UNIDAD 3: LA INTEGRAL,
TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN
Tema: Integración
Trigonométrica
a
Prof.
Dra. Sabrina G. Suárez Calcina
Cálculo en Una Variable (CIV2-2)
Semana 10
26/10/2023
1
Objetivos
2
Integración trigonométrica
3
Ejemplos
Sabrina S. C
Unidad III: La Integral, Técnicas de Integración
2
Contenido
1
Objetivos
2
Integración trigonométrica
3
Ejemplos
Sabrina S. C
Unidad III: La Integral, Técnicas de Integración
3
Objetivos
• Aprender a integrar expresiones que
involucren funciones trigonométricas.
Sabrina S. C
Unidad III: La Integral, Técnicas de Integración
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Contenido
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Objetivos
2
Integración trigonométrica
3
Ejemplos
Sabrina S. C
Unidad III: La Integral, Técnicas de Integración
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INTEGRACIÓN TRIGONOMÉTRICA
Analizaremos cuatro tipos fundamentales de integrales trigonométricas.
1. Integrales de la forma:
Z
sinn (x)dx
Z
o
cosn (x)dx
Se consideran dos casos:
Caso
1. Si n es par se utiliza las identidades trigonométricas:
sin2 (x) =
Caso
1 − cos(2x)
2
o
cos2 (x) =
1 + cos(2x)
2
2. Si n es impar se utiliza la identidad trigonométrica:
sin2 (x) + cos2 (x) = 1
De aquí, despejamos el seno o coseno, según sea el caso.
Sabrina S. C
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INTEGRACIÓN TRIGONOMÉTRICA
2.
Integrales de la forma:
Z
sinm (x) · cosn (x)dx
Se consideran dos casos:
Caso
1. Si al menos uno de los exponentes m o n es un entero impar positivo (el otro
puede ser cualquier número real)
(a) Si m es impar y n ∈ R, se factoriza el sin(x)dx y se expresa los senos restantes
en función de coseno, usando la identidad:
sin2 (x) = 1 − cos2 (x)
(b) Si n es impar y m ∈ R, se factoriza el cos(x)dx y se expresa los cosenos
restantes en función de seno, usando la identidad:
cos2 (x) = 1 − sin2 (x)
Sabrina S. C
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INTEGRACIÓN TRIGONOMÉTRICA
2.
Integrales de la forma:
Z
Caso
sinm (x) · cosn (x)dx
2. Si ambos exponentes m o n son enteros pares. En este caso se usan las
identidades.
sin2 (x) =
Sabrina S. C
1 − cos(2x)
2
o
cos2 (x) =
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1 + cos(2x)
2
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INTEGRACIÓN TRIGONOMÉTRICA
3.
Integrales de la forma:
Z
tanm (x) · secn (x)dx
Z
o
cotan m (x) · cosecn (x)dx
Se consideran tres casos:
Caso
1. Si n es un entero par positivo y m ∈ R, se factoriza la sec2 (x)dx (o
cosec2 (x)dx) y el resto de las secantes (o cosecantes) se expresan en términos
de tan(x) ( o cotan (x)), usando la identidad:
sec2 (x) = 1 + tan2 (x)
Caso
o
cosec2 (x) = 1 + cotan 2 (x)
2. Si m es un entero impar positivo, se factoriza la tan(x) sec(x)dx (o
cotan (x). cosec(x)dx) y el resto de las tangentes (o cotangentes) se expresan
en términos de sec(x) ( o cosec(x)), usando la identidad:
tan2 (x) = sec2 (x) − 1
Sabrina S. C
o
cotan 2 (x) = cosec2 (x) − 1
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INTEGRACIÓN TRIGONOMÉTRICA
3.
Integrales de la forma:
Z
Caso
tanm (x) · secn (x)dx
o
Z
cotan m (x) · cosecn (x)dx
3. Si m es un entero par positivo y n es un entero impar positivo, escribimos el
integrando en términos de sec(x) ( o cosec(x) ) y luego se aplica integración
por partes.
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INTEGRACIÓN TRIGONOMÉTRICA
4.
Integrales de la forma:
Z
Z
sin(ax) · sin(bx)dx,
Z
sin(ax) · cos(bx)dx,
cos(ax) · cos(bx)dx
Aplicamos las siguientes identidades:
sin(m) · sin(n)
=
1
[cos(m − n) − cos(m + n)]
2
sin(m) · cos(n)
=
1
[sin(m + n) + sin(m − n)]
2
cos(m) · cos(n)
=
1
[cos(m − n) + cos(m + n)]
2
Recuerde además que:
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sin(−m)
=
− sin(m)
cos(−m)
=
cos(m)
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Contenido
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Objetivos
2
Integración trigonométrica
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Ejemplos
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EJEMPLOS
1. Calcular
2. Calcular
3. Calcular
4. Calcular
5. Calcular
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Z
sin2 (x) dx
Z
sin5 (x) dx
Z
sin3 (x) · cos2 (x) dx
Z
sin1/5 (x) · cos3 (x) dx
Z
sin2 (x) · cos2 (x) dx
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EJEMPLOS
6. Calcular
7. Calcular
8. Calcular
9. Calcular
10. Calcular
Sabrina S. C
Z
sec6 (x) dx
Z
sec(x) · tan2 (x) dx
Z
tan1/2 (x) · sec4 (x) dx
Z
tan3 (x) · sec2 (x) dx
Z
sin(2x) · cos(7x) dx
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Referencias I
[1] Moisés Lázaro. Cálculo integral y sus Aplicaciones 3ra edición.
Lima, 2010.
[2] James Stewart. Cálculo de una variable. Trascendentes
tempranas. Cengage Learning, 2012.
[3] Claudio Pita.Cálculo de una Variable, 2010.
[4] Guía Práctica de Cálculo, 1ra edición, UCSP, 2016.
Sabrina S. C
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Gracias!
Departamento de Matemática y Estadística