Тестовый пример
from math import *
func = lambda x: x - cos(x)
a1, b1 = 0.0, 1.0
e = 0.0001
def dihotomia_method(a, b, f):
k=0
while b-a >= e:
k+=1
c = (a+b)/2
if f(a) * f(c) < 0:
a, b = a, c
else:
a, b = c, b
return (a+b)/2, k
import pylab as plb
X = plb.arange(-1.0, 1.0, 0.1)
Y = [func(x) for x in X]
plb.plot(X, Y)
plb.grid()
print('root %s, iteration %s' % dihotomia_method(a1, b1, func))
Выход функции:
root 0.739105224609375, iteration 14
Краткое описание методов
1) Метод половинного деления или дихотомии (дихотомия - сопоставленность или
противопоставленность двух частей целого) при нахождении корня уравнения f(x)=0
состоит в делении пополам отрезка [a; b], где находится корень. Затем анализируется
изменение знака функции на половинных отрезках, и одна из границ отрезка [a; b]
переносится в его середину. Переносится та граница, со стороны которой функция на
половине отрезка знака не меняет. Далее процесс повторяется. Итерации прекращаются
при выполнении одного из условий: либо длина интервала [a; b] становится меньше
заданной погрешности нахождения корня, либо функция попадает в полосу шума значение функции сравнимо с погрешностью расчетов.
2) В численном анализе метод Ньютона, также известный как метод Ньютона–Рафсона,
названный в честь Исаака Ньютона и Джозефа Рафсона, представляет собой алгоритм
поиска корней, который последовательно улучшает приближение к корням (или
нулям) вещественнозначной функции. Самая базовая версия начинается с функции f с
одной переменной, определенной для действительной
переменной x, производной ф у н к ц и и f ' и начальной догадки x 0 для корня из f. Если
функция удовлетворяет достаточным предположениям и начальное предположение
близко, то
𝑥1 = 𝑥0 −
𝑓(𝑥0 )
𝑓 ′ (𝑥0 )
является лучшим приближением к корню, чем x 0. Геометрически (x1, 0) является
пересечением оси x и касательной графика f в точке (x0, f (x0)): то есть улучшенное
предположение является единственным корнем линейного приближения в начальной
точке. Процесс повторяется как
𝑥𝑛+1 = 𝑥𝑛 −
𝑓(𝑥𝑛 )
𝑓 ′ (𝑥𝑛 )
до тех пор, пока не будет достигнуто достаточно точное значение. Этот алгоритм является
первым в классе методов Хаусхолдера, за ним следует метод Галлея. Метод также может
быть распространен на сложные функции и системы уравнений.
2
Решение простой задачи вручную выбранными методами.
Метод половинного деления
3
Метод Ньютона:
4
Задание 1.
Предложенное уравнение:
ln(𝑎 − 𝑏𝑥 2 ) sin (𝑐 + 𝑑𝑥 2 )
Пример решения методом половинного деления (код скопирован из программы
Jupyter Notebook):
from math import sin, log
func = lambda x: log(a-b*x**2)*sin(c+d*x**2)
a=12
b=0.8
c=2.6
d=0.3
e=10**(-10)
a1 = -2
b1 = 1
def dihotomia_method(a1, b1, f):
k=0
while b1-a1>=e:
k+=1
c1=(a1+b1)/2
if f(a1)*f(c1)<0:
a1, b1 = a1, c1
else:
a1, b1 = c1, b1
return (a1+b1)/2, k
import pylab as py
X = py.arange(a1, b1, 0.001)
root = dihotomia_method(a1, b1, func)[0]
py.plot([x for x in X], [func(x) for x in X])
py.plot(root, 0, 'o')
ax = lab.gca()
ax.set_xlabel('X')
5
ax.set_ylabel('f(x)')
lab.title("График функции func(x) с корнем на заданном промежутке")
py.grid(True)
print('root =', dihotomia_method(a1, b1, func)[0],',','iteration =', dihotomia_method(a1, b1,
func)[1])
Полученные результаты:
ε – погрешность
root – корень уравнения на заданном промежутке
iteration – количество итераций, потребовавшихся для получения результата исходя из начальных условий
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
ε
0.01
0.001
0.0001
10*10^-4
10*10^-5
10*10^-6
10*10^-7
10*10^-8
10*10^-9
10*10^-10
root
-1.3435821533203125
-1.3436279296875
-1.3435821533203125
-1.3436126708984375
-1.3436155319213867
-1.3436180353164673
-1.3436178117990494
-1.3436178201809525
-1.3436178198317066
-1.3436178196134279
iteration
9
12
15
15
19
22
25
29
32
35
Точкой на графике указан искомый корень уравнения в пределах интервала, который был
заранее задан, т.к. на всем промежутке области определения функция имеет несколько
корней.
6
Пример решения методом Ньютона (код скопирован из программы Jupyter
Notebook):
from sympy import *
import numpy as nu
import pylab as lab
x = symbols('x')
a=12
b=0.8
c=2.6
d=0.3
a1 = -1.5
e=10**(-10)
f = log(a-b*x**2)*sin(c+d*x**2)
func = lambda x: log(a-b*x**2)*sin(c+d*x**2)
df = diff(log(a-b*x**2)*sin(c+d*x**2))
ddf = diff(df)
def newton_method(a1, f, df, ddf):
k=0
if f.replace(x, a1)*ddf.replace(x, a1)>0:
err = 'Точка выбрана верно'
while (f.replace(x, a1)*df.replace(x, a1))**2>=e**2:
k+=1
c1 = -f.replace(x, a1)/df.replace(x, a1) + a1
a1 = c1
else:
err = 'Функция не проходит в этой точке через ось абцисс. Попробуйте другую!'
return a1, err, k
root = newton_method(a1, f, df, ddf)[0]
if newton_method(a1, f, df, ddf)[0] == a1:
print(newton_method(a1, f, df, ddf)[1])
else:
print(newton_method(a1, f, df, ddf)[1])
7
print('root =', newton_method(a1, f, df, ddf)[0])
print('iteration =', newton_method(a1, f, df, ddf)[2])
X = nu.linspace(-2, 0, 100)
Y = [func(x) for x in X]
lab.plot(X, Y)
lab.plot(root, 0, 'o')
lab.grid(True)
ax = lab.gca()
ax.set_xlabel('X')
ax.set_ylabel('f(x)')
lab.title("График функции func(x) с корнем на заданном промежутке")
Полученные результаты:
1
2
3
ε
10*10^-7
10*10^-9
10*10^-12
root
-1.34361781967088
-1.34361781967088
-1.34361781965681
Выход функции:
iteration
3
3
4
Точкой на графике указан искомый корень уравнения в пределах интервала, который был
заранее задан, т.к. на всем промежутке области определения функция имеет несколько
корней.
8
Выводы
Методы, представленные в этой работе, для решения нелинейных уравнений, хорошо
справляются с поставленной задачей, но в пределах определенных интервалов (точки
старта) и погрешности.
Наиболее быстрым и точным из рассмотренных, является метод Ньютона (метод
касательных). Количество необходимых итераций для нахождения значения гораздо
меньше по сравнению с методом дихотомии. Если найти среди ответов обоих методов
значения, совпадающие по точности до 10 знака после запятой, то отношение количества
итераций в методе половинного деления к методу касательных будет соответственно 35:3.
Таким образом, метод Ньютона оказывается более востребованным при анализе функций
по сравнению с методом дихотомии.
9