PC Carnot
2023-2024
Mathématiques.
DM 1 à rendre le 11/09/2023
Dans tout le problème on se place dans l’espace vectoriel R3 . On désigne par E la base canonique
de R3 . E = (e1 , e2 , e3 ) , où e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1).
On note M3 (R) l’ensemble des matrices carrées d’ordre 3 à coefficients réels. On considère les
matrices :






0 1 1
1 0 0
0 0 0
A = 1 0 1 , I = 0 1 0 et O = 0 0 0 .
1 1 0
0 0 1
0 0 0
On convient que si M ∈ M3 (R) alors M 0 = I. Soient n ∈ N et a0 , a1 , ..., an des réels. Si P désigne
n
X
le polynôme à coefficients réels P =
ai X i et M ∈ M3 (R) on notera
i=0
P (M ) =
n
X
ai M i = a0 I + a1 M + ... + an M n .
i=0
Partie A.
A-1. Montrer que A est inversible et calculer A−1 . On explicitera la méthode utilisée.
A-2.
a) Calculer A2 et A3 .
b) Montrer que A, A2 et A3 se mettent sous la forme : ∀i ∈ [[1, 3]] Ai = λi A + µi I où les λi et
les µi sont des réels que l’on précisera.
A-3. On donne la suite (αn )n≥1 définie par α1 = α2 = 1 et ∀n ≥ 1, αn+2 = αn+1 + 2αn . Montrer,
par récurrence que : ∀n ≥ 2, An = αn A + 2αn−1 I.
A-4.
a) Démontrer que, pour tout entier n ≥ 1, αn = σ.(−1)n + τ.2n , où σ et τ sont deux réels indépendants de n que l’on déterminera.
b) En déduire une expression de An en fonction de n.
Partie B. On note id l’endomorphisme identité de R3 et f l’endomorphisme de R3 dont la matrice dans la base E est A.
B-1.
a) On pose E1 = ker(f + id) et E2 = ker(f − 2id). Rappeler pourquoi E1 et E2 sont des sousespaces vectoriels de R3 .
b) Déterminer E1 et E2 ainsi que leur nature géométrique. Donner une base B1 de E1 et une base
B2 de E2 . On choisira des vecteurs dont la première coordonnée est 1 et dont une coordonnée est
nulle, lorsque cela est possible.
c) Montrer que si l’on complète la base B1 par l’élément de la base B2 on obtient une base B de R3 .
1
d) Montrer que R3 = E1 ⊕ E2 .
e) Soit f1 (respectivement f2 ) l’application de E1 dans E1 (respectivement de E2 dans E2 ) définie
par ∀x ∈ E1 , f1 (x) = f (x) (resp. ∀x ∈ E2 , f2 (x) = f (x)). Déterminer la nature géométrique de f1
et f2 .
B-2.
a) Déterminer la matrice D de f dans la base B.
b) Déterminer la matrice P de passage de la base E à la base B.
c) Rappeler pourquoi P est inversible.
d) Montrer que pour tout entier naturel , An = P Dn P −1 .
e) En déduire la valeur de An et comparer avec le résultat de la question A-4 b).
Partie C.
a) Calculer (A+I)(A−2I). En déduire à nouveau que A est inversible et calculer A−1 en fonction
de A et I.
b) Soit n un entier naturel non nul. Soit Rn le reste de la division euclidienne du polynôme X n
par le polynôme (X + 1)(X − 2). Que peut-on dire du degré de Rn ?
c) Calculer Rn (−1) et Rn (2), puis déterminer Rn .
d) Montrer que les coefficients de Rn sont entiers.
e) Retrouver l’expression de An .
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