S. Carrillo — Grafos Hamiltonianos Caminos y circuitos de Hamilton 1 Grafos Hamiltonianos Caminos y circuitos de Hamilton 13/Octubre/2023 Sergio A. Carrillo sacarrillot@unal.edu.co S. Carrillo — Grafos Hamiltonianos Caminos y circuitos de Hamilton Circuitos de Hamilton Sea G = (V, E) un (multi)grafo. Un camino de Hamilton es un camino simple de G que pasa exactamente una sola vez por cada vértice de G. Un circuito de Hamilton en G es un circuito simple que pasa por cada vértice de G exactamente una vez (x0 x1 · · · xn x0 ). Un grafo es Hamiltoniano si contiene un circuito hamiltoniano. 2 S. Carrillo — Grafos Hamiltonianos Caminos y circuitos de Hamilton La vuelta al mundo... en forma de dodecahedro (Icosian puzzle) 3 S. Carrillo — Grafos Hamiltonianos Caminos y circuitos de Hamilton ¿Condiciones para encontrar caminos o circuitos de Hamilton? Aunque no existen aún condiciones necesarias y suficientes para determinar la existencia de estos caminos, sı́ tenemos que: ▶ Si el grafo G tiene un vértice colgante (de grado 1), entonces G no tiene circuitos de Hamilton. ▶ Si un vértice v tiene grado 2, un camino de Hamilton debe contener a las aristas que son incidentes a v. 4 S. Carrillo — Grafos Hamiltonianos Caminos y circuitos de Hamilton Ejemplo Comprobar que el siguiente grafo G no es Hamiltoniano: 5 S. Carrillo — Grafos Hamiltonianos Caminos y circuitos de Hamilton Grafos bipartitos y hamiltonianos Recordemos que el grafo cı́clico Cn es bipartito si y solo si n es par. Nota: Un grafo bipartito no puede contener circuitos de longitud impar. Es decir, todo circuito de un grafo bipartito es de longitud par. Teorema Un grafo bipartito con un número impar de vértices no puede ser hamiltoniano. 6 S. Carrillo — Grafos Hamiltonianos Caminos y circuitos de Hamilton Ejemplo Determinar si los siguientes grafos son hamiltonianos: 7
