o
Álgebra Linear- 1 Semestre 2023/24
Cursos: LEIC-A
Lista 1 (Capítulo 1)
Sistemas de Equações lineares
As notações e definições utilizadas ao longo do semestre são as que constam do
texto disponibilizado na secção “Texto de Apoio” da página da disciplina. A seguir
indicam-se algumas dessas notações.
Notações:
a) A notação para característica de uma matriz A é car(A).
b) Os pivôs (de uma matriz em escada por linhas) são números diferentes de
zero, e não necessariamente iguais a 1 como aparece em certos textos.
c) Considera-se que as operações do método de eliminação de Gauss são realizadas segundo os critérios indicados na pág. 14 do texto de apoio.
d) As notações para as operações do método de Eliminação de Gauss são:
Li $ Lj trocar a linha i com a linha j.
multiplicar a linha i pelo escalar ↵ 6= 0.
↵Li
substituir a linha i pela soma da linha i com a
linha j multiplicada pelo escalar ↵.
e) Inversa da matriz A: A 1 .
f) Transposta da matriz A: AT .
g) Potência de ordem k de uma matriz quadrada A:
Li + ↵Lj
A0 = I,
Ak = AA
· · · A},
| {z
com k um número natural
k factores
h) tr(A) designa o traço da matriz quadrada A que é igual à soma das entradas
da diagonal principal de A.
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2
Observações:
a) Na resolução de sistema de equações lineares deve usar a noção de característica para determinar a natureza do sistema (veja a resolução do exercício
apresentada no final).
b) No caso de sistemas lineares indeterminados, deve efetuar o cálculo do grau
de indeterminação do sistema.
c) Utilize como variáveis dependentes as que correspondem às colunas com pivôs.
d) Apresenta-se abaixo um exemplo de várias possibilidades para descrever o conjunto S das soluções (ou solução geral) de um sistema linear indeterminado,
nas incógnitas reais x, y, z, w, e com grau de indeterminação 2.
• S = {(x, y, z, w) 2 R4 : x =
w, y = z + 3w}.
• S = {( w, z + 3w, z, w) : z, w 2 R}.
• Como ( w, z + 3w, z, w) = w( 1, 3, 0, 1) + z(0, 1, 1, 0), tem-se S =
Span{( 1, 3, 0, 1), (0, 1, 1, 0)}, onde Span U designa o conjunto gerado
pelos elementos do conjunto U , ou seja, o conjunto de todas as combinações lineares dos elementos de U .
1) Identifique as equações que são lineares nas respetivas variáveis.
p
1
(a) x1 + 7 3 x2
5x3 = 1.
(b) 5x + xy z = 0.
(c)
u=
2
⇡v + w
3
p
3z.
2
(d) x 5 + 8y
1
5z = 7 3 .
2) Resolvendo um sistema de equações lineares, determine um polinómio de grau
menor ou igual a 2 cujos valores em x = 1, x = 1 e x = 2 são, respetivamente,
3, 3 e 9.
3) Resolvendo um sistema de equações lineares, determine valores reais a, b, c por
forma a que ax + by = c defina a reta:
a) que passa pelos pontos (2, 3) e (5, 6);
b) que passa pelos pontos (0, 1) e (1, 1).
c) que passa pelos pontos (0, 0) e (0, 1).
4) Resolva cada um dos sistemas de equações lineares correspondente à matriz
aumentada indicada.
2
3
2
3
1
3 4 7
1 0 8
5 6
9 35 .
(a) 40 1 2 25 .
(b) 40 1 4
0 0 1 5
0 0 1 1 2
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Álgebra Linear- 1S-2023/24
3
5) Escreva as matrizes aumentadas dos sistemas de equações lineares, não-homogéneos,
e resolva-os utilizando o método de eliminação de Gauss.
8
8
w + 2x y = 4
>
>
> 2v + 3w = 1
>
<
<
x y=3
3u + 6v 3w = 2
(a)
(b)
>
>
w + 3x 2y = 7
:
>
>
6u + 6v + 3w = 5.
:
2u + 4v + w + 7x = 9.
8
8
>
>
<x + y + 2z = 15
<2x1 + 2x2 + 2x3 = 1
x 2y + 3z = 0
2x1 + 5x2 + 2x3 = 1
(c)
(d)
>
>
:
:
3x 7y + 4z = 3.
8x1 + x2 + 4x3 = 1.
6) Determine um sistema de equações lineares cuja solução geral seja o conjunto
indicado em cada alínea.
a)
b)
c)
d)
{(2, 1, 3)}.
{(2, t, 3) : t 2 R}.
{(2y + z, y, z) : y, z 2 R}.
{(x, 2x, 4x) : x 2 R}.
7) Utilizando o método de eliminação de Gauss, resolva cada um dos seguintes
sistemas de equações lineares homogéneos.
8
(
>
<x +y+3z = 0
x1 +x2 +x3 +x4 = 0
x+3y
=0
a)
b)
>
7x1 x2 +x3 x4 = 0.
:
y +z= 0.
c)
8
>
>2x + 2y + 4z = 0
>
<w y 3z = 0
>
2w + 3x + y + z = 0
>
>
:
2w + 2x + 3y 2z = 0.
8) Quais das seguintes matrizes 3 ⇥ 3 são matrizes em escada por linhas? Indique
a característica de cada matriz.
2
3
2
3
2
3
2
3
1 0 0
1 0 0
0 1 0
1 0 0
(a) 4 0 1 0 5 ; (b) 4 0 1 0 5 ; (c) 4 0 0 1 5 ; (d) 4 0 0 1 5 ;
0 0 1
0 0 0
0 0 0
0 0 0
2
3
2
3
2
3
2
3
0 1 0
1 1 0
1 0 0
0 1 0
(e) 4 1 0 0 5 ; (f) 4 0 1 0 5 ; (g) 4 0 0 0 5 ; (h) 4 0 1 1 5 ;
0 0 0
0 0 0
0 0 1
0 1 0
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2
3
2
0 2 0
2
(i) 4 0 1 0 5 ; (j) 4 0
0 0 0
0
4
3
2
1
0
2
2+i
0 5 ; (k) 4 0
1
1+i
0
1
0
0
3
0
1 5.
2
9) Sem efectuar cálculos, determine quais dos seguintes sistemas de equações
lineares homogéneos têm solução não-trivial. Justifique.
8
(
>
<2x 3y + 4z w = 0
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = 0
7x + y 8z + 9w = 0
(a)
(b)
>
a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = 0.
:2x + 8y + z w = 0.
(c)
8
>
<x + 3y z = 0
y 8z = 0
>
:4z = 0.
(d)
10) Considere as matrizes reais A e b:

1
1 1
A=
4
4 ↵2
b=
(

3x1
6x1
2x2 = 0
4x2 = 0.
0
.
↵+2
a) Determine a característica da matriz A e da matriz aumentada [A | b] em
função do parâmetro ↵.
b) Use os resultados da alínea anterior para determinar a natureza (em função
de ↵) dos sistemas Ax = b, indicando em cada caso a solução geral.
11) Determine, em função de ↵ 2 R, a
aumentada é:
2
↵ 1
41 ↵
0 0
natureza do sistema linear cuja matriz
3
↵
1
0 1 5.
↵
↵
Nos casos em que o sistema é possível, indique ainda o conjunto das soluções.
12) Determine a natureza de cada um dos seguintes sistemas de equações lineares
em função dos respectivos parâmetros.
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(a)
5
8
>
<↵x + z = 2
↵x + ↵y + 4z = 4
>
:
↵y + 2z = .
(c)
(b)
8
>
<x + y + z = 4
z=2
>
:(a2 4)z = a
8
>
<
2z = 0
cy + 4z = d
>
:
4x + 5y 2z =
2.
2.
13) Um sistema Ax = b é possível se e só se car(A) = car(A|b). Utilize este
resultado para determinar um sistema linear cujo conjunto de soluções é:
{( 1 + s + t, 3s + 2t, 1 + 2s, 1 + t) : s, t 2 R} .
14) Determine em função dos parâmetros a característica das seguinte matrizes
2
3
↵ 1 1
a) A = 4 1 ↵ 1 5
1 1 ↵
2
1
i ↵
0 1
b) A = 4 i
1+i i
3
0
i5 .
15) Considere o sistema de equações lineares representado matricialmente por


3 i 1 5i 4 i
0
x=
,
0
3
2i
2
↵
onde ↵ é um parâmetro complexo. Qual das seguintes afirmações é verdadeira?
a) Qualquer que seja o valor de ↵ 2 C, o sistema de equações é impossível.
b) Qualquer que seja o valor de ↵ 2 C, o sistema de equações é possível e
tem grau de indeterminação 2.
c) Qualquer que seja o valor de ↵ 2 C, o sistema de equações é possível e
tem grau de indeterminação 3.
d) Existem valores de ↵ para os quais o sistema de equações é impossível.
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6
Cálculo Matricial
16) Escreva a matriz A = [aij ]i,j=1,··· ,4 definida por:
(a) aij =
8
< 1
:
0
1
se i = j
se i = j + 1
caso contrário.
2
(b) aij = i . (c) aij =
⇢
aji
j
para todo i, j
para j > i.
17) Complete a igualdade:
2
32 3 2 3
10 200 0.5
20
1
43
1
1 5 4 15 = 4⇤ 5 .
1
2
1
⇤
⇤
2 3
2
a
5 2
a
18) Seja b = 425 a 3 coluna da matriz B do tipo 3 ⇥ 3, e A = 41 0
c
3 2
Complete de modo a obter afirmações verdadeiras:
3
3
1 5.
1
a
a) A 3 coluna de AB é ................................
b) u = Ab é uma combinação linear das colunas de A com coeficientes................................
19) Considere os vetores
2 3
1
4
u1 = 05 ,
2
2
3
2
u2 = 4 1 5 ,
1
2 3
0
4
u3 = 1 5 ,
1
2 3
1
4
b = 15 .
2
a) Verifique se b é combinação linear de u1 , u2 e u3 e em caso afirmativo
indique os coeficientes da combinação linear.
b) Seja A a matriz que tem para colunas os vetores u1 , u2 e b, por esta
ordem.
2 3
a
Use a alínea anterior, para determinar um vetor w = 4 b 5 e um escalar
1
tal que Aw = u3 .
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7
20) Sejam A uma matriz 3 ⇥ 2, B uma matriz 3 ⇥ 2, C uma matriz 2 ⇥ 2, D
uma matriz 3 ⇥ 2 e E uma matriz 2 ⇥ 3. Determine quais das seguintes
expressões matriciais estão bem definidas, e nesses casos, indique o tipo da
matriz resultante.
(a) BA.
(b) AC + D.
(c) AE + B.
(d) AB + B.
(h) (AT + E)D.

2
21) Considere uma função definida por f (x) = Ax, que aplica o vetor u =
no
1



3
1
5
vetor
e o vetor v =
no vetor
.
2
1
6
(e) E(A + B).
(g) E T A.
(f) E(AC).
a) Sem determinar a matriz A calcule f (u
2v).✓ ◆
✓ ◆
3
1
b) Determine a matriz A e use-a para calcular f
ef
.
2
0
22) Calcule se possível A + B, B + C, 2A, AB, BA e CB:
A=

1 4
2 1
p
2
3
2
p1
, B=4 3
0
3
2
⇡
3
2 5 , C=4 0
0
1
2
1
1
3
0 0
2 0 5.
0 5
23) Calcule os seguintes produtos de matrizes:
2
2 1
4
a) 1 3
2 4
32
3
0
1 1
15 4 1 1 5
2
3 4
2

2 1
4
b) 1 3
2 4
0 3
c)
3 0
20
32
0
1 1
5
4
1
1 1
2
3 4

1 a
d)
0 1
n
32
0
2
5
4
5
3
6
1
3
1
1 5.
2
24) Seja A uma matriz 3 ⇥ 3 e B a matriz cujas colunas são, respetivamente, os
vetores
2 3
2 3
2 3
2 3
1
0
5
3
4
5
4
5
4
5
4
b1 = 2 , b2 = 3 , b3 = 0 , b4 = 25 .
0
1
1
2
Sabendo que
Ab1 = b4 ,
A(b2
b3 ) = b1 ,
Editado em 28 de Agosto de 2023 por Esmeralda Sousa Dias.
A(b2 + b3 ) = b4 ,
Ab4 = b3 ,
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determine a matriz AB.
Sugestão: Use a Definição 1.12 de produto de matrizes indicada no texto de
apoio.
25) Uma matriz quadrada A diz-se simétrica se A = AT e anti-simétrica se A =
AT . Diga quais das matrizes seguintes são simétricas ou anti-simétricas.
2
3
3
15
0
1 0
4
(a) 0 0
3 1
26) Considere x =

2
0
4
(b) 2
3
2
0
1
3
3
15
0
2
3
3
15
0
0 0
4
(c) 0 0
3 1
2
3
1 2 3
(d) 42 6 15 .
3 1 4
x
. Determine a matriz simétrica A tal que:
y
(a) xT Ax = x2
2xy + y 2
(b) xT Ax = 3x2 + 5xy
y2.
Sugestão: Considere A uma matriz 2 ⇥ 2 genérica e efectue o produto xT Ax.
27) Sejam A e B as matrizes:
2
1 0
4
10
A= 7
1 1
3
1
15
1
2
1
4
B= 1
1
0
1
1
3
1
15
1
Considere as afirmações seguintes:
I) A entrada (12) da matriz AB é 0.
II) O sistema (A
B)x = 0 é possível e indeterminado.
III) A matriz A + B não tem qualquer linha de zeros.
IV) A característica da matriz A + B é inferior a 3.
A lista completa das afirmações corretas é:
A) I e III
B) II e IV
C) III e IV
D) I e II e III
28) Resolva as questões seguintes, justificando a resposta.
a) Qual o valor máximo da característica de uma matriz 4 ⇥ 10?
b) Qual o valor mínimo da característica de uma matriz não nula do tipo
4 ⇥ 10?
c) Qual o valor máximo da característica de uma matriz do tipo k ⇥ p?
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29) Considere as matrizes:
A=

2
1 0 0
2 1 1
Se for possível, calcule:
(a) A
(e) B T
A.
(b) tr C.
CT .
3
0
1 5
6
2 3
B=4 2 1
i 2
(f) (B
2
3
9 0 0
C = 4 0 4 0 5.
0 0 5
(d) AT + B T .
(c) 2 tr ( B).
C)T .
(g) (BC)T .
(h) tr (C T C).
30) Quais das seguintes matrizes são matrizes elementares?
2
3
2
3


0 0 1
1 1 0
1 p0
0 1
(a)
; (b)
; (c) 4 0 1 0 5 ; (d) 4 0 0 1 5 ;
1 0
0
3
1 0 0
0 0 0
2
3
2
3
2
3
2
2
1 0 0
5 0 1
1 9 0
6 0
(e) 4 0 1 0 5 ; (f) 4 0 1 0 5 ; (g) 4 0 1 0 5 ; (h) 6
4 0
5 0 1
1 0 0
0 0 1
0
0
1
0
0
0
0
1
1
3
2
0 7
7.
0 5
0
31) Indique qual é a operação elementar sobre a linhas das matrizes seguintes que
deve efetuar por forma a que estas se transformem na respetiva matriz identidade. Indique ainda a matriz elementar correspondente à operação elementar.
(a)

1 0
3 1
2
3
2
0
1 0 0
6 0
; (b) 4 0 1 0 5 ; (c) 6
4 0
0 0 5
1
0
1
0
0
0
0
1
0
3
2
1
1 0
7
6
0 7
0 1
; (d) 6
5
4
0
0 0
0
0 0
0
1
5
1
0
3
0
0 7
7.
0 5
1
32) Utilizando o método de eliminação de Gauss-Jordan, calcule sempre que existir
a matriz inversa de cada uma das seguintes matrizes.



1 4
3 6
6
4
(a)
.
(b)
.
(c)
.
2 7
4 5
3 2
2
3 4
4
1 0
(d)
2 5
2
3
1
3 5.
4
3
2 6 6
(g) 4 2 7 6 5 .
2 7 7
2
1 3
4
2 4
(e)
4 2
2
1 0 0
6 1 3 0
(h) 6
4 1 3 5
1 3 5
Editado em 28 de Agosto de 2023 por Esmeralda Sousa Dias.
3
4
1 5.
9
3
0
0 7
7.
0 5
7
2
1 0 1
4
0 1 1
(f )
1 1 0
2
8 17
6 4 0
(i) 6
4 0 0
1 13
3
5.
2
2
5
0
4
1
3
3
9 7
7.
0 5
2
Álgebra Linear- 1S-2023/24
10
33) Calcule a matriz A.



2 1
2 1
1
1
1
1
T 1
(a) A =
(b) (6A) =
(c) (8A ) =
1
1
1
1
2 1

1
1
(d) (I 2A) 1 =
.
2 1

1 1
34) Considere a matriz A =
. Calcule A3 , A 3 e A2 2A + I.
2 1
35) Sejam A e B matrizes n ⇥ n cuja entrada ij de A é aij = 3i j e a de B é
bij = 3i+j . Determine a expressão da entrada ij do produto AB.
36) Seja A uma matriz quadrada que verifica a igualdade
A3 + A
I = 0,
onde I é a matriz identidade e 0 designa a matriz nula. Justifique que A é
invertível e determine a sua inversa.
37) Seja I a matriz identidade 3 ⇥ 3. Determine a matriz X tal que:
0
2
3 1T
2
3
2 1 0
2 0 0
a) 3 @X T 40 2 05A = tr(I) 41 2 15 X.
0 1 3
0 0 3
2
3
✓


◆T

1
1
2 0
5 1
6 0 1 4
0
0 5.
b) X T
+3
=X +4
1 0
2 1
1
1 0
1
4
38) Seja A uma matriz quadrada tal que A2 = A.
a) Mostre que (I A)2 = I A.
b) Calcule (I 2A)2 e verifique que (I
inversa de (I 2A).
2A) é invertível. Indique ainda a
39) Sejam A e B matrizes n ⇥ n tais que AB = A
a) Mostre que (A + I) 1 = I
b) Mostre que AB = BA.
40) Considere a matriz:
B.
B.
2
1
4
5
A=
0
3
0 0
0 1 5.
2 0
(a) Encontre matrizes elementares tais que E3 E2 E1 A = I.
Editado em 28 de Agosto de 2023 por Esmeralda Sousa Dias.
Álgebra Linear- 1S-2023/24
(b) Escreva A
1
11
como um produto de três matrizes elementares.
(c) Escreva A como um produto de três matrizes elementares.
41) Considere a matriz
2
0
A=4 1
2
1 7
3 3
5 1
3
8
8 5
8
Encontre uma expressão para A na forma A = E1 E2 E3 R, onde as matrizes
Ej , j = 1, 2, 3 são matrizes elementares e R é uma matriz em escada por linhas.
42) Seja A uma matriz de ordem 3 tal que A3 = I e seja b uma matriz coluna do
tipo 3 ⇥ 1.
Complete de modo a obter afirmações verdadeiras:
a) A
1
= ..........
b) O sistema Ax = b é possível e .......
c) x = ............... é solução do sistema Ax = 2b.
d) car(A)....... car [A|b] .
43) Complete a matriz
de modo a que A:
2
6
A=6
4
0
1 2
1
2
1
3
1
27
7
5
a) Seja simétrica.
b) Tenha característica 2.
44) Dê exemplos de matrizes nas condições abaixo indicadas. Caso não exista tal
matriz indique a razão.
a)
b)
c)
d)
e)
Uma matriz 2 ⇥ 3 anti-simétrica.
Uma matriz 3 ⇥ 3 simultaneamente triangular superior e inferior.
Uma matriz 3 ⇥ 3 anti-simétrica e uma matriz da mesma ordem simétrica.
Uma matriz 3 ⇥ 3 de característica 1 que não esteja em forma de escada.
Uma matriz triangular superior cuja entrada (2, 3) seja 1.
45) Construa uma matriz 4 ⇥ 4 simétrica, de característica 1, e tal que o vetor
(2, 1, 0, 4) pertença ao conjunto gerado pelos vetores coluna dessa matriz.
46) Considere o sistema homogéneo Ax = 0, onde A é k ⇥ p. Diga quais das
afirmações seguintes são verdadeiras.
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a) A característica de A e a característica da matriz aumentada do sistema
podem ser diferentes.
b) Se k = p, então o sistema é necessariamente determinado.
c) Se k = p, a solução nula é a única solução do sistema.
d) Se k > p, então a característica de A é menor ou igual a p.
e) Se k > p e car(A) = p, então o sistema é indeterminado.
47) Indique o valor lógico das afirmações seguintes.
a)
b)
c)
d)
e)
tr (A + B) = tr (B + A).
tr A = tr AT .
Se A é uma matriz k ⇥ k e ↵ um escalar, então tr (↵A) = ↵k tr A.
tr (AB) = tr (BA).
Sejam A e B matrizes do mesmo tipo tais que A é simétrica e B antisimétrica, então tr (AB) = 0.
48) Sejam A uma matriz k ⇥ n e b 6= 0 um vetor n ⇥ 1.
a) Mostre que se x1 é uma solução do sistema Ax = b e x2 é uma solução
do sistema homogéneo associado Ax = 0, então x1 + x2 é solução de
Ax = b.
b) Seja x0 uma solução do sistema Ax = b. Mostre que toda a solução
de Ax = b pode ser escrita como x = x0 + y onde y é a solução geral
do sistema homogéneo associado Ax = 0. Ou seja, a solução geral do
sistema Ax = b é a soma de uma solução particular de Ax = b com
a solução geral do sistema homogéneo associado Ax = 0. (Sugestão:
Escreva x = x0 + (x x0 ) e mostre que x x0 é solução do sistema
homogéneo Ax = 0).
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Exercício resolvido
Façamos a discussão do seguinte sistema em termos dos parâmetros reais ↵ e
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↵y
z =0
>
< x
x+(1 2↵)y
z =0
>
:
2
x
+↵y+↵ z= .
Apliquemos o método de eliminação de Gauss à matriz aumentada do sistema.
2
3
2
3
2
3
1
↵
1 0
1
↵
1 0
1
↵
1
0
L2 L1
L3 +L1
4 1 1 2↵
1 0 5 ! 4 0 1 ↵ 0 0 5 ! 40 1 ↵
0
05 .
2
2
2
1
↵
↵
1
↵
↵
0
0
↵
1
A característica da matriz A, dos coeficientes do sistema, e a característica da
matriz aumentada [A|b] são:
car(A)
car(A|b)
1
6= 0
=0
2
2
6= 0
3
3
1
↵=1
↵=
=0
2
1
↵ 2 R \ { 1, 1}
3
O sistema correspondente à matriz (aumentada) em escada obtida é
8
↵y
z =0
>
<x
(1 ↵)y
=0
>
:
2
(↵
1)z= .
(1)
• Uma vez que o número de equações é igual ao número de incógnitas, o
sistema é possível e determinado sempre que car(A) é a máxima possível,
ou seja, quando car(A) = 3. Assim, para ↵ 2 R \ { 1, 1} e 2 R, a
solução do sistema é:
z=
↵2
1
,
y = 0,
x=z=
↵2
1
.
• O sistema é impossível sempre que car(A) 6= car(A|b), isto é, para ↵ =
±1 e 6= 0.
• O sistema é indeterminado nos restantes casos. Nestes casos, o valor de
é zero, e portanto trata-se de um sistema homogéneo que, como sabemos,
é sempre possível. Assim, para = 0 tem-se:
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(i) Para ↵ = 1 (e = 0), como car(A) = 1, o grau de indeterminação
do sistema é 2. O sistema (1) reduz-se à primeira equação, nomeadamente à equação x y z = 0. Logo, a solução geral do sistema
é
{(x, y, z) : x = y + z, y, z 2 R} = Span{(1, 1, 0), (1, 0, 1)}.
(ii) Para ↵ = 1 (e = 0), o sistema tem grau de indeterminação igual
a 1. O sistema (1) reduz-se às duas primeiras equações, isto é,
(
x+y z = 0
2y = 0.
Resolvendo a última equação em ordem a y e substituindo o resultado na
primeira equação, obtém-se y = 0 e x = z. A solução geral do sistema é
(x, y, z) 2 R3 : x = z, y = 0, z 2 R = Span{(1, 0, 1)}.
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