Натуральные числа и нуль
Запись натуральных чисел
–
Натуральные числа представляют собой числа, которые применяются для измерения
определенных конкретных и материальных величин.
Это числовой ряд, включающий числа, которые считаются натуральными, такие как 1, 2,
3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13 и так далее..
Натуральный ряд представляет собой последовательность всех натуральных чисел,
упорядоченных по возрастанию.
Особенности натуральных чисел
 Наименьшее натуральное число является единица (1).
 Наибольшего натурального числа не существует, так как натуральный ряд является
бесконечным.
 Каждое следующее число в натуральном ряду больше предыдущего на единицу: 1,
2, 3, 4, 5, 6, 7 и так далее.
 Обозначение для множества всех натуральных чисел принято использовать
латинскую букву N..
Координатный луч
–
это луч на числовой прямой, на котором установлено начало отсчета, задано направление
отсчета и определен единичный отрезок
На координатном луче имеются отметки, которые разделяют луч на равные сегменты. Эти
сегменты называются делениями. В таких случаях говорят, что на линии нанесена шкала с
определенной ценой деления.
Координата точки - это число, которое соответствует определенной точке на
координатном луче.
Точке О соответствует число 0. Обозначают: О(0) .
Точке С соответствует число 2. Обозначают: С(2) .
На координатном луче можно отметить любое натуральное число.
Среди двух натуральных чисел, число, которое находится правее на координатном луче,
больше, а число, которое находится левее, меньше.
Сравнение натуральных чисел
–
Сравнение двух чисел представляет собой процесс определения, какое из них больше,
меньше или равно другому.
 Если числа равны, то между ними используется знак равенства "=". Например, 5 =
5


Если одно число больше другого, то это записывается с помощью символа ">",
который читается как "больше". Например, 13 > 5
В обратном случае, если число 5 меньше 13 , то используется знак сравнения "<",
который читается как "меньше". Например, 5 < 13
Для сравнения многозначных чисел существуют два правила, которые необходимо
запомнить.
1. Если у чисел одинаковое количество цифр, то более большим считается число, у
которого цифра в наивысшем разряде больше. Затем сравниваются цифры
последующих разрядов.
2. Если у чисел разное количество цифр, то более большим считается число, у
которого количество цифр больше.
Aрифметические действия с натуральными числами
–
Свойства основных арифметических операций:
Сложение:
Переместительное свойство: Порядок слагаемых не влияет на результат: 𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎
Сочетательное свойство: Порядок сложения не важен, скобки можно опустить: (𝑎 + 𝑏) +
𝑐 = 𝑎 + (𝑏 + 𝑐) = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐
Свойство нуля: Сумма нуля и любого числа равна этому числу: 𝑎 + 0 = 0 + 𝑎 = 𝑎
Вычитание:
Вычитание суммы из числа: Вычитая сумму, можно вычесть каждое слагаемое по
отдельности: 𝑎 − (𝑏 + 𝑐) = (𝑎 − 𝑏) − 𝑐
Упрощение выражения: Скобки в выражении (𝑎 − 𝑏) − 𝑐 можно опустить: (𝑎 − 𝑏) − 𝑐 = 𝑎 −
𝑏−𝑐
Вычитание числа из суммы: Вычитая число из суммы, можно вычесть его из одного
слагаемого, а результат прибавить к другому:(𝑎 + 𝑏) − 𝑐 = (𝑎 − 𝑐) + 𝑏
Умножение:
Переместительное свойство: Порядок множителей не влияет на результат: 𝑎 × 𝑏 = 𝑏 × 𝑎
Сочетательное свойство: Порядок умножения не важен, скобки можно опустить: (𝑎 × 𝑏) ×
𝑐 = 𝑎 × (𝑏 × 𝑐) = 𝑎 × 𝑏 × 𝑐
Свойство нуля: Умножение на ноль даёт ноль: 𝑎 × 0 = 0 × 𝑎 = 0
Распределительное свойство умножения:
Умножение суммы на число: Можно умножить каждое слагаемое на число и сложить
результаты: (𝑎 + 𝑏) × 𝑐 = 𝑎 × 𝑐 + 𝑏 × 𝑐
Деление:
Деление на ноль невозможно.
Деление нуля на число даёт ноль: 0 ÷ 𝑎 = 0
Деление на единицу не меняет число: 𝑎 ÷ 1 = 𝑎
Умножение или деление делимого и делителя на одно и то же число не меняет частное:
𝑎 ÷ 𝑏 = (𝑎 × 𝑘) ÷ (𝑏 × 𝑘) (где 𝑘 - любое натуральное число)
Числовые и буквенные выражения. Упрощение выражений
–
Математические выражения можно классифицировать на два типа: числовые и буквенные.
Числовые выражения состоят только из чисел и знаков действия. Например, выражение
"48 + 17 × 8 − 9 " является числовым, так как оно содержит только числа и знаки действия.
При выполнении всех операций, указанных в числовом выражении, получается числовое
значение этого выражения.
Буквенные выражения, в свою очередь, содержат не только числа и знаки действия, но и
буквы. В буквенном выражении буквы могут представлять различные числа. Числа,
которыми заменяют буквы, называют значениями этих букв. Например, выражение
"55𝑥 − 3𝑧 + 12𝑦 ".
Очень важно понимать, что при необходимости вычисления числового значения
буквенного выражения для различных значений буквы, необходимо сделать все
возможное, чтобы упростить это выражение.
Для примера, если нам нужно найти числовые значения буквенного выражения 7𝑥 + 32 +
3𝑥 + 23 при 𝑥 = 𝑁 , первым делом необходимо упростить буквенное выражение.
7𝑥 + 32 + 3𝑥 + 23 может быть упрощено до 10𝑥 + 55 . Только после упрощения мы можем
подставить числовые значения.
Таким образом, запомните, что при решении буквенных выражений для получения
числовых значений при разных значениях буквы, необходимо упростить выражение перед
подстановкой числовых значений.
Последовательность из натуральных чисел
–
Числовая последовательность представляет собой множество чисел, расположенных в
определенном порядке. Если в конце последовательности есть многоточие, это означает,
что последовательность является бесконечной, и мы видим только первую часть. Каждая
числовая последовательность имеет свой уникальный алгоритм построения,
определяющий закономерность между числами. Анализируя последовательность, можно
выявить, как следующее число получается из предыдущего.
Примеры видов числовых последовательностей:
 1; 2; 3; 4; 5; … – последовательность натуральных чисел;
 2; 4; 6; 8; 10; … – последовательность четных чисел;
 1; 3; 5; 7; 9; … – последовательность нечетных чисел;
Обыкновенные дроби и действия над ними
Обыкновенная дробь. Чтение и запись обыкновенных
дробей
–
Обыкновенная дробь представляет собой результат деления двух натуральных чисел, при
этом одно из чисел записывается в числителе дроби, а другое - в знаменателе. Каждая
дробь является частью целого числа, и часто в качестве целого числа принимается 1
(единица).
Для обозначения дробей используется горизонтальная черта, которую называют дробной
1 3
чертой. Дробь записывается в виде числитель/знаменатель, например, 2, 4 и так далее.
1
При чтении дробей сначала называется числитель, а затем знаменатель. Например, 2
3
читается как "одна вторая", 4 - " три четвёртых" и так далее.
Основное свойство обыкновенных дробей
–
Если умножить или поделить числитель и знаменатель дроби на одно и то же натуральное
число, то величина дроби не изменится.
Другими словами, если мы представим числитель новой дроби как произведение (или
частное) числителя первой дроби и любого натурального числа, а знаменатель новой
дроби как произведение (или частное) знаменателя первой дроби и того же числа, то
значение (величина) новой дроби при вычислении произведений (или частных) будет
таким же, как и у исходной дроби. Поэтому между заданной и полученной дробью можно
1
1×3
3
3×4
12
поставить знак равенства. Например: 2 = 2×3 = 6 = 6×4 = 24
Правильные и неправильные обыкновенные дроби.
Смешанные числа
–
Правильная дробь - это дробь, у которой числитель меньше знаменателя.
Неправильная дробь - это дробь, у которой числитель больше знаменателя.
Смешанная дробь - это комбинация натурального числа и правильной дроби. Она
записывается без знака плюс и представляет собой сумму натурального числа и
правильной дроби.
Перевод неправильной обыкновенной дроби в смешанное
число и смешанного числа в неправильную обыкновенную
дробь
–
Перевод неправильной обыкновенной дроби в смешанное число:
Неправильная обыкновенная дробь - это дробь, где числитель превышает знаменатель.
Для того чтобы преобразовать такую дробь в смешанное число, которое представляет
собой сумму целой части и правильной дроби, необходимо выполнить следующие
действия:
 Проверьте, является ли числитель больше знаменателя.
 Осуществите деление числителя на знаменатель с остатком.
 Полученное при делении целое число станет целой частью смешанного числа, а
остаток станет новым числителем образующейся правильной дроби.
 Значение знаменателя остается неизменным и остается таким же, как в исходной
дроби.
Пример:
Дробь - 59, Числитель (9), знаменатель (5).
1. 9 ÷ 5 = 1(4)
2. Целая часть - 1 , остаток - 4.
3. Результат: 1 45.
Перевод смешанного числа в неправильную обыкновенную дробь:
Смешанное число - это число, представляющее собой комбинацию целой части и
правильной дроби. Чтобы преобразовать смешанное число в неправильную
обыкновенную дробь, выполните следующие шаги:
 Умножьте целую часть на знаменатель и прибавьте числитель к этому результату.
 Полученное число станет числителем новой дроби, при этом знаменатель остается
таким же, как в исходном смешанном числе.
Пример:
Смешанное число - 2 56.
1. 2 × 6 + 5 = 12 + 5 = 17
17
2. Результат: 6 .
Изображение обыкновенных дробей и смешанных чисел на
координатном луче
–
Для изображения обыкновенных дробей на координатном луче, необходимо соблюдать
это правило:
Наиболее удобным способом отметить дробь на координатном луче является
использование единичного отрезка, содержащего столько клеточек, сколько составляет
знаменатель дроби. Например, если необходимо изобразить дробь с знаменателем 10, то
единичный отрезок лучше всего выбрать с длиной, равной 10 клеточкам.
Чем дальше вправо находится десятичная дробь на координатном луче, тем она имеет
большее значение. Аналогично, чем десятичная дробь расположена ближе к началу
координатного луча (слева), тем она имеет меньшее значение.
Приведение обыкновенных дробей к общему знаменателю
–
Общий знаменатель - это число, которое служит знаменателем для двух и более
обыкновенных дробей, делая их имеющими одинаковые знаменатели.
Обыкновенные дроби состоят из числителя - верхней части, и знаменателя - нижней части.
Когда дроби имеют одинаковые знаменатели, они считаются приведенными к общему
знаменателю.
В случае, если дроби имеют разные знаменатели, всегда можно привести их к общему
знаменателю при помощи несложных действий. Для этого необходимо умножить
числитель и знаменатель каждой дроби на определенные дополнительные множители,
чтобы получить новые эквивалентные дроби с одинаковыми знаменателями.
Дроби можно привести к общему знаменателю или наименьшему общему знаменателю.
Для достижения наименьшего общего знаменателя (НОЗ) при приведении дробей, следует
выполнить следующие этапы:
1. Если возможно, выполнить сокращение дробей.
2. Найти наименьшее общее кратное знаменателей данных дробей. НОК будет
служить их наименьшим общим знаменателем.
3. Разделить НОК на знаменатели исходных дробей, чтобы получить дополнительные
множители для каждой дроби.
4. Умножить числитель и знаменатель каждой дроби на соответствующий
дополнительный множитель.
Пример:
Дроби - 25 и 13.
1. Находим НОК знаменателей: НОК(5, 3) = 15.
2. Дополнительные множители для каждой дроби: 15 ÷ 5 = 3 (для 25), 15 ÷
1
3
).
= 5×3 = 15;
1
3
3 = 5 (для
3.
2
5
2×3
6
1×5
5
= 3×5 = 15;
Сравнение обыкновенных дробей и смешанных чисел
–
Равные смешанные числа - это числа смешанного типа, у которых и целые части, и
дробные части равны. Неравные смешанные числа - это смешанные числа, у которых
записи отличаются. Сравнивая два смешанных числа, если их целые части различаются,
то больше будет то число, у которого целая часть больше. В случае, если целые части
равны, то сравниваются дробные части, и больше будет то число, у которого дробная
часть больше.
Когда сравниваются две дроби с одинаковыми знаменателями, больше будет та дробь, у
которой числитель больше, а меньше - та, у которой числитель меньше.
Если же дроби имеют разные знаменатели, перед сравнением их необходимо привести к
общему знаменателю. После приведения дробей к общему знаменателю, они могут быть
сравнены с помощью правила сравнения дробей с одинаковыми знаменателями.
Сложение и вычитание обыкновенных дробей
–
Правило сложения дробей с одинаковыми и разными знаменателями:
Для сложения двух дробей с одинаковыми положительными знаменателями, нужно
просто сложить их числители, оставив знаменатель прежним. Для сложения двух дробей с
разными знаменателями, необходимо привести их к общему положительному
знаменателю, а затем сложить полученные дроби.
𝑎 𝑏 𝑎+𝑏 𝑎 𝑏 𝑎×𝑑+𝑐×𝑏
+ =
;
+ =
𝑐 𝑐
𝑐
𝑐 𝑑
𝑐×𝑑
Правило вычитания дробей с одинаковыми и разными знаменателями:
Для вычитания двух дробей с одинаковыми положительными знаменателями, нужно из
числителя уменьшаемого вычесть числитель вычитаемого, оставив знаменатель прежним.
Для нахождения разности двух дробей с разными знаменателями, следует привести их к
общему положительному знаменателю и выполнить вычитание дробей с одинаковыми
знаменателями.
𝑎 𝑏 𝑎−𝑏 𝑎 𝑏 𝑎×𝑑−𝑐×𝑏
− =
;
− =
𝑐 𝑐
𝑐
𝑐 𝑑
𝑐×𝑑
Дроби можно складывать и вычитать, используя те же правила, что и для целых чисел.
Это означает, что вначале необходимо определить знак результата (положительный или
отрицательный), а затем выполнять арифметические действия с модулями чисел (без учета
знака). Иногда для упрощения процесса сложения и вычитания дробей стоит привести их
к наименьшему общему положительному знаменателю. Это позволяет сделать числа более
сопоставимыми и упростить арифметические операции.
Cложение смешанных чисел
–
Давайте вспомним свойство ассоциативности сложения, которое утверждает, что порядок
слагаемых не влияет на сумму. Основываясь на этом свойстве, мы можем
перегруппировать слагаемые для удобства вычислений. Сначала мы запишем сумму
целых частей, а затем сумму дробных частей обеих дробей. Затем мы сложим отдельно
целые и дробные части каждой дроби. Результат сложения дробных частей запишем в
форме смешанной дроби, что означает, что мы уберем знак плюс между натуральным
числом и правильной дробью. Это позволяет нам представить сумму в более удобной и
понятной форме.
2
3
2
3
2 3
5
5
3 + 2 = (3 + ) + (2 + ) = (3 + 2) + ( + ) = 5 + = 5
7
7
7
7
7 7
7
7
Когда мы складываем две смешанных дроби, возможно, что сумма их дробных частей
окажется неправильной дробью. Давайте рассмотрим пример и посмотрим, как в таком
случае следует поступить.
Пример:
4
5
4
5
4 5
9
2
2
3 + 2 = (3 + ) + (2 + ) = (3 + 2) + ( + ) = 5 + = 5 + 1 = 6
7
7
7
7
7 7
7
7
7
Когда нам нужно сложить две смешанные дроби, и их дробные части имеют разные
знаменатели, мы следуем определенному порядку действий. Сначала приводим дробные
части к общему знаменателю, чтобы обе дроби имели одинаковый знаменатель. После
того, как дробные части приведены к общему знаменателю, мы можем выполнить
сложение дробей путем сложения их числителей и оставив общий знаменатель
неизменным.
2
1
2
1
2 1
2×4+3×1
8+3
11
3 + 2 = (3 + ) + (2 + ) = (3 + 2) + ( + ) = 5 + (
)=5+(
)=5+
3
4
3
4
3 4
3×4
12
12
11
=5
12
Вычитание смешанных чисел
–
Для вычитания одного смешанного числа из другого смешанного числа, мы выполняем
следующие действия:
1. Отдельно вычитаем целую часть вычитаемого из целой части уменьшаемого.
2. Отдельно вычитаем дробную часть вычитаемого из дробной части уменьшаемого.
3. Полученные результаты вычитаний целой и дробной частей соответственно
сложим.
3
2
3 2
1
1
2 − 1 = (2 − 1) + ( − ) = 1 + = 1
4
4
4 4
4
4
Важно отметить, что если целые части уменьшаемого и вычитаемого оказываются
равными, то в результате вычитания целая часть будет равна нулю. Точно так же, если
дробные части уменьшаемого и вычитаемого равны, то в результате вычитания дробная
часть будет равна нулю.
3
3
3 3
2 − 1 = (2 − 1) + ( − ) = 1 + 0 = 1
4
4
4 4
При вычитании смешанных чисел с разными знаменателями дробных частей, нужно
сначала привести их к общему знаменателю, а затем выполнить вычитание.
3
2
3 2
3×3−4×2
9−8
1
1
2 − 1 = (2 − 1) + ( − ) = 1 + (
)=1+(
)=1+
=1
4
3
4 3
4×3
12
12
12
Если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, то добавляем
одну единицу в виде дроби к дробной части уменьшаемого, чтобы сделать её больше или
равной дробной части вычитаемого. Затем производим вычитание дробной части
вычитаемого из уменьшаемого.
1
1
3
4
3 12
4
15
4
15 − 4
11
11
3 −1 =3 −1
= (2 + ) − 1
= 2 −1
= (2 − 1) + (
)=1+
=1
4
3
12
12
12 12
12
12
12
12
12
12
Для вычитания смешанного числа из натурального числа, нужно у натурального числа
вычесть одну единицу, представив её в виде дроби с нулевым числителем и знаменателем
равным единице.
1
3
1
3
1
3−1
2
2
3 − 1 = (2 + ) − 1 = 2 − 1 = (2 − 1) + (
)=1+ =1
3
3
3
3
3
3
3
3
Умножение и деление обыкновенных дробей и смешанных
чисел
–
Для умножения дроби на натуральное число, нужно умножить числитель дроби на это
число, оставив знаменатель дроби неизменным.
3×
3 3×3 9
1
=
= =2
4
4
4
4
Для перемножения двух дробей, нужно отдельно умножить их числители и знаменатели.
Первое произведение станет новым числителем, а второе произведение станет новым
знаменателем новой дроби
3 2 3×2
6
3
× =
=
=
4 5 4 × 5 20 10
Для умножения двух смешанных чисел, нужно выполнить следующие действия:
1. Преобразовать смешанные дроби в неправильные дроби, переведя целые части в
дроби с тем же знаменателем.
2. Перемножить числители и знаменатели дробей.
3. Сократить полученную дробь, если это возможно.
4. Если результат умножения является неправильной дробью, преобразовать её в
смешанную дробь с целой частью и правильной дробью.
3
1 13 4 13 × 4 52
7
2 ×1 =
× =
=
=3
5
3
5 3
5×3
15
15
Для деления одного смешанного числа на другое, следует выполнить следующие
действия:
1. Преобразовать смешанные дроби в неправильные дроби, переведя целые части в
дроби с тем же знаменателем.
2. Умножить первую дробь на дробь, обратную второй, то есть заменить вторую
дробь на её обратное значение (обратная дробь - дробь с числителем и
знаменателем, поменявшимися местами).
3. Сократить полученную дробь, если это возможно.
4. Если результат деления является неправильной дробью, преобразовать её в
смешанную дробь с целой частью и правильной дробью.
2
3
22 33 22 10 4
1
4 ÷3
=
÷
=
×
= =1
5
10
5 10
5 33 3
3