МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Российский химико-технологический университет
имени Д. И. Менделеева
СБОРНИК ЗАДАНИЙ ПО ВЫСШЕЙ
МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ
САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
СТУДЕНТОВ
ТОМ I
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
ФУНКЦИЙ ОДНОЙ И НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ.
ЭЛЕМЕНТЫ АЛГЕБРЫ.
ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
И СИСТЕМЫ. РЯДЫ
Утверждено Редакционным советом
университета в качестве учебного пособия
Москва
2019
УДК 517 (075)
ББК 22.161.1
С23
Авторы: Е. Г. Рудаковская, В. В. Осипчик, О. В. Аверина, Т. Ф. Бурухина,
К. А. Иншакова, М. А. Меладзе, Е. Ю. Напеденина, Ю. Т. Напеденин,
В. Л. Орлова, Т. В. Ригер, А. Н. Шайкин
Рецензенты:
Доктор физико-математических наук, профессор Российского
государственного социального университета
М. А. Чахкиев
Доктор технических наук, профессор Российского химикотехнологического университета имени Д. И. Менделеева
Т. Н. Гартман
Сборник заданий по высшей математике для самостоятельной
С23 работы студентов: в 2-х томах: учеб. пособие. Т. I.
Дифференциальное и интегральное исчисление функций одной и
нескольких переменных. Элементы алгебры. Обыкновенные
дифференциальные уравнения и системы. Ряды / Е. Г. Рудаковская,
В. В. Осипчик, О. В. Аверина, Т. Ф. Бурухина, К. А. Иншакова,
М. А. Меладзе, Е. Ю. Напеденина, Ю. Т. Напеденин, В. Л. Орлова,
Т. В. Ригер, А. Н. Шайкин; под ред. Е. Г. Рудаковской. – М.: РХТУ
им. Д. И. Менделеева, 2019. – 224 с.
ISBN 978-5-7237-1702-2
В сборнике заданий по высшей математике для самостоятельной работы студентов
подобраны задачи и примеры, охватывающие все разделы программы по дисциплине
«Математика» в соответствии с ФГОС 3 поколения. По каждому разделу приведены
варианты типовых заданий с подробным решением, содержащим основные определения,
формулы, алгоритм решения конкретной задачи и ответ, а также 30 вариантов
индивидуальных заданий.
Предназначено для самостоятельной работы студентов с целью закрепления
полученных навыков и подготовки к контрольным работам, зачетам и экзаменам.
УДК 517 (075)
ББК 22.161.1
ISBN 978-5-7237-1702-2 (Т. I)
ISBN 978-5-7237-1701-5
© Российский химико-технологический
университет им. Д. И. Менделеева, 2019
Оглавление
ВВЕДЕНИЕ ................................................................................................................................. 4
1. ЗАДАНИЯ ПО ТЕМЕ: ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ
ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ .. 5
ПРИМЕРНЫЙ ВАРИАНТ ЗАДАНИЙ С РЕШЕНИЕМ ................................................................................................... 5
ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ (1–30) ................................................................... 13
2. ЗАДАНИЯ ПО ТЕМЕ: ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ
ПЕРЕМЕННОЙ ........................................................................................................................ 32
ПРИМЕРНЫЙ ВАРИАНТ ЗАДАНИЙ С РЕШЕНИЕМ ................................................................................................. 32
ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ (1–30) ................................................................... 38
3. ЗАДАНИЯ ПО ТЕМЕ: ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ
МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ ..................................................................................................... 49
ПРИМЕРНЫЙ ВАРИАНТ ЗАДАНИЙ С РЕШЕНИЕМ ................................................................................................. 49
ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ (1–30) ................................................................... 55
4. ЗАДАНИЯ ПО ТЕМЕ: ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ МНОГИХ
ПЕРЕМЕННЫХ ........................................................................................................................ 73
ПРИМЕРНЫЙ ВАРИАНТ ЗАДАНИЙ С РЕШЕНИЕМ ................................................................................................. 73
ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ (1–30) ................................................................... 82
5. ЗАДАНИЯ ПО ТЕМЕ: ЭЛЕМЕНТЫ АЛГЕБРЫ: ВЕКТОРЫ. АНАЛИТИЧЕСКАЯ
ГЕОМЕТРИЯ. МАТРИЦЫ.................................................................................................... 110
ПРИМЕРНЫЙ ВАРИАНТ ЗАДАНИЙ С РЕШЕНИЕМ ...............................................................................................110
ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ (1–30) .................................................................120
6. ЗАДАНИЯ ПО ТЕМЕ: ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ПЕРВОГО ПОРЯДКА............................................................................................................ 148
ПРИМЕРНЫЙ ВАРИАНТ ЗАДАНИЙ С РЕШЕНИЕМ ...............................................................................................148
ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ (1–30) .................................................................159
7. ЗАДАНИЯ ПО ТЕМЕ: ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ВТОРОГО ПОРЯДКА. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ .............. 178
ПРИМЕРНЫЙ ВАРИАНТ ЗАДАНИЙ С РЕШЕНИЕМ ...............................................................................................178
ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ (1–30) .................................................................185
8. ЗАДАНИЯ ПО ТЕМЕ: ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ ....................... 202
ПРИМЕРНЫЙ ВАРИАНТ ЗАДАНИЙ С РЕШЕНИЕМ ...............................................................................................202
ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ (1–30) .................................................................208
3
ВВЕДЕНИЕ
В сборнике заданий по высшей математике для самостоятельной работы
студентов приведены задачи и примеры, охватывающие все разделы
программы по дисциплине «Математика»: элементы алгебры, включающие
векторы, аналитическую геометрию, матричное исчисление; предел функции,
дифференциальное исчисление функции одной переменной, исследование
функции; интегральное исчисление функции одной переменной, приложения
определенного интеграла; дифференциальное исчисление функции многих
переменных; интегральное исчисление функции многих переменных; ОДУ I
порядка и задачи, приводящие к составлению ОДУ; ОДУ II порядка и системы
ДУ; числовые и функциональные ряды; теория вероятностей; математическая
статистика; уравнения в частных производных.
В каждом разделе подобраны типовые примеры и задачи, для решения
которых студент должен владеть основными понятиями и теоремами курса, а
также прочими навыками, полученными на семинарских занятиях под
руководством преподавателя.
Настоящее пособие предназначено для самостоятельной работы
студентов с целью закрепления полученных навыков и подготовки к
контрольным работам, зачетам и экзаменам.
Для этого в каждом разделе приведен вариант типовых заданий по
высшей математике для самостоятельной работы студентов с подробным
решением, содержащим основные определения, формулы, алгоритм решения
конкретной задачи и ответ. После чего предложены 30 вариантов
индивидуальных заданий для каждого студента учебной группы. Это
позволяет повысить эффективность самостоятельной работы студентов очного
отделения, а также помогает в освоении курса студентами заочного отделения.
Задания по высшей математике для самостоятельной работы студентов,
приведенные в настоящем сборнике, апробированы в течение ряда лет на
кафедре высшей математике РХТУ им. Д. И. Менделеева. Они содержат как
оригинальные примеры и задачи авторов, так и типовые задачи из известных
пособий, таких как: Демидович Б.П. «Сборник задач и упражнений по
математическому анализу», Минорский В.П. «Сборник задач по высшей
математике», Данко П.Е. и др. «Высшая математика в упражнениях и
задачах», Филиппов А.Ф. «Дифференциальные уравнения», Гмурман В.Е.
«Теория вероятностей и математическая статистика», а также из учебнометодических пособий, созданных на кафедре высшей математики РХТУ им.
Д. И. Менделеева.
4
1.
ЗАДАНИЯ
ПО
ТЕМЕ:
ПРЕДЕЛ
ФУНКЦИИ.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ
ПЕРЕМЕННОЙ. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ
Примерный вариант заданий с решением
Найти предел функции:
3
5𝑥 3 −2𝑥 2 + 2√𝑥 2 − 4
1. lim
𝑥→∞ 3𝑥 − 4𝑥 2 −8𝑥 3 + 3𝑥 √𝑥
𝑥 2 − 4𝑥 + 3
2. lim
𝑥→3 4 − √5𝑥 + 1
3. lim (√𝑥 2 + 3𝑥 − 2 − √𝑥 2 − 2𝑥 + 3)
𝑥→∞
2
3𝑥 + 4𝑥 − 4
𝑥→−2 16 − 2𝑥 − 5𝑥 2
4. lim
5.
lim (𝑥 2 − 16) ∙ ln(4 − 𝑥)
𝑥→4−0
4𝑥 + 11 5−8𝑥
6. lim (
)
𝑥→∞ 4𝑥 + 17
tg 9𝑥
7. lim (sin 3𝑥)
𝑥→+0
𝑒 5𝑥 − cos 3𝑥
8. lim
𝑥
𝑥→0
arcsin
2
Продифференцировать функцию:
2𝑥
9. 𝑦 = (3ctg 5 − tg 4
10. 𝑦 =
3
) ∙ log 2 (3𝑥 − 5); 𝑦 ′ −?
2√ 𝑥
cos √3𝑥+arccos(2𝑥−1)
tg(2−5𝑥 2 )
; 𝑑𝑦−?
11. Составить уравнение касательной к графику функции 𝑦 = 4𝑥 − 3𝑥 2 + 2,
перпендикулярной прямой 𝑥 − 2𝑦 + 5 = 0.
12. Показать, что функция 𝑦 = 4𝑒 −2𝑥 sin 4𝑥 является решением
дифференциального уравнения 𝑦 ′′ + 4𝑦 ′ + 20𝑦 = 0.
13. Тело движется вдоль оси Ox по закону 𝑥(𝑡) = 𝑡 3 + 2𝑡 2 + 5𝑡. Найти
скорость и ускорение в момент времени 𝑡 = 2.
14. Исследовать функцию 𝑦 =
𝑥3
𝑥 2 −4
и построить ее график.
Решение
3
5𝑥 3 − 2𝑥 2 + 2√𝑥 2 − 4
разделим числитель
∞
=
[
]
=
|
|=
и знаменатель дроби на 𝑥 3
𝑥→∞ 3𝑥 − 4𝑥 2 − 8𝑥 3 + 3𝑥 √𝑥
∞
2
2
4
5 − + 23 − 3
𝑥 𝑥 √𝑥 𝑥
5
= lim
=− .
4
3
𝑥→∞ 3
8
− −8+
2
𝑥
𝑥
𝑥 √𝑥
1. lim
5
домножим числитель и знаменатель
дроби
|=
на сопряженное выражение
(𝑥 − 3)(𝑥 − 1) ∙ (4 + √5𝑥 + 1)
= lim
=
𝑥→3 (4 − √5𝑥 + 1) ∙ (4 + √5𝑥 + 1)
(𝑥 − 3)(𝑥 − 1) ∙ (4 + √5𝑥 + 1)
= lim
=
𝑥→3
(16 − 5𝑥 − 1)
(𝑥 − 3)(𝑥 − 1)
= lim(4 + √5𝑥 + 1) ∙ lim
=
𝑥→3
𝑥→3
15 − 5𝑥
(𝑥 − 3) ∙ (𝑥 − 1)
𝑥−1
16
= (4 + √16) ∙ lim
= 8 ∙ lim
=−
𝑥→3
𝑥→3 −5
−5(𝑥 − 3)
5
𝑥 2 − 4𝑥 + 3
0
2. lim
=[ ]=|
𝑥→3 4 − √5𝑥 + 1
0
приведем к виду
дроби, домножив
3. lim (√𝑥2 + 3𝑥 − 2 − √𝑥2 − 2𝑥 + 3) = [∞ − ∞] = || и разделив на || =
𝑥→∞
сопряженное
выражение
2
2
2
(√𝑥 + 3𝑥 − 2 − √𝑥 − 2𝑥 + 3) ∙ (√𝑥 + 3𝑥 − 2 + √𝑥 2 − 2𝑥 + 3)
= lim
=
𝑥→∞
√𝑥 2 + 3𝑥 − 2 + √𝑥 2 − 2𝑥 + 3
= lim
𝑥 2 + 3𝑥 − 2 − (𝑥 2 − 2𝑥 + 3)
𝑥→∞ √𝑥 2
+ 3𝑥 − 2 + √𝑥 2 − 2𝑥 + 3
=
разделим числитель и
∞
= [ ] = |знаменатель дроби на 𝑥 | =
𝑥→∞ √𝑥 2 + 3𝑥 − 2 + √𝑥 2 − 2𝑥 + 3
∞
5
5
при 𝑥 → +∞
𝑥 ∙ (5 − )
5
𝑥
𝑥
2
= lim
= ∙ lim
={
5
𝑥→∞
2 𝑥→∞ |𝑥|
3
2
2
3
− при 𝑥 → −∞
|𝑥| ∙ (√1 + − 2 + √1 − + 2 )
𝑥 𝑥
𝑥 𝑥
2
= lim
5𝑥 − 5
2
разложим
3 ∙ (𝑥 + 2) ∙ (𝑥 − )
3
4. lim
= [ ] = | многочлены | = lim
=
2
8
𝑥→−2 16 − 2𝑥 − 5𝑥
𝑥→−2
0
(
)
−5 ∙ 𝑥 + 2 ∙ (𝑥 − )
на множители
5
3𝑥 − 2 −8 −4
= lim
=
=
.
𝑥→−2 8 − 5𝑥
18
9
раскроем
неопреде|
(
)
ln
4
−
𝑥
∞
ленность |
5. lim (𝑥2 − 16) ∙ ln(4 − 𝑥) = [0 ∙ ∞] = lim
=[ ]=
=
1
𝑥→4−0
𝑥→4−0
∞
| по |
𝑥2 − 16
правилу
Лопиталя
3𝑥2 + 4𝑥 − 4
0
6
1
∙ (−1)
(ln(4 − 𝑥))′
(𝑥 − 4)2 ∙ (𝑥 + 4)2
4
−
𝑥
= lim
= lim
=
′ = lim
1
𝑥→4−0
𝑥→4−0
𝑥→4−0
(𝑥 − 4)
1
2𝑥
∙
− 2
∙ 2𝑥
( 2
)
(𝑥 − 16)2
𝑥 − 16
(𝑥 − 4) ∙ (𝑥 + 4)2 0 ∙ 64
= lim
=
= 0.
𝑥→4−0
2𝑥
8
6. lim (
𝑥→∞
4𝑥 + 11
4𝑥 + 17
5−8𝑥
)
= lim (
𝑥→∞
4𝑥 + 17 − 6
4𝑥 + 17
5−8𝑥
)
= lim (1 +
𝑥→∞
−6
4𝑥 + 17
5−8𝑥
)
=
используем второй
замечательный предел
|
|
6
−6
5+2∙( 𝑡 +17)
∞]
[
(
)
= 1 =
= lim 1 + 𝑡
=
= 𝑡; 𝑡 → 0 при 𝑥 → ∞
𝑡→𝑜
| 4𝑥 + 17
|
6
1
6
4𝑥 + 17 = − ; 𝑥 = ∙ (− − 17)
𝑡
4
𝑡
1 12
12
= lim(1 + 𝑡) 𝑡 +39 = lim ((1 + 𝑡) 𝑡 )
𝑡→𝑜
𝑡→𝑜
∙ lim(1 + 𝑡)39 = 𝑒 12 ∙ 139 = 𝑒 12
𝑡→𝑜
7. lim (sin 3𝑥)tg 9𝑥 = [00 ] = lim 𝑒 ln(sin 3𝑥)
𝑥→+0
lim tg 9𝑥∙ln(sin 3𝑥)
= 𝑒 𝑥→+0
𝑥→+0
tg 9𝑥
=
= (∗) = 𝑒0 = 1.
Рассмотрим предел в показателе степени: lim tg 9𝑥 ∙ ln(sin 3𝑥 ) = [0 ∙ ∞] =
𝑥→+0
1
|
∙ cos 3𝑥 ∙ 3
(ln sin 3𝑥 )′
ln sin 3𝑥
∞
sin
3𝑥
= lim
= [ ] = lim
= lim
=
1
𝑥→+0 ctg 9𝑥
𝑥→+0 (ctg 9𝑥 )′
𝑥→+0
∞
− 2
∙9
sin 9𝑥
(∗) |
|
1
sin2 9𝑥
1
sin2 9𝑥
0
= − ∙ lim cos 3𝑥 ∙ lim
= − ∙ 1 ∙ lim
=[ ]=
𝑥→+0 sin 3𝑥
𝑥→+0 sin 3𝑥
3 𝑥→+0
3
0
|
|
2
′
(
)
1
sin 9𝑥
1
2 sin 9𝑥 ∙ cos 9𝑥 ∙ 9
1 2∙0∙1∙9
= − ∙ lim
= − ∙ lim
=− ∙
=0
3 𝑥→+0 (sin 3𝑥 )′
3 𝑥→+0
cos 3𝑥 ∙ 3
3
1∙3
|
𝑒 5𝑥 − cos 3𝑥
0
раскроем неопределенность
=
=
[
]
|
|=
𝑥
по
правилу
Лопиталя
𝑥→0
0
arcsin
2
5𝑥
(𝑒 − cos 3𝑥)′
5𝑒 5𝑥 + 3 sin 3𝑥 5 ∙ 𝑒 0 + 3 ∙ 0
= lim
= lim
=
= 2 ∙ (5 + 0) = 10
1
1
1 1
𝑥→0
𝑥→0
𝑥 ′
∙
∙
(arcsin 2)
2 2
√1 2
𝑥
√1 − ( )
2
8. lim
7
2𝑥
9. 𝑦 = (3ctg 5 − tg 4
3
2 √𝑥
) ∙ log 2 (3𝑥 − 5); 𝑦 ′ −?
Найдем производную сложной функции:
2
3
1
3
− 4tg 3
∙
∙ (−
) ∙
2𝑥 5
3
3
2
𝑥
2
2
√
4√𝑥
sin ( )
cos (
)
5
2 √𝑥
(
)
2𝑥
1∙3
3
∙ log 2 (3𝑥 − 5) +
∙ (3ctg 5 − tg 4
)
(3𝑥 − 5)ln2
2 √𝑥
𝑦′ =
2𝑥
3ctg 5 ∙ ln3 ∙
10. 𝑦 =
1
∙
cos √3𝑥 + arccos(2𝑥 − 1)
tg (2 − 5𝑥2 )
; 𝑑𝑦−?
Найдем дифференциал функции по формуле 𝑑𝑦 = 𝑦′ (𝑥) ∙ 𝑑𝑥. Тогда
(−sin√3𝑥 ∙
𝑑𝑦 =
1∙3
2
) ∙ tg (2 − 5𝑥 2 )
−
2
2√3𝑥 √1 − (2𝑥 − 1)
−
tg 2 (2 − 5𝑥 2 )
(
(cos√3𝑥 + arccos(2𝑥 − 1)) ∙
−
−10𝑥
cos2 (2 − 5𝑥 2 )
tg 2 (2 − 5𝑥 2 )
11. По условию касательная перпендикулярна
) 𝑑𝑥
заданной прямой l,
1
следовательно, угловой коэффициент касательной Ккас = − .
𝑥
5
1
2
2
2
К𝑙
𝑙: 𝑦 = + . Таким образом, К𝑙 = , а Ккас = −2.
Известно, что Ккас = 𝑦′(𝑥0 ), где 𝑥0 – абсцисса точки касания. Для
заданной функции 𝑦 ′ (𝑥) = (4𝑥 − 3𝑥 2 + 2)′ = 4 − 6𝑥.
Найдем 𝑥0 из уравнения 4 − 6 ∙ 𝑥0 = −2 => 𝑥0 = 1. Вычислим
𝑦0 = 𝑦(𝑥0 ) = 𝑦(1) = 4 − 3 + 2 = 3
Подставим найденные значения в уравнение касательной:
𝑦 − 𝑦0 = Ккас ∙ (𝑥 − 𝑥0 ).
𝑦 − 3 = −2(𝑥 − 1),
𝑦 = −2𝑥 + 5.
Ответ: 𝑦 = −2𝑥 + 5 – уравнение касательной.
8
12. Найдем первую и вторую производные данной функции, подставим их
вместе с исходной функцией в уравнение и убедимся, что уравнение
превратится в тождество.
𝑦 ′ = 4 ∙ (𝑒 −2𝑥 ∙ (−2) ∙ sin 4𝑥 + 𝑒 −2𝑥 ∙ cos 4𝑥 ∙ 4) =
= −8𝑒 −2𝑥 ∙ (sin 4𝑥 − 2 cos 4𝑥)
𝑦 ′′ = −8 ∙ (𝑒 −2𝑥 ∙ (−2) ∙ (sin 4𝑥 − 2 cos 4𝑥) + 𝑒 −2𝑥 ∙ (4 cos 4𝑥 + 8 sin 4𝑥)) =
= 16𝑒 −2𝑥 ∙ (−3sin 4𝑥 − 4 cos 4𝑥).
Рассмотрим левую часть уравнения:
′′
𝑦 + 4𝑦 ′ + 20𝑦 = 16𝑒 −2𝑥 ∙ (−3sin 4𝑥 − 4 cos 4𝑥) +
+4 ∙ (−8) ∙ 𝑒 −2𝑥 ∙ (sin 4𝑥 − 2 cos 4𝑥) + 20 ∙ 4 ∙ 𝑒 −2𝑥 sin 4𝑥 =
= 𝑒 −2𝑥 ∙ (−48 sin 4𝑥 − 64 cos 4𝑥 − 32 sin 4𝑥 + 64 cos 4𝑥 + 80 sin 4𝑥) =
= 𝑒 −2𝑥 ∙ 0 = 0
Итак, уравнение принимает вид тождества 0 = 0.
Следовательно, данная функция является решением уравнения.
13. Тело движется вдоль оси Ox по закону 𝑥(𝑡) = 𝑡 3 + 2𝑡 2 + 5𝑡. Найти
скорость 𝑣(𝑡) и ускорение 𝑎(𝑡) в момент времени 𝑡 = 2.
𝑣(𝑡) = 𝑥 ′ (𝑡) = 3𝑡 2 + 4𝑡 + 5.
𝑎(𝑡) = 𝑥 ′′ (𝑡) = 6𝑡 + 4.
𝑣(2) = 3 ∙ 22 + 4 ∙ 2 + 5 = 25, 𝑎(2) = 6 ∙ 2 + 4 = 16.
Ответ: 𝑣(2) = 25; 𝑎(2) = 16.
14. Исследовать функцию 𝑦 =
𝑥3
𝑥 2 −4
и построить ее график.
1) 𝐷(𝑦) = (−∞; 2) ∪ (−2; 2) ∪ 2; +∞)
Найдем лево- и правосторонние пределы функции при 𝑥 → 2 и 𝑥 → −2
𝑥3
−8
𝑥3
−8
lim
=
=
−∞,
lim
=
[
]
[
] = +∞,
𝑥→−2−0 𝑥 2 − 4
𝑥→−2+0 𝑥 2 − 4
+0
−0
𝑥3
8
𝑥3
8
lim 2
= [ ] = −∞, lim 2
= [ ] = +∞.
𝑥→2−0 𝑥 − 4
𝑥→2+0 𝑥 − 4
−0
+0
𝑥1 = −2, 𝑥2 = 2 – точки разрыва II рода.
Прямые 𝑥 = −2 и 𝑥 = 2 являются вертикальными асимптотами.
2) Уравнение наклонных асимптот: 𝑦 = 𝑘𝑥 + 𝑏, где 𝑘 = lim𝑥→+∞
𝑥→−∞
𝑏 = lim𝑥→+∞ (𝑓(𝑥) − 𝑘𝑥)
𝑥→−∞
2
𝑥
∞
1
=
[
]
=
lim
= 1,
𝑥→+∞
4
𝑥2 − 4
∞
𝑥→−∞
𝑥→−∞ 1 − 2
𝑥
𝑘 = 𝑥→+∞
lim
9
𝑓(𝑥)
𝑥
и
𝑥3
𝑥 3 − 𝑥 ∙ (𝑥 2 − 4)
𝑏 = 𝑥→+∞
lim ( 2
− 1 ∙ 𝑥) = 𝑥→+∞
lim
=
2−4
𝑥
−
4
𝑥
𝑥→−∞
𝑥→−∞
4
4𝑥
∞
𝑥
= 𝑥→+∞
lim 2
= [ ] = 𝑥→+∞
lim
= 0.
4
𝑥 −4
∞
𝑥→−∞
𝑥→−∞ 1 − 2
𝑥
Следовательно, 𝑦 = 𝑥 − наклонная асимптота при 𝑥 → +∞ и при 𝑥 → −∞.
3) Точки пересечения графика с осями координат:
𝑐 𝑂𝑥: {
𝑦=0
𝑦=
𝑥3
𝑥2 −4
𝑦=0
;{
; 𝑂(0; 0)
𝑥=0
𝑐 𝑂𝑦: {
𝑥=0
𝑦=
𝑥3
;{
𝑥 2 −4
𝑥=0
; 𝑂(0; 0)
𝑦=0
4) Исследуем функцию на четность / нечетность по определению:
𝑦(−𝑥) = −𝑦(𝑥)  нечетная функция,
𝑦(−𝑥) = 𝑦(𝑥)  четная функция.
Рассмотрим 𝑦(−𝑥) =
(−𝑥)3
(−𝑥)2 −4
=
−𝑥 3
𝑥 2 −4
= −𝑦(𝑥),
следовательно,
𝑦(𝑥)
нечетная функция  график симметричен относительно начала координат.
5) Функция не является периодической
6) Найдем критические точки функции по первой производной:
3𝑥 2 ∙ (𝑥 2 − 4) − 𝑥 3 ∙ 2𝑥 3𝑥 4 − 12𝑥 2 − 2𝑥 4 𝑥 4 − 12𝑥 2
𝑦′ =
=
= 2
=
(𝑥 2 − 4)2
(𝑥 2 − 4)2
(𝑥 − 4)2
𝑥 2 (𝑥 2 − 12) 𝑥 2 (𝑥 − 2√3)(𝑥 + 2√3)
=
=
(𝑥 2 − 4)2
(𝑥 2 − 4)2
Критические точки: а) 𝑦′(𝑥) не существует при 𝑥1,2 = ±2 ∉ 𝐷(𝑦);
б) 𝑦 ′ (𝑥) = 0, при 𝑥3 = 0, 𝑥4,5 = ±2√3.
7) Найдем интервалы монотонности:
′
𝑦:
+
−2√3

−2

0

2

2√3
𝑦(𝑥):
+
𝑥
8) Найдем точки экстремумов и экстремумы:
𝑥𝑚𝑎𝑥 = −2√3, 𝑥𝑚𝑖𝑛 = 2√3.
10
–
𝑦𝑚𝑎𝑥 = 𝑦(−2√3) =
−24√3
= −3√3, 𝑦𝑚𝑖𝑛 = 𝑦(2√3) = 3√3.
12 − 4
9) Найдем критичесие точки по второй производной:
′
𝑥 4 − 12𝑥 2
′′
𝑦 =( 2
) =
(𝑥 − 4)2
=
=
=
(4𝑥 3 − 24𝑥) ∙ (𝑥 2 − 4𝑥)2 − (𝑥 4 − 12𝑥 2 ) ∙ 2 ∙ (𝑥 2 − 4) ∙ 2𝑥
( 𝑥2
− 4)
4
(𝑥 2 − 4)(4𝑥 5 − 40𝑥 3 + 96𝑥 − 4𝑥 5 + 48𝑥 3 )
( 𝑥2 − 4 )
8𝑥 3 + 96𝑥
( 𝑥2
− 4)
3
=
4
=
=
8𝑥(𝑥 2 + 12)
( 𝑥2 − 4 )
3
Критические точки: а) 𝑦 ′′ не существует при 𝑥1,2 = ±2 ∉ 𝐷(𝑦)
б) 𝑦 ′′ = 0 при 𝑥 = 0
10) Интервалы выпуклости и вогнутости:
′′
𝑦 :

−2
0
+
2

+
𝑥
𝑦(𝑥):
11) Точки перегиба: 𝑥0 = 0, 𝑦0 = 𝑦(0) = 0, 𝑂 (0; 0) − точка перегиба
12) Сводная таблица результатов исследования:
𝑥
(−∞;
−2√3)
−2√3
(−2√3;
−2)
−2
𝑦′
+
0
−
Не
сущ.
−
0
−
𝑦 ′′
−
−
−
Не
сущ.
+
0
−
𝑦(𝑥)
−3√3
(−2; 0) 0 (0; 2) 2
Т.р.
0
11
(2;
2√3)
2√3
(2√3;
+∞)
Не
сущ.
−
0
+
Не
сущ.
+
+
+
Т.р.
3 √3
12
Варианты заданий для самостоятельного решения (1–30)
Вариант 1
Найти предел функции:
7𝑥 3 + 12𝑥 2 – 𝑥 + 2
1. lim
𝑥→∞ 8 − 17𝑥 3 − 𝑥√3𝑥 2
𝑥 2 + 5𝑥
2. lim 3
𝑥→0 √1 + 𝑥 − 3√1 − 𝑥
3. lim (√𝑥 2 + 5𝑥 – 𝑥)
5. lim (𝑥 − 1)tg
𝑥→1
𝜋𝑥
2
2𝑥 + 5 𝑥+2
6. lim (
)
𝑥→∞ 2𝑥 − 8
7. lim (3𝑥)sin 7𝑥
𝑥→0
𝑥→∞
23𝑥 2 + sin3𝑥𝑒 𝑥
2𝑥 2 − 𝑥 − 1
8. lim
4. lim
𝑥→0 tg7𝑥 + 15𝑥 3
3
𝑥→1
𝑥 −1
Продифференцировать функции:
9. 𝑦 = arcsin6 √𝑥 ∙ (6tg 5𝑥 + tg 4 5𝑥); 𝑦′−?
arcctg 𝑥 + ctg 𝑥
10. 𝑦 =
; 𝑑𝑦−?
ln𝑥
11. Составить уравнение касательной к графику функции 𝑦 = 3𝑥 2 − 7𝑥,
образующей с осью Ox угол 135˚.
12.
Показать,
что
функция
𝑦 = 𝑒 −𝑥 sin2𝑥
удовлетворяет
′′
′
дифференциальному уравнению 𝑦 + 2𝑦 + 5𝑦 = 0.
13. Тело движется вдоль оси Ох по закону: 𝑥(𝑡) =
скорость и ускорение в момент времени 𝑡 = 3.
14. Исследовать функцию 𝑦 =
𝑥 3 −3𝑥
𝑥 2 −1
𝑡3
3
− 2𝑡 2 + 3𝑡. Найти
и построить ее график.
Вариант 2
Найти предел функции:
3𝑥 + 5𝑥 2 + (7𝑥)3
1. lim
𝑥→∞
2 + (𝑥 + 3)3
√3𝑥 + 1 − 4
2. lim 2
𝑥→5 𝑥 + 4𝑥 − 45
2
2
3. lim (√3𝑥 − 26𝑥 + 1 – √3𝑥 + 11 )
𝑥→∞
−5𝑥 2 − 3𝑥 + 2
4. lim
𝑥→−1 7𝑥 2 + 4𝑥 − 3
Продифференцировать функцию:
9. 𝑦 = ctg 𝑒 √𝑥 ∙ (4sin 5𝑥 + sin4 5𝑥); 𝑦′−?
13
𝑥 ∙ cos 3𝑥
𝑥→0 tg 5𝑥 ∙ cos 2𝑥
5𝑥 + 4 1−𝑥
6. lim (
)
𝑥→∞ 5𝑥 − 3
−2
1 ln 𝑥
7. lim (
)
𝑥→+0 ln 𝑥
𝑒 𝑥 − cos 3𝑥
8. lim
𝑥→0
tg 𝑥
5. lim
3
arctg 𝑥 + √𝑥
10. 𝑦 =
; 𝑑𝑦−?
cos 𝑥
11. Составить уравнение касательной к графику функции 𝑦 = 3𝑥 2 − 2𝑥,
параллельной прямой 𝑦 = 4𝑥 + 3 .
12.
Показать,
что
функция
𝑦 = 𝑒 −𝑥 cos 3𝑥
удовлетворяет
′′
′
дифференциальному уравнению 𝑦 + 2𝑦 + 10𝑦 = 0.
13. Тело движется вдоль оси Ох по закону: 𝑥(𝑡) =
скорость и ускорение в момент времени 𝑡 = 4.
14. Исследовать функцию 𝑦 =
𝑥4
𝑥 3 +1
𝑡3
3
−
3𝑡 2
2
+ 2𝑡. Найти
и построить ее график.
Вариант 3
Найти предел функции:
2𝑥 11 − 𝑥 7 + 11
1. lim
𝑥→∞ 3𝑥 11 − 𝑥 7 − 1
√1 − 2𝑥 + 5𝑥 2 − (1 + 𝑥)
2. lim
𝑥→0
3𝑥
2
3. lim (√𝑥 + 5𝑥 − 1 – √𝑥 2 − 𝑥 + 1 )
ln(2𝑥 + 1)
𝑥→+0
sin 𝑥
3 − 𝑥 8𝑥−3
6. lim (
)
𝑥→∞ 7 − 𝑥
5. lim
7. lim (2𝑥)𝑥
𝑥→∞
2
𝑥→0
−𝑥 2 + 2𝑥 + 3
sin 𝑥 − tg 𝑥
4. lim 2
8. lim
𝑥→3 5𝑥 − 10𝑥 − 15
𝑥→0 12𝑥 2 − 8𝑥
Продифференцировать функцию:
9. 𝑦 = ln tg 3𝑥 ∙ (7sin(6𝑥) + arcsin7 (6𝑥)); 𝑦′−?
√𝑥 + arcctg 𝑥
10. 𝑦 =
; 𝑑𝑦−?
cos 𝑥
11. Составить уравнение касательной к графику функции 𝑦 = 3𝑥 2 + 𝑥,
параллельной прямой 𝑦 = −5𝑥 + 1 .
12.
Показать,
что
функция
𝑦 = 𝑒 −𝑥 sin 3𝑥
удовлетворяет
′′
′
дифференциальному уравнению 𝑦 + 2𝑦 + 10𝑦 = 0.
13. Тело движется по закону: 𝑥(𝑡) = 𝑡 3 + 2𝑡 2 + 4𝑡 вдоль оси Ох. Найти
скорость и ускорение в момент времени 𝑡 = 3.
20. Исследовать функцию 𝑦 =
𝑥3
3−𝑥 2
и построить ее график.
Вариант 4
Найти предел функции:
15𝑥 3 − 8𝑥 5 − 4
1. lim
𝑥→∞ 6𝑥 5 + 2𝑥 4 + 5
√2𝑥 2 − 3𝑥 + 16 − 2(𝑥 − 2)
2. lim
𝑥→0
4𝑥
14
2𝑥 + 3 5−6𝑥
6. lim (
)
𝑥→∞ 2𝑥 + 7
7. lim (ln 𝑥) sin 3𝜋𝑥
3. lim (√𝑥 2 − 2𝑥 + 3 − √𝑥 2 + 𝑥 − 4)
𝑥→∞
3𝑥 2 − 5𝑥 − 2
4. lim
𝑥→2 5𝑥 − 2 − 2𝑥 2
5. lim (2 − 𝑥) ∙ ctg 4𝜋𝑥
𝑥→1
cos 3𝑥 − 2tg 𝑥
𝑥→0
3𝑥 ∙ 𝑒 5𝑥
8. lim
𝑥→2
Продифференцировать функцию:
𝑥
2
9. 𝑦 = arcctg (2 − 3𝑥) ∙ (log 2 sin − 2arcsin √𝑥 ) ; 𝑦′−?
2
2
arccos 5𝑥 − ctg
√𝑥 ; 𝑑𝑦−?
10. 𝑦 =
3𝑥
tg
5
11. Составить уравнение касательной к графику функции 𝑦 = 5𝑥 2 − 2𝑥 + 3,
параллельной прямой 𝑦 = 5 − 12𝑥 .
12.
Показать,
что
функция
𝑦 = 4𝑒 −2𝑥 ∙ sin3𝑥
удовлетворяет
′′
′
дифференциальному уравнению 𝑦 + 4𝑦 + 13𝑦 = 0.
13. Тело движется по закону: 𝑥(𝑡) =
2𝑡 3
3
+
𝑡2
2
+ 3𝑡
вдоль оси Ох. Найти
скорость и ускорение в момент времени 𝑡 = 3.
14. Исследовать функцию 𝑦 =
𝑥4
𝑥 3 −1
и построить ее график.
Вариант 5
Найти предел функции:
3𝑥 4 − 2𝑥 3 + 3
1. lim 3
𝑥→∞ 5𝑥 − 4𝑥 2 − 6𝑥 4
(𝑥 2 − 2𝑥)
2. lim
𝑥→2 √𝑥 2 − 3 − 𝑥 + 1
3. lim (√𝑥 2 − 3𝑥 + 1 – √𝑥 2 + 𝑥 − 5 )
5. lim (𝑥 2 − 4) ∙ ctg
𝑥→−2
5𝑥 − 2
6. lim (
)
𝑥→∞ 5𝑥 + 9
3𝑥−4
6
𝜋𝑥
2
7. lim (cos 4𝑥)ctg 3𝑥
𝑥→∞
𝑥→0
27 − 𝑥 3
4. lim 2
𝑥→3 3𝑥 − 5𝑥 − 12
Продифференцировать функцию:
tg 3𝑥 − 𝑥
𝑥→0 sin2 4𝑥 + 5𝑥
8. lim
3𝑥
9. arcsin(2𝑥 + 3) ∙ (4ctg 3𝑥 − cos ) ; 𝑦′− ?
5
3
− 3 arctg 4𝑥
2𝑥
√
10. 𝑦 =
; 𝑑𝑦−?
ln(3𝑥 + 2)
11.
Составить
уравнение
касательной
к
графику
2
𝑦 = 3𝑥 + 𝑥 − 2 , параллельной прямой 𝑦 = 4 − 11𝑥 .
15
функции
12.
Показать,
что
функция
𝑦 = 3𝑒 2𝑥 ∙ cos 5𝑥
дифференциальному уравнению 𝑦 ′′ − 4𝑦 ′ + 29𝑦 = 0.
𝑡3
13. Тело движется по закону: 𝑥(𝑡) =
3
удовлетворяет
+ 3𝑡 2 + 4𝑡 вдоль оси Ох. Найти
скорость и ускорение в момент времени 𝑡 = 5.
14. Исследовать функцию 𝑦 =
𝑥2
𝑥 3 −1
и построить ее график.
Вариант 6
Найти предел функции:
13
1. lim
𝑥→∞
7𝑥 5 − 2√2𝑥 2 + 5
5. lim 𝑥 2 ∙ log 2 𝑥
𝑥→+0
13
−3𝑥 5
4 − 3𝑥 5−21𝑥
6. lim (
)
𝑥→∞ 34 − 3𝑥
− √𝑥 + 7
3
√𝑥 − 6 + 2
2. lim
𝑥→−2
𝑥3 + 8
3. lim (√𝑥 2 − 7𝑥 + 1 – √𝑥 2 + 14𝑥 − 1)
11
7. lim (cos 3𝑥) 𝑥
𝑥→0
𝑥→∞
tg 2𝑥 + sin 3𝑥
7𝑥 2 − 15𝑥 + 2
8.
lim
4. lim 2
𝑥→0
5𝑥 + 𝑥 2
𝑥→2 𝑥 − 5𝑥 + 6
Продифференцировать функцию:
9. 𝑦 = ln(7𝑥 + 3) ∙ (5sin 3𝑥 + sin5 3𝑥); 𝑦′−?
arccos 𝑥 + √𝑥
10. 𝑦 =
; 𝑑𝑦−?
sin 𝑥
11. Указать точку, в которой касательная к графику функции
𝑦 = 𝑥 2 + 2𝑥 − 3, параллельна оси абсцисс.
12.
Показать,
что
функция
𝑦 = 𝑒 −3𝑥 (2𝑥 + 1)
удовлетворяет
′′
′
дифференциальному уравнению 𝑦 + 6𝑦 + 9𝑦 = 0.
13. Тело массой 100 кг движется прямолинейно по закону: 𝑆(𝑡) =
𝑚𝑣 2
Определить кинетическую энергию (
2
3𝑡 2
2
3𝑥 2 +7𝑥+2
(𝑥+1)2
и построить ее график.
Вариант 7
Найти предел функции:
5
1. lim
𝑥→∞
1
−3𝑥 2 −𝑥 2 + 3
8 − √𝑥 +
2. lim
5
15𝑥 2
(𝑥 2 + 2𝑥 − 15)
𝑥→3 √5𝑥
16
3
) тела через 5 секунд после начала
движения.
14. Исследовать функцию 𝑦 =
𝑡3
+ .
+1−𝑥−1
13𝑥 − 29 11𝑥+1
6. lim (
)
𝑥→∞ 13𝑥 − 14
3. lim (√𝑥 2 − 7𝑥 + 3 – √𝑥 2 + 7 )
𝑥→∞
1
3𝑥 2 − 8𝑥 − 28
𝑥
(cos
7. lim
𝑥)
4. lim
𝑥→0
𝑥→−2 −2𝑥 2 + 5𝑥 + 18
𝑥 2 − sin 2𝑥
𝜋𝑥
8. lim
5. lim (𝑥 − 13)tg
𝑥→0 tg 3𝑥 − 𝑥 2
𝑥→13
2
Продифференцировать функцию:
9. 𝑦 = arccos √𝑥 + 1 ∙ (5ctg 5𝑥 + ctg 3 5𝑥); 𝑦′−?
sin 𝑥 + log 4 (3𝑥 + 1)
10. 𝑦 =
; 𝑑𝑦−?
arctg 𝑥
11.
В
каких
точках
касательная
к
графику
функции
3
2
𝑦 = 𝑥 − 12𝑥 + 36𝑥 − 1 параллельна оси Ох.
12. Показать, что функция 𝑦 = 𝑒 −𝑥 (cos 3𝑥 + sin 3𝑥) удовлетворяет
дифференциальному уравнению 𝑦 ′′ + 2𝑦 ′ + 10𝑦 = 0.
13. Точка движется по прямой по закону: 𝑆(𝑡) = 5𝑡 2 − 10𝑡 + 1. Определить
скорость и ускорение точки в момент времени t = 2.
14. Исследовать функцию 𝑦 =
𝑥3
𝑥 2 −4
и построить ее график.
Вариант 8
Найти предел функции:
7
1. lim
𝑥→∞
5
2𝑥 + 3𝑥 2 + 11𝑥 2
5
3𝑥 2
3
3𝑥 2
+
√𝑥 − 2
5. lim ln 13𝑥 ∙ sin 𝑥
𝑥→+0
−2
14 − 15𝑥 1+2𝑥
6. lim (
)
𝑥→∞ 3 − 15𝑥
2. lim 3
𝑥→4 √𝑥 2 − 16
3. lim (√𝑥 2 + 1 – √𝑥 2 − 7𝑥 + 23 )
7. lim (tg 3𝑥)sin 𝑥
𝑥→0
𝑥→∞
5𝑥
𝑒 − cos 3𝑥
4𝑥 2 + 30𝑥 − 100
8.
lim
4. lim
𝑥→0
tg 5𝑥
𝑥→−10 −𝑥 2 − 5𝑥 + 50
Продифференцировать функцию:
9. 𝑦 = cos √7𝑥 + 3 ∙ (5arcsin 4𝑥 + arcsin5 4𝑥); 𝑦′−?
3tg2𝑥
10. 𝑦 =
; 𝑑𝑦−?
log 2 𝑥 − 5𝑒 𝑥
11.
Определить
угол
наклона
касательной
к
параболе
2
𝑦 = 𝑥 + 3𝑥 + 2 в точке пересечения параболы с осью абсцисс.
12.
Показать,
что
функция
𝑦 = 𝑒 −3𝑥 (4𝑥 + 2)
удовлетворяет
′′
′
дифференциальному уравнению 𝑦 + 6𝑦 + 9𝑦 = 0.
17
13. Точка движется вдоль оси Ох по закону:
𝑥(𝑡) =
𝑡3
3
− 𝑡 2 − 3𝑡.
Определить скорость и ускорение точки в момент времени t = 2.
14. Исследовать функцию 𝑦 =
4−𝑥 2
и построить ее график.
4+𝑥 2
Вариант 9
Найти предел функции:
5𝑥 3 − 4𝑥 2 − √3
1. lim
𝑥→∞ 15 − 2𝑥 2 + √31𝑥 3
10 − 𝑥 − 6√1 − 𝑥
2. lim
𝑥→−8
𝑥 2 + 8𝑥
3. lim (√𝑥 2 + 7𝑥 – √𝑥 2 + 1 )
𝑥→∞
5. lim (𝑥 − sin 𝑥) ln 𝑥
𝑥→+0
27𝑥 − 8
6. lim (
)
𝑥→∞ 27𝑥 + 1
𝑥−1
3
7. lim (tg 5𝑥)sin 3𝑥
𝑥→+0
5𝑥 2 + 2𝑥
8. lim
𝑥→0 sin 𝑥 + tg 𝑥
2
5 − 3𝑥 − 2𝑥
4. lim 2
𝑥→1 3𝑥 − 7𝑥 + 4
Продифференцировать функцию:
𝑥
9. 𝑦 = (arccos3 √5𝑥 + 1) ∙ (8tg 7 + tg 8 7𝑥) ; 𝑦′−?
3
√𝑥 − sin 𝑥
; 𝑑𝑦−?
log 5 𝑥
11. Определить угол между осью абсцисс и касательной к параболе
𝑦 = 𝑥 2 + 𝑥 + 5, в точке пересечения параболы с осью ординат.
12. Показать, что функция
𝑦 = 𝑒 𝑥 sin 4𝑥
удовлетворяет
′′
′
дифференциальному уравнению 𝑦 − 2𝑦 + 17𝑦 = 0.
13. Точка движется вдоль оси Ох по закону: 𝑥(𝑡) = 𝑡 3 + 3𝑡 2 − 9𝑡.
Определить скорость и ускорение точки в момент времени t = 2.
10. 𝑦 =
14. Исследовать функцию 𝑦 =
𝑥3
(𝑥−2)2
и построить ее график.
Вариант 10
Найти предел функции:
3
1. lim
𝑥→∞
2. lim
−𝑥 2 + 8√𝑥 + 13
𝑥3 − 1
4. lim 4
𝑥→1 𝑥 − 1
−√2𝑥 + 15𝑥√𝑥
𝑥 2 − 2𝑥 − 3
√3𝑥 − 8 − 𝑥 + 2
3. lim (√𝑥 2 − 7𝑥 + 14 – √𝑥 2 + 7𝑥 + 5 )
𝑥→3
𝑥→∞
18
5. lim sin 2𝑥 ∙ ln 𝑥
𝑥→+0
3 − 2𝑥 14−𝑥
6. lim (
)
𝑥→∞ 7 − 2𝑥
1 − cos 4𝑥
𝑥→0 2𝑥 ∙ tg 2𝑥
8. lim
7. lim (tg 5𝑥)sin 7𝑥
𝑥→0
Продифференцировать функцию:
9. 𝑦 = arcsin√𝑥 ∙ (9sin 3𝑥 + sin9 3𝑥); 𝑦′−?
arctg 𝑥
10. 𝑦 =
; 𝑑𝑦−?
log 3 (2𝑥 + 1)
11.
В
каких
точках
касательные
𝑦 = 𝑥3 +
3𝑥 2
2
к
графику
функции
− 6𝑥 параллельны оси Ох?
12. Показать, что функция 𝑦 = 𝑒 −𝑥 sin 4𝑥 является решением
дифференциального уравнения 𝑦 ′′ + 2𝑦 ′ + 17𝑦 = 0.
13. Тело движется вдоль оси Ох по закону: 𝑥(𝑡) = 𝑡 3 − 3𝑡 2 − 9𝑡. Найти
скорость и ускорение тела в момент времени 𝑡 = 3.
14. Исследовать функцию 𝑦 =
3−𝑥 2
𝑥+2
и построить ее график.
Вариант 11
Найти предел функции:
√2𝑥 5 + 1
1. lim
𝑥→∞ −8𝑥 5 + 4𝑥 3 − 1
𝑥2 + 𝑥 − 2
2. lim
𝑥→1 2 − √5𝑥 − 1
3. lim (√𝑥 2 + 1 – √𝑥 2 − 23𝑥 + 8 )
𝑥→∞
5. lim sin 𝑥 ∙ ln 2𝑥
𝑥→+0
11𝑥 − 7 2𝑥
6. lim (
)
𝑥→∞ 11𝑥 + 5
7. lim (tg 𝑥)tg 2𝑥
𝑥→0
𝑒 𝑥 − cos 𝑥 − 𝑥
8. lim
𝑥→0
3𝑥 2
2
7𝑥 − 5𝑥 − 12
𝑥→−1 3𝑥 2 + 8𝑥 + 5
Продифференцировать функцию:
9. 𝑦 = sin(4𝑥 + 1) ∙ (8cos 3𝑥 + cos 8 3𝑥); 𝑦′−?
√𝑥 + arctg 𝑥
10. 𝑦 =
; 𝑑𝑦−?
tg 𝑥
11.
Составить
уравнение
касательной
к
графику
функции
2
𝑦 = 3𝑥 − 2𝑥 , образующей с осью Ох угол 45˚.
12. Показать, что функция 𝑦(𝑥) = 𝑒 −𝑥 cos 2𝑥 решением дифференциального
уравнения 𝑦 ′′ + 2𝑦 ′ + 5𝑦 = 0.
4. lim
13. Тело движется вдоль оси Ох по закону: 𝑥(𝑡) =
скорость и ускорение в момент времени 𝑡 = 4.
14. Исследовать функцию 𝑦 =
𝑥3
𝑥 3 +1
𝑡3
3
− 𝑡 2 − 3𝑡. Найти
и построить ее график.
19
Вариант 12
Найти предел функции:
23𝑥 − 37𝑥 2 + 15𝑥 4
1. lim
𝑥→∞
3𝑥 4 − 7𝑥 3 + 29
√9 + 2𝑥 − 5
2. lim
𝑥→8
𝑥 2 − 8𝑥
5. lim (4𝑥 − 4)tg
𝑥→1
𝑥−5
6. lim (
)
𝑥→∞ 𝑥 − 7
3. lim (√𝑥 2 + 29𝑥 − 14 – √𝑥 2 − 1 )
𝜋𝑥
2
1−3𝑥
2
7. lim (sin 2𝑥)3tg7𝑥
𝑥→∞
𝑥→0
𝑥 2 − 10𝑥 − 11
tg 𝑥 + 4𝑥 3
4. lim
8. lim
𝑥→11 (𝑥 − 11)(𝑥 2 + 3𝑥 + 2)
𝑥→0 −5 sin 18𝑥 + 𝑥 3
Продифференцировать функцию:
9. 𝑦 = arcsin√𝑥 ∙ (5ctg 3𝑥 + ctg 5 𝑥); 𝑦′−?
tg 𝑥 + 3𝑥
10. 𝑦 =
; 𝑑𝑦−?
cos 𝑥
11.
Составить
уравнение
касательной
к
графику
функции
2
𝑦 = 2𝑥 − 3𝑥 , параллельной прямой 𝑦 − 5𝑥 − 1 = 0 .
12. Показать, что функция 𝑦(𝑥) = (5𝑥 + 6)𝑒 2𝑥 является решением
дифференциального уравнения 𝑦 ′′ − 4𝑦 ′ + 4𝑦 = 0.
13. Тело движется вдоль оси Ох по закону: 𝑥(𝑡) =
скорость и ускорение в момент времени 𝑡0 = 3.
14. Исследовать функцию 𝑦 =
4𝑥−12
(𝑥−2)2
𝑡3
3
−
𝑡2
2
− 2𝑡. Найти
и построить ее график.
Вариант 13
Найти предел функции:
6
𝜋𝑥
2
√6𝑥 5 +𝑥 2 − 13𝑥 3
1. lim
𝑥→∞
1 − 71𝑥 3
𝑥 2 − 4𝑥
2. lim
𝑥→4 √4 + 𝑥 − √2𝑥
5. lim(𝑥 3 − 1) tg
3. lim (√𝑥 2 + 24 – √𝑥 2 − 𝑥 + √8 )
7. lim(tg 13𝑥)√2𝑥
17𝑥 2 − 24𝑥 + 7
4. lim
𝑥→1 3𝑥 2 + 8𝑥 − 11
Продифференцировать функцию:
9. 𝑦 = ln(5𝑥 + 6) ∙ (2tg7𝑥 + tg 2 3𝑥); 𝑦′−?
cos 𝑥 + √𝑥
10. 𝑦 =
; 𝑑𝑦−?
arccos 𝑥
𝑒 7𝑥 − cos 3𝑥
8. lim
𝑥→0 13𝑥 3 + tg 2𝑥
𝑥→1
76𝑥 − 13 𝑥
6. lim (
)
𝑥→∞ 76𝑥 + 4
𝑥→0
𝑥→∞
20
11.
Составить
уравнение
касательной
к
графику
функции
𝑦 = 5𝑥 2 − 6𝑥 + 2 , параллельной прямой 𝑦 = 4𝑥 − 7 .
12. Показать, что функция 𝑦 = (3𝑥 + 7)𝑒 −2𝑥 является решением
дифференциального уравнения 𝑦 ′′ + 4𝑦′ + 4𝑦 = 0.
13. Тело движется вдоль оси Ох по закону: 𝑥(𝑡) = −3𝑡 + 𝑡 3 . Найти скорость
и ускорение в момент времени 𝑡 = 2.
14. Исследовать функцию 𝑦 =
𝑥 3 +3𝑥
𝑥 2 +1
и построить ее график.
Вариант 14
Найти предел функции:
7
1. lim
√3𝑥 6 + √𝑥– 14
5. lim (2𝑥)3 ∙ ln 7𝑥
𝑥→+0
7
31𝑥 6
𝑥→∞
−5√𝑥 +
3
√𝑥 − 6 + 2
2. lim
𝑥→−2
𝑥2 − 4
3. lim (√𝑥 2 − 17𝑥 + 37 – √𝑥 2 − 36𝑥 )
13𝑥 + 1 −5𝑥+18
6. lim (
)
𝑥→∞ 13𝑥 − 1
7. lim (√5𝑥)
tg 7𝑥
𝑥→0
𝑥→∞
13𝑥 2 − 7𝑥 − 20
tg 5𝑥 − 2𝑥
4. lim
8.
lim
𝑥→−1 −5𝑥 2 − 3𝑥 + 2
𝑥→0 24𝑥 2 + 13𝑥
Продифференцировать функцию:
9. 𝑦 = ln (3𝑥 + 7) ∙ (3cos 2𝑥 + sin2 5𝑥) ; 𝑦′−?
2ctg 𝑥
10. 𝑦 =
; 𝑑𝑦−?
3ln𝑥 − 5𝑒 𝑥
11.
Составить
уравнение
касательной
к
графику
функции
𝑦 = 2𝑥 2 − 3𝑥 , образующей с осью Ох угол 135˚ .
12. Проверить, является ли функция 𝑦(𝑥) = (4𝑥 + 3)𝑒 −𝑥 решением
дифференциального уравнения 𝑦 ′′ + 2𝑦 ′ + 𝑦 = 0.
13. Тело движется вдоль оси Ох по закону: 𝑥(𝑡) =
𝑡3
3
−
3𝑡 2
2
+ 2𝑡. Найти
скорость и ускорение в момент времени 𝑡 = 3. В какие моменты времени
тело меняет направление движения?
14. Исследовать функцию 𝑦 =
𝑥 2 −6𝑥+9
(𝑥−1)2
и построить ее график.
Вариант 15
Найти предел функции:
19
1.
lim
17𝑥 7 + 𝑥 2 + 7
19
𝑥→+∞
9𝑥 7
2. lim
𝑥 2 − 2𝑥 − 3
x→3 √3
− 𝑥 + √𝑥
21
+ 𝑥 − √2𝑥
3. lim (√𝑥 2 − 5𝑥 + 1 – √𝑥 2 − 11𝑥 − 36 )
𝑥→∞
2𝑥 2 − 3𝑥 − 9
4. lim 2
𝑥→3 5𝑥 + 5𝑥 − 60
3𝑥 + 2 2−5𝑥
6. lim (
)
𝑥→∞ 3𝑥 + 7
7. lim (1 −
𝑥→0
1
cos
𝑥) 𝑥−1
ln(1 + 7𝑥)
𝑥→0
9𝑥
8. lim
5
5. lim 𝑥 ∙ ln 27𝑥
𝑥→+0
Продифференцировать функцию:
9. 𝑦 = (cos √3𝑥 + 2 ) ∙ (3sin 2𝑥 + sin2 𝑥) ; 𝑦′−?
√𝑥 + arcsin 𝑥
10. 𝑦 =
; 𝑑𝑦−?
ln 𝑥
11. Составить уравнение касательной к графику функции 𝑦 = 2𝑥 2 − 3𝑥 ,
образующей с осью Ох угол 45˚ .
12. Проверить, является ли функция 𝑦(𝑥) = (3𝑥 + 1)𝑒 −𝑥 решением
дифференциального уравнения 𝑦 ′′ + 2𝑦 ′ + 𝑦 = 0.
13. Тело движется вдоль оси Ох по закону: 𝑥(𝑡) =
𝑡3
3
− 2𝑡 2 + 3𝑡. Найти
скорость и ускорение в момент времени 𝑡0 = 5. В какие моменты времени
тело меняет направление движения?
14. Исследовать функцию 𝑦 =
2𝑥 3
𝑥 2 −3
и построить ее график.
Вариант 16
Найти предел функции:
23𝑥 8 − 17𝑥 6 + 1
1. lim
𝑥→∞ −3 + 8𝑥 2 + 7𝑥 8
𝑥2 − 𝑥 − 2
2. lim
𝑥→2 3 − √7 + 𝑥
3. lim (√𝑥 2 − 5𝑥 + 3 – √𝑥 2 + 𝑥 − 7 )
𝑥→∞
5. lim (𝑥 2 − 1)tg
𝑥→1
𝜋𝑥
2
7𝑥 + 8 7𝑥+1
6. lim (
)
𝑥→∞ 7𝑥 − 1
7. lim (sin 3𝑥)sin 5𝑥
𝑥→0
𝑒 8𝑥 − 1
8. lim
𝑥→0 cos 2 5𝑥 − 1
2
𝑥 −2
4. lim 4
2
𝑥→√2 𝑥 − 3𝑥 + 2
Продифференцировать функцию:
2
9. 𝑦(𝑥) = ln(3𝑥 − 1) ∙ (arccos 5 − 3sin𝑥 ) ; 𝑦′−?
𝑥
2𝑥 + ctg 𝑥
10. 𝑦(𝑥) =
; 𝑑𝑦−?
𝑒 arctg 𝑥
11.
Составить
уравнение
касательной
к
графику
𝑓(𝑥) = 2𝑥 2 + 4𝑥 + 1, параллельной оси Ox.
12. Проверить, является ли функция 𝑦(𝑥) = 5𝑒 −𝑥 sin 2𝑥
дифференциального уравнения 𝑦 ′′ + 2𝑦 ′ + 5𝑦 = 0.
22
функции
решением
13. Тело движется вдоль оси Ох по закону: 𝑥(𝑡) =
𝑡3
скорость и ускорение в момент времени 𝑡0 = 2.
14. Исследовать функцию 𝑦 =
𝑥 2 +4𝑥+1
3
+ 2𝑡 2 − 5𝑡. Найти
и построить ее график.
𝑥2
Вариант 17
Найти предел функции:
3𝑥 5 − 14𝑥 3 – 27
1. lim
𝑥→∞ 149 − 31𝑥 3 − 77𝑥 5
𝑥2 − 𝑥 − 2
2. lim
𝑥→2 √2 + 𝑥 − √2𝑥
3. lim (√𝑥 2 − 17𝑥 – √𝑥 2 − 5)
5. lim (𝑥 − 10)ctg 𝜋𝑥
𝑥→10
𝑥 − 5 −8𝑥+2
6. lim (
)
𝑥→∞ 𝑥 + 13
7. lim (tg 17𝑥)−5𝑥
𝑥→0
𝑥→∞
cos 17𝑥 − 1
7𝑥 2 − 13𝑥 − 2
8. lim
4. lim
𝑥→0 tg 𝑥 − sin3 5𝑥
𝑥→2 −2𝑥 2 − 𝑥 + 10
Продифференцировать функцию:
9. 𝑦(𝑥) = arccos(1 − 𝑥) ∙ (3sin 𝑥 − arctgx 2 𝑥); 𝑦′−?
𝑒 arcsin 𝑥
10. 𝑦(𝑥) =
; 𝑑𝑦−?
3𝑥 + tg 𝑥
11. Составить уравнение касательной к графику функции 𝑓(𝑥) = 2𝑥 2 −
−3𝑥 + 2, параллельной прямой 5𝑥 − 𝑦 = 1.
12. Проверить, является ли функция 𝑦(𝑥) = 2𝑒 −𝑥 cos 2𝑥 решением
дифференциального уравнения 𝑦 ′′ + 2𝑦 ′ + 5𝑦 = 0.
13. Тело движется вдоль оси Ох по закону: 𝑥(𝑡) =
скорость и ускорение в момент времени 𝑡0 = 2.
14. Исследовать функцию 𝑦 =
𝑥 3 −3𝑥
𝑥 2 −1
𝑡3
3
+
3𝑡 2
2
− 4𝑡. Найти
и построить ее график.
Вариант 18
Найти предел функции:
7
1. lim
𝑥→∞
9
11
√5𝑥 2 + 13𝑥 2 – 8𝑥 2
3
−5𝑥 2 + 13𝑥 − 8
4. lim 2
𝑥→1 2𝑥 + 21𝑥 − 23
11
−√𝑥 − 19𝑥 2 − 23𝑥 2
𝑥 2 − 3𝑥
5. lim sin 7𝑥 ∙ ln 2𝑥
2. lim 3
𝑥→0 √1 + 𝑥 − 3√1 − 𝑥
𝑥→+0
11 − 11𝑥 11−11𝑥
6. lim (
)
𝑥→∞ 12 − 11𝑥
3. lim (√𝑥 2 − 2𝑥 + 1 – √𝑥 2 − 17 )
𝑥→∞
23
7.
𝑒 2𝑥 − 𝑒 18𝑥
8. lim
𝑥→0 𝑥cos 2𝑥
lim (13𝑥)tg21𝑥
𝑥→0
Продифференцировать функцию:
𝑥
9. 𝑦(𝑥) = cos 3 ∙ (arcsin3 √𝑥 + 1 − 2tg𝑥 ); 𝑦′−?
2
sin 𝑥 − 4𝑥
10. 𝑦(𝑥) = arccos𝑥 ; 𝑑𝑦−?
𝑒
11. Составить уравнение касательной к графику функции 𝑓(𝑥) = 3𝑥 2 +
+2𝑥 − 4, параллельной оси Ox.
12. Проверить, является ли функция 𝑦(𝑥) = 2𝑒 −𝑥 sin 2𝑥 решением
дифференциального уравнения 𝑦 ′′ + 2𝑦 ′ + 5𝑦 = 0.
13. Тело движется вдоль оси Ох по закону: 𝑥(𝑡) =
скорость и ускорение в момент времени 𝑡0 = 1.
14. Исследовать функцию 𝑦 =
(𝑥+1)2
𝑡3
3
−
5𝑡 2
2
+ 6𝑡. Найти
и построить ее график.
2(𝑥−2)
Вариант 19
Найти предел функции:
13𝑥 2 + 14𝑥 3 + 15𝑥 4
1. lim
𝑥→∞
√2𝑥 4 − 13√𝑥
𝑥2 + 𝑥 − 2
2. lim
𝑥→1 √1 + 𝑥 − √2𝑥
3. lim (√𝑥 2 − 17𝑥 + 37 – √𝑥 2 − 1)
5. lim sin 3𝑥 ∙ ln 𝑥
𝑥→+0
14 − 13𝑥 −5𝑥
6. lim (
)
𝑥→∞ 21 − 13𝑥
7. lim (sin 21𝑥)3𝑥
𝑥→0
𝑥→∞
𝑒 𝑥𝑥2 − 𝑥
8. lim
𝑥→0 sin 17𝑥
−3𝑥 2 + 4𝑥 + 4
4. lim 2
𝑥→2 2𝑥 + 7𝑥 − 22
Продифференцировать функцию:
3
9. 𝑦(𝑥) = arcsin 𝑥 ∙ (log 3 𝑥 − 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑡𝑔𝑥 5 ) ; 𝑦′−?
𝑥
𝑒 arctg 𝑥
10. 𝑦(𝑥) =
; 𝑑𝑦−?
cos 𝑥 + 3𝑥
11.
Составить
уравнение
касательной
к
графику
функции
о
𝑓(𝑥) = 3𝑥 − 𝑥 2 + 2, образующей с осью Ox угол 45 .
12. Проверить, является ли функция y(𝑥) = −𝑒 −𝑥 cos 2𝑥 решением
дифференциального уравнения 𝑦 ′′ + 2𝑦 ′ + 5𝑦 = 0.
13. Тело движется вдоль оси Ох по закону: 𝑥(𝑡) =
скорость и ускорение в момент времени 𝑡0 = 3.
14. Исследовать функцию 𝑦 =
𝑥3
𝑥 4 −1
𝑡3
3
− 3𝑡 2 + 8𝑡. Найти
и построить ее график.
24
Вариант 20
Найти предел функции:
13𝑥 7 + 21𝑥 5 + 16
1. lim
𝑥→∞ −4𝑥 7 − 3𝑥 3 + 2
3
√8 + 3𝑥 + 𝑥 2 − 2
2. lim
𝑥→0
𝑥 + 𝑥2
3. lim (√𝑥 2 − 7𝑥 + 24 – √𝑥 2 + 26𝑥 − 13 )
𝑥→∞
5. lim sin 13𝑥 ∙ ln 27𝑥
𝑥→+0
13 − 5𝑥 24𝑥+8
6. lim (
)
𝑥→∞ 16 − 5𝑥
7. lim (sin 5𝑥)tg 13𝑥
𝑥→0
𝑒 13𝑥 − cos𝑥
𝑥 − 27𝑥 + 50
8. lim
4. lim
𝑥→0 3𝑥 + tg 5𝑥
𝑥→2 3𝑥 2 − 5𝑥 − 2
Продифференцировать функцию:
9. 𝑦(𝑥) = arctg3𝑥 ∙ (ctg√2 − 𝑥 − log 3 3 𝑥 ); 𝑦′−?
tg 𝑥 − 5𝑥
10. 𝑦(𝑥) = arcsin𝑥 ; 𝑑𝑦−?
𝑒
11.
Составить
уравнение
касательной
к
графику
функции
2
f(𝑥) = 3 + 2𝑥 − 𝑥 , перпендикулярной прямой 4𝑦 + 𝑥 = 1.
12. Проверить, является ли функция 𝑦(𝑥) = 3𝑒 −𝑥 sin 2𝑥 решением
дифференциального уравнения 𝑦 ′′ + 2𝑦 ′ + 5𝑦 = 0.
2
13. Тело движется вдоль оси Ох по закону: 𝑥(𝑡) =
скорость и ускорение в момент времени 𝑡0 = 1.
14. Исследовать функцию 𝑦 =
𝑥 2 +3
𝑥−1
𝑡3
3
−
3𝑡 2
2
+ 12𝑡. Найти
и построить ее график.
Вариант 21
Найти предел функции:
3𝑥 − 2𝑥 3 + 3𝑥 7
1. lim
𝑥→∞ 13𝑥 7 – 𝑥 + 3𝑥 2
√1 − 2𝑥 + 3𝑥 2 + 𝑥 − 1
2. lim
𝑥→0
𝑥
2
3. lim (√𝑥 – 17𝑥 + 8 − √𝑥 2 + 11𝑥 − 1)
𝑥→∞
5𝑥 2 − 8𝑥 − 4
4. lim
𝑥→2 −3𝑥 2 + 𝑥 + 10
Продифференцировать функцию:
5. lim sin 9𝑥 ∙ ln 13𝑥
𝑥→+0
2𝑥 + 1 3𝑥
6. lim (
)
𝑥→∞ 2𝑥 − 7
7. lim (𝑥 − 2)sin 𝜋𝑥
𝑥→2
8. lim
𝑥→0
3
9. 𝑦(𝑥) = arcctg(1 − 2𝑥) ∙ (arcsin − log 2 5 𝑥 ) ; 𝑦′−?
arctg 𝑥
10. 𝑦(𝑥) =
𝑒
; 𝑑𝑦−?
2𝑥 + sin 𝑥
𝑥
25
sin 𝑥 − 𝑥
−√3𝑥 2
11.
Составить
уравнение
касательной
к
графику
функции
𝑓(𝑥) = 3𝑥 2 + 𝑥 + 2, параллельной прямой 5𝑥 + 𝑦 = 2 .
12. Проверить, является ли функция 𝑦(𝑥) = −𝑒 −𝑥 sin 2𝑥 решением
дифференциального уравнения 𝑦 ′′ + 2𝑦 ′ + 5𝑦 = 0.
13. Тело движется вдоль оси Ох по закону: 𝑥(𝑡) =
𝑡3
скорость и ускорение в момент времени 𝑡0 = 3.
3
+ 2𝑡 2 − 5𝑡. Найти
𝑥2
14. Исследовать функцию 𝑦 = (𝑥−3)2 и построить ее график.
Вариант 22
Найти предел функции:
√27𝑥 3 − 3𝑥 2 + 𝑥
1. lim
𝑥→∞ 2𝑥 3 − 7𝑥 + 11
√9 + 2𝑥 − 5
2. lim
𝑥→8
𝑥 2 − 8𝑥
3. lim (√𝑥 2 − 3𝑥 + 71 – √𝑥 2 + 8𝑥 − 3)
5. lim tg 3𝑥 ∙ ln 74𝑥
𝑥→+0
5 − 8𝑥 2𝑥+23
6. lim (
)
𝑥→∞ 4 − 8𝑥
7. lim (𝑥 2 − 4)sin 𝜋𝑥
𝑥→2
𝑥→∞
ln(2𝑥 + 1)
−𝑥 2 + 6𝑥 − 9
8. lim 3𝑥
4. lim
𝑥→0 𝑒
− cos 2𝑥
𝑥→3 −2𝑥 2 + 3𝑥 + 9
Продифференцировать функцию:
9. 𝑦(𝑥) = arctg 3 𝑥 ∙ (ctg√2 − 𝑥 − log 3 3 𝑥); 𝑦′−?
ctg 𝑥 + 4𝑥
10. 𝑦(𝑥) = arcsin 𝑥 ; 𝑑𝑦−?
𝑒
11.
Составить
уравнение
касательной
к
графику
функции
о
2
𝑓(𝑥) = −5𝑥 + 𝑥 + 4, образующей с осью Ox угол 45 .
12. Проверить, является ли функция 𝑦(𝑥) = 5𝑒 −𝑥 cos 2𝑥 решением
дифференциального уравнения 𝑦 ′′ + 2𝑦 ′ + 5𝑦 = 0.
13. Тело движется вдоль оси Ох по закону: 𝑥(𝑡) =
скорость и ускорение в момент времени 𝑡0 = 3.
14. Исследовать функцию 𝑦 =
𝑥3
(𝑥+4)2
𝑡3
3
+
3𝑡 2
2
− 4𝑡. Найти
и построить ее график.
Вариант 23
Найти предел функции:
3𝑥 8 + 2𝑥 2 − 5
1. lim
𝑥→∞ −√3𝑥 8 − 𝑥 2 − 2𝑥
3
√𝑥 − 6 + 2
2. lim
𝑥→−2 𝑥 2 + 2𝑥
3. lim (√𝑥 2 + 1 – √𝑥 2 − 1 )
𝑥→∞
7𝑥 2 − 5𝑥 − 2
4. lim
𝑥→1 2 − 13𝑥 + 11𝑥 2
26
7. lim (sin 5𝑥)tg 31𝑥
5. lim (1 − cos 𝑥)ctg 𝑥
𝑥→+0
𝑥→0
3−7𝑥
𝑒 𝑥 cos 5𝑥 − 𝑒 3𝑥
8. lim
𝑥→0
sin𝑥
3 − 7𝑥
6. lim (
)
𝑥→∞ 14 − 7𝑥
Продифференцировать функцию:
𝑥
3
9. 𝑦(𝑥) = arccos ∙ (7sin𝑥 − arctg 8 ) ; 𝑦′−?
2
𝑥
3𝑥 − tg 𝑥
10. 𝑦(𝑥) = arcsin 𝑥 ; 𝑑𝑦−?
𝑒
11.
Составить
уравнение
касательной
к
графику
функции
2
𝑓(𝑥) = 4𝑥 − 3𝑥 + 2, перпендикулярной прямой 5𝑦 + 𝑥 = 1.
12. Проверить, является ли функция 𝑦(𝑥) = −2𝑒 −𝑥 sin 2𝑥 решением
дифференциального уравнения 𝑦 ′′ + 2𝑦 ′ + 5𝑦 = 0.
13. Тело движется вдоль оси Ох по закону: 𝑥(𝑡) =
𝑡3
3
−
5𝑡 2
2
+ 6𝑡. Найти
скорость и ускорение в момент времени 𝑡0 = 4.
𝑥
14. Исследовать функцию 𝑦 = 3
и построить ее график.
𝑥 +2
Вариант 24
Найти предел функции:
13𝑥 7 + 21𝑥 5 − √3
1. lim
𝑥→∞ √7𝑥 7 − 3𝑥 3 − 27
√1 − 𝑥 − 3
2. lim
𝑥→−8 𝑥 2 + 8𝑥
3. lim (√𝑥 2 + 𝑥 + 1 – √𝑥 2 − 𝑥 + 1 )
5. lim (1 − cos 2 2𝑥) ∙ ctg 11𝑥
𝑥→0
5 − 12𝑥 5−3𝑥
6. lim (
)
𝑥→∞ 7 − 12𝑥
7. lim (sin2 3𝑥)𝑥
2
𝑥→0
𝑥→∞
𝑥 − sin5𝑥
𝑥→0 𝑒 3𝑥 − 𝑒 4𝑥
2𝑥 2 − 15𝑥 − 38
4. lim
𝑥→−2 3𝑥 2 − 17𝑥 − 46
Продифференцировать функцию:
8. lim
3
9. 𝑦(𝑥) = arcctg 3𝑥 ∙ (4ctg 𝑥 − arccos 6 ) ; 𝑦′−?
𝑥
sin𝑥 − 5𝑥
10. 𝑦(𝑥) = arcctg 𝑥 ; 𝑑𝑦−?
𝑒
11.
Составить
уравнение
касательной
к
графику
функции
о
2
𝑓(𝑥) = 3𝑥 − 2𝑥 − 3, образующей с осью Ox угол 135 .
12. Проверить, является ли функция 𝑦(𝑥) = −3𝑒 −𝑥 cos 2𝑥 решением
дифференциального уравнения 𝑦 ′′ + 2𝑦 ′ + 5𝑦 = 0.
13. Тело движется вдоль оси Ох по закону: 𝑥(𝑡) =
скорость и ускорение в момент времени 𝑡0 = 1.
27
𝑡3
3
− 3𝑡 2 + 8𝑡. Найти
14. Исследовать функцию 𝑦 =
2𝑥 3
𝑥 2 −1
и построить ее график.
Вариант 25
Найти предел функции:
15𝑥 3 − 14𝑥 − 1
1. lim
𝑥→∞
3𝑥 2 − 5𝑥 3
√𝑥 + 13 − 2√𝑥 + 1
2. lim
𝑥→3
𝑥 2 − 4𝑥 + 3
3. lim (√𝑥 2 − 5 – √𝑥 2 − 𝑥 − 5 )
5. lim (1 − cos 7𝑥) ∙ ctg 3𝑥
𝑥→0
1 − 𝑥 2−3𝑥
6. lim (
)
𝑥→∞ 11 − 𝑥
7. lim (sin 5𝑥)𝑥
2
𝑥→0
𝑥→∞
15𝑥 − cos 3𝑥
2𝑥 2 − 7𝑥 − 130
8. lim
4. lim
𝑥→0 𝑒 𝑥 sin 5𝑥
𝑥→10 −3𝑥 2 + 15𝑥 + 150
Продифференцировать уравнение:
9. 𝑦(𝑥) = 4sin 3𝑥 ∙ (log 4 𝑥 − arcsin4 √4 − 𝑥); 𝑦′−?
ctg 𝑥 + 3𝑥
10. 𝑦(𝑥) = arccos 𝑥 ; 𝑑𝑦−?
𝑒
11.
Составить
уравнение
касательной
к
графику
функции
2
𝑓(𝑥) = 5𝑥 − 3𝑥 + 2, параллельной прямой 3𝑦 + 3𝑥 = 1.
12. Проверить, является ли функция 𝑦(𝑥) = −2𝑒 −𝑥 cos 2𝑥 решением
дифференциального уравнения 𝑦 ′′ + 2𝑦 ′ + 5𝑦 = 0.
13. Тело движется вдоль оси Ох по закону: 𝑥(𝑡) =
скорость и ускорение в момент времени 𝑡0 = 2.
14. Исследовать функцию 𝑦 =
𝑥 2 +1
𝑥
𝑡3
3
−
𝑡2
32
+ 12𝑡. Найти
и построить ее график.
Вариант 26
Найти предел функции:
3
1. lim
𝑥→∞
2𝑥 2 + 𝑥– 2
5. lim ctg 𝜋𝑥 ∙ ln𝑥
𝑥→1
3
8𝑥 2
𝑥 + 1 17𝑥−2
6. lim (
)
𝑥→∞ 𝑥 − 1
−7𝑥 −
+1
√𝑥 + 13 − 2√𝑥 + 1
2. lim
𝑥→3
𝑥2 − 9
3. lim (√𝑥 2 − 1 – √𝑥 2 + 8𝑥)
7. lim (sin 3𝑥)𝑥
𝑥→+0
𝑥→∞
12 + 11𝑥 − 5𝑥 2
4. lim
𝑥→3 11𝑥 2 − 25𝑥 − 24
Продифференцировать функцию:
tg 3𝑥 − 3𝑥
𝑥→0
7𝑥 2
8. lim
𝑥
9. 𝑦(𝑥) = (arcsin 𝑥 ∙ log 3 4 𝑥 + ctg 3 ) ∙ (3tg 𝑥 − arcctg 4 √𝑥); 𝑦′−?
6
28
cos 𝑥 + 2𝑥
; 𝑑𝑦−?
𝑒 arctg 𝑥
11.
Составить
уравнение
касательной
к
графику
функции
2
𝑓(𝑥) = 6𝑥 + 2𝑥 + 4, перпендикулярной прямой 4𝑦 − 𝑥 = 1.
12. Проверить, является ли функция 𝑦(𝑥) = −3𝑒 −𝑥 sin 2𝑥 решением
дифференциального уравнения 𝑦 ′′ + 2𝑦 ′ + 5𝑦 = 0.
10. 𝑦(𝑥) =
13. Тело движется вдоль оси Ох по закону: 𝑥(𝑡) =
𝑡3
скорость и ускорение в момент времени 𝑡0 = 4.
14. Исследовать функцию 𝑦 =
𝑥 3 +4
𝑥2
3
+ 2𝑡 2 − 5𝑡. Найти
и построить ее график.
Вариант 27
Найти предел функции:
√5𝑥 3 − 8𝑥 2 + 5
1. lim
𝑥→∞ 13𝑥 3 − 9𝑥 + 23
2 − √1 − 𝑥
2. lim
𝑥→−3 𝑥 2 + 3𝑥
3. lim (√𝑥 2 − 37𝑥 + 24 – √𝑥 2 − 9𝑥 + 24)
𝑥→∞
5. lim tg 2𝑥 ∙ ln 16𝑥
𝑥→+0
6𝑥 − 13 8𝑥−7
6. lim (
)
𝑥→∞ 6𝑥 + 24
7. lim (√2𝑥)
sin 5𝑥
𝑥→0
ln(1 + 𝑥) − 𝑥
𝑥→0
𝑥2
3𝑥 2 − 5𝑥 − 2
4. lim
𝑥→2 7𝑥 − 2𝑥 2 − 6
Продифференцировать функцию:
8. lim
6
9. 𝑦 = 2cos 4𝑥 ∙ (log 3 (2𝑥 − 1) − arccos 3 ) ; 𝑦′−?
𝑥
ctg 𝑥 + 3𝑥
10. 𝑦(𝑥) = arcsin 𝑥 ; 𝑑𝑦−?
𝑒
11.
Составить
уравнение
касательной
к
графику
функции
2
𝑓(𝑥) = 4𝑥 − 3𝑥 − 5, параллельной прямой 𝑦 − 5𝑥 = 3.
12. Проверить, является ли функция 𝑦(𝑥) = 4𝑒 −𝑥 cos 2𝑥 решением
дифференциального уравнения 𝑦 ′′ + 2𝑦 ′ + 5𝑦 = 0.
13. Тело движется вдоль оси Ох по закону: 𝑥(𝑡) =
скорость и ускорение в момент времени 𝑡0 = 4.
14. Исследовать функцию 𝑦 =
𝑥 2 +1
2𝑥
𝑡3
3
+
3𝑡 2
2
− 4𝑡. Найти
и построить ее график.
Вариант 28
Найти предел функции:
31𝑥 5 − 𝑥 3 + 8
1. lim
𝑥→∞
3 + −𝑥 5
2. lim
𝑥→5 1
29
𝑥 2 − 5𝑥
− √𝑥 − 4
𝑥 − 27 34𝑥
6. lim (
)
𝑥→∞ 𝑥 + 31
3. lim (√𝑥 2 − 3𝑥 + 1 − √𝑥 2 − 1)
𝑥→∞
3𝑥 2 − 2𝑥 − 16
4. lim
𝑥→−2 7𝑥 2 + 5𝑥 − 18
7. lim (sin 5𝑥)cos𝑥−1
𝑥→0
tg 2𝑥 − sin 𝑥
𝑥→0
23𝑥
8. lim
5. lim ctg 3𝑥 ∙ ln(1 + 7𝑥)
𝑥→0
Продифференцировать функцию:
3
9. 𝑦 = log 2 sin 𝑥 ∙ (arctg 5 − 5cos 𝑥 ) ; 𝑦′−?
𝑥
sin 𝑥 − 5𝑥
10. 𝑦(𝑥) = arcctg 𝑥 ; 𝑑𝑦−?
𝑒
11.
Составить
уравнение
касательной
к
графику
функции
о
2
𝑓(𝑥) = 5𝑥 − 2𝑥 − 3𝑥, образующей с осью Ox угол 45 .
12. Проверить, является ли функция 𝑦(𝑥) = −3𝑒 −𝑥 sin2𝑥 решением
дифференциального уравнения 𝑦 ′′ + 2𝑦 ′ + 5𝑦 = 0.
13. Тело движется вдоль оси Ох по закону: 𝑥(𝑡) =
скорость и ускорение в момент времени 𝑡0 = 5.
14. Исследовать функцию 𝑦 =
36𝑥
1+𝑥 2
𝑡3
3
−
5𝑡 2
2
− 6𝑡. Найти
и построить ее график.
Вариант 29
Найти предел функции:
19
1. lim
𝑥→∞
2. lim
5. lim (𝑥 − 1)𝑡𝑔
−3𝑥 2 + 31𝑥 3 – √3
18√𝑥 + 3𝑥 2 −
𝑥 2 − 4𝑥
𝑥→1
19
7𝑥 2
𝜋𝑥
2
17𝑥 + 1 𝑥+2
6. lim (
)
𝑥→∞ 17𝑥 + 3
𝑥→4 3
− √2𝑥 + 1
3. lim (√𝑥 2 − 7 − √𝑥 2 + 29𝑥)
7. lim (𝑙𝑛(1 − 2𝑥))sin 3𝑥
𝑥→−0
𝑥→∞
𝑥 − sin 5𝑥
2𝑥 2 − 𝑥 − 45
8. lim
4. lim 2
𝑥→0 𝑥 + sin 5𝑥
𝑥→5 𝑥 − 3𝑥 − 10
Продифференцировать функцию:
9. 𝑦 = (5ctg 2𝑥 + ctg 5 2𝑥) ∙ (cos√4𝑥 + 3 ); 𝑦′−?
√𝑥 + arcsin 𝑥
10. 𝑦 =
; 𝑑𝑦−?
sin 𝑥
11. Составить уравнение касательной к графику функции 𝑦 = √𝑥,
параллельной прямой 2𝑦 − 𝑥 − 6 = 0.
12. Показать, что функция 𝑦 = e𝑥 cos4𝑥 удовлетворяет дифференциальному
уравнению 𝑦 ′′ − 2𝑦 ′ + 17𝑦 = 0.
30
13. Тело движется прямолинейно по закону: 𝑆(𝑡) =
3𝑡 2
2
+
𝑡3
3
. Какую
скорость и какое ускорение будет иметь тело через 4 секунды после начала
движения?
14. Исследовать функцию 𝑦 =
𝑥2
1−𝑥 3
и построить ее график.
Вариант 30
Найти предел функции:
7𝑥 4 − 8𝑥 6 – 4
1. lim
𝑥→∞ 18 + 3𝑥 2 − 7𝑥 6
𝑥2 − 𝑥 − 2
2. lim
𝑥→2 √5𝑥 − 1 − 𝑥 − 1
5. lim (4 − 𝑥 2 )ctg 𝜋𝑥
𝑥→2
4𝑥 + 5 4𝑥−5
6. lim (
)
𝑥→∞ 4𝑥 − 1
7. lim (ctg 3𝑥)sin 7𝑥
3. lim (√𝑥 2 − 3𝑥 – √𝑥 2 + 𝑥 + 1)
𝑥→0
𝑥→∞
𝑒 3𝑥 − cos5𝑥
8. lim
𝑥→0
3 tg 4𝑥
4𝑥 2 + 5𝑥 − 21
4. lim
𝑥→−3
𝑥 3 + 27
Продифференцировать функцию:
9. 𝑦 = (arccos
3
√
𝑥
− tg 4 ) ∙ 4ctg (3𝑥−2) ; 𝑦′−?
𝑥
3
2𝑥 − arctg 2𝑥
10. 𝑦 =
; 𝑑𝑦−?
𝑒 5 sin 5𝑥
11. Составить уравнение касательной к графику функции y = 3𝑥 2 − 5𝑥 + 4,
параллельной прямой 𝑦 = 7𝑥 + 2.
12. Показать, что функция 𝑦 = 3𝑒 −2𝑥 sin 4𝑥 является решением
дифференциального уравнения 𝑦 ′′ + 4𝑦 ′ + 20𝑦 = 0.
13. Тело движется вдоль оси Ox по закону: 𝑆(𝑡) =
скорость и ускорение в момент времени t = 3.
14. Исследовать функцию 𝑦 =
𝑥 2 −3
𝑥+2
𝑡3
3
− 𝑡 2 + 4𝑡. Найти
и построить ее график.
31
2. ЗАДАНИЯ ПО ТЕМЕ: ИНТЕГРАЛЬНОЕ
ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
ИСЧИСЛЕНИЕ
Примерный вариант заданий с решением
Найти / вычислить интегралы:
𝑒 2𝑥 + 𝑒 𝑥
1. ∫ 𝑥
𝑑𝑥
𝑒 −1
2𝑥 2 − 4𝑥 + 5
6. ∫
𝑑𝑥
3𝑥 2 + 8
2. ∫ arctg√5𝑥 − 1𝑑𝑥
7. ∫
2
3. ∫(2𝑥 + 1)ln𝑥𝑑𝑥
8. ∫
1
𝑥 + 17
𝑑𝑥
𝑥 3 − 2𝑥 2 − 5𝑥 + 6
𝑑𝑥
√(25 + 𝑥 2 )3
𝑥
𝑥
4. ∫ sin6 cos 2 𝑑𝑥
63
2
2
𝑑𝑥
1 − 3𝑥
9.
∫
3
5. ∫
𝑑𝑥
√𝑥 + 1 + √𝑥 + 1
√9 + 8𝑥 − 𝑥 2
0
10*. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций:
𝑦 = 2𝑥 − 𝑥 2 + 3, 𝑦 = 𝑥 2 − 4𝑥 + 3 . Сделать чертеж.
10**. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси Ox фигуры,
ограниченной графиками функций: 𝑦 = 𝑥 2 − 2𝑥 + 1, 𝑦 = 0, 𝑥 = 2. Сделать
чертеж.
Решение
(𝑒 𝑥 + 1)𝑒 𝑥
𝑒 2𝑥 + 𝑒 𝑥
1. ∫ 𝑥
𝑑𝑥 = ∫
𝑑𝑥 =
𝑒 −1
𝑒𝑥 − 1
замена переменной:
𝑡+1
𝑡−1+2
𝑒𝑥 = 𝑡
=[
]=∫
𝑑𝑡 = ∫
𝑑𝑡 =
𝑥)
𝑑(𝑒 = 𝑑𝑡
𝑡−1
𝑡−1
𝑒 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑑𝑡
2
𝑑𝑡
= ∫1 +
𝑑𝑡 = ∫ 𝑑𝑡 + 2 ∫
= 𝑡 − 2ln|𝑡 − 1| + 𝐶 =
𝑡−1
𝑡−1
= 𝑒 𝑥 − 2ln|𝑒 𝑥 − 1| + 𝐶
2. ∫ 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔√5𝑥 − 1𝑑𝑥
Интегралы вида: ∫ 𝑃(𝑥) ln 𝑥 𝑑𝑥, ∫ 𝑃(𝑥)arctg 𝑥 𝑑𝑥, ∫ 𝑃(𝑥) arcsin 𝑥 𝑑𝑥,
где 𝑃(𝑥) – многочлен, находят методом интегрирования по частям, причем,
32
за 𝑢(𝑥) принимается трансцендентная функция: ln 𝑥 (ln𝑛 𝑥, ln(𝑓(𝑥))) или
arctg 𝑥(arcctg 𝑥) или arcsin 𝑥 (arccos 𝑥).
Формула интегрирования по частям имеет вид: ∫ 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣𝑑𝑢.
𝑑𝑥
𝑢 = arctg√5𝑥 − 1 , 𝑑𝑢 =
∫ arctg√5𝑥 − 1𝑑𝑥 = [
2𝑥√5𝑥 − 1] =
𝑑𝑣 = 𝑑𝑥 , 𝑣 = 𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑥
= 𝑥 arctg√5𝑥 − 1 − ∫ 𝑥
= 𝑥 arctg√5𝑥 − 1 − ∫
=
2𝑥√5𝑥 − 1
2√5𝑥 − 1
1
1 1
−
= 𝑥 arctg√5𝑥 − 1 − ∙ ∫(5𝑥 − 1) 2 𝑑(5𝑥 − 1) =
2 5
1
= 𝑥 arctg√5𝑥 − 1 − √5𝑥 − 1 + 𝐶
5
2
3. ∫(2𝑥 + 1)ln𝑥𝑑𝑥
1
𝑏
𝑏
Формула интегрирования по частям имеет вид: ∫𝑎 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣|𝑏𝑎 − ∫𝑎 𝑣𝑑𝑢.
2
1
𝑢 = ln𝑥,
𝑑𝑢 = 𝑑𝑥
∫(2𝑥 + 1)ln𝑥𝑑𝑥 = [
]=
𝑥
2
𝑑𝑣 = (2𝑥 + 1)𝑑𝑥, 𝑣 = 𝑥 + 𝑥
1
2
2
𝑥2 + 𝑥
2
2
= (𝑥 + 𝑥)ln𝑥|1 − ∫
𝑑𝑥 = (4 + 2)ln2 − (1 + 1)ln1 − ∫(𝑥 + 1) 𝑑𝑥 =
𝑥
1
2
1
2
𝑥
1
= 6ln2 − ( + 𝑥)| = 6ln2 − (2 + 2) + ( + 1) = 6ln2 − 2,5
2
2
1
𝑥
𝑥
4. ∫ sin6 cos 2 𝑑𝑥
2
2
Для вычисления интегралов вида ∫ sin2𝑚 𝑥 cos 2𝑛 𝑥 d𝑥, где 𝑚, 𝑛 – целые
неотрицательные числа, применяются формулы понижения степени:
1
1−cos2𝑥
[sin 𝑥 cos 𝑥 = sin 2𝑥 , sin2 𝑥 =
, cos 2 𝑥 =
2
2
𝑥
𝑥
𝑥
𝑥
𝑥
∫ sin6 cos 2 𝑑𝑥 = ∫ (sin2 )2 (sin cos )2 𝑑𝑥 =
2
2
2
2
2
1 − cos𝑥 2 1
1
= ∫(
) ( sin 𝑥)2 𝑑𝑥 =
∫(1 − cos𝑥)2 sin2 𝑥𝑑𝑥 =
2
2
16
1
=
∫(1 − 2 cos 𝑥 + cos 2 𝑥) sin2 𝑥𝑑𝑥 =
16
33
1+cos2𝑥
2
]
1
(∫ sin2 𝑥𝑑𝑥 − 2 ∫ cos 𝑥 sin2 𝑥 𝑑𝑥 + ∫ cos 2 𝑥 sin2 𝑥𝑑𝑥) =
16
1
1 − cos2𝑥
=
(∫
𝑑𝑥 − 2 ∫ cos 𝑥 sin2 𝑥𝑑𝑥 + ∫ cos 2 𝑥 sin2 𝑥𝑑𝑥) =
16
2
1
1 − cos2𝑥
=
(∫
𝑑𝑥 − 2 ∫ sin2 𝑥𝑑(sin 𝑥) + ∫(sin 𝑥 cos 𝑥)2 𝑑𝑥) =
16
2
1 1
1
2
1
=
( ∫ 𝑑𝑥 − ∫ cos 2𝑥𝑑𝑥 − sin3 𝑥 + ∫( sin 2𝑥)2 𝑑𝑥) =
16 2
2
3
2
1 1
1
2
1
=
( 𝑥 − sin 2𝑥 − sin3 𝑥 + ∫ sin2 2𝑥𝑑𝑥) =
16 2
4
3
4
1 1
1
2 3
1 1 − cos 4𝑥
=
( 𝑥 − sin 2𝑥 − sin 𝑥 + ∫
𝑑𝑥 =
16 2
4
3
4
2
1 1
1
2
1
1
=
( 𝑥 − sin 2𝑥 − sin3 𝑥 + 𝑥 − sin 4𝑥) + 𝐶 =
16 2
4
3
8
32
1 5
1
2
1
=
( 𝑥 − sin 2𝑥 − sin3 𝑥 − sin 4𝑥) + 𝐶
16 8
4
3
32
=
5. ∫
1 − 3𝑥
√9 + 8𝑥 − 𝑥 2
𝑑𝑥 =
Выделим полный квадрат в подкоренном выражении:
9 + 8𝑥 − 𝑥 2 = −(𝑥 2 − 8𝑥 + 16) + 25 = 25 − (𝑥 − 4)2
= [
]=
Замена переменной: 𝑥 − 4 = 𝑡 => 𝑥 = 𝑡 + 4, 𝑑𝑥 = 𝑑𝑡,
9 + 8𝑥 − 𝑥 2 = 25 − 𝑡 2
=∫
1 − 3(𝑡 + 4)
√25 − 𝑡 2
−2𝑡𝑑𝑡
𝑑𝑡 = ∫
−3𝑡 − 11
𝑑𝑡 = ∫
−3𝑡𝑑𝑡
−∫
11𝑑𝑡
√25 − 𝑡 2
√25 − 𝑡 2
√25 − 𝑡 2
𝑑𝑡
= 3∫
− 11 ∫
=
2√25 − 𝑡 2
√52 − 𝑡 2
𝑑(25 − 𝑡 2 )
𝑡
𝑡
= 3∫
− 11arcsin = 3√25 − 𝑡 2 − 11arcsin + 𝐶 =
5
5
2√25 − 𝑡 2
𝑥−4
= 3√9 + 8𝑥 − 𝑥 2 − 11arcsin
+С
5
=
2𝑥 2 − 4𝑥 + 5
6. ∫
𝑑𝑥
3𝑥 2 + 8
2𝑥 2 −4𝑥+5
3𝑥 2 +8
 неправильная рациональная дробь (так как высшие
степени многочленов в числителе и знаменателе равны).
Выделим целую часть:
34
2𝑥 2 − 4𝑥 + 5 1 3(2𝑥 2 − 4𝑥 + 5) 1 6𝑥 2 − 12𝑥 + 15
= ∙
= ∙
3𝑥 2 + 8
3
3𝑥 2 + 8
3
3𝑥 2 + 8
1 2(3𝑥 2 + 8) + (−12𝑥 − 1) 1
−12𝑥 − 1
= ∙
=
∙
(2
+
)
3
3𝑥 2 + 8
3
3𝑥 2 + 8
−12𝑥−1
Правильная дробь
является простейшей дробью II типа. Так как
2
3𝑥 +8
знаменатель–квадратный двучлен, то дробь раскладывают на сумму дробей:
−12𝑥 − 1
12𝑥
1
=
−
−
=
3𝑥 2 + 8
3𝑥 2 + 8 3𝑥 2 + 8
1
−12𝑥 − 1
1
12𝑥𝑑𝑥
𝑑𝑥
= ∫ (2 +
𝑑𝑥
=
=
(2𝑥
−
∫
−
∫
=
)
3
3𝑥 2 + 8
3
3𝑥 2 + 8
3𝑥 2 + 8
1
6𝑥𝑑𝑥
3𝑑𝑥
= (2𝑥 − 2 ∫ 2
−∫
=
3
3𝑥 + 8
3(3𝑥 2 + 8)
1
𝑑(3𝑥 2 + 8)
𝑑(3𝑥)
= ∫(2𝑥 − 2 ∫
−
∫
2) =
3
3𝑥 2 + 8
2
(3𝑥) + (√24)
1
1
3𝑥
= (2𝑥 − 2 ln(3𝑥 2 + 8) −
arctg
)+𝐶
3
√24
√24
𝑥 + 17
𝑑𝑥
− 2𝑥 2 − 5𝑥 + 6
Подинтегральная функция – правильная рациональная дробь.
Разложим знаменатель 𝑥 3 − 2𝑥 2 − 5𝑥 + 6 на простые множители: линейные
множители или квадратные многочлены с отрицательным дискриминантом.
Так как 𝑥 = −1 – корень многочлена 𝑥 3 − 2𝑥 2 − 5𝑥 + 6, значит
𝑥 3 − 2𝑥 2 − 5𝑥 + 6 делится на (𝑥 − 1) без остатка:
Выполним деление «уголком»:
𝑥 3 − 2𝑥 2 − 5𝑥 + 6 𝑥 − 1
−𝑥 3 − 𝑥 2
𝑥2 − 𝑥 − 6
|
−𝑥 2 − 5𝑥 + 6
−(−𝑥 2 + 𝑥)
−6𝑥 + 6
|
−(−6𝑥 + 6)
0
Следовательно,
𝑥 3 − 2𝑥 2 − 5𝑥 + 6 = (𝑥 − 1)(𝑥 2 − 𝑥 − 6) = (𝑥 − 1)(𝑥 − 3)(𝑥 + 2).
7. ∫
𝑥3
Разложим дробь
𝑥+17
(𝑥−1)(𝑥−3)(𝑥+2)
на сумму простейших дробей
𝑥 + 17
𝐴
𝐵
𝐶
=
+
+
=
(𝑥 − 1)(𝑥 − 3)(𝑥 + 2) 𝑥 − 1 𝑥 − 3 𝑥 + 2
35
𝐴(𝑥 − 3)(𝑥 + 2) + 𝐵(𝑥 − 1)(𝑥 + 2) + 𝐶(𝑥 − 1)(𝑥 − 3)
=>
(𝑥 − 1)(𝑥 − 3)(𝑥 + 2)
𝑥 + 17 = 𝐴(𝑥 − 3)(𝑥 + 2) + 𝐵(𝑥 − 1)(𝑥 + 2) + 𝐶(𝑥 − 1)(𝑥 − 3)
Найдем коэффициенты A, B, C методом частных значений:
при х = 1 : 18 = – 6А А = – 3
при х = 3 : 20 = 10В В = 2
при х = –2 : 15 = 15С С = 1
Интегрируем рациональную дробь
𝑥 + 17
−3
2
1
∫ 3
𝑑𝑥
=
∫
𝑑𝑥
+
∫
𝑑𝑥
+
∫
𝑑𝑥 =
𝑥 − 2𝑥 2 − 5𝑥 + 6
𝑥−1
𝑥−3
𝑥+2
𝑑(𝑥 − 1)
𝑑(𝑥 − 3)
𝑑(𝑥 + 2)
= −3 ∫
+ 2∫
+∫
=
𝑥−1
𝑥−3
𝑥+2
= −3 ln|𝑥 − 1| + 2 ln|𝑥 − 3| + ln|𝑥 + 2| + 𝐶
=
8. ∫
𝑑𝑥
√(25 +
𝑥 2 )3
=
Замена переменной:
5
𝑥 = 5 tg 𝑡 ; 𝑑𝑥 =
𝑑𝑡;
cos 2 𝑡
=
25
5
5 =
√(25 + 𝑥 2 ) = √25 + 25tg 2 𝑡 = √ 2 =
=
cos 𝑡 |cos 𝑡| cos 𝑡
𝜋 𝜋
так
как
cos
𝑡
>
0
∀𝑡
∈
; )
(−
[
]
2 2
5𝑑𝑡
1
1
=∫
𝑑𝑡 = ∫ cos 𝑡𝑑𝑡 = sin𝑡 + 𝐶 =
5 3
25
25
cos 2 𝑡 (
)
cos 𝑡
5
𝑥 = 5tg𝑡 =
sin 𝑡
cos 𝑡
5
𝑥
= √25 + 𝑥 2
= cos 𝑡
=
+𝐶
2
+
𝑥
√25
𝑥 = √25 + 𝑥 2 sin 𝑡
𝑥
sin 𝑡 =
[
√25 + 𝑥 2 ]
63
9. ∫
0
𝑑𝑥
3
√𝑥 + 1 + √𝑥 + 1
=
36
Найдем наименьшее общее кратное показателя корня
подинтегрального выражения:
НОК(2; 3) = 6
6
Замена переменной √𝑥 + 1 = t 
=
=
𝑥 + 1 = 𝑡 6 , 𝑥 = 𝑡 6 − 1, 𝑑𝑥 = 6𝑡 5 𝑑𝑡
3
√𝑥 + 1 = 𝑡 2 ,
√𝑥 + 1 = 𝑡 3
[
2
]
2
2
2
2
(𝑡 3 + 1) − 1
6𝑡 5 𝑑𝑡
𝑡 3 𝑑𝑡
𝑡3 + 1
𝑑𝑡
∫ 3
=
6
∫
=
6
∫
𝑑𝑡
=
6(∫
𝑑𝑡
−
∫
)=
𝑡 + 𝑡2
𝑡+1
𝑡+1
𝑡+1
𝑡+1
1
2
1
1
2
1
1
(𝑡 + 1)(𝑡 2 − 𝑡 + 1)
6(∫
𝑑𝑡 − ln(𝑡 + 1)|12 ) = 6(∫(𝑡 2 − 𝑡 + 1) 𝑑𝑡 −
𝑡+1
1
1
𝑡3 𝑡2
− ln 3 + ln 2) = 6 ( − + 𝑡| 21−ln3 + ln2) =
3
2
8
1 1
2
2
= 6 (( − 2 + 2) − ( − + 1) + ln ) = 11 + 6 ln
3
3 2
3
3
10*. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций:
𝑦 = 2𝑥 − 𝑥 2 + 3, 𝑦 = 𝑥 2 − 4𝑥 + 3 . Сделать чертеж.
Графиком функции 𝑦 = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 является парабола, ветви
которой направлены вниз при a < 0, вверх при a > 0.
Координаты вершин параболы: xв= −
𝑏
2𝑎
, yв= 𝑦(−
𝑏
)
2𝑎 .
Для 𝑦 = 2𝑥 − 𝑥 2 + 3 ветви направлены вниз,(1; 4) – вершина параболы.
Для 𝑦 = 𝑥 2 − 4𝑥 + 3 ветви направлены вверх, (2; −1) – вершина параболы.
Найдем точки пересечения парабол: 𝑦 = 2𝑥 − 𝑥 2 + 3 и 𝑦 = 𝑥 2 − 4𝑥 + 3:
𝑦 = 2𝑥 − 𝑥 2 + 3
=> 2𝑥 − 𝑥 2 + 3 = 𝑥 2 − 4𝑥 + 3 => 2𝑥 2 − 6𝑥 = 0 =>
{
2
𝑦 = 𝑥 − 4𝑥 + 3
𝑦 =3
𝑥 =0
=> 1
=> 1
𝑥2 = 3
𝑦2 = 0
Итак, (0; 3), (3; 0) – точки пересечения
парабол.
Если фигура ограничена графиками функций
37
𝑦 = 𝑓(𝑥), 𝑦 = 𝑞(𝑥), 𝑥 = 𝑎, 𝑥 = 𝑏 (𝑎 < 𝑏), где 𝑓(𝑥) ≥ 𝑞(𝑥) ∀𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏], то
𝑏
𝑆фигуры = ∫𝑎 [𝑓(𝑥) − 𝑞(𝑥)]𝑑𝑥.
В данном случае: −𝑥 2 + 2𝑥 + 3 ≥ 𝑥 2 − 4𝑥 + 3 ∀𝑥 ∈ [0; 3]
3
Следовательно, 𝑆фигуры = ∫0 ((−𝑥 2 + 2𝑥 + 3) − (𝑥 2 − 4𝑥 + 3))𝑑𝑥 =
3
2
= ∫(−2𝑥 2 + 6𝑥)𝑑𝑥 = (− 𝑥 3 + 3𝑥 2 )|30 = (−18 + 27) − 0 = 9 (кв. ед. )
3
3
10**. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси Ox фигуры,
ограниченной графиками функций: 𝑦 = 𝑥 2 − 2𝑥 + 1, 𝑦 = 0, 𝑥 = 2.
Сделать чертеж.
𝑦 = 𝑥 2 − 2𝑥 + 1  график параболы, ветви
напавлены вверх, (1; 0) – вершина.
Вращаемая
фигура
–
криволинейная
трапеция.
Если вокруг оси 𝑂𝑥 вращается криволинейная трапеция, ограниченная
графиками функциями: 𝑦 = 𝑓(𝑥), 𝑦 = 0, 𝑥 = 𝑎, 𝑥 = 𝑏(𝑎 < 𝑏), причем
𝑓(𝑥) ≥ 0 ∀𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏], то объем тела вращения находится по формуле:
𝑏
𝑉 = 𝜋 ∫ 𝑓 2 (𝑥)𝑑𝑥
𝑎
В данном случае:
2
2
2
(𝑥 − 1)5
2
2
4
𝑉 = 𝜋 ∫(𝑥 − 2𝑥 + 1) 𝑑𝑥 = 𝜋 ∫(𝑥 − 1) 𝑑(𝑥 − 1) = 𝜋
| =
5
1
1
1
π
π
= − 0 = (куб. ед. )
5
5
Варианты заданий для самостоятельного решения (1–30)
В заданиях 1–9 найти/вычислить интегралы.
В задании 10 необходимо найти:
10* – площадь фигуры, ограниченной заданными линиями.
10** – объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох фигуры,
ограниченной графиками функций. Сделать чертеж.
38
Вариант 1
𝜋
𝑥 2 + 4𝑥 − 3
1. ∫
𝑑𝑥
𝑥2 + 9
𝑥
2. ∫ (4𝑥 − 7) 𝑐𝑜𝑠 𝑑𝑥
2
0
3. ∫ 7−𝑥 (3 − 𝑥)𝑑𝑥
4. ∫ arcctg(4𝑥)𝑑𝑥
5. ∫ 𝑠𝑖𝑛5 2𝑥𝑑𝑥
6. ∫
7. ∫
𝑥2
14
9. ∫
2
19 − 2𝑥
𝑑𝑥
− 2𝑥 + 82
𝑑𝑥
√𝑥 + 2 + 5
𝑑𝑥
𝑥 2 √9 − 𝑥 2
3𝑥 2 − 7𝑥 + 10
8. ∫ 2
𝑑𝑥
(𝑥 + 4)(𝑥 − 2)
10*. 𝑦 = 2𝑥 ; 𝑦 = 0; 𝑥 = 1; 𝑥 = 2.
Вариант 2
3𝑥 3 − 7
1. ∫ 2
𝑑𝑥
𝑥 +8
3. ∫(5𝑥 − 2)2𝑥 𝑑𝑥
𝑠𝑖𝑛5 𝑥
𝑑𝑥
𝑐𝑜𝑠 3 𝑥
9 − 4𝑥
7. ∫ 2
𝑑𝑥
𝑥 + 6𝑥 + 13
3
𝑑𝑥
9. ∫
0 √𝑥 + 1 + 1
5. ∫
𝜋
4
2. ∫ (𝑥 + 2) 𝑠𝑖𝑛 2𝑥𝑑𝑥
0
𝑥
4. ∫ arcsin 𝑑𝑥
4
𝑑𝑥
6. ∫
𝑥 2 ∙ √3 + 𝑥 2
3𝑥 2 + 2𝑥 + 1
8. ∫
𝑑𝑥
(𝑥 + 4)(𝑥 + 1)2
π
π
6
3
10*. 𝑦 = cos 𝑥; 𝑦 = 0; 𝑥 = ; 𝑥 =
Вариант 3
𝑥3 − 𝑥
1. ∫ 2
𝑑𝑥
𝑥 +3
𝑥 𝑥
3. ∫ 𝑒 2 ( + 2) 𝑑𝑥
2
5. ∫ sin3 𝑥 cos 3 𝑥𝑑𝑥
15 − 2𝑥
𝑑𝑥
𝑥 2 − 4𝑥 + 5
8
𝑑𝑥
9. ∫
0 √3𝑥 + 1 + 1
7. ∫
𝜋
𝑥
2. ∫ (2𝑥 − 1) cos 𝑑𝑥
3
0
𝑥
4. ∫ 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑑𝑥
4
4
𝑥
6. ∫
𝑑𝑥
√4 − 𝑥 2
𝑥 − 3𝑥 2 − 1
8. ∫
𝑑𝑥
(𝑥 − 1)(𝑥 2 + 2)
10*. 𝑦 = (𝑥 − 2)2 ; 𝑦 = 0; 𝑦 = 1; 𝑥 = 0.
39
Вариант 4
𝜋
4
𝑥 2 − 2𝑥 + 3
. ∫
𝑑𝑥
𝑥 2 + 16
2. ∫ (2𝑥 − 1) cos 2𝑥𝑑𝑥
3. ∫ arccos(2𝑥) 𝑑𝑥
4. ∫(𝑥 + 4)2𝑥 𝑑𝑥
sin3 𝑥
5. ∫
𝑑𝑥
cos 5 𝑥
2𝑥 + 7
7. ∫ 2
𝑑𝑥
𝑥 + 2𝑥 + 2
9
𝑑𝑥
9. ∫
0 3 + √9 − 𝑥
0
𝑥3
6. ∫
𝑑𝑥
√1 + 𝑥 2
𝑥−8
8. ∫
𝑑𝑥
𝑥(𝑥 − 2)2
10*. 𝑦 = (𝑥 − 1)2 ; 𝑦 = 0; 𝑥 = 0.
Вариант 5
1.
3.
5.
7.
9.
𝑥 2 − 2𝑥 + 2
∫
𝑑𝑥
𝑥2 + 3
𝑥
∫(1 − )3𝑥+2 𝑑𝑥
2
3
cos 𝑥
∫
𝑑𝑥
sin8 𝑥
4𝑥 − 5
∫ 2
𝑑𝑥
𝑥 + 4𝑥 + 20
5
𝑑𝑥
∫
1 √𝑥 − 1 + 2
𝜋
𝑥
2. ∫ (2𝑥 − 1) cos 𝑑𝑥
2
0
4. ∫ 𝑥arctg2𝑥𝑑𝑥
6. ∫ 𝑥 2 √49 − 𝑥 2 𝑑𝑥
8. ∫
𝑑𝑥
𝑥(3𝑥 + 1)2
10*. 𝑦 = ln 𝑥; 𝑦 = 0; 𝑥 = 𝑒; 𝑥 = 𝑒 3 .
Вариант 6
𝑥 2 + 2𝑥
1. ∫ 2
𝑑𝑥
𝑥 +5
3. ∫ arctg2𝑥𝑑𝑥
5. ∫ cos 6 𝑥 sin3 𝑥𝑑𝑥
17 − 2𝑥
𝑑𝑥
𝑥 2 + 4𝑥 + 13
12
𝑑𝑥
9. ∫
0 1 + √16 − 𝑥
7. ∫
𝜋
3
2. ∫ (𝑥 − 1) cos 3𝑥𝑑𝑥
0
𝑥
4. ∫( − 1)𝑒 3𝑥 𝑑𝑥
2
𝑥 3 𝑑𝑥
6. ∫
√4 + 𝑥 2
𝑥3 + 3
8. ∫ 2 2
𝑑𝑥
𝑥 (𝑥 + 3)
10*. 𝑦 = log 2 𝑥; 𝑦 = 0; 𝑥 = 4.
40
Вариант 7
𝑥 3 + 4𝑥 − 5
1. ∫
𝑑𝑥
𝑥2 + 4
3. ∫(𝑥 + 1)𝑒 −𝑥 𝑑𝑥
5. ∫
4𝑥 + 13
𝑑𝑥
𝑥 2 + 6𝑥 + 18
7. ∫ cos 3 𝑥 sin4 𝑥𝑑𝑥
4
9. ∫
0
𝑑𝑥
1 + √4 − 𝑥
𝜋
𝑥
2. ∫ (8𝑥 − 1) sin 𝑑𝑥
2
0
𝑥
4. ∫ arccos 𝑑𝑥
3
𝑥−1
6. ∫
𝑑𝑥
𝑥(4𝑥 2 + 1)
𝑑𝑥
8. ∫
𝑥 2 √4 − 𝑥 2
10*. 𝑦 = √𝑥 − 1; 𝑦 = 1; 𝑥 = 5.
Вариант 8
𝜋
4
𝑥3 + 1
1. ∫ 2
𝑑𝑥
𝑥 +5
2. ∫ (20 − 8𝑥) sin 2𝑥𝑑𝑥
3. ∫ arcsin(3𝑥)𝑑𝑥
4. ∫(2𝑥 + 3)𝑒 −4𝑥 𝑑𝑥
5. ∫ cos 5 3𝑥𝑑𝑥
6. ∫
2𝑥 − 3
𝑑𝑥
𝑥 2 − 6𝑥 + 34
4
𝑑𝑥
9. ∫
0 1 + √2𝑥 + 1
7. ∫
0
𝑑𝑥
𝑥 2 √9 + 𝑥 2
2𝑥 2 − 3𝑥 + 4
8. ∫
𝑑𝑥
𝑥(𝑥 − 1)(𝑥 + 2)
10*. 𝑦 = log 2 𝑥; 𝑦 = 0; 𝑥 = 8.
Вариант 9
𝑥 3 + 16
1. ∫ 2
𝑑𝑥
𝑥 +2
3. ∫(3 − 𝑥)𝑒 𝑥+3 𝑑𝑥
cos 5 𝑥
5. ∫
𝑑𝑥
sin6 𝑥
19 − 4𝑥
7. ∫ 2
𝑑𝑥
𝑥 + 4𝑥 + 5
6
𝑑𝑥
9. ∫
0 1 + √2𝑥 + 4
𝜋
6
2. ∫ (4 − 𝑥) sin 3𝑥𝑑𝑥
0
𝑥
4. ∫ arctg 𝑑𝑥
3
4
𝑥 𝑑𝑥
6. ∫
√9 − 𝑥 2
𝑥 − 12
8. ∫ 2
𝑑𝑥
𝑥 (𝑥 + 4)
𝜋
𝜋
6
2
10*. 𝑦 = sin 𝑥; 𝑦 = 0; 𝑥 = ; 𝑥 = .
41
Вариант 10
𝑥 2 + 2𝑥
1. ∫ 2
𝑑𝑥
𝑥 +1
3. ∫(3𝑥 + 1)𝑒 2𝑥 𝑑𝑥
sin3 𝑥
5. ∫
𝑑𝑥
cos 2 𝑥
2𝑥 + 2
7. ∫ 2
𝑑𝑥
𝑥 + 10𝑥 + 26
5
𝑑𝑥
9. ∫
1 √3𝑥 + 1 + 1
𝜋
𝑥
2. ∫ 𝑥 cos 𝑑𝑥
2
0
ln(𝑥 + 1)
4. ∫
𝑑𝑥
(𝑥 + 1)2
𝑥 2 𝑑𝑥
6. ∫
√(16 + 𝑥 2 )3
2𝑥 2 − 𝑥 + 1
8. ∫
𝑑𝑥
(𝑥 − 1)(𝑥 2 + 3)
10*. 𝑦 = cos 𝑥; 𝑦 = 0; 𝑥 = 0; 𝑥 =
𝜋
4
Вариант 11
𝜋
3𝑥 2 + 2𝑥
1. ∫ 2
𝑑𝑥
𝑥 +4
𝑥
2. ∫ (𝑥 − 1) sin 𝑑𝑥
2
0
3. ∫(2𝑥 + 6) 3−𝑥 𝑑𝑥
4. ∫ arccos3𝑥𝑑𝑥
3
2
5. ∫ cos 𝑥 sin 𝑥𝑑𝑥
2𝑥 + 7
𝑑𝑥
𝑥 2 − 4𝑥 + 29
4
𝑑𝑥
9. ∫
0 4 + √2𝑥 + 1
7. ∫
6. ∫
𝑥 2 𝑑𝑥
√(4 + 𝑥 2 )3
𝑥−1
8. ∫
𝑑𝑥
𝑥(𝑥 2 + 1)
10*. 𝑦 = 𝑥 2 − 1; 𝑦 = 0
Вариант 12
3𝑥 3 + 2
1. ∫ 2
𝑑𝑥
𝑥 +4
3. ∫(4 −
𝑥
𝑥)3−2 𝑑𝑥
cos 3 𝑥
5. ∫
𝑑𝑥
sin4 𝑥
2𝑥 + 10
7. ∫ 2
𝑑𝑥
𝑥 + 2𝑥 + 10
6
𝑑𝑥
9. ∫
2 9 + √2𝑥 − 3
𝜋
4
2. ∫ (2 − 𝑥) sin 2𝑥𝑑𝑥
0
4. ∫ arcsin2𝑥𝑑𝑥
6. ∫
𝑥 2 𝑑𝑥
√16 − 𝑥 2
𝑥 2 + 2𝑥 − 5
8. ∫ 2
𝑑𝑥
(𝑥 + 1)(𝑥 − 2)
𝜋
𝜋
4
2
10*. 𝑦 = sin 𝑥; 𝑦 = 0; 𝑥 = ; 𝑥 = .
42
Вариант 13
2𝜋
𝑥 2 + 4𝑥 − 1
1. ∫
𝑑𝑥
𝑥2 + 6
𝑥
2. ∫ (2𝑥 + 3) sin 𝑑𝑥
4
0
3. ∫ 4𝑥arctg2𝑥𝑑𝑥
4. ∫ 5𝑥 (5 − 𝑥)𝑑𝑥
sin5 𝑥
5. ∫
𝑑𝑥
cos 2 𝑥
2𝑥 − 21
7. ∫ 2
𝑑𝑥
𝑥 − 2𝑥 + 10
23
𝑑𝑥
9. ∫
2 6 + √𝑥 + 2
𝑥 2 𝑑𝑥
6. ∫
√(9 − 𝑥 2 )3
4𝑑𝑥
8. ∫
(𝑥 + 1)(𝑥 − 1)2
𝜋
𝜋
3
2
10*. 𝑦 = sin 𝑥; 𝑦 = 0; 𝑥 = ; 𝑥 = .
Вариант 14
𝜋
8
𝑥 3 + 2𝑥
1. ∫ 2
𝑑𝑥
𝑥 +8
2. ∫ (1 − 𝑥) sin 8𝑥𝑑𝑥
3. ∫(7 − 2𝑥)3𝑥+1 𝑑𝑥
4. ∫ arctg (4𝑥)𝑑𝑥
cos 3 𝑥
5. ∫
𝑑𝑥
sin4 𝑥
4𝑥 + 31
7. ∫ 2
𝑑𝑥
𝑥 + 8𝑥 + 17
10
𝑑𝑥
9. ∫
5 1 − √𝑥 − 1
0
6. ∫ 𝑥 2 √16 − 𝑥 2 𝑑𝑥
𝑥3 + 𝑥 + 2
8. ∫ 3
𝑑𝑥
𝑥 (𝑥 + 2)
𝜋
𝜋
3
6
10*. 𝑦 = cos 𝑥; 𝑦 = 0; 𝑥 = ; 𝑥 =
Вариант 15
5𝜋
2
𝑥 3 + 5𝑥
1. ∫ 2
𝑑𝑥
𝑥 +4
𝑥
2. ∫ (𝑥 − 1) sin 𝑑𝑥
5
0
3. ∫(𝑥 − 2) ln(𝑥 + 1)𝑑𝑥
4. ∫ 2−𝑥 (2𝑥 + 3)𝑑𝑥
5. ∫ sin4 𝑥 cos 5 𝑥𝑑𝑥
6. ∫ 𝑥 2 √1 − 𝑥 2 𝑑𝑥
10𝑥 − 1
7. ∫ 2
𝑑𝑥
𝑥 + 2𝑥 + 2
2𝑥 3 + 𝑥 + 1
8. ∫ 3
𝑑𝑥
𝑥 (𝑥 + 1)
1
9. ∫
−2 1
𝑑𝑥
+ √2 − 𝑥
10*. 𝑦 = 𝑒 𝑥 ; 𝑦 = 0; 𝑥 = 0; 𝑥 = 1
43
Вариант 16
𝜋
10
𝑥 2 − 2𝑥 + 4
1. ∫
𝑑𝑥
𝑥 2 + 16
2. ∫ (𝑥 − 7) sin 5𝑥𝑑𝑥
3. ∫(2𝑥 − 1)𝑒 −𝑥 𝑑𝑥
4. ∫ 𝑥 2 ln(𝑥 + 1)𝑑𝑥
4
5. ∫ sin 2𝑥𝑑𝑥
17 − 2𝑥
𝑑𝑥
𝑥 2 − 6𝑥 + 25
12
𝑑𝑥
9. ∫
0 1 + √16 − 𝑥
7. ∫
0
6. ∫
𝑥 3 𝑑𝑥
√4 + 𝑥 2
𝑥3 + 3
8. ∫ 2 2
𝑑𝑥
𝑥 (𝑥 + 3)
10*. 𝑦 = log 2 𝑥; 𝑦 = 0; 𝑥 = 4;
Вариант 17
2𝑥 2 + 5𝑥
1. ∫ 2
𝑑𝑥
𝑥 +1
𝑥
3. ∫ 𝑒 −2 (𝑥 + 10)𝑑𝑥
3𝜋
2
𝑥
2. ∫ (4 − 2𝑥) cos 𝑑𝑥
3
0
𝑥
4. ∫( + 1) ln 𝑥𝑑𝑥
2
5. ∫ cos 3 5𝑥𝑑𝑥
6. ∫ 𝑥 2 √9 − 𝑥 2 𝑑𝑥
15 − 2𝑥
7. ∫ 2
𝑑𝑥
𝑥 − 4𝑥 + 40
3
𝑑𝑥
9. ∫
0 3 + √𝑥 + 1
𝑥 2 − 5𝑥 + 1
8. ∫
𝑑𝑥
(𝑥 − 2)(𝑥 2 + 1)
10**. 𝑦 = −𝑥 2 + 5𝑥, 𝑦 = 0
Вариант 18
3𝑥 2 − 7
1. ∫ 2
𝑑𝑥
𝑥 + 10
3. ∫ 4−𝑥 (3 − 2𝑥)𝑑𝑥
5. ∫ tg 5 𝑥𝑑𝑥
4𝑥 + 27
𝑑𝑥
𝑥 2 − 2𝑥 + 26
11
𝑑𝑥
9. ∫
4 √𝑥 + 5 − 1
7. ∫
𝜋
𝑥
2. ∫ (7𝑥 − 2) cos 𝑑𝑥
2
0
ln(𝑥 + 1)
4. ∫
𝑑𝑥
(𝑥 + 1)2
𝑑𝑥
6. ∫
𝑥 2 √25 + 𝑥 2
𝑥 2 + 4𝑥 − 3
8. ∫ 2
𝑑𝑥
𝑥 (𝑥 − 3)
10**. 𝑦 = 2𝑥 − 𝑥 2 ; 𝑦 = 0
44
Вариант 19
𝜋
6
5𝑥 2 + 𝑥
1. ∫ 2
𝑑𝑥
𝑥 +5
2. ∫ (5 − 𝑥) cos 3𝑥𝑑𝑥
3. ∫(6 − 3𝑥)2−𝑥 𝑑𝑥
4. ∫ 𝑥arctg𝑥𝑑𝑥
5. ∫
sin3 𝑥
𝑑𝑥
√cos 𝑥
4𝑥 − 10
7. ∫ 2
𝑑𝑥
𝑥 − 2𝑥 + 10
3
𝑑𝑥
9. ∫
0 5 − √𝑥 + 1
0
6. ∫ 𝑥 2 √16 − 𝑥 2 𝑑𝑥
8. ∫
4𝑑𝑥
(𝑥 − 1)(𝑥 2 + 1)
10**. 𝑦 = 𝑥 2 − 4; 𝑦 = 0
Вариант 20
3𝜋
2
3𝑥 2 − 2𝑥
1. ∫ 2
𝑑𝑥
𝑥 +1
𝑥
2. ∫ (3 − 𝑥) cos 𝑑𝑥
3
0
3. ∫(1 − 4𝑥)4−𝑥 𝑑𝑥
4. ∫ arccos3𝑥𝑑𝑥
5. ∫
cos 3 𝑥
𝑑𝑥
√sin 𝑥
4𝑥 − 2
7. ∫ 2
𝑑𝑥
𝑥 − 4𝑥 + 13
6
𝑑𝑥
9. ∫
1 3 + √3 + 𝑥
𝑑𝑥
6. ∫
𝑥 2 √25 − 𝑥 2
2𝑥 2 − 3𝑥 + 6
8. ∫ 2 2
𝑑𝑥
𝑥 (𝑥 + 3)
10**. 𝑦 = 𝑥 2 − 1, 𝑦 = 0.
Вариант 21
𝜋
𝑥
∫ (4 + 𝑥) sin 𝑑𝑥
2
0
𝑥3 − 6
1. ∫ 2
𝑑𝑥
𝑥 +6
2.
3. ∫ 5𝑥 (8 − 𝑥)𝑑𝑥
4. ∫
5. ∫ cos 𝑥 cos 2𝑥𝑑𝑥
6. ∫ 𝑥 2 √49 − 𝑥 2 𝑑𝑥
6𝑥 − 2
𝑑𝑥
𝑥 2 + 2𝑥 + 5
5
𝑑𝑥
9. ∫
1 √2𝑥 − 1 + 5
7. ∫
8. ∫
ln(𝑥 − 1)
𝑑𝑥
(𝑥 − 1)2
𝑥−1
𝑑𝑥
(𝑥 − 3)(𝑥 2 + 1)
10**. 𝑦 = 3𝑥 − 𝑥 2 ; 𝑦 = 0.
45
Вариант 22
𝜋
6
𝑥3
1. ∫ 2
𝑑𝑥
𝑥 +4
2. ∫ (6 + 𝑥) cos 3𝑥𝑑𝑥
3. ∫(1 + 2𝑥)7−𝑥 𝑑𝑥
4. ∫ 𝑥 3 ln 𝑥𝑑𝑥
5. ∫ sin 2𝑥 sin 𝑥𝑑𝑥
2𝑥 + 23
𝑑𝑥
𝑥 2 + 4𝑥 + 20
5
𝑑𝑥
9. ∫
0 √3𝑥 + 1 + 2
7. ∫
0
𝑥4
6. ∫
𝑑𝑥
√(1 − 𝑥 2 )3
4𝑥 2 + 𝑥 − 1
8. ∫
𝑑𝑥
𝑥(4𝑥 2 + 1)
10**. 𝑦 = 5𝑥 − 3𝑥 2 ; 𝑦 = 0
Вариант 23
𝜋
4
4𝑥 4 − 𝑥
1. ∫ 2
𝑑𝑥
𝑥 +7
2. ∫ (3 − 𝑥) cos 2𝑥𝑑𝑥
3. ∫(1 + 2𝑥) ∙ 2−𝑥 𝑑𝑥
4. ∫(𝑥 2 + 1) ln 𝑥𝑑𝑥
5. ∫ cos 2𝑥 sin 𝑥𝑑𝑥
6. ∫ 𝑥 3 √4 − 𝑥 2 𝑑𝑥
4𝑥 − 7
𝑑𝑥
𝑥 2 + 8𝑥 + 20
10
𝑑𝑥
9. ∫
2 1 + √5 + 2𝑥
7. ∫
0
8. ∫
𝑥+1
𝑑𝑥
(𝑥 − 1)(𝑥 2 + 1)
10**. 𝑦 = 5𝑥 − 𝑥 2 ; 𝑦 = 0
Вариант 24
𝜋
4𝑥 3 + 1
1. ∫ 2
𝑑𝑥
𝑥 +4
𝑥
2. ∫ (1 − 4𝑥) sin 𝑑𝑥
2
0
3. ∫ arcsin4𝑥𝑑𝑥
4. ∫(1 + 𝑥)𝑒 2 𝑑𝑥
sin 2𝑥
5. ∫
𝑑𝑥
cos 3 𝑥
7 − 2𝑥
7. ∫ 2
𝑑𝑥
𝑥 − 8𝑥 + 25
8
𝑑𝑥
9. ∫
5 √3𝑥 + 1 − 1
𝑥
6. ∫
𝑥4
𝑑𝑥
√36 − 𝑥 2
5𝑥 + 4
8. ∫
𝑑𝑥
(𝑥 − 2)(𝑥 2 + 3)
10**. 𝑦 = −𝑥 2 − 5𝑥; 𝑦 = 0
46
Вариант 25
𝜋
6
𝑥3 − 1
1. ∫ 2
𝑑𝑥
𝑥 +8
2. ∫ (4 − 5𝑥) cos 3𝑥𝑑𝑥
3. ∫ 𝑥arctg2𝑥𝑑𝑥
4. ∫(1 − 2𝑥)𝑒 3 𝑑𝑥
cos 2𝑥
𝑑𝑥
cos 4 𝑥
4𝑥 − 11
7. ∫ 2
𝑑𝑥
𝑥 − 10𝑥 + 29
3
𝑑𝑥
9. ∫
0 √5𝑥 + 1 + 2
√4 − 𝑥 2
6. ∫
𝑑𝑥
𝑥4
2𝑥 2 − 3𝑥 + 6
𝟖. ∫
𝑑𝑥
𝑥(𝑥 − 3)(𝑥 + 2)
0
5. ∫
𝑥
10**. 𝑦 = 𝑥 2 − 9; 𝑦 = 0
Вариант 26
𝜋
4
𝑥 2 + 2𝑥 − 3
1. ∫
𝑑𝑥
𝑥2 + 6
2. ∫ (6𝑥 − 2) cos 2𝑥𝑑𝑥
3. ∫(𝑥 − 2)103𝑥 𝑑𝑥
4. ∫(𝑥 5 + 3𝑥) ln 𝑥𝑑𝑥
3
5. ∫ √sin 𝑥 cos 𝑥𝑑𝑥
16 − 2𝑥
𝑑𝑥
𝑥 2 + 10𝑥 + 34
2
𝑑𝑥
9. ∫
1 √5𝑥 − 1 + 1
7. ∫
0
𝑥4
6. ∫
𝑑𝑥
√(4 − 𝑥 2 )3
𝑥2 − 6
8. ∫
𝑑𝑥
(𝑥 − 1)(𝑥 2 + 4)
10**. 𝑦 = 𝑥 − 2𝑥 2 ; 𝑦 = 0
Вариант 27
2𝜋
𝑥3 + 2
1. ∫ 2
𝑑𝑥
𝑥 +4
𝑥
2. ∫ (4 + 𝑥) sin 𝑑𝑥
4
0
3. ∫ 𝑒 √𝑥 𝑑𝑥
4. ∫(𝑥 + 2) ln(𝑥 + 2)𝑑𝑥
3
5. ∫ √cos 𝑥 sin 𝑥𝑑𝑥
7 − 2𝑥
𝑑𝑥
𝑥 2 − 6𝑥 + 25
10
𝑑𝑥
9. ∫
2 √2𝑥 + 5 + 1
7. ∫
6. ∫
𝑥4
𝑑𝑥
√25 − 𝑥 2
𝑥 2 + 3𝑥 − 1
8. ∫ 2
𝑑𝑥
𝑥 (𝑥 − 1)2
10**. 𝑦 = 2𝑥 − 𝑥 2 ; 𝑦 = 0
47
Вариант 28
𝜋
4
2𝑥 2 + 3𝑥 − 10
1. ∫
𝑑𝑥
𝑥2 + 5
2. ∫ (20 − 5𝑥) sin 2𝑥𝑑𝑥
3. ∫ 𝑒 √𝑥−1 𝑑𝑥
4. ∫ arcsin2𝑥𝑑𝑥
2
3
5. ∫ cos 𝑥 sin 𝑥 𝑑𝑥
7 + 8𝑥
𝑑𝑥
𝑥 2 + 2𝑥 + 10
5
𝑑𝑥
9. ∫
1 √3𝑥 + 1 + 2
7. ∫
0
𝑥4
6. ∫
𝑑𝑥
√(16 − 𝑥 2 )3
𝑥+5
8. ∫ 2
𝑑𝑥
𝑥 (𝑥 + 1)2
10**. 𝑦 = −2𝑥 − 𝑥 2 ; 𝑦 = 0
Вариант 29
𝑥2 − 𝑥 + 2
1. ∫
𝑑𝑥
𝑥2 + 4
3. ∫ ln √𝑥 − 1 𝑑𝑥
23 − 4𝑥
𝑑𝑥
𝑥 2 − 4𝑥 + 8
cos 2𝑥
7. ∫
𝑑𝑥
cos 2 𝑥
23
𝑑𝑥
9. ∫
3 √2𝑥 + 3 + 1
5. ∫
𝜋
2
2. ∫ (2𝑥 + 7) cos 𝑥𝑑𝑥
0
𝑥
4. ∫ arccos 𝑑𝑥
3
2𝑥 + 3
6. ∫
𝑑𝑥
(𝑥 − 3)𝑥 3
𝑥 3 𝑑𝑥
8. ∫
√(4 + 𝑥 2 )3
10**. 𝑦 = 7𝑥 − 3𝑥 2 ; 𝑦 = 0.
Вариант 30
3
𝑥 −1
1. ∫ 2
𝑑𝑥
𝑥 +6
3. ∫ 𝑥𝑒 2𝑥 𝑑𝑥
sin3 2𝑥
5. ∫
𝑑𝑥
cos 3 2𝑥
24 − 4𝑥
7. ∫ 2
𝑑𝑥
𝑥 − 6𝑥 + 13
1
𝑑𝑥
9. ∫
0 √3𝑥 + 1 + 5
𝜋
𝑥
2. ∫ (3 + 2𝑥) sin 𝑑𝑥
2
0
𝑥
4. ∫ arctg 𝑑𝑥
2
𝑥2
6. ∫
𝑑𝑥
√(16 − 𝑥 2 )3
𝑥−7
8. ∫
𝑑𝑥
(𝑥 − 2)(𝑥 2 + 1)
10**. 𝑦 = 7𝑥 − 2𝑥 2 ; 𝑦 = 0.
48
3. ЗАДАНИЯ ПО ТЕМЕ: ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Примерный вариант заданий с решением
1.
2.
3.
Найти частные производные первого и второго порядков
𝑧 = 𝑥𝑦 sin(𝑥 − 𝑦).
Найти 𝑑𝑧, 𝑧 = 𝑧(𝑥, 𝑦, 𝑡), 𝑧 = arctg (𝑥 − 𝑦)𝑡 .
𝑦
Показать, что функция 𝑧 = ln 𝑥 +
удовлетворяет уравнению:
𝑥
𝜕𝑧 𝜕𝑧
𝜕2𝑧
=
+𝑦
𝜕𝑥 𝜕𝑦
𝜕𝑥𝜕𝑦
4.
Найти
5.
Найти
6.
7.
𝑑𝑢
𝑑𝑥
𝜕𝑢
и
и
𝜕𝑢
𝜕𝑥
𝜕𝑢
𝑥
, если 𝑢 = arcsin , 𝑦 = √𝑥 2 + 1.
𝑦
𝑝
, если 𝑢 = log 2 (𝑥 2 + 𝑦 2 ), 𝑥 = 𝑝𝑡, 𝑦 = .
𝑡
𝜕𝑝 𝜕𝑡
Найти 𝑦’(𝑥) с помощью логарифмирования и последующего
2
дифференцирования по х функции 𝑦(𝑥) = 𝑥 𝑥 .
𝑧
Найти 𝑑𝑧 функции 𝑧 = 𝑧(𝑥, 𝑦) заданой неявно уравнением 𝑥 = 𝑧 ln .
𝑦
Найти экстремумы функции 𝑧 = 𝑥 2 + 𝑥𝑦 + 𝑦 2 − 3𝑥 − 6𝑦.
Найти величину и направление градиента функции
𝜋 𝜋 𝜋
𝑢 = tg 𝑥 − 𝑥 + 3 sin 𝑦 − sin3 𝑦 + 𝑧 + ctg 𝑧 в т. 𝑀( ; ; ).
4 3 2
𝑧2
10. Найти производную функции 𝑢 = ln
в точке А(2,2,3) в
8.
9.
𝑥−2𝑦
направлении, идущем от точки А к точке В(5,6,15).
Решение
1. Нахождение частных производных функции нескольких переменных
сводится к нахождеию обыкновенной производной этой функции по одной
из переменных при условии, что остальные переменные выступают в роли
параметров.
Найдем частные производные первого порядка по формуле
производной произведения (𝑢𝑣)′ = 𝑢′ · 𝑣 + 𝑣 ′ · 𝑢:
z
 y  sin x  y   xy  cosx  y 
x
49
z
 x  sin x  y   xy  cosx  y    1  x  sin x  y   xy  cosx  y 
y
Найдем частные производные второго порядка:
𝜕2𝑧
= 𝑦 cos(𝑥 − 𝑦) + 𝑦 cos(𝑥 − 𝑦) − 𝑥𝑦 sin(𝑥 − 𝑦) =
𝜕𝑥 2
= 2𝑦 cos(𝑥 − 𝑦) − 𝑥𝑦 sin(𝑥 − 𝑦)
2
𝜕 𝑧
= 𝑥 cos(𝑥 − 𝑦) ∙ (−1) − 𝑥 cos(𝑥 − 𝑦) + 𝑥𝑦 sin(𝑥 − 𝑦) ∙ (−1) =
𝜕𝑦 2
= −2𝑥 cos(𝑥 − 𝑦) − 𝑥𝑦 sin(𝑥 − 𝑦)
2
2
𝜕 𝑧
𝜕 𝑧
=
= sin(𝑥 − 𝑦) + 𝑥 cos(𝑥 − 𝑦) − 𝑦 cos(𝑥 − 𝑦) + 𝑥𝑦 sin(𝑥 − 𝑦) =
𝜕𝑥𝜕𝑦 𝜕𝑦𝜕𝑥
= sin(𝑥 − 𝑦) ∙ (1 + 𝑥𝑦) + cos(𝑥 − 𝑦) ∙ (𝑥 − 𝑦)
2. Полный дифференциал функции 𝑧 = 𝑧(𝑥, 𝑦, 𝑡) определяется по формуле
dz  z x dx  z y dy  ztdt . Найдем частные производные 𝑧𝑥′ , 𝑧𝑦′ , 𝑧𝑡′ :
t 1
1


t

x

y
t

1
z x 
 t  x  y  =
2t
2t ;


1 x  y
1  x  y 
z y 
 t  x  y 
x  y t  ln x  y
z t 
2t
1  x  y 
t 1
1  x  y 
2t
;
Подставим найденныe частные
дифференциала функции.
t  x  y 
dz 
1  x  y 
2t
 t  x  y 
t 1
t 1
dx +
1  x  y 
2t
производные
.
в
формулу
x  y t  ln x  y
dt .
dy +
2t
1  x  y 
3. Найдем частные производные функции 𝑧 = 𝑧(𝑥, 𝑦):
 z
1
z 1
z 1 y
 2 ;
 ;
  2;
xy
y x
x
x x x
Подставим найденные значения производных в заданное уравнение:
2
1 y 1
 1 
 2   y  2 
x x
x
 x ,
x y x y
 2
x2
x
Получили тождество.
𝑦
Следовательно, функция 𝑧 = 𝑙𝑛 𝑥 + удовлетворяет уравнению.
𝑥
50
полного
4. Полная производная функции 𝑢 = 𝑢(𝑥, 𝑦) , где 𝑦 = 𝑓(𝑥) находится по
du u u dy

  .
формуле:
dx x y dx
Найдем частные производные
u  
x
  arcsin  
x x 
y
u  
  arcsin
y y 
x

y 
𝜕𝑢
𝜕𝑥
1
x2
1 2
y
𝜕𝑢
и

𝜕𝑦
1

y
:
1
y2  x2
;
 x 
x
   2   
;
x2  y 
y y2  x2
1 2
y
1
Найдем производную функции 𝑦 = 𝑓(𝑥)
dy
2x
x


;
dx 2 x 2  1
x2 1
Подставим найденные производные в формулу полной производной:
du

dx
1

x
y x
у y x
y x2  1  x2

;
2
2
2
y у  x  x 1
2
2
2
2

x
x 1
2
1

y x
2
2

x2
y y  x  x 1
2
2
2

5. Частные производные сложной функции 𝑢 = 𝑢(𝑥, 𝑦), где 𝑥 = 𝑥(𝑝, 𝑡) и
𝑦 = 𝑦(𝑝, 𝑡) находим по формулам:
u u x u y
u u x u y





 

;
t x t y t
p x p y p
2p
2 pt 3 
2
u
2x
2y
1
2 xt  2 y
t
 2

t





2
2
2
2
2
2
p
x  y  ln 2
x  y ln 2 t t x  y ln 2
 2 2 p 
t  p t  2  ln 2
t 






2 pt 4  2 p
2 pt 4  1
2
 2 4
 2 4

;
2
( p t  p ) ln 2 p t  1ln 2 p  ln 2
du
2x
2y
p
 2
 p+ 2
 ( 2 ) =
2
2
dt x  y  ln 2
x  y ln 2 t
51


2 p( xt  y )
t ln 2 x 2  y 2
2

2




2 p2 t 4  1

t  ln 2  p 2t 4 
p

2 p pt 3  
2 p2 t 4  1
t




2
2




p
p
t 2 ln 2 p 2t 2  2  t 3  ln 2   p 2t 2  2 
t 
t 


2 t4 1

;
p2
t  ln 2  t 4  1







6. Прологарифмируем обе части уравнения по основанию е, тогда:
ln y  ln x x , ln y  x 2 ln x
Продифференцируем по х обе части полученного уравнения:
1
1
2
y   2 x  ln x  x 2
y   x x 2 x ln x  x 
y
x
2
y  x x  x2 ln x  1
y  x x
2
7.
𝑥 = 𝑧 ln
𝑧
𝑦
Fx  1 ;
Fy   z 
Частные производные
𝑧
1
2 ln x  1
𝑥 − 𝑧 ln = 0.
=>
где F x, y, z   x  z ln
2
𝑦
Тогда найдем 𝐹𝑥′ , 𝐹𝑦′ , 𝐹𝑧′ ,
z
:
y
y  z  z
 ;

z  y 2  y
𝜕𝑧
𝜕𝑥
𝜕𝑧
𝜕𝑥
и
𝜕𝑧
𝜕𝑦
Fz  1  ln
z
z
 1   ln  1;
y
y
находятся по формулам:
𝐹𝑥′
= − 𝐹′
𝑧
и
𝜕𝑧
𝜕𝑦
𝐹𝑦′
= − 𝐹′ ,
𝑧
Тогда полный дифференциал функции, заданной неявно, можно записать:
𝐹𝑦′
𝐹𝑥′ 𝑑𝑥 + 𝐹𝑦′ 𝑑𝑦
𝜕𝑧
𝜕𝑧
𝐹𝑥′
𝑑𝑧 =
𝑑𝑥 +
𝑑𝑦 = − ′ 𝑑𝑥 − ′ 𝑑𝑦 = −
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝐹𝑧
𝐹𝑧
𝐹𝑧′
Подставим найденные производные в формулу полного дифференциала
функции, заданной неявно:
z
dx  dy
F dx  Fydy
ydx  zdy
y
dz   x


z
z
Fz
 ln  1 y ln  y
y
y
52
8. Найдем критические точки функции, используя необходимые условия
𝑧𝑥′ (𝑥, 𝑦) = 0
существования экстремума функции двух переменных: { ′
𝑧𝑦 (𝑥, 𝑦) = 0
𝑧𝑥′ = 2𝑥 + 𝑦 − 3 , 𝑧𝑦′ = 𝑥 + 2𝑦 − 6
Решим систему:
2 x  y  3  0
;

x  2 y  6  0
26  2 y   y  3  0
;

x  6  2 y
y  3

x  0

P0 0;3 – критическая точка функции.
Исследуем точку P0 0;3 на экстремум, используя достаточное условие
существования экстремума функции двух переменных:
′′
′′
𝑧𝑥𝑥
𝑧𝑥𝑦
∆(𝑃0 ) = | ′′
′′ | > 0
𝑧𝑦𝑥 𝑧𝑦𝑦
z xx  2
2 1
z xy  z yx  1
P0  
30,

1 2
z yy  2
 точка
следовательно P0 0;3 – точка экстремума.
′′ (𝑃 ) z   2  0
С учетом знака 𝑧𝑥𝑥
) точка P0 0;3 является точкой
𝑜 ( xx
минимума.
Найдем значение функции в точке минимума: 𝑧(𝑃𝑜 ) = 9 − 6 ∙ 3 = −9
Ответ: 𝑧𝑚𝑖𝑛 (𝑃𝑜 ) = −9
9. Градиентом функции 𝑢 = 𝑢(𝑥, 𝑦, 𝑧), дифференцируемой в точке М,
̅̅̅̅̅̅̅ 𝑢 (𝑀) = (𝑢𝑥′ (𝑀), 𝑢𝑦′ (𝑀), 𝑢𝑧′ (𝑀) )
называется вектор 𝑔𝑟𝑎𝑑
2
̅̅̅̅̅̅̅ 𝑢 (𝑀)| = √(𝑢𝑥′ (𝑀))2 + (𝑢𝑦′ (𝑀)) + (𝑢𝑧′ (𝑀))2
|𝑔𝑟𝑎𝑑
𝜋 𝜋 𝜋
Найдем частные производные функции 𝑢(𝑥, 𝑦, 𝑧) в точке 𝑀 ( , , )
4 3 2
1
1
𝑢𝑥′ (𝑀) = ( 2 − 1)| =
2−1=1
cos 𝑥
𝑀
√2
( )
2
2
3
1 3 9 3
√3
𝑢𝑦′ (𝑀) = (3 cos 𝑦 − 3 sin2 𝑦 ∙ cos 𝑦)|𝑀 = − 3 ∙ ( ) ∙ = − =
2
2
2 2 8 8
1
1
𝑢𝑧′ (𝑀) = (1 − 2 )| = 1 − = 0
sin 𝑧 𝑀
1
53
3
̅̅̅̅̅̅̅
𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑢 (𝑀) = (𝑢𝑥′ (𝑀), 𝑢𝑦′ (𝑀), 𝑢𝑧′ (𝑀) ) = (1, , 0)
8
̅̅̅̅̅̅̅ 𝑢 (𝑀)| =
|𝑔𝑟𝑎𝑑
√(1)2
3 2
√73
+ ( ) + (0)2 =
8
8
̅̅̅̅̅̅̅ 𝑢 (𝑀) = (1, 3 , 0), |𝑔𝑟𝑎𝑑
̅̅̅̅̅̅̅ 𝑢 (𝑀)| = √73
Ответ: 𝑔𝑟𝑎𝑑
8
8
10. Найдем частные производные функции 𝑢(𝑥; 𝑦; 𝑧):
𝜕𝑢 𝑥 − 2𝑦
−𝑧 2
1
=
∙
=
−
(𝑥 − 2𝑦)2
𝜕𝑥
𝑧2
𝑥 − 2𝑦
2
𝜕𝑢 𝑥 − 2𝑦
2𝑧
2
=
∙
=
(𝑥 − 2𝑦)2 𝑥 − 2𝑦
𝜕𝑦
𝑧2
𝜕𝑢 𝑥 − 2𝑦
2𝑧
2
=
∙
=
𝜕𝑧
𝑧2
𝑥 − 2𝑦 𝑧
Вычислим их в точке 𝐴 (2,2,3)
𝜕𝑢
1
1
(𝐴) = −
=
𝜕𝑥
2−4 2
𝜕𝑢
2
(𝐴) =
= −1
𝜕𝑦
2−4
𝜕𝑢
2
(𝐴) =
𝜕𝑧
3
̅̅̅̅
Найдем координаты вектора 𝐴𝐵
̅̅̅̅
𝐴𝐵 = (5 − 2; 6 − 2; 15 − 3) = (3; 4; 12)
̅̅̅̅ и его направляющие косинусы.
Найдем длину вектора 𝐴𝐵
̅̅̅̅ | = √32 + 42 + 122 = √169 = 13
|𝐴𝐵
3
4
12
cos 𝛼 =
; cos 𝛽 =
; cos 𝛾 =
13
13
13
Тогда по формуле производной по направлению:
𝜕𝑢
𝜕𝑢
𝜕𝑢
𝜕𝑢
(𝐴) =
(𝐴) cos 𝛼 +
(𝐴) cos 𝛽 +
(𝐴) cos 𝛾
̅̅̅̅
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑧
𝜕𝐴𝐵
вычисляем:
𝜕𝑢
1 3
4 2 12
(𝐴) = ∙
+ (−1) ∙
+ ∙
=
̅̅̅̅
2 13
13 3 13
𝜕𝐴𝐵
9 − 24 + 48 33 11
=
=
=
78
78 26
Ответ:
𝜕𝑢
11
(𝐴) =
̅̅̅̅
26
𝜕𝐴𝐵
54
Варианты заданий для самостоятельного решения (1–30)
1.
2.
Вариант 1
Найти частные производные первого и второго порядков
2
𝑧 = 𝑒 3𝑥 + 2𝑦 2 − 𝑥𝑦.
Найти 𝑑𝑧, 𝑧 = ln(ctg2𝑥 + √𝑦).
−𝑦
3.
Показать, что функция 𝑢 = 𝑥𝑒 𝑥 удовлетворяет уравнению
 u u 
 2u
 2u
x
 2    y 2
xy
y
 x y 
4.
Найти
5.
Найти
6.
Найти 𝑦 ′ (𝑥) с помощью логарифмирования и последующего
дифференцирования по х функции 𝑦 = (sin 3𝑥)ln(arcsin 𝑥) .
Найти 𝑑𝑧, где функция 𝑧 = 𝑧(𝑥, 𝑦) задана неявно уравнением
3𝑥 2 + 6𝑥√𝑦 − √𝑥𝑧 3 + 𝑧 2 − 5𝑥 = 0
Найти экстремумы функции 𝑧 = 𝑥 3 + 8𝑦 3 − 6𝑥𝑦 + 5.
Найти производную функции 𝑢 = 3𝑥𝑦 2 + 𝑧 3 − 𝑥𝑦𝑧 в точке M (1;1;2)
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , если точка N (–1;3;3).
по направлению вектора 𝑀𝑁
7.
8.
9.
𝜕𝑧
𝜕𝑥
𝜕𝑧
и
,
𝜕𝑢
𝑑𝑧
𝑑𝑥
𝜕𝑧
,
,
𝜕𝑣
𝑦
2
если 𝑧 = arctg √𝑥 , 𝑦 = 3𝑥 .
если 𝑧 = 𝑥 3 𝑦 − 𝑦 4 𝑥, 𝑥 = 𝑢 cos𝑣, 𝑦 = 𝑢 sin𝑣.
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝑢 в точке M ( π ; π ; π).
10. 𝑢 = tg 𝑥 − 𝑥 + 3 sin 𝑦 + 𝑧 − ctg 𝑧. Найти 𝑔𝑟𝑎𝑑
4 3 2
1.
Вариант 2
Найти частные производные первого и второго порядков
3
𝑧 = tg√𝑦( √4𝑥 2 + 1)2
𝑥
2.
3.
Найти 𝑑𝑧, 𝑧 = log 2 (√𝑥 + 𝑦 2 + 3 ⁄𝑦 )
Найти 𝑑 2 𝑧, если 𝑧 = 𝑦 2 arcsin 𝑥.
4.
Найти
5.
Найти
6.
7.
𝜕𝑧
𝜕𝑥
𝜕𝑧
𝜕𝑢
𝑑𝑧
,
𝑑𝑥
и
,
𝜕𝑧
𝜕𝑣
,
если 𝑧 = tg 2
если 𝑧 = 𝑒 𝑥
√𝑥
,
𝑦
2 +𝑦 2
𝑦 = cos 3 𝑥.
𝑢
, 𝑥 = 𝑢2 tg 𝑣, 𝑦 = .
𝑣
′ (𝑥)
Найти 𝑦
с помощью логарифмирования и последующего
дифференцирования по х функции 𝑦 = (tg 2𝑥)sin(ln 𝑥) .
Найти 𝑑𝑧, где функция 𝑧 = 𝑧(𝑥, 𝑦) задана неявно уравнением
arctg√𝑥 + 𝑦𝑧 2 − sin 𝑧 = 0
55
Найти экстремумы функции 𝑧 = 𝑒 𝑥−𝑦 (𝑥 2 − 2𝑦 2 ).
Найти производную функции 𝑢 = (ln 𝑦 − arctg 𝑧)𝑥 в точке M (–2;1;–1)
⃗.
по направлению вектора 𝑙 = 8𝑖 + 4𝑗 + 8𝑘
10. Найти величину наибольшей скорости изменения функции
𝑢 = 𝑥 2 + 2𝑦 2 + 3𝑧 2 − 3𝑥 + 2𝑦 − 6𝑧 в точке A(1;1;1).
8.
9.
1.
Вариант 3
Найти частные производные первого и второго порядков
𝑧 = ln(𝑦 + √𝑥 2 + 𝑦 2 )
2.
Найти 𝑑𝑧, 𝑧 = (5 − 𝑦 2 )arctg√𝑥 .
3.
Показать, что функция 𝑢 = ln √(𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 удовлетворяет
уравнению
4.
Найти
5.
Найти
𝑑𝑧
,
𝑑𝑡
𝜕𝑧
,
𝜕𝑢
𝜕2 𝑢
𝜕2 𝑢
𝜕𝑥
𝜕𝑦 2
+
2
= 0, при ∀ 𝑎 и 𝑏.
𝑦
1
𝑥
𝑡
если 𝑧 = arsin√ , 𝑥 = , 𝑦 = 𝑙n2 𝑡.
𝜕𝑧
,
𝜕𝑣
если 𝑧 = 𝑥 2 ln 𝑦, 𝑥 =
𝑢
𝑣
,
𝑦 = 3𝑢 − 2𝑣.
Найти 𝑦’(𝑥) с помощью логарифмирования и последующего
дифференцирования по х функции 𝑦 = (ln sin 𝑥) arccos 3x .
7. Найти 𝑑𝑧, где функция z=z(x,y) задана неявно уравнением
arctg(𝑥𝑦) − 3(2𝑦+3𝑧) + 𝑧 2 = 15
8. Найти экстремумы функции 𝑧 = 3𝑥 + 6𝑦 − 𝑥 2 − 𝑥𝑦 − 𝑦 2 .
9. Найти
производную
функции
𝑢 = 𝑥 2 + ln(𝑥 2 + 2𝑦 2 + 𝑧 2 )
в
⃗.
точке M (1;2;2) в направлении вектора 𝑠 = 6𝑖 + 3𝑗 − 6𝑘
𝑥
10. Найти ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑢 в точке A (2; 1; 1), если 𝑢 = − √𝑧 и его величину.
6.
𝑦
2.
3.
Вариант 4
Найти частные производные первого и второго порядков
𝑦
2
𝑧 = √𝑦𝑒 𝑥 + 3
√𝑥
2
Найти 𝑑𝑧, если 𝑧 = 𝑥 tg (𝑥𝑦).
Найти 𝑑 2 𝑧, если 𝑧 = cos 2 (5𝑥 − 𝑦 2 ).
4.
Найти
5.
Найти
1.
𝑑𝑧
𝑑𝑡
𝜕𝑧
,
,
𝜕𝑢
если 𝑧 = ln(4𝑥 + sin 𝑦), 𝑥 = tg 𝑡, 𝑦 = ctg 𝑡.
𝜕𝑧
,
𝜕𝑣
если 𝑧 = arctg
56
𝑥
√𝑦
𝑣
, 𝑥 = √𝑦 ln 𝑣, 𝑦 = 𝑢2 cos .
3
8.
Найти 𝑦’(𝑥) с помощью логарифмирования и последующего
дифференцирования по х функции 𝑦 = (arcsin 2𝑥)ln(cos 𝑥) .
Найти dz, где функция z=z(x,y) задана неявно уравнением
(𝑥𝑦)2 − 𝑦 2 + 𝑧 2 − 𝑥𝑦 2 = 0
Найти экстремумы функции 𝑧 = 𝑥 2 + 𝑥𝑦 + 𝑦 2 + 𝑥 + 𝑦.
9.
Найти производную функции 𝑢 = ln
6.
7.
𝑧2
в точке P (3;1;–1) в
𝑥−2𝑦
направлении, составляющем равные острые углы с осями координат.
10.
𝑥2
𝑦
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝑧, его длину и направление в точке A (1;1).
𝑧 = 3 . Найти 𝑔𝑟𝑎𝑑
2.
Вариант 5
Найти частные производные первого и второго порядков
𝑥
𝑥
𝑥
−
𝑦
𝑧 = sin cos + 𝑒
𝑦
𝑦
Найти 𝑑𝑧, 𝑧 = ln(√𝑥 + 3√𝑦).
3.
Показать, что функция 𝑢 = ln
1.
1
√𝑥 2 +𝑦 2
удовлетворяет уравнению
𝜕2𝑢 𝜕2𝑢
+
=0
𝜕𝑥 2 𝜕𝑦 2
4.
Найти
5.
Найти
𝜕𝑧
𝑑𝑧
√𝑥
,
𝑦
,
𝜕𝑥
,
𝑑𝑥
если 𝑧 = arsin
,
𝜕𝑢
,
𝜕𝑣
если 𝑧 = ln(𝑥 2 +
𝜕𝑧
𝜕𝑧
𝑦=
1
𝑦2
1
ln(𝑥 2 +4)
) , 𝑥 = 𝑢𝑣,
.
𝑦 = 𝑢2 𝑣 2 .
Найти 𝑦’(𝑥) с помощью логарифмирования и последующего
дифференцирования по х функции 𝑦 = (ln cos 𝑥) sin 𝑥 .
7. Найти 𝑑𝑧, где функция 𝑧 = 𝑧(𝑥, 𝑦) задана неявно уравнением
𝑦
𝑧 = arctg
+𝑥
𝑧−𝑥
8. Найти экстремумы функции 𝑧 = 𝑥 2 − 𝑥𝑦 + 2𝑦 2 + 3𝑥 + 2𝑦 + 1.
9. Найти производную функции 𝑢 = 𝑙𝑛(𝑥 2 + 𝑥𝑦 + 𝑧 2 ) в точке M (1;3;1)
по направлению вектора ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑢(𝑀).
10. Найти производную функции 𝑢 = arctg(𝑥 2 + 𝑦 2 ) − 𝑥𝑦 2 𝑧 3 в точке
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , где точка N (2;3;3).
M (1; 1; 1) по направлению 𝑀𝑁
6.
1.
Вариант 6
Найти частные производные первого и второго порядков
57
𝑧 = ln
√𝑥
𝑦
2
sin 3𝑦
√𝑥 2 + 𝑦 2 − 𝑥
√𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑥
2.
Найти 𝑑𝑧, где 𝑧 = 𝑦 arctg
3.
Найти 𝑑 2 𝑧, если 𝑧 =
4.
Найти
5.
Найти
6.
Найти 𝑦’(𝑥) с помощью логарифмирования и последующего
дифференцирования по х функции 𝑦 = (tg ln 𝑥)arcsin 𝑥 .
Найти 𝑑𝑧, где функция 𝑧 = 𝑧(𝑥, 𝑦) задана неявно уравнением
sin3 𝑥𝑦 + 𝑧 3 𝑥 − 𝑦√𝑧 = 5
Найти экстремумы функции 𝑧 = 𝑥 2 + 𝑥𝑦 + 𝑦 2 − 6𝑥 − 9𝑦.
π
Найти производную функции
𝑧 = 𝑥 sin 2𝑦
в точке A (2;4 ) по
направлению вектора, составляющего с осью Ox угол 60о.
7.
8.
9.
𝜕𝑧
𝑑𝑧
,
𝜕𝑥
,
𝑑𝑥
,
𝜕𝑢
𝜕𝑣
𝜕𝑧
𝜕𝑧
,
𝑥
.
.
2
если 𝑧 = 𝑥𝑒 𝑦 − ln(𝑥 − 2𝑦) , 𝑦 = cos 2𝑥.
𝑥 = 𝑢2 sin2 𝑣, 𝑦 = 𝑢3 + cos 𝑣.
если 𝑧 = 2tg 𝑥𝑦 ,
10. Найти направление наибольшего возрастания функции
𝑢 = 𝑥𝑦 −
в точке M (–4;3;–1).
1.
2.
3.
𝑥
𝑧
Вариант 7
Найти частные производные первого и второго порядков
𝑧 = sin(𝑥 2 + 𝑥𝑦) + 2ln sin(𝑥𝑦)
(2𝑦 3
cos2
𝑥
𝑦
Найти 𝑑𝑧, где 𝑧 =
𝑥 + 1) 5
.
𝑦
Показать, что функция 𝑧 = ln 𝑥 + удовлетворяет уравнению
𝑥
𝜕𝑧 𝜕𝑧
𝜕2𝑧
=
+𝑦∙
𝜕𝑥 𝜕𝑦
𝜕𝑥𝜕𝑦
𝜕𝑧
,
𝑑𝑥
если 𝑧 = 2𝑒 𝑦 − ln(𝑥 − 2𝑦) , 𝑦 = cos 2𝑥.
,
∂y
если 𝑧 = ctg 𝑢𝑣,
2
Найти
5.
Найти
6.
Найти 𝑦’(𝑥) с помощью логарифмирования и
𝑥
дифференцирования по х функции 𝑦 = (cos )ctg 𝑥 .
𝜕𝑥
∂z
∂x
и
𝑑𝑧
4.
,
∂z
𝑢 = 𝑥 3𝑦 , 𝑣 = 2𝑥+𝑦 .
3
7.
последующего
Найти 𝑑𝑧, где функция 𝑧 = 𝑧(𝑥, 𝑦) задана неявно уравнением
𝑦
𝑧 = 𝑥 + arctg
𝑧−𝑥
58
𝑥
Найти экстремумы функции 𝑧 = 𝑒 2 (𝑥 + 𝑦 2 ).
Найти скорость изменения скалярного поля 𝑢 = 5𝑥 2 𝑦𝑧 − 7𝑥𝑦 2 𝑧 +
⃗.
+5𝑥𝑦𝑧 2 в точке M (1;1;1) в направлении вектора 𝑎 = 8𝑖 − 4𝑗 + 8𝑘
10. Найти угол между градиентами скалярных полей 𝑢 = 𝑥 2 + 𝑦 2 − 𝑧 2 и
𝑥
𝑢 = arcsin
в точке M (1; 1; √7).
8.
9.
𝑥+𝑦
1.
Вариант 8
Найти частные производные первого и второго порядков
𝑧 = (𝑥 2 + 𝑦 2 )5 + arcsin √𝑥𝑦
2.
Найти 𝑑𝑧, где 𝑧 = (2 cos 𝑦 + 1)𝑥 .
3.
Найти 𝑑 2 𝑧, если 𝑧 = √𝑥 3 + 𝑦 2 + 1 .
𝜕𝑧 𝑑𝑧
Найти
,
, если 𝑧 = cos 2(5𝑥 − 𝑦 2), 𝑦 = ln(𝑥 2 + 4).
𝜕𝑥 𝑑𝑥
4.
3
5
𝜕𝑧
,
𝜕𝑥
𝜕𝑧
,
𝜕𝑦
если 𝑧 = 𝑢 sin2 𝑣,
𝑢=
3𝑥+1
,
𝑣=
𝑦𝑥
5.
Найти
6.
Найти 𝑦’(𝑥) с помощью логарифмирования и последующего
дифференцирования по х функции 𝑦 = 𝑥√arcctg 2𝑥 .
Найти 𝑑𝑧, где функция 𝑧 = 𝑧(𝑥, 𝑦) задана неявно уравнением
𝑥
𝑥 2 𝑦𝑧 3 + 𝑡𝑔 = 0
𝑧
Найти экстремумы функции 𝑧 = 𝑥 2 𝑦 2 (𝑥 + 𝑦 − 1), 𝑥 > 0, 𝑦 > 0.
7.
8.
𝑦
3
.
3
Найти скорость изменения скалярного поля 𝑢 = (𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 ) ⁄2 в
⃗.
точке M (1;1;1) в направлении вектора 𝑙 = 2𝑖 − 𝑘
10. Найти наибольшую скорость возрастания поля 𝑢 = ln(𝑥 2 + 4𝑦 2 ) в
точке M (6;4).
9.
1.
Вариант 9
Найти частные производные первого и второго порядков
𝑧 = ln(𝑦 + √𝑥 2 + 𝑦 2 ) + arctg (𝑥 2 𝑦)
tg2 (2𝑥−3𝑦)
ln(cos 5𝑦)
2.
Найти 𝑑𝑧, где 𝑧 =
3.
Показать, что функция 𝑢 = sin2 (𝑥 − 2𝑡) удовлетворяет уравнению
𝜕2𝑢 𝜕2𝑢
4 2− 2 =0
𝜕𝑥
𝜕𝑡
4.
Найти
𝑑𝑢
𝑑𝑡
,
.
если 𝑢 = 𝑒 𝑥−2𝑦 , 𝑥 = sin 𝑡, 𝑦 = 𝑡 3 .
59
𝜕𝑧
𝜕𝑧
,
,
если 𝑧 = 𝑐𝑡𝑔 (
𝑥
𝑣
𝑢
𝑢
𝑣
+ 𝑦 2 ), 𝑦 = √ , 𝑥 = sin .
5.
Найти
6.
Найти 𝑦’(𝑥) с помощью логарифмирования и последующего
cos 𝑥
дифференцирования по х функции 𝑦 = (sin 𝑥)𝑒
.
Найти 𝑑𝑧, где функция 𝑧 = 𝑧(𝑥, 𝑦) задана неявно уравнением
2
2
2
𝑥 2 + 𝑦 3 + 𝑧 = 3𝑥 −3𝑦 +𝑧
7.
8.
𝜕𝑢
𝜕𝑣
2𝑦
1
1
𝑥
𝑦
Найти экстремумы функции 𝑧 = 𝑥 2 + 𝑥𝑦 + 𝑦 2 + + , 𝑥 > 0, 𝑦 > 0.
𝜕𝑢
Найти производную ( ̅ ) в направлении, идущем от точки M (1;1;1)
𝜕𝑙 𝑀
к точке N (4;5;13) 𝑢 = 𝑥 2 𝑦 3 𝑧 + sin2 (𝑥 + 𝑦 − 2𝑧).
𝑥+2𝑦
10. Найти 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑧 (𝐴), в точке 𝐴(1; −1), если 𝑧 = arctg
.
9.
𝑥
1.
2.
3.
Вариант 10
Найти частные производные первого и второго порядков
𝑧 = ln(sin 𝑦𝑥 3 ) + (tg 𝑦)𝑥
𝑥
Найти dz, где 𝑧 = 𝑥 3 arcsin
.
2
Найти 𝑑 𝑧, где 𝑧 = 𝑒
𝑑𝑢
,
2𝑦
𝑥
√𝑦
cos .
3
если 𝑢 = 𝑧 2 + 𝑦 2 + 𝑧𝑦, 𝑧 = sin 𝑡, 𝑦 = 𝑒 𝑡 .
4.
Найти
5.
Найти
6.
Найти 𝑦’(𝑥) с помощью логарифмирования и последующего
дифференцирования по х функции 𝑦 = (𝑥 2 + 3)arcsin 2𝑥 .
Найти 𝑑𝑧, где функция 𝑧 = 𝑧(𝑥, 𝑦) задана неявно уравнением
𝑥𝑧 + 𝑦 2 𝑥𝑧 2 + 𝑙𝑛(𝑥 2 + 𝑧 2 ) = 0
Найти экстремумы функции 𝑧 = 1 + 6𝑥 − 𝑥 2 − 𝑥𝑦 − 𝑦 2 .
7.
8.
9.
𝑑𝑡
𝜕𝑧
𝜕𝑢
,
𝜕𝑧
𝜕𝑣
,
𝑥
𝑢
2𝑦
𝑣
если 𝑧 = arctg √ , 𝑥 = 𝑢2 𝑣, 𝑦 = .
𝜕𝑢
Найти ( ̅ ) в направлении, идущем от точки M (0;–1;2) к точке
𝜕𝑙 𝑀
(𝑦+𝑧)𝜋
N (3;3;14), 𝑢 = 𝑥ctg 2
.
𝑥+1−𝑦
10. Найти 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑧 (𝐴), в точке 𝐴(2; 1), если 𝑧 =
1.
𝑥
√2𝑥 2 +𝑦 2
Вариант 11
Найти частные производные первого и второго порядков
𝑧 = arctg 3√𝑥𝑦 + 3(sin 𝑦) 𝑥
60
.
5
√𝑥
).
𝑦
2.
Найти 𝑑𝑧, где 𝑧 = ctg 3 (𝑥 2 𝑦 +
3.
Показать, что функция 𝑧 = cos(𝑥 + ln 𝑦) удовлетворяет уравнению
𝜕𝑧 𝜕 2 𝑧
𝜕𝑧 𝜕 2 𝑧
∙
=
∙
𝜕𝑥 𝜕𝑥𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝑥 2
4.
Найти
5.
Найти
6.
Найти 𝑦’(𝑥) с помощью логарифмирования и последующего
7
дифференцирования по х функции 𝑦 = (ctg 4𝑥)𝑥 .
Найти 𝑑𝑧, если функция 𝑧 = 𝑧(𝑥, 𝑦) задана неявно уравнением
3𝑧 ∙ sin(𝑥 + 𝑦) − cos(𝑥 − 𝑦) = 0.
Найти экстремумы функции 𝑧 = 𝑥 3 + 𝑥𝑦 2 + 6𝑥𝑦.
7.
8.
9.
𝑑𝑧
,
𝑑𝑡
𝑧 = arcsin(𝑥 − 𝑦) , 𝑥 = 3𝑡, 𝑦 = 4𝑡 3 .
,
𝜕𝑥
,
𝜕𝑦
𝜕𝑧
𝜕𝑧
2
если 𝑧 = log 3 (2𝑢2 + 𝑣 3 ) , 𝑢 = 𝑥𝑦 2 , 𝑣 = 3𝑥 𝑦 .
𝜕𝑧
Найти производную ( ̅ ) в направлении, идущем от точки M (1;–1)
𝜕𝑙 𝑀
𝑥−1
к точке N (4;3), 𝑧 = 𝑥 arcsin
.
𝑦+2
10. Найти 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑧 (𝐴) и 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑧 (𝐵), если 𝑧 = 𝑥 2 𝑦 + ln
𝑥
2𝑦
, 𝐴(2; 1), 𝐵(1; 2).
1.
Вариант 12
Найти частные производные первого и второго порядков
2 3
𝑧 = 3sin ln(𝑥+𝑦)+tg 𝑥 𝑦
2.
Найти 𝑑𝑧, где 𝑧 = sin(log 5
3.
Найти 𝑑 2 𝑧 , где 𝑧 = arctg
4.
Найти
5.
Найти
6.
Найти
𝑑𝑢
𝑑𝑡
𝜕𝑧
,
,
𝜕𝑥
если 𝑢 =
𝜕𝑧
,
𝜕𝑦
𝑦’(𝑥)
с
𝑦𝑧
𝑥
𝑥 2 +4
𝑦3
𝑥
𝑥+𝑦
).
.
, 𝑥 = 𝑒 3𝑡 , 𝑦 = 𝑒 𝑡
𝑢
если 𝑧 = log 3 ,
𝑣
помощью
2 −1
, 𝑧=
логарифмирования
7
𝑥−5
𝑥 2 +4
8.
cos 𝑡
.
𝑢 = 𝑒 𝑥+𝑦 , 𝑣 = 𝑒 𝑥−𝑦 .
дифференцирования по х функции 𝑦 = √ 5
√
7.
1
и
последующего
.
Найти 𝑑𝑧, если функция 𝑧 = 𝑧(𝑥, 𝑦) задана неявно уравнением
𝑥
(3𝑥 − 𝑧𝑦)tg + 𝑦 2 𝑧 = 0
𝑧
3
Найти экстремумы функции 𝑧 = 𝑥 + 𝑦 3 − 3𝑥𝑦 .
61
9.
𝜕𝑧
Найти ( ̅) в направлении, составляющем с осью Оx угол 135о. Точка
𝜕𝑙
𝑀
M (–1;2), 𝑧 = 𝑥 2 tg (𝑦 2 + 4𝑥).
10. Найти величину наибольшего подъема поверхности 𝑧 = 3𝑥 2 + 4𝑦 2 , в
точке А (1;1;7).
1.
Вариант 13
Найти частные производные первого и второго порядков
𝑢 = sin(𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 ).
𝑧=
3
√3𝑥−5
cos(𝑥𝑦+7𝑦 2 )
2.
Найти 𝑑𝑧 , где
3.
Показать, что функция 𝑧 = 𝑥 2 sin(𝑥 − 𝑦) удовлетворяет уравнению
𝜕2𝑧
2 𝜕𝑧
− ∙
−𝑧 =0
𝜕𝑥𝜕𝑦 𝑥 𝜕𝑦
4.
Найти
5.
Найти
6.
Найти
𝜕𝑧
𝑑𝑧
,
𝜕𝑥
,
𝑑𝑥
,
𝜕𝑢
𝜕𝑣
𝜕𝑧
𝜕𝑧
𝑦 ′ (𝑥)
.
𝑥+𝑦
если 𝑧 = ln (
𝑦
) , где 𝑦 = cos 3𝑥.
,
если 𝑧 = arctg (𝑥𝑦), 𝑥 = 𝑣 − 2𝑢, 𝑦 = 𝑣 + 2𝑢.
с
помощью
логарифмирования
3 𝑥(𝑥 2 +1)
(1−𝑥)2
дифференцирования по х функции 𝑦 = √
и
последующего
.
7.
Найти 𝑑𝑧, если функция 𝑧 = 𝑧(𝑥, 𝑦) задана неявно уравнением
4𝑦 2 𝑧 + 𝑥 tg (𝑦𝑧) = 0
8.
Найти экстремумы функции 𝑧 = + + 𝑦, 𝑥 > 0, 𝑦 > 0.
9.
Найти
𝜕𝑢
( 𝜕𝑙 ̅ )
𝑀
8
𝑥
𝑥
𝑦
в направлении, составляющем одинаковые тупые углы с
осями координат, 𝑢 = 𝑥 arcsin
10. Найти 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑢 (𝐴), 𝑢 = 3𝑥
√𝑥
𝑦
+ 𝑥 2 𝑦𝑧 , точка M (1;2;1).
2 +𝑦 2 +𝑧 2
, A (1;–1;1).
Вариант 14
1.
2.
3.
4.
Найти частные производные первого и второго порядков 𝑢 = 𝑥
3
Найти 𝑑𝑧 , где 𝑧 = (1 + √𝑥 )
𝑦
Найти 𝑑 2 𝑧 , где z = 𝑥 ln .
Найти
𝜕𝑢
𝜕𝑥
,
𝑑𝑢
𝑑𝑥
1
arctg
√𝑦
.
𝑥
,
если 𝑢 = ln(𝑒 𝑥 + 𝑒 𝑦 ) , 𝑦 = 𝑥 3 .
62
𝑦⁄
𝑧
.
𝜕𝑧
𝜕𝑧
,
5.
Найти
6.
Найти 𝑦 ′ (𝑥)
7.
8.
9.
𝜕𝑢
𝜕𝑣
,
если 𝑧 = 𝑥 2 𝑦 + 2𝑦 2 , 𝑥 =
2𝑢
𝑢+𝑣
,
𝑦 = 𝑣 2 − 3𝑢2 .
с помощью логарифмирования и последующего
дифференцирования по х функции 𝑦 = (arcsin 3𝑥)tg √𝑥 .
Найти 𝑑𝑧, где функция 𝑧 = 𝑧(𝑥, 𝑦) задана неявно уравнением
𝑥𝑧 2
𝑧 cos(2𝑥 − 𝑦) −
+ √𝑧 = 0
𝑦
Найти экстремумы функции 𝑧 = 𝑥 2 + 𝑥𝑦 + 𝑦 2 + 𝑥 − 𝑦 + 11.
𝜕𝑢
𝜋
Найти ( ̅ ) в направлении, составляющем c Оx угол α = , с Оy угол
3
𝜕𝑙 𝑀
𝜋
β = и тупой угол с Оz; 𝑢 = 𝑥 2 + 2𝑥𝑦 − 2𝑦 2 − 𝑧𝑥 и точка М (2;1;3).
3
10. Найти угол между 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑧 (𝐴) и 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑢 (𝐵), 𝑧 = 𝑥𝑒 2𝑥
B(2;–3).
1.
2.
3.
2 +3𝑦
, A(1;0),
Вариант 15
Найти частные производные первого и второго порядков
𝑧 = (2𝑥 + 𝑦)2𝑥+𝑦
3
Найти 𝑑𝑧, где 𝑧 = √𝑥 2 + 𝑦 3 .
Показать, что функция 𝑧 = 𝑒 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑦 удовлетворяет уравнению
𝜕2𝑧 𝜕2𝑧
+
=0
𝜕𝑥 2 𝜕𝑦 2
𝜕𝑢
𝑑𝑢
𝜕𝑧
𝑑𝑡
𝜕𝑧
,
𝜕𝑡
,
если u  2 x  y  t; 𝑥 = cos 2𝑡; 𝑦 = 1 − sin2 2𝑡 .
,
если 𝑧 = (sin 𝑢)𝑣 , 𝑢 = 𝑥 𝑦 , 𝑣 = 𝑦 − 𝑥.
4.
Найти
5.
Найти
6.
Найти 𝑦’(𝑥) с помощью логарифмирования и последующего
дифференцирования по х функции 𝑦 = 𝑥√arctg 3𝑥 .
Найти 𝑑𝑧, если функция z=z(x,y) задана неявно уравнением
𝑥𝑦
𝑧 ln(𝑥 + 𝑦 + 𝑧) =
𝑧
2
Найти экстремумы функции 𝑧 = 𝑥 𝑦(2 − 𝑥 − 𝑦), 𝑥 > 0, 𝑦 > 0.
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝑧 (𝑀) , 𝑧 = arctg 𝑥 в точке M (–1;1).
Найти 𝑔𝑟𝑎𝑑
2
7.
8.
9.
𝜕𝑥
,
𝜕𝑦
𝑦
𝜕𝑢
10. 𝑢 = 𝑧 2 (𝑥 + 𝑦). Найти ( ̅ ) , где точка M (0; 1; −3),
𝜕𝑙 𝑀
𝑁(2; 3; −2).
63
𝑙 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑀𝑁, точка
1.
Вариант 16
Найти частные производные первого и второго порядков
𝑧 = 2√
1 − √𝑥𝑦
1 + √𝑥𝑦
2
2.
3.
Найти 𝑑𝑧, где 𝑧 = (arctg (2𝑥)3𝑦 .
Найти 𝑑 2 𝑧, 𝑧 = (2𝑥 − 𝑦)𝑒𝑥𝑦 .
4.
Найти
5.
Найти
6.
Найти
𝜕𝑧
𝜕𝑥
𝜕𝑧
и
𝑑𝑧
,
𝑑𝑥
𝜕𝑧
,
𝜕𝑥
𝑦
,
если 𝑧 = ln(1 + 𝑢𝑣), 𝑢 = 𝑦 sin 𝑥, 𝑣 = 𝑥 cos 𝑦.
с
помощью
𝜕𝑦
𝑦’(𝑥)
𝑥
если 𝑧 = arctg(𝑥 2 𝑦) − cos , 𝑦 = ln 2𝑥.
логарифмирования
и
последующего
𝑒 sin 𝑥
дифференцирования по х функции 𝑦 = (cos 𝑥)
.
7. Найти dz, если функция z=z(x,y) задана неявно уравнением
𝑥
𝑧
= ln + 1
𝑧
𝑦
2𝑥 (𝑥
8. Найти экстремумы функции 𝑧 = 𝑒
+ 𝑦 2 + 2𝑦).
9. Найти производную функции 𝑢 = 3𝑥 4 + 𝑥𝑦 + 𝑦 3 в точке M (1;2) в
направлении, составляющем с осью Оx угол 135o.
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝑧(𝑀) в точке M (–1;4;1), где 𝑧 = 𝑥 2 √𝑦 − 2𝑡.
10. Найти 𝑔𝑟𝑎𝑑
1.
Вариант 17
Найти частные производные первого и второго порядков
𝑦
𝑧= 2
(𝑥 − 𝑦 2 )5
2.
3.
Найти 𝑑𝑧, где 𝑧(𝑥, 𝑦) = ctg 2 (𝑥𝑦) + 2𝑥 .
𝑦
Показать, что функция 𝑧 = 𝑙𝑛 𝑥 + удовлетворяет уравнению
𝑦
𝑥
𝜕𝑧 𝜕𝑧
𝜕2𝑧
=
+𝑦
𝜕𝑥 𝜕𝑦
𝜕𝑥𝜕𝑦
𝜕𝑧
𝑑𝑧
,
𝜕𝑥
,
𝑑𝑥
если 𝑧 = arsin
√𝑥
,
𝑦
𝑦=
1
4.
Найти
5.
Найти
6.
Найти 𝑦’(𝑥) с помощью логарифмирования и последующего
2
дифференцирования по х функции 𝑦(𝑥) = (cos 𝑥) 𝑥 +1 .
Найти 𝑑𝑧, если функция 𝑧 = 𝑧(𝑥, 𝑦) задана неявно уравнением
7.
𝜕𝑧
𝜕𝑢
и
𝜕𝑧
𝜕𝑣
,
ln(𝑥 2 +4)
.
если z = √𝑥 2 + 𝑦 2 , 𝑥 = 𝑢 sin 3𝑣, 𝑦 = 𝑢 cos 3𝑣.
𝑥 co𝑠(𝑦 + 𝑧) =
64
𝑧
𝑥+𝑦
8.
Найти экстремумы функции 𝑧 = 2𝑥 3 − 𝑥𝑦 2 + 5𝑥 2 + 𝑦 2 .
9.
Найти
𝜕𝑢
𝜕𝑙
𝑢 = ln(𝑒 𝑥 + 𝑒 𝑦 ), а ⃗⃗𝑙 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵,
𝐴(0; 0) , если
в точке
где точка B (3;4).
10. Найти 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑧 (𝐴) в точке A (1;1), где 𝑧 = arcsin
1.
𝑥
𝑥+𝑦
.
Вариант 18
Найти частные производные первого и второго порядков
𝑢(𝑥, 𝑦, 𝑧) = ln2 (3𝑥 + 5𝑦𝑧) −
1
√𝑦 2 + 𝑧 2
− 8𝑥
4
2.
Найти 𝑑𝑧, где 𝑧(𝑥, 𝑦) = (sin2 3𝑦)3𝑥 .
3.
Найти 𝑑 2 𝑧, где 𝑧 =
4.
Найти
5.
Найти
6.
8.
Найти 𝑦’(𝑥) с помощью логарифмирования и последующего
дифференцирования по х функции 𝑦(𝑥) = (𝑥 2 + 1)sin 𝑥 .
Найти 𝑑𝑧, если функция 𝑧 = 𝑧(𝑥, 𝑦) задана неявно уравнением
𝑒 2𝑥 − ln 𝑧 = arctg (𝑧 − 𝑦)
Найти экстремумы функции 𝑧 = 𝑦√𝑥 − 𝑦 2 − 𝑥 + 5𝑦.
9.
Найти
7.
𝜕𝑧
,
𝜕𝑡
𝜕𝑧
cos(𝑦+𝑥)
𝑦−𝑥
.
𝑑𝑧
,
если где 𝑧 = ln(𝑒 2𝑡 + 4𝑥 + sin 𝑦) ,
𝑑𝑡
𝜕𝑧
,
𝜕𝑢
𝜕𝑢
𝜕𝑙
,
𝜕𝑣
𝑥 = tg 𝑡, 𝑦 = ctg 𝑡.
если 𝑧 = 𝑥 2 𝑦 − 𝑦 2 𝑥, 𝑥 = 𝑢 cos 𝑣, 𝑦 = 𝑢 sin 𝑣.
(𝐴),
где 𝑢 = 𝑥 2 𝑦 2 𝑧 2
точке A(5;1;–2) в направлении
𝑙 = ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵, точке B (9;4;10).
10. Найти направление наибольшего возрастания функции
𝑧=
1.
𝑥+√𝑦
𝑦
в точке M (2;1).
Вариант 19
Найти частные производные первого и второго порядков
𝑢(𝑥, 𝑦, 𝑧) = arctg
√𝑥 2 +𝑦 2
𝑥+𝑧
𝑦
2.
Найти 𝑑𝑧, где 𝑧(𝑥, 𝑦) =
3.
Показать, что функция 𝑢 = 𝑢(𝑥, 𝑦) удовлетворяет уравнению
𝜕2 𝑢
𝜕𝑥 2
−2
𝜕2 𝑢
𝜕𝑥𝜕𝑦
+
𝜕2 𝑢
𝜕𝑦 2
𝑥
− 2𝑦 cos 𝑥.
= 0, где 𝑢 = 𝑥 sin(𝑥 + 𝑦) + 𝑦 cos(𝑥 + 𝑦).
65
𝜕𝑧
, где 𝑧 = 𝑥𝑦 2 − 𝑡𝑔 (𝑥 + 𝑦), 𝑦 =
1
Найти
5.
Найти
6.
Найти 𝑦’(𝑥) с помощью логарифмирования и последующего
дифференцирования по х функции 𝑦(𝑥) = (𝑥 3 + 2)𝑙𝑛 𝑥 .
Найти 𝑑𝑧, если функция 𝑧 = 𝑧(𝑥, 𝑦) задана неявно уравнением
𝑧+𝑥
𝑧 = ln
.
7.
и
𝑑𝑧
4.
𝜕𝑥
𝑑𝑥
𝜕𝑧 𝜕𝑧
,
𝜕𝑢 𝜕𝑣
,
cos3 𝑥
.
𝑧 = arccos(𝑥 2 + √𝑦), 𝑥 = 𝑢 cos2 𝑣, 𝑦 = 𝑢3 sin 𝑣.
𝑦
8.
Найти экстремумы функции 𝑧 = 𝑥 4 + 𝑦 4 − 4(𝑥 + 𝑦).
9.
−
Найти ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑧(𝑀 ) в точке M (1;2), где 𝑧 = 𝑒 𝑦 .
𝑥
10. Найти
𝜕𝑧
𝜕𝑙
функции 𝑧 = 𝑥𝑦 ln(𝑥 + 𝑦) в точке A(–1;2) по направлению
𝑙 , составляющему равные углы с осями координат.
2.
3.
Вариант 20
Найти частные производные первого и второго порядков
𝑧(𝑥, 𝑦) = 𝑒 𝑥𝑦 (1 + 𝑦 2 )
Найти 𝑑𝑧, где 𝑧(𝑥, 𝑦) = ln(𝑥 + 𝑒 𝑥𝑦 ).
Найти 𝑑 2 𝑧, где 𝑧(𝑥, 𝑦) = sin2 (𝑒 3𝑥 + 𝑒 2𝑦 ).
4.
Найти
5.
Найти
6.
8.
Найти 𝑦’(𝑥) с помощью логарифмирования и последующего
дифференцирования по х функции 𝑦(𝑥) = (cos 𝑥)tg 𝑥 .
Найти 𝑑𝑧, если функция 𝑧 = 𝑧(𝑥, 𝑦) задана неявно уравнением
3𝑥 2 − 6𝑥√𝑦 + √𝑥𝑧 3 − 𝑧 2 − 5𝑥 = 0.
Найти экстремумы функции 𝑧 = 𝑒 𝑥−𝑦 (𝑥 2 − 2𝑦 2 ).
9.
Найти производную функции 𝑢 = ln
1.
7.
𝜕𝑧
,
𝜕𝑢
∂𝑧
∂𝑡
𝜕𝑧
,
𝜕𝑣
и
𝑑𝑧
𝑑𝑡
если 𝑧 = arctg
,
𝑥2
𝑦
, 𝑥 = 𝑢2 ln(1 + 𝑣 2 ), 𝑦 = ln(𝑣 2 + 4).
если z = ln2 (𝑡 + 3𝑥 2 − 6𝑦), 𝑥 = tg 𝑡, y = ctg 𝑡.
𝑧2
𝑥−2𝑦
в точке A(3;1;–1) в
направлении, составляющем с осями координат одинаковые острые
углы.
10. Найти угол между градиентами скалярных полей
𝑢 = 𝑥𝑦𝑧 и
1
𝑣 = 𝑥 2 + 9𝑦 2 + 6𝑧 2 в точке М (1; ;
1
3 √6
1.
).
Вариант 21
Найти частные производные первого и второго порядков
66
2.
3𝑥 − 𝑦
)
𝑥2
𝑥2
Найти 𝑑𝑧, где 𝑧 = arccos ( ).
𝑥+𝑦
3.
Показать,
𝑧 = ln (
4.
что
функция
𝑢 = 𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑠𝑖𝑛(𝑥 − 𝑎𝑡) + 𝑐𝑜𝑠(𝑥 + 𝑎𝑡)
2
 2u
2  u
a
удовлетворяет уравнению
при a .
t 2
x 2
du
Найти
, если u  x  sin y  y  cos x , x  2t 2  1; 𝑦 = 3√𝑡 .
dt
𝜕𝑧
,
если 𝑧 = arcsin(𝑥 − 𝑦) , 𝑥 = 𝑝 ∙ tg 𝑡, 𝑦 = 𝑡 ∙ tg 𝑝.
Найти
6.
8.
Найти y’(𝑥) с помощью логарифмирования и последующего
дифференцирования по х функции y(𝑥) = 𝑥 arctg 𝑥 .
Найти 𝑑𝑧, если функция 𝑧 = 𝑧(𝑥, 𝑦) задана неявно уравнением
𝑧 2 (𝑥 + 𝑦) = 𝑥 ∙ 𝑒 𝑧 − 4𝑦.
Найти экстремумы функции 𝑧 = 1 + 6𝑥 − 𝑥 2 − 𝑥𝑦 − 𝑦 2 .
9.
Найти
7.
𝜕𝑡
и
𝜕𝑧
5.
𝜕𝑝
𝜕𝑢
в точке A (–1;2), если u = 𝑥 arctg (𝑥 + 𝑦), а направление
𝜕𝑙 ̅
⃗⃗⃗⃗⃗ , B (2;6).
𝑙 = 𝐴𝐵
10. Найти угол между градиентами скалярных полей
𝑣 = 𝑥 2 − 𝑦 2 − 3𝑧 2
в точке М (
1
;
1
;
1
√2 √2 √3
𝑢=
𝑦𝑧 2
𝑥
и
).
2.
3.
Вариант 22
Найти частные производные первого и второго порядков
𝑥2 𝑥 1 1
𝑧=
+ + −
2𝑦 2 𝑥 𝑦
Найти 𝑑𝑧, где 𝑧 = 𝑥 2 2√𝑥+𝑦 .
Найти 𝑑 2 𝑧, где 𝑧 = ln(𝑥 2 + 𝑦 2 + 2𝑥 + 1).
4.
Найти
5.
Найти
6.
Найти 𝑦’(𝑥) с помощью логарифмирования и последующего
дифференцирования по х функции 𝑦(𝑥) = (sin 3𝑥)𝑥 .
Найти 𝑑𝑧, если функция 𝑧 = 𝑧(𝑥, 𝑦) задана неявно уравнением
1.
7.
𝑑𝑧
,
𝑑𝑥
𝜕𝑧
,
𝜕𝑢
1
𝑢
2
𝑣
если 𝑧 = ln , 𝑢 = tg 3 𝑥, 𝑣 = ctg 2 𝑥.
𝜕𝑧
𝜕𝑣
,
если 𝑧 = tg 4 (4𝑥 2 + 5𝑦), 𝑥 = 2𝑢 + 𝑣 3 , 𝑦 = 2𝑢 ∙ 𝑣 3 .
67
8.
𝑦
= 2𝑧
𝑥
Найти экстремумы функции 𝑧 = 𝑥 3 𝑦 2 (6 − 𝑥 − 𝑦), 𝑥 > 0, 𝑦 > 0 .
9.
Найти
tg (𝑧 + 𝑥) −
𝜕𝑢
𝑧
в
точке
A
(1;1;1),
где
𝑢
=
𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛
, 𝑙 ̅ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑢(𝐴).
2
√𝑥 +𝑦 2
𝜕𝑙 ̅
10. Найти угол между градиентами скалярных полей 𝑢 = 𝑥 2 − 𝑦 2 − 3𝑧 2
и 𝑣=
𝑥
𝑦𝑧 2
в точке 𝑀 (
1
;
1
;
1
√2 √2 √3
).
1.
Вариант 23
Найти частные производные первого и второго порядков
𝑢(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥 ∙ sin 𝑧 − 𝑦 ∙ cos 𝑧
2.
Найти 𝑑𝑧 в т. 𝐴 ( ; 2), где 𝑧 = 𝑦 3sin
3.
Показать, что функция 𝑧 =
𝜋
12
𝑥𝑦
𝑥−𝑦
2 4𝑥
.
удовлетворяет уравнению
𝜕2𝑧
𝜕2𝑧
𝜕2𝑧
2
+
2
+
=
𝜕𝑥 2
𝜕𝑥𝜕𝑦 𝜕𝑦 2 𝑥 − 𝑦
4.
Найти
5.
Найти
6.
Найти
𝜕𝑧
,
𝜕𝑥
𝜕𝑧
,
𝜕𝑥
𝑑𝑧
,
𝑑𝑥
𝜕𝑧
𝜕𝑦
𝑦’(𝑥)
:
если 𝑧 = 𝑒 arctg(𝑥−𝑦) , 𝑦 = ctg 𝑥.
𝑧 = 𝑢 ∙ cos 𝑣 − 𝑣 ∙ sin 𝑢 , 𝑢 = 𝑥 3 + 2𝑦, 𝑣 = 𝑦 − 𝑥.
с
помощью
логарифмирования
и
последующего
дифференцирования по х функции 𝑦(𝑥) = 𝑥 √𝑥+1 .
7. Найти 𝑑𝑧, где функция 𝑧 = 𝑧(𝑥, 𝑦) задана неявно уравнением
5𝑧 + 𝑡𝑔 𝑥 2 + arcsin(𝑥𝑦𝑧) = 0
8. Найти экстремумы функции 𝑧 = (𝑥 2 + 𝑦) ∙ √𝑒 𝑦 .
9. Найти производную функции 𝑢 = 𝑥 2 𝑦 2 𝑧 2 в точке A (5;1;–2) в
направлении вектора ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵, где B (9;4;10).
10. Найти угол между градиентами скалярных полей
6 2 3√3
𝑦 2𝑧3
√3
𝑢= + −
и 𝑣 = 2 в точке 𝑀 (√2; √2; ).
𝑥 𝑦 2√2𝑧
𝑥
2
1.
Вариант 24
Найти частные производные первого и второго порядков
𝑧 = 6𝑥𝑦 + 5√𝑥 2 + 𝑦 2
2.
3.
Найти 𝑑𝑧, где z = arctg
2
Найти 𝑑 𝑧, где 𝑧 = 𝑥 ∙ 𝑒
𝑥+𝑦
1−𝑥𝑦
𝑦
𝑥
−
.
.
68
4.
Найти
5.
Найти
𝜕𝑧
𝜕𝑥
𝜕𝑧
𝑑𝑧
,
𝜕𝑥
,
если 𝑧 = tg (𝑥 + 𝑦) − ln2 (𝑥 − 𝑦), 𝑦 = ctg 𝑥 2.
𝑑𝑥
𝜕𝑧
и
𝑧 = ctg 3 (𝑢 − 3𝑣) , 𝑢 = 6𝑥 4 + 5𝑦 2 , 𝑣 = 𝑥 3 + 2𝑦.
∶
𝜕𝑦
Найти 𝑦’(𝑥) с помощью логарифмирования и последующего
дифференцирования по х функции 𝑦(𝑥) = (tg 2𝑥)sin 𝑥 .
7. Найти 𝑑𝑧, где функция 𝑧 = 𝑧(𝑥, 𝑦) задана неявно уравнением
2
2𝑥+𝑧 + cos 2 (𝑥𝑦) − 𝑧 = 0
8. Найти экстремумы функции 𝑧 = 𝑥 √𝑦 − 𝑥 2 − 𝑦 + 6𝑥 + 3 .
9. Найти производную скалярного поля
𝑢 = 𝑥 2 𝑦 2 𝑧 − ln(𝑧 − 1)
⃗ .
в точке M (1;1;2) по направлению 𝑙 = 5𝑖 − 6𝑗 + 2√5𝑘
10. Найти величину наибольшей скорости изменения функции
𝑢 = 𝑥 2 + 2𝑦 2 + 3𝑧 2 − 3𝑥 − 2𝑦 − 6𝑧 в точке 𝐴 (1; 1; 1).
6.
1.
Вариант 25
Найти частные производные первого и второго порядков
𝑢(𝑥, 𝑦, 𝑧) = ln(3𝑥 − 2𝑦) −
2.
𝜋 3𝜋
Найти 𝑑𝑧 в точке А (
;
4
),
4
где 𝑧 =
−𝑦
𝑥
𝑥
𝑦
4𝑧𝑒
cos 𝑥
2cos2 𝑦
1
𝜋
𝑦
2
4
2
− ln tg( + ).
3.
Показать, что функция 𝑢 = 𝑥𝑒 удовлетворяет уравнению
𝜕2𝑢
𝜕𝑢 𝜕𝑢
𝜕2𝑢
𝑥
+ 2( + ) = 𝑦 2
𝜕𝑥𝜕𝑦
𝜕𝑥 𝜕𝑦
𝜕𝑦
4.
Найти
5.
Найти
6.
Найти
помощью логарифмирования и последующего
дифференцирования по х функции 𝑦(𝑥) = (3𝑥 2 + 1)cos 𝑥 .
Найти 𝑑𝑧, если функция 𝑧 = 𝑧(𝑥, 𝑦) задана неявно уравнением
𝑦
𝑧 = arctg
.
7.
𝜕𝑧
𝜕𝑢
𝑑𝑧
и
,
𝑑𝑥
𝜕𝑧
𝜕𝑣
𝜕𝑧
,
𝜕𝑥
𝑦′(𝑥) с
𝑢
, если 𝑧 = ln(𝑥 2 + 𝑦 2 ), 𝑥 = 𝑢𝑣, 𝑦 = .
𝑣
если 𝑧 = arcsin(𝑥√𝑥 − 5𝑦2 ) , 𝑦 = ln(𝑥2 + 1).
𝑧−𝑥
8.
9.
Найти экстремумы функции 𝑧 = 𝑥 3 + 𝑦 3 − 3𝑥𝑦 .
𝑥
Найти производную функции 𝑧 = arctg 2
в точке А (1; −1) по
𝑦
направлению вектора ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵, если точка B (1;2).
10. Найти угол между градиентами скалярных полей
𝑢 = 6√6𝑥 3 − 6√6𝑦 3 + 2𝑧 3 и 𝑣 =
69
𝑦
𝑥𝑧 2
в т. М (
1
;
1
√6 √6
; 1).
1.
Вариант 26
Найти частные производные первого и второго порядков
𝑢 = √𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 − cos(𝑥𝑦)
4.
Найти 𝑑𝑧, где 𝑧 = (5 − 𝑦)arctg√𝑥 .
Найти 𝑑 2 𝑧, где 𝑧 = cos (𝑥𝑦).
𝑑𝑧
Найти
, если 𝑧 = arctg√𝑥 2 + 𝑦 2 , 𝑥 = 𝑡 3 , 𝑦 = ln 𝑡.
5.
Найти
6.
Найти 𝑦’(𝑥) с помощью логарифмирования и последующего
дифференцирования по х функции 𝑦(𝑥) = (arctg 𝑥)√𝑥 .
Найти 𝑑𝑧, если функция 𝑧 = 𝑧(𝑥, 𝑦) задана неявно уравнением
sin2 (𝑥 − 𝑧) − 𝑥𝑦 2 + 𝑒 𝑧 = 0
Найти экстремумы функции 𝑧 = 𝑥 2 − 𝑥𝑦 + 𝑦 2 + 3𝑥 − 2𝑦 + 1.
𝑥
𝜋
Найти производную функции
𝑢 = ln sin
в точке 𝑀 ( ; 2) в
2.
3.
7.
8.
9.
𝑑𝑡
𝜕𝑧
𝜕𝑥
и
𝜕𝑧
,
𝜕𝑦
если 𝑧 = ln3 (𝑢2 + 4𝑣), 𝑢 = 𝑥𝑦 2 , 𝑣 =
𝑦
𝑥2
.
𝑦
2
направлении вектора 𝑠 = 3𝑖 − 4𝑗 .
10. Найти угол между градиентами скалярных полей 𝑢 =
𝑣=
1.
2.
3.
𝑥2
𝑦2 𝑧 3
в точке 𝑀 (√2; √2;
𝑥3
√2
−
𝑦3
√2
−
8𝑧 3
√3
и
√3
).
2
Вариант 27
Найти частные производные первого и второго порядков
𝑦2
𝑧=
+ arcsin(𝑥𝑦)
3𝑥
1
Найти 𝑑𝑧, 𝑧 = 𝑠𝑖𝑛3 (𝑥𝑦 + 𝑦 2 ) − ( )√𝑥 .
Показать, что функция 𝑢 = ln
1
2
√𝑥 2 +𝑦 2
2
2
удовлетворяет уравнению
𝜕 𝑢 𝜕 𝑢
+
=0
𝜕𝑥 2 𝜕𝑦 2
𝜕𝑧
,
𝑑𝑧
𝑑𝑥
,
если 𝑧 = ln(𝑥𝑦 + 𝑦3 ), 𝑦 = ctg
1
4.
Найти
5.
Найти
6.
Найти 𝑦′(𝑥) с помощью логарифмирования и последующего
дифференцирования по х функции 𝑦(𝑥) = (cos 3𝑥 2 )𝑥+1 .
𝜕𝑥
𝜕𝑧
𝜕𝑢
и
𝜕𝑧
𝜕𝑣
,
если
𝑥
.
𝑧 = 𝑥𝑦 3 + 𝑦2𝑥 , 𝑥 = 𝑢 + 𝑣, 𝑦 = 𝑢 − 𝑣 .
70
Найти 𝑑𝑧, если функция 𝑧 = 𝑧(𝑥, 𝑦) задана неявно уравнением
𝑦𝑧 + arccos (𝑥 − 𝑧) = 0 .
8. Найти экстремумы функции 𝑧 = 4(𝑥 − 𝑦) − 𝑥 2 − 𝑦 2 .
9. Найти производную функции 𝑧 = 𝑥 3 − 3𝑥 2 𝑦 + 3𝑥𝑦 2 + 1 в точке А(3:1)
⃗⃗⃗⃗⃗ , точка В (6;5).
в направлении вектора 𝐴𝐵
10. Найти угол между градиентами функции
𝑥
z = arcsin
в точках 𝐴(1; 1) и 𝐵(3; 4).
7.
𝑥+𝑦
1.
Вариант 28
Найти частные производные первого и второго порядков
𝑧 = 𝑒 𝑥 (cos 𝑦 + 𝑥sin 𝑦)
2.
Найти 𝑑𝑧, если 𝑧 = log 2 (√𝑥 + 𝑦 2 ) + 3𝑦 .
3.
Найти 𝑑 2 𝑧, 𝑧 = 𝑦 𝑥 .
4.
Найти
5.
Найти
6.
8.
Найти 𝑦’(𝑥) с помощью логарифмирования и последующего
дифференцирования по х функции 𝑦(𝑥) = 𝑥 ln 𝑥 .
Найти 𝑑𝑧, если функция 𝑧 = 𝑧(𝑥, 𝑦) задана неявно уравнением
𝑥
𝑧
= ln + 1
𝑧
𝑦
2
Найти экстремумы функции 𝑧 = 𝑥 + 𝑦 2 − 6𝑥 + 4𝑦 + 2.
9.
Найти точку, в которой градиент функции 𝑧 = ln(𝑥 + ) равен 𝑖 −
𝑥
7.
3
𝜕𝑧
𝜕𝑢
𝜕𝑧
𝜕𝑥
и
и
𝜕𝑧
,
𝜕𝑣
𝑑𝑧
,
𝑑𝑥
если 𝑧 = arctg
𝑥2
𝑦
, 𝑥 = 𝑢2 ∙ ln(1 + 𝑣 2 ), 𝑦 = √𝑢𝑒 𝑣 .
если 𝑧 = ln(𝑥 2 − 𝑦 2 ), 𝑦 = 𝑒 𝑥 .
10. Найти производную функции 𝑢 = 𝑥𝑦 2 𝑧 2 в
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , где точка 𝑁 (5; 4; 1; )
в направлении вектора 𝑀𝑁
1
16
𝑦
9
точке
𝑀 (3; 2; 1; )
Вариант 29
𝑦
𝑧
1.
Найти частные производные первого и второго порядков 𝑢 = 𝑥 .
2.
Найти 𝑑𝑧, если 𝑧 = arctg
3.
Показать, что функция 𝑢 =
2(𝑥+sin 𝑦)
4−𝑥sin 𝑦
1
.
√𝑥2 +𝑦2 +𝑧2
удовлетворяет уравнению
𝜕2𝑢 𝜕2𝑢 𝜕2𝑢
+
+
=0
𝜕𝑥 2 𝜕𝑦 2 𝜕𝑧 2
4.
Найти
𝜕𝑧
𝜕𝑥
,
𝑑𝑧
,
𝑑𝑥
𝑥
если 𝑧 = tg 2 (𝑥 + 𝑦) − ; 𝑦 = √𝑥 + 2 .
𝑦
71
𝑗
5.
Найти
6.
Найти
𝜕𝑧
𝜕𝑧
и
𝜕𝑢
𝑦′(𝑥)
𝜕𝑣
с
,
если 𝑧 = 𝑥 2 𝑦 − 𝑦 2 𝑥, 𝑥 = 𝑢2 cos 𝑣 , 𝑦 = 𝑢3 sin 𝑣.
помощью
логарифмирования
и
последующего
𝑥
ctg
2
7.
8.
дифференцирования по х функции 𝑦(𝑥) = (tg 2𝑥)
.
Найти 𝑑𝑧, если функция 𝑧 = 𝑧(𝑥, 𝑦) задана неявно уравнением
𝑒 2𝑥 ∙ sin 𝑧 − cos 2 (𝑥 − 𝑧) = 0 .
Найти экстремумы функции 𝑧 = 𝑥 4 + 𝑦 4 − 2𝑥 2 + 4𝑥𝑦 − 2𝑦 2 .
3
Найти точки, в которых модуль градиента функции 𝑧 = (𝑥 2 + 𝑦 2 )2
равен 2.
10. Найти производную функции
z = 𝑥 2 𝑦 2 − 𝑥𝑦 3 − 3𝑦 − 1 в точке
𝐴 (2; 1) в направлении, идущем от этой точки к началу координат.
9.
1.
Вариант 30
𝑥
𝑦
Найти частные производные первого и второго порядков 𝑧 = sin cos
2.
2
2
Найти 𝑑𝑧, где z  arcsin xy  ln y  x  y ).
3.
Найти 𝑑 2 𝑧, где 𝑧 = sin2 (𝑎𝑥 + 𝑏𝑦).
4.
Найти
5.
Найти
6.
Найти


𝜕𝑧
𝜕𝑡
𝜕𝑧
𝜕𝑢
,
и
𝑦
𝑥
если 𝑧 = arctg √𝑥 2 + 𝑦 2 , 𝑥 = 𝑡 3 , 𝑦 = ln 𝑡.
𝑑𝑧
,
𝑑𝑣
если 𝑧 = 𝑥 2 ln 𝑦 ,
𝑢
𝑥 = , 𝑦 = 3𝑢 − 2𝑣.
𝑣
𝑦’(𝑥) с помощью логарифмирования и последующего
дифференцирования по х функции 𝑦(𝑥) = (
𝑥
𝑥
) .
1+𝑥
Найти 𝑑𝑧, если функция 𝑧 = 𝑧(𝑥, 𝑦) задана неявно уравнением
2𝑥𝑦 + sin2 (2𝑥 − 𝑧) = 0
8. Найти экстремумы функции 𝑧 = 2𝑥 3 + 2𝑦 3 − 36𝑥𝑦 + 430.
9. Найти производную функции
𝑧 = arctg (𝑥𝑦) в точке 𝐴 (1; 1) в
направлении биссектрисы первого координатного угла.
10. Каково
направление
наибольшего
изменения
функции
𝑢(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥 sin 𝑧 − 𝑦 cos 𝑧 в начале координат?
7.
72
4. ЗАДАНИЯ ПО ТЕМЕ: ИНТЕГРАЛЬНОЕ
ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
ИСЧИСЛЕНИЕ
Примерный вариант заданий с решением
1. Изменить порядок интегрирования:
1
а)
 dx
0
1 2 x

f ( x, y )dy .
2 у
 dу  f ( x, y)dх
0
у
1
б)
1 х 2
2. Вычислить двойной интеграл
а)
  у  2 х dxdy ,
где
D : x  y  2,
у  х,
у0
D
б)
 ydxdy ,
где
D : x 2  y 2  4,
x  1.
D
3. С помощью двойного интеграла найти площадь области, заданной
1
неравенствами у  , у  х, 1  у  2 .
х
4. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями z  0, y  z  1
2
и yx .
5. Вычислить криволинейный интеграл,
 x
2

 y dx  xy 2 dy , где l – кривая,
l
y 2  x от точки А 0;0 до точки В (4;2).
6. Вычислить работу силы
𝐹=
𝑦
𝑥+1
𝑖 + 𝑒 −1 𝑗
при
перемещении
материальной точки по прямой, соединяющей точки M(0;1) и N(1;3).
7. Применяя формулу Грина, вычислить криволинейный интеграл
I   x 2  y 2 dx  ( x  y  y ln( x  x 2  y 2 ))dy по замкнутому контуру
C
C, ограниченному кривыми x  y  1; x  y  2,5 . Обход контура С
совершается против часовой стрелки.
8. Доказать, что криволинейный интеграл
(1;e)
2
1
x
I
 (e  3 )dx  (ln y  2 2 )dy
yx
x y
(0,5;0,5)
не зависит от формы пути интегрирования и вычислить его.
73
Решение
1. а) Область интегрирования D определяется неравенствами:

0  x  1
D: 
2

 1  x  y  1  2x
у  1 х2
Ее границы – линии:
– верхняя половина окружности
х 2  у 2  1 , прямые у  1 2 х и х  1 (рис. 1.1).
у
у
3
D2
D
1
1
D1
0
1
х
0
1
х
Рис. 1.2. Разбиение области
интегрирования на D1 и D2
Рис. 1.1. Область
интегрирования D
Левая граница области задается уравнениями различных функций:
прямой у  1 2 х и полуокружностью у  1  х 2 , поэтому при изменении
порядка интегрирования область необходимо разбить на две области D1 и
D2, как показано на рис. 1.2.
Области D1 и D2 определяются неравенствами:
1  y  3
0  y  1
D1: 
.
D2:  y  1
2
 1 y  x 1
 2  x  1
Запишем повторный интеграл в виде суммы двух повторных
интегралов по нижней D1 и верхней D2 областям интегрирования.
1
1
3
1
f ( x, y )dх   dy  f ( x, y )dx .
Ответ:  dу 
0
1 у 1
1 у 2
2
74
1. б) Область интегрирования D определяется неравенствами:
0  у  1
.

у

х

2

у

2
Ее границы – линии: х  у – правая ветвь параболы у  х и прямые
D:
х  2  у  у  2  х и у  0 (рис. 1.3).
у
у
D
х
D2
D1
х
2
0
0
Рис. 1.3. Область
интегрирования D
1
2
Рис. 1.4. Разбиение области
интегрирования на D1 и D2
Верхняя граница области D задается уравнениями различных
функций: прямой у  2  х и правой ветвью параболы у  х , поэтому при
изменении порядка интегрирования область необходимо разбить на две
области D1 и D2 , как показано на рис. 1.4.
Области D1 и D2 определяются неравенствами:
2
0  x  1
D1: 
2
0  y  x
1  x  2
D2: 
0  y  2  x
Запишем повторный интеграл в виде суммы двух повторных
интегралов по левой D1 и правой D2 областям интегрирования.
Ответ:
1
х2
2
2 х
0
0
1
0
 dх  f ( x, y)dу   dх  f ( x, y)dу .
2. а) Границы области интегрирования – линии: у  х – верхняя ветвь
параболы х  у , прямые у  2  х и у  0 . Перейдем к повторному
интегралу, выбрав порядок интегрирования так, чтобы область не пришлось
разбивать (рис. 2.1).
Тогда область интегрирования D определяется неравенствами:
2
75
у
1
D:
D
00
х
Рис. 2.1. Область интегрирования D
1
2−𝑦
∬ (𝑦 + 2𝑥)𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∫ 𝑑𝑦 ∫
𝐷
𝑦2
0
1
1
2−𝑦
(𝑦 + 2𝑥)𝑑𝑥 = ∫ (𝑦𝑥 |2−𝑦
+ 𝑥 2 |𝑦2 ) 𝑑𝑦 =
𝑦2
0
1
= ∫ (2𝑦 − 𝑦 2 − 𝑦 3 + 4 − 4𝑦 + 𝑦 2 − 𝑦 4 ) 𝑑𝑦 = ∫ (4 − 2𝑦 − 𝑦 3 − 𝑦 4 )𝑑𝑦 =
0
= (4𝑦 − 𝑦 2 −
Ответ:
51
4
5
0
1
𝑦
𝑦
51
− )| =
4
5 0 20
20
2. б) Область интегрирования лежит внутри окружности с центром в начале
координат, радиусом 2, правее вертикальной прямой х  1 (рис. 2.2). Для
упрощения вычислений целесообразно перейти в полярную систему
𝑥 = 𝜌 cos 𝜑
координат по формулам:
{ 𝑦 = 𝜌 sin 𝜑
𝑑𝑥𝑑𝑦 = 𝜌𝑑𝜌𝑑𝜑
2
2
2
Тогда: 1) 𝑥 + 𝑦 = 4 => 𝜌 cos 2 𝜑 + 𝜌2 sin2 𝜑 = 4 => 𝜌2 =4 => 𝜌 = 2
2) 𝑥 = 1 => 𝜌 cos 𝜑 = 1 => 𝜌 =
y
D
.
и прямая 𝜌 =
L
2
cos 𝜑
Уравнения границ области в
полярной системе координат будут
иметь вид: окружность 𝜌 = 2
φ=π/4
0
1
х
D:
φ=–π/4
Рис. 2.2. Область интегрирования
в декартовой (ХОУ) и полярной (OL)
системах координат
76
1
cos 𝜑

4

4
 3

2
2

cos

d

d


cos

d


d


cos

D

1
  3



4
cos 
4
2


4

8
1 
d 
d    cos  
2
1
3
3
cos






cos  
4
2

1
8 2 2
 8 sin   tg 4  

3
3
4
8 2 2
.
3
Ответ:
3. С помощью двойного интеграла площадь области D вычисляется по
S D   dxdy .
формуле
D
Перейдем к повторному интегралу,
выбрав порядок интегрирования так, чтобы
область не пришлось разбивать (рис. 3.1).
Уравнения левой и правой границ при этом
у
2
1
нужно представить в виде
и
х
0
Рис. 3.1. Область интегрирования D
D:
2
 y2


1
1
3
S D   dy  dx    y  dy  
 ln y   2  ln 2   ln 1   ln 2 .
y
2
2
1
 2

1
1
2
y
2
y
Ответ:
1
SD 
3
 ln 2 (кв. ед.)
2
z = 0 – плоскость xOy;
y + z = 1 – плоскость параллельная оси Ох, пересекающая ось Оу и Оz
в точках А(0;1;0) и В(0;0;1), а плоскость xOy по прямой у = 1, параллельной
оси Ох;
4.
y  x2
–
цилиндрическая
поверхность,
образующая
которой
2
параллельна оси Оz, а направляющей является парабола y  x , лежащая
в плоскости хОу.
77
Искомое цилиндрическое тело изображено на рис. 4.1. С помощью
двойного интеграла его объем вычисляется по формуле:
V   f ( x, y)dxdy , где D – основание тела (рис. 4.2), а z = f(x,y) –
D
уравнение поверхности, ограничивающей тело сверху. В нашем случае это
плоскость y  z  1  z  1  y
У
Z
В
1
1
А
А
У
0
1
Х
Х
-1
Рис. 4.1. Тело, объем которого
нужно найти
0
1
Рис. 4.2. Область интегрирования D
 1  x  1
D:  2
x  y  1
1
1
1
1
2

 1 1

y
x4 
2


V   (1  y)dxdy   dx  (1  y )dy   dx  y  
  1   x  dx 


2
2
2
 x2  1  2
D
1
1
x

1
 x x3 x5 
1 1 1  8
      2    
 2 3 10  15
 2 3 10  1
8
Ответ: V 
(куб. ед.)
15
5. Так как 𝑥 = 𝑦 2 , dx  2 y d y и при движении из точки А в точку В у
меняется от 0 до 2 (рис. 5.1), то криволинейный интеграл вычисляется:
 x
2

2


2


 y dx  xy dy   y  y  2 ydy  y dy   2 y 5  y 4  2 y 2 dy 
2
l
4
4
0
0
2
 2 y6 y5 2 y3 
64 32 16 112
 
 





5
3 0
3
5
3
5
 6
78
У
2
B
A
0
0
Х
4
Рис. 5.1. Путь интегрирования l
112
.
5
Ответ:
6. Используя уравнение прямой, проходящей через две заданные точки:
x  x1
x 2  x1

y  y1
y 2  y1
,
найдем
уравнение
прямой
MN:
х  0 у 1

 у  2х  1.
1 0 3 1
Работа А силы 𝐹 = 𝑃(𝑥; 𝑦)𝑖 + 𝑄(𝑥; 𝑦)𝑗 при перемещении точки
вдоль линии l вычисляется по фрмуле: A   P( x; y )dx  Q( x; y )dy .
l
У
В
N
примере
𝑃(𝑥; 𝑦) =
𝑦
𝑄(𝑥; 𝑦) = 𝑒 −𝑥 .
Так как
то
и при движении из
точки M в точку N выполняется
неравенство 0 ≤ 𝑥 ≤ 1 (рис. 6.1),
тогда работа вычисляется:
3
M
Х
0
1
0
Рис. 6.1. Путь интегрирования l
y
1
 2x  1



dx  e  x dy   
 2e  x dx    2 
 2e  x dx 
.À
x 1
x 1
x 1


l
0
0
1
 2 x  ln x  1  2e  x


Ответ: А= 4  ln 2 
2
e
1
0
 2  ln 2 
;
𝑥+1
1
2
2
 2  4  ln 2 
e
e
79
7.
Для вычисления криволинейного интеграла по формуле Грина
предварительно найдем частные производные функций
P( x; y)  x 2  y 2 и Q( x; y )  ( x  y  y ln( x 
1
x 2  y 2 ))
x
x2  y2
y
 1
.
2
2
2
2
2
2
x х  у
x y
х у
Область интегрирования ограничена замкнутым контуром (рис. 7.1).
1
Ее нижняя граница задается уравнением х  у  1  у  , верхняя –
х
х  у  2,5  у  2,5  х. Точки пересечения этих кривых находим из
у
Py ( x; y ) 
; Qx ( x; y )  1  y
1
 x 2  2,5 x  1  0  x1  0,5; x 2  2
x
уравнения 2,5  x 
у
D
D:
0
0,5
2
х
Рис. 7.1. Область интегрирования D
2 2,5 x 2
1





I    Qx  Py dxdy   1dxdy   dx  dy    2,5  x  dx 


x

1
D
D
0,5
0,5
x
2
2


х
5 1
1 15
  2,5 х 
 ln x 
 5  2  ln 2    ln   2 ln 2.


2
4 8
2 8

 0,5
15
 2 ln 2.
Ответ:
8
80
8. Проверим равенство частных производных функций:
2
1
P( x; y )  e  x 
и Q( x; y )  ln y 
yx3
x2 y2
2
2
Py ( x; y ) 
; Qx ( x; y ) 
 Py  Qx .
x3 y 2
x3 y 2
Условие независимости интеграла от формы пути интегрирования
выполнено. Интеграл не зависит от формы пути интегрирования, поэтому
выберем наиболее удобный для вычисления путь – ломаную линию АВС,
состоящую из отрезков прямых, параллельных осям координат у  0,5 и
х  1 (рис. 8.1).
У
При движении по прямой АВ
(y=0,5) от точки А до В dy  0 , х
изменяется от 0,5 до 1; при
движении по прямой ВС (x=1) от
точки В до точки С dx  0 , у
изменяется от 0,5 до е.
С
е
1
А
0,5
0
0
В
0,5
1
Х
Рис. 8.1. Путь интегрирования АВС
Тогда интеграл I будет равен сумме криволинейных интегралов по
пути AB и AC:
I
 Px; y dx  Qx; y dy   Px; y dx  Qx; y dy 
AB
BC
1
e

1 
2 
 x 4 

   e  3 dx    ln y  2 dy    e  x  2  
x 
y 
x  0,5

0 , 5
0 , 5
e

1
1
  y ln y  y  

 0,5 ln 2  7,5.
y
e

 0,5
1
 0,5 ln 2  7,5.
Ответ:
e
1
81
Варианты заданий для самостоятельного решения (1–30)
Вариант 1
1. Изменить порядок интегрирования
4
8−𝑥
∫0 𝑑𝑥 ∫2√𝑥 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑦
2.
Вычислить двойной интеграл
а)
 2 x  y dxdy ,
2−𝑦
2
а)
б) ∫−6 𝑑𝑦 ∫𝑦2
4
где
область
D
−1
𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥
задается
неравенствами
задается
неравенствами
D
б)
3.
4.
5.
6.
х  0, у  х, у  2  х 2 .
dxdy
D x 2  y 2  1 , где область
D
х  0, у  0, х 2  y 2  1. Перейти в полярную систему координат.
С помощью двойного интеграла найти площадь области, заданной
неравенствами у  1  х , х  0, у  х  1.
Вычислить объем тела, ограниченного координатными плоскостями
х  0, у  0, z  0, плоскостью х  y  1 и параболоидом 𝑧 = 𝑥 2 + 𝑦 2 .
1
1
(4; ) 2
𝑑𝑥
Вычислить ∫1;1 4 𝑥 𝑑𝑦 + 2 по дуге кривой y  .
𝑦
x
Вычислить работу силы 𝐹 = (3𝑦 + 𝑥)𝑖 + (3𝑥 − 𝑦) 𝑗 при перемещении
точки вдоль дуги параболы у  1  х 2 от точки А (0;1) до точки В (1;0).
 ( xdy  ydx)
7. Применяя формулу Грина, вычислить
по
замкнутому
(C )
контуру, образованному графиками кривых, заданных уравнениями
𝑦 = 𝑥 2 − 1; 𝑦 =
1−𝑦 2
2
. Обход контура совершается против часовой
стрелки.
8. Доказать, что интеграл не зависит от формы пути интегрирования и
(1, 2 )
вычислить его
 (2 x  3xy
2
 2 y)dx  (2 x  3x 2 y  2 y)dy .
( 0 ,1)
Вариант 2
1. Изменить порядок интегрирования
а)
√2−𝑥 2
1
𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦
∫0 𝑑𝑥 ∫𝑥
б)
82
3
1 1 у
0
у
 dу  f ( x, y)dх
2. Вычислить двойной интеграл
а)
 x  y dxdy , где область
D
0  х  1, у   х, у  х .
б)
задается
D
 уdxdy , где область D задается неравенствами
неравенствами
𝑦 ≥ 1, 𝑥 2 + 𝑦 2 ≤ 2.
D
Перейти в полярную систему координат.
3. С помощью двойного интеграла найти площадь области, заданной
неравенствами 𝑦 ≥ 1 − 𝑥 2 , 𝑦 ≥
𝑥 2 −1
2
.
4. Вычислить площадь части поверхности цилиндра z  1  x 2 , лежащей в
первом октанте, вырезанную плоскостями у  0, у  х и плоскостью
х  1.
5. Вычислить
 cos
y  sin x от точки А 0;0 до точки В  ;1 .
2
криволинейный
интеграл
3
xdx  ydy ,
z
где z – кривая,
𝐹 = 𝑦 2 𝑖 + 𝑥 2 𝑗 при перемещении точки вдоль
6. Вычислить работу силы
кривой у 
7. Применяя
1
от точки А (0,5;2) до точки В (1;1).
х
формулу
Грина,
вычислить
 x  y  dx  x dy ,
2
2
c
где c – замкнутый контур ∆АВСА с вершинами А (2;0), В (2;2), С (0;2).
8. Доказать, что интеграл не зависит от формы пути интегрирования и
1; 4 
вычислить его
 ye dx  e dy .
 
x
x
0; 2
Вариант 3
1. Изменить порядок интегрирования
а)
4
20 у 2
0
у
2
 dу  f ( x, y)dх ;
2
3 х
0
х
2
 dx  f ( x, y)dy .
б)
2.
Вычислить двойной интеграл
а)
х2
D хdxdy , где область D задается неравенствами у  2 ,
83
у х.

б)
1  х 2  у 2 dxdy ,
где
область
D
задается
неравенствами
D
у  x, х 2  y 2  1 . Перейти в полярную систему координат.
3. С помощью двойного интеграла найти площадь области, заданной
х2
у  1 .
4
неравенствами х  0; у  0; у  1  х ;
2
4. Вычислить объем тела, ограниченного координатными плоскостями
х  0, z  0, цилиндром x  1  y 2 и плоскостью 2 х  z  2 .
5. Вычислить криволинейный интеграл ∫𝑍 (𝑥 + 𝑦)𝑑𝑥 − 2𝑦𝑑𝑦, где z – линия,
 x  2t  1
заданная параметрически 
2
y  t 1
от точки А(1;–1) до точки В(3;0).
6. Вычислить работу силы 𝐹 = 2𝑥𝑦𝑖 + 𝑥 2 𝑗 при перемещении
вдоль дуги параболы х  2у 2 от точки О (0;0) до точки А (2;1).
точки
7. Используя формулу Грина, вычислить ∮𝐶 (𝑥 − 𝑦)2 𝑑𝑥 + 2𝑥𝑦𝑑𝑦, где c –
замкнутый контур ∆АВСА с вершинами в точках А(1;0), В(2;1) и С(0;1).
8. Доказать, что интеграл не зависит от формы пути интегрирования и
( 5, 2 )
x2
вычислить его  2 x ln ydx  (  ln y )dy .
y
( 3,1)
Вариант 4
1. Изменить порядок интегрирования
1 y 2
1
 1 y
 dy  f x, y dx ;
а)
б)
2
1
5 х 2
1
2 х2
 dx  f ( x, y)dy .
Вычислить двойной интеграл
2.
а)
1
 х
2
у 2 dxdy ,
где область D ограничена прямыми
х  2,
ух
D
1
;
х
б)  уdxdy , где область D задается неравенствами у  0, х 2  y 2  2 х .
D
Перейти в полярную систему координат.
3. С помощью двойного интеграла найти площадь области, заданной
𝑥
неравенствами 𝑦 ≥ (𝑥 − 1)2 , 𝑦 ≤ .
и кривой у 
2
84
4. Вычислить
площадь
части
z  у  1,
плоскости
вырезанную
2
координатной плоскостью z  0 и цилиндром у  x .
5. Вычислить
криволинейный
 sin 2 xdx  ydy ,
интеграл
Z
𝜋
где z – кривая, y  sin x от точки 𝐴(0; 0) до точки 𝐵 ( ; 1).
2
6. Вычислить работу силы 𝐹 = (𝑥 + 𝑦)𝑖 − 𝑥𝑗 при перемещении
материальной точки вдоль второй четверти эллипса x  3 cos t ,
y  2 sin t от точки А (0;2) до точки В (–3;0).
7. Используя формулу Грина, вычислить криволинейный интеграл,
∮𝐶 (𝑦𝑒 𝑥𝑦 + 2𝑥𝑐𝑜𝑠𝑦 − 2𝑦)𝑑𝑥 + (𝑒 𝑥𝑦 𝑥 − 𝑥 2 𝑠𝑖𝑛𝑦)𝑑𝑦 , где c – замкнутый
х
контур, образованный линиями х  у  1, у  е , х  1. Обход контура
совершается против часовой стрелки.
8. Доказать, что интеграл не зависит от формы пути интегрирования и
2;1
𝑥−2𝑦
𝑦
вычислить его ∫1;0 ((𝑦−𝑥)2 + 𝑥) 𝑑𝑥 + ((𝑦−𝑥)2 + 𝑦 2 ) 𝑑𝑦.
1.
Вариант 5
Изменить порядок интегрирования
2
а)
 dx  f x, y dy ;
6
2.
а)
2 x
1
1 у 2
0
у 1
2
 dу  f ( x, y)dх .
б)
2
x
1
4
Вычислить двойной интеграл
 sin2 x  y dxdy ,
где
область
D
ограничена
прямыми
D
х  ,
б)

D
у  х  0,
dxdy
4  x2  y2
,
y  2x  0 ;
где
область
4.
задается
неравенствами
x
, х 2  y 2  2 х . Перейти в полярную систему координат.
3
С помощью двойного интеграла найти площадь области, заданной
у  0, у  х 2  2 х, х  у  4, ( х  0) .
неравенствами
Вычислить объем тела, ограниченного координатной плоскостью
z  0, и цилиндрами z  1  y 2 , y  x 2 .
y
3.
D
85
5. Вычислить
криволинейный
интеграл
x
ydy  xy  1dx ,
2
z
где z – кривая, заданная параметрически x  cos t , y  2 sin t от точки
А 1;0 до точки В 0;2 .
6. Вычислить работу силы 𝐹 = 𝑦𝑖 − (𝑥 2 + 𝑦) 𝑗 при перемещении точки
вдоль дуги параболы у  2 х 2  х  1 от точки А (0;–1) до точки В (1;2).
dx dy
7. Используя
формулу
Грина,
вычислить
z y  x ,
где z – контур ABCA с вершинами A(1;1), B(2;1), C (2;2).
8. Доказать, что интеграл не зависит от формы пути интегрирования и
 
 ;1 
2 
вычислить его
1.
а)
 2 y sin 2 xdx  cos 2 xdy .
 
 ;4 
4 
Вариант 6
Изменить порядок интегрирования
0
3 x
3

2
2 x2
 dx  f ( x, y)dy ;
б)
2.
Вычислить двойной интеграл
а)
 е
( х у )
где
dxdy ,
2
13 у 2
0
3у
2
 dу  f ( x, y)dх .
область
D
ограничена
прямыми
D
х  2  у,
б)

D
4.
sin x 2  y 2
x y
2
2
у  0;
dxdy ,
где
область
D
задается
неравенствами
2
x  у  , х 2  y 2   2 . Перейти в полярную систему координат.
9
С помощью двойного интеграла найти площадь области, заданной
х
у  2 х, у  , ху  2 , лежащей в первой четверти.
неравенствами
2
Вычислить объем тела, ограниченного плоскостями z  х, z  0 и
2
3.
у  х,
2
2
2
цилиндром у  x  1 , лежащего выше плоскости ХОУ.
86
5.
Вычислить
криволинейный
 x
интеграл
2

 2 y dx  xydy ,
z
х  1  t
где z – кривая, заданная параметрически уравнениями 
2
 y  2t  1
6.
точки А (1;1) до точки В (0;3).
𝑥
Вычислить работу силы 𝐹 = 2 𝑖 + 𝑥 2 𝑦 𝑗 при
𝑦
Используя
точки
х  2 у 2  1 от точки А (1;1) до точки В (3;2).
вдоль дуги параболы
7.
перемещении
от
формулу
Грина,
вычислить
 x
2
ydx  xy 2 dy ,
(C )
8.
с – окружность: x 2  y 2  4 , обход которой совершается против часовой
стрелки.
Доказать, что интеграл не зависит от формы пути интегрирования и
( 3, 4 )
 (4 x
вычислить его
3
y 3  3 y 2  5)dx  (3x 4 y 2  6 xy  4)dy .
(1, 2 )
Вариант 7
1. Изменить порядок интегрирования
1
2 y
0
y
 dy  f x, y dx ;
а)
2
8 х 2
0
х
 dx  f ( x, y)dy .
б)
2. Вычислить двойной интеграл
а)
 2 y sin xdxdy , где область D ограничена прямыми
D

, y  0) и графиком функции y  cos x ;
2
б)  хdxdy , где область D задается неравенствами у  1, х 2  y 2  2 у .
х  0,
у  0, (0  x 
D
Перейти в полярную систему координат.
3. С помощью двойного интеграла найти площадь области, заданной
у  2 х 2 , у  х 2 , 0  х  1.
неравенствами
4. Вычислить
объем
тела,
ограниченного
плоскостями
2
x  2 у  z  4, у  0, z  0 и цилиндром x  2у .
5. Вычислить
криволинейный
интеграл
x
y
l
l – дуга кривой x 
1
1
от точки А (1;1) к точке В  4;  .
y
 4
87
2
dx  xydy ,
6. Вычислить работу силы 𝐹 = (2𝑥 + 𝑦)𝑖 − 𝑥 2 𝑦 𝑗
при
перемещении
х  3  t 2
точки вдоль кривой, заданной параметрически уравнениями 
 y  2t  1
от точки А (3;–1) до точки В (2;1).
∮𝐶 (𝑥 3 𝑦 3 + 𝑥𝑦 + 𝑥 5 )𝑑𝑥 +
7. Применяя формулу Грина, вычислить
3
+ ( 𝑥 4 𝑦 2 + 𝑥 2 + 𝑦 5 ) 𝑑𝑦, где С – замкнутый контур, образованный
4
графиками функций y  x , y  2  x , x  0 . Контур обходится против
часовой стрелки.
8. Доказать, что интеграл не зависит от формы пути интегрирования и
2
1;1
вычислить его
 15x
 
2



 8 xy 2  2 y dx  8 x 2 y  2 x  3 y 2 dy .
1; 0
1.
Вариант 8
Изменить порядок интегрирования
1
а)
2 x
 dx  f x, y dy
2
x
б)
2
1
4 у 2
3
2 у 1
 dу  f ( x, y)dх .
2. Вычислить двойной интеграл
а)
 х  2 у dxdy ,
где
область
задается
D
неравенствами
D
у  х2 ,
у  ( х  2) 2 ,
у  0, (0  х  2) ;

у2 

б)  1  2 dxdy , где область D задается неравенствами 𝑦 ≥ 0, 𝑦 ≤ 𝑥,
х 
D 
𝑥 2 + 𝑦 2 ≤ 4, 𝑥 2 + 𝑦 2 ≥ 1. Перейти в полярную систему координат.
3. С помощью двойного интеграла найти площадь области, заданной
у  х  3, у  2 х , 0  х  1.
неравенствами
2
4. Вычислить площадь части поверхности цилиндра 2 z  x , отсеченной
плоскостями x  2 y  0, y  2 x, x  2 2 .
5. Вычислить криволинейный интеграл
y
2
dx  x  1dy , l – дуга кривой,
e
x  t 2 1
заданной параметрически уравнениями 
от точки А  1;1 до В 0;3 .
 y  2t  1
6. Вычислить работу силы 𝐹 =
𝑦2
𝑥2
𝑖 + 𝑥𝑦 𝑗
при
перемещении
вдоль дуги параболы у  х 3  1 от точки А (3;1) до точки В (1;2).
88
точки
7. Применяя формулу Грина, вычислить криволинейный интеграл
2
 2 xy  5 y dx  2 x  5x dy , где с – замкнутый контур, состоящий из
c
у  1  х ; у  х  1; х  1 . Обход контура
графиков функций
совершается против часовой стрелки.
8. Доказать, что интеграл не зависит от формы пути интегрирования и
 
 1; 
 2
вычислить его
e

 
2x
0; 0
Вариант 9
Изменить порядок интегрирования
1.
4
0
а)
2 y
2
 dy  f x, y dx ;
а)
2.

3


 y 3 x  cos x dx   sin y  y 2 x 2 dy .
2


1
2х
0
2 х х2
 dx  f ( x, y)dy .
б)
 4 y
Вычислить двойной интеграл
 3х  2 ху dxdy ,
где
область
задается
D
неравенствами
D
у  х, у  2 х 2  1 ;
1
dxdy ,
б) 
2
2
D 2 x  y 1
где
область
задается
D
неравенствами
у  0, х 2  y 2  1 . Перейти в полярную систему координат.
3. С помощью двойного интеграла найти площадь области, заданной
у  2 х, у  х, 0  х  4 .
неравенствами
4. Вычислить площадь части плоскости z  x , отсеченной плоскостью
у  0 и цилиндрами y  x , y  2  x .
5. Вычислить
 x
2



 2 xy dx  y 2  2 xy dy , l – дуга параболы y  x 2 от точки
l
А  1;1 до В 1;1 .
6.
Вычислить работу силы 𝐹 = (3𝑦 + 𝑥)𝑖 + (3𝑥 − 𝑦) 𝑗 при перемещении
 х  3 cos t
точки вдоль дуги окружности 
от точки А(3;0) до точки В(0;3).
 y  3 sin t
7. Применяя формулу Грина, вычислить:
 2x
2

 y 2 dx  x  y  dy , с –
2
c
замкнутый контур треугольника АВС с вершинами А 1;1 , В 2;2 , С 1;3 .
89
8. Доказать, что интеграл не зависит от пути интегрирования и вычислить
0;1
его
x

 



 4 xy 3 dx  6 x 2 y 2  5 y 4 dy .
4
1; 0
Вариант 10
Изменить порядок интегрирования
1.
а)
3
5   x 2  6 x 5
1
3
x
 dх
 f ( x, y)dy;
б)
2
1 2
у
4
0
 у2
 dу  f ( x, y)dх .
2. Вычислить двойной интеграл
а)
 х  2 у dxdy ,
где
область
D
задается
неравенствами
задается
неравенствами
D
х2
у
 1,
4
б)
 е
х2  у 2
х2
у  2 ,
2
dxdy ,
х  0;
где
область
D
D
у  3х, х 2  y 2  1 . Перейти в полярную систему координат.
3. С помощью двойного интеграла найти площадь области, ограниченной
графиками функций у  sin 2 x, у  sin x, 0  х 

.
4
4. Вычислить объем тела, ограниченного плоскостями
2
2
цилиндром x  z  1 .
5. Вычислить
 2 xydx  x
2
𝑦 + 𝑧 = 1, 𝑧 = 0 и
dy , l – дуга кривой, заданной параметрически
l
 х  3  2t
уравнениями 
от точки А (3;0) до точки В (1;2).
2
y  t  t
2
6. Вычислить работу силы 𝐹 = 2𝑥𝑦𝑖 + 𝑒 𝑥 𝑗 при перемещении точки вдоль
2
линии у  х  1 от точки А (0;1) до точки В (1;2).
7. Применяя формулу Грина, вычислить криволинейный интеграл
 ex
2

dy , где с – замкнутый контур, состоящий из
e

arctgydx


x
c
 y2 1


графиков функций у  x; у  2 x  x 2 . Обход контура совершается
против часовой стрелки.
x
90
8. Доказать, что интеграл не зависит от формы пути интегрирования и
 2 х  3ху

(1; 2 )
вычислить его
2


 2 у dx  2 х  3 ух 2  2 у dy .
( 0;1)
1.
Вариант 11
Изменить порядок интегрирования
4
а)
 dx  f ( x, y)dy ;
0
2.
а)
3 2 y
1
x
 dy  f ( x, y)dx .
б)
 x
0
y
Вычислить двойной интеграл
 x  y dxdy ,
где
область
D
задается
неравенствами
задается
неравенствами
D
б)
х
х  0, у  ,
2
dxdy

D
у  5  х2 .
х2  у2  1
,
где
область
D
х  0, х 2  y 2  1. Перейти в полярную систему координат.
3. С помощью двойного интеграла найти площадь области, заданной
неравенствами х  у 2  1, у  х  1.
4. Вычислить объем тела, ограниченного координатными плоскостями
2х  y  1
х  0, у  0, z  0, плоскостью
и параболоидом
2z  x 2  y 2 .
5. Вычислить криволинейный интеграл
 х
2



 3ху dx  2 xy  y 2 dy
по
АВ
прямой, соединяющей точки с координатами А (0;1) и В (1;–1).
6. Вычислить работу силы 𝐹 = (𝑦 + 2𝑥)𝑖 + (𝑥 − 𝑦) 𝑗 при перемещении
точки вдоль дуги параболы у  2 х  х 2 от точки А (1;1) до точки В (2;0).
7. Применяя формулу Грина, вычислить
 2 xdy  ( х  y)dx по замкнутому
(C )
контуру, образованному графиками кривых, заданных уравнениями
у  2 х  х 2 ; у  х  2 . Обход контура совершается против часовой
стрелки.
8. Доказать, что интеграл не зависит от формы пути интегрирования и
(1, 4 )
вычислить его

(2e y  3x
x
2
y  y )dx  (2e 
x
( 0 ,1)
91
x3
2 y
 x)dy .
1.
Вариант 12
Изменить порядок интегрирования
1
а)
1 х 2
 dx  f ( x, y)dy ;
1 1 у
1
у
 dу  f ( x, y)dх .
б)
х
0
0
2.
Вычислить двойной интеграл
а)
 хуdxdy , где область D задается неравенствами
у  х,
у х.
D
б)
 ( х  у)dxdy ,
где
область
задается
D
неравенствами
D
у  х,
х 2  y 2  4 . Перейти в полярную систему координат.
3. С помощью двойного интеграла найти площадь области, заданной
у
 1 х2 ,
2
неравенствами
у
х2 1
.
3
4. Вычислить площадь части поверхности цилиндра z 2  x 2  1, лежащей в
первом октанте, вырезанную плоскостями у  0, z  0, у  х .
 yx  y dx  xdy
5. Вычислить криволинейный интеграл
по кривой l
l
y  2x 2 от точки О 0;0 до точки А 1;2 .
6. Вычислить работу силы 𝐹 =
кривой у 
𝑥
𝑦2
𝑖+
𝑦
𝑗 при перемещении точки вдоль
𝑥2
1
от точки А (0,5;2) до точки В (1;1).
х
7. Применяя формулу Грина, вычислить
 xdx  3( x  y)dy , с – замкнутый
(C )
контур треугольника АВС с вершинами A 1;0 , B 1;3 , C  2;3 .
8. Доказать, что интеграл не зависит от формы пути интегрирования и
1; 4 
вычислить его
 ye dx  e dy .
 
x
x
0; 2
1.
а)
2.
Вариант 13
Изменить порядок интегрирования
4
20 у 2
0
у
 dу  f ( x, y)dх ;
б)
Вычислить двойной интеграл
92
1
2x
0
x
 dx  f x, y dy .
 ( х  у)dxdy ,
а)
где
область
задается
D
неравенствами
D
х2
у
 1,
4
б)

у  х  2.
2  х 2  у 2 dxdy ,
где
область
задается
D
неравенствами
D
у   3x, х 2  y 2  4 . Перейти в полярную систему координат.
3. С помощью двойного интеграла найти площадь области, ограниченной
графиками функций y  sin х; у 
2x

 0; 0  x  .

2
4. Вычислить объем тела, ограниченного координатной плоскостью z  0,
цилиндром x  1  y 2 и плоскостью 2 х  z  0 .
5. Вычислить криволинейный интеграл
 x
2

 y 2 dx  xydy вдоль кривой l,
l
заданной уравнением y  e от точки А 0;1 до В 1; e  .
x
6. Вычислить работу силы 𝐹 = (2𝑥 − 𝑦)𝑖 + (𝑥 − 2𝑦) 𝑗 при перемещении
 x  2t  1
точки вдоль линии, заданной параметрически 
2
y  t 1
до точки В(1;2).
7. Используя формулу Грина, вычислить
от точки А(–1;1)
 2 xy  y dx  x
2
dy , где c –
c
замкнутый контур, образованный графиками функций
х2
у
1,
4
x2
y  2  . Обход контура осуществляется против часовой стрелки.
2
8. Доказать, что интеграл не зависит от формы пути интегрирования и
 2; 3 
вычислить его
x

  ln ydx   y  2 dy .
1;1
1.
а)
2.
Вариант 14
Изменить порядок интегрирования
2
2 4 y 2
0
y
 dy  f x, y dx ;
1
5 х 2
1
2 х
 dx  f ( x, y)dy .
б)
Вычислить двойной интеграл
93
а)
 sin( x  2 y)dxdy ,
где
область
D
ограничена
прямыми
D

, у  х, у   х ;
3
dxdy
, если D – область, ограниченная полуокружностью
x2  y2  9
х
б)

D
y  9  x 2 и осью Ох. Перейти в полярную систему координат.
3. С помощью двойного интеграла найти площадь области, заданной
у  х  2, у  х 2  5х  6 .
неравенствами
4. Вычислить площадь части плоскости z  2 х  0 , вырезанную
2
координатной плоскостью z  0 и цилиндром 2 х  у .
5. Вычислить криволинейный интеграл
  xydx  4dy
по дуге кривой
l
x2
y
от точки А 0;0 до точки В 2;1 .
4
𝑦+2𝑥
6. Вычислить работу силы
𝐹 = 2𝑦 2 𝑥 −2 𝑖 +
𝑗 при перемещении
𝑥
материальной точки по прямой АВ от точки А (0;2) до точки В (1;–1).
7. Используя формулу Грина, вычислить криволинейный интеграл,
2
2
 x  y  dx   y  x dy , где l – замкнутый контур, образованный линиями
l
у  2  х 2 , у   х . Обход контура совершается против часовой стрелки.
8. Доказать, что интеграл не зависит от формы пути интегрирования и
3; 4 
вычислить его
 6 xy
 
2



 4 x 3 dx  6 x 2 y  3 y 2 dy .
2; 3
1.
Вариант 15
Изменить порядок интегрирования
0
а)
 dx  f x, y dy ;
1
2.
а)
1
2 (1 у )
0
у 1
2
область
D
x
 dу  f ( x, y)dх .
б)
 2 x 2
Вычислить двойной интеграл
 cosx  2 y dxdy ,
где
D
х

,
6
у  х  0, 2 y  x  0 ;
94
ограничена
прямыми
б)

D
dxdy
4  x2  y2
,
где
область
задается
D
неравенствами
у  0, y  3х, х 2  y 2  2 у . Перейти в полярную систему координат.
3. С помощью двойного интеграла найти площадь области, заданной
х  0, у  х 2  2 х, х  у  4 .
неравенствами
4. Вычислить объем тела, ограниченного координатной плоскостью z  0,
и цилиндрами z  1  х 2 ,
х  у2 .
 ( x  2 y)dx  (3x  y)dy ,
5. Вычислить криволинейный интеграл
где z –
z
кривая, заданная параметрически x  cos t , y  2 sin t от точки А 1;0
до точки В 0;2 .
𝐹 = sin 𝑥 𝑖 − 2𝑦 𝑗 при перемещении точки
6. Вычислить работу силы
вдоль кривой у  cos x

2
от точки А (0;1) до точки В ( ; 0).
7. Используя формулу Грина, вычислить
 (3x  y)dx  (3 y  x
2
)dy , где z –
z
контур ABCA с вершинами A 1;1 , B 2;1 , C 2;2 .
8. Доказать, что интеграл не зависит от формы пути интегрирования и
1; 2 
вычислить его
2 x  3xy

 
2



 2 y dx  2 x  3x 2 y  2 y dy .
0;1
1.
а)
Вариант 16
Изменить порядок интегрирования
3
x 1
2
1
x 1
 dx  f x, y dy ;
Вычислить двойной интеграл
а)
∬𝐷 (𝑦𝑥 4 + 𝑥𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦, где
х  2  у, у  х, х  0 ;
б)

D
cos 2 x 2  y 2
x2  y2
x2  у2 
2
,
36
dxdy ,
где
13 у 2
0
2у
3
 dу  f ( x, y)dх .
б)
2.
3
область
область
D
D
ограничена
задается
прямыми
неравенствами
х 2  y 2   2 . Перейти в полярную систему координат.
95
3. С помощью двойного интеграла найти площадь области, заданной
х
2
неравенствами х  1, у  , ху  2 .
4. Вычислить объем тела ограниченного плоскостями z  2 у, z  0 и
2
2
цилиндром у  x  1 , лежащего выше плоскости хОу.
 2 ;8 
5. Вычислить
криволинейный
интеграл
x

 

 y 2 dx  xydy
2
0; 0
3
по дуге кривой y  x .
6. Вычислить работу силы 𝐹 = 𝑥𝑖 − 3𝑦 𝑗 при перемещении точки вдоль
ломанной линии АВС, соединяющей точки А (1;1), В (2;3) и С (3;1).
7. Используя формулу Грина, вычислить криволинейный интеграл
∮𝐶 𝑥𝑦 2 𝑑𝑥 + (𝑥 2 𝑦 + 𝑥 2 )𝑑𝑦, где с – замкнутый контур, образованный
графиками функций у  4 х  x 2 ; y  х . Обход контура совершается
против часовой стрелки.
8. Доказать, что интеграл не зависит от формы пути интегрирования и
( 3, 4 )
вычислить его

(
(1, 0 )
1 3у 2
2у

)
dx

dy .
х2
х4
х3
Вариант 17
Изменить порядок интегрирования
1.
еу
0
у
1
2
 dу  f ( x, y)dх ;
а)
2
х
2
0
х 2 4 х
 dx  f ( x, y)dy .
б)
Вычислить двойной интеграл
2.
а)
2
 y cos xdxdy ,
где
область
ограничена
D
прямыми
D
х
б)

,
2
у  0, (0  x 
 3( х  у)dxdy ,
где

,
2
y  0) и графиком функции y  2 sin x ;
область
D
задается
неравенствами
D
y  1, x 2  y 2  4 . Перейти в полярную систему координат.
3. С помощью двойного интеграла найти площадь области, заданной
неравенствами
у  2х 2 ,
у  х2 ,
96
у  1.
4. Вычислить
объем
тела
ограниченного
х2
у

x  2 у  z  4, х  0, z  0 и цилиндром
.
4
плоскостями
2
2
5. Вычислить криволинейный интеграл  ( x  у )dх  хуdy , l – дуга кривой
l
y  x  x от точки А 1;2 к точке В  1;0 .
6. Вычислить работу силы 𝐹 = (𝑥 + 𝑦 2 )𝑖 + 𝑥𝑦 𝑗
2
при
перемещении
 х  1  2t 2
точки вдоль кривой, заданной параметрически уравнениями 
y  t  3
от точки А(1;3) до точки В(–1;4).
7. Применяя
формулу
Грина,
 1  tg ( xy )

1  tg ( xy )

dx 

y
dy ,
c  x

y


где
с
–
вычислить
замкнутый
контур,
2
образованный графиками функций y  x , y  2  x , 𝑥 = 0. Контур
обходится против часовой стрелки.
8. Доказать, что интеграл не зависит от формы пути интегрирования и
( 0; 2 )
 (2е
вычислить его
2х
 у  sin y )dx  (e 3 y  x  x cos y )dy .
(1; 0 )
1.
Вариант 18
Изменить порядок интегрирования
4
а)
 dx  f ( x, y)dy
0
2.
а)
2 х  х 2 1
е
ln y
1
1 у
 dу  f ( x, y)dх .
б)
1 2 х
Вычислить двойной интеграл
 3х  2dxdy ,
где
область
D
задается
неравенствами
D
у  х 2 , у  ( х  2) 2 ,
у
б)  dxdy ,
где
х
D
у  4;
область
D
задается
неравенствами
у  0, у  3х, х 2  y 2  4, х 2  у 2  1. Перейти в полярную
систему координат.
3. С помощью двойного интеграла найти площадь области, заданной
у  4, у  2 х , у  2  х .
неравенствами
97
2
4. Вычислить площадь части поверхности цилиндра z  x , отсеченной
плоскостями x  y  0, y  x, у  1, лежащей правее плоскости хОz.
1; 12 
x2
ydx
5. Вычислить криволинейный интеграл  3dy  2 ; по кривой y 
x
2
 0; 0 
6. Вычислить работу силы 𝐹 = 𝑦𝑖 + 𝑥 𝑗 при перемещении точки вдоль
 x  4 cos t
верхней дуги эллипса 
от точки А(4;0) до точки В(–4;0).
 y  2 sin t
7. Применяя формулу Грина, вычислить криволинейный интеграл
 x
 
2
ydx  xy 2 dy , где с – замкнутый контур, состоящий из графиков
c
функций у  1  х; у  х  1; х  1. Обход контура совершается
против часовой стрелки.
8. Доказать, что интеграл не зависит от формы пути интегрирования и
3; 4 
вычислить его
 4 x
 
3



y 3  3 y 2  5 dx  3x 4 y 2  6 xy  4 dy .
1; 2
1.
Вариант 19
Изменить порядок интегрирования
4
а)
а)
2х
1
 dy  f ( x, y)dx ;
0
2.
4 y
 dx  f ( x, y)dy .
б)
y
2
2
0
 2 х х2
Вычислить двойной интеграл
 3х  2 у dxdy ,
где
область
D
задается
неравенствами
задается
неравенствами
D
у  2 х  1,
б)

D
у  4 х 2  1,
х2  у2
dxdy ,
х2  у2  2
х0;
где
область
D
х  0, х 2  y 2  2 . Перейти в полярную систему координат.
3. С помощью двойного интеграла найти площадь области, заданной
неравенствами
y  2 1  х , у  1  х , 0  х  1.
4. Вычислить площадь части плоскости z  x , отсеченной плоскостью
z  0 и цилиндрами y  х 2 , y  2  х 2 .
98
5. Вычислить
 x

 y dx  xdy
3
по
дуге
параболы
y  2x  x 2 ,
l
расположенной над осью Ох. Движение совершается по ходу часовой
стрелки
6. Вычислить работу силы 𝐹 = (2𝑦 − 𝑥)𝑖 + (2𝑦 + 𝑥) 𝑗 при перемещении
точки по прямой от точки А(0;3) до точки В(1;5).
7. Применяя формулу Грина, вычислить:
 2 хуdx  ( x  y)
2
dy , с –
c
2
2
замкнутый контур, состоящий из графиков функций y  x , x  y .
Обход контура совершается против часовой стрелки.
8. Доказать, что интеграл не зависит от пути интегрирования и вычислить
( 2; 3)
 x3

2

dy .
3
x
y

y
dx


x
его 
2 y

(1; 0 )



1.
Вариант 20
Изменить порядок интегрирования
4 х х2
5
а)
 dх  f ( x, y)dy;
а)
1
1 у 2
0
у 2 1
 dу  f ( x, y)dх .
б)
х
0
2.

Вычислить двойной интеграл
 1  у dxdy ,
где
область
D
задается
неравенствами
D
задается
неравенствами
D
у  х  2,
б)
х
 2
у  2
2
 у2
х2
,
2
dxdy ,
х  0;
где
область
D
у  3х, х 2  y 2  1 . Перейти в полярную систему координат.
3. С помощью двойного интеграла найти площадь области, ограниченной
х

у  sin , у  sin x, 0  х  .
графиками функций
2
2
х
4. Вычислить объем тела, ограниченного плоскостями у  2 х, у  , z  0
2
2
2
и цилиндром у  z  1 , лежащего в первом октанте.
99
5. Вычислить
 2 xydx  x
2
dy , l – дуга кривой, заданной параметрически
l
 х  1  2t
уравнениями 
от точки А(1;0) до точки В(–1;3).
2
 y  t  2t
2
𝐹 = 𝑥√𝑦𝑖 + 𝑒 𝑥 𝑗
6. Вычислить работу силы
при перемещении точки
2
вдоль линии у  2 х  1 от точки А(0;1) до точки В(1;3).
7. Применяя
формулу
Грина,
вычислить
криволинейный
интеграл
 ex


c e  arcsin ydx   1  y 2  x dy , где с – замкнутый контур, состоящий


2
из графиков функций у  x; у  x  2 x . Обход контура совершается
против часовой стрелки.
8. Доказать, что интеграл не зависит от формы пути интегрирования и
x

(1; 2 )
вычислить его
 3x
2

y 2 dx  2 х 3 y  у dy .
( 0;1)
1.
а)
2.
а)
Вариант 21
Изменить порядок интегрирования
4
x
1
1
х
 dx  f ( x, y)dy ;
4
6 y
0
2 4 y
 dy  f ( x, y)dx .
б)
Вычислить двойной интеграл
 2 у  1dxdy ,
где
область
D
задается
неравенствами
D
задается
неравенствами
D
х
х  0, у  ,
2
б)
 2
D
у  3 х .
dxdy
х2  у 2 1
,
где
область
у  0, х 2  y 2  1 . Перейти в полярную систему координат.
3. С помощью двойного интеграла найти площадь области, заданной
2
2
неравенствами х  у  1, 1  у  х.
4. Вычислить объем тела, ограниченного координатными плоскостями
х  2y 1
х  0, у  0, z  0,
плоскостью
и
параболоидом
2z  8  x 2  y 2 .
100
 2 х
5. Вычислить криволинейный интеграл
2



 ху dx  3xy  y 2 dy по
АВ
прямой, соединяющей точки А(0;2) и В(1;–1).
6. Вычислить работу силы 𝐹 = (3𝑦 − 2𝑥)𝑖 + (𝑥 + 2𝑦) 𝑗 при перемещении
точки вдоль дуги параболы у  5х  2 х 2  1 от точки А(0;1) до В(1;4).
7.
 (2 x  1)dy  ( х  2 y)dx
Применяя формулу Грина, вычислить
по
(C )
8.
замкнутому контуру, образованному графиками кривых, заданных
2
уравнениями у  2 х  х ; у  0 . Обход контура совершается против
часовой стрелки
Доказать, что интеграл не зависит от формы пути интегрирования и
(1, 4 )
вычислить его

(2e x y  3x 2 y  y )dx  (2e x 
( 0 ,1)
1.
2 y
 x)dy .
Вариант 22
Изменить порядок интегрирования
1 x
1
а)
x3
 dx  f x, y dy ;
0
 1 x 2
Вычислить двойной интеграл
а)
 х
2
уdxdy ,
где
25 y 2
0
4
 dy  f ( x, y)dx .
б)
2.
3
область
D
задается
неравенствами
задается
неравенствами
D
у  х,
б)
у  х, 1  х  4 .
 ( х  у)dxdy ,
где
область
D
D
х  3,
х 2  y 2  4 . Перейти в полярную систему координат.
3. С помощью двойного интеграла найти площадь области, заданной
у  4х  х 2 , у  х  4  0 .
неравенствами
4.
Вычислить площадь части поверхности цилиндра z 2  у 2  1 , лежащей
в первом октанте, вырезанную плоскостями х  0, z  0, у  х .
5. Вычислить криволинейный интеграл
 2 xdx  x  2 y dy
вдоль ломаной
l
линии, соединяющей точки А(1;0), В(0;2), С(2;0).
6. Вычислить работу силы 𝐹 =
𝑥+1
𝑦
𝑖+
𝑦+1
𝑥2
𝑗
при
перемещении
вдоль кривой у  х от точки А(1;1) до точки В(2;8).
3
101
точки
 3x  y dx  3 y  x dy ,
7. Применяя формулу Грина, вычислить
где с –
c
замкнутый
контур,
образованный
графиками
функций
у  4  х 2 , х  у  2 . Обход контура совершается против часовой
стрелки.
8. Доказать, что интеграл не зависит от формы пути интегрирования и
 0; 3 
 1  x 
вычислить его
1.
 2; 0 
2 2
 dx  

ey
dy .

1
2
1 x


Вариант 23
Изменить порядок интегрирования
1
а)

2x 1  e y
еу
 dу  f ( x, y)dх ;
0
0
Вычислить двойной интеграл
а)
 (2 х  3)dxdy ,
где
2 x 2
0
x
 dx  f x, y dy .
б)
2.
1
область
задается
D
неравенствами
D
х2
у
 1,
4
б)

у х2.
2  х 2  у 2 dxdy ,
где
область
D
задается
неравенствами
D
у   x, х 2  y 2  2 . Перейти в полярную систему координат.
3. С помощью двойного интеграла найти площадь области, ограниченной

2

2
графиками функций y  cos х; у  x  ; 0  x  .
4. Вычислить объем тела, ограниченного координатными плоскостями
х  0, z  0, цилиндром x  1  y 2 и плоскостью 2 х  z  2 .
5. Вычислить криволинейный интеграл
 xy  1dx  x
2
ydy по кривой l :
l
4 x  y  4 от точки А 1;0 до точки В 0;2 .
6. Вычислить работу силы
𝐹 = 2𝑥𝑦 𝑖 + (3𝑥 − 2𝑦) 𝑗 при перемещении
 x  2t  1
точки вдоль линии, заданной параметрически 
от точки
2
y  t
А(–1;1) до точки В(1;0).
2
102
7. Используя
формулу
Грина,
 x
вычислить
2

 y dx  xdy
вдоль
c
замкнутого контура, образованного линиями x  y 2 и y 
x
. Обход
2
контура осуществляется против часовой стрелки.
8. Доказать, что интеграл не зависит от формы пути интегрирования и
3;5 
 1 3y 2 
2y
вычислить его   2  4 dx  3 dy .
x 
x
1;0   x
Вариант 24
Изменить порядок интегрирования
1.
а)
e
e 1 y
1
ln y
 dy  f ( x, y)dx ;
Вычислить двойной интеграл
а)
 cos( x  y)dxdy ,
где
5 х 2
0
2х
 dx  f ( x, y)dy .
б)
2.
1
область
ограничена
D
прямыми
D
б)

х ,
2
1
 9 
D
у  х,
х2  у2
х 2  у 2  4,
у  2х ;
dxdy ,
если
D
–
область
задана
неравенствами
у  х . Перейти в полярную систему координат.
3. С помощью двойного интеграла найти площадь области, заданной
неравенствами 𝑦 ≤ 𝑥 − 2, 𝑦 ≥ 𝑥 2 + 𝑥 − 6.
z  х  1 , вырезанную
4. Вычислить площадь части плоскости
2
координатной плоскостью z  0 и цилиндром х  у .
5. Вычислить криволинейный интеграл
  xydx  4dy
по дуге кривой
l
x2
y
от точки А 0;0 до точки В 2;1 .
4
6. Вычислить работу силы
𝐹 = 𝑦𝑥 −2 𝑖 +
𝑦+2𝑥 2
𝑥
𝑗
при перемещении
материальной точки по прямой АВ от точки А(0;–3) до точки В(1;–1).
103
Используя формулу Грина, вычислить криволинейный интеграл,
2
2
 x  y  dx   y  x dy , где l – замкнутый контур, образованный линиями
7.
l
у  2  х 2 , у  х . Обход контура совершается против часовой стрелки.
8. Доказать, что интеграл не зависит от формы пути интегрирования и
3; 4 
 ( х  4) 2

 3 y 2 dy .
вычислить его  уx  4dx  
 2

 2; 0 
1.
а)
2.
а)
Вариант 25
Изменить порядок интегрирования
1
4х
0
х
 dx  f ( x, y)dy ;
3
1
1 у
0
у 2 1
 dу  f ( x, y)dх .
б)
Вычислить двойной интеграл
 (cos x  x)dxdy , где область
ограничена
D
прямыми
D
х  ,
б)

D
у  х  0, 2 y  x  0 ;
ydxdy
,
x
где
область
задается
D
неравенствами
y  х, х 2  y 2  2 x . Перейти в полярную систему координат.
3. С помощью двойного интеграла найти площадь области, заданной
у  х 2  2 х, х  у  0 .
неравенствами
4. Вычислить объем тела, ограниченного плоскостью z  0, и цилиндрами
𝑧 = 1 − 𝑥 2, 𝑥 = 𝑦2.
5. Вычислить криволинейный интеграл  ( x  2 y)dx  (3x  y)dy , где z –
z
кривая, заданная параметрически x  cos t , y  2 sin t от точки А 1;0
до точки В 0;2 .
6. Вычислить работу силы 𝐹 = sin 𝑥 𝑖 − 2𝑦 𝑗 при
перемещении
точки

вдоль кривой у  cos x от точки А(0;1) до точки В( ; 0).
2
7. Используя
формулу
Грина,
вычислить
 (3x  y)dx  (3 y  x
2
)dy ,
z
где z – замкнутый контур соединяющий точки A(1;1), B(2;1), C(2;2).
8. Доказать, что интеграл не зависит от формы пути интегрирования и
(4;3)
2
1
вычислить его ∫(2;1) (𝑥 + 3 ) 𝑑𝑥 + (3𝑦 + 2 2) 𝑑𝑦 .
𝑦𝑥
𝑥 𝑦
104
Вариант 26
Изменить порядок интегрирования
1.
1
x 1
2
 dx  f ( x, y)dy ;
а)
2.
Вычислить двойной интеграл
а)
 (1  х)dxdy ,
где
ln у
1
ln y
 dу  f ( x, y)dх .
б)
x 1
3
2
2
область
ограничена
D
кривыми
D
х  2  у,

б)
D
у  х2 , х  0;
sin 2 x 2  y 2
x y
2
2
dxdy ,
где
область
задается
D
неравенствами
2
x  у  , х 2  y 2   2 . Перейти в полярную систему координат.
9
3. С помощью двойного интеграла найти площадь области, заданной
х
у  2 х, у  , ху  2 .
неравенствами
2
4. Вычислить
объем
тела,
ограниченного
плоскостями
2
2
z  х  1, х  0, z  0 и цилиндром у  1  x .
5. Вычислить криволинейный интеграл  2 x  y dx  x  2 y dy , где l – дуга
2
l
эллипса x  3cos t , y  2 sin t от точки А (3;0) до точки В (0;2).
6. Вычислить работу силы 𝐹 = 2𝑥𝑖 + 3𝑦 𝑗
при перемещении точки
вдоль ломаной линии АВС, соединяющей точки А(1;1), В(2;3) и С (3;1).
7. Используя формулу Грина, вычислить криволинейный интеграл
2
2
 2 xdx  ( xy  х )dy , где с – замкнутый контур, образованный
(C )
графиками функций у  2 х  x 2 ; y  0 . Обход контура совершается
против часовой стрелки.
8. Доказать, что интеграл не зависит от формы пути интегрирования и
1;3 
вычислить его
yxe

 
x
dx  x  1e x dy .
0; 2
105
Вариант 27
1.
а)
2.
а)
Изменить порядок интегрирования
0
y 1
1
 1 у
 dy  f x, y dx ;
2,5
х
2
0
х 2 2 х
 dx  f ( x, y)dy .
б)
2
Вычислить двойной интеграл
 y sin xdxdy ,
где
область
ограничена
D
прямыми
D
х  0,
б)
у  0, (0  x 
 3( х  у)dxdy ,

,
2
y  0) и графиком функции y  2 cos x
𝑦 ≥ 1,
где область D задается неравенствами
D
𝑥 2 + 𝑦 2 ≤ 2. Перейти в полярную систему координат.
3. С помощью двойного интеграла найти площадь области, заданной
у  2  х2 , у  х2 .
неравенствами
4. Вычислить объем тела ограниченного плоскостями z  0, x  y  3z  3
и цилиндром у  2x 2 .
2
2
5. Вычислить криволинейный интеграл  (2 x  ху )dх  у dy , l
– дуга
l
2
кривой y  x  х  1 от точки А (0;1) к точке В (1;3).
6. Вычислить работу силы 𝐹 = (𝑥 − 𝑦 2 )𝑖 + 3𝑦 𝑗
перемещении
х  t 2
точки вдоль кривой, заданной параметрически уравнениями 
,
y  t  3
от точки А (0;3) до точки В (1;4).
7. Применяя
формулу
при
Грина,
 1  ctg ( xy )

1  ctg ( xy )

dx 

y
dy ,
c 

x
y


где
с
–
вычислить
замкнутый
контур,
образованный графиками функций y  x , y  4 , 𝑥 = 4. Контур
обходится против часовой стрелки.
8. Доказать, что интеграл не зависит от формы пути интегрирования и
2
1; 2 
вычислить его


 
0;1

ex
e ln y  2 x dx  dy .
y
x
106
Вариант 28
Изменить порядок интегрирования
1.
1
2 ( х 1)
0
2
х 1
 dx  f ( x, y)dy
а)
е
у 1
1
ln y
 dу  f ( x, y)dх .
б)
Вычислить двойной интеграл
2.
 х  2dxdy ,
а)
где
область
задается
D
неравенствами
D
у  2х  х 2 ,
 у
б)
D
х
х2  у2
у
dxdy ,
х
;
2
где
область
D
задается
неравенствами
у  1, х 2  y 2  2 у . Перейти в полярную систему координат.
3. С помощью двойного интеграла найти площадь области, заданной
у4
неравенствами х  у 2  2 у  2, х 
.
2
2
4. Вычислить площадь части поверхности цилиндра z  x , отсеченной
плоскостями x  y  0, y  x, х  1, х  0 .
5. Вычислить криволинейный интеграл
x  t  sin t , y  1 cos t 0  t    .
 ydx  dy , где
l – дуга циклоиды:
l
6. Вычислить работу силы 𝐹 = 𝑦 2 𝑖 − 𝑥 2 𝑗
при
перемещении
материальной точки по прямой, соединяющей точку А(1;0) и точку
В (1;1).
7. Применяя формулу Грина, вычислить: криволинейный интеграл
2
 sin x  y dx  cos y  x dy , где С – замкнутый контур, состоящий из
C
у  1  х; у  х  1; х  1. Обход контура
графиков функций
совершается против часовой стрелки.
8. Доказать, что интеграл не зависит от формы пути интегрирования и
  
 ; 
6 4
вычислить его
cos x cos ydx  sin y sin x  cos y dy .

 
0; 0
107
1.
Вариант 29
Изменить порядок интегрирования
2,5
у4
2
0
у 2 у  2
 dy  f ( x, y)dx ;
а)
2.
а)
1
3x
0
2 x
 dx  f x, y dy .
б)
2
Вычислить двойной интеграл
 1  2 у dxdy ,
где
область
D
задается
неравенствами
D
задается
неравенствами
D
у  2  х2 ,
б)

3
у  х,
х 2  у 2 dxdy ,
у  х ;
где
область
D
х  у,
х 2  y 2  1 . Перейти в полярную систему координат.
3. С помощью двойного интеграла найти площадь области, заданной
неравенствами
у  2 1  х, у  1  х,  1  x  0.
4. Вычислить площадь части плоскости z  у , отсеченной плоскостью
z  0 и цилиндрами х  у 2 ,
5. Вычислить
х  2  у2 .
 ( x  y  1)dx  (2 x  y)dy
2
по дуге параболы у  2 х  х  3 ,
С
расположенной над осью Ох. Движение совершается по ходу часовой
стрелки
6. Вычислить работу силы 𝐹 = (𝑦 − 𝑥)𝑖 + (𝑦 + 𝑥) 𝑗 при
перемещении
точки по прямой от точки А (0;0,5) до точки В (1;2).
7. Применяя формулу Грина, вычислить:
 (1  ху )dx  ( x  y)
2
dy , с –
c
замкнутый
yx ,
контур,
x  у  2,
2
состоящий
из
графиков
функций
х  0.
8. Доказать, что интеграл не зависит от пути интегрирования и вычислить

( ; 3)
6
его
 2сos 2 x  y dx  2 xy  5dy .
2
( 0; 0 )
1.
а)
Вариант 30
Изменить порядок интегрирования
1
х
2
х  2 х 2
 dх  f ( x, y)dy;
2
б)
2
2
у
1
0
 dу  f ( x, y)dх .
108
2.
а)
Вычислить двойной интеграл
 х  2dxdy ,
где
область
D
задается
неравенствами
D
задается
неравенствами
D
у  1 х2 ,
б)
( х
 е
2
 у2 )
у  1  х 2 , 0  х  1;
dxdy ,
где
область
D
у   3х, х 2  y 2  1 . Перейти в полярную систему координат.
3. С помощью двойного интеграла найти площадь области, ограниченной
у  cos 2 x,
графиками функций
4. Вычислить
x
у ,
2
объем
x  0,
5. Вычислить

.
2
ограниченного
у  cos x, 0  х 
тела,
плоскостями
z  0 и цилиндром y 2  z 2  1 .
 2 xydx  x
2
dy , l – дуга кривой, заданной параметрически
l
х  2  t
уравнениями 
от точки А(2;0) до точки В(1;3).
2
 y  t  2t
6. Вычислить работу силы 𝐹 = (2𝑥 + 𝑦)𝑖 +
1
𝑥 2 +3
𝑗 при перемещении точки
2
вдоль линии у  2 х  1 от точки А(0;–1) до точки В(1;1).
7. Применяя
формулу
Грина,
вычислить
криволинейный
интеграл
 ex
2

dy , где с – замкнутый контур, состоящий из
e

ln
ydx


x
c
 y


графиков функций 𝑦 = 𝑥, 𝑦 = 𝑥 2 − 𝑥. Обход контура совершается
против часовой стрелки.
8. Доказать, что интеграл не зависит от формы пути интегрирования и
x
(1;2)
вычислить его

3 yx
2
 

 у 3  10 x dx  х 3  3xy 2  3 dy .
( 0;1)
109
5. ЗАДАНИЯ ПО ТЕМЕ: ЭЛЕМЕНТЫ АЛГЕБРЫ: ВЕКТОРЫ.
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. МАТРИЦЫ
Примерный вариант заданий с решением
1. Решить систему уравнений методом Крамера
5 x  6 y  6 z  84

4 x  y  4 z  45
6 x  6 y  7 z  94.

2. Изобразить корни 6 степени из 2 на комплексной плоскости.
3.
Проверить,
что
векторы
a   5; 4; 4  , b   6; 1; 6  , c   4; 4; 7 
образуют базис и разложить вектор d  (76; 45; 82) по этому базису.
4. Найти объем пирамиды, если известны координаты ее вершин
A  2; 1; 1 , B  4; 6; 5 , C  5;4;6  , D  5; 4; 6  .
5.
Даны
вершины
треугольника
A  6; 5 , B  0; 1 , C  6;15 .
Найти
координаты точки пересечения высоты CH и медианы BM .
6. Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду и
построить ее:
25x2  36 y 2  100 x  72 y  836  0 .
7. Выполнить действия A  ( B  C )1  D , где
9
1 1 2 

A
, B   2

7 6 2 
 11

 4 5 1
 4 2 
11 5 




3 1 , C   6 2 5 , D   3 1 .
 5 5 6 
 8 1
1 13 
8. Решить матричное уравнение X  A  B , где
 27 4 29 
4 5 5


A   3 1 3 , B   42 31 49 
 5 2 5
 5 5 6 
9. Исследовав систему на совместность, найти ее общее решение методом
 x1  6 x2  5 x3  x4  15

Гаусса 4 x1  24 x2  21x3  x4  61
 x  6 x  4 x  6 x  46.
2
3
4
 1
110
10. Найти собственные значения, собственные и присоединенные векторы
матрицы линейного оператора. Найти вид этой матрицы в базисе из
 3 4 4


собственных и присоединенных векторов А =  1 5 1  .
 0 2 6 
Решение
1. Найдем определитель матрицы системы:
5 6 6
  4 1 4  35  144  144  36  120  168  1 .
6 6 7
Он отличен от нуля, следовательно, система имеет единственное
решение. Для его нахождения методом Крамера, вычислим определители
∆𝑥 , ∆𝑦 , ∆𝑧 , получающиеся из  заменой соответствующего столбца на
столбец свободных членов. Тогда 𝑥, 𝑦, 𝑧 получаем следующим образом:
𝑥=
84 6
∆𝑥 = |45 1
94 6
5 84
∆𝑦 = |4 45
6 94
5 6
∆𝑧 = |4 1
6 6
∆𝑥
∆
; 𝑦=
∆𝑦
∆
; 𝑧=
∆𝑧
∆
.
6
∆𝑥
= 6;
4| = 588 + 1620 + 2256 − 564 − 2016 − 1890 = −6; 𝑥 =
∆
7
6
∆𝑦
= 5;
4| = 1575 + 2256 + 2016 − 1620 − 1880 − 2352 = −5; 𝑦 =
∆
7
84
∆𝑧
= 4;
45| = 470 + 2016 + 1620 − 504 − 1350 − 2256 = −4; 𝑧 =
∆
04
Ответ: x  6, y  5, z  4.
2. Представим число 2 как комплексное в алгебраической форме записи,
т.е. в виде z  a  b  i . Получим 2  2  0i . Таким образом a  2, b  0 .
После чего переведем его в тригонометрическую форму
𝑧=𝑟∙
cos   a / r  1
(cos𝜑 + 𝑖 sin𝜑): где r  a 2  b2  (2)2  02  2 , 
, т. е.    .
sin   b / r  0
Тогда 𝑧 = 2(cos 𝜋 + 𝑖 sin 𝜋). Используем формулу для корней n степени из
z
комплексного
числа
в
тригонометрической
форме:
𝑛
𝑛
√𝑧 = √𝑟 (cos
6
𝜑+2𝜋𝑘
𝑛
6
+ +𝑖 sin
Получаем √−2 = √2 (cos
𝜑+2𝜋𝑘
𝑛
𝜑+2𝜋𝑘
6
), где 𝑛 = 6, k  0,1,..., n  1.
+ +𝑖 sin
111
𝜑+2𝜋𝑘
6
), где k  0,1, 2,3, 4,5.
3 i
 ).
2 2
При k  0 :
6
2  6 2(cos( / 6)  i sin( / 6))  6 2(
При k  1 :
6
2  6 2(cos( / 2)  i sin( / 2))  6 2(0  i )  6 2i .
При k  2 :
6
2  6 2(cos(5 / 6)  i sin(5 / 6))  6 2(
3 i
 ).
2 2
3 i
 ).
2 2
При k  4 : 6 2  6 2(cos(3 / 2)  i sin(3 / 2))  6 2(0  i )   6 2i .
При k  3 :
6
2  6 2(cos(7 / 6)  i sin(7 / 6)) 
При k  5 :
6
2  6 2(cos(11 / 6)  i sin(11 / 6))  6 2(
6
2(
3 i
 ).
2 2
Ответ:
3. Векторы a , b и c образуют базис в пространстве R3 в случае их
линейной независимости. Векторы
линейно независимы, если
определитель, составленный из их координат, отличен от нуля. Проверим
это условие:
5 6 4
1 4
4 4
4 1
4 1 4  5
 6
 4
 5  (17)  6 12  4  20  77  0
6 7
4 7
4 6
4 6 7
Следовательно, векторы a, b , c образуют базис. Будем искать разложение
вектора d по базису в векторном виде d  xa  yb  zc . Расписав по
координатам, получим систему
5 x  6 y  4 z  76

4 x  y  4 z  45
4 x  6 y  7 z  82.

112
Решив систему как в задании 1, получим: x  6, y  5, z  4 .
Ответ: d  6a  5b  4c .
4. Объем пирамиды численно равен одной шестой модуля смешанного
произведения этих трех векторов, на которых она построена и выходящих
из одной точки. Найдем координаты векторов, выходящих из точки А:
AB  (6; 5; 4) , AC  (3;5;7) , AD  (7; 3; 5) . Смешанное произведение
векторов, заданных координатами, можно вычислить как определитель
матрицы, стороки которой представляют координаты векторов. Тогда
6 5 4
1
1
1
V  | ( AB, AC , AD) |  | 3 5 7 |  | 90 |  15 .
6
6
6
7 3 5
Ответ: 15.
5. Уравнение прямой, проходящей через две точки ( x1; y1 ) и ( x2 ; y2 ) , имеет
вид
x  x1
y  y1
x6 y5

. Найдем уравнение прямой AB :
или

x2  x1 y2  y1
0  6 1  5
2
y   x 1 .
3
Ее угловой коэффициент
k1  2 / 3 .
Тогда по условию
перпендикулярности двух прямых угловой коэффициент прямой CH будет
k2  1/ k1  3 / 2 , а уравнение прямой CH : y 
3
x  b . Подставим в него
2
3
2
координаты точки C : 15   6  b , и находим b  6 . Получили уравнение
3
2
6  6 5  15
;
) , т.е. M (6; 5) . Составим уравнение прямой BM :
АС: M (
2
2
x  0 y 1

или y  x  1 . Координаты точки пересечения высоты CH и
6  0 5 1
прямой СН: y  x  6 . Найдем координаты точки М как середины отрезка
медианы BM находим, решая систему:
3
𝑥 = −14
𝑦 = 𝑥+6
2
{
.
Получим {
.
𝑦 = −15
𝑦 =𝑥−1
Ответ: высота СМ ( 3x  2 y  12  0 ) и медиана ВМ ( x  y  1  0 )
пересекаются в точке (14;  15) .
113
6. Сгруппируем слагаемые, содержащие только х, и слагаемые, содержащие
только у: 25( x2  4 x)  36( y 2  2 y)  836  0 . Дополним выражения в скобках
до полных квадратов:
25( x2  4 x  4  4)  36( y 2  2 y  1 1)  836  0 ,
25(( x  2)2  4)  36(( y  1)2 1)  836  0 ,
25( x  2)2  36( y  1)2  900 .
Разделим обе части уравнения на 900:
( x  2)2 ( y  1)2

1.
36
25
Сделаем замену переменных:
( x)2 ( y) 2

 1 , где x  x  2 , y  y  1 .
36
25
Полученное уравнение является каноническим уравнением гиперболы с
полуосями: действительной a  6 и мнимой b  5 , центром в точке
5
𝑂′ (−2; −1) (в основных координатах) и асимптотами y   x (в новых
6
координатаx x' и y'). Далее в новых координатных осях проводим
асимптоты, отмечаем вершины гиперболы и проводим ее ветви.
( x  2)2 ( y  1)2

1.
Ответ:
36
25
114
7. Сложение и вычитание матриц выполняется поэлементно:
 9 11 5   4 5 1 5 6 6 

 
 

B  C   2 3 1   6 2 5   4 1 4  .
 11 1 13   5 5 6  6 6 7 
Для нахождения матрицы, обратной к B  C , припишем к найденной
матрице единичную и получившуюся матрицу приведем к ступенчатому
виду Гаусса.
5
[4
6
1
→ [0
0
1
→ [0
0
6
1
6
6 1
4| 0
7 0
2 1
−4| −4
−5 −6
5
−19
−24
5
1
−5
1
→ [0
0
0
1
0
2 1
0| 4
−1 −2
0
1
0
−1
1
1
2 −19
0| 4
1 −18
0
1
]
[
0 (−1) → 4
1
6
−1
5
6
0
1
0] (−1) → [0
1 
0
2 1
4| 0
7 0
−1
1
0
5
−19
−5
0 (−4)
0] 
1
2 1
−4| −4
−1 −2
1
(5) → [0
0

0
1
0
2 −19
0| 4
−1 18
20
1
]
[
→
−4
0
19 (−2)
0
0
1
0
0 17
0| 4
1 −18
0
−4] (−5)
1
−6
1
−6
5
1
6
(−6)
→

−1 0
→
5 0]
1 1 (−4)
−6
1
6
6
1
−6
20
−4 ]
−19 (−1)
−18
−4 ]
19
Получили матрицу, имеющую ступенчатый вид Гаусса, левая часть
которой единичная матрица, что является критерием существования
обратной матрицы, а правая часть – искомая обратная матрица. Таким
6 18
 17
 4
1 4  .
образом, ( B  C ) = 
 18 6 19 
1
Обратную матрицу к матрице А можно найти и другим методом,
используя алгебраические дополнения к элементам матрицы:
𝐴11 𝐴21 𝐴31
1
−1
𝐴 = |𝐴| ∙ |𝐴12 𝐴22 𝐴32 | , где 𝐴𝑖𝑗 = (−1)𝑖+𝑗 ∙ 𝑀𝑖𝑗 ,
𝐴13 𝐴23 𝐴33
𝑀𝑖𝑗 – определитель, полученый путем вычеркивания из матрицы А i строки
и j столбца. Для полученной матрицы 𝐵 − 𝐶 имеем:
5
(𝐵 − 𝐶) = |4
6
𝐴11
𝐴13
6 6
1 4| = 35 + 144 + 144 − 36 − 120 − 168 = −1
6 7
1 4
4 4
= (−1)1+1 ∙ |
| = −17, 𝐴12 = (−1)1+2 ∙ |
| = −4
6 7
6 7
4 1
6 6
= (−1)1+3 ∙ |
| = 18, 𝐴21 = (−1)2+1 ∙ |
| = −6,
6 6
6 7
115
5
6
6
= (−1)3+1 ∙ |
1
5
= (−1)3+3 ∙ |
4
6
5 6
| = −1, 𝐴23 = (−1)2+3 ∙ |
| = 6,
7
6 6
6
5 6
𝐴31
| = 18, 𝐴32 = (−1)3+2 ∙ |
| = −4,
4
4 4
6
𝐴33
| = −19
1
−17 −6 18
17
6 −18
1
(𝐵 − 𝐶)−1 = ∙ [ −4 −1
]=[
4
4
1
−4 ]
−1
18
6 −19 −18 −6 19
Матрица (𝐵 − 𝐶)−1 совпадает с матрицей (𝐵 − 𝐶)−1 , полученной
методом присоединенной матрицы.
Произведением матрицы А, имеющей размерность m×n, на матрицу
В, имеющую размерность n×p, называется матрица С, имеющая
размерность m×p, элементы которой вычисляются по формуле:
𝐴22 = (−1)2+2 ∙ |
n
cij   aik bkj ( i  1, 2,..., m ; k  1, 2,..., n ; j  1, 2,..., p ).
k 1
Перемножая матрицы, получаем:
6 18
 17
1
1

2


 57 19 60 
  4
1 4   
A  ( B  C )1  

.
7 6 2   18 6 19  107 36 112 


 4 2 
 57 19 60  
  195 155 


3

1
A  (B  C)  D = 
 
.
 
107 36 112   8 1 360 290 


195 155 
Ответ: 
.
360 290 
1
8. Сначала получим решение матричного уравнения в общем виде.
Домножим обе части уравнения справа (так как матрица A справа от
матрицы X ) на матрицу, обратную к A : X  A  A1  B  A1 . По определению
обратной матрицы имеем X  E  B  A1 , а по определению единичной
матрицы получаем X  B  A1 . Таким образом, чтобы найти искомую
матрицу X , надо сначала найти матрицу, обратную к A , а потом матрицу B
на нее умножить справа. Найдем обратную матрицу A1 (см. задание 7).
 21 5 20 


1
Тогда A   3 1 3  . Далее выполним умножение матриц В и A-1:
 20 5 19 
116
 27 4 29   21 5 20   1 6 1 
X  B  A   42 31 49    3 1 3    5 4 2  .
 5 2 5  20 5 19  1 2 1 
1
 1 6 1


Ответ: X   5 4 2  .
 1 2 1 
9. По теореме Кронекера–Капелли система совместна тогда и только тогда,
когда ранг ее матрицы равен рангу ее расширенной матрицы. Приведем
расширенную матрицу системы к ступенчатому виду Гаусса:
1
[4
1
−5 −1 15 (−4)
−21 1 | 61] 
−6 46
4
6
24
6
1
[0
0
6
0
0
1
[0
0
−5 −1 15
1 −5| −1] (5)
9 −5 31
6
0
0
(−1)
1
→ [0
0
6
0
0
1
(−9) → [0
0

6
0
0

0 −26 10
1 −5 | −1]
0
1
1 (5)
−5 −1 15
−1 5 | 1 ] (−1) →
9 −5 31
0 −26 10
1 −5 | −1] 1 →
0 40 40
40
1 6 0 0 36
→ [ 0 0 1 0| 4 ]
0 0 0 1 1
(26)
Ранг матрицы системы совпадает с рангом расширенной матрицы (они
равны 3), следовательно, система совместна. По полученной матрице вида
 x1  6 x2  36
 x1  6 x2  36


Гаусса запишем систему уравнений в виде:  x3  4
или  x3  4
x  1
x  1
 4
 4
.
При выполнении элементарных преобразований над строками расширенной
матрицы системы получается система равносильная исходной.
Здесь переменные x1 , x3 , x4 , как соответствующие базисным столбцам,
можно объявить главными, а переменную x2 – свободной. Свободные
переменные в общем решении полагаем равными константам. Тогда общее
 x1  6c  36
x  c
 2
решение системы имеет вид:  x  4
, где c – произвольное число.
 3
 x4  1
Ответ: x1  6c  36, x2  c, x3  4, x4  1 , где c – произвольное число.
117
10. Найдем характеристический многочлен матрицы А:
3
4
4
5
1
4 4

 (3   )( 2  11  28)  16  4 
1  (3   )
A   E  1 5  
2 6 2 6
0
2 6
 (3   )(4   )(7   )  4(4   )  (4   )( 2 10  25)  (4   )(5   ) 2 .
Корни характеристического уравнения |𝐴 − 𝜆𝐸| = 0: 1  4 , 2,3  5
(кратность 2).
Найдем собственные
векторы,
соответствующие
собственному
 1 4 4   a   0 
 1 1 1   b    0 

    .
 0 2 2   c   0 
⃗ = ⃗0 .
значению 𝜆1 = 4 из уравнения (𝐴 − 4𝐸)ℎ
Выполним элементарные преобразования строк с целью приведения
матрицы к виду Гаусса:
−1
[−1
0
4
1
2
1
→ [−1
2
4
1] (−4)
2
0
1
0
3
(−2) → [−1
2

0 (1)
1] 
0
(−2)

1
0
1] 3 →
0
0
1
0
1
→ [0
0
0
1
0
0
1] ,
0
a  0
откуда 
. Получили, что переменные a и b – главные, а переменная
b  c  0
c – свободная. Пусть c  C . Тогда b  C . Полагая C  1 , получаем
базисный собственный вектор, соответствующий 𝜆1 = 4: h1   0; 1;  1 .
Найдем собственные векторы, соответствующие собственному
T
значению 𝜆2,3
 2 4 4   a   0 
⃗ = ⃗0.  1 0 1   b    0  .
= 5. Решаем уравнение (𝐴 − 5𝐸)ℎ

   
 0 2 1   c   0 
Выполним элементарные преобразования строк с целью приведения
матрицы к виду Гаусса:
−2
[−1
0
4
0
2
1
4 (− )
1
1] 2 → [−1
1
0
1
→ [0
0
0
−2
0
−2
0
2
−2 (1)
1
1 ]  → [0
1
0
1
1
−1 (− )
2 → [0
−1]
0
0
118
−2
−2
2
0
1
0
−2
−1] (−1)
1
−1
1
]
2
0
(1) →

𝑎−𝑐 =0
{𝑏 + 1 𝑐 = 0 ,
𝑎=𝑐
{𝑏 = − 1 𝑐 .
тогда
2
2
Переменные a и b – главные, а
переменная c – свободная.
Полагая 𝐶 = −2, получаем только один базисный собственный вектор,
соответствующий 𝜆2,3 = 5: h2   2; 1;  2  . Поскольку 𝜆2,3 = 5 – корень
⃗ 2′ :
кратности 2, то необходимо найти присоединенный вектор
ℎ
T
 2 4 4   a   2 

   
⃗ 2′ = ⃗⃗⃗⃗
(𝐴 − 5𝐸)ℎ
ℎ2 , т.е.  1 0 1   b    1 
 0 2 1   c   2 
Выполним элементарные преобразования строк с целью приведения
матрицы к виду Гаусса:
−2
[−1
0
4
0
2
1
4 −2 (− )
1
2
→ [−1
1| 1 ]
1 −2
0
1
→ [0
0
0
−2
0
−2
0
2
−2 1 (1)
1
1 | 1 ]  → [0
1 −2
0
1
−1 −1
1
−1| 2 ] (− ) → [ 0
2
0 0
0
𝑎 − 𝑐 = −1
𝑎 =𝑐−1
1
откуда {𝑏 + 𝑐 = −1 ; {𝑏 = − 1 𝑐 − 1
2
0
1
0
−2
−2
2
−2 1
−1]| 2 ] (−1)
1 −2
(1)

−1
1 −1
| −1]
2 0
0
2
Полагая 𝐶 = 0, получаем базисный присоединенный вектор
h2
к
собственному вектору h2 : h2   1;  1; 0 .
T
Найдем
матрицу
оператора в базисе из собственных и
присоединенных векторов h1 , h2 , h2 (обозначим ее В). Матрица перехода от
старого базиса к новому состоит из векторов нового базиса, являющихся ее
 0 2 1


столбцами: S   1 1 1 .
 1 2 0 
Найдем обратную матрицу 𝑆 −1
 2 2 3


(см. задание 7). Получим S   1 1 1 
 1 2 2 
1
 2 2 3  3 4 4   0 2 1  4 0 0 



 

1
Тогда B  S AS   1 1 1   1 5 1   1 1 1  0 5 1  .
 1 2 2   0 2 6   1 2 0   0 0 5 
119
Ответ: 1  4, 2,3
4 0 0
 0
 1
 2 


 5 , h1   1 , h2   1 , h2   1 , B   0 5 1  .
 1
 0
 2 
 
 
 
 0 0 5 
Варианты заданий для самостоятельного решения (1–30)
Вариант 1
1. Решить систему методом Крамера
3 x  2 y  4 z  28

4 x  y  4 z  27
4 x  2 y  5 z  34.

1
3
i
на комплексной плоскости.
2
2
3. Проверить, что векторы a   3; 4; 2  , b   2; 1; 2  , c   2; 4; 5 образуют
2. Изобразить корни 2 степени из
базис и разложить вектор d  (20; 27; 30) по этому базису.
4. Найти объем пирамиды, если известны координаты ее вершин
A  2;1;1 , B  4; 2; 3 , C  3;4;2  , D  3; 4; 2  .
5.
Даны
вершины
треугольника
A  2;13 , B 8;9  , C  2; 7  .
Найти
координаты точки пересечения высоты CH и медианы BM .
6. Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду и
2
2
построить ее 9 x  4 y  36 x  8 y  4  0 .
1
7. Выполнить действия A  ( B  C )  D , где
4
3 −1
−4 −2
7 5 3
−1 −1 2
𝐴=[
] , 𝐵 = [2 3 1] , 𝐶 = [−2 2 −3] , 𝐷 = [−5 1 ] .
1
2 6
3 −3 2
0
1
7 −1 7
8.
Решить
5
𝐵 = [12
5
−2
−3
−2
матричное
уравнение
5
13].
5
X A B,
где
2
𝐴 = [3
3
1
−1
1
3
3],
4
9. Исследовав систему на совместность, найти ее общее решение методом
 x1  2 x2  3x3  x4  5

Гаусса 4 x1  8 x2  13x3  x4  19
 x  2 x  2 x  6 x  10.
2
3
4
 1
120
10. Найти собственные значения, собственные и присоединенные векторы
матрицы линейного оператора. Найти вид этой матрицы в базисе из
5 4 −4
собственных и присоединенных векторов А = [−1 3 1 ] .
0 2 2
Вариант 2
1. Решить систему методом Крамера
6 x  2 y  7 z  52

4 x  y  4 z  30
7 x  2 y  8 z  58.

2. Изобразить корни 2 степени из i на комплексной плоскости.
3. Проверить, что векторы a   6; 4; 5 , b   2; 1; 2  , c   5; 4; 8 образуют
базис и разложить вектор d  (44; 30; 54) по этому базису.
4. Найти объем пирамиды, если известны координаты ее вершин
A  2;4; 2  , B  4; 2; 6  , C  6;4;2  , D  6; 4; 2  .
5. Даны вершины треугольника
A  2, 16  , B  10, 12  , C  2,  4  .
Найти
координаты точки пересечения высоты CH и медианы BM .
6. Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду и
2
2
построить ее 9 x  4 y  54 x  16 y  29  0 .
7. Выполнить действия A  ( B  C )1  D , где
−4 −3
8 5 3
5
3 −1
−1 −2 3
𝐴=[
] , 𝐵 = [3 3 2] , 𝐶 = [−2 2 −3] , 𝐷 = [−7 2 ]
1
1 8
1
1
7 −1 7
3 −3 2
2
8.Решить матричное уравнение X  A  B , где 𝐴 = [4
3
1
−1
1
3
7
4],𝐵 = [17
8
4
−2 7
−5 17]
−4 7
9. Исследовав систему на совместность, найти ее общее решение методом
 x1  2 x2  3x3  x4  8

Гаусса 5 x1  10 x2  16 x3  x4  39
 x  2 x  2 x  7 x  11.
2
3
4
 1
10. Найти собственные значения, собственные и присоединенные векторы
матрицы линейного оператора. Найти вид этой матрицы в базисе из
2 1 1
собственных и присоединенных векторов А = [−1 4 1] .
−3 2 5
121
Вариант 3
1. Решить систему методом Крамера
5 x  3 y  6 z  66

6 x  y  6 z  59
6 x  3 y  7 z  75.

1
3
2. Изобразить корни 2 степени из   i 
на комплексной плоскости.
2
2
3. Проверить, что векторы a   5; 6; 4 , b   3; 1; 3 , c   4; 6; 7  образуют
базис и разложить вектор d   54; 59; 69  по этому базису.
4. Найти объем пирамиды, если известны координаты ее вершин
A  3;2;1 , B  6; 3; 5 , C  5;6;3 , D  5; 6; 3 .
5.
Даны
вершины
треугольника
A  3, 20 , B  9, 14 , C  3,  10  .
Найти
координаты точки пересечения высоты CH и медианы BM .
6. Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду и
2
2
построить ее 9 x  4 y  72 x  24 y  72  0 .
7. Выполнить действия A  ( B  C )1  D , где
6
3 −1
−4 −4
9 5 3
−1 −3 4
𝐴=[
] , 𝐵 = [4 3 3] , 𝐶 = [−2 2 −3] , 𝐷 = [−9 3 ]
1
0 10
3 −3 2
2
1
7 −1 7
2
1
3
9
−2
9
3
1
4
13 −6
11
8. Решить матричное уравнение X  A  B , где 𝐴 = [5 −1 5],𝐵 = [24 −7 23]
9. Исследовав систему на совместность, найти ее общее решение методом
 x1  2 x2  3x3  x4  11

Гаусса 6 x1  12 x2  19 x3  x4  65
 x  2 x  2 x  8 x  12.
2
3
4
 1
10. Найти собственные значения, собственные и присоединенные векторы
матрицы линейного оператора. Найти вид этой матрицы в базисе из
10 9 −9
собственных и присоединенных векторов А = [−1 4 1 ] .
3 6 −1
122
Вариант 4
1. Решить систему методом Крамера
3 x  2 y  4 z  32

5 x  y  5 z  38
4 x  2 y  5 z  39.

2. Изобразить корни 2 степени из 1 на комплексной плоскости.
3. Проверить, что векторы a   3; 5; 2 , b   2; 1; 2  , c   2; 5; 5 образуют
базис и разложить вектор d   22; 38; 35 по этому базису.
4. Найти объем пирамиды, если известны координаты ее вершин
A  3;1;2  , B  5; 2; 3 , C 3;5;2  , D  3; 5; 2 .
A  2, 18 , B 14, 12 , C  2,  12  .
5. Даны вершины треугольника
Найти
координаты точки пересечения высоты CH и медианы BM .
6. Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду и
построить ее 16 x  4 y  32 x  8 y  52  0 .
7. Выполнить действия A  ( B  C )1  D , где
7 6
4
3
4 −1
−6 −1
−2 1 1
𝐴=[
] , 𝐵 = [1 3 −1] , 𝐶 = [−2 2 −4] , 𝐷 = [−2 −1]
0 5 4
9 −2 8
4 −4 2
−1 2
2
8.
Решить
−1
𝐵 = [ 14
12
−3
0
2
2
матричное
уравнение
−2
17 ]
15
X A B,
где
3
𝐴 = [2
4
1
−1
1
4
2],
5
9. Исследовав систему на совместность, найти ее общее решение методом
 x1  2 x2  4 x3  x4  3

3x  6 x2  13 x3  x4  8
Гаусса  1
 x  2 x  3x  5 x  14.
2
3
4
 1
10. Найти собственные значения, собственные и присоединенные векторы
матрицы линейного оператора. Найти вид этой матрицы в базисе из
2 1 2
собственных и присоединенных векторов А = [ 5 2 −2] .
−7 3 9
123
Вариант 5
1. Решить систему методом Крамера
6 x  2 y  7 z  59

5 x  y  5 z  41
7 x  2 y  8 z  66.

1
3
2. Изобразить корни 2 степени из   i 
на комплексной плоскости.
2
2
3. Проверить, что векторы a   6; 5; 5 , b   2; 1; 2  , c   5; 5; 8 образуют
базис и разложить вектор d   49; 41; 62  по этому базису.
4. Найти объем пирамиды, если известны координаты ее вершин
A  3;4; 1 , B  5; 2; 6  , C  6;5;2  , D  6; 5; 2  .
5. Даны вершины треугольника
A  2, 21 , B  4, 15 , C  2,  9  .
Найти
координаты точки пересечения высоты CH и медианы BM .
6. Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду и
2
2
построить ее 16 x  4 y  96 x  8 y  76  0 .
7. Выполнить действия A  ( B  C )1  D , где
9 4 4
−6 −3
5
4 −1
−2 −1 3
𝐴=[
] , 𝐵 = [3 3 1] , 𝐶 = [−2 2 −4] , 𝐷 = [−6 1 ]
0
3 8
9 −2 8
1
2
4 −4 2
3
1
4
3
−3
2
4
1
5
14
−2 15
8. Решить матричное уравнение X  A  B , где 𝐴 = [4 −1 4], 𝐵 = [20 −4 21]
9. Исследовав систему на совместность, найти ее общее решение методом
 x1  2 x2  4 x3  x4  11

Гаусса 5 x1  10 x2  21x3  x4  54
 x  2 x  3x  7 x  18.
2
3
4
 1
10. Найти собственные значения, собственные и присоединенные векторы
матрицы линейного оператора. Найти вид этой матрицы в базисе из
−1 4 4
собственных и присоединенных векторов А = [−1 5 1 ] .
−8 6 10
124
Вариант 6
1. Решить систему методом Крамера
6 x  3 y  7 z  50

2 x  y  2 z  16
7 x  3 y  8 z  55.

i на комплексной плоскости.
3. Проверить, что векторы a   6; 2; 5 , b   3; 1; 3 , c   5; 2; 8 образуют
базис и разложить вектор d   46; 16; 49  по этому базису.
2. Изобразить корни 2 степени из
4. Найти объем пирамиды, если известны координаты ее вершин
A 1;3; 4  , B  2; 3; 6  , C  6;2;3 , D  6; 2; 3 .
5.
Даны
вершины
A  3, 1 , B  21, 3 , C  3, 11 .
треугольника
Найти
координаты точки пересечения высоты CH и медианы BM .
6. Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду и
построить ее 16 x2  4 y 2  128x  16 y  176  0 .
7. Выполнить действия A  ( B  C )1  D , где
10 6 4
6
4 −1
−6 −4
−2 −2 4
𝐴=[
,
𝐶
=
,
𝐷
=
],𝐵=[4
]
[
]
[
3 2
−2 2 −4
−8 2 ]
0
2 10
9 −2 8
4 −4 2
2
2
3 1 4
5
8.Решить матричное уравнение X  A  B , где 𝐴 = [5 −1 5], 𝐵 = [26
4 1 5
18
−3 4
−6 26]
−4 18
9. Исследовав систему на совместность, найти ее общее решение методом
 x1  2 x2  4 x3  x4  15

Гаусса 6 x1  12 x2  25 x3  x4  89
 x  2 x  3x  8 x  20.
2
3
4
 1
10. Найти собственные значения, собственные и присоединенные векторы
матрицы линейного оператора. Найти вид этой матрицы в базисе из
3
1 −2
собственных и присоединенных векторов А = [−7 −1 10 ] .
−3 −1 6
Вариант 7
1. Решить систему методом Крамера
3 x  2 y  4 z  36

6 x  y  6 z  51
4 x  2 y  5 z  44.

125
1
3
i
на комплексной плоскости.
2
2
3. Проверить, что векторы a   3; 6; 2 , b   2; 1; 2  , c   2; 6; 5 образуют
2. Изобразить корни 2 степени из
базис и разложить вектор d   24; 51; 40  по этому базису.
4. Найти объем пирамиды, если известны координаты ее вершин
A  4;1;3 , B  6; 2; 3 , C  3;6;2  , D  3; 6; 2  .
5. Даны вершины треугольника
A  2, 23 , B  20, 15 , C  2,  17  .
Найти
координаты точки пересечения высоты CH и медианы BM .
6. Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду и
2
2
построить ее 25x  4 y  50 x  16 y  91  0 .
7. Выполнить действия A  ( B  C )1  D , где
−8 −1
8
7
5
3
5 −1
−3 2 1
𝐴=[
],𝐵=[1
3 −2] , 𝐶 = [−2 2 −5] , 𝐷 = [−1 −2]
−1 7 4
−1 3
11 −3 9
5 −5 2
8.
Решить
−7
𝐵 = [ 21
24
−4
1
4
матричное
уравнение
X A B,
−9
25 ]
29
где
4
𝐴 = [2
5
1
−1
1
5
2],
6
9. Исследовав систему на совместность, найти ее общее решение методом
 x1  2 x2  5 x3  x4  4

Гаусса 3x1  6 x2  16 x3  x4  11
 x  2 x  4 x  5 x  19.
2
3
4
 1
10. Найти собственные значения, собственные и присоединенные векторы
матрицы линейного оператора. Найти вид этой матрицы в базисе из
3
1
2
собственных и присоединенных векторов А = [−7 7 10] .
3 −1 0
Вариант 8
1. Решить систему методом Крамера
2 x  3 y  3 z  24

4 x  y  4 z  30
3 x  3 y  4 z  31.

2. Изобразить корни 3 степени из 1 на комплексной плоскости.
126
3. Проверить, что векторы a   2; 4; 1 , b   3; 1; 3 , c  1; 4; 4  образуют
базис и разложить вектор d  16; 30; 25 по этому базису.
4. Найти объем пирамиды, если известны координаты ее вершин
A  1; 1;2  , B  4; 3; 2  , C  2;4;3 , D  2; 4; 3 .
A  3, 7  , B 15, 5 , C  3,  3 . Найти
координаты точки пересечения высоты CH и медианы BM .
6. Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду и
построить ее 25x2  4 y 2  100 x  8 y  4  0 .
5. Даны вершины треугольника
1
7. Выполнить действия A  ( B  C )  D , где
−8 −2
9
7
5
4
5 −1
−3 1 2
𝐴=[
],𝐵=[2
3 −1] , 𝐶 = [−2 2 −5] , 𝐷 = [−3 −1]
−1 6 6
0
3
11 −3 9
5 −5 2
4 1 4
−5 −4 −7
8.Решить матричное уравнение X  A  B , где 𝐴 = [3 −1 3], 𝐵 = [ 22 −1 25 ]
5 1 6
23 2 27
9. Исследовав систему на совместность, найти ее общее решение методом
 x1  2 x2  5 x3  x4  9

Гаусса 4 x1  8 x2  21x3  x4  35
 x  2 x  4 x  6 x  22.
2
3
4
 1
10. Найти собственные значения, собственные и присоединенные векторы
матрицы линейного оператора. Найти вид этой матрицы в базисе из
6 4 −4
собственных и присоединенных векторов А = [−1 4 1 ] .
0 2 3
Вариант 9
1. Решить систему методом Крамера
6 x  3 y  7 z  64

4 x  y  4 z  34
7 x  3 y  8 z  71.

2. Изобразить корни 3 степени из i на комплексной плоскости.
3. Проверить, что векторы a   6; 4; 5 , b   3; 1; 3 , c   5; 4; 8 образуют
базис и разложить вектор d   56; 34; 65 по этому базису.
127
4. Найти объем пирамиды, если известны координаты ее вершин
A  1;3; 2  , B  4; 3; 6  , C  6;4;3 , D  6; 4; 3 .
5.
Даны
вершины
треугольника
A  3, 11 , B  9, 9  , C  3, 1 .
Найти
координаты точки пересечения высоты CH и медианы BM .
6. Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду и
2
2
построить ее 25x  4 y  200 x  8 y  296  0 .
7. Выполнить действия A  ( B  C )1  D , где
−8 −4
11 7 5
6
5 −1
−3 −1 4
𝐴=[
],𝐵=[4
3 1] , 𝐶 = [−2 2 −5] , 𝐷 = [−7 1 ]
−1 4 10
2
3
11 −3 9
5 −5 2
8.
Решить
−1
𝐵 = [ 30
27
матричное
уравнение
X A B,
где
−4 −3
−5 31 ]
−2 29
4
𝐴 = [5
5
1 5
−1 5],
1 6
9. Исследовав систему на совместность, найти ее общее решение методом
 x1  2 x2  5 x3  x4  19

Гаусса 6 x1  12 x2  31x3  x4  113
 x  2 x  4 x  8 x  28.
2
3
4
 1
10. Найти собственные значения, собственные и присоединенные векторы
матрицы линейного оператора. Найти вид этой матрицы в базисе из
3 1 1
собственных и присоединенных векторов А = [−1 5 1] .
−3 2 6
Вариант 10
1. Решить систему методом Крамера
4 x  2 y  5 z  31

3 x  y  3 z  19
5 x  2 y  6 z  36.

2. Изобразить корни 3 степени из 1 на комплексной плоскости.
3. Проверить, что векторы a   4; 3; 3 , b   2; 1; 2  , c   3; 3; 6  образуют
базис и разложить вектор d   25; 19; 32  по этому базису.
4. Найти объем пирамиды, если известны координаты ее вершин
A  1;2; 1 , B  3; 2; 4  , C  4;3;2  , D  4; 3; 2  .
128
5. Даны вершины треугольника A  2, 9 , B  4, 7  , C  2, 1 . Найти координаты
точки пересечения высоты CH и медианы BM .
6. Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду и
построить ее 36 x2  4 y 2  72 x  24 y  144  0 .
7. Выполнить действия A  ( B  C )1  D , где
9
8
6
3
6 −1
−10 −1
−4 3 1
𝐴=[
],𝐵=[1
3 −3] , 𝐶 = [−2 2 −6] , 𝐷 = [ 0
−3]
−2 9 4
13 −4 10
6 −6 2
−1
4
8.
Решить
−15
𝐵 = [ 30
40
матричное
уравнение
X A B,
−5 −18
2
35 ].
6
47
где
5 1
𝐴 = [2 −1
6 1
6
2],
7
9. Исследовав систему на совместность, найти ее общее решение методом
 x1  2 x2  6 x3  x4  5

Гаусса 3x1  6 x2  19 x3  x4  14
 x  2 x  5 x  5 x  24.
2
3
4
 1
10. Найти собственные значения, собственные и присоединенные векторы
матрицы линейного оператора. Найти вид этой матрицы в базисе из
11 9 −9
собственных и присоединенных векторов А = [−1 5 1 ] .
3 6 0
Вариант 11
1. Решить систему методом Крамера
2 x  3 y  3 z  27

5 x  y  5 z  42
3 x  3 y  4 z  35.

2. Изобразить корни 3 степени из i на комплексной плоскости.
3. Проверить, что векторы a   2; 5; 1 , b   3; 1; 3 , c  1; 5; 4  образуют
базис и разложить вектор d  (20; 27;30) по этому базису.
4. Найти объем пирамиды, если известны координаты ее вершин
A  2; 1;3 , B  5; 3; 2  , C  2;5;3 , D  3; 5; 3 .
129
5. Даны вершины треугольника
A  3, 12 , B  21, 8 , C  3,  8 . Найти
координаты точки пересечения высоты CH и медианы BM .
6. Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду и
2
2
построить ее 36 x  4 y  144 x  16 y  16  0 .
7. Выполнить действия A  ( B  C )1  D , где
2
8
10
2
],𝐵=[2
6
13
Решить
матричное
−4
𝐴=[
−2
8.
−13
𝐵 = [ 30
38
8
3
−4
6
4
−2] , 𝐶 = [−2
10
6
уравнение
6
2
−6
X A B,
−5 −16
0
34 ]
4
44
−1
−10 −2
−6] , 𝐷 = [ −2 −2]
2
0
4
5 1 6
где 𝐴 = [3 −1 3],
6 1 7
9. Исследовав систему на совместность, найти ее общее решение методом
 x1  2 x2  6 x3  x4  11

Гаусса 4 x1  8 x2  25 x3  x4  43
 x  2 x  5 x  6 x  28.
2
3
4
 1
10. Найти собственные значения, собственные и присоединенные векторы
матрицы линейного оператора. Найти вид этой матрицы в базисе из
3
собственных и присоединенных векторов А = [ 5
−7
1
3
3
2
−2] .
10
Вариант 12
1. Решить систему методом Крамера
6 x  3 y  7 z  71

5 x  y  5 z  46
7 x  3 y  8 z  79.

2. Изобразить корни 4 степени из 1 на комплексной плоскости.
3. Проверить, что векторы a   6; 5; 5 , b   3; 1; 3 , c   5; 5; 8 образуют
базис и разложить вектор d   61; 46; 73 по этому базису.
4. Найти объем пирамиды, если известны координаты ее вершин
A  2;3; 1 , B  5; 3; 6  , C  6;5;3 , D  6; 5; 3 .
5. Даны вершины треугольника
A  3, 16 , B  3, 12 , C  3,  4  . Найти
координаты точки пересечения высоты CH и медианы BM .
130
6. Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду и
2
2
построить ее 36 x  4 y  216 x  8 y  176  0 .
7. Выполнить действия A  ( B  C )1  D , где
11 8
6
−10 −3
5
6 −1
−4 1 3
𝐴=[
],𝐵=[3
3 −1] , 𝐶 = [−2 2 −6] , 𝐷 = [ −4 −1]
−2 7 8
13 −4 10
1
4
6 −6 2
8.
Решить
−11
𝐵 = [ 32
38
матричное
уравнение
X A B,
−5 −14
−2 35 ].
2
43
где
5
𝐴 = [4
6
1 6
−1 4],
1 7
9. Исследовав систему на совместность, найти ее общее решение методом
 x1  2 x2  6 x3  x4  17

Гаусса 5 x1  10 x2  31x3  x4  84
 x  2 x  5 x  7 x  32.
2
3
4
 1
10. Найти собственные значения, собственные и присоединенные векторы
матрицы линейного оператора. Найти вид этой матрицы в базисе из
0 4 4
собственных и присоединенных векторов А = [−1 6 1 ] .
−8 6 11
Вариант 13
1. Решить систему методом Крамера
4 x  2 y  5 z  41

5 x  y  5 z  39
5 x  2 y  6 z  48.

1
2
2. Изобразить корни 4 степени из   i 
3
на комплексной плоскости.
2
3. Проверить, что векторы a   4; 5; 3 , b   2; 1; 2  , c   3; 5; 6  образуют
базис и разложить вектор d   31; 39; 44  по этому базису.
4. Найти объем пирамиды, если известны координаты ее вершин
A  3;2;1 , B  5; 2; 4  , C  4;5;2  , D  4; 5; 2  .
5. Даны вершины треугольника
A  2, 19  , B 8, 13 , C  2,  11 . Найти
координаты точки пересечения высоты CH и медианы BM .
6. Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду и
2
2
построить ее 4 x  9 y  8x  36 y  68  0 .
131
7. Выполнить действия A  ( B  C )1  D , где
4
2 −1
−1 −1
6 5 2
1 −2 1
𝐴=[
] , 𝐵 = [1 3 2] , 𝐶 = [−3 2 −2] , 𝐷 = [−6 2 ]
4 0 5
2 −2 3
−2 −1
5 1 7
8.
Решить
матричное
уравнение
где
X A B,
1
𝐴 = [3
2
2
−1
2
2
12
],
[
𝐵
=
3
12
3
−2
1
−2
−7
14
13 ]
−5
9. Исследовав систему на совместность, найти ее общее решение методом
 x1  3x2  2 x3  x4  0

Гаусса 4 x1  12 x2  9 x3  x4  1
 x  3x  x  6 x  7.
2
3
4
 1
10. Найти собственные значения, собственные и присоединенные векторы
матрицы линейного оператора. Найти вид этой матрицы в базисе из
4 1 −1
собственных и присоединенных векторов А = [−1 2 1 ].
3 2 1
Вариант 14
1. Решить систему методом Крамера
2 x  3 y  3 z  30

6 x  y  6 z  56
3 x  3 y  4 z  39.

2. Изобразить корни 4 степени из 1 на комплексной плоскости.
3. Проверить, что векторы a   2; 6; 1 , b   3; 1; 3 , c  1; 6; 4  образуют
базис и разложить вектор d  18; 56; 33 по этому базису.
4. Найти объем пирамиды, если известны координаты ее вершин
A  3; 1;4  , B  6; 3; 2  , C  2;6;3 , D  2; 6; 3 .
5. Даны вершины треугольника
A  3, 17  , B  27, 11 , C  3,  13 . Найти
координаты точки пересечения высоты CH и медианы BM .
6. Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду и
2
2
построить ее 4 x  9 y  16 x  54 y  101  0 .
7. Выполнить действия A  ( B  C )1  D , где
−1 −2
7 5 2
5
3 −1
1 −3 2
𝐴=[
] , 𝐵 = [2 3 3] , 𝐶 = [−3 2 −2] , 𝐷 = [−8 3 ]
4 −1 7
−1 −1
5 1 7
2 −2 3
132
8.
1
𝐴 = [4
2
Решить
2
−1
2
2
15
4], 𝐵 = [18
3
1
матричное
X A B,
уравнение
где
1
17
−5 18 ]
−10 −3
9. Исследовав систему на совместность, найти ее общее решение методом
 x1  3x2  2 x3  x4  2

Гаусса 5 x1  15 x2  11x3  x4  9
 x  3x  x  7 x  7.
2
3
4
 1
10. Найти собственные значения, собственные и присоединенные векторы
матрицы линейного оператора. Найти вид этой матрицы в базисе из
1 4 4
собственных и присоединенных векторов А = [−1 3 1] .
0 2 4
Вариант 15
1. Решить систему методом Крамера
2 x  4 y  3 z  25

3 x  y  3 z  23
3 x  4 y  4 z  32.

1
3
2. Изобразить корни 4 степени из   i 
на комплексной плоскости.
2
2
3. Проверить, что векторы a   2; 3; 1 , b   4; 1; 4  , c  1; 3; 4  образуют
базис и разложить вектор d  19; 23; 24  по этому базису.
4. Найти объем пирамиды, если известны координаты ее вершин
A 1; 2;1 , B  3; 4; 2  , C  2;3;4  , D  2; 3; 4  .
5. Даны вершины треугольника
A  4,  3 , B 10,  1 , C  4, 7  .
Найти
координаты точки пересечения высоты CH и медианы BM .
6. Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду и
построить ее 4 x2  9 y 2  24 x  72 y  144  0 .
7. Выполнить действия A  ( B  C )1  D , где
6
2 −1
−1 −3
8 5 2
1 −4 3
𝐴=[
] , 𝐵 = [3 3 4] , 𝐶 = [−3 2 −2] , 𝐷 = [−10 4 ]
4 −2 9
2 −2 3
0
−1
5 1 7
1
2
2
18
2
2
3
6
8.Решить матричное уравнение X  A  B , где 𝐴 = [5 −1 5],𝐵 = [26
133
1
−8
−13
20
25]
1
9. Исследовав систему на совместность, найти ее общее решение методом
 x1  3x2  2 x3  x4  4

Гаусса 6 x1  18 x2  13 x3  x4  23
 x  3x  x  8 x  7.
2
3
4
 1
10. Найти собственные значения, собственные и присоединенные векторы
матрицы линейного оператора. Найти вид этой матрицы в базисе из
4
1 −2
собственных и присоединенных векторов А = [−7 0 10 ] .
−3 −1 7
Вариант 16
1. Решить систему методом Крамера
4 x  2 y  5 z  46

6 x  y  6 z  52
5 x  2 y  6 z  54.

2. Изобразить корни 2 степени из 1  i  3 на комплексной плоскости.
3. Проверить, что векторы a   4; 6; 3 , b   2; 1; 2  , c   3; 6; 6  образуют
базис и разложить вектор d   34; 52; 50  по этому базису.
4. Найти объем пирамиды, если известны координаты ее вершин
A  4;2;2  , B  6; 2; 4  , C  4;6;2  , D  4; 6; 2  .
5. Даны вершины треугольника
A  2, 24  , B 14, 16 , C  2,  16  . Найти
координаты точки пересечения высоты CH и медианы BM .
6. Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду и
построить ее 16 x2  9 y 2  32 x  36 y  164  0 .
7. Выполнить действия A  ( B  C )1  D , где
−1
𝐴=[
2
2
6
6
−1
] , 𝐵 = [−1
1
9
7
3
−1
4
2
−2] , 𝐶 = [−3
9
4
3
4
2
−4
2
−1
−5
−4] , 𝐷 = [ 0
3
−4
4
2
5
10
8.Решить матричное уравнение X  A  B , где 𝐴 = [1 −1 1], 𝐵 = [18
4
2
1
−2]
1
−3 2
8 23]
7 13
9. Исследовав систему на совместность, найти ее общее решение методом
 x1  3x2  4 x3  x4  6

Гаусса 2 x1  6 x2  9 x3  x4  13
 x  3x  3x  4 x  17.
2
3
4
 1
134
10. Найти собственные значения, собственные и присоединенные векторы
матрицы линейного оператора. Найти вид этой матрицы в базисе из
4
1
2
собственных и присоединенных векторов А = [−7 8 10] .
3 −1 1
Вариант 17
1. Решить систему методом Крамера
4 x  3 y  5 z  34

2 x  y  2 z  14
5 x  3 y  6 z  39.

2. Изобразить корни 2 степени из 2i на комплексной плоскости.
3. Проверить, что векторы a   4; 2; 3 , b   3; 1; 3 , c   3; 2; 6  образуют
базис и разложить вектор d   30; 14; 33 по этому базису.
4. Найти объем пирамиды, если известны координаты ее вершин
A 1;1; 2  , B  2; 3; 4  , C  4;2;3 , D  4; 2; 3 .
5. Даны вершины треугольника
A  3,  1 , B  9, 1 , C  3, 9  .
Найти
координаты точки пересечения высоты CH и медианы BM .
6. Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду и
построить ее 16 x2  9 y 2  64 x  18 y  89  0 .
7. Выполнить действия A  ( B  C )1  D , где
9 7 4
5
4 −1
−5 −2
−1 −1 2
𝐴=[
] , 𝐵 = [2 3 1] , 𝐶 = [−3 2 −4] , 𝐷 = [−6 1 ]
2
3 7
9 −1 9
4 −4 3
−1 1
3
2
4
11 −3
11
4
2
5
7
7
8. Решить матричное уравнение X  A  B , где 𝐴 = [4 −1 4],𝐵 = [24 −1 26]
−2
9. Исследовав систему на совместность, найти ее общее решение методом
 x1  3x2  4 x3  x4  6

Гаусса 5 x1  15 x2  21x3  x4  29
 x  3x  3x  7 x  23.
2
3
4
 1
10. Найти собственные значения, собственные и присоединенные векторы
матрицы линейного оператора. Найти вид этой матрицы в базисе из
7 4 −4
собственных и присоединенных векторов А = [−1 5 1 ].
0 2 4
135
Вариант 18
1. Решить систему методом Крамера
2 x  4 y  3 z  31

5 x  y  5 z  47
3 x  4 y  4 z  40.

2. Изобразить корни 2 степени из 1  i  3 на комплексной плоскости.
3. Проверить, что векторы a   2; 5; 1 , b   4; 1; 4  , c  1; 5; 4  образуют
базис и разложить вектор d   21; 47; 32  по этому базису.
4. Найти объем пирамиды, если известны координаты ее вершин
A  1; 2;3 , B  5; 4; 3 2, C  2;5;4  , D  2; 5; 4  .
5.
Даны
вершины
треугольника
A  4, 7  , B  22, 5 , C  4,  3 .
Найти
координаты точки пересечения высоты CH и медианы BM .
6. Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду и
построить ее 16 x2  9 y 2  96 x  36 y  36  0 .
7. Выполнить действия A  ( B  C )1  D , где
10 7 4
6
4
1
−5 −3
−1 −2 3
𝐴=[
],𝐵 =[3
3 2] , 𝐶 = [−3 2 −4] , 𝐷 = [−8 2 ]
2
2 9
9 −1 9
4 −4 3
0
1
3
8. Решить матричное уравнение X  A  B , где 𝐴 = [5
4
2
−1
2
4
14
5], 𝐵 = [30
5
10
−3 14
−4 31]
−5 9
9. Исследовав систему на совместность, найти ее общее решение методом
 x1  3x2  4 x3  x4  10

Гаусса 6 x1  18 x2  25 x3  x4  59
 x  3x  3x  8 x  25.
2
3
4
 1
10. Найти собственные значения, собственные и присоединенные векторы
матрицы линейного оператора. Найти вид этой матрицы в базисе из
4 1 1
собственных и присоединенных векторов А = [−1 6 1] .
−3 2 7
Вариант 19
1. Решить систему методом Крамера
136
5 x  2 y  6 z  38

3 x  y  3 z  20
6 x  2 y  7 z  43.

2. Изобразить корни 2 степени из 2 на комплексной плоскости.
3. Проверить, что векторы a   5; 3; 4 , b   2; 1; 2  , c   4; 3; 7  образуют
базис и разложить вектор d   32; 20; 39  по этому базису.
4. Найти объем пирамиды, если известны координаты ее вершин
A  1;3; 2  , B  3; 2; 5 , C  5;3;2  , D  5; 3; 2  .
5. Даны вершины треугольника
A  2, 10  , B  10, 8 , C  2, 0  .
Найти
координаты точки пересечения высоты CH и медианы BM .
6. Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду и
2
2
построить ее 25x  9 y  50 x  54 y  281  0 .
7. Выполнить действия A  ( B  C )1  D , где
−7 1
7
8
5
2
5 −1
−2 3 −1
𝐴=[
] , 𝐵 = [−1 3 −3] , 𝐶 = [−3 2 −5] , 𝐷 = [ 1 −3]
1 8 1
−4 2
11 −2 10
5 −5 3
4
2
5
5
2
6
−3 −5 −4
10 33 ]
22 11 27
8.Решить матричное уравнение X  A  B , где 𝐴 = [1 −1 1], 𝐵 = [ 27
9. Исследовав систему на совместность, найти ее общее решение методом
 x1  3x2  5 x3  x4  7

Гаусса 2 x1  6 x2  11x3  x4  15
 x  3x  4 x  4 x  22.
2
3
4
 1
10. Найти собственные значения, собственные и присоединенные векторы
матрицы линейного оператора. Найти вид этой матрицы в базисе из
8 4 −4
собственных и присоединенных векторов А = [−1 2 1 ].
8 6 −3
Вариант 20
1. Решить систему методом Крамера
4 x  3 y  5 z  49

5 x  y  5 z  44
5 x  3 y  6 z  57.

2. Изобразить корни 2 степени из 1  i  3 на комплексной плоскости.
137
3. Проверить, что векторы a   4; 5; 3 , b   3; 1; 3 , c   3; 5; 6  образуют
базис и разложить вектор d   39; 44; 51 по этому базису.
4. Найти объем пирамиды, если известны координаты ее вершин
A  2;1;1 , B  5; 3; 4  , C  4;5;3 , D  4; 5; 3 .
5. Даны вершины треугольника
A  3, 14 , B  9, 10  , C  3,  6  .
Найти
координаты точки пересечения высоты CH и медианы BM .
6. Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду и
2
2
построить ее 25x  9 y  50 x  18 y  209  0 .
7. Выполнить действия A  ( B  C )1  D , где
−7 −1
9
8
5
4
5 −1
−2 1 1
𝐴=[
],𝐵=[1
3 −1] , 𝐶 = [−3 2 −5] , 𝐷 = [−3 −1]
1 6 5
−2 2
11 −2 10
5 −5 3
4
8.Решить матричное уравнение X  A  B , где 𝐴 = [3
5
2
−1
2
5
3
3], 𝐵 = [27
6
16
−5
4
5
2
31]
19
9. Исследовав систему на совместность, найти ее общее решение методом
 x1  3x2  5 x3  x4  3

Гаусса 4 x1  12 x2  21x3  x4  11
 x  3x  4 x  6 x  28.
2
3
4
 1
10. Найти собственные значения, собственные и присоединенные векторы
матрицы линейного оператора. Найти вид этой матрицы в базисе из
5 1 −2
собственных и присоединенных векторов А = [5 5 −2] .
7 3 −2
Вариант 21
1. Решить систему методом Крамера
2 x  4 y  3 z  34

6 x  y  6 z  62
3 x  4 y  4 z  44.

2. Изобразить корни 2 степени из 2i на комплексной плоскости.
3. Проверить, что векторы a   2; 6; 1 , b   4; 1; 4  , c  1; 6; 4  образуют
базис и разложить вектор d   22; 62; 36  по этому базису.
4. Найти объем пирамиды, если известны координаты ее вершин
A  2; 2;4  , B  6; 2; 5 , C  2;6;4  , D  2; 6; 4  .
138
5. Даны вершины треугольника
A  4, 12 , B  28, 8 , C  4,  8 .
Найти
координаты точки пересечения высоты CH и медианы BM .
6. Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду и
2
2
построить ее 25x  9 y  150 x  18 y  9  0 .
7. Выполнить действия A  ( B  C )1  D , где
−7 −3
11 8
5
6
5 −1
−2 −1 3
𝐴=[
],𝐵 =[3
3
1 ] , 𝐶 = [−3 2 −5] , 𝐷 = [−7 1 ]
1
4 9
0
2
11 −2 10
5 −5 3
4
2
5
9
−5
8
5
2
6
18
−1 19
8. Решить матричное уравнение X  A  B , где 𝐴 = [5 −1 5], 𝐵 = [35 −2 37]
9. Исследовав систему на совместность, найти ее общее решение методом
 x1  3x2  5 x3  x4  13

Гаусса 6 x1  18 x2  31x3  x4  77
 x  3x  4 x  8 x  34.
2
3
4
 1
10. Найти собственные значения, собственные и присоединенные векторы
матрицы линейного оператора. Найти вид этой матрицы в базисе из
−3 9 9
собственных и присоединенных векторов А = [−1 3 1].
−3 6 8
Вариант 22
1. Решить систему методом Крамера
5 x  2 y  6 z  44

4 x  y  4 z  29
6 x  2 y  7 z  50.

2. Изобразить корни 2 степени из 1  i  3 на комплексной плоскости.
3. Проверить, что векторы a   5; 4; 4 , b   2; 1; 2  , c   4; 4; 7  образуют
базис и разложить вектор d   36; 29; 46  по этому базису.
4. Найти объем пирамиды, если известны координаты ее вершин
A  2;3; 1 , B  4; 2; 5 , C  5;4;2  , D  5; 4; 2  .
5. Даны вершины треугольника
A  2, 15 , B  4, 11 , C  2,  5 .
координаты точки пересечения высоты CH и медианы BM .
139
Найти
6. Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду и
2
2
построить ее 36 x  9 y  72 x  72 y  432  0 .
7. Выполнить действия A  ( B  C )1  D , где
−3
𝐴=[
0
8.
4
10
Решить
−10
𝐵 = [ 38
38
8
−1
] , 𝐵 = [−1
1
13
матричное
9
3
−3
6
2
−4] , 𝐶 = [−3
11
6
уравнение
−7 −12
12 45 ]
15 45
X A B,
6
2
−6
−1
−9 1
−6] , 𝐷 = [ 2 −4]
3
−4 3
5 2 6
где 𝐴 = [1 −1 1],
6 2 7
9. Исследовав систему на совместность, найти ее общее решение методом
 x1  3x2  6 x3  x4  8

Гаусса 2 x1  6 x2  13 x3  x4  17
 x  3x  5 x  4 x  27.
2
3
4
 1
10. Найти собственные значения, собственные и присоединенные векторы
матрицы линейного оператора. Найти вид этой матрицы в базисе из
5 1 −1
собственных и присоединенных векторов А = [−1 3 1 ] .
3 2 2
Вариант 23
1. Решить систему методом Крамера
4 x  3 y  5 z  54

6 x  y  6 z  58
5 x  3 y  6 z  63.

2. Изобразить корни 3 степени из 2 на комплексной плоскости.
3. Проверить, что векторы a   4; 6; 3 , b   3; 1; 3 , c   3; 6; 6  образуют
базис и разложить вектор d   42; 58; 57  по этому базису.
4. Найти объем пирамиды, если известны координаты ее вершин
A  3;1;2  , B  6; 3; 4  , C  4;6;3 , D  4; 6; 3 .
5. Даны вершины треугольника
A  3, 19 , B 15, 13 , C  3,  11 . Найти
координаты точки пересечения высоты CH и медианы BM .
6. Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду и
2
2
построить ее 36 x  9 y  72 x  36 y  324  0 .
140
7. Выполнить действия A  ( B  C )1  D , где
10 9
6
4
6 −1
−9 −1
−3 2 1
𝐴=[
],𝐵=[1
3 −2] , 𝐶 = [−3 2 −6] , 𝐷 = [−2 −2]
0 8 5
13 −3 11
6 −6 3
−2 3
−4 −7 −6
5 2 6
8.Решить матричное уравнение X  A  B , где 𝐴 = [3 −1 3], 𝐵 = [ 36 6 41 ]
30 9 35
6 2 7
9. Исследовав систему на совместность, найти ее общее решение методом
 x1  3x2  6 x3  x4  4

Гаусса 4 x1  12 x2  25 x3  x4  15
 x  3x  5 x  6 x  35.
2
3
4
 1
10. Найти собственные значения, собственные и присоединенные векторы
матрицы линейного оператора. Найти вид этой матрицы в базисе из
2 4 4
собственных и присоединенных векторов А = [−1 4 1] .
0 2 5
Вариант 24
1. Решить систему методом Крамера
3 x  4 y  4 z  32

2 x  y  2 z  15
4 x  4 y  5 z  38.

2. Изобразить корни 3 степени из 2i на комплексной плоскости.
3. Проверить, что векторы a   3; 2; 2 , b   4; 1; 4  , c   2; 2; 5 образуют
базис и разложить вектор d   28; 15; 30  по этому базису.
4. Найти объем пирамиды, если известны координаты ее вершин
A  2; 1; 1 , B  2; 4; 3 , C  3;2;4  , D  3; 2; 4  .
5. Даны вершины треугольника A  4,  7  , B  2,  3 , C  4, 13 . Найти
координаты точки пересечения высоты CH и медианы BM .
6. Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду и
2
2
построить ее 36 x  9 y  144 x  18 y  189  0 .
7. Выполнить действия A  ( B  C )1  D , где
11 9
6
−9 −2
5
6 −1
−3 1 2
𝐴=[
],𝐵=[2
3 −1] , 𝐶 = [−3 2 −6] , 𝐷 = [−4 −1]
0 7 7
13 −3 11
−1 3
6 −6 3
141
5
2
6
6
2
7
−1 −7
3
29 6
8.Решить матричное уравнение X  A  B , где 𝐴 = [4 −1 4], 𝐵 = [ 38
−3
42 ]
33
9. Исследовав систему на совместность, найти ее общее решение методом
 x1  3x2  6 x3  x4  10

Гаусса 5 x1  15 x2  31x3  x4  49
 x  3x  5 x  7 x  39.
2
3
4
 1
10. Найти собственные значения, собственные и присоединенные векторы
матрицы линейного оператора. Найти вид этой матрицы в базисе из
5
1 −2
собственных и присоединенных векторов А = [−7 1 10 ] .
−3 −1 8
Вариант 25
1. Решить систему методом Крамера
5 x  2 y  6 z  56

6 x  y  6 z  53
6 x  2 y  7 z  64.

2. Изобразить корни 3 степени из 2 на комплексной плоскости.
3. Проверить, что векторы a   5; 6; 4  , b   2; 1; 2  , c   4; 6; 7  образуют
базис и разложить вектор d   44; 53; 60  по этому базису.
4. Найти объем пирамиды, если известны координаты ее вершин
A  4;3;1 , B  6; 2; 5 , C  5;6;2  , D  5; 6; 2  .
5. Даны вершины треугольника
A  2, 25 , B 8, 17  , C  2,  15 .
Найти
координаты точки пересечения высоты CH и медианы BM .
6. Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду и
2
2
построить ее 4 x  16 y  8x  32 y  76  0 .
7. Выполнить действия A  ( B  C )1  D , где
8 6 2
0
1
3
2 −1
2 −1 −1
𝐴=[
] , 𝐵 = [−1 3 1] , 𝐶 = [−4 2 −2] , 𝐷 = [−4 1 ]
6 1
2
5 2 8
−5 −2
2 −2 4
1
3
2
2
3
3
13
5 16
6 13 ]
−6 −8 −9
8.Решить матричное уравнение X  A  B , где 𝐴 = [2 −1 2], 𝐵 = [ 10
142
9. Исследовав систему на совместность, найти ее общее решение методом
 x1  4 x2  2 x3  x4  5

Гаусса 3x1  12 x2  7 x3  x4  16
 x  4 x  x  5 x  10.
2
3
4
 1
10. Найти собственные значения, собственные и присоединенные векторы
матрицы линейного оператора. Найти вид этой матрицы в базисе из
5
1
2
собственных и присоединенных векторов А = [−7 9 10] .
3 −1 2
Вариант 26
1. Решить систему методом Крамера
5 x  3 y  6 z  42

2 x  y  2 z  15
6 x  3 y  7 z  47.

2. Изобразить корни 3 степени из 2i на комплексной плоскости.
3. Проверить, что векторы a   5; 2; 4  , b   3; 1; 3 , c   4; 2; 7  образуют
базис и разложить вектор d   38; 15; 41 по этому базису.
4. Найти объем пирамиды, если известны координаты ее вершин
A 1;2; 3 , B  2; 3; 5 , C  5;2;3 , D  5; 2; 3 .
5.
Даны
вершины
треугольника
A  3, 0  , B  15, 2  , C 3, 10  .
Найти
координаты точки пересечения высоты CH и медианы BM .
6. Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду и
2
2
построить ее 4 x  16 y  8x  96 y  204  0 .
7. Выполнить действия A  ( B  C )1  D , где
7 6 2
0 −1
5
2 −1
2 −3 1
𝐴=[
] , 𝐵 = [1 3 3] , 𝐶 = [−4 2 −2] , 𝐷 = [−8 3 ]
6 −1 6
5 2 8
−3 −2
2 −2 4
1 3 2
21
5
24
8.Решить матричное уравнение X  A  B , где 𝐴 = [4 −1 4],𝐵 = [ 20 −2 21 ]
2 3 3
−4 −16 −9
143
9. Исследовав систему на совместность, найти ее общее решение методом
 x1  4 x2  2 x3  x4  1

Гаусса 5 x1  20 x2  11x3  x4  6
 x  4 x  x  7 x  10.
2
3
4
 1
10. Найти собственные значения, собственные и присоединенные векторы
матрицы линейного оператора. Найти вид этой матрицы в базисе из
9 4 −4
собственных и присоединенных векторов А = [−1 3 1 ].
8 6 −2
Вариант 27
1. Решить систему методом Крамера
3 x  4 y  4 z  44

5 x  y  5 z  48
4 x  4 y  5 z  53.

2. Изобразить корни 4 степени из 2 на комплексной плоскости.
3. Проверить, что векторы a   3; 5; 2 , b   4; 1; 4  , c   2; 5; 5 образуют
базис и разложить вектор d   34; 48; 45 по этому базису.
4. Найти объем пирамиды, если известны координаты ее вершин
A  1; 1;2  , B  5; 4; 3 , C 3;5;4  , D  3; 5; 4  .
5. Даны вершины треугольника
A  4, 8 , B 16, 6  , C  4,  2  .
Найти
координаты точки пересечения высоты CH и медианы BM .
6. Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду и
построить ее 4 x2  16 y 2  16 x  128 y  304  0 .
7. Выполнить действия A  ( B  C )1  D , где
8 6 2
6 2 −1
0
−2
2 −4 2
𝐴=[
] , 𝐵 = [2 3 4] , 𝐶 = [−4 2 −2] , 𝐷 = [−10 4 ]
6 −2 8
5 2 8
2 −2 4
−2 −2
1
3
2
25
2
3
3
0
8.Решить матричное уравнение X  A  B , где 𝐴 = [5 −1 5],𝐵 = [28
5
−6
−20
28
28 ]
−6
9. Исследовав систему на совместность, найти ее общее решение методом
 x1  4 x2  2 x3  x4  1

Гаусса 6 x1  24 x2  13x3  x4  5
 x  4 x  x  8 x  10.
2
3
4
 1
144
10. Найти собственные значения, собственные и присоединенные векторы
матрицы линейного оператора. Найти вид этой матрицы в базисе из
6 1 −2
собственных и присоединенных векторов А = [5 6 −2] .
7 3 −1
Вариант 28
1. Решить систему методом Крамера
6 x  2 y  7 z  45

3 x  y  3 z  21
7 x  2 y  8 z  50.

2. Изобразить корни 4 степени из 1  i  3 на комплексной плоскости.
3. Проверить, что векторы a   6; 3; 5 , b   2; 1; 2  , c   5; 3; 8 образуют
базис и разложить вектор d   39; 21; 46  по этому базису.
4. Найти объем пирамиды, если известны координаты ее вершин
A  1;4; 3 , B  3; 2; 6  , C  6;3;2  , D  6; 3; 2  .
5. Даны вершины треугольника
A  2, 11 , B  16, 9  , C  2, 1 .
Найти
координаты точки пересечения высоты CH и медианы BM .
6. Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду и
2
2
построить ее 9 x  16 y  36 x  32 y  124  0 .
7. Выполнить действия A  ( B  C )1  D , где
2
3 −1
−2 2
5 7 3
1 1 −2
𝐴=[
] , 𝐵 = [−2 3 −1] , 𝐶 = [−4 2 −3] , 𝐷 = [−1 −1]
5 4 0
3 −3 4
−6 −1
7 1 9
2
3
3
9
2
11
3
3
4
−1
2
−1
8.Решить матричное уравнение X  A  B , где 𝐴 = [1 −1 1],𝐵 = [ 14 13 19 ]
9. Исследовав систему на совместность, найти ее общее решение методом
 x1  4 x2  3x3  x4  9

Гаусса 2 x1  8 x2  7 x3  x4  19
 x  4 x  2 x  4 x  16.
2
3
4
 1
10. Найти собственные значения, собственные и присоединенные векторы
матрицы линейного оператора. Найти вид этой матрицы в базисе из
−2 9 9
собственных и присоединенных векторов А = [−1 4 1] .
−3 6 9
145
Вариант 29
1. Решить систему методом Крамера
5 x  3 y  6 z  54

4 x  y  4 z  33
6 x  3 y  7 z  61.

2. Изобразить корни 4 степени из 2 на комплексной плоскости.
3. Проверить, что векторы a   5; 4; 4  , b   3; 1; 3 , c   4; 4; 7  образуют
базис и разложить вектор d   46; 33; 55 по этому базису.
4. Найти объем пирамиды, если известны координаты ее вершин
A  1;2; 1 , B  4; 3; 5 , C  5;4;3 , D  5; 4; 3 .
5.
Даны
вершины
A  3, 10  , B  3, 8 , C  3, 0  .
треугольника
Найти
координаты точки пересечения высоты CH и медианы BM .
6. Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду и
2
2
построить ее 9 x  16 y  18x  64 y  199  0 .
7. Выполнить действия A  ( B  C )1  D , где
8 7 3
−2 −1
5
3 −1
1 −2 1
𝐴=[
] , 𝐵 = [1 3 2] , 𝐶 = [−4 2 −3] , 𝐷 = [−7 2 ]
5 1 6
7 1 9
−3 −1
3 −3 4
8.
Решить
21
𝐵 = [ 23
−4
матричное
уравнение
2
23
1
25 ]
−10 −7
X A B,
где
2 3
𝐴 = [4 −1
3 3
3
4],
4
9. Исследовав систему на совместность, найти ее общее решение методом
 x1  4 x2  3x3  x4  0

Гаусса 5 x1  20 x2  16 x3  x4  1
 x  4 x  2 x  7 x  19.
2
3
4
 1
10. Найти собственные значения, собственные и присоединенные векторы
матрицы линейного оператора. Найти вид этой матрицы в базисе из
6 1 −1
собственных и присоединенных векторов А = [−1 4 1 ] .
3 2 3
146
Вариант 30
1. Решить систему методом Крамера
3 x  4 y  4 z  48

6 x  y  6 z  63
4 x  4 y  5 z  58.

2. Изобразить корни 4 степени из 1  i  3 на комплексной плоскости.
3. Проверить, что векторы a   3; 6; 2 , b   4; 1; 4  , c   2; 6; 5 образуют
базис и разложить вектор d   36; 63; 50  по этому базису.
4. Найти объем пирамиды, если известны координаты ее вершин
A  2; 1;3 , B  6; 4; 3 , C 3;6;4  , D  3; 6; 4  .
A  4, 13 , B  22, 9  , C  4,  7  . Найти
5. Даны вершины треугольника
координаты точки пересечения высоты CH и медианы BM .
6. Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду и
2
2
построить ее 9 x  16 y  36 x  96 y  252  0 .
7. Выполнить действия A  ( B  C )1  D , где
9 7 3
6 3 −1
−2 −2
1 −3 2
𝐴=[
] , 𝐵 = [2 3 3] , 𝐶 = [−4 2 −3] , 𝐷 = [−9 3 ]
5 0 8
7 1 9
3 3 4
−2 −1
8.
Решить
25
𝐵 = [ 30
−1
матричное
уравнение
2
27
−3 31 ]
−14 −5
X A B,
где
2
𝐴 = [5
3
3 3
−1 5],
3 4
9. Исследовав систему на совместность, найти ее общее решение методом
 x1  4 x2  3x3  x4  3

Гаусса 6 x1  24 x2  19 x3  x4  17
 x  4 x  2 x  8 x  20.
2
3
4
 1
10. Найти собственные значения, собственные и присоединенные векторы
матрицы линейного оператора. Найти вид этой матрицы в базисе из
3 4 4
собственных и присоединенных векторов
А =
[−1 5 1]
0 2 6
147
6. ЗАДАНИЯ ПО ТЕМЕ: ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ
УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
Примерный вариант заданий с решением
1. Решить уравнение 2(𝑥𝑦 + 𝑦) ∙ 𝑦′ + 𝑥(𝑦 4 + 1) = 0
2. Решить уравнение: 𝑦′ = 𝑒 𝑥+𝑦 + 2
3. Решить уравнение: (𝑥 2 + 2𝑥𝑦)𝑑𝑥 + 𝑥𝑦𝑑𝑦 = 0
4. Решить уравнение: 𝑦′ =
𝑥−𝑦+1
𝑥+𝑦−3
5. Решить задачу Коши 𝑦′ ∙ cos 2 𝑥 + 𝑦 = tg 𝑥, 𝑦(0) = 0
6. Решить уравнение: 𝑥𝑦′ + 𝑦 = 𝑦 2 ln 𝑥
7. Решить задачу Коши: 𝑦 = 𝑥𝑦′ + 𝑦′ ∙ ln 𝑦, 𝑦(0) = 1
8. Решить уравнение: 2𝑥(1 + √𝑥 2 − 𝑦)𝑑𝑥 − √𝑥 2 − 𝑦𝑑𝑦 = 0
9. Решить уравнение: (1 − 𝑥 2 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑥 2 (𝑦 − 𝑥)𝑑𝑦 = 0
10. В комнате, где температура 20 ℃, некоторое тело остыло за 20 мин от
100 до 60 ℃. Найти закон охлаждения тела и установить, через сколько
минут оно остынет до 30 ℃. Повышением температуры в комнате
пренебречь.
Решение
1. Для решения дифференциального уравнения Ι порядка с разделяющимися
переменными разделим переменные:
𝑑𝑦
2(𝑥 + 1)𝑦 ∙
= −𝑥(𝑦 4 + 1),
𝑑𝑥
2𝑦
𝑥𝑑𝑥
𝑑𝑦
=
−
𝑦4 + 1
𝑥+1
Интегрируем:
2𝑦𝑑𝑦
𝑥𝑑𝑥
∫ 4
= −∫
,
𝑦 +1
𝑥+1
𝑑𝑦 2
1
∫ 2 2
= − ∫ (1 −
) 𝑑𝑥,
(𝑦 ) + 1
𝑥+1
148
arctg 𝑦 2 = − 𝑥 + ln │𝑥 + 1│ + 𝑐, где с – произвольная постоянная.
В процессе разделения переменных, т.е. при делении на (𝑥 + 1)(𝑦 4 +
1), могло быть потеряно решение 𝑥 ≡ −1.
Легко проверить (подстановкой в исходное уравнение), что 𝑥 ≡ −1 не
является решением данного уравнения.
Ответ: arctg 𝑦 2 = ln │𝑥 + 1│ − 𝑥 + 𝑐.
2. Данное уравнение приводится к уравнению с разделяющимися
переменными с помощью замены:
𝑧 = 𝑥 + 𝑦,
𝑧 ′ = 1 + 𝑦 ′ ⇒ 𝑦 ′ = 𝑧 ′ − 1.
Тогда для функции 𝑧 = 𝑧(𝑥) получим уравнение с разделяющимися
переменными: 𝑧 ′ − 1 = 𝑒 𝑧 + 2,
𝑑𝑧
= 𝑒 𝑧 + 3,
𝑑𝑥
Интегрируем:
𝑑𝑧
= 𝑑𝑥
𝑒𝑧 + 3
𝑑𝑧
= ∫ 𝑑𝑥 (1)
𝑒𝑧 + 3
Найдем интеграл в левой части уравнения (1):
𝑒𝑧 = 𝑡
𝑑𝑧
𝑑𝑡
1 𝑑𝑡 1
𝑑𝑡
𝑧 = ln 𝑡
∫ 𝑧
=[
]
=
∫
=
∫
−
∫
=
𝑑𝑡
𝑒 +3
𝑡(𝑡 + 3) 3 𝑡
3 𝑡+3
𝑑𝑧 =
𝑡
1
1
z 1
= ln|t| − ln|t + 3| + с = − ln(ez + 3) + 𝑐
3
3
3 3
Возвращаясь в равенство (1), получаем:
𝑧 1
− ln(𝑒 𝑧 + 3) = 𝑥 + 𝑐
3 3
𝑧 − ln(𝑒 𝑧 + 3) = 3𝑥 + 𝑐
Делаем обратную замену:
∫
𝑥 + 𝑦 − ln(𝑒 𝑥+𝑦 + 3) = 3𝑥 + 𝑐 или
𝑦 = ln(𝑒 𝑥+𝑦 + 3) + 2𝑥 + 𝑐
Ответ: 𝑦 = ln(𝑒 𝑥+𝑦 + 3) + 2𝑥 + 𝑐.
149
3. Функции 𝑃(𝑥; 𝑦) = 𝑥 2 + 2𝑥𝑦 и 𝑄(𝑥; 𝑦) = 𝑥𝑦 – однородные второго
измерения.
Поэтому
данное
уравнение
дифференциальным уравнением Ι порядка.
является
однородным
Запишем уравнение в виде: 𝑥 2 + 2𝑥𝑦 + 𝑥𝑦 ∙ 𝑦 ′ = 0;
𝑥 2 + 2𝑥𝑦
𝑦 =−
𝑥𝑦
′
Сделаем замену
𝑦
𝑥
= 𝑢(𝑥) ⇒ 𝑦 = 𝑢 ∙ 𝑥, 𝑦 ′ = 𝑢′ 𝑥 + 𝑢. Тогда для функции
𝑢 = 𝑢(𝑥) получим уравнение с разделяющимися переменными:
1 + 2𝑢
𝑢′ 𝑥 + 𝑢 = −
,
𝑢
1 + 2𝑢 + 𝑢2
′
𝑢𝑥=−
,
𝑢
(1 + 𝑢)2
′
𝑢𝑥=−
𝑢
Разделяя переменные и интегрируя, имеем:
𝑢𝑑𝑢
𝑑𝑥
=
−
,
(1 + 𝑢)2
𝑥
𝑢𝑑𝑢
𝑑𝑥
∫
=
−
∫
(1)
(1 + 𝑢)2
𝑥
Найдем интеграл в левой части уравнения (1):
(𝑢 + 1) − 1
𝑑𝑢
𝑑𝑢
1
∫
𝑑𝑢
=
∫
−
∫
=
ln|1
+
𝑢|
+
+𝑐
(1 + 𝑢)2
1+𝑢
(1 + 𝑢)2
1+𝑢
Возвращаясь в равенство (1), получаем:
1
ln|1 + 𝑢| +
= − ln|𝑥| + 𝑐
1+𝑢
𝑥
Делаем обратную замену: ln|𝑥 + 𝑦| +
= 𝑐, c – произвольная постоянная,
𝑥+𝑦
кроме того, у уравнения есть особые решения 𝑥 ≡ 0; 𝑦 ≡ 0; 𝑦 ≡ −𝑥 ,
которые были потеряны при разделении переменных.
Ответ: ln|𝑥 + 𝑦| +
𝑥
𝑥+𝑦
= 𝑐, 𝑥 ≡ 0; 𝑦 ≡ 0; 𝑦 ≡ −𝑥.
4. Уравнение можно привести к виду однородного дифференциального
уравнения. Для этого предварительно решим систему:
150
𝑥 − 𝑦 + 1 = 0,
{
𝑥 + 𝑦 − 3 = 0;
𝑦 = 𝑥 + 1,
{
2𝑥 − 2 = 0;
𝑥 =1
{ 0
𝑦0 = 2
Сделаем замену:
𝑥 ∗ = 𝑥 − 𝑥0 = 𝑥 − 1, 𝑑𝑥 ∗ = 𝑑𝑥
𝑦 ∗ = 𝑦 − 𝑦0 = 𝑦 − 2, 𝑑𝑦 ∗ = 𝑑𝑦
Тогда уравнение примет вид:
𝑑𝑦 ∗ 𝑥 ∗ − 𝑦 ∗
=
𝑑𝑥 ∗ 𝑥 ∗ + 𝑦 ∗
Полученное уравнение является однородным дифференциальным
уравнением.
Выполним замену:
𝑑𝑦 ∗
𝑑𝑢
∗
∗
∗
𝑦 =𝑢∙𝑥 ,
=
𝑢
+
𝑥
𝑑𝑥 ∗
𝑑𝑥 ∗
Тогда для функции 𝑢 (𝑥 ∗ ) получим уравнение с разделяющимися
переменными:
𝑢 + 𝑥∗ ∙
𝑑𝑢
1−𝑢
=
𝑑𝑥 ∗ 1 + 𝑢
Отсюда, последовательно находим:
1−𝑢
1 − 2𝑢 − 𝑢2 ∗
∗
∗
𝑥 𝑑𝑢 = (
− 𝑢) 𝑑𝑥 ,
𝑥 𝑑𝑢 =
𝑑𝑥 ,
1+𝑢
1+𝑢
(1 + 𝑢)𝑑𝑢
𝑑𝑥 ∗
= ∗,
(1 − 2𝑢 − 𝑢2 )
𝑥
1 𝑑(1 − 2𝑢 − 𝑢2 ) 𝑑𝑥 ∗
−
= ∗
2 (1 − 2𝑢 − 𝑢2 )
𝑥
Интегрируя, получаем:
ln|1 − 2𝑢 − 𝑢2 | = −2 ln|𝑥 ∗ | + ln|𝑐|, 𝑐 – постоянная производная, с ≠ 0 или
∗
(1 − 2𝑢 − 𝑢2 ) ∙ (𝑥 ∗ )2 = 𝑐
Возвращаясь к исходным переменным, получаем общий интеграл
исходного уравнения:
(𝑥 ∗ )2 − 2𝑦 ∗ ∙ 𝑥 ∗ − (𝑦 ∗ )2 = 𝑐,
(𝑥 − 1)2 + 2(𝑥 − 1)(𝑦 − 2) − (𝑦 − 2)2 = 𝑐,
𝑥 2 − 2𝑥𝑦 − 𝑦 2 + 2𝑥 + 6𝑦 = 𝑐 + 7, 𝑐 + 7 = 𝑐1
151
(𝑥 − 𝑦)2 − 2𝑦 2 + 2𝑥 + 6𝑦 = 𝑐1
Ответ: (𝑥 − 𝑦)2 − 2𝑦 2 + 2𝑥 + 6𝑦 = 𝑐1 , с1 – произвольная постоянная.
5. Это линейное дифференциальное уравнение Ι порядка. Решим его
методом вариации произвольных постоянных. Для этого решаем сначала
соответствующее однородное уравнение:
𝑦 ′ ∙ cos 2 𝑥 + 𝑦 = 0
Разделив переменные, получим:
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=−
,
𝑦
cos 2 𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
∫
= −∫
,
𝑦
cos 2 𝑥
ln|𝑦| = ln|𝑐| − tg 𝑥 ,
𝑦 = 𝑐𝑒 −tg 𝑥
Будем искать решение исходного неоднородного уравнения в виде
𝑦 = 𝑐(𝑥)𝑒 −tg 𝑥 , где 𝑐(𝑥) – неизвестная функция.
Подставим в исходное уравнение:
𝑦 = 𝑐(𝑥)𝑒 −tg 𝑥 и 𝑦 ′ = 𝑢′ (𝑥)𝑒 −tg 𝑥 − 𝑐(𝑥)𝑒 −tg 𝑥 ∙
1
cos2 𝑥
Получим уравнение:
cos 2 𝑥 ∙ 𝑐 ′ (𝑥)𝑒 −tg 𝑥 − 𝑐(𝑥)𝑒 −tg 𝑥 + 𝑐(𝑥)𝑒 −tg 𝑥 = tg 𝑥,
𝑐 ′ (𝑥)cos 2 𝑥 ∙ 𝑒 −tg 𝑥 = tg 𝑥
Откуда
𝑒 tg𝑥 ∙ tg 𝑥
𝑐(𝑥) = ∫
𝑑𝑥 = ∫ 𝑒 tg 𝑥 ∙ tg𝑥𝑑(tg𝑥) = [tg𝑥 = 𝑡] =
2
cos 𝑥
Интегрирование по частям
𝑡
∫ 𝑒 𝑡 𝑑𝑡 = |
𝑢=𝑡
𝑑𝑢 = 𝑑𝑡 | =
𝑡
𝑑𝑣 = 𝑒 𝑑𝑡 𝑣 = 𝑒 𝑡
= 𝑡𝑒 𝑡 − ∫ 𝑒 𝑡 𝑑𝑡 = 𝑡𝑒 𝑡 − 𝑒 𝑡 + 𝑐 = 𝑒 tg𝑥 (tg𝑥 − 1) + 𝑐
Находим общее решение дифференциального уравнения:
𝑦 = tg𝑥 − 1 + 𝑐𝑒 −tg𝑥
Используя начальное условие 𝑦(0) = 0, найдем значение С:
0 = −1 + с,
откуда 𝑐 = 1
152
Получаем частное решение в виде:
𝑦 = tg𝑥 − 1 + 𝑒 −tg𝑥
Ответ: 𝑦 = tg𝑥 − 1 + 𝑒 −tg𝑥 .
6. Данное уравнение является уравнением Бернулли. Решим его методом
Бернулли. Запишем уравнение в стандартном виде:
𝑦
𝑦 ′ + = 𝑦 2 ln 𝑥
𝑥
′
Полагая, что 𝑦 = 𝑢(𝑥) ∙ 𝑣(𝑥), 𝑦 = 𝑢′ 𝑣 + 𝑢𝑣 ′ , имеем
𝑢𝑣
𝑢′ 𝑣 + 𝑢𝑣 ′ +
= 𝑢2 𝑣 2 ln 𝑥
𝑥
𝑣
или 𝑢′ 𝑣 + 𝑢 (𝑣 ′ + ) = 𝑢2 𝑣 2 ln 𝑥
𝑥
Разбиваем на два уравнения с разделяющимися переменными:
𝑣
𝑣 ′ + = 0 (𝑐 = 0)
(1)
𝑥
{
𝑢′ 𝑣 = 𝑢2 𝑣 2 ln 𝑥
(2)
Решаем уравнение (1):
𝑑𝑣
𝑣
=− ,
𝑑𝑥
𝑥
𝑑𝑣
𝑑𝑥
∫
= −∫ ,
𝑣
𝑥
ln|𝑣| = −ln|𝑥|,
1
𝑣=
𝑥
Решаем уравнение (2), подставляя в него найденную функцию 𝑣 =
1
1
= 𝑢2 2 ln 𝑥,
𝑥
𝑥
𝑑𝑢 ln 𝑥
=
𝑑𝑥
𝑢2
𝑥
Интегрируем полученное уравнение:
𝑢′ ∙
1 ln2 𝑥
− =
+ 𝑐1, ,
𝑢
2
𝑢=−
2𝑐1 = 𝑐
2
𝑢=− 2
ln 𝑥 + 𝑐
153
2
;
ln2 𝑥 + 2𝑐1
1
𝑥
Перемножая найденные функции 𝑢(𝑥) и 𝑣(𝑥), находим общее решение
исходного уравнения:
2
𝑥(ln2 𝑥 + 𝑐)
Кроме того, исходное уравнение имеет особое решение 𝑦 = 0.
𝑦=−
Ответ: 𝑦 = −
2
𝑥(ln2 𝑥+𝑐)
, где с – любое число и 𝑦 ≡ 0.
7. Будем считать 𝑦 независимой переменной (𝑦 > 0), а 𝑥 = 𝑥(𝑦) − искомой
функцией. Тогда 𝑦𝑥′ =
1
′
𝑥𝑦
и исходное уравнение запишем в виде:
𝑥 ln 𝑦
=
𝑦
𝑦
Полученное линейное уравнение относительно функции 𝑥(𝑦) решим
𝑦 ∙ 𝑥 ′ = 𝑥 + ln 𝑦
или
𝑥′ −
методом Бернулли.
Сделаем замену: 𝑥 = 𝑢(𝑦) ∙ 𝑣(𝑦) ⇒ 𝑥 ′ = 𝑢′ 𝑣 + 𝑢𝑣 ′ . Получим:
𝑢𝑣 ln 𝑦
𝑢′ 𝑣 + 𝑢𝑣 ′ −
=
,
𝑦
𝑦
𝑣
ln 𝑦
𝑢′ 𝑣 + 𝑢(𝑣 ′ − ) =
𝑦
𝑦
𝑣
Выберем одну конкретную функцию 𝑣 ≠ 0 так, чтобы 𝑣 ′ − = 0,
𝑦
В итоге получаем два уравнения с разделяющимися переменными:
𝑣
1) 𝑣 ′ − = 0
𝑦
2) 𝑢′ 𝑣 =
ln 𝑦
𝑦
1) Решаем первое уравнение:
𝑑𝑣 𝑑𝑦
= ,
𝑣
𝑦
𝑑𝑣
𝑑𝑦
∫
=∫ ,
𝑣
𝑦
ln|𝑣| = ln|𝑦|,
𝑣=𝑦
2) Решаем второе уравнение, подставляя в него найденную функцию 𝑣
154
𝑢′ 𝑦 =
ln 𝑦
,
𝑦
𝑢′ =
ln 𝑦
,
𝑦2
ln 𝑦
𝑑𝑦 ,
𝑦2
ln 𝑦
∫ 𝑑𝑢 = ∫ 2 𝑑𝑦 ,
𝑦
Проинтегрируем правую часть по частям:
𝑑𝑢 =
𝑑𝑦
ln 𝑦
𝑦
∫ 2 𝑑𝑦 =
=
1
1
𝑦
𝑑𝑣 = 2 𝑑𝑦 𝑣 = −
𝑦
𝑦]
[
ln 𝑦
𝑑𝑦
ln 𝑦 1
=−
+∫ 2 =−
− +𝑐
𝑦
𝑦
𝑦
𝑦
𝑢 = ln 𝑦
𝑑𝑢 =
Тогда
𝑢=−
1 + ln 𝑦
+𝑐
𝑦
Общее решение имеет вид:
1 + ln 𝑦
) , 𝑥 = 𝑦𝑐 − 1 − ln 𝑦
𝑦
Подставим в полученное общее решение начальное условие 𝑦(0) = 1
𝑥 = 𝑢𝑣 = 𝑦 (𝑐 −
0=𝑐−1⇒ 𝑐 =1
Частное решение имеет вид:
𝑥 = 𝑦 − 1 − ln 𝑦
Ответ: 𝑥 = 𝑦 − 1 − ln 𝑦.
8. Обозначим в исходном уравнении:
𝑃(𝑥; 𝑦) = 2𝑥 (1 + √𝑥 2 − 𝑦) ,
Найдем частные производные
𝜕𝑃
𝜕𝑦
и
𝑄(𝑥; 𝑦) = −√𝑥 2 − 𝑦
𝜕𝑄
𝜕𝑥
:
𝜕𝑃
2𝑥(−1)
𝑥
=
=−
𝜕𝑦 2√𝑥 2 − 𝑦
√𝑥 2 − 1
𝜕𝑄
1 ∙ 2𝑥
𝑥
=−
=−
𝜕𝑥
√𝑥 2 − 1]
2√𝑥 2 − 𝑦
155
=>
𝜕𝑃 𝜕𝑄
=
𝜕𝑦 𝜕𝑥
Следовательно, и исходное уравнение является уравнением в полных
дифференциалах. Найдем функцию 𝑢(𝑥; 𝑦), полный дифференциал которой
совпадает с левой частью исходного уравнения:
𝑑𝑢 = 2𝑥 (1 + √𝑥 2 − 𝑦) 𝑑𝑥 − √𝑥 2 − 𝑦𝑑𝑦,
а так как 𝑑𝑢 = 0, то 𝑢(𝑥; 𝑦) = 𝑐 – общий интеграл данного уравнения.
Для поиска функции 𝑢(𝑥; 𝑦) решим систему:
𝜕𝑢
= 2𝑥 (1 + √𝑥 2 − 𝑦)
𝜕𝑥
𝜕𝑢
= −√𝑥 2 − 𝑦
𝜕𝑦
{
1)
Проинтегрируем первое уравнение системы по переменной 𝑥
𝑢(𝑥; 𝑦) = ∫ 2𝑥 (1 + √𝑥 2 − 𝑦) 𝑑𝑥 = 2 ∫ 𝑥𝑑𝑥 + ∫ √𝑥 2 − 𝑦 ∙ 2𝑥 𝑑𝑥 =
2)
2
= 𝑥 2 + ∫ √𝑥 2 − 𝑦 𝑑𝑥 2 = 𝑥 2 + √(𝑥 2 − 𝑦)3 + 𝜑(𝑦)
3
Подставим найденную функцию 𝑢(𝑥; 𝑦) во второе уравнение системы
для нахождения функции 𝜑(𝑦)
𝜕𝑢
= −√𝑥 2 − 𝑦 + 𝜑′(𝑦)
𝜕𝑦
−√𝑥 2 − 𝑦 + 𝜑 ′ (𝑦) = −√𝑥 2 − 𝑦
Следовательно, 𝜑 ′ (𝑦) = 0 ⇒ 𝜑(𝑦) = 𝑐1
2
Искомая функция 𝑢(𝑥; 𝑦) имеет вид: 𝑢(𝑥; 𝑦) = 𝑥 2 + √(𝑥 2 − 𝑦)3 + с1
3
Итак, общий интеграл исходного уравнения может быть написан в виде:
2
𝑥 2 + √(𝑥 2 − 𝑦)3 = 𝑐
3
2
Ответ: 𝑥 2 + √(𝑥 2 − 𝑦)3 = 𝑐
3
9. Обозначим в исходном уравнении:
𝑃(𝑥; 𝑦) = 1 − 𝑥 2 𝑦,
Найдем частные производные
𝑄(𝑥; 𝑦) = 𝑥 2 (𝑦 − 𝑥)
𝜕𝑃
𝜕𝑦
и
𝜕𝑄
𝜕𝑥
:
𝜕𝑃
= −𝑥 2
𝜕𝑦
156
𝜕𝑄
= 2𝑥(𝑦 − 𝑥) − 𝑥 2 = 2𝑥𝑦 − 3𝑥 2
𝜕𝑥
Откуда получаем:
𝜕𝑃 𝜕𝑄
−
2𝑥(𝑦 − 𝑥)
2
𝜕𝑦 𝜕𝑥 −𝑥 2 − 2𝑥𝑦 + 3𝑥 2
=
=
−
=
−
𝑄
𝑥 2 (𝑦 − 𝑥)
𝑥 2 (𝑦 − 𝑥)
𝑥
2
Данная дробь является функцией только переменной 𝑥: 𝑓(𝑥) = − .
𝑥
Следовательно, исходное уравнение имеет интегрирующий множитель,
зависящий только от 𝑥, который вычисляют по формуле: 𝜇(𝑥) = 𝑒 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
1
2𝑑𝑥
1
ln
𝜇(𝑥) = 𝑒 − ∫ 𝑥 = 𝑒 −2 |ln| 𝑥 = 𝑒 𝑥 2 = 2
𝑥
Умножив данное уравнение на 𝜇(𝑥), получим уравнения в полных
дифференциалах:
(
1
− 𝑦) 𝑑𝑥 + (𝑦 − 𝑥)𝑑𝑦 = 0 (1)
𝑥2
Обозначим:
𝑃1 (𝑥; 𝑦) =
1
− 𝑦,
𝑥2
𝑄1 (𝑥; 𝑦) = 𝑦 − 𝑥
Находим
𝜕𝑃1
𝜕𝑄1
𝜕𝑃1
𝜕𝑄1
= −1 и
= −1 =>
=
𝜕𝑦
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑥
Найдем функцию 𝑢(𝑥; 𝑦), для которой полный дифференциал имеет вид:
1
𝑑𝑢 = ( 2 − 𝑦) 𝑑𝑥 + (𝑦 − 𝑥)𝑑𝑦
𝑥
Составим систему:
𝜕𝑢
1
= 2−𝑦
𝜕𝑥 𝑥
𝜕𝑢
=𝑦−𝑥
{ 𝜕𝑦
Из первого уравнения системы находим:
1
1
𝑢(𝑥; 𝑦) = ∫ ( 2 − 𝑦) 𝑑𝑥 = − − 𝑦𝑥 + 𝜑(𝑦)
𝑥
𝑥
Следовательно,
𝜕𝑢
= −𝑥 + 𝜑 ′ (𝑦)
𝜕𝑦
157
И с учетом второго уравнения системы имеем:
−𝑥 + 𝜑 ′ (𝑦) = 𝑦 − 𝑥
𝜑 ′ (𝑦) = 𝑦
𝑦2
𝜑(𝑦) =
+ 𝑐1
2
Следовательно
1
𝑦2
𝑢(𝑥; 𝑦) = − − 𝑦𝑥 +
+ 𝑐1
𝑥
2
Тогда общий интеграл исходного уравнения имеет вид:
𝑢(𝑥; 𝑦) = 𝑐
т.е.
1
𝑦2
𝑥
2
− − 𝑦𝑥 +
= 𝑐, с – произвольная постоянная
Кроме того необходимо проверить, не обращается ли функция 𝜇(𝑥) в ноль
и существует ли она при всех значениях 𝑥. Проверка показывает, что 𝑥 ≡ 0
также является особым решением исходного уравнения.
Ответ:
𝑦2
2
1
− − 𝑦𝑥 = 𝑐, 𝑥 ≡ 0, 𝑐 − произвольная постоянная.
𝑥
10. На основании закона Ньютона (скорость охлаждения
пропорциональна разности температур) можем записать:
𝑑𝑇
= 𝐾(𝑇 − 20) ,
𝑑𝑡
Разделим переменные:
𝑑𝑡
= 𝐾𝑑𝑡,
𝑇 − 20
Проинтегрируем уравнение:
𝑑𝑇
∫
= ∫ 𝐾𝑑𝑡,
𝑇 − 20
ln|𝑇 − 20| = 𝐾𝑡 + 𝐶1,
тела
𝑇 − 20 = 𝐶𝑒 𝐾𝑡
Если 𝑡 = 0, то 𝑇 = 100 ℃ отсюда 𝐶 = 80 , т. е. 𝑇 − 20 = 80𝑒 𝑘𝑡
1
Если 𝑡 = 20, то 𝑇 = 60 ℃ , следовательно 60 − 20 = 80𝑒 20𝑘 , или 𝑒 20𝑘 = ,
2
1
1
20𝐾 = ln ,
𝐾 = − ln 2
2
20
158
Итак, закон охлаждения тела имеет вид:
𝑇 − 20 =
𝑇 = 30 ℃
При
образом,
𝑡
20
𝑡
80𝑒 −20 ln 2
𝑡
1 ⁄20
или 𝑇 = 20 + 80 ( )
2
1
𝑡⁄
20
имеем 10 = 80 ( )
2
1
𝑡⁄
20
или ( )
2
,
1
= ,
8
таким
= 3, 𝑡 = 60 мин.
𝑡
Ответ: Закон охлаждения тела Т = 20 + 80 ∙ 2−20 , тело остынет до 30 оС
за 60 минут.
Варианты заданий для самостоятельного решения (1–30)
Вариант 1
1. 4 xdx  3 ydy  3x ydy  2 xy dx .
2
2
2. 𝑦 ′ = (𝑥 − 𝑦)2 + 1.
3. y 
4. 𝑦 ′ =
y2
y

4
 2.
x2
x
𝑥+𝑦−2
𝑦−𝑥−4
.
y
 x 2 , y(1)  0 .
x
5.
y 
6.
y  xy  (1  x)e x y 2 , y(0)  1 .
7. 𝑦 ′ =
1
𝑥 cos 𝑦+sin 2𝑦
.
2 y
3 y
8. 3x e dx  ( x e  1)dy  0 .
9. (𝑥𝑦 2 − 𝑦 3 )𝑑𝑥 + (1 − 𝑥𝑦 2 )𝑑𝑦 = 0
10. Моторная лодка движется со скоростью v  18 км/ч. Через 5 минут после
выключения мотора v  6 км/ч. Найти путь, пройденный лодкой по
инерции за 15 минут, если сопротивление пропорционально скорости
лодки.
Вариант 2
1.
x 1  y 2  yy 1  x 2  0 .
159
1
2.
𝑦 ′ = 𝑒 2𝑥+4𝑦 ─ .
3.
3 y  2 yx 2
.
xy 
2 y 2  x2
4.
𝑦′ =
5.

y  yctg x  2 x sin x , y ( )  0 .
2
6.
xy  y  2 y 2 ln x , y (1)  .
7.
( y 4 e y  2 x) y'  y , y(0)  1.
8.
(3x 2 
9.
10.
(𝑦 2 − 2𝑥 − 2)𝑑𝑥 + 2𝑦𝑑𝑦 = 0.
2
3
𝑥+4𝑦−5
6𝑥−𝑦−5
.
1
2
2
2x
2x
2x
cos )dx  2 cos dy  0 .
y
y
y
y
Найти уравнение кривой, проходящей через точку М(0;1), если длина
отрезка, отсекаемого любой ее касательной на оси Oy , равна
поднормали.
Вариант 3
1.
4  y 2 dx  ydy  x 2 ydy .
2. 𝑦 ′ =
3. y 
4. 𝑦 ′ =
1
ln(2𝑥+𝑦)
− 2.
x y
.
x y
𝑦+2
2𝑥+𝑦−4
.
1
5. y  ycos x  sin 2 x , y(0)  0 .
2
6. 2( xy  y)  xy 2 , y(1)  2 .
7. y 2 dx  ( xy  1)dy  0 , y(1)  e .
8. (3x 2  4 y 2 )dx  (8xy  e y )dy  0 .
9. (2𝑦 + 𝑥𝑦 3 )𝑑𝑥 + (𝑥 + 𝑥 2 𝑦 2 )𝑑𝑦 = 0
160
10. Известно, что скорость охлаждения тела в воздухе пропорционально
разности температур тела (t ) и воздуха. Найти (t ) , если за 10 минут
температура тела снизилась от 100 до 60о С, а температура воздуха была
постоянной, равной 20о С.
Вариант 4
1.
3  y 2 dx  ydy  x 2 ydy .
2. 𝑦 ′ = (2𝑥+𝑦)
5
sin(2𝑥+𝑦+1)
− 2.
3. xy  x 2  y 2  y .
4. 𝑦 ′ =
𝑥+𝑦−2
.
3𝑥−𝑦−2
 1
y  y tg x  cos2 x , y ( )  .
4
2
6. y  4 x3 y  4( x3  1)e4 x y 2 , y(0)  1.
5.
7. 2(4 y 2  4 y  x) y  1, y(0)  0 .
y
1
)dx  (2 y  )dy  0 .
2
x
x
9. 𝑦 2 𝑑𝑥 + (𝑥𝑦 − 1)𝑑𝑦 = 0.
10. Найти уравнение кривой, проходящей через точку М(0;2), если угловой
коэффициент касательной, проведенной в любой точке этой кривой,
равен сумме координат точки касания.
8. (2 x  1 
Вариант 5
1. 6 xdx  6 ydy  2 x 2 ydy  3xy 2 dx .
2. 𝑦 ′ =
2
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(4𝑥+𝑦)
− 4.
y2
y
3. 2 y  2  6  3 .
x
x
4. 𝑦 ′ =
𝑥+3𝑦−4
5. y' 
y
3
 x 2  2 x , y (1)  .
x2
2
.
5𝑥−𝑦−4
161
6. xy  y   y 2 (ln x  2)ln x , y(1)  1 .
1 
7. (cos2 y  cos2 y  x) y  sin y  cos y , y ( )  .
4 3
2
8. ( y 
y
)dx  (2 xy  tg x)dy  0 .
cos2 x
9. 𝑦 2 𝑑𝑥 − (𝑥𝑦 + 𝑥 3 )𝑑𝑦 = 0.
10. Парашютист, масса которого m , совершает прыжок. В процессе
движения на парашютиста действуют сила тяжести и сила сопротивления
воздуха, пропорциональная скорости движения: kv . Найти скорость
парашютиста в произвольный момент полета.
Вариант 6
1. x 3  y 2 dx  y 2  x 2 dy  0 .
2. 𝑦 ′ = 3𝑥 − 2𝑦 + 1.
3 y 3  4 yx 2
3. xy 
.
2 y 2  2 x2
4. 𝑦 ′ =
2𝑥+𝑦+1
5. y 
1
y  e x ( x  1) , y(0)  1.
x 1
𝑥+2𝑦−1
.
6. 2( y  xy)  (1  x)e x y 2 , y(0)  2 .
7. ( x cos2 y  y 2 ) y  y cos2 y , y ( ) 

4
.
8. (3x 2 y  2 y  3)dx  ( x 3  2 x  3 y 2 )dy  0 .
9. (𝑥 cos 𝑦 − 𝑦 sin 𝑦)𝑑𝑦 + (𝑥 sin 𝑦 + 𝑦 cos 𝑦)𝑑𝑥 = 0.
10. Замедляющее действие трения на вращающийся в жидкости диск
пропорционально угловой скорости  (t ) . Найти  (t ) , если известно, что
за 25 секунд с начала движения угловая скорость снизилась со 100 до 50
об./с.
Вариант 7
1. (e 2 x  5)dy  ye 2 x dx  0 .
162
2. 𝑦 ′ = sin(𝑦 − 𝑥).
3. y 
4. 𝑦 ′ =
5.
y 
x  2y
.
2x  y
𝑥+𝑦−8
3𝑥−𝑦−8
.
y

 x  sin x , y ( )  1 .
x
2
2
6. 3( xy  y)  y ln x , y(1)  3 .
y
7. e (dx  2 xydy )  ydy , y(0)  0 .
2
8. (
x
x2  y2

1 1
y
1 x
 )dx  ( 2

 2 )dy  0 .
x y
x  y2 y y
9. 𝑦√1 − 𝑦 2 𝑑𝑥 + (𝑥√1 − 𝑦 2 + 𝑦)𝑑𝑦 = 0.
10. Через 12 часов после начала опыта численность некоторой популяции
бактерий возросла в 3 раза. Во сколько раз увеличится число бактерий
через трое суток? Скорость размножения бактерий пропорциональна их
количеству.
Вариант 8
1.
yy 1  x 2  1  y 2  0 .
2.
𝑦 ′ = (𝑥 + 𝑦 + 1)2 .
3.
xy  2 x 2  y 2  y .
4.
𝑦′=
5.
y 
6.
2 y  y cos x  y 1  cos x(1  sin x) , y(0)  1.
7.
(104 y3  x) y  4 y , y(8)  1 .
8.
(sin 2 x  2 cos(x  y))dx  2 cos(x  y)dy  0 .
9.
10.
(𝑥 2 + 𝑦)𝑑𝑥 − 𝑥𝑑𝑦 = 0
𝑥+3𝑦+4
3𝑥−6
.
y
 sin x , y ( )  1 .
x

Известно, что скорость распада радия пропорциональна его наличному
количеству и что половина его первоначального количества (a)
163
распадется в течение 1600 лет. Определить, какой процент данного
количества (a) радия распадется в течение 100 лет.
Вариант 9
1. 6 xdx  6 ydy  3x 2 ydy  2 xy 2 dx .
2. 𝑦 ′ = cos 2 (𝑥 − 𝑦).
y2
y
3. 3 y  2  8  4 .
x
x
4. 𝑦 ′ =
3𝑦+3
2𝑥+𝑦−1
.
y
 x 2 , y(1)  1 .
2x
5.
y 
6.
y  4 x3 y  4 y 2e4 x (1  x3 ) , y(0)  1 .
3
7. dx  ( xy  y )dy  0 , y(1)  0 .
x
x2
2
8. ( xy  2 )dx  ( x y  3 )dy  0 .
y
y
2
9.
𝑦
𝑥
𝑑𝑥 + (𝑦 3 − ln 𝑥)𝑑𝑦 = 0.
10. Моторная лодка движется со скоростью v  20 км/ч. Через 6 минут после
выключения мотора скорость v  5 км/ч. Найти путь, пройденный лодкой
по инерции за 15 минут, если сопротивление пропорционально скорости
лодки.
Вариант 10
1. x 5  y 2 dx  y 4  x 2 dy  0 .
2. 𝑦 ′ = √2𝑥 + 𝑦 + 1.
3 y 3  6 yx 2
3. xy 
.
2 y 2  3x 2
4. 𝑦 ′ =
5. y 
𝑥+2𝑦−3
4𝑥−𝑦−3
.
2x
2 x2
2
y

y
(
0
)

,
.
1  x2
1  x2
3
164
6. 3 y  2 xy  2 xy 2e2 x , y(0)  1.
2
7. (3 y cos2 y  2 y 2 sin 2 y  2 x) y  y , y (16) 

4
.
1 3y2
2y
8. ( 2  4 )dx  3 dy  0 .
x
x
x
𝑥
9. (
+ 1) 𝑑𝑥 + (𝑥ctg𝑦 + 1)𝑑𝑦 =0.
sin 𝑦
10. Найти такую кривую, проходящую через точку М(0;3), чтобы угловой
коэффициент касательной в любой ее точке равнялся ординате этой
точки, уменьшенной на 2 единицы.
Вариант 11
1.
y(4  e x )dy  e x dx  0 .
2. 𝑦 ′ = (10𝑥 + 5𝑦 + 1)3 .
x 2  xy  y 2
.
x 2  2 xy
3. y 
4. 𝑦 ′ =
5.
y 
𝑥+5𝑦−6
7𝑥−𝑦−6
.
2x  5
y  5 , y(2)  4 .
x2
6. 2 xy  3 y  (5x 2  3) y 3 , y (1) 
1
.
2
7. 8(4 y 3  xy  y) y  1, y(0)  0 .
8.
y
y
1
y
cos dx  ( cos  2 y )dy  0 .
2
x
x
x
x
ln 𝑦
9. (
𝑦
− 5𝑦 sin 5𝑥) 𝑑𝑥 + (
𝑥
𝑦2
10. Замедляющее
действие
+ 2 cos 5𝑥) 𝑑𝑦 = 0.
на
диск,
вращающийся
в
жидкости,
пропорционально угловой скорости  (t ) . Найти  (t ) , если известно, что
за 30 секунд с начала движения угловая скорость снизилась со 150 до 30
об./с.
Вариант 12
1.
4  x 2 y  xy 2  x  0 .
165
2.
𝑦 ′ = (𝑥 + 𝑦)10 − 1.
3.
xy  2 x 2  y 2  y .
4.
𝑦′ =
5.
y 
6.
3xy  5 y  (4 x  5) y 4 , y(1)  1.
7.
(2 ln y  ln 2 y)dy  ydx  xdy , y(4)  e 2 .
8.
(
9.
10.
𝑥𝑦 2 (𝑥𝑦 ′ + 𝑦) = 1.
Известно, что скорость охлаждения тела в воздухе пропорционально
разности температур тела ((t )) и воздуха. Найти (t ) , если за 20
3𝑦−2𝑥+1
3𝑥+3
.
y x 1 x

e , y(1)  e .
x
x
x
x y
2
2
 y )dx  ( x 
y
x y
2
2
)dy  0 .
минут температура тела снизилась от 150 до 50о С, а температура
воздуха была постоянной, равной 25о С.
Вариант 13
1. 2 xdx  2 ydy  x 2 ydy  2 xy 2 dx .
2. 𝑦 ′ = 𝑒 𝑥+2𝑦 .
y2
y
3. y  2  6  6 .
x
x
4. 𝑦 ′ =
5. y 
𝑦+2
2𝑥+𝑦−4
.
y
ln x
, y(1)  1 .
 2
x
x
6. 2 y  3 y cos x  e2 x (2  3cos x) y 1 , y(0)  1 .
7. 2( x  y 4 ) y  y , y(2)  1.
8.
1  xy
1  xy
dx

dy  0 .
x2 y
xy 2
9. (2𝑥 3 + 5𝑦)𝑦 ′ = 𝑦 3 + 3𝑥 2 𝑦.
166
10. Найти уравнение кривой, проходящей через точку М(1;2), если ее
подкасательная вдвое больше абсциссы точки касания.
Вариант 14
1. x 4  y 2 dx  y 1  x 2 dy  0 .
2. 𝑦 ′ = (8𝑥 + 2𝑦 + 1)2 .
3. xy 
3 y 3  8 yx 2
.
2 y 2  4 x2
4. 𝑦 ′ =
𝑥+6𝑦−7
5. y 
y
12
  3 , y(1)  4 .
x
x
8𝑥−𝑦−7
.
6. 3( xy  y)  xy 2 , y(1)  3 .
1
4
7. y 3 ( y  1)dx  3xy 2 ( y  1)dy  ( y  2)dy , y ( )  2 .
dx x  y 2

dy  0 .
8.
y
y2
9. (𝑥 + 𝑒 −2𝑥 + 𝑦 2 )𝑑𝑥 + 𝑦𝑑𝑦 = 0.
10. Сила тока i (t ) в цепи с сопротивлением R , самоиндукцией L и
di
электродвижущей силой E удовлетворяет уравнению: L  Ri  E .
dt
Найти i (t ) , считая L и R постоянными, а E  kt и i(0)  0 .
Вариант 15
1.
(e x  8)dy  ye x dx  0 .
2.
𝑦 ′ = sin2 (𝑦 − 𝑥).
3.
y 
4.
𝑦′ =
5.
y 
x 2  2 xy  y 2
.
2 x 2  2 xy
6𝑦−6
5𝑥+4𝑦−9
.
2
y  x3 , y (1)   5 .
x
6
167
6.
1
y  y  2 xy 2 , y (0)  .
2
1
y
7.
2 y 2 dx  ( x  e )dy  0 , y(e)  1 .
8.
y
xy  1
dx 
dy  0 .
2
x
x
9.
( 𝑥 − 𝑥 3 ) 𝑑𝑥 + (𝑦 − 𝑥 2) 𝑑𝑦 = 0.
10.
Известно, что скорость распада радия пропорциональна его наличному
количеству и что половина его первоначального количества (a)
𝑦2
2𝑦
1
распадется в течение 1600 лет. Определить, какой процент данного
количества (a) радия распадется в течение 200 лет.
Вариант 16
1.
5  y 2  y ' y 1  x2  0
2
2. 𝑦 ′ = (2𝑥−𝑦)2 .
3. xy '  3 x 2  y 2  y .
4. 𝑦 ′ =
5. y '
2𝑥+𝑦−1
2𝑥−2
.
y
 3x, y(1) =1.
x
6. 2 xy ' 3 y  (20 x 2  12) y 3 , y (1)  1 .
2 2
7. ( xy  y )dy  y 2dx  0, y ( 1 )  4 .
2
y
1
)
dx

dy  0 .
x2
x
9. (𝑥 2 − 𝑦)𝑑𝑦 + 𝑥(𝑦 − 1)𝑑𝑥 = 0.
10. Моторная лодка движется со скоростью v=24 км/ч. Через 5 минут после
выключения мотора v = 6 км/ч. Найти путь, пройденный лодкой по
инерции за 10 минут, если сопротивление пропорционально скорости
лодки.
x
8. ( xe 
168
Вариант 17
1.
6 xdx  ydy  yx2dy  3xy 2dx .
2.
𝑦′ =
3.
2 y 
4.
𝑦′ =
5.
y '
6.
7.
8.
𝑒 𝑥+𝑦
𝑥+𝑦−4
− 1.
y2
y

8
 8.
x2
x
𝑥+𝑦−4
𝑥−2
.
2 xy
 1  x 2 , y(1)  3
2
1 x
y'2 xy  2 x 3 y 3 , y(0)  2
1 
sin 2 ydx  (sin 2 2 y  2sin 2 y  2 x)dy, y( ) 
2
4
1
x cos y
(10 xy 
)dx  (5 x 2 
 y 2 sin y 3 )dy  0 .
2
sin y
sin y
9. 𝑦𝑑𝑥 − (𝑥 + 𝑦 2 )𝑑𝑦 = 0.
10. По закону Ньютона скорость охлаждение какого-либо тела в воздухе
пропорционально разности между температурой Т тела и температурой
воздуха Т0. Если температура воздуха равна 18о С и тело в течение
получаса охлаждается от 120 до 40о С, то через сколько времени его
температура понизится до 25о С.
Вариант 18
1. y ln y  xy '  0 .
2. 𝑦 ′ = cos(𝑦 − 𝑥).
3. xy ' 
4. 𝑦 ′ =
5. y ' 
3 y 3  10 yx 2
.
2 y 2  5x2
2𝑥+𝑦−3
2𝑥−2
.
2x  1
y  1, y(1)  1 .
x2
6. xy ' y  y 2 ln x, y(1)  1.
7. ( y 2  2 y  x) y '  1, y(2)  0 .
169
8. (
y
xdy
x

e
)
dx

 0.
x2  y 2
x2  y 2
9. (1 + 3𝑥 2 sin 𝑦)𝑑𝑥 − 𝑥ctg𝑦𝑑𝑦 = 0.
10. Замедляющее действие трения на вращающийся в жидкости диск
пропорционально угловой скорости 𝜔. Найти 𝜔(𝑡), если известно, что
за 20 секунд с начала движения угловая скорость снизилась с 200 до 50
об./с.
Вариант 19
1. (1  e x ) y '  ye x .
2. 𝑦 ′ =
ln(3𝑥+𝑦)2
− 3.
x 2  3xy  y 2
.
3x 2  2 xy
3. y ' 
4. 𝑦 ′ =
5. y '
(3𝑥+𝑦)2
2𝑥+𝑦−3
4𝑥−4
.
3y 2
 , y (1)  1.
x x3
6. 2 y ' 3 y cos x  (8  12cos x)e2 x y 1, y(0)  2 .
7. 2 y y dx  (6 x y  7)dy  0, y(4)  1.
8. e y dx  (cos y  xe y )dy  0 .
9. (𝑥 cos 𝑦 − 𝑦 sin 𝑦)𝑑𝑦 + (𝑥 sin 𝑦 + 𝑦 cos 𝑦)𝑑𝑥 = 0
10. Известно, что скорость охлаждения тела в воздухе пропорциональна
разности температур тела (T(t)) и воздуха. Найти T(t), если за 15 минут
температура тела снизилась от 200 до 5 о С, а температура воздуха была
постоянной 25о С.
Вариант 20
1.
1  x 2 y ' xy 2  x  0 .
2. 𝑦 ′ = (𝑥 + 𝑦)2 .
3. xy '  3 2 x 2  y 2  y .
170
4. 𝑦 ′ =
𝑥+𝑦+2
𝑥+1
.
5. y ' 2 xy  2 x3 , y(1)  e1 .
6. 4 y'  x 3 y  ( x 3  8)e 2 x y 2 ; y(0)  1.

7. dx  (sin y  3cos y  3x)dy, y(e 2 ) 

2
.
8. ( y3  cos x)dx  (3xy 2  e y )dy  0 .
9. 𝑒 −𝑦 𝑑𝑥 + (2 − 𝑥𝑒 −𝑦 )𝑑𝑦 = 0.
10. Найти уравнение кривой, проходящей через точку М(0;3), если
подкасательная в любой точке равна сумме абсциссы точки касания и
расстояния от начала координат до точки касания.
Вариант 21
1. 6 xdx  2 ydy  2 yx 2dy  3xy 2dx .
2. 𝑦 ′ = tg 2 (𝑦 − 𝑥) + 2.
y2
y
3. y '  2  8  12 .
x
x
4. 𝑦 ′ =
𝑥+4𝑦−5
5. y '
xy
x
2
 , y (0)  .
2
2(1  x ) 2
3
6𝑥−𝑦−5
.
6. 8xy ' 12 y  (5 x2  3) y3 , y(1)  2 .
3 5
7. 2(cos 2 y cos 2 y  x) y '  sin 2 y, y( ) 
.
2
4
8. xe y dx  ( x 2 ye y  tg 2 y)dy  0 .
2
2
𝑦
1
2𝑦
9. (1 + 2) 𝑑𝑥 + ( + 2 ) 𝑑𝑦 = 0.
𝑥
𝑥
𝑥
10. Моторная лодка движется со скоростью 15 км/ч. Через 10 минут после
выключения мотора скорость стала 3 км/ч. Найти путь, пройденный
лодкой по инерции за 20 минут, если сопротивление пропорционально
скорости лодки.
171
Вариант 22
1. y(1  ln y)  xy '  0 .
2. 𝑦 ′ = √𝑥 + 𝑦 + 5.
3. xy' 
4. 𝑦 ′ =
3 y 3  12 yx 2
.
2 y 2  6x2
5𝑦+5
4𝑥+3𝑦−1
.
5. y ' xy   x3 , y(0)  3 .
6. 2( y ' y)  xy 2 , y(0)  2 .

e y  e y
e y  e y 
dy, y (1)  ln 2 .
7.
dx  1  x 
2
2


8. (5xy 2  x3 )dx  (5x 2 y  y)dy  0 .
9. (𝑥 2 − sin2 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑥 sin 2𝑦𝑑𝑦 = 0.
10. При брожении скорость прироста действующего фермента
пропорциональна его массе. Через 2 часа после начала брожения масса
фермента составила 6 г, а после 6 часов – 24 г. Какова была
первоначальная масса фермента?
Вариант 23
1. (3  e x ) yy '  e x .
2. 𝑦 ′ = 2𝑥 − 𝑦 + 4.
x 2  xy  3 y 2
3. y ' 
.
x 2  4 xy
4. 𝑦 ′ =
5. y '
3𝑥+2𝑦−1
𝑥+1
.
2
y  e x ( x  1)2 , y (0)  1 .
x 1
6. y ' xy  ( x  1)e x y 2 , y(0)  1.
7. (13 y3  x) y '  4 y, y(5)  1.
8. (cos( x  y 2 )  sin x)dx  2 y cos( x  y 2 )dy  0 .
9. (𝑥 − 2𝑥𝑦 − 𝑦 2 )𝑑𝑦 + 𝑦 2 𝑑𝑥 = 0.
172
10. Замедляющее действие трения на вращающийся в жидкости диск
пропорционально угловой скорости 𝜔. Найти 𝜔(𝑡), если известно, что
за 15 секунд с начала движения угловая скорость снизилась от 250 до
125 об./с.
Вариант 24
3  y 2  1  x 2 yy '  0 .
1.
2. 𝑦 ′ = (𝑥 − 𝑦)2 + 5.
3. xy '  2 3x 2  y 2  y .
4. 𝑦 ′ =
𝑥+2𝑦−3
𝑥−1
.
5. y ' 2 xy  xe x sin x, y(0)  1 .
2
6. 2 y ' 3 y cos x  e2 x (2  3cos x) y 1, y(0)  1 .

7. y 2 ( y 2  4)dx  2 xy ( y 2  4)dy  2dy, y( )  2 .
8
8.
𝑦
𝑥2
𝑦
1
𝑦
𝑥
1
𝑥
𝑥
cos 𝑑𝑥 − ( cos + 2𝑦) 𝑑𝑦 = 0.
9. (1 + 𝑥𝑦 3 ) 𝑑𝑥 + (𝑥 + 𝑥 2 𝑦 2 )𝑑𝑦 = 0.
3
10. Известно, что скорость охлаждения тела в воздухе пропорциональна
разности температур тела (T(t)) и воздуха. Найти T(t), если за 10 минут
температура тела снизилась от 100 до 65о С, а температура воздуха была
постоянной 30о С.
Вариант 25
2
2
1. xdx  ydy  yx dy  xy dx .
2. 𝑦 ′ = ctg 2 (2𝑦 − 6𝑥) + 3.
y2
y
3. 4 y '  2  10  5 .
x
x
4. y ′ =
5. y '
𝑦−2𝑥+3
𝑥−1
.
2y
1
 ( x  1)3 , y (0)  .
x 1
2
173
6. y ' y  xy 2 , y(0)  1 .
7. ( x  ln 2 y  ln y) y ' 
y
, y(2)  1.
2
1
1
8. (sin y  y sin x  )dx  ( x cos y  cos x  )dy  0 .
x
y
9. (2𝑥𝑦 + 𝑥 2 𝑦 +
𝑦3
3
) 𝑑𝑥 + (𝑥 2 + 𝑦 2 )𝑑𝑦 = 0.
10. Известно, что скорость распада радия пропорциональна его наличному
количеству и что половина его первоначального количества (a)
распадается в течение 1600 лет. Определить, какой процент данного
количества (a) радия распадется в течение 400 лет.
Вариант 26
1.
5  y 2 dx  4( x 2 y  y )dy  0 .
8
2. 𝑦 ′ = (𝑥+𝑦)3.
3 y 3  14 yx 2
3. xy ' 
.
2 y 2  7 x2
4. 𝑦 ′ =
𝑥+3𝑦−4
.
5𝑥−𝑦−4
5. y ' y cos x   sin 2 x, y(0)  3 .
6. y ' y  xy 2 , y(0)  1 .
3 
7. ydx  (2 x  2sin 2 y  y sin 2 y)dy  0, y( )  .
2
4
x
x
1 y
x y
8. (1  e )dx  (1  2 e )dy  0 .
y
y
9. (𝑥 2 + 𝑦 2 + 2𝑥)𝑑𝑥 − 2𝑦𝑑𝑦 = 0.
10. Найти уравнение кривой, проходящей через точку М(1;0), если длина
отрезка оси абсцисс, отсекаемой ее нормалью, на 2 единицы больше
абсциссы точки касания.
174
Вариант 27
1. (1  e x ) yy '  e x .
2. 𝑦 ′ = 3√3𝑥 − 𝑦 + 2.
3.
x 2  xy  5 y 2
.
y' 
x 2  6 xy
4. 𝑦 ′ =
4𝑦−8
3𝑥+2𝑦−7
.
3
5. y ' 4 xy  4 x , y (0) 
1
.
2
6. 2( xy ' y)  y 2 ln x, y(1)  2 .
1
7. (2 xy  y )dy  2 y 2dx  0, y( )  1 .
2
( x  y )dx  ( x  y )dy
 0.
8.
x2  y 2
9. (𝑒 𝑦 + sin𝑥)𝑑𝑥 + cos𝑥𝑑𝑦 = 0.
10. Моторная лодка движется со скоростью v = 12 км/ч. Через 10 минут
после выключения мотора v = 3 км/ч. Найти путь, пройденный лодкой
по инерции за 20 минут, если сопротивление пропорционально скорости
лодки.
Вариант 28
1. 3( x 2 y  y)dy  2  y 2 dx  0 .
2. 𝑦 ′ = 5𝑥 + 10𝑦 + 2.
3. xy '  4 x 2  y 2  y .
4. 𝑦 ′ =
5. y '
2𝑥+3𝑦−5
5𝑥−5
.
y
ln x

, y (1)  1.
x
x
6. x2 y 2 y ' xy 3  1, y(1)  1.
7. 2( y3  y  xy)dy  dx, y(2)  0 .
8. 2(3xy 2  2 x3 )dx  3(2 x 2 y  y 2 )dy  0 .
175
9. (𝑥 2 cos𝑥 − 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑦 = 0.
10. Найти уравнение кривой, проходящей через точку М(1;3), если
произведение углового коэффициента касательной, проведенной в
любой точке этой кривой, на абсциссу точки касания равно полусумме
координат точки касания.
Вариант 29
1. 2xdx  ydy  yx 2dy  xy 2dx .
2. 𝑦 ′ =
4
2𝑥−𝑦
.
y2
y
3. 3 y '  2  10  10 .
x
x
4. 𝑦 ′ =
𝑥+8𝑦−9
10𝑥−𝑦−9
.
x 2 (1  x3 )
, y (0)  0 .
5. y ' 3x y 
3
2
6. 3 y 2 y ' y 3  x  1, y(1)  1.
1
7. ydx  (3x  1  ln y)dy  0, y( )  1 .
3
8. 2 x cos2 ydx  (2 y  x 2 sin 2 y)dy  0 .
9. 𝑦 2 𝑑𝑥 + (𝑥𝑦 − 1)𝑑𝑦 = 0.
10. Известно, что скорость распада радия пропорциональна его наличному
количеству и что половина его первоначального количества (a)
распадается в течение 1600 лет. Определить, какой процент данного
количества (a) радия распадется в течение 800 лет.
Вариант 30
1. 2 x  2 xy 2  2  x 2 y '  0 .
5
2. 𝑦 ′ = (𝑦+5𝑥+1)2 .
3. xy '  4 2 x 2  y 2  y .
4. 𝑦 ′ =
𝑥−2𝑦+3
−2𝑥−2
.
176
5. y ' y cos x  sin 2 x, y(0)  1.
1
6. (1  x 2 ) y ' xy  xy 2 , y (0)  .
2
1
7. cos ydx  ( x  2cos y)sin ydy, y( )  0 .
2
8. (3x2 y  4 xy 2 )dx  ( x3  4 x 2 y  12 y 3 )dy  0 .
9. 𝑦𝑑𝑥 − 𝑥𝑑𝑦 + ln 𝑥 𝑑𝑥 = 0.
10. Найти уравнение кривой, проходящей через точку М(1;2), если
произведение абсциссы точки касания на абсциссу точки пересечения
нормали с осью Оx равна удвоенному квадрату расстояния от начала
координат до точки касания.
177
7. ЗАДАНИЯ ПО ТЕМЕ: ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ
УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА. СИСТЕМЫ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Примерный вариант заданий с решением
1.
Решить задачу Коши: 𝑦′′𝑦 3 + 81 = 0, 𝑦(1) = 3, 𝑦′(1) = −3.
2.
Решить уравнение: 𝑥𝑦′′ + 𝑦′ = 𝑥 2 .
3.
Решить уравнение: 𝑦′′ + 4𝑦 = 4 cos 2𝑥.
4.
Решить уравнение: 𝑦′′ − 4𝑦 = 𝑒 𝑥 ((−4𝑥 + 4) cos 𝑥 − (2𝑥 + 6) sin 𝑥).
5.
Решить уравнение: 𝑦′′ + 𝑦 = tg 𝑥.
6.
𝑦′ = 1 − ,
𝑧
Найти решение системы дифференциальных уравнений {
,
1
𝑧′ =
,
3
1
𝑦−𝑥
7.
8.
удовлетворяющее начальным условиям: 𝑦(0) = −1, 𝑧(0) = 1.
𝑦′ = 𝑦 + 2𝑧,
Найти общее решение ЛОДУ: {
𝑧′ = 2𝑦 + 𝑧.
𝑦′ = −𝑦 − 2𝑧 + 2𝑒 −𝑥 ,
Решить ЛНДУ: {
𝑧′ = 3𝑦 + 4𝑧 + 𝑒 −𝑥 .
Решение
1. Данное уравнение 2-го порядка для функции 𝑦 = 𝑦(𝑥) не содержит явно
независимую переменную х.
Принимаем у за новую независимую переменную, а производную 1го
порядка
𝑦 ′ (𝑥)
–
за
новую
функцию
𝑝(𝑦).
Тогда
𝑦 ′′ (𝑥) = (𝑝(𝑦))′𝑥 = 𝑝𝑦′ ∙ 𝑦𝑥′ = 𝑝′ (𝑦) ∙ 𝑝(𝑦).
Таким образом уравнение 𝐹(𝑦, 𝑦′, 𝑦′′) = 0 сводится к уравнению
𝐹1 (𝑦, 𝑝, 𝑝′) = 0. В нашем случае мы приходим к уравнению: 𝑝′𝑝𝑦 3 = −81.
Решаем уравнение 1-го порядка с разделяющимися переменными при
начальном условии 𝑝(3) = −3.
−81
𝑝2
81 𝐶1
81
𝑝𝑑𝑝 = 3 𝑑𝑦;
= 2 + ; 𝑝2 = 2 + 𝐶1 .
𝑦
2
2𝑦
2
𝑦
178
9
Подставляя начальные условия, получаем 𝑝(𝑦) = − .
𝑦
9
𝑦 ′ (𝑥) = − ,
Вернемся к старым переменным
т.е. пришли к
𝑦
уравнению 1-го порядка, которое является уравнением с разделяющимися
переменными. Решаем его: 𝑦𝑑𝑦 = −9𝑑𝑥;
Подставляя начальные
поставленной задачи Коши.
𝑦2
условия,
2
= −9𝑥 + 𝐶2 .
получаем
частный
интеграл
Ответ: 𝑦 2 = −18𝑥 + 27.
2. Данное уравнение не содержит явно искомую функцию y(x).
В этом случае можно выполнить подстановку y ′ (𝑥) = 𝑧(𝑥).
Тогда 𝑦 ′′ (𝑥) = 𝑧 ′ (𝑥) и уравнение 2-го порядка 𝐹(𝑦, 𝑦 ′ , 𝑦 ′′ ) = 0 для
функции 𝑦(𝑥) переходит в уравнение 1-го порядка 𝐹(𝑥, 𝑧, 𝑧 ′ ) = 0 для
функции 𝑧(𝑥). В нашем случае будем иметь следующее уравнение: 𝑥𝑧 ′ + 𝑧 =
3
𝑥 2 . Это линейное уравнение 1-го порядка для функции z(x). Решим его:
1
1
1
1
1
𝑧 ′ + 𝑧 = 𝑥 2 . Применим метод Бернулли: 𝑢′ 𝑣 + 𝑢𝑣 ′ + 𝑢𝑣 = 𝑥 2 ⇒ 𝑣 ′ + 𝑣 =
𝑥
𝑥
1
𝑥
1
2
1
0 ⇒ 𝑣 = , а для функции 𝑢(𝑥) получим 𝑢′ ∙ = 𝑥 , откуда следует 𝑢(𝑥) =
𝑥
5
2𝑥 2
5
𝑥
1
5
2𝑥 2
+ 𝐶1 ⇒ 𝑧(𝑥) = 𝑢(𝑥) ∙ 𝑣(𝑥) = (
𝑥
5
2
3
𝐶
+ 𝐶1 ) и 𝑦 ′ (𝑥) = 𝑥 2 + 1 . Итак, для
5
𝑥
функции 𝑦(𝑥) получили дифференциальное уравнение 1-го порядка с
разделяющимися
2
3
𝐶
4
5
𝑑𝑦 = ( 𝑥 2 + 1 ) 𝑑𝑥 ⇒ 𝑦(𝑥) = 𝑥 2 +
5
𝑥
25
переменными:
𝐶1 ln|𝑥| + 𝐶2 – общее решение заданного дифференциального уравнения.
Ответ: 𝑦(𝑥) =
4
25
5
𝑥 2 + 𝐶1 ln|𝑥| + 𝐶2 .
3. Заданное уравнение является ЛНДУ 2-го порядка с постоянными
коэффициентами с правой частью специального вида, который позволяет
воспользоваться методом неопределенных коэффициентов. Общее решение
ЛНДУ есть 𝑦(𝑥) = 𝑦𝑜.𝑜 + 𝑦̃, где 𝑦𝑜.𝑜 (𝑥) – общее решение соответствующего
ЛОДУ, 𝑦̃(𝑥) – частное решение заданного ЛНДУ. Найдем общее решение
ЛОДУ: 𝑦′′ + 4𝑦 = 0.Характеристическое уравнение имеет вид: 𝑘 2 + 4 = 0.
179
Откуда следует 𝑘1,2 = ±2𝑖, т.е. 𝛼 = 0, 𝛽 = 2. Тогда общее решение ЛОДУ
будет 𝑦𝑜.𝑜 = 𝐶1 cos 2𝑥 + 𝐶2 sin 2𝑥, где 𝐶1 и 𝐶2 – произвольные постоянные.
Правая часть исходного уравнения 𝑦 ′′ + 4𝑦 = 4 cos 2𝑥 имеет специальный
вид
𝑓(𝑥) = 4 cos 2𝑥 = 𝑀𝑝 (𝑥) cos 2𝑥 + 𝑁𝑞 (𝑥) sin 2𝑥,
здесь
𝑝 = 0,
а
многочлен 𝑁𝑞 (𝑥) ≡ 0. 𝑆 = 𝑚𝑎𝑥(𝑝; 𝑞) = 0. Составим по правой части ЛНДУ
𝑓(𝑥) число 𝛼 + 𝛽𝑖 = 0 + 2𝑖 = 2𝑖. Это число совпадает с одним из корней
характеристического уравнения  r  1  вид частного решения есть
~
y x   x A cos 2 x  B sin 2 x , где А и В – неизвестные пока числа
(неопределенные коэффициенты многочленов нулевого порядка, 𝑆 = 0). Для
определения А и В находим 𝑦̃ ′ (𝑥), 𝑦̃′′(𝑥) и подставляем в исходное
уравнение:
−4𝐴 sin 2𝑥 + 4𝐵 cos 2𝑥 − 4𝐴𝑥 cos 2𝑥 − 4𝐵𝑥 sin 2𝑥 + 4𝐴𝑥 cos 2𝑥 +
+4𝐵𝑥 sin 2𝑥 = 4 cos 2𝑥.
Приводя подобные члены и приравнивая затем коэффициенты при
cos 2𝑥, sin 2𝑥 в левой и правой частях последнего выражения, получаем
следующую систему уравнений:
−4𝐴 = 0
𝐴=0
⇒ {
.
{
4𝐵 = 4
𝐵=1
Окончательно общее решение заданного уравнения имеет вид:
𝑦(𝑥) = 𝑦𝑜.𝑜 (𝑥) + 𝑦̃(𝑥) = 𝐶1 cos 2𝑥 + 𝐶2 sin 2𝑥 + 𝑥 sin 2𝑥.
Ответ: 𝑦(𝑥) = 𝐶1 cos 2𝑥 + 𝐶2 sin 2𝑥 + 𝑥 sin 2𝑥.
4. Заданное уравнение является ЛНДУ 2-го порядка с постоянными
коэффициентами с правой частью специального вида, который позволяет
воспользоваться методом неопределенных коэффициентов. Общее решение
ЛНДУ есть 𝑦(𝑥) = 𝑦𝑜.𝑜 + 𝑦̃, где 𝑦𝑜.𝑜 (𝑥) – общее решение соответствующего
ЛОДУ, 𝑦̃(𝑥) – частное решение заданного ЛНДУ. Найдем общее решение
соответствующего ЛОДУ:
𝑦 ′′ − 4𝑦 = 0.
Характеристическое уравнение 𝑘 2 − 4 = 0 имеет корни 𝑘1,2 = ±2.
Следовательно, общее решение ЛОДУ есть
𝑦𝑜.𝑜. (𝑥) = 𝐶1 𝑒 2𝑥 + 𝐶2 𝑒 −2𝑥 ,
180
где 𝐶1 и 𝐶2 – произвольные постоянные.
Строим частное решение заданного ЛНДУ.
Правая часть уравнения
𝑓(𝑥) = 𝑒 𝑥 ((−4𝑥 + 4) cos 𝑥 − (2𝑥 + 6) sin 𝑥) ⇒
⇒ 𝛼 = 1, 𝛽 = 1 ⇒ 𝛼 + 𝑖𝛽 = 1 + 𝑖 ≠ 𝑘1 , 𝑘2 ⇒ 𝑟 = 0
𝑝 = 𝑞 = 1 ⇒ 𝑆 = 𝑚𝑎𝑥(𝑝, 𝑞) = 1
Следовательно, частное решение исходного уравнения имеет вид
𝑦̃(𝑥) = 𝑒 𝑥 ((𝐴𝑥 + 𝐵) cos 𝑥 + (𝐶𝑥 + 𝐷) sin 𝑥).
Найдем производные первого и второго порядков от функции 𝑦̃(𝑥):
𝑦̃ ′ (𝑥) = 𝑒 𝑥 {cos 𝑥 (𝐴𝑥 + 𝐶𝑥 + 𝐴 + 𝐵 + 𝐷) + sin 𝑥 (𝐶𝑥 − 𝐴𝑥 + 𝐶 + 𝐷 − 𝐵)}.
𝑦̃′′(𝑥) = 𝑒 𝑥 {cos 𝑥 ∙ (2𝐶𝑥 + 2𝐴 + 2𝐶 + 2𝐷) + sin 𝑥 ∙ (−2𝐴𝑥 + 2𝐶 − 2𝐴 − 2𝐵)}.
Подставляем функции 𝑦̃ ′ (𝑥), 𝑦̃ ′′ (𝑥) в левую часть заданного ЛНДУ и
приравняем получившееся выражение к правой части 𝑓(𝑥) исходного
уравнения. В результате для коэффициентов A, B, C и D получим
следующую систему алгебраических уравнений:
𝐶 − 2𝐴 = −2
2𝐶 + 𝐴 = 1
{
𝐴 + 𝐶 + 𝐷 − 2𝐵 = 2
𝐶 − 𝐴 − 𝐵 − 2𝐷 = −3
Откуда находим 𝐴 = 1, 𝐵 = 0, 𝐶 = 0, 𝐷 = 1. Следовательно общее решение
заданного уравнения имеет вид:
𝑦(𝑥) = 𝑦𝑜.𝑜 (𝑥) + 𝑦̃(𝑥) = 𝐶1 𝑒 2𝑥 + 𝐶2 𝑒 −2𝑥 + 𝑒 𝑥 (𝑥 cos 𝑥 + sin 𝑥).
Ответ: 𝑦(𝑥) = 𝐶1 𝑒 2𝑥 + 𝐶2 𝑒 −2𝑥 + 𝑒 𝑥 (𝑥 cos 𝑥 + sin 𝑥).
5. Заданное уравнение является ЛНДУ 2-го порядка с правой частью,
которая не позволяет применить метод неопределенных коэффициентов.
Поэтому для решения этого уравнения применим метод вариации
произвольных постоянных (метод Лагранжа).
Находим общее решение соответствующего ЛОДУ:
𝑦 ′′ + 𝑦 = 0, 𝑘 2 + 1 = 0 ⇒ 𝑘1,2 = ±𝑖 ⇒ 𝑦𝑜.𝑜 (𝑥) = 𝐶1 cos 𝑥 + 𝐶2 sin 𝑥,
где 𝐶1 и 𝐶2 – произвольные постоянные.
Далее ищем решение заданного ЛНДУ в виде:
𝑦(𝑥) = 𝐶1 (𝑥) cos 𝑥 + 𝐶2 (𝑥) sin 𝑥,
181
где 𝐶1 (𝑥) и 𝐶2 (𝑥) – некоторые непрерывно дважды дифференцируемые
функции от х, подлежащие определению. Эти функции находим из
следующей системы уравнений:
𝐶 ′(𝑥) cos 𝑥 + 𝐶2 ′(𝑥) sin 𝑥 = 0,
{ 1
−𝐶1 ′(𝑥) sin 𝑥 + 𝐶2 ′(𝑥) cos 𝑥 = tg 𝑥.
Решая эту систему относительно функций 𝐶1 ′(𝑥) и 𝐶2 ′(𝑥), получаем
𝐶1′ (𝑥) = −
sin2 𝑥
; 𝐶2′ (𝑥) = sin 𝑥. Откуда будем иметь:
𝜋 𝑥
𝐶1 (𝑥) = sin 𝑥 + ln |tg ( − )| + 𝐶̃1 , 𝐶2 (𝑥) = − cos 𝑥 + 𝐶̃2 ,
4 2
где 𝐶̃1 и 𝐶̃2 – произвольные постоянные.
cos 𝑥
Следовательно, общим решением исходного дифференциального уравнения
𝑦 ′′ + 𝑦 = tg 𝑥 будет следующее двухпараметрическое семейство функций:
𝜋 𝑥
𝑦(𝑥) = 𝐶̃1 cos 𝑥 + 𝐶̃2 sin 𝑥 + cos𝑥 ∙ (ln |tg ( − )|) .
4 2
π
x
Ответ: 𝑦(𝑥) = 𝐶̃1 cos 𝑥 + 𝐶̃2 sin 𝑥 + cos𝑥 ∙ (ln |tg ( − )|) .
4
2
6. Будем искать общее решение методом исключения, который состоит в
приведении заданной системы к одному дифференциальному уравнению.
Дифференцируем второе уравнение по независимой переменной х:
1
𝑧 ′′ = −
∙ (𝑦 ′ − 1).
(𝑦 − 𝑥)2
Чтобы исключить из полученного уравнения 𝑦 и 𝑦′, заменим в нем 𝑦 и
(𝑦 ′ − 1) их значениями из данной системы:
1 1
1
𝑦′ − 1 = − ,
= 𝑧 ′ ⇒ 𝑧 ′′ = 𝑧 ′2 ∙ .
𝑧 𝑦−𝑥
𝑧
Откуда будем иметь
𝑧 ′′
𝑧′
=
𝑧′
𝑧
⇒ 𝑧 ′ = 𝐶1 𝑧 ⇒ 𝑧(𝑥) = 𝐶2 𝑒 𝐶1𝑥 .
Для нахождения 𝑦(𝑥) воспользуемся вторым уравнением системы:
1
1
1 −𝐶 𝑥
𝑦−𝑥 = ′ =
=
𝑒 1 .
𝑧
𝐶1 𝑧 𝐶1 𝐶2
Откуда 𝑦 = 𝑥 +
1
𝐶1 𝐶2
𝑒 −𝐶1 𝑥 . Следовательно, общим решением заданной
системы уравнений будет
182
1 −𝐶 𝑥
𝑦=𝑥+
𝑒 1
𝐶1 𝐶2
.
{
𝐶1 𝑥
𝑧 = 𝐶2 𝑒
Решим теперь поставленную задачу Коши.
Подставим в общее решение вместо 𝑥, 𝑦, 𝑧 их начальные значения 0, −1 и 1:
1
−1 =
, 1 = 𝐶2 ⇒ 𝐶1 = −1, 𝐶2 = 1.
𝐶1 𝐶2
Следовательно, решением задачи Коши будет пара функций
𝑦 = 𝑥 − 𝑒 𝑥 , 𝑧 = 𝑒 −𝑥 .
Ответ: 𝑦 = 𝑥 − 𝑒 𝑥 , 𝑧 = 𝑒 −𝑥 .
7. Задана система линейных однородных дифференциальных уравнений
(ЛОДУ).
Представим 𝑦(𝑥) = 𝛼1 𝑒 𝜆𝑥 , 𝑧(𝑥) = 𝛼2 𝑒 𝜆𝑥 ,где 𝛼1 , 𝛼2 , 𝜆 – пока неизвестные
параметры. Продифференцируем обе функции по х и подставим
𝑦 ′ (𝑥), 𝑧 ′ (𝑥), 𝑦(𝑥), 𝑧(𝑥)в заданную систему уравнений:
{
𝜆𝛼1 𝑒 𝜆𝑥 = 𝛼1 𝑒 𝜆𝑥 + 2𝛼2 𝑒 𝜆𝑥
𝜆𝛼2 𝑒 𝜆𝑥 = 2𝛼1 𝑒 𝜆𝑥 + 𝛼2 𝑒 𝜆𝑥
Так как 𝑒 𝜆𝑥 > 0, то на 𝑒 𝜆𝑥 можно сократить оба уравнения, соберем также
все слагаемые с 𝛼1 и 𝛼2 в правую часть и в итоге получим:
(1 − 𝜆)𝛼1 + 2𝛼2 = 0
{
2𝛼1 + (1 − 𝜆)𝛼2 = 0.
Полученная система уравнений является линейной однородной системой
двух алгебраических уравнений с двумя неизвестными 𝛼1 , 𝛼2 . Чтобы эта
однородная линейная система имела нулевое решение, необходимо и
достаточно, чтобы ее определить равнялся нулю, т.е. λ было корнем так
называемого характеристического уравнения
1−𝜆
2
|
| = 0; (1 − 𝜆)2 − 4 = 0
2
1−𝜆
Откуда следует, что 𝜆1 = 3, 𝜆2 = −1.
Подставим первый характеристический корень 𝜆1 = 3 в алгебраическую
систему уравнений и найдем первое ненулевое решение этой системы. Так
как ранг алгебраической системы равен единице, то это решение
183
определяется с точностью до постоянного множителя: 𝜆11 = 𝜆12 = 𝐶. Возьмем
для простоты С = 1, тогда первым решением системы ЛОДУ будет
𝑦1 (𝑥) = 𝑒 3𝑥 , 𝑧1 (𝑥) = 𝑒 3𝑥 .
Теперь подставим в одно из уравнений алгебраической системы уравнений
второе характеристическое число 𝜆2 = −1 и определим второе решение
алгебраической системы: 𝜆12 = 𝜆22 = −1. Тогда вторым ненулевым решением
ЛОС ДУ будет 𝑦2 (𝑥) = 𝑒 −𝑥 , 𝑧2 (𝑥) = 𝑒 −𝑥 .
Итак, построена фундаментальная система решений системы ЛОДУ и,
следовательно, общим решением заданной системы дифференциальных
уравнений будет
𝑦(𝑥) = 𝐶1 𝑦1 (𝑥) + 𝐶2 𝑦2 (𝑥) = 𝐶1 𝑒 3𝑥 + 𝐶2 𝑒 −𝑥 ,
{
𝑧(𝑥) = 𝐶1 𝑧1 (𝑥) + 𝐶2 𝑧2 (𝑥) = 𝐶1 𝑒 3𝑥 − 𝐶2 𝑒 −𝑥 ,
где 𝐶1 и 𝐶2 – произвольные постоянные.
𝑦(𝑥) = 𝐶1 𝑦1 (𝑥) + 𝐶2 𝑦2 (𝑥) = 𝐶1 𝑒 3𝑥 + 𝐶2 𝑒 −𝑥 ,
Ответ: {
𝑧(𝑥) = 𝐶1 𝑧1 (𝑥) + 𝐶2 𝑧2 (𝑥) = 𝐶1 𝑒 3𝑥 − 𝐶2 𝑒 −𝑥 .
8. Задана система линейных неоднородных дифференциальных уравнений –
ЛНДУ. Решим эту систему методом вариации произвольных постоянных
(методом Лагранжа).
Соответствующей однородной системой будет следующая система ЛОДУ:
𝑦 ′ = −𝑦 − 2𝑧,
{ ′
𝑧 = 3𝑦 + 4𝑧.
Найдем ее общее решение методом Эйлера, подробно изложенным выше. В
результате будем иметь
𝑦(𝑥) = 𝐶1 𝑒 𝑥 + 2𝐶2 𝑒 2𝑥 ,
{
𝑧(𝑥) = −𝐶1 𝑒 𝑥 − 3𝐶2 𝑒 2𝑥 ,
где 𝐶1 и 𝐶2 – произвольные постоянные.
Далее ищем общее решение заданной системы ЛНДУ в виде
𝑦(𝑥) = 𝐶1 (𝑥)𝑒 𝑥 + 2𝐶2 (𝑥)𝑒 2𝑥 ,
{
𝑧(𝑥) = −𝐶1 (𝑥)𝑒 𝑥 − 3𝐶2 (𝑥)𝑒 2𝑥 ,
где 𝐶1 (𝑥) и 𝐶2 (𝑥) – некоторые дифференцируемые функции аргумента х.
Функции 𝐶1 ′(𝑥) и 𝐶2 ′(𝑥)находятся из системы уравнений:
𝐶1′ (𝑥)𝑦1 (𝑥) + 𝐶2′ (𝑥)𝑦2 (𝑥) = 𝑓1 (𝑥)
.
{ ′
𝐶1 (𝑥)𝑧1 (𝑥) + 𝐶2′ (𝑥)𝑧2 (𝑥) = 𝑓2 (𝑥)
184
Здесь 𝑦1 (𝑥),𝑧1 (𝑥) – первое решение системы ЛНДУ, а 𝑦2 (𝑥), 𝑧2 (𝑥) – второе
ее решение. В нашем случае для нахождения 𝐶1′ (𝑥) и𝐶2 ′(𝑥) будем иметь
следующую систему уравнений:
𝐶 ′ (𝑥)𝑒 𝑥 + 2𝐶2′ (𝑥)𝑒 2𝑥 = 2𝑒 −𝑥
.
{ 1′
−𝐶1 (𝑥)𝑒 𝑥 − 3𝐶2′ (𝑥)𝑒 2𝑥 = 𝑒 −𝑥
Откуда получаем 𝐶1′ (𝑥) = 8𝑒 −2𝑥 , 𝐶2′ (𝑥) = −3𝑒 −3𝑥 . Следовательно, общим
решением заданной системы уравнений будет
Замечание.
𝑦(𝑥) = −2𝑒 −𝑥 + 𝐶1 𝑒 𝑥 + 2𝐶2 (𝑥)𝑒 2𝑥
.
{
𝑧(𝑥) = 𝑒 −𝑥 − 𝐶1 𝑒 𝑥 − 3𝐶2 𝑒 2𝑥
Частное решение исходной системы дифференциальных
уравнений можно было искать в виде 𝑦(𝑥) = 𝑎𝑒 −𝑥 , 𝑧(𝑥) = 𝑏𝑒 −𝑥 методом
неопределенных коэффициентов, т.е. для решения заданной системы можно
было бы избежать применения метода Лагранжа.
𝑦(𝑥) = −2𝑒 −𝑥 + 𝐶1 𝑒 𝑥 + 2𝐶2 (𝑥)𝑒 2𝑥
Ответ: {
.
𝑧(𝑥) = 𝑒 −𝑥 − 𝐶1 𝑒 𝑥 − 3𝐶2 𝑒 2𝑥
Варианты заданий для самостоятельного решения (1–30)
Вариант 1
Решить задачу Коши:
1. 4 y3 y  y 4  1 ; y(0)  2 ; y(0) 
1
.
2 2
Решить дифференциальные уравнения:
2. yx ln x  y ;
4. y  4 y  4 y  e2 x sin 6 x ;
3. y  4 y  3 y  (16  12 x)e x ;
5. y  2 y  y  e x ln x .
Найти
решение
системы
дифференциальных
удовлетворяющее начальным условиям y(0)  1, z(0)  1 :
1
 
y   z ,

6. 
 z  1 .

y
185
уравнений,
Решить системы дифференциальных уравнений:
 dx
 dt  2 x  y,
7.  dy
  y  2 x  18t.
 dt
 x  x  3 y,
8. 
 y  3x  y.
Вариант 2
Решить задачу Коши:
1. y  128 y 3 ; y(0)  1; y(0)  8 .
Решить дифференциальные уравнения:
2. xy  y  1 ;
4. y  2 y  2e x (sin x  cos x) ;
3. y  y  x 2  x ;
1
5. y  4 y  4 y  2 x .
xe
Найти
решение
системы
дифференциальных
уравнений,
удовлетворяющее начальным условиям y(0)  1, z (0)  1 :
 y   z ,

6. 
z2
 z  .
y

Решить системы дифференциальных уравнений:
 dx
5t
 dt  3x  2 y  4e ,
 x  2 x  y,
7. 
8. 
 y  3x  4 y.
 dy  x  2 y.
 dt
Вариант 3
Решить задачу Коши:
1. yy 3  64  0 ; y(0)  4 ; y(0)  2 .
Решить дифференциальные уравнения:
2. 2xy  y ;
4. y"  4 y'  5 y  ( x  1)e  x ;
1
3. y  2 y  y  (2 x  5)e x ;
5. y  9 y 
.
sin 3x
186
Найти
решение
системы
дифференциальных
удовлетворяющее начальным условиям y(0)  1, z(0)  1 :
 y  xy,
6. 
 z  y  z  xy.
уравнений,
Решить системы дифференциальных уравнений:
 dx
 dt  2 x  3 y,
 x  x  y,
7. 
8. 
dy
 y  y  4 x.
  x  2 y  2 sin t.
 dt
Вариант 4
Решить задачу Коши:
1. y  2sin y cos3 y  0 ; y(0)  0 ; y(0)  1.
Решить дифференциальные уравнения:
2. xy  y  x  1;
4. y  2 y  2 y  (6 x  11)e x ;
3. y  y  2 x  3 ;
1
5. y  4 y 
cos 2 x
Найти
решение
системы
дифференциальных
уравнений,
удовлетворяющее начальным условиям y(0)  1, z (0)  1 :
  1
y  z ,

6. 
 z  1 .

y
Решить системы дифференциальных уравнений:
 dx
2t
 dt  2 x  4 y  4e ,
 x  x  5 y  0,
7. 
8. 
dy
 y  x  y  0.
  2 x  2 y.
 dt
Вариант 5
Решить задачу Коши:
1. y  32sin 3 y  cos y ; y (1) 

; y(1)  4 .
2
Решить дифференциальные уравнения:
187
4. y  3 y  2 y  (4 x  9)e2 x ;
1
1
5. y''  y 
.
9
2 x
cos
3
Найти
решение
системы
дифференциальных
уравнений,
удовлетворяющее начальным условиям y(0)  1, z(0)  1 :
1
 0;
sin x
3. 3 y  y  6 x  1 ;
2. tg x  y  y 

z2
 y  y ,
6. 

 z  y.
Решить системы дифференциальных уравнений:
 dx
 dt  3  2 y,
 x  x  8 y  0,
7. 
8. 
dy
 y  x  y  0.
  2 x  2t.
 dt
Вариант 6
1.
Решить задачу Коши:
y  98 y 3 ; y(1)  1 ; y(1)  7 .
Решить дифференциальные уравнения:
4. y  2 y  5 y  10cos x ;
2.
x 2 y''  xy'  1;
1
3. y  6 y  8 y  xe3 x ;
5. y  y 
.
2  e x
Решить системы дифференциальных уравнений и выделить решение,
удовлетворяющее начальным условиям y(0)  1, z (0)  1 :
 y  z,
6. 
 z   y  z.
7.
Решить системы дифференциальных уравнений:
 dx
 dt  x  y  8t ,
 x  3x  8 y,
8.
 dy

 y  3 y  x.
  5 x  y.
 dt
188
Вариант 7
Решить задачу Коши:
1. y  y 3  49  0 , y(3)  7 ; y(3)  1 .
Решить дифференциальные уравнения:
2. y  ctg2 x  2 y  0 ;
4. y''  2 y'  6e x (sin x  cos x) ;
3. y  y  5x 2  1 ;
5. y  2 y  y  3e x x  1 .
Найти
решение
системы
дифференциальных
уравнений,
удовлетворяющее начальным условиям y(0)  1, z(0)  1:
𝑦′ = 3𝑧 2 ,
6. {
2𝑧 ′ = 𝑦,
Решить системы дифференциальных уравнений:
 dx
 dt  2 y  3t ,
 x  x  y,
7. 
8. 
dy
 y  3 y  2 x.
  2 x  4.
 dt
Вариант 8
Решить задачу Коши:
2
1
; y(0) 
.
2
2
Решить дифференциальные уравнения:
4. y  49 y  14sin 7 x  7cos7 x ;
2. x3 y  x 2 y  1;
𝑥
3. y  y  2 y  (6 x  5)e x ;
5. 4𝑦 ′′ − 4𝑦 ′ + 𝑦 = 𝑒 2 ln𝑥 .
1. 4 y3 y  16 y 4  1, y (0) 
Найти
решение
системы
дифференциальных
удовлетворяющее начальным условиям y(0)  1, z (0)  1 :
 y   z  x 2 ,
6. 
 z  y  e x .
Решить системы дифференциальных уравнений:
 dx
 dt  2 x  4 y  0,
 x  7 x  y,
7. 
8. 
dy
 y  5 y  2 x.
  x  3 y  3t 2 .
 dt
189
уравнений,
Вариант 9
Решить задачу Коши:
1. y  8sin y  cos3 y  0 , y(0)  0 ; y(0)  2 .
Решить дифференциальные уравнения:
2. tg x  y  2 y ;
4. y  4 y  4 y  e2 x  sin 4 x ;
3. y  y  4 x 2  3x  2 ;
ex
5. y  3 y  2 y 
.
3  e x
Найти
решение
системы
дифференциальных
уравнений,
удовлетворяющее начальным условиям y(0)  1, z (0)  1 :
 y  z  tg 2 x  1,
6. 
 z   y  tg x.
Решить системы дифференциальных уравнений:
 dx
 dt  y  5 cost ,
 x  2 x  y,
7. 
8. 
dy
 y  4 y  x.
  2 x  y.
 dt
Вариант 10
Решить задачу Коши:
1. y  72 y 3 ; y(2)  1 ; y(2)  6 .
Решить дифференциальные уравнения:
4. y  y  2cos5x  3sin5x ;
2x
y  2 x ;
2. y  2
5. y  16 y  ctg4 x .
x 1
x
3. y  3 y  2 y  (1  2 x)e ;
Найти
решение
системы
дифференциальных
уравнений,
удовлетворяющее начальным условиям y(0)  1, z (0)  1 :

 y  y  z  cos x,
6. 

 z  2 y  z  sin x  cos x.
Решить системы дифференциальных уравнений:
 dx
 dt  1  2 y,
x '  x  4 y
7. 
8. 
dy
 y '  x  3y
  2 x  sin 2t.
 dt
190
Вариант 11
Решить задачу Коши:
1. yy 3  36  0 , y(0)  3 ; y(0)  2 .
Решить дифференциальные уравнения:
2. x 4 y  x3 y  1;
4. y  4 y  8 y  e x (2sin x  cos x) ;
sin x
3. y  y  49  24 x 2 ;
5. y  y 
.
cos 2 x
Найти
решение
системы
дифференциальных
уравнений,
удовлетворяющее начальным условиям y(0)  1, z (0)  1:
  z
y  ,
y
6. 
 z   y  1.

Решить системы дифференциальных уравнений:
 dx
 dt  2 y  5 x,
 x  2 y  3x,
7. 
8. 
dy
 y  y  2 x.
  x  6 y  e 2t .
 dt
Вариант 12
Решить задачу Коши:
1. y  18sin 3 y  cos y , y (1) 

; y(1)  3 .
2
Решить дифференциальные уравнения:
2. xy  2 y  0 ;
4. y  4 y  8 y  e x (2sin x  cos x) ;
3. y  5 y  4 y  (20  16 x)e x ;
5. y  4 y  tg2 x .
Найти
решение
системы
дифференциальных
уравнений,
удовлетворяющее начальным условиям y(0)  1, z (0)  1 :
 y  5 y  3z  xe 2 x ,
6. 
 z  3 y  z  e3 x .
Решить системы дифференциальных уравнений:
 dx
  6 x  3 y  t ,
 x  5 x  3 y  0,
7.  dt
8. 
dy
 y  3x  y  0.
  4 x  2 y.
 dt
191
Вариант 13
Решить задачу Коши:
1
.
2
Решить дифференциальные уравнения:
4. y  2 y  5 y   cos x ;
2. (1  x 2 ) y''  2 xy'  x 3 ;
1
3. y  4 y  3 y  4 xe x ;
5. y  3 y  2 y 
.
1  2e2 x
Найти
решение
системы
дифференциальных
удовлетворяющее начальным условиям y(0)  1, z (0)  1 :
 y  yz ,
6. 
 z   y.
Решить системы дифференциальных уравнений:
 dx
5t
 dt  3x  2 y  4e ,
 x  2 x  y,
7. 
8. 
dy
 y  3x  4 y.
  x  2 y.
 dt
1. 4 y3 y  y 4  16 , y(0)  2 2 ; y(0) 
уравнений,
Вариант 14
Решить задачу Коши:
1. y  50 y 3 , y(3)  1 ; y(3)  5 .
Решить дифференциальные уравнения:
2. x5 y  x 4 y  1;
4. y  2 y  3e x (sin x  cos x) ;
cos x
3. y  2 y  3 y  (8x  6)e x ;
5. y  y  2 .
sin x
Найти
решение
системы
дифференциальных
уравнений,
удовлетворяющее начальным условиям y(0)  1, z (0)  1 :
 y  2 z  e3 x ,
6. 
 z  y  x.
Решить системы дифференциальных уравнений:
 dx
 dt  2 x  y,
 x  x  3 y,
7. 
8. 
dy
 y  3x  y.
  y  2 x  18t.
 dt
192
Вариант 15
Решить задачу Коши:
1. y  18sin y  cos3 y  0 , y(0)  0 ; y(0)  3 .
Решить дифференциальные уравнения:
4. y  2 y  5 y  x sin 2 x ;
2. (1  x2 ) y  2 xy  12 x3 ;
5. y  4 y  4 y  e2 x ln x .
3. y  3 y  2 y  x 2  2 x  3 ;
Найти
решение
системы
дифференциальных
удовлетворяющее начальным условиям y(0)  1, z (0)  1 :
 y  2 z  y ,

6. 
e3 x
 z  4 z  3 y  2 x .
e 1

Решить системы дифференциальных уравнений:
 x  x  y,
 x  x  3 y,
7. 
8.

t
 y  x  y  e .
 y   x  5 y.
уравнений,
Вариант 16
Решить задачу Коши:
1. y''y 3  25  0, y(2)  5, y' (2)  1.
Решить дифференциальные уравнения:
2. xy '' y ' x  0 ;
4. y '' 6 y ' 10 y  2e3 x sin 2 x ;
3. y '' y '  6 x 2  3x ;
1
5. y '' y '  x
.
e 1
Найти
решение
системы
дифференциальных
уравнений,
удовлетворяющее начальным условиям y(0)  1, z (0)  1 :
1
 
y

y

z

,

cos
x
6. 
 z   2 y  z.

Решить системы дифференциальных уравнений:
 dx
 dt  2 x  3 y
x '  x  y
7. 
8. 
 y '  y  4x
 dy  x  2 y  2sin t
 dt
193
Вариант 17
Решить задачу Коши:
1. y ''  32 y3 , y(4)  1, y '(4)  4 .
Решить дифференциальные уравнения:
1
4. y '' 4 y  5( x  2)2 ;
2. xy '' y '  0 ;
x
1
5. y '' 16 y  2 .
x
3. y '' 2 y ' y  2 xe ;
sin 4 x
Найти
решение
системы
дифференциальных
удовлетворяющее начальным условиям y(0)  1, z (0)  1 :
 y  2 y  z,
6. 
x
 z  2 z  y  5e sin x.
Решить системы дифференциальных уравнений:
 dx
2 t
 dt  2 x  4 y  4e
 x ' x  5 y  0
7. 
8. 
 y ' x  y  0
 dy  2 x  2 y
 dt
уравнений,
Вариант 18
Решить задачу Коши:
1. y ''  8sin 3 y cos y, y(1) 

, y '(1)  2 .
2
Решить дифференциальные уравнения:
4. y '' 2 y ' y  (18x  21)e2 x ;
2. xy '' y '  x ;
x
3. y '' 2 y ' y  x 2  x  1 ;
5. 9 y' '6 y' y  3e 3 x .
Найти
решение
системы
дифференциальных
уравнений,
удовлетворяющее начальным условиям y(0)  1, z (0)  1 :
 y  2 y  z  2e x ,
6. 
 z  y  2 z  3e4 x .
Решить системы дифференциальных уравнений:
 dx
 dt  3  2 y
 x'  x  8 y  0,
7. 
8. 
 y'  x  y  0.
 dy  2 x  2t
 dt
194
Вариант 19
Решить задачу Коши:
1. y '' y3  16  0, y(1)  2, y '(1)  2 .
Решить дифференциальные уравнения:
2. y ''tg x  y ' 1 ;
4. y '' y  2cos3x  3sin3x ;
3. 7 y '' y '  12 x ;
5. y '' 2 y ' y  3e x x  1 .
Найти
решение
системы
дифференциальных
удовлетворяющее начальным условиям y(0)  1, z (0)  1 :

 y  4 y  3z  sin x,
6. 

 z  2 y  z  2cos x.
Решить системы дифференциальных уравнений:
 dx
 dt  x  y  8t
 x '  3x  8 y
7. 
8. 
 y '  3 y  x
 dy  5 x  y
 dt
уравнений,
Вариант 20
Решить задачу Коши:
1. y '' 32sin y cos3 y  0, y(0)  0, y '(0)  4 .
Решить дифференциальные уравнения:
2. y ''tg5x  5 y ' ;
3. y '' 4 y ' 13 y  2 x 2  1 ;
2 x
2
4. y '' 4 y ' 4 y  x  x ;
5. 4 y '' y  ctg 2
Найти
решение
системы
дифференциальных
удовлетворяющее начальным условиям y(0)  1, z (0)  1 :
2
 
y


4
y

2
z

,

ex  1
6. 
 z   6 y  3z  3 .

ex  1
Решить системы дифференциальных уравнений:
 dx
 dt  2 y  3t
x '  x  y
7.
8. 

 y '  3y  2x
 dy  2 x  4
 dt
195
уравнений,
Вариант 21
Решить задачу Коши:
y ''  50sin 3 y cos y, y(1) 

, y '(1)  5 .
2
Решить дифференциальные уравнения:
e x  e x
2. y '' x  x  y ' ;
4. y '' 2 y ' 5 y  2sin x ;
e e
1
3. y '' 6 y ' 9 y  (16 x  24)e x ;
5. y '' y 
.
1  ex
Найти
решение
системы
дифференциальных
уравнений,
 
 
удовлетворяющее начальным условиям y   1, z   1 :
2
2
1
 
 y  y  z  sin x ,
6. 
 z   2 y  z.

Решить системы дифференциальных уравнений:
 dx
 dt  2 x  4 y  0
 x '  7 x  y
7. 
8. 
 y '  5 y  2 x
 dy  x  3 y  3t 2
 dt
1.
Вариант 22
Решить задачу Коши:
1. y ''  18 y3 , y(1)  1, y '(1)  3 .
Решить дифференциальные уравнения:
4. y '' 4 y ' 4 y  e2 x sin5x ;
2. x3 y '' x 2 y '  x ;
5. y  6 y  9 y  e3 x ( x  1).
3. y '' 4 y '  32  384 x 2 ;
196
Найти
решение
системы
дифференциальных
удовлетворяющее начальным условиям y(0)  1, z (0)  1:
  x
y  z ,

6. 
 z   x .

y
Решить системы дифференциальных уравнений:
 x '  y  x  et
x '  2x  5 y
7.
8.


t
 y '  x  y  e
 y '  5x  6 y
уравнений,
Вариант 23
Решить задачу Коши:
1. y '' y3  9  0, y(1)  1, y '(1)  3 .
Решить дифференциальные уравнения:
1
4. y '' 4 y ' 8 y  e x (3sin x  5cos x) ;
2. y ''ctg x  y '  
;
x
cos x
3
e
x
5. 9 y '' 6 y ' y 
.
3. y '' 2 y ' 3 y  (8x  14)e ;
x
Найти
решение
системы
дифференциальных
уравнений,
удовлетворяющее начальным условиям y(1)  4, z (1)  2 :
2x
 
y

y,

1  x2

6. 
1
 
 z   x z  y  x.
Решить системы дифференциальных уравнений:
 dx
 dt  y  5cos t
x '  2x  y
7. 
8. 
y'  4y  x
 dy  2 x  y
 dt
Вариант 24
Решить задачу Коши:
1. y3 y ''  4( y 4  1), y(0)  2, y '(0)  2 .
Решить дифференциальные уравнения:
197
4. y '' 2 y ' 5 y  17sin 2 x ;
1
3. y '' 2 y ' y  2  3x 2 ;
5. y '' y  3 .
sin x
Найти
решение
системы
дифференциальных
уравнений,
удовлетворяющее начальным условиям y(1)  1, z (1)  1:
 xy  y,
6. 
 z  y  z.
Решить системы дифференциальных уравнений:
 dx
 dt  1  2 y
 x '  3x  y
7. 
8. 
 y '  4x  y
 dy  2 x  sin 2t
 dt
2. ( x  1) y '' y '  x  1;
Вариант 25
Решить задачу Коши:
4
, y(0)  2, y '(0)  0 .
1. y '' 4 y 
cos 2 x
Решить дифференциальные уравнения:
2. (1  sin x) y ''  y 'cos x ;
4. y '' 3 y ' 7 y  xe3 x ;
x
5. 9 y '' y  tg 2 .
3. y '' 4 y ' 4  (9 x  15)e x ;
3
Найти
решение
системы
дифференциальных
удовлетворяющее начальным условиям y(0)  1, z (0)  1 :
 y  z ,

6. 
z2

z

.

y

Решить системы дифференциальных уравнений:
 dx
 dt  2 y  5 x
 x '  2 y  3x
7. 
8. 
 y '  y  2x
 dy  x  6 y  e 2t
 dt
198
уравнений,
Вариант 26
Решить задачу Коши:
ex
, y(0)  ln 27, y '(0)  1  ln 9 .
1. y '' y ' 
2  ex
Решить дифференциальные уравнения:
y
1
4. y ''  x 2  1 ;
2. xy '' y ' 
;
4
x
2
y''

9 y  ctg3x .
5.
3. y '' 5 y ' 6 y  ( x  1) ;
Найти
решение
системы
дифференциальных
удовлетворяющее начальным условиям y(0)  1, z (0)  1 :
уравнений,
 y  y 2  z ,
6. 
 z  2 yy  y.
Решить системы дифференциальных уравнений:
 dx
 dt  6 x  3 y  t
 x ' 5 x  3 y  0
7. 
8. 
 y ' 3x  y  0
 dy  4 x  2 y
 dt
Вариант 27
Решить задачу Коши:
1. y '' y3  4  0, y(0)  1, y '(0)  2 .
Решить дифференциальные уравнения:
4. y '' y  2cos7 x  3sin 7 x ;
2
2.  xy '' 2 y '  2 ;
ln x
x
5. y '' 8 y ' 16 y  e4 x
.
3
3. y '' 3 y '  x  1;
x
Найти
решение
системы
дифференциальных
уравнений,
удовлетворяющее начальным условиям y(0)  1, z (0)  1 :
  y
y  z ,
6. 
 z  y.

Решить системы дифференциальных уравнений:
 x '  3x  2 y  t
x '  x  4 y
7. 
8. 
 y '  3x  4 y
 y '  x  3y
199
Вариант 28
Решить задачу Коши:
1. y ''  2sin 3 y cos y, y(1) 

, y '(1)  1 .
2
Решить дифференциальные уравнения:
y'
4. y '' 9 y ' 18 y  ( x  1)e3 x ;
xy
''

y
'ln
2.
;
x
ln( x  2)  x
e .
5. y '' 2 y ' y 
x
3. y '' 4 y  5 xe ;
x
Найти
решение
системы
дифференциальных
удовлетворяющее начальным условиям y(0)  1, z (0)  1 :

 y  4 y  3z  sin x,
6. 

 z  2 y  z  2cos x.
Решить системы дифференциальных уравнений:
x '  x  4 y  t
 x '  3x  2 y
7. 
8. 
 y '  3x  5 y
 y '  4x  7 y
уравнений,
Вариант 29
Решить задачу Коши:
1. y3 y ''  1, y(1)  1, y '(1)  0 .
Решить дифференциальные уравнения:
4. y '' 10 y ' 26 y  3sin x ;
y'
2. y ''   x ;
x
e2 x
5. y '' 4 y ' 4 y 
.
3. y '' 4 y ' 5 y  (1  x)e2 x ;
1  3x
Найти
решение
системы
дифференциальных
уравнений,
удовлетворяющее начальным условиям y(0)  1, z (0)  1 :
 y  2 y  3z  e x ,
6. 
 z  y  2 z  2sin x.
Решить системы дифференциальных уравнений:
x '  2x  4 y  t
x '  x  2 y
7. 
8. 
 y '  5x  3 y
 y '  2 x  5 y
200
Вариант 30
Решить задачу Коши:
1. 2 y ''  3 y 2 , y(2)  1, y '(2)  1 .
Решить дифференциальные уравнения:
4. y '' 8 y ' 17 y  5cos x ;
y'
2. xy ''  y 'ln ;
x
x 1
5. y '' 6 y ' 9 y  3 x .
2x
3. y '' y ' 6 y  ( x  2)e ;
e
Найти
решение
системы
дифференциальных
уравнений,
удовлетворяющее начальным условиям y(0)  1, z (0)  1 :
 y  y  2 z  16 xe x ,
6. 
 z  2 y  2 z  x.
Решить системы дифференциальных уравнений:
x '  2x  y  t
 x '  7 x  y
7. 
8. 
 y '  2x  3y
 y '  2 x  5 y
201
8. ЗАДАНИЯ ПО ТЕМЕ: ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ
Примерный вариант заданий с решением
Проверить выполнение необходимого признака сходимости
1.
ряда:

а)

n 1

 1 
n  sin 
. ;
 n
б)
2

n2
3
n2
.
ln n
Исследовать ряды на сходимость.
2.


1
.;
а) 
n 1  3n  1  ln  3n  1
б)
3

n
n5  2
n 1
n 1

.;
в)
 2  n  1.
n2
n
Исследовать ряды на абсолютную и условную сходимость.


n 1 2n  1

n 1

1
.


а) 
;
б)   1 sin n .
n  n  1
2
n 1
n 1
3.
Найти область сходимости ряда:
4.

( x  4) n
.
б)  n
n 1 3  4n  1

xn
.;
а) 
n 1  n  1 !
5.
Вычислить приближенно с точностью   0,01 интеграл:
0,4

0

x
2
1 e
dx.
x
Решение
 1 
.
 n
2
1. а) Общий член данного ряда: un  n  sin 
un  0.
Необходимым признаком сходимости ряда является: nlim

202
Найдём указанный предел:
 1 
 1 
sin 
sin 


 1 
n
n


2 1 
lim u n  lim n  sin 
 sin 

    0  lim
  lim
n 
n 
n 
1
1
 n
 n  n 
n
n
 1 
 lim sin 
  1  0  0;
n 
 n
sin x
 1 – первый замечательный предел).
x
Ответ: необходимый признак сходимости исходного ряда выполняется.
(так как lim
x 0
1. б) Общий член данного ряда: un 
3
n2
.
ln n
 

1
2 3
n
3 2
n
n
2
n 2

3
lim un  lim
    lim
 lim
 lim 1  lim 3 n 2    0.
n 
n  ln n
3 n 3 3 n
   n  ln n  n 1
n
n
Ответ: необходимый признак сходимости исходного ряда не выполняется.
3
2
2. а) Применим интегральный признак Коши–Маклорена.
Рассмотрим функцию f  x  
1
при x  1;   .
 3x  1 ln  3x  1
Проверим выполнение условий теоремы интегрального признака Коши–
Маклорена:
- f  x   0 при x  1;   ;
- f  x   непрерывна при x  1;   ;
- f  x   монотонно убывает при x  1;   ,
так как f   x   
3  ln  3x  1  1
 3x  1
2
ln 2  3x  1
 0 при x  1;   .
Так как выполнены все условия указанной теоремы, то можно применить
интегральный признак Коши–Маклорена:
I



1
1
 f  x  dx  


  d  3x  1  1

dx
1
 lim  

lim
ln
ln
3
x

1




1
 3x  1 ln  3x  1 3    1 ln  3x  1  3  


1
lim ln ln  3  1  ln ln 4    I  расходится  исходный ряд расходится .
3  
Ответ: расходится.
203
2. б) Общий член данного ряда: un 
3
n
n5  2
.
Рассмотрим вспомогательный ряд:


n 1
3
n
n5

1

n 1
n
5 1

2 3


n 1
с показателем p 
1
n
13
6
 это ряд Дирихле
1
13
 1  этот ряд сходится, его общий член vn  13 .
6
n6
Применим предельный признак сравнения данного и вспомогательного
рядов:
13
6
3
un
n n
n  n5
n5
1
q  lim
 lim
 lim
 lim
 lim
1 0 
5
n  v
n 
n5  2 n n5  2  3 n n n  2 n 1  2
n
n5
3
исходный и вспомогательный ряды эквивалентны с точки зрения
сходимости. Учитывая, что второй эталонный ряд, взятый для сравнения,
является сходящимся, то и исходный ряд тоже сходится.
Ответ: сходится.
2. в) Применим признак Д’Аламбера.
 n  1  1  n  2 .
n 1
un  n
, un 1  n 1
2  n  1
2   n  1  1 2  2n  n
n
un1
n  2 2  n  1 1
n2
n 1 1
 lim


lim

lim
  1  ряд
n  u
n  2  2n  n
n  n  1 n  n
n

1
2
2
n
q  lim
сходится.
Ответ: сходится.
3. а)
1)
Исходный ряд является знакочередующимся.

2n  1
2n  1
, un 
Составим для него абсолютный ряд: 
и исследуем
n  n  1
n 1 n  n  1
его на сходимость.
204

Рассмотрим вспомогательный ряд:
1
n 
это расходящийся гармонический
n 1
1
ряд, его общий член vn  .
n
Применим предельный признак сравнения абсолютного и вспомогательного
рядов:
 2n  1 n  lim 2n  1  2  0 
u
q  lim n  lim
абсолютный ряд расходится,
n  v
n  n  n  1
n  n  1
n
так как проводили сравнение с расходящимся рядом. А значит исходный ряд
не сходится абсолютно.
2)
Исследуем исходный ряд на условную сходимость.
Проверим выполнение условий теоремы признака Лейбница:
** un  un1.
un  0;
* nlim

2 1
 2
2n  1
n
n   0   0  первое условие выполнено;
un  lim
 lim
* nlim
 1 

n  n  n  1
n 
1
1
n
** Для проверки второго условия рассмотрим функцию
f  x 
2x 1
2x 1
 2
x  x  1 x  x
Исследуем
f  x 
эту
2  x 2  x    2 x  1
x
2
 x
2
функцию
2

2x2  2 x  1
x
2
 x
2
на
монотонность:
 0, при x  1, а так как
un n1 является монотонно убывающей 

f  n   un , то
un  un1.
Значит, все условия теоремы признака Лейбница выполнены  исходный
ряд сходится условно.
Ответ: сходится условно.
3. б)
1) Исходный ряд является знакочередующимся.

Составим для него абсолютный ряд:

 sin 2
n 1
на сходимость.
205
, un  sin
n

2n
и исследуем его


2
Рассмотрим вспомогательный ряд:
n 1
n
 составленный из членов
геометрической прогрессии с общим членом 𝑣𝑛 =
𝜋
2𝑛
и знаменателем
1
𝑞 = < 1, а значит ряд сходится.
2
Применим первый признак сравнения абсолютного и вспомогательного
рядов. Так как un  sin

2
n
 vn 

2n
при n  1, то абсолютный ряд сходится
 исходный ряд сходится абсолютно.
Ответ: сходится абсолютно.
4. а) Исследуем на сходимость исходный ряд по признаку Д’Аламбера.
un 1  x 
x n  x   n  1!
x n1  n  1!
1
q  lim
 lim


lim

x

lim
 0 1
n  u  x 
n  (n  2)!
n  x n  (n  2)  (n  1)!
n  n  2
xn
n
при всех значениях х  исходный ряд сходится при любом x   ;   .
Ответ: x   ;   .
( x  4)n
.
4. б) Общий член исходного ряда un ( x)  n
3  4n  1
1)
Применим признак
сходимости исходного ряда:
(1)
Д’Аламбера для нахождения
интервала
1
u  x
 x  4   3  4n  1  x  4  lim n  x  4  1  x  4  3 
q  lim n 1
 lim
n
n  u  x 
n 
n 
5
3
3
 x  4   3n1  4n  5
n
4
n
  3  x  4  3   7  x  1  x   7; 1  интервал сходимости ряда 1 .
n 1
4
n
Исследуем ряд (1) на сходимость в точке x  7 :
2)


1

(7  4) n
n

   1  bn – это знакочередующийся ряд.
(2)  n
4n  1 n 1
n 1 3  4n  1
n 1

n


n 1
n 1
Составим его абсолютный ряд (3)  bn  
206
1
.
4n  1

Сравним ряд (3) с рядом (4)

v  
n 1
ряд Дирихле с показателем p 
n
n 1

1
1
  1 – это положительный
n n 1 n 2
1
 1 , а значит ряд (4) расходится.
2
bn
n
1
 lim
  0  по 2-му признаку сравнения
vn n 4n  1 2
рядов с положительными членами, ряд (3) расходится  ряд (2) не сходится
абсолютно.
Исследуем ряд (2) на условную сходимость по признаку Лейбница:
Найдем предел: nlim

bn  lim
а) nlim

n 
1
 0  верно;
4n  1
б) Рассмотрим функцию f  t  
1
 1

, D  f     ;   .
4t  1
 4

Исследуем ее на монотонность:
2
 1

f (t )  
 t  1;, D( f )    ;  , а так как f ( n)  bn ,
3
 4

4t  1
то последовательность
bn n1

монотонно убывает.
Тогда по признаку Лейбница ряд (2) сходится условно  x  7  D  x  .
Исследуем ряд (1) на сходимость в точке x  1 :
3)


(1  4)n
1


(3)  n

 bn – этот ряд расходится (установили в п.
4n  1 n1
n 1 3  4n  1
n 1

2)  x  1 D  x  .
Ответ: 𝐷(𝑥) = [−7; −1).
5. Разложим функцию e
x
2

x
2
2
в ряд Маклорена:
3
4
1  x
1  x
x x 2 x3
x4
 x 1  x
e  1                  ...  1    
 ...
2 8 48 384
 2  2!  2  3!  2  4!  2 
Тогда:

207
0, 4

0
1 e
x
x

2


x x 2 x3
x4
1  1  


 ...
0, 4
2 8 48 384

1 0, 4 
x 2 x3
x4


dx  
dx  ...   1 


 ...dx 
x
2 0
4 24 192
0

0, 4

1
x 2 x3
x4
1
0,16 0,064 0,0256

  x 


 ...   0,4 


 ...  ...  0,19
2
8 72 768
2
8
72
768

0
с точностью   0,01 , так как весь «хвост» ряда, начиная с 0,00044, –
сходящийся знакочередующийся ряд, а значит, (по признаку Лейбница)
сумма его не превзойдет по величине первого члена – 0,00044 ˂ 0,01.

x
1 e 2
dx  0,19.
Ответ: 
x
0
0,4
Варианты заданий для самостоятельного решения (1–30)
Вариант 1
Проверить выполнение необходимого признака сходимости ряда:


ln n
 1 
2
а)  n  sin  2  .
б)  3 .
n 
n 1
n 1
n
2.
Исследовать ряды на сходимость:
1.
3

 n  1 .
n 1
1
.
.
б)
в)


4
n!
n 1
n 1
n  2 n  ln n
n7  n
Исследовать ряды на абсолютную и условную сходимость:


n n 1
n
n 1

1
.
.


б)   1

n
5
n 1
n 1
n3  1
Найти область сходимости ряда:


( x  4)n
n
.
б)  n ! x .

n
2
n 1 2  n  5
n 1
а)
3.
а)
4.
а)
10



1  e2 x
dx.
Вычислить приближенно с точностью   0,001 интеграл: 
x
0
0,1
5.
208
Вариант 2
1.
Проверить выполнение необходимого признака сходимости ряда:

ln n


.
n   arctgn   .
б)  2

2


n 1
n 1
n n
Исследовать ряды на сходимость:



ln  3n  2 
n2
4n
.
.
.
б)  4
в) 

3
2
3n  2
n 1
n 1 n  4n  5n
n 1 2n  3
Исследовать ряды на абсолютную и условную сходимость:
2


n n 2

n 1
.
 1 sin 2 .
б)   1

5
n
n

1
n 1
n n
Найти область сходимости ряда:

а)
2.
а)
3.
а)
4.
а)

( x  3) n
n 1
3  n 1

n
3
3

.
xn
б)  .
n 1 n !
 x
ln 1  
 5 dx.
Вычислить приближенно с точностью   0, 001 интеграл: 
x
0
1
5.
Вариант 3
Проверить выполнение необходимого признака сходимости ряда:

2n  1
2
.
а)  n  arcctgn.
б)  2
n 1
n 1 5n  3n
2.
Исследовать ряды на сходимость:



1
3n  n 2
2n 2  1
.
.
.
а) 
б) 
в) 
2
5n
n  2 n   ln n  25 
n 1
n 1
7 n5  n
1.

Исследовать ряды на абсолютную и условную сходимость:
n

n 3n  2
n 1 2
.
.
а)   1
б)   1
n!
n 1
n 1
n3  4
4.
Найти область сходимости ряда:


xn
( x  1)n
n
.
а)   1 n
б)  n .
4   2n  7 
n 1
n 1 n
3.

0,2
5.
Вычислить приближенно с точностью   0, 001 интеграл:
 sin 25x dx.
2
0
209
Вариант 4
Проверить выполнение необходимого признака сходимости ряда:
1.

n
 1 
.
n

sin
.
б)

3 
n  2 ln n
n 1
 n
Исследовать ряды на сходимость:

4 3


arcctgn
n2  5
n
.
.
б)  3 .
в) 

2
n 1  n  2  !
n 1
n 1 n  1
n 3
Исследовать ряды на абсолютную и условную сходимость:


n 1 2n  1
1
n
.
.
 1
б)   1

3
n2  1
n ln n
n 1
n2
Найти область сходимости ряда:

а)
2.
а)
3.
а)
4.
а)


n 1
( x  4) n
3
n2

2
3
n 1
2

б)
n
n 1 n
x .
n 1
1
2
Вычислить приближенно с точностью   0, 001 интеграл:  cos x dx.
5.
0
Вариант 5
1.
Проверить выполнение необходимого признака сходимости ряда:

2n 2  3n  1
 1 
.
 n  1  sin 
б) 

.
6n 3  5
 n 1 
n 1
n 1
Исследовать ряды на сходимость:



1
n2
72n
.
.
.
б)  7
в) 

2
n 1  3n  2   ln  3n  2 
n 1
n 1 9n  2
n 5
Исследовать ряды на абсолютную и условную сходимость:


5
n 1
n
n
.

1
.


б)   1 tg

 n  1 n  2  n  3
n
n 1
n 1
Найти область сходимости ряда:


( x  5)n
n
xn

1
.
  n
.
б) 

5   3n  2 
n 1
n 1  n  3  !

а)
2.
а)
3.
а)
4.
а)
0,1
5.
6 x
dx.
Вычислить приближенно с точностью   0, 001 интеграл:  e
0
210
2
Вариант 6
1.
Проверить выполнение необходимого признака сходимости ряда:

ln n


.
n

arctg
n

.
б)




3 2
2

n 1
n 1
n 1
Исследовать ряды на сходимость:



4n  3
e n
52 n
.
.
.
б) 
в) 

3
n

1
!


n
n 1
n 1
n 1
2n  1
Исследовать ряды на абсолютную и условную сходимость:
n 1


n 1 3
2n  1
n

1
.
.
 
б)   1

n
5
n

3
n
!


n 1
n 1
Найти область сходимости ряда:


( x  7) n
n
n
.
n  1  x  1 .

б)


n 3
3
n 1 7  8n  1
n 1
0,2
1  e x
dx.
Вычислить приближенно с точностью   0,001 интеграл: 
x
0

а)
2.
а)
3.
а)
4.
а)
5.
Вариант 7
1.
а)
2.
а)
3.
а)
Проверить выполнение необходимого признака сходимости ряда:


3n  1
2
2
n

arcctgn
.
.
б)  2

n

2
n 1
n 1
Исследовать ряды на сходимость:



n2
6n
ln 3 (7n  6)
.
.
.
б) 
в) 

7n  6
n 1  2n  1 !
n 1
n 1
5n7  3
Исследовать ряды на абсолютную и условную сходимость:


n
n 1

n

1
.
 

1
sin
.



б)

3
n2
n 1
n 1
 3n  1
Найти область сходимости ряда:
4.

а)   1
n 1
n
( x  7)n
.
6n   5n  2 

б)
  n  1! x  1 .
n
n 1
Вычислить приближенно с точностью   0, 001 интеграл:
 x
0,4 ln  1 

 2 dx.
0 x
5.
211
Вариант 8
1.
а)
2.
а)
3.
а)
4.
а)
Проверить выполнение необходимого признака сходимости ряда:


n3
3
2 1
.
б) 
2
 n  sin n 3
ln
n
n2
n 1
Исследовать ряды на сходимость:



1
3n  1
10n  1
.
.
.

б)
в)


3
2 
3
n

2
!
n 3 2


n

1
n

1
2n  3
n cos
n
Исследовать ряды на абсолютную и условную сходимость:


n3
5n  2
n 1
n
.
.
 1
б)   1

 n  1!
n 1
n 1
3n3  1
Найти область сходимости ряда:

( x  5) n
n 1
3n  4 2n 4  3

 x  1 .
б) 
n 1  2n  1 !
n

.
5. Вычислить приближенно с точностью   0,001 интеграл:
0,5
2
 cos(4 x )dx.
0
Вариант 9
1.
Проверить выполнение необходимого признака сходимости ряда:

ln n

2 
n   arctgn   .
б)  3 5

2

n 1
n 1
n
Исследовать ряды на сходимость:



1 3  5  ...   2n  1
3n  2
1

.
.
б)  3
в) 
 n 2  sin n
2n  3
n 1
n 1
n 4
n 2
Исследовать ряды на абсолютную и условную сходимость:


n2
n 2n  1
n 1
 1 n .
б)  ( 1)
.

5
2
n 1
n 1
2n  1
Найти область сходимости ряда:
n


 x  1 .
( x  2)n
n
.
 1 n
б) 

n
2
n 1  n  1
n 1
3  4n  1

а)
2.
а)
3.
а)
4.
а)
5. Вычислить приближенно с точностью   0,001 интеграл:
0,1
2
 sin(100 x )dx.
0
212
Вариант 10
Проверить выполнение необходимого признака сходимости ряда:


4 n 7
.
n

arcctg
n
.
а) 
б) 
2
n

1
n 1
n 1
2.
Исследовать ряды на сходимость:
1.


n2  2
7n  2
2
1
.
.
cos
.

б)
в)


2
2
2
n

3
!
n

5
n
n
n

n 1 
n 1
n 1
Исследовать ряды на абсолютную и условную сходимость:


2
n 1
4n
n
.
.
 1
б)   1

n
ln
n
2
n

7
!


n 1
n2
Найти область сходимости ряда:

а)
3.
а)
4.

( x  4)n
.
а)  n
n 1 5  6n  5

б)
 n  x  2 .
n 1
n
n 1
0,2
Вычислить приближенно с точностью   0, 001 интеграл:
5.

e 3 x dx.
2
0
Вариант 11
Проверить выполнение необходимого признака сходимости ряда:

ln n
 1 
.
.
а)  n  tg 
б)


3 7
n 1
n 1
 n
n
2.
Исследовать ряды на сходимость:



4n  7
2n  1
1
.
.
а) 
б)  3
в)  n .
2
n 1  8n  3  ln  8n  3
n 1 3n  n
n 1
1.

Исследовать ряды на абсолютную и условную сходимость:


n 2n  3
n 1 5n  1
.
.
а)   1
б)   1 2
n
n 4
3
n 1
n 1
4.
Найти область сходимости ряда:
3.

а)
  1
n 1
( x  1)n
n
6  4n  7
n
2
 x  2 .
б) 
n 1  n  1 !

.
n
0,2
5.
Вычислить приближенно с точностью   0, 001 интеграл:

0
213

x
4
1 e
dx.
x
Вариант 12
Проверить выполнение необходимого признака сходимости ряда:


ln n
3 
а)  n   arctgn   .
б)  3 3 .
2

n 1
n 1
n 2
2.
Исследовать ряды на сходимость:

3

 1  4  7  ... (3n  2)
3  1n
1  n4
e
.
.
а)  2
б)  2
в) 
n 1 n
n 1 n  3n  4
2n
n 1
1.

Исследовать ряды на абсолютную и условную сходимость:

n 3n  2
n 1 ln n
.
.
а)   1
б)   1
n
5
n
n 1
n 1
4.
Найти область сходимости ряда:
3.

( x  2)n
.
а)  n
n 1 3   4n  1


б)
 n  x  3
n 1
n
.
n 1
Вычислить приближенно с точностью   0, 001 интеграл:
0,1
ln 1  2 x 
0 x dx.
5.
Вариант 13
1.
а)
2.
а)
3.
а)
4.
Проверить выполнение необходимого признака сходимости ряда:


2n3  5n  7
.
n  arcctgn.
б) 

4n 3  5
n 1
n 1
Исследовать ряды на сходимость:



n3
4n 1
10
.
.
.
б) 
в) 

7
n 1
n 1 5n  2
n 1  2n  5   ln  2n  5 
4n 9  5
Исследовать ряды на абсолютную и условную сходимость:


n 7n  2
5n  1
n

1
.
.



б)   1
3
2
n

1
!


n 1
n 1
4n  7
Найти область сходимости ряда:
( x  5)n
.
а)   1 n
5   3n  2 
n 1

n

б)
  2n  1!  x  2  .
n
n 1
0,5
5.
Вычислить приближенно с точностью   0, 001 интеграл:
 sin 4 x dx.
2
0
214
Вариант 14
Проверить выполнение необходимого признака сходимости ряда:

 3 2
n 1
3
2 1 
.
а)  n  tg  3  .
б) 
ln n
n 1
n2
 n 
2.
Исследовать ряды на сходимость:
1.
arcctg  3n  2 

а)

4n  5
.
б)  3
2
n

n

1
n 1


42 n
.
в) 
n 1 1000n
.
2
1   3n  2 
3.
Исследовать ряды на абсолютную и условную сходимость:


1
n 1
7n  3
n

1
.


.
а)
б)   1
n  n  2
n  9n  2 
n 1
n 1
4.
Найти область сходимости ряда:
n 1

а)

( x  2) n
n 1
3  8n  7

n
3
4
 x  1 .

n 1  2n  1 !
n

.
б)
0,2
5.
Вычислить приближенно с точностью   0,001 интеграл:
 cos 25x dx.
2
0
Вариант 15
1.
а)
2.
а)
3.
а)
4.
а)
Проверить выполнение необходимого признака сходимости ряда:


ln n


.
n   arctg n   .
б)  2

n

n
2


n 1
n 1
Исследовать ряды на сходимость:



n2  1
n3  3
4
.
.
.
б)  5
в) 

2
n 1  n  1 !
n 1 n ln n  4
n 1 5n  2n
Исследовать ряды на абсолютную и условную сходимость:


1
n
5n
n 1
.
.
 1
б)   1

ln
n

1
2
n

1
!




n 1
n 1
Найти область сходимости ряда:
n


 x  1 .
( x  1)n
.
б) 

n
3
n 1 2 n  4  5n  2 
n 1  n  1
0,3
2 x
Вычислить приближенно с точностью   0, 001 интеграл:  e dx.
2
5.
0
215
Вариант 16
Проверить выполнение необходимого признака сходимости ряда:


2n  5
3
2
.
а)  n  arcctgn .
б)  2
n 1 n  3n
n 1
2.
Исследовать ряды на сходимость:
1.

1 3  5  ...   2n  1
3n  1
.
б)  3 .
в) 
 n  1!
n 1
n 1 2n  3
Исследовать ряды на абсолютную и условную сходимость:


n 1 ln n
1
n
.

1
.
  n2
б)   1

2
5
n

1
n


n 1
n 1
Найти область сходимости ряда:

а)
3.
а)
4.
а)

( x  9) n
n 1
10n  4 2n3  7

 x  1 .
б) 
n 1  n  2  !
n

.
1  e3 x
dx.
Вычислить приближенно с точностью   0,001 интеграл: 
x
0
0,2
5.
Вариант 17
1.
Проверить выполнение необходимого признака сходимости ряда:

l 6n  7
 1 
.
n

2

arcsin
.


б)




3
n2
n 1 4 n  1
n 1
Исследовать ряды на сходимость:



n3
n 2  2n  3
3 2
.
.
tg
.
б)
в)





n
2
5
e
n
n
 
n 1
n 1
n 1
n  3n  1
Исследовать ряды на абсолютную и условную сходимость:


9
7
n 1
n
.
.
 1
б)   1

n ln n
 n  1 n  2
n 1
n2

а)
2.
а)
3.
а)
Найти область сходимости ряда:
4.

а)

n 1
5.
0,1

0
( x  3) n
4n  4 n 2  8

.
б)
  n  1! x  2  .
n
n 1
Вычислить приближенно с точностью   0,001 интеграл:
ln 1  3x 
dx.
x
216
Вариант 18
Проверить выполнение необходимого признака сходимости ряда:


7n2  3
1
2 
.
а)  n  1  cos  .
б)  5
n

n 1
n 1
n  2n
2.
Исследовать ряды на сходимость:
1.

а)

n 1
 n  2
.

5
n

4
3
n

1



n 1
3

7
 2n  1 3 ln 4  2n  1
.
б)

4n
.
в) 
2
n
!


n 1
Исследовать ряды на абсолютную и условную сходимость:
2

n n2
n 1 1  n
1
.
.

а)   1
б)

1 n n
n 1
n 1
n  n7
4.
Найти область сходимости ряда:
3.

а)

( x  8)n
n 1
7 n  3 4n 3  5


.
б)

 x  2
n
n!
n 1
.
0,4
Вычислить приближенно с точностью   0,001 интеграл:  sin
5.
0
25 x 2
dx.
4
Вариант 19
Проверить выполнение необходимого признака сходимости ряда:


2n  1

2 
.
а)  n    arctg n  .
б) 
2
2

n 1 5ln n  3
n 1
2.
Исследовать ряды на сходимость:
1.
21
.
а)  2
n

1
arctgn
n 1 

2n 3  1
.
7 n5  n


б)

n 1
6n  5n 2
.
в) 
n

2
!


n 1

Исследовать ряды на абсолютную и условную сходимость:

3n  2
n
n 1 3n  1
.

1
.
а)   
б)   1
4
n

1
5
n

6
n
!



n 1
n 1
4.
Найти область сходимости ряда:
3.

( x  3) n
.
а)   1 n
2   7n  2 
n 1

n

б)

n 1
 x  2
n n 1
n
.
0,1
5.
Вычислить приближенно с точностью   0, 001 интеграл:
 cos100 x dx.
2
0
217
Вариант 20
Проверить выполнение необходимого признака сходимости ряда:
1.


а)
 n arcctgn.
3
б)
n 1
Исследовать ряды на сходимость:
2.
2


e n

7n
.
tg
.
.
б) 
в) 

3
n
n 1  2n  1 !
n 1 n
n 3
Исследовать ряды на абсолютную и условную сходимость:


2n  1
n
n 1 5n  4

1
.


.

б)   1
2
n 1  n 
n2  3
n 1
n 1
Найти область сходимости ряда:

а)
3.
а)
4.
( x  3)n

а)
ln n
.
n
n 1


n 1
5  n 4
n
3
3

.
б)
  n  1  x  1
n
n
.
n 1
0,5
Вычислить приближенно с точностью   0,001 интеграл:
5.
e

3 x2
25 dx.
0
Вариант 21
Проверить выполнение необходимого признака сходимости ряда:

3n2  2n  1
1 
4 
.
а)  n  1  cos 2  .
б)  3
2
n 

n 1 6n  2n  4n  5
n 1
2.
Исследовать ряды на сходимость:



4n  3
n2  7
2
.
.
а)  2
б)
в)


7
n
2
n

5
n
n

1
n

1
n

2
n1 n  1 arctg n
1.



Исследовать ряды на абсолютную и условную сходимость:


5n  2
n 1
n 5n  1
.
.
а)   1
б)   1
2
n
n  3n  1
4
n 1
n 1
4.
Найти область сходимости ряда:
3.
( x  3)n
.
а)   1 n
3   3n  2 
n 1

n
 x  5 .
б) 
n 1  n  3  !
n

1  e5 x
dx.
Вычислить приближенно с точностью   0, 001 интеграл: 
x
0
0,3
5.
218
Вариант 22
1.
Проверить выполнение необходимого признака сходимости ряда:


5n 2  3
3 2 
n

arctgn

.
.
б)  2



2
n

n

1

n 1
n 1
Исследовать ряды на сходимость:



5
3
5n  3
3n  11
sin
.
.
б) 
в)  2 n .

 
2
5
n
n 1 n
n 1 n n  2n  1
n 1
Исследовать ряды на абсолютную и условную сходимость:


n
n 1
4n  3
n

1
.

1
.
 


б)


3n3  1
 3n  1 n  3
n 1
n 1
Найти область сходимости ряда:

а)
2.
а)
3.
а)
4.

а)

n 1
( x  4)n
7 n  4n 2  1

.
б)
  n  2! x  7  .
n
n 1
Вычислить приближенно с точностью   0, 001 интеграл:
 x
0,3 ln  1 

 3 dx.
0 x
5.
Вариант 23
Проверить выполнение необходимого признака сходимости ряда:

ln n
3
3
а)  n  arcctg n .
б)  3 .
n 1
n 1
n
2.
Исследовать ряды на сходимость:



3
n!
2n 2  1
2
cos
.
.
а)  2
б) 
в)  n .
 
2
2
n
n 1  n  2   n  3
n 1 n
n 1 n
1.

Исследовать ряды на абсолютную и условную сходимость:
n

1
n 1 7
n
.
.
а)   1
б)   1 tg
n!
n
n 1
n 1
4.
Найти область сходимости ряда:


n
( x  7)n
n
.
а)   1 n
б)   n  1! x  1 .
6   8n  2 
n 1
n 1
3.

1
5.
x2
Вычислить приближенно с точностью   0, 001 интеграл:  sin dx.
4
0
219
Вариант 24
1.
а)
2.
а)
3.
Проверить выполнение необходимого признака сходимости ряда:


2n n  1
n2
.
n

e

1
.
б) 

3
n 1 2n 
n 1
n
Исследовать ряды на сходимость:



10
5n  9
10n
.
.
.

б) 
в) 
2
2 
n2 2
3
n

2
3

2
n
n
n

1
n

1
n sin
n
Исследовать ряды на абсолютную и условную сходимость:



n  3n
3n  5
n 1
.
.
а)   1 3
б)   1
3n  1
n 4
n 1
n 1
4.
Найти область сходимости ряда:
n


 x  7 .
( x  5)n
.
а)  n 4
б) 
4
n 1  2n  1 !
n 1 4  16n  3

n
0,4
Вычислить приближенно с точностью   0, 001 интеграл:
5.

cos
0
25 x 2
dx.
4
Вариант 25
1.
а)
2.
а)
3.
а)
4.
Проверить выполнение необходимого признака сходимости ряда:


lg n
 1 
2
n  arcsin  2  .
б)  n .

n 
n 1 7
n 1
Исследовать ряды на сходимость:



1
n 1
5
n

1
.
.
б)
в)



7
4
n
2
3
n  2 n  ln n
n

1
n7
n1 3  n  4n
Исследовать ряды на абсолютную и условную сходимость:


n 7n  1
n 1 7 n  3

1
.
.


б)   1

n
9
n 1
n 1
n3  2
Найти область сходимости ряда:

а)
  1
n 1
n
( x  4)n
12n  9n 2  5

.
б)

 x  7
n 1
nn
n
.
0,4
5.
Вычислить приближенно с точностью   0, 001 интеграл:
e
0
220

3 x2
4 dx.
Вариант 26
Проверить выполнение необходимого признака сходимости ряда:

1
ln n
а)  n  arctg .
б)  7 .
n
n 1
n 1
n
2.
Исследовать ряды на сходимость:



3n  2
arctg 6  3n  2 
4n
.
.
.
а) 
б)  4
в) 
3
2
2
n 1  2n  3 !
n 1 1   3n  2 
n 1 5n  2n  7 n
1.

Исследовать ряды на абсолютную и условную сходимость:

n 1
3n 2  2
n
2 1

1
sin
.
.
а)   
б)   1
n
n 1
n 1
9n 4  7 n
4.
Найти область сходимости ряда:
3.


а)

n 1
( x  3) n
3n  3 n3  1

.
б)
 n! x  7  .
n
n 1

x
4
1 e
dx.
Вычислить приближенно с точностью   0, 001 интеграл: 
x
0
0,2
5.
Вариант 27
1.
Проверить выполнение необходимого признака сходимости ряда:


2n n  17

3
n   arctgn   .
.
б) 

3
2

n 1 5 n  3n
n 1
Исследовать ряды на сходимость:



41
3n  7n 2
2n  1
.
.
.

б) 
в) 
n
3
2 1
2
n 1 2
n

1
n

1
7
n

n
n  cos
n
Исследовать ряды на абсолютную и условную сходимость:
2


1
n 3n  2
n 1
.
.
 1
б)   1 3

2
n

1
ln
n

1
n

4




n 1
n 1
Найти область сходимости ряда:

а)
2.
а)
3.
а)
4.
( x  2)n
.
а)   1 n
7   2n  5 
n 1

n
 x  6 .
б) 
n 1  n  6  !

n
0,1
5.
Вычислить приближенно с точностью   0, 001 интеграл:

0
221
 x
ln 1  
 4 dx.
x
Вариант 28
1.
а)
2.
а)
3.
а)
4.
а)
Проверить выполнение необходимого признака сходимости ряда:


n4
2 1 
3
n  arcsin  3  .
.
б)  2

n
ln
n
n 1


n2
Исследовать ряды на сходимость:



n2  5
3n 2  8
arcctg 3 3n
.
.
б) 
в)  7 n .

2
5
9
n

1
n 1
n 1 e
n 1
6n  3n
Исследовать ряды на абсолютную и условную сходимость:



n 2 2 n2
n 1
 1 3 e .
б)   1 tg .

n
n
n2
n 3
Найти область сходимости ряда:
n


x  11
( x  4) n

.
.
б) 

n
n n 1
n 1 8  n
n 1
0,4
5.
Вычислить приближенно с точностью   0,001 интеграл:
e

2 x2
5 dx.
0
Вариант 29
1.
а)
2.
а)
3.
а)
4.
а)
Проверить выполнение необходимого признака сходимости ряда:

 2n 2  3n  1
 n11 
n

1

e

1
.


б) 



4
n 1


n1 6n  5
Исследовать ряды на сходимость:



ln 2  3n  2 
n2  1
3n 2  5
.
.
б)  7
в)  n .

3
3n  2
e
n 1
n 1
n 1 n  6n  1
Исследовать ряды на абсолютную и условную сходимость:



n
5n  2
n 1

1
sin
.
.


б)   1

3
n
3n  n n
n 1
n 1
Найти область сходимости ряда:


( x  6)n
n
n

1
.


б)   n  3! x  12  .

n
7   3n  2 
n 1
n 1
1  e4 x
dx.
Вычислить приближенно с точностью   0, 001 интеграл: 
x
0
0,1
5.
222
Вариант 30
1.
а)
2.
а)
3.
а)
4.
а)
5.
0,4

0
Проверить выполнение необходимого признака сходимости ряда:

 3 n11
1 

n

1

cos
.
б) 



n
n 1

n 1 ln n
Исследовать ряды на сходимость:



4
22 n
4 7 n5  3
.
.
.

б) 
в) 
1
n 1 2
n 1
n 1 5n  3
2n 3  1
n sin 2
n
Исследовать ряды на абсолютную и условную сходимость:


n 1
n
n
 n2
.
 1 ne .
б)   1

n 1
n 1
5 n3  3
Найти область сходимости ряда:
n


( x  9)n  n
x  5

.
.
б) 

n
2
3
n

1
!


n 1 11   6n  1
n 1
Вычислить приближенно с точностью   0, 001 интеграл:
 2x 
ln 1  
7 

dx.
x
223