Trabajo Autónomo Previo 6 (Resuelto en LATEX por: Daniel Chacaguasay)
Materia: Ecuaciones Diferenciales
Periodo Académico: PAO I-2023
Matricula: 202106985 Nombre: Daniel Joel Chacaguasay Paralelo: "1"
Continuación de: Problemos de apticación modeludos con EDO de 1er orden
• Ley de enfriamiento de Newton:
Sección 2.5 de la referencia [1]: DEL PROBLEMA 14 AL 16.
(1.) Suponga que la temperatura de una taza de café obedece la ley de Newton del enfriamiento. Si el
café tiene una temperatura de 200◦ F cuando acaba de servirse y un minuto después se ha enfriado hasta
190◦ F en un recinto cuya temperatura es de 70◦ F, determine cuándo el café alcanza uma temperatura
de 150◦ F.
Solución:
Sea T (t) : temperatura del café a un tiempo t, donde se obtiene la ecuación:
DT
= −k (T − Ta )
dt
Donde la Temperatura del ambiente es Ta = 70◦ F, reemplazemos
DT
= −k(T − 70)
dt
DT
= −kdt
(T − 70)
ln(T − 70) = −kt + C
T − 70 = e−kt+C
T = 70 + eC · e−kt
T = Ce−kt + 70;
C∈R
Sabemos que T (0) = 200, reemplazamos
200 = Ce−k(0) + 70
200 = Ce0 + 70
200 = C + 70
C = 130
Obtenemos:
T = 130e−kt + 70
Además, sabemos que:
T (1) = 190, reemplazamos y obtenemos
190 = 130e−k(1) + 70
12 = 13e−k
13
ek =
12
13
k = ln
12
k ≈ 0.0800427
Finalinente, obtenemos
T = 130e−0.0800427t + 70
El ejercicio nos pide T (t) = 150, hallar t
1
150 = 130e−0.0800427t + 70
13
= e0.0800427t
18
13
= 0.0800427t
ln
18
Utilizamos una calculadora para dar un valor aproximado
0, 4855078
0.0800427
∴t≈6
t=
∴ El café a los 6 minutos alcanzará uma temperatura de 150◦ F
• Circuitos eléctricos RL Y RC
Sección 3.7. de la referencia [2]: DEL PROBLEMA 15 AL 20
(2) Se aplica una fuerza electromotriz de 30V a un circuito en serie LR con 0.1H de inductancia y 50 Ω
de resistencia. Determine la corriente i(t), si i(0) = 0. Halle la corriente cuando t → ∞
Solución:
i(t) : La corriente que atraviesa el circuito en t dado en segundos [A].
Además sea v(t) = 30 V, R = 50Ω y L = 0.1H.
di
De acuerdo con la ley de kirchoff: v(t) = Ri(t) + L dt
Reemplazamos valores y obtenemos
di
dt
di
300 = 500i +
dt
di
+ 500i = 300
dt
Obtenemos el factor integrante, donde P (t) = 500
30 = 50i + 0.1
µ(t) = e
R
p(t)dt
µ(t) = e500t
Multiplicamos µ(t) en la EDO, obteniendo
e500t di + e500t 500idt = e500t 300dt
Z
Z
d e500t i = e500t 300dt
3 500t
e
+C
5
3
i(t) = + ce−500t
5
e500t · i =
Sabemos que i(0) = 0, reemplazanos:
3
+ ce0
5
3
c=−
5
0=
Obteniendo
i(t) =
3 3 −500t
− e
5 5
Ahora cuando t → ∞
2
i(∞) =
∴
i(∞) =
3 3 −500(∞)
− e
5 5
3
5
• Sistemas mecánicos:
Sección 2.7. de la referencia [1]: DEL PROBLEMA 1 AL 7
(3) Una bola de masa de 0.25kg se lanza hacia arriba con una velocidad inicial de 20 m/s desde el techo
dé un edificio que tiene 30m de altura. desprecie la resistencia del aire. a) Encuentre la altura máxima
que alcanza la bola por arriba del piso. b) Si se supone que en su trayecto hacia abajo la bola no cae en
el edificio, halle el tiempo que transcurre hasta que choca con el piso.
Solución
Parte a)
Usamos la fórmula de Cinenática
vf2 = v02 + 2a∆y
donde a = −g
Consideramos el sistema de referencia, positivo hacia arriba
Debernos hallar ∆y cuando vf2 = 0, entonces tenemos que:
v02
2g
∆y = 20.4[ m]
∆y =
Sabenos que el edificio tiene 30 metros, entonces debemos sumar con ∆y
h ≈ 30 + 20.4 = 50.4[ m]
Parte b)
Usamos la fórmula de Cinenática
1
y = y0 + v0 t + at2
2
Sabemes que y0 = 30, además, v0 = 20, y le aceleración a = −g, reemplazanos
1
y = 30 + 20t − gt2
2
Cuando choca con el piso y = 0,
1
0 = 30 + 20t − gt2
2
Usamos la fórmula cuadrática, donde a = − 21 g; g ≈ 9.81, b = 20 y c = 30:
√
−b ± b2 − 4ac
t=
2a
q
−20 ± 202 − 4 − 9.81
(30
2
t=
2 − 9.81
2
Nosotros debemos escoger el signo positivo, así obteniendo un aproximado
∴ t ≈ 5.24[ m]
• Interés compuesto:
Sección 2.5. de la referencia [1]: DEL PROBLEMA 6 AL 12
(4) Suponga que se deposita una suma S0 , en un banco que paga interés a una tasa anual r, compuesto
continuamente.
a) Halle el tiempo T necesario para duplicar el valor de la suma original, como una función de la tasa
de interés r.
b) Determine T si r = 7%.
c) Encuentre la tasa de interés que debe pagarse si la inversión inicial tiene que duplicarse en ocho años
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