FIS 406 MECÁNICA ANALÍTICA | GUÍA DE PROBLEMAS No 6
D. Urzagasti
Carrera de Física-UMSA, Gestión I-2023
Problema 1. Escriba la función de Hamilton para un sistema consistente de una cadena
infinita de partículas de igual masa unidas por resortes idénticos. Suponga que el extremo, x0 ,
oscila por la acción de una fuerza externa en la forma x0 = Asen(ωt). Introduciendo cierta
matriz (infinita), el Hamiltoniano resultante puede escribirse de una manera particularmente
simple.
Problema 2.
a. Determine los paréntesis de Poisson formados por las componentes cartesianas del ímpetu
y del momento angular de una partícula.
b. Determine los paréntesis de Poisson formados por las componentes del momento angular.
c. Para el caso del problema de Kepler, determine los paréntesis de Poisson formados por las
componentes del momento angular y las del vector de Lenz.
Problema 3. Halle la transformación canónica prefijada por la función generatriz F(q, Q, t) =
− f (t)q2 Q. Luego confirme que se trata de una transformación canónica.
Problema 4. Considere las pequeñas oscilaciones de un oscilador anarmónico cuya función
de Hamilton es
H=
1 2 1 2 2
p + ω x + αx 3 + βxp2 .
2
2
(αx ω2,
βx 1.)
En una transformación canónica caracterizada por la función generatriz
Ψ = xP + ax 2 P + bP3,
elija los parámetros a y b de forma tal que la nueva función de Hamilton, con una precisión de
hasta los términos de primer orden en αQ/ω2 y βQ, no contenga términos anarmónicos.
Problema 5. Demuestre que la siguiente transformación es canónica:
p
p
x = ( 2P1 senQ1 + P2 )/α, y = ( 2P1 senQ1 + Q2 )/α,
p
p
p x = ( 2P1 cosQ1 − Q2 )α/2, p y = −( 2P1 cosQ1 − P2 )α/2.
Aplique esta transformación (obtenga x(t) y y(t)) para resolver el movimiento de un sistema
mecánico cuyo Hamiltoniano es
H=
1 (p x + by)2 + (p y − bx)2 ,
2m
b = cte.
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§
Problema 6. Usando la ecuación de Hamilton-Jacobi halle la trayectoria de una partícula
bajo la acción del campo
1 2 2
2 2
U(x) = m ω1 x + ω2 y .
2
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Sugeridos: Problema 2 (explicado con mayor detalle), pag. 156 de Mecánica; Landau &
Lifshitz. Problemas 17, Cap. 6; 9, Cap. 8; 6 y 22, Cap. 9 de Classical Mechanics, Third Edition;
Goldstein, Poole & Safko.