Curso de Graduação em Engenharia Elétrica
Disciplina: Laboratório de mecânica
Prática nº: 01
Professor: Alcides Farias Andrades
Instrumentos de Medição
Alunos:
1 – Guilherme Eduardo Fonseca
Nº0040893
2 – Jordânia Cecília Silva Camilo
Nº0041158
3 – Otávio Cosme Matias
Nº0015104
Formiga, 18 de setembro de 2018
Resumo
Nesta prática são estudados os conceitos da teoria de erros, são apresentadas as medidas das
dimensões e da massa de objetos tridimensionais feitas utilizando réguas milimetradas, trena,
paquímetro digital e balança digital. Além disso, são calculados os valores médios, desvio padrão e
desvio padrão do valor médio de cada grandeza a partir das medições realizadas. São calculados o
volume, área e densidade de cada objeto tridimensional a partir das medições realizadas.
Objetivos
Apresentar e utilizar os instrumentos de medições. Determinar as grandezas comprimento,
área e volume. Calcular o erro estatístico, erro total e propagação de erro.
Introdução
As grandezas físicas são determinadas experimentalmente por medidas ou combinações de
medidas. Essas medidas têm uma incerteza intrínseca que advém das características dos equipamentos
utilizados na sua determinação e do operador. Assim, a prática mostra que, sendo uma medida repetida
várias vezes com o mesmo cuidado e procedimento pelo mesmo operador ou por vários operadores,
os resultados obtidos não são, em geral, idênticos.
A medição direta é aquela em que o resultado é obtido diretamente dos dados experimentais.
A medição indireta é aquela em que o resultado é obtido pela medição direta de grandezas com
dependência da grandeza procurada. Porém, medições contêm incertezas e essas devem ser calculadas
e representadas nas medidas. [1]
Ao fazermos a medida de uma grandeza física achamos um número que a caracteriza. Quando
este resultado vai ser aplicado, é necessário saber com que confiança podemos dizer que o número
obtido representa a grandeza física. Deve-se, então, poder expressar a incerteza de uma medida de
forma que outras pessoas possam entende-las e para isso utiliza-se de uma linguagem universal.
Também deve-se utilizar métodos adequados para combinar as incertezas dos diversos fatores que
influem no resultado.
𝐴𝐵𝑎𝑛𝑐𝑎𝑑𝑎 = 𝑐𝑙
(1)
r é o raio da esfera e 𝐴𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 é a área da esfera.
𝑉𝐵𝑎𝑛𝑐𝑎𝑑𝑎 = 𝑐𝑙ℎ
(2)
c é o comprimento da bancada, l é a largura da bancada, h é a altura da bancada e 𝑉𝐵𝑎𝑛𝑐𝑎𝑑𝑎 é o
volume da bancada.
𝑉𝐶𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 = 𝜋𝑟 2 ℎ
(3)
r é o raio da circunferência, h é a altura do cilindro e 𝑉𝐶𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 é o volume do cilindro.
𝐷=
𝑚
𝑣
m é a massa do objeto, v é o volume e D é a densidade.
(4)
4
𝑉𝐸𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 = 𝜋𝑟 3
(5)
3
r é o raio da esfera e 𝑉𝐸𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 é o volume da esfera.
𝑉𝐴𝑟𝑜 = 𝜋 (
do aro.
𝑑𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜 2
2
𝑑𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜 2
) ℎ−𝜋(
2
) ℎ
(6)
𝑑𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜 é o diâmetro externo do aro, 𝑑𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜 é o diâmetro interno do mesmo e h é a altura
𝜎=√
∑𝑛
̅ )2
𝑖=1(𝑥ᵢ−𝑥
(7)
𝑛−1
𝑥ᵢ é o valor de uma medida, 𝑥̅ é o valor médio das medidas, n é o número de medidas e 𝜎 é
o desvio padrão.
𝜎𝑥̅ =
𝜎
(8)
√𝑛
𝜎 é o desvio padrão, n é o número de medidas e 𝜎𝑥̅ é o desvio padrão da média.
𝑑𝑓
𝑑𝑓
Δ𝑓 = √(𝑑𝑥 )²(Δ𝑥1 )² + ⋯ + (𝑑𝑥 )²(Δ𝑥𝑛 )²
1
𝑛
(9)
Δ𝑓 é a incerteza da função f, d é a derivada parcial, f é a função, e 𝑥1 à 𝑥𝑛 são as variáveis da
função f e Δ𝑥1 à Δ𝑥𝑛 das variáveis.
Materiais
Foram utilizados os seguintes materiais para a realização da prática:
•
Régua (mm);
•
Paquímetro (mm);
•
Trena (mm);
•
Balança (g);
•
Bancada;
•
Cilindro de metal;
•
Anel de metal;
•
Esfera.
Metodologia
Com a régua e a trena foi medido o comprimento, largura e altura da bancada; com o
paquímetro, régua e a balança foi medido o diâmetro, altura e a massa dos cilindros de plástico e de
metal e dos seus orifícios; com a régua, o paquímetro e a balança o diâmetro, a altura e a massa da
esfera; com a régua, o paquímetro e a balança o diâmetro interno e externo, altura e massa do anel de
metal. Após feitas 15 medidas de cada grandeza foram feitos os cálculos da soma, média, desvio e
desvio padrão da média para assim calcular a área e o volume da bancada e o volume e densidade dos
demais objetos.
Resultados
Tabela 1 - Valores das grandezas lineares do comprimento, largura e altura de uma bancada e cálculos auxiliares
para determinação do desvio padrão de cada grandeza
Medidas
Comprimento
(mm)
1
1267,0
2
1266,0
3
1264,0
4
1266,0
5
1267,0
6
1266,0
7
1270,0
8
1266,0
9
1265,0
10
1266,0
11
1263,0
12
1264,0
13
1265,0
14
1266,0
15
1263,0
Soma (mm)
18984,0
Média (mm)
1265,6
Desvio padrão (mm)
1,7
Desvio padrão da média (mm)
0,5
Régua
Largura
(mm)
840,0
839,0
841,0
841,0
840,0
838,0
840,0
841,0
840,0
841,0
841,0
840,0
842,0
842,0
841,0
12607,0
840,5
1,1
0,3
Altura
(mm)
18,0
19,0
18,0
18,0
18,0
18,0
18,0
18,0
17,0
19,0
18,0
18,0
19,0
18,0
18,0
272,0
18,1
0,5
0,1
Comprimento
(mm)
1265,0
1265,0
1264,0
1267,0
1266,0
1261,0
1261,0
1262,0
1261,0
1263,0
1263,0
1264,0
1262,0
1262,0
1263,0
18949,0
1263,3
1,9
0,5
Trena
Largura
(mm)
841,0
840,0
839,0
840,0
840,0
840,0
839,0
841,0
840,0
840,0
839,0
839,0
840,0
840,0
839,0
12597,0
839,8
0,7
0,2
Altura
(mm)
16,0
17,0
17,0
18,0
17,0
17,0
18,0
17,0
16,0
16,0
18,0
17,0
17,0
17,0
18,0
256,0
17,1
0,7
0,2
Cálculo da área média com o desvio padrão da média da bancada, medida com a régua;
utilizando a equação (1):
A= (1101,9 ± 1,0) x10³ mm²
Cálculo da área média com o desvio padrão da média da bancada, medida com a trena;
utilizando a equação (1):
A= (1096,9 ± 1,0) x10 mm²
Cálculo do volume médio com o desvio padrão da média da bancada, medida com a régua;
utilizando a equação (2):
V= (192,8 ± 1,5) x10⁵ mm³
Cálculo do volume médio com o desvio padrão da média da bancada, medida com a trena;
utilizando a equação (2):
V= (181,4 ± 2,0) x10² mm ³
Tabela 2 - Valores das grandezas lineares do diâmetro, altura de um cilindro de latão maciço e do seu
orifício; e cálculos auxiliares para determinação do desvio padrão de cada grandeza
Cilindro
Orifício do cilindro
Régua
Paquímetro
Régua
Paquímetro
Medidas
Diâmetro Altura Diâmetro Altura Diâmetro Altura Diâmetro Altura
(mm)
(mm)
(mm)
(mm)
(mm)
(mm)
(mm)
(mm)
1
18,0
40,0
18,89
40,00
3,0
18,0
2,88
18,89
2
17,5
39,5
18,92
39,99
3,0
17,5
2,87
18,92
3
18,0
40,0
18,90
39,99
3,0
18,0
2,88
18,90
4
18,0
40,0
18,90
40,00
2,5
18,0
2,89
18,90
5
17,5
39,5
18,91
40,00
3,0
17,5
2,90
18,91
6
17,5
39,0
18,89
40,05
3,0
17,5
2,91
18,89
7
18,0
40,0
18,89
39,96
3,0
18,0
2,94
18,89
8
17,0
41,0
18,92
39,99
2,5
17,0
2,89
18,92
9
17,5
39,5
18,91
40,09
2,5
17,5
2,90
18,91
10
18,0
39,0
18,93
40,15
3,0
18,0
2,94
18,93
11
18,0
39,5
18,92
40,08
3,0
18,0
2,95
18,92
12
17,5
40,0
18,93
40,09
3,0
17,5
2,92
18,93
13
17,0
39,5
18,91
40,05
2,5
17,0
2,91
18,91
14
18,0
39,0
18,90
40,06
3,0
18,0
2,93
18,90
15
18,0
40,0
18,91
40,09
3,0
18,0
2,91
18,91
Soma (mm)
265,5
595,5 283,63 600,59
43,0
265,5
43,62 283,63
Média (mm)
17,7
39,7
18,91
40,04
2,9
17,7
2,91
18,91
Desvio padrão (mm)
0,4
0,5
0,01
0,05
0,2
0,4
0,02
0,01
Desvio padrão da média (mm)
0,1
0,1
0,04
0,01
0,1
0,1
0,06
0,04
Tabela 3- Valor da massa de um cilindro de latão
maciço e cálculos auxiliares para determinação do
desvio padrão de cada grandeza
Medidas
Massa total (g)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Soma (g)
Média (g)
Desvio padrão (g)
Desvio padrão da média (g)
94,1
94,0
93,9
93,9
94,1
94,2
94,0
94,1
94,1
94,0
94,0
94,3
94,0
94,3
94,2
1411,2
94,1
0,4
0,1
Cálculo do volume médio com o desvio padrão da média do cilindro de latão, medida com a
régua; utilizando a equação (3):
V= (965,2 ± 1,1) x10 mm³
Cálculo do volume médio com o desvio padrão da média do cilindro de latão, medida com o
paquímetro utilizando a equação (3):
V= (1110,8 ± 8,9) x10 mm³
Cálculo da densidade média com o desvio padrão da média do cilindro de latão, medida com
a régua e a balança de precisão; utilizando a equação (4):
D= (9,75 ± 0,01) x10⁻³ g/mm³
Cálculo da densidade média com o desvio padrão da média do cilindro de latão, medida com
o paquímetro e a balança de precisão; utilizando a equação (4):
D= (8,40 ± 0,07) x10⁻³ g/mm³
Tabela 4 - Valores das grandezas lineares do diâmetro, e massa de uma esfera de aço; e cálculos auxiliares
para determinação do desvio padrão de cada grandeza
Régua
Medidas
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Soma (mm)
Média (mm)
Desvio padrão (mm)
Desvio padrão da média (mm)
Paquímetro
Diâmetro
(mm)
22,5
23,0
23,0
22,5
22,5
22,5
23,5
22,0
23,0
23,5
22,5
23,0
22,5
23,0
22,5
341,5
22,8
0,4
0,1
Diâmetro
(mm)
25,31
25,35
23,32
25,31
25,32
25,32
25,34
25,33
25,35
25,36
25,35
25,34
25,36
25,35
25,36
378,07
25,20
0,52
0,13
Medidas
Massa total
(g)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Soma (g)
Média (g)
Desvio padrão (g)
Desvio padrão da média (g)
66,6
66,4
66,5
66,4
66,5
66,2
66,3
66,3
66,3
66,2
66,2
66,3
66,3
66,4
66,2
995,1
66,3
0,5
0,1
Cálculo do volume médio com o desvio padrão da esfera, medida com a régua; utilizando a
equação (5):
V= (49,65 ± 0,72) x10³ mm³
Cálculo do volume médio com o desvio padrão da esfera, medida com a paquímetro;
utilizando a equação (5):
V= (67,0 ± 1,0) x10³ mm³
Cálculo da densidade média com o desvio padrão da média da esfera, medida com a régua e
a balança de precisão; utilizando a equação (4):
D= (1,30 ± 0,02) x10⁻³ g/mm³
Cálculo da densidade média com o desvio padrão da média da esfera, medida com o
paquímetro e a balança de precisão; utilizando a equação (4):
D= (9,90 ± 0,16) x10⁻⁴ g/mm³
Tabela 5 - Valores das grandezas lineares do diâmetro externo, diâmetro interno, altura e massa de
um aro de alumínio; cálculos auxiliares para determinação do desvio padrão de cada grandeza
Medidas
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Soma (mm)
Média (mm)
Desvio padrão (mm)
Desvio padrão da média (mm)
Diâmetro
externo
(mm)
50,0
51,0
50,0
50,0
51,0
50,0
51,0
51,0
50,0
51,0
50,0
50,0
50,0
51,0
51,0
757
50,5
0,52
0,13
Régua
Diâmetro
interno
(mm)
47,0
47,0
48,0
47,0
48,0
48,0
47,0
48,0
48,0
47,0
47,0
48,0
48,0
47,0
48,0
713
47,5
0,52
0,13
Altura
(mm)
18,0
18,0
18,0
19,0
20,0
20,0
18,0
19,0
20,0
18,0
18,0
18,0
19,0
20,0
19,0
282
18,8
0,86
0,22
Diâmetro
externo
(mm)
50,56
50,52
50,54
50,53
50,52
50,61
50,66
50,64
50,62
50,59
50,63
50,64
50,63
50,60
50,60
758,89
50,59
0,047
0,012
Paquímetro
Diâmetro
interno
(mm)
47,42
47,49
47,44
47,44
47,46
47,35
47,50
47,47
47,46
47,43
47,53
47,51
47,48
47,49
47,54
712,01
47,47
0,048
0,012
Altura
(mm)
19,93
19,91
20,00
20,01
19,90
20,00
19,94
19,93
19,99
19,97
19,94
19,96
20,00
19,99
19,97
299,44
19,97
0,036
0,092
Tabela 6 - Valor da massa de um aro de
alumínio e cálculos auxiliares para
determinação do desvio padrão de cada
grandeza
Medidas
Massa total
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Soma (g)
Média (g)
Desvio padrão (g)
Desvio padrão da média (g)
(g)
12,0
12,2
12,1
12,0
12,2
12,0
12,1
12,2
12,1
11,9
12,2
12,1
12,0
11,9
12,2
181,2
12,1
0,4
0,1
Cálculo do volume médio com o desvio padrão da média do aro de alumínio, medida com a
régua; utilizando a equação (6):
V= (4,3 ± 1,6) x10³ mm³
Cálculo do volume médio com o desvio padrão da média do aro de alumínio, medida com o
paquímetro; e utilizando a equação (6):
V= (4,4 ± 0,4) x10³ mm³
Cálculo da densidade média com o desvio padrão da média do aro de alumínio; medida com
a régua e a balança de precisão utilizando a equação (4):
D= (4,84 ± 1,8) x10⁻⁴g/mm³
Cálculo da densidade média com o desvio padrão da média do aro de alumínio; medida com
o paquímetro e a balança de precisão utilizando a equação (4):
D= (4,7 ± 0,5) x10⁻⁴ g/mm³
Tabela 7 - Valores das grandezas lineares do diâmetro, e massa de uma esfera
menor de aço; e cálculos auxiliares para determinação do desvio padrão de cada
grandeza
Medidas
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Soma (mm)
Média (mm)
Desvio padrão (mm)
Desvio padrão da média
(mm)
Régua Paquímetro
Diâmetro Diâmetro
(mm)
(mm)
15,5
15,78
16,0
15,83
16,0
15,81
16,0
15,81
16,0
15,83
15,5
15,83
16,0
15,81
15,5
15,83
15,5
15,83
16,0
15,78
15,5
15,81
15,5
15,83
16,0
15,78
15,5
15,81
16,0
15,81
236,5
237,18
15,8
15,81
0,3
0,02
0,1
0,01
Medidas
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Soma (g)
Média (g)
Desvio padrão (g)
Desvio padrão da média
(g)
Massa
total
(g)
16,2
16,1
16,1
16,2
16,2
16,1
16,2
16,1
16,2
16,2
16,2
16,2
16,2
16,1
16,2
242,5
16,17
0,5
0,1
Cálculo do volume médio com o desvio padrão da esfera menor, medida com a régua;
utilizando a equação (5):
V= (205,35 ± 1,98) x10 mm³
Cálculo do volume médio com o desvio padrão da esfera menor, medida com a paquímetro;
utilizando a equação (5):
V= (206,9 ± 0,2) x10 mm³
Cálculo da densidade média com o desvio padrão da média da esfera menor, medida com a
régua e a balança de precisão; utilizando a equação (4):
D= (7,87 ± 0,08) x10⁻³ g/mm³
Cálculo da densidade média com o desvio padrão da média da esfera menor, medida com o
paquímetro e a balança de precisão; utilizando a equação (4):
D= (7,82 ± 0,01) x10⁻³ g/mm³
Tabela 8- Valores das grandezas lineares do diâmetro, e massa de um cilindro de latão menor; e cálculos
auxiliares para determinação do desvio padrão de cada grandeza
Medidas
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Soma (mm)
Média (mm)
Desvio padrão (mm)
Desvio padrão da média (mm)
Cilindro
Orifício do cilindro
Régua
Paquímetro
Régua
Paquímetro
Diâmetro Altura Diâmetro Altura Diâmetro Altura Diâmetro Altura
(mm)
(mm)
(mm)
(mm)
(mm)
(mm)
(mm)
(mm)
34,0
6,5
33,99
6,54
3,0
6,5
3,28
6,58
33,5
6,0
33,98
6,58
3,0
6,0
3,22
6,58
34,0
6,0
33,99
6,57
3,0
6,0
3,25
6,57
33,5
6,5
33,98
6,57
2,5
6,5
3,26
6,57
34,5
6,0
33,98
6,58
3,0
6,0
3,28
6,57
33,5
6,0
33,98
6,58
3,0
6,0
3,28
6,58
34,0
6,5
33,99
6,57
3,0
6,5
3,25
6,57
34,5
6,0
33,99
6,57
2,5
6,0
3,26
6,58
34,5
6,5
33,98
6,58
2,5
6,5
3,26
6,58
34,0
6,0
33,99
6,58
3,0
6,0
3,25
6,58
33,5
6,5
33,99
6,57
3,0
6,5
3,26
6,57
33,5
6,5
33,99
6,58
3,0
6,5
3,28
6,57
34,0
6,5
33,98
6,58
2,5
6,5
3,25
6,57
33,5
6,0
33,99
6,58
3,0
6,0
3,28
6,58
34,0
6,5
33,98
6,57
3,0
6,5
3,22
6,57
508,5
94,0
509,78 98,60
43,0
94,0
48,88
98,62
33,9
6,3
33,98
6,57
2,9
6,3
3,26
6,57
0,4
0,3
0,05
0,03
0,2
0,3
0,02
0,04
0,1
0,1
0,01
0,01
0,1
0,1
0,01
0,01
Tabela 9 - Valor da massa do cilindro de latão
menor e cálculos auxiliares para determinação
do desvio padrão de cada grandeza
Medidas
Massa total (g)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Soma (g)
Média (g)
Desvio padrão (g)
Desvio padrão da média (g)
49,9
49,9
49,8
49,9
49,8
49,8
49,8
49,9
49,8
49,9
49,8
49,9
49,9
49,9
49,8
747,8
49,9
0,5
0,1
Cálculo do volume médio com o desvio padrão da média do cilindro menor, medida com a
régua; utilizando a equação (3):
V= (564,47 ± 5,9) x10 mm³
Cálculo do volume médio com o desvio padrão da média do cilindro menor, medida com o
paquímetro utilizando a equação (3):
V= (590,32 ± 0,13) x10 mm³
Cálculo da densidade média com o desvio padrão da média do cilindro menor, medida com a
régua e a balança de precisão; utilizando a equação (4):
D= (8,84 ± 0,09) x10⁻³ g/mm³
Cálculo da densidade média com o desvio padrão da média do cilindro de menor, medida com
o paquímetro e a balança de precisão; utilizando a equação (4):
D= (8,45 ± 0,01) x10⁻³ g/mm³
Imagem 1-Tabela de densidade de algumas ligas metais. [3]
Convertendo os dados da imagem 1, de g/cm³ para g/mm³; e comparando-os com as
densidades calculadas dos objetos: aro de alumínio, cilindros de latão e esferas de aço foram obtidos
valores próximos. Sendo observado a maior precisão das medições realizadas com o paquímetro.
Conclusões
Com a prática realizada conclui-se que uma grandeza física a ser determinada após um
experimento, deve possuir um valor médio das medidas realizadas e um desvio padrão da média, a
fim de mostrar o possível erro, ou desvio, que as medidas possam ter. Esses erros podem ser
provenientes de erros de calibração dos instrumentos, ou até mesmo de erros aleatórios ou
sistemáticos (que devem ser diminuídos ao máximo). Para que uma medida seja expressada
corretamente os arredondamentos após todas as operações devem ser feitos, eliminando os algarismos
duvidosos.
Com os resultados obtidos, percebe-se que, à medida que as operações matemáticas são feitas,
o desvio padrão da média aumentará, aumentando as incertezas sobre os resultados a serem obtidos.
Além disso, percebe-se que a precisão do paquímetro é maior que a precisão das réguas milimetradas
e da trena, como por exemplo as densidades calculadas através das medições do paquímetro se
mostraram mais próximas dos valores tabelados, pelo fato de possuir maior número de algarismos
significativos, diminuindo assim, as incertezas sobre as medidas diretas e indiretas.
Referências Bibliográficas
[1] VUOLO, J.H. Fundamentos da Teoria de Erros. 2. ed. São Paulo: Edgard Blücher, 1992.
[2] Anotações de aula.
[3] HAYNES,W.M. HANDBOOK OF CHEMISTRY and PHYSICS. 56.ed. New York: CRC
PRESS, 1975-1976.