C
+
E
U
Y
M
(-)
Professeur Belkacem OULD BOUAMAMA
y
q de Lille
Ecole Polytechnique
LAGIS UMR CNRS 8146
Tél : (33) 03 28 76 73 97 - Fax : (33) 03 20 33 71 89
E mail : belkacem.ouldbouamama@polytech-lille.fr
Page personnelle : http://sfsd.polytechhttp://sfsd.polytech-lille.net/BelkacemOuldBouamama
SOMMAIRE (1/1)
•
•
•
•
Chapitre 1 : INTRODUCTION
– Définitions, Conception de systèmes de commande
– Exemples de systèmes de commande
– Systèmes de commande intégré
Chapitre 2 : DESCRIPTION MATHEMATIQUE DES SYSTEMES PHYSIQUES
– Méthodologies de l’analyse des systèmes
– Transformées de Laplace
– Fonctions de Transfert
– Modélisation des systèmes physiques
Chapitre 3 : DYNAMIQUE DES SYSTEMES LINEAIRES
– Signaux de test types (saut, impulsion rampe..)
– Réponses d’un système
– Analyse temporelle et fréquentielle
– Réponses indicielles, impulsionnelles;;
– Caractéristiques fréquentielles (Bode, Nichols, Nyquist…)
– Etude des systèmes types
Chapitre 4 : PERFORMANCES D’UN SCA
– Performances d’un SCA
– Stabilité des systèmes (Critères algébriques et géométriques Marges de
stabilité..)
– Dilemme Stabilité Précision
– Signaux de test types (saut, impulsion rampe..), Réponses d’un système
– Analyse temporelle et fréquentielle
– Réponses indicielles, impulsionnelles; Bode, Nichols, Nyquist…
– Etude des systèmes types
– Classe de précision d’un SCA
Sommaire (2/2)
•
•
•
Chapitre 5 : TECHNOLOGIE ET REGLAGE DES REGULATEURChap.
REGULATEURS
– Principe de fonctionnement d’un régulateur
– Technologie d’un régulateur
– Classification d’un régulateur
– Etude des régulateur P, PI, PID, Tout ou rien
– Etalonnage d’un régulateur
– Calcul des paramètres d’un régulateur
– Prédicteur de Smith
– Méthodes théoriques de calcul
– Méthodes pratiques de réglage
Chapitre 6 : ETUDE DE CAS : PROJET D’UN SCA
– Etapes de réalisation d’un projet
– Définition E/S
– Calcul des paramétres du régulateur
– Simulation sur Matlab-Simulink
– Limites de la régulation Classique PID
– Introduction à la commande avancée
Chapitre 7 : COMMANDE NUMERIQUE
– Pourquoi la commande numérique?
– Eléments constitutifs d’une boucle de régulation numérique
– Outil mathématique (transformées en Z)
– Rôle d’un calculateur
– Choix de la période d’échantillonnage : Théorème de Shanon
– Mise en œuvre (acquisition, filtrage, multiplexage, échantillonnage)
– Exemple de système numérique.
AUTOMATIQUE
Professeur Belkacem OULD BOUAMAMA
Ecole Polytechnique de Lille
LAGIS UMR CNRS 8146
Tél : (33) 03 28 76 73 97 - Fax : (33) 03 20 33 71 89
E mail : belkacem.ouldbouamama@polytech-lille.fr
Page personnelle : http://sfsd.polytechhttp://sfsd.polytech-lille.net/BelkacemOuldBouamama
1
AVANT PROPOS (1/2)
Ce support de cours a pour but principal, sans être simpliste, de présenter avec une approche très pratique des
fondements de l’automatique linéaire que nous appellerons souvent la régulation automatique
automatique.. Chaque outil
mathématique utilisé, est étayé par des exemples industriels concrets.
concrets.
Pour rendre le cours attrayant, ce polycopié est simplifié, pour plus de détail sur le contenu le lecteur pourra se
référer au cyber
cyber--cours introduit par l’auteur sur le réseau internet : http
http:://www.
//www.univuniv-lille
lille1
1.fr/eudil/belk/sc
fr/eudil/belk/sc00
00a
a.htm
La régulation automatique,
automatique, actuellement rebaptisée «automatique» est noyée dans les techniques modernes de
commande (robotique, productique,cybernétique)
productique,cybernétique).. Ceci est principalement dû à l’apparition initialement de l’électronique,
puis vers les années 60 du microprocesseur et donc de l’informatique.
l’informatique. Mais il est utile de souligner que les vieilles
techniques de la régulation classique restent encore très utilisées dans des industries aussi complexes que le nucléaire par
exemple, et elles ont encore de beaux jours devant elles car, la théorie en automatique avance bien plus vite que son
application et ça, parce que les moyens informatiques sont plus «performants» que la connaissance du système à traiter,
c’est à dire le modèle mathématique, nécessaire pour la réalisation de la commande dite moderne.
moderne. C’est pourquoi, il nous a
semblé
blé utile
il de
d réserver
é
d
dans
ce présent
é
support une large
l
place
l
à la
l modélisation.
modélisation
déli i .
Dans le premier chapitre, nous présenterons les principes de la commande automatique avec des exemples de
systèmes asservis et de régulation divers (de la poursuite d’une cible, régulation d’un four à la commande optimale d’une
unité de traitement de gaz en vue de minimiser le taux de pollution).
pollution). La symbolisation normalisée des boucles de
régulation dans l’industrie sera aussi présentée afin de permettre à l’étudiant de lire les schémas de régulation présentés
dans l’industrie comme on lit un dessin de mécanique.
mécanique.
Avant de commander nous devons bien connaître le système, c’est pourquoi, dans le deuxième chapitre nous
développerons un aspect important de l’ingénieur qui est la modélisation et exposerons l’approche analogie des systèmes
physiques de type bondbond-graph « efforteffort-flux».
flux». La méthodologie de la modélisation dynamique comportementale , par la
mise en équation des systèmes physiques de nature différente sera appliquée sur des systèmes divers : mécanique,
électrique, chimique.
chimique. L’outil classique, mais inévitable en régulation - la transformée de Laplace avec surtout ses
applications pour la résolution des équations différentielles par la méthode des résidus, sera traité.
traité. On introduira enfin les
notions et le sens physique de la fonction de transfert.
transfert.
Chap.1/ 2
AVANT PROPOS
(2/2)
L’outil mathématique de l’analyse des systèmes traités dans le chapitre précédent servira dans le troisième chapitre à
l’analyse des systèmes linéaires types
types.. On insistera surtout sur l’analyse temporelle des systèmes (analyse indicielle et
impulsionnelle).. L ’analyse fréquentielle, qui est plutôt un approche d ’électroniciens, n ’a pas un grand sen physique et
impulsionnelle)
pratique dans les processus énergétiques
énergétiques.. En effet les perturbations de débit, température ou de pression varient en
pratique plus sous forme d ’un échelon ou d ’une rampe que d ’une sinusoïde.
sinusoïde.
pur...
...)) seront traités par des
Les systèmes linéaires types les plus importants (premier et deuxième ordre, avec retard pur
exemples physiques variés (thermique, chimique, mécanique et électrique), des analogies seront à chaque fois soulignées..
soulignées..
Le quatrième chapitre propose la théorie de la stabilité des systèmes ave un approhe géométrique et algébrique.
algébrique.
Le dilemme stabilitéstabilité- précision sera traité sur la base d’un exemple concret de la régulation de la pression dans un
réacteur.. L’approche perturbation (qui est souvent omise par les étudiants) sera privilégiée car, en régulation, la consigne
réacteur
reste en général constante.
constante. Le calcul des erreurs en poursuite et en régulation sera exposé.
exposé. Concernant la stabilité, une
approche académique sera abordée avec une plus grande insistance sur le critère du revers et le sens pratique des marges
de stabilité
p
5 sera consacré à la technologie
g et le réglage
g g des régulateurs
g
industriels.
industriels. La constitution des régulateurs,
g
, la
Le chapitre
vérification, le rôle et le domaine d’utilisation des différentes action (P I et D) ainsi que «tout ou rien» seront discutés
pratiquement..
pratiquement
Un projet d’analyse et de synthèse de la régulation d’un four tubulaire sera traité au sixième chapitre. Pour la
synthèse, on mettra en évidence l’influence des actions P, I et D et de «tout ou rien» sur les performances du système,
ainsi que celle du retard sur la stabilité. les limites de la régulation PID seront aussi mises en évidence, ce qui nous
amènera à discuter sur les notions de la régulation avancée.
Cette partie sera évidemment illustrée par un ensemble de travaux dirigés (TD) et pratiques (TP) portant sur la régulation
de processus industriels.e
) Malgré tout le soin apporté à la rédaction, l’auteur est conscient des imperfections qui peuvent encore subsister dans ce
polycopié. Aussi, l’auteur est reconnaissant par avance des remarques que pourront lui adresser les lecteurs et les
étudiants pour la perfection de ce support de cours.
Chap.1/ 3
OBJECTIFS DU COURS
) Présentation des principes de l’automatique continue (asservissement et régulation)
) Maîtriser les outils mathématiques pour :
 l’analyse des systèmes physiques(modélisation, analogie des systèmes physiques)
 et des systèmes de commande (fonction de transfert, transformée de Laplace ,
analyse temporelle etc.)
) Prendre connaissance des pratiques de la régulation industrielle sur des exemples
concrets
 Technologie et réglage des régulateurs
 Choix et actions des régulateurs etc..
) Méthodologie de la réalisation d’un projet d’un système de régulation
 cahier de charge, identification et synthèse du système de régulation
 montrer les limites de la régulation classique
) Introduction à la régulation avancée.
Chap.1/ 4
AUTOMATIQUE ?
) Automatique ? Science traitant de :
 La modélisation
 Analyse
 Commande
 Supervision des systèmes dynamiques continus et discrets
)Actuellement automatique discipline transverse
)Applications :
 Aéronautique,
 Automobile,
 Spatial,
 Procédés,
 Économie
 Sciences de la terre….
Chap.1/ 5
Chap. 1.
INTRODUCTION
) 1.1 Historique et la régulation automatique aujourd’hui
 Automatisation : Ensemble des procédés visant à réduire ou à supprimer
l’intervention humaine dans les processus de production
) La régulation automatique aujourd’hui : La régulation automatique, actuellement rebaptisée
«automatique» est noyée dans dans les techniques modernes de commande- robotique, productique etc..,
en raison surtout de l’apparition de l’électronique, puis vers les années 60 du microprocesseurs et donc de
l’informatique. Mais il est utile de souligner que les vieilles techniques de régulation classiques restent
encore très utilisées dans l'industrie et elles ont encore de beaux jours devant elles car, la théorie en
automatique avance bien plus vite que l'application et ça, parce que les moyens informatiques sont plus
«performants» que la connaissance du système à traiter c’est à dire le modèle. Il est aussi intéressant de
noter qu’aujourd’hui, les mécaniciens souhaitent parrainer l’automatique car la robotique c’est
l’automatique disent-ils et les informaticiens ont les mêmes ambitions car l’informatique industrielle est
leur apanage. Et l’automatique dans tout ça ? Mais cette question, d’actualité d’ailleurs, est sans doute la
conséquence des transformations des sciences de l’ingénieur subies grâce (ou a cause) de l’informatique.
 Historique : 1840 : Régulateur de Watt (Besoins de l’industrie à vapeur)
1945 : Deuxième guerre mondiale
1960 : Apparition de l’informatique (cosmos, traitement rapide de l’information, possibilité de
résolution des systèmes complexes etc..)
Â
Importance : Qualité des produits finis, précision des opération , protection de
l’environnement, répététivité des opérations etc..
Chap.1/ 6
EVOLUTION DE L’AUTOMATIQUE
AEROSPATIALE
Robotisation, IA
INFORMATISATION
Régulateurs numériques
2ème GUERRE MONDIALE
Les systèmes suiveurs
Electronique missile
Electronique,
MACHINE A VAPEUR
1er régulateur de Watt
Mécanisation, procédé
CYBERNETIQUE,
BIONIQUE
Etude des processus de
commande
Analogie monde animal
technologie
Chap.1/ 7
LES SYSTEMES AUTOMATISES AUJOURD’HUI
Maintenance
Set points
FTC Level
Technical
specification
List of faults
DIAGNOSTIC
Control signals
Observations
Control
SENSORS
OUTPUT
INPUT
Chap.1/ 8
1.2 DÉFINITIONS
)Système : Ensemble organisé dans un but fixé ou ensemble
de processus physiquesphysiques-chimiques en évolution et de procédés
de réalisation de ces procédés.
procédés.
Sortie
Entrée
SYSTEME
)Petits et grands systèmes
)Signal
 Grandeur physique générée par un appareil ou traduite par un
Signal d’entrée
capteur
Signal de sortie
Commandable
Non commandable
Observable
Non observable
Chap.1/ 9
1.3. SYSTÈMES DE COMMANDE
)1.3.1. Composition d ’un système de commande
PERTURBATIONS
ORDRES
ACTION DE
COMMANDE
SYSTÉME
DE
COMMANDE
PARAMETRE A
COMMANDER
SYSTÉME
À
COMMANDER
)1.3.2 Paramètres d’un système de commande
ÂConsigne
ÂAction de commande
ÂPerturbations
ÂParamètre à commander
Chap.1/ 10
1.3.3 EXEMPLES DE SYSTÈMES DE COMMANDE
) 1. Réglage de la vitesse d’une voiture
Maintenir vitesse
constante
Etat de la route
Action de commande
(Débit d ’essence)
SYSTEME DE
REGLAGE DE
VITESSE
Vitesse de la
voiture
VOITURE
) 2. Réglage de la température d ’un four
QP
Produit chauffé
Produit à chauffer
Ts
QG
Gaz combustible
Maintenir température
constante
VANNE
DE
REGLAGE
Temp. Extérieure
Débit produit à chauffer
Action de commande
(débit du gaz
QG
combustible)
FOUR
Paramètre à Ts
régler
Chap.1/ 11
1.4 CONCEPTION D’UN SYSTEME DE COMMANDE
)1.4.1 système à boucle ouverte (open loop system)
system)
Croisons les doigts pour que ça marche puisque
je n’ai aucune information sur la sortie, je suis aveugle .
Ordre (T=37°c)
Z (débit d’entrée)
Action de commande
(débit du gaz
combustible)
SYSTÉME DE
REGLAGE
FOUR
Ts
Pourvu que que la vitesse ne soit pas limitée
car la voiture n ’est pas équipée d ’indicateur de vitesse
Etat de la route
Ordres vitesse limitée
SYSTÉME DE
REGLAGE
débit d’essence
VOITURE
Vitesse
Ñ Avantages et inconvénients
Chap.1/ 12
1.4.2 Système à boucle fermée
Je compare ce que je veux et ce que je reçois
et j’agis en conséquence sur la vanne de réglage.
Je corrige jusqu’à ce que Ts=37°c
Objectifs
(T=37°c)
Z (débit d’entrée)
Action de commande
(débit du gaz
combustible)
VANNE DE
REGLAGE
Ts
FOUR
Consigne
Grandeur réelle
CAPTEUR DE TEMPERATURE
Je regarde la vitesse indiquée par le compteur
et j accélère ou décélère en agissant sur la pédale pour
maintenir la vitesse toujours égale a celle fixée.
débit d’essence
PEDALE DE VITESSE
Consigne:
V=cste
Vitesse
VOITURE
CAPTEUR DE VITESSE
) Avantages et inconvénients :
Chap.1/ 13
1.4.3 Automatismes à boucle combinée
) But d ’un système à boucle combiné : d ’exploiter simultanément des avantages
d ’une boucle ouverte (rapidité, anticipation) et de celle fermée (correction,
précision).
Boucle ouverte
CALCULATEUR
Consigne
Perturbation
Commande
Ecart
CONTROLER
COMPARER
Observation
Sortie
SYSTEME
PHYSIQUE
EVALUER
Boucle fermée
Chap.1/ 14
1.5 FONCTIONNEMENT D ’UN SYSTEME DE CONTRÔLE
)1.5.1 BUT D ’UN SYSTÈME DE CONTRÔLE : Atteindre le but (consigne)
quelque soit l ’effet des perturbations extérieures).
)1.5.2 SYSTÈME ASSERVI ET LE COMPORTEMENT HUMAIN
Perturbations
Uc
Désir
REFLEXION
Ur
ACTION
SYSTEME
PHYSIQUE
Réalité
OBSERVATION
Chap.1/ 15
1.5.3
Schéma fonctionnel d’un SRA
Z
chaîne de puissance
C
+
E
U
REGULATEUR
M
(-)
PROCESS
Y
chaîne de contre réaction (de faible puissance)
CAPTEUR
C : Consigne (set value),
E : écart de régulation (departure, error signal)
U : signal de commande (control signal)
Y : variable de sortie ou variable à régler ou mesure (mesured value)
Z : perturbation (disturbance)
M : grandeur physique à la sortie du capteur (courant, pression, ...)
Chap.1/ 16
5.4. Éléments d’une régulation analogiqu
Z
C +
M
E
REGULATEUR
ANALOGIQUE
U
PROCESS
Y
(-)
4-20 mA
0,2-1 bar
0-10v
TRANSMETTEUR
CAPTEUR
On peut aussi avoir:
CEP : Convertisseur Electro-pneumatique
CPE : Convertisseur Pneumo-électrique
Chap.1/ 17
5.5. Eléments d’une régulation numériq
C +
M
E
Un
CNA
Ua
PROCESS
Y
(-)
CAN
CAPTEUR
TRANSMETTEUR
CNA : Convertisseur Numérique Analogique
CAN : Convertisseur Analogique Numérique
Chap.1/ 18
1.5.6. ASSERVISSEMENT ET RÉGULATION
) Asservissement:
ÂUn système asservi est un système dit suiveur , c’est la
consigne qui varie.
9 Exemple : une machine outil qui doit usiner une pièce selon un
profil donné, un missile qui poursuit une cible, pilotage
automatique d ’un avion.
) Régulation :
ÂDans ce cas, la consigne est fixée et le système doit
compenser l’effet des perturbations,
9 à titre d’exemple , le réglage de la température dans un four, de la
pression dans un réacteur, le niveau d’eau dans un réservoir.
Chap.1/ 19
1.6. EXEMPLES DE SYSTEMES AUTOMATIQUES
A) Suivi de la trajectoire d’une cible
C
+
E
Y
U
M
()
(-)
+
C
E
U
Contrôleur
Gouvernail
Ur
y
Avion
M
Gyroscope
Chap.1/ 20
B) Régulation de la température d’un four
CONSIGNE
-
THERMOCOUPLE
+
Tc
(Ts-Tc)
Ts
Pétrole brut
Pétrole chauffé
CORRECTEUR
U
Vanne de réglage
Tc
+
ΔT
U
Contrôleur
Vanne
Ur
Gaz combustible
Ts
Four
-
Thermocouple
Chap.1/ 21
C) RÉGULATION DE LA TEMPÉRATURE D’UN ÉCHANGEUR THERMIQUE
Uc
120
160
180
200
Ur
Régulateur
Ts
Tc
Vapeur
Thermocouple
Produit chauffé
condensât
Tc
ΔT
+
Régulateur
Produit à chauffer
Uc
Ur
Vanne
Z
Ts
Echangeur
-
Thermocouple
Chap.1/ 22
Systéme de régulation : PID
u1
Jus de fruit
concentré
Qc
Eau
Qjc(t)
V1
V2
FRC
u2
C1
1
AIC
C2
Qe(t)
M1
1
FT
M2
1
AT
Qs(t), Cs(t)
1
Mélange de concentration Cs et
de Débit Qs
But ; Réguler la concentration Cs(t) du produit et du débit de sortie Qs(t)
Paramètres à régler : Qs(t), Cs(t), Paramètres réglant : Qe(t) et Qjc(t)
Chap.1/ 23
Systéme de régulation : Bloc Diagramme
REGULATEUR
(-)
C1
PROCESS
M1
FRC
Vanne1+c
onduite
Qe
Mélangeur1
1
Mélangeur1
2
Qse +
Qs
+
Cse
Qsc
Mélangeur2
1
C2
AIC
(-)
Vanne2+c
onduite
QC Mélangeur2
2
+
-
Cs
M2
Chap.1/ 24
Systéme de régulation : Schéma fonctionnel
PROCESS
REGULATEUR
(-)
C1
M1
Qe
FRC
W11(p)
W12((p))
Qse +
Qs
+
Cse
Qsc
W21(p)
C2
QC
AIC
(-)
+
W22(p)
-
Cs
M2
Chap.1/ 25
1.7 SYMBOLISATION DES BOUCLES DE REGULATION (P&ID)
TRC
1
Vapeur
Produit chauffé
TI
2
FI
9
Echangeur de
chaleur
TR
3
condensât
Exemple : TRC
Temperature Registered and Controlled
Produit à chauffer
PHS
5
Piping and Instrumentation Diagram
Plan des Instruments Détaillés
ORDRE DES LETTRES DANS UNE DESCRIPTION
1
2
3
Grandeur mesurée et/ou
Fonction des éléments de la boucle
Régulation ou
contrôlée
signalisation
Température
Indication
Controlé
T
I
C
Pression
Enregistrement
Sécurité
P
R
S
Débit
Bas (Low)
F
L
Composition
Haut (High)
A
H
d'un produit
Puissance
Différence
J
D
Courant
I
Position
Z
Radioactivité
R
tension
E
Viscosité
V
Humidité
M
Poid
W
Niveau
L
Chap.1/ 26
1.8. NIVEAUX D’UN SYSTEME AUTOMATISE
PROCESS
REGULATION
LOCALE
COMMANDE
AVANCEE
OPTIMISATION
STATIQUE
OPTIMISATION
ECONOMIQUE
SALLE DE
CONTROLE
OBJECTIFS
Chap.1/ 27
1.9 AUTOMATISATION & L’ENVIRONNEMENT
2 .H 2 S + SO 2
H2S
SO2
Kd
⎯
⎯→
1 . 5 S 2 + 2 H 2 O +Q
Ki
←
SO2
Réacteur
catalytique
Réacteur
catalytique
S
S
O2
SO 2 ,COS , H 2 S
A
Objectif
∑ S → min .
η
H2S
SO2
Ro
G az
C a lc u l c o n sig n e
a ir
H2S
H2S
=
S O 2 réel
S O 2 o p tim a l
FR
C a lc u l η ( F a , F G ,% H 2 S ,% S O 2 . . . )
te l
que η → m ax.
R
Chap.1/ 28
1.10 AUTOMATISATION INTÉGRÉE
Niveau 3
Supervision
Aide à la conduite planification,
diagnostic interface homme machine
Niveau 2
Monitoring
Suivi de l’état du processus
Visualisation
Niveau 1
Regulation
Commande logique, régulation
Optimisation
Niveau 0
Instrumentation
Choix et implémentation des
capteurs et actionneurs
Décisions
Entrée
Observations
Sortie
Chap.1/ 29
Chapitre 2
DESCRIPTION MATHEMATIQUE DES SYSTEMES
PHYSIQUES
Objectifs du chapitre :
Maîtriser :
 L’outil mathématique pour l’analyse des systèmes
(transformées de Laplace),
 la méthodologie de la modélisation comportementale de la
dynamique des systèmes physiques étayée par un ensemble
d’exemples industriels,
 Manipulation des fonction de transfert des systèmes
Chap.2/ 1
2.1. Méthodologie de l’analyse des systèmes
) 2.1.1 Analyse et synthèse
C
E
+
U
M
PROCESS
CORRECTEUR
(-) M
)But de l ’automaticien
Concevoir un SRA précis, stable et rapide
Comment ?
Synthèse (choisir un « bon » correcteur)
Analyse (comprendre le process)
Chap.2/ 2
2.1.2. Analyse et synthèse des systèmes
CAHIER DE CHARGE
E/S
Déf. du process et des objectifs
Lois physiques, bilan, hypothèses
A
ANALYSE
coonnaissance
Acquisition de données
Connaissance à priori
Choix de la structure du modèle
Estimation des paramètres
Oui
Modèle de conduite
adéq.
Synthèse de régulation
SYNTHESE
commande
Modèle de connaissance
Planification des expériences
Simulation
Ch i d
Choix
du critère
i è d’identité
d’id i é
Non
Logistique
actionneurs, régulateurs,
transmetteurs...
Validation sur site
Réalisation définitive
Chap.2/ 3
2.1.3 Propriétés des systèmes linéaires
) Définitions
9 Un système physique est dit linéaire si son comportement est décrit par des équations
différentielles linéaires à coefficients constants.
x (cause)
SYSTEME
y (effet)
dx ( t )
d 2 x( t )
d n x( t )
dy ( t )
d 2 y( t )
d m y( t )
+ a2
+ ... a n
= b0 y ( t ) + b1
+ b2
+ ...bm
dt
dt
dt 2
dt n
dt 2
dt m
Conditions initiales CI : t = 0 , x ( t 0 ) = x 0 , y ( t 0 ) = y 0
a0 x ( t ) + a1
ai et bi sont des constantes.
R
C
Us(t)
 Exemple
E
dU s( t )
= E(t )
dt
Conditions initiales CI : t = 0 , E ( t 0 ) = E 0 , U s( t 0 ) = U s0
U s( t ) + RC
Chap.2/ 4
2.1.3 Propriétés des systèmes linéaires
) 1. Propriété de superposition
 Si x1 donne effet à y1, x2 à y2 alors x1 + x2 donne effet à y1 + y2
) 2. Propriété de proportionnalité
 Si x1 donne effet à y1, alors Kx1 donne effet à K y1
D’une façon générale : si les entrées x1 (t) et x2 (t) provoquent l’évolution des sorties y1(t) et y2
(t)
alors K 1x1 (t) + K2 x2 (t) provoque la sortie y(t) = K1 y1 (t) + K2 y2 (t)
Chap.2/ 5
2.3 Modélisation des systèmes physiques
) 2.3.1 Définitions
‹ Mod
Modé
élisation ? : Ensemble des procé
procédures permettant d’
d’obtenir un modè
modèle
‹ Mod
Modé
éliser un systè
système = capable de pré
prédire le comportement du systè
système
‹ Subjectivisme de la modé
modélisation : modè
modèle = intersection du systè
système et du modé
modélisateur
‹ Mod
Modè
èle jamais "exact"?
) 2.3.2 Importance
‹ Outil d'aide à la dé
décision., Support de la simulation,
‹ Repr
Repré
ésente 50 % d’
d’un projet de commande
‹ Perspectives grâce à l'informatisation
) 2.3.3 Un modèle pourquoi faire ?
‹ Concevoir, Comprendre, Pré
Prévoir, Commander (dé
(décider).
Chap.2/ 6
2.3.4 Un modèle comment faire ?
1. MODELE DE CONNAISSANCE
‹ Obtenu sur la base des lois physiques, économiques etc..
‹ Difficultés de décrire fidèlement les phénomènes complexes;
‹ Hypothèses simplificatrices;
‹ Dilemme- précision-simplicité
) Un modèle simple est faux, un modèle compliqué est inutilisable.
‹ Les paramètres ont un sens physique donc modèle commode pour l'analyse.
2. MODELE DE REPRESENTATION
‹ Système "boite noire";
‹ Expérience active (système dérangé) ou passive (aléatoire);
‹ Etape qualitative (connaissances a priori) et quantitative;
‹ Paramètres du modèle n'ont aucun sens physique;
‹ Modèle de conduite (modèle E/S) utile pour la commande;
Chap.2/ 7
‹ Complément du modèle de représentation.
2.3.5. Classification des modèles
1.
selon le caractère des régimes de fonctionnement
¾ statique et dynamique
2. selon la description mathématique
¾ linéaire, non linéaire
3. selon les propriétés dynamiques
¾ à paramètres localisés, à paramètres distribués
4. selon l’évolution des paramètres :
¾ stochastique , déterministe
5. selon le nombre de variables :
¾ monovariable (SISO) , multivariable (MIMO)
Chap.2/ 8
2.3.6 Différentes étapes de la modélisation
PROCESSUS PHYSIQUE
Etablissement du schéma de principe
Représentation par bloc
Acquisition
de données
Mise en équation
Calcul erreur de modélisation
Amélioration
du modèle
NON
Modèle
adéquat ?
OUI
SIMULATION, MONITORING,
CONTROL...
Chap.2/ 9
2.3.7. Analogie des grandeurs physiques : Notion des bond graphs
) Founder of BG : Henry Paynter (MIT Boston)
 The Bond graph tool was first developed since 1961 at MIT, Boston, USA
by Paynter
)Symbolism and rules development :
 Karnopp (university of california), Rosenberg (Michigan university), Jean
Thoma (Waterloo)
) Introduced in Europe only since 1971.
 Netherlands and France ( Alsthom)
 Teaching in Europe
9 France : Univ LyonI, INSA LYON, EC Lille, ESE Rennes, Univ. Mulhouse, Polytech’Lille
9 University of London
9 University of Enshede (The Netherlands)
Chap.2/ 10
Notion des bond graphs : Hystorique)
) Teaching in Canada
ÂUniv. of Waterloo (Jean THOMA)
) Teaching in USA
 MIT, Michigan university
)Industrial application
Âis used today by many industries for modeling
analysis and control.
) Companies using this tool
9Automobile company : PSA, Renault
9Nuclear company : EDF, CEA, GEC Alsthom
9Electronic :Thomson, Aerospace company ....
Chap.2/ 11
Bond graph: définition
∑1
∑2
REPRESENTATION
e
f
P = e.f
BOND GRAPH MODELING IS THE REPRESENTATION (BY A BOND) OF POWER FLOWS
AS PRODUCTS OF EFFORTS AND FLOWS WITH ELEMENTS ACTING BETWEEN
THESE VARIABLES AND JUNCTION STRUCTURES TO PUT THE SYSTEM TOGETHER
TOGETHER..
Chap.2/ 12
Bond graph : variables de puissance et d’énergie (1/1)
) VARIABLES DE PUISSANCE
Effort e(t) Variables intensives: tension, température, pression
Flow f(t) : débit massique, courant, flux d’entropie, …
e (t )
Puissance échangée
P ( t ) = e ( t ). f ( t )
f (t )
) VARIABLES D’ENERGIE
D ENERGIE
Moment ou impulsion p(t), (flux magnétique, integral de la pression,
moment angulaire, … )
t
p (t ) = ∫ e (τ ) d τ + p (t 0 )
t0
Déplacement gnéralisé q(t), Variables extensives (masse, volume,
charge … )
t
q (t ) = ∫ f (τ ) d τ + q (t 0 )
t0
Chap.2/ 13
VARIABLES DE PUISSANCE ET D’ENERGIE
DOMAINE
EFFORT (e)
TENSION
Electrique
Mechanique (translation)
COURANT
u [V]
i [A]
FORCE
VITESSE
F [N]
v [m/s]
COUPLE
VITESSE ANGULAIRE
Γ [Nm]
ω [rad/s]
PRESSION
DEBIT VOLUMIQUE
Mechanique (rotation)
Hydraulique
FLOW (f)
V& m 3 / s
P [pa]
FLUX MOLAIRE
Chimique
POTENTIEL CHIMIQUE
Thermique
TEMPERATURE
FLUX D’ENTROPIE
T [K]
S& [W/K]
μ [J/mole]
n&
[mole/s]
Chap.2/ 14
Bond graph : Eléments physiques de base
) Eléments de base
 R (Dissipation d ’énergie),
 C (Stockage d ’énergie),
 I (Inertie).
) Eléments de jonction
 « 0 » Même effort,
 « 1 » même flux, TF (Transformation d ’énergie).
) Eléments actifs
 Source d ’effort (Se) Ex. Générateur de tension, pompe,
 Source de flux (Sf) Ex. Générateur de courant.
Chap.2/ 15
1.
R element (resistor, hydraulic restriction, friction losses …)
ELECTRICAL
p1
v2
v1
THERMAL
HYDRAULIC
T1
p1 − p 2 = R V&
p1 − p 2 = R .V& 2
v 1 − v 2 = U = Ri
R Constitutive equation :
Φ R (e, f ) = 0
For modeling any physical
e
f
T2
T1 − T 2 = R Q&
phenomenon characterized by an effort-flow relation ship
Representation
Q&
p2
V&
i
R:R1
Chap.2/ 16
2. BUFFERS element
A) C element (capacitance) Examples: tank, capacitor, compressibility
ELECTRIC
i1
HYDRAULIC
V&1
i2
i
C
Q&1
Q& 2
m
c
T
p
h
i = i1 − i2 =
THERMAL
A: section
h: level
ρ: density
C= ρg/A
V&2
dq d (C .U )
=
dt
dt
d ( Ah )
V& = V&1 − V&2 =
,
dt
1 &
p =
V dt
∫
C
1
U = ∫ idt
C
d (mcT )
Q& = Q&1 − Q& 2 =
.
dt
1 &
T = ∫ Q dt
C
p = ρ gh
C Constitutive equation (For modeling any physical
(
e
f
Representation
)
ΦC e, ∫ fdt = 0
phenomenon characterized by a relation ship between effort and ∫ flow
C:C1
Chap.2/ 17
B) I element (Inertance)
Examples:: Inductance, mass, inertia
Examples
HYDRAULIC
ELECTRIC
MECHANICAL
l
F
V1
i
V2
p1
1
i = ∫ Udt
L
p2
V&
F
m dv
ρlA dV&
Δp = p =
=
= 2
A
A dt
A dt
A
pdt
V& =
∫
ρl
dV
.
dt
1
V =
Fdt
m∫
F = m
I Constitutive equation (For modeling any physical phenomenon Φ I ( f , edt) = 0
∫
characterized by a relation ship between flow and ∫ effort
Representation
e
f
I:I1
Chap.2/ 18
2.3.8. Exemple de modélisation par Bond graph
Système électrique
Système hydraulique
R
i1
Q1
R
i2
i
C
P1
U1
Pompe
UC
Générateur de
tension
PC
C
Q2
C
R
Δe
‹ Représentation
1
f1
‹ Equation de l ’élément C
e ≡ P ≡U
e2
e2
e1
Se
Δf
eC
Sf
0
Φ C (e , ∫ fdt ) = 0
f ≡ Q ≡i
f2
f1
⇒
PC = U C =
1
∫ ( f1 − f 2 ) dt
C
Chap.2/ 19
LES LOGICIELS DE MODELISATION et de SIMULATION
) MATLAB
MATLAB--SIMULINK
) TWENTE SIM,, SYMBOLS
Chap.2/ 20
2.3.9 Lois fondamentales de la modélisation des processus
) Loi de continuité générale
(Débit massique entrant dans le système) - (Débit
massique sortant du système) = variation de la masse
dans le système
 Balance énergétique
(Puissance totale reçue par le système de l’extérieur) + (Flux
d’enthalpie transportée par le mélange à l’entrée)
- (Flux d’enthalpie transportée par le mélange à la sortie)
= variation de l’énergie interne s’accumulant dans le système
Chap.2/ 21
2.4 EXEMPLES DE MODÈLES MATHÉMATIQUES
a. Modèle d’un circuit électrique RLC
L
R
Vs
Ve
Ve
CIRCUIT RLC
Vs
C
Ve = VR + VL + VS
VR = Ri
VL = L.
di
dt
Ve = RC.
t
1
VS = .∫ idt
C0
dVS
d 2V
+ LC. 2S + VS
dt
dt
Chap.2/ 22
b. Modèle d’un thermocouple
)Un thermocouple ?
E
Ts : Temp. de la soudure du thermocouple [°];
Te : Temp. du milieu à mesurer;
E : fcem de sortie = K.Ts [Volt]; K=cste.;
M : masse de la soudure [kg];
S : Surface d'échange de chaleur [m²];
[j/(kg.°K)];
C : Capacité calorifique. de la soudure
α : Coef. de transfert de chaleur [j/(sec.m².°K)];
Ts
Te
Te(t) [°c]
E(t) [mV]
Thermocouple
αS (Te−Ts )=MC.
dTs
dt
E n ten an t com pte q ue d an s un th erm o cou p le E = K T s , o n o btient :
Ko .
MC dE
.
+ E =Te (t )
α S dt
Chap.2/ 23
c. Modèle d’une vanne de réglage
2. schéma bloc
1. Schéma de principe
Pe
régulateur
Pe (bar)
0,2 -1 bar
3 - 15 psi
Pe
1
Légende :
Pe : pression provenant du régulateur [0,2 bar à 1bar] (entrée)
X : déplacement de la tige 3 [0 à 6 mm](sortie)
f : frottement [kgf.sec/m], m : masse de la partie en mouvement [kg]
1 : Membrane en caoutchouc de section s [m²]
2 : ressort de raideur Ke [kgf/m]
3 : Tige , 4 : garniture d'étanchéité
d étanchéité, 5 : siège
siège, 6 :clapet
7 : conduite
2
3
6
X (mm)
Vanne
X
4
5
7
3. Modèle
Bilan des forces (Newton)
m
d2X
dX
=− kX− f +Pes
dt
dt2
Chap.2/ 24
2.4.1 vérification (calage) du modèle obtenu
Impossible d'afficher l'image. Votre ordinateur manque peut-être
de mémoire pour ouv rir l'image ou l'image est endommagée.
Redémarrez l'ordinateur, puis ouv rez à nouv eau le fichier. Si le x
rouge est toujours affiché, v ous dev rez peut-être supprimer
l'image av ant de la réinsérer.
Explosion nucléaire
Poste de commande
Données expérimentales
ERREUR DE
MODÉLISATION
Données du modèle
ε ≤ ε ad . ?
Modèle de la réaction nucléaire
Processus
Feed back pour la
correction du modèle
YE (i)
X(i)
⊗
Ym (i)
+ Δmax
il faut que l’erreur soit minimale
dans les systèmes industriels
-
Modèle
Δ max =
Ym max −YE max
.100% ≤ ε admissible
YE max
Chap.2/ 25
2.5 Rappel sur les transformées de Laplace
2.5.1 Définition
f(t)
† Soit une fonction f(t) continue et nulle pour t<0;
∞
∫ f (t )e
et bornée :
−σt
dt < ∞
−∞
t
× Elle admet alors une TRANSFORMEE DE LAPLACE
∞
:
O lit
On
li : image
i
de
d f(t)
f( ) est F(p)
( )
f(t) Ö F(p)
L{ f (t ) }= F ( p ) = ∫ f (t )e − pt dt
0
p = σ + j ω,
où :
σ > 0 variable complexe.
† La transformée inverse ou originale se déduit :
f ( t ) = L−1 {F ( p )}
Où σ ∈ un domaine assurant la convergence de l'intégrale.
f(t) sera calculée par la formule des résidus.
Chap.2/ 26
2.5.2 Propriétés des transformées de Laplace
6 Linéarité
1 Théorème de la valeur initiale :
L ( A. f1 ( t ) + Bf 2 ( t ) ) = A. F1 ( p ) + BF 2 ( p )
Lim P . F ( p ) = Lim f ( t ) = f ( 0 + )
P→∞
t→0
2 Théorème de la valeur finale :
Lim P . F ( p ) = Lim f ( t ) = f ( ∞ )
P→0
7 Dérivation
(
)
L f ( n ) ( t ) = p n F ( p ) − p n −1 f ( 0 ) − p n − 2 f (1) ( 0 ).... − f ( n −1) ( 0 )
t→∞
Si conditions initiales :
3 Théorème du retard temporel :
L ( f (t − τ ) )= e
−τ p
(
)
L f ( n ) (t ) = P n F ( p )
F ( p)
8 Intégration
4 Théorème de l’avance :
)
⎛t
⎞ F ( p)
L ⎜ ∫ f (τ ) d τ ⎟ =
p
⎝0
⎠
5 Théorème de convolution :
× exemple de calcul : F(t) = cste. F(p) = ?
(
Le
∞
−αt
. f (t ) = F ( p + α )
L ∫ ( f (τ ) y (t − τ )dτ ) = F ( p)Y ( p )
0
∞
F ( p ) = ∫ cste .e − pt dt = cste .
0
∞
1
− 1 − pt
.e
= cste .
p
p
0
Chap.2/ 27
2.5.3. Transformées de Laplace des fonctions usuelles
Image : F(p)
p
p2 + a2
1
⎛
p 2 ⎞÷
p ⎜⎜ 1 + 2 ÷
a ⎠
⎝
1 + ap
p (1 + τ p )
1
(1 + T1 p )(1 + T2 p )
Originale : F(t)
Cos(at)
1-cos(at)
a −τ
τ
−t
e T +1
t
− t ⎞
T2
1 ⎛⎜ − T1
e −e ÷
÷
T1 − T2 ⎜⎝
⎠
1+
1−
⎛
−t
− t ⎞
1
⎜ T .e T1 − T .e T2 ÷
1
2
÷
( T2 − T1 ) ⎜⎝
⎠
1
(
e z . a . t sin( a 1 − z 2 .t − ϕ )
−
1 − z2
1− z
−z
avec : ϕ = arctg
1−
1
(
−
)
p (1 + 2 z
2
e z . a . t sin( a 1 − z 2 .t )
1 − z2
1
p (1 + T1 p )(1 + T 2 p )
)
1+ 2z
1
<1
2 , avec z
p +⎛ p⎞
⎜ ÷
a ⎝a⎠
1
<1
2 , avec z
p +⎛ p⎞
⎜ ÷
a ⎝a⎠
Chap.2/ 28
Transformées de Laplace des fonctions usuelles (suite)
Image : F(p)
Originale : F(t)
1
1
p
1
p2
1
p+a
t
−
e at
−t
1
p (1 + Tpp )
1
(1 + Tp) n
1− e T
−t
T
tn 1 − e
T n ( n − 1)!
−
−t
1
p 2 (1 + Tp )
1
p (1 + Tp ) 2
1
p 2 (1 + Tp )
a
p2 + a2
t −
1)
T
(T + t ) − Tt
−
e
1
T
−t
t
T ( e T + − 1)
T
Sin(at)
T (e T +
Chap.2/ 29
2.6 Fonction de transfert
2.6.1. Définition
y (effet)
x (cause)
a 0 x ( t ) + a1
SYSTEME
dx ( t )
d 2 x (t )
d n x (t )
dy ( t )
d 2 y (t )
d m y (t )
+a2
+... a n
= b0 y ( t ) + b1
+ b2
+...bm
dt
dt
dt 2
dt n
dt 2
dt m
L( x(t ))= X ( p)
L( y (t ))=Y ( p )
⎛ dx(t ) ⎞
L⎜
⎟ = PX ( p )
⎝ dt ⎠
⎛ dy ((tt ) ⎞
L⎜
⎟ = PY ( p )
⎝ dt ⎠
et
.
.
.
.
⎛ dx n (t ) ⎞
⎟ = P n X ( p)
L⎜⎜
n ⎟
⎝ dt ⎠
(
)
⎛ dy n (t ) ⎞
⎟ = P nY ( p )
L⎜⎜
n ⎟
⎝ dt ⎠
(
X ( p ) a 0 + a1 p + ........ a n p n =Y ( p ) b0 + b1 p + ........ bm p m
W( p ) =
)
Y( p )
a + a1 p + a 2 p + ..... a n p n
= 0
X ( p ) b0 + b1 p + b2 p 2 + .....bm p m
2
Chap.2/ 30
2.6.2 Zéros et pôles
W ( p) =
N ( p)
D( p)
N ( p i ) = 0 ⇒ p i ( i = 1, 2 ... n )
Pi Zéros
D ( p i ) =0 ⇒ p i ( i = 1, 2 ... m )
Pi Pôles
Sortie d ’un système
y (p)
x (p)
SYSTEME
Y ( p)
X ( p)
W ( p) =
Y ( p ) = W ( p ). X ( p )
y ( t ) = L −1 {W ( p ). X ( p )}
Chap.2/ 31
R
E
Us(t)
Exemple
C
dUs ( t )
= E(t )
dt
Conditions initiales CI : t = 0 , E ( t 0 ) = E 0 , U s( t 0 ) = U s0
U s( t ) + RC
L {Us ( t ) }= Us ( p )
⎧ dUs ( t ) ⎫
L⎨
⎬ = p .Us ( p )
⎩ dt ⎭
L {E ( t ) }= E ( p )
Us ( p ) + RCpUs ( p ) = E ( p )
W ( p) =
Us ( p ) = E ( p ).
Us ( p )
1
=
E ( p)
RCp + 1
⎧
⎫
1
1
⇒ Us ( t = L−1 ⎨ E ( p ).
⎬
RCp + 1
RCp + 1 ⎭
⎩
Chap.2/ 32
2.6.3 Connexion des fonctions de transfert
a. Série
Y1(p)
X(p)
W1(p)
Y2(p)
X(p)
W eq ( p ) =
Y(p)
W2(p)
Wn(p)
Y(p)
Weq(p)
n
Y ( p)
= W1 ( p ) .W 2 ( p ).... Wn ( p ) = ∏ Wi ( p )
X ( p)
i =1
Chap.2/ 33
b. En contre réaction
X(p)
E
+
Y(p)
Wou(p)
(sign)
M
Wcr(p)
Y(p)
X(p)
Weq(p)
W eq ( p ) =
W ou ( p )
si la contre − réaction < 0
1+W ou ( p ).W cr ( p )
W eq ( p ) =
W ou ( p )
si la contre − réaction > 0
1−W ou ( p ).W cr ( p )
Chap.2/ 34
c. En parallèle
W1(p)
X(p)
W2(p)
Y1(p)
Y2(p)
+
∑
X(p)
W eq ( p ) =
Y(p)
+
+
Wn(p)
+
Yn(p)
Y(p)
Weq(p)
n
Y ( p)
= W1 ( p ) + W 2 ( p )... + Wn ( p ) = ∑ Wi ( p )
X ( p)
i =1
Chap.2/ 35
Chap.3: DYNAMIQUE DES SYSTEMES
LINEAIRES
Objectifs du chapitre :
¾ Comment analyser la dynamique d’un système
¾ Calculer la réponse temporelle d’un système
¾ Analyser d’un point de vue temporel et fréquentiel un système
¾ Définir les paramètres de performance d’un système
¾ Étudier les systèmes linéaires types avec des exemples réels
¾ Évaluer sans calcul fastidieux les performances fréquentielles d’un
Chap.3/ 1
système
ANALYSE DES SYSTÈMES DYNAMIQUES (1/2)
) Objectifs et importance de l’analyse des systèmes
y (p)
X(p)
W(p)
¾ Comparer
C
lles performances
f
d
des systèmes,
tè
¾ C’est aussi l’étape préliminaire avant la réalisation d’un système de
commande.
¾ Cette étape représente 50% d’un projet de réalisation d’un système de
commande
Chap.3/ 2
ANALYSE DES SYSTÈMES DYNAMIQUES (2/2)
)Types d’analyse
Analyse de le la dynamique des systèmes
Analyse temporelle
Analyse fréquentielle
¾ Analyse temporelle : l’entrée est un signal qui varie en fonction du temps,
permet d’évaluer les performances en rapidité, précision, stabilité.
Exemple : tester les performances d’un missile.
¾ Analyse fréquentielle : l’entrée est un signal qui varie en fonction de la
fréquence permet d’évaluer les performances filtrage, bande passante,
déphasage etc... C’est une approche souvent d’un électronicien. Exemple
: tester des enceintes acoustiques.
Chap.3/ 3
SIGNAUX DE TEST TYPES
)Critère du choix des signaux de test
¾ Simples
¾ Définis
¾ Capable d’exciter un régime d’exploitation le plus difficile
)3.2.2. Classification des signaux de test types
SIGNAUX DE TEST TYPES
Signaux sinusoïdaux
(analyse fréquentielle)
Signaux non sinusoïdaux
(analyse temporelle)
signal
de saut
Signal
impulsionnel
Signal
de rampe
Signal
sinusoïdal
Chap.3/ 4
A. Signal de saut
) Définition
⎧η ( t ) = e 0 pour t ≥ 0
⎨
⎩η ( t ) = 0 pour t < 0
e0
Echelon unitaire, si e0 =1.
t
) Transformée de Laplace
∞
∞
0
0
L {e ( t )} = ∫ η ( t ) e xp ( − pt ) dt = e0 ∫ e xp ( − pt ) dt =
e0
p
) Réalisation physique
¾ Ouverture d’un interrupteur
⎧e
⎫
h ( t ) = L−1 ⎨ 0 .W ( p ) ⎬
⎩ p
⎭
) Réponse indicielle
Chap.3/ 5
B. Signal impulsionnel (fonction de Dirac)
) Définition
δ(t) est la fonction de DIRAC ou impulsion unitaire
δ(t)
Δt
t0
t
⎧δ ( t ) = 0 pour t ≠ t 0
⎨
⎩δ ( t ) = ∞ pour t = t 0
) Transformée de Laplace
¾ l’impulsion de Dirac est la dérivée de l’échelon
δ (t ) =
d η (t )
⇒ L {δ ( t )} = p η ( p ) = 1
dt
) Réalisation physique
¾ Fermeture et ouverture brève d’un interrupteur
) Réponse ipulsionnelle
S ( t ) = L−1 {1 .W ( p )} = W ( t )
Chap.3/ 6
C. Signal de rampe
) Définition :
e(t)
⎧ e ( t ) = tg α . t pour t ≥ t 0
⎨
⎩ e ( t ) = 0 pour t < t 0
tg α
t0
∞
Si t 0 = 0 L {e ( t )} = tg α ∫ t . exp ( − pt )dt = tg α .
) Transformée de Laplace :
0
1
p2
e(t)
e(t)
) Réalisation physique :
∫
t
t
) Domaine d’utilisation
⎧
⎫
1
S ( t ) = L − 1 ⎨ tg α 2 W ( p ) ⎬
p
⎩
⎭
) Réponse à une rampe
Chap.3/ 7
D. Signal sinusoïdal
) Définition.
e(t)
e ( t ) = e0 sin( ω t + ϕ )
e 0 : l ' amplitude
ω : la pulsation ou fréquence angulaire ( rad / s )
ω / 2π : la fréquence ( hertz )
ϕ : phase ( radian )
t
) Transformée de Laplace :
Si ϕ = 0 L {e ( t )} = L {e0 sin( ω t ) } = e0
ω
p2 + ω 2
) Réalisation physique : Générateur de signaux
) Domaine d’utilisation :
) Réponse à une sinusoïde
⎧
⎫
ω
S ( t ) = L −1 ⎨ 2
W ( p )⎬
2
⎩ p +ω
⎭
Chap.3/ 8
CALCUL DE LA RÉPONSE D’UN SYSTÈME
) Principe
X(p)
y (p)
Y ( t ) = L−1 {Y ( p )} = L−1 {X ( p ).W ( p )}
W(p)
)Comment calculer l ’originale ?
Méthodes pour déterminer l’originale d’une fonction
Méthode des résidus
Application des transformées de Laplace
Chap.3/ 9
A) Méthode des résidus
) Principe
F ( p)=
n
N ( p)
⇒ D ( p ) = 0 ⇒ ( P i ( i = 1 , 2 ... n )
D ( p)
Y ( t ) = ∑ Res Y ( p )
i=1
)Cas pôles simple
n
L−1 {F ( p )}= F (t ) = ∑
N ( p)
i = k D '( Pk )
D ( p ) = a0 ( p − p1 )....( p − p k )...( p − p n )
e pk t
n
F (t )=∑ Lim .Y ( p ).(
) ( p − pi ).
) e pi .t
i =1 p → pi
mk
n
∑ H kj t (m k − j )e p k t
F (t ) = ∑
)Cas pôles multiples
k =1 k =1
D ( p ) = a 0 ( p − p1 )m1 ...( p − p k )mk ...( p − p m )mn
H kj =
1
d j −1 ⎡ ( p − p k )m k N ( p ) ⎤
⎥
D( p)
⎦
⎢
( j − 1)(
! m k − j )! dp j −1 ⎣
p = pk
Chap.3/ 10
B) Application : Equations différentielles par la méthodes de résidus
L
R
Ve
i
C
Vs
Ve (t ) = RC.
soit R = 2Ω, C = 1Farad, L = 1 Henry
V e (t ) = 2 .
dVS (t )
d 2VS (t )
+ LC.
+ Vs (t )
dt
dt 2
dV S ( t ) d 2 V S ( t )
+
+ V S ( t ),
dt
dt 2
1. On passe à la transformée de Laplace pour chaque variable
L {Ve ( t ) }= Ve ( p )
L {Vs ( t ) }= Vs ( p )
⎧ dVs ( t ) ⎫
L⎨
⎬ = p .Vs ( p )
⎩ dt
⎭
⎧ d 2 Vs ( t ) ⎫
2
L⎨
⎬ = p .Vs ( p )
2
⎭
⎩ dt
Chap.3/ 11
B) Application : Equations différentielles par la méthodes de résidus
2. On remplace les transformées de Laplace dans l’équation différentielle temporelle :
V e ( p ) = p 2 Vs ( p ) + 2 pVs ( p ) + V s ( p )
3. On exprime (la sortie) Vs(p) en fonction de l’entrée
(
)
Vs ( p ) p 2 + 2 p + 1 = Ve ( p ) ⇒ Vs ( p ) =
Ve ( p )
p 2 + 2 p +1
4. On fixe une entrée (exemple Ve(t) = 5V , donc Ve(p) = 5/p )
5. On détermine les pôles
Vs ( p ) =
5
p . p 2 + 2 p +1
(
)
(
)
p p 2 + 2 p +1 = 0
P 1 = 0 , P 2 = P3 = − 1
Chap.3/ 12
B) Application : Equations différentielles par la méthodes de résidus
6. on applique la formule des résidus :
A. Pour le pôle simple :
Vs 1 ( t ) = Lim
⎞
⎛
5. p
⎜
e 0 . t ⎟⎟ = 5 .
2
⎠
⎝ p ( p + 1)
Solution homogène
p ⎯⎯ → 0 ⎜
B Pour
B.
P
lle pôle
ôl double
d bl
Vs 2 ( t ) =
⎡ d 2 − 1 ⎛ 5 ( p + 1 )2 pt ⎞ ⎤
1
⎜
Lim ⎢
e ⎟⎟ ⎥ = − 5 e − t (t + 1 )
( 2 − 1 )! p ⎯⎯ → − 1 ⎣⎢ dp 2 − 1 ⎝⎜ p ( p + 1 )2
⎠ ⎦⎥
(
7. Solution générale
)
Solution particulière
[
]
Vs(t ) = Vs1 (t ) + Vs2 (t ) = − 5 e−t (t + 1) + 5
Chap.3/ 13
Etude fréquentielle d’un système
) Principe
x ( t ) = x 0 sin( ω t )
y(t) = ?
SYSTEME
⎧
⎫
ω
Y ( t ) = L −1 {Y ( p ) }= L −1 {X ( p ).W ( p )}= L − 1 ⎨ x 0 . 2
.W ( p ) ⎬ = ∑ Re s . X ( p ).W ( p )
p +ω 2
poles de X ( p ) et W ( p )
⎩
⎭
C quii nous intéresse
Ce
i té
d
dans
une étude
ét d fréquentielle,
fé
ti ll c’est
’ t le
l régime
é i
permanentt c’est
’ tà
dire la composante pour les pôles de X(p), c’est à dire
p 2 + ω 2 = 0 ⇒ p 1 = + j ω et p 2 = − j ω
y( t ) = x0 . A( ω ).sin[ ω t + ϕ ( ω )]
) Conclusion
¾ Si on applique à un système linéaire de fonction de transfert W(p) un signal d’entrée x0
sinusoïdal d’amplitude et de pulsation ω, alors on obtient à la sortie un signal aussi
Chap.3/ 14
sinusoïdal mais déphasé de ϕ(ω ) et d’amplitude A(ω).
Caractéristiques fréquentielles naturelles
)1. Caractéristique Amplitude Fréquence (CAF) A(
A(ω
ω)
)2. Caractéristique Phase - Fréquence (CPF) ϕ(ω) :
)3. Lieu de Nyquist CAPF : W(jω
(jω)
¾ Calcul des caractéristiques
A (ω ) =
W ( j ω ) = Re( ω ) + j Im( ω )
Re( ω ) 2 + Im( ω ) 2
⎡ Im( ω ) ⎤
⎥
⎣ Re( ω ) ⎦
ϕ ( ω ) = arctg ⎢
Chap.3/ 15
Exemple de calcul du lieu de transfert
W ( p) =
W ( jω ) =
1
jω
1
p
= 0 − j.
1
ω
Re (ω ) = 0
.
Im( ω ) = −
A (ω ) = Re (ω ) 2 + Im( ω ) 2 =
1
ω
1
ω
⎡ Im( ω ) ⎤
⎡ 1 ⎤
π
⎥ = arctg ⎢ − 0 .ω ) ⎥ = − 2
⎦
⎣
⎣ Re (ω ) ⎦
ϕ (ω ) = arctg ⎢
Lieu de Nyquist
Im(ω
0
∞
−
π
Re(ω
2
A(ω )
Chap.3/ 16
Caractéristiques fréquentielles logarithmiques
) 1. DIAGRAMME DE BODE : Ensemble des caractéristiques amplitude et phase
en fonction de la fréquence construites sur l’échelle logarithmique..
L ( ω ) = 20 . log A ( ω ) ( en décibel )
¾ Courbe de gain :
¾ Phase
ϕ ( ω ) ( en degré )
¾ Bel ? : On appelle niveau de pression acoustique d’une onde sonore sinusoïdale, la
grandeur proportionnelle au logarithme décimal du rapport de la pression effective Pef
de cette onde au seuil d’audibilité P0 pour une fréquence donnée de l’onde.
) 2. DIAGRAMME DE BLACK (LIEU DE NICHOLS)
¾ Abscisses : phase en degrés
¾ ordonnées le module exprimé en dB
Chap.3/ 17
PARAMÈTRES DE PERFORMANCES (1/4)
) Comment ils sont obtenus ?
+
-
) Types de paramètres de performances
Performances d’un système de commande
Processus transitoire
Précision
Stabilité
Chap.3/ 18
PARAMÈTRES DE PERFORMANCES (2/4)
2
y(t)
Régime transitoire
D
Régime permanent
MESURE
1,5
A1
A2
± 5%. y( ∞ )
Y(∞)1
Xc
Erreur de
réglage
CONSIGNE
0,5
0
0
τ
1
3
tm
5
7
9
tpr
x(t) [s]
te
-0,5
Chap.3/ 19
PARAMÈTRES DE PERFORMANCES (3/4)
)Rapidité
¾ Temps de réponse tpr
¾ Temps de montée tm
¾ Temps de retard pur τ
¾ Temps d’établissement te
)Performances d’amortissement
¾ Dépassement (overshoot) :
d =
A1
y
− y( ∞ )
.100% = m ax
.100%
y( ∞ )
y( ∞ )
¾ Taux d’amortissement (damping ratio)
ψ =
A1 − A2
A1
Chap.3/ 20
PARAMÈTRES DE PERFORMANCES (4/4)
) Performances en précision
¾ Erreur statique
Δ = lim ( y ( t ) − x c ( t ) ) = lim p (Y ( p ) − x c ( p ) )
¾ Erreur dynamique
E d = ∫ ( y ( t ) − x c ( t ) )2 dt
t→ ∞
p→0
t pr
0
) Performances en stabilité
¾ Un système est dit stable si à une entrée limitée, la sortie est aussi limitée.
système instable
système stable
s(t)
s(t)
t
t
Chap.3/ 21
ANALYSE DES SYSTEMES LINEAIRES TYPES
) Classification
SYSTÈMES DYNAMIQUES TYPES
Naturellem ent stable : W ( p ) =
d ' ordre zé ro
W( p) = K
k
1 + ∑ ai p i
Prem ier ordre : W ( p ) =
k
a0 + a1 p
N aturellem ent instable : W ( p ) =
2 - iém e ordre : W ( p ) =
(
k
p 1 + ∑ ai p i
k
à d é p h a s a g e n o n m in im a le
a v e c r e ta r d p u r
A p é rio d iq u e
W( p)=
k
a0 + a1 p
Particulier
a0 + a1 p + a 2 p 2
W ( p ) = K e − τp
In té gra te u r p u r
k
W( p) =
p
)
W( p)= K
1 − T1 p
1 + T2 p
D é riv a te u r ré e l
W( p) = K
1 + T1 p
1 + T2 p
Chap.3/ 22
Méthodologie de l’analyse d’un système
) Étapes d ’analyse
ANALYSE DE LA DYNAMIQUE D’UN SYSTÈME TYPE
Equation différentielle
Fonction de transfert
Analyse fréquentielle
Analyse temporelle
Réponse indicielle
Réponse impulsionnelle
Réponse à une rampe
Echelle naturelle
Echelle logarithmique
Caract.amplitude fréquence
Diagramme de Bode
Caract. phase fréquence
Diagramme de Nichols
Diagramme de Nyquist
Chap.3/ 23
A. Elément intégrateur pur
1. Définition
x(t)
t
∫
y ( t ) = k ∫ x ( t )d t
y(t)
0
2. Fonction de transfert
W ( p) =
Y ( p)
K
=
X ( p)
p
3. Exemple
Qe ( t ) − Qs ( t ) =
Qe [m3/s]
h (t ) =
Qs [m3/s]
h (m)
V[m3]
S[m2]
dV
dh ( t )
=S
dt
dt
t
1
Q ( t ) dt
S 0∫
W ( p)=
h( p)
1
K
=
=
ΔQ ( p) S . p p
Chap.3/ 24
Elément intégrateur pur (suite)
4. Lieu de Nyquist
Im
K
K
W ( jω ) =
= 0 − j
jω
ω
π
K
A(ω ) =
, ϕ ( ω ) = a r c tg ( − ∞ ) = −
ω
2
+ ∞
π
−
ω
Re
2
0
6. Réponse indicielle
y(t)
⎧X0 K⎫
y ( t ) = L− 1 ⎨
. ⎬ = X 0 . K .t
⎩ p p⎭
X0
tgα = X 0.k
0
t
7. Conclusion
Chap.3/ 25
B) Élément du premier ordre
x(t)
1. Définition
a0
Forme réduite
T
dy( t )
+ a1 y( t ) = bx( t )
dt
T=
dy ( t )
+ y ( t ) = Kx ( t )
dt
2. Fonction de transfert
a0
constante
a1
K=
W( p) =
b
Gain
a1
y(t)
de temps [seconde]
statique
⎡ Δy ⎤
⎢⎣ Δx ⎥⎦
K
TP + 1
3. Exemple
dV S
+ Vs ( t )
dt
V s( p )
1
=
W( p) =
V e( p
RCp + 1
V e( t ) = R C .
R
i
Vs
C
T = RC ,
ΔVs
= 1
K =
ΔVe
Chap.3/ 26
) Exemples d’un système de premier ordre (CSTR)
Ce(t) : Concentration initiale du produit [mole/m3 ]
Cs(t) : Concentration finale du produit [mole/m3]
Q:
Débit du produit [m3/s]
V:
Volume du réacteur [m3]
Q, Ce(t)
Q, Cs(t)
Loi de continuité
d (Cs( t )V )
dCs( t )
=V
dt
dt
1 dCs( t )
+ Cs( t )
Ce( t ) =
V
Q
dt
Cs( p )
1
W( p ) =
=
Ce( p
Tp + 1
Q . Ce( t ) − QCs( t ) =
T =
K =
V
[s e c o n d e ] : te m p s d e
Q
Δ Cs
[−]
Δ Ce
s é jo u r ( d e ré te n tio n )
Chap.3/ 27
) Thermocouple
m : masse de la soudure [kg]
S : surface d’échange de chaleur de la soudure [m²]
Te : Température du milieu à mesurer [°c] (entrée)
Ts : Température de la soudure du thermocouple [°c]
α : Coefficient de transfert de chaleur [j/(sec.m².°c]
CT : Capacité calorifique de la soudure [j/(kg.°c]
E(t) : tension de sortie [mV] (sortie) = KTs (proportionnelle à Ts(t)
E(t)
Ts
Te
α S (Te − Ts )dt = mC T dTs
m C T d T s( t )
.
+ T s( t ) = T e ( t )
dt
αS
K
W( p) =
TP + 1
ou
m CT dE ( t )
.
+ E ( t ) = K T e( t )
dt
αS
T =
K =
m
.C .
T
αS
Δ E
[ Mv/°c]
Δ Te
Analogie thermique_Electrique, hydraulique
R≡
T = RC
m
1
≡
Q αS
C ≡ V ≡ CT
Chap.3/ 28
) Réponse indicielle d’un élément de premier ordre
t
⎛
− ⎞
⎧X0
⎫
K
y ( t ) = L− 1 ⎨
⎬ = K X 0 ⎜⎜ 1 − e T ⎟⎟
⎩ p (1 + T p ) ⎭
⎠
⎝
∞
⎛
− ⎞
y( t = ∞ ) = K X 0 ⎜ 1 − e T ⎟ = K X 0 = y( ∞ )
⎜
⎟
⎝
⎠
T
⎛
− ⎞
y ( t = T ) = K X 0 ⎜ 1 − e T ⎟ = 0 ,6 3 y ( ∞ )
⎜
⎟
⎝
⎠
y(t)
0,95
3T ⎞
⎛
−
y ( t = 3 T ) = K X 0 ⎜ 1 − e T ⎟ = 0 ,9 5 y ( ∞
⎜
⎟
⎝
⎠
0 63
0,63
Le temps du proc. Trans. = 3T
t= T, la réponse atteint 63%
de la valeur finale
0
T
1
2
3
t
3T
Chap.3/ 29
)Lieu de Nyquist d’un élément de premier ordre
K
K
KTω
=
−j
W ( jω)=
1+ jTω 1+(Tω )2 1+(Tω )2
A(ω) =
K
1+(Tω )2
ϕ (ω) = − arctg(ωT )
Im
ω=∞
Fréquence de coupure :
ω=0
0
ϕ=π/4
Réel
1
T
Bande passante BP : [ 0 ,
1
]
T
ω=1/T
Chap.3/ 30
C) Élément du second ordre
x(t)
1. Définition
dy2( t )
a2
dy2( t )
Forme réduite
dt 2
+ 2ξωn
dt 2
+ a1
dy( t )
+ a0 y( t ) = bx( t )
dt
y(t)
dy( t )
+ ωn2 y( t ) = K.ωn2x( t )
dt
2. Fonction de transfert
3. Paramètres fondamentaux
Chap.3/ 31
) Exemples d’élément du second ordre
Ve = RC .
R
Ve
i
L
W( p ) =
Vs
C
J.
d 2ΘS ( t )
dt 2
= Cm − C R ;
W( p ) =
f
Cm( t )
Ke
Θs(t )
J
dV S
d 2V
+ LC . 2S + V S
dt
dt
1
Vs( p )
LC
=
R
1
Ve ( p )
2
p +
p +
L
LC
C R = KeΘ S ( t ) + f
dΘ S ( t )
dt
Ke
Θs( p )
J
=
Cm ( p ) p 2 + f p + Ke
J
J
Chap.3/ 32
Vanne pneumatique de réglage
Controller
0,2 -1 bar
3 - 15 psi
Pe
m
1
2
W( p) =
6
3
x
4
5
d2 X
dX
= − keX − f
+ Pes
dt
dt 2
s
s Ke
.
.
P e( p )
m
Ke m
=
=
f
Ke
f
Ke
X( p)
p2 +
p +
p2 +
p +
m
m
m
m
7
R⇔f
Analogie
L ⇔J ⇔m
Ke ⇔ 1/C
Chap.3/ 33
Réponses indicielles d’un élément de 22-iéme ordre
1. Echelon unitaire
x(t)
SYSTEME
⎫
⎧1
ωn 2
y (t ) = L−1 ⎨ . 2
2 ⎬
⎩ p p + 2ξω n p + ωn ⎭
(
y(t)
)
2. De quoi dépend la sortie ?
( )
D( p) = p2 + 2ξ .ωn. p + ωn2 = 0
Δ = ωn2 ξ 2−1
Du coefficient d’amortissement ξ
ξ >1
ξ <1
p1 = − ξω n + ω n . ξ 2 −1
p1 = − ξω n + j.ω n . 1 − ξ 2
p 2 = − ξω n − ω n . ξ 2 −1,
p 2 = − ξω n − jω n . 1 − ξ 2
ξ =1
P1 = P2 = − ω n
Chap.3/ 34
Réponses indicielles pour # valeurs de ξ
) Cas 1
y (t) =1 − (1 − ω nt ).e−ωnt
P1 = P2 = − ω n
ξ =1
1
t pr = 4,8sec.
Y(tt)
1.2
Point d'inflexion
⇒
d 2 y(t)
dt2
D=0
2
0
4
tpr
6
8
10
12
t (sec)
= 0 ⇒ tI =
1
ωn
=1
14
Chap.3/ 35
Réponses indicielles pour ξ > 1
) Cas 2
p1 = − ξω n + ω n . ξ 2 −1
ξ >1
p 2 = − ξω n − ω n . ξ 2 −1,
W( p) =
Kω n2
( p − p1 )( p − p 2 )
=
Kω n2
. où
p 1 p 2 (1 + T1 p )(1 + T2 p )
1
1
, T2 =
p1
p2
t
t
⎛
−
− ⎞
⎜
⎟
T1
T2
e T +
e T⎟
y( t ) = ⎜ 1 −
T
T
T
T
−
−
⎜
⎟
1
2
1
2
⎠
⎝
ξ = 2
Y
Y(t)
T1 =
1
1
ξ = 4
0
10
20
2
t pr ≤ 3.(T1 + T2 )
30
40
t (sec)
50
Chap.3/ 36
Réponses indicielles pour ξ < 1
) Cas 3
p1 = − ξω n + j.ω n . 1 − ξ 2
ξ <1
p 2 = − ξω n − ω n . 1 − ξ 2
⎡
⎛
1
y ( t ) = KX 0 ⎢1−
e − ξ .ω n .t . sin ⎜ ω n 1−ξ 2 .t + arctg
⎜
1−ξ 2
⎝
⎣⎢
1−ξ 2 ⎞⎟ ⎤
⎥
ξ ⎟⎥
⎠⎦
ymax
D1
D2
X0=1
0
tm te
tpr
20
t (sec)
30
Chap.3/ 37
Paramètres de performances d’un système de deuxième ordre oscillant
)1. Temps du processus transitoire
y (t ) = A.e −ξ ωn t sin( β t )
Enveloppe : e−ξ ωn t
) 2. Nombre d’oscillations
Chap.3/ 38
Paramètres de performances d’un système de deuxième ordre oscillant
)3. Dépassement
D=
ymax − y(∞)
.100 %
y(∞)
ymax = ?. ⇒
dy(t )
= 0 ⇒ ω t = Kπ ( K =1, 2 , 3...)
dt
1er p
pic : K=1,, 2ème pic
p K=2,, etc...
K impair :
K pair :
−
ymax = 1 + e
−
ymin = 1 − e
ξKπ
1−ξ 2
ξKπ
1−ξ 2
Chap.3/ 39
Paramètres de performances d’un système de deuxième ordre oscillant
) 4. Temps d ’établissement
¾ Pour un échelon unitaire
5. Taux d ’amortissement
Chap.3/ 40
Réponses indicielles pour ξ = 0
) Cas 4
p1 = + j.ω n .
ξ =0
p 2 = − jω n
⎧1
ω 2 ⎫
y (t) = L−1 ⎨ . 2 n 2 ⎬ = 1 − cos(ω nt )
⎩ p p + ωn ⎭
(
)
Y(t)
()
D2
t
Chap.3/ 41
Résumé des performances d’un système de deuxième ordre
) Paramètres de performances normalisés
5
ξ [-]
t pr [s] 30
D [% ] Ψ [-] -
2
1
12
-
4,75 4
1
1
0,9
0,7
0,5
2,8
4,5
0,998
4
8
17
30
0,973 0,9
0,343 0,30 0,22 0,11 0,01 0
11
15
30
300 ∞
38
50
70
95
100
0,87 0,75 0,41 0,13 00
)Conclusions sur un système de 2ème ordre
Chap.3/ 42
Exercice
Xc(t)
Ys(t)
1
K
a 2 p 2 + a1 p + a0
-
Valeur de K pour avoir les meilleurs performances en boucle fermée ?
Wf ( p ) =
K
a2 p2 + a1 p + a0 + K
⎛
⎞
⎜
⎟
a
1
⎟ . a0 + K p + ⎛⎜
⇒ D( p ) = p 2 + 2.⎜ 1 .
⎜
a +K
a
a2
2.a2 a0 + K ⎟
⎝
p2 + 1 p + 0
⎜
⎟
a2
a2
a
⎝
2 ⎠
K
a2
Wf ( p ) =
a0 + K ⎞
⎟
a2 ⎠
⎞
⎟
2
2
a1
1
⎟ . ⇒ K = a1 − 4 a0 ξ a 2
.
⎜ 2 .a
a0 + K ⎟
4ξ 2 a 2
2
⎜
⎟
a2
⎝
⎠
2
⎛
⎜
ξ =⎜
Chap.3/ 43
Diagramme de Nyquist d’un élément du second ordre
F ré q u e n c e ré d u ite : u =
ω
ωn
⎡
⎢
1 − u2
W ( jω ) = K ⎢
2
2
⎢ 1 − u2
+ (2 ξ u )
⎣
K
A(ω ) =
(
)
− j
2ξu
⎤
⎥
⎥
(1 − u 2 ) + (2 ξ u )2 ⎥⎦
2
(1 − u 2 ) + (2 ξ u )2
2
ϕ ( ω ) = − a r c tg
2ξu
1 − u2
Im
Résonnance
Re
0
dA( ω )
= 0 ⇒ ω R = ωn . 1 − 2ξ 2 avec ξ < 0 ,7
dω
K
Amax =
2ξ . 1 − 2ξ 2
u=1
Chap.3/ 44
Conclusion général sur un système de 22-iéme ordre
) Dans le domaine temporel,
¾ lorsque ξ <1, le système a tendance à osciller longuement avant
immobilisation.
¾ ξ = 0,7 est optimal du point de vue stabilité précision.
¾ Pour ξ > 1, (frottement important, élasticité réduite), les régimes sont
hyper amortis et lents. Le système perd alors son «agilité», un tel cas est
à éviter en SRA lorsque la structure s
s’y
y prête en agissant par exemple
sur le gain du correcteur.
)
Dans le domaine fréquentiel,
Le système suit presque sans inertie l’entrée à basse fréquence mais
présente un déphasage qui tend vers -180 degrés à haute fréquence.
Chap.3/ 45
Système avec retard pur (1/2)
) Définition
x(t)
y(t)
SYSTEME
y( t ) = x( t −τ )
x( t )
)Exemple
τ =
y( t )
l
V
l
)Fonction de transfert
W( p ) =
Y( p )
= e−τ p
X( p )
x( t )
)Réponse indicielle
y( t ) = x( t − τ )
τ
y( t )
Chap.3/ 46
Système avec retard pur (2/2)
)Diagramme de Nyquist
Im
R=1
W ( jω ) = e − jωτ = cos ωτ − j sin ωτ
A( ω ) =
(cos ωτ )2 + ( sin ωτ )2 = 1
0
Re
sin ωτ
ϕ ( ω ) = − arctg
= − ωτ
cos ωτ
)Conclusion
Chap.3/ 47
Tracé des caractéristiques fréquentielles des systèmes (1/4)
) Problématique
¾ Soit donné un système quelconque de fonction de transfert W(p) :
W ( p) =
b0 + b1 p + ... + b0 + bm p m
a0 + a1 p + ... + a0 + an p n
¾ On veut représenter d’une manière simple et rapide les diagrammes de Bode, Nyquist et
Black.
)Pourquoi une telle démarche ?
¾ Eviter les calculs fastidieux de W(jω).
¾ Evaluer rapidement la stabilité du système et les performances du système.
Chap.3/ 48
Tracé des caractéristiques fréquentielles des systèmes (2/4)
) Principe de la méthode
¾ Un système linéaire quelconque est formé d’éléments simple d’ordre zéro, du
premier ordre, deuxième ordre et d’intégrateurs et ou dérivateurs d’ordre α.. W(p)
peut être factorisée en éléments simples
q
r
(
W ( p ) = Kp α . ∏ (1 + τ i p )β . ∏ p 2 + 2ξωnl p + ωn2l
i
i =1
l =1
)γ
l
K : Gain statique (constante ) ∈ ℜ ( > 0)
α , β , γ :∈ Z ( entier
ti positif
itif ou négatif)
é tif)
r : Nbre d' éléments du premier ordre
q : Nbre d' éléments du deuxième ordre
K : Sytème d' ordre zéro
pα : Intégrateur (α < 0)
ou dérivateur (α > 0) ) d' ordre α
(1 + τp ) : Sytème d' ordre 1
p 2 + 2ξωnl p + ωn2l : Sytème d' ordre 2
Chap.3/ 49
Tracé des caractéristiques fréquentielles des systèmes (3/4)
) Propriété
¾ Le gain logarithmique et le déphasage d’un produit de facteurs s’obtient en faisant la
somme algébrique des gains et des phases des différents facteurs ( PS: Le gain naturelle
est par contre le produit des gains des différents facteurs)
(
r
q
i =1
l =1
L(ω ) = 20 log W ( jω ) = 20 log K . pα .∏ (1 + τp )β i . ∏ p 2 + 2ξωnl p + ωn2l
) Calcul du Gain
)γ
l
L(ω ) = 20 log K + 20 log jωα +
r
20 log ∏ (1 + τ i . jω )β i +
i =1
q
(
2
20 log ∏ jω 2 + 2ξωnl jω + ωnl
l =1
W ( j ω ) = Re( ω ) + j . Im( ω ) =
Sachant que :
)γ
l
Re( ω ) 2 + Im( ω ) 2
r
(
)
L(ω ) = 20 log K + α .20 log ω + ∑10β i . log 1 + τ i .ω 2 +
i =1
(
q
)
2
⎡
⎤
∑10γ l . log ⎢ ω 2 − ωn2l + 4ξl2ω 2ωn2l ⎥
⎣
⎦
l =1
Chap.3/ 50
Tracé des caractéristiques fréquentielles des systèmes (4/4)
) Calcul de la phase
ϕ (ω ) = arg(W ( jω ) = arg( K ) + arg(( jω )α ) +
⎛ r
⎞
arg ⎜ ∏ (1 + τ i . jω )β i ⎟ +
⎝ i =1
⎠
(
)
γl ⎞
⎛ q
arg⎜ ∏ jω 2 + 2ξωnl jω + ωnl2 ⎟
⎝ l =1
⎠
Sachant que :
⎛ Im(ω ) ⎞
arg(W ( jω )= arg(Re(ω ) + j.Im(ω )) = arctg ⎜⎜
⎟⎟
⎝ Re(ω ) ⎠
(
q
π r
2
ϕ (ω ) = arg( K ) + α . + ∑ βi arg(1 + τ i . jω ) + ∑ γ l arg ( jω )2 + 2ξωnl jω + ωnl
2
i =1
l =1
)
) Conclusion
¾ Il suffit de savoir exprimer le gain el la phase des éléments de base pour en
déduire par simple sommation, le gain et la phase de W(jω)
Chap.3/ 51
Représentation des éléments de base (1/3)
) Gain K
¾ La courbe est une horizontale
L(ω) [db]
W ( p) = K
ϕ(ω) [rad]
Gain : L(ω ) = 20 log K
20logK
⎧0 si K > 0
Phase : ϕ (ω ) = ⎨
⎩π si K < 0
0
0
Log(ω)
1
) Dérivateur
L(ω) [db]
W ( p) = p
ϕ(ω) [rad]
+1
Gain : L(ω ) = 20 log jω = 20 log ω
Phase : ϕ (ω ) = arg( jω ) =
Log(ω)
1
π
+
0
2
0
Log(ω)
1
2
π
Log(ω)
1
20db/décade ou 6db/octave est noté +1
Chap.3/ 52
Représentation des éléments de base (1/7)
) Intégrateur
W ( p) =
1
p
L(ω) [db]
1
Gain : L(ω ) = 20 log
= −20 log ω
jω
0
ϕ(ω) [rad]
1
0
1
Log(ω)
π
1
Phase : ϕ (ω ) = arg( ) = −
jω
2
-1
−
Log(ω)
π
2
Chap.3/ 53
Représentation des éléments de base (2/7)
)Premier ordre (1+ι
(1+ιp)
W ( p ) = 1 + τp
[
Gain : L(ω ) = 20 log 1 + jτω = 10 log 1 + (τω )2
Amplitude
]
L(ω) [db]
Asmptote
τω << 1 ⇒ L(ω ) ≅ 0, pente égal à 0
τω >> 1 ⇒ L(ω ) ≅ 10 logτω,0, pente égal à 1
τω = 1 ⇒ L(ω ) = 3db
Phase : ϕ (ω ) = arg( 1 + j τω ) = arctg (τω )
Asymptote
τω << 1 ⇒ ϕ (ω ) ≅ 0
π
τω >> 1 ⇒ ϕ (ω ) ≅
2
τω = 1 ⇒ Lϕ (ω ) =
π
4
+1
0
3db
1/τ
1
ϕ(ω) [rad]
+
Log(ω)
Phase
π
2
+
π
4
0
1
1/τ
Log(ω)
Chap.3/ 54
Représentation des éléments de base (3/7)
)Premier ordre : (1+ι
(1+ιp)-1
L(ω) [db]
0
Amplitude
1/τ
1
W ( p ) = (1 + τp )−1
Log(ω)
-3db
Gain :
(
L (ω ) = 20 log (1 + jτω )−1 = −10 log 1 + (τω )2
)
-1
Phase :
ϕ (ω ) = arg(1 + jτω )−1 = −arctg (τω )
ϕ(ω) [rad]
Phase
1
1/τ
0
Log(ω)
Changement de signe par rapport à (1+τp)
−
−
π
4
π
2
Log(ω)
Chap.3/ 55
Représentation des éléments de base (4/7)
W ( p) = 1 − τp
W ( p ) = (1 − τp )−1
Amplitude
L(ω) [db]
L(ω) [db]
+1
0
0
0
-3db Log(ω)
Log(ω)
ϕ(ω) [rad]
Phase
1
1/τ
-1
ϕ(ω) [rad]
+
Log(ω)
−
1/τ
1
3db
1/τ
1
−
Amplitude
π
4
π
Phase
2
+
π
4
0
1
π
2
1/τ
Log(ω)
Log(ω)
Chap.3/ 56
Représentation des éléments de base (5/7)
) Deuxième ordre : en numérateur
W ( p) = p 2 + 2ξωn p + ωn2
Gain :
(
)
L(ω ) = 20 log − ω 2 + ωn2 + 2 jξωnω
Asymptote :
⎧ω << ωn ⇒ L(ω ) = 40 log ωn = cste, pente 0
⎪
⎨ω >> ωn ⇒ L(ω ) = 40 log ω , pente + 2
⎪
l 2ξω
ξ n2
⎩ω = ωn ⇒ L(ω ) = 20 log
Phase :
(
(
)
)
ϕ(ω ) = arg − ω 2 + ωn2 + 2 jξωnω
Asymptote :
⎧
⎪
2
⎪ω << ωn ⇒ ϕ(ω ) = arg(ωn ) ≅ 0
⎪
2
⎨ω >> ωn ⇒ ϕ(ω ) = arg − ω ≅ π
⎪
2
⎪ω = ω ⇒ ϕ(ω ) = arg 2 jξω 2 = arctg ⎛⎜ 2ξωn ⎞⎟ = + π
n
n
⎜ 0 ⎟
⎪
2
⎝
⎠
⎩
(
(
)
)
Chap.3/ 57
Représentation des éléments de base (6/7)
) Deuxième ordre : au dénominateur
(
W ( p ) = p 2 + 2ξωn p + ωn2
Gain :
(
Changement de signe par rapport au cas précédent
)−1
)
L(ω ) = −20 log − ω 2 + ωn2 + 2 jξωnω
Asymptote :
⎧ω << ω ⇒ L(ω ) = −40 log ω = cste, pente 0
n
n
⎪⎪
⎨ω >> ωn ⇒ L(ω ) = −40 log ω , pente − 2
⎪
⎪⎩ω = ωn ⇒ L(ω ) = −20 log 2ξωn2
(
Phase :
((
)
)
ϕ(ω ) = − arg − ω 2 + ωn2 + 2 jξωnω
)
Asymptote :
⎧
⎪
2
⎪ω << ωn ⇒ ϕ(ω ) ≈ − arg(ωn ) = 0
⎪⎪
0
2
) = −π
⎨ω >> ωn ⇒ ϕ(ω ) = − arg − ω = − arctg (
− ω2
⎪
2⎞
⎪
⎛
2
ξω
n ⎟ = −π
⎪ω = ωn ⇒ ϕ(ω ) = − arg 2 jξωn2 = − arctg ⎜
⎜ 0 ⎟
2
⎪⎩
⎝
⎠
(
)
(
)
Chap.3/ 58
Représentation des éléments de base (7/7)
) Retard pur
W ( p) = e −Tr. p
L(ω) [db]
W ( jω ) = e −Tr . jω = cos(Trω ) − j sin(Trω )
Gain :
0
Amplitude
1
Log(ω)
L(ω ) = 20 log W ( jω ) = 20 log 1 = 0
Phase
⎛ − sin(Trω ) ⎞
⎟⎟ = −Trω
⎝ cos((Trω ) ⎠
ϕ(ω ) = arctgg ⎜⎜
ϕ(ω) [rad]
Phase
0°
1
Log(ω)
Chap.3/ 59
Tracé des diagrammes fréquentiels : Résumé (1/2)
Variation de la phase
ω
1
0
pα
τ
+α
1
−α
pα
(1 + τ p )α
π
2
π
2
ou ω n
+α
π
−α
0
+α
(1 + τ p )α
0
−α
(1 − τ p )α
0
−α
0
+α
1
1
(1 − τ p )α
(p 2 + 2ξω n l
nl
1
(p 2 + 2ξω n l
e − Trp
2
π
4
π
4
π
4
π
4
0
+α
)
0
−α
0
− ω Tr
α
p +ω2
nl
π
)
α
p +ω2
+∞
+α
2
π
π
2
−α
+α
−α
−α
+α
π
2
π
2
π
2
π
2
π
2
+ απ
2
π
2
− απ
−∞
Chap.3/ 60
Tracé des diagrammes fréquentiels : Résumé (2/2)
Variation de la pente : ±α correspond à ± 20db par décade
ω
1
0
τ
pα
ou ω n
+∞
+α
1
−α
pα
(1 + τ p )α
+α
0
1
(1 + τ p )α
0
−α
(1 − τ p )α
0
+α
0
−α
0
+ 2α
1
(1 − τ p )α
(p 2 + 2ξω n l
)
α
p +ω2
nl
1
(p 2 + 2ξω n l p + ω n2l )α
0
− 2α
e − Trp
0
−∞
Chap.3/ 61
Application : exemple 1 (1/4)
K
,
p .(1 + τ 1 p )(1 + τ 2 p )
W ( p) =
K > 0, τ 1 > τ 2 > 0
τ1 τ 2
Valeurs caractéristiques de la pulsation :
 GAIN et PHASE
L(ω ) = 20 log W ( jω ) = 20 log K . jω −1.(1 + τ1 jω )−1.(1 + τ 2 jω )−1
(
)
(
= 20 log K − 20 log ω − 10 log 1 + (τ1ω )2 − 10 log 1 + (τ 2ω )2
(
)
)
(
ϕ (ω ) = arg(W ( jω )) = arg K + arg( jω −1) + arg (1 + τ1 jω )−1 + arg (1 + τ 2 jω )−1
Pour ω <<
Pour ω <<
L(ω ) ≅ 20 log K − 20 log ω
1
)
Pente -1
π
τ1
ϕ (ω ) ≈ arg(k ) + arg( jω )−1 = −
1
ϕ (ω ) ≈ arg(k ) + arg( jω ) −1 + arg (1 + jτ1ω ) −1 + arg (1 + jτ 2ω ) −1
π π π
3π
2
Pente -3
L(ω ) ≅ 20 log K − 20 log ω − 20 log(ωτ1 ) − 20 log(ωτ 2 )
(
τ2
≈−
2
−
2
−
2
=−
)
(
)
2
Chap.3/ 62
Application : exemple 1 (2/4)
Pente -2
Pour
1
τ1
<ω <
L(ω ) ≅ 20 log K − 20 log ω − 20 log(ωτ1)
(
1
ϕ (ω ) ≈ arg(k ) + arg( jω )−1 + arg (1 + jτ1ω )−1
π π
≈ − − = −π
τ2
2
)
2
Le diagramme pseudo asymptotique correspond à la sommation
des diagrammes associés à K, 1/p, 1/(1+τ1p) et 1/(1+τ2p)
Fréquence pour laquelle le déphasage est de -Π
ϕ (ω ) = −
π
2
− arctg (τ1ω ) − arctg (τ 2ω ) = −π
soit
τ1ω.τ 2ω = 1 ⇒ ω =
1
⎛ 1 − xy ⎞
arctg ( x) + arctgy = arct ⎜
⎟
⎝ xy ⎠
τ1τ 2
Chap.3/ 63
Application : exemple 1 (3/4)
L(ω) [db]
-1
Diagramme pseudo
asymptotique
0
Diagramme réel
-2
1
1
K
1
τ1
τ2
Log(ω)
ϕ(ω) [rad]
-3
1
τ1τ 2
0°
−
Log(ω)
π
2
−π
3
− π
2
Chap.3/ 64
Application : exemple 1 (4/4)
Tracé du diagramme réel à l’aide de Matlab
W ( p) =
K
,
p .(1 + τ 1 p )(1 + τ 2 p )
K > 0, τ 1 > τ 2 > 0
k=1;
tau1=10;
tau2=1;
tau2
1;
num=k;
den1=conv([1 0],[tau1 1])
den=conv(den1, [tau2 1])
bode(num,den), grid, title('bode par MAtlab')
Chap.3/ 65
Application : exemple 2 (2/3)
W ( p) =
(
K
p. p 2 + p + 4
), K > 0 ,
Valeurs caractéristiques
p 2 + p + 4 ≡ p 2 + 2ξω n p + ω n2
 GAIN et PHASE
(
ξ = 0, 25, ω n = 2
)
2
L(ω ) = 20 log K − 20 log ω − 10 log⎛⎜ ωn2 − ω 2 + 4ξl2ω 2ωn2 ⎞⎟
⎝
⎠
((
)
ϕ(ω ) = − arg ωn2 − ω 2 + 2 jξωnω
Pour ω << ω n
Pour ω >> ω n
Pour ω = ω n
)
Pente -1
L (ω ) ≅ 20 log K − 20 log ω − 40 log ωn
ϕ (ω ) ≈ 0 −
π
2
+0=−
π
Pente -3
2
L (ω ) ≅ 20 log K − 20 log ω − 40 log ω = 20 log K − 20 * 3 log ω
3π
π
π
ϕ (ω ) ≈ 0 − + arg(−ω 2 ) = 0 − − π = −
2
2
2
(
)
L(ω ) ≅ 20 log K − 20 log ωn − 20 log 2ξωn2 = 20 log( K / 4 )
ϕ (ω ) ≈ 0 −
π
2
+ arg(0 + j 2ξωn2 ) = 0 −
π
2
−
π
2
= −π
Chap.3/ 66
Application : exemple 2 (3/3)
Digramme asymptotique
L(ω) [db]
Digramme de Bode réel tracé à l’aide
de Matlab
Amplitude
-1
0 1
ωn
Log(ω)
-3
-11
Phase
ϕ(ω) [rad]
0°
−
π
Log(ω)
2
−π
3
− π
2
Chap.3/ 67
Diagramme de Nyquist (1/3)
) Lieu de Nyquist ?
¾ Il représente l’évolution en coordonnées polaires du nombre complexe W(p) lorsque p parcourt le
«contour d’exclusion de Nyquist» qui est toit simplement le contour qui entoure tous les pôles et zéros de
W(p) compris dans le demi plan complexe caractérisé par une partie réelle positive. (voir Figures)
Im
ω→+∞
Im
+jω2
+jω1
ω→0+
ω→0-
Re
-jω1
Re
-jω2
ω→-∞
Contour d’exclusion de Nyquist
Cas où les pôles sont imaginaires purs : on les
évite en les contournant
Chap.3/ 68
Diagramme de Nyquist (2/3)
)Règle
¾ Le tracé du diagramme de Nyquist commence par le tracé du lieu de
Nyquist pour ω variant de 0 à +∞
¾ La partie correspondant à ω variant de 0 à -∞ s’obtient par symétrie du
lieu de Nyquist par rapport à l’axe réel
)Exemple
W ( p) =
K
, K > 0, τ 1 > τ 2 > 0
p.(1 + τ 1 p )(1 + τ 2 p )
W ( jω ) = −
Kω (τ 1 + τ 2 )
K (1 − ω 2τ 1τ 2 )
− j
= Re(ω ) + j Im(ω )
ω (1 + ω 2τ 12 )(1 + ω 2τ 22 )
ω (1 + ω 2τ 12 )(1 + ω 2τ 22 )
Chap.3/ 69
Diagramme de Nyquist (3/3)
Points particuliers
ω → 0 , Re( ω ) → − K (τ 1 + τ 2 )
Im
Intersecti on avec l' axe des réels < 0 (pour ϕ = -π )
1
ϕ (ω =
) = - π (exercice précédent)
ω→∞
− K (τ 1 + τ 2 )
0
τ 1τ 2
Pour Re( ω =
Re
K τ 1τ 2
)=−
τ 1τ 2
τ1 + τ 2
1
ω =
1
τ 1τ 2
ω=0
)Simulation sur Matlab
¾ Nyquist(num, den)
Chap.3/ 70
Diagramme de Black
)Lieu de Black
¾ C’est une représentation cartésienne de W(jω) avec phase en degré (abscisse) et
gain en db (ordonnées). Sa détermination passe par le diagramme de Bode.
)Exemple
ω→0
ω =
W ( p) =
K
p .(1 + τ 1 p )(1 + τ 2 p )
Gain (db)
1
τ 1τ 2
0
-180
-270
-90
ϕ°
ω→∞
)Utilisation de Matlab
¾ Nichols (num, den)
Chap.3/ 71
Chap.4
PERFORMANCES D’UN SYSTEME
de
COMMANDE
Objectifs du chapitre :
) Définir et calcul des paramètres de performances d’un système
) Calculer les conditions de stabilité des systèmes
) Évaluer le degré de stabilité
)Comprendre le dilemme stabilité
stabilité--précision par un exemple
Chap. 4.1
4.1 PARAMÈTRES DE PERFORMANCES (4/4)
) Performances en précision
¾ Erreur statique
Δ = lim ( y (t ) − xc (t ) ) = lim p (Y ( p ) − xc ( p ) )
¾ Erreur dynamique
E d = ∫ ( y ( t ) − x c ( t ) )2 dt
t→∞
p→0
t pr
0
) Performances en stabilité
¾ Un système est dit stable si à une entrée limitée, la sortie est aussi limitée.
système instable
système stable
s(t)
s(t)
t
Chap.4/ 2
t
4.2 STABILITÉ DES SYSTÈMES
) 1. CONDITIONS GÉNÉRALES DE STABILITÉ
X(p)
y (p)
n
y ( t ) = L−1 {X ( p )W ( p )} = ∑ C i e p i t
W(p)
i =1
* La forme
f
de
d lla sortie
i dépendra
dé
d
lla nature d
des pôles
ôl :
† Pôles pi réels
n
y (t ) = ∑ Ci e pit
i =1
† Parmi les n pôles existe une paire de pôles complexes P12 =α±Jβ
n−2
y (t ) = ∑ Ci e pit + eα t .sin( β t )
i =1
Chap.4/ 3
4.3. Influence de la position des pôles sur la stabilité
1
1
y ( t ) = e α t .sin ( β t ) o ù α < 0
0.8
y( t ) =
0.4
Stable
-1
n
∑ Ci e pi t , pi < 0
i=1
0
0
2
4
6
Stable
8
00
10
2
4
6
8
10
8
10
25
20
y ( t ) = e α t .sin ( β t ) o ù α > 0
20
y( t ) =
n
∑ Ci e pi t , pi > 0
i=1
0
10
instable
-20
0
2
4
6
8
10
0
instable
0
2
4
6
Un système est stable si et seulement si tous les pôles de sa
fonction de transfert sont à partie réelle négative. Ils se
situent tous strictement à gauche de l’axe imaginaires du
plan complexe.
Chap.4/ 4
4.4 Influence de la position des pôles sur la dynamique du système
p1, 2 =α ± j β
p1 , 2 = − α ± j β
p1, 2 = − 2α ± j β
1
1
0
0
-1
-1
0
10
0
Instable
Im
Stable
10
p1, 2 = 2α ± j β
8
8
0
0
0
0
10
p1, 2 = 0 ± j β
p = − Re
10
p = + Re
0
1
450
0
0
Re
10
0
10
Chap.4/ 5
4.5. Critère algébrique de Routh – Hurwitz (1/4)
)Problématique
¾ Critère algébrique de Routh : permet la détermination de la stabilité du
système (conditions pour lesquelles tous les pôles de W(p) sont à partie
réelles négatives) à partir des coefficients du polynôme caractéristique
sans calculer les pôles
)Données
W ( p)=
N ( p ) b 0 + b1 p + ... + b m p n
=
n >m
D ( p ) a 0 + a1 p + ... + a n p n
D ( p ) = a 0 + a1 p + ... + a n p n
)On analyse :
) Conditions nécessaires de stabilité
¾ Tous les coefficients ai doivent être de même signe et non nuls.
)Conditions nécessaires et suffisantes de stabilité
¾ Elle est donnée par le tableau de Routh
Chap.4/ 6
4.5. Critère algébrique de Routh – Hurwitz (2/4)
Tableau de Routh ΔR
⎡ an
⎢a
⎢ n −1
⎢ A11
⎢
A
Δ R = ⎢ 21
⎢ .
⎢
⎢ .
⎢ .
⎢
⎣ An1
pn
p n −1
p n− 2
p n −3
.
.
.
p0
an − 2
an −3
an − 4
an −5
A12
A22
A13
A23
.
.
.
.
.
An 2
.
An 3
. . .⎤
. . .⎥
⎥
. . .⎥
⎥
. . .⎥
. . .⎥
⎥
. . .⎥
. . .⎥
⎥
. . .⎦
Les 2 premières lignes du tableau sont posées
Les autres lignes sont calculées à partir des
2 premières lignes
⎡ an
⎢a
⎢ n −1
⎢ A11
⎢
A
Δ R = ⎢ 21
⎢ .
⎢
⎢ .
⎢ .
⎢
⎣ An1
Calcul des coefficients Aij
1er ligne
A11 =
an − 2 ⎤
⎡ a
− det ⎢ n
⎥
⎣ a n −1 a n − 3 ⎦
a n −1
an − 4 ⎤
⎡a
− det ⎢ n
⎥
⎣an −1 an −5 ⎦
A12 =
an −1
. A13 =
an − 6 ⎤
⎡a
− det ⎢ n
⎥
⎣an −1 an − 7 ⎦
an −1
an − 2
an − 4
an −3
A12
an −5
A13
A22
.
A23
.
.
.
.
An 2
.
An 3
. . .⎤
. . .⎥
⎥
. . .⎥
⎥
. . .⎥
. . .⎥
⎥
. . .⎥
. . .⎥
⎥
. . .⎦
Chap.4/ 7
4.5. Critère algébrique de Routh – Hurwitz (3/4)
2-ième ligne
a ⎤
⎡a
− det ⎢ n −1 n − 3 ⎥
⎣ A11 A12 ⎦
A21 =
A11
a ⎤
⎡a
− det ⎢ n −1 n −5 ⎥
⎣ A11 A13 ⎦
A22 =
A11
A23 =
⎡ an
⎢a
⎢ n −1
⎢ A11
⎢
A
Δ R = ⎢ 21
⎢ .
⎢
⎢ .
⎢ .
⎢
⎣ An1
an − 2
an − 3
an − 4
an − 5
A12
A22
A13
A23
.
.
.
.
.
An 2
.
An 3
. . .⎤
. . .⎥
⎥
. . .⎥
⎥
. . .⎥
. . .⎥
⎥
. . .⎥
. . .⎥
⎥
. . .⎦
a ⎤
⎡a
− det ⎢ n −1 n − 7 ⎥
⎣ A11 A14 ⎦
A11
On examine uniquement le 1er colonne pour la stabilité
Chap.4/ 8
4.5. Critère algébrique de Routh – Hurwitz (4/4)
)Conditions de Stabilité selon le critère algébrique de Routh
¾ On examine la première colonne du déterminant de Routh (dont les
éléments sont appelés pivots) :
⎡ an ⎤
⎢a ⎥
⎢ n −1 ⎥
⎢ A11 ⎥
1er colonne de Δ R = ⎢ A21 ⎥
⎢
⎥
⎢ . ⎥
⎢ . ⎥
⎢
⎥
⎢⎣ . ⎦⎥
)Théorème de Routh :
Le système est stable si et seulement si les éléments de la première
colonne du tableau de Routh sont tous de même signe. le nombre de
changement de signes est égal au nombre de pôles à partie réelle
positive..
positive
¾ Cas Particulier : Il apparaît un zéro dans la première colonne. Alors on poursuit en
écrivant à la place de la ligne en question les coefficients du polynôme dérivé par rapport
à p d’un polynôme auxiliaire dont les coefficients sont les termes de la dernière ligne non
nulle. Les racines à partie réelle nulle sont alors les zéros du polynôme auxiliaire. Ce cas
permet de trouver les conditions pour lesquelles un système linéaire est juste oscillant.
Chap.4/ 9
Exemple1 (1/2)
W (p =
1
4 + 4 p + 5 p2 + p3 + p4
D ( p ) = 4 + 4 p + 5 p 2 + p 3 + p 4 = a 0 + a1 p + a 2 p 2 + a 3 p 3 + a 4 p 4
p4 ⎡ a4
p3 ⎢ a
⎣ 3
a0 ⎤
− ⎥⎦
a2
a1
⎡1 5
⎢1 4
⎣
=
4⎤
− ⎥⎦
4
0
−⎤
− ⎥⎦
an − 2 ⎤
⎡ a
⎡1
− det ⎢ n
⎥ − det ⎢1
⎣ a n −1 a n − 3 ⎦ =
⎣
A11 =
a n −1
1
5⎤
4 ⎥⎦
⎡ A11
⎢A
⎣ 21
p2
p1
p0
A13 ⎤ ⎡ 1
=
A23 ⎥⎦ ⎢⎣ 0
A12
A22
Les 2 premières lignes du tableau sont posées
Il apparaît un zéro dans la 1er colonne
A21 =
=1
Comment faire ?
a ⎤
⎡a
⎡1 4⎤
− det ⎢ n −1 n − 3 ⎥ − det ⎢
⎥
⎣1 4⎦ = 0
⎣ A11 A12 ⎦ =
1
A11
On développe la ligne précédente pour déterminer le mode :
Polynôme auxiliaire : p2+4
p 2 + 4 = 0 ⇒ P = ±2 j
Chap.4/ 10
Exemple1 (2/2)
Alors on poursuit en écrivant à la place de la ligne en question les coefficients du polynôme dérivé par rapport à p d’un
polynôme auxiliaire dont les coefficients sont les termes de la dernière ligne non nulle.
(
)
d p2 + 4
= 2p + 0
dp
On reporte dans la table de Routh les coefficient du polynôme 2p+0
p 4 ⎡ a4
p 3 ⎢⎣ a
3
p2
p1
p0
a0 ⎤
− ⎥⎦
⎡1 5
⎢1 4
⎣
4⎤
− ⎥⎦
⎡ A11 A12 A13 ⎤ ⎡ 1 4
⎢
⎥=⎢
⎣ A21 A22 A23 ⎦ ⎣ 2 0
[ A31 A32 A33 ] = [4 −
−⎤
− ⎥⎦
a2
a1
=
−]
Conclusion : Tous les coefficients de le première colonne sont de même signe [1 1 1 2 4]. Le
polynôme D(p) ne possède pas de racine à partie réelle positives mais deux
racines qui sont situées sur l’axe imaginaire pur
Racine de D(p) :
-0.0000 + 2.0000i
-0.0000 - 2.0000i
-0.5000 + 0.8660i
-0.5000 - 0.8660i
Réponse impulsionnelle
Chap.4/ 11
Exemple 2
W (p =
p −1
p 6 + 5 p 5 + 9 p 4 + 10 p 3 + 11 p 2 + 10 p + 3
D ( p ) = p 6 + 5 p 5 + 9 p 4 + 10 p 3 + 11 p 2 + 10 p + 3
Tableau de Routh
p6
p5
p4
p3
p2
1
9
11
1
1
-1
-1
10
8.96
1 56
1.56
0 . 432
10
3.01
3
Il y a deux changements de signe dans la 1er colonne
De 1 à -1 et de -2.66 à 0.48 : le système
y
est instable
p 1 - 2 . 66
p 0 0 . 48
Racine de D(p) :
-2.5604
0.2767 + 1.0865i
0.2767 - 1.0865i
-1.2578 + 0.6082i
-1.2578 - 0.6082i
-0.4775
Réponse impulsionnelle
Chap.4/ 12
Conditions de stabilité d’un élément du 1er 22-iéme et 3
3--iéme ordre
1er ordre
W ( p) =
2ème ordre
W ( p) =
W ( p) =
3éme ordre
⎧a1 > 0
⎨
⎩a0 > 0
1
a1 p + a 0
⎧a2 > 0
⎪
⎨ a1 > 0
⎪a > 0
⎩ 0
1
a 2 p 2 + a1 p + a 0
⎧ a3 > 0
⎪ a >0
2
⎪
⎨ a1 > 0
⎪ a >0
0
⎪
⎩a1.a2 > a0.a3
1
a 3 p 3 + a 2 p 2 + a1 p + a 0
P.S. pour mémoire : système du 3-iéme ordre est stable si :
• tous les coefficients sont > 0
• le produit des moyens (a1.a2) > produit des extrêmes (a0.a3)
Chap.4/ 13
EXEMPLES : Critère algébrique de Routh – Hurwitz
1. Asservissement de position avec un PI régulateur
+
C
K (1 +
M
1
αTP
1
1 + TP
)
1
TP
-
α 2T 3 K > α T 3 K ⇒ α > 1
Df ( p ) = α T 3 p 3 + α T 2 p 2 + α KTP + K = 0
2. Asservissement de position avec un P régulateur
+
C
1
1
K
1 + α TP
)
M
1
TP
1 + TP
(1 + α )T 3 > α T 3 K ⇒ K <
Df ( p ) = α T 3 p 3 + (1 + α )T 2 p 2 + Tp + K = 0
1+ α
α
Chap.4/ 14
4.6. CRITERE DE NYQUIST (1/9)
)Avantage de la méthode
¾ Technique géométrique appliquée aux systèmes qui ne sont pas à
minimum de phase, Présence de retard pur dans les expressions de
fonctions de transfert
)Problématique
Et en état fermé ?
Conditions de stabilité connues
Xc(t)
Wou(p)
( )
Ys(t)
Xc(t)
+
Wou(p)
Ys(t)
-
)Transformation du SRA en retour unitaire
Xc(t) +
Wro(p)
Ys(t)
Y1(t)
Wro(p)
-
Wcr(p)
Wou(p)
Xc(t) +
Y1(t)
Wcr(p)
Ys(t)
Chap.4/ 15
4.6. CRITERE DE NYQUIST (2/9)
Xc(t)
W (p =
Ys(t)
Wou(p)
N ou ( p )
,
D ou ( p )
n
D ou ( p ) = a 0 + a1 p + a 2 p 2 + ... + a n p n = a n Π ( p − p i )
i =1
Analyse fréquentielle
p = jω
Z i ( jω ) = Z i ( jω ) .e jΘi (ω )
Z i ( j ω ) = j ω − p i ( i = 1, n ) Nombre complexe
n
j ∑ Θ i (ω )
n
Alors :
D ou ( j ω ) = a n Π Z i ( j ω ) .e i = 1
i =1
Variation de l’argument ΔΘ(ω) :
= f ( j ω ) e jΘ (ω )
ΔΘ (ω ) = arg( D ou ( j ω ) pour
p i < 0 ⇒ ΔΘ i (ω ) =
1) pi <0 (Gauche du plan complexe)
0<ω <∞
0<ω <∞
π
2
p i > 0 ⇒ ΔΘ i (ω ) = −
2) pi >0 (Droite du plan complexe)
0<ω <∞
π
2
Chap.4/ 16
4.6. CRITERE DE NYQUIST (3/9)
)Conditions de stabilité du système
¾ Si Dou(p) possède K racine à droite du plan complexe alors on a (n-K) racine
gauche
)Alors la variation de l’argument sera :
n
π
i =1
2
ΔΘ
Θ (ω ) = ∑ ΔΘ
Θ i (ω ) =
(n − K ) − π K = π ( n − 2 K )
2
2
)Théorème :
¾ Le système dont le polynôme caractéristique est Dou(p) est stable ssi le
nombre de pôle à droite est égal à zéro : K=0
ΔΘ(ω ) =
π
2
0<ω <∞
n
Chap.4/ 17
4.6. CRITERE DE NYQUIST (4/9)
)Critère de Nyquist
Xc(t)
+
Wou(p)
W ou ( p ) =
N ou ( p )
,
D ou ( p )
W f ( p) =
W ou ( p )
N ou ( p )
=
1 + W ou ( p ) N ou ( p ) + D ou ( p )
Ys(t)
-
)Introduisons une fonction subsidiaire
1 + Wou ( p ) =
N ou ( p ) + Dou ( p )
= D f ( p)
Dou ( p )
1 + Wou ( jω ) = 1 + Wou ( jω ) e jΘ(ω ) =
)
)L’argument total sera :
N ou ( jω ) + Dou ( jω ) jΘ(ω )
e
Dou ( jω )
Θ(ω ) = arg( N ou ( jω ) + Dou ( jω )) − arg( Dou ( jω ) = Θ1 (ω ) − Θ2 (ω )
Chap.4/ 18
4.6. CRITERE DE NYQUIST (5/9)
)Condition de stabilité du système en BF : (voir demo.
demo. précédente)
ΔΘ 1 ( ω ) = n
)Or :
π
2
,
0≤ω <∞
ΔΘ ( ω ) = ΔΘ 1 ( ω ) − ΔΘ 2 ( ω )
ΔΘ 2 ( ω ) = (n − 2 K )
π
2
,
0≤ω <∞
)Supposons que le système en BO est instable : possède K
racines droites, alors :
ΔΘ (ω ) = n
π
2
− (n − 2 K )
π
2
=
ΔΘ (ω ) = K π
K
.2π
2
Chap.4/ 19
4.6. CRITERE DE NYQUIST (6/9)
) Un système en boucle fermée ayant K pôles instable en boucle
ouverte est stable ssi :
¾ Le lieu de de Nyquist du système en état ouvert entoure K fois le point (-1, J0)
dans le sens trigonométrique
)Critère simplifié de Nyquist Critère du revers :(nombre
:(nombre de pôles
instable égal à zéro K=0) :
¾ Un SRA à contre réaction unitaire, est stable en état fermé ssi, en
parcourant le lieu de transfert en état ouvert dans le sens des
fréquences croissantes, ce lieu n’enveloppe pas le point (-1, j0).
Chap.4/ 20
4.6. CRITERE DE NYQUIST (7/9) : Exemple1
W ( p) =
K
p .(1 + τ 1 p )(1 + τ 2 p )
Conditions de stabilité
Im
− K (τ 1 + τ 2 )
ω →∞
M
0
Nombre de pôles instables : 0
Alors le diagramme de Nyquist ne doit pas entourer 1
Re
ω =
ω=0
1
τ 1τ 2
OM =
1
K τ 1τ 2
: est le module pour ω =
et ϕ = -π
τ1 + τ 2
τ 1τ 2
Alors OM < 1 ⇒ K < 3
Chap.4/ 21
4.6. CRITERE DE NYQUIST (8/9) : Exemple2
)Exemple cas (K=0) :
A. Lieu de Nyquist
Im
Im
Stable
-1
Re
Pompage
Instable
-1
Im
-1
Re
Re
B.. Lieu de Black (on laisse le point (odb,-180°) à droite)
G [db]
G [db]
-180 °
-180 °
ϕ [°]
G [db]
-180 °
ϕ [°]
Pompage
Stable
ϕ [°]
Instable
Chap.4/ 22
4.6. CRITERE DE NYQUIST (9/9) : Cas des pôles imaginaires purs
) Problématique :
¾ Si des pôles de Wou(p) sont situés sur l’axe imaginaire, faut il les
compter dans le demi plan droit ou gauche?
¾ Il faut modifier le contour de Nyquist de façon soit à les inclure
dans le contour (c.à.d. dans K) soit à les en exclure.
Chap.4/ 23
) Comment faire l’inclusion ou l’exclusion?
¾ S’effectue à l’aide de demi cercles dont on fait tendre le rayon ρ vers zéro :
Im
Im
ρ
p = p1 + ρ e iΘ p1
p1
Re
p = p 2 + ρ e iΘ
Re
ρ
p2
p2
Contour d’exclusion de Nyquist
Inclusion du pôle à gauche
Inclusion du pôle à droite
Chap.4/ 24
4.7. Degré de stabilité (1/3)
)Importance
Xc(t) +
K
Ys(t)
Wou(p)
-
)Marge de Gain (MG)Im sur le lieu de Nyquist
-1
1
MG =
0
A
Re
1
∈ [1,∞]
O
OA
⎛ 1 ⎞
⎟
MG = 20 log⎜⎜
⎟ ∈ [ 0, ∞ ]
⎝ OA ⎠
)Sens pratique de la MG
¾ Est une garantie que la stabilité persistera malgré des variations imprévues
du gain en boucle ouverte
Chap.4/ 25
2 < MG < 2.5
4.7. Degré de stabilité (2/3)
)Marge de phase
Im
1/MG
R=1
-1
Re
Marge de phase :MP
)La marge de phase caractérise l’écart supplémentaire qui ferait
passer le lieu de Nyquist de l’autre côté du point critique
¾ Est une garantie que la stabilité persistera malgré l’existence de retards
parasites dont on n’a pas tenu compte dans les calculs initiaux
40 < MP < 50
Chap.4/ 26
4.7. Degré de stabilité (3/3)
) Marge de gain et de phase sur le lieu
de Black
MP
) Marge de gain et de phase sur le
diagramme de Bode
G [db]
G [db]
-180 °
0 dB
ϕ [°]
MG
MG
ϕ [°]
0°
) MP : Ecart en phase par rapport à -180°
180°
lorsque le gain du système en BO est égal
à 1 (0 dB)
) MG : Ecart en gain par rapport à 0 dB pour
un déphasage de -180°
180° . On recommande
MG=12 dB
-90°
-180°
MP
-270°
Chap.4/ 27
4.8. DILEMME STABILITÉ - PRÉCISION
Sortie du produit
Qs, Hs
PC
-
Pr
E
+
U
Entrée du produit
Vapeur d’eau
Pr
Tv
Qe, He
Sortie échangeur
Chap.4/ 28
1. Etude de la Précision
Quelle doit être le gain du correcteur à afficher pour
que la pression du réacteur soit égale exactement à
celle de consigne (fixée en fonction du process) ?
E
Pc(t)
-
Pc(t)
CORRECTEUR
Ps(t)
Vanne
x(t)
Tv(t)
Echangeur
Transmetteur de pression
Capteur de pression
CORRECTEUR
Wou(p)
+
Pr(t)
Réacteur
Ps(t)
Wou(p) = W vanne(p). W échangeur(p). Wréacteur(p). W capteur(p). W transmetteur(p)
Chap.4/ 29
Calcul de la Précision
Pc(t)
E
+
Ps(t)
Wou(p)
K
-
Pc(t)
W f ( p) =
KW ou ( p )
Ps(t)
1+ KW ou ( p )
Problématique
Ps(t)
Pc(t)
Pc(t)
SYSTEM
Ps(t)
E
Pc(t)
P0
t
t
Chap.4/ 30
Application numérique
W ou ( p ) =
1
2 p 3 + 3 p 2 + 4 p +1
9 Trouvons l’erreur suite à une variation de l’entrée
sous forme d’un saut de P0
Pc ( p ) =
P0
P
9 Calcul de l ’erreur
E ( ∞ ) = lim (Ps ( t ) − Pc ( t ) )
t→ ∞
(
= lim p .(Ps ( p ) − Pc ( p ) )= lim p . Pc ( p ).W f ( p ) − Pc ( p )
p→ 0
p→ 0
)
E ( ∞ ) = P0 .
⎛
⎞
K
= lim p .⎜⎜ Pc ( p ).
− Pc ( p ) ⎟⎟
1+ KW ou ( p )
p→ 0 ⎝
⎠
1
1
= P0 .
1+ KW ou ( 0 )
1+ K
Pour que E(∞) = 0, il faut que le gain K
soit INFINI.
Mais, qu’en sera t-il de la stabilité de mon système ?
Chap.4/ 31
2. Stabilité du système en état fermé
W f ( p) =
W ou ( p )
K
=
.
1 + W ou ( p )
2 p 3 +3 p 2 + 4 p + 1 + K
D ( p ) = 2 p 3 + 3 p 2 + 4 P +1+ K
)Conditions de stabilité
a3 = 2 > 0
⎧
⎪
a2 = 3 > 0
⎪⎪
a1 = 4 > 0
⎨
⎪ a = 1+ K > 0 ⇒ K > − 1
⎪ 0
4 * 3> 2 .(1+ K )
⎩⎪
Système stable si 0 < K < 5
Pour avoir une bonne précision ,il faut augmenter le gain,
mais l'augmentation du gain rend le système instable
Je prends alors un gain qui m’assure
une « bonne » marge de stabilité
Dilemme stabilité précision
Chap.4/ 32
Influence du gain sur la précision et la stabilité ( simulation sur Matlab-Simulink)
Démonstration sur Matab-Simulink
6
Ps(t)
[bar]
K=0.5
Pc
MG = 10
MP=inf.
6
ε ( ∞) = 26
, bars
Pc
Im
-1
K=2.5
2.5
Réel
2
2
0
2
4
0
6
10
20
6
6
30
MG = 2
MP=60
ε ( ∞ ) = 114bars
,
60
K=5
K=4
MG = 1
MP=0°
Pc
K=6
Pc
2
0
MG = 1,25
MP=13,7°
2
ε (∞) =0,8
0
20
40
MG = 0,83.
MP=-8,9°
60
t [s]
0
20
40
60
t (s)
0
20
40
Chap.4/ 33
EXEMPLE 2
) INFLUENCE DU TEMPS DE RETARD
C
K
1
1+ P
e −τp
M
-
)Analyse de la stabilité Critère de Nyquist
¾ Cas 1 : K=1
1
⎧
=1
⎪ A(ω ) = 1 ⇒
⎨
1 + ω2
⎪
⎩ϕ (ω ) = −π ⇒ − arctg (ω ) − τω = −π
ω = 0 : unique solution
)Discussion : Le module maximal est égal à 1 ∀ ω
variant de 0 à +∞
Chap.4/ 34
Comment tracer le lieu de Nyquist : programme Matlab
% INTRODUCTION PARAMETRES
%fichier : Tracer_Nyquist_avec_retard_ima1.m
Démonstration sur Matab-Simulink
omega=0:0.01:20 % Variation de la fréquence omega en rad/s
tau=20 % retard pur en seconde
k=1
%CALCUL DU LIEU DE NYQUIST : phase phi et amplitude A
phi1=(-atan(omega)-omega*tau)
p
(
(
g )
g
) %-Phi en radian
phi=phi1*180/pi % CALCUL DE PHI en DEGRE en multipliant par 180/pi)
A=k./sqrt(1+omega.*omega) % élément du 1er ordre
%CALCUL DES PARTIES RELLES ET IMAGINAIRES
Re1=1./(1+omega.*omega);
Re=(Re1.*cos(omega*tau)+Im1.*sin(omega.*tau))*k
Im=(Im1.*cos(omega*tau)-Re1.*sin(omega.*tau))*k
%TRACE DU LIEU DE NYQUIST
Chap.4/ 35
plot(Re,Im), grid
Lieu de Nyquist pour différentes valeurs du retard Tau
Tau=1
Tau=0
Tau =20
Chap.4/ 36
Analyse temporelle
Tau=1
Tau=0
Tau=20
Chap.4/ 37
Influence du gain
)Analyse de la stabilité Critère de Nyquist
¾ Cas 2 : K>1
C
e −τ p
1
1+ P
K
M
-
K
⎧
=1
⎪ A(ω ) = 1 ⇒
1+ ω2
⎨
⎪ϕ (ω ) = −π ⇒ −arctg (ω ) − τω = −π
⎩
2 équations 3 inconnues
K
ω = tg (π − ωτ )
1 + tg 2 (π − ωτ )
=1
K=
1
cos(π − ωτ )
)Comment résoudre l’équation K=F(ω
K=F(ω,τ)?
¾ Ev variant K jusqu’à apparition de pompage K=2.14
Chap.4/ 38
Influence du gain
)Lieu de transfert pour K=2.14
-1
Démonstration sur Matab-Simulink
Chap.4/ 39
4.9. CALCUL DE L’ERREUR DE REGLAGE
M
E
+
Xc
Correcteur
Process
C(p)
G(p)
-
Xc
M
) Forme générale de l’erreur
E (∞) = lim ( M (t ) − Xc (t ) ) = lim p. ( M ( p) − Xc ( p) )
t →∞
p →0
⎛
⎞
1
E(∞) = lim p. Xc( p).⎜⎜
⎟⎟
p →0
⎝ 1+C ( p).G ( p) ⎠
Chap.4/ 40
4.10. DIFFERENTES TYPES D ’ERREURS
Xc ( p ) =
A) Erreur de position
X0
X0
p
C(p)
G(p)
+
Xc
M
-
C ( p) =
Soit un correcteur
K
pα
α = 0 ⇒ E(∞) =
⎛
⎞
⎜
⎟
1
⎟
E(∞ ) = lim X 0.⎜
K
⎜
⎟
p →0
⎜ 1+ pα .G ( p ) ⎟
⎝
⎠
X0
1+K.G(0)
α = 1 ⇒ E(∞) = 0
) Conclusion sur la précision
Chap.4/ 41
B) Erreur de vitesse
Xc ( p ) =
X0
p2
X0
Xc
+
M
-
⎛
⎞
⎜
⎟
X0⎜
1
⎟
E (∞ ) = lim
.
K
⎟
p→ 0 p ⎜
⎜ 1+ pα .G ( p ) ⎟
⎝
⎠
α = 0 ⇒ E ( ∞) → ∞
α = 1 ⇒ E ( ∞) =
X0
K .G ( 0)
α ≥ 2 ⇒ E ( ∞) = 0
Pour éliminer une erreur de traînage
il faut placer au moins deux intégrateurs
dans dans la boucle ouverte.
Chap.4/ 42
C) Erreur d ’accélération
Xc ( p ) =
X0
p3
+
Xc
M
-
α = 0 ⇒ E ( ∞) → ∞
α =1 ⇒ E(∞) → ∞
⎛
⎞
⎜
⎟
1
X0
⎟
E (∞ ) = lim 2 .⎜
K
⎟
p→0 p ⎜
⎜ 1+ pα .G ( p ) ⎟
⎝
⎠
α = 2 ⇒ E ( ∞) =
X0
K .G (0)
α ≥ 3 ⇒ E(∞) = 0
Pour éliminer une erreur d’accélération
il faut placer au moins trois intégrateurs
dans dans la boucle ouverte.
Chap.4/ 43
4.11 Classes d’un système
La précision d’un SRA dépend du nombre
d’intégrateurs insérés dans la boucle ouverte
Classe du
système
tè
Erreur de
position
Erreur de
vitesse
Erreur
d'accélération
0
1
2
α>2
1/(1+K)
0
0
0
∞
1/K
0
0
∞
∞
1/K
0
Chap.4/ 44
Chap. 5 : TECHNOLOGIE ET REGLAGE DES REGULATEURS
Objectifs
Maîtriser :
¾ La technologie des régulateurs industriels P, PI, PID, «tout
ou rien»,
¾ la réalisation des actions P, I et D série, parallèle , mixte,
¾ les méthodes pratiques de réglage des régulateurs en boucle
ouverte et fermée,
¾ la vérification des actions des régulateurs,
¾ Le rôle domaines d’utilisation des régulateurs P, PI et PID.
Chap. 5/1
VUE GENERALE D’UN REGULATEUR INDUSTRIELLE
Chap. 5/2
PRINCIPE DE FONCTIONNEMENT D’UN REGULATEUR DE NIVEAU
Chap. 5/3
5.1. Technologie des régulateurs
) Définitions
REGULATEUR
C
y
U
C-M
Algorithme
Vanne
Process
M
Transmetteur
Capteur
) Les différentes parties d’un régulateur
Mesure M
1. Les signaux
Consigne C
Sortie U
Chap. 5/4
2. Les blocs d’un régulateur
consigne extérieure
Sélecteur de consigne
consigne interne
Indicateur
d’erreur
C
Dispositif d’Affichage de
la Consigne DAC
module PID
limiteur
Sélecteur du sens
d’action
P
I
I
D
L
D
M
I
H
Indicateur
sortie
D
manuel/auto
transmetteur
commande
manuelle
auto
manuel
capteur
Chap. 5/5
5.1.2 Classification des blocs d’un régulateur
¾ 3. Les réglages
A. Réglage de la consigne
B. Réglage des action P, I et D
C. Réglages des limites de la sortie du régulateur pour ne pas endommager
la vanne
D. Réglage de la sortie en position manuelle
4. Les sélecteurs
A. Consigne interne et externe
B. Sens d’action du régulateur
C. Passage du mode automatique à manuel
5. Les indicateurs
A. Indicateur de consigne
B. Indicateur de mesure
C. Indicateur de l’erreur de réglage
D. Indicateur de la sortie du régulateur
Chap. 5/6
5.1.3 Quelques indication sur les régulateurs industriels
¾ Mesure : PV (process variable)
¾ Consigne interne : L ou Local
¾ Sortie : OUT (output)
¾ Consigne externe D ou R (Distance ou Remote)
¾ Consigne : SP (set point)
¾ Consigne suiveuse PVT : Process Variable Tracking
¾ Direct : Direct ou Decrease
¾ I : Inverse ou Increase
¾ (+) : Directe
(-) : Inverse
¾ Manuel : M, MAN ou Manual
¾ Auto : A, Aut. Auto
Chap. 5/7
5.1.4. Classification des régulateurs
) 1. Selon la nature de l’énergie qu’ils utilisent
¾ A. Pneumatique
¾ B. Electronique
¾ C. Numérique
) 2. Selon le type d’action
¾ A. P-régulateur
¾ B. PI Régulateur
¾ C. PD régulateur
¾ D. PID régulateur
¾ E. Tout ou rien
) 3. Selon le sens d’action
¾ A. Direct
¾ B. Inverse
Chap. 5/8
5.2. Actions des régulateurs
A) Régulateur proportionnel P-régulateur
† Définitions
C
C-M
+
U
P-régulateur
U = K .(M −C )
(-)
M
† Fonction de transfert
W( p ) = K
† Paramètres
† Rôle et domaine d’utilisation
Chap. 5/9
Sortie d’un Prégulateur
C-M
U
P-régulateur
idéale
U(t)
M-C
réelle
K .(C − M )=
100
(C − M )
BP
M-C
t (sec.)
Chap. 5/10
B)
PI Régulateur
† Définitions
C
C-M
+
U
U = K (C − M ) +
PI-régulateur
K t
∫ (C − M )dt
Ti 0
(-)
M
⎛ T p + 1⎞
W( p ) = K⎜ i
⎟
⎝ Ti p ⎠
† Fonction de transfert
† Paramètres
† Rôle et domaine d’utilisation
Chap. 5/11
Sortie d’un PI régulateur
M-C
U
PI-régulateur
idéale
réelle
U(t)
I
action Intégrale
P
action
ti P
Proportionnelle
ti
ll
K t
∫ (C − M )dt
Ti 0
K (C − M )
t (sec.)
Sens physique de Ti
Intégrons U(t) de 0 à Ti
U = K( M − C) +
K Ti
∫ ( M − C ) dt + U 0 = 2 K ( M − C ) + U 0 = 2 fois l'action P
Ti 0
Ti est le temps en seconde mis par le régulateur pour répéter deux fois l’action proportionnelle,
d’où l’appellation - nombre de répétitions par minute (ou par seconde).
Chap. 5/12
Rôle et domaine d’utilisation de l’action intégrale
) Dans les régulateurs industriels on affiche 1/Ti, alors Ti est d’autant plus grand que l’action
intégrale est faible.
) Le rôle principal de l’action intégrale est d’éliminer l’erreur statique.
) Toutefois l’action intégrale est un élément à retard de phase, donc l’augmentation de l’action
intégrale (c.à.d. diminuer Ti) produit une instabilité car elle déplace le lieu de Nyquist vers la
gauche.
) La valeur optimale est choisie pour satisfaire un compromis stabilitéstabilité- rapidité.
) Si le système possède lui même un intégrateur (exemple niveau), l’action I est quand même
nécessaire pour annuler l’écart de perturbation car, suite aux variations de la consigne
l'intérêt de I est moindre car l’écart s’annule naturellement.
) Dans l’industrie, on utilisera l’action I chaque fois que nous avons besoin, pour des raisons
technologiques, d’avoir une précision parfaite - exemple : la régulation de la pression ou
température dans un réacteur nucléaire. De plus, il faut souligner que l’action I est un filtre
donc il est intéressant de l’utiliser pour le réglage des paramètres très dynamiques telle que
la pression.
Chap. 5/13
C)
PID Régulateur
† Définitions
C
C-M
+
U
PID-régulateur
(-)
U = K (M − C ) +
M
K t
d (M − C )
∫ (M − C )dt + K .Td
Ti 0
dt
⎛ 1 + Ti . p + Ti . Td . p 2 ⎞
⎟
W( p ) = K⎜
Ti p
⎠
⎝
† Fonction de transfert
† Paramètres
Td ( min ute )
† Rôle et domaine d ’utilisation
Chap. 5/14
Sortie d’un PID régulateur
M-C
U
PID-régulateur
action dérivée K . Td .
U(t)
d ( M − C)
dt
D
I
P
action Intégrale
K t
∫ ( M − C ) dt
Ti 0
action Proportionnelle
K(M − C)
t (sec.)
Chap. 5/15
Sens physique de Td
U = K ( M − C) + K . Td
Soit un PD régulateur
d ( M − C)
+ U0
dt
U = Kat + K.Td .a + U 0 = 2 KaTd + U 0
Si (M-C) = a t : entrée sous forme de rampe, on a pour t=Td :
Sortie à P+D : U = Kat + K.Td .a + U 0 = 2 KaTd + U 0
U(t)
S i à P : U(t)
Sortie
U( ) = K
K.at + U0
K Td ( M − C )
D
K Td ( M − C )
P
t
t=Td
Td représente l’écart, en temps, entre les réponses proportionnelles seules (P) et proportionnelle et dérivée (PD).
Td est donc le temps d’avance d’une réponse PD par rapport à une réponse en P seule.
Chap. 5/16
Dérivée filtrée
Afin de limiter la sortie d’un régulateur ayant une action dérivée, en pratique
l’action dérivée est filtrée en ajoutant un élément de premier ordre. L’action
dérivée pure Tdp devient alors :
y(t)
x(t)
x(t)
t
y(t)
Td . p
t
Dérivée pure)
x(t)
x(t)
t
y(t)
Td . p
1
1 + τp
y(t)
amortissement
limitation
Dérivée filtrée
t
Chap. 5/17
Rôle et domaine d’utilisation de l’action dérivée
) L’action dérivée compense les effets du temps mort du process
) Elle a un effet stabilisateur mais une valeur excessive peut entraîner une
instabilité. Sur le plan de Nyquist l’action D permet de déplacer le lieu de transfert
vers la droite car elle possède une avance de phase (de +90 degré).
) La présence de l’action dérivée permet donc d’augmenter la rapidité du système
en augmentant le gain sans être inquiété par la stabilité
) Dans l’industrie, l’action D n’est jamais utilisée seule mais en général avec l’action
intégrale.
) On recommande de l’utiliser pour le réglage des paramètres lents tels que la
température. Par contre en présence des paramètres bruités, l’action dérivée est
déconseillée.
Chap. 5/18
RESUME SUR LE ACTIONS P, I et D
) L'action Proportionnelle corrige de manière instantanée, donc rapide, tout écart de la
grandeur à régler, elle permet de vaincre les grandes inerties du système. Afin de diminuer
l'écart de réglage et rendre le système plus rapide, on augmente le gain (on diminue la
bande proportionnelle) mais, on est limité par la stabilité du système. Le régulateur P est
utilisé lorsque on désire régler un paramètre dont la précision n'est pas importante, exemple
: régler le niveau dans un bac de stockage
) L'action intégrale complète l'action proportionnelle. Elle permet d'éliminer l'erreur résiduelle
en régime permanent. Afin de rendre le système plus dynamique (diminuer le temps de
réponse), on diminue l'action intégrale mais, ceci provoque l'augmentation du déphasage ce
qui provoque l'instabilité en état fermé. L'action intégrale est utilisée lorsque on désire avoir
en régime permanent, une précision parfaite, en outre, elle permet de filtrer la variable à
régler d'où
d où l'utilité
l utilité pour le réglage des variables bruitées telles que la pression .
) L'action Dérivée, en compensant les inerties dues au temps mort, accélère la réponse du
système et améliore la stabilité de la boucle, en permettant notamment un amortissement
rapide des oscillations dues à l'apparition d'une perturbation ou à une variation subite de la
consigne. Dans la pratique, l'action dérivée est appliquée aux variations de la grandeur à
régler seule et non de l'écart mesuremesure-consigne afin d'éviter les àà-coups dus à une variation
subite de la consigne. L'action D est utilisée dans l'industrie pour le réglage des variables
lentes telles que la température, elle n'est pas recommandée pour le réglage d'une variable
bruitée ou trop dynamique (la pression). En dérivant un bruit, son amplitude risque de
devenir plus importante que celle du signal utile.
Chap. 5/19
D) Régulateur «tout ou rien»
† Définitions
+
C
M-C
⎧1 pour M > C
U =⎨
⎩ 0 pour M ≤ C
U
(-)
M
† Rôle et domaine d’utilisation
Chap. 5/20
Exemple de réglage « tout ou rien»
+
M
C
M-C
U
220 V
0
x
⎧ 1 pour M < C
U = ⎨
⎩0 pour M ≥ C
U
M
C
U
t
t
Chap. 5/21
5.3. Réalisation des actions PID
C
+
M
M-C
P
I
Série
U
D
(-)
M
Parallèle
P
C
+
M M-C
U
I
(-)
D
M
C
+
Mixte
P
M M-C
I
(-)
U
D
M
Chap. 5/22
5.4. Réglage des paramètres des régulateurs
Comment augmenter les
performances d’un SRA
Commande par retour d’état
Commande adaptative
Réglage en cascade
Compensation du temps mort
Réglage par anticipation
Commande multivariable
structure et algorithmes modernes
de commande
Méthodes pratiques
Méthodes théoriques de réglage
Calcul des paramètres
du régulateur
Chap. 5/23
5.5. Méthodes théoriques de réglage
† Problématique
C
+
M-C
M
C
PID
(-)
M
(-)
K .Ko
(τ 1 +τ 2 ) p
Ko
1+ (τ 1 +τ 2 ) p +τ 1τ 2 p 2
M
Ti = τ 1 + τ 2
⎧τ 1 + τ 2 = Ti
Si je mets ⎨
⎩ Ti Td = τ 1τ 2
C
G(p)
(-)
⎛ 1+ T . p + T .T . p 2 ⎞
i
i d
⎟
K⎜
⎜
⎟
Ti p
⎝
⎠
M
M
U
M
Td =
M
τ 1τ 2
τ1 + τ2
† Avantages
et inconvénients
Chap. 5/24
5.6. Méthodes pratiques de réglage
1. En boucle ouverte
M-C
+
C
M
U
M
(-)
M
1
y(t)
ΔY
stable
Δx
x(t)
instable
0.5
tgα =
0
Δy
Ks = = Gain statique du systéme stable en boucle ouverte
Δx
tgα Δ y
= Gain statique du systéme instable en boucle ouverte
Ki = .=
Δx Δt.Δx
τ
T
4
Δy
Δt
8
12
t(sec.)
T
Chap. 5/25
Choix du mode de réglage dans le cas d’un système instable
Choix du type de régulateur en fonction de la réglabilité
> 20
< 2
Réglabilité 10 à 5 à 10 2 à 5
T
20
τ
Régulateur
P
PI
PID
tout ou
rien
limite de
PID
0,05 < Ki .τ < 0,1
P
0,1 < Ki .τ < 0,2
PI
0,2 < Ki .τ < 0,5
PID
0,005 < Ki .τ
Ki .τ > 0,5
Tout ou rien
Limite du PID
Chap. 5/26
Réglage pratique en boucle ouverte : paramètres du régulateur à afficher
Calcul des actions P, I et D pour les systèmes stables
Modes
Action
K
Ti
P
PI série
PI
parallèle
PID série
0 , 8 .T
K sτ
0 , 8 .T
K s .τ
0 , 8 .T
K s .τ
0 , 85 .T
K s .τ
Maxi.
T
K s .τ
0 ,8
T
0
0
0
0 ,4 . τ
Td
PID parallèle
T
τ
PID mixte
T
+ 0 ,4
τ
1, 2 . K s
K s .τ
0 , 75
0 , 35 .T
Ks
+ 0 ,4
1, 2 . K s
T + 0 , 4 .τ
Tτ
τ + 2 , 5 .T
Calcul des actions P, I et D pour les systèmes instables
Modes
Action
K
P
PID
série
PID parallèle
PID mixte
0,8
Kiτ
PI série PI parallèle
0,8
Kiτ
0,8
K iτ
0,85
K i .τ
0 ,9
Ki .τ
0 ,9
Ki .τ
Ti
Maxi.
5τ
Ki .τ 2
0 ,15
4,8τ
0
0
0
0
K i .τ 2
0,15
0,35
Ki
5,2τ
Td
0,4τ
KS. τ doit être sans unité
Si on est en limite de PID on doit utiliser des boucles multiples
cascade, ou régulateurs numériques
Chap. 5/27
2. Réglage en boucle fermée
T
Ti
C
Td
BP
M
-
REGLAGE EN BOUCLE FERMEE : Méthode de Ziegler et Nichols
W ( p ) = Kr +
1
+ Td p
Ti p
Action/
P
Paramètres
PI
série
PI
parallèle
PID
série
PID
parallèle
PID
Mixte
K
Kcr/2
Kcr/2.2
Kcr/2.2
Kcr/3.3
Kcr/1.7
Kcr/1.7
Ti
Maxi
T/1.2
2T/Kcr
T/4
0.85T/Kcr
T/2
Td
0
0
0
T/4
T*Kcr/13.3
T/8
Chap. 5/28
Limites de la régulation PID : Prédicteur de Smith
)Cas d’un procédé avec retard
C
Process
Régulateur PI
E
WR ( p )
u
K0
e −τ . p
1 + T0 p
M
(-)
¾ Soit un régulateur de fonction de transfert
Alors
⎛ 1 + Ti p ⎞ TP
⎟⎟e
WR ( p ) = ⎜⎜
⎝ Ti p ⎠
si on pose : Ti = T0 , T = τ
1
Wf ( p ) =
1+
1
T0
p
K R K0
Régulateur irréalisable car on ne peut pas technologiquement réalisé
exp(TP) car elle signifie que l’n connaît par avance le signal de sortie
du module avant d’avoir exécuté une variation d’entré.
Chap. 5/29
Limites de la régulation PID : Prédicteur de Smith
) Conclusion
¾ Avec un régulateur PI et PID, il est impossible de réaliser une régulation
convenable dés que l’on est en présence de procédés possédant un
retard important ou un ordre élévé.
) Remède
¾ Réaliser une régulation qui exclut le retard pur ou l’ordre n de la boucle
de régulation
C
E
WR ( p )
u
K 0 Mi
1 + T0 p
e −τ . p
u
K 0 Mi
1 + T0 p
K0
1 + T0 p
(-)
C
E
(-)
WR ( p )
M
Exclure le retard pur
K0
1 + Tn p
M
Exclure l’ordre n
Chap. 5/30
Prédicteur de Smith
)Hypothèses sur le modèle du procédé
¾ FT connue et de la forme :
G( p) =
Ko −τp
e
= G1 ( p ).e −τp
1 + TP
)Structure de la régulation
C
E
C ( p)
u
(-)
G1(p)
K 0 Mi
1 + T0 p
e −τ . p
M
C(p): Compensateur recherché
Chap. 5/31
Prédicteur de Smith
)Objectifs
¾ assurer les performances de base (stabilité, rapidité et précision) par une
approche directe basée sur la connaissance d’une fonction de transfert
du procédé.
) Principales difficulté de la régulation des procédés retardés
¾ Problèmes de stabilité à cause du retard
¾ Temps dev réponse du système en BF
¾ Le temps de retard est incompressible car il dépend
é
de la position du
capteur
)Alors :
¾ Il faut anticiper l’effet du retard pour le compenser d’où le nom
« PREDICTEUR » et réduire la constante du temps T
Chap. 5/32
Synthése du compensateur de Smithrrecteur
)1. On fait abstraction du retard, autrement dit, on le considère
extérieur à la boucle (Système S1).
¾ On détermine alors un régulateur R classique (par ex. un PI) pour corriger
la partie dynamique G1(p)=Ko/(1+Top) du modèle global G(p) .
C
E
(-)
R( p )
u
G1(p)
K 0 Mi
1 + T0 p
e −τ . p
M
S1
S1
⎛ 1 + Tip ⎞
R ( p ) = Kr ⎜
⎟
⎝ Tip ⎠
)Puisque le retard est à l’extérieur de la boucle on peut choisir
par exemple Ti pour compenser To et Kr pour diminuer le temps
de réponse en BF
Chap. 5/33
Calcul de C(p)
)2. On va chercher le compensateur C(p) qui inclut R(p) et qui
permet de compenser le retard (Système S2
S2 )
C
E
C ( p)
u
((-))
S2
G1(p)
K 0 Mi
1 + T0 p
e
−τ . p
M
)Comment ?
¾ En considérant que S1 et S2 sont équivalents : on identifie la FTBF de S1
à celle de S2
Chap. 5/34
Principe Prédicteur de Smith : Calcul de C(p)
) Principe
¾ Chercher un compensateur C(p) tel que les deux systèmes S1 et S2
soient équivalents :.
C
E
R( p )
u
()
(-)
C
E
G1(p)
K 0 Mi
1 + T0 p
K0
1 + T0 p
C ( p)
(-)
GBF 1( p ) ≡ GBF 2 ( p ) ⇒ C ( p ) =
M
e −τ . p
e −τ . p
GBF 1( p ) =
M
R
(
1 + RG 1 1 − e −τp
R ( p ).G1 ( p )
.e −τp
1 + R ( p ).G1 ( p )
GBF 2 ( p ) =
C ( p ).G1 ( p ) e −τp
1 + C ( p ).G1 ( p ) e −τp
)
Chap. 5/35
Synthèse de C(p)
)Schéma équivalent
C ( p) =
R
(
1 + RG1 1 − e −τp
)
C(p): Prédicteur de Smith
C
G1(p)
E
(-)
R( p )
(-)
u
G (p): Procédé
K0
e −τp
1 + T0 p
M
(1 − e −τp )G1( p)
Chap. 5/36
C(p): Prédicteur de Smith
C
G1(p)
E
R( p )
(-)
(-)
E1
E2
u
(-)
Mc
F(p)
E2
Compensateur
⎛ 1 − e −τp ⎞
⎟
K0 ⎜
⎜ 1 + T0 p ⎟
⎝
⎠
Process
K0
e −τ . p
1 + T0 p
⎛ 1 + Ti p ⎞
⎟⎟
K R ⎜⎜
⎝ Ti p ⎠
E1
Σ
K0
e −τp
1 + T0 p
M
(1 − e −τp )G1( p)
R(p)
C
G (p): Procédé
M
Wo(p)
Wc(p)
Chap. 5/37
Synthèse du correcteur de Smith
)Conclusions le prédicteur de Smith est parfaitement déterminé
si l’on connaît
¾ une fonction de transfert du procédé
¾ un régulateur R adapté à la dynamique du procédé (hors retard).
)Autrement dit, l’ensemble des paramètres de ce compensateur
est constitué par :
¾ ceux du procédé (K0, T0 et le retard τ)
¾ ceux du régulateur R(p) (Kr et Ti)
)Remarques
¾ Pas de problèmes de stabilité en théorie, mais en pratique la
simplification ne conduit pas exactement à un système du 1er ordre
¾ Inconvénient de la méthode
¾ Le régulateur ne capte pas la mesure mais le signal compensé
Chap. 5/38
COMMANDE A L’AIDE DE L’ANALYSE
FREQUENTIELLE
Chap. 5/39
SYNTHÈSE DES RÉGULATEURS À
L’AIDE L’ABAQUE DE BLACK
40
PASSAGE DE LA CHAINE OUVERTE A LA CHAINE FERMEE
) Développement
) Problématique
W f ( jω ) =
Soit donnée la F.T. en état ouvert Wou(jω)
Comment reproduire la F.T. en état fermé Wf(jω)
→
W ou ( j ω )
1 + W ou ( j ω )
→
→
→
CA = CO + OA = 1 + OA
→
) Schémas
W f ( jω ) =
Im
C(-1,
( 1 j0)
ϕ’
→
OA
1 Re
0
β
W ou ( j ω )
OA
= →
1 + W ou ( j ω )
CA
ϕ
W f ( jω ) =
α
→
Wf(jω)
A
→
CA
α
→
arg( W f ( j ω )) = arg( OA ) − arg( CA ) = ϕ − ϕ ' = α
ϕ − ϕ '= α ?
β = π − ϕ . α + ϕ '+ β = π ⇒ α = ϕ − ϕ '
A’
arg(Wf ( jω)) = OAˆ C = α
Wou(jω)
Chap. 5/41
) Conclusions
Pour représenter un point A’ (du lieu en BF) correspondant à A (en BO) il suffit de calculer le
rapport des distances de A aux point 0 et C(C(-1) et mesurer l’angle OAC
) Points particuliers du lieu de
transfert Wf(jω)
Im
α
ω → 0 ⇒ Wou ( jω ) >> 1 ⇒ W f ( jω ) → 1
Re
Le lieu en état fermé est voisin de l’unité aux basses
fréquence et nul aux fréquences élevées.
ωR
MR
Wou ( jω )
1 + Wou ( jω )
ω → ∞ ⇒ Wou ( jω ) >> 0 ⇒ W f ( jω ) → 0
1
0
ϕ
W f ( jω ) =
Le lieu en état fermé présente généralement une
amplitude maximale, (un pic de résonnace Mr(ω))
pour une fréquence ωR : (voir système du 2ème ordre)
Chap. 5/42
SYNTHÈSE DES RÉGULATEURS À L’AIDE L’ABAQUE DE BLACK
) Problématique
¾ Soit donné un système à commander de transmittance G(p) fixe et
commandé par un correcteur de transmittance K (gain variable) : il faut
calculer k permettant d’assurer en boucle fermée certaines performances.
C
E
+
W f ( p) =
KW ou ( p )
1+ KW ou ( p )
G(p)
K
M
M
C
Wf(p)
M
E
C
t
Chap. 5/43
)PARAMÈTRES DE PERFORMANCES FRÉQUENTIELLES
¾ Rappel sur les performances temporelles (temps de réponse,
amortissement …)
9 Erreur statique minimale, temps de réponse acceptable, 1er dépassement <20%,
)PERFORMANCES TEMPORELLES ET FRÉQUENTIELLES
¾ Pourquoi un système du 2ème ordre ?
¾ Paramètres :
D =
ymax − 1
= e
1
−
ξπ
1−ξ 2
π
temps d' établissement ( K = 1)
ω
dA(ω )
K
Résonnance :
,
= 0 ⇒ω R =ωn . 1− 2ξ 2 avecξ <0,7, Amax =
dω
2ξ . 1− 2ξ 2
te =
t pr ≅
3
ξ ωn
Chap. 5/44
) Relation bande passante BP :temps de réponse
¾ Pour des réponses fréquentielles sans résonance, plus leur BP est large,
meilleur est le temps de réponse
t pr ≈
π
ωc
Chap. 5/45
) Qualité de régulation : coefficient de qualité Q
Q = 2π
Energie emmagasinée
Energie dissipée en une période
) Pour une système du deuxième ordre
Q=
1
2ξ
Amax
1
=
A(0) 2ξ 1 − ξ 2
Pour ξ <<< 1 ⇒ Q =
1
Amax
=
2ξ
A0
Chap. 5/46
) Conclusion
¾ Dans un système de commande on fonctionnera en régime de
résonnance qui dépend du coefficient d’amortissement ξ
¾ Valeurs recommandées : 0.4< ξ<0.75
ξ = 0.4 ⇒ Amax = 2.7db
ξ = 0.5 ⇒ Amax = 3db
Chap. 5/47
)Exemple de performances imposées
¾ Le pic de résonance MR doit en pratique se trouver à l’intérieur d’un
domaine donné
1,2 < MR < 1,5
soit MR ≅ 2,3db (20log(1.3)= 2,3 dB)
PS : Cette valeur assure un taux d’amortissement acceptable et
un bon temps de réponse sans dépassement excessif.
) Résumé
5
ξ [-]
tpr [s] 30
D [%] Ψ [-] -
2
1
0,7
0,5
0,343 0,30 0,22 0,11 0,01 0
12
4,75 4
0,9
2,8
4
8
11
15
30
300
-
-
1
4,5
17
30
38
50
70
95
-
-
1
0,998
0,973 0,9
∞
100
0,87 0,75 0,41 0,13 00
Chap. 5/48
Abaque de Hall
W ou ( j ω )
W f ( jω ) =
1 + W ou ( j ω )
W ou ( j ω ) = Re( ω ) + j . Im( ω ) ⇒ W f ( j ω ) =
Re + j . Im
1 + Re + j . Im
) Module en boucle fermée M
2
=M 2 =
R e2 + I m2 =
R e2 + I m2
(1 + R e2 ) + I m2
2
⎛
M2 ⎞
M2
⎜⎜ Re
⎟ + I m2 =
R +
2
M 2 − 1 ⎟⎠
⎝
M 2 −1
(
)
⎧
M2
, y1 = 0
⎪ Re 1 = − 2
⎪
M −1
⎨
M
⎪R =
⎪⎩ 1
M 2 −1
Famille de courbes pour
# valeurs de M et α
donne ABAQUE DE
HALL
W f ( jω )
) Phase en boucle fermée N=tg(α)
N = tg α =
Im
Re( 1 + Re) + Im 2
2
2
1⎞
1 ⎞
N2 +1
⎛
⎛
⎟ =
⎜ Re + ⎟ + ⎜ Im −
2⎠
2N ⎠
4N 2
⎝
⎝
1
1
⎧
Re = − , y 2 =
⎪⎪ 2
2
2N
⎨
⎪ R2 = 1
N2 +1
⎩⎪
2N
Chap. 5/49
Abaque de Hall
Phase
Module
Chap. 5/50
APPLICATION DE L’ABAQUE DE HALL
)PROBLEME 1 : Construire à partir du lieu en état ouvert
K.Wou(jω) les courbes d’amplitude et de phase en état fermé :
K.
Af(ω) et ϕf(ω)
)Démarche
¾ 1. On porte sur l’abaque de Hall le lieu de Nyquist K.Wou(jω) obtenue par
le diagramme
g
de Bode ou par
p calcul
¾ 2. Rechercher les intersections de ce diagramme avec les courbes à
modules constants et avec les courbes à phases constantes
¾ 3. Ces points d’intersection permettent de tracer Af(ω) et ϕf(ω)
Chap. 5/51
Exemple
Af(ω)
4
Im
M=2
α=-120°
M=1.2
1.2
ω=5
ω
ω=1
ω=2
ω=5
ω=2
ω=5
ω=2
α(ω)
α=-40°
ω=1
M=4
Wou(jω)
ω
-40
ω
-170
Chap. 5/52
W ou ( p ) =
K
p .(1 + p )(1 + 0 . 5 p )
4.2
K=2
Im
M=2
Af(ω)
1.8
α=-120°
M=1.2
K=1
1
K=0.5
Re
ω
α(ω)
0.4
0.8
1.2
ω
α=-40°
K=2
K=1
K=0.5
K=2
K=1
K=0.5
On construit d’abord le lieu pour K=1, puis on déduit
par homothétie les autres
K
MR Wr (rd/s)
0.5
1
0.4
BP
(rd/s)
1
1
1.8
0.8
1.5
2
4.2
1.2
2
MR correspond à Amax
Chap. 5/53
)PROBLEME 2 : On connaît la fonction de transfert à commander
en état ouvert Wou(jω) et on cherche :
¾ un K (le gain du correcteur) permettant d’obtenir un pic de résonance
d’habitude Mp=1.3 soit 2.3db .
¾ Pourquoi Mp=1.3 ? : La marge de phase, la marge de gain et le coefficient
d’amortissement sont compatibles avec un fonctionnement stable
)DEMARCHE
¾ Solution 1 : par tâtonnement On trace initialement le lieu K.Wou(jω) pour
K=1, puis on trace par homothétie K.Wou(jω) (pour # valeurs de K)
jusqu’à obtenir un lieu tangent au cercle M=1.3
¾ Solution 2 : Méthode directe
Chap. 5/54
) 2. Méthode graphique
1. Si l’on mène la tangente OD à l’un des
cercle du faisceau à module constant
R=
M
M 2 −1
d =
sin(θ ) =
M
M 2 −1
H
0
OH = d − R sin(θ ) =
θ
A
1
R 1
=
⇒ θ = arcsin( )
d M
M
M2
1
−
=1
M 2 −1 M 2 −1
D
Le point H doit coïncider avec le
point critique (-1,j0)
T
Chap. 5/55
)Etapes
¾ On trace Wou(jω)
¾ On trace une droite OT faisant l’angle θ=arc sin(1/M)
¾ On construit par tâtonnement un cercle dont le centre est usr l’axe réel,
et qui soit tangent à OT et au lieu Wou(jω)
¾ Du point tangence D, on méne la perpendiculaire à l’axe réel.
¾ Si le gain était bien réglé alors H devrait coïncider avec le point (-1, j0)
¾ Pour obtenir ce résultat on est amené aa faire une homothétie dont le
rapport donne la valeur de K soit K=1/OH
Chap. 5/56
EXEMPLE
) Calculer la valeur optimale K, ainsi que la pulsation de
résonance en BF
C
E
+
K
1
p .(1 + p )(1 + 0 . 5 p )
M
-
Chap. 5/57
)Solution sur le plan de Nyquist
¾ 1. Calcul de l’angle θ
1
1
=
= 0 . 77 ⇒ θ = arc (sin( 0 . 77 ) = 50 °
M 1 .3
sin( θ ) =
Pour M= 1.3
¾ 2. On trace la droite OT (angle θ) et la courbe Wou(jω)
¾ 3.On construit par tâtonnement le cercle centré sur ox tangent à OT et à Wou(jω)
¾ 4. On mène DH ⊥ Axe réel
¾ 5. On détermine graphiquement OH=-0.16
¾ 6.
6 O
On calcule
l l K =1/
1/ 0
0.16=6.25
16 6 25
¾ 7. On calcule la fréquence de résonance qui correspond au point de tangence du cercle M=1.3
avec le lieu de Nyquist : ωr=0.5rd/s
0.8
M=cste
-0.40 -0.16
0
H
A
50°
ωr=0.5rd/s
D
0.3
T
Chap. 5/58
)Opération sur l’abaque de Black : Avantages
¾ Sur Bode : Toute modification de gain sur Bode se traduit par une simple
translation de la courbe d’amplitude L(ω)
¾ Sur Nyquist : Toute modification de gain sur Bode se traduit par une
homothétie
Chap. 5/59
Détermination des régimes du système en BF
)1. ETUDE EN REGIME STATIQUE
Wou( p ) =
Cas 1 : Système en BO stable
K
n
∑a p
i =0
i
i
Im
C(-1, j0)
0
ω=∞
Wou(jω)
Wou(0)
Wf(0)
A0
ω= 0
Wf(jω)
Le point A0 (Wou(0)) est à
distance finie K sur l’axe réel
W f (0) =
A0 0
A0 0
W ou ( 0 )
K
=
=
=
A0C 0 C + A0 0 1 + W ou ( 0 ) 1 + K
A’
A
→
OA
W f ( jω ) =
Re
Pour ω =0
→
CA
W f (0) =
A0 0
K
=
A0C 1 + K
Erreur statique
ε (∞) =
e0
1+ K
Chap. 5/60
Wou( p ) =
Cas 2 : Système en BO instable
1
n
p ∑ ai p i
Système astatique
i =1
Im
C(-1, j0)
Wou(0)
0
ω= 0
ω=∞
Re
Le point A0 (Wou(0)) est à
distance finie K sur l’axe réel
Wf(jω)
Wou(jω)
ω = 0 A0
→
Pour ω =0
OA
W f ( jω ) =
W f (0) =
→
M0 ∞
=
=1
∞
MC
CA
Erreur statique
W f (0) = 1
ε (∞) = 0
Chap. 5/61
)ETUDE EN REGIME DYNAMIQUE
¾ But : obtenir un régime en résonance : Ce régime se produit à la ou aux
fréquences auxquelles le lieu Wou(jw) est tangent à une cercle du
faisceau OA/AC=λ=cste.
¾ Le coefficient de résonance Q correspondant est donné par la cste du
cercle = λ
Si A a pour affixe Wou(jω)
On a : λ =module de Wf(jω)
Im
0
C(-1,j0)
Re
ωR
OA/AC=λ
OA/AC=
λ=cste
A
Wou(jω)
W f ( jω ) =
Résonance
OA
= max
OC
Chap. 5/62
)Présentation dans l’abaque de Black
Contour de
black λ=2.3db
A (db)
MP
C(-180°)
0
Phase (°)
ωR
MG
Wou(jω)
)Influence de la position de Wou(jω)
¾ Plus il s’approche du point C, moins le système est amorti
¾ S’il passe par C, le système pompe (1+ Wou(jω)=0)
¾ S’il dépasse C, le système est instable
Chap. 5/63
)Remarque : fréquence de résonance et fréquence propre du
système en BO
Im
0
C(-1,j0)
Re
ωR
Fréquence propre en
boucle fermée
Wou(j
(jω)
ωR1
Fréquence propre en
boucle ouverte
Chap. 5/64
Chapitre 6 : PROJET D’UN SYSTEME DE REGULATION INDUSTRIELLE
Objectifs du chapitre :
) Maîtriser sur un exemple concret (un four tubulaire) :
‹ Les étapes de réalisation d’un projet de régulation,
‹ la présentation d’un cahier de charge,
‹ comment identifier un processus,
‹ l’analyse et la synthèse d’un SRA surtout en régulation (par rapport à la perturbation),
‹ examiner l’influence des action P, I et D ainsi que d’un régulateur tout ou rien sur la dynamique
du SRA,
‹ comment régler les paramètres d’un régulateur,
‹ observer les limites d’une régulation PID lorsque le système présente un retard pur important,
‹ introduction des notions de la régulation avancée.
P.S. Les résultats sont simulés à l’aide du logiciel Matlab-Simulink, les schémas de simulation
sont donnés à chaque analyse.
Chap. 6/1
6.1. Etapes de réalisation d’un projet d’un SRA
CAHIER DE CHARGE: objectifs
E/S
Déf. du process et des objectifs
Lois physiques, bilan, hypothèses
Modèle de connaissance
ANALYSE
coonnaissance
Planification des expériences
Acquisition de données
Connaissance à priori
Choix de la structure du modèle
Estimation des paramètres
Oui
Logistique
actionneurs, régulateurs,
transmetteurs...
Synthèse de régulation
SYNTHESE
commande
Ch i d
Choix
du critère
itè d’id
d’identité
tité
Non
adéq.
Modèle de conduite
Simulation
Validation sur site
Réalisation définitive
Chap. 6/2
6.2. Définition du processus et des entrées-sorties
AR
1
Conigne Tc
-
TT
1
THS
1
FI
1
Ts-Tc
Ts
Pétrole chauffé
Pétrole brut
TRC
1
FR
Air (O2)
PR
1
AR
2
U
FVC
Gaz
Chap. 6/3
6.2.2. Définition des entrées-sorties
)Schéma fonctionnel du système de régulation
Qp(t)
ΔT
Tc
-
REGULATEUR
U
CONDUITE
DE PETROLE
-
x
CONDUITE
DE GAZ
VANNE
Pg
g
Ts1
FOUR
O
Manu..
Ts
Auto.
TRANSMETTEUR ET CEP
DE TEMPERATURE
CAPTEUR
DE TEMPERATURE
Chap. 6/4
Définition des entrées-sorties (E/S):
) On définit d’abord les entrées-sortie : les variables à régler, réglantes et de
perturbations
¾ Ts(t) - Grandeur de sortie ( température à la sortie - c'est la grandeur à régler ), Valeurs
maximales et minimale de la variation de température : Tsmax = 170°c, Tsmin=20 °c ; Tso Valeur nominale de la température le fonctionnement Tso = 80 °C
¾ Pg (t) - Grandeur d'entrée ( pression du gaz combustible - Grandeur réglante ); Valeurs
maximales et minimale de la variation de la pression du gaz combustible : Pgmax = 5 bars,
Pgmin = 0bar ; Pgo - Valeur nominale de la pression du gaz combustible Pgo = 2 bars ;
¾ Qp - Débit du pétrole à l'entrée (perturbation); Débit nominale du pétrole à l'entrée : 20 m3 /s
; Qpmax = 30 m3 /s Qpmin =10 m3 /s . Il existe aussi d’autres perturbations (pouvoir
calorifique du gaz, température ambiante etc...) que nous considérons comme constantes.
¾ x : déplacement du clapet de la vanne [0 à 6mm]
¾ U : sortie du régulateur pneumatique [0,2-1bar]; valeur nominale (0,6 bar)
6.2.3. Influence des perturbations
)Influence des perturbations :
¾ Grâce à la propriété de superposition des systèmes linéaires, on peut étudier
séparément l’influence des perturbations et de la commande sur la sortie du système.
Ici pour simplifier la démarche on analyse uniquement une seule perturbation, celle du
débit d’entrée du pétrole.
¾ 1. En boucle ouverte (sans correction) : La sortie subit l’influence de la commande
(ici en manuelle) et celle de la perturbation (Qp(p)) avec un signe (-)
( ) car l’augmentation
l augmentation
du débit provoque la diminution de la température (le produit arrive à un température
plus basse que celle du four)
Qp(p)
Wz(p)
-
G(p)
+
Ts(p)
U(p)
Ts ( p )=U ( p ). G ( p )−Qp ( p ).Wz ( p )
Chap. 6/6
6.2.3. Influence des perturbations
) 2 En boucle fermée (avec correction)
Qp(p)
Wz(p)
(-)
Ts(p)
Tc(p)
C(p)
U(p)
G(p)
(+)
(-)
Ts( p ) = Tc( p).
Wz( p )
C ( p).G ( p )
− Qp( p )
1+C ( p ).G ( p)
1+C ( p).G ( p )
6.3. Cahier de charge
) Comment choisir le cahier des charges
¾ Le point de départ de n'importe quel projet est le cahier de charge. Pour
un système de régulation, les spécifications restent souvent vagues en
raison surtout de la grande diversité de problèmes de régulation. Les
critères qualitatifs à imposer dépendent d’abord de la nature du
processus à régler. A titre d’exemple, on ne peut imposer aveuglément un
processus transitoire rapide ou un taux d’amortissement de 0,75 pour
n’importe quel système. En effet l’asservissement d’un ascenseur (qui
nécessite un confort pour les passagers) ne tolère pas par exemple
d’accélération . Les dépassements de la pression régulée dans un
réacteur nucléaire ne doivent pas atteindre les seuils limites de tarage
des soupapes de sécurité etc...
Chap. 6/8
6.3. Cahier de charge
) Les critères de performances classiques
¾ Stabilité :
‹ Cette condition est impérative mais avec une certain degré de stabilité (marge de sécurité). En
général on impose une marge de gain de 2 à 2.5 . L’utilisateur parle en terme de «pompage».
¾ Précision :
‹ L’exploitant demande à ce que le système possède une bonne précision en régime permanent d’où
une nécessite de mettre un PI régulateur ou d’afficher un gain important dans le cas d’un P
régulateur.
¾ Rapidité
‹ On demande en pratique que le système soit capable rapidement de compenser les perturbations et
de bien suivre la consigne.
¾ Dépassement :
‹ En général on recommande un SRA dont le régime transitoire soit bien amorti et dont le
dépassement ne dépasse pas 5 à 10% la valeur nominale.
) Dans notre cas
¾ on exige à ce que la température de sortie soit égale à celle de consigne et que les
perturbations soient entièrement compensées. Le régime transitoire doit être assez rapide
en raison de la grande inertie du four et bien amortie (5 à 10)
Identification des processus
) Définition :
¾ L’identification d’un système c’est la détermination de son modèle
mathématique sur la base des observations expérimentales entréessorties. Le traitement mathématique des réponses graphiques du
système est appelé IDENTIFICATION. Le modèle obtenu est dit de
conduite ou de représentation
) Principe
1. Étape qualitative : Sur la base d’une connaissance à priori du système à
identifier, on fixe une structure du modèle comportant des coefficients
inconnus.
2. Étape quantitative : Elle consiste à la détermination des coefficients inconnus
du modèle de façon que la différence entre les N sorties réelles du système et
celles du modèle soit minimale selon un critère donné qu’on résout par un
algorithme d’identification.
∑
∑
S i w (p ) =
a i p i
b i p i
N
, D é te rm in e r
a i , b i
te l
q u e
∑ (Y s ( i ) − Y m ( i ) )2
⇒
m in im a le .
i = 1
Identification des processus
) 3. Vérification du modèle :
PROCESS
m a x ( Y s (i) - Y m (i) ) < 5 %
sortie process
Ys(t)
Entrées
x(t)
+
ε
Algorithme
go t e
d’identification
MODELE
-
sortie modèle
∑ ai p i
W( p) =
∑ bi p i
a 0 , a 1 ,.... b 0 , b1 ,.....
Ym(t)
6.4.3. Problématique pour le système étudié
) Logistique
Qp
Wz(p)
ΔT
Tc
-
U
C(p)
-
Wv(p)
x
Pr
Wcg(p)
Wf(p)
Ts1
+
Manu..
Ts
Wct(p)
Auto.
)Déterminer les fonctions de transfert :
U(p)
Wv(p)
Wct(p)
Wf(p)
Wcg(p)
?
Qp(p)
Wz(p)
Ts(p)
Ts(p)
U(p)
?
G(p)
Ts(p)
6.4.4. Identification d’un élément de premier ordre
) Expérimentation
Dans ce cours, nous utiliserons les méthodes de base. Nous appellerons les méthodes de base
d'identification , les méthodes s'appuyant sur les propriétés graphiques des réponses fondamentales
(indicielle harmonique et impulsionnelle). Ces méthodes sont très utilisées par les spécialistes de
régulation et des servomécanismes car elles fournissent un précision suffisante et ne nécessitent pas
l'utilisation d'un outil mathématique compliqué. On peut traiter aussi bien la réponse indicielle,
impulsionnelle qu'harmonique, mais l'un des signaux d'excitation le plus fréquent a mettre en oeuvre est
l'entrée en échelon. L'amplitude de l'échelon doit être choisie telle que le système ne sorte pas du
domaine linéaire d'une part et les observations mesurables d'autre part
) Méthodologie
1. Dans un système de régulation en fonctionnement, le correcteur est d'abord mis en fonctionnement
manuel. On attend que le système soit bien stabilisé
2. On applique au système un signal en échelon de + ou - 10% de la valeur nominale de fonctionnement (afin
de ne pas trop perturber le système ) L'échelon d'entrée peut représenter le déplacement du clapet de la
vanne . La réponse est enregistrée à la sortie du transmetteur dont la vitesse du déplacement du papier
diagramme doit être choisie de façon que la réponse soit exploitable . Le modèle de conduite ( ou la
fonction de transfert ) à déterminer du traitement de la réponse graphique décrit l'ensemble des systèmes
( vanne, objet, capteur, transmetteur)
)Expérimentation
SYSTEME A IDENTIFIER
SALLE DE CONTROLE
C
PROCESS
10 %
VANNE
REGULATEUR
TRANSMETTEUR
CAPTEUR
6.4.5. Identification de la fonction de transfert par rapport à la perturbation
) Identification de Wz(p) : Expérimentation
Qp(t)
[m3/s]
95
Ts(t)
[°c]
23
Δ Qp = 3m3 / s
Qp(p)
Wz(p))
ΔTs = 15°c
90
?
20
Ts(p)
85
t
80
0
5
T=10
15
20
10
25
30
35
t (main.)
6.4.5. Identification de la fonction de transfert par rapport à la perturbation
)Étape qualitative : structure du modèle
Wz( p ) =
K
1 + TP
)Etape quantitative : calcul des paramètres du modèle
K=
Δ Ts
15° c
=
= 5.[ ° c / m3 / s ]
Δ Qp 3 m3 / s
Wz( p ) =
T = 10 min
K=
gain relatif
5( °c / m3 / s )
1 + 10 p
Δ Ts
15
Δ Ts max 170 − 20
= 0,66
=
3
Δ Qp
Δ Qpmax 30 −10
Wz( p) =
066
,
1 + 10p
C. Vérification du modèle
¾ On détermine alors l’erreur relative maximale qui doit être inférieure à 10%.
Notons qu’en général il est commode de prendre un gain unitaire (cela n’influe
pas évidemment sur le résultat). Pour avoir la sortie en °c on multiplie par la
valeur maximale soit 150°c
t
⎛
− ⎞
⎧ 0 ,15 0 ,66 ⎫
Tm( t ) = L− 1 ⎨
.
⎬ = 0 ,15 * 0 ,66 ⎜⎜ 1 − e 10 ⎟⎟ [ − ]
⎩ p 10 p + 1 ⎭
⎝
⎠
t [min]
Ts(t) °c
0
80
80
0
3
84,35
83,89
0,46
6
87,60
86,77
Tm(t) °c
0,83
9
89,60
88,90
0,7
12
90,95
90,48
0,47
15
92,30
91,65
0,65
18
92,70
92,52
0,18
21
93,5
93,16
0,35
24
93,88
93,63
0,25
27
94,5
93,99
0,51
30
94,6
94,25
0,35
33
95,00
94,44
0,56
t ⎞
⎛
−
Tm( t ) = 0 ,15 * 0 ,66 * 150 ° c ⎜ 1 − e 10 ⎟ + 80 ° c [ ° c ]
⎜
⎟
⎝
⎠
abs(Tm-Ts)
95
Ts(t)
Tm(t)
Ts(t)
Tm(t)
Emax=0.83/15
=5.53%
90
85
80
0
5
10
15
20
25
30
35
6.4.6. Méthode de Broîda : Identification de la dynamique du four
) 1. Identification de G(p) : Expérimentation
Ts
U
G(p)
100
Us(t)
100%
1 bar
60%
0,68bar
Ts(t)
96
ΔU =10%
50%
0,6bar
0%
0,2bar
courbe expérimentale
p
Ts(t)
()
92
ΔTs = 20°c
88
84
t
t1 =6 min, t2 = 9min
80
10
t1
20
30
40
50
60
U
K
.e − τ p
1 + Tp
Ts
70
t (min.)
t2
K , T et τ ?
80
Principe de la méthode Broîda
) principe
La méthode de Broîda est une méthode d'identification en boucle ouverte
d'une réponse indicielle expérimentale qui consiste a assimiler la fonction
de transfert d'un système d'ordre n à celle du premier ordre affectée d'un
retard pur
K
.e − τ p
1 + Tp
)Le problème d'identification :
¾ déterminer les paramètres suivants T, Constante du temps (sec.), :
Temps de retard pur (sec.) :
Calcul des paramètres du modèle de Broîda
) Méthodologie
¾ Broîda fait correspondre la réponse indicielle à identifier et la fonction de
transfert du 1er ordre affectée d'un retard en deux points t1 et t2
d'ordonnées correspondant à 28% et 40% de la valeur finale de la sortie
du système.
t
⎧
−
⎪⎪1 − e T = 0 ,28
⇒ T = 5 ,5(t 2 − t 1 )
⎨
t
−
⎪
⎪⎩1 − e T = 0 ,40
(t − τ )
⎧
−
T
⎪1 − e
= 0 ,28
⇒ τ = 2 ,8 t 1 − 1 ,8 t 2
⎨
(t − τ )
−
⎪
T
1
−
e
= 0 ,40
⎩
1
1
1
2
)Paramètre du modèle
τ = 2 ,8 * 6 − 1 ,8 * 9 = 0 ,6 m in , T = 5 ,5 . (9 − 6 ) = 16 ,5 m in
K =
Δ Ts
20
Δ T s m a x 17 0 − 2 0 1 3 ,3 %
=
=
= 1 ,3 3
ΔU
0 ,0 8
10%
1 − 0 ,2
Δ U m ax
) Modèle final
6.4.7. Modèle du système global à commander
U
100%
Ts(t)
Tm(t)
60%
Δ U = 10%
50%
Système réel
Ts(t)
Ts(t) : Sortie système
U(t)
1.33
G( p)=
(1+16,5p)(1+0,6 p)
Tm(t)
Tm(t) : Sortie modèle
0
Qp(p)
ΔT
Tc(p)
-
C( p )
U(p)
G( p) =
0
Wz( p ) =
133
,
20
40
60
80
0 ,66
1 + 10 p
(1 + 165, p)(1+ 06, p)
+
-
Ts(p)
100
6.5. Synthèse du système de régulation continue
6.5.1. Schéma fonctionnel du système à réguler
)
ΔT
Tc(p)
U(p)
PID
Qp(p)
G( p) =
Wz( p ) =
0 ,66
1 + 10 p
+
+
133
,
Ts(p)
(1 + 16,5p)(1 + 06, p)
-
6 5 2 Schéma de simulation sur Matalab-simulink
6.5.2.
Matalab simulink : Afin d’analyser
d analyser aussi l’influence
l influence du retard sur les performances
du système, on insère sur le schéma de simulation un bloc de retard pur (Transport delay).
Remarque : Le bloc PID controller MASK Controller est donné sous forme : P+I/s+Ds où P est le gain Kr, I le temps
d’intégration Ti et D l’action dérivée Td alors que s est l’opérateur de Laplace. Si on souhaite afficher les paramètres du
régulateur série de fonction de transfert donnée sous la forme C(p) = Kr[1+1/(Ti.p) + Tdp] alors P correspond à Kr, I
correspond à Kr/Ti, et D correspond à Kr*Td.
)
1
10s+1
Conduite
pétrole
Perturbation
Z
Consigne
C
+
Sum
P ID
PID Controller
Transport
Delay
Grap
+
+
Sum1
1.33
9.9s 2+17.1s+1
FOUR+vanne
Chap. 6/22
6.5.3. Analyse du système en boucle ouverte (sans régulation)
¾ Nous noterons le paramètre à régler (la température) par M, sa consigne Tc par C et l’échelon de la perturbation par Z0.
Analysons les réponses indicielles du système par rapport à la consigne et à la perturbation en boucle ouverte. Il suit de ces
réponses que les temps de réponse sont importants (51,33min.), que la perturbation n’est pas éliminée et l’erreur statique (MC) est de 57% (1,33/(1,33+1)*100%=57%) d’où une nécessité de régulation.
Réponse en BO de la température
par rapport à la perturbation
1.5
M
Réponse en BO de la température
par rapport à la consigne
1.5
M
Z0
C
0.5
0.5
tpr = 30min.
tpr = 51,3min. =3(T1+T2)
0
0
20
Time (min.)
40
0
60
0
20
40
60
Time (min.)
80
100
6.5.4. Objectifs de la régulation
1. Eliminer les perturbations (ici le débit du produit à chauffer), mais aussi toutes les perturbations en réalité, puisque
elles agissent toutes sur la sortie
2. «Bien» suivre la consigne , «bien», cela signifie sans trop de dépassement (5 à 10%), un systéme rapide, une
erreur statique nulle et surtout un système en boucle fermée assez stable (MG=2 par exemple)
Chap. 6/23
6.5.5. Régulation continue (PID)
1. P- régulateur : Pour avoir l’action P, on affiche sur le logiciel I=0 ce qui correspond à Ti infini et Td (D)=0.
)
Dans ce cas nous avons en boucle fermée un système du deuxième ordre, nous avons intérêt à prendre un gain qui
nous assure un bon amortissement (voir chapitre 3, page 111) .
Wou( p ) =
Kr * 1,33
1
. Pour avoir ξ = 0 ,7 =
, on choisit
9 ,9 p 2 + 17 ,1 p + 1
2
Kr * 1,33 =
a12 − 2a0 a 2
, soit : Kr = 10 ,352
2a 2
Rappelons que ai sont les coefficient du système en boucle ouverte.
valeur optimale Kr=10.352
M
1.5
Influence du gain sur la réponse
M
C
Kr=50
0.8
C
Kr=10,352
0.6
Kr=5
0.4
0.5
0.2
0
)
0
2
4
6
Time (min.)
8
10
0
0
10
20
Time (min.)
30
40
Remarque : Ce cas est en réalité trivial, car le système est absolument stable (les coefficients étant positifs), on affiche donc un gain
assez fort sans vraiment être inquiété par l a stabilité du système. Par contre , l’erreur est inévitable, si les dépassements ne sont pas
néfastes pour le système, on affiche une bande proportionnelle minimale. On fait remarquer que le gain Kr=50 est fantaisiste car, dans les
régulateusr industriels une BP correspondante soit de 0.2% (1/50) n’est pas affichable (en général la plage est de 3 à 500%).
Chap. 6/24
2. PI régulateur
¾ Analysons l'influence de l’action intégrale sur la stabilité : Fixons Kr=1 et varions Ti et observons la
réponse du SRA par rapport à la perturbation (régulation) et à la consigne (poursuite).
Poursuite
2
Poursuite
2
1.5
C
C
0.5
0
En augmentant Ti, le
système devient plus stable
mais moins «agile».
Ti=0,4min
-1
-2
-0.5
-1
1
0
200
400
Time (min.)
600
0
20
40
60
Time (min.)
80
100
Régulation
Régulation
Z0
Ti=2min
0
Z0
1
élimination de la perturbation
0.5
Ti=2min
0.5
Ti=0,4min
C
C
élimination de la perturbation
-0.5
-0.5
-1
-1
0
200
400
0
20
40
60
Time (min.)
Time (min.)
80
100
Chap. 6/25
3. PID (Influence de l’action dérivée en régime de régulation)
Manipulation : Amenons d’abord le système en régime d’instabilité en augmentant par exemple le gain
ou en diminuant Ti : Soit (Kr=2 Ti = 0,4min , Td=0) ), puis introduisons l’action dérivée et analysons son
influence sur la stabilité. Toutes les courbes représentent les réponses du SRA par rapport aux
perturbations.
)
M 3
M Z0
Le système avec PI est
instable, J’introduis
alors l’action D,
il se stabilise.
Td=0
Ti=0,4
Kr=2
2
Z0
Td=0,8
0.1
Ti=0,4
Kr=2
C
C
-1
-0.1
-2
-3
0
200
400
-0.2
600
Time (min.)
0
200
400
Time (min.)
Z0
Z0
Ti=0,4
Kr=2
0.05
Td=5
le système se stabilise,
ce qui me permet
d’augmenter le gain Kr
Ti=0,4
Kr=10
Td=5
0.05
C
C
-0.05
-0.05
-0.1
-0.1
0
50
100
Time (min.)
150
0
10
20
30
40
50
Time (min.)
Chap. 6/26
6.5.6. Régulation discontinue ( tout ou rien)
Analysons l’influence de la zone morte d’un relais sur la précision et la stabilité du SRA. On remarquera sur les
résultats de simulation ci-dessous qu’il existe un dilemme zone morte (dead zone) - stabilité, précision ; Si le relais
(régulateur tout ou rien) ne possède pas une zone morte, le SRA est précis, mais introduit des auto-oscillations
(nuisibles pour la vanne). Si par contre, on introduit une zone morte importante, le pompage disparaît mais la précision
est mauvaise.
1
10s+1
Conduite
pétrole
Perturbation
Z
Consigne
C
+
Sum
Relay Dead Zone
Graph
Transport
e ay
Delay
1.33
9.9s 2+17.1s+1
FOUR+vanne
+
+
Sum1
M
M
J’introduit une zone
morte au relais
C
0.8
0.6
commande avec relais
0.4
idéal (sans zone morte)
commande avec relais
le pompage disparaît
mais l’erreur de réglage
augmente
0.2
0
0
200
400
600
C
800
t (min.)
0.5
0
0
réel (avec zone morte)
200
400
600
800
t (min.)
Chap. 6/27
6.5.7. Réglage du correcteur
1. Méthode théorique - Compensation des constantes de temps du système par un PID
)
Les méthodes théoriques nécessitent toutes un modèle, c’est pourquoi leur efficacité dépend de la précision du modèle
appliqué. Aussi, leur utilisation reste très limitée dans l’industrie. Ces méthodes sont nombreuses, appliquons à titre
d’exemple, la méthode de compensation. Nous avons vu au chapitre 4 page 135 qu’il était possible de choisir les
valeurs des paramètres du régulateur de façon à compenser les constantes de temps du four.
¾ Valeurs des paramètres du régulateur
Réponse par rapport à la perturbation en BF
du système compensé
Z0
Ti=17.1
Kr=10
td=0,5789
0.05
Remarque :
Il est évident que la compensation des paramètres
du système dans la pratique n’est pas aussi évidente
qu’en simulation, car, le modèle n’est pas toujours
exact et de plus les coefficients du modèle varient
constamment dans les conditions réelles de
fonctionnement : Il suffit par exemple que
le dépôt de coke soit plus important par suite d’une
mauvaise combustion du gaz que le coefficient
d’échange de chaleur (paramètre du modèle) varie etc...
)
C
0
10
20
30
Time (min.)
40
50
Chap. 6/28
Influence du temps de retard sur la stabilité du système
Limite du PID et de la régulation classique
¾ Introduisons un retard pur dans le système à commander. Analysons l’influence de ce temps de retard pur sur la stabilité du
système. Le schéma de simulation est donné plus loin. La fonction de transfert du four devient :
Z0
Z0
τ = 0 ,2
Ti=0,4
Kr=10
td=5
τ = 0 ,3
J’augmente le retard pur
dans le système,
Ti=0,4
Kr=10
td=5
C
C
-0.03
0
10
20
30
Z0
10
20
30
40Time (min.)
Z0
τ = 0 ,32
Ti=0,4
Kr=10
td=5
on est contraint de diminuer,
le gain Kr et le temps Ti
au sacrifice d’autres performances
C
-0.5
-0.03
0
40Time (min.)
Ti=6
Kr=1
td=5
C
τ = 0 ,32
d’où les limites de la
régulation PID.
0
10
20
Time (min...)
30
0
10
20
30
40
50
Time (min.)
Chap. 6/29
2. Méthode pratique de réglage du régulateur en boucle fermée
On introduit un retard pur au système (sinon le système ne sera jamais en régime de pompage). Sur le schéma de
simulation sur Simulink du SRA , on met le correcteur en action P (Ti=max, Td=0 ou I=0, D=0 sur le PID controller de
Simulink) et on augmente le gain jusqu'à apparition du pompage, on fixe alors le gain critique Kcr et la période de
l’auto-oscillation puis on détermine les paramètres du régulateur par la méthode de Ziegler et Nichols en sachant que
le PID est de type série ( voir tableau, page 138).
0.66
10s+1
Conduite pétrole
Perturbation
Z0
+
Sum
Consigne
C
PID
PID controller
Retard
=0 32
=0.32
Obtention du régime de pompage
M
Réponse indicielle en BF du PID
M
Kcr=44,20
T=2,857min
T
2.5
paramètres affichés
Kcr
= 13 ,39
3 ,3
T
Ti = = 0 ,71
4
T
Td = = 0 ,71
4
1.5
C
0.5
0
5
10
15
t (min.)
Paramètre affichés
Ti=0,71
Td=0,71
Kr=13,39
2.5
Kr =
2
0
Graph
M
+
+
Sum1
1.33
9.9s 2+17.1s+1
FOUR, Vanne
2
1.5
C
0.5
0
0
2
4
6
t(min.)
Chap. 6/30
6.6.Notion de régulation avancée
)
Limite de la régulation PID
¾
¾
)
Régulation prédictive (feedforward control):
¾
)
Lorsque la régulation classique PID est incapable de stabiliser ou de réguler le processus, on doit ou bien changer la structure du système
de commande ou proposer d’autres algorithmes de commande plus sophistiqués. Ces méthodes sont communément appelées méthodes
avancées de régulation.
La liste des méthodes modernes de réglage (commande floue, par réseaux de neurones, horizon infini etc...) est exhaustive mais ces
méthodes restent pourtant encore du domaine de la recherche. Il est important de souligner que pratiquement toutes ces méthodes
nécessitent un modèle ce qui évidemment limite leur utilisation à des systèmes simples ou de structure rigide tels que les systèmes
mécaniques (robotique et aviation). En génie des procédés, on utilise surtout les méthodes classiques que nous venons de voir. Le présent
cours est limité uniquement à la régulation monovariable , nous citerons toutefois pour information le principe des quelques méthodes les
plus simples : cascade, prédictive et auto adaptative.
Ce mode de réglage
g g dit aussi de compensation
p
de p
perturbation ou à boucle combinée p
permet , d’éliminer l'effet de la p
perturbation
principale (débit du produit à chauffer) avant qu’elle ne se répercute sur la variable à régler (la température) d’où un effet de prédiction.
Cette régulation ne prend en compte qu’une seule perturbation, c’est pourquoi une telle commande est justifiée si la perturbation est bien
localisée et qu’en plus elle subit des variations brutales et importantes. Le principe simple, consiste à déterminer et de réaliser la
transmittance du compensateur Wc(p) de façon que l’effet de Qc(p) sur Ts(t) soit nulle.
Régulation autoadaptative :
¾
Nous avons vu que la régulation PID a ses limites lorsque les temps de retard sont importants ou lorsque les perturbations sont trop
grandes. Les paramètres optimaux à afficher du régulateur dépendent évidemment du modèle or, dans les processus réels (surtout en
génie des procédés), les caractéristiques physiques changent en permanence. A titre d’exemple, une vitesse de réaction chimique dépend
d’abord de l’état du catalyseur, les constantes de temps dans les fours dépendent du dépôt de coke dans les tubes etc... L’idée de la
régulation auto adaptative est alors de calculer en temps réel le modèle du processus à commander (par des algorithmes appropriés) et de
déterminer les paramètres ou la structure du régulateur numérique en fonction du critère d'optimalité imposée. Il est clair que dans ce
cas les régulateurs sont numériques. A cet effet on excite le processus par un ensemble d’impulsions (qu’on appelle Séquences Binaires
Pseudo Aléatoire SBPA) et on traite les sorties correspondantes pour déterminer le modèle par des algorithmes de type moindres carrées
de récursifs.
6.7 Quelques principes de régulation avancée
Régulation en cascade
Régulation prédictive
Produit à chauffer
Produit à chauffer
Ts
FR
Air (O2)
Fc
-
Ts
FT
1
⊗
FRC
Gaz
⊗
-
⊗
∑
Wc(p)
TRC
Gaz
Tc
-
TRC
Régulation auto adaptative
identification temps réel
critère d’optimalité
calculateur
Produit à chauffer
Air (O2)
FR
Gaz
Ts
⊗
-
Tc
régulateur numérique
auto ajustable
Chap. 6/32
Tc
Chap.7
COMMANDE NUMERIQUE
Chap7. Asservissement et commande numérique
Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama , Polytech’Lille
Chap.7/2
COMMANDE NUMERIQUE: pourquoi?
)Régulation continue :
9 apparition en 1840 (Watt) encore très utilisée
)Régulation numérique
9 Depuis 1959 (commande d ’une unité de polymérisation Texaco de Port
Artur, Texas), Depuis 1959 (commande d ’une unité de polymérisation
Texaco de Port Artur,, Texas),),
) Limites de la régulation analogique
9 Manque d’auto-adaptivité
ƒ Les paramètres du correcteur continu ne sont pas évolutifs
9 Transmission sensibles aux bruit
9 Précision faible
9 Programmation des algorithmes figée (peu flexible)
9 Archivage des données inexistant (nécessite des CAN)
9 Temps de réponse lent (contrôleur pneumatique, analogique ,…)
9 Difficulté de mise en œuvre des algorithmes de commande avancée (retour d’état,
observateur …)
Chap7. Asservissement et commande numérique
Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama , Polytech’Lille
Chap.7/3
Régulation numérique : Eléments constitutifs
C +
M
E
Un
CNA
Ua
PROCESS
Y
(-)
CAN
CAPTEUR
TRANSMETTEUR
CNA : Convertisseur Numérique Analogique
CAN : Convertisseur Analogique Numérique
1
Chap7. Asservissement et commande numérique
Chap.7/4
Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama , Polytech’Lille
Avantages d’une commande numérique
)Avantages
9 Informations numériques transmises peu sensibles au bruit
9 Elaboration de consignes sous forme de programmes (missiles, machine
outils, …)
p
des pparamètres de réglage
g g ((régulateur
g
auto-adaptatifs)
p
)
9 Calcul optimal
9 Gestion des alarmes, autodiagnostic
9 Commande embarquée
9 Gestion statistique des données
9 Programmation simple des actions P, PI, PID
9 Programmation des commandes avancées
9 faible coût et leurs performances nettement supérieures à celles des
régulateurs analogiques
Chap7. Asservissement et commande numérique
Chap.7/5
Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama , Polytech’Lille
Inconvénients d’une commande numérique
)Inconvénients
9 Temps de calcul en temps réel
9 Nécessité de CAN et de CNA (car les actionneurs ont analogiques) dans
la boucle numérique
p réel difficile à mettre en œuvre : le temps
p de calcul des
9 Le temps
paramètres de réglage doit être inférieur au temps de réponse des
éléments de la boucle.
9
Chap7. Asservissement et commande numérique
Chap.7/6
Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama , Polytech’Lille
Rôle d’un calculateur
)Fonctions d'un calculateur dans une commande numérique
9 Un calculateur peut être : microprocesseur, ordinateur, microcalculateur
9 Calculer en fonction de l’algorithme des actions de commande vers
l’actionneurs via le CNA
9 Enregistrer
g
l’évolution des variables du pprocédé en temps
p réel
9 Afficher le suivi du procédé : gestion des alarmes et des consignes
9 Aide à l’opérateur pour la prise de décision en situation d’alarmes
2
Chap7. Asservissement et commande numérique
Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama , Polytech’Lille
Chap.7/7
Mise en oeuvre
Consigne
discrétisée
+
Calculateur
numérique
Modèle
échantilloné
Procédé
CNA
CAN
Continu
Sortie
discrétisée
Horloge
9 La consigne est spécifiée numériquement.
9 L’erreur consigne-sortie discrétisée est traitée par un calculateur numérique.
9 Ce calculateur généret une séquence de nombre. A l’aide d’un convertisseur numérique
analogique (CNA), cette séquence est convertie en un signal analogique qui est maintenu
constant entre des instants réguliers par un bloqueur d’ordre zéro (BOZ). L ’ensemble
CNA-BOZ est appelé échantillonneur Bloqueur.
9 Ces instants espacés régulièrement sont appelés instants d’échantillonnage et
sont définis par une horloge de synchronisation
Chap7. Asservissement et commande numérique
Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama , Polytech’Lille
Chap.7/8
DEFINITIONS
)Echantillonnage
9 Un signal continu f(t) est remplacé par une suite discontinue de ses
valeurs f(nTe) aux instants d’échantillonnage t=nTe (n=0,1,2,…) où Te est
la période d’échantillonnage.
f(t)
Signal continu
f*(t)
Signal discret (suite d’échantillons)
Echantillonnage
CAN
Te
1Te 2Te 3Te 4Te 5Te 6Te
t(s)
Chap7. Asservissement et commande numérique
t(s)
Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama , Polytech’Lille
Chap.7/9
Définitions
)Quantification
9 Après avoir échantillonné, on quantifie l ’amplitude du signal par un
nombre fini de valeurs codées en général en binaire.
Les données sont représentées sur un calculateur dans un certain format
f*(t)
f(t)
Echantillonneur
t(s)
f(t)
Te
f*(t)
t(s)
3
Chap7. Asservissement et commande numérique
Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama , Polytech’Lille
Chap.7/10
Définitions
)Erreur associée à la quantification
9 = bruit de quantification
)Reconstruction (CNA)
9 consiste à élaborer un signal analogique à partir d’une suite de nombres
)Discrétisation
Di éti ti (CAN)
9 Découpage temporel du signal
Chap7. Asservissement et commande numérique
Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama , Polytech’Lille
Chap.7/11
Bloqueur
)Reconstitution du Signal continu: Bloqueur d ’ordre zéro (BOZ)
9 Le bloqueur d ’ordre zéro (BOZ) a pour action de maintenir constante et
égale à f(nTe) l ’amplitude de l ’impulsion entre les instants nTe et (n+1)Te.
f(t)
Signal continu
Signal reconstitué
f*(t)
CNA
BOZ
1Te 2Te 3Te 4Te 5Te 6Te
t(s)
Chap7. Asservissement et commande numérique
t(s)
Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama , Polytech’Lille
Chap.7/12
Outil mathématique
) Description d’un signal échantillonné
9 On définit le signal échantillonné par la suite en k : {f(K)}={f(KTe)}
Te
f*(t)
f(t)
∞
f * (t ) = ∑ f ( nTe )δ (t − nTe )
n=0
Transformée de Laplace
∞
F * ( p) = ∑ f (nTe )e − nTe p
n=0
4
Chap7. Asservissement et commande numérique
Chap.7/13
Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama , Polytech’Lille
Théorème de Shannon
On échantillonne un signal continu de fréquence f 0 pour différentes fréquences d ’échantillonnage fe
fe=8f0
Fréquence d’échantillonnage fe=8f0
Le signal continu se retrouve dans la
séquence échantillonnée.
CAN
fe=4f0
Le signal continu se retrouve dans la
séquence échantillonnée.
CAN
Le signal continu ne se retrouve plus
dans la séquence échantillonnée.
fe=2f0
CAN
Théorème de Shannon
Chap7. Asservissement et commande numérique
f e > 2 f max
Chap.7/14
Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama , Polytech’Lille
Théorème de Shannon (suite)
)Importance
9 Ce théorème très utile donne précisément la fréquence à laquelle il faut
échantillonner un signal losqu'on le numérise.
)Enoncé
9 la fréquence dd'échantillonnage
échantillonnage doit être au moins égale au double de la
fréquence du signal analogique. Si l'on se situe sous cette limite
théorique, il y a perte d'information dans le signal.
9 Pour ne pas perdre d'information dans un signal la distance entre deux
échantillons doit être inférieure à la demi-période du signal.
9 Pour ne pas perdre de détail dans une image, la taille des pixels doit être
moins de la moitié du plus petit détail de l'image.
Chap7. Asservissement et commande numérique
Chap.7/15
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Théorème de Shannon (suite)
) Exemples
9 dans l'audio : pour F < 20 kHz (son Hi-Fi), Fe = 44,1 kHz
9 voix humaine en téléphonie : pour F < 3400 Hz, Fe = 8 kHz.
5
Chap7. Asservissement et commande numérique
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Chap.7/16
Choix en pratique de la période d’échantillonnage
)La fréquence d’échantillonnage ne doit pas être trop faible (elle
doit au moins :
9 respecter le théorème de Shannon). Elle ne doit pas être trop élevée
non plus pour éviter le r isque de faire apparaître des zéros instables.
g générale,
g
, on peut
p utiliser les bornes :
9 En règle
0.25 τ < Te < τ
τ : constante de temps du procédé 1er ordre
ƒ Pour un deuxième ordre
0.25< Te.Wn < 1.5
Wn : pulstation propre du système
Chap7. Asservissement et commande numérique
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Chap.7/17
Choix de la période d’échantillonnage
CHOIX DE LA PERIODE D ’ECHANTILLONNAGE POUR LA
REGULATION DES PROCESS
TYPE DE VARIABLE OU
PPROCESS
PERIODE
D ’ECHANTILLONNAGE (en s)
DEBIT
1-3
NIVEAU
5-10
PRESSION
1-5
TEMPERATURE
10-45
DISTILLATION
10-180
ASSERVISSEMENTS
0,001-0,1
REACTEURS CATALYTIQUES
10-45
CIMENTERIES
20-45
SECHAGE
20-45
Chap7. Asservissement et commande numérique
Chap.7/18
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Mise en oeuvre (Filtrage et multiplexage des signaux analogiques
) Schéma de principe d’une boucle de traitement numérique
Grandeur physique
Capteur
Amp
li
Filtrage
Echantillonneur
bloqueur
CAN
Partie opérative
Unité de
traitement
CNA
Ampli
.
Filtrage
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Chap7. Asservissement et commande numérique
Chap.7/19
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exemple
Chap7. Asservissement et commande numérique
Chap.7/20
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Rôle des éléments de la boucle numérique
)Capteur
9 Transforme l’énergie en une grandeur physique mesurable. Il est
l’interface entre le monde physique et le monde électrique. Il va
délivrer un signal électrique image du phénomène physique que l’on
souhaite numériser. Il est toujours associé à un circuit de mise en
forme.
)Amplificateur
9 Cette étape permet d’adapter le niveau du signal issu du capteur à la
chaîne globale d’acquisition.
)Filtre
9 Ce filtre est communément appelé filtre anti-repliement. Son rôle est de
limiter le contenu spectral du signal aux fréquences qui nous intéressent.
Ainsi il élimine les parasites. C’est un filtre passe bas que l’on caractérise
par sa fréquence de coupure et son ordre.
Chap7. Asservissement et commande numérique
Chap.7/21
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Rôle des éléments de la boucle numérique
)Echantillonneur bloqueur
9 Son rôle est de prélever à chaque période d’échantillonnage (Te) la valeur
du signal. On l’associe de manière quasi-systématique à un bloqueur. Le
bloqueur va figer l’échantillon pendant le temps nécessaire à la
conversion. Ainsi durant la phase de numérisation, la valeur de la tension
de l’échantillon reste constante assurant une conversion aussi jjuste qque
possible. On parle d’échantillonneur bloqueur.
)CAN
9 Il transforme la tension de l’échantillon (analogique) en un code binaire
(numérique).
)CNA
9 Il effectue l’opération inverse du CAN, il assure le passage du numérique
vers l’analogique en restituant une tension proportionnelle au code
numérique.
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Chap7. Asservissement et commande numérique
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Chap.7/22
Rôle des éléments de la boucle numérique
) Filtre de sortie
9 Son rôle est de « lisser » le signal de sortie pour ne restituer que le signal utile. Il a les mêmes
caractéristiques que le filtre d’entrée.
) Amplificateur de sortie
9 Il adapte la sortie du filtre à la charge.
) Performances globale de la chaîne d’acquisition
9 Fréquence de fonctionnement : C’est le temps mis pour effectuer les opération de :
ƒ Echantillonnage (Tech) , Conversion (Tconv et Stockage (Tst)
) temps minimum d’acquisition
9 la somme de ces trois temps :
Tacq = Tech + Tconv + TSt ⇒ Fmax =
1
Tech + Tconv + TSt
) Résolution de la chaîne
9 La numérisation d’un signal génère un code binaire sur N bits. On obtient donc une précision de
numérisation de 1 2N%. Il faut donc que tous les éléments de la chaîne de conversion aient au moins
cette précision. On leur demande en général une résolution absolue de (0.5*1 2N%).
Chap7. Asservissement et commande numérique
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Chap.7/23
Acquisition
) Multiplexeur Acquisition séquentielle décalée
9 L’acquisition décalée e se base sur l’utilisation en amont d’un multiplexeur qui va orienter un
capteur vers la chaîne unique d’acquisition
CAN
Echantillone
eurBloqueurr
MULTIPLEX
XEUR
CAPTEU
URS
0101101
Séquenceur
9 Avantages : Economique
9 Inconvénients : décalage dans le temps des acquisitions. On réservera donc cette structure
ne nécessitant pas une synchronisation entre les données numérisées. Temps d’acquisition
complet est à proportionnel au nombre de capteur.
Chap7. Asservissement et commande numérique
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Chap.7/24
Acquisition
)Acquisition séquentielle simultanée
E/B 2
Capteur n
E/B n
CAN
Capteur2
Echantilloneur-Bloqueur (E/B))
E/B 1
MULTIPLEXEU
UR
Capteur1
0101101
Séquenceur
9 Avantages : Economique moyen, acquisitions synchrones
9 Inconvénients : un E/B pour chaque capteur. Temps d’acquisition
complet est à proportionnel au nombre de capteur.
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Chap7. Asservissement et commande numérique
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Chap.7/25
Acquisition
)Acquisition parallèle
Capteur1
E/B 1
CAN1
0101101
Capteur2
E/B 2
CAN1
0101101
Capteur n
E/B n
CAN1
0101101
9 Avantages :
ƒ les conversions simultanées, Acquisition d’une donnée pendant que l’on en stocke
une autre, gain de temps sur l’acquisition complète.
9 Inconvénients
ƒ Coût élevé
Chap7. Asservissement et commande numérique
Chap.7/26
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Transformées en z
)Définition
9 du point de vue numérique, à la suite de nombre f(0), f(Te), …., f(nTe)
constituant le signal numérique, on peut faire correspondre la série :
∞
F ( z ) = ∑ f (nTe ) z −n
n =0
=0
9 du point de vue continu : Soit F*(p) la transformée de Laplace du signal
échantillonné
∞
F *( p) = ∑ f (nTe )e− nTe p
n=0
Chap7. Asservissement et commande numérique
Chap.7/27
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Transformée en z
)Transformée en z
9 La transformée en z d'un signal f(t) est obtenue en remplaçant exp(Tep) par la
variable complexe z dans la formule précédente
∞
F *( p) = ∑ f (nTe )e −nTe p
∞
F ( z ) = ∑ f (nTe ) z −n
n= 0
n =0
0
)Exemples de calcul de transformée en z par la définition
f (t ) = e − at
∞
f (nTe ) = e − anTe
∞
1
z
F(z) = ∑e−anTe z−n = ∑ −aT −1 =
ez
z −e−aTe
n=0
n=01− e
9
Chap7. Asservissement et commande numérique
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Chap.7/28
Bloqueur d’ordre zéro
) Fonction de transfert d’un bloqueur d ’ordre zéro (BOZ)
9 Il a pour action de maintenir constante et égale à f(nTe) l ’amplitude de l ’impulsion entre
les instants nTe et (n+1)Te.
9 Sa FT Bo(p) est la transformée de Laplace de sa réponse impulsionnelle
δ (t
()
s(t )
δ (t )
s (t )
Bo(p)
t
T
t
Γ(t ) : signal de saut
s(t ) = Γ(t ) − Γ(t − T ) ⇒ s ( p ) = Γ( p ) − Γ( p )e −TP = Γ( p )(1 − e −TP ) =
1
s( p )
1
(1 − e −TP ) ⇒ Bo( p) =
=
δ ( P ) p(1 − e −TP )
p
Chap7. Asservissement et commande numérique
Chap.7/29
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Tableau des transformée en z
Chap7. Asservissement et commande numérique
Chap.7/30
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Système discret
) Définition
9 Le modèle ne fait intervenir que que les variables des séquences d’entrée-sortie u(k) et y(k) .
u(k )
Bo(p)
y (k )
a0 y ( k ) + a1 y ( k − 1) + ...a n y ( k − n ) = b0 u ( k ) + b1u( k − 1) + ...bm u ( k − m )
a0 y ( k ) = − a1 y ( k − 1) − ...an y ( k − n ) + b0u( k ) + b1u( k − 1) + ...bm u( k − m)
9 Cette formulation de l’équation récurrente est bien adaptée au calcul numérique. C’est la
forme sous laquelle seront présentées les algorithmes de commande des procédés. Le
système est entièrement défini et l’équation peut être résolue en connaissant les CI :
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Chap7. Asservissement et commande numérique
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Chap.7/31
Synthèse d’un régulateur Numérique
) Transposition à l’analogique
9 Dans l’industrie on transpose souvent les méthodes analogiques au numérique pour la
synthèse des PID numériques car ces techniques sont bien maîtrisés et les systèmes réels
ont continus
) Démarche : Etapes par un exemple
Le correcteur a été calculé en continu
C(t)
C ( p) =
1 + 0.53 p
1 + 0.21 p
G( p) =
5
p (1 + p )
Pour assurer un MP de 45°
M(t)
(-)
Chap7. Asservissement et commande numérique
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Chap.7/32
Synthèse d’un régulateur Numérique
)Approximation de la variable de Laplace p
9 Objectif est de déduire à partir de C(p) continu un correcteur équivalent discret
Rd(z)
C(k)
M(t)
Rd (z )
G( p) =
Bo ( p )
(-)
z = eTP ≈ 1 + TP ⇒ p =
z
z −1
(1 − z −1 ) =
Te
Te
p=
Approximation de Tustin
5
p(1 + p )
M(k)
Te
Approximation d’Euler
z
2 z − 1⎞
(1 − z −1 ) = ⎜⎛
⎟
Te
Te ⎝ z + 1 ⎠
Chap7. Asservissement et commande numérique
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Chap.7/33
Synthèse d’un régulateur Numérique
)Régulateur discrétisé avec Tutsin
Rd ( z ) = ) =
1.89 z − 1.06
z − 0.17
)Prise en compte de la FT du bloqueur
9 Pris comme un retard pur d’une ½ période d’échantillonnage
9 LA FT du système à Commander sera alors
G ( p )1 = G ( p ).e
−
Tp
2 =
Tp
−
5
e 2
p (1 + p )
)Synthèse du correcteur discret
9 Le retard pur introduit par la bloqueur nécessite un nouveau calcul des
paramétres du correcteur analogique
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Chap7. Asservissement et commande numérique
Chap.7/34
Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama , Polytech’Lille
Synthèse d’un régulateur Numérique
)Nouveau correcteur calaculé pour G1(p)
C ( p) =
1 + 0 .6 p
1 + 0 .1 p
)Correcteur discrétisé
Rd ( z ) =
3z − 1.8
z + 0 .2
)Simulation du système sur Matlab Simulink
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