Ministère de l’Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientifique
Université de Gabès
Institut Supérieur de l’Informatique de Médenine
Niveau : 1ère année
Année universitaire : 2022-2023
Examen de maison 1
Exercice 1
On considère la matrice suivante

−10

A =  −4
−6
(1) Quelle est le rang de l’endomorphisme
(
f : R3
X

5 10

0 4 .
4 6
→
7→
R3
AX
défini par la matrice A ?
(2) Cet endomorphisme est-il injectif ?
(3) En déduire une valeur propre de la matrice A.
(4) Calculer le polynôme caractéristique χA (X) de la matrice A.
(5) La matrice A est-elle trigonalisable ?
(6) La matrice A est-elle diagonalisable ?
(7) Donner une base de trigonalisation de la matrice A.
Exercice 2
Soit f : R3 → R3 l’application linéaire dont la matrice dans la base canonique B est la suivante


1 1 −1
M = M atB,B (f ) :=  1 1 0  .
0 0 1
1. Quel est le rang de f ?
2. En déduire, sans calcul, que 0 est valeur propre de M .
3. Calculer le polynôme caractéristique χf (X) de f .
4. En déduire, sans plus de calcul, mais en justifiant, que f est diagonalisable.
5. Montrer, sans diagonaliser complètement M , que tr(M n ) = 1 + 2n , pour tout n ∈ N\{0}.
6. Diagonaliser l’endomorphisme f .