Engineering Mathematics 115
18 May 2023
TUT 12
1. Determine the domain and range of the following function: / Bepaal die definisieversameling en die waardeversameling van die volgende funksie:
f (x) = ln 3x+1 − 9x − 2 .
2. Determine
dy
dx
in each of the following cases. / Bepaal
1
xx √
(b) y = log3
x · 5cos x
dy
dx
in elk van die volgende gevalle.
(c) y = logx (xπ )
(a) y =
(d) y x = xy + 1
3. Determine the following integrals: / Bepaal die volgende integrale:
√
Z
(a)
Z
log3 (ln x)
dx
x
(b)
2
√
7
− 2
√
2x
Z
dx
(c)
e
tln
2
(t)−1
ln2 (t) dt
1
4. A square sheet of cardboard (1m × 1m) is to be made into an open box by cutting squares
of equal size out of each corner and folding up the sides. Use the closed interval method
to find the dimensions of the box with the maximum volume.
Ons wil ’n oop boks uit vierkantige stuk karton (1m × 1m) maak deur ewe groot vierkante
van elke hoek af te sny en die kante op te vou. Gebruik die geslote interval metode om die
afmetings van die boks met die maksimum volume te bepaal.
1
x
5. The three corners of a right-angled triangle are at the points (a, b), (a, 0), and (−1, 0).
The point (a, b) is in the first quadrant and it lies on the unit circle at an angle θ ∈ [0, π2 ]
(as in the sketch). Let A(θ) be the area of the triangle.
Die drie hoekpunte van ’n reghoekige driehoek is by die punte (a, b), (a, 0), en (−1, 0). Die
punt (a, b) is in die eerste kwadrant en dit lê op die eenheidsirkel by ’n hoek θ ∈ [0, π2 ]
(soos in die skets). Laat A(θ) die area van die driehoek wees.
y
b
−1
0
θ
a
1
x
Determine the largest possible area that such a triangle can have./ Bepaal die grootste
moontlike area wat so ’n driehoek kan hê.
6. Determine the largest possible area A of a rectangle in the first quadrant located under
the curve y = e−x as in the sketch.
Bepaal die grootste moontlike oppervlakte A wat ’n reghoek kan hê wat soos in die skets in
die eerste kwadrant onder die kromme y = e−x inpas.
y
A
x
√
3
7. Use Newton’s method to compute
2 correct to two decimal places.
√
3
Gebruik Newton se metode om 2 korrek tot twee desimale plekke te bereken.
8. Use Newton‘s method with the specified initial approximation x1 to find x3 , the third
approximation to the root of the given equation.
Gebruik Newton se metode met die gespesifiseerde aanvanklike benadering x1 om x3 , die
derde benadering tot die wortel van die gegewe vergelyking, te vind.
(a) 2x3 − 3x2 + 2 = 0, x1 = −1.
(b) x7 = 4, x1 = 1.
9. Use Newton’s method (with x1 = −2 as first approximation) to find the root of the equation
x3 − 2x + 2 = 0 (to two decimal places). What happens if we use the first approximation
x1 = 0?
Gebruik Newton se metode (met x1 = −2 as eerste benadering) om die wortel van die
vergelyking x3 − 2x + 2 = 0 te vind (tot twee desimale plekke). Wat gebeur as ons die
eerste benadering x1 = 0 gebruik?