MEDIDAS RESUMEN
TEMA3
MEDIA ARITMETICA
• Denominada también promedio
• Si las observaciones de una muestra de tamaño
n son x1, x2,…,xn entonces la media aritmetica
es:
n
x
x 1  x 2  ...  x n i  1
X

n
n
i
MEDIA ARITMETICA
MEDIA ARITMETICA
1° PROPIEDAD
:
• Cuando a los valores de la variable se les suma
una constante, la nueva media es la antigua
más la constante.


x´ x  K  x´  x K
• Demostración
• puesto que la suma de las fi es N.
x ´f
(x  K ) f
x f
f




x´ 


k
 x K

_
i
N
i
i
i
N
i
N
i
i
N
2° PROPIEDAD
• Si a los valores de la variable se les
multiplica por una constante, la nueva
media es la antigua multiplicada por la
constante.
x, ´ xi K


 x´ K x
x ´f
Kx f
x f



x´

K
kx


i
N
i
i
N
i
i
N
i
3° PROPIEDAD
• Como consecuencia de las dos anteriores
si a los valores de una variable se les
multiplica por constante y se les suma un
número, la media aritmética queda
multiplicada por la constante y sumado el
número.
Y  KX  B

entonces

Y  K X B
Media aritmética
Ventajas…
•
•
•
•
Consideración de todos los valores
Calculable
Única
Es el centro de gravedad (primera propiedad).
…e inconvenientes…
• Si la variable tiene valores anormalmente extremos, la media
aritmética puede distorsionarse, haciéndola incluso poco
representativa. (La mediana, que vamos a estudiar más tarde, no
tiene este inconveniente.)
Uso: distribuciones en escala de intervalos o de proporción.
MEDIA ARITMETICA PONDERADA
• Es igual que la media aritmética simple,
pero se pondera cada valor de la variable
por un coeficiente distinto de la frecuencia
absoluta.
MEDIANA
• es el valor de la variable que divide a la
muestra ordenada en dos partes
iguales (es decir, deja tanto por debajo
como por encima del 50% de las
observaciones).
MODA
• Es el valor de la variable que más veces se
repite. En algunos casos existen varias modas,
pero normalmente es una, si son dos se llama
bimodal.
• Para datos no agrupados La moda es el valor
de la variable que mas veces se repite.
• Para datos agrupados La moda es el valor de la
variable correspondiente a la frecuencia
absoluta más alta.
MODA
• Para datos agrupados en intervalos
d d
•Mo
: L 
.a
(d  d )  (d  d )
•
• Si los intervalos tienen todos la misma
amplitud el intervalo modal es el de mayor
frecuencia absoluta.
i
i 1
i
i
i
i 1
i
i 1
MEDIA GEOMETRICA
• DATOS NO AGRUPADOS
• Se define como la raíz n-ésima del producto
de todos los valores numéricos, es decir,
•
n
X G  x1.x2 ....xn  n ( xi )
n
i 1
Media geométrica
• DATOS AGRUPADOS
G  x  x x
N
n1
1
n2
2
nn
n

n
N
x
ni
i
 (x  x x )
n1
1
n2
2
nn 1 / N
n
i 1
• El logaritmo de la media geométrica es
igual a la media aritmética de los
logaritmos de los valores de la variable.
 n ni  1 n
1
1 n
ni
log G  log N  x  log  xi    log xi   (log xi )ni
N
N i 1
i 1
 i 1  N i 1
n
ni
i
Media geométrica
Ventajas…
• Consideración de todos los valores
• Menos sensible que la media aritmética a los valores extremos.
… e inconvenientes…
• Menos intuitivo que la media aritmética
• Más difícil calcular.
• En ocasiones no queda determinada. (El logaritmo no existe para
valores negativas y cero.)
Uso: porcentajes, tasas, números índices etc., es decir cuando la
variable presenta variaciones acumulativas.
MEDIA ARMONICA
• Se define como el número de observaciones
de la muestra dividido por la suma del
inverso de cada una de las observaciones,
es decir,
XA 
n
n
 (1 / x )
i 1
i
Media armónica
Ventajas…
• Consideración de todos los valores
• Más representativa
… e inconvenientes
• Influencia de valores pequeños.
1/ xi
x

0
i
• No queda determinada cuando un valor es cero. (¡La división
da el infinito si
!)
• Así, no debemos usar la media armónica cuando existan valores
muy pequeños.
Uso: para promediar velocidades, tiempos, rendimientos, etc.