Función
Exponencial
FUNCIONES ALGEBRAICAS Y
TRASCENDENTALES
Objetivos del tema
Al concluir esta lección, deberás ser capaz de:
• Graficar una función exponencial.
• Aplicar las propiedades exponenciales.
FUNCIÓN
EXPONENCIAL
La función exponencial es la que tiene como
exponente a la variable.
Esta definida por la forma:
𝒇 𝒙 = 𝒂𝒃𝒙
𝒇 𝒙 = 𝒂𝒃(𝒙−𝒄) +d
en el origen
Fuera del origen
La función exponencial de base b, cuando a=1; está
definida para b>0 y b≠1 se expresa como:
𝒙
𝒇 𝒙 =𝒃
base
exponente
𝒙
Las propiedades de 𝒇 𝒙 = 𝒃 son:
Cuando:
•
0<b<1 (b es una fracción) ,es
decir, si el valor de la base está en
el intervalo (0,1) se tendrá una
función exponencial decreciente.
•
b=1 se obtiene una función
constante en f(x)=1 dado que el
valor de 1 elevado a cualquier
potencia será siempre 1, es por
ello que no puede tomar este valor.
Propiedades (continuación)…
•
b>1 se obtiene una
exponencial creciente.
función
•
La intersección con el eje “y” se da
siempre en P(0,1), dado que todo
número a la potencia 0 es 1.
•
El dominio de la función exponencial
representado por los valores que
puede tomar “x” esta definido por
todos los números reales, es decir,
(-ꚙ, ꚙ).
•
El rango esta definido en el intervalo
[a,ꚙ), ya que f(0)=a .
•
La función exponencial tiene función
inversa, la cual recibe el nombre de
función logarítmica.
Conclusión la función 𝑓 𝑥 =
𝑥
𝑏
Si b>1 la función es creciente
Si b= 1 la función es constante
Si 0 <b<1 la función es
decreciente
Función
Logarítmica
FUNCIONES ALGEBRAICAS Y
TRASCENDENTALES
FUNCIÓN LOGARÍTMO
Es la función inversa de la función exponencial, se expresa
como:
𝒇 𝒙 = log 𝑏 𝒙
Siendo b la base de esta función donde b>0 y b≠1.
Función
exponencial:
Función Logaritmo:
Función
exponencial:
Función Logaritmo:
𝒇 𝒙 = 𝒃𝒙
𝒇 𝒙 = 𝒆𝒙
𝒇 𝒙 = log 𝑏 𝒙
𝒇 𝒙 = 𝒍𝒏 𝒙
Equivalencia entre la función
logaritmo
exponente
y la función exponencial
exponente
c=
y= 𝒃
𝒃
𝒙
𝒂
log
𝒄
=
𝒃
log
𝒚
=
𝒙
𝒂
𝑏
base
base
Potenciación o resultado
Potenciación o resultado
Ejemplos: Expresar la expresión exponencial a expresión logarítmica
𝟐𝒙 = 8
log 𝟐 𝟖 = 𝒙
Ejemplos: Expresar la expresión logarítmica a expresión exponencial
log 𝟒 (𝟐𝒘 + 𝟑) = 𝒛
𝟒𝒛 = 2w+3
TEMAS EN ALEKS
FUNCIONES ALGEBRAICAS Y
TRASCENDENTALES
Tema 1: Tabla de una función
exponencial
La función h está definida por la siguiente regla. Hallar h(x) para cada
valor de x en la tabla.
𝟏
𝒇 𝒙 =
𝟐
𝒙
x
𝟏
𝒇 𝒙 =
𝟐
-2
-1
0
1
2
𝒙
P(x,y)
Tema 2. Trazar el gráfico de una
función exponencial y su asíntota:
x
f(x)=b
Trazar la función exponencial. Trazar cinco puntos en el gráfico de la función y también trazar la asíntota.
Luego hacer clic en el botón de graficar una función.
𝒙
𝒇 𝒙 =𝟐
x
𝒚 = 𝟐𝒙
-2
𝒚 = 𝟐−𝟐 (-2,0.25)
-1
𝒚 = 𝟐−𝟏 (-1, 0.5)
0
𝒚 = 𝟐𝟎
(0,1)
1
𝒚 = 𝟐𝟏
(1,2)
2
𝒚 = 𝟐𝟐
(2,4)
P(x,y)
Tema 3. Trazar el gráfico de una
función exponencial y su asíntota:
x
f(x)=a(b)
Trazar la función exponencial. Trazar cinco puntos en el gráfico de la función y también trazar la asíntota.
Luego hacer clic en el botón de graficar una función.
𝟐
𝒙
𝒇 𝒙 = (𝟐)
𝟓
x
-2
-1
0
1
2
𝒚 = 𝟐𝒙
𝟐
𝒚 = (𝟐)−𝟐
𝟓
P(x,y)
(-2, 1/10)
𝒚=
𝟐
(𝟐)−𝟏
𝟓
(-1, 1/5)
𝒚=
𝟐
(𝟐)𝟎
𝟓
(0, 2/5)
𝟐
𝒚 = (𝟐)𝟏
𝟓
(1, 4/5)
𝟐
(𝟐)𝟐
𝟓
(2, 8/5)
𝒚=
Tema 4. Trazar una función
exponencial y su asíntota: f(x)=b-x o
ax
f(x)=-b
Trazar la función exponencial. Trazar
cinco puntos en el gráfico de la función y también trazar la asíntota.
Luego hacer clic en el botón de graficar una función.
𝟏
𝒇 𝒙 =−
𝟐
𝒙
x
𝒚
P(x,y)
−𝟐
-2
𝟏
𝒚=−
𝟐
-1
𝟏
𝒚=−
𝟐
0
𝟏
𝒚=−
𝟐
𝟎
(0,-1)
1
𝟏
𝒚=−
𝟐
𝟏
(1,-0.5)
2
𝟏
𝒚=−
𝟐
𝟐
(2,-0.25)
−𝟏
(-2, -4)
(-1, -2)
Tema 5. Traslación de gráficas
Trasladar el función 𝑦 = 4𝑥 para convertirlo a 𝑦 = 4𝑥+2 + 1
Tema 6. Hallar el dominio y el rango
del gráfico de una función
exponencial
El gráfico de una función exponencial se muestra en la siguiente figura. La asíntota horizontal se
muestra como una recta entrecortada. Hallar el rango y el dominio.
DOMINIO: Todos los números reales,
es decir, (-∞, ∞)
RANGO: y < -2
es decir, (-∞, -2)
Tema 7. Gráfico, dominio y rango de una función
exponencial
Elabora la gráfica, define dominio y rango en notación de intervalo, así como la intersección
𝒙
con eje “y” de la siguiente función:
𝟏
𝒇 𝒙 =
𝟐
x
-2
-1
0
1
2
𝟏
𝒇 𝒙 =
𝟐
𝒙
P(x,y)
• Como b esta entre 0 y
1,
la
función
es
decreciente.
• El dominio es (-ꚙ,ꚙ)
• El rango es (0, ꚙ )
• La intersección con eje
“y” ocurre en P(0,1)
• La asíntota horizontal
es y=0
Tema 8. Trazar el gráfico de una función exponencial
y sus asíntotas: f(x) = a(e)x-b + c
Trazar el gráfico de la función exponencial. Marcar dos puntos en el gráfico de la función y también trazar la asíntota. Luego
hacer clic en el botón de graficar una función.
𝒇 𝒙 = 𝟑𝒆𝒙−𝟑 + 𝟐
x
𝒇 𝒙 = 𝟑𝒆𝒙−𝟑 + 𝟐
P(x,y)
3
𝒇 𝒙 = 𝟑𝒆𝟑−𝟑 + 𝟐
(3, 5)
4
𝒇 𝒙 = 𝟑𝒆𝟒−𝟑 + 𝟐
(4, 3e+2)
• El dominio es (ꚙ,ꚙ)
• El rango es (0, ꚙ
)
• La
asíntota
horizontal es y=2
Tema 9. Conversión entre
ecuaciones logarítmicas y
exponenciales
a) Reescribir cada ecuación como una ecuación logarítmica
𝟒𝟑 = 𝟔𝟒
log 𝟒 𝟔𝟒 = 𝟑
x= 𝟏𝟓
log 𝟏𝟓 𝒙 = 𝒛
𝒛
b) Reescribir la ecuación logarítmica a ecuación exponencial
log 𝟔
𝟏
= −𝟏
𝟔
𝒍𝒐𝒈 𝒙 = 𝟒
𝟔
−𝟏
𝟏
=
𝟔
𝟏𝟎𝟒 = x
Tema 10. Conversión entre la función
logaritmo natural y la función exponencial
a) Reescribir la ecuación exponencial a ecuación logarítmica natural
𝒆 =x
𝟗
𝒆
𝟕𝒂+𝟑
𝒍𝒏 𝒙 = 𝟗
=4
𝒍𝒏 𝟒 = 𝟕𝒂 + 𝟑
b) Reescribir la ecuación logarítmica natural a ecuación exponencial
𝒍𝒏 𝒙 = 𝟒
𝒍𝒏 (𝟓𝒂) = 𝟔
𝒆 =x
𝟒
𝒆𝟔 = 5a