Introducción al
Cálculo integral
ISBN 978-84-9048-018-2
Emilio Defez Candel
Vicente Soler Basauri
Emilio Defez Candel
Vicente Soler Basauri
El objetivo del presente libro es introducir en el estudio del cálculo integral para su
posterior aplicación, mediante el uso de métodos básicos del cálculo integral. La
intención principal es disponer de herramientas que permitan abordar el cálculo de
integrales que aparecen en diferentes aplicaciones.
EDITORIAL
Introducción al cálculo integral
Introducción al cálculo integral
EDITORIAL
UNIVERSITAT POLITÈCNICA DE VALÈNCIA
Introducción al cálculo integral
EDITORIAL
UNIVERSITAT POLITÈCNICA DE VALÈNCIA
Los contenidos de esta publicación han sido revisados por el Departamento de
Matemática Aplicada de la UPV
Colección Académica
Para referenciar esta publicación utilice la siguiente cita: SOLER BASAURI, VICENTE [et al]
(2013) Introducción al cálculo integral. Valencia : Universitat Politècnica
Primera edición, 2013
© Vicente Soler Basauri
Emilio Defez Candel
© de la presente edición: Editorial Universitat Politècnica de València
Distribución: pedidos@editorial.upv.es /
Telf. 963 877 012/ www.editorial.upv.es / Ref. 6102
ISBN: 978-84-9048-018-2 (versión impresa)
Queda prohibida la reproducción, la distribución, la comercialización, la
transformación y, en general, cualquier otra forma de explotación, por
cualquier procedimiento, de la totalidad o de cualquier parte de esta obra
sin autorización expresa y por escrito de los autores.
Introducción al Cálculo Integral
Prólogo
El objetivo del presente libro es familiarizar al alumno de las escuelas de ingenierías
técnicas y superiores con los métodos básicos del cálculo integral para su posterior
aplicación. Nuestra intención es que el alumno disponga, al finalizar el curso, de las
herramientas suficientes para abordar el cálculo de las integrales que aparecen en las
aplicaciones.
Hemos pretendido crear un texto adecuado para el aprendizaje y aplicación de dichos
métodos y por ello hemos suprimido las demostraciones de los resultados que aquí se
utilizan. Sin embargo, pretendemos también presentar un texto lo suficientemente
atractivo, por lo menos como primera aproximación, para cualquier persona interesada
en el cálculo integral. Estas personas podrán encontrar una completa bibliografía al final
del presente volumen, donde profundizar en la materia.
Hemos distribuido el material en siete capítulos. Cada capítulo incluye numerosos
ejemplos resueltos, así como una lista final de ejercicios que se proponen al alumno y
cuyas soluciones se encuentran en el capítulo séptimo. En el capítulo sexto se incorpora
una colección de ejercicios completamente resueltos.
Hemos incluido tres anexos. En el primero de ellos se presentan las fórmulas de
trigonometría más utilizadas en el cálculo integral. En el segundo, recogemos
igualmente las fórmulas más habituales de las funciones hiperbólicas. Finalmente, en el
tercer anexo, recordamos al alumno algunos resultados sobre el cálculo exacto de las
raíces enteras y fraccionarias de un polinomio con coeficientes racionales. El cálculo de
estas raíces se utiliza en el capítulo cuarto de este volumen.
Los autores desean expresar su agradecimiento en primer lugar a los alumnos, que a
pesar de los recursos informáticos disponibles para el cálculo de integrales, con sus
dudas y su deseo de aprender nos han motivado a emprender la ingrata tarea de
reescribir y actualizar este texto, cuya primera redacción data de 1998, y en segundo
lugar a nuestros compañeros del Departamento de Matemática Aplicada de la ETSID,
por su ayuda y apoyo.
LOS AUTORES.
5
5
Introducción al Cálculo Integral
6
Introducción al Cálculo Integral
Índice
PÁG
Capítulo 1.- Integral indefinida .........................................................................11
1.1.- Concepto y propiedades ..................................................................... 11
1.1.1.- Primitiva de una función F(X).
1.1.2.- Integral indefinida de una función f(x).
1.1.3.- Teorema 1-1
1.1.4.- Propiedades de la integral indefinida.
1.2.- Métodos elementales de integración ...................................................12
1.2.1.- Integrales inmediatas. Tabla de integrales inmediatas.
1.2.2.- Integrales casi-inmediatas. Tipos.
1.2.3.- Integración por descomposición
1.2.3.1.- Descomposición trigonométrica
1.2.3.2.- Descomposición racional
1.2.3.3.- Descomposición irracional
Ejercicios propuestos ..................................................................................25
Capítulo 2.- Integración por sustitución .............................................................27
2.1.- Concepto .............................................................................................27
2.2.- Aplicación al cálculo de integrales racionales ....................................27
2.2.1.- Integración de funciones racionales en x y en f(x).
2.2.2.- Integración de funciones racionales en sen(x) y cos(x)
2.2.3.- Integración de funciones racionales en senh(x) y cosh(x)
Ejercicios propuestos ..................................................................................38
Capítulo 3.- Método de integración por partes ..................................................39
3.1.- Concepto. Casos .................................................................................39
3.2.- Fórmulas de reducción ........................................................................44
7
7
Introducción al cálculo integral
Introducción al Cálculo Integral
3.3.- Algunos casos especiales ....................................................................49
Ejercicios propuestos ..................................................................................52
Capítulo 4.- Integración de funciones racionales ..............................................55
4.1.- Descomposición factorial de un polinomio ........................................55
4.1.1.- Teorema 4-1
4.2.- Descomposición en fracciones simples de una función racional ........56
4.2.1.- Teorema 4-2
4.3.- Cálculo de integrales racionales .........................................................66
4.4.- Método de Hermite .............................................................................71
Ejercicios propuestos ..................................................................................75
Capítulo 5.- Integración de funciones irracionales ............................................77
5.1.- Integración de funciones racionales en x y potencias
ax b racionales de .......................................................................77
cx d 5.1.1.- Teorema 5.1.
5.2.- Integración de funciones racionales en x y
ax 2 bx c ..............80
5.2.1.- Teorema 5.2.
5.3.- Método alemán ...................................................................................87
5.4.- Integración de expresiones racionales en x y el radical
ax 2 bx c incompleto..................................................................92
5.5.- Integrales binomias .............................................................................93
5.5.1.- Definición
5.5.2.- Cálculo de integrales binomias.
Ejercicios propuestos ..........................................................................99
Capítulo 6.- Ejercicios resueltos.......................................................................101
8
8
Índice
Introducción al Cálculo Integral
Capítulo 7.- Soluciones de los ejercicios propuestos ......................................123
Anexo 1.- Funciones trigonométricas ..............................................................129
Anexo 2.- Funciones hiperbólicas ....................................................................131
Anexo 3.- Cálculo de raíces enteras y racionales de un polinomio ..................135
Bibliografía.......................................................................................................143
9
9
Introducción al Cálculo Integral
10
Introducción al Cálculo Integral
Cap�tulo 1.- Integral indefinida
1.1- Concepto y propiedades
1.1.1- Primitiva de una función.- Diremos que la función F(x) es una primitiva de
f(x) en el intervalo ]a,b[ de la recta real, si se verifica que:
F´(x)= f(x) x ]a,b[
En el caso de no especificar el intervalo, se entiende que es el intervalo de
máxima amplitud.
1.1.2.- Integral indefinida de una función f(x).- Llamaremos integral indefinida de
f(x), o, simplemente integral de f(x), al conjunto de todas las primitivas de f(x). En
general se representa por el símbolo:
f ( x)dx
1.1.3.- Teorema 1.1- Si F(x) es una primitiva cualquiera de f(x), se verifica:
f ( x)dx F ( x)
+ C
donde C es una constante real. La expresión F(x)+C representa por tanto el
conjunto de todas las primitivas de la función f(x). De esta forma, dos primitivas de una
función f(x) se diferencian en una constante real.
1.1.4.- Propiedades de la integral indefinida.Se verifica:
a).-
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)
b).-
f ( x) g ( x) dx = f(x)dx g(x)dx
c).-
Kf ( x)dx K f(x)dx . K R
+ C
11
11
Introducción al cálculo integral
Introducción al Cálculo Integral
EJEMPLO 1.- Calcular las integrales:
a)
x
3
cos2 x dx
Solución:
a)
x
b)
3
cos 2 x dx x 3 dx cos 2 xdx b)
8e
-2x
dx
x4
sen 2 x
C1 C2 4
2
4
x
sen 2 x
C
4
2
8e -2x dx 8 e 2 x dx 8
e -2x
C = - 4e -2x + C
2
1.2.- Métodos elementales de integración
Para calcular la derivada de una función disponemos de unas reglas fijas y
generales a aplicar y que nos permiten el cálculo mecánico de dicha derivada. Ésto no
ocurre con el cálculo de la integral de una función. Así, para la obtención de la función
primitiva, debemos someter la integral a una serie de transformaciones que la reduzcan
a otra cuya solución sea conocida. A esta última integral la llamaremos INTEGRAL
INMEDIATA. Muchas integrales se resuelven aplicando el mismo tipo de
transformaciones; a cada uno de estos tipos les denominaremos MÉTODOS DE
INTEGRACIÓN, y se estudiarán con detalle en los capítulos siguientes. En este
apartado, estudiaremos el caso de las integrales inmediatas o de las que se pueden
reducir a ellas mediante transformaciones sencillas:
1.2.1.- Integrales inmediatas.- Son las integrales que se obtienen de la aplicación
directa de alguna regla de derivación. Según ésto, podemos elaborar una lista de
integrales cuya solución es conocida a la que llamaremos “Tabla de integrales
inmediatas”, y que nos servirá de apoyo para la resolución de las integrales que
estudiaremos a lo largo de los capítulos siguientes. A continuación presentamos una
tabla de este tipo:
12
12
Capítulo
1. IntegralIntegral
indefinida
Introducción
al Cálculo
TABLA DE INTEGRALES INMEDIATAS
CASO GENERAL
CASO PARTICULAR
f ( x ) n 1
C
n 1
a)
f ' ( x ) f ( x ) n dx b)
f (x)
dx ln f ( x ) C
f(x)
c)
a f(x) f ' ( x )dx d)
f (x)cos f(x)dx = sen f(x) + C
e)
f (x)sen f(x)dx cos f ( x) C
f)
cos f ( x) dx tg f ( x) C
g)
sen f ( x) dx cot g f ( x) C
h)
i)
a f ( x)
C
ln a
f' (x)
2
f' (x)
2
f' (x)
1 - f(x)
2
f ' ( x)
1 f ( x)
2
dx arcsen f ( x ) C = -arccos f(x) C
dx arctg f ( x ) C = -arccotg f(x) C
x n dx x n 1
C
n 1
1
x dx ln x C
a x dx ax
C
ln a
cos xdx sen x C
sen xdx cos x C
dx
cos
2
x
dx
sen
2
x
dx
1 x2
dx
1 x
2
tg x C
cot gx C
arcsen x C
= -arccosx + C
arctg x C = -arccotgx + C
13
13
Introducción al cálculo integral
j)
k)
l)
f' (x)cosh f(x)dx senh f ( x) C
14
dx 2 f ( x ) C
f(x)
f ' ( x)
2
f ( x) c
2
dx ln f ( x ) dx
x
2 x C
f ( x) 2 c 2 C
m)
f' (x)senh f(x)dx cosh f ( x) C
n)
cosh f ( x9 dx tgh f ( x) C
o)
senh f ( x) dx coth f ( x) C
p)
q)
r)
1 - f(x)
s)
1 - f(x)
t)
14
f' (x)
Introducción al Cálculo Integral
f' (x)
2
f' (x)
2
f' (x)
2
dx arg senh f ( x ) C ln f ( x ) f ( x) 2 1 C
dx arg cosh f ( x ) C ln f ( x ) f ( x) 2 1 C
f(x) 1
f' (x)
2
f(x) 1
f' (x)
dx arg th f ( x ) C 2
dx arg coth f ( x ) C =
f' (x)
f' (x)dx
f(x)
1 1 + f(x)
ln
+C
2 1 - f(x)
2
1 - f(x) 2
f(x) 1
1 1 + f(x)
ln
+C
2 1 - f(x)
arg sec h f ( x ) C ln
f(x) 1
1 1 f ( x) 2
f ( x)
C
Capítulo
1. Integral Integral
indefinida
Introducción
al Cálculo
NOTA 1.- A menudo una integral puede expresarse de varias formas distintas según el
método de integración utilizado, que en principio aparentan ser dos funciones
diferentes. Si los cálculos se han realizado correctamente, estas funciones representan la
misma integral diferenciándose únicamente en la constante de integración (teorema
1.1).
EJEMPLO 2.- Resolver la integral
dx
1 x
2
mediante dos métodos diferentes:
SOLUCIÓN:
a)
b)
dx
1 x
2
arctg x C
dx
1 x2
dx
1
2 dx
2
1
x
x
dx arctg K
2
1
x
1
1
1 x2
x
Veamos que los dos resultados se diferencian en la constante de integración. En
efecto, tomando C K 2
, y teniendo en cuenta las propiedades de las funciones
trigonométricas (anexo I), se obtiene:
K arctg x K 2
2
1
arc cot gx K arctg K
x
arctg x C arctg x Y por tanto las dos integrales obtenidas se diferencian en una constante.
NOTA 2.- Al estudiar en los textos de la bibliografía la integral definida, el alumno
observará que es condición suficiente que una función f(x) sea continua en un intervalo
[a,b] de la recta real, para que tenga función primitiva en dicho intervalo. No obstante,
esta primitiva en ocasiones no puede ser calculada mediante los métodos de integración
habituales que presentamos en el presente libro.
15
15
Introducción al cálculo integral
Introducción al Cálculo Integral
Por ejemplo, las integrales :
a)
d)
ex
dx
x
e
x2
dx
lnx
e dx
b)
-x 2
e)
dx
f) c)
senx
dx
x
1 + x 3 dx
pertenecen a este tipo y no pueden ser calculadas mediante métodos de integración
elementales.
1.2.2.- Integrales "casi-inmediatas".- Denominaremos así al tipo de integrales que se
reducen a una integral inmediata mediante la suma, resta, multiplicación o división por
una constante. Estas integrales pueden clasificarse en las siguientes familias:
1- Integrales de tipo potencial: Son las integrales que tienen una expresión del tipo:
f ' ( x ) f ( x ) n dx EJEMPLO 3.- Calcular
x
2
f ( x ) n 1
C
n 1
(3x 3 14) 3 dx .
SOLUCIÓN:
Siendo f(x)= 3x 2 14 y f ' (x) = 9x 2 , bastará multiplicar y dividir la
integral por 9 para obtener una integral inmediata.
x
2
(3x 3 14) 3 dx 9
9x
2
(3x 3 14) 3 dx 1
9 x 2 (3x 3 14) 3 dx 9
1 (3x 3 14) 4
1
(3x 3 14) 4 C
9
4
36
2.- Integrales de tipo exponencial. Son las integrales que tienen una expresión de la
forma:
16
16
f ' ( x )a f ( x ) dx a f ( x)
C
ln a
Capítulo
1. IntegralIntegral
indefinida
Introducción
al Cálculo
EJEMPLO 4.- Calcular
x
2
7x
3
5
dx.
SOLUCIÓN:
Como f(x)= x 3 5 y f ' (x) = 3x 2 , multiplicando y dividiendo la integral
pedida por 3 obtendremos una integral inmediata:
x2 7x
3
5
dx 3
3
1
1 7 x 5
3 2 x 3 5
x 7
dx 3x 2 7 x 5 dx C
3
3
3 ln 7
3.- Integrales de tipo logarítmico. Son las integrales que tienen una expresión de la
forma:
EJEMPLO 5.- Calcular
f ' ( x)
dx
f ( x)
27 x 2 30 x 3
dx .
3x 3 5x 2 x 1
SOLUCIÓN:
En este caso f ( x ) 3x 3 5x 2 x 1 y f ' ( x ) 9 x 2 10 x 1 . Bastará
con sacar factor común 3 en el numerador del integrando para obtener una integral
inmediata:
27 x 2 30 x 3
3(9 x 2 10 x 1)
dx
dx
3x 3 5x 2 x 1
3x 3 5x 2 x 1
9 x 2 10 x 1
dx 3 ln(3x 3 5x 2 x 1) C
3x 3 5x 2 x 1
I
3
17
17
Introducción al cálculo integral
Introducción al Cálculo Integral
dx
. Algoritmo de los cuatro pasos. Es una
bx c
f ' ( x)
integral reducible al tipo
dx . Se pueden presentar dos casos:
1 f ( x) 2
4.-
Integrales del tipo
ax
2
a) Si b 2 4ac 0 , la solución es del tipo arctg (f(x)).
b) Si b 2 4ac 0 , la solución es del tipo argth (f(x)).
Apliquemos el algoritmo de los cuatro pasos a un ejemplo concreto:
EJEMPLO 6.- Calcular
2x
2
dx
.
3x 4
SOLUCIÓN:
Procedemos de la siguiente forma:
1) Multiplicamos el numerador y denominador del integrando por la constante 4a.(En
este caso 8)
2x
2
dx
=
3x 4
16 x
2
8dx
24 x 32
2) Escribimos el denominador de la forma (2ax b) 2 k , donde a,b,k son constantes
a determinar. En este caso,
16 x 2 24 x 32 (4 x 3) 2 23
de donde a=2, b=-3 y k=23. De esta forma, la integral pedida queda:
16 x
18
18
2
8dx
dx
= 8
(4 x 3) 2 23
24 x 32
Capítulo
1. IntegralIntegral
indefinida
Introducción
al Cálculo
3) Debemos transformar el denominador en una expresión de la forma ( f ( x )) 2 1 ,
por tanto, debemos multiplicar y dividir la integral por el valor k (en este caso, por 23).
8
dx
(4 x 3)
2
23
=
8
23
dx
(4 x 3)
2
23
donde en este caso deberemos obtener f ( x ) 4x 3
23
1
8
dx
23 4 x 3 2
1
23 .
4) En el numerador debemos obtener la derivada de la función f(x) mediante
multiplicación y división de constantes. Cuando se haya obtenido, la integral es
inmediata. En este caso multiplicamos y dividimos la integral por
4
4 x 3
arctg
C
23 23
dx
ax 2 bx c
presentar varios casos:
a) Si a>o y
tanto:
1 ( f ( x ))
2
. Algoritmo de los cuatro pasos. Se pueden
b 2 4ac 0 . Es una integral del tipo
f ' ( x )dx
:
2
5.- Integrales del tipo
23
dx
8 23
23
dx 2
23 4
4 x 3
1
23 8
dx
=
23 4 x 3 2
1
23 4
f ' ( x )dx
1 ( f ( x )) 2
y por
= ln f ( x ) ( f ( x )) 2 1 C arg senh f ( x ) C
19
19
Introducción al cálculo integral
b) Si a>0 y
tanto:
c) Si a<0 y
Introducción al Cálculo Integral
b 2 4ac 0 . Es una integral del tipo
f ' ( x )dx
2
( f ( x )) 1
f ' ( x )dx
( f ( x )) 2 1
y por
= ln f ( x ) ( f ( x )) 2 1 C arg cosh f ( x ) C
b 2 4ac 0 . Es una integral del tipo
f ' ( x)dx
1 ( f ( x)) 2
f ' ( x)dx
1 ( f ( x)) 2
y por tanto:
= arc sen f(x) +C
c) Si a<0 y b 2 4ac 0 . En este caso el radicando es siempre negativo y por tanto
la integral no tiene sentido en variable real.
Veremos la aplicación del algoritmo de los cuatro pasos para este tipo de integrales en
el siguiente ejemplo:
EJEMPLO 7.- Calcular
dx
2
2x x 3
.
SOLUCIÓN:
Procedemos de la siguiente forma:
1) Multiplicaremos el numerador y denominador por
4 a . En este caso particular
por 8 2 2 :
dx
2x2 x 3
= 2 2
2
dx
2 2x2 x 3
2 2
dx
16 x 2 8 x 3
2) Escribiremos el radicando de la forma (2ax b) 2 k , con a, b y k a determinar.
16 x 2 8 x 3 4 x 1 23
2
20
20
Capítulo
1. IntegralIntegral
indefinida
Introducción
al Cálculo
de donde a=2, b=1, k=23. De esta forma la integral pedida queda:
2 2
dx
2
16 x 8 x 3
2 2
dx
(4 x 1) 2 23
3) Deberemos transformar el radicando en una expresión de la forma ( f ( x )) 2 1 ; para
ello multiplicaremos numerador y denominador por
obteniendo:
2 2
por lo que f ( x ) 4x 1
23
dx
(4 x 1) 2 23
2 2
k , en este caso
23 ,
dx
23 2
4 x 1
1
23 .
4) En el numerador deberemos conseguir la derivada de f(x), por tanto multiplicaremos
y dividiremos la integral por la constante adecuada. Una vez obtenido esto, la integral
4
pedida es inmediata. En este caso, multiplicaremos y dividiremos por
4
2 2
23
dx
2
4 x 1
1
23 2 2
23
23 4
23
23
:
dx
2
4 x 1
1
23 =
2
4 x 1
4x + 1
2 4x 1
ln
1 C = argsenh
C 2
23 23 23
1.2.3.- Integración por descomposición.- Este método consiste en descomponer la
función que deseamos integrar en suma o diferencia de otras funciones más sencillas
para su posterior resolución.
21
21
Introducción al cálculo integral
Introducción al Cálculo Integral
1.2.3.1.- Descomposición trigonométrica e hiperbólica.- Denominaremos así al
proceso que permite obtener la descomposición utilizando fórmulas trigonométricas,
incluidas en los anexos 1 y 2. Veremos los casos más importantes:
1.- Integrales del tipo
sen Ax sen Bxdx . Aplicaremos la identidad trigonométrica:
sen Ax sen Bx 1
cos( A B) x cos( A B) x 2
EJEMPLO 8.- Calcular
sen
2
3xdx
SOLUCIÓN: En este caso particular, consideramos A=B=3, por lo que se obtiene:
sen
2.- Integrales del tipo
2
3xdx =
1
1
1
(1 cos 6 x )dx x sen 6 x C 2
2
12
sen Ax cos Bxdx . Aplicamos la identidad trigonométrica:
sen Ax cos Bx EJEMPLO 9.- Calcular
1
(sen( A B) x sen( A B ) x )
2
sen 2 x cos5xdx
SOLUCIÓN: En este caso particular, consideramos A=2, B=5, por lo que se obtiene:
1
sen 2 x cos5xdx = 2 (sen( 3x) sen 7 x)dx 1
1
sen( 3x )dx sen 7 xdx 2
2
1
1
sen 3xdx sen 7 xdx 2
2
1
1
cos 7 xdx C
cos 3x 14
6
22
22
Capítulo
1. IntegralIntegral
indefinida
Introducción
al Cálculo
3.- Integrales del tipo
cos Ax cos Bxdx . Aplicaremos la fórmula trigonométrica:
cos Ax cos Bx EJEMPLO 10.- Integrar
1
cos A B x cos A B x 2
cos 4x cos xdx
SOLUCIÓN: En este caso particular, consideramos A=4, B=1, por lo que se obtiene:
1
cos 4x cos xdx = 2 cos 3x cos5xdx 1
1
1
1
cos 3xdx cos 5xdx sen 3x sen 5x C 2
2
6
10
Se procede análogamente cuando se consideran integrales de productos de funciones
hiperbólicas.
1.2.3.2.- Descomposición racional. Se utiliza para el tipo de Integrales racionales
ax
mx n
dx . Para resolver este tipo de integrales, procederemos de la siguiente
bx c
2
forma:
1) Multiplicaremos y dividiremos la integral por una determinada constante H para que
el numerador se transforme en una expresión del tipo:
2ax b k
2) Descompondremos la integral en suma de dos integrales:
ax
mx n
1
dx H
bx c
2
1
H
H (mx n)
1
dx 2
H
bx c
ax
ax
2ax b
1
dx 2
H
bx c
2ax b k
dx 2
bx c
ax
ax
2
kdx
bx c
23
23
Introducción al cálculo integral
Introducción al Cálculo Integral
La solución de la primera integral es ln ax 2 bx c C ; La segunda se resolverá
mediante la regla de los cuatro pasos.
EJEMPLO 11.- Calcular
x
2
x3
dx
x2
SOLUCIÓN:
x
2
x3
1
2x 6
1 2x 1 5
dx dx
dx =
2
2 x x2
2 x2 x 2
x2
1
2x 1
5
dx
dx 2 x2 x 2
2 x2 x 2
1
5
2x 1
arctg
ln x 2 x 2 C
2
7
7
1.2.3.3.- Descomposición irracional. Se utiliza para calcular las integrales del tipo
mx n
ax 2 bx c
dx. Se procede de forma análoga a la descomposición racional:
1) Transformaremos la integral para que en el numerador obtengamos la derivada del
radicando más una constante K.
b) Descompondremos la integral así obtenida en suma de dos integrales. la la primera
integral es inmediata y vale:
2 ax 2 bx c +C
El cálculo de la segunda integral se efectuará mediante la regla de los cuatro pasos.
24
24
Capítulo
1. IntegralIntegral
indefinida
Introducción
al Cálculo
EJEMPLO 12.- Calcular
SOLUCIÓN:
3x 1
2x2 x 3
3
4
dx =3
4x 1 1 / 3
2x2 x 3
2x2 x 3
dx
1
3
3
dx 2
4
2x x 3
x
dx 3x 1
3
4
4x 1
2x2 x 3
dx 1
4
4
3
dx 2
2x x 3
4x dx
2x2 x 3
2
4 x 1
3
2 4x 1
2x2 x 3 ln
1 C 23 2
8
23
EJERCICIOS.- Calcular las siguientes integrales:
x
1.1.-
sen 2 dx
1.2.-
1.3 .-
1.4.-
3x
1.5.-
1 x
x
x2 1
dx
sen x
1 cos x
dx
3x 1
dx
2x 5
2
2x
4
dx
25
25
Introducción al cálculo integral
26
26
Introducción al Cálculo Integral
3
1.6.-
1 x 2x
1.7.-
3x
1.8.-
1.9.-
1.10.-
cos( 3x) sen(8x) dx
1.11.-
sen( x 1) cos( x 2)dx
1.12.-
x
1.13.-
x
1.14.-
1.15.-
1.16.-
2
dx
3
2
3
3x 2 x 5
2
2x 2 3
2x 3
dx
x 4
2
dx
x3
2x 3
x2 x 1
3x 1
5 3x 2
dx
dx
x 1
2
dx
2 3x 2
dx
dx
x 1
x 2 2x
dx
Introducción al Cálculo Integral
Capítulo 2.- Integración por sustitución
2.1.- Concepto
Este método denominado también cambio de variable, consiste en encontrar una
función x=g(t) que, al sustituirla en la integral, la convi erta en otra más sencilla.
La sustitución debe cumplir dos condiciones:
1ª.- x=g(t) debe ser una función derivable y con derivada no nula en todo el intervalo de
integración.
dx
g ' (t ) , de donde dx = g' (t)dt
dt
2ª.- x=g(t) admite función inversa, esto es:
x g (t ) de donde t = h(x)
Este método es de los que más variantes admite en el cálculo integral, ya que la función
de cambio será diferente para cada tipo de función que exista bajo el signo integral. A
continuación examinaremos algunos de los tipos de cambio más habituales.
2.2.- Aplicación al cálculo de integrales racionales
Representaremos por R(x, f(x)) cualquier función racional que dependa tanto de la
variable x como de la función f(x). De forma análoga representaremos por R( g(x), h(x))
cualquier función racional con respecto a dos funciones g(x) y h(x). En los siguientes
apartados estudiaremos los tipos más frecuentes de integrales de funciones racionales
que se expresan de esta forma:
2.2.1.- Integrales De Funciones Racionales R(X, F(X)):
CASO 1.- Integrales del tipo
R( x , a
x
)dx donde a>0. Se efectúa el cambio
a x t .Calculamos a continuación dx y x, en función de la nueva variable t:
lnt
dt
ax t x =
, dx =
lna
t lna
27
27
Introducción al cálculo integral
Introducción al Cálculo Integral
EJEMPLO 1.- Calcular:
9a
x
dx
4a x
SOLUCIÓN:
a x t
dx
=
dt x
x
9a 4a
dx t ln a dt
t ln a 1
9t 4t 1 ln a
9t
1
dt
4 4 ln a
2
9
4
dt
2
t 1
1 2
3 / 2 dt
1
3t
arctg C
2
4 ln a 3 3t 6 ln a
2
1
2
Deshaciendo el cambio el cambio de variable en la solución obtenida:
CASO 2.- Integrales del tipo
dx
1
3a x
=
arctg
C
2
9a x 4a x 4 ln a
R( x, e
ex t
CASO 3.- Integrales del tipo
28
)dx . Se efectúa el cambio e x t . De aquí:
x = ln t , dx =
dt
t
R( x, ln x)dx . Se efectúa el cambio lnx=t . De aquí:
ln x t
28
x
x e t , dx = e t dt
Capítulo 2. Integración
por sustitución
Introducción
al Cálculo
Integral
CASO 4.- Integrales del tipo
aquí:
R( x, arctg x)dx . Se efectúa el cambio arctgx=t. De
arctg x t x = tg t , dx =
CASO 5.- Integrales del tipo
aquí:
R( x, arcsen x)dx .Se efectúa el cambio arcsenx=t De
arcsen x t x = sent , dx = cost dt
CASO 6.- Integrales del tipo
aquí:
R( x, arccos x)dx . Se efectúa el cambio arccosx=t. De
arccos x t x = cost , dx = -sent dt
CASO 7.- Integrales del tipo
aquí:
R( x, arg thx)dx . Se efectúa el cambio argthx=t. De
arg thx t x = tght , dx =
CASO 8.- Integrales del tipo
de aquí:
dt
cosh 2 t
R( x, arg senh x)dx . Se efectúa el cambio argsenhx=t.
arg senh x t x = senht , dx = cosht dt
CASO 9.- Integrales del tipo
De aquí:
dt
cos 2 t
R( x, arg cosh x)dx . Se efectúa el cambio aegcoshx=t.
arg cosh x t x = cosht , dx = senht dt
29
29
Introducción al cálculo integral
Introducción al Cálculo Integral
2.2.2.- Integrales de funciones racionales R(Sen(X), Cos(X)).
Definición 1.- Diremos que la función R(senx,cosx) es impar en senx, cuando al
sustituir en la función senx por -senx , la función cambia de signo. Es decir:
R(senx, cosx)=-R(-senx, cosx)
Definición 2.- Diremos que la función R(senx, cosx) es par en senx, cuando al sustituir
en la función, senx por -senx, la función no cambia de signo. Es decir:
R(senx, cosx)=R(-senx, cosx)
Análogamente se definiría función impar en cosx y par en cosx. Resolvamos las
integrales de estas funciones racionales según los diferentes casos que pueden
presentarse:
CASO 1.- Integrales del tipo
R(sen x,cos x)dx , donde R es una función impar en
senx. En este caso se efectúa el cambio cosx=t. Por tanto:
cos x t senx = 1 - t 2
x = arccost , dx =
- dt
1- t2
EJEMPLO 2.- Calcular:
sen x dx
1 4 cos
2
x
SOLUCIÓN:
En este caso, la función racional
R senx , cos x es impar en sen x , puesto que
R s e n x , c o s x 30
30
senx
1 4 cos
2
x
,
- senx
= - R s e n x , c o s x .
1 4 cos2 x
Capítulo 2. Integración
por sustitución
Introducción
al Cálculo
Integral
Efectuando el cambio de variable propuesto:
cos( x ) t ,
se obtiene :
sen( x ) dx
dt
1
1
arctg 2t C arctg2 cos( x ) C 2
2 2
2
( x)
1 4t
1 4 cos
EJEMPLO 3.- Calcular:
sen 3 x
dx
cos4 x
SOLUCIÓN:
=
cos x t
3
sen x
2 1
={impar
en
senx}=
sen
x
t
dx
cos4 x
dt
dx 1 t 2 (1 t 2 ) 1 t 2
t4
dt
1 t2
t2 1
dt
dt
dt 2 4
4
t
t
t
1
1
1
1
3 C
C
t 3t
cos x 3 cos 3 x
CASO 2.- Integrales del tipo
R(sen x,cos x)dx , donde R es una función Impar en
cosx. El cambio a efectuar en este caso es senx=t. De donde:
sen x t cosx = 1 - t 2
x = arcsent , dx =
dt
1- t2
31
31
Introducción al cálculo integral
Introducción al Cálculo Integral
EJEMPLO 4.- Calcular:
dx
cos x
SOLUCIÓN:
En este caso, la función racional
R s e n x , c o s x 1
co sx
es impar en cos x , puesto que
R s e n x , c o s x 1
= - R s e n x , c o s x .
cos x
Efectuando el cambio de variable propuesto,
sen x t ,
se obtiene :
dx
1
1
ln t 1 ln t 1 C
2
2
1
1
= ln sen x 1 ln sen x 1 C
2
2
dt
cos x 1 t
2
EJEMPLO 5.- Calcular:
sen x cosx
dx
1 sen x
SOLUCIÓN:
sen x cosx
t 1 t 2
dx ={impar en cosx}=
1 sen x
1 t
dt
1 t2
tdt
1 t
1 dt t ln 1 t C
1 t
=-senx - ln 1 sen x C
{dividiendo los dos polinomios}= 1 32
32
Capítulo 2. Integración
por sustitución
Introducción
al Cálculo
Integral
CASO 3.- Integrales del tipo
R(sen x,cos x)dx
en donde R es una función par en
senx y cosx simultáneamente. El cambio a efectuar en este caso es tgx=t.
De aquí:
tg x t x = arctg t , d x =
dt
1+ t2
sen x
t sen x = t cos x = t 1 - sen 2 x
cos x
de donde:
sen 2 x t 2 (1 sen 2 x )
sen x =
como:
cos x =
sen x
t
EJEMPLO 6.- Calcular:
cos x =
t
1+ t2
;
1
1+ t2
dx
1 cos
2
x
SOLUCIÓN:
La función a integrar es par en senx y cosx, por tanto, efectuamos el cambio
tg x = t
resultando:
dt
dt
dx
1
t
1 t2 =
=
arctg
C
2
2
1
1 cos x
2t
2
2
1
1 t2
1
1
=
arctg
tg x C
2
2
33
33
Introducción al cálculo integral
Introducción al Cálculo Integral
CASO 4.- Integrales del tipo
R(sen x,cos x)dx en la que R no es de ninguno de los
tipos considerados anteriormente. En este caso el cambio a efectuar es tgx/2=t. De aquí:
x
2dt
t x 2 arctg t , dx =
2
1+ t2
tg
Teniendo en cuenta que:
1 cos 2 x
2
1
2x
cos
cos 2 x 2
sen 2 x x 1 cos x
2
2
x
1
x
cos
cos 2 2
2
sen 2
Dividiendo miembro a miembro las dos últimas igualdades se obtiene:
tg 2
x 1 cos x
t2
2 1 cos x
cos x =
1- t2
1 t2
y de forma análoga:
sen x 1 cos 2 x sen x =
EJEMPLO 7.- Calcular:
1 sen x
1 cos x dx
SOLUCIÓN:
Efectuando el cambio
tg
34
34
x
2
=
t
,
2t
1 t2
Capítulo 2. Integración
por sustitución
Introducción
al Cálculo
Integral
la integral propuesta queda de la forma :
1 2t t 2
2t
1 sen x
2dt
1 t2
1 t 2 2dt dx =
2
2
2
2
1 cos x
1 t 1 t 1 t2
1 t 1 t
1
1 t2
1 t2
t2 1
t 2 2t 1
2t 2t dt
2
dt 1 dt
2
2
1 t
1 t2 t 1 1 t 1
= t ln 1 t 2 C tg
x
x
ln 1 tg 2 C
2
2
EJEMPLO 8.- Calcular:
dx
1 sen( x) cos( x)
SOLUCIÓN:
Efectuando el cambio:
tg
x
2
=
,
t
la integral propuesta queda de la forma :
dx
1 sen( x) cos( x)
=
dt
t 1
x
= ln tg + 1 + C
2
35
35
Introducción al cálculo integral
Introducción al Cálculo Integral
EJEMPLO 9.- Calcular:
dx
4 5 cos( x)
SOLUCIÓN:
Efectuando el cambio
tg
x
2
=
t
la integral propuesta queda de la forma :
2 dt
dx
4 5 cos( x) = 9 t
2
=-
1
1
x
x
ln tg - 3 +
ln tg + 3 + C
2
2
3
3
NOTA 2.- En la práctica hay que evitar utilizar el cambio indicado en el apartado
anterior para el cálculo de integrales trigonométricas siempre que sea posible, porque
puede dar lugar a integrales más complejas de calcular que aplicando los cambios
correspondientes a los casos 1, 2 y 3 .
2.2.3.- Integrales de funciones racionales R(Senh(X), Cosh(X)).
CASO 1.- Integrales del tipo
senh x,cosh xdx , en la que R es una función impar en
senhx. El cambio a efectuar en este caso es coshx=t. Análogamente a los casos
anteriores se tiene:
cosh x t x = argcosht , dx =
dt
t2 1
Recordando las propiedades de las funciones hiperbólicas (Anexo 2), se tiene:
cosh 2 x senh 2 x 1 senhx = cosh 2 x 1 senh x t 2 1
36
36
Capítulo 2. Integración
por sustitución
Introducción
al Cálculo
Integral
CASO 2.- Integrales del tipo
senh x,cosh xdx
en la que R es una función impar en
coshx El cambio a efectuar es senhx=t. de aquí:
senh x t x = argsenht , dx =
dt
t2 1
Recordando las propiedades de las funciones hiperbólicas (Anexo 2), se tiene:
cosh 2 x senh 2 x 1 coshx = senh 2 x 1 cosh x t 2 1
CASO 3.- Integrales del tipo
senh x,cosh xdx
en la que R es función par en coshx
y senhx. El cambio a efectuar es tghx=t. de donde:
tgh x t x = argtht , dx =
análogamente a los casos anteriores (5 y 6):
senh x CASO 4.- Integrales del tipo
t
1 t
2
dt
1- t2
1
coshx =
senh x,cosh xdx
1- t2
en la que R no es de ninguno de los
tipos considerados anteriormente. En este caso el cambio a efectuar es tgh
donde:
tgh
x
t x = 2argtht ,
2
dx =
análogamente a los casos anteriores (5 , 6 y 7):
senh x 2t
1 t2
coshx =
x
t . De
2
2dt
1- t2
1+ t2
1 t2
37
37
Introducción al cálculo integral
EJERCICIOS.- Resolver las siguientes integrales:
38
cos 2 x
dx
sen 3 x
2.1.-
2.2.-
cos
2
2.3.-
cos
2
2.4.-
1 cos
2.5.-
2 cos 3x dx
2.6.-
1 cos x
38
cos x
dx
x sen 2 x
dx
x sen x cos x
sen 2 x
dx
2
2x
sen 3x
tg x
Introducción al Cálculo Integral
Introducción al Cálculo Integral
Cap�tulo 3.- Método de integración por partes
3.1.- Concepto. Casos
Este método se aplica cuando queremos calcular una integral
f ( x ) dx , tal que f(x)
puede descomponerse como producto de otras dos funciones, de la forma:
f ( x ) u( x ) v ( x )
siendo u(x), v(x), u´(x), v´(x) funciones definidas en el mismo campo de definición de
f(x). Si calculamos la diferencial de la función producto de u(x) v(x) obtendremos:
d(u(x) v(x))= u(x) v´(x) dx + v(x) u´(x) dx
Para mayor comodidad en la notación, y teniendo en cuenta que u(x) y v(x) verifican
v´(x) dx = dv, u´(x) dx = du, podremos escribir:
d(uv) = u dv + v du
Integrando esta última expresión se obtiene:
d (uv ) uv udv vdu
O lo que es lo mismo:
f ( x )dx udv uv vdu
A
B
Este método se aplica siempre que la integral del segundo miembro B es más fácil de
integrar que A.
A la fórmula:
u dv
uv v du
se la conoce como fórmula de la integración por partes.
39
39
Introducción al cálculo integral
Introducción al Cálculo Integral
EJEMPLO 1.- Calcular:
ln xdx
u ln x
dv dx
du SOLUCIÓN:
Efectuamos el cambio
integración por partes, obtendremos:
ln xdx =xlnx -
x
dx x
v x dx
x ln x x
y, aplicando la fórmula de
dx x ln x x C
Pueden presentarse muchas variantes en la aplicación del método de integración por
partes, según como sea la función f(x) y su posible descomposición en producto de otras
dos. Veremos a continuación una tabla resumen de los casos más frecuentes en los que
es conveniente aplicar el método:
f(x)=A(x) B(x)
CASO
S
1º
A(x)
B(x)
u
v´
Polinomio en x
Función exponencial
A
B
2º
Polinomio en x
Función trigonométrica
directa
Polinomio en x o función
racional en x
Función trigonométrica directa
A
B
A
B
AóB
BóA
3º
4º
40
40
Función trigonométrica
inversa, o logarítmica
Función exponencial
Capítulo
3. Métodoal
de Cálculo
integraciónIntegral
por partes
Introducción
Veremos algunos ejemplos de aplicación del método de integración por partes en los
diferentes casos:
EJEMPLO 2.- Calcular
x
2
3x e 2 x dx
SOLUCIÓN:
La integral propuesta se incluye en las del primer caso, por tanto efectuaremos la
integración por partes tal como se propone en la tabla.
du 2 x 3dx u x 2 3x
Efectuamos el cambio , obteniendo:
1 2x
2x
v e
dv e dx
2
x
2
1
1
3x e 2 x dx = e 2 x x 2 3x 2
2
2 x 3e
2x
dx
Esta última integral es también del caso 1º, y se calcula de la misma forma:
luego:
du 2dx u 2 x 3
2 x 3 2 x
e 2 x 3e dx = 1
=
2
x
2x
2
v e dv e dx
2
2x
2 x 3e
2x
dx =
e 2 x dx
2 x 3 e 2 x 1 e 2 x C
2
2
Sustituyendo en la integral propuesta, se obtiene:
x
2
1
1 2 x 3 2 x 1 2 x
3x e 2 x dx = e 2 x x 2 3x e e C
2
2
2
4
41
41
Introducción al cálculo integral
Introducción al Cálculo Integral
EJEMPLO3.- Calcular
x cos3xdx
SOLUCIÓN:
La integral propuesta se incluye en las del segundo caso, por tanto efectuaremos la
integración por partes tal como se propone en la tabla.
du dx
u x
Efectuamos el cambio: 1
con lo que la integral inicial
dv cos 3xdx v 3 sen 3x queda:
x cos3xdx =
x
sen 3x 3
1
sen 3xdx
3
Resolviendo ésta última:
x cos3xdx =
x
1
sen 3x cos 3x C
3
9
EJEMPLO 4.- Calcular:
x arctg xdx
SOLUCIÓN:
La integral propuesta se incluye en las del tercer caso, por tanto efectuaremos la
integración por partes tal como se propone en la tabla.
dx du u arctg x
1 x 2 Efectuamos el cambio .
x2
dv xdx
v
2
42
42
Capítulo
3. Métodoal
de Cálculo
integraciónIntegral
por partes
Introducción
Sustituyendo en la integral:
Donde A=
x 2 dx
1 x2
x arctg xdx =
1
x2
arctg x A
2
2
1 x2 1
dx 1 x2
dx dx
x arctg x C
1 x2
Sustituyendo en la integral inicial:
x arctg xdx =
x2
1
arctg x x arctg x C
2
2
EJEMPLO 5.- Calcular:
sen x e 2 x dx
SOLUCIÓN:
La integral propuesta se incluye en las del cuarto caso, por tanto efectuaremos la
integración por partes tal como se propone en la tabla.
du cos xdx u sen x
Efectuamos el cambio: 1 2 x con lo que la integral inicial
2x
v e
dv e dx
2
queda:
1
1
sen xe 2 x dx = sen x e 2 x 2
2
cos xe 2 x dx
Esta última integral es también del mismo tipo, por tanto, se calcula de la misma forma:
du sen xdx u cos x
1
1
2x
cos xe 2 x dx = 1 2x
= cos x e 2x
2
dv e dx v e
2
2
sen xe 2 x dx
43
43
Introducción al cálculo integral
Introducción al Cálculo Integral
Sustituyendo en la integral inicial, queda:
1
1
1
sen x e 2 x dx = sen x e 2 x cos x e 2 x 2
4
4
sen x e 2 x dx
Observemos que la integral del segundo miembro es la misma que la integral inicial, por
tanto, pasándola al primer miembro y simplificando, obtendremos su valor:
sen xe
2x
2
1
dx sen xe 2 x cos xe 2 x C
5
2
3.2.- Fórmulas de reducción
Este procedimiento se aplica a integrales de funciones que, aunque en principio pueden
ser resueltas por partes, debido a que en la función aparecen exponentes enteros de valor
muy elevado, deberíamos aplicar el método de integración por partes repetidas veces. El
procedimiento a seguir consiste en que partiendo de una integral con exponente entero
n, (que denominaremos In) , aplicando la integración por partes , obtengamos otra
integral de la misma forma que la primera pero con el exponente reducido , ésto es:
In = K(x) + In-h
Aplicando sucesivamente la fórmula de reducción deberemos llegar a una integral
inmediata.
A continuación obtendremos algunas fórmulas de reducción:
1.- Fórmula de reducción de la integral
Denominaremos In =
x n e x dx :
x n e x dx y aplicaremos la fórmula de integración por partes:
u x n
du = nx n-1dx n x
In x e x
x
dv e dx v e
nx n 1e x dx
Por tanto:
I n x n e n n I n 1
44
44
Capítulo
3. Métodoal
de Cálculo
integraciónIntegral
por partes
Introducción
Con esta fórmula, obtenemos una reducción de h=1. Aplicándola sucesivamente
llegaremos a la integral I0, que es inmediata:
I0 e x dx e x C
EJEMPLO 6.- Calcular:
x 3 e x dx
SOLUCIÓN:
Observemos que para la integral propuesta se tiene la siguiente fórmula de reducción:
In xnen nIn1
Por tanto la integral propuesta es I3 : De esta forma se tiene:
I3 x3en 3I2 ,
I2 x2en 2I1 ,
I1 x en I0 , donde I0 en C .
Por tanto:
I 3 x 3 e x 3I 2
3 x e
3 x e
x 3e x 3 x 2 e x 2 I1
x 3e x
3 x
x e
e 2
x
2 x e x I 0
2
x
2 x e
x
x
e x x 3 3x 2 6 x 6 C
45
45
Introducción al cálculo integral
Introducción al Cálculo Integral
2.- Fórmula de reducción para la integral
sen m x cos n xdx m, n N, para reducir
el exponente de cos x.
Denominaremos Im,n =
sen m x cos n xdx , aplicamos el método de integración por
partes:
I m,n
du = m -1 cosm 2 x sen x dx senn 1 x
v
n 1
u cosm 1 x
n
dv sen x cos x
cosm 1 x sen n+1 x m 1
n 1
n 1
cos
m 2
x sen n 2 xdx
Por tanto:
I m ,n cos m1 x sen n+1 x m 1
n 1
n 1
cosm1 x sen n 1 x m 1
n 1
n 1
sen
n
sen n x 1 cos 2 x cos m 2 xdx
x cosm 2 xdx m1
n 1
sen
n
x cosm xdx
O lo que es lo mismo:
I m ,n m1
cos m1 x sen n 1 x m 1
I m 2 ,n I m ,n
n 1
n 1
n 1
Pasando Im,n al primer miembro, obtenemos:
m1
mn
cos m1 x sen n 1 x m 1
I m ,n I m ,n I m 2 ,n
1 n 1
n 1
n 1
n 1
Despejando, obtenemos una fórmula de reducción en la que h=2:
I m ,n 46
46
co s m 1 x sen n 1 x
m1
I m 2 ,n
mn
mn
Capítulo
3. Métodoal
de Cálculo
integraciónIntegral
por partes
Introducción
Aplicando sucesivamente esta fórmula de reducción llegaremos a dos tipos de integrales
según sea m un número par o impar:
- Si m es par I0,n =
- Si m es impar I1,n =
sen n xdx que se puede calcular mediante el cambio tg x =t
sen n x cos xdx que es una integral inmediata:
sen n x cos xdx =
1
sen n 1 x C
n 1
EJEMPLO 7.- Calcular:
cos8 x sen 2 x dx
SOLUCIÓN:
Observemos que para la integral propuesta se tiene la siguiente fórmula de reducción:
I m ,n co s m 1 x sen n 1 x
m1
I m 2 ,n
mn
mn
Por tanto la integral propuesta es I 8,2 : De esta forma se tiene:
cos 7 x sen 3 x 7
I 6,2
10
10
cos 7 x sen 3 x 7 cos5 x sen 3 x 5
I 4 ,2 10
10 8
8
I 8,2 7
7 cos 3 x sen 3 x 3
cos 7 x sen 3 x
I 2 ,2 cos 5 x sen 3 x 10
80
16 6
6
cos 7 x sen 3 x 7
7 cos 3 x sen 3 x 7 cos x sen 3 x 1
cos5 x sen 3 x I 0,2 10
80
96
32 4
4
47
47
Introducción al cálculo integral
Introducción al Cálculo Integral
Finalmente llegamos a la integral I0,2 =
I0,2 =
sen 2 xdx =
1
2
sen 2 xdx que es inmediata:
x
1 cos 2 xdx 2 sen 2 x
C
4
Sustituyendo en lo anterior y simplificando, se obtiene:
cos 7 x 7 cos5 x 7 cos 3 x 7 cos x 7 sen x cos x 7 x
C
80
96
128 256
256
10
I 8,2 = sen 3 x 3º.- Fórmula de reducción para la integral
sen m x cos n x dx m, n N, para
reducir el exponente de senx:.
Aplicando un método análogo al anterior, se obtiene la fórmula de reducción:
I m ,n cos m1 x sen n 1 x n 1
I m ,n 2
mn
mn
EJEMPLO 8.- Calcular:
cos 2 x sen 4 x dx
SOLUCIÓN:
Observemos que para la integral propuesta se tiene la siguiente fórmula de reducción:
I m ,n 48
48
cos m1 x sen n 1 x n 1
I m ,n 2
mn
mn
Capítulo
3. Método al
de Cálculo
integraciónIntegral
por partes
Introducción
Por tanto la integral propuesta es I 2,4 : De esta forma se tiene:
cos 3 x sen 3 x 3
I 2 ,2
6
6
3
3
cos x sen x 1 cos 3 x sen x 1
I 2 ,0 6
2
4
4
I 2 ,4 cos 3 x sen 3 x cos 3 x sen x cos x sen x x
C
6
8
16
16
NOTA.- Las anteriores fórmulas de reducción se pueden aplicar indistintamente, e
incluso es posible aplicar una combinación de ellas en la resolución de la integral Im,n
Otras fórmulas de reducción que se pueden obtener por el mismo método, son:
4.- Im=
sen
m
xdx 1
m1
sen m1 x cos x I m 2
m
m
1
m1
cosm1 x sen x I m 2
m
m
5.- Im=
cos
6.- Im=
tg m xdx 7.- Im=
x m cos xdx x m sen x mx m1 cos x m(m 1) I m 2
8.- Im=
m
xdx 1
tg m1 x I m2
m1
ln x
m
dx xln x mI m1
m
3.3.- Algunos casos especiales
En este aparatado vamos a estudiar dos tipos de integrales, ambas resolubles por partes,
para las que vamos a presentar un método alternativo de cálculo.
49
49
Introducción al cálculo integral
Introducción al Cálculo Integral
a) Integrales del tipo
e
x
cos( x) dx,
e
x
sin( x) dx, , R
Para la resolución de este tipo de integrales vamos a utilizar números complejos, y en
particular la conocida identidad de Euler:
ei x cos( x) isen( x), R
Para ello consideremos la expresión dada por
( A) e x cos( x) dx i e x sin( x) dx .
Aplicando la identidad de Euler y las propiedades de la exponencial compleja, se tiene:
( A) e x cos( x) dx i e x sin( x) dx e x (cos( x) isen( x))dx
e x ei x dx e x i x dx e x ( i ) dx.
La integral
e
x ( i )
dx es formalmente inmediata, por lo que, aplicando las
propiedades de los números complejos
( A) e x ( i ) dx e x ( i )
i
i e xei x
i i e x i cos( x) isen( x) 2 2
e x cos( x) sen( x) i sen( x) cos( x) .
2 2
50
50
Capítulo
3. Método al
de Cálculo
integraciónIntegral
por partes
Introducción
Igualando partes reales e imaginarias en la expresión obtenida para (A) tenemos
e x cos( x) dx e x cos( x) sen( x) C,
2 2
e x sin( x) dx e x sen( x) cos( x) C.
2 2
b) Integrales del tipo
e
x
Pn ( x) dx , n N
Este tipo de integrales pueden resolverse aplicando partes n veces. Vamos a resolverlas
resolviendo un sistema de ecuaciones lineales de n 1 ecuaciones con n 1
incógnitas. Para ello observemos que
e
x
donde
Pn ( x) dx e xQn ( x) C
Qn ( x) es un polinomio indeterminado del mismo grado n que Pn ( x) .
Veamos un ejemplo.
EJEMPLO 9.- Calcular:
e 2x
3x
2
2x - 1 dx
SOLUCIÓN:
P2 ( x) 2x 2 2x - 1 y 3 . Consideramos por tanto
2
un polinomio indeterminado de grado n 2 , Q2 ( x ) ax bx c , y tenemos
En este caso es n 2 , con
e 2x
3x
2
2x - 1 dx e 3 x ax 2 bx c C (B)
51
51
Introducción al cálculo integral
Introducción al Cálculo Integral
Para determinar los coeficientes del polinomio
Q2 ( x) , derivamos en (B) y obtenemos:
e 3 x 2x 2 2x - 1 3e 3 x ax 2 bx c e 3 x 2ax b e 3 x 3ax 2 (3b 2a ) x 3c b
Cancelando el término
polinomios
e 3 x en la igualdad anterior obtenemos la identidad de
2x 2 2x - 1 3ax 2 (3b 2a ) x 3c b ,
De donde igualando coeficientes del mismo gado, obtenemos el sistema de 3
ecuaciones con 3 incógnitas:
2
3a
2
11
2
2 3b 2a a , b , c 3
9
27
1 3c b Y por tanto
e 2x
3x
2
11 2
2x - 1 dx e 3 x x 2 x - C
9
27 3
2
EJERCICIOS.- Resolver las siguientes integrales:
52
3.1.-
x 3 x e
3.2.-
2 x 2 ln xdx
3.3.-
e
3.4.-
3.5.-
x sen
52
2
3x
dx
sen 2 x dx
ln x
x
x
dx
2
x dx
Capítulo
3. Método al
de Cálculo
integraciónIntegral
por partes
Introducción
3.6.-
x
3.7.-
cos
4
x sen 3 x dx
3.8.-
sen
m
( Ax ) cos( Ax ) dx
2
3 x sen2 x e x dx
53
53
Introducción al Cálculo Integral
54
Introducción al Cálculo Integral
Capítulo 4.- Integración de funciones racionales
4.1.- Descomposición factorial de un polinomio
Comencemos este capítulo recordando un resultado sobre polinomios que suponemos
ya conocido.
4.1.1.- Teorema 4.1.- Para cualquier polinomio de grado n 1 ,
P( x) an x n an1 x n1 a1 x a0 ,
con coeficientes
1 , 2 , , n
a0 , a1 , a 2 ,, an reales, existen números reales o complejos
tales que :
P ( x ) a n x 1 x 2 x 3 x n .
A la expresión:
P ( x ) a n x 1 x 2 x 3 x n se la denomina descomposición factorial del polinomio
1 , 2 , , n
se les denomina raíces del polinomio
denomina coeficiente director del polinomio
P (x) .
P ( x ) . A los valores
P ( x ) y al término an se le
P ( x ) una raíz i aparece solo una
vez, se dice entonces que i es una raíz simple de P ( x ) o equivalentemente, que su
Si en la descomposición factorial de un polinomio
orden de multiplicidad es 1. En caso contrario, se dice que
i
es una raíz múltiple, y si
ni veces, se dice que su orden de multiplicidad es ni o también que es una
raíz de orden ni . Así, si hay n1 raíces iguales a 1 , n 2 raíces iguales a 2 y, en
general, ni raíces iguales a i , se verificará:
aparece
n1 + n 2 + n p n ,
55
55
Introducción al cálculo integral
Introducción al Cálculo Integral
y la factorización del polinomio
P ( x ) quedará de la forma:
P( x ) a n x 1 n1
x 2 x 3 n2
n3
x p
np
.
4.2.- Descomposicion en fracciones simples de una funcion racional
El siguiente resultado es clave pues nos proporciona la descomposición en fracciones
simples de una función racional.
P (x)
una función racional, cociente de dos polinomios
Q( x )
P ( x ) y Q( x ) de grados respectivos p y q ( p q ) . Sean 1 , 2 , , k las
raíces reales de Q( x ) 0 con órdenes de multiplicidad
respectivos
m1 , m2 , , mk y sean a 1 ib1 , a 2 ib2 , , a l ibl sus raíces complejas con
órdenes de multiplicidad respectivos n1 , n2 , , n l , verificándose :
4.2.1.- Teorema 4.2.- Sea
m1 m2 mk 2 ( n1 n 2 n l ) q ,
q constantes reales únicas :
entonces existen
A 11 , A 1 2 , A 1 3 , , A 1 m1 , , A k 1 , A k 2 , A k 3 , , A k mk ,
B 1 1 , B 1 2 , B 1 3 , , B l nl , , B l 1 , B l 2 , B l 3 , , B l nl ,
C 1 1 , C 1 2 , C 1 3 , , C l nl , , C l 1 , C l 2 , C l 3 , , C l nl ,
tales que se verifica :
P( x )
A11
A1 2
A1m1
Ak 1
Ak 2
A k mk
Q( x ) x 1 ( x 1 ) 2
x k (x k )2
( x 1 ) m1
( x k ) mk
+
+
B 11 x C 11
( x a1 ) 2 b1
l
B 2x C
( x a )
l
56
56
2
l
2
2
bl
2
2
B 12 x C 12
( x a1 ) 2 b1
B
l
nl
2
2
xC
( x a )
l
2
l
nl
bl
2
nl
B 1n1 x C 1n1
( x a1 ) 2 b1
.
2
n1
++
B l1x C l1
( x a l ) 2 bl
2
Capítulo
4. Integración
funcionesIntegral
racionales
Introducción
aldeCálculo
NOTA 1 : En el caso de que en la función racional
P (x)
se tenga el grado del
Q( x )
numerador mayor o igual que el grado del denominador, se efectúa la división de los
dos polinomios, de forma que se obtiene :
P( x )
R( x)
,
C( x) Q( x )
Q( x )
donde en
R( x )
se tiene el grado del numerador menor que el grado del denominador.
Q( x )
R( x )
le es aplicable el teorema 4.2, y bastará a esta descomposición en fracciones
Q( x )
R( x )
simples de
sumarle el polinomio C(x) para obtener la descomposición en
Q( x )
P (x)
factores de la función racional original
.
Q( x )
A
Veamos algunos ejemplos de la aplicación de este teorema.
EJEMPLO 1 :. Calcular la descomposición en fracciones simples de
x 1
2 3x 9 x 2
SOLUCIÓN:
El numerador tiene grado estrictamente menor que el denominador, por lo que es
aplicable el teorema 4.2. Las raíces del denominador
x=
2 3x 9 x 2 son x=
2
y
3
1
. Por tanto, aplicando el teorema 4.2 la descomposición pedida será de la forma:
3
x 1
A
B
,
2
2
1
2 3x 9 x
x
x
3
3
57
57
Introducción al cálculo integral
Introducción al Cálculo Integral
donde hay que determinar el valor de las constantes A, B. Para determinarlas, sumamos
las fracciones en la descomposición anterior, y aplicando que por el teorema 4.1 se
obtiene:
1 2
2 3x 9 x 2 9 x x ,
3 3
identificando los numeradores de las fracciones resultantes, se obtiene :
1
2
x 1 A x B x .
3
3
A partir de este momento, podemos seguir dos caminos. En primer lugar, la última
igualdad es una igualdad entre polinomios, y por tanto, deberán ser iguales sus
coeficientes. Podemos por tanto desarrollar la expresión
1
2
1
A x B x A B x A 2 B ,
3
3
3
e igualar coeficientes con el polinomio x 1 . De esta forma se obtiene un sistema de
ecuaciones que permite obtener los valores de las constantes:
5
1 A B
A 3
1 A 2 B 2
B 3 3
3
Otro camino posible es sustituir la variable x por algunos valores concretos en la
expresión:
1
x 1 A x B x 3
2
3
Para simplificar, daremos a x los valores que anulan términos en el lado derecho de la
igualdad. Así, dando a x los valores x= 2
1
y x=
, obtenemos un sistema de
3
3
ecuaciones , que resuelto, nos proporciona el valor de las constantes.
58
58
Capítulo
4. Integración
funcionesIntegral
racionales
Introducción
aldeCálculo
En este caso:
2
2
3 B
B 3
5
5
A
A
3
3
(Este método se conoce como método de coeficientes indeterminados).
De esta forma, la descomposición en fracciones simples quedará :
5
2
x 1
3 3 .
2
1
2 3x 9 x 2
x
x
3
3
EJEMPLO 2:. Calcular la descomposición en fracciones simples de
x 2 x 15
x 4 10 x 2 9
SOLUCIÓN:
El grado del numerador es estrictamente menor que el grado del denominador, por lo
4
2
que es aplicable el teorema 4.2. Las raíces del denominador x 10 x 9 son
x= 1 y x= 3 . Por tanto, aplicando el teorema 4.2 la descomposición pedida será de
la forma:
x 2 x 15
A
B
C
D
,
4
2
x 10 x 9 x 1 x 1 x 3 x 3
donde hay que determinar el valor de las constantes A, B, C, D. Para determinarlas,
quitamos denominadores en la expresión en fracciones simples. De esta forma,
aplicando que
x 4 10x 2 9 x 1 x 1 x 3 x 3 ,
59
59
Introducción al cálculo integral
Introducción al Cálculo Integral
se obtiene
x 2 x 15 A x 1 x 3 x 3 B x 1 x 3 x 3 C x 1 x 1 x 3
D x 1 x 1 x 3 .
Aquí de nuevo podemos seguir dos caminos, desarrollar la expresión e igualar
coeficientes o aplicar el método de los coeficientes indeterminados. Desarrollando la
expresión :
A x 1 x 3 x 3 B x 1 x 3 x 3 C x 1 x 1 x 3
D x 1 x 1 x 3
2
e igualando sus coeficientes con los del polinomio x x 15 obtendríamos un
sistema de ecuaciones. El método de los coeficientes indeterminados es en este caso
más sencillo, utilizando los valores de x que anulan términos en el lado derecho de la
igualdad. Así, dando a x los valores x= 1 y x= 3 , obtenemos el sistema de
ecuaciones :
16
A
13
16
A
13
15 16 B
15
B 16
C 16
3 48C
9 48 D
16
D
3
por lo que la descomposición en fracciones simples quedará de la forma :
16
15
16
16
x 2 x 15
13 16 3 .
x 4 10 x 2 9 x 1 x 1 x 3 x 3
60
60
Capítulo
4. Integración
funcionesIntegral
racionales
Introducción
aldeCálculo
EJEMPLO 3:. Calcular la descomposición en fracciones simples de
x2 4
x 1 2 x 1 2
SOLUCIÓN:
El numerador tiene grado estrictamente menor que el denominador, por lo que es
aplicable el teorema 4.2. Las raíces del denominador x 1 x 1 son x= 1 con
multiplicidad 2 y x= 1 con multiplicidad también 2. Por tanto, aplicando el teorema
4.2 la descomposición pedida será :
2
x2 4
x 1 x 1
2
2
A
x 1
2
2
B
C
D
,
2
x 1 x 1
x 1
donde hay que determinar el valor de las constantes A, B, C, D. Para determinarlas,
quitamos denominadores en la expresión en fracciones simples. De esta forma se
obtiene :
x 2 4 A x 1 B x 1 x 1 C x 1 + D x 1 x 1 .
2
2
2
2
Aquí podemos seguir el camino de igualar los coeficientes en los dos lados de la
igualdad, desarrollando la expresión :
x 2 4 A x 2 2x 1 B x 3 x 2 x 1 C x 2 2x 1 + D x 3 x 2 x 1
= B + D x 3 A B C D x 2 2 A B 2 C D x A B C D e igualando coeficientes con el polinomio
ecuaciones :
x 2 4 , obtenemos el sistema de
5
A 4
0 B D
3
1 A B C D
B 4.
5
0
2
2
A
B
C
D
C
4
4 A B C D
D 3
4
61
61
Introducción al cálculo integral
Introducción al Cálculo Integral
Otro camino es utilizar el método de los coeficientes indeterminados. Damos a x los
valores que anulan términos en el lado derecho de la igualdad, x= 1 y x= 1, y como
nos faltan valores para determinar todas las constantes, damos a la variable x otros dos
valores arbitrarios, por ejemplo x=0 y x=2, obteniendo el sistema de ecuaciones :
5
A 4
5 4A
3
B 5 4C
4
5
4
A
B
C
D
C
4
8 9 A 9 B C 3D D 3
4
por lo que la descomposición en fracciones simples quedará de la forma :
x2 4
x 1 2 x 1 2
5
3
5
3
4
4
4 4 .
2
2
1
x
x 1
x 1 x 1
EJEMPLO 4 :. Calcular la descomposición en fracciones simples de
x
2x 3
2
1 x2 4
SOLUCIÓN:
El numerador tiene grado estrictamente menor que el denominador, por lo que es
aplicable el teorema 4.2. Las raíces del denominador x 1 x 2 4 son x = i , x = i , x= 2i, x=2i. Por tanto, aplicando el teorema 4.2 la descomposición pedida será :
x
2x 3
2
2
1 x 4
Ax B
x
2
Cx D
x
1
2
4
donde hay que determinar el valor de las constantes A, B, C, D.
62
62
,
Capítulo
4. Integración
funcionesIntegral
racionales
Introducción
aldeCálculo
Para determinarlas, quitamos denominadores en la expresión en fracciones simples. De
esta forma se obtiene :
x 3 Ax B x 2 4 Cx D x 2 1 .
Aquí de nuevo podemos seguir dos caminos. Desarrollando la expresión :
x 3 A + C x 3 B + D x 2 C + 4A x 4 B D ,
x 3 , obtenemos el sistema de ecuaciones :
e igualando coeficientes con el polinomio
1
0 AC
A 3
0 BD
B 11
1 C 4 A
C 3
3 4 B D
D
1
El otro camino es el método de los coeficientes indeterminados. En este caso no hay
valores de x reales que hagan ceros las expresiones de la parte derecha de la ecuación.
Así, habría que dar valores arbitrarios a x.
Utilizando los valores calculados anteriormente de A, B, C, y D, obtenemos la
descomposición en fracciones simples pedida :
1
1
x 1
x 1
2x 3
3
3
.
x2 1 x2 4
x2 1
x2 4
EJEMPLO 5 :. Calcular la descomposición en fracciones simples de:
x
x 1
2
x
1
2
2
4
SOLUCIÓN:
El numerador tiene grado estrictamente menor que el denominador, por lo que es
x
aplicable el teorema 4.2. Las raíces del denominador x 1
2
2
4 son x = i
63
63
Introducción al cálculo integral
Introducción al Cálculo Integral
con multiplicidad 2, x= 2i con multiplicidad 1. Por tanto, aplicando el teorema 4.2 la
descomposición pedida será :
x
x 1
2
x
1
2
2
4
Ax B
=
x
2
Cx D
x
1
2
2
Ex F
x
1
2
4
,
donde hay que determinar el valor de las constantes A, B, C, D, E, F. Para
determinarlas, quitamos denominadores en la expresión en fracciones simples,
obteniendo :
2
x 1 Ax B x 2 4 Cx D x 2 1 x 2 4 Ex F x 2 1 .
Igualando coeficientes en los dos términos de esta última igualdad, se obtiene un
sistema de soluciones :
1
A 9
1
B 9
C1
3
1
D
3
E1
9
1
F
9
(Otra forma sería aplicar el método de los coeficientes indeterminados, pero en este
caso no hay valores de x reales que hagan ceros las expresiones de la parte derecha de la
ecuación. Así, habría que dar valores arbitrarios a x.)
Utilizando los valores calculados anteriormente de A, B, C, D, E y F obtenemos la
descomposición en fracciones simples pedida:
1
1
1 1
1 1
x
x
x
x 1
9 .
9 3
3 9
= 9
2
2
2
2
2
2
2
x 1
x 4
x 1 x 4
x 1
64
64
Capítulo
4. Integración
funcionesIntegral
racionales
Introducción
aldeCálculo
EJEMPLO 6 : Calcular la descomposición en fracciones simples de:
dx
2
x 3x 4
.
.
SOLUCIÓN:
El numerador tiene el mismo grado que el denominador, por lo que para aplicar el
teorema 4.2 debemos antes efectuar la división entre los dos polinomios, obteniendo.
x 7 5x 6 5x 5 9 x 4 6 x 3 2 x 2 x 1
x7 x6 2x5 2x4 x3 x2
= 1
4 x 6 3x 5 7 x 4 5x 3 x 2 x 1
,
x7 x6 2x5 2x4 x3 x2
y calculamos ahora la descomposición en fracciones simples de la función racional
4 x 6 3x 5 7 x 4 5x 3 x 2 x 1
,
x 7 x6 2x5 2x 4 x 3 x2
que tiene ya el grado del numerador menor que el grado del denominador.
El denominador x 7 x 6 2 x 5 2 x 4 x 3 x 2 se factoriza como
x 7 x 6 2 x 5 2 x 4 x 3 x 2 = x 2 x 1 x 2 1
2
Por tanto, aplicando el teorema 4.2, la descomposición será :
4 x 6 3x 5 7 x 4 5x 3 x 2 x 1
x7 x6 2x5 2x4 x3 x2
A B
C
Dx E
Fx G
,
2
2
x
x
1
x
x 1 x2 1 2
donde hay que determinar el valor de las constantes A, B, C, D, E, F y G.
65
65
Introducción al cálculo integral
Introducción al Cálculo Integral
Para determinarlas, quitamos denominadores en la expresión en fracciones simples e
igualando numeradores se obtiene un sistema de ecuaciones, que resolvemos:
4 BCD
A1
B0
3 A B D E
C 1
7 A 2 B 2C D E F
5 2 A 2 B D E F G D 3
E 1
1 2A B C E G
1 A B
F2
G 1
1 A
Sustituyendo estos valores, se obtiene la descomposición en fracciones simples pedida :
x 7 5x 6 5x 5 9 x 4 6 x 3 2 x 2 x 1
x7 x6 2x5 2x4 x3 x2
1
1
1
3x 1
2x 1
2
.
2
x
x 1 x 1 x 2 1 2
4.3.- Cálculo de integrales de funciones racionales
El procedimiento a seguir para el cálculo de una integral racional
P (x )
Q(x ) dx
será en primer lugar asegurarse que en la expresión racional
P( x )
el polinomio
Q( x )
numerador tiene grado estrictamente menor que el polinomio denominador. En caso
contrario, se procedería a efectuar la división de los polinomios.
P( x )
R( x )
C( x ) Q( x )
Q( x )
66
66
Capítulo
4. Integración
funcionesIntegral
racionales
Introducción
aldeCálculo
R( x )
en las condiciones del teorema 4.2,
Q( x )
R( x )
se calcula la descomposición en fracciones simples de
. Por último, aplicando las
Q( x )
Una vez se tiene ya una expresión racional
propiedades de la integral indefinida, se descompone la integral dada en suma de
diversos factores, que serán de alguna de las siguientes formas :
TIPO 1º.- Integrales de la forma
de estas integrales es inmediato.
C(x )dx , donde C(x) es un polinomio. El cálculo
dx
x r , que se calculan de la siguiente forma:
TIPO 2º.- Integrales de la forma
dx
x r ln x r
dx
x r
TIPO 3º.- Integrales de la forma
dx
x r
m
m
x r m1
m1
, que se calculan de la siguiente forma:
1
1
m 1 x r m1
TIPO 4º.- Integrales de la forma:
x
Mx N
dx , M, N, p, q R, p 2 4q 0
px q
2
Este tipo de integrales está estudiado en el capítulo 1º y se calculan mediante el
algoritmo de los cuatro pasos.
TIPO 5º.- Integrales de la forma:
x
Mx N
2
px q
m
dx , M, N, p,q R, m N, p 2 4q 0
67
67
Introducción al cálculo integral
Introducción al Cálculo Integral
Estas integrales se calculan por reducción de la siguiente manera :
2
x 2 px q de la forma x a b 2 con
Escribiendo el polinomio
b 0 , la integral
x
Mx N
2
px q
dx quedará de la siguiente forma :
m
.
x
Mx N
2
px q
m
M x a
x a M
2
donde la integral
2
2
m
2
M x a
x a
b2
m
x a 2 b 2 b2
n
m
b
2
68
68
x a b2
n
2
b2
m
dx
x a
2
b2
m
, se tiene :
b 2 dx
x a
dx
dx
2
b2
2
x a 2
1 x a b 2
2 dx b x a 2 b 2 n
x a 2 b 2
m
se calcula ahora por un procedimiento
dx
x a
1
2
b
2
dx Ma N dx
Jn 2
dx Ma N 2 x a dx
x a
b2
x a recurrente. Llamando
Jn dx =
m
n
1
1
dx 2 J n 1 2 K n
b
b
Capítulo
4. Integración
funcionesIntegral
racionales
Introducción
aldeCálculo
x a 2
Kn dx .
m
2
2
x
a
b
donde
Calculamos esta última integral por partes,
tomando
dv =
uxa
x-a
x - a 2
b2
n
du = dx
v=
1
21 - n x - a b 2
2
n 1
de donde se obtiene
Kn 21 n x a b 2
Sustituyendo este valor para
Jn xa
2
n 1
1
J .
2 n 1 n 1
K n en la expresión recurrente de J n , queda finalmente:
xa
2b 2 1 n x a b 2
2
n 1
2n 3
J n 1 , n 1
2 b 2 n 1
donde el valor de J 1 se calcula por ser una integral del tipo 4.
NOTA 2 : Como ha podido observarse, el cálculo de integrales de la forma
x
Mx N
2
px q
m
dx resulta ser bastante laborioso. Este es uno de los motivos para
introducir el método de Hermite (Apartado 4.4) para el caso de integrales racionales
donde en la factorización del denominador se tengan raíces complejas múltiples, que
son las que dan lugar a integrales de la forma
x
Mx N
2
px q m
dx . Sin embargo, el
método de Hermite será aplicable también al caso de raíces reales múltiples.
69
69
Introducción al cálculo integral
EJEMPLO 7 : Calcular:
Introducción al Cálculo Integral
1
2
2 x 5x 3
dx
SOLUCIÓN:
El grado del numerador es menor que el grado del denominador, por lo que
directamente se tiene la descomposición en fracciones simples :
2x2 3
5
4
2
3
2
3
2
x 3x 3x 1 x 1
x 1 x 1
por lo que la integral pedida queda de la forma :
2x2 3
dx 5
x 3 3x 2 3x 1
dx
x 1
3
4
dx
x 1
2
2
dx
x 1
5
1
4
2 ln x 1 C
2
2 x 1
x 1
EJEMPLO 8 : Calcular
4 x 10
x2 4x 3
dx
SOLUCIÓN:
El grado del numerador es menor que el grado del denominador, por lo que
directamente se tiene la descomposición en fracciones simples :
2
2
x
1
x 1
2x 3
3
3
,
x 2 1 x 2 4 x 2 1 x 2 4
70
70
Capítulo
4. Integración
funcionesIntegral
racionales
Introducción
aldeCálculo
por lo que la integral queda de la forma :
x
2x 3
2
1 x2 4
dx =
2
x 1
3
dx x2 1
2
x 1
3
dx
x2 4
1
1
1
x
ln x 2 1 arctg x ln x 2 4 arctg C .
2
3
3
2
4.4.- Método de Hermite
P (x)
una función racional, cociente de dos polinomios P ( x ) y Q( x ) de grados
Q( x )
respectivos p y q ( p q ) . Sean 1 , 2 , , k las raíces reales de Q( x ) 0
con
órdenes
de
multiplicidad
respectivos
m1 , m2 , , mk y sean
a 1 ib1 , a 2 ib2 , , a l ibl sus raíces complejas con órdenes de multiplicidad
respectivos n1 , n2 , , n l , verificándose :
Sea
m1 m2 mk 2 ( n1 n 2 n l ) q ,
entonces existe una descomposición única de
P (x)
del tipo :
Q( x )
P( x)
d R( x ) A1
A2
Ak
Q( x ) dx S ( x ) x 1 x 2
x k
+
B1 x C1
Bl x Cl
.
2 2
( x a1 ) b1
( x al ) 2 bl 2
donde
A1 , A2 , , Ak , B1 , B2 , , Bl , C1 , C2 , , Cl ,
son constantes reales, S (x ) es un polinomio en x con un cero para cada raíz múltiple
de Q( x ) =0, pero de modo que es un cero de S (x ) =0 con una multiplicidad una
71
71
Introducción al cálculo integral
Introducción al Cálculo Integral
unidad menor que la multiplicidad de como cero de Q( x ) =0 y R( x ) es un
polinomio en x de grado una unidad menor que S (x ) . Una vez determinados S (x ) y
R( x ) , y las constantes A1 , A2 , , Ak , B1 , B2 , , Bl , C1 , C2 , , Cl , se puede
afirmar que :
P( x )
Ak
A2
R( x )
A1
dx
dx dx x k
x 2
S ( x ) x 1
B1 x C1
Bl x Cl
+
,
2 dx 2
( x a1 ) b1
( x al ) 2 bl 2
Q( x) dx donde las integrales a calcular son de los tipos 2, 3 y 4.
EJEMPLO 9 : Calcular
8 x 2 14 x 20 .
dx
x 2 2x 3
SOLUCIÓN:
El grado del numerador es menor que el grado del denominador, y las raíces del
denominador son x=-1 (simple) y las complejas correspondientes al polinomio
x 2 x 1 (complejas múltiples) por lo que aplicamos el método de Hermite :
x3 x 1
x 1 x 2 x 1
2
d Ax B C
Dx E
2
,
2
dx x x 1 x 1 x x 1
2
donde el polinomio x x 1 tiene las mismas raíces que el denominador del
integrando, pero con un orden de multiplicidad una unidad menor (la raíz x=-1 no
aparece por ello en este polinomio) y el polinomio indeterminado Ax B tiene un
grado menos que su denominador
72
72
x2 x 1.
Capítulo
4. Integración
funcionesIntegral
racionales
Introducción
aldeCálculo
Nos queda determinar los coeficientes A, B, C, D y E. Para determinarlos, derivando en
la última expresión se obtiene :
x3 x 1
x 1 x 2 x 1
2
=
d Ax B C
Dx E
2
2
dx x x 1 x 1 x x 1
A x 2 x 1 Ax B 2 x 1
x
2
x 1
2
C
Dx E
,
2
x 1 x x 1
de donde, quitando denominadores:
x
3
x 1 Ax 2 2 Bx A B x 1 C x 2 x 1
2
Dx E x 1 x 2 x 1 ,
e identificando coeficientes, se tiene el sistema de ecuaciones :
0C D
1 A 2C 2 D E
0 A 2 B 3C 2 D 2 E
1 A 3B 2C D 2 E
1 A B C E
1
A = 3
5
B =
3
C =1
D = -1
E = 4
3
De esta forma:
x3 x 1
x 1 x 2 x 1
2
1
5
x
3 dx 23
x x 1
1
5
x
3 ln x 1 1 ln x = 23
2 x x 1
dx
x 1
2
4
3 dx
x2 x 1
1x 1
3
11
arctg
2
4
3 3
1
2 x 2
3
C.
73
73
Introducción al cálculo integral
Ejemplo 10.- Calcular
Introducción al Cálculo Integral
x 1
dx
2
x2 x 1
.
SOLUCIÓN:
El grado del numerador es menor que el grado del denominador, y las raíces del
denominador son x=0 (triple) y x= i (dobles), por lo que aplicamos el método de
Hermite :
x
x2 2
2
2
1 x3
donde el polinomio
d Ax 3 Bx 2 Cx D E Fx G
,
2
x
dx x 1
x2 x2 1
x 2 x 2 1 tiene las mismas raíces que el denominador del
integrando, pero con un orden de multiplicidad una unidad menor (la raíz x=0 será
doble y la raíz compleja x= i simple) y el polinomio indeterminado
Ax 3 Bx 2 Cx D tiene un grado menos que su denominador x 2 x 2 1 . Nos
queda determinar los coeficientes A, B, C, D, E, F y G. Para ello, derivando en la última
expresión, se obtiene :
d Ax 3 Bx 2 Cx D E Fx G
2
2
x
x 1
x2 x2 1
x 2 1 x 3 dx x2 2
3 Ax
2
2 Bx C x 2 x 2 1 2 x Ax 3 Bx 2 Cx D
x x 1
2
2
2
E Fx G ,
x
x2 1
de donde, quitando denominadores e identificando coeficientes, se obtiene un sistema
de ecuaciones que resolvemos, obteniendo:
A0
B 5
2
C0
D1
E 5
F 5
G0
74
74
Capítulo
4. Integración
funcionesIntegral
racionales
Introducción
aldeCálculo
De este modo:
5 2
x 1
2
dx
2
x2 x2 1
x2 1 x3
x2 2
5
dx x
5 ln x 5 2
x 1
5x
2
dx
+.
x2 1
x2 x2 1
5
ln x 2 1 C .
2
EJERCICIOS.- Resolver las siguientes integrales:
x 1
dx
5x 2 6 x
4.1.-
x
4.2.-
x
4.3.-
2 x
4.4.-
4.5.-
3
x 1
dx
3
1
4.7.-
2 x2 4
3x 4 2 x 3 1
2
x x 1
x
4.6.-
dx
2
x2 4
2
x2 2
2
2
dx
dx
x2 3
dx
2x 3 x 2 1
x
dx
2
4
2
75
75
Introducción al Cálculo Integral
76
Introducción al Cálculo Integral
Capítulo 5.- Integración de funciones irracionales
5.1.- Integración de funciones racionales en x y potencias racionales de
ax b cx d TEOREMA 5.1.- Una integral de una función racional en x y en potencias racionales
ax b , escrita de la forma :
cx d de p1
p2
pn
ax b mn ax b m1 ax b m2
I R x , dx ,
, , ,
cx d cx d cx d donde
p1 p2 p3
p
,
, , , n son números racionales, expresados de forma irreducible,
m1 m2 m3
mn
se reduce a una integral racional mediante el cambio de variable :
tM ax b
cx d
donde M es el mínimo común múltiplo de los denominadores de las fracciones
p1 p2 p3
p
,
, , , n ,
m1 m2 m3
mn
M m. c. m . m1 , m2 , , mn .
Veamos algunos ejemplos de la utilización del teorema 5.1.
77
77
Introducción al cálculo integral
Introducción al Cálculo Integral
EJEMPLO 1º.- Calcular:
4
1
x
x
dx
SOLUCIÓN:
El integrando es una expresión racional en x y de potencias racionales de x, donde
p1 1 p2 1
,
y a 1, b 0, c 0, d 1.
m1 2 m2 4
Se tiene
M m. c. m . 2,4 4 , por lo que efectuamos el cambio de variable :
t 4 x , dx 4t 3 dt ,
y por tanto la integral pedida queda de la forma :
4
1
x
x
dx 1
t
t4
3
4
4
t
dt
dt 4 t 2 1 dt
2
2
1 t
1 t
1 t2
t3
= 4 t arctgt C
3
x C .
44 3
x 44 x 4 arctg
3
4
EJEMPLO 2: Calcular :
6
x 1
3
x 1
dx .
SOLUCIÓN:
El integrando es una expresión racional en x y de potencias racionales de x, donde
p1 1 p 2 1
,
y a 1, b 0, c 0, d 1.
m1 2 m2 3
Se tiene
variable :
78
78
M m. c. m . 2,3 6 , por
lo que efectuamos el cambio de
t 6 x , dx 6t 5 dt ,
Capítulo
5. Integraciónal
de Cálculo
funciones irracionales
Introducción
Integral
y por tanto la integral pedida queda de la forma :
6
x 1
3
x 1
dx =
t3 1
6t
2
1
6t 5 dt t8 t5
t 1 dt t 6 t 4 t 3 t 2 t 1 2
dt
2
t 1
t 1
1
t7 t5 t4 t3 t2
t ln t 2 1 arctgt C
7
5
4
3
2
2
7
5
2
1
1
1
1
1
1 6 1 6 1 3 1 2 1 3
1 3
6
= x x x x x x ln x 1 arctg x 6 C
7
5
4
3
2
2 .
EJEMPLO 3: Calcular:
1
x2
4x 1
dx .
x3
El integrando es una expresión racional en x y de potencias racionales de
4x 1
,
x3
p1 1
y a 4, b 1, c 1, d 3.
m1 2
Se tiene M m. c. m . 2 2 , por lo que efectuamos el cambio de variable :
4x 1
,
t2 x3
donde
de donde, despejando la variable x, se obtiene :
x
diferenciando, se obtiene :
dx t 4
1 3t 2
,
t2 4
6t t 2 4 2t 1 3t 2
2
2
dt 26t
t2 4
2
dt
79
79
Introducción al cálculo integral
Introducción al Cálculo Integral
y por tanto la integral pedida queda de la forma :
26t 2
- 26t
1
4x 1
1
x 2 x 3 dx 1 3t 2 t t 2 4 2 dt t 2 4 t 2 9 dt
2
t2 4
t 2
t
2 ln
6 arctg C
t 2
3
Deshaciendo el cambio:
4x 1 4x 1
2
x
3
3
x
C
6 arctg
= 2 ln
4x 1
3 2
x3
.
ax 2 bx c
5.2.- Integración de funciones racionales en x y
Teorema 5.2.- Una integral de una función racional en x y en
escrita de la forma :
ax 2 bx c ,
I R x , ax 2 bx c dx ,
con a , b, c R , a 0 puede transformarse en una integral racional mediante
alguno de los siguientes cambios de variable :
CASO 1 : Si a>0
CASO 2 : Si c 0
Efectuar el cambio
Efectuar el cambio
ax 2 bx c t a x .
ax 2 bx c xt c
CASO 3 : Si la ecuación ax 2 bx c 0 tiene raíces reales
efectuar el cambio :
80
80
ax 2 bx c x t ,
1
,
2,
entonces
Capítulo
5. Integraciónal
de Cálculo
funciones irracionales
Introducción
Integral
siendo cualquiera de las dos raíces
ser iguales).
1 , 2
. (Eventualmente, las dos raíces pueden
NOTA 1 : El teorema 5.2 nos proporciona el cambio general a efectuar en integrales del
tipo
I R x , ax 2 bx c dx . Estos cambios se denominan en la literatura
cambios de Euler. Estos cambios no tienen por que ser incompatibles entre si, es decir,
una misma integral irracional del tipo
I R x , ax 2 bx c dx puede calcularse
por más de uno de los cambios descritos. El signo que se utiliza en los cambios de los
casos 1 y 2 indica que es indiferente tomar un signo u otro, siendo válido emplear
cualquiera de los dos (habitualmente se toma el signo +).
EJEMPLO 4 : Calcular
SOLUCIÓN:
La integral
1
2
x x 1
1
x2 x 1
dx
dx es una función racional en x y en x 2 x 1 ,
luego le son aplicables los cambios del teorema 5.2, en particular, los cambios 1 y 2,
puesto que el polinomio
cambio del caso 1 :
x 2 x 1 no tiene raíces reales. Procedamos mediante el
x2 x 1 t x ,
de donde, elevando al cuadrado y simplificando, se obtiene :
x 2 x 1 t x x 2 x 1 t 2 x 2 2 xt x 1 t 2 2 xt
2 t 2 t 1
t 2 1
dx x
dt ,
1 2t
1 2 t 2
con lo que el cambio quedará de la forma :
t 2 1 3t 2 t 1
x x 1 t ,
1 2t
1 2t
2
81
81
Introducción al cálculo integral
Introducción al Cálculo Integral
y la integral quedará :
1
x2 x 1
dx 2t 2 t 1
t 2 t 1
1
dt
2
3t 2 t 11 2t dt
3t 2 t 1 1 2t 2
1 2t
que es ya una integral racional. Si en lugar del cambio
x2 x 1 t x ,
x 2 x 1 t x , obtenemos :
efectuamos el cambio
x 2 x 1 t x x 2 x 1 t 2 x 2 2 xt x 1 t 2 2 xt
2 t 2 t 1
t 2 1
dx x
dt ,
1 2t
1 2 t 2
con lo que el cambio de variable quedará de la forma :
t 2 1 t 2 t 1
x x 1 t ,
1 2t
1 2t
2
y la integral quedará ahora:
1
x2 x 1
dx 2 t 2 t 1
1
1
dt 2 dt ln 2t 1 C
2
2
1 2t
t t 1 1 2 t 1 2t
= ln 2x +1+ 2 x 2 x 1 C .
Observemos que efectuando el segundo cambio de variable, la integral racional es
mucho más sencilla de resolver que la obtenida a partir del primer cambio. Vamos ahora
a calcular la integral propuesta a partir del cambio del caso 2 :
Efectuamos ahora el cambio de variable :
x 2 x 1 xt 1 ,
82
82
Capítulo
5. Integraciónal
de Cálculo
funciones irracionales
Introducción
Integral
de donde, elevando al cuadrado y simplificando, se obtiene :
x 2 x 1 xt 1 x 2 x 1 t 2 x 2 2 xt 1 x 2 x t 2 x 2 2 xt
2 t 2 t 1
2t 1
dt ,
Dividiendo por x x 1 t x 2t x 1 t 2 dx 1 t 2 2
2
con lo que el cambio quedará de la forma :
x2 x 1 2t 1
t 2 t 1
1
t
,
1 t 2
1 t 2
y la integral quedará :
2 t2 t 1
1
1
dx dt 2
dt 2
2
2
t t 1
1 t2
x x 1
1 t2
1 t2
ln 1 t ln 1 t C
1
= ln1 +
x2 x 1 1
ln 1 x
x2 x 1 1
C .
x
De forma análoga podría efectuarse el segundo cambio de variable del caso 2 :
x 2 x 1 xt 1 .
EJEMPLO 5 : Calcular
x
SOLUCIÓN:
La integral
x
dx
2
x 4
dx
x2 4
.
es una función racional en
x y en x 2 4 , luego le son
aplicables los cambios del teorema 5.2, en particular, los cambios 1 y 2, puesto que el
polinomio
x 2 4 no tiene raíces reales.
83
83
Introducción al cálculo integral
Introducción al Cálculo Integral
Procedamos mediante el cambio del caso 2 :
x 2 4 tx 2 ,
de donde, elevando al cuadrado y simplificando, se obtiene :
x 2 4 tx 2 x 2 4 t 2 x 2 4 4tx Simplificando y dividiendo por x
x t 2 x 4t x 4t
4 4t 2
dx
dt ,
2
1 t2
1 t2
con lo que el cambio quedará de la forma :
x2 4 t
4t
2t 2 2
2
,
1 t 2
1 t 2
y la integral quedará :
x
1
2
x 4
dx 4t
1 t2
1
2t 2 2
1 t2
4t 2 4
1 t 2 2
dt 4t 2 4
4t 2t
2
2
dt 1 dt
2 t
x2 4 2
1
1
C .
ln t C = ln
x
2
2
EJEMPLO 6 : Calcular
dx
2
x 3x 4
.
SOLUCIÓN:
La integral
dx
2
x 3x 4
es una función racional en x y en
x 2 3x 4 ,
luego le es aplicable los cambios del teorema 5.2, en particular, el cambio 2. Puesto que
84
84
Capítulo
5. Integraciónal
de Cálculo
funciones irracionales
Introducción
Integral
el polinomio
x 2 3x 4 factoriza como x 2 3x 4 x 1 x 4 con
raíces reales 1 y -4, podemos aplicar a la integral también el cambio del caso 3.
Procedamos mediante el cambio del caso 3, para la raíz x = -4:
x 2 3x 4 x 4 t ,
de donde, elevando al cuadrado y simplificando, se obtiene :
x 2 3x 4 x 4t x 4 x 1 x 4 t 2
2
Dividiendo por x 4 x 1 x 4 t 2
x
1 4t 2
10t
dx dt ,
2
2
1 t
1 t2
y de esta forma, la integral quedará :
1
2
x 3x 4
dx t 4t
1 t
1
3
2
10t
+ 4t
1 t 2
2
dt 2
t
2
1
dt
1
x 2 3x 4 C .
2 arctg t C = -2arctg
x4
NOTA 2 : El tipo de integrales
I
K
ax 2 bx c
dx se puede resolver también
mediante el método de los cuatro pasos estudiado en el capítulo 1º
85
85
Introducción al cálculo integral
Introducción al Cálculo Integral
EJEMPLO 7 : Calcular :
1
2
2 x 5x 3
dx .
SOLUCIÓN:
Aplicamos el método de los cuatro pasos (Capítulo 1º), por lo que escribimos:
2 x 2 5x 3 2 x 2 x 2 5x 3 2 x 2 4x 2 2 2
5
37
, 4
4
2
5
37
2 x 5x 3 2 x ,
4
4
2
de donde nuestra integral quedará de la forma :
1
2 x 2 5x 3
dx 1
37
2 x 4
5
4
2
dx ,
5
dx du , con lo que se tiene :
4
1
1
dx du ,
2
37
2
37
5
2u
2 x 4
4
4
Efectuamos ahora el cambio de variable : u x 1
2
2 x 5x 3
dx Sacando factor común 2 en el radical de la última integral, se tiene :
86
86
1
37
2u 2
4
du 1
2
1
37
u2
8
du ,
Capítulo
5. Integraciónal
de Cálculo
funciones irracionales
Introducción
Integral
37
t du 8
y efectuando ahora el cambio de variable : u 37
dt , la última
8
integral se resuelve y se deshacen los cambios efectuados :
1
2
1
37
u2
8
du 37
1
8
dt 37 37 2
2
t
8
8
1
2
8 1
2 arcsen
u C arcsen 2
x 2
2
37 37 1
de donde:
1
2
2 x 5x 3
1
1 t
dt 2
1
2
arcsent C
5
C ,
4
dx 1 arcsen 2 2 x 5 C .
2
5.3.- Método alemán
I
37 4
Pn ( x )
dx , donde Pn x es un
ax 2 bx c
polinomio en la variable x de grado n 1, a , b , c R , a 0 , es aplicable el
Para resolver integrales del tipo
método del teorema 5.2. Sin embargo, puede suponer una economía de cálculo utilizar
el siguiente método, conocido como método alemán, que consiste en descomponer el
integrando de la siguiente forma:
Pn ( x )
ax 2 bx c
d
Q x
dx n 1
ax 2 bx c K
ax 2 bx c
,
Qn 1 x es un polinomio indeterminado de grado n-1 y K es una constante real.
Una vez determinados Qn 1 x y K , se tiene :
donde
Pn ( x )
ax 2 bx c
dx Qn 1 x ax 2 bx c K
ax 2 bx c
dx ,
87
87
Introducción al cálculo integral
donde la integral
Introducción al Cálculo Integral
K
ax 2 bx c
dx puede calcularse utilizando el método del
teorema 5.2 o utilizando el método de los cuatro pasos.(Véase nota 2). En el caso de que
el polinomio Pn x tenga grado 1, es interesante señalar que sin necesidad de utilizar el
método alemán podemos reducirla al cálculo de una integral del tipo
mediante el método de descomposición estudiado en el capítulo 1.
EJEMPLO 8 : Calcular :
4 x 10
x2 4x 3
K
ax 2 bx c
dx ,
dx .
SOLUCIÓN:
En este caso el polinomio -4x + 10 tiene grado 1, por tanto, aplicando el método
alemán:
4 x 10
2
x 4x 3
dx 4 x 2 4 x 3 2
2
x 4x 3
dx
4 x 2 4 x 3 2 arcsen x 2 C .
EJEMPLO 9 : Calcular :
8 x 2 14 x 20
dx .
x 2 2x 3
SOLUCIÓN:
En este caso el polinomio 8 x 2 14 x 20 tiene grado 2. Aplicando el método
alemán, se tiene :
8 x 2 14 x 20
x 2 2x 3
88
88
d Ax B x 2 2 x 3 dx C
x2 2x 3
,
Capítulo
5. Integraciónal
de Cálculo
funciones irracionales
Introducción
Integral
de donde, derivando la expresión anterior y quitando denominadores, se obtiene :
8 x 2 14 x 20 A x 2 2 x 3 Ax B x 1 C ,
igualando coeficientes en la última igualdad, se sigue :
8 2A
A 4
14 3 A B B 2
20 3 A B C
C 6
y por tanto :
8 x 2 14 x 20
x 2 2x 3
dx 4 x 2 x 2 2 x 3 6
x2 2x 3
dx ,
Aplicando ahora el método de los cuatro pasos, se obtiene :
6
x 1
dx 6 arg sh
,
2 x2 2x 3
y por tanto :
8 x 2 14 x 20
x 1
dx 4 x 2 x 2 2 x 3 6 arg sh
C.
2 x 2x 3
2
NOTA 4: Para resolver integrales del tipo
A, B, a , b, c R, A
0, a
I
dx
Ax B
n
ax 2 bx c
, donde
0, n N , es aplicable el teorema 5.2, pero puede
ser más sencillo su cálculo si se realiza el cambio de variable :
1
Ax B ,
t
89
89
Introducción al cálculo integral
Introducción al Cálculo Integral
con lo que se obtendrá :
x
radical del integrando quedará :
1 1
1
B dx 2 dt . De esta forma, el
At
At
Mt 2 Nt P
,
t
ax 2 bx c donde M . N . P R se calculan a partir de
de la forma :
Ax B
dx
n
ax 2 bx c
donde la integral 1
A
según sean los valores de n:
1
A, B, a , b, c y la integral queda ahora
1
dt
1
At 2
2
A
Mt Nt P
t
n
t
t n 1 dt
t n 1dt
Mt 2 Nt P
,
, se puede calcular de distintas formas
Mt 2 Nt P
Si n 1 utilizaremos el método de los cuatro pasos y buscaremos una integral del
tipo arcsen, argsh, argch.
Si n 2 utilizaremos una descomposición irracional (Véase el apartado 1.2.3.3, del
capítulo 1º).
Si n 2 la integral es calculable por el cambio del teorema 5.2, o utilizando el
método alemán.
EJEMPLO 10 : Calcular:
x 1
dx
2
x2 x 1
.
SOLUCIÓN:
La integral pedida pertenece al tipo de las estudiadas en la nota 4, por tanto efectuamos
el cambio de variable:
90
90
1
x 1 ,
t
Capítulo
5. Integraciónal
de Cálculo
funciones irracionales
Introducción
Integral
con lo que se obtendrá :
1
1
x 1 dx 2 dt .
t
t
De esta forma, el radical quedará :
t2 t 1
,
t
x2 x 1 y la integral queda de la forma :
x 1
dx
2
x2 x 1
1
dt
t dt
t2
,
t2 t 1
t2 t 1
t
1
t2
Escribimos ahora esta última integral como suma de dos, siendo una de ellas inmediata :
1 2t 1 dt
1
dt
2
t2 t 1
t2 t 1 2
t 2 t 1 dt
1 2
1
t t 1 .
2
2
t2 t 1
t dt
Calculamos ahora la última integral :
dt
2
t t 1
.
Descomponiendo el radicando en suma de cuadrados. en este caso, se tiene:
2
1
3
t t 1 t ,
2
4
2
por tanto :
2 3
1 .
arg sh
t
2
3 t2 t 1
dt
Sustituyendo en la integral original :
x 1
dx
2
x2 x 1
2 3 1 1 1
1
x 2 x 1 arg sh
C .
2 x 1
2
2
3 x 1
91
91
Introducción al cálculo integral
Introducción al Cálculo Integral
5.4.- Integración de funciones racionales en x y el radical
incompleto
ax 2 bx c
Las integrales que estudiaremos en esta sección se dividen en cuatro tipos:
TIPO 1.- Son integrales de la forma I R x ,
c 2 a 2 x 2 dx . Estas integrales
se reducen a integrales de tipo trigonométrico mediante el cambio de variable :
x
c
c
sen t ó x cos t .
a
a
TIPO 2.- Son integrales de la forma I R x ,
c 2 a 2 x 2 dx . Estas integrales
se reducen a integrales de tipo trigonométrico mediante el cambio de variable :
x
TIPO 3.- Son integrales de la forma
c
tg t .
a
I R x , a 2 x 2 c 2 dx . Estas integrales
se reducen a integrales de tipo trigonométrico mediante el cambio de variable :
x
TIPO 4.- Son integrales de la forma
en realidad de la forma I c
sec t .
a
I R x , ax c dx . Estas integrales son
1
2 dx , que se calculan utilizando el
R
x
,
ax
b
teorema 5.1.
EJEMPLO 11 : Calcular:
xdx
x2 1
SOLUCIÓN:
La integral dada pertenece al tipo 3, por lo que efectuamos el cambio de variable :
x sec t dx sec t tg t dt ,
92
92
Capítulo
5. Integraciónal
de Cálculo
funciones irracionales
Introducción
Integral
de esta forma, la integral propuesta quedará :
xdx
2
x 1
sect sect tgt sec t 1
2
dt sec 2 t dt tgt C tg arc sec x C.
5.5.- Integrales binomias
5.5.1.- Definición : Una integral binomia es una integral irracional de la forma :
I x m a bx n dx .
p
donde
a , b R , m, n, p Q .
5.5.2.- Resolución de integrales binomias.
Las integrales binomias se pueden transformar en integrales racionales cuando alguno
de los números :
m1
m1
, p,
p es un número entero. Para resolverlas,
n
n
efectuamos previamente el cambio de variable :
1 n1 1
x t dx t dt ,
n
n
con lo que la integral binomia queda de la forma :
Ix
m
a bx n
p
1 mn11
a bt p dt .
dx t
n
El segundo cambio de variable a efectuar depende de cuál de los números
m1
m1
, p,
p es un entero. Estudiemos caso por caso :
n
n
m1
es un entero, se efectúa ahora el cambio de variable :
n
a bt z r , siendo r el denominador de p cuando p viene expresado como una
CASO 1.- Si
fracción irreducible.
93
93
Introducción al cálculo integral
Introducción al Cálculo Integral
p es un entero, se efectúa ahora el cambio de variable :
t zr ,
m1
m1
1 cuando
1 viene expresado como una
siendo r el denominador de
n
n
CASO 2.- Si
fracción irreducible.
CASO 3.- Si
t
m 1
1
n
m1
p es un entero, multiplicamos y dividimos el integrando
n
a bt p
por
t p , por lo que la integral se transforma en :
I x m a bx n dx p
p
1 mn1 1
1 mn1 1 p a bt p
t
a
bt
dt
t
dt
t n
n
a bt que es ahora una integral del tipo : I R t , t dx , que ya se ha
estudiado en el teorema 5.1, por lo que efectuando ahora el cambio de variable :
a bt
zr ,
t
siendo r el denominador de
irreducible.
p cuando p viene expresado como una fracción
Los cambios estudiados en los tres casos, transforman la integral binomia, en una
integral racional. Si la integral binomia no puede clasificarse en ninguno de los tres
casos anteriores, no será resoluble mediante operaciones elementales. (Véase la nota 2
del capítulo 1º).
94
94
Capítulo
5. Integraciónal
de Cálculo
funciones irracionales
Introducción
Integral
EJEMPLO 12 : Calcular:
x 2 dx
.
1 x3
SOLUCIÓN:
Esta integral es una integral binomia, ya que puede escribirse de la forma:
Por
x2
1 x
tanto, se tiene :
2
dx x 1 3
1
3 2
x
dx m = 2, n 3, p m1
1
1, p ,
n
2
1
.
2
m1
1
p , por lo que podemos
n
2
mediante cambios de variable convertir la integral propuesta en una integral racional.
Efectuamos primero el cambio general:
1 23
x t dx t dt ,
3
3
con lo que la integral binomia queda de la forma :
x2
1 x3
dx x 1 x
2
1
3 2
dx =
1
1
1 t 2 dt ,
3
,
y teniendo en cuenta que
caso 1:
m1
es un entero, efectuamos el cambio de variable del
n
con lo que obtenemos :
x2
1 x
3
dx x 2 1 x 3
1 t z 2 dt 2 zdz ,
1
2
dx =
1
3
1
2
2
1
1 t 2 dt 3 z zdz 3 z C
2
2
1 t C 1 x3 C .
3
3
95
95
Introducción al cálculo integral
Introducción al Cálculo Integral
EJEMPLO 13 : Calcular :
3
x
1 x
2
dx
SOLUCIÓN:
Esta integral es una integral binomia, ya que puede escribirse de la forma:
3
x
1 x Por tanto, se tiene :
2
dx 1
x 3 1 1
x2
2
1
1
dx m = , n , p 2 .
3
2
m1 8
m1
2
, p 2,
p , por lo que podemos mediante
n
n
3
3
cambios de variable convertir la integral propuesta en una integral racional. Efectuamos
primero el cambio general :
1
x 2 t dx 2tdt ,
con lo que la integral binomia queda de la forma :
3
x
1 x 2
1
3
2
1
5
2
dx x 1 x 2 dx = 2 t 3 1 t dt ,
y teniendo en cuenta que p es un entero, efectuamos el cambio de variable del caso 2:
t z 3 dt 3z 2 dz ,
con lo que obtenemos :
96
96
3
x
1 x 2
dx 1
x 3 1 1
x2
2
5
dx = 2 t 3 1 t dt 6
2
z7
dz .
1 2z 3 z 6
Capítulo
5. Integraciónal
de Cálculo
funciones irracionales
Introducción
Integral
La última integral es ya una integral racional. Resolviéndola, se obtiene :
6
32 z 1 10
10 3
z7
arctg
dz
ln z 2 z 1 3
3
1 2z 3 z 6
9
z 2 3z 3 5
10
ln z 1 c
3
z3 1
por lo que, deshaciendo los cambios de variable efectuados, se tiene :
3 1
3 2 x 2 1 1
3
3
10 3
10 3
x
2 1 arctg
ln
dx
x
x
2
9 3
3
1 x
EJEMPLO 14 : Calcular :
1
10 3 2
ln x 1 3 3
1
x 3x 2 5
C
1 2
x 1
.
dx
x2 2 x3
5
3
SOLUCIÓN:
Esta integral es una integral binomia, ya que puede escribirse de la forma:
dx
x 2 2 x 3 5
3
x
2
5
3 3
2 x dx
5
m = -2, n = 3, p = - .
3
97
97
Introducción al cálculo integral
Por tanto, se tiene :
Introducción al Cálculo Integral
m1
1
5 m1
,p ,
p 2 , por lo que podemos
3
3 n
n
mediante cambios de variable convertir la integral propuesta en una integral racional.
Efectuamos primero el cambio general:
x 3 t dx 1 23
t dt ,
3
con lo que la integral binomia queda de la forma :
dx
x2 2 x3
y teniendo en cuenta que
5
3
x 2 2 x 3
5
3 dx
=
2
x 2
5
3 3
x
5
x 3 3 dx
2 x
2
m1
p es un entero, siguiendo los pasos estudiados en el
n
caso 3, multiplicamos y dividimos el integrando por
transforma en
dx
4
5
1 -3
t 2 t 3 dt ,
3
t
5
3
, por lo que la integral se
4
5
1 -3
1 -3 2 t =
t 2 t 3 dt =
t t 3
3
5
3
dt
Efectuamos ahora el cambio de variable del teorema 5.1:
2t
2
6z 2
,
z3 t =
dt
t
1- z 3
1- z 3
2
dz ,
con lo que se obtiene :
dx
2
x 2
5
x3 3
5
3 3
x
dx
2 x
2
98
98
-3
z2
2 5
z
=2 1 z3 1 z3
4
5
1 -3
1 -3 2 t =
t 2 t 3 dt =
t t 3
3
2
dz 1 1 z3
dz .
4
z2
5
3
dt Capítulo
5. Integraciónal
de Cálculo
funciones irracionales
Introducción
Integral
La última integral es ya racional. Integrándola y deshaciendo los cambios de variable
efectuados, se obtiene :
dx
x 2 x
2
5
3 3
1 2 x
x
4
1
3 3
1
8
x2
2 x 3
2
3
C
EJERCICIOS.- Resolver las siguientes integrales:
3
x 4 x
5.1.-
5.2.-
5.3.-
x
5.4.-
5.5.-
x 1 x
5.6.-
x
5.7.-
6
dx
x
16 x 2 dx
dx
x2 1
x 1
dx
x 1
dx
dx
2
1 x2
x2
9 x2
dx
99
99
Introducción al Cálculo Integral
100
Introducción al Cálculo Integral
Cap�tulo 6.- Ejercicios resueltos
EJERCICIO 1º.- Calcular las siguientes integrales:
1)
dx
2
4
9x
2)
2x
2x 7
dx
2x 1
3)
2
5x dx
1 x4
SOLUCIONES:
1) Es una integral del tipo estudiado en el apartado 1.2.2:
I
1
4
9x
dx
2
4
dx
3x
2
2
1
dx
3x 1 2
4 3
2
4
3
2
3x
2
dx
1
1 6 arg T h
3x
C
2
2) Es una integral racional del tipo estudiado en el apartado 1.2.3.2:
2x 7
1
4 x 14
dx dx
2 2x 2 2x 1
2x 1
1
4x 2
dx
dx 6
2
2
2 2x 2x 1
2x 2x 1
1
ln 2 x 2 2 x 1 I 1
2
I
2x
2
Calculando aparte I 1 :
dx
dx
2
2
2x 1
4x 4x 2
2dx
arctg 2 x 1 C
2
2 x 1 1
I1 2x
2
101
101
Introducción al cálculo integral
Introducción al Cálculo Integral
Sustituyendo en la integral pedida:
I
1
ln 2 x 2 2 x 1 arctg 2 x 1 C
2
3) Es del tipo estudiado en el apartado 1.2.3.3:
I
5xdx
1 x
4
5
2
2 xdx
1 x
2
2
5
arc sen x 2 C
2
EJERCICIO 2 .- Calcular las siguientes integrales:
4)
x4
x2 x 1
6x 2 1
4 x 3 2 x 1 dx
5)
dx
6)
6 x
4 x 2 12 x 7
dx
SOLUCIONES:
4) Es una integral irracional que se resuelve según lo estudiado en el apartado 1.2.3.3.-
I
x4
x2 x 1
dx 2
2x 1
x2 x 1
dx 2
7dx
x2 x 1
x 2 x 1 I1
Calculamos aparte I 1 :
I1 7
102
102
7
3
dx
2
4x 4x 4
dx
2 x 1
3
2
1
7
7
2
dx
2 x 1
2
1
3
2
dx
2 x 1
3
2
3
Capítulo
6. Ejercicios
resueltos
Introducción
al Cálculo
Integral
Por tanto:
I1 7
2x 1
arg S h
C
2
3
La integral pedida será:
I x2 x 1 7
2x 1
arg S h
C
2
3
5) Es una integral casi inmediata, estudiada en el apartado 1.2.2:
6x 2 1
1
12 x 2 2
1
dx
dx ln 4 x 3 2 x 1 C
3
3
2 4x 2x 1
2
4x 2x 1
6) Es una integral estudiada en el apartado 1.2.3.3.:
6 x
4 x 2 12 x 7
dx x6
1
4 x 2 12 x 7 4
4 x 2 12 x 7
dx 36dx
4 x 2 12 x 7
1
8 x 48
dx
4 2 4 x 2 12 x 7
1
4 x 2 12 x 7 I 1
4
Calculando aparte la integral I 1 (Es del tipo 1.2.2):
I 1 18 2
2dx
2
2 x 3
1
2 2 x 3
9 2 arg Ch
C
2 La integral pedida será:
I 2 x 3
1
4 x 2 12 x 7 9 2 arg Ch
C
4
2 103
103
Introducción al cálculo integral
Introducción al Cálculo Integral
EJERCICIO 3.- Calcular las siguientes integrales:
7)
x 3 dx
4 x 2
dx
8)
3
9)
2
1 x arcsen x
4 2 x x e
2
2 x
SOLUCIONES:
7) Es una integral racional, pudiendo simplificar los cálculos mediante un cambio de
variable previo:
x 2 4 t 2
x dx
4
I
x
t
3
2
2 x dx dt 4x
1 a b
c
2 3 dt
2 t t
t 3
x 2 x dx
4 x 2
3
1
2
t 4dt
t3
Calculando el valor de los parámetros a, b, c:
a 0
dt
1
1
1 dt
2 3 t 2 C
I b 1 2
2
t
t
c 4 2 t
Deshaciendo el cambio de variable:
I
1
2
2 x 4
x
1
2
4
2
C
8) Es una integral casi inmediata del tipo 1.2.2. Efectuamos un cambio de variable
para simplificar :
I
Deshaciendo el cambio:
104
104
arcsen x t
dx
2
1 x arcsen x dt 1 x2
dx
I ln arcsen x C
C
dx
Capítulo
6. Ejercicios
resueltos
Introducción
al Cálculo
Integral
9) Es una integral que se resuelve por el método de integración por partes,estudiado en
el apartado 3.2-1.- En este caso se tendrá que aplicar el método, dos veces:
I
2 x
1
v e 2 x e dx dv
4 2 x x 2 e 2 x dx 2
2
u x 2 x 4
2
2
du
x
1
1
e 2 x x 2 2 x 4 2
2
du 2
2 x 2 u
2 x
x
e
dx
2
2
1 2 x 2 x
v e dv e dx
2
1
1 1
e 2 x x 2 2 x 4 e 2 x 2 x 2 e 2 x dx
2
2 2
1
1
1
e 2 x x 2 2 x 4 e 2 x 2 x 2 e 2 x C
2
4
4
Simplificando el resultado:
1
I e 2 x x 2 4 x 3 C
2
EJERCICIO 4.- Calcular las siguientes integrales:
10)
x
3
2
ln xdx
11)
x3 1
x 1
4
dx
12)
x5
1 x3
dx
SOLUCIONES:
10) Es una integral del tipo estudiado en el apartado 3.2.3: En este caso se tendrá que
aplicar el método de integración por partes dos veces:
4
ln x 2 u
du 2 lnx x dx 2 x
1
x
x 3 ln x dx
I x ln x dx ln
4
x
3
4
2
v
x dx dv
4
3
2
4
du dxx ln x u
2 x
1 x4
1 x4
3
ln x ln x C
4
x
4 2 4
4 4
v 4 x dx dv
105
105
Introducción al cálculo integral
Introducción al Cálculo Integral
Simplificando, quedará:
I
x4 2
1
1
ln x ln x C
4 2
8
11) Es una integral racional del tipo estudiado en el apartado 4.3: En este caso el
denominador sólo tiene una raiz con grado de multiplicidad n=4
x3 1
x 1
4
dx a
b
c
d
dx dx
2 dx 3 dx x 1
x 1
x 1
x 1 4
Calculamos los valores de los parámetros:
x 3 1 a x 1 b x 1 c x 1 d
a 1 b 3 c3 d 2
3
2
Quedando cuatro integrales inmediatas. El resultado es:
I ln x 1 3
3
2
C
2
x 1 x 1 3 x 1 3
12) Es una integral irracional del tipo estudiado en el apartado 5.1 :
1 x 3 t 2 dx 2
3
3
2
x
tdt
1 x
x5
I
I
2 3 2t
C
t 9
3
x 3 x 2 dx
1 x3
2
3
t
2
1 tdt
t
Deshaciendo el cambio:
I
106
106
2
9
1 x 3
3
2
1 x3 C
3
Capítulo
6. Ejercicios
resueltos
Introducción
al Cálculo
Integral
EJERCICIO 5 .- Calcular las siguientes integrales:
13) cos 2 5xdx
14)
e 2 x dx
15)
1 2e x e 2 x
sen 2 x
cos6 x dx
SOLUCIONES:
13) Es del tipo estudiado en el apartado 2.2.2: Efectuamos un cambio de variable para
facilitar el cálculo:
5x t 1 1 cos 2t
dt
I cos 2 5xdx dt 2
dx 5 5
t
1
sen 2t
I
C
1 cos 2 t dt 10
10
20
Deshaciendo el cambio:
I
5x sen 10 x
x sen 10 x
C C
10
20
2
20
14) Mediante un cambio de variable para facilitar el cálculo, se transforma en una
integral racional:
dt
e x t t2
t dt
e 2 x dx
t
x
t
I
ln
1 2e x e 2 x 1 2t t 2
1 t 2
dt dx t t dt
dt
11 t
I
dt dt
1 t
1 t
1 t I ln 1 t t c ln 1 e x e x C
deshaciendo el cambio:
I ln 1 e x e x C
107
107
Introducción al cálculo integral
Introducción al Cálculo Integral
15) Es una integral trigonométrica del tipo estudiado en el apartado 2.2.2:
tg 2 x t 2
2
2
sen x
tg x
1
2 2
1
I
dx
dx
t
4
cos4 x
cos 6 x
cos x
dt
dx 1 t 2
t 2 1 t 2 I
dt t 2 t 4 dt
1 t2
2
I
deshaciendo el cambio:
t3 t5
C
3
5
I=
tg 3 x tg 5 x
C
3
5
EJERCICIO 6 .- Calcular las siguientes integrales:
16)
1 sen x
1 cos x e
x
dx
17)
dx
x 1 x
2
2
x 1
18)
x ln x
1 x 2 2
dx
SOLUCIONES:
16) Utilizando transformaciones trigonométricas, la integral se transforma en suma de
cuatro integrales; dos de ellas se resuelven por partes, y su resultado se simplifica con
las otras dos:
1 sen x 1 cos x x
1 sen x x
e dx e dx
1 cos x
1 cos2 x
1 cos x sen x cos x sen x x
e dx
I
1 cos2 x
cos x e x
cos x x
ex
ex
I
dx dx dx e dx I 1 I 2 I 3 I 4
2
2
sen x
sen x
sen x
sen x
I
108
108
Capítulo
6. Ejercicios
resueltos
Introducción
al Cálculo
Integral
Resolviendo aparte las integrales I 1 y I 3 :
e x dx dv v e x
x
I1 1
cos x e cot g x I 4
2 u du sen x dx sen x
e x dx dv v e x
ex
I3 1
I2
cos x sen
x
du
dx
u
sen x
sen 2 x El resultado será la suma de las cuatro integrales, por tanto:
I e x cot g x I 4 ex
1 cos x I2 I4 I2 ex C
sen x sen x
17) Esta integral racional del tipo estudiado en el apartado 4.3:
x 1
dx
2
x2 x 1
a dx
b dx
x 1
x 1
2
2
mx n
dx
x2 x 1
Para calcular los parámetros, se tiene:
x 1
1
2
x
1 a x 1
b
1
3
2
2
x 1
x2 x 1
a
1
3
a
b
x 1 x 1
mx n
x2 x 1
b x 2 x 1 mx n x 1
m
1
3
n
2
1
3
109
109
Introducción al cálculo integral
Introducción al Cálculo Integral
Quedando dos integrales inmediatas y otra del tipo estudiado en 1.2.3.2:
I 1
1
1
1
dx
dx
3x 3
dx
3 x 1 3 x 1 2 x 2 x 1
1
1
1
I ln x 1 ln x 2 x 1 I 1
3
3 x 1 6
Resolviendo esta última aparte:
I1 I1 1
6
x
2
1
dx
x 1 6
dx
x 1 2
2
3 4
3
dx
2 x 1
3
14
2
arctg
C
2
9
63 x1 3 2
1
32 El resultado final será:
2 x 1
1
1
1
3
I ln x 1 ln x 2 x 1 arctg
C
3
3 x 1 6
9
3 18) Es una integral que se resuelve por el método de integración por partes
I
x ln x
1 x2
2
ln x u
dx dv x dx
1 x2
du 2
v
dx
x
xdx
1 x2
2
I1 Resolviendo aparte esta integral:
I1 110
110
xdx
1 x 2 2
1 x 2 t 1 dt
1
2 21 x 2 2 xdx dt 2 t
Capítulo
6. Ejercicios
resueltos
Introducción
al Cálculo
Integral
Queda:
I Esta
ln x
21 x 2
dx
1
ln x
I2
2
2
x 1 x 21 x 2 I 2 , se resuelve como una integral racional, quedando:
I2 x dx
1
dx
ln x ln 1 x 2 C
2
2
x
1 x
El resultado final será:
I ln x
2 1 x
2
ln x 1
ln 1 x 2 C
2
EJERCICIO 7.- Calcular las siguientes integrales:
19)
1 x dx
1 x x2
20)
sen 2 x
dx
1 k sen x
21)
sen 2 x 3
dx
cos x
SOLUCIONES:
19) Es una integral irracional del tipo estudiado en el apartado 5.2:
1 x x2 x t t2 t 1
2
dt
dx
t2 1
1 2 t 2
I
x 2
t 2t t 2 t 1
1 x 1 x x 2 1 2 t
2t 2 2t 2 1 2t
1 2t
dt dx 2
1 2 t I
2 dt
t t 2 dt
dt
ln t ln t 2 C
t
t 2
111
111
Introducción al cálculo integral
Introducción al Cálculo Integral
Por las propiedades de las funciones logarítmicas:
I ln
t 2 C
t
Deshaciendo el cambio,
I = ln
x2 x 1 2
x2 x 1
C
20) Mediante transformaciones trigonométricas, y un cambio de variable para
simplificar los cálculos, la integral se transforma en una integral. irracional estudiada en
el apartado 1.2.3.3:
I
I
sen 2 x
1 k sen x
dx ,
sen x t
dx 1 k sen x
dt cos x dx 2 sen x cos x
I 2
1 u 2
k
K 1
1 kt u 2tdt
1 u2 t k
1 kt 2u du dt k k2 u du 4
2 1 u 2 du
u
k
Que es una integral inmediata:
2
4 1 kt 4 1 kt I
k2
3k 2
Deshaciendo los cambios:
I 112
112
4
1 k sen x
1 k sen x 1 C
2
3
k
Capítulo
6. Ejercicios
resueltos
Introducción
al Cálculo
Integral
21) Mediante transformaciones trigonométricas, la integral se descompone en suma de
integrales trigonométricas más sencillas:
I
A
sen 2 x 3
dx dx
cos x
cos x
A sen2 x 3 sen 2 x cos 3 cos 2 x sen 3
2 sen x cos x cos 3 cos 2 x sen 2 x sen 3
2 cos 3 sen x cos x sen 3 cos 2 x sen 3 sen 2 x
La integral queda, por tanto:
I 2 cos 3 sen x dx sen 3 cos x dx sen 3
o lo que es lo mismo:
sen 2 x
dx
cos x
I 2 cos 3I 1 sen 3I 2 sen 3I 3
Calculandolas aparte:
I 1 sen xdx cos x C1
I 2 cos xdx sen x C2
I3 Como
sen 2 x
dx
cos x
sen 2 x
es una función impar en cosx, se aplica el cambio senx =t. El resultado es:
cos x
sen 2 x
x dx ln tg sen x C3
I3 2 4
cos x
El resultado final será la suma de los tres integrales:
x I 2 cos 3 cos x 2 sen 3 sen x sen 3 ln tg sen 3 sen x C
2 4
113
113
Introducción al cálculo integral
Introducción al Cálculo Integral
EJERCICIO 8.- Calcular las siguientes integrales:
22)
x
2
23) arc cos 2 x dx
sen ln x dx
24)
ln x 1
dx
x 1
SOLUCIONES:
22) Efectuamos un cambio de variable para simplificar los cálculos, quedando una
integral del tipo estudiado en el apartado 3.2.4: Tendremos que aplicar el método de
integración por partes dos veces
ln x t I x sen ln x dx x e t e 3t sen t dt
dx e t dt du cos t dt 1 3t
u sen t
1 3t
e cos tdt
I 1 3t
e sen t 3t
v e
3
3
dv e dt
3
2
Volviendo a aplicar el método de integración por partes
du sen t dt 1
1 3t
u cos t
I e 3t sen t e cos t dt 1 3t
3t
v
e
3
3
dv e dt
3
1
1
1
I e 3t sen t e 3t cos t e 3t sen t dt
3
9
9
Esta última integral es la inicial, por tanto:
1
1
1
I e 3t sen t e 3t cos t I
3
9
9
Despejando el valor de I, y deshaciendo el cambio de variable:
I
114
114
9 1 3 ln x
1
sen ln x e 3 ln x cos ln x
e
10 3
9
C
Capítulo
6. Ejercicios
resueltos
Introducción
al Cálculo
Integral
23) Efectuando dos cambios de variable sucesivos para simplificar los cálculos, nos
queda una integral que se puede resolver por el método de integración por partes según
lo estudiado en el apartado 3.2.2:
2 x t 1
I arc cos 2 x dx dt arc cos t dt
dx 2 2
arccos t z 1
I t cos z
z sen z dz
2
dt sen z dz u z
du dz 1
I z cos z cos z dz
dv sen z dz v cos z 2
1
z
I cos z sen z C
2
2
Deshaciendo los cambios, queda:
I x arccos2 x 1
1 4x 2 C
2
24) Es una integral irracional del tipo estudiado en el apartado 5.1, resolviéndose
después por el método de integración por partes:
I
ln x 1
x 1 t 2 ln t dt
dx 4 t
t
x 1
dx 2t dt dt du ln t 4
4 ln t dt t 4t ln t 4 dt
dt dv
v t Resolviendo esta última integral, que es inmediata, y deshaciendo el cambio, queda:
I 4 x 1 ln
x 1 1 C
115
115
Introducción al cálculo integral
Introducción al Cálculo Integral
EJERCICIO 9.- Calcular las siguientes integrales:
25)
x arcsen xdx
1 x
26)
2
dx
x
2
a2
27)
3
x
3
x 2 a 2 dx
SOLUCIONES:
25) Es una integral que se resuelve por el método de integración por partes, según lo
estudiado en el apartado 3.2.3:
I
arc sen x u
x dx dx dv 1 x2
x arc sen x
1 x2
1 x 2 arc sen x 1 x2
1 x2
Resolviendo esta última integral:
dx
1 x v 1 x2 du 2
dx
I 1 x 2 arc sen x x C
26) Se puede resolver mediante un cambio de variable hiperbólico (Anexo 2):
I
1
a3
1
3
a
dx
x
2
a2
3
a ch t dt
sh t 1
2
3
1
a2
dx
x2
a2
1
3
x
s h t a
dx a ch t dt dt
ch t
2
Esta última integral es inmediata;
I
1
1 sh t
t ht C 2
C
2
a
a ch t
Deshaciendo el cambio de variable:
I
116
116
x2
a2
1
2
x a2
C
Capítulo
6. Ejercicios
resueltos
Introducción
al Cálculo
Integral
27 ) Es una integral irracional que se resuelve mediante el cambio estudiado en el
apartado 5.1:
x 2 a 2 t 2 I x 3 x 2 a 2 dx x 2 x 2 a 2 x dx x dx t dt t 5 a 2t 3
t 2 a 2 t 2 dt C
5
3
Deshaciendo el cambio de variable:
x a 2
I
2
5
5
a2
x
2
a2
3
3
C
EJERCICIO 10.- Calcular las siguientes integrales:
28)
3x 2 5x
x 1 x 1
2
29)
dx
dx
8
5
x 8 x
SOLUCIONES
28) Es una integral racional estudiada en el apartado 4.3:
I
3x 2 5x
x 1 x 1
2
dx
Descomponiendo la función racional en suma de fracciones simples:
3x 2 5x
x 1 x 1
2
a
b
c
x 1 x 1 x 1 2
Calculamos los parámetros a ,b y c:
3x 2 5x a x 1 b x 1 x 1 c x 1
2
a2
b 1
c 1
117
117
Introducción al cálculo integral
Introducción al Cálculo Integral
Quedando la integral como suma de tres integrales inmediatas:
I
3x 2 5x
x 1 x 1
2
dx 2
1
1
x 1 dx x 1 dx x 1
Resolviendolas:
I 2 ln x 1 ln x 1 2
1
C
x 1
dx
29) Es una integral irracional que se resuelve mediante el cambio estudiado en el
teorema 5.1:
I
x t 8
8t 7 dt
7
t5 t
x 5 8 x dx 8t dt dx
8
obteniendo una integral racional con numerador de mayor grado que el denominador,
por tanto, efectuando la división:
I
t2 8t 3
t2
8 t 2 4
dt dt
8 4
3
t 1
t 1
Deshaciendo el cambio de variable:
I
8x 3 8
8I1
3
Calculamos aparte esta segunda integral:
I1 t2
dt t4 1
t
t2 11
2
2
1 t 1
dt t
dt
dt
4
I2 I3
1
t 1
2
La integral I2 es inmediata. La integral I3 es una integral racional que se resuelve
mediante descomposición en fracciones simples:
I2 118
118
dt
1 t
2
arctg t C1
Capítulo
6. Ejercicios
resueltos
Introducción
al Cálculo
Integral
a dt
b dt
mt n
dt
dt
t 1
t 1
t2 1
1
3
3
1
lnt 1 lnt 1 arctg t C2
4
4
2
I3 t
4
Deshaciendo el cambio de variable y tomando C C1 C2 :
8
x1 8 1
I x 3 8 12 arctg x 1 8 ln 1 8
3
x 1
6
C
EJERCICIO 11.- Calcular las siguientes integrales:
30)
e
ax
cos 2 xdx
31)
cos
2
2 x sen 3 xdx
32)
2 x 104
x 2 x 2 2 x 2
2
dx
SOLUCIONES:
30) Haciendo un cambio trigonométrico tendremos una integral que se puede resolver
por el método de integración por partes según lo visto en el apartado 3.2.4:
1 cos 2 x
dx
2
1 ax
1 ax
1 ax 1
e dx e cos 2 x dx e I1
2
2
2a
2
I e ax cos 2 xdx e ax
Calculamos aparte la integral I1:
du 2 sen 2 x dx 2 ax
u cos 2 x
1 ax
I1 e sen 2 x dx 1 ax
e cos 2 x ax
v e
a
a
dv e dx
a
1 ax
2 e ax
2 ax
I 1 e cos 2 x sen 2 x e cos 2 x dx
a
a a
a
2
I1
a
119
119
Introducción al cálculo integral
Introducción al Cálculo Integral
Despejando I1:
e ax
2e ax
4
cos 2 x 2 sen 2 x 2 I 1
a
a
a
ax
4 e
2e ax
I 1 1 2 cos 2 x 2 sen 2 x
a
a a
I1 I1 e ax
a cos 2 x sen 2 x C
a2 4
Sustituyendo en la integral propuesta:
I
e ax
e ax
a cos 2 x sen 2 x C
2a 2 a 2 4
31) Efectuamos un cambio trigonométrico y después un cambio de variable para
simplificar el cálculo:
cos x sen x 1 cos x sen x dx
t 1 t 1 t dt 4t 8t t
I cos 2 2 x sen 3 x dx cos x t
sen x dx dt
2
2
2
2
2
2
2
2
6
4
2
1 dt
que es una integral inmediata:
I
4t 7 8t 5 5t 3
t C
7
5
3
Deshaciendo el cambio de variable:
I
4
8
5
cos 7 x cos5 x cos 3 x cos x C
7
5
3
32) Es una integral racional que se calcula según lo visto en el apartado 4.4 por el
método de Hermite.
I
120
120
2 x 104
x 2 x 2 2 x 2
2
dx ax b
x 2x 2
2
A dx
x 2
Mx Ndx
x 2 2x 2
Capítulo
6. Ejercicios
resueltos
Introducción
al Cálculo
Integral
Calculando los valores de las constantes A, M , N, a, b:
A1
,
M 1 , N 20 , a 16
,
b 11
se obtiene:
I
16 x 11
lg x 2 x 2 2x 2
x
x 20
dx
2x 2
2
La segunda integral se resuelve por el método de los cuatro pasos, según el apartado
1.2.2. El resultado final es:
I
16 x 11
1
lg x 2 lg x 2 2 x 2 19 arctg x 1 C
2
2
x 2x 2
EJERCICIO 12.- Calcular:
33)
3
x2 x2
4
x6
dx
SOLUCIÓN:
33) Es una integral irracional, que se resuelve mediante el cambio estudiado en el
apartado 2.6.1:
I
12
3
x2 x2
t
4
12
x6
12
t 4 t 6 11
x 2 t
dx t dt
12
11
t3
dx 12t dt t 13 t 15 t 14 dt 12
C
13 15
Deshaciendo el cambio:
I
13
12
x 2
13
12
15
12
x 2
15
12
C
121
121
Introducción al Cálculo Integral
122
Introducción al Cálculo Integral
Cap�tulo 7.- Soluciones de los ejercicios propuestos
Soluciones de los ejercicios del Capítulo 1º
x
x
1.1.-
sen 2 dx 2 cos 2 C
1.2.-
1.3 .-
1.4.-
3x
1.5.-
1 x
1.6.-
1 x 2x
1.7.-
3x
1.8.-
x
2
x 1
dx x 2 1 C
sen x
dx 2 1 cos x C
1 cos x
3x 1
1
dx ln 3x 2 2 x 5 C
2
2x 5
2
2x
4
dx arctg x 2 C
3
2
dx 3
2
2 3x 2
3
3x 2 x 5
2
6
4x 1
C
arctg
7
7
dx arctg
dx 3 arcsen
1.10.-
cos( 3x) sen 8xdx 2x2 3
6x 1
C
61
2
2x2
x
1 C
3
3
1.9.-
dx ln
3x 1 C
cos 5x cos 9 x
C
10
18
123
123
Introducción al cálculo integral
Introducción al Cálculo Integral
x
1.11.-
sen( x 1) cos( x 2)dx 2 sen 3 1.12.-
x
1.13.-
x
x 1dx
2
2x 3
cos( 2 x 1)
C
4
1
x 1
ln x 2 2 x 3 2 arctg
C
2
2
x 4dx
1.14.-
1.15.-
1.16.-
2
1
9
2x 1
ln x 2 x 3 C
arctg
2
x3
11
11
2x 3
x2 x 1
3x 1
5 3x 2
dx 5 3x 2 x 1
2
dx 2 x 2 x 1 2 ln
x 2x
2
2x 1
2 x 1
1 C
3 3
1
3
arcsen x C
5
3
dx x 2 2 x C
Soluciones de los ejercicios del Capítulo 2º
124
124
cos 2 x
1 cos x
1 1 cos x
dx ln
C
3
2
2 sen x 2
sen x
sen x
2.1.-
2.2.-
cos
2
2.3.-
cos
2
2.4.-
1 cos
cos x
2
1
2
1
dx ln sen x ln sen x C
2
4
4
x sen x
2
2
dx
ln 1 tg x C
x sen x cos x
sen 2 x
1
dx arctg(cos 2 x ) C
2
2
2x
Capítulo
7. Soluciones deallosCálculo
ejercicios Integral
propuestos
Introducción
sen 3x
1
2.5.-
2 cos 3x dx 3 ln 2 cos 3x C
2.6.-
1 cos x ln 1 cos x ln cos x C
tg x
Soluciones de los ejercicios del Capítulo 3º
3.1.-
x 3 x e
2
x
dx e x 3x 2 7 x 7 C
2 x 2 ln xdx x 2 2 x ln x 3.2.-
3.3.-
e
3.4.-
ln x
dx 2 x ln x 2 C
x
3.5.-
x sen 2 xdx 3x
2
3
sen 2 x e 3 x e 3 x cos 2 x C
13
13
sen 2 xdx x
3.6.-
2
x2
2C
2
x 2 x sen 2 x cos 2 x
C
4
4
8
3x sen 2 x e x dx
3
1
1 3
1
x 2 5x 5 e x x 2 x cos 2 x x sen2x C
2 4
2
2
4
cos7 x cos5 x
C
7
5
3.7.-
cos4 x sen 3 xdx 3.8.-
sen m Ax cos Axdx 1 sen m1 Ax
C
A m1
125
125
Introducción al cálculo integral
Introducción al Cálculo Integral
Soluciones de los ejercicios del Capítulo 4º
x 1
1
1
2
dx ln x ln x 2 ln x 3 C
2
3
6
2
5x 6 x
4.1.-
x
4.2.-
x
4.3.-
2 x
4.4.-
4.5.-
3
x 1
2
2x 1
dx C
arctg
3
1
3
3
4.7.-
2
2 x 4
3x 4 2 x 3 1
x x2 1
x
4.6.-
dx
2
x2 4
2
x2 2
2
2
1
1
11
ln x 2 ln x 2 ln x 3 C
40
40
4
dx ln x ln x 2 1 arctg x dx 5
4 2
arctg
x
2
126
126
4x x 2 2
C
x2 3
1
1
4
4x 1
dx ln x 1 ln 2 x 2 x 1 C
arctg
3
2
2
2
2x x 1
7
7
x
dx
2
4
2
x 1 x
1
arctg C
16
2 8 x2 4
Soluciones de los ejercicios del Capítulo 5º
5.1.-
5x 2 8
2x
C
x2 1
3
x 4 x
6
12
dx x 6 x x12 x C
6
7
13
x
Capítulo
7. Soluciones deallosCálculo
ejercicios Integral
propuestos
Introducción
5.2.-
5.3.-
x
5.4.-
5.5.-
x 1 x 2 arctg
5.6.-
5.7.-
16 x 2 dx 8 arcsen
dx
2
x 1
ln
x
1 x2 1
C
x 1
dx x 2 1 arg cosh x C
x 1
dx
x
x x
16 x 2 C
4 2
dx
2
1 x2
x2
9 x2
dx x C
1 x2
C
x
9
x
9 x 2 ln x 9 x 2 C
2
2
127
127
Introducción al Cálculo Integral
128
Introducción al Cálculo Integral
Anexo�1�- Fórmulas trigonométricas
Recogemos a continuación las principales fórmulas que relacionan las diversas
funciones trigonométricas:
a).-
-Sen x = Sen(-x)
Función Impar
b).-
Cosx = Cos(-x)
Función Par
c).-
Tg(-x) = -Tgx
Función Impar
d).-
Cos2 x Sen 2 x 1 Propiedad fundamental o pitagórica.
e).-
Sen (x y ) SenxCosy CosxSeny
f).-
Sen2x = 2SenxCosx
g).-
Cos x( y ) CosxCosy SenxSeny
h).-
Cos2x = Cos 2 x - Sen 2 x
i).-
Tg(x y) Tgx Tgy
2 TgxTgy
Derivadas de las funciones trigonométricas.
a).-
d
Senx Cosx
dx
b).-
d
Cosx Senx
dx
c).-
d
1
Tgx 2
dx
Cos x
129
129
Introducción al cálculo integral
130
130
d).-
d
1
Co tg x 2
dx
Sen x
e).-
d
Secx SecxTgx
dx
f).-
d
Co sec x Co sec xCo tg x
dx
g).-
d
1
Arc sen x dx
1 x2
h).-
d
1
ArcCosx dx
1 x2
i).-
d
1
ArcTgx dx
1 x2
j).-
d
1
Arc Co tg x dx
1 x2
k).-
d
1
Arc Secx dx
x x2 1
l).-
d
1
Arc Co sec x dx
x x2 1
Introducción al Cálculo Integral
Introducción al Cálculo Integral
Anexo 2�- Funciones hiperbólicas
Definiciones.
SenHx ex ex
2
Co tg Hx ex ex
ex ex
CosHx =
ex ex
2
SecHX =
2
e ex
x
TgHx =
ex ex
e x ex
CosecHX =
2
e ex
x
Funciones inversas. Equivalencia con funciones irracionales.
FUNCIÓN
HIPERBÓLICA
ArgSenHx
ArgCosHx
FUNCIÓN IRRACIONAL
ln x x 2 1
ln x x 2 1
ArgTgHx
1 1 x
ln
2 1 x
1 x 1
ln
2 x 1
ArgCotgHx
ArgSecHx
ArgCosecHx
ln
1 1 x2
x
ln
1
1 x2
x
x
DOMINIO DE
DEFINICIÓN
x 1 x 1 x 1
x ,1 1, 0 x 1
x ,0 0, 131
131
Introducción al cálculo integral
Introducción al Cálculo Integral
Propiedades.
a).- CosHx = CosH(-x) Función par
b).- SenHx = -SenH(-x) Función impar
c).-
CosH 2 x SenH 2 x 1 Propiedad fundamental.
d).- CosH(x+y) = CosHx CosHy + SenHx SenHy
e).- CosH 2 x CosH 2 x SenH 2 x
f).- CosH(x-y) = CosHx CosHy - SenHx SenHy
g).- SenH(x+y) = SenHx CosHy + CosHx SenHy
h).- SenH 2 x 2 SenHx 2CosHx
i).- SenH(x-y) = SenHx CosHy - CosHx SenHy
j).-
TgH ( x y) TgHx TgHy
1 TgHx TgHy
Derivadas de las funciones hiperbólicas.
132
132
a).-
d
SenHx CosHx
dx
b).-
d
CosHx SenHx
dx
c).-
1
d
TgHx dx
CosH 2 x
d).-
d
1
Co tg Hx dx
SenH 2 x
Anexo al
2. Funciones
Introducción
Cálculohiperbólicas
Integral
e).-
d
SecHx SecHxTgHx
dx
f).-
d
Co sec Hx Co sec HxCo tg Hx
dx
g).-
d
1
ArgSenHx dx
1 x2
1
d
x 1,+
ArgCosHx 2
dx
x 1
d
1
i).x -1,1
ArgTgHx dx
1 x2
h).-
j).-
d
1
ArgCo tg Hx dx
1 x2
,
x 11
k).-
d
1
ArgSecHx dx
1 x2
x 0,1
l).-
d
1
ArgCo sec Hx dx
x 1 x2
x0
133
133
Introducción al Cálculo Integral
134
Introducción al Cálculo Integral
Anexo 3.- Cálculo de las raíces enteras y racionales de un
polinomio
Sabemos que un polinomio tiene tantas raíces como su grado indica, contando cada una
de las raíces tantas veces como indique su multiplicidad. Otra cuestión diferente es
cómo calcularlas. En esta sección veremos el procedimiento a seguir para encontrar las
raíces racionales de un polinomio con coeficientes racionales. De hecho, nos bastará
suponer que los coeficientes del polinomio son números enteros, puesto que dado un
polinomio
P ( x ) a n x n a n 1 x n 1 a 1 x a 0 , a n 0
con coeficientes racionales, multiplicando los coeficientes del polinomio por su mínimo
común múltiplo, M = m.c.m ( a 0 , a 1 , a 2 , , a n ), obtenemos el polinomio M P(x)
que tiene los coeficientes enteros y las mismas raíces que el polinomio P(x). Por tanto,
en todo este anexo supondremos que el polinomio:
P ( x ) a n x n a n 1 x n 1 a 1 x a 0 , a n 0 ,
tiene coeficientes a 0 , a 1 , a 2 , , a n enteros.
Cálculo de las raíces enteras.
Para calcular las raíces enteras de un polinomio
P ( x ) a n x n a n 1 x n 1 a 1 x a 0
utilizaremos los siguientes resultados :
Teorema 1: Las raíces enteras del polinomio
P ( x ) a n x n a n 1 x n 1 a 1 x a 0
son divisores del término independiente
a0 .
Así, dado un polinomio P(x), para calcular sus raíces enteras, lo primero que tendremos
que calcular son los divisores del término independiente de P(x) y luego comprobar
cuál de ellas es raíz. El problema que muchas veces se plantea es que el número de
135
135
Introducción al cálculo integral
Introducción al Cálculo Integral
divisores del término independiente puede ser muy elevada. Para disminuir el número
de candidatos a raíz utilizaremos el siguiente resultado :
Teorema 2 : Las raíces enteras de P(x)=0 disminuidas en una unidad, deben ser
divisores de P(1), y aumentadas en una unidad, deben ser divisores de P(-1).
NOTA 1: Téngase en cuenta que cuando obtengamos una raíz entera,
, se sigue que :
Pn x x Pn 1 x siendo Pn1 x un polinomio de grado n-1, calculable fácilmente por medio de la
Regla de Ruffini y cuyos coeficientes son todos enteros. Al polinomio Pn-1 (x) le
podemos aplicar de nuevo los teorema 1 y 2.
Como consecuencia de los teoremas 1 y 2 y de la nota 1, la forma de proceder para
calcular las raíces enteras de una polinomio será la siguiente :
1º) Calculamos P(1) y P(-1). Si 1 ó -1 es raíz de P(x)=0, se dividirá el polinomio
original por x 1 o x 1 , según sea el caso, tantas veces como sea el orden de
multiplicidad de dichas raíces. Y con el polinomio resultante, el cual no tiene a 1 ó -1
como raíces, continuaremos con el paso 2.
2º) Calculamos la lista de los divisores, llamémoslos bi, del término
independiente del polinomio obtenido en el paso 1º. Tomando una de las posibles
raíces b, le sumaremos y le restaremos una unidad, obteniendo los valores b+1 y b-1.
Comprobaremos si se verifican las dos condiciones del teorema 2. Si para la raíz b se
verifican estas condiciones, comprobamos si b es una raíz del polinomio. En caso de no
serlo, se elimina b de la lista de posibles raíces enteras y se procede con la siguiente. En
el caso de ser raíz, se dividirá el polinomio original por (x-b) tantas veces como sea el
orden de multiplicidad de dicha raíz b. Y con el polinomio resultante, el cual no tiene a
b como raíz, calculamos la lista de los divisores de su término independiente,
llamémoslos ci , eliminando de la lista de los bi aquellos términos que no aparezcan en
la lista ci y repetiremos el paso 2º con el siguiente término de la lista resultante.
Cuando ya no quede ningún candidato a raíz, el polinomio P(x) ya no tiene más raíces
enteras.
Después de calcular las raíces enteras del polinomio P(x), procedemos al cálculo
de las raíces fraccionarias.
136
136
Anexo 3. Cálculo de Introducción
raíces enteras y racionales
de unIntegral
polinomio
al Cálculo
Cálculo de las raíces fraccionarias.
Para calcular las raíces fraccionarias de un polinomio
P ( x ) a n x n a n 1 x n 1 a 1 x a 0
utilizaremos los siguientes resultados :
Teorema 3: Las raíces fraccionarias irreducibles
h
del polinomio
k
P ( x ) a n x n a n 1 x n 1 a 1 x a 0
verifican que su numerador
h es un divisor del término independiente
denominador k es un divisor de
an .
a 0 y su
Como consecuencia del teorema 3, se tiene :
Corolario 1 : Si un polinomio
P ( x ) a n x n a n 1 x n 1 a 1 x a 0 ,
con coeficientes enteros tiene coeficiente director a0=1, entonces todas sus posibles
raíces racionales serán enteras.
Un procedimiento para descartar valores de la lista de posibles raíces fraccionarias del
polinomio P(x) es utilizar el siguiente resultado :
Teorema 4: Las raíces racionales irreducibles de P(x)=0 satisfacen que expresadas en
forma de fracción irreducible, la diferencia entre su numerador y su denominador debe
ser divisor de P(1), y la suma de su numerador y de su denominador debe ser divisor de
P(-1).
Así, para determinar las raíces racionales del polinomio P(x), suponiendo que ya se han
calculado las enteras, podemos proceder de la siguiente forma :
1º) Calculamos P(1) y P(-1), donde ya se supone que 1 y -1 no son raíces de P(x)=0.
2º) Calculamos la lista de los divisores del término independiente y del término director
del polinomio P(x) y a continuación escribimos todos los racionales no enteros, cuya
fracción irreducible que los representa tiene un numerador entre los divisores del
término independiente y un denominador entre los divisores del coeficiente director del
polinomio.
137
137
Introducción al cálculo integral
Introducción al Cálculo Integral
3º) Descartamos de esta lista los términos que no verifiquen las condiciones del teorema 4.
Tras esta criba nos quedarán algunos términos que serán las posibles raíces racionales
del polinomio. Procedemos ahora a su comprobación.
Otro procedimiento para calcular las raíces fraccionarias es utilizar el corolario 1,
transformando el polinomio dado
P ( x ) a n x n a n 1 x n 1 a 1 x a 0
en otro cuyo coeficiente director sea la unidad. Para ello, basta tomar una nueva
incógnita :
y x an x =
con lo que el polinomio
en el polinomio
y
an
P( x ) a n x n a n 1 x n 1 a 1 x a 0 se transforma
yn
y n 1
y
P ( x ) a n n a n 1 n 1 a 1
a0 0
an
an
an
P( x ) y n a n 1 y n 1 a n 2 a n y n 2 + a1 a n n 2 y a 0 a n n 1 0
en el que el coeficiente director es la unidad, y que por el corolario 1 carece de
soluciones fraccionarias. Cada raíz entera de este polinomio, pongamos , según el
cambio, da lugar a las raíz fraccionaria
=
an
.
Por tanto, se tiene la siguiente regla para determinar las raíces fraccionarias de un
polinomio :
1º) Una vez calculadas las raíces enteras de la ecuación
P( x ) a n x n a n 1 x n 1 a 1 x a 0 =0,
y suprimiendo dichas raíces por división por los binomios correspondientes, se
transforma la ecuación resultante en otra cuyo primer coeficiente sea la unidad,
mediante la sustitución :
y x an x =
y
an
con lo que se obtiene un nuevo polinomio Q(y) y una nueva ecuación en la variable “y”
de la que se determinan las raíces enteras.
138
138
Anexo 3. Cálculo de Introducción
raíces enteras y racionales
de unIntegral
polinomio
al Cálculo
2º) Una vez determinadas las raíces enteras del polinomio Q(y), para cada raíz entera de
dicho polinomio , se tiene una raíz fraccionaria
=
an
del polinomio inicial P(x).
EJEMPLO 1 : Calcular la descomposición factorial del polinomio
P( x ) 6 x 3 13x 2 9 x 2
SOLUCIÓN:
En primer lugar calculamos sus raíces enteras : para ello lo primero a efectuar es
calcular la lista de los divisores del término independiente, estos divisores son : 1, 2, -1,
-2. Calculamos a continuación P(1) y P(-1). Se tiene que P(1)=0, por lo que tenemos
determinada una raíz entera.
Dividiendo el polinomio P(x) por el binomio
x 1
se obtiene :
P( x ) 6 x 3 13x 2 9 x 2 x 1 6 x 2 7 x 2
Podemos comprobar que no hay ya más raíces enteras. Procedemos ahora al cálculo de
las raíces fraccionarias. Aplicando la transformación :
y 6x x =
y
,
6
2
se tiene el nuevo polinomio en la variable “y” , Q ( y ) y 7 y 12 , que carece
de soluciones fraccionarias. Procedemos ahora al cálculo de las raíces enteras de
y 2 7 y 12 , elaborando la lista de los divisores del término independiente 12.
Estos son: 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, 6, -6, 12, -12.
Calculamos a continuación Q(1)=6 y Q(-1)=20, por lo que en nuestra lista podemos
eliminar a 1 y a -1 como posibles raíces. Descartamos de nuestra lista aquellos términos
que disminuidos en una unidad no dividen a Q(1) , descartando 6,12,-3,-4,-6,-12, y que
aumentados en una unidad no dividen a Q(- 1), descartando 2. Quedan en nuestra
lista los candidatos: 3, 4, -2. Aplicando Ruffini podemos comprobar que 3 y 4 son raíces
enteras de Q(y), y que por tanto
x=
4 2
,
6 3
x=
3 1
6 2
139
139
Introducción al cálculo integral
Introducción al Cálculo Integral
son las raíces racionales de P(x). Por tanto, P(x) quedará factorizado como :
2
1
P( x ) 6 x 3 13x 2 9 x 2 x 1 x x .
3 2
También se podría haber simplificado el problema a partir de la factorización
P( x ) 6 x 3 13x 2 9 x 2 x 1 6 x 2 7 x 2
pues el polinomio 6 x
resoluble por radicales.
2
7 x 2 es un polinomio de segundo grado y por tanto
EJEMPLO 12 : Calcular la descomposición factorial del polinomio
P( x ) x 4 10 x 3 30 x 2 40 x 24
SOLUCIÓN:
Calculamos sus raíces enteras, pues por el corolario 1 el polinomio no tiene
raíces fraccionarias. Calculamos la lista de los divisores del término independiente,
estos divisores son : 1, 2,3,4,6,8,12,24, -1 ,-2,-3,-4,-6,-8,-12,-24. Calculamos a
continuación el valor de P(1) y P(-1). Se tiene que P(1)=5 y P(-1)=105, por lo que en
nuestra lista podemos eliminar a 1 y a -1 como posibles raíces.
Descartamos de nuestra lista aquellos términos que disminuidos en una unidad no
dividen a P(1), y que aumentados en una unidad no dividen a Q(- 1), descartando los
valores 3, 4, 8, 12, 24, -2, -3, -6, -8, -12, -24. Quedan en nuestra lista los términos: 2, 6,
-4.
Aplicando Ruffini podemos comprobar que 2 y 6 son raíces enteras simples , por lo que
nuestro polinomio quedará factorizado como
P( x ) x 4 10 x 3 30 x 2 40 x 24 x 2 x 6 x 2 2 x 2
donde el polinomio
140
140
x 2 2 x 2 tiene raíces complejas como se puede comprobar.
Anexo 3. Cálculo de Introducción
raíces enteras y racionales
de unIntegral
polinomio
al Cálculo
NOTA 2 : Respecto al cálculo de las raíces reales de un polinomio, salvo contados
casos, es bastante difícil conseguir el valor exacto de estas raíces. Deben emplearse
entonces métodos aproximados. Lo mismo puede decirse respecto a las raíces
complejas, salvo en el caso de que la factorización nos proporcione términos
cuadráticos (polinomios de segundo grado) como factores, tal como sucedía en el
ejemplo 12. Es interesante recordar que para las raíces complejas de un polinomio se
verifica el siguiente resultado :
Teorema 5 : Si un polinomio de coeficientes reales P(x) tiene una raíz compleja
a ib , entonces el número complejo conjugado a ib es también raíz del polinomio
P(x).
141
141
Introducción al Cálculo Integral
142
Introducción al Cálculo Integral
Bibliografía
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Coquillat, F. “Cálculo Integral. Metodología Y Problemas”. Tébar Flores. 1980.
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143
143