El principio de los trabajos virtuales
4.4.1.
4
Análisis de una viga continua
La viga continua de la figura Fig.4.1 tiene 3 vanos de distinta longitud, sección y carga, tal
y como se indica en la misma [1, p. 61].
4λ
O1
Mp = 12
O2
4λ
Mp = 14
O3
L=9
4λ
O4
O5
Mp = 16
L = 14
O6
O7
L = 12
Figura 4.1: Viga continua de 3 vanos distintos
Para dicha viga obtenga:
1. Número de ecuaciones de equilibrio independientes que se pueden escribir.
2. Obtenga dichas ecuaciones de equilibrio independientes mediante el PTV.
3. Obtenga λ para cada posible mecanismo de colapso.
4. ¿Cúal es el mecanismo de colapso? ¿Es posible confirmar que ese estado es seguro?
Se trata de una viga continua de 3 vanos, por lo que tendremos 3 ecuaciones de equilibrio
independientes, una por vano. También podemos llegar al mismo guarismo teniendo en cuenta
que,
NEEI = NMI = NSC − NHT
siendo,
NEEI Número de ecuaciones de equilibrio independientes
NMI Número de mecanismos independientes
NSC Número de secciones crı́ticas
NHT Número de hiperestáticas total.
En este caso NSC = 5 y NHT = 2, y por tanto NEEI = NMI = 5 − 2 = 3. A cada mecanismo
independiente le corresponde una ecuación de equilibrio, y viceversa. Los mecanismos son simples
mecanismos de viga, uno por cada vano, como se refleja en la figura Fig.4.2.
Las ecuaciones de equilibrio que figuran debajo de cada mecanismo se obtienen por aplicación
del PTV, tomando como estado compatible auxiliar el mecanismo correspondiente.
Para obtener la carga de colapso correspondiente a cada posible mecanismo de colapso, basta
sustituir en las ecuaciones de equilibrio obtenidas el valor de todos los momentos Mi por su
correspondiente momento de colapso plástico, con el signo correspondiente. Ası́, para el primer
mecanismo tendrı́amos en el colapso,
(a)
(1)
2M(a)
p + Mp = 18λ
y por tanto,
(a)
3Mp
18
De igual manera para el mecanismo 2,
λ(1) =
=
3 · 12
=2
18
(b)
(b)
(2)
M(a)
p + 2Mp + Mp = 28λ
y por tanto,
(a)
λ(2) =
12
(b)
Mp + 3Mp
12 + 3 · 14
27
=
=
= 1,929
28
28
14
(29 de diciembre de 2022)
4.4
Ejemplos de aplicación
4λ
4λ
Mp = 12
1
○
θ
4λ
Mp = 14
2
○
Mp = 16
3
○
4
○
5
○
6
○
7
○
δ2 = 4, 5 θ
θ1 = −θ
θ2 = 2θ
θ3 = −θ
2M2 − M3 = 4,5 · 4λ = 18λ
Mecanismo (1)
4λ
4λ
Mp = 12
1
○
4λ
Mp = 14
2
○
3
○
Mp = 16
5
○
4
○
θ
6
○
7
○
δ4 = 7 θ
θ3 = −θ
θ4 = 2θ
θ5 = −θ
−M3 + 2M4 − M5 = 7 · 4λ = 28λ
Mecanismo (2)
4λ
4λ
Mp = 12
1
○
2
○
4λ
Mp = 14
3
○
Mp = 16
4
○
5
○
θ5 = −θ
θ
6
○
7
○
δ6 = 6 θ
θ6 = 2θ
θ7 = −θ
−M5 + 2M6 = 6 · 4λ = 24λ
Mecanismo (3)
Figura 4.2: Análisis de una viga continua de 3 vanos: mecanismos de colapso independientes y
sus correspondientes ecuaciones de equilibrio
R. Gallego Sevilla (Universidad de Granada)
13
El principio de los trabajos virtuales
4
3 está a la derecha del apoyo, ya que el momento de colapso
Nótese que la sección crı́tica en ○
5 está a la
es menor en la derecha que en la izquierda del apoyo. Igualmente la sección crı́tica ○
derecha del apoyo correspondiente, por la misma razón.
Por último, para el mecanismo 3,
(c)
(3)
M(b)
p + 2Mp = 24λ
y por tanto,
(b)
λ(3) =
(c)
Mp + 2Mp
14 + 2 · 16
23
=
=
= 1,917
24
24
12
El mecanismo de colapso será el tercero, puesto que mı́n∀mecanismo λ = λ(3) . Por el teorema
de unicidad, debe haber un mecanismo de colapso, y puesto que hemos explorado todos los
mecanismos posibles, el menor de todos habrá de cumplir también el resto de condiciones.
5 y ○.
6 Vamos
Para el nivel de carga λ(3) = 1,917 se forman rótulas plásticas en las secciones ○
2 a○
4 es posible encontrar momentos en equilibrio que sean
a comprobar que en las secciones ○
seguros, es decir, menores o iguales a los de colapso de la secciones crı́ticas correspondientes.
Para λ(3) = 1,917 las ecuaciones de equilibrio 1 y 2 quedan,
2M2 − M3 =
−M3 + 2M4 + M(b)
=
p
18 · 23
12
28 · 23
12
y operando en la segunda,
2M2 − M3 = 34,5
−M3 + 2M4 = 39,667
Son dos ecuaciones para 3 esfuerzos: no hay una solución única pues el mecanismo de colapso
es parcial, y por tanto la parte no colapsada de la estructura puede ser, como es en este caso,
hiperestática por lo que existen infinitas soluciones en equilibrio. Pero recuérdese que, por el
teorema del máximo, si encontramos un nivel de cargas con unos esfuerzos que están en equilibrio,
que producen el colapso y que son seguros, ese nivel de cargas será el de colapso. Si, para el estado
que hemos encontrado que efectivamente produce el colapso, encontramos esfuerzos cualesquiera
seguros que cumplan las demás ecuaciones de equilibrio, entonces el nivel de carga encontrado
es el de colapso.
(a)
Para que los esfuerzos sean seguros se han de cumplir las desigualdades |M2 | ≤ Mp = 12,
(a)
(b)
|M3 | ≤ Mp = 12 y |M4 | ≤ Mp = 14. Tanteando con M3 = −12 podemos despejar de las
ecuaciones de equilibrio,
M2 =
M4 =
34,5 − 12
= 11,25 < M(a)
p = 12
2
39,667 − 12
= 13,833 < M(b)
p = 14
2
En conclusión, el estado de esfuerzos M2 = 11,25, M3 = 12, M4 = 13,833, M5 = 14,
M6 = 16, para un nivel de carga λ = 1,917 cumple que:
1. Está en equilibrio, pues se cumplen las 3 ecuaciones de equilibrio independiente
2. Es seguro, pues todos los momentos son menores que el correspondiente momento plástico
3. Es un mecanismo de colapso, puesto que se forma un mecanismo de viga en el vano de la
derecha
14
(29 de diciembre de 2022)
4.4
Ejemplos de aplicación
y por tanto, el nivel de carga, y el mecanismo encontrado, son los de colapso. Los esfuerzos
en las secciones que no colapsan no serán necesariamente los obtenidos, pero no hace falta
obtenerlos para estar seguros de que el nivel de carga encontrado es el valor máximo que soporta
la estructura.
Hay que insistir en este punto, pues es una de las virtudes fundamentales del cálculo rı́gidoplástico: para obtener la carga última de colapso de la estructura no es necesario conocer la
((verdadera)) distribución de esfuerzos, sino que basta con asegurar que se ha encontrado una
distribución de esfuerzos que cumpla las tres condiciones indicadas: colapso, equilibrio y seguridad.
R. Gallego Sevilla (Universidad de Granada)
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