Capítulo 24
1. PENSE O ampère é a unidade de corrente do SI. Um ampère equivale a um coulomb por segundo.
FORMULE Para calcular a carga total que atravessa o circuito, note que 1 A = 1 C/s e 1 h = 3600 s.
ANALISE (a) Temos:
(b) A variação de energia potencial é DU = qDV = (3,0 × 105 C)(12 V) = 3,6 × 106 J.
APRENDA Diferença de potencial é a variação de energia potencial por unidade de carga. Ao contrário do campo elétrico, a
diferença de potencial é uma grandeza escalar.
2. O módulo da variação é
DU = eDV = 1,2 × 109 eV.
3. (a) A variação de energia da carga transferida é
DU = qDV = (30 C)(1,0 × 109 V) = 3,0 × 1010 J.
(b) Se toda essa energia fosse usada para acelerar um carro de 1000 kg a partir do repouso, DU = K = mv2/2 e a velocidade final
do carro seria
=
v
2K
=
m
2∆U
=
m
2(3,0 × 1010 J)
= 7,7 × 103 m/s .
1000 kg
4. (a)
F 3,9 × 10−15 N
E=
=
=
2,4 × 104 N/C =
2,4 × 104 V/m
e 1,60 × 10−19 C
(b)
∆V = E ∆s = ( 2,4 × 104 N C ) ( 0,12m ) = 2,9 × 103 V = 2,9 kV.
5. PENSE O campo elétrico produzido por uma placa infinita carregada é perpendicular à placa e é uniforme.
FORMULE O módulo do campo elétrico produzido por uma placa infinita carregada é dado por E = σ/2ε0, em que σ é a densidade superficial de carga. Vamos colocar a origem de um sistema de coordenadas na placa e escolher um eixo x paralelo ao campo
apontando no sentido do campo. Nesse caso, o potencial elétrico será
em que Vp é o potencial na posição da placa. As superfícies equipotenciais são superfícies de x constante, ou seja, são planos
paralelos à placa. Se duas superfícies estão separadas por uma distância Dx, a diferença de potencial entre as duas superfícies é
ANALISE Assim, para σ = 0,10 × 10-6 C/m2 e DV = 50 V, temos
8 4 M A T E R I A L S U P L E M E N T A R P A R A A C O M P A N H A R
APRENDA As superfícies equipotenciais são sempre perpendiculares às linhas de campo elétrico. A Fig. 24-5a mostra as linhas
de campo elétrico e as superfícies equipotenciais no caso de um campo elétrico uniforme.
6. (a) VB – VA = DU/q = –W/(–e) = – (3,94 × 10–19 J)/(–1,60 × 10–19 C) = 2,46 V.
(b) VC – VA = VB – VA = 2,46 V.
(c) VC – VB = 0 (C e B estão na mesma linha equipotencial).
7. Ligamos o ponto A à origem seguindo uma trajetória sobre o eixo y, ao longo da qual não há diferença de potencial (Eq. 24-18:
 
E ⋅ ds =
0). Em seguida, ligamos a origem ao ponto B seguindo uma trajetória sobre o eixo x; a diferença de potencial nesse
percurso é
∫
∆V =
−∫
x=4
0
 
4
 42 
E ⋅ ds =
−4,00 ∫ x dx =
−4,00   =
−32,0
0
 2
o que nos dá VB – VA = –32,0 V.
8. (a) De acordo com a Eq. 24-18, a variação de potencial é o negativo da área sob a curva do campo elétrico em função da distância.
Assim, usando a fórmula da área de um triângulo, temos
V=
− 10
1
(2)(20)
= 20,
2
o que nos dá V = 30 V.


(b) No intervalo 0 < x < 3 m, − ∫ E ⋅ ds é positiva; para x > 3 m, é negativa. Assim, V = Vmáx para x = 3 m. Usando a fórmula da
área de um triângulo, temos
1
V − 10 =(3)(20),
2
o que nos dá Vmáx = 40 V.
(c) Diante do resultado do item (b), sabemos que o potencial se anula em um ponto de coordenada X > 3 m tal que a área de x = 3
m até x = X é 40 V. Usando a fórmula da área de um triângulo para 3 m < x < 4 m e da área de um retângulo para x > 4 m, temos
1
(1)(20) + ( X − 4)(20) =
40,
2
o que nos dá X = 5,5 m.
9. (a) O trabalho realizado pelo campo elétrico é
W
=
∫i
f
  q0σ d
q σ d (1,60 ×10−19 C)(5,80 ×10−12 C/m 2 )(0,0356 m)
q0 E ⋅ ds
=
dz
= 0 =
∫
2ε 0 0
2ε 0
2(8,85×10−12 C2 /N ⋅ m 2 )
= 1,87 ×10−21 J.
(b) Como V – V0 = –W/q0 = –σz/2ε0, com V0 = 0 na superfície da placa, o potencial elétrico no ponto P é
σz
(5,80 ×10−12 C/m2 )(0,0356 m)
−
=
−
=
−1,17 ×10−2 V.
V=
2ε 0
2(8,85×10−12 C2 /N ⋅ m2 )
M A T E R I A L S U P L E M E N T A R P A R A A C O M P A N H A R 8 5
10. Na região entre as placas, ou seja, para 0 < x < 0,5 m, os campos produzidos pelas duas placas, dados pela Eq. 23-13, têm o
mesmo sentido, e o campo total é



50 ×10−9 C/m2
25 ×10−9 C/m 2
ˆi =
ˆ
−
+
−(4,2 ×103 N/C)i.
Eint =
2
2 
−12 2
−12 2
 2(8,85 ×10 C /N ⋅ m ) 2(8,85 ×10 C /N ⋅ m ) 
Para x > 0,5 m, os campos produzidos pelas duas placas têm sentidos opostos, e o campo total é

50 ×10−9 C/m 2
25 ×10−9 C/m2
ˆi +
ˆi =
ˆ
Eext =
−
−(1,4 ×103 N/C)i.
2
−12 2
2(8,85 ×10 C /N ⋅ m ) 2(8,85 ×10−12 C2 /N ⋅ m 2 )
De acordo com a Eq. 24-18, temos
∆V =
−∫
0,8
0
 
0,5 
0,8 
E ⋅ ds =
− ∫ Eint dx − ∫ Eext dx =
− 4,2 ×103 ( 0,5) − 1,4 ×103 ( 0,3)
0
0,5
(
)
(
=
2,5 ×103 V =
2,5 kV.
11. (a) Para r = 1,45 cm = 0,0145 m, o potencial é
r
r
qr
qr 2
V (r ) =
V ( 0 ) − ∫ E ( r )dr =
dr
0−∫
=
−
0
0 4πε R 3
8πε 0 R3
0
=−
(8,99 ×109 N ⋅ m2 C2 )(3,50 ×10−15 C)(0,0145 m)2
2(0,0231 m)3
=
−2,68×10−4 V =
−0,268 mV.
(b) Como DV = V(0) – V(R) = q/8πε0R, temos
q
(8,99 ×109 N ⋅ m 2 C2 )(3,50 ×10−15 C)
V ( R) =
−
=
−
8πε 0 R
2(0,0231 m)
=
−6,81×10−4 V =
−0,681 mV.
12. A carga é
(10 m)(−1,0 V)
q=
4πε 0 RV =
=
−1,1×10−9 C =
−1,1 nC.
8,99 ×109 N ⋅ m2 /C2
13. (a) A carga da esfera é
(0,15 m)(200 V)
q=
4πε 0 RV =
3,3 10−9 C =
3,3 nC.
=×
8,99 ×109 N ⋅ m 2 C2
(b) A densidade superficial de carga é
q
3,3×10−9 C
1,2 ×10−8 C/m 2 =
12 nC/m 2 .
σ=
=
=
4π R 2 4π (0,15 m)2
)
8 6 M A T E R I A L S U P L E M E N T A R P A R A A C O M P A N H A R
14. (a) A diferença de potencial é
VA −VB =
q
−
q

4πε 0 rA 4πε 0 rB
1
1 
−

 2,0 m 1,0 m 
= (1,0 ×10−6 C)(8,99 ×109 N ⋅ m 2 C2 ) 
=
−4,5 × 103 V =
−4,5 kV.

(b) Uma vez que V(r) depende apenas do módulo de r , o resultado é o mesmo do item (a): V = -4,5 kV.
15. PENSE O potencial elétrico produzido por uma distribuição de carga com simetria esférica é proporcional a 1/ r , em que r é
a distância do centro da distribuição de carga.
FORMULE O potencial elétrico V na superfície de uma gota, de carga q e raio R, é dado por V = q/4πε0R.
ANALISE (a) Para V = 500 V e q = 30 × 10-12 C, temos
(b) Quando as duas gotas se combinam para formar uma gota maior, o volume total é duas vezes maior que o volume original de
uma das gotas e, portanto, o raio R’ da nova gota é dado pela relação (R’)3 = 2R3, ou seja, R’ = 21/3R. A carga é duas vezes maior que
a carga original de uma das gotas: q’ = 2q. Assim,
APRENDA Uma carga positiva produz um potencial elétrico positivo, e uma carga negativa produz um potencial elétrico negativo.
Quanto maior a carga, em valor absoluto, maior o potencial, em valor absoluto.
16. Como as partículas dos vértices estão todas à mesma distância do centro, e como a carga total dessas partículas é
2q1 – 3q1 + 2 q1 – q1 = 0,
a contribuição dessas partículas para o potencial, de acordo com a Eq. 24-27, é zero. Assim, o potencial é a soma dos potenciais
das duas partículas de carga +4q2, que estão a uma distância a/2 do centro:
1 4q2
1 4q2 16q2 16(8,99 ×109 N ⋅ m2 C2 )(6,00 ×10−12 C)
2,21 V.
+
=
=
=
V=
4πε 0 a /2 4πε 0 a /2 4πε 0 a
0,39 m
17. O potencial elétrico no ponto P é
1 1 1 1
q
(8,99 ×109 N ⋅ m 2 C2 )(5,00 ×10−15 C)
− + + =
=
4πε 0  2d d d d  8πε 0 d
2(4,00 ×10−2 m)
q 
=
V
−
=
5,62 ×10−4 V =
0,562 mV.
18. Quando a partícula 2 está a uma distância infinita, o potencial na origem se deve apenas à carga da partícula 1:
=
V1
q1
= 5,76 ×107 V.
4πε 0 d
Assim, q1/d = (5,76 × 107)/(8,99 × 109) = 6,41 × 10–17 C/m. De acordo com o gráfico da Fig. 24-34b, quando a partícula 2 se encontra
no ponto x = 0,080 m, o potencial total é zero. Assim,
M A T E R I A L S U P L E M E N T A R P A R A A C O M P A N H A R 8 7
kq
kq
q
5,13 ×10−18
0 = 2 + 1 ⇒ q2 =
−0,08 1 =
−5,13 ×10−18 C =
−
e=
−32e.
0,08 m d
d
1,60 ×10−19
19. Em primeiro lugar, observamos que V(x) não pode ser igual a zero para x > d. Na verdade, V(x) é negativa para todos os valores
de x maiores que d. Vamos considerar as duas outras regiões do eixo x, x < 0 e 0 < x < d.
(a) Para 0 < x < d, temos d1 = x e d2 = d – x. Assim,
q q 
q 1
−3 
V ( x) =k  1 + 2  =
 +
 =0 ⇒
 d1 d 2  4πε 0  x d − x 
d 24,0 cm
x= =
=6,0 cm.
4
4
(b) Para x < 0, temos d1 = –x e d2 = d – x. Assim,
q q 
q  1
−3 
V ( x) =
k  1 + 2 =
0 ⇒
+

=
 d1 d 2  4πε 0  − x d − x 
d
24,0 cm
x=
− =
−
=
−12,0 cm.
2
2
20. Como, de acordo com o enunciado, existe um ponto entre as duas cargas no qual o campo elétrico é zero, as cargas têm necessariamente o mesmo sinal, o que significa que os potenciais elétricos produzidos pelas cargas se somam em todos os pontos do
espaço. Assim, não existe nenhum ponto, além do infinito, no qual o potencial elétrico é zero.
21. De acordo com a Eq. 24-30,
1 p (8,99 ×109 N ⋅ m2 C2 )(1,47 × 3,34 ×10−30 C ⋅ m)
1,63 ×10−5 V =
16,3 µ V.
V=
=
=
4πε 0 r 2
(52,0 ×10−9 m)2
22. De acordo com as Eqs. 24-14 e 24-30, temos, para θi = 0º:
 p cosθ p cosθ
i
−
 4πε r 2 4πε r 2
0
0

Wa =q∆V =e 
 ep cosθ
=
( cosθ −1)
 4πε r 2
0

De acordo com o gráfico da Fig. 24-36b, Wa = –4,0 × 10–30 J para θ = 180o. Assim,
−4,0 × 10−30 J =
2(8,99 × 109 N ⋅ m/C2 )(1,6 × 10−19 C) p
(20 × 10−9 m) 2
⇒
p = 5,6 × 10−37 C ⋅ m.
23. (a) De acordo com a Eq. 24-35, o potencial é
V =2
 L / 2 + ( L2 /4) + d 2 
λ

ln 
4πε 0 
d



 (0,06 m/2) + (0,06 m)2 /4 + (0,08 m)2 

0,08 m




= 2(8,99 ×109 N ⋅ m 2 C2 )(3,68×10−12 C/m)ln 
=
2,43×10−2 V =
24,3 mV.
(b) Por simetria, o potencial no ponto P é V = 0.
24. O potencial é
VP =
dq
1 ⌠
−Q
(8,99 ×109 N ⋅ m 2 C2 )(25,6 ×10−12 C)
=
dq =
=−


4πε 0 ⌡barra R 4πε 0 R ⌡barra
4πε 0 R
3,71×10−2 m
1 ⌠
= −6,20 V.
8 8 M A T E R I A L S U P L E M E N T A R P A R A A C O M P A N H A R
Note que o resultado não depende do ângulo do arco e é igual ao que seria obtido no caso de uma carga pontual –Q situada a uma
distância R do ponto P. Esta “coincidência” se deve, em parte, ao fato de que o potencial V é uma grandeza escalar.
25. (a) Como todas as cargas estão à mesma distância R do ponto C, o potencial elétrico no ponto C é
5Q1
1  Q 6Q 
5(8,99 ×109 N ⋅ m2 C2 )(4,20 ×10−12 C)
−
=
−
=
−2,30 V.
V = 1 − 1 =
4πε 0  R R 
4πε 0 R
8,20 ×10−2 m
(b) Todas as cargas estão à mesma distância do ponto P. Como essa distância, de acordo com o teorema de Pitágoras, é
o potencial elétrico no ponto P é
R2 + D2 ,
6Q1 
5Q1
1  Q1
−
−
V=

=
2
2
2
4πε 0  R 2 + D 2
R + D 
4πε 0 R 2 + D
=−
5(8,99 ×109 N ⋅ m 2 C2 )(4,20 ×10−12 C)
(8,20 ×10−2 m)2 + (6,71×10−2 m)2
= −1,78 V.
26. Podemos usar o mesmo raciocínio do livro (veja as Eqs. 24-33 a 24-35), mudando apenas o limite inferior da integral de x =
0 para x = D. O resultado é o seguinte:
V
=
 L + L2 + d 2  2,0 × 10−6  4 + 17 
λ
4
ln 
ln 
=
=

 2,18 × 10 V.
4πε 0  D + D 2 + d 2 
4πε 0
1
2
+


27. De acordo com o que foi observado na solução do Problema 24, as barras podem ser substituídas por cargas pontuais situadas
à mesma distância do ponto considerado. Assim, fazendo d = 0,010 m, temos
V=
Q1
3Q1
3Q1
Q1
(8,99 ×109 N ⋅ m 2 C2 )(30 ×10−9 C)
−
=
=
4πε 0 d 8πε 0 d 16πε 0 d 8πε 0 d
2(0,01 m)
+
=×
1,3 104 V =
13 kV.
28. Considere um segmento infinitesimal da barra, situado entre x e x + dx. O segmento tem comprimento dx e contém uma carga
dq = λ dx, em que λ = Q/L é a densidade linear de carga. A distância entre o segmento e o ponto P1 é d + x e o potencial criado
pelo segmento no ponto P1 é
=
dV
1 dq
1 λ dx
=
.
4πε 0 d + x 4πε 0 d + x
Para calcular o potencial total no ponto P1, integramos o potencial dV para toda a extensão da barra, o que nos dá
L

λ L dx
λ
Q
L
=
ln(d + x=
)
ln 1+
∫
4πε 0 0 d + x 4πε 0
4πε 0 L  d 
0
V
=
(8,99 ×109 N ⋅ m 2 C2 )(56,1×10−15 C) 
0,12 m 
ln 1+

0,12 m
 0,025 m 
=
=
7,39 ×10−3 V =
7,39 mV.
M A T E R I A L S U P L E M E N T A R P A R A A C O M P A N H A R 8 9
29. Usando o mesmo raciocínio dos Problemas 24 e 27, temos
1 +Q1
1 +4Q1
1 −2Q1
1 Q1
V=
+
+
=
4πε 0 R 4πε ο 2 R 4πε 0 R
4πε 0 R
=
(8,99 ×109 N ⋅ m 2 C2 )(7,21×10−12 C)
2,00 m
=
3,24 ×10−2 V =
32,4 mV.
30. De acordo com a Eq. 24-30, o potencial produzido pelo dipolo elétrico é
=
V
p cosθ p cos90°
=
= 0.
4πε 0 r 2
4πε 0 r 2
Usando o mesmo raciocínio dos Problemas 24, 27 e 29, o potencial produzido pelo arco menor é q1 /4πε 0 r1 e o potencial produzido
pelo arco maior é q2 /4πε 0r2 . Assim, temos
V=
q1
4πε 0 r1
+
q2
=
4πε 0 r2
1  q1 q2 
1  2 µC
3 µC 
−
 + =

= 0.
4πε 0  r1 r2  4πε 0  4,0 cm 6,0 cm 
31. PENSE Como a distribuição de carga do disco é uniforme, quando o disco completo está presente cada quadrante contribui
igualmente para o potencial elétrico no ponto P.
FORMULE Como o potencial elétrico é uma grandeza escalar, o potencial produzido no ponto P por um quadrante do disco é
um quarto do potencial produzido pelo disco completo. Vamos primeiro escrever uma expressão para o potencial produzido no
ponto P pelo disco completo. Para isso, vamos considerar um anel de carga de raio r largura (infinitesimal) dr. A área do anel é
2πrdr e ele contém uma carga dq = 2πσrdr. Como todos os pontos do anel estão a uma distância r 2 + D 2 do ponto P, o potencial
produzido pela carga do anel no ponto P é
ANALISE Integrando em relação a r de 0 a R, obtemos
Assim, o potencial Vq produzido no ponto P por um só quadrante é
APRENDA Considere o limite D  R. Nesse caso, o potencial é
em que qq = πR2σ/4 é a carga do quadrante. Neste limite, o potencial é semelhante ao de uma carga pontual qq.
9 0 M A T E R I A L S U P L E M E N T A R P A R A A C O M P A N H A R
32. Podemos usar a Eq. 24-32, com dq = λ dx = bx dx (no intervalo 0 ≤ x ≤ 0,20 m).
(a) Nesse caso, r = x e, portanto,
0,20
1 ⌠ bx dx b(0,20)
 = = 36 V.
4πε  ⌡0
x
4πε 
=
V
(b) Nesse caso,
=
r
x 2 + d 2 e, portanto,
V=
1 ⌠
0,20
4πε 0 
⌡0
bxdx
b
=
2
2
πε
4
x +d
0
(
x2 + d 2
)
0,20
= 18 V.
0
33. Considere um segmento infinitesimal da barra, situado entre x e x + dx. O segmento tem um comprimento dx e uma carga dq
= λ dx = cx dx. A distância entre o segmento e o ponto P1 é d + x e o potencial criado pelo segmento no ponto P1 é
=
dV
1 dq
1 cx dx
=
.
4πε 0 d + x 4πε 0 d + x
Para calcular o potencial total no ponto P1, integramos o potencial dV para toda a extensão da barra, o que nos dá
V=
L
L

c ⌠ xdx
c
c 
L 
x
d
x
d
=
[
−
ln(
+
)]
=
 L − d ln 1+  

4πε 0 ⌡0 d + x 4πε 0
4πε 0 
0
 d  




= (8,99 ×109 N ⋅ m 2 C2 )(28,9 ×10−12 C/m 2 ) 0,120 m − (0,030 m)ln 1+
0,120 m  

0,030 m  
=
1,86 ×10−2 V =
18,6 mV.
34. O módulo do campo elétrico é dado por
∆V 2(5,0V)
|E|=
−
=
=×
6,7 102 V m.
∆x 0,015m

Em todos os pontos da região entre as placas, o campo E aponta na direção da placa negativa.
35. De acordo com a Eq. 24-41,
∂V
∂
Ex ( x, y ) =
−
=
− (2,0V/m 2 ) x 2 − 3,0V/m 2 ) y 2  =
−2(2,0V/m 2 ) x;
∂x
∂x
∂V
∂
2(3,0V/m 2 ) y .
E y ( x, y ) =
−
=
− (2,0V/m 2 ) x 2 − 3,0V/m 2 ) y 2  =
∂y
∂y
Para x = 3,0 m e y = 2,0 m, temos

ˆ
E=
(−12 V/m)iˆ + (12 V/m)j.
36. De acordo com a Eq. 24-41,

 dV  ˆ
d
ˆ
( − 3000x)iˆ =
( − 3000V/m2 )(0,0130m)iˆ =
(−39V/m)i.
E=
−
− (1500 x 2 )iˆ =
i =
dx
dx


M A T E R I A L S U P L E M E N T A R P A R A A C O M P A N H A R 9 1
(a) O módulo do campo elétrico é E = 39 V/m.
(b) O campo elétrico aponta para a placa 1.

37. PENSE A componente do campo elétrico E em qualquer direção é o negativo da taxa de variação do potencial com a distância
nessa direção.
FORMULE Podemos usar a Eq. 24-41, com V = 2,00xyz2, para calcular as componentes x, y e z do campo elétrico:
o que, para (x, y, z) = (3,00 m, –2,00 m, 4,00 m) nos dá
ANALISE O módulo do campo é, portanto,
APRENDA Se o potencial elétrico aumenta em uma dada direção, existe uma componente do campo elétrico diferente de zero na
direção oposta. Assim, por exemplo, se ∂V/∂x > 0, Ex < 0.
38. (a) De acordo com o resultado do Problema 24-28, o potencial elétrico em um ponto de coordenada x é
V=
Q
4πε 0 L
 x−L
.
 x 
ln 
No ponto x = d, temos
V
=
 d + L  (8,99 ×109 N ⋅ m 2 C2 )(43,6 ×10−15 C) 
Q
0,135 m 
ln 
ln 1 +
=


d
4πε 0 L  d 
0,135 m



(2,90 ×10−3 V)ln 1 +
=


0,135 m 
0,135 m 
(2,90 mV)ln 1 +
=
.
d
d



(b) Derivando o potencial em relação a x, temos
∂V
Q ∂  x−L
Q
x 1 x−L
Q
Ex =
−
=
−
ln
=
−
− 2 =
−
∂x
4πε 0 L ∂x  x 
4πε 0 L x − L  x
4πε 0 x ( x − L)
x 
(8,99 ×109 N ⋅ m 2 C2 )(43,6 ×10−15 C)
(3,92 ×10−4 N ⋅ m 2 C)
=
−
=
−
,
x( x + 0,135 m)
x( x + 0,135 m)
o que nos dá
=
| Ex |
(3,92 ×10−4 N ⋅ m2 C) (0,392 mN ⋅ m2 C)
=
.
x( x + 0,135 m)
x( x + 0,135 m)
9 2 M A T E R I A L S U P L E M E N T A R P A R A A C O M P A N H A R
(c) Como Ex < 0, o ângulo que o campo faz com o semieixo x positivo é 180o.
(d) Para x = d = 6,20 cm, temos
| Ex |
=
(3,92 ×10−4 N ⋅ m 2 C)
N/C 32,1 mN/C.
= 0,0321
=
(0,0620 m)(0,0620 m + 0,135 m)
(e) Considere dois pontos muito próximos da barra situados na mesma reta vertical, um de cada lado da barra. A componente Ey
do campo elétrico é dada pela diferença de potencial elétrico entre os dois pontos dividida pela distância entre os pontos. Como
os pontos estão situados à mesma distância da barra, a diferença de potencial é zero e, portanto, Ey = 0.
39. O campo elétrico em uma direção qualquer é o negativo da derivada do potencial V em relação à coordenada nessa direção.
Neste problema, as derivadas em relação às direções x e y são as inclinações das retas das Figs. 24-46a e 24-46b, respectivamente.
Assim, temos
 −500 V 
∂V
Ex =
−
=
−
2500 V/m =
2500 N/C
=
∂x
 0,20 m 
 300 V 
∂V
Ey =
−
=
−
−1000 V/m =
−1000 N/C
=
∂y
 0,30 m 



A força a que o elétron é submetido
 é dada por F = qE , na qual q = –e. O sinal negativo associado ao valor de q significa que F
E
aponta no sentido oposto ao de . Para e = 1,60 × 10–19 C, temos

ˆ =
F=
(−1,60 ×10−19 C)[(2500 N/C)iˆ − (1000 N/C)j]
(−4,0 ×10−16 N)iˆ + (1,60 ×10−16 N)jˆ .
40. (a) Considere um segmento infinitesimal da barra situado entre x e x + dx. A contribuição do segmento para o potencial no
ponto P2 é
1 λ ( x)dx
1
=
2
2
4πε 0 x + y
4πε 0
=
dV
cx
x + y2
2
dx.
Assim,
∫barra
V
=
dVP
=
c ⌠
L
4πε 0 
⌡0
x
c
dx
=
2
4
πε
x +y
0
2
(
L2 + y 2 − y
)
(
= (8,99 ×109 N ⋅ m 2 C2 )(49,9 ×10−12 C/m 2 ) (0,100 m)2 + (0,0356 m)2 − 0,0356 m
3,16 ×10−2 V =
31,6 mV.
=
(b) A componente y do campo é
∂V
c d
Ey =
− P=
−
4πε 0 dy
∂y
(
c 
y
L2 + y 2 − y = 1 −
2
4πε 0 
L + y2

)

= (8,99 ×109 N ⋅ m 2 C2 )(49,9 ×10−12 C/m 2 ) 1 −


= 0,298 N/C.




0,0356 m
(0,100 m)2 + (0,0356 m)2




)
M A T E R I A L S U P L E M E N T A R P A R A A C O M P A N H A R 9 3
(c) Calculamos o valor da componente Ey do campo elétrico a partir do potencial que foi calculado apenas em pontos do eixo y.
Para calcular o valor da componente Ex teríamos que calcular primeiro o potencial em um ponto arbitrário do plano xy, da forma
V(x,y), para depois calcular o campo Ex usando a relação Ex = -∂V(x,y)/∂x.
41. Aplicando a lei de conservação da energia à partícula que está livre para se mover, obtemos
0 + Ui = Kf + Uf ,
na qual Ui = qQ/4πε0ri, Uf = qQ/4πε0rf, ri é a distância inicial entre as partículas e rf é a distância final.
(a) Como as partículas, por terem cargas de mesmo sinal, se repelem, o valor inicial da distância entre elas é ri = 0,60 m e o valor
final é 0,60 m + 0,40 m = 1,0 m. Assim, temos
K f =U i − U f =
qQ
4πε 0 ri
−
qQ
4πε 0 rf
 1
1 
= (8,99 × 109 N ⋅ m 2 /C2 )(7,5 × 10−6 C)(20 × 10−6 C) 
−
 = 0,90 J.
 0,60 m 1,00 m 
(b) Como as partículas, por terem cargas de sinais opostos, se atraem, o valor inicial da distância entre elas é 0,60 e o valor final é
0,60 m - 0,40 m = 0,20 m. Assim, temos
qQ
qQ
K f =−
Ui U f =
−
+
4πε 0 ri 4πε 0 rf
 1
1 
=
−(8,99 × 109 N ⋅ m 2 /C2 )(7,5 × 10−6 C)(20 × 10−6 C) 
−
4,5 J.
=
 0,60 m 0,20 m 
42. (a) De acordo com a Eq. 24-43, temos
q q2
e2 (8,99 ×109 N ⋅ m2 C2 )(1,60 ×10−19 C)2
U k 1=
k=
=
= 1,15 ×10−19 J.
r
r
2,00 ×10−9 m
(b) Como U > 0 e U ∝ r–1, a energia potencial U diminui quando r aumenta.
43. PENSE O trabalho necessário para montar o arranjo é igual à energia potencial do sistema.
FORMULE Vamos escolher como referência uma energia potencial zero no infinito. Nesse caso, a energia potencial inicial Ui antes
de ser iniciada a montagem do sistema é zero. Depois que o sistema é montado, a energia potencial final Uf é
Assim, o trabalho necessário para montar o sistema é
APRENDA O trabalho necessário para montar o sistema é negativo. Isso significa que, depois que o sistema fosse montado, um
agente externo teria de fornecer uma energia (1,92 × 10-13 J, no caso) para desmontá-lo novamente.
9 4 M A T E R I A L S U P L E M E N T A R P A R A A C O M P A N H A R
44. O trabalho executado é igual à variação da energia potencial elétrica. De acordo com as Eqs. 24-14 e 24-26, temos
W
=
(3e − 2e + 2e)(6e) (8,99 ×109 N ⋅ m2 C2 )(18)(1,60 ×10−19 C)2
=
= 2,1×10−25 J .
4πε 0 r
0,020 m
45. A energia potencial inicial da segunda partícula é Ui = q2/4πε0r1, a energia cinética inicial é Ki = 0, a energia potencial final é
Uf = q2/4πε0r2 e a energia cinética final é Kf = mv2/2, na qual v é a velocidade final da partícula. De acordo com a lei de conservação
da energia, temos
Ki + U i = K f + U f
⇒
q2
4πε 0 r1
=
q2
1
+ mv 2 .
4πε 0 r2 2
Explicitando v, obtemos
=
v
2q 2  1 1 
− 
 =
4πε 0 m  r1 r2 

(8,99 ×109 N ⋅ m2 C2 )(2)(3,1×10−6 C)2 
1
1
−

−6
−3
−3


20 ×10 kg
 0,90 ×10 m 2,5 ×10 m 
=×
2,5 103 m s =
2,5 km/s.
46. Se q1 é a carga do anel, q2 é a carga pontual, r é o raio do anel e x é a distância entre a carga pontual e o centro do anel, o trabalho realizado por um agente externo é

1
qq 1
∆U =1 2  −
W=

4πε   r
r 2 + x2 
 1

1
(−9,0 × 10−9 C)(−6,0 × 10−12 C)(8,99 × 109 N ⋅ m 2 /C2 ) ⋅ 
=
−

(1,5 m) 2 + (3,0 m) 2 
1,5 m
= 1,8 × 10−10 J.
47. Como no caso da força gravitacional, discutida no Capítulo 14, a velocidade de escape pode ser calculada igualando a energia
cinética inicial ao valor absoluto da energia potencial:
1 2
eq
mv
=
⇒=
v
2
4πε 0 r
eq
=
2πε 0 rm
(1,6 ×10−19 C)(1,6 ×10−15 C)
2π (8,85 ×10−12 F/m)(0,01)(9,11×10−31 kg)
=×
2,2 104 m/s =
22 km/s.
48. A variação da energia potencial elétrica do sistema elétron-casca quando o elétron parte da posição inicial e chega à superfície
da casca é DU = (–e)(–V) = eV. Para que essa energia seja igual à energia inicial do elétron, K i = mevi2 /2, a velocidade inicial do
elétron deve ser
=
vi
2∆U
=
me
2eV
=
me
2(1,6 ×10−19 C)(125 V)
= 6,63×106 m/s.
9,11×10−31 kg
49. Tomando a energia potencial como sendo zero quando o elétron móvel está muito longe dos elétrons fixos, a energia potencial
final do elétron móvel é Uf = 2e2/4πε0d, na qual d é metade da distância entre os elétrons fixos. A energia inicial do elétron móvel
é Ki = mv2/2, na qual m é a massa e v é a velocidade inicial do elétron; a energia cinética final é zero. De acordo com a lei de conservação da energia, temos
M A T E R I A L S U P L E M E N T A R P A R A A C O M P A N H A R 9 5
Ki =
Uf
⇒
1 2
2e 2
mv =
,
2
4πε 0 d
o que nos dá
4e 2
(8,99 × 109 N ⋅ m 2 C2 )(4)(1,60 × 10−19 C) 2
v=
=
=×
3,2 102 m s =
0,32 km/s.
−31
4πε  dm
(0,010 m)(9,11 × 10 kg)
50. O trabalho necessário é
1  q1Q q2Q 
1  q1Q (−q1 /2)Q 
+=
+
= 0.


4πε 0  2d
d  4πε 0  2d
d

=
W=
∆U
51. (a) Seja c o comprimento do retângulo e seja l a largura. Como a carga q1 está a uma distância c do ponto A e a carga q2 está a
uma distância l, o potencial elétrico no ponto A é
 −5,0 ×10−6 C 2,0 ×10−6 C 
1  q1 q2 
9
2
2
+

 +  = (8,99 ×10 N ⋅ m /C ) 
4πε 0  c  
0,15m
0,050 m 

VA =
=
+6,0 ×104 V.
(b) Como a carga q1 está a uma distância l do ponto B e a carga q2 está a uma distância c, o potencial elétrico no ponto B é
VB =
 −5,0 ×10−6 C 2,0 ×10−6 C 
1  q1 q2 
9
2
2
+

 +  = (8,99 ×10 N ⋅ m /C ) 
4πε 0   c 
0,15m 
 0,050 m
=
−7,8 ×105 V.
(c) Como a energia cinética é zero no início e no final do percurso, o trabalho realizado por um agente externo é igual à variação de
energia potencial do sistema. A energia potencial é o produto da carga q3 pelo potencial elétrico. Se UA é a energia potencial quando
q3 está na posição A, e UB é a energia potencial quando q3 está na posição B, o trabalho realizado para deslocar a carga de B para A é
W = UA – UB = q3(VA – VB) = (3,0 × 10–6 C)(6,0 × 104 V + 7,8 × 105 V) = 2,5 J.
(d) Como o trabalho realizado pelo agente externo é positivo, esse trabalho faz a energia do sistema aumentar.
(e) e (f) Como a força eletrostática é conservativa, o trabalho não depende do percurso; assim, as duas respostas são iguais à do
item (c).
52. De acordo com a Eq. 24-5, a Eq. 24-30 e o gráfico da Fig. 25-5b, a energia potencial do elétron no ponto de máxima aproximação do dipolo (Kf = 0) é
 p cos(180o ) 
ep
Uf =
qV =
−e 
,
=
2
2
4
r
4
πε
πε
0
0r


na qual r = 0,020 m.
De acordo com o gráfico da Fig. 25-51b, Ki = 100 eV. Como Kf = Ui = 0, a lei de conservação da energia nos dá Uf = Ki = 100 eV =
1,6 × 10-17 J. Assim,
9 6 M A T E R I A L S U P L E M E N T A R P A R A A C O M P A N H A R
ep
4πε 0 r 2
(1,6 × 10−17 J)(0,02) 2
= 4,5 × 10−12 C ⋅ m.
(8,99 × 109 N ⋅ m 2 /C2 )(1,6 × 10−19 C)
= 1,6 × 10−17 J ⇒ p =
53. (a) Tomando como referência uma energia potencial zero quando a distância entre as esferas é infinita, a energia potencial
elétrica do sistema é
=
U
q2
(8,99 × 109 N ⋅ m 2 C2 )(5,0 × 10−6 C) 2
=
= 0,225 J
4πε  d
1,00 m
(b) As duas esferas se repelem com uma força cujo módulo é
=
F
q2
(8,99 × 109 N ⋅ m 2 C2 )(5,0 × 10−6 C) 2
=
= 0,225 N.
4πε  d 2
(1,00 m) 2
De acordo com a segunda lei de Newton, a aceleração de cada esfera é igual à força de repulsão dividida pela massa da esfera. Sejam
mA e mB as massas das esferas. A aceleração da esfera A é
=
aA
F
0,225 N
=
= 45,0 m s 2
mA 5,0 × 10−3 kg
=
aB
F
0,225 N
=
= 22,5 m s 2 .
mB 10 × 10−3 kg
e a aceleração da esfera B é
(c) A energia potencial inicial, calculada no item (a), é U = 0,225 J. A energia cinética inicial é zero, já que as esferas partem do
repouso. A energia potencial final é praticamente zero, já que a distância entre as esferas é muito grande. A energia cinética final
2
2
é 12 mAv A + 12 mB vB , na qual vA e vB são as velocidades finais. Assim, de acordo com a lei de conservação da energia,
=
U
1
1
mAv A2 + mB vB2 .
2
2
De acordo com a lei de conservação do momento,
=
0 mAv A + mB vB .
Explicitando vB na equação do momento, obtemos vB = −(m A /mB )v A. Substituindo na equação da energia, obtemos
=
U
1
2
(mA / mB )(mA + mB )v A2 ,
e, portanto,
=
vA
2UmB
=
mA (mA + mB )
2(0,225 J)(10 ×10−3 kg)
= 7,75 m/s.
(5,0 ×10−3 kg)(5,0 ×10−3 kg + 10 ×10−3 kg)
e
 5,0 ×10−3 kg 
m
− A vA =
− 
−3,87 m/s,
vB =
 (7,75 m/s) =
−3
mB
 10 ×10 kg 
o que nos dá | vB | = 3,87 m/s.
M A T E R I A L S U P L E M E N T A R P A R A A C O M P A N H A R 9 7
54. (a) Utilizando a relação U = qV, podemos “traduzir” o gráfico de tensão da Fig. 24-54 para um gráfico de energia em unidades
de elétrons-volts. De acordo com o enunciado, a energia cinética do pósitron, em elétrons-volts, é Ki = mv2/2e = (9,11 ×10-31)
(1,0 × 107)2/2(1,6 × 10–19) = 284 eV. Como este valor é menor que a altura da “barreira” de energia potencial, 500 eV, o movimento
do pósitron se inverte e ele emerge da região em que existe campo em x = 0.
(b) De acordo com a lei de conservação da energia, a velocidade final do pósitron é igual à velocidade inicial, 1,0 × 107 m/s.
55. Vamos chamar de r a distância pedida. A energia cinética inicial do elétron é K i = 12 mevi2 , na qual vi = 3,2 × 105 m/s. Quando
a velocidade dobra de valor, a energia cinética passa a ser 4Ki. Assim,
∆U =
−e 2
3
= −∆K = −(4 K i − K i ) = −3K i = − mevi2 ,
4πε  r
2
o que nos dá
=
r
2e2
=
3 ( 4πε 0 ) mevi2
2(1,6 ×10−19 C)2 (8,99 ×109 N ⋅ m 2 C2 )
= 1,6 ×10−9 m.
3(9,11×10−19 kg)(3,2 ×105 m s)2
56. De acordo com o gráfico da Fig. 24-53b, a energia potencial total do sistema é zero quando a partícula 3 está passando pelo
ponto x = 0,10 m. De acordo com a Eq. 24-43, temos
q1q3
q3q2
q1q2
0=
+
+
,
4πε 0 d 4πε 0 (d + 0,10 m) 4πε 0 (0,10 m)
e, portanto,
q1
q2 
qq
+
− 1 2,
=
d
 d + 0,10 m 0,10 m 

q3 
o que nos dá q3 = –5,7 ωC.
57. PENSE A energia mecânica é conservada no processo.
FORMULE Como o potencial elétrico produzido no ponto (0, y) pelas duas cargas fixas é dado por
A energia potencial da partícula móvel no ponto (0, y) é
De acordo com a lei de conservação da energia mecânica (Ki + Ui = Kf + Uf ), temos
em que yi e yf são as coordenadas inicial e final da carga móvel no eixo y.
ANALISE (a) Para q = -15 × 10-6 C, Q = 50 × 10-6 C, x = ±3 m, yi = 4 m e yf = 0, temos
9 8 M A T E R I A L S U P L E M E N T A R P A R A A C O M P A N H A R
(b) Fazendo Kf = 0, temos
Explicitando yf, substituindo os valores conhecidos e escolhendo a raiz negativa, obtemos yf = -8,5 m.
APRENDA A figura a seguir mostra a energia cinética final da partícula em função de y. Como se pode ver no gráfico, Kf = 3,0 J
para y = 0 e Kf = 0 para y = ±8,5 m. A partícula oscila indefinidamente entre os pontos yf = -8,5 m e yf = 8,5 m.
58. (a) Quando o próton é liberado, sua energia é K + U = 4,0 eV + 3,0 eV = 7,0 eV (a energia potencial inicial pode ser obtida
na Fig. 24-59). Isso significa que, se traçarmos uma reta horizontal para V = 7,0 V na Fig. 24-59, o ponto de retorno estará na
interseção da reta horizontal com o gráfico do poço de potencial. Fazendo uma interpolação no trecho da reta entre 1,0 cm e 3,0
cm, descobrimos que o ponto de retorno é, aproximadamente, x = 1,7 cm.
(b) Para uma energia total de 7,0 eV, não existe ponto de retorno do lado direito; de acordo com a lei de conservação da energia,
a velocidade do próton no ponto x = 6,0 cm é
=
v
2(2,0 eV)(1,6 × 10−19 J/eV)
=
20 km/s.
1,67 × 10−27 kg
(c) O campo elétrico em qualquer ponto do gráfico da Fig. 24-59 é o negativo da inclinação do gráfico nesse ponto. Uma vez conhecido o campo elétrico, a força a que o próton está submetido pode ser calculada a partir da relação F = eE. Na região ligeiramente
à esquerda do ponto x = 3,0 cm, a inclinação do gráfico é (3 V - 9 V)/(0,03 m - 0,01 m) = -300 V/m, o campo é E = 300 V/m e o
módulo da força é F = (1,6 × 10-19 C)(300 V/m) = 4,8 × 10–17 N.


(d) A força F , como o campo E , aponta no sentido positivo do eixo x.
(e) Na região ligeiramente à direita do ponto x = 5,0 cm, a inclinação do gráfico é (5 V - 3 V)/(0,06 m - 0,05 m) 200 V/m, o campo
é E = -200 V/m e o módulo da força é F = (1,6 × 10-19 C)(200) = 3,2 × 10–17 N.


(f) A força F , como o campo E , aponta no sentido negativo do eixo x.
59. (a) O campo elétrico na região entre as placas da Fig. 24-60 aponta para a esquerda, já que o campo elétrico sempre aponta do
potencial mais alto para o potencial mais baixo. Como, de acordo com o enunciado, a força aponta para a esquerda, no mesmo
sentido que o campo, a carga da partícula é positiva. Trata-se, portanto, de um próton.
(b) De acordo com a lei de conservação da energia, temos
K0 + U 0 = K f + U f
o que nos dá
1
1
⇒ m p v02 + eV1 = m p v 2f + eV2 ,
2
2
M A T E R I A L S U P L E M E N T A R P A R A A C O M P A N H A R 9 9
vf =
v02 +
2e
(V1 − V2 ) =
mp
(90 × 103 m/s) 2 +
2(1,6 × 10−19 C )
(−70 V + 50 V)
1,67 × 10−27
=
6,53 × 104 m/s =
65,3 km/s.
Note que a solução não depende do valor de d.
60. (a) Como o trabalho realizado é igual ao aumento de energia potencial, temos
 Q 
−13
W =q∆V =(−e) 
 =2,16 × 10 J,
 4πε 0 R 
o que nos dá
Q = -1,20 × 10-5 C = -12,0 μC.
(b) Como o trabalho é o mesmo, o aumento de energia potencial é
DU = 2,16 × 10–13 J = 0,216 pJ.
61. A distância entre dois pontos de uma circunferência de raio R separados por um ângulo θ (em radianos) é r = 2R sen(θ/2).
Usando este fato, distinguindo os casos em que N é ímpar e os casos em que N é par e calculando as interações entre pares de
elétrons, podemos obter a energia potencial total nos dois casos.
No caso da configuração 1, temos
 N −1

 N −1






Nke2  2
1
1
Nke2  2
1
,
U1, N=
+
U
=
∑
∑



par
1, N ímpar
=
2R  j 1 =
2 R  j 1 sen ( jθ 2 ) 
sen ( jθ 2 ) 2 
=
na qual k = 1/4πε0 e θ = 2π /N.
No caso da configuração 2, temos
N

 N −3





( N −1) ke2  2

1
1
5
2
,
U 2, N par
U
=
+
=
+ 
∑
∑



2, N ímpar
=
2R
2R
sen ( jθ ′ 2 ) 
=
 j 1=
 j 1 sen ( jθ ′ 2 ) 2 
( N −1) ke2  2 −1
na qual θʹ = 2π /(N - 1).
Os resultados são todos da forma
ke 2
× um número adimensional.
2R
U1 ou=
2
A tabela a seguir mostra os números adimensionais para vários valores de N, nas duas configurações. Os valores da tabela são as
energias potenciais divididas por ke2/2R.
N
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
156
U1
3,83
6,88
10,96
16,13
22,44
29,92
38,62
48,58
59,81
72,35
86,22
101,5
U2
4,73
7,83
11,88
16,96
23,13
30,44
39,92
48,62
59,58
71,81
85,35
100,2
1 0 0 M A T E R I A L S U P L E M E N T A R P A R A A C O M P A N H A R
Vemos que a energia potencial da configuração 2 é maior que a da configuração 1 para N < 12; para N ≥ 12, a energia potencial
da configuração 1 é maior.
(a) O menor valor para o qual U2 < U1 é N = 12.
(b) Para N = 12, a configuração 2 é formada por 11 elétrons distribuídos ao longo de uma circunferência a intervalos iguais e um
elétron central. A distância entre um dos elétrons da circunferência, e0, e o centro da circunferência é R; a distância entre e0 e os
vizinhos mais próximos que pertencem à circunferência (um de cada lado) é
π 
 ≈ 0,56 R.
 11 
=
r 2 Rsen 
A distância entre e0 e os segundos vizinhos mais próximos é
 2π 
 ≈ 1,1R .
 11 
r 2 R sen 
=
Assim, existem apenas dois elétrons mais próximos de e0 que o elétron central.
62. (a) Se as duas esferas estão ligadas por um fio condutor, os potenciais V1 e V2 são necessariamente iguais. Assim, a resposta é
que o potencial V1 se torna igual ao potencial V2.
Fazendo V1 = q1/4πε0R1 = V2 = q2/4πε0R2, q1 + q2 = q e R2 = 2R1, podemos obter os valores de q1/q e q2/q.
(b) q1/q = 1/3 = 0,333.
(c) q2/q = 2/3 = 0,667.
(d) A razão entre as densidades superficiais de carga das duas esferas é
2
2
σ1 q1 4π R12  q1 q   R2   1   2 
=
= 
= 2,00.
=


σ 2 q2 4π R22  q2 q   R1   2   1 
63. PENSE O potencial elétrico é a soma das contribuições das duas esferas.
FORMULE Sejam q1 a carga da esfera 1, q2 a carga da esfera 2, e d a distância entre os centros das duas esferas. O ponto a meio
caminho entre as duas esferas está a uma distância d/2 dos centros das duas esferas.
Para resolver os itens (b) e (c), basta notar que a distância do centro de uma das esferas até o centro da outra é d – R, em que R é
o raio das esferas.
ANALISE (a) O potencial no ponto a meio caminho entre os centros das esferas é
(b) O potencial na superfície da esfera 1 é
(c) O potencial na superfície da esfera 2 é
M A T E R I A L S U P L E M E N T A R P A R A A C O M P A N H A R 1 0 1
APRENDA No limite em que d → ∞, a distância entre as esferas é tão grande que o potencial na superfície de cada esfera não
é afetado pelo potencial produzido pela carga da outra esfera. Nesse caso, os potenciais elétricos nas superfícies das esferas são
e
64. Como o potencial elétrico é o mesmo em qualquer ponto do interior de um condutor, o potencial elétrico no centro também
é +400 V.
65. PENSE Se o potencial elétrico é zero no infinito, o potencial na superfície da esfera é dado por V = Q/4πε0R, em que Q é a
carga e R é o raio da esfera.
FORMULE Explicitando a carga Q na relação V = Q/4πε0R, obtemos a expressão Q = 4πε0RV.
ANALISE Para R = 0,15 m e V = 1500 V, temos
APRENDA A figura mostra um gráfico do potencial elétrico em função de r, em que k = 1/4πε0 e r é a distância do centro da
esfera. Note que o potencial é constante no interior da esfera.
66. Como a distribuição de carga tem simetria esférica, podemos escrever:
E (r ) =
1 qenv
,
4πε 0 r
na qual qenv é a carga envolvida por uma superfície esférica de raio r e centro na origem.
(a) Como R1 < R2 < r, temos
q1 + q2 (8,99 ×109 N ⋅ m 2 C2 )(2,00 ×10−6 C + 1,00 ×10−6 C)
=
4πε 0 r 2
(4,00 m)2
=
E (r )
=
1,69 ×103 V/m =
1,69 kV/m.
(b) Como R1 < r < R2, temos
q1
(8,99 ×109 N ⋅ m2 C2 )(2,00 ×10−6 C)
=
4πε 0 r 2
(0,700 m)2
=
E (r )
=
3,67 ×104 V/m =
36,7 kV/m.
(c) Como r < R1 < R2, E = 0.
1 0 2 M A T E R I A L S U P L E M E N T A R P A R A A C O M P A N H A R
Podemos calcular o potencial elétrico usando a Eq. 24-18:
r′
V ( r ) − V ( r′) =
∫ E ( r ) dr.
r
(d) Como R1 < R2 < r, temos
q1 + q2 (8,99 ×109 N ⋅ m2 C2 )(2,00 ×10−6 C + 1,00 ×10−6 C)
=
V (r ) =
6
q1 + q42 πε 0(8,99
×10−m)
C + 1,00 ×10−6 C)
(4,00
r ×109 N ⋅ m2 C2 )(2,00
=
V (r ) =
4πε 0 r
(4,00 m)
=6,74 ×103 V =6,74 kV.
=6,74 ×103 V =6,74 kV.
(e) Como R1 < R2 = r, temos
q1 + q2 (8,99 ×109 N ⋅ m2 C2 )(2,00 ×10−6 C + 1,00 ×10−6 C)
=
V (r ) =
6
(1,00
q1 + q24πε(8,99
×109 N ⋅ m2 C2 )(2,00
×10−m)
C + 1,00 ×10−6 C)
0r
=
V (r ) =
4πε 0 r
(1,00 m)
=2,70 ×104 V =27,0 kV.
=2,70 ×104 V =27,0 kV.
(f) Como R1 < r < R2, temos
V (r ) =
 2,00 ×10−6 C 1,00 ×10−6 C 
1  q1 q2 
9
2
2
+
 +
 = (8,99 ×10 N ⋅ m C ) 

4πε 0  r R2 
1,00 m 
 0,700 m
=3,47 ×104 V =34,7 kV.
(g) Como r = R1 < R2, temos
V (r ) =
 2,00 ×10−6 C 1,00 ×10−6 C 
1  q1 q2 
9
2
2
+
 +
 = (8,99 ×10 N ⋅ m C ) 

4πε 0  r R2 
1,00 m 
 0,500 m
=4,50 ×104 V =45,0 kV.
(h) Como r < R1 < R2,
V=
 2,00 ×10−6 C 1,00 ×10−6 C 
1  q1 q2 
9
2
2
+
 +
 = (8,99 ×10 N ⋅ m C ) 

4πε 0  R1 R2 
1,00 m 
 0,500 m
=4,50 ×104 V =45,0 kV.
(i) Em r = 0, o potencial é o mesmo que no item (h), V = 45,0 kV.
(j) As figuras a seguir mostram o campo elétrico e o potencial em função de r.
M A T E R I A L S U P L E M E N T A R P A R A A C O M P A N H A R 1 0 3
67. (a) O módulo do campo elétrico é
E
=
σ
q
(3,0 ×10−8 C)(8,99 ×109 N ⋅ m2 C2 )
=
=
= 1,2 ×104 N C.
ε 0 4πε 0 R 2
(0,15m)2
(b) V = RE = (0,15 m)(1,2 × 104 N/C) = 1,8 × 103 V = 1,8 kV.
(c) Se x é a distância, temos
q  1
1
∆V =
V ( x) −V =
− =
−500V,

4ε   R + x R 
o que nos dá
R∆V
(0,15m)(−500V)
x=
=
=
5,8 × 10−2 m =
5,8 cm.
−V − ∆V −1800V + 500V
68. Como a energia potencial do sistema é



q1q2
1 
=
2
2 
4πε 0 
( x1 − x2 ) + ( y1 − y2 ) 
=
U

(8,99 ×10
9
)(
)(
N ⋅ m 2 C2 3,00 ×10−6 C −4,00 ×10−6 C
(3,50 + 2,00) + ( 0,500 −1,50)
2

2
)
cm
= −1,93 J,
o trabalho realizado pela força elétrica é Wrealizado = -U = 1,93 J; desse modo, o trabalho necessário para colocar as cargas nas posições especificadas é Waplicado = -Wrealizado = -1,93 J.
69. PENSE Para calcular o potencial, primeiro usamos a lei de Gauss para determinar o campo elétrico produzido por um cilindro
carregado de raio RB em função da distância r do eixo do cilindro. A superfície gaussiana mais adequada é uma superfície cilíndrica
coaxial com o cilindro.
FORMULE De acordo com a lei de Gauss, no caso de uma superfície cilíndrica gaussiana A de raio r e comprimento h coaxial
com o cilindro,
em que qenv é a carga envolvida pela superfície gaussiana. No interior do cilindro condutor (ou seja, para r < RB), qenv = 0; portanto,
o campo elétrico é zero. Do lado de fora do cilindro (ou seja, para r > RB), qenv = λh, em que λ é a densidade linear de carga, e o
módulo do campo elétrico é
E=
λ
2πε 0 r
A diferença de potencial entre dois pontos situados a distâncias r1 e r2 do eixo do cilindro é
ANALISE (a) Vamos chamar de EB o módulo do campo elétrico na superfície do cilindro, ou seja, EB = λ/2πε0RB. Como o campo
elétrico do lado de fora do cilindro é inversamente proporcional a r,
Assim, para r = RC = 0,050 m, temos
1 0 4 M A T E R I A L S U P L E M E N T A R P A R A A C O M P A N H A R
(b) A diferença de potencial entre os pontos B e C é
(c) Como o campo elétrico é zero no interior do cilindro, o potencial é constante entre os pontos A e B e, portanto, VA – VB = 0.
APRENDA O potencial elétrico a uma distância r > RB do eixo do cilindro pode ser escrito na forma
Essa equação mostra que o potencial elétrico diminui logaritmicamente com a distância.
70. (a) De acordo com a Eq. 24-18,
R
Vparede −V =
− ∫ E dr ,
r
e, portanto, para E = ρr/2ε0 (veja a solução do Problema 60 do Capítulo 23), temos
ρr 


 2ε 0 
R
0 −V =
− ∫ 
r
⇒
−V =
−
ρ
4ε 0
(R
2
)
− r2 ,
o que nos dá
V=
ρ (R2 − r 2 )
.
4ε 0
(b) O valor da diferença de potencial para r = 0 é
−1,1 × 10−3 C m3
( 0,05m )2 − 0  =
Veixo =
−7,8 × 104 V =
−78 kV.
−12

4(8,85 × 10 C V ⋅ m) 
Assim, o valor absoluto da diferença de potencial é |Veixo| = 78 kV.

71. PENSE A componente do campo elétrico E em qualquer direção é o negativo da taxa de variação do potencial com a distância
nessa direção.
FORMULE De acordo com a Eq. 24-30, o potencial elétrico de um dipolo em um ponto situado a uma distância r do dipolo é
dado por


em que p é o módulo do momento dipolar elétrico p e θ é o ângulo entre p e o vetor posição do ponto. O potencial é tomado
como sendo zero no infinito.
ANALISE Nos pontos do eixo do dipolo, θ = 0 ou π; portanto, |cos θ| = 1. Nesse caso, o módulo do campo elétrico é
M A T E R I A L S U P L E M E N T A R P A R A A C O M P A N H A R 1 0 5
APRENDA Vamos tomar o eixo do dipolo como sendo o eixo z. Para z > 0 (θ = 0), E = p/2πε0z3. Para z < 0 (θ = p), E = -p/2πε0z3.
72. De acordo com a Eq. 24-18, temos
3
A 1 1 
⌠ A
∆V =
− 4 dr =  3 − 3  =
(2,9 × 10−2 m −3 ) A
32 3 
⌡2 r
73. (a) O potencial na superfície da esfera é
=
V
q
=
4πε 0 R
(4,0 ×10−6 C)(8,99 ×109 N ⋅ m2 C2 )
= 3,6 ×105 V.
0,10m
(b) O campo logo acima da superfície da esfera seria
E=
q
4πε 0 R
=
2
V 3,6 × 105 V
=
= 3,6 × 106 V m,
R
0,10m
um valor maior que 3,0 MV/m. Assim, a resposta é não.
74. O trabalho realizado é igual à variação da energia potencial elétrica do sistema, dada por
U=
qq
qq
q1q2
+ 2 3 + 1 3 ,
4πε 0 r12 4πε 0 r23 4πε 0 r13
na qual r12 indica a distância entre as partículas 1 e 2, e uma convenção semelhante é usada para r23 e r13.
(a) Considere a diferença entre a energia potencial com r12 = b e r23 = a e a energia potencial com r12 = a e r23 = b (r13 não muda).
Convertendo os valores dados no enunciado para unidades do SI, temos
qq
qq
qq
qq
W=
∆U = 1 2 + 2 3 − 1 2 − 2 3 =
−24 J.
4πε 0b 4πε 0 a 4πε 0 a 4πε 0b
(b) Por simetria, quando as partículas 2 e 3 trocam de posição, as condições permanecem as mesmas do ponto de vista da energia
potencial e, portanto,
W = DU = 0.
75. Suponha que a distribuição de carga da Terra tem simetria esférica. Nesse caso, se o potencial elétrico é zero no infinito, o
potencial elétrico na superfície da Terra é V = q/4πε0R, na qual q é a carga da Terra e R = 6,37 × 106 m é o raio da Terra. Como
o módulo do campo elétrico na superfície da Terra é E = q/4πε0R2, temos
V = ER = (100 V/m) (6,37 × 106 m) = 6,4 × 108 V.
76. De acordo com a lei de Gauss, q = ε0Φ = + 495,8 nC. Assim,
=
V
q
(8,99 ×109 N ⋅ m2 C2 )(4,958×10−7 C)
=
= 3,71×104 V.
4πε 0 r
0,120 m
77. A diferença de potencial é
DV = EDs = (1,92 × 105 N/C)(0,0150 m) = 2,90 × 103 V.
1 0 6 M A T E R I A L S U P L E M E N T A R P A R A A C O M P A N H A R
78. Como as cargas presentes nos arcos são equidistantes do ponto cujo potencial queremos calcular, podemos substituí-las por
cargas pontuais e aplicar a Eq. 24-27. O resultado é o seguinte:
1 +Q1
1 −2Q1
1 +3Q1
1 2Q1
V=
+
+
=
4πε 0 R 4πε 0 R
4πε 0 R
4πε 0 R
=
2(8,99 ×109 N ⋅ m 2 C2 )(4,52 ×10−12 C)
= 0,956 V.
0,0850 m
79. A energia potencial elétrica na presença do dipolo é
U qV
=
=
dipolo
qp cosθ (−e)(ed )cosθ .
=
4πε 0 r 2
4πε 0 r 2
Para θi = θf = 0º, a lei de conservação da energia nos dá
K f + U f =Ki + U i
⇒ v=
2e 2  1
1 
5
 −  =7,0 × 10 m/s.
4πε 0 md  25 49 
80. Podemos tratar o sistema como a combinação de um disco completo, de raio R, com uma densidade superficial de carga σ com
um disco menor, de raio r e densidade superficial de carga –σ. Aplicando a Eq. 24-37 aos dois objetos, temos
V
=
σ
2ε 0
(
)
z 2 + R2 − z +
−σ
2ε 0
(
)
z2 + r2 − z .
Esta expressão se anula quando r → ∝, como exige o problema. Substituindo por valores numéricos, temos
σ R  5 5 − 101  (6,20 ×10−12 C/m2 )(0,130 m)  5 5 − 101 
=







ε 0 
10
10
8,85 ×10−12 C2 /N ⋅ m 2



=
V
=
1,03 ×10−2 V =
10,3 mV.
81. (a) O elétron é liberado com uma energia K + U = 3,0 eV – 6,0 eV = -3,0 eV (o valor da energia potencial pode ser obtido a
partir do gráfico da Fig. 24-60 e do fato de que U = qV = -eV). Como a carga do elétron é negativa, é conveniente imaginar o eixo
vertical em unidades de elétrons-volts e com um sinal negativo. Assim, o valor de 2 V para x = 0 se torna –2 eV, o valor de 6 V para
x = 4,5 cm se torna –6 eV etc. A energia total (–3,0 eV) é constante e, portanto, pode ser representada nesse gráfico como uma
reta horizontal em –3,0 V. A reta intercepta o gráfico da energia potencial no ponto de retorno. Interpolando o trecho do gráfico
no intervalo de 1,0 cm a 4,0 cm, descobrimos que o ponto de retorno é x = 1,75 cm ≈ 1,8 cm.
(b) Como a reta não intercepta o gráfico de energia potencial em nenhum ponto à direita de x = 4,5 cm, não há ponto de retorno
se o elétron estiver se movendo para a direita. De acordo com a lei de conservação da energia, a energia cinética do elétron no
ponto x = 7,0 cm é K = –3,0 eV – (–5,0 eV) = 2,0 eV e, portanto,
=
v
2K
=
me
2(2,0 eV)(1,60 ×10−19 J/eV)
= 8,4 ×105 m/s.
9,11×10−31 kg
(c) O campo elétrico em um ponto qualquer é a inclinação do gráfico da tensão em função da distância nesse ponto como sinal

trocado. Uma vez conhecido o campo elétrico, podemos calcular a força a que o elétron está submetido usando a relação F = −eE.

ˆ
Usando esse
 método,−17determinamos que o campo elétrico na região imediatamente à esquerda do ponto x = 4,0 cm é E = (−133 V/m)i ,
-17
ˆ
=
×
F
(2,1
10
N)i
a força é
e o módulo da força é F = 2,1 × 10 N.
M A T E R I A L S U P L E M E N T A R P A R A A C O M P A N H A R 1 0 7
(d) O sinal positivo indica que a força aponta no sentido positivo do eixo x.


ˆ a força é F =
(−1,6 × 10−17 N)iˆ e o módulo
(e) Na região imediatamente à direita do ponto x = 5,0 cm, o campo é E = (100 V/m)i,
-17
da força é F = 1,6 × 10 N.
(f) O sinal negativo indica que a força aponta no sentido negativo do eixo x.
82. (a) O potencial seria
Ve
=
Qe
4π Re2σ e
=
= 4π Reσ e k
4πε 0 Re 4πε 0 Re
= 4π (6,37 ×106 m)(1,0elétron m2 )(−1,6 ×10−9 C elétron)(8,99 ×109 N ⋅ m2 C2 )
= −0,12V.
(b) O campo elétrico seria
σ V
0,12V
E =e =e =
−
=
−1,8 × 10−8 N C,
6
ε 0 Re
6,37 × 10 m
o que nos dá | E=| 1,8 ×10−8 N C.
(c) O sinal negativo de E significa que o campo elétrico aponta para baixo.
83. (a) De acordo com a Eq. 24-26, o potencial elétrico no ponto P é
VP =
−2e
2e
e
(8,99 ×109 N ⋅ m2 C2 )(1,6 ×10−19 C)
+
=
=
4πε 0 d1 4πε 0 d 2 4πε 0 (d /2)
2,00 m
= 7,19 ×10−10 V.
(b) Como U = qV, a contribuição da partícula móvel para a energia potencial é zero quando está a uma distância r = ∞ das partículas fixas. Quando está no ponto P, a contribuição é
U m = qVP = 2(1,6 ×10−19 C)(7,192 ×10−10 V) = 2,301×10−28 J ≈ 2,30 ×10−28 J.
Assim, o trabalho realizado para deslocar a partícula móvel até o ponto P é
Wm = 2,30 × 10–28 J.
(c) Somando a contribuição Um da carga móvel, obtida no item (b), com a contribuição Uf das cargas fixas, dada por
1
(2e)(−2e)
(8,99 ×109 N ⋅ m 2 C2 )(4)(1,60 ×10−19 C)2
=
4πε 0 (4,00 m)2 + (2,00 m)2
20,0 m
=
Uf
=
−2,058 ×10−28 J,
temos
Utotal = Um + Uf = 2,301 × 10-28 J - 2,058 × 10-28 J = 2,43 × 10–29 J.
1 0 8 M A T E R I A L S U P L E M E N T A R P A R A A C O M P A N H A R
84. Como o campo elétrico no interior da esfera é zero, o potencial é o mesmo em toda a esfera e, portanto, o potencial no ponto
A tem o mesmo valor que na superfície de uma esfera carregada:
V=
A V=
S
q
4πε 0 R
na qual q é a carga da esfera e R é o raio da esfera. Em pontos fora da esfera, o potencial é dado pela Eq. 24-26 e, portanto,
VB =
q
4πε 0 r
na qual r é a distância entre o ponto B e o centro da esfera.
(a) Temos
VS − VB =
q  1 1
3
 −  = 3,6 × 10 V = 3,6 kV.
4πε 0  R r 
VA − VB =
q  1 1
3
 −  = 3,6 × 10 V = 3,6 kV.
4πε 0  R r 
(b) Temos
85. Considerando como zero o potencial elétrico da carga móvel na posição inicial (a uma distância infinita das cargas fixas), o
potencial elétrico na posição final é
V=
+2e
+e
2e
(8,99 ×109 N ⋅ m 2 C2 )(2)(1,60 ×10−19 C)
+
=
=
4πε 0 (2 D) 4πε 0 D 4πε 0 D
4,00 m
= 7,192 ×10−10 V.
O trabalho realizado é igual à energia potencial na posição final da carga móvel:
W = qV = (2e)(7,192 × 10–10 V) = 2,30 × 10–28 J.
86. Como o potencial elétrico é uma grandeza escalar, o cálculo é muito mais simples do que no caso do campo elétrico. Podemos
simplesmente dividir por dois o potencial elétrico que seria produzido no ponto P por uma esfera completa. No caso de uma esfera
completa (de mesma densidade volumétrica de carga), a carga seria qesfera = 8,00 ωC. Assim,
1
1 qesfera 1 (8,99 × 109 N ⋅ m 2 /C2 )(8,00 × 10−6 C)
Vesfera
=
=
= 2,40 × 105 V
2
2 4πε 0 r 2
0,15 m
=
V
= 240 kV.
87. PENSE O trabalho realizado é igual à variação de energia potencial.
FORMULE A energia potencial inicial do sistema é
em que q é a carga das partículas, L é o comprimento do lado do triângulo e U0 é a energia potencial associada à interação das
duas cargas fixas. Quando uma das cargas atinge o ponto médio do segmento de reta que liga as outras duas cargas, a energia
potencial do sistema é
M A T E R I A L S U P L E M E N T A R P A R A A C O M P A N H A R 1 0 9
O trabalho realizado pelo agente externo é, portanto,
ANALISE Substituindo os valores conhecidos, obtemos
A uma taxa P = 0,83 kW = 0,83 × 103 J/s, serão necessários W/P = 1,8 × 105 s para completar o trabalho, o que corresponde a cerca
de 2,1 dias.
APRENDA Como as três cargas têm o mesmo sinal, e, portanto, se repelem, é necessário realizar um trabalho sobre o sistema
para aproximar uma das cargas das outras duas.
88. (a) A distância entre as cargas e o ponto C é a mesma e pode ser calculada usando o teorema de Pitágoras:
r=
(d / 2) 2 + (d / 2) 2 = d / 2.
O potencial elétrico total no ponto C é a soma dos potenciais produzidos pelas duas cargas, mas, graças à simetria do problema,
podemos calcular o potencial produzido por uma das cargas e multiplicar o resultado por dois:
2q 2 2 2q (8,99 ×109 N ⋅ m2 C2 )(2) 2(2,0 ×10−6 C)
2,5 ×106 V =
2,5 MV.
=
=
=
V=
4πε  d 4πε  d
0,020 m
(b) Quando a terceira carga é deslocada do infinito até o ponto C, a energia potencial varia de zero até qV, na qual V é o potencial
elétrico no ponto C. A variação da energia potencial é igual ao trabalho necessário para deslocar a carga até a posição final:
W=
qV =
(2,0 ×10−6 C)(2,54 ×106 V) =
5,1 J.
(c) O trabalho calculado no item (b) é igual apenas à energia potencial da carga móvel na presença das duas cargas fixas. Para
determinar a energia potencial total do sistema de três cargas, precisamos somar a energia potencial associada à interação das duas
2
cargas fixas. Como a distância entre as cargas fixas é d, esta energia potencial é q /4πε 0 d e a energia potencial total é
U=
W+
q2
4πε 0 d
=
5,1 J +
(8,99 ×109 N ⋅ m 2 C2 )(2,0 ×10−6 C)2
=
6,9 J.
0,020m
89. O potencial no ponto P (o local onde colocamos o terceiro elétron) produzido pelas cargas fixas pode ser calculado usando a
Eq. 24-27:
−e
−e
2e
VP = +
=
−
.
4πε 0 d 4πε 0 d
4πε 0 d
Substituindo por valores numéricos, temos
2e
(8,99 ×109 N ⋅ m 2 C2 )(2)(1,60 ×10−19 C)
VP =
−
=
−
=
−1,438 ×10−3 V .
4πε 0 d
2,00 ×10−6 m
De acordo com a Eq. 24-14, o trabalho necessário é
W = (–e)VP = 2,30 × 10–22 J.
1 1 0 M A T E R I A L S U P L E M E N T A R P A R A A C O M P A N H A R
90. A partícula de carga –q possui energia potencial e energia cinética, que dependem do raio da órbita. Para começar, vamos obter
uma expressão para a energia total em termos do raio r da órbita. A força de atração da partícula de carga Q é responsável pelo
movimento circular uniforme da carga –q. O módulo dessa força é F = Qq/4πε0r2. A aceleração da partícula de carga –q é v2/r, na
qual v é a velocidade da partícula. De acordo com a segunda lei de Newton, temos
Qq
mv 2
Qq
=
⇒ mv 2 =
,
2
r
4πε 0 r
4πε 0 r
o que nos dá uma energia cinética
1 2 Qq .
mv
=
2
8πε 0 r
K
=
A energia potencial é
U= −
Qq
4πε 0 r
e a energia total é
Qq
Qq
Qq
E=
K +U =
−
=
−
.
8πε 0 r 4πε 0 r
8πε 0 r
Quando o raio da órbita é r1, a energia é E1 = –Qq/8πε0r1; quando o raio da órbita é r2, a energia é E2 = –Qq/8πε0r2. A diferença
E2 – E1 é o trabalho W realizado por um agente externo para mudar o raio:
Qq  1 1  Qq  1 1 
W=
E2 − E1 =
−
 −  =  − .
8πε   r2 r1  8πε   r1 r2 
91. A velocidade inicial, vi, do elétron satisfaz a relação
Ki =
1
2
mevi2 = e∆V ,
que nos dá
=
vi
2(1,60 × 10−19 J)(625 V)
= 1,48 × 107 m s.
−31
9,11 × 10 kg
2e∆V
=
me
92. O potencial elétrico total no ponto P é a soma dos potenciais produzidos pelas seis cargas:
6
6
VP = ∑VPi = ∑
=i 1 =i 1
+
qi
4πε 0 ri
=
10−15 
5,00
−2,00
−3,00
+
+
2
4πε 0  d 2 + (d /2)2
d /2
d + (d /2)2

3,00
−2,00
+5,00 
9,4 ×10−16
+
+
=
−2
d /2
d 2 + (d /2)2
d 2 + (d /2)2  4πε 0 (2,54 ×10 )
=
3,34 ×10−4 V =
0,334 mV.
93. PENSE Para calcular o potencial produzido no ponto B pelo anel carregado, note que todos os pontos do anel estão à mesma
distância do ponto B.
M A T E R I A L S U P L E M E N T A R P A R A A C O M P A N H A R 1 1 1
FORMULE Como o ponto B está em (0, 0, z), o potencial elétrico no ponto B é dado por
em que q é a carga do anel. O potencial no infinito é tomado como zero.
ANALISE Para q = 16 × 10–6 C, z = 0,040 m e R = 0,0300 m, a diferença de potencial entre os pontos A (situado na origem) e B é
APRENDA Para z >> R, o potencial se torna aproximadamente igual ao de uma carga pontual:
94. (a) De acordo com a Eq. 24-26, a superfície equipotencial é uma superfície esférica com centro na carga q e raio
=
r
q
(8,99 ×109 N ⋅ m2 C2 )(1,50 ×10−8 C)
=
= 4,5m.
4πε 0V
30,0 V
(b) Não. Se o potencial fosse uma função linear de r, as superfícies equipotenciais seriam igualmente espaçadas; como, neste caso,
V ∞ 1/r, o espaçamento diminui quando r aumenta.
95. PENSE Para calcular o potencial elétrico, usamos primeiro a lei de Gauss para determinar o campo elétrico da casca esférica.
A superfície gaussiana mais apropriada é uma superfície esférica concêntrica com a casca.
FORMULE O campo elétrico aponta radialmente para o centro da casca em todos os pontos do espaço nos quais é diferente de zero.
Uma vez que o campo é uniforme na superfície gaussiana, o fluxo através da superfície é dado por =
Φ
em que r é o raio da superfície gaussiana e qenv é a carga envolvida.
(i) Na região r < r1, a carga envolvida é qenv = 0 e, portanto, E = 0.
(ii) Na região r1 < r < r2, o volume da casca é 4π (r23 − r13 )/3 e, portanto, a densidade de carga é
em que Q é a carga total da casca esférica. A carga envolvida pela superfície gaussiana é, portanto,
Assim, de acordo com a lei de Gauss,
 
=
∫ E ⋅ dA
4π r 2=
E qenv /ε 0 ,
1 1 2 M A T E R I A L S U P L E M E N T A R P A R A A C O M P A N H A R
(iii) Na região r > r2, a carga envolvida é qenv = Q, e o campo elétrico é o mesmo de uma carga pontual:
ANALISE (a) Como, na região r > r2, o campo elétrico é o mesmo de uma carga pontual, o potencial também é o mesmo de uma
carga potencial:
em que o potencial foi tomado como sendo zero no infinito.
(b) Na região r1 < r < r2, temos
Se Vs é o potencial elétrico na superfície externa da casca (r = r2), o potencial a uma distância r do centro da casca é dado por
O potencial na superfície externa da casca pode ser determinado fazendo r = r2 na expressão obtida no item (a). Isso nos dá Vs =
Q/4πε0r2. Fazendo essa substituição e agrupando os termos, obtemos
Como ρ 3Q /[4π ( r23 − r13 )], essa relação também pode ser escrita na forma
=
(c) Para r < r1, o campo elétrico é zero e, portanto, o potencial elétrico é o mesmo em todos os pontos e tem o mesmo valor que
na superfície interna da casca. Logo, fazendo r = r1 no resultado do item (b) e agrupando os termos, obtemos
ou, em termos da densidade de carga,
=
V
(d) Usando a expressão de V(r) obtida no item (b), temos
e
Assim, as soluções são compatíveis para r = r1 e r = r2.
ρ
2ε 0
(r22 − r12 )
M A T E R I A L S U P L E M E N T A R P A R A A C O M P A N H A R 1 1 3
APRENDA O potencial elétrico deve ser contínuo em pontos de transição, como r = r1 e r = r2. Nas regiões em que o campo elétrico
é zero, o trabalho necessário para deslocar uma carga é nulo, e, portanto, o potencial elétrico é constante.
96. (a) Vamos usar a lei de Gauss para obter expressões para o campo elétrico dentro e fora da distribuição esférica de carga. Como
o campo é radial, o potencial elétrico pode ser escrito como uma integral do campo ao longo de um dos raios da esfera, prolongado
até o infinito. A integral deve ser dividida em duas partes: uma do infinito até a superfície da distribuição de carga e a outra da
superfície até o centro da distribuição.
Do lado de fora da distribuição, o módulo do campo é E = q/4πε0r2, e o potencial é V = q/4πε0r, na qual r é a distância entre o ponto
considerado e o centro da distribuição. Estas expressões são as mesmas do campo elétrico e do potencial produzido por uma carga
pontual. Para obter uma expressão para o módulo do campo no interior da distribuição de carga, usamos uma superfície gaussiana
de forma esférica, de raio r, concêntrica com a distribuição. Como o campo é normal à superfície gaussiana e tem o mesmo valor em
todos os pontos da superfície, o fluxo através da superfície é F = 4πr2E. A carga envolvida é qr3/R3. De acordo com a lei de Gauss,
4πε 0 r 2 E=
qr 3
qr
⇒ E=
.
3
R
4πε 0 R3
Se Vs é o potencial na superfície da distribuição (ou seja, o potencial para r = R), o potencial em um ponto interno, situado a uma
distância r do centro da distribuição, é dado por
r
V=
Vs − ∫ E dr =
Vs −
R
q
4πε 0 R
3
∫
r
R
r dr =
Vs −
qr 2
q
.
+
3
8πε 0 R 8πε 0 R
O potencial na superfície da distribuição pode ser calculado substituindo r por R na expressão para pontos do lado de fora da
distribuição; o resultado é Vs = q/4πε0R. Assim,
=
V
q 1
r2
1 
q
−
+ =
3R 2 − r 2 ) .


3
3(
4πε 0  R 2 R
2 R  8πε 0 R
(b) A diferença de potencial é
2q
3q
q
∆V =
Vs − Vc =
−
=
−
,
8πε 0 R 8πε 0 R
8πε 0 R
o que nos dá
q
| ∆V | =
.
8πε 0 R
97. PENSE O aumento do potencial elétrico na superfície da esfera de cobre é proporcional ao aumento da carga elétrica.
FORMULE O potencial elétrico na superfície de uma esfera de raio R é dado por V =q/4πε0R, em que q é a carga da esfera. Assim,
q = 4πε0RV. O número de elétrons que entram na esfera de cobre é N = q/e, mas também é igual a (λ/2)t, em que λ é a atividade
do níquel.
ANALISE (a) Para R = 0,010 m e V = 1000 V, a carga da esfera é
Dividindo q por e, obtemos
elétrons que entraram na esfera de cobre. O tempo necessário para que isso aconteça é
1 1 4 M A T E R I A L S U P L E M E N T A R P A R A A C O M P A N H A R
(b) A energia depositada por um elétron ao entrar na esfera é E0 = 100 keV = 1,6 × 10-14 J. A energia necessária para produzir um
aumento de temperatura de 5,0 K é
O número de elétrons necessários para produzir esse aumento de temperatura é, portanto,
e o tempo necessário é
o que corresponde a aproximadamente 270 dias.
APRENDA Como não há dissipação de calor para o ambiente, a variação de temperatura da esfera é diretamente proporcional à
energia recebida e, portanto, ao número de elétrons que penetram no cobre.
98. (a) A diferença de potencial entre as cascas esféricas é
(b) Quando ligamos as duas cascas esféricas por um fio, passamos a ter um só condutor, e toda a carga elétrica das duas cascas se
acumula na superfície desse condutor; assim, a carga da casca esférica menor passa a ser zero.
(c) Como toda a carga se acumula na superfície da casca esférica maior, temos
99. (a) A carga é a mesma em todos os pontos do anel que estão à mesma distância de um ponto P do eixo; a distância =
ér
na qual R é o raio do anel e z é a distância entre o centro do anel e o ponto P. O potencial elétrico no ponto P é
V
=
z2 + R2 ,
1 dq
1
dq
1
1
1
q
dq
=
=
=
.
4πε 0 ∫ r 4πε 0 ∫ z 2 + R 2 4πε 0 z 2 + R 2 ∫
4πε 0 z 2 + R 2
(b) O campo elétrico aponta na direção do eixo do anel, e o módulo é dado por
q ∂ 2
q 1 2
q
z
∂V
2 −3/2
−
=
−
E=
( z + R 2 )−1/2 =
(2 z ) =
,
  (z + R )
2
∂z
4πε 0 ∂z
4πε 0  2 
4πε 0 ( z + R 2 )3/2
o que está de acordo com a Eq. 22-16.
100. A distância r pedida é aquela para a qual a partícula alfa possui (momentaneamente) energia cinética zero. Assim, de acordo
com a lei de conservação da energia,
K 0 + U 0 =K + U ⇒ (0,48 × 10−12 ) +
Fazendo r0 = ∞ (para que U0 = 0), obtemos r = 8,8 × 10–14 m.
(2e)(92e)
(2e)(92e)
=0 +
.
4πε 0 r0
4πε 0 r
M A T E R I A L S U P L E M E N T A R P A R A A C O M P A N H A R 1 1 5
101. (a) Vamos chamar de r a distância entre os quarks. A energia potencial elétrica para dois quarks up, em elétrons-volts, é dada por
U up
=
− up
1 (2e /3)(2e /3) 4ke
4(8,99 ×109 N ⋅ m 2 C2 ) (1,60 ×10−19 C)
e
e
= =
r
4πε 0
9r
9(1,32 ×10−15 m)
=
4,84 ×105 eV =
0, 484 MeV.
(b) Para os três quarks, temos
=
U
1  (2e/3)(2e/3) (−e/3)(2e/3) (−e /3)(2e /3) 
+
+
=
 0.
4πε 0 
r
r
r

102. Como a esfera é condutora, a carga está distribuída na superfície. Entretanto, usando a lei de Gauss, é fácil mostrar que o campo
elétrico do lado de fora da esfera é o mesmo se substituirmos a carga da superfície por uma carga pontual situada no centro da esfera,
o que facilita a solução do problema. Nesse caso, o módulo do campo elétrico em função da distância do centro da esfera é dado
por E(r) = q/4πε0r2 para r > R, em que R é o raio da esfera. Assim, o potencial V na superfície da esfera (em que r = R) é dado por
103. Se a introdução da terceira partícula não modifica a energia potencial elétrica, podemos concluir que o potencial elétrico
total produzido no ponto P pelas duas partículas originais é zero:
q1
4πε 0 r1
+
q2
4πε 0 r2
=
0.
Fazendo r1 = 5d/2 e r2 = 3d/2, obtemos q1 = -5q2/3, o que nos dá q1/q2 = -5/3 ≈ -1,7.