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FÓRMULAS Y TABLAS
DE MATEMÁTICA APLICADA
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FÓRMULAS Y TABLAS
DE MATEMÁTICA APLICADA
Cuarta edición
Murray R. Spiegel, PhD
Ex profesor y presidente del Departamento de Matemáticas
Rensselaer Polytechnic Institute
Hartford Graduate Center
Seymour Lipschutz, PhD
Departamento de Matemáticas
Temple University
John Liu, PhD
Departamento de Matemáticas
University of Maryland
Revisión técnica
Antonino Pérez Hernández
José Luis Poveda Macías
Centro de Investigación
en Materiales Avanzados, S.C.
Facultad de Ingeniería
Universidad Autónoma de Yucatán
Ana María López Salgado
Roger Hervé Pech Sánchez
Centro de Enseñanza Técnica Industrial,
Plantel Colomos, Guadalajara
Facultad de Ingeniería
Universidad Autónoma de Yucatán
Luis Mariano Sesé Sánchez
Universidad Nacional de Educación a Distancia
(UNED) España
TÁ A A YORK
.­9*$0r#0(05¦r#6&/04"*3&4r$"3"$"4r(6"5&."-"r."%3*%r/6&7":03,
O PA TORO
4"/+6"/r4"/5*"(0r4"01"6-0r"6$,-"/%r-0/%3&4r.*-¦/r.0/53&"/6&7"%&-)*r4"/'3"/$*4$0r4*/("163r45-06*4r4*%/&:r5030/50
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Director general: .JHVFM¦OHFM5PMFEP$BTUFMMBOPT
Editor sponsor:+FTÙT.BSFT$IBDÓO
Coordinadora editorial: .BSDFMB*3PDIB.BSUÎOF[
Editora de desarrollo: ,BSFO&TUSBEB"SSJBHB
Supervisor de producción: ;FGFSJOP(BSDÎB(BSDÎB
Traductores:¦OHFM)FSOÃOEF['FSOÃOEF[Z)VHP7JMMBHÓNF[7FMÃ[RVF[
FÓRMULAS Y TABLAS DE MATEMÁTICA APLICADA
Cuarta edición
Serie Schaum
1SPIJCJEBMBSFQSPEVDDJÓOUPUBMPQBSDJBMEFFTUBPCSB
QPSDVBMRVJFSNFEJP TJOMBBVUPSJ[BDJÓOFTDSJUBEFMFEJUPS
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$1 .ÊYJDP %'
.JFNCSPEFMB$ÃNBSB/BDJPOBMEFMB*OEVTUSJB&EJUPSJBM.FYJDBOB 3FH/ÙN
ISBN: 978-607-15-1145-4
*4#/ FEJDJÓOBOUFSJPS 5SBEVDJEPEFMBDVBSUBFEJDJÓOEFMathematical Handbook of Formulas and Tables ¥CZ.D(SBX)JMM
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Printed in Mexico
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PREFACIO
Este manual suministra una colección de fórmulas matemáticas y tablas valiosas para estudiantes e investigadores
en el campo de las matemáticas, física, ingeniería y otras ciencias. Han sido cuidadosamente incluidas ya que muy
probablemente serán más necesarias en la práctica, incluso antes que los resultados especializados, los cuales son
raramente usados. Este manual es fácil de usar y contiene material para cursos universitarios de matemáticas y
ciencias. De hecho, la primera edición aún se puede encontrar en muchas bibliotecas y oficinas. Es muy probable
que sus dueños la hayan llevado consigo desde su época universitaria hasta sus diversos lugares de trabajo. Así,
este manual ha sobrevivido a las pruebas del tiempo (mientras que otros textos escolares han sido tirados).
Esta nueva edición mantiene el mismo espíritu que la tercera, aunque con algunos cambios. El primero de ellos
es que se han borrado las anticuadas tablas, que ahora pueden obtenerse fácilmente en una simple calculadora;
además, se eliminaron algunas fórmulas raramente usadas. Sin embargo, el principal cambio se da en las secciones
de “Probabilidad” y “Variables aleatorias”, ya que fueron ampliadas con nuevo material. Esas secciones pueden
utilizarse tanto en la física como en las ciencias sociales, incluyendo la educación.
Los temas que se tratan en este manual van desde lo elemental hasta lo más avanzado. Entre los temas elementales se incluyen aquellos como álgebra, geometría, trigonometría, geometría analítica, probabilidad y estadística
y cálculo. Los temas avanzados incluyen aquellos como ecuaciones diferenciales, análisis numérico y análisis
vectorial, como las series de Fourier, funciones gamma y beta, funciones de Bessel y Legendre, transformadas
de Fourier y Laplace, funciones elípticas y otros de importancia. Este gran alcance de temas fue adoptado para proporcionar, dentro de un simple volumen, más allá de los resultados matemáticos importantes necesarios para estudiantes e investigadores, a pesar de su particular campo de interés o nivel de logro.
Este libro se divide en dos partes principales. La parte A presenta fórmulas matemáticas junto con definiciones, teoremas, gráficas, diagramas, etc., esenciales para la propia comprensión y aplicación de las fórmulas. La
parte B presenta tablas numéricas. Estas tablas incluyen distribuciones estadísticas básicas (normal, t de Student,
ji cuadrado, etc.), funciones avanzadas (Bessel, Legendre, elípticas, etc.), y funciones financieras (compuestas y
que presentan valores de una cantidad, y anualidad).
McGraw-Hill desea agradecer a los valiosos autores y editores —por ejemplo, a la albacea literaria de Sir
Ronald A. Fisher, F. R. S., doctor Frank Yates, F. R. S., y Oliver y Boyd Ltd., Edimburgo, para la tabla III de su
libro Tablas estadísticas para investigaciones biológicas, agrícolas y médicas— quienes dieron su permiso
para adaptar los datos de sus libros para ser usados en algunas tablas en este manual. Las referencias apropiadas para tales fuentes son dadas después de cada tabla.
Finalmente, se desea agradecer al personal del McGraw-Hill Schaum’s Outline Series, especialmente a Charles
Wall, por su indefectible cooperación.
SEYMOUR LIPSCHUTZ
Temple University
v
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CONTENIDO
PARTE A
Fórmulas
1
Sección I
Constantes elementales, productos y fórmulas
3
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Sección II
Geometría
7.
8.
9.
10.
11.
Sección III
Alfabeto griego y constantes especiales
Productos especiales y factorizaciones
La fórmula binomial y coeficientes binomiales
Números complejos
Soluciones de ecuaciones algebraicas
Factores de conversión
Sección V
16
22
28
34
41
Funciones elementales trascendentales
43
62
15.
16.
17.
18.
62
67
71
108
Derivadas
Integrales indefinidas
Tablas de integrales indefinidas especiales
Integrales definidas
Ecuaciones diferenciales y análisis vectorial
Series
21.
22.
23.
24.
Sección VII
Series de constantes
Series de Taylor
Números de Euler y de Bernoulli
Series de Fourier
Funciones especiales y polinomiales
25.
26.
27.
28.
29.
30.
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43
53
56
Cálculo
19. Ecuaciones diferenciales básicas y soluciones
20. Fórmulas de análisis vectorial
Sección VI
16
Fórmulas geométricas
Fórmulas de la geometría analítica plana
Curvas planas especiales
Fórmulas de la geometría analítica espacial
Momentos de inercia especial
12. Funciones trigonométricas
13. Funciones exponenciales y logaritmos
14. Funciones hiperbólicas
Sección IV
3
5
7
10
13
15
La función gamma
La función beta
Funciones de Bessel
Legendre y funciones asociadas de Legendre
Polinomios de Hermite
Laguerre y polinomios asociados de Laguerre
116
116
119
134
134
138
142
144
149
149
152
153
164
169
171
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CONTENIDO
31. Polinomios de Chebyshev
32. Funciones hipergeométricas
Sección VIII
Transformadas de Laplace y de Fourier
33. Transformadas de Laplace
34. Transformadas de Fourier
Sección IX
Funciones elípticas y varias funciones especiales
35. Funciones elípticas
36. Varias funciones zeta y de Riemann
Sección X
Productos desiguales e infinitos
37. Desigualdades
38. Productos infinitos
Sección XI
Probabilidad y estadística
39. Estadística descriptiva
40. Probabilidad
41. Variables aleatorias
Sección XII
Métodos numéricos
42.
43.
44.
45.
46.
47.
Interpolación
Cuadratura
Solución de ecuaciones no lineales
Métodos numéricos para ecuaciones diferenciales ordinarias
Métodos numéricos para ecuaciones diferenciales parciales
Métodos de iteración para sistemas lineales
PARTE B
Tablas
Sección I
Funciones logarítmica, trigonométrica y exponencial
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Sección II
Cuatro decimales de logaritmos comunes log10 N o log N
Sen x (x en grados y minutos)
Cos x (x en grados y minutos)
Tan x (x en grados y minutos)
Conversión de radianes a grados, minutos y segundos
o fracción de grados
Conversión de grados, minutos y segundos a radianes
Logaritmo natural o neperiano loge x o ln x
Funciones exponenciales e x
Funciones exponenciales e!x
Integrales de exponencial, seno y coseno
Factorial y función gamma, coeficientes binomiales
11. Factorial n
12. Función gamma
13. Coeficientes binomiales
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vii
175
178
180
180
193
198
198
203
205
205
207
208
208
217
223
231
231
235
237
239
241
244
247
249
249
251
252
253
254
255
256
258
259
260
261
261
262
263
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viii
CONTENIDO
Sección III
Funciones de Bessel
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
Sección IV
265
Funciones de Bessel J0(x)
Funciones de Bessel J1(x)
Funciones de Bessel Y0(x)
Funciones de Bessel Y1(x)
Funciones de Bessel I0(x)
Funciones de Bessel I1(x)
Funciones de Bessel K0(x)
Funciones de Bessel K1(x)
Funciones de Bessel Ber(x)
Funciones de Bessel Bei(x)
Funciones de Bessel Ker(x)
Funciones de Bessel Kei(x)
Valores para ceros aproximados de las funciones de Bessel
Polinomios de Legendre
272
27. Polinomios de Legendre Pn(x)
28. Polinomios de Legendre Pn(cos q)
Sección V
Integrales elípticas
Tablas financieras
32. Cantidad compuesta: (1 + r)
33. El valor actualizado de una cantidad: (1 + r)!n
(1+ r )n – 1
34. Cantidad de una anualidad:
r
1 – (1+ r )!n
35. Valor presente de una anualidad:
r
Probabilidad y estadística
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
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274
275
275
276
n
Sección VII
272
273
274
29. Integrales elípticas completas de primer y segundo tipo
30. Integral elíptica incompleta de primer tipo
31. Integral elíptica incompleta de segundo tipo
Sección VI
265
265
266
266
267
267
268
268
269
269
270
270
271
Áreas bajo la curva normal estándar
Ordenadas de la curva normal estándar
Valores percentiles (tp) para la distribución t de Student
Valores percentiles ("2p) para la distribución "2 (ji cuadrada)
Valores percentiles 95a. para la distribución F
Valores percentiles 99a. para la distribución F
Números aleatorios
276
277
278
279
280
280
281
282
283
284
285
286
Índice de símbolos y anotaciones especiales
287
Índice analítico
289
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PARTE A
Fórmulas
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Sección I: Constantes elementales, productos y fórmulas
1
Alfabeto griego y constantes especiales
ALFABETO GRIEGO
Nombre
griego
Letra griega
Nombre
griego
Letra griega
Minúsculas
Mayúsculas
Minúsculas Mayúsculas
Alpha
a
A
Nu
n
N
Beta
b
B
Xi
j
&
Gamma
g
!
Omicron
o
O
Delta
d
"
Pi
p
'
Epsilon
#
E
Rho
r
P
Zeta
z
Z
Sigma
s
(
Eta
h
H
Tau
t
T
Theta
u
$
Upsilon
y
)
Iota
i
I
Phi
f
*
Kappa
k
K
Chi
x
X
Lambda
l
%
Psi
c
+
Mu
m
M
Omega
v
,
CONSTANTES ESPECIALES
1.1. p = 3.14159 26535 89793
1.2. e = 2.71828 18284 59045
⎛ 1⎞
= lím ⎜1 + ⎟
n→∞ ⎝
n⎠
n
= base natural de los logaritmos
1.3. g = 0.57721 56649 01532 86060 6512
= constante de Euler
⎛ 1 1
⎞
1
= lím ⎜1 + + + … + − ln n⎟
n→∞ ⎝
2 3
n
⎠
1.4. eγ = 1.78107 24179 90197 9852
[vea 1.3]
3
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4
1.5.
1.6.
ALFABETO GRIEGO Y CONSTANTES ESPECIALES
e = 1.64872 12707 00128 1468
π = Γ( 12 ) = 1.77245 38509 05516 02729 8167
donde es la función gamma [vea 25.1].
1.7. Γ( 13 ) = 2.67893 85347 07748
1.8. Γ( 14 ) = 3.62560 99082 21908
1.9. 1 radián = 180°/p = 57.29577 95130 8232
°
1.10. 1° = p/180 radianes = 0.01745 32925 19943 29576 92
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radianes
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2
Productos especiales y factorizaciones
2.1. ( x + y)2 = x 2 + 2 xy + y 2
2.2. ( x − y)2 = x 2 − 2 xy + y 2
2.3. ( x + y)3 = x 3 + 3x 2 y + 3xy 2 + y3
2.4. ( x − y)3 = x 3 − 3x 2 y + 3xy 2 − y3
2.5. ( x + y)4 = x 4 + 4 x 3 y + 6 x 2 y 2 + 4 xy3 + y 4
2.6. ( x − y)4 = x 4 − 4 x 3 y + 6 x 2 y 2 − 4 xy3 + y 4
2.7. ( x + y)5 = x 5 + 5x 4 y + 10 x 3 y 2 + 10 x 2 y 3 + 5xy 4 + y 5
2.8. ( x − y)5 = x 5 − 5x 4 y + 10 x 3 y 2 − 10 x 2 y3 + 5xy 4 − y5
2.9. ( x + y)6 = x 6 + 6 x 5 y + 15x 4 y 2 + 20 x 3 y3 + 15x 2 y 4 + 6 xy 5 + y 6
2.10. ( x − y)6 = x 6 − 6 x 5 y + 15x 4 y 2 − 20 x 3 y 3 + 15x 2 y 4 − 6 xy5 + y 6
Los resultados 2.1 a 2.10 que se muestran arriba son casos especiales de la fórmula binomial [vea 3.3].
2.11.
x 2 − y 2 = ( x − y)( x + y)
2.12.
x 3 − y 3 = ( x − y)( x 2 + xy + y 2 )
2.13.
x 3 + y3 = ( x + y)( x 2 − xy + y 2 )
2.14.
x 4 − y 4 = ( x − y)( x + y)( x 2 + y 2 )
2.15.
x 5 − y 5 = ( x − y)( x 4 + x 3 y + x 2 y 2 + xy 3 + y 4 )
2.16.
x 5 + y5 = ( x + y)( x 4 − x 3 y + x 2 y 2 − xy 3 + y 4 )
2.17.
x 6 − y 6 = ( x − y)( x + y)( x 2 + xy + y 2 )( x 2 − xy + y 2 )
5
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6
PRODUCTOS ESPECIALES Y FACTORIZACIONES
2.18.
x 4 + x 2 y 2 + y 4 = ( x 2 + xy + y 2 )( x 2 − xy + y 2 )
2.19.
x 4 + 4 y 4 = ( x 2 + 2 xy + 2 y 2 )( x 2 − 2 xy + 2 y 2 )
Algunas generalizaciones previas están dadas por los siguientes resultados, donde n es un entero positivo.
2.20.
x 2 n+1 − y 2 n+1 = ( x − y)( x 2 n + x 2 n−1 y + x 2 n− 2 y 2 + … + y 2 n )
⎞
⎛
⎞⎛
2π
4π
+ y 2⎟
= ( x − y) ⎜ x 2 − 2 xy cos
+ y 2⎟ ⎜ x 2 − 2 xy cos
2n + 1
2n + 1
⎠
⎝
⎠⎝
… ⎛ x 2 − 2 xy cos 2nπ + y 2⎞
⎜⎝
⎟⎠
2n + 1
2.21.
x 2 n+1 + y 2 n+1 = ( x + y)( x 2 n − x 2 n−1 y + x 2 n− 2 y 2 − … + y 2 n )
⎞
⎛
⎞⎛
2π
4π
+ y 2⎟
= ( x + y) ⎜ x 2 + 2 xy cos
+ y 2⎟ ⎜ x 2 + 2 xy cos
2n + 1
2n + 1
⎠
⎝
⎠⎝
⎛
⎞
2 nπ
…⎜ x 2 + 2 xy cos
+ y 2⎟
2n + 1
⎝
⎠
2.22.
x 2 n − y 2 n = ( x − y)( x + y)( x n−1 + x n− 2 y + x n−3 y 2 + …)( x n−1 − x n− 2 y + x n−3 y 2 − …)
⎛
⎞⎛
⎞
π
2π
+ y 2⎟
= ( x − y)( x + y) ⎜ x 2 − 2 xy cos + y 2⎟ ⎜ x 2 − 2 xy cos
n
n
⎝
⎠⎝
⎠
… ⎛ x 2 − 2 xy cos (n − 1)π + y 2⎞
⎜⎝
⎟⎠
n
2.23.
⎛
⎞⎛
⎞
π
3π
x 2 n + y 2 n = ⎜ x 2 + 2 xy cos + y 2⎟ ⎜ x 2 + 2 xy cos
+ y 2⎟
2
n
2
n
⎝
⎠⎝
⎠
…⎛ x 2 + 2 xy cos (2n − 1)π + y 2⎞
⎜⎝
⎟⎠
2n
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3
La fórmula binomial y coeficientes binomiales
FACTORIAL n
Para n = 1, 2, 3,
, factorial n o n factorial se denota y define por
3.1. n! = n(n − 1) ⋅ …⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1
Cero factorial se define por
3.2. 0! = 1
Alternativamente, n factorial se puede definir recursivamente por
0! = 1
EJEMPLO:
y
n! = n (n
1)!
4! = 4 3 2 1 = 24
5! = 5 4 3 2 1 = 5 4! = 5(24) = 120
6! = 6 5! = 6(120) = 720
FÓRMULA BINOMIAL PARA ENTEROS POSITIVOS n
Para n = 1, 2, 3,
,
3.3. ( x + y)n = x n + nx n−1 y +
n(n − 1) n− 2 2 n(n − 1)(n − 2) n−3 3
x y +
x y + L + yn
2!
3!
Esta se llama fórmula binomial. Se puede extender a otros valores de n y también a una serie infinita [vea 22.4].
EJEMPLO:
a)
(a − 2b)4 = a 4 + 4 a 3 (−2b) + 6a 2 (−2b)2 + 4 a(−2b)3 + (−2b)4 = a 4 − 8a 3b + 24 a 2b 2 − 32ab 3 + 16b 4
Aquí x = a y y = −2b.
b) Vea la figura 3-1a.
COEFICIENTES BINOMIALES
La fórmula 3.3 se puede reescribir en la forma
3.4.
⎛ n⎞
⎛ n⎞
⎛ n⎞
⎛ n⎞
( x + y)n = x n + ⎜ ⎟ x n−1 y + ⎜ ⎟ x n− 2 y 2 + ⎜ ⎟ x n−3 y 3 + L + ⎜ ⎟ y n
⎝1⎠
⎝ 2⎠
⎝ 3⎠
⎝ n⎠
7
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8
LA FÓRMULA BINOMIAL Y COEFICIENTES BINOMIALES
donde los coeficientes, llamados coeficientes binomiales, están dados por
3.5.
n!
⎛ n⎞ n(n − 1)(n − 2)L (n − k + 1)
⎛ n ⎞
=
=
⎜⎝ k⎟⎠ =
k!
k !(n − k )! ⎜⎝ n − k⎟⎠
EJEMPLO:
⎛ 9⎞ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6
⎜⎝ 4⎟⎠ = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 = 126,
⎛12⎞ 12 ⋅ 11 ⋅ 10 ⋅ 9 ⋅ 8
⎜⎝ 5 ⎟⎠ = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 = 792,
⎛10⎞ ⎛10⎞ 10 ⋅ 9 ⋅ 8
⎜⎝ 7 ⎟⎠ = ⎜⎝ 3 ⎟⎠ = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 = 120
n
Observe que ⎛⎜ ⎞⎟ tiene exactamente r factores tanto en el numerador como en el denominador.
⎝ r⎠
Los coeficientes binomiales se pueden ordenar en un arreglo triangular de números, llamado triángulo de Pascal, como se muestra en la figura 3-1b. El triángulo tiene las siguientes dos propiedades:
(1) El primero y último número en cada fila es 1.
(2) Cada uno de los otros números en el arreglo se puede obtener al sumar los dos números que aparecen arriba
de este. Por ejemplo:
10 = 4 + 6
15 = 5 + 10
20 = 10 + 10
La propiedad (2) se puede establecer como sigue:
3.6.
⎛ n⎞ ⎛ n ⎞ ⎛ n + 1⎞
⎜⎝ k⎟⎠ + ⎜⎝ k + 1⎟⎠ = ⎜⎝ k + 1⎟⎠
B C B C B C
B C B BC C
B C B BC BC C
B C B BC BC BC C
B C B BC BC BC BC C
B C B BC BC BC BC BC C
B
C
Figura 3-1
PROPIEDADES DE LOS COEFICIENTES BINOMIALES
A continuación se enlistan propiedades adicionales de los coeficientes binomiales:
⎛ n⎞ ⎛ n⎞ ⎛ n⎞
⎛ n⎞
3.7. ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + L + ⎜ ⎟ = 2n
⎝ 0⎠ ⎝1⎠ ⎝ 2⎠
⎝ n⎠
⎛ n⎞ ⎛ n⎞ ⎛ n⎞
⎛ n⎞
3.8. ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ − L(−1)n ⎜ ⎟ = 0
⎝ 0⎠ ⎝1⎠ ⎝ 2⎠
⎝ n⎠
⎛ n⎞ ⎛ n + 1⎞ ⎛ n + 2⎞
⎛ n + m⎞ ⎛ n + m + 1⎞
=⎜
+⎜
+L+ ⎜
⎟
3.9. ⎜ ⎟ + ⎜
⎟
⎟
⎝ n⎠ ⎝ n ⎠ ⎝ n ⎠
⎝ n ⎟⎠ ⎝ n + 1 ⎠
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LA FÓRMULA BINOMIAL Y COEFICIENTES BINOMIALES
9
n
n
n
3.10. ⎛⎜ ⎞⎟ + ⎛⎜ ⎞⎟ + ⎛⎜ ⎞⎟ + L = 2n−1
⎝ 0⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ 4⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
3.11. ⎜ n⎟ + ⎜ n⎟ + ⎜ n⎟ + L = 2n−1
⎝ 1⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ 5⎠
2
2
2
2
⎛ n⎞ ⎛ n⎞ ⎛ n⎞
⎛ n⎞ ⎛ 2n⎞
3.12. ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + L+ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟
⎝ 0⎠ ⎝ 1⎠ ⎝ 2⎠
⎝ n⎠ ⎝ n ⎠
⎛ m⎞ ⎛ n⎞ ⎛ m⎞ ⎛ n ⎞
⎛ m⎞ ⎛ n⎞ ⎛ m + n⎞
+ L+ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜
3.13. ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎜
⎝ 0 ⎠ ⎝ p⎠ ⎝ 1 ⎠ ⎝ p − 1⎟⎠
⎝ p⎠ ⎝ 0⎠ ⎝ p ⎟⎠
⎛ ⎞
⎛ ⎞
⎛ ⎞
⎛ ⎞
3.14. (1) ⎜ n⎟ + (2) ⎜ n⎟ + (3) ⎜ n⎟ + L + (n) ⎜ n⎟ = n 2n−1
⎝ 1⎠
⎝ 2⎠
⎝ 3⎠
⎝ n⎠
⎛ ⎞
⎛ ⎞
⎛ ⎞
⎛ ⎞
3.15. (1) ⎜ n⎟ − (2) ⎜ n⎟ + (3) ⎜ n⎟ − L (−1)n+11 (n) ⎜ n⎟ = 0
⎝ 1⎠
⎝ 2⎠
⎝ 3⎠
⎝ n⎠
FÓRMULA MULTINOMIAL
Sean n1, n2, , nr enteros no negativos tales que n1 + n2 + L + nr = n. Entonces la siguiente expresión, llamada
coeficiente multinomial, está definida como sigue:
⎛
⎞
n!
n
3.16. ⎜
=
⎟
⎝ n1 , n2 , L, nr ⎠ n1! n2!Lnr!
EJEMPLO:
7!
⎛ 7 ⎞
⎜⎝ 2, 3, 2⎟⎠ = 2! 3! 2! = 210,
8
8!
⎛
⎞
⎜⎝ 4, 2, 2, 0⎟⎠ = 4! 2! 2! 0! = 420
El nombre de coeficiente multinomial viene de la siguiente fórmula:
3.17.
⎛
⎞ n n
n
( x1 + x 2 + L + x r )n = ∑ ⎜
x x L xrn
n
,
n
,
,
n
⎝ 1 2 L r ⎟⎠ 1 2
1
2
r
donde la suma, denotada por , toma todos los coeficientes multinomiales posibles.
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4
Números complejos
DEFINICIONES QUE IMPLICAN NÚMEROS COMPLEJOS
Un número complejo z es generalmente escrito en la forma
z = a + bi
donde a y b son números reales e i, llamada unidad imaginaria, tiene la propiedad de que i2 = 1. Los números
reales a y b se conocen como partes reales e imaginarias de z = a + bi, respectivamente.
El complejo conjugado de z se denota por z; y se define por
a + bi = a − bi
Así, a + bi y a
bi son conjugados uno del otro.
IGUALDAD DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS
4.1. a + bi = c + di si y sólo si a = c y b = d
ARITMÉTICA DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS
Fórmulas para la suma, resta, multiplicación y división de los siguientes números complejos:
4.2. (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d )i
4.3. (a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d )i
4.4. (a + bi)(c + di) = (ac − bd ) + (ad + bc)i
4.5.
a + bi a + bi c − di ac + bd ⎛ bc − ad ⎞
=
=
+
•
i
c + di c + di c − di c 2 + d 2 ⎜⎝ c 2 + d 2 ⎟⎠
Note que las operaciones arriba mostradas se obtienen usando las reglas ordinarias de álgebra y reemplazando
i2 por 1 dondequiera que esto ocurra.
EJEMPLO:
Suponga que z = 2 + 3i y w = 5
2i. Entonces
z + w = (2 + 3i) + (5 − 2i) = 2 + 5 + 3i − 2i = 7 + i
zw = (2 + 3i)(5 − 2i) = 10 + 15i − 4i − 6i 2 = 16 + 11i
z = 2 + 3i = 2 − 3i y w = 5 − 2i = 5 + 2i
w 5 − 2i (5 − 2i)(2 − 3i) 4 − 19i 4 19
= − i
=
=
=
z 2 + 3i (2 + 3i)(2 − 3i)
13
13 13
10
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NÚMEROS COMPLEJOS
11
PLANO COMPLEJO
Los números reales se pueden representar por puntos sobre una línea, llamada línea real, y, similarmente, los
números complejos se pueden representar por puntos en el plano; a dicho plano se le conoce como diagrama de
Argand, plano Gaussiano o, simplemente, plano complejo. Específicamente, el punto (a, b) en el plano representa
al número complejo z = a + bi. Por ejemplo, el punto P en la figura 4-1 representa el número complejo z = 3 + 4i.
El número complejo también puede interpretarse como un vector desde el origen O al punto P.
El valor absoluto de un número complejo z = a + bi, escrito | z |, está definido como sigue:
4.6.
| z | = a 2 + b 2 = zz
Se nota que | z | es la distancia desde el origen O al punto z en el plano complejo.
P
y
y
r
O
x
O
q
x
Ï(x, y)
P Ì(x,
Ó q)
y
x
P = (-3, 4) = -3 + 4i
Figura 4-1
Figura 4-2
FORMA POLAR DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS
El punto P en la figura 4-2 con coordenadas (x, y) representa el número complejo z = x + iy. El punto P también
puede representarse por coordenadas polares (r, q ). Como x = r cos q y y = r sen q , se tiene que
4.7.
z = x + iy = r (cosθ + i senθ )
la llamada forma polar del número complejo. Frecuentemente se le llama r = | z | = x 2 + y 2 el módulo y a q se
le conoce como amplitud de z = x + iy.
MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS EN FORMA POLAR
4.8. [r1 (cosθ1 + i senθ1 )][r2 (cosθ 2 + i senθ 2 )] = r1r2 [cos(θ1 + θ 2 ) + i sen(θ1 + θ 2 )]
4.9.
r1 (cosθ1 + i senθ1 ) r1
= [cos(θ1 − θ 2 ) + i sen (θ1 − θ 2 )]
r2 (cosθ 2 + i senθ 2 ) r2
TEOREMA DE DE MOIVRE
Para cualquier número real p, el teorema de De Moivre establece que
4.10. [r (cosθ + i senθ )] p = r p (cos pθ + i sen pθ )
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12
NÚMEROS COMPLEJOS
RAÍCES DE NÚMEROS COMPLEJOS
Sea p = 1/n donde n es cualquier entero positivo. Entonces, 4.10 se puede escribir
4.11.
⎛ θ + 2kπ
θ + 2kπ ⎞
[r (cosθ + i senθ )]1/n = r 1/n ⎜ cos
+ i sen
n
n ⎟⎠
⎝
donde k es cualquier entero. De esta fórmula, se pueden obtener todas las n-ésimas raíces de un número complejo
para k = 0, 1, 2, , n 1.
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5
Soluciones de ecuaciones algebraicas
ECUACIÓN CUADRÁTICA: ax 2 ! bx ! c " 0
5.1.
Soluciones:
− b ± b 2 − 4 ac
2a
4ac es el discriminante, entonces las raíces son
x=
Si a, b, c son reales, y si D = b2
i) reales y no iguales si D > 0
ii) reales e iguales si D = 0
iii) complejas conjugadas si D < 0
5.2.
Si x1, x2 son las raíces, entonces x1 + x2 = b/a y x1x2 = c/a.
ECUACIÓN CÚBICA: x 3 ! a1 x 2 ! a2 x ! a3 " 0
Sea
Q=
3a2 − a12
9
R=
9a1a2 − 27a3 − 2a13
54
S = 3 R + Q3 + R2
donde ST =
5.3.
T = 3 R − Q3 + R2
Q.
Soluciones:
⎧x1 = S + T − 13 a1
⎪
⎨x 2 = − 12 (S + T ) − 13 a1 + 12 i 3 (S − T )
⎪x = − 1 (S + T ) − 1 a − 1 i 3 (S − T )
2
2
3 1
⎩ 3
Si a1, a2, a3 son reales, y si D = Q3 + R2 es el discriminante, entonces
i) una raíz es real y dos son complejas conjugadas si D > 0
ii) todas las raíces son reales y al menos dos son iguales si D = 0
iii) todas las raíces son reales y no iguales si D < 0
Si D < 0, el cálculo se simplifica usando trigonometría.
5.4.
Soluciones:
si D < 0 :
⎧x = 2 −Q cos( 13 θ ) − 13 a
1
⎪1
1
θ
x
=
2
−
Q
cos(
+
120
° ) − 13 a1
⎨ 2
3
⎪x = 2 −Q cos( 1 θ + 240° ) − 1 a
3
3
⎩ 3
donde cosθ = R/ −Q 3
13
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14
5.5.
SOLUCIONES DE ECUACIONES ALGEBRAICAS
x1 + x 2 + x3 = − a1 , x1 x 2 + x 2 x3 + x3 x1 = a2 , x1 x 2 x3 = − a3
donde x1, x2, x3 son las tres raíces.
ECUACIÓN CUÁRTICA: x 4 ! a1 x 3 ! a2 x 2 ! a3 x ! a4 " 0
Sea y1 una raíz real de la siguiente ecuación cúbica:
5.6.
y 3 − a2 y 2 + (a1a3 − 4 a4 ) y + (4 a2 a4 − a32 − a12 a4 ) = 0
Las cuatro raíces de la ecuación cuártica son las cuatro raíces de la siguiente ecuación:
5.7.
(
)
(
)
z 2 + 12 a1 ± a12 − 4a2 + 4 y1 z + 12 y1 m y12 − 4 a4 = 0
Al suponer que todas las raíces de 5.6 son reales, el cálculo se simplifica usando la raíz real particular que
produce todos los coeficientes reales en la ecuación cuadrática 5.7.
5.8.
⎧x1 + x 2 + x3 + x 4 = − a1
⎪⎪x1 x 2 + x 2 x3 + x3 x 4 + x 4 x1 + x1 x3 + x 2 x 4 = a2
⎨x x x + x x x + x x x + x x x = − a
2 3 4
1 2 4
1 3 4
3
⎪1 2 3
⎪⎩x1 x 2 x3 x 4 = x 4
donde x1, x2, x3, x4 son las cuatro raíces.
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6
Factores de conversión
Longitud 1 kilómetro (km)
1 metro (m)
1 centímetro (cm)
1 milímetro (mm)
1 micra (m)
1 milimicra (mm)
1 angstrom (Å)
Área
= 1000 metros (m)
= 100 centímetros (cm)
= 10 2 m
= 10 3 m
= 10 6 m
= 10 9 m
= 10 10 m
1 metro cuadrado (m2) = 10.76 pie2
1 pie cuadrado (pie2) = 929 cm2
1 pulgada (pulg)
1 pie (pie)
1 milla (mi)
1 milímetro
1 centímetro
1 metro
1 kilómetro
= 2.540 cm
= 30.48 cm
= 1.609 km
= 10 3 pulg
= 0.3937 pulg
= 39.27 pulg
= 0.6214 mi
1 milla cuadrada (mi2) = 640 acres
1 acre
= 43 560 pie2
Volumen 1 litro (l) = 1 000 cm3 = 1.057 cuarto de galón (qt) = 61.02 pulg3 = 0.03532 pie3
1 metro cúbico (m3) = 1 000 l = 35.32 pie3
1 pie cúbico (pie3) = 7.481 galones americanos = 0.02832 m3 = 28.32 l
1 galón americano (gal) = 231 pulg3 = 3.785 l
1 galón británico = 1.201 galones americanos = 277.4 pulg3
Masa
1 kilogramo (kg) = 2.2046 libras (lb) = 0.06852 slug; 1 lb = 453.6 gm = 0.03108 slug
1 slug = 32.174 lb = 14.59 kg
Velocidad 1 km/hr = 0.2778 m/segundo = 0.6214 mi/hr = 0.9113 pie/segundo
1 mi/hr = 1.467 pie/segundo = 1.609 km/hr = 0.4470 m/segundo
Densidad 1 gm/cm3 = 103 kg/m3 = 62.43 lb/pie3 = 1.940 slug/pie3
1 lb/pie3 = 0.01602 gm/cm3; 1 slug/pie3 = 0.5154 gm/cm3
Fuerza
1 newton (N) = 105 dinas = 0.1020 kgf = 0.2248 lbf
1 libra fuerza (lbf) = 4.448 N = 0.4536 kgf = 32.17 libras
1 kilogramo fuerza (kgf) = 2.205 lbf = 9.807 N
1 tonelada corta americana = 2 000 lbf; 1 tonelada larga = 2 240 lbf;
1 tonelada métrica = 2 205 lbf
Energía
1 joule = 1 N m = 107 ergs = 0.7376 lbf pie = 0.2389 cal = 9.481 × 10 4 Btu
1 lbf pie = 1.356 joules = 0.3239 cal = 1.285 × 10 3 Btu
1 caloría (cal) = 4.186 joules = 3.087 lbf pie = 3.968 × 10 3 Btu
1 Btu (British thermal unit) = 778 lbf pie = 1055 joules = 0.293 watt hr
1 kilowatt hora (kw hr) = 3.60 × 106 joules = 860.0 kcal = 3413 Btu
1 electro volt (ev) = 1.602 × 10 19 joule
Potencia
1 watt = 1 joule/seg = 107 ergs/seg = 0.2389 cal/seg
1 caballo de potencia (hp) = 550 lbf pie/seg = 33 000 lbf pie/min = 745.7 watts
1 kilowatt (kw) = 1.341 hp = 737.6 lbf pie/seg = 0.9483 Btu/seg
Presión
1 N/m2 = 10 dinas/cm2 = 9.869 × 10 6 atmósferas = 2.089 × 10 2 lbf/pie2
1 lbf/pulg2 = 6 895 N/m2 = 5.171 cm mercurio = 27.68 pulgada de agua
1 atm = 1.013 × 105 N/m2 = 1.013 × 106 dinas/cm2 = 14.70 lbf/pulg2
= 76 cm mercurio = 406.8 pulgada de agua
15
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Sección II: Geometría
7
Fórmulas geométricas
RECTÁNGULO DE LONGITUD b Y ANCHO a
7.1. Área = ab
7.2. Perímetro = 2a + 2b
a
b
Figura 7-1
PARALELOGRAMO DE ALTURA h Y BASE b
7.3. Área = bh = ab sen u
7.4. Perímetro = 2a + 2b
a
h
q
b
Figura 7-2
TRIÁNGULO DE ALTURA h Y BASE b
7.5. Área = 12 bh = 12 ab senθ
= s(s − a)(s − b)(s − c)
a
donde s = 12 (a + b + c) = semiperímetro.
c
h
q
b
7.6. Perímetro = a + b + c
Figura 7-3
TRAPECIO DE ALTURA h Y LADOS PARALELOS a Y b
7.7. Área = 12 h (a + b)
⎛ 1
1 ⎞
7.8. Perímetro = a + b + h ⎜
+
θ
φ ⎟⎠
sen
sen
⎝
= a + b + h (csc θ + csc φ )
a
h
f
q
b
Figura 7-4
16
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17
FÓRMULAS GEOMÉTRICAS
POLÍGONO REGULAR DE n LADOS, CADA UNO DE LONGITUD b
7.9. Área = 14 nb 2 cot
π
cos(π / n)
= 14 nb 2
n
sen (π / n)
b
2p
§n
7.10. Perímetro = nb
Figura 7-5
CÍRCULO DE RADIO r
7.11. Área = pr2
r
7.12. Perímetro = 2pr
Figura 7-6
SECTOR DE CÍRCULO DE RADIO r
7.13. Área = 12 r 2θ [q en radianes]
7.14.
r
Longitud de arco s = rq
8
q
r
Figura 7-7
RADIO DE CÍRCULO INSCRITO EN UN TRIÁNGULO DE LADOS a, b, c
7.15. r =
s(s − a)(s − b)(s − c)
s
donde s = 12 (a + b + c) = semiperímetro.
a
r
c
b
Figura 7-8
RADIO DE CÍRCULO CIRCUNSCRITO A UN TRIÁNGULO DE LADOS a, b, c
7.16.
R=
abc
4 s(s − a)(s − b)(s − c)
donde s = 12 (a + b + c) = semiperímetro.
a
c R
b
Figura 7-9
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18
FÓRMULAS GEOMÉTRICAS
POLÍGONO REGULAR DE n LADOS INSCRITOS EN UN CÍRCULO DE RADIO r
2π 1 2
360°
= 2 nr sen
n
n
7.17. Área = 12 nr 2 sen
7.18. Perímetro = 2nr sen
r
π
180°
= 2nr sen
n
n
Figura 7-10
POLÍGONO REGULAR DE n LADOS CIRCUNSCRITOS EN UN CÍRCULO DE RADIO r
7.19. Área = nr 2 tan
π
180°
= nr 2 tan
n
n
7.20. Perímetro = 2nr tan
r
π
180°
= 2nr tan
n
n
Figura 7-11
SEGMENTO DE CÍRCULO DE RADIO r
7.21. Área de parte sombreada = 12 r 2 (θ − sen θ )
r
q
r
Figura 7-12
ELIPSE DE SEMIEJE MAYOR a Y SEMIEJE MENOR b
7.22. Área = pab
7.23. Perímetro = 4 a ∫
π/ 2
0
= 2π
1
2
b
1 − k 2 sen 2 θ dθ
a
(a 2 + b 2 ) [aproximadamente]
Figura 7-13
donde k = a 2 − b 2 /a. Vea la tabla 29 para consultar los valores numéricos.
SEGMENTO DE UNA PARÁBOLA
7.24. Área = 23 ab
7.25. Longitud de arco ABC =
B
1
2
b 2 + 16a 2 +
⎛ 4 a + b 2 + 16a 2 ⎞
b2
ln ⎜
⎟
8a ⎝
b
⎠
a
A
b
C
Figura 7-14
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19
FÓRMULAS GEOMÉTRICAS
PARALELEPÍPEDO RECTANGULAR DE LONGITUD a, ALTURA b, ANCHO c
7.26. Volumen = abc
c
7.27. Área de superficie = 2(ab + ac + bc)
b
a
Figura 7-15
PARALELEPÍPEDO DE ÁREA DE SECCIÓN TRANSVERSAL A Y ALTURA h
7.28. Volumen = Ah = abc sen q
A
h
b
q
a
Figura 7-16
ESFERA DE RADIO r
7.29. Volumen = 4 π r 3
3
r
7.30. Área de superficie = 4pr2
Figura 7-17
CILINDRO CIRCULAR RECTO DE RADIO r Y ALTURA h
7.31. Volumen = pr2h
r
7.32. Área de superficie lateral = 2prh
h
Figura 7-18
CILINDRO CIRCULAR DE RADIO r Y ALTURA INCLINADA l
7.33. Volumen = pr2h = pr2l sen u
2π rh
7.34. Área de superficie lateral = 2π rl =
= 2π rh cscθ
senθ
r
l
q
h
Figura 7-19
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20
FÓRMULAS GEOMÉTRICAS
CILINDRO DE ÁREA DE SECCIÓN TRANSVERSAL A Y ALTURA INCLINADA l
7.35. Volumen = Ah = Al sen q
p
A
7.36. Área de superficie lateral = ph = pl sen q
l
Observe que las fórmulas 7.31 a 7.34 son casos especiales de las fórmulas 7.35 y 7.36.
h
q
Figura 7-20
CONO CIRCULAR RECTO DE RADIO r Y ALTURA h
7.37. Volumen = 13 π r 2h
r
7.38. Área de superficie lateral = π r r 2 + h 2 = π rl
h
l
Figura 7-21
PIRÁMIDE DE ÁREA BASE A Y ALTURA h
7.39. Volumen = 13 Ah
h
A
Figura 7-22
TAPA ESFÉRICA DE RADIO r Y ALTURA h
7.40. Volumen (sombreado en la figura) = 13 π h 2 (3r − h)
h
7.41. Área de superficie = 2p rh
r
Figura 7-23
TRONCO DE CONO CIRCULAR RECTO DE RADIOS a, b Y ALTURA h
7.42. Volumen = 13 π h(a 2 + ab + b 2 )
7.43. Área de superficie lateral = π (a + b) h 2 + (b − a)2
= p (a + b)l
a
l
h
b
Figura 7-24
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21
FÓRMULAS GEOMÉTRICAS
TRIÁNGULO ESFÉRICO DE ÁNGULOS A, B, C SOBRE LA ESFERA DE RADIO r
7.44. Área de triángulo ABC = (A + B + C
p)r 2
B
r
A
C
Figura 7-25
TORO DE RADIO INTERIOR a Y RADIO EXTERIOR b
7.45. Volumen = 14 π 2 (a + b)(b − a)2
7.46. Área de superficie = p 2(b2
a2)
a
b
Figura 7-26
ELIPSOIDE DE SEMIEJES a, b, c
7.47. Volumen = 43 π abc
c
b
a
Figura 7-27
PARABOLOIDE DE REVOLUCIÓN
7.48. Volumen = 12 π b 2 a
a
b
Figura 7-28
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8
Fórmulas de la geometría analítica
plana
DISTANCIA d ENTRE DOS PUNTOS P1(x1, y1) Y P2(x2, y2)
8.1. d = ( x 2 − x1 )2 + ( y2 − y1 )2
y
P1 (x1, y1)
P2 (x2, y2)
d
(y2 - y1)
(x2 - x1)
q
x2
x1
x
Figura 8-1
PENDIENTE m DE LA RECTA QUE UNE DOS PUNTOS P1(x1, y1) Y P2(x2, y2)
8.2. m =
y2 − y1
= tan θ
x 2 − x1
ECUACIÓN DE LA RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS P1(x1, y1) Y P2(x2, y2)
8.3.
y − y1 y2 − y1
=
= m o y − y1 = m( x − x1 )
x − x1 x 2 − x1
8.4. y = mx + b
donde b = y1 − mx1 =
x 2 y1 − x1 y2
es la intersección sobre el eje y, es decir, la intersección y.
x 2 − x1
ECUACIÓN DE LA RECTA EN TÉRMINOS DE LA INTERSECCIÓN DE x EN a
Y DE y EN b 0
8.5.
x
y
+ =1
a b
0
y
b
a
22
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x
Figura 8-2
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FÓRMULAS DE LA GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
23
FORMA NORMAL PARA LA ECUACIÓN DE LA RECTA
8.6. x cos a + y sen a = p
y
donde p = distancia perpendicular desde el origen O hasta la recta
y a = ángulo de inclinación de la perpendicular con el eje x positivo.
p
a
x
O
Figura 8-3
ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA
8.7. Ax + By + C = 0
DISTANCIA DESDE EL PUNTO (x1, y1) A LA RECTA Ax ! By ! C " 0
8.8.
Ax1 + By1 + C
± A2 + B 2
donde el signo se escoge de manera que la distancia no sea negativa.
ÁNGULO y
8.9. tan ψ =
ENTRE DOS RECTAS CON PENDIENTES
m1 Y m2
m2 − m1
1 + m1m2
y
Las rectas son paralelas o coincidentes si y sólo si m1 = m2.
Las rectas son perpendiculares si y sólo si m2 = 1/m1.
y
pendiente m1
pendiente m2
x
Figura 8-4
ÁREA DE UN TRIÁNGULO CON VÉRTICES EN (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3)
8.10.
x
1 1
Área = ± x 2
2
x3
y1 1
y2 1
y3 1
1
= ± ( x1 y2 + y1 x3 + y3 x 2 − y2 x3 − y1 x 2 − x1 y3 )
2
donde el signo se escoge de manera que el área no sea negativa.
Si el área es cero, todos los puntos pasan sobre una recta.
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y
(x1, y1)
(x2, y2)
(x3, y3)
x
Figura 8-5
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24
FÓRMULAS DE LA GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS QUE INVOLUCRAN UNA TRASLACIÓN PURA
⎧x = x ′ + x 0
8.11. ⎨
⎩⎪y = y′ + y0
o
⎧x ′ = x − x 0
⎨
⎩⎪y′ = y − y0
y
y'
(x0, y0)
O'
donde (x, y) son viejas coordenadas (es decir, coordenadas relativas
al sistema xy); (x′, y′) son nuevas coordenadas (relativas al sistema
x′, y′) y (x0, y0) son las coordenadas del nuevo origen O′ relativo
al viejo sistema coordenado xy.
x'
x
O
Figura 8-6
TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS QUE INVOLUCRAN UNA ROTACIÓN PURA
⎧x = x ′ cos α − y′senα
8.12. ⎨
⎩ y = x ′senα + y′ cos α
o
⎧x ′ = x cos α + y senα
⎨
⎩ y′ = y cos α − x senα
y
y'
donde el origen del viejo [xy] y nuevo [x′y′] sistema
coordenado es el mismo, pero el eje x′ hace un ángulo a con
el eje positivo x.
O
x'
a
x
Figura 8-7
TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS QUE INVOLUCRAN TRASLACIÓN Y ROTACIÓN
8.13.
⎧x = x ′ cos α − y′ senα + x 0
⎨
⎪⎩ y = x ′ senα + y′ cos α + y0
⎧x ′ = ( x − x 0 )cos α + ( y − y0 ) senα
o ⎨
⎩⎪ y′ = ( y − y0 )cos α − ( x − x 0 ) senα
donde el nuevo origen O′ del sistema coordenado x′y′
tiene coordenadas (x0, y0) relativas al viejo sistema
coordenado xy y el eje x′ hace un ángulo a con
el eje positivo x.
y
y'
x'
O'
(x0, y0)
a
x
O
Figura 8-8
COORDENADAS POLARES (r, q )
Un punto P se puede localizar mediante coordenadas rectangulares
(x, y) o coordenadas polares (r, u). La transformación entre esas
coordenadas es como sigue:
⎧ x = r cosθ
8.14. ⎨
⎩ y = r sen θ
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o
⎧⎪ r = x 2 + y 2
⎨
−1
⎩⎪ θ = tan ( y / x)
y
r
O
q
Ï(x, y)
P Ì(x, q)
Ó
x
Figura 8-9
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25
FÓRMULAS DE LA GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA DE RADIO R, CON CENTRO EN (x0, y0)
8.15. (x
x0)2 + (y
y0)2 = R2
y
R
(x0, y0)
x
Figura 8-10
ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA DE RADIO R QUE PASA A TRAVÉS DEL ORIGEN
8.16. r = 2R cos(u
a)
y
donde (r, u) son coordenadas polares de cualquier punto
sobre la circunferencia y (R, a) son coordenadas del centro
de la circunferencia.
(R, a)
R
a
x
Figura 8-11
CÓNICAS (ELIPSE, PARÁBOLA O HIPÉRBOLA)
Si un punto P se mueve de manera que su distancia desde un punto
fijo (llamado foco) dividido por su distancia desde una línea fija
(llamada directriz) es una constante ! (llamada excentricidad),
entonces la curva descrita por P es llamada cónica (se le nombra
así porque tales curvas pueden obtenerse al intersecar un plano
y un cono a diferentes ángulos).
Si el foco se escoge en el origen O, la ecuación de una cónica en
coordenadas polares (r, u) si OQ = p y LM = D (vea la figura 8-12), es
8.17. r =
!D
p
=
1 − ! cos θ 1 − ! cos θ
La cónica es
i) una elipse si ! < 1
ii) una parábola si ! = 1
iii) una hipérbola si ! > 1
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y
L
M
P(r, q)
Q
r
p
V
O
q
x
Foco
Directriz
D
Figura 8-12
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26
FÓRMULAS DE LA GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
ELIPSE CON CENTRO C(x0, y0) Y EJE MAYOR PARALELO AL EJE x
y
8.18. Longitud de eje mayor A′A = 2a
8.19. Longitud de eje menor B′B = 2b
B
A'
8.20. La distancia desde el centro C al foco F o F′ es
C
F'
c = a2 − b2
F
A
B'
x
O
c
a2 − b2
8.21. Excentricidad: ! = =
a
a
Figura 8-13
8.22. Ecuación en coordenadas rectangulares
( x − x 0 )2 ( y − y0 )2
+
=1
a2
b2
8.23. Ecuación en coordenadas polares si C está en O: r 2 =
a 2b 2
a 2 sen 2θ + b 2 cos 2 θ
8.24. Ecuación en coordenadas polares si C está sobre el eje x y F′ está en O: r =
a (1 − ! 2 )
1 − ! cos θ
8.25. Si P es cualquier punto sobre la elipse, PF + PF′ = 2a
Si el eje mayor es paralelo al eje y, intercambie x y y en las fórmulas de arriba o reemplace u por 12 π − θ
(o 90 u).
PARÁBOLA CON EJE PARALELO AL EJE x
Si el vértice está en A (x0, y0) y la distancia desde A hasta el foco F es a > 0, la ecuación de la parábola es
8.26. (y
y0)2 = 4a(x
8.27. (y
y0)2 = 4a(x
x0)
x0)
si la parábola abre a la derecha (figura 8-14)
si la parábola abre a la izquierda (figura 8-15)
Si el foco está en el origen (figura 8-16), la ecuación en coordenadas polares es
8.28. r =
2a
1 − cos θ
y
y
y
r
A
(x0, y0)
a
a
F
O
Figura 8-14
F
a
A
(x0,y0)
x
O
Figura 8-15
x
x
Figura 8-16
En caso de que el eje sea paralelo al eje y, intercambie x y y o reemplace u por 12 π − θ (o 90
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q
O
u).
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FÓRMULAS DE LA GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
27
HIPÉRBOLA CON CENTRO C(x0, y0) Y EJE MAYOR PARALELO AL EJE x
H'
H
y
B
C
A
A'
F'
F
B'
x
O
G'
G
Figura 8-17
8.29. Longitud del eje mayor A′A = 2a
8.30. Longitud del eje menor B′B = 2b
8.31. La distancia desde el centro C al foco F o F′ es c = a 2 + b 2
8.32. Excentricidad: ! =
c
=
a
a2 + b2
a
8.33. Ecuación en coordenadas rectangulares:
8.34. Pendientes de asíntotas G′H y GH ′ = ±
( x − x 0 )2 ( y − y0 )2
−
=1
a2
b2
b
a
8.35. Ecuación en coordenadas polares si C está en O: r 2 =
a 2b 2
b 2 cos 2 θ − a 2 sen 2θ
8.36. Ecuación en coordenadas polares si C está sobre el eje x y F′ está en O: r =
8.37. Si P es cualquier punto sobre la hipérbola, PF
a(! 2 − 1)
1 − ! cos θ
PF′ = ±2a (dependiendo de la rama).
Si el eje mayor es paralelo al eje y, intercambie x y y en las fórmulas de arriba o reemplace u por 12 π − θ
(o 90
u).
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9
Curvas planas especiales
LEMNISCATA
9.1. Ecuación en coordenadas polares:
y
A
r2 = a2 cos 2u
9.2. Ecuación en coordenadas rectangulares:
(x2 + y2)2 = a2(x2
B
a
x
y2)
A'
9.3. Ángulo entre AB′ o A′B y el eje x = 45
B'
Figura 9-1
9.4. Área de un lazo = a2
CICLOIDE
9.5. Ecuaciones en forma paramétrica:
⎧x = a(φ − sen φ )
⎨
⎩ y = a(1 − cos φ )
9.6. Área de un arco = 3p a2
9.7. Longitud de arco de un arco = 8a
Esta es una curva descrita por un punto P sobre una circunferencia
de radio a que rueda sin deslizarse a lo largo del eje x.
y
P
f
2a
O
2pa
x
Figura 9-2
HIPOCICLOIDE CON CUATRO CÚSPIDES
9.8. Ecuación en coordenadas rectangulares:
x2/3 + y2/3 = a2/3
y
9.9. Ecuación en forma paramétrica:
⎧x = a cos3 θ
⎨
⎩y = a sen 3 θ
a
O
P
x
9.10. Área limitada por la curva = 83 π a 2
9.11. Longitud de arco de la curva entera = 6a
Esta es una curva descrita por un punto P sobre una circunferencia
de radio a/4 que rueda sin deslizarse dentro de un círculo de radio a.
Figura 9-3
28
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29
CURVAS PLANAS ESPECIALES
CARDIOIDE
9.12. Ecuación: r = 2a(1 + cos u)
y
P
9.13. Área sombreada por curva = 6pa2
a
B
a
9.14. Longitud de arco de curva = 16a
x
A
Esta es la curva descrita por un punto P de una circunferencia de radio a
tal como rueda sobre el exterior de un círculo fijo de radio a. La curva
es también un caso especial del caracol de Pascal (vea 9.32).
Figura 9-4
CATENARIA
9.15. Ecuación: y =
a x /a − x /a
x
(e + e ) = a cos h
2
a
y
A
Esta es la curva que se forma al colgar una cadena uniforme que
se suspende entre dos puntos fijos A y B.
B
a
x
O
Figura 9-5
ROSA DE TRES HOJAS
9.16. Ecuación: r = a cos 3u
La ecuación r = a sen 3u es una curva similar que se obtiene al
rotar la curva de la figura 9-6 en sentido contrario a las manecillas
del reloj 30 o p/6 radianes.
En general, r = a cos nu o r = a sen nu tiene n hojas si
n es impar.
y
a
x
a
x
Figura 9-6
ROSA DE CUATRO HOJAS
9.17. Ecuación: r = a cos 2u
La ecuación r = a sen 2u es una curva similar que se obtiene al
rotar la curva de la figura 9-7 en sentido contrario a las manecillas
del reloj 45 o p/4 radianes.
En general, r = a cos nu o r = a sen nu tiene 2n hojas si n es par.
y
Figura 9-7
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30
CURVAS PLANAS ESPECIALES
EPICICLOIDE
9.18. Ecuaciones paramétricas:
y
⎧
⎛ a + b⎞
θ
⎪ x = (a + b)cosθ − b cos ⎜
⎝ b ⎟⎠
⎪
⎨
⎪y = (a + b) senθ − b sen ⎛ a + b ⎞ θ
⎜⎝ b ⎟⎠
⎪⎩
b
a
P
q
x
O
Esta es la curva descrita por un punto P sobre una circunferencia
de radio b que rueda sin deslizarse por fuera de un círculo de radio a.
La cardioide (figura 9-4) es un caso especial de una epicicloide.
Figura 9-8
HIPOCICLOIDE GENERAL
9.19. Ecuaciones paramétricas:
y
⎧
⎛ a − b⎞
φ
⎪x = (a − b)cos φ + b cos ⎜
⎝ b ⎟⎠
⎪
⎨
⎛ a − b⎞
⎪
⎪y = (a − b) sen φ − b sen ⎜⎝ b ⎟⎠ φ
⎩
b
a
P
x
O
Esta es la curva descrita por un punto P de una circunferencia
de radio b que rueda sin deslizarse por dentro de un círculo de radio a.
Si b = a/4, la curva es la de la figura 9-3.
Figura 9-9
TROCOIDE
⎧x = aφ − b sen φ
9.20. Ecuaciones paramétricas: ⎨
⎩ y = a − b cos φ
Ésta es una curva descrita por un punto P a la distancia b desde el centro de una circunferencia de radio a,
cuando esta última sigue al eje x.
Si b < a, la curva es como la que se muestra en la figura 9-10 y se llama cicloide acortada.
Si b > a, la curva es como la que se muestra en la figura 9-11 y se llama cicloide alargada.
Si b = a, la curva es el cicloide de la figura 9-2.
Z
Z
1
C
1
B
0
Figura 9-10
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C
B
Y
0
Y
Figura 9-11
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31
CURVAS PLANAS ESPECIALES
TRACTRIZ
⎧x = a(ln cot 12 φ − cos φ )
9.21. Ecuaciones paramétricas: ⎨
⎩y = a sen φ
Esta es la curva descrita por el punto final P de una cuerda tensa PQ
de longitud a cuando el otro extremo Q se mueve a lo largo del eje x.
y
P
a
f
O
x
Q
Figura 9-12
BRUJA DE AGNESI
9.22. Ecuaciones en coordenadas rectangulares: y =
8a 3
x + 4a 2
y
2
A
⎧
9.23. Ecuaciones paramétricas: ⎨x = 2a cot θ
⎩y = a(1 − cos 2θ )
2a
En la figura 9-13, la línea variable OA interseca y = 2a y el
círculo de radio a con centro (0, a) en A y B, respectivamente.
Cualquier punto P sobre la “bruja” se localiza al construir
líneas paralelas a los ejes x y y a través de B y A, respectivamente,
y determinar el punto P de intersección.
P
B
q
x
O
Figura 9-13
FOLIO DE DESCARTES
y
9.24. Ecuación en coordenadas rectangulares: x + y = 3axy
3
3
9.25. Ecuaciones paramétricas:
⎧
3at
⎪⎪x = 1 + t 3
⎨
2
⎪y = 3at
1 + t3
⎪⎩
9.26. Área de lazo =
3 2
a
2
x
O
Figura 9-14
9.27. Ecuación de asíntota: x + y + a = 0
INVOLUTA DE UNA CIRCUNFERENCIA
y
9.28. Ecuaciones paramétricas:
P
⎧x = a(cos φ + φ senφ )
⎨
⎩y = a(senφ − φ cos φ )
Esta es la curva descrita por el punto extremo P de una cuerda
cuando rueda desde una circunferencia de radio a mientras
se mantiene tenso.
f
O
x
Figura 9-15
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32
CURVAS PLANAS ESPECIALES
EVOLUTA DE UNA ELIPSE
9.29. Ecuación en coordenadas rectangulares:
(ax)2/3 + (by)2/3 = (a2
b2)2/3
y
9.30. Ecuaciones paramétricas:
x
⎧ax = (a 2 − b 2 )cos3 θ
⎨
2
2
3
⎩by = (a − b ) sen θ
O
Esta curva es la envolvente de las normales a la elipse
x2/a2 + y2/b2 = 1 que se muestra punteada en la figura 9-16.
Figura 9-16
ÓVALOS DE CASSINE
9.31. Ecuación polar: r4 + a4
2a2r2 cos 2u = b4
Esta es la curva descrita por un punto P de manera que el producto de su distancia desde dos puntos fijos
(apartados una distancia 2a) es una constante b2.
La curva es como la que se muestra en las figuras 9-17 o 9-18, acordando que b < a o b > a, respectivamente.
Si b = a, la curva es una lemniscata (figura 9-1).
y
y
P
P
–a
a
O
x
–a
O
Figura 9-17
a
x
Figura 9-18
CARACOL DE PASCAL
9.32. Ecuación polar: r = b + a cos u
Sea OQ una línea que une al origen O a cualquier punto Q sobre una circunferencia de diámetro a pasando
a través de O. Entonces, la curva es el lugar geométrico de todos los puntos P, de manera que PQ = b.
La curva es como en las figuras 9-19 o 9-20, acordando que 2a > b > a, o b < a, respectivamente. Si
b = a, la curva es una cardioide (figura 9-4). Si b ! 2a, la curva es convexa.
y
y
P
Q
O
P
b
a
Figura 9-19
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x
x
O
Figura 9-20
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CURVAS PLANAS ESPECIALES
33
CISOIDE DE DIOCLES
9.33. Ecuación en coordenadas rectangulares:
y
x3
y =
2a − x
S
2
R
9.34. Ecuaciones paramétricas:
⎧x = 2a sen 2θ
⎪
2a sen 3θ
⎨
⎪⎩y = cosθ
Esta es la curva descrita por un punto P de manera que la
distancia OP = distancia RS. Se usa en el problema de
duplicación de un cubo, es decir, encontrar el lado de un cubo
que tiene dos veces el volumen de un cubo dado.
P
a
x
O
Figura 9-21
ESPIRAL DE ARQUÍMEDES
9.35. Ecuación polar: r = au
y
x
O
Figura 9-22
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10
Fórmulas de la geometría analítica
espacial
DISTANCIA d ENTRE DOS PUNTOS P1(x1, y1, z1) Y P2(x2, y2, z2)
z
10.1. d = ( x 2 − x1 )2 + ( y2 − y1 )2 + (z 2 − z1 )2
P1 (x1, y1, z1)
g
d
b
P2 (x2, y2, z2)
a
y
O
x
Figura 10-1
COSENOS DIRECTORES DE UNA RECTA QUE UNE A LOS PUNTOS P1(x1, y1, z1)
Y P2(x2, y2, z2)
10.2. l = cos α =
z − z1
y − y1
x 2 − x1
, m = cos β = 2
, n = cos γ = 2
d
d
d
donde a, b, g son los ángulos que la línea P1P2 hace con los ejes positivos x, y, z, respectivamente, y d
está dado por 10.1 (vea la figura 10-1).
RELACIÓN ENTRE LOS COSENOS DIRECTORES
10.3. cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1 o l 2 + m 2 + n 2 = 1
NÚMEROS DIRECTORES
Los números L, M, N, que son proporcionales a los cosenos directores l, m, n, son llamados números directores. La
relación entre ellos está dada por
10.4. l =
L
L +M +N
2
2
2
M
, m=
L +M +N
2
2
2
, n=
N
L + M2 + N2
2
ECUACIONES DE LA RECTA QUE UNEN P1(x1, y1, z1) Y P2(x2, y2, z2) EN FORMA ESTÁNDAR
10.5.
x − x1
y − y1
z − z1
=
=
x 2 − x1
y2 − y1
z 2 − z1
o
x − x1
y − y1
z − z1
=
=
l
m
n
Estas son también válidas si l, m, n son reemplazadas por L, M, N, respectivamente.
34
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FÓRMULAS DE LA GEOMETRÍA ANALÍTICA ESPACIAL
35
ECUACIONES DE LA RECTA QUE UNEN P1(x1, y1, z1) Y P2(x2, y2, z2) EN FORMA
PARAMÉTRICA
x = x1 + lt , y = y1 + mt , z = z1 + nt
10.6.
Éstas también son válidas si l, m, n son reemplazadas por L, M, N, respectivamente.
ÁNGULO f ENTRE DOS RECTAS CON COSENOS DIRECTORES l1, m1, n1 Y l2, m2, n2
cos φ = l1l2 + m1m2 + n1n2
10.7.
ECUACIÓN GENERAL DE UN PLANO
Ax + By + Cz + D = 0
10.8.
(A, B, C, D son constantes)
ECUACIÓN DEL PLANO QUE PASA A TRAVÉS DE LOS PUNTOS
(x1, y1, z1), (x2, y2, z2) y (x3, y3, z3)
x − x1 y − y1 z − z1
x 2 − x1 y2 − y1 z 2 − z1 = 0
x3 − x1 y3 − y1 z3 − z1
10.9.
o
10.10.
y2 − y1
y3 − y1
z2 − z1
z −z
( x − x1 ) + 2 1
z3 − z1
z3 − z1
x − x1
x 2 − x1
( y − y1 ) + 2
x3 − x1
x3 − x1
y2 − y1
(z − z1 ) = 0
y3 − y1
ECUACIÓN DEL PLANO POR SUS INTERSECCIONES DE LOS EJES
10.11.
x
y z
+ + =1
a b c
z
donde a, b, c son las intersecciones sobre los ejes x, y, z,
respectivamente.
c
a
O
b
y
x
Figura 10-2
ECUACIÓN DE LA RECTA A TRAVÉS DE (x0, y0, z0) Y PERPENDICULAR
AL PLANO Ax + By + Cz + D = 0
10.12.
x − x0
y − y0
z − z0
=
=
A
B
C
o x = x 0 + At , y = y0 + Bt , z = z 0 + Ct
Observe que los números directores para una línea perpendicular al plano Ax + By + Cz + D = 0 son A, B, C.
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36
FÓRMULAS DE LA GEOMETRÍA ANALÍTICA ESPACIAL
DISTANCIA DESDE EL PUNTO (x0, y0, z0) AL PLANO Ax ! By ! Cz ! D " 0
10.13.
Ax 0 + By0 + Cz 0 + D
± A2 + B 2 + C 2
donde el signo se escoge de manera que la distancia no sea negativa.
FORMA NORMAL PARA LA ECUACIÓN DEL PLANO
10.14.
x cos α + y cos β + z cos γ = p
z
donde p = distancia perpendicular desde O al plano en P
y a, b, g son ángulos ente OP y los ejes positivos x, y, z.
g
a
P
p
b
y
O
x
Figura 10-3
TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS QUE INVOLUCRAN TRASLACIÓN PURA
10.15.
⎧x = x ′ + x 0
⎪
⎨y = y′ + y0
⎪ z = z′ + z
0
⎩
⎧x ′ = x − x 0
⎪
o ⎨y′ = y − y0
⎪ z′ = z − z
0
⎩
z
z¢
(x0, y0, z0)
y¢
O¢
donde (x, y, z) son viejas coordenadas (es decir, coordenadas
relativas al sistema xyz); (x′, y′, z′) son nuevas coordenadas
(relativas al sistema x′, y′, z′) y (x0, y0, z0) son las coordenadas
del nuevo origen O′ relativas al viejo sistema coordenado xyz.
x¢
y
O
x
Figura 10-4
TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS QUE INVOLUCRAN ROTACIÓN PURA
10.16.
⎧x = l1x ′ + l2 y′ + l3 z ′
⎪
⎨y = m1x ′ + m2 y′ + m3 z ′
⎪ z = n x ′ + n y′ + n z ′
1
2
3
⎩
z
z¢
y¢
⎧x ′ = l1x + m1 y + n1z
⎪
o ⎨y′ = l2 x + m2 y + n2 z
⎪z ′ = l x + m y + n z
3
3
3
⎩
donde los orígenes de los sistemas xyz y x′y′z′ son
los mismos y l1, m1, n1; l2, m2, n2; l3, m3, n3 son los cosenos
directores de los ejes x′, y′, z′ relativos a los ejes x, y, z,
respectivamente.
02_Seccion 02_Spiegel(016-042).indd 36
y
O
x
x¢
Figura 10-5
04/12/13 16:42
FÓRMULAS DE LA GEOMETRÍA ANALÍTICA ESPACIAL
37
TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS QUE INVOLUCRAN TRASLACIÓN Y ROTACIÓN
⎧x = l1x ′ + l2 y′ + l3 z ′ + x 0
⎪
⎨y = m1x ′ + m2 y′ + m3 z ′ + y0
⎪ z = n x ′ + n y′ + n z ′ + z
1
2
3
0
⎩
10.17.
z
⎧x ′ = l1 ( x − x 0 ) + m1 ( y − y0 ) + n1 (z − z 0 )
⎪
o ⎨y′ = l2 ( x − x 0 ) + m2 ( y − y0 ) + n2 ( z − z0 )
⎪z ′ = l ( x − x ) + m ( y − y ) + n ( z − z )
0
3
0
3
0
3
⎩
z¢
y¢
O¢ (x0, y0, z0)
y
O
x¢
donde el origen O′ del sistema x′y′z′ tiene coordenadas (x0, y0, z0)
relativas al sistema xyz y l1 , m1 , n1; l2 , m2 , n2 ; l3 , m3 , n3 son los
cosenos directores de los ejes x′, y′, z′ relativos a los ejes x, y, z, x
respectivamente.
Figura 10-6
COORDENADAS CILÍNDRICAS (r, q, z)
Un punto P se puede localizar mediante coordenadas cilíndricas (r, u, z)
(vea la figura 10-7) así como con coordenadas rectangulares (x, y, z).
La transformación entre estas coordenadas es
10.18.
z
Ï (x, y, z)
P Ì(x, q, z)
⎧r = x 2 + y 2
⎧x = r cosθ
⎪
⎪
−1
⎨y = r sen θ o ⎨θ = tan ( y / x )
⎪⎩z = z
⎪z = z
⎩
Ó
z
O
y
r
q
x
y
x
Figura 10-7
COORDENADAS ESFÉRICAS (r, q, f )
Un punto P se puede localizar mediante coordenadas esféricas (r, u, f)
(vea la figura 10-8) así como con coordenadas rectangulares (x, y, z).
La transformación entre estas coordenadas es
⎧x = r sen θ cos φ
⎪
⎨y = r sen θ sen φ
⎪⎩z = r cosθ
10.19.
⎧r = x 2 + y 2 + z 2
⎪
o ⎨φ = tan −1 ( y / x )
⎪θ = cos −1 (z / x 2 + y 2 + z 2 )
⎩
Ï(x, y, z)
P Ì(r, q, f)
z
Ó
r
q
z
y
x
x
f
y
Figura 10-8
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38
FÓRMULAS DE LA GEOMETRÍA ANALÍTICA ESPACIAL
ECUACIÓN DE LA ESFERA EN COORDENADAS RECTANGULARES
10.20. ( x − x 0 )2 + ( y − y0 )2 + (z − z0 )2 = R 2
z
donde la esfera tiene centro (x0, y0, z0) y radio R.
R
(x0, y0, z0)
y
O
x
Figura 10-9
ECUACIÓN DE LA ESFERA EN COORDENADAS CILÍNDRICAS
10.21. r 2 − 2r0 r cos(θ − θ 0 ) + r02 + (z − z0 )2 = R 2
donde la esfera tiene centro (r0, u0, z0) en coordenadas cilíndricas y radio R.
Si el centro está en el origen, la ecuación es
10.22. r 2 + z 2 = R 2
ECUACIÓN DE LA ESFERA EN COORDENADAS ESFÉRICAS
10.23. r 2 + r02 − 2r0 r sen θ sen θ 0 cos(φ − φ0 ) = R 2
donde la esfera tiene centro (r0, u0, f0) en coordenadas esféricas y radio R.
Si el centro está en el origen, la ecuación es
10.24. r = R
ECUACIÓN DE UN ELIPSOIDE CON CENTRO (x0, y0, z0) Y SEMIEJES a, b, c
10.25.
( x − x 0 )2 ( y − y0 )2 (z − z0 )2
+
+
=1
a2
b2
c2
z
c
a
b
y
x
Figura 10-10
02_Seccion 02_Spiegel(016-042).indd 38
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FÓRMULAS DE LA GEOMETRÍA ANALÍTICA ESPACIAL
39
CILINDRO ELÍPTICO CON EL EJE z COMO EJE
10.26.
x 2 y2
+
=1
a2 b2
z
donde a, b son semiejes de la sección transversal de la elipse.
Si b = a, entonces se convierte en un cilindro circular de radio a.
b
a
y
x
Figura 10-11
CONO ELÍPTICO CON EL EJE z COMO EJE
10.27.
x 2 y2 z 2
+
=
a2 b2 c2
z
a
b
c
y
x
Figura 10-12
HIPERBOLOIDE DE UNA HOJA
10.28.
x 2 y2 z 2
+ − =1
a2 b2 c2
z
y
O
x
Figura 10-13
HIPERBOLOIDE DE DOS HOJAS
10.29.
x 2 y2 z 2
− − =1
a2 b2 c2
y
Observe la orientación de los ejes en la figura 10-14.
x
O
z
Figura 10-14
02_Seccion 02_Spiegel(016-042).indd 39
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40
FÓRMULAS DE LA GEOMETRÍA ANALÍTICA ESPACIAL
PARABOLOIDE ELÍPTICO
10.30.
x 2 y2 z
+ =
a2 b2 c
z
a
b
c
y
O
x
Figura 10-15
PARABOLOIDE HIPERBÓLICO
10.31.
x 2 y2 z
− =
a2 b2 c
z
Observe la orientación de los ejes
en la figura 10-16.
y
O
x
Figura 10-16
02_Seccion 02_Spiegel(016-042).indd 40
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11
Momentos de inercia especial
La tabla siguiente muestra los momentos de inercia de varios cuerpos rígidos de masa M. En todos los casos se
supone que el cuerpo tiene densidad uniforme (es decir, constante).
Tipo de cuerpo rígido
Momento de inercia
11.1.
Barra delgada de longitud a
a)
con respecto al eje perpendicular a la barra a través del centro
de masa
1
12
Ma 2
b)
con respecto al eje perpendicular a la barra a través de un extremo
1
3
Ma 2
11.2.
Paralelepípedo rectangular con lados a, b, c
a)
con respecto al eje paralelo a c y a través del centro de cara ab
b)
con respecto al eje a través del centro de cara bc y paralelo a c
11.3.
Placa rectangular delgada con lados a, b
a)
con respecto al eje perpendicular a la placa a través del centro
b)
con respecto al eje paralelo de lado b a través del centro
11.4.
Cilindro circular de radio a y altura h
a)
con respecto al eje del cilindro
b)
con respecto al eje a través del centro de masa y perpendicular
al eje del cilindro
c)
con respecto al eje coincidente con el diámetro en un extremo
11.5.
Cilindro circular hueco de radio exterior a, radio interior b y
altura h
a)
con respecto al eje del cilindro
b)
con respecto al eje a través del centro de masa y perpendicular
al eje del cilindro
c)
con respecto al eje coincidente con el diámetro en un extremo
11.6.
Placa circular de radio a
a)
con respecto al eje perpendicular a la placa a través del centro
1
2
Ma 2
b)
con respecto al eje coincidente con un diámetro
1
4
Ma 2
M (a 2 + b 2 )
M (4 a 2 + b 2 )
1
12
1
12
1
12
1
12
Ma 2
1
2
Ma 2
M (4 h 2 + 3a 2 )
1
2
1
12
1
12
M (h 2 + 3a 2 )
1
12
1
12
M (a 2 + b 2 )
M (a 2 + b 2 )
M (3a 2 + 3b 2 + h 2 )
M (3a 2 + 3b 2 + 4 h 2 )
41
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42
MOMENTOS DE INERCIA ESPECIAL
11.7. Placa circular hueca o anillo con radio exterior a y radio interior b
a)
con respecto al eje perpendicular al plano de la placa a través
del centro
1
2
M (a 2 + b 2 )
b)
con respecto al eje coincidente con un diámetro
1
4
M (a 2 + b 2 )
11.8. Anillo circular delgado de radio a
a)
con respecto al eje perpendicular al plano de anillo a través
del centro
b)
con respecto al eje coincidente con un diámetro
Ma2
1
2
Ma 2
11.9. Esfera de radio a
a)
con respecto al eje coincidente con un diámetro
2
5
Ma 2
b)
con respecto a un eje tangente a la superficie
7
5
Ma 2
11.10. Esfera hueca de radio exterior a y radio interior b
a)
con respecto al eje coincidente con un diámetro
b)
con respecto a un eje tangente a la superficie
2
5
2
5
M (a 5 − b 5 )/(a 3 − b 3 )
M (a 5 − b 5 )/(a 3 − b 3 ) + Ma 2
11.11. Cascarón esférico hueco de radio a
a)
con respecto al eje coincidente con un diámetro
2
3
Ma 2
b)
con respecto a un eje tangente a la superficie
5
3
Ma 2
11.12. Elipsoide con semiejes a, b, c
a)
con respecto al eje coincidente con el semieje c
b)
con respecto al eje tangente a la superficie, paralelo al
semieje c y a una distancia a del centro
1
5
1
5
M (a 2 + b 2 )
M (6a 2 + b 2 )
11.13. Cono circular de radio a y altura h
3
10
Ma 2
a)
con respecto al eje del cono
b)
con respecto al eje a través del vértice y perpendicular al eje
3
20
M (a 2 + 4 h 2 )
c)
con respecto al eje a través del centro de masa y perpendicular al eje
3
80
M (4 a 2 + h 2 )
11.14. Toro con radio exterior a y radio interior b
a)
con respecto al eje a través del centro de masa y perpendicular al plano del toro
b)
con respecto al eje a través del centro de masa y en el plano
del toro
02_Seccion 02_Spiegel(016-042).indd 42
1
4
1
4
M (7a 2 − 6ab + 3b 2 )
M (9a 2 − 10 ab + 5b 2 )
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Sección III: Funciones elementales trascendentales
12
Funciones trigonométricas
DEFINICIÓN DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
PARA UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO
El triángulo ABC tiene un ángulo recto (90°) en C y longitud de lados a, b, c. Las funciones trigonométricas del
ángulo A están definidas como sigue:
12.1. seno de A = sen A =
a cateto opuesto
=
c
hipotenusa
12.2. coseno de A = cos A =
B
b cateto adyacente
=
c
hipotenusa
c
a
cateto opuesto
=
b cateto adyacente
b cateto adyacente
cotangente de A = cot A = =
a
cateto opuesto
12.3. tangente de A = tan A =
12.4.
12.5.
A
C
b
c
hipotenusa
secante de A = sec A = =
b cateto adyacente
12.6. cosecante de A = csc A =
a
Figura 12-1
c
hipotenusa
=
a cateto opuesto
EXTENSIONES A ÁNGULOS QUE PUEDEN SER MAYORES A 90°
Considere un sistema coordenado xy (vea las figuras 12-2 y 12-3). Un punto P en el plano xy tiene coordenadas
(x, y) donde x es considerada como positiva a lo largo de OX y negativa a lo largo de OX′, mientras y es positiva
a lo largo de OY y negativa a lo largo de OY′. La distancia desde el origen O al punto P es positiva y se denota
por r = x 2 + y 2 . El ángulo A descrito en sentido contrario a las manecillas del reloj desde OX es considerado
positivo. Si se describe en sentido de las manecillas del reloj desde OX, se considera negativo. Se nombran X′OX
y Y′OY a los ejes x y y, respectivamente.
Los cuadrantes denotados por I, II, III y IV son nombrados como el primero, segundo, tercero y cuarto cuadrantes, respectivamente. En la figura 12-2, por ejemplo, el ángulo A está en el segundo cuadrante, mientras que
en la figura 12-3, el ángulo A está en el tercer cuadrante.
Y
I
II
(
P(x , y
y
X¢
Y
r
x
II
A
A
X
O
x
X¢
y
P(x, y)
IV
III
Y¢
Figura 12-2
03_Seccion 03_Spiegel(043-061).indd 43
I
X
O
r
III
IV
Y¢
Figura 12-3
43
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44
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Para un ángulo A en cualquier cuadrante, las funciones trigonométricas de A se definen como sigue:
12.7. sen A = y/r
12.8. cos A = x/r
12.9. tan A = y/x
12.10. cot A = x/y
12.11. sec A = r/x
12.12. csc A = r/y
RELACIÓN ENTRE GRADOS Y RADIANES
Un radián es un ángulo q subtendido en el centro O de un círculo
mediante un arco MN igual al radio r.
Dado que 2p radianes = 360° se tiene
12.13. 1 radián = 180°/p = 57.29577 95130 8232
N
r
q
r
O
°
12.14. 1° = p/180 radianes = 0.01745 32925 19943 29576 92
r
M
radianes
Figura 12-4
RELACIÓN ENTRE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
12.15.
tan A =
sen A
cos A
12.19.
sen 2 A + cos 2 A = 1
12.16.
cot A =
1
cos A
=
tan A sen A
12.20.
sec 2 A − tan 2 A = 1
12.17.
sec A =
1
cos A
12.21.
csc 2 A − cot 2 A = 1
12.18.
csc A =
1
sen A
SIGNOS Y VARIACIONES DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Cuadrante
I
II
III
IV
03_Seccion 03_Spiegel(043-061).indd 44
sen A
+
0a1
+
1a0
–
0 a –1
–
–1 a 0
cos A
+
1a0
–
0 a –1
–
–1 a 0
+
0a1
tan A
+
0a∞
–
–∞ a 0
+
0a∞
–
–∞ a 0
cot A
+
∞a0
–
0 a –∞
+
∞a0
–
0 a –∞
sec A
+
1a∞
–
–∞ a –1
–
–1 a –∞
+
∞a1
csc A
+
∞a1
+
1a∞
–
–∞ a –1
–
–1 a –∞
04/12/13 16:42
45
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
VALORES EXACTOS PARA FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE VARIOS ÁNGULOS
Ángulo A Ángulo A
en grados en radianes
0°
0
sen A
0
1
4
cos A
1
( 6 − 2)
1
4
( 6 + 2)
tan A
0
cot A
∞
sec A
1
csc A
∞
2− 3
2+ 3
6− 2
6+ 2
15°
p/12
30°
p/6
45°
p/4
1
2
2
60°
p/3
1
2
3
75°
5p/12
90°
p/2
105°
7p/12
120°
2p/3
1
2
3
− 12
− 3
− 13 3
–2
135°
3p/4
1
2
2
− 12 2
–1
–1
− 2
2
150°
5p/6
− 12 3
− 13 3
− 3
− 23 3
2
165°
11p/12
− 14 ( 6 + 2 )
− (2 − 3 )
180°
p
–1
0
+∞
195°
13p/12
2− 3
2+ 3
210°
7p/6
− 12
− 12 3
225°
5p/4
− 12 2
− 12 2
1
240°
4p/3
− 12 3
− 12
3
255°
17p/12
270°
3p/2
–1
285°
19p/12
− 14 ( 6 + 2 )
300°
5p/3
− 12 3
315°
7p/4
− 12 2
1
2
330°
11p/6
− 12
1
2
345°
23p/12
− 14 ( 6 − 2 )
360°
2p
0
1
2
1
4
1
2
3
1
2
2
1
4
1
1
4
0
( 6 + 2)
1
4
( 6 − 2)
0
− ( 6 − 2) − ( 6 + 2)
1
4
1
4
− 14 ( 6 + 2 ) − 14 ( 6 − 2 )
2− 3
6+ 2
6− 2
±∞
0
±∞
1
− (2 + 3 ) − ( 6 − 2 )
3
1
3
–1
6− 2
3
2
3
6+ 2
±∞
− ( 6 − 2) − ( 6 + 2)
3
− 23 3
–2
1
− 2
− 2
–2
− 23 3
3
1
3
− ( 6 + 2) − ( 6 − 2)
±∞
0
+∞
–1
− (2 + 3 )
− (2 − 3 )
6+ 2
− ( 6 − 2)
− 3
− 13 3
2
− 23 3
2
–1
–1
2
− 2
3
− 13 3
− 3
− (2 − 3 )
− (2 + 3 )
6− 2
− ( 6 + 2)
0
+∞
1
+∞
( 6 − 2)
( 6 + 2)
1
− (2 − 3 ) − ( 6 + 2 )
2− 3
1
2
1
4
3
2
3
2+ 3
0
1
4
2
2
2+ 3
− 14 ( 6 − 2 ) − (2 + 3 )
1
2
2
2
3
1
3
3
2
3
1
3
( 6 − 2)
3
1
1
2
( 6 + 2)
3
1
3
3
2
3
–2
Para otros ángulos, vea las tablas 2, 3 y 4.
03_Seccion 03_Spiegel(043-061).indd 45
04/12/13 16:43
46
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
GRÁFICAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
En cada gráfica, x está en radianes.
12.22. y = sen x
1
y = cos x
12.23.
y
y
1
p
O
x
2p
3p
-1
-1
x
O p
æ
2
3p
æ
2
Figura 12-5
Figura 12-6
12.24. y = tan x
12.25.
y = cot x
y
p
-æ
2
y
O
p
æ
2
p
x
3p
æ
2
O p
æ
2
Figura 12-7
p 3p
æ
2
x
2p
Figura 12-8
12.26. y = sec x
12.27.
y
y = csc x
y
2
2
1
1
p
-æ
2
5p
æ
2
O
p
æ
2
p
x
O
Figura 12-9
p
x
2p
Figura 12-10
FUNCIONES DE ÁNGULOS NEGATIVOS
12.28. sen(–A) = – sen A
12.29.
cos(–A) = cos A
12.30. tan(–A) = – tan A
12.31. csc(–A) = – csc A
12.32. sec(–A) = sec A
12.33. cot(–A) = – cot A
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FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
47
ADICIÓN DE FÓRMULAS
12.34. sen (A ± B) = sen A cos B ± cos A sen B
12.35. cos (A ± B) = cos A cos B + sen A sen B
12.36.
tan ( A ± B) =
12.37.
cot ( A ± B) =
tan A ± tan B
− tan A tan B
1+
+1
cot A cot B −
cot B ± cot A
FUNCIONES DE ÁNGULOS EN TODOS LOS CUADRANTES EN TÉRMINOS
DE AQUELLOS EN EL CUADRANTE I
270° ± A
3π
±A
2
– cos A
k(360°) ± A
2kp ± A
k = entero
sen
– sen A
90° ± A
π
±A
2
cos A
cos
cos A
+ sen A
– cos A
+ sen A
cos A
tan
– tan A
+ cot A
± tan A
+ cot A
± tan A
csc
– csc A
sec A
+ csc A
– sec A
± csc A
sec
sec A
+ csc A
– sec A
± csc A
sec A
cot
– cot A
+ tan A
± cot A
+ tan A
± cot A
–A
180° ± A
p±A
sen A
± sen A
RELACIÓN ENTRE FUNCIONES DE ÁNGULOS EN EL CUADRANTE I
sen A = u
sen A
u
cos A = u
tan A = u
cot A = u
sec A = u
csc A = u
1 − u2
u/ 1 + u 2
1/ 1 + u 2
u 2 − 1/u
1/u
u
1/ 1 + u 2
u/ 1 + u 2
1/u
u2 − 1
1/ u 2 − 1
1/ u 2 − 1
u2 − 1
cos A
1 − u2
tan A
u/ 1 − u 2
1 − u 2 /u
u
1/u
cot A
1 − u 2 /u
u/ 1 − u 2
1/u
u
sec A
1/ 1 − u 2
1/u
1+ u2
1 + u 2 /u
csc A
1/u
1/ 1 − u 2
1 + u 2 /u
1+ u2
u
u/ u 2 − 1
u 2 − 1/u
u/ u 2 − 1
u
Para extensiones a otros cuadrantes, use los signos apropiados que aparecen en la tabla precedente.
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48
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
FÓRMULAS DE DOBLE ÁNGULO
12.38. sen 2A = 2 sen A cos A
12.39. cos 2A = cos2 A – sen2 A = 1 – 2 sen2 A = 2 cos2 A – 1
12.40.
tan 2 A =
2 tan A
1 − tan 2 A
FÓRMULAS DE MEDIO ÁNGULO
12.41.
12.42.
12.43.
A
1 − cos A ⎡+ si A / 2 está en los cuadrantes I o II ⎤
=±
⎢
⎥
2
2
⎢⎣− si A / 2 está en los cuadrantes III o IV⎥⎦
A
1 + cos A ⎡+ si A / 2 está en los cuadrantes I o IV ⎤
cos = ±
⎢
⎥
2
2
⎢⎣− si A / 2 está en los cuadrantes II o III⎥⎦
A
1 − cos A ⎡⎢+ si A / 2 está en los cuadraantes I o III ⎤⎥
tan = ±
2
1 + cos A ⎢⎣− si A / 2 está en los cuadrantes II o IV⎥⎦
sen
=
1 − cos A
sen A
=
= csc A − cot A
1 + cos A
sen A
FÓRMULAS DE MÚLTIPLES ÁNGULOS
12.44. sen 3A = 3 sen A – 4 sen3 A
12.45. cos 3A = 4 cos3 A –3 cos A
12.46.
tan 3A =
3 tan A − tan 3 A
1 − 3 tan 2 A
12.47. sen 4A = 4 sen A cos A – 8 sen3 A cos A
12.48. cos 4A = 8 cos4 A – 8 cos2 A + 1
12.49.
tan 4 A =
4 tan A − 4 tan 3 A
1 − 6 tan 2 A + tan 4 A
12.50. sen 5A = 5 sen A – 20 sen3 A + 16 sen5 A
12.51. cos 5A = 16 cos5 A – 20 cos3 A + 5 cos A
tan 5 A − 10 tan 3 A + 5 tan A
1 − 10 tan 2 A + 5 tan 4 A
Vea también las fórmulas 12.68 y 12.69.
12.52.
tan 5 A =
POTENCIAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
12.53.
sen 2 A = 12 − 12 cos 2 A
12.57.
sen 4 A = 83 − 12 cos 2 A + 81 cos 4 A
12.54.
cos 2 A = 12 + 12 cos 2 A
12.58.
cos 4 A = 83 + 12 cos 2 A + 18 cos 4 A
12.55.
sen 3 A = 43 sen A − 14 sen 3 A
12.59.
sen 5 A = 85 sen A − 165 sen 3 A + 161 sen 5 A
12.56.
cos 3 A = 43 cos A + 14 cos 3A
12.60.
cos 5 A = 58 cos A + 165 cos 3A + 161 cos 5 A
Vea también las fórmulas 12.70 a 12.73.
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FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
49
SUMA, RESTA Y PRODUCTO DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
12.61.
sen A + sen B = 2 sen 12 ( A + B)cos 12 ( A − B)
12.62.
sen A − sen B = 2 cos 12 ( A + B) sen 12 ( A − B)
12.63.
cos A + cos B = 2 cos 12 ( A + B) cos 12 ( A − B)
12.64.
cos A − cos B = 2 sen 12 ( A + B) sen 12 ( B − A)
12.65.
sen A sen B = 12 {cos( A − B) − cos( A − B)}
12.66.
cos A cos B = 12 {cos( A − B) + cos ( A + B)}
12.67.
sen A cos B = 12 {sen( A − B) + sen( A + B)}
FÓRMULAS GENERALES
12.68.
⎫
⎧
⎛ n − 3⎞
⎛ n − 2⎞
sen nA = sen A ⎨(2 cos A)n−1 − ⎜
(2 cos A)n−3 + ⎜
(2 cos A)n−5 − ⋅⋅⋅⎬
⎟
⎟
2
1
⎝
⎠
⎝
⎠
⎭
⎩
12.69.
cos nA =
1⎧
n
n ⎛ n − 3⎞
(2 cos A)n − (2 cos A)n− 2 + ⎜
(2 cos A)n− 4
2 ⎨⎩
1
2 ⎝ 1 ⎟⎠
n ⎛ n − 4⎞
⎫
− ⎜
(2 cos A)n−6 + ⋅⋅⋅⎬
3 ⎝ 2 ⎟⎠
⎭
(−1)n−1 ⎧
⎛ 2n − 1⎞
⎛ 2n − 1⎞
⎪⎫
sen (2n − 3) A + ⋅⋅⋅ (−1)n−1 ⎜
sen A⎬
⎨sen (2n − 1) A − ⎜
⎟
⎟
2 n−2
1
n
−
1
2
⎝
⎠
⎝
⎠
⎪⎭
⎩
12.70.
sen 2 n−1 A =
12.71.
cos 2 n−1 A =
12.72.
sen 2 n A =
⎫
1 ⎛ 2n⎞ (−1)n ⎧
⎛ 2n ⎞
⎛ 2n⎞
+ 2 n−1 ⎨cos 2nA − ⎜ ⎟ cos (2n − 2) A + ⋅⋅⋅ (−1)n−1 ⎜
cos 2 A⎬
⎟
⎟
2n ⎜
2 ⎝ n⎠
2
⎝ n − 1⎠
⎝ 1⎠
⎭
⎩
12.73.
cos 2 n A =
⎫
1 ⎛ 2n⎞
1 ⎧
⎛ 2n ⎞
⎛ 2n⎞
cos 2 A⎬
+ 2 n−1 ⎨cos 2nA + ⎜ ⎟ cos (2n − 2) A + ⋅⋅⋅ + ⎜
⎟
⎟
2n ⎜
2 ⎝ n⎠ 2
⎝ n − 1⎠
⎝ 1⎠
⎭
⎩
1 ⎧
⎫
⎛ 2n − 1⎞
⎛ 2n − 1⎞
cos (2n − 1) A + ⎜
cos (2n − 3) A + ⋅⋅⋅ + ⎜
cos A⎬
22 n− 2 ⎨⎩
⎝ 1 ⎟⎠
⎝ n − 1 ⎟⎠
⎭
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS
Si x = sen y, entonces y = sen–1x, es decir, el ángulo cuyo seno es x (o seno inverso de x) es una función de muchos
valores de x, la cual es una colección de funciones de simples valores llamados ramas. De manera similar, las
otras funciones trigonométricas inversas son de múltiples valores.
Para muchos propósitos, una rama particular es requerida. Esta es llamada rama principal, y los valores para
esta rama son llamados valores principales.
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FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
VALORES PRINCIPALES PARA FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS
Valores principales para x < 0
Valores principales para x ! 0
–1
0 " sen x " p/2
–p/2 " sen–1 x < 0
0 " cos–1 x " p/2
p/2 < cos–1 x " p
0 " tan–1 x < p/2
–p/2 < tan–1 x < 0
0 < cot–1 x " p/2
p/2 < cot–1 x < p
0 " sec–1 x < p/2
p/2 < sec–1 x " p
0 < csc–1 x " p/2
–p/2 " csc–1 x < 0
RELACIÓN ENTRE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS
Se supone que los valores principales se usan en todos los casos.
12.74.
sen −1x + cos −1 x = π /2
12.79.
sen −1 (− x ) = −sen −1x
12.75.
tan −1 x + cot −1 x = π / 2
12.80.
cos−1 (− x ) = π − cos−1 x
12.76.
csc −1 x = sen −1 (1/x )
12.81.
cot −1 (− x ) = π − cot −1 x
12.77.
sec−1 x = cos−1 (1/x )
12.82.
sec−1 (− x ) = π − sec−1 x
12.78.
cot −1 x = tan −1 (1/x )
12.83.
csc−1 (− x ) = − csc−1 x
GRÁFICAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS
En cada gráfica, y está en radianes. Las porciones sólidas de las curvas corresponden a valores principales.
12.84.
y = sen −1x
p
12.85.
y = cos−1 x
y
p
p/2
12.86.
y
y
p/2
p/2
x
-1
O
1
-p/2
-p
Figura 12-11
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y = tan −1 x
x
x
O
-1
-p/2
O
1
-p/2
-p
Figura 12-12
Figura 12-13
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51
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
12.87.
y = cot −1 x
12.88.
y = sec−1 x
y = csc−1 x
12.89.
y
y
y
p
p
p
p/2
p/2
x
p/2
O 1
-1
-p/2
O
x
-p/2
-p
-p
Figura 12-14
x
O 1
-1
Figura 12-15
Figura 12-16
RELACIÓN ENTRE LOS LADOS Y ÁNGULOS DE UN TRIÁNGULO PLANO
Las siguientes leyes se aplican a cualquier triángulo plano ABC con lados a, b, c y ángulos A, B, C.
12.90. Ley de senos:
a
b
c
=
=
sen A sen B sen C
A
12.91. Ley de cosenos:
b
c = a + b − 2 ab cos C
2
2
2
c
con relaciones semejantes que involucran los demás lados y ángulos.
C
12.92. Ley de tangentes:
a + b tan 12 ( A + B)
=
a − b tan 12 ( A − B)
con relaciones semejantes que involucran los demás lados y ángulos.
a
B
Figura 12-17
2
s(s − a)(s − b)(s − c)
bc
donde s = 12 (a + b + c) es el semiperímetro del triángulo. Se pueden obtener las relaciones semejantes que involucran a los ángulos B y C.
12.93.
sen A =
Vea también la fórmula 7.5.
RELACIÓN ENTRE LOS LADOS Y ÁNGULOS DE UN TRIÁNGULO ESFÉRICO
El triángulo esférico ABC está sobre la superficie de una esfera, como
se muestra en la figura 12-18. Los lados a, b, c (los cuales son arcos de
circunferencias grandes) se miden por sus ángulos referidos al centro
O de la esfera. A, B, C son los ángulos opuestos a los lados a, b, c, respectivamente. Entonces se tienen los siguientes resultados.
B
12.94. Ley de senos:
sen a sen b sen c
=
=
sen A sen B sen C
C
O
A
12.95. Ley de cosenos:
cos a = cos b cos c + sen b sen c cos A
cos A = –cos B cos C + sen B sen C cos a
con resultados similares que involucran otros lados y ángulos.
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Figura 12-18
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52
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
12.96. Ley de tangentes:
tan 12 ( A + B) tan 12 (a + b )
=
tan 12 ( A − B) tan 12 (a − b )
con resultados similares que involucran otros lados y ángulos.
12.97.
cos
A
sen s sen (s − c)
=
2
sen b sen c
donde s = 12 (a + b + c). Se tienen resultados semejantes para otros lados y ángulos.
12.98.
cos
a
=
2
cos(S − B)cos(S − C )
sen B sen C
donde S = 12 ( A + B + C ). Se tienen resultados semejantes para otros lados y ángulos.
Vea también la fórmula 7.44.
REGLAS DE NAPIER PARA TRIÁNGULOS ESFÉRICOS CON ÁNGULOS RECTOS
Excepto para el ángulo recto C, existen cinco partes del triángulo esférico ABC el cual, si se arregla en el orden
dado en la figura 12-19, serían a, b, A, c, B.
a
C
b
a
b
co-B
B
A
co-A
co-c
c
Figura 12-20
Figura 12-19
Suponga que esas cantidades se arreglan en una circunferencia como la que aparece en la figura 12-20, donde
se agrega el prefijo “co” (indica complemento) a la hipotenusa c y ángulos A y B.
Cualquiera de las partes de esta circunferencia es llamada parte media, las dos partes vecinas son conocidas como
partes adyacentes, y las dos partes permanentes son llamadas partes opuestas. Entonces las reglas de Napier son:
12.99. El seno de cualquier parte media iguala el producto de las tangentes de las partes adyacentes.
12.100. El seno de cualquier parte media iguala el producto de los cosenos de las partes opuestas.
EJEMPLO: Dado que co-A = 90° – A, co-B = 90° – B, se tiene
sen a = tan b (co-B)
sen (co-A) = cos a cos (co-B)
o
o
sen a = tan b cot B
cos A = cos a sen B
Por supuesto, estos se pueden obtener también de los resultados de la ley 12.95.
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13
Funciones exponenciales y logaritmos
LEYES DE EXPONENTES
En las siguientes fórmulas, p, q son números reales, mientras que a, b son números positivos, y m, n son positivos
enteros.
13.1.
a p ⋅ a q = a p+ q
13.2.
a p /a q = a p−q
13.3.
(a p )q = a pq
13.4.
a 0 = 1, a ≠ 0
13.5.
a − p = 1/a p
13.6.
(ab ) p = a p b p
13.7.
n
13.8.
n
13.9.
n
a = a1/n
a m = a m/n
a/b = n a / n b
En ap, p es llamado exponente, a es la base, y ap es llamada la p-ésima potencia de a. La función y = ax es
llamada función exponencial.
LOGARITMOS Y ANTILOGARITMOS
Si ap = N, donde a ≠ 0 o 1, entonces p = loga N es llamado logaritmo de N de base a. El número N = ap es llamado
antilogaritmo de p de base a, escrito antiloga p.
EJEMPLO:
Dado que 32 = 9, se tiene log3 9 = 2, antilog3 2 = 9.
La función y = loga x es llamada función logarítmica.
LEYES DE LOGARITMOS
13.10. loga MN = loga M + loga N
13.11.
log a
M
= log a M − log a N
N
13.12. loga Mp = p loga M
LOGARITMOS COMUNES Y ANTILOGARITMOS
Los logaritmos comunes y antilogaritmos (también llamados Briggsianos) son aquellos en los cuales la base a =
10. El logaritmo común de N se denota mediante log10 N o, brevemente, log N. Para valores numéricos de logaritmos comunes, vea la tabla 1.
LOGARITMOS NATURALES Y ANTILOGARITMOS
Los logaritmos naturales y antilogaritmos (también llamados Neperianos) son aquellos en los cuales la base
a = e = 2.71828 18 … [vea la página 3]. El logaritmo natural de N se denota mediante loge N o ln N. Para valores
numéricos de logaritmos naturales, vea la tabla 7. Para valores de antilogaritmos naturales (es decir, una tabla
dando ex para valores de x), vea la tabla 8.
53
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54
FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMOS
CAMBIO DE BASE DE LOGARITMOS
La relación entre los logaritmos de un número N para diferentes bases a y b están dadas por:
13.13.
log a N =
log b N
log b a
En particular,
13.14. loge N = ln N = 2.30258 50929 94
13.15. log10 N = log N = 0.43429 44819 03
log10 N
loge N
RELACIÓN ENTRE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Y EXPONENCIALES
13.16. eiu = cos u + i sen u,
e–iu = cos u – i sen u
Estas son llamadas identidades de Euler. Aquí, i es la unidad imaginaria [vea la página 10].
13.17.
sen θ =
e iθ − e − iθ
2i
13.18.
cos θ =
eiθ + e−iθ
2
13.19.
tan θ =
⎛ eiθ − e−iθ ⎞
eiθ − e−iθ
= −i ⎜ iθ −iθ ⎟
iθ
− iθ
i (e + e )
⎝e + e ⎠
13.20.
⎛ eiθ + e−iθ ⎞
cot θ = i ⎜ iθ −iθ ⎟
⎝e − e ⎠
13.21.
sec θ =
2
eiθ + e−iθ
13.22.
csc θ =
2i
eiθ − e−iθ
PERIODICIDAD DE FUNCIONES EXPONENCIALES
13.23. ei(u + 2kp) = eiu
k = entero
Así, se ha visto que ex tiene periodo 2pi.
FORMA POLAR DE NÚMEROS COMPLEJOS EXPRESADOS COMO UN EXPONENCIAL
La forma polar (vea la fórmula 4.7) de un número complejo z = x + iy se puede escribir en términos de exponenciales como sigue:
13.24.
z = x + iy = r (cosθ + i senθ ) = re iθ
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FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMOS
55
OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS EN FORMA POLAR
Las fórmulas 4.8 a 4.11 son equivalentes a las siguientes:
13.25.
(r1eiθ )(r2 eiθ ) = r1r2 ei (θ +θ )
13.26.
r1eiθ
r
= 1 ei (θ −θ )
r2
r2 eiθ
13.27.
(reiθ ) p = r p eipθ
13.28.
(reiθ )1/n = [ rei (θ +2 kπ ) ]1/n = r1/n ei (θ +2 kπ )/n
1
2
1
2
1
1
2
2
(teorema de De Moivre)
LOGARITMO DE UN NÚMERO COMPLEJO
13.29.
ln (reiθ ) = ln r + iθ + 2kπ i
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k = entero
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14
Funciones hiperbólicas
DEFINICIÓN DE FUNCIONES HIPERBÓLICAS
14.1. Seno hiperbólico de x
= senh x =
e x − e− x
2
14.2. Coseno hiperbólico de x
= cosh x =
e x + e− x
2
14.3. Tangente hiperbólica de x
= tanh x =
e x − e− x
e x + e− x
14.4. Cotangente hiperbólica de x = coth x =
e x + e− x
e x − e− x
= sech x =
2
e + e− x
14.6. Cosecante hiperbólica de x = csch x =
2
e x − e− x
14.5. Secante hiperbólica de x
x
RELACIÓN ENTRE FUNCIONES HIPERBÓLICAS
14.7.
tanh x =
senh x
cosh x
14.8.
coth x =
1
cosh x
=
tanh x senh x
14.9.
sech x =
1
cosh x
14.10.
csch x =
1
senh x
14.11.
cosh 2 x − senh 2 x = 1
14.12.
sech 2 x + tanh 2 x = 1
14.13.
coth 2 x − csc h 2 x = 1
FUNCIONES DE ARGUMENTOS NEGATIVOS
14.14. senh (–x) = – senh x
14.15. cosh (–x) = cosh x
14.16. tanh (–x) = – tanh x
14.17. csch (–x) = – csch x
14.18. sech (–x) = sech x
14.19. coth (–x) = – coth x
56
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FUNCIONES HIPERBÓLICAS
57
FÓRMULAS DE ADICIÓN
14.20.
senh ( x ± y) = senh x cosh y ± cosh x senh y
14.21.
cosh( x ± y) = cosh x cosh y ± senh x senh y
14.22.
tanh ( x ± y) =
tanh x ± tanh y
1 ± tanh x tanh y
14.23.
coth ( x ± y) =
coth x coth y ± 1
coth y ± coth x
FÓRMULAS DE ÁNGULO DOBLE
14.24.
senh 2 x = 2 senh x cosh x
14.25.
cosh 2 x = cos h 2 x + sen h 2x = 2 cos h 2x − 1 = 1 + 2 senh 2x
14.26.
tanh 2 x =
2 tan h x
1 + tanh 2 x
FÓRMULAS DE ÁNGULO MEDIO
cosh x − 1
[+ si x > 0, − si x < 0]
2
14.27.
senh
x
=±
2
14.28.
cosh
cosh x + 1
x
=
2
2
14.29.
tanh
x
=±
2
=
cosh x − 1
[+ si x > 0, − si x < 0]
cosh x + 1
senh x
cosh x − 1
=
cosh x + 1
senh x
FÓRMULAS DE ÁNGULO MÚLTIPLE
14.30.
senh 3x = 3 senh x + 4 senh 3 x
14.31.
cosh 3x = 4 cosh 3 x − 3 cosh x
14.32.
tanh 3x =
14.33.
senh 4 x = 8 senh 3 x cosh x + 4 senh x cosh x
14.34.
cosh 4 x = 8 cosh 4 x − 8 cosh 2 x + 1
14.35.
tanh 4 x =
03_Seccion 03_Spiegel(043-061).indd 57
3 tanh x + tanh 3 x
1 + 3 tanh 2 x
4 tanh x + 4 tanh 3 x
1 + 6 tanh 2 x + tanh 4 x
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58
FUNCIONES HIPERBÓLICAS
POTENCIAS DE FUNCIONES HIPERBÓLICAS
14.36.
senh 2 x = 12 cosh 2 x − 12
14.37.
cosh 2 x = 12 cosh 2 x + 12
14.38.
senh 3 x = 14 senh 3x − 43 senh x
14.39.
cosh 3 x = 14 cosh 3x + 43 cosh x
14.40.
senh 4 x = 83 − 12 cosh 2 x + 81 cosh 4 x
14.41.
cosh 4 x = 83 + 12 cosh 2 x + 18 cosh 4 x
SUMA, RESTA Y PRODUCTO DE FUNCIONES HIPERBÓLICAS
14.42.
senh x + senh y = 2 senh 12 ( x + y)cosh 12 ( x − y)
14.43.
senh x − senh y = 2 cosh 12 ( x + y) senh 12 ( x − y)
14.44.
cosh x + cosh y = 2 cosh 12 ( x + y) cosh 12 ( x − y)
14.45.
cosh x − cosh y = 2 senh 12 ( x + y) senh 12 ( x − y)
14.46.
senh x senh y = 12 {cosh( x + y) − cosh( x − y)}
14.47.
cosh x cosh y = 12 {cosh ( x + y) + cosh ( x − y)}
14.48.
senh x cosh y = 12 {senh ( x + y) + senh ( x − y)}
EXPRESIÓN DE FUNCIONES HIPERBÓLICAS EN TÉRMINOS DE OTROS
En las siguientes expresiones, se supone que x > 0. Si x < 0, use el signo apropiado, como se indica en las fórmulas
14.14 a 14.19.
senh x = u
senh x
u
cosh x
1+ u2
cosh x = u
tanh x = u
coth x = u
sech x = u
csch x = u
u/ 1 − u 2
1/ u 2 − 1
1 − u 2 /u
1/u
u
1/ 1 − u 2
u/ u 2 − 1
1/u
1 + u 2 /u
u
1/u
1 − u2
1/ 1 + u 2
1+ u2
u2 − 1
tanh x
u/ 1 + u 2
u 2 − 1/u
coth x
u 2 + 1/u
u/ u 2 − 1
1/u
u
1/ 1 − u 2
sech x
1/ 1 + u 2
1/u
1 − u2
u 2 − 1/u
u
u/ 1 + u 2
csch x
1/u
1/ u 2 − 1
1 − u 2 /u
u2 − 1
u/ 1 − u 2
u
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59
FUNCIONES HIPERBÓLICAS
GRÁFICAS DE FUNCIONES HIPERBÓLICAS
14.49. y = senh x
14.50.
y = cosh x
y
14.51.
y = tanh x
y
y
1
1
O
x
O
x
O
x
-1
Figura 14-1
Figura 14-2
14.52. y = coth x
Figura 14-3
14.53. y = sech x
y
1
14.54.
y = csch x
y
y
1
x
O
O
x
O
x
-1
Figura 14-4
Figura 14-5
Figura 14-6
FUNCIONES HIPERBÓLICAS INVERSAS
Si x = senh y, entonces y = senh–1 x, a este se le llama seno hiperbólico inverso de x. De manera similar, se definen
las otras funciones hiperbólicas inversas. Las funciones hiperbólicas inversas son múltiples valoradas y, como
en el caso de las funciones trigonométricas inversas [vea la página 49], se restringen a sí mismas para valores
principales en los cuales se pueden considerar como de valor simple.
La siguiente lista de funciones muestra los valores principales (salvo que se indique lo contrario) de las funciones hiperbólicas inversas expresadas en términos de funciones logarítmicas, las cuales son tomadas como
evaluaciones reales.
14.55.
senh −1x = ln( x + x 2 + 1)
–! < x < !
14.56.
cosh −1 x = ln( x + x 2 − 1)
x"1
14.57.
tanh −1 x =
1 ⎛1 + x ⎞
ln ⎜
⎟
2 ⎝1 − x ⎠
−1 < x < 1
14.58.
coth −1 x =
1 ⎛ x + 1⎞
ln
2 ⎜⎝ x − 1⎟⎠
x > 1 o x < −1
14.59.
⎛1
sech −1x = ln ⎜ +
⎝x
14.60.
⎛1
csch −1 x = ln ⎜ +
⎝x
03_Seccion 03_Spiegel(043-061).indd 59
⎞
1
1
−
x 2 ⎟⎠
⎞
1
2 + 1⎟
x
⎠
(cosh −1x > 0 es el valor principal)
0 # x $ 1 (sech −1x > 0 es el valor principal)
x≠0
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60
FUNCIONES HIPERBÓLICAS
RELACIÓN ENTRE FUNCIONES HIPERBÓLICAS INVERSAS
14.61.
csch −1x = senh −1 (1/x )
14.62.
sech −1 x = cosh −1 (1/x )
14.63.
coth −1 x = tanh −1 (1/x )
14.64.
senh −1 (− x ) = − senh −1x
14.65.
tanh −1 (− x ) = − tanh −1 x
14.66.
coth −1 (− x ) = − coth −1 x
14.67.
csch−1 (− x ) = −csch−1 x
GRÁFICAS DE FUNCIONES HIPERBÓLICAS INVERSAS
y = senh −1x
14.68.
14.69.
x
O
14.72.
03_Seccion 03_Spiegel(043-061).indd 60
-1
1
x
y = sech −1 x
O
Figura 14-11
O
1
x
Figura 14-9
14.73.
y
y
Figura 14-10
x
Figura 14-8
y = coth −1 x
O
y = tanh −1 x
y
O 1
Figura 14-7
-1
14.70.
y
y
14.71.
y = cosh −1 x
y = csch−1 x
y
1
x
O
x
Figura 14-12
04/12/13 16:43
FUNCIONES HIPERBÓLICAS
61
RELACIÓN ENTRE FUNCIONES HIPERBÓLICAS Y TRIGONOMÉTRICAS
14.74.
sen (ix ) = i senh x
14.75.
cos (ix ) = cosh x
14.76.
tan (ix ) = i tanh x
14.77.
csc (ix ) = −i csch x
14.78.
sec (ix ) = sech x
14.79.
cot (ix ) = −i coth x
14.80.
senh (ix ) = i sen x
14.81.
cosh (ix ) = cos x
14.82.
tanh (ix ) = i tan x
14.83.
csch (ix ) = −i csc x
14.84.
sech (ix ) = sec x
14.85.
coth (ix ) = −i cot x
PERIODICIDAD DE FUNCIONES HIPERBÓLICAS
En las siguientes expresiones, k es cualquier entero.
14.86.
senh ( x + 2kπ i) = senh x
14.87.
cosh ( x + 2kπ i) = cosh x
14.88.
tanh ( x + kπ i) = tanh x
14.89.
csch ( x + 2 k π i ) = csch x
14.90.
sech ( x + 2 k π i ) = sech x
14.91.
coth ( x + k π i ) = coth x
RELACIÓN ENTRE FUNCIONES HIPERBÓLICAS INVERSAS Y FUNCIONES
TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS
14.92.
sen −1 (ix ) = i sen −1x
14.93.
senh −1 (ix ) = i sen −1x
14.94.
cos−1 x = ± i cosh −1 x
14.95.
cosh −1 x = ± i cos −1 x
14.96.
tan −1 (ix ) = i tanh −1 x
14.97.
tanh −1 (ix ) = i tan −1 x
14.98.
cot −1 (ix ) = i coth −1 x
14.99.
coth −1 (ix ) = −i cot −1 x
14.100.
sec−1 x = ± i sech −1 x
14.101.
sech −1 x = ± i sec −1 x
14.102.
csc−1 (ix ) = −i csch−1 x
14.103.
csch −1 (ix ) = −i csc −1 x
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Sección IV: Cálculo
15
Derivadas
DEFINICIÓN DE UNA DERIVADA
Suponga que y ! f (x). La derivada de y o f (x) está definida como
15.1.
dy
f ( x + h) − f ( x )
f ( x + ∆x ) − f ( x )
= lím
= lím
h
→
0
∆
x
→
0
dx
h
∆x
donde h ! x. La derivada también se denota mediante y, df/dx o f (x). El proceso en el cual se toma una derivada
es llamado derivación.
REGLAS GENERALES DE DERIVACIÓN
En las siguientes expresiones, u, y, w son funciones de x; mientras que a, b, c, n son constantes (restringidas si se
indica); e ! 2.71828 … es la base natural de logaritmos; ln u es el logaritmo natural de u (es decir, el logaritmo
para la base e) donde se supone que u " 0 y todos los ángulos están en radianes.
15.2.
d
(c) = 0
dx
15.3.
d
(cx ) = c
dx
15.4.
d
(cx n ) = ncx n−1
dx
15.5.
d
du d# dw
(u ± # ± w ± L) =
±
±
±L
dx
dx dx dx
15.6.
d
du
(cu) = c
dx
dx
15.7.
d
d#
du
+#
(u# ) = u
dx
dx
dx
15.8.
d
dw
d#
du
+ uw
+ #w
(u# w) = u#
dx
dx
dx
dx
15.9.
d ⎛ u ⎞ # (du /dx ) − u(d# /dx )
=
#2
dx ⎜⎝ # ⎟⎠
15.10.
d n
du
(u ) = nu n−1
dx
dx
15.11.
dy dy du
=
dx du dx
(Regla de la cadena)
62
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DERIVADAS
15.12.
du
1
=
dx dx/du
15.13.
dy dy/du
=
dx dx/du
63
DERIVADAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Y FUNCIONES
TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS
15.14.
15.15.
15.16.
d
du
sen u = cos u
dx
dx
d
du
cos u = − sen u
dx
dx
d
du
tan u = sec 2 u
dx
dx
15.17.
d
du
cot u = − csc 2 u
dx
dx
15.18.
d
du
sec u = sec u tan u
dx
dx
15.19.
d
du
csc u = − csc u cot u
dx
dx
15.20.
15.21.
15.22.
15.23.
15.24.
15.25.
d
1
du ⎡ π
π⎤
sen −1 u =
− < sen −1 u < ⎥
⎢
dx
2⎦
1 − u 2 dx ⎣ 2
d
−1 du
[0 < cos −1 u < π ]
cos −1 u =
dx
1 − u 2 dx
d
1 du ⎡ π
π⎤
− < tan −1 u < ⎥
tan −1 u =
2⎦
dx
1 + u 2 dx ⎢⎣ 2
d
−1 du
[0 < cot −1 u < π ]
cot −1 u =
dx
1 + u 2 dx
d
1
du
±1 du ⎡+ si 0 < sec −1 u < π / 2⎤
sec −1 u =
=
−1
⎢
⎥
2
dx
| u | u − 1 dx u u 2 − 1 dx ⎣− si π / 2 < sec u < π ⎦
d
du
1 du
−1
csc −1 u =
=
2
2
dx
| u | u − 1 dx u u − 1 dx
⎡− si 0 < csc −1 u < π / 2 ⎤
⎢+ si − π / 2 < csc −1 u < 0⎥
⎣
⎦
DERIVADAS DE FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS
15.26.
loga e du
d
loga u =
dx
u dx
15.27.
d
1 du
d
ln u =
loge u =
dx
dx
u dx
15.28.
d u
du
a = a u ln a
dx
dx
04_Seccion 04_Spiegel(062-115).indd 63
a ≠ 0, 1
05/12/13 15:59
64
15.29.
15.30.
DERIVADAS
d u
du
e = eu
dx
dx
d !
d!
d ! ln u
d
du
= e ! ln u
[! ln u] = ! u ! −1
+ u ! ln u
u =
e
dx
dx
dx
dx
dx
DERIVADAS DE FUNCIONES HIPERBÓLICA E HIPERBÓLICA INVERSA
15.31.
15.32.
15.33.
d
du
senh u = cosh u
dx
dx
d
du
cosh u = senh u
dx
dx
d
du
tanh u = sech 2 u
dx
dx
15.34.
d
du
coth u = −csch 2 u
dx
dx
15.35.
d
du
sech u = −sech u tanh u
dx
dx
15.36.
d
du
csch u = − csch u coth u
dx
dx
15.37.
d
1
du
senh −1 u =
2
dx
u + 1 dx
15.38.
d
cosh −1 u =
dx
15.39.
d
1 du
tanh −1 u =
dx
1 − u 2 dx
["1 # u # 1]
15.40.
d
1 du
coth −1 u =
dx
1 − u 2 dx
[u $ 1 o u # "1]
15.41.
d
m1
du
sech −1u =
2 dx
dx
u 1− u
15.42.
d
−1
1
du
du
=
csch −1u =
2 dx
2 dx
dx
| u | 1+ u
u 1+ u
⎡− si sech −1 u > 0, 0 < u < 1⎤
⎢+ si sech −1 u < 0, 0 < u < 1⎥
⎣
⎦
±1 du
u 2 − 1 dx
⎡+ si cosh −1 u > 0, u > 1⎤
⎢− si cosh −1 u < 0, u > 1⎥
⎣
⎦
[" si u $ 0, + si u # 0]
DERIVADAS MAYORES
Las derivadas segunda, tercera y mayores se definen como sigue.
15.43. Segunda derivada =
d ⎛ dy⎞ d 2 y
=
= f ′′( x ) = y ′′
dx ⎜⎝ dx ⎟⎠ dx 2
15.44. Tercera derivada =
d ⎛ d 2 y⎞ d 3 y
=
= f ′′′( x ) = y ′′′
dx ⎜⎝ dx 2 ⎟⎠ dx 3
15.45. n-ésima derivada =
d ⎛ d n−1 y⎞ d n y
=
= f (n) ( x ) = y(n)
dx ⎜⎝ dx n−1 ⎟⎠ dx n
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DERIVADAS
65
REGLA DE LEIBNIZ PARA DERIVADAS MAYORES DE PRODUCTOS
Establezca Dp para la operación
15.46.
dp
d pu
de manera que D p u = p = la p-ésima derivada de u. Entonces
p
dx
dx
⎛ n⎞
⎛ n⎞
D n (u! ) = uD n ! + ⎜ ⎟ ( Du)( D n −1! ) + ⎜ ⎟ ( D 2 u)( D n − 2 ! ) + L + ! D n u
1
⎝ ⎠
⎝ 2⎠
⎛ n⎞ ⎛ n⎞
donde ⎜ ⎟ , ⎜ ⎟ ,
⎝1⎠ ⎝ 2⎠
son los coeficientes binomiales (vea la fórmula 3.5).
Como casos especiales, se tiene
15.47.
d2
d 2u
d 2!
du d!
(
!
)
=
+
2
+
!
u
u
dx 2
dx 2
dx 2
dx dx
15.48.
d3
d 3u
d 3!
du d 2 !
d 2 u d!
(u! ) = u 3 + 3
+3 2
+! 3
3
2
dx
dx
dx
dx dx
dx dx
DIFERENCIALES
Sean y = f(x) y ∆y = f ( x + ∆x ) − f ( x ). Entonces
15.49.
donde "
15.50.
∆y f ( x + ∆x ) − f ( x )
dy
= f ′( x ) + " =
+"
=
∆x
∆x
dx
0 cuando x
0. Así,
∆y = f ′( x )∆x + " ∆x
Si se denomina x = dx la diferencial de x, entonces se define la diferencial de y como
15.51.
dy = f ′( x ) dx
REGLAS PARA DIFERENCIALES
Las reglas para los diferenciales son exactamente análogas a las establecidas para las derivadas. Como ejemplo,
podemos ver que
15.52.
d (u ± ! ± w ± L) = du ± d! ± dw ± L
15.53.
d (u! ) = u d! + ! du
15.54.
⎛ u ⎞ ! du − u d!
d⎜ ⎟ =
!2
⎝!⎠
15.55.
d (u n ) = nu n−1du
15.56.
d (sen u) = cos u du
15.57.
d (cos u) = − sen u du
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66
DERIVADAS
DERIVADAS PARCIALES
Sea z = f (x, y) una función de la dos variables de x y y. Entonces, se define la derivada parcial de z o f (x, y) con
respecto a x, conservando a y como constante, como
15.58.
∂f
f ( x + ∆x , y) − f ( x , y)
= lím
∂x ∆x→0
∆x
Esta derivada parcial también es denotada por ∂z/∂x , f x o zx.
De manera similar, la derivada parcial de z ! f (x, y) con respecto a y, conservando a x como constante, está
definida como
15.59.
∂f
f ( x , y + ∆y) − f ( x , y)
= lím
∂y ∆y→0
∆y
Esta derivada parcial también es denotada por ∂z/∂y, f y o zy .
Las derivadas parciales de mayor orden se pueden definir como sigue:
15.60.
∂2 f
∂ ⎛ ∂f ⎞
=
,
∂x 2 ∂x ⎜⎝ ∂x ⎟⎠
15.61.
∂2 f
∂ ⎛ ∂f ⎞
=
,
∂x ∂y ∂x ⎜⎝ ∂y⎟⎠
∂2 f
∂ ⎛ ∂f ⎞
=
∂y 2 ∂y ⎜⎝ ∂y⎟⎠
∂2 f
∂ ⎛ ∂f ⎞
=
∂y ∂x ∂y ⎜⎝ ∂x ⎟⎠
El resultado en la fórmula 15.61 será igual si la función y sus derivadas parciales son continuas; esto es, en
tales casos, el orden de derivación no hace diferencia.
Las extensiones para funciones de más de dos variables son exactamente análogas.
DIFERENCIALES MULTIVARIABLES
La diferencial de z = f (x, y) está definida como
15.62.
dz = df =
∂f
∂f
dx + dy
∂x
∂y
donde dx = x y dy = y. Observe que dz es una función de cuatro variables, nombradas como x, y, dx, dy, y es
lineal en las variables dx y dy.
Las extensiones de funciones de más de dos variables son exactamente análogas.
EJEMPLO:
Sea z = x2 + 5xy + 2y3. Entonces
zx = 2x + 5y
y
zy = 5x + 6y2
de ahí
dz = (2x + 5y) dx + (5x + 6y2) dy
Suponga que se quiere encontrar dz para dx ! 2, dy ! 3 y en el punto P (4, 1), es decir, cuando x ! 4 y y ! 1.
Al sustituir, resulta
dz = (8 + 5)2 + (20 + 6)3 = 26 + 78 = 104
04_Seccion 04_Spiegel(062-115).indd 66
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16
Integrales indefinidas
DEFINICIÓN DE UNA INTEGRAL INDEFINIDA
dy
= f ( x ), entonces y es la función cuya derivada es f (x) y se le llama antiderivada de f (x) o integral indefinida
dx
dy
de f (x), denotada por ∫ f ( x ) dx. De manera similar, si y = ∫ f (u) du, entonces
= f (u). Como la derivada de
du
una constante es cero, todas las integrales indefinidas difieren por una constante arbitraria.
Para la definición de una integral definida, vea la fórmula 18.1. El proceso de encontrar una integral se llama
integración.
Si
REGLAS GENERALES DE INTEGRACIÓN
En las siguientes expresiones, u, y, w son funciones de x; mientras que a, b, p, q, n son cualquier constante, restringida si así se indica; e ! 2.71828 . . . es la base de los logaritmos naturales; ln u denota el logaritmo natural
de u donde se supone que u " 0 (en general, para extender fórmulas en casos donde u # 0, se reemplaza ln u por
ln |u|); todos los ángulos están en radianes; todas las constantes de integración se omiten pero están implícitas.
16.1.
∫ a dx = ax
16.2.
∫ af ( x ) dx = a ∫ f ( x) dx
16.3.
∫ (u ± $ ± w ± L) dx = ∫ u dx ± ∫ $ dx ± ∫ w dx ± L
16.4.
∫ u d$ = u$ − ∫ $ du
(Integración
(Integration by
porparts)
partes)
Para integración generalizada por partes, vea la fórmula 16.48.
1
16.5.
∫ f (ax ) dx = a ∫ f (u) du
16.6.
∫ F{ f ( x )} dx = ∫ F(u) du du = ∫
16.7.
∫ u n du =
16.8.
∫
dx
F (u)
where u !
= f ((x)
x)
du donde
f ′( x )
u n+1
, n ≠ −1 (Para
(For nn=!−1%1,
, seevea
16.la
8)fórmula 16.8)
n +1
du
= ln u if
ln(−u) ifsiuu<#00
si uu >"00oro ln(%u)
u
= ln | u |
16.9.
16.10.
∫ e du = e
u
∫ au du =
u
∫ eu ln a du =
e u ln a
au
=
, a > 0, a ≠ 1
ln a ln a
67
04_Seccion 04_Spiegel(062-115).indd 67
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68
INTEGRALES INDEFINIDAS
16.11.
∫ sen u du = − cos u
16.12.
∫ cos u du = sen u
16.13.
∫ tan u du = ln sec u = − ln cos u
16.14.
∫ cot u du = ln sen u
16.15.
∫ sec u du = ln (sec u + tan u) = ln tan ⎜⎝ 2 + 4 ⎟⎠
16.16.
∫ csc u du = ln(csc u − cot u) = ln tan 2
16.17.
∫ sec
16.18.
∫ csc
16.19.
∫ tan
16.20.
∫ cot
16.21.
∫ sen
16.22.
∫ cos
16.23.
∫ sec u tan u du = sec u
16.24.
∫ csc u cot u du = − csc u
16.25.
∫ senh u du = cosh u
16.26.
∫ cosh u du = senh u
16.27.
∫ tanh u du = ln cosh u
16.28.
∫ coth u du = ln senh u
16.29.
∫ sech u du = sen
16.30.
∫ csch u du = ln tanh 2
16.31.
∫ sech u du = tanh u
⎛u
π⎞
u
2
u du = tan u
2
u du = − cot u
2
u du = tan u − u
2
u du = − cot u − u
2
u du =
u sen 2u 1
−
= (u − sen u cos u)
2
4
2
u du =
u sen 2u 1
+
= (u + sen u cos u)
2
4
2
2
−1
(tanh u) o 2 tan −1 e u
u
o − coth −1 e u
2
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INTEGRALES INDEFINIDAS
16.32.
∫ csch u du = − coth u
16.33.
∫ tanh u du = u − tanh u
16.34.
∫ coth u du = u − coth u
16.35.
∫ senh u du =
2
senh 2u u 1
− = (senh u cosh u − u)
4
2 2
16.36.
∫ cosh u du =
senh 2u u 1
+ = (senh u cosh u + u)
4
2 2
16.37.
∫ sech u tanh u du = −sech u
16.38.
∫ csch u coth u du = − csch u
16.39.
∫u
2
16.40.
∫u
2
16.41.
∫a
2
16.42.
∫
16.43.
69
2
2
2
2
∫
u
du
1
= tan −1
a
+ a2 a
u
du
1 ⎛ u − a⎞
1
ln ⎜
= − coth −1 u 2 > a 2
⎟
2 =
a
u
a
a
a
2
+
−a
⎝
⎠
u
du
1 ⎛ a + u⎞ 1
=
ln
= tanh −1 u 2 < a 2
a
− u 2 2a ⎜⎝ a − u⎟⎠ a
du
a −u
2
= sen −1
2
du
u +a
2
2
u
a
= ln(u + u 2 + a 2 ) o senh −1
u
a
du
= ln (u + u 2 − a 2 )
u − a2
16.44.
∫
16.45.
∫u
u −a
16.46.
∫u
du
1 ⎛ a + u2 + a2 ⎞
= − ln ⎜
⎟
2
2
a ⎝
u
u +a
⎠
16.47.
∫u
du
1 ⎛ a + a2 − u2 ⎞
= − ln ⎜
⎟
2
2
a ⎝
u
a −u
⎠
16.48.
∫f
2
du
2
(n)
2
=
1
u
sec −1
a
a
g dx = f ( n −1) g − f ( n − 2) g ′ + f ( n −3) g ′′ − L (−1)n
∫ fg
(n)
dx
Esta es la llamada integración generalizada por partes.
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70
INTEGRALES INDEFINIDAS
TRANSFORMACIONES IMPORTANTES
Frecuentemente en la práctica, una integral se puede simplificar usando una apropiada transformación o sustitución junto con la fórmula 16.6. La siguiente lista proporciona algunas transformaciones y sus efectos:
1
16.49.
∫ F(ax + b)dx = a ∫ F(u) du
16.50.
∫ F(
16.51.
∫ F(
16.52.
∫ F(
a 2 − x 2 ) dx = a
∫ F(a cos u) cos u du
donde x = a sen u
16.53.
∫ F(
x 2 + a 2 ) dx = a
∫ F(a sec u) sec
donde x = a tan u
16.54.
∫ F(
x 2 − a 2 ) dx = a
∫ F(a tan u) sec u tan u du
16.55.
∫ F (e
16.56.
∫ F(ln x ) dx = ∫ F(u) e du
16.57.
∫ F ⎜⎝sen
n
donde u = ax + b
ax + b ) dx =
2
a
∫ u F(u) du
donde u = ax + b
ax + b ) dx =
n
a
∫u
donde u = n ax + b
ax
) dx =
1
a
∫
n −1
F(u) du
2
u du
F (u)
du
u
donde u = eax
donde u = ln x
u
⎛
−1
x⎞
dx = a
a ⎟⎠
donde x = a sec u
∫ F(u)cos u du
donde u = sen −1
x
a
De manera similar, se puede aplicar en otras funciones trigonométricas inversas.
16.58.
⎛ 2u
∫ F(sen x, cos x ) dx = 2 ∫ F ⎜⎝ 1 + u
04_Seccion 04_Spiegel(062-115).indd 70
2
,
1 − u 2 ⎞ du
1 + u 2 ⎟⎠ 1 + u 2
donde u = tan
x
2
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17
Tablas de integrales indefinidas especiales
Aquí se proveen tablas de integrales indefinidas especiales. Como se estableció en la página 67, aquí a, b, p, q,
n son constantes, restringidas si así se indica; e ! 2.71828 . . . es la base natural de los logaritmos; ln u denota
el logaritmo natural de u, donde se supone que u " 0 (en general, para extender fórmulas en casos donde u # 0
también se reemplaza ln u por ln |u|); todos los ángulos están en radianes y todas las constantes de integración se
omiten pero están implícitas. En todos los casos se supone que la división entre cero es excluida.
Estas integrales están divididas en tipos, los cuales implican las siguientes expresiones y funciones algebraicas:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
ax $ b
ax + b
ax $ b y px $ q
ax + b y px + q
axax++bband
and
y pxpx++qq
2
2
x $a
x2 % a2, x2 " a2
a2 % x2, x2 # a2
x 2 + a2
(10)
x 2 − a2
(11)
a2 − x 2
(12) ax2 $ bx $ c
(13)
(14)
(15)
(16)
(17)
(18)
(19)
(20)
(21)
ax 2 + bx + c
x3 $ a3
x 4 ± a4
x n ± an
sen ax
cos ax
sen ax y cos ax
tan ax
cot ax
(25)
(26)
(27)
(28)
(29)
(30)
(31)
(32)
(33)
(22) sec ax
(34)
(23) csc ax
(24) funciones trigonométricas inversas
eax
ln x
senh ax
cosh ax
senh ax y cosh ax
tanh ax
coth ax
sech ax
csch ax
funciones hiperbólicas inversas
Algunas integrales contienen el número de Bernoulli Bn y el número de Euler En definido en el capítulo 23.
(1)
INTEGRALES QUE INVOLUCRAN ax ! b
dx
1
x dx
x
17.1.1.
∫ ax + b = a ln (ax + b)
17.1.2.
∫ ax + b = a − a
17.1.3.
17.1.4.
17.1.5.
17.1.6.
17.1.7.
b
2
ln (ax + b)
x 2dx
(ax + b)2 2b(ax + b) b 2
+ 3 ln (ax + b)
=
−
∫ ax + b
2a 3
a3
a
dx
1 ⎛ x ⎞
∫ x (ax + b) = b ln ⎜⎝ ax + b⎟⎠
a ⎛ ax + b⎞
dx
1
∫ x 2 (ax + b) = − bx + b 2 ln ⎜⎝ x ⎟⎠
dx
−1
∫ (ax + b)2 = a(ax + b)
x dx
b
1
∫ (ax + b)2 = a 2 (ax + b) + a 2 ln (ax + b)
ax + b
b2
2b
ln (ax + b)
− 3
−
3
a
a (ax + b) a 3
dx
1
1 ⎛ x ⎞
=
+ ln
x (ax + b)2 b(ax + b) b 2 ⎜⎝ ax + b⎟⎠
x 2 dx
17.1.8.
∫ (ax + b)
17.1.9.
∫
2
=
71
04_Seccion 04_Spiegel(062-115).indd 71
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72
17.1.10.
17.1.11.
TABLAS DE INTEGRALES INDEFINIDAS ESPECIALES
dx
−a
1
2a ⎛ ax + b⎞
− 2 + 3 ln ⎜
2 =
2
(ax + b)
b (ax + b) b x b
⎝ x ⎟⎠
dx
−1
∫ (ax + b)3 = 2(ax + b)2
∫x
2
x dx
−1
b
+
a 2 (ax + b) 2a 2 (ax + b)2
17.1.12.
∫ (ax + b)
17.1.13.
x 2 dx
2b
b2
1
=
−
∫ (ax + b)3 a3 (ax + b) 2a3 (ax + b)2 + a3 ln (ax + b)
17.1.14.
∫ (ax + b)n dx =
17.1.15.
∫ x (ax + b) dx =
3
=
(ax + b)n+1
. Si n = −1, vea la fórmula 17.1.1.
(n + 1)a
n
(ax + b)n+ 2 b(ax + b)n+1
−
, n ≠ −1, − 2
(n + 2)a 2
(n + 1))a 2
Si n ! "1, "2, vea las fórmulas 17.1.2 y 17.1.7.
17.1.16.
∫x
2
(ax + b)n dx =
(ax + b)n+3 2b(ax + b)n+ 2 b 2 (ax + b)n+1
−
+
(n + 3)a 3
(n + 2)a 3
(n + 1)a 3
Si n ! "1, "2, "3, vea las fórmulas 17.1.3, 17.1.8 y 17.1.13.
17.1.17.
nb
⎧ x m +1 (ax + b)n
m
n −1
⎪ m + n + 1 + m + n + 1 ∫ x (ax + b) dx
⎪⎪ x m (ax + b)n+1
mb
m −1
m
n
n
x
(
ax
+
b
)
dx
=
⎨ (m + n + 1)a − (m + n + 1)a ∫ x (ax + b) dx
∫
⎪ m +1
n +1
⎪− x (ax + b) + m + n + 2 x m (ax + b)n+1 dx
(n + 1)b
(n + 1)b ∫
⎪⎩
(2) INTEGRALES QUE INVOLUCRAN AXB
17.2.1.
∫
dx
2 ax + b
=
a
ax + b
17.2.2.
∫
x dx
2(ax − 2b)
=
ax + b
3a 2
ax + b
17.2.3.
∫
17.2.4.
∫
17.2.5.
∫x
17.2.6.
∫
17.2.7.
x 2 dx
2(3a 2 x 2 − 4 abx + 8b 2 )
=
ax + b
15a 3
ax + b
⎧ 1
⎛ ax + b − b ⎞
⎪
ln ⎜
⎟
dx
⎪ b ⎝ ax + b + b ⎠
=⎨
x ax + b ⎪ 2
ax + b
tan −1
⎪
−b
⎩ −b
dx
2
ax + b
=−
ax + b
a
−
2b
bx
∫x
dx
ax + b
(vea
(see 17.2.12.)
la fórmula 17.2.12).
2 (ax + b)3
3a
2(3ax − 2b)
(ax + b)3
∫ x ax + b dx = 15a 2
ax + b dx =
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TABLAS DE INTEGRALES INDEFINIDAS ESPECIALES
2(15a 2 x 2 − 12abx + 8b 2 )
(ax + b)3
105a 3
17.2.8.
∫ x 2 ax + b dx =
17.2.9.
∫
ax + b
dx = 2 ax + b + b
x
17.2.10.
∫
ax + b a
ax + b
dx = −
+
2
x
x
2
17.2.11.
∫
xm
2 x m ax + b
2mb
dx =
−
(
)
(
2
m
1
a
2
m
+
+ 1)a
ax + b
17.2.12.
∫x
17.2.13.
∫ x m ax + b dx =
17.2.14.
∫
ax + b
ax + b
a
dx = −
m
m −1 +
− 1)
2
(
m
x
(m − 1) x
∫x
17.2.15.
∫
ax + b
−(ax + b)3/ 2 (2m − 5)a
dx =
−
m
x
(m − 1)bx m −1 (2m − 2)b
∫
17.2.16.
∫ (ax + b)m / 2 dx =
17.2.17.
∫ x (ax + b)m / 2 dx =
17.2.18.
∫ x 2 (ax + b)m / 2 dx =
17.2.19.
(ax + b)m / 2
2(ax + b)m / 2
=
+b
dx
∫ x
m
17.2.20.
∫
17.2.21.
∫ x (ax + b)
(3)
m
∫x
dx
(Vea la fórmula 17.2.12).
ax + b
∫x
dx
(Vea la fórmula 17.2.12).
ax + b
=
∫x
m −1
dx
ax + b
2x m
2mb
(ax + b)3/ 2 −
(2m + 3)a
(2m + 3)a
m −1
∫x
m −1
ax + b dx
dx
ax + b
ax + b
dx
x m −1
2(ax + b)( m + 2)/ 2
a 2 (m + 2)
2(ax + b)( m + 4 )/ 2 2b(ax + b)( m + 2)/ 2
−
a 2 (m + 2)
a 2 (m + 4)
2(ax + b)( m +6)/ 2 4 b(ax + b)( m + 4 )/ 2 2b 2 (ax + b)( m + 2)/ 2
−
+
a 3 (m + 4)
a 3 (m + 2)
a 3 (m + 6)
(ax + b)( m − 2)/ 2
dx
∫
x
(ax + b)m / 2
(ax + b)( m + 2)/ 2 ma
dx = −
+
2
2b
bx
x
m/2
x m −1
dx
ax + b
∫
dx
ax + b
(2m − 3)a
=−
m −1 −
(
2m − 2)b
m
bx
(
)
−
1
ax + b
dx
73
∫
(ax + b)m / 2
dx
x
2
1
+
(m − 2)b(ax + b)( m − 2)/ 2 b
∫ x (ax + b)
dx
( m − 2 )/ 2
INTEGRALES QUE INVOLUCRAN ax ! b Y px ! q
dx
1
x dx
1
⎛ px + q⎞
17.3.1.
∫ (ax + b)( px + q) = bp − aq ln ⎜⎝ ax + b ⎟⎠
17.3.2.
∫ (ax + b)( px + q) = bp − aq ⎨⎩a ln (ax + b) − p ln ( px + q)⎬⎭
04_Seccion 04_Spiegel(062-115).indd 73
⎧b
q
⎫
05/12/13 16:00
74
TABLAS DE INTEGRALES INDEFINIDAS ESPECIALES
dx
1
⎧ 1
1
⎧
⎛ px + q⎞ ⎫
p
17.3.3.
∫ (ax + b) ( px + q) = bp − aq ⎨⎩ax + b + bp − aq ln ⎜⎝ ax + b ⎟⎠ ⎬⎭
17.3.4.
∫ (ax + b) ( px + q) = bp − aq ⎨⎩bp − aq ln ⎜⎝ px + q⎟⎠ − a(ax + b) ⎬⎭
17.3.5.
∫ (ax + b) ( px + q) = (bp − aq)a (ax + b) + (bp − aq)
17.3.6.
∫ (ax + b)
2
x dx
⎛ ax + b ⎞
q
2
x 2 dx
1
b2
2
⎫
b
2
{
2
⎧q2
⎫
b(bp − 2aq)
ln (ax + b)⎬
⎨ ln ( px + q) +
2
p
a
⎩
⎭
dx
1
−1
n =
m −1
n
bp
aq
(
)(
)
1
−
−
( px + q)
(ax + b) ( px + q)n−1
m
∫ (ax + b)
+ a(m + n − 2)
ax + b
dx
( px + q)n−1
m
ax bp − aq
ln( px + q)
+
p
p2
17.3.7.
∫ px + q dx =
17.3.8.
⎧
⎧(ax + b)m +1
⎫
(ax + b)m
−1
+ (n − m − 2)a ∫
dx⎬
⎨
⎪
n −1
n −1
+
q
)
(
n
1
)(
bp
aq
)
(
px
(
px
+
q
)
−
−
⎩
⎭
⎪
⎪
⎧ (ax + b)m
(ax + b)m
(ax + b)m −1 ⎫
−1
∫ ( px + q)n dx = ⎨(n − m − 1) p ⎨⎩( px + q)n−1 + m(bp − aq) ∫ ( px + q)n dx⎬⎭
⎪
⎪ −1 ⎧ (ax + b)m
(ax + b)m −1 ⎫
a
m
−
⎨
⎪
∫ ( px + q)n−1 dx⎬⎭
n −1
⎩(n − 1) p ⎩( px + q)
}
(4) INTEGRALES QUE INVOLUCRAN AXB Y px ! q
17.4.1.
17.4.2.
px + q
2(apx + 3aq − 2bp)
dx =
ax + b
3a 2
ax + b
⎧
⎛ p(ax + b) − bp − aq ⎞
1
⎪
ln ⎜
⎟
⎪ bp − aq p ⎝ p(ax + b) + bp − aq ⎠
dx
=
∫ ( px + q) ax + b ⎨
2
p(ax + b)
⎪
tan −1
⎪
aq − bp
⎩ aq − bp p
∫
⎧ 2 ax + b
bp − aq ⎛ p(ax + b) − bp − aq ⎞
⎪
+
ln ⎜
⎟
p
⎪
p p
ax + b
⎝ p(ax + b) + bp − aq ⎠
dx = ⎨
px + q
p(ax + b)
⎪ 2 ax + b 2 aq − bp
tan −1
−
⎪
p
aq − bp
p p
⎩
17.4.3.
∫
17.4.4.
∫ ( px + q)
17.4.5.
∫ ( px + q)
17.4.6.
∫
17.4.7.
∫ ( px + q)
ax + b dx =
n
dx
n
ax + b
=
2( px + q)n+1 ax + b
bp − aq
+
(2n + 3) p
(2n + 3) p
04_Seccion 04_Spiegel(062-115).indd 74
n
dx =
( px + q)n
ax + b
ax + b
(2n − 3)a
+
(n − 1)(aq − bp)( px + q)n−1 2(n − 1)(aq − bp)
( px + q)n
2( px + q)n ax + b 2n(aq − bp)
dx =
+
(2n + 1)a
(2n + 1)a
ax + b
ax + b
∫
− ax + b
a
+
(n − 1) p( px + q)n−1 2(n − 1) p
∫
∫ ( px + q)
dx
n −1
ax + b
( px + q)n−1 dx
ax + b
∫ ( px + q)
dx
n −1
ax + b
05/12/13 16:00
TABLAS DE INTEGRALES INDEFINIDAS ESPECIALES
(5)
INTEGRALES QUE INVOLUCRAN AXB Y px!q
17.5.1.
∫
⎧
⎪
dx
⎪
=⎨
(ax + b)( px + q) ⎪
⎪
⎩
2
ap
ln
2
− ap
(
a( px + q ) + p(ax + b)
tan −1
)
− p(ax + b)
a( px + q)
17.5.2.
∫
x dx
=
(ax + b)( px + q)
(ax + b)( px + q) bp + aq
−
ap
2ap
17.5.3.
∫
(ax + b)( px + q) dx =
(bp − aq)2
2apx + bp + aq
(ax + b)( px + q) −
8ap
4 ap
17.5.4.
∫
px + q
dx =
ax + b
17.5.5.
∫ ( px + q)
(6)
75
(ax + b)( px + q) aq − bp
+
2a
a
∫
∫
dx
(ax + b)( px + q)
∫
dx
(ax + b)( px + q)
dx
(ax + b)( px + q)
dx
2 ax + b
=
(ax + b)( px + q) (aq − bp) px + q
INTEGRALES QUE INVOLUCRAN x2 ! a2
17.6.1.
∫x
17.6.2.
∫x
2
x
dx
1
= tan −1
a
+ a2 a
x dx
1
= ln ( x 2 + a 2 )
2
+a
2
2
x 2 dx
−1 x
2
2 = x − a tan
a
x +a
17.6.3.
∫
17.6.4.
∫x
17.6.5.
∫ x(x
17.6.6.
∫x
17.6.7.
∫ x (x
17.6.8.
∫ (x
2
17.6.9.
∫ (x
2
17.6.10.
∫ (x
2
x 3 dx
x 2 a2
− ln ( x 2 + a 2 )
2
2 =
2
2
+a
2
dx
1
1
x
= − 2 − 3 tan −1
a
(x 2 + a2 )
a x a
⎛ x2 ⎞
dx
1
1
= − 2 2 − 4 ln ⎜ 2
2
2
⎝ x + a 2 ⎟⎠
+a )
2a x
2a
3
04_Seccion 04_Spiegel(062-115).indd 75
⎛ x2 ⎞
dx
1
= 2 ln ⎜ 2
2
⎝ x + a 2 ⎟⎠
+ a ) 2a
2
dx
x
x
1
=
+
tan −1
a
+ a 2 ) 2 2a 2 ( x 2 + a 2 ) 2a 3
x dx
−1
2 2 =
2
+a )
2( x + a 2 )
x
x 2 dx
1
−x
=
+
tan −1
a
+ a 2 )2 2( x 2 + a 2 ) 2a
05/12/13 16:00
76
TABLAS DE INTEGRALES INDEFINIDAS ESPECIALES
x 3dx
a2
1
+ ln ( x 2 + a 2 )
=
2 2
2
+a )
2( x + a 2 ) 2
17.6.11.
∫ (x
17.6.12.
∫ x(x
17.6.13.
∫x
2
2
2
dx
1
1
⎛ x2 ⎞
2 2 =
2
2
2 +
4 ln ⎜ 2
+a )
2a ( x + a ) 2a
⎝ x + a 2 ⎟⎠
dx
1
x
3
x
=− 4 − 4 2
−
tan −1
a
( x 2 + a 2 )2
a x 2a ( x + a 2 ) 2a 5
dx
1
1
1 ⎛ x2 ⎞
2 2 = −
4 2 −
4
2
2 − 6 ln ⎜ 2
x (x + a )
2a x
2a ( x + a ) a
⎝ x + a 2 ⎟⎠
17.6.14.
∫
17.6.15.
∫ (x
2
17.6.16.
∫ (x
2
17.6.17.
∫ x(x
17.6.18.
∫ (x
17.6.19.
∫x
3
2
dx
x
2n − 3
=
+
+ a 2 )n 2(n − 1)a 2 ( x 2 + a 2 )n−1 (2n − 2)a 2
2
dx
+ a 2 )n−1
x dx
−1
=
+ a 2 )n 2(n − 1)( x 2 + a 2 )n−1
2
dx
1
1
2 n =
2
2
2 n −1 + 2
+a )
2(n − 1)a ( x + a )
a
x m dx
=
+ a 2 )n
2
m
∫ (x
∫ (x
x m − 2 dx
− a2
+ a 2 )n−1
2
dx
1
=
( x 2 + a 2 )n a 2
∫x
m
∫ x(x
2
dx
+ a 2 )n−1
x m − 2 dx
2
+ a 2 )n
∫ (x
dx
1
−
( x 2 + a 2 )n−1 a 2
∫x
m−2
dx
( x 2 + a 2 )n
(7) INTEGRALES QUE INVOLUCRAN x2 ! a2, x2 > a2
dx
1 ⎛ x − a⎞
=
ln
2
−a
2a ⎜⎝ x + a ⎟⎠
17.7.1.
∫x
2
17.7.2.
∫x
2
17.7.3.
∫x
x 2 dx
a ⎛ x − a⎞
= x + ln ⎜
2
2 ⎝ x + a⎟⎠
− a2
o −
1
x
coth −1
a
a
x dx
1
= ln ( x 2 − a 2 )
− a2 2
x 3dx
x 2 a2
=
+ ln ( x 2 − a 2 )
x 2 − a2 2
2
17.7.4.
∫
17.7.5.
∫ x(x
17.7.6.
∫ x (x
2
dx
1
⎛ x 2 − a2 ⎞
2 =
2 ln ⎜
− a ) 2a
⎝ x 2 ⎟⎠
2
dx
1
1
⎛ x − a⎞
2
2 =
2 +
3 ln ⎜
− a ) a x 2a
⎝ x + a⎟⎠
dx
1
1
⎛ x2 ⎞
=
−
ln
x 3( x 2 − a 2 ) 2a 2 x 2 2a 4 ⎜⎝ x 2 − a 2 ⎟⎠
17.7.7.
∫
17.7.8.
∫ (x
2
04_Seccion 04_Spiegel(062-115).indd 76
dx
−x
1
⎛ x − a⎞
=
−
ln
− a 2 )2 2a 2 ( x 2 − a 2 ) 4 a 3 ⎜⎝ x + a⎟⎠
05/12/13 16:00
TABLAS DE INTEGRALES INDEFINIDAS ESPECIALES
x dx
−1
=
− a 2 )2 2( x 2 − a 2 )
17.7.9.
∫ (x
2
17.7.10.
∫ (x
2
17.7.11.
x 3dx
−a2
1
=
∫ ( x 2 − a 2 )2 2( x 2 − a 2 ) + 2 ln ( x 2 − a 2 )
17.7.12.
∫ x(x
17.7.13.
∫ x (x
x 2 dx
1 ⎛ x − a⎞
−x
=
+
ln
− a 2 )2 2( x 2 − a 2 ) 4 a ⎜⎝ x + a⎟⎠
2
2
dx
−1
1
⎛ x2 ⎞
2 2 =
2
2
2 +
4 ln ⎜ 2
−a )
2a ( x − a ) 2a
⎝ x − a 2 ⎟⎠
dx
1
x
3
⎛ x − a⎞
− 4 2
2 2 = − 4
2 −
5 ln ⎜
−a )
a x 2a ( x − a ) 4 a
⎝ x + a⎟⎠
2
dx
1
1
1 ⎛ x2 ⎞
=
−
−
+
ln
x 3( x 2 − a 2 )2
2a 4 x 2 2a 4 ( x 2 − a 2 ) a 6 ⎜⎝ x 2 − a 2 ⎟⎠
17.7.14.
∫
17.7.15.
∫ (x
2
17.7.16.
∫ (x
2
17.7.17.
∫ x(x
17.7.18.
∫ (x
17.7.19.
∫x
(8)
77
dx
−x
2n − 3
=
−
− a 2 )n 2(n − 1)a 2 ( x 2 − a 2 )n−1 (2n − 2)a 2
2
dx
− a 2 )n−1
x dx
−1
=
− a 2 )n 2(n − 1)( x 2 − a 2 )n−1
2
dx
−1
1
2 n =
2
2
2 n −1 − 2
−a )
2(n − 1)a ( x − a )
a
x m dx
=
− a 2 )n
2
m
∫ (x
∫ (x
x m − 2 dx
+ a2
− a 2 )n−1
2
dx
1
=
( x 2 − a 2 )n a 2
∫x
m−2
∫ x(x
2
dx
− a 2 )n−1
x m − 2 dx
2
− a 2 )n
∫ (x
dx
1
−
( x 2 − a 2 )n a 2
∫x
m
dx
( x 2 − a 2 )n−1
INTEGRALES QUE INVOLUCRAN a2 ! x2, x2 < a2
17.8.1.
∫a
2
17.8.2.
∫a
2
dx
1 ⎛ a + x⎞
=
ln
2
−x
2a ⎜⎝ a − x ⎟⎠
1
x
tanh −1
a
a
x dx
1
= − ln (a 2 − x 2 )
2
− x2
x 2 dx
a ⎛ a + x⎞
= − x + ln ⎜
2 ⎝ a − x ⎟⎠
a2 − x 2
17.8.3.
∫
17.8.4.
∫a
17.8.5.
∫ x (a
17.8.6.
∫x
04_Seccion 04_Spiegel(062-115).indd 77
o
x 3dx
x 2 a2
= − − ln (a 2 − x 2 )
2
2
−x
2
2
2
dx
1
⎛ x2 ⎞
2 =
2 ln ⎜ 2
− x ) 2a
⎝ a − x 2 ⎟⎠
2
dx
1
1
⎛ a + x⎞
= − 2 + 3 ln ⎜
(a 2 − x 2 )
a x 2a
⎝ a − x ⎟⎠
05/12/13 16:00
78
TABLAS DE INTEGRALES INDEFINIDAS ESPECIALES
dx
1
1
⎛ x2 ⎞
2
2 = −
2 2 +
4 ln ⎜ 2
(a − x )
2a x
2a
⎝ a − x 2 ⎟⎠
17.8.7.
∫x
17.8.8.
∫ (a
2
17.8.9.
∫ (a
2
3
dx
x
1
⎛ a + x⎞
=
+
ln
− x 2 )2 2a 2 (a 2 − x 2 ) 4 a 3 ⎜⎝ a − x ⎟⎠
x dx
1
=
− x 2 )2 2(a 2 − x 2 )
17.8.10.
x 2 dx
x
1 ⎛ a + x⎞
∫ (a 2 − x 2 )2 = 2(a 2 − x 2 ) − 4a ln ⎜⎝ a − x ⎟⎠
17.8.11.
x 3dx
a2
1
=
∫ (a 2 − x 2 )2 2(a 2 − x 2 ) + 2 ln (a 2 − x 2 )
dx
1
1
⎛ x2 ⎞
=
+
ln
x (a 2 − x 2 )2 2a 2 (a 2 − x 2 ) 2a 4 ⎜⎝ a 2 − x 2 ⎟⎠
17.8.12.
∫
17.8.13.
∫ x (a
2
17.8.14.
∫ x (a
2
17.8.15.
∫ (a
2
17.8.16.
∫ (a
2
17.8.17.
∫ x (a
17.8.18.
x m dx
∫ (a 2 − x 2 ) n = a 2
17.8.19.
∫x
2
3
m
dx
−1
x
3
⎛ a + x⎞
=
+
+
ln
− x 2 )2 a 4 x 2a 4 (a 2 − x 2 ) 4 a 5 ⎜⎝ a − x ⎟⎠
dx
−1
1
1 ⎛ x2 ⎞
2 2 =
4 2 +
4
2
2 + 6 ln ⎜ 2
−x )
2a x
2a (a − x ) a
⎝ a − x 2 ⎟⎠
dx
x
2n − 3
=
+
− x 2 )n 2(n − 1)a 2 (a 2 − x 2 )n−1 (2n − 2)a 2
∫ (a
2
dx
− x 2 )n−1
x dx
1
=
− x 2 )n 2(n − 1)(a 2 − x 2 )n−1
2
dx
1
1
=
+
− x 2 )n 2(n − 1)a 2 (a 2 − x 2 )n−1 a 2
x m − 2 dx
∫ (a 2 − x 2 ) n −
dx
1
=
(a 2 − x 2 ) n a 2
∫x
m
∫ x (a
2
dx
− x 2 )n−1
x m − 2 dx
∫ (a 2 − x 2 )n−1
dx
1
+
(a 2 − x 2 )n−1 a 2
∫x
m−2
dx
(a 2 − x 2 ) n
(9) INTEGRALES QUE INVOLUCRAN X A
dx
x
a
17.9.1.
∫
17.9.2.
∫
x +a
x dx
= x 2 + a2
x 2 + a2
17.9.3.
∫
x 2 dx
x x 2 + a2 a2
=
− ln( x + x 2 + a 2 )
2
2
2
2
x +a
17.9.4.
∫
x 3 dx
( x 2 + a 2 )3 / 2
=
− a2 x 2 + a2
2
2
3
x +a
2
04_Seccion 04_Spiegel(062-115).indd 78
2
= ln( x + x 2 + a 2 ) o senh −1
05/12/13 16:00
TABLAS DE INTEGRALES INDEFINIDAS ESPECIALES
17.9.5.
17.9.6.
17.9.7.
17.9.8.
17.9.9.
∫
dx
1 ⎛ a + x 2 + a2 ⎞
=
−
ln
⎟
a ⎜⎝
x
x x 2 + a2
⎠
∫x
∫x
dx
x 2 + a2
=
−
a2 x
x 2 + a2
2
⎛ a + x 2 + a2 ⎞
dx
x 2 + a2
1
=
−
+
ln
2
2
3
⎜
⎟
x
2a x
2a
x 2 + a2
⎝
⎠
3
x x 2 + a2 a2
+ ln ( x + x 2 + a 2 )
∫
2
2
2
2 3/ 2
(
)
x
a
+
∫ x x 2 + a 2 dx =
3
x 2 + a 2 dx =
17.9.10.
∫x
17.9.11.
∫x
x ( x 2 + a 2 )3 / 2 a 2 x x 2 + a 2 a 4
−
− ln ( x + x 2 + a 2 )
4
8
8
2
2 5/ 2
2
2
2 3/ 2
(x + a )
a (x + a )
x 2 + a 2 dx =
−
5
3
x 2 + a 2 dx =
2
3
∫
⎛ a + x 2 + a2 ⎞
x 2 + a2
dx = x 2 + a 2 − a ln ⎜
⎟
x
x
⎝
⎠
17.9.13.
∫
x 2 + a2
x 2 + a2
=
−
+ ln ( x + x 2 + a 2 )
dx
x2
x
17.9.14.
∫
x 2 + a2
x 2 + a2
1 ⎛ a + x 2 + a2 ⎞
dx = −
−
ln
3
2
⎟
x
2a ⎜⎝
x
2x
⎠
17.9.15.
∫ (x
2
17.9.16.
∫ (x
2
17.9.17.
∫ (x
2
17.9.18.
∫ (x
2
17.9.12.
dx
x
=
+ a 2 )3 / 2 a 2 x 2 + a 2
x dx
=
+ a 2 )3 / 2
−1
x + a2
x 2 dx
=
+ a 2 )3 / 2
−x
+ ln ( x + x 2 + a 2 )
x 2 + a2
2
x 3 dx
= x 2 + a2 +
+ a 2 )3 / 2
a2
x + a2
2
dx
1
1 ⎛ a + x 2 + a2 ⎞
=
−
ln
⎟
x
x ( x 2 + a 2 )3/ 2 a 2 x 2 + a 2 a 3 ⎜⎝
⎠
17.9.19.
∫
17.9.20.
∫ x (x
2
17.9.21.
∫ x (x
2
17.9.22.
∫ ( x 2 + a 2 )3/ 2 dx =
17.9.23.
79
2
3
dx
x 2 + a2
x
− 4 2
2 3/ 2 = −
a4 x
+a )
a x + a2
⎛ a + x 2 + a2 ⎞
dx
3
3
−1
− 4 2
+ 5 ln ⎜
2 3/ 2 =
⎟
2
2
2
2
2
x
2a
+a )
2a x x + a
2a x + a
⎝
⎠
x ( x 2 + a 2 )3/ 2 3a 2 x x 2 + a 2 3 4
+
+ a ln ( x + x 2 + a 2 )
4
8
8
2
2 5/ 2
(x + a )
∫ x ( x 2 + a 2 )3/ 2 dx =
5
04_Seccion 04_Spiegel(062-115).indd 79
05/12/13 16:00
80
TABLAS DE INTEGRALES INDEFINIDAS ESPECIALES
17.9.24.
∫ x 2( x 2 + a 2 )3/ 2 dx =
x ( x 2 + a 2 )5 / 2 a 2 x ( x 2 + a 2 )3 / 2 a 4 x x 2 + a 2 a 6
−
−
− ln ( x + x 2 + a 2 )
6
24
16
16
17.9.25.
∫ x (x
( x 2 + a 2 ) 7 / 2 a 2 ( x 2 + a 2 )5 / 2
−
7
5
17.9.26.
∫
⎛ a + x 2 + a2 ⎞
( x 2 + a 2 )3 / 2
( x 2 + a 2 )3 / 2
+ a 2 x 2 + a 2 − a 3 ln ⎜
dx =
⎟
3
x
x
⎝
⎠
17.9.27.
∫
( x 2 + a 2 )3 / 2
( x 2 + a 2 )3 / 2 3 x x 2 + a 2 3 2
+
+ a ln ( x + x 2 + a 2 )
dx = −
2
x
x
2
2
17.9.28.
∫
⎛ a + x 2 + a2 ⎞
( x 2 + a 2 )3 / 2
( x 2 + a 2 )3 / 2 3 2
3
dx = −
x + a 2 − a ln ⎜
+
3
2
⎟
x
2
2
x
2x
⎝
⎠
3
+ a 2 )3/ 2 dx =
2
(10) INTEGRALES QUE INVOLUCRAN X A
dx
x −a
∫
x dx
x x −a
a
=
+ ln ( x + x 2 − a 2 )
2
2
2
2
x −a
17.10.3.
∫
x 3 dx
( x 2 − a 2 )3 / 2
=
+ a2 x 2 − a2
3
x 2 − a2
17.10.4.
∫x
17.10.2.
2
2
= ln ( x + x 2 − a 2 ),
2
2
dx
x −a
2
2
=
2
∫
x dx
∫
17.10.1.
x −a
2
2
= x 2 − a2
2
1
x
sec −1
a
a
dx
=
x 2 − a2
x 2 − a2
a2 x
dx
1
x 2 − a2
x
+ 3 sec −1
2a 2 x 2
2a
a
17.10.5.
∫x
17.10.6.
∫x
17.10.7.
∫
17.10.8.
∫x
17.10.9.
∫x
17.10.10.
∫x
17.10.11.
∫
x 2 − a2
x
dx = x 2 − a 2 − a sec −1
x
a
∫
x 2 − a2
x 2 − a2
dx
=
−
+ ln ( x + x 2 − a 2 )
x
x2
17.10.12.
2
3
x 2 − a2
=
x 2 − a 2 dx =
x x 2 − a2 a2
− ln ( x + x 2 − a 2 )
2
2
x 2 − a 2 dx =
( x 2 − a 2 )3 / 2
3
2
x 2 − a 2 dx =
x ( x 2 − a 2 )3/ 2 a 2 x x 2 − a 2 a 4
+
−
ln ( x + x 2 − a 2 )
4
8
8
3
x 2 − a 2 dx =
( x 2 − a 2 )5 / 2 a 2 ( x 2 − a 2 )3 / 2
+
5
3
04_Seccion 04_Spiegel(062-115).indd 80
05/12/13 16:00
TABLAS DE INTEGRALES INDEFINIDAS ESPECIALES
1
x 2 − a2
x 2 − a2
x
=
−
+
sec −1
dx
3
2
2x
2a
x
a
17.10.13.
∫
17.10.14.
∫ (x
2
17.10.15.
∫ (x
2
17.10.16.
x 2dx
x
∫ ( x 2 − a 2 )3/ 2 = − x 2 − a 2 + ln ( x + x 2 − a 2 )
17.10.17.
x 3 dx
∫ ( x − a 2 )3 / 2 = x 2 − a 2 −
17.10.18.
∫ x(x
dx
x
=− 2 2
− a 2 )3 / 2
a x − a2
x dx
=
− a 2 )3 / 2
−1
x − a2
2
2
2
a2
x 2 − a2
dx
1
x
−1
=
− 3 sec −1
2 3/ 2
2
2
2
−a )
a
a
a x −a
dx
x 2 − a2
x
=
−
− 4 2
2
2
2 3/ 2
4
x (x − a )
a x
a x − a2
17.10.19.
∫
17.10.20.
∫x
17.10.21.
∫ (x
17.10.22.
∫ x(x
17.10.23.
∫x
17.10.24.
∫x
17.10.25.
∫
( x 2 − a 2 )3 / 2
( x 2 − a 2 )3 / 2
x
dx =
− a 2 x 2 − a 2 + a 3 sec −1
x
3
a
17.10.26.
∫
( x 2 − a 2 )3 / 2
( x 2 − a 2 )3 / 2 3 x x 2 − a 2 3 2
dx = −
+
− a ln ( x + x 2 − a 2 )
2
x
2
2
x
17.10.27.
( x 2 − a 2 )3 / 2
( x 2 − a 2 )3 / 2 3 x 2 − a 2 3
x
=
−
+
− a sec −1
dx
∫ x3
2
2x
2
2
a
(11)
81
3
dx
1
3
3
x
=
−
−
sec −1
( x 2 − a 2 )3 / 2 2a 2 x 2 x 2 − a 2 2a 4 x 2 − a 2 2a 5
a
2
− a 2 )3/ 2 dx =
2
x ( x 2 − a 2 )3/ 2 3a 2 x x 2 − a 2 3 4
−
+ a ln ( x + x 2 − a 2 )
4
8
8
− a 2 )3/ 2 dx =
( x 2 − a 2 )5 / 2
5
2
( x 2 − a 2 )3/ 2 dx =
x ( x 2 − a 2 )5 / 2 a 2 x ( x 2 − a 2 )3 / 2 a 4 x x 2 − a 2 a 6
+
−
+ ln ( x + x 2 − a 2 )
6
24
16
16
3
( x 2 − a 2 )3/ 2 dx =
( x 2 − a 2 ) 7 / 2 a 2 ( x 2 − a 2 )5 / 2
+
7
5
INTEGRALES QUE INVOLUCRAN A X
17.11.1.
∫
17.11.2.
∫
04_Seccion 04_Spiegel(062-115).indd 81
dx
a2 − x 2
= sen −1
x
a
x dx
= − a2 − x 2
a2 − x 2
05/12/13 16:00
82
17.11.3.
TABLAS DE INTEGRALES INDEFINIDAS ESPECIALES
x 2dx
∫
a2 − x 2
∫
17.11.5.
∫x
17.11.6.
∫x
17.11.8.
17.11.9.
x a2 − x 2 a2
x
+ sen −1
a
2
2
x 3 dx
(a 2 − x 2 ) 3 / 2
=
− a2 a2 − x 2
3
a2 − x 2
17.11.4.
17.11.7.
=−
∫x
dx
1 ⎛ a + a2 − x 2 ⎞
= − ln ⎜
⎟
2
2
a ⎝
x
a −x
⎠
dx
a2 − x 2
=
−
a2 x
a2 − x 2
2
⎛ a + a2 − x 2 ⎞
dx
a2 − x 2
1
=
−
−
ln
⎟
x
2a 2 x 2
2a 3 ⎜⎝
a2 − x 2
⎠
3
x a2 − x 2 a2
x
+ sen −1
2
2
a
(a 2 − x 2 )3 / 2
2
2
x
a
x
dx
−
=
−
∫
3
∫
a 2 − x 2 dx =
17.11.10.
∫x
17.11.11.
∫x
a 2 − x 2 dx = −
2
a 2 − x 2 dx =
3
x (a 2 − x 2 )3 / 2 a 2 x a 2 − x 2 a 4
x
+
+ sen −1
4
8
8
a
(a 2 − x 2 )5 / 2 a 2 (a 2 − x 2 )3 / 2
−
5
3
17.11.12.
∫
⎛ a + a2 − x 2 ⎞
a2 − x 2
dx = a 2 − x 2 − a ln ⎜
⎟
x
x
⎝
⎠
17.11.13.
∫
a2 − x 2
a2 − x 2
x
dx = −
− sen −1
2
x
x
a
17.11.14.
∫
a2 − x 2
a2 − x 2
1 ⎛ a + a2 − x 2 ⎞
dx = −
+
ln
3
2
⎟
x
2a ⎜⎝
x
2x
⎠
17.11.15.
∫ (a
17.11.16.
17.11.17.
17.11.18.
dx
x
=
− x 2 )3 / 2 a 2 a 2 − x 2
x dx
1
∫ (a 2 − x 2 )3 / 2 = a 2 − x 2
x 2dx
x
x
=
− sen −1
2
2
a
− x 2 )3 / 2
a −x
3
x dx
a2
∫ (a 2 − x 2 )3 / 2 = a 2 − x 2 + a 2 − x 2
∫ (a
∫
17.11.20.
∫x
∫
2
dx
1
1 ⎛ a + a2 − x 2 ⎞
=
−
ln
⎟
x
x (a 2 − x 2 )3/ 2 a 2 a 2 − x 2 a 3 ⎜⎝
⎠
17.11.19.
17.11.21.
2
2
dx
a2 − x 2
x
+ 4 2
2 3/ 2 = −
a4 x
(a − x )
a a − x2
2
⎛ a + a2 − x 2 ⎞
dx
3
3
−1
=
+
−
l
n
⎟
x
x 3 (a 2 − x 2 )3/ 2 2a 2 x 2 a 2 − x 2 2a 4 a 2 − x 2 2a 5 ⎜⎝
⎠
04_Seccion 04_Spiegel(062-115).indd 82
05/12/13 16:00
TABLAS DE INTEGRALES INDEFINIDAS ESPECIALES
x (a 2 − x 2 )3/ 2 3a 2 x a 2 − x 2 3 4
x
+
+ a seen −1
4
8
8
a
(a 2 − x 2 )5 / 2
∫ x (a 2 − x 2 )3/ 2 dx = − 5
∫ (a
2
17.11.24.
∫x
(a 2 − x 2 )3/ 2dx = −
17.11.25.
∫x
17.11.26.
⎛ a + a2 − x 2 ⎞
(a 2 − x 2 )3 / 2
(a 2 − x 2 )3 / 2
2
2
2
3
dx
a
a
x
a
ln
=
+
−
−
⎟
⎜
∫ x
x
3
⎠
⎝
17.11.27.
∫
17.11.28.
⎛ a + a2 − x 2 ⎞
(a 2 − x 2 )3 / 2
(a 2 − x 2 )3 / 2 3 a 2 − x 2 3
dx
a
l
=
−
−
+
n
⎜
⎟
∫ x3
2
2
x
2x 2
⎝
⎠
17.11.22.
17.11.23.
(12)
83
3
2
− x 2 )3/ 2dx =
(a 2 − x 2 )3/ 2 dx =
x (a 2 − x 2 )5 / 2 a 2 x (a 2 − x 2 )3 / 2 a 4 x a 2 − x 2 a 6
x
+
+
+ sen −1
a
6
24
16
16
(a 2 − x 2 ) 7 / 2 a 2 (a 2 − x 2 )5 / 2
−
7
5
(a 2 − x 2 )3 / 2
(a 2 − x 2 )3 / 2 3 x a 2 − x 2 3 2
x
dx = −
−
− a seen −1
2
x
x
2
2
a
INTEGRALES QUE INVOLUCRAN ax2 ! bx ! c
17.12.1.
⎧
2
2ax + b
tan −1
⎪
2
4 ac − b 2
dx
⎪ 4 ac − b
∫ ax 2 + bx + c = ⎨ 1
⎛ 2ax + b − b 2 − 4 ac ⎞
⎪
ln ⎜
⎪ b 2 − 4 ac ⎝ 2ax + b + b 2 − 4 ac ⎟⎠
⎩
Si b 2 = 4 ac, ax 2 + bx + c = a( x + b / 2a)2 y los resultados de las fórmulas 17.1.6 a 17.1.10 y 17.1.14 a 17.1.17 se
pueden usar. Si b ! 0, use los resultados de la página 75. Si a o c ! 0, use los resultados de las páginas 71-72.
x dx
1
b
=
ln (ax 2 + bx + c) −
2a
+ bx + c 2a
∫ ax
17.12.3.
x 2 dx
x
b
b 2 − 2ac
2
ax
bx
c
=
−
+
+
+
ln
(
)
∫ ax 2 + bx + c a 2a 2
2a 2
17.12.4.
x m dx
x m −1
c
=
∫ ax + bx + c (m − 1)a − a
2
2
∫
17.12.6.
∫x
2
17.12.7.
∫x
n
17.12.8.
∫ (ax
2
17.12.9.
∫ (ax
2
2
x m − 2 dx
b
∫ ax + bx + c − a
2
x2
dx
1 ⎛
⎞ b
ln ⎜ 2
=
−
x (ax + bx + c) 2c ⎝ ax + bx + c⎟⎠ 2c
17.12.5.
04_Seccion 04_Spiegel(062-115).indd 83
∫ ax
dx
+ bx + c
17.12.2.
2
∫ ax
∫ ax
x m−1dx
∫ ax + bx + c
2
dx
+ bx + c
dx
b
⎛ ax 2 + bx + c⎞ 1 b 2 − 2ac
= 2 ln ⎜
⎟⎠ − cx + 2c 2
x2
(ax + bx + c) 2c
⎝
∫x
n −1
dx
+ bx + c
2
2
dx
1
b
=−
−
(ax 2 + bx + c)
(n − 1)cx n−1 c
2
∫ ax
dx
a
−
(ax 2 + bx + c) c
dx
2ax + b
2a
=
+
+ bx + c)2 (4 ac − b 2 )(ax 2 + bx + c) 4 ac − b 2
x dx
bx + 2c
b
=−
−
(4 ac − b 2 )(ax 2 + bx + c) 4 ac − b 2
+ bx + c)2
∫ ax
2
2
dx
+ bx + c
∫x
n− 2
dx
(ax 2 + bx + c)
dx
+ bx + c
∫ ax
2
dx
+ bx + c
05/12/13 16:00
84
TABLAS DE INTEGRALES INDEFINIDAS ESPECIALES
17.12.10.
x 2 dx
(b 2 − 2ac) x + bc
2c
=
∫ (ax 2 + bx + c)2 a(4ac − b 2 )(ax 2 + bx + c) + 4ac − b 2
17.12.11.
x m dx
x m −1
(m − 1)c
=
−
∫ (ax 2 + bx + c)n (2n − m − 1)a(ax 2 + bx + c)n−1 + (2n − m − 1)a
−
x 2 n−1dx
1
=
+ bx + c)n a
17.12.12.
∫ (ax
17.12.13.
∫ x (ax
17.12.14.
∫x
2
17.12.15.
∫x
m
2
2
(n − m )b
(2n − m − 1)a
∫ (ax
2
∫ (ax
x 2 n−3 dx
c
−
+ bx + c)n−1 a
dx
1
b
=
−
+ bx + c)2 2c(ax 2 + bx + c) 2c
2
∫ (ax
dx
1
3a
−
2 = −
2
(ax + bx + c)
cx (ax + bx + c) c
2
dx
+ bx + c
x m − 2 dx
∫ (ax 2 + bx + c)n
x m −1dx
+ bx + c)n
∫ (ax
2
x 2 n−3 dx
b
−
+ bx + c)n a
2
dx
1
+
+ bx + c)2 c
∫ (ax
2
∫ ax
2
∫ x (ax
dx
2b
2 −
c
+ bx + c)
dx
1
(m + 2n − 3)a
=−
−
(m − 1)c
(ax 2 + bx + c)n
(m − 1)cx m −1 (ax 2 + bx + c)n−1
−
(m + n − 2)b
(m − 1)c
∫x
m −1
∫ (ax
2
x 2 n− 2 dx
+ bx + c)n
2
dx
+ bx + c)
∫ x (ax
∫x
m−2
2
dx
+ bx + c)2
dx
(ax 2 + bx + c)n
dx
(ax 2 + bx + c)n
(13) INTEGRALES QUE INVOLUCRAN AX BXC
En los siguientes resultados, si b 2 = 4 ac, ax 2 + bx + c = a ( x + b / 2a) y se pueden utilizar los resultados de la
fórmula 17.1. Si b ! 0, use los resultados de la fórmula 17.9. Si a ! 0 o c ! 0, utilice los resultados de 17.2 y 17.5.
17.13.1.
∫
⎧ 1
ln (2 a ax 2 + bx + c + 2ax + b)
⎪
⎪
dx
a
=⎨
2
ax + bx + c ⎪− 1 sen −1 ⎛⎜ 2ax + b ⎞⎟ o 1 senh −1 ⎛⎜ 2ax + b ⎞⎟
⎪⎩ −a
a
⎝ b 2 − 4 ac ⎠
⎝ 4 ac − b 2 ⎠
17.13.2.
∫
x dx
=
2
ax + bx + c
17.13.3.
∫
x 2 dx
2ax − 3b
3b 2 − 4 ac
=
ax 2 + bx + c +
2
4a
8a 2
ax + bx + c
17.13.4.
ax 2 + bx + c
b
−
2a
a
∫
dx
ax + bx + c
2
2
dx
ax 2 + bx + c
∫
⎧ 1 ⎛ 2 c ax 2 + bx + c + bx + 2c⎞
⎪−
ln ⎜
⎟
x
dx
⎪ c ⎝
⎠
∫ x ax 2 + bx + c = ⎨ 1
⎛ bx + 2c ⎞
⎛ bx + 2c ⎞
1
⎪
−1
−1
⎪ −c sen ⎜⎝ | x | b 2 − 4 ac ⎟⎠ o − c senh ⎜⎝ | x | 4 ac − b 2 ⎟⎠
⎩
17.13.5.
∫x
17.13.6.
∫
2
04_Seccion 04_Spiegel(062-115).indd 84
dx
ax 2 + bx + c b
=
−
−
2c
cx
ax 2 + bx + c
ax 2 + bx + c dx =
∫x
dx
ax + bx + c
2
(2ax + b) ax 2 + bx + c 4 ac − b 2
+
4a
8a
∫
dx
ax + bx + c
2
05/12/13 16:00
TABLAS DE INTEGRALES INDEFINIDAS ESPECIALES
17.13.7.
∫ x ax 2 + bx + c dx =
(ax 2 + bx + c)3/ 2 b(2ax + b)
−
ax 2 + bx + c
3a
8a 2
−
17.13.8.
∫ x 2 ax 2 + bx + c dx =
b(4 ac − b 2 )
16a 2
∫
∫
17.13.10.
∫
ax 2 + bx + c
ax 2 + bx + c
dx
=
−
+a
x2
x
17.13.11.
∫ (ax
2
17.13.12.
∫ (ax
2
17.13.13.
∫ (ax
2
17.13.14.
∫ x(ax
17.13.15.
∫x
2
ax + bx + c
2
dx
∫
+
ax + bx + c
2
x 2 dx
(2b 2 − 4 ac) x + 2bc
1
+
3/ 2 =
2
2
+ bx + c)
a(4 ac − b ) ax + bx + c a
2
dx
1
1
=
+
+ bx + c)3/ 2 c ax 2 + bx + c c
∫x
∫
∫x
b
2
dx
ax + bx + c
2
∫x
dx
ax + bx + c
2
dx
ax 2 + 2bx + c
b 2 − 2ac
+
3/ 2 = − 2
(ax + bx + c)
2c 2
c x ax 2 + bx + c
17.13.17.
∫ x (ax 2 + bx + c)n+1/ 2 dx =
17.13.18.
∫ (ax
2
2
2
dx
+ bx + c)3/ 2
dx
+ bx + c)3/ 2
dx
ax + bx + c
2
b
(ax 2 + bx + c)n+3/ 2
−
2a
a(2n + 3)
∫ (ax
2
+ bx + c)n+1/ 2 dx
dx
2(2ax + b)
=
+ bx + c)n+1/ 2 (2n − 1)(4 ac − b 2 )(ax 2 + bx + c)n−1/ 2
+
∫ x (ax
∫x
∫ (ax
∫ (ax
(2ax + b)(ax 2 + bx + c)n+1/ 2 (2n + 1)(4 ac − b 2 )
+
∫ (ax 2 + bx + c)n−1/ 2 dx
4 a(n + 1)
8a(n + 1)
∫ (ax
+ bx + c)n+1/ 2 dx =
3b
2c 2
dx
ax + bx + c
2
dx
b
−
ax 2 + bx + c 2c
2
2
+c
ax 2 + bx + c dx
x dx
2(bx + 2c)
=
+ bx + c)3/ 2 (b 2 − 4 ac) ax 2 + bx + c
17.13.16.
2
8a(n − 1)
(2n − 1)(4 ac − b 2 )
∫ (ax
2
dx
+ bx + c)n−1/ 2
dx
1
n +1/ 2 =
2
+ bx + c)
(2n − 1)c(ax + bx + c)n−1/ 2
+
04_Seccion 04_Spiegel(062-115).indd 85
dx
∫
∫
dx
2(2ax + b)
=
+ bx + c)3/ 2 (4 ac − b 2 ) ax 2 + bx + c
−
17.13.19.
dx
ax + bx + c
2
6ax − 5b
5b 2 − 4 ac
(ax 2 + bx + c)3/ 2 +
2
24 a
16a 2
ax 2 + bx + c
b
dx = ax 2 + bx + c +
x
2
17.13.9.
85
1
c
∫ x (ax
2
dx
b
n −1/ 2 −
2c
+ bx + c)
∫ (ax
2
dx
+ bx + c)n+1/22
05/12/13 16:00
86
TABLAS DE INTEGRALES INDEFINIDAS ESPECIALES
(14) INTEGRALES QUE INVOLUCRAN x3 ! a3
Observe que para las fórmulas que involucran x3 ! a3 se reemplaza a con !a.
∫
⎛ ( x + a) 2 ⎞
dx
1
1
2x − a
ln
tan −1
=
+
⎜⎝ 2
3
3
2
2⎟
⎠
2
x +a
6a
x − ax + a
a 3
a 3
17.14.2.
∫
x dx
1 ⎛ x 2 − ax + a 2 ⎞
1
2x − a
ln ⎜
tan −1
=
+
⎟
3
3
2
x +a
6a ⎝ ( x + a) ⎠ a 3
a 3
17.14.3.
∫x
17.14.4.
∫ x(x
17.14.1.
x 2 dx
1
= ln ( x 3 + a 3 )
3
+ a3 3
dx
1
⎛ x3 ⎞
3 =
3 ln ⎜ 3
+ a ) 3a
⎝ x + a 3 ⎟⎠
3
⎛ x 2 − ax + a 2 ⎞
dx
1
1
1
2x − a
−
tan −1
=
−
−
ln
⎟
⎜
2
3
3
3
4
2
4
⎝ ( x + a) ⎠ a 3
x (x + a )
a x 6a
a 3
17.14.5.
∫
17.14.6.
⎛ ( x + a) 2 ⎞
1
dx
x
2
2x − a
=
+
ln
∫ ( x 3 + a3 )2 3a3 ( x 3 + a3 ) 9a5 ⎜⎝ x 2 − ax + a 2 ⎟⎠ + 3a5 3 tan −1 a 3
17.14.7.
∫ (x
17.14.8.
x 2 dx
1
∫ ( x 3 + a3 )2 = − 3( x 3 + a3 )
17.14.9.
∫ x(x
⎛ x 2 − ax + a 2 ⎞
1
x dx
x2
1
2x − a
tan −1
= 3 3
+
ln ⎜
+
3 2
3
4
⎝ ( x + a)2 ⎟⎠ 3a 4 3
+a )
3a ( x + a ) 18a
a 3
3
3
dx
1
1
⎛ x3 ⎞
3 2 =
3
3
3 +
6 ln ⎜ 3
+a )
3a ( x + a ) 3a
⎝ x + a 3 ⎟⎠
dx
1
x2
4
=
−
−
− 6
2
3
3 2
6
6
3
3
(x + a )
a x 3a ( x + a ) 3a
17.14.10.
∫x
17.14.11.
∫x
17.14.12.
∫x
∫x
x dx
3
+ a3
(Vea la fórmula 17.14.2).
x m dx
x m−2
x m −3dx
=
− a3 ∫ 3
3
3
+a
m−2
x + a3
n
dx
−1
1
=
−
( x 3 + a 3 ) a 3 (n − 1) x n−1 a 3
∫x
n−3
dx
(x 3 + a3 )
(15) INTEGRALES QUE INVOLUCRAN x4 ! a4
⎛ x 2 + ax 2 + a 2 ⎞
⎛ x 2⎞⎤
dx
1
1 ⎡ −1 ⎛ x 2 ⎞
− 3
=
ln
− tan −1 ⎜1 +
tan ⎜1 −
⎢
4
4
⎜
⎟
⎟
3
2
2
a
a ⎟⎠ ⎥⎥
x +a
4 a 2 ⎝ x − ax 2 + a ⎠ 2a 2 ⎢⎣
⎝
⎠
⎝
⎦
17.15.1.
∫
17.15.2.
∫x
4
17.15.3.
∫x
⎛ x 2 − ax 2 + a 2 ⎞
⎛ x 2⎞⎤
x 2 dx
1
1 ⎡ −1 ⎛ x 2 ⎞
−1
−
ln ⎜ 2
−
−
1
tan
tan
⎢
4
4 =
⎟
⎜
⎟
⎜⎝1 + a ⎟⎠ ⎥
a ⎠
+a
4 a 2 ⎝ x + ax 2 + a 2 ⎠ 2a 2 ⎣⎢
⎝
⎥⎦
2
x dx
1
−1 x
4 =
2 tan
2
+a
2a
a
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TABLAS DE INTEGRALES INDEFINIDAS ESPECIALES
x 3 dx
1
ln ( x 4 + a 4 )
4
4 =
4
x +a
17.15.4.
∫
17.15.5.
∫ x(x
17.15.6.
∫x
2
dx
1
⎛ x4 ⎞
4 =
4 ln ⎜ 4
+ a ) 4a
⎝ x + a 4 ⎟⎠
4
⎛ x 2 − ax 2 + a 2 ⎞
dx
1
1
− 5
ln ⎜ 2
4
4 = − 4
(x + a )
a x 4 a 2 ⎝ x + ax 2 + a 2 ⎟⎠
+
∫
17.15.8.
∫x
∫
4
2a 5
⎡ −1 ⎛ x 2 ⎞
⎛ x 2⎞⎤
⎢tan ⎜1 − a ⎟ − tan −1 ⎜1 + a ⎟ ⎥
2 ⎢⎣
⎝
⎠
⎝
⎠ ⎥⎦
dx
1
1
x
⎛ x − a⎞
− 3 tan −1
⎟
4 =
3 ln ⎜
x
+
a
a
−a
4a
⎝
⎠ 2a
x dx
1
⎛ x 2 − a2 ⎞
=
ln
x 4 − a 4 4 a 2 ⎜⎝ x 2 + a 2 ⎟⎠
17.15.10.
∫x
x
x 2 dx
1 ⎛ x − a⎞ 1
ln
tan −1
=
+
4
a
− a 4 4 a ⎜⎝ x + a⎟⎠ 2a
17.15.11.
∫x
x 3dx
1
= ln ( x 4 − a 4 )
4
− a4 4
dx
1
⎛ x 4 − a4 ⎞
4 =
4 ln ⎜
x ( x − a ) 4a
⎝ x 4 ⎟⎠
17.15.12.
∫
17.15.13.
∫x
3
17.15.14.
∫x
3
(16)
1
2
dx
1
1
−1 x
=
−
−
tan
x 3 (x 4 + a4 )
2a 4 x 2 2a 6
a2
17.15.7.
17.15.9.
87
4
dx
1
1
1
x
⎛ x − a⎞
=
+
ln
tan −1
+
a
( x 4 − a 4 ) a 4 x 4 a 5 ⎜⎝ x + a⎟⎠ 2a 5
dx
1
1
⎛ x 2 − a2 ⎞
4
4 =
4 2 +
6 ln ⎜ 2
( x − a ) 2a x
4a
⎝ x + a 2 ⎟⎠
INTEGRALES QUE INVOLUCRAN xn ! an
17.16.1.
17.16.2.
17.16.3.
17.16.4.
17.16.5.
17.16.6.
04_Seccion 04_Spiegel(062-115).indd 87
∫
⎛ xn ⎞
dx
1
=
ln
⎜
⎟
x ( x n + a n ) na n ⎝ x n + a n ⎠
x n−1dx 1
= ln ( x n + a n )
n
+ an n
x m dx
x m − n dx
x m − n dx
∫ ( x n + a n )r = ∫ ( x n + a n )r −1 − a n ∫ ( x n + a n )r
dx
1
dx
1
dx
∫ x m ( x n + a n )r = a n ∫ x m ( x n + a n )r −1 − a n ∫ x m−n ( x n + a n )r
∫x
∫x
∫
⎛ x n + an − an ⎞
dx
1
ln ⎜ n
=
⎟
n
n
n
x +a
n a
⎝ x + an + an ⎠
dx
1
⎛ x n − an ⎞
=
ln
x ( x n − a n ) na n ⎜⎝ x n ⎟⎠
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88
TABLAS DE INTEGRALES INDEFINIDAS ESPECIALES
x n −1dx 1
= ln ( x n − a n )
n
− an n
17.16.7.
∫x
17.16.8.
x m dx
x m − n dx
x m − n dx
n
a
=
+
n
r
n
n
r
n
∫ (x − a )
∫ ( x − a ) ∫ ( x − a n )r −1
17.16.9.
∫x
n
m
17.16.10.
∫x
17.16.11.
∫x
dx
1
=
( x n − a n )r a n
dx
x n − an
2
=
n an
∫x
m−n
cos −1
dx
1
−
( x n − a n )r a n
∫x
m
dx
( x n − a n )r −1
an
xn
m
⎛ x + a cos[(2k − 1)π /2m]⎞
(2k − 1) pπ
x p−1dx
1
sen
tan −1 ⎜
=
⎟
∑
2m
2m
2 m− p
ma
2m
+a
⎝ a sen [(2 k − 1)π /2m] ⎠
k =1
−
m
⎞
(2k − 1) pπ ⎛ 2
(2k − 1)π
1
+ a 2⎟
cos
ln ⎜x + 2ax cos
∑
2 m− p
2ma
2m
2m
⎝
⎠
k =1
donde 0 ! p " 2m.
17.16.12.
∫x
m −1
⎞
kπ
x p−1dx
1
kpπ ⎛ 2
cos
ln ⎜x − 2ax cos
=
+ a 2⎟
∑
2m
2m
2 m− p
m
2ma
m ⎝
−a
⎠
k =1
−
⎛ x − a coss (kπ /m) ⎞
1 m−1
kpπ
tan −1 ⎜
sen
⎟
2 m− p ∑
ma
m
⎝ a sen (kπ /m) ⎠
k =1
1
{ln ( x − a) + (−1) p ln ( x + a)}
2ma 2 m− p
+
donde 0 ! p " 2m.
17.16.13.
∫x
m
⎛ x + a cos[2kπ /(2m + 1)]⎞
x p−1dx
2(−1) p−1
2kpπ
sen
=
tan −1 ⎜
⎟
∑
2 m+1
2 m+1
2 m − p+1
(2m + 1)a
+a
2m + 1
⎝ a sen [2kπ /(2m + 1)] ⎠
k =1
−
m
⎞
2kπ
(−1) p−1
2kp
pπ ⎛ 2
cos
+ a 2⎟
ln ⎜x + 2ax cos
2 m − p+1 ∑
2m + 1
(2m + 1)a
2m + 1 ⎝
⎠
k =1
+
(−1) p−1 ln( x + a)
(2m + 1)a 2 m− p+1
donde 0 ! p " 2m # 1.
17.16.14.
m
⎛ x − a cos[2kπ /(2m + 1)]⎞
x p−1dx
2kpπ
−2
=
∑
∫ x 2m+1 − a 2m+1 (2m + 1)a 2m− p+1 k =1 sen 2m + 1 tan −1 ⎝⎜ a sen [2kπ /(2m + 1)] ⎟⎠
+
m
⎞
1
2kpπ ⎛ 2
2kπ
cos
ln ⎜ x − 2ax cos
+ a 2⎟
∑
2 m − p+1
(2m + 1)a
2m + 1 ⎝
2m + 1
⎠
k =1
+
ln( x − a)
(2m + 1)a 2 m − p+1
donde 0 ! p " 2m # 1.
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TABLAS DE INTEGRALES INDEFINIDAS ESPECIALES
(17)
89
INTEGRALES QUE INVOLUCRAN sen ax
cos ax
a
sen ax x cos ax
−
x sen ax dx =
a2
a
17.17.1.
∫ sen ax dx = −
17.17.2.
∫
17.17.3.
∫x
2
sen ax dx =
17.17.4.
∫x
3
⎛3x 2 6 ⎞
⎛6 x x 3 ⎞
sen ax dx = ⎜ 2 − 4 ⎟ sen ax + ⎜ 3 − ⎟ cos ax
a⎠
a ⎠
⎝a
⎝a
17.17.5.
∫
17.17.6.
sen ax
(ax )3 (ax )5
dx = ax −
+
− ⋅⋅⋅
x
3 ⋅ 3! 5 ⋅ 5!
sen ax
sen ax
cos ax
dx = −
+a ∫
dx (Vea la fórmula 17.18.5).
x2
x
x
ax
dx
1
1
∫ sen ax = α ln(csc ax − cot ax ) = α ln tan 2
∫
17.17.7.
x dx
1 ⎪⎧
(ax )3 7(ax )5 … 2(22 n−1 − 1) Bn (ax )2 n+1 …⎪⎫
ax
+ ⎬
=
+
+
+ +
⎨
∫ sen ax a 2 ⎪
18
1 800
(2n + 1)!
⎪⎭
⎩
x sen 2ax
∫ sen 2ax dx = 2 − 4a
x 2 x sen 2ax cos 2ax
∫ x sen 2ax dx = 4 − 4a − 8a 2
17.17.8.
17.17.9.
17.17.10.
cos ax cos3 ax
+
a
3a
x
sen
ax
sen 4 ax
3
2
∫ sen 4ax dx = 8 − 4a + 32a
dx
1
∫ sen 2ax = − a cot ax
∫ sen ax dx = −
17.17.11.
3
17.17.12.
17.17.13.
dx
cos ax
1
∫ sen ax = − 2a sen ax + 2a ln tan
17.17.14.
17.17.15.
⎛ 2 x2 ⎞
2x
sen ax + ⎜ 3 − ⎟ cos ax
2
a
a⎠
⎝a
3
2
sen ( p − q) x sen ( p + q) x
−
2( p − q)
2( p + q)
⎛ π ax ⎞
dx
1
∫ 1 − sen ax = a tan ⎜⎝ 4 + 2 ⎟⎠
∫ sen px sen qx dx =
17.17.16.
x dx
⎛π
x
(Si p = ±q, vea la fórmula 17.17.9).
⎛ π ax ⎞
ax ⎞ 2
+ 2 ln sen ⎜ − ⎟
⎟
2⎠ a
⎝4 2⎠
17.17.17.
∫ 1 − sen ax = a tan ⎜⎝ 4 +
17.17.18.
∫ 1 + sen ax = − α tan ⎜⎝ 4 −
17.17.19.
∫ 1 + sen ax = − a tan ⎜⎝ 4 −
04_Seccion 04_Spiegel(062-115).indd 89
ax
2
dx
1
⎛π
ax ⎞
⎟
2⎠
x dx
x
⎛π
⎛ π ax ⎞
ax ⎞ 2
+ 2 ln sen ⎜ + ⎟
⎟
2⎠ a
⎝4 2⎠
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90
TABLAS DE INTEGRALES INDEFINIDAS ESPECIALES
dx
17.17.20.
∫ (1 − sen ax )
17.17.21.
∫ (1 + sen ax )
17.17.22.
∫
2
=
⎛ π ax ⎞ 1
⎛ π ax ⎞
1
tan ⎜ + ⎟ + tan 3 ⎜ + ⎟
2a ⎝ 4 2 ⎠ 6a
⎝4 2 ⎠
⎛ π ax ⎞ 1
⎛ π ax ⎞
1
tan ⎜ − ⎟ − tan 3 ⎜ − ⎟
2a ⎝ 4 2 ⎠ 6a
⎝4 2 ⎠
1
⎧
p tan 2 ax + q
2
tan −1
⎪
2
2
p2 − q 2
⎪⎪a p − q
dx
=⎨
⎛ p tan 1 ax + q − q 2 − p2 ⎞
p + q sen ax ⎪
1
2
⎟
ln ⎜
⎪
⎜ p tan 1 ax + q + q 2 − p2 ⎟
2
2
a
q
−
p
⎪⎩
⎠
⎝
2
dx
2
=−
(Si p ! ± q, vea las fórmulas 17.17.16 y 17.17.18).
17.17.23.
dx
∫ ( p + q sen ax )
2
=
q cos ax
p
+ 2 2
2
a( p − q )( p + q sen ax ) p − q
2
∫
dx
p + q sen ax
(Si p ! ± q, vea las fórmulas 17.17.20 y 17.17.21).
p2 + q 2 tan ax
p
∫
dx
1
=
tan −1
2
2
2
p + q sen ax ap p2 + q 2
17.17.25.
∫
⎧
p2 − q 2 tan ax
1
⎪
tan −1
p
⎪ ap p2 − q 2
dx
=
⎨
⎛ q 2 − p2 tan ax + p ⎞
p2 − q 2 sen 2ax ⎪
1
⎜
⎟
ln
⎪
⎜ q 2 − p2 tan ax − p ⎟
2
2
ap
q
2
−
p
⎝
⎠
⎩
17.17.26.
∫x
17.17.27.
∫
17.17.28.
∫ sen n ax dx = −
17.17.29.
∫ sen
17.17.30.
∫ sen
17.17.24.
sen ax dx = −
m
x m cos ax mx m−1 sen ax m(m − 1)
+
−
a
a2
a2
a
sen ax
sen ax
dx = −
+
xn
(n − 1) x n−1 n − 1
∫
cos ax
dx
x n−1
sen n−1 ax cos ax n − 1
+
an
n
dx
− cos ax
n−2
=
+
n
n−1
ax a(n − 1)sen ax n − 1
∫ sen
∫x
m −2
sen ax dx
(Vea las fórmulas 17.18.30).
n− 2
ax dx
dx
∫ sen
n −2
ax
x dx
1
− x cos ax
n−2
+
=
−
n
ax a(n − 1) sen n−1 ax a 2 (n − 1)(n − 2)sen n− 2 ax n − 1
x dx
∫ sen
n− 2
ax
(18) INTEGRALES QUE INVOLUCRAN cos ax
17.18.1.
17.18.2.
17.18.3.
sen ax
a
cos ax x sen ax
∫ x cos ax dx = a 2 + a
⎛ x2 2 ⎞
2x
∫ x 2 cos ax dx = a 2 cos ax + ⎜⎝ a − a3 ⎟⎠ sen ax
∫ cos ax dx =
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05/12/13 16:00
TABLAS DE INTEGRALES INDEFINIDAS ESPECIALES
17.18.4.
∫x
17.18.5.
∫
17.18.6.
17.18.7.
17.18.8.
17.18.9.
17.18.10.
17.18.11.
17.18.12.
3
⎛3x 2 6 ⎞
⎛ x 3 6x ⎞
cos ax dx = ⎜ 2 − 4 ⎟ cos ax + ⎜ − 3 ⎟ sen ax
a ⎠
⎝a
⎝a a ⎠
cos ax
(ax )2 (ax )4 (ax )6 …
dx = ln x −
+
−
+
x
2 ⋅ 2! 4 ⋅ 4 ! 6 ⋅ 6!
cos ax
cos ax
sen ax
dx (Vea
dx = −
−a ∫
(See 17.17.5.)
la fórmula 17.17.5).
x
x
x2
dx
1
1
⎛ π ax ⎞
∫ cos ax = a ln (sec ax + tan ax ) = a ln tan ⎜⎝ 4 + 2 ⎟⎠
∫
1 ⎧(ax )2 (ax )4 5(ax )6 … En (ax )2 n+ 2
x dx
⎫
=
∫ cos ax a 2 ⎨⎩ 2 + 8 + 144 + + (2n + 2)(2n)! + …⎬⎭
x sen 2ax
∫ cos2 ax dx = 2 + 4a
x 2 x sen 2ax cos 2ax
+
+
4
4a
8a 2
sen ax sen 3ax
∫ cos3 ax dx = a − 3a
3x sen 2ax sen 4 ax
∫ cos4 ax dx = 8 + 4a + 32a
∫ x cos
2
ax dx =
dx
tan ax
a
17.18.13.
∫ cos
17.18.14.
∫ cos
17.18.15.
∫ cos ax cos px dx =
17.18.16.
∫ 1 − cos ax = − a cot
17.18.17.
∫ 1 − cos ax = − a cot
17.18.18.
∫ 1 + cos ax = a tan
17.18.19.
∫ 1 + cos ax = a tan
17.18.20.
∫ (1 − cos ax )
17.18.21.
∫ (1 + cos ax )
17.18.22.
04_Seccion 04_Spiegel(062-115).indd 91
91
2
ax
=
⎛ π ax ⎞
dx
sen ax
1
=
+ ln tan ⎜ + ⎟
3
2
ax 2a cos ax 2a
⎝4 2 ⎠
dx
1
ax
2
x dx
x
ax 2
ax
+ ln sen
2 a2
2
dx
1
ax
2
x dx
x
ax 2
ax
+ ln cos
2 a2
2
dx
2
=−
2
=
dx
∫
sen(a − p) x sen(a + p) x
+
2(a − p)
2(a + p)
(Si a ! ± p, vea la fórmula 17.18.9).
ax 1
ax
1
cot
−
cot 3
2
2a
2 6a
ax 1
ax
1
tan
+
tan 3
2
2a
2 6a
⎧
2
1
tan −1 ( p − q) / ( p + q) tan ax
⎪
2
2
2
dx
⎪ a p −q
=⎨
⎛ tan 1 ax + (q + p) / (q − p) ⎞
p + q cos ax ⎪
1
2
ln ⎜
⎪ a q 2 − p2 ⎝ tan 1 ax − (q + p) / (q − p) ⎟⎠
2
⎩
(Si p ! ± q, vea las fórmulas
17.18.16 y 17.18.18).
05/12/13 16:00
92
TABLAS DE INTEGRALES INDEFINIDAS ESPECIALES
dx
17.18.23.
∫ ( p + q cos ax )
17.18.24.
∫p
2
2
q sen ax
p
−
a(q 2 − p2 )( p + q cos ax ) q 2 − p2
=
∫
(Si p ! ± q, vea las fórmulas 17.18.19 y 17.18.20).
dx
p + q cos ax
dx
1
p tan ax
=
tan −1
2
2
2
2
+ q cos ax ap p + q
p2 + q 2
1
⎧
−1 p tan ax
⎪ap p2 − q 2 tan
p2 − q 2
dx
⎪
=
⎛ p tan ax − q 2 − p2 ⎞
p2 − q 2 cos 2 ax ⎨
1
⎪
ln
⎜
⎟
2
2
⎪
⎝ p tan ax + q 2 − p2 ⎠
⎩2ap q − p
17.18.25.
∫
17.18.26.
∫x
17.18.27.
∫
17.18.28.
∫ cos
17.18.29.
∫
17.18.30.
∫ cos
x m sen ax mx m−1
m(m − 1)
+ 2 cos ax −
∫ x m−2 cos ax dx
a
a
a2
a
cos ax
cos ax
sen ax
dx = −
−
(Seee 17.17.27).
17.17.27.)
∫ x n−1 dx (Vea
xn
(n − 1) x n−1 n − 1
m
cos ax dx =
sen ax cos n−1 ax n − 1
+
an
n
dx
sen ax
n−2
=
+
n
n−1
cos ax a(n − 1) cos ax b − 1
n
ax dx =
∫ cos
n −2
ax dx
dx
∫ cos
n −2
ax
x dx
x sen ax
1
n−2
=
− 2
+
n
n−1
n −2
ax a(n − 1) cos ax a (n − 1)(n − 2) cos ax n − 1
x dx
n −2
ax
∫ cos
(19) INTEGRALES QUE INVOLUCRAN sen ax Y cos ax
17.19.1.
∫ sen ax cos ax dx =
sen 2ax
2a
17.19.2.
sen px cos qx dx = −
cos( p − q) x cos( p + q) x
−
2( p − q)
2( p + q)
17.19.3.
∫ sen ax cos ax dx =
17.19.4.
∫ cos ax sen ax dx = − (n + 1)a
17.19.5.
∫ sen ax cos
17.19.6.
∫ sen ax cos ax = a ln tan ax
17.19.7.
∫
17.19.8.
∫ sen ax cos
17.19.9.
∫
n
sen n+1ax
(If nn !
(Si
= −"1,
1, see
vea17.21.1.)
la fórmula 17.21.1).
(n + 1)a
cos n+1 ax
n
2
2
ax dx =
(If
(Sinn=!
−1"1,
, seevea
17.20.1.)
la fórmula 17.20.1).
x sen 4 ax
−
8
32a
1
dx
⎛ π ax ⎞
dx
1
1
= ln tan ⎜ + ⎟ −
sen ax cos ax a
⎝ 4 2 ⎠ a sen ax
2
dx
2
ax
=
1
ax
1
ln tan +
a
2 a cos ax
dx
2 cot 2ax
=−
sen 2ax cos 2 ax
a
04_Seccion 04_Spiegel(062-115).indd 92
05/12/13 16:00
TABLAS DE INTEGRALES INDEFINIDAS ESPECIALES
⎛ ax π ⎞
sen 2ax
sen ax 1
dx = −
+ ln tan ⎜ + ⎟
cos ax
a
a
⎝ 2 4⎠
17.19.10.
∫
17.19.11.
∫
17.19.12.
∫
17.19.13.
∫ sen ax (1 ± cos ax ) = ± 2a(1 ± cos ax ) + 2a ln tan
17.19.14.
∫ sen ax ± cos ax =
17.19.15.
∫ sen ax ± cos ax = 2
17.19.16.
∫ sen ax ± cos ax = ± 2 + 2a ln (sen ax ± cos ax )
17.19.17.
∫
1
sen ax dx
= − ln ( p + q cos ax )
p + q cos ax
aq
17.19.18.
∫
1
cos ax dx
=
ln ( p + q sen ax )
p + q sen ax aq
17.19.19.
∫ ( p + q cos ax )
17.19.20.
∫ ( p + q sen ax )
17.19.21.
∫
⎛ ax + tan −1 (q/p) ⎞
1
dx
=
ln tan ⎜
⎟
2
p sen ax + q cos ax a p2 + q 2
⎝
⎠
∫
⎧
⎛ p + (r − q) tan(ax / 2 ) ⎞
2
⎪
⎟
tan −1 ⎜⎜
⎟
⎪a r 2 − p2 − q 2
r 2 − p2 − q 2
dx
⎝
⎠
=⎨
⎛
2
2
2
p sen ax + q cos ax + r ⎪
p − p + q − r + (r − q) tan (ax / 2 ) ⎞⎟
1
⎜
ln
⎪
⎜ p + p2 + q 2 − r 2 + (r − q) tan (ax / 2 ) ⎟
2
2
2
⎝
⎠
⎩a p + q − r
cos 2 ax
cos ax 1
ax
dx =
+ ln tan
sen ax
a
a
2
⎛ ax π ⎞
dx
1
1
=
+ ln tan ⎜ + ⎟
cos ax (1 ± sen ax )
2a(1 ± sen ax ) 2a
⎝ 2 4⎠
±
1
dx
dx
sen ax dx
x
sen ax dx
1
ln (sen ax ± cos ax )
2a
1
n
=
1
aq(n − 1)( p + q cos ax )n−1
n
=
−1
aq(n − 1)( p + q sen ax )n−1
cos ax dx
ax
2
⎛ ax π ⎞
ln tan ⎜ ± ⎟
⎝ 2 8⎠
a 2
x
cos ax dx
1
1
±
17.19.22.
93
(Si r ! q, vea la fórmula 17.19.23. Si r2 ! p2 " q2 vea la fórmula 17.19.24).
ax ⎞
dx
1 ⎛
= ln ⎜q + p tan ⎟
p sen ax + q(1 + cos ax ) ap ⎝
2⎠
∫
17.19.24.
∫
17.19.25.
∫
⎛ p tan ax ⎞
dx
1
=
tan −1 ⎜
⎟
2
2
p sen ax + q cos ax apq
⎝ q ⎠
17.19.26.
∫
⎛ p tan ax − q ⎞
dx
1
ln ⎜
=
⎟
2
2
p sen ax − q cos ax 2apq ⎝ p tan ax + q ⎠
04_Seccion 04_Spiegel(062-115).indd 93
dx
p sen ax + q cos ax ± p2 + q 2
2
2
=
⎛π
tan ⎜
2
2
⎝4
a p +q
−1
±
17.19.23.
ax + tan −1 (q / p) ⎞
⎟
2
⎠
2
2
05/12/13 16:00
94
17.19.27.
17.19.28.
TABLAS DE INTEGRALES INDEFINIDAS ESPECIALES
⎧ sen m−1ax cos n+1 ax m − 1
+
⎪⎪−
a(m + n)
m+n
m
n
=
cos
sen
ax
ax
dx
⎨
∫
m+1
n−1
ax
ax
sen
cos
n
−1
⎪
+
⎪⎩
a(m + n )
m+n
∫
17.19.29.
∫
17.19.30.
∫
∫ sen
∫ sen
m −2
m
ax cos n ax dx
ax cos n−2 ax dx
⎧
m − 1 sen m−2ax
sen m−1ax
−
⎪
∫ cosn−2 ax dx
a(n − 1) cos n−1 ax n − 1
⎪
⎪
sen m+1ax
sen m ax
m−n+2
sen m ax
dx = ⎨
dx
−
∫
n
n−1
cos ax
n −1
cos n−2 ax
⎪a(n − 1) cos ax
− sen m−1ax
m − 1 sen m−2ax
⎪
⎪ a(m − n) coos n−1 ax + m − n ∫ cos n ax dx
⎩
⎧
− cos m−1 ax
m − 1 cos m−2 ax
−
⎪
∫ sen n−2ax dx
n−1
⎪ a(n − 1) sen ax n − 1
⎪ − cos m+1 ax
cos m ax
cos m ax
m−n+2
dx = ⎨
dx
−
∫
n
n−1
sen ax
sen n−2ax
n −1
⎪a(n − 1) sen ax
⎪
cos m−2 ax
cos m−1 ax
m −1
dx
+
∫
⎪ a(m − n) sen n−1ax m − n
sen n ax
⎩
⎧
1
dx
m+n−2
+
⎪⎪
∫
m −1
n−1
m
dx
n −1
sen ax cos n−2 ax
a(n − 1) sen ax cos ax
=⎨
m
n
−1
m+n−2
dx
sen ax cos ax ⎪
+
∫ sen m−2ax cosn ax
⎪⎩a(m − 1) sen m−1ax cos n−1 ax
m −1
(20) INTEGRALES QUE INVOLUCRAN tan ax
1
1
17.20.1.
∫ tan ax dx = − a ln cos ax = a ln sec ax
17.20.2.
∫ tan
17.20.3.
∫ tan
17.20.4.
∫ tan n ax sec2 ax dx =
17.20.5.
∫
17.20.6.
∫ tan ax = a ln sen ax
17.20.7.
∫ x tan ax dx =
2
ax dx =
tan ax
−x
a
3
ax dx =
tan 2 ax 1
+ ln cos ax
2a
a
tan n+1 ax
(n + 1)a
sec 2 ax
1
dx = ln tan ax
tan ax
a
dx
1
1 ⎧(ax )3 (ax )5 2(ax )7 … 22 n (22 n − 1) Bn (ax )2 n+1 …⎫
+ ⎬
+
+
+ +
(2n + 1)!
15
105
a 2 ⎨⎩ 3
⎭
22 n (22 n − 1) Bn (ax )2 n−1
tan ax
(ax )3 2(ax )5
dx = ax +
+…
+
+ …+
x
9
75
(2n − 1)(2n)!
17.20.8.
∫
17.20.9.
∫ x tan 2 ax dx =
04_Seccion 04_Spiegel(062-115).indd 94
x tan ax 1
x2
+ 2 ln cos ax −
2
a
a
05/12/13 16:01
TABLAS DE INTEGRALES INDEFINIDAS ESPECIALES
dx
px
q
=
+
ln (q sen ax + p cos ax )
p + q tan ax p2 + q 2 a( p2 + q 2 )
17.20.10.
∫
17.20.11.
∫ tan
(21)
n
tan n −1 ax
− tan n − 2 ax dx
(n − 1)a ∫
ax dx =
INTEGRALES QUE INVOLUCRAN cot ax
1
17.21.1.
∫ cot ax dx = a ln sen ax
17.21.2.
∫ cot
17.21.3.
∫ cot ax dx = −
17.21.4.
∫ cot
17.21.5.
∫
17.21.6.
∫ cot ax = − a ln cos ax
17.21.7.
∫ x cot ax dx =
17.21.8.
22 n Bn (ax )2 n −1
cot ax
1 ax (ax )3
=
−
−
−
−
L
−
−L
dx
∫ x
ax 3
135
(2n − 1)(2n)!
17.21.9.
∫ x cot
2
ax dx = −
3
n
cot ax
−x
a
cot 2 ax 1
− ln sen ax
a
2a
ax csc 2 ax dx = −
cot n+1 ax
(n + 1)a
csc 2 ax
1
dx = − ln cot ax
cot ax
a
1
dx
2
1
a2
ax dx = −
22 n Bn (ax )2 n+1
(ax )3 (ax )5
⎪⎧
⎪⎫
−
−L −
− L⎬
⎨ax −
(2n + 1)!
9
225
⎪⎩
⎪⎭
x2
x cot ax 1
+ 2 ln sen ax −
a
a
2
dx
px
q
= 2 2−
ln (q sen ax + q cos ax )
2
p + q cot ax p + q a( p + q 2 )
17.21.10.
∫
17.21.11.
∫ cot ax dx = − (n − 1)a − ∫ cot
(22)
95
cot n −1 ax
n
n−2
ax dx
INTEGRALES QUE INVOLUCRAN sec ax
1
1
⎛ ax
π⎞
+ ⎟
4⎠
17.22.1.
∫ sec ax dx = a ln (sec ax + tan ax ) = a ln tan ⎜⎝ 2
17.22.2.
∫ sec ax dx =
tan ax
a
17.22.3.
∫ sec ax dx =
sec ax tan ax 1
+
ln (sec ax + tan ax )
2a
2a
04_Seccion 04_Spiegel(062-115).indd 95
2
3
05/12/13 16:01
96
TABLAS DE INTEGRALES INDEFINIDAS ESPECIALES
sec n ax
na
17.22.4.
∫ sec
17.22.5.
∫ sec ax =
17.22.6.
∫ x sec ax dx =
17.22.7.
En (ax )2 n
sec ax
(ax )2 5(ax )4 61(ax )6
…
dx
=
x
+
+
+
+
+
+…
ln
∫ x
4
96
4 320
2n(2n)!
17.22.8.
∫ x sec ax dx = a tan ax + a
17.22.9.
∫ q + p sec ax = q − q ∫ p + q cos ax
17.22.10.
n
ax tan ax dx =
dx
sen ax
a
E (ax )2 n+ 2
⎪⎧(ax )2 (ax )4 5(ax )6
⎪⎫
+ L⎬
+
+
+L+ n
⎨
(2n + 2)(2n)!
8
144
⎪⎩ 2
⎪⎭
1
a2
1
x
2
dx
x
∫ secn ax dx =
2
ln cos ax
p
dx
sec n − 2 ax tan ax n − 2
+
a(n − 1)
n −1
∫ sec
n−2
ax dx
(23) INTEGRALES QUE INVOLUCRAN csc ax
1
1
17.23.1.
∫ csc ax dx = a ln (csc ax − cot ax ) = a ln tan
17.23.2.
∫ csc ax dx = −
cot ax
a
17.23.3.
∫ csc ax dx = −
csc ax cot ax 1
ax
+
ln tan
2a
2a
2
17.23.4.
∫ csc ax cot ax dx = −
17.23.5.
∫ csc ax = −
17.23.6.
∫ x csc ax dx =
17.23.7.
∫
17.23.8.
∫ x csc ax dx = −
17.23.9.
∫ q + p csc ax = q − q ∫
17.23.10.
2
3
n
dx
ax
2
csc n ax
na
cos ax
a
1
a2
(ax )3 7(ax )5 … 2(22 n−1 − 1) Bn (ax )2 n+1 …⎪⎫
⎪⎧
+ ⎬
+
+ +
⎨ax +
18
1 800
(2n + 1)!
⎪⎩
⎪⎭
2(22 n−1 − 1) Bn (ax )2 n−1
csc ax
1 ax 7(ax )3
dx = − +
+…
+
+… +
x
ax 6 1 080
(2n − 1)(2n)!
2
∫ csc
04_Seccion 04_Spiegel(062-115).indd 96
n
x cot ax 1
+ 2 ln sen ax
a
a
dx
x
p
dx
p + q sen ax
ax dx = −
csc n − 2 ax cot ax n − 2
+
a(n − 1)
n −1
((Vea
See 17.17.22.)
la fórmula 17.17.22).
∫ csc
n−2
ax dx
05/12/13 16:01
TABLES OF SPECIAL INDEFINITE INTEGRALS
97
TABLAS DE INTEGRALES INDEFINIDAS ESPECIALES
97
(24) IIntegrals
Involving
Inverse Trigonometric
Functions
(24)
NTEGRALES
QUE INVOLUCRAN
FUNCIONES
TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS
xx
x
dx = x sin −−11 x + a22 − x22
aa dx = x sen aa + a − x
17.24.1.
17.24.1.
sen
∫ sin
17.24.2.
17.24.2.
sin
∫ xx sen
17.24.3.
17.24.3.
∫x
17.24.4.
17.24.4.
∫
17.24.5.
17.24.5.
dx = − sin
∫ sin xx( x/a) dx
17.24.6.
17.24.6.
17.24.7.
17.24.7.
17.24.8.
17.24.8.
17.24.9.
17.24.9.
17.24.10.
17.24.10.
17.24.11.
17.24.11.
17.24.12.
17.24.12.
17.24.13.
17.24.13.
17.24.14.
17.24.14.
17.24.15.
17.24.15.
17.24.16.
17.24.16.
17.24.17.
17.24.17.
04_Seccion 04_Spiegel(062-115).indd 97
−−11
−−11
22
xx dx =⎛⎛xx22 −aa22⎞⎞ sin−−11 xx + xx aa22−−xx2 2
dx = ⎜⎜ 2 − 4⎟⎟sen a +
aa
a
4 ⎠⎠
44
⎝⎝ 2
x
x3
x ((xx22 ++22aa22)) aa22−−xx2 2
sin
sin −1 +
sen−−11 dx = sen
aa
33
aa
99
sin −−11( x /a)
x ( x/a)3 1 i 3( x/a)5 1 i 3 i 5( x/a)7
sen
+
+
+!
dx = +
x
a 2i 3i 3 2i 4 i 5i 5 2i 4 i 6i 7i 7
sen−−11 ( x /a)
22
⎛
2
sen−−11( x/a) 1 ⎜⎛⎛aa++ aa2 2−−x x2 2⎞⎟ ⎞
ln
− ln
⎟⎟
x
a ⎜⎝⎝⎜
xx
⎠⎠
2
⎞2
⎛
⎞2
xx⎞⎟ dx = x ⎜⎛sen −−11 xx⎟⎞ − 2 x + 2 a 2 −2 x 2 s2en −1 −1x x
dx = x ⎜sin a ⎟ − 2 x + 2 a − x sin a
⎟
a
a⎠
a⎠⎠
⎝⎝
−1 x
x = x cos −−11 xx − a 22 − x 22
∫∫ cos
cos −1 a dx
dx = x cos a − a − x
a
a
∫∫ ⎛⎜⎜sen
sin
⎝
−1
−1
∫∫ xx cos
cos
−1
−1
x
x x a2 − x 2
⎛ x 2 a2 ⎞
x dx = ⎜⎛ x 2 − a 2⎟⎞ cos −−11 x − x a 2 − x 2
4
a dx = ⎝⎜ 2 − 4 ⎠⎟ cos a −
4⎠
4
a
a
⎝2
x
x3
x ( x 2 + 2a 2 ) a 2 − x 2
cos −−11 x dx = x 3 cos −−11 x − ( x 2 + 2a 2 ) a 2 − x 2
9
cos a dx = 3 cos a −
3
9
a
a
cos−−11 ( x /a)
π
sen−−11 ( x /a)
= π ln x − ∫ sin ( x/a) dx (Vea
(See 17.2
la fórmula
24.4.) 17.24.4).
∫ cos x( x/a) dx
∫ x dx = 22 ln x − ∫ xx dx (See 17.224.4.)
cos −1 ( x /a)
cos −1 ( x /a) 1 ⎛ a + a 2 − x 2 ⎞
dx
=
−
+ ln
∫ cos−x12( x/a)
cos −x1 ( x/a) a1 ⎜⎝⎛ a + ax 2 − x 2 ⎟⎠⎞
dx
=
−
+ ln ⎜
⎟
∫ x2
x
a ⎝
x
⎠
2
2
x
⎛ −1 x ⎞
⎛ −1 x ⎞
∫ ⎜⎝⎛cos ax⎟⎠ 2 dx = x ⎜⎝⎛cos ax⎟⎠ 2 − 2 x − 2 a 2 − x 2 cos−1 ax
⎞
⎞
∫ ⎜⎝cos−1x a⎟⎠ dx = x ⎜⎝cosx −1 aa⎟⎠ − 2 x − 2 a 2 − x 2 cos−1 a
∫ tan −1 ax dx = x tan −1 ax − 2a ln ( x 2 + a 2 )
2
)
∫ tan −1 −a1 xdx = x 1tan −21 a −2 2 ln (−1x 2x + aax
x
=
+
−
tan
dx
(
x
a
)
tan
∫
21
2
ax
ax ax
∫ x2 tan −−11 ax dx = 2x 3( x 2 +−1ax2 ) tanax−12 a −a32 2 2
∫ x tan a dx = 33 tan a − 6 2 + 63 ln ( x + a )
x
x ax
a
−1 x
x 2 tan
+ ln ( x 2 + a 2 )
tan −1 −
dx =
∫ tan
−1
( x /aa)
x3 ( x /a)a3 (6x /a)5 6 ( x /a)7
∫ −x1 dx = a − 32 3 + 52 5 − 72 7 + …
tan ( x /a)
( x /a)
( x/a)
x ( x /a)
∫ tan −1x( x/a) dx = a1− 3−12 x + 1 52 ⎛ x−2 + 7a22 ⎞ + !
∫ x 2 dx = − x tan a − 2a ln ⎜⎝ x 2 ⎠⎟
tan −1 ( x /a)
1
x 1 ⎛ x 2 + a2 ⎞
∫ x 2 dx = − x tan −1 a − 2a ln ⎜⎝ x 2 ⎠⎟
∫∫ xx
2
2
05/12/13 16:01
TABLES OF SPECIAL INDEFINITE INTEGRALS
98
98
17.24.18.
17.24.18.
17.24.19.
17.24.19.
17.24.20.
17.24.20.
17.24.21.
17.24.21.
17.24.22.
17.24.22.
17.24.23.
17.24.23.
17.24.24.
17.24.24.
17.24.25.
17.24.25.
17.24.26.
17.24.26.
17.24.27.
17.24.27.
17.24.28.
17.24.28.
17.24.29.
17.24.29.
17.24.30.
17.24.30.
TABLAS DE
ESPECIALES
x INTEGRALESx INDEFINIDAS
a
∫ cot
+ ln (x 2 + a 2 )
dx = x cot −1
a
a 2
x a
−1 x
2
+ ln−1(xx2 + aax
)
1 −1
xdx = x cot
∫∫ cot
x cot −a1 dx = ( x 2 +aa 2 ) cot
+
2
2
2
a
a
1 2
ax
−1 x
2
−1 x
x
=
+
+
cot
dx
(
x
a
)
cot
∫ 2 −1a x 2 x 3 −1 x axa 2 2a3
∫ x cot a dx = 33 cot a + 6 2 − 63 ln ( x 2 + a 2 )
x
x
ax
a
−1 x
+−1
−
ln ( x 2 + a 2 )
cot −1
dx =
∫ xcot2 cot
−1
atan ( x6/a) 6
( x/aa)
π3
∫ cot −1x( x/a) dx = π2 ln x − ∫ tan −1x( x/a) dx (See 17.24.16.)
∫ −1x dx = 2 ln−1 x − ∫ x 2dx 2 (Vea la fórmula 17.24.16).
cot ( x/a)
cot ( x/a) 1 ⎛ x + a ⎞
∫ cot −x1 (2x/a) dx = cot −1x( x/a) + 21a ln ⎛⎜⎝ x 2 x+2 a 2 ⎞⎟⎠
∫ x 2 dx = x + 2a ln ⎜⎝ x 2 ⎟⎠
⎧
x
x π
0 < sec −1 x < π
x sec −1 x − a ln ( x + x 2 − a 2 )
⎪
⎧
x
0 < sec −1 a < 2
sec −1 x dx = ⎪⎨x sec −1 a − a ln ( x + x 2 − a 2 )
∫ sec
π
x
a
ax 2
−1 a
−
1
2
2
dx = ⎨⎪x sec
+ a ln (x + x − a )
< sec −1 x < π
∫
π
x
a
2
a
−
1
2
2
−
1
⎩
⎪x sec
+ a ln (x + x − a )
< sec a < π
2
a
a
⎩
2
2
2
⎧
π
− aa 2
x π
⎧⎪ xx 2 sec −1 xx − aa xx 2 −
< sec
<
sec −−11 x <
x
00 <
⎪⎪ 2 sec −1 a −
2
a
−1 x
x sec
dx =
a 22
∫∫ x sec −1 aa dx = ⎨⎨⎪ xx222 sec −1 xxa + aa xx 222−− aa22
π
x
π
π
< sec
sec −−11 x <
<π
⎪⎪ sec −1 +
<
2
2
2
a
a
⎩
2
2
a
a
⎩⎪ 2
⎧⎧ xx 33
x π
x ax
ax xx 22 −
− aa 22 aa33
−11 x
−
< sec
sec −−11 x <
<
−
− ln(
ln(xx +
+ xx 22 −
− aa 22 ))
sec
⎪
00 <
−
−
sec
⎪
x
⎪
x
⎪
3
6
6
a
a
2
−
1
22
3
6
6
a
a
2 sec −1
x
=
dx
∫ x sec aa dx = ⎨⎨ x 33
2
2
3
2
2
3
− aa
x ax
ax xx −
a
π < sec −−11 xx < π
⎪⎪ x sec
sec −−11 x +
+
+ a ln(
ln(xx +
+ xx 22 −
− aa 22 ))
+
< sec
<
6
6
a
⎪⎩⎩⎪ 33
6
6
22
aa
a
∫
−1
sec −1 ( x/a)
π
a (a/x )3 1i3(a/x )5 1 i 3 i 5(a/x )7
+
+
+ ⋅⋅⋅
dx = ln x + +
2
x
x 2 i 3 i 3 2 i 4 i 5i 5 2 i 4 i 6 i 7i 7
2
2
⎧⎧ sec −−11 ( x/a)
sec ( x /a) + xx 2 −
π
− aa 2 0 < sec −−11 xx < π
⎪⎪−
−
+
0 < sec a < 2
xx
ax
⎪
−1
a
2
ax
sec −1 ( x/a)
⎪⎪
=
⎨
−
1
2
2
∫∫ sec x(22x/a) dx
dx = ⎨ sec −1 ( x/a)
π < sec −−11 xx < π
− aa 2 π
⎪⎪− sec ( x/a) − xx 2 −
x
−
−
22 < sec aa < π
xx
ax
⎪⎪
ax
⎪⎩⎪
⎩
⎧
x
x π
0 < csc −1 x < π
x csc −1 x + a ln ( x + x 2 − a 2 )
⎧
⎪
x
−1 a
2
2
−1
0 < csc −1 a < 2
x dx = ⎨⎪ x csc xa + a ln ( x + x − a )
∫ csc
ax 2
−1 a
π
csc
=
dx
−
1
2
2
⎪⎨x csc
∫
− a ln ( x + x − a )
− π < csc −1 x < 0
x
a
⎩⎪x csc −1 a − a ln ( x + x 2 − a 2 )
− 2 < csc −1 a < 0
2
a
a
⎩
⎧ x2
π
a x 2 − a2
−1 x
−1 x
<
+
0 < csc
⎪⎪⎧ 2 csc
π2
x
a x 22 − a 2
x
2x
−1 x
−1 a
−1 a
x
=
csc
dx
⎨
+
<
<
0
csc
csc
∫ −1 ax
⎪⎪ 2
2
2
x
a
x
a
π
x
−
x
2
2
a
a
∫ x csc a dx = ⎪⎪⎩⎨ 2x 2 csc −1 ax − a x 22− a 2 − π2 < csc −1 ax < 20
⎪ csc −1 −
− < csc −1
<0
⎪⎩⎧2 3
2
23
a
a
2
2
−
x
x
ax
x
a
a
+ 3 ln ( x + x 2 − a 2 )
⎪⎧ 3 csc −1 +
2
2
−
x
x
ax
x
a
a6
3
6
a
x
⎪
1
−
+ ln ( x + x 2 − a 2 )
∫ x 22 csc −−11 ax dx = ⎨⎪⎪ 33 csc a +
6
63
2
2
∫ x csc a dx = ⎪⎪⎨ x 3 csc −1 x − ax x 2 − a 2 − a3 ln ( x + x 2 − a 2 )
x ax x6 − a
6a
⎩⎪ 3x
−1 a
−
− ln ( x + x 2 − a 2 )
⎪ csc
6
6
a
⎩3
04_Seccion 04_Spiegel(062-115).indd 98
x π
0 < csc −1 <
ax π2
0 < csc −1 <
a 2
π
x
− < csc −1 < 0
π2
x
a
− < csc −1 < 0
2
a
05/12/13 16:01
TABLES OF SPECIAL INDEFINITE INTEGRALS
99
TABLES OF SPECIAL INDEFINITE INTEGRALS
99
csc −1 ( x /a)
⎛ a (a /x )3 1 i 3(a /x )5 1 i 3 i 5(a /x )7
⎞
+
+ ⋅⋅⋅
INDEFINIDAS
ESPECIALES
⎟⎠
∫ x dx = − ⎜⎝ x + 2i 3 i 3 + 2i 4TiABLAS
5 i 5 DE2iINTEGRALES
4 i 6 i 7i 7
17.24.31.
99
⎧⎛ a (−a1 (/xx )/a3 ) 1 i 3x(2a−/xa)52 1 i 3 i 5(a /x )7x π⎞
csc −1 ( x /a)
+
+−
+ 0 < csc −1 +<⋅⋅⋅ ⎟
dx = −⎪⎜− csc
i 5i 5
2i 4 i 6 i 7i 7a 2⎠
csc x−1 ( x /a)
⎪⎝ x 2ix3 i 3 2i 4 ax
∫ x 2 dx =⎧⎨ csc−−11−(1x /a) x 22 2− a22 2
π
⎪ csc
⎧⎪−
1 x
csc ( x( x/a/a) )− xx −−aa
π
1 x
csc<−−csc
<πcsc
0−<
1 x −<
−
+
<0
−1
−
−
0
<
⎪
⎪
a
x
ax
csc −1 (( xx //aa))
⎪⎩
2
x
ax
a22
a
x
ax
csc
⎪
17.24.32.
=
dx
2
17.24.32. ∫∫
dx = ⎨⎨
−1
2
m +1 −
xx 2 x
π
csc
− aa 22 x m +1 π
x
1 ( x /a)x
⎪⎪−x csc
( x −/a1 ) +− xx 12 −
csc −−11 x <
− <
<dx
< 00
17.24.33. ∫ x m sin −1 dx =⎪⎪−
sin
csc
+
−
x
ax
+ 1 ∫ a 2 − x222
a
a m ax
aa
⎩⎩ m + 1 x
x m +1
x
x mm++11
x
1
17.24.33. ∫ x m sen −1 x xdx = xxmm+ 1+ 1sen −1 x x− 1 1 ∫
x2 x m2+1 dx
−1
−1 −a
1 − m +1
m + 1 sin
17.24.33.
dx
a
17.24.34. ∫ ∫x xm msin
cos −a1adxdx= =m
cos
+
a a mm+ +1 1∫ ∫ a 2−−2xx 2 2 dx
a
m++11
am +1− x
m +1
1
x
x
x
x
17.24.34. ∫ x m cos −1 xdx = xmm+ 1+ 1 cos −1 x + a ∫ x mm++11 dx
m
−1a
−
1
2
x
x + 1 tan−1 ax − m1+ 1
x2
m
17.24.35. ∫x xm cos
17.24.34.
+ m + 1 ∫∫ xa2 +−ax2 dxdx
∫ tan−1 aadxdx==mmm+++111cos
a
2
2
xa ma+ 1
xam +1− x
x
x
17.24.35. ∫ x m tan −1 xdx = xm m+ 1+ 1 tan −1 x−
dx
m
+
1
m
−1a
−1a
x
x +1
x m a+a1 ∫ x 2x xm++1a 2
17.24.36. ∫x xm mtan
17.24.35.
∫ cot−1 aadxdx==mmm+++11 1tancot−1 aa−+mm++11 ∫ ∫x x2 2+m++a1 a2 2dxdx
x
x
x
a
x
17.24.36. ∫ x m cot −1 dx = m + 1 cot −1 +
dx
∫
2 m +1 2 m
m
+
1
−
1
ax
m
x⎧ x+ 1 sec−1 (axx/a)m a+ 1 a x x + ax dx
x π
17.24.36. ∫ x m cot −1 dx = ⎪
cot
+ −
dx
0 < sec −1 <
∫
2∫
2
2
2
+
+
+
1
ax
m
m
x
a
m
+1
1 m −+
1 1a
m
ma + 1
⎧⎪x sec ( x/a)
xa π 2
xx dx− a
0 < sec −1 <
−
17.24.37. ∫ x m sec −1 dx =⎪⎨
∫
2
2
a x π2
1m +−11
xxxm m−
a
xa
sec −(1x( /xa/a) ) m a+a1
π
⎧⎪⎪x xm +m1+sec
dxdx
1
−1 −x
sec
<
0
<
sec
<< π
−+
17.24.37. ∫ x m sec −1 dx = ⎪⎨⎪
∫
m +1 mm+−+
111
ax
2
axa 2
mma++11 ∫ xxx2m2−
−aa2 2
x
sec
(
x
/
a
)
dx
π
⎩
⎪
−1
m
−1
< sec
<π
+
dx = ⎨⎪
17.24.37. ∫ x sec
ax
m +−11( x/a) m a+ 1 ∫ xx2m −
2
a
a2
dx
π
⎪⎩⎧x xm +m1+sec
1
−1
m
−1 x
π
sec ( x /a)+
a
x dx
⎪⎪ m +1 m +−11
0<<sec
csc −1 a <<π
+m + 1 ∫ ∫ x 2m− a 2
2
x
/
π
(
)
x
a
a
x
dx
2
2
⎩⎧ x sec
m +1
x
⎪
0 < csc −1 a< 2
+ m +1∫ x − a
2
2
17.24.38. ∫ x m csc −1 dx =⎪⎨ m + 1
a
2
1
+
m
−
x
a
x
⎪
m
1
csc−1−(1x( x/a/a) )
dx
π −1 x −1 xπ
aa
x mx dx
17.24.38. ∫ x m csc −1 adx = ⎧⎨⎪x xm +m1+sec
0 −<π csc< csc <x < 0
+−
m
−1
a
⎪⎪⎪x m +1 csc
m +(1x /a) − mma++11 ∫ ∫ xx2x 2−dx−aa2 2
− 2< csca−1 a2< 0
⎪⎪⎩ m + 1
m
−1 x
∫
2
2
17.24.38. ∫ x csc
dx = ⎨⎩
a
m +1
m +1
2
x m− a
a
a
x dx
π
x
⎪ x m +1 csc −1 ( x /a)
− < csc −1 < 0
−
∫
⎪
(25) Integrals Involving
emax+ 1
2
2
m
+
1
2
a
x −a
⎩
e ax QUE INVOLUCRAN eax
(25)
I
NTEGRALES
ax
17.25.1. ∫ e dx =
eaax
(25)
eax
17.25.1.Integrals
∫ eax dx = Involving
ax
a
⎛
⎞
e
1
e ax
xe ax dx
17.25.2.
17.25.1. ∫ ∫e ax dx
= = eaax ⎜⎝⎛ x − a1⎟⎠⎞
ax
17.25.2. ∫ xe dx =a
x− ⎟
a ⎜⎝
a⎠
ax ax
⎛ ⎛ 1⎞ 2x 2 ⎞
e
e
ax
ax =
17.25.2.
dx = e ⎜axx⎜⎛−x 2 −
17.25.3. ∫ ∫xex 2 edx
⎟⎠ 2 x + 22 ⎟⎞
a +a ⎠
17.25.3. ∫ x 2 e ax dx =a a⎝ ⎝⎜ x 2a−
a a 2 ⎟⎠
a ⎝
n ax
ax
x
e
n
17.25.4.
x2 n ax
e ax dx =e x n⎛e ax2 2nx x2n−⎞1e ax dx
17.25.3.
17.25.4. ∫ ∫∫x xen e axdxdx= = a ⎜⎝ax −− aa +∫∫ xan2−⎟⎠1e ax dx
a
a
ax
n −1
n(n − 1) x nn−−22
(−1)nn n !⎞
e
naxax⎛ n
n −1
xe e ⎜⎛ x n− nx
=
+
−
⋅⋅⋅
n
(
n
−
1
)
x
(−1) n !⎞ if n = positivee integer
nx
n ax
n
−
1
ax
17.25.4. ∫ x e dx == a ⎝ x−n − ∫ax +
e dx a 2
− ⋅⋅⋅ a nn ⎟⎠⎟ si
if n !
= entero
positive
e integer
positivo
aa ⎜⎝ a a
a2
a ⎠
∫
17.24.31.
17.24.31.
17.24.32.
1
− 1))3 x n− 2
(−1)n n !⎞
e ax ⎛ nax nx n(−ax
)2 n(n(ax
e ax
−
+
−
⋅⋅⋅
x
=
ln
+
+
+
+
⋅⋅⋅
dx
x
∫ x
a ⎜⎝ 1 i 1! a 2 i 2! 3 ia32!
a n ⎟⎠
17.25.5.
17.25.5.
17.25.6.
17.25.6.
17.25.5.
ax
ax
ax
ax
ax
e ax
−eax
(ax )a2 (axen)−31 dx
e ax
dx
=
+
−
1
n
n
∫ ∫ xx ndx = ln(xn +− 11)ix1n!−1+ 2 in2−! 1+ ∫3 xi3n!−1 + ⋅⋅⋅
17.25.6.
∫x
04_Seccion 04_Spiegel(062-115).indd 99
e ax
n
dx =
a
−e ax
+
n −1
(n − 1) x n−1
e ax
∫x
n −1
if n = positivee integer
dx
05/12/13 16:01
100
TABLAS DE INTEGRALES INDEFINIDAS ESPECIALES
17.25.7.
∫
dx
x
1
ln (p + qe ax )
=
−
p + qe ax
p ap
17.25.8.
∫
dx
x
1
1
ln (p + qe ax )
−
= 2 +
( p + qe ax )2
p
ap( p + qe ax ) ap2
dx
+ qe − ax
17.25.9.
∫ pe
17.25.10.
∫e
17.25.11.
∫e
17.25.12.
∫
17.25.13.
∫ xe
17.25.14.
∫ eax ln x dx =
17.25.15.
17.25.16.
ax
ax
⎧ 1
⎛ p ax ⎞
tan −1 ⎜
e
⎪
⎝ q ⎟⎠
⎪⎪a pq
=⎨
⎛ e ax − − q /p ⎞
⎪
1
ln ⎜ ax
⎪
⎟
⎪⎩2a − pq ⎝ e + − q /p ⎠
sen bx dx =
e ax (a sen bx − b cos bx )
a2 + b2
e ax (a cos bx + b sen bx )
a2 + b2
xe ax (a sen bx − b cos bx ) e ax {(a 2 − b 2 ) sen bx − 2ab cos bx}
−
xe ax sen bx dx =
a2 + b2
(a 2 + b 2 ) 2
ax
cos bx dx =
ax
cos bx dx =
xe ax (a cos bx + b sen bx ) e ax {(a 2 − b 2 ) cos bx + 2ab sen bx}
−
a2 + b2
(a 2 + b 2 ) 2
e ax ln x 1 e ax
−
dx
a
a ∫ x
e ax sen n−1bx
n(n − 1)b 2
∫ eax sen nbx dx = a 2 + n 2b 2 (a sen bx − nb coss bx ) + a 2 + n 2b 2 ∫ eax sen n−2bx dx
e ax cos n−1 bx
n(n − 1)b 2
∫ eax cosn bx dx = a 2 + n 2b 2 (a cos bx + nb senn bx ) + a 2 + n 2b 2 ∫ eax cosn−2bx dx
(26) INTEGRALES QUE INVOLUCRAN ln x
17.26.1.
∫ ln x dx = x ln x − x
17.26.2.
∫ x ln x dx =
17.26.3.
∫x
17.26.4.
∫
17.26.5.
∫
17.26.6.
∫ ln
17.26.7.
17.26.8.
m
x2
2
ln x dx =
⎛
1⎞
⎜⎝ ln x − ⎟⎠
2
1 ⎞
x m +1 ⎛
ln x −
⎜
m +1⎝
m + 1⎟⎠
((Si
If mm=!−"1,
1, seevea
17.26
la .fórmula
4.)
17.26.4).
ln x
1
dx = ln 2 x
x
2
ln x
ln x 1
dx = −
−
x
x
x2
2
x dx = x ln 2 x − 2 x ln x + 2 x
ln n x dx ln n+1 x
∫ x = n +1
dx
∫ x ln x = ln (ln x )
04_Seccion 04_Spiegel(062-115).indd 100
((Si
If nn=!−"1,
1, seevea
17.la
26fórmula
.8.)
17.26.8).
05/12/13 16:01
TABLES OF SPECIAL INDEFINITE INTEGRALS
101
TABLES OF SPECIAL INDEFINITE INTEGRALS
101
T
ABLAS
DE
INTEGRALES
INDEFINIDAS
ESPECIALES
101
2
3
17.26.9.
dx
ln x ln x
= ln (ln x ) + ln x +
+
+ ⋅⋅⋅
2 i 2 ! 3 i 3!
ln x
dx
ln22 x ln33 x
= ln (ln x ) + ln x +
+
+ ⋅⋅⋅
2 i 2! 3 i(m
3! + 1)2 ln 2 x
lnx mxdx
(m + 1)3 ln 3 x
+ ⋅⋅⋅
=
ln
(
ln
)
+
(
+
1
)
ln
+
+
x
m
x
∫ m ln x
3 i 3!
2 i 2!
x m dx
(m + 1)22 ln22 x
(m + 1)33 ln33 x
+ ⋅⋅⋅
= ln (ln x ) + (m + 1) ln x +
+
lnlnxn x dx = x ln n x − n ln n −1 x dx 2 i 2!
3 i 3!
∫
∫
∫
17.26.9.
17.26.9.
17.26.9.
17.26.10.
∫
17.26.10.
17.26.10.
17.26.10.
17.26.11.
∫
17.26.11.
17.26.11.
17.26.11.
17.26.12.
dx =
= xx ln
ln xx −
− n ln x dx
∫∫ lnlnx xx lndx
x nln∫∫ lnx x dx
n
x
dx
=
−
x ln xdx
∫
+
+1 ∫
1
m
m
xx ln
ln xx
n
x ln x dx =
−
= 17.26.7.
− mn+ 1 ∫ xx ln
ln xdx
xdx
m
∫∫ Ifx mln= x–1,dxsee
+ 11
m+
m +1 ∫
17.26.12.
17.26.12.
17.26.12.
n
nn
n
nn
m
m
m
m
n
m +1
m +1
+11
m+
m
n
nn
n−
−111
nn−
n
m
n
nn
m
m
m
n −1
n −1
−11
nn−
Si m ! "1, If
vea
fórmula
17.26.7.
If
m la
= –1,
–1,
see 17.26.7.
17.26.7.
m
=
see
x
17.26.13. ∫ ln (x 2 + a 2 ) dx = x ln (x 2 + a 2 ) − 2 x + 2a tan −1
a
x
2
2
2
2
−1
17.26.13.
17.26.13. ∫∫ ln
ln ((xx 22 +
+ aa22 )) dx
dx =
= xx ln
ln ((xx 22 +
+ aa22 )) −
− 22 xx +
+ 22aa tan
tan −−11 ax
17.26.13.
⎛ x a+ a⎞
2
2
2
2
17.26.14. ∫ ln ( x − a ) dx = x ln ( x − a ) − 2 x + a ln
⎛ x⎜⎝ x+ −a⎞a ⎟⎠
2
2
2
2
17.26.14. ∫ ln ( x 22 − a22 ) dx = x ln ( x 22 − a22 ) − 2 x + a ln ⎜⎝⎛ xx +− aa ⎟⎠⎞
17.26.14. ∫ ln ( x − a ) dx = x ln ( x − a ) − 2 x + a ln ⎜⎝
17.26.14.
x − a ⎟⎠ m + 2
m +1
2
2
2
x
ln
(
x
a
)
x
±
2
17.26.15. ∫ x m ln (x 2 ± a 2 ) dx =x m +1 ln ( x 2 ± a 2 ) − 2
xxm2+±
2 dx
∫
m
2
2
1
1
m
m
+
+
17.26.15. ∫ x ln (x ± a ) dx = x mm++11 ln ( x 22 ± a22 ) − 2 ∫ 2x mm++22 2adx
m +1
m +1 x ± a
m
2
2
17.26.15.
17.26.15.
− m + 1 ∫ 22
2 dx
∫ x m ln (x 2 ± a 2 ) dx =
m +1
x ± a2
(27) Integrals Involving sinh ax
(27)
INTEGRALES QUE INVOLUCRAN senh ax
cosh ax
17.27.1. ∫ sinh axInvolving
dx = cosh ax
(27)
17.27.1.Integrals
∫ senh ax dx = a sinh ax
17.27.1.
17.27.1.
17.27.2.
17.27.2.
17.27.2.
17.27.2.
17.27.3.
17.27.3.
17.27.3.
17.27.3.
17.27.4.
17.27.4.
17.27.4.
17.27.4.
17.27.5.
17.27.5.
17.27.5.
17.27.5.
17.27.6.
17.27.6.
17.27.6.
17.27.6.
17.27.7.
17.27.7.
17.27.7.
17.27.7.
17.27.8.
17.27.8.
17.27.8.
17.27.8.
17.27.9.
17.27.9.
17.27.9.
17.27.9.
cosh aax
∫ sinh ax dx = ax cosh ax sinh ax
= x cosh ax −−senh ax
sinh ax
ax dx
dx =
∫∫ xx senh
a
a
x coshaax sinhaax
x
ax
dx
=
−
sinh
∫
a
⎛⎛xax
22⎞ ⎞
2 x2 x
sinh ax dx = ⎜⎜ ++ ⎟ ⎟cosh
coshaxax− − senh
sinhaxax
∫ x senh
aa
aa aa⎠ ⎠
⎛ x⎝⎝
2⎞
2x
sinh ax dx = ⎜
sinh ax
+ ⎟ cosh ax −
∫ x senh
a
⎝ a ((ax
sinh ax
axa)) ⎠ (ax
(ax) )
+ ⋅⋅⋅
∫ x dx = ax ++ 33 i33!! ++ 555i5! ! +⋅⋅⋅
sinh ax dx = ax + (ax ) + (ax ) + ⋅⋅⋅
∫ senh
3 i3ax
5 i5!cosh ax
x ax
!
sinh
sinh
senh
fórmula 17.28.4).
(See la
17.28.4.)
∫ x dx = − x + aa ∫ x dx (Vea
sinh ax
sinh ax
cosh ax
(See 17.28.4.)
17.28.4.)
dx = − x + a ∫
(See
∫ x dx
x dx
dx
11
ax
ax
=
ln
tanh
∫∫ senh ax = a ln tanh 2
sinh ax a
2
dx = 1 ln tanh ax
∫ sinhxxdx
⎧
⎫⎪
2(−1) (2 − 1) B (ax )
))
ax
dx =a 11 ⎪⎨⎧ax −2(ax
(ax) ) + 7(7ax
(ax
− −⋅⋅⋅⋅⋅⋅
+ + 2(−1) (2 − 1) B (ax ) + ⋅⋅⋅
⎬⋅⋅⋅⎫⎬
∫∫senh
+
ax
=
−
+
18
(2(n2n+ 1+)!1)!
ax aa ⎩⎪⎨⎩
18 1 800
1800
sinhax
⎭⎪ ⎭
x dx = 1 ⎧ax − (ax ) + 7(ax ) − ⋅⋅⋅ + 2(−1) (2 − 1) B (ax )
⎫
+
⋅⋅⋅
⎬
∫ sinh ax a ⎨senh ax18cosh ax1800x
(
2
n
+
1
)!
⎭
ax dx =⎩ sinh ax cosh ax − x
∫ senh
2a
−2
∫ sinh ax dx =
2a
2
sinh ax cosh ax − x
sinh
ax
dx
=
2ax cosh 2ax x
∫ ∫ x senh ax dx = xxsenh
2a 2ax − cosh
2 2ax− x
sinh
4a
=
− 8a
−4
x
sinh
ax
dx
∫
4
4a
8a
x sinh 2ax − cosh 2ax − x
=
x
sinh
ax
dx
∫
8a
4
4a
04_Seccion 04_Spiegel(062-115).indd 101
2
2
22
22
2
33
22
22
2 2
3333
22
55
33
55
22
22
3
2
5
nn
55
22
2
2
n
2n
2n
n
22nn
nn
n
2 n +1
2 n +1
+11
22nn+
2
2
2
2
2
22
n
5
2
33
22
3
2
22
22
05/12/13 16:01
TABLES OF SPECIAL INDEFINITE INTEGRALS
102
102
coth ax INDEFINIDAS ESPECIALES
TABLASdx
DE INTEGRALES
=−
∫ sinh
17.27.10.
17.27.10.
17.27.11.
2
ax
dx
a
coth ax
sinh (a + p) x sinh (a − p) x
=−
∫∫senh
sinh ax
axsinh px dx
a = 2(a + p) − 2(a − p)
2
senh (a + p) x senh (a − p) x
For a = ±∫psenh
see ax
17.27.8.
−
senh px dx =
17.27.11.
2(a + p)
2(a − p)
x m cosh ax
m
Para a = ± p, vea la fórmula 17.27.8.
(See 17.28.12.)
17.27.12. ∫ x m sinh ax dx =
− ∫ x m −1 cosh ax dx
a
a
x m cosh ax
m
− ax ∫ x m−n1 cosh
ax dx
(Vea la fórmula 17.28.12).
17.27.12. ∫ x m senh ax dx =sinh n−1 ax cosh
a
a − − 1 sinh n− 2 ax dx
17.27.13. ∫ sinh n ax dx =
∫
an
n
senh n−1ax cosh ax
n −1
n
17.27.13. ∫ senh ax dx =
−
∫ senh n−2ax dx
an
n ax
sinh
ax
sinh
cosh
−
ax
a
17.27.14.
∫ x n dx = (n − 1) x n−1 + n − 1 ∫ x n−1 dx (See 17.28.14.)
17.27.14. ∫ senh ax dx = − senh ax + a ∫ cosh ax dx
(Vea la fórmula 17.28.14).
n
xdx
(n −−1)cosh
x n−1 ax n − 1 n −x n2−1
dx
17.27.15. ∫
=
−
∫ sdx
n
n −1
sinh
1) sinh
inh n − 2 ax
a(n− −cosh
dx ax
ax ax n −n2− 1
−
17.27.15. ∫
=
∫ senh n−2ax
senh nax a(n − 1) senh n−1ax n − 1
x dx
− x cosh ax
1
n−2
x dx
=
− 2
−
17.27.16. ∫
∫
n
n −1
n−2
sinh
1)sinh
sinh
x dx ax a(n− x−cosh
ax ax a (n − 1)(n1− 2)sinh ax n −n2− 1
x dxn − 2 ax
− 2
−
=
17.27.16. ∫
∫
n
n−1
n −2
senh ax a(n − 1) senh ax a (n − 1)(n − 2) senh ax n − 1
senh n−2ax
(28)
Integrals Involving cosh ax
(28) INTEGRALES QUE INVOLUCRAN cosh ax
sinh ax
17.28.1.
17.28.1.
ax dx = senh ax
∫∫ cosh
cosh ax dx = a
a
17.28.2.
17.28.2.
x senh ax − cosh ax
∫∫ xxcosh
coshax
ax dx
dx =
=
− a
a
a
a
17.28.3.
17.28.3.
coshax
ax ⎛⎛xx2 2 2 2⎞ ⎞
22xxcosh
22
cosh
x
ax
dx
=
axax
x
cosh
ax
−
++⎜⎜ ++ 3 ⎟3senh
∫
⎟ sinh
2
aa2
⎝⎝aa a a⎠ ⎠
17.28.4.
17.28.4.
∫
17.28.5.
17.28.5.
cosh ax dx = − cosh ax + a sinh ax dx
=− x
+ a ∫∫ x dx
∫∫ xx dx
x
17.28.6.
17.28.6.
dx
∫∫ cosh
cosh ax
ax
17.28.7.
17.28.7.
17.28.8.
17.28.8.
17.28.9.
17.28.9.
x sinh ax
cosh ax
2
2
cosh ax
(ax )2 (ax )4 (ax )6
+
+
+ ⋅⋅⋅
dx = ln x +
2 i 2! 4 i 4 ! 6 i 6!
x
6!
cosh ax
cosh ax
22
dx
senh ax
(Vea 17.27.4.)
la fórmula 17.27.4).
(See
22
−1 ax
=
= a tan
tan −1 ee ax
a
(−1)nn En (ax )22nn++22
x dx
1 ⎧(ax )22 (ax )44 5(ax )66
⎫
=
−
+
+
⋅⋅⋅
+
⎬⎫
x
dx
1
5
(
ax
)
(
ax
)
(
ax
)
⎨
⎧
2
∫ cosh ax = a 2 ⎩⎨ 2 − 8 + 144 + ⋅⋅⋅ + (−(21)n E+n2()(ax2)n)! ++ ⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⎭⎬
∫ cosh ax a ⎩ 2
(2n + 2)(2n)!
8
144
⎭
x
ax
cosh
senh
ax
∫ cosh22 ax dx = 2x + sinh ax2acosh ax
∫ cosh ax dx = 2 +
2a
2
x
x
senh
2ax cosh 2ax
−
∫ x cosh22 ax dx = x42 + x sinh
4 a2ax − cosh
8a 22ax
=
+
x
cosh
ax
dx
∫
4
4a
8a 2
04_Seccion 04_Spiegel(062-115).indd 102
05/12/13 16:01
TABLAS DE INTEGRALES INDEFINIDAS ESPECIALES
dx
tanh ax
a
17.28.10.
∫ cosh
17.28.11.
∫ cosh ax cosh px dx =
17.28.12.
∫x
17.28.13.
∫ cosh
17.28.14.
∫
a
− cosh ax
cosh ax
+
dx =
n
n−1
n −1
x
(n − 1) x
17.28.15.
∫
dx
senh ax
n−2
=
+
cosh n ax a(n − 1) cosh n−1 ax n − 1
17.28.16.
∫
x dx
x senh ax
1
n−2
+
=
+
cosh n ax a(n − 1) cosh n−1 ax (n − 1)(n − 2)a 2 cosh n−2 ax n − 1
(29)
m
ax
2
=
cosh ax dx =
n
103
ax dx =
senh (a − p) x senh (a + p) x
+
2(a − p)
2(a + p)
x m senh ax
m
−
a
a
∫x
m −1
senh ax dx
cosh n−1 ax senh ax
n −1
+
an
n
∫
∫ cosh
(Vea la fórmula 17.27.12).
n −2
senh ax
dx
x n−1
ax dx
(Vea la fórmula 17.27.14).
dx
∫ cosh
n −2
ax
x dx
∫ cosh
n −2
ax
INTEGRALES QUE INVOLUCRAN senh ax Y cosh ax
17.29.1.
∫ senh ax cosh ax dx =
senh 2ax
2a
17.29.2.
∫ senh px cosh qx dx =
cosh ( p + q) x cosh ( p − q) x
+
2( p + q)
2( p − q)
17.29.3.
∫ senh ax cosh
17.29.4.
∫ senh ax cosh ax = a ln tanh ax
17.29.5.
∫ senh
17.29.6.
∫
senh 2ax
senh ax 1 −1
tan senh ax
dx =
cosh ax
a
a
17.29.7.
∫
ax
cosh 2 ax
cosh ax 1
dx =
+ ln tanh
senh ax
a
a
2
2
dx
04_Seccion 04_Spiegel(062-115).indd 103
2
2
ax dx =
senh 4 ax x
−
32a
8
1
dx
2 coth 2ax
=−
ax cosh 2 ax
a
05/12/13 16:01
104
TABLAS DE INTEGRALES INDEFINIDAS ESPECIALES
(30) INTEGRALES QUE INVOLUCRAN tanh ax
1
ln cosh ax
a
17.30.1.
∫ tanh ax dx
17.30.2.
∫ tanh
17.30.3.
∫ tanh
17.30.4.
∫ x tanh ax dx =
17.30.5.
=
2
ax dx = x −
3
ax dx =
tanh ax
a
1
tanh 2 ax
ln cosh ax −
a
2a
⎧⎪ (ax )3 (ax )5 2(ax )7
⎫⎪
(−1)n −1 22 n (22 n − 1) Bn (ax )2 n+1
−
+
−
⋅⋅⋅
+ ⋅⋅⋅⎬
⎨
15
105
(2n + 1)!
⎪⎭
⎩⎪ 3
2
1
x
x tanh ax
∫ x tanh 2 ax dx = 2 − a + a 2 ln cosh ax
1
a2
(−1)n −1 22 n (22 n − 1) Bn (ax )2 n −1
tanh ax
(ax )3 2(ax )5
dx = ax −
+
− ⋅⋅⋅
+ ⋅⋅⋅
x
9
75
(2n − 1)(2n)!
17.30.6.
∫
17.30.7.
∫
17.30.8.
∫ tanh
dx
px
q
=
−
ln (q senh ax + p cosh ax )
p + q tanh ax p2 − q 2 a( p2 − q 2 )
n
ax dx =
− tanh n−1 ax
+ ∫ tanh n− 2 ax dx
a(a − 1)
(31) INTEGRALES QUE INVOLUCRAN coth ax
1
17.31.1.
∫ coth ax dx = a ln senh ax
17.31.2.
∫ coth
17.31.3.
∫ coth
17.31.4.
∫ x coth ax dx = a
17.31.5.
∫ x coth
2
3
ax dx = x −
coth ax
a
coth 2 ax
1
ax dx = ln senh ax −
a
2a
(−1)n−1 22 n Bn (ax )2 n+1
1 ⎧
(ax )3 (ax )5
⎫
−
+ ⋅⋅⋅
+ ⋅⋅⋅⎬
2 ⎨ax +
+
(
2
n
1
)!
9
225
⎭
⎩
2
ax dx =
x 2 x coth ax 1
−
+ 2 ln senh ax
a
a
2
17.31.6.
∫
(−1)n 22 n Bn (ax )2 n−1
coth ax
1 ax (ax )3
+
−
+ ⋅⋅⋅
+ ⋅⋅⋅
dx = −
(2n − 1)(2n)!
x
ax 3
135
17.31.7.
∫
dx
px
q
= 2 2−
ln ( p senh ax + q cosh ax )
2
p + q coth ax p − q a( p − q 2 )
17.31.8.
∫ coth n ax dx = −
04_Seccion 04_Spiegel(062-115).indd 104
coth n−1 ax
+
a(n − 1)
∫ coth
n− 2
ax dx
05/12/13 16:01
TABLAS DE INTEGRALES INDEFINIDAS ESPECIALES
(32)
INTEGRALES QUE INVOLUCRAN sech ax
2
17.32.1.
∫ sech ax dx = a tan
17.32.2.
∫ sech
2
ax dx =
tanh ax
a
17.32.3.
∫ sech
ax dx =
sech ax tanh ax 1
+ tan −1 senh ax
2a
2a
17.32.4.
∫ x sech ax dx =
17.32.5.
∫ x sech
17.32.6.
∫
17.32.7.
∫ sech n ax dx =
(33)
105
3
2
−1
e ax
(−1)n En (ax )2 n+ 2
1 ⎧ (ax )2 (ax )4
5(ax )6
⎫
−
+
+ ⋅⋅⋅
+ ⋅⋅⋅⎬
2 ⎨
8
144
(2n + 2)(2n)!
a ⎩ 2
⎭
ax dx =
x tanh ax 1
− 2 ln cosh ax
a
a
(−1)n En (ax )2 n
sech ax
(ax )2 5(ax )4 61(ax )6
dx = ln x −
+
−
+ ⋅⋅⋅
+ ⋅⋅⋅
x
2n(2n)!
4
96
4 320
sech n− 2 ax tanh ax n − 2
+
a(n − 1)
n −1
∫ sech
n− 2
ax dx
INTEGRALES QUE INVOLUCRAN csch ax
1
17.33.1.
∫ csch ax dx = a ln tanh
17.33.2.
∫ csch
17.33.3.
∫ csch
17.33.4.
∫ x csch ax dx =
17.33.5.
∫ x csch
2
ax dx = −
coth ax
a
3
ax dx = −
1
csch ax coth ax
ax
ln tanh
−
2a
2a
2
2
2(−1)n (22 n−1 − 1) Bn (ax )2 n+1
1 ⎧⎪
(ax )3 7(ax )5
⎪⎫
+ ⋅⋅⋅⎬
ax
−
+
+
⋅⋅⋅
+
⎨
2
18
1 800
(2n + 1)!
a ⎩⎪
⎪⎭
ax dx =−
x coth ax 1
+ 2 ln senh ax
a
a
(−1)n 2(22 n−1 − 1) Bn (ax )2 n−1
csch ax
1 ax 7(ax )3
dx = −
+ ⋅⋅⋅
−
+
+ ⋅⋅⋅
x
ax 6
(2n − 1)(2n)!
1 080
17.33.6.
∫
17.33.7.
∫ cschn ax dx =
04_Seccion 04_Spiegel(062-115).indd 105
ax
2
− csch n− 2 ax coth ax n − 2
−
a(n − 1)
n −1
∫ csch
n− 2
ax dx
05/12/13 16:01
TABLES
TABLESOF
OFSPECIAL
SPECIALINDEFINITE
INDEFINITEINTEGRALS
INTEGRALS
106
106
106
TABLAS DE INTEGRALES INDEFINIDAS ESPECIALES
(34)
Involving
Inverse
Functions
(34) Integrals
InverseHyperbolic
Hyperbolic
Functions
Involving
(34)
IIntegrals
NTEGRALES
QUE INVOLUCRAN
FUNCIONES
HIPERBÓLICAS INVERSAS
xx
xx
17.34.1.
17.34.1.
17.34.1.
dx
x x + +a a
x = =x xsinh
sinh a x− −
∫ sinh
∫∫ sinh
senh a a dx
dx = x senh
a − x +a
17.34.2.
17.34.2.
17.34.2.
2
2
xx = ⎛ x⎛⎛x + a a⎞ sinh
−1−x
⎞ −1−1x x− x x x 2+2 +aaa22
−11 dx
x
sinh
x
sinh
dx
=
+
sinh
x
−
∫ ∫ senh a aa dx ⎜⎝=⎜⎝2⎜ 22 4 44⎟⎠ ⎟⎠ senh a aa
44
4
⎝
⎠
−1−1
−1
−1−1
−1
a
2 2
2
2 2
2
a
2 2
2
2 2
2
⎧ x⎧ x ( x((x/xa//a)a3))33 11i13i3(3(x(x/xa/a/)a)5)5 5 11i133i i355i((5xx(//xaa/))a77)7
+⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ||xx|| |x<<| a<a a
⎪ a⎪ − −2 i3 i3 +++2 i 4 i 5 i 5 −−−2 i 4 i 6 i 7i7 ++⋅⋅⋅
⎪ ⎪a 22 i33 i33 22 i44 i55 i55 224i 46i 67i 77i7
⎪ ⎪ 2 (22 x /a) (a /x )2 22 1 i 3(a /x )44 4 1 i3 i5(a /x )66 6
−1
sinh
sinh
)) = ⎪ ln
⎪ ln (2 x /a)− ((aa//xx)) + 11 i33(a(a/x/x) ) − 1 13i35i(5a(/ax/)x ) + ⋅⋅⋅
senh−(−1x1((/xxa/)/aadx
17.34.3.
dx ==⎨ ⎨
+ ⋅⋅⋅
−−
++
−−
+ ⋅⋅⋅ xx >x>a>a a
dx
17.34.3. ∫ ∫
17.34.3.
x xx
22i22i2i22i22 222i 4i44i 4i44i 44i 4 22i244i 4i 66i 6i 66i 6i66i 6
⎪ ⎪ 22
⎪ ⎪ 2 22
4
6
2
ln(−((−2−2x2x/xa//a)a)+
) ((a(a/ax/x/)x))22− 11i133i((3aa(/a/xx/))x4)4 11 i133ii355(i(5aa(//axx)/)x6 )6− ⋅⋅⋅
⎪−⎪−lnln
aa
++
−−
a−
++
− ⋅⋅⋅
− ⋅⋅⋅ xx<x<−<−
222
22i22i2i22i22 222i 44i 4i 44i 4i 44i 4 22i244i 4i66i 6i66i 6i66i 6
⎪⎩ ⎪⎩
17.34.4.
17.34.4.
17.34.4.
2 22
⎧x⎧xcosh
2 −aa
, ,cosh
cosh−1−−(11x( x/a/a) )−− x x2 2−
cosh−1−−(11x( x/a/a) )>>00
xdxdx==⎪⎪⎧⎪x cosh ( x /a) − x − a , cosh ( x /a) > 0
−1−−11x x
cosh
cosh
∫ ∫ cosh aaa dx =⎨⎨⎨ −1−1
2 22
−1−1
⎪⎩x⎪⎩⎪xxcosh
−−aa2a2,2 ,cosh
cosh −(1x((x/xa//a)a)+) ++ x xx −
, cosh
cosh −(1x((x/xa//a)a)<
) <<000
⎩ cosh
⎧⎧1⎧11 (2 x2 22 − a2 22) cosh−1−−11( x /a) −111 x x2 22 − a2 22 , cosh−1−−11( x /a) > 0
, cosh ( x(/xa/)a>) >0 0
) cosh ( x(/xa/)a−) −44x x x x− −a a, cosh
⎪⎪⎪⎪4⎪⎪44(2(x2 x− −a a) cosh
x
4
−1−−1x
1 x
17.34.5.
x
cosh
dx
=
17.34.5.
x
cosh
dx
=
⎨
17.34.5. ∫ ∫ x cosh aa dx =⎨ ⎨
a
111 2 2 2 2
⎪⎪1⎪11(2(2x x2 2−2 −aa2 )22cosh
−1−1
−1−1
cosh −(1x((x/xa//a)a)+) ++44x xx x xx−2 −−aaa,2 ,cosh
, cosh
cosh −(1x((x/xa//a)a)<) <<000
⎪⎩⎪⎩4⎩⎪44 (2 x − a ))cosh
4
−1−−11
cosh
(a(/ax/)x2)2 11 i133i((a3a(/x/ax)/)4x4)4 113i13i5i3(5ia(5a/(x/a)x6/)x6)6 ⎤ ⎤ ⎤
cosh
( x(/xa/)a))
⎡⎡1⎡11 22 2
dx
lnln((22(x2x/x/aa/)a) +
+ +⋅⋅⋅
⎥ ⋅⋅⋅
∫∫ coshx x( x /adx
) +2 i 2 i 22 ++ +22 i44 i44 i44++2+2 4i 46i 66i 66i 6+ ⋅⋅⋅
dx===±±±⎢⎢2⎢2ln
∫
2 i 2 i 2 2 i 4 i 4 i 4 2 i 4 i 6 i 6 i 6 ⎦ ⎥⎦ ⎥⎦
⎣⎣⎣ 2
17.34.6.
17.34.6.
17.34.6.
−−11
−−11
+++ifsiifcosh
ififcosh
cosh
cosh
cosh −((1xx(/x/aa/)a) >
)>>0,0−, −si
cosh(−(x1x(//xaa)/)a<<
) 0<0 0
17.34.7.
17.34.7.
17.34.7.
17.34.8.
17.34.8.
17.34.8.
17.34.9.
17.34.9.
17.34.9.
17.34.10.
17.34.10.
17.34.10.
17.34.11.
17.34.11.
17.34.11.
17.34.12.
17.34.12.
17.34.12.
17.34.13.
17.34.13.
17.34.13.
17.34.14.
17.34.14.
17.34.14.
x
x xx +aaa ln (a2 2 − x2 2 )
+ ln (a −2 x )2
aaa +222 ln (a − x )
x
ax 1
x
x tanh−1−−11x x dx =axax +1 1 ( x2 22 − a2 22) tanh−1−−11x x
∫
x
=
+
−
dx
x
a
tanh
(
)
tanh
2
2
a
a
x
=
+
−
dx
x
a
tanh
(
)
tanh
∫∫
22 22
aa
aa
tanh−1−1 ( x /a)
x ( x /a3)3 ( x /a5)5
∫tanh
tanh −(1x(/xa/)a) dx =x x +( x(/xa/)2a)3 +( x(/xa/)2a)5 + ⋅⋅⋅
∫ ∫ xxx dxdx==aaa++ 33232 ++ 55252 ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅
x
a
coth −1x dx = x coth −1 x +a ln ( x 2 − a 2 )
∫coth
xdx = x coth −1−x1 + 2aln ( x 2 −
−1−1 a
∫ ∫ coth a a dx = x coth x +2 2 ln ( x 2 −a 2a)2 )
x
ax 1 2
x
+ ( x − a 2 ) coth −1
∫ x coth−1−−1x1 ax dx =axax
x
a
2 121 2 2 2 2
x
−1
coth a dxdx= =2 + +2 ( x( x− −a a) coth
) coth −a1
∫ ∫x xcoth
a
a5
2 2
−1
3
coth ( x /a)
(a /x )
⎛ a (a /x )
⎞
+ 25 + ⋅⋅⋅⎟
dx = − ⎜ +
23
∫coth
−1−x1
x
3
5
⎝
⎠
3 (a /x
5
(
)
(
)
)
x
a
/
a
a
/
x
⎛
⎞
coth ( x /a)
(a /x )
a (a /x )
∫ ∫ x x dxdx==−−⎝⎜ ⎛⎝⎜x x++ 3232 ++ 5252 ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎟⎠ ⎞⎟⎠
⎧⎪x sech −1 ( x /a) + a sen −1 ( x /a), sech −1 ( x /a) > 0
x
∫ sech−1 a dx = ⎨x sech −1−−1(1x /a) + a sin −−11−(1x /a), sech −−11−(1x /a) >
⎧⎪⎪⎩⎧xxsech
sin ((xx/a/a),),sech
sech ( x /a<
) >0 0
⎪ sech ((xx/a/a))−+aasen
−1−1x x
sech
=
dx
⎨
sech
=
dx
∫∫
⎨
aa
−1−1
−1
( x /a) − a sin1 −x1−(1x(/xa/),a),sech
⎪⎩x⎩⎪xsech
) <0 0
sech
sech −(1x(/xa/)a<
−1 x
−1 x( x /a) − a−sin
a
dx
x
csch
=
csch
±
senh
(!
(
+
if
si
x
x
>
"
0
,−
0,if#x si
< 0)
x $ 0)
∫
a
a
a
−1 x x
−1−1x x
−1 x x
± ±a asinh
(+(+ififx x> >0,0−, −ififx x< <0)0)
csch −1 dxdx= =x xcsch
sinh −1
csch
∫ ∫csch
aa
aa
aa
tanh x xdxdx==x xtanh
tanh
tanh aa dx = x tanh
∫ ∫∫tanh
a
04_Seccion 04_Spiegel(062-115).indd 106
−1
−1−1
−1
−1−1
05/12/13 16:01
TABLAS DE INTEGRALES INDEFINIDAS ESPECIALES
x m+1
x
x
1
dx =
senh −1 −
m +1
a m +1
a
17.34.15.
∫x
17.34.16.
⎧ x m +1
−1
⎪ m + 1 cosh
x
⎪
∫ x m cosh −1 a dx = ⎨ x m+1
⎪
−1
⎪ m + 1 cosh
⎩
m
senh −1
x
1
+
a m +1
∫x
tanh −1
x
x m +1
x
a
tanh −1 −
dx =
a
m +1
a m +1
17.34.18.
∫ x m coth −1
1
x
x m +1
x
coth −1 −
dx =
a
m +1
a m +1
17.34.19.
⎧ x m +1
−1
⎪ m + 1 sech
x
⎪
∫ x m sech −1 a dx = ⎨ x m+1
⎪
−1
⎪ m + 1 sech
⎩
17.34.20.
∫x
04_Seccion 04_Spiegel(062-115).indd 107
m
csch −1
x 2 + a2
1
x
−
a m +1
17.34.17.
m
x m+1
∫
x 2 − a2
x m +1
∫
∫a
dx
x m +1
∫
x 2 − a2
dx
cosh −1 ( x /a) > 0
dx
cosh −1 ( x /a) < 0
x m +1
dx
− x2
2
∫
x m +1
dx
a2 − x 2
x
a
+
a m +1
∫
x m dx
x
1
−
a m +1
∫
a2 − x 2
∫
x m dx
x 2 + a2
x
x m +1
x
a
csch −1 ±
dx =
a
m +1
a m +1
107
a2 − x 2
x m dx
sech −1 ( x /a) > 0
sech −1 ( x /a) < 0
(+
(+ si
if x > 0,
0, − si
if x < 0)
0)
05/12/13 16:01
18
Integrales definidas
DEFINICIÓN DE UNA INTEGRAL DEFINIDA
Si f (x) está definida en un intervalo a ! x ! b y después se divide dicho intervalo en n partes iguales de longitud
"x # (b $ a)/n, entonces la integral definida de f (x) entre x # a y x # b está definida como
18.1.
b
∫
f ( x ) dx = lím { f (a) ∆x + f (a + ∆x ) ∆x + f (a + 2∆x ) ∆x + … + f (a + (n − 1) ∆x ) ∆x}
n→∞
a
El límite existirá si f (x) es continua por segmentos.
d
Si f ( x ) =
g( x ), entonces, mediante el teorema fundamental del cálculo integral, la integral definida que se
dx
muestra arriba puede ser evaluada mediante el resultado
18.2.
∫
b
f ( x ) dx = ∫
a
b
d
g( x ) dx = g( x ) = g(b) − g(a)
a
dx
b
a
Si el intervalo es infinito o si f (x) tiene una singularidad en algún punto del intervalo, la integral definida es llamada
integral impropia y se puede definir mediante el uso apropiado del proceso de límite. Por ejemplo,
18.3.
∫
∞
18.4.
∫
∞
18.5.
∫
b
18.6.
∫
b
b
f ( x ) dx = lím ∫ f ( x ) dx
b→∞ a
a
b
−∞
f ( x ) dx = lím ∫ f ( x ) dx
a→−∞ a
b→∞
f ( x ) dx = lím ∫
b −∈
f ( x ) dx = lím ∫
b
∈→ 0 α
a
∈→ 0 a +∈
a
f ( x ) dx
si b es un punto singular.
f ( x ) dx
si a es un punto singular.
FÓRMULAS GENERALES QUE INVOLUCRAN INTEGRALES DEFINIDAS
b
18.7.
∫
18.8.
∫
a
18.9.
∫
a
18.10.
∫
a
18.11.
∫
a
b
a
b
b
a
{ f ( x ) ± g( x ) ± h( x ) ± …} dx =
∫
b
a
f ( x ) dx ±
∫
b
a
b
g( x ) dx ± ∫ h( x ) dx ± …
a
b
dondecc isesany
cualquier
constante.
cf ( x ) dx = c ∫ f ( x ) dx where
constant.
a
f ( x ) dx = 0
a
f ( x ) dx = − ∫ f ( x ) dx
b
c
b
a
c
f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx
108
04_Seccion 04_Spiegel(062-115).indd 108
05/12/13 16:01
INTEGRALES DEFINIDAS
18.12.
b
∫
109
f ( x ) dx = (b − a) f (c) donde
where c está
is between
entre aayand
b. b.
a
Este es llamado teorema del valor medio para integrales definidas y es válido si f (x) es continua en
a ! x ! b.
18.13.
b
∫
b
f ( x ) g( x ) dx = f (c) ∫ g( x ) dx
a
a
donde
where cc is
está
between
entre aayand
b. b
Esta es una generalización de la fórmula 18.12 y es válida si f(x) y g(x) son continuas en a ! x ! b y g(x) " 0.
REGLA DE LEIBNIZ PARA DERIVACIÓN DE INTEGRALES
18.14.
d
dα
∫
φ 2 (α )
φ 1 (α )
F ( x , α ) dx = ∫
φ 2 (α )
φ 1(α )
dφ
dφ
∂F
dx + F (φ2 , α ) 2 − F (φ1 , α ) 1
dα
dα
dα
FÓRMULAS APROXIMADAS PARA INTEGRALES DEFINIDAS
En las siguientes expresiones, el intervalo desde x # a a x # b está subdividido en n partes iguales mediante los
puntos a # x0, x1, x2, , xn$1, xn # b y sea y0 # f(x0), y1 # f(x1), y2 # f(x2), , yn # f(xn), h # (b $ a)/n.
Fórmula rectangular:
18.15.
∫
b
f ( x ) dx ≈ h( y0 + y1 + y2 + … + yn−1 )
a
Fórmula trapezoidal:
18.16.
∫
b
f ( x ) dx ≈
a
h
( y + 2 y1 + 2 y2 + … + 2 yn−1 + yn )
2 0
Fórmula de Simpson (o fórmula parabólica) para n enteros:
18.17.
∫
b
f ( x ) dx ≈
a
h
( y + 4 y1 + 2 y2 + 4 y3 + … + 2 yn− 2 + 4 yn−1 + yn )
3 0
INTEGRALES DEFINIDAS QUE INVOLUCRAN EXPRESIONES RACIONALES O
IRRACIONALES
∞
18.18.
∫
18.19.
∫
0
18.20.
∫
0
18.21.
∫
18.22.
∫
18.23.
∫
0
dx
π
=
x 2 + a 2 2a
∞
∞
∞
0
x p−1dx
π
, 0 < p <1
=
1+ x
sen pπ
x m dx
π a m+1−n
=
, 0 < m +1 < n
n
n
x +a
n sen[(m + 1)π /n]
x m dx
π sen mβ
=
2
1 + 2 x cos β + x
sen mπ sen β
a
0
a
0
04_Seccion 04_Spiegel(062-115).indd 109
dx
π
=
2
2
a −x
2
a 2 − x 2 dx =
π a2
4
05/12/13 16:01
DEFINITE INTEGRALS
110
110
18.24.
18.24.
18.25.
18.25.
INTEGRALES DEFINIDAS
a
∫
∫ x (xa dx− x
∫ ( x x +dxa )
∫ (x + a )
0
a
0
x m (a n − x n ) p dx =
m
n
) dx =
n p
∞
m
0∞
n m
n r
0
n
n r
a m +1+ np Γ [(m + 1)/n] Γ ( p + 1)
n n+] Γ
p (+p1+] 1)
ΓΓ[([(
mm++1)1/)/
a m +1n+ np
Γ1[()rm
1]+ 1)/n]
n(−
−1 + 1m
π a )/+n1−+nr Γp [(+m
, 0 < m + 1 < nr
=
+n1]) /n − r + 1]
n sin[(m(−+11)r)−π1 π/na](mr+1−−nr1Γ)![(Γm[(+m1)/
=
, 0 < m + 1 < nr
n sen [(m + 1)π /n](r − 1)! Γ[(m + 1) /n − r + 1]
Definite Integrals Involving Trigonometric Functions
letters are considered
positiveQUE
unlessINVOLUCRAN
otherwise indicated.
IAll
NTEGRALES
DEFINIDAS
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Todas las literales son consideradas
positivas a menos que se indique otra cosa.
π
⎪⎧ 0 m, n integers and m ≠ n
18.26. ∫ sin mx sin nx dx = ⎨
0
⎧⎪π0/2 m
m ≠m
n =n
m,,nn enteros
integersy and
π
18.26. ∫ sen mx sen nx dx = ⎨⎩
0
⎩⎪π /2 m, n enteros y m = n
π
⎪⎧ 0 m, n integers and m ≠ n
18.27. ∫ cos mx cos nx dx =⎧⎨0 m, n enteros y m ≠ n
⎪ π /2 m, n in
0π
ntegers and m = n
18.27. ∫ cos mx cos nx dx = ⎨⎩⎪
0
⎩⎪π /2 m, n enterros y m = n
0
m, n integers and m + n even
π
⎪⎧
18.28. ∫ π sin mx cos nx dx = ⎧
0
m, n enteros y m + n par
⎪
⎨
18.28. ∫ 0 sen mx cos nx dx = ⎨⎩⎪2m/ (m 2 − n 2 ) m, n integers and m + n odd
0
⎩⎪2m/ (m 2 − n 2 ) m, n enteros y m + n impar
π /2
π /2
π
18.29. ∫ π /2 sin 22 x dx = ∫ π /2cos 22 x dx = π
0
0
18.29. ∫ sen x dx = ∫ cos x dx = 4
0
0
4
π /2
π /2
1 i 3 i 5! 2 m − 1 π
π /2
2m
18.30. ∫π /2 sen
cos22mmxxdx
dx1= 3 5 2m − 1 π , ,m = m
18.30.
1, =2,.1,. .2,…
∫ 0 0 sin2m xx dxdx== ∫∫00 cos
2m2m2 2
2 24 i 46 i 6!
18.31.
18.31.
18.32.
18.32.
18.33.
18.33.
18.34.
18.34.
18.35.
18.35.
18.36.
18.36.
18.37.
18.37.
∫
π //22
π
0
ππ/2/2
22 i44 i66!22mm
sin 22mm++1 xx dx
sen
dx = ∫0 cos
cos22mm++11 x dx = 1 i 3 i 5! 2m + 1, , mm==11,,1,22,.
,2,.…
.
0
1 3 5 2m + 1
ΓΓ((pp))ΓΓ((qq))
2 p−1
sen
cos22qq−−11 xx dx
sin 2p−1 xx cos
dx == 2Γ( p + q)
2Γ ( p + q)
⎧ π /2 p > 0
⎧⎪π /2 p > 0
⎪
∞ sen px
∞ sin px dx = ⎪
∫∫0 x dx = ⎪⎨⎨ 00 pp == 00
⎪
0
x
⎪⎪−π /2 p < 0
⎪⎩⎩−π /2 p < 0
⎧ 0 p>q>0
⎧⎪⎪ 0 p > q > 0
∞ sen px cos qx
∫ 0∞ sin px xcos qx dx = ⎪⎪⎨π /2 0 < p < q
dx = ⎨⎪π /2 0 < p < q
∫0
x
⎪⎪⎩π /4 p = q > 0
⎪⎩π /4 p = q > 0
⎧⎪π p/2 0 < p ! q
∞ sen px sen qx
dx
=
∫ 0∞ sin pxxsin
2
⎧⎪⎨⎪π p/2 0 < p ! q
qx
dx = ⎨⎩π q/2 p " q > 0
∫0
x2
⎪⎩π q/2 p " q > 0
∞ sen 2 px
πp
∫ 0∞ x2 2 dx = 2
sin px
πp
∫∞0 x 2 dx = 2
1 − cos px
πp
∫0 ∞ x 2 dx = 2
1 − cos px
πp
∫0 x 2 dx = 2
∫∫
π
π //22
0
0
04_Seccion 04_Spiegel(062-115).indd 110
05/12/13 16:01
INTEGRALES DEFINIDAS
∞
18.38.
∫
0
18.39.
∫
0
18.40.
∫
0
18.41.
∫
18.42.
∫
0
18.43.
∫
0
18.44.
∫
∞
∞
cos mx
π − ma
e
2
2 dx =
a
2
x +a
x sen mx
π
dx = e − ma
2
2
x +a
2
∞
0
sen mx
π
dx = 2 (1 − e − ma )
x(x 2 + a2 )
2a
∞
2π
∫
18.47.
∫
dx
2π
=
a + b sen x
a2 − b2
2π
a − b2
dx
=
a + b cos x
π /2
18.46.
0
2π
0
2
cos −1 (b / a)
dx
=
a + b cos x
a2 − b2
dx
=
(a + b sen x )2
∫
2π
0
dx
2π a
= 2 2 3/2
2
(a + b cos x )
(a − b )
dx
2π
=
, 0 < a <1
1 − 2a cos x + a 2 1 − a 2
⎧(π /a) ln (1 + a),
a <1
⎪
π
x sen x dx
∫ 0 1 − 2a cos x + a 2 = ⎨
⎪π ln (1 + 1/a),
a >1
⎩
2π
0
π
18.49.
∫
18.50.
∫
0
18.51.
∫
0
18.52.
∫
18.53.
∫
18.54.
∫
18.55.
∫
18.56.
cos px − cos qx
π (q − p)
dx =
2
x2
2π
∫
18.48.
cos px − cos qx
q
dx = ln
x
p
0
18.45.
111
0
π am
cos mx dx
,
2 =
1 − 2a cos x + a
1 − a2
∫
sen ax n dx =
1
π
Γ(1/n) sen , n > 1
1/n
na
2n
cos ax n dx =
1
π
Γ (1/n) cos ,
2n
na1/n
∞
0
∞
sen x
0
∞
0
x
dx =
∫
∞
0
∞
0
cos ax 2dx =
cos x
x
dx =
m = 0, 1, 2, …
1 π
2 2a
sen ax 2 dx =
∞
∞
a 2 < 1,
n >1
π
2
sen x
π
dx =
, 0 < p <1
xp
2Γ( p) sen ( pπ /2)
cos x
π
dx =
, 0 < p<1
2Γ ( p) cos ( pπ /2)
xp
∞
1 π ⎛ b2
b2 ⎞
∫ 0 sen ax 2 cos 2bx dx = 2 2a ⎜⎝cos a − sen a ⎟⎠
∞
0
04_Seccion 04_Spiegel(062-115).indd 111
05/12/13 16:02
112
INTEGRALES DEFINIDAS
18.57.
∫
18.58.
∫
18.59.
∫
18.60.
∫
0
18.61.
∫
0
18.62.
∫
∞
0
∞
0
∞
0
∞
cos ax 2 cos 2bx dx =
sen 3 x
3π
dx =
3
x
8
sen 4 x
π
dx =
x4
3
tan x
π
dx =
2
x
π /2
π /2
0
∫
18.64.
∫
18.65.
∫
0
18.66.
∫
0
18.67.
∫
0
⎧1 1 1 1
⎫
x
dx = 2 ⎨ 2 − 2 + 2 − 2 + …⎬
sen x
⎩1 3 5 7
⎭
sen −1x
π
dx = ln 2
x
2
1
0
1
dx
π
=
m
1 + tan x 4
tan −1 x
1 1
1
1
dx = 2 − 2 + 2 − 2 + …
x
1 3
5
7
1
18.63.
1 π ⎛ b2
b2 ⎞
⎜cos + sen ⎟
2 2a ⎝
a
a⎠
∞ cos x
1 − cos x
dx − ∫
dx = γ
1
x
x
⎛ 1
⎞ dx
⎜⎝ 1 + x 2 − cos x⎟⎠ x = γ
∞
∞
0
tan −1 px − tan −1 qx
π p
dx = ln
x
2 q
INTEGRALES DEFINIDAS QUE INVOLUCRAN FUNCIONES EXPONENCIALES
Algunas integrales contienen la constante de Euler g ! 0.5772156 . . . (vea la fórmula 1.3, de la página 3).
∞
18.68.
∫
18.69.
∫
18.70.
∫
e − ax cos bx dx =
0
∞
0
∞
0
e − ax sen bx dx =
e
∫
18.72.
∫
0
18.73.
∫
0
0
∞
− e − bx
b
dx = ln
x
a
e − ax dx =
∞
b
a2 + b2
b
e − ax sen bx
dx = tan −1
x
a
∞ − ax
18.71.
a
a2 + b2
2
1 π
2 a
e − ax cos bx dx =
2
04_Seccion 04_Spiegel(062-115).indd 112
1 π − b /4 a
e
2 a
2
05/12/13 16:02
INTEGRALES DEFINIDAS
18.74.
∫
∞
2
2
donde erfc (p) =
∞
18.75.
∫
−∞
18.76.
∫
0
18.77.
∫
0
18.78.
∫
0
18.79.
18.80.
∫
π
∫
∞
e − x dx
p
2
2
x n e − ax dx =
∞
2
2
2
Γ[(m + 1)/2]
2a ( m +1)/2
e − ( ax + b/x ) dx =
2
π ( b − 4 ac )/4 a
e
a
Γ(n + 1)
a n+1
x m e − ax dx =
∞
1 π −2
e
2 a
ab
x dx
1 1
1
1 … π2
=
+
+
+
+ =
6
e x − 1 12 22 32 4 2
∞
0
∞
0
2
e − ( ax + bx +c ) dx =
∞
∫
1 π ( b − 4 ac )/4 a
b
e
erfc
2 a
2 a
e − ( ax + bx +c ) dx =
0
113
x n−1
1
1
⎛1
⎞
dx = Γ(n) ⎜ n + n + n + …⎟
ex − 1
2
3
⎝1
⎠
Para n enteros, esto se puede sumar en términos de números de Bernoulli (vea las páginas 142-143).
18.81.
∫
18.82.
∫
∞
0
π2
x dx
1 1
1
1
= 2 − 2 + 2 − 2 +… =
x
12
e +1 1
2
3
4
x n−1
1
1
⎛1
⎞
dx = Γ(n) ⎜ n − n + n − …⎟
ex + 1
2
3
⎝1
⎠
∞
0
Para algunos valores enteros positivos de n, las series pueden sumarse (vea la fórmula 23.10).
18.83.
∫
18.84.
∫
∞
0
m 1
sen mx
1
dx = coth −
e2π x − 1
4
2 2m
⎛ 1
− x ⎞ dx
⎜⎝ 1 + x − e ⎟⎠ x = γ
∞
0
2
∞ −x
e
− e− x
dx = 12 γ
x
18.85.
∫
0
18.86.
∫
e− x ⎞
⎛ 1
−
dx = γ
⎜
x
0 ⎝e −1
x ⎟⎠
18.87.
∫
18.88.
∫
18.89.
∫
∞
− e − bx
1 ⎛ b 2 + p2 ⎞
dx = ln ⎜ 2
x sec px
2 ⎝ a + p2 ⎟⎠
∞ − ax
e
0
− e − bx
b
a
dx = tan −1 − tan −1
x csc px
p
p
∞ − ax
e
0
∞ − ax
e
0
04_Seccion 04_Spiegel(062-115).indd 113
(1 − cos x )
a
dx = cot −1 a − ln (a 2 + 1)
2
x2
05/12/13 16:02
114
INTEGRALES DEFINIDAS
INTEGRALES DEFINIDAS QUE INVOLUCRAN FUNCIONES LOGARÍTMICAS
18.90.
Si n
∫
1
0
x m (ln x )n dx =
(−1)n n !
(m + 1)n+1
∫
ln x
π2
dx = −
0 1+ x
12
18.92.
∫
ln x
π2
dx = −
0 1− x
6
∫
18.94.
∫
18.95.
∫
18.96.
∫
18.97.
∫
1
1
ln (1 + x )
π2
dx =
x
12
1
0
ln (1 − x )
π2
dx = −
x
6
1
0
1
0
1
0
ln x ln (1 + x ) dx = 2 − 2 ln 2 −
ln x ln (1 − x ) dx = 2 −
0
π2
6
0 < p<1
xm − xn
m +1
dx = ln
ln x
n +1
1
∫
18.99.
∫
0
18.100.
∫
0
18.101.
∫
π2
⎛ e x + 1⎞
ln ⎜ x ⎟ dx =
0
4
⎝ e − 1⎠
18.102.
∫
18.103.
∫
18.104.
∫
18.105.
∫
0
18.106.
∫
0
∫
π2
12
x p−1 ln x
dx = −π 2 csc pπ cot pπ
1+ x
∞
18.98.
18.107.
n = 0, 1, 2, …
0, 1, 2, . . . reemplace n! por (n ! 1).
18.91.
18.93.
m > −1,
0
∞
e − x ln x dx = −γ
∞
π
(γ + 2 ln 2)
4
e − x ln x dx = −
2
∞
π /2
0
π /2
0
π
0
2π
0
∫
π /2
0
(ln sen x )2 dx =
x ln sen x dx = −
π /2
π
ln sen x dx =
∫
ln cos x dx = −
π /2
0
π
ln 2
2
(ln cos x )2 dx =
π
π3
(ln 2)2 +
2
24
π2
ln 2
2
sen x ln sen x dx = ln 2 − 1
ln (a + b sen x ) dx =
∫
2π
0
ln (a + b cos x ) dx = 2π ln (a + a 2 − b 2 )
⎛ a + a2 − b2 ⎞
ln(a + b cos x ) dx = π ln ⎜
⎟
2
⎝
⎠
04_Seccion 04_Spiegel(062-115).indd 114
05/12/13 16:02
INTEGRALES DEFINIDAS
π
18.108.
∫
0
18.109.
∫
0
18.110.
∫
18.111.
115
⎧⎪2π ln a, a ! b > 0
ln (a 2 − 2ab cos x + b 2 ) dx = ⎨
⎩⎪2π ln b, b ! a > 0
π /4
ln (1 + tan x ) dx =
π
ln 2
8
⎛ 1 + b cos x ⎞
1
sec x ln ⎜
dx = {(cos −1 a)2 − (cos −1 b)2}
0
2
⎝ 1 + a cos x ⎟⎠
⎛
⎛sen a sen 2a sen 3a
⎞
a
x⎞
∫ 0 ln ⎜⎝2 sen 2 ⎟⎠ dx = − ⎜⎝ 12 + 22 + 32 + …⎟⎠
π /2
Vea también la fórmula 18.102.
INTEGRALES DEFINIDAS QUE INVOLUCRAN FUNCIONES HIPERBÓLICAS
18.112.
∫
18.113.
∫
18.114.
∫
∞
0
∞
0
sen ax
π
aπ
dx =
tanh
senh bx
2b
2b
cos ax
π
aπ
sech
dx =
2b
2b
cosh bx
∞
0
x dx
π2
= 2
senh ax 4 a
⎫
⎧ 1
x n dx
2n+1 − 1
1
1
= n n+1 Γ(n + 1) ⎨ n+1 + n+1 + n+1 + …⎬
0 senh ax
2 a
2
3
⎩1
⎭
Si n es un entero positivo impar, las series se pueden sumar.
18.115.
∫
18.116.
∫
0
18.117.
∫
0
∞
∞
∞
senh ax
π
aπ 1
−
dx =
csc
bx
e +1
2b
b 2a
senh ax
1
π
aπ
dx =
− cot
bx
e −1
2a 2b
b
INTEGRALES DEFINIDAS VARIADAS
18.118.
∫
f (ax ) − f (bx )
b
dx = { f (0) − f (∞)}ln
x
a
∞
0
Esta es llamada integral de Frullani. Esta se lleva a cabo si f (x) es continua y
1
18.119.
∫
18.120.
∫
0
∞
0
f ( x ) − f (∞)
dx converge.
x
dx 1 1
1
= +
+ +…
x x 11 22 33
a
−a
04_Seccion 04_Spiegel(062-115).indd 115
∫
(a + x )m −1 (a − x )n−1 dx = (2a)m + n−1
Γ (m ) Γ (n)
Γ (m + n)
05/12/13 16:02
Sección V: Ecuaciones diferenciales y análisis vectorial
19
Ecuaciones diferenciales básicas
y soluciones
Ecuaciones diferenciales
Solución
19.1. Separación de variables
f1 ( x )
g ( y)
dx + ∫ 2
dy = c
f2 ( x )
g1 ( y)
∫
f1(x) g1(y) dx + f2(x) g2(y) dy = 0
19.2. Ecuación lineal de primer orden
dy
+ p( x ) y = Q( x )
dx
ye ∫
Pdx
= ∫ Qe ∫
Pdx
dx + c
19.3. Ecuación de Bernoulli
dy
+ P( x ) y = Q( x ) y n
dx
!e
∫
(1− n ) Pdx
= (1 − n) ∫ Qe
∫
(1− n ) Pdx
dx + c
donde y = y1 n. Si n = 1, la solución es
ln y = ∫ (Q − P) dx + c
19.4.
Ecuación exacta
M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0
donde ∂M/∂y = ∂N/∂x.
⎛
∂
⎞
∫ M ∂x + ∫ ⎜⎝ N − ∂y ∫ M ∂x⎟⎠ dy = c
donde ∂x indica que la integración será desarrollada
con respecto a x, conservando a y constante.
19.5. Ecuación homogénea
⎛ y⎞
dy
= F⎜ ⎟
dx
⎝ x⎠
ln x =
d!
∫ F (! ) − ! + c
donde y = y/x. Si F(y) = y, la solución es y = cx.
116
05_Seccion 05_Spiegel(116-133).indd 116
04/12/13 16:47
ECUACIONES DIFERENCIALES BÁSICAS Y SOLUCIONES
117
19.6.
ln x =
y F(xy) dx + x G(xy) dy = 0
G (! ) d!
∫ ! {G(! ) − F (! )} + c
donde y = xy. Si G(y) = F(y), la solución es xy = c.
19.7.
Ecuación lineal homogénea
de segundo orden
Si m1, m2 son las raíces de m2 + am + b = 0. Entonces
existen tres casos.
Caso 1. m1, m2 reales y distintas:
d2y
dy
+a
+ by = 0
dx 2
dx
y = c1e m x + c2 e m x
1
2
Caso 2. m1, m2 reales e iguales:
y = c1 e m x + c2 x e m x
a, b son constantes reales.
1
1
Caso 3. m1 = p + qi, m2 = p
qi:
y = e px (c1 cos qx + c2 sen qx )
donde p = a/2, q = b − a 2 /4 .
19.8.
Ecuación lineal no homogénea
de segundo orden
Existen tres casos que corresponden a las fórmulas que
se muestran en el punto 19.7.
Caso 1.
y = c1e m x + c2 e m x
d2y
dy
+a
+ by = R( x )
dx 2
dx
1
+
a, b son constantes reales.
2
em x
e − m x R( x ) dx
m1 − m2 ∫
1
1
+
em x
e − m x R( x ) dx
m2 − m1 ∫
2
2
Caso 2.
y = c1 e m x + c2 x e m x
1
1
+ xe m x ∫ e − m x R( x ) dx
1
1
− e m x ∫ xe − m x R( x ) dx
1
1
Caso 3.
y = e px (c1 cos qx + c2 sen qx )
+
e px sen qx − px
∫ e R( x )cos qx dx
q
−
05_Seccion 05_Spiegel(116-133).indd 117
e px cos qx − px
∫ e R( x ) sen qx dx
q
04/12/13 16:47
118
ECUACIONES DIFERENCIALES BÁSICAS Y SOLUCIONES
19.9. Ecuación de Euler o Cauchy
x2
Si x = et, la ecuación se convierte en
d2y
dy
+ (a − 1) + by = S (e t )
2
dt
dt
d2y
dy
+ ax
+ by = S ( x )
dx 2
dx
y entonces se puede resolver como en las fórmulas
que se indican en los puntos 19.7 y 19.8.
19.10. Ecuación de Bessel
x2
d2y
dy
+x
+ (! 2 x 2 − n 2 ) y = 0
dx 2
dx
y = c1 J n (! x ) + c2 Yn (! x )
Vea las fórmulas 27.1 a 27.15.
19.11. Ecuación de Bessel transformada
x2
d2y
dy
+ (2 p + 1) x
+ (a 2 x 2 r + β 2 ) y = 0
2
dx
dx
⎧⎪
⎛α ⎞
⎛ α ⎞ ⎫⎪
y = x − p ⎨c1 J q/r ⎜ x r ⎟ + c2 Yq/r ⎜ x r ⎟ ⎬
⎝r ⎠
⎝ r ⎠ ⎪⎭
⎩⎪
donde q =
p2 − β 2 .
19.12. Ecuación de Legendre
(1 − x 2 )
d2y
dy
− 2x
+ n(n + 1) y = 0
2
dx
dx
y = c1 Pn ( x ) + c2 Qn ( x )
Vea las fórmulas 28.1 a 28.48.
05_Seccion 05_Spiegel(116-133).indd 118
04/12/13 16:47
20
Fórmulas de análisis vectorial
VECTORES Y ESCALARES
Algunas cantidades en física, como la temperatura, el volumen y la rapidez se pueden especificar por un número
real. A esas cantidades se les llama escalares.
Otras cantidades como la fuerza, la velocidad y el momento requieren para sus especificaciones tanto dirección como magnitud. Tales cantidades se llaman vectores. Un vector se representa con una flecha o un segmento
de línea indicando la dirección. La magnitud del vector se indica con la longitud de la flecha, usando una unidad
apropiada.
NOTACIÓN PARA VECTORES
Un vector se denota con una letra del tipo negrita, como A (figura 20-1). La magnitud se denota con |A| o A. La
cola de la flecha se llama punto inicial, mientras que la cabeza se llama punto terminal.
DEFINICIONES FUNDAMENTALES
1.
Igualdad de vectores. Dos vectores son iguales si tienen la misma
magnitud y dirección. Así, A = B (figura 20-1).
2.
Multiplicación de un vector por un escalar. Si m es cualquier
número real (escalar), entonces mA es un vector cuya magnitud es
|m| veces la magnitud de A y cuya dirección es la misma que A
si m > 0 y opuesto si m < 0. Si m = 0, entonces mA = 0 se llama
vector cero o nulo.
3.
A
B
Figura 20-1
Suma de vectores. La suma o resultante de A y B es el vector C = A + B formado al ubicar la posición
inicial del punto B sobre el punto terminal A y uniendo el punto inicial de A al punto terminal de B, como se
muestra en la figura 20-2b. Esta definición es equivalente a la ley del paralelogramo para adición de vectores,
como se indica en la figura 20-2c. El vector A B se define como A + ( B).
B
B
A
C=A+B
A
A
C=A+B
B
a)
b)
c)
Figura 20-2
La extensión para las sumas de más de dos vectores es inmediata. Así, en la figura 20-3 se muestra cómo obtener la
suma E de los vectores A, B, C y D.
119
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120
FÓRMULAS DE ANÁLISIS VECTORIAL
C
B
B
D
D
A
A
C
E=A+
a)
B+C+
D
b)
Figura 20-3
4. Vectores unitarios. Un vector unitario es un vector con magnitud unitaria. Si A es un vector, entonces un
vector unitario en la dirección de A es a = A/A, donde A > 0.
LEYES DE ÁLGEBRA VECTORIAL
Si A, B, C son vectores y m, n son escalares, entonces:
20.1. A + B = B + A
Ley conmutativa para la adición
20.2. A + (B + C) = (A + B) + C
Ley asociativa para la adición
20.3. m(nA) = (mn)A = n(mA)
Ley asociativa para la multiplicación escalar
20.4. (m + n)A = mA + nA
Ley distributiva
20.5. m(A + B) = mA + mB
Ley distributiva
COMPONENTES DE UN VECTOR
Un vector A se puede representar con un punto inicial en el origen
de un sistema coordenado rectangular. Si i, j, k son vectores
unitarios en las direcciones de los ejes positivos x, y, z, entonces
z
20.6. A = A1i + A2j + A3k
i
donde A1i, A2j, A3k son llamados componentes de vectores de A
en las direcciones i, j, k y A1, A2, A3 son llamados componentes
de A.
A
k
j
A3k
A2 j
y
A2i
x
Figura 20-4
PRODUCTO PUNTO O ESCALAR
20.7. A • B = AB cos q
0!q!p
donde q es el ángulo entre A y B.
Resultados fundamentales:
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121
FÓRMULAS DE ANÁLISIS VECTORIAL
20.8. A • B = B • A
Ley conmutativa
20.9. A • (B + C) = A • B + A • C
Ley distributiva
20.10. A • B = A1B1 + A2B2 + A3B3
donde A = A1i + A2j + A3k, B = B1i + B2j + B3k.
PRODUCTO CRUZ O VECTORIAL
20.11. A × B = AB sen q u
0!q!p
donde q es el ángulo entre A y B, y u es el vector unitario perpendicular al plano de A y B, de manera que A, B, u formen un
sistema de mano derecha (es decir, un tornillo de rosca derecha
girado a través de un ángulo menor de 180° formado desde A
hasta B avanzará en la dirección de u como se muestra en la
figura 20-5).
Resultados fundamentales:
i
20.12. A × B = A1
B1
j
A2
B2
k
A3
B3
u
B
A
= ( A2 B3 − A3 B2 )i + ( A3 B1 − A1 B3 ) j + ( A1 B2 − A2 B1 )k
Figura 20-5
20.13. A × B = (B × A)
20.14. A × (B + C) = A × B + A × C
20.15. | A × B | = área de paralelogramos que tienen lados A y B
VARIAS FÓRMULAS QUE CONTIENEN PRODUCTOS PUNTO Y CRUZ
20.16.
A1 A2 A3
A • (B × C) = B1 B2 B3 = A1B2C3 + A2 B3C1 + A3 B1C2 − A3 B2C1 − A2 B1C3 − A1B3C2
C1 C2 C3
20.17. | A • (B × C) | = volumen de un paralelepípedo con lados A, B, C
20.18. A × (B × C) = B(A • C)
C(A • B)
20.19. (A × B) × C = B(A • C)
A(B • C)
20.20.
(A × B) • (C × D) = (A • C)(B • D)
(A • D)(B • C)
20.21. (A × B) × (C × D) = C{A • (B × D)} D{A • (B × C)}
= B{A • (C × D)} A{B • (C × D)}
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FORMULAS FROM VECTOR ANALYSIS
122
122
122
FÓRMULAS DE ANÁLISIS VECTORIAL
Derivatives
Vectors
DERIVADASofDE
VECTORES
The
derivative
of aa vector
function A(u)
== AA11(u)i
++ AA22(u)j
++ AA33(u)k
of
the
variable
uu is
given
by
Thederivada
derivative
A(u)
(u)i
(u)j
(u)k
ofde
thelascalar
scalar
variable
is
givendada
by por
La
de of
una vector
funciónfunction
vectorial
A(u)
=A
(u)i
+A
(u)j
+A
(u)k
variable
escalar
u está
1
2
3
dA
ddA
A((uu ++ ∆∆uu)) −− A
A((uu)) dA
dA
dA
dA
dA
dA dA
A == lim
A
== 111iii+++dA222j j+
j ++ 3 33kkk
lim
=
=
lím
∆
u
→
0
du
du
∆∆uuu
du
du
du
du ∆∆uu→→00
du
du
du
∆
du
du
du
Partial
derivatives
of
function A(x,
y,
similarly defined.
We
assume
derivatives exist
Partial
derivatives
of aa vector
vector
y, z)
z) are
are
Wesimilarmente.
assume that
that all
all
Las
derivadas
parciales
de unafunction
funciónA(x,
vectorial
A(x,similarly
y, z) sondefined.
definidas
Se derivatives
supone queexist
todas las
unless
otherwise
specified.
unless
otherwise
specified.
derivadas existen, a menos que se especifique otra cosa.
20.22.
20.22.
20.22.
Formulas
Involving
Derivatives DERIVADAS
FÓRMULAS
QUE CONTIENEN
20.23.
20.23.
d
dB dA
((A
++
iiB
A ii B
B)) == A
Aii
B
du
du
du
du du
du
20.24.
20.24.
dd
ddB
B ddA
A
((A
++
×× B
A ×× B
B)) == A
A ××
B
du
du
du
du du
du
20.25.
⎛⎛
⎛⎛ddB
⎞⎞
dd
ddC
ddA
C⎞⎞
A
B
{A i (B × C )} =
i (B × C ) + A i ⎜
× C⎟ + A i ⎜ B ×
du
du ⎟⎠
du
⎝
⎝ du
⎠
20.26.
20.26.
A
A ii
20.27.
20.27.
ddA
A
A
== 00
A ii
du
du
dA
dA
== AA
du
du
du
du
ifif
constant
si ||A
es
constante
A|| is
is aauna
constant
OPERADOR
NABLA
The
Del Operator
El operador nabla está definido por
The
The operator
operator del
del is
is defined
defined by
by
∂
∂
∂
∇ = i ∂∂ + j ∂∂ + k ∂∂
∇ = i ∂x + j ∂y + k ∂z
∂x
∂y
∂z
En el siguiente resultado se supone que U = U(x, y, z), V = V(x, y, z), A = A(x, y, z) y B = B(x, y, z) tienen deIn
results we assume that U = U(x, y, z), V = V(x, y, z), A = A(x, y, z) and B = B(x, y, z) have
In the
the following
following
rivadas
parciales.results we assume that U = U(x, y, z), V = V(x, y, z), A = A(x, y, z) and B = B(x, y, z) have
partial
partial derivatives.
derivatives.
20.28.
20.28.
20.28.
GRADIENTE
The Gradient
⎛ ∂
∂
∂⎞
∂U
∂U
∂U
20.29. Gradiente de U = grad U = ∇U = ⎜ i + j + k ⎟ U =
j+
k
i+
⎛⎛ ⎝ ∂∂∂x ∂∂∂y ∂∂∂⎞⎞z ⎠
∂∂U
U
U
U∂z
∂x ∂∂U
∂y ∂∂U
20.29.
ii ++
jj ++
kk
U == ∇
U == ⎜⎜ii ++ jj ++ kk ⎟⎟ U
U ==
20.29. Gradient
Gradient of
of U
U == grad
grad U
∇U
∂∂yy
∂∂zz⎠⎠
∂∂xx
∂∂yy
∂∂zz
⎝⎝ ∂∂xx
DIVERGENCIA
The Divergence
⎛ ∂
∂
∂⎞
20.30. Divergencia de A = div A = ∇ • A = ⎜ i + j + k ⎟ • (A1 i + A2 j + A3 k )
∂y
∂z ⎠
⎝ ∂x
⎛ ∂∂
∂∂
∂∂ ⎞
20.30.
20.30. Divergence
Divergence of
of A
A == div
div A
A == ∇
∇ •• A
A == ⎜⎜ii∂A1 ++ ∂jjA2 ++ ∂kkA3 ⎟⎟ ii ((AA11ii ++ AA22 jj ++ AA33kk))
=⎝⎝ ∂∂xx + ∂∂yy + ∂∂zz⎠⎠
∂x
∂y
∂z
∂A11 ∂A22 ∂A33
+
=
+
∂∂yy
∂∂zz
∂∂xx
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Spiegel_section V_116-133.indd 122
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7/21/08 5:45:08 PM
FORMULAS FROM VECTOR ANALYSIS
123
FÓRMULAS DE ANÁLISIS VECTORIAL 123
Curl
RThe
OTACIONAL
20.31. Rotacional
Curl of Ade
= curl
∇=× ∇
A× A
20.31.
A =Arot= A
⎛ ∂
∂
∂⎞ ⎞
= ⎜ i = ⎛+i j∂ + +j k∂ + ⎟k×∂( A
i + A j + A k)
1× ( A1i2 + A2 j3+ A3k )
⎜
∂
∂
∂
x
y
⎝
∂y z ⎠ ∂z ⎟⎠
⎝ ∂x
i
∂
= =
∂x
A1
ij
∂
∂∂xy
A2
1
kj
∂
∂yz
A3
2
k
∂
∂z
A3
⎛ ∂A ⎛ ∂A
∂A ⎞ ∂A ⎛⎞ ∂A ⎛ ∂A∂A ⎞∂A ⎞⎛ ∂A ⎛ ∂A∂A ⎞∂A ⎞
= ⎜ =3 ⎜− 3 2−⎟ i +2 ⎜⎟ i +1 ⎜− 1 −3 ⎟ j +3 ⎟⎜ j + 2⎜ − 2 −1 ⎟ k 1 ⎟ k
⎝ ∂y ⎝ ∂y∂z ⎠ ∂z ⎝⎠ ∂z ⎝ ∂z∂x ⎠ ∂x ⎠⎝ ∂x⎝ ∂x∂y ⎠ ∂y ⎠
LThe
APLACIANO
Laplacian
20.32.
20.32. Laplaciano
Laplacian de
of U = ∇ 2U = ∇ i (∇U ) =
∂ 2U ∂ 2U ∂ 2U
+
+ 2
∂x 2 ∂y 2
∂z
2
2
2
∂2 A ∂2 A ∂2 A
2
20.33.
20.33. Laplaciano
Laplacian de
of A = ∇ 2 A = 22 + 22 + 22
∂x
∂y
∂z
OThe
PERADOR
BIARMÓNICO
Biharmonic
Operator
4
2
2
20.34.
biarmónico
4 = ∇ 2(∇ U
U = ∇ (∇ 2U) )
20.34. Operador
Biharmonic
operatoren
onUU==∇∇U
∂ 4U
∂ 4U
∂ 4U
∂ 4U
∂ 4U
∂ 4U
4
4
4
4
4
4
== ∂ 4U++ ∂ 4U++ ∂ 4U++22 ∂2 U2 ++22 ∂2 U2 ++22 ∂2 U2
∂∂yy∂2 ∂zz 2
∂∂xx 4 ∂∂yy 4 ∂∂zz 4
∂∂xx ∂2 ∂zz 2
∂∂xx ∂2 ∂yy 2
VARIAS FÓRMULAS QUE CONTIENEN ∇
Miscellaneous Formulas Involving ∇
20.35. ∇(U + V ) = ∇U + ∇V
20.35. ∇(U + V ) = ∇U + ∇V
20.36.  i ! "  i !  i "
20.36. ∇ i (A + B) = ∇ i A + ∇ i B
20.37. ∇ × (A + B) = ∇ × A + ∇ × B
A +B
)=
20.37. ∇i ×5(!
20.38.
5 ∇i ×!A +5∇
×iB!
20.39.
(UAA) )==(∇
(∇UU) )×i A
A++U
U((∇
∇×i A)
20.38. ∇∇× i(U
20.40.
i )×sA!+ U (!
∇U
∇ iא
A)s "
20.39. ∇i ×!(UsA") =("
20.41.  s ! s " " i  ! " i ! ! i  " ! i "
20.40. ∇ i (A × B) = B i (∇ × A) − A i (∇ × B)
20.42.
20.41.
20.43.
20.42.
20.44.
20.43.
20.45.
! i " " i  ! ! i  " " s  s ! ! s  s "
∇ × (A × B) = (B i ∇) A − B(∇ i A) − (A i ∇)B + A(∇ i B)
∇ × (∇U ) = 0, esto es, el rotacional del gradiente de U es cero.
∇(A i B) = (B i ∇)A + (A i ∇)B + B × (∇ × A) + A × (∇ × B)
 i  s ! esto es, la divergencia del rotacional de A es cero.
∇ × (∇U ) = 0, that is, the curl of the gradient of U is zero.
 s  s !  i !  !
20.44.
∇ i (∇ × A) = 0, that is, the divergence of the curl of A is zero.
20.45.
∇ × (∇ × A) = ∇(∇ i A) − ∇ 2 A
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FROM VECTOR ANALYSIS
124
124
FORMULAS FROM VECTOR ANALYSIS
FORMULAS FROM VECTOR ANALYSIS
Integrals Involving Vectors
Integrals Involving Vectors
FdÓRMULAS DE ANÁLISIS VECTORIAL
If 124
A(u) = d B(u). then the indefinite integral of A(u) is as follows:
If A(u) = du B(u). then the indefinite integral of A(u) is as follows:
du
INTEGRALES
QUE CONTIENEN VECTORES
20.46. ∫ A(u)du = B(u) + c,
c = constant vector
d (u)du = B(u) + c,
20.46.
A
c = constant
vector
Si A(u) =∫ B(u), entonces la integral
indefinida
de A(u) es la siguiente:
The definite
duintegral of A(u) from u = a to u = b in this case is given by
The definite integral of A(u) from u = a to u = b in this case is given by
20.46. ∫ bbA(u)du = B(u) + c,
cc = vector
constant
constante
vector
20.47.
b A(u) du = B(b) − B(a)
∫
20.47.
A(u) du =deBA(u)
(b) −desde
B(a) u = a hasta u = b en este caso está dada por
La
integral
∫aaa definida
The definite
integral can be defined as in 18.1.
b integral can be defined as in 18.1.
The definite
20.47. ∫ A(u) du = B(b) − B(a)
a
Line
Integrals
La integral
definida se establece como en la fórmula 18.1.
Line Integrals
z
P1
P2
Consider
a space curve C joining two points P11(a11, a22, a33) and
Consider
ab space
C joining
twothe
points
P1into
(a1, an2,parts
a3) and
I
NTEGRALES
DE
P
(b
,
b
,
) as incurve
Fig.LÍNEA
20-6.
Divide
curve
by
C
22 11
22
33
P
(b
,
b
,
b
)
as
in
Fig.
20-6.
Divide
the
curve
into
n
parts
by
points
(x
,
y
,
z
),
.
.
.
,
(x
,
y
,
z
).
Then
the
2 1 of
2 subdivision
3
11el 1espacio
n−1
n−1
n−1
1 11
n−1une
n−1
n−1
una curva en
C
que
dos
puntos
P1the
(a1, a2, a3) y
(xpConsidere
, yp , zp) of subdivision
points
(x
,
y
,
z
),
.
.
.
,
(x
,
y
,
z
).
Then
line
a vector
C is n−1
defined
as en n partes con
1 y,
1 z) along n−1
P
(bintegral
, b2y, b3) of
como
en la1A(x,
figura
Si divide
la n−1
curva
2 1integral
line
of
a vector
A(x,
y, 20-6.
z) along
C is defined
as
puntos de subdivisión (x1, y1, z1), . . . n, (xn 1, yn 1, zn 1). Entonces, la integral
n
P
P
de línea de A
uni vector
y, z) a lo largo
20.48.
n A(de
dr = ∫ A(x,
x pp ,Cy ppestá
, z pp )definida
i ∆rpp como
P A i dr = lim ∑
∫
cc
P
nn→∞
20.48.
P
→∞
N
pp==11 A( x p , y p , z p ) i ∆rp
∑
∫c A!iidDrR=∫P 0A!iidDrR=lim
n→∞
=1 ! X
LÓMp¤
Y P Z P i $RP
Fig. 20-6 20.48.
°
°
P
z
z
z
P11
P1
22
x
2
C
Nmd
0
P where ∆rpp = ∆x ppi + ∆y pp j + ∆z ppk, ∆x pp = x pp++11 − x pp , ∆y pp = y pp++11 − y pp ,
i + ∆where
yp j + ∆
, ∆x p = xthat
∆y∞
y p+largest
where
p+1 −
p =the
1 − yp ,
∆z pp = ∆
z ppr++p11 =− ∆
z ppx pand
it zispkassumed
asx np , →
donde
∆
r
=
∆
x
i
+
∆
y
j
+
∆
z
k
,
∆
x
=
x
−
x
,
∆
y
=
y
∆
z
=
z
−
z
and
where
it
is
assumed
that
as
n
→
∞
the
largest
p
p
p
p
p
p
+
1
p
p
p
+
1
of the
magnitudes
|!rpp| approaches zero. The result 20.48−isy pa,
p
p+1
p
of
the
magnitudes
|!rp | se
approaches
zero.
Then(see
result
20.48
is a
∆
z
=
z
−
z
y
donde
supone
que,
como
→ ∞,
la mayor
generalization
definite
integral
18.1).
p
p+1
pof the ordinary
generalization
of
the
ordinary
definite
integral
(see
18.1).
de
las
magnitudes
|!r
|
se
aproxima
a
cero.
El
resultado
de
la fórmula 20.48
The line integral 20.48
can also be written as
p
Thegeneralización
line integral 20.48
also be
writtenordinaria
as
es una
de lacan
integral
definida
(vea la fórmula 18.1).
La integral de línea de la fórmula 20.48 se puede escribir como
20.49.
∫ A i dr = ∫ ( A1dx + A2 dy + A3 dz)
20.49. ∫CC A i dr = ∫CC ( A11dx + A22 dy + A33 dz )
C
C
using A = A11i + A22j + A33k
using AA= =A1Ai +i +A2Aj +
usando
j +A3Ak k
1
2
3
x
x
x
(xpp , ypp , zpp)
(xp , yp , zp)
C
P1
11
1
C
C
P22
P2
P2
y
y
(xp, yp, zp)
y
Fig. 20-6
Fig. 20-6
Figura 20-6
dr = dxi + dyj + dzk.
dr==dxi
dxi++dyj
dyj++dzk.
dzk.
dr
and
and
y
Properties
of Line
P
ROPIEDADES
DEIntegrals
INTEGRALES DE LÍNEA
Properties of Line Integrals
20.50.
20.50.
20.50.
20.51.
20.51.
20.51.
pp2
2
p
pp1 2
1
p1
A i dr = − ∫ P A i dr
A i dr = − ∫PP A i dr
P
P22
P2
P
P11
P1
A i dr = ∫ P A i dr + ∫ P A i dr
A i dr = ∫PP A i dr + ∫PP A i dr
∫
∫
∫
∫
P
P11
1
22
P2
P
P33
P
P22
3
11
P1
2
33
P3
INDEPENDENCIA
DE Path
LA TRAYECTORIA
Independence
of the
of the Path
ining points P1 and P2 inIndependence
a region
Independence
of the Path
En!,
general,
de línea
tiene
valor que
depende
de path
la trayectoria
C que
los puntos
ivatives are continuous in
the a una
In
general,
line integral
a value
thatun
depends
on the
particular
C joining particular
points P11 and
P2 inune
a region
integral has
In general,
a line
integral
has
aembargo,
value
that
depends
on
the
particular
path
Cderivatives
joining
points
P1derivadas
and P22 ininparciales
a !,
region
P
y
P
en
una
región
!.
Sin
en
el
caso
de
A
=
∇f
o
∇
×
A
=
0
donde
f
y
sus
!.
However,
in
the
case
of
A
=
∇f
or
∇
×
A
=
0
where
f
and
its
partial
are
continuous
the son
1
2
!. However,
in A
the
case
of
A = ∇f orof
∇ the
× Apath.
= 0 where
f aand
its partial derivatives are continuous in !, the
is
independent
In
such
case,
line
integral
i
d
r
continuas en ∫!,
la integral de línea ! i DR es independiente de la trayectoria. En tal caso,
line integral ∫CC A i dr is independent°#of the path. In such a case,
C
P2
P
20.52.
20.52. ∫C A i dr = ∫PP A i dr = φ (P22 ) − φ (P11 )
C
P
20.52.
particular if C is a closed curve, ∫C A i dr = ∫P A i dr = φ (P2 ) − φ (P1 )
where
f(P1)) yand
) denotelosthe
valuesdeofffen
at PP11yand
, respectively. InEnparticular
a closed
curve,
donde f(P
f(Pf(P
) denotan
valores
P2, Prespectivamente.
particular,if siC Cis es
una curva
cerrada,
22
2 22
1
where f(P111) and f(P
)
denote
the
values
of
f
at
P
and
P
,
respectively.
In
particular
if
C
is
a
closed
curve,
2
1
2
2
2
11
1
7/21/08 5:45:09 PM
Spiegel_section
Spiegel_section V_116-133.indd
V_116-133.indd 124
124
Spiegel_section V_116-133.indd 124
05_Seccion 05_Spiegel(116-133).indd 124
7/21/08
7/21/08 5:45:09
5:45:09 PM
PM
7/21/08 5:45:09 PM
04/12/13 16:47
FÓRMULAS DE ANÁLISIS VECTORIAL
20.53.
°
! i DR #
°
#
125
! i DR donde el círculo sobre el signo integral se usa para enfatizar que C es cerrada.
INTEGRALES MÚLTIPLES
20.54.
yp
!
n→∞
b
∫ ∫
x =a
f2 (x)
y = f1 (x)
Q
P
n
∫
G
DA p =
x p Dyp
yp + 1
F( x , y) dA = lím ∑ F( x p , y p )∆Ap
p=1
siempre que este límite exista.
En tal caso, la integral también se puede escribir como
20.55.
y
d
—
Sea F(x, y) una función definida en una región ! del
plano xy, como en la figura 20-7. Subdivida la región en n
partes mediante líneas paralelas a los ejes x y y como se indica.
Considere que !Ap = !xp !yp denota un área de una de esas partes.
Entonces, la integral de F(x, y) sobre ! está definida como
c
H
xp xp + 1
a
x
Figura 20-7
F( x , y) dy dx
{∫
b
⎫
F( x , y) dy⎬ dx
⎭
donde y = f1(x) y y = f2(x) son las ecuaciones de las curvas PHQ y PGQ, respectivamente, y a y b son las coordenadas x de los puntos P y Q. El resultado también se puede escribir como
=
20.56.
∫
b
x =a
d
g2( y )
y =c
x = g1( y )
∫ ∫
f2( x )
y = f1( x )
F ( x , y) dx dy =
∫
d
y =c
{∫
g2( y )
x = g1( y )
}
F ( x , y) dx dy
donde x = g1(y), x = g2(x) son las ecuaciones de las curvas HPG y HQG, respectivamente, y c y d son las coordenadas y de H y G.
Estas son llamadas integrales dobles o integrales de área. Las ideas pueden extenderse similarmente para las
integrales triples o de volumen o las integrales múltiples superiores.
INTEGRALES DE SUPERFICIE
z
Subdivida la superficie S (vea la figura 20-8) en n elementos de área
!Sp, p = 1, 2, . . . , n, si es A(xp, yp, zp ) = Ap, donde (xp, yp, zp )
es un punto P en !Sp. Sea Np una normal unitaria a !Sp en P, entonces
la integral de superficie de la componente normal de A sobre S está
definida como
20.57.
°
Np
g
DS p
S
N
3
! i . D3 LÓM ¤ ! P i . P $3 P
Nmd
y
P Dxp Dyp
x
Figura 20-8
05_Seccion 05_Spiegel(116-133).indd 125
04/12/13 16:47
126
FÓRMULAS DE ANÁLISIS VECTORIAL
RELACIÓN ENTRE INTEGRALES DE SUPERFICIE Y DOBLES
Si ! es la proyección de S sobre el plano xy, entonces (vea la figura 20-8)
°
20.58.
3
! i . D3 °
° !i.
DX DY
.iK
TEOREMA DE LA DIVERGENCIA
Si S es una superficie cerrada limitando una región de volumen V; y se supone que N es la normal positiva (dibujado hacia afuera) y dS = N dS. Entonces (vea la figura 20-9)
°
20.59.
6
 i ! D6 °
3
! i D3
El resultado también se llama teorema de Gauss o teorema de Green.
z
z
N
N
S
dS
S
dS
C
y
y
x
x
Figura 20-10
Figura 20-9
TEOREMA DE STOKES
Si S es una superficie abierta de dos lados limitada por una curva cerrada no intersecada C (curva cerrada simple)
como en la figura 20-10. Entonces
20.60.
°
#
! i DR °
3
 s ! i D3
donde el círculo sobre la integral se usa para enfatizar que C es cerrada.
TEOREMA DE GREEN EN EL PLANO
20.61.
⎛ ∂Q
AC (P dx + Q dy) = ∫R ⎜⎝ ∂x
−
∂P ⎞
dx dy
∂y ⎟⎠
donde R es el área limitada por la curva cerrada C. Este resultado es un caso especial del teorema de la divergencia
o teorema de Stokes.
05_Seccion 05_Spiegel(116-133).indd 126
04/12/13 16:47
127
FÓRMULAS DE ANÁLISIS VECTORIAL
PRIMERA IDENTIDAD DE GREEN
20.62.
°
6
F i Y ]D6 ° F Y i D3
[F  Y
donde f y y son funciones escalares.
SEGUNDA IDENTIDAD DE GREEN
20.63.
°
6
F  Y
Y  F D6 °
3
F Y
Y F i D3
TEOREMAS DE INTEGRALES VARIADAS
20.64.
∫
∇ × A dV =
20.65.
∫
φ dr =
V
C
∫
S
∫
S
dS × A
dS × ∇φ
COORDENADAS CURVILÍNEAS
Un punto P en el espacio (vea la figura 20-11) se puede
localizar mediante coordenadas rectangulares (x, y, z) o
coordenadas curvilíneas (u1, u2, u3), donde las ecuaciones
de transformación desde una configuración de coordenadas
al otro están dadas por
20.66.
z
u3 curva
e3
u2 =
x = x (u1, u2 , u3)
y = y(u1, u2 , u3)
u1 curva
z = z (u1, u2 , u3)
∂r
= h1e1 ,
∂u1
P
u3 =
c3
u1 =
c1
e2
u2 curva
y
Si u2 y u3 son constantes, y u1 varía, el vector de posición
r = xi + yj + zk de P describe una curva llamada curva
coordenada u1. Similarmente, se definen las curvas
coordenadas u2 y u3 a través de P. Los vectores ∂r/∂u1,
∂r/∂u2 , ∂r/∂u3 representan vectores tangentes a las curvas
coordenadas u1, u2, u3. Si e1, e2, e3 son los vectores unitarios
tangentes a esas curvas, se tiene
20.67.
e1
c2
∂r
= h2 e 2 ,
∂u2
x
Figura 20-11
∂r
= h3 e 3
∂u3
donde
20.68.
h1 =
∂r
,
∂u1
h2 =
∂r
,
∂u2
h3 =
∂r
∂u3
son llamados factores de escala. Si e1, e2, e3 son mutuamente perpendiculares, el sistema de coordenadas curvilíneas es llamado ortogonal.
05_Seccion 05_Spiegel(116-133).indd 127
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128
FÓRMULAS DE ANÁLISIS VECTORIAL
FÓRMULAS QUE INVOLUCRAN COORDENADAS CURVILÍNEAS ORTOGONALES
∂r
∂r
∂r
du1 +
du2 +
du = h1 du1e1 + h2 du2 e 2 + h3 du3 e 3
∂u1
∂u2
∂u3 3
20.69.
dr =
20.70.
DS DR i DR H DU
H DU
H DU
donde ds es el elemento de longitud de arco.
Si dV es el elemento de volumen, entonces
20.71.
D6 \ HEDU i H E DU s H E DU \ HH H DUDU DU
uR uR
uR
u X Y Z
DU DU DU DU DU DU
s
i
uU U U
uU uU uU
donde
20.72.
∂x/∂u1
∂( x , y, z )
= ∂y/∂u1
∂(u1, u2 , u3 )
∂z/∂u1
∂x/∂u2
∂y/∂u2
∂z/∂u2
∂x/∂u3
∂y/∂u3
∂z/∂u3
algunas veces escrito J(x, y, z; u1, u2, u3), se llama el jacobiano de la transformación.
TRANSFORMACIÓN DE INTEGRALES MÚLTIPLES
El resultado de la fórmula 20.72 se puede usar para transformar integrales múltiples de coordenadas rectangulares
a curvilíneas. Por ejemplo, se tiene
20.73.
∫ ∫ ∫ F ( x , y, z) dx dy dz = ∫ ∫ ∫ G(u , u , u )
1
2
3
!′
!
∂( x , y, z )
du du du
∂(u1, u2 , u3) 1 2 3
donde !′ es la región dentro de la cual ! está mapeada por la transformación y G(u1, u2, u3) es el valor de F(x, y, z)
correspondiendo a la transformación.
GRADIENTE, DIVERGENCIA, ROTACIONAL Y LAPLACIANO
En las siguientes ecuaciones, Φ es una función escalar y A = A1e1 + A2e2 + A3e3 es una función de un vector de
coordenadas curvilíneas ortogonales u1, u2, u3.
20.74. Gradiente de Φ = grad Φ = ∇Φ
Φ=
e1 ∂ Φ e 2 ∂ Φ e 3 ∂ Φ
+
+
h1 ∂u1 h2 du2 h3 ∂u3
20.75. Divergencia de ! DIV !  i ! 20.76.
HH H
¨ u
H H !
©
ª uU
h1e1 h2e 2
1
∂
∂
Rotacional de A = rot A = ∇ × A =
h1h2h3 ∂u1 ∂u2
h1 A1 h2 A2
=
·
u
HH ! ¸
uU
¹
h3e 3
∂
∂u3
h3 A3
⎤
⎤
1 ⎡ ∂
∂
1 ⎡ ∂
∂
(h1 A1 ) −
(h3 A3 )⎥ e 2
(h3 A3 ) −
(h2 A2 )⎥ e1 +
⎢
⎢
h2h3 ⎣ ∂u2
∂u3
h1h3 ⎣ ∂u3
∂u1
⎦
⎦
+
05_Seccion 05_Spiegel(116-133).indd 128
u
H H !
uU 1
h1h2
⎡ ∂
⎤
∂
⎢ ∂u (h2 A2 ) − ∂u (h1 A1 )⎥ e 3
2
⎣ 1
⎦
04/12/13 16:47
129
FÓRMULAS DE ANÁLISIS VECTORIAL
20.77. Laplaciano de Φ = ∇ 2Φ =
1 ⎡ ∂ ⎛ h2h3 ∂ Φ ⎞
∂ ⎛ h1h2 ∂ Φ ⎞ ⎤
∂ ⎛ h3h1 ∂ Φ ⎞
+
+
⎢ ⎜
⎥
⎜
⎟
⎟
h1h2h3 ⎢⎣ ∂u1 ⎝ h1 ∂u1 ⎠ ∂u2 ⎝ h2 ∂u2 ⎠ ∂u3 ⎜⎝ h3 ∂u3 ⎟⎠ ⎥⎦
Observe que el operador biarmónico ∇ 4 Φ = ∇ 2 (∇ 2Φ) se puede obtener de la fórmula 20.77.
SISTEMA COORDENADO ORTOGONAL ESPECIAL
Coordenadas cilíndricas (r, q, z) (Vea la figura 20-12)
20.78. x = r cos q,
20.79.
h12 = 1,
20.80.
∇ 2Φ =
y = r sen q,
h22 = r 2 ,
z=z
h32 = 1
∂2Φ 1 ∂ Φ 1 ∂2Φ ∂2Φ
+
+
+
∂ r 2 r ∂r r 2 ∂θ 2 ∂z 2
ez
z
z
er
eq
P(r, q, f)
er
z
z
x f
y
y
q r
y
x
ef
(r, q, z)
P
y
eq
x
x
Figura 20-12. Coordenadas cilíndricas.
Figura 20-13. Coordenadas esféricas.
Coordenadas esféricas (r, q, f) (Vea la figura 20-13)
20.81. x = r sen q cos f,
h22 = r 2 ,
y = r sen q sen f,
z = r cos q
h32 = r 2 sen 2 θ
20.82.
h12 = 1,
20.83.
∇ 2Φ =
20.84.
x = (u − ! ),
20.85.
h = h =u +! ,
20.86.
1 ⎛ ∂2Φ ∂2Φ ⎞ ∂2Φ
∇ 2Φ = 2
+
+
u + ! 2 ⎜⎝ ∂u 2 ∂! 2 ⎟⎠ ∂z 2
1
∂2Φ
1 ∂ ⎛ 2 ∂Φ ⎞
1
∂ ⎛
∂Φ ⎞
+ 2
r
sen θ
+ 2
2
2
⎜
⎟
⎜
⎟
r ∂r ⎝ dr ⎠ r sen θ ∂θ ⎝
∂θ ⎠ r sen θ ∂φ 2
Coordenadas cilíndricas parabólicas (u, y, z)
2
1
2
2
1
2
2
y = u! ,
2
2
2
z=z
h =1
2
3
Las trazas de las superficies coordenadas sobre
el plano xy se muestran en la figura 20-14. Estas
son parábolas confocales con un eje común.
05_Seccion 05_Spiegel(116-133).indd 129
y
u=2
!=2
e!
u=1
eu
P
u=0
!=0 x
!=1
u = -1
u=-
!=1
2
!=2
Figura 20-14
04/12/13 16:47
130
FÓRMULAS DE ANÁLISIS VECTORIAL
Coordenadas paraboloidales (u, y, f)
20.87. x = uy cos f,
donde
y = uy sen f,
u ! 0,
h12 = h22 = u 2 + ! 2 ,
20.89.
∇ 2Φ =
(u2
1
2
y2)
0 " φ < 2π
# ! 0,
20.88.
z=
h32 = u 2 ! 2
1
∂
2
u(u + ! ) ∂u
2
⎛ ∂Φ ⎞
1
1 ∂2Φ
∂ ⎛ ∂Φ ⎞
⎜⎝ u ∂u ⎟⎠ + ! (u 2 + ! 2 ) ∂! ⎜⎝ ! ∂! ⎟⎠ + u 2! 2 ∂φ 2
Los dos sistemas de superficies coordenadas se obtienen al girar las parábolas de la figura 20-14 alrededor
del eje x, el cual se renombra eje z.
Coordenadas cilíndricas elípticas (u, y, z)
20.90. x = a cosh u cos y,
donde
u ! 0,
y = a senh u sen y,
0 " # < 2π ,
20.91.
H H A SENH U SEN Y
20.92.
& − ∞< z < ∞
H ¥ u &
A SENH U SEN Y ¦§ uU z=z
u & ´
uY µ¶
u &
uZ !=
! = p/2
Las trazas de las superficies coordenadas sobre el plano xy se muestran en la figura 20-15. Estas son elipses
confocales e hipérbolas.
3p
p/3
!=
u=2
/4
5p
/6
u = 3/2
!=
e!
!=
/3
2p
!=
y
4
p/
!=
p /6
eu
u=1
!=p
(-a, 0)
u=0
P
(a, 0)
!=0
! = 2p
x
u=1
6
7p/
/4
5p
4p
! = 3p/2
7p
11p
/6
/4
/3
5p
!=
u=2
!=
!=
!=
!=
u = 3/2
/3
!=
Figura 20-15. Coordenadas cilíndricas elípticas.
05_Seccion 05_Spiegel(116-133).indd 130
04/12/13 16:47
FÓRMULAS DE ANÁLISIS VECTORIAL
131
Coordenadas esferoidales alargadas (x, h, f)
20.93.
x = a senh ξ sen η cos φ ,
y = a senh ξ sen η sen φ ,
ξ ! 0,
donde
20.94.
h12 = h22 = a 2 (senh 2 ξ sen 2 η),
20.95.
∇ 2Φ =
z = a cosh ξ co
os η
0 " η " π,
0 " φ < 2π
h32 = a 2 senh 2 ξ sen 2 η
1
∂ ⎛
∂Φ ⎞
senh ξ
a 2 (senh 2 ξ + sen 2 η) senh ξ ∂ξ ⎜⎝
∂ξ ⎠⎟
+
∂ ⎛
∂Φ ⎞
1
1
∂2Φ
+
sen
η
∂η ⎟⎠ a 2 senh 2 ξ sen 2 η ∂φ 2
a 2 (senh 2 ξ + sen 2 η) sen η ∂η ⎜⎝
Los dos sistemas de superficies coordenadas se obtienen al girar las curvas de la figura 20-15 alrededor del
eje x, el cual se renombra eje z. El tercer sistema de coordenadas de superficies se forma mediante los planos
que pasan a través de este eje.
Coordenadas esferoidales achatadas (x, h, f)
20.96.
x = a cosh ξ cos η cos φ ,
y = a cosh ξ cos η sen φ ,
ξ ! 0,
donde
20.97.
h12 = h22 = a 2 (senh 2ξ + sen 2η),
20.98.
∇ 2Φ =
z = a senh ξ seen η
− π /2 " η " π /2,
0 " φ < 2π
h32 = a 2 cosh 2 ξ cos 2 η
1
∂ ⎛
∂Φ ⎞
cosh ξ
a 2 ( senh 2 ξ + sen 2 η)cosh ξ ∂ξ ⎜⎝
∂ξ ⎟⎠
+
∂ ⎛
∂Φ ⎞
1
1
∂2Φ
cos η ⎟ + 2
2
2
2
⎜
∂η ⎠ a cosh ξ cos η ∂φ 2
a ( senh ξ + sen η)cos η ∂η ⎝
2
2
Los dos sistemas de superficies coordenadas se obtienen al girar las curvas de la figura 20-15 alrededor del
eje y, el cual se renombra eje z. El tercer sistema de coordenadas de superficies se forma mediante los planos
que pasan a través de este eje.
Coordenadas bipolares (u, y, z)
x=
20.99.
donde
a senh !
,
cosh ! − cos u
y=
a sen u
,
cosh ! − cos u
0 ! u < 2π ,
z=z
−∞< " < ∞,
−∞< z < ∞
o
20.100.
x 2 + (y − a cot u)2 = a 2 csc 2 u,
05_Seccion 05_Spiegel(116-133).indd 131
( x − a coth ! )2 + y 2 = a 2 csch 2 ! ,
z=z
04/12/13 16:47
132
FÓRMULAS DE ANÁLISIS VECTORIAL
20.101.
h12 = h22 =
20.102.
∇ 2Φ =
a2
,
(cosh ! − cos u)2
h32 = 1
(cosh ! − cos u)2 ⎛ ∂ 2Φ ∂ 2Φ ⎞ ∂ 2Φ
⎜⎝ ∂u 2 + ∂! 2 ⎟⎠ + ∂z 2
a2
Las trazas de las superficies coordenadas sobre el plano xy se muestran en la figura 20-16.
y
/4
=p
e!
eu
!=
!=
u=
-0
.5
u
!=0
6
p/
p/2
u=
! = -1
0.5
!=1
(-a, 0) o ! = - !
x
(a, 0) o ! = !
!=2
u=
3p/
2
! = -2
u=
/4
7p
/6
1p
1
u=
Figura 20-16. Coordenadas bipolares.
Coordenadas toroidales (u, y, f)
A SENH Y COS F
COSH Y COS U
20.103.
X
20.104.
H H 20.105.
 & Y
A SENH Y SEN F
COSH Y COS U
A
COSH Y
COS U
COSH Y
COS U
A
H Z
A SEN U
COSH Y COS U
A SENH Y
COSH Y COS U
u ¥
u&´
uU ¦§ COSH Y COS U uU µ¶
COSH Y COS U
A SENH Y
u ¥
SENH Y
u&´
uY ¦§ COSH Y COSU uY µ¶
COSH Y COS U
A SENH Y
u&
uH Las superficies coordenadas se obtienen al girar las curvas de la figura 20-16 alrededor del eje y, el cual
se renombra eje z.
Coordenadas cónicas (l, m, v)
"µ v
,
ab
20.106.
x=
20.107.
h12 = 1,
05_Seccion 05_Spiegel(116-133).indd 132
y=
h22 =
" (µ 2 − a 2 )(v 2 − a 2 )
,
a
a2 − b2
"2 (µ 2 − v 2 )
,
(µ − a 2 )(b 2 − µ 2 )
2
h32 =
z=
" (µ 2 − b 2 )(v 2 − b 2 )
b
b2 − a2
"2 (µ 2 − v 2 )
(v − a 2 )(v 2 − b 2 )
2
04/12/13 16:47
FÓRMULAS DE ANÁLISIS VECTORIAL
133
Coordenadas elipsoidales confocales (l, m, y)
20.108.
⎧ x2
y2
z2
+
+
⎪ a 2 − ! b 2 − ! c 2 − ! = 1,
⎪
z2
y2
⎪ x2
+ 2
+ 2
= 1,
⎨ 2
⎪a − µ b − µ c − µ
⎪ x2
y2
z2
= 1,
+ 2
+ 2
⎪ 2
⎩a − v b − v c − v
! < c2 < b2 < a2
c2 < µ < b2 < a2
c2 < b2 < v < a2
o
20.109.
⎧ 2 (a 2 − !)(a 2 − µ )(a 2 − v)
⎪x =
(a 2 − b 2 )(a 2 − c 2 )
⎪
⎪ 2 (b 2 − !)(b 2 − µ )(b 2 − v)
⎨y =
(b 2 − a 2 )(a 2 − c 2 )
⎪
⎪
(c 2 − !)(c 2 − µ )(c 2 − v)
⎪z 2 =
(c 2 − a 2 )(c 2 − b 2 )
⎩
20.110.
⎧ 2
⎪h1 = 4(a 2
⎪
⎪ 2
⎨h2 =
4(a 2
⎪
⎪
⎪h32 =
4(a 2
⎩
(µ − !)(v − !)
− !)(b 2 − !)(c 2 − !)
(v − µ )(! − µ )
− µ )(b 2 − µ )(c 2 − µ )
(! − v)(µ − v)
− v)(b 2 − v)(c 2 − v)
Coordenadas paraboloidales confocales (l, m, v)
20.111.
⎧ x2
h2
⎪ a 2 − ! + b 2 − ! = z − !,
⎪
y2
⎪ x2
+ 2
= z − µ,
⎨ 2
⎪a − µ b − µ
⎪ x2
y2
+ 2
= z − v,
⎪ 2
⎩a − v b − v
− ∞< ! < b 2
b2 < µ < a2
a2 < v < ∞
o
⎧ 2 (a 2 − !)(a 2 − µ )(a 2 − v)
⎪x =
b2 − a2
⎪⎪
⎨ 2 (b 2 − !)(b 2 − µ )(b 2 − v)
⎪y =
a2 − b2
⎪
⎪⎩z = ! + µ + v − a 2 − b 2
20.112.
.
20.113.
⎧ 2
(µ − !)(v − !)
⎪h1 = 4(a 2 − !)(b 2 − !)
⎪
⎪ 2
(v − µ )(! − µ )
⎨h2 =
4(a 2 − µ )(b 2 − µ )
⎪
⎪
(! − v)(µ − v)
⎪h32 =
16(a 2 − v)(b 2 − v)
⎩
05_Seccion 05_Spiegel(116-133).indd 133
04/12/13 16:47
Sección VI: Series
21
Series de constantes
SERIES ARITMÉTICAS
21.1.
a + (a + d ) + (a + 2 d ) + ⋅⋅⋅ + {a + (n − 1)d } = 12 n{2 a + (n − 1)d } = 12 n(a + l )
donde l ! a " (n # 1)d es el último término.
Algunos casos especiales son
21.2.
1 + 2 + 3 + ⋅⋅⋅ + n = 12 n(n + 1)
21.3.
1 + 3 + 5 + ⋅⋅⋅ + (2 n − 1) = n 2
SERIES GEOMÉTRICAS
21.4.
a + ar + ar 2 + ar 3 + ⋅⋅⋅ + ar n−1 =
a(1 − r n ) a − rl
=
1− r
1− r
donde l ! ar n#1 es el último término y r ≠ 1.
Si #1 < r < 1, entonces
21.5.
a + ar + ar 2 + ar 3 + ⋅⋅⋅ =
a
1− r
SERIES ARITMÉTICAS-GEOMÉTRICAS
21.6.
a + (a + d )r + (a + 2 d )r 2 + ⋅⋅⋅ + {a + (n − 1)d }r n−1 =
a(1 − r n ) rd {1 − nr n−1 + (n − 1)r n }
+
1− r
(1 − r )2
donde r ≠ 1.
Si #1 < r < 1, entonces
21.7.
a + (a + d )r + (d + 2 d )r 2 + ⋅⋅⋅ =
a
rd
+
1 − r (1 − r )2
SUMA DE POTENCIAS DE ENTEROS POSITIVOS
21.8.
1p + 2 p + 3 p + ⋅⋅⋅ + n p =
n p+1 1 p B1 pn p−1 B2 p( p − 1)( p − 2 )n p− 3
+ ⋅⋅⋅
+ n +
−
2!
4!
p +1 2
donde las series terminadas en n2 o n, nos recuerdan que p es impar o par, y Bk son los números de Bernoulli
(vea la página 142).
134
06_Seccion 06_Spiegel(134-148).indd 134
04/12/13 16:56
SERIES DE CONSTANTES
135
Algunos casos especiales son
21.9.
1 + 2 + 3 + ⋅⋅⋅ + n =
n(n + 1)
2
21.10.
12 + 2 2 + 32 + ⋅⋅⋅ + n 2 =
n(n + 1)(2 n + 1)
6
21.11.
13 + 2 3 + 33 + ⋅⋅⋅ + n 3 =
n 2 (n + 1)2
= (1 + 2 + 3 + ⋅⋅⋅ + n )2
4
21.12.
14 + 2 4 + 34 + ⋅⋅⋅ + n 4 =
n(n + 1)(2 n + 1)( 3n 2 + 3n − 1)
30
Si Sk = 1k + 2 k + 3k + ⋅⋅⋅ + n k , donde k y n son enteros positivos, entonces
21.13.
⎛ k + 1⎞
⎛ k + 1⎞
⎛ k + 1⎞
k +1
⎜⎝ 1 ⎟⎠ S1 + ⎜⎝ 2 ⎟⎠ S2 + ⋅⋅⋅ + ⎜⎝ k ⎟⎠ Sk = (n + 1) − (n + 1)
SERIES QUE CONTIENEN RECÍPROCOS DE POTENCIAS DE ENTEROS POSITIVOS
21.14.
1−
1 1 1 1
+ − + − ⋅⋅⋅ = ln 2
2 3 4 5
21.15.
1−
π
1 1 1 1
+ − + − ⋅⋅⋅ =
4
3 5 7 9
21.16.
1−
π 3 1
1 1
1
1
+ −
+
− ⋅⋅⋅ =
+ ln 2
4 7 10 13
9
3
21.17.
1−
π 2
1 1
1
1
+ −
+
− ⋅⋅⋅ =
+
5 9 13 17
8
21.18.
1 1 1
1
1
π 3
1
− + −
+ − ⋅⋅⋅ =
+ ln 2
2 5 8 11 14
9
3
21.19.
21.20.
21.21.
21.22.
21.23.
21.24.
21.25.
21.26.
1
12
1
14
1
16
1
12
1
14
1
16
1
12
1
14
+
+
+
−
−
−
+
+
06_Seccion 06_Spiegel(134-148).indd 135
1
22
1
24
1
26
1
22
1
24
1
26
1
32
1
34
1
32
1
+ 4
3
1
+ 6
3
1
+ 2
3
1
+ 4
3
1
+ 6
3
1
+ 2
5
1
+ 4
5
+
2 ln (1 + 2 )
4
1
π2
2 + ⋅⋅⋅ =
6
4
1
π4
+ 4 + ⋅⋅⋅ =
90
4
1
π6
+ 6 + ⋅⋅⋅ =
945
4
1
π2
− 2 + ⋅⋅⋅ =
12
4
1
7π 4
− 4 + ⋅⋅⋅ =
720
4
1
31π 6
− 6 + ⋅⋅⋅ =
4
30 240
1
π2
+ 2 + ⋅⋅⋅ =
8
7
1
π4
+ 4 + ⋅⋅⋅ =
96
7
+
04/12/13 16:56
136
SERIES DE CONSTANTES
21.27.
1
1
1
1
π6
6 +
6 +
6 +
6 + ⋅⋅⋅ =
960
1
3
5
7
21.28.
1
1
1
1
π3
−
+
−
+
⋅⋅⋅
=
32
13 33 5 3 7 3
21.29.
1
1
1
1
3π 3 2
3 +
3 −
3 −
3 + ⋅⋅⋅ =
128
1
3
5
7
21.30.
1
1
1
1
1
+
+
+
+ ⋅⋅⋅ =
1 3 3 5 5 7 7 9
2
21.31.
1
1
1
1
3
+
+
+
+ ⋅⋅⋅ =
13 2 4 35 4 6
4
21.32.
1
1
1
1
π2 −8
+
+
+
+
⋅⋅⋅
=
12 32 32 52 52 72 72 92
16
21.33.
1
1
1
4π 2 − 39
+ 2 2 2 + 2 2 2 + ⋅⋅⋅ =
2
2
1 2 3
2 3 4
3 4 5
16
21.34.
1 u a −1du
1
1
1
1
−
+
−
+ ⋅⋅⋅ = ∫
0 1 + ud
a a + d a + 2 d a + 3d
21.35.
2 2 p−1π 2 p Bp
1
1
1
1
2p +
2p +
2p +
2 p + ⋅⋅⋅ =
(2 p)!
1
2
3
4
21.36.
(2 2 p − 1) π 2 p Bp
1
1
1
1
+
+
+
+
⋅⋅⋅
=
2(2 p)!
12 p 32 p 5 2 p 7 2 p
21.37.
(2 2 p−1 − 1) π 2 p Bp
1
1
1
1
−
+
−
+
⋅⋅⋅
=
(2 p)!
12 p 2 2 p 32 p 4 2 p
21.38.
2
1
2 p+1
1
−
1
2 p+1
3
+
1
5
2 p+1
−
1
7
2 p+1
+ ⋅⋅⋅ =
π 2 p+1E p
2 (2 p)!
2 p+ 2
VARIAS SERIES
21.39.
1
sen(n + 1/2)α
+ cos α + cos 2α + ⋅⋅⋅ + cos nα =
2
2 sen(α /2)
21.40.
sen α + sen 2α + sen 3α + ⋅⋅⋅ + sen nα =
21.41.
1 + r cos α + r 2 cos 2α + r 3 cos 3α + ⋅⋅⋅ =
21.42.
r sen α + r 2 sen 2α + r 3 sen 3α + ⋅⋅⋅ =
21.43.
1 + r cos α + r 2 cos 2α + ⋅⋅⋅ + r n cos nα =
21.44.
r sen α + r 2 sen 2α + ⋅⋅⋅ + r n sen nα =
06_Seccion 06_Spiegel(134-148).indd 136
sen[1/2(n + 1)]α sen 1/2nα
sen (α /2)
1 − r cos α
, |r |< 1
1 − 2r cos α + r 2
r sen α
, |r |< 1
1 − 2r cos α + r 2
r n+ 2 cos nα − r n+1 cos(n + 1)α − r cos α + 1
1 − 2 r cos α + r 2
r sen α − r n+1 sen (n + 1) α + r n+ 2 sen nα
1 − 2r cos α + r 2
04/12/13 16:56
SERIES DE CONSTANTES
137
FÓRMULA DE LA SUMA DE EULER-MACLAURIN
21.45.
n −1
∑ F (k ) = ∫
n
0
k =1
1
F (k )dk − {F (0) + F (n)}
2
+
1
1
{F ′′′(n) − F ′′′(0)}
{F ′(n) − F (0)} −
12
720
+
1
1
{F ( v ) (n) − F ( v ) (0)} −
{F ( vii ) (n) − F ( vii ) (0)}
30 240
1 209 600
+ ⋅⋅⋅ (−1) p−1
Bp
(2 p)!
{F ( 2 p−1) (n) − F ( 2 p−1) (0)} + ⋅ ⋅⋅
FÓRMULA DE LA SUMA DE POISSON
21.46.
∞
∞
{
∑ F (k ) = ∑ ∫
k =−∞
06_Seccion 06_Spiegel(134-148).indd 137
m =−∞
∞
−∞
}
e 2π imx F ( x )dx
04/12/13 16:56
22
Series de Taylor
SERIES DE TAYLOR PARA FUNCIONES DE UNA VARIABLE
22.1.
f ′′(a)( x − a)2
f ( n−1) (a)( x − a)
f ( x ) = f (a) + f ′(a)( x − a) +
+ ⋅⋅⋅ +
(n − 1)!
2!
n−1
+ Rn
donde Rn, es el residuo después de n términos, está dado por cada una de las siguientes formas:
22.2. Forma de Lagrange: Rn =
22.3. Forma de Cauchy: Rn =
f ( n ) (ξ )( x − a )n
n!
f ( n ) (ξ )( x − ξ )n−1 ( x − a )
(n − 1)!
El valor x, el cual puede ser diferente en las dos formas, está entre a y x. El resultado se lleva a cabo si f (x) tiene
(al menos) derivadas continuas de orden n.
Si lím Rn = 0, las series infinitas obtenidas se llaman series de Taylor para f (x) alrededor de x ! a. Si a ! 0,
n→∞
las series se llaman series Maclaurin. Estas series, llamadas de potencias, generalmente convergen para todos los
valores de x en algún intervalo llamado intervalo de convergencia y divergen para todo x fuera de este intervalo.
Algunas series contienen los números de Bernoulli Bn y los números de Euler En definidos en el capítulo 23,
en las páginas 142-143.
SERIES BINOMIALES
22.4.
(a + x )n = a n + na n−1 x +
n(n − 1) n− 2 2 n(n − 1)(n − 2 ) n− 3 3
a x + ⋅⋅⋅
a x +
2!
3!
⎛ n⎞
⎛ n⎞
⎛ n⎞
= a n + ⎜ ⎟ a n−1 x + ⎜ ⎟ a n− 2 x 2 + ⎜ ⎟ a n− 3 x 3 + ⋅⋅⋅
⎝ 3⎠
⎝1⎠
⎝ 2⎠
Son casos especiales
22.5.
(a + x )2 = a 2 + 2 ax + x 2
22.6.
(a + x )3 = a 3 + 3a 2 x + 3ax 2 + x 3
22.7.
(a + x )4 = a 4 + 4 a 3 x + 6 a 2 x 2 + 4 ax 3 + x 4
22.8.
(1 + x )−1 = 1 − x + x 2 − x 3 + x 4 − ⋅⋅⋅
"1 < x < 1
22.9.
(1 + x )−2 = 1 − 2 x + 3x 2 − 4 x 3 + 5 x 4 − ⋅⋅⋅
"1 < x < 1
(1 + x )−3 = 1 − 3x + 6 x 2 − 10 x 3 + 15 x 4 − ⋅⋅⋅
"1 < x < 1
22.10.
138
06_Seccion 06_Spiegel(134-148).indd 138
04/12/13 16:56
SERIES DE TAYLOR
22.11.
(1 + x )−1/ 2 = 1 −
1
1 3 2 1 3 5 3
x+
x −
x + ⋅⋅⋅
2
2 4
2 4 6
!1 < x " 1
22.12.
(1 + x )1/ 2 = 1 +
1
1 2
1 3 3
x−
x +
x − ⋅⋅⋅
2
2 4
2 4 6
!1 < x " 1
22.13.
(1 + x )−1/ 3 = 1 −
1
1 4 2 1 4 7 3
x+
x −
x + ⋅⋅⋅
3
3 6
3 6 9
!1 < x " 1
22.14.
(1 + x )1/ 3 = 1 +
2 2
2 5 3
1
x−
x +
x − ⋅⋅⋅
3
3 6
3 6 9
139
!1 < x " 1
SERIES PARA FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS
22.15.
22.16.
22.17.
x2 x3
+ + ⋅⋅⋅
2 ! 3!
( x ln a )2 ( x ln a )3
a x = e x ln a = 1 + x ln a +
+
+ ⋅⋅⋅
2!
3!
x2 x3 x4
ln (1 + x ) = x −
+
−
+ ⋅⋅⋅
2
3
4
ex = 1 + x +
22.18.
1 ⎛1 + x⎞
x3 x5 x7
ln ⎜
+
+
+ ⋅⋅⋅
=x+
⎟
2 ⎝1 − x⎠
3
5
7
22.19.
⎪⎧⎛ x − 1⎞ 1
ln x = 2 ⎨⎜
⎟+
⎪⎩⎝ x + 1⎠ 3
22.20.
⎛ x − 1⎞ 1 ⎛ x − 1⎞ 1 ⎛ x − 1⎞
ln x = ⎜
+
+
+ ⋅ ⋅⋅
⎝ x ⎟⎠ 2 ⎜⎝ x ⎟⎠ 3 ⎜⎝ x ⎟⎠
!∞ < x < ∞
!1 < x " 1
!1 < x < 1
3
5
1 ⎛ x − 1⎞
⎪⎫
⎛ x − 1⎞
⎜⎝ x + 1⎟⎠ + 5 ⎜⎝ x + 1⎟⎠ + ⋅⋅⋅⎬
⎪⎭
2
!∞ < x < ∞
x>0
3
x#
1
2
SERIES PARA FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
22.21. sen x = x −
x3 x5 x7
+ − +L
3! 5! 7!
−∞ < x <∞
cos x = 1 −
x2 x4 x6
+
− +L
2! 4 ! 6!
− ∞< x < ∞
2 2 n (2 2 n − 1)Bn x 2 n−1
x 3 2 x 5 17 x 7
+
+
+L +
+L
3
15
315
(2 n )!
| x |<
22.22.
22.23. tan x = x +
3
5
2 2 n Bn x 2 n−1
22.24. cot x = 1 − x − x − 2 x − L −
−L
x 3 45 945
(2 n )!
E x 2n
x 2 5 x 4 61x 6
+
+
+L+ n
+L
22.25. sec x = 1 +
2
(2 n )!
24
720
2(22 n−1 − 1) Bn x 2 n−1
1 x 7x 3
31x 5
+ +
+
+L+
+L
x 6 360 15 120
(2n)!
1 x3 1 3 x5 1 3 5 x7
sen −1x = x +
+
+
+L
2 3 2 4 5 2 4 6 7
π
2
0< |x| <π
|x|<
π
2
22.26. csc x =
0< |x| <π
22.27.
|x|<1
22.28. cos −1 x =
06_Seccion 06_Spiegel(134-148).indd 139
⎞
π
π ⎛
1 x3 1 3 x5
− sen −1x = − ⎜ x +
+
+ L⎟
2
2 ⎝
2 3 2 4 5
⎠
|x|<1
04/12/13 16:57
140
22.29.
22.30.
22.31.
22.32.
SERIES DE TAYLOR
⎧ x3 x5 x7
⎪x − 3 + 5 − 7 + L
tan −1 x = ⎨
⎪± π − 1 + 1 − 1 + L
⎪⎩ 2 x 3x 3 5x 5
⎧π ⎛
⎞
x3 x5
− ⎜ x − + − L⎟
⎪
π
⎪
3
5
⎠
cot −1 x = − tan −1 x = ⎨ 2 ⎝
2
⎪pπ + 1 − 1 + 1 − L
⎪⎩
x 3x 3 5x 5
⎞
π ⎛1
1
1 3
sec −1 x = cos −1 (1/x ) = − ⎜ +
+
+ L⎟
3
5
2 ⎝ x 2 3x
2 4 5x
⎠
1
1
1
3
csc −1 x = sen −1 (1/x ) = +
+
+L
x 2 3x 3 2 4 5x 5
| x | <1
(+ si x
1, − si x
− 1)
| x | <1
( p = 0 si x > 1, p = 1 si x < − 1)
|x|>1
|x|>1
SERIES PARA FUNCIONES HIPERBÓLICAS
x3 x5 x7
+ + +L
3! 5! 7!
x2 x4 x6
cosh x = 1 + + + + L
2! 4! 6!
(−1)n−1 2 2 n (2 2 n − 1))Bn x 2 n−1
x 3 2 x 5 17 x 7
tanh x = x −
+
−
+L
+L
3
15
315
(2 n )!
22.33. senh x = x +
−∞ < x <∞
22.34.
− ∞< x < ∞
22.35.
22.36. coth x =
(−1)n−1 2 2 n Bn x 2 n−1
1 x x 3 2x5
+ −
+
+L
+L
x 3 45 945
(2 n)!
22.37. sech x = 1 −
22.38. csch x =
22.39.
(−1)n En x 2 n
x 2 5 x 4 61x 6
+
−
+L
+L
2
24
720
(2 n )!
(−1)n 2(22 n−1 − 1) Bn x 2 n−1
1 x 7x 3
31x 5
− +
−
+L
+L
x 6 360 15 120
(2n)!
⎧
x3
1 3x 5
1 3 5x 7
⎪x − 2 3 + 2 4 5 − 2 4 6 7 + L
⎪
senh −1x = ⎨
⎛
⎞
⎪± ln | 2 x | + 1 − 1 3 + 1 3 5 − L
2
4
6
⎜
⎟⎠
2
2
x
2
4
4
x
2
4
6
6
x
⎩⎪ ⎝
⎛ 1
⎞ ⎪⎫
13
135
⎪⎧
+ L⎟ ⎬
+
+
22.40. cosh −1 x = ± ⎨ln(2 x ) − ⎜
6
2
4
2 4 4x
2 4 6 6x
⎝ 2 2x
⎠ ⎪⎭
⎪⎩
3
5
7
x
x
x
22.41. tanh −1 x = x +
+
+
+L
3
5
7
1
1
1
1
22.42. coth −1 x = + 3 + 5 + 7 + L
x 3x
5x
7x
VARIAS SERIES
22.43. e sen x = 1 + x +
x2 x4 x5
− − +L
2
8 15
⎛ x 2 x 4 31x 6
⎞
+
−
+ L⎟
22.44. e cos x = e ⎜1 −
2
6
720
⎝
⎠
06_Seccion 06_Spiegel(134-148).indd 140
|x|<
π
2
0< |x| <π
|x|<
π
2
0< |x| <π
| x | <1
⎡ + si x 1 ⎤
⎢− si x − 1⎥
⎣
⎦
⎡+ si cosh −1 x > 0, x ! 1⎤
⎢− si cosh −1 x < 0, x ! 1⎥
⎣
⎦
|x|<1
|x|>1
−∞< x < ∞
−∞< x < ∞
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SERIES DE TAYLOR
22.45. e tan x = 1 + x +
22.46.
22.47.
22.48.
x 2 x 3 3x 4
+
+
+L
8
2
2
x3 x5 x6
2n / 2 sen (nπ /4) x n
−
−
+L+
+L
3 30 90
n!
x3 x4
2 n /2 cos(nπ / 4 ) x n
e x cos x = 1 + x −
−
+L +
+L
3
6
n!
22 n−1 Bn x 2 n
x2
x4
x6
ln | sen x | = ln | x | −
−
−
−L −
+L
6 180 2 835
n(2n)!
e x sen x = x + x 2 +
22.49. ln | cos x | = −
22 n−1 (22 n − 1) Bn x 2 n
x 2 x 4 x 6 17 x 8
−
−
−
−L −
+L
2 12 45 2 520
n(2n)!
22.50. ln | tan x | = ln | x | +
22.51.
22 n (22 n−1 − 1) Bn x 2 n
x 2 7 x 4 62 x 6
+
+
+L+
+L
3
90 2 835
n(2n)!
ln(1 + x )
= x − (1 + 12 ) x 2 + (1 + 12 + 13 ) x 3 − L
1+ x
|x|<
141
π
2
−∞< x < ∞
−∞< x < ∞
0< |x| <π
|x|<
π
2
0< |x|<
π
2
| x | <1
REVERSIÓN DE SERIES DE POTENCIAS
Suponga
22.52.
y = C1 x + C2 x 2 + C3 x 3 + C4 x 4 + C5 x 5 + C6 x 6 + L
entonces
22.53.
x = C1 y + C2 y 2 + C3 y 3 + C4 y 4 + C5 y 5 + C6 y 6 + L
donde
22.54.
c1C1 = 1
22.55.
c13C2 = −c2
22.56.
c15C3 = 2c22 − c1c3
22.57.
c17C4 = 5c1c2 c3 − 5c23 − c12 c4
22.58.
c19C5 = 6c12 c2 c4 + 3c12 c32 − c13c5 + 14 c24 − 21c1c22 c3
22.59.
c111C6 = 7c13c2 c5 + 84 c1c23c3 + 7c13c3c4 − 28c12 c2 c32 − c14 c6 − 28c12 c22 c4 − 42c25
SERIES DE TAYLOR PARA FUNCIONES DE DOS VARIABLES
22.60.
f ( x, y) = f (a, b ) + ( x − a ) f x (a, b ) + ( y − b ) f y (a, b )
+
1
{( x − a )2 f xx (a, b ) + 2( x − a )( y − b ) f xy (a, b ) + ( y − b )2 f yy (a, b )} + L
2!
donde f x (a, b ), f y (a, b ), L denota derivadas parciales con respecto a x, y, … evaluadas en x ! a, y ! b.
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23
Números de Euler y de Bernoulli
DEFINICIÓN DE NÚMEROS DE BERNOULLI
Los números de Bernoulli B1, B2, B3, … se definen por las series
23.1.
x
x B x2 B x4 B x6
= 1 − + 1 − 2 + 3 −L
2
2!
4!
6!
e −1
23.2.
1−
| x | < 2π
x
x
x B x2 B x4 B x6
cot = 1 + 2 + 3 + L
2
2
2!
4!
6!
|x| <π
DEFINICIÓN DE NÚMEROS DE EULER
Los números de Euler E1, E2, E3, … se definen por las series
23.3. sech x = 1 −
23.4. sec x = 1 +
E1 x 2 E2 x 4 E3 x 6
+
−
+L
2!
4!
6!
E1 x 2 E2 x 4 E3 x 6
+
−
+L
2!
4!
6!
|x|<
π
2
|x|<
π
2
TABLA DE LOS PRIMEROS NÚMEROS DE EULER Y BERNOULLI
Números de Bernoulli
Números de Euler
B1 = 1/6
E1 = 1
B2 = 1/30
E2 = 5
B3 = 1/42
E3 = 61
B4 = 1/30
E4 = 1 385
B5 = 5/66
E5 = 50 521
B6 = 691/2 730
E6 = 2 702 765
B7 = 7/6
E7 = 199 360 981
B8 = 3 617/510
E8 = 19 391 512 145
B9 = 43 867/ 798
E9 = 2 404 879 675 441
B10 = 174 611/330
E10 = 370 371 188 237 525
B11 = 854 513/138
E11 = 69 348 874 393 137 901
B12 = 236 364 091/2 730
E12 = 15 514 534 163 557 086 905
142
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NÚMEROS DE EULER Y DE BERNOULLI
143
RELACIONES DE NÚMEROS DE EULER Y BERNOULLI
⎛ 2 n + 1⎞ 2
⎛ 2 n + 1⎞ 4
⎛ 2 n + 1⎞ 6
23.5. ⎜
2 B1 − ⎜
2 B2 + ⎜
2 B3 − L (−1)n−1 (2 n + 1)2 2 n Bn = 2 n
⎝ 2 ⎟⎠
⎝ 4 ⎟⎠
⎝ 6 ⎟⎠
23.6.
⎛ 2 n⎞
⎛ 2 n⎞
⎛ 2 n⎞
En = ⎜ ⎟ En−1 − ⎜ ⎟ En− 2 + ⎜ ⎟ En− 3 − L (−1)n
⎝ 2⎠
⎝ 4⎠
⎝ 6⎠
23.7.
Bn =
⎫
⎧⎛ 2 n − 1⎞
2n
⎛ 2 n − 1⎞
⎛ 2 n − 1⎞
En− 3 − L(−1)n−1 ⎬
En−1 − ⎜
En − 2 + ⎜
⎨
⎜
⎟
⎟
⎟
2n
2 (2 − 1) ⎩⎝ 1 ⎠
⎝ 3 ⎠
⎝ 5 ⎠
⎭
2n
SERIES QUE CONTIENEN LOS NÚMEROS DE EULER Y BERNOULLI
23.8.
23.9.
23.10.
23.11.
1
1
⎫
⎧
⎨1 + 2 2 n + 32 n + L⎬
⎭
⎩
2(2 n )! ⎧
1
1
⎫
1+
Bn = 2 n
+
+ L⎬
(2 − 1)π 2 n ⎨⎩ 32 n 5 2 n
⎭
2(2 n )!
1
1
⎫
⎧
Bn = 2 n−1
2 n ⎨1 − 2 n + 2 n − L⎬
(2
3
− 1)π ⎩ 2
⎭
Bn =
(2 n )!
2 2 n−1 π 2 n
En =
2 2 n+ 2 (2 n )! ⎧
1
1
⎫
1−
+
− L⎬
π 2 n+1 ⎨⎩ 32 n+1 5 2 n+1
⎭
FÓRMULA ASINTÓTICA PARA NÚMEROS DE BERNOULLI
23.12.
Bn ~ 4 n 2 n (π e)−2 n π n
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24
Series de Fourier
DEFINICIÓN DE UNA SERIE DE FOURIER
Las series de Fourier correspondientes a una función f (x) definida en el intervalo c ! x ! c + 2 L , donde c y
L > 0 son constantes, están definidas por
24.1.
a0 ∞ ⎛
nπ x
nπ x⎞
+ ∑ ⎜ an cos
+ bn sen
L
L ⎟⎠
2 n=1 ⎝
donde
24.2.
⎧
1
⎪an = L
⎨
⎪b = 1
⎩ n L
∫
c+ 2 L
∫
c+ 2 L
nπ x
dx
L
nπ x
f ( x ) sen
dx
L
f ( x )cos
c
c
Si f (x) y f ′(x) son continuas por segmentos y f (x) está definida por una extensión periódica de 2L, es decir, f (x
" 2L) # f (x), entonces las series convergen en f (x) si x es un punto de continuidad y en 12 { f ( x + 0) + f ( x − 0)}
si x es un punto de discontinuidad.
FORMA COMPLEJA DE LAS SERIES DE FOURIER
Si las series 24.1 convergen en f (x), se tiene
24.3.
f (x ) =
∞
∑c e
n
n =−∞
in π x/L
donde
24.4.
1
cn =
2L
∫
c+ 2 L
c
f ( x )e
− in π x/L
⎧12 (an − ibn )
⎪
dx = ⎨12 (a− n + ib− n )
⎪⎩12 a0
n>0
n<0
n=0
IDENTIDAD DE PARSEVAL
24.5.
1
L
∫
c+ 2 L
c
{ f ( x )}2 dx =
∞
a02
+ ∑ (an2 + bn2 )
2 n=1
IDENTIDAD GENERALIZADA DE PARSEVAL
24.6.
1
L
∫
c+ 2 L
c
f ( x )g( x ) dx =
∞
a0 c0
+ ∑ (an cn + bn d n )
2
n =1
donde an, bn y cn, dn son los coeficientes de Fourier correspondientes a f (x) y g(x), respectivamente.
144
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145
SERIES DE FOURIER
SERIES DE FOURIER ESPECIALES Y SUS GRÁFICAS
24.7.
⎧ 1 0< x<π
f (x ) = ⎨
⎩−1 −π < x < 0
f(x)
1
⎞
4 ⎛ sen x sen 3x sen 5x
+
+
+ L⎟
π ⎜⎝ 1
3
5
⎠
-p
-2 p
0
p
2p
x
-1
Figura 24-1
24.8.
0< x<π
⎧ x
f (x ) = | x | = ⎨
x
π
−
−
<x<0
⎩
f(x)
p
⎞
π 4 ⎛ cos x cos 3x cos 5x
− ⎜ 2 +
+
+ L⎟
2
2
2 π⎝ 1
3
5
⎠
-2 p
0
-p
p
2p
p
2p
2p
4p
x
Figura 24-2
24.9.
f ( x ) = x, − π < x < π
f(x)
p
⎛ sen x sen 2 x sen 3x
⎞
2⎜
−
+
− L⎟
2
3
⎝ 1
⎠
-2p
-p
0
x
-p
Figura 24-3
24.10.
f ( x ) = x, 0 < x < 2π
f(x)
⎛ sen x sen 2 x sen 3x
⎞
π − 2⎜
+
+
+ L⎟
2
3
⎝ 1
⎠
2p
-4 p
0
-2p
x
Figura 24-4
24.11.
f ( x ) = | sen x |, − π < x < π
f(x)
⎞
2 4 ⎛ cos 2 x cos 4 x cos 6 x
−
+
+
+ L⎟
π π ⎜⎝ 1 3
3 5
5 7
⎠
1
-2 p
-p
0
p
2p
x
Figura 24-5
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146
SERIES DE FOURIER
24.12.
⎧sen x 0 < x < π
f (x) = ⎨
π < x < 2π
⎩ 0
f(x)
⎞
1 1
2 ⎛ cos 2 x cos 4 x cos 6 x
+ sen x − ⎜
+
+
+ L⎟
π 2
π⎝ 1 3
3 5
5 7
⎠
1
0
-p
-2p
p
x
2p
Figura 24-6
24.13.
0< x<π
⎧ cos x
f (x ) = ⎨
⎩− cos x −π < x < 0
f(x)
⎞
8 ⎛ sen 2 x 2 sen 4 x 3 sen 6 x
+
+
+ L⎟
π ⎜⎝ 1 3
3 5
5 7
⎠
0
-p
x
p
Figura 24-7
24.14.
f (x ) = x 2 , − π < x < π
f(x)
π2
⎛ cos x cos 2 x cos 3x
⎞
− 4⎜ 2 −
+
− L⎟
3
22
32
⎝ 1
⎠
p2
0
-3p -2p -p
p
2p
x
3p
Figura 24-8
24.15.
f ( x ) = x (π − x ), 0 < x < π
f(x)
π
⎛ cos 2 x cos 4 x cos 6 x
⎞
−
+
+
+ L⎟
6 ⎜⎝ 12
22
32
⎠
2
-2p
0
-p
p
x
2p
Figura 24-9
24.16.
f ( x ) = x (π − x )(π + x ), − π < x < π
f(x)
⎛ sen x sen 2 x sen 3x
⎞
+
− L⎟
12 ⎜ 3 −
3
3
2
3
⎝ 1
⎠
-p
0
p
2p
x
Figura 24-10
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147
SERIES DE FOURIER
24.17.
0 < x < π −α
⎧0
⎪
f ( x ) = ⎨1 π − α < x < π + α
⎪⎩0 π + α < x < 2π
f(x)
2a
2a
2a
2a
α 2 ⎛ sen α cos x sen 2α cos 2 x
−
−
1
π π ⎜⎝
2
+
24.18.
⎞
sen 3α cos 3x
− L⎟
3
⎠
-3p
-2p
-p
0
p
2p
x
3p
Figura 24-11
0< x<π
⎧ x (π − x )
f (x ) = ⎨
−
π
−
−
π
<x<0
x
(
x
)
⎩
f(x)
⎞
8 ⎛ sen x sen 3x sen 5x
+
+
+ L⎟
3
3
3
⎜
π⎝ 1
3
5
⎠
-2p
-p
0
p
2p
x
Figura 24-12
VARIAS SERIES DE FOURIER
24.19.
f ( x ) = sen µ x , − π < x < π , µ ≠ entero
⎞
2 sen µπ ⎛ sen x
2 sen 2 x 3 sen 3x
⎜⎝ 12 − µ 2 − 22 − µ 2 + 32 − µ 2 − L⎟⎠
π
24.20.
f ( x ) = cos µ x , − π < x < π , µ ≠ entero
⎞
cos 2 x
cos 3x
2µ sen µπ ⎛ 1
cos x
⎜⎝ 2µ 2 + 12 − µ 2 − 22 − µ 2 + 32 − µ 2 − L⎟⎠
π
24.21.
f ( x ) = tan −1[(a sen x ) / (1 − a cos x )], − π < x < π , | a | < 1
a sen x +
24.22.
a2
a3
sen 2 x + sen 3x + L
2
3
f ( x ) = ln (1 − 2a cos x + a 2 ), − π < x < π , | a | < 1
⎛
⎞
a3
a2
− 2 ⎜ a cos x + cos 2 x + cos 3x + L⎟
2
3
⎝
⎠
24.23.
f (x) =
1 −1
tan [(2a sen x ) / (1 − a 2 )], − π < x < π , | a | < 1
2
a sen x +
06_Seccion 06_Spiegel(134-148).indd 147
a3
a5
sen 3x + sen 5x + L
3
5
04/12/13 16:57
148
SERIES DE FOURIER
24.24.
f (x) =
1 −1
tan [(2a cos x ) / (1 − a 2 )], − π < x < π , | a | < 1
2
a cos x −
24.25.
a3
a5
cos 3x + cos 5x − L
3
5
f (x) = e µx , − π < x < π
∞
(−1)n (µ cos nx − n sen
2 senh µπ ⎛ 1
n nx )⎞
+
∑
2
2
⎜
⎟⎠
π
µ +n
⎝ 2µ n=1
24.26.
f ( x ) = senh µ x , − π < x < π
⎞
2 senh µπ ⎛ sen x
2 sen 2 x 3 sen 3x
⎜⎝ 12 + µ 2 − 22 + µ 2 + 32 + µ 2 − L⎟⎠
π
24.27.
f ( x ) = cosh µ x , − π < x < π
⎞
2 µ senh µπ ⎛ 1
cos x
cos 2 x
cos 3x
⎜⎝ 2 µ 2 − 12 + µ 2 + 22 + µ 2 − 32 + µ 2 + L⎟⎠
π
24.28.
f ( x ) = ln | sen 12 x |, 0 < x < π
⎛
⎞
cos x cos 2 x cos 3x
+ L⎟
− ⎜ ln 2 +
+
+
3
1
2
⎝
⎠
24.29.
f ( x ) = ln | cos 12 x |, − π < x < π
cos x cos 2 x cos 3x
⎛
⎞
+ L⎟
− ⎜ ln 2 −
+
−
3
1
2
⎝
⎠
24.30.
f ( x ) = 16 π 2 − 12 π x + 14 x 2 , 0 ! x ! 2π
cos x cos 2 x cos 3x
+
+
+L
12
22
32
24.31.
f ( x ) = 121 x ( x − π )( x − 2π ), 0 ! x ! 2π
sen x sen 2 x seen3x
+L
+
+
33
13
23
24.32.
f (x ) =
1
90
π 4 − 121 π 2 x 2 + 121 π x 3 −
1
48
x 4 , 0 ! x ! 2π
cos x cos 2 x cos 3x
+
+
+L
14
24
34
06_Seccion 06_Spiegel(134-148).indd 148
04/12/13 16:57
Sección VII: Funciones especiales y polinomiales
25
La función gamma
DEFINICIÓN DE LA FUNCIÓN GAMMA !(n) PARA n > 0
25.1.
∞
Γ(n) = ∫ t n−1e − t dt
0
n>0
FÓRMULA DE RECURSIÓN
25.2.
Γ (n + 1) = nΓ (n)
Si n = 0, 1, 2,…, es un entero no negativo, se tiene lo siguiente (donde 0!=1):
25.3.
Γ(n + 1) = n!
LA FUNCIÓN GAMMA PARA n < 0
Para n < 0 la función gamma se define mediante la fórmula 25.2, que es,
25.4.
Γ (n) =
Γ (n + 1)
n
GRÁFICA DE LA FUNCIÓN GAMMA
5
4
3
2
1
-5 -4
-3 -2 -1
G(n)
1 2 3 4 5 n
-1
-2
-3
-4
-5
Figura 25-1
149
07_Seccion 07_Spiegel(149-179).indd 149
04/12/13 16:57
150
LA FUNCIÓN GAMMA
VALORES ESPECIALES PARA LA FUNCIÓN GAMMA
25.5.
Γ( 12 ) = π
25.6.
Γ(m + 12 ) =
25.7.
Γ(− m + 12 ) =
1 3 5 ⋅⋅⋅ (2m − 1)
π
2m
(−1)m 2m π
1 3 5 ⋅⋅⋅ (2m − 1)
m = 1, 2, 3, ...
m = 1, 2, 3, ...
RELACIONES ENTRE LA FUNCIÓN GAMMA
π
sen pπ
25.8.
Γ( p)Γ(1− p) =
25.9.
22 x −1 Γ ( x )Γ ( x + 12 ) = π Γ (2 x )
Esta se llama fórmula de duplicación.
25.10.
⎛
⎛
m − 1⎞
1⎞ ⎛
2⎞
Γ ( x )Γ ⎜ x + ⎟ Γ ⎜ x + ⎟ ⋅⋅⋅ Γ ⎜ x +
= m1/ 2 − mx (2π )( m −1)/ 2 Γ (mx )
m⎠ ⎝
m⎠
m ⎟⎠
⎝
⎝
Para m = 2 esta se reduce a la fórmula 25.9.
OTRAS DEFINICIONES DE LA FUNCIÓN GAMMA
25.11.
25.12.
Γ( x + 1) = lím
k →∞
1 2 3 ⋅⋅⋅ k
kx
( x + 1)( x + 2) ⋅⋅⋅ ( x + k )
∞ ⎧
⎫⎪
1
x⎞
⎪⎛
= xeγ x ∏ ⎨⎜1 + ⎟ e − x / m ⎬
Γ( x )
⎪⎝ m ⎠
m =1 ⎩
⎭⎪
Esta es la representación de un producto infinito para la función gamma, donde g es la constante de Euler definida en la fórmula 1.3, de la página 3.
DERIVADAS DE LA FUNCIÓN GAMMA
∞
25.13.
Γ ′(1) = ∫ e − x ln x dx = −γ
25.14.
⎛1
Γ ′( x )
= −γ + ⎜ −
Γ(x)
⎝1
0
⎛1
1⎞ ⎛ 1
1 ⎞
1 ⎞
+⎜ −
+ ⋅⋅⋅
+ ⋅⋅⋅ + ⎜ −
⎟
⎟
x ⎠ ⎝ 2 x + 1⎠
⎝ n x + n − 1⎟⎠
Aquí nuevamente la constante de Euler es g.
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LA FUNCIÓN GAMMA
151
EXPANSIÓN ASINTÓTICA PARA LA FUNCIÓN GAMMA
25.15.
⎧
⎫
1
1
139
Γ( x + 1) = 2π x x x e− x ⎨1 +
+
−
+ ⋅⋅⋅⎬
2
3
⎩ 12 x 288 x 51 840 x
⎭
A esta se le llama serie asintótica de Stirling.
Si x = n es un entero positivo en la fórmula 25.15, entonces una aproximación útil para n! cuando n es grande
(por ejemplo, n > 10) se obtiene por la fórmula de Stirling:
25.16.
n! ~ 2π n n ne − n
donde ~ se usa para indicar que la razón de los términos de cada lado se aproximan a 1 cuando n → ∞.
VARIOS RESULTADOS
25.17.
| Γ(ix ) |2 =
07_Seccion 07_Spiegel(149-179).indd 151
π
x senh π x
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26
La función beta
DEFINICIÓN DE LA FUNCIÓN BETA B(m, n)
26.1.
1
B(m, n) = ∫ t m −1 (1 − t )n−1 dt
0
m > 0, n > 0
RELACIÓN DE LA FUNCIÓN BETA CON LA FUNCIÓN GAMMA
26.2.
B( m , n ) =
Γ (m )Γ (n)
Γ (m + n)
La extensión de B(m, n) para m < 0, n < 0 se obtiene mediante la fórmula 25.4.
ALGUNOS RESULTADOS IMPORTANTES
26.3.
B( m , n ) = B( n , m )
26.4.
B( m , n ) = 2 ∫
26.5.
B( m , n ) = ∫
26.6.
B(m, n) = r n (r + 1)m
∞
0
π /2
0
sen 2 m−1θ cos 2 n−1 θ dθ
t m −1
dt
(1 + t )m + n
∫
(1 − t )n−1
dt
(r + t )m + n
1 m −1
0
t
152
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27
Funciones de Bessel
ECUACIÓN DIFERENCIAL DE BESSEL
27.1.
x 2 y n + xy′ + ( x 2 − n 2 ) y = 0
n!0
La solución de esta ecuación se llama función de Bessel de orden n.
FUNCIÓN DE BESSEL DE PRIMER TIPO DE ORDEN n
27.2.
Jn ( x ) =
⎧
⎫
xn
x2
x4
− ⋅⋅⋅⎬
+
⎨1 −
2 Γ (n + 1) ⎩ 2(2n + 2) 2 4(2n + 2)(2n + 4)
⎭
n
∞
(−1) k ( x /2)n+ 2 k
k ! Γ (n + k + 1)
=∑
k =0
27.3.
J− n ( x ) =
x −n
2 Γ (1 − n)
−n
∞
=∑
k =0
27.4.
⎧
⎫
x2
x4
+
− ⋅⋅⋅⎬
⎨1 −
2
(
2
−
2
n
)
2
4
(
2
−
2
n
)(
4
−
2
n
)
⎩
⎭
(−1) k ( x / 2)2 k − n
k ! Γ ( k + 1 − n)
J − n ( x ) = (−1)n J n ( x )
n = 0, 1, 2, ...
Si n ≠ 0, 1, 2, ..., J n ( x ) y J–n (x) son linealmente independientes.
Si n ≠ 0, 1, 2, ..., J n ( x ) está limitada en x = 0 cuando J–n (x) no está limitada.
Para n = 0, 1 se tiene
x2
x4
x6
+ 2 2 − 2 2 2 + ⋅⋅⋅
2
2
2 4
2 4 6
27.5.
J0 ( x ) = 1 −
27.6.
J1 ( x ) =
27.7.
J 0"(x) = − J1 (x)
x5
x7
x
x3
− 2 + 2 2 2 − 2 2 2 + ⋅⋅⋅
2 2 4 2 4 6 2 4 6 8
FUNCIÓN DE BESSEL DE SEGUNDO TIPO DE ORDEN n
27.8.
⎧ J n ( x )cos nπ − J − n ( x )
⎪
sen n π
⎪
Yn ( x ) = ⎨
⎪ J p ( x )cos pπ − J − p ( x )
⎪lím
sen pπ
⎩p→n
n ≠ 0, 1, 2, ...
n = 0, 1, 2, ...
Esta también se llama función de Weber o función de Neumann [también denotado por Nn(x)].
153
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154
FUNCIONES DE BESSEL
Para n = 0, 1, 2, …, se tiene la regla de L’Hopital
27.9.
2
1 n−1 (n − k − 1)!
{ln( x / 2) + γ }J n ( x ) − ∑
( x / 2)2 k − n
k!
π
π k =0
Yn ( x ) =
−
1 ∞
( x / 2)2 k + n
(−1) k {Φ( k ) + Φ(n + k )}
∑
π k =0
k !(n + k )!
donde g = .5772156 … es la constante de Euler (vea la fórmula 1.20) y
27.10.
Φ( p) = 1 +
1 1
1
+ + ⋅⋅⋅ + ,
2 3
P
Φ (0) = 0
Para n = 0,
2
2
{ln ( x / 2) + γ }J 0 ( x ) +
π
π
27.11.
Y0 ( x ) =
27.12.
Y− n ( x ) = (−1)n Yn ( x )
( )
(
)
1
1 1
x4
x6
⎫
⎧x 2
⎨ 22 − 22 4 2 1 + 2 + 22 4 2 62 1 + 2 + 3 − ⋅⋅⋅⎬
⎭
⎩
n = 0, 1, 2, ...
Para cualquier valor n ! 0, J n ( x ) está limitada en x = 0 mientras Yn(x) es ilimitada.
SOLUCIÓN GENERAL DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL DE BESSEL
27.13.
y = AJ n ( x ) + BJ − n ( x )
n ≠ 0, 1, 2, …
27.14.
y = AJ n ( x ) + BYn ( x )
para toda n
27.15.
y = AJ n ( x ) + BJ n ( x ) ∫
dx
xJ n2 ( x )
para toda n
donde A y B son constantes arbitrarias.
GENERACIÓN DE LA FUNCIÓN PARA Jn(x)
27.16.
e x ( t −1/t ) / 2 =
∞
∑ J ( x )t
n =−∞
n
n
FÓRMULAS RECURRENTES DE LA FUNCIÓN DE BESSEL
2n
J ( x ) − J n−1 ( x )
x n
27.17.
J n+1 ( x ) =
27.18.
J n′ ( x ) = 12 {J n −1 ( x ) − J n+1 ( x )}
27.19.
xJ n′ ( x ) = xJ n−1 ( x ) − nJ n ( x )
27.20.
xJ n′ ( x ) = nJ n ( x ) − xJ n+1 ( x )
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FUNCIONES DE BESSEL
27.21.
d n
{x J n ( x )} = x n J n−1 ( x )
dx
27.22.
d −n
{x J n ( x )} = − x − n J n+1 ( x )
dx
155
La función Yn (x) satisface relaciones idénticas.
FUNCIÓN DE BESSEL DE ORDEN IGUAL A LA MITAD DE UN ENTERO IMPAR
En este caso las funciones se expresan en términos de senos y cosenos.
2
sen x
πx
27.23.
J1/ 2 ( x ) =
27.24.
J −1/ 2 ( x ) =
27.25.
J3 / 2 ( x ) =
27.26.
2
cos x
πx
27.27.
⎞
2 ⎛sen x
− cos x⎟
⎜
πx ⎝ x
⎠
27.28.
J −3 / 2 ( x ) =
⎞
2 ⎛ cos x
+ sen x⎟
⎜
πx ⎝ x
⎠
3
⎪⎧ ⎛ 3 ⎞
⎪⎫
⎨ ⎜ 2 − 1⎟ sen x − cos x⎬
x
⎠
⎪⎩ ⎝ x
⎪⎭
⎫⎪
⎛3 ⎞
2 ⎧⎪ 3
J−5 / 2 ( x ) =
⎨ sen x + ⎜ − 1⎟ cos x⎬
π x ⎩⎪ x
⎝x ⎠
⎭⎪
J5 / 2 ( x ) =
2
πx
Para resultados futuros use la fórmula recurrente. Los resultados para Y1/ 2 ( x ), Y3 / 2 ( x ), ... se obtienen de la
fórmula 27.8.
FUNCIONES HANKEL DE PRIMER Y SEGUNDO TIPO DE ORDEN n
27.29.
H n(1) ( x ) = J n ( x ) + iYn ( x )
27.30.
H n( 2) ( x ) = J n ( x ) − iYn ( x )
ECUACIÓN DIFERENCIAL DE BESSEL MODIFICADA
27.31.
x 2 y′′ + xy′ − ( x 2 + n 2 ) y = 0
n!0
Las soluciones de esta ecuación se llaman funciones de Bessel modificadas de orden n.
FUNCIÓN DE BESSEL MODIFICADA DE PRIMER TIPO DE ORDEN n
27.32.
I n ( x ) = i − n J n (ix ) = e − nπ i / 2 J n (ix )
=
27.33.
⎧
⎫ ∞
xn
x2
x4
( x / 2)n+ 2 k
+
+ ⋅⋅⋅⎬ = ∑
⎨1 +
2 Γ (n + 1) ⎩ 2(2n + 2) 2 4(2n + 2)(2n + 4)
⎭ k = 0 k ! Γ (n + k + 1)
I − n ( x ) = i n J − n (ix ) = e nπ i / 2 J − n (ix )
=
27.34.
n
⎧
⎫ ∞
x −n
x2
x4
( x / 2)2 k − n
+
+ ⋅⋅⋅⎬ = ∑
⎨1 +
2 Γ (1 − n) ⎩ 2(2 − 2n) 2 4(2 − 2n)(4 − 2n)
⎭ k = 0 k ! Γ ( k + 1 − n)
−n
I − n ( x ) = I n ( x ) n = 0, 1, 2, ...
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156
FUNCIONES DE BESSEL
Si n ≠ 0, 1, 2, ..., entonces In(x) e I–n(x) son linealmente independientes.
Para n = 0, 1, tenemos
x2
x4
x6
+
+
+ ⋅⋅⋅
22 22 4 2 22 4 2 62
27.35.
I 0 (x) = 1 +
27.36.
I1 ( x ) =
27.37.
I 0′ ( x ) = I1 ( x )
x5
x7
x
x3
+ 2 + 2 2 + 2 2 2 + ⋅⋅⋅
2 2 4 2 4 6 2 4 6 8
FUNCIÓN DE BESSEL MODIFICADA DE SEGUNDO TIPO DE ORDEN n
27.38.
⎧ π
⎪2 sen nπ {I − n ( x ) − I n ( x )}
⎪
K n (x) = ⎨
π
⎪
{I − p ( x ) − I p ( x )}
⎪lím
p→ n 2 sen pπ
⎩
n ≠ 0, 1, 2, ...
n = 0, 1, 2, ...
Para n = 0, 1, 2, …, con la regla de L’Hopital se obtiene
27.39.
K n ( x ) = (−1)n+1{ln( x / 2) + γ )I n ( x ) +
+
1 n−1
∑ (−1)k (n − k − 1)!( x / 2)2 k −n
2 k =0
(−1)n ∞ ( x / 2)n+ 2 k
{Φ(k ) + Φ(n + k )}
∑
2 k = 0 k !(n + k )!
donde Φ (p) está dado por la fórmula 27.10.
Para n = 0,
27.40.
K 0 ( x ) = −{ln( x / 2) + γ }I 0 ( x ) +
27.41.
K −n (x) = K n (x)
x2
x4
+ 2 2
2
2
2 4
⎛ 1⎞
x6
⎜⎝1 + 2⎟⎠ + 22 4 2 62
⎛ 1 1⎞
⎜⎝1 + 2 + 3⎟⎠ + ⋅⋅⋅
n = 0, 1, 2, ...
SOLUCIÓN GENERAL DE LA ECUACIÓN DE BESSEL MODIFICADA
27.42.
y = AI n ( x ) + BI − n ( x )
27.43.
y = AI n ( x ) + BK n ( x )
27.44.
y = AI n ( x ) + BI n ( x )
n ≠ 0, 1, 2, ...
para toda n
dx
2
(x)
n
∫ xI
para toda n
donde A y B son constantes arbitrarias.
PARA LA GENERACIÓN DE LA FUNCIÓN In(x)
27.45.
e x ( t +1/ t ) / 2 =
∞
∑ I ( x )t
n =−∞
07_Seccion 07_Spiegel(149-179).indd 156
n
n
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FUNCIONES DE BESSEL
157
FÓRMULAS RECURRENTES PARA LA FUNCIÓN DE BESSEL MODIFICADA
27.46.
I n+1 ( x ) = I n−1 ( x ) −
2n
I (x)
x n
27.52.
K n+1 ( x ) = K n−1 ( x ) +
2n
K (x)
x n
27.47.
I n′ ( x ) = 12 {I n−1 ( x ) + I n+1 ( x )}
27.53.
K n′ ( x ) = − 12 {K n−1 ( x ) + K n+1 ( x )}
27.48.
xI n′ ( x ) = xI n −1 ( x ) − nI n ( x )
27.54.
xK n′ ( x ) = − xK n−1 ( x ) − nK n ( x )
27.49.
xI n′ ( x ) = xI n+1 ( x ) + nI n ( x )
27.55.
xK n′ ( x ) = nK n ( x ) − xK n+1 ( x )
27.50.
d n
{x I n ( x )} = x n I n−1 ( x )
dx
27.56.
d n
{x K n ( x )} = − x n K n−1 ( x )
dx
27.51.
d −n
{x I n ( x )} = x − n I n+1 ( x )
dx
27.57.
d −n
{x K n ( x )} = − x − n K n+1 ( x )
dx
FUNCIÓN DE BESSEL DE ORDEN IGUAL A LA MITAD DE UN ENTERO IMPAR
En este caso la función se expresa en términos de senos y cosenos hiperbólicos.
27.58.
I1 / 2 ( x ) =
27.59.
I −1/ 2 ( x ) =
27.60.
I3/ 2 (x) =
2
senh x
πx
2
cosh x
πx
2
πx
⎛
senh x ⎞
⎜⎝ cos x − x ⎟⎠
27.61.
I −3 / 2 ( x ) =
cosh x ⎞
2 ⎛
⎜senh x −
⎟
x ⎠
πx ⎝
27.62.
I5/ 2 (x) =
2
πx
⎫⎪
3
⎪⎧⎛ 3 ⎞
⎨⎜ 2 − 1⎟ senh x − cosh x⎬
x
⎠
⎪⎩⎝ x
⎪⎭
27.63.
I −5 / 2 ( x ) =
2
πx
⎧⎪⎛ 3 ⎞
⎫⎪
3
⎨⎜ 2 + 1⎟ cosh x − senh x⎬
x
⎠
⎩⎪⎝ x
⎭⎪
Para resultados futuros use la fórmula recurrente 27.46. El resultado para K1/2(x), K3/2(x), … se obtiene de la
fórmula 27.38.
FUNCIONES DE Ber Y Bei
La parte real e imaginaria de J n ( xe3π i / 4 ) se denota por Bern (x) y Bein(x), donde
(3n + 2k )π
( x / 2)2 k + n
cos
1
k
!
(
n
+
k
+
)
Γ
4
k =0
∞
27.64.
Bern ( x ) = ∑
27.65.
Bei n ( x ) = ∑
∞
( x / 2)2 k +n
(3n + 2k )π
sen
k ! Γ(n + k + 1)
4
k =0
Si n = 0.
( x / 2)4 ( x / 2)8
+
− ⋅⋅⋅
4!2
2!2
27.66.
Ber ( x ) = 1 −
27.67.
Bei( x ) = ( x / 2)2 −
07_Seccion 07_Spiegel(149-179).indd 157
( x / 2)6 ( x / 2)10
+
− ⋅⋅⋅
5!2
3!2
04/12/13 16:57
158
FUNCIONES DE BESSEL
FUNCIONES Ker Y Kei
La parte real e imaginaria de e − nπ i / 2 K n ( xeπ i / 4 ) se denota por Kern(x) y Kein(x) donde
27.68.
27.69.
Kern ( x ) = −{ln ( x / 2) + γ }Bern ( x ) + 14 π Bei n ( x )
+
1 n−1 (n − k − 1)!( x / 2)2 k − n
(3n + 2k )π
cos
∑
2 k =0
k!
4
+
1
2
∞
( x / 2)n+ 2 k
∑ k !(n + k )! {Φ(k ) + Φ(n + k )}cos
k =0
(3n + 2k)π
4
Kei n ( x ) = −{ln ( x / 2) + γ }Bei n ( x ) − 14 π Bern ( x )
−
1 n−1 (n − k − 1)!( x / 2)2 k − n
(3n + 2 k )π
sen
∑
2 k =0
k!
4
+
1
2
∞
( x / 2)n+ 2 k
∑ k !(n + k )! {Φ(k ) + Φ(n + k )}sen
k =0
(3n + 2k)π
4
y Φ se obtiene de la fórmula 27.10.
Si n = 0,
27.70.
Ker ( x ) = −{ln ( x / 2) + γ }Ber ( x ) +
π
( x / 2)4
( x / 2)8
1
Bei( x ) + 1 −
+
+
(1 + 12 + 13 + 14 ) − ⋅⋅⋅
(
1
)
2
4
4!2
2!2
27.71.
Kei( x ) = −{ln ( x / 2) + γ }Bei( x ) −
π
( x / 2)6
Ber(x ) + ( x / 2)2 −
(1 + 12 + 13 ) + ⋅⋅⋅
3!2
4
ECUACIÓN DIFERENCIAL PARA LAS FUNCIONES Ber, Bei, Ker, Kei
27.72.
x 2 y′′ + xy′ − (ix 2 + n 2 ) y = 0
La solución general de esta ecuación es
y = A{Bern ( x ) + i Bei n ( x )} + B{Kern ( x ) + i Kei n ( x )}
27.73.
GRÁFICAS DE LA FUNCIÓN DE BESSEL
y
y
J0 (x)
1
0
1
J1 (x)
4 5
1
2
3
9
6
7
8
-1
x
0
Y1 (x)
4
2
1
3
6
5
7
x
-1
Figura 27-1
07_Seccion 07_Spiegel(149-179).indd 158
10
Y0 (x)
Figura 27-2
04/12/13 16:57
FUNCIONES DE BESSEL
y
159
y
6
3
5
I0(x)
4
2
I1(x)
3
K1(x)
2
1
1
K0(x)
x
0
2
1
3
0
4
1
Figura 27-3
x
2
Figura 27-4
y
y
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
-10
Bei x
Ber x
3
1
2
4
5
6
.05
.04
.03
.02
.01
0
-.01
-.02
-.03
-.04
-.05
x
7
Ker x
Kei x
1
Figura 27-5
2
3
4
5
6
7
x
Figura 27-6
INTEGRALES INDEFINIDAS QUE IMPLICAN LA FUNCIÓN DE BESSEL
27.74.
∫ xJ ( x )dx = xJ ( x )
27.75.
∫ x J ( x)dx = x J ( x ) + xJ ( x ) − ∫ J ( x )dx
27.76.
∫x
27.77.
∫
J0 ( x )
J (x)
dx = J1 ( x ) − 0
− ∫ J 0 ( x )dx
x2
x
27.78.
∫
J0 ( x )
J0 ( x )
J1 ( x )
1
2 m−2 −
m dx =
m −1 −
x
(m − 1) x
(m − 1) x
(m − 1)2
27.79.
∫ J ( x )dx = − J ( x )
27.80.
∫ xJ ( x)dx = − xJ ( x ) + ∫ J ( x )dx
27.81.
∫x
0
2
1
2
0
m
1
0
0
J 0 ( x )dx = x m J1 ( x ) + (m − 1) x m −1J 0 ( x ) − (m − 1)2
1
∫x
∫
m−2
J 0 ( x )dx
J0 ( x )
dx
x m−2
0
1
m
07_Seccion 07_Spiegel(149-179).indd 159
0
0
J1 ( x )dx = − x m J 0 ( x ) + m
∫x
m −1
J 0 ( x )dx
04/12/13 16:57
160
FUNCIONES DE BESSEL
27.82.
∫
J1 ( x )
dx = − J1 ( x ) + ∫ J 0 ( x )dx
x
27.83.
∫
J1 ( x )
J (x) 1
dx = − 1 m −1 +
m
xm
mx
27.84.
∫x
27.85.
∫x
27.86.
∫x
27.87.
∫ xJ (α x ) J (β x )dx =
27.88.
∫ xJn2 (α x )dx =
n
∫
J0 ( x )
dx
x m −1
J n−1 ( x )dx = x n J n ( x )
−n
m
J n+1 ( x )dx = − x − n J n ( x )
J n ( x )dx = − x m J n−1 ( x ) + (m + n − 1)
n
n
∫x
m −1
J n−1 ( x )dx
x{α J n (β x ) J n′ (α x ) − β J n (α x ) J n′ (β x )}
β2 −α2
x2
x2 ⎛
n2 ⎞
{J n′ (α x )}2 + ⎜1 − 2 2 ⎟ {J n (α x )}2
2
2 ⎝ α x ⎠
En los resultados anteriores también debe sustituirse Jn(x) por Yn(x) o, de manera general, AJn(x) + BYn(x), donde
A y B son constantes.
INTEGRALES DEFINIDAS QUE IMPLICAN LA FUNCIÓN DE BESSEL
27.89.
∫
27.90.
∫
∞
0
∞
0
∞
∫
0
27.92.
∫
0
27.93.
∫
27.91.
27.94.
∫
27.95.
∫
27.96.
∫
27.97.
∫
∞
∞
0
∞
0
1
0
1
0
1
0
1
e − ax J 0 (bx )dx =
e − ax J n (bx )dx =
a + b2
2
( a 2 + b 2 − a) n
bn a2 + b2
⎧
1
⎪ 2
cos ax J 0 (bx )dx = ⎨ a − b 2
⎪
0
⎩
J n (bx )dx =
1
,
b
n > −1
a>b
a<b
n > −1
J n (bx )
1
dx = ,
x
n
n = 1, 2, 3, ...
e− b / 4a
a
2
e − ax J 0 (b x ) dx =
xJ n (α x ) J n (β x )dx =
α J n (β ) J n′ (α ) − β J n (α ) J n′ (β )
β2 − α2
xJ n2 (α x )dx = 12 {J n′ (α )}2 + 12 (1 − n 2 /α 2 ){J n (α )}2
xJ 0 (α x )I 0 (β x )dx =
07_Seccion 07_Spiegel(149-179).indd 160
β J 0 (α )I 0′ (β ) − α J 0′ (α )I 0 (β )
α2 + β2
04/12/13 16:57
FUNCIONES DE BESSEL
161
REPRESENTACIÓN INTEGRAL PARA LAS FUNCIONES DE BESSEL
27.98.
27.99.
1
π
1
Jn ( x ) =
π
27.100.
Jn ( x ) =
27.101.
Y0 ( x ) = −
27.102.
I 0 (x) =
2
1
π
π
∫
J0 ( x ) =
0
∫
cos( x sen θ )dθ
π
cos(nθ − x sen θ )dθ
0
xn
π Γ (n + )
1
2
n
2
π
∫
∞
0
∫
π
0
∫
π
0
n = entero
cos( x sen θ )cos 2 n θ dθ ,
n > − 12
cos( x cosh u)du
cosh( x sen θ )dθ =
1
2π
∫
2π
0
e x senθ dθ
EXPANSIÓN ASINTÓTICA
27.103.
Jn ( x ) ~
2
nπ π ⎞
⎛
cos ⎜ x −
−
πx
2 4 ⎟⎠
⎝
donde x es muy grande
27.104.
Yn ( x ) ~
⎛ nπ π ⎞
2
sen ⎜x −
− ⎟
πx
2 4⎠
⎝
donde x es muy grande
27.105.
Jn ( x ) ~
1 ⎛ ex ⎞
⎜ ⎟
2π n ⎝ 2n⎠
27.106.
Yn ( x ) ~ −
27.107.
I n (x) ~
27.108.
2
πn
⎛ ex ⎞
⎜⎝ 2n⎟⎠
n
donde n es muy grande
−n
ex
2π x
e− x
K n (x) ~
2π x
donde n es muy grande
donde x es muy grande
donde x es muy grande
SERIES ORTOGONALES DE LAS FUNCIONES DE BESSEL
Sean λ1 , λ2 , λ3 , ... las raíces positivas de RJ n ( x ) + SxJ n′ ( x ) = 0, n > −1; entonces las siguientes series de expansiones se expresan bajo las condiciones indicadas.
S = 0, R ≠ 0, i.e., λ1 , λ2 , λ3 , . . . son las raíces positivas de JN(x) = 0
27.109.
f ( x ) = A1 J n (λ1 x ) + A2 J n (λ2 x ) + A3 J n (λ3 x ) + ⋅⋅⋅
donde
27.110.
Ak =
2
J n2+1 (λ k )
∫
1
0
xf ( x ) J n (λ k x )dx
En particular si n = 0,
27.111.
f ( x ) = A1J 0 (λ1x ) + A2 J 0 (λ2 x ) + A3 J 0 (λ3 x ) + ⋅⋅⋅
donde
27.112.
Ak =
07_Seccion 07_Spiegel(149-179).indd 161
2
J (λ k )
2
1
∫
1
0
xf ( x ) J 0 (λ k x )dx
04/12/13 16:57
162
FUNCIONES DE BESSEL
R/S > n
27.113.
f ( x ) = A1J n (λ1x ) + A2 J n (λ2 x ) + A3 J n (λ3 x ) + ⋅⋅⋅
donde
27.114.
Ak =
2
J n2 (λ k ) − J n−1 (λ k ) J n+1 (λ k )
∫
1
xf ( x ) J n (λ k x )dx
0
En particular, si n = 0,
27.115.
f ( x ) = A1J 0 (λ1x ) + A2 J 0 (λ2 x ) + A3 J 0 (λ3 x ) + ⋅⋅⋅
donde
27.116.
Ak =
2
J 02 (λ k ) + J12 (λ k )
∫
1
0
xf ( x ) J 0 (λ k x )dx
Las siguientes fórmulas se refieren a la expansión de la función de Bessel donde S ≠ 0.
R/S = n
27.117.
f ( x ) = A0 x n + A1J n (λ1x ) + A2 J n (λ2 x ) + ⋅⋅⋅
donde
27.118.
⎧A = 2(n + 1) 1 x n+1 f ( x )dx
∫0
⎪⎪ 0
⎨
2
⎪A = 2
⎪⎩ k J n (λ k ) − J n−1 (λ k ) J n+1 (λ k )
1
∫
0
xf ( x ) J n (λ k x )dx
En particular si n = 0 de modo que R = 0 [es decir, l1, l2, l3, … son las raíces positivas de J1 (x) = 0],
27.119.
f ( x ) = A0 + A1J 0 (λ1x ) + A2 J 0 (λ2 x ) + ⋅⋅⋅
donde
27.120.
⎧A = 2 1 xf ( x )dx
∫0
⎪⎪ 0
⎨
1
⎪A = 2 2
xf ( x ) J 0 (λ k x )dx
k
∫
0
λ
J
(
)
⎪⎩
0
k
R/S < N
En este caso, existen dos raíces imaginarias puras ±il0 así como las raíces positivas l1, l2, l3, … y se tiene que
27.121.
f ( x ) = A0 I n (λ0 x ) + A1J n (λ1x ) + A2 J n (λ2 x ) + ⋅⋅⋅
donde
27.122.
2
⎧
⎪A0 = I n2 (λ0 ) + I n−1 (λ0 )I n+1 (λ0 )
⎪
⎨
2
⎪A =
⎪⎩ k J n2 (λ k ) − J n−1 (λ k ) J n+1 (λ k )
07_Seccion 07_Spiegel(149-179).indd 162
∫
1
0
∫
1
0
xf ( x )I n (λ0 x )dx
xf ( x ) J n (λ k x )dx
04/12/13 16:57
FUNCIONES DE BESSEL
163
RESULTADOS DIVERSOS
27.123.
cos( x sen θ ) = J 0 ( x ) + 2 J 2 ( x ) cos 2θ + 2 J 4 ( x ) cos 4θ + ⋅⋅ ⋅
27.124.
sen ( x sen θ ) = 2 J1 ( x ) sen θ + 2 J3 ( x ) sen 3θ + 2 J5 ( x ) sen 5θ + ⋅⋅⋅
27.125.
J n ( x + y) =
∞
∑ J ( x )J
k =−∞
k
n−k
( y)
n = 0, ± 1, ± 2, ...
Esta ecuación se llama fórmula de adición para la función de Bessel.
27.126.
1 = J 0 ( x ) + 2 J 2 ( x ) + ⋅⋅⋅ + 2 J 2 n ( x ) + ⋅⋅⋅
27.127.
x = 2{J1 ( x ) + 3J3 ( x ) + 5J5 ( x ) + ⋅⋅⋅ + (2n + 1) J 2 n+1 ( x ) + ⋅ ⋅⋅}
27.128.
x 2 = 2{4 J 2 ( x ) + 16 J 4 ( x ) + 36 J6 ( x ) + ⋅⋅⋅ + (2n)2 J 2 n ( x ) + ⋅⋅⋅}
27.129.
xJ1 ( x )
= J 2 ( x ) − 2 J 4 ( x ) + 3J6 ( x ) − ⋅⋅⋅
4
27.130.
1 = J 02 ( x ) + 2 J12 ( x ) + 2 J 22 ( x ) + 2 J32 ( x ) + ⋅⋅⋅
27.131.
J n′′( x ) = 14 {J n− 2 ( x ) − 2 J n ( x ) + J n+ 2 ( x )}
27.132.
J n′′′( x ) = 81 {J n −3 ( x ) − 3J n −1 ( x ) + 3J n+1 ( x ) − J n+3 ( x )}
Las fórmulas 27.131 y 27.132 se pueden generalizar.
27.133.
27.134.
2sen nπ
πx
2sen nπ
J n ( x ) J− n+1 ( x ) + J− n ( x ) J n−1 ( x ) =
πx
J n′ ( x ) J − n ( x ) − J −′ n J n ( x ) =
27.135.
J n+1 ( x )Yn ( x ) − J n ( x )Yn+1 ( x ) = J n ( x )Yn′( x ) − J n′ ( x )Yn ( x ) =
27.136.
sen x = 2{J1 ( x ) − J3 ( x ) + J5 ( x ) − ⋅⋅⋅}
27.137.
cos x = J 0 ( x ) − 2 J 2 ( x ) + 2 J 4 ( x ) − ⋅⋅⋅
27.138.
senh x = 2{I1 ( x ) + I 3 ( x ) + I 5 ( x ) + ⋅⋅⋅}
27.139.
cosh x = I 0 ( x ) + 2{I 2 ( x ) + I 4 ( x ) + I 6 ( x ) + ⋅⋅⋅}
07_Seccion 07_Spiegel(149-179).indd 163
2
πx
04/12/13 16:57
28
Legendre y funciones asociadas de Legendre
ECUACIÓN DIFERENCIAL DE LEGENDRE
28.1.
(1 − x 2 ) y′′ − 2 xy′ + n(n + 1) y = 0
La solución de esta ecuación diferencial se llama función de Legendre de orden n.
POLINOMIO DE LEGENDRE
Si n = 0, 1, 2, …, una solución de la fórmula 28.1 es el polinomio de Legendre Pn(x) obtenido por la fórmula de
Rodrigues.
28.2.
Pn ( x ) =
1 dn 2
( x − 1)n
2 n! dx n
n
POLINOMIOS ESPECIALES DE LEGENDRE
28.3.
P0 ( x ) = 1
28.7.
P4 ( x ) = 81 (35x 4 − 30 x 2 + 3)
28.4.
P1 ( x ) = x
28.8.
P5 ( x ) = 81 (63x 5 − 70 x 3 + 15x )
28.5.
P2 ( x ) = 12 (3x 2 − 1)
28.9.
P6 ( x ) = 161 (231x 6 − 315x 4 + 105x 2 − 5)
28.6.
P3 ( x ) = 12 (5x 3 − 3x )
28.10.
P7 ( x ) = 161 (429 x 7 − 693x 5 + 315x 3 − 35x )
POLINOMIOS DE LEGENDRE EN TÉRMINOS DE U, DONDE x ! cos U
28.11.
P0 (cos θ ) = 1
28.12.
P1 (cos θ ) = cos θ
28.13.
P2 (cos θ ) = 14 (1 + 3 cos 2θ )
28.14.
P3 (cos θ ) = 81 (3 cosθ + 5 cos 3θ )
28.15.
P4 (cosθ ) =
1
64
(9 + 20 cos 2θ + 35 cos 4θ )
164
07_Seccion 07_Spiegel(149-179).indd 164
04/12/13 16:57
LEGENDRE Y FUNCIONES ASOCIADAS DE LEGENDRE
28.16.
28.17.
28.18.
165
1
P5 (cos θ ) = 128
(30 cosθ + 35 cos 3θ + 63 cos 5θ )
P6 (cos θ ) =
1
512
(50 + 105 cos 2θ + 126 cos 4θ + 231 cos 6θ )
1
P7 (cosθ ) = 1 024
(175 cosθ + 189 cos 3θ + 231 cos 5θ + 429 cos 7θ )
FUNCIÓN GENERALIZADA PARA POLINOMIOS DE LEGENDRE
∞
1
=
Pn ( x )t n
∑
1 − 2tx + t 2 n= 0
28.19.
FÓRMULAS RECURRENTES PARA POLINOMIOS DE LEGENDRE
28.20.
(n + 1)Pn+1 ( x ) − (2n + 1) x Pn ( x ) + nPn−1 ( x ) = 0
28.21.
Pn′+1 ( x ) − xPn′( x ) = (n + 1)Pn ( x )
28.22.
xPn′( x ) − Pn′−1 ( x ) = nPn ( x )
28.23.
Pn′+1 ( x ) − Pn′−1 ( x ) = (2n + 1)Pn ( x )
28.24.
( x 2 − 1)Pn′( x ) − nxPn ( x ) − nPn−1 ( x )
ORTOGONALIDAD DE POLINOMIOS DE LEGENDRE
28.25.
∫
1
28.26.
∫
1
−1
−1
Pm ( x )Pn ( x )dx = 0 m ≠ n
{Pn ( x )}2 dx =
2
2n + 1
Por 28.25, Pm(x) y Pn(x) se llaman ortogonales en –1 ! x ! 1.
SERIES ORTOGONALES DEL POLINOMIO DE LEGENDRE
28.27.
f ( x ) = A0 P0 ( x ) + A1P1 ( x ) + A2 P2 ( x ) + …
donde
28.28.
Ak =
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2k + 1 1
f ( x )Pk ( x )dx
2 ∫−1
04/12/13 16:57
166
LEGENDRE Y FUNCIONES ASOCIADAS DE LEGENDRE
RESULTADOS ESPECIALES QUE CONTIENEN POLINOMIOS DE LEGENDRE
28.29.
Pn (1) = 1
28.30.
Pn (−1) = (−1)n
28.31.
Pn (− x ) = (−1)n Pn ( x )
⎧0
⎪
28.32. Pn (0) = ⎨
1 3 5…(n − 1)
⎪(−1)n / 2
2 4 6… n
⎩
1
π
∫ (x +
π
28.33.
Pn ( x ) =
28.34.
∫ P ( x )dx =
28.35.
| Pn ( x ) | ! 1
28.36.
Pn ( x ) =
0
n impar
n par
x 2 − 1 cos φ) dφ
n
Pn+1 ( x ) − Pn−1 ( x )
2n + 1
n
(z 2 − 1)n
1
dz
2 π i Ac (z − x )n+1
n +1
donde C es una curva simple cerrada, teniendo a x como punto interior.
SOLUCIÓN GENERAL DE LA ECUACIÓN DE LEGENDRE
La solución general de la ecuación de Legendre es
28.37.
y = AU n ( x ) + BVn ( x )
donde
28.38.
Un (x) = 1 −
n(n + 1) 2 n(n − 2)(n + 1)(n + 3) 4 …
x +
x −
2!
4!
28.39.
Vn ( x ) = x −
(n − 1)(n + 2) 3 (n − 1)(n − 3)(n + 2)(n + 4) 5 …
x +
x −
3!
5!
Estas series convergen para –1 < x < 1.
FUNCIONES DE LEGENDRE DE SEGUNDO TIPO
Si n = 0, 1, 2, … una de las series 28.38 028.39 finaliza. En tales casos,
28.40.
⎧⎪U n ( x ) /U n (1)
Pn ( x ) = ⎨
⎩⎪Vn ( x ) /Vn (1)
n = 0, 2, 4, K
n = 1, 3, 5, K
donde
28.41.
U n (1) = (−1)
07_Seccion 07_Spiegel(149-179).indd 166
n/2
⎡⎛ n ⎞ ⎤
2 ⎢⎜ ⎟ !⎥
⎣⎝ 2⎠ ⎦
n
2
n!
n = 0, 2, 4, K
04/12/13 16:57
LEGENDRE Y FUNCIONES ASOCIADAS DE LEGENDRE
28.42.
⎡⎛ n − 1⎞ ⎤
Vn (1) = (−1)( n −1) / 2 2n −1 ⎢⎜
⎟ !⎥
⎣⎝ 2 ⎠ ⎦
167
2
n!
n = 1, 3, 5,K
La serie no termina y, en tal caso, al multiplicar por una constante adecuada se denota por Qn(x) y se le llama
función de Legendre de segundo tipo de orden n. Definimos:
28.43.
⎧⎪U n (1)Vn ( x )
Qn ( x ) = ⎨
⎩⎪−Vn (1)U n ( x )
n = 0, 2, 4, …
n = 1, 3, 5,, …
FUNCIONES ESPECIALES DE LEGENDRE DE SEGUNDO TIPO
28.44.
Q0 ( x ) =
1 ⎛1 + x⎞
ln
2 ⎜⎝ 1 − x ⎟⎠
28.45.
Q1 ( x ) =
x ⎛1 + x⎞
ln
−1
2 ⎜⎝ 1 − x ⎟⎠
28.46.
Q2 ( x ) =
3x 2 − 1 ⎛ 1 + x ⎞ 3x
ln ⎜
−
4
⎝ 1 − x ⎟⎠ 2
28.47.
Q3 ( x ) =
5x 3 − 3x ⎛ 1 + x ⎞ 5x 2 2
ln ⎜
−
+
4
2
3
⎝ 1 − x ⎟⎠
Las funciones Qn(x) satisfacen las fórmulas recurrentes exactamente análogas a las fórmulas 28.20 hasta
28.24.
Usando estas fórmulas, la solución general de la ecuación de Legendre también se puede escribir como
28.48.
y = APn ( x ) + BQn ( x )
ECUACIÓN DIFERENCIAL ASOCIADA DE LEGENDRE
28.49.
m2 ⎫
⎧
(1 − x 2 ) y′′ − 2 xy′ + ⎨n(n + 1) −
y=0
1 − x 2 ⎬⎭
⎩
La solución de esta ecuación se llama función asociada de Legendre. Nos enfocaremos al caso donde m y n
son enteros no negativos.
FUNCIÓN ASOCIADA DE LEGENDRE DE PRIMER TIPO
28.50.
Pnm ( x ) = (1 − x 2 )m / 2
dm
(1 − x 2 )m / 2 d m + n 2
( x − 1)n
m Pn ( x ) =
dx
2n n! dx m + n
donde Pn(x) es un polinomio de Legendre (vea la página 164). Entonces se tiene que
28.51.
Pn0 ( x ) = Pn ( x )
28.52.
Pnm ( x ) = 0
07_Seccion 07_Spiegel(149-179).indd 167
siif m
m >> nn
04/12/13 16:57
168
LEGENDRE Y FUNCIONES ASOCIADAS DE LEGENDRE
FUNCIONES ESPECIALES ASOCIADAS CON LEGENDRE DE PRIMER TIPO
28.53.
P11 ( x ) = (1 − x 2 )1/ 2
28.56.
P31 ( x ) = 32 (5x 2 − 1)(1 − x 2 )1/ 2
28.54.
P21 ( x ) = 3x (1 − x 2 )1/ 2
28.57.
P32 ( x ) = 15x (1 − x 2 )
28.55.
P22 ( x ) = 3(1 − x 2 )
28.58.
P33 ( x ) = 15(1 − x 2 )3 / 2
GENERACIÓN DE LA FUNCIÓN PARA
28.59.
0NM X
∞
(2m)!(1 − x 2 )m / 2 t m
m
n
2 m +1 / 2 = ∑ Pn ( x )t
2 m !(1 − 2tx + t )
n= m
m
FÓRMULAS RECURRENTES
28.60.
(n + 1 − m)Pnm+1 ( x ) − (2n + 1) x Pnm ( x ) + (n + m)Pnm−1 ( x ) = 0
28.61.
Pnm + 2 ( x ) −
2(m + 1) x m +1
P ( x ) + (n − m)(n + m + 1)Pnm ( x ) = 0
(1 − x 2 )1/ 2 n
ORTOGONALIDAD DE
28.62.
∫
28.63.
∫ {P
1
0NM X
P m ( x )P1m ( x )dx = 0
−1 l
1
−1
m
n
( x )} dx =
2
si n ≠ l
2 (n + m)!
2n + 1 (n − m)!
SERIES ORTOGONALES
28.64.
f ( x ) = Am Pmm ( x ) + Am +1Pmm+1 ( x ) + Am + 2 Pmm+ 2 ( x ) + …
donde
28.65.
Ak =
2k + 1 (k − m)! 1
f ( x )Pkm ( x )dx
2 (k + m)! ∫−1
FUNCIONES ASOCIADAS DE LEGENDRE DE SEGUNDO TIPO
28.66.
Qnm ( x ) = (1 − x 2 )m / 2
dm
Q (x)
dx m n
donde Qn(x) es la función de Legendre de segundo tipo (vea la página 166).
Esta función no tiene límites para x = ± 1, mientras que Pnm ( x ) tiene límites para x = ± 1.
La función Qnm ( x ) cumple las mismas relaciones recurrentes para Pnm ( x ) (vea las fórmulas 28.60 y 28.61).
SOLUCIÓN GENERAL DE ECUACIONES ASOCIADAS DE LEGENDRE
28.67.
y = APnm ( x ) + BQnm ( x )
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29
Polinomios de Hermite
ECUACIÓN DIFERENCIAL DE HERMITE
29.1.
y′′ − 2 xy′ + 2ny = 0
POLINOMIOS DE HERMITE
Si n = 0, 1, 2, …, entonces una solución de la ecuación de Hermite es el polinomio de Hermite Hn(x) dado por la
fórmula de Rodrigues.
29.2.
H n ( x ) = (−1)n e x
2
d n −x
(e )
dx n
2
POLINOMIOS ESPECIALES DE HERMITE
29.3.
H0 (x) = 1
29.7.
H 4 ( x ) = 16 x 4 − 48 x 2 + 12
29.4.
H1 ( x ) = 2 x
29.8.
H 5 ( x ) = 32 x 5 − 160 x 3 + 120 x
29.5.
H2 (x) = 4 x 2 − 2
29.9.
H 6 ( x ) = 64 x 6 − 480 x 4 + 720 x 2 − 120
29.6.
H 3 ( x ) = 8 x 3 − 12 x
29.10.
H 7 ( x ) = 128 x 7 − 1 344 x 5 + 3 360 x 3 − 1 680 x
FUNCIÓN GENERADORA
29.11.
∞
e 2 tx − t = ∑
2
n= 0
H n ( x )t n
n!
FÓRMULAS DE RECURRENCIA
29.12.
H n+1 ( x ) = 2 xH n ( x ) − 2nH n−1 ( x )
29.13.
H n′ ( x ) = 2nH n−1 ( x )
ORTOGONALIDAD DE LOS POLINOMIOS DE HERMITE
29.14.
∫
29.15.
∫
∞
−∞
∞
−∞
e − x H m ( x ) H n ( x )dx = 0
2
m≠n
e − x {H n ( x )}2 dx = 2n n! π
2
169
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170
POLINOMIOS DE HERMITE
SERIES ORTOGONALES
29.16.
f ( x ) = A0 H 0 ( x ) + A1H1 ( x ) + A2 H 2 ( x ) + …
donde
29.17.
Ak =
1
2 k! π
∫
k
∞
−∞
e − x f ( x ) H k ( x )dx
2
RESULTADOS ESPECIALES
n(n − 1)
n(n − 1)(n − 2)(n − 3)
(2 x )n− 4 − …
(2 x ) n − 2 +
2!
1!
29.18.
H n ( x ) = (2 x ) n −
29.19.
H n (− x ) = (−1)n H n ( x )
29.20.
H 2 n−1 (0) = 0
29.21.
H 2 n (0) = (−1)n 2n 1 3 5…(2n − 1)
29.22.
∫
29.23.
d −x
{e H n ( x )} = −e − x H n+1 ( x )
dx
29.24.
∫
x
29.25.
∫
∞
29.26.
H n ( x + y) = ∑
x
H n (t )dt =
0
H n+1 ( x ) H n+1 (0)
−
2(n + 1) 2(n + 1)
2
0
2
e − t H n (t )dt = H n−1 (0) − e − x H n−1 ( x )
−∞
2
2
t ne − t H n ( xt )dt = π n! Pn ( x )
2
n
1 ⎛ n⎞
n / 2 ⎜ ⎟ H k ( x 2 ) H n− k ( y 2 )
2
⎝ k⎠
k =0
Esta se llama fórmula de adición para los polinomios de Hermite.
29.27.
n
∑
k =0
H k ( x ) H k ( y) H n+1 ( x ) H n ( y) − H n ( x ) H n+1 ( y)
=
2k k !
2n+11 n!( x − y)
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30
Laguerre y polinomios asociados de Laguerre
ECUACIÓN DIFERENCIAL DE LAGUERRE
30.1.
xy ′′ + (1 − x ) y ′ + ny = 0
POLINOMIOS DE LAGUERRE
Si n = 0, 1, 2, …, entonces una solución de la ecuación de Laguerre es el polinomio de Laguerre Ln(x) dado por
la fórmula de Rodrigues.
30.2.
Ln ( x ) = e x
d n n −x
(x e )
dx n
POLINOMIOS ESPECIALES DE LAGUERRE
30.3.
L0 ( x ) = 1
30.4.
L1 ( x ) = − x + 1
30.5.
L2 ( x ) = x 2 − 4 x + 2
30.6.
L3 ( x ) = − x 3 + 9 x 2 − 18 x + 6
30.7.
L4 ( x ) = x 4 − 16 x 3 + 72 x 2 − 96 x + 24
30.8.
L5 ( x ) = − x 5 + 25x 4 − 200 x 3 + 600 x 2 − 600 x + 120
30.9.
L6 ( x ) = x 6 − 36 x 5 + 450 x 4 − 2 400 x 3 + 5 400 x 2 − 4 320 x + 720
30.10.
L7 ( x ) = − x 7 + 49 x 6 − 882 x 5 + 7 350 x 4 − 29 400 x 3 + 52 920 x 2 − 35 280 x + 5 040
FUNCIÓN GENERADORA
30.11.
∞
L ( x )t n
e − xt /(1− t )
=∑ n
n!
1− t
n= 0
171
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172
LAGUERRE Y POLINOMIOS ASOCIADOS DE LAGUERRE
FÓRMULAS DE RECURRENCIA
30.12.
Ln+1 ( x ) − (2n + 1 − x ) Ln ( x ) + n 2 Ln−1 ( x ) = 0
30.13.
Ln′ ( x ) − nLn′−1 ( x ) + nLn −1 ( x ) = 0
30.14.
xLn′ ( x ) = nLn ( x ) − n 2 Ln−1 ( x )
ORTOGONALIDAD DE LOS POLINOMIOS DE LAGUERRE
30.15.
∫
∞
30.16.
∫
∞
0
0
e − x Lm ( x ) Ln ( x )dx = 0
m≠n
e − x {Ln ( x )}2 dx = (n!)2
SERIES ORTOGONALES
30.17.
f ( x ) = A0 L0 ( x ) + A1 L1 ( x ) + A2 L2 ( x ) + …
donde
30.18.
Ak =
1
(k !)2
∫
∞
0
e − x f ( x ) Lk ( x )dx
RESULTADOS ESPECIALES
30.19.
Ln ( 0 ) = n !
30.20.
∫
30.21.
n 2 x n−1 n 2 (n − 1)2 x n− 2 …
⎫
⎧
Ln ( x ) = (−1)n ⎨x n −
+
− (−1)n n!⎬
1
!
2
!
⎭
⎩
x
0
∞
30.22.
∫
30.23.
∑
0
n
k =0
Ln (t )dt = Ln ( x ) −
Ln+1 ( x )
n +1
⎧⎪ 0
x pe − x Ln ( x )dx = ⎨
n
2
⎩⎪(−1) (n!)
si p < n
si p = n
Lk ( x ) Lk ( y) Ln ( x ) Ln+1 ( y) − Ln+1 ( x ) Ln ( y)
=
(k !)2
(n!)2 ( x − y)
∞
t k Lk ( x )
= e t J 0 (2 xt )
(k !)2
k =0
30.24.
∑
30.25.
Ln ( x ) = ∫ u ne x −u J 0 (2 xu )du
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∞
0
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LAGUERRE Y POLINOMIOS ASOCIADOS DE LAGUERRE
173
ECUACIÓN DIFERENCIAL ASOCIADA DE LAGUERRE
30.26.
xy′′ + (m + 1 − x ) y′ + (n − m) y = 0
POLINOMIOS ASOCIADOS DE LAGUERRE
Las soluciones de la fórmula 30.26 para enteros no negativos m y n están dadas por los polinomios asociados de
Laguerre
30.27.
Lmn ( x ) =
dm
L (x)
dx m n
donde Ln(x) son polinomios de Laguerre (vea la página 171).
30.28.
L0n ( x ) = Ln ( x )
30.29.
Lmn ( x ) = 0
siif m
m >> n
POLINOMIOS ASOCIADOS DE LAGUERRE ESPECIALES
30.30.
L11 ( x ) = −1
30.35.
L33 ( x ) = −6
30.31.
L12 ( x ) = 2 x − 4
30.36.
L14 ( x ) = 4 x 3 − 48 x 2 + 144 x − 96
30.32.
L22 ( x ) = 2
30.37.
L24 ( x ) = 12 x 2 − 96 x + 144
30.33.
L13 ( x ) = −3x 2 + 18 x − 18
30.38.
L34 ( x ) = 24 x − 96
30.34.
L23 ( x ) = −6 x + 18
30.39.
L44 ( x ) = 24
FUNCIONES GENERALIZADAS PARA Lnm (x)
30.40.
∞
Lm ( x ) n
(−1)m t m − xt /(1− t )
=∑ n
t
m +1 e
n!
(1 − t )
n= m
FÓRMULAS DE RECURRENCIA
30.41.
n − m +1 m
Ln+1 ( x ) + ( x + m − 2n − 1) Lmn ( x ) + n 2 Lmn−1 ( x ) = 0
n +1
30.42.
d m
{L ( x )} = Lmn +1 ( x )
dx n
30.43.
d m −x m
{x e Ln ( x )} = (m − n − 1) x m −1e − x Lmn −1 ( x )
dx
30.44.
x
d m
{L ( x )} = ( x − m) Lmn ( x ) + (m − n − 1) Lmn −1 ( x )
dx n
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174
LAGUERRE Y POLINOMIOS ASOCIADOS DE LAGUERRE
ORTOGONALIDAD
30.45.
30.46.
∫
∞
∫
∞
0
0
x me − x Lmn ( x ) Lmp ( x )dx = 0
x me − x {Lmn ( x )}2 dx =
p≠n
(n!)3
(n − m)!
SERIES ORTOGONALES
30.47.
f ( x ) = Am Lmm ( x ) + Am +1Lmm +1 ( x ) + Am + 2 Lmm + 2 ( x ) + …
donde
30.48.
Ak =
(k − m)! ∞ m − x m
x e Lk ( x ) f ( x )dx
(k !)3 ∫0
RESULTADOS ESPECIALES
30.49.
Lmn ( x ) = (−1)n
30.50.
∫
∞
0
{
x m +1e − x {Lmn ( x )}2 dx =
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}
n!
n(n − m) n− m−1 n(n − 1)(n − m)(n − m − 1) n− m − 2 …
x
+
x n− m −
x
+
(n − m)!
1!
2!
(2n − m + 1)(n!)3
(n − m)!
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31
Polinomios de Chebyshev
ECUACIÓN DIFERENCIAL DE CHEBYSHEV
31.1.
(1 − x 2 ) y n − xy ′ + n 2 y = 0
n = 0, 1, 2, ...
POLINOMIOS DE CHEBYSHEV DE PRIMER TIPO
Una solución de la fórmula 31.1 está dada por
31.2.
⎛ n⎞
⎛ n⎞
Tn ( x ) = cos (n cos −1 x ) = x n − ⎜ ⎟ x n − 2 (1 − x 2 ) + ⎜ ⎟ x n − 4 (1 − x 2 )2 − L
⎝ 4⎠
⎝ 2⎠
POLINOMIOS ESPECIALES DE CHEBYSHEV DE PRIMER TIPO
31.3.
T0 ( x ) = 1
31.7.
T4 ( x ) = 8 x 4 − 8 x 2 + 1
31.4.
T1 ( x ) = x
31.8.
T5 ( x ) = 16 x 5 − 20 x 3 + 5x
31.5.
T2 ( x ) = 2 x 2 − 1
31.9.
T6 ( x ) = 32 x 6 − 48 x 4 + 18 x 2 − 1
31.6.
T3 ( x ) = 4 x 3 − 3x
31.10.
T7 ( x ) = 64 x 7 − 112 x 5 + 56 x 3 − 7 x
FUNCIÓN GENERALIZADA PARA Tn (x)
31.11.
∞
1 − tx
n
2 = ∑ Tn ( x )t
1 − 2tx + t
n=0
VALORES ESPECIALES
31.12.
Tn (− x ) = (−1)n Tn ( x )
31.14.
Tn (−1) = (−1)n
31.13.
Tn (1) = 1
31.15.
T2 n (0) = (−1)n
31.16.
T2 n+1 (0) = 0
FÓRMULA DE RECURRENCIA PARA Tn (x)
31.17.
Tn+1 ( x ) − 2 xTn ( x ) + Tn−1 ( x ) = 0
175
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176
POLINOMIOS DE CHEBYSHEV
ORTOGONALIDAD
1
31.18.
∫
31.19.
∫
−1
Tm ( x )Tn ( x )
dx = 0
1− x2
1
m≠n
⎧ π
dx = ⎨
⎩π / 2
1− x
{Tn ( x )}2
−1
2
si n = 0
si n = 1, 2, ...
SERIES ORTOGONALES
31.20.
f ( x ) = 12 A0T0 ( x ) + A1T1 ( x ) + A2T2 ( x ) + …
donde
31.21.
Ak =
2
π
∫
1
−1
f ( x )Tk ( x )
dx
1− x2
POLINOMIOS DE CHEBYSHEV DE SEGUNDO TIPO
31.22.
Un (x) =
sen {(n + 1) cos−1 x}
sen (cos−1 x )
⎛n + 1⎞ n−4
⎛n + 1⎞ n ⎛n + 1⎞ n−2
2
2 2
=⎜
⎟ x (1 − x ) − …
⎟ x (1 − x ) + ⎜
⎟x −⎜
⎝ 5 ⎠
⎝ 1 ⎠
⎝ 3 ⎠
POLINOMIOS ESPECIALES DE CHEBYSHEV DE SEGUNDO TIPO
31.23.
U0 (x) = 1
31.27.
U 4 ( x ) = 16 x 4 − 12 x 2 + 1
31.24.
U1 ( x ) = 2 x
31.28.
U 5 ( x ) = 32 x 5 − 32 x 3 + 6 x
31.25.
U2 (x) = 4 x 2 − 1
31.29.
U 6 ( x ) = 64 x 6 − 80 x 4 + 24 x 2 − 1
31.26.
U3 ( x ) = 8 x 3 − 4 x
31.30.
U 7 ( x ) = 128 x 7 − 192 x 5 + 80 x 3 − 8 x
FUNCIÓN GENERALIZADA PARA Un (x)
31.31.
∞
1
n
2 = ∑ U n ( x )t
1 − 2tx + t
n=0
VALORES ESPECIALES
31.32.
U n (− x ) = (−1)nU n ( x )
31.34.
U n (−1) = (−1)n (n + 1)
31.33.
U n (1) = n + 1
31.35.
U 2 n (0) = (−1)n
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31.36.
U 2 n+1 (0) = 0
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POLINOMIOS DE CHEBYSHEV
177
FÓRMULA DE RECURRENCIA PARA Un (x)
31.37.
U n+1 ( x ) − 2 xU n ( x ) + U n−1 ( x ) = 0
ORTOGONALIDAD
31.38.
∫
31.39.
∫
1
1 − x 2 U m ( x )U n ( x )dx = 0
−1
1
−1
1 − x 2 {U n ( x )}2 dx =
m≠n
π
2
SERIES ORTOGONALES
31.40.
…
f ( x ) = A0U 0 ( x ) + AU
1 1 ( x ) + A2U 2 ( x ) +
donde
31.41.
Ak =
2
π
∫
1
1 − x 2 f ( x )U k ( x )dx
−1
RELACIÓN ENTRE Tn (x) Y Un (x)
31.42.
Tn ( x ) = U n ( x ) − xU n−1 ( x )
31.43.
(1 − x 2 )U n−1 ( x ) = xTn ( x ) − Tn+1 ( x )
31.44.
Un (x) =
1
π
∫
31.45.
Tn ( x ) =
1
π
∫
1
−1
1
−1
Tn+1 (! )d!
(! − x ) 1 − ! 2
1 − ! 2 U n−1 (! )
d!
x−!
SOLUCIÓN GENERAL DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL DE CHEBYSHEV
31.46.
⎧AT ( x ) + B 1 − x 2 U ( x )
⎪ n
n −1
y=⎨
1
−
⎪⎩A + B sen x
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si n = 1, 2, 3, …
sii n = 0
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32
Funciones hipergeométricas
ECUACIÓN DIFERENCIAL HIPERGEOMÉTRICA
32.1.
x (1 − x ) y n + {c − (a + b + 1) x}y′ − aby = 0
FUNCIONES HIPERGEOMÉTRICAS
Una solución de 32.1 está dada por
32.2.
F (a, b; c; x ) = 1 +
a b
a(a + 1)b(b + 1) 2 a(a + 1)(a + 2)b(b + 1)(b + 2) 3 …
x+
x +
x +
1 2 3 c(c + 1)(c + 2)
1c
1 2 c(c + 1)
Si a, b, c son reales, entonces las series convergen para –1 < x < 1, siempre que c – (a + b) > –1.
CASOS ESPECIALES
32.3.
F (− p,1;1; − x ) = (1 + x ) p
32.8.
F ( 12 , 12 ; 32 ; x 2 ) = (sen−1x ) /x
32.4.
F (1,1; 2; − x ) = [ln (1 + x )]/x
32.9.
F ( 12 ,1; 32 ; − x 2 ) = (tan −1 x ) /x
lím F (1, n;1; x /n) = e x
32.10.
F (1, p; p; x ) = 1/ (1 − x )
32.6.
F ( 12 , − 12 ; 12 ; sen 2 x ) = cos x
32.11.
F (n + 1, − n;1;(1 − x ) / 2) = Pn ( x )
32.7.
F ( 12 ,1;1; sen2 x ) = sec x
32.12.
F (n, − n; 12 ;(1 − x ) / 2) = Tn ( x )
32.5.
n→∞
SOLUCIÓN GENERAL DE LA ECUACIÓN HIPERGEOMÉTRICA
Si c, a – b y c – a – b no son todos enteros, entonces la solución general válida para | x | < 1 es
32.13.
y = AF (a, b; c; x ) + Bx 1−c F (a − c + 1, b − c + 1; 2 − c; x )
178
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04/12/13 16:58
FUNCIONES HIPERGEOMÉTRICAS
179
VARIAS PROPIEDADES
Γ (c)Γ (c − a − b)
Γ (c − a)Γ (c − b)
32.14.
F (a, b; c;1) =
32.15.
d
ab
F (a, b; c; x ) =
F (a + 1, b + 1; c + 1; x )
dx
c
32.16.
F (a, b; c; x ) =
32.17.
F (a, b; c; x ) = (1 − x )c− a− b F (c − a, c − b; c; x )
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1
Γ (c)
u b−1 (1 − u)c− b−1 (1 − ux )− a du
Γ (b)Γ (c − b) ∫0
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Sección VIII: Transformadas de Laplace y de Fourier
33
Transformadas de Laplace
DEFINICIÓN DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE DE F(t)
33.1.
!{F (t )} =
∫
∞
0
e − st F (t )dt = f (s)
En general, f (s) existirá para s > a donde a es alguna constante. ! se llama operador de la transformada de
Laplace.
DEFINICIÓN DE LA TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE DE f (s)
Si !{F(t)} = f (s), entonces se dice que F (t) = !–1{ f (s)} es la transformada inversa de Laplace de f (s). !–1 se
llama operador inverso de la transformada de Laplace.
FÓRMULA DE INVERSIÓN COMPLEJA
La transformada inversa de Laplace de f (s) se puede encontrar directamente por métodos de teoría de variable
compleja. El resultado es
33.2.
F (t ) =
1 c+i∞ st
1
e f (s)ds =
lím
2π i ∫c−i∞
2π i T →∞
∫
c + iT
c − iT
e st f (s)ds
donde c se escoge de modo que todos los puntos singulares de f (s) pasen a la izquierda de la recta Re{s} = c en
el plano complejo s.
180
08_Seccion 08_Spiegel(180-197).indd 180
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TRANSFORMADAS DE LAPLACE
181
TABLA DE PROPIEDADES GENERALES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
f (s)
F(t)
33.3.
a f1 (s) + bf2 (s)
aF1 (t ) + bF2 (t )
33.4.
f (s /a)
a F (at )
33.5.
f (s – a)
eatF(t)
33.6.
e–asf (s)
33.7.
sf (s) – F (0)
F ′ (t )
33.8.
s 2 f (s) − sF (0) − F ′(0)
F ′′(t )
33.9.
s n f (s) − s n−1 F (0) − s n− 2 F ′(0) − L − F ( n−1) (0)
F(n)(t)
33.10.
f ′ (s )
–tF(t)
33.11.
f ′′(s)
t2F(t)
33.12.
f (n)(s)
(–1)nt nF(t)
33.13.
f (s )
s
33.14.
f (s )
sn
33.15.
f (s)g(s)
08_Seccion 08_Spiegel(180-197).indd 181
!(t − a) =
∫
t
t
0
0
∫ L∫
{
F (t − a) t > a
0
t<a
t
0
F (u)du
F (u)du n =
∫
t
0
∫
(t − u)n−1
F (u)du
0 (n − 1)!
t
F (u)G (t − u)du
04/12/13 16:58
182
TRANSFORMADAS DE LAPLACE
33.16.
∫
33.17.
1
1 − e − sT
s
F(t)
f (u)du
F (t )
t
∫
T
0
e − su F (u)du
F(t) = F(t + T)
1
πt
f ( s)
s
33.18.
()
1 1
f
s s
33.19.
1
33.20.
s
n+1
f
∫
(1s)
1
2 π
∫
∞
0
u −3 / 2 e − s
2
/ 4u
∞
0
∫
∞
0
e−u
2
/ 4t
F (u)du
J 0 (2 ut )F (u)du
∞
t n / 2 ∫ u − n / 2 J n (2 ut )F (u)du
0
f (s + 1/s)
s2 + 1
33.21.
33.22.
∞
f (s)
∫
t
0
J 0 (2 u(t − u)) F (u)du
f (u)du
F(t2)
t u F (u)
du
Γ (u + 1)
33.23.
f (ln s)
s ln s
∫
33.24.
P (s )
Q (s )
∑ Q′(α
∞
0
n
k =1
P(α k ) α t
e
k)
k
P(s) = polinomio de grado menor que n,
Q(s) = (s – a1)(s – a2) … (s – an)
donde a1, a2, …, an son todas distintas.
08_Seccion 08_Spiegel(180-197).indd 182
04/12/13 16:58
TRANSFORMADAS DE LAPLACE
183
TABLA DE LAS TRANSFORMADAS ESPECIALES DE LAPLACE
f (s)
F(t)
33.25.
1
s
1
33.26.
1
s2
t
33.27.
33.28.
1
sn
n = 1, 2, 3,K
1
sn
1
s−a
33.29.
33.30.
33.31.
n>0
1
(s − a) n
t n−1
Γ(n)
eat
n = 1, 2, 3,K
1
(s − a) n
t n−1
, 0! = 1
(n − 1)!
n>0
t n−1e at
, 0! = 1
(n − 1)!
t n−1e at
Γ(n)
33.32.
1
s2 + a2
sen at
a
33.33.
s
s2 + a2
cos at
33.34.
1
(s − b) 2 + a 2
e bt sen at
a
33.35.
s−b
(s − b) 2 + a 2
e bt cos at
33.36.
1
s − a2
senh at
a
33.37.
s
s2 − a2
cosh at
33.38.
1
(s − b) 2 − a 2
e bt senh at
a
08_Seccion 08_Spiegel(180-197).indd 183
2
04/12/13 16:58
184
TRANSFORMADAS DE LAPLACE
33.39.
f (s)
F(t)
s−b
(s − b) 2 − a 2
e bt cosh at
33.40.
1
(s − a)(s − b)
a≠b
e bt − e at
b−a
33.41.
s
(s − a)(s − b)
a≠b
be bt − ae at
b−a
33.42.
1
(s 2 + a 2 ) 2
sen at − at cos at
2a 3
33.43.
s
(s 2 + a 2 ) 2
t sen at
2a
33.44.
s2
(s + a 2 ) 2
sen at + at cos at
2a
33.45.
s3
(s 2 + a 2 ) 2
cos at − 12 at sen at
33.46.
s2 − a2
(s 2 + a 2 ) 2
t cos at
33.47.
1
(s 2 − a 2 ) 2
at cosh at −senh at
2a 3
33.48.
s
(s 2 − a 2 ) 2
t senh at
2a
33.49.
s2
(s − a 2 ) 2
senh at + at cosh at
2a
33.50.
s3
(s − a 2 ) 2
cosh at + 12 at senh at
33.51.
s2
(s 2 − a 2 )3 / 2
t cosh at
33.52.
1
(s + a 2 )3
(3 − a 2t 2 ) sen at − 3at cos at
8a 5
33.53.
s
(s + a 2 ) 3
t sen at − at 2 cos at
8a 3
33.54.
s2
(s + a 2 )3
(1 + a 2t 2 ) sen at − at cos at
8a 3
33.55.
s3
(s + a 2 )3
3t sen at + at 2 cos at
8a
08_Seccion 08_Spiegel(180-197).indd 184
2
2
2
2
2
2
2
04/12/13 16:58
TRANSFORMADAS DE LAPLACE
185
f (s)
F(t)
33.56.
s4
(s + a 2 ) 3
(3 − a 2t 2 ) sen at + 5at cos at
8a
33.57.
s5
(s 2 + a 2 )3
(8 − a 2t 2 ) cos at − 7at sen at
8
33.58.
3s 2 − a 2
(s 2 + a 2 )3
t 2 sen at
2a
33.59.
s 3 − 3a 2 s
(s 2 + a 2 )3
1
2
t 2 cos at
33.60.
s 4 − 6a 2 s 2 + a 4
(s 2 + a 2 ) 4
1
6
t 3 cos at
33.61.
s3 − a2s
(s 2 + a 2 ) 4
t 3 sen at
24 a
33.62.
1
(s − a 2 )3
(3 + a 2t 2 ) senh at − 3at cosh at
8a 5
33.63.
s
(s − a 2 ) 3
at 2 cosh at − t senh at
8a 3
33.64.
s2
(s − a 2 )3
at cosh at + (a 2t 2 − 1) senh at
8a 3
33.65.
s3
(s − a 2 )3
3t senh at + at 2 cosh at
8a
33.66.
s4
(s − a 2 ) 3
(3 + a 2t 2 ) senh at + 5at cosh at
8a
33.67.
s5
(s 2 − a 2 )3
(8 + a 2t 2 ) cosh at + 7at senh at
8
33.68.
3s 2 + a 2
(s 2 − a 2 )3
t 2 senh at
2a
33.69.
s 3 + 3a 2 s
(s 2 − a 2 )3
1
2
t 2 cosh at
33.70.
s 4 + 6a 2 s 2 + a 4
(s 2 − a 2 ) 4
1
6
t 3 cosh at
33.71.
s3 + a2s
(s 2 − a 2 ) 4
t 3 senh at
24 a
33.72.
1
s + a3
3at
3at −3at / 2⎪⎫
e at / 2 ⎪⎧
− cos
+e
⎨ 3 sen
⎬
2
2
2
3a ⎩⎪
⎭⎪
08_Seccion 08_Spiegel(180-197).indd 185
2
2
2
2
2
2
3
04/12/13 16:58
186
TRANSFORMADAS DE LAPLACE
f (s)
F(t)
33.73.
s
s3 + a3
3at −3at / 2⎫⎪
e at / 2 ⎧⎪
3at
+ 3 sen
−e
⎨cos
⎬
2
3a ⎪⎩
2
⎪⎭
33.74.
s2
s + a3
1 ⎛ − at
3at ⎞
e + 2e at / 2 cos
3 ⎜⎝
2 ⎟⎠
33.75.
1
s3 − a3
3at ⎫⎪
e− at / 2 ⎧⎪ 3at / 2
3at
cos
e
3
−
−
sen
⎨
⎬
2 ⎪⎭
3a 2 ⎪⎩
2
33.76.
s
s − a3
3at
3at 3at / 2⎫⎪
e − at / 2 ⎧⎪
− cos
+e ⎬
⎨ 3 sen
2
2
3a ⎩⎪
⎭⎪
33.77.
s2
s3 − a3
1 ⎛ at
3at ⎞
e + 2e − at / 2 cos
3 ⎜⎝
2 ⎟⎠
33.78.
1
s 4 + 4a 4
1
(sen at cosh at − cos at senh at )
4a3
33.79.
s
s + 4a 4
sen at senh at
2a 2
33.80.
s2
s 4 + 4a 4
1
(sen at cosh at + cos at senh at )
2a
33.81.
s3
s + 4a 4
cos at cosh at
33.82.
1
s4 − a4
1
(senh at − sen at )
2a 3
33.83.
s
s − a4
1
(cosh at − cos at )
2a 2
33.84.
s2
s4 − a4
1
(senh at + sen at )
2a
33.85.
s3
s − a4
33.86.
33.87.
3
3
4
4
4
4
1
s+a + s+b
1
s s+a
1
2
(cosh at + cos at )
e − bt − e − at
2(b − a) π t 3
erf at
a
33.88.
1
s (s − a)
e at erf at
a
33.89.
1
s−a +b
⎫
⎧ 1
e at ⎨
− b e b t erfc(b t )⎬
⎭
⎩ πt
08_Seccion 08_Spiegel(180-197).indd 186
2
04/12/13 16:58
TRANSFORMADAS DE LAPLACE
f (s)
F(t)
33.90.
1
s + a2
J 0 (at )
33.91.
1
s − a2
I 0 (at )
2
2
33.92.
( s 2 + a 2 − s) n
s2 + a2
n > −1
a n J n (at )
33.93.
(s − s 2 − a 2 ) n
s2 − a2
n > −1
a n I n (at )
33.94.
e b(s− s +a )
s2 + a2
J 0 (a t (t + 2b))
33.95.
e− b s +a
s2 + a2
⎧J 0 (a t 2 − b 2 ) t > b
⎨
t<b
⎩0
33.96.
1
(s 2 + a 2 ) 3 / 2
tJ1 (at )
a
33.97.
s
(s 2 + a 2 )3 / 2
tJ 0 (at )
33.98.
s2
(s + a 2 ) 3 / 2
J 0 (at ) − atJ1 (at )
33.99.
1
(s 2 − a 2 ) 3 / 2
tI1 (at )
a
33.100.
s
(s 2 − a 2 ) 3 / 2
tI 0 (at )
33.101.
s2
(s 2 − a 2 )3 / 2
I 0 (at ) + atI1 (at )
1
e− s
=
s(e − 1) s(1 − e − s )
F (t ) = n, n ! t < n + 1, n = 0,1, 2,K
2
2
33.102.
187
2
2
2
s
Vea también la entrada 33.165.
33.103.
1
e− s
=
s
s(e − r ) s(1 − re − s )
e −1
1− e
=
s(e s − r ) s(1 − re − s )
k =1
donde [t] = entero mayor ! t
−s
s
33.104.
[t ]
F (t ) = ∑ r k
F (t ) = r n , n ! t < n + 1, n = 0,1, 2,K
Vea también la entrada 33.167.
33.105.
08_Seccion 08_Spiegel(180-197).indd 187
e − a /s
s
cos 2 at
πt
04/12/13 16:58
188
TRANSFORMADAS DE LAPLACE
33.106.
33.107.
f (s)
F(t)
e − a /s
s3/ 2
sen 2 at
e − a /s
s n+1
n > −1
33.108.
e− a s
s
33.109.
e− a
33.110.
1 − e− a
s
33.111.
e− a
s
33.114.
e− a / s
s n+1
ln
n/2
⎛ t⎞
⎝ a⎠
J n (2 at )
e− a / 4t
πt
2
a
e− a
2 π t3
s
s
n > −1
⎛ s + a⎞
⎝ s + b⎠
2
/ 4t
erf (a / 2 t )
s
e− a s
s ( s + b)
33.112.
33.113.
πa
erfc(a / 2 t )
a ⎞
⎛
e b ( bt + a ) erfc ⎜ b t +
⎝
2 t ⎟⎠
1
π ta 2 n+1
∫
∞
0
une−u
2
/ 4 a2t
J 2 n (2 u )du
e − bt − e − at
t
33.115.
ln[(s 2 + a 2 ) /a 2 ]
2s
Ci(at )
33.116.
ln[(s + a) /a]
s
Ei(at )
33.117.
(γ + ln s)
s
γ = constante de Euler = .5772156 …
ln t
33.118.
⎛ s2 + a2 ⎞
ln ⎜ 2
⎝ s + b 2 ⎟⎠
2(cos at − cos bt )
t
33.119.
π 2 (γ + ln s)2
+
6s
s
γ = constante de Euler = .5772156 …
ln 2 t
33.120.
ln s
s
33.121.
ln 2 s
s
08_Seccion 08_Spiegel(180-197).indd 188
−
−(ln t + γ )
γ = constante de Euler = 0.5772156 …
(ln t + γ )2 − 16 π 2
γ = constante de Euler = 0.5772156 …
04/12/13 16:58
TRANSFORMADAS DE LAPLACE
f (s)
33.122.
Γ ′(n + 1) − Γ (n + 1) ln s
s n+1
F(t)
n > −1
t n ln t
33.123.
tan −1 (a /s)
sen at
t
33.124.
tan −1 (a /s)
s
Si(at )
33.125.
e a /s
erfc( a /s)
s
e −2 at
πt
33.126.
es
2
/ 4 a2
erfc(s / 2a)
2a − a t
e
π
es
2
33.127.
/ 4 a2
erfc(s / 2a)
s
erf(at )
2 2
33.128.
e as erfc as
s
1
π (t + a)
33.129.
e as Ei(as)
1
t+a
33.130.
⎤
⎧π
⎫
1⎡
⎢cos as ⎨ − Si(as)⎬ − sen asCi(as)⎥
a⎣
⎩2
⎭
⎦
1
t 2 + a2
33.131.
⎧π
⎫
sen as ⎨ − Si(as)⎬ + cos asCi(as)
⎩2
⎭
t
t 2 + a2
33.132.
⎧π
⎫
cos as ⎨ − Si(as)⎬ −sen asCi(as)
⎩2
⎭
s
tan −1 (t /a)
33.133.
⎧π
⎫
sen as ⎨ − Si(as)⎬ − cos asCi(as)
⎩2
⎭
s
1 ⎛ t 2 + a2 ⎞
ln
2 ⎜⎝ a 2 ⎟⎠
33.134.
⎡π
⎤
2
⎢⎣ 2 − Si(as)⎥⎦ + Ci (as)
1 ⎛ t 2 + a2 ⎞
ln
t ⎜⎝ a 2 ⎟⎠
33.135.
0
!(t) = Función nula
33.136.
1
d (t) = Función delta
33.137.
e − as
δ (t − a)
33.138.
e − as
s
Vea también la entrada 33.163.
"(t − a)
2
08_Seccion 08_Spiegel(180-197).indd 189
189
04/12/13 16:58
190
TRANSFORMADAS DE LAPLACE
f (s)
F(t)
33.139.
senh sx
s senh sa
x 2 ∞ (−1)n
nπ x
nπ t
+ ∑
sen
cos
a π n=1 n
a
a
33.140.
senh sx
s cosh sa
4 ∞ (−1)n
(2n − 1)π x
(2n − 1)π t
sen
sen
∑
2a
2a
π n=1 2n − 1
33.141.
cosh sx
s senh as
t 2 ∞ (−1)n
nπ x
nπ t
+ ∑
cos
sen
a π n=1 n
a
a
33.142.
cosh sx
s cosh sa
33.143.
senh sx
2
s senh sa
33.144.
senh sx
s 2 cosh sa
33.145.
cosh sx
s senh sa
33.146.
cosh sx
s 2 cosh sa
33.147.
cosh sx
s 3 cosh sa
33.148.
33.149.
33.150.
33.151.
33.152.
33.153.
33.154.
33.155.
08_Seccion 08_Spiegel(180-197).indd 190
1+
(2n − 1)π x
(2n − 1)π t
4 ∞ (−1)n
cos
cos
2
−
1
2
2a
π∑
n
a
n =1
xt 2a ∞ (−1)n
nπ x
nπ t
+ 2 ∑ 2 sen
sen
a π n=1 n
a
a
x+
8a ∞ (−1)n
(2n − 1)π x
(2n − 1)π t
sen
cos
∑
2a
2a
π 2 n=1 (2n − 1)2
t 2 2a ∞ (−1)n
nπ x ⎛
nπ t ⎞
cos
+
1 − cos
2
a
a ⎠
2a π 2 ∑
⎝
n
n =1
2
t+
(2n − 1)π x
(2n − 1)π t
8a ∞ (−1)n
cos
sen
∑
2a
2a
π 2 n=1 (2n − 1)2
1 2
16a 2
(t + x 2 − a 2 ) − 3
2
π
2π ∞
nπ x
(−1)n ne − n π t /a sen
2 ∑
a n=1
a
senh x s
2
senh a s
cosh x s
cosh a s
senh x s
s cosh a s
π
a2
∞
∑ (−1)
cosh x s
s 2 cosh a s
2
2
2
(2n − 1)π x
2a
2
2
1 2 ∞
nπ x
+
(−1)n e − n π t /a cos
a a∑
a
n =1
2
2
2
nπ x
x 2 ∞ (−1)n − n π t /a
e
+ ∑
sen
a
a π n=1 n
2
s senh a s
s senh a s
(2n − 1)e − ( 2 n−1) π t / 4 a cos
2
senh x s
2
2
2 ∞
(2n − 1)π x
∑ (−1)n−1e−(2n−1) π t / 4 a sen 2a
a n=1
s senh a s
senh x s
n −1
2
n =1
cosh x s
cosh x s
s cosh a s
(2n − 1)π t
(−1)n
(2n − 1)π x
cos
∑
3 cos
a
2
2a
(2n − 1)
n=1
∞
1+
2
2
(2n − 1)π x
4 ∞ (−1)n − ( 2 n−1) π t / 4 a
cos
e
π∑
n
2a
2
−
1
n =1
2
2
2
nπ x
xt 2a 2 ∞ (−1)n
+
(1 − e − n π t /a ) sen
∑
a
a π 3 n=1 n 3
2
1 2
16a 2
(x − a2 ) + t − 3
2
π
2
2
(2n − 1)π x
(−1)n − ( 2 n−1) π t / 4 a
cos
∑
3 e
2a
(2n − 1)
n =1
∞
2
2
2
04/12/13 16:58
191
TRANSFORMADAS DE LAPLACE
f (s)
33.156.
33.157.
F(t)
J 0 (ix s )
s J 0 (ia s )
J 0 (ix s )
s 2 J 0 (ia s )
e − λ t /a J 0 (λn x /a)
λn J1 (λn )
n =1
∞
2
n
1 − 2∑
2
donde λl, λ2,… son las raíces positivas de J0(λ) = 0
∞
e − λ t /a J 0 (λn x /a)
1 2
( x − a 2 ) + t + 2a 2 ∑
4
λn3 J1 (λn )
n =1
2
n
2
donde λ1, λ2,… son las raíces positivas de J0(λ) = 0
F(t)
33.158.
1
⎛ as⎞
tanh
⎝ 2⎠
as 2
1
0
t
2a
4a
6a
Figura 33-1 Función de onda triangular
F(t)
33.159.
1
⎛ as⎞
tanh
s
⎝ 2⎠
1
a
2a
3a
4a
t
5a
-1
Figura 33-2 Función de onda cuadrada
F(t)
33.160.
πa
⎛ as⎞
coth
⎝ 2⎠
a2s2 + π 2
1
0
2a
a
3a
t
Figura 33-3 Función de onda seno rectificada
F(t)
33.161.
πa
(a 2 s 2 + π 2 )(1 − e − as )
1
a
2a
3a
4a
t
Figura 33-4 Función de onda seno semirrectificada
F(t)
33.162.
− as
1
e
−
as 2 s(1 − e − as )
1
a
2a
3a
4a
Figura 33-5 Función de onda diente de sierra
08_Seccion 08_Spiegel(180-197).indd 191
t
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192
TRANSFORMADAS DE LAPLACE
f (s)
F(t)
F(t)
e − as
s
1
Vea también la entrada 33.138.
0
33.163.
t
a
Figura 33-6 Función escalón unitario de Heaviside !(t – a)
F(t)
e − as (1 − e − !s )
s
33.164.
1
0
t
a+!
a
Figura 33-7 Función de pulso
1
s(1 − e − as )
33.165.
Vea también la entrada 33.102.
3
F(t)
2
1
0
a
2a
3a
4a
t
Figura 33-8 Función escalón
F(t) = n2, n " t < n + 1, n = 0, 1, 2, …
F(t)
e − s + e −2 s
s(1 − e − s )2
33.166.
4
3
2
1
0
1
2
Figura 33-9
3
t
F(t) = rn, n " t < n + 1, n = 0, 1, 2, …
F(t)
1 − e− s
s(1 − re − s )
33.167.
Vea también la entrada 33.104.
r
1
0
1
2
Figura 33-10
3
t
⎧sen (π t /a) 0 " t " a
F (t ) = ⎨
t>a
⎩0
33.168.
π a(1 + e − as )
a2s2 + π 2
F(t)
1
0
08_Seccion 08_Spiegel(180-197).indd 192
a
Figura 33-11
t
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34
Transformadas de Fourier
TEOREMA DE LA INTEGRAL DE FOURIER
∞
f ( x ) = ∫ {A(α )cos α x + B(α ) sen α x}dα
34.1.
0
donde
⎧
1
⎪A(α ) = π
⎨
⎪B(α ) = 1
⎪⎩
π
34.2.
∫
∞
∫
∞
−∞
−∞
f ( x )cos α x dx
f ( x ) sen α x dx
Las condiciones suficientes bajo las cuales este teorema se cumple son:
i)
f (x) y f ′(x) son continuas por segmentos en cada intervalo finito –L < x < L;
ii)
∫
iii)
∞
−∞
| f ( x ) | dx converge;
f (x) se reemplaza por 12 { f ( x + 0) + f ( x − 0)} si x es un punto de discontinuidad.
FORMAS EQUIVALENTES DEL TEOREMA DE LA INTEGRAL DE FOURIER
34.3.
f (x) =
1
2π
∫
∞
f (x) =
1
2π
∫
∞
=
1
2π
∫ ∫
34.4.
34.5.
f (x) =
2
π
∫
α =−∞
−∞
∫
u =−∞
f (u)cos α ( x − u) du dα
∞
e iα x dα ∫ f (u)e − iα u du
−∞
∞
∞
−∞
−∞
∞
0
∞
f (u)e iα ( x −u )du dα
∞
sen α x dα ∫ f (u) sen α u du
0
donde f (x) es una función impar [ f ( x) = f (x)].
34.6.
f (x) =
∞
2 ∞
cos α x dα ∫ f (u)cos α u du
0
π ∫0
donde f (x) es una función par [ f ( x) = f (x)].
193
08_Seccion 08_Spiegel(180-197).indd 193
04/12/13 16:58
194
TRANSFORMADAS DE FOURIER
TRANSFORMADA DE FOURIER
La transformada de Fourier de f (x) está definida como
34.7.
!{ f ( x )} = F (α ) =
∫
∞
−∞
f ( x )e − iα x dx
Entonces, a partir de la fórmula 34.7 vemos que la transformada inversa de Fourier de F(a ) es
34.8.
! −1{F (α )} = f ( x ) =
1
2π
∫
∞
−∞
F (α )e iα x dα
Se llaman a f (x) y F(a) pares de transformadas de Fourier.
TEOREMA DE CONVOLUCIÓN PARA TRANSFORMADAS DE FOURIER
Si F(a) = !{f (x)} y G(a ) = !{g(x)}, entonces
34.9.
1
2π
∫
∞
−∞
∞
F (α )G (α )e iα x dα = ∫ f (u)g( x − u) du = f ∗ g
−∞
donde f * g es llamada convolución de f y g. De esta manera,
34.10. !{ f * g} = !{ f} !{g}
TEOREMA DE PARSEVAL
Si F(a) = !{ f (x)}, entonces
34.11.
∫
∞
| f ( x ) |2 dx =
−∞
1
2π
∫
∞
| F (α ) |2 dα
−∞
De manera más general, si F(a) = !{ f (x)} y G(a) = !{g(x)}, entonces
34.12.
∫
∞
−∞
f ( x )g( x ) dx =
1
2π
∫
∞
−∞
F (α )G (α ) dα
donde la barra denota el complejo conjugado.
TRANSFORMADA SENO DE FOURIER
La transformada seno de Fourier de f (x) está definida como
34.13.
∞
FS (α ) = ! S { f ( x )} = ∫ f ( x ) sen α x dx
0
Entonces, de la fórmula 34.13, la transformada inversa seno de Fourier de FS(a ) es
34.14.
f ( x ) = ! −S1{FS (α )} =
08_Seccion 08_Spiegel(180-197).indd 194
2
π
∫
∞
0
FS (α ) sen α x dα
04/12/13 16:58
TRANSFORMADAS DE FOURIER
195
TRANSFORMADA COSENO DE FOURIER
La transformada coseno de Fourier de f (x) está definida como
34.15.
FC (α ) = ! C { f ( x )} =
∫
∞
0
f ( x ) cos α x dx
Entonces, de la fórmula 34.15, la transformada inversa coseno de Fourier de FC(a) es
34.16.
2
π
f ( x ) = ! −C1{FC (α )} =
∫
∞
0
FC (α ) cos α x dα
PARES DE TRANSFORMADAS ESPECIALES DE FOURIER
f (x)
F(a )
1 |x|<b
0 |x|>b
2sen bα
α
34.18.
1
x + b2
π e − bα
b
34.19.
x
x 2 + b2
−iπ e − bα
34.20.
f (n)(x)
i na nF(a)
34.21.
x nf (x)
34.22.
f (bx)eitx
34.17.
08_Seccion 08_Spiegel(180-197).indd 195
{
2
in
d nF
dα n
1 ⎛ α − t⎞
F
b ⎝ b ⎠
04/12/13 16:58
196
TRANSFORMADAS DE FOURIER
TRANSFORMADAS SENO ESPECIALES DE FOURIER
f (x)
FS(a )
1 0<x<b
0
x>b
1 − cos bα
α
34.24.
x –1
π
2
34.25.
x
x + b2
π − bα
e
2
34.26.
e–bx
α
α 2 + b2
34.27.
xn – 1e–bx
Γ(n) sen (n tan −1 α / b)
(α 2 + b 2 )n / 2
34.28.
xe − bx
34.29.
x –1/2
π
2α
34.30.
x –n
πα n−1 csc (nπ / 2)
2Γ (n)
34.31.
sen bx
x
34.32.
sen bx
x2
34.33.
cos bx
x
α<b
⎧ 0
⎪
⎨π / 4 α = b
⎪⎩π / 2 α > b
34.34.
tan −1 ( x / b)
π − bα
e
2α
34.35.
csc bx
π
πα
tanh
2b
2b
34.36.
1
e −1
π
⎛ πα ⎞ 1
−
coth
4
⎝ 2 ⎠ 2α
34.23.
08_Seccion 08_Spiegel(180-197).indd 196
{
2
2x
2
π
α e −α
4 b 3/ 2
2
/4b
0<n<2
1 ⎛ α + b⎞
ln
2 ⎝ α − b⎠
{
πα / 2 α < b
πb / 2 α > b
04/12/13 16:58
TRANSFORMADAS DE FOURIER
197
TRANSFORMADAS COSENO ESPECIALES DE FOURIER
f (x)
FS(a )
1 0<x<b
0
x>b
sen bα
α
34.38.
1
x + b2
π e − bα
2b
34.39.
e − bx
b
α + b2
34.40.
x n−1e − bx
Γ(n) cos(n tan −1 α /b)
(α 2 + b 2 )n / 2
34.41.
e − bx
34.42.
x −1/ 2
π
2α
34.43.
x −n
πα n −1 sec (nπ /2)
, 0 < n <1
2Γ (n)
34.44.
⎛ x 2 + b2 ⎞
ln ⎜ 2
⎝ x + c 2 ⎟⎠
e − cα − e − bα
πα
34.45.
sen bx
x
⎧π /2 α < b
⎪
⎨π /4 α = b
⎪⎩ 0 α > b
34.46.
sen bx 2
π ⎛ α2
α2 ⎞
⎜cos − sen ⎟
8b ⎝ 4 b
4b ⎠
34.47.
cos bx 2
π ⎛ α2
α2 ⎞
⎜cos + sen ⎟
8b ⎝ 4 b
4b ⎠
34.48.
sech bx
π
πα
sech
2b
2b
34.37.
34.49.
34.50.
08_Seccion 08_Spiegel(180-197).indd 197
{
2
2
cosh ( π x /2)
2
1 π −α
e
2 b
2
/4b
cosh ( π x )
π cosh ( πα /2)
2 cosh ( πα )
e− b x
x
π
{cos(2b α ) −sen (2b α )}
2α
04/12/13 16:58
Sección IX: Funciones elípticas y varias funciones especiales
35
Funciones elípticas
INTEGRAL ELÍPTICA INCOMPLETA DE PRIMER TIPO
35.1.
u = F ( k ,φ ) = ∫
dθ
φ
1 − k sen θ
0
2
2
=∫
d!
x
0
(1 − ! )(1 − k 2! 2 )
2
donde f = am u es la amplitud de u y x = sen f y donde, tanto en esta ecuación como en la siguiente, 0 < k < 1.
INTEGRAL ELÍPTICA COMPLETA DE PRIMER TIPO
35.2.
K = F (k , π / 2) = ∫
dθ
π /2
0
=∫
1 − k sen θ
2
d!
1
(1 − ! )(1 − k 2! 2 )
0
2
2
2
2
2
π ⎧⎪ ⎛ 1⎞ 2 ⎛ 1 3 ⎞ 4 ⎛ 1 3 5 ⎞ 6 …⎫⎪
= ⎨1 + ⎜ ⎟ k + ⎜
k + ⎬
k +⎜
2 ⎪ ⎝ 2⎠
⎝ 2 4 6⎟⎠
⎝ 2 4 ⎟⎠
⎩
⎭⎪
INTEGRAL ELÍPTICA INCOMPLETA DE SEGUNDO TIPO
35.3.
E ( k ,φ ) = ∫
φ
x
1 − k 2! 2
0
1− ! 2
1 − k 2 sen 2θ dθ = ∫
0
d!
INTEGRAL ELÍPTICA COMPLETA DE SEGUNDO TIPO
35.4.
E = E (k , π / 2) = ∫
π /2
0
1
1 − k 2! 2
0
1− ! 2
1 − k 2 sen 2θ dθ = ∫
d!
2
2
2
π ⎧⎪ ⎛ 1⎞ 2 ⎛ 1 3 ⎞ k 4 ⎛ 1 3 5 ⎞ k 6 …⎫⎪
−
− ⎬
= ⎨1 − ⎜ ⎟ k − ⎜
2 ⎪ ⎝ 2⎠
⎝ 2 4 ⎟⎠ 3 ⎜⎝ 2 4 6⎟⎠ 5
⎪⎭
⎩
INTEGRAL ELÍPTICA INCOMPLETA DE TERCER TIPO
35.5.
φ
dθ
0
(1 + n sen θ ) 1 − k sen θ
Π(k , n,φ ) = ∫
2
2
2
x
d!
0
(1 + n! ) (1 − ! 2 )(1 − k 2! 2 )
=∫
2
198
09_Seccion 09_Spiegel(198-204).indd 198
10/12/13 09:53
FUNCIONES ELÍPTICAS
199
INTEGRAL ELÍPTICA COMPLETA DE TERCER TIPO
35.6.
Π( k , n, π /2) = ∫
dθ
π /2
0
(1 + n sen θ ) 1 − k sen θ
2
2
2
1
d!
0
(1 + n! ) (1 − ! 2 )(1 − k 2! 2 )
=∫
2
TRANSFORMADA DE LANDEN
35.7.
tan φ =
sen 2φ1
k + cos 2φ1
k sen φ = sen (2φ1 − φ )
o
Esto resulta
35.8.
F ( k ,φ ) = ∫
φ
0
dθ
1 − k sen θ
2
2
=
2 φ
1 + k ∫0
dθ1
1
1 − k12 sen 2θ1
donde k1 = 2 k /(1 + k ). Mediante aplicaciones continuas se obtienen las sucesiones k1 , k2 , k3 , … y φ1 , φ2 , φ3 ,…
de manera que k < k1 < k2 < k3 < … < 1 donde lím kn = 1. Ahora:
n→∞
35.9. F (k , Φ) =
k1k2 k3 …
⎛ π Φ⎞
ln tan ⎜ + ⎟
k
⎝4 2⎠
k1k2 k3 … Φ
dθ
∫0 1 − sen 2θ =
k
donde
35.10.
k1 =
2 k
,
1+ k
k2 =
2 k1
1 + k1
, … y Φ lím φn
n→∞
El resultado se usa en la evaluación aproximada de F(k, f).
FUNCIONES ELÍPTICAS DE JACOBI
De la fórmula 35.1 se definen las siguientes funciones elípticas:
35.11.
x = sen (am u) = sn u
35.12.
1 − x 2 = cos (am u) = cn u
35.13.
1 − k 2 x 2 = 1 − k 2 sn 2 u = dn u
También se pueden definir las funciones inversas de sn −1 x , cn −1 x , dn −1 x y las siguientes:
35.14.
ns u =
1
sn u
35.17.
sc u =
sn u
cn u
35.20.
cs u =
cn u
sn u
35.15.
nc u =
1
cn u
35.18.
sd u =
sn u
dn u
35.21.
dc u =
dn u
cn u
35.16.
nd u =
1
dn u
35.19.
cd u =
cn u
dn u
35.22.
ds u =
dn u
dn u
FÓRMULAS DE ADICIÓN
35.23.
sn (u + ! ) =
09_Seccion 09_Spiegel(198-204).indd 199
sn u cn ! dn ! + cn u sn ! dn u
1 − k 2 sn 2 u sn 2!
10/12/13 09:53
200
FUNCIONES ELÍPTICAS
35.24.
cn (u + ! ) =
cn u cn ! − sn u sn ! dn u dn !
1 − k 2sn 2 u sn 2!
35.25.
dn (u + ! ) =
dn u dn ! − k 2 sn u sn ! cn u cn !
1 − k 2sn 2 u sn 2!
DERIVADAS
35.26.
d
sn u = cn u dn u
du
35.28.
d
dn u = − k 2sn u cn u
du
35.27.
d
cn u = −sn u dn u
du
35.29.
d
sc u = dc u nc u
du
EXPANSIÓN DE SERIES
35.30.
sn u = u − (1 + k 2 )
35.31.
cn u = 1 −
35.32.
dn u = 1 − k 2
u3
u5
u7
+ (1 + 14 k 2 + k 4 ) − (1 + 135k 2 + 135k 4 + k 6 ) + …
3!
5!
7!
u2
u4
u6
+ (1 + 4 k 2 ) − (1 + 44 k 2 + 16k 4 ) + …
2!
4!
6!
u2
u4
u6
+ k 2 (4 + k 2 ) − k 2 (16 + 44 k 2 + k 4 ) + …
2!
4!
6!
CONSTANTE DE CATALÁN
35.33.
1 1
1 1 π /2
1 1 1
dθ dk
K dk = ∫ ∫
= 2 − 2 + 2 − … = 0. 915965594 …
∫
θ
k
0
=
0
=
0
2
2
1 − k 2 sen 2θ 1 3 5
PERIODOS DE LAS FUNCIONES ELÍPTICAS
Sean
35.34.
K=∫
π /2
0
dθ
1 − k sen θ
2
2
,
K′ = ∫
π /2
0
dθ
1 − k ′ 2 sen 2θ
donde k ′ = 1 − k 2
Entonces
35.35.
sn u tiene periodos 4K y 2iK ′
35.36.
cn u tiene periodos 4K y 2K + 2iK ′
35.37.
dn u tiene periodos 2K y 4iK ′
09_Seccion 09_Spiegel(198-204).indd 200
10/12/13 09:53
FUNCIONES ELÍPTICAS
201
IDENTIDADES QUE CONTIENEN FUNCIONES ELÍPTICAS
35.38.
sn 2 u + cn 2u = 1
35.40.
dn 2 u − k 2 cn 2 u = k ′ 2
35.42.
cn 2u =
35.44.
donde k ′ = 1 − k 2
dn 2u + cn 2u
1 + dn 2u
1 − cn 2u sn u dn u
=
1 + cn 2 u
cn u
35.39.
dn 2 u + k 2 sn 2 u = 1
35.41.
sn 2u =
1 − cn 2u
1 + dn 2u
35.43.
dn 2u =
1 − k 2 + dn 2u + k 2cn u
1 + dn 2u
35.45.
1 − dn 2u k sn u cn u
=
1 + dn 2u
dn u
VALORES ESPECIALES
35.46. sn 0 = 0
35.47. cn 0 = 1
35.48. dn 0 = 1
35.49. sc 0 = 0
35.50. am 0 = 0
INTEGRALES
1
35.51.
∫ sn u du = k ln (dn u − k cn u)
35.52.
∫ cn u du = k cos
35.53.
∫ dn u du = sen
35.54.
∫ sc u du =
35.55.
∫ cs u du = ln (ns u − ds u)
35.56.
∫ cd u du = k ln (nd u + k sd u)
35.57.
∫ dc u du = ln (nc u + sc u)
35.58.
∫ sd u du = k
35.59.
∫ ds u du = ln (ns u − cs u)
35.60.
∫ ns u du = ln (ds u − cs u)
35.61.
∫ nc u du =
⎛
1
sc u ⎞
ln ⎜ dc u +
2
⎝
1− k
1 − k 2 ⎟⎠
35.62.
∫ nd u du =
1
cos −1 (cd u)
1 − k2
1
−1
−1
(dn u)
(sn u)
(
)
1
ln dc u + 1 − k 2 nc u
1 − k2
1
09_Seccion 09_Spiegel(198-204).indd 201
−1
1− k2
sen −1 (k cd u)
10/12/13 09:53
202
FUNCIONES ELÍPTICAS
RELACIÓN DE LEGENDRE
35.63.
EK ′ + E ′K − KK ′ = π /2
donde
π /2
35.64.
E=∫
35.65.
E′ = ∫
0
π /2
0
09_Seccion 09_Spiegel(198-204).indd 202
1 − k 2 sen 2θ dθ
1 − k ′ 2 sen 2θ dθ
K=∫
π /2
0
K′ = ∫
π /2
0
dθ
1 − k 2 sen 2θ
dθ
1 − k ′ 2 sen 2θ
10/12/13 09:53
36
Varias funciones zeta y de Riemann
FUNCIÓN DE ERROR
36.1.
ERF X P
°
X
E
U
DU
x3
x5
x7
2 ⎛
…⎞
⎜⎝ x − 3 1! + 5 2! − 7 3! + ⎟⎠
π
erf ( x ) =
e− x ⎛
1
1 3 1 3 5 …⎞
⎜⎝1 − 2 x 2 + (2 x 2 )2 − (2 x 2 )3 + ⎟⎠
πx
2
36.2. erf ( x ) ~ 1 −
36.3.
erf (− x ) = − erf ( x ),
erf (0) = 0,
erf (∞) = 1
FUNCIÓN DE ERROR COMPLEMENTARIA
36.4.
ERFC X ERF X P
°
d
X
E
U
DU
x3
x5
x7
2 ⎛
…⎞
⎜⎝ x − 3 1! + 5 2! − 7 3! + ⎟⎠
π
erfc ( x ) = 1 −
e− x ⎛
1
1 3 1 3 5 …⎞
⎜⎝1 − 2 x 2 + (2 x 2 )2 − (2 x 2 )3 + ⎟⎠
πx
2
36.5. erfc ( x ) ~
36.6.
erfc (0) = 1,
erfc (∞) = 0
INTEGRAL EXPONENCIAL
36.7.
Ei ( x ) = −γ − ln x + ∫
x
0
%I X 1− e
u
−u
°
d
X
E U
DU
U
du
⎛ x
⎞
x2
x3
36.8. Ei ( x ) = −γ − ln x + ⎜
−
+
− …⎟
⎝ 1 1! 2 2! 3 3!
⎠
36.9.
36.10.
Ei ( x ) ~
e− x
x
⎛ 1! 2! 3! …⎞
⎜⎝1 − x + x 2 − x 3 + ⎟⎠
Ei (∞) = 0
INTEGRAL SENO
Si ( x ) = ∫
x
0
sen u
du
u
36.11. Si ( x ) =
x
x3
x5
x7 …
−
+
−
+
1 1! 3 3! 5 5! 7 7!
36.12. Si ( x ) ~
π sen x ⎛ 1 3! 5! …⎞ cos x ⎛ 2! 4! …⎞
−
− + − ⎟−
1− + − ⎟
x ⎜⎝ x x 3 x 5
x ⎜⎝ x 2 x 4
2
⎠
⎠
36.13.
Si (− x ) = −Si ( x ),
Si (0) = 0,
Si (∞) = π / 2
203
09_Seccion 09_Spiegel(198-204).indd 203
10/12/13 09:53
204
VARIAS FUNCIONES ZETA Y DE RIEMANN
cos u
du
u
x 1 − cos u
Ci ( x ) = −γ − ln x + ∫
du
0
u
INTEGRAL COSENO
36.14.
36.15. Ci ( x ) = −γ − ln x +
∫
∞
x
x2
x4
x6
x8
−
+
−
+…
2 2! 4 4! 6 6! 8 8!
cos x ⎛ 1 3! 5! …⎞ sen x ⎛ 2! 4! …⎞
− + − ⎟−
1− +
− ⎟
x ⎜⎝ x x 3 x 5
x ⎜⎝ x 2 x 4
⎠
⎠
36.16. Ci ( x ) ~
36.17.
Ci ( x ) =
Ci (∞) = 0
INTEGRAL SENO DE FRESNEL
36.20.
S(0) = 0,
INTEGRAL COSENO DE FRESNEL
2
π
36.21. C ( x ) =
36.23.
°
X
SEN U DU
⎛ 1 1 3 1 3 5 7 …⎞
⎛ 1 135
⎞ ⎫⎪
1
1 ⎪⎧
2
−
− ⎟ + (sen x 2 ) ⎜ 3 − 3 7 + …⎟ ⎬
⎨(cos x ) ⎜ − 2 5 +
4 9
2
2
2
x
2
x
2
x
x
x
⎝
⎠
⎝
⎠ ⎭⎪
2π ⎩⎪
S (− x ) = − S ( x ),
36.22. C ( x ) ~
P
⎞
x7
x 11
x 15
2 ⎛ x3
−
+
−
+ …⎟
⎜
π ⎝ 3 1! 7 3! 11 5! 15 7!
⎠
36.18. S ( x ) =
36.19. S ( x ) ~
3 X S(∞) =
1
2
C( x) =
2
π
∫
x
0
cos u2 du
⎛x
x5
x9
x 13
…⎞
⎜⎝ 1! − 5 2! + 9 4! − 13 6! + ⎟⎠
⎛ 1 1 3 1 3 5 7 …⎞
⎛ 1 135
⎞ ⎫⎪
1
1 ⎧⎪
2
+
− ⎟ − (cos x 2 ) ⎜ 3 − 3 7 + …⎟ ⎬
⎨(sen x ) ⎜ − 2 5 +
4 9
2 x
2
2 x
⎝x 2 x
⎠
⎝ 2x
⎠ ⎭⎪
2π ⎩⎪
C (− x ) = −C ( x ),
C(0) = 0,
FUNCIÓN ZETA DE RIEMANN Z X
∞ u x −1
1
du,
∫
Γ ( x ) 0 eu−1
C(∞) =
1
2
X
X
X
...
36.24.
ζ (x) =
36.25.
ζ (1 − x ) = 21− x π − x Γ ( x ) cos(π x/ 2)ζ ( x ) (extensión a otros valores)
36.26.
ζ (2 k ) =
09_Seccion 09_Spiegel(198-204).indd 204
x >1
22 k −1π 2 k Bk
k = 1, 2, 3,…
(2k )!
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Sección X: Productos desiguales e infinitos
37
Desigualdades
DESIGUALDAD DEL TRIÁNGULO
37.1.
|a1 | − | a2 | ! | a1 + a2 | ! | a1 | + | a2 |
37.2.
| a1 + a2 + L + an | ! | a1 | + | a2 | + L + | an |
DESIGUALDAD DE CAUCHY-SCHWARZ
37.3.
(a1b1 + a2 b2 + L + an bn )2 ! (a12 + a22 + L + an2 )(b12 + b22 + L + bn2 )
La igualdad se cumple si y sólo si a /b = a /b = … a /b .
1 1
2 2
n n
DESIGUALDADES QUE INVOLUCRAN MEDIAS ARITMÉTICAS,
GEOMÉTRICAS Y ARMÓNICAS
Si A, G y H son las medias aritméticas, geométricas y armónicas de los números positivos a1, a2, ..., an, entonces
37.4.
H !G ! A
donde
a1 + a2 + L + an
n
37.5.
A=
37.6.
G = n a1 a2 K an
37.7.
1 1⎛1
1
1⎞
= ⎜ + +L+ ⎟
H n ⎝ a1 a2
an ⎠
La igualdad se lleva a cabo si y sólo si a1 = a2 = L = an .
DESIGUALDAD DE HOLDER
37.8.
| a1b1 + a2b2 + L + an bn | ! (| a1 | p+ | a2 | p + L + | an | p)1/ p (| b1 |q + | b2 |q + L + | bn |q)1/q
donde
37.9.
1 1
+ =1
p q
p > 1, q > 1
La igualdad se cumple si y sólo si | a1 | p−1/| b1 | = | a2 | p−1/| b2 | = L = | an | p−1/| bn | . Para p = q = 2, se reduce a la
fórmula 37.3.
205
10_Seccion 10_Spiegel(205-207).indd 205
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206
DESIGUALDADES
DESIGUALDAD DE CHEBYSHEV
Si a1 ! a2 !… ! an y b1 ! b2 ! … ! bn , entonces
37.10.
⎛ a1 + a2 + L + an ⎞ ⎛ b1 + b2 + L + bn ⎞ a1 b1 + a2 b2 + L + an bn
⎟!
⎟⎜
⎜
n
n
n
⎠
⎠⎝
⎝
o
37.11.
(a1 + a2 + L + an )(b1 + b2 + L + bn ) ! n(a1 b1 + a2 b2 + L + an bn )
DESIGUALDAD DE MINKOWSKI
Si a1, a2,…an, b1, b2,… bn son todas positivas y p > 1, entonces
37.12.
{(a1 + b1) p + (a2 + b2 ) p + L + (an + bn ) p}1/ p ! (a1p + a2p + L + anp )1/ p + (b1p + b2p + L + bnp )1/ p
La igualdad se cumple si y sólo si a1 /b1 = a2 /b2 = L = an /bn .
DESIGUALDAD DE CAUCHY-SCHWARZ PARA INTEGRALES
2
37.13.
⎡ b f ( x )g( x ) dx⎤ !
⎣⎢∫a
⎦⎥
{∫
b
a
}{∫
[ f ( x )]2 dx
b
a
}
[g( x )]2 dx
La igualdad se cumple si y sólo si f (x)/g(x) es una constante.
DESIGUALDAD DE HOLDER PARA INTEGRALES
37.14.
∫
b
a
| f ( x )g( x )|dx !
{∫ | f (x)| dx} {∫ |g(x)| dx}
b
1/ p
1/q
b
p
q
a
a
donde 1/p + 1/q = 1, p > 1, q > 1. Si p = q = 2, se reduce a la fórmula 37.13.
La igualdad se cumple si y sólo si | f ( x )| p−1/| g( x )| es una constante.
IGUALDAD DE MINKOWSKI PARA INTEGRALES
Si p > 1,
37.15.
{∫ | f (x) + g(x)| dx} ! {∫ | f (x)| dx} + {∫ |g(x)| dx}
b
a
1/ p
p
b
a
1/ p
p
b
1/ p
p
a
La igualdad se cumple si y sólo si f (x)/g(x) es una constante.
10_Seccion 10_Spiegel(205-207).indd 206
10/12/13 09:57
38
Productos infinitos
⎛ x2⎞ ⎛
x2 ⎞ ⎛
x2 ⎞
38.1. sen x = x ⎜1 − 2 ⎟ ⎜1 − 2 ⎟ ⎜1 − 2 ⎟ …
⎝ x ⎠ ⎝ 4π ⎠ ⎝ 9π ⎠
38.2.
⎛ 4x2 ⎞ ⎛ 4x2 ⎞ ⎛
4x2 ⎞
cos x = ⎜1 − 2 ⎟ ⎜1 − 2 ⎟ ⎜1 −
L
π ⎠ ⎝ 9π ⎠ ⎝ 25π 2 ⎟⎠
⎝
38.3.
⎛ x2 ⎞ ⎛
x2 ⎞ ⎛
x2 ⎞
senh x = x ⎜1 + 2 ⎟ ⎜1 + 2 ⎟ ⎜1 + 2 ⎟ …
⎝ π ⎠ ⎝ 4π ⎠ ⎝ 9π ⎠
38.4.
⎛ 4x2 ⎞ ⎛ 4x2 ⎞ ⎛
4x2 ⎞
cosh x = ⎜1 + 2 ⎟ ⎜1 + 2 ⎟ ⎜1 +
L
π ⎠ ⎝ 9π ⎠ ⎝ 25π 2 ⎟⎠
⎝
38.5.
1
⎫ ⎧⎛ x
⎫ ⎧⎛ x
⎫
⎧⎛ x
= xeγ x ⎨ 1 + ⎞ e − x ⎬ ⎨ 1 + ⎞ e − x/2 ⎬ ⎨ 1 + ⎞ e − x/3 ⎬ …
1
2
3
Γ( x )
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
⎭⎩
⎭⎩
⎭
⎩
Vea también la fórmula 25.11.
⎛ x2 ⎞ ⎛ x2 ⎞ ⎛ x2 ⎞
J 0 ( x ) = ⎜1 − 2 ⎟ ⎜1 − 2 ⎟ ⎜1 − 2 ⎟ L
⎝ !1 ⎠ ⎝ !2 ⎠ ⎝ !3 ⎠
donde l1, l2, l3,… son las raíces positivas de J0(x) = 0.
38.6.
38.7.
⎛ x2 ⎞ ⎛ x2 ⎞ ⎛ x2 ⎞
J1( x ) = x ⎜1 − 2 ⎟ ⎜1 − 2 ⎟ ⎜1 − 2 ⎟ L
⎝ !1 ⎠ ⎝ !2 ⎠ ⎝ !3 ⎠
donde l1, l2, l3,… son las raíces positivas de J1(x) = 0.
38.8.
sen x
x
x
x
x
= cos cos cos cos …
x
2
4
8
16
38.9.
π 2 2 4 4 6 6 …
= 2 1 3 3 5 5 7
A esta se le llama producto de Wallis.
207
10_Seccion 10_Spiegel(205-207).indd 207
10/12/13 09:57
Sección XI: Probabilidad y estadística
39
Estadística descriptiva
Los datos numéricos x1, x2,… vienen de una muestra aleatoria de una gran población o de la población misma. Se
pueden distinguir dos casos usando diferentes notaciones como sigue:
n = número de elementos en una muestra,
N = número de elementos en la población,
x = (leer: x barra) = media de la muestra,
s2 = varianza de la muestra,
s = desviación estándar de la muestra,
m (leer: mu) = media de la población,
s 2 = varianza de la población,
s = desviación estándar de la población.
Observe que las letras griegas se usan con la población y son llamadas parámetros, mientras que las letras
latinas se usan con las muestras y se llaman estadísticos. Primero se dan las fórmulas para los datos que vienen
desde una muestra simple, y estas son seguidas por las fórmulas para la población.
Datos agrupados
Frecuentemente, los datos de una muestra se recopilan en grupos (datos agrupados). Un grupo se refiere a un
conjunto de números, todos con el mismo valor xi, o un conjunto (clase) de números en un intervalo con valor
de clase xi. En tal caso, se supone que existen k grupos con un número de elementos fi, denotando el número de
elementos en el grupo con valor o valor de clase xi.
Así, el número de elementos total es
39.1. n = ∑ fi
Como de costumbre, Σ denotará una suma de todos los valores del índice, a menos que se especifique otra
cosa.
Por consiguiente, algunas de las fórmulas serán designadas como (a) o (b), donde (a) indica datos no agrupados
y (b) indica datos agrupados.
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
Media (media aritmética)
La media aritmética o, simplemente, media de una muestra x1, x2,…, xn, frecuentemente llamada el “valor
promedio”, es la suma de los valores divididos entre el número de valores. Esto es:
39.2(a). Media de la muestra:
39.2(b). Media de la muestra:
x1 + x 2 + … + x n Σ xi
=
n
n
f1 x1 + f2 x 2 + L + fk x k Σ fi xi
x=
=
f1 + f2 + L + fk
Σ fi
x=
Mediana
Suponga que los datos x1, x2,…, xn ahora se clasifican en orden ascendente. La mediana de los datos se denota por
M o mediana
que se define como el “valor medio” o valor que se encuentra al centro de la clasificación ordenada. Esto es:
208
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09/12/13 09:51
ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
39.3(a).
⎧x k +1
⎪
Mediana = ⎨
x + x k +1
⎪ k
⎩ 2
209
cuando n es impar y n = 2 k + 1
cuando n es par y n = 2k
La mediana de datos agrupados se obtiene encontrando la función frecuencia acumulada Fs. Específicamente,
se define
Fs = f1 + f2 + L + fs
esto es, Fs es la suma de las frecuencias hasta fs. Entonces:
39.3(b.1).
⎧x j +1
⎪
Mediana = ⎨
x + x j +1
⎪ j
⎩ 2
cuando n = 2k + 1 (impar) y Fj < k + 1 ≤ Fj +1
cuando n = 2k (par), y Fj = k
Encontrar la mediana de datos agrupados en clases es más complicado. Primero, se debe encontrar la mediana
de la clase m, la clase con el valor mediano, y después se interpola linealmente en la clase usando la fórmula
Mediana = Lm + c
39.3(b.2).
(n/2) − Fm −1
fm
donde Lm denota la clase más baja de la mediana de clase y c denota su ancho de clase (longitud del intervalo de
clase).
Moda
La moda es el valor o valores que se presentan con más frecuencia. Así:
39.4.
Moda xm = valor numérico que ocurre el mayor número de veces.
La moda no está definida si cada xm ocurre el mismo número de veces, y cuando la moda está definida, no será
única.
Medias ponderada y grandes
Suponga que cada xi tiene asignado un peso wi ≥ 0. Entonces:
w x + w2 x 2 + … + wk x k Σ wi xi
=
39.5. Media ponderada x w = 1 1
Σw
w + w +… + w
1
2
k
i
Observe que la fórmula 39.2.(b) es un caso especial de la 39.5, donde el peso wi de xi es su frecuencia.
Suponga que existen k sistemas de muestras y que cada sistema de muestra tiene ni elementos y una media x.,
entonces, la media grande, denotada por xi , es la “media de las medias”, donde cada media es ponderada por el
número de elementos en su muestra. Específicamente:
n1 x1 + n2 x 2 + L + nk x k Σ ni xi
=
n1 + n2 + L + nk
Σ ni
39.6. Media grande x =
Medias geométricas y armónicas
La media geométrica (MG) y la media armónica (MA) se definen como sigue:
39.7(a). MG = n x1 x 2 L x n
39.7(b). MG = n x1f x 2f L x kf
1
11_Seccion 11_Spiegel(208-230).indd 209
2
k
09/12/13 09:51
210
ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
n
n
=
1/x1 + 1/x 2 + L + 1/x n Σ (1/xi )
n
n
39.8(b). AM
MA =
=
f1 /x1 + f2 /x 2 + L + fk /x k Σ ( fi /xi )
39.8(a). AM
MA =
Relación entre medias aritméticas, geométricas y armónicas
39.9. MA ≤ MG ≤ x–
El signo igual solo se utiliza cuando todos los valores muestra son los mismos.
Rango medio
El rango medio es el promedio de los valores más pequeños x1 y el valor más grande xn. Esto es:
39.10. Rango medio: med =
x1 + x n
2
Media de una población
La fórmula para la media de una población m es la siguiente:
39.11(a). Media de una población:
µ=
39.11(b). Media de una población: µ =
x1 + x 2 + L + x N Σ xi
=
N
N
f1 x1 + f2 x 2 + L + fk x k Σ fi xi
=
f1 + f2 + L + fk
Σ fi
(Recuerde que N denota el número de elementos en una población).
Observe que la fórmula para la media de una población m es la misma que la fórmula para la media de muestra
x. Por otra parte, la fórmula para la desviación estándar de la población s no es igual que la fórmula para la
desviación estándar de muestra s. (Esta es la razón principal por la que se dan fórmulas separadas para m y x–).
MEDICIÓN DE DISPERSIÓN
Varianza y desviación estándar de muestra
Aquí, el conjunto de muestras tiene n elementos con media x.
39.12(a). Varianza de la muestra o muestral:
39.12(b). Varianza muestral:
39.13.
s2 =
Σ( xi − x )2 Σ xi2 − (Σ xi )2 /n
=
n −1
n −1
Σfi ( xi − x )2 Σfi xi2 − (Σ fi xi )2 / Σ fi
=
( Σ fi ) − 1
( Σ fi ) − 1
Desviación estándar de la muestra:
EJEMPLO 39.1:
s2 =
s = Varianza = s 2
Considere la siguiente distribución de frecuencias:
xi
1
2
3
4
5
6
fi
8
14
7
12
3
1
Entonces n = Σ fi = 45 y Σ fi xi = 126. Por tanto, mediante la fórmula 39.2(b),
Media x =
11_Seccion 11_Spiegel(208-230).indd 210
Σ xi fi 126
=
= 2.8
Σ fi
45
09/12/13 09:51
ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
211
También, n – 1 = 44 y Σ fi xi2 = 430. Por tanto, mediante las fórmulas 39.12(b) y 39.13,
s2 =
430 − (126)2 /45
≈ 1.75 y s = 1.32
44
Para encontrar la mediana M, primero se deben encontrar las frecuencias acumuladas:
F1 = 8,
F2 = 22,
F3 = 29,
F4 = 41,
F5 = 44,
F6 = 45 = n
Aquí, n es impar, y (n + 1)/2 = 23. Por tanto,
Mediana M = 23avo valor = 3
El valor 2 ocurre con mayor frecuencia, por tanto
Moda = 2
DM y RCM
La sigla DM se establece para la desviación media y RCM, para la raíz cuadrática media. Como se vio anteriormente, x es la media de los datos y, para datos agrupados, n = Σ fi.
1
39.14(a). DM = n xi − x
39.15(a). RCM =
1
39.14(b). DM = n fi xi − x
1
(Σ xi2 )
n
39.15(b). RCM =
1
(Σ fi xi2 )
n
Medidas de posición (cuartiles y percentiles)
Ahora, se supone que los datos x1, x2,…, xn son arreglados en orden ascendente.
39.16.
Rango de la muestra: xn – x1.
Existen tres cuartiles: el primero (cuartil menor), denotado por Q1 o QL; el segundo (cuartil o mediana), denotado por Q2 o M, y el tercero (mayor cuartil), denotado por Q3 o QU. Estos cuartiles (los cuales esencialmente
dividen los datos entre “cuartos”) son definidos como sigue, donde “media” significa n/2 cuando n es par y (n 1)/2
cuando n es impar:
39.17. QL (= Q1) = mediana de la primera mitad de los valores
M (= Q2 ) = mediana de los valores
QU (= Q3) = mediana de la segunda mitad de los valores
39.18.
Resumen de cinco números: [L, QL, M, QU, H], donde L = x1 (valor menor) y H = xn (valor mayor).
39.19.
Rango intercuartil: QU – QL
39.20.
Rango semiintercuartil:
Q=
QU − QL
2
El k-ésimo percentil, denotado por Pk, es el número para el cual k por ciento de los valores son a lo mucho Pk
y (100–k) por ciento de los valores más grandes que Pk. Específicamente:
39.21. Pk = mayor xs, tal que Fs ≤ k/100. Así, QL = 25avo percentil, M = 50avo percentil, QU = 75avo percentil.
11_Seccion 11_Spiegel(208-230).indd 211
09/12/13 09:51
212
ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
Estadísticas de alto orden
39.22. El r-ésimo momento: a) mr =
1
Σ xir ,
n
b) mr =
1
Σ f xr
n i i
39.23. El r-ésimo momento alrededor de la media x:
a)
µr =
1
Σ ( x i − x )r ,
n
b)
µr =
1
Σ ( fi x i − x ) r
n
39.24. El r-ésimo momento absoluto alrededor de la media x:
a)
µr =
r
1
Σ xi − x ,
n
b)
µr =
1
Σ fi x i − x
n
r
39.25. El r-ésimo momento en unidades estándar z alrededor de z = 0:
a)
αr =
1 r
Σz ,
n i
b)
αr =
x −x
1
Σ fi zir donde zi = i
σ
n
Medidas de asimetría o sesgo y Kurtosis
µ3
= α3
σ3
39.26. Coeficiente de asimetría:
γ1 =
39.27. Momento de asimetría:
µ3
2σ 3
39.28. Coeficiente de Kurtosis:
α4 =
39.29. Coeficiente de exceso (Kurtosis):
α4 − 3 =
39.30. Cuartil coeficiente de asimetría:
QU − 2 xˆ + QL Q3 − 2Q2 + Q1
=
QU − QL
Q3 − Q1
µ4
σ4
µ4
−3
σ4
Varianza y desviación estándar de población
Recuerde que N denota el número de valores en la población.
39.31. Varianza de población: σ 2 =
Σ ( xi − x )2 Σ xi2 − (Σ xi )2 /n
=
N
N
39.32. Desviación estándar de población: σ = Varianza = σ 2
DATOS BIVARIADOS
Las siguientes fórmulas se aplican a una lista de pares de valores numéricos:
( x1, y1), ( x 2 , y2 ), ( x3, y3),K , ( x n , yn )
donde los primeros valores corresponden a una variable x y los segundos a una variable y. El objetivo primario es
determinar si existe una relación matemática, tal como una relación lineal, entre los datos.
La gráfica de dispersión de los datos es simplemente una figura de los pares de valores como puntos en un
plano coordenado.
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ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
213
Coeficiente de correlación
Un indicador numérico de una relación lineal entre variables x y y es el coeficiente de correlación de muestra
r de x y y, definido como sigue:
39.33.
r=
Coeficiente de correlación de muestra:
Σ ( xi − x )( yi − y )
Σ ( xi − x )2 Σ ( yi − y )2
Suponga que el denominador en la fórmula 39.33 no es cero. Una fórmula alternativa para calcular r es:
39.34.
r=
Σ xi yi − (Σ xi )(Σ yi)/n
Σ x − (Σ xi )2 /n Σ yi2 − (Σ yi)2 /n
2
i
Las propiedades del coeficiente de correlación r son:
39.35.
1) –1 ! r ! 1 o, equivalentemente, ! r !" 1.
2) r es positivo o negativo si recordamos que y tiende a aumentar o disminuir cuando x aumenta.
3) Mientras más cercano sea |r| de 1, la correlación lineal entre x y y es más fuerte.
La covarianza de muestra de x y y se denota y define como sigue:
39.36.
Covarianza de muestra:
sxy =
Σ ( xi − x )( yi − y )
n −1
Mediante la covarianza de muestra, la fórmula 39.33 se puede escribir en la forma compacta:
39.37.
s
r = s xys
x y
donde sx y sy son la muestra de las desviaciones estándar de x y y, respectivamente.
EJEMPLO 39.2:
Considere los siguientes datos:
x
y
50
2.5
45
5.0
40
6.2
38
7.4
32
8.3
40
4.7
55
1.8
La gráfica de dispersión de los datos aparece en la figura 39-1. El coeficiente de correlación r para los datos
se puede obtener primero al construir la tabla en la figura 39-2. Entonces, mediante la fórmula 39.34, con n = 7,
r=
1 431.8 − (300)(35.9) / 7
13 218 − (300)2 / 7 218.67 + (35.9)2 / 7
≈ − 0.9562
Aquí, r es cercano a –11 y la gráfi
gráfica
ca de dispersión en la fi
figura
gura 39-1 indica una fuerte relación lineal con pendiente negativa entre x y y.
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mos
214
ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
10
8
6
4
2
0
30
40
50
60
Figura 39-1
Figura 39-2
Regresión lineal
Considere un conjunto de datos de n puntos Pi (xi, yi). Cualquier línea L (no vertical) se puede definir mediante
una ecuación de la forma
y = a + bx
Considere que y*i denota el valor de y del punto sobre L correspondiente a xi; esto es, yi* = a + bxi . Ahora tenemos
di = yi − yi* = yi − (a + bxi )
esto es, di es la distancia vertical (dirigida) entre el punto Pi y la línea, recta, L. La suma del cuadrado de los errores, el error cuadrático entre la recta L y los puntos de los datos está definido por
39.38.
Σ di2 = d12 + d 22 + L + d n2
La recta de mínimos cuadrados o la recta de mejor ajuste o la regresión lineal de y sobre x es, por definición,
la recta L, cuyo error cuadrático es tan pequeño como sea posible. Se puede mostrar que tal recta L existe y es
única.
Las constantes a y b en la ecuación y = a + bx de la recta L de mejor ajuste se pueden obtener de las siguientes
dos ecuaciones normales, donde a y b son las incógnitas y n es el número de puntos:
39.39.
⎧⎪
na + (Σ xi ) b = Σ yi
⎨
⎪⎩(Σ xi )a + (Σ xi2 )b = Σ xi yi
La solución de la ecuación normal anterior es:
39.40.
b=
n Σ xi yi − (Σ xi )(Σ yi ) rs y
=
;
n Σ xi2 − (Σ xi )2
sx
a=
Σ yi
Σ xi
−b
= y − bx
n
n
La segunda ecuación dice que el punto ( x , y ) pasa sobre L, y la primera ecuación dice que el punto
( x + sx , y + rs y ) también pasa sobre L.
Suponga que se busca la recta L de mejor ajuste para los datos del ejemplo 39.2. Mediante la
tabla en la figura 39-2 y n = 7, se obtienen las ecuaciones normales
EJEMPLO 39.3:
7a + 300 b = 35.9
300 a + 13 218b = 1 431.8
Al sustituir en la fórmula 39.40 se llega a
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b=
7(1 431.8) − (300)(35.9)
= − 0.2959
7(13 218) − (300)2
a=
35.9
300
− (− 0.2959)
= 17.8100
7
7
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ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
Así, la línea L de mejor ajuste es
215
y = 17.8100 – 0.2959x
La gráfica de L aparece en la figura 39-3.
y
y = 17.8100 – 0.2959x
(30, 8.933)
10
8
(42.8571, 5.1286)
6
4
2
0
30
40
50
60
x
Figura 39-3
Ajuste de curva
Suponga que tiene n puntos de datos Pi(xi, yi), y que los datos (usando la gráfica de dispersión o el coeficiente
de correlación r) no indican una relación lineal entre las variables x y y, pero indican que algunos otros tipos de
curva estándares y = f (x) (bien conocidos) aproximan los datos. Entonces, la curva particular C que se usa para
aproximar esos datos, llamada curva de mejor ajuste o de mínimos cuadrados, es la curva en la colección, la cual
minimiza la suma del cuadrado de los errores
Σ di2 = d12 + d 22 + L + d n2
donde di = yi – f (xi). Esos tres tipos de curvas se discuten a continuación.
Función polinomial de grado m: y = a0 + a1 x + a2 x 2 + L + am x m
Los coeficientes a0 , a1, a2 ,K , am del polinomio de mejor ajuste se pueden obtener al resolver el siguiente
sistema de m + 1 de ecuaciones normales:
na0 + a1Σ xi + a2 Σ xi2 + … + am Σ xim = Σ yi
39.41.
a0 Σ xi + a1 Σ xi2 + a2 Σ xi3 + … + am Σ xim +1 = Σ xi yi
....................................................................................
a0 Σ xim + a1 Σ xim +1 + a2 Σ xim + 2 + … + am Σ xi2 m = Σ xim yi
Curva exponencial:
y = ab x o bien log y = log a + (log b) x
La curva exponencial se usa si la gráfica de dispersión de log y contra x indica una relación lineal. Entonces,
log a y log b se obtienen desde los datos transformados. Se sabe que la recta de mejor ajuste L para datos de
puntos P′(xi, log yi) es
⎧
na ′ + (Σ xi ) b ′ = Σ (log yi )
39.42. ⎪⎨
⎪⎩( Σ xi ) a ′ + ( Σ xi2 ) b ′ = Σ ( xi log yi )
Entonces, a = antilog a′, b = antilog b′.
EJEMPLO 39.4:
Considere los siguientes datos que indican crecimiento exponencial:
x
y
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1
6
2
18
3
55
4
160
5
485
6
1 460
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216
ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
De esta manera, se busca la recta de mejor ajuste L para los siguientes datos:
x
log y
1
0.7782
2
1.2553
3
1.7404
4
2.2041
5
2.6857
6
3.1644
Usando la ecuación normal 39.42 para L, se obtiene
a ′ = 0.3028, b ′ = 0.4767
La antiderivada de a′ y b′ llega, aproximadamente,
a = 2.0,
b = 3.0
Así, y = 2(3x) es la curva exponencial requerida C. Los puntos de datos y C están representados en la figura 39-4.
1 600
1 400
1 200
1 000
800
600
400
200
0
1
2
3
4
5
6
7
Figura 39-4
Función de potencia: y = axb o log y = log a + b log x.
La curva de potencia se usa si la gráfica de dispersión de log y contra log x indica una relación lineal. Los log a
y log b se obtienen desde los datos de puntos transformados. De esta manera, la recta L de mejor ajuste para datos
de puntos transformados P′ (log xi, log yi) es
39.43.
⎧⎪
na ′ + Σ (log xi )b = Σ (log yi )
⎨
⎪⎩Σ (log xi )a ′ + Σ (log xi )2 b = Σ (log xi log yi )
Entonces, a = antilog a′.
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40
Probabilidad
ESPACIOS DE MUESTRAS Y EVENTOS
Sea S un espacio de muestra que consiste en los resultados posibles de un experimento, donde los eventos son
subconjuntos de S. El espacio de la muestra, o muestral, S por sí mismo se llama evento seguro, y el conjunto
nulo, ∅ evento imposible.
Sería conveniente que todos los subconjuntos de S pudieran ser eventos. Desafortunadamente, esto puede llevar
a contradicciones cuando una función de probabilidad está definida en los eventos. Así, los eventos son definidos
para ser una colección C limitada de subconjuntos de S, como sigue.
La clase C de eventos de un espacio simple S forma un σ-campo. Esto es, C tiene las tres
propiedades siguientes:
DEFINICIÓN 40.1:
i) S ∈ C
ii) Si A1, A2, … pertenecen a C, entonces su unión A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ … pertenece a C
iii) Si A ∈ C, entonces su complemento Ac ∈ C
Aunque la definición anterior desglosada no menciona intersecciones, la ley de DeMorgan (40.3) dice que el
complemento de una unión es la intersección de los complementos. Así, los eventos forman una colección que es
cerrada bajo uniones, intersecciones y complementos de sucesiones numerables.
Si S es finita, entonces la clase de todos los subconjuntos de S forman un σ-campo. Sin embargo, si S no es
numerable, entonces solo los subconjuntos ciertos de S pueden ser los eventos. De hecho, si B es la colección
de todos los intervalos abiertos sobre la línea real R, entonces el σ-campo más pequeño que contiene a B es un
campo de Borel en R.
Si la condición ii) en la definición 40.1 de un σ-campo es reemplazado por uniones finitas, entonces la clase de
subconjuntos de S es llamada campo. Así, un σ-campo es un campo, pero no viceversa.
Primero, se listan por completo las propiedades básicas del conjunto de operaciones de unión, intersección y
complemento.
40.1. Los conjuntos satisfacen las propiedades en la tabla 40-1.
Tabla 40-1
Leyes del álgebra de conjuntos
Leyes de idempotencia: (1a) A ∪ A = A
(1b) A ∩ A = A
Leyes asociativas:
(2a) (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
(2b)
Leyes conmutativas:
(3a) A ∪ B = B ∪ A
(3b) A ∩ B = B ∩ A
Leyes distributivas:
(4a) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) (4b) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ B)
Leyes de identidad:
(5a) A ∪ ∅ = A
(6a) A ∪ U = U
Leyes de involución:
(7)
(5b) A ∩ U = A
(6b) A ∩ ∅ = ∅
(AC)C = A
Leyes complementarias: (8a) A ∪ Ac = U
(9a) Uc = ∅
Leyes de DeMorgan:
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
(10a) (A ∪ B)c = Ac ∩ Bc
(8b) A ∩ Ac = ∅
(9b) ∅c = U
(10b) (A ∩ B)c = Ac ∪ Bc
217
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218
PROBABILIDAD
40.2. Las siguientes expresiones son equivalentes: i) A ⊆ B, ii) A ∩ B = A, iii) A ∪ B = B.
Recuerde que la unión e intersección de cualquier colección de conjuntos está definida como sigue:
j
Aj = {x | existe j tal que x ∈ Aj} y
Aj = {x | para cada j, se tiene x ∈ Aj}
j
40.3. (Ley generalizada de DeMorgan) (10a)' (
j
Aj)c =
j
Ajc; (10b)' (
j
Aj)c =
j
Ajc
ESPACIOS Y FUNCIONES DE PROBABILIDAD
DEFINICIÓN 40.2: Sea P una función de valor real definida sobre la clase C de eventos de un espacio muestral
S. Entonces, P es llamada función de probabilidad, y P(A) es llamada probabilidad de un evento A cuando los
siguientes axiomas se llevan a cabo:
Axioma [P1] Para cada evento A, P(A) ≥ 0
Axioma [P2] Para el evento seguro S, P(S) = 1
Axioma [P3] Para cualquier secuencia de eventos mutuamente excluyentes (ajenos) A1, A2, …,
P(A1 ∪ A2 ∪ …) = P(A1) + P(A2) + …
El triple (S, C, P), o simplemente S cuando C y P son comprendidas, se llama espacio de probabilidad.
El axioma [P3] implica un axioma análogo para cualquier número de conjuntos finitos. Esto es:
Axioma [P3'] Para cualquier colección finita de eventos mutuamente ajenos A1, A2, …, An,
P(A1 ∪ A2 ∪ … ∪ An) = P(A1) + P(A2) + … + P(An)
En particular, para dos eventos ajenos A y B, se tiene P(A ∪ B ) = P(A) + P(B).
Las siguientes propiedades vienen directamente desde los axiomas anteriores.
40.4. (Regla de complemento) P(Ac) = 1 – P(A). Así, P(∅) = 0.
40.5. (Regla de diferencia) P(A\B) = P(A) – P(A ∩ B).
40.6. (Regla de adición) P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B).
(
)
40.7. Para n ≥ 2, P h j=1 Aj ≤ ∑ P( Aj )
j=1
n
n
40.8. (Regla de monotonía) Si A ⊆ B, entonces P(A) ≤ P(B).
LÍMITES DE SECUENCIA DE EVENTOS
40.9. (Continuidad) Suponga que A1, A2, … forman un incremento (o decremento) en la secuencia de eventos
monotónicos; esto es, Aj ⊆ Aj+1 (Aj ⊇ Aj+1). Si es A = ∪ j Aj (A = ∩ j Aj), entonces, lím P(An) existe y
lím P(An) = P(A)
Para cualquier secuencia de eventos A1, A2, …, se define
+∞
+∞
lím inf An = h k=1 x j=k Aj
y
+∞
+∞
lím sup An = x k=1 h j=k Aj
Si lím inf An = lím sup An, entonces se le llama a este el conjunto lím An. Observe que lím An existe cuando
la sucesión es monótona.
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PROBABILIDAD
219
40.10. Para cualquier secuencia de eventos Aj en un espacio de probabilidad,
P(lím inf An) ≤ lím inf P(An) ≤ lím sup P(An) ≤ P(lím sup An)
Así, si el lím An existe, entonces P(lím An) = lím P(An).
40.11.
Para cualquier secuencia de eventos Aj en un espacio de probabilidad, P(∪j Aj) ≤
∑
j
P(Aj).
40.12. (Lema de Borel-Cantelli) Suponga
que Aj es cualquier secuencia de eventos en un espacio de probabili+∞
dad. Además, suponga que ∑ n=1 P(An) < +∞. Entonces P(lím sup An) = 0.
40.13. (Teorema de extensión) Sea F un campo de subconjuntos de S. Sea P una función sobre F que cumpla los
axiomas P1, P2 y P3!. Entonces existe una función única de probabilidad P* sobre el σ-campo más pequeño
que contiene a F, de manera que P* es igual a P sobre F.
PROBABILIDAD CONDICIONAL
Sea E un evento con P(E) > 0. La probabilidad condicional de un evento A dado en E está
denotado y definido como sigue:
DEFINICIÓN 40.3:
P( A ∩ E )
P(A|E) =
P(E )
40.14.
(Teorema de multiplicación para probabilidad condicional) P(A ∩ B) = P(A)P(B|A). Este teorema se
puede generalizar como sigue:
40.15.
P(A1 ∩ … ∩ An) = P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1 ∩ A2) … P(An|A1 ∩ … ∩ An 1)
Un lote contiene 12 artículos de los cuales 4 son defectuosos. Del lote se extraen 3 artículos al
azar, uno tras otro. Encontrar la probabilidad de que los tres no sean defectuosos.
EJEMPLO 40.1:
La probabilidad de que el primer artículo no sea defectuoso es 8/12. Suponiendo que el primer artículo no sea
defectuoso, la probabilidad de que el segundo tampoco lo sea es 7/11. Suponiendo que el primer y segundo artículos no sean defectuosos, la probabilidad de que el tercer artículo no lo sea es 6/10. Así,
p=
8 7 6 14
⋅ ⋅ =
12 11 10 55
PROCESOS ESTOCÁSTICOS Y DIAGRAMAS DE ÁRBOL DE PROBABILIDAD
Un proceso estocástico (finito) es una secuencia de experimentos finita, donde cada experimento tiene un número
finito de resultados con probabilidades dadas. El método conveniente para describir tal proceso es el de diagrama
de árbol de probabilidad (figura 40-1), donde el teorema de multiplicación (fórmula 40.14) es usado para calcular
la probabilidad de un evento, el cual está representado por una trayectoria del árbol.
Sean X, Y, Z tres monedas en una caja, donde X es una moneda justa, Y es una moneda de dos
caras y Z es una moneda compensada, con probabilidad de cara 1/3. Una moneda es seleccionada al azar y es
lanzada. a) Encontrar P(H), la probabilidad de que aparezca cara. b) Encontrar P(X|H), la probabilidad de que la
moneda justa X sea seleccionada si la cara aparece.
EJEMPLO 40.2:
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220
PROBABILIDAD
La probabilidad del diagrama de árbol correspondiente a los dos pasos del proceso estocástico aparece en la
figura 40-1a).
a) La cara aparece en tres de los caminos (de izquierda a derecha), por tanto,
P(H) =
1 1 1
1 1 11
⋅ + ⋅1 + ⋅ =
3 2 3
3 3 18
b) Las caras X y H solo aparecen a lo largo de la ruta del diagrama de árbol antes presentada, por tanto,
P(X ∩ H) =
P(X ∩ H)
1 1 1
1/ 6
3
⋅ = y así P(X|H) =
=
=
3 2 6
11 / 18 11
P (H )
1/2
3%
H
X
1/2
1/3
1/3
o
50%
T
Y
N
30%
1
1/3
D
A
o
H
1/3
H
2/3
T
4%
D
5%
N
D
B
20%
Z
C
N
a)
b)
Figura 40-1
LEY DE PROBABILIDAD TOTAL Y TEOREMA DE BAYES
Suponga que E es un evento en un espacio muestral S, y A1, A2, … An son eventos mutuamente excluyentes cuya
unión es S, es decir, los eventos A1, A2, …, An forman una partición de S.
40.16. (Ley de probabilidad total) P(E) = P(A1)P(E|A1) + P(A2)P(E|A2) + … + P(An)P(E|An)
40.17. (Fórmula de Bayes) Para k = 1, 2, …, n,
P(Ak|E) =
P ( A k )P (E | A k )
P ( A k )P (E | A k )
=
|
P ( A1 )P (E A1 ) + P ( A 2 )P (E | A 2 ) + ⋅ ⋅ ⋅ + P ( A n )P (E | A n )
P (E )
Tres máquinas, A, B, C, producen 50, 30 y 20% del número total de artículos en una fábrica,
respectivamente. Los porcentajes de la producción defectuosa de estas máquinas son, 3, 4 y 5%, respectivamente.
Un artículo es seleccionado al azar.
EJEMPLO 40.3:
a) Encuentre P(D), la probabilidad del artículo defectuoso.
b) Si el artículo es defectuoso, encuentre la probabilidad de que este provenga de la máquina: i) A, ii) B, iii) C.
a) Por la fórmula 40.16 (ley de probabilidad total)
P(D) = P(A)P(D|A) + P(B)P(D|B) + P(C)P(D|C)
= (0.50)(0.03) + (0.30)(0.04) + (0.20)(0.05) = 0.037 = 3.7%
P ( A )P (D | A )
(0.50)(0.03)
b) Por la fórmula 40.17 (regla de Bayes), i) P(A|D) =
=
= 0.405 = 40.5%. Similar0.037
P
D
(
)
mente,
ii) P(B|D) =
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P(B)P(D | B)
P(C)P(D | C)
= 32.5%; iii) P(C|D) =
= 0.27 = 27.0%
P(D)
P(D)
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PROBABILIDAD
221
Alternativamente, consideremos este problema como uno de los dos pasos del proceso estocástico con un
diagrama de árbol de probabilidad, como en la figura 40-1b). Se encuentra P(D) por adición de las tres trayectorias
de probabilidades a D:
(0.50)(0.03) + (0.30)(0.04) + (0.20)(0.05) = 0.037 = 3.7%
Se encuentra P(A|D) al dividir la trayectoria mostrada antes para A y D mediante la suma de las tres trayectorias
para D.
(0.50)(0.03)/0.037 = 0.405 = 40.5%
De manera similar, se encuentra P(B|D) = 0.325 = 32.5% y P(C|D) = 0.27 = 27.0%.
EVENTOS INDEPENDIENTES
DEFINICIÓN 40.4:
40.18.
Los eventos A y B son independientes si P(A ∩ B) = P(A)P(B).
Las siguientes ecuaciones son equivalentes:
i) P(A ∩ B) = P(A)P(B),
ii) P(A|B) = P(A),
iii) P(B|A) = P(B).
Esto es, los eventos A y B son independientes si la ocurrencia de uno de ellos no influye en la ocurrencia del otro.
EJEMPLO 40.4: Considere los siguientes eventos para una familia con niños, donde se supone que el espacio
muestral S es un espacio equiprobable:
E = {niños de ambos sexos},
F = {a lo más, un niño}
a) Demuestre que E y F son eventos independientes si una familia tiene tres niños.
b) Demuestre que E y F son eventos dependientes si una familia tiene dos niños.
a) Aquí, S = {bbb, bbg, bgb, bgg, gbb, gbg, ggb, ggg}. Así que:
E = {bbg, bgb, bgg, gbb, gbg, ggb}, P(E) = 6/8 = 3/4,
F = {bgg, gbg, ggb, ggg}, P(F) = 4/8 = 1/2
E ∩ F = {bgg, gbg, ggb}, P(E ∩ F) = 3/8
Así, P(E)P(F) = (3/4)(1/2) = 3/8 = P(E ∩ F). De ahí, E y F son independientes.
b) Aquí S = {bb, bg, gb, gg}. Así que:
E = {bg, gb}, P(E) = 2/4 = 1/2,
F = {bg, gb, gg}, P(F) = 3/4
E ∩ F = {bg, gb}, P(E ∩ F) = 2/4 = 1/2
Así, P(E)P(F) = (1/2)(3/4) = 3/8 ≠ P(E ∩ F). De ahí, E y F son dependientes.
Para n > 2, los eventos A1, A2, …, An son independientes si cualquier subconjunto propio
de ellos es independiente y
P(A1 ∩ A2 ∩ … ∩ An) = P(A1)P(A2) … P(An)
DEFINICIÓN 40.5:
Observe que la inducción se usa en esta definición.
Una colección de eventos {Aj | j ∈ J} es independiente si, para cualquier n > 0, los conjuntos
Aj , Aj , …, Aj son independientes.
DEFINICIÓN 40.6:
1
2
n
El concepto de pruebas repetidas independientes, cuando S es un conjunto finito, está normalizado como sigue.
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222
PROBABILIDAD
Sea S un espacio de probabilidad finita. El espacio de probabilidad de n pruebas repetidas e
independientes, se denota por Sn y consiste en n-adas ordenadas (s1, s2, …, sn) de elementos de S con la probabilidad de un n-ada definido por
DEFINICIÓN 40.7:
P((s1, s2, …, sn)) = P(s1)P(s2) … P(sn)
Suponga que siempre que los caballos a, b, c compitan juntos, sus respectivas probabilidades
de ganar son 20, 30 y 50%. Esto es, S = {a, b, c} con P(a) = 0.2, P(b) = 0.3 y P(c) = 0.5.
Ellos compiten tres veces. Encuentre la probabilidad de que
EJEMPLO 40.5:
a) el mismo caballo gane las tres veces
b) cada caballo gane una sola vez
a) Escribiendo xyz para (x, y, z), se busca la probabilidad del evento A = {aaa, bbb, ccc}. Así,
P(aaa) = (0.2)3 = 0.008,
P(bbb) = (0.3)3 = 0.027,
P(ccc) = (0.5)3 = 0.125
De esta manera, P(A) = 0.008 + 0.027 + 0.125 = 0.160.
b) Se busca la probabilidad del evento B = {abc, acb, bac, bca, cab, cba}. Cada elemento en B tiene la misma
probabilidad (0.2)(0.3)(0.5) = 0.03. Así que, P(B) = 6(0.03) = 0.18.
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41
Variables aleatorias
Considere un espacio de probabilidad (S, C, P).
Una variable aleatoria X sobre el espacio muestra S es una función de S en el conjunto R de
números reales, de manera que la preimagen de cada intervalo de R es un evento de S.
Si S es una muestra discreta del espacio en el que cada subconjunto de S es un evento, entonces la función real
valorada de S es una variable aleatoria. Por otra parte, si S no es contable entonces ciertas funciones de valor real sobre
S no pueden ser variables aleatorias.
Sea X una variable aleatoria sobre S, donde RX denote el rango de X; esto es,
DEFINICIÓN 41.1.
RX = {x | existe s ∈S para el cual X(s) = x}
Existen dos casos que se tratan por separado: i) X es una variable aleatoria discreta; esto es, RX es finita o contable, ii) X es una variable aleatoria continua; esto es RX es un continuo de números, tal como un intervalo o una
unión de intervalos.
Sean X y Y variables aleatorias sobre el mismo espacio muestra S. Entonces, como de costumbre, X + Y,
X + k, kX y XY (donde k es un número real) son las funciones de S definidas como siguen (donde s es cualquier
punto en S):
(X + Y)(s) = X(s) + Y(s),
(X + k)(s) = X(s) + k,
(kX)(s) = kX(s),
(XY)(s) = X(s)Y(s).
De manera más general, para cualquier función polinomial, exponencial o continua h(t), se define h(X) como
una función sobre S definida por
[h(X)](s) = h[X(s)]
Uno puede mostrar que también esas son variables aleatorias sobre S.
La siguiente notación corta es usada:
P(X = xi)
P(a ≤ X ≤ b)
mX o E(X) o simplemente m
σ X o Var(X) o simplemente s 2
s X o simplemente s
2
denota la probabilidad de que X = xi.
denota la probabilidad de que X pase en el intervalo cerrado [a, b].
denota la media o esperanza matemática de X.
denota la varianza de X.
denota la desviación estándar de X.
Algunas veces Y es una variable aleatoria, de manera que Y = g(X), esto es, donde Y es alguna función de X.
VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS
Aquí, X es una variable aleatoria con solo un número finito o contable de valores, es decir,
RX = {x1, x2, x3, …} donde, x1 < x2 < x3 < …. Entonces, X induce una función f (x) sobre RX como sigue:
f (xi) = P(X = xi) = P({s ∈S | X(s) = xi})
La función f (x) tiene las siguientes propiedades:
i) f (xi) ≥ 0
y
ii) Σ i f (xi) = 1
Así, f define una función de probabilidad sobre el rango RX de X. El par (xi, f (xi)), usualmente dado por una
tabla, se llama la distribución de probabilidad o función masa de probabilidad de X.
223
11_Seccion 11_Spiegel(208-230).indd 223
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224
VARIABLES ALEATORIAS
MEDIA
41.1.
µX
Aquí, Y
41.2.
µY
xi f (xi)
E(X)
g(X).
g(xi) f (xi)
E(Y)
Aquí, Y
g(X).
VARIANZA Y DESVIACIÓN ESTÁNDAR
2
41.3. σ X
(xi – m)2 f (xi)
Var(X)
Alternamente, Var(X)
X
s se puede obtener como sigue:
xi2 f (xi) – m2 E(X2) – m2
41.4. Var(X)
41.5.
E((X – m)2)
E(X 2 ) − µ 2
Var( X )
Tanto la varianza Var(X) s 2 como la desviación estándar s miden la extensión compensada de
los valores xi alrededor de la media m; sin embargo, la desviación estándar tiene las mismas unidades de m.
OBSERVACIÓN:
EJEMPLO 41.1:
Suponga que X tiene la siguiente distribución de probabilidad:
2
x
0.1
f(x)
4
6
8
0.2
0.3
0.4
Entonces:
m
E(X )
s2
2
s
E(X)
xi f (xi) 2(0.1) 4(0.2) 6(0.3) 8(0.4)
2
xi f (xi) 22(0.1) 42(0.2) 62(0.3) 82(0.4) 40
Var(X) E(X2) m2 40 36 4
Var( X )
4
6
2
VARIABLE ALEATORIA CONTINUA
Aquí, X es una variable aleatoria con un número continuo de valores. Entonces, X determina una función f (x),
llamada función densidad de X, tal que
i) f (x)
0
∞
ii) ∫ − ∞ f (x) dx
y
∫
R
f ( x ) dx
1
Además,
P(a
X
b)
∫
b
a
f (x) dx
MEDIA
41.6. µ X
Aquí, Y
41.7.
µY
∫
E(X)
11_Seccion 11_Spiegel(208-230).indd 224
x f (x) dx
g(X).
E(Y)
Aquí, Y
∞
−∞
∫
∞
−∞
g(x) f (x) dx
g(X).
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VARIABLES ALEATORIAS
225
VARIABLE Y DESVIACIÓN ESTÁNDAR
41.8. σ X 2
Var(X)
∫
∞
−∞
(x
Alternamente, Var(X)
∫
41.9. Var(X)
41.10. s X
∞
−∞
x2 f (x)dx
Var( X )
m)2 f (x)dx
E((X
m)2)
s 2 se puede obtener como sigue:
m2
E(X2)
m2
E(X 2 ) − µ 2
Sea X la variable aleatoria continua con la siguiente función de densidad:
⎧⎪(1 / 2) x si 0 ≤ x ≤ 2
f (x) ⎨
para cualquier otro valor de x
⎩⎪0
EJEMPLO 41.2:
Entonces:
2
4
⎡x3 ⎤
∫ −∞
⎢⎣ 6 ⎥⎦
∫0
3
0
4 2
2 1
∞
⎡x ⎤
E(X2) ∫ x2 f (x) dx ∫
x3 dx ⎢ ⎥
2
0 2
−∞
⎣ 8 ⎦0
16 2
s 2 Var(X) E(X2) m2 2
9
9
2
1
s
2
Var( X )
9
3
∞
E(X)
x f (x) dx
2
1 2
x dx
2
FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN ACUMULADA
La función de distribución acumulada F(x) de una variable aleatoria X es la función F: R → R definida por
41.11. F(a) P(X a)
La función F está bien definida ya que la inversa del intervalo (
La función F(x) tiene las siguientes propiedades:
41.12.
41.13.
F(a)
F(b) siempre que a
lím F(x)
x→−∞
0
y
, a] es un evento.
b.
lím F(x)
x→+∞
1
Esto es, F(x) es monótona, y el límite de F a la izquierda es 0 y a la derecha es 1.
Si X es la variable aleatoria discreta con distribución f (x), entonces F(x) es la siguiente función de pasos:
41.14.
F(x)
∑
xi ≤ x
f (xi)
Si X es la variable aleatoria continua, entonces la función de densidad f (x) de X, se puede obtener desde la
función de distribución acumulada F(x) por diferenciación. Esto es,
d
F(x) F (x)
dx
Por consiguiente, para una variable aleatoria continua X,
41.15.
f (x)
41.16.
F(x)
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∫
x
−∞
f (t) dt
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226
VARIABLES ALEATORIAS
DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
Considere un experimento con dos resultados, uno denominado éxito (S) y otro denominado fracaso (F). Un
número fijo de ensayos independientes de tal experimento se conoce como experimento binomial. La notación
B(n, p)
denota un experimento binomial con n ensayos independientes y probabilidad p de éxito. [La notación q
indica la probabilidad de fracaso].
41.17.
1–p
n
⎛ n⎞
P(k) = ⎜ ⎟ p kqn k es la probabilidad de k éxitos en B(n, p), donde ⎛⎜ ⎞⎟ es el coeficiente binomial.
⎝ k⎠
⎝ k⎠
41.18. La probabilidad de por lo menos un éxito en B(n, p) es 1 – qn.
El número X de k éxitos en B(n, p) es una variable aleatoria con la siguiente distribución, denominada
distribución binomial:
k
0
P(k)
qn
m
41.19. Media de B(n, p)
41.20. Varianza de B(n, p)
1
2
⎛ n⎞
⎜⎝1⎟⎠ p qn
...
⎛ n⎞ 2 n
⎜⎝ 2⎟⎠ p q
1
...
2
n
1
n
⎛ n ⎞ n1
⎜⎝ n − 1⎟⎠ p q
pn
np.
s2
npq, y desviación estándar de B(n, p)
s
npq
EJEMPLO 41.3:
a) Juana dispara a un blanco con probabilidad p 1/3. Así, q
de dar en el blanco exactamente dos veces es la siguiente:
⎛6⎞
P(2) = ⎜ ⎟ (1/3)2(2/3)4
⎝2⎠
2/3. Juana dispara n
15(1/9)(16/81)
80/243
6 veces. La probabilidad
0.329
b) Juan dispara a un blanco con probabilidad p 1/4. Así, q 3/4. Juan dispara n 100 veces. El número esperado
m de veces que dará en el blanco y la desviación estándar s son los siguientes:
m
np 100(1/4)
25, s 2
npq
100(1/4)(3/4)
75/4 por lo tanto s
2.5
DISTRIBUCIÓN NORMAL
La variable aleatoria normal X, cuya función de densidad f posee la conocida forma de campana, mostrada en
la figura 41-1, está definida por:
1
2πσ
f(x) =
⎡ 1 ⎛ x − µ⎞ 2⎤
exp ⎢−
⎥
⎣ 2⎝ σ ⎠ ⎦
Esta distribución se denota por N(m, s 2).
34 %
0.15 %
34 %
2.35 %
2.35 %
13.5 %
μ − 3α
μ − 2α
μ−α
0.15 %
13.5 %
μ
μ+α
μ + 2α
μ + 3α
Figura 41-1
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VARIABLES ALEATORIAS
41.21. Media de N(m, s 2)
41.22. Varianza de N(m, s 2)
227
m.
s 2, y desviación estándar de N(m, s 2)
s.
REGLA 68-95-99.7
La distribución normal N(m, s 2) cumple la regla 68-95-99.7, que se ilustra en la figura 41-1. Esta regla es:
a) Aproximadamente 68% (más precisamente, 68.3%) o casi dos tercios de los puntos de datos (población) está
a menos de una desviación estándar de la media.
b) Aproximadamente 95% (más precisamente, 95.4%) de los puntos de los datos (población) está a menos de 2
desviaciones estándar de la media.
c) Aproximadamente 99.7% de los puntos de los datos (población) está a menos de 3 desviaciones estándar de
la media.
DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTANDARIZADA
N(m, s 2), está la variable aleatoria estandarizada
X−µ
Z=
σ
que también es normal con media m 0 y desviación estándar s 1. Por tanto, Z N(0, 1). La función de densidad
f para Z es como sigue:
1
e− z /2
φ (z) =
2π
Cualquier valor de x en una variable aleatoria normal X puede cambiarse a un valor z por medio de la fórmula:
z (x – m)/s.
Como correlato a X
2
EVALUACIÓN DE PROBABILIDADES NORMALES ESTÁNDAR
En la tabla 36 se proporciona el área bajo la curva normal f (z) entre 0 y z, como se indica en la imagen en la
tabla. Esta área se denota por (z).
Al usar la tabla 36 y la simetría de la curva es posible encontrar P(z1 Z z2), es decir, el área de la curva entre
dos valores cualesquiera z1 y z2, como se muestra en la figura 41-2:
a) z1 < 0 < z2 b) 0 < z1 < z2
c) z1 < z2 < 0
Φ(z2) + Φ(⎥ z1⎥)
z1
0
Φ(z2) – Φ(z1)
0
z2
z1
z2
Φ(⎥ z1⎥) – Φ(⎥ z2⎥)
z1
z2 0
Figura 41-2
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228
VARIABLES ALEATORIAS
EJEMPLO 41.4:
Encuentre las siguientes probabilidades:
a) P(–0.5
Z
1.3), b) P(1.4
a) P(–0.5
Z
1.3)
b) P(1.4
Z
c) P(–1.5
2.0)
Z
0.8)
Z
(1.3)
2.0), c) P(–1.5
(0.5)
(2.0) –
0.4032
(1.4)
(1.5) –
Z
–0.8)
0.1915
0.4772 – 0.4192
(0.8)
0.5947
59.47%
0.0580
0.4332 – 0.2881
5.80%
0.1451
14.51%
Dado que el área total bajo la curva normal es 1 y que la mitad del área es 1/2 0.5000, también podemos
encontrar “la cola” de una probabilidad de un solo lado de Z, como se muestra en la figura 41-3:
0.5 + Φ (z1)
0.5 − Φ (|z1|)
z1
z1
0
0.5 + Φ (|z1|)
0.5 − Φ (z1)
0
z1
z1
0
Figura 41-3
a) P(Z < z1)
b) P(Z > z1)
EJEMPLO 41.5:
Encuentre las siguientes probabilidades:
a)
P(Z
1.3) b) P(Z
1.5), c) P(Z
a)
P(Z
1.3)
0.5
(1.3)
0.5000
0.4032
0.9032
b)
P(Z
1.5)
0.5 –
(1.5)
0.5000 – 0.4332
0.0668
c) P(Z
–1.6)
0.5 –
(1.6)
1.4)
0.5000 – 0.4452
6.68%
0.0548
5.48%
EVALUACIÓN DE PROBABILIDADES NORMALES ARBITRARIAS
Suponga que X es la distribución normal N(m, s 2). Para evaluar P(a X b) primero cambiamos a y b en unidades
estándar usando:
z1 =
Luego podemos reescribir P(a
X
a−µ
b−µ
y z2 =
σ
σ
b) como una ecuación z:
P(a
X
b)
P(z1
Z
z2)
que es el área bajo la curva normal estándar entre z1 y z2.
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VARIABLES ALEATORIAS
229
Suponga que las estaturas de los hombres estadounidenses (en pulgadas) están (aproximadamente) distribuidas normalmente con media m 68 y desviación estándar s 2. Encuentre el porcentaje P de
hombres estadounidenses que:
EJEMPLO 41.6:
a) miden entre a
67 y b
71 pulgadas de estatura, b) por lo menos, miden 6 pies (72 pulgadas) de estatura.
a) Transforme a y b en unidades estándar para obtener
z1
(67
68)/2
0.5 y z2
(71
68)/2
1.5
Aquí, z1 < 0 < z2. Por tanto
P
P(67
X
71)
(1.5)
P( 0.5
(0.5)
Z
0.4332
1.5)
0.1915
0.6247
Es decir, aproximadamente 62.5% de los hombres estadounidenses miden entre 67 y 71 pulgadas de estatura.
b) Transforme a
72 en unidades estándar al obtener z
P
P(X
72)
P(Z
2)
0.5
(72
68)/2
(2.0)
2.0. Aquí 0 < z. En consecuencia,
0.5000
0.4772
0.0228
Es decir, aproximadamente 2.3% de los hombres estadounidenses miden por lo menos 6 pies de estatura.
TEOREMA DEL LÍMITE CENTRAL
En términos generales, el teorema del límite central (TLC) establece que en cualquier secuencia de ensayos
repetidos, la distribución de la media muestral normal tiende a la distribución normal estándar con el incremento
del número de ensayos.
41.23. Teorema del límite central: Sea X1, X2, X3, … una secuencia de variables aleatorias independientes con
la misma distribución con media m y varianza s 2. Sean
Xn
( X1
X2
…
Xn)/n
y
Entonces, para un valor grande de n y cualquier intervalo {a
P(a
Zn
b)
x
f
P(a
Zn
Xn − µ
σ/ n
b},
b)
donde f es la distribución normal estándar.
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD ADICIONALES
41.24. Distribución de Poisson:
(x)
∑
t≤x
41.25. Distribución hipergeométrica:
λ t e −λ
t!
∑
(x)
t≤x
41.26. Distribución t de Student:
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(x)
⎛r⎞ ⎛ s ⎞
⎜⎝ t⎟⎠ ⎜⎝ n − t⎟⎠
z
⎛r + s⎞
⎜⎝ n ⎟⎠
⎛ n + 1⎞
Γ⎜
⎝ 2 ⎟⎠
nπ Γ (n/2)
1
∫
x
−∞
⎛ t 2⎞
⎜⎝1 + ⎟⎠
n
− ( n +1)/ 2
dt
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230
VARIABLES ALEATORIAS
41.27. Distribución c (ji cuadrada):
2
(x)
2
n/2
⎛ n1 + n 2 ⎞ n /2 n
Γ⎜
⎟ n1 n 2
⎝ 2 ⎠
Γ (n 1 /2)Γ (n2 /2)
1
41.28.
Distribución F:
11_Seccion 11_Spiegel(208-230).indd 230
(x)
x
1
t(n - 2)/2e-t/2 dt
∫
Γ (n/2) 0
2
/2
∫
x
0
t (n
1
/ 2 ) −1
(n 2 + n 1 t ) − ( n + n
1
2
)/ 2
dt
09/12/13 09:52
Sección XII: Métodos numéricos
42
Interpolación
INTERPOLACIÓN DE LAGRANGE
Fórmula de dos puntos
42.1.
p ( x ) = f ( x0 )
x − x0
x − x1
+ f ( x1 )
x1 − x 0
x 0 − x1
donde p (x) es un polinomio lineal interpolando dos puntos
( x 0 , f ( x 0 )), ( x1 , f ( x1 )), x 0 ≠ x1
Fórmula general
42.2.
p ( x ) = f ( x 0 ) Ln , 0 ( x ) + f ( x1 ) Ln ,1 ( x ) + L + f ( x n ) Ln , n ( x )
donde
Ln , k =
n
∏
i=0,i≠k
x − xi
x k − xi
y donde p (x) es un polinomio de n-ésimo orden interpolando n + 1 puntos
( x k , f ( x k )), k = 0, 1, …, n; y xi ≠ x j para i ≠ j
Fórmula del residuo
Suponga que f ( x ) ∈ C n+1[a, b]. Entonces existe un ξ ( x ) ∈ (a, b) tal que:
42.3.
f (x) = p (x) +
f n+1 (ξ ( x ))
( x − x 0 )( x − x1 )L ( x − x n )
(n + 1)!
INTERPOLACIÓN DE NEWTON
Fórmula de cociente de diferencias de primer orden
42.4.
f [ x 0 , x1 ] =
f ( x1 ) − f ( x 0 )
x1 − x 0
Fórmula de interpolación de dos puntos
42.5.
p( x ) = f ( x 0 ) + f [ x 0 , x1 ]( x − x 0 )
donde p (x) es un polinomio lineal de interpolación de dos puntos
( x 0 , f ( x 0 )), ( x1 , f ( x1 )), x 0 ≠ x1
231
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232
INTERPOLACIÓN
Fórmula de cociente de diferencias de segundo orden
f [ x1 , x 2 ] − f [ x 0 , x1 ]
42.6. f [ x 0 , x1 , x 2 ] =
x2 − x0
Fórmula de interpolación de tres puntos
42.7.
p ( x ) = f ( x 0 ) + f [ x 0 , x1 ]( x − x 0 ) + f [ x 0 , x1 , x 2 ]( x − x 0 )( x − x1 )
donde p(x) es un polinomio cuadrático de interpolación de tres puntos
( x 0 , f ( x 0 )), ( x1 , f ( x1 )), ( x 2 , f ( x3 ))
Fórmula general de cociente de diferencias de k-ésimo orden
42.8.
f [ x 0 , x1 ,K , x k } =
f [ x1 , x 2 ,K , x k ] − f [ x 0 , x1 ,K , x k −1 ]
xk − x0
Fórmula general de interpolación
42.9.
p ( x ) = f ( x 0 ) + f [ x 0 , x1 ]( x − x 0 ) + L + f [ x 0 , x1 ,K , x n ]( x − x 0 )( x − x1 )L ( x − x n−1 )
donde p (x) es un polinomio de n-ésimo orden de interpolación de n + 1 puntos
( x k , f ( x k )), k = 0, 1,…, n; y xi ≠ x j para i ≠ j
Fórmula del residuo
Suponga que f ( x ) ∈ Cn+1[a, b]. Entonces existe un ξ ( x ) ∈ (a, b) tal que
42.10.
f ( x ) = p( x ) +
f n+1 (ξ ( x ))
( x − x 0 )( x − x1 )L ( x − x n )
(n + 1)!
FÓRMULA DE DIFERENCIA DE NEWTON
Diferencia de primer orden en x0
42.11.
∆f ( x 0 ) = f ( x1 ) − f ( x 0 )
Diferencia de segundo orden en x0
42.12.
∆ 2 f ( x 0 ) = ∆f ( x1 ) − ∆f ( x 0 )
Diferencia de k-ésimo orden general en x0
42.13.
∆ k f ( x 0 ) = ∆ k −1 f ( x1 ) − ∆ k −1 f ( x 0 )
Coeficiente binomial
42.14.
⎛ s⎞ s(s − 1)L (s − k + 1)
⎜⎝ k⎟⎠ =
k!
Fórmula de diferencia de Newton
n
42.15.
⎛ n⎞
p( x ) = ∑ ⎜ ⎟ ∆ k f ( x 0 )
⎝ k⎠
k =0
donde p (x) es un polinomio de n-ésimo orden de interpolación de n + 1 puntos espaciados iguales
( x k , f ( x k )), x k = x 0 + kh k = 0, 1, K , n
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INTERPOLACIÓN
233
FÓRMULA DE DIFERENCIA REGRESIVA DE NEWTON
Diferencia de primer orden regresiva en xn
42.16.
∇f ( x n ) = f ( x n ) − f ( x n−1 )
Diferencia de segundo orden regresiva en xn
42.17.
∇ 2 f ( x n ) = ∇f ( x n ) − ∇f ( x n−1 )
Diferencia de k-ésimo orden general regresiva en xn
42.18.
∇ k f ( x n ) = ∇ k −1 f ( x n ) − ∇ k −1 f ( x n−1 )
Fórmula de diferencia regresiva de Newton
⎛ − n⎞
p( x ) = ∑ (−1) k ⎜ ⎟ ∇ k f ( x n )
⎝ k⎠
k =0
n
42.19.
donde p (x) es un polinomio de n-ésimo orden de interpolación de n + 1 puntos espaciados iguales
( x k , f ( x k )), x k = x 0 + kh
k = 0, 1, K , n
INTERPOLACIÓN DE HERMITE
Polinomios bases de dos puntos
42.20.
x − x 0 ⎞ ( x − x1 )2
x − x1 ⎞ ( x − x 0 )2
⎛
⎛
H1,1 = ⎜1 − 2
H1, 0 = ⎜1 − 2
⎟
2 ,
x 0 − x1 ⎠ ( x 0 − x1 )
x1 − x 0 ⎟⎠ ( x1 − x 0 )2
⎝
⎝
( x − x 0 )2
( x − x1 )2
Hˆ 1,1 = ( x − x1 )
Hˆ 1, 0 = ( x − x 0 )
2 ,
( x 0 − x1 )
( x1 − x 0 )2
Fórmula de interpolación de dos puntos
42.21.
H 3 ( x ) = f ( x 0 ) H1, 0 + f ( x1 ) H1,1 + f ′( x 0 ) Hˆ 1, 0 + f ′( x1 ) Hˆ 1,1
donde H3(x) es un polinomio de tercer orden, concordante con f (x) y su derivada de primer orden en dos puntos,
es decir,
H 3 ( x 0 ) = f ( x 0 ), H 3′ ( x 0 ) = f ′( x 0 ),
H 3 ( x1 ) = f ( x1 ), H 3′ ( x1 ) = f ′( x1 )
Polinomios bases generales
42.22.
x − xj ⎞ 2
⎛
H n , j = ⎜1 − 2
L ( x ), Hˆ n , j = ( x − x j ) L2n , j ( x )
Ln′, j ( x j )⎟⎠ n , j
⎝
donde
Ln , j =
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n
∏
i=0,i≠ j
x − xi
x j − xi
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234
INTERPOLACIÓN
Fórmula de interpolación general
42.23.
n
n
j=0
j=0
H 2 n+1 ( x ) = ∑ f ( x j ) H n , j ( x ) + ∑ f ′( x j ) Hˆ n , j ( x )
donde H 2 n+1 ( x ) es un polinomio de (2n + 1)-ésimo orden, concordante con f (x) y su derivada de primer orden en
n + 1 puntos, es decir,
H 2 n+1 ( x k ) = f ( x k ), H 2′n+1 ( x k ) = f ′( x k )
k = 0, 1, K , n
Fórmula de residuo
Suponga que f ( x ) ∈ C2 n+2 [a, b]. Entonces existe un ξ ( x ) ∈ (a, b) de manera que
42.24.
f ( x ) = H 2 n+1 ( x ) +
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f 2 n+ 2 (ξ ( x ))
( x − x 0 )2 ( x − x1 )2 L ( x − x n )2
(2n + 2)!
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43
Cuadratura
REGLA DEL TRAPECIO
Regla del trapecio
43.1.
∫
b
a
f ( x ) dx ~
b−a
[ f (a) + f (b)]
2
Regla compuesta del trapecio
43.2.
∫
b
a
f ( x ) dx ~
n −1
⎞
h⎛
f
(
a
)
+
2
f (a + ih) + f (b)⎟
∑
2 ⎜⎝
⎠
i =1
donde h = (b − a)/n es un tamaño de la cuadrícula.
REGLA DE SIMPSON
Regla de Simpson
43.3.
∫
b
a
f ( x ) dx ~
b−a ⎡
⎤
⎛ a + b⎞
f (a) + 4 f
+ f (b)⎥
6 ⎢⎣
⎝ 2 ⎠
⎦
Regla compuesta de Simpson
43.4.
∫
b
a
f ( x ) dx ~
n/2
n/2
⎞
h⎛
f ( x 0 ) + 2∑ f ( x 2i − 2 ) + 4∑ f ( x 2i −1 ) + f ( x n )⎟
⎜
3⎝
⎠
i=2
i =1
donde n par, h = (b − a)/n, xi = a + ih, i = 0, 1, K , n.
REGLA DEL PUNTO MEDIO
Regla del punto medio
43.5.
∫
b
a
f ( x ) dx ~ (b − a) f
⎛ a + b⎞
⎝ 2 ⎠
Regla compuesta del punto medio
43.6.
∫
b
a
n/2
f ( x ) dx ~ 2h∑ f ( x 2i )
i=0
donde n par, h = (b − a)/(n + 2), xi = a + (i − 1)h, i = −1, 0, K , n + 1.
235
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236
CUADRATURA
FÓRMULA DE CUADRATURA GAUSSIANA
Polinomio de Legendre
43.7.
Pn ( x ) =
1 dn
[( x 2 − 1)n ]
2 n ! dx n
n
Puntos de abscisa y fórmulas ponderadas
Los puntos de abscisa x k( n ) y el coeficiente de ponderación ω k( n ) se definen como sigue:
43.8.
x k( n ) = el k-ésimo cero del polinomio de Legendre Pn(x)
43.9.
ω k( n ) =
2Pn′( x k( n ) )2
1 − x k( n )
2
Las tablas para las abscisas de Gauss-Legendre y ponderadas aparecen en la figura 43-1.
Fórmula de Gauss-Legendre en el intervalo (!1, 1)
43.10.
∫
1
−1
n
f ( x ) dx = ∑ ω k( n ) f ( x k( n ) ) + Rn
k =1
Fórmula de Gauss-Legendre en el intervalo general (a, b)
43.11.
∫
b
a
f ( x ) dx =
b − a n (n) ⎛ a + b
b − a⎞
ωk f
+ x k( n )
+ Rn
2 ∑
2
2 ⎠
⎝
k =1
Fórmula de residuo
43.12.
Rn =
(b − a)2 n+1 (n !)4 ( 2 n )
f (ξ )
(2n + 1)[(2n)!]3
para algún a < ξ < b.
n
x(n)
k
2
0.5773502692
3
0.5773502692
0.7745966692
0.0000000000
4
0.7745966692
0.8611361159
0.3399810436
0.3399810436
5
0.8611361159
0.9061798459
0.5384693101
v(n)
k
1.0000000000
1.0000000000
0.5555555556
0.8888888889
0.5555555556
0.3478548451
0.6521451549
0.6521451549
0.3478548451
0.0000000000
0.2369268850
0.4786286705
0.5688888889
0.5384693101
0.4786286705
0.9061798459
0.2369268850
Figura 43-1
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44
Solución de ecuaciones no lineales
Aquí se dan métodos para resolver ecuaciones no lineales, las cuales vienen en dos formas:
44.1. Ecuación no lineal: f (x) = 0
44.2. Ecuación no lineal de punto fijo: x = g(x)
Es posible cambiar de la fórmula 44.1 a la 44.2, o de la 44.2 a la 44.1 por el sistema:
g( x ) = f ( x ) + x o
f ( x ) = g( x ) − x
Puesto que los métodos son iterativos, existen dos tipos de errores estimados:
44.3.
| f ( x n ) | < ! o | x n+1 − x n | < !
para algún ! > 0 preasignado.
MÉTODO DE BISECCIÓN
El siguiente teorema aplica:
Teorema del valor intermedio: Suponga que f es continua sobre un intervalo [a, b] y f (a) f (b) < 0. Entonces,
existe una raíz x* para f (x) = 0 en (a, b).
El método de bisección aproxima tal solución x*.
44.4. Método de bisección:
Paso inicial: considere a0 = a y b0 = b.
Paso repetitivo:
a)
Considere cn = (an + bn )/2.
b)
Si f (an ) f (cn ) < 0, entonces considere an+1 = an y bn+1 = cn; en caso contrario, considere an+1 = cn y
bn+1 = bn.
MÉTODO DE NEWTON
Método de Newton
44.5.
x n+1 = x n −
f ( xn )
f ′( x n )
Convergencia cuadrática
44.6.
| x n+1 − x ∗ |
f ′′( x ∗ )
=
n→∞ | x − x ∗ |2
2( f ′( x ∗ ))2
n
lím
donde x* es una raíz de la ecuación no lineal 44.1.
237
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238
SOLUCIÓN DE ECUACIONES NO LINEALES
MÉTODO DE LA SECANTE
Método de la secante
44.7.
x n+1 = x n −
( x n − x n−1 ) f ( x n )
f ( x n ) − f ( x n−1 )
Razón de convergencia
44.8.
| x n+1 − x ∗ |
f ′′( x ∗ )
=
∗
∗
n→∞ | x − x || x
− x | 2( f ′( x ∗ ))2
n
n −1
lím
donde x* es una raíz de la ecuación no lineal 44.1.
ITERACIÓN DE PUNTO FIJO
La siguiente definición y teorema aplican:
Definición: Una función g de (a, b) a (a, b) se llama mapeo de contracción si
| g ( x ) − g ( y) | ! L | x − y |
para cualquier x , y ∈(a, b)
donde L < 1 es una constante positiva.
Teorema de punto fijo: suponga que g es un mapeo de contracción sobre (a, b). Entonces, g tiene un punto fijo
único en (a, b).
Dado tal mapeo de contracción g, se puede usar el siguiente método.
Iteración de punto fijo
44.9.
x n+1 = g( x n )
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45
Métodos numéricos para ecuaciones
diferenciales ordinarias
Aquí se dan métodos para resolver los siguientes problemas de valor inicial de una ecuación diferencial ordinaria:
45.1.
⎧⎪dx = f ( x , t )
⎨ dt
⎩⎪x (t0 ) = x 0
Los métodos usarán una cuadrícula de cómputo:
45.2.
tn = t0 + nh
donde h es el tamaño de la cuadrícula.
MÉTODOS DE PRIMER ORDEN
Método de Euler (método explícito de primer orden)
45.3.
x (t + h) = x (t ) + hf ( x (t ), t )
Método regresivo de Euler (método implícito de primer orden)
45.4.
x (t + h) = x (t ) + hf ( x (t + h), t + h)
MÉTODOS DE SEGUNDO ORDEN
Regla del punto medio (método explícito de segundo orden)
45.5.
⎧ *
h
⎪⎪x = x (t ) + 2 f ( x (t ), t )
⎨
⎛
h⎞
⎪x (t + h) = x (t ) + hf ⎜ x * , t + ⎟
2⎠
⎝
⎪⎩
Regla del trapecio (método implícito de segundo orden)
45.6.
h
x (t + h) = x (t ) + { f ( x (t ), t ) + f ( x (t + h), t + h)}
2
Método de Heun (método explícito de segundo orden)
45.7.
⎧x * = x (t ) + hf ( x (t ), t )
⎪
h
⎨
*
⎪⎩x (t + h) = x (t ) + 2 { f ( x (t ), t ) + f ( x , t + h)}
239
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240
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
MÉTODO DE UN SOLO PASO PARA ORDEN SUPERIOR
Método de Runge-Kutta de cuarto orden (método explícito de cuarto orden)
45.8.
x (t + h) = x (t ) +
1
(F + 2F2 + 2F3 + F4 )
6 1
donde
F
⎛
F1 = hf ( x , t ), F2 = hf ⎜ x + 1 , t +
2
⎝
F
h⎞
⎛
, F3 = hf ⎜ x + 2 , t +
2⎟⎠
2
⎝
h⎞
, F4 = hf ( x + F3 , t + h)
2⎟⎠
MÉTODOS DE ORDEN SUPERIOR DE PASOS MÚLTIPLES
Método de dos pasos de Adams-Bashforth
45.9.
x (t + h) = x (t ) + h
1
⎛3
f ( x (t ), t ) − f ( x (t − h), t − h)⎞
2
⎝2
⎠
Método de tres pasos de Adams-Bashforth
45.10.
x (t + h) = x (t ) + h
5
4
⎛ 23
f ( x (t ), t ) − f ( x (t − h), t − h) +
f ( x (t − 2h), t − 2h)⎞
12
3
⎝ 12
⎠
Método de cuatro pasos de Adams-Bashforth
45.11.
⎛ 55
⎞
59
37
9
x (t + h ) = x (t ) + h ⎜
f ( x (t ), t ) −
f ( x (t − h), t − h) +
f ( x (t − 2h), t − 2h) −
f ( x (t − 3h), t − 3h)⎟
24
24
24
⎝ 24
⎠
Método de Milne
45.12.
x (t + h) = x (t − 3h) + h
8
4
⎛8
f ( x (t ), t ) − f ( x (t − h), t − h) + f ( x (t − 2h), t − 2h)⎞
3
3
⎝3
⎠
Método de dos pasos de Adams-Moulton
45.13.
x (t + h ) = x (t ) + h
2
1
⎛5
f ( x (t + h), t + h) + f ( x (t ), t ) −
f ( x (t − h), t − h)⎞
3
12
⎝ 12
⎠
Método de tres pasos de Adams-Moulton
45.14.
⎛3
⎞
5
1
19
x (t + h) = x (t ) + h ⎜ f ( x (t + h), t + h) +
f ( x (t ), t ) −
f ( x (t − h), t − h) +
f ( x (t − 2h), t − 3h)⎟
24
24
24
⎝8
⎠
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46
Métodos numéricos para ecuaciones
diferenciales parciales
MÉTODO DE DIFERENCIAS FINITAS PARA LA ECUACIÓN DE POISSON
La siguiente es la ecuación de Poisson en un dominio (a, b) × (c, d):
46.1.
∇ 2u = f ,
∇2 =
∂2
∂2
2 +
∂x
∂y 2
Condición de frontera:
46.2.
u ( x , y ) = g ( x , y)
para x = a, b
o
y = c, d
Cuadrícula de cómputo:
46.3.
xi = a + i∆x
para i = 0, 1, …, n
y j = c + j∆y
para j = 0, 1, …, m
donde ∆x = (b − a)/n y ∆y = (d − c)/m son los tamaños de cuadrículas para las variables x y y, respectivamente.
Aproximación de diferencias de segundo orden
46.4.
( Dx2 + Dy2 )u( xi , y j ) = f ( xi , y j )
donde
Dx2 u( xi , y j ) =
u( xi +1 , y j ) − 2u( xi , y j ) + u( xi −1 , y j )
∆x 2
Dy2 u( xi , y j ) =
u( xi , y j +1 ) − 2u( xi , y j ) + u( xi , y j −1 )
∆y 2
Condiciones de frontera de cálculo
46.5. u( x 0 , y j ) = g(a, y j ),
u( x n , y j ) = g(b, y j )
para j = 1, 2, …, m
u( xi , y0 ) = g( xi , c),
u( xi , ym ) = g( xi , d )
para i = 1, 2, …, n
MÉTODO DE DIFERENCIAS FINITAS PARA LA ECUACIÓN DE CALOR
La siguiente es la ecuación de calor en un dominio (a, b) × (c, d ) × (0, T ) :
46.6.
∂u
= ∇ 2u
∂t
241
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242
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES
Condiciones de frontera:
46.7.
u ( x , y, t ) = g ( x , y)
para x = a, b
o
y = c, d
Condición inicial:
46.8.
u( x , y, 0) = u0 ( x , y)
Cuadrícula de cómputo:
46.9.
xi = a + i∆x
para i = 0,1, …, n
y j = c + j∆y
para j = 0,1, …, m
t k = k∆t
para k = 0,1, …,
donde ∆x = (b − a)/n, ∆y = (d − c)/m,y ∆t son los tamaños de cuadrículas para las variables x, y y t, respectivamente.
Condiciones de frontera de cómputo
46.10. u( x 0 , y j ) = g(a, y j ), u( x n , y j ) = g(b, y j )
para j = 1, 2, …, m
u( xi , y0 ) = g( xi , c), u( xi , ym ) = g( xi , d )
para i = 1, 2, …, n
Condición inicial de cómputo
46.11. u( xi , y j , 0) = u0 ( xi , y j )
para i = 1, 2, …, n; j = 0, 1, …, m
Método de Euler con condición de estabilidad
46.12.
u( xi , y j , t k +1 ) = u( xi , y j , t k ) + ∆t ( Dx2 + Dy2 )u( xi , y j , t k )
46.13.
2∆t 2∆t
+
!1
∆x 2 ∆y 2
Método regresivo de Euler (estable incondicional)
46.14.
u( xi , y j , t k +1 ) = u( xi , y j , t k ) + ∆t ( Dx2 + Dy2 )u( xi , y j , t k +1 )
Método de Cranck-Nicholson (estable incondicional)
46.15.
u( xi , y j , t k +1 ) = u( xi , y j , t k ) + ∆t ( Dx2 + Dy2 ){u( xi , y j , t k ) + u( xi , y j , t k +1 )}/2
MÉTODO DE DIFERENCIAS FINITAS PARA LA ECUACIÓN DE ONDA
La siguiente es una ecuación de onda en un dominio (a, b) × (c, d ) × (0, T ):
46.16.
∂2u
= A2 ∇ 2 u
∂t 2
donde A es una constante que representa la rapidez de la onda.
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MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES
243
Condición de frontera:
46.17.
u ( x , y, t ) = g ( x , y)
para x = a, b o y = c, d
Condición inicial:
46.18.
u( x , y, 0) = u0 ( x , y),
∂u
u( x , y, 0) = u1 ( x , y)
∂t
Cuadrícula de cómputo:
46.19.
xi = a + i∆x
para i = 0, 1, …, n
y j = c + j∆y
para j = 0, 1, …, m
t k = k∆t
para k = −1, 0, 1,…
donde ∆x = (b − a)/n, ∆y = (d − c)/m,y ∆t son los tamaños de cuadrículas para las variables x, y y t,
respectivamente.
Aproximación de diferencias finitas de segundo orden
46.20.
u( xi , y j , t k +1 ) = 2u( xi , y j , t k ) − u( xi , y j , t k −1 ) + ∆t 2 A2 ( Dx2 + Dy2 )u( xi , y j , t k )
Condición de frontera de cómputo
46.21. u( x 0 , y j ) = g(a, y j ), u( x n , y j ) = g(b, y j )
para j = 1, 2, …, m
u( xi , y0 ) = g( xi , c), u( xi , ym ) = g( xi , d )
para i = 1, 2, …, n
Condición inicial de cómputo
46.22. u( xi , y j , t0 ) = u0 ( xi , y j )
para i = 1, 2, …, n; j = 0, 1, …, m
u( xi , y j , t−1 ) = u0 ( xi , y j ) + ∆t 2u1 ( xi , y j )
para i = 1, 2, …, n; j = 0, 1, …, m
Condición de estabilidad
46.23.
∆t ! A mín(∆x , ∆x )
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47
Métodos de iteración para sistemas
lineales
MÉTODOS DE ITERACIÓN PARA LA ECUACIÓN DE POISSON
La aproximación de diferencias finitas para la ecuación de Poisson es:
47.1.
⎧ui +1, j + ui −1, j + ui , j +1 + ui , j −1 − 4ui , j = fi , j
⎪⎪
para j = 1, 2,…, n – 1
⎨u0 , j = un , j = 0
⎪
para i = 1, 2,…, n – 1
⎪⎩ui ,0 = ui ,n = 0
para i, j = 1, 2,…, n – 1
Los siguientes son tres métodos de iteración para resolver el sistema:
Método de Jacobi
47.2.
uik,+j 1 =
1 k
(u + uik−1, j + uik, j +1 + uik, j −1 − fi , j )
4 i +1, j
Método de Gauss-Seidel
47.3.
uik,+j 1 =
1 k
(u + uik−+11, j + uik, j +1 + uik,+j −11 − fi , j )
4 i +1, j
Método de sobrerrelajación sucesiva (SOR)
47.4.
1 k
⎧ *
*
k
*
⎪ui , j = (ui +1, j + ui −1, j + ui , j +1 + ui , j −1 − fi , j )
4
⎨
⎪⎩uik,+j 1 = (1 − ω )uik, j + ω ui*, j
MÉTODOS DE ITERACIÓN PARA SISTEMAS LINEALES GENERALES
Considere el sistema lineal
47.5. Ax = b
donde A es una matriz de n × n y x y b son n-vectores. Suponga que la matriz de los coeficientes A está particionada como sigue:
47.6. A = D – L – U
donde D = diag (A), L es la negativa de la parte estrictamente triangular inferior de A, mientras que U es la negativa de la parte estrictamente triangular superior de A.
244
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09/12/13 10:26
MÉTODOS DE ITERACIÓN PARA SISTEMAS LINEALES
245
Los métodos de cuatro iteraciones para resolver el sistema son:
Método de Richardson
47.7.
x k +1 = (I − A) x k + b
Método de Jacobi
47.8.
Dx k +1 = ( L + U ) x k + b
Método de Gauss-Seidel
47.9.
( D − L ) x k +1 = Ux k + b
Método de sobrerrelajación sucesiva (SOR)
47.10.
( D − ω L ) x k +1 = ω (Ux k + b) + (1 − ω ) Dx k
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PARTE B
Tablas
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09/12/13 10:47
Sección I: Funciones logarítmica, trigonométrica y exponencial
1
Cuatro decimales de logaritmos comunes
log10 N o log N
Partes proporcionales
249
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1
Cuatro decimales de logaritmos comunes
log10 N o log N (continuación)
Partes proporcionales
250
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2
Sen x
(x en grados y minutos)
251
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3
Cos x
(x en grados y minutos)
252
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4
Tan x
(x en grados y minutos)
253
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5
Conversión de radianes a grados, minutos
y segundos o fracción de grados
Radianes
Grad.
Min.
Seg.
Fracción de
grados
254
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6
Conversión de grados, minutos y
segundos a radianes
Grados
Radianes
Minutos
Radianes
Segundos
Radianes
255
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7
Logaritmo natural o neperiano
loge x o ln x
ln 10 = 2.30259
2 ln 10 = 4.60517
3 ln 10 = 6.90776
4 ln 10 = 9.21034
5 ln 10 = 11.51293
6 ln 10 = 13.81551
7 ln 10 = 16.11810
8 ln 10 = 18.42068
9 ln 10 = 20.72327
256
13_End Matters Tablas_Spiegel(247-286).indd 256
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7
Logaritmo natural o neperiano
loge x o ln x (continuación)
257
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8
Funciones exponenciales
ex
258
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9
Funciones exponenciales
e–x
259
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10
Integrales de exponencial, seno y coseno
%I X °
d
X
E U
DU
U
3I X °
X
SEN U
DU
U
#I X °
d
X
COS U
DU
U
260
13_End Matters Tablas_Spiegel(247-286).indd 260
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Sección II: Factorial y función gamma, coeficientes binomiales
11
Factorial n
n! = 1 2 3 n
261
13_End Matters Tablas_Spiegel(247-286).indd 261
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12
Función gamma
∞
Γ( x ) = ∫ t x −1e − t dt
x
para 1 ! x ! 2
[Para otros valores use la fórmula Γ(x + 1) = x Γ(x)]
262
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13
Coeficientes binomiales
n!
n(n − 1) (n − k + 1) ⎛ n ⎞
⎛ n⎞
=⎜
, 0! = 1
⎜⎝ k⎟⎠ = k !(n − k )! =
k!
⎝ n − k⎟⎠
Observe que cada número es la suma de los dos números de la fila de arriba; uno de estos números está en la
misma columna y el otro está en la columna precedente (ejemplo, 56 = 35 + 21). El arreglo a menudo se llama
triángulo de Pascal (vea la fórmula 3.6, página 8).
263
13_End Matters Tablas_Spiegel(247-286).indd 263
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13
Coeficientes binomiales
n!
n(n − 1) (n − k + 1) ⎛ n ⎞
⎛ n⎞
=⎜
, 0 ! = 1 (continuación)
⎜⎝ k⎟⎠ = k !(n − k )! =
k!
⎝ n − k⎟⎠
⎛ n⎞ ⎛ n ⎞
.
Para k > 15 considere que ⎜ ⎟ = ⎜
⎝ k⎠ ⎝ n − k⎟⎠
264
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Sección III: Funciones de Bessel
14
Funciones de Bessel
15
Funciones de Bessel
J0(x)
J1(x)
265
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16
Funciones de Bessel
17
Funciones de Bessel
Y0(x)
Y1(x)
266
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18
Funciones de Bessel
19
Funciones de Bessel
I0(x)
I1(x)
267
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20
Funciones de Bessel
21
Funciones de Bessel
K0(x)
K1(x)
268
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22
Funciones de Bessel
23
Funciones de Bessel
Ber(x)
Bei(x)
269
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24
Funciones de Bessel
25
Funciones de Bessel
Ker(x)
Kei(x)
270
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26
Valores para ceros aproximados
de las funciones de Bessel
La siguiente tabla lista las primeras raíces positivas de varias ecuaciones. Observe que para todos los casos, la
listas de las raíces sucesivas varían aproximadamente por p = 3.14159. . .
271
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09/12/13 10:47
Sección IV: Polinomios de Legendre
27
Polinomios de Legendre Pn(x)
[P0(x) = 1, P1(x) = x]
272
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28
Polinomios de Legendre Pn(cos !)
[P0(cos !) = 1]
273
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Sección V: Integrales elípticas
29
Integrales elípticas completas
de primer y segundo tipo
K=∫
π /2
0
dθ
1 − k sen θ
2
2
, E =∫
π /2
0
1 − k 2 sen 2θ dθ , k = sen ψ
274
13_End Matters Tablas_Spiegel(247-286).indd 274
09/12/13 10:47
30
31
Integral elíptica incompleta
de primer tipo
F ( k ,φ ) = ∫
φ
0
dθ
1 − k 2 sen 2θ
, k = senψ
Integral elíptica incompleta
de segundo tipo
E ( k ,φ ) = ∫
φ
0
1 − k 2 sen 2θ dθ , k = senψ
275
13_End Matters Tablas_Spiegel(247-286).indd 275
09/12/13 10:47
Sección VI: Tablas financieras
32
Cantidad compuesta: (1 ! r ) n
Si una P principal es depositada a una tasa de interés r (en decimales) compuesta anualmente, entonces, al final de n años, la cantidad acumulada es A = P(1 + r)n.
276
13_End Matters Tablas_Spiegel(247-286).indd 276
09/12/13 10:47
33
El valor actualizado de una cantidad: (1 ! r ) !n
El valor actual de P que ascenderá a A en n años a una tasa de interés r (en decimales)
compuesta anualmente es P = A(1 + r)!n.
277
13_End Matters Tablas_Spiegel(247-286).indd 277
09/12/13 10:47
34
(1 + r ) n – 1
r
Si una P principal es depositada al final de cada año a una tasa de interés r (en decimales)
(1 − r )n − 1⎤
compuesta anualmente, entonces, al final de n años la cantidad acumulada es P ⎡⎢
.
r
⎣
⎦⎥
El proceso a menudo se llama anualidad.
Cantidad de una anualidad:
278
13_End Matters Tablas_Spiegel(247-286).indd 278
09/12/13 10:47
35
1 – (1 + r )– n
r
Una anualidad en la que el pago anual al final de cada n años es A en una tasa de interés r (en
Valor presente de una anualidad:
⎡1 − (1 + r ) − n ⎤
decimales) compuesta, tiene anualmente un valor presente A ⎢
⎥⎦ .
r
⎣
279
13_End Matters Tablas_Spiegel(247-286).indd 279
09/12/13 10:47
Sección VII: Probabilidad y estadística
Áreas bajo la
curva normal estándar
36
Observe que:
desde ∞ hasta x
x
1
Φ( x ) =
e − t / 2dt
∫
−∞
2π
2
erf (x) = 2 (x 2 )
0
x
1
280
13_End Matters Tablas_Spiegel(247-286).indd 280
09/12/13 10:47
37
Ordenadas de la
curva normal estándar
y=
1 −x
e
2π
2
y
/2
0
x
281
13_End Matters Tablas_Spiegel(247-286).indd 281
09/12/13 10:47
38
Valores percentiles (tp )
para la distribución
t de Student
con n grados de libertad (área sombreada = p)
tp
Fuente: R. A. Fisher y F. Yates, Statistical Tables for Biological, Agricultural and
Medical Research
282
13_End Matters Tablas_Spiegel(247-286).indd 282
09/12/13 10:47
39
Fuente:
Valores percentiles (!2p )
para la distribución
!2 ( ji cuadrada )
con n grados de libertad (área sombreada = p)
c p2
Table of percentage points of the !2 distribution,
283
13_End Matters Tablas_Spiegel(247-286).indd 283
09/12/13 10:47
Valores percentiles 95a.
para la distribución F
40
n1 = grados de libertad para el numerador
n2 = grados de libertad para el denominador
(área sombreada = .95)
F.95
Fuente: G. W. Snedecor y W. G. Cochran, Statistical Methods
284
13_End Matters Tablas_Spiegel(247-286).indd 284
09/12/13 10:47
Valores percentiles 99a.
para la distribución F
41
n1 = grados de libertad para el numerador
n2 = grados de libertad para el denominador
(área sombreada = .99)
F.99
Fuente: G. W. Snedecor y W. G. Cochran, Statistical Methods
285
13_End Matters Tablas_Spiegel(247-286).indd 285
09/12/13 10:47
42
Números aleatorios
286
13_End Matters Tablas_Spiegel(247-286).indd 286
09/12/13 10:47
Índice de símbolos
y anotaciones especiales
La siguiente lista muestra símbolos y anotaciones especiales junto con las páginas sobre la cuales se definen o
aparecen primero. Los casos donde un símbolo tiene más de un significado serán aclarados desde el contexto.
Símbolos
r
coeficiente de correlación de muestra, 213
sxy
covarianza de muestra, 213
QU, M, QL
cuartiles, 211
s
desviación estándar de la muestra, 208, 210
DM
desviación media, 211
h1, h2, h3
factores de escala en coordenadas curvilíneas, 127
Kn(x)
función Bessel modificada de segundo tipo, 156
B(m, n)
función beta, 152
Jn(x)
función de Bessel de primer tipo, 153
Yn(x)
función de Bessel de segundo tipo, 153
In(x)
función de Bessel modificada de primer tipo, 155
Fs
función frecuencia acumulada, 209
erfc(x)
función de error complementario, 203
erf(x)
función de error, 203
Qnm(x)
funciones asociadas de Legendre de segundo tipo, 168
Bern(x), Bein(x)
funciones de Ber y Bei, 157
Qn(x)
funciones de Legendre de segundo tipo, 167
Hn(1)(x), Hn(2)(x)
funciones Hankel de primer y segundo tipo, 155
F(a, b; c; x)
funciones hipergeométricas, 178
Kern(x), Kein(x)
funciones Ker y Kei, 158
Ci(x)
integral coseno, 204
C(x)
integral coseno de Fresnel, 204
Si(x)
integral seno, 203
S(x)
integral seno de Fresnel, 204
K = F(k, p /2)
integral elíptica completa de primer tipo, 198
E = E(k, p /2)
integral elíptica completa de segundo tipo, 198
F(k, f )
integral elíptica incompleta de primer tipo, 198
E(k,
f)
integral elíptica incompleta de segundo tipo,
198 OF SPECIAL SYMBOLS
INDEX
284
Ei(x)
integral exponencial, 203
xk(n)
k-ésimo cero del polinomio de Legendre Pn(x), 232
log x o log10 x
logaritmo común de x, 53
Une(x)
Chebyshev
polynomials
ln x o log
x
logaritmo
natural
de x, 53of second kind, 176
Var(X)
variance
of random
H.
M.
media
armónica,
210variable X, 224
sampledemean,
grand
mean,
208, 209
x, x
media
muestra,
media
grande,
208, 209
(n)
kth zero
of Legendre
G. xM.
media
geométrica,
209polynomial Pn(x), 232
k
Yn(x)
Besselofunction
of matemática
second kind,de153
E(X)
media
esperanza
una variable aleatoria X, 223
standardized
random variable,
226
BbZ
números
de Bernoulli,
142
En
números de Euler, 142
Hn(x)
polinomio de Hermite, 169
m
(x)
polinomios asociados de Laguerre, 173
GreekLSymbols
n
Tn(x)
polinomios de Chebyshev de primer tipo, 175
ar Urth
moment
in standard
units, 212 de segundo tipo, 176
p
pi, 3
(x)
polinomios
de Chebyshev
n
g LEuler’s
constant,
4 de Laguerre, 171
f
spherical coordinate, 38
(x)
polinomios
n
Γ(x) P gamma
function,
149de Legendre asociados, 167
1 1
1
m
(x)
polinomios
Φ
(p)
sum
1 + + + ! + , Φ(0) = 0, 154
n
p
2 3
ζ(x) PRieman
zeta
function,
204
(x)
polinomios
de
Legendre,
164
n
m
population mean, 208
Φ (x)
probability distribution function, 226
q
coordinate: cylindrical 37,
s
population standard deviation, 223
polar, 11, 24; spherical, 38
s2
population variance, 223
AND NOTATIONS
287
Notations
A~B
|A|
14_End Matters Simbolos_Spiegel(287-288).indd 287
n!
⎛ n⎞
A is asymptotic to B or A/B approaches 1, 151
⎧ A if A ≥ 0
absolute value of A = ⎨
⎩− A if A < 0
factorial n, 7
09/12/13 10:52
288
ÍNDICE DE SÍMBOLOS Y ANOTACIONES ESPECIALES
P(A/E)
probabilidad condicional de A dado E, 219
RCH
raíz
cuadrática media, 211
INDEX OF SPECIAL SYMBOLS AND NOTATIONS
284
!, ! 1
transformada de Fourier y transformada inversa de Fourier, 194
", " 1
transformada de Laplace y transformada inversa de Laplace, 180
INDEX OF SPECIAL SYMBOLS AND NOTATIONS
284
Z
variable aleatoria estandarizada, 227 INDEX OF SPECIAL SYMBOLS AND NOTATIONS
284
2
U
(x)
Chebyshev
polynomials
of second kind, 176
s
varianza de
n muestra, 208, 210
INDEX
Var(X)
variance
of X,
random
X, 224OF
284
Var(X)
varianza
de variable
aleatoria
224 variable
INDEX
OF SPECIAL
SPECIAL SYMBOLS
SYMBOLS AND
AND NOTATIONS
NOTATIONS
284
sample
mean,
grand
mean,
208,
209
, xpolynomials
e1,Ue2,(x)
e3
vectores xunitarios
en coordenadas
Chebyshev
of second curvilíneas,
kind, 176 127
n
(n)
U
Chebyshev
polynomials
ofof
second
kind,polynomial
176
xkrandom
kth
zero
i, nj,(x)
k
vectores
unitarios
envariable
coordenadas
120Pn(x), 232
Var(X)
variance
of
X,Legendre
224rectangulares,
Var(X)
variancemean,
random
variable
X, 224
Yof
(x)
Bessel
function
of second kind, 153
n
sample
grand
mean,
208,
209
xU, (x)
x
Chebyshev
polynomials
of 208,
second
kind,variable,
176
sample
grand
mean,
209
Z
standardized
random
226
xx,nn(x)
x
(n)
U
Chebyshev
polynomials
of second
176
kth
zeromean,
ofofLegendre
polynomial
Pnkind,
(x), 232
Var(X)
variance
random variable
X, 224
k (n)
x
kth
zero
of
Legendre
polynomial
P
(x),
232
Var(X)
variance
of random
variable
X, 224
k
n
Yxn,(x)
Bessel
function
of
second
kind,
153
samplefunction
mean, grand
mean,kind,
208,153
209
x
Yxn,(x)
Bessel
of second
sample mean,random
grand
mean,
208,
209
x(n)
standardized
variable,
226
xkZ
kth zero of Legendre
polynomial
P (x), 232
(n)
Z
standardized
random
variable,
226
ÍMBOLOS
GRIEGOS
xk Greek
kth zeroSymbols
of Legendre polynomial Pnn(x), 232
Yn(x)
Bessel function of second kind, 153
Yn(x)
Bessel function of second kind, 153
standardized
random
226
ar momento
rth moment
invariable,
standard
units, 212
212
pi,33
aZr
r-ésimo
en unidades
estándar,
pp pi,
Z
standardized
random variable, 226
Greek Symbols
g
Euler’s
constant,
4
spherical coordinate,
38 38
g
constante
de
Euler,
3
ff coordenada
esférica, 37,
Greek Symbols
Γ(x)
gamma
function,
149
1
1
1
Γ(n)
función
gamma,
149
ar
rth moment in standard units, 212
p
pi, 3
Φ(p)
(p) suma
sum 1 + + + ! + , Φ(0) = 0, 154
Φ
p
2 3
agr
rth
in standard
pi, 3
ζ(x)
Rieman
zeta212
function,
Greek
Symbols
ζ(x)moment
función
deunits,
Riemann,
204 204
Euler’s
constant,
4zeta
fp spherical
coordinate, 38
Greek
Symbols
g
Euler’s
constant,
4
f
spherical
coordinate,
38
m
population
mean,
208
Φ
(x)
probability
distribution
function, 226
m
media
de
población,
208
Φ
(x)
distribución
F,
230
Γ(x)
function,
149 units, 212
1
ar gamma
rth moment
in
standard
pi, 3 1 + 1 + 1s + !population
Φ (p)p
+ 1 , Φ(0)estándar
= 0, 154de
Γ(x)
gamma
function,
149
q
coordinate:
37,
standard
deviation,
223223
coordenada:
cilíndrica
37,
desviación
población,
ar Rieman
rthqmoment
in
standard
units,cylindrical
212
p sum
pi, 3 1 + 21 +s31 + !
p
ζ(x)
zeta
function,
204
Φ
(p)
sum
+ 38, Φ(0) = 0, 154
g Rieman
Euler’s constant,
4 polar,
f
spherical2coordinate,
p38 de población,
322 varianza
ζ(x)
zeta
function,
204
11,
24;
spherical,
38
s
population
variance,
223
polar,
11,
24;
esférica,
37,
38
s
223
g
Euler’s
constant,
4
f
spherical
coordinate,
m
population
mean, 208
Φ (x)
probability
Γ(x)
gamma function,
149
1 distribution
1
1 function, 226
population
mean,
208 37,
Φ (x)
probability
(p)
sum 1 + 1 standard
Γ(x)
gamma function,
149
+distribution
Φ (0) =
0226
, 154
1 + ! + 1 ,function,
qm
coordinate:
cylindrical
s
population
223
p , Φ (0) =
2 + 3 + ! +deviation,
ζ(x)
Rieman
zeta
function,
204
Φ
(p)
sum
1
+
0, 154
q
coordinate:
cylindrical
37,
s
population
standard
deviation,
223
p
2
3
2
ζ(x)
Rieman
zeta
function,
204
polar, 11,mean,
24; spherical,
38
s(x)2 population
variance,
223function, 226
m
population
208
Φ
probability
distribution
polar, 11,mean,
24; spherical,
38
223function, 226
m
population
208
Φs
(x) population
probabilityvariance,
distribution
Notations
q
coordinate:
cylindrical 37,
s
population standard deviation, 223
q
coordinate: cylindrical 37,
s2
population standard deviation, 223
polar, 11, 24; spherical, 38
s 2 population variance, 223
polar, 11, 24; spherical,
s or A/B
population
variance,
A ~ B 38
A is asymptotic to B
approaches
1, 151 223
NOTACIONES
Notations
⎧ A if A ≥ 0
NotationsA ~ B
|A|
absolute
value
of A =1,⎨151
A es asintótica
de B
o A/B se
aproxima
A if A < 0
A~B
A is asymptotic to B or A/B approaches 1,⎩−151
A~B
A is asymptotic to B or« A/B
approaches
1, 151
Notations
!
SI
!
r
n!
factorial
n,
7
0
A
if
A
≥
|A|
valor absoluto de A = ⎧
; |z| valor absoluto de un número complejo, 11
Notations |A|
absolute value of A = ¬­⎨⎧ A! ifSI A
! ≥0
A ifapproaches
A< 0
absolute
A ~|A|B
A is asymptotic
1, 151
⎛ n⎞value oftoAB=or⎩⎨−A/B
0
−
A
if
A
<
binomial
coefficients,
8 151
A ~n!B
is asymptotic
to B or⎩ A/B approaches 1,
⎜⎝ k⎟⎠ 7
nAfactorial,
⎧ A if A ≥ 0
n!
factorial
n, 7
|A|
absolute
value
of
A
=
0
A
if
A
≥
⎧
n!
factorial n, 7 of A = ⎨− A if A < 0
dyabsolute value
⎫binomiales,⎩⎨−8A if A < 0
⎛ n|A|
⎞
coeficientes
= f !( x ) coefficients,
8⎩
⎪7
⎜⎝⎛kn⎟⎠⎞n! y! = dxbinomial
factorial n,
binomial
coefficients,
8
derivatives
of y or f(x) with respect to x, 62
⎜⎝ k⎟⎠n!
d 2 y factorial n, ⎬⎪7
dy
⎛ ny⎞!! =
⎫ 2 = f !! ( x ), etc.
8
y! = dy = f !( x⎜⎛)n⎟⎞ ⎪⎫ dx binomial coefficients,
⎭
binomial
coefficients,
8 respect to x, 62
y! = dx = f !( x⎝⎜)kk⎠⎟ ⎬⎪
derivatives
ofyyoorf (x)
f(x)con
with
p
⎝ ⎠
d
derivadas
de
respecto
a to
x,respect
62,6264 to x, 64
d 22ydx
p
derivatives
of y or pth
f(x)derivative
with
respect
x,
with
⎬
D
=
dy
⎫
⎪
= f=!! f(!x(),x )etc.
y!! = yd! =2ydy
dx p
⎫
⎪
⎭
f
x
etc
=
!!
(
),
.
y!! =ydx
⎪
! =2dx = f !( x ) ⎭⎪
dx
2
derivatives
of y or f(x) with respect to x, 62
f
d p ∂f ,⎬⎬ ∂f , ∂derivatives
d 2 ydx
y orpartial
f(x)
with
x, 62
derivatives,
, etc. of with
derivative
respect
torespect
x, 64 to65
.⎪ ∂x pth
y!! = d 2 y2D=ppf=!! ( xd),ppp etc
∂
x
∂
x
∂
y
⎪
pth
derivative
with respect to x, 64
dx
etc.⎭
y!! = dx 2 pD= f !!= (dx ),U
p
p-ésima derivada de U, 65
dxD U = dx pp ⎭
∂( x , y, z )
∂f ∂f ∂2p2 f dx
dp
derivative
withJacobian,
respect to128
x, 64
partial
65
, ∂f , D∂p f= , detc
.
∂
f
p
∂
(
upth
, uderivatives,
pth
with65
respect to x, 64
∂x , ∂x , D
∂x ∂y= ,dx
1 , u2derivative
3)
partial
derivatives,
etc.
∂fx ∂fx ∂∂x22∂fy dx p
derivadas
parciales,
66
)
∂f , ∂f , ∂(∂x , fy,,zetc.
indefinite
integral, 67
∫ f ( x )dxderivatives,
∂∂xf , ∂∂xf , ∂∂(∂xx2∂,yfy,,zetc
partial
65
)) .
Jacobian,
128
∂x , ∂x∂,(u∂1x, ∂uy2 ,,uetc
partial
derivatives,
65
3 .
Jacobian,
128
b
∂x ∂x ∂(u∂1x,∂uy2 , u3 )
f ( x )dx
definite integral, 108
∂( xf ,(yx,)zdx
)
∫jacobiano,
a
indefinite
integral,
67
∂∫( x , y, z )
Jacobian,
128
128
indefinite
integral,
67
∂(u∫1 ,fu(2x,)udx
Jacobian,
128
3)
A
i
dr
line
∂(ub1 , u2 , u3 )
∫C integral, 108 integral of A along C, 124
b f ( x )dx
definite
∫a∫ fff (((xxx)))dx
indefinite
67product of A and B, 120
definite
integral,
108
A i indefinida,
B integral,
dot
integral
dx
indefinite
integral,
67
∫a∫ dx
b A i dr
line
integral
of
A
along
C,
124 of A and B, 121
A
×
B
cross
product
∫∫ bC fA( xi)dr
dx
definite
integral,
108
line integral of A along C, 124
∇
del
operator,
integral
definida,
definite
integral,
108
∫∫aaC f (Ax )idxB
dot
product of A and B, 120 122
2
B
dot
product
and
120
∇cross
=∇
i ∇ ofof
Laplacian
operator, 123
line
integral
along
124
B
product
ofAA
andB,B,C,
121
∫∫C AAAAAii××idr
4integral
2integral
2 la of
drB
line
AA
along
C,
124
de
línea
de
AB,
a lo
largo
de C,123
124
cross
product
of
A
and
121
∇
=
∇
(∇
)
biharmonic
operator,
C
∇B
del
122
dotoperator,
product
of
A
and
B,B,120
•iB
AA
producto
punto
de
A
y
120
∇
del
operator,
122
2
iB
dot product
of A and
B, 120
∇ 2 = ∇AA
i∇
Laplacian
operator,
123
B
cross product
of A
121
A i××
producto
cruz
de
A and
y123
B,B,
121
Laplacian
operator,
×∇2BB
cross product
of A
and
B,
121
∇∇44 ==∇∇2A
(∇
)
biharmonic
operator,
123
∇
del
operator,
122
2
operador
Nabla,
122
∇ 2= ∇2 (∇∇
)
biharmonic
operator,
123
∇
del operator, 122
∇∇22 == ∇
Laplacianlaplaciano,
operator, 123
∇ ii• ∇
∇
operador
123
∇ =∇
∇
Laplacian operator, 123
∇444 == ∇
∇222(∇
(∇222))
biharmonic
operator, 123
∇
operador
biarmónico,
123
∇ = ∇ (∇ )
biharmonic operator, 123
S
A
14_End Matters Simbolos_Spiegel(287-288).indd 288
09/12/13 10:52
Índice analítico
A
Adición de vectores, ley del paralelogramo para, 119
Alfabeto griego, 3
Álgebra de conjuntos, 217
Amplitud de z, 11
Ángulo
fórmulas de doble, 48
fórmulas de medio, 48
negativo, 43
funciones de, 46
positivo, 43
Antiderivada, 67
Antilogaritmos
comunes, 53
naturales, 53
Aproximación de diferencias finitas para la ecuación de Poisson, 244
Área
del rectángulo, 16
del trapecio, 16
del triángulo, 16
integrales de, 125
Argumentos negativos, funciones de, 56
Aritmética de los números complejos, 10
Asimetría, coeficiente de, 212
B
Base, 53
natural de los logaritmos, 3, 62, 71
Bernoulli
definición de números de, 142
fórmula asintótica para números de, 143
números de, 134, 138, 142
tabla de los primeros números de, 142
Binomial(es)
coeficientes, 8
distribución, 226
fórmula, 5, 7
series, 138
Bruja de Agnesi, 31
C
Cambio de base de logaritmos, 54
Campo de Borel, 217
Cardioide, 29, 30, 32
Caracol de Pascal, 29, 32
Cassine, óvalos de, 32
Catenaria, 29,
Cero factorial, 7
Cicloide, 28
acortada, 30
alargada, 30
Cilindro
circular de altura inclinada, 19
circular recto, 19
elíptico, 39
Círculo, 17
Cisoide de Diocles, 33
Coeficiente
de asimetría, 212
de correlación de muestra, 213
de exceso, 212
de Kurtosis, 212
multinomial, 9
Coeficientes
binomiales, 8
propiedades de los, 8
de Fourier, 144
Complejo
conjugado de z, 10
número, 10
plano, 11
Componentes de un vector, 120
Conjunto de números, 208
Cónicas, 25. Véase también Elipse, Hipérbola, Parábola
Cono
circular
recto, 20
tronco de, 20
elíptico, 39
Constante de Catalán, 200
Constante de Euler, 3, 112, 150, 154
Constantes, 62
de integración, 67
restringidas, 71
Continuidad, punto de, 144
Convergencia
cuadrática, 237
intervalo de, 138
Coordenadas
bipolares, 131
especiales, 3
cónicas, 132
elipsoidales confocales, 133
esféricas, 37, 129
esferoidales achatadas, 131
esferoidales alargadas, 131
nuevas, 24
paraboloidales, 130
confocales, 133
polares, 11, 24
rectangulares, 24, 127
toroidales, 132
viejas, 24
289
15_End Matters Indice_Spiegel(289-296).indd 289
13/01/14 10:30
290
ÍNDICE ANALÍTICO
Coordenadas cilíndricas, 37, 129
elípticas, 130
parabólicas, 129
Coordenadas curvilíneas, 127
ortogonales, 128
fórmulas que involucran, 128
sistema de, 127
Correlación de muestra, coeficiente
de, 213
Cosecante hiperbólica de x, 56
Coseno hiperbólico de x, 26
Cosenos directores
de una recta, 34
relación entre los, 34
Cotangente hiperbólica de x, 56
Covarianza de muestra, 213
Cruz vectorial, 121
Cuadrantes, 43
Cuartil menor, 211
Cuartiles (QL, M, QU), 211
Curva
cerrada simple, 126
de mejor ajuste, 215
de mínimos cuadrados, 215
de potencia, 216
exponencial, 215
D
Datos
agrupados, 208
bivariados, 212
no agrupados, 208
Definición de
eventos, 217
funciones hiperbólicas, 56
la transformada inversa de Laplace, 180
radián, 44
una derivada, 62
una serie de Fourier, 144
Definición de la función
beta, 152
gamma, 149
Definición de números de
Bernoulli, 142
Euler, 142
Definición de una integral
definida, 67, 108
indefinida, 67
Derivación, 62
Derivada(s)
de la función gamma, 150
de una función vectorial, 122
de vectores, 122
definición de una, 62
parcial de z, 66
Derivada de funciones
exponenciales, 63
hiperbólica, 64
inversa, 64
logarítmicas, 63
trigonométricas, 63
inversas, 63
Derivadas parciales, 66
de mayor orden, 66
de una función vectorial, 122
Desigualdad
de Cauchy-Schwarz, 205
para integrales, 206
de Chebyshev, 206
15_End Matters Indice_Spiegel(289-296).indd 290
de Holder, 205
para integrales, 206
de Minkowski, 206
para integrales, 206
del triángulo, 205
Desviación
estándar de la muestra, 210
media (DM), 211
Diagrama de
árbol de probabilidad, 219
Argand, 11
Diferencial
de x, 65
de y, 65
Diferenciales
multivariables, 66
reglas para, 65
Directriz, 25
Discontinuidad, punto de, 144
Discriminante, 13
Distancia entre dos puntos, 22
Distribución
binomial, 226
de Poisson, 229
de probabilidad, 223
F, 230
hipergeométrica, 229
ji cuadrada, 230
normal, 226
estandarizada, 227
t de Student, 229
Divergencia, 122, 128
del rotacional, 123
teorema de la, 126
División de números complejos, 10
en forma polar, 11
Duplicación de un cubo, 33
E
Ecuación
cuadrática, 13
cuártica, 14
cúbica, 13
de Bernoulli, 116
de Bessel, 118
transformada, 118
de calor, 241
de Euler o Cauchy, 118
de la circunferencia, 25
de la recta que pasa por dos puntos, 22
de Legendre, 118
de onda, 242
de Poisson, 241
aproximación de diferencias finitas para la, 244
de un elipsoide, 38
del plano por sus intersecciones de los ejes, 35
exacta, 116
Ecuación diferencial
de Bessel, 153
modificada, 155
de Chebyshev, 175
de Hermite, 169
de Laguerre, 171
asociada, 173
de Legendre, 164
asociada, 167
hipergeométrica, 178
Ecuación general de
la recta, 23
13/01/14 10:30
ÍNDICE ANALÍTICO
un plano, 35
homogénea, 116
Ecuación lineal
de primer orden, 116
homogénea de segundo orden, 117
no homogénea de segundo orden, 117
Ecuaciones
de la esfera, 38
diferenciales básicas, soluciones de, 116-118
Elipse(s), 25
confocales, 130
Elipsoide, 38
Entero positivo, 6
Epicicloide, 30
Error cuadrático, 214
Escala, factores de, 127
Escalares, 119
Esfera, 19
Espacio de
muestra, 217
probabilidad, 218
Espiral de Arquímedes, 33
Estadísticos, 208
Euler
constante de, 3, 112, 150, 154
definición de números de, 142
identidades de, 54
número de, 71
números de, 138, 142
tabla de los primeros números de, 142
Evento(s)
definición de, 217
imposible, 217
independientes, 221
seguro, 217
Evoluta de una elipse, 32
Excentricidad, 25
Exceso, coeficiente de, 212
Expansión asintótica, 161
para la función gamma, 151
Experimento binomial, 226
Exponente, 53
F
Factores de escala, 127
Factorial n, 7
Foco, 25
Folio de Descartes, 31
Forma
compleja de las series de Fourier, 144
de Cauchy, 138
de Lagrange, 138
normal para la ecuación del plano, 36
polar de los números complejos, 11, 54
Fórmula
asintótica para números de Bernoulli, 143
binomial, 5, 7
de Bayes, 220
de cuadratura gaussiana, 236
de diferencia de Newton, 232
de diferencia regresiva de Newton, 233
de duplicación, 150
de Gauss-Legendre, 236
de interpolación de dos puntos de Hermite, 233
de inversión compleja, 180
de recursión, 149
de residuo de Hermite, 234
de Rodrigues, 164, 169, 171
de Simpson para n enteros, 109
15_End Matters Indice_Spiegel(289-296).indd 291
291
de Stirling, 151
multinomial, 9
parabólica para n enteros, 109
rectangular, 109
trapezoidal, 109
Fórmula de adición
para la función de Bessel, 163
para los polinomios de Hermite, 170
Fórmula de la suma de
Euler-Maclaurin, 137
Poisson, 137
Fórmulas
de adición de funciones hiperbólicas, 57
de doble ángulo de funciones trigonométricas, 48
de medio ángulo de funciones trigonométricas, 48
de múltiples ángulos de funciones trigonométricas, 48
generales de funciones trigonométricas, 49
que contienen operador biarmónico, 123
Fórmulas de ángulo
doble de funciones hiperbólicas, 57
medio de funciones hiperbólicas, 57
múltiple de funciones hiperbólicas, 57
Fórmulas recurrentes
de la función de Bessel,154
para polinomios de Legendre, 165
Función
beta, 152
de cuatro variables, 66
de distribución acumulada, 225
de error, 203
de Legendre de orden n, 164
de Neumann, 153
de probabilidad, 218
de pulso, 192
de Weber, 153
delta, 189
densidad, 224
escalón, 192
unitario de Heaviside, 192
exponencial, 53
frecuencia acumulada, 209
impar, 193
logarítmica, 53
masa de probabilidad, 223
nula, 189
par, 193
zeta de Riemann, 204
Función de Bessel
de orden igual a la mitad de un entero impar, 157
de primer tipo de orden n, 153
de segundo tipo de orden n, 153
expansión de la, 162
fórmula de adición para la, 163
gráficas de la, 158
modificada, 157
de primer tipo de orden n, 155
de segundo tipo de orden n, 156
series ortogonales de la, 161
Función gamma, 4, 149
definición de la, 149
expansión asintótica para la, 151
gráfica de la, 149
para n < 0, 149
relación con la función beta, 152
relaciones entre la, 150
valores especiales para la, 150
Función Hankel de
primer tipo de orden n, 155
segundo tipo de orden n, 155
Funciones
de ángulos negativos, 46
13/01/14 10:30
292
ÍNDICE ANALÍTICO
de argumentos negativos, 56
de Ber y Bei, 157
de Bessel modificadas de orden n, 155
de dos variables, series de Taylor para, 141
de Legendre de segundo tipo, 166, 167
de onda, 191
de x, 62
exponenciales y logarítmicas, series de Taylor para, 139
hipergeométricas, 178
Ker y Kei, 158
Funciones elípticas, 198
de Jacobi, 199
identidades que contienen, 201
periodos de las, 200
Funciones hiperbólicas, 56
definición de, 56
gráficas de, 59
potencias de, 58
producto de, 58
relación entre, 56
resta de, 58
series de Taylor para, 140
suma de, 58
Funciones hiperbólicas inversas, 59
gráficas de, 60
relación entre, 60
Funciones trigonométricas
para un triángulo rectángulo, 43
relación entre, 44
series de Taylor para, 139
signos y variaciones de, 44
Funciones trigonométricas inversas, 49
gráficas de, 50
relación entre, 50
valores principales para, 50
de Parseval, 144
generalizada de Parseval, 144
que contienen funciones elípticas, 201
Igualdad de
los números complejos, 10
vectores, 119
Integración
constantes de, 67
generalizada por partes, 67, 69
Integral
coseno de Fresnel, 204
de Frullani, 115
definida, 124
definición de una, 108
exponencial, 203
impropia, 108
indefinida, 67, 124
seno de Fresnel, 204
Integrales
de área, 125
de línea, 124
de superficie, 125
de volumen, 125
dobles, 125
elípticas, 198-200
múltiples, 125
que contienen vectores, 124
triples, 125
Interpolación
de Lagrange, 231
de Newton, 231
Intersección, 22
Intervalo de convergencia, 138
Involuta de una circunferencia, 31
Iteración de punto fijo, 238
G
J
Gauss, teorema de, 126
Gradiente de U, 122, 128
Gráfica de
dispersión de los datos, 212
la función gamma, 149
Gráficas de
funciones hiperbólicas, 59
inversas, 60
funciones trigonométricas, 46
inversas, 50
la función de Bessel, 158
Green
primera identidad de, 127
segunda identidad de, 127
teorema de, 126
Jacobi, funciones elípticas de, 199
Jacobiano de la transformación, 128
H
Hipérbola, 25, 27
Hiperboloide de
dos hojas, 39
una hoja, 39
Hipocicloide
con cuatro cúspides, 28
general, 30
I
Identidad(es)
de Euler, 54
15_End Matters Indice_Spiegel(289-296).indd 292
K
k-ésimo percentil, 211
Kurtosis, 212
L
Laplaciano, 123, 128
Lema de Borel-Cantelli, 219
Lemniscata, 28
Ley
asociativa para la adición, 120
asociativa para la multiplicación escalar, 120
conmutativa para la adición, 120
de cosenos, 51
de DeMorgan, 217, 218
de probabilidad total, 220
de senos, 51
de tangentes, 51
del paralelogramo para adición de vectores, 119
distributiva, 120
Leyes de
álgebra vectorial, 120
exponentes, 53
logaritmos, 53
Leyes del álgebra de conjuntos, 217
Límites de secuencia de eventos, 218
13/01/14 10:30
ÍNDICE ANALÍTICO
Línea real, 11
Logaritmo de un número complejo, 55
Logaritmos
base natural de los, 3, 62, 71
cambio de base de, 54
Briggianos, 53
comunes, 53
naturales, 53, 67, 71
Neperianos, 53
M
Magnitud del vector, 119
Mapeo de contracción, 238
Mayor cuartil, 211
Media
aritmética, 208
armónica, 209
de la muestra, 208
de las medias, 209
de una población, 210
geométrica, 209
grande, 209
ponderada, 209
Mediana, 208
Medición de dispersión, 210
Medidas de
asimetría o sesgo, 212
posición, 211
tendencia central, 208
Método
de bisección, 237
de Cranck-Nicholson, 242
de Euler, 239
con condición de estabilidad, 242
de Gauss-Seidel, 244, 245
de Heun, 239
de Jacobi, 244, 245
de la secante, 238
de Milne, 240
de Newton, 237
de Richardson, 245
de Runge-Kutta, 240
regresivo de Euler, 239, 242
SOR (sobrerrelajación sucesiva), 244, 245
Métodos de
Adams-Bashforth, 240
Adams-Moulton, 240
diferencias finitas, 241
Moda, 209
Módulo de z, 11
Momentos de inercia de varios cuerpos rígidos, 41
Multiplicación de
números complejos, 10
en forma polar, 11
un vector por un escalar, 119
N
n-ésima derivada, 64
Notación de
la magnitud del vector, 119
un vector, 119
Nuevas coordenadas, 24
Número
de Bernoulli, 71
de Euler, 71
Número complejo, 10
forma polar del, 11, 54
15_End Matters Indice_Spiegel(289-296).indd 293
293
logaritmo de un, 55
raíces de un, 12
valor absoluto de un, 11
Números
conjunto de, 208
directores, 34
reales, 10
Números complejos
aritmética de los, 10
división de, 10
igualdad de los, 10
multiplicación de, 10
resta de, 10
suma de, 10
Números de Bernoulli, 134, 138, 142
definición de, 142
fórmula asintótica para, 143
tabla de los primeros, 142
Números de Euler, 138, 142
definición de, 142
tabla de los primeros, 142
O
Operador
biarmónico, 123
de la transformada de Laplace, 180
inverso de la transformada de Laplace, 180
Nabla, 122
Ortogonalidad de
los polinomios de Chebyshev, 176, 177
los polinomios de Hermite, 169
los polinomios de Laguerre, 172, 174
los polinomios de Legendre, 165
Óvalos de Cassine, 32
P
Parábola(s), 25
confocales con un eje común, 129
que abre a la derecha, 26
que abre a la izquierda, 26
Paraboloide
de revolución, 21
elíptico, 40
hiperbólico, 40
Parámetros, 208
Pares de transformadas de Fourier, 194
Parte(s)
adyacentes, 52
imaginaria de z, 10
media, 52
opuestas, 52
real de z, 10
Pendiente de la recta que une dos puntos, 22
Periodicidad de funciones hiperbólicas, 61
Periodos de las funciones elípticas, 200
Perímetro del
rectángulo, 16
trapecio, 16
triángulo, 16
p-ésima potencia de a, 53
Pirámide, 20
Plano
complejo, 11
Gaussiano, 11
Polinomio(s)
de Hermite, 169
de Laguerre, 171
13/01/14 10:30
294
ÍNDICE ANALÍTICO
de Legendre, 236
especiales de Hermite, 169
especiales de Legendre, 164
Polinomios de Chebyshev
de primer tipo, 175
de segundo tipo, 176
Potencias de funciones
hiperbólicas, 58
trigonométricas, 48
Primera identidad de Green, 127
Probabilidad
condicional de un evento, 219
de un evento, 218
distribución de, 223
función masa de, 223
Proceso estocástico, 219
Producto
cruz, 121
de funciones hiperbólicas, 58
de funciones trigonométricas, 49
de Wallis, 207
escalar, 120
punto, 120
vectorial, 121
Propiedades
de integrales de línea, 124
de los coeficientes binomiales, 8
generales de la transformada de Laplace, 181
Punto
de continuidad, 144
de discontinuidad, 144
inicial, 119
terminal, 119
Reglas
de Napier, 52
de Simpson, 235
para diferenciales, 65
68-95-99.7, 227
Reglas generales de
derivación, 62
integración, 67
Regresión lineal, 214
Relación
de la función beta con la función gamma, 152
de Legendre, 202
entre funciones hiperbólicas, 56
inversas, 60
entre funciones trigonométricas, 44
inversas, 50
entre grados y radianes, 44
entre integrales de superficie y dobles, 126
Relaciones entre la función gamma, 150
Representación de un vector, 119
r-ésimo momento, 212
Resta de
funciones
hiperbólicas, 58
trigonométricas, 49
números complejos, 10
Resultante de vectores, 119
Reversión de series de potencia, 141
Rosa de
cuatro hojas, 29
tres hojas, 29
Rotación del gradiente, 123
Rotacional, 123, 128
R
S
Radián, 4
definición de, 44
Raíces de un número complejo, 12
Raíz cuadrática media (RCM), 211
Rama principal, 49
Rango
intercuartil, 211
medio, 210
semiintercuartil, 211
Razón de convergencia, 238
Recta
cosenos directores de una, 34
de mejor ajuste, 214
de mínimos cuadrados, 214
ecuaciones de la, 34, 35
Rectángulo, 16
área del, 16
perímetro del, 16
Regla
de adición, 218
de complemento, 218
de diferencia, 218
de la cadena, 62
de L’Hopital, 154, 156
de monotonía, 218
del punto medio, 235, 239
del trapecio, 235, 239
Regla compuesta
de Simpson, 235
del punto medio, 235
del trapecio, 235
Regla de Leibniz
para derivación de integrales, 109
para derivadas mayores de productos, 65
Secante hiperbólica de x, 56
Segunda
derivada, 64
identidad de Green, 127
Semiperímetro, 16
Seno
hiperbólico de x, 56
inverso, 49
Serie asintótica de Stirling, 151
Series
aritméticas, 134
aritméticas-geométricas, 134
binomiales, 138
de Maclaurin, 138
de potencias, 138
reversión de, 141
geométricas, 134
ortogonales de las funciones de Bessel, 161
Series de Fourier, 145-148
definición de una, 144
especiales, 145
forma compleja de las, 144
Series de Taylor, 138
para funciones de dos variables, 141
para funciones de una variable, 138
para funciones exponenciales y logarítmicas, 139
para funciones hiperbólicas, 140
para funciones trigonométricas, 139
Signos y variaciones de funciones trigonométricas,
44
Sistema
coordenado ortogonal especial, 129
de mano derecha, 121
ortogonal, 127
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ÍNDICE ANALÍTICO
Sistema de coordenadas
curvilíneas, 127
Solución general de la ecuación
de Bessel modificada, 156
de Legendre, 166
diferencial de Bessel, 154
diferencial de Chebyshev, 177
hipergeométrica, 178
Soluciones de ecuaciones diferenciales básicas, 116-118
Stokes, teorema de, 126
Suma de
Euler-Maclaurin, fórmula de la, 137
números complejos, 10
Poisson, fórmula de la, 137
potencias de enteros positivos, 134
vectores, 119
Suma de funciones
hiperbólicas, 58
trigonométricas, 49
Superficie
integrales de, 125
y dobles, relación entre integrales de, 126
295
operador de la, 180
operador inverso de la, 180
propiedades generales de la, 181-182
Transformadas especiales de Laplace, 183-192
Trapecio, 16
área del, 16
perímetro del, 16
Triángulo, 16
área del, 16
de Pascal, 8, 263
propiedades del, 8
esférico, 21, 51, 52
perímetro del, 16
plano, 51
rectángulo, funciones trigonométricas para un,
43
Trocoide, 30
Tronco de cono circular, 20
U
Unidad imaginaria, 10, 54
T
Tangente hiperbólica de x, 56
Tapa esférica, 20
Tendencia central, 208
Teorema
de Bayes, 220
de convolución para transformada de Fourier, 194
de De Moivre, 11, 55
de extensión, 219
de Gauss, 126
de Green, 126
en el plano, 126
de la divergencia, 126
de la integral de Fourier, 193
de multiplicación para probabilidad condicional, 219
de Parseval, 194
de punto fijo, 238
de Stokes, 126
del límite central, 229
del valor intermedio, 237
del valor medio, 109
fundamental del cálculo integral, 108
Tercera derivada, 64
Toro, 21
Tractiz, 31
Transformación
de coordenadas, 36-37
de integrales múltiples, 128
jacobiano de la, 128
Transformaciones de integrales, 70
Transformada
de Fourier, 194
de Landen, 199
inversa de Fourier, 194
inversa de Laplace, 180
Transformada de Laplace, 180
definición de la, 180
15_End Matters Indice_Spiegel(289-296).indd 295
V
Valor
absoluto de un número complejo, 11
de clase, 208
medio, 208
teorema del, 109
promedio, 208
Valores
especiales para la función gamma, 150
principales, 49
para funciones trigonométricas inversas, 50
Variable aleatoria, 223
continua, 223, 224
discreta, 223
estandarizada, 227
normal x, 226
Varianza de la muestra, 210
Vector
cero, 119
componentes de un, 120
constante, 124
magnitud del, 119
notación de la magnitud del, 119
nulo, 119
representación de un, 119
unitario, 120
Vectores, 119
derivadas de, 122
igualdad de, 119
integrales que contienen, 124
resultante de, 119
suma de, 119
Viejas coordenadas, 24
Volumen
de un paralelepípedo, 121
integrales de, 125
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