FAKULTEIT NATUURWETENSKAPPE
FACULTY OF SCIENCE
WISKUNDE 2 MAT2B20
MATHEMATICS 2
LINEêRE ALGEBRA B / LINEAR ALGEBRA B
SEMESTERTOETS 1 / SEMESTER TEST 1
6 AUGUSTUS 2009 / 6 AUGUST 2009
DOSENTE / LECTURERS Mr. G. van Drimmelen & Mr S. Moagi
TYD / TIME 100 min
PUNTE / MARKS
50
VOORLETTERS EN VAN
INITIALS AND SURNAME
STUDENTENOMMER
STUDENT NUMBER
FOONNOMMER
PHONENUMBER
VOLTYDS / BEPERKTE KONTAK
FULL-TIME / LIMITED CONTACT
● Hierdie vraestel bestaan uit 11 bladsye (insluitende die voorblad). /
This paper consists of 11 pages (including the cover page).
● Beantwoord alle vrae en wys alle bewerkinge. / Answer all the questions and show your calculations.
● Nie-programmeerbare sakrekenaars mag gebruik word. / Non-programmable calculators may be used.
● Geen bladsye mag uitgeskeur word nie. / No pages may be torn out.
2
1. Define the term orthonormal set.
Definiëer die term ortonormale versameling.
2
2. If B =  v 1 , v 2 , … , v n  is an orthogonal basis for ℝ n , then any vector w in ℝ n has a unique representation in
terms of w and the vectors in B, determined by the expression
As B =  v 1 , v 2 , … , v n  ’n ortogonale basis vir ℝ n is, dan kan enige vektor w in ℝ n op ’n unieke manier
voorgestel word in terme van w en die vektore in B, deur die uitdrukking
n
w =
∑
i=1
w ⋅ vi
vi ⋅ vi
qi
Express the coordinate vector w  B in terms of w and the vectors in B:
Druk die koördinaatvektor w  B uit in terme van w en die vektore in B:
3.
1
Use the results from question 2 to determine the coordinate vector  x  C , where
Gebruik die resultate van vraag 2 om die koördinaatvektor  x  C te bepaal, waar
1
x =
2
3
and
en
1
C=
1
1
1
,
−1
0
1
,
1
−2
is an orthogonal basis for ℝ 3 .
’n ortogonale basis vir ℝ 3 is.
3
3
4. Prove the following theorem: Let Q be an n × n matrix. Then the following statements are equivalent:
Bewys die volgende stelling: Laat Q ’n n × n matriks wees. Dan is die volgende stellings ekwivalent:
a. Q is orthogonal.
Q is ortogonaal.
b.
For all x in R n ,
‖Q x ‖ = ‖ x ‖.
Vir alle x in R n ,
c.
For all x and y in R n , Q x ⋅ Q y = x ⋅ y .
Vir alle x en y in R n ,
6
4
5.
Let
U =  x ∈ R 4 : A x = 0  where A =
Laat
waar
1 −1
1
0
0 −1 −1 1
.
a. U is one of the fundamental subspaces of matrix A. Which one?
U is een van die fundamentele deelruimtes van matriks A. Watter een?
1
b. Determine a basis for U.
Bepaal ’n basis vir U.
3
c. Determine a basis for U ⊥ , the orthogonal complement of U.
Bepaal ’n basis vir U ⊥ , die ortogonale komplement van U.
3
5
4
6.
Determine the orthogonal decomposition of
Bepaal die ortogonale dekomposisie van
−2
3
1
with respect to span
relatief tot
2
1
.
3
6
7.
Determine a QR factorisation of the matrix
Bepaal ’n QR faktorisering van die matriks
A=
1
3
2
4
−1 −1
0
1
.
4
7
2 0 3
8.
Consider the matrix
Beskou die matriks
A=
0 2 0
.
3 0 2
Find an orthogonal matrix Q and diagonal matrix D that orthogonally diagonalizes A.
Vind ’n ortogonale matriks Q en diagonale matriks D wat A ortogonaal diagonaliseer.
6
8
9. Prove that, if a matrix A is orthogonally diagonalizable, then A is symmetric.
Bewys dat, as ’n matriks A ortogonaal diagonaliseerbaar is, dan is A simmetries.
10.
Let
Laat
λ 1 = 3,
λ 2 = −1,
q1 =
a. Compute q 1 q T1 and q 2 q T2 .
Bereken q 1 q T1 en q 2 q T2 .
1/ 5
2/ 5
,
q2 =
−2/ 5
1/ 5
3
,
2
b. Hence, use the spectral decomposition to find a matrix with eigenvalues λ 1 and λ 2 , with corresponding
eigenvectors q 1 and q 2 .
Vervolgens, gebruik die spektrale dekomposisie om ’n matriks te vind met eiewaardes λ 1 en λ 2 , en
ooreenstemmende eievektore q 1 en q 2 .
1
9
11.
Consider the quadratic form
fx̄  = 2x 2 − 5y 2 + 3z 2 .
Beskou die kwadratiese vorm
a. Rewrite the equation in the form fx̄  = x T A x , where A is a symmetric matrix.
Herskryf die vergelyking na die vorm fx̄  = x T A x , waar A ’n simmetriese matriks is.
1
b. Classify the quadratic form fx̄  as positive definite, positive semi-definite, negative definite, negative
semi-definite or indefinite.
Klassifiseer die kwadratiese vorm fx̄  as positief definitief, positief semi-definitef, negatief definitief,
2
negatief semi-definitief of ondefinitief.
c. Find the maximum value of fx̄  subject to the constraint ‖ x ‖ = 1, and find a vector x where this maximum
is attained.
Vind die maksimum waarde van fx̄  onderhewig aan die beperking dat ‖ x ‖ = 1, en vind ’n vektor x
waar hierdie maksimum bereik word.
2
10
12.
Consider the orthogonal diagonalization
Beskou die ortogonale diagonalisering
A=
9
−2
−2
6
and the equation
=
1/ 5 −2/ 5
5
2/ 5
0 10
1/ 5
x T A x = 20, where x =
en die vergelyking
waar
a.
x
y
0
1/ 5
2/ 5
−2/ 5 1/ 5
= QDQ T ,
.
Express the equation
x T A x = 20 in die form ax 2 + by 2 + cxy + d = 0.
Skryf die vergelyking
in die vorm
b. Use the substitution x = Q y to transform the equation to one with no cross terms.
State the resulting equation.
Gebruik die vervanging x = Q y om die vergelyking te verander na een sonder kruis-terme.
Stel die uiteindelike vergelyking.
1
2
11
c. Identify the conic section as an ellipse, hyperbola, or parabola.
Identifiseer die kegelsnede as ’n ellipse, hiperbool of parabool.
1
d. Graph the conic section represented by x T A x = 20.
Skets die kegelsnede wat deur x T A x = 20 bepaal word.
3
00
000
0 0 0 0 0 0 0 0 000
0