Semana 4
Trigonometría
Semestral Intensivo Virtual UNI
Trigonometría
semana
04
Razones trigonométricas para un ángulo en posición normal
DEFINICIÓN DE LAS RAZONES TRIGONO-MÉTRICAS DE UN ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL
Sea q un ángulo en posición normal y P(a; b) un
punto que pertenece a su posición final.
P (a; b)
SIGNOS DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
EN LOS CUADRANTES
Dependiendo del cuadrante al que pertenece un
ángulo en posición normal, sus razones trigonométricas pueden ser positivas o negativas.
Y
IC
IIC
IIIC
+
+
–
IVC
–
seno
+
+
–
–
coseno
+
–
–
+
seno
r
θ
O
X
Donde
a: abscisa del punto P
b: ordenada del punto P
r: radio vector del punto P
Se cumple
tangente
+
–
+
–
cotangente
+
–
+
–
secante
+
–
–
+
cosecante
+
+
–
–
ÁNGULO CUADRANTAL
Es aquel ángulo múltiplo de 90°, es decir, si es a un
ángulo cuadrantal, entonces
r = a 2 + b2
Definimos las razones trigonométricas
sen θ =
ordenada del punto P b
=
radio vector
r
cos θ =
En general, tenemos en el siguiente cuadro los valores de las razones trigonométricas de los ángulos
cuadrantales más conocidos.
abscisa del punto P a
=
radio vector
r
0°
90°
180°
270°
360°
sen
0
1
0
–1
0
ordenada del punto P b
tan θ =
=
abscisa del punto P
a
cos
1
0
–1
0
1
abscisa del punto P
a
=
ordenada del punto P b
tan
0
ND
0
ND
0
cot
ND
0
ND
0
ND
sec
1
ND
–1
ND
1
csc
ND
1
ND
–1
ND
cot θ =
sec θ =
csc θ =
Nota
a=90°n; n ∈ Z
radio vector
r
=
abscisa del punto P a
radio vector
r
=
ordenada del punto P b
Para hallar las razones trigonométricas de un ángulo en
posición normal, es necesario conocer las coordenadas
de un punto del lado final de dicho ángulo.
ND.: no definido
Observación
Si a es un ángulo cuadrantal, entonces
sena = (–1; 0; 1)
cosa = (–1; 0; 1)
tana = 0
cota=0
Academia CÉSAR VALLEJO
Material Didáctico
2.
Problemas resueltos
1. Del gráfico, calcule 2csca si AB = O1C.
O1: centro de la circunferencia
Del gráfico, calcule el área de la región triangular ABC en términos de a.
Y
Y
C
A
x2+y2=4
α
C
B
O1
X
B
α
A
X
Resolución
Resolución
Y
Y
2m
2
B 60°
2m
O1 60°
m
2m
α
3m
X
(x; y)
m
3m
Del gráfico
X
A
2
O
Del gráfico, se tiene que B ( − m; 2 3 m)
x
= cos α
2
y
= sen α
2
Entonces OB = 13 m
csc α =
13 m
+2 m 3
∴ 2 csc α =
39
3
S: área total
S=
2 × 2 2 ( −2 cos α ) 2 ( −2 sen α )
+
+
2
2
2
∴ S = 2(1 – sena – cosa)
Semestral Intensivo Virtual UNI
Trigonometría
Práctica dirigida
1.
a
3π
Si tan θ = − ; b > 0, además, π < θ <
b
2
calcule senq × cosq.
A) −
B)
C)
Del gráfico, halle el valor de cotq.
Y
ab
a 2 + b2
ab
37º
A(– 3; – 2)
2ab
a 2 + b2
E) -
B) 17
6
A) – 18
2ab
a 2 + b2
ab
D) -
a 2 - b2
1
En el gráfico, calculecot 2 θ − si el área de la
9
región sombreada es 12 u2.
4.
6
17 En el gráfico, el área sombreada es
 a 2 b2 
2  + .
 3 3
Calcule el valor de cotq.
2x – y=4
θ
X
B(– 2b; 2a)
θ
A(a; b)
X
1
2
2
D)
3
1
18
17
E) 8
C) -
Y
Y
A)
X
θ
a 2 + b2
D) −
2.
3.
B)
1
3
C)
1
4
E) 1
a− b
a+ b
a- b
D)
b
A)
B)
b- a
a
a+ b
b
b− a
E)
b+ a
C)
Academia CÉSAR VALLEJO
5.
Material Didáctico
Si se cumplen las siguientes condiciones:
|senq|= – senq
|cosq|= cosq
2
sec θ − tan θ =
7
calcule senq + cosq.
A)
7-3
11
B)
7+3
11
B) 2 - 3
A) 3
D) - 3 - 2
7.
E) 3 + 2
Se sabe que a, b y q son ángulos cuadrantales que cumplen la condición
cosβ = sen θ − sen α ; a, b, q ∈ [0°; 270°]
Calcule cos(a + b + q).
A) – 2
D) 1
C) 7
8.
B) – 1
C) 0
E) 2
Si T es punto de tangencia, calcule cot a.
2 7-3
D)
11
Y
4 7-3
E)
11
6.
C) 3 - 2
T
y= – x – 2
A partir del gráfico, calcule 2 cot θ + csc θ.
P  – 2; 1
X
α
Y
y=x2 –1
θ
X
A) 3 2
D)
B)
2
2
2
4
C) 2 2
E)
13 2
4
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Trigonometría
Práctica domiciliaria
1.
 26 23 
A)  ;   5 5
Se sabe que q es un ángulo en posición normal
tal que el punto P(a; b) pertenece a su lado
terminal, además, se cumple que
 26 23 
C)  ; 
 5 2
 23 13 
D)  ;   10 5 
a sen θ + b cos θ = x a 2 + b2
Calcule csc2q + tan2q + 1.
A)
D)
2.
1
x
2
x2
B)
4
C)
x2
E) 4x2
Si la distancia entre los puntos A(1; 5) y B(x; 3)
es 13, ¿cuál será la mayor distancia entre los
puntos O(0; 0) y C(2; x)?
B) 2 5
A) 2 2
D) 4
3.
C) 3
E) 5
C) a – 1
E) ± a
Halle cos2q – sen2q
A) a2 – 1
B) a2 + 1
C) 1 – 2a2
D) 2a2 – 1
8.
E) 2a2 + 1
Del gráfico, obtenga el valor de 2 (1 − 7 ) tan θ
si AC = 8.
Y
L : x – y+1=0
θ
B
C(4; 1)
X
A
A
P
A) 1 - 4 7 C
D
E) - - m - n
Se cumplen las siguientes condiciones:
|cscq|= – cscq
|cosq – senq|= senq – cosq
|cosq + senq|= a – senq
Halle las coordenadas del punto P si AD = 5 y
AB = 2.
Y
B) - -n
2
D) - -m
Se sabe que sena + cosa =a; π < α <
A) – a
B) a + 1
D) a
5.
C) − m + n
C) 13
E) 2 2
3π
.
2
Además, a y q son coterminales. Halle el equivalente de |cosa|tanq +|sena|cotq.
3π
.
2
Considere el punto P ( − − m; − − n ) perteneciente al lado final correspondiente al ángulo
de posición normal q.
2
7.
 13 10 
E)  ; 
 5 13 
m + n cos θ si π < θ <
Calcule el valor de
A) -n Halle la longitud de la diagonal menor de
un paralelogramo de vértices consecutivos
A(0; 0), B(1; 4), C(4; 6) y D.
B) 2 13
A) 2 14
D) 2
4.
6.
2
x
 13 23 
B)  ; 
 5 10 
37°
B) 1 - 7 7
C) 2 - 4 7
X
D) 2 - 7 7 E) 3 - 2 7
Academia CÉSAR VALLEJO
9.
Material Didáctico
Del gráfico, calcule 3sec2q – tanq.
13. Según el gráfico, calcule (tan a + cot a)cos a si
m > 0.
Y
Y
α
X
θ
X
P(– 5; – 3)
A) 7
B) 9
D) 13
P(a; ma)
C) 11
E) 15
10. Si NP = 2(AN) y AP + PB es mínimo,
calcule seca csca.
A)
m2 + 1
m2 - 1
D)
m2 + 2 B)
C) 2 m2 - 1
E) 2 m2 + 1
14. Del gráfico, calcule tan a tan b.
Y
B(8; 6)
Y
A(– 2; 2)
N
α
α
P
113
113
B) 53
56
133
D) 56
A) -
113
59
133
E) 59
1
1 1
−
− ... y cosq < 0, calcule
3
15
35
n términos
n +1
3n + 1
A) – 1
(sec θ − tan θ) .
B) 0
D) 2
P(– 5; –1)
C) -
11. Si sen θ = − −
A) – 1
B) -
C) – 25
E)
lados terminales de los ángulos en posición
normal q1; q2; q3 y q4 respectivamente, determine tanq1cotq2 + secq3cosq4.
Y
B
A
x4+y=2
x2+y2=3
tal que cos θ = −
A) 8
B) 10
D) 13
C) 12
E) 25
1
25
15. Si A, B, C y D son puntos ubicados en los
1
2
E) 3
5
. Además, los puntos P y
13
Q, que tienen por coordenadas (–15; a) y
(b; – 24) respectivamente, pertenecen a su lado
final. Calcule la distancia entre dichos puntos.
1
25
D) 25
C)
12. Se sabe que q es un ángulo en posición normal,
X
β
X
X
C
A) 1
B) 2
D) 0
D
C) – 4
E) – 2
Semestral Intensivo Virtual UNI
Trigonometría
16. Según el gráfico, calcule tanq si AB = BC.
Y
A (0; 5)
B (4; 2)
12
17
D)
23
12
B) -
25
12
C) E)
12
25
23
14
20. Los vértices de un triángulo son A(3; – 5),
B( – 3; 3) y C( – 1; – 2). Calcule la longitud de la
X
θ
A)
bisectriz del ángulo interno del vértice A.
C
A) 3
B) – 2
D) – 1
C) 2
E) – 3
17. Se sabe que a, b y c son las medidas de los ángulos cuadrantales pertenecientes al intervalo
[0°; 450°]; además,
|sec c – 4|= cos b + 5 y
D)
14 2
3
B)
3 2
14
C)
2
3
E)
14 2
5
lo equilátero ABC son A (1; 3 3 ); B( – 8senq; 0)
y C(16senq; 0). Calcule ( 15 − 1) (cos θ − sen θ).
Considere
C) 360°
E) 540°
A)
18. Se sabe que q es un ángulo en posición normal
y pertenece al IVC, además, es positivo y menor
que una vuelta, tal que sen θ − cos θ = cot θ.
π
< θ < π.
2
1
8
B)
7
8
C) -
7
D) - 8
π
π


Calcule sec  θ +  − csc  θ − 


4
4
A) – 1
B) 0
D) 2
14
3
21. Las coordenadas de los vértices de un triángu-
1 + 1 − cos a = sen b + cos a − 1
Calcule el menor valor de a + b + c
A) 270°
B) 180°
D) 450°
A)
E)
7
2
7
2
22. Calcule secq × cscq si la suma de AP + PB es
C) 1
E) – 2
mínima.
Y
19. En el gráfico, G es baricentro del triángulo
BOA. Calcule tana + cotb.
B(5; 6)
A(0; 9)
Y
θ
B(0; 3)
P
β
α
G
A(4; 0)
O
X
01 - B
02 - B
03 - E
04 - A
05 - D
06 - D
07 - D
08 - E
09 - D
10 - D
11 - A
12 - D
13 - B
14 - D
A) -
1
3
D) -
10
3
15 - E
16 - B
B) -
17 - A
18 - D
19 - B
20 - D
21 - C
22 - D
7
3
X
C) -
13
3
E) – 13