ÁLGEBRA DE FUNCIONES
Operaciones y composición de funciones
Ing. Gabriel Jaime Ramírez Henao
Un buen comienzo para un buen futuro
Operaciones Aritméticas
• Dado dos funciones f y g , podemos
combinarlos mediante operaciones comunes
de aritmética como se ilustra:
Un buen comienzo para un buen futuro
Operaciones (cont.)
• Notas:
El dominio de f + g , etc. es la intersección, I,
de los dominios de f y g …
• Eso es, los numeros que son comunes a ambos
dominios.
En división, el dominio de
𝑓
𝑔
es un subconjunto de I que
consiste de todos los valores de x en I tal que g(x) ≠ 0 .
Un buen comienzo para un buen futuro
Un buen comienzo para un buen futuro
Un buen comienzo para un buen futuro
Un buen comienzo para un buen futuro
Ejemplo 3
Sea 𝑓 𝑥 =
𝑥
𝑥−2
y g x =
Hallar 𝑓 + 𝑔 𝑥 ,
3
.
𝑥
𝑓−𝑔 𝑥 ,
𝑓𝑔 𝑥 , 𝑦
𝑓
𝑔
4 .
Describe el dominio de cada función.
El dominio de f es
El dominio de g es
−∞,. 2 ∪ 2, ∞
−∞, 0 ∪ 0, ∞
Dom de g
Dom de f
La intersección de estos conjuntos es:
−∞, 0 ∪ 0,2 ∪ 2, ∞
Un buen comienzo para un buen futuro
Ejemplo
Sea 𝑓 𝑥 =
𝑥
𝑥−2
y g x =
Hallar 𝑓 + 𝑔 𝑥 ,
3
.
𝑥
𝑓−𝑔 𝑥 ,
𝑓𝑔 𝑥 , 𝑦
𝑓
𝑔
4 .
Describe el dominio de cada función.
𝑥
𝑓+𝑔 𝑥 =
𝑥−2
dominio es
𝑥
𝑓−𝑔 𝑥 =
𝑥−2
dominio es
3
𝑥
+ =
𝑥 2 +3𝑥−6
,
𝑥(𝑥−2)
−∞, 0 ∪ 0,2 ∪ 2, ∞
3
𝑥
− =
𝑥 2 −3𝑥+6
𝑥(𝑥−2)
−∞, 0 ∪ 0,2 ∪ 2, ∞
Un buen comienzo para un buen futuro
Ejemplo (cont.)
Sea 𝑓 𝑥 =
𝑥
𝑥−2
y g x =
Hallar 𝑓 + 𝑔 𝑥 ,
3
.
𝑥
𝑓−𝑔 𝑥 ,
𝑓𝑔 𝑥 , 𝑦
𝑓
𝑔
4 .
Describe el dominio de cada función.
𝑥
𝑓𝑔 𝑥 =
𝑥−2
dominio es
𝑓
𝑔
4 =
3
3
=
𝑥
𝑥−2
−∞, 0 ∪ 0,2 ∪ 2, ∞
4
3
𝑓(4)
÷
= 𝑓 4 ÷𝑔 4 =
4−2
4
𝑔(4)
8
3
=
=2÷
3
4
Un buen comienzo para un buen futuro
Definición
Se pueden combinar funciones para formar lo que se
conoce como la composición de funciones.
• La función compuesta, f ◦ g , (f compuesta con g), se
define
(f ◦ g)(x) = f(g(x))
e implica evaluar f en g.
Un buen comienzo para un buen futuro
Funciones Compuestas
• El dominio de f ◦ g es el conjunto de todas las x
en el dominio de g tal que g(x) está en el
dominio de f .
• Se puede nombrar una composición
(g ◦ f)(x) ó g(f(x))
(se lee “g con f”)
Un buen comienzo para un buen futuro
Funciones Compuestas (cont.)
• Se ilustra f ◦ g con el diagrama:
Un buen comienzo para un buen futuro
Ejemplo 1
• Si f(x) = x2 – 16 y 𝑔 𝑥 = 𝑥 entonces
𝑓 𝑜 𝑔 𝑥 = 𝑥 2 − 16 = 𝑥 − 16
para cada número real x ≥ 0 , mientras que
para cada valor real, x ∈ 4, ∞)
𝑔 𝑜 𝑓 𝑥 = x2 – 16
Un buen comienzo para un buen futuro
Ejemplo 2
• Si f(x) = 3x2 + 6 y 𝒈 𝒙 = 𝒙 − 𝟖 determinar
– f(g(x)) = 3(x – 8)2 + 6
= 3(x2 -16x + 64) + 6
= 3x2 – 48x + 192 + 6
= 3x2 – 48x + 198
– g(f(x)) = (3x2 + 6 ) − 𝟖
= 3x2 – 2
Un buen comienzo para un buen futuro
Ejemplo – continuación
• Si f(x) = 3x2 + 6 y 𝒈 𝒙 = 𝒙 − 𝟖 determinar
– f(f(x))
= 3(3x2 + 6 )2 + 6
= 3(9x4 + 36x2 + 36) + 6
= 27x4 – 108x2 + 108 + 6
– g(g(-3)) = 27x4 – 108x2 + 114
g(-3) = (-3 −𝟖)
g(g(x)) = (x − 𝟖) − 𝟖
= x – 16
g(g(-3)) = -3 – 16 = -19
ó
= - 11
g(-11) = (-11 −𝟖)
= - 19
Un buen comienzo para un buen futuro
Ejemplo 3
Un buen comienzo para un buen futuro
Ejemplo 3
Un buen comienzo para un buen futuro
Ejemplo 3
Un buen comienzo para un buen futuro
Ejemplo 3
Un buen comienzo para un buen futuro
Ejemplo 4
• Si f(x) = x2 – 5x + 3 y 𝒈 𝒙 = 𝒙𝟐 determinar
– f(g(x)) = (x2 )2 – 5(x2) + 3
= x4 – 5x2 +3
– g(f(x)) = (x2 – 5x + 3)2
= x4 - 10x3 + 31x2 - 30x + 9
f(f(-1)) =
f(-1)= (-1)2 – 5(-1) + 3
= 10
f(f(-1)) = f(10)= (10)2 – 5(10) + 3 = 53
Un buen comienzo para un buen futuro
Ejemplo
Se muestran valores de dos funciones f y g en la
siguientes tablas.
Hallar
y
Un buen comienzo para un buen futuro
Ejemplo
Se muestran las gráficas de dos funciones f y g. Determinar, si es
posible, cada uno de los siguientes valores.
a) 𝑔𝑜𝑓(-2) = g(f(-2))
Vemos que f(-2) = 2.
Ahora, buscamos g(2) = 1
b) 𝑔𝑜𝑓(0) = g(f(0))
Vemos que f(0) = 0.
Ahora, buscamos g(0) = 3
c) 𝑓𝑜𝑔(2) = f(g(2))
Vemos que g(2) = 1.
Ahora, buscamos f(1) = ½
d) 𝑓𝑜𝑔(-5) = f(g(-5))
Vemos que g(-5) = 8.
Ahora, buscamos f(8) = no está definido en la gráfica
Un buen comienzo para un buen futuro
Descomponer funciones
• Algunas veces se quiere “descomponer”
una función compuesta.
• Esto es, dada una función compuesta
y = h(x) , queremos encontrar dos
funciones, f y g tal que h(x) = f(g(x))
• La descomposición de funciones no es
única.
Un buen comienzo para un buen futuro
Descomponer funciones
𝟒
𝟑
1) 𝒉 𝒙 = 𝒙 − 𝟓𝒙 + 𝟏
f(x) = x4
h(x) = f(g(x))
g(x) = 𝑥 3 − 5𝑥 + 1
2) 𝒉 𝒙 = 𝟑𝒙 + 𝟐
g(x) = 3𝑥 + 2
h(x) = f(g(x))
f(x)= 𝑥
f(x)= 3𝑥
3) 𝒉 𝒙 =
𝑥
f(x) =
𝑥+1
1
f(x) =
𝑥
g(x) = 𝑥 +
𝒙𝟐
𝒙𝟐 +𝟏
2
3
g(x) = 𝑥 2
g(x) =
h(x) = f(g(x))
𝑥 2 +1
𝑥2
Un buen comienzo para un buen futuro
Operaciones con Funciones
EJEMPLOS ADICIONALES
Un buen comienzo para un buen futuro
Ejemplo
Sea 𝑓 𝑥 =
4 − 𝑥2 y
Hallar 𝑓 + 𝑔 𝑥 ,
g x = 3x + 1.
𝑓−𝑔 𝑥 ,
𝑓𝑔 𝑥 , 𝑦
𝑓
𝑔
𝑥 .
Describe el dominio de cada función.
El dominio de g es
ℝ
.
El dominio de f es:
El conjunto de valores de x, tal que la expresión en el
radicando produce un valor positivo o cero.
4 − 𝑥2 ≥ 0
𝑥 ∈ −2,2
Un buen comienzo para un buen futuro
Ejemplo
Sea 𝑓 𝑥 =
4 − 𝑥2 y
Hallar 𝑓 + 𝑔 𝑥 ,
g x = 3x + 1.
𝑓−𝑔 𝑥 ,
𝑓𝑔 𝑥 , 𝑦
𝑓
𝑔
𝑥 .
Describe el dominio de cada función.
𝑓 + 𝑔 x = 4 − x 2 + 3x + 1,
dominio de 𝑓 + 𝑔 x es
𝑓−𝑔 𝑥 =
−∞, ∞ ∩ −2,2] = −2,2
4 − 𝑥 2 - (3x + 1) = 4 − 𝑥 2 - 3x − 1
dominio de 𝑓 − 𝑔 𝑥 es
−∞, ∞ ∩ −2,2] = −2,2
Un buen comienzo para un buen futuro
Ejemplo
4 − 𝑥2 y
Sea 𝑓 𝑥 =
Hallar 𝑓 + 𝑔 𝑥 ,
g x = 3x + 1.
𝑓−𝑔 𝑥 ,
𝑓𝑔 𝑥 , 𝑦
𝑓
𝑔
𝑥 .
Describe el dominio de cada función.
𝑓𝑔 𝑥 = ( 4 − 𝑥 2 )(3x + 1),
−2,2
dominio de 𝑓𝑔 𝑥 es
𝑓
4−𝑥 2
𝑥 = 3𝑥+1 ,
𝑔
𝑓
dominio de
𝑥 excluye de [-2,2] los valores que hacen el
𝑔
3x + 1 = 0, cuando
denominador igual a cero.
dominio de
𝑓
𝑔
𝑥 :
1
𝑥=−
1
3
1
[-2,3) ∪ (− 3 , 2]
Un buen comienzo para un buen futuro
Ejemplo
Complete la tabla.
Un buen comienzo para un buen futuro
Ejemplo
Complete la tabla.
Un buen comienzo para un buen futuro