Mario Cosenza
Mecánica Clásica
Versión B-13
Mecánica Clásica
Versión B-13
a Claudia
Mi propósito es exponer una ciencia muy nueva que trata un tema muy antiguo.
Quizás nada hay en la naturaleza más antiguo que el movimiento, respecto al cual los
libros escritos por filósofos no son ni pocos ni pequeños; no obstante, he descubierto,
experimentando, algunas propiedades que merecen ser conocidas.
Galileo Galilei, Diálogos Sobre Dos Nuevas Ciencias.
Fórmulas vectoriales
Identidades
A · (B × C) = (A × B) · C = C · (A × B) = (C × A) · B = B · (C × A)
(1)
A × (B × C) = B(A · C) − C(A · B)
(A × B) · (C × D) = (A · C)(B · D) − (A · D)(B · C)
(2)
(3)
Derivadas de sumas
∇(f + g) = ∇f + ∇g
∇ · (A + B) = ∇ · A + ∇ · B
(4)
(5)
∇ × (A + B) = ∇ × A + ∇ × B
(6)
Derivadas de productos
∇(f g) = f ∇g + g∇f
(7)
∇(A · B) = A × (∇ × B) + B × (∇ × A) + (A · ∇)B + (B · ∇)A
∇ · (f A) = f (∇ · A) + A · ∇f
(8)
(9)
∇ · (A × B) = B · (∇ × A) − A · (∇ × B)
(10)
∇ × (f A) = f (∇ × A) − A × (∇f )
∇ × (A × B) = A(∇ · B) − B(∇ · A) + (B · ∇)A − (A · ∇)B
(11)
(12)
Derivadas segundas
∇ × (∇ × A) = ∇(∇ · A) − ∇2 A
∇ · (∇ × A) = 0
(13)
(14)
∇ × (∇f ) = 0
(15)
Teoremas integrales
Z
b
(∇f ) · dl = f (b) − f (a)
(16)
a
Z
I
(∇ · A) dV =
A · n̂ dS
Teorema de Gauss (divergencia)
V
S
Z
I
(∇ × A) · n̂ dS =
A · dl
Teorema de Stokes
S
C
Z
I
(f ∇2 g − g∇2 f ) dV = (f ∇g − g∇f ) · n̂ dS
Teorema de Green
V
S
(17)
(18)
(19)
Índice general
1. Ecuaciones de movimiento
1.1. Mecánica de una partı́cula . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Mecánica de un sistema de partı́culas . . . . . . . . . . . .
1.3. Coordenadas generalizadas . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4. Principios variacionales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5. Principio de mı́nima acción y ecuaciones de Lagrange. . .
1.6. Ejemplos de ecuaciones de Lagrange para varios sistemas.
1.7. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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9
20
25
31
41
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2. Leyes de conservación y simetrı́as
2.1. Momento conjugado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Teorema de Noether . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3. Conservación del momento lineal y homogeneidad del espacio
2.4. Conservación del momento angular e isotropı́a del espacio . .
2.5. Conservación de la energı́a y homogeneidad del tiempo . . . .
2.6. Teorema de Euler para la energı́a cinética . . . . . . . . . . .
2.7. Potenciales dependientes de la velocidad . . . . . . . . . . . .
2.8. Sistemas integrables y sistemas caóticos. . . . . . . . . . . . .
2.9. Movimiento unidimensional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.10. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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95
3. Fuerzas centrales
3.1. Problema de dos cuerpos. . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2. Potencial efectivo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3. Ecuación diferencial de la órbita. . . . . . . . . . . . .
3.4. Problema de Kepler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5. Leyes de Kepler y dependencia temporal. . . . . . . .
3.6. Estabilidad de órbitas circulares y ángulo de precesión.
3.7. Dispersión en campo de fuerza central. . . . . . . . . .
3.8. El vector de Laplace-Runge-Lenz. . . . . . . . . . . . .
3.9. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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8
4. Oscilaciones pequeñas
4.1. Oscilaciones en una dimensión. . . . . . . . . . . . . .
4.2. Oscilaciones de sistemas con varios grados de libertad.
4.3. Modos normales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4. Oscilaciones forzadas y amortiguadas. . . . . . . . . .
4.5. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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151
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Euler.
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179
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196
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Liouville.
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223
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257
259
271
287
5. Movimiento de cuerpos rı́gidos
5.1. Velocidad angular de un cuerpo rı́gido y ángulos de
5.2. Energı́a cinética y tensor de inercia. . . . . . . . .
5.3. Momento angular de un cuerpo rı́gido. . . . . . . .
5.4. Ecuaciones de movimiento para cuerpos rı́gidos. . .
5.5. Ecuaciones de Euler para cuerpos rı́gidos. . . . . .
5.6. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6. Dinámica Hamiltoniana
6.1. Ecuaciones de Hamilton. . . . . . . . . . . . . . .
6.2. Sistemas dinámicos, espacio de fase y Teorema de
6.3. Paréntesis de Poisson. . . . . . . . . . . . . . . .
6.4. Transformaciones canónicas. . . . . . . . . . . . .
6.5. Transformaciones canónicas infinitesimales. . . .
6.6. Propiedades de las transformaciones canónicas. .
6.7. Aplicaciones de transformaciones canónicas. . . .
6.8. Ecuación de Hamilton-Jacobi. . . . . . . . . . . .
6.9. Variables de acción-ángulo. . . . . . . . . . . . .
6.10. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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A. Lagrangiano de una partı́cula relativista
295
B. Transformaciones de Legendre
307
C. Teorema del virial.
309
D. Bibliografı́a
311
Capı́tulo 1
Ecuaciones de movimiento
1.1.
Mecánica de una partı́cula
La Mecánica consiste en el estudio del movimiento, o de la evolución de la posición
de partı́culas o sistemas (muchas partı́culas) en el tiempo. Actualmente, la Mecánica
Clásica se enmarca dentro de un campo más general denominado Sistemas Dinámicos,
que involucra el estudio de la evolución o cambios de estado de variables en el tiempo
en sistemas generales, de acuerdo a reglas deterministas: éstos incluyen sistemas fı́sicos,
quimicos, biológicos, sociales, económicos, etc.
La Mecánica Clásica se refiere a fenómenos que ocurren en escalas macróscopicas;
es decir, no incluye fenómenos cuánticos (nivel atómico). La Mecánica Clásica provee
descripciones válidas de fenómenos en una extensa escala espacial que va desde el orden de 100 nm (R. Decca et al., Phys. Rev. Lett. 94, 240401 (2005)) hasta distancias
cosmológicas.
El origen del método cientı́fico está directamente vinculado a la primeras formulaciones cuantitativas de la Mecánica Clásica, realizadas por Galileo con base en sus
experimentos. La Mecánica constituye el eje esencial alrededor del cual se ha construido
toda la Fı́sica.
Figura 1.1: Galileo Galilei (1564-1642).
9
10
CAPÍTULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO
Durante el siglo XX, la Mecánica Clásica se encontró con varias limitaciones para
explicar nuevos fenómenos. Las subsecuentes soluciones de estas dificultades implicaron
extensiones del campo de estudio de la Mecánica, y condujeron a tres grandes revoluciones
intelectuales o cambios de paradigmas cientı́ficos:
i. Limitación para explicar fenómenos a altas velocidades o a altas energı́as, lo que
condujo a la Teorı́a de Relatividad (Especial y General).
ii. Limitación para explicar fenómenos a escala atómica o microscópica, lo cual dio
origen a la Mecánica Cuántica.
iii. Limitación del concepto de predicción en sistemas dinámicos deterministas no lineales, que condujo al desarrollo del Caos y al estudio actual de Sistemas Complejos.
Para describir el movimiento en Mecánica, se requieren algunos conceptos básicos.
Un sistema de referencia es una convención necesaria para asignar una posición o
ubicación espacial a una partı́cula u objeto con respecto a un origen o punto escogido O.
Se asume que una partı́cula tiene asociada una cantidad de masa m.
La posición de una partı́cula en un sistema de referencia puede describirse mediante
un conjunto de coordenadas. Por ejemplo, en un sistema de coordenadas cartesianas, el
vector de posición r = (x, y, z) da la ubicación de una partı́cula en el espacio con respecto a un origen O. Las componentes del vector de posición en coordenadas cartesianas
también se denotan como x1 ≡ x, x2 ≡ y, x3 ≡ z.
Figura 1.2: Posición de una partı́cula en un sistema de coordenadas cartesianas.
El vector de posición de una partı́cula en movimiento depende del tiempo, r(t) =
(x(t), y(t), z(t)). El cambio del vector de posición en el tiempo constituye el movimiento.
El tiempo t se considera un parámetro real en Mecánica Clásica que permite establecer
el orden en el cual ocurren los eventos; en particular, es necesario para especificar las
posiciones sucesivas que una partı́cula en movimiento ocupa en el espacio. Asumimos que
el parámetro t posee la propiedad de incremento monotónico a medida que r(t) cambia:
a través de sucesivas posiciones: dados dos valores t1 y t2 tales que t2 > t1 , entonces la
partı́cula ocupa la posición r(t2 ) después de la posición r(t1 ).
El vector de desplazamiento infinitesimal se define como
dr = r(t + dt) − r(t).
(1.1)
1.1. MECÁNICA DE UNA PARTÍCULA
11
La velocidad de una partı́cula se define como
v≡
dr
dt
(1.2)
En coordenadas cartesianas, las componentes de la velocidad se pueden expresar como
vx =
dx
,
dt
vy =
dy
,
dt
vz =
dz
.
dt
(1.3)
Las componentes de la velocidad también se denotan co,o v1 = vx , v2 = vy , v3 = vz .
La aceleración se define como
a=
dv
d2 r
= 2.
dt
dt
(1.4)
Se acostumbra usar la siguiente notación para las derivadas con respecto al tiempo,
ẋ ≡
dx
,
dt
ẍ ≡
d2 x
.
dt2
(1.5)
El momento lineal o cantidad de movimiento es la cantidad vectorial
p = mv,
(1.6)
donde m es la masa de la partı́cula.
Una partı́cula puede experimentar interacciones con otras partı́culas. Las interacciones entre partı́culas están asociadas a sus propiedades intrı́nsecas y se manifiestan como
fuerzas entre ellas. Por ejemplo, la interacción electromagnética está asociada a la carga
eléctrica, mientras que la interacción gravitacional depende de la masa. La suma de las
fuerzas debido a interacciones con otras partı́culas o agentes externos se denomina fuerza
total (neta) sobre la partı́cula; se denota por F. Las fuerzas son cantidades vectoriales.
Las fuerza neta sobre una partı́cula puede afectar su estado de movimiento.
Figura 1.3: Isaac Newton (1642-1727).
Las Leyes de Newton describen el movimiento de una partı́cula sujeta a una fuerza.
Las Leyes de Newton son leyes de la Naturaleza basadas en observaciones experimentales.
12
CAPÍTULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO
I. Primera Ley de Newton:
Una partı́cula permanece en reposo o en movimiento rectilı́neo uniforme si la fuerza
total sobre ella es nula (también se llama Ley de inercia).
II. Segunda Ley de Newton:
Existen sistemas de referencia en los cuales el movimiento de una partı́cula con
masa m y velocidad v está descrito por la ecuación
F=
dp
d(mv)
=
.
dt
dt
(1.7)
III. Tercera Ley de Newton:
Si Fji es la fuerza que ejerce una partı́cula j sobre una partı́cula i, y Fij es la fuerza
que ejerce la partı́cula i sobre la partı́cula j, entonces
Fji = −Fij .
(1.8)
La Tercera Ley también es conocida como Ley de acción y reacción.
La Segunda Ley de Newton establece una relación causa (fuerza) ↔ efecto (cambio
de momento). La Primera Ley de Newton es consecuencia de la Segunda Ley: si F = 0,
entonces v = constante.
La Segunda Ley de Newton es una ecuación vectorial, es decir, equivale a tres ecuaciones, una para cada componente cartesiana:
Fi =
dpi
,
dt
i = 1, 2, 3.
(1.9)
Si m es constante,
d2 r
.
(1.10)
dt2
La Segunda Ley de Newton, Eq. (1.10), es una ecuación diferencial de segundo orden para
r(t). La solución r(t) está determinada por dos condiciones iniciales, r(to ), v(to ). Este
es el principio del determinismo en Mecánica Clásica, y que ha sido fundamental en el
desarrollo del método cientı́fico. A finales del siglo XX, se encontró que el determinismo
no necesariamente implica predicción, en el sentido de que existen sistemas dinámicos no
lineales en los cuales perturbaciones infinitesimales de sus condiciones iniciales pueden
conducir a trayectorias muy diferentes. Este es el origen de la moderna Teorı́a del Caos.
Los sistemas de referencia donde se cumple la Segunda Ley de Newton se denominan
sistemas de referencia inerciales. En ausencia de fuerzas, una partı́cula en reposo en un
sistema inercial en un instante dado, sigue en reposo en todo instante.
Los sistemas de referencia no inerciales son sistemas de referencia donde aparecen
términos adicionales en la Segunda Ley de Newton, no asociados a las fuerzas explı́citas
en el sistema. Esos términos adicionales se denominan fuerzas ficticias y son debidos a
la aceleración del sistema de referencia.
F = ma = m
1.1. MECÁNICA DE UNA PARTÍCULA
13
Ejemplos de la Segunda Ley de Newton:
1. Un sistema no inercial: péndulo en un sistema acelerado (x0 , y 0 , z 0 ).
Figura 1.4: Péndulo en un sistema acelerado.
El sistema (x0 , y 0 , z 0 ) posee una aceleración a en la dirección x, visto desde un
sistema fijo (x, y, z). En el sistema acelerado, la componente en la dirección x0 de la
fuerza que actúa sobre la masa del péndulo es fx0 = T sin θ, pero esta masa está en
reposo en ese sistema; esto implica que ẍ0 = 0. Luego, una fuerza adicional ficticia
igual a −T sin θ debe anular a fx0 , de modo que no haya fuerza neta en la dirección
x0 . En el sistema (x, y, z), la Segunda Ley de Newton da simplemente T sin θ = ma.
La fuerza de Coriolis es otro ejemplo de una fuerza ficticia en un sistema de referencia en rotación (Cap. 5).
2. Oscilador armónico simple.
Figura 1.5: Oscilador armónico simple.
La fuerza del resorte sobre la masa m es proporcional y opuesta al desplazamiento
x desde la posición de equilibrio, tomada como x = 0, i.e., F = −kxx̂, donde k es
la constante del resorte. Entonces,
F = ma ⇒ −kx = mẍ
2
⇒ ẍ + ω x = 0,
(1.11)
(1.12)
donde ω 2 ≡ k/m. La Eq. (1.12) es la ecuación del oscilador armónico, cuya solución
es
x(t) = A cos ωt + B sin ωt
(1.13)
14
CAPÍTULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO
También se puede escribir
x(t) = C sin(ωt + φ),
(1.14)
con A = C sin φ, B = C cos φ. Los coeficientes A y B están determinados por las
condiciones iniciales x(0) y ẋ(0) = v(0),
x(0)
= A
(1.15)
= −ωA sin ωt + Bω cos ωt
v(0)
.
ẋ(0) = Bω ⇒ B =
ω
ẋ(t)
(1.16)
(1.17)
Luego,
x(t) = x(0) cos ωt +
v(0)
sin ωt.
ω
(1.18)
3. Sistema de masa variable: movimiento de un cohete.
Consideremos un cohete que se mueve verticalmente en el campo gravitacional de
la Tierra. La masa del cohete en un tiempo t es m. La velocidad del cohete en
t es v, y la velocidad de los gases expulsados es u. Sea dm la masa de los gases
expulsados (asumida negativa) en un instante t + dt.
Figura 1.6: Cohete en movimiento vertical.
Aplicamos la Segunda Ley de Newton para la única componente y de la fuerza,
−mg =
dp
p(t + dt) − p(t)
=
.
dt
dt
(1.19)
Tenemos
p(t) = mv,
(1.20)
p(t + dt) = (m + dm)(v + dv) + (−dm)u.
(1.21)
y
1.1. MECÁNICA DE UNA PARTÍCULA
15
Usamos la velocidad del cohete relativa a los gases,
vrel = (v + dv) − u.
(1.22)
Luego,
p(t + dt) − p(t)
= mv + m dv + v dm + dm dv
(1.23)
− v dm − dm dv + dm vrel − mv
= m dv + vrel dm.
Sustituyendo en la Eq. (1.19), obtenemos
−mg = m
dv
dm
+ vrel
.
dt
dt
La Eq. (1.24) se conoce como la ecuación del cohete. Si
masa por unidad de tiempo, R = cte positiva), entonces
−mg = −vrel R + m
(1.24)
dm
= −R (pérdida de
dt
dv
⇒ ma = vrel R − mg.
dt
(1.25)
De la ecuación del cohete, se puede obtener la variación de la velocidad del cohete,
dm
vrel + dv = −g dt.
m
(1.26)
Integrando entre un valor inicial de masa m0 en t0 = 0 y un valor final mf en t0 = t,
tenemos
Z f
Z f
Z t
dm
+
dv = −g
dt0
vrel
m
0
0
0
m0
− gt.
⇒ vf − v0 = vrel ln
(1.27)
mf
4. Partı́cula en un medio viscoso.
Figura 1.7: Partı́cula en medio viscoso.
La fuerza sobre una partı́cula en un medio viscoso se puede considerar proporcional
a la velocidad de la partı́cula, F = −γv, donde γ es un coeficiente de fricción
caracterı́stico del medio. Supongamos que la partı́cula se mueve en la dirección x.
La Segunda Ley de Newton, F = ma, da:
−γv = m
dv
.
dt
(1.28)
16
CAPÍTULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO
Integrando obtenemos,
v
v(t)
x(t)
= c1 e−(γ/m)t ,
c1 = v(0),
dx
=
,
dt
= v(0)e−(γ/m)t
Z
= v(0) e−(γ/m)t dt,
= −
v(0)m −(γ/m)t
e
+ c2 .
γ
(1.29)
(1.30)
La constante c2 se determina usando la condición inicial x(0),
x(0)
c2
v(0)m
+ c2
γ
v(0)m
= x(0) + −
,;
γ
= −
(1.31)
luego,
x(t) = x(0) +
v(0)m 1 − e−(γ/m)t .
γ
(1.32)
Se define el momento angular de una partı́cula ubicada en la posición r y cuya velocidad es v, como la cantidad vectorial
l ≡ r × p = mr × v.
(1.33)
El torque ejercido por una fuerza F sobre una partı́cula ubicada en r se define como
τ ≡ r × F.
(1.34)
La Ec. (1.34) se puede expresar como
τ
dp
dt
d(r × p) dr
=
−
×p
dt
dt
dl
:0
p
=
+
v×
dt
dl
⇒ τ =
.
dt
=
r×F=r×
(1.35)
La Ec. (1.35) implica la conservación del momento angular : si τ = 0, entonces l =
constante. Esto significa que cada componente del vector l es una constante.
En particular, una fuerza de la forma F = f (r)r̂, se denomina una fuerza central.
La fuerza gravitacional es un ejemplo de una fuerza central. Para tales fuerzas, tenemos
τ = 0. Luego, el momento angular se conserva en presencia de fuerzas centrales.
1.1. MECÁNICA DE UNA PARTÍCULA
17
La energı́a cinética de una partı́cula se define como la cantidad escalar
T ≡
1
mv 2 .
2
(1.36)
Se define el trabajo realizado por una F externa sobre una partı́cula para llevarla
desde una posición r1 hasta una posición r2 , como la integral de lı́nea
Z 2
W12 ≡
F · ds,
(1.37)
1
donde ds es el vector tangente a la trayectoria que une la posición r1 con la posición r2 .
Figura 1.8: Trayectorı́a de un partı́cula entre r1 y r2 , sujeta a una fuerza F.
Note que ds = dr = vdt. Luego, si m es constante, podemos escribir,
Z 2 dv
W12 = m
· (v dt).
dt
1
Usamos la relación d(v · v) = 2v · dv = d(v 2 ), para expresar
Z 2
Z 2
1
1
W12 =
m
d(v · v) = m
d(v 2 )
2
2
1
1
1
1
2
2
=
mv − mv ,
2 2 2 1
= T2 − T1 .
(1.38)
(1.39)
Luego, el trabajo realizado por una F externa para llevar una partı́cula desde la posición
r1 hasta la posición r2 depende solamente de la diferencia de la energı́a cinética que posee
la partı́cula en r2 y la energı́a cinética que posee en r1 .
Note que si se utiliza la misma fuerza y una misma trayectoria B para ir del punto 1
al punto 2 que para volver de 2 a 1, entonces
Z 1
Z 2
F · ds = −
F · ds ⇒ W12 (B) = −W21 (B),
(1.40)
1
2
| {z }
| {z }
camino B
camino B
puesto que ds(1 → 2) = −ds(2 → 1) para la misma trayectoria.
18
CAPÍTULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO
Si W12 realizado por una F externa es independiente de la trayectoria entre r1 y r2 ,
entonces F se llama fuerza conservativa. Es decir; si F es conservativa, y A y B son dos
caminos diferentes para ir de 1 a 2, entonces
Z 2
Z 2
F · ds =
(1.41)
F · ds
1
1
| {z }
| {z }
camino A
camino B
Figura 1.9: Dos trayectorias distintas para ir del punto 1 al punto 2.
Luego, si F es conservativa, la Ec. (1.41) y la Ec. (1.40) implican que
Z 2
Z 1
F · ds +
F · ds = 0
| 1 {z }
| 2 {z }
camino A
(1.42)
camino B
Figura 1.10: Contorno cerrado C.
Puesto que los caminos A y B son arbitrarios, tenemos que para una F conservativa,
I
F · ds = 0,
(1.43)
C
es decir; la integral de una F conservativa a lo largo de un contorno cerrado arbitrario C
es cero.
Usando el Teorema de Stokes, la Ec. (1.43) para una fuerza conservativa se puede
escribir como
I
Z
F · ds = (∇ × F) · da = 0
(1.44)
C
S
donde S es el área encerrada por el contorno cerrado C. Puesto que C es arbitrario, la
Ec. (1.44) implica para una fuerza conservativa,
∇ × F = 0.
(1.45)
1.1. MECÁNICA DE UNA PARTÍCULA
19
Por otro lado, la identidad vectorial ∇ × ∇φ = 0 implica que la fuerza conservativa F
debe ser proporcional al gradiente de alguna función escalar. Se define la función V (r)
tal que
F = −∇V (r).
(1.46)
Luego, para una fuerza conservativa
Z
W12
2
= −
Z
∇V · ds = −
1
Z
= −
1
2
3
X
∂V
dxi
∂xi
i=1
!
2
dV = V1 − V2 .
(1.47)
1
Para toda fuerza, el trabajo W12 es igual al cambio de energı́a cinética, T2 − T1 . En
sistemas conservativos, el trabajo también está relacionado con cambios de otra función
escalar que depende de las coordenadas, evaluada en los puntos 1 y 2.
La funcion escalar V (r) se denomina energı́a potencial y expresa la energı́a almacenada en un sistema, relacionada con la posición o configuración de los elementos constituyentes del sistema. Por ejemplo, una partı́cula en campo gravitacional tiene una energı́a
potencial que depende de su posición; un resorte estirado o comprimido posee una energı́a
potencial almacenada capaz de convertirse en trabajo.
La Ec. (1.47) para fuerzas conservativas, junto con la Ec. (1.39) válida para cualquier
fuerza, conduce a la relación
V1 − V2
= T2 − T1 ,
T1 + V1
= T2 + V2 .
(1.48)
La energı́a mecánica total de una partı́cula se define como la cantidad escalar:
E ≡ T + V.
(1.49)
E1 = E2 .
(1.50)
La Ec. (1.48) implica que
Puesto que los puntos 1 y 2 son arbitrarios, la energia mecánica total es constante en
cualquier punto para sistemas conservativos,
E = T + V = constante.
(1.51)
Si la función energı́a potencial depende del tiempo, además de las coordenadas,
V (r, t), la energı́a mecánica total puede no conservarse. Consideremos la derivada
Tenemos
d
dT
dV
dE
= (T + V ) =
+
.
dt
dt
dt
dt
(1.52)
dT
dv
= mv ·
= F · v.
dt
dt
(1.53)
20
CAPÍTULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO
Calculamos la derivada total con respecto al tiempo de V (r, t) = V (x, y, z, t),
3
∂V
∂V
dV (r) X ∂V
=
ẋi +
= ∇V · v +
.
dt
∂x
∂t
∂t
i
i=1
(1.54)
Luego,
dE
∂V
∂V
= F · v + ∇V · v +
= −∇V · v + ∇V · v +
dt
∂t
∂t
donde hemos empleado F = −∇V , para un sistema conservativo. Luego,
dE
∂V
=
.
dt
∂t
(1.55)
(1.56)
La Ec. (1.56) es la condición para la conservación de la energı́a mecánica: la energı́a
mecánica total es constante si la energı́a potencial V no depende explicitamente del
tiempo,
∂V
dE
=0⇒
= 0 ⇒ E = constante.
(1.57)
∂t
dt
La energı́a potencial también puede ser definida para sistemas no conservativos; en esos
casos V depende explı́citamente tanto de la posición como del tiempo. La fuerza correspondiente puede expresarse como el gradiente de esta energı́a potencial. Sin embargo, el
trabajo hecho para mover una partı́cula entre los puntos 1 y 2 ya no es V1 − V2 , puesto
que V cambia con el tiempo cuando la partı́cula se mueve. La energı́a total puede ser
definida también como E = T + V ; sin embargo, la cantidad E no se conserva durante
el movimiento.
1.2.
Mecánica de un sistema de partı́culas
Consideremos un conjunto de N partı́culas en un sistema de referencia cartesiano.
Sean mi y ri la masa y la posición de la partı́cula i, respectivamente, con i = 1, . . . , N .
Definimos el vector rij ≡ rj − ri , que va en la dirección de la partı́cula i a la partı́cula j.
Figura 1.11: Sistema de partı́culas en un sistema de referencia cartesiano.
1.2. MECÁNICA DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS
21
El vector de posición del centro de masa de un sistema de partı́culas se define como
P
P
mi ri
mi ri
i
R≡ P
,
(1.58)
= i
MT
i mi
P
donde MT = i mi es la masa total del sistema.
La velocidad del centro de masa es
1 X dri
dR
=
.
(1.59)
mi
vcm =
dt
MT i
dt
El momento lineal total del sistema de N partı́culas es
X
X dri
dR
PT =
pi =
mi
= MT
= MT vcm .
dt
dt
i
i
(1.60)
Luego, el momento total PT es equivalente al momento de una partı́cula que posea la
masa total del sistema, moviéndose con la velocidad del centro de masa del sistema.
Supongamos que existen fuerzas sobre las partı́culas, tanto internas como externas al
sistema. Denotamos por Fji la fuerza que la partı́cula j ejerce sobre la partı́cula i, y por
Fext (i) la fuerza total debida a influencias externas sobre la partı́cula i.
Recordemos que las fuerzas de interacción entre dos partı́culas i y j obedecen la
Tercera Ley de Newton,
Fji = −Fij .
(1.61)
Para fuerzas centrales, la Tercera Ley es más restrictiva. Si Fij es central,
Fij = k|Fji |rij ,
(1.62)
entonces las fuerzas sobre las partı́culas van en la dirección (paralela o antiparalela) del
vector rij . Esta condición sobre fuerzas centrales se conoce como forma fuerte de la ley
de acción y reacción. Cabe recordar que no todas las fuerzas cumplen esta condición; por
ejemplo, las fuerzas magnéticas entre dos cargas en movimiento no siempre son centrales.
.
Figura 1.12: Tercera Ley de Newton, en sus dos formas.
La ecuación de movimiento para la partı́cula i puede expresarse como
X
j6=i
Fji + Fext (i) =
dpi
d2 (mi ri )
=
,
dt
dt2
(1.63)
22
CAPÍTULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO
PN
donde
i6=j Fji es la suma de las fuerzas internas sobre la partı́cula i, debido a las
interacciones con las otras partı́culas.
Para obtener la fuerza total sobre el sistema, sumamos sobre todas las partı́culas en
la Ec. (1.63),
X
X d2
XX *0 X
Fext (i) =
ṗi =
(mi ri ) .
Fji +
dt2
j
i
i
i
i
(1.64)
El primer término es cero porque las fuerzas se anulan en pares debido a la Tercera Ley,
XX
XX
XX
XX
XX
Fji =
Fij = −
Fij = −
Fji ⇒
Fji = 0.
(1.65)
i
j
j
i
j
i
i
j
i
j
Luego, si mi es constante ∀i, la Ec. (1.64) queda
X
Fext (i) =
X
i
mi
i
d2 ri
.
dt2
(1.66)
Usando la definición del centro de masa, la Ec. (1.58), se puede expresar como
X
Fext (i) =
i
X
mi
i
d2 ri
d2 R
= MT 2 .
2
dt
dt
(1.67)
Luego,
Fext (total) ≡
X
Fext (i) =
i
dPT
,
dt
(1.68)
La Ec. (1.68) constituye una ecuación de movimiento para el centro de masa. Luego,
si Fext (total) = 0, entonces PT es constante. Es decir, si la fuerza externa total sobre
un sistema de partı́culas es cero, entonces el momento lineal total PT del sistema se
conserva.
El momento angular de la partı́cula i es
li = ri × pi .
(1.69)
Entonces, el momento angular total del sistema de partı́culas es
X
X
X
lT =
li =
(ri × pi ) =
(ri × mi vi ).
i
i
(1.70)
i
Si definimos la posición r0i de la partı́cula i con respecto al centro de masa del sistema,
tenemos
r0i = ri − R,
(1.71)
y su velocidad con respecto al centro de masa será
vi0 = vi − vcm .
(1.72)
1.2. MECÁNICA DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS
23
Figura 1.13: Posición relativa de una partı́cula con respecto al centro de masa.
Entonces, en términos del centro de masa podemos escribir
X
lT =
(r0i + R) × mi (vi0 + vcm )
(1.73)
i
!
*0
X
0
=
×
+
mi ri × vcm
i
i
!
!
*0
X
X
0
+R ×
mi vcm .
mi vi + R ×
i
i
X
(r0i
mi vi0 )
(1.74)
Para mostrar los términos que se anulan en la Ec. (1.74), calculamos
X
MT R =
mi ri
i
=
X
=
X
⇒
X
mi (r0i + R)
i
mi r0i + MT R
i
mi r0i = 0.
(1.75)
i
Del mismo modo,
X
mi vi0
=
X
i
i
dr0
d
mi i =
dt
dt
!
X
mi r0i
= 0.
(1.76)
i
Entonces, la Ec. (1.74) para el momento angular total queda
X
lT =
(r0i × p0i ) + R × (MT vcm ) .
(1.77)
i
Luego, el momento angular total de un sistema de partı́culas consta de dos contribuciones:
1) el momento angular del centro de masa, R × (MP
T vcm );
2) el momento angular relativo al centro de masa, i (r0i × p0i ).
24
CAPÍTULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO
Calculemos la derivada temporal de lT ,
dlT
dt
=
N
X
d
(ri × pi )
dt
i=1
:0 X
mv
(v
ri × ṗi
i×
i) +
i
i


X
X
=
ri × Fext (i) +
Fji 
=
X
i
=
j6=i
X
i
XX
:0
F
ri × Fext (i) +
(r
i×
ji ).
ij6=i
(1.78)
Las sumas en el segundo término de la Ec. (1.78) se pueden expresar en pares de la forma,
ri × Fji + rj × Fij = (rj − ri ) × Fij = rij × Fij ,
(1.79)
puesto que Fji = −Fij , de acuerdo a la Tercera Ley de Newton. Si además suponemos que
se cumple la Tercera Ley de Newton en forma fuerte, Fij = k|Fji |rij . Luego, rij ×Fij = 0
y el segundo término de la Ec. (1.78) se anula.
Entonces,
dlT
dt
=
X
ri × Fext (i)
i
=
X
τi (externo) = τT (externo).
(1.80)
i
La Ec. (1.80) expresa la conservación del momento angular total de un sistema de partı́culas: si el torque externo total τ (externo total) = 0, entonces lT = constante.
También se puede calcular la energı́a cinética de un sistema de partı́culas en la forma
Ttotal =
1X
mi vi2 .
2 i
(1.81)
En coordenadas del centro de masa, vi = vi0 + vcm , y podemos escribir
Ttotal
=
=
Pero
P
mi vi0 =
1X
mi (vi0 + vcm ) · (vi0 + vcm )
2 i
X
1X
1
1X
2
mi vcm
+
mi vi02 + 2vcm ·
mi vi0 .
2 i
2 i
2
i
(1.82)
d P
( mi r0i ) = 0; luego
dt
Ttotal =
1
1X
2
MT vcm
+
mi vi02 ,
2
2
(1.83)
1.3. COORDENADAS GENERALIZADAS
25
Es decir, energı́a cinética total de un sistema de partı́culas contiene dos contribuciones,
2
1) la energı́a cinética del centro de masa, 12 MT VCM
;
P
2) la energı́a cinética relativa al centro de masa, 12
mi vi02 .
El trabajo para realizar un cambio de una configuración 1 de las partı́culas a una
configuración 2 es
W(conf1 ⇒ conf2)
=
XZ
XZ
=
conf 2
mi
conf 1
i
=
Fi · dsi
(1.84)
conf1
i
=
conf2
1X
mi
2 i
dvi
· (vi dt)
dt
conf 2
Z
d(vi2 )
conf 1
1X
mi vi2
2 i
!
−
conf2
1X
mi vi2
2 i
!
conf1
= Tconf2 − Tconf1 .
Finalmente, la energı́a potencial de un sistema de partı́culas se puede expresar a partir
de
FT =
X
i
Fi =
X
Fext (i) +
i
XX *0
F
.
ji
j j6=i
(1.85)
Si Fext (i) es conservativa, se puede escribir como Fext (i) = −∇Vext (i). Luego,
!
X
FT = −∇
Vext (i) .
(1.86)
i
Se define la energı́a potencial total como la suma
VT =
X
Vext (i).
(1.87)
i
1.3.
Coordenadas generalizadas
Consideremos un sistema de N partı́culas, i = 1, 2, . . . , N , cuyos vectores de posición
son {r1 , r2 , . . . , rN }. Cada vector de posición posee tres coordenadas, ri = (xi , yi , zi ). El
sistema de N partı́culas con posiciones {r1 , r2 , . . . , rN } está descrito por 3N coordenadas.
En general existen restricciones o ligaduras para algunas coordenadas; por ejemplo,
el movimiento ocurre sobre un plano (z = cte), o sobre un cı́rculo (x2 + y 2 = cte), sobre
una esfera (x2 + y 2 + x2 = cte), etc. En general, las restricciones se pueden expresar como
relaciones algebraicas o funcionales entre las coordenadas.
26
CAPÍTULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO
Si un sistema posee k restricciones, éstas se puede expresar como k funciones o relaciones que ligan las coordenadas:
f1 (r1 , r2 , . . . , t) = 0,
f2 (r1 , r2 , . . . , t) = 0,
..
.
(1.88)
fk (r1 , r2 , . . . , t) = 0.
Las restricciones o ligaduras que se expresan en forma de igualdades algebraicas se llaman restricciones holonómicas. El número de coordenadas independientes cuando existen
k restricciones holonómicas es s = 3N − k.
La cantidad s determina los grados de libertad del sistema, o el número mı́nimo de
coordenadas necesarias para describir el movimiento del sistema. Los grados de libertad
definen un conjunto de coordenadas generalizadas, denotadas por {q1 , q2 , . . . , qs }, el cual
tiene asociado un conjunto de velocidades generalizadas {q̇1 , q̇2 , . . . , q̇s }.
Las coordenadas generalizadas no son necesariamente coordenadas cartesianas, sino
que pueden consistir en otro tipo de coordenadas, tales como cantidades angulares, o
inclusive pueden ser otras variables fı́sicas. Las coordenadas generalizadas {q1 , q2 , . . . , qs }
están relacionadas con las coordenadas cartesianas {r1 , r2 , . . . , rN } por un conjunto de
transformaciones:
r1 = r1 (q1 , q2 , . . . , t),
r2 = r2 (q1 , q2 , . . . , t),
..
.
(1.89)
rN = rN (q1 , q2 , . . . , t).
En general, el conjunto de ligaduras fα (r1 , r2 , . . . , rN , t) = 0, α = 1, 2, . . . , k, y las
transformaciones ri (q1 , q2 , . . . , qs , t) = ri , i = 1, 2, . . . , N , permiten expresar las coordenadas generalizadas en términos de las coordenadas cartesianas, qj = qj (r1 , r2 , . . . , rN , t),
j = 1, 2, . . . , s. Es decir, en principio, las transformaciones ri ↔ qj son invertibles.
También pueden existir restricciones no descritas por ecuaciones algebraicas, las cuales se denominan restricciones no holonómicas. Éstas se expresan como desigualdades o
en forma de ecuaciones diferenciales para las coordenadas.
Ejemplos de restricciones y coordenadas generalizadas:
1. Péndulo plano.
Consiste en una partı́cula (N = 1) con masa m colgada de un extremo de una
varilla rı́gida de longitud l y masa despreciable, cuyo otro extremo está fijo, tal que
la varilla cual puede girar en un plano vertical.
1.3. COORDENADAS GENERALIZADAS
27
Figura 1.14: Péndulo simple con longitud l y masa m.
Hay dos restricciones, k = 2,
z=0 ⇒
2
2
x +y =l
2
⇒
(1.90)
f1 (x, y, z) = z = 0.
2
2
2
f2 (x, y, z) = x + y − l = 0.
(1.91)
Luego, s = 3(1)−2 = 1. Hay una coordenada generalizada. El diagrama del sistema
sugiere escoger q = θ como coordenada generalizada. Las transformaciones r(q) son
x = l sin θ
y = −l cos θ
x
−1
⇒ θ = tan
−
.
y
(1.92)
(1.93)
(1.94)
2. Péndulo doble.
Consiste en un péndulo plano que cuelga de otro péndulo plano. Hay dos partı́culas
(N = 2) y seis coordenadas cartesianas correspondientes a r1 y r2 .
Figura 1.15: Péndulo doble.
28
CAPÍTULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO
Hay k = 4 restricciones:
f1
f2
f3
f4
= z1 = 0
= z2 = 0
= x21 + y22 − l12 = 0
= (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 − l22 = 0.
(1.95)
Luego, hay s = 3(2) − 4 = 2 coordenadas generalizadas. La figura sugiere las
coordenadas generalizadas q1 = θ1 y q2 = θ2 . Las transformaciones ri (q) son
x1 = l1 sin θ1
y1 = −l1 cos θ1
x2 = l1 sin θ1 + l2 sin θ2
y2 = −l1 cos θ1 − l2 cos θ2 .
(1.96)
Las transformaciones inversas son
x1
θ1 = tan
−
y1
x
−
x
1
2
−1
θ2 = tan
.
y2 − y1
−1
(1.97)
(1.98)
Entonces, q1 = θ1 y q2 = θ2 son coordenadas generalizadas.
3. Polea simple (máquina de Atwood).
Figura 1.16: Polea simple.
En este problema N = 2. Las restricciones se pueden expresar como
f1
f2
f3
f4
f5
=
=
=
=
=
y1 + y2 − c1 = 0
x1 − c2 = 0
x2 − c3 = 0
z1 = 0
z2 = 0,
(1.99)
donde c1 , c2 , c3 son constantes. Luego, k = 5 y s = 3(2) − 5 = 1. Se puede escoger
q = y1 , o q = y2 como la coordenada generalizada.
1.3. COORDENADAS GENERALIZADAS
29
4. Partı́cula dentro de un cono invertido con ángulo de vértice α, cuyo eje es vertical.
Figura 1.17: Partı́cula moviéndose dentro de un cono con su eje vertical.
Hay una partı́cula N = 1, y 3 coordenadas cartesianas para su posición r = (x, y, z).
Hay una restricción, k = 1,
f1 (x, y, z) = r − z tan α = (x2 + y 2 )1/2 − z tan α = 0.
(1.100)
Entonces, hay s = 3(1) − 1 = 2 coordenadas generalizadas, que se pueden tomar
como q1 = r, q2 = θ. Las transformaciones r(q) son
x = r cos ϕ
y = r sin ϕ
z = r cot α,
(1.101)
y las transformaciones inversas son
ϕ = tan−1
y
= q1
x
r = z tan α = q2 .
(1.102)
5. Partı́cula deslizando sobre un aro en rotación uniforme sobre su diamétro.
Figura 1.18: Partı́cula deslizando sobre aro de radio a, el cual rota sobre su diámetro vertical
con velocidad angular ω.
30
CAPÍTULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO
La velocidad angular de rotación del aro sobre eje z es ω, asumida constante. Luego,
ϕ = ωt.
Restricciones:
f1 (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 − a2 = 0,
y
= tan ϕ = tan ωt
x
⇒ f2 (x, y, z, t) = y − x tan ωt = 0.
(1.103)
La función f2 es un ejemplo de ligadura que depende tanto de las coordenadas como
del tiempo. Tenemos k = 2; luego, s = 3(1) − 2 = 1. La coordenada generalizada
apropiada es q = θ.
Las transformaciones de coordenadas r(q) son
z = a cos θ
x = a sin θ cos ωt
y = a sin θ sin ωt.
(1.104)
En Mecánica Clásica, el tiempo t no es considerado como una coordenada, sino
como un parámetro.
6. Restricción no holonómica: aro rodando sin deslizar sobre un plano.
Figura 1.19: Izquierda: aro de radio R rodando sin deslizar sobre el plano (x, y). Derecha:
condición de rodar sin deslizar; P es el punto de apoyo instantáneo.
Existe la restricción z = cte. Sea θ el ángulo que forma el vector velocidad v con
respecto a la dirección −ŷ. La condición de rodar sin deslizar se expresa como
ds = vdt = Rdϕ ⇒ v = Rϕ̇.
(1.105)
Figura 1.20: Proyección del movimiento del aro sobre el plano (x, y).
Las componentes de la velocidad v son
ẋ = v sin θ = Rϕ̇ sin θ
ẏ = −v cos θ = −Rϕ̇ cos θ.
(1.106)
1.4. PRINCIPIOS VARIACIONALES.
31
Esta relaciones diferenciales se pueden expresar como restricciones no holonómicas
para las coordenadas,
dx − Rdϕ sin θ = 0
(1.107)
dy + Rdϕ cos θ = 0.
Las coordenadas generalizadas son (x, y) para ubicar el punto de apoyo instantáneo
P , más (θ, ϕ) para ubicar un punto cualquiera sobre el aro; luego s = 4.
7. Una restricción no holonómica: partı́cula dentro de una esfera de radio R.
La ligadura se expresa |ri | ≤ R.
Figura 1.21: Ligadura no holonómica: partı́cula dentro de una esfera.
1.4.
Principios variacionales.
Consideremos dos puntos (x1 , y1 ) y (x2 , y2 ) fijos en el plano (x, y), unidos por una
trayectoria y = y(x), x[x1 , x2 ], tal que y(x1 ) = y1 y y(x2 ) = y2 , y cuya derivada es
dy
.
y 0 (x) = dx
Figura 1.22: Función y(x) que pasa por dos puntos sobre el plano (x, y).
Definimos una funcional como una función de varias variables f (y, y 0 , x) cuyos argumentos son funciones y sus derivadas. Una funcional es una función de funciones dadas.
Una funcional asigna un número a una función, mientras que una función asigna un
número a otro número.
Por ejemplo, consideremos la funcional f (y, y 0 , x) = y(x) + y 0 (x). Para la función
y(x) = 3x + 2, tenemos f (y, y 0 , x) = 3x + 5; mientras que para y(x) = x2 , f (y, y 0 , x) =
x2 + 2x. El valor resultante de una funcional dada depende de la función y.
32
CAPÍTULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO
En los problemas de extremos en el cálculo diferencial buscamos el valor de una
variable para el cual una función es máxima o mı́nima. En cambio, los problemas de
extremos en el cálculo variacional consisten en encontrar la función que hace que una
integral definida sea extrema.
Principio variacional:
Dada una funcional f (y, y 0 , x), ¿cuál es la y(x) que hace que la integral definida de lı́nea:
Z x2
I=
f (y, y 0 , x)dx ,
(1.108)
x1
tenga un valor extremo (máximo ó mı́nimo) entre x1 y x2 ?.
Note que I es una integral definida y, por tanto, da como resultado un número cuyo valor depende de la función y(x) empleada en el argumento de la funcional dada
f (y, y 0 , x). Si I es extremo de f para una y(x) (y por tanto y 0 (x)), entonces cualquier
otra trayectoria cercana a y(x) definida entre x1 y x2 debe incrementar (o disminuir) en
valor de la integral I, es decir, debe variar I.
Se emplea la notación δI para indicar la variación de I. Luego, δI = 0 implica que I
es extremo.
El principio variacional sobre I requiere que δI = 0 para una f dada, lo cual implica
una condición sobre y(x). Para encontrar esta condición, supongamos que y(x) es la
función que pasa por x1 y x2 , y que hace δI = 0. Ahora, consideremos una trayectoria
cercana a y(x) definida como
y(x, α) = y(x) + α η(x),
(1.109)
donde α es un parámetro que mide la desviación con respecto a la función y(x) y η(x) es
una función arbitraria, pero diferenciable (es decir, existe η 0 (x)), tal que se anule en los
puntos x1 y x2 : η(x1 ) = η(x2 ) = 0. Entonces y(x, α) también pasa por (x1 , y1 ), (x2 , y2 ):
y(x1 , α) = y(x1 ) = y1
(1.110)
y(x2 , α) = y(x2 ) = y2
Figura 1.23: Trayectoria y(x, α) = y(x) + α η(x).
Note que y(x, 0) = y(x). Calculemos I para la trayectoria perturbada y(x, α),
Z x2
I=
f (y(x, α), y 0 (x, α), x)dx = I(α),
(1.111)
x1
1.4. PRINCIPIOS VARIACIONALES.
33
es decir, I es una función del parámetro α. La condición extrema δI = 0 cuando α = 0,
implica que
dI(α)
= 0,
(1.112)
dα α=0
lo cual a su vez implica una condición sobre f y sobre y(x). Calculemos dI/dα,
Z x2
dI
df (y(x, α), y 0 (x, α), x)
(1.113)
=
dx
dα
dα
x1
Z x2 ∂f ∂y
∂f ∂y 0
=
(x, α) + 0
(x, α) dx.
∂y ∂α
∂y ∂α
x1
Pero,
∂y
(x, α) = η(x);
∂α
∂y 0
∂
(x, α) =
∂α
∂α
dy
dx
=
d
dx
∂y
∂α
=
dη
dx
(1.114)
puesto que α y x son independientes. Luego,
Z x2 dI
∂f
∂f dη
=
η(x) + 0
dx.
dα
∂y
∂y dx
x1
El
término se integra por partes, usando (uv)0 = u0 v + uv 0 ⇒
R segundo
0
u vdx,
Z x2
Z x2
x2
∂f
∂f
d
∂f dη
dx =
η(x) −
η(x)dx,
0
∂y 0
∂y 0
x1 dx
x1 ∂y dx
x1
pero,
x2
∂f
∂f
η(x)
=
(η(x2 ) − η(x1 )) = 0
0
∂y 0
∂y
x1
(1.115)
R
uv 0 dx = uv −
puesto que η(x2 ) = η(x1 ) = 0. Luego:
Z x2 ∂f
∂f
d
dI
=
−
η(x)dx = 0.
dα
∂y
dx ∂y 0
x1
Evaluando en α = 0,
Z x2 Z x2
dI
∂f
d
∂f
=
M (x)η(x) = 0 ,
−
η(x)dx =
dα α=0
∂y
dx ∂y 0 α=0
x1
x1
donde
∂f
d
M (x) =
−
∂y
dx
∂f
∂y 0
(1.116)
(1.117)
(1.118)
(1.119)
.
(1.120)
α=0
Cuando α = 0, el integrando es una función de x solamente: M (x)η(x). Luego, la condI
= 0 ⇒ M (x)η(x) = 0. Pero como η(x) es una función arbitraria no nula,
dición dα
α=0
entonces debemos tener M (x) = 0. Se acostumbra escribir esta condición en la forma
d
∂f
∂f
= 0.
(1.121)
−
0
dx ∂y
∂y
34
CAPÍTULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO
La Ec. (1.121) es la ecuación de Euler, y expresa la condición que debe satisfacer la
función y(x) que hace δI = 0 para una integral definida I de una funcional f (y, y 0 , x)
dada. La Ec. (1.121) es una ecuación diferencial de segundo orden para y(x), cuya solución
permite encontrar y(x) para las condiciones dadas.
Figura 1.24: Leonhard Euler (1707-1783).
Ejemplos.
1. Calcular la trayectoria y(x) que corresponde a la distancia más corta entre dos
puntos dados en un plano.
Figura 1.25: Trayectoria más corta entre dos puntos del plano (x, y).
El elemento de distancia sobre el plano es
p
ds = dx2 + dy 2 .
(1.122)
La distancia entre (x1 , y1 ) y (x2 , y2 ) es
Z
I=
2
Z
x2
ds =
1
s
1+
x1
dy
dx
2
Z
x2
dx =
x1
f (y, y 0 ) dx,
(1.123)
1.4. PRINCIPIOS VARIACIONALES.
donde f (y, y 0 ) =
35
p
1 + (y 0 )2 .
Buscamos la trayectoria y(x) que da el valor mı́nimo de la integral I; es decir, que
hace δI = 0. La ecuación de Euler es la condición que satisface esa y(x),
d
∂f
∂f
−
= 0.
(1.124)
0
dx ∂y
∂y
Tenemos
∂f
= 0,
∂y
∂f
y0
p
=
.
∂y 0
1 + (y 0 )2
(1.125)
= c = constante,
(1.126)
Luego, la ecuación de Euler conduce a
y0
p
1 + (y 0 )2
y0
⇒ y
c
≡a
1 − c2
= ax + b,
√
=
(1.127)
(1.128)
donde a y b son constantes.
2. Superficie mı́nima de revolución.
Encontrar el perfil y(x) entre x1 , x2 que produce el área mı́nima de revolución
alrededor del eje y.
Figura 1.26: Superficie mı́nima de revolución de y(x) alrededor de eje y.
El elemento de área de revolución alrededor de eje y es
p
dA = 2πx ds = 2πx dx2 + dy 2 .
(1.129)
Área de revolución generada por y(x),
Z
Z
A = dA = 2π
(1.130)
x2
x1
p
x 1 + (y 0 )2 dx.
36
CAPÍTULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO
Identificamos en el integrando la funcional
p
f (y, y 0 x) = x 1 + (y 0 )2 .
(1.131)
La ecuación de Euler,
d
dx
∂f
∂y 0
−
∂f
= 0,
∂y
(1.132)
requiere las derivadas,
∂f
xy 0
p
=
.
∂y 0
1 + y 02
∂f
= 0,
∂y
(1.133)
Sustituyendo en la ecuación de Euler, obtenemos
xy 0
p
1 + y 02
y0
⇒y
(1.134)
= a = constante
dy
a
=√
dx
x2 − a2
Z
dx
= a √
2
x − a2
p
= a ln(x + x2 − a2 ) + k.
=
(1.135)
(1.136)
(1.137)
Los valores de las constantes a y k se determinan con (x1 , y1 ) y (x2 , y2 ). Si escribimos k = b − a ln a, la Ec. (1.137) también se puede expresar como
!
√
x
y−b
x + x2 − a2
= ln
= cosh−1
(1.138)
a
a
a
⇒ x = a cosh
y−b
a
,
(1.139)
que es la ecuación de una catenaria.
3. Braquistocrona (del griego, “tiempo más corto”).
Encontrar la trayectoria y(x) de una partı́cula en el campo gravitacional terrestre
que da el menor tiempo posible para ir de un punto (x1 , y1 ) a otro punto (x2 , y2 )
sin fricción, partiendo del reposo (v0 = 0).
Fijamos el punto (x1 , y1 ) = (0, 0). Para este problema, escogemos la dirección del
eje y hacia abajo, con el fin de obtener la función y(x).
Si v es la magnitud de la velocidad a lo largo de la trayectoria, entonces el elemento
de tiempo para recorrer una distancia infinitesimal ds a lo largo de la trayectoria
es
ds
dt =
.
(1.140)
v
1.4. PRINCIPIOS VARIACIONALES.
37
Figura 1.27: Problema de la braquistocrona.
El tiempo total para ir del punto 1 al punto 2 es
Z 2p 2
Z 2
dx + dy 2
ds
=
.
t1→2 =
v
1
1 v
(1.141)
En el sistema de referencia escogido, la fuerza gravitacional sobre la partı́cula es
F = mgy ŷ, y por lo tanto la energı́a potencial es V = −mgy, tal que V (y = 0) = 0.
Puesto que v0 = 0, la conservación de la energı́a E = T + V da
0=
1
mv 2 − mgy
2
⇒
v=
p
2gy.
Luego, el tiempo total para ir del punto 1 al punto 2 es
Z 2p 2
dx + dy 2
√
t1→2 =
,
2gy
1
(1.142)
(1.143)
la cual se puede expresar como
y2
Z
t1→2 =
y1
s
1 + (x0 )2
dy .
2gy
(1.144)
La integral t1→2 es del tipo
Z
y2
I=
f (x, x0 , y)dy ,
(1.145)
y1
donde hemos intercambiado los roles de las variables x y y. Identificamos la funcional
s
1 + (x0 )2
f (x, x0 , y) =
.
(1.146)
2gy
La ecuación de Euler correspondiente es
d
∂f
∂f
= 0.
−
0
dy ∂x
∂x
(1.147)
38
CAPÍTULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO
Puesto que
∂f
= 0, la ecuación de Euler queda
∂x
∂f
x0
p
= c = constante.
=
√
∂x0
2gy 1 + (x0 )2
(1.148)
Note que la ecuación de Euler para la funcional f (x, x0 , y) resulta más sencilla que
la ecuación correspondiente a una funcional f (y, y 0 , x) en este caso. Luego,
s
dx
2gyc2
x0 =
=
(1.149)
dy
1 − 2gyc2
Z s
⇒x=
Z r
y
1
2gc2
−y
dy =
y
dy,
2R − y
(1.150)
donde hemos llamado 2R ≡ 1/2gc2 . Haciendo el cambio de variable
y = R(1 − cos θ),
dy = R sin θdθ,
(1.151)
tenemos
Z s
x = R
(1 − cos θ)
sin θ dθ = R
(1 + cos θ)
Z s
(1 − cos θ)2
sin θ dθ
(1 − cos2 θ)
Z
= R
(1 − cos θ) dθ = R(θ − sin θ) + k.
(1.152)
Luego, la trayectoria queda parametrizada en términos de la variable θ,
= R(1 − cos θ),
(1.153)
x = R(θ − sin θ),
(1.154)
y
la cual corresponde a una cicloide que pasa por (x1 , y1 ) = (0, 0), con k = 0..
Figura 1.28: Trayectoria de la cicloide.
La constante R se determina con el punto (x2 , y2 ) y da al valor del radio de la
circunferencia que genera la cicloide. Algunos puntos ayudan a trazar la cicloide,
θ=
π
π
⇒ y = R, x = R;
2
2
θ = π ⇒ x = πR, y = 2R;
θ = 2π ⇒ x = 2πR, y = 0.
1.4. PRINCIPIOS VARIACIONALES.
39
Figura 1.29: Johann Bernoulli (1667 -1748).
El problema de la braquistocrona es famoso en la historia de la Fı́sica. Fue planteado
originalmente por Galileo, quien pensó que la trayectorı́a más corta era un arco de
circunferencia. El problema fue estudiado años después por Johann Bernoulli, cuyo
trabajo condujo a la fundación del cálculo variacional.
Principios variacionales y ecuaciones de Euler para funcionales de varias variables.
Consideremos una funcional de varias variables
f (yi (x), yi0 (x), . . . , x) , ,
i = 1, 2, . . . , s
(1.155)
tal que la integral definida
Z
x2
I=
f (yi (x), yi0 (x), x) dx
x1
adquiera un valor extremo, i.e., δI = 0, para las funciones yi (x), i = 1, 2, . . . , s.
Figura 1.30: Trayectorias y1 (x) y y2 (x) en el espacio (x, y1 , y2 ).
(1.156)
40
CAPÍTULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO
Consideremos ahora una funcional de trayectorias perturbadas:
f (yi (x, α), yi0 (x, α), . . . , x) ,
i = 1, 2, . . . , s.
(1.157)
donde
yi (x, α) = yi (x) + αηi (x),
(1.158)
y las ηi (x) son funciones arbitrarias que satisfacen
ηi (x1 ) = ηi (x2 ) = 0.
(1.159)
Consideremos la integral definida con las funciones yi (x, α) como argumentos,
Z x2
I(α) =
f [yi (x, α), yi0 (x, α), x]dx.
(1.160)
x1
La condición de que I(0) sea extremo, o que δI = 0, implica que
dI
dα
Calculamos
dI
=
dα
Z
x2
x1
= 0.
(1.161)
α=0
s X
∂f ∂y 0
∂f ∂yi
+ 0 i dx,
∂yi ∂α
∂yi ∂α
i=1
(1.162)
donde
∂yi (x, α)
∂yi0 (x, α)
= ηi (x);
= ηi0 (x).
∂α
∂α
El segundo término en la suma de la Ec. (1.162) se integra por partes:
Z
x2
x1
x
* 0 Z x2
∂f
∂f 0
∂f 2
d
η (x)dx =
ηi (x)dx ,
−
i (x)
0η
∂yi0 i
∂y
∂yi0
x1 dx
i
x1
(1.163)
(1.164)
en virtud de la condición Ec. (1.159) sobre las funciones ηi (x). Luego,
dI
=
dα
Z
x2
s X
∂f
x− 1 i=1
La condición
∂yi
dI
dα
−
d
dx
∂f
∂yi0
ηi (x)dx.
= 0,
(1.165)
(1.166)
α=0
implica las s condiciones
d
dx
∂f
∂yi0
−
∂f
= 0,
∂yi
i = 1, 2, . . . , s
que corresponden a s ecuaciones de Euler, una para cada función yi (x).
(1.167)
1.5. PRINCIPIO DE MÍNIMA ACCIÓN Y ECUACIONES DE LAGRANGE.
1.5.
41
Principio de mı́nima acción y ecuaciones de Lagrange.
Consideremos un sistema descrito por s coordenadas {q1 , q2 , . . . , qs } y sus correspondientes s velocidades generalizadas {q̇1 , q̇2 , . . . , q̇s }.
Definimos una funcional escalar de {qj }, {q̇j } y t, dado por
L(qj , q̇j , t) = T − V,
(1.168)
donde T y V son la energı́a cinética y la energı́a potencial del sitema, expresadas en términos de las coordenadas y velocidades generalizadas. La funcional L(qj , q̇j , t) se denomina
Lagrangiano del sistema.
Por ejemplo, la energı́a cinética y la energı́a potencial de un oscilador armónico simple
son, respectivamente,
1
1
T = mẋ2 ;
V = kx2 ,
(1.169)
2
2
y el Lagrangiano correspondiente es
L=
1
1
mẋ2 − kx2 .
2
2
(1.170)
En principio, todo sistema mecánico, se puede caracterizar por un Lagrangiano L.
Supongamos que el estado del sistema en los instantes de tiempo t = t1 y t = t2
está descrito por
t1 : {qj (t1 )}, {q̇j (t1 )} ;
t2 : {qj (t2 )}, {q̇j (t2 )}.
La acción del sistema se define como la integral definida
Z t2
S=
L(qj , q̇j , t) dt .
t1
Figura 1.31: Pierre-Louis Moreau de Maupertuis (1698-1759).
(1.171)
(1.172)
42
CAPÍTULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO
Principio de mı́nima acción:
La evolución del sistema entre el estado en t1 y el estado en t2 es tal que S
sea mı́nima, es decir, δS = 0 (S es un extremo).
El Principio de mı́nima acción es un principio variacional; establece que las ecuaciones
de movimiento de un sistema, en términos de sus coordenadas generalizadas, pueden
formularse a partir del requerimiento de que una cierta condición sobre S sea satisfecha.
El Principio de mı́nima acción fue formulado en distintas formas por Maupertuis y
por Hamilton; también se llama Principio de Hamilton.
Sean qj = qj (t) las trayectorias para las cuales S adquiere un valor extremo. Consideremos la variación de qj como qj (t) + δqj (t), y la variación de q̇j como q̇j (t) + δ q̇j (t).
Supongamos extremos fijos t1 y t2 . Luego δqj (t1 ) = δqj (t2 ) = 0.
La variación de qj produce un incremento en el valor de S. La variación en S cuando
qj (t) es reemplazado por qj (t) + δqj (t), y q̇j por q̇j (t) + δ q̇j (t), es
Z t2
δS =
δL(qj , q̇j , t)dt
t1
t2
Z
Z
t2
L(qj + δqj , q̇j + δqj , t)dt −
=
t1
L(qj , q̇j , t)dt.
(1.173)
t1
El principio de mı́nima acción requiere que
Z t2 X
s ∂L
∂L
δqj +
δ q̇j dt = 0.
δS =
∂ q̇j
t1 j=1 ∂qj
Similar a la integral I, podemos expresar el segundo término como
Z t2
Z t2
t2
δL d
∂L
d δL
(δqj )dt =
δqj −
δqj ,
∂ q̇j
δ q̇j
t1 δ q̇j dt
t1 dt
t1
donde
∂L
δqj
∂ q̇j
(1.174)
(1.175)
t2
= 0.
(1.176)
t1
Luego, la condición δS = 0 implica s ecuaciones:
d ∂L
∂L
= 0,
−
dt ∂ q̇j
∂qj
i = 1, . . . , s.
(1.177)
Las Ecs. (1.177) se denominan ecuaciones de Lagrange. Constituyen s ecuaciones diferenciales acopladas de segundo orden para las s coordenadas qj (t) que describen la evolución
del sistema en el tiempo.
Se pueden establecer las siguientes analogı́as entre el Principio de mı́nima acción y
un principio variacional:
Z x2
Z t2
S=
L(qj , q̇j , t)dt ↔ I =
f (yi , yi0 , x)dx
(1.178)
t1
x1
1.5. PRINCIPIO DE MÍNIMA ACCIÓN Y ECUACIONES DE LAGRANGE.
43
f (yi , yi0 , x)
L(qj , q̇j , t) ↔
t ↔
qj ↔
x
yi
q̇j ↔
δqj (t) ↔
yi0
ηj (x)
δ q̇j (t) ↔
ηj0 (x).
Figura 1.32: Joseph Louis de Lagrange (1736-1827).
Las ecuaciones de Lagrange son equivalentes a la Segunda Ley de Newton si las
coordenadas generalizadas corresponden a las coordenadas cartesianas de las partı́culas
del sistema. Para ver esto, consideremos N partı́culas: α = 1, 2, . . . , N . Llamemos j a las
componentes cartesianas de la partı́cula α: xj (α) Asumamos las coordenadas cartesianas
como coordenadas generalizadas: qj = xj (α).
La energı́a cinética del sistema es
T =
N X
3
X
1
α=1 i=1
2
mα ẋ2i (α).
(1.179)
La energı́a potencial es
V =
N
X
Vα (r(1), r(2), . . . , r(N )).
(1.180)
α=1
El Lagrangiano está dado por
L=T −V =
N X
3
X
1
α=1 i=1
2
mα ẋ2i (α) −
N
X
Vα (r(1), r(2), . . . , r(N )).
(1.181)
α=1
La ecuación de Lagrange para la coordenada xj (α) es
d
∂L
∂L
−
= 0.
dt ∂ ẋj (α)
∂xj (α)
(1.182)
44
CAPÍTULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO
Calculamos
∂L
∂ ẋj (α)
∂L
∂xj (α)
∂T
= m(α)ẋj (α) = pj (α),
∂ ẋj (α)
∂Vα
= −
= Fj (α).
∂xj (α)
=
Sustitución en la ecuación de Lagrange para xj (α) da
dpj (α)
= Fj (α),
dt
(1.183)
lo que corresponde a la componente j de la 2da ley de Newton para la partı́cula α.
Sumando sobre todas las partı́culas,
N
N
X
dpj (α) X
Fj (α) = componente j de la fuerza total
=
dt
α=1
α=1
(1.184)
pero
Pj =
N
X
pj (α) = componente j del momento lineal total.
(1.185)
α=1
Luego,
dPj
= Fj (total)
(1.186)
dt
lo que corresponde a la componente j de la Segunda ley de Newton para el sistema. Luego,
si qj = xj (α), es decir, si las coordenadas generalizadas corresponden a las coordenadas
cartesianas, las ecuaciones de Lagrange son equivalentes a la Segunda ley de Newton para
el sistema.
Las ecuaciones de Lagrange no constituyen una nueva teorı́a del movimiento; los
resultados de la formulación Lagrangiana o de la formulación Newtoniana del movimiento
de un sistema dado son los mismos; tan sólo la descripción y el método usado para obtener
esos resultados son diferentes. Son descripciones distintas de un mismo efecto fı́sico.
Las leyes de Newton enfatizan causas externas (fuerzas) actuando sobre un cuerpo, mientras que la formulación Lagrangiana se enfoca en cantidades escalares (energı́as
cinética y potencial) asociadas con el cuerpo. En contraste con el punto de vista Newtoniano de causa-efecto para explicar el movimiento, el Principio de mı́nima acción describe
éste como el resultado de un propósito de la Naturaleza.
Las ecuaciones de Lagrange son más generales que la segunda Ley de Newton; además
de sistemas mecánicos clásicos, se pueden aplicar para todo sistema donde se puede
definir un Lagrangiano, incluyendo medios contı́nuos, campos, Mecánica Cuántica. El
Principio de Mı́nima acción sugiere una conexión profunda entre la Fı́sica y la Geometrı́a,
una propiedad que ha sido empleada en el desarrollo de varias teorı́as fı́sicas. Como
veremos, una ventaja de la formulación Lagrangiana es que permite descubrir simetrı́as
fundamentales presentes en sistemas fı́sicos.
1.5. PRINCIPIO DE MÍNIMA ACCIÓN Y ECUACIONES DE LAGRANGE.
45
Las ecuaciones de movimiento de muchos sistemas, además de sistemas mecánicos,
pueden derivarse a partir de algún principio variacional. Por ejemplo, el Principio de
Fermat establece que la propagación de la luz entre dos puntos dados en un medio
sigue la trayectoria que corresponde al tiempo mı́nimo. A partir de ese principio, pueden
obtenerse las leyes de la Óptica Geométrica.
Figura 1.33: Pierre de Fermat (1601-1665).
Propiedades de las ecuaciones de Lagrange.
1) Las ecuaciones de movimiento de un sistema son invariantes si a su Lagrangiano se le
agrega una derivada total temporal de una función f (qj , t).
Sea L(qj , q̇j , t) el Lagrangiano del sistema para el cual δS = 0. Entonces, el nuevo
Lagrangiano será
df (qj , t)
L0 (qj , q̇j , t) = L(qj , q̇j , t) +
.
(1.187)
dt
La nueva acción es
Z t2
S0 =
L0 (qj , q̇j , t)dt
t1
t2
Z
L(qj , q̇j , t)dt + f (q(t2 ), t2 ) − f (qj (t1 ), t1 ).
=
(1.188)
t1
Luego,
δS 0 = δS + δf (qj (t2 ), t2 ) − δf (qj (t1 ), t1 ),
(1.189)
pero f (qj (t2 ), t2 ) y f (qj (t1 ), t1 ) son cantidades fijas cuya variación es cero. Luego δS =
δS, y la condición δS = 0 ⇒ δS 0 = 0. Por lo tanto, las ecuaciones de movimiento que se
derivan de L y de L0 son equivalentes.
2) La forma de las ecuaciones de Lagrange es invariante con respecto al conjunto de
coordenadas generalizadas utilizadas en un sistema.
46
CAPÍTULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO
La derivación de las ecuaciones de Lagrange no depende del conjunto de coordenadas
generalizadas especı́ficas; por lo tanto, la forma de las ecuaciones de Lagrange no depende
de un conjunto particular de coordenadas {qi }. Se puede escoger otro conjunto de s
coordenadas generalizadas independientes {Qi }, y las ecuaciones de Lagrange también
se cumplen en esas coordenadas.
Sea {qi }, i = 1, . . . , s, un conjunto de coordenadas generalizadas para un sistema con
s grados de libertad y cuyo Lagrangiano es L(qi , q̇i , t). Las ecuaciones de Lagrange para
estas coordenadas son
∂L
d ∂L
−
= 0.
(1.190)
dt ∂ q̇j
∂qj
Supongamos una transformación a otro conjunto de coordenadas generalizadas {Qi },
i = 1, . . . , s, de la forma
qi = qi (Q1 , Q2 , . . . , Qs , t),
(1.191)
la cual se conoce como una transformación puntual. Entonces, el Lagrangiano expresado
como función de las nuevas coordenadas y velocidades generalizadas L(Qi , Q̇i , t) también
satisface las ecuaciones de Lagrange
d
∂L
∂L
−
= 0.
(1.192)
dt ∂ Q̇i
∂Qi
Para demostrar esta invarianza, a partir de la Ec. (1.191) calculamos
s
q̇i =
X ∂qi
dqi
∂qi
Q̇k +
=
.
dt
∂Qk
∂t
(1.193)
k=1
Luego,
q̇i = q̇i (Q1 , . . . , Qs , Q̇1 , . . . , Q̇s , t).
(1.194)
Entonces, el Lagrangiano se puede expresar como función de las nuevas coordenadas y
velocidades generalizadas,
L(q1 , . . . , qs , t) = L[qi (Q1 , . . . , Qs , t), q̇i (Q1 , . . . , Qs , Q̇1 , . . . , Q̇s , t), t].
(1.195)
Tenemos,
s
X
∂L
=
∂Qi
j=1
∂L ∂qj
∂L ∂ q̇j
+
∂qj ∂Qi
∂ q̇j ∂Qi
,
(1.196)
y


0
s
s
X
7
∂L
∂L ∂ q̇j  X ∂L ∂ q̇j
 ∂L ∂qj
=
+
=
.


∂qj ∂ ∂ q̇j ∂ Q̇i
∂ q̇j ∂ Q̇i
∂ Q̇i
j=1
j=1
Q̇i
(1.197)
Notemos que
s
s
X ∂qj ∂ Q̇k
X ∂qj
∂qj
∂ q̇j
=
=
δik =
.
∂Qk ∂ Q̇i
∂Qk
∂Qi
∂ Q̇i
k=1
k=1
(1.198)
1.6. EJEMPLOS DE ECUACIONES DE LAGRANGE PARA VARIOS SISTEMAS.47
Luego,
d
dt
∂L
∂ Q̇i


s
s X
d 
∂L ∂qj  X ∂L ∂qj
∂L ∂ q̇j
∂L
=
+
−
−
∂Qi
dt j=1 ∂ q̇j ∂Qi
∂qj ∂Qi
∂ q̇j ∂Qi
j=1
=
s X
∂qj
d ∂L
∂L
∂L d ∂qj
∂ q̇j
−
+
−
. (1.199)
∂Qi dt ∂ q̇j
∂qj
∂ q̇j dt ∂Qi
∂Qi
j=1
El primer término en la Ec. (1.199) es cero, de acuerdo a la Ec. (1.190). Por otro lado,
∂
dqj
∂ q̇j
d ∂qj
=
,
(1.200)
=
∂Qi
∂Qi dt
dt ∂Qi
por lo cual, el segundo término en la Ec. (1.199) también se anula. Luego,
d
∂L
∂L
−
= 0.
dt ∂ Q̇i
∂Qi
(1.201)
Por lo tanto, la forma de las ecuaciones de Lagrange se conserva bajo transformaciones
puntuales de las coordenadas generalizadas.
Por ejemplo, consideremos una partı́cula en un plano. Las ecuaciones de Lagrange
para la partı́cula en coordenadas cartesianas {qi } = {x, y} tienen la misma forma que las
correspondientes ecuaciones en coordenadas polares {Qi } = {r, ϕ}, donde las relaciones
qi = qi (Qj , t) son
x = r cos ϕ
y = r sin ϕ.
1.6.
Ejemplos de ecuaciones de Lagrange para varios
sistemas.
1. Péndulo simple.
Figura 1.34: Coordenada generalizada θ para el péndulo simple.
48
CAPÍTULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO
Vimos que la coordenada generalizada es el ángulo θ. Entonces,
x = l sin θ,
ẋ = lθ̇ cos θ
y = −l cos θ,
ẏ = lθ̇ sin θ
Expresamos T y V en función de θ y θ̇,
T =
1
1
1
mv 2 = m(ẋ2 + ẏ 2 ) = ml2 θ̇2 .
2
2
2
V = mgy = −mgl cos θ.
(1.202)
(1.203)
Entonces, el Lagrangiano es
L=T −V =
1 2 2
ml θ̇ + mgl cos θ.
2
(1.204)
La ecuación de Lagrange para θ es
d ∂L
∂L
−
=0
dt ∂ θ̇
∂θ
(1.205)
Calculamos los términos
∂L
= −mgl sin θ,
∂θ
∂L
= ml2 θ̇,
∂ θ̇
d
dt
∂L
∂ θ̇
= ml2 θ̈.
(1.206)
Luego, la ecuación de Lagrange queda como
ml2 θ̈ + mgl sin θ = 0,
g
sin θ
l
que es la conocida ecuación del péndulo simple.
(1.207)
(1.208)
θ̈ +
2. Oscilador armónico.
Figura 1.35: Oscilador armónico simple.
Usando la coordenada generalizada x, tenemos
T =
1
mẋ2 ,
2
L=T −V =
V =
1 2
kx ,
2
1
1
mẋ2 − kx2 .
2
2
(1.209)
(1.210)
1.6. EJEMPLOS DE ECUACIONES DE LAGRANGE PARA VARIOS SISTEMAS.49
La ecuación de Lagrange para x es
d ∂L
∂L
−
= 0.
dt ∂ ẋ
∂x
Calculamos
∂L
∂L
= mẋ ;
= −kx.
∂ ẋ
∂x
(1.211)
(1.212)
Luego, obtenemos
mẍ + kx = 0,
ẍ + ω 2 x = 0,
(1.213)
donde ω 2 ≡ k/m.
3. Partı́cula libre.
La condición de estar libre significa que no hay fuerza neta sobre la partı́cula,
F = −∇V = 0. Luego, V = constante para una partı́cula libre.
a) El Lagrangiano en coordenadas cartesianas es
L=T =
1
m(ẋ2 + ẏ 2 + ż 2 ).
2
Las ecuaciones de Lagrange
∂L
d ∂L
−
= 0,
dt ∂ ẋi
∂xi
conducen a
i = 1, 2, 3,
∂L
= mẋi = constante,
∂ ẋi
(1.214)
(1.215)
(1.216)
que expresan la conservación de la componente i del momento lineal de la partı́cula.
b) Lagrangiano en coordenadas esféricas.
Figura 1.36: Coordenadas esféricas para una partı́cula.
50
CAPÍTULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO
Las coordenadas se expresan como
x = r sin θ cos ϕ
y = r sin θ sin ϕ
z = r cos θ.
(1.217)
ẋ = ṙ sin θ cos ϕ + rθ̇ cos θ cos ϕ − rϕ̇ sin θ sin ϕ
ẏ = ṙ sin θ sin ϕ + rθ̇ cos θ sin ϕ + rϕ̇ sin θ cos ϕ
ż = ṙ cos θ − rθ̇ sin θ.
(1.218)
Las velocidades son
Substitución en L da
L=
1
m(ṙ2 + r2 θ̇2 + r2 ϕ̇2 sin2 θ).
2
(1.219)
4. Partı́cula en el campo gravitacional terrestre.
Figura 1.37: Partı́cula en el campo gravitacional terrestre..
El movimiento en el campo gravitacional uniforme de la Tierra ocurre en un plano
vertical; i.e., s = 2. Tomamos las coordenadas cartesianas (x, y) como coordenadas generalizadas. Supongamos que la partı́cula posee posición inicial (xo , yo ) y
velocidad inicial (vox , voy ). Entonces,
1
m(ẋ2 + ẏ 2 ),
V = mgy
2
1
L = T − V = m(ẋ2 + ẏ 2 ) − mgy.
2
T =
La ecuación de Lagrange para x es
∂L
d ∂L
= 0,
−
dt ∂ ẋ
∂x
(1.220)
(1.221)
(1.222)
la cual resulta en
mẍ = 0
⇒
ẍ = 0
(1.223)
⇒ x = b1 t + b2 ,
(1.224)
1.6. EJEMPLOS DE ECUACIONES DE LAGRANGE PARA VARIOS SISTEMAS.51
con b1 y b2 constantes. Usando las condiciones iniciales en t = 0, obtenemos
x(t) = xo + vox t.
La ecuación de Lagrange para y es
d ∂L
∂L
−
= 0,
dt ∂ ẏ
∂y
(1.225)
(1.226)
lo que conduce a
mÿ + mg = 0 ⇒ ÿ = −g
1
⇒ y = − gt2 + c1 t + c2 .
2
(1.227)
(1.228)
Usando las condiciones iniciales, podemos expresar
1
y(t) = yo + voy t − gt2
2
La trayectoria descrita por la partı́cula es una parábola,
voy
g
y(x) = yo +
(x − xo ) − 2 (x − xo )2 .
vox
2vox
(1.229)
(1.230)
La trayectoria parabólica corresponde a la minima acción; mientras que la cicloide
corresponde al tiempo minimo entre dos puntos en el campo gravitacional terrestre.
5. Partı́cula moviéndose sobre un cono invertido en el campo gravitacional terrestre.
Figura 1.38: Partı́cula moviéndose sobre un cono invertido.
Coordenadas generalizadas son q1 = ϕ y q2 = r. Entonces,
x = r cos ϕ
y = r sin ϕ
z = r cot α.
(1.231)
Las velocidades correspondientes son
ẋ = ṙ cos ϕ − rϕ̇ sin ϕ
ẏ = ṙ sin ϕ + rϕ̇ cos ϕ
ż = ṙ cot α.
(1.232)
52
CAPÍTULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO
Energı́a cinética,
T =
1
mv 2
2
1
m(ẋ2 + ẏ 2 + ż 2 )
2
1
m[ṙ2 (1 + cot2 α) + r2 ϕ̇2 ]
2
1
m(ṙ2 csc2 α + rϕ̇2 ).
2
=
=
=
(1.233)
Energı́a potencial,
V = mgz = mgr cot α.
(1.234)
Por lo tanto, el Lagrangiano L = T − V es
L=
1
m(ṙ2 csc2 α + r2 ϕ̇2 ) − mgr cot α.
2
La ecuación de Lagrange para ϕ es
d ∂L
∂L
= 0,
−
dt ∂ ϕ̇
∂ϕ
donde
(1.235)
(1.236)
∂L
= 0,
∂ϕ
(1.237)
∂L
= mr2 ϕ̇ = cte ≡ lz .
∂ ϕ̇
(1.238)
Luego,
La cantidad constante es la componente lz del momento angular en términos de
las coordenadas generalizadas, lo que se puede verificar calculando la componente
cartesiana lz = m(xẏ − y ẋ), y usando las Ecs. (1.231) y (1.232). La componente
lz se conserva porque la componente τz del vector de torque total producido por
las fuerzas actuantes sobre la partı́cula (su peso y la fuerza normal ejercida por la
superficie del cono) es cero.
La ecuación de Lagrange para r es
∂L
d ∂L
−
= 0,
dt ∂ ṙ
∂r
donde
∂L
= mrϕ̇2 − mg cot α,
∂r
∂L
= mṙ csc2 α.
∂ ṙ
(1.239)
(1.240)
Luego,
r̈ csc2 α − rϕ̇2 + g cot α = 0,
2
2
r̈ − rϕ̇ sin α + g sin α cos α = 0.
(1.241)
(1.242)
1.6. EJEMPLOS DE ECUACIONES DE LAGRANGE PARA VARIOS SISTEMAS.53
6. Péndulo doble.
Consiste en un péndulo de longitud l1 y masa m1 , del cual cuelga un segundo
péndulo de longitud l2 y masa m2 .
Figura 1.39: Péndulo doble.
Coordenadas generalizadas son q1 = θ1 , q2 = θ2 . Luego,
x1 = l1 sin θ
y1 = −l1 cos θ
x2 = l1 sin θ + l2 sin θ2
y2 = −l1 cos θ − l2 cos θ2
⇒ ẋ1 = l1 θ̇1 cos θ1
⇒ ẏ1 = l1 θ̇1 sin θ1
⇒ ẋ2 = l1 θ̇1 cos θ1 + l2 θ̇2 cos θ2
⇒ ẏ2 = l1 θ̇1 sin θ1 + l2 θ̇2 sin θ2
(1.243)
(1.244)
La energı́a cinética de partı́cula 1 es
T1 =
1
1
1
m1 v12 = m1 (ẋ21 + ẏ12 ) = m1 l12 θ̇12 .
2
2
2
(1.245)
La energı́a cinética de partı́cula 2 es
T2 =
1
m2 v22
2
=
=
=
1
m2 (ẋ22 + ẏ22 )
2
1
m2 [l12 θ̇12 + l22 θ̇22 + 2l1 l2 θ̇1 θ̇2 (cos θ1 cos θ2 + sin θ1 sin θ2 )]
2
1
m2 [l12 θ̇12 + l22 θ̇22 + 2l1 l2 θ̇1 θ̇2 cos(θ1 − θ2 )].
(1.246)
2
Las energı́as potenciales de las partı́culas se pueden expresar como
V1 = m1 gy1
V2 = m2 gy2
= −m1 gl1 cos θ1
= −m2 g(l1 cos θ1 + l2 cos θ2 ).
(1.247)
(1.248)
La energı́a cinética del sistema es T = T1 +T2 y la energı́a potencial es V = V1 +V2 .
El Lagrangiano del sistema es L = T − V , lo que conduce a
L =
1
1
(m1 + m2 )l12 θ̇12 + m2 l22 θ̇22 + m2 l1 l2 θ̇1 θ̇2 cos(θ1 − θ2 )
2
2
+ (m1 + m2 )gl1 cos θ1 + m2 gl2 cos θ2 .
(1.249)
54
CAPÍTULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO
Ecuación de Lagrange para θ1 ,
d
dt
∂L
∂ θ̇1
−
∂L
= 0,
∂θ1
(1.250)
donde
∂L
∂θ1
∂L
∂ θ̇1
d ∂L
dt ∂ θ̇1
= −m2 l1 l2 θ̇1 θ̇2 sin(θ1 − θ2 ) − (m1 + m2 )gl1 sin θ1
=
(m1 + m2 )l12 θ̇1 + m2 l1 l2 θ̇2 cos(θ1 − θ2 )
=
(m1 + m2 )l12 θ̈1 + m2 l1 l2 [θ̈2 cos(θ1 − θ2 ) − θ̇2 (θ̇1 − θ̇2 ) sin(θ1 − θ2 ].
Por lo tanto, la ecuación de Lagrange para θ1 queda
(m1 +m2 )l12 θ̈1 +m2 l1 l2 θ̈2 cos(θ1 −θ2 )+m2 l1 l2 θ̇22 sin(θ1 −θ2 )+(m1 +m2 )gl1 sin θ1 = 0.
(1.251)
Ecuación de Lagrange para θ2 es
d
dt
∂L
∂ θ̇2
−
∂L
= 0,
∂θ2
(1.252)
donde
∂L
∂θ2
∂L
∂ θ̇2
d ∂L
dt ∂ θ̇2
= m2 l1 l2 θ̇1 θ̇2 sin(θ1 − θ2 ) − m2 gl2 sin θ2
= m2 l22 θ̇2 + m2 l1 l2 θ̇1 cos(θ1 − θ2 )
= m2 l22 θ̈2 + m2 l1 l2 [θ̈1 cos(θ1 − θ2 ) − θ̇1 (θ̇1 − θ̇2 ) sin(θ1 − θ2 ].
Luego, la ecuación de Lagrange para θ2 queda
m2 l22 θ̈2 + m2 l1 l2 θ̈1 cos(θ1 − θ2 ) − m2 l1 l2 θ̇12 sin(θ1 − θ2 ) + m2 gl2 sin θ2 = 0. (1.253)
Despejando θ̈1 y θ̈2 , las ecuaciones de Lagrange para θ1 y θ2 se pueden expresar
como
θ̈1
=
g(sin θ2 cos ∆θ − µ sin θ1 ) − (l2 θ̇22 + l1 θ̇12 cos ∆θ) sin ∆θ
l1 (µ − cos2 ∆θ)
θ̈2
=
gµ(sin θ1 cos ∆θ − sin θ2 ) − (µl1 θ̇12 + l2 θ̇22 cos ∆θ) sin ∆θ
, (1.255)
l2 (µ − cos2 ∆θ)
(1.254)
donde ∆θ ≡ θ1 − θ2 , y µ ≡ 1 + m1 /m2 . Las ecuaciones de movimiento del péndulo
doble son no lineales y acopladas para θ1 y θ2 .
1.6. EJEMPLOS DE ECUACIONES DE LAGRANGE PARA VARIOS SISTEMAS.55
7. Péndulo con soporte deslizante horizontalmente sin fricción.
Figura 1.40: Péndulo con soporte deslizante.
Coordenadas generalizadas son q1 = x1 y q2 = θ.
x2 = x1 + l sin θ,
ẋ2 = ẋ1 + lθ̇ cos θ
y2 = −l cos θ,
ẏ2 = lθ̇ sin θ.
Energı́a cinética,
T =
1
1
m1 ẋ21 + m2 (ẋ21 + l2 θ̇2 + 2ẋ1 θ̇l cos θ).
2
2
(1.256)
Energı́a potencial,
V = m2 gy2 = −m2 gl cos θ.
(1.257)
Lagrangiano,
L=T −V =
1
1
(m1 + m2 )ẋ21 + m2 (l2 θ̇2 + 2ẋ1 θ̇l cos θ) + m2 gl cos θ.
2
2
(1.258)
Ecuación de Lagrange para x1 ,
d
dt
donde
∂L
= 0,
∂x1
∂L
∂ ẋ1
∂L
= 0,
∂x1
(1.259)
∂L
= (m1 + m2 )ẋ1 + m2 θ̇l cos θ.
∂ ẋ1
(1.260)
−
Luego, la ecuación para x1 queda
(m1 + m2 )ẋ1 + m2 lθ̇ cos θ = cte ≡ Px ,
(1.261)
esta ecuación expresa la conservación de la componente Px del momento lineal total
en dirección del eje x, puesto que no hay fuerzas netas en esa dirección.
Ecuación de Lagrange para θ,
d
dt
∂L
∂ θ̇
−
∂L
= 0,
∂θ
(1.262)
56
CAPÍTULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO
donde
∂L
= −m2 lẋ1 θ̇ sin θ − m2 gl sin θ;
∂θ
∂L
= m2 ẋ1 l cos θ + m2 l2 θ̇.
∂ θ̇
(1.263)
Por lo tanto, la ecuación de Lagrange para θ es
lθ̈ + ẍ1 cos θ − ẋ1 θ̇ sin θ + ẋ1 θ̇ sin θ + g sin θ = 0,
(1.264)
lθ̈ + ẍ1 cos θ + g sin θ = 0.
(1.265)
8. Aro rodando sin deslizar por un plano inclinado.
Figura 1.41: Aro rodando sin deslizar por un plano inclinado.
Un punto cualquiera en el aro puede ubicarse con dos coordenadas, x y θ, las
cuales están ligadas por una restricción no holonómica, que es la condición de
rodar sin deslizar: ẋ = Rθ̇. Luego, hay un grado de libertad; se puede escoger como
coordenada generalizada a x ó a θ.
La energı́a cinética del aro es
0
T = Tcm + Trelativa
al CM
(1.266)
donde Tcm es la energı́a cinética de translación,
Tcm =
1
mẋ2 ,
2
(1.267)
0
y Trel.
al CM es la energı́a cinética de rotación,
0
Trel.
al CM =
1
1
1 2
I θ̇ = (mR2 )θ̇2 = mR2 θ̇2 .
2
2
2
(1.268)
La energı́a potencial es
V = mgh = mg(l − x) sin α.
(1.269)
Entonces, el Lagrangiano es
L=T −V =
1
1
mẋ2 + mR2 θ̇2 − mg(l − x) sin α.
2
2
(1.270)
1.6. EJEMPLOS DE ECUACIONES DE LAGRANGE PARA VARIOS SISTEMAS.57
Sustituyendo θ̇ = ẋ/R en L, obtenemos
L = mẋ2 + mgx sin α − mgl sin α.
(1.271)
El término constante mgl sin α se puede suprimir en L, pues no afecta las ecuaciones
de movimiento. La ecuación de Lagrange para x es
d ∂L
∂L
=0
(1.272)
−
dt ∂ ẋ
∂x
donde
∂L
= mg sin α,
∂x
∂L
= 2mẋ.
∂ ẋ
(1.273)
Luego,
g
sin α = 0.
(1.274)
2
El aro baja por el plano rodando sin deslizar, con la mitad de la aceleración que
tendrı́a si simplemente deslizara sin fricción.
ẍ −
9. Péndulo de longitud l y masa m cuyo soporte gira en un circulo de radio a en un
plano vertical, con velocidad angular constante ω.
Figura 1.42: Péndulo con soporte en movimiento circular uniforme.
Expresamos φ = ωt. Luego,
x = a cos ωt + l sin θ,
y = a sin ωt − l cos θ,
ẋ = −ωa sin ωt + lθ̇ cos θ
ẏ = ωa cos ωt + lθ̇ sin θ.
(1.275)
(1.276)
Energı́a cinética,
T =
1
1
m(ẋ2 + ẏ 2 ) = m[a2 ω 2 + l2 θ̇2 + 2aωlθ̇(sin θ cos ωt − cos θ sin ωt)]. (1.277)
2
2
Energı́a potencial,
V = mgy = mg(a sin ωt − l cos θ).
(1.278)
1
m[l2 θ̇2 + 2aωlθ̇ sin(θ − ωt)] + mgl cos θ,
2
(1.279)
El Lagrangiano es
L=T −V =
58
CAPÍTULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO
df
donde hemos omitido términos constantes (a2 ω 2 ) y la derivada total
= mga sin ωt,
dt
mga
con f = −
cos ωt.
ω
La ecuación de Lagrange para θ es
d ∂L
∂L
= 0.
(1.280)
−
dt ∂ θ̇
∂θ
donde
∂L
∂θ
∂L
θ̇
∂
d ∂L
dt ∂ θ̇
= maωlθ̇ cos(θ − ωt) − mgl sin θ,
= ml2 θ̇ + maωl sin(θ − ωt),
= ml2 θ̈ + maωl(θ̇ − ω) cos(θ − ωt).
Sustituyendo en la ecuación de Lagrange para θ, obtenemos
l2 θ̈ + aωlθ̇ cos(θ − ωt) − aω 2 l cos(θ − ωt) − aωlθ̇ cos(θ − ωt) + gl sin θ = 0, (1.281)
lo cual queda como
θ̈ −
aω 2
g
cos(θ − ωt) + sin θ = 0.
l
l
(1.282)
Note que si ω = 0, la Ec. (1.282) corresponde a la ecuación de movimiento de un
péndulo simple.
∂V
En este sistema,
6= 0, por lo que la energı́a total E = T + V no se conserva;
∂t
se requiere un suministro continuo de energı́a para mantener girando el soporte del
péndulo con velocidad angular ω constante.
10. Péndulo de resorte.
Figura 1.43: Péndulo de resorte.
1.6. EJEMPLOS DE ECUACIONES DE LAGRANGE PARA VARIOS SISTEMAS.59
El movimiento de la partı́cula ocurre en el plano vertical (x, y). Definimos k como
la constante del resorte, l es la longitud del resorte en reposo (en ausencia de la
masa m), y r es la longitud del resorte con la masa m.
Las coordenadas generalizadas son q1 = r y q2 = θ. Entonces,
x=
y=
ẋ =
ẏ =
r sin θ
−r cos θ,
rθ̇ cos θ + ṙ sin θ
rθ̇ sin θ − ṙ cos θ.
(1.283)
1
1
m(ẋ2 + ẏ 2 ) = m(ṙ2 + r2 θ̇2 ).
2
2
(1.284)
1
k(r − l)2 − mgr cos θ.
2
(1.285)
La energı́a cinética es
T =
La energı́a potencial es
V =
Entonces, el Lagrangiano es
L=T −V =
1
1
m(ṙ2 + r2 θ̇2 ) − k(r − l)2 + mgr cos θ.
2
2
La ecuación de Lagrange para θ es
d ∂L
∂L
= 0,
−
dt ∂ θ̇
∂θ
(1.286)
(1.287)
la cual se puede escribir como
rθ̈ + 2ṙθ̇ + g sin θ = 0.
La ecuación de Lagrange para r es
d ∂L
∂L
−
= 0,
dt ∂ ṙ
∂r
(1.288)
(1.289)
que da como resultado,
r̈ − rθ̇2 +
k
(r − l) − g cos θ = 0.
m
(1.290)
60
CAPÍTULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO
11. El soporte de un péndulo plano de masa m y longitud l rota sin fricción con velocidad angular uniforme ω alrededor del eje vertical z.
a) Encontrar la ecuación de movimiento del péndulo.
b) Encontrar el ángulo de equilibrio del péndulo.
Figura 1.44: Péndulo con soporte giratorio.
La coordenada generalizada es q = θ.
a) Para encontrar la ecuación de movimiento, expresamos
x = l sin θ cos ωt,
y = l sin θ sin ωt,
z = −l cos θ,
(1.291)
ẋ = lθ̇ cos θ cos ωt − lω sin θ sin ωt
ẏ = lθ̇ cos θ sin ωt + lω sin θ cos ωt
ż = lθ̇ sin θ.
(1.292)
y las velocidades
La energı́a cinética es
T =
1
1
m ẋ2 + ẏ 2 + ż 2 = ml2 θ̇2 + ω 2 sin2 θ .
2
2
(1.293)
La energı́a potencial correspondiente es
V = mgz = −mgl cos θ.
(1.294)
El Lagrangiano es
L=T −V =
1 2 2
ml θ̇ + ω 2 sin2 θ + mgl cos θ .
2
La ecuación de Lagrange para θ es
d ∂L
∂L
= 0,
−
dt ∂ θ̇
∂θ
(1.295)
(1.296)
1.6. EJEMPLOS DE ECUACIONES DE LAGRANGE PARA VARIOS SISTEMAS.61
la cual resulta en
g
sin θ = 0 .
(1.297)
l
b) En los puntos de equilibrio, las fuerzas netas se anulan y las coordenadas generalizadas qj satisfacen la condición q̈j = 0 (aceleración se hace cero).
θ̈ − ω 2 sin θ cos θ +
El ángulo de equilibrio θo del péndulo está dado por la condición θ̈ = 0 en la
ecuación de movimiento,
θ̈ = 0 ⇒ ω 2 sin θo cos θo =
g
sin θo
l
(1.298)
Hay dos posibles soluciones,
sin θo = 0 ⇒ θo = 0,
g g
ω 2 cos θ0 = ⇒ θo = cos−1
.
l
ω2 l
(1.299)
(1.300)
12. Regulador volante.
Figura 1.45: Regulador volante.
El punto O en extremo superior está fijo. La longitud a de la varilla es constante.
La masa m2 se mueve sin fricción sobre el eje vertical y que pasa por el punto
O, mientras que las masas dos masas m1 giran con velocidad angular constante ω
alrededor del eje y.
Las coordenadas para m2 son
x2 = 0
y2 = −2a cos θ
z2 = 0
(1.301)
Las coordenadas para una de las masas m1 son
y1 = −a cos θ,
x1 = a sin θ sin ωt,
z1 = a sin θ cos ωt.
(1.302)
62
CAPÍTULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO
Coordenadas para la otra masa m1 ,
y10 = y1 ,
x01 = −x1 ,
z10 = −z1 .
(1.303)
Hay un solo grado de libertad. Se puede tomar la coordenada generalizada q = θ.
Tenemos,
T
V
1
1
2m1 (ẋ21 + ẏ12 + ż12 ) + m2 ẏ22
2
2
2
2 2
2 2
= m1 (a θ̇ + ω a sin θ) + 2m2 a2 θ̇2 sin2 θ.
=
=
2m1 gy1 + m2 gy2 = −2m1 ga cos θ − 2m2 ga cos θ.
L = T − V = m1 (a2 θ̇2 + ω 2 a2 sin2 θ) + 2m2 a2 θ̇2 sin2 θ + 2(m1 + m2 )ga cos θ.
La ecuación de Lagrange para θ es
d ∂L
∂L
−
= 0,
dt ∂ θ̇
∂θ
(1.304)
donde
∂L
θ̇
∂
d ∂l
dt ∂ θ̇
∂L
∂θ
=
2m1 a2 θ̇ + 4m2 a2 θ̇ sin2 θ,
=
2m1 a2 θ̈ + 4m2 a2 (θ̈ sin2 θ + 2θ̇2 sin θ cos θ),
=
2m1 ω 2 a2 sin θ cos θ + 4m2 a2 θ̇2 sin θ cos θ − 2(m1 + m2 )ga sin θ,
Sustituyendo en la ecuación de Lagrange, obtenemos
2θ̈a2 (m1 + 2m2 sin2 θ) + 4m2 a2 θ̇2 sin θ cos θ
(1.305)
2 2
−2m1 ω a sin θ cos θ + 2(m1 + m2 )ga sin θ = 0,
Note que si ω = 0 y m2 = 0, la ecuación se reduce a
θ̈ +
g
sin θ = 0,
a
(1.306)
que es la ecuación del péndulo simple.
13. Encuentre la ecuación de movimiento de una partı́cula de masa m que se mueve en
una dimensión x, cuyo Lagrangiano es
L=
1
m(ẋ2 − ω 2 x2 )eγt ,
2
donde las constantes γ y ω son cantidades reales y positivas.
(1.307)
1.6. EJEMPLOS DE ECUACIONES DE LAGRANGE PARA VARIOS SISTEMAS.63
La ecuación de Lagrange es
d
dt
donde
∂L
∂ ẋ
∂L
= meγt ẋ,
∂ ẋ
−
∂L
= 0,
∂x
∂L
= −mω 2 xeγt ,
∂x
(1.308)
(1.309)
lo que conduce a
ẍ + ω 2 x + γ ẋ = 0,
(1.310)
que es la ecuación de un oscilador armónico amortiguado. La fuerza restauradora
es −mω 2 x y la fuerza de fricción proporcional a la velocidad es −γmẋ. Note que
T =
1
mẋ2 eγt ,
2
V =
1
mω 2 x2 eγt .
2
La energı́a mecánica total no se conserva en este sistema, puesto que
(1.311)
∂V
6= 0.
∂t
64
CAPÍTULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO
1.7.
Problemas
1. El principio de Fermat establece que la propagación de la luz entre dos puntos
dados sigue la trayectoria de mı́nimo tiempo.
a) Determine la trayectoria de un rayo de luz dentro de un disco cristalino de radio
a, grosor despreciable, y cuyo ı́ndice de refracción n varia radialmente como
a) n(r) = a/r.
b) n(r) = a/r2 .
c) Encuentre n(r) tal que un rayo de luz dentro de este disco describa una trayectoria circular.
2. Calcule la trayectoria que da la distancia más corta entre dos puntos sobre la
superficie de un cono invertido, con ángulo de vértice α. Use coordenadas cilı́ndricas.
3. Determine la curva y(x) para la cual alcanza su valor extremo la integral I =
R π/2 0 2
(y ) − y 2 dx, tal que y(0) = 0, y(π/2) = 1.
0
4. Calcule el valor mı́nimo de la integral
Z
I=
1
0 2
(y ) + 12xy dx,
0
donde la función y(x) satisface y(0) = 0 y y(1) = 1.
5. En los páramos andinos se encuentra el pueblo A y, a una distancia de 2π Km
al este de A, está el pueblo B. El terreno entre estos dos pueblos es muy irregular y no hay carreteras asfaltadas. Sin embargo, la experiencia ha indicado que
la velocidad de un ciclista en bicicleta montañera en esa zona se puede expresar
aproximadamente como v = 10(Km/h) ey/3 , donde y es la distancia en Km medida
perpendicularmente a la lı́nea recta que une A y B. ¿Cuál es el mı́nimo tiempo que
tardarı́a un ciclista entre los pueblos A y B?.
6. La forma adoptada por una cuerda uniforme de densidad ρ que cuelga suspendida
entre dos puntos en un campo gravitacional corresponde al mı́nimo de su energı́a
potencial. Determine esa forma.
1.7. PROBLEMAS
65
7. Encuentre la geodésica (i.e. la trayectoria de menor distancia) entre los puntos
P1 = (a, 0, 0) y P2 = (−a, 0, π) sobre la superficie x2 +y 2 −a2 = 0. Use coordenadas
cilı́ndricas.
8. Un cuerpo se deja caer desde una altura h y alcanza el suelo en un tiempo T . La
ecuación de movimiento concebiblemente podrı́a tener cualquiera de las formas
y = h − g1 t,
1
y = h − g2 t2 ,
2
1
y = h − g3 t3 ;
4
donde g1 , g2 , g3 son constantes apropiadas. Demuestre que la forma correcta es
aquella que produce el mı́nimo valor de la acción.
9. El Lagrangiano de una partı́cula de masa m es
L=
m2 ẋ4
+ mẋ2 f (x) − f 2 (x),
12
donde f (x) es una función diferenciable de x. Encuentre la ecuación de movimiento.
10. Encuentre la ecuación de movimiento de un péndulo paramétrico, el cual consiste en
un péndulo de masa m cuya longitud se hace variar de la forma l = lo (1 + b sin ωt).
11. Una varilla de peso despreciable está suspendida de un extremo, de modo que puede
oscilar en un plano vertical. Una partı́cula de masa m se desliza sin fricción a lo
largo de la varilla.
a) Encuentre la energı́a de la partı́cula.
b) Obtenga las ecuaciones de movimiento de la partı́cula.
12. Una partı́cula de masa m se mueve sin fricción sobre un aro de radio R, el cual gira
con velocidad angular uniforme ω alrededor de su diámetro vertical.
a) Derive la ecuación de movimiento de la partı́cula.
b) Encuentre la posición de equilibrio de la partı́cula.
13. Una partı́cula de masa m se desliza sin fricción sobre un aro de radio a, el cual rota
con velocidad angular constante ω alrededor de su diámetro horizontal. ¿Cuál es la
ecuación de movimiento de la partı́cula?.
66
CAPÍTULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO
14. Obtenga las ecuaciones de movimiento de un péndulo esférico, es decir, una partı́cula de masa m suspendida de una varilla rı́gida, sin peso y sin fricción, cuya longitud
es l
15. Un aro de radio R y masa despreciable cuelga de un punto de su borde de modo que
puede oscilar en su plano vertical. Una partı́cula de masa m se desliza sin fricción
sobre el aro. Encuentre las ecuaciones de movimiento de la partı́cula.
16. Un péndulo compuesto está formado por una varilla de masa despreciable y longitud
l, con un extremo fijo y el otro conectado al punto medio de una segunda varilla sin
masa de longitud a, (a < l), en cuyos extremos hay dos masas m1 y m2 . Las varillas
pueden rotar sin fricción en un mismo plano vertical. Encuentre las ecuaciones de
movimiento de este sistema.
17. Un sistema consiste en una partı́cula de masa m que se mueve verticalmente colgada
de un resorte de constante k y de la cual cuelga a su vez un péndulo de longitud l y
masa m. Desprecie la masa de la varilla del péndulo y considere que éste se mueve
en un plano vertical. Encuentre las ecuaciones de movimiento del sistema.
18. Encuentre la ecuación de movimiento para el parámetro angular θ en el problema
de la braquistocrona.
19. Una manera de simular gravedad en una nave espacial es mediante rotación. Considere un péndulo de longitud l y masa m dentro de una nave, y cuyo soporte gira
en un cı́rculo de radio R con velocidad angular constante ω en el mismo plano del
péndulo. Calcule ω tal que el ángulo θ con respecto a la dirección radial describa
el mismo movimiento que tendrı́a este péndulo colgado verticalmente de un punto
fijo en el campo gravitacional terrestre.
1.7. PROBLEMAS
67
20. Una partı́cula de masa m y carga q1 se mueve sin fricción sobre la superficie de una
esfera de radio R en el campo gravitacional terrestre. Otra carga q2 se encuentra
fija en el punto más bajo de la esfera.
a) Encuentre las ecuaciones de movimiento de la primera carga.
b) Encuentre la posición de equilibrio de la primera carga.
21. Una masa m unida a una cuerda se mueve sin fricción sobre una mesa tal que el
otro extremo de la cuerda pasa a través de un agujero en la mesa y está halado por
alguien. Inicialmente, la masa se mueve en un cı́rculo, con energı́a E. La cuerda es
halada a continuación, hasta que el radio del cı́rculo se reduce a la mitad. ¿Cuánto
trabajo se hizo sobre la masa?.
22. Una partı́cula de masa m y carga q se desliza sin fricción sobre una varilla de masa
despreciable que puede girar en un plano vertical alrededor de un extremo fijo. En
el extremo fijo de la varilla hay una carga puntual fija −q, la cual está conectada a
la partı́cula móvil mediante un resorte de constante k.
a) Encuentre las ecuaciones de movimiento de la partı́cula.
b) Calcule la energı́a del sistema.
23. Una cuerda de masa despreciable pasa a través una polea fija y soporta una masa
2m en un extremo. En el otro extremo de la cuerda se encuentra una masa m y,
colgando de ésta por medio de un resorte de constante k, hay otra masa m.
a) Encuentre las ecuaciones de movimiento del sistema.
b) Encuentre la posición de la masa que cuelga del resorte en función del tiempo.
68
CAPÍTULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO
24. Dos masas, m1 y m2 , están conectadas por una cuerda de longitud l a través de
un agujero en el vértice de un cono vertical con ángulo de vértice α, de manera
que m1 se mueve sobre la superficie interior del cono y m2 cuelga verticalmente.
Desprecie la fricción.
a) Determine las ecuaciones de movimiento del sistema.
b) Calcule el radio de equilibrio de m1 .
25. Una partı́cula de masa m está atada a una cuerda de masa despreciable fija a un
cilindro de radio R. La partı́cula se puede mover sobre un plano horizontal sin
fricción. Inicialmente, la cuerda se encuentra totalmente enrollada alrededor del
cilindro, de modo que la partı́cula toca al cilindro. Se le da un impulso radial a
la partı́cula, tal que ésta adquiere una velocidad inicial v0 y la cuerda comienza a
desenrrollarse.
a) Encuentre la ecuación de movimiento en términos de una coordenada generalizada apropiada.
b) Encuentre la solución que satisface las condiciones iniciales.
c) Calcule el momento angular de la partı́cula con respecto al eje del cilindro,
usando el resultado de (b).
26. Una partı́cula de masa m1 cuelga de una varilla de masa despreciable y longitud l,
cuyo punto de soporte consiste en otra partı́cula de masa m2 que se mueve horizontalmente sujeta a dos resortes de constante k cada uno. Encuentre las ecuaciones
de movimiento.
27. Un aro uniforme de radio a y masa m rueda sin deslizar dentro de un cilindro fijo
de radio R, (R > a). Encuentre el perı́odo para pequeñas oscilaciones del aro.
1.7. PROBLEMAS
69
28. Una partı́cula de masa m se desliza sin fricción por un cable recto muy largo, el
cual está conectado en un punto P perpendicularmente a una varilla de longitud
l, formando un plano vertical en el campo gravitacional terrestre. La varilla gira
con respecto a su otro extremo fijo O en el plano vertical, con velocidad angular
constante ω. Las masas de la varilla y del cable son despreciales.
a) ¿Se conserva la energı́a mecánica de la partı́cula?.
b) Encuentre y resuelva la ecuación de movimiento de la partı́cula.
70
CAPÍTULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO
Capı́tulo 2
Leyes de conservación y
simetrı́as
2.1.
Momento conjugado
Dado un sistema caracterizado por un Lagrangiano L(qj , q˙j , t), se define la cantidad
pj ≡
∂L
∂ q˙j
(2.1)
como el momento conjugado (o canónico) asociado a la coordenada generalizada qj .
La cantidad pj no tiene necesariamente unidades de momento lineal; puede también
corresponder a momento angular u a otras cantidades.
Si un Lagrangiano L de un sistema no contiene explı́citamente una coordenada qj
(puede contener q˙j , t), se dice que qj es una coordenada cı́clica o ignorable.
Si qj es cı́clica, entonces
∂L
= 0,
(2.2)
∂qj
y la ecuación de Lagrange para una coordenada cı́clica qj resulta en
d ∂L
dpj
= 0,
=
dt ∂ q˙j
dt
⇒ pj = cte.
(2.3)
(2.4)
Es decir, el momento conjugado pj asociado a una coordenada ciclica qj es constante.
Luego, la cantidad pj = cte constituye una cantidad conservada, llamada también una
primera integral del movimiento.
En general, si el Lagrangiano de un sistema no depende explı́citamente de una coordenada que representa un desplazamiento en una dirección espacial dada, la componente
del momento lineal correspondiente a esa dirección se conserva.
71
72
CAPÍTULO 2. LEYES DE CONSERVACIÓN Y SIMETRÍAS
Similarmente, si un sistema posee un eje de simetrı́a rotacional, o simetrı́a axial,
entonces su Lagrangiano no depende explı́citamente de la coordenada que describe el
ángulo de rotación alrededor de ese eje. Como consecuencia, la componente del momento
angular del sistema correspondiente a ese eje, se conserva.
Ejemplos.
1. El Lagrangiano de una partı́cula libre es
L=
1
m(ẋ2 + ẏ 2 + ż 2 ).
2
(2.5)
Las tres coordenadas cartesianas xj = {x, y, z} son cı́clicas, puesto que
∂L
= 0.
∂xj
Los momentos conjugados correspondientes son pj =
pj =
(2.6)
∂L
, i = 1, 2, 3. Luego,
∂ x˙j
∂L
= mx˙j = cte.
∂ x˙j
(2.7)
Las tres componentes px , py , pz del momento lineal son constantes y, por lo tanto,
el momento lineal total de la partı́cula se conserva. Esto es consecuencia de la
ausencia de fuerza neta (o potencial constante o cero) en el sistema.
2. Partı́cula sobre un cono invertido.
Vimos en el Cap. 1 que el Lagrangiano de este sistema es
L(r, ϕ, ṙ, ϕ̇, t) =
1
m(ṙ2 csc2 α + r2 ϕ̇2 ) − mgr cot α.
2
(2.8)
La coordenada ϕ, que representa el ángulo de rotación alrededor del eje z, es cı́clica,
∂L
∂L
= 0 ⇒ pϕ =
= mr2 ϕ̇ = cte.
∂ϕ
∂ ϕ̇
(2.9)
El momento conjugado pϕ asociado con la coordenada angular ϕ es constante.
Para identificar la cantidad constante pϕ , consideremos el momento angular de la
partı́cula,
i j k
l = r × mv = m x y z ,
(2.10)
ẋ ẏ ż
donde
x = r cos ϕ
y = r sin ϕ ,
(2.11)
2.2. TEOREMA DE NOETHER
73
ẋ = ṙ cos ϕ − rϕ̇ sin ϕ
ẏ = ṙ sin ϕ + rϕ̇ cos ϕ .
(2.12)
Calculemos la componente z de l,
lz = m(xẏ − y ẋ) = mr2 ϕ̇.
(2.13)
Luego, la cantidad conservada, pϕ = mr2 ϕ̇ ≡ lz , es la componente z del momento
angular de la partı́cula.
2.2.
Teorema de Noether
Vimos en el Cap. 1 que las ecuaciones de movimiento son invariantes si el Lagrangiano
de un sistema se transforma mediante la adición de una derivada total de alguna función
f (qj , t) dependiente solamente de las coordenadas y del tiempo.
Sea
Z t2
S=
L dt
(2.14)
t1
la acción correspondiente a un Lagrangiano L. Consideremos la transformación
L0 = L +
La acción asociada con L0 es
Z t2
Z
0
0
S =
L dt =
df (qj , t)
.
dt
t2
t2
(2.15)
df
dt
L dt +
dt
t1
t1
t1
= S + [f (qj (t2 ), t2 ) − f (qj (t1 ), t1 )] = S + cte.
Z
(2.16)
Luego,
δS = δS 0 .
(2.17)
0
El principio de mı́nima acción implica δS = δS = 0. Luego, las ecuaciones de Lagrange
derivadas de este principio usando L o L0 , tienen la misma forma; es decir, son invariantes
ante la transformación (2.15).
Una transformación infinitesimal L → L0 = L + δL que no modifica las ecuaciones de
movimiento representa una simetrı́a del sistema (también llamada simetrı́a de la acción).
Se dice que la acción es invariante bajo tal transformación.
Teorema de Noether en Mecánica Clásica.
Si la acción de un sistema con Lagrangiano L(qj , q̇j , t) is invariante bajo
la transformación infinitesimal de coordenadas qj0 = qj + δqj que cambia el
df (q ,t)
Lagrangiano a L0 = L+δL, tal que δL = dtj , para alguna función f (qj , t),
entonces la cantidad
s
X
∂L
δqj − f
(2.18)
J=
∂ q˙j
j=1
74
CAPÍTULO 2. LEYES DE CONSERVACIÓN Y SIMETRÍAS
constituye una cantidad conservada asociada a esa transformación. La función J se denomina corriente de Noether.
Demostración:
La transformación qj0 = qj + δqj (donde t es fijo, δt = 0) produce la siguiente
variación δL en el Lagrangiano L(qj , q̇j , t),
δL(qj , q̇j , t) =
s
s
X
X
∂L
∂L
δqj +
δ q̇j .
∂q
∂
q˙j
j
j=1
j=1
(2.19)
Usando las ecuaciones de Lagrange, tenemos
s
s
X
X
d ∂L
∂L d
δL =
δqj +
(δqj )
dt
∂
q̇
∂
q˙j dt
j
j=1
j=1


s
X
∂L
d 
δqj  .
=
dt j=1 ∂ q̇j
Según el teorema, la variación δL se puede escribir δL =


s
d X ∂L
δqj 
dt j=1 ∂ q̇j


s
d X ∂L
⇒
δqj − f 
dt j=1 ∂ q̇j


s
X
∂L
δqj − f 
⇒J ≡
∂
q̇
j
j=1
df (qj , t)
; luego
dt
=
df (qj , t)
dt
=
0
=
cte.
Figura 2.1: Emily Noether (1882-1935).
(2.20)
(2.21)
2.2. TEOREMA DE NOETHER
75
El Teorema de Noether establece que a cada simetrı́a que posee un sistema, le corresponde una cantidad conservada. Las simetrı́as y sus cantidades conservadas asociadas
permiten conocer propiedades de un sistema y hacer predicciones sobre el comportamiento del mismo, sin necesidad de obtener soluciones exactas de las ecuaciones de movimiento
del sistema (las cuales pueden ser dificiles de encontrar en muchos casos). Las ecuaciones
de movimiento son ecuaciones diferenciales de segundo orden en el tiempo para las qj ,
mientras que las cantidades conservadas J contienen derivadas de primer orden para las
qj , en principio posibles de resolver si existen suficientes simetrı́as en el sistema.
El Teorema de Noether se extiende también a Mecánica Cuántica, Electromagnetismo,
Teorı́as de Campos, etc., y tiene una importancia fundamental en la Fı́sica.
Ejemplos.
1. Consideremos una partı́cula en movimiento vertical en el campo gravitacional terrestre, con condiciones inciales y(0) = yo y ẏ(0) = vo . El Lagrangiano es
1
mẏ 2 − mgy.
(2.22)
2
La transformación de coordenadas y 0 = y + δy con δy = cte, equivale a sumar una
constante a la energı́a potencial y deja invariante la ecuación de movimiento. El
cambio en L es
0
∂L
∂L
δL =
δy +
δ
ẏ = −mgy δy.
(2.23)
∂y
∂ ẏ
Escribimos
df
(2.24)
δL =
dt
⇒ f = −mgt δy.
(2.25)
L=
Luego, la cantidad conservada J es
J
=
⇒
∂L
δy − f = cte
∂ ẏ
mẏ δy + mgy δy = cte,
(2.26)
(2.27)
lo que conduce a una ecuación de primer orden
ẏ = c − gt,
(2.28)
de donde obtenemos
ẏ(t)
= vo − gt
1
= yo + vo t − gt,
2
y donde hemos usado las condiciones inciales dadas.
y(t)
(2.29)
(2.30)
76
2.3.
CAPÍTULO 2. LEYES DE CONSERVACIÓN Y SIMETRÍAS
Conservación del momento lineal y homogeneidad del espacio
Como una aplicación del Teorema de Noether, demostraremos la relación entre la
conservación del momento lineal y la homogeneidad del espacio; es decir, la simetrı́a de
traslación en un sistema.
Consideremos como ejemplo el Lagrangiano de una partı́cula libre, de masa m, moviéndose con velocidad v = (ẋ, ẏ, ż),
L=
3
1
1 X 2
mv2 = m
ẋ .
2
2 i=1 i
(2.31)
Supongamos la transformación infinitesimal r0 = r + δr, donde δr = (δx1 , δx2 , δx3 ) es
constante. Esto es
x0i = xi + δxi ,
(2.32)
ẋ0i = ẋi (δ ẋi = 0) .
Figura 2.2: Translación espacial infinitesimal.
Esta transformación corresponde a una translación espacial infinitesimal en una dirección arbitraria, i.e., representa la homogeneidad del espacio. La variación del Lagrangiano
de la partı́cula libre bajo esta transformación resulta
0
3
3
0
X
X
7
∂L ∂L
δL =
δx
+
δ ẋ>
i
i = 0.
∂x
∂ ẋi
i=1 i
i=1
Esta variación puede ponerse en la forma δL =
constante c. La cantidad conservada J es
J=
df (qj ,t)
dt
(2.33)
si escogemos f igual a una
3
3
X
X
∂L
δxj − f =
mẋj δxj − c = cte
∂ ẋj
j=1
j=1
(2.34)
2.4. CONSERVACIÓN DEL MOMENTO ANGULAR E ISOTROPÍA DEL ESPACIO77
⇒
3
X
mẋj δxj = cte
(2.35)
j=1
Puesto que los δxj son constantes arbitrarias, esta expresión es constante sólo si cada término en la suma; es decir, cada componente del momento lineal del sistema, es
constante,
mẋj ≡ pj = cte ,
(2.36)
Luego, la homogeneidad del espacio implica la conservación del momento lineal total.
En un sistema donde existe simetrı́a translacional en una dirección espacial especı́fica,
la componente del momento lineal del sistema en esa dirección se conserva. Si qj = xj
(coordenada generalizada es una coordenada cartesiana) es cı́clica, entonces
∂L
∂L
= 0 ⇒ pj =
= cte.
∂xj
∂ x˙j
(2.37)
Si una coordenada generalizada cartesiana no aparece explicitamente en L, la componente
del momento lineal asociada con esa coordenada es constante.
2.4.
Conservación del momento angular e isotropı́a
del espacio
Isotropı́a espacial significa que las propiedades mecánicas de un sistema no varı́an
cuando éste es rotado en el espacio. El Teorema de Noether permite demostrar la relación
entre la isotropı́a del espacio y la conservación del momento angular de un sistema.
Consideremos una partı́cula en la posición r = (x, y, z). Supongamos una rotación
infinitesimal del vector r alrededor de un eje, manteniendo su magnitud y su origen O
fijo. Sea δϕ la magnitud constante del ángulo rotado y cuya dirección de rotación sobre
el eje está definida por la regla de la mano derecha.
Figura 2.3: Rotación infinitesimal δϕ = δϕẑ alrededor del eje z.
78
CAPÍTULO 2. LEYES DE CONSERVACIÓN Y SIMETRÍAS
El vector de posición transformado es
r0 = r + δr,
(2.38)
donde el vector δr = (δx, δy, δz) tiene dirección perpendicular al plano (r, δϕ) y magnitud
δr = r sin θ δϕ, y donde θ es el ángulo entre δϕ y r. Luego, se puede expresar
δr = δϕ × r ,
(2.39)
y la rotación infinitesimal del vector r corresponde a
r0 = r + δϕ × r.
(2.40)
Si suponemos eje z como el eje de rotación, δϕ = δϕ ẑ. Luego,
δr = δϕ × r =
i
0
x
j
0
y
k
δϕ
z
(2.41)
de donde obtenemos,
δx = −y δϕ
δy = x δϕ,
(2.42)
δ ẋ = −ẏ δϕ
δ ẏ = ẋ δϕ,
(2.43)
y
con δz = δ ż = 0. Estas transformaciones representan una rotación infinitesimal del plano
(x, y) alrededor del eje z en un ángulo δϕ.
Como ejemplo, apliquemos esta transformación infinitesimal a una partı́cula libre de
masa m que se mueve sobre el plano (x, y), cuyo Lagrangiano es
L=
1
m ẋ2 + ẏ 2 .
2
(2.44)
La variación de L bajo la transformación infinitesimal de rotación resulta en
0
3
3
X
X
7
∂L
∂L
δL =
δ ẋi = −mẋẏ δϕ + mẏ ẋ δϕ = 0
δxi +
∂x
∂
ẋi
i
i=1 i=1
Luego, δL =
(2.45)
df (qj , t)
implica que f = c=constante. La cantidad conservada J es
dt
J=
3
X
∂L
δxj − f = m(−y ẋ + xẏ)δϕ − c = cte;
∂
ẋj
j=1
(2.46)
es decir,
m(xẏ − y ẋ) ≡ lz = cte.
(2.47)
2.5. CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA Y HOMOGENEIDAD DEL TIEMPO
79
En general, si un sistema posee simetrı́a rotacional alrededor de un eje (simetrı́a
axial), se conserva la componente del momento angular en la dirección de ese eje. Si una
coordenada generalizada qj = ϕ es un ángulo que representa una rotación alrededor de
un eje y es cı́clica, entonces
∂L
∂L
∂L
=
= 0 ⇒ pϕ =
= cte.
∂qj
∂ϕ
∂ ϕ̇
(2.48)
Si el eje de rotación es z, entonces pϕ = lz = cte.
2.5.
Conservación de la energı́a y homogeneidad del
tiempo
Homogeneidad del tiempo significa que las propiedades mecánicas de un sistema no
dependen del intervalo de tiempo en el cual se observen. Esta simetrı́a está relacionada
con la conservación de energı́a.
En un sistema homogéneo en el tiempo, L no depende explı́citamente de t: L(qj , q̇j );
∂L
luego
= 0.
∂t
Calculemos el cambio total de L con respecto al tiempo en tal sistema:
0
s 7
∂L
∂L
dL X ∂L
=
q˙j +
q¨j + .
dt
∂q
∂
q
˙
j
j
∂t
j=1
d ∂L
∂L
=
,
∂qj
dt ∂ q˙j
dL X d ∂L
∂L
=
q˙j +
q¨j
dt
dt ∂ q˙j
∂ q˙j
j


X d ∂L X
d 
∂L 
=
q˙j =
q˙j .
dt
∂
q
˙
dt
∂
q˙j
j
j
j
(2.49)
Sustituimos la ecuación de Lagrange,
(2.50)
Luego,
#
"
d X ∂L
q˙j − L = 0
dt i ∂ q˙j
(2.51)
X ∂L
q˙j − L = cte.
∂ q˙j
j
(2.52)
⇒
Definimos la función de energı́a de un sistema como
E(qj , q˙j ) ≡
s
X
∂L
q˙j − L .
∂ q˙j
j=1
(2.53)
80
CAPÍTULO 2. LEYES DE CONSERVACIÓN Y SIMETRÍAS
Luego, en sistemas homogéneos en el tiempo, la función de energı́a del sistema se conserva.
E(qj , q˙j ) = cte.
(2.54)
La función de energı́a se puede calcular para cualquier sistema, pero es constante sólo
si ∂L
∂t = 0. Sistemas para los cuales E(qj , q˙j ) es constante, se llaman sistemas conservativos. Veremos bajo qué condiciones la función de energı́a es igual a T + V .
En el Cap. 6 veremos que la función de energı́a, expresada en términos de las coordenadas qj y de sus momentos conjugados
pj , recibe el nombre de Hamiltoniano del sistema
Ps
y se designa como H(qj , pj ) ≡ j=1 pj q˙j − L.
2.6.
Teorema de Euler para la energı́a cinética
Una función f (y1 , . . . , ys ) es homogénea de grado (orden) n si, ∀λ ∈ <, satisface:
f (λy1 , . . . , λys ) = λn f (y1 , . . . , ys ).
(2.55)
Ejemplos.
1. f (x1 , ..., xs ) =
Ps
i=1
xm
i ,
2. f (x1 , ..., xs ) =
Qs
i=1
i
Ps
i=1
f (λx1 , ..., xs ) =
P
i
ms
xm
f
i =λ
( f es homogénea).
xm
i ,
f (λx1 , ..., λxs ) =
3. f (x1 , ..., xs ) =
m
λm xm
i =λ
P
f (λx1 , ..., λxs ) =
Q
i
m
λm xm
i =λ
Q
i
m
xm
i =λ f
(f es homogénea).
sin xi ,
P
i
sin(λxi ) 6= λn
P
i
sin xi = λn f
(f no es homogénea).
Teorema de Euler para funciones homogéneas.
Si f (y1 , . . . , ys ) es una función homogénea de grado n, entonces f satisface:
s
X
i=1
yi
∂f
= nf .
∂yi
(2.56)
También se puede escribir como
∇f · y = nf.
(2.57)
2.6. TEOREMA DE EULER PARA LA ENERGÍA CINÉTICA
81
Demostración:
Si f es homogénea, satisface la Ec. (2.55). Derivemos ambos lados de la
Ec. (2.55) con respecto a λ:
En el lado izquierdo de la Ec. (2.55), sustituimos zi ≡ λyi ,
f (λy1 , λy2 , ..., λys ) = f (z1 , z2 , ..., zs )
(2.58)
y derivamos,
d
df
f (λy1 , ..., λys ) =
(z1 , ..., zs )
dλ
dλ
X ∂f
X ∂f ∂zi
=
yi
=
∂zi ∂λ
∂zi
i
i
X ∂f ∂yi
1 X ∂f
yi =
yi .
=
∂yi ∂zi
λ i ∂yi
i
(2.59)
Derivamos el lado derecho de la Ec. (2.55),
0
X ∂f ∂y
7
d n
i
n−1
n
,
[λ f (y1 , ..., ys )] = nλ
f +λ
dλ
∂yi ∂λ
i
puesto que yi y λ son independientes. Igualando ambos lados,
1 X ∂f
yi = nλn−1 f ,
λ i ∂yi
(2.60)
(2.61)
lo cual es válido ∀λ. En particular, haciendo λ = 1, tenemos el Teorema de
Euler para funciones homogéneas,
X ∂f
yi = nf .
(2.62)
∂yi
i
Aplicación del Teorema de Euler a la energı́a cinética.
En general, la energı́a cinética de un sistema es una función cuadrática de las velocidades generalizadas
s
X
T (q̇1 , . . . , q̇s ) =
Tjl q̇j q̇l ,
(2.63)
j,l=1
donde los coeficientes Tjl pueden contener parámetros (masa, longitud, etc.) y coordenadas del sistema. Por ejemplo, la energı́a cinética del péndulo doble con s = 2 (Cap. 1)
contiene coeficientes T12 no nulos. Luego, T es una función homogénea de segundo orden
en las q̇j : T (λq̇1 , . . . , λq̇s ) = λ2 T (q̇1 , . . . , q̇s ). Entonces T satisface el Teorema de Euler,
X
k
q˙i
∂T
= 2T.
∂ q˙i
(2.64)
82
CAPÍTULO 2. LEYES DE CONSERVACIÓN Y SIMETRÍAS
Esto se puede aplicar a la función de energı́a de un sistema. Supongamos que la
energı́a potencial de un sistema depende tanto de las coordenadas como de las velocidades generalizadas: V (qj , q̇j ). Entonces L = T (q̇j ) − V (qj , q̇j ), y la función de energı́a
correspondiente es
X ∂L
X ∂T
X ∂V
E(qj , q˙j ) =
q˙j − L =
q˙j −
q˙j − [T − V ]
∂ q˙j
∂ q˙j
∂ q˙j
j
j
j
=
2T −
X ∂V
X ∂V
q˙j − T + V = T + V −
q˙j .
∂ q˙j
∂ q˙j
j
j
(2.65)
Si la energı́a potencial V es independiente de las velocidades, ∂∂V
q̇j = 0; entonces la función
de energı́a es igual a la energı́a mecánica total, E(qj , q˙j ) = T + V . Si V depende de q˙j ,
la función de energı́a contiene términos adicionales a T + V .
∂L
En todo caso, la función de energı́a se conserva si
= 0.
∂t
2.7.
Potenciales dependientes de la velocidad
Existen sistemas en los cuales la energı́a potencial depende de las coordenadas y de
las velocidades, V (qj , q˙j ). Por ejemplo, la fuerza total (y por tanto el potencial) de una
partı́cula cargada en un campo electromagnético depende de la velocidad de la partı́cula.
En estos sistemas también se puede definir una función de energı́a E(qj , q˙j ).
Consideremos el Lagrangiano para una partı́cula en un potencial dependiente de la
velocidad V = V (r, ṙ), en coordenadas cartesianas,
L = T − V = T (ṙ) − V (r, ṙ),
donde
T (ṙ) =
1
m(ẋ2 + ẏ 2 + ẋ2 ).
2
(2.66)
(2.67)
La ecuación de Lagrange para xi es
d
dt
∂L
∂ ẋi
−
∂L
= 0.
∂xi
Sustitución de las derivadas parciales de L conduce a
∂V
d ∂T
∂V
−
= 0,
+
dt ∂ ẋi
∂ ẋi
∂xi
d ∂T
∂V
d ∂V
+
=−
dt ∂ ẋi
∂xi
dt ∂ ẋi
∂V
d ∂V
⇒ mẍi = −
+
≡ Fi ,
∂xi
dt ∂ ẋi
(2.68)
(2.69)
(2.70)
(2.71)
donde Fi se denomina componente i de la fuerza generalizada sobre la partı́cula. Las
fuerzas generalizadas dependen de la velocidad.
2.7. POTENCIALES DEPENDIENTES DE LA VELOCIDAD
83
Lagrangiano de una partı́cula en un campo electromagnético.
Un importante ejemplo de fuerza generalizada es aquella experimentada por una
partı́cula en un campo electromagnético.
Experimentalmente, se sabe que una partı́cula de masa m y carga q, moviéndose con
velocidad v, en presencia de un campo eléctrico E(r, t) y un campo magnético B(r, t)
está sujeta a una fuerza
v
F=q E+ ×B ,
(2.72)
c
llamada fuerza de Lorentz, donde c es la velocidad de la luz. La contribución del campo
magnético a esta fuerza depende de la velocidad, por lo que F constituye una fuerza
generalizada.
Para encontrar el potencial V asociado a la fuerza de Lorenz y el correspondiente
Lagrangiano de una partı́cula en un campo electromagnético, consideremos primero las
ecuaciones de Maxwell para los campos E(r, t) y B(r, t):
∇ · E = 4πρ
1 ∂B
=0
∇×E+
c ∂t
∇·B=0
1 ∂E
4π
∇×B−
=
J.
c ∂t
c
(2.73)
(2.74)
(2.75)
(2.76)
La Ec. (2.75) implica B = ∇ × A, donde A(r, t) se denomina potencial vector. Sustituyendo B en la Ec. (2.74),
1 ∂
∇×E+
(∇ × A) = 0
c ∂t
1 ∂A
= 0.
∇× E+
c ∂t
(2.77)
(2.78)
El término entre paréntesis en la Ec. (2.78) debe ser proporcional al gradiente de una
cantidad escalar; se escoge
1 ∂A
= −∇φ
c ∂t
1 ∂A
⇒ E = −∇φ −
.
c ∂t
E+
(2.79)
(2.80)
La cantidad φ(r, t) se denomina potencial escalar. Luego, la fuerza de Lorentz, Ec. (2.72),
se puede expresar en términos de los potenciales φ(r, t) y A(r, t) como
1 ∂A v
F = q −∇φ −
+ × (∇ × A) .
(2.81)
c ∂t
c
Para encontrar la energı́a potencial V (r, ṙ) de la cual se deriva esta fuerza generalizada, consideremos el término v × (∇ × A). Usamos la identidad vectorial
:0
:0
(A· ∇)v
+ (v · ∇)A,
∇(A · v) = A × (∇×v) + v × (∇ × A) + (2.82)
84
CAPÍTULO 2. LEYES DE CONSERVACIÓN Y SIMETRÍAS
donde se anulan términos porque el operador ∇ contiene derivadas espaciales y, aplicado
a v, da cero pues v es independiente de las coordenadas r. Luego,
v × (∇ × A) = ∇(A · v) − (v · ∇)A,
(2.83)
donde
(v · ∇)A =
3
X
i=1
ẋi
∂A
.
∂xi
Sustituyendo en Ec. (2.81),
1
1
1 ∂A
F = q −∇φ + ∇(A · v) − (v · ∇)A −
.
c
c
c ∂t
(2.84)
(2.85)
Usando
3
∂A
∂A
dA X ∂A
=
ẋi +
= (v · ∇)A +
,
dt
∂x
∂t
∂t
i
i=1
(2.86)
1 dA
1
F = q −∇ φ − A · v −
c
c dt
(2.87)
1 dAi
∂
1
Fi = q −
φ− A·v −
.
∂xi
c
c dt
(2.88)
obtenemos,
cuya componente Fi es
Comparando con la expresión general de la fuerza generalizada Ec. (2.71):
d ∂V
∂V
+
,
Fi = −
∂xi
dt ∂ ẋi
(2.89)
vemos que la energı́a potencial satisface
∂V
∂xi
∂V
∂ ẋi
∂
1
= q
φ− A·v
∂xi
c
q
= − Ai ,
c
(2.90)
(2.91)
lo que lleva a
1
V =q φ− A·v
c
.
(2.92)
El Lagrangiano de una partı́cula en un campo electromagnético es entonces
L=T −V =
1
q
mv 2 − qφ + A · v,
2
c
(2.93)
2.8. SISTEMAS INTEGRABLES Y SISTEMAS CAÓTICOS.
85
y la función de energı́a correspondiente
E=
X ∂L
ẋj − L,
∂ ẋj
j
(2.94)
da como resultado,
1
mv 2 + qφ.
(2.95)
2
Luego, para una partı́cula en un campo electromagnético, E 6= T + V , puesto que V
depende de la velocidad de la partı́cula. Sin embargo, E se conserva puesto que ∂L
∂t = 0.
Note que E no depende del potencial vector A y, por tanto, tampoco depende del campo magnético B. El campo magnético no realiza trabajo, puesto que la fuerza magnética
siempre es perpendicular a la velocidad.
E=
2.8.
Sistemas integrables y sistemas caóticos.
Las cantidades conservadas constituyen primeras integrales del movimiento de un
sistema. Denotamos por Ik (qj , q̇j ) = Ck , donde Ck = constante, y k = 1, . . . , n, el
conjunto de cantidades conservadas en un sistema. En general, estas cantidades se pueden
emplear para reducir el número de ecuaciones de Lagrange a integrar en el sistema.
Un sistema con s grados de libertad es integrable si posee, al menos, s cantidades
conservadas; es decir, si n = s.
Las s cantidades conservadas de un sistema integrable constituyen un conjunto de s
ecuaciones para las s velocidades generalizadas, las cuales se pueden reducir, en principio,
a una ecuación diferencial de primer orden con respecto al tiempo para una coordenada
generalizada. Esta, a su vez, en principio puede ser integrada. A partir de la integración
de esa coordenada, las soluciones para todas las coordenadas qj (t) pueden ser expresadas
en términos de integrales explı́citas, denominadas cuadraturas.
Aunque las coordenadas en sistemas integrables pueden determinarse en función de
integrales, el cálculo exacto de ellas, en muchos casos, puede resultar dificil.
Si un sistema con s grados de libertad tiene menos de s cantidades conservadas
(n < s), se denomina no integrable. Un sistema para el cual existen más cantidades
conservadas que grados de libertad (n > s), se llama superintegrable. Existen pocos
sistemas superintegrables conocidos; un ejemplo es el problema de dos cuerpos sujetos a
interacción gravitacional (Cap. 3).
La integrabilidad es un tipo de simetrı́a en sistemas dinámicos que conduce a soluciones cuyo comportamiento en el tiempo es regular; es decir, periódico o estacionario. Un
sistema no integrable, en cambio, puede ser caótico. El fenómeno de caos consiste en la
extrema sensibilidad de la evolución de las variables de un sistema dinámico determinista
ante pequeños cambios en sus condiciones iniciales. La no integrabilidad es una condición necesaria, pero no suficiente, para la existencia de caos en un sistema. Los sistemas
caóticos se caracterizan por la existencia de no linealidad en las ecuaciones que rigen su
dinámica.
86
CAPÍTULO 2. LEYES DE CONSERVACIÓN Y SIMETRÍAS
Ejemplos.
Consideremos algunos sistemas estudiados en el Cap. 1:
1. Oscilador armónico simple: s = 1, C1 = E = cte, n = 1; es integrable.
2. Péndulo simple: s = 1, C1 = E = cte, n = 1; es integrable.
3. Partı́cula sobre un cono: s = 2, C1 = lz = cte, C2 = E = cte, n = 2; es integrable.
4. Péndulo doble: s = 2, C1 = E = cte, n = 1; no es integrable.
5. Péndulo cuyo suporte gira en un cı́rculo con velocidad angular constante: s = 1,
n = 0; no es integrable.
6. Péndulo de resorte: s = 2, C1 = E = cte, n = 1; no es integrable.
El péndulo doble constituye un ejemplo de un sistema no integrable que exhibe comportamiento caótico. En los ejemplos del Cap. 1 obtuvimos las ecuaciones de Lagrange
para los ángulos θ1 y θ2 que describen los grados de libertad de este sistema,
θ̈1
=
g(sin θ2 cos ∆θ − µ sin θ1 ) − (l2 θ̇22 + l1 θ̇12 cos ∆θ) sin ∆θ
l1 (µ − cos2 ∆θ)
(2.96)
θ̈2
=
gµ(sin θ1 cos ∆θ − sin θ2 ) − (µl1 θ̇12 + l2 θ̇22 cos ∆θ) sin ∆θ
,
l2 (µ − cos2 ∆θ)
(2.97)
donde ∆θ ≡ θ1 − θ2 , y µ ≡ 1 + m1 /m2 . Las ecuaciones de movimiento del péndulo doble
contienen funciones no lineales de θ1 y θ2 . Una función f (x) es no lineal si f (x + y) 6=
f (x) + f (y).
Figura 2.4: Izquierda: Coordenadas y parámetros del péndulo doble. Derecha: Movimiento
caótico de la partı́cula m2 en el espacio.
2.8. SISTEMAS INTEGRABLES Y SISTEMAS CAÓTICOS.
87
Un sistema caótico presenta una evolución irregular e impredecible de sus variables
dinámicas debido a la existencia de sensibilidad extrema ante cambios infinitesimales
en las condiciones iniciales de esas variables. Dos trayectorias que parten de condiciones
iniciales arbitrariamente cercanas, pueden evolucionar de maneras muy diferentes, aunque
la dinámica está regida por las mismas ecuaciones (Fig. (2.4)). Esto conlleva a limitaciones
prácticas en la capacidad de predicción del comportamiento de sistemas deterministas
no lineales.
Figura 2.5: Caos en una realización experimental del péndulo doble. Arriba: θ1 vs. t. Abajo: θ2
vs. t. En cada gráfica, se muestra la evolución del ángulo a partir de dos condiciones iniciales
muy cercanas, ∆θ1 (0) = ∆θ2 (0) = 10−3 .
Si consideramos el lı́mite de pequeñas amplitudes de las oscilaciones, θ1 → 0 y θ2 → 0,
las ecuaciones de movimiento pueden linealizarse usando la aproximación sin x ≈ x, y
cos x ≈ 1, para x → 0, quedando
θ̈1
≈
θ̈2
≈
g(θ2 − µθ1 )
l1 (µ − 1)
gµ(θ1 − θ2 )
.
l2 (µ − 1)
(2.98)
(2.99)
En este caso no se observa caos; el movimiento del sistema consiste en la superposición
de dos modos de oscilación periódica con sus correspondientes frecuencias: un modo en
fase (θ1 = θ2 ) y otro modo en fases opuestas (θ1 = −θ2 ). (Capı́tulo 4).
El lı́mite de pequeñas amplitudes equivale a valores pequeños de la energı́a del sistema.
Luego, el comportamiento del péndulo doble puede ser regular para ciertas condiciones,
a pesar de que el sistema es no integrable.
88
CAPÍTULO 2. LEYES DE CONSERVACIÓN Y SIMETRÍAS
Otro ejemplo de un sistema no integrable, no lineal y caótico, es el péndulo de resorte,
cuyas ecuaciones de movimiento también las calculamos en el Cap. 1,
rθ̈ + 2ṙθ̇ + g sin θ = 0,
(2.100)
k
r̈ − rθ̇2 + (r − l) − g cos θ = 0.
(2.101)
m
Este sistema exhibe comportamiento caótico para ciertos valores de su energı́a.
Figura 2.6: Movimiento en el plano (x, y) de la partı́cula en el péndulo de resorte, para diferentes
valores de su energı́a E. Izquierda: comportamiento regular. Derecha: caos.
Note que no se requieren muchas variables (hay solamente dos grados de libertad en
el péndulo doble o en el péndulo de resorte) para la ocurrencia de caos en un sistema.
Se ha descubierto que el caos es un fenómeno universal en la Naturaleza. Sistemas
no lineales fı́sicos, quı́micos, biólogicos, fisiológicos, económicos, sociales, etc. presentan
comportamiento caótico; el cual se manifiesta con propiedades universales independientemente del contexto.
2.9.
Movimiento unidimensional.
El caso más simple de integrabilidad es un sistema con un sólo grado de libertad q, el
cual se denomina sistema unidimensional. El Lagrangiano de un sistema unidimensional
tiene la forma general
1 2
aq̇ − Vef (q) ,
(2.102)
2
donde el factor a representa algunos parámetros, como masa, etc., y Vef (q) corresponde
a un potencial efectivo que contiene términos dependientes de la coordenada q.
L = T (q̇ 2 ) − Vef (q) =
2.9. MOVIMIENTO UNIDIMENSIONAL.
Puesto que
89
∂L
= 0, la energı́a es una cantidad conservada,
∂t
E
=
=
∂L
q̇ − L = cte,
∂ q̇
1 2
aq̇ + Vef (q) = cte.
2
(2.103)
Hay un grado de libertad y una cantidad conservada; el sistema es integrable. De la
cantidad conservada E, se puede determinar t(q) en términos de una integral,
r
dq
2
q̇ =
=
(E − Vef (q))
(2.104)
dt
a
r Z
a
dq
p
+ cte.
t(q) =
(2.105)
2
E − Vef (q)
Luego, en principio, se puede invertir t(q) para obtener q(t). Para que la solución q(t)
sea real, el movimiento puede ocurrir solamente para valores de q tales que E ≥ Vef (q).
Un sistema integrable con varios grados de libertad puede reducirse, en principio, a
un sistema unidimensional con una energı́a de la forma Ec. (2.103).
Perı́odo de un movimiento unidimensional.
La condición de integrabilidad de sistemas unidimensionales permite calcular el perı́odo
de movimientos oscilatorios en esos sistemas. Consideremos un sistema descrito por la
coordenada cartesiana q = x y cuya energı́a potencial es Vef = V (x). Entonces, a ≡ m.
El Lagrangiano del sistema es L = T − V = 12 mẋ2 − V (x) y la ecuación de movimiento
correspondiente es
dV
mẍ = −
.
(2.106)
dx
La energı́a total es
1
E = mẋ2 + V (x) = cte.
(2.107)
2
Puesto que 12 mẋ2 = E − V (x) ≥ 0, el movimiento sólo puede ocurrir para valores de x
tal que E ≥ V (x). En la Fig. (2.7), esto corresponde a las regiones x ∈ [x1 , x2 ], x ≥ x3 .
Los puntos de retorno (o estacionarios) son aquellos donde la velocidad instantánea
es cero, es decir, ẋ = 0. Luego, los puntos de retorno corresponden a los valores de x tales
que V (x) = E. La Ec. (2.105) implica que en los puntos de retorno, ẋ = 0 (velocidad
instantánea es cero). En la Fig. (2.7), x1 , x2 y x3 son puntos de retorno, dados por:
V (x1 ) = E, V (x2 ) = E, V (x3 ) = E.
Los puntos de equilibrio x = xo son aquellos donde la fuerza instantánea se anula,
f (xo ) =
dV
dx
= 0,
xo
o equivalentemente, donde la aceleración es cero, ẍ = 0.
(2.108)
90
CAPÍTULO 2. LEYES DE CONSERVACIÓN Y SIMETRÍAS
Figura 2.7: Energı́a potencial de un sistema unidimensional con energı́a constante E. Movimiento puede ocurrir en los intervalos marcados en gris sobre el eje x. xo es un punto de equilibrio
estable; mientras que x0o es un punto de equilibrio inestable.
Un punto de equilibrio xo es estable si xo +δx, donde δx es una pequeña perturbación,
tiende en el tiempo al valor xo . Un punto de equilibrio estable corresponde a un mı́mino
del potencial V (x).
Si
Si
d2 V
dx2
xo
d2 V
dx2
xo
> 0,
xo es un punto de equilibrio estable.
(2.109)
< 0,
xo es un punto de equilibrio inestable.
(2.110)
Si el rango del movimiento posible está entre dos puntos de retorno, x ∈ [x1 , x2 ], el
movimiento es finito y oscilatorio. Entonces, debe existir un punto de equilibrio estable
x = xo en el intervalo [x1 , x2 ]; es decir, existe un mı́nimo de V (x) en ese intervalo.
El perı́odo de oscilación entre los puntos de retorno es
r Z x2
dx
m
p
T (E) = 2
.
(2.111)
2 x1
E − V (x)
Ejemplos.
1. Consideremos una partı́cula de masa m moviéndose sobre un cono vertical con
ángulo de vértice α.
El Lagrangiano de este sistema fue calculado en el Cap. 1,
L=T −V =
1
m(ṙ2 csc2 α + r2 ϕ̇2 ) − mgr cot α .
2
(2.112)
Este sistema es integrable; posee dos grados grados de libertad, r y ϕ, y dos cantidades conservadas, C1 = lz y C2 = E, asociadas con la simetrı́a axial alrededor del
∂L
∂L
eje z,
= 0, y con la homogeneidad del tiempo,
= 0, respectivamente.
∂ϕ
∂t
2.9. MOVIMIENTO UNIDIMENSIONAL.
91
La componente z del momento angular es
lz = mr2 ϕ̇,
(2.113)
y la energı́a del sistema es
E =T +V =
Sustituyendo ϕ̇ =
1
m(ṙ2 csc2 α + r2 ϕ̇2 ) + mgr cot α .
2
(2.114)
lz
en la ecuación para E, podemos expresar
mr2
E
=
=
1 lz2
1 2
mṙ csc2 α +
+ mgr cot α
2
2 mr2
1 2
mṙ csc2 α + Vef (r).
2
(2.115)
La Ec. (2.115) tiene la forma de la energı́a de un sistema unidimensional, Ec. (2.103),
donde identificamos a = m csc2 α, y
Vef (r) =
1 lz2
+ mgr cot α .
2 mr2
Luego, de la Ec. (2.115) podemos obtener
r
Z
dr
m
t(r) =
.
csc α p
2
E − Vef (r)
(2.116)
(2.117)
2. Perı́odo de un oscilador armónico con una E dada.
Figura 2.8: Energı́a potencial de un oscilador armónico con energı́a total E.
Las energı́a potencial es
V (x) =
1 2
kx
2
(2.118)
La energı́a total es
E =T +V =
1
1
mẋ2 + kx2 = cte.
2
2
(2.119)
92
CAPÍTULO 2. LEYES DE CONSERVACIÓN Y SIMETRÍAS
Los puntos de retorno corresponden a
E = V (x)
⇒
E=
r
⇒ x1,2 = ±
El perı́odo se calcula como
Z √ 2E
√
k
T (E) = 2m √ q
−
2E
k
dx
E − 12 kx2
r
= 2
1 2
kx
2
(2.120)
2E
k
2m
E
(2.121)
Z √ 2E
k
0
dx
q
1−
.
(2.122)
k 2
2E x
Para calcular esta integral, usamos el cambio de variables,
r
r
2E
2E
x=
sin θ,
dx =
cos θ dθ
k
k
r
π
2E
→θ= .
tal que
x = 0 → θ = 0;
x=
k
2
(2.123)
(2.124)
Sustituyendo,
r
Z π2
cos θ dθ
2m 2E
p
T (E) = 2
E
k 0
1 − sin2 θ
r
r
m π
m
2π
·
= 2π
=
,
=4
k 2
k
ω
r
(2.125)
(2.126)
donde ω 2 ≡ k/m. El perı́odo T de un oscilador armónico simple es independiente
de E y, por tanto, de la amplitud del movimiento.
3. Perı́odo de un péndulo simple con amplitud θ0 .
Figura 2.9: Péndulo simple con amplitud θ0 .
2.9. MOVIMIENTO UNIDIMENSIONAL.
93
La energı́a es
E =T +V =
1 2 2
ml θ̇ − mgl cos θ.
2
(2.127)
Despejamos θ̇,
r
dθ
2 p
θ̇ =
E + mgl cos θ.
=
dt
ml2
Luego, la integral para el tiempo da
r Z
m
dθ
√
t=l
.
2
E + mgl cos θ
(2.128)
(2.129)
Los puntos de retorno están dados por
E = V (θ0 ) = −mgl cos θ0
⇒
θ1,2 = ±θ0 .
(2.130)
Calculamos el perı́odo,
r
T (E)
T (θ0 )
=
=
4l
√
2 2
m
2
s
θ0
Z
√
0
l
g
Z
0
dθ
E + mgl cos θ
θ0
√
dθ
.
cos θ − cos θ0
(2.131)
(2.132)
Usando
cos θ = cos(2θ/2) = cos2 (θ/2) − sin2 (θ/2) = 1 − 2 sin2 (θ/2) ,
(2.133)
se puede expresar
s Z
l θ0
dθ
q
T (θ0 ) = 2
g 0
sin2 (θ0 /2) − sin2 (θ/2)
s
Z θ0
dθ
1
l
q
=2
.
sin2 (θ/2)
g sin(θ0 /2) 0
1 − sin
2 (θ /2)
0
(2.134)
Hacemos el siguiente cambio de variables:
sin y =
sin(θ/2)
sin(θ0 /2)
⇒
cos y dy =
cos(θ/2)
dθ.
2 sin(θ0 /2)
(2.135)
Entonces,
cos(θ/2)
dθ
q
1 − sin2 (θ/2)
q
=
1 − sin2 (θ0 /2) sin2 y .
cos y
dy
= 2 sin(θ0 /2)
cos(θ/2)
2 sin(θ0 /2) cos y
= q
dy.
1 − sin2 (θ0 /2) sin2 y
=
(2.136)
(2.137)
94
CAPÍTULO 2. LEYES DE CONSERVACIÓN Y SIMETRÍAS
Hacemos el cambio de lı́mites: θ = 0 → y = 0; θ = θ0 → y =
π
.
2
Luego, la integral en la Ec. (2.134) queda
s Z
l π/2
dy
q
T (θ0 ) = 4
.
g 0
1 − sin2 (θ0 /2) sin2 y
(2.138)
La integral definida (2.138) es una integral elı́ptica de la primera clase. Se puede
obtener una aproximación de esta integral para θ0 1 (θ0 pequeño). Entonces,
sin(θ0 /2) ≈ θ0 /2, y la Ec. (2.138) se convierte en
s Z
l π/2
dy
r
T (θ0 ) ≈ 4
.
(2.139)
g 0
θ02
2
1−
sin y
4
Usamos la siguiente expansión de Taylor para x 1,
(1 ± x)n
⇒ (1 − x)−1/2
≈ 1 ± nx + . . .
1
≈ 1 + x + ...
2
(2.140)
(2.141)
y obtenemos
r Z π/2 l
θ02
2
sin y dy .
T (θ0 ) ≈ 4
1+
2 0
8
(2.142)
La integral del segundo término en la Ec. (2.142) es
Z
π/2
sin2 y dy =
0
y sin(2y)
−
2
4
π/2
=
0
π
.
4
(2.143)
Luego, hasta segundo orden en θ0 ,
s
π
l π
+ θ02 + . . .
g 2
32
s l
θ02
≈ 2π
1+
.
g
16
T (θ0 ) ≈ 4
(2.144)
El perı́odo de un péndulo simple depende, en segundo orden, de la amplitud θ0 y
por tanto de la energı́a total E.
2.10. PROBLEMAS
2.10.
95
Problemas
1. Dos partı́culas con masas m1 y m2 están unidas por un resorte de constante k y
longitud en reposo l, de manera que pueden deslizarse sin fricción sobre una mesa.
Asuma que el resorte no se dobla.
a) Encuentre las ecuaciones de movimiento del sistema.
b) Encuentre e identifique las cantidades conservadas.
c) Calcule el perı́odo de una oscilación a lo largo del resorte.
2. Una partı́cula de masa m y carga q está sujeta a un potencial electromagnético
dado por φ = 0 y A = 21 B × r, donde B es un campo magnetico uniforme y constante.
a) Verifique que B = ∇ × A.
b) Encuentre las ecuaciones de movimiento de la partı́cula en coordenadas cilı́ndricas.
c) Encuentre las cantidades conservadas.
3. Considere un sistema con el siguiente Lagrangiano:
L=
1
1
a(ẋ2 sin2 y + ẏ 2 ) + b(ẋ cos y + ż)2 ,
2
2
donde a y b son constantes.
a) Derive las ecuaciones de movimiento del sistema.
b) Calcule e identifique las cantidades conservadas. ¿Es integrable este sistema?.
c) Calcule la energı́a del sistema.
d) Suponga que y(t) = yo = cte. es una solución. ¿Cuáles son x(t) y z(t) en este
caso?.
4. Una partı́cula de masa m se mueve con velocidad v sujeta al potencial
V (r, v) = U (r) + n · l ,
donde r es el radio vector medido desde el origen del sistema de referencia, l es el
momento angular con respecto a ese origen, n es un vector fijo en el espacio y U (r)
es una función escalar.
a) Encuentre la fuerza ejercida sobre la partı́cula.
b) Obtenga las ecuaciones de movimiento de la partı́cula en coordenadas cartesianas.
c) ¿Existe alguna cantidad constante?.
5. Una partı́cula de masa m y energı́a total E se mueve en la dirección x con energı́a
potencial V (x) = k|x|n (k, n constantes), tal que el perı́odo del movimento es T .
a) Encuentre los puntos de retorno de la partı́cula.
b) Calcule el perı́odo resultante si la energı́a total se duplica.
c) Demuestre que el perı́odo no cambia si el potencial corresponde al de un oscilador
armónico simple.
96
CAPÍTULO 2. LEYES DE CONSERVACIÓN Y SIMETRÍAS
6. Un aro de masa m y radio a puede girar libremente en un plano horizontal alrededor
de un eje perpendicular que pasa por su centro. A lo largo del aro se encuentra
enrollado un resorte de constante k, con un extremo fijo y el otro extremo conectado
a una partı́cula de masa m, la cual desliza sin fricción sobre el aro.
a) Resuelva las ecuaciones de movimiento resultantes para este sistema.
b) Demuestre que existen dos cantidades conservadas en el sistema.
7. Un péndulo de masa m y longitud l está construido de modo que oscila en un plano
perpendicular a un disco de masa M y radio R que puede rotar libremente sin
fricción alrededor del eje vertical que pasa por su centro. Desprecie la masa de los
soportes del péndulo.
a) Obtenga las ecuaciones de movimiento para este sistema.
b) Identifique las cantidades conservadas. ¿Es integrable este sistema?.
c) Determine las condiciones iniciales del péndulo para que el disco rote con velocidad angular constante.
8. Dos masas, m1 y m2 , están conectadas por una cuerda a través de un agujero en
una mesa sin fricción, de manera que m1 se mueve sobre la superficie de la mesa y
m2 cuelga de la cuerda, moviéndose verticalmente.
a) Determine las ecuaciones de movimiento del sistema.
b) Identifique las cantidades conservadas.
c) Encuentre la posición de equilibrio del sistema.
d) Si m1 se encuentra inicialmente en reposo a una distancia a del agujero, determine la velocidad de m2 cuando m1 alcanza el agujero.
2.10. PROBLEMAS
97
9. Una partı́cula de masa m puede moverse sin fricción sobre la superficie z = k(x2 +
y 2 ), donde z es la dirección vertical y k = cte.
a) Encuentre las ecuaciones de movimiento de la partı́cula.
b) ¿Es integrable este sistema?.
10. Una partı́cula de masa m se mueve en la dirección x con energı́a potencial V (x) =
k|x| (k = constante), tal que en un instante dado su velocidad en el origen es vo .
a) Obtenga la ecuación de movimiento de la partı́cula.
b) Calcule la frecuencia del movimiento.
11. Una partı́cula de masa m está unida a un resorte de constante k y longitud en
reposo Lo , de modo que puede moverse sin fricción sobre un plano horizontal. A la
partı́cula se le proporciona una velocidad vo perpendicular al resorte cuando éste
está en reposo.
a) Encuentre las ecuaciones de movimiento de la partı́cula.
b) Calcule la velocidad de la partı́cula cuando la longitud del resorte es 2Lo .
12. Una varilla de masa despreciable y longitud l tiene un extremo en una pared vertical
y el otro en el suelo. En el punto medio de la varilla hay una partı́cula fija de masa
m. Ignore la fricción.
a) Encuentre la ecuación dinámica del sistema.
b) Si la varilla se suelta del reposo, formando un ángulo α con el suelo, calcule la
velocidad de la masa cuando ésta choca contra el suelo.
13. Una partı́cula de masa m se mueve en el potencial unidimensional
V (x) = −
V0
.
cosh2 αx
a) Muestre que el movimiento de la partı́cula es finito si su energı́a E < 0, y es
infinito si E ≥ 0.
b) Encuentre los puntos de retorno y el mı́nimo posible valor de E.
c) Para el movimiento finito, encuentre el perı́odo en función de E.
14. Determine la trayectoria de una partı́cula de masa m y carga q, moviéndose con
velocidad v en el campo electromagnético E = Eo ẑ, B = Bo ẑ, donde Eo y Bo son
constantes.
98
CAPÍTULO 2. LEYES DE CONSERVACIÓN Y SIMETRÍAS
15. Una partı́cula que se mueve sobre una superficie esférica suave de radio R gira
horizontalmente en la dirección ecuatorial con frecuencia ω. Encuentre la distancia
z que puede descender la partı́cula, si ω 2 R g, i.e., z R.
16. El Lagrangiano de un sistema se puede expresar como
L=
k
m
aẋ2 + 2bẋẏ + cẏ 2 −
ax2 + 2bxy + cy 2 ,
2
2
donde a, b, y c son constantes, pero sujetas a la condición b2 − ac 6= 0. Encuentre
las ecuaciones de movimiento para este sistema.
17. Considere una máquina de Atwood tal que una de las masas se mueve verticalmente mientras la otra puede oscilar libremente sobre un plano vertical en el campo
gravitacional terrestre. La longitud de la cuerda que une las dos masas a través de
la polea es fija.
a) Encuentre las ecuaciones de movimiento para este sistema.
b) Encuentre la energı́a total del sistema.
c) ¿Es integrable este sistema?.
Capı́tulo 3
Fuerzas centrales
3.1.
Problema de dos cuerpos.
Consideremos dos partı́culas con masas m1 y m2 ubicadas en posiciones r1 y r2 ,
respectivamente, con respecto a un origen O en un sistema de referencia inercial. Supongamos que las partı́culas interaccionan mediante un potencial que depende solamente de
sus posiciones relativas, V (r1 , r2 ) = V (r2 − r1 ). Este sistema se conoce como el problema
de dos cuerpos.
Figura 3.1: Posiciones de las dos partı́culas y de su centro de masa.
El sistema posee 6 grados de libertad, correspondientes a las 3 coordenadas espaciales
del vector de posición r1 de la partı́cula 1 y a las 3 coordenadas del vector de posición
r1 de la partı́cula 2.
Definimos
r = r2 − r1 :
m1 r1 + m2 r2
R=
:
m 1 + m2
posición relativa de 2 con respecto a 1.
(3.1)
posición del centro de masa (CM).
(3.2)
99
100
CAPÍTULO 3. FUERZAS CENTRALES
Denotamos las posiciones relativas al centro de masa como
r01 = r1 − R,
r02
= r2 − R,
(3.3)
(3.4)
las cuales se pueden expresar en función del vector r,
m2 (r1 − r2 )
m2
r1 (m1 + m2 ) − m1 r1 − m2 r2
=
= −
r
(m1 + m2 )
(m1 + m2 )
(m1 + m2 )
r2 (m1 + m2 ) − m1 r1 − m2 r2
m1 (r2 − r1 )
m1
r02 =
=
=
r.
(m1 + m2 )
(m1 + m2 )
(m1 + m2 )
r01 =
(3.5)
(3.6)
Figura 3.2: Posiciones relativas al centro de masa.
La energı́a cinética total del sistema es la suma de la energı́a cinética del centro de
masa más la energı́a cinética relativa al centro de masa,
T = Tcm + Trel ,
donde
Tcm =
1
1
MT Ṙ2 = (m1 + m2 )Ṙ2 ,
2
2
(3.7)
(3.8)
y
Trel
=
=
=
=
=
1
1
m1 ṙ02 + m2 ṙ02
2
2
1 m1 m22
1 m21 m2
2
ṙ
+
ṙ2
2 (m1 + m2 )2
2 (m1 + m2 )2
1 (m1 m22 + m21 m2 ) 2
ṙ
2 (m1 + m2 )2
1 m1 m2
ṙ2
2 (m1 + m2 )
1 2
µṙ ,
2
(3.9)
donde hemos definimos la masa reducida,
µ≡
m1 m2
.
(m1 + m2 )
(3.10)
3.1. PROBLEMA DE DOS CUERPOS.
101
El Lagrangiano del sistema se puede expresar como
L(r, R, ṙ, Ṙ) = T − V (r2 − r1 ) =
1
1
(m1 + m2 )Ṙ2 + µṙ2 − V (r) .
2
2
(3.11)
Los 6 grados de libertad del sistema se describen mediante las componentes de los vectores
r y R. Las componentes cartesianas de R son coordenadas cı́clicas, lo que implica que
MT Ṙ = cte,
(3.12)
donde MT = m1 + m2 ; es decir, el momento lineal total del sistema se conserva (debido
a que no hay fuerzas externas). El centro de masa se mantiene en reposo o se mueve con
velocidad constante, vcm = Ṙ = cte. Recordemos que
Fexterna total = 0 ⇒ PT = MT Ṙ = cte ⇒ Ṙ = cte.
(3.13)
La conservación del momento lineal total está asociada a la simetrı́a traslacional del
problema de dos cuerpos. Luego, existen 3 cantidades conservadas correspondientes a las
componentes del momento lineal total o, equivalentemente, a las tres componentes de la
velocidad del centro de masa.
El término Tcm correspondiente a la energı́a cinética del centro de masa es, por lo
tanto, constante y se puede omitir en el Lagrangiano, Ec. (3.11), quedando
L=
1 2
µṙ − V (r) ,
2
(3.14)
lo cual es equivalente al Lagrangiano de una partı́cula de masa µ moviéndose con velocidad ṙ en el potencial V (r). El problema de dos cuerpos se reduce a encontrar las
ecuaciones de movimiento de una partı́cula de masa µ en la posición relativa r(t) con
respecto a un origen O0 ubicado en una de las dos partı́culas (Fig. 3.3). Note que este
sistema de referencia centrado en una de las partı́culas es un sistema no inercial, pues su
origen O0 está acelerado.
Figura 3.3: Equivalencia del problema de dos cuerpos.
El problema puede simplificarse aún más si se consideran potenciales centrales; es
decir, si V (r) es función de la magnitud |r| = r solamente. En ese caso, el potencial es
V (r) y la fuerza sobre cualquiera de las partı́culas, en coordenadas esféricas, es
F = −∇V (r) = −
∂V
r̂ = f (r)r̂.
∂r
(3.15)
102
CAPÍTULO 3. FUERZAS CENTRALES
Una fuerza con esta forma se denomina fuerza central. Luego, si la fuerza de interacción
entre las dos partı́culas es una fuerza central, el torque resultante es cero,
τ = r × f (r)r̂ = 0
(3.16)
⇒ l = r × p = cte.
(3.17)
El vector momento angular total l se conserva. Luego, tanto la dirección como la magnitud
de l son constantes, lo que proporciona una cuarta y una quinta cantidad conservada,
respectivamente. Como l es perpendicular al plano (r, p), la constancia de la dirección de
l implica que el movimiento siempre ocurre sobre ese mismo plano. Luego, el movimiento
de la partı́cula de masa equivalente µ está confinado al plano (r, p) y, por lo tanto, se
puede describir mediante dos coordenadas.
Figura 3.4: Coordenadas polares sobre el plano del movimiento perpendicular a l.
Luego, escogiendo la dirección de l en la dirección z, el plano del movimento es
(x, y). La simetrı́a radial sugiere escoger coordenadas polares (r, θ) como coordenadas
generalizadas sobre el plano del movimiento. Entonces,
x = r cos θ ;
ẋ = ṙ cos θ − rθ̇ sin θ
(3.18)
y = r sin θ ;
ẏ = ṙ sin θ + rθ̇ cos θ
(3.19)
Luego, ṙ2 = ẋ2 + ẏ 2 = ṙ2 + r2 θ˙2 , y el Lagrangiano Ec. (3.14) para un potencial
central resulta en
1 L = µ ṙ2 + r2 θ˙2 − V (r).
(3.20)
2
A partir de las simetrı́as contenidas en el Lagrangiano, Ec. (3.20), se pueden obtener
las restantes cantidades conservadas en el sistema.
∂L
La coordenada θ es cı́clica, pues
= 0. Entonces, la ecuación de Lagrange para θ
∂θ
da
d ∂L
∂L
=0
(3.21)
−
dt ∂ θ̇
∂θ
∂L
⇒
= µr2 θ̇ = cte.
(3.22)
∂ θ̇
3.1. PROBLEMA DE DOS CUERPOS.
103
La cantidad conservada es el momento conjugado a la coordenada angular θ y corresponde
a la magnitud del momento angular de la partı́cula de masa µ,
l = µr2 θ̇ = cte.
(3.23)
Por otro lado, L en la Ec. (3.20) es independiente del tiempo y el potencial es independiente de las velocidades, por lo que la energı́a mecánica total se conserva,
∂L
= 0 ⇒ E = T + V = cte.
∂t
La energı́a E provee una sexta cantidad conservada,
1 2
µ ṙ + r2 θ̇2 + V (r)
E =
2
1 2 1 l2
+ V (r) = cte.
µṙ +
=
2
2 µr2
(3.24)
(3.25)
Entonces, en el problema de dos cuerpos existen seis grados de libertad y al menos seis
cantidades conservadas; luego, se trata de un sistema integrable.
Figura 3.5: Coordenadas del movimiento de la masa reducida.
Las cantidades conservadas, E y l, permiten la integración de las coordenadas r y θ.
La Ec. (3.25) corresponde a un problema de movimiento unidimensional en la coordenada
r, el cual es integrable (Sec. 2.9). A partir de la Ec. (3.25) obtenemos
s dr
2
l2
ṙ =
=
E − V (r) −
.
(3.26)
dt
µ
2µr2
Usando como condición inicial en t = 0 los valores de coordenadas r = r0 , θ = θ0 ,
podemos obtener t(r),
r Z r
dr
µ
s
,
(3.27)
t(r) =
2 r0
l2
E − V (r) −
2µr2
y, mediante inversión, podemos obtener r(t) en función de tres constantes de integración:
r0 , E, l.
104
CAPÍTULO 3. FUERZAS CENTRALES
Del mismo modo, la Ec. (3.23) permite la integración de θ,
dθ
l
= 2
dt
µr
l
⇒ dθ = 2 dt
µr
dθ
l dt
⇒
= 2
.
dr
µr dr
θ̇ =
Sustituyendo la Ec. (3.26), obtenemos
r
dθ
l
µ
s
= 2
dr
µr
2
(3.28)
(3.29)
(3.30)
1
.
(3.31)
l2
E − V (r) −
2µr2
Usando las condiciones iniciales en t = 0, r = r0 , θ = θ0 , podemos expresar
Z r
l
dr
q
θ=√
+ θ0
2µ r0 r2 E − V (r) − l2
2
2µr
(3.32)
lo cual da θ(r). Sustitución de r(t), da θ(r(t)) = θ(t), por lo que las coordenadas r y θ
pueden determinarse en función del tiempo. En total hay cuatro constantes de integración, E, l, r0 , θ0 , θ0 , para las coordenadas r y θ. Las cuatro constantes aparecen porque
tenemos una ecuación de Lagrange para r y otra para θ, ambas de segundo orden, y las
cuales requieren dos constantes de integración cada una.
Cabe observar que las constantes E y l aparecen también el problema de un potencial
central en Mecánica Cuántica.
En resumen, las seis cantidades conservadas que permiten integrar las seis coordenadas en el problema de dos cuerpos sujetos a un potencial central V (r) son
Las tres componentes del vector velocidad del centro de masa Ṙ. Se expresan como
I1 = ẋcm = cte, I2 = ẏcm = cte, I3 = ẏcm = cte. Esto reduce el problema al
movimiento del vector de posición relativa r (tres coordenadas).
La dirección del momento angular l. Esto reduce el movimiento a un plano (dos
coordenadas). Se puede expresar como I4 = z = 0.
La magnitud del momento angular. Se expresa como I5 = µr2 θ̇ = l. Esto permite
reducir una coordenada.
2
l
La energı́a total. Corresponde a I6 = 12 µṙ2 + 21 µr
2 +V (r) = E. Esto permite reducir
el problema de dos cuerpos a un problema unidimensional equivalente.
La integración explı́cita de θ en la Ec. (3.32) (y la de t en la Ec. (3.27)) en términos
de funciones elementales depende de la forma funcional del potencial V (r).
3.1. PROBLEMA DE DOS CUERPOS.
105
El cambio de variable
1
1
⇒ du = − 2 dr ,
(3.33)
r
r
generalmente resulta útil al considerar integrales en el problema de dos cuerpos. Mediante
este cambio, la Ec. (3.32) se convierte en
u=
Z
1
u
θ = θ0 −
1
u0
du
r
2µE
2µV (u)
−
− u2
l2
l2
.
(3.34)
Las formas funcionales fı́sicamente más relevantes de potenciales centrales son V (r) =
krn+1 , donde k = cte. Las fuerzas correspondientes son de la forma
f (r) = −
∂V
∝ rn .
∂r
(3.35)
Por ejemplo, el exponente n = −1 corresponde a V = cte y f (r) = 0, es decir a una
partı́cula libre. El valor n = −2 describe la fuerza gravitacional, mientras que n = 1
corresponde a un oscilador armónico esférico.
Sustitución de V (u) = ku−(n+1) en la Ec. (3.34) da la integral
Z
1
u
θ = θ0 −
1
u0
du
r
2µE
2µk
− 2 u−(n+1) − u2
l2
l
,
(3.36)
la cual es integrable en términos de funciones elementales
√ para ciertos valores de n.
Si el integrando en la Ec. (3.36) tiene la forma R(u, au2 + bu + c),
Z
du
√
,
(3.37)
R(u, au2 + bu + c)
la integral se puede expresar en términos de funciones circulares sin−1 u, cos−1 u. Para
que esto ocurra, el exponente de u−(n+1) en el integrando de la Ec. (3.36) debe tener,
cuando mucho, un valor igual a 2; es decir, puede tomar los valores −(n + 1) = 0, 1, 2.
Luego, los posibles valores de n para potenciales integrables en términos de funciones
circulares son
n = −1, −2, −3.
(3.38)
Estos valores incluyen los casos n = −1 para el potencial V = cte, y n = −2 correspondiente al potencial gravitacional
k
(3.39)
V (r) = − .
r
El caso n = 1, correspondiente al potencial de un oscilador armónico esférico V (r) = kr2 ,
tambien se puede integrar en la Ec. (3.36). Haciendo el cambio de variable
dx
x = u2 ⇒ du = √ ,
2 x
(3.40)
106
CAPÍTULO 3. FUERZAS CENTRALES
la integral en la Ec. (3.36) resulta en
Z
r
2
dx
2µk
2µE
x − 2 − x2
l2
l
,
(3.41)
la cual tiene un integrando de la forma Ec. (3.37) y, por tanto, es integrable en términos
de funciones circulares.
3.2.
Potencial efectivo.
Hemos encontrado que el Lagrangiano del problema de dos cuerpos que interactuan
mediante el potencial central V (r) se reduce a
L=
1 2
µ ṙ + r2 θ˙2 − V (r)
2
(3.42)
Vimos que la ecuación de Lagrange para θ da
l = µr2 θ̇ = cte.
Por otro lado, la ecuación de Lagrange para r es
d ∂L
∂L
−
= 0,
dt ∂ ṙ
∂r
(3.43)
(3.44)
donde calculamos,
∂L
= µṙ
∂ ṙ
(3.45)
∂L
∂V
= µrθ˙2 −
∂r
∂r
Sustitución en la ecuación de Lagrange para r resulta en
µr̈ = −
Sustituyendo θ̇ =
∂V
+ µrθ̇2 .
∂r
(3.46)
l
, la ecuación Ec. (3.46) para r queda
µr2
µr̈ = −
∂V
l2
+ 3
∂r
µr
(3.47)
La fuerza radial f (r) debida al potencial central V (r) es
f (r) = −
∂V
.
∂r
(3.48)
3.2. POTENCIAL EFECTIVO.
107
Luego, tenemos
µr̈ = f (r) +
l2
,
µr3
(3.49)
lo cual se puede expresar como
µr̈ = fef (r) ,
donde
fef (r) ≡ f (r) +
(3.50)
l2
µr3
(3.51)
se denomina fuerza efectiva radial. Esta fuerza efectiva surge de las contribuciones de la
∂V
fuerza central f (r) = −
y de la fuerza centrı́fuga
∂r
Fc ≡
l2
= µrθ̇2 .
µr3
(3.52)
Esta fuerza centrı́fuga es una fuerza ficticia que aparece en el sistema de referencia no
inercial que estamos usando para describir el movimiento, cuyo origen ubicado en una de
las partı́culas, se encuentra acelerado.
Fuerzas centrı́fugas son tı́picas de movimientos en campos centrales con l 6= 0. Por
ejemplo, en el movimiento circular uniforme de una partı́cula que gira con velocidad
angular constante θ̇ = ω, velocidad tangencial v = ωr y posee momento angular l =
rmv = mr2 ω, aparece una fuerza centrı́fuga cuando se describe el movimiento desde la
perspectiva de la partı́cula,
Fc
=
l2
mv 2
= mrω 2 =
.
r
mr3
(3.53)
Figura 3.6: Movimiento circular uniforme.
A partir de la fuerza efectiva Ec. (3.51), se puede definir una energı́a potencial efectiva,
fef (r) ≡ −
∂Vef
∂r
donde
Vef (r) = V (r) +
l2
.
2µr2
(3.54)
(3.55)
108
CAPÍTULO 3. FUERZAS CENTRALES
La energı́a total Ec. (3.25) puede entonces expresarse como
1 2
l2
µṙ +
+ V (r)
2
2µr2
1
= µṙ2 + Vef (r) = cte ,
2
E=
(3.56)
lo que resulta equivalente a la energı́a total de una partı́cula de masa µ, moviéndose en
la dimensión r con energı́a potencial Vef (r).
El movimiento radial puede analizarse a partir de la Ec. (3.56). La condición ṙ2 ≥ 0
implica que este movimento ocurre para valores de r tales que E ≥ Vef (r). Los puntos
de retorno del movimiento radial están dados por la condición ṙ = 0 en la Ec. (3.56), es
decir,
l2
+ V (r)
2µr2
l2
⇒ Er2 − V (r)r2 −
= 0,
2µ
E = Vef (r) =
(3.57)
(3.58)
la cual constituye una ecuación algebraica de grado al menos cuadrático en r; luego
pueden existir al menos dos raı́ces reales, r = rmin , r = rmax . Si existe un rango de
valores r ∈ [rmin , rmax ] para el cual E ≥ Vef (r), entonces el movimiento está confinado a
una región anular en el plano (r, θ).
Figura 3.7: Movimiento radial y angular.
Si
rmax < ∞ ⇒ movimiento es finito, oscilatorio en r,
rmax → ∞ ⇒ movimiento sin retorno,
rmin = rmax
⇒
movimiento circular.
(3.59)
(3.60)
(3.61)
Por otro lado, notamos que
θ̇ =
l
≥ 0,
µr2
(3.62)
3.2. POTENCIAL EFECTIVO.
109
lo cual significa que la velocidad angular θ̇ nunca cambia de signo; el ángulo θ siempre
se incrementa en el tiempo y, como consecuencia, el movimiento siempre ocurre en una
misma dirección sobre el plano del movimiento (r, θ). En cambio, la distancia radial r(t)
puede aumentar o disminuir en el tiempo.
Ejemplos.
1. Dibujar esquemáticamente el potencial efectivo resultante del potencial V = − kr y
analizar los tipos de movimiento posibles para diferentes valores de la energı́a.
La fuerza gravitacional es
f (r) = −
∂V
k
= − 2.
∂r
r
(3.63)
El potencial efectivo es
Vef = V (r) +
k
l2
l2
=− +
.
2
2µr
r
2µr2
(3.64)
Figura 3.8: Potencial efectivo para V (r) = − kr .
El valor mı́nimo del potencial efectivo ocurre para un radio r = r0 dado por
∂Vef
∂r
= 0.
r=r0
Posibles movimientos para diferentes valores de la energı́a E:
a) E = E1 > 0 ⇒ rmin > 0 y rmax → ∞; órbita abierta.
b) E = E2 = 0 ⇒ rmin > 0 y rmax → ∞; órbita abierta.
c) E = E3 < 0 ⇒ r ∈ [rmin , rmax ]; movimiento radial oscilatorio.
d ) E = E4 = Vef (min) < 0 ⇒; rmin = rmax = r0 ; órbita circular con r = r0 .
(3.65)
110
CAPÍTULO 3. FUERZAS CENTRALES
2. Potencial efectivo para el potencial V =
armónico tridimensional.
1
2
2 kr ,
correspondiente a un oscilador
La magnitud de la fuerza radial es
∂V
= −kr.
∂r
(3.66)
1 2
l2
kr +
.
2
2µr2
(3.67)
f (r) = −
El potencial efectivo es
Vef (r) =
Figura 3.9: Potencial efectivo para V (r) =
1
kr2 .
2
El movimiento ocurre en la región r ∈
[rmin , rmax ]
.
La condición E ≥ Vef (r) implica que existen puntos de retorno rmin , rmax 6= 0; es
decir, el movimiento radial es oscilatorio y la órbita es elı́ptica.
Las componentes de la fuerza radial f = −krr̂ son
fx = −kx ,
fy = −ky .
(3.68)
El movimiento radial es el resultado de dos oscilaciones simples, perpendiculares
entre sı́, con igual frecuencia ωx2 = ωy2 = k/µ.
3. Caracterizar los movimientos posibles en el potencial efectivo correspondiente al
potencial V = − rk3 .
La fuerza radial es
f (r) = −
3k
,
r4
(3.69)
y el potencial efectivo es
Vef (r) = −
k
l2
+
.
r3
2µr2
(3.70)
El potencial efectivo exhibe un máximo Vef (max) que representa una barrera de
potencial si E < Vef (max) .
Los posibles movimientos son
3.2. POTENCIAL EFECTIVO.
111
a) E = E1 > Vef (max) ; movimiento existe ∀ r.
b) E = E2 < Vef (max) ; hay dos puntos de retorno r1 y r2 que satisfacen E = Vef .
El movimiento ocurre para r ∈ [0, r1 ] y para r ≥ r2 . En Mecánica Clásica, el
movimiento es imposible para r ∈ [r1 , r2 ].
Figura 3.10: Potencial efectivo para V = − rk3 . Movimiento radial ocurre en las regiones r ≤ r1
y r ≥ r2 .
4. ¿Cuál es la condición para que una partı́cula caiga al centro de atracción de un
potencial central; es decir, para que rmin = 0?.
Consideremos la Ec. (3.25),
E=
1 2
l2
+ V (r) ,
µṙ +
2
2µr2
(3.71)
la cual implica que
1 2
l2
> 0,
µṙ = E − V (r) −
2
2µr2
(3.72)
es decir,
l2
> 0.
2µ
Tomando el lı́mite r → 0, obtenemos la condición
Er2 − V (r)r2 −
lı́m [V (r)r2 ] < −
r→0
l2
.
2µ
(3.73)
(3.74)
Consideremos un potencial atractivo de la forma V (r) = −k/rn . La condición
Ec. (3.74) con l 6= 0 implica n > 2. El potencial V (r) = −k/r3 del ejemplo anterior
(n = 3) permite caer al centro, rmin = 0. Por otro lado, el potencial gravitacional
V (r) = −k/r (n = 1) no permite alcanzar rmin = 0.
l2
El caso n = 2, correspondiente a V (r) = −k/r2 , requiere k >
para caer al
2µ
centro de atracción.
112
3.3.
CAPÍTULO 3. FUERZAS CENTRALES
Ecuación diferencial de la órbita.
En la Sec. 3.1 vimos que, dado V (r) y cuatro constantes (E, l, r0 , θ0 ), se pueden
determinar t(r) (y por tanto r(t)) y θ(r), mediante integración y que, en particular,
existen formas de potenciales V (r) integrables explı́citamente en términos de funciones
circulares.
Consideremos ahora el problema inverso; es decir, dada una órbita r(θ) determinar
el potencial V (r) (y la fuerza f (r)) que produce ésta órbita. Esto es posible mediante la
obtención de la ecuación diferencial de la órbita.
Consideremos la ecuación de movimiento Ec (3.49) para r(t),
µr̈ −
l2
∂V
= f (r) = −
µr3
∂r
(3.75)
La Ec. (3.75) se puede transformar en una ecuación diferencial para r(θ). Las derivadas
temporales de r(t) se pueden expresar
ṙ =
dr dθ
l dr
dr
=
= 2
dt
dθ dt
µr dθ
(3.76)
l
.
µr2
En general, para una función g(θ),
donde hemos usado θ̇ =
⇒
dg
dt
d
dt
=
=
dg dθ
l dg
= 2
dθ dt
µr dθ
l d
.
µr2 dθ
(3.77)
(3.78)
Luego,
r̈
=
=
d dr
d
l dr
=
dt dt
dt µr2 dθ
l d
l dr
.
µr2 dθ µr2 dθ
(3.79)
(3.80)
Sustitución en la Ec. (3.75) da
l d
r2 dθ
l dr
µr2 dθ
−
∂V
l2
=−
.
µr3
∂r
(3.81)
Usando el cambio de variables,
u=
1
,
r
du
1 dr
dr
=− 2
= −u2 ,
dθ
r dθ
dθ
(3.82)
(3.83)
3.3. ECUACIÓN DIFERENCIAL DE LA ÓRBITA.
113
y expresando el lado derecho de la Ec. (3.81) en términos de u,
∂V
∂V
∂V ∂u
1 ∂V
=
=− 2
= −u2
,
∂r
∂u ∂r
r ∂u
∂u
(3.84)
la Ec. (3.81) se puede expresar como
l2 2 d
u
µ dθ
du
dθ
+
∂V
l2 3
u = −u2
,
µ
∂u
(3.85)
es decir,
∂V
l 2 d2 u
=−
+
u
µ dθ2
∂u
(3.86)
La Ec. (3.86) constituye la ecuación diferencial de la órbita para r(θ) = 1/u(θ) en
términos del potencial V (r) = V (1/u).
Esta ecuación de la órbita se puede usar para encontrar el potencial (o la fuerza)
central que da lugar a una órbita dada, o para determinar la órbita resultante de un
potencial (o fuerza) dado.
Ejemplo.
1. Encontrar el potencial V (r) que produce la órbita
r(θ) = ro e−aθ ,
Tenemos
u=
ro , a constantes.
(3.87)
1
1 aθ
e .
=
r
ro
(3.88)
Luego,
d2 u
a2 aθ
=
e = a2 u.
dθ2
ro
(3.89)
La Ec. (3.86) para la órbita queda
l2 2
∂V
(a + 1)u = −
.
µ
∂u
(3.90)
Entonces,
V (u) = −
1 l2 2
(a + 1)u2
2µ
⇒
V (r) = −
k
,
r2
k = cte.
(3.91)
114
3.4.
CAPÍTULO 3. FUERZAS CENTRALES
Problema de Kepler.
El problema de Kepler se refiere al movimiento en un campo central correspondiente
a la fuerza gravitacional
f (r) = −
k
r2
⇒
k
V (r) = − .
r
(3.92)
donde k = Gm1 m2 , y G = 6,674 × 10−11 N (m/Kg)2 es la constante universal gravitacional. La forma de la fuerza gravitacional fue descubierta por Isaac Newton y la constante
G fue determinada experimentalmente por Henry Cavendish (1731-1810).
Figura 3.11: Monumento a Tycho Brahe (1546-1601) y Johannes Kepler (1571-1630) en Praga.
La órbita r(θ) correspondiente a este potencial puede ser determinada a partir de la
ecuación diferencial de la órbita, Ec. (3.86),
l 2 d2 u
∂V
+
u
=−
.
(3.93)
µ dθ2
∂u
Para el potencial gravitacional, V = −ku, obtenemos
d2 u
µ
+u=k 2 ,
dθ2
l
(3.94)
que es una ecuación diferencial ordinaria inhomogénea de segundo orden. Su solución es
u(θ) = uh + up ,
(3.95)
donde up es una solución particular y uh es la solución de la ecuación homogénea
u00h + uh = 0.
(3.96)
3.4. PROBLEMA DE KEPLER.
115
La solución de la ecuación homogénea se puede expresar como
uh = A cos(θ − θ0 ) ,
A, θ0 ctes,
(3.97)
mientras que una solución particular de la Ec. (3.94) es
up = k
µ
.
l2
(3.98)
Luego, la solución general de la Ec. (3.94) es
kµ
+ A cos(θ − θ0 )
l2
(3.99)
kµ
1
= 2 [1 + e cos(θ − θ0 )] ,
r
l
(3.100)
u(θ) =
⇒
que corresponde la ecuación de una sección cónica en coordenas polares, cuya forma
general está dada por
q
= 1 + e cos θ,
(3.101)
r
con q y e constantes. La constante e se denomina excentricidad y la constante q es el
latus de la cónica.
La órbita también puede obtenerse por integración explı́cita mediante la Ec. (3.34)
Z
du
r
,
(3.102)
θ = θ0 −
2µV (u)
2µE
2
−
−u
l2
l2
la cual, con V (u) = −ku queda
Z
θ = θ0 −
La integral es del tipo
Z
√
du
r
2µk
2µE
+ 2 u − u2
2
l
l
.
du
1
(b + 2au)
=√
cos−1 − √
,
−a
au2 + bu + c
b2 − 4ac
donde
a = −1,
b=
2µk
,
l2
c=
2µE
.
l2
2 2µE
2µk
4µ2 k 2
2E 2
+
4
=
1
+
l4
l2
l2
µk 2
2µk
2µk
l2
u
.
b + 2au = 2 − 2u =
1
−
l
l2
µk
b2 − 4ac =
(3.103)
(3.104)
(3.105)
(3.106)
(3.107)
116
CAPÍTULO 3. FUERZAS CENTRALES
Luego,


2
l


 µk u − 1 

s
θ = θ0 − cos−1 



2El2 
1+
µk 2
s
1+
l2
2El2
cos(θ0 − θ) =
u − 1.
2
µk
µk
(3.108)
(3.109)
Escogiendo la condición inicial θ0 = 0 para t = 0 y despejando u = 1/r,
1
µk
= 2
r
l
s
1+
2El2
1+
cos θ
µk 2
!
(3.110)
obtenemos que la órbita r(θ) tiene la forma general de la ecuación de una sección cónica
en coordenadas polares cuyo origen se encuentra en uno de los focos, Ec. (3.101).
Identificamos la excentricidad de la órbita,
s
e=
1+
2El2
µk 2
(3.111)
y el latus de la cónica,
q=
El latus corresponde al valor de r para θ =
l2
.
µk
π
2,
(3.112)
r(π/2) = q.
Figura 3.12: Latus q y perihelio rmin de la órbita en el problema de Kepler.
La distancia mı́nima al foco ubicado en rmin se denomina perihelio (si se trata de
órbita alrededor del Sol) o perigeo (si es una órbita alrededor de la Tierra), y corresponde
al ángulo θ = 0,
q
r(0) =
= rmin .
(3.113)
1+e
3.4. PROBLEMA DE KEPLER.
117
Sustituyendo q y e, obtenemos
rmin =
l2
µk
s
2El2
1+
µk 2
1+
.
(3.114)
El movimiento de la masa reducida µ en el potencial V = −k/r sigue la trayectoria
de una cónica dada por la Ec. (3.110). El tipo de cónica (circunferencia, elipse, parábola,
hipérbola) que describe la partı́cula de masa µ en el potencial V (r) = −k/r depende del
valor de la excentricidad e y, por tanto, de la energı́a total E, segun la Ec. (6.152).
La órbita de cada una de las partı́culas m1 y m2 , separadas por una distancia r, es
una sección cónica con un foco en el centro de masa del sistema.
Figura 3.13: Potencial efectivo para el problema de Kepler.
El movimiento radial ocurre en el potencial efectivo Vef = −k/r + l2 /2µr2 , correspondiente al potencial V (r) = −k/r, Fig. (3.13). Las órbitas posibles descritas por la
Ec. (3.110) y compatibles con este potencial efectivo son
1. E = −
l2
µk 2
⇒ e = 0, circunferencia de radio ro = q =
.
2
2l
µk
2. E < 0 ⇒ e < 1, elipse (movimiento radial finito, r ∈ [rmin , rmax ] ).
3. E = 0 ⇒ e = 1, parábola (movimiento infinito, rmax → ∞).
4. E > 0 ⇒ e > 1, hipérbola (movimiento infinito, rmax → ∞).
Analicemos estas órbitas con más detalle.
1. Órbita circular.
La ecuación de la cónica Ec. (3.101) con e = 0 describe una partı́cula con energı́a
E=−
µk 2
,
2l2
(3.115)
118
CAPÍTULO 3. FUERZAS CENTRALES
moviéndose en una órbita circular de radio
ro = q =
l2
k
=
.
µk
2|E|
(3.116)
El radio ro corresponde al valor mı́nimo de la Vef ,
∂Vef
∂r
= 0.
(3.117)
ro
La energı́a de la órbita circular es igual al mı́nimo de la Vef ,
E = Vef (ro ) = −
l2
k
+
.
ro
2µro2
(3.118)
La velocidad angular del movimiento circular con radio ro es
s
l
k
.
θ̇ = 2 =
µro
µro3
(3.119)
2. Órbita elı́ptica.
La ecuación de la cónica Ec. (3.101)
q
= 1 + e cos θ ,
r
(3.120)
para e < 1 (E < 0) corresponde a una elipse en coordenadas polares con centro en uno
de los focos.
Los puntos de retorno del movimiento radial con E < 0 están dados por
q
,
1+e
q
=
.
1−e
θ = 0 ⇒ r = rmin =
(3.121)
θ = π ⇒ r = rmax
(3.122)
Sustitución de q y e da
rmin
rmax
s
!
2El2
1− 1+
,
µk 2
s
!
k
2El2
=−
1+ 1+
.
2E
µk 2
k
=−
2E
(3.123)
(3.124)
Estos valores de rmin y rmax también corresponden a las raı́ces de la ecuación E = Vef ,
E = Vef = −
k
l2
+
r
2µr2
⇒
Er2 + kr −
l2
= 0.
2µ
(3.125)
3.4. PROBLEMA DE KEPLER.
119
Figura 3.14: Parámetros de la órbita elı́ptica.
La distancia rmin se llama perihelio y la cantidad rmax se denomina afelio, para órbitas
elı́pticas alrededor del Sol (para órbitas alrededor de la Tierra estas cantidades se llaman
perigeo y apogeo, respectivamente). Se puede escribir
k
(1 − e) ,
2 |E|
k
=
(1 + e) .
2 |E|
rmin =
(3.126)
rmax
(3.127)
El semieje mayor de la elipse a satisface la relación (Fig. (3.14))
rmin + rmax = 2a
(3.128)
luego,
a=
k
,
2 |E|
o
a=
q
.
1 − e2
(3.129)
Se puede expresar también
rmin = a (1 − e) ,
(3.130)
rmax = a (1 + e) .
(3.131)
La distancia entre el centro geométrico de la elipse y cualquier foco es
a − rmin = ae.
(3.132)
La ecuación de la elipse, Ec. (3.101), también puede expresarse en coordenadas cartesianas (x, y) con origen O en el foco.
En coordenadas cartesianas (x0 , y 0 ) con origen O0 en el centro geométrico de la elipse,
la ecuación Ec. (3.101) corresponde a
y 02
x02
+ 2 = 1,
2
a
b
donde a y b son los semiejes mayor y menor de la elipse, respectivamente.
(3.133)
120
CAPÍTULO 3. FUERZAS CENTRALES
Figura 3.15: Coordenadas cartesianas (x0 , y 0 ) con origen O0 en el centro geométrico de la elipse.
Mediante la transformación
x0 = x + ae,
y0 = y ,
(3.134)
la ecuación de la elipse Ec. (3.101) puede escribirse en coordenas cartesianas con centro
en el foco de atracción,
y2
(x + ae)2
+ 2 = 1.
(3.135)
a2
b
El semieje menor b puede obtenerse evaluando el punto (x = 0, y = q) en la Ec. (3.135),
p
q
b= √
= a 1 − e2 .
(3.136)
1 − e2
3. Órbita parabólica.
La ecuación de la cónica Ec. (3.101) con e = 1 describe una parábola
q
= 1 + cos θ .
(3.137)
r
La energı́a correspondiente de la partı́cula es E = 0. La distancia rmin corresponde a
θ=0
⇒
rmin =
q
l2
=
,
2
2µk
(3.138)
mientras que
θ=π
⇒
rmax → ∞ .
(3.139)
La condición E = 0 en la Ec. (3.25) implica que la velocidad radial ṙ de la partı́cula
en rmax = ∞ es cero.
Geométricamente, una parábola es el conjunto de puntos P tales que d1 = d2 , donde
d1 es la distancia al foco de atracción f y d2 es la distancia perpendicular a la recta
denominada directriz, Fig.(3.16). El punto correspondiente a (θ = π/2, r = q) indica que
la distancia perpendicular entre el eje y y la recta directriz es igual a q.
4. Órbita hiperbólica.
Corresponde a la Ec. (3.101) de una cónica con e > 1, (E > 0). La órbita es abierta,
rmax = ∞, y el perihelio corresponde a
q
θ = 0 ⇒ rmin =
.
(3.140)
1+e
3.5. LEYES DE KEPLER Y DEPENDENCIA TEMPORAL.
121
Figura 3.16: Órbita parabólica. Un punto P de la parábola satisface d1 = d2 .
Órbitas hiperbólicas aparecen en problemas de dispersión en campos de fuerzas centrales
y serán estudiadas en la Sec. 3.7.
La Fig. (3.17) muestra el diagrama de órbitas posibles en el problema de Kepler.
Figura 3.17: Tipos de órbitas en el potencial de Kepler V (r) = −k/r, correspondientes a un
mismo valor de rmin = ro = l2 /µk.
3.5.
Leyes de Kepler y dependencia temporal.
La Primera Ley de Kepler establece que una partı́cula (planeta) sujeta al
potencial V (r) = −k/r, con E < 0, describe una órbita elı́ptica.
Por otro lado, vimos en la Sec. 3.1 que un potencial central V (r) implica la conservación del momento angular
l = µr2 θ̇ = cte.
(3.141)
122
CAPÍTULO 3. FUERZAS CENTRALES
El hecho de que la magnitud l sea constante puede interpretarse geométricamente.
Figura 3.18: Área barrida por el radio vector r(t) en un intervalo de tiempo dt.
El diferencial de área barrida por el radio vector r en un tiempo infinitesimal dt es
dA =
1
1
(rdθ)r = r2 dθ .
2
2
El área barrida por unidad de tiempo es
1 dθ
1
dA
= r2
= r2 θ̇
dt
2 dt
2
(3.142)
Usando Ec. (3.141),
dA
dt
dA
⇒
dt
1 2
l
r
2
µr2
l
= cte
2µ
=
=
(3.143)
La Ec. (3.143) constituye la Segunda Ley de Kepler :
La velocidad areal es constante bajo fuerzas centrales, i.e., el radio vector
barre áreas iguales en tiempos iguales.
En órbitas elı́pticas, la velocidad angular aumenta cerca del centro (foco) de atracción
y disminuye lejos de éste.
Si la órbita es finita, r ∈ [rmin , rmax ], el área A encerrada por la órbita es finita y
resulta barrida por el radio r en un tiempo igual al perı́odo del movimiento Tp ,
A=
l
2µ
Z
Tp
dt =
0
l
Tp .
2µ
(3.144)
3.5. LEYES DE KEPLER Y DEPENDENCIA TEMPORAL.
123
Figura 3.19: Segunda Ley de Kepler para fuerzas centrales.
En particular, si la órbita es una√elipse, A = πab, donde a es el semieje mayor, y b es el
semieje menor. Vimos que b = a 1 − e2 y q = a(1 − e2 ), luego
p
A = πa2 1 − e2 = πa3/2 q 1/2
s
l2
= πa3/2
,
(3.145)
µk
donde hemos usado,
q=
l2
.
µk
Igualando Ec.(3.144) con Ec.(3.145), y despejando Tp tenemos
r
µa3
,
Tp = 2π
k
(3.146)
(3.147)
lo que constituye la Tercera Ley de Kepler en su forma exacta.
En el sistema solar, supongamos que M es la masa del Sol y m es la masa del
planeta que describe una órbita elı́ptica. Entonces, podemos asumir m/M << 1. La
masa reducida correspondiente al sistema Sol-planeta es
µ=
Mm
Mm m −1
=
1+
≈m
M +m
M
M
(3.148)
Recordemos que k = GM m; luego
µ
1
≈
k
GM
(3.149)
y la Ec.(3.147), puede escribirse en forma approximada como
Tp2 ≈
4π 2 a3
,
GM
(3.150)
124
CAPÍTULO 3. FUERZAS CENTRALES
es decir,
Tp2 ∝ a3 ,
(3.151)
donde la constante de proporcionalidad es la misma para todos los planetas del sistema
solar. Esta es la forma de la Tercera Ley descubierta originalmente por Kepler.
En resumen, tenemos las tres Leyes de Kepler :
1. Primera Ley: los planetas describen órbitas elı́pticas alrededor del Sol, el cual se
encuentra en uno de los focos de la elipse. (Consecuencia de la forma V (r) = − kr ).
2. Segunda Ley: el área barrida por unidad tiempo por el radio vector que va desde
el Sol al planeta es constante: Ȧ = cte. (Consecuencia de potencial central V (r) y,
por tanto, de l = cte).
3. Tercera Ley: el cuadrado del perı́odo del movimiento es proporcional al cubo del
semieje mayor de la órbita, para todos los planetas: Tp2 ∝ a3 . (Consecuencia de
l = cte y de la forma V (r) = − kr ).
La Tercera Ley de Kepler se ha empleado en el descubrimiento de nuevos planetas fuera
del sistema solar, denominados exoplanetas. El perı́odo orbital se puede determinar a
partir de la observación del perı́odo del corrimiento Doppler en el espectro de algunas
estrellas de masa conocida.
Figura 3.20: Diagrama de masa versus distancia de exoplanetas y planetas del sistema solar,
identificados por sus iniciales. (Physics Today, p. 46, mayo 2009).
3.5. LEYES DE KEPLER Y DEPENDENCIA TEMPORAL.
125
Ecuación de Kepler.
La dependencia temporal de la coordenada radial r(t) en una órbita elı́ptica puede
obtenerse por integración de la Ec. (3.27) para el potencial V = −k/r,
r Z
µ
dr
s
,
(3.152)
t=
2
k
l2
+
E−
2µr2
r
donde
k
< 0.
2a
Expresemos l en términos de los parámetros de la elipse a y e,
E=−
l2
2El2
=1−
2
µk
aµk
2
2
⇒ l = (1 − e )aµk.
e2 = 1 +
Sustituyendo en la integral Ec. (3.152), tenemos
r Z
µ
dr
r
t =
2
(1 − e2 )ak k
k
+
− −
2a
2r2
r
r Z
µ
r dr
r
=
2
kp 2
−r − (1 − e2 )a2 + 2ra
2a
r
Z
rdr
µa
p
.
=
2
2
k
e a − (r − a)2
(3.153)
(3.154)
(3.155)
(3.156)
Haciendo el cambio de variables
r = a(1 − e cos ψ) ,
(3.157)
dr = ae sin ψ dψ ,
(3.158)
la integral Ec. (3.156) queda
t
r
µa
k
r
µa3
k
=
=
r
=
Z
a(1 − e cos ψ) ae sin ψ dψ
p
ea 1 − cos2 ψ
Z
(1 − e cos ψ) dψ
µa3
(ψ − e sin ψ) + cte.
k
(3.159)
Escogemos la condición inicial r(0) = rmin = a(1 − e) en t = 0; lo que implica ψ = 0
para t = 0; luego la cte = 0 en la Ec. (3.159).
126
CAPÍTULO 3. FUERZAS CENTRALES
Usando la Tercera Ley de Kepler,
r
Tp = 2π
µa3
,
k
definimos la frecuencia angular del movimiento
s
2π
k
=
ω≡
.
Tp
µa3
(3.160)
(3.161)
Luego, la dependencia temporal del radio en una órbita elı́ptica en el problema de Kepler
puede expresarse mediante las relaciones paramétricas
ωt = ψ − e sin ψ,
(3.162)
r = a(1 − e cos ψ),
(3.163)
que se conocen como ecuaciones de Kepler. Estas ecuaciones permiten encontrar la distancia radial r(t) en función del tiempo, a través del parámetro ψ, dados los parámetros
geométricos de la elipse a y e. Consecuentemente, puede encontrarse el ángulo θ(t) mediante la ecuación
q
= 1 + e cos θ(t) .
(3.164)
r(t)
El parámetro ψ en la ecuación de Kepler se denomina anomalı́a excéntrica de la elipse
y puede interpretarse geométricamente. Consideremos la Fig. (3.21).
Figura 3.21: Definición de la anomalı́a excéntrica ψ.
donde,
P es un punto sobre la elipse con semiejes a y b, y excentricidad e.
Q es un punto sobre la circunferencia de radio a que circunscribe la elipse.
ψ es el ángulo denominado anomalı́a excéntrica.
θ se denomina anomalı́a verdadera.
a es el semieje mayor.
b es el semieje menor.
3.5. LEYES DE KEPLER Y DEPENDENCIA TEMPORAL.
127
rmin = a(1 − e) es el perihelio.
rmax = a(1 + e) es el afelio.
q = a(1 − e2 ) es el latus.
El punto P (x, y) satisface la ecuación de la elipse en coordenadas cartesianas, Ec. (3.135),
(x + ae)2
y2
+
= 1.
a2
b2
(3.165)
De la Fig. (3.21) tenemos,
x + ae
,
(3.166)
a
y sustituyendo en la ecuación de la elipse en coordenadas cartesianas, podemos obtener
cos ψ =
y
= sin ψ .
b
(3.167)
En términos de a y e,
x = a(cos ψ − e)
p
y = b sin ψ = a 1 − e2 sin ψ
(3.168)
(3.169)
√
(usando b = a 1 − e2 ). La coordenada radial r del punto P puede expresarse
r2 = x2 + y 2 = a2 (cos ψ − e)2 + a2 (1 − e2 ) sin2 ψ = a2 (1 − e cos ψ)2 ,
(3.170)
luego,
r = a(1 − e cos ψ) ,
(3.171)
que es el cambio de variable usado en la Ec. (3.157) para la integración de t. La Ec. (3.171)
corresponde a la ecuación de la órbita elı́ptica en términos de la anomalı́a excéntrica.
La relación entre los ángulos θ y φ puede determinarse comparando la Ec. (3.171)
con la ecuación de la elipse en coordenadas polares,
q
= 1 + e cos θ .
r
(3.172)
Empleando la relación q = a(1 − e2 ), obtenemos
(1 − e2 )
1 + e cos θ
e + cos θ
cos ψ =
.
1 + e cos θ
1 − e cos ψ =
⇒
(3.173)
(3.174)
128
CAPÍTULO 3. FUERZAS CENTRALES
Ejemplo.
1. Similitud mecánica y perı́odo orbital para potenciales centrales V (r) = −kr−n .
Una similitud mecánica es una transformación de las escalas de longitud y de tiempo
que deja invariante la forma de la ecuación de movimiento de una partı́cula.
La ecuación de movimiento de una partı́cula de masa m en este potencial es
kn
mr̈ = −∇V (r) = − n+1 r̂.
(3.175)
r
Sea a = (rmin + rmax ) la longitud que caracteriza el tamaño de una órbita finita;
por ejemplo el semieje mayor en una órbita elı́ptica, y sea T el tiempo requerido
para recorrer esa distancia; por ejemplo, el perı́odo de una órbita elı́ptica serı́a 2T .
Consideremos la transformación
r0 = λr,
t0 = τ t,
(3.176)
donde λ y τ son constantes. Entonces
dr
dt
d2 r
dt2
=
=
τ dr0
,
0
λ dt
d dr
τ 2 d2 r0
τ d dr0
=
.
=
dt dt
λ dt dt0
λ dt02
(3.177)
(3.178)
La ecuación de movimiento en las nuevas variables r0 y t0 se transforma como
2
τ
kn
mr̈0 = −λ(n+1) 0(n+1) r̂0 .
(3.179)
λ
r
La ecuación de movimiento preserva su forma si
τ = λ(n+2)/2 .
(3.180)
Por otro lado, la longitud caracterı́stica a y el tiempo caracterı́stico T se transforman según las relaciones
a0 = λa,
T 0 = τ T.
(3.181)
Luego,
T0
=
T
a0
a
(n+2)/2
.
(3.182)
Entonces, podemos escribir
T ∝ a(n+2)/2 ,
0
0(n+2)/2
(3.183)
donde la constante de proporcionalidad T /a
toma su valor en algun sistema
de referencia. Para n = 1 tenemos el potencial gravitacional y la Ec. (3.183) reproduce la Tercera Ley de Kepler, T ∝ a3/2 . Para n = −2, el potencial corresponde a
un oscilador armónico tridimensonal, y la Ec. (3.183) indica que el perı́odo de la
órbita es independiente de su tamaño o amplitud.
3.6. ESTABILIDAD DE ÓRBITAS CIRCULARES Y ÁNGULO DE PRECESIÓN.129
3.6.
Estabilidad de órbitas circulares y ángulo de precesión.
El radio ro de una órbita circular descrita por una partı́cula sujeta a un potencial
efectivo
l2
(3.184)
Vef (r) = V (r) +
2µr2
está dado por la condición
∂Vef
∂r
= 0,
o
fef (ro ) = 0.
(3.185)
ro
Luego, el radio ro satisface la relación
∂V
∂r
l2
= 0.
µro3
−
ro
(3.186)
La órbita circular es estable si ro corresponde al valor mı́nimo del potencial efectivo
Vef (min) = Vef (ro ), es decir,
∂ 2 Vef
>0
(3.187)
∂r2 ro
⇒
∂2V
∂r2
+
ro
3l2
> 0.
µro4
(3.188)
La fuerza central sobre una partı́cula en la órbita circular de radio ro es
f (ro ) = −
∂V
∂r
=−
ro
l2
,
µro3
(3.189)
donde el signo menos indica que la fuerza es atractiva. Luego, en términos de f (ro ), la
condición de estabilidad de una órbita circular de radio ro , Ec. (3.188), se puede expresar
como
−
⇒
∂f
∂r
−
ro
3f (ro )
>0
ro
3f (ro )
∂f
+
ro
∂r
< 0.
(3.190)
ro
Supongamos una oscilación radial de pequeña amplitud η alrededor del radio de la
órbita circular ro , tal que η/ro 1. Esta oscilación para r entre los valores rmin y rmax
puede ocurrir si la energı́a de la partı́cula es E > Vef (ro ).
Consideremos una pequeña desviación del radio ro ,
r = ro + η,
(3.191)
130
CAPÍTULO 3. FUERZAS CENTRALES
Figura 3.22: Oscilaciones radiales alredededor de una órbita circular de radio ro .
y hagamos la expansión de Taylor de Vef (r) alrededor de ro ,
0
>
1 ∂ 2 Vef
∂Vef
(r − ro ) +
Vef (r) = Vef (ro ) + 2 ∂r2
∂r ro
(r − ro )2 + . . .
(3.192)
ro
El primer término en la Ec. (3.192) es una constante, Vef (ro ) = cte, la cual puede ser
suprimida del potencial efectivo, y el segundo término se anula en virtud de la Ec. (3.185).
Luego, podemos escribir hasta segundo orden en el parámetro pequeño η,
Vef (r) =
1 ∂ 2 Vef
2 ∂r2
donde hemos llamado
K≡
(r − ro )2 + . . . ≈
ro
∂ 2 Vef
∂r2
1
Kη 2 ,
2
= cte .
(3.193)
(3.194)
ro
Figura 3.23: Desviación η alrededor de la órbita circular de radio ro en un potencial efectivo
Vef .
La fuerza efectiva correspondiente es
fef (r) = −
∂Vef
∂ 2 Vef
≈−
∂r
∂r2
(r − ro ) = −Kη .
ro
(3.195)
3.6. ESTABILIDAD DE ÓRBITAS CIRCULARES Y ÁNGULO DE PRECESIÓN.131
La ecuación de movimiento, Ec. (3.50),
µr̈ = fef (r)
(3.196)
para la coordenada radial cerca del equilibrio, r = ro + η, resulta en
µη̈ = −Kη ,
(3.197)
puesto que r̈ = r̈0 + η̈ = η̈, (ro = cte). Esta ecuación corresponde a un oscilador armónico,
η̈ + ωr2 η = 0 ,
(3.198)
con frecuencia de oscilación radial
ωr2 =
1 ∂ 2 Vef
K
=
µ
µ ∂r2
.
(3.199)
r0
Se denomina ángulo de precesión ∆θ al ángulo recorrido en el plano del movimento
durante un perı́odo de oscilación radial Tr , y está dado por
∆θ = θ̇ Tr = 2π
donde
θ̇ =
θ̇
,
ωr
l
µr02
(3.200)
(3.201)
es la velocidad angular de la órbita circular. Sustituyendo en la Ec. (3.200), tenemos
!−1/2
1 ∂ 2 Vef
l
.
(3.202)
∆θ = 2π 2
µr0 µ ∂r2 r0
Figura 3.24: Ángulo de precesión ∆θ durante un perı́odo de oscilación radial.
La dirección del perihelio rmin cambia en un ángulo ∆θ durante la precesión de la
órbita. La condición para que ocurra precesión es que ∆θ < 2π, es decir, θ̇ < ωr .
132
CAPÍTULO 3. FUERZAS CENTRALES
Ejemplos.
1. Si f (r) = −krn , (k > 0), determinar los valores del exponente n que producen
órbitas circulares estables.
Tenemos
∂f
= −knrn−1
∂r
La condición de estabilidad Ec. (3.190) da
(3.203)
−3kron−1 − nkron−1 < 0,
n > −3 .
(3.204)
En particular, la fuerza gravitacional (n = −2) y la fuerza de un resorte (Ley de
Hooke) (n = 1) producen órbitas circulares estables.
2. Calcular ∆θ para oscilaciones radiales alrededor de una órbita circular de radio ro
para una partı́cula en el potencial V (r) = g(r) − kr , con k cte.
El potencial efectivo es
l2
2µr2
k
l2
= g(r) − +
,
r
2µr2
Vef = V (r) +
(3.205)
y su derivada es
∂Vef
k
l2
= g 0 (r) + 2 − 3 .
∂r
r
µr
(3.206)
El radio ro satisface
∂Vef
∂r
= g 0 (ro ) +
ro
k
l2
− 3 = 0,
2
ro
µro
(3.207)
luego
1/2
l = µ g 0 (ro )ro3 + kro
.
(3.208)
La frecuencia radial es
ωr2 =
1 ∂ 2 Vef
µ ∂r2
=
ro
1
µ
g 00 (ro ) −
2k
3l2
+ 4
3
ro
µr0
.
(3.209)
Sustituyendo l2 ,
ωr2
=
=
1 00
2k
3
g (ro ) − 3 + 4 (g 0 (ro )ro3 + kro )
µ
ro
ro
k
1
3
g 00 (ro ) + g 0 (ro ) + 3 .
µ
ro
ro
(3.210)
3.6. ESTABILIDAD DE ÓRBITAS CIRCULARES Y ÁNGULO DE PRECESIÓN.133
La velocidad angular es
θ̇ =
0
1/2
1 g (ro )
l
k
.
=
+
µro2
µ
ro
ro3
(3.211)
Luego,
1/2
g 0 (ro )
k
+ 3


ro
r0

= 2π 
0


g
(r
)
k
o
g 00 (ro ) + 3
+ 3
ro
r0
1/2
0
2
g (ro )ro + k
= 2π
.
g 00 (ro )ro3 + 3g 0 (ro )ro2 + k

∆θ = 2π
θ̇
ωr
!
(3.212)
Note que si g = 0 (o g es constante), es decir, si V (r) = −k/r, entonces ∆θ = 2π,
i.e., no hay precesión.
El potencial gravitacional V (r) = −k/r no produce precesión (i.e., ∆θ = 2π).
Una órbita elı́ptica en el problema de Kepler no precesa (mantiene la dirección
del perihelio constante). Si se observa precesión, debe existir alguna perturbación
adicional al potencial V (r) = −k/r. En el sistema solar, la órbita del planeta
Mercurio presenta un ángulo de precesión de 4300 (segundos de arco) por siglo,
cuya explicación fue dada por Einstein usando la Teorı́a de Relatividad General.
Figura 3.25: Precesión de la órbita del planeta Mercurio.
134
CAPÍTULO 3. FUERZAS CENTRALES
Una órbita es cerrada si las coordenadas r y θ se repiten periódicamente. Para que
una órbita sea cerrada, ésta debe ser finita r ∈ [rmin , rmax ].
El ángulo θ en función de r puede calcularse mediante la Ec. (3.32),
Z r
l
dr
s
θ=√
+ θ0 .
(3.213)
2µ r0
2
l
r2 E − V (r) −
2µr2
El ángulo de precesión barrido por el perihelio durante un perı́odo de oscilación radial
rmin → rmax → rmin corresponde a
Z rmax
2l
dr
s
∆θ = √
.
(3.214)
2µ rmin
2
l
r2 E −
− V (r)
2µr2
La órbita se cierra si
∆θ =
m
2π ,
m, n, enteros,
(3.215)
n
es decir, si ∆θ es una fracción racional de 2π. Por otro lado, el ángulo de precesión
está dado por
!
θ̇
∆θ = 2π
,
(3.216)
ωr
luego,
m
θ̇
=
ωr
n
⇒
nTr = mTθ .
(3.217)
Una órbita es cerrada si el cociente θ̇/ωr es un número racional. Después de n perı́odos
radiales (rmin → rmax → rmin ), el perihelio completa m revoluciones (m2π) y la órbita
se cierra (se repite). Si θ̇/ωr es un número irracional, la órbita resultante se denomina
cuasiperiódica y nunca se cierra.
Por ejemplo, si ∆θ = 2π/3, m = 1 y n = 3, la órbita se cierra después de 3 perı́odos
de oscilación radial, Fig. (3.26).
Figura 3.26: La órbita es cerrada si ∆θ/2π es igual a un número racional.
3.7. DISPERSIÓN EN CAMPO DE FUERZA CENTRAL.
135
Teorema de Bertrand:
Las únicas formas funcionales de potenciales V (r) que producen órbitas cerradas son V (r) ∝ 1r (Kepler) y V (r) ∝ r2 (oscilador armónico).
Figura 3.27: Joseph Louis Francois Bertrand (1822-1900).
La mayorı́a de las órbitas observadas en el Universo (sistemas planetarios, estrellas
binarias, etc) son cerradas. Las pequeñas desviaciones detectadas de órbitas cerradas se
pueden atribuir a la presencia de otros cuerpos.
3.7.
Dispersión en campo de fuerza central.
Dispersión (scattering) en un campo de fuerza central consiste en la desviación de la
trayectoria de una partı́cula con E > 0 debida a la interacción con un potencial V (r),
que puede ser atractivo o repulsivo. La partı́cula describe una trayectoria abierta desde
r = ∞ hasta r = rmin y retorna a r = ∞, cambiando la dirección de su velocidad v.
El ángulo entre la dirección de la velocidad inicial y la dirección de la velocidad final se
denomina ángulo de dispersión χ.
En el problema de Kepler, la trayectoria de una partı́cula dispersada con E > 0 describe una órbita hiperbólica. Ésta puede ser de dos tipos:
k
1) Potencial de Kepler atractivo: V = − .
r
Consideremos la ecuación de la órbita, Ec. (3.86),
dV
l2 00
(u + u) = −
,
µ
du
(3.218)
donde u = 1/r. Para V = −ku, esta ecuación resulta en
u00 + u =
µk
,
l2
(3.219)
la cual es una ecuación diferencial inhomogénea ordinaria de segundo orden. Su solución
tiene la forma
u = uh + up ,
(3.220)
136
CAPÍTULO 3. FUERZAS CENTRALES
donde uh es la solución de la ecuación homogénea
u00h + uh = 0 ,
(3.221)
y up es una solución particular. Se puede verificar que
up =
kµ
,
l2
(3.222)
mientras que la ecuación homogénea tiene como solución
uh = A cos(θ − θ0 ) .
(3.223)
Luego, la solucion se puede expresar
u=
1
kµ
= 2 (1 + e cos θ) ,
r
l
(3.224)
con la condición θ = 0 → r = rmin y e = cte. Esta corresponde a la hipérbola
q
= 1 + e cos θ ,
r
donde identificamos
l2
,
q=
µk
s
e=
1+
2El2
> 1,
µk 2
(3.225)
(3.226)
puesto que E > 0. De la Ec. (3.225) obtenemos
q
, para θ = 0 ,
1+e
1
π
→ ∞ para cos θmax = − ⇒ θmax > .
e
2
rmin =
rmax
(3.227)
(3.228)
Figura 3.28: Órbita hiperbólica para V (r) = −k/r.
El potencial atractivo produce una desviación de la trayectoria que encierra al foco.
El ángulo de dispersión χ corresponde al ángulo entre las ası́ntotas: χ = 2θmax − π.
3.7. DISPERSIÓN EN CAMPO DE FUERZA CENTRAL.
137
2) Potencial de Kepler repulsivo (por ejemplo, fuerza de Coulomb entre cargas del
k
mismo signo): V (r) = .
r
∂V
k
f (r) = −
r̂ = 2 r̂
(3.229)
∂r
r
La ecuación de la órbita en este caso es
u00 + u = −
kµ
l2
(3.230)
y su solución es u = uh + up , donde uh es la solucion de la ecuación homogénea,
Ec. (3.221), y
kµ
up = − 2
(3.231)
l
luego, se puede expresar
1
µk
(3.232)
u = = 2 (e cos θ − 1)
r
l
con la condición θ = 0 → r = rmin . Esto es
q
= e cos θ − 1
r
(3.233)
lo que corresponde a un hipérbola que no encierra al foco.
De la Ec. (3.233) obtenemos
q
, para θ = 0 ,
e−1
π
1
⇒ θmax < .
cos θmax =
e
2
rmin =
rmax → ∞ ,
para
(3.234)
(3.235)
La órbita no tiene intersección con el eje y. El potencial repulsivo causa una desviación
de la trayectoria hacia fuera del foco. El ángulo de dispersión es χ = π − 2θmax .
Figura 3.29: Órbita hiperbólica para V (r) = k/r.
138
CAPÍTULO 3. FUERZAS CENTRALES
Ángulo de dispersión en un potencial central.
Consideremos una partı́cula de masa M en el foco y una partı́cula incidente desde
r → ∞ con una masa m M , en una órbita hiperbólica simétrica con respecto al eje x.
Tenemos que µ ≈ m, y asumimos que la energı́a inicial es E = 21 mv02 .
Figura 3.30: Dispersión en un potencial repulsivo V (r).
El ángulo de dispersión χ es el ángulo entre la dirección del vector velocidad inicial
v0 y la dirección del vector velocidad final vf .
Se define el parámetro de impacto b como la distancia perpendicular entre la dirección
de la velocidad inicial v0 de la partı́cula incidente y la ası́ntota adyacente. Los datos
iniciales que se emplean generalmente en problemas de dispersión en campos centrales
son b y E.
Figura 3.31: Parámetro de impacto.
Puesto que la fuerza es central, la magnitud del momento angular es constante y se
puede expresar como
l = rp sin(π − α) = mv0 r sin α = mv0 b
(3.236)
l2 = m2 v02 b2 = 2Emb2
(3.237)
Luego,
donde hemos sustituido v02 = 2E/m. Note que
s
r
2
2Eb
2El2
= 1+
e= 1+
.
mk 2
k
(3.238)
3.7. DISPERSIÓN EN CAMPO DE FUERZA CENTRAL.
139
El ángulo θmax está dado por la integral
θmax = √
l
2m
rmax
Z
dr
r
rmin
r2
l2
E − V (r) −
2mr2
,
(3.239)
sustituyendo l,
Z
∞
dr
θmax = b
rmin
r
V (r) b2
1−
− 2
E
r
r2
.
(3.240)
Conociendo θmax , el ángulo de dispersión χ puede determinarse geométricamente.
Como una aplicación del cálculo del ángulo de dispersión de una partı́cula incidente
en un potencial central, consideremos un potencial de Coulomb repulsivo V (r) = k/r
entre una partı́cula situada en el foco con carga q = Ze y una partı́cula incidente con
carga q 0 = Z 0 e, energı́a E > 0 y parámetro de impacto b. Luego k = qq 0 = ZZ 0 e2 .
La integral Ec. (3.240) con el cambio de variable
u=
1
,
r
du = −
dr
,
r2
(3.241)
se convierte en
Z
um
θmax = b
0
du
r
k
1 − u − b2 u 2
E
,
(3.242)
donde los nuevos lı́mites son u = 0 (r → ∞) y um = 1/rmin .
De la ecuación de una hipérbola en un potencial de Kepler repulsivo, Ec. (3.233),
tenemos
q
e−1
=e−1
rmin =
(3.243)
q um
(3.244)
2
l
um = e − 1
mk
2Eb2
1+
um = e
k
La integral en la Ec. (3.242) da
(3.245)
(3.246)
140
CAPÍTULO 3. FUERZAS CENTRALES
θmax

um
2b2 E
 1+
u 


k

s
cos−1 

2 

2bE 
1+
k
0

=


0
−1 
= cos (1) − cos  s

1
:
−1
1+




2  .
2bE 
(3.247)
k
Luego,
1
cos θmax = s
1+
1
2 ≡ e ,
2bE
(3.248)
k
que es el mismo resultado que se obtiene directamente de la órbita hiperbólica correspondiente a un potencial de Kepler repulsivo, Ec. (3.235). Podemos obtener
"
2 #
2bE
2
=1
cos θmax 1 +
k
2
2bE
1
=
−1
2
k
cos θmax
2
2bE
= tan2 θmax
k
2bE
.
(3.249)
tan θmax =
k
El ángulo de dispersión χ para un potencial de Coulomb repulsivo es
χ = π − 2θmax
⇒
θmax =
π χ
− .
2
2
(3.250)
Luego,
tan θmax =
χ
sin(π/2 − χ/2)
cos(χ/2)
=
= cot
.
cos(π/2 − χ/2)
sin(χ/2)
2
Sustituyendo en Ec. (3.249), obtenemos
χ 2bE
cot
=
2
k
(3.251)
(3.252)
lo que permite expresar el ángulo de dispersión en función de datos iniciales b, E, y de
la constante k del potencial.
Consideremos los casos lı́mites:
3.7. DISPERSIÓN EN CAMPO DE FUERZA CENTRAL.
141
χ
1. b = 0 ⇒ cot
= 0 ⇒ χ = π. Choque frontal; la partı́cula retrocede completa2
mente.
χ
→ ∞ ⇒ χ = 0. No hay dispersión; la partı́cula pasa muy lejos
2. b → ∞ ⇒ cot
2
del centro repulsivo.
Sección eficaz de dispersión.
Generalmente se emplea un haz de partı́culas idénticas en experimentos de dispersión.
Las diferentes partı́culas en el haz tienen distintos parámetros de impacto con respecto
al centro de fuerza y, por lo tanto, son dispersadas con diferentes ángulos χ.
Se define la intensidad del flujo I como el número de partı́culas incidentes por unidad
de área y por unidad de tiempo,
# part.
I=
.
(3.253)
A×t
Figura 3.32: Flujo de partı́culas incidentes sobre un blanco situado en f.
Las partı́culas en el haz incidente que poseen un mismo valor de b son dispersadas
en un cono con vértice en el foco f y ángulo de vértice χ, puesto que el problema posee
simetrı́a axial. Este cono encierra un ángulo sólido Ω (Fig. (3.33)).
Figura 3.33: Dispersión en ángulo sólido dΩ.
El diferencial de ángulo sólido dΩ es
dΩ =
dA
(2πr sin χ)(rdχ)
=
= 2π sin χdχ.
r2
r2
(3.254)
142
CAPÍTULO 3. FUERZAS CENTRALES
Sea n(Ω) el número partı́culas que son desviadas dentro del ángulo sólido Ω por
unidad de tiempo. Se define la sección eficaz de dispersión σ(Ω) como la fracción de
partı́culas incidentes que son desviadas dentro del ángulo sólido Ω por unidad de tiempo,
σ(Ω) =
n(Ω)
.
I
(3.255)
Note que la sección eficaz posee unidades de área. Luego, la expresión
dσ(Ω) = σ(Ω) dΩ ,
(3.256)
corresponde a la fracción de partı́culas dispersadas por unidad de tiempo en dΩ; es decir,
representa la probabilidad de dispersión en un diferencial de ángulo sólido dΩ.
La conservación del número de partı́culas por unidad de tiempo implica que
# part. dispersadas en ángulo dΩ
# part. incidentes entre b y b + db
=
.
t
t
(3.257)
Esto es,
I2πb db
2πb db
= Iσ(Ω) dΩ,
= σ(Ω)2π sin χ dχ,
(3.258)
luego, la sección eficaz σ(Ω) en función del ángulo de dispersión χ es
σ(χ) =
b
db
,
sin χ dχ
(3.259)
donde se toma el modulo de la derivada para garantizar que σ(χ) sea positivo, puesto
que representa una probabilidad.
Como una aplicación de la Ec. (3.259), consideremos el experimento de Rutherford
que condujo al descubrimiento del núcleo atómico. En este caso k = ZZ 0 e2 , donde el
núcleo, que actúa como centro dispersor, tiene una carga Ze y las partı́culas incidentes
son partı́culas α (núcleos de helio), con carga Z 0 = 2e.
Figura 3.34: Experimento de Rutherford.
De la Ec. (3.252), tenemos
b=
χ
k
cot
,
2E
2
(3.260)
3.7. DISPERSIÓN EN CAMPO DE FUERZA CENTRAL.
143
luego 1 ,
χ
k
db
=
csc2
.
dχ
4E
2
(3.261)
Sustituyendo en la Ec. (3.259),2
σ(χ) =
k 2 cot(χ/2) csc2 (χ/2)
1
=
8E 2 2 sin(χ/2) cos(χ/2)
4
k
2E
2
csc4
χ
2
,
(3.262)
la cual es la sección eficaz encontrada experimentalmente por Rutherford 3 .
Note que σ(χ) es grande para χ → 0; lo que indica que la mayorı́a de las partı́culas
α pasan sin desviarse mucho. Sin embargo, para χ = π, σ(π) alcanza su valor mı́nimo,
no nulo; es decir, existe una probabilidad pequeña de observar partı́culas α dispersadas
completamente hacia atrás.
Figura 3.35: Sección eficaz de dispersión en función de χ en el experimento de Rutherford.
Figura 3.36: Ernest Rutherford (1871-1937).
d cot x
= − csc2 x.
dx
2 Usamos sin χ = 2 sin χ cos χ .
2
2
3 Una expresión similar para σ(χ) se obtiene en Mecánica Cuántica con el potencial V (r) = k/r.
1 Usamos
144
3.8.
CAPÍTULO 3. FUERZAS CENTRALES
El vector de Laplace-Runge-Lenz.
Consideremos una partı́cula de masa m sujeta a la fuerza central f (r) = f (r)r̂.
Entonces,
dp
r
= f (r) = f (r)r̂ = f (r) .
(3.263)
dt
r
Consideremos la derivada de la cantidad vectorial p × l,
0
d
dp
dl
dp
(p × l) =
×l+ ×p=
× (r × mv) ,
dt
dt
dt
dt
puesto que l es constante en un campo de fuerza central. Luego,
d
f (r)
dr
(p × l) = m
r× r×
.
dt
r
dt
(3.264)
(3.265)
Usando la identidad vectorial
tenemos
a × (b × c) = b(a · c) − c(a · b) ,
(3.266)
f (r)
dr
dr
d
(p × l) = m
r r·
− r2
.
dt
r
dt
dt
(3.267)
Esta expresión puede ser simplificada notando que
d
dr
d
dr
(r · r) = 2r ·
= (r2 ) = 2r ,
dt
dt
dt
dt
(3.268)
d
dr
dr
(p × l) = mf (r) r − r
.
dt
dt
dt
(3.269)
luego,
Esta expresión puede simplicarse aún más si notamos que
d r dr 1
r dr
=
− 2
,
dt r
dt r
r dt
esto es
−r2
d r
dr
dr
=r
−r
,
dt r
dt
dt
(3.270)
(3.271)
luego,
d
d r
(p × l) = −mf (r)r2
.
dt
dt r
Consideremos la fuerza gravitacional en el problema de Kepler, f (r) = −
d
d r
(p × l) = mk
,
dt
dt r
(3.272)
k
. Entonces,
r2
(3.273)
3.8. EL VECTOR DE LAPLACE-RUNGE-LENZ.
145
es decir,
d
(p × l − mkr̂) = 0
dt
(3.274)
A ≡ p × l − mkr̂ = cte.
(3.275)
lo cual implica que el vector
El vector A se denomina vector de Laplace-Runge-Lenz y constituye otra cantidad conservada en el problema de Kepler.
Figura 3.37: Vector de Laplace-Runge-Lenz en varias posiciones sobre una órbita Kepleriana.
De la definición de A se puede ver que
A · l = 0,
(3.276)
puesto que l es perpendicular a p × l y a r. Luego, de la ortogonalidad entre A y l, se
deriva que el vector A debe yacer sobre el plano del movimiento, el cual es perpendicular
a la dirección de l. La dirección de A es contante y apunta en la dirección del radio vector
del perihelio de la órbita. Luego, en el problema de Kepler, la dirección del perihelio se
mantiene constante; lo cual significa que no hay precesión.
Figura 3.38: Ángulo entre r y la dirección fija de A.
Si θ es el ángulo entre r y la dirección fija de A, el producto escalar de r y A da
r · A = Ar cos θ = r · (p × l) − mkr .
(3.277)
146
CAPÍTULO 3. FUERZAS CENTRALES
El producto triple es
r · (p × l) = l · (r × p) = l2 ,
(3.278)
Ar cos θ = l2 − mkr
(3.279)
l2
A
= mk 1 +
cos θ ,
r
mk
(3.280)
A
q
=1+
cos θ ,
r
mk
(3.281)
luego,
o sea,
la cual se puede escribir como
donde q = l2 /mk. Esto es, la ecuación de la órbita en coordenadas polares puede ser
deducida directamente a partir del vector de Laplace-Runge-Lenz. Comparando con la
ecuación de la órbita para el problema de Kepler, Ec. (3.101), vemos que la magnitud de
A es
A = mke .
(3.282)
La magnitud de A también puede expresarse como
2El2
A2 = m2 k 2 e2 = m2 k 2 1 +
= m2 k 2 + 2mEl2 .
mk 2
(3.283)
Luego, la dirección del vector A provee una nueva cantidad conservada en el problema
de Kepler, pero su magnitud es dependiente de otras integrales del movimiento, l y E.
Figura 3.39: Izquierda: Pierre-Simon Laplace (1749 -1827). Centro: Carl Runge (1856-1927).
Derecha: Wilhem Lenz (1888-1957).
El sistema de dos cuerpos sujetos a la fuerza gravitacional que varı́a como el inverso
del cuadrado de la distancia constituye un sistema superintegrable, pues existen seis
grados de libertad (tres para cada partı́cula) y siete cantidades conservadas: las tres
componentes de la velocidad del centro de masa vcm , la dirección del momento angular
l, su magnitud l, la energı́a E y la dirección del vector de Laplace-Runge-Lenz A.
3.9. PROBLEMAS
3.9.
147
Problemas
1. La velocidad angular máxima de cierto satélite alrededor del Sol es cuatro veces su
velocidad angular mı́nima.
a) Encuentre la excentricidad de la órbita del satélite.
b) Determine en cuánto debe disminuir su energı́a para caer en una órbita circular
con el mismo momento angular que su órbita original.
2. Dos partı́culas se mueven una alrededor de la otra en órbitas circulares con perı́odo
T , bajo la influencia de su mutua atracción gravitacional. Suponga que el movimiento de ambas partı́culas es detenido repentinamente en un instante dado, y que
las partı́culas se dejan caer una hacia la otra. Encuentre el tiempo que tardan en
chocar.
3. Una partı́cula de masa m se mueve sin fricción sobre la superficie z = r2 (coordenadas cilı́ndricas), donde z es la dirección vertical.
a) Encuentre la condición de estabilidad de una órbita circular de radio ro sobre
esta superficie.
b) Encuentre la frecuencia de pequeñas oscilaciones radiales alrededor de esta órbita
circular.
4. La sonda espacial Mariner IV fue diseñada para viajar de la Tierra a Marte en una
órbita elı́ptica alrededor del sol, con perihelio igual al radio de la órbita terrestre,
RT = 1UA, y afelio igual al radio de la órbita de Marte, RM = 1,5UA. Ambas
órbitas pueden considerarse aproximadamente circulares. Desprecie los efectos gravitacionales de ambos planetas sobre el Mariner IV .
a) ¿Cuántos meses tardó el Mariner IV en llegar a Marte?.
b) Calcule con qué velocidad relativa a la Tierra debió ser lanzado el Mariner IV
y con cuál dirección.
5. Un cometa de masa m se mueve en una trayectoria parabólica alrededor del sol y
cruza la órbita terrestre. Suponga que la órbita terrestre es circular y que está en el
mismo plano que la trayectoria del cometa. Encuentre el máximo número de dı́as
que el cometa puede permanecer dentro de la órbita de la Tierra.
6. Una partı́cula se mueve en el potencial V (r) =
a
b
+ 2.
r
r
a) Determine la órbita de la partı́cula.
b) Dibuje esquemáticamente el potencial efectivo para este sistema.
7. Una partı́cula con momento angular l describe la órbita r = a(1 + cos θ).
a) Encuentre la fuerza central que produce esta órbita.
b) Calcule el perı́odo de esta órbita.
c) Determine la energı́a mı́nima que debe tener la partı́cula para escapar de esta
órbita.
148
CAPÍTULO 3. FUERZAS CENTRALES
8. Una partı́cula de masa m se mueve en un cı́rculo de radio R bajo la influencia de
la fuerza de Yukawa
k
f (r) = − 2 e−r/a .
r
a) Determine la condición sobre la constante a tal que el movimento circular sea
estable.
b) Calcule el momento angular de la partı́cula.
c) Calcule la frecuencia de pequeñas oscilaciones radiales alrededor de esta órbita
circular.
9. Encuentra la relación entre la distancia radial y el tiempo para un asteroide con
energı́a igual a cero, sujeto a la atracción solar.
10. Un planeta de masa m gira alrededor de una estrella de masa M . La estrella
está rodeada de un plasma de densidad uniforme ρ, que alcanza a envolver la
órbita del planeta.
a) Calcule el perı́odo de una órbita circular estable de radio r = ro para el planeta.
b) Calcule el momento angular de esta órbita circular.
c) Encuentre el ángulo de precesión, si la órbita circular es ligeramente perturbada.
11. Una partı́cula describe la órbita r = aθ2 , con a = constante. Encuentre la fuerza
que causa esta órbita.
12. Se observa que un cometa está a 108 km del Sol y se mueve con una velocidad de
50,9 km/s que forma un ángulo de 45o con el radio vector dirigido desde el Sol.
a) Determine los parámetros e y q de la órbita del cometa.
b) Calcule el ángulo al cual fue observado el cometa.
c) Calcule el perı́odo del cometa.
13. Una partı́cula se mueve en el potencial V (r) = a/rp + b/rq , donde a y b son
constantes.
a) Encuentre los valores de p y q que producen la órbita r = kθ2 , con k constante.
b) Encuentre los valores de las constantes a y b en ese caso.
c) Determine y dibuje el potencial efectivo para esta órbita.
14. Un satélite se encuentra en una órbita circular de radio ro alrededor de la Tierra.
En un instante dado, los cohetes propulsores incrementan la velocidad tangencial
del satélite en un 20 %.
a) Calcule la excentricidad de la órbita resultante.
b) Calcule el apogeo de la órbita resultante del satélite.
15. Una partı́cula de masa m gira en un cı́rculo de radio a, sometida a la fuerza central
f (r) = −kr (oscilador armónico esférico).
a) Encuentre la frecuencia de pequeñas oscilaciones radiales alrededor de la óbita
circular, si ésta es ligeramente perturbada.
b) Calcule el ángulo de precesión durante una oscilación radial.
3.9. PROBLEMAS
149
16. Dos partı́culas con masas m1 y m2 se sueltan en reposo cuando están separadas
por una distancia R. Calcule las velocidades de las partı́culas cuando la separación
entre ellas es r.
k
17. Una partı́cula de masa m se mueve en el potencial V (r) = − e−r/a , donde k > 0
r
y a > 0 son constantes.
a) Encuentre la condición de estabilidad de una órbita circular de radio ro .
b) Determine el perı́odo de pequeñas oscilaciones radiales alrededor de esta órbita
circular.
18. Imagine una “escalera espacial“ que consiste en satélite terrestre formado por una
larga varilla uniforme alineada a lo largo de la dirección radial desde el centro de la
Tierra y colocada en órbita estacionaria ecuatorial. El extremo inferior de la varilla
alcanza a tocar la superficie de la Tierra. Calcule la longitud de la varilla.
19. La trayectoria de una partı́cula con momento angular l en un campo central se
puede describir por r = a cos θ.
a) Encuentre el potencial asociado a esta trayectoria.
b) Si la partı́cula se encuentra a una distancia a del centro de atracción, calcule el
tiempo que la partı́cula tarda en caer al centro.
c) Determine la energı́a total de la partı́cula.
20. Una partı́cula de masa m y momento angular l se mueve en el potencial V = −k/r2 .
a) Encuentre la condición para que la partı́cula caiga al centro de atracción.
b) Determine la órbita descrita por la partı́cula para alcanzar el centro.
21. Una partı́cula se mueve en una órbita dada por r = R e−αθ , donde R y α son
constantes.
a) Encuentre la fuerza que causa esta órbita.
b) Si la partı́cula se encuentra inicialmente a una distancia R del centro de atracción, calcule el tiempo que tarda en caer al centro.
c) ¿Cuántas revoluciones completa la partı́cula hasta alcanzar el centro?.
22. La Tierra se mueve en una órbita casi circular de radio 1,5 × 108 km alrededor
del Sol con una velocidad de 30 km/s. Se observa que la velocidad de un cometa
alrededor del Sol es 10 km/s en su perihelio y 10 km/s en su afelio.
a) Calcule la distancia del afelio para el cometa.
b) Calcule el perı́odo del cometa alrededor del Sol.
150
CAPÍTULO 3. FUERZAS CENTRALES
23. Una partı́cula describe una órbita circular bajo la influencia de una fuerza central
atractiva f (r) = −k/rn , dirigida hacia un punto fijo en el cı́rculo.
a) Demuestre que la fuerza debe variar como el inverso de la quinta potencia de la
distancia, es decir, n = 5.
b) Demuestre que la energı́a total de la partı́cula es cero.
c) Encuentre el perı́odo del movimiento.
24. Calcule el ángulo de precesión del perihelio de una partı́cula con momento angular l
y masa m moviéndose alrededor de una estrella de masa M que produce el potencial
GM m
V (r) = −
+ 2 , donde es una constante muy pequeña.
r
r
25. Calcule la sección eficaz diferencial σ(χ) para dispersión de partı́culas con velocidad
k
vo en el potencial V (r) = 2 .
r
26. La sección eficaz total de dispersión σT se define como
Z
Z π
σT = σ(Ω)dΩ = 2π
σ(χ)dχ,
0
donde χ es el ángulo de dispersión. Calcule σT para partı́culas con energı́a E en el
potencial
(
k k
− , r < a.
V (r) =
r
a
0,
r > a.
Capı́tulo 4
Oscilaciones pequeñas
4.1.
Oscilaciones en una dimensión.
Consideremos un sistema con un grado de libertad, o reducible a un problema unidimensional q. La energı́a total se puede expresar como
E=
1 2
aq̇ + Vef (q) ,
2
(4.1)
donde a representa parámetros constantes del sistema, como la masa de la partı́cula, etc,
y Vef (q) corresponde a un potencial efectivo. El Lagrangiano correspondiente es
L=
1 2
aq̇ − Vef (q) ,
2
(4.2)
La ecuación de movimiento para q, obtenida del Lagrangiano, se puede escribir como
aq̈ = fef (q) ,
(4.3)
donde la fuerza efectiva fef (q) es
fef (q) = −
∂Vef
.
∂q
(4.4)
La posición de equilibrio q0 de la coordenada q está dada por la condición
fef (q0 ) = 0 ⇒
∂Vef
∂q
= 0.
(4.5)
q0
El equilibrio es estable si Vef (q0 ) corresponde a un mı́mino del potencial efectivo Vef (q);
es decir,
∂Vef2
> 0.
(4.6)
∂q 2 q0
151
152
CAPÍTULO 4. OSCILACIONES PEQUEÑAS
Figura 4.1: Pequeño desplazamiento η alrededor de la posición de equilibrio estable q0 .
Consideremos un desplazamiento pequeño η alrededor de un punto de equilibrio estable q0 ,
η
q = q0 + η,
con
1.
(4.7)
q0
El valor del potencial Vef (q) = Vef (q0 + η) cerca del punto de equilibrio q0 se puede
obtener mediante una expansión de Taylor de Vef (q) alrededor de q = q0 ,
0
>
1 ∂ 2 Vef
∂Vef
Vef (q) = Vef (q0 + η) = V (q0 ) + η +
2 ∂q 2
∂q q0
η2 + · · · ,
(4.8)
q0
donde Vef (q0 ) es un valor constante y el segundo término se anula debido a la condición
de equilibrio Eq. (4.5). Luego, despreciando términos muy pequeños en potencias de η de
orden superior al cuadrático, se puede escribir el potencial cerca del punto de equilibrio
Vef (q) = Vef (q0 + η) =
1
Kη 2 ,
2
(4.9)
donde η = q − q0 es el desplazamiento desde el equilibrio y
K≡
∂ 2 Vef
∂q 2
= constante > 0 .
(4.10)
q0
Luego, cerca del valor de equilibrio q0 , el potencial corresponde al de un oscilador armónico. La ecuación de movimiento para η se obtiene sustituyendo q = q0 + η en la Ec. (4.3),
aη̈
aη̈
∂Vef
∂Vef ∂η
(q0 + η) = −
∂q
∂η ∂q
= −Kη.
= −
(4.11)
Entonces, la ecuación de movimiento para el pequeño desplazamiento η es
η̈ + ω 2 η = 0,
(4.12)
4.1. OSCILACIONES EN UNA DIMENSIÓN.
donde
ω2 ≡
K
1 ∂ 2 Vef
=
a
a ∂q 2
153
(4.13)
q0
es la frecuencia angular de las pequeñas oscilaciones alrededor de q0 .
La Eq. (4.12) tiene solución
η(t) = c1 cos ωt + c2 sin ωt = A cos(ωt + ϕ),
(4.14)
donde A es la amplitud de las oscilaciones y ϕ es la fase. En general, se emplea la notación
compleja
ei(ωt+ϕ) = cos(ωt + ϕ) + i sin(ωt + ϕ).
(4.15)
Luego,
η(t) = Re[Aei(ωt+ϕ) ] = Re(ceiωt ),
(4.16)
donde c = Aeiϕ es la amplitud compleja. Se acostumbra escribir simplemente
η(t) = ceiωt ,
(4.17)
sobreentendiéndose que se toma la parte real de esta expresión para η. Las soluciones
de ecuaciones de movimiento para sistemas oscilatorios escritas en forma compleja son
convenientes porque la expresión eix no cambia su forma bajo integración o diferenciación.
Ejemplo.
1. Encontrar la frecuencia de pequeñas oscilaciones alrededor de un radio de equilibrio
r0 para una partı́cula de masa m moviéndose sobre un cono vertical con ángulo de
vértice α.
Figura 4.2: Pequeñas oscilaciones alrededor de radio r0 para una partı́cula sobre un cono.
El Lagrangiano de este sistema fue calculado en los capı́tulos anteriores. La energı́a
cinética es
1
1
T = m(ẋ2 + ẏ 2 + ż 2 ) = m(ṙ2 csc2 α + r2 θ̇2 ) .
(4.18)
2
2
154
CAPÍTULO 4. OSCILACIONES PEQUEÑAS
La energı́a potencial es
V = mgz = mgr cot α .
(4.19)
El Lagrangiano es
L=T −V =
1
m(ṙ2 csc2 α + r2 θ̇2 ) − mgr cot α .
2
La ecuación de movimiento para θ es
d ∂L
∂L
= 0.
−
dt ∂ θ̇
∂θ
(4.20)
(4.21)
El ángulo θ es una coordenada cı́clica,
∂L
=0
∂θ
⇒
∂L
= mr2 θ̇ = lz = cte.
∂ θ̇
(4.22)
La ecuación para r es
d
dt
∂L
∂ ṙ
−
∂L
= 0,
∂r
(4.23)
la cual resulta en
mr̈ csc2 α − mrθ̇2 + mg cot α = 0 .
Sustituyendo θ̇ =
(4.24)
lz
, podemos expresar la Ec. (4.24) como
mr2
mr̈ =
lz2
sin2 α − mg sin α cos α ,
mr3
(4.25)
la cual tiene la forma de un problema unidimensional Ec. (4.3), con m = a, y donde
podemos identificar la fuerza efectiva
fef (r) = −
∂Vef
l2
= z 3 sin2 α − mg sin α cos α .
∂r
mr
(4.26)
La posición de equilibrio ro está dada por
fef (r0 ) = −
∂Vef
∂r
=0
(4.27)
r0
lz2
cos α
=g
3
2
m r0
sin α
2
l tan α
.
⇒ r03 = z 2
m g
⇒
(4.28)
(4.29)
El potencial efectivo es
Vef (r) =
lz2 sin2 α
+ mgr sin α cos α ,
2mr2
(4.30)
4.2. OSCILACIONES DE SISTEMAS CON VARIOS GRADOS DE LIBERTAD. 155
luego,
∂ 2 Vef
∂r2
=
r0
3mg
3lz2 sin2 α
=
sin α cos α ≡ K .
mr04
r0
(4.31)
La frecuencia angular para pequeñas oscilaciones alrededor de r0 es
ω2 =
K
1 ∂ 2 Vef
=
m
m ∂r2
=
r0
3g
sin α cos α,
r0
(4.32)
y el movimiento de la pequeña oscilación η = r − r0 se puede expresar en la forma
de la Ec. (4.12).
4.2.
Oscilaciones de sistemas con varios grados de libertad.
Consideremos un sistema con s grados de libertad cuya energı́a potencial es V (q1 , . . . , qs ).
La configuración de equilibrio de este sistema corresponde a un conjunto de valores
{q0i : i = 1, . . . , s}; donde los q0i están dados dados por las s condiciones
∂V
∂qi
= 0,
i = 1, 2, . . . , s.
(4.33)
q0i
La configuración de equilibrio {q0i } es estable si los valores q0i , ∀i, corresponden a un
mı́nimo de V (q1 , q2 , . . . , qs ):
∂2V
> 0.
(4.34)
∂qi2 q0i
Figura 4.3: Potencial V (q1 , q2 ), mostrando las posiciones de equilibrio (q01 , q02 ).
156
CAPÍTULO 4. OSCILACIONES PEQUEÑAS
Consideremos pequeñas oscilaciones alrededor de las posiciones de equilibrio estable
q0i . La pequeña desviación del equilibrio correspondiente a la coordenada qi la denotaremos por ηi ,
ηi
1.
(4.35)
qi = q0i + ηi ,
con
q0i
El valor del potencial V (q1 , . . . , qs ) cerca de la configuración de equilibrio se puede
obtener mediante la expansión de Taylor en varias variables de V (q1 , . . . , qs ) alrededor
de {q0i }, con qi = q0i + ηi ,
0
2 >
X ∂V 1 XX
∂ V
ηi +
ηi ηj + · · · ,
V (q1 , . . . , qs ) = V (q01 , . . . , q0s ) +
∂q
2
∂q
i ∂qj qi0 ,qj0
i
j
i i q0i
(4.36)
donde V (q01 , . . . , q0s ) es un valor constante. Luego, cerca de la configuración de equilibrio
qi = q0i + ηi , el potencial se puede expresar como
V (q1 , . . . , qs ) = V (η1 , . . . , ηs ) =
1X
Vij ηi ηj ,
2 i,j
(4.37)
donde definimos los coeficientes
Vij ≡
∂2V
∂qi ∂qj
.
(4.38)
(q0i ,q0j )
Estos coeficientes son simétricos, i.e., Vij = Vji , y dependen de propiedades locales del
potencial cerca de la configuración de equilibrio y, por tanto, son caracterı́sticos de cada
sistema.
La energı́a cinética del sistema cerca de la configuración de equilibrio también puede
expresarse en función de los pequeños desplazamientos ηi ,
T =
0
0
1X
1X
> + η̇i )(q̇0j
> + η̇j ) ,
Tij q̇i q̇j =
Tij (
q̇0i
2 i,j
2 i,j
(4.39)
(los valores q0i son constantes). Luego,
T =
1X
Tij η̇i η̇j ,
2 i,j
(4.40)
donde los coeficientes Tij = Tji representan parámetros constantes que dependen de
propiedades del sistema (masas, longitudes, etc.).
El Lagrangiano del sistema cerca de la configuración de equilibrio es
L=T −V =
1X
(Tij η̇i η̇j − Vij ηi ηj )
2 i,j
i, j = 1, 2, . . . , s.
(4.41)
4.2. OSCILACIONES DE SISTEMAS CON VARIOS GRADOS DE LIBERTAD. 157
La ecuación de movimiento para una pequeña desviación del equilibrio ηk es
d ∂L
∂L
−
= 0.
dt ∂ η̇k
∂ηk
(4.42)
Evaluamos los términos


X
X
1X
1 X
Tij (δik η̇j + δjk η̇i ) =
Tkj η̇j +
Tik η̇i  =
Tkj η̇j ,
2 i,j
2
j
i
j
∂L
∂ η̇k
=
∂L
∂ηk
= −
X
1X
(Vij δik ηj + Vij δjk ηi ) = −
Vkj ηj .
2 i,j
j
Luego, la ecuación de movimiento Ec. (4.42) para la desviación ηk queda
X
(Tkj η̈j + Vkj ηj ) = 0 ,
(4.43)
j
donde cada término de la suma tiene la forma de una ecuación para un oscilador armónico.
Existen s ecuaciones de movimiento de este tipo para el sistema, k = 1, 2, . . . , s. La
solución de la Ec. (4.43) tiene la forma
ηj (t) = aj eiωt ,
(4.44)
donde ω es la frecuencia del movimiento oscilatorio. Sustituyendo en la Ec. (4.43), junto
con η̈j = −ω 2 aj eiωt , obtenemos
X
(−ω 2 Tkj + Vkj )aj eiωt = 0
j
⇒
X
(Vij − ω 2 Tij )aj = 0 ,
(4.45)
j
donde hemos renombrado el ı́ndice k → i. El conjunto de ecuaciones Ec. (4.45) para
los grados de libertad i = 1, 2, . . . , s constituye un sistema de s ecuaciones lineales homogéneas para los coeficientes aj , con j = 1, 2, . . . , s. Como ejemplo, consideremos el
sistema Ec. (4.45) con s = 2,
i = 1 : (V11 − ω 2 T11 )a1 + (V12 − ω 2 T12 )a2 = 0
i = 2 : (V21 − ω 2 T21 )a1 + (V22 − ω 2 T22 )a2 = 0.
(4.46)
En general, existe solución no trivial ηj (t) 6= 0 si aj 6= 0, ∀j. Esta condición se
cumple para los coeficientes a1 , . . . , as en el sistema Ec. (4.45) si el determinante de estos
coeficientes es cero:
det Vij − ω 2 Tij = 0 .
(4.47)
La condición Ec. (4.47) constituye una ecuación algebraica de grado s para ω 2 , que se
denomina ecuación caracterı́stica. Las s raı́ces de la ecuación caracterı́stica dan como
158
CAPÍTULO 4. OSCILACIONES PEQUEÑAS
resultado s valores para las frecuencias ω 2 , llamadas frecuencias caracterı́sticas del sistema, que corresponden a los diferentes modos de oscilaciones del sistema alrededor de
su configuración de equilibrio.
Las frecuencias ω deben ser reales para que las soluciones tengan sentido fı́sico. Si
alguna ω es compleja, entonces se puede escribir como ω = a + bi y, por lo tanto,
eiωt = eiat e−bt . Como consecuencia, la solución η(t) ∝ e−bt crece o decrece en el tiempo
y la energı́a no se conservarı́a, E ∝ e−bt .
Ejemplos.
1. Encontrar las frecuencias de un sistema de dos partı́culas de masa m conectadas
mediante resortes horizontales, cada uno con constante k y longitud en reposo l.
El sistema posee dos grados de libertad (s = 2). Consideremos pequeños desplazamientos del equilibrio η1 y η2 , con xi = x0i + ηi , como se muestra en la Fig. (4.4).
Figura 4.4: Oscilaciones de dos partı́culas conectadas mediante resortes horizontales.
La energı́a cinética en función de los pequeños desplazamientos del equilibrio es
T =
1
1
1X
mη̇12 + mη̇22 =
Tij η̇i η̇j
2
2
2 i,j
(4.48)
donde identificamos los coeficientes
T11 = m,
T22 = m,
T12 = T21 = 0.
(4.49)
La energı́a potencial del sistema en términos de los pequeños desplazamientos del
equilibrio es
V =
1
1
1 2 1 0
kη + k(l − l)2 + kη22 = k[η12 + (η2 − η1 )2 + η22 ] ,
2 1 2
2
2
(4.50)
donde hemos usado la siguiente relación, observando la Fig. (4.4),
l0 − l = (x2 − x1 ) − (x02 − x01 ) = η2 − η1 .
(4.51)
4.2. OSCILACIONES DE SISTEMAS CON VARIOS GRADOS DE LIBERTAD. 159
Luego,
V =
1
1X
[2kη12 + 2kη22 − 2kη1 η2 ] =
Vij ηi ηj ,
2
2 i,j
(4.52)
donde podemos identificar los los coeficientes
V11 = 2k,
V12 = V21 = −k.
V22 = 2k,
(4.53)
La condición Ec. (4.47) para este sistema es
V11 − ω 2 T11
V21 − ω 2 T21
V12 − ω 2 T12
V22 − ω 2 T22
= 0.
(4.54)
Sustituyendo los coeficientes Tij y Vij , tenemos
2k − ω 2 m
−k
−k
2k − ω 2 m
= 0.
(4.55)
La ecuación caracterı́stica resultante es
(2k − ω 2 m)2 − k 2 = 0,
2k − ω 2 m = ±k,
2k ± k
⇒ ω2 =
.
m
(4.56)
(4.57)
(4.58)
Luego,
r
ω1 =
3k
,
m
r
ω2 =
k
.
m
(4.59)
2. Encontrar las frecuencias para pequeñas oscilaciones de un péndulo doble.
Figura 4.5: Péndulo doble.
Las energı́as cinética y potencial de este sistema fueron calculadas en el Cap. 1 en
términos de las coordenadas generalizadas θ1 y θ2 ,
T =
1
1
(m1 + m2 )l12 θ̇12 + m2 l22 θ̇22 + m2 l1 l2 θ̇1 θ̇2 cos(θ1 − θ2 ) ,
2
2
(4.60)
160
CAPÍTULO 4. OSCILACIONES PEQUEÑAS
V = −(m1 + m2 )gl1 cos θ1 − m2 gl2 cos θ2 .
(4.61)
Las posiciones de equilibrio están dadas por
∂V
∂θ1
= 0,
θ01
∂V
∂θ2
⇒
=0
θ01 = 0,
θ02 = 0.
(4.62)
θ02
La energı́a potencial es mı́nima para estos valores de las coordenadas en el equilibrio.
Consideremos pequeñas oscilaciones alrededor de la configuración de equilibrio,
θ1 = θ01 + η1 = η1 ,
θ2 = θ02 + η2 = η2 ,
(4.63)
donde η1 y η2 son pequeños. Luego, cerca del equilibrio,
cos θ1 = cos η1 ' 1 −
η12
,
2
η22
,
2
(4.64)
1
2
(η1 − η2 ) .
2
(4.65)
cos θ2 = cos η2 ' 1 −
cos(θ1 − θ2 ) = cos(η1 − η2 ) ' 1 −
Manteniendo términos hasta segundo orden, obtenemos
T =
1
1
(m1 + m2 )l12 η̇12 + m2 l22 η̇22 + m2 l1 l2 η̇1 η̇2 ,
2
2
1
1
(m1 + m2 )gl1 η12 + m2 gl2 η22 ,
2
2
donde se han suprimido términos constantes en V .
V =
(4.66)
(4.67)
Comparando con las formas generales cerca del equilibrio, tenemos
T =
1X
Tij η̇i η̇j ,
2 i,j
V =
1X
Vij η1 ηj ,
2 i,j
(4.68)
obtenemos los coeficientes
T11 = (m1 + m2 )l12 , T22 = m2 l22 , T12 = T21 = m2 l1 l2
V11 = (m1 + m2 )gl1 , V22 = m2 gl2 , V12 = V21 = 0.
(4.69)
Los coeficientes Vij también pueden obtenerse directamente como
V11
=
V22
V12
=
∂2V
∂θ12
∂2V
∂θ22
= V21 =
= (m1 + m2 )gl1 ,
(4.70)
= m2 gl2 ,
(4.71)
(θ01 ,θ02 )
(θ01 ,θ02 )
2
∂ V
∂θ1 ∂θ2
= 0.
(θ01 ,θ02 )
(4.72)
4.3. MODOS NORMALES.
161
La condición Ec. (4.47) para estos coeficientes es
V11 − ω 2 T11
−ω 2 T21
−ω 2 T12
V22 − ω 2 T22
= 0.
(4.73)
La ecuación caracterı́stica es
2
(V11 − ω 2 T11 )(V22 − ω 2 T22 ) − (ω 2 )2 T12
= 0.
(4.74)
Con el cambio de notación ω 2 ≡ x, tenemos
2
V11 V22 − (T11 V22 + T22 V11 )x + (T11 T22 − T12
)x2 = 0.
(4.75)
Luego,
2
x=ω =
(T11 V22 + T22 V11 ) ±
p
(T11 V22 + T22 V11 )2 − 4(T11 T22 − T12 )V11 V22
,
2(T11 T22 − T12 )2
(4.76)
donde sustituimos los términos
T11 V22 − T22 V11
2
T11 T22 − T12
V11 V22
=
(m1 + m2 )m2 gl12 l2 + (m1 + m2 )m2 l1 l22 = (m1 + m2 )m2 gl1 l2 (l1 + l2 )
= (m1 + m2 )m2 l12 l22 + m22 l12 l22 = m1 m2 l12 l22
= (m1 + m2 )m2 l1 l2 g 2 .
Luego,
h
i
p
g
(m1 + m2 )(l1 + l2 ) ± (m1 + m2 )[(m1 + m2 )(l1 + l2 )2 − 4m1 l1 l2 ] .
2m1 l1 l2
(4.77)
En el caso m1 m2 , las frecuencias tienden a los valores correspondientes a oscilaciones independientes de dos péndulos simples,
2
ω1,2
=
2
ω1,2
=
4.3.
g
[m1 (l1 + l2 ) ± m1 (l1 − l2 )]
2m1 l1 l2
g
g
⇒ ω12 = ,
ω22 = .
l1
l2
(4.78)
(4.79)
Modos normales.
Hemos visto que las s ecuaciones de movimiento para un sistema con s grados de
libertad que realiza pequeñas oscilaciones {η1 , η2 , . . . , ηs } alrededor de los valores de
equilibrio de sus coordenadas generalizadas {q01 , q02 , . . . , q0s } son
X
(Tij η̈j + Vij ηj ) = 0,
i = 1, 2, . . . , s.
(4.80)
j
162
CAPÍTULO 4. OSCILACIONES PEQUEÑAS
La solución particular de la forma ηj (t) = aj eiωt conduce a las s ecuaciones
X
(Vij − ω 2 Tij )aj = 0
i = 1, 2, . . . , s.
(4.81)
j
La condición Ec. (4.47)
det Vij − ω 2 Tij = 0 ,
(4.82)
implica la existencia de soluciones no triviales aj 6= 0, ∀j, y permite calcular las s frecuencias de las pequeñas oscilaciones mediante las soluciones del polinomio caracterı́stico
resultante de la Ec. (4.47). Denotamos estas frecuencias por wk , k = 1, 2, . . . , s.
Para cada ωk , existe una solución ηj (t) = aj (ωk )eiωk t y, por lo tanto, existe un sistema
de s ecuaciones del tipo Ec. (4.81) para los coeficientes aj (ωk ). Por ejemplo, para s = 2,
i=1:
i=2:
(V11 − ωk2 T11 )a1 + (V12 − ωk2 T12 )a2 = 0
(V21 − ωk2 T21 )a1 + (V22 − ωk2 T22 )a1 = 0 .
(4.83)
Hay 2 ecuaciones para cada ωk , (k = 1, 2). Sustitución de una ωk da 2 ecuaciones lineales
a1 (ωk )
.
para a1 (ωk ) y a2 (ωk ) que permiten obtener las amplitudes relativas
a2 (ωk )
Note que, puesto que las frecuencias ωk son reales, los coeficientes aj (ωk ) también
deben ser reales.
La solución general de la ecuación de movimiento para el pequeño desplazamiento
ηj (t) consiste en la superposición de las soluciones particulares correspondientes a cada
ωk ,
X
ηj (t) =
ck aj (ωk )eiωk t ,
(4.84)
k
donde ck son coeficientes que representan la fase compleja. Cabe recordar que se debe
tomar la parte real para tener las soluciones oscilatorias fı́sicas.
Definimos las coordenadas o modos normales del sistema como
ξk ≡ ck eiωk t ,
k = 1, 2, . . . , s.
(4.85)
aj (ωk )ξk ,
(4.86)
Luego, se puede escribir
ηj (t) =
X
k
es decir, la solución general es una combinación lineal de las coordenadas normales. En
el caso de s = 2, las soluciones generales para los pequeños desplazamientos son
η1 = a1 (ω1 )ξ1 + a1 (ω2 )ξ2 ,
η2 = a2 (ω1 )ξ1 + a2 (ω2 )ξ2 .
(4.87)
Cada coordenada normal ξk satisface la ecuación
ξ¨k + ωk2 ξk = 0 ,
(4.88)
que corresponde a un oscilador armónico simple. Luego, cada ξk describe una oscilación
global del sistema con una sola frecuencia ωk : todas las partı́culas oscilan con la misma
4.3. MODOS NORMALES.
163
frecuencia ωk , pero con amplitudes aj (ωk ) que pueden ser distintas entre sı́. Por ejemplo,
para el modo normal ξ2 , con s = 2, tenemos
η1 = a1 (ω2 )ξ2 ,
η2 = a2 (ω2 )ξ2 ,
(4.89)
es decir, cada uno de los 2 grados de libertad oscila con la frecuencia ω2 alrededor de su
posición de equilibrio, pero con amplitudes respectivas a1 (ω2 ) y a2 (ω2 ).
En general, la configuración de un modo normal ξk está dada por las amplitudes
ai (ωk )
.
relativas correspondientes a ese modo; es decir, por los cocientes de las amplitudes
aj (ωk )
En sistemas que presentan oscilaciones pequeñas con varios grados de libertad, la
frecuencia mayor corresponde al modo normal con amplitudes en fases opuestas.
Ejemplos.
1. Encontrar las frecuencias y la configuración de los modos normales de vibración en
un modelo de la molécula lineal CO2 .
Figura 4.6: Modelo de la molécula triatómica lineal CO2 .
M es la masa del átomo C; m es masa de los átomos O; l es la separación entre las
posiciones de equilibrio de los átomos; la constante k describe la interacción C-O
como un resorte; l1 , l2 , miden las distancias entre los átomos fuera del equilibrio.
Sean x01 , x02 , x03 las posiciones de equilibrio de las tres partı́culas, respectivamente.
Consideremos pequeños desplazamientos del equilibrio,
ηi = xi − x0i ,
i = 1, 2, 3.
(4.90)
La energı́a cinética es
T
=
=
1
mẋ21 +
2
1
mη̇ 2 +
2 1
1
1
M ẋ22 + mẋ23
2
2
1
1
M η̇22 + mη̇32 .
2
2
(4.91)
164
CAPÍTULO 4. OSCILACIONES PEQUEÑAS
La energı́a potencial es
V =
1
1
k(l1 − l)2 + k(l2 − l)2 ,
2
2
(4.92)
donde
l1 − l = (x2 − x1 ) − (x02 − x01 ) = η2 − η1 ,
(4.93)
l2 − l = (x3 − x2 ) − (x03 − x02 ) = η3 − η2 .
(4.94)
Luego,
V
=
=
1
1
k(η2 − η1 )2 + k(η3 − η2 )2
2
2
1
k(η12 + 2η22 + η32 − 2η1 η2 − 2η2 η3 ).
2
(4.95)
Comparando con las formas generales cerca del equilibrio,
1X
1X
T =
Tij η̇i η̇j ,
V =
Vij ηi ηj ,
2 i,j
2 i,j
(4.96)
identificamos los coeficientes Tij ,
T11 = m
T21 = 0
T31 = 0
T12 = 0
T22 = M
T32 = 0
T13 = 0
T23 = 0
T33 = m,
(4.97)
V11 = k
V21 = −k
V31 = 0
V12 = −k
V22 = 2k
V32 = −k
V13 = 0
V23 = −k
V33 = k.
(4.98)
y los coeficientes Vij ,
Las frecuencias están dadas por la condición det |Vij − ω 2 Tij | = 0; es decir,
k − ω2 m
−k
0
−k
2k − ω 2 M
−k
0
−k
k − ω2 m
= 0,
(4.99)
la cual conduce a la siguiente ecuación caracterı́stica cúbica para ω 2 ,
(k − ω 2 m) (2k − ω 2 M )(k − ω 2 m) − k 2 − k 2 (k − ω 2 m) = 0
⇒ ω 2 (k − ω 2 m) k(M + 2m) − ω 2 M m = 0.
(4.100)
(4.101)
con soluciones
r
ω1 = 0 ,
ω2 =
k
,
m
s
ω3 =
k
m
2m
1+
M
.
(4.102)
4.3. MODOS NORMALES.
165
Las frecuencias ω2 y ω3 para la molécula de CO2 se encuentran en el infrarrojo. La
frecuencia angular ω1 = 0 corresponde a una traslación uniforme de la molécula,
puesto que la Ec. (4.88) implica
ζ̈1 = 0
⇒
⇒
ζ̇1 = cte
reposo o velocidad constante.
La ecuación para las amplitudes aj
X
(Vij − ωk2 Tij )aj = 0,
(4.103)
(4.104)
j
equivale a un sistema de 3 ecuaciones para cada ωk ,
i=1:
i=2:
i=3:
(k − ωk2 m)a1 − ka2
−ka1 + (2k − ωk2 M )a2 − ka3
−ka2 + (k − ωk2 m)a3
=
=
=
0
0
0.
(4.105)
Para ω1 ,
a1 (ω1 ) = a2 (ω1 ) = a3 (ω1 ).
(4.106)
Figura 4.7: Configuración del modo normal correspondiente a ω1 .
Para ω2 ,
k − ω22 m = 0,
(4.107)
luego,
a2 (ω2 ) = 0,
a1 (ω2 ) = −a3 (ω2 ).
(4.108)
Figura 4.8: Configuración del modo normal correspondiente a ω2 .
Para ω3 , tenemos
2m
2mk
k − ω32 m = k − k 1 +
=−
M
M
(4.109)
166
CAPÍTULO 4. OSCILACIONES PEQUEÑAS
luego,
a1 (ω3 ) = a3 (ω3 )
k − ω32 m
2m
a2 (ω3 ) =
a1 (ω3 ) = −
a1 (ω3 )
k
M
(4.110)
(4.111)
Figura 4.9: Configuración del modo normal correspondiente a ω3 .
La configuración de los modos normales refleja el hecho que el momento lineal total
de la molécula es constante, puesto que la fuerza externa total sobre la molécula es
cero.
2. Encontrar las frequencias de pequeñas oscilaciones y los modos normales de un
péndulo con soporte deslizante horizontalmente.
Figura 4.10: Péndulo con soporte deslizante horizontalmente.
El Lagrangiano de este sistema ya fue obtenido en el Cap. 1. La energı́a cinética es
T =
1
1
(m1 + m2 )ẋ21 + m2 (l2 θ̇2 + 2lẋ1 θ̇ cos θ) ,
2
2
(4.112)
y la energı́a potencial,
V = −m2 gl cos θ.
(4.113)
Las posiciones de equilibrio son θ0 = 0, x0 ; luego
η1 = x1 − x0 ,
η2 = θ − θ0 = θ.
Para pequeños desplazamientos, cos θ = cos η ≈ 1 −
T =
(4.114)
η2
. Luego,
2
1
1
(m1 + m2 )η̇12 + m2 (l2 η̇22 + 2lη̇1 η̇2 )
2
2
(4.115)
4.3. MODOS NORMALES.
167
1
m2 glη22 .
2
Comparando con las formas generales cerca del equilibrio,
1X
V =
Vij ηi ηj ,
2 i,j
V =
T =
(4.116)
(4.117)
1X
Tij η̇i η̇j ,
2 i,j
(4.118)
identificamos los coeficientes Vij ,
V11 = 0,
V21 = 0,
V12 = 0
V22 = m2 gl
(4.119)
y los coeficientes Tij ,
T11 = (m1 + m2 ), T12 = m2 l
T21 = m2 l,
T22 = m2 l2 .
(4.120)
Las frecuencias están dadas por la condición det |Vij − ω 2 Tij | = 0,
−ω 2 T11
−ω 2 T21
−ω 2 T12
V22 − ω 2 T22 ,
=0
(4.121)
la cual conduce a la siguiente ecuación caracterı́stica cuadrática para ω 2 ,
2
(ω 2 )2 T12
+ ω 2 T11 (V22 − ω 2 T22 ) = 0,
(4.122)
ω12 = 0,
(4.123)
(m1 + m2 ) g
(m1 + m2 )m2 gl
T11 V22
.
2 = (m + m )m l2 − m2 l2 =
T11 T22 − T12
m1
l
1
2
2
2
(4.124)
cuyas soluciones son
ω22 =
Note que si m1 → ∞ (soporte fijo), entonces ω22 = g/l, correspondiente a la frecuencia para pequeñas oscilaciones de un péndulo simple.
La ecuación para las amplitudes aj
X
(Vij − ωk2 Tij )aj = 0,
(4.125)
j
equivale a un sistema de 2 ecuaciones para cada ωk ,
i=1:
i=2:
−ωk2 (m1 + m2 )a1 − ωk2 m2 la2
−ωk2 m2 la1 − (m2 gl − ωk2 m2 l2 )a2
=
=
0
0.
(4.126)
Para ω1 = 0, las amplitudes del modo correspondiente resultan en
a2 (ω1 ) = 0,
a1 (ω1 ) = arbitrario.
(4.127)
168
CAPÍTULO 4. OSCILACIONES PEQUEÑAS
Figura 4.11: Configuración del modo normal correspondiente a ω1 .
Para ω2 ,
a1 (ω2 )
m2 l
=−
< 0,
(4.128)
a2 (ω2 )
(m1 + m2 )
es decir, en este modo las partı́culas se mueven siempre con amplitudes opuestas.
Figura 4.12: Configuración del modo normal correspondiente a ω2 .
3. Dos osciladores armónicos con masas m1 y m2 , acoplados verticalmente mediante
resortes de constante k y longitud en reposo l.
Figura 4.13: Osciladores armónicos acoplados verticalmente.
Las posiciones de equilibrio de las masas m1 y m2 son y01 y y02 , respectivamente.
Los pequeños desplazamientos del equilibrio son η1 = y1 − y01 , η2 = y2 − y02 .
4.3. MODOS NORMALES.
169
La energı́a potencial del sistema es
V =
1
1
k(y1 − l)2 + k(y2 − y1 − l)2 − m1 gy1 − m2 gy2 .
2
2
(4.129)
Las posiciones de equilibrio están dadas por
∂V
∂y1
∂V
∂y2
= 0,
(y01 ,y02 )
= 0;
(4.130)
(y01 ,y02 )
esto es,
∂V
∂y1
= k(y01 − l) − k(y02 − y01 − l) − m1 g = 0
(4.131)
∂V
∂y2
(4.132)
(y01 ,y02 )
= k(y02 − y01 − l) − m2 g = 0,
(y01 ,y02 )
lo que conduce a
y01 = l +
(m1 + m2 )g
,
k
y02 = y01 + l +
m2 g
.
k
(4.133)
La energı́a potencial, Ec. (4.129), se puede expresar en términos de los pequeños
desplazamientos,
V =
1X
Vij ηi ηj ,
2 i,j
donde
Vij =
∂2V
∂yi ∂yj
.
(4.134)
(y01 ,y02 )
Luego,
V11 =
V22 =
V12 =
∂2V
∂y1 ∂y2
∂2V
∂y12
∂2V
∂y22
= 2k
(4.135)
=k
(4.136)
= −k = V21 .
(4.137)
(y01 ,y02 )
(y01 ,y02 )
(y01 ,y02 )
La energı́a cinética es
T =
1
1
1
1
m1 ẏ12 + m2 ẏ22 = m1 η̇12 + m2 η̇22 .
2
2
2
2
(4.138)
Comparando con la forma
T =
1X
Tij η̇i η̇j ,
2 i,j
(4.139)
170
CAPÍTULO 4. OSCILACIONES PEQUEÑAS
tenemos
T11 = m1 ,
T12 = 0 = T21 ,
T22 = m2 .
(4.140)
Las frecuencias de oscilación están dadas por la condición det |Vij − ω 2 Tij | = 0,
V11 − ω 2 T11
V21 − ω 2 T21
V12 − ω 2 T12
V22 − ω 2 T22
=
2k − ω 2 m1
−k
−k
k − ω 2 m2
=0
(4.141)
Note que la energı́a potencial gravitacional no influye en las frecuencias de las
oscilaciones, sólo cambia las posiciones de equilibrio de las partı́culas. Luego,
(2k − m1 ω 2 )(k − m2 ω 2 ) − k 2 = 0.
(4.142)
Llamando x = ω 2 , tenemos
m1 m2 x2 − k(m1 + m2 )x + k 2 = 0 ,
q
k
2
2
x=
=
(m1 + 2m2 ) ± m1 + 4m2 .
2m1 m2
P
Las ecuaciones para las amplitudes j (Vij − ω 2 Tij )aj = 0, resultan
2
ω±
(2k − ωk2 m1 )a1 − ka2 = 0
−ka1 + (k − ωk2 m2 )a2 = 0
⇒
m2 ωk2
a1 (ωk )
=1−
.
a2 (ωk )
k
(4.143)
(4.144)
(4.145)
(4.146)
Para ω1 = ω+ ,


s
2
1
a1 (ω1 )
m2 
m2
=1−
1+2
+ 1+4
< 0.
a2 (ω1 )
2
m1
m1
(4.147)
En el modo normal correspondiente a ω1 = ω+ , las amplitudes están siempre en
fases opuestas.
Para ω2 = ω− ,


s
2
a1 (ω2 )
1
m2
m2 
=1−
1+2
> 0.
− 1+4
a2 (ω2 )
2
m1
m1
Para el modo normal asociado a ω2 = ω− , las amplitudes están en fase.
(4.148)
4.4. OSCILACIONES FORZADAS Y AMORTIGUADAS.
4.4.
171
Oscilaciones forzadas y amortiguadas.
Consideremos el movimiento de pequeñas oscilaciones de un sistema sobre el cual
actúa una fuerza externa. Supongamos, además, que el movimiento ocurre en un medio
cuyo efecto sobre el movimento no puede ser despreciado. Cuando una partı́cula se mueve
en un medio, éste ejerce una fuerza de resistencia o fricción sobre la partı́cula que tiende
a retrasar su movimiento. La energı́a suministrada por la fuerza externa a la partı́cula
en movimiento eventualmente se disipa en el medio en forma de calor. Los movimientos
oscilatorios en presencia de fuerzas externas y de fricción, se denominan oscilaciones
forzadas y amortiguadas.
Para velocidades suficientemente pequeñas, se sabe experimentalmente que la fuerza
de fricción sobre un cuerpo que se mueve en un medio es opuesta a la dirección de la
velocidad del cuerpo y proporcional a su magnitud. Esto es, ffr = −αv, donde α > 0 es
el coeficiente de fricción caracterı́stico del medio.
La fuerza externa puede tener cualquier forma; aqui consideraremos el caso de fuerzas oscilatorias porque tienen mucho interés y aplicaciones en sistemas fı́sicos. Esto es,
supondremos fuerzas externas de la forma Fext = f cos νt, donde f y ν son la amplitud
y la frecuencia angular de la fuerza, respectivamente.
Por simplicidad, consideremos un partı́cula que realiza un movimiento oscilatorio con
un grado de libertad, sujeto a una fuerza externa y amortiguado. Tomando en cuenta las
consideraciones anteriores, la ecuación de movimiento de la partı́cula es
mẍ = −kx − αẋ + f cos νt.
(4.149)
Esta ecuación también describe el movimiento de un modo normal de un sistema con
varios grados de libertad, forzado y amortiguado en un medio homogéneo.
La Ec. (4.149) se puede escribir como
ẍ + 2λẋ + ω 2 x =
f
cos νt,
m
(4.150)
donde ω 2 = k/m y hemos definido la constante 2λ ≡ α/m. La Ec. (4.150) se puede
escribir en forma compleja como
f iνt
e .
(4.151)
m
La Ec. (4.151) es una ecuación diferencial ordinaria no homogénea. Su solucion tiene la
forma x = xh +xp , donde xh es la solución de la ecuación homogénea y xp es una solución
particular de la Ec. (4.151). La solución de la Ec. (4.150) corresponde a la parte real de
la solución de la Ec. (4.151).
Buscamos una solución particular de la Ec. (4.151) en la forma
ẍ + 2λẋ + ω 2 x =
xp = B eiνt = b ei(νt+δ) ,
(4.152)
donde B = b eiδ es una amplitud compleja, y b, δ ∈ < son parámetros a determinar.
Sustitución de xp en la Ec. (4.151) conduce a
−ν 2 b + i2λνb + ω 2 b =
f −iδ
e .
m
(4.153)
172
CAPÍTULO 4. OSCILACIONES PEQUEÑAS
Igualando la parte real y la parte imaginaria en ambos lados de la Ec. (4.153), tenemos
b(ω 2 − ν 2 )
2λνb
f
cos δ,
m
f
= − sin δ,
m
=
(4.154)
(4.155)
de donde obtenemos
tan δ
=
b
=
2λν
,
ν 2 − ω2
1
f
.
m [(ω 2 − ν 2 )2 + 4ν 2 λ2 ]1/2
(4.156)
(4.157)
Tomando la parte real de xp , tenemos
xp = b cos(νt + δ).
(4.158)
La solución xh satisface la ecuación homogénea
ẍh + 2λẋh + ω 2 xh = 0.
(4.159)
Buscamos una solución en la forma xh = eirt , donde r es un parámetro a determinar.
Sustitución en la Ec. (4.159) conduce a la siguiente ecuación para r,
r2 − i2λr − ω 2 = 0.
La Ec. (4.160) da dos valores complejos para r,
p
r1,2 = iλ ± ω 2 − λ2 = iλ ± γ,
donde hemos definido
γ≡
p
ω 2 − λ2 ,
(4.160)
(4.161)
(4.162)
y hemos asumido que ω > λ, de manera que exista movimiento oscilatorio para tiempo
asintótico. Luego, la solución general de la ecuación homogénea Ec. (4.159) debe ser la
combinación lineal de eir1 t y eir2 t , que son complejos conjugados. Entonces, podemos
expresar xh como
xh = e−λt Aeiγt + A∗ e−iγt
(4.163)
= 2 e−λt Re A eiγt ,
donde A = (a/2) eiφ es una amplitud compleja, con a, φ ∈ <. Tomando la parte real de
xh , obtenemos
xh = a e−λt cos(γt + φ).
(4.164)
Luego, la solución de la ecuación de movimiento, Ec. (4.151), es
x(t) = a e−λt cos(γt + φ) + b cos(νt + δ).
(4.165)
4.4. OSCILACIONES FORZADAS Y AMORTIGUADAS.
173
Para tiempos suficientamente grandes, t 1/λ, el primer término en la Ec. (4.165) decae,
y el movimiento está determinado por el segundo término, el cual representa el estado
asintótico y estacionario del sistema. Esto es, el movimiento estacionario corresponde a
la solución
xe (t) = b cos(νt + δ).
(4.166)
La respuesta del sistema en el estado estacionario esta desfasada en un factor δ con
respecto a la fuerza externa. En el movimiento estacionario, existe un flujo de energı́a
que entra y sale del sistema. La energı́a es continuamente absorbida por el sistema desde
la fuerza externa, y disipada en el medio por la fricción.
La frecuencia de resonancia de la fuerza externa νR es aquella para la cual la respuesta
del sistema exhibe su máxima amplitud. El valor de νR se puede determinar a partir de
la condición
db
= 0,
(4.167)
dν νR
donde b es la amplitud dada por la Ec. (4.157). Calculamos la derivada como
db
f 2ν[(ω 2 − ν 2 ) − 2λ2 ]
.
=
dν
m [(ω 2 − ν 2 )2 + 4ν 2 λ2 ]3/2
(4.168)
La condición Ec. (4.167) conduce al valor de la frecuencia de resonancia,
νR = ω 2 − 2λ2 .
(4.169)
El valor de la amplitud de respuesta del sistema en resonancia es
bmax =
1
f
.
2
m 2λ(ω − λ2 )1/2
(4.170)
En ausencia de fricción, λ = 0; entonces νR = ω y b → ∞. Luego, el amortiguamiento
reduce el valor de la frecuencia de resonancia y limita el crecimiento de la amplitud en
resonancia. Note que si ω 2 < 2λ2 , la frecuencia νR tiene un valor imaginario y no hay
resonancia; la amplitud b simplemente decrece con el incremento de ν.
174
4.5.
CAPÍTULO 4. OSCILACIONES PEQUEÑAS
Problemas
1. Una partı́cula de masa m se mueve sin fricción sobre la superficie z = kr2 (coordenadas cilı́ndricas), donde z es la dirección vertical y k es constante.
a) Encuentre la condición de estabilidad de una órbita circular de radio ro sobre
esta superficie.
b) Encuentre la frecuencia de pequeñas oscilaciones radiales alrededor de esta órbita
circular.
2. Una partı́cula de masa M cuelga de una varilla de masa despreciable y longitud l,
cuyo punto de soporte consiste en otra partı́cula de masa m sujeta horizontalmente
a dos resortes de constante k cada uno.
a) Encuentre las frecuencias de pequeñas oscilaciones para este sistema.
b) Encuentre y dibuje esquemáticamente la configuración de los modos normales
correspondientes a esas frecuencias.
3. Un péndulo triple consiste en tres masas, λm, m y m, unidas por varillas de longitud l cada una.
a) Determine el valor del parámetro λ tal que una de las frecuencias para pequeñas
oscilaciones de este sistema sea igual a la frecuencia de un péndulo simple de longitud l/2 y masa m.
b) Encuentre y dibuje esquemáticamente el modo normal correspondiente a esta
frecuencia del sistema.
4.5. PROBLEMAS
175
4. Considere dos péndulos de longitud l y masa m cada uno, acoplados por un resorte
de constante k.
a) Encuentre las frecuencias de pequeñas oscilaciones del sistema.
b) Encuentre y dibuje esquemáticamente las configuraciones de los modos normales
correspondientes a estas frecuencias.
5. Encuentre las frecuencias y las configuraciones de los modos normales correspondientes a pequeñas oscilaciones longitudinales del sistema de dos masas y tres resortes mostrado en la figura.
6. Considere un sistema formado por tres partı́culas de masa m cada una, las cuales
se mueven sin fricción sobre una circunferencia de radio R, conectadas entre sı́ por
resortes idénticos de constante k a lo largo de la circunferencia.
a) Encuentre las frecuencias para pequeñas oscilaciones de este sistema.
b) Encuentre y dibuje esquemáticamente la configuración de los modos normales
correspondientes a estas frequencias.
7. Calcule las frecuencias y las configuraciones de correspondientes los modos normales
para pequeñas oscilaciones transversales de un sistema formado por dos masas m,
conectadas entre sı́ y a las paredes por resortes horizontales de constante k cada
uno.
176
CAPÍTULO 4. OSCILACIONES PEQUEÑAS
8. Dos partı́culas con masa m y carga +q cada una están conectadas entre sı́ y a paredes fijas mediante resortes iguales de constante k y longitud en reposo l. Encuentre
la ecuación caracterı́stica para las frecuencias del sistema.
9. Encuentre las frecuencias para oscilaciones verticales y los correspondientes modos
normales para el sistema de tres masas y tres resortes mostrado en la figura.
10. Un bloque de masa m se encuentra unido por medio de un resorte de constante k
a una cuña de masa M y altura h que forma un ángulo α con la horizontal, como
se muestra en la figura. La masa M puede deslizarse sobre la superficie horizontal.
Desprecie la fricción.
a) Calcule las frecuencias de pequeñas oscilaciones del sistema alrededor del equilibrio.
b) Encuentre y dibuje esquemáticamente las configuraciones relativas de los modos
normales correspondientes a cada frecuencia del sistema.
11. Considere una masa m colgada verticalmente de un resorte de constante k en el
campo gravitacional terrestre, e inmersa en un medio viscoso cuyo coeficiente de
fricción es α.
a) Encuentre la ecuación de movimiento de la masa.
b) Encuentre la trayectoria en función del tiempo.
c) Describa el estado estacionario del sistema.
4.5. PROBLEMAS
177
12. Un sistema consiste en dos aros, de radio a y masa m cada uno, que pueden girar
sin fricción alrededor de ejes que pasan por sus respectivos centros fijos. Los aros
están conectados entre ellos por un resorte de constante k1 , y a su vez cada uno
está conectado a una pared fija mediante un resorte de constante k2 .
a) Calcule las frecuencias para pequeñas oscilaciones en este sistema.
b) Encuentre y dibuje las configuraciones de los modos normales correspondientes
a cada frecuencia del sistema.
178
CAPÍTULO 4. OSCILACIONES PEQUEÑAS
Capı́tulo 5
Movimiento de cuerpos rı́gidos
5.1.
Velocidad angular de un cuerpo rı́gido y ángulos
de Euler.
Un cuerpo rı́gido es un sistema de partı́culas cuyas distancias mutuas son fijas, i.e.,
no varı́an en el tiempo. Por ejemplo, los cuerpos sólidos, las estructuras fijas, andamios,
son cuerpos rı́gidos.
La descripción del movimiento de un cuerpo rı́gido se puede hacer en términos de la
posición de su centro de masa y de la orientación relativa del cuerpo en el espacio. Esto
requiere de dos sistemas de coordenadas:
1. Un sistema inercial o laboratorio, denotado por (x, y, z).
2. Un sistema en movimiento, fijo en el cuerpo, con origen en el centro de masa,
identificado por (x1 , x2 , x3 ).
Mediante estos sistemas de coordenadas, un pequeño desplazamiento general del cuerpo rı́gido se puede representar como la suma de dos movimientos:
1. Translación del centro de masa, sin cambiar la orientación relativa entre (x, y, z) y
(x1 , x2 , x3 ).
2. Rotación de las coordenadas (x1 , x2 , x3 ) alrededor de un eje que pasa por el centro
de masa.
La posición R de cualquier punto P del cuerpo rı́gido en un instante dado con respecto
al sistema de referencia del laboratorio (x, y, z) es
R = Rcm + r
(5.1)
donde
Rcm :
r:
posición del centro de masa con respecto al laboratorio (x, y, z).
(5.2)
posición de P con respecto al sistema fijo en el cuerpo (x1 , x2 , x3 ).
(5.3)
179
180
CAPÍTULO 5. MOVIMIENTO DE CUERPOS RÍGIDOS
Figura 5.1: Sistemas de coordenadas para un cuerpo rı́gido.
Consideremos un desplazamiento infinitesimal de P en el laboratorio,
dR = dRcm + dr.
(5.4)
Un cambio infinitesimal dr en las coordenadas (x1 , x2 , x3 ) sólo puede deberse a un
cambio de dirección del vector r, no a un cambio de su magnitud (puesto que la distancia
de P al centro de masa es fija). Luego, un cambio dr debe ser el resultado de una rotación
infinitesimal alrededor de un eje dado instantáneo que pasa por el centro de masa del
cuerpo rı́gido.
Sea dΦ la magnitud el ángulo infinitesimal de rotación alrededor del eje que pasa por
el centro de masa cuya dirección es dΦ. El sentido de la rotación se asigna según la regla
de la mano derecha, con el pulgar derecho apuntando en la dirección dΦ.
Figura 5.2: Rotación infinitesimal alrededor de un eje instantáneo con dirección dΦ que pasa
por el centro de masa.
Sea θ el ángulo entre la dirección dΦ y el vector r. El vector dr es perpendicular al
plano (dΦ, r). Su magnitud es dr = (r sin θ)dΦ y su dirección está dada por
dr = dΦ × r
(5.5)
5.1. VELOCIDAD ANGULAR DE UN CUERPO RÍGIDO Y ÁNGULOS DE EULER.181
Luego,
dR = dRcm + dΦ × r
(5.6)
dR
dRcm
dΦ
=
+
×r
dt
dt
dt
(5.7)
v = Vcm + Ω × r
(5.8)
y la variación en el tiempo es
lo cual puede escribirse como
donde
dR
dt
dRcm
=
dt
dΦ
Ω=
dt
v=
Vcm
:
velocidad de P en el laboratorio (x, y, z).
:
velocidad de traslación del centro de masa en (x, y, z). (5.10)
:
velocidad angular instantánea de rotación.
(5.9)
(5.11)
La dirección de la velocidad angular Ω es la misma que la del vector dΦ. En general,
la dirección y la magnitud de Ω pueden cambiar durante el movimiento del cuerpo rı́gido.
En un instante dado, todos los puntos del cuerpo están girando con la misma velocidad
angular Ω.
Figura 5.3: Velocidad angular Ω alrededor de un eje que pasa por el centro de masa.
La ubicación de un punto P de un cuerpo rı́gido en el sistema de referencia del
laboratorio (x, y, z) está dada por el vector Rcm y por la dirección del vector r, ya que
la magnitud de r no puede cambiar. La dirección de r está dada por la orientación
relativa de los ejes (x1 , x2 , x3 ) del sistema de referencia fijo en el cuerpo con respecto a
los ejes (x, y, z) del sistema de referencia del laboratorio. La descripción de la orientación
relativa entre dos sistemas de coordenadas cartesianas requiere de tres ángulos entre los
respectivos ejes de cada sistema. Luego, un cuerpo rı́gido posee en total 6 grados de
libertad: tres coordenadas para la posición del centro de masa en el laboratorio y tres
ángulos para describir la orientación del cuerpo con respecto al sistema del laboratorio.
182
CAPÍTULO 5. MOVIMIENTO DE CUERPOS RÍGIDOS
Se escogen como ángulos convenientes los ángulos de Euler, por cuanto éstos describen
de manera natural los movimientos giratorios de un cuerpo rı́gido, tal como un trompo.
Figura 5.4: Angulos de Euler φ, θ y ψ.
Para determinar la orientación de los ejes (x1 , x2 , x3 ) con respecto a los ejes (x, y, z)
mediante los ángulos de Euler, hacemos coincidir los orı́genes de ambos sistemas, O y
CM . Los ángulos de Euler se definen de acuerdo a las rotaciones de los ejes (x1 , x2 , x3 )
con respecto a los ejes fijos (x, y, z), mostradas en la Fig. (5.4), de la siguiente manera:
(a) Angulo de precesión, φ ∈ [0, 2π]: ángulo de rotación con respecto al eje z, sobre el
plano (x, y), medido desde el eje x hasta el eje x1 = N , donde N es la lı́nea de intersección
del plano (x1 , x2 ) con el plano (x, y), y se denomina lı́nea nodal.
(b) Angulo de nutación, θ ∈ [0, π]: ángulo de rotación con respecto a la lı́nea nodal N ,
medido desde z hasta x3 .
(c) Angulo de rotación, ψ ∈ [0, 2π]: ángulo de rotación con respecto al eje x3 , sobre el
plano (x1 , x2 ), medido desde N a x1 .
5.1. VELOCIDAD ANGULAR DE UN CUERPO RÍGIDO Y ÁNGULOS DE EULER.183
Figura 5.5: Movimientos de un cuerpo rı́gido en términos de ángulos de Euler. P : precesión φ
(rotación alrededor de un eje fijo en el laboratorio); N : nutación θ (inclinación con respecto al
eje fijo; y R: rotación ψ (rotación del cuerpo sobre sı́ mismo).
Las velocidades angulares correspondientes a los ángulos de Euler apuntan en las
siguientes direcciones, siguiendo la regla de la mano derecha:
(a) φ̇: dirección z;
(b) θ̇: dirección lineal nodal N , perpendicular al plano (x3 , z);
(c) ψ̇: dirección x3 .
Figura 5.6: Angulos de Euler y sus respectivas velocidades.
Las componentes (ψ̇1 , ψ̇2 , ψ̇3 ) de ψ̇ sobre los ejes (x1 , x2 , x3 ) son:
ψ̇3
ψ̇2
= ψ̇,
= 0,
ψ̇1
=
0.
en dirección del eje x3 ,
(5.12)
(5.13)
(5.14)
184
CAPÍTULO 5. MOVIMIENTO DE CUERPOS RÍGIDOS
Componentes (θ̇1 , θ̇2 , θ̇3 ) de θ̇ en la Fig. (5.7):
θ̇1
= θ̇ cos ψ,
(5.15)
θ̇2
θ̇3
= −θ̇ sin ψ,
= 0, puesto que θ̇ es perpendicular a x3 .
(5.16)
(5.17)
Figura 5.7: Izquierda: componente φ̇3 y proyección de φ̇ sobre el plano (x1 , x2 ). Derecha: Componentes φ̇2 y φ̇2 de la proyección de φ̇ sobre el plano (x1 , x2 ).
Componentes (φ̇1 , φ̇2 , φ̇3 ) de φ̇:
φ˙3 = φ̇ cos θ.
(5.18)
La proyección de φ̇ sobre el plano (x1 , x2 ) es igual a φ̇ sin θ. Para visualizar las componentes φ̇2 y φ̇2 sobre el plano (x1 , x2 ), consideremos la Fig. (5.7). Las componentes φ̇2 y
φ̇2 son
φ̇1
=
(φ̇ sin θ) sin ψ
(5.19)
φ̇2
=
(φ̇ sin θ) cos ψ.
(5.20)
La velocidad angular instantánea Ω del cuerpo rı́gido es una combinación de rotaciones asociadas a los tres ángulos de Euler. Las componentes del vector Ω = (Ω1 , Ω2 , Ω3 )
en el sistema (x1 , x2 , x3 ) se pueden expresar en términos de los ángulos de Euler (θ, φ, ψ)
y de sus correspondientes velocidades angulares (θ̇, φ̇, ψ̇).
Consideremos
Ωi = θ̇i + φ̇i + ψ̇i ,
i = 1, 2, 3.
(5.21)
Luego, reagrupando componentes y sustituyendo en la Ec. (5.21), tenemos
Ω1
= φ̇ sin θ sin ψ + θ̇ cos ψ
(5.22)
Ω2
= φ̇ sin θ cos ψ − θ̇ sin ψ
(5.23)
Ω3
= ψ̇ + φ̇ cos θ.
(5.24)
5.2. ENERGÍA CINÉTICA Y TENSOR DE INERCIA.
5.2.
185
Energı́a cinética y tensor de inercia.
La energı́a potencial de interacción entre las partı́culas de un cuerpo rı́gido es constante; toda la energı́a potencial del cuerpo equivale a la energı́a potencial de su centro
de masa.
Por otro lado, la energı́a cinética de un cuerpo rı́gido cuya velocidad angular instantánea es Ω, está dada por
T =
cuerpo
1 X
mj vj2 ,
2 j
j = 1, 2, . . .
(5.25)
donde la sumatoria sobre j se extiende a todas las partı́culas del cuerpo, mj es la masa
de la partı́cula j del cuerpo y vj es su velocidad, dada por la Ec. (5.8),
vj = Vcm + Ω × rj ,
(5.26)
donde rj = (x1 (j), x2 (j), x3 (j)). La velocidad angular Ω es la misma para todas las
partı́culas del cuerpo. Luego,
1X
2
T =
mj (Vcm + Ω × rj )
2 j
=
X
1X
1X
2
mj Vcm
+
mj Vcm · (Ω × rj ) +
mj (Ω × rj )2 .
2 j
2
j
j
El primer término en la Ec. (5.27) es


X
1X
1
1
2
2
2
mj Vcm
= 
.
mj  Vcm
= M Vcm
2 j
2
2
j
(5.27)
(5.28)
P
donde M = j mj es la masa total del cuerpo.
El segundo término en la Ec. (5.27) se puede evaluar usando la identidad vectorial
a · (b × c) = b · (c × a) = c · (a × b), la cual conduce a
0

>
X
X
X
 = 0 , (5.29)
mj Vcm · (Ω × rj ) =
mj rj · (Vcm × Ω) = (Vcm × Ω) ·  m
j rj
j
j
j
puesto que en el sistema de coordenadas (x1 , x2 , x3 ) con origen en el centro de masa
P
j mj rj
Rcm =
= 0.
(5.30)
M

El tercer término en la Ec. (5.27) se puede evaluar usando la identidad vectorial
(a × b) · (c × d) = (a · c)(b · d) − (a · d)(b · c), la cual da
(Ω × rj )2 = (Ω × rj ) · (Ω × rj ) = Ω2 rj2 − (Ω · rj )2
(5.31)
186
CAPÍTULO 5. MOVIMIENTO DE CUERPOS RÍGIDOS
Sustituyendo en la Ec. (5.27), tenemos
T
1
1X
2
M Vcm
+
mj Ω2 rj2 − (Ω · rj )2
2
2 j
=
= Tcm + Trot ,
(5.32)
(5.33)
donde el primer término es la energı́a cinética de traslación del cuerpo y el segundo
término corresponde a la contribución debida a la rotación del cuerpo rı́gido.
Se puede expresar
X
Ωi =
Ωk δik ,
i, k = 1, 2, 3,
(5.34)
k
Ω
2
=
X
Ω2i =
X
Ωi
i
i
X
Ωk δik =
(Ω · rj )
=
X
Ωi xi (j)
i
Ωi Ωk δik ,
(5.35)
i,k
k
!
2
X
!
X
k
Ωk xk (j)
=
X
Ωi Ωk xi (j)xk (j) .
(5.36)
i,k
En lo que sigue, suprimiremos el ı́ndice j de las partı́culas en la componentes de rj , i.e.,
xk (j) → xk . Luego,
Trot
=
cuerpo
X
1 X
mj
Ωi Ωk rj2 δik − Ωi Ωk xi xk
2 j
=
X
1X
Ωi Ωk
mj rj2 δik − xi xk ,
2
j
i,k
(5.37)
i,k
donde i, k = 1, 2, 3 y el ı́ndice j cuenta las partı́culas del cuerpo. La Ec. (5.37) se puede
escribir en la forma
1X
Trot =
Iik Ωi Ωk ,
(5.38)
2
i,k
donde hemos definido el tensor de inercia del cuerpo rı́gido como
X
Iik ≡
mj rj2 δik − xi xk .
(5.39)
j
El tensor de inercia se puede expresar como una matriz,


I11 I12 I13
I =  I21 I22 I23 
I31 I32 I33
P
P

 P
mj (x22 + x23 )
−
m x x
− j mj x1 x3
jP
P j 2j 1 22
P
mj (x1 + x3 ) − j mj x2 x3  .
=  − Pj mj x2 x1
jP
P
− j mj x3 x2
mj (x21 + x22 )
− j mj x3 x1
(5.40)
5.2. ENERGÍA CINÉTICA Y TENSOR DE INERCIA.
187
El tensor de inercia es simétrico, Iik = Iki , por lo que posee solamente seis componentes independientes. El tensor Iik es una propiedad del cuerpo rı́gido que caracteriza
la distribución de masa del cuerpo en torno a los ejes (x1 , x2 , x3 ). Fı́sicamente, cada componente del tensor de inercia expresa la resistencia o inercia de un cuerpo a ser rotado en
torno a un eje dado. Por ejemplo, I33 mide la resistencia del cuerpo a ser rotado alrededor
del eje x3 .
Con una escogencia adecuada de los ejes (x1 , x2 , x3 ) para cuerpos simétricos, es posible
hacer que I sea diagonal: Iik = 0, si i 6= k. En ese caso,
Trot =
1
(I11 Ω21 + I22 Ω22 + I33 Ω23 ).
2
(5.41)
R
P
Para una distribución continua de masa, pasamos al lı́mite continuo j mj → ρdV ,
donde ρ es la densidad y dV = dx1 dx2 dx3 es el elemento de volumen del cuerpo. En ese
caso, el tensor de inercia se expresa como
Z
Iik = ρ(r)[r2 δik − xi xk ] dV .
(5.42)
Teorema de los ejes paralelos.
Sea Iik el tensor de inercia de un cuerpo rı́gido, expresado en el sistema de coordenadas
(x1 , x2 , x3 ) con origen en el centro de masa del cuerpo. Entonces, en un sistema diferente
de coordenadas fijas (x01 , x02 , x03 ), cuyo origen O0 se encuentra en una posición a con
respecto al centro de masa del cuerpo, el tensor de inercia es
X
0
Iik
= Iik +
mj (a2 δik − ai ak ).
(5.43)
j
Figura 5.8: Diferentes sistemas de coordenadas fijas para un cuerpo rı́gido.
Si i = k, tenemos como ejemplo,
0
I33
= I33 +
X
mj (a2 − a23 )
= I33 +
X
mj (a21 + a22 )
= I33 + M a2⊥ ,
(5.44)
188
CAPÍTULO 5. MOVIMIENTO DE CUERPOS RÍGIDOS
donde M es la masa total del cuerpo y a⊥ = a21 + a22 es la distancia perpendicular entre
ejes x3 y x03 . En general,
Iii0 = Iii + M a2⊥ ,
(5.45)
donde a⊥ es la distancia perpendicular entre ejes xi y x0i .
Demostración:
El tensor de inercia en el sistema de coordenadas (x1 , x2 , x3 ) con origen en el centro de
masa del cuerpo, es
X
Iik =
mj rj2 δik − xi xk .
(5.46)
j
Supongamos un sistema diferente de coordenadas fijas (x01 , x02 , x03 ), cuyo origen O0 se
encuentra en una posición a con respecto al centro de masa del cuerpo. La posición de
un punto P del cuerpo en el sistema (x1 , x2 , x3 ) es
rj
= a + r0 j ,
(5.47)
⇒ xi
x0i .
(5.48)
= ai +
Luego, en el sistema de coordenadas (x01 , x02 , x03 ), tenemos
X
0
Iik
=
mj (rj02 δik − x0i x0k ) ,
(5.49)
j
donde
rj02 = (rj − a)2 = rj2 + a2 − 2
X
xl al .
(5.50)
l
Sustituyendo,
!
"
0
Iik
=
X
rj2 + a2 − 2
mj
j
=
X
xl al
#
δik − (xi − ai )(xk − ak )
(5.51)
l
X
X
mj rj2 δik − xi xk +
mj (a2 δik − ai ak )
j
(5.52)
j
−2
X
j
mj
X
xl al δik +
X
mj xi ak +
j
l
X
mj xk ai
(5.53)
j
Pero en el sistema de coordenadas (x1 , x2 , x3 ), tenemos

*0
X
 = 0,
mj x
mj xi ak = ak 
i (j)
j
j


*0
X
X
 = 0.
mj xk ai = ai 
mj x
k (j)
j
j

X
(5.54)
(5.55)
5.2. ENERGÍA CINÉTICA Y TENSOR DE INERCIA.
189
Además,

*0
X

al  m
= 0.
j xl (j)
j

X
mj
X
j
xl al =
l
X
l
(5.56)
Luego tenemos,
0
Iik
= Iik +
X
mj (a2 δik − ai ak ).
(5.57)
j
Ejemplos.
1. Momentos de inercia de un aro uniforme, de masa M y radio R.
Figura 5.9: Aro.
Sea x3 el eje perpendicular al plano del aro. Entonces,
Z
I33 =
(x21
+
x22 )ρ dV
=R
2
Z
ρ dV = M R2 .
(5.58)
Puesto que el cuerpo posee simetrı́a axial con respecto al eje x3 , tenemos I11 = I22 .
Luego,
I33
1
= M R2 .
(5.59)
I11 = I22 =
2
2
2. Momentos de inercia de un cuerpo plano.
Figura 5.10: Cuerpo rı́gido plano.
190
CAPÍTULO 5. MOVIMIENTO DE CUERPOS RÍGIDOS
Llamemos (x1 , x2 ) al plano del cuerpo rı́gido. Entonces el eje x3 es perpendicular
al cuerpo y rj = (x1 (j), x2 (j), 0), ∀j. Luego,
X
I11 =
mj x22 ,
(5.60)
j
I22
=
X
mj x21 ,
(5.61)
mj (x21 + x22 ).
(5.62)
j
=
I33
X
Es decir que, para todo cuerpo rı́gido plano, se cumple
I33 = I11 + I22 .
(5.63)
3. Cilindro uniforme de altura h, radio R y masa M .
Figura 5.11: Cilindro.
El elemento de volumen en coordenadas cilı́ndricas es dV = h r dr dθ, donde r2 =
M
x21 + x22 . La densidad de masa es ρ =
. Entonces,
πR2 h
Z
I33 = ρ (x21 + x22 ) dV
Z R
Z 2π
= ρ
hr2 r dr
dθ
0
0
1
=
M R2 .
2
Por simetrı́a, los momentos de inercia I11 = I22 .
Z
Z
Z
2
2
2
I11 = ρ (x2 + x3 ) dV = ρ x2 dV + ρ x23 dV.
Primer término:
Z
ρ x22 dV
Z
R
Z
= ρh
0
Z
= ρh
0
(5.64)
(5.65)
2π
(r sin θ)2 r dr dθ
0
R
r3 dr
Z
0
2π
sin2 θ dθ = ρhπ
R4
1
= M R2 .
4
4
(5.66)
5.2. ENERGÍA CINÉTICA Y TENSOR DE INERCIA.
191
Segundo término:
Z
ρ
x23 dV
Z
h/2
x23 dx3
= ρ
Z
−h/2
=
R
Z
r dr
0
2π
dθ
0
1
M h2 .
12
(5.67)
Luego,
I11
=
=
1
1
M h2 + M R 2
12 4 h2
M
R2 +
= I22 .
4
3
(5.68)
Note que si R → 0, tenemos una varilla uniforme de longitud h y masa M .
Figura 5.12: Varilla de longitud L.
En ese caso,
I33
=
I11 = I22
=
0,
1
M L2
12
(5.69)
(5.70)
donde hemos llamado h = L.
Por otro lado, si h → 0 tenemos un disco uniforme de masa M y radio R. Entonces,
1
M R2 .
2
I33
= I22 =
.
2
I33 =
I11
(5.71)
(5.72)
192
CAPÍTULO 5. MOVIMIENTO DE CUERPOS RÍGIDOS
4. Momentos de inercia de una esfera uniforme, de masa M y radio R.
Figura 5.13: Cuerpo rı́gido esférico.
La simetrı́a esférica implica que I11 = I22 = I33 . Por otro lado, la suma
X
X
I11 + I22 + I33 = 2
mj (x21 + x22 + x23 ) = 2
mj rj2 .
(5.73)
j
j
Luego, para una esfera
3I11 = 2
X
mj rj2 .
(5.74)
j
Para una distribución continua y uniforme de masa, tenemos
Z R
Z R
Z
2
2
2
2
R5
r2 ρ dV = ρ
I11 =
r2 (4πr2 ) dr = 4πρ
r4 dr = 4πρ .
3
3 0
3
3
5
0
3M
, obtenemos
4πR3
2
= I33 = M R2 .
5
(5.75)
Sustituyendo la densidad de masa ρ =
I11 = I22
(5.76)
Si tenemos un cascarón esférico de radio R y masa M , la densidad de masa se puede
M
δ(r − R), donde δ(r − R) es la función delta de Dirac, tal
expresar como ρ =
4πR2
que δ(r − R) = 0 si r 6= R. Se puede verificar que
Z
Z
M
M = ρ dV =
4πr2 δ(r − R) dr.
(5.77)
4πR2
Luego, los momentos de inercia de un cascarón esférico de radio R y masa M son
Z
2
I11 = I22 = I33 =
r2 ρ dV
3
Z R
2
=
ρ
4πr4 δ(r − R) dr
3 0
2
=
M R2 .
(5.78)
3
5.2. ENERGÍA CINÉTICA Y TENSOR DE INERCIA.
193
5. Energı́a cinética de un elipsoide (I11 6= I22 6= I33 ) que rota sobre eje AB con
velocidad angular ω, y sobre eje CD con velocidad angular ν, como se muestra en
la Fig. (5.14).
Figura 5.14: Elipsoide en rotación simultánea sobre dos ejes perpendiculares.
Escogemos eje AB en la dirección x3 . Entonces los ejes x1 y x2 rotan alrededor de
AB = x3 . La dirección de ω es a lo largo de x3 y la dirección de ν está sobre el
plano (x1 , x2 ).
Figura 5.15: Velocidad angular ν sobre el plano (x1 , x2 ).
La velocidad angular del cuerpo es Ω = (Ω1 , Ω2 , Ω3 ), donde
Ω3
Ω1
= ω
= ν cos ωt
(5.79)
(5.80)
Ω2
= ν sin ωt
(5.81)
Luego,
T = Trot
=
=
1
1
1
I11 Ω21 + I2 Ω222 + I33 Ω23
2
2
2
1
1
2
(I11 cos ωt + I22 sin2 ωt)ν 2 + I33 ω 2 .
2
2
(5.82)
194
CAPÍTULO 5. MOVIMIENTO DE CUERPOS RÍGIDOS
6. Energı́a cinética de un cilindro de masa M y radio a, rodando sin deslizar dentro
de una superficie cilı́ndrica de radio R > a.
Figura 5.16: Cilindro rodando sin deslizar dentro de otro cilindro.
T = Tcm + Trot ,
(5.83)
donde
1
2
M Vcm
.
2
La velocidad de traslación del centro de masa es
Tcm =
(5.84)
Vcm = (R − a)θ̇ .
(5.85)
Sea x3 = z el eje del cilindro rodante. Entonces Ω = Ω3 x̂3 , y
Trot =
1
I33 Ω23 .
2
(5.86)
Figura 5.17: Condición de rodar sin deslizar para el cilindro de radio a.
La condición de rodar sin deslizar implica que
ds
= aψ̇ = aΩ3 .
dt
(5.87)
Vcm
(R − a)θ̇
=
.
a
a
(5.88)
Vcm =
Luego,
Ω3 =
5.2. ENERGÍA CINÉTICA Y TENSOR DE INERCIA.
195
Sustitución en la Ec. (5.83) da
1
1
(R − a)2 2
M (R − a)2 θ̇2 + I33
θ̇ .
2
2
a2
(5.89)
1
M a2 .
2
(5.90)
1
1
3
M (R − a)2 θ̇2 + M (R − a)2 θ̇2 = M (R − a)2 θ̇2 .
2
4
4
(5.91)
T =
Para el cilindro rodante,
I33 =
Sustituyendo,
T =
7. Consideremos una varilla de longitud L y masa M . Calcular el momento de inercia
0
con respecto a un eje x02 que pasa por un extremo de la varilla, paralelo a eje
I22
x2 .
Figura 5.18: Ejes paralelos x2 y x02 para un varilla de longitud L.
Tenemos a = (0, 0, −L/2) y a⊥ = a = L/2.
Luego,
0
I22
= I22 + M a2⊥
L2
= I22 + M
4
1
1
2
=
M L + M L2
12
4
1
2
=
ML .
3
(5.92)
(5.93)
(5.94)
(5.95)
196
CAPÍTULO 5. MOVIMIENTO DE CUERPOS RÍGIDOS
5.3.
Momento angular de un cuerpo rı́gido.
El momento angular de un sistema depende del origen de coordenadas con respecto
al cual estén definidas las posiciones de las partı́culas del sistema. Para cuerpos rı́gidos
es conveniente escoger el centro de masa para definir el momento angular del cuerpo,
X
X
l=
rj × pj =
mj (rj × vj ),
(5.96)
j
j
donde rj es el vector de posición de la particula j en las coordenadas (x1 , x2 , x3 ).
Figura 5.19: Sistema de referencia para definir el momento angular de un cuerpo rı́gido.
La velocidad de la partı́cula j en este sistema se debe sólo a la rotación y está dada
por
vj = Ω × rj ,
(5.97)
donde Ω es la velocidad angular instantánea del cuerpo. Luego,
X
l=
mj rj × (Ω × rj ).
(5.98)
j
Usando la identidad vectorial A × (B × C) = (A · C)B − (A · B)C, podemos expresar
X
l=
mj [rj2 Ω − (rj · Ω)rj ]
(5.99)
j
Consideremos la componente i del vector l,
"
#
X
X
2
li =
mj rj Ωi − xi (j)
xk (j)Ωk
j
k
"
=
X
mj
#
X
j
=
X
=
k
mj
X
j
k
X
Ωk
X
k
j
Ωk rj2 δik −
X
xi (j)xk (j)Ωk
k
Ωk [rj2 δik − xi (j)xk (j)]
mj rj2 δik − xi (j)xk (j)
(5.100)
5.3. MOMENTO ANGULAR DE UN CUERPO RÍGIDO.
Recordemos que el tensor de inercia es
X
Iik =
mj [rj2 δik − xi (j)xk (j)].
197
(5.101)
j
Luego, podemos escribir la componente li como
li =
3
X
Iik Ωk .
(5.102)
k=1
En forma vectorial esto es
l = I Ω,
(5.103)
donde I es la forma matricial del tensor de inercia, Ec. (5.40).
En particular, si I es diagonal,
l1
= I11 Ω1
(5.104)
l2
l3
= I22 Ω2
= I33 Ω3
(5.105)
(5.106)
Note que, en general, el momento angular l no es paralelo a la dirección de la velocidad
angular Ω.
Figura 5.20: Momento angular l y velocidad angular Ω de un cuerpo rı́gido.
En el caso en que Ω tenga solamente una componente sobre un eje xk , i.e. Ω = Ωx̂k ,
entonces l es paralelo a Ω, es decir, l = Ikk Ωx̂k . Igualmente, para cuerpos con simetrı́a
esférica, I11 = I22 = I33 , y l = I11 Ω.
Ejemplo.
1. Rotación libre de un trompo.
Un trompo es un cuerpo rı́gido que posee dos momentos principales de inercia
iguales, por ejemplo I11 = I22 6= I33 . Se escoge x3 como el eje de simetrı́a axial.
Los ejes x1 y x2 pueden apuntar en cualquier dirección, manteniendo su mutua
perpendicularidad.
198
CAPÍTULO 5. MOVIMIENTO DE CUERPOS RÍGIDOS
Un trompo libre de torque tiene τ = 0 y, por lo tanto l = cte. Por ejemplo, la
fuerza de gravedad no ejerce torque sobre un trompo en caı́da libre. Escogemos la
dirección constante del vector l en la dirección del eje z, sobre el plano (x2 , x3 ).
Entonces, l1 = 0. La simetrı́a axial implica que la descripción del movimiento no
depende del valor del ángulo ψ; podemos fijar ψ = 0. Esto equivale a escoger la
dirección del eje x1 paralela a la linea nodal.
Figura 5.21: Rotación de un trompo libre.
Sea θ el ángulo entre la dirección de l y el eje x3 . Las componentes de l son entonces
l1
=
0
l2
= l sin θ,
(5.107)
(5.108)
l3
= l cos θ.
(5.109)
En términos de los ángulos de Euler, las componentes de l (con ψ = 0) se pueden
expresar como
l1
= I11 Ω1 = I11 θ̇
(5.110)
l2
l3
= I22 Ω2 = I11 φ̇ sin θ
= I33 Ω3 = I33 (ψ̇ + φ̇ cos θ) .
(5.111)
(5.112)
Luego,
0 = I11 θ̇
⇒
θ = cte ,
(5.113)
es decir, no hay movimiento de nutación en un trompo libre. Por otro lado,
l sin θ = I11 φ̇ sin θ
⇒
φ̇ =
l
= cte ,
I11
(5.114)
es decir, el eje axial x3 del trompo precesa con velocidad angular constante φ̇
alrededor de la dirección fija de l, describiendo un cono con vértice en el centro de
masa del trompo y cuyo ángulo de vértice es θ. Entonces, todo el plano (x2 , x3 )
rota con velocidad angular φ̇ = cte alrededor de l.
5.4. ECUACIONES DE MOVIMIENTO PARA CUERPOS RÍGIDOS.
199
La velocidad angular de rotación del trompo sobre su eje de simetrı́a x3 se obtiene
de
l cos θ = I33 (ψ̇ + φ̇ cos θ)
l cos θ (I11 − I33 )
= cte .
⇒ ψ̇ =
I11 I33
(5.115)
(5.116)
Las componentes de la velocidad angular Ω son
Ω1 = θ̇ = 0
l sin θ
= cte
Ω2 =
I11
l cos θ
Ω3 =
= cte,
I33
(5.117)
(5.118)
(5.119)
es decir que Ω yace siempre sobre el plano (x2 , x3 ). Como el plano (x2 , x3 ) rota
alrededor de l, entonces Ω también precesa alrededor de la dirección fija de l con
φ̇ = cte.
5.4.
Ecuaciones de movimiento para cuerpos rı́gidos.
Las ecuaciones de Lagrange para cuerpos rı́gidos pueden plantearse en términos de
los ángulos de Euler, que describen los grados de libertad correspondientes al movimiento
de rotación del cuerpo.
La energı́a cinética de rotación de un cuerpo rı́gido está dada por la Ec. (5.38),
1X
Trot =
Iik Ωi Ωk ,
(5.120)
2
i,k
Las componentes Ωi de la velocidad angular pueden expresarse en función de los
ángulos de Euler (θ, φ, ψ) y de sus correspondientes velocidades,
Ω1
Ω2
= φ̇ sin θ sin ψ + θ̇ cos ψ
= φ̇ sin θ cos ψ − θ̇ sin ψ
(5.121)
(5.122)
Ω3
= ψ̇ + φ̇ cos θ.
(5.123)
La energı́a potencial del cuerpo corresponde a la energı́a potencial de su centro de
masa, y en general también puede expresarse en términos de los ángulos de Euler. Luego,
el Lagrangiano de un cuerpo rı́gido puede expresarse como
L = T − V = L(θ, φ, ψ, θ̇, φ̇, ψ̇).
(5.124)
En general, las ecuaciones de Lagrange para cuerpos rı́gidos pueden ser complicadas.
Los casos mas simples son los que presentan simetrı́as, como los cuerpos con simetrı́a
axial (trompos) o esférica.
200
CAPÍTULO 5. MOVIMIENTO DE CUERPOS RÍGIDOS
Ejemplos.
1. Como ejemplo de ecuaciones de movimiento de un cuerpo rı́gido, consideremos un
trompo en el campo gravitacional terrestre, y cuyo punto inferior está fijo (también
llamado trompo de Lagrange).
Sean I11 = I22 6= I33 los momentos de inercia del trompo, m la masa del trompo,
y llamemos h la distancia desde el centro de masa al punto inferior fijo O.
Figura 5.22: Trompo con punto inferior fijo.
Para este problema conviene tomar, tanto el origen del sistema de coordenadas fijo
en el cuerpo (x1 , x2 , x3 ) como el origen del sistema del laboratorio (x, y, z), en el
punto O.
La energı́a potencial del trompo, con respecto a O, es
V = mgz = mgh cos θ.
(5.125)
Consideremos los momentos de inercia con respecto al sistema de coordenadas
con origen en O, el cual está ubicado en a = (0, 0, −h) con respecto al sistema
de coordenadas con origen en el centro de masa. De acuerdo al teorema de ejes
paralelos, los momentos de inercia con respecto a los ejes del sistema centrado en
O son
0
Iik
= Iik + m(a2 δik − ai ak ),
(5.126)
donde m es la masa del cuerpo. Luego,
0
I11
0
I22
0
I33
= I11 + mh2
(5.127)
0
I11
(5.128)
= I33
(5.129)
=
5.4. ECUACIONES DE MOVIMIENTO PARA CUERPOS RÍGIDOS.
201
La energı́a cinética de traslación del centro de masa puede ser considerada constante
(el trompo no se traslada, debido al punto fijo O). La energı́a cinética de rotación
es
1 0 2
0
0
Trot = (I11
Ω1 + I22
Ω22 + I33
Ω23 ),
(5.130)
2
donde las componentes de la velocidad angular Ω están dadas en función de los
ángulos de Euler, Ec. (5.121). Sustitución da
Trot =
1 0 2
1
I11 (θ̇ + φ̇2 sin2 θ) + I33 (ψ̇ + φ̇ cos θ)2 .
2
2
(5.131)
También se hubiera podido tomar ψ = 0 (eje x1 igual a la linea nodal) en las componentes de la velocidad angular, debido a la simetrı́a axial del trompo alrededor
del eje x3 .
El Lagrangiano del sistema es
L=T −V =
1
1 0 2
I (θ̇ + φ̇2 sin2 θ) + I33 (ψ̇ + φ̇ cos θ)2 − mgh cos θ.
2 11
2
La ecuación de Lagrange para ψ es
∂L
d ∂L
−
= 0.
dt ∂ ψ̇
∂ψ
(5.132)
(5.133)
La coordenada ψ es cı́clica,
∂L
∂ψ
∂L
⇒
∂ ψ̇
=
0
= I33 (ψ̇ + φ̇ cos θ) = I33 Ω3 = l3 = cte.
La ecuación de Lagrange para φ es
d ∂L
∂L
−
= 0.
dt ∂ φ̇
∂φ
(5.134)
(5.135)
(5.136)
La coordenada φ también es cı́clica,
∂L
∂φ
∂L
⇒
∂ φ̇
=
0
(5.137)
=
0
(I11
sin2 θ + I33 cos2 θ)φ̇ + I33 ψ̇ cos θ = lz = cte.
(5.138)
Para interpretar las cantidades conservadas relacionadas con las coordenas cı́clicas
ψ y φ, notamos que el torque ejercido por el peso del trompo (fuerza externa) es
τ = hmg(ẑ × x̂3 ), el cual tiene dirección perpendicular al plano (x3 , z), al igual que
el vector dl del cambio de momento angular del trompo. Luego, no hay componentes
del torque en las direcciones x̂3 ni ẑ, como tampoco hay cambios del vector momento
angular en esas direcciones, por lo que l3 = cte y lz = cte.
202
CAPÍTULO 5. MOVIMIENTO DE CUERPOS RÍGIDOS
Figura 5.23: Dirección del vector torque y del vector de cambio de momento angular dl.
Para obtener la ecuación para θ, notamos que existe una tercera cantidad conservada,
∂L
= 0 ⇒ E = T + V = cte.
(5.139)
∂t
Luego,
E=
1
1 0 2
I11 (θ̇ + φ̇2 sin2 θ) + I33 (ψ̇ + φ̇ cos θ)2 + mgh cos θ = cte.
2
2
(5.140)
Despejando ψ̇ y φ̇ de la Ecs. (5.135) y (5.138), tenemos
φ̇ =
(lz − l3 cos θ)
0 sin2 θ
I11
(5.141)
ψ̇
l3 − I33 φ̇ cos θ
l3
(lz − l3 cos θ) cos θ
=
−
.
0 sin2 θ
I33
I33
I11
(5.142)
=
Sustituyendo en la ecuación Ec. (5.140), obtenemos
E=
l32
1 0 2 (lz − l3 cos θ)2
+
I11 θ̇ +
+ mgh cos θ,
0 sin2 θ
2
2I33
2I11
(5.143)
lo cual se puede escribir como
E0 =
1 0 2
I θ̇ + Vef (θ) = cte,
2 11
donde
l32
= cte,
2I33
(5.145)
(lz − l3 cos θ)2
+ mgh cos θ.
0 sin2 θ
2I11
(5.146)
E0 = E −
Vef (θ) =
(5.144)
Luego la Ec. (5.144) constituye un problema unidimensional para la coordenada θ
con un potencial efectivo dado por la Ec. (5.146). Note que
Vef (θ = 0) → ∞,
Vef (θ = π) → ∞.
(5.147)
5.4. ECUACIONES DE MOVIMIENTO PARA CUERPOS RÍGIDOS.
203
Figura 5.24: Esquema del potencial efectivo Vef (θ).
El potencial efectivo Vef (θ) posee un valor mı́nimo para un ángulo θ0 tal que
∂Vef
∂θ
= 0.
(5.148)
θ0
El movimiento en el ángulo θ ocurre para E 0 ≥ Vef (θ). Los puntos de retorno θ1 y
θ2 están dados por las soluciones de la ecuación
E 0 = Vef (θ) =
(lz − l3 cos θ)2
+ mgh cos θ,
0 sin2 θ
2I11
(5.149)
luego, el movimiento ocurre en el intervalo θ ∈ [θ1 , θ2 ].
De la Ec. (5.144) obtenemos
dθ
θ̇ =
=
dt
s
2(E 0 − Vef (θ))
0
I11
(5.150)
y
t(θ) =
p
0
I11
Z
dθ
p
2 (E 0
− Vef (θ))
(5.151)
La integral en la Ec. (5.151) corresponde a una integral de funciones elı́pticas.
En principio, t(θ) permite obtener θ(t) por inversión. Sustitución de θ(t) en las
Ecs. (5.141) y (5.142) permite calcular ψ(t) y φ(t) por integración directa. Luego,
el trompo de Lagrange es un sistema integrable: existen tres grados de libertad ψ,
φ y θ, y tres cantidades conservadas, l3 , lz y E, asociadas a simetrı́as del sistema.
El perı́odo de nutación es
Tnut
p Z
0
= 2 I11
θ2
θ1
dθ
p
2 (E 0
− Vef (θ))
(5.152)
La velocidad angular de precesión φ̇,dada por la Ec. (5.141), cambia su dirección
instantánea en los puntos de retorno θ1 y θ2 , dependiendo del signo de (lz − l3 cos θ)
en esos puntos, según los siguientes casos,
204
CAPÍTULO 5. MOVIMIENTO DE CUERPOS RÍGIDOS
a) φ̇ > 0 siempre (lz > l3 cos θ, ∀ θ).
b) φ̇ cambia de signo en θ1 ó en θ2 (el sentido del movimiento depende de
condiciones iniciales).
c) φ̇ = 0 en θ1 ó en θ2 (lz = l3 cos θ1,2 ).
Figura 5.25: Movimiento de nutación en θ y de precesión en φ. Izquierda: φ̇ > 0, no cambia de
signo. Centro: φ̇ cambia de signo en θ = θ1 . Derecha: φ̇ = 0 en θ = θ1 .
Puesto que el trompo tiene simetrı́a axial, se puede tomar ψ = 0 en las componentes
de la velocidad angular; luego Ω1 = θ̇. La velocidad angular de nutación θ̇ es una
función periódica (con un perı́odo largo) en el tiempo.
Figura 5.26: Velocidad angular de nutación θ̇ = Ω1 en función del tiempo para un trompo
simétrico, I11 = I22 6= I33 con su punto inferior fijo.
2. Trompo de Kovalevskaya.
Además del trompo de Lagrange, se conoce otro caso integrable de un trompo
simétrico, I11 = I22 6= I33 , en un campo gravitacional con un punto fijo. Supongamos que el vector de posición d del centro de masa con respecto al punto fijo O
se encuentra sobre el plano (x1 , x2 ) del sistema de coordenadas fijo en el cuerpo;
esto es, d = (d1 , d2 , 0), y supongamos que los momentos principales de inercia con
respecto al sistema fijo en el espacio satisfacen la condición
0
0
0
I11
= I22
= 2I33
.
(5.153)
5.4. ECUACIONES DE MOVIMIENTO PARA CUERPOS RÍGIDOS.
205
Este sistema se conoce como el trompo de Kovalevskaya, y es un problema famoso
de la Mecánica.
Figura 5.27: Trompo de Kovalevskaya. Izquierda: Posición d del centro de masa con respecto
al punto fijo O. Derecha: Proyección del vector d en la dirección z corresponde a la altura h del
centro de masa.
Note que si d = (0, 0, h), tenemos un trompo de Lagrange con momentos de inercia
dados por la Ec. (5.153).
Definamos el vector unitario
ẑ ≡ u = (u1 , u2 , u3 ),
(5.154)
cuyas componentes en el sistema de coordenadas (x1 , x2 , x3 ) fijo en el cuerpo son
u1
=
sin θ sin ψ
(5.155)
u2
=
sin θ cos ψ
(5.156)
u3
=
cos θ.
(5.157)
La energı́a cińetica del cuerpo se debe a su rotación y corresponde a
Trot =
1 0 2
0
0
(I Ω + I22
Ω22 + I33
Ω23 ).
2 11 1
(5.158)
La energı́a potencial V del trompo corresponde a la energı́a potencial del centro
de masa (cm) en el campo gravitacional terrestre. La altura h del centro de masa
sobre el eje z es
h = d sin ψ sin θ,
(5.159)
donde ψ es el ángulo entre d y la lineal nodal N . Luego, podemos escribir
V = mgh = mgd sin θ sin ψ.
(5.160)
206
CAPÍTULO 5. MOVIMIENTO DE CUERPOS RÍGIDOS
Entonces, el Lagrangiano del sistema en términos de los ángulos de Euler es
2
2
0
0
L = I33
φ̇ sin θ sin ψ + θ̇ cos ψ + I33
φ̇ sin θ cos ψ − θ̇ sin ψ
2
0 I33
ψ̇ + φ̇ cos θ − mgd sin θ sin ψ
+
2
2
I0 0
= I33
(θ̇2 + φ̇2 sin2 θ) + 33 ψ̇ + φ̇ cos θ − mgd sin θ sin ψ. (5.161)
2
La coordenada φ es cı́clica, por lo que su momento conjugado es constante,
∂L
0
0
= 2I33
φ̇ sin2 θ + I33
ψ̇ + φ̇ cos θ cos θ
∂ φ̇
h
i
0
(5.162)
= I33
φ̇(1 + sin2 θ) + ψ̇ cos θ ≡ lz = cte.
La cantidad conservada es la componente z del momento angular, puesto que el
torque ejercido por la fuerza gravitacional no posee componente en la dirección z.
El Lagrangiano no depende explicitamente del tiempo, lo que implica que la energı́a
mecánica total se conserva,
E
= T + V = cte.
0
= I33
(θ̇2 + φ̇2 sin2 θ) +
2
0 I33
ψ̇ + φ̇ cos θ + mgd sin θ sin ψ. (5.163)
2
El sistema posee tres grados de libertad (los ángulos de Euler) y dos cantidades
conservadas E y lz , relacionadas con las simetrı́as explı́citas del Lagrangiano del
sistema. Sofia Kovalevskaya encontró una tercera cantidad conservada no trivial,
cuya relación con las simetrı́as del sistema no es en absoluto evidente,
2 2
mgd
mgd
2
2
= cte.
(5.164)
K ≡ Ω1 − Ω2 − 0 u1 + 2Ω1 Ω2 − 0 u2
I33
I33
Sustitución de Ω1 , Ω2 y u2 , en términos de los ángulos de Euler conduce, después
del álgebra correspondiente, a
2
i
mgd h 2
K =
θ̇2 − φ̇2 sin2 θ + 2 0
θ − φ̇2 sin2 θ sin ψ − 2θ̇φ̇ sin θ cos ψ sin θ
I33
2
mgd
sin2 θ.
+
(5.165)
0
I33
La existencia de la constante K, junto con E y lz , permite que este sistema sea
integrable, aunque el procedimiento matemático para reducir las ecuaciones de movimiento es bastante laborioso. La simetrı́a asociada con la cantidad conservada K
no es evidente. El método desarrollado por Kovalevskaya para encontrar esta cantidad conservada sigue siendo un problema de investigación. Se han descubierto unos
pocos sistemas dinámicos que poseen cantidades conservadas para ciertos valores
de sus parámetros, y que están relacionadas con simetrı́as no triviales del sistema.
5.4. ECUACIONES DE MOVIMIENTO PARA CUERPOS RÍGIDOS.
207
Figura 5.28: Izquierda: Sofia Kovalevskaya (1850 -1891). Derecha: Movimiento del eje del trompo de Kovalevskaya en el espacio. A pesar de su apariencia, el movimiento no es caótico.
3. Si I11 6= I22 6= I33 , el trompo es asimétrico. En ese caso, l3 no se conserva; no existen
suficientes simetrı́as en el Lagrangiano, por lo que el sistema no es integrable. Bajo
estas condiciones, el movimiento es caótico para ciertos valores de parámetros.
Figura 5.29: Movimiento caótico de un trompo asimétrico con su punto inferior fijo. (a) Ω1 en
función del tiempo. (b) Diferencia ∆Ω1 en función de t para dos trayectorias correspondientes a
dos condiciones iniciales separadas en ∆Ω1 (0) = 10−6 . (c) Movimiento del trompo en el espacio.
208
5.5.
CAPÍTULO 5. MOVIMIENTO DE CUERPOS RÍGIDOS
Ecuaciones de Euler para cuerpos rı́gidos.
En el ejemplo de un trompo simétrico con su punto inferior fijo, vimos como las
ecuaciones de movimiento de un cuerpo rı́gido se pueden derivar a partir del Lagrangiano
del sistema expresado en términos de ángulos de Euler.
Alternativamente, es posible derivar las ecuaciones de movimiento a partir de las
relaciones de tranformación de cantidades vectoriales, desde el sistema de coordenadas
del laboratorio (x, y, z) al sistema (x1 , x2 , x3 ) con origen en el centro de masa y que se
mueve con el cuerpo. Para hacer esto, consideremos que los orı́genes de ambos sistemas
de coordenadas coinciden y observemos un vector A en ambos sistemas. El sistema
(x1 , x2 , x3 ) puede rotar con una velocidad angular intantánea Ω. Un cambio infinitesimal
en el vector A observado en ambos sistemas de coordenadas solamente puede diferir
debido al efecto causado por la rotación de los ejes (x1 , x2 , x3 ), es decir,
dA(x,y,z) = dA(x1 ,x2 ,x3 ) + dArot .
(5.166)
El cambio dArot causado por la rotación de (x1 , x2 , x3 ) no modifica la magnitud del
vector A, sino su dirección, al igual que un vector posición r de una partı́cula del cuerpo
rı́gido mantiene su magnitud en el sistema de coordenadas fijo en el cuerpo. En ese caso,
vimos que un cambio dr es el resultado de una rotación infinitesimal dΦ alrededor de
un eje instantáneo que pasa por el origen del sistema (x1 , x2 , x3 ), y está dado por la
Ec. (5.5), dr = dΦ × r. Luego,
dArot = dΦ × A,
(5.167)
donde dΦ = Ω dt. La variaciones temporales del vector A, vistas por dos observadores
en los sistemas de coordenadas (x, y, z) y (x1 , x2 , x3 ), están relacionadas por
dA
dA
=
+ Ω × A.
(5.168)
dt (x,y,z)
dt (x1 ,x2 ,x3 )
Esta relación es general para cualquier vector A.
En particular, si A = l,
dl
dl
=
+ Ω × l.
(5.169)
dt (x,y,z)
dt (x1 ,x2 ,x3 )
dl
Pero el torque en el sistema (x, y, z) es τ =
. Luego, podemos escribir
dt (x,y,z)
dl
τ =
+ Ω × l.
(5.170)
dt (x1 ,x2 ,x3 )
La Ec. (5.170) constituye el conjunto de ecuaciones de Euler para cuerpos
P rı́gidos.
Las componentes de l en el sistema (x1 , x2 , x3 ) están dadas por li = k Iik Ωk . Luego,
la componente i de la Ec. (5.170) es
X
τi =
Iik Ω̇k + (Ω × l)i
(5.171)
k
5.5. ECUACIONES DE EULER PARA CUERPOS RÍGIDOS.
209
Si Iik es diagonal, podemos escribir las ecuaciones de Euler como
τ1 = I11 Ω̇1 + Ω2 Ω3 (I33 − I22 )
τ2 = I22 Ω̇2 + Ω1 Ω3 (I11 − I33 )
τ3 = I33 Ω̇3 + Ω1 Ω2 (I22 − I11 )
(5.172)
Ejemplos.
1. Movimiento de un cuerpo rı́gido asimétrico libre, (τ = 0), con I33 > I22 > I11 .
Puesto que no hay torque, l = cte, i.e., la dirección y la magnitud del vector
momento angular son constantes. Por otro lado, el Lagrangiano de este sistema es
independiente del tiempo; luego la energı́a E = Trot se conserva. Existen tres grados
de libertad (los tres ángulos de Euler) y tres cantidades conservadas (dirección de
l, magnitud l y E); por lo tanto, este sistema es integrable.
El movimiento se analiza más fácilmente en términos de las componentes Ωi de la
velocidad angular en el sistema de coordenadas (x1 , x2 , x3 ), usando las ecuaciones
de Euler para cuerpos rı́gidos, Ecs. (5.172). La dirección del vector l, vista en
el sistema de coordenadas (x1 , x2 , x3 ) fijo en el cuerpo, no es constante; pero la
magnitud l y la energı́a, que son cantidades escalares, sı́ lo son.
La magnitud de la velocidad angular en el sistema de coordenadas (x1 , x2 , x3 ) es
2
2
2
l2 = l12 + l22 + l32 = I11
Ω21 + I22
Ω22 + I33
Ω23 = cte,
(5.173)
donde hemos utilizado li = Iii Ωi .
La energı́a es
E=
1
I11 Ω21 + I22 Ω22 + I33 Ω23 = cte.
2
(5.174)
Luego, las componentes de l satisfacen el par de ecuaciones
l12
l22
l32
+
+
=1
2EI11
2EI22
2EI33
l12 + l22 + l32 = l2 .
(5.175)
(5.176)
La primera
un elipsoide
√
√ecuación describe
√
√ en las componentes (l1 , l2 , l3 )√con semiejes
2EI11 , 2EI22 y 2EI33 , donde 2EI33 es el semieje mayor y 2EI11 es el
semieje menor. La segunda ecuación corresponde a una esfera de radio igual a l
en el sistema (x1 , x2 , x3 ). Ambas ecuaciones deben satisfacerse simultáneamente.
Luego, el movimiento relativo del vector l descrito en el sistema de coordenadas
(x1 , x2 , x3 ) debe ocurrir sobre una trayectoria de intersección de las dos superficies,
el elipsoide y la esfera, vistas en ese sistema. La condición para que exista tal
intersección es que el radio de la esfera se encuentre entre el semieje menor y el
semieje mayor del elipsoide, es decir,
2EI11 < l2 < 2EI33 .
(5.177)
210
CAPÍTULO 5. MOVIMIENTO DE CUERPOS RÍGIDOS
Figura 5.30: Movimiento de l en (x1 , x2 , x3 ) para un cuerpo rı́gido asimétrico libre.
Las intersecciones de la esfera con el elipsoide corresponden a curvas cerradas alrededor de los ejes x1 y x3 . Luego, el movimiento del vector l relativo al sistema
(x1 , x2 , x3 ) fijo en el cuerpo debe ser periódico; durante un perı́odo de oscilación el
vector l describe una especie de superficie cónica alrededor de x1 o de x3 , y regresa
a su posición original.
Las ecuaciones de Euler (5.172) para un cuerpo asimétrico libre, con τ1 = τ2 =
τ3 = 0, son
I11 Ω̇1 + Ω2 Ω3 (I33 − I22 ) = 0
(5.178)
I22 Ω̇2 + Ω1 Ω3 (I11 − I33 ) = 0
I33 Ω̇3 + Ω1 Ω2 (I22 − I11 ) = 0.
Estas tres ecuaciones, junto con las dos cantidades conservadas l (Ec. (5.173)) y
E (Ec. (5.174)), constituyen un sistema integrable. En efecto, multiplicando la
Ec. (5.174) por 2I33 y restando la Ec. (5.173), obtenemos
2EI33 − l2 = I11 (I33 − I11 )Ω21 + I22 (I33 − I22 )Ω22 .
(5.179)
Despejamos Ω1 en función de Ω2 ,
Ω21 =
(2EI33 − l2 ) − I22 (I33 − I22 )Ω22
.
I11 (I33 − I11 )
(5.180)
Por otro lado, multiplicando la Ec. (5.174) por 2I11 y restando ésta de la Ec. (5.173),
tenemos
l2 − 2EI11 = I22 (I22 − I11 )Ω22 + I33 (I33 − I11 )Ω23 .
(5.181)
Despejando Ω3 en función de Ω2 ,
Ω23 =
(l2 − 2EI11 ) − I22 (I22 − I11 )Ω22
.
I33 (I33 − I11 )
(5.182)
Sustituyendo las expresiones de Ω1 y de Ω2 en la segunda de las ecuaciones Ec. (5.178),
Ω̇2 = Ω1 Ω2
(I33 − I11 )
,
I22
(5.183)
5.5. ECUACIONES DE EULER PARA CUERPOS RÍGIDOS.
211
obtenemos una ecuación diferencial que depende solamente de Ω2 ,
Ω̇2 =
1/2
dΩ2
1
=
(2EI33 − l2 ) − I22 (I33 − I22 )Ω22
1/2
dt
I22 [I11 I33 ]
1/2
× (l2 − 2EI11 ) − I22 (I22 − I11 )Ω22
.
(5.184)
De la Ec. (5.184), podemos calcular t = t(Ω2 ) mediante integración explı́cita en
términos de funciones elı́pticas y, por inversión, obtenemos Ω2 (t). Sustitución de
Ω2 (t) en Ec. (6.321) y en la Ec. (5.182) permite obtener Ω1 (t) y Ω3 (t), respectivamente.
La dependencia temporal de los ángulos de Euler (θ, φ, ψ) para el cuerpo rı́gido
ası́metrico puede obtenerse sustituyendo las soluciones Ωi (t) en las Ecs. (5.22); sin
embargo, el procedimiento es laborioso.
Este ejemplo ilustra las dificultades matemáticas generadas por la presencia de no
linealidades en sistemas dinámicos, aunque éstos sean integrables.
Puesto que el movimiento del vector l relativo al sistema (x1 , x2 , x3 ) es periódico,
podemos simplificar las ecuaciones Ecs. (5.178) considerando el movimiento de pequeñas oscilaciones de l alrededor de los ejes x1 , x2 y x3 .
i) Pequeñas oscilaciones de l alrededor de x1 .
Supongamos que las componentes l2 y l3 son pequeñas. Entonces, las relaciones
l2 = I22 Ω2 ,
l3 = I33 Ω3 ,
(5.185)
implican que también las componentes Ω2 y Ω3 son pequeñas. Luego, el producto
Ω2 Ω3 es muy pequeño y puede ser despreciado en la ecuación de Euler para Ω̇1 en
las Ecs. (5.178), lo cual da
Ω̇1 ≈ 0
⇒
Ω1 ≈ cte.
(5.186)
Entonces, la segunda y la tercera de las ecuaciones de Euler Ecs. (5.178) dan
Ω̇2 =
(I33 − I11 )
Ω1 Ω3
I22
(5.187)
(I22 − I11 )
Ω1 Ω2 .
I33
(5.188)
Ω̇3 = −
Derivando respecto al tiempo la Ec. (5.187) o la Ec. (5.188), y sustituyendo el
resultado en la otra ecuación, tenemos
Ω̈2,3 = −
(I33 − I11 )(I22 − I11 ) 2
Ω1 Ω2,3 ,
I22 I33
(5.189)
la cual se puede escribir como la ecuación de un oscilador armónico,
Ω̈2,3 = −ωx21 Ω2,3 ,
(5.190)
212
CAPÍTULO 5. MOVIMIENTO DE CUERPOS RÍGIDOS
con ωx21 > 0, donde
s
ωx1 = Ω1
(I33 − I11 )(I22 − I11 )
,
I22 I33
(5.191)
es la frecuencia de pequeñas oscilaciones estables del vector l alrededor del eje x1 .
ii) Pequeñas oscilaciones de l alrededor del eje x3 .
En este caso, asumimos que las componentes l1 y l2 son pequeñas y, por lo tanto,
Ω1 y Ω2 también son pequeñas. Despreciando el producto Ω1 Ω2 en la ecuación de
Euler para Ω̇3 en las Ecs. (5.178), obtenemos
I33 Ω̇3 ≈ 0
⇒
Ω3 ≈ cte.
(5.192)
La primera y la segunda de las ecuaciones Ecs. (5.178) dan
(I33 − I22 )
Ω3 Ω2
I11
(5.193)
(I33 − I11 )
Ω3 Ω1 ,
I22
(5.194)
Ω̇1 = −
Ω̇2 =
las cuales conducen a
Ω̈1,2
Ω̈1,2
(I33 − I22 )(I33 − I11 ) 2
Ω3 Ω1,2
I11 I22
= −ωx23 Ω1,2 ,
= −
(5.195)
(5.196)
con ωx23 > 0, donde
s
ωx3 = Ω3
(I33 − I22 )(I33 − I11 )
.
I11 I22
(5.197)
es la frecuencia de pequeñas oscilaciones estables del vector l alrededor del eje x3 .
iii) Pequeñas oscilaciones de l alrededor del eje x2 . Entonces, tomamos las componentes l1 y l3 pequeñas y también Ω1 y Ω3 . Entonces el producto Ω1 Ω3 puede
despreciarse en la ecuación de Euler para Ω̇3 en las Ecs. (5.178), lo cual da
I22 Ω̇2 ≈ 0
⇒
Ω2 ≈ cte.
(5.198)
La primera y la tercera de las ecuaciones Ecs. (5.178) dan
(I33 − I22 )
Ω3 Ω2
I11
(5.199)
(I22 − I11 )
Ω2 Ω1 .
I33
(5.200)
Ω̇1 = −
Ω̇3 = −
5.5. ECUACIONES DE EULER PARA CUERPOS RÍGIDOS.
213
las cuales llevan a
Ω̈1,3
Ω̈1,3
(I33 − I22 )(I22 − I11 ) 2
Ω2 Ω1,3
I11 I33
= ωx22 Ω1,3 ,
=
(5.201)
(5.202)
con ωx22 > 0, donde
s
ω(x2 ) = Ω2
(I33 − I22 )(I22 − I11 )
.
I11 I33
(5.203)
En este caso, la solución Ω1,3 = Keω(x2 ) t crece con el tiempo y, por lo tanto, las
componentes l1 y l3 aumentan. Luego, el vector l se aleja del eje x2 y el movimiento
de pequeñas oscilaciones de l alrededor de x2 es inestable.
2. El girocompás.
Es un instrumento usado en la navegación que permite indicar el Norte geográfico
sin referencia al campo magnético terrestre. Consiste en un disco con momentos
principales de inercia I11 = I22 6= I33 , el cual gira con velocidad angular constante
ω alrededor del eje perpendicular a su plano, que llamamos x3 . Simultáneamente,
el disco puede rotar libremente un ángulo θ alrededor de un eje perpendicular a x3 ,
como se muestra en la Fig. (5.31).
Figura 5.31: Girocompás.
Sea ν la magnitud de la velocidad angular de la Tierra alrededor de su eje NorteSur, y supongamos que ω ν. Llamemos α al ángulo de latitud sobre el Ecuador
del instrumento. Consideremos el sistema de coordenadas (x, y, z) fijo en la Tierra
y el sistema (x1 , x2 , x3 ) con origen en el centro de masa del disco, como se indica
en la Fig. (5.32).
214
CAPÍTULO 5. MOVIMIENTO DE CUERPOS RÍGIDOS
Figura 5.32: Sistemas de referencia (x, y.z) y (x1 , x2 , x3 ) para el girocompás. Izquierda: velocidad angular de la Tierra y latitud α del instrumento. Derecha: vista instantánea del girocompás
desde el eje x2 , paralelo al eje y y a la dirección de θ̇. NS: dirección Norte-Sur local corresponde
al eje z.
Las componentes de la velocidad angular de la Tierra en (x, y.z) son
νx
=
0
(5.204)
νy
= ν sin α
(5.205)
νz
= ν cos α
(5.206)
Supongamos que la dirección de θ̇ en un instante dado está sobre el eje x2 (simetrı́a
del disco permite esta simplificación). Entonces, las componentes de la velocidad
angular instantánea Ω del disco en (x1 , x2 , x3 ) se pueden expresar como (Fig. (5.32))
Ω1
= −νz sin θ = −ν cos α sin θ
(5.207)
Ω2
Ω3
= νy + θ̇ = ν sin α + θ̇
= νz cos θ + ω = ν cos α cos θ + ω
(5.208)
(5.209)
Puesto que el instrumento es libre de rotar sobre el eje y, no hay componente del
torque en dirección de y, que corresponde en este instante al eje x2 . Entonces,
consideremos la ecuación de Euler Ec. (5.172) correspondiente a τ2 = 0,
τ2 = I22 Ω̇2 + Ω1 Ω3 (I11 − I33 ) = 0.
(5.210)
Sustitución de las componentes de Ω da
I11 θ̈ + (I33 − I11 )ν cos α sin θ (ν cos α cos θ + ω) = 0.
(5.211)
dondehemos usado I11 = I22 . Pero ω ν ⇒ ω ν cos α cos θ. Luego, podemos
escribir
I11 θ̈ + (I33 − I11 )νω cos α sin θ ≈ 0
(5.212)
5.5. ECUACIONES DE EULER PARA CUERPOS RÍGIDOS.
215
La Ec. (5.212) tiene la misma forma que la ecuación de movimiento de un péndulo
simple. En el lı́mite de pequeñas oscilaciones en θ, tenemos sin θ ≈ θ. Luego,
θ̈ +
(I33 − I11 )
νω cos α θ ≈ 0
I11
(5.213)
La Ec. (5.213) es similar a la ecuación de un oscilador armónico,
donde
ωc2 =
θ̈ + ωc2 θ ≈ 0
(5.214)
(I33 − I11 )
νω cos α
I11
(5.215)
es la frecuencia para pequeñas oscilaciones del eje x3 del disco alrededor del eje z,
que apunta hacia el Norte. Luego, el punto de equilibrio θ = 0 de la oscilación del
eje x3 señala la dirección del Norte geográfico.
Notemos que la medida directa de la frecuencia de oscilación ωc en la Ec. (5.214)
permite a su vez calcular la latitud α sin ninguna referencia externa. Por ejemplo,
ωc = 0 ⇒
ωc = máxima ⇒
α = π2 , Polo Norte.
α = 0, Ecuador.
(5.216)
(5.217)
3. Efecto Coriolis.
Una aplicación importante de la Ec. (5.168) es la descripción del movimiento de
una partı́cula en un sistema en rotación, y por tanto, no inercial.
Figura 5.33: Gaspard-Gustave de Coriolis (1792-1843).
Sean (x, y, z, ) un sistema inercial (por ejemplo, con respecto a las estrellas fijas)
y (x1 , x2 , x3 ) un sistema de coordenadas en rotación (por ejemplo, la Tierra) con
velocidad angular constante Ω relativa al sistema inercial. Entonces, la Ec. (5.168)
aplicada al vector de posición r de la partı́cula desde el origen común de ambos
sistemas da
v = vrot + Ω × r,
(5.218)
216
CAPÍTULO 5. MOVIMIENTO DE CUERPOS RÍGIDOS
donde suprimimos el subı́ndice (x, y, z) en las cantidades referidas al sistema inercial
y usamos el subı́ndice “rot” en lugar de (x1 , x2 , x3 ) para las cantidades medidas en
el sistema en rotación.
La derivada temporal del vector v vista por dos observadores en los sistemas de
coordenadas (x, y, z) y (x1 , x2 , x3 ) está dada a su vez por la Ec. (5.168),
dv
dv
=
+ Ω × v.
(5.219)
dt
dt rot
Sustituyendo Ec. (5.218) en la Ec. (5.219), tenemos
dvrot
dv
=
+ Ω × vrot + Ω × (vrot + Ω × r)
dt
dt
rot
dvrot
=
+ 2Ω × vrot + Ω × (Ω × r).
dt
rot
Multiplicando por la masa de la partı́cula m, la Ec. (5.220) queda
dv
dvrot
m
=m
+ 2mΩ × vrot + mΩ × (Ω × r).
dt
dt
rot
(5.220)
(5.221)
La ecuación de movimiento en el sistema inercial (x, y, z) es simplemente
F=m
dv
.
dt
(5.222)
Entonces, la Ec. (5.221) puede expresarse como
F − 2mΩ × vrot − mΩ × (Ω × r) = m
dvrot
dt
.
(5.223)
rot
Luego, para un observador en el sistema en rotación, el movimiento de la partı́cula
se describe como si ésta estuviera sujeta a una fuerza efectiva
dvrot
Fef = m
,
(5.224)
dt
rot
donde
Fef = F + Fc + Fcf ,
(5.225)
e identificamos
Fcf = −mΩ × (Ω × r)
(5.226)
2
como la fuerza centrı́fuga, cuya magnitud es la expresión familiar Fcf = mΩ r sin θ,
donde θ es el ángulo entre Ω y r, mientras que el término
Fc = 2m vrot × Ω
(5.227)
se denomina fuerza de Coriolis. Tanto la fuerza de Coriolis como la fuerza centrı́fuga
son fuerzas ficticias, introducidas por un observador en el sistema no inercial en
rotación para describir el movimiento de una partı́cula.
5.5. ECUACIONES DE EULER PARA CUERPOS RÍGIDOS.
217
Figura 5.34: Desviación de la trayectoria de un proyectil en la Tierra debida al efecto Coriolis.
Izquierda: hemisferio Norte. Derecha: hemisferio Sur.
4. Movimiento libre de un trompo simétrico (I11 = I22 6= I33 ).
En este caso, τ1 = τ2 = τ3 = 0, y l es constante. Tomamos la dirección constante
de l en la dirección z.
Figura 5.35: Movimiento libre de un trompo.
Las ecuaciones de Euler (5.172) se reducen a
I11 Ω̇1 = −Ω2 Ω3 (I33 − I11 )
I11 Ω̇2 = Ω1 Ω3 (I33 − I11 )
I33 Ω̇3 = 0.
(5.228)
218
CAPÍTULO 5. MOVIMIENTO DE CUERPOS RÍGIDOS
La tercera equación da Ω3 = cte. Puesto que l3 = l cos θ, tenemos
⇒
l3 = I33 Ω3 = l cos θ
Ω3 =
l cos θ
= cte
I33
⇒
θ = cte.
(5.229)
La primera y la segunda ecuación se pueden entonces escribir como
Ω̇1 = −ωΩ2
(5.230)
Ω̇2 = −ωΩ1 ,
(5.231)
donde definimos
ω=
(I33 − I11 )
(I33 − I11 )
Ω3 =
l cos θ = cte.
I11
I11 I33
(5.232)
Luego,
Ω̈1 = −ω Ω̇2
⇒
Ω̈1 = −ω 2 Ω1 .
(5.233)
Las soluciones para Ω1 y Ω2 son
Ω1 = A cos ωt
Ω2 = A sin ωt
(5.234)
donde A = (Ω21 + Ω22 )1/2 es constante. Luego, Ω rota con respecto a la dirección
fija de l, manteniendo su proyección Ω3 sobre el eje x3 constante mientras que su
proyección sobre el plano (x1 , x2 ) rota con velocidad angular constante ω.
La velocidad angular de precesión φ̇, tanto del eje x3 como del vector Ω, alrededor
de l (eje z) se puede calcular a partir de
l2 = I22 Ω2 = l sin θ.
(5.235)
Sustituyendo la expresión de Ω2 en términos de los ángulos de Euler, y tomando
ψ = 0 (usando la simetrı́a axial del trompo), tenemos
I22 φ̇ sin θ = l sin θ ⇒ φ̇ =
l
I11
.
(5.236)
La velocidad angular de rotación ψ̇ del trompo sobre su eje x3 se puede calcular
usando
Ω3
⇒ ψ̇
= ψ̇ + φ̇ cos θ
(5.237)
Ω3 − φ̇ cos θ
l cos θ
l
=
−
cos θ
I33
I11
(I33 − I11 )
=
l cos θ = ω.
I11 I33
(5.238)
=
(5.239)
(5.240)
5.5. ECUACIONES DE EULER PARA CUERPOS RÍGIDOS.
219
Figura 5.36: Rotación del vector Ω en los sistemas de referencia (x, y, z) y (x1 , x2 , x3 ).
El vector Ω ejecuta dos rotaciones, vistas desde los dos sistemas de referencia:
una rotación en el sistema (x, y, z) describiendo un cono alrededor de la dirección
z = l, con velocidad angular de precesión φ̇; y una rotación en el sistema (x1 , x2 , x3 )
describiendo otro cono alrededor del eje x3 del trompo, con velocidad angular ω =
ψ̇. El vector l también rota con velocidad angular ψ̇ alrededor de x3 , visto desde el
sistema (x1 , x2 , x3 ).
220
5.6.
CAPÍTULO 5. MOVIMIENTO DE CUERPOS RÍGIDOS
Problemas
1. Una moneda de masa m y radio a está rodando sin deslizar por el suelo con velocidad v, describiendo una circunferencia de radio R y manteniendo un ángulo
constante α con respecto al suelo. Determine α.
2. Un placa uniforme, formada por un triángulo con dos lados iguales de longitud a,
rota con velocidad angular ω alrededor de un eje que pasa por uno de esos lados.
a) Calcule el vector de momento angular de la placa.
b) Calcule la energı́a cinética de la placa.
3. Un trompo uniforme de masa M con su extremo inferior fijo en el suelo está girando
sobre su eje de simetrı́a con velocidad angular Ω, inicialmente en posición vertical
(θ = 0, θ̇ = 0). Los momentos principales de inercia son I3 , I1 = I2 . El centro de
masa se ubica a una distancia a del punto inferior del trompo.
a) Encuentre las cantidades conservadas en el sistema en función de las condiciones
iniciales.
b) Calcule el ángulo máximo que se puede inclinar el trompo.
4. Un disco uniforme de masa m y radio a está girando con velocidad angular constante
Ω alrededor de un eje que pasa por su centro y que forma un ángulo θ con la normal
a la superficie del disco.
a) Calcule el valor de θ para que el ángulo entre la velocidad angular y el momento
angular del disco sea de 15o .
b) Encuentre la energı́a cinética del disco.
5. Calcule los momentos principales de inercia de un cono uniforme de masa M , altura
h y base circular de radio R.
6. Una placa semicircular uniforme de masa m y radio a se encuentra sobre una
superficie plana. Calcule la frecuencia de pequeñas oscilaciones de la placa alrededor
de su posición de equilibrio.
7. Un aro de masa M y radio R está girando con velocidad angular constante Ω
alrededor de un eje que pasa por su centro y que forma un ángulo α con la normal
al plano del aro. Calcule la magnitud y dirección del momento angular del aro.
8. Un cilindro de densidad uniforme ρ, radio R y altura h gira con velocidad angular
constante ω alrededor de su eje longitudinal. El cilindro tiene una cavidad esférica
de radio R/2 tangente a su eje. Calcule la energı́a cinética del cilindro.
5.6. PROBLEMAS
221
9. Una varilla uniforme de longitud 2l posee sus extremos en contacto sin fricción con
un aro vertical fijo de radio R > l. Calcule la frecuencia de pequeñas oscilaciones
de la varilla.
10. Un hemisferio sólido y uniforme de masa M y radio R se encuentra sobre una superficie plana. Calcule la frecuencia de pequeñas oscilaciones del hemisferio alrededor
de su posición de equilibrio.
11. Una varilla de masa m y longitud l tiene un extremo en una pared y el otro en el
suelo. Desprecie la fricción.
a) Encuentre la ecuación de movimiento de la varilla.
b) Si la varilla se suelta desde el reposo, formando un ángulo α con el suelo, calcule
la velocidad de su centro de masa cuando la varilla choca contra el suelo.
c) Determine el tiempo que tarda en chocar.
222
CAPÍTULO 5. MOVIMIENTO DE CUERPOS RÍGIDOS
12. Una placa rectangular uniforme, de masa m y lados a y 2a, está rotando con
velocidad angular constante ω alrededor de una de sus diagonales.
a) Encuentre la energı́a cinética de rotación de la placa.
b) Determine la magnitud del momento angular de la placa.
c) Encuentre el ángulo entre el momento angular y la velocidad angular.
13. Encuentre la frecuencia para pequeñas oscilaciones de un péndulo plano formado
por varilla de masa despreciable, con un extremo fijo y el otro extremo unido a una
esfera de radio R y masa M .
14. Tres estrellas, con masas m1 , m2 y m3 , se encuentran ubicadas en el espacio formando los vértices de un triángulo equilátero. Determine la velocidad angular del
movimiento de rotación tal que esta configuración permanezca invariante.
15. Un cono circular uniforme de altura h, ángulo de vértice α y masa m rueda sobre
su lado sin deslizar sobre un plano horizontal.
a) Encuentre la energı́a cinética.
c) Calcule el tiempo requerido para retornar a la posición original del cono.
b) Calcule las componentes del momento angular del cono.
16. Una bola de densidad uniforme rueda sin deslizar sobre un disco que gira en un
plano horizontal con velocidad angular Ω. La bola se mueve en un cı́rculo de radio
r centrado en el eje del disco, con velocidad angular ω. Encuentre ω.
Capı́tulo 6
Dinámica Hamiltoniana
6.1.
Ecuaciones de Hamilton.
La formulación de la Mecánica a partir del Lagrangiano L(qi , q̇i , t), i = 1, 2, . . . , s,
describe el movimiento de un sistema en términos de sus coordenadas y velocidades
generalizadas, lo cual se denomina el espacio de configuración (qi , q̇i ).
Otra descripción alternativa del movimiento de un sistema es posible en términos de
sus coordenadas generalizadas qi y de sus momentos conjugados pi , lo cual se llama el
espacio de fase (pi , qi ) del sistema. El espacio de fase es empleado para representar la
evolución de sistemas en diversas áreas de la Fı́sica, tales como Mecánica Estadı́stica y
Sistemas Dinámicos.
Veamos cómo transformar la descripción del movimiento desde el espacio de configuración (q1 , q̇i ) al espacio de fase (pi , qi ). Consideremos un sistema cuyo Lagrangiano es
L(qi , q̇i , t). El diferencial total del Lagrangiano como función de sus argumentos es
X ∂L
X ∂L
∂L
dqi +
dq̇i +
dt.
(6.1)
dL(qi , q̇i , t) =
∂q
∂
q
˙
∂t
i
i
i
i
Los momentos conjugados asociado a las coordenadas generalizadas {qi } son
pi =
∂L
= pi (qi , q̇i , t) i = 1, 2, . . . , s.
∂ q̇i
(6.2)
A partir del conjunto de Ecs. (6.2) es posible, en principio, obtener las velocidades generalizadas q̇i como función de los momentos pi , las coordenadas qi y t,
q̇i = q̇i (pi , qi , t) i = 1, 2, . . . , s.
Las ecuaciones de Lagrange correspondientes se pueden escribir
d ∂L
∂L
=
dt ∂ q̇i
∂qi
∂L
.
⇒ ṗi =
∂qi
223
(6.3)
(6.4)
(6.5)
224
CAPÍTULO 6. DINÁMICA HAMILTONIANA
Sustitución en la Ec. (6.1) da
dL =
X
ṗi dqi +
i
X
pi dq̇i +
i
∂L
dt ,
∂t
(6.6)
lo que se puede expresar como
!
dL =
X
X
ṗi dqi +
i
d(pi q̇i ) −
X
i
q̇i dpi
+
i
∂L
dt ;
∂t
(6.7)
es decir,
!
d
X
pi q̇i − L
=
X
i
q̇i dpi −
X
i
ṗi dqi −
i
∂L
dt .
∂t
(6.8)
El lado izquierdo de la Ec. (6.8) corresponde al diferencial total de una función de varias
variables. El lado derecho de la Ec. (6.8), que contiene los diferenciales dpi , dqi y dt,
indica que los argumentos de esta función son (pi , qi , t). Si expresamos las velocidades
generalizadas q̇i = q̇i (pi , qi , t), podemos definir esta función como
X
X
H(pi , qi , t) ≡
pi q̇i − L =
pi q̇i (pi , qi , t) − L(qi , q̇i (pi , qi , t), t) .
(6.9)
i
i
La función H(pi , qi , t) se llama el Hamiltoniano del sistema. Entonces, la Ec. (6.8) se
puede escribir como
dH(qi , pi , t) =
X
q̇i dpi −
i
X
i
ṗi dqi −
∂L
dt .
∂t
(6.10)
Por otro lado, como función de sus argumentos (qi , pi , t), el diferencial total del Hamiltoniano es
X ∂H
X ∂H
∂H
dqi +
dpi +
dH(qi , pi , t) =
dt.
(6.11)
∂q
∂p
∂t
i
i
i
Comparando términos en las Ecs. (6.10) y (6.11), tenemos
∂H
,
∂pi
∂H
ṗi = −
,
∂qi
q̇i =
además de
(6.12)
(6.13)
∂H
∂L
=−
.
(6.14)
∂t
∂t
Las ecuaciones Ecs. (6.12) y (6.13) se denominan ecuaciones de Hamilton y constituyen
un sistema de 2s ecuaciones diferenciales de primer orden con respecto al tiempo para qi
y pi , i = 1, 2, . . . , s. Las soluciones qi (t) y pi (t) de las ecuaciones de Hamilton requieren
6.1. ECUACIONES DE HAMILTON.
225
2s constantes de integración relacionadas con las s condiciones iniciales qi (0) para las
coordenadas y las pi (0) s condiciones iniciales para los momentos. El estado dinámico
del sistema en un tiempo t se puede representar como un punto (qi (t), pi (t)) en el espacio
de fase euclideano 2s-dimensional (qi , pi ), donde cada coordenada qi y cada momento
pi corresponde a un eje cartesiano de ese espacio. Las soluciones de las ecuaciones de
Hamilton corresponden a una trayectoria (qi (t), pi (t)) en el espacio de fase 2s-dimensional
(qi , pi ) que pasan por el punto (qi (0), pi (0)).
Figura 6.1: Trayectoria en el espacio de fase.
Note que el Hamiltoniano H es equivalente a la función de energı́a (Cap. 1) expresada
en variables del espacio de fase,
E(qi , q̇i )
X ∂L
q̇i − L(qi , q̇i , t)
∂ q̇i
i
X
=
pi q̇i − L = H(qi , pi , t)
=
en coordenadas (qi , pi ).
(6.15)
i
Por otro lado,
dH
(qi , pi , t)
dt
=
=
X ∂H
∂H X ∂H
q̇i +
ṗi
+
∂t
∂qi
∂pi
i
i
∂H
∂H X ∂H ∂H X ∂H ∂H
−
=
+
.
∂t
∂qi ∂pi
∂pi ∂qi
∂t
i
i
Es decir, si el Hamiltoniano no depende explicitamente del tiempo, entonces H(qi , pi ) es
constante. Similarmente, si el Lagrangiano L no depende explicitamente de t, la función
de energı́a es constante.
Si el Hamiltoniano es constante, la ecuación H(qi , pi ) = cte representa una superficie
de (2s − 1) dimensiones sobre la cual se mueve la trayectoria (qi (t), pi (t)) en el espacio
de fase 2s-dimensional. La trayectoria correspondiente a un sistema oscilatorio debe ser
una curva cerrada sobre la superficie H(qi , pi ) = cte, de modo que los valores de las
coordenadas y de los momentos del sistema se repiten en el tiempo.
Un sistema caracterizado por un Lagrangiano siempre tiene un Hamiltoniano asociado. En la formulación Lagrangiana, el movimiento de un sistema con s grados de libertad
226
CAPÍTULO 6. DINÁMICA HAMILTONIANA
se describe en términos de s ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden en
el tiempo para las coordenadas generalizadas qi , (i = 1, 2, . . . , s); mientras que en la
formulación Hamiltoniana, la dinámica del sistema se expresa mediante 2s ecuaciones
diferenciales de primer orden con respecto al tiempo: s ecuaciones para las coordenadas
qi y s ecuaciones para los momentos conjugados pi . Formalmente, el Hamiltoniano corresponde a una transformación de Legendre del Lagrangiano (Apéndice C). Desde el punto
de vista matemático, ambas formulaciones son equivalentes. Sin embargo, la formulación
Hamiltoniana permite conectar la Mecánica Clásica con otras áreas de la Fı́sica, tales
como Sistemas Dinámicos, Mecánica Estadı́stica y Teorı́as de Campos.
Figura 6.2: William Rowan Hamilton (1805-1865).
Ejemplos.
1. Encontrar las ecuaciones de movimiento de un oscilador armónico en la formulación
Hamiltoniana.
El Lagrangiano es
1 2 1 2
mq̇ − kq .
2
2
puesto que s = 1, hay un momento conjugado:
L=T −V =
p=
∂L
= mq̇
∂ q̇
⇒
q̇ =
p
.
m
(6.16)
(6.17)
El Hamiltoniano es
1
1
H(q, p) = pq̇ − L = pq̇ − mq̇ 2 + kq 2 .
2
2
Sustituyendo q̇ =
p
,
m
H(q, p) =
1
p2
+ kq 2 .
2m 2
(6.18)
(6.19)
6.1. ECUACIONES DE HAMILTON.
227
Las ecuaciones de Hamilton son
∂H
p
=
,
∂p
m
∂H
ṗ = −
= −kq.
∂q
q̇ =
(6.20)
(6.21)
Las ecuaciones de Hamilton para el oscilador armónico se pueden resolver, al igual
que la correspondiente ecuación de Lagrange. Derivando la Ec. (6.21) obtenemos,
p̈ = −k q̇ = −
k
p,
m
(6.22)
cuya solución es
ω2 =
p(t) = A cos(ωt + ϕ),
k
.
m
(6.23)
Sustituyendo en la Ec. (6.20), obtenemos
q(t) =
A
sin(ωt + ϕ).
mω
El Hamiltoniano es independiente del tiempo,
H(q, p) =
∂H
∂t
(6.24)
= 0, lo cual implica que
p2
1
+ kq 2 = cte.
2m 2
(6.25)
La función H(q, p) = cte corresponde a una elipse (curva unidimensional) en el
espacio de fase bidimensional (q, p) y determina los valores posibles de q(t) y p(t)
para todo tiempo t. La trayectoria descrita por q(t), p(t) se mueve sobre la elipse
H = cte.
Figura 6.3: La función H(q, p) = cte para un oscilador armónico en su espacio de fase.
2. Encontrar las ecuaciones de Hamilton para una partı́cula de masa m moviéndose
sobre un cono vertical cuyo ángulo en el vértice es α.
El Lagrangiano fue calculado en el Cap. 1,
L=T −V =
1
1 2
mṙ csc2 α + mr2 ϕ̇2 − mgr cot α.
2
2
(6.26)
228
CAPÍTULO 6. DINÁMICA HAMILTONIANA
Los momentos conjugados a las coordenadas r y ϕ son
∂L
∂ ṙ
∂L
pϕ =
∂ ϕ̇
pr =
= mṙ csc2 α
(6.27)
= mr2 ϕ̇.
(6.28)
Luego,
ṙ
=
ϕ̇
=
pr
m csc2 α
pϕ
.
mr2
(6.29)
(6.30)
El Hamiltoniano es
H=
X
i
1
1
pi q̇i − L = pr ṙ + pϕ ϕ̇ − mṙ2 csc2 α − mr2 ϕ̇2 + mgr cot α.
2
2
(6.31)
Sustituyendo ṙ y ϕ̇, obtenemos
H(r, ϕ, pr , pϕ )
=
p2ϕ
p2r
+
+ mgr cot α.
2m csc2 α 2mr2
(6.32)
Las ecuaciones de Hamilton son
ϕ̇
ṙ
ṗϕ
ṗr
∂H
pϕ
=
∂pϕ
mr2
pr
∂H
=
=
∂pr
m csc2 α
∂H
= −
= 0 ⇒ pϕ = mr2 ϕ̇ = cte
∂ϕ
p2ϕ
∂H
= −
=
− mg cot α.
∂r
mr3
=
(6.33)
(6.34)
(6.35)
(6.36)
Adicionalmente,
∂H
=0
∂t
⇒
H(r, ϕ, pr , pϕ ) = cte.
(6.37)
La función H(r, ϕ, pr , pϕ ) = cte describe una hipersuperficie 3-dimensional en el
espacio de fase 4-dimensional correspondiente a r, ϕ, pr , pϕ .
3. Encontrar el Hamiltoniano de una partı́cula de masa m y carga q, moviéndose con
velocidad v, en un campo electromagnético E y B.
La energı́a potencial de la partı́cula en el campo electromagnético es (Cap. 2)
q
V = qφ − A · v,
c
(6.38)
6.1. ECUACIONES DE HAMILTON.
229
donde el potencial escalar φ y el potencial vector A están relacionados con los
campos E y B mediante
E = −∇φ −
1 ∂A
,
c ∂t
B = ∇ × A.
(6.39)
El Lagrangiano es
q
1
mv 2 − qφ + A · v.
2
c
En coordenadas cartesianas, L se puede expresar como
L=T −V =
L(xi , ẋi ) =
3
3
1 X 2
qX
m
ẋi − qφ +
Ai ẋi .
2 i=1
c i=1
(6.40)
(6.41)
Los momentos conjugados son
pj =
q
∂L
= mẋj + Aj ;
∂ ẋj
c
(6.42)
q 1 p j − Aj .
m
c
(6.43)
luego,
ẋj =
El Hamiltoniano de la partı́cula es
H=
X
pj ẋj − L.
(6.44)
j
Sustituyendo la velocidad ẋj de la Ec. (6.43), tenemos
1 qX
1 X q 1 X
q 2
q H =
p j p j − Aj −
pj − Aj + qφ −
Aj p j − Aj
m j
c
2m j
c
mc j
c
1 X
q 1 X
q q 2
=
p j − Aj p j − Aj −
pj − Aj + qφ
m j
c
c
2m j
c
1 X
q 2
1 X
q 2
=
p j − Aj −
pj − Aj + qφ
m j
c
2m j
c
1 X
q 2
=
pj − Aj + qφ.
(6.45)
2m j
c
Luego, el Hamiltoniano para una partı́cula en un campo electromagnético es
1 q 2
(6.46)
H(r, p) =
p − A + qφ .
2m
c
Cabe destacar que el Hamiltoniano para una partı́cula en un campo electromagnético en Mecánica Cuántica tiene la misma forma que en la Mecánica Clásica, Ec. (6.46).
230
CAPÍTULO 6. DINÁMICA HAMILTONIANA
6.2.
Sistemas dinámicos, espacio de fase y Teorema
de Liouville.
Un sistema cuyo estado (o conjunto de estados) evoluciona de acuerdo a reglas determinadas constituye un sistema dinámico. Las reglas especifican cómo cambia el estado del
sistema a partir de un estado dado. Estas reglas pueden consistir en ecuaciones diferenciales, funciones iterativas, o por un algoritmo (conjunto de instrucciones). El conjunto
de n estados de un sistema dinámico en un instante t se puede representar por un vector
de variables de estado definido en un espacio de fase euclideano n-dimensional,
x(t) = (x1 (t), x2 (t), . . . , xn (t)) .
(6.47)
La evolución del estado x(t) en muchos sistemas fı́sicos, quı́micos, biológicos, sociales,
económicos, etc., se puede describir mediante ecuaciones diferenciales de la forma
dx(t)
= f (x(t)),
dt
(6.48)
f (x) = (f1 (x), f2 (x), . . . , fn (x)) .
(6.49)
donde
Si el tiempo no aparece explı́citamente en la Ec. (6.48), se dice que el sistema dinámico
es autónomo.
Los puntos fijos o estacionarios x∗ del sistema Ec. (6.48) están dados por
dx(t)
dt
= f (x∗ ) = 0.
(6.50)
x∗
La Ec. (6.48) equivale al sistema de n ecuaciones diferenciales de primer orden
ẋ1 = f1 (x1 , x2 , . . . , xn )
..
..
.
.
ẋn = fn (x1 , x2 , . . . , xn ).
(6.51)
En general, una ecuación diferencial ordinaria de orden n para una variable se puede expresar como un sistema de n ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden para n variables. La solución del sistema de n ecuaciones diferenciales de primer
orden Ec. (6.48) para x(t) ∈ <n requiere el conocimiento de n condiciones iniciales
x(0) = (x1 (0), x2 (0), . . . , xn (0)).
Ejemplos.
1. Las ecuaciones de Hamilton de un sistema mecánico con s grados de libertad constituyen un sistema dinámico 2s-dimensional, i = 1, . . . , s,
∂H
q̇i =
= fi (qj , pj ),
i = 1, . . . , s
(6.52)
∂pi
∂H
= fi (qj , pj ),
i = s + 1, . . . , 2s
ṗi = −
(6.53)
∂qi
6.2. SISTEMAS DINÁMICOS, ESPACIO DE FASE Y TEOREMA DE LIOUVILLE.231
2. El modelo de Lotka-Volterra describe la evolución de dos poblaciones, predadores
y presas, en un sistema ecológico, mediante las ecuaciones
ċ =
αc − βcz = f1 (c, z)
ż = −γz + δcz = f2 (c, z),
(6.54)
donde c representa el número de presas (por ejemplo conejos), y z corresponde al
número de sus depredadores (por ejemplo zorros). Las derivadas ċ, ż representan
la tasa de crecimiento de cada población, respectivamente. Los parámetros son: α:
tasa de nacimiento de las presas; β: tasa de presas comidas por los depredadores;
γ: tasa de muerte de los depredadores; δ: tasa de crecimiento de los depredadores
alimentándose de las presas.
Figura 6.4: Espacio de fase bidimensional (c, z) en el modelo de Lotka-Volterra para valores
dados de los parámetros α, β, γ y δ.
3. Las ecuaciones de Lorenz, propuestas originalmente como un modelo simplificado
de variables climáticas, forman un sistema dinámico no lineal, tridimensional,
ẋ =
−ax + ay =
f1 (x, y, z),
ẏ = −xz + rx − y = f2 (x, y, z),
ż =
xy − bz =
f3 (x, y, z).
(6.55)
El fenómeno de caos fue descubierto por primera vez en estas ecuaciones. Para
cierto rango de valores de los parámetros a, b, y r, este sistema es caótico; es decir,
presenta sensibilidad extrema ante cambios de las condiciones iniciales. En ese caso,
la trayectoria x(t) = (x, y, z) es aperiódica (no se cierra) y describe una intrincada
estructura geométrica en el espacio de fase, denominada atractor de Lorenz.
232
CAPÍTULO 6. DINÁMICA HAMILTONIANA
Figura 6.5: Atractor de Lorenz.
Teorema de existencia y unicidad.
Dado un sistema dinámico descrito por la Ec. (6.48),
dx(t)
= f (x(t))
dt
definido en un subespacio U ∈ <n , tal que f (x) satisface la propiedad de
Lipschitz,
|f (y) − f (x)| ≤ k |y − x|
1/2
donde |x| ≡ x21 + x22 + · · · + x2n
, para algún k < ∞, y dado un punto
x(0) ∈ U , existe una solución única x(t) que satisface esta ecuación para
t ∈ (0, τ ) con condición inicial x(0). Figura 6.6: Teorema de unicidad en un espacio de fase tridimensional.
La propiedad de Lipschitz (no singularidad) es, en general, satisfecha por las funciones
que describen sistemas fı́sicos.
6.2. SISTEMAS DINÁMICOS, ESPACIO DE FASE Y TEOREMA DE LIOUVILLE.233
El vector de estado del sistema x(t) en el espacio de fase se asemeja a un vector de
posición de una partı́cula en un sistema de coordenadas espaciales cartesianas. El vector
f (x) describe la velocidad dx/dt y es siempre tangente a la trayectoria x(t) en el espacio
de fase.
El teorema de unicidad constituye el fundamento matemático del principio del determinismo y de la predicción en la Fı́sica: el estado de un sistema en un instante dado
está determinado unı́vocamente por su estado en un instante anterior.
Figura 6.7: Situaciones prohibidas por el Teorema de Unicidad en el espacio de fase: dos trayectorias no pueden surgir del mismo punto (izquierda); dos trayectorias no pueden intersectarse
(centro); una trayectoria no puede cruzarse a sı́ misma (derecha).
Un conjunto de condiciones iniciales en el espacio de fase de un sistema se denomina
un ensemble. Un ensemble puede interpretarse como un conjunto de sistemas idénticos o
réplicas con diferentes condiciones iniciales, o como diferentes realizaciones de un mismo
sistema en un instante inicial.
Figura 6.8: Evolución de un ensemble en el espacio de fase.
Cada punto en el ensemble evoluciona de acuerdo con la ecuación dinámica del sistema, Ec. (6.48), dando lugar a un estado x(t) en un tiempo t. Denotamos por Γ(t) el
volumen ocupado por el conjunto de puntos x(t) en el espacio de fase en el tiempo t.
Debido a la evolución del sistema, Γ cambia en el tiempo. El teorema de unicidad establece que no puede surgir más de una trayectoria a partir de cualquiera condición inicial.
Como consecuencia, Γ no puede aumentar en el tiempo. Es decir, el teorema de unicidad
implica que en un sistema dinámico siempre debe ocurrir
dΓ
≤ 0.
dt
(6.56)
234
CAPÍTULO 6. DINÁMICA HAMILTONIANA
Supongamos que el volumen Γ(t) esta encerrado por una superficie S en el espacio
de fase. El cambio de Γ en el tiempo está dado por el número total de trayectorias
que atraviesan (entran o salen) S por unidad de tiempo. El número de trayectorias que
atraviesan un diferencial de area da por unidad de tiempo se comporta como un flujo
dx
de “partı́culas” a través de da, y es igual a
· da, donde da es el vector normal al
dt
diferencial de area.
Figura 6.9: Flujo de trayectorias a través de una superficie S que encierra un volumen Γ en el
espacio de fase.
Entonces, el cambio de Γ en el tiempo es igual al flujo total por unidad de tiempo a
través de S,
I
dΓ
dx
=
· da
(flujo total a través de S por unidad de tiempo)
dt
dt
IS
Z
(6.57)
=
f · da =
∇ · f dΓ0
(Teorema de la divergencia),
S
Γ
donde el diferencial de volumen en el espacio de fase es
dΓ0 = dx1 dx2 · · · dxn =
n
Y
dxi ,
(6.58)
i=1
y
∇·f =∇·
dx
dt
=
n
X
∂ ẋi
i=1
∂xi
.
(6.59)
Luego, la condición Ec. (6.56) que satisface todo sistema dinámico, equivale a
dΓ
= 0, si
dt
dΓ
< 0, si
dt
∇ · f = 0,
(6.60)
∇ · f < 0.
(6.61)
Un sistema de ecuaciones tal que ∇·f > 0 viola el teorema de unicidad y no representa
a un sistema dinámico.
6.2. SISTEMAS DINÁMICOS, ESPACIO DE FASE Y TEOREMA DE LIOUVILLE.235
Teorema de Liouville.
El volumen representado por un ensemble de un sistema mecánico (que obedece las ecuaciones de Hamilton) en su espacio de fase es constante, Γ = cte,
i.e.,
dΓ
= 0.
dt
Demostración:
La dinámica del sistema está descrita por las ecuaciones de Hamilton,
∂H
,
∂pi
q̇i =
ṗi = −
∂H
,
∂qi
donde
f=
∂H
∂H
,−
∂pi
∂qi
=
∂H
∂H
∂H
∂H
,...,
,−
,...,−
∂p1
∂ps
∂q1
∂qs
.
(6.62)
Luego,
∇·f
=
X ∂ q̇i
i
∂qi
+
∂ ṗi
∂pi
(6.63)
=
X ∂2H
∂2H
−
=0
∂qi ∂pi
∂pi ∂qi
i
(6.64)
⇒
dΓ
= 0. dt
(6.65)
Figura 6.10: Joseph Liouville (1809-1882).
Los sistemas dinámicos que satisfacen ∇ · f = 0 ( dΓ
dt = 0) se llaman conservativos,
mientras que los sistemas tales que ∇ · f < 0 ( dΓ
<
0)
se
denominan disipativos.
dt
236
CAPÍTULO 6. DINÁMICA HAMILTONIANA
Los sistemas Hamiltonianos son conservativos; el volumen de un ensemble puede
cambiar su forma en el tiempo, pero no su tamaño, mientras se mueve sobre la superficie
H = cte. La evolución de un ensemble en el espacio de fase de un sistema Hamiltoniano
es similar al movimiento de un fluido incompresible en el espacio real.
En los sistemas disipativos, las trayectorias en el espacio de fase convergen asintóticamente a un objeto geométrico que tiene un volumen (o dimensión) menor que el espacio
de fase que lo contiene, y que se denomina atractor del sistema. Esta situación es tı́pica
de los sistemas con fricción y de los sistemas fuera de equilibrio.
Figura 6.11: Evolución esquemática de un ensemble en el espacio de fase de un sistema disipativo
(izquierda), y de un sistema conservativo (derecha).
Ejemplos.
1. Las ecuaciones de Hamilton para el oscilador armónico
q̇
ṗ
p
= f1 (q, p),
m
= −kq = f2 (q, p),
=
conducen a
∇·f =
∂f1
∂f2
+
= 0.
∂q
∂p
(6.66)
(6.67)
(6.68)
Este sistema es conservativo, como corresponde a todo sistema Hamiltoniano.
2. Las ecuaciones de Lorenz Ecs. (6.55) dan
∇·f =
∂f1
∂f2
∂f3
+
+
= −(a + b + 1).
∂x
∂y
∂z
(6.69)
Luego, el sistema de Lorenz es disipativo si a + b + 1 > 0. Estas son las condiciones
que producen el atractor de Lorenz en la Fig. (6.5).
6.2. SISTEMAS DINÁMICOS, ESPACIO DE FASE Y TEOREMA DE LIOUVILLE.237
El teorema de Liuoville tiene importantes implicaciones. Una consecuencia de este
teorema, es que las trayectorias en el espacio de fase eventualmente retornan arbitrariamente cerca de su punto de origen, i.e., de sus condiciones iniciales.
Teorema de recurrencia de Poincaré.
Consideremos alguna condición inicial x(0) = (qi (0), pi (0)) en un espacio de
fase finito D de un sistema Hamiltoniano. Entonces, para cualquier vecindad
finita U de x(0), existen trayectorias originadas en puntos de U que eventualmente retornan a U .
Demostración:
Consideremos imágenes sucesivas de la evolución de U bajo las ecuaciones
de Hamilton, en intervalos de tiempo ∆t. Denotamos por C(U ) la imagen
de U después de un intervalo ∆t. Sucesivas imágenes corresponden a C n (U ),
donde C n indica la composición o iteración n-ésima de C. Existen dos posibilidades: las imágenes sucesivas de U se intersectan, o no lo hacen. Si éstas
imágenes no se intersectan, entonces en cada iteración, un volumen de D igual
al volumen de U se ocupa y, por tanto, no puede pertenecer a ninguna imagen subsiguiente. Puesto que el volumen D es finito, no es posible acomodar
un número infinito de volúmenes finitos dentro de D. Luego, las imágenes
sucesivas de U se deben intersectar después de un número finito de iteraciones. Supongamos que C i (U ) se intersecta con C j (U ), con i <> j. Entonces,
las pre-imágenes C i−1 (U ) y C j−1 (U ) de estos subconjuntos también deben
intersectarse, puesto que la pre-imagen de un punto en la intersección pertenece a ambos subconjuntos. Esto puede ser continuado hasta que finalmente
C i−j (U ) intersecta a U . Luego, después de i − j iteraciones de la evolución
C, existe un conjunto de puntos inicialmente en U que retornan a U . El teorema de recurrencia de Poincaré no establece el tiempo requerido para el retorno
cercano a las condiciones iniciales de un sistema dinámico Hamiltoniano; este tiempo
puede ser extremadamente largo, especialmente si el espacio de fase posee alta dimensión.
Figura 6.12: Henri Poincaré (1854 - 1912).
238
CAPÍTULO 6. DINÁMICA HAMILTONIANA
6.3.
Paréntesis de Poisson.
Consideremos una función general f (qi , pi , t) definida en el espacio de fase (qi , pi ),
i = 1, 2, . . . , s, de un sistema. La derivada total con respecto al tiempo de esta función es
X ∂f
df
∂f
∂f
=
q̇i +
ṗi +
.
(6.70)
dt
∂qi
∂pi
∂t
i
Las ecuaciones de Hamilton para este sistema son
q̇i
ṗi
∂H
,
∂pi
∂H
= −
.
∂qi
=
Sustituyendo las ecuaciones de Hamilton en la Ec. (6.70), tenemos
X ∂f ∂H
df
∂f ∂H
∂f
−
+
=
.
dt
∂qi ∂pi
∂pi ∂qi
∂t
i
Definimos el paréntesis de Poisson de H con f como la operación
X ∂f ∂H
∂f ∂H
−
[f, H] ≡
.
∂qi ∂pi
∂pi ∂qi
i
(6.71)
(6.72)
(6.73)
(6.74)
Luego, podemos escribir
df
∂f
= [f, H] +
.
(6.75)
dt
∂t
Si f es una cantidad conservada en el espacio de fase, o una primera integral del
movimiento, entonces df
dt = 0, y f satisface
∂f
+ [f, H] = 0.
∂t
(6.76)
Si, adicionalmente, la integral del movimiento f no depende explı́citamente del tiempo,
[f, H] = 0.
En general, dadas dos funciones f (qi , pi , t) y g(qi , pi , t) en el espacio de fase, podemos
definir el Paréntesis de Poisson de f y g como la operación
X ∂f ∂g
∂f ∂g
[f, g] ≡
−
.
(6.77)
∂qi ∂pi
∂pi ∂qi
i
El paréntesis de Poisson puede ser considerado como una operación entre dos funciones
definidas en un espacio algebraico que asigna otra función en ese espacio.
El paréntesis de Poisson es un operador que posee las siguientes propiedades (caracterı́sticas de lo que se denomina álgebra de Lie):
6.3. PARÉNTESIS DE POISSON.
1. [f, g] = −[g, f ] ,
2. [f, c] = 0 ,
[f, f ] = 0
239
(antisimetrı́a).
si c = cte.
3. [af1 + bf2 , g] = a[f1 , g] + b[f2 , g],
4. [f1 f2 , g] = f1 [f2 , g] + f2 [f1 , g],
a, b = ctes.
(operador lineal).
(no asociativo).
5. [f, [g, h]]+ [g, [h, f ]]+ [h, [f, g]] = 0 (suma de permutaciones cı́clicas es cero). Esta
propiedad se conoce como la identidad de Jacobi.
Estas propiedades pueden demostrarse directamente a partir de la definición en la Ec. (6.74).
Adicionalmente, puesto que los pi y qi representan coordenadas independientes en el espacio de fase, tenemos ∀f ,

0 
X  ∂qi ∂f
7 ∂f  X
∂f
∂qi
∂f
[qi , f ] =
δik
− =
,
(6.78)

=
∂qk ∂pk ∂pk ∂qk
∂pk
∂pi
k
k


0
X  ∂pi
X
7 ∂f
∂pi ∂f 
∂f
∂f
[pi , f ] =
−
δik
=−
.
 =−
∂q
∂p
∂p
∂q
∂q
∂q
k
k
k
k
k
i
k
k
(6.79)
Note que si f = pj , ó f = qj ,
[qi , qj ] = 0,
[pi , pj ] = 0,
[qi , pj ] = δij .
(6.80)
Utilizando paréntesis de Poisson, las ecuaciones de Hamilton pueden escribirse
∂H
= [qi , H]
∂pi
∂H
= [pi , H].
ṗi = −
∂qi
q̇i =
(6.81)
(6.82)
Figura 6.13: Siméon Denis Poisson (1781-1840).
En Mecánica Cuántica, la operación [A, B] = AB − BA se denomina el conmutador
de los operadores A y B. En particular, [qi , pj ] = i~δij . La estructura algebraica de la
Mecánica Clásica se preserva en la Mecánica Cuántica.
240
CAPÍTULO 6. DINÁMICA HAMILTONIANA
Ejemplos.
1. Las componentes del momento angular l = r × p son
lx = ypz − zpy ,
ly = zpx − xpz ,
lz = xpy − ypx .
(6.83)
Calcular los siguientes paréntesis de Poisson para las componentes de p y l:
∂lx
(6.84)
= −pz
∂y
∂lx
=0
b) [px , lx ] = −
(6.85)
∂x
∂lx
c) [pz , ly ] = −
= py
(6.86)
∂z
∂ly
d) [px , ly ] = −
= pz
(6.87)
∂x
X ∂lx ∂ly
∂lx ∂ly
e) [lx , ly ] =
−
∂qi ∂pi
∂pi ∂qi
i
∂lx ∂ly
∂lx ∂ly
∂lx ∂ly
∂lx ∂ly
∂lx ∂ly
∂lx ∂ly
−
+
−
+
−
=
∂x ∂px
∂px ∂x
∂y ∂py
∂py ∂y
∂z ∂pz
∂pz ∂z
= (−py )(−x) − ypx
a) [py , lx ] = −
= xpy − ypx = lz .
(6.88)
f) [ly , lz ] = lx .
g) [lz , lx ] = ly .
(6.89)
En general, [li , lj ] = ijk lk . En Mecánica Cuántica, estas relaciones corresponden a
[li , lj ] = ijk i~lk .
2. Calcular [r, p], donde r = (x2 + y 2 + z 2 )1/2 .
[r, p] = [r, px ] î + [r, py ] ĵ + [r, pz ] k̂.
(6.90)
Calculamos la componente
[r, px ]
X ∂r ∂px
∂r ∂px
=
−
∂qi ∂pi
∂pi ∂qi
i
=
∂r ∂px
x
= .
∂x ∂px
r
Similarmente,
[r, py ] =
Luego,
[r, p] =
y
,
r
[r, pz ] =
(6.91)
z
.
r
x
y
z
r
î + ĵ + k̂ = = r̂ .
r
r
r
r
(6.92)
(6.93)
6.3. PARÉNTESIS DE POISSON.
241
Teorema de Poisson.
Si f y g son ambas constantes de movimiento, entonces, [f, g] = cte.
Demostración:
Si f y g son constantes de movimiento, entonces satisfacen
df
= 0,
dt
dg
= 0.
dt
(6.94)
Calculemos
d
∂
[f, g] = [f, g] + [[f, g], H].
(6.95)
dt
∂t
Calculemos la derivada parcial
X ∂ 2 f ∂g
∂f ∂ 2 g
∂ 2 f ∂g
∂f ∂ 2 g
∂
+
−
−
[f, g] =
∂t
∂t∂qi ∂pi
∂qi ∂t∂pi
∂t∂pi ∂qi
∂pi ∂t∂qi
i
X ∂
∂f ∂g
∂
∂f ∂g
−
=
∂qi ∂t ∂pi
∂pi ∂t ∂qi
i
X ∂f ∂ ∂g ∂f ∂ ∂g +
−
∂qi ∂pi ∂t
∂pi ∂qi ∂t
i
∂f
∂g
(6.96)
.
=
, g + f,
∂t
∂t
Usando la identidad de Jacobi, tenemos
[[f, g], H] = − [[g, H] , f ] − [[H, f ] , g] .
Sustituyendo Ec. (6.96) y Ec. (6.97) en Ec. (6.95), tenemos
∂f
∂g
d
[f, g] =
, g + f,
− [[g, H] , f ] − [[H, f ] , g]
dt
∂t
∂t
∂f
∂g
, g + f,
+ [f, [g, H]] + [[f, H] , g]
=
∂t
∂t
∂g
∂f
+ [f, H] , g + f,
+ [g, H]
=
∂t
∂t
df
dg
=
, g + f,
=0
dt
dt
⇒ [f, g] = cte. (6.97)
(6.98)
(6.99)
El Teorema de Poisson puede ser útil para encontrar una nueva constante de movimiento
en un sistema, si se conocen dos de ellas.
La condición de integrabilidad de un sistema puede expresarse en el lenguaje de los
paréntesis de Poisson, de la siguiente manera:
242
CAPÍTULO 6. DINÁMICA HAMILTONIANA
Un sistema con s grados de libertad es integrable si existen s funciones independientes Ii (q1 , . . . , qs , p1 , . . . , ps ), i = 1, . . . , s, cuyos paréntesis de Poisson
mutuos son cero,
[Ii , Ij ] = 0.
∀i, j = 1, . . . , s.
(6.100)
Luego, Ii (q1 , . . . , qs , p1 , . . . , ps ) = Ci , donde cada Ci es una constante, debido a la
propiedad 2 de los paréntesis de Poisson. En sistemas conservativos, el Hamiltoniano
H(qi , pi ) será una de las constantes del movimiento.
La trayectoria qi (t), pi (t) de un sistema integrable con s grados de libertad debe
satisfacer simultáneamente las s condiciones Ik (q1 , . . . , qs , p1 , . . . , ps ) = Ck en su espacio
de fase 2s-dimensional. Cada relación Ik (qi , pi ) = Ck representa una superficie (2s − 1)dimensional sobre la cual se encuentra la trayectoria qi (t), pi (t). Luego, la trayectoria yace
sobre una superficie s-dimensional que corresponde a la intersección de las s superficies
Ik (qi , pi ) = Ck .
6.4.
Transformaciones canónicas.
La escogencia del conjunto especı́fico de coordenadas generalizadas {qi } es arbitraria.
Por ejemplo, las posiciones de un sistema de partı́culas en el espacio pueden ser descritas
por diferentes sistemas de coordenadas {qi }: cartesianas, esféricas, cilı́ndricas, etc. Las
ecuaciones de Lagrange en términos de un conjunto dado {qi } tienen la forma
d ∂L
∂L
= 0.
(6.101)
−
dt ∂ q̇i
∂qi
En la Sec. 1.6, vimos que la derivación de las ecuaciones de Lagrange no depende del
conjunto de coordenadas generalizadas especı́ficas; por lo tanto, la forma de las ecuaciones
de Lagrange no depende de un conjunto particular de coordenadas {qi }. Se puede escoger
otro conjunto de s coordenadas independientes {Qi = Qi (qj , t)}, y las ecuaciones de
Lagrange también se cumplen en esas coordenadas,
d
∂L
∂L
−
= 0.
(6.102)
dt ∂ Q̇i
∂Qi
En la formulación Hamiltoniana, las coordenadas qi y los momentos conjugados pi
son considerados como un conjunto de 2s variables independientes en un espacio de
fase 2s-dimensional. En términos de estas variables, el Hamiltoniano es H(qi , pi , t). Las
ecuaciones de Hamilton correspondientes son
q̇i =
∂H
,
∂pi
ṗi = −
∂H
.
∂qi
(6.103)
Consideremos un cambio de variables en el espacio de fase que incluya tanto las
coordenadas como momentos,
Qi = Qi (qj , pj , t),
Pi = Pi (qj , pj , t).
(6.104)
6.4. TRANSFORMACIONES CANÓNICAS.
243
Este tipo de transformaciones se denomina transformaciones puntuales en el espacio de
fase y, en principio, son invertibles, i.e., qi = qi (Qj , Pj , t), pi = pi (Qj , Pj , t). Denotamos
por H 0 (Qi , Pi , t) al Hamiltoniano en términos de las nuevas variables {Qi , Pi }.
En contraste con la formulación Lagrangiana, la forma de las ecuaciones de Hamilton,
en general, no se preserva en las nuevas coordenadas y momentos {Qi , Pi }. Por ejemplo,
supongamos un sistema con Hamiltoniano H(qi , pi ) en el cual se cumplen las ecuaciones
de Hamilton Ecs. (6.103), y consideremos la siguiente transformacion puntual {qi , pi } →
{Qi , Pi } en el espacio de fase,
Qi = −pi ,
Pi = qi
(6.105)
El Hamiltoniano en la nuevas variables será H 0 (Qi , Pi ). Las ecuaciones de Hamilton en
las variables {Qi , Pi } se transforman de acuerdo a
X ∂H 0 ∂Qk
∂H 0
∂H 0 ∂Pk
∂H
=⇒ Ṗi =
=
+
q̇i =
∂pi
∂pi
∂Qk ∂pi
∂Pk ∂pi
k
0
X ∂H
∂H 0
=−
δik = −
.
(6.106)
∂Qk
∂Qi
k
X ∂H 0 ∂Qk
∂H 0
∂H 0 ∂Pk
∂H
=⇒ −Q̇i = −
=−
+
ṗi = −
∂qi
∂qi
∂Qk ∂qi
∂Pk ∂qi
k
X ∂H 0
∂H 0
δik = −
.
=−
(6.107)
∂Pk
∂Pi
k
Luego, en las variables {Qi , Pi } también se satisfacen las ecuaciones de Hamilton. Sin
embargo, es fácil notar que la transformación puntual
Qi = pi ,
Pi = qi ,
(6.108)
no preserva la forma de las ecuaciones de Hamilton en las variables {Pi , Qi }.
Una transformación puntual de variables del espacio de fase que mantiene invariante
la forma de las ecuaciones de Hamilton, se denomina transformación canónica.
H(qi , pi , t)
→ Transformación canónica →
H 0 (Qi , Pi , t)
∂H 0
∂Pi
q̇i =
∂H
∂pi
Qi = Qi (qj , pj , t)
Q̇i =
ṗi = −
∂H
∂qi
Pi = Pi (qj , pj , t)
Ṗi = −
(6.109)
∂H 0
∂Qi
Las transformaciones canónicas son particularmente útiles cuando aparecen coordenadas cı́clicas en las nuevas variables {Qi , Pi }, es decir, cuando el Hamiltoniano transformado H 0 (Qi , Pi , t) no depende explı́citamente de alguna coordenada Qj o momento
244
CAPÍTULO 6. DINÁMICA HAMILTONIANA
conjugado Pj . En ese caso, la ecuación de Hamilton correspondiente a esa coordenada
o momento se hace cero, y por lo tanto existe una cantidad conservada asociada a la
variable cı́clica.
La condición para que una transformación {qi , pi } → {Qi , Pi } sea canónica puede
derivarse a partir de la equivalencia del Principio de Mı́nima Acción en ambos conjuntos
de variables del espacio de fase.
Consideremos el Principio de Mı́nima Acción para las variables {qi , pi },
Z
S
t2
=
L dt
t1
Z
δS = 0 ⇒
t2
δ
L dt = 0,
(6.110)
t1
el cual implica que se cumplen las ecuaciones de Lagrange y, por lo tanto, las ecuaciones
de Hamilton en las variables {qi , pi }. En términos del Hamiltoniano
X
H(qi , pi , t) =
pi q̇i − L,
(6.111)
i
tenemos
Z
t2
δS = δ
!
X
t1
pi q̇i − H
dt = 0.
(6.112)
i
En las variables {Qi , Pi } se debe cumplir el Principio de Mı́mina Acción,
!
Z t2 X
δS 0 = δ
Pi Q̇i − H 0 dt = 0,
t1
(6.113)
i
para que también se cumplan las ecuaciones de Hamilton en {Qi , Pi }.
Ambas formulaciones del Principio de Mı́nima Acción conducen a ecuaciones equivalentes si los integrandos en la Ec. (6.110) y la Ec. (6.113) difieren, a lo sumo, en
una derivada total con respecto al tiempo de una función arbitraria F de las variables
{Qi , Pi }, {qi , pi } y t; esto es,
X
pi q̇i − H =
X
i
i
Pi Q̇i − H 0 +
dF
,
dt
(6.114)
pues, en este caso,
δS = δS 0 + δ
Z
t2
t1
dF
dt
dt
= δS 0 + δ[F (t2 ) − F (t1 )] = δS 0 .
(6.115)
Por lo tanto, las ecuaciones de Hamilton que se derivan de la condición δS = 0 en las
variables {qi , pi } tienen la misma forma que las ecuaciones de Hamilton que se deducen
de la condición δS 0 = 0 en las variables {Qi , Pi }.
6.4. TRANSFORMACIONES CANÓNICAS.
245
Luego, la condición para que una transformación {qi , pi } → {Qi , Pi } sea canónica
puede escribirse como
X
X
dF
=
pi q̇i −
Pi Q̇i + (H 0 − H).
dt
i
i
(6.116)
La función F se llama función generadora de la transformación canónica {Qi , Pi } →
{qi , pi }. Dada una F (qi , pi , Qi , Pi , t), su derivada dF
dt debe satisfacer la condición Ec. (6.116)
para que la transformación {qi , pi } → {Qi , Pi } sea canónica. Entonces, las derivadas parciales de F con respecto a sus argumentos, contenidas en la expresión de dF
dt , permiten
establecer la relación entre las variables {Qi , Pi } y {qi , pi }. Luego, la función F genera
una conexión entre ambos conjuntos de coordenadas y momentos que garantiza que las
ecuaciones de Hamilton preserven su forma bajo esta transformación.
Las funciones generadores pueden no depender de todas las variables (qi , pi , Qi , Pi , t) y
tener forma arbitraria. Para ver cómo una transformación canónica surge de una función
generadora, consideremos las siguientes formas de funciones generadoras básicas:
1. F1 = F1 (qi , Qi , t).
Calculemos la derivada total con respecto al tiempo,
X ∂F1
∂F1
∂F1
dF1
q̇i +
Q̇i +
=
.
dt
∂q
∂Q
∂t
i
i
i
(6.117)
Compararando con la condición Ec. (6.116) para funciones generadoras, tenemos
∂F1
= pi (q, Q, t)
∂qi
∂F1
Pi = −
= Pi (q, Q, t)
∂Qi
∂F1
H0 = H +
∂t
pi =
(6.118)
(6.119)
(6.120)
La función F1 genera la transformación canónica pi = pi (q, Q, t), Pi = Pi (q, Q, t),
a través de sus derivadas parciales.
2. F2 = F2 (qi , Pi , t).
X
dF2
=
dt
i
∂F2
∂F2
q̇i +
Ṗi
∂qi
∂Pi
+
∂F2
∂t
(6.121)
Para comparar con la condición Ec. (6.116),
X
X
dF
=
pi q̇i −
Pi Q̇i + (H 0 − H),
dt
i
i
sustituimos
d
d
(Pi Qi ) = Pi Q̇i + Qi Ṗi → Pi Q̇i = (Pi Qi ) − Qi Ṗi ,
dt
dt
(6.122)
246
CAPÍTULO 6. DINÁMICA HAMILTONIANA
de modo que la Ec. (6.116) se puede expresar
!
X
X
d
pi q̇i + Qi Ṗi + (H 0 − H),
F+
Pi Qi =
dt
i
i
(6.123)
donde el lado izquierdo es la derivada total de una función arbitraria de (Qi , Pi , qi , pi ).
Comparando con la Ec. (6.121), obtenemos
∂F2
= pi (q, P, t)
∂qi
∂F2
=
= Qi (q, P, t)
∂Pi
X
= F+
Pi Qi
pi
=
Qi
F2
(6.124)
(6.125)
(6.126)
i
H0
= H+
∂F2
.
∂t
(6.127)
3. F3 = F3 (pi , Qi , t)
X
dF3
=
dt
i
∂F3
∂F3
ṗi +
Q̇i
∂pi
∂Qi
+
∂F3
∂t
La condición Ec. (6.116) puede expresarse como
!
X
X
d
−qi ṗi − Pi Q̇i + H 0 − H
F−
pi q i =
dt
i
i
donde hemos sustituido
pi q̇i =
d
(pi qi ) − qi ṗi
dt
(6.128)
(6.129)
(6.130)
Comparando con la Ec. (6.128), tenemos
qi
Pi
F3
∂F3
= qi (p, Q, t)
∂pi
∂F3
= Pi (p, Q, t)
= −
∂Qi
X
= F−
pi q i
= −
(6.131)
(6.132)
(6.133)
i
H0
= H+
∂F3
.
∂t
(6.134)
4. F4 = F4 (p, P, t).
X
dF4
=
dt
i
∂F4
∂F4
p˙i +
Ṗi
∂pi
∂Pi
+
∂F4
∂t
(6.135)
6.4. TRANSFORMACIONES CANÓNICAS.
247
La condición Ec. (6.116) puede expresarse como
!
X
X
X
d
−qi ṗi + Qi Ṗi + H 0 − H
F−
pi q i +
Qi Pi =
dt
i
i
i
donde hemos sustituido
d
d
pi q̇i = (pi qi ) − qi ṗi ,
Pi Q̇i = (Pi Qi ) − Qi Ṗi
dt
dt
Comparando con la Ec. (6.135), tenemos
qi
Qi
F4
∂F4
= qi (p, P, t)
∂pi
∂F4
=
= Qi (p, P, t)
∂Pi
X
X
= F+
Pi Qi −
pi q i
= −
i
H0
= H+
(6.136)
(6.137)
(6.138)
(6.139)
(6.140)
i
∂F4
.
∂t
(6.141)
La transformación canónica asociada a una función generadora F es una propiedad
caracterı́stica de la función F ; no depende del Hamiltoniano de un sistema especı́fico. Por
lo tanto, una transformación canónica dada {qi , pi , t} → {Qi , Pi , t} puede emplearse para
transformar diversos Hamiltonianos; su utilidad en cada caso dependerá del problema
especı́fico. La relación entre el Hamiltoniano H(qi , pi , t) y el Hamiltoniano transformado
H 0 (Qi , Pi , t) resultante de la transformación canónica {qi , pi , t} → {Qi , Pi , t} generada
por una F siempre es
∂F
H0 = H +
.
(6.142)
∂t
Luego, si F es independiente del tiempo, entonces H = H 0 .
Dada una función generadora F , es posible encontrar una transformación canónica
asociada a F . El problema inverso tambien se puede plantear en algunos casos; es decir,
dada una transformación canónica, en principio es posible obtener la función generadora
que produce esa transformación. Por ejemplo, consideremos una transformación
pi = pi (q, Q, t),
(6.143)
Pi = Pi (q, Q, t),
(6.144)
la cual posee la forma de la transformación canónica asociada a una función generadora de
tipo F1 . Luego, podemos escribir el siguiente sistema de ecuaciones en derivadas parciales
para F1
∂F1
= pi (q, Q, t),
∂qi
∂F1
= Pi (q, Q, t),
∂Qi
las cuales, en principio, pueden integrarse para encontrar F1 .
(6.145)
(6.146)
248
CAPÍTULO 6. DINÁMICA HAMILTONIANA
Ejemplos.
1. Encontrar la transformación canónica generada por la función F2 (qi , Pi ) =
P
i q i Pi .
Las transformaciones entre las coordenadas (qi , pi ) y (Qi , Pi ) producidas por una
función generadora de tipo F2 (qi , Pi , t) conducen a
pi
=
Qi
=
∂F2
= Pi
∂qi
∂F2
= qi .
∂Pi
(6.147)
(6.148)
Luego, la transformación canónica {qi , pi } → {Qi , Pi } generada por esta F2 corresponde a la transformación identidad.
2. Encontrar la transformación canónica {qi , pi } → {Qi , Pi }, i = 1, 2, generada por la
función G = q1 (P1 + 2p2 ) + p2 P2 .
La función es de la forma G(q1 , P1 , p2 , P2 ). Calculamos la derivada
dG
dt
=
∂G
∂G
∂G
∂G
q̇1 +
Ṗ1 +
ṗ2 +
Ṗ2
∂q1
∂P1
∂p2
∂P2
=
(P1 + 2p2 )q̇1 + q1 Ṗ1 + (2q1 + P2 )ṗ2 + p2 Ṗ2 .
(6.149)
Debemos comparar con la condición general Ec. (6.116) que debe cumplir una
transformación canónica,
dF
dt
=
2
X
pi q̇i −
i=1
2
X
Pi Q̇i + (H 0 − H)
i=1
= p1 q̇1 + p2 q̇2 − P1 Q̇1 − P2 Q̇2 + (H 0 − H).
(6.150)
Para llevar la Ec. (6.150) a la forma de la Ec. (6.149), expresamos
p2 q̇2
=
P1 Q̇1
=
P2 Q̇2
=
d
(p2 q2 ) − q2 ṗ2
dt
d
(P1 Q1 ) − Q1 Ṗ1
dt
d
(P2 Q2 ) − Q2 Ṗ2
dt
y sustituimos en la Ec. (6.150),
dF
d
= p1 q̇1 − q2 ṗ2 + Q1 Ṗ1 + Q2 Ṗ2 + (p2 q2 − P1 Q1 − P2 Q2 ) + (H − H 0 ) (6.151)
dt
dt
d
(F + P1 Q1 + P2 Q2 − p2 q2 ) = p1 q̇1 − q2 ṗ2 + Q1 Ṗ1 + Q2 Ṗ2 + (H − H 0 ). (6.152)
dt
6.5. TRANSFORMACIONES CANÓNICAS INFINITESIMALES.
249
El lado izquierdo es la derivada total de una función que depende de las variables (qi , pi , Qi , Pi ), i = 1, 2, por lo tanto, la Ec. (6.152) sigue correspondiendo a
la condición general para una transformación canónica, Ec. (6.116). Comparando
Ec. (6.149) y Ec. (6.152), tenemos
G = F + P1 Q1 + P2 Q2 − p2 q2
p1 = P1 + 2p2 ,
Q1 = q 1
−q2 = 2q1 + P2 ,
Q2 = p 2
Luego, la transformación canónica {qi , pi } → {Qi , Pi } generada por G es
6.5.
P1
= p1 − 2p2 ,
Q1
P2
= q1
= −2q1 − q2
Q2
= p2 .
Transformaciones canónicas infinitesimales.
En el Capı́tulo 2 vimos que una transformación infinitesimal de coordenadas, qi0 =
qi + δqi , en el espacio de configuración de un sistema, que deja invariante las ecuaciones
de Lagrange, constituye una simetrı́a del sistema e implica la existencia de una cantidad
conservada asociada a esa simetrı́a. Denominamos corriente de Noether a la cantidad
conservada.
Podemos extender el concepto de transformaciones infinitesimales al espacio de fase {qi , pi }, mediante una transformación de las coordenadas y momentos conjugados.
Consideremos una transformación infinitesimal de la forma
Qi
= qi + fi (qj , pj ),
(6.153)
Pi
= pi + gi (qj , pj ),
(6.154)
donde fi (qj , pj ), gi (qj , pj ) son funciones dadas y → 0. Para que la transformación
Ecs. (6.153)-(6.154) sea canónica, debe existir una función generadora para ella. Podemos
considerar las Ecs. (6.153)-(6.154) como una desviación infinitesimal de una transformación identidad,
P la cual, como vimos en un ejemplo anterior, posee la función generadora
F2 (qi , Pi ) = i qi Pi . Entonces, podemos asumir que la función generadora de la transformación infinitesimal Ecs. (6.153)-(6.154) corresponde a una pequeña desviación de
aquella correspondiente a transformación identidad; esto es,
X
F2 (qi , Pi ) =
qi Pi + G(qi , Pi ),
(6.155)
i
donde G(qi , Pi ) es una función a ser determinada.
250
CAPÍTULO 6. DINÁMICA HAMILTONIANA
La transformación canónica generada por esta función de tipo F2 (qi , Pi , t) es
pi
=
Qi
=
∂F2
∂G
= Pi + ∂qi
∂qi
∂F2
∂G
= qi + .
∂Pi
∂Pi
(6.156)
(6.157)
Comparando las Ecs. (6.153)-(6.154) y Ecs. (6.156)-(6.157), obtenemos las condiciones
para G(qi , Pi ),
∂G
,
∂Pi
∂G
= −
.
∂qi
fi
=
gi
(6.158)
(6.159)
Si existe tal función G(qi , Pi ), entonces la transformación infinitesimal Ecs. (6.153)(6.154) es canónica. La función G(qi , Pi ) es la función generadora de esa transformación canónica infinitesimal. Por otro lado, si la función F2 (qi , Pi ) y, por tanto G(qi , Pi ),
está dada, entonces la correspondiente transformación infinitesimal puede determinarse
mediante las Ecs. (6.156)-(6.157).
Podemos expresar la función fi , hasta primer orden en , como
X ∂G ∂pj
∂G ∂qj
∂G
=
+
fi =
∂Pi
∂pj ∂Pi
∂qj ∂Pi
j
X ∂G
∂G
=
δij + O() =
+ O().
(6.160)
∂p
∂p
j
i
j
Como una importante aplicación de una función generadora de una transformación
canónica infinitesimal, supongamos que G(q, P ) = H(q, p) y = dt en F2 (qi , Pi ); esto es
X
F2 (qi , Pi ) =
qi Pi + H(qi , pi ) dt.
(6.161)
i
Entonces, hasta primer orden en dt, podemos escribir las Ecs. (6.156)-(6.157) como
Pi
Qi
∂H
dt,
∂qi
∂H
∂H
dt ' qi +
dt.
= qi +
∂Pi
∂pi
= pi −
(6.162)
(6.163)
Usando las ecuaciones de Hamilton
q̇i =
∂H
,
∂pi
ṗi = −
∂H
,
∂qi
(6.164)
podemos expresar
Pi
= pi + ṗi dt ' pi (t + dt),
(6.165)
Qi
= qi + q̇i dt ' qi (t + dt).
(6.166)
6.6. PROPIEDADES DE LAS TRANSFORMACIONES CANÓNICAS.
251
Entonces, el Hamiltoniano es la función generadora de la transformación canónica
infinitesimal que corresponde a la evolución temporal de las coordenadas y momentos de
un sistema en el espacio de fase.
Consideremos el comportamiento del Hamiltoniano bajo una transformación canónica
infinitesimal generada por una función G. Supongamos una función general K(qi , pi )
definida en el espacio de fase. El cambio en la función K debido a una transformación
canónica infinitesimal, Ecs. (6.153)-(6.154), es
δK
= K(Qi , Pi ) − K(qi , pi )
= K(qi + fi , pi + gi ) − K(qi , pi )
X ∂K
∂K
fi +
gi
= ∂qi
∂pi
i
X ∂K ∂G ∂K ∂G = −
∂qi ∂pi
∂pi ∂qi
i
= [K, G].
(6.167)
Supongamos ahora que K = H; entonces el cambio en el Hamiltoniano bajo una
transformación canónica infinitesimal está dado por
δH = [H, G].
(6.168)
Si el Hamiltoniano es invariante ante la transformación canónica infinitesimal, debemos
tener δH = 0 y, por lo tanto,
[H, G] = 0 ⇒
dG
= 0,
dt
(6.169)
puesto que ∂G
∂t = 0. Luego, si el Hamiltoniano de un sistema es invariante bajo una
transformación canónica infinitesimal, la función generadora de esa transformación es
una cantidad conservada, δH = 0 ⇒ G = cte. Este resultado establece la conexión
entre simetrı́as y leyes de conservación para un sistema, y es equivalente al Teorema de
Noether en el formalismo Hamiltoniano. En comparación con la descripción Lagrangiana,
la relación entre invariancia y constantes de movimiento se expresa de manera más simple
en la formulación Hamiltoniana.
6.6.
Propiedades de las transformaciones canónicas.
Sea
Qi
Pi
= Qi (qj , pj , t),
= Pi (qj , pj , t),
una transformación canónica. Entonces se cumplen las siguientes propiedades:
(6.170)
(6.171)
252
CAPÍTULO 6. DINÁMICA HAMILTONIANA
1. Los paréntesis de Poisson entre ambos conjuntos de variables satisfacen
[Qi , Pj ](p,q) = δij = [qi , pj ](p,q) = [Qi , Pj ](P,Q) .
(6.172)
Igualmente,
[Pi , Pj ](p,q)
=
[Pi , Pj ](P,Q) = 0,
(6.173)
[Qi , Qj ](p,q)
=
[Qi , Qj ](P,Q) = 0.
(6.174)
2. El paréntesis de Poisson de dos funciones es invariante bajo una transformación
canónica,
[f, g](p,q) = [f, g](P,Q) ,
(6.175)
donde
[f, g](p,q)
[f, g](P,Q)
X ∂f ∂g
∂f ∂g
−
,
∂qk ∂pk
∂pk ∂qk
k
X ∂f ∂g
∂f ∂g
−
.
=
∂Qk ∂Pk
∂Pk ∂Qk
=
(6.176)
(6.177)
k
Demostración de la Propiedad 1:
Supongamos que en las variables (p, q) se cumplen las ecuaciones de Hamilton para
un H(q, p),
q̇k =
∂H
(q, p) ,
∂pk
ṗk = −
∂H
(q, p)
∂qk
(6.178)
Si la transformación (p, q) → (P, Q) es canónica, entonces existe un Hamiltoniano transformado H 0 (P, Q) tal que
Q̇i =
∂H 0
(Q, P ) ,
∂Pj
Ṗi = −
∂H 0
(Q, P ) ,
∂Qj
(6.179)
y existe una función generadora F de la transformación canónica, tal que
H = H0 −
∂F
.
∂t
(6.180)
Por otro lado,
Q̇i (pj , qj , t) =
X ∂Qi
k
∂qk
q̇k +
∂Qi
ṗk
∂pk
+
∂Qi
.
∂t
(6.181)
6.6. PROPIEDADES DE LAS TRANSFORMACIONES CANÓNICAS.
253
Sustituyendo las Ecs. (6.178), tenemos
X ∂Qi ∂H
∂Qi ∂H
∂Qi
Q̇i =
−
+
∂qk ∂pk
∂pk ∂qk
∂t
k
0
2
X ∂Qi ∂H
∂Qi ∂ F
∂Qi ∂H 0
∂Qi ∂ 2 F
∂Qi
=
−
−
+
+
∂qk ∂pk
∂qk ∂pk ∂t
∂pk ∂qk
∂pk ∂qk ∂t
∂t
k


X ∂Qi X ∂H 0 ∂Qj
∂H 0 ∂Pj 

=
+
∂qk
∂Qj ∂pk
∂Pj ∂pk
j
k


0
X ∂Qi X ∂H 0 ∂Qj
∂H ∂Pj 

−
+
∂pk
∂Q
∂q
∂Pj ∂qk
j
k
j
k
X ∂
∂F ∂Qi
∂
∂F ∂Qi
∂Qi
−
.
+
(6.182)
+
∂qk ∂t ∂pk
∂pk ∂t ∂qk
∂t
k
Reagrupando terminos y cambiando el orden de las sumas, tenemos
"
#
X ∂H 0 X ∂Qi ∂Pj
∂Qi ∂Pj
Q̇i =
−
∂Pj
∂qk ∂pk
∂pk ∂qk
j
k
"
#
X ∂H 0 X ∂Qi ∂Qj
∂Qi ∂Qj
+
−
∂Qj
∂qk ∂pk
∂pk ∂qk
j
k
∂F
∂Qi
+
, Qi
+
;
∂t
∂t
(p,q)
(6.183)
es decir,
Q̇i
=
X ∂H 0
∂Pj
j
+
Para que se satisfaga Q̇i =
[Qi , Pj ](p,q) +
X ∂H 0
j
∂F
, Qi
∂t
+
(p,q)
∂Qj
∂Qi
.
∂t
[Qi , Qj ](p,q)
(6.184)
∂H 0
en la Ec. (6.184), debemos tener necesariamente,
∂Pi
i) [Qi , Pj ](p,q) = δij .
El primer término en la Ec. (6.184) entonces da
X ∂H 0
j
∂Pj
δij =
∂H 0
.
∂Pi
ii) [Qi , Qj ](p,q) = 0.
El segundo término en la Ec. (6.184) entonces se anula.
(6.185)
254
CAPÍTULO 6. DINÁMICA HAMILTONIANA
∂F
∂Qi
iii)
, Qi +
= 0.
∂t
∂t
Si calculamos Ṗi (p, q, t) y comparamos con Ṗi = −
∂H 0
, obtenemos adicionalmente
∂Qi
[Pi , Pj ](p,q) = 0.
(6.186)
Demostración de la propiedad 2:
[f, q](p.q)
X ∂f ∂g
∂f ∂g
−
(6.187)
∂qk ∂pk
∂pk ∂qk
k


X
X X ∂f ∂Qj
∂f
∂P
∂g
∂Q
∂g
∂P
j
j
j


=
+
+
∂Q
∂q
∂P
∂q
∂Q
∂p
∂P
∂p
j
k
j
k
j
k
j
k
j
j
k


X X ∂f ∂Qj
X ∂g ∂Qj
∂f
∂P
∂g
∂P
j
j
.

+
+
−
∂Q
∂p
∂P
∂p
∂Q
∂q
∂P
∂q
j
k
j
k
j
k
j
k
j
j
=
k
Reagrupando términos y cambiando el orden de las sumas, tenemos
"
#
X ∂f ∂g X ∂Qj ∂Pj
∂Qj ∂Pj
[f, q](p.q) =
−
∂Qj ∂Pj
∂qk ∂pk
∂pk ∂qk
j
k
"
#
X ∂f ∂g X ∂Qj ∂Pj
∂Qj ∂Pj
−
−
∂Pj ∂Qj
∂qk ∂pk
∂pk ∂qk
j
k
X X ∂f ∂Qj ∂g ∂Qj
∂f ∂Pj ∂g ∂Pj
+
+
∂Q
∂q
∂Q
∂p
∂P
j
k
j
k
j ∂qk ∂Pj ∂pk
j
k
∂f ∂Pj ∂g ∂Pj
∂f ∂Qj ∂g ∂Qj
−
.
−
∂Qj ∂pk ∂Qj ∂qk
∂Pj ∂pk ∂Pj ∂qk
(6.188)
El tercer término (doble suma) es igual a cero; luego podemos reagrupar los dos primeros
términos
X
X ∂f ∂g
∂f ∂g
∂Qj ∂Pj
∂Qj ∂Pj
[f, g](p,q) =
−
−
∂Qj ∂Pj
∂Pj ∂Qj
∂qk ∂pk
∂pk ∂qk
j
k
=
[f, g](P,Q) [Qj , Pj ](p,q) ,
(6.189)
pero [Qj , Pj ](p,q) = 1; luego,
[f, g](p,q) = [f, g](P,Q) .
6.6. PROPIEDADES DE LAS TRANSFORMACIONES CANÓNICAS.
255
Ejemplos.
1. Demostrar que la evolución temporal de una condición inicial en el espacio de fase
es una transformación canónica.
Figura 6.14: Evolución infinitesimal en el espacio de fase.
Consideremos la evolución de una condición inicial en el espacio de fase en un
intervalo de tiempo infinitesimal,
(qi (t0 ), pi (t0 )) → (qi (t0 + dt), pi (t0 + dt))
(6.190)
Sean qi = qi (t0 ) y pi = pi (t0 ), y definamos las nuevas coordenadas y momentos
Pj
Qj
= pj (t0 + dt) = pj (t0 ) + ṗj dt + · · ·
= pj + ṗj dt + · · ·
= qj (t0 + dt) = qj (t0 ) + q̇j dt + · · ·
= qj + q̇j dt + · · ·
Luego, manteniendo solamente términos de primer orden en dt,
X ∂Qi ∂Pj
∂Qi ∂Pj
−
[Qi , Pj ](p,q) =
∂qk ∂pk
∂pk ∂qk
k
X ∂Qi ∂Pj
=
∂qk ∂pk
k
X ∂qi
∂ q̇i
∂pj
∂ ṗj
=
+
dt
+
dt
∂qk
∂qk
∂pk
∂pk
k
X
∂ q̇i
∂ ṗj
dt
δjk +
dt
=
δik +
∂qk
∂pk
k
X
∂ ṗj
∂ q̇i
+ δik
=
δik δjk + δjk
dt
∂qk
∂pk
k
∂ q̇i
∂ ṗj
= δij +
+
dt .
∂qj
∂pi
(6.191)
(6.192)
256
CAPÍTULO 6. DINÁMICA HAMILTONIANA
Usamos las ecuaciones de Hamilton en la Ec. (6.192),
q̇i =
∂H
,
∂pi
ṗj = −
∂H
,
∂qj
(6.193)
y obtenemos,
[Qi , Pj ](p,q) = δij +
∂2H
∂2H
−
∂qj ∂pi
∂pi ∂qj
δt = δij .
(6.194)
Por lo tanto, la transformación infinitesimal Ec. (6.191) es canónica. Esta transformación puede escribirse
Pj =
pj (t0 ) −
∂H
(qi (t0 ), pi (t0 )) dt + · · ·
∂qi
(6.195)
∂H
Qj = qj (t0 ) +
(qi (t0 ), pi (t0 )) dt + · · · ,
∂pj
Luego, el Hamiltoniano actúa como la función generadora de la transformación
infinitesimal (qi (t0 ), pi (t0 )) → (Qi , Pi ). Como la condición inicial puede tomarse en
cualquier punto de la trayectoria, la evolución temporal de un sistema en el espacio
de fase es una transformación canónica inducida por el Hamiltoniano del sistema.
2. Demostrar que la siguiente transformación es canónica:
P1 = p1 − 2p2 ,
P2 = −2q1 − q2 ,
Q1 = q1
Q2 = p2
(6.196)
Las transformaciones canónicas deben satisfacer la propiedad [Qi , Pj ](p,q) = δij ,
∀i, j. Calculamos, para la transformación Ec. (6.196), los siguientes paréntesis de
Poisson,
X ∂Q1 ∂P1
∂Q1 ∂P1
−
[Q1 , P1 ](p,q) =
∂qi ∂pi
∂pi ∂qi
i
∂Q1 ∂P1
∂Q1 ∂P1
∂Q1 ∂P1
∂Q1 ∂P1
−
−
=
+
= 1.
∂q1 ∂p1
∂p1 ∂q1
∂q2 ∂p2
∂p2 ∂q2
[Q2 , P2 ](p,q)
=
[Q2 , P1 ](p,q)
=
[Q1 , P2 ](p,q)
=
∂Q2 ∂P2
∂Q2 ∂P2
−
∂q1 ∂p1
∂p1 ∂q1
∂Q2 ∂P1
∂Q2 ∂P1
−
∂q1 ∂p1
∂p1 ∂q1
∂Q1 ∂P2
∂Q1 ∂P2
−
∂q1 ∂p1
∂p1 ∂q1
+
+
+
Luego la transformación Ec. (6.196) es canónica.
∂Q2 ∂P2
∂Q2 ∂P2
−
∂q2 ∂p2
∂p2 ∂q2
∂Q2 ∂P1
∂Q2 ∂P1
−
∂q2 ∂p2
∂p2 ∂q2
∂Q1 ∂P2
∂Q1 ∂P2
−
∂q2 ∂p2
∂p2 ∂q2
= 1.
= 0.
= 0.
6.7. APLICACIONES DE TRANSFORMACIONES CANÓNICAS.
6.7.
257
Aplicaciones de transformaciones canónicas.
Una transformación canónica (qi , pi ) → (Pi , Qi ) es particularmente conveniente cuando el cambio de variables es tal que alguna coordenada Qj o momento Pj no aparece
explı́citamente en el Hamiltoniano transformado H 0 (Qi , Pi , t). Se dice que esa coordenada
o momento es cı́clica para H 0 . Por ejemplo, si
∂H 0
= 0,
∂Qj
(6.197)
entonces, la ecuación de Hamilton para el momento Pj es
0
∂H
=0
P˙j = −
∂Qj
⇒
Pj = cte.
(6.198)
Es decir, el momento Pj es una cantidad conservada. En este caso, las ecuaciones de
Hamilton resultan más fáciles de integrar en las nuevas variables (Pi , Qi ) que en las
variables originales (qi , pi ). Una vez encontradas las soluciones (Pi (t), Qi (t)), la transformación canónica puede ser empleada para expresar la solución en las variables originales
qi = qi (Qi (t), Pi (t), t), pi = pi (Qi (t), Pi (t), t).
Como una aplicación de este procedimiento, consideremos un oscilador armónico simple cuyo Hamiltoniano es
H(q, p) =
1
1 2
p2
+ kq 2 =
(p + m2 ω 2 q 2 ) ,
2m 2
2m
(6.199)
donde ω 2 = k/m.
Busquemos una transformación canónica (p, q) → (P, Q) donde Q sea cı́clica en el
nuevo Hamiltoniano H 0 (Q, P ). La forma de H (suma de dos términos cuadráticos) en la
Ec. (6.199) sugiere una transformación canónica del tipo
p = f (P ) cos Q,
(6.200)
f (P )
q=
sin Q,
mω
donde f (P ) es una función de P a ser determinada. Sustituyendo la transformación
Ecs. (6.200) en H(q, p), tenemos el Hamiltoniano transformado en las nuevas variables
1
2
[f (P )] ,
(6.201)
2m
luego, H 0 es independiente de Q. Para encontrar la función f (P ), busquemos la función
generadora que produce la transformación Ecs. (6.200). De estas ecuaciones obtenemos
H 0 (Q, P ) = H 0 (P ) =
p = mωq cot Q
⇒
p = p(q, Q),
(6.202)
lo cual corresponde a una transformación asociada a una función generadora del tipo
F1 (q, Q), pues recordemos que
∂F1
= p(q, Q),
∂q
∂F1
= P (q, Q).
P =−
∂Q
p=
(6.203)
(6.204)
258
CAPÍTULO 6. DINÁMICA HAMILTONIANA
Sustituyendo la Ec. (6.202) en la Ec. (6.203), tenemos
∂F1
= mωq cot Q,
∂q
(6.205)
lo cual implica que
F1 (q, Q) =
mωq 2
cot Q,
2
(6.206)
mientras que
P =−
∂F1
mωq 2
=
csc2 Q .
∂Q
2
(6.207)
2P
sin Q = q(Q, P ).
mω
(6.208)
Despejando q,
r
q=
Sustituyendo q en la Ec. (6.202), obtenemos
√
p = 2mωP cos Q = p(Q, P ).
(6.209)
Comparando con la forma de la transformación propuesta Ecs. (6.200), vemos que
1/2
f (P ) = (2mωP )
.
Por otro lado, puesto que F1 (q, Q) es independiente del tiempo,
(6.210)
∂F1
= 0, tenemos
∂t
H(q, p) = H 0 (Q, P ).
(6.211)
Luego,
H 0 (Q, P ) =
1 (p(Q, P ))2 + m2 ω 2 (q(Q, P ))2 = ωP,
2m
(6.212)
donde vemos que la coordenada Q es cı́clica en el Hamiltoniano transformado H 0 (Q, P ).
Puesto que
∂H
= 0 ⇒ H = E = cte,
(6.213)
∂t
donde E es la energı́a total del sistema. Luego,
H 0 = ωP = E
⇒
P =
E
= cte.
ω
Las ecuaciones de Hamilton para Q y P dan
Ṗ
∂H 0
E
= 0 ⇒ P = cte ⇒ P = .
∂Q
ω
∂H 0
= ω ⇒ Q(t) = ωt + ϕ .
∂P
= −
Q̇ =
(6.214)
6.8. ECUACIÓN DE HAMILTON-JACOBI.
259
Sustituyendo en q(P, Q) y p(P, Q), obtenemos
r
2E
sin(ωt + ϕ),
q=
mω 2
√
p = 2Em cos(ωt + ϕ),
donde
6.8.
2E
mω 2
(6.215)
(6.216)
1/2
es la amplitud de la oscilación y ϕ es la fase.
Ecuación de Hamilton-Jacobi.
Hemos visto que una transformación canónica (qi , pi , t) → (Pi , Qi , t) puede ser usada
para encontrar las soluciones de las ecuaciones de Hamilton para un sistema con un Hamiltoniano H(qi , pi , t), mediante las soluciones de esas ecuaciones para un Hamiltoniano
transformado en nuevas variables H 0 (Qi , Pi , t), tal que alguna (o varias) coordenada Qj
sea cı́clica en H 0 . Una vez encontrada la solución en las nuevas variables (Qi (t), Pi (t)), las
relaciones de la transformación canónica pueden ser empleadas para expresar la solución
en las variables originales
qi = qi (Qi (t), Pi (t), t) ,
pi = pi (Qi (t), Pi (t), t).
(6.217)
Alternativamente, es posible buscar una transformación canónica (qi , pi , t) → (Pi , Qi , t)
tal que las nuevas coordenadas y momentos (Pi , Qi ) correspondan a 2s constantes, las cuales pueden expresarse en función de las 2s condiciones iniciales (qi (0), pi (0)), i = 1, . . . , s.
En este caso, el nuevo Hamiltoniano H 0 (Qi , Pi ) es constante y todas las Qi y Pi son
cı́clicas en H 0 . Entonces, las ecuaciones de transformación que relacionan las nuevas y
viejas variables proporcionan directamente la solución del problema del movimiento,
q = q(qi (0), pi (0), t) ,
p = p(qi (0), pi (0), t).
(6.218)
Figura 6.15: Trayectoria qi (t) que pasa por los puntos qi (t1 ) y qi (t2 ).
En particular, si requerimos que la transformación canónica que conduce a nuevos momentos y coordenadas constantes, Pi ≡ αi = cte, Qi ≡ βi = cte, sea tal que
260
CAPÍTULO 6. DINÁMICA HAMILTONIANA
H 0 (Qi , Pi ) = 0, entonces debe existir una función generadora F tal que
H+
∂F
= 0.
∂t
(6.219)
La condición que debe cumplirse para que tal transformación canónica exista, es la ecuación de Hamilton-Jacobi, y corresponde a la Ec. (6.219) para una F apropiada.
Figura 6.16: Carl Gustav Jacobi (1804-1851).
Para derivar la ecuación de Hamilton-Jacobi y la función generadora apropiada, consideremos la acción de un sistema,
Z t2
S=
L(qi , q̇i , t) dt .
(6.220)
t1
El valor de la acción S, como integral definida, depende del conjunto de trayectorias
{qi (t)} que satisfacen la ecuaciones de Lagrange correspondientes. Para esas trayectorias,
el valor de S es mı́mino (extremo).
Supongamos que el tiempo t2 es variable, i.e, t2 = t. Entonces, la acción dependerá de
las trayectorias y del tiempo, S = S(qi , t). Luego, como función de sus argumentos qi y
t, la derivada temporal de la acción es
X ∂S
dS
∂S
=
q̇i +
.
(6.221)
dt
∂q
∂t
i
i
Por otro lado, si t2 = t en la definición de la acción Ec. (6.220), tenemos
X
dS
=L=
pi q̇i − H(ṗi , qi , t).
dt
i
(6.222)
Comparando Ec. (6.221) con Ec. (6.222), obtenemos las relaciones
∂S
(qi , t) ,
∂qi
(6.223)
∂S
(qi , t) + H(pi , qi , t) = 0 ,
∂t
(6.224)
pi =
6.8. ECUACIÓN DE HAMILTON-JACOBI.
261
las cuales se pueden expresar mediante la ecuación
∂S
∂S
, qi , t = 0 .
(qi , t) + H
∂t
∂qi
(6.225)
La Ec. (6.225) es la ecuación de Hamilton-Jacobi.
Comparando la Ec. (6.219) con la ecuación de Hamilton-Jacobi Ec. (6.225), vemos
que la acción S puede interpretarse como una función generadora capaz de producir la
transformación canónica buscada. Más aún, la acción S puede interpretarse como una
función generadora de tipo F2 (qi , Pi , t), Ec. (6.121), que satisface la Ec. (6.219) y tal que
Pi = αi = cte, Qi = βi = cte.
Calculamos la derivada total de F2 (qi , Pi , t),
X ∂F2
∂F2
∂F2
dF2
q̇i +
Ṗi +
=
.
(6.226)
dt
∂qi
∂Pi
∂t
i
Usando la relación pi =
∂F2
∂qi
satisfecha por las funciones generadoras de tipo F2 , la
condición Ec. (6.219) que debe cumplir F = F2 , y el hecho que Ṗi = 0, tenemos
X
dF2
=
pi q̇i − H,
dt
i
(6.227)
que es análoga a la Ec. (6.222) satisfecha por S. Luego, la acción debe poseer la forma
S(qi , Pi , t), donde Pi = αi = cte. Si comparamos las relaciones satisfechas por una función
F2 (qi , Pi , t) y por S(qi , Pi , t), tenemos
pi =
∂F2
(qi , Pi , t)
∂qi
pi =
∂S
(qi , Pi , t) = pi (qi , Pi , t)
∂qi
Qi =
∂F2
(qi , Pi , t)
∂Pi
Qi =
∂S
(qi , Pi , t) = Qi (qi , Pi , t)
∂Pi
H0 = H +
∂F2
∂t
0=H+
(6.228)
∂S
∂t
donde Pi = cte = αi y Qi = cte = βi . Entonces H 0 (Pi , Qi ) = cte. Luego, para que
exista una transformación canónica (pi , qi ) → (Pi , Qi ) = (αi , βi ), Ec. (6.228), generada
por F2 = S, tal que H 0 (Pi , Qi ) = 0, debe cumplirse la ecuación de Hamilton-Jacobi,
H+
∂S
= 0.
∂t
(6.229)
Note que la solución S(qi , Pi , t) de la ecuación de Hamilton-Jacobi, o más bien, las
derivadas parciales de S, proporcionan la transformación (pi , qi , t) → (Pi , Qi , t). Por
otro lado, las constantes Pi y Qi se pueden expresar, en principio, en términos de las
2s condiciones iniciales (qi (0), pi (0)). Luego, el proceso de solución de la ecuación de
262
CAPÍTULO 6. DINÁMICA HAMILTONIANA
Hamilton-Jacobi para un sistema suministra la trayectoria qi (t) = qi (qi (0), pi (0), t) y
pi (t) = pi (qi (0), pi (0), t) como resultado adicional. Consequentemente, la ecuación de
Hamilton-Jacobi constituye el método más poderoso para encontrar la integración general
de las ecuaciones de movimiento de un sistema.
Matemáticamente, la ecuación de Hamilton-Jabobi corresponde a una ecuación en
derivadas parciales de primer orden para S(qi , t) en s + 1 variables,
∂S
∂S ∂S
∂S
(q1 , . . . , qs , t) + H q1 , . . . , qs ,
,
...,
, t = 0.
(6.230)
∂t
∂q1 ∂q2
∂qs
La solución de la ecuación de Hamilton-Jacobi, Ec. (6.230), para la acción S(qi , t)
requiere de s+1 constantes de integración. Pero S no figura explı́citamente como incógnita
en la Ec. (6.230), sólo aparecen sus derivadas con respecto a las qi y t. Luego, si S es
solución de la Ec. (6.230), entonces S + cte, también es una solución. Por lo tanto, una
de las (s + 1) constantes de integración es irrelevante para la solución. Las s constantes
deben ser las Pi = αi , para que la acción tenga la forma S(qi , Pi , t). Luego, la solución
de la ecuación de Hamilton-Jacobi puede expresarse en la forma
S = S(q1 , . . . , qs , P1 , . . . , Ps , t) = S(qi , αi , t),
i = 1, . . . , s.
(6.231)
Si el Hamiltoniano H es independiente del tiempo, entonces H es constante e igual
a la energı́a total del sistema, H(qi , pi ) = cte = E. En ese caso, se puede buscar una
solución de la ecuación de Hamilton-Jacobi, Ec. (6.230), por separación de variables; esto
es, suponemos que la solución S tiene la forma
S(qi , Pi , t) = S(qi , αi , t) = W (qi , Pi ) − E t = W (qi , αi ) − E t
(6.232)
La función W (qi , Pi ) = W (qi , αi ) se llama función caracterı́stica o principal de Hamilton.
En ese caso, sustitución de S en la Ec. (6.230) resulta en una ecuación para la función
W (qi , Pi ), de la forma
∂W
(6.233)
H
(qi , E, Pj ), qi = E ,
∂qi
donde P1 = α1 = E, Pj = αj , j = 2, . . . , s. La Ec. (6.233) se denomina ecuación de
Hamilton-Jacobi independiente del tiempo.
En particular, si el Hamiltoniano es independiente del tiempo, la coordenada constante Q1 = β1 asociada a P1 = E satisface
Q1
=
=
∂S
∂S
=
∂P1
∂E
∂W
− t = β1 .
∂E
(6.234)
La función caracterı́stica de Hamilton W (qi , Pi ), que satisface la Ec. (6.233), puede
interpretarse como una función generadora de tipo F2 (qi , Pi ), independiente del tiempo,
que produce una transformación canónica (qi , pi ) → (Qi , Pi ) tal que las coordenadas Qi
son cı́clicas en el nuevo Hamiltoniano; es decir, H 0 (Pi ).
6.8. ECUACIÓN DE HAMILTON-JACOBI.
263
En efecto, con esta condición sobre H 0 , los nuevos momentos Pi son constantes, pues
Ṗi = −
∂H 0 (Pi )
= 0 ⇒ Pi = αi = cte.
∂Qi
(6.235)
Entonces, H 0 (Pi ) = H 0 (αi ) = cte. La función generadora F2 (qi , Pi ) = W (qi , Pi ) =
W (qi , αi ) satisface la relación
H0 = H +
∂F2
∂t
H 0 = H.
⇒
(6.236)
Puesto que H(qi , pi ) = E, tenemos
H(qi , pi ) = E = H 0 (Pi ).
(6.237)
Las relaciones de la transformacion canónica generada por W (qi , Pi ) corresponden a
pi
=
Qi
=
∂W
,
∂qi
∂W
.
∂Pi
(6.238)
(6.239)
Luego, la relación H(qi , pi ) = E se puede expresar como
∂W
H
(qi , Pi ), qi = E ,
∂qi
(6.240)
que es la ecuación de Hamilton-Jacobi independiente del tiempo satisfecha por la función
caracterı́stica W (qi , Pi ).
El método de separación de variables para buscar una solución de la ecuación de
Hamilton-Jacobi también puede emplearse cuando una coordenada es cı́clica. Una coordenada qk cı́clica no aparece explı́citamente en el Hamiltoniano y, por lo tanto, tampoco
aparece en la correspondiente ecuación de Hamilton-Jacobi. Si el Hamiltoniano es constante, entonces se puede buscar una solución de esta ecuación en la forma
S(qi , Pi , t) = W (qj , Pi ) + Pk qk − Et,
j 6= k.
(6.241)
Entonces,
∂S
= Pk = αk = cte.
(6.242)
∂qk
La constante Pk = αk es justamente el valor constante del momento conjugado pk asociado a la variable cı́clica qk . La presencia del término −Et en la expresión Ec. (6.241)
para un sistema conservativo corresponde a la separación de la variable t, que no aparece
explı́citamente en el Hamiltoniano.
En ciertos sistemas, es posible encontrar una solución por separación de variables en
forma aditiva; esto es, suponemos la acción de la forma
pk =
S(qi , Pi , t) = W (qi , Pi ) − Et =
s
X
k=1
Wk (qk , Pi ) − Et,
(6.243)
264
CAPÍTULO 6. DINÁMICA HAMILTONIANA
donde cada función Wk depende solamente de una coordenada qk . Si una coordenada
qk es cı́clica, tomamos Wk = Pk qk . Las relaciones de la transformacion canónica se
convierten en
∂Wk
pk =
(qk , P1 , . . . , Ps ) ,
(6.244)
∂qk
∂Wk
Qk =
(qk , P1 , . . . , Ps ) .
(6.245)
∂Pk
Entonces, es posible reducir el problema de la ecuación de Hamilton-Jacobi a un conjunto
de s ecuaciones diferenciales de primer orden, una ecuación para cada función Wk que
depende de qk y de constantes αi = Pi . Cada ecuación permite encontrar la correspondiente Wk mediante una integración explı́cita sobre la coordenada qk . En este caso, se
dice que el sistema es completamente separable.
Aunque la ecuación de Hamilton-Jacobi para un sistema dinámico dado puede ser
completamente separable en un sistema de coordenadas, puede no serlo en otro. En general, no existen condiciones de separabilidad a priori; aunque consideraciones de simetrı́a
pueden ayudar. Por ejemplo, un problema con simetrı́a esférica comúnmente puede ser
separable en coordenadas esféricas.
Ejemplos.
1. Ecuación de Hamilton-Jacobi para un oscilador armónico simple y obtención de la
trayectoria (q(t), p(t)) y de la acción asociada a este sistema.
El Hamiltoniano es
1
p 2 + m2 ω 2 q 2 .
(6.246)
2m
La acción para este sistema con s = 1 tiene la forma S(q, t). La ecuación de
Hamilton-Jacobi es
∂S
(q, t) + H(p, q) = 0.
(6.247)
∂t
Hay una sóla relación para el momento,
H(q, p) =
p=
∂S
(q, t)
∂q
(6.248)
y, sustituyendo en la Ec. (6.247), obtenemos la ecuación de Hamilton-Jacobi para
el oscilador armónico,
#
" 2
∂S
1
∂S
+
+ m2 ω 2 q 2 = 0.
(6.249)
∂t
2m
∂q
Puesto que ∂H
∂t = 0, el Hamitoniano es constante e igual a la energı́a total del
sistema, H = E. Luego, podemos buscar una solución de la Ec. (6.249) mediante
separación de variables,
S(q, E, t) = W (q, E) − E t,
(6.250)
6.8. ECUACIÓN DE HAMILTON-JACOBI.
265
donde P = E = α es la única constante de integración para la Ec. (6.249). Sustitución en la Ec. (6.249) da
#
"
2
1
∂W
(6.251)
+ m2 ω 2 q 2 = E .
2m
∂q
Calculamos W (q, E),
∂W
= (2mE − m2 ω 2 q 2 )1/2 ,
∂q
Z r
√
1 − mω 2 q 2
W (q, E) = 2mE
dq.
2E
(6.252)
(6.253)
Luego,
Z r
√
S(q, E, t) =
2Em
1 − mω 2 q 2
dq − Et.
2E
(6.254)
La función S(q, E, t) permite encontrar las relaciones de la transformación canónica
generada por S a partir de sus derivadas parciales,
∂W
∂S
=
∂q
∂q
(6.255)
∂S
∂S
=
= β = cte.
∂P
∂E
(6.256)
p=
Q=
La relación Ec. (6.256) da
∂S
Q=
=
∂E
r
m
2E
Z
dq
r
mω 2 q 2
1−
2E
− t.
(6.257)
Integrando la Ec. (6.257), obtenemos1
r
1
m
−1
Q+t=
sin
ωq
,
ω
2E
(6.258)
y despejando q,
r
q(Q, E, t) =
2E
sin(ωt + β 0 ),
mω 2
β 0 = Qω = cte.
(6.259)
La relación Ec. (6.255) da
p=
1
R
√
dx
1−ax2
=
√1
a
sin−1
`√
ax
´
p
∂W
= 2mE − m2 ω 2 q 2 ;
∂q
(6.260)
266
CAPÍTULO 6. DINÁMICA HAMILTONIANA
sustituyendo q de la Ec. (6.259), tenemos
√
p(Q, E, t) = 2mE cos(ωt + β 0 ).
(6.261)
Las constantes Q = β y P = E se pueden expresar en términos de las condiciones
iniciales q(0) = q0 y p(0) = p0 . Evaluando las Ecs. (6.259) y (6.261) en t = 0,
tenemos
r
2E
q0 =
sin(ωQ),
(6.262)
mω 2
√
p0 = 2mE cos(ωQ).
(6.263)
Luego,
tan(ωQ) = mω
q0
p0
⇒
Q=
1
q0
tan−1 mω
.
ω
p0
(6.264)
Evaluando la Ec. (6.260) en t = 0,
E=
1
p20 + m2 ω 2 q02 = P.
2m
(6.265)
Las Ecs. (6.259) y (6.261), junto con las relaciones (6.264) y (6.265), expresan la
solución de las ecuaciones de Hamilton para el oscilador armónico en términos de
las condiciones iniciales, p = p(q0 , p0 , t) y q = q(q0 , p0 , t).
Aunque la solución explı́cita para la acción S no es necesaria para la obtención de
la trayectoria p(q0 , p0 , t) y q(q0 , p0 , t), la cantidad S puede encontrarse a partir de
la integración de la Ec. (6.254),
Z r
√
1 − mω 2 q 2
S(q, E, t) =
dq − Et
2Em
2E
r
Z
√
q2
=
2Em
1 − 2 dq − Et
a
" #
1/2
q
√
1
q2
=
2Em q 1 − 2
+ a sin−1
− Et, (6.266)
2
a
a
r
2E
donde a ≡
. Sustituyendo q de la Ec. (6.259) en la Ec. (6.266), podemos
mω 2
obtener S como función de t,
1 √
S(t) =
a 2Em sin(ωt + β 0 ) cos(ωt + β 0 ) + sin−1 (sin(ωt + β 0 )) − Et
2 E 1
0
0
=
sin 2(ωt + β ) + (ωt + β ) − Et
ω 2
E
sin 2(ωt + β 0 ),
=
(6.267)
2ω
donde las constantes han sido suprimidas en la Ec. (6.267).
6.8. ECUACIÓN DE HAMILTON-JACOBI.
267
2. Separación de variables en la ecuación de Hamilton-Jacobi en coordenadas esféricas
en un sistema con simetrı́a azimutal.
Consideremos una partı́cula en un potencial con simetrı́a azimutal alrededor del
eje z (independiente del ángulo φ) en coordenadas esféricas de la forma,
V (r, θ) = a(r) +
b(θ)
.
r2
(6.268)
donde a(r) y b(θ) son funciones dadas. En particular, el problema de Kepler corresponde a a(r) = −k/r y b(θ) = 0. El Lagrangiano correspondiente a este sistema,
en coordenadas esféricas (Cap. 1), es
1
b(θ)
L = m(ṙ2 + r2 θ̇2 + r2 ϕ̇2 sin2 θ) − a(r) + 2 .
(6.269)
2
r
Para este sistema, se obtiene el siguiente Hamiltoniano
! p2φ
1
b(θ)
p2θ
2
H(r, θ, φ, pr , pθ , pφ ) =
+ a(r) + 2 .
pr + 2 + 2 2
2m
r
r
r sin θ
(6.270)
La acción para este sistema es una función S(r, θ, φ, t). Los momentos satisfacen
∂S
,
∂r
∂S
,
pθ =
∂θ
∂S
pφ =
.
∂φ
pr =
(6.271)
(6.272)
(6.273)
La ecuación de Hamilton-Jacobi es
∂S
+ H = 0.
∂t
(6.274)
Sustituyendo H y los momentos en la Ec. (6.274), obtenemos la ecuación de HamiltonJacobi para este sistema,
" 2 # 2
2
∂S
1
∂S
1 ∂S
1
∂S
b(θ)
+
+ 2
+ 2 2
+ a(r) + 2 = 0.
∂t
2m
∂r
r
∂θ
r
r sin θ ∂φ
(6.275)
Puesto que el Hamiltoniano es independiente del tiempo y la coordenada φ es
cı́clica, podemos buscar una solución en la forma separable
S(r, θ, φ, P1 , P2 , P3 , t) = Wr (r, E, Pφ , P3 ) + Wθ (θ, E, Pφ , P3 ) + Pφ φ − Et, (6.276)
donde hemos tomado Wφ = Pφ φ, y P1 = E, P2 = Pφ y P3 son constantes.
268
CAPÍTULO 6. DINÁMICA HAMILTONIANA
Las Ecs. (6.273) y (6.276) implican que pφ = Pφ = cte. La cantidad constante pφ
es el valor de la componente lz del momento angular.
Sustituyendo S en la Ec. (6.275), obtenemos
"
#
2
2
p2φ
1
∂Wθ
∂Wr
1
+ a(r) +
+
2m
b(θ)
+
= E, (6.277)
2m
∂r
2mr2
∂θ
2mr2 sin2 θ
lo cual se puede expresar como
"
#
2
2
p2φ
∂W
∂W
r
θ
. (6.278)
r2
+ 2mr2 a(r) − 2mr2 E = −
+ 2m b(θ) −
∂r
∂θ
sin2 θ
En términos de las coordenadas, el lado izquierdo del la Ec. (6.278) corresponde a
una función que depende solamente de r, mientras que el lado derecho representa
a una función dependiente solamente de θ. Entonces, para que ambos lados sean
iguales en la Ec. (6.278), ambas funciones deben ser iguales a una misma constante,
2
p2φ
∂Wθ
= P3 ,
(6.279)
+ 2m b(θ) +
∂θ
sin2 θ
2
∂Wr
2
r
+ 2mr2 a(r) − 2mr2 E = −P3 ,
(6.280)
∂r
donde hemos fijado la constante como −P3 , puesto que las funciones Wr y Wθ
deben depender de las tres constantes E, pφ , P3 . Despejando, tenemos
"
#1/2
p2φ
∂Wθ
= P3 − 2m b(θ) −
,
(6.281)
∂θ
sin2 θ
1/2
∂Wr
P3
(6.282)
= 2m E −
−
a(r)
.
∂r
2mr2
Mediante integración obtenemos
#1/2
Z "
p2φ
dθ,
P3 − 2m b(θ) −
Wθ (θ, pφ , P3 ) =
sin2 θ
1/2
Z P3
Wr (r, E, P3 ) =
2m (E − a(r)) − 2
dr,
r
(6.283)
(6.284)
y ya teniamos Wφ = pφ φ. Luego, el sistema es completamente separable.
La acción correspondiente es
S
1/2
Z P3
=
2m (E − a(r)) − 2
dr
r
#1/2
Z "
p2φ
+
P3 − 2m b(θ) −
dθ
sin2 θ
+ pφ φ − E t.
(6.285)
6.8. ECUACIÓN DE HAMILTON-JACOBI.
269
Las coordenadas constantes Q1 , Q2 y Q3 de la transformación canónica generada
por S satisfacen las relaciones
∂S
=
∂E
∂S
Q2 =
=
∂pφ
∂S
=
Q3 =
∂P3
Q1 =
∂Wr
(r, E, P3 ) − t = Q1 (r, E, P3 , t),
∂E
∂Wθ
(θ, pφ , P3 ) + φ = Q2 (θ, φ, pφ , P3 ),
∂pφ
∂Wr
∂Wθ
+
=
Q3 (r, θ, E, φ, P3 ).
∂P3
∂P3
(6.286)
(6.287)
(6.288)
La Ec. (6.286) permite encontrar la solución r = r(E, P3 , Q1 , t). Esta solución para r
se puede sustituir en la Ec. (6.288), y entonces las Ecs. (6.287) y (6.288) constituyen
un sistema de dos ecuaciones para θ y φ, las cuales pueden resolverse dando como
resultado θ = θ(E, pφ , P3 , Q1 , Q2 , Q3 , t) y φ = φ(E, pφ , P3 , Q1 , Q2 , Q3 , t).
Por otro lado, consideremos las Ecs. (6.271)-(6.272) para los momentos
pr
=
pθ
=
∂S
∂Wr
=
= pr (r, E, P3 ),
∂r
∂r
∂S
∂Wθ
=
= pθ (θ, P3 , pφ ).
∂θ
∂θ
(6.289)
(6.290)
Sustitución de las soluciones para las coordenadas r y θ en estas ecuaciones conduce
a las soluciones para los momentos pr y pθ (pφ es una constante) en función del
tiempo y de las constantes E, pφ , P3 , Q1 , Q2 , Q3 .
Luego, el método de la ecuación de Hamilton-Jacobi permite obtener la solución
completa de las ecuaciones de movimiento (coordenadas y momentos) en términos
de las seis constantes E, pφ , P3 , Q1 , Q2 , Q3 .
3. Relación entre la ecuación de onda de Schrödinger de la Mecánica Cuántica y la
ecuación de Hamilton-Jacobi de la Mecánica Clásica.
Figura 6.17: Erwin Schrödinger (1887-1961).
Consideremos, por simplicidad, la ecuación de Schrödinger unidimensional para la
función de onda Ψ(x, t) de una partı́cula de masa m en el potencial V (x, t),
i~
∂Ψ
~2 ∂ 2 Ψ
=−
+ V (x, t)Ψ .
∂t
2m ∂x2
(6.291)
270
CAPÍTULO 6. DINÁMICA HAMILTONIANA
Suspongamos una solución de la forma
i
Ψ(x, t) = R(x, t)e ~ S(x,t) ,
(6.292)
donde R(x, t) es la parte real que da la amplitud de la función de onda y S(x, t) es
la fase correspondiente.
Calculamos las derivadas parciales
i
i
∂Ψ
i
= Ψ̇ = Ṙe ~ S + RṠe ~ S =
∂t
~
∂Ψ
=
Ψ =
∂x
0
∂2Ψ
Ψ =
∂x2
00
i
i
Ṙ + RṠ e ~ S .
~
i
i
0
R + RS e ~ S .
~
0
(6.293)
(6.294)
i
i
i 0 0
i 0 iS
S
0
00
00
0
~
=
R + (R S + RS ) e + R + RS
S e~
~
~
~
i
i 0 0 i
1
00
02
00
=
R + 2 R S + RS − 2 RS e ~ S .
(6.295)
~
~
~
Sustituyendo las derivadas de Ψ en la Ec. (6.291), tenemos
i
i 0 0 i
~2
1
00
02
00
i~ Ṙ + RṠ = −
R + 2 R S + RS − 2 RS
+ V R.
~
2m
~
~
~
(6.296)
En el lı́mite clásico ~ → 0, la Ec. (6.296) queda
−RṠ =
1
RS 02 + V R,
2m
(6.297)
la cual se puede escribir como
∂S
1
+
∂t
2m
∂S
∂x
2
+ V = 0.
(6.298)
Pero el Hamiltoniano de la partı́cula es
p2
+ V,
2m
y el momento, en términos de la acción clásica S, es
H=
(6.299)
∂S
.
(6.300)
∂x
Luego, la Ec. (6.298) es la ecuación de Hamilton-Jacobi para la fase S(x, t).
∂S
∂S
+H
, x = 0.
(6.301)
∂t
∂x
p=
En el lı́mite clásico, la fase S(x, t) de la función de onda Ψ(x, t) corresponde a la
acción y satisface la ecuación de Hamilton-Jacobi.
6.9. VARIABLES DE ACCIÓN-ÁNGULO.
6.9.
271
Variables de acción-ángulo.
Supongamos que tenemos un sistema dinámico con las siguientes condiciones:
(1) su Hamiltoniano H(qi , pi ) es constante,
(2) el sistema es completamente separable,
(3) sus movimientos son finitos.
La condición (1) implica que podemos escribir la ecuación Hamilton-Jacobi independiente
del tiempo para el sistema,
∂W
H
(6.302)
(qi , Pi ), qi = E ,
∂qi
donde Pi = αi = cte. Debido a la condición (2), podemos expresar la función caracterı́stica de Hamilton como
W (q1 , . . . , qs , α1 , . . . , αs ) =
s
X
Wi (qi , α1 , . . . , αs ).
(6.303)
i=1
Como vimos en la sección anterior, W constituye la función generadora tipo F2 (qi , Pi )
de la transformación canónica (qi , pi ) → (Qi , αi ), cuyas relaciones están dadas por
pi
=
Qi
=
∂Wi
(qi , α1 , . . . , αs ) ,
∂qi
∂Wi
(qi , α1 , . . . , αs ) .
∂αi
(6.304)
(6.305)
El nuevo Hamiltoniano entonces tiene la forma H 0 (α1 , . . . , αs ) = E.
La Ec. (6.304) implica la relación funcional
pi = pi (qi , α1 , . . . , αs ),
(6.306)
la cual define una curva o trayectoria sobre el plano (qi , pi ) que depende de los parámetros
α1 , . . . , αs . Esta curva es una proyección sobre el plano (qi , pi ) de la trayectoria del sistema
en su espacio de fase 2s-dimensional. Adicionalmente, la condición (3) implica que esta
curva debe ser una órbita cerrada o periódica en el plano (qi , pi ), que denotamos por Ci .
Existe una tal órbita Ci en cada uno de los planos (qi , pi ) del espacio de fase.
La órbita Ci en un plano (qi , pi ) refleja la periodicidad de las variables conjugadas pi
y qi , y puede ser de dos tipos:
1. Libración: ocurre cuando los valores de ambos, qi y pi , se repiten, trazando una
órbita cerrada. En este caso, tanto qi como pi , son funciones periódicas en el tiempo.
El oscilador armónico y el problema de Kepler con E < 0 son ejemplos de este tipo
de órbitas. Las órbitas de libración son curvas cerradas que no siempre son elipses.
272
CAPÍTULO 6. DINÁMICA HAMILTONIANA
2. Rotación: corresponde a una órbita tal que pi es una función periódica de qi , con
perı́odo qi0 . Los valores de pi están acotados, pero los de qi pueden incrementarse
indefinidamente. Ejemplos son los movimientos de un cuerpo rı́gido libre y de un
trompo simétrico con un punto fijo, donde la coordenada qi es un ángulo que puede
incrementarse en 2π sin cambio en la configuración del sistema. En general, la
coordenada qi asociada a este tipo de órbita corresponde a un ángulo de rotación.
.
Figura 6.18: (a) Libración. (b) Rotación. (c) Libración y rotación en el espacio de fase de un
péndulo simple.
Ambos tipos de órbitas periódicas pueden aparecer en un sistema dinámico, dependiendo de los valores de sus parámetros. El péndulo simple es un ejemplo clásico, donde
la coordenada q es el ángulo θ con respecto a la vertical. La energı́a del sistema es
E=
p2
− mgl cos q ,
2ml2
(6.307)
de donde obtenemos la órbita en el plano (q, p),
p
p(q, E) = ± 2ml2 (E + mgl cos q) .
Si E < mgl, entonces q oscila entre los puntos de retorno q1,2
(6.308)
E
= ± cos−1 − mgl
, para
los cuales p = 0. Bajo estas condiciones, la trayectoria en el plano (q, p) es una órbita
cerrada y corresponde a un movimiento periódico de libración. Por otro lado, si E > mgl,
todos los valores del ángulo q son fı́sicamente posibles, y q se incrementa indefinidamente
para producir un movimiento periódico del tipo de rotación. En este caso, el péndulo
posee suficiente energı́a para dar la vuelta en una dirección por encima de la posición
vertical invertida q = π y, por lo tanto, continúa rotando en esa dirección.
6.9. VARIABLES DE ACCIÓN-ÁNGULO.
273
Cada órbita Ci tiene un perı́odo asociado; es decir, las variables qi y pi en el plano
(qi , pi ) se repiten en el tiempo. En general, los perı́odos de las órbitas Ci pueden ser
distintos entre sı́; como consequencia la trayectoria de todo el sistema en su espacio
de fase puede no ser periódica, en el sentido de que todas las 2s variables qi y pi se
repitan al cabo de un determinado intervalo de tiempo. Recordemos que las órbitas Ci
son proyecciones en los distintos planos (qi , pi ) de la trayectoria del sistema en su espacio
de fase; todas las proyecciones no tienen que cerrarse necesariamente después de un
perı́odo de tiempo dado.
Las variables de acción-ángulo son un conjunto de coordenadas y momentos, denotados por (ϕi , Ji ), que resultan convenientes para describir la coexistencia de múltiples
movimientos periódicos en la dinámica de sistemas completamente separables con movimientos finitos, i. e., que satisfacen las condiciones (1), (2) y (3).
Para esta clase de sistemas, podemos introducir una transformación canónica (qi , pi ) →
(ϕi , Ji ) tal que las nuevas coordenadas ϕi sean cı́clicas en el nuevo Hamiltoniano, i. e.,
H 0 (J1 , . . . , Js ) = E. Definimos los nuevos momentos como las variables de acción
I
1
pi dqi ,
(6.309)
Ji ≡
2π Ci
donde la integral se realiza sobre un ciclo completo de la coordenada qi a lo largo de la
órbita Ci que yace en el plano (qi , pi ), ya sea retornando al valor inicial de qi o sobre un
intervalo qi0 .
Puesto que el sistema es completamente separable, podemos usar la Ec. (6.304) para
escribir
I
∂Wi
Ji =
(qi , α1 , . . . , αs ) dqi = Ji (α1 , . . . , αs ) = cte,
(6.310)
Ci ∂qi
debido a que las αi son constantes. La Ec. (6.310) constituye un sistema de s ecuaciones
para las s variables de acción Ji en función de las αi , las cuales puede ser invertidas
para obtener αi = αi (J1 , . . . , Js ). Luego, las variables Ji son un conjunto de funciones
independientes que pueden ser usadas como los nuevos momentos constantes. Entonces,
el nuevo Hamiltoniano se puede escribir H 0 (J1 , . . . , Js ) = cte.
La función caracterı́stica de Hamilton, que es generadora
P de la transformación canónica (qi , pi ) → (ϕi , Ji ), debe tener la forma W (qi , Ji ) = i Wi (qi , J1 , . . . , Js ). Las relaciones de la transformación son
∂Wi
pi =
(qi , J1 , . . . , Js ) ,
(6.311)
∂qi
∂Wi
ϕi =
(6.312)
(qi , J1 , . . . , Js ) .
∂Ji
Para entender el significado de las variables de ángulo, calculemos el cambio de una
variable ϕi en un ciclo completo de la coordenada qi sobre una órbita Ci , dado por
I
I
I
∂
∂Wi
∂
∂Wi
∆ϕi =
dϕi =
dqi =
dqi
∂Ji
∂Ji Ci ∂qi
Ci
Ci ∂qi
I
∂
∂Ji
=
pi dqi = 2π
= 2π .
(6.313)
∂Ji Ci
∂Ji
274
CAPÍTULO 6. DINÁMICA HAMILTONIANA
Luego, un ciclo completo de qi corresponde a un cambio de ϕi en 2π; la variable ϕi se
puede interpretar como un ángulo de rotación tal que el perı́odo de la órbita Ci equivale a una rotación completa de ϕi manteniendo Ji constante. Puesto que no todas las
órbitas tienen el mismo perı́odo, no todas las variables de ángulo ϕi realizan una rotación completa al mismo tiempo, aunque todas las variables de acción correspondientes
se mantienen constantes.
Las ecuaciones de Hamilton en las nuevas variables son
∂H 0 (Jj )
= 0,
∂ϕi
∂H 0 (Jj )
≡ ωi (Jj ) = cte.
∂ϕi
J˙i
= −
(6.314)
ϕ̇i
=
(6.315)
Las Ecs. (6.314) confirman que las Ji son constantes, mientras las Ecs. (6.315) definen s
funciones constantes ωi (Jj ). Adicionalmente, las Ecs. (6.315) conducen a
ϕi = ω i t + θ i ,
(6.316)
donde θi equivale a una fase inicial para cada variable ϕi . Cada nueva coordenada ϕi
se comporta efectivamente como un ángulo que se incrementa con una correspondiente
velocidad angular constante ωi ; de alli su nombre variables de ángulo. El perı́odo correspondiente de ϕi es
2π
,
(6.317)
Ti =
ωi (Jj )
el cual es igual al perı́odo de la órbita Ci . Entonces, las Ecs. (6.315) permiten obtener directamente las frecuencias de las órbitas periódicas del sistema, sin hacer aproximaciones
de pequeños desplazamientos y sin necesidad de resolver explı́citamente las ecuaciones
de movimiento.
En resumen, el empleo de las variables de acción-ángulo permite encontrar las múltiples frecuencias del movimiento de un sistema que satisface las condiciones (1)-(3), mediante el siguiente procedimiento:
1. Escribir la ecuación de Hamilton-Jacobi independiente del tiempo,
∂Wi
H
(qi , α1 , . . . , αs ), qi = E .
∂qi
2. Separar la Ec. (6.318) en s ecuaciones para las derivadas
separación provee las constantes α1 = E, α2 , . . . , αs .
(6.318)
∂Wi
∂qi (qi , α1 , . . . , αs ).
3. Calcular las variables de acción,
I
∂Wi
(qi , α1 , . . . , αs ) dqi = Ji (α1 , . . . , αs ).
Ji =
Ci ∂qi
4. Invertir las relaciones Ji (α1 , . . . , αs ) para obtener αi = αi (J1 , . . . , Js ).
La
(6.319)
6.9. VARIABLES DE ACCIÓN-ÁNGULO.
5. Sustituir αi (J1 , . . . , Js ) en las derivadas
Ec. (6.318), para obtener H 0 (J1 , . . . , Js ).
6. Calcular las frecuencias
ωi (Jj ) =
275
∂Wi
∂qi (qi , α1 , . . . , αs )
∂H 0
(J1 , . . . , Js ).
∂ϕi
que aparecen en la
(6.320)
La descripción del movimiento de un sistema finito completamente separable resulta
simple en términos de las variables de acción-ángulo: cada órbita Ci trazada sobre el
plano (qi , pi ) es equivalente a una rotación sobre una circunferencia de un ángulo ϕ
con velocidad ángular constante ωi . El radio de la circunferencia corresponde al valor
constante Ji .
En lenguaje topológico, cada curva cerrada Ci se distorsiona continuamente en una circunferencia, denotada en topologı́a por el sı́mbolo S1 , debido a la transformación canónica
(qi , pi ) → (ϕi , Ji ). La trayectoria en el espacio de fase yace en todas esas s circunferencias
simultáneamente. Si s = 2, hay 2 circunferencias; para cada punto (ϕ1 , J1 ) de la primera
circunferencia S1 existe una segunda circunferencia S1 con valores de (ϕ2 , J2 ). Es decir, a cada punto de S1 está asociada otra S1 . Esto describe un toroide, designado por
T2 = S1 ×S1 . Entonces, la trayectoria transcurre sobre el toroide T2 . Aunque esto se puede visualizar con uno o dos grados de libertad; es más difı́cil de hacerlo para s en general.
En ese caso, la trayectoria tiene lugar sobre un s-toroide Ts = S1 × · · · × S1 . Las variables
de acción-ángulo proveen una representación geométrica elegante del movimiento. de un
sistema completamente separable.
Figura 6.19: Variables de acción-ángulo y una trayectoria sobre un toroide para un sistema con
s = 2.
La trayectoria sobre un toroide T2 es cerrada si el cociente de las frecuencias ω1 /ω2
es un número racional. En tal caso, se dice que la trayectoria es periódica. Si ω1 /ω2 es
igual a un número irracional; entonces la trayectoria se denomina cuasiperiódica, y en
su evolución cubre uniformemente toda la superficie del toroide. Del mismo modo, una
trayectoria sobre un s-toroide Ts es cerrada o periódica si ωi /ωj es racional ∀i, j, mientras
que una trayectoria es cuasiperiódica si ωi /ωj es irracional ∀i, j.
Mediante variables de acción-ángulo, diferentes sistemas con el mismo número s de
grados de libertad pueden ser mapeados sobre un s-toroide. Luego, el movimiento sobre
un s-toroide constituye un tipo de sistema dinámico universal que abarca la dinámica de
sistemas separables aparentemente diferentes.
276
CAPÍTULO 6. DINÁMICA HAMILTONIANA
Ejemplos.
1. Encontrar la frecuencia de un oscilador armónico usando variables de acción-ángulo.
El Hamiltoniano es
H(q, p) =
p2
1
+ kq 2
2m 2
= E = cte.
(6.321)
Las órbitas H(q, p) = cte en el plano (q, p) corresponden a elipses.
Figura 6.20: Órbitas en espacio de fase (q, p) para el oscilador armónico y variables de acciónángulo (J, ϕ) correspondientes.
El momento es
p=
∂W
.
∂q
(6.322)
Sustituyendo en la Ec. (6.321), tenemos
2
1
∂W
1
+ kq 2 = E,
2m ∂q
2
de donde
∂W
=
∂q
s
1 2
2m E − kq .
2
(6.323)
(6.324)
La variable de acción es
J
=
=
=
1
2π
I
1
2π
I r
I
p dq =
C
C
∂W
dq
∂q
1 √
k 2
2mE
1−
q dq
2π
2E
C
Z qmax r
1 √
k 2
q dq,
2mE 4
1−
2π
2E
0
(6.325)
puesto que un ciclo C equivale
a cuatro veces la variación de la coordenada q desde
q
2E
0 hasta el valor qmax =
k , para el cual p = 0.
6.9. VARIABLES DE ACCIÓN-ÁNGULO.
Con el cambio variables sin x =
J
=
=
q
k
2E
277
q, obtenemos
r
Z π/2
1 √
2E
2mE
4
cos2 x dx
2π
k
0
r
r
m
4 m π
E =
E.
π
k
4
k
(6.326)
Luego, el Hamiltoniano en términos de J es
r
0
H (J) = E =
k
J.
m
(6.327)
La frecuencia del movimiento es
∂H 0
=
ϕ̇ = ω =
∂J
r
k
.
m
(6.328)
2. Encontrar el perı́odo del movimiento de una partı́cula de masa m y velocidad v que
choca elásticamente entre dos paredes paralelas separadas por una distancia L.
Figura 6.21: Partı́cula chocando elásticamente entre dos paredes paralelas. Izquierda: espacio
fı́sico. Derecha: espacio de fase (q, p).
La energı́a de la partı́cula es constante,
E=
1
mv 2 = cte ,
2
(6.329)
p2
= E.
2m
(6.330)
∂W
,
∂q
(6.331)
y el Hamiltoniano correspondiente es
H=
Usando
p=
obtenemos la ecuación de Hamilton-Jacobi independiente del tiempo,
1
2m
∂W
∂q
2
= E.
(6.332)
278
CAPÍTULO 6. DINÁMICA HAMILTONIANA
Luego,
p=
√
∂W
= 2mE .
∂q
(6.333)
La variable de acción da
J
=
=
=
I
1
p dq
2π C
I
1 √
2mE
dq
2π
C
Z L
L√
1 √
2mE 2
dq =
2mE .
2π
π
0
(6.334)
Luego, p = πJ/L. El Hamiltoniano como función de J es
H 0 (J) =
π2
J 2,
2mL2
(6.335)
y la frecuencia del movimiento está dada por
ϕ̇ = ω =
∂H 0
π2
=
J.
∂J
mL2
(6.336)
En términos de los datos L y v,
ω=
π2 L √
π
2mE = v
2
mL π
L
(6.337)
2π
2L
=
.
ω
v
(6.338)
Luego, el perı́odo resulta en
T =
3. Una partı́cula se mueve sin fricción sobre un cilindro vertical de radio R en el campo
gravitacional terrestre, conservando su energı́a E y alcanzando una altura máxima
h despues de cada choque contra el suelo. Encontrar las frecuencias del movimiento
usando variables de acción-ángulo.
Figura 6.22: Partı́cula moviéndose sobre un cilindro vertical.
6.9. VARIABLES DE ACCIÓN-ÁNGULO.
279
Hay dos grados de libertad, θ y z. El Lagrangiano del sistema es
1
m(R2 θ̇2 + ż 2 ) − mgz.
2
(6.339)
p2z
p2θ
+
+ mgzE = cte.
2mR2
2m
(6.340)
L=
El Hamiltoniano es
H=
La ecuación de Hamilton-Jacobi independiente del tiempo tiene la forma
H
∂W
, q i , αi
∂qi
= E.
(6.341)
Buscamos solución por separación de variables. Asumimos la función caracterı́stica
de Hamilton en la forma W = Wθ (θ, α1 , α2 ) + Wz (z, α1 , α2 ), con α1 = E.
Los momentos correspondientes son
pθ
=
pz
=
∂Wθ
,
∂θ
∂Wz
.
∂z
(6.342)
(6.343)
Sustituyendo en la Ec. (6.340), tenemos
1
2mR2
∂Wθ
∂θ
2
1
+
2m
∂Wz
∂z
2
+ mgz = E,
(6.344)
lo cual se puede expresar como
1
2m
∂Wz
∂z
2
1
+ mgz = E −
2mR2
∂Wθ
∂θ
2
(6.345)
El lado izquierdo en la Ec. (6.345) es función de z solamente y el lado derecho es
una función de θ. Ambos lados deben ser iguales a la misma constante, α2 = cte.
Entonces, podemos escribir
∂Wz
∂z
2
1
E−
2mR2
1
2m
+ mgz
∂Wθ
∂θ
= α2
(6.346)
= α2
(6.347)
2
Luego,
p
√
∂Wθ
= R 2m E − α2 = cte ,
∂θ
(6.348)
280
CAPÍTULO 6. DINÁMICA HAMILTONIANA
y la variable de acción Jθ está dada por
I
1
Jθ =
pθ dθ
2π Cθ
I 1
∂Wθ
=
dθ
2π Cθ
∂θ
I
p
√
1
R 2m E − α2
dθ
=
2π
Cθ
p
√
= R 2m E − α2 = pθ .
(6.349)
Por otro lado,
p
∂Wz
= 2mα2 − 2m2 gz ,
∂z
y la variable de acción Jz correspondiente es
I
I p
1
1
2mα2 − 2m2 gz dz .
Jz =
pz dz =
2π Cz
2π Cz
(6.350)
(6.351)
Figura 6.23: Izquierda:
Órbita Cz en el plano (z, pz ). En z = 0, el momento pz cambia de signo
√
de −p∗z a p∗z = m 2gh. Derecha: Órbita Cθ en el plano (θ, pθ ).
La integral sobre la órbita Cz corresponde a un ciclo de z = 0 a z = h y viceversa.
Z hp
1
Jz =
2
2mα2 − 2m2 gz dz
(6.352)
2π
0
Z hr
1p 2
α2
=
2m g
− z dz
(6.353)
π
mg
0
3/2 0
1 p 2 2 α2
=
2m g
−z
(6.354)
π
3 mg
h
3/2
2 p 2
α2
=
2m g
(6.355)
3π
mg
1
√ (2α2 )3/2 .
=
(6.356)
3πg m
6.9. VARIABLES DE ACCIÓN-ÁNGULO.
281
Para escribir H 0 (Jz , Jθ ), debemos expresar pz y pθ en términos de Jz y Jθ . Obtuvimos Jθ = pθ . De la Ec (6.356) tenemos
√
(3πg m Jz )2/3
,
(6.357)
α2 =
2
luego,
p2z
=
∂Wz
∂z
2
=
2mα2 − 2m2 gz
=
(3πgm2 Jz )2/3 − 2m2 gz.
(6.358)
Sustituyendo en H, obtenemos
H 0 (Jz , Jθ ) =
1
1
J2 +
(3πm2 gJz )2/3 = E.
2mR2 θ
2m
(6.359)
Las frecuencias están dadas por
ϕ̇θ = ωθ =
∂H 0
∂Jθ
=
ϕ̇z = ωz =
∂H 0
∂Jz
=
Jθ
pθ
=
,
mR2
mR2
1/3
1
(3πm2 g)2
.
3m
Jz
(6.360)
(6.361)
Podemos expresar las frecuencia en términos de E y h. Cuando z = h, el momento
pz = 0. Entonces, de la Ec (6.358) obtenemos
α2 = mgh
(6.362)
y
Jz =
2 mp
2gh3 .
3 π
(6.363)
De la Ec (6.349), podemos expresar
pθ = R
√
2m
p
E − mgh .
(6.364)
Luego,
ωθ
ωz
√ r
2 E
− gh ,
=
R
m
r
g
.
= π
2h
(6.365)
(6.366)
El perı́odo del movimiento en z es
2π
Tz =
=2
ωz
s
2h
,
g
(6.367)
que es igual al tiempo de vuelo entre dos choques consecutivos contra el suelo.
282
CAPÍTULO 6. DINÁMICA HAMILTONIANA
4. Encontrar las frecuencias del movimiento en el problema de Kepler utilizando variables de acción-angulo.
El problema de Kepler se refiere en el potencial central V (r) = − kr . Puesto que el
vector momento angular se conserva en un potencial central, el movimiento ocurre
en un plano perpendicular a la dirección de ese vector.
Usando coordenadas polares (r, θ) sobre el plano del movimiento, el Hamiltoniano
de una partı́cula de masa reducida µ en un potencial V (r) se puede expresar como
1
p2θ
2
H(r, θ, pr , pθ ) =
pr + 2 + V (r) = E.
(6.368)
2µ
r
Asumimos separación de variables; luego escribimos los momentos
pr
=
pθ
=
∂Wr
,
∂r
∂Wθ
.
∂θ
(6.369)
(6.370)
Sustituyendo en H, obtenemos
1
2µ
∂Wr
∂r
2
+
1
2µr2
∂Wθ
∂θ
2
+ V (r) = E,
lo cual se puede escribir como
"
#
2 2
2
∂W
∂W
∂Wθ
r
θ
2
r
+
+ 2µ (V − E) = −
.
∂r
∂θ
∂θ
(6.371)
(6.372)
El lado izquierdo de la Ec. (6.372) depende solamente de r, mientras que el lado
derecho depende de θ. Luego, ambos lados deben ser constantes e iguales. Entonces
debemos tener
∂Wθ
= αθ = cte,
(6.373)
∂θ
2
∂Wr
α2
(6.374)
+ 2µ (V − E) = − 2θ .
∂r
r
La Ec. (6.373) implica que pθ = αθ = cte. El valor constante de pθ es la magnitud
del momento angular l. Entonces,
I
I I
1
1
∂Wθ
1
pθ dθ =
αθ dθ = αθ .
(6.375)
Jθ =
dθ =
2π Cθ
2π Cθ
∂θ
2π Cθ
De las Ecs. (6.374) y (6.375), obtenemos
r
J2
∂Wr
= 2µ(E − V ) − θ2 .
∂r
r
(6.376)
6.9. VARIABLES DE ACCIÓN-ÁNGULO.
283
La variable de acción Jr está dada por
Jr
1
2π
=
1
2π
=
I
1
pr dr =
2π
Cr
I r
I
Cr
2µ(E − V ) −
Cr
∂Wr
∂r
dr
Jθ2
dr.
r2
(6.377)
Puesto que consideramos movimientos finitos, en un ciclo Cr la coordenada radial
varı́a dos veces entre los valores r = rmin y r = rmax . Entonces,
Jr
Z rmax s J2
1
k
2
2µ E +
− θ2 dr
2π
r
r
rmin
Z rmax
q
1
1
2µEr2 + 2µkr − Jθ2 dr.
π rmin r
=
=
(6.378)
Recordemos del Cap. 3 (Sec. 3.4) que rmin y rmax son las raı́ces de
2µEr2 + 2µkr − l2 = 2µEr2 + 2µkr − Jθ2 = 0 ,
(6.379)
(puesto que Jθ = l) dadas por

s
k 
1− 1+
2E


s
2
2EJθ 
k 
1+ 1+
.
=−
2E
µk 2
rmin = −
rmax

2EJθ2 
,
µk 2
(6.380)
(6.381)
Para realizar la integración en la Ec. (6.378) de una manera más simple, usamos el
siguiente artilugio. Obtenemos primero la derivada parcial
µ
∂Jr
=
∂E
π
Z
rmax
rmin
p
2µEr2
r
dr .
+ 2µkr − Jθ2
(6.382)
La integral en la Ec. (6.382) es de la forma
Z
r
√
dr =
2
ar + br + c
√
ar2 + br + c
b
+
sin−1
a
2(−a)3/2
b + 2ar
b2 − 4ac
,
(6.383)
284
CAPÍTULO 6. DINÁMICA HAMILTONIANA
donde identificamos a = 2µE, b = 2µk y c = −Jθ2 . Evaluamos
b
2(−a)3/2
k
,
2 2µ (−E)3/2
s
2EJθ2
2
b − 4ac = 2µk 1 +
µk 2
s
2EJθ2
,
b + 2armax = −2µk 1 +
µk 2
s
2EJθ2
b + 2armin = 2µk 1 +
.
µk 2
=
√
(6.384)
(6.385)
(6.386)
(6.387)
El primer término en la integración Ec. (6.383) se anula al evaluarlo en ambos
lı́mites rmin y rmax . Entonces la integral Ec. (6.382) evaluada en esos lı́mites da
∂Jr
∂E
=
=
µ
k
√
π
π 2 2µ (−E)3/2
r
k µ
(−E)−3/2 .
2 2
(6.388)
En el problema de Kepler tenemos E < 0 para una órbita finita.
Ahora integramos la Ec. (6.388) y obtenemos
r
µ
Jr = C + k
(−E)−1/2 ,
2
(6.389)
donde C es una constante de integración. Para determinar C, notamos que la
expresión Ec. (6.389) debe ser válida para cualquier órbita con E < 0 en el problema
de Kepler. En particular, consideremos una órbita circular con r = cte. Entonces,
rmin = rmax y Jr = 0 para esa órbita. La energı́a correspondiente a una órbita
circular es
µk 2
E=− 2.
(6.390)
2Jθ
Entonces, la Ec. (6.389) para una órbita circular da
r s 2
µ 2Jθ
⇒ C = −Jθ .
0=C +k
2 µk 2
(6.391)
Luego,
r
µ
(−E)−1/2 .
(6.392)
2
El Hamiltoniano en función de las variables de acción se puede expresar como
Jr = −Jθ + k
H 0 (Jr , Jθ ) = E = −
µk 2
.
2(Jr + Jθ )2
(6.393)
6.9. VARIABLES DE ACCIÓN-ÁNGULO.
285
Las frecuencias están dadas por
ωθ
=
ωr
=
∂H 0
µk 2
=
,
∂Jθ
(Jr + Jθ )3
µk 2
∂H 0
=
.
∂Jr
(Jr + Jθ )3
(6.394)
(6.395)
Las frecuencias radial y angular son iguales, lo que implica que la órbita es cerrada,
como se espera.
Para expresar la frecuencia en función de la energı́a, sustituimos
r
µ
Jr + Jθ = k
2(−E)
(6.396)
en la Ec. (6.394) y obtenemos
2
ωθ =
k
r
2
2
(−E)3/2 =
µ
k
r
2
|E|3/2 .
µ
(6.397)
Recordemos del Cap. 3 (Sec. 3.4) que el semieje mayor de una órbita elı́ptica está relacionado con la energı́a por
k
a=
.
(6.398)
2|E|
Entonces, podemos escribir ωθ en función del semieje mayor como
s
k −3/2
2π
,
(6.399)
ωθ =
a
=
µ
Tθ
donde Tθ es el perı́odo de la órbita. Luego,
r
µ 3/2
Tθ = 2π
a ,
k
(6.400)
que es la Tercera Ley de Kepler (Cap. 3).
5. La temprana formulación de la Mecánica Cuántica de Bohr y Sommerfeld para el
átomo de hidrógeno, incluı́a los siguientes postulados:
a) Cuantización de las variables de acción,
I
1
Jk ≡
pk dqk = nk ~ ,
2π Ck
(6.401)
donde ni es un número entero y ~ es la constante de Planck dividida por 2π.
b) La frecuencia de la radiación emitida cuando un electrón cambia discontinuamente su movimiento, desde una órbita con energı́a Ei a otra órbita con
energı́a Ef , es
Ei − Ef
ν=
.
(6.402)
h
286
CAPÍTULO 6. DINÁMICA HAMILTONIANA
El potencial del átomo de hidrógeno corresponde al potencial de Coulomb, V (r) =
−e2 /r, que es similar al potencial de Kepler con k = e2 . Luego, en términos de las
variables de acción, la energı́a del electrón en una órbita está dada por la Ec. (6.393),
E=−
mk 2
.
2(Jr + Jθ )2
(6.403)
donde hemos tomado µ ≈ m, masa del electrón. Utilizando la hipótesis de cuantización, obtenemos
me4
E=− 2 2,
(6.404)
2~ n
donde n es un número entero, ya que la suma de dos números enteros es otro entero.
Entonces, la frecuencia emitida en una transición Ei → Ef satisface
!
1 me4
1
1
ν=
− 2 .
(6.405)
h 2~2 n2f
ni
Usando ν = c/λ, podemos expresar la longitud de la onda emitida como
!
1
1
1
− 2 ,
= R∞
λ
n2f
ni
donde
(6.406)
me4
,
(6.407)
4πc~3
es la constante de Rdyberg. Esta teorı́a temprana permitió explicar las longitudes
de onda de las lı́neas principales observadas en el espectro del hidrógeno.
R∞ ≡
6.10. PROBLEMAS
6.10.
287
Problemas
1. Considere una varilla de peso despreciable suspendida por un extremo fijo, de modo
que puede oscilar en un plano vertical. Una partı́cula de masa m se mueve sin
fricción a lo largo de la varilla.
a) Obtenga las ecuaciones de movimiento en la formulación Hamiltoniana.
b) Indique si hay alguna cantidad conservada.
2. El Lagrangiano de un sistema se puede expresar
L = q˙1 2 +
q˙2 2
+ k1 q12 + k2 q˙1 q˙2 ,
a + bq1
donde a, b, k1 , k2 son constantes. Encuentre las ecuaciones de movimiento en la
formulación Hamiltoniana.
3. El Hamiltoniano de una partı́cula es
p2
− a · p − b · r,
2m
donde a y b son vectores constantes.
a) Encuentre las ecuaciones de movimiento.
b) Si inicialmente la partı́cula se encuentra en reposo en la posición ro , encuentre
su posición en función del tiempo.
c) Determine el Lagrangiano del sistema.
H=
4. El Lagrangiano de un sistema es
p
ẏ
+ cẋẏ + f y 2 ẋż + g ẏ − k x2 + y 2 ,
x
donde a, b, c, f, g y k son constantes.
a) Encuentre el Hamiltoniano del sistema.
b) Encuentre las cantidades conservadas en el sistema.
L = aẋ2 + b
5. El modelo de Lotka-Volterra para la dinámica de predadores z y presas c se describe
mediante las ecuaciones
ċ = αc − βcz
ż = −γz + δcz,
donde α, β, γ, δ son parámetros positivos.
a) Encuentre las condiciones para que este sistema sea conservativo.
b) Encuentre las transformaciones de variables que permiten expresar estas ecuaciones en la forma adimensional
ẋ = x(1 − y)
ẏ = µy(x − 1).
c) Encuentre una cantidad conservada en términos de las variables adimensionales.
288
CAPÍTULO 6. DINÁMICA HAMILTONIANA
6. Considere un péndulo formado por una varilla de longitud l y masa despreciable de
la cual cuelga una partı́cula de masa m1 . El soporte del péndulo consiste en otra
partı́cula de masa m2 , libre de moverse en una dirección horizontal. Encuentre las
ecuaciones de movimiento para este sistema en la formulación hamiltoniana.
7. El elemento de volumen en el espacio de fase n-dimensional para el sistema dinámico
dx
= f (x) es
dt
n
Y
∆Γ =
dxi .
i=1
Demuestre que
d(∆Γ)
= ∇ · f ∆Γ.
dt
8. La ecuación de movimiento unidimensional amortiguado y forzado de una partı́cula
de masa m sujeta a un resorte de constante k es
ẍ + 2λẋ + ω 2 x = A cos νt,
donde ω 2 = k/m, λ > 0 es el coeficiente de fricción del medio, A es la amplitud
de la fuerza externa que actúa sobre la partı́cula y ν es la frecuencia de esa fuerza.
Demuestre que este sistema es disipativo.
9. El atractor de Rössler se genera con el siguiente sistema:
ẋ = −y − z
ẏ
ż
= x + ay
= b + xz − cz
donde a, b, c son parámetros.
a) Encuentre la condición para que este sistema sea disipativo.
b) Calcule los puntos fijos de este sistema en función de los parámetros.
10. El Hamiltoniano de un sistema es
H = q1 p1 − q2 − p2 − aq12 + bq22 ,
donde a y b son constantes.
a) Obtenga las ecuaciones de Hamilton para este sistema.
b) ¿Cuáles de las siguientes funciones son integrales de movimiento para este sistema?
p1 − aq1
f=
;
g = q1 q2 ;
h = p1 p22 .
q2
11. a) Encuentre las ecuaciones de movimiento en la formulación Hamiltoniana de un
péndulo de masa m y longitud l, cuyo soporte se mueve sin fricción sobre la parábola
y = ax2 en el plano vertical (x, y).
b) Determine si existe alguna cantidad conservada en el sistema.
6.10. PROBLEMAS
289
12. a) Encuentre las ecuaciones de movimiento de un péndulo esférico de longitud a y
masa m, con coordenadas (θ, φ), en la formulación Hamiltoniana.
b) Evalúe el siguiente paréntesis de Poisson para este sistema: [lx , pφ ].
13. El Lagrangiano de un trompo con un punto fijo, moviéndose en el campo gravitacional terrestre, en términos de los ángulos de Euler es
2
I 33
ψ̇ + φ̇ cos θ − mgd sin θ sin ψ,
L = I33 θ̇2 + φ̇2 sin2 θ +
2
donde I33 es el momento de inercia con respecto al eje de simetrı́a axial del trompo,
m es su masa, y d es la distancia entre el punto fijo del trompo y su centro de masa.
Este sistema se conoce como el trompo de Kovalevskaya.
a) Encuentre las ecuaciones de movimiento en la formulación Hamiltoniana.
b) ¿Cuáles son las cantidades conservadas para este sistema?
c) Demuestre que la siguiente cantidad, denominada la constante de Kovalevskaya
y no asociada a ninguna simetrı́a obvia, se conserva en este sistema,
2
i
mgd h 2
K =
θ̇2 − φ̇2 sin2 θ + 2
θ − φ̇2 sin2 θ sin ψ − 2θ̇φ̇ sin θ cos ψ sin θ
I33
2
mgd
+
(6.408)
sin2 θ.
I33
14. El siguiente Hamiltoniano bidimensional
i 1
√
1
1 h (2y+2√3x)
H = (p2x + p2y ) +
e
+ e(2y−2 3x) + e−4y − ,
2
24
8
aparece asociado a una red de Toda, un sistema de gran interés en Fı́sica No Lineal.
a) Encuentre las ecuaciones de movimiento para este sistema.
b) Demuestre que este sistema posee la siguiente cantidad conservada
√
√
√
√
I = 8px (p2x − 3p2y ) + (px + 3py )e(2y−2 3x) + (px − 3py )e(2y+2 3x) − 2px e−4y .
La existencia de las constantes de movimiento H e I hace que este sistema sea
integrable. Sin embargo, la cantidad I no está relacionada con ninguna simetrı́a
evidente del sistema.
c) Calcule I en el lı́mite de x y y pequeños.
15. El Hamiltoniano de una partı́cula que se mueve en dos dimensiones es:
H = |p|n − a|r|−n ,
a = cte.
a) Encuentre las ecuaciones de Hamilton para el movimiento.
b) Determine el Lagrangiano del sistema.
b) ¿Cuál de las siguientes funciones es una integral de movimiento para este sistema?
r·p
f=
− Ht ,
g = |p|.
n
290
CAPÍTULO 6. DINÁMICA HAMILTONIANA
16. El vector de Laplace-Runge-Lenz para el problema de Kepler se define como A =
p × l − mkr̂. Calcule [Ai , lj ].
17. Evalúe los siguientes paréntesis de Poisson:
a) [l, (r · p)];
b) [p, rn ];
c) [p, (a · r)n ];
donde a es un vector constante.
18. Considere la transformación de coordenadas
q 2m = Q2 + P 2 ,
P = Q tan np ;
donde m y n son constantes.
a) Determine los valores de m y n para los cuales esta transformación es canónica.
b) Encuentre una función generadora de tipo F3 (p, Q) para esta transformación
canónica.
19. Una partı́cula de masa m = 1 se mueve sin fricción a lo largo de una varilla que
gira extendida sobre una superficie horizontal con velocidad angular constante ω.
a) Demuestre que las soluciones de las ecuaciones de Hamilton para este sistema
son
q = iλ [P e−ωt + Qeωt ] ,
p = −iλω [P e−ωt − Qeωt ] ;
donde q es la coordenada que describe la posición de la partı́cula sobre la varilla, p
es el momento, y P, Q y λ son constantes.
b) Calcule el valor de λ para que una transformación de variables (q, p) a (Q, P )
sea canónica.
20. Considere la transformación de coordenadas y momentos
Q = q α eβp ,
P = q α e−βp ;
donde α y β son constantes.
a) Determine α y β tal que esta transformación sea canónica.
b) Demuestre que una función generadora de esta transformación es
F =−
Q2 2p
e .
2
6.10. PROBLEMAS
291
21. a) Demuestre que la siguiente transformación es canónica:
x =
y
=
px
=
py
=
1 p
( 2P1 sin Q1 + P2 ),
mω
1 p
√
( 2P1 cos Q1 + Q2 ),
mω
p
1√
mω( 2P1 cos Q1 − Q2 ),
2
p
1√
mω(− 2P1 sin Q1 + P2 ).
2
√
b) Encuentre las ecuaciones de movimiento en la formulación hamiltoniana en
términos de las variables (Q1 , Q2 , P1 , P2 ) para una partı́cula de masa m y carga q
que se mueve en el plano (x, y), sujeta al potencial vector A = (−yB/2, xB/2, 0),
usando ω = qB/mc.
22. Considere la transformación infinitesimal de traslación
R = r + a,
P = p,
donde a es un vector fijo en el espacio y es un parámetro infinitesimal. Encuentre
G tal que esta transformación sea generada por la función F2 = r · P + G(r, P).
23. Una partı́cula de masa m se mueve en una dimensión q con una energı́a potencial
V (q) y sometida a una fuerza de fricción −2mγ q̇.
a) Demuestre que el Lagrangiano del sistema es
1
L = e2γt mq̇ 2 − V (q) .
2
b) Encuentre las ecuaciones de Hamilton para la partı́cula.
c) Si V (q) = 21 mω 2 q 2 , ω = cte, demuestre que la función generadora
F2 (q, P, t) = eγt qP
permite transformar a un Hamiltoniano constante.
24. Las ecuaciones de transformación entre dos conjuntos de coordenadas son
√
Q = log(1 + q cos p),
√
√
P = 2(1 + q cos p) q sin p.
a) Demuestre que la transformación es canónica.
b) Demuestre que la función generadora de esta transformación es
F3 (p, Q) = −(eQ − 1)2 tan p.
292
CAPÍTULO 6. DINÁMICA HAMILTONIANA
25. Considere la transformación infinitesimal de rotación
R = r + (Φ × r)
P = p + (Φ × p) ,
donde Φ es el vector a lo largo del eje de rotación, |Φ| = φ es el ángulo de rotación
y es un parámetro infinitesimal.
a) Demuestre que esta transformación es canónica.
b) Suponga que esta transformación es generada por la función F2 = r·P+G(r, P).
Determine G.
26. Una partı́cula de masa m se suelta en reposo desde una altura h a lo largo de un
plano inclinado sin fricción, el cual forma un ángulo α con el suelo.
a) Encuentre la posición de la partı́cula sobre el plano en función del tiempo, a
partir de la correspondiente ecuación de Hamilton-Jacobi para este sistema.
b) Encuentre el momento de la partı́cula en función del tiempo.
27. La energı́a cinética relativista de una partı́cula de masa m es
p
T = (cp)2 + (mc2 )2 ,
donde c es la velocidad de la luz. Considere una partı́cula relativista sujeta a la
fuerza gravitacional terrestre F = −mgŷ, tal que inicialmente se suelta del reposo
en y = 0. Determine la trayectoria de la partı́cula en función del tiempo a partir
de la correspondiente ecuación de Hamilton-Jacobi para este sistema.
28. Encuentre la expresión de la acción correspondiente a un péndulo simple a partir
de la ecuación de Hamilton-Jacobi para este sistema.
29. a) Empleando la correspondiente ecuación de Hamilton-Jacobi, calcule la posición
en función del tiempo para una partı́cula libre con masa m y energı́a E que se
encuentra en el origen en t = 0.
b) Encuentre la acción en función del tiempo.
30. Una partı́cula de masa m y energı́a E se mueve en el potencial unidimensional
V (q) = k/q 2 , donde k es constante.
a) Encuentre la acción S(q, t) asociada a esta partı́cula.
b) Encuentre la posición de la partı́cula en función del tiempo.
31. Una partı́cula sujeta a un potencial unidimensional posee el siguiente Hamiltoniano
H=
p2
− A mtx,
2m
donde A = cte. Si inicialmente la partı́cula se encuentra en x = 0 con velocidad vo ,
calcule su trayectoria.
6.10. PROBLEMAS
293
32. Un proyectil de masa m se lanza con velocidad vo desde el suelo, formando un
ángulo α con la horizontal.
a) Encuentre la trayectoria del proyectil en función del tiempo, usando el formalismo
de Hamilton-Jacobi.
b) Encuentre la acción para este sistema.
33. Considere un oscilador armónico bidimensional de masa m y cuyas constantes de
resorte son kx y ky en las direcciones x y y, respectivamente.
a) Encuentre las coordenadas y momentos de la parı́cula en función del tiempo
utilizando ecuación de Hamilton-Jacobi para este sistema.
b) Encuentre la acción para este sistema.
34. Una partı́cula con carga q y masa m se mueve en un plano sujeta a un potencial
central V = 21 kr2 y a un campo magnético perpendicular al plano, tal que A =
1
2 B × r.
a) Determine la ecuación de Hamilton-Jacobi para este sistema, en coordenadas
polares.
b) Encuentre la solución para la trayectoria de la partı́cula en términos de integrales
explı́citas.
35. Considere una curva cerrada C(t) en un instante t en el espacio de fase (qi , pi ) de
un sistema. Demuestre que la integral
XI
I=
pi dqi
i
C(t)
es una constante del movimiento.
36. Una partı́cula de masa m se encuentra inicialmente en x = 0 con velocidad vo x̂ y
se mueve en el potencial unidimensional
x
x
V (x) = k sin2
,
∈ [−π/2, π/2],
a
a
/ [−π/2, π/2], con k, a constantes. Utilizando la ecuación de
y V (x) = ∞, para xa ∈
Hamilton-Jacobi, encuentre el perı́odo de oscilación de la partı́cula en este potencial
si x a.
37. Una partı́cula con masa m y energı́a E se mueve periódicamente en el potencial
unidimensional V = k|x|, k = cte. Usando variables de acción-ángulo, encuentre el
perı́odo del movimiento de la partı́cula.
38. Una partı́cula de masa m se mueve en una dimensión sujeta al potencial V (x) =
k sec2 (x/a).
a) Encuentre una expresión para la acción S utilizando ecuación de HamiltonJacobi para este sistema.
b) Encuentre la frecuencia de las oscilaciones de la partı́cula usando variables de
acción-ángulo. Calcule esta frecuencia en el lı́mite de pequeñas amplitudes.
294
CAPÍTULO 6. DINÁMICA HAMILTONIANA
39. Una partı́cula de masa m y energı́a E se mueve en el potencial unidimensional
V (q) =
1 2
λ
kq + 2 ,
2
q
k, λ = cte, q > 0.
a) Dibuje el espacio de fase del sistema.
b) Calcule la variable de acción.
40. Considere un oscilador armónico con masa m y constante de resorte k que puede
moverse en un plano.
a) Encuentre el Hamiltoniano del sistema en coordenadas polares.
b) Calcule las frecuencias del movimiento usando variables de acción-ángulo.
41. Utilizando el método de las variables de acción-ángulo, demuestre que el perı́odo
de libración de un péndulo simple, de masa m y longitud l, y cuya amplitud inicial
es θ0 , se puede expresar como
s Z
θ0
√
dθ
l
√
T =2 2
.
g 0
cos θ − cos θ0
42. Considere una partı́cula de masa m sujeta a moverse sin fricción sobre un cono
invertido, con ángulo de vertice β, en el campo gravitacional terrestre. Calcule las
frecuencias del movimiento mediante el uso de variables de acción-ángulo para este
sistema.
Apéndice A
Lagrangiano de una partı́cula
relativista
Hacia finales del siglo XIX, la Fı́sica consistı́a en dos grandes teorı́as para explicar la
mayorı́a de los fenómenos conocidos hasta entonces:
Mecánica, expresada en las leyes de Newton, que presentaba una descripción unificada de los fenómenos del movimiento.
Electromagnetismo, contenido en las ecuaciones de Maxwell, que representaba la
unificación de la descripción de los fenómenos eléctricos, magnéticos y ópticos, y
que condujo al descubrimiento de las ondas electromagnéticas y de la naturaleza
de la luz.
En sus estudios sobre el movimiento, Galileo estableció el principio de relatividad:
Principio de Relatividad de Galileo.
Las leyes de la Mecánica son las mismas en diferentes sistemas de coordenadas
inerciales que se encuentran en movimiento relativo uniforme.
Dados dos sistemas de coordenadas S con origen O, y S’ con origen O0 , tal que O0 se
mueve con velocidad constante v con respecto a O, las transformaciones de Galileo entre
estos sistemas de coordenadas son
r0 = r − vt
t0 = t
(A.1)
Si v = vx̂, las transformaciones de Galileo resultan en
x0 = x − vt
y0 = y
z0 = z
t0 = t
295
(A.2)
296
APÉNDICE A. LAGRANGIANO DE UNA PARTÍCULA RELATIVISTA
Figura A.1: Transformaciones de Galileo para sistemas inerciales en movimiento relativo.
Derivando con respecto al tiempo la Ec. (A.1), se obtiene la suma de velocidades,
dr
dr0
= 0 +v
dt
dt
⇒ u = u0 + v,
(A.3)
puesto que dt = dt0 y donde u es la velocidad de una partı́cula medida en S y u0
corresponde a la velocidad de esa partı́cula medida en S’. En particular, si v = vx̂, la
suma de velocidades da
u0x = ux − v.
(A.4)
La forma de las leyes de Newton es invariante bajo las transformaciones de Galileo.
Consideremos la Segunda Ley de Newton en S’,
m
Tenemos,
d2 r0
= −∇0 V (r0 ) = F(r0 ).
dt02
(A.5)
dr0
dr
=
− v,
dt0
dt
d2 r0
d dr
d2 r
=
−
v
=
.
dt02
dt dt
dt2
(A.6)
(A.7)
Por otro lado, notamos que para cualquier f ,
∂f
∂f ∂x
∂f
=
=
∂x0
∂x ∂x0
∂x
(A.8)
y similarmente
∂f
∂f
=
,
0
∂y
∂y
∂f
∂f
=
0
∂z
∂z
(A.9)
Luego,
∇0 =
∂
∂
∂
, 0, 0
0
∂x ∂y ∂z
=
∂ ∂ ∂
,
,
∂x ∂y ∂z
=∇
(A.10)
297
La coordenada r0 se puede expresar, en general, como la distancia entre la partı́cula en
consideración y otra partı́cula (o influencia externa) con la cual aquella interactúa. Es
decir,
r0 = r0i − r0j = ri − rj = r.
(A.11)
Luego, ∇0 V (r0 ) = ∇V (r). De acuerdo a las transformaciones de Galileo Ec. (A.1), la
Ec. (A.5) en el sistema de referencia S’ se expresa en el sistema S como
m
d2 r
= −∇V (r) = F(r).
dt2
(A.12)
Por lo tanto, la Segunda ley de Newton es invariante (conserva su forma) bajo las transformaciones de Galileo, y el principio de relatividad de Galileo es válido para estas transformaciones.
Sin embargo, en contraste con el comportamiento de las leyes de la Mecánica, las
leyes del Electromagnetismo no son invariantes ante las transformaciones de Galileo.
Las ecuaciones de Maxwell para los campos E(r, t) y B(r, t) son
∇ · E = 4πρ
1 ∂B
∇×E+
=0
c ∂t
∇·B=0
4π
1 ∂E
=
J
∇×B−
c ∂t
c
(A.13)
(A.14)
(A.15)
(A.16)
∂E
Note que las ecuaciones de Maxwell contienen términos de la forma ∂tj (r, t), donde
Ej es la componente j del campo eléctrico (también contienen términos similares para el
campo magnético).
Consideremos la componente Ej (r0 , t0 ) en S’. Entonces,
X ∂Ej ∂x0
X ∂Ej
∂Ej 0 0
∂Ej
∂Ej
i
(r
,
t
)
=
+
=
−
0 ∂t0
0 vi + ∂t
0
∂t0
∂x
∂t
∂x
i
i
i
i
(A.17)
donde hemos usado las transformaciones de Galileo
x0i = xi − vi t, t0 = t
∂x0i
∂x0i
⇒
=
= −vi .
0
∂t
∂t
(A.18)
(A.19)
Luego,
∂Ej
∂Ej
=
+ v · ∇ 0 Ej .
(A.20)
∂t
∂t0
Por lo tanto, las ecuaciones de Maxwell son invariantes bajo las transformaciones de
Galileo sólo si v = 0; es decir, conservan su forma solamente en un sistema de referencia inercial en reposo con respecto al medio en el cual se propaga la luz. (El “medio”
correspondiente al vacı́o se denominaba éter ).
Ante esta situación, se presentan los siguientes escenarios posibles:
298
APÉNDICE A. LAGRANGIANO DE UNA PARTÍCULA RELATIVISTA
1. Las transformaciones de Galileo son correctas, tanto para la Mecánica como para el
Electromagnetismo, lo cual implica que las ecuaciones de Maxwell son incorrectas.
2. Las transformaciones de Galileo son válidas para la Mecánica en todo sistema
inercial, pero las ecuaciones de Maxwell sólo son válidas en un sistema inercial en
reposo con respecto al éter (v = 0).
3. Tanto las leyes de la Mecánica como las del Electromagnetismo son invariantes en
todo sistema inercial, pero no bajo las transformaciones de Galileo. Esto implica
que las leyes de Newton son incorrectas y que se requiere otra transformación de
coordenadas.
El éxito de las ecuaciones de Maxwell en la predicción de las ondas electromagnéticas
(experimentos de Hertz, Marconi, y otros) sugiere descartar el escenario (i). Por otro
lado, la falla en la detección del movimiento relativo al éter (experimento de MichelsonMorley) requiere descartar la posibilidad (ii). El escenario (iii) fue el camino elegido por
Einstein en 1905.
Postulados de la Relatividad Especial.
1) Las leyes de la Naturaleza (los resultados de los experimentos) son las
mismas en todos los sistemas inerciales.
2) La velocidad de la luz es constante en todos los sistemas inerciales.
Según el postulado 1, la ecuación de onda electromagnética se cumple en los sistemas
de referencia S y S’. El postulado 2 implica que la forma de una onda electromagnética
debe ser igual en los sistemas de referencia inerciales S y S’. Entonces, consideremos un
pulso esférico de luz emitido en el origen O de S en el instante t = t0 = 0, cuando ambos
orı́genes O y O0 coinciden.
Figura A.2: Pulso electromagnético emitido cuando los orı́genes O y O0 coinciden.
Luego,
En S: |r| = ct
En S’: |r0 | = ct0
(A.21)
299
donde c es la magnitud constante de la velocidad de la luz en ambos sistemas. En términos
de las coordenadas en cada sistema, tenemos
x2 + y 2 + z 2 = c2 t2
x02 + y 02 + z 02 = c2 t02 .
En S:
En S’:
(A.22)
Las relaciones (A.22) no son compatibles con las transformaciones de Galileo. Esto se
puede verificar sustituyendo las transformaciones Ecs. (A.2) en la relación (A.22) para
S’, lo que da
x2 − 2vxt + v 2 t2 + y 2 + z 2 = c2 t2 ,
(A.23)
y lo cual es distinto de la expresión correspondiente en S.
Las transformaciones compatibles con los postulados de la Relatividad deben ser
lineales en t y en x para preservar la forma de una onda esférica en ambos sistemas de
coordenadas. Además, deben tender a las transformaciones de Galileo cuando la velocidad
relativa entre los dos sistemas es pequeña, puesto que la suma de velocidades derivada
de esas transformaciones, Ec. (A.3), funciona en las práctica en tales situaciones. La
simetrı́a de los sistemas sugiere invarianza en las coordenadas y, x perpendiculares a la
dirección del movimiento. Entonces, si la velocidad de O0 es v = vx̂, supongamos unas
transformaciones de la forma
x0 = γ(x − vt)
t0 = γ(t − f x)
y0 = y
z0 = z
(A.24)
donde γ y f son factores o funciones a determinar. Sustitución de las transformaciones
(A.24) en la relación (A.22) para S’ consistente con el segundo postulado, da
2 2
2 2
2
2
2
2
x γ (1 − c f ) + 2(f c − v)γ xt + y + z =
v2
1− 2
c
γ 2 c2 t2 .
(A.25)
Comparando con la relación (A.22) para S, requerimos
f c2 − v = 0
v2
1− 2 =1
c
(A.26)
γ 2 (1 − f 2 c2 ) = 1
(A.28)
γ2
(A.27)
lo cual conduce a
f=
v
,
c2
γ=
1−
v2
c2
−1/2
.
(A.29)
300
APÉNDICE A. LAGRANGIANO DE UNA PARTÍCULA RELATIVISTA
Luego, las transformaciones buscadas son
x − vt
x0 = r
v2
1− 2
v c
t − 2x
t0 = r c
v2
1− 2
c
y0 = y
z0 = z
(A.30)
Las Ecs. (A.30) son las transformaciones de Lorentz. Las ecuaciones de Maxwell (y la
ecuación de una onda electromagnética) son invariantes bajo estas transformaciones.
Se acostumbra emplear la notación β ≡ v/c, con la cual las transformaciones de
Lorentz se escriben en forma compacta como
x0 = γ(x
− βct)
β
t0 = γ t − x
c
y0 = y
z 0 = z.
(A.31)
Note que β ≤ 1 y γ ≥ 1.
En el lı́mite de pequeñas velocidades v c, tenemos β 1 y γ ≈ 1, y las transformaciones de Lorentz se aproximan a las transformaciones de Galileo,
x0 ≈ x − vt
t0 ≈ t.
(A.32)
Las transformaciones de Lorentz inversas se pueden obtener haciendo v → −v, x →
−x0 , t → t0 , en las Ecs. (A.31),
0
0
x = γ(x
+ βct )
β
t = γ t0 + x0
c
y = y0
z = z0.
(A.33)
A partir de las transformaciones de Lorentz se obtiene la regla de adición de velocidades,
dx0
dx
dt
0
ux = 0 = γ
− βc 0 ,
dt
dt0
dt
(A.34)
dx dt
dt
dx
=
= ux 0
dt0
dt dt0
dt
301
luego,
u0x
dt
= γ (ux − βc) 0 = γ (ux − βc)
dt
β
dt0
= γ 1 − ux ,
dt
c
dt0
dt
−1
,
(A.35)
(A.36)
lo cual conduce a
ux − v
.
(A.37)
β
1 − ux
c
La relación inversa de la suma de velocidades se obtiene haciendo v → −v, ux → u0x , en
la Ec. (A.37),
u0 + v
.
(A.38)
ux = x
β
1 + u0x
c
u0x =
Contracción de la longitud.
Consideremos un objeto de longitud Lo en reposo a lo largo del eje x en el sistema S.
Luego, independiente de t,
Lo = x2 − x1 ,
(A.39)
Consideremos la longitud del objeto medida en el sistema S’. Un observador en S’
debe realizar una medida de los extremos x02 y x01 simultáneamente en S’, es decir, para
un mismo tiempo t0 ,
L0 = x02 (t0 ) − x01 (t0 ).
(A.40)
Figura A.3: Contracción de la longitud.
Las transformaciones de Lorentz, Ecs. (A.31), dan las coordenadas x1 y x2 en S para
un mismo tiempo t0 en S’ ,
x2 = γ(x02 + βct0 )
x1 = γ(x01 + βct0 )
⇒ x2 − x1 = γ(x02 − x01 ) .
(A.41)
302
APÉNDICE A. LAGRANGIANO DE UNA PARTÍCULA RELATIVISTA
Luego,
Lo
L =
= Lo
γ
r
0
1−
v2
.
c2
(A.42)
Como γ > 1, la longitud L0 del objeto medida en S’ es menor que la longitud Lo en S
donde el objeto se encuentra en reposo.
Dilatación del tiempo.
Un observador con un reloj en S, presente en dos eventos que ocurren en las mismas
coordenadas con respecto al observador, mide el tiempo propio entre esos eventos. El
tiempo propio entre dos eventos que ocurren en un mismo punto x de S es
τ ≡ t2 (x) − t1 (x).
(A.43)
Las transformaciones de Lorentz inversas, Ecs. (A.33), dan para ese intervalo de
tiempo en S’,
β
β
(A.44)
∆t0 = t02 − t01 = γ t2 − x − γ t1 − x = γ(t2 − t1 ).
c
c
Luego,
∆t0 = γτ = r
τ
v2
1− 2
c
.
(A.45)
Figura A.4: Un observador en S mide el tiempo propio entre dos eventos que ocurren en las
mismas coordenadas en S.
Puesto que γ > 1, el intervalo de tiempo medido en S’ es mayor que el tiempo propio
medido en S. En general, el tiempo propio es el intervalo de tiempo más corto posible
entre dos eventos.
303
Dinámica relativista.
Los postulados de la Relatividad y las transformaciones de Lorentz son compatibles
con las ecuaciones de Maxwell, pero requieren modificaciones de las leyes de Newton.
Einstein propuso redefinir el momento lineal de una partı́cula que se mueve con velocidad
u en un sistema S, del siguiente modo
pi = m
dxi
,
dτ
(A.46)
donde τ es el tiempo propio (el tiempo medido en el sistema donde la partı́cula está en
reposo), el cual está definido unı́vocamente (tiene el mismo valor) para todos los observadores inerciales. Tenemos,
dxi
dxi dt
dxi
1
r
=
=
= γui .
dτ
dt dτ
dt
u2
1− 2
c
(A.47)
Luego, el momento relativista es
p= r
mu
u2
1− 2
c
= mγu ,
(A.48)
donde u es la velocidad de la partı́cula en el sistema de referencia S.
La Segunda Ley de Newton relativista se escribe entonces,
F=
dp
.
dt
(A.49)
donde p está definido en la Ec. (A.48). En esta forma, la Segunda Ley de Newton es
invariante bajo las transformaciones de Lorentz,
dp0
dp
= 0.
dt
dt
v
Note que en el lı́mite de bajas velocidades, β = 1, obtenemos p ≈ mu.
c
(A.50)
Invariantes relativistas.
Existen cantidades escalares que tienen el mismo valor en todos los sistemas inerciales.
Por ejemplo,
γ 2 (1 − β 2 ) = 1
(A.51)
tiene el mismo valor en todos los sistemas. Multiplicando por la constante m2 c4 , obtenemos otra cantidad invariante,
m2 c4 = m2 c4 γ 2 − p2 c2 = cte.
(A.52)
Una cantidad cuyo valor es independiente del sistema de coordenadas se denomina invariante de Lorentz.
304
APÉNDICE A. LAGRANGIANO DE UNA PARTÍCULA RELATIVISTA
Energı́a relativista.
Si definimos la cantidad
E ≡ γmc2 ,
(A.53)
E 2 − p2 c2 = m2 c4 = cte.
(A.54)
entonces podemos expresar
Los términos en la Ec. (A.54) poseen unidades de energı́a al cuadrado. Luego, la cantidad
E es un tipo de energı́a que se puede interpretar fı́sicamente si hacemos una expansión
v
en términos de β = 1,
c
1
(A.55)
E = mc2 (1 − β 2 )−1/2 = mc2 1 + β 2 − O(β 4 )
2
Luego,
1
(A.56)
E = mc2 + mv 2 + · · ·
2
El primer término en la Ec. (A.56) es constante y no depende de la velocidad de la
partı́cula,
Eo = mc2 ,
(A.57)
por lo que representa la energı́a en reposo de la masa m. El segundo término en la
Ec. (A.56) corresponde a la energı́a cinética de la partı́cula para bajas velocidades. Luego,
la cantidad E se interpreta como la energı́a total relativista de una partı́cula libre,
E=r
mc2
v2
1− 2
c
= mc2 + Trel .
(A.58)
Lagrangiano para una partı́cula relativista.
Las leyes de Newton se cumplen en Relatividad con la definición apropiada de p,
dada en la Ec. (A.48). Luego, las ecuaciones de Lagrange también se deben cumplir para
un Lagrangiano L definido apropiadamente,
d ∂L
∂L
= 0.
(A.59)
−
dt ∂ ẋi
∂xi
Consideremos una partı́cula con velocidad v y posición r en un potencial V (r). Luego,
∂L
= pi = γmẋi ,
∂ ẋi
∂L
∂V
=
= Fi .
∂xi
∂xi
(A.60)
Supongamos la velocidad a lo largo del eje xi , i.e., ẋi = v. Entonces,
∂L
∂L
=
= γmv ,
∂ ẋi
∂v
(A.61)
305
luego, la dependencia funcional del Lagrangiano con la velocidad es
Z
Z
v dv
β dβ
p
L(v) = m r
,
= mc2
2
1 − β2
v
1− 2
c
(A.62)
lo cual da
L(v) = −mc2 (1 − β 2 )1/2 .
(A.63)
Para β 1, L(v) se aproxima a la energı́a cinética newtoniana
L(v) ≈
1
mv 2 + · · ·
2
(A.64)
Luego, el Lagrangiano para una partı́cula relativista debe tener la forma L = L(v)−V (r),
es decir,
r
v2
2
L = −mc 1 − 2 − V (r).
(A.65)
c
Note que L 6= E − V , y L 6= Trel − V . Sin embargo, puesto que L no depende
explı́citamente del tiempo, la función de energı́a es una cantidad constante para este
sistema,
X ∂L
E=
ẋi − L = cte.
(A.66)
∂ ẋi
i
Utilizando L de la Ec. (A.65), obtenemos
P
p
ẋi ẋi
E = mp i
+ mc2 1 − β 2 + V,
1 − β2
lo cual se reduce a
E=p
mc2
1 − β2
+ V = E + V = cte.
(A.67)
(A.68)
La inclusión de potenciales dependientes de la velocidad no representa problema, y
se hace del mismo modo que en el caso no relativista. En particular, recordemos que
en Mecánica Clásica la energı́a potencial de una partı́cula con carga q que se mueve
con velocidad v en un campo electromagnético caracterizado por los potenciales ϕ y A
está dada por
q
V = qϕ − A · v .
(A.69)
c
La fuerza de Lorentz sobre una partı́cula en un campo electromagnético se deriva de
este potencial. Luego, el Lagrangiano relativista para una partı́cula en un campo electromagnético es
r
v2
q
2
L = −mc 1 − 2 − qϕ + A · v.
(A.70)
c
c
306
APÉNDICE A. LAGRANGIANO DE UNA PARTÍCULA RELATIVISTA
Ejemplo.
1. Partı́cula con masa m sujeta a la fuerza F = ma, donde a es una constante.
El potencial es V = −max y el Lagrangiano relativista es
p
L = −mc2 1 − β 2 + max,
donde β = ẋ/c. La ecuación de Lagrange para x da:
!
β
a
d
p
= .
2
dt
c
1−β
(A.71)
(A.72)
Integrando, tenemos
β
p
1−
β2
=
at + α
c
⇒
at + α
β=p
2
c + (at + α)2
(A.73)
donde α es una constante de integración. Integrando otra vez,
Z
(at + α)dt
(A.74)
x=c p
c2 + (at + α)2
p
c p 2
c + (at + α)2 − c2 + a2
(A.75)
x − x0 =
a
donde hemos introducido la condición inicial x = x0 en t = 0. Si la partı́cula se
encuentra en reposo ẋ(0) = 0 en el origen x0 en t = 0, entonces α = 0 y tenemos
x+
c2
a2
2
− c2 t2 =
c4
,
a2
(A.76)
lo cual corresponde a una hipérbola en el plano (x, t). Note que en el lı́mite no
relativista, β 1, la Ec. (A.73) da la trayectoria parábolica usual en el plano
(x, t),
1
x ≈ at2 + αt + x0 .
(A.77)
2
Apéndice B
Transformaciones de Legendre
Dada una función f (x), con x como variable, una transformación de Legendre permite
encontrar otra función g(y) que contiene la misma información que f (x), usando como
argumento la pendiente y = f 0 (x).
Figura B.1: Transformación de Legendre.
Cada punto (f, x) en la curva f (x) define una lı́nea recta que pasa por un punto (0, b)
con pendiente y = f 0 (x).
El conjunto de todas las rectas (y, b) describe las envolventes de la curva f (x) y
contiene la misma información que f (x). Ambas descripciones, en términos de (f, x) o
de (y, b), son equivalentes.
De la Fig. (B.1), tenemos
y=
f −b
⇒ (−b) = yx − f
x
(B.1)
Por otro lado,
y(x) =
df
⇒ x = x(y)
dx
307
(inversión).
(B.2)
308
APÉNDICE B. TRANSFORMACIONES DE LEGENDRE
Definimos la función
g(y) ≡ yx(y) − f (x(y)).
(B.3)
La función g(y) se denomina la transformada de Legendre de f (x). Matemáticamente,
los puntos (g, y) corresponden a (−b, y) y, por lo tanto, describen la misma curva que
f (x).
Si tenemos una función de s variables f (x1 , x2 , . . . , xs ), existen s derivadas
yi =
∂f
= yi (x1 , x2 , . . . , xs ),
∂xi
(i = 1, 2, . . . , s).
(B.4)
Mediante inversión, es posible obtener las s variables
xi = xi (y1 , y2 , . . . , ys ).
(B.5)
La transformada de Legendre de f (x1 , x2 , . . . , xs ) se define como
g(y1 , y2 , . . . , ys ) =
s
X
xi yi − f (x1 , x2 , . . . , xs )
(B.6)
i=1
donde las variables xi se sustituyen usando las Ecs. (B.5).
La transformada de Legendre se puede aplicar a un subconjunto de los argumentos
de una función. Por ejemplo, si tenemos f (zi , xi ), se puede definir su transformada
X
g(zi , yi ) =
zi yi − f (zi , xi ),
(B.7)
i=1
donde
yi =
∂f (zi , xi )
= yi (xi , zi )
∂xi
⇒
xi = xi (zi , yi ).
(B.8)
Las transformadas de Legendre se emplean en Termodinámica y en otras áreas de la
Fı́sica para introducir descripciones alternativas que resultan útiles para diversos sistemas.
En particular, si tenemos un sistema caracterizado por el Lagrangiano L(qi , q˙i , t), los
momentos conjugados son
∂L
pi =
= pi (q1 , . . . , qs ).
(B.9)
∂ q˙i
Entonces, el Hamiltoniano del sistema corresponde a la transformada de Legendre del
Lagrangiano,
s
X
H(qi , pi ) =
qi pi − L(qi , q˙i , t).
(B.10)
i=1
Apéndice C
Teorema del virial.
Se trata de un teorema estadı́stico en Mecánica. Se refiere a promedios temporales de
cantidades dinámicas.
Consideremos un sistema de N partı́culas cuyas masas, posiciones y velocidades están
dados por mi , ri y vi , respectivamente, i = 1, 2, . . . , N . Entonces, la ecuación de movimiento de la partı́cula i se puede expresar como
Fi = ṗi ,
(C.1)
donde Fi es la fuerza neta sobre la partı́cula i y pi = mi vi .
La energı́a cinética total del sistema es
T
=
=
=
1X
mi vi2
2 i
1X
(mi vi · vi )
2 i
1X
(pi · vi ).
2 i
(C.2)
Luego,
2T
=
X
pi · vi
i
=
X
d X
(pi · ri ) −
(ri · ṗi ).
dt i
i
(C.3)
Recordemos que el promedio de una variable g que toma valores discretos g1 , g2 , . . . , gN ,
corresponde a la cantidad
N
1 X
hgi =
gi .
(C.4)
N i=1
309
310
APÉNDICE C. TEOREMA DEL VIRIAL.
Si g(t) es una función que toma valores continuos en el tiempo, su promedio temporal
se define como
Z
1 τ
hgi ≡ lı́m
g(t)dt.
(C.5)
τ →∞ τ 0
Si g(t) =
df
, para una función f acotada, |f (t)| < ∞, entonces
dt
Z
1 τ df
f (τ ) − f (0)
hgi = lı́m
dt = lı́m
= 0.
τ →∞ τ 0 dt
τ →∞
τ
(C.6)
Si tomamos el promedio temporal en todos los términos de la Ec. (C.3), y suponiendo
que los movimientos de las partı́culas son finitos, obtenemos el teorema del virial,
X
2hT i = −h
ri · Fi i.
(C.7)
i
Si Fi = −∇V (ri ) (fuerzas conservativas), el teorema del virial tiene la forma
*
+
1 X
hT i =
ri · ∇V (ri ) .
2
i
(C.8)
Como una aplicación, consideremos una partı́cula en campo central V (r) = krn .
Entonces, el teorema del virial para esta fuerza conservativa establece que
∂V
n
1
r
= hV i.
(C.9)
hT i =
2
∂r
2
Para el potencial de Kepler, con n = −1, el teorema del virial, Ec. (C.9), da
1
hT i = − hV i.
2
(C.10)
El promedio de la energı́a total se puede expresar como
hEi = hT i + hV i = constante = E
(C.11)
E = −hT i < 0,
(C.12)
puesto que hT i siempre es una cantidad positiva. El hecho de que la energı́a total sea
negativa es compatible con un movimiento finito de la partı́cula en el potencial de Kepler
(Capı́tulo 3).
El potencial de un oscilador armónico corresponde a n = 2. En este caso, la Ec. (C.9)
resulta en
hT i = hV i,
(C.13)
y la energı́a total es positiva, como se espera,
E = hT i + hV i = 2hT i > 0.
(C.14)
Apéndice D
Bibliografı́a
1. L. D. Landau and E. M. Liftshitz, Mechanics, 3rd. Edition, Pergamon Press (1976).
2. H. Goldstein, C. Poole and J. Safko, Classical Mechanics, 3rd. edition, Addison-Wesley
(2002).
3. H. Iro, A modern approach to Classical Mechanics, World Scientific (2002).
4. J. José and E. J. Saletan, Classical Mechanics: a contemporary approach, Cambridge
University Press (1998).
5. J. L. McCauley, Classical Mechanics: transformations, flows, integrable and chaotic
dynamics, Cambridge University Press (1997).
6. T. Tél and M. Gruiz, Chaotic Dynamics: an introduction based on Classical Mechanics, Cambridge University Press (2006).
7. F. Scheck, Mechanics: From Newton’s Laws to Deterministic Chaos, 5th. edition,
Springer (2010).
8. J. Michael Finn, Classical Mechanics, Infinity Science Press LLC (2008).
9. T. W. B. Kibble and F. H. Berkshire, Classical Mechanics, Imperial College Press
(2004).
10. G. J. Sussman and J. Wisdom, Structure and interpretation of Classical Mechanics,
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11. M. G. Gutzwiller, Chaos in Classical and Quantum Mechanics, Springer-Verlag (1990).
12. A. J. Lichtenberg and M.A. Lieberman, Regular and Chaotic Dynamics, 2nd. Edition,
Springer-Verlag (1992).
13. D. Ter Haar, Elements of Hamiltonian Mechanics, Pergamon Press (1971).
14. G. L. Kotkin and V. G. Serbo, Collection of problems in Classical Mechanics, Pergamon Press (1971).
311
312
APÉNDICE D. BIBLIOGRAFÍA