el volumen acotado inferiormente por el paraboloide z = x + y
y superiormente por el plano z = 2y.
6)
2
2
z = x +y
2
n
R pta. —
Encontrar el volumen del sólido dentro del cilindro x 2 + y 2 = 2 a r entre el p{ano z = 0 y
743
Integrales Triples
7)
8)
Calcular
el
volumen
del
sólido
encerrado
por
2
2 2 . 2
2
2 _
x + y + z =4a , x + y = 2 ay.
„
( 3 jt- 4 )
Rpta. ------------------
Hallar
limitada
el
volumen
de
la
región
por
los
las
superficies
cilindros
hiperbólicos
xv =1, xv = 9, xz = 4, xz = 36, y z = 25, y z = 49.
Rpta. 64
9)
Hallar el volumen del sólido bajo la superficie z = 4 - x 2 - v 2, interior al cilindro
2
2
x + y =1
7
Rpta. ~ n
2
y sobre el plano xy.
10) Hallar el volumen del sólido acotado por el paraboloide elíptico 3x2 + y 2 = z y bajo el
cilindro x 2 + z = 4.
Rpta. 4 ® 3
2
11) Hallar el volumen del sólido limitado por las superficies del paraboloide z = x + y
2
2
2
y
2
z = x + 2 y y los planos y = x, y = 2x, x = 1. Rpta. —
12
2
2
2
z
x +y
12) Hallar el volumen del sólido limitado por encima de la superficie —r = ----- j— y P°r
h
2
2
2
a
a'hn
debajo del plano z = h con x + y < a . Rpta. -------
13)
Hallar el volumen del sólido limitado por los cilindros z = Ln(x + 2) y z = ln ( 6 - x ) y
los planos x = 0, x + y = 2, x - y = 2.
Rpta. 4 (4 —31n3).
14)
Hallar el volumen del sólido limitado por el paraboloide ( x - 1 ) 2 + y 2 = z y el plano
Eduardo Espinosa Ramos
744
15) Hallar el volumen del sólido comprendido entre paraboloide z = x 2 + y 2 y el cono
71
2
z = xy.
Rpta. — el paraboloide
96
16) Hallar el volumen del sólido comprendido entre el paraboloide y 2 + z 2 = 4a(x + a) y la
2
2
2
2
esfera x + y + z =c
2
(c > a ).
2
a
Rpta. 2 m ( c - — )
2
17) Hallar el volumen del sólido limitado por: ( x 2 +y 2 + z 2) = axyz.
3
a
Rpta. ----360
18) Hallar el volumen del sólido limitado por: ( x 2 + y 2 + z 2 ) = a 2z 4
Rpta.
47K23
21
19)
Hallar el volumen del sólido limitado por: ( x 2 + y 2 + z 2) = a 2( x 2 + y 2) 2.
Rpta.
64a37T
105
20)
2
2
2
3
Hallar el volumen del sólido limitado por: (jr + y ) = a z.
3
2
a n
Rpta. -------
21) Hallar el volumen del sólido limitado por:
x 2 + y 2 + z 2 = 1, x 2 + y 2 + z 2 = 16,
z 2 = x 2 + y 2, x = 0, y = 0, z = 0. (x > 0 , y > 0 , z > 0 )
21(2-J l )
R p ta .-------------- n
4
2
2
22) Encuentre el volumen de la región D limitada por las paraboloides z = x + y , y
z = 3 6 -3 x 2 - 3 y 2.
Rpta. 162 n
Integrales Triples
745
23) Obtenga el volumen del sólido limitado por le paraboloide x 2 + y 2 + z —12 y el
R pta. 8 n
plano z = 8.
24) Determine el volumen del sólido limitado por el paraboloide x 2 + y 2 + z —1 y el plano
XY.
25) Determine el volumen del sólido acotado por el cilindro x 2 + y 2 = 2y , el paraboloide
x 2 + y 2 = 2z y el plano XY.
26) Obtengo el volumen del sólido que esta en el interior de la esfera x 2 + y 2 + z 2 = 2 z y
arriba del paraboloide x 2 + y 2 = z .
27) Hallar el volumen del sólido comprendido entre las superficies z = 5 x 2 + 5 y 2 ,
z = 6 - 7 x 2 - y 2.
28) Hallar
el
volumen
del
sólido
limitado
por
las
superficies
x 2 + y2 = z,
z 2 = 4 (x 2 + y 2).
29) Determinar el volumen del sólido acotado por el cilindro jc2 + z 2 = 4 y l a s superficies
x = z 2, x - 6 = ( z - 2 ) 2.
30) Hallar el volumen común de las esferas x 2 + y 2 + z 2 = 9 y x 2 + y 2 + ( z —2 )2 = 4 .
31) Hallar el volumen del sólido que es exterior a la superficie
z 2 = x2+ y2 e
interiormente a la superficie x 2 + y 2 + z 2 = 2ax
32) Calcular la masa del cubo 0< x < a, 0 < y < a, 0 < z < a si la densidad del cubo en el
punto ( x ,y , z ) es p ( x , y , z ) = x + y + z.
3o4
R p ta .-----
746
—
»
.
.
•
Eduardo Espinoza Ramos
—*-----------------------------------------------
■ ,
33) Encontrar la masa del sólido acotado por una esfera de radio a sí la densidad de
4 <¡
volumen varía con el cuadrado de la distancia al centro. R pta. —a n
34) Encontrar la
masa del bólido
acotado
por
las
esferas
2
2
2
x + y +z =4
y
x 2 + y 2 + z 2 =í 9, si la densidad del volumen en cualquier punto es k \ x 2 + y 2 + z 2 .
R pta. 65kit
35)
Hallar la masa del cuerpo limitado por el para1)oloí<9e jc2 + y 2 = 2 a z , y la esfera
I i
x 1 + y 2 + z 2 = 3 a2 (z > 0 ) si lfc densidad en cada ponto es igual a la suma de los
On
r
97
R pta. -1— (1 8 V 3 -— )
5 6
“
“
4
.
36) Calcular las coordenadas del centro de gravedad del cuerpo limitado por las superfícies
jc+ v = 1, z - x
2 2
+ v , x = 0, y = 0, z = 0.
2 2
7
,— )
5 5 30
R pta.
\
37) Calcular las coordenadas del centro de gravedad del cuerpo limitado por las superficies
2
z =x y,
45
Rpta. (3,3,—-)
32
x =5, y = 5, z = 0.
38) Obtenga el momento de inercia con respecto al eje Z del SÓttRtoÉÚBlOgéneo que está
dentro del cilindro x 2 + y 2 - 2x = 0, debajo del cono x ^ y - y r - ^ J ^ arriba-del plano
XY, la densidad de volumen en un
punto cualquiera es k(en
R pta.
512
k kg-m
2
75
39) Calcular el momento de inercia del cubo 0 < jc < a, 0 < y < a,
(L< z < a , respecto de
747
Integrales Triples
2
40)
2
2
x
y
z
Hallar el momento de inercia respecto al eje Z del elipsoide —y + —y + — = 1, con
a b e
función de densidad p ( x , y , z ) = 1.
Rpta.
Aabcn
2
2
(a +b )
12
41) Hallar el momento de inercia del paralelepídedo recto homogéneo de aristas a,b, y a con
respecto a cada una de las mismas cuya masa es igual a M.
Rpta. —M ( b 2 + c 2), - M ( c 2 + a 2), - M ( a 2 +h2).
3
3
3
42) Si S es el sólido en el primer octante limitado por los planos coordenados, la esfera
2
2
2
x + y + z = 4 y el plano x + y = 1, si la densidad en cada punto ( x , y , z ) es igual a su
distancia al plano XY, hallar la masa de este sólido.
11
R pta. —
12
43) Hallar el centro de masa del tetraedro de vértices (0,0,0), (a ,0,0), (0,fe,0) y
(0,0,c), (a, b,c> 0) si la densidad en cada punto (x,y,z) es yz.
44)
Del octante de la esfera x 2 + y 2 + z 2 < c
cuerpo
OABC,
limitado
por
los
x v
—+ — = 1 (a<.c, b <c ). Ver figura.
a b
2 ,
planos
a 2b 2
R pta. (—,— ,—c)
2 3 3
jc > 0, y > 0, z > 0, se ha cortado el
de
coordenadas
y
por
el
plano
Eduardo Espinoza Ramos
748
Hallar la masa de este cuerpo, si su densidad en cada punto (x,y,z) es igual a la cota z
del mismo.
ab
2 2 2
R p ta .— (6c —a - h ).
24
45) Hallar el momento de inercia del cilindro circular, que tiene por altura h y por radio de
la base a, con respecto al eje que sirve de diámetro de la base del propio cilindro.
2
2 a 2hn
Rpta. (3a + 4 h )-------
12
46) Hallar el momento de inercia del cono circular, que tiene por altura h, por radio de la
base a y de densidad p, con respecto al diámetro de su base.
R p ta .
a 2hpn
2
2
— (3a+2h)
60
47) Encuentre la masa y el centro de masa del sólido S limitado por el paraboloide
z = 4jc2 + 4 y 2, y el plano z = a (a > 0). Si S tiene densidad constante k
Rpta.
O
(0,0,2a)
48) Encuentre la masa de un hemisferio sólido H de radio a sí la densidad en cualquier
punto es proporcional a su distancia al centro de la base.
n ka*
Rpta. —- — , k = constante
49) Obtenga la masa del sólido limitado por las esferas x 2 + y 2 + z = 4 y jr2 + y 2 + z 2 = 9
si la densidad voluminica en cualquier punto es k-Jx2 + y 2 + z
2
.
Rpta. 65 k;i kg.
50) El sólido homogéneo limitado pro el cono z 2 = 4jc 2 + 4 y 2 entre los planos z = 9 y
kg
z = 4 tiene una densidad voluminica, en cualquier punto de k (en ——) calcule el
m'
32
momento de inercia respecto al eje Z para este sólido.
Rpta. — k n k g / m 2
Integrales Curvilíneas o de Línea
749
CAPITULO VII
1*
IN T E G R A L E S C U R V IL IN E A S O P E L IN E A ,
P re -re q u ÍS Íto S .-
Para la comprensión adecuada de este capítulo de las integrales
curvilíneas se requiere del conocimiento previo de:
Cálculo diferencial e integral.
Funciones vectoriales de variable real.
Funciones de varias variables.
Superficies.
Parametrización de curvas.
O b je tiv o s .-
Establecer los fundamentos necesarios para la identificación de los tipos de
integrales curvilíneas así como sus respectivas aplicaciones. Al finalizar él
estudio de este capítulo, el alumno debe ser capaz de:
Identificar los tipos de integrales curvilíneas.
Utilizar las integrales curvilíneas en las diversas aplicaciones.
Eduardo Espinoza Ramos
750
|7.1
Introducción]
Si
f : [ a . b ] ------ >R, es una función continua en [a,b]
entonces
Vxe[a,b]
J f ( x ) d x = F(b) —F(a) donde
a
F'{x) = f ( x )
(integral definida); es decir, que la integral
se realiza sobre el intervalo cerrado [a,b].
Ahora generalizaremos ésta integral, en donde la función
C: a ( t ) y a estas
integrales
le
llamaremos
f
sea continua sobre la curva
integrales
curvilíneas ó de línea y
denotaremos por J f d s , es decir:
Consideremos una curva regular a \ \ a , b \ ------ >R , tal que: a ([a,b]) = C e R
>
imagen de a
3
Sea / : C a R
es su
3
------ >R, una función definida sobre la curva C e R .
Cuya representación gráfica haremos de la siguiente manera:
R
751
Integrales Curvilíneas o de Linea
Consideremos una partición
del
intervalo
[a,b],
P = {/0,/1,í2».......t„}
tal
que
a = t0 < t l <....< tn = h , estos puntos determinan una partición en la curva C por medio de
los puntos:
intervalo
a ( a ) = a ( t 0), a ^ ) . a ( f 2)
[t¡_!. t¡ ].
i =
l,2,...,n,
a(< „) = a(fr).Ahora
tomamos
un
punto
en
cada
arbitrario
t s'
sub
tal
que
« ( t j ^ - Í X j '. y j '. Z ; ') e C, enseguida formemos la suma ^ f íX j'.y j'.Z j'Í A S i, donde AS,
¡=i
i i
es la longitud de arco de la curva C de a (t¡_j) a a ( t ¡ ) y sea AS ¡ la máxima longitud de
arco correspondiente a la partición considerada.
n
Si existe un número L tal que V e > 0, 3 8 > 0 y X f í x / . y j ' . z ^ A S i - L < e , para
i=l
toda partición con |aS¡| < 5 , entonces existe la integral curvilínea de f con respecto a la
longitud de arco AS¡ y lo representaremos por:
J f(x,y,z)dS=
c
1®
Consideremos
—*
a ( t ) = ( a 1(t),
n
lim X ílX i'.y i'.Z i'JA S ¡ = i
|as,|->
°i=i
una curva
regular
a ' . \ a . b \ ------- » P 3
—*
a 2 (t), a 3(t)) tal que a([a,b]) = C c z R
3
es
definida
por
—*
la imagen de a
/ : C c R 3------ » R , una función continua sobre C, entonces
Jcf ( x , y , z)¿s=£/( a ( r ) ) . ||a' (t ) || d t =£/ ( a , (r),a 2(r),a 3(r)).||a' (t ) || dt
donde | a ,( r ) | = A/ a i ,( 0 2 + « 2, ( 0 2 + a 3 ,( 0 2
esta integral recibe el nombre de integral curvilínea de primera especie.
Sí
Eduardo Espinoza Ramos
752
Ejemplo.-
Calcular la integral curvilínea J ( x 2 + y 2) nd S ,
donde C es la circunferencia
x = acost, y = a sen t.
Solución
La curva C en forma paramétríca es dado por:
—P
C: a ( f ) ~ (a co sí,asen f), 0 < t £ 2 n
a
X
a ' (/) = ( - a sen/, a c o st)
=>
||a '( / ) ||= a
—>
como dS =|| a '( í) || di
=> dS = adt
f t 2
i 2” / 2 2 .
2
2,.n
.
f2" 2n+l
2n+l / 2*
J^(x +>’ ) ^ = J0 (a cos f + a sen 0 a ^ í = J0 a
** = a
'/ o
_ 2n+l
0
71
f (x 2 + y 2) ndS = 2 a 2n+1jr
Je
Ejemplo.-
Calcular la integral curvilínea
J (x2 + y 2 + z 2)dS
donde la curva es definida por
—>
C: a (/) = (cosí, sen/, /), 0 < t < 2n.
Solución
Como C: a : [0,27r]------ >R
a(i) = (eos/,sen/,/)
como
=>
es una curva regular definida por:
■*
ot'(í) = (-sen/,cos/,1) =>
=|| a '(l) || dt => dS = - J l d t , entonces
r~
|| a '( /) || = v 2
753
Integrales Curvilíneas o de Linea
Ejemplo.-
Calcular la integral curvilínea
f
dS
J —-^ Y ' donde C
c x + y +z
es la primera espira de la
hélice circular x = a eos t, y = a sen t, z = b t
Solución
Sea a: [0.2zr]
>R / a ( t ) = ( a c o s t,a s e n t ,b t ) , la curva parametrizada donde
dS = || a ' (t) || dt
=> dS = -Ja2 + b 2 d t , entonces
k x + y + z~
Jo a
eos t + a
V a2 + b2
bt ¡i*
= -------------arctg /
ab
a
Observación.-
J°
sen t + b ~ r
V a 2 + b2
ab
a +b
t
2nb
arctg(----- )
a
Cuando se tiene una curva plana y = <p(x) , a < x < b y f(x,y) es una función
continua, entonces la integral curvilínea se calcula mediante la fórmula.
Calcular la integral curvilínea j^ > 2 sen3 x 4 1+ eos2 x d S , donde C es el arco de la
Ejemplo.-
n
curva y = sen x, desde el punto (0,0) hasta el punto (— , 1).
2
Solución
Como la curva es plana C: y = sen x, 0 < x < n/2,
J
c
y
2sen3j r j l + cos2 x dS = f
Jo
=
p
Jo
dS = J 1+(— ) 2dx = V i+ eos2 xdx
V dx
sen1x s e n 3j r j l + cos2 x Vi + eos 2 xdx
^
2
ñnl2
2 ,
2
sen jc(1 + cos x ) d x - \
(1 -co s x)*(l + cos x)senxdx
Jo
754
Eduardo Espinoza Ramos
fit n
6
4
(e o s jc - c o s x
o
= J
7
5
2
—eo s
x + l)s e n x d x
3
eos x eos X
eosX
/na
= (---------- + ---------+ ----------- cosx) /
7
5
3
1 1 1
64
= ( 0+0) - ( —
- 1) = ----7 5 3
105
2a
Consideremos
una
curva
regular
—*
a :\a,b\
—*
>R
definida
3
por
—*
a ( í ) = (a¡((), a 2(/)> &3 V) ) tal que a ([o,i»]) = C e /? es la imagen de a .
Si P,Q,R: C a R 3
>R son funciones continuas sobre C, entonces:
£ P ( x ,y , z) dx + Q( x,y,z )dy + R( x ,y , z) dz =
0 ) , a 2(t),a3(t))al ' (r)-
+ Q(a \(t),a2(t),al (t))a'2 (t) + R ( al (t),a2(t),a3(t))a'3 (r)]¡ft____________
Estas integrales reciben el nombre de integrales curvilíneas de segunda especie.
Ejemplo.-
Calcular la integral curvilínea
I ydx+xdy,
Je
donde C es el l e cuadrante de la
n
circunferencia x = R eos t, y = R sen t desde r, = 0 hasta r, = — .
2
Solución
->
j
71
Sea a : \ a , b [ ----- >R tal que a ( t ) = (Rcost, R sen t) para 0 < 1 < — la curva parametrizada.
Í
x = Rcost
\dx = - R s e n t d t
y = R senr
[ dy= R c o s t d t
f
f " '2
I y d x + x d y = \ R s en t (—Rsent )dt + Rcost.Rcost d t
'c
o
, f)r/2
,
,
, fir/2
, Sen2í in/ 2
,
= R I (eos r - s e n t ) d t = R J c o s 2 í d í = / ? -------- /
= R (0 -0 ) = 0
■'o
9 / 0
755
Integrales Curvilíneas o de Linea
Ejemplo.-
f x d y + y dx
Calcular la integral curvilínea J — ^ d o n d e
c x' + y
C es la cuarta parte de la astroide
x = Reos t , y = Rsen t , desde el punto (R,0) hasta el punto (0,R).
Solución
La curva parametrizada es dado por.
r
i
a.-.\a,b\
7
->
r x 2dy - y 1 dx
+yM
i
n
x=Rcos t
dx = - 3 R eos2.senr d t
y = R sen3 1
2
dy = 3R sen r.cosr d t
C:
Jc x ^
i
>R / a ( t ) = ( R cos t , R sen t ) , 0 < t < —
2
rf R 2 cos6 r(3Rsen2 t.cost) + R 2 sen6 /(-3 R co s2 /sen r)
= Jo
R 5/3 cos5 t + R 513 sen5 1
'
« 4/ 3
eos2 t sen3 t + sen 7 t eos3 t ,
ry (eos5 /+ s e n 5 /)se n 2 /.eos2 /
= 3/?----------------- dt =3RiJR\ ---------------—
— -— ------------ dt
■*°
cos t + sen /
cos /+ se n t
,T ,i/T rfí
2
2
.
, r , i r r r f í 1 - c o s 4/ ,
3RIJr ,
= 3R1JR\ sen t.cos t d t —3R*jR ------------ dt = --------- ( /
Jo
Jo
8
8
Ejemplo.-
3R.\[Rn
) / = -----------/o
16
s e n 4 í, /y
4
x y2dy
Calcular la integral curvilínea J —y—
a lo largo del círculo x 2 + y 2 = a 2 en sentido
I~ x + y
antihorario.
Solución
Parametrizando
la
circunferencia
2
2
x +y = a
2
tiene x = a cos 0 , y = a sen 0
Luego la curva C en forma parametrizada es dada por:
C: a:[a,¿>]------ >R2 / a ( 0 ) = ( o c o s 0 ,a s e n 0 )
0 < 0 á 2n
se
756
Eduardo Espinoza Ramos
r
xy
_ r¿n
2n a.ci
a.cosGxí2 sen2 0.acosQdQ
Jr x 2 + y2
a 2 eos2 0 + a 2 sen2 0
^
2 f2n
= flf Jo
2 Q
2
sen G.cos QdQ
2
a 7T
a f2n
a
sen 40 / 2n a
= — (l-c o s 4 0 )¿ 0 = — (0 ---------- ) /
= — (2 tt- 0 ) =
8 Jo
8
4
/ o
8
Observación.-
Si P(x,y) y Q(x,y) son funciones continuas e y= <p(x), a < x < b es la ecuación de
una curva plana C, entonces la integral curvilínea se calcula mediante la fórmula:
£ P(x, y)dx + Q{x, y)dy =
Ejemplo.-
<P(X)) + Q{x,(p(x))/p' (xj\lx
Calcular la integral curvilínea J y 1dx + x 1d v , donde C es el segmento de la recta
y = 2x + 3, de A (-l,l) hasta B(2,7).
Solución
Sea C: y = 2 x + 3
, -l<x<2
curva plana
l ^ y 2d x - x 2dy = j \ ( 2 x + 3)2 + x 2 (2)]dx = J* (6 *2 +12x + 9)dx = (2*3 + 6 x 2 + 9x) j *
= (16 + 2 4 + 18)-(-2 + 6 - 9 ) = 63
Ejemplo.-
Calcular la integral curvilínea
x 2dx
2 ydy
r
— :----- 5-, donde C es el arco de y = —
2
' tJfx"2- y 2 + 4 x + y
de (0,0) hasta (2,2).
Solución
757
Integrales Curvilíneas o de Linea
x 2 dx
t
'2
,2
xdx
4x2
2
x4 ' 2
4x¿+ —
= { 0 V 2 ln 20) - (-4 + 2 ln 16) = 4 + 2 1 n 4
—»
Si la curva C: a ( t ) = ( 0 ,( 0 . ci2{l), a 3 (0 ) p a ra te [a ,b ] una curva seccionalmente regular,
3S
entonces una partición u = t€ < íj < t 2 <...< t„ = b , existe para [a,b] tal que C, resulta ser
la unión de las curvas regulares
C2: a 2 (t) , í e [ í , , t 2\,
C = C, u C 2u ...u C n,
C„~ 4xn( t ) , t e
donde Cj: a , ( í ) , t e [a, r ,] ,
b\ y sea / : C c z R 3 ------ >./?, una función
definida en C, entonces se tiene:
í f ( x , y, z)dS = f f ( x , y, z)dS + f f ( x , y, z)dS + ...+ [ f ( x , y, z)dS = V f f ( x , y, z)dS
JC
JC 2
JC ,
i~ \
‘
Encontrar la integral curvilínea J yd x + 2 x d y , si C es el contomo de un rombo en
sentido
inverso
x v
- + - = 1,
3 2
al de las agujas de un reloj
x v
x v
-+ - =- 1 ,- = 1 ,
3 2
3 2
-
Ejemplo.-
JC ,
x v
- = -1
3 2
y cuyos lados son las rectas
Eduardo Espinoza Ramos
758
x y
C3 : —+ — = - 1 , parametrizando se tiene:
a 3(í) = ( 3 í - 3 - 2 í ) , 0 < t < 1
x y
CA : —- = 1, parametrizando se tiene:
a 4(0 = (3 í,2 í-2 )
ydx + 2xdy = | ydx + 2xdy + F ydx + 2xdy + í ydx + 2xdy + f ydx + 2xdy
J
C
2
^*1
3
A
= jj2 /( - 3 ) + 2(3 - 3t)2]dí+ J j(2 - 2/)(-3) + 2(-3r)(-2 )]dt +
+ jj-2 r(3 ) + 2(3r - 3)(-2)]<* + J j ( 2r - 2)3 + 6t(2)]dt
= fVl 2 -1 8 í)dt+ f (18/ - 6)dt + í ’(l 2 - 1 Et)dt + f (18/ - 6)dt
Jo
Jo
= [\ldt = 12 i /
Jo
/o
= 12
Jo
Jo
759
Integrales Curvilíneas o de linea
Dada una curva C parametrizada por a ( t ) con una cierta orientación, cuando se le
Notación.-
—>
reparametriza por una función
ío(/)
que le invierte la orientación, entonces se le
denota por C_.
Al estudiar las integrales de línea nos interesa no solamente el conjunto de puntos que une a la curva
—>
C, si no la manera como ha sido orientada, es decir, la parametrización a ( t ) .
|7.4
Definición.]
A una curva C con una parametrización a (t) se le llama camino o trayectoria.
A
las
—>
integrales de línea se le ha dado muchas notaciones, por ejemplo sí un campo vectorial F en
R n es una función definida sobre un conjunto abierto U<zRn y con valores en R", es decir.
F: U c z R "
tal que:
F ( x ) = (Fl ( x ) . F 2 ( x ) , . . . , F n ( x ) ) donde x = ( x l , x 2
—>
—> —>
—»
paran = 2 denotaremos x - ( x . y ) , F ( x ) = ( P ( x ) , Q ( x ) )
—»
—* —>
—>
—»
—♦
n = 3 denotaremos x = ( x , y , z ) , F ( x ) = ( P ( x ) , Q ( x ) , R ( x ) )
x n)
760
Eduardo Espinoza Ramos
Campo vectorial F sobre el conjunto abierto U c R ”
Luego
sí F: R
3
3
>R tal que :
F{x,y,z) = P{x,y,z) i + Q(x,y,z) j+R(x,y, z) k y
r =x i + y j + z k
donde d r =dx i + d y j + d z k a la
integral curvilínea denotaremos por:
Í F ( x , V,z).d r = í JP(x,y,z) i + Q(x,y,z) j +R(x,y,z) k ).(dx i +dv j + d z k )
=
Observación.-
z)dx+
z)dy+ F(x,y, z)dz
En una integral de linea, la curva a lo largo del cual se realiza la integración se
denomina camino o trayectoria de integración, si el camino de integración es una
curva cerrada se denota de la manera siguiente.
Ejemplo.-
^F (x,y,z).dr
£ ? ( * , y, z).dr
(antihorario)
(horario)
2
2
Calcular la integral de línea del campo F ( x . y ) —(x , y ) sobre la parábola C: y = x
desde A(0,0) hasta B (l,l).
Solución
Parametrizando la curva C: a (/) = (/, / ), t e [0 ,l]
2
761
Integrales Curvilíneas o de Linea
2
2
como F ( x , y ) = (x , y )
F ( a ( t ) ) = F ( t , t 2) = ( t 2, t A)
\c F ( x , y ) . ( d x , d y ) = \ ^ t 2, t A){dt, 2tdt)
= J V
*o
+ 2 íV
= (— + — ) / ' = -
1 1 '
0
7
ahora reparametrizando la misma curva C por otra función
-Jt
®( 0 = ( —
2
t
4
72
- » - * - * 4¡ t
t € [0,4]; F(jr,_y) = (x , y ) entonces F(ü)(t)) = F (—
2 4
-*
t í2
F(x,y)dr = f
r
Jo 4 16
1’ -»
t
4
— )'•
16
1 1
i*4 J 7 «2
2
_ _ )< * = f ( _ + _ ) < * = _
4vr 4
Jo 16
64
3
por lo tanto se observa que p ara una curva fija C el valor de la integral no varia
r -» -♦
F. d r si es
que la curva está descrita por varias paramctrizaciones que preservan la orientación original.
Jijenpplo.-
2
2
Calcular la integral de linea de F ( x , y ) = (x , y )
a lo largo de la parábola y = x
2
desde el punto B (l,l) hasta el punto A(0,0).
Solución
Observamos que es la misma curva del ejemplo anterior, pero recorrida en sentido opuesto de
modo que denotaremos por C_¿ parametricemos C_ mediante:
C_: eo(t) = ( l - t , ( l - / ) 2) , t € [0,1]
\ c F ( x , y ) d 7 = J V ( l - f , ( 1 - 0 2)dt
= f ( ( ( 1 - 0 2. O - O 4)•(-!. - 2 ( 1 - 0 ) ) *
(1 -Q 3 , ( 1 - 0 6 p
= J P [-(l-0 2 - 2 ( i - 0 > = (
3
+
3
2
3
762
Eduardo Espinoza Ramos
observamos que al invertir la orientación, el valor de la integral cambia de signo, más n a d e
magnitud.
v
Observación.i)
Sean a (í) y co(t) dos caminos de la c e rta C.
Si a (t) y co(t) originan la misma orientación de C.
Jc ? ( a (t))d a ( t ) = \ c f (r o( t) ) d a ( í )
10
Si a ( t ) y co(t) originan orientaciones opuestas de C.
¡c F ( a ( t ) ) d a ( t ) = - ¡ c F(co(t))dco(t)
" Indfependenda de la l ’ra^^ectoria en integrales CurvilincasJ
En general, el valor de una integral curvilínea depende del integrando, de los dos extremos y
del arco que los une, sin embargo, existen casos especiales en los cuales el valor de una
integral curvilínea depende solamente del integrando y de los extremos, más no de la
trayectoria sobre el cual se realiza la integración, esto ocurre, cuando la forma diferencial que
se pretende integrar P(x,y)dx + Q(x,y)dy es exacta, es decir,
/ : D<^ R 2------ *R tal que:
que existe una función
df(x,y) = P(x,y) dx + Q(x,y) dy, en estos casos las integrales
curvilíneas sólo dependen de los extremos, bajo estas condiciones, decimos que la integral
curvilínea es “independiente de la trayectoria”.
El siguiente teorema establece la relación entre las integrales independientes de la trayectoria
y las diferenciales exactas.
763
Integrales Curvilíneas o de Linea
1.6
Teorema!}
Supongamos que
íunción
curva
P(x,y)dx + Q(x,y)dy sea una diferencial exacta, es decir: existe una
f : D a R 2----->R, tal que: df(x,y) = P(x,y)dx + Q(x,y) dy y consideremos una
regular
—
*
a: [fl.fr]
2
>R
definida
—
*
a ( f ) = ( a , ( / ) , a 2(/))
por
tal que
—
>
2
—
*
a ([fl.¿]) —C a R es la imagen de a entonces:
JrP(x, y)dx + Q(x, y)dy = f ( a x(fr),a2 (fr)) - / ( a , ( a ) ,a 2 (a))
Demostración
Definiremos la función F(t) mediante:
F(t) = f ( a x(t), a 2(t))
,
a<t<b
calculando su derivada por medio de la regla de la cadena
F'(t) = f \ ' { a \ ( t ) , a 2(t)) .ax'(t) + f 2' ( a l {t), a 2(t)) .a2'(t), de donde
F' ( t ) = P ( a 1(i), a 1(t)).al ’( t ) + Q i a l (t), a 2(t)) .a2'(t)
integrando miembro a miembro tenemos:
J F'(t)dt = J P{x,y)dx + Q(x, v)dy = F(b) - F ( a ) , por lo tanto
a
a
Ja P ( x ,y ) dx +Q (x , y) dy = f ( a x(b), a 2(fr))-/(c t,(fl), a 2(a))
7.7
Corolario.]
Supongamos que P(x,y,z)dx + Q(x,y,z)dy + R(x,y,z)dz, sea una diferencial exacta, es decir
que existe una función / : R 3
R(x,y,z) dz
—>
>R
tal que: df(x,y,z) = P(x,y,z) dx + Q(x,y,z) dy +
—
►
a :[a ,fr]
y consideremos una curva regular
—>
^
3
>R
definida por:
—*
a ( t ) = ( a ,( /) . a 2(/), a 3(/)) tal que: a([a,fr]) = C a R es la imagen de a entonces:
J P(x,y, z)dx + Q(x,y, z)dy + R(x,y, z)dy = / ( a , (fr),a2 (fr),a3 (fr)) - f ( a x( a ) ,a 2 ( a ) ,a 3 (a))
Eduardo Espinoza Ramos
764
Demostración
Definiremos la función F(t) mediante: ir(í) = / ( a 1(í), a 2(t), a 3(t))
,
a<t<b
calculando su derivada por medio de la regla de la cadena
^"(0 = /i'í« i(0 , a 2(t), a 3(r)).a1,(r)+ /2,(a 1(r), a 2(t), a 3(r)).a2'(<)+
+ A ( “ ííO* a 2(t), a 3(t )).a' 3(t)
F'(t) = P(a¡(t), a 2(t), a 3(í)).a1,(<) + Q(at(t), cc2(t), a 3(t)).a2'(t)+ R(a¡(t), a 2(t), a 3(t)).a3'(t)
integrando miembro a miembro se tiene:
j [PfajíO. ot2(í), a 3(t )).a1'(r)+ Qia^t), a 2(t), a 3(í)).a2'(t) + R(a,(<), a 2(t), a 3(í)).a3
= \ bF'(t)di = F { b ) - F ( á )
a
£ P(x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz = F(b) - F(a)
= f{<X\{b), a 2(b), a 3( b ) ) - f ( a l (a)y a 2(a), a 3(a))
O bservación-
L ac .presión P(x,y,z)dx + Q(x,y,z)dy + R(x,y,z)dz
es una diferencial exacta, si se
cumple:
dP
dQ
dP
dR
dQ
dR
dy
dx
dz
dx
dz
dy
ahora si P(x,y,z)dx + Q(x,y,z)dy + R(x,y,z)dz, es una diferencial exacta, quiere decir que
existe una función f(x,y,z) tal que :
df(x,y,z)
dx
&{x,y,z)
= P ( x , y , z ) , -------------- = Q( x . y , z ) ,
dy
d f { x, y , z )
:--- = R ( x , y , z )
dz
Luego para encontrar la función ffx.y.z) se sigue el procedimiento siguiente, siempre y
cuando reúna las condiciones necesarias.
' Integrales Curvilíneas o de Linea
-
765
*
d f{ x ,y ,z )
--------------= P (x ,y ,z ) , integrando con respecto a x,
.&
f ( x , y , z ) = j P(x, y ,z )d x + g (y , z)
..(1 )
ahora derivamos con respecto a y.
d f { x ty,-z) i/9 f f
d
------------- =
P$x,y, z)d x + — g (y , z ) = Q (x ,y , z)
dy
dy
dy
8
d i
— g(y,-z) f*S(x,-yiZ) - — J P ( x ,y ,z ) d x , integrando respecto a y
dy
fd y
g(y, Z) = jlí% x s y ; z )
J P(x, y , z)dx]dy + h(z)
(2)
reemplazando (2) en ( 1) se tiene:
/ ( * , y , z ) = J P(xi y ,z ) d x + J [ Q ( x , y , z ) - - ^ jP (x ,y ,z )d x ] d y + h(z)
... (3)
ahora derivando respecto a z a la ecuación (3)
=
P ^X' y ' z ) dx+\
y ' z )~ | ; í
h'(z) = R( x ,y , z ) - - £ [J P(x,y, z)dx+ J [Q(x,y, z ) -
>’»z)<fa]fiW
+
z
)
J P(x,y,z)dx]dy] , integrando
*(z) = J [ R ( x j X i - g ) ~ [J P(x, y, z)d x+ J [Q(x, y , z ) - ^ - J P(x, y , z)dx]dy]]dz
- (4)
por último reemplazando (4) en (1)
f ( x , y , z ) = j P ( x , y , z)d x+ J [Q(x, y , z ) - ~ j P(x, y , z)dx]dy+
+ J [*(*, y , z ) ~ [ f P(x, y , z)dx+ J [Q(x, y , z ) - - ^ - j P(x, y , z)dx]dy}dz]
Eduardo Espinoza Ramos
766
Observación.- Si P , Q , R , : U c í 3
>R son funciones continuas en U, y sea C una curva
regular cerrada contenida en U con representación paramétrica a : [a,ó]--------* R 3
—f
—>
—>
tal que: a ([a,ó]) = C y a (a) = a (b) ysi P(x,y,z)dx + Q(x,y,z)dy + R(x,y,z)dzes una diferencial
exacta entonces:
f P(x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y , z ) d z - 0
JC
Ejemplo.- Calcular la integral curvilínea
J (x1y eos x + 2xy sen x —y 2e x )cbc + (x1 se n x -2 y e * —y ) d y dondeC :x+y = 1 ,0 < x < 1
Solución
p {x*y) = x 2y c o s x + 2 x y s e n x - y 2e J
Q(x, y ) = x s e n x - 2y e x - y
dp = x 2 e o s x ^ 2„ x s- e n x - ^2y e x
—
dx
-— = x 2 eos x + 2x sen x - 2y e '
dx
J J , SP dQ
de donde — = — , es exacta, entonces
dy
dx
3 /: R2
df(x,y)
>R , tal que Sf{X' y ) = P( x , y ) y d f i * ' y) = Q(x ,y )
dx
dy
2
i x
- - P {x , y) = x y eos x + 2 xy sen x - y e , integrando’respecto a y
dx
/ ( * , y ) = J (x2y eos x + 2xy sen x - y 2e x )dx + g(y)
/(*> y) = J d ( x 2y sen x - y V ) + g(y)
f ( x , y ) = x 2y s c n x - y 2e x + g ( y )
X
derivando con respecto a y. -
767
Integrales Curvilíneas o de Linea
d f ( x , v ) = x 2 Se n x - 2 ye* + g ' (y ) = Q(x,y)
dv
2
r
2
r
V
x s e n x - 2 ye + g '(v ) = * s e n x - 2 ve —y entonces g '(y ) = —y => g( v) = - J—
2
2
2 r
^
/ (x ,y ) = x y s e n x - y e - - — , por el teorema (6.6) se tiene
2
fI
2
2
f(1-0)d f ( x , y )
2
(x v c o s x + 2 x y s e n x -v e )á r + (x se n x -2 v « -y )í/v = J
"
JC
=
(0,1)
/¡¡£ ¡ = / ( i , 0) - / ( 0,i) = o - ( o - i - ^ ) = |
Ejemplo.- Calcular J e x eos y d x - e x sen ydy donde C es cualquier arco de (1,0) a (0,1).
Solución
P( x ,y ) = e x cosy
Q(x,y) = - e x sen y
dP
dv
dQ
dx
= - e sen v
-e sen y
Como — = — , entonces la expresión ex cosv d x - e x sen y d y
dy
dx
entonces 3 / : R 2
v R , tal que d/X*>.y) = p ( x , y) y
dx
es un diferencial exacta,
^ = Q(x, y)
dv
d f (x . y )
= P ( x , y) = ex c o s y , integrando respecto a x.
dx
f ( x ->y ) = J e x cosy<£r + g(y) = e x c os y + g ( y ) , calculando la derivada respecto a y.
^ ~ ^ = - e x s en y + g '(y) = Q(x,y) = - e x s en y , g '( y ) = 0 => g (y ) = c
dy
/ ( x ,y ) = ex cosy
768
Eduardo Espinoza Ramos
Aplicando el teorema (6.6) se tiene
f
x
f(O -l)
x
J^e c o s y d x - e sen y d y = J
Ejemplo.-
Demostrar
que
la
< (0 1 )
d f ( x , y ) = / ( x , y ) / (1 ()) = f(0,l) - f(l,0) = cos 1 -e
siguiente
integral
J 2xyz2dx + ( x 2z 2 + z cos yz) dy + ( 2x 2y z + y c o s y z ) d z
es
independiente
de
la
n
trayectoria C; y evaluarla para cuando C va de (0,0,1) hasta (1, — , 2)u
Solución
P = 2xy¿
2
£? = x z
2
— = 2xz , — = 4xvz
dy
dz
+ z c o sv z
D » 2
R = 2x y z + y cos yz
2
2
=> — = 2xz, — = 2x z + cos v z -y z se n y z
dx
dz
dR A
dR „ 2
— = 4xyz, — = 2x z + cosv z -v z sen vz
dx
’
dy
dP dQ dP dR
como — = -----, — = — ,
dy
dx dz
dx
dQ dR
=—
dz
dy
df'ix v z)
como es una diferencial exacta, entonces 3 / : R ------ >R, tal que —— — — = P(x, v, z ) ,
dx
dv
df(x,y,z)
dx
= P(x, v,z) = 2xy z1 , integrando respecto a x = > / ( x , y , z) = J2 x y z2dx + g(y,z")
2
2
f ( x , y , z ) - x y z + g( v,z) , derivando respecto a y.
dy
=^
+ V ^ Z) =
y} = X2x2 + Z C0S yZ
g ' ( y , z ) = zcosyz, integrando respecto a y
Integrales Curvilíneas o de Linea
769
g(y, z) = f z eos yzdy + h(z)
2
2
g ( y , z ) = senyz+h(z) reemplazando en f(x,y,z)=> f ( x , y , z ) = x y z + se n yz+h{z)
derivando respecto a z. => ^ x»-v’z ) = 2x2_yz + >>eos y z + h'(z) = /?(x, >>, z)
0Z
2x2_vz + >.cosv'z+/i'(z) = 2x2yz + >’cos>'z => h'(z) = 0 => h(z) = c, por lo tanto
f ( x , y , z ) = x 2y z 2 +senyz
f
2
2 2
2
f (,'7-2)
J 2xyz á r + (x z + zcos>>z)í/v + ( 2 x yz+ y eos yz)dz = I
d f(x,y,z)
C
'
*'(0,0,1)
= / ( x , v,z)
m-,
Ejemplo.-
= / ( l , J , 2 ) - / ( 0 , 0,1)= (71 + 1) - (0 + 0) = 71+ 1
. i •
i
í(d* J ) - x d x - v d y - z d z
Calcular la integral curvilínea I
— =----- z,---Vi.,O (x2 + / + z 2)3/2
Solución
La expresión
-xdx-ydy-zdz
----- 2
2 3/2
es
(x 2 +>>2 + z 2)3
1
f(x,y,z) = .
2
y x +>> + z
Md-e,/) - x d x - y d y - z d z
~ 1 ----- 2----- T17T =
J(o.í>.c) (x +_y + z )
diferencial total de la función
por lo tanto
^ ( /( x , v, z)) = / ( x ,
■Jd2 + e 2 + / 2
V a2 + ¿ 2 + c
z)
2
(deJ)
I (a,b,c)
= f(d,e,f) - f(a,b,c)
770
Eduardo Espinosa Ramos
f7.fr g" fejerdcios Desarrollados]
1)
f zdS
Calcular la integral curvilínea J —
c x +y
x = a cos t, y = a sen t, z = a t
donde C es la primera espira de la hélice
Solución
La curva C parametrizada es dado
por:
C: a: [a.b]---------------a ( / ) = (a c o s /,a s e n /,a t), 0 < t < 2 n
—>
como
—>
dS =j| a ’(í) || dt
=> a '(t) = ( - a sen r. a cos t,a) y su módulo es:
|| a'(f) ||= -Ja1 sen 2 t + a 2 eos 2 t + a 1 = J a 2 + a 2 = a-Jl
f
z dS
f 2 »t
a 2t 2.a-j2dt
i - f 2n ?
c x 2 + y f = J 0n _
a 2cos 2~
t + a 2sen 2t~ ~ °
2)
L0 1^
~
a-Jlt* / 2 n
3i / 00
%-Jlan1
3T
r
dS
Calcular la integral curvilínea I —¡
, donde C es un segmento de la recta que une
J x 2 + y 2 +4
entre si los puntos 0(0,0) y A(l,2)
Solución
—►
2
Parametrizando el segmento a :[ a, b\
>R
-»
tal que
entonces || a'(f) || = -J5 , como dS =|| a'(f) II dt = -j5dt
a(t)-{t,2t)
=> dS = -J5dt, entonces
a (o) - ( 0 ,0 ) = (a,2a) => a = 0 y a (b) - ( 1 ,2 ) = (b,2b) => b =
f
I
=> a'(r) = (1,2)
1
dS
fi
-Jsdt
fi -Jsdt
r
i— 5---- /i
,
= I
=
==-------- ln(V5r+ \5 r + 4 ) /
■Jx2 + y 2 + 4
J t 2+4t2+4
y5t +4
/o
J
= ln|V5 + 3 |-ln V 4 = ln (:i^
)
Integrales Curvftm easojk linea
1)
771
jCalcular la integral curtflünea
•ST
2
2
(x —y ) d S , donde C es la circunferencia x + y = a x
Solución
2
2
•*
J
'Sea C: x +>> = a x , completando cuadrados se tiene:
U
U
C ( x ——) +_y = — ahora parametrizamos la curva C.
a a
x = —+ —COS0
■Mx ————eos 0
1 2
2
i
2
2
a
v = —senfl
2
a
= - sen0
Luego la curva para metrizad a es expresado p o r
a :[o .h ]
►íf2 / a { 0 ) = (--(l+ c o s 0 ), —s e n 0 ) ,
2
a ’(0) =*'í-¿^ -se n 0 ,~ c o s0 )
como
'
4
á0¿ —
2
2
Ul a ' (6) || = ^ - s e n 2 0 + ^ - c o s 2 0 = y
dS = ~ d 6
=1) a q{0) fl d Q d Q -r^>
J ( x - v)dS = J
e
2
a
a
a 2 R(—(l + cos0^----- sen 0 ) - J 0 = — J* (1+ cos0 - sen 0 )d0
2
2
2
4
-i
a
/f
a
= — { 0 + se n 0 + c o s0 ] /
= — L( y + l + 0 ) - ( - - | - l + 0 )
a
» -4- 4
] 4
f ( x - > > ) í / S = a—
J
V
4
( t t+ 2 )
( jt + 2)
Eduardo Espinazo Hamos
772
4)
Calcular la integral curvilínea L (2 z - ■ P + y 2 )¿/5, donde C es la primera espira de la línea
helicoidal cónica x = t c o s t ,y = ts e n t, z = t
Solución
j j —*
—f
La curva parametrizada es dado por: C: a \ a , b \
-»
>R / « ( / ) = (/ c o st j s e n t j ) , 0<t < 2jé
—>
a '(/) = (cosí - t s e n t . s e n t + t cos/,1) como dS =|| a ’(0) || dt
entonces
|| a ’(0)|| = -^ (co sf-í senf)2 + (senf+ f c o sí)2 = -\/f2 + 2 , por lo tanto dS = J t 2 +2 dt
J ( 2 z - J x 2 + v2 )dS = J
c
’
o
=
5)
o
( 2 / - V i2 eos2 t + t 2 sen2
P 7 L * =V
3
+2dt
+ 2 )3/z / 2' = —
' o
3
í(2 ;r2 + l ) 3' 2 - ll
1
J
Calcular la integral curvilínea J x-Jx2 - y 2 d S , donde C es una línea dada por la iecuación
( x 2 + y 2) 2 = a 2( x 2 - y 2) ( x ¿ 0 , mitad de laLEMNISCATA)
Solución
Sea,
C: ( x,2* +, y *2 )«2¿ = a_2,
¿( x z2 - y 2)
x 2 0 pasando a
coordenadas polares, se. tiene: x = r cos 0, y =r sen 0 --(1)
( r 2 eos2 0 + r 2 sen2 0 ) 2 = a 2( f 2 eos2 0 —r 2 sen2 0 )
~<2)
reemplazando (2}«fffí) se tiene:
x = a Veos 20 cos0
,
_y = a-<Jcos 28 sen 0
773
Integrales Curvilíneas o de Linea
por lo tanto la curva parametrizado es dado por:
C: a: [a,¿]----- >R2 / a (0) = (W cos20 cos0, aVcos20 s e n © ) ,
4
—>
<0 <—
4
—>
como dS =|| a '(0 ) || dQ, calculando la derivada de a (0 ).
-»
sen2 0 .co s0 + sen 0 .co s2 0 co s0 .c o s2 0 -se n 2 0 .se n 0
a \ 0 ) =a (.
, -------------- j
------------ )
Veos20
Vcos20
„
sen 20.eos0 + sen0.eo s20,? , eo s0.eos2 0 - s e n 20.sen 0 , 2
a
H“ (0)ll = a , (--------------- ¡ = = ------------) + (------------- t=
------------) =■
Veos20
Veos 20
Veos 20
_>
a
a<¿0
|| a 1(0)|| = - _ = = > d S =
Veos 20
Veos 20
f x J x 2 —y 2 dS = f 4 a eos 6 Vcos20 •Ja2 eos2 0 .cos20 - a 2 cos2 0 .sen2 6 ,_____:
Jt
Vcos20
= / 4. a 2 cos0 -Ja2 eos2 0 (eos2 6 - sen2 6 ) d 6
”T
J
a 2 cos0 aco s20 V0 = a 3 ,, (cos30 + eos0 ) d 0
=
3 sen 30
2 V2
3
= -------a
= a (--------- + sen0) /
»
3
"T
3
6)
Calcular la integral curvilínea
2
2
2
2
x +v +z
2
x y z d S , donde C es una cuarta parte de la circunferencia
2
= /? , x +_y = ---- situada en el primer octante.
Soluclén
x
Sea C:
2
2
2 „2
+ z = /?
/i,
---(1)
parametrizando la curva C se tiene: de la ecuación
^ 2
x2+ / = —
4
(2) proyectamos al plano XY.
....(2)
774
Eduardo Espinoza Ramos
R
x = — COS0
2
•(3)
R
v = — senfl
2
R2
ahora reemplazando (3) en (1) tenemos:
2
*2
2
2
2
^3
=> z = ----- R
eos 6 + ----- sen 0 + z = R
4
4
2
Luego la curva parametrizada es dado por:
» -*
R
R
-J3
n
>R / a (8) = (— cosí?, — sen©,-----R) , 0 < 8 < —
-* r .
a:\a,b\
dedonde a '(0 ) = ( - y s e n 0 ,y c o s 0 )
=> ||a '( 0 ) || = y
y como dS =|| a '(0 ) || ¿ 6 = y ¿6 => d S = ~ d Q
f
f f / f 3V3
R
J?V 3 fi
I xyzdS = I
send.cosd.—d6 =
I sen8.cos8.d8
'o
g„
2
R 4J Í sen2 0
16
7)
2
Calcular la integral
2
2
2
16
o
R 4J Í
0
32
I (x + y ) d S , donde C es una cuarta parte de la circunferencia
Je
#
2
x + y + z = R , y = x situada en el primer optante.
Solución
2
X
2
+ V
2
+Z
„2
= /?
Sea C:
y = x
(1)
2
2
2
interceptando las dos superficies tenemos: x + y +z = R
parametrizando tenemos.
x = -^=cos8 , z = R sen 0
2
2
r2
í? 2
= > x + — = ---2
2
(elipse)
Integrales Curvilíneas o de Linea
775
RcosO
como y = x => y = — -=.—, luego la curva parametrizada es expresado por:
V2
-* ,
,
a: \a,h\
>R
i
-*
R COS0
R
K
/ a (6) = (---- —— , —— c o s 0 ,/? s e n 0 ) , 0 < 6 < —
V2
V2
2
dedonde a '(6 ) = ( - ^
^
V2
^
como < /5 = ||a ,(e)|</e = /?íTO
f
f—2/f
^ ^
V2
, / ?cos 6)
=>
dS = RdO
=>
||a '( 0 ) ||= /?
f-
*
J (jc + y ) d S = J —— cos¡6.Rdd = - j 2 R 2 \ 2 cosO.dd = y¡2R2 sen6 f * = y f 2 R 2
V
^ 2
0
Jc (x + ^ )¿ S = V 2 /? 2
8)
Hallar
J [(3jc2 + 6 v )c o sa -1 4 v z c o s|3 + 20xz2 cosy]</S,
siendo
C: x ( t ) = (t, t 2 , t 3):
' e [0,1]. a . |3, y los ángulos directores de vector tangente unitario a C.
Solución
i i
~*
9
C: * (/) = ( / , / , / ) => jc'( /) = (1, 2/, 3/ ) el vector tangente unitario es:
—>
- (c o sa,e o sp , c os y) además dS =|| jc'( /) || dt
r ( /) II ^ '( 0 II
J [(3x2 + 6y) cos a -1 4 vz cos p + 20x z 2 cos y]<ZS
= J (3jc2 + 6y,~ 14yz,20jcz2)(cosa,cosP,cosy)<¿S
—y
= í (3jc2 + 6y,~ 14yz,20xz 2). * (f) .||x '(/)||A
Jr
—>
II Jc (0 II
y
x'(r) = / ’(/).|| * '(/) ||
776
Eduardo Espinoza Ramos
,
—»
J
J
(3jc2 +6y,-14vz,20jcz2).jc'(O<*= f (3í2
r
Jo
+ 6 /2,- 1 4 í5,20í7)(l,2í,3í2)rfí
= f*(9í2, - 14r5,20r7)(l,2r,3r2)dr
Jo
= f*(9í2 - 2 8 r 5 +60t9)dt = (3r3 - 4 r 7 + 6 r10) / = 3 - 4 + 6 = 5
Jo
/o
J [(3jc 2 + 6 y ) eos a - 1 4yz eos (3+ 20x z 2 eos y]cíS = 5
9)
f
v
Calcular la integral curvilínea J__— dS
AB x
,
4xi
si
—
AB
r-
es el arco de la parábola semi cúbica
3 2 ^3
y = —^ ~ que une los puntos de ^(3,2V3) y B(8, — -— )
Solución
y = j x 3' 2 , 3 < x < 8 => y=jc,/2
( / ) 2=x
dS - -Jí + y ’2 dx = -Jl+x dx=>dS = -Jl+x dx
f v
f» 2
I -dS = I jc
3 3
jc
3 /2
-V i + x dx
2 f8 1— -----2 fs I
2~
= — I -yx-dl+x dx = — \ \ x + x dx
3 ■’J
3
f
= — J(x+—
)2—- d x = —[---- —v/*2 +x+—ln|jc + —+-\/x2 +x |] J
3 J3 V
2
4
3
2
8
2
/
20 r- 1 ,17 + 16^2
= — V2 + — ln --------- ^
3
12
7+4V 2
10)
Calcular la integral curvilínea
J arctg—dS,
"c
JC
donde C es una parte de la espiral de
Arquímedes p = 2cp, comprendida dentro de un circulo de radio R con el centro en el origen
de coordenadas.
Integrales Curvilíneas o de Linea
777
Solución
x = p eos <p , y = p sen <p como p =
2
<p, x =
2
<p eos <p,
y = 2<p sen <p. Luego la curva parametrizada es dado por:
—>
a:
2
l a (<p) = (2q>cc&(p,2q>sen 40)
y
2
o
ahora parametrizando la ecuación x + y = R
x = R eos <p ,
y = R sen <p
interceptando la circunferencia y la espiral
R
R
R eos <p = 2<p eos <p => R = 2<p => (p = — por lo tanto <pe[0,—]
^
2
a((p) = (2(pcos(p,2(pscn(p),
0 < <p < —
a'(<p) = (2(cos<p-<psen(p), 2(sen(p + tpcos(p)), de donde
dS = || a ' (<p) \\dq>= 2^/(cos<p-<psen<p) 2 + (sen<p + <pcos(p) 2 dip entonces
f
v
Je a ^ g 37
11)
ffi/2
= J0
© sentó
/
r
arCtg(2<pcos<p)2^ 1+ y> ^
2
Encontrar el valor de la integral curvilínea
= 2 ^ \ + <p2 dtp
f*/2
/
r
= *1 2W l + V
I — 5----- 5-, a lo largo del arco de curva
c x +y
sumergida en el espacio de tres dimensiones de ecuaciones x = 3at, y = 3a t 2, z = 2a(l + 1 3)
comprendida entre los puntos para los que t = 0 , t = 1 .
Solución
778
Eduardo Espinoza R am os
Sea a ( t ) = {3at, 3at2, 2a(l + f3)), 0 < t < l
a'(t) = (3a,6at,6at2) => || a '( r ) || = 3a-\/l + 4 /2 + 4 r4
| a '(r) 11=30^(1 + 2 /
f
yz
2)2
=3a(l + 2 t 2) como dS =\\a'(t)\\dt => dS = 3a(l + 2t 2)dt
Jt% H 3at2.2a(l + t 3)3a(l + 2í2)
7
5
9a t2 + 9a 2t*
= Jo
*
„ f i( l + f 3)(l + 2 í 2) .
„ i+ l _
= 2 a I -------- ------------ dt = 2 a I ( 2 f - r + 2 — 5
)dt
Jo
t2 + 1
Jo
, 2+i
=
2ú
l 6 t2
2
1
,
*+ 2 f ——ln(r + l) - a r c tg í
/ i - 4 í - í +2- í ta2- “ a *1]
an
= 4a - a ln 2 — —
2
12)
Deducir la fórmula para calcular la integral curvilínea J F(x, y) dS en coordenadas polares
y la línea C viene dado por la ecuación p = p(<p), <Pi < tp <• fp-¿
Solución
Como C: x = p cos <p , y - p sen <p , tpx < tp < tp2
además dS = J p 2 + ( ~ ~ ) 2 dtp = J p 2 + p ' 2 dtp
V
dtp
J F( x, y) dS = \ 1F(pcostp, p sent p p 2 + p ' 1 dtp
14)
Calcular la
integral
curvilínea
f x d x + y d y + zdz
I ---- =----- ;-----=— , donde C es el arco de la curva
Jc x + y +z
x = 2t, y = 2 t+ 1, z = t 2 +t, que une los puntos /} (0,1,0) y P2 (2,3,2).
779
Integrales Curvilíneas o de Linea
Solución
La curva parametrizada esta dada por:
a ( a ) = ( 2 a , 2 a + l , a + a) = (0,1,0)
a ( b ) = (2b, 2b + 1, h +b) = (2,3,2)
f x d x + y d v + z dz
■'c x 2 + v 1 + z 2
a ( / ) = (2/, 2/ + 1, / + 1)
\a = 0
\b= 1
fi 2t.2 + (2i + 1)2 + (r2 + r)(2f + 1)
” ^o
4 í 2 + (2í + 1)2 + ( í 2 + / ) 2
_ fi
2 t3 + 3 /2 + 9 r + 2
d t ~ ^ t 4 + 2 t 3 + 9 t 2 +4t + l dt
= —lnl/4 + 2 r2 + 9 í2 + 4 r+ l| / ‘ = - l n l 7
2 1
'/ o 2
15)
Calcular la integral curvilínea
I
i AB
(jc2 —2jc^)i¿r + (2xy + y 2) d y , donde AB es el arco de. la
parábola y = x 2 que va desde el punto A(1,1) hasta el punto B(2,6).
Y‘
i
Solución
b
/
i
i
*
/
Como C:y = x 2, 1 S x S 2
/
A
se tiene: 1
Jas
\
k jd
\
i
i
i
0
( jc 2
es una curva plana entonces
- 2x y ) d x + ( 2 x y + y 2)dy
= J^ [ jc 2 - 2 jc 3 + ( 2 jc 3 + jc 4 ) 2 jc] í £ c
f2,
2
-
3
,
4
_
5U
f x 3
= J5 (x - 2x +4x +2x ) d x = ( —
X4
4x5
X6
/2
Y +~ 5 ~ +~3 ' i
8
128 64
1 1 4 1
124
1 1219
19
= ( - - 8 + — + — ) - ( - - - + t + - ) = 2 4 - 8 + ---- — = -------- = 40—
3
5
3
3 2 5 3
5
6
30
30
16)
Calcular la integral curvilínea j* y 2dx + z 2dy + x 2d z , donde C es la línea de intersección de
la esfera jc2 + y 2 + z 2 = R 2 y del cilindro jc2 + v2 = Rx ,(R > 0, Z>0), siendo recorrida en el
proceso de integración, en sentido contrario al de las agujas del reloj si se mira desde el
origen de coordenadas.
780
E duardo E spinoza R a m o s
Solución
Sea C:
x +y +z = R
,
, R > 0, Z > 0, la curva de intersección» ahora parametrizanda la
X + y = Rx
R¿
R
x 2 + y 2 = R x => ( x ----- ) 2 + v 2 = -----, dedonde
2
4
curva66tiene:
R R
2 2
R
y = — sen /
R R
eos/
2
2
R
^«ysem
x = — + — COSÍ
2
como x i + y 2 + z 2 = R 2 => z 2 = R 2 - x 2 - y 2 = R 2 - R x
R
2 =s R - R (— + — 0 0 8 1 ) = -=
2
2
R
2
2
^
Sea
A
cosí = /?
A
, 1-cosí
2
,
,
, t
/:
=> z = i? serv — => z = R sen
2 W.
2
(
A
----- >/?3 / a (í) = (— +■—c o s í,— sen/, flsen —), 0 ^ t < 2 n
2 2
2
2
f >
j
2,
f2ltr/?2
2 / R
, „2
2t R
/R R
\2 R
íij
j^)r<tí+z dy+x d z = J0 C-^-sen í(-^-sen í)+ /? sen —,y c o s í+ (—+ —cosí) — -eos—]dt
r2*r[ R 3 sen jí + ----R2sen 2—t .cosf + R2 cos4 /:.
f—.eos—laf
= I
Jo
8
2
2
2
r."
2
ü 3 f2" sen3/
2í
s ', ,
= — I [-----------h sen —. cos i + e o s : J a l
2 Jo
4
2
2
i?3,co sí
=— [
2
4
cos3í
12
/?3;r
sen/ /
2 4
sen2/ „
i 4
3 / 2 __s / / 2,t
+ 2sen
sen —+ —sen
2 / n
8
2 3
2 5
f
J
2 ,
2 ,
2 ,
ebe + z dy + x dz = -
R
n
781
Integrales Curvilíneas o de Linea
arco de la elipse x = cost, y = 3 sen t, t e [0,n]
Solución
—>
->
>R / a ( / ) = (cos/, 3 sen /),
Sea a : [a,ó ]
0 < t< it
J (x y 2,x)dr = J (xy2,x)(dx,dy) = j ^ x y 2dx + xdy
rn
-
f*
= j [cosr.9sen r( -s e n r) + eosí.3eost]dt =
J
"n
%
3
[-9 sen í.cos/ + —(1 + eos2í)lt// =
o
2
i
2
(-9 sen r.cosr + 3cos t)dt
9 - 3 / 3
/jt
sen / + — v — s e n 2 /) /
4
2 4
/ o
3n
3n
» (0 + — + 0 ) - 0 - —
18)
f xdv+vdx
Calcúlese J — j ——— siendo C la parte del eje X comprendido entre +oo y el punto
r
jc
+v
2
2
2
(a,0),mas el arco del círculo jc + y = a sobre el primer, segundo y tercer cuadrante, desde
(a,0) hasta (0,-a), más la parte del eje Y comprendida entre (0,-a) y + ».
Eduardo E spinoza R a m o s
782
Solución
Trazando la trayectoria sobre el cual se realiza la
integración.
Como C = C, u C 2 u C , , por lo tanto la integral
expresamos.
J
xdv + ydx
rc
f
xdy + ydx
f
x ddv
y + v dx
jc
2
2 = J.~
2
2 + J,~
2
x +v
r, x +y
C,
~2 x +
J
xdv+ydx
c3 x + y ~
( 1)
-v
ahora parametrizando cada una de las curvas:
f xdy + ydx
Jc
C^. a¡(t) = (a —t, 0) , - x < t < 0
fo ((a - t ) ( 0) + 0 )dt
x 2 + y 2 ~ J-
( 2)
(a-t)2
3n
C2: a 2 (/) = (<? eos/,¿/sen/) , 0 < t < —^~
J
xdy+ydx
V
jc2 + v 2
J i f a co sí.a cosí + a sen t ( - a sen í)
a 1 eos2 t + a 2 sen2 /
=
dt
fJy
2
7
pr
,
sen 2 /
(cos / - s e n ' t)dt = I cos2/ dt =
/ =0
o
Jo
2
' 0
-*
C , : a 3(/) = (0 ./) , - a < t < x
f xdv+vdx
fof 0 + 0
=> J
'
=J
T dt = 0
c, x + v
~a o + t
}Í
... (3)
... (4)
x dav+
v + vff.
vdx
— 1— ~ — = 0
c x +v~
19)
t - vdv
VuV
fI xX dU xX +
Calcular la integral curvilínea JJ,. ■i.
~- ^ = en el sentido de las agujas del reloj a lo largo
c\ j l + x 2 + y 2
del cuarto de la elipse
x“
v
a¿
/r
= 1* que se encuentra en el primer cuadrante.
783
Integrales Curvilíneas o de Linea
Solución
Se observa que la expresión
xdx+ydy
es la diferencial total de la función
J l + x 2+ y2
f(x,y)=Jl+x2 +y2
íc -Jl+x2
x d X + y d y = f( ' d f ( x . y ) = f(x,y)
*= f(a, ) - f( ,b) = J l + a 2 - y j l + b 2
+y2
(bfi)
(W
0
20)
Hallarla integral de linea
C: x = 2 - 2t , y =
-1
f 2x
y 2 - 3x2
jdx+ 3
0
dy, siendo
+ 4 t , t e [0,1]
Solución
Sea a : [0,l]
Sea
>R2 ! a { t ) = ( 2 - 2 / , - 1 + 4 / ) , p arat = 0, A (2,-I); t = 1, B(0,3)
P{x,y) = ^
v
Q(x,.v) =
v2-3 x2
dP(x,y)
6 jc
dy
y4
dQ(x,y)
dx
6x
dP(x,v) dQ(x, y)
como ----------- = ------------ es una diferencial exacta
dx
dv
entonces 3 f(x,y) tal que
dx
^ = P(x, y) y
dy
^ = Q(x, y)
df(x,y)
2x .
Si ----------- = P(x, v) = —r-, integrando respecto a x.
dx
'
v
r 2jc
jt
í ( x , y ) = \ —r d x + g ( v) = —r + g ( y ) , denvando respecto a y
y
' y
784
Eduardo Espinoza R am os
d f í x vi
dv
3jc
1 3x
- - 1 ~r + g ' (y ) = Q ( ^ y ) - T - :Lr
y4
y
y
1
1
=> S ’OO— T => S(>Ó = — dedonde
>
*
JC2 1
f(x,y) = — —
y
y
f 2x
v2- 3 x 2
1(03)
fco.3)
V 7 ‘f c + i * 7 — * ' * ‘a , „ ‘¡ f u -y>" n *-y ) l « . - „
= /(0,3) - f ( 2 -1) = (0 - -J) - ( - 4 + r> — y + 3 = |
y 2 - 3x2
21)
Calcular la integral curvilínea
J
8
(2 x y 2 + 2x3 + 3)d x + (3x2víi —v3 +1 )dy , cuando C es el arco
de la cicloide x = t - sen t , y = 1 - eos t , t e [0,2ji]
Solución
Sea a: [0,2jr]—r ~ * R 2 / « ( O = ( f - s e n t , l - c o s / ) , t = 0^ AÍ0,0)rr t = 2n. B(2n.0)
í
dP(x,y)
\ P ( x , y ) = 2 xy3 + 2 x 3 +3
dy:
\ Q(x ,y) = 3x2y 2 - y * +1
=
como
dv
m x ' y ) =p {Xin y
dx
dx
= 6xy*
dQ (*,y)
= 6x y 1
dx
y ) es una diferencial exacta => 3 ítx,y) tal que:
dv
Si1 d f { x ' y ) = P ( x , y ) = 2xy* + 2x? + 3 * im eg¿ndo respecto a x.
dx
785
Integrales Curvilíneas o de Linea
4
3
3
2 3 *
Í (2xy + 2x + 3 )dx + g (y ) = x y +— +3x+ g(y), derivando respecto a y.
= 3x 2y 2 + g'(y) = Q(x,y) = 3x2y 2 - y 3 +1 => g' (y) = - y 3 + 1 => g(y) = - ^ + y
^ ^ ■
f ( x , y ) = x 2y 3 + — + 3 x - — + y
¡c (2xy3 + 2 x 3 + 3)dx + (3x2y 2 - y 3 + 1)dy =
’d f ( x , y ) = f ( x , y ) /
(2n.O )
( 0.0)
= f { 2 n ,0) - f (0,0) = %n* + 6n
J (2x y 3 + 2 x 3 +3)dx + (3x2y 2 - y 3 +\)dy = 8n4 +6n
J *(1.0)
(xe* eos y - ye* sen y)dy + (xe* sen y + ye* eos y)dx
22 )
(0r|)
Solución
Veremos si es una diferencial exacta
d P
I
P(x, y ) = xe* sen y + ye* eos y
Q(x, y ) = xe* eos y - ye* sen y
como
X
X
sen y
dQ
■xe eos y + e eos y —y e sen y
dx
dP(x,y) d O( x , y )
.. „ . ^ .
— = ———— es una diferencial exacta, entonces existe una función fíx,y) tal
dy
dx
dx
Si
X
— = xe eos y + e eos y - y e
dy
dx
dv
^ = p ( x , y) = xe* sen y + ye* eos y , integrando respecto a x.
f (x, y) = j" (xe* sen y + ye* coa y)dx + g ( y ) = xe* sen y - e * sen y + ye* eos y + g(y)
786
Eduardo E spinoza R a m o s
derivando respecto a y.
dy
^ = xex eos v - ex eos y + er eos y - ye* sen y + g ' (y ) = £?(*, y)
xex eos y —ye* sen y + g' (y ) = xex eos y - ye* sen y , de donde
g '(y) = o => g ( y ) = c
por lo tanto f ( x , y ) = xe* sen y —e x seny + ye* cosy
(xe* eos y - ye* sen y)dy + (xe* sen y + ye* eos y)dx =
d ( f ( x , y))
f { x , y ) = /(1,0) -/(O , j ) - (0 - 0 + 0) - (0 -1 + 0) = 1
(xe* eos y - ye* sen y)dy + (xe* sen y + ve* eos y)dx =
1
( 0 ,f )
23)
Calcular la integral curvilínea
Solución
dP(x ,y) _ y 2 - x
dy
2
-4 x y
(x 2 + y 2 ) 2
dQ(x,y) _ y 2 - x 2 - 4 xy
dx
como
dP (x.y)
dy
d g (x .y )
dx
( x 2 + y 2)
es una diferencial exacta, entonces existe una función f(x,y), tal
2x —y
si d f ( x , y ) = Pfx, y) = —
5—
, integrando respecto a x.
dx
x +y
787
Integrales Curvilíneas o de Linea
I* 2x - y
1 2
f ( x , v ) = J —i----- j d x + g i v ) = ln(x + v ) - arctg—+ g(y) derivando respecto a y se tiene:
x +y
y
df(x,y)
2y
dy
x2+ y2
x 2+ y 2
+ g '(y ) = Q (*,y) =
2y + x
g'(>') = 0 => g (y ) = c
x 2+y 2
por lo tanto: f ( x , y ) = ln(x2 + y 2) - arctg—
y
f ( 2 .3 ) 2
x-y
2y + x
f ( 2 ,3 )
/( 2 ,3 )
J —— i dx+~ — i dy = J
df ( x>y) =f ( x>y)l
04) x + y
x 2+ y 2
J04)
' 04)
= / ( 2 , 3 ) - / ( l , l ) = ln -^ -a rc tg -j+ -^ (*(2.3) 2 x - y
2y + x
13
2 n
I —^----- ■rdx+~^¡----- irdy = ln----- arctg—+ —
04) x 2 + y 2
x 2+ y 2 y
2
3 4
24)
f0.2)
Calcular J
(2xy +
y
l+x
,
2
,
+sen tt y)dx + {x + arctgx + n x sen 2n y)áy
Solución
V
2
/>(x, y) = 2xy + ------ + sen ny
l +x 2
Q(x, y) = x 2 + arctg x + nx sen 2ny
como — =
dv
dx
dp = 2x + -----1 + 2n sen n y cos ny
—
dy
l+ x 2
dQ = 2x +
dx
i - + nsen27iy
1+ x
es una diferencial exacta, entonces 3 ffx.y) tal que:
dx
dy
Si
dx
^ = P(x, y) = 2xy + —
+ sen 2 n y , integrando respecto a x.
l+ x2
f i * , y ) = J (2xy+ — ^ -y + s e n 2 n y)dx + g(y) = x 2y+ varctgx + xsen2 n y + g(y)
l+ x
derivando respecto a y se tiene:
788
Eduardo E spinoza R a m o s
= x 2 arctg x + 2 x n sen ny cos ny + g ' ( y ) = Q(x, y)
dy
x 2 + arctgx + x sen2ny + g '(y) = x 2 + arctgx + x sen 2n y => g'(.v) = 0 => g (y ) = c
por lo tanto f ( x , y ) = x 2y + yarctgx + xsen2 n y
f(i,2)
J
(0 ,0 )
y
,
2
f(U)
(2 xy +------ j-+ sen n y)dx + (x + arctg x + x sen 2it y)dy = J
d(f(x,y))
1+ x
(0,0)
<1.2}
_
_
71
= / ( Jr^ ) / í00 = / ( U ) - / ( 0 . 0 ) = (2 + 2arctgl + 0) = 2 + y =
(0,0)
J
2
71+ 4
2
n +4
f(U)
I
(2xv+ y ^-+sen i n y)dx + (x i + arctg x + x sen 2jiy)dy =
(0,0)
25)
'
1+ x
Evaluar la integral J (2xy3 - y 2 cos x)dx + (1 —2y sen x + 3x 2y 2 )dy donde C es la parábola
2x = n y
2
n
desde el punto (0,0) hasta (— ,1)
Solución
IP(x ,y) = 2xy3 - y 2 cosx
[ q ( x , v)
= 1- 2y sen x + 3x 2y 2
dp = 6xy
c 2 - 2„ v eos x
—
dy
dQ = —2 v cosx + 6xv
c 2
dx
dP dQ
. ve
■i
c/
i
como — = —— es una diferencial exacta, entonces 3 f(x,y) tal que:
dy
dx
y £ £dyü -e(x .y )
dx
Si
dx
^ = P(x , y ) = 2x y3 - y 2 c o s x , integrando respecto a x.
f (x, y ) = J (2xy 3 - y 2 cos x)d x + g ( y ) = x 2y 3 - y 2 sen(x) + g (y ), derivando respecto a y
789
Integrales Curvilíneas o de Linea
^ = 3x 2y 2 - 2 v se n x + g ' (y) = Q(x,y) = l - 2 y sen x + 3x 2y 2, . de donde
dy
g' (y ) = 1 => g(y) - y
por lo tanto f ( x , y) = x 2y 3 - y 2 sen x + y
(2jrv3- v 2 cosx)<£c + (l- 2 v s e n x + 3 x 2v2)dv= I z d ( f ( x , y ) )
*/n
m
(0,0)
íc (2a^
26)
n~ 2
n
7r
7T
- )■' cosx)d;c + ( l- 2 y s e n x + 3x y )dy = -
Calcular la integral de línea J (2x + y - z ) d x + ( x - 2 y + 2 z + 3)dy + ( 2 y - x + 4 z —2)dz,
donde C es un arco arbitrario de (0,2,-1) a (1,-2,4)
Solución
Como el arco es arbitrario, comprobaremos que es una diferencial exacta
dP =
dy
P = 2x + y - z
■Q= x - 2 y + 2 z + l
=t
dx
dR_,
dx
R * 2y-z±'4z-i3
como
dP
dQ
dP
dR
dQ _ dR
dy
dx
dz
dx
dz
SP
’ dz
,
dz
SR_j
dy
dy
por 16 tanto es independiente de la trayectoria. Como es una diferencial exacta, eptones
3f ,« » _ *
que m
M
dx
d f (x, y, z)
= P{x, y , z) = 2x + y - z ,
dx
=A w ) .z
^
dy
a w
integrando respecto a x,
) ' S < ^ R lx, y , z ) ,
dz
Eduardo Espinoza R am os
790
f ( x , y , z ) = j ( 2 x + y - z ) + g{y, z) = x 2 + xy - xz + g(y, z)
... (1)
ahora derivando con respecto a y se tiene: — ^ — = x + g'y (y, z) = Q(x, y ) = x - 2 y + 2z + 3
dy
g ’y (y,z) = - 2 y + 2 z + 3, integrando respecto a y
g ( y , z ) = j ( - 2 v + 2z + 3)dy + fi(z)
—(2)
= - y 2 +2y z + 3 y+h(z )
reemplazando (2) en (1) se tiene:
/ ( jc .
y, z)
=
x 2 + xy - x z - y 2 + 2y z + 3 y +h(z) , d e r i v a n d o
a z
^ ^ x. 'Xl zX - _ x + 2 v + 0 + h'(z) = R(x, v,z) = 2 v --c + 4 z - 2 , de donde
dz
h'{z) = 4 z - 2
=> h(z) = 2 z 2 —2z
por lo tanto / (x ,y , z ) = x 2 +x y —x z - y 2 + 2y z + 2z2 - 2z + 3y
f
( * ( 1 ,2 ,4 )
I (2x + v - z)dx + ( x - 2 y + 2z + 3)dv + (2y - x + 4z - 2)dz = I d ( f ( x , y , z ))
Jc
«1(0.2.—
1)
= / U , y , z ) / ; ^ ; = / ( 1 - 2 , 4 ) - / ( 0 , 2,-1)
= (1 . 2 - 4 - 4 -1 6 +
32
- 8) - (0 + 0 - 0 - 4 - 2 +
2
+ 2)= -1 + 2 = 1
}7.9
Ej erckios Propuestosj
1)
Calcular la integral curvilínea j" (x2 + y 2 ) d S , donde C es la curva x = a(cos t+1 sen t),
y = a (sent - 1 eos t ) , 0 < t < 2 n
2)
Calcular la integral
curvilínea
x 2 + y 2 + z 2 = a 2, x = y.
Rpta. 27r2a 3(l + 2 ^ 2)
J -\¡2y2 + z 2dS , donde C es la circunferencia
R pta. 2m 2
791
Integrales Curvilíneas o de Linea
3)
Calcular la integral de línea J (x2 + y 2 + z 2) d S , donde C recorre una sola vez la intersección
de la esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4, con el plano z = 1.
R pta. 8-v/3rr
4)
Calcular J x 2y z d S , donde C recorre la intersección de los planos coordenados con el plano
2x + y + z = 1.
5)
Rpta. 0
Determine J (x2 + y 2) d S , donde C es la semi circunferencia formada por el eje X y la mitad
superior de la circunferencia x 1 + y 2 = 4.
R pta. 87T
6)
Calcular J x y z d S , donde C es la parte de la recta x + y + z = l , y = z que se encuentra en
el primer octante.
7)
Rpta.
V6 '
Calcular la integral curvilínea J r d S siendo r el radio vector.
a)
A lo largo de una vuelta completa de la hélice cónica de ecuaciones paramétricas.
x = a t eos t , y = a t sen t , z = c t
b)
A lo largo de la recta x = a t , z = c t
Rpta. a)
8)
■Ja2 +
3a
j— [(a 2 + c 2 +47T2a 2) 3/2- ( a 2 + c 2) 3/2],
Calcular la integral curvilínea
b)
2 ;r2( a 2 + c 2)
J (x2 + v2)2dS, donde C es el arco de la espiral logarítmica
r = aem6 (m > 0) desde el punto A(0,a) hasta el punto B(-oo,0),
a s J \ + r~2
R pta. a Vl + m (e4m,r - e 2m” )
4m
792
9)
Eduardo E spinoza R am os
Calcular la integral curvilínea a lo largo de la curva en el espacio J" (x2 + y 2 + z 2)dS, donde
C es la parte de la hélice circular x = a eos t , y = a sen t , z = b t, 0 < t < 2n
Rpta. ^ - ( 3 a 2 + 4 7 r V ) V a 2 + 6 2
10)
Calcular
la
integral
J zdS,
curvilínea
donde
C
es
el
arco
de
la
curva
x 2 + y 2 = z 2; y 2 —ax desde el punto 0(0,0,0) hasta A(a,a,a-Jl).
Rpta.
11)
25+4V38
100V38 —7 2 -1 7 ln(------—^--- )
17
25&J2
Calcular la integral curvilínea J x 2d S , donde C es la circunferencia x 2 + y 2 + z 2 = a 2.
Rpta.
x + y + z = 0.
12)
Calcular la integral curvilínea
J (x4/3 + vA n ) d S , donde C es el arco de la astroide
Rpta. 4a 7/3
x 2/3 + y 2/3 = a 2'3
13)
2 na3
Calcular la integral curvilínea J -Jx2 + y 2dS , donde C es la circunferencia x 2 + v 2 = ax.
Rpta. -jl,a2
14)
Calcular la integral curvilínea
( x 2 + y 2) 2 = a 2( x 2 - y 2) .
15)
J
donde C es el arco de la Lemniscota
Rpta. 2 a2(2 -V 2 )
Calcular í (x2 + y 2)dS a lo largo de los caminos indicados.
Jc
a)
El triángulo con vértice (0,0), (0,1) y (1,1) recorrido en sentido contrario al de las agujas
del reloj.
793
Integrales Curvilíneas o de Linea
b) El circulo x 1 + y 2 = 1 desde (1,0) a (0,1) recorrido en sentido contrario al de las agujas
del reloj.
16)
Rpta. a)
b) —
Calcular J y 2dS, donde C: a(r) = (c(í-sení), e(l-cos/)), 0 < t < 2 n
Rpta.
17)
+
256c3
15
Calcular J x y d S , donde C es el contorno del cuadrado |x| + |_y| = 2.
Rpta. 0
18)
Calcular J -Jx2 + y 2 d S ,
donde C es el arco de
laenvolvente
de lacircunferencia
x = a (eos t + t sen t), y = a (sent - 1 eos t ) , 0 < t < 2n
Rpta. - y [ ( l + 47r2) 3/2- l ]
19)
Calcular la integral curvilínea
situada en el primer cuadrante.
20)
Rpta.
ab(a2 +ab + b 2)
3(a + b)
Evaluar la integral curvilínea J (x2 + x y )d x+ ( y2 - x y ) d y , donde C es dado por x 2 = 2y del
origen al punto (2,2).
21)
f
x2 y2
x y d S , donde C es lacuarta parte dela elipse -^r + ^¡- = 1
JC
/7a L h¿
b¿
62
Rpta. —
Evalúe la integral de línea J y x 2dx + ( x+ y ) d y , donde la curva C es dado por y = - x 3 del
794
Eduardo E spinoza R am os
22)
Calcular la integral curvilínea J y 2dx - x d y , donde C es la curva y 2 = 4 x desde A(0,0)
4
Rpta. —
hasta B( 1,2).
23)
j* (x2 -
Calcular la integral curvilínea
,
1
5
V = 4 x - l d e A(— ,0) h a sta B(— ,2)
4
24)
4
Calcular la integral curvilínea J
2y)dx + (2x + v2) dv, donde C es el arco de
143
Rpta. ——
F
48
y z d x + x z d y + x y d z , donde
C es una arco de la hélice
at
x = R cos t , y = R sen t , z = —— desde el punto de intersección de la héüce con el plano
2n
z = 0 hasta el punto de intersección con el plano z = a.
R pta. 0
25)
Encontrar la integral curvilínea J ( x 2 + y 2)dx + x y d y , si el camino que une A (l,l) y B(3,4)
1
Rpta. 11—
es un segmento de recta.
26)
6
Calcular la integral curvilínea I (x + v)dx + ( x - y ) d y .
Jc
a)
A lo largo de los segmentos OA y OB donde 0(0,0), A (2,0), B(2,l).
b)
A lo largo del segmento OB.
R pta. a)
27)
Calcular la integral curvilínea
11
y ,
j* y d x - ( y + x 2 ) d y , si C
7
b) -
es el arco de la
y = 2 x - x 2 situada sobre el eje X y recorrida en el sentido de las agujas del reloj.
R pta. 4
parábola
795
Integrales Curvilíneas o de Linea
f {x + y ) d x - (x - y ) d y
28)
Calcular el valor de la integral de línea dado por: J ---------- ¿----- 2 --------- donde C es la
c
x +y
circunferencia x 2 + y 2 = a 2, recorrida en sentido contrario al de las agujas del reloj.
R pta. -2n
29)
Calcular la integral curvilínea j" (x - y ) 2 dx
donde 0 (0 ,0 ), A(2,0) y B(4,2)
30)
Jc
R pta. —
2
Calcular la integral curvilínea
y =x
32)
136
Rpta. ——
Evaluar I x v d x + x 1dy , alrededor del cuadrado con vértices (0,0) , (1,0) , (1,1) y (0,1) en
ese orden
31)
+(x +y ) 2 d y , si C es una linea quebrada OAB
2
(-1 < x < 1)
Calcular
y zd x + xydy + x zd z
J ( x 2 - 2 x y ) d x + ( v 2 - 2 x y ) d v , donde C es
la parábola
>4
R p ta .- —
entre los puntos, A(0,0,0) y B( 1,1,1)
a lo largo de los
siguientes cam inos.
a)
La curva C: x - y , z = 0 desde A hasta (1,1,0) y la recta L: x = l a y = l desde
(1,1,0) hasta B.
b)
33)
Siguiendo el segmento rectilíneo AB. R pta.
Calcular la integral curvilínea
a)
—,
4
b) 1
J ( x 2 + y 2)dx + ( x 2 - y 2) d y , donde C es la curva
796
E duardo E spinoza R am os
2
Í
2
x
y
(x + y)dx + (x - y ) d y , donde C es la elipse — + — = 1,
:
a
b
recorrida en sentido contrario al de las agujas del reloj.
R pta. 0
35)
Calcular la integral curvilínea
f dx + dv
®
- , donde C es el contomo del cuadrado ABCD
Je
siendo A (1,0), B(0,1) , C(-1,0) , D(0,-1)
36)
Calcular la integral curvilínea
2
Rpta. 0
j" x 2yd x - x 2d y ,
si C es el contomo limitado por las
2
parábolas y = x , x = y , recorrido en sentido inverso a las agujas del reloj.
12
Rpta. —
35
37)
Calcular la integral curvilínea
| 3xydx + (x y 1 + y)dy , donde C es el arco de la curva
Je
x —y 4 = O desde (1,1) a (0,0).
38)
R p t a . ------
42
Calcular j" ( x 2 —yz)dx + ( y 2 —xz ) dy - xydz , donde C es la curva dada por las ecuaciones
r2
f4
11
x = t, v = — , z = — desde A(0,0,0) a B {\,— ).
2
2
2 2
1
R pta. —
8
39)
Calcular el valor de la integral curvilínea
,
,
y +2x - 2Rx = 0.
40)
Calcular
directo.
j" xydx + ( x 2 - y 2)dy ,
i vx1 dx + y d y , siendo C la curva de ecuación
Je'
5n R 4J 2
Rpta.--------------
64
a lo largo de la elipse jc2 + 2y2=4 recorrida en sentido
R pta. 0
797
Integrales Curvilíneas o de Linea
2
2
2
Í (jc - 2y)dx + (2jc + y ) d y , donde C es el arco de la parábola y = 4 jc - 1, desde
1
5
( - ,0 ) a ( - ,2 ) .
4
4
42)
R pta. 7.98
Calcular j" ydx + ( jc2 + y 2)dy , donde C es el arco de la circunferencia y = V 4 - V de (-2,0)
a (0,2).
43)
Calcular
Rpta.
í
Jc
x 2d y , a lo largo de la curva
y
= jc 3
ji +
8
- 3 x 2 + 2 x desde (0,0) a (2,0).
8
R pta. —
15
2
Í (y-x)<£r + x yúfy, a lo largo de la curva
2
3
y = x , desde (1,-1) a (1,1).
4
Rpta. —
45)
Calcular
IJcf—■I ■
'dx +—r ^ ^ =I
2 2
V
x\ x -y
(5,4).
46)
dv
donde C es el arco de la curva x —v
2
2
\ x -y
=9*de (3,0) a
2
2
,
4
R pta. arcsen—
Calcular la integral J ( y - z ) d x + ( z - x ) d y + ( x - y ) d z , donde C es una espira de la hélice
circular x = a eos t , y = a sen t , z = b t, correspondiente a la variación del parámetro t,
desde 0 hasta 2it.
47)
R pta. -2na(a + b)
Calcular la integralydx + zdy + x d z , donde C es la circunferencia x = R eos a - eos t,
y = R eos a . sen t ,z = R sen a ( a = constante) recorrido en el sentido del crecimiento del
parámetro.
R pta. —n R 2 eos2 a
798
48)
Eduardo Espinoza R am os
Calcular la integral curvilínea <£
2
—x ^y) ^ (jon(je C es el lazo derecho de la Lemniscota
2
r —a c o s2 0 , que sigue en el sentido contrario de las agujas del reloj.
Rpta. 0
49)
Hallar j" ydx+ z d y + x d z , donde C es la intersección de las superficies x + y = 2 ,
x 1 + y 2 + z 2 = 2(x + y ) . La curva es recorrida de tal manera que mirando desde el origen el
sentido es el de las agujas del reloj
50)
Rpta. - 2 - J l n
f ’
-»
*
—x
Calcular J F ( x , y , z ) . d r , donde F ( x , y , z ) =
*
y -»
i ---------- j
z
II r II3
II r ||3
r II3
2
2
2
k , donde C es la
2
2
curva de intersección de la superficie esférica x + v +z = 4 y e l cilindro x +2 y = 4 ,
recorrida de manera que, mirando desde el eje Z *, el sentido es antihorario.
Rpta.
0
J
x y
xdy , donde C es un segmento de recta —h— = 1, desde el punto de intersección
c
a b
con el eje de abscisa hasta el punto de intersección con el eje de ordenada.
ab
R pta. —
2
52)
f
->
Calcular la integral de línea I F ( x , y , z ) .d r , donde F ( x , y , z ) = (x y, y, z) y la curva C está
c
formada por las intersecciones de las superficies S^. x 2 + y 2 = 9 con S2: * 2 + y 2 + 2 2 = 6jc
2 2
\nz y
y S y x + y = 9 con S3: jc = J — + - ^ - , de manera que si se observa desde el origen de
coordenadas el sentido es antihorario.
R pta. 0
53)
f —
)
—9
—
>
Calcular J F ( x , y , z ) . d r , si F( x , y , z ) = ( y , - z , x ) , donde C es la curva definida por las
c
x +y 2
2
2
ecuaciones ---------- + z = a , y = x, en sentido horario vista desde el eje z positivo.
O
799
Integrales Curvilíneas o de Linea
54)
Calcular la integral curvilínea \ x e y dx + ( - y - —y - x 2y e y )dy siendo el contorno del
c
x +y
cuadrado de lado 2a determinado por las desigualdades |jc| < <3 y |_y| < a
Rpta. 0
55)
Calcular
F (x , y ) -
la
integral
de
línea
de
la
función
-v
jc—1
t"----------, — 5----- 5-----------) a lo largo de la curva cerrada formada por las
x +y - 2 x + l x +y - 2x+l
(— 5
partes de las rectas x + y + 2 = 0 , x - y + 2 = 0 y la parábola x + y
Evaluar j" (ey
4
R pta. 4 - 2e - (—)
n
Hallar la integral curvilínea j* ( x 2, -xy)(dx, dy) sobre la parábola y = x 2 desde (1,-1)
hasta (1,1)
58)
= 4 , recorrida en
sen nx).(dx,dy) donde C es el triángulo de vértices (1,0), (0,1), (-1,0)
recorrido en sentido antihorario.
57)
2
R pta. -2n
sentido horario.
56)
vectorial
Rpta. 0
f
1
Hallarla integral curvilínea J
-----^-(-y, x)(dx,dy) alrededor del circulo de radio a > 0,
c x +y
§
a-Jl a
en sentido antihorario desde (a,0) hasta (------ ,—) centro en (0,0).
2
2
n
Rpta. —
6
59)
Hallar la integral curvilínea j" x 2dx + x y d y , donde C es el camino cerrado formado por el
segmento de la parábola y = x 2 entre (0,0) y (1,1) y el segmento de recta desde (1,1) hasta
800
E duardo E spinoza R am os
2 J
2
Í x y dx + xy d y , donde C es el camino cerrado, formado por la recta
2
x = 1 y la parábola y = x (antihorario)
61)
Hallar
la
integral
2
-»
de
2
16
Rpta. —
línea
del
campo
2
2
vectorial
dado
por:
3
F ( x , y , z ) = ( 2 x 2ex seny + e x seny , x e x c o s y - 2 y 2z, — — ) a lo largo de C, la poligonal
que une los puntos: A(0,0,9), B(ln 2, - ji, 6 ), C(ln 3, ji, -3) y D(ln e, 2n, 1) desde A hasta D.
3
ÍÓTT*
Rpta.
62)
Calcular la integral J
x 2dy + y 2dz + z2dx
3
donde C es el arco
x 2 - 2yz = 0, y + z -
entre los puntos A(0,0,1) y B(0,1,0).
63)
64)
Evaluar la integral
z = t 2-
1 ,0 £ t £ l .
Evaluar
J
J
(2xy-z)dx+yzdy + x d z ,
x = t 2, y = 2 t3,
R pta. —
V
14
x y d x + ^ d y , donde C es el arco de la curva y + 2 = \x+2\, desde el punto (0,0) al
punto (-4,0)
65)
donde C es la curva
Rpta. 2e
x(
c x +z
Calcular la integral f
dx+y(
7 ^ ,
y +z
.
-
) V2dy + z(
2e
,4 0
——
2 x +z
,
) V2dz, donde C. está
en el primer ociante y es la curva de intersección del plano x = y con el cilindro 2 x Z+ z2 = 1,
recorrida en el sentido antihorario.
66)
R pta. 85
F (x,y ,z) = (x 2 ,y 2 ,z 2 + y)
Hallar el valor de la integral curvilínea de la función
según la
curva C: of(r) = (ln(r + 2), se n -^ -, r2 + -j) desde el punto A del plano x = O al punto B d e l'
2
plano z = —; A, B pertenecen a C.
1
3
10
8
R pta. —ln (2) ——+ —
801
Integrales Curvilíneas o de L inea
67)
Evaluar la integral curvilínea
J (2xy2 - y i )dx + (2x1y - 3 x y 2 +2)dy
a B(l,2).
68)
R pta. -4
f
1
Calcular J ( 2 y ~ — +
c
x
c o s 3 jc ) í /_v +
y
(—
-4
jc
í
- 3 y s e n 3 x ) d x donde C va de (0,2) a (1,0)
x
2
V2
siguiendo el camino x + - ^ - = 1 .
69)
desde A(-3,-l)
R pta.
+ *>
Calcular la integral curvilíneas siguientes.
2,3)
vdx + xdv
Í.-1,-1)'
'
Rpta. 5
Ííl.l)(x + y)(dx + dy) R pta. 2
f(2,l)
b) I
(0,2)
f(6,4,8)
d) J
2
2 x v d x + x dy
R pta. 4
xdx +y d y - z d z
R pta. -20
e)
f(2Mydx —x d v
I
z— — (por un camino que no corta al eje x)
(1 .2 )
y¿
3
R pta. —
I)
y 2'yi)<p(x)dx+y/(y)dy
(*i.yi)
y>
Rpta. j 2 <p(x)dx+]
2
v(y)dy
Íl5,i2)xdx+ydy
----- — (e^ origen de coordenadas no se halla en el contomo de integración)
—
i3-4)
2
2
x +y
13
R pta. ln(— )
f<3’°> (x 4+ 4 xy 3)dx+ (6x 2y 2- 5 y 4)dy
h)
J
I)
f(3,i) (x + 2y) dx + v dv
J
---------------j------ (el camino de integración no se corta con la recta y = -x)
'( U )
Rpta. 60
( jc+ v )
Rpta. ( ^ + ln 2)2
802
Eduardo Espinozja R am os
70)
J)
f(U)
x
y
r—
J m(—
j + y ) d x + { ■+x)dy Rpta. 1+ V2
(0 .0 ) x 2 + y 2
-Jx2 + y 2
k)
J
o
J
'(0,0,0)
yzdx+xzdy+xydz
f(3.4.5)jcí£c + y d y + z d z
f, ,2 , 2, ", V2
Evaluar J
y x
( 0 ,0 . 0 )
+ V
R pta. abe -1
i—
R p a .5 j2
+Z
ye** eoszdx+xe** e o s zd y -e ™ senzdz
R pta. - e 2 - 1
f l + _y
y +x
Evaluar J — 5—d x ------^— d y , donde
71)
a)
C: desde (1,0) hasta (5,2) cualquier curva.
8
Rpta. —
b)
C: desde (-3,0) hasta (-1,4) cualquier curva.
148
Rpta. — —
1"
72)
Evaluar J e x sen y d x —e x eos y d y , donde C es
2
2
71
2
71
a)--- La porción x + y = -----, con x > 0, orientada de tal manera que parte de (0,—— )
n
termina en (0,—)
2
b)
2
y
R pta. 2
2
2
La porción x +_y = 4 rr , con x < 0 ,
orientada de tal manera que va de ( 0 , -2n) a
(0,2n).
Rpta. 0
803
Integrales Curvilíneas o de Linea
73)
Evaluar las integrales de línea
,
n
tg x d x + x sec ydy , de A(-2,0) a fi(4,— )
c
4
J
b)
74)
f
2x
2x
I
x-dx+
T ^ y , de A(0,2) aB (l,0 )
c (x y + l)
(xy + 1 )
R pta. 4
R pta. 0
Calcular la integral curvilínea de la función vectorial
-»
1 Z
1 Z “* 1 X
F ( x , y , z ) = (------- 5-) <+ (—+ —5-) / - ( —+ —y ) k donde C es cualquier curva de (1,2,-1) al
z x
x y
y z
punto (2 ,- 1 ,-2 )
75)
Evaluar las integrales de línea.
a)
C
2
2
2
I (tg V + 2xy sec z)dx+ (x sec y + x sec z)dy + sec z(x y t g z - sec z)dz
Je
de
^
A( 2,— ,0)
4
al punto B(3, n, 7t).
b)
J
( 2 x c o s y - 3 ) d x - ( x 2 sen y + z 2) d y - (2y z - 2 ) d z de A(-l,0,3) al punto B (l,n, 0 )
Rpta. -14
c)
d)
f ( 2 —8xz2)dx + (6xy2 + \)dy - (%x2z + 3 z 2) d z , desde A(2,0,0) hasta B(3,2,l)
Jr
i (ex sen y + yz)dx + (ex cos y + z sen y + xz)dy + ( x y - cos y)dz
Je
B(0,n,3).
Rpta. 4
f
e)
desde A (2,0,l) hasta
2
2
J ( 2 x \ n y z - 5 y e x ) d x - { 5 e * - — )d y +( — +2z)dz, desde A(2 , 1 , 1 ) hasta B (3,l,e)
c
Í
y
xdx
vd y
z
z dz
2----- 2----- 2 + ~ 2 ----- 2----- 2 + ~ 2 ----- 2-----2 ’ desde
£ x +y +z
x +y +z
x + y +z
hasta B(l,2,3).
804
Eduardo E spinoza Ram os
1
V
Í “c jc( y 2'í + z ¿ )
j/2
-
.
dx, desde (0,0,1) a (— , — ,0) a lo largo de la curva (en el
2
2
2
2
primer optante) de intersección del plano x = y , y el cilindro 2y + z =1
1
Rpta. —
4
77)
Calcular las integrales curvilíneas
a)
j ^ ( x 2 + 2y)dx + (y —x ) d y , donde C es la frontera de la región limitada por las gráficas
de x = 0, y = 0, 2 y = ( x - 4 ) 2, 2y = x + 2
b)
f(2.1.4)
2
x
I
ln x. dx + x dy-i— dz a lo largo de la curva de intersección de las superficies
(1.0.1)
z
y = x - l , z = x 2.
78)
Rpta. 2 (ln 2 + ^ )
Calcular la integral curvilínea
[ye** (eos xy - sen xy) + eos x]dx+ [ x e ^ (eos xy - sen xy) + sen y ]d y, donde C es una arco
arbitrario de (0,0) a (3,-2).
79)
R pta. e 6 co s6 + se n 3 -co s2
á
f 2yíx
Calcular J^(------ Y + 3)dx+(2y \n{\ + x 2) - 2 ) d y , donde C es cualquier arco de curva que une
'c'l+ x2
los puntos (0,2) a (5,1).
80)
Evaluar j" (x2 + y 2)dx + 2xydy donde C es el arco de la parábola entre (0,0) y (1,1). La
parábola tiene su vértice en (0,0) y el eje focal es el eje y.
81)
Calcular el valor de la integral ji (x2 + 3 v + 5z)dx + (3jc - 4 z + y)dy + (5x—4 y + z 2)dz donde
C es la curva de intersección de las superficies x 2 + y 2 = z2, z = 3,
805
Integrales Curvilíneas o de Linea
82)
j" (3.v2 - 3 yz+ 2xz)d\+ (3y2 - 3 x z + z 2 )dr + (3z2 -3-W + 2yz)dz , donde C es la
Calcular
curva a (r)= (-1 + 4 / ', 2 eos' n t + 4/~, 3 - 4 s e n — i ) , 0 ^ t < 1
2
x dx + v dr
--p —
donde los puntos Px y
P> V-v2 + v2
P2 están situados sobre las
circunferencias concéntricas cuyos centros se hallan en el origen de coordenadas y los radios
son iguales a R { y R2 respectivamente (el origen de coordenadas no se halla en el contorno
Rpta. R2 - R i
de integración).
84)
<•(-2,1.3)
,
Calcular I
(6xv +2z~ )dx + 9x v ' dv + (4.vz + \)dz
J(1.0.2)
85)
Hallar el valor de la integral de linea
<•(2.3.4)
(1.2)
I
J(i.i.D
•)
T
1 1
(6.rv ‘ - v )dx + (6jr' v - 3.rv ' )dv
. . .
Sea C la curva plana de la ecuación
j" Y
^
/ ( / ) = (
e' cast,e' senr)
Rpta.
Kvaluar
J
(4x
calcular la integral curvilínea
a los largo del arco de C de extremos (1.0) y ( f 2n ,0) .
(.r2 + y 2 ) 2
88)
-31
,
(x~ - vz)dx + (v~ - x z ) d v + (z~ —xv)dz
—
y
87)
Rpta.
+ex
cosy ) d x - ( y 2
+e'
\-e 2n
seny)dy en sentido contrario al movimiento de las
manecillas del reloj y alrededor del paralelogramo cuyos vértices son (0,0), (2,0), (3,1) y
(M ).
E duardo Espinoza Ram os
806
7.10
Aplicaciones de la Integral Curvilínea»!
1®
>
Consideremos una curva regular a: \ a ,b\
»R
1
*/
\
1
lal que a ([a,/>]) = C e R es la
imagen de a .
Sea / : Ccz R 2
> R, una función continua sobre C tal que f(x,y,z)=l,V(x,y,z)e C.
Si C es un alambre, entonces
¿ =J
/ ( * , y , z ) d S = f d S que representa la longitud del
alambre.
2S
Si p : C c z R 3 ------ >R, es la función densidad de la masa del alambre, entonces la masa
del alambre recorrido por la curva C es
A / = J p(.r, y, z ) d S , de donde el centro de
masa del alambre es el punto (jr, y,z) siendo:
3S
Si d(x,y,z) es la distancia desde el punto (x,y,z) del alambre a una recta ó plano,
entonces el momento de inercia correspondiente a la curva C. con función de densidad
de masa p: C a R 1----- ►R , está dado por:
/ = J d 2 (x, y, z)p(x, y, z)dS
como caso particular se tiene los momentos de inercia del alambre con respecto a los
ejes X, Y, Z respectivamente, las cuales son:
¡ x = | r (v 2 + z 2)p(x,y,z)dS,
¡y = Jr (* 2 + z 2)p(x,y,z)í/S, I z = ^ ( x 2 + y 2 )p(x, y, z)dS
4®
i)
* ?
Consideremos una fuerza /•': R~
*
*
1 R 2 tal que E ( x . y ) = P ( x , v) i + Q ( x .y ) j
*
y C un arco de la curva en R 2 y suponiendo que una partícula se mueve a lo largo
de C.
807
Integrales Curvilíneas o de Linea
El trabajo total realizado por la fuerza F a lo largo de la curva C es:
W = J P(x, v)dx + Q(x, y)dy
ii)
Para un movimiento en el espacio con la fuerza dado por un vector
>
->
>
*
F ( x , v . z ) = P ( x ,y , z) i + Q (x , y, z) j + R ( x , v . z ) k , el trabajo total realizado está
dado por:
W = J P(x, v, z)dx + Q(x, y , z ) d y + R(x, v, z)dz
Un campo de fuerza F definido en un conjunto abierto D, se dice que es
Definición.-
conservativo, si el trabajo realizado a lo largo de toda curva cerrada es cero.
Ejemplo.-
Hallar
el
trabajo
realizado
cuando
un
objeto
recorre
el
arco
C: r ( t ) = t i + r / , t e [0,1] sometido a una fuerza F ( x , y ) = xy i + y
parabólico
j
Solución
W = ] F ( r 0 ) ) d r ( t ) = } F ( r ( t ) ) . r ' ( t ) d t = ¡ F ( U 2) - ( l ^ t ) d t = y ( t \ t * ) . ( l , 2 t ) d t
c
o
■'o
•’n
f1 3
s
í
/
/i
1 I
7
= J (1 + 2 f ) d t = (— + — ) / = - + - = —
fl
4
3 ' " 4 3 12
Ejemplo.-
Una partícula se mueve en el plano XY a lo largo de una recta que va desde A(a,b) al
-»
punto B(c,d), debido a la fuerza
-X
-Y
F (x ,y ) = (—----- - , — 5---- y). Hallar el trabajo
x ~ + y x~ + v"
->
__
realizado por la fuerza F a lo largo de la recta AB.
Solución
808
E duardo Espinoza R am os
como W = \ F ( x , v ) d r = \ (—
c
f
j,
c x +y
-x d x
= v _2
‘ x +v
y dy
2~
2
x +v
z V ).(dx,dv)
x +y
f xdx +ydy
2 = - Jr
2
‘
x -t-y
1 |W )
2
)
2 í®-*)
/(cd)
1 r 2 +d
. 2
= 1ln(x2 +>•2 )/(^)
=__[in(c
Ejemplo.-
2
2~ = - t J ,
">
"> "I
1
^ +
Determine la masa y el centro de masa del alambre en forma de hélice que recorre la
—>
curva: a (/) = (c o sí,sen /,i), 0 < t < 2 n , si la densidad es p(x,y,z) = z. Encuentre el
momento de inercia con respecto al eje Z.
Solución
M = j^Pfx,y,z)dS donde dS =|| a'(i) || d t , donde a ' ( t ) = (- s e n /,e o s /,1) => || a '(r) ||= -J2
A /=
f
Jc
p(x, v,z)dS =
f2n
Jo
—
»
i—
í.|| a(/)||</í = v 2 \ id í
Jo
=
^2 í
2
/
/2Jr
/—
=2\2n~
0
El momento de inercia respecto al eje Z es:
7Z = J (x 2 + y2)p (x , y,z)í/S = >/2 J /í/r = 2 V2 r2, el centro de masa es (x ,y ,z ) donde:
I x p ( x , v , z ) d S ■ j2\t cos tdt
~_ V
;____________
^
1— ?
M
2V 2 tt-
^
n
o
J y p(x,y,z)dS
V ^ / s e n tdt
( - t cosí - sen/)/„ *
1
A/
2-j2n2
2n 1
n
\zp(x,y,z)dS
J[ V 2í
r3 j 2tí
z = wc ..............
= zo_________= _j
/* “ =
I
Z~
M
2 ^ 2 zr2
órr2 ' 0o
Luego el centro de masa del alambre es
3
1 4 tt
(x ,y ,z) = (0 ,-— ,-----)
n 3
809
Integrales Curvilíneas o de Linea
Ejemplo.-
Hallar la longitud del arco de la hélice cónica: x = a e ‘ cosr, y = a e ' sent , z = a e ,
desde el punto 0(0,0,0) hasta el punto A(a,0,a).
Solución
Í
f / dx 7
dv ,
¿ls = J J ( ~ ) + ('^“) +
dz ,
_
,
,
,
donde C : a ( / ) = (o c cosí, o e senr, a e )
entonces
x = a e cosí
i_y = a e r sení
z =ae
t
dx
,
— = c e (c o sí-se n r)
dt
dv
,
— = a e (sení +cosr)
dt
dz
■= a e
dt
además a ( í,) = (a e ' cosí,, a e'1 sen tx, a e ' ) =(0.0,0)
ae'' cosr, = 0
ae' 1senr, = 0
a e 'i _ q
_ i < senr , < l
=> - a e ’1 < a e ‘l senr, < a e l
cuando r, -> -oo, a e ‘l senr, -» 0
por lo tanto a (í,) = (0,0,0), cuando r, —> -oo
a (í2) = (a e'1 eosí2, a e h sent2, a e ' 2) = (a,0,a)
ae' 2 eosr2 = a
810
Eduardo E spinoza R am os
Ejemplo.-
■> ■>
x
v*
Determinar la masa del contomo de la elipse — h— —=1 si su densidad lineal en cada
a " b~
punto M(x,y) es igual a |y |.
Solución
*2
ComoM = f p(x, v ) d S , donde p ( x , y ) = M , ahora parametrizando la elipse C: —
Je
y1 ,
a
x = acost , y = bsent
-f
2 —
>
entonces: a [a, tí[------ >R f a ( t ) = (aco s/, bsent)
—
y
—
?
I
a '( 0 = ( - c sen r,í> cosí) => || a '( r ) || = -\/a2 sen2 t + b 2 eos2 t
como dS =|| a '(f) || dt = 'Ja1 sen2 t + b 2 eos2 tdt
M = \ p(x,y)dS =
M = b\
Jo
J
=
J
|ósenr|V c2 sen2 t + b 2 eos2 t dt
J a 2 + (b2 - a 2) eos2 t |scnr|í/í = b \
o
J a 2 - ( - J a 2 - b 2 cosr)2 |senr|<A
M = ó[J -Ja 2 -(Vfl2- b 2 c o sí)2|sen t\dt + j" -\]a2 -(Via2- b 2 c o sí)2 |sen t \ dt]
M = ¿[J -Ja2 - ( - J a 2 - ¿ 2 c o st)2 sen tdt - J
„ =
A/
-Je2 - ( - J a 2 - b 2 c o sí)2 sen r<*]
+ r «2 aresen-------------+ tb+ . « 2 aresen------------ ]
■Ja2 - b 2
a
J a 2- b 2
a .
,,
a 2¿
,J a 2+b2
M = 2b[b~ + - ■
arcsen(-------------)]
•ye2 - b 2
a
Ejemplo.-
Hallar la masa de la primera espira de la hélice circular x = a cos t, y = a sen t, z = b t,
si la densidad en cada punto es igual al radio vector del mismo.
Solución
Integrales Curvilíneas o de Linea
811
p(x,y , z ) d S , donde
i 2
2
2
p ( x , y , z ) = y x + y + z y sea
í/S = || a '(r)|| A , y
/ 7 7
a ( / ) = (acosr, a s e n /,6/), a '(r) = ( - a sen/,a eos/,ó) => || a '( 0 || = Va~ + b
M = \ p ( x , y , z ) d S = j J x 2 + y 2 + z 2 dS = ^ a 2 +b2 \
c
c
o
J a 2 +b212 dt
-\/a~ + b 2 bt r~i T Y Y ° 2 ,
í ~2 , 2 2 n ¡ 2lí
M = ------------- [— Va + 6 t h
ln |6 / + Va + 6 t |] /
b
2
2
# 0
M
/I
M = Va
.
Ejemplo.-
[nb-Ja2 + 4 b2n 2 + — l n\ 2nb+ ^ a 2 + 4b 2n 2 | ~ — lna]
2
2
b
TT,-
a"" , ,2bn + -Ja~ + 4 b 2n 2
/ 2 . «i 2 2"
____
. n +. — ln(--------------------------)J
[nVa +46
2b
+ 0
Determinar las coordenadas del centro de gravedad del semi arco de la cicloide
x = a (t - sen t) , y = a (1 - eos t ) , O <, t <, n
Solución
—
>
Sea a '(t) = (a(t - s e n /),a (l-e o s /)), O < t < rr
a '( 0 = c 0 _ c o s ,>sen0 => || a '(t) 11= a-v/2-s/l-cosr = 2 a sen
t
t
como dS =|| a'(t) || dt = 2a sen —dt => dS = 2a sen—dt
f*
t
t
r
M = 2 a \ sen—dt = —4aeos— / = 4 a
Jo
2
2 /0
Cn
-
X~
Jo
t
a ( t - s e n t ) 2 a s e n —dt
2
4a
Cn
t
I a ( l- c o s /)2 a s e n —dt
.
4a
~ 3 ’
-
0
y
Luego las coordenadas del centro de gravedad es.
2
.
4a
4a
4a 4a
(x, y) = (— ,— )
3 3
3
t
812
Eduardo Espinoza R am os
Ejemplo.-
Determine la masa y el centro de masa del alambre en forma de hélice que recorre la
curva: a (/) = (eo s/.sen /,/), 0 < t < 271. Si la densidad es p ( x , y , z ) = z encuentre el
momento de inercia con respecto al eje Z.
Solución
Como a '(/) = (cosí, s e n /,/), 0 < t < 2n, derivando
Luego M = 2-Jl n 2, el momento de inercia respecto al eje Z es:
f
J xp(x,y,z)ds
M
f 2*
2Jrcosd/
2 -j 2 n 2
n ^ >y
Luego el centro de masa del alambre es.
n
(x9y 9z) = (0,-----------)
n 3
813
Integrales Curvilíneas o de Linea
|7«I1. g Ejercicios Propuestos.)
1)
Determine el trabajo efectuado por la fuerza F(jt,_y) = (2c-_y,jt)que mueve una partícula
—►
sobre un arco de la cicloide a ( í ) = (at - a sen í,a —a cosí), 0 < t < 2n
R pta. - 2 n a 2
2)
Determine el trabajo efectuado por una partícula que se mueve de (0,0) hasta (2,0) sobre una
curva C que recorre el conjunto S = {(jc, y)-/y = 1- |l - Jt|} si la fuerza es F{ x, y) = (y 2 ,jc)
R pta. - j
3)
Hallar el trabajo total realizado por desplazar una partícula en un campo de fuerza dado
-
*
-
*
-
»
p o r: F( x ,y , z) = 3x y i - 5 z j + l Ox k a lo largo de la curva:
t= 1a t = 2
4)
"
jc
>
2
= t~ +1, y ~ 2 t , z = t
3
desde
R pta. 303
Si F ( x , y , z ) = {xy,yz,xz) , determine el trabajo efectuado por esta fuerza que mueve una
43
partícula sobre una recta (1 ,-1,1) hasta (2,1,3) R pta. —
6
5)
Hallar el trabajo realizado al desplazarse una partícula en el campo de fuerza
—
►
2—
*
^
F ( x , y , z ) = 3jc i + (2 jcz- 1 ) j + z k alo larg o d e:
6)
a)
La recta que une los puntos (0,0,0) y (2,1,3)
Rpta. w = 15.5
b)
,
9
La curva x = 2t , y = t, z = 4 t -1 desde t = 0, a, t = 1
Rpta.
Halle el trabajo realizado por el campo
-»
2
193
-yj-
F (x,y ,z) = ( 2 x - y + z , x + y —z , ‘i x —l y + Az),
al
desplazarse en sentido antihorario una partícula alrededor de una circunferencia C del plano
XY, cuyo centro es el origen y de radio 3
R pta.
18 n
814
7)
Eduardo E spinoza R am os
Un campo de fuerza está dado por F ( x , y , z ) = { y z , x z , x { y + 1)) calcular el trabajo realizado
-»
por F al mover una partícula sobre el contorno del triángulo C de vértice (0,0,0) , (1,1,1) y
(-1,1,-1) recorrida una vez y en ese sentido.
8)
Rpta. 0
Sea F ( x , y , z ) = (6xyiz + 4 y 2z i , 9 x 2y 2z + i x y z 3 + z4, 3x2y 3 + \ l x y 2z 2 + 4 yz3) un campo de
fuerza. Hallar el trabajo que realiza. F al mover una partícula desde el origen hasta el punto
(1,1,1) siguiendo la trayectoria compuesta por C = C 1u C 2 u C 2
donde C ,: semi
circunferencia en el plano XY que une los puntos (0,0,0) con (0,2,0), x > 0 C2: Semi
circunferencia en el plano XY que une los puntos (0,2,0) con (0,4,0), z > 0. C3: la recta que
une (0,4,0) con (1,1,1).
9)
Rpta. 8
El módulo de una fuerza es inversamente proporcional a la distancia entre su punto de
aplicación y el plano XY. Si esta fuerza siempre está dirigida hacia el origen de coordenadas.
Calcular el trabajo realizado por el campo de fuerza al desplazarse una partícula a lo largo de
la recta x = - j l y = -Jl z desde el punto { J í ,1,1) al punto (2-Jl ,2,2)
Rpta. -2k ln 2
10)
Hallar la función potencial (o sea la diferencial exacta) del vector fuerza
—
>
F ( x , y , z ) = (e* cosy+zy, x z - e * seny, x y + z ) y calcular el trabajo realizado desde (1,0,2)
hasta (0,n,2).
Rpta. -(1 + e )
—>
11)
—1
¿Qué trabajo realiza la fuerza F = r x gra.d(x,y,z) a lo largo del camino cerrado de O a P;
de P a Q; de Q a R; de R a O siendo 0(0,0,0), P( 1,1,1), Q( 1,1,0), R( 1,0,0)?
R pta. j
12)
2
Calcular el trabajo realizado por la fuerza F ( x , y ) = (3y + 2 , 16x) al moverse una partícula
desde (-1,0) hasta (1,0), siguiendo la mitad superior de la elipse b 2x 2 + a 2y 2 = a 2b 2 ¿para
qué valor de b el trabajo será mínimo?
815
Integrales Curvilíneas o de lin e a
13)
Una partícula se mueve sobre una curva definida por las ecuaciones
la acción de la fuerza
x 2 = Ay,
3x3 = 8z . Por
F (x ,y ,z ) = (3x 2 , 2 xz - y, 2z ) . Hallar el trabajo realizado al moverse la
partícula del punto A(0,0,0) al punto B(4,4,24).
14)
Una partícula se mueve a lo largo de una recta en el espacio que une los puntos P(a,b,c) y
Q(r,s,t) debido a la fuerza
-»
—x
-y
-z
F (x,y ,z) = (—
2
2
2 . 3/2 >~ ~ 2
2
2 . 3/2 »
2
2 . 3/2 )
(jc + y + z )
(x + y + z )
(jc + y + z )
15)
Calcular el trabajo realizado por la fuerza
-»
F (x ,y )
- -
x
=
^ l +x +y
-*
i+
-
y
y l +x +y
-»
j ; para mover una partícula a lo largo de la curva:
x2 y 2
~ + ~ 2 = 1» que se encuentra en el primer cuadrante en sentido horano.
a b
Rpta. Vi + b2 - V i - o 2
16)
Una partícula da una vuelta alrededor del circulo unitario contrario al de las manecillas de
reloj, mientras está sujeta a la fuerza
F (x ,y ) = (ex - l n e y ) i + (eos y + arctg(tg x
)) j
—>
encontrar el trabajo realizado por la fuerza
17)
F.
Determine el trabajo efectuado por la fuerza
F (x,y ,z) = {x 2,y 2,z
partícula sobre la curva de intersección de la esfera
x 2 + y 2 = ay
esfera.
18)
2
) que mueve una
x 2 + y 2 + z 2 = a2
y el cilindro
en sentido contrario a las manecillas del reloj cuando se le ve desde arriba de la
Rpta. 0
Hallar la masa del arco de la línea x = e' cosr, y = e' sení, z = é
desde el punto
«
correspondiente a t = 0 hasta un punto cualquiera, si la densidad del arco es inversamente
proporcional al cuadrado del radio polar y en el punto (1,0,1) es igual a 1.
R pta. A/ = V 3 ( l - e '<’)
816
Eduardo E spinoza R am os
19)
Encuentre el momento de inercia sobre el eje y de un alambre semi circular que tiene la forma
x 2 + y 2 = 1, y ¡> 0, si la densidad es P(x ,y) = |x|+[y|. Determine también la masa y el centro
n +2
O
Rpta. M = 4 , (x,y) = (0 , —-—)
de masa del alambre.
20)
Calcular las coordenadas del centro de gravedad del
la cicloide x= t - sen t,
de
8 4
Rpta. (jc,y) = (y , -j)
y = 1-cos t, 0 fS t fS ji.
21)
arco
Una alambre tiene la forma de la curvay = x 1, -1 £
x£
1. La densidad del alambre es k j y
¿Cual es el momento de inercia del alambre con respecto a y?
Rpta.
22)
Calcular la masa del arco de circunferencia x = eos t,
Calcular las coordenadas del
y = eos h, 0 á
25)
15
y = sen t, 0 ^ t £ n, si su densidad
x = e' co sí,
Calcular las coordenadas del centrode gravedad del arco de la curva homogénea
y = e sent, o o < t£ 0 .
24)
4 3
Rpta. 2
lineal en el punto (x,y) es igual a y.
23)
—[—'JE + — ]
xS ln 2.
2
1
Rpta. (x,y) = ( - j , - - )
centro de gravedad del arco de la curva homogénea
3 1 n 2 -l 161n2+15
Rpta. (x,y) = (---,----- —----- )
Hallar la masa de la primera espiral de la hélice
x=
z= b
a eos t , y = a sen t,
t, cuya
densidad en cada punto es igual al cuadrado de la distancia de este punto al origen.
Rpta. (2to
26)
Calcular la masa de la primera espiral de la hélice
x=
,
8rr 3¿>2 r~5
+ — -— )ya +b
eos t, y = sen y,
r
z= t, si
en cada punto es igual al radio vector en dicho punto.
Rpta. -s/2 [nV l+47t2 + ^ ln (2 ji+ V l+ 4n2 )]
la densidad
817
Integrales Curvilíneas o de Linea
27)
x
Hallar la masa de un fragmento de la catenaria y = a cosh(—) comprendido entre los puntos
a
cuyas abscisas son je, = 0 y x 2 = a , si la densidad de la linea en cada punto siendo la
densidad en el punto (0,a) es igual a 5.
28)
Hallar las coordenadas de
Rpta. 5 a
gravedad de la primera semi espira de la hélice
y = a sen t, z = b t considerando la densidad constante. R pta.
29)
(
n
n
2
x= a ccfc t,
)
Un alambre de densidad constante k tiene la forma |x| + |y| = a, encuentre sus momentos de
inercia con respecto al eje Y y con respecto al eje Z.
,
4^/2a 2k ,
8^/2
3
Rpta. I .. = —.--------- , / , = ------ a k
>
3
z
3
30)
Hallar el centro de masa de una pieza de alambre de densidad constante enrollada en la forma
—>
de la hélice a(t) = (4 eos í,4 sen í,3f), t e [0,rc]
Rpta. ( x , y , z ) = (—
n n
31)
2
Hallar la masa total de un alambre cuya forma es de la curva y = |x| con - 1 < x < 1, si la
densidad de cada punto P de el es igual al valor absoluto del producto de las coordenadas del
Rpta. M -
punto.
32)
9
F)
Un objeto recorre una elipse b 2x 2 + a 2y 1 —a 2b 2 en sentido antihorario y se encuentra
V
X
sometida a la fuerza F ( x , y ) = ( - ^ , —) . Hallar el trabajo realizado.
R pta. ab n
33)
Calcular
el
trabajo
que
2
realiza
el
campo
2
de
fuerza
F(x, y, z) = (x - y + 2z, x + y - 3z ,2x z - 4y ) al mover una partícula alrededor de la curva
V2
X
cerrada — + y
4
2
= 1, z = 2 en sentido antihorario.
R pta. w = 0
818
Eduardo E spinoza R am os
34)
Calcular el trabajo para mover una partícula desde el origen hasta el punto P( 1,1,^2)
siguiendo al curva de intersección de las superficies _v2 + y 2 = r 2 , y 2 —x
Rpta. w = 2
35)
Hallarel trabajo realizado por
">
_2
la fuerza F (x , v, z ) = ( - v, x ,e
) a lo largo de la
x
2
intersección de las superficies ——+
a
y
2
h-
z
2
x
2
y
0 = 1; — +
c
a
2
z
2
=
b
curva de
0 , z > 0 recorrida en
c
sentido antihorario vista desde la parte positiva del eje Z.
Rpta. w = ab n
—
f
36)
Determinar eltrabajo realizado por la fuerza F (x , y, z) = xyi + yz j+ z x k
recta que
43
Rpta. —
6
une los puntos P( 1,-1,1), Q(2,1,3).
37)
sobre la
Calcúlese el nabajo del campo de fuerzas F (x , y ,z ) = 2xv i + y
2
j —x
2
k , cuando el punto
material se desplaza a lo largo de la sección del paraboloide x 2 + y 2 —2 z 2 = 2 a 2 por el
plano y = x, del punto (a,a,0) al punto (a-\Í2 ,a ^ 2 ,a ).
Rpta. (2s[2
->
38)
Un campo de fuerza es dado por F ( v,
por F
y,
z) = (yz,xz,x( y +1)). Calcular el trabajo realizado
al mover una partícula sobre el contorno del triángulo de vértices (0,0,0), (1,1,1)
y (-1,1,-1) recorrida una vez y en ese orden.
3
R pta. -
Integrales Curvilíneas o de Linea
819
7.12, Circulación del Campo Vectorial y su CálcüloJ
La integral de línea tomada a lo largo de la curva cerrada orientada Y se
Definición.-
—*
denomina circulación C del campo vectorial F de tal manera según la
definición se tiene:
C = <j>Fd r
donde el símbolo
Si
el
significa la integral por la curva cerrada T.
campo
vectorial
F
se
prolija
F ( x , y , z ) = P ( x , v , z ) i + Q( x, y, z) j + R { x , v , z ) k
en
la
forma
de
entonces la circulación
coordenadas
del
campo
—
>
vectorial F será igual a:
C = < j > F í / r = | P(x, v, z)dx + Q{x, i \ z)dv + R {x, y , z)dz
Ejemplo.-
Calcular la circulación del campo vectorial F (x ,y ) = —vi i+ x * j a lo largo de la
elipse r :
+
a
= 1, en dirección contraria a las agujas de un reloj.
h
Solución
Aplicando la definición de circulación tenemos:
C = j>F d r = <£ —y^dx + x^dy
... (1)
parametrizando a la elipse se tiene:
Í
x = a cos t
,
0 < t < 2n
... (2 )
y = b sen t
de aquí dx = -a sen t dl, dy = b cos t dt
... (3)
820
Eduardo Espinoza R am os
reemplazando (2), (3) en (1) tenemos
i
o
i
i
i
[—b se í(-c s e n /) + a cos i b cos t\dl
J>2rr
.
J á
C2n b ¿(1 -c o s2 r)Z
(b sen t + a cos t)dt = ab I [
n
a 2(1 + co s2/)
-]dt
Jo
= — f [(a2 + b 2) + h 2 eos2 2t + a 2 eos2 2/ + 2 (c2 - b 2 )co&2t]dt
4 Jo
=— J
[(a2 + b 2 ) + ^— (l + cos4<) + ——(l + cos4í) + 2 (c2 —b 2) cos2t]dt
ab C2nr3
l n r¿ ,
1 r
aó
=—
4'
Ejemplo.-
2j
>
. 2j
a1 2 + b 2
i .2
.
'u ‘'
— co s4f+ 2(c - b )cos2f]í/í
r 3 2 . 2 -> o 2 + ó 2
.
. 2
. 2»
„ i / 2n 3ab 2 . 2 v
[—(a + ¿ r ) í +
sen4t + (a - b ) s e n 2 f ] /
=
(a + 6 Vr
"2
08
/ o
4
Calcular la circulación del campo vectorial F(x, y , z ) = x y i + y z j + x z k a lo largo
de la curva de intersección f : j * + ‘^
* en la dirección correspondiente al
[x + y + z = 1
recorrido de la proyección T en el plano XY en sentido antihorario.
Solución
Aplicando la definición de circulación tenemos.
C = ^ F d r =<£ xy dx + y z d y + x z d z
... (1)
parametrizando T que es una elipse que se obtiene como
resultado de la sección del cilindro x 2 + y 2 =1 con el
plano x + y + z = 1
821
Integrales Curvilíneas o de Linea
x = eos t
, 0 < t < 2n
... (2)
de aquí dx = -sen t dt, dy = eos t dt
... (3)
T:
y = sen i
z = 1- eos t - sen t
ahora reemplazando (2), (3) en (1)
f2n
C = If [-c o s ís e n 2 t + ent(\ - eos t —sen t) eos t + eos <(1-c o s í-s e n í)(s e n í-e o s t)]dt
Jo
2
C = I [-3 eos t sen t —2 sen t eos
Jo
Ejemplo.-
2
t
+ 3 sen t eos t - eos
2
t
+ eos
3
í]d t
= —I
Jo
eos
2
t d t = —n
Calcúlese la circulación del campo vectorial F ( x , y , z ) = z i + x j + y k , a lo largo
de la circunferencia x 1 + y 1 + z 2 - R 2 , x + y + z = R en sentido positivo respecto
al vector k .
Solución
Aplicando la definición de la circulación tenemos:
C = ^ F d r = ji z d x + x d y + y d z
parametrizando la circunferencia
. Jx2 + y 2 + z2 = R 2
T:
Ix + y + z = R
z = R - x —y => x + y + ( R - x - y ) = R
de donde x +x y + y 2 =R( x + y)
R(l + t)
Rt(l + t)
hacemos y = tx de donde x = ---------C ) y =
1+ t + C
1+ r + r
-Rt
^
z = -----------od< t < +oo
1+ t + t
—(1)
822
Eduardo E spinoza R a m o s
R ( 2 t + í 2) ,
d c = ----(1 + t + t )
,
7?í(l + f) .
.
R{t2 - 1) ,
dy = — ----- f d í , dz = — ------¿ d t
1+ t + t
l+ t + t
reemplazando en la ecuación (1) tenemos:
2 f°° <(2í + í 2) + (1 + í)(1 + 2í) - í(í2 -1 )
dt
=R2r
J -t
(1 + r + r 2)3
2 f° 1+ 4< + 4<
=r 2r
»2f“ r
2 3 ^=/ ? 2 f [
J-°c(l+r+r )
-
2f
[—
- ° ° [(í +
r L^
- +
- )2 + - ] 2
1
. 3í(1+ í)
■]£ft
(1+í + í 2)2 (l + r + / 2)3
3 i(<+1)3
i*
[ ( ^ 2 > Z + 4 ]3
hacemos t + —= ^ - t g 6
=> dt = ^ - s e c 2 6 d 8
para t = - o o = >
;
2
"
2
8 =
!
2
2
t = oo=>
8 =—
2
3 (^ tg 0 -^ )(^ tge +i) ^
C = 7?2 f 2 [----- - - - + — ?---------- ?— ?— ----- —
J - * 11 9
4
2 — sec 0
16
= t f i h H ñ eos2 e d
9 J-i
27
6
— sec 0
64
e
p
9 JJL
= ^ Y ~ R 2[ ( ^ + Sen^ 6 ) j 2n +
3
2
sec2 6 d6
tg2 f ~ 1 rffl]
sec 0
(3 eos2 6 - 4 c o s 4 8)d8]
Integrales Curvilíneas o de Linea
823
7.13
Ej erricios Propuestos \
1)
Calcular
la
circulación
F(x, v,z) = ( x z + y) i + ( y z - x ) j - ( x
2
C
del
campo
vectorial
2
+
(x2 +y 2 = 1
+ y ) k a lo largo de la línea T : <
en la
[z = 3
dirección correspondiente al recorrido de la proyección T en el plano XY en sentido
Rpta. -2n
antihorario.
2)
Calcúlese la circulación del campo vectorial
circunferencia
( j c —x 0 ) 2 +
F ( x , y ) = y i —x j
( y — _y0 ) 2 = R 2 en sentido negativo.
Rpta. 2n
3)
a lo largo de la
R2
Calcular la circulación C del campo vectorial F ( x , y , z ) = y 2 i + z 2 j + x
k a lo largo de la
\x2+y 2 +z 2 = R 2
línea T : <
, z > 0 en la dirección correspondiente al recorrido de la
x + v 2 =Rx
proyección T en el plano XY en sentido antihorario.
Rpta. -
4)
71 R*
Calcúlese la circulación del campo vectorial F ( x , y , z ) = y i —z j + x k
e lip se
a lo largo de la
x 2 +y 2
2
2
-----+ z = a , y = x en dirección positiva respecto al vector i .
Rpta. 2j ra2
—
>
5)
—
►
—y
—y
Calcular la circulación del campo vectorial F{x, y, z) = ye** i + xe** j + x y z k a lo largo de
2
la linea T la que se obtiene por la intersección del cono x + y
coordenados en la dirección positiva.
Rpta. 0
2
= ( r —1)
2
con los planos
824
6)
Eduardo E spinoza R am os
Calcular la circulación C del campo vectorial F(x, y, z) = (2x + z) i + (2y —z) j + xyz k a lo
largo de la línea T que es la intersección del paraboloide de revolución x 2 + y 2 = 1 —z con
4
R pta. —
los planos coordenados.
7)
Encuentre la circulación C del campo vectorial F(x, y ) = (x —y) i + x j alrededor del circulo
c¿(t)=cost i+ s e n f j 9 0 < t < 2 n .
Rpta. 2 n
—>
8)
—►
—>
—>
Encuentre la circulación C de F(x, y, z) = 2x i + 2z j + 2 y k
alrededor de la trayectoria
cerrada que consiste en las siguientes tres curvas recorridas en la dirección de t creciente.
->
- » - » - >
n
Cj : a(t) = cosí i + se n í j + t k , 0< f < —
C2 : a ( /) = 7 + y ( l - í ) ¿ , 0 < t á l
—>
—^
—>
C3 : a(í) = i i + ( l - t ) j , 0 á t á 1
Rpta. 0
|7.14
Fórmula de GrecnJ
Para la fórmula de Green se considera curvas cerradas simples seccionalmente regular,
parametrizada en sentido antihorario, que constituirán la frontera (o borde) de una región
acotada R del plano, como en la siguiente figura.
825
Integrales Curvilíneas o de Linea
La fórmula de Green es un resultado que expresa una integral doble sobre una región R como
una integral de línea a lo largo de la curva cerrada C que constituye la frontera de R.
Todo esto lo expresaremos en el siguiente teorema
1*7.15 Teorema tle Greenj
Sea R una región simplemente conexa, con frontera C suave a trozos, orientada en sentido
contrario al de las agujas de un reloj (esto es, C recorre una vez de manera tal que la región
R quede siempre a la izquierda) si M, N ,
PM
PN
y — son continuas en una región abierta
dy
dx
que contiene a R, entonces:
f
f f PN m
J M ( x , y ) d x + N ( x , y ) d y = J J ( ------------ )dA
c
R dx dy
Demostración
Daremos una demostración solamente para una región que es a la vez verticalmente simple y
horizontalmente simple.
Luego la región R se describe en las dos formas.
R = { { x , y ) ! a < x <b , / j (x) < y < f 2 (*)} , R = { ( x , y ) ! c < x < d , g¡(y) < x < g 2(y)}
826
Eduardo E spinoza R am os
La
integral
de
J M(x,y)dx
linea
puede
escribirse
como
í M ( x , y ) d x = í M ( x , y ) d x + í M ( x , y ) d x = [ M ( x , f 1( x j ) d x + [ M ( x , f 2(x))dx
«rC
rC |
rfj
wb
J fl
/ t (x)) - A/(x, f 2(x))]dx
por otra parte, tenemos:
f f dM
[b f/2(jr) dM
fb
/fi(x)
[b{
,
JJ
dA = J (J
dy)dx = J M ( x , y ) f
dx= J [ m {x , / 2( x ) ) - M ( x , f ^ x ^ d x
dy
a fAx) dy
a
f Ax)
aL
1
= - J [M (x, / j (x)) - M ( x , f 2 {x))\dx
En consecuencia se tiene:
J M(x,y)dx = - J J ~ ~ d A
dy
En forma similar para el caso:
f N(x,y)dy= f N (x,y)dy+ f
JC
»C |
jc
N{ x, y)dy
2
=1 N (s i 0 0 . y )d y + ¡ N (g 2 0 0 . y )d y =í [^(g20 0 . >0 - W(g, 0 0 , y)\dy
827
Integrales Curvilíneas o de Linea
por otra parte, tenemos:
f f dN
(d (g¡(y) dN
(d
/gi(y)
[d r
i
i \ ~ ^ ' dA = } (J , — <¿r)rfy = J N ( x , y ) f
dy= J [W(g2 (y), y ) - N ( g x(y), y)\dy
dx.
c
g,(y )
ax
En consecuencia:
Luego:
c
I
c
f
f f íW
I N (x, y)dy = - 11
dA
dx
R
Jc
J^M( x , y)dx+ N(x, y)dx = - JJ
R
Ejemplo.-
&(>>)
dN
dA + \ \ ~ d A = \ \
dx
R
R
dM_
^)dA
dy
Usar el teorema de Green para calcular la integral de linea J y 3dx + (x3 + 3x y 2) d y ,
donde C es el camino de (0,0) a (1,1) sobre la gráfica de y = Jt3 y d e ( l , l ) a (0,0) sobre
la gráfica y = x .
Solución
Graficando se tiene:
aplicando el teorema de Green.
f J,
, 3 - 2W
f f . a v dM
J y dx + (x + 3 xy )dy = JJ (------------ )dxdy
dx
dy
donde se tiene.
\ M = y*
W = x 3 + 3xy2
J
y 3d x + ( x 2 + 3xy2)dy =
JJ [(3x2 + 3y 2) - 3_y2 \lxdy = JJ3x2dxdy
R
JCy 3dx+{x3+ 3xy2)dy=
R
ÍÍ3x2dxdy = J ( j ,3x2 dy)dx
0 x
™ =3y2
dy
®L = 3 x 2 + 3 y 2
dx
828
Eduardo Espinozja R am os
Ejemplo.-
Mientras está bajo la acción de una fuerza
F(x, y) = y
3
3
2
i + (x + 3xy ) j , una
partícula da una vuelta a la circunferencia de radio 3 que se muestra en la figura, usar el
—
►
teorema de Green para hallar el trabajo realizado por F .
W = f ~ F { x , y ) d 7 = ¡ ( y \ x 3 +3x y2).(dx, dy)
= I y 2d x + ( x 2 + 3xy2)dy = J J 3 x 2dxdy
c
(por el ejercicio anterior)
D
pasando a coordenadas polares r = 3, 0 < 0 < 2n
- I I 2j j J (J
W = ) ) 3 x í dxdy =
'o
243 _r _ sen 26 , /¡ 22n
~
[ÍU~ r ~ ]L o
Ejemplo.-
J
3 f27T
3r2 eos2 6 . rdr )d6 = —
r 4 cos 2
Jn
4 •'o
'o
243
8
0
/3
243
0
4A
/ d0=
'
f 2 ir
J eos 6 d6
o
JC
243?r
[2 zr -i-O] = ---------
4
Usando el teorema de Green , evaluar J (arctgx + y 2)dx+(eyy - x 2) d y , donde C es el
camino que encierra la región anular que se muestra en la figura.
C es suave a trazos
829
Integrales Curvilíneas o de Linea
Solución
En coordenadas polares R está dado por 1 < r < 3, 0 < 0 < 3
además
M = arctgx + _y
rM
~dyr = 2 y
\ t = e y y —x 2
N
dN
■= - 2 x
dx
Luego por el teorema de Green se tiene:
2
v
2
f f dN
dM
ff
I (arctgx + y )dx + (e y —x )dy = 11 (------------ )dxdy= 11 (—2 x - 2 y ) d x d y
c
R» dx dy'
RB
f
pasando a coordenadas polares se tiene:
J
(arctgx + y 2) d x +( el y - x 2)dy = - 2
x = r cos 0 , y = r sen 0 =>
J J (* ,y)dxdy
R
= -2 J (J(rcos0 + rse n 6 )r d r )d 6 = — J(cos0 + sen0)26</0 =
o
í
dx dy = r dr d0
30
3
[sen0-cos£J] /
/ o
52 r
. 1 0 4
= — (0 + l)-(0 -l) = - —
3
Observación.-
3
El teorema de Green puede extenderse para cubrir regiones que no son simplemente
conexas.
Ejemplo: (El teorem a de Green extendido a una región con un agujero).2
2
x
y
2 1
Sea R la región interior de la elipse — h-----=1 y exterior a la circunferencia x + y
4
4
calcular la integral de línea
J
=1,
2xydx + ( x 2 + 2x)dy donde C = Cl + C2 es el contorno de R.
Solución
Construyendo al figura y luego introduciendo los segmentos rectos C3 y CA.
830
Eduardo E spinoza R am os
como C, y CA son de orientación opuesta, la integral de línea sobre ellos se cancelan además
se puede aplicar el teorema de Green a la región R con frontera C = C, + C2 + C, + C4
f
2
f f rW m
I 2xvdx + (x + 2 x ) d v = \ \ ( ------------- )dxdv
; A
= J J ( 2 a + 2 - 2 x) dxdv = 2JJí¿yí/v= 2 (área de R) = 2[(3)(2)?r —(l) 2 tt]
R
r
= 2(6n - n) = 10 n
Ejemplo.-
Con
ayuda
de
la
fórmula
de
Green,
transformar
la
integral
curvilínea
[r+ln(x2+ y 2)\ix + y ln(x2 + y 2)d y , donde el contorno C limita la región D
Solución
dp
2y
| p = .x + ln (x 2 + .v2)
dy
.y 2 + y 2
[ Q = v ln(x2 + y 2 )
?Q =
dx
■>
X + v
= JJ X
+ V
2.YV
.y 2
+ v2
V -JJ
dx
2r — 2T)dxdy =
X +V
dv
JJ ~2 y v -2 y ■dxdv
x
+ v
2
831
Integrales Curvilíneas o de Linea
Ejemplo.-
Mediante la fórmula de Green calcular la integral ^ (2x3 - y 3)dx + (x3 + y 3)dy donde
C es él circulo x 2 + y 2 = 1
Solución
| (2x3 - > 'V x + (*3 +>'V >' - m ' dx- *dy )dx dy, donde
%
jP = 2x3- y 3
dy = ~3yl
iQ = x 3+y 3
$ ^ ( 2 x - y 3) d x + ( x 3 + y 3)dy =
jj
D
^ 3 x 2
dx
( ^ - + ^ —)dxdy = j j 3 ( x 2 + y 2)dxdy donde D: x 2 + y 2 <1
dy
D
pasando a coordenadas polares x = r cos 0 , y = r sen 0
£ ,(2 * ^ - y 3)dx + {x3 + y 3)dy = | | 3 ( x 2 + y 2)dxdy = £
(J^3r 2.rdr)d6 = ^ J 'd6 =
D
|7.1<> Cálculo de Áreas Mediante la Ihtegfrai de Línea.)
Si R es una región plana, limitada por una curva plana cerrada simple suave a trozos C,
entonces el área de R viene dada por:
A(R)= ^\cxdy-ydx
El contorno de integración es recorrido de modo que la región limitada por el mismo queda a
la izquierda (sentido positivo)
Ejemplo.-
Calcular el área limitada por la astroide x = a eos3 1 , y = ase n 3 1 , construyendo
previamente la curva.
Solución
832
Eduardo Espinoza R am os
cuya gráfica es:
3a 2 (2n
1
1
3a22 Í2n 1 -cos2 1 l + cos2í
= — — I sen t eos t dt = — — I -dt
2 Jo
20 ~ Jo
,2
3a f2,r 2 , . 3a f/7
„ , . 3fl2 r sen 4 ín] /I 1" = -------(2n
3a2
3 a 2n
= —— I sen 2t dt = —— ] í l - c o s 4 t )dt = ------[r
- 0 ) = ---------u
8 o
16 V
16
4 / 0
16
8
Ejemplo.-
Calcular el área de la figura limitada por las curvas y - x 2, x = y 2, 8xy = 1 (se tiene
en cuenta el área adyacente al origen de coordenadas).
Solución
1
x =—
2
\y =x
[8xy= 1
x-y2
Sxy = 1
1
y =x =—
4
-V = I
xdy-ydx
1 r
A =— I
2
oa
1 r
xdy-ydx-i— I
2
1 fi / 2
1 fi/4dx
A =- \
x2d x - - \
2 Jo
8 j i/2 x
M
ir
x d y - y d x -\— I
2
xdy-ydx
BO
1 fo
l+31n2 2
- I \ x dx = —— p 2
4 1/ 4
24
^ ( —.D
2
833
Integrales Curvilíneas o de Linea
Ejemplo.-
Si R es la región del primer cuadrante del plano XY limitado por las curvas 4y = x,
y = 4x, xy = 4. Hallar el área de R.
Solución
Ubicando la región R.
tenemos C = C¡ u C2 u C3
donde
las
parametrizaciones
de
C¡, C2, C3
son
respectivamente
=
0 < t < l , a 2 (í) = ( 5 - í ,
5- t
), 1 < t < 4
a 3( 0 = ( l - / , 4 ~ 40 , 0 < t < 1
1 fi
= ~^Jo(4 i
Ejemplo.-
1 p»
4
8
¡)d t+ —^ - —
1 fi
.4
Jo( - 4+4r +4- 4r ) </ r = 0 - 4 1 n ( 5 - í ) / 1 = 41n4«
2
Calcular el área de la región interior a la circunferencia x 2 + y 2 - 4 y exterior a las
circunferencias (x - 1 ) 2 + y 2 = ^ , (x+ 1)2 +_y2 =~£>x2 +(>'_ 1)2 = "^. x 2 +(_y + l) 2 = - j
Solución
Construyendo la región cuya área vamos a calcular.
834
Eduardo Espinozja R am os
como C = C 1 u C2 u C3 u Q , entonces
1f
1f
1f
2 c
2 ci
2 Q
A(R) = — J x d y - y d x = — J x d y - y d x - ( — J x d y - y d x
1f
1f
1f
+ —J x d y - y d x - i — J x d y - y d , ch— J x d y —y ) d x
2 *-3
2 C«
2 C5
71
71
71
7t
4
4
4
4
= 47T - ( — + — H--- + —) = 47T -7T = 3 71 U
2
Hallar el área de la región limitada por la cicloide a ( t ) = (a(t —sent),a(\ —cosr)),
Ejemplo.
0 < t < 2 ji y el eje X.
Solución
C = Cj u C 2, donde las parametrizaciones de C, y C2.
—»
a i (() = (t, 0),
C
1f
2x
5T*
1f
0 < t < 2n
a 2 = (a (* -s e n /), a ( l- c o s /) ) d e2 7 ta0
1f
A (R) = —J x dv - y dx = — ¡ x d y - y d x -\— J x d y - y d x
2 C2
2 L
2 c,
1 f2 »
i f° r
,
= —J 0 h— I l a ( r - s e n / ) a s e n r - a ( l - c o s / ) a ( l - c o s / ) m í
2 0
2
i ,
i ,
fo
2
2
fl
fO
2 2
: — I ( ís e n r - s e n / - l + 2 c o s r-c o s t)dt = — I (/se n í + 2 c o s í-2 W r = 37ra u
2 z»
2 2*
G
|7.1?
Ejercidos Propuestos,)
1)
Aplicando el Teorema de Green, calcular la integral
C
"7
7
7
(x + y )dx + (x + y )dy, si C es el
contorno del triángulo con vértice: A (l,l), B(2,2), C(l,3) recorrido en el sentido contrario de
las agujas del reloj.
4
R pta. —
3
835
Integrales Curvilíneas o de Linea
2)
Aplicando el Teorema de Green, calcular al integral ji - x 2yd x + x y2d y , donde C es la
circunferencia x 2 + y 2 = R 2 recorrida en el sentido contrario al de las agujas del reloj.
Rpta.
3)
Aplicando
la
fórmula
de
R 2n
Green,
calcular
la
integral
ji -yjx2 + y 2dx + ){xy + ln(x + ^jx2 + y 2 )]dy, donde C es el contomo del rectángulo 1
Rpta. 8
0 < y < 2.
4)
Aplicando el Teorema de Green, calcular la integral
j
x 2)ydx+ x(\ + y 2) d y , donde C es
R
2
2
2
el contorno dado por x + y = R .
5)
4,
Rpta. ------
Aplicando el Teorema de Green, Evaluar la integral ji
contomo de la región limitada por la circunferencia
( l x - y l )d x -x y d y ,
siendo C el
x 2 + y 2 = 1 y x 2 + y 2 = 9.
R pta. 60 7i
6)
Aplicando el Teorema de Green, calcular al integral j e x dx + xyd y, siendo C
definida por |jr| + |_y| < 2 .
7)
Aplicando
el
la curva
R pta. 0
Teorema
de
Green,
f
x 2 - + y 2(x + í)}d y ,
®
[xln(l+v2)-x2(>'-1)]í£c+[--JC
l+y2
calcular
siendo
C
la
integral
la porción de la
circunferencia x 2 + y 2 =a 2 enel primer cuadrantey enel sentidodel punto (a,0) hastael
836
8)
E duardo E spinoza R am os
Utilice el Teorema de Green para calcular la integral ^ (2x3 - y 3 )dx + (x3 + y 3)d y , donde
3n
C es la circunferencia x 2 + y 2 = 1. R p ta .---2
9)
Utilice el Teorema de Green para calcular la integral ^ - y d x + x d y , donde C es el anillo
a 2 < x 2 + y 2 < h 2 donde 0 < a < b .
10)
Utilice
el
Teorema
R pta. 2rt(h2 —a 2)
de
Green
para
calcular
la
integral
<t (3x2e y - x 2y - ^ —)dx + ( x 3e y +cos v ) d y , alrededor de x 2 + y 2 = 1.
Jc
3
n
R pta. —
2
11)
Aplicando
el
Teorema
de
£ ( 4 y - e x e o s y ) d x - ( y 2 + e x s eny)dy,
en
Green,
calcular
sentido
antihorario
paralelogramo cuyo vértices son (0,0), (2,0), (3,1) y (1,1).
12)
R pta.
alrededor
del
Mediante el Teorema de Green, calcular al integral
R pta. 0
Calcular la integral aplicando el Teorema de Green <£ (ex - x 2y)dx + 3 x 2y d y , donde C es la
2
2
curva cerrada determinada por y = x , x = y .
14)
y
integral
-8
^ (sen4 x + e 2*)úfcc + (cos3 y - e y ) d y , donde C es la curva x 4 + y A = 16.
13)
la
41
Rpta. —
70
Por los puntos A(1,0) y B(2,3) se ha trazado una parábola AmB, cuyo eje coincida con el eje
OY, y su cuerda es AnB. Hallar ^ (x + y)dx - (x —y ) d y , directamente aplicando el teorema
837
Integrales Curvilíneas o de Linea
15)
Aplicando el Teorema de Green, calcular las integrales indicadas (antihorario) alrededor de la
curva C.
a)
£ (ex —e x cos y)dx + (sen y —y)dy ,
donde C:
circuito
que
encierra la región
1 -e n
\
R: 0 < x < 7 t , 0 < y < s e n x .
R pta.---------
4
b)
£ x y 2d x - x 2ydy donde C: x 2 + y 2 = a 2
2_ 2
a n
Rpta.
2_ 2
2
2
Í e y x c os 2x ydx+ey x sen Ixydy ydonde C: x + y = a
2
2
R pta.
0
2
d)
r
X V
4 {x + y)dx + ( y - x ) d y , donde C: ~ + ' Ly = l R pta. -27tab
Jc
'
'
'
a h
e)
£ e x sen y —my,ex eos y - m).(dx,dy), donde C es la parte superior de x 2 + y 1 =ax y
2
a nm
el eje X.
R p ta .--------8
16)
Aplicando el Teorema de Green, calcular al integral jC 2(x 2 + y 2 )dx + (x + y) 2 dy , donde C
es el contorno de un triángulo, cuyos vértices están en los puntos A( 1,1), B(2,2) y C (l,3) y
4
que se recorre en sentido positivo.
17)
Calcular
la
integral
de
Rpta.
línea
aplicando
el
Teorema
de
Green
<j> (senh x —1) sen ydx - (cosh x - cos y)dy , en sentido contrario al movimiento de las
n
manecillas del reloj alrededor del rectángulo 0 < x < 2 , 0 < y < —
2
R pta. 2
838
18)
Eduardo Espinozja R am os
Mediante el
Teorema de Green, calcular la integral j> x 2 y d x + x y 1 dy , donde C es la
frontera de la región S en el primer cuadrante limitado por las gráficas y = x , y 3 = x 2 .
1
Rpta. ----198
19)
Calcular la integral aplicando el Teorema de Green £ (x + y 2 )dx + x 2 ydy
(en el sentido
positivo) donde S es la región limitada por la curva y 2 = x, | y¡ = 2x —1
20)
Calcular la integral aplicando el Teorema de Green
(* 2 + y 2 )dx + (2x + y 2 )d y , donde C
es la frontera del cuadrado con vértice (1,1), (2,1), (2,2) y (1,2).
21)
Calcular I (y —x)dx + (2x - y)dv , sabiendo que C es frontera de la región limitada por las
Jc
2
4
gráficas y = x e y = x - x .
22)
Rpta. —
X2
y2
2 2
Si R es la región interior a la elipse — h—— = 1 y exterior ala circunferenciax + y
calcular la integral de Línea j* 2xvdx+ (x 2 + 2x )d y .
23)
R pta. -1
R pta.
=4
16n
Evaluar J" (2 x 3 - y 3 )dx + (x 3 + y 3 )dy , donde C es él circulo unitario.
„
3/r
Rpta. —
2
24)
Calcular
j> (2 y 2 - x 2)dx + (3 x 2 - y 2)d y ,
donde
C
y 2 + (x - a ) 2 = a 2 .
25)
Calcular la integral de línea aplicando la formula de Green
es
él
circulo
de ecuación
839
Integrales Curvilíneas o de Linea
a)
<£
( x 2 - y 2)dx + (x 2 + y 2)dy,
donde
C
es
sem icircunferencia y = ^ r 2 —x 2 y el eje X .
b)
form ado p o r
R pta. 2r 2
sinusoide y = se n x
<£ (x+ y ) 2d x - ( x 2 + y 2)dy, donde C es el triángulo co n vértice 0 (0 ,0 ),
U tilice el teorem a de G reen p ara evaluar
f
C alcular
A (1 ,0 ) y
Rpta.
J
(1
+ t g y )dx+ (x2 +ey )d y , en d onde C e s la
frontera orientada positivam ente de la región lim itada p o r las cu rv as y = *Jx , x =
27)
la
R pta. - 4n
B (0,1).
26)
co n to m o
£ (x + y) 2dx - (x - y ) 2d y , donde C es el co n to m o form ado p o r la
y el segm ento del eje X para 0 < x < n.
c)
el
'
1
,y =
0
.
-»
-»
2
2
2
d r en donde F{x,y) = (y - x ) i + xy j y C consta de la circu n feren cia
x 1 + y 1 - 4 de (2,0) a (^¡2,^¡2) y lo s segm entos rectilíneos d e (-J2,^¡2) a (0,0) y d e (0,0) a
(2,0).
28)
R pta. j r + ^ í ^ - l )
V erificar e l T eorem a de G reen en el plano p ara ^ ( x 2 - x y 2)dx + (y* —2 xy)dy d o nde C es
u n cuadrado cuy os v értices son (0,0), (2,0), (2,2), (0,2).
29)
R pta.
8
C om probar el T eorem a de G reen e n el plano p ara ^ 2 ( x 2 + y 2)dx+ (x+ y)2 d y , d o n d e C es
el contorno de u n triángulo cuyos vértices están en lo s p u n to s A ( l ,l ) , B (2,2), C ( l,3 ) y que se
recorre en sentido positivo.
4
Rpta. ——
840
Eduardo Espinoza Ramos
30)
H allar el valor de la integral curvilínea de la fu n ció n F(x, y, z) = ( x 2, y 2, z 2 + y) según la
curva C: a(t) = (ln (r+ 2 ) , sen — t , t 2 + —) desde el punto A del plano x = 0 al p unto B del
plano z = — A, B pertenecen a C.
31)
Rpta.
In 3
10
8
C alcular e l área lim itada p o r las parábolas y 2 = x , x 2 = y .
R pta. —u
32)
2
3
2
C alcular el área lim itada p o r la elipse x = a eo s t, y = b sen t.
Rpta. n ab
33)
C alcular el área del cuadrilátero que tiene po r vértice (0,1, (4,5), (1,6), (-1,1).
45
Rpta. — u
2
3
34)
C alcular el área de la figura lim itada p o r el co ntorno O A B C O si A (l,3 ), B (0,4), C (-l,2 ),
0 (0 ,0 ), OA,
BC,
CO son los segm entos d e las rectas y A B es el arco d e la p aráb o la
2
y =4 - x .
25
R pta. — u
2
6
■35) C alcular el áre a lim itada p o r
la cardioide x = 2 r eo s t - r eos 2t. y = 2 r sen t - r sen 2t.
Rpta. 6rtr
36)
3
2
3
H allar el área de la figura lim itada p o r la línea x + y = axy.
a
2
R pta. — u
6
2
841
Integral de Superficie
CÁkITULO VJII
8.
. IN T E G R A L P E S U P E R F IC IE ,
8,1 'Representación Implícita y Explícita de SuperfieiesJ
Se
conoce
que u n a superficie S se puede representar en la form a S:
F (x,y,z) = 0, p o r
ejem plo: 2x2 +3y2 —z = 0, donde x, y, z
son
coordenadas cartesianas d e R 3 , adem ás
2x 2 + 3y 2 —z —0
de
nivel
es
una
superficie
cero d e
la
fu nción
escalar
F(x, y, z) = 2x2 + 3 y 1 - z .
T am bién conocem os que el gradiente V F(x,y,z) es un v ecto r norm al a la superficie S en
(x,y,z) e S siem pre que V F(x,y,z) * 0; y p ara que la superficie S ten g a un a ú n ica norm al en
cada punto, la función F debe de ser de clase C 1 (es d ecir sus prim eras d eriv ad as p arciales •
deben ser continuas) y p o r lo m enos
diferente de cero.
-»
una de estas tres deriv ad as p arciales d eb e d e ser
L uego u n vector norm al unitario a S es
VF
-»
N=
VF
„ así co m o tam bién
|V F |
- N = - ,_■■■■: , bajo estas condiciones dadas a F tam bién asegura la existen cia d e un p lano
M
tangente a la superficie S en el punto (x, y, z) e S
842
Eduardo Espinoza Ramos
A la expresión S: F(x,y,z) = O se denom ina un a representación im plícita d e la superficie S.
T am bién es posible hallar una representación explícita de la superficie S d e la form a:
S: z = g(*.y)
a la cual siem pre es posible asociarle una representación im plícita.
(S :
F(x,y,z) = 0
definiendo la función F com o F(x,y,z) = g(x,y) - z
f e j ' Répre^ntación' Paramétriea de una SuperficfeJ
Sabem os que una curva en el plano puede ser representada p o r u na ecuación de la form a:
C:
f(x,y) =
0
,
p o r ejem plo, la circunferencia unitaria
C: x 2 + y 2 = 1 ,
que resulta ser una curva de nivel cero de la íunción
f ( x ,y ) = x 2 + y 2 —1 .
Integral de Superficie
843
T am bién sabem os que es posible expresar la curva C m ediante un a representación
param étrica com o:
x = cosr
{
,
r
,
t e [0 , 2 n ];
y = sen/
esta representación param étrica determ ina una función vectorial continua r(t)
definida p o r r :
[o,2n]-------->7
?2
d e v ariab le t
, tal que: r(t) = (x(i),y(t)) = (c o sr,se n r)
E n form a sim ilar se puede representar param étricam ente curvas en R ,
r(t) = (x(t),y(t),z(t)), p o r ejem plo; la hélice circular r(t) = (c o sí,se n t,t) .
En
form a
sim ilar
es
p ara
el
caso
de
las
superficies
que
p u ed en
representarse
param étricam ente, p ero en este caso debe estar en térm inos d e d o s parám etros.
Definición de
Sean x, y, z funciones de u y v continuas en su dom inio D d el plano u v.
L a superficie S es el conjunto de puntos (x, y, z) d ado por:
r(u,v) = x(u,v) i + y(u,v) j+ z ( u ,v )k , que se llam a una superficie param étrica.
Las ecuaciones x = x (u,v) , y = y (u,v) , z = z (u,v) so n las ecuaciones p aram étricas d e la
superficie S.
844
Eduardo Espinoza Ramos
Si S es una superficie param étrica d ad a p o r la función vecto rial r entonces S e s reco rrid a
—f
p o r el vector de p osición r (u, v) cuando el punto (u,v) se m ueve en el dom inio D.
E je m p lo .-
Identificar y hacer u n esbozo de la gráfica de la superficie p aram étrica S d ad o p o r
r ( u ,v ) = 3 c o s u » + 3 s e n u y '+ v J t , donde 0 5 u S 2 r t y
0£v£4
S olu ció n
C om o x = 3 co s u
, y = 3 sen u, p ara ca d a punto (x,y,z) d e la superficie; x e y están
relacionados p o r al ecuación x 2 + y 2 = 9 , e s d ecir que ca d a sección d e S p aralela al p lano
X Y e s un circulo d e radio 3 centrados en el eje Z , al ser z = v , c o n
0
£ v £ 4 la superficie es
u n cilindro circular recto de altura 4.
N o ta .-
E n fo rm a sim ilar a lo que o curría en las representaciones p aram étrícas d e las curvas, e n las
superficies hay m uchos conjuntos de ecuaciones p aram étrícas que representan a u n a
superficie.
Integra/ de Superficie
E je m p lo .-
845
Identificar y dibujar la superficie param étrica S dada por:
-f
r (u , v) = s e n u .c o s v i + se n u .se n v 7 + co sw ¿ donde 0 <
u
<
tc y
0 <
v
< 2 tc
S olución
P ara identificar la superficie, utilizarem os identidades trigonom étricas co n el fin de e lim in a r .
el parám etro x
7
7
7
7
7
7
7
7
+ y +z = s e n u .co s v + sen u .se n v + co s u
= s e n 2 w(cos 2 v + s e n 2 v ) + c o s 2 u = s e n 2 u + c o s 2 u
= 1
p o r lo tanto ca d a punto de S está en la esfera u nitaria centrada en el orig en
f8,4 '{‘Hallar Ecéáclones Paramétrlcas p'^ra las SupierflcfesJ
E n los ejem plos anteriores se pedía identificar la superficie d ad a p o r unas ecuaciones
param étricas. A hora el problem a es inverso, es d ecir d ad a la ecuación d e u na superficie se
tiene que encon trar las ecuaciones param étricas, u n caso sencillo es cuando u n a superficie es
dada en form a expficita z = f(x,y) su representación param étrica es:
846
Eduardo Espinoza Ramos
E je m p lo .-
E scríba las ecuaciones param étricas p ara e l cono z =-\jx2 + y 2
S o lu ció n
C om o z = f ( x , y ) = T¡x2 + y 2 entonces x e y so n lo s parám etros p o r lo tanto el cono tien e ■
u n a representación dado p o r la íunción vectorial.
r(x ,y ) = x i+ y j+ -\¡12
x + y 2 k , donde (x,y) v aría en todo el plano X Y .
O tro tipo de superficie fácil de representar en form a param étrícam ente e s el d e las superficies
de volum en, concretam ente, para representar la superficie gen erad a al g irar la g ráfica
y = fi[x), a < x < b entorno al eje X , usarem os: x = u, y = f(u) co s v, z = f(u) sen v, d onde
a^u^b
E je m p lo .-
y
0
¿ v¿
2
tc
E scribir las ecuaciones param étricas p ara la superficie d e revolución o b ten id a al hacer
girar f [ x ) = — ,
x
1 <. x < 10 entorno al eje X.
S olu ció n
x = u, y =
cosv
senv
u
u
, donde
1
<u <
10
,
0
¿ v¿
2
tc
D arem os las representaciones param étricas d e las siguientes superficies:
1)
P ara la esfera x 2 + y 2 + z 2 = R 2 sus ecuaciones param étricas son:
r(u, v) = (/? s e n u .c o s v ,/? s e n u. s e n v ,/? c o s u), 0 <
x = u s e n v .co su
S : • y = a senv. sen « ,
z = ccosu
I
0< , u < 2 n
u
<
tc
, 0 ¿
v
¿2
tc
847
Integral de Superficie
3)
x = a cosh v.cos u
a
x = a senh v. eos u
y =b senh v. sen u
c
v e /?
x2
v2
- y + —^
D el hiperboloide de dos hojas
S:
c
0 < u <2 k
y = h c o s h v .s e n u ,
z = c senh u
4)
x2
v2 z 2
— + —¿------ j = ^ sus ecuaciones param étricas son:
D el hiperboloide de una hoja
1
,
z2
^ = -1
sus ecuaciones p aram étricas son:
< u < 2n
v e < - < » ,o o >
z = ccoshv
5)
X2
y2
D el paraboloide elíptico z = - y + —-- sus ecuaciones param étricas son:
a
x = av. eo s u
v = h v .sen u ,
b
u e [0 , 2 tc]
r
v e [O.oo >
z =v
6
)
y2
x2
D el paraboloide hiperbólico z = —-— -=y- sus ecuaciones p aram étricas son:
a
b
x = a v .c o s «
S:
= hv. sen u
,
u e [0 ,2 tc]
v e [ 0 ,o o >
z = v2 cos2 u
7)
x2
v2
D el cilindro eh'ptico recto — + — =
a
S:
x = a .c o s u
y=b.senu ,
z=v
b
u e [0 , 2 tc]
v e < - o o ,o o >
1
sus ecuaciones param étricas son:
Eduardo Espinoza Ramos
848
fes
—>
—>
—►
—>
r ( u ,v ) = x (u ,v ) i + y(u, v) j+ z ( u ,v ) k
Sea S una superficie param étriea dado por:
sobre
u n a región abierta D en la que x, y, z tienen derivadas parciales continuas, las derivadas
—>
parciales de r co n respecto a u y v
se define así:
dx(u, v) 7
8v(u, v) 7 dz(u, v) 7 *
ru = ------------ 1 + —---------- / + ------------ k :
du
du
du
dx(u, v) 7 8v(u, v) “* dz(u, v) 7
rv = ------------ 1 h—:----------j -h------------- k
dv
dv
dv
cada una de estas derivadas parciales es una íu n ció n vectorial in terp retad a geom étricam ente
en térm inos de vectores tangentes, es decir:
—i
si v = v 0
se m antiene constante, entonces r ( u , v 0 ) es un a íu n ció n vectorial d e u n único
parám etro y define una curva Cj en la superficie S.
El vecto r tangente a Q en el punto (x (u 0, v 0 ) ,y ( u 0, v 0 ) ,z (u 0, v0 )) viene d ad a por:
x
3x(u 0 , v 0 ) 7 ^ ( u 0 ,v 0 )
ru(“ o .vo) = ----
«+
CU
7
dz(u0,v 0) 7
J+---------
CU
k
CU
—>
en form a análoga si u = u0 se m antiene constante
r ( u 0 ,v ) es un a íu n ció n vectorial d e un
único parám etro que describe una curva C 2 en la superficie S.
E l vector tangente a S en el punto (x (u 0 , v 0 ),y(u 0 , v 0 ),z{u0, v0 )) viene dado por:
849
Integral de Superficie
Si el vector norm al ru*rv no es 0 para algún (u,v) e D, la superficie S, se d ice que e s suave
y tendrá plano tangente.
N o ta.-
U na superficie es suave si no tiene puntos angulosos ó d e tip o cúspide, p o r ejem plo: la esfera,
el elipsoide y los paraboloides son suaves, m ientras que el cono no lo es.
jfcfe
Vector Norma] a úna Siiperfkig Paramétriieai Suavej
r (u, v) = x (u , v) i +y(u, v) j+ z(u,v) k , definida
Sea S una superficie param étrica suave
sobre una región abierta D del plano U V . S ea (u 0, v0 ) un punto de D, un v ecto r norm al en
el punto
(x 0, _y0 , z 0 ) = (x (u 0, v 0 ),^ (u 0 , v 0 ),z(n 0. wo )) viene dado por:
i
dx
M = ru(u0,v0)xrv(u0,v0) =
du
dx
dv
E je m p lo .-
H allar
una
ecuación
del
r (u, v) = 2u cos v i +3u sen v j+ u
plano
J
dy
du
dy
dv
k
dz
du
dz
dv
tangente
la
superficie
k en e l punto (0,6,4).
S o lu ció n
E l punto del plano U V que se aplica en el punto (x, y, z) = (0,6,4) es (n, v) = (2,—) ; la
derivada parcial de r e s :
el vector norm al es:
P : N .(x - 0,y -
6
ru = 2 c o s v i + 3 s e n v j+ 2uk
-*
->
->
-♦
rv = —2u se n v i + 3u cos v j+ O k
^ ( 2 , - ) = (0,3,4)
Í ( 2 , | ) = M , 0 ,0 )
i
j
k
N = ru i rv = 0
3
4 = (0 ,-1 6 ,1 2 ) = -4 (0 ,4 ,- 3 )
-4
0
0
,z - 4 ) = 0 de donde P : (0,4,-3).(x, y - 6 , z - 4 ) = 0
P : 4 y -3z = 12
850
Eduardo Espinoza Ramos
una Superficie Párai
Sea S u n a superficie param étrica suave
r(u,v) = x(u,v) i+ y(u,v) j+ z(u ,v )k definida
sobre u n a región abierta D del plano U V , si ca d a punto d e S co rresponde exactam ente a un
punto del dom inio D , e l área d e la superficie S se define com o:
donde:
dx~* dy
dz
ru = — 1 +— / + — k
“ du
d u J du
dx~t dy “í dz~?
rv = — 1 +— j + — k
dv
dv
dv
para el caso d e u n a superficie d ad a po r la ecuación z = f(x,y), cuya param etrización es la
—
>
—f
—i
r ( x , y ) = x i + y j+ f ( x , y) k definida sobre la reg ió n R del plano X Y de
—
*
función vectorial
~~f
—
>
—
>
donde rx (x,y) = i + f x (x,y)k ,
Se observa que:
rxxr =
*
j
1
0
0
1
—
♦
—
>
—
f
ry (x,y)= j + f y ( jc, y)k
k
f x (x,y)
f y (x.y)
|| rxxry || = -Jl + f x (x, y) + f y ( jc, y ) , de d o nde e l área de la superficie S es:
A S ) = J J l K *ry || dA = { J ^ /l + ( f x (x, y ))2 + ( f y (x, y)) 2dA
R
E je m p lo .-
R
H allar el área d e la esfera unitaria d ad a p o r la ecuación siguiente:
—
►
—
>
—
>
r(u,v) = senu.cosvi+senu.senv j+ co su k ,
S olución
Calculando las derivadas parciales de r («, v ):
donde
e ld o m in io D esta d ad a p o r
851
Integral de Superficie
ru ( u, v) = e o s u .e o s v i + eos u. sen v j - s e n u k
rv(u,v) = - s e n u. sen v i + sen u .c o s v j+Ok
el producto vectorial de estos dos vectores es:
j
»
eo s u eos v
e o s u sen v
- sen u. sen v
sen u. c o s v
*
2
—sen u = sen n .c o s v i + s e n
2
u .se n v j+ s e n u .c o s u H
0
II ru x rv II= "\/sen4 t i . e o s 2 v + sen4 t i . sen 2 v + sen2 t i . e o s 2 u
= -y/sen4 w(cos2 v+sen2 v)+sen2 «.eos2 u = -Jsen4 u + sen2 «.eos2 u
= ^jsen2 « (s e n 2 w + c o s 2 u) = s e n u
A = J J || ru xrv || dA = J J sen ududv = J
E je m p lo .-
, senu>
0
p ara O ^ u ^ t c
(J sen udu)dv = 4 n u 2
H allar el área d e la superficie del toro dado p o r la ecuación:
—►
-»
-»
-»
r (u, v) = ( 2 + eo s u ) eo s v / + ( 2 + eo s u ) sen v j + s e n u k , d o n d e el dom inio D viene
determ inado p o r
0
¿ u¿
2
tc y
0
¿ v^
2
tc.
S o lu ció n
—
f —>
C alculando sus derivadas p arciales de ru , rv .
->
->
->
—>
ru = - s e n i i .c o s v i - sen ti. sen v j+ eos u k
-»
—>
—*
rv = - ( 2 + eo s u ) sen v i + ( 2 + eo s u) eos v j+Ok
el p roducto v ecto rial d e e sto s vecto res es:
852
Eduardo E spinoza R am os
i
j
—seru/.cosv
—senu.senv
*
cosu
- ( 2 + cosw)
( 2 + co si/)co sv
0
Br u x r v ||= ( 2 + c o s u h /c o s 2 v .c o s 2 i/ + s e n 2 v .c o s 2 i/ + s e n 2
A = j j ü ruxrv II dA = £
D efin ició n .-
Sea
( £ ( 2 +cosu)du)dv =
S u n a superficie
de
u
= 2+ co sí/
( 2 i/+ s e n i/) j
ecuación
£/v = J"4ndv = 8n2
z = g(x, y) y R e s la proy ecció n
sobre el plano X Y , cuya param etrización d e la superficie S es:
—►
—♦
—►
—>
r ( u, v) = x(u, v) i +y(u, v) j + z{u, v)k
y sea f u n a función continua e n S entonces la integral
d e superficie de f sobre S es:
J J / ( * . y , z ) dS = JJ f ( r ( u , v)) || ruxrv || dudv = JJ f(x ,y ,g (x ,y )J 1+ g \(x ,y ) + g 2y(x,y)dxdy
E je m p lo .-
E valuar la
integral
de superficie
j j ( y 2
+2yz)dS
siendo S ta p a r te d el plano
s
2
x +y+
2
z=
6
e n el prim er octante.
S olución
C om o S: 2x + y + 2 z =
donde g x (x,y) = -
1
6
,
^
S: z = - — — —— = g{x,y)
g v(x,y) = ~
+gx(x.y)+gy(x,y) =^jl+l+^
853
Integral de Superficie
J J ( y 2 + 2yz)dS = J j | V
+ 2y(6 2*
= ^ j j ( 6 y ~ 2xy)dxdy
R
y ) ^ \ + \ + ^d x d y
=|J0(¡6y-2xy)dy)dx = ^ j o (3y 2 - x y 2) / ^ 3x dx
=ó£(3- x ) 3dx =-|(3-*)4/3o
E je m p lo .-
C alcular J J dS sobre la p arte z > 0 , de la esfera x 2 + y 2 + z 2 = a 2 .
s
S olución
L a ecuación param étrica de la esfera es: r(u,v)
com o z > 0, entonces
=
a sen
ti. eo s
v i + a sen ti. sen v j+ a eo s u k
0 < ti < — , 0 < v < 2n el elem ento diferencial dS d el área d e la
2
—> —»
—»
—»
-»
->
superficie es dS = ru xrvdudv de donde: ru = a eos neos v i+ a eo s u sen v j - a sen u k
->
->
-f
-f
rv = —a s e n usen v i + a s e n u c o s v j+Ok
i
j
a cosa, cosv
a c o s a , sen v
*
-a s e n tí
- a sen u sen v
a sen ti c o s v
0
ruxrv = a 2 s e n 2 u c o s v i - a 2 s e n 2 tis e n v j + ( a 2 s e n a eos u e o s 2 v + a 2 sen u eo s u s e n 2 v)k
= a 2 s e n 2 ii( c o s v i - s e n v y ) + a 2 se n tí c o s ti/t
I
r u x r v ||= V o 4 s e n 4 u e o s 2 v + a 4 s e n 4 ti s e n 2 v + a 4 s e n 2 ti e o s 2 u
= -Ja4 s e n 4 u (c o s 2 v + s e n 2 v ) + a 4 s e n 2 tic o s 2 ti
= -\Zfl4 sen4 ii + a 4 sen2 ticos2 ti = -J a 4 sen2 ti(sen2 ti + eos2 ti) = a 2 sentí
854
Eduardo E spinoza R a m o s
entonces ds =|| ruxrv \\dudv = a 2 s e n ududv
^ d s = ^ \ \ r u*rv \\dudv = J J a 2 sen ududv
S
R
R
= J ( J * a 2 senudu)dv = - a 2
c o s u j 1 dv = - a 2 j ^ ( 0 - \)dv = a.2n
Si la {unción f definida sobre la superficie S es sim plem ente fix , y, z) = 1, en tonces la integral
d e superficie proporciona el área de las superficie S.
Á rea d e la superficie = J J *
p o r o tra parte, si S e s una lám ina de densid ad variable y p (x, y, z) e s la d en sid ad e n el
punto (x, y, z) entonces la m asa de la lám ina vien e d ad a p o r
M asa d e la lám ina = J J p (x , y, z)ds
E je m p lo .-
U na lám ina superficial S viene d ad a p o r z = 4 -2 -J x 2 + y 2 , 0 <, z < 4 . E n c a d a punto
de S la densidad e s proporcional a la d istan cia del punto al eje Z, calcu lar la m asa d e la
lám ina.
S olución
P royectando la superficie S sobre el p lano X Y se obtiene
R x 2 + y 2 <4
p ( x , y ,z ) = k ^ x 2 + y 2
y
usando
integral de superficie se tiene
m=
JJ P(*. y>z)ds = J J k-\x2+y 2J
donde g(x, y) = 4-2^Jx2 + y 2 => g ,( x ,y ) =
2x
+ g 2(x, y) + g 2
y {x, y)dA
1
g v(*>y) =
2v
la
855
Integral de Superficie
= frJf-J*
=
2
V dxdy =^fJ"-v/5 ^jx1 + y 2 dxdy
+.V 2
(^rrdr)dQ = k ~ ¡ 5 | dQ = 16^ * n
Orientación de una Superficie]
Al usar integrales curvilíneas p ara calcular el trabajo, desarrollarem os la form a vectorial de
una integral de línea I F .T
. .ds, donde el vecto r tangente unitario T indica la orientación
positiva a lo largo de C, en form a sim ilar usarem os vectores norm ales u nitarios para indicar
una orientación sobre un superficie S en el espacio.
a)
D efinición.-
U na superficie es “orientab le” si se puede d efinir en todo punto de S
que no esté en la frontera un vector norm al unitario N de m odo tal
que los vectores varíen de form a continua sobre la superficie S.
U na superficie orientable S tiene dos caras distintas, orientar a la superficie consiste en
escoger uno de los dos posibles vectores norm ales unitarios.
Si S es una superficie cerrada, tal com o una esfera, se suele escoger com o vector
—►
norm al unitario N el que apunta hacia fuera.
Las superficies m ás com unes, esfera, elipsoide, paraboloide y planos son orientables,
adem ás en una
superficie
conveniente para hallar
un
orientable
vector
el
vector
unitario
gradiente p ro p o rcio n a un m étodo
p ara
un a
superficie
orientable
S
dada p o r z = f(x,y), sea F(x,y,z) = z - f(x,y), entonces S adm ite las d o s orientaciones
asociadas a los dos vectores norm ales unitarios.
856
Eduardo Espinoza Ramos
V F (x , y , z )
~ f x ( x , y ) i ~ f y (x
||V F(x,y,z)||
J l + f 2(x,y) + f
N=
,y )j+ k
, norm al unitario h acia arriba.
N =-
2(x,y)
V F (x, y , z )
f x(x,y) i + f y (x,y) j - k
¡V F(x,y,z)||
J l + f 2(x ,y ) + f ¿ ( x , y )
, norm al unitario hacia abajo.
E n form a sim ilar, podem os usar los vectores gradientes
V F (x ,y , z) ,
F (x, y, z) = y - f(x,z)
para orientar superficies dadas p o r
; V F(x, y ,z )
,
F(x, y, z) = x - f{yz)
y = fl[x,z) ó
x = f(y,z)
|8.10 Integrales deFhijoJ
U na de las aplicaciones principales que perm ite la form a vectorial de las integrales de
superficies, tiene que ver con el flujo de un fluido a través de una superficie S.S upongam os
—►
una superficie S inm ersa en u n fluido que tiene un cam po de velocidades continuas F .
—►
Sea AS el área de un trozo pequeño de la superficie S sobre el cual F es aproxim adam ente
constante.
E ntonces, la cantidad de fluido que atraviesa esta región p o r unidad d e tiem po viene
—f —►
aproxim ada po r el volum en de la colum na de altura F . N , esto es
—> —►
AV = (altura)(área de la base) = (F.N)áS
857
Integral de Superficie
p or lo tanto el volum en del fluido que atraviesa la superficie S p o r u n id ad d e tiem po
—►
(conocido com o flujo de F a través de S) viene dado p o r la integral de superficie de la
definición siguiente.
8,11-. Definición de Integra} de.
Sea
F(x.y,z) = P(x.y.z) i +Q(x,y,z) j+ R (x ,y ,z ) k ,
donde P, Q , R tienen derivadas
parciales prim eras continuas en la superficie S orientada m ediante u n v ecto r norm al unitario
—
►
—
>
N . L a integral de flujo de F a través de S viene dado por:
ff —
►—
»
JJF .N d s
s
G eom étricam ente, una integral de flujo es la integral de superficie sobre S de la com ponente
—>
norm al de F. Si p(x, y, z) es la densidad del fluido en (x, y, z) entonces la integral d e flujo
\ \ p F . N ds representa la m asa de fluido que fluye a través de S p o r unidad d e tiem po.
s
858
Eduardo Espinoza Ramos
E je m p lo .-
2
z = 4 —x - y
Sea S la parte del paraboloide
2
situado sobre el plano X Y , orientado
p o r un vector norm al unitario hacia arriba, com o se indica en la figura, un fluido de
—►
—► —> —
>
densidad p fluye a través de la superficie S según el cam po de velocidades F (x,y,z) = x i + y j +z k .
H allar la razón de flujo de m asa a través de S.
S olución
P royectando
S
S: z = 4 - x 2 - y
sobre
2
el
plano
XY
tenem os
entonces
F{x,y,z) = z - 4 + x 2 + y 2 .d o n d e R: x 2+ y 2 <,4
^
—►
Y
V F (x , y, z)
^
|V F ( x ,y ,z ) |
com o
—
> —>
2x i + 2y j+ k
tJi + 4 x
+4y2
S: z = 4 - x 2- y 2 => g(x,y) = 4 - x 2 - y 2
de donde gx(x,y) = - 2 x , gy ( x ,y ) = -2 y
ds = -Jl + g 2(x,y) + gy(x,y)dA = -Jl + 4 x 2 +4y2dA
JJp F .N d s = pJJ f
s
R y 1+4*
+4 y
.J \+ 4 x 2+ y 2dA
= p J J (2x2 +2 y 2 +z)dA = p J J (2x2 +2 y 2 + 4 - x 2 + y 2)dxdy
R
R
= p j f ( 4 + * 2 + y 2)dA= p \ 2\ \ \ 4 +r 2)rdr)d6 = p j ^ ^ ( 2 f 2 + y ) J^dB = 12;r p
R
Nota.- A las integrales de flujo podemos escribir en forma simplificada.
859
Integral de Superficie
8J2 . Definición Cálculo de
Sea S una superficie orientada dado p o r z = g(x,y) y sea R su proyección sobre el p lan o X Y .
o
í í p F .N ds = \ \ F .(-g x (x,y)
U) í í F .N ds= íf F-(gx(x <y)
E je m p lo .-
1
i - g y (x,y) j+ k)dA (orientada h acia arriba)
+ g v( x ,y ) j —k)dA
(orientada hacia abajo)
2
H allar el flujo a través de la esfera S d ad a por: x + y
7
7
2
+z = a .d o n d e F es el
cam po cuadrático inverso F ( r ) = II /"II 2 I M I
II r t f
Supongam os S orientada hacia afuera, com o en la figura.
S olución
Sólo es necesario calcu lar el flujo p o r el hem isferio
superior z = g(x, y) = -ja2 —x 2 - y 2 p u esto que la
esfera y el cam po son sim étricas respecto al origen.
L a p royección de este hem isferio sobre el p lano X Y es
la región circular R d ado por:
com o
las
x 2 + y 2 <, a 2, adem ás
derivadas
—x
,gv(*,y) =
gx(x >y) = n
j a - x 2 - y 2 ,e,y
parciales
-y
no son continuas en la fro n tera de R.
C onsiderem os una región circular m ás pequeña Rb d ad a por: x 2 + y 2 <, b2 donde 0 < b < a,
860
Eduardo Espinoza Ramos
q(x i + y j + z k )
-*
Luego: F(x,y,z) = — i
5
2
q(x i + y j + z k )
^ 3/2 = ------------- 3----------- > entonces el flujo d el hem isferio
—>
—>
í + v j +z k )
x i +y j
------------- 3 ----------- ( i
a
-*•
+ k)dA
J a 2- x 2- y 2
o1
. a .
—
JJ( f ' ^ >
ü v v . 2-* 1- /
ff*
+ .V
+ a
“ *
,,
dxdy
9 ff
= *”L9jJ—
rrr— 1 — r- ^ =b/™JJ“fT==r =
/fc
a Ja - x - y
^a a ^ J a 2 - x 2 -
2
J7
q Í2n ib
= lim — J
í.íf l 0
= lim —
b—
>a Q
=
2qn
J
rdr
q Í2*
(J
■■
=)d6 - lim — j - y a
Jo J a 2 _ r 2
b- * á a o
/*
I dB
o
( - J a 2 —r 2 + a)d6 = lim — ( a - J a 1 —b2 )2n
b-*a a
0
lim
7
—r
b2
2qn
.
fc-+a a + J a 2 - b 2
p o r lo tanto el fluj o sobre to d a la esfera es
a
a2
(-----—) =
2
T
7
a +0
JJF. N ds = 4 n q
s
O b se rv a c ió n .-
El teorem a de la
integral
divergencia
div F.dv es
triple
establece que, en cond icio n es adecuadas,
igual a la integral do b le
—>
—>
donde
s
d
—>
JJF .N ds,
la
—>
F(x,y,z) = P(x,y,z ) i + Q(x,y,z) j+ R (x ,y ,z ) k co n P ,Q , y R funciones con tin u as en (x, y, z) que
dP dQ dR
tiene derivadas parciales — , — , — de p rim er o rden continuas.
dx dy dz
integral de Superficie
861
Sea D una región sólida lim itada p o r una superficie cerrada S o rientada p o r un v ecto r norm al
unitario dirigido al exterior d e D.
Si F es un cam po vectorial cuyas funciones com ponentes tien en derivadas p arciales
continuas en D, entonces:
| \ ^ . N d s = \\\d iv F .d v
D e m o s tra c ió n
—>
—>
—>
—>
Si hacem os F(x,y,z) = P(x,y,z ) i + Q(x,y,z) j+ R (x ,y ,z ) k el teorem a d e la diverg en cia
adquiere
ff
-* “*
-* -»
f f f dP dQ dR
la form a: JJ (p i ,N+ Q j .N + R k .N ) d s = JJJ (— -+——+-— )dVS
s
D
p o d em o s
^
dem ostrar este resultado verificando que las tres ecuaciones siguientes son válidas.
f f p 7 N d s =¡ ¡¡ ^ d V
S
D
Í Í Q jN d s =í í ¡ ^ d V
S
D
^
\ \ R k N d s =\ \ \ ^ d V
S
D
Com o la com probación de las tres ecuaciones son sim ilares, tratarem os solam ente d e la
tercera, p o r la tanto restringirem os la dem ostración a un a región só lid a sim ple co n superficie
superior z = g 2(x,y) y superficie inferior z = gl (x,y), cuyas p royecciones en el p lano
X Y coinciden y form an la región R.
862
Eduardo Espinozfl Ramos
Si D tiene una su perñcie lateral sem ejante a Sl en la figura, entonces un v ecto r norm al es
—> —>
horizontal, p o r tanto R k N = 0. E n consecuencia tenem os:
s,
s
s2
En la superficie superior S2 la norm al hacia el ex terio r se dirige hacia arriba, m ientras que la
superficie inferior S{ la norm al hacia el exterior esta orientada hacia abajo, p o r la p arte (9.9)
tenem os:
JJfl k N ds = JJR(x,y,z)
S¡
k)dA
R
^
= - J J R(x, y, z)dA = - J J R(x, y, g , (x, y))dA
R
R
, ff„,
J J R k . N d s = j ) R(x,y,z) k (
R
= JJ
R
—
i
<&2(*.>o-r
?.,,
—
j + k)dA
^
y, z)dA = J J R(x, y, g 2(x, y))dA
R
Integral de Superficie
863
sum ando estos d os resultados se tiene:
\ \ R Í N d s = J J R(x,y, g2(x,y)) dA - J J r t ( x ,j \ g, (x,y)) dA
= JJ [R(x,y,g2(*,>0) - R {x ,y tgl (x,y))] dA = JJtJJ^ ** ~
R
R
dZ]dA =
JJJ^
D
‘ ’
\\R k .N d s =\ \ \ ^ d V
AV
...( a )
análogam ente p ara las integrales
\\p 7 .N d s^ \] ^ -d V
„ .( P )
¡¡Q lN d s =¡ ¡ ¡Q d V
5
D
...(y )
al sum ar ( a ) , ((3), (y) se tiene:
j j p ? N d s + \ \ Q j N d s + J J /1 * N d s = Í Í Í ^ d V + \ \ \ ^ d V + \ \ \ ^ - d V
D
dx
DJ
D
dy
1
dz.
J J ( P ^ + Q j + R k ).Nds = J J J ^ ^ +~fo+~fe)dV
D
s
J J F{x,y,z).N ds = J J J divF(x,y,z)dV
E je m p lo .-
V erifique
el teorem a d e
la
divergencia p ara
—
*
F(x, y, z) = x i + y j + z k .
Solución
la
esfera
2
2
2
x +y +z =a
2
y
864
E duardo Espinozfl R am os
J J J div(F)jiv —J J J 3 dv = 3 ( y na 3 ) = 4a 3 n
...
La norm al unitaria exterior a S: f ( x , y , z ) = x 2 + y 2 + z2 - a
N=
A F(x,y,z)
2(x i + y j + z k )
|A F (x ,j> ,z )|
T¡4(x2 + y 2+ z2)
(1)
es
x i+ y j+ z k
f ¡ F . N d s = j j ( x 7 + y J + z k ) X ‘ + y J + Z * ds = - ¡ ¡ ( x 2 + y 2 + z2)ds = JJa£&=aJJrfi
C om o 5 : x 2 + y 2 +z2 = a 2 => ds=
) 2 + ( — ) 2dA
dr = - |fl + (—
dx
dy
T om ando la p arte superior de la esfera.
dz
4a1- x 1- y 1
Z =y]a2 - x 2 - j
dS =
2
F
—X
2
—x —y
2
2
dz
-y
ty
4 a 2 - x 2- y 2
2
a —x —y
2
dA , d e donde
dA, tom ando to d a la esfera se tiene
adA
f ¡ F . K d s . 4 2 ¡ f l~ 2 2
2J
y a -x -y
rdr
0
J0
/ 2
Va
-r
)d6
2
Luego de ( 1 ), (2) se tiene:
JJ
dxdy
JJ
¡~2
2
T
s ya -x -y
=2a2 f 2* - 4 a 2 - r 2 /“d6
.-. JfjF.^^=ÍJJ¿
/.
J F .N .d s- J J J di'v F .rfv
S
D
(E n co ordenadas p olares)
=2a2Ja” =4wa3 ... (2)
865
Integral de Superficie
E je m p lo .-
S ea
D
la
2x + 2 y + z =
región
sólida
lim itada
por
lo s
planos
coord en ad o s
y
el
plano
-»
-»
-»-»
f f - * -*
y sea F(x,y,z) = x i + y j +z k , h allar J J F. N .d S , d e d o n d e S es la
6
s
parte superficie de D.
S olu ció n
P o r el teorem a de divergencia se tiene:
JJF .N d S = \]\d ivF .d v = ¡ \ \ ( l + 2y+l)dv
S
D
D
= 2JJJ (y + x)dy = 2J0 (J0 (J0
y ( y + 1 )dz)dy)dx
D
f3 f3-x
=
E je m p lo .-
2
63
J (J (y + 1 )( 6 - 2x-2y)dy)dx = —
o
u
2
A plicando el teorem a de G auss. H allar el flujo del cam po
*
3
3
3
2
2
2
F(x,y,z)= (x ,y ,z ) H acia fuera de la superficie S: x + y +z = 4
S olu ció n
F lujo =
JJF. N.dS = JJJdiv F.dv = J J J (3x2 + 3y 2 +3 z 2)dv = 3J J J (x2 + y 2 + z 2)dxdydz
S
D
p
D
A plicando coordenadas esféricas se tiene x= p cos 0 sen <p , y = p sen 0 sen <p . z = p cos tp
donde O < p < 2 , O < 0 < 2 r t , 0 < q > < r t , y adem ás J( p,6,<p) = p 2 sen <p
Flujo =
JJF. N.dS = 3JJJ(x2 + y 2 + z 2)dxdydz = 3 J J J p 2\J( p, 0, <p^dpd6d<p
s
D
= 3J J J p
4
D
sen^ 3 í/p í/ 0 í/fl3
(J (J
p
4
sen <pdp)d(p)dd
D
Í2 n
= 31
J0
tn
(I
J0
p
s
5
12
96 f 2 )t
ln
s e n o / d<p)d8 = — I - c o s o / dQ
' o
S O
'0
192
Í2 n
S
O
I dQ
384
=
s
n
866
Eduardo Espinozja Ramos
E je m p lo .-
Sea D el sólido lim itado por el cilindro x
11 F. N.dS,
JJi
s
H allar
donde
2
2
+ y = 4 , el plano x + z =
S
es
la
superficie
6
y el plano X Y .
de
D
y
F(x,y,z) =(x + s e n z ) i + (xy + cosz) j + e y k
S olu ció n
C alculando directam ente J J F. N ds es m uy difícil, sin
s
em bargo p o r el teorem a de la divergencia es favorable.
JJf'’.N.dS - JJJdivF.dv = JJJ(2x+x)dv =3JJJxdv
M ediante coordenadas cilindricas se tiene:
ff—
►—
>
(2n f2 f6-rcos0
fff
II F .N d S = 3 J J I xdxdydz = 3 |
*0
(I (I rcos0.rdz)dr)d0
o *0
,
'2
f27T
= 3 f ( J" r: c o s f l.r (6-rcos6)dr)d6 =
’o
Si
'o
3j
.
(16cos0-4cos 6)d6=-\2n
F(x,y,z) = P(x,y,z.) i +Q(x,y,z,) j + R(x,y,z) k , y D la región lim itada p o r una
superficie cerrada S, m ostrar que el teorem a de la divergencia expresado en co o rdenadas
cartesianas es:
JJJ‘
dp
dx
8Q
dy
dR
dz
— + —= ^ + — )dxdydz = ^ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy
D e m o stra c ió n
Si escribim os
F - P i +Q j + R k ,
en general p ara cualquier superficie S.
y
N = c o s a i + eos f) j + cos<5 k
867
Integral de Superficie
N. i ds = c o s a ds= dydz, N . j d s = eos p ds= dzdx, F .k ds = eos y ds= dxdy
com o la divergencia de F es
V F =— +
dx
JJJv F ^ v = J J J (^ + ^ + ^ )¿ c ¿ y ífe
dy
com o
(P eos a + Q eos P + R eo s y)ds =
=
s
+—
dz
$ F .d s =$ (p l+ Q j+ R k ).N .d s
Pdydz + Qdzdx + Rdxdy
s
J J f . í / s = j j Pdydz + Qdzdx + Rdxdy
divF xlv = í í í ( - - +— +~ ) d x d y d z =
í f í (— +
JJJ
dx
d
E je m p lo .-
dy
JJPdydz +
Qdzdx + Rdxdy
+ — )dxdvdz = f f Pdvdz + Qdzdx + Rdxdy
•'
JJr
dz
U sando el teorem a de la divergencia calcu lar
JJxdydz+ y dzdx + Izdxdy
d o n d e S es
s
2
u n a superficie que consiste de la superficie del p araboloide x +y
el disco x 2 + y 2 < 1 , z =
0
2
= 1 - z , 0 <,z<, l y
.
S olu ció n
G raficando la superficie S.
JJxdydz + y dzdx + Izdxdy = f f f ( — x+— y+ — z)dcdydz
- J J J ( 1 + 1 + 2 )dxdydz = 4 J J J dx dy dz
fin fl fl—r2
=
4
J0
(2n fl
,
Í2n d6
(J 0(}rdz)dr)de = 4 J o (}o( r - r 3)dr)d6 = 4}o — = 2rr
'o
*o
868
Eduardo Espinoza Ramos
U sando el teorem a de la divergencia. C alcular: j j x 2dydz + x 2ydzdx + x 2zdxdy, donde
E je m p lo .-
S es la superficie cerrada que consiste en el cilindro x 1 +y 2 = a 2, 0 < z < b.
S olución
P or el teorem a de la divergencia
J J * 3 dydz + x 2ydzdx + x 2zdxdy
= JJJ* (— x 3 + — x 2y + — x 2z)dxdydz
dx
dy
dz
(3jc 2 + x 2 + x 2)dxdydz = s J J j x 2dxdydz
=
D
= 5f
Jo
(f (f
Jo Jo
5aAb Í2n
=
I
A
J0
r 2
eos2 6 .rdz)dr)dd
=
5$ ( í br3 eos2 6 dr)d6
Jo Jo
,
5a 4b Í2¡¡
cos 6 d 6 =
I (1 + cos2
R
0
D
0
=
5aAb
sen 2 0
R
O
) í / 0 = ------- (6 +
5 bj
Vi
— e o s 2 © / d6
¡2n
)/
'O
lo
4
=-
5aAbn
8.15 Definiciones Alternas Del Gradiente, Divergertciá y Rotacional.)
El gradiente
df)
V0 = —
dx
V ./=
ih
de
una
función
escalar
<|>, escrito
g rad 41
°
V(|»T se
define:
dtp -* dtp
-*
-»
j + — k . L a divergencia de / , escrito p o r div f ó V . / se define com o
dy dz
lim— í f / -d s
vv-»o Av
donde AV es el volum en d e la región R lim itada p o r u na superficie
J s
cerrada S. E l volum en AV contiene siem pre el punto en el cual se v a a evaluar la diverg en cia
V . / cuando AV tiende a cero.
869
Integra1 de Superficie
El rotacional de / , escrito rot f ó V i / se define com o:
donde AS es la superficie lim itada p o r una curva cerrada sim ple C y N max es el v ecto r norm al
unitario asociado con AS tal que la orientación del plano de AS d é un v alor m áxim o.
O b serv ac ió n .-
El teorem a de Stokes es una generalización del teorem a de G reen en form a vectorial
para superficies y curvas en tres dim ensiones, establece que la integral de
linea
es igual a la integral de la superficie
JJ rot(F)d
s co n restricciones ap ropiadas al
vector F= P i +Q j + R k a la curva cerrada sim ple C.
x = x(t) , y = y(t) , z = z(t) , 0 < t ¿ 1 y a la superficies S: <}>(x,y,z) = 0 aco tad a p o r C.
Í8.16 Teorema de Stokeíí
—f
Sea S una superficie orientada con vector norm al unitario N , cuyo contorno es u n a cu rv a
—>
cerrada sim ple C, suave a trozos. Si F es
com ponentes tienen derivadas
un
cam po
vectorial
cuyas
funciones
parciales continuas en un a región ab ierta D, que contiene
S y C entonces:
D e m o stra c ió n
C onsiderem os una superficie S lim itada po r una curva cerrada sim ple. Se divide S en N subregiones tan pequeñas que pueden considerarse plan as co n áreas AS,, AS2,..., ASn,
puntos (x¡ , y , , z ¡ ) de AS,, de la definición del rotacional de (9.15) de:
E n los
870
Eduardo Espinoza Ramos
donde e¡ —> 0 , cuando AS¡ —> 0 y TVes el vector norm al unitario asociado co n AS¡ (ver
figura). L a sum a sobre la superficie total S da:
A hora considerem os el lím ite de esta expresión cuando N —> oo. L a frontera C¡ de ca d a AS¡
consiste en pedazos que son ó parte de la frontera C ó parte de las fronteras de las d o s subregiones adyacentes. Las integrales de línea a lo largo de curvas fronteras adyacentes se
cancelan, pues los vectores d r tienen direcciones opuestas; asi queda sobre la integral de
línea a lo largo de C p o r consiguiente:
lim
V— >00 .
x F AS¡ =
>=i
JJ
N .V F.ds =
s
JJv x
_
F.d s
5
así que cuando N —> oo
para el término restante
S
.V—>a,
1=1
Integral de Superficie
871
| Y , e¡ASi I ^ Z h M »=i
¿=i
=£ms ’
donde em =max{e.} p ero £m ->0
i=i
N
cuando N —> oo, AS¡ —> 0 , entonces lim ^ £ ¡ AS¡ —> 0
N - » 00 í=i
n
—
►—
► f -*
~*
->-»
*
V F d s = f F.d r , d s =Nds
s
—
>
E je m p lo .-
C om probar el teorem a de Stokes p ara
—
►
—>
2
—
*
F (x ,y,z) = 2z i +x j + y k , d o nde S es la
superficie del paraboloide z = 4 - jc2 - y 2 y C e s l a traza de S en el p lan o X Y .
S olu ció n
2
2
z = g(x,y) = 4 - x - y , como el v ecto r norm al N es
orientado hacia arriba
Z , dz ^
N = (~ —
dx
0
z^
dy
7
J+k )
N = 2x i +2 y j + k
í
i
d_ d_
rotF =
dx dy
2x 2y
k
d_
= 2 y i + 2 j+ k
dz
1
\ \ r o t J . N . d s = \ \ ( 2 y i +2 j + k ) ( 2 x i + 2 y j+ k ) d A = JJ(4xy +4y+Y)dxdy
S
S
s
=L 2
(4xy + 4 y + l)dx)dy= j ' 2[ 2 x 2y + (4 y + l)x ] j ^ L - f d y
= Í ( 8 y j í - y * + 2 y ¡ 4 -y 2 )dy
= [ - - (4 - y 2)312 + y ^ - y 2 + 4 a rc tg ^ ] j
=4 n
872
Eduardo Espinozja Ramos
p ara la integral de linea, param etrizando la línea C:a (r) = 2 co sr i + 2 sen t j + 0 k , 0< t< 2rt
f -»
y
f -» -»
-»
-»
f 2n
= J ^ F (a (r))a '(r)í/r = J
-
(0,2cosr,4sen r).(-2senr,2cosr,0)r/r
r2n
,
f2n
sen2 r / 2w
=4rr
= I ( 0 + 4 c o s ^ r + 0)r/r = 2 (l+ c o s2 r)r/r = 2 (r + --------- ) /
Jo
Jo
2
' 0
Si F —P i + Q j + R k , entonces
|
Jc
Pdx+Qdy + Rdz = f f [ ( - ^ - ^ ) d y d z +
JJ dy dz
dz
dx
izdx +
dx
- ^ -)d x d y ]
dy
D e m o stra c ió n
Si F = P i + Q j + R k entonces F d r = Pdx + Qdy+ Rdz y
i
VxF = A
dx
P
j
k
A
A
dy
Q
dz
R
dy
p o r el teorem a (9.16) se tiene:
dz
dz
dx
dx
dy
£ F . d 7 = \ \ \ x F . d 1 = J{V x F . N . d s
... ( 1 )
Integral de Supetjicie
=
873
(Cr,dR
30 ,
dP 3/?. , , ,dQ d P . , , .
[(—— - ) d y d z + ( - — — )dzdx + (— - — )dxdy]
JJ dy
dz
dz dx
dx dy
reem plazando (2) y (3) e n (1) se tiene:
Se
Pdx + Qdy + Rdz = f [[(— ~^9.)dvd z + ( - - — )dzdx + ( - ^ - — )dxdy]
SI dy dz
dz dx
dx dv
8.18 Ejercidos Desarrollados!
1)
C alcular el área de la superficie sobre la porción del plano
—>
—>
y —> y —>
r ( u , v ) = 2u i - — j + —k , donde 0 < u ¿ 2
y 0£v £ l.
Solución
Á rea de
la superficie JJ ds = J f '
XVy w
r(u ,v ) = 2 i + O 7 +OA, rv(u,v) = 0 i - j 7 + j *
1
j
k
2
0
0
O
A(s ) =
2)
1
1
2
2
—
= (O - 1, - 1 ) => \\r,x?v 1N V 2
JJ* =JJJ l d u d v = V JP(J¿v) = V {2*
2
2
=
2 ^ 2
C alcular el área de la superficie sobre la porción d el paraboloide.
r ( u , v ) = 4 « c o s v / ' + — y + 4 u s e n v ¿ donde
Solución
y 0 £ v ^ 2 ir.
... (3)
874
Eduardo Espinoza R a m o s
rf(.Y)=JJrfc= ÍJ» ruxrv ||
s
dudv,
donde
D
ru = 4 co sv i +u j + 4senv/t
j
, rv = -4usenv i + 0 j+ 4 u co sv k
k
4cosv
u
4senv
-4 « sen v
0
4ucosv
= (4 u2 c o s v ,-1 6 « ,4 « 2 se n v )
II ruxrv || = -\/l6u4 eos2 v + 256u 2 +16 u A sen2 v = ^ 1 6 « 4 +256u2 = 4«V«2 +16
rf(s) = J j d s = Jj*||ru xrv ||dudv = J J 4u-Ju2 + 1 6 dudv = 4 ^
s
D
(J^ u j u 2 + I6dü)dv
D
2
w /4
4 f 2 <r
2 5 6 (2 ^ 2 -1 )
= 2Jo “ (u + 1 6 ) X / 0 í /v = - J o ( 3 2 V 3 2 - 6 4 ) d v = ------ ^ --------- ; r
3)
C alcular J J
'* 2
+ y 2 - 3 z 2)ds, siendo S la superficie de la esfera x 2 + y 2 + z2 = 4 que está
p o r encim a d el plano z =
0
.
Solución
Sobre la superficie S se tiene que:
z =4-
donde
2
jc
. r¡
2
2
—>» =>z = ±Y 4 —x —
3z
-x
3z
3x
t¡4 - x 2 - y 2
&
r _=>z = Yr.4 —x ¡ — 2
■\¡4 —x 2 - y 1
)2+(^)2=Jl+—-4
T+— T =
3y
4 - x 2 - > '2 4 —x 2 -_y2
■dxdy
y ¡4 -x 2 - j
875
Integral de Superficie
JJ +y2~ 3z2)ds = JJ[x
s
r
( * 2
donde R es el círculo x
2
+y
JJ(x 2 + y 2 - 3 z V = J j8 ( x
s
+ y 2 —3 ( 4 - x 2
2
2
2
v4_x -y
+y2
^
V 4-x2 - j
*
'ln f 2
Jo
3
y = rsenG,
J (r ,6 ) = r
Jo ( r 2 - 3) - j= L = ) d O
/ - 3 z 2)<fe =8^(
C alcular
2
x = rco sé ?,
i
r
= 8 Í * ( [ [ - r - \/ 4 - r 2 +
4)
) ] - = = = £ = = dxdy
< ¡4. Simplificando
pasando a coordenadas p o lares se tiene:
JJ (* 2 +
2
r
]rfr)rf0
Jo
32
w
3
úfydz+ y 3dzdx + z 1dxdy donde S es la esfera d e centro 0 y rad io a.
s
S olución
M ediante el teorem a d e G auss.
dP
dx
dQ
dy
J J Pdydz + Qdzdx + Rdxdy = J J J (— h-------h
y
luego p{x,y,z) = x \
Q(x,y,z) = y 3,
c«
dz
)dxdydz
R(x,y,z) = z
f f x 3dydz+y3dzdx+z3dxdy = J J J 3(x 2 + y 2 + z 2)dxdydz
S
V
donde V es el volum en encerrado p o r la esfera S.
E n la integral triple pasam os a coordenadas esféricas
\ \ \ 3 p 4 sen<pdpd<pd6 = 3$
o
(J
(J p 4 sen<pdp)d<p)d6 = — n a 5
o o
5
876
5)
Eduardo E spinoza R a m o s
F (x,y.z) = 4y i + x j + 2 z k ,
Si
2
2
2
. n
2
x +y +z =a , z 2
0
\\r x F .d s ,
s
calcular
so b re
el
hem isferio
.
S olución
L a form a de la
luego
por
integral es d e la integral d e su p erñ cie,
el
teorem a
f f v x F d s = $ F .d r
la circunferencia
de
stokes
se
tiene:
= ^4ydx + xdy + 2zdz , d o n d e C es
x 2 + y 1 = a 2, z = 0 ,
dirigido com o se
m uestra en la ñgura.
L a representación param étrica d e C es x
= a co s t, y = a sen t, z = 0,
d o n d e 0<, t <,2n .
\2n
J J v x F .d s - J 4 ydx +- xdy +
+ 2 zdz = J ( 4 a sen t.(-a sen t) + acost.a c o s t )dt
o
s
2
2
a 2 eos2 tdt = a 2j
- t —4a sen t+
Q
9
fin
r f-> -»
)
j^ + c° s f _ 2 ( i _ Co s 2 t)]dt
7
( - 3 + 5 co s t)dt = -3a n
=— J
2 *
6
(eos 2 r .4 sen 2 t)dt = a 2J
-»
-»
2 -*
H allar J J F.N.ds, siendo F (x,y,z) = 4xz i - y
-»
j + y z k y S la su p erñ cie del cubo lim itado
s
p o r x = 0 , x = 1, y = 0 , y = 1 ,
z = 0 . z = 1.
S olución
P or el teorem a d e la divergencia se tiene:
JJF. N.ds = JJJV. F.dv
s
=
v
JJJ (4 z - y ) d v = Jq ( J^ \ ( 4 z - y)dz)dy)dx) = J^ ( J^
v
(2
- y)dy)dx = -
^
Integral de Superficie
7)
H allar
877
JJr . N.ds, siendo S una superficie cerrada,
s
S olu ció n
P or el teorem a de la divergencia se tiene:
| J 7 . ¡5
- J J J v . ; A . J J J ( A 7 + A 7 + A * )(17 +
S
V
V
; + z * )<ív
J
= J J J (— + — + — )dv = 3 J J J dv = 3 v ,
donde V es el volum en lim itado p o r S
y
8
)
D em ostrar jjj(4 ¡V 2y/ —\f/V24>)dv = jj(4>Vy/ —\f/V4>)d s
y
s
S olu ció n
Sea A =
y en el teorem a de la divergencia d e G auss.
J J J V (4>Vy)dv = J J (4>VV ) N.ds = J J ( ¿ V
y
s
*
s
ahora b ien V ( ^ V ^ ) = ^ ( V . V ^ ) + ( V ^ ) + ( V ^ ) =
+ (V^)(V yr)
con lo que J J J [V (^ V V )dv = J J J ^ V 2 v/ + (V *)(V vr)]rfv
V
V
ó b ie n J J J w v V + ( V M V v ,) ] = J J ( ¿ V v r ) d 7
v
s
que dem uestra la p rim era identidad de G auss, cam biando <|>p o r y en (1).
J JJ[v 'v
2 0
+ ( V v ') (V 0 )]d v = J J ( v /V ¿ ) .d *
V
restando ( 2 ) de ( 1 ) se tiene:
s
Í Í W
y
\y—y/V24>)dv = H d V v - v W . d s
s
...( 1)
878
9)
Eduardo E spinoza R am os
D em ostrar
JJJV fáv = JJ^ Nds
v
s
Solución
—►
—
►
—►
E n el teorem a d e la divergencia, harem os A = $ c , siendo c un v ecto r constante, entonces
Í Í Í V ( * c)dv = J J c . N d s
v
s
—f
—>
—►
—►—1
—>
—►
com o V (^ c ) = ( V ^ ) . c = c .V $ y $ c . N = c ( ^ N)
JJJc ^
=JJc ($ N)ds ,
v
sacando c fuera d e la integral c
s
)
H allar
0
v
com o c es u n vector constante arbitrario p o r lo tanto
10
JJJV Qdv = c JJ
Nds
s
JJJV <¡>dv= JJ$ Nds
JJr .d s , donde S es la superficie d e la esfera x 2 + y 2 + z 2 = a 1.
s
S olución
En el punto P (x,y,z) de la superficie de la esfera S, el vector d e p o sició n r = x i + y j + z k y
—►
el vector unitario exterior N norm al a la superficie S apuntan directam ente h acia el lado
*♦
opuesto del origen, es decir
—►
—»
N = er = ------- , entonces p ara p artir d e la superficie
IM I
r .N = r .
r
II r II
- = ----------- = || r || = a , y com o el área d e la superficie d e un a esfera es
II r II
II r ||
Integral de Superficie
1)
879
E valuar la integral de superficie dada:
a)
J J y d S , en donde S es la porción del plano 3x + 2 y + z =
6
co m prendida en el prim er
s
R p ta . 3-Jl4
octante.
b)
J J x d S , en d onde S es la superficie y = x 2 + 4 z ,
0
< x < 2,
0
< z<
2
.
s
„ ,
3 3 ^ 3 3 -17-V/Í7
R p ta . ---------------------6
c)
J J x < /S , en donde S es la porción del plano z = y + 3 que se encuentra en el in terio r
s
. del cilindro x 2 + y 2 = 1.
d>
R p ta .
j j ( x 2z + y 2z )d S , e n d o n d e S es el hem isferio x 2 + y 2 + z 2 = 4 , z > 0 .
s
R p ta . 16 n
e)
J J ( * 2y +
z 2 )d S , en donde
S es la porción del cilindro x 2 + y 2 —9 c o n p re n d id a entre
s
los planos
f)
z= 0, z= 2
J J - VZ dS i en donde
R p ta . 16 n
S es la superficie co n ecuación param étrica x = uv, y = u + v,
s
z= u —v,
g)
u 2 + v 2 =1
R p ta . 0
J J z é /S , en donde S es la porción del paraboloide
z = x 2 +y 2
que se en cu en tra b ajo el
s
plano z = 4.
R pta.
39by/l7 +1
------ —----- )
880
Eduardo Espinoza Ramos
h)
j j ( x 2z + y 2z)d S , en donde S es la porció n del plano z = 4 + x + y que se encuentra
en el interior del cilindro x 2 + y 2 = 4.
2)
11 F jd S
Evalúe la integral de superficie
del cam po vectorial F d ado y la su p erficie
s
orientada S indicada. En otras palabras, encuentre el flujo de F atraves d e S p ara su p erficies
cerradas, utilice la orientación positiva (hacia fuera).
a)
—^
^
—
*
—*
2
F(x, y, z) = e' i + yex j + x y k ; S es la porción
encuentra arriba del cuadrado
< x < 1,
0
0
<y
Rpta.
b)
del paraboloide z = x 2 + y 2 que se
< 1
y tiene orientación h acia arriba.
ll-
10
e
F (x,y,z) = x i + y j + z k ; S es la esfera x 2 + _y2 + z 2 = 9
Rpta. 108 n
—►
c)
—>
x
2
^
0 <. y <. 1 y el disco
R pta. 0
+z2 = l.y = l.
—>
d)
—►
F (x ,y ,z )= y j —z k ; S consta del paraboloide y = x ~
—►
F(x,y, z) = x i + 2v j+ 3 z k ; S es el cubo co n vértice (±1, ± 1 , ±1).
Rpta. 48
e)
F (x ,y,z) = xz i - 2 y j + 3 x k , S es la esfera x~7 + y 2 + z 2 = 4 co n o rien tació n hacia
Rpta.
fuera.
f)
*>
2
F(x, v,z) = x~ i + xv j + z k y S es la por :ón del parab o lo id e z —x + y
encuentra debajo del plano z =
1
con o rientación hacia fuera.
2
que se
881
Integral de Superficie
3)
H állese el flujo de l a función F{x,y, z)= 2x i —y j atraves d e u n a parte d e la superficie del
cilindro x 1 + y 2 = R 1 , x > 0 , y > 0 , 0 <. z < H, e n dirección de la norm al exterior.
B .
nR2H
R p ta . ---------
4)
H állese el flujo de la función F { x ,y ,z ) = x 2 i + y 2 j + z 2 k
a través d e un a p arte d e la
JJ
superficie del p araboloide —- ( x 2 + y 2 ) = z , z < H, en d irección d e la norm al interior.
R
nR2H 2
R p ta .
5)
H állese el flu jo d e F ( x ,y , z) = x
2
i+ y
2
j+ zk
a través d e u n a p arte d e la superficie del
H
paraboloide z = ——( x 2 - y 2) cortada p o r e l cilindro x 2 + y 2 = R 2 y o rien tad a según la
R2
—>
dirección del verso r k .
6
)
H állese el flujo de
F {x,y,z) —(x 2, - y 2, z 2 )
a través d e u n a p arte d e
la esfera
x 2 + y 1 + r 2 = R 2 , X > 0 , y ^ 0, z > 0, en d irecció n d e la norm al exterior.
R p ta .
7)
H állese el fltgo de
F(x, y ,z ) = x i + y j + z k
nR*
a trav és de u n parte d e la superficie del
JJ
paraboloide z = ——(x - y
) , cortada p o r los planos z = 0, x = R ,x = 0 y o rien tad a seg ú n la
R2
-»
dirección del versor k
8
)
g - jj
R p t a . -------------
H állese el flujo de F ( X ,v ,z ) = x i + y j —2 z k
x = ± a, en dirección d e la norm al exterior.
a través d e to d a la superficie d el cubo
R p ta . 0
Eduardo Espinozfl Ramos
882
9)
H állese el flujo de F(x, y, z ) = 2x
2
i + 3y 2 j + z 2 k a trav és d e to d a la su p erñ cie del cuerpo
4 x 2 + y 2 < z< -^2 R 2 —x 2 —y 2 en d irección d e la norm al exterior.
Rpta. idtA
10)
U tilice
el
teorem a
de
STOKES
p ara
evaluar
jV d
r
,
en
donde
—
►
—
► —
f
—
>
F (x ,y,z) = xy i+ y z j + z x k y C es el triángulo co n vértices (1 ,0 ,0 ), (0,1,0) y (0 ,0,1) co n
orientación contraria a la d e las m anecillas del reloj cuando se o b serv a d esde arriba.
Rpta. - - i
11)
A plique el teorem a de STO K E S para evaluar ^ F d r en cad a caso , C esta o rien tad a en
sentido opuesto al de las m anecillas del reloj cuando se observa d esde a m b a .
—►
a)
—►
—►
F(x, y, z) = xz i + 2 xy j + 3xy k , C es la frontera d e la p o rció n del plano 3x + y + z = 3
R pta. 3.5
contenida en el prim er octante.
—►
b)
—>
—►
—►
F (x ,y,z) = 2z i+ 4x j+ 5y k , C es la curv a d e intersección del plano z = x + 4 y el
cilindro x 2 + y 2 = 4 .
c)
F (x ,y ,z ) = x y i + — j + x y k , C
R pta. -4rt
es la cu rv a d e intersección d el
hiperbólico z = y 2 - x 2 y el cilindro x 2 + y 2 = 1 .
12)
U tilice el teorem a de STO K E S p ara evaluar
R pta.
parab o lo id e
n
JJrot(F)d S :
s
a)
—*
—
*
2
2
2
F {x,y,z) = xyz i + x j+e** c o s z k , S es e. hem isferio x + y + z = 1 , z £ 1
orientado hacia arriba.
Rpta. n
Integral de Superficie
b)
883
F (x ,y,z) = yz 3i + sen(xyz) j + x 3k , S es la p o rció n del parab o lo id e y = 1 - x
2
2
—z
que se encuentra a la derecha d el plano X Z o rientada h acia el p lan o X Z.
R p ta . —
4
c)
-*
-»
-»
j
F(x, v , z ) = xyz i + xy j + x yz k , S consta de la cara superior y las cu atro caras
laterales (pero no la base) del cubo con vértices ( ± 1 , ± 1 , ± 1 ) o rien tad a h acia fuera.
R pta. 0
13)
A plicando el T eorem a de STO K E S hállese la circulación d e F (x ,y,z) = z
2
2
2
i +x j + y k ,
p o r la sección de la esfera x 2 + y 2 + z 2 = R 2 p ro d u cid a p o r el plano x + y + z = R en el
4
-*
sentido positivo respecto al versor k .
14)
H állese la circulación de
F {x,y,z) = z
R p ta . —nR
-J
-i
.
-i
i + x j + y k , p o r la secció n del hiperboloide
2 x 2 —y 2 + z 2 —R 2 producida p o r el plano x + y =
0
en el sentido positivo respecto al
—»
versor i . V erifique aplicando el teorem a de STO K ES.
Rpta.
15)
H állese la circulación de
F (x ,y,z) = y
i + xy j + ( x +y ) k
a lo largo del contorno
cortado en el prim er octante del paraboloide x 2 + y 2 = Rz p o r lo p lanos x = 0, y = 0,
z = R,
en dirección positiva respecto a la norm al ex terio r d el paraboloide. V erifiq u e con
ayuda del T eorem a de STO K ES.
16)
A plique el T eorem a de la D ivergencia p ara calcu lar la integral superior J F d r , esto es
—
>
calcule el flujo de F a través de S.
884
Eduardo Espinoza R am os
2 ~ *
X 2
\ 2
Z 2
F (x ,y,z) = - x z i - y z j + z A:, S es el elipsoide — +^— + — = 1
a
b
c
a)
Rpta. 0
F (x ,y,z) = 3 y 2 z 3 i + 9 x 2 y z 2 j - A x y 2 k , S es la superficie del cubo co n vértices
b)
(± 1,±1,±1).
—►
Rpta. 8
—►
—f
—¥
F { X ,y ,z ) = zcos y i' + x s e n z j +x z k , S es la superficie del tetraedro lim itado p o r los
c)
R pta. —
planos x = 0, y = 0, z = 0 y 2x +.y + z = 2.
6
F (x,y,z) = x 3 «' + y 3 y '+ z 3 k , S es la esfera x 2 + y 2 + z 2 = 1.
d)
12
Rpta. —
F (x ,y,z) = xy
e)
*
i + yz j+ z x k , S es la superficie del sólido com prendido entre los
cilindros x 2 + y 2 =1 y x 2 + y 2 = 4
y entre los p lan o s z = 1 y z = 3.
Rpta. 27 n
F(x, y, z) = --------- —
0
— a través d el elipsoide 4 x 2 + 9>,z + 6 z 2 = 36 en d irección
(_x2 + y 2 + z 2) 2
hacia fuera.
—►
17)
Si F{x%
y,z) = x i + y j + z k *
calcular
f f
—>
J J F . d s % donde
S
es la superficie cilindrica
s
representada p o r r = c o s h / + s e n u y ' + v l t , 0 < u < 2 * ,
vector unitario norm al exterior.
-»
18)
->
0< v< l,
d s = N . d s y N es el
Rpta. 2it
ff-»
->
Si F{x,y,z) = 4xí i +xyz j + 3 z k , calcular J J F. d s, donde S es la superficie lim itada p o r
s
z 2 = x 2 +y 2
z = 0,
z = 4 , d s = Nds y N e s e l vector unitario norm al exterior.
R pta.
320
huegrm! 4e Smptificie
19)
885
Hallar J f F . N d s siendo F(x.y,z) = 2xy i +yz2 j + x z k y s
s
La superficie del paralelepípedo limitado por x = 0 , y = 0 , z = 0 , x = 2, y = 1, y
a)
z*3
La superficie de la región limitada por x * 0 , y * 0 , y * 3 , z * 0, y x + 2z * 6
b)
R p ta . a )
351
30
b ) ----2
20)
-»
2
~*
2
~*
Comprobar el teorema de la divergencia para F(x.y.z) = 2x y i - y j + 4 x z
2
~*
k extendida
a la región del primer octante limitada por y 2 + z 2 = 9 y x = 2.
R p ta .
—*
21)
-•
—9
180
—►
Si F { x . y , z ) - ( y + z ) i +( z +x ) j ' ( x + y ) k , S es la superficie del
1 * 0 , y » 0 , z * 0 , j c * I , ^ “ l. z = 1. Calcular a ) / / / ’’. <fc
b) j j F x á s
S
R p ta . a ) 0
22)
f f -*
cubo limitado por
3
b)
0
"*
Si F = ax i +by j + c z k , calcular O F A s sobre cualquier superficie cerrada S que encierra
3
una región de volumen V.
23)
R p ta . (<r+fc+c)b
Si F = y i +x j + z k ,
calcular J f f v F . d v , donde R es la región limitada
por
J»
z = ( l - x 2- y 2) ^ , v z = 0.
R pta.—
2
24)
Usando el teorema de la divergencia, calcular j j xdydz + y dzdx+ zdxdy, donde S es la
s
2
2
2
*
superficie de la esfera x + y +z = 1 y N es el vector unitario normal exterior.
R p ta . 4rr
25)
i -*
f f -* -*
i
i
Si F = (x +y - 4 ) i +3xy j+ (2 x z + z ) k , calcular J J V x F A s , donde S es lasuperficie
3
2
2
definida por z = 4 - (x + y ) y N es el vector unitario normal exterior.
R p ta .
-A n
886
26)
— Eduardo E spinoza R a m o s
■+
ff r.N
D em ostrar que J J J — = J J — — ds
'i
[ [ [ dv
y r
n
s
r
-»-»
-»
- » - *
->
(V jc ,F ).N ds, siendo F = (x + y - 4) i + 3xy j + ( 2 xz+ z ) k y S la superficie de:
s
7
a)
L a sem iesfera jc + y
b)
El paraboloide
z
=
7
7
+ z = 1 6 p o r encim a del plano XY.
4 - ( jc 2
+ y 2) p o r encim a del plano XY.
R p ta . a )
28)
Siendo
- » - »
F - 2 y z i ~{x + 3y~2) j + (x + z ) k ,
h allar
-1 6 n
b)
[ [ - * - *
J J ( V j c F ).N d s
-4n
ex ten d id a
a
la
s
superficie de intersección de los cilindros x 2 + y 2 = a2, x 2 + z 2 = a 2, situada en el prim er
a2
R p t a . - - — (3n + %a)
29)
A plicar el teorem a de la divergencia para calcu lar
JJA.d s , d o n d e “S " es la superficie total
s
2
del sólido lim itado p o r el paraboloide x + y
2
= z y el plano z = 9 y A está d ad o p o r
—
> —
*
—
»
A = {3x+y) i - x j + ( y - z ) k .
—
*
30)
R p ta . 8 1 n
“ S” e s la superficie del sólido lim itado p o r el cilindro
x = 0 , y = 0 , z = 0 . H allar el v alo r de
jc 2
+ y 2 = 25 y lo s p lan o s
JJ A.d s , cuando:
s
a) A = x i + 3y j + 4 z k ,
b)
A = x y i+ y z j+ z x k
R p ta . a ) 200 n
31)
D em uestre que:
JJ^ p
s
5 0 (2 0 + 3 n )
b ) -----------------3
JJJ
ds = j j j p .grad ( ^ )c/v +
<pdvpdv ,do n d e (j> es un a función escalar
v
v
—>
puntual, p u n a función vectorial y “V ” el volum en lim itado p o r un a superficie c e rra d a “ S”.
Integral de Superficie
32)
887
H allar el valor de í f v * .d í ; siendo “ S” la parte no p lan a del casquete elipsoidal definido
X 2
V2
Z 2
—T +^ Y + ~ 2 = ^
por
a
b
e
2
2
2
z -® y $ = ( * + 0 +2(^-1) +z .
divergencia para calcular%
JJv<Ms sobre la cara plana z =
U se
el
teorem a
de
la
0 d el casquete.
s
16
R p ta .
33)
Por el teorem a de la divergencia, dem uestre haciendo
jt abe
A = (¡>m, d o n d e m es un v ecto r
constante y com pruebe este resultado cuando ^ = 3 (x 2 + y 2) + z y V es la p arte finita del
paraboloide x 2 + y 2 = 4 - z , o el ser cortado po r el plano z = 0 [En la superficie elab o rad a
—»
del
paraboloide
d s = d s . N 9 donde
I
2 ------- 2
ds = ^ \ + 4x + 4 y dxdv,
,
—*
—*
2x i +2v j + k
N=
»—
"
-,
■Jl + 4 x 2 +4y2
integrando sobre el círculo x 2 + y 2 = 4.
—>
34)
Sea “S” una superficie cerrada sim ple que lim ita el volum en V , N un vector unitario norm al
a S y A = a(x i +by j +c z k , donde a,b,c son constantes, D em uestre que:
a)
JJJ¿//Vi TV)¿/y = ^ ,
y
35)
b)
JÍM . N)ds=(a +b + c)v, c)
s
= \ \ [ C r Ú ) r 1]ds.
s
C alcular J J r o f .( A).ds, sobre la parte de la superficie x 2 + 4 y 2 + z2 —2 z = 4 que está sobre
s
el plano z = 0 siendo A = (x —y ) i - xyz j + y
36)
v
Siendo
k.
—*
—*
7 7
7 7 7
A = 2 y ( l - x ) i + ( x - x +y ) j + ( x + y +z ) k ,
3jt
R p ta . - j -
hallar
el
J J N.rot(A)ds, tom ada sobre la superficie dado p o r x 2 + y 2 + z2 = l, z >
s
0
v alo r
de
, d onde N es
un vector unitario de dirección la de la norm al y sentido h acia el exterior en el punto d o nde
está situado ds.
R p ta . -n
888
37)
Eduardo Espinoza Ramos
f —
►—
► ff
—
>
—
*
A partir del teorem a de Stokes y A.d r = JJ (V jc A)d s , dem uestre, haciendo
C
donde
<)> es
una
función
—
*
A=
—
►
<¡>
V,
s
escalar
V
y
un
vector
arbitrario
co astan te,
que
¡JjjM r = J J (d s xVQ .
s
38)
C alcular
la
\\rot(A).ds,
s
integral
para
la
función
vectorial
A = (2y2 +3z2 —x 2) i+ (2 z2 +3x2 - p 2) j + ( 2 x 2 +3y2 - z 2) k , sobre la parte d e
superficie x 2 +y 1 - 2ax + az = 0 que está p o r encim a de z = 0.
39)
R p ta . 6k a 3
f f -» -»
-*
U sar el teorem a de la divergencia para evaluar J J F .N d s y hallar el flujo F a trav és de la
s
superficie del sólido acotado p o r los gráficos de las ecuaciones.
—>
_—
*
—
>
—
*
a ) F(x,y,z) = x i - 2 x y j +xyz k
S:z = J a2 - x 2 - y 2, z = 0
3
—►
—
>
—
> —
*
b ) F{x,y,z) = x i + y j + z k
S:x2+ y 2+z 2 =k
R p ta . 0
R p ta . 32 n
j
i
c) F (x .y,z) = x i + x y j + x .eyk
S : 4 - y , z = 0, x = 0, x = 6, y = 0
40)
la
R p ta .
2304
U sar el teorem a de stokes para calcular ¡ F . d 7
“c
a) F(x,y,z) - z 2 i + x 2 j + y 2 k
S:z = 4 - x 2 - y 2,
z> 0
b ) F(x,y,z) = z 2 i + y j + x z k
Rpta.O
S:z = -J4~x2 - y 2 Rpta. 0
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OBRAS DEL AUTOR
• Ecuaciones Diferenciales y sus Aplicaciones
• Análisis Matemático I para estudiantes de Ciencia é Ingeniería
• Análisis Matemático II para estudiantes de Ciencia é Ingeniería
• Análisis Matemático III para estudiantes de Ciencia é Ingeniería
• Transformada de Laplace
• Sucesiones y Series Infinitas
• Geometría Analítica
• Funciones Vectoriales de Variable Real
• Funciones de Varias Variables
• Integrales Curvilíneas y Múltiples
• Vectores y sus Aplicaciones
• Rectas - Planos y Superficies
• Matrices y Determinantes
• Números Complejos y Polinomios
• Solucionarlo de Makarenko (Ecuaciones Diferenciales)
• Solucionarlo de Leithold 2 da Parte
• Solucionarlo de Análisis Matemático III de G. Berman
• Solucionarlo de Análisis Matemático I por Deminovich
• Solucionarlo de Análisis Matemático II por Deminovich
• Solucionarlo de Análisis Matemático III por Deminovich
• Solucionario de Matemática para Administración y Economía
por Weber