C A P Í T U LO 1
EXAMEN
1. (a) Grafique los intervalos (25, 3] y (2, q) sobre la recta de números reales.
(b) Exprese las desigualdades x ≤ 3 y 21 ≤ x 4 en notación de intervalos.
(c) Encuentre la distancia entre 27 y 9 sobre la recta de números reales.
2. Evalúe cada una de las expresiones siguientes.
(a) 1 3 2 4
(b)
34
(c) 3
4
(d)
523
521
2
(e) a b
3
2
(f) 16
3/4
3. Escriba cada uno de estos números en notación científica.
(a) 186,000,000,000
(b) 0.0000003965
4. Simplifique cada expresión. Escriba su respuesta final sin exponentes negativos.
3x 3/2y 3 2
132
(c) a 2 1/2 b
(a) 1200
(b) (3a 3b 3 )(4ab 2 )2
x y
y
x
x
y
x2
x 2 3x 2
x 1
(d) 2
(e) 2
(f)
x 2
1
1
x
x 2
x
4
x
y
110
5. Racionalice el denominador y simplifique:
15 2
6. Realice las operaciones indicadas y simplifique.
412x 52
(a) 31x 6 2
(b) 1x 32 14x
(d) 12x 3 2 2
(e) 1x 22 3
(c) 1 1a
52
7. Factorice por completo cada expresión.
(a) 4x 2 25
(b) 2x 2 5x 12
4
(d) x
27x
(e) 3x 3/2 9x 1/2 6x
1/2
1b2 1 1a
(c) x 3
(f) x 3 y
3x 2
4xy
(c) x 2
x
(f) x 4
3x 2
1b2
4x
12
8. Encuentre todas las soluciones reales.
(a) x
(d) 2x 2
(g) 3 0 x
5
14
4x
40
1
2x
1 0
10
(b)
2x
x
(e) 33
2x
1
x
1
2x
5
2
12
0
2
0
9. Mary viajó en auto de Amity a Belleville a una velocidad de 50 mi/h. En el viaje de regreso,
manejó a 60 mi/h. El total del viaje duró 4 25 h de tiempo de manejo. Encuentre la distancia
entre estas dos ciudades.
10. Una parcela rectangular de tierras mide 70 pies más larga que su ancho. Cada diagonal entre
esquinas opuestas mide 130 pies. ¿Cuáles son las dimensiones de la parcela?
11. Resuelva estas desigualdades. Escriba la respuesta usando notación de intervalos y trace la
solución en la recta de números reales.
0
(a) 4 5 3x 17
(b) x1x 12 1x 22
2x 3
3
1
(c) 0 x 4 0
(d)
x 1
12. Se ha de almacenar una botella de medicina a una temperatura entre 5ºC y 10ºC. ¿A qué intervalo corresponde esto en la escala Fahrenheit? 3Nota: Las temperaturas Fahrenheit (F) y
Celsius (C) satisfacen la relación C 59 1F 322.4
13. ¿Para qué valores de x está definida la expresión 26x
x 2 como un número real?
14. Resuelva gráficamente la ecuación y la desigualdad.
(a) x 3 9x 1 0
(b) x 2 1
0x
10
15. (a) Localice los puntos P(0, 3), Q(3, 0) y R(6, 3) en el plano de coordenadas. ¿Dónde debe
estar ubicado el punto S para que PQRS sea un cuadrado?
(b) Encuentre el área de PQRS.
16. (a) Trace la gráfica de y x2 2 4.
(b) Encuentre los puntos de intersección x y y de la gráfica.
(c) ¿La gráfica es simétrica alrededor del eje x, del eje y o del origen?
128
CAPÍTULO 1
| Examen 129
17. Sean P(23, 1) y Q(5, 6) dos puntos en el plano de coordenadas.
(a) Localice P y Q en el plano de coordenadas.
(b) Encuentre la distancia entre P y Q.
(c) Encuentre el punto medio del segmento PQ.
(d) Encuentre la pendiente de la recta que contenga a P y Q.
(e) Encuentre el bisector perpendicular de la recta que contenga a P y Q.
(f) Encuentre la ecuación para la circunferencia para el que el segmento PQ es un diámetro.
18. Encuentre el centro y radio de cada circunferencia y trace su gráfica.
(a) x 2
y2
25
(b) 1x
22 2
1y
12 2
9
(c) x 2
6x
y2
2y
6
0
19. Escriba una ecuación lineal 2x 2 3y 15 en forma de pendiente e intersección, y trace su
gráfica. ¿Cuáles son la pendiente y el punto de intersección y?
20. Encuentre una ecuación para la recta con la propiedad dada.
(a) Pasa por el punto (3,26) y es paralela a la recta 3x y 2 10 0.
(b) Tiene punto de intersección x en 6 y punto de intersección y en 4.
21. Un geólogo usa una sonda para medir la temperatura T (en ºC) del suelo, a varias profundidades debajo de la superficie, y encuentra que a una profundidad de x centímetros la temperatura está dada por la ecuación lineal T 0.08x 2 4.
(a) ¿Cuál es la temperatura a una profundidad de 1 metro (100 cm)?
(b) Trace una gráfica de la ecuación lineal.
(c) ¿Qué representan la pendiente, la intersección en x y la intersección T de la gráfica de
esta ecuación?
h
L
„
22. El peso máximo M que puede ser soportado por una viga es conjuntamente proporcional a su
ancho w y el cuadrado de su altura h, e inversamente proporcional a su longitud L.
(a) Escriba una ecuación que exprese esta proporcionalidad.
(b) Determine la constante de proporcionalidad si una viga de 4 pulg. de ancho, 6 pulg. de
alto y 12 pies de largo puede soportar un peso de 4800 libras.
(c) Si una viga de 10 pies hecha del mismo material mide 3 pulg. de ancho y 10 pulg. de
alto, ¿cuál es el peso máximo que puede soportar?
Si usted tuvo dificultad con cualquiera de estos problemas, puede repasar la sección de este
capítulo que se indica a continuación.
Si usted tuvo dificultad con
este problema de examen
Repase esta sección
1
2, 3, 4(a), 4(b), 4(c)
4(d), 4(e), 4(f), 5
6, 7
8
9, 10
11, 12, 13
14
15, 16, 17(a), 17(b)
17(c), 17(d)
17(e), 17(f), 18
19, 20, 21
22
Sección
Sección
Sección
Sección
Sección
Sección
Sección
Sección
Sección
Sección
Sección
Sección
Sección
1.1
1.2
1.4
1.3
1.5
1.6
1.7
1.9
1.8
1.10
1.8
1.10
1.11
C A P Í T U LO 2
EXAMEN
1. ¿Cuáles de las siguientes gráficas son funciones? Si la gráfica es la de una función, ¿es uno a
uno?
y
y
0
0
x
x
y
y
0
x
x
1x
1
.
x
(a) Evalúe f (3), f (5) y f (a 2 1).
(b) Encuentre el dominio de f.
2. Sea f 1x2
3. Una función tiene la siguiente descripción verbal: “Restar 2, luego elevar al cubo el resultado.”
(a) Encuentre una fórmula que exprese f algebraicamente.
(b) Haga una tabla de valores de f, para las entradas 21, 0, 1, 2, 3 y 4.
(c) Trace una gráfica de f, usando la tabla de valores de la parte (b) para ayudarse.
(d) ¿Cómo sabemos que f tiene una inversa? Dé una descripción verbal para f 21.
(e) Encuentre una fórmula que exprese f21 algebraicamente.
4. Un grupo de personas que recaudan fondos para una escuela vende barras de chocolate para
ayudar a financiar una piscina para su programa de educación física. El grupo encuentra que
cuando fijan el precio de x dólares por barra (donde 0 < x ≤ 5), el ingreso total por sus ventas (en dólares) está dado por la función R(x) 2500x2 3000x.
(a) Evalúe R(2) y R(4). ¿Qué representan estos valores?
(b) Use calculadora graficadora para graficar R. ¿Qué le dice la gráfica acerca de lo que
ocurre al ingreso cuando aumenta el precio de 0 a 5 dólares?
(c) ¿Cuál es el máximo ingreso, y a qué precio se obtiene?
5. Determine la rapidez de cambio promedio para la función f (t) t2 2 2t entre t 2 y
t 5.
6. (a) Trace la gráfica de la función f (x) x3.
(b) Use la parte (a) para graficar la función g(x) (x 2 1)3 2 2.
7. (a) ¿Cómo se obtiene la gráfica de y f (x 2 3) 2 a partir de la gráfica de f?
(b) ¿Cómo se obtiene la gráfica de y f (2x) a partir de la gráfica de f?
8. Sea f 1x2
e
1 x
2x 1
si x
si x
1
1
(a) Evalúe f (22) y f (1).
(b) Trace la gráfica de f.
9. Si f (x) x2 1 y g(x) x 2 3, encuentre lo siguiente.
(a) f g
(b) g f
(c) f 1g1222
(d) g 1f 12 22
(e) g g g
211
212
C A P Í T U LO 2
| Funciones
10. (a) Si f 1x2
13 x, encuentre la función inversa f 21.
(b) Trace las gráficas de f y f 21 en los mismos ejes de coordenadas.
11. Nos dan la gráfica de una función f.
(a) Encuentre el dominio y rango de f.
(b) Trace la gráfica de f 21.
(c) Encuentre la rapidez de cambio promedio de f entre x 2 y x 6.
y
1
0
1
x
12. Sea f (x) 3x4 2 14x2 5x 2 3.
(a) Trace la gráfica de f en un rectángulo de vista apropiado.
(b) ¿f es uno a uno?
(c) Encuentre los valores máximo y mínimo locales de f y los valores de x en los que se presentan. Exprese cada respuesta correcta a dos lugares decimales.
(d) Use la gráfica para determinar el rango de f.
(e) Encuentre los intervalos en los que f es creciente y en los que f es decreciente.
C A P Í T U LO 3
EXAMEN
1. Exprese la función cuadrática f 1x2 x2 2 x 2 6 en forma normal, y trace su gráfica.
2. Encuentre el valor máximo o mínimo de la función cuadrática g1x2 2x2 6x 3.
3. Una bala de cañón disparada al mar desde una batería en la costa sigue una trayectoria
parabólica dada por la gráfica de la ecuación
h(x)
x
h1x2 10x 2 0.01x2
donde h1x2 es la altura de la bala de cañón sobre el agua cuando ha recorrido una distancia
horizontal de x pies.
(a) ¿Cuál es la altura máxima que alcanza la bala de cañón?
(b) ¿Qué distancia recorre horizontalmente la bala de cañón antes de caer al agua?
4. Grafique la función polinomial P1x2 21x 223 27, mostrando claramente todos los puntos de intersección x y y.
5. (a) Use división sintética para hallar el cociente y residuo cuando x 4 4x 2 2x 5 se divide entre x 2 2.
(b) Use división larga para hallar el cociente y residuo cuando 2x5 4x4 2 x3 2 x2 7 se
divide entre 2x2 2 1.
6. Sea P1x2 2x3 2 5x2 2 4x 3.
(a) Haga una lista de todos los ceros racionales posibles de P.
(b) Encuentre la factorización completa de P.
(c) Encuentre los ceros de P.
(d) Trace la gráfica de P.
7. Realice la operación indicada y escriba el resultado en la forma a bi.
(a) 13
2i2
14
(c) 13
2i2 14
(b) 13
3i2
3i2
(d)
3
4
(f) 1 12
(e) i 48
14
2i2
3i2
2i
3i
1 22 1 18
1 22
8. Encuentre todos los ceros reales y complejos de P1x2 x3 2 x2 2 4x 2 6.
9. Encuentre la factorización completa de P1x2 x4 2 2x3 5x2 2 8x 4.
10. Encuentre una función polinomial de cuarto grado con coeficientes enteros que tenga ceros 3i
y 21, con 21 un cero de multiplicidad 2.
11. Sea P1x2 2x4 2 7x3 x2 2 18x 3.
(a) Use la Regla de Descartes de los Signos para determinar cuántos ceros reales positivos y
cuántos negativos puede tener P.
(b) Demuestre que 4 es un límite superior y 21 es un límite inferior para los ceros reales de P.
(c) Trace una gráfica de P, y úsela para estimar los ceros reales de P, correctos a dos lugares
decimales.
(d) Encuentre las coordenadas de todos los extremos locales de P, correctas a dos decimales.
12. Considere las siguientes funciones racionales:
r1x2
2x
x2
1
x
2
s1x 2
x3
x2
27
4
t1x 2
x3
x
9x
2
u1x 2
x2 x 6
x 2 25
(a)
(b)
(c)
(d)
¿Cuál de estas funciones racionales tiene una asíntota horizontal?
¿Cuál de estas funciones tiene una asíntota diagonal?
¿Cuál de estas funciones no tiene asíntota vertical?
Grafique y u1x2, mostrando claramente cualesquiera asíntotas y puntos de intersección
x y y que la función pueda tener.
(e) Use división larga para hallar una función polinomial P que tenga el mismo comportamiento final que t. Grafique P y t en la misma pantalla para verificar que tienen el
mismo comportamiento final.
295
EXAMEN
C A P Í T U LO 5
y
P
1. El punto P1x, y2 está en la circunferencia unitaria en el cuarto cuadrante. Si x
cuentre y.
t
111/6, en-
2. El punto P de la figura de la izquierda tiene coordenada y de 45. Encuentre:
0
1
(a) sen t
(c) tan t
x
(b) cos t
(d) sec t
3. Encuentre el valor exacto.
7p
6
5p
b
(c) tan a
3
(a) sen
13p
4
3p
(d) csc
2
(b) cos
4. Exprese tan t en términos de sen t, si el punto terminal determinado por t está en el segundo
cuadrante.
8
5. Si cos t
17 y si el punto terminal determinado por t está en el tercer cuadrante, encuentre
tan t cot t csc t.
6-7
Q
Nos dan una función trigonométrica.
(a) Encuentre la amplitud, período y desfase de la función.
(b) Trace la gráfica.
6. y
8-9
5 cos 4x
Q
8. y
7. y
Encuentre el período y grafique la función.
csc 2x
9. y
tan a 2x
y
(a) tan
π
0
_2
p
b
2
10. Encuentre el valor exacto de cada expresión, si está definida.
2
_3
p
b
6
1
2 sen a x
2
2π
3
x
1
1
(c) tan 1 1tan 3p2
(b) cos
1
a
23
b
2
(d) cos1tan 1 1 232 2
11. La gráfica mostrada a la izquierda es un período de una función de la forma y a sen k1x – b). Determine la función.
cos x
12. Sea f 1x2
.
1 x2
(a) Use calculadora graficadora para graficar f en un rectángulo de observación apropiado.
(b) Determine de la gráfica si f es par, impar o ninguna de éstas.
(c) Encuentre los valores mínimo y máximo de f.
13. Una masa suspendida de un resorte oscila en movimiento armónico simple. La masa completa
2 ciclos por segundo, y la distancia entre el punto más alto y el punto más bajo de la oscilación es 10 cm. Encuentre una ecuación de la forma y sen Òt que da la distancia de la masa
desde su posición de reposo como función del tiempo.
14. Un cuerpo está moviéndose hacia arriba y abajo en movimiento armónico amortiguado. Su
desplazamiento en el tiempo t 0 es 16 pulgadas; éste es su desplazamiento máximo. La
constante de amortiguamiento es c 0.1, y la frecuencia es 12 Hz.
(a) Encuentre una función que modele este movimiento.
(b) Grafique la función.
426
C A P Í T U LO 6
EXAMEN
1. Encuentre las medidas en radianes que corresponden a las medidas en grados de 330° y
135°.
4p
2. Encuentre las medidas en grados que corresponden a las medidas en radianes de
y 1.3.
3
3. Las paletas del rotor de un helicóptero miden 16 pies de largo y están girando a 120 rpm.
(a) Encuentre la velocidad angular del rotor.
(b) Encuentre la velocidad lineal de un punto situado en la punta de una paleta.
4. Encuentre el valor exacto de cada uno de lo siguiente.
5p
(a) sen 405
(b) tan1 150°2
(c) sec
3
(d) csc
5p
2
5. Encuentre tan u sen u para el ángulo u de la figura.
2
¨
3
6. Exprese las longitudes a y b mostradas en la figura, en términos de u.
24
a
¨
b
7. Si cos u
8. Si sen u
1
3
5
13
y u está en el tercer cuadrante, encuentre tan u cot u csc u.
y tan u
5
12,
encuentre sec u.
9. Exprese tan u en términos de sec u para u en el segundo cuadrante.
10. La base de la escalera de la figura siguiente está a 6 pies del edificio, y el ángulo formado por
la escalera y el suelo es de 73°. ¿A qué altura del edificio llega la escalera?
73*
6 pies
11. Exprese u en cada figura en términos de x.
(a)
(b)
x
x
¨
3
¨
4
12. Encuentre el valor exacto de cosAtan
1 9
40 B.
487
488
C A P Í T U LO 6
| Funciones trigonométricas: método del triángulo rectángulo
13-18
Q
Encuentre el lado marcado x o el ángulo marcado u.
14.
13.
x
10
x
48˚
52˚
12
69˚
230
15.
x 16.
28
15
108˚
x
20˚ 28˚
50
17.
18.
9
5
6
¨
¨
75*
8
7
19. Consulte la figura siguiente.
(a) Encuentre el área de la región sombreada.
(b) Encuentre el perímetro de la región sombreada.
72˚
10 m
20. Consulte la figura siguiente.
(a) Encuentre el ángulo opuesto al lado más largo.
(b) Encuentre el área del triángulo.
13
9
20
21. Dos cables sujetan un globo al suelo, como se muestra. ¿A qué altura está el globo respecto
al suelo?
h
75*
100 pies
85*
C A P Í T U LO 7
EXAMEN
1. Verifique cada una de las identidades siguientes.
(a) tan u sen u
tan x
(b)
1 cos x
2 tan x
(c)
1 tan2 x
cos u
sec u
csc x 11
sec x2
sen 2 x
2. Sea x 2 sen u, p/2 < u < p/2. Simplifique la expresión
x
24
x2
3. Encuentre el valor exacto de cada una de las expresiones siguientes.
(a) sen 8 cos 22
cos 8 sen 22
(b) sen 75
(c) sen
p
12
4. Para los ángulos a y b de las figuras, encuentre cos1a b2.
3
1
2
∫
å
2
5. (a) Escriba sen 3x cos 5x como una suma de funciones trigonométricas.
(b) Escriba sen 2x sen 5x como un producto de funciones trigonométricas.
6. Si sen u
4
5
y u está en el tercer cuadrante, encuentre tan1u/22.
7. Resuelva cada ecuación trigonométrica en el intervalo 30, 2p2, redondeada a cinco lugares decimales:
(a)
(b)
(c)
(d)
3 sen u 1 0
0
12 cos u 12 1sen u 12
2
2 cos u 5 cos u 2 0
sen 2u cos u 0
8. Encuentre todas las soluciones en el intervalo 30, 2p2, redondeado a cinco lugares decimales:
5 cos 2u
9. Encuentre el valor exacto de cosA2 tan
2
1 9
40 B .
10. Reescriba la expresión como una función algebraica de x y y:
sen 1cos 1 x
532
tan 1 y2