Chap. 0
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2e D
Rappels d’algèbre
Signes de polynômes et inéquations

Signe d’un polynôme du premier degré : Signe de ax+b
ax  b prend le signe de a à droite de la racine
Exemples :
x
−∞
2𝑥 − 3

x
+∞
−∞
+∞
−𝑥 + 5
Signe d’un polynôme du deuxième degré : Signe de 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄
Solutions de l’équation 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎
Si   b 2  4ac  0 , alors l’équation admet deux racines distinctes:
√
𝑥 =
et 𝑥 =
√
.
Si   b  4 ac  0 , alors l’équation admet une racine double: 𝑥 = 𝑥 =
2
.
Si   b  4 ac  0 , alors l’équation n‘admet pas de racine réelle.
2
Règle de signes : ax 2  bx  c prend le signe de a, sauf entre les racines éventuelles.
Exemples :
x
−∞
+∞
𝑥 +4
x
−∞
+∞
−𝑥 − 1
…………………………………………
…………………………………………….
…………………………………………
…………………………………………….
x
−∞
+∞
𝑥 +𝑥+1
x
−∞
+∞
−𝑥 − 2𝑥 − 4
…………………………………………
….…………………………………………
…………………………………………
…………………………………………….
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x
−∞
2e D
Rappels d’algèbre
x
+∞
𝑥 − 2𝑥 + 1
−∞
+∞
−𝑥 + 6𝑥 − 9
……………………………………………
…….…………………………………………..
……………………………………………
..……………………………………………….
x
−∞
x
+∞
𝑥 + 3𝑥 + 2
−∞
+∞
−2𝑥 − 5𝑥 + 3
……………………………………………
…….…………………………………………..
……………………………………………
..……………………………………………….
……………………………………………
..……………………………………………….
Pour résoudre une inéquation du second degré, on utilise en général un tableau de signes !!
Exemples :
Résoudre les inéquations suivantes :
1) 𝑥 ≥ 4
2)
(𝑥 − 1) > 0
……………………………………………
……………………………………………
…….……………………………………..
…….……………………………………..
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
t.d.s :
x
t.d.s :
−∞
+∞
S = ..……………………………………
3) 𝑥 + 𝑥 + 1 ≥ 0
x
−∞
+∞
S = ..……………………………………
4) −𝑥(𝑥 + 2) > −1
……………………………………………
……………………………………………
…….……………………………………..
…….……………………………………..
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
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t.d.s :
t.d.s :
x
−∞
x
+∞
S = ..……………………………………

2e D
Rappels d’algèbre
−∞
+∞
S = ..……………………………………
Inéquations particulières du deuxième degré
On peut ( !) résoudre ces inéquations sans tableau de signes.
Si 𝑎 > 0 :
Exemples
𝑥 ≥ 𝑎 ⟺ …………………………..
𝑥 ≥ 9 ⟺ ……………………………….
𝑥 ≤ 𝑎 ⟺ ………………………….
𝑥 ≤ 2 ⟺ ……………………………….
Si 𝑎 < 0 :
𝑥 ≥ 𝑎 ………………………………
𝑥 ≥ −4 …………………………………
𝑥 ≤ 𝑎 ……………………………. ..
𝑥 ≤ −2
…………………………………
Si a = 0 :
𝑥 ≥ 0 ………………………………
𝑥 > 0 …………………………………
𝑥 ≤ 0 ……………………………. ..
𝑥 <0
…………………………………
Remarques :
1) Ces inéquations peuvent aussi être résolues à l’aide d’un tableau des signes.
2) De même on peut résoudre sans tableau des signes les équations 1) et 2) de la page précédente.
1) 𝑥 ≥ 4
2)
(𝑥 − 1) > 0
……………………………………………
……………………………………………
S = ..……………………………………
S = ..……………………………………
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Chap. 0
2
Rappels d’algèbre
2e D
Valeur absolue


Définition
 x si x  0

x  0 si x  0
 x si x  0

x2 = x
en effet :

32 =
9 = 3 et
(- 3)2 =
9 = 3= - 3
Equations et inéquations :
Si 𝑎 > 0 :
Exemples
|𝑥| ≥ 𝑎 ⟺ ………………………..
|𝑥| ≥ 4 ⟺ ……………………………….
|𝑥| ≤ 𝑎 ⟺ ………………………..
|𝑥| ≤ 2 ⟺ ……………………………….
Si 𝑎 < 0 :
|𝑥| ≥ 𝑎 …………………………..
|𝑥| ≥ −4 ……………………………….
|𝑥| ≤ 𝑎 …………………………..
|𝑥| ≤ −2 ……………………………….
3
Factorisation de polynômes dans ℝ

Formules (produits remarquables)
a 2 - b 2 = (a - b)(a + b)
a 2 - 2ab + b 2 = (a - b) 2
a 2 + 2ab + b 2 = ( a + b) 2
Autres formules à connaître : (a + b)3 = a 3 + 3a 2b + 3ab 2 + b 3
(a - b)3 = a 3 - 3a 2b + 3ab 2 - b3

Factorisation d’un polynôme du deuxième degré
Si   0 , alors ax 2  bx  c  a ( x  x1 )( x  x2 ) .
Si   0 , alors ax 2  bx  c  a ( x  x1 ) 2 .
Si   0 , alors ax 2  bx  c ne se factorise pas dans ℝ.
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Chap. 0

2e D
Rappels d’algèbre
Factorisation d’un polynôme P(x) à partir du troisième degré
 Recherche d’une racine évidente a du polynôme P ( P (a ) = 0 )
Pour trouver d’éventuelles racines évidentes a du polynôme P , on cherche tous les
diviseurs (positifs et négatifs) du terme constant et on essaie si le polynôme P s’annule
pour un de ces diviseurs.
 Division de P ( x) par ( x - a ) en utilisant le schéma de Horner
 Le polynôme se factorise alors sous la forme
P ( x)  ( x   )Q ( x) , où le degré Q ( x ) est un degré de moins que celui de P ( x) .
Exemple : Schéma de Horner
On veut diviser le polynôme P( x)  x3  x 2  2 x  12 par x  3 . Cette division peut être résumée
dans le tableau suivant, appelé schéma de Horner :
1
 3
X
1
-1
+
3
=
2
-2
+
6
=
4
-12
+
12
=
|| 0
Explications :
 Dans la première ligne, on écrit les coefficients de P ( x) .
Il faut ordonner P ( x) suivant les puissances décroissantes de x et écrire des 0 pour des
puissances manquantes de x .
 A gauche, on écrit la valeur de  (on divise par x   ).
 On recopie le nombre qui se trouve dans la première ligne de la deuxième colonne (ici 1) et on le
multiplie par  . On calcule la somme de ce produit et de -1 et on écrit le résultat dans la
dernière ligne.p
 Dans la dernière ligne, on obtient les coefficients du quotient (suivant les puissances
décroissantes de x ) dont le degré est un degré de moins que celui de P ( x) .
 Le dernier nombre de la dernière ligne est le reste de la division. Comme 3 est une racine de P, la
division se fait exactement et le reste doit être égal à 0 !
Ainsi : x3  x 2  2 x  12  ( x  3)(1x 2  2 x  4) .
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