Cálculo de diámetros de tubería mediante la ecuación
de Darcy-Weisbach
Jeimi Katterine Terreros Hidalgo, Daniel Alberto Silva Castillo, Jefferson Fabián Merchán Giral
Ingeniería Civil, Universidad Distrital Francisco José de Caldas
Bogotá, Colombia
jeihidalgo@hotmail.com
danielsc95@hotmail.com
jeffersonmerchan25@gmail.com
Resumen- Teniendo en cuenta que en una tubería como en
cualquier otro sistema físico se debe cumplir la “Segunda Ley de
la Termodinámica (Principio de Conservación de la energía)”, en
el caso de las tuberías, para transportar un fluido de un punto a
otro en una distancia dada, se pierde una altura determinada
debido a factores como la fricción, tipo de material, viscosidad
del fluido y depende de diversas condiciones de una forma no
lineal, lo que implica que el cálculo de sus variables sea complejo,
entre estas el diámetro de la tubería que cumpla con las
condiciones requeridas en el sistema, ya que para su
determinación se requiere un sistema de varias ecuaciones
mediante iteraciones de todas las ecuaciones.
I.
Colebrook-White: En general el cálculo del coeficiente es
complejo, para lo cual se han generado diversas ecuaciones que
relacionan matemáticamente el comportamiento de cada variable que
interactúa en el cálculo del coeficiente. No obstante la ecuación que
ha contemplado la máxima cantidad de parámetros y se asemeja
mejor al comportamiento real de cualquier tipo de fluido y cualquier
tipo de rugosidad sin importar el tipo flujo (laminar o turbulento), es
la ecuación desarrollada por Colebrook-White [2], [3], [6]:
INTRODUCCIÓN
Para el diseño de tuberías, normalmente se establecen parámetros
iniciales que se desean cumplir, tales como tipo de material, puntos
desde los cuales se va a transportar el fluido, las diferencias de cotas,
el tipo de fluido, la cantidad de fluido por unidad de tiempo; pero
cuando se requiere saber el diámetro de una tubería que cumpla con
dichos requisitos, el cálculo resulta ser extenso debido a la cantidad
de iteraciones múltiples y el grado de dificultad de las expresiones;
por esto se ha tratado de condensar todas las ecuaciones que
relacionan estas variables entre sí, para generar una única ecuación
que permite evaluar todos los parámetros requeridos a través de un
solo proceso iterativo, utilizando el método de Newton-Raphson para
solución de ecuaciones no lineales.
II.
v=Velocidad media (m/s)
g=Gravedad (m/s2)
Ec 2. Ecuación Colebrook-White
Dónde:
= Rugosidad absoluta de la tubería (m)
D= Diámetro de la tubería (m)
Re= Numero de Reynolds (Adimensional)
f= Coeficiente de fricción (adimensional)
Número de Reynolds: Otro de los parámetros importantes para
calcular el coeficiente de fricción en la ecuación de Colebrook-White
es el Número de Reynolds (Re), número que define el
comportamiento del flujo en el recorrido de un fluido en un ducto en
relación directa con su velocidad. Este número se determina
mediante la siguiente ecuación:
DESARROLLO DE CONTENIDOS
Darcy-Weisbash: En un sistema de tuberías a presión se generan
pérdidas de capacidad de transporte o pérdida hidráulica debido a la
fricción de los fluidos con las paredes internas de los ductos que lo
transportan, esta energía que se pierde es transformada en calor y se
refleja como una pérdida de eficiencia en el sistema, que depende de
variables como la rugosidad del conducto, el tipo de material, el tipo
de fluido y sus características; para el cálculo de estas pérdidas una
de las fórmulas más exactas es la de Darcy-Weisbach, la cual obtiene
su nombre en honor a Henry Darcy y Julius Weisbach, ingenieros
que proporcionaron los mayores aportes en el desarrollo de esta
ecuación; la ecuación desarrollada es la siguiente [1], [2], [3]:
Ec 1. Ecuación Darcy-Weisbach
Dónde: h=Pérdida de carga o de energía (m)
f=Coeficiente de fricción (adimensional)
l=Longitud de la tubería (m)
Ec 3. Ecuación Número de Reynolds
Dónde: Q= Caudal (m3/s)
D= Diámetro Tubería (m)
υ=Viscosidad Fluido (m2/s)
Obtenido el número de Reynolds, se procede con la clasificación del
mismo bajo las siguientes consideraciones:
Diagrame de Moody: Dado el grado de dificultad para resolver y
calcular este coeficiente, Lewis Ferry Moody determino un método
para el cálculo del coeficiente de fricción de forma experimental, a
través de una tabla que representa curvas que relacionan la rugosidad
relativa, lo que lo convierte en uno de los métodos más utilizados
para el cálculo del coeficiente de fricción
Ec 6. Número de Reynolds en Colebrook-White
c.
Sustituimos la ecuación del numeral a (Coeficiente
de fricción), en la ecuación obtenida en el numeral
anterior
Ec 7. Sustitución de ecuaciones
d.
Igualamos la ecuación del numeral c a cero, para aplicar el
método de Newton-Raphson, lo que permite que en la
ecuación el término desconocido sea el diámetro, y que
garantiza el uso de aplicación.
Fig. 1 Diagrama de Moody [6].
Hazen – Williams: Otro de los métodos para la solución de dicha
variable es la ecuación de Hazen-Williams la cual simplifica el
coeficiente de fricción como un c que depende únicamente del
material del conducto que transporta el fluido; esta fórmula es
sencilla a razón que el coeficiente de rugosidad no es función de la
velocidad ni el diámetro de la tubería; sin embargo esta ecuación se
limita al tipo de fluido, ya que solo aplica para cálculos con agua;
además, ya que no tiene en cuenta el número de Reynolds se limita a
una franja muy estrecha de valores de este coeficiente para los cuales
es aceptable este método, esta ecuación se muestra a continuación
[4], [6], [7]:
=0
Ec 3. Ecuación utilizada en desarrollo Método de Newton-Raphson
e.
Luego de esto, aplicamos el método de Newton-Raphson
para simplificar el proceso y agilizar la obtención del
resultado mediante le software Geogebra en donde se
encontraba previamente programado el método en
mención.
Ec 4. Ecuación Hazen-Williams
Dónde: Q= Caudal (m3/s)
C= Coeficiente de rugosidad (adimensional)
D= Diámetro interno de la tubería (m)
L= Longitud de la tubería (m)
III.
DESARROLLO APLICATIVO
Tomando las ecuaciones anteriormente mencionadas, planteamos la
solución del sistema mediante el uso del aplicativo de ecuaciones no
lineales de Newton-Raphson ya que este nos permite una
convergencia rápida hacia el parámetro que deseamos calcular en el
sistema.
a.
A partir de la ecuación de Darcy-Weisbach (Ec 1.)
despejamos el coeficiente de fricción
Ec 5. Ecuación Coeficiente de Fricción
b.
Como segundo paso, se reemplaza la ecuación del Numero
de Reynolds en la ecuación de Colebrook-White:
Fig. 2 Introducción de fórmula en Geogebra
función por la recta tangente en ese valor supuesto. La abscisa en el
origen de dicha recta será, según el método, una mejor aproximación
de la raíz que el valor anterior. Se realizarán sucesivas iteraciones
hasta que el método haya convergido lo suficiente. [5]
IV.


Fig.3. Formulación de tabla Método de Taylor para la solución del
problema.


Fig. 4. Introducción de variables para el desarrollo.
Los valores mostrados en la casilla Xn+1 cuyo error se
significativamente bajo corresponden a la solución de la ecuación y
también se programa para que el programa muestre un letrero con la
solución que corresponde al valor del diámetro que cumple con todas
las condiciones iniciales que fueron suministradas para el cálculo.

El método de Newton-Raphson es un método iterativo que permite
aproximar la solución de una ecuación del tipo f(x)=0.
Se parte de una estimación inicial de la solución X0 y se construye
una sucesión de aproximaciones de forma recurrente mediante la
fórmula
Es un algoritmo eficiente para encontrar aproximaciones de los ceros
o raíces de una función real. También puede ser usado para encontrar
el máximo o mínimo de una función, encontrando los ceros de su
primera derivada.
El método de Newton-Raphson es un método abierto, en el sentido
de que no está garantizada su convergencia global. La única manera
de alcanzar la convergencia es seleccionar un valor inicial lo
suficientemente cercano a la raíz buscada. Así, se ha de comenzar la
iteración con un valor razonablemente cercano al cero (denominado
punto de arranque o valor supuesto). La relativa cercanía del punto
inicial a la raíz depende mucho de la naturaleza de la propia función;
si ésta presenta múltiples puntos de inflexión o pendientes grandes en
el entorno de la raíz, entonces las probabilidades de que el algoritmo
diverja aumentan, lo cual exige seleccionar un valor supuesto
cercano a la raíz. Una vez que se ha hecho esto, el método linealiza la

CONCLUSIONES
Teniendo en cuenta que lo que se busca, es diámetros de
tubería, el resultado no puede ser un valor negativo dentro
del cálculo de esta aplicación por lo cual los valores están
delimitados a números mayores que cero.
Uno de los principales métodos para el cálculo de pérdida
en ingeniería hidráulica, son las fórmulas de HazenWilliams, sin embargo para el desarrollo de proyectos que
requieran transportar un fluido diferente al agua no
presenta utilidad, además de generar baja precisión en gran
cantidad de intervalos de velocidades ya que no tiene en
cuenta para su estudio el Número de Reynolds, que
representa el comportamiento del fluido, por lo cual es
necesario el manejo de una fórmula.
Uno de las dificultades mayores para el cálculo empleando
la fórmula de Darcy-Weisbach, es el coeficiente de
fricción, dado el grado de complejidad para la solución de
una ecuación que no se puede despejar en su totalidad y
requiere de soluciones iterativas, por lo cual para el cálculo
de este valor.
El principal método que se ha empleado es el manejo del
diagrama de Moody, que representa muy bien los
comportamientos en ciertos intervalos, pero al ser una
gráfica, no permite despejar de forma sencilla ecuaciones
que correlacionen las diferentes variables que interactúan
en el sistema por lo cual es más conveniente para
generación de nuevas ecuaciones trabajar con la ecuación
de Colebrook-White.
Uno de los principales problemas para el cálculo de
diámetros por el método de Colebrook-White es que esta
variable aparece en muchas de las ecuaciones utilizadas en
el sistema, que a su vez dependen unas de otras; por
ejemplo la ecuación del factor de fricción depende del
Número de Reynolds, que a su vez depende del diámetro;
pero el factor de fricción en la ecuación de DarcyWeisbach también depende del diámetro lo que genera un
ciclo que hace que para cada valor de diámetro se tenga
que interactuar en todas las ecuaciones y se presente un
método muy extenso y complejo para el cálculo de los
diámetros.
Debido a que la ecuación resultante del despeje del
diámetro con respecto a todas las demás variables no es
una ecuación lineal no puede solucionarse la ecuación con
facilidad por métodos algebraicos, es necesario recurrir a
un método numérico, en este caso se toma el método de
Newton-Raphson que presenta una convergencia rápida a
la solución para poder tener una solución de esta ecuación,
pero debido a que se genera una ecuación bastante extensa
es útil para operarla y hacer las iteraciones necesarias el
uso de un software, para el caso se utilizó Geogebra.
REFERENCIAS
[1]
[2]
[3]
[4]
[5]
[6]
[7]
L. E. Pérez, Breve historia de la ecuación de Darcy- weisbach
(fanning) y Consideraciones de interés sobre la misma, Ed.
Universidad de Buenos Aires, Argentina: 2013.
Ranald V. Giles B.S., Theory and problems of Fluid Mechanics
and Hydraulics, 2nd ed., Schaum Publishing, New York, 1962.
Streeter, Fluid Mechanics, 3th ed, Mc Graw-Hill Kogakusha,
International Student Edition.
Chyr Pyng Liou, Limitations and Proper Use of the HazenWilliams Equation, Vol. 124. Sep. 1998.
F. Palacio, Resolución aproximada de ecuaciones: Método de
Newton-Raphson, Escuela Politécnica de Catalunya, V. 1.3,
España, Abr. 2008.
R.L. Mott, Mecánica de fluidos, Ed. 6, Pearson, México, 2006.
R.A. Flechas, “Efecto del uso de la ecuación de Darcy-Weisbach
vs la ecuación de Hazen Williams en el diseño de redes matrices”,
XX seminario Nacional de Hidráulica e Ingeniería Barranquilla,
Colombia, 8 al 10 Agosto 2012.