ECUACIONES DIFERENCIALES
Y SUS APLICACIONES
PARA ESTUDIANTES DE CIENCIAS E INGENIERÍAS
6ta EDICION
EDUARDO ESPINOZA RAMOS
L IM A - P E R Ú
IMPRESO EN EL PERÚ
01 - 0 9 - 2 0 0 4
óta EDICIÓN
DERECHOS RESERVADOS
ESTE LIBRO NO PUEDE REPRODUCIRSE TOTAL Ó PARCIALMENTE POR NINGÚN
MÉTODO GRÁFICO. ELECTRÓNICO O MECÁNICO, INCLIJVFNDO 'OS
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RUC
Ley de Derechos del Autor
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Escritura Publica
Hecno ei depósito legal en la
Biblioteca Nacional del Perú
con el numero
N ° 10070440607
N° 13714
N° 10716
N° 4484
N° 2007-12590
PROLOGO
Teniendo en cuenta que el estudio de las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias es muy
importante en la formación de los estudiantes de Ciencias e Ingeniería, debido a que con
frecuencia aparecen en el estudio de los fenómenos naturales.
Esta obra que presento en su
6ta Edición está orientada básicamente para todo estudiante
de Ciencias Matemáticas, Física, Ingeniería, Economía y para toda persona interesada en
fundamentar sólidamente sus conocimientos matemáticos.
Esta
6ta
Edición está cuidadosamente corregida, aumentada y comentada tanto en sus
ejercicios y problemas resueltos y propuestos con sus respectivas respuestas. La teoría expuesta es
precisa y necesaria para la solución de los diversos problemas abordados.
La lectura del presente libro requiere de un conocimiento del cálculo diferencial e
integral; el libro empieza con un capítulo sobre los conceptos generales de las ecuaciones
diferenciales, se continúa con diferentes métodos analíticos para resolver una ecuación diferencial
de primer orden y primer grado, acompañado con algunas aplicaciones importantes, se abordan las
ecuaciones diferenciales de orden n, homogéneas y no homogéneas con sus respectivas
aplicaciones, también se estudia los operadores diferenciales; asimismo, se trata del sistema de
i
ecuaciones diferenciales lineales de primer orden con coeficientes constantes en diferentes
métodos de solución, así mismo se estudia las ecuaciones diferenciales por medio de series de
potencias utilizando el teorema de FROBENIUS, se ha incluido el capítulo de las ecuaciones en
diferencias y sus aplicaciones en economía, por último se considera algunas tablas como
identidades trigonométricas e hipérbolas, sumatorias, logaritmos, ecuaciones cúbicas y cuarticas,
derivadas e integrales.
Por último agradecer y expresar mis aprecio a las siguientes personas por sus valiosas
sugerencias y críticas.
DOCTOR PEDRO CONTRERAS CHAMORRO
Ex-Director de la Escuela Profesional de Matemática Pura de la UNMSM.
Catedrático Principal en Pos-Grado de la Facultad de Matemática Pura de la UNMSM
Miembro Fundador de la Academia Nacional de Ciencia y Tecnología del Perú.
Catedrático de la Universidad Particular Ricardo Palma.
DOCTOR EUGENIO CABANILLAS LAPA
Doctor en matemática Pura, Universidad Federal de Río de Janeiro - Brasil.
Director de Pos-Grado en la Universidad Nacional M ayor de San Marcos.
Catedrático de la Universidad Nacional del Callao.
LIC. ANTONIO CALDERON LEANDRO
Ex-Jefe de Departamento Académico de la Facultad de Ing. Pesquera y Alimentos de la
Universidad Nacional del Callao.
Jefe de Departamento Académico de la Facultad de Ciencias Naturales y Matemática de la
Universidad Nacional del Callao.
_
*
_
_
Coordinador del Area de Matemática en la Facultad de Ingeniería de la Universidad Ricardo
Palma.
LIC. SERGIO LEYVA HARO
Ex Jefe del Centro de Computo de la Facultad de Ingeniería Química de la Universidad
Nacional del Callao.
Catedrático en la Facultad de Ingeniería Ambiental y de Recursos Naturales de la UNAC.
LIC. JUAN BERNUI BARROS
Director del Instituto de Investigación de la Facultad de Ciencias Naturales y Matemática de
la Universidad Nacional del Callao.
Catedrático de la Universidad Nacional Mayor de San Marcos.
LIC. PALERMO SOTO SOTO
Catedrático de la Universidad Nacional Mayor de San Marcos.
Catedrático de la Universidad Particular Ricardo Palma.
Mg. JOSE QUIKE BRONCANO
Catedrático de la Universidad Nacional M ayor de San Marcos.
Coordinador del área de matemática en la Facultad de Ciencias Matemáticas Puras.
Lic. GUILLERMO MAS AZAHUANCHE
Catedrático de la Universidad Nacional del Callao
Catedrático de la Universidad Nacional de Ingeniería.
Catedrático de la Universidad Ricardo Palma.
EDUARDO ESPINOZA RAMOS
DEDICATORIA
Este libro lo dedico a mis hijos:
RONALD, JORGE y DIANA
que Dios ilumine sus caminos para que puedan
ser guías de su prójimo
INDICE
C A P IT U L O I
1.
CONCEPTOS BASICOS Y TERMINOLOGIA.
1.1.
Introducción
1
1.2.
Definición
1
1.3.
Clasificación de las Ecuaciones Diferenciales
2
1.4.
Orden de una Ecuación Diferencial Ordinaria
3
1.5.
Grado de una Ecuación Diferencial Ordinaria
4
1.6 .
Solución de una Ecuación Diferencial Ordinaria
5
1.7.
Origen de las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
13
1.7.1.
Ecuaciones Diferenciales de una Familia de Curva
13
1.7.2.
Ecuaciones Diferenciales de Problemas Físicos
17
C A P IT U L O II
2.
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIA DE
PRIMER ORDEN Y PRIMER GRADO.
27
2.1.
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Variable Separable
27
2.2.
36
2.3.
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Reducibles a Variable Separable
í
Otras Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
44
2.4.
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Homogéneas
46
2.5.
Ecuaciones Diferenciales Reducibles a Homogéneas
59
i
I
2.6.
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Exactas
72
2.7.
Factor de Integración
87
2.8.
Ecuaciones Diferenciales Lineales de Primer Orden
118
2.9.
Ecuaciones Diferenciales de Bemoulli
134
2.10.
Ecuaciones Diferenciales de Riccati
149
2.11.
Ecuaciones Diferenciales de Lagrange y Clairouts
153
2.12.
Ecuaciones Diferenciales no resueltas con respecto a la Primera Derivada
160
2.13.
Soluciones Singulares
168
C A P IT U L O III
3.
APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
177
3.1.
Problemas Geométricos
177
3.2.
Trayectorias Ortogonales
198
3.3.
Cambio de Temperatura
206
3.4.
Descomposición, Crecimiento y Reacciones Químicas
206
3.5.
Aplicaciones a los Circuitos Eléctricos Simples
221
3.6.
Aplicaciones a la Economía
241
<
•
\i
C A P IT U L O IV
i
4.
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR. |
258
I
C A P IT U L O V
5.
ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE ORDEN n
269
5.1.
Independencia Lineal de las Funciones
270
5.2.
El Wronskiano
271
5.3.
Ecuaciones Diferenciales Lineales Homogéneas de Coeficientes Constantes
276
5.4.
Ecuaciones Diferenciales Lineales no Homogéneas de Coeficientes Constantes
288
5.5.
Método de Variación de Parámetro
311
5.6.
Ecuaciones Diferenciales de Euler
320
C A P IT U L O V I
6.
OPERADORES DIFERENCIALES
330
6 .1.
Leyes Fundamentales de Operadores
330
6.2.
Propiedades
331
6.3.
Métodos Abreviados
332
6.4.
Solución de la Ecuación de Euler mediante Operadores
346
C A P IT U L O V II
1.
ECUACIONES DIFERENCIALES DE COEFICIENTES
VARIABLES___________________________________
355
7.1.
Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales de Segundo Orden
365
7.1.1.
Aplicación al Péndulo Simple
371
I
8.
SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE
COEFICIENTES CONSTANTES
390
401
9.1.
Solución de las Ecuaciones Diferenciales de Segundo Orden
403
9.1.1.
Solución Entorno a Puntos Singulares
429
9.1.2.
Puntos Singulares Regulares e Irregulares
430
9.2.
Método de FROBENIUS
431
9.2.1.
Casos de Raíces Indicíales
436
9.3.
Dos Ecuaciones Diferenciales Especiales
457
9.3.1.
Ecuaciones de Bessel y Función de Bessel de Primer Tipo
457
9.3.2.
Ecuación Paramétrica de Bessel
462
9.3.3.
Ecuación de Legendre
463
9.3.3.1. Solución de la Ecuación de Legendre
463
9.3.3.2. Polinomios de Lagendre
466
C A P IT U L O X
473
10.1.
Definición
474
10.2.
Orden de una Ecuación en Diferencias
474
10.3.
Ecuaciones Lineales en Diferencias
474
10.4.
Soluciones en las Ecuaciones en Diferencias
475
10.5.
Ejercicios Desarrollados
10.6.
Ecuaciones Lineales en Diferencias de Primer Orden con Coeficientes Constantes 480
10.7.
Comportamiento de la Solución de una Ecuación en Diferencias
484
10.8.
Ejercicios Propuestos
491
10.9.
Aplicaciones de las Ecuaciones en Diferencias en Modelos Económicas
494
10.10. Ejercicios Propuestos
475
498
10.11. Ecuaciones en Diferencias Lineales y de Segundo Orden con
Coeficientes Constantes
499
10.12. Comportamiento de la Solución
502
10.13. Ecuaciones en Diferencias de Segundo Orden no Homogéneas
505
10.14. Equilibrio y Estabilidad
508
10.15. Ejercicios Propuestos
511
l
Conceptos Básicos
CAPITULO I
1.
CONCEPTOS BÁSICOS Y TERMINOLOGÍA.-
1.1.
INTRODUCCIÓN.En los cursos básicos el lector aprendió que, dada una función y = f(x) su derivada
dy
— = / ’(*) es también una función de x;
dx
y que se calcula mediante alguna regla
apropiada. El problema que enfrentamos en este curso, no es, dada una función y = f(x)
encontrar su derivada, más bien el problema
dy
— = f\x)
dx
, encontrar
es.
si
de alguna manera una función
se
da una
y =
ecuación
como
f(x) que satisfaga a la
ecuación, en una palabra se desea resolver ecuaciones diferenciales.
1.2.
DEFINICIÓN.Una ecuación diferencial es la que contiene derivadas o diferenciales de una función
incógnita.
Ejemplos de Ecuaciones diferenciales;
dx
\
2
Eduardo Espinoza Ram os
®
1.3.
2
<? <a
id'co
x — r + .V — j
dx
dy
i d co n
+ z — r- —O,
dz
, ,
donde
a>= f ( x , v , z )
CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES.Las ecuaciones diferenciales se clasifican en dos tipos:
ler. Si la función incógnita depende de una sola variable
independiente, en la cual
sólo aparecen derivadas ordinarias, la ecuación diferencial se llama “ E cuación
diferencial o rd in a ria '’.
Ejem plos: Son ecuaciones diferenciales ordinarias las siguientes ecuaciones:
a)
m í L ± = -icx> donde k = nuo2 es una magnitud positiva, m la masa (Ecuación
dr
diferencial del movimiento armónico simple)
b)
c)
d 2y
(\^x )—
dx2
í
dy
+ p ( p + \ ) y = 0 (Ecuación diferencial de Legendre)
dx
2 d 2y dy
*> 2
x — ír+ x — + (x “ - p * ) y = 0 (Ecuación diferencial de Bessel)
d x *■
dx
2
d)
(jc - x 2
e)
da
dq
1
t — r + /?— + — a = 0
dt '> dt C
i r
+ [y - (ct + P + l ) . v ] ~ -¿afly = 0 (Ecuación diferencial de Gauss)
ir
(Ecuación diferencial de la corriente eléctrica «donde q es
*
la carga eléctrica, R la resistencia, L la inductancia, C la capacitancia).
NOTACIÓN..
%4
A las ecuaciones diferenciales ordinarias se representa mediante el símbolo:
dy d 2y
d"y
F ( x , y , - ¿ - , — - ..— 7 ) = 0
dx dx~
dx"
3
Conceptos Básicos
Donde F indica la relación que existe entre las variables x, y , así como también sus
derivadas
dy d 2y
d ny
2do. Si la función incógnita depende de varias variables independientes y las derivadas
son derivadas parciales, la ecuación diferencial se llama “ E cuación D iferencial
P a rc ial” .
Ejem plos: Las siguientes ecuaciones son ecuaciones diferenciales parciales.
a)
+
dx
+
dy
=
dz
d 2y
j d 2y
b) — r = a — r
dt2
dx2
c)
..
d)
.
e)
f)
1.4.
du
i d 2u
— = h“— dt
dx2
■,.d2(ú
donde co = f(x.y,z) (Ecuación diferencial de Laplace)
d 20)
(Ecuación diferencial de la onda unidimensional)
(Ecuación diferencial térmica unidimensional)
d 2(0
da)
a (— - + — r- + — z- ) = —
dx2 dy2 dz2
dt
2 , d 2Q)
d 2O) d 2(0.
...
. , . , , ,
(Ecuación diferencial del calor)
d 20) /r,
...
a (— - + — - + — - ) = — — (Ecuación diferencial de la onda)
dx* dy
dz
dt
d 2u
d 2u
dx
dy
— _+— _ - f
y)
(Ecuación diferencial bidimensional de Poissón)
ORDEN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL ORDINARIA.El orden d£ una ecuación diferencial ordinaria, está dado por el orden mayor de su
derivada. *
4
Eduardo Espinoza Ramos
El grado de una ecuación diferencial ordinaria, está dado por el exponente del mayor
orden de su derivada.
Ejemplos:
Determinar el orden y grado de las siguientes ecuaciones diferenciales ordinarias:
®
x d 2y
dy
e — - + sen x .— = x ,
dx2
dx
®
d*y
d 2y -i dy
— r + 2(— - ) + — = tg * ,
dx5
dx~
dx
es de 3er. orden y de ler. grado.
— + p ( x ) y = Q ( x ),
dx
es de ler. orden y de ler. grado.
(— 7>2 - 2 (— )4 + xy = 0,
dx5
dx
es de 3er. orden y de 2do. grado.
(5 )
es de 2do. orden y de 1er. grado.
EJERCICIOS PROPUESTOS.Determinar el orden y grado de las siguientes ecuaciones diferenciales ordinarias.
eos*
©
©
®
(D.y>3 =
dy
2
d 2y
. a d 3y
x -— x —r = y
dx
dx
dx
S2\
, d 2y ¿ , d 2y
* (y " ) 3 + (
^S)
4
/ ) 4-
y=
0
dx
3* 2 - '
dx
dy*
cosx
dx
cosjc.(y M) 2 + s e n * (y ')4 =
1
5
Conceptos Básicos
T
1.6.
SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL ORDINARIA.Si y = F(x) es una función y f es la derivada de F, es decir:
dy
— - F '(*) = / ( * ) .
dx
de
donde:
^7- = f ( x )
dx
... (a )
La ecuación (a ) es una ecuación diferencial ordinaria.
La solución de la ecuación ( a ) consiste en buscar una función y = G(x) de tal manera que
verifique a la ecuación (a).
Como F es la antiderivada de f, entonces G(x) = F(x) + C. donde C es una constante, es
d( G( x) ) = d ( F ( x ) + c) = F ' ( x ) dx = f { x ) d x
decir:
. (P>
Se llama solución completa o solución general de la ecuación diferencial (a).
La solución general (p) nos representa una familia de curvas que dependen de una
constante arbitraria que se llama familia de un parámetro.
En los problemas que incluyen ecuaciones diferenciales, se trata de obtener soluciones
particulares, luego de la solución general de la ecuación diferencial, mediante ciertas
restricciones, llamadas condiciones iniciales o de la frontera, se obtiene la solución
particular.
N ota.-
En la Solución General de la ecuación diferencial que llamamos no se
considera las soluciones escondidas es decir que no están todas las soluciones.
Ejem plos:
Verificar
que
las
ecuación diferencial
funciones y { = e* , y 2 = coshx
y' ^
=
0.
Solución
son
soluciones
de la
6
Eduardo Espinoza Ramos
K
v
'2
= co sh x => v’ = senh a* => y" = cosh a
'2
'I
Como / ' - y = 0 =* e x - e x = 0 (
Verificar
que
la
y ' y = 0 => cosh x - cosh x = 0
y=<p(x) = e x I e~l dt + ex , es
Joo
función
solución de
la
y' - 2xy = 1
ecuación diferencial
Solución
y = <p(x) = ex f e Tdt + ex
Jo
y
Jo
, /*>„/ , Ir x - r J . . .Jt
2.vy = 2xe* í e 1 dt +1 + 2xex - 2x(ex I e 1 dt + ex )
x~ I
*
y *= cp'(x) - 2xex f e r d t + l + 2xex
=>
-r
, 1 ,
,._a*
Jo
Jo
= 2xe't f e r c// + l + 2xex - 2 x e T f e 1 d t - 2 x e x =1 ,
y'-2xy = \
Jo
Jo
K
( 3)
w
Verificar si la función Jo (t) = — f 2 c o s ( t s e n 6 ) d d , satisface a la ecuación diferencial
n Jo
j " o{t) +¿ o L H + j 0(t ) = o
Solución
K
71
o ( 0 = — f 2cos(/sen0)¿0
RJo
=>
7 '0(/) = - — f 2 sen(/sen0)sen0
x Jo
/r
í
J " qO ) = — I
= - - Jo
í
2
cos(/sen0)sen 0
„
n
J"o(t) + —
í “ cos(/sen0)sen20 d 6
t
x
Jo
m
¿0
dO
7
Conceptos Básicos
K
Tsen(t sen 6) sen 6
Tí
Jo
K
c o s(/se n 0 )d 0
<16 +
K
=—f
k Jo
2
f 2 sen(f sen 0 )se n 0
2 cos(t s en9) (l -eos 2 6 ) d 6 - — f
Tí
t
n Jo
K
2 fI ^ eos
=—
cos(f sen 6 ) eos“ 6 d 6
Jo
d6
n
2 sen(t s e n d ) s e n d d d
.(1)
t
~ Tí vJo
K
Integrando por partes
I
2 c o s(íse n 0 )c o s 2 0¿/0
Jro
.
u = eos 6
du = - sen 6 d d
dv = c o s(/se n 0 )co s 0 dd
v=
o
c o s(/sen 0 )co s 0 d d =
sen(f se n 0 )
t
co s 0 .sen(/sen 0 )
t
71
rf -2 sen (/sen 0 )s e n 0
r• ° +\Jo2
t
dd
K
= ( 0 - 0 ) + t ^ sen (> sen g jsen erfe
t
0
n
Luego
I “ cosí/ sen d ) eos*
s 29 d 6
o
2
sen(rsen 0 )s e n 0
=f 2
dd
t
Jo
.. ( 2 )
reemplazando ( 2 ) en ( 1) se tiene:
ñ(r) + ^
t
+ 7 0(f) = - f 271 Jo
sen(f se n 0 )s e n 0
t
/r
dd
2 sen(/ sen d ) sen d
- Tí íJo
t
dd
=
0
•»
t
ao
©
Dada la función F(x)
e xcoshed d y x > 0, verificar que F satisface a la ecuación
diferencial. x F " ( x ) + F ' ( x ) - x F ( x ) = 0 .
8
Eduardo Espirtoza Ram os
Solución
F(x) =
f
Jo
e~xaKhed 6
=>
F'(jr) =
- f
Jo
uo
F " ( x ) = | é,-JC“sh0 cosh 0
2
0
de
mdo
aF"( a) + F '( a)
- aF ( a) = a
«Qe
e- ^ “ h0cosh20
Jo
d0
^"xcoshe cosh 0
¿0-
e_ACOshe cosh0
Jo
d6
oo
< rrcosh6 d e
o
00
O
O
O
A I e-*coshfl (cosh2e - \)dO -
o
oo
- tcoshflsenh 20 d e
•
Jo
d6
... ( 1)
e_ lcosh 6 cosh e d e
- f
Jo
» •
e~xm* e co sh 0
t
Integrando por partes
i *
•
I
Jo
e
' t
c
t
)
s
h
t
senh2 0 dO
í
du = co sh 0 dB
^-ACOshfl
u = senh 6
dv = e- XC0Shes t n h e d e
X
senh 20 d e = -
Jo
' ^
- —
A
f
Jo
e>~m>shesenh2 0 t / 0 = -
“- c o s h
0 .0
oo
0) + -
= - (O -
Luego
. r + l- f >
/ O X Jo
< rrcoshe cosh 0 d e
e“ vcoshS cosh 0 d d
f
*J o
...(2 )
Reemplazando (2) en (1) se tiene:
a F "( jc ) + F U ) - jc F ( jO = * < - f
•* Jo
e
'
x
c
o
s
h
e
coshe d 6 )~ f
Jo
e~ACOShíí c o s h 0 d e
9
Conceptos Básicos
m 0c
00
Q
e ~ACOShe c o s h
¡W
_
^ - jrC O Ü I» c o s h
0
Q d 6 = ( )
Jo
xF"(x) + F '(x)-xF (x) = 0
EJERCICIOS PROPUESTOS.
®
f *sen/
y = x I — —<//,
i
Verificar que la función
Jo *
satisface a la ecuación
diferencial
dv
x — = v +A sen*.
í/jc
©
y = ex í <?' dt + cex n satisface a la ecuación diferencial
Comprobar que la función
Jo
dv
v+ .2
— - v=e
dx
^ 3)
Dada la función
H(a) =
f
'
"
¿
C° Sat^ f a * q % probar que H(a) satisface a la ecuación
-1 V i- 7
diferencia! H"(a) + - H '(«) + H(a) = 0.
O
y - arcsen (x y),
Verificar que la función
xy'+y = y ' y [ \ - x 2y 2
( 5)
v
Comprobar que la función
A = y í sen r d t ,
1
v = jtv + v" sen**
Comprobar que la función
a sen a. v'
satisface a la ecuación diferencial
Jo
}’ = C |V + C 2a
Jo '
satisface a la ecuación diferencial
satisface a la ecuación diferencial
- a eos a. / + v eos a*= 0 .
Sea h{x) — T
Jii z^
x > 0, hallar los valores de “a" tal que la función f definida por
.
u
ah ( a-)
/(.v ) = -------- satisface a la ecuación diferencial A "y"+(3A - A ")y’+(1 - x - 3 e ~ x )dy = 0
x
Rpta. a = ±V3
10
•
Verificar
que la función
w "+ v,3- v ’2 = 0.
x =
y
+ Ln
y,
Eduardo Espinoza Hamos
satisface a la ecuación diferencial
.
Dada la función H ( a ) = j
J -i v i - r
, a * 0
probar que H(a) satisface a la ecuación
diferencial H "(a) + - - H \ a ) + H( a ) = 0
a
@
Si
a: ( ; ) =
f
{t~s)esds , calcular el valor de:
(f- s )e
a'm( / )
+ 2 a ' ( / ) +.v(r)
Jo
^ í)
Probar que la función
v = — í R{r)senhk(x-t)dt< satisface a la ecuación diferencial
k
Jo
y ' - k ' y = R(x)
©
Probar que la función y = C]x + C2x j ^—dt,
Jx t
x > 0, satisface a la ecuación diferencial
.v 2 v " - ( j r 2 + a ) v ' + ( a + 1) v = 0 .
®
f, ^
Dada la función y = C,L« a + C , a*| ------- , x > 1, satisface a la ecuación diferencial
1
- J, Ln(t)
x 2 ln 2 A .y "-jrIn A * .y '+ (ln .r+ l)y = 0 .
®
f
k ' V
V
»
Demostrar que la función 0(a) = j T V "
para
x > 0, satisface a la ecuación
diferencial jc20 " ( a ) + ( 3 a - x 2 )<l>'(x) + ( \ - x - e 2x)0(x) = 0 .
i
©
Dada
la
función
y l n y = .v + J
ef dt,
satisface
a
la
ecuación
diferencial
y
(1 + ln y)y* '+ y '2 = 2xy.ex~ .
©
Demostrar que la función
(1 + A ’ ) v ' *‘¥ X V ,~’k “ V = 0 .
>
r ~
A-
A*
y = ( jc + \/ jr +1)*,
satisface a la ecuación diferencial
11
Conceptos Básicos
^?)
Probar que
la función x(t) definida por;
t x '+ 3x(t) +
ecuación diferencial
-r-r =
(1 + r )
Demostrar que la función f ( a , b ) = j
Jo
db~
db
jc( í ) =
í —
,
Jo ( r + r r
satisface
a
la
0
e 031 ~h* dx, satisface a la ecuación diferencial
da
K
( l9 )
w
2 cos(/nxn se n 0 )c o s"
Jo
Probar que — = I
*
OdB,
satisface
a
la
ecuación diferencial
*
é
y " + m 2 n 2x z^r 2 y = 0
t
( 20)
w
Probar
que
d y
—
a
la
ecuación
diferencial
a b
x x
y x =y[x, y 2 = x ~ u 2, x > 0, satisfacen a la ecuación
diferencial 2 x 2y " + 3 x y '- y =
0.
Verificar que las funciones
y x = x 2 , y 2 =x~2 ln x ,
2
(1 + x) y"
£
j 2 log(sen2 0 + x 2 cos 2 0 ) ¿ 0 ,
Jo
Jo
2
q xu = 0
satisface a la ecuación
. . . .
.
x +\
+(l + x ) y f + y = /rlog(
).
Dada la función u = f e*rcosfl(A + Z?log(xsen 2 6 ) ) d0
d 2u du
x - 7— +
d x 2 dx
x > 0, satisfacen a la ecuación
x 2y " + 5 xy' + 4 y = 0 .
Demostrar que la función y =
diferencial
(3 )
satisface
x+z
Verificar que las funciones
diferencial
(3)
Jo
a S€n z + ^ cos z
T + > = -+ —
dx
(2 l)
y= f
satisface a la ecuación diferencial
12
(25)
Eduardo Espinoza Ramos
Demuestre
que
la función y = í
w
—-— " . ,
Jo ( i + z 2r
satisface a la ecuación diferencial
‘
jry” - 2 n y ’+jcy = 1.
m
26J
Si / / ( / ) =
0 0
Jo
e~x eos(tx)dx, para todo t e R, probar que H'(t) + — H ( t ) = 0
2
«pe
(27)
28)
^í ^
e
Si G(f) = j
x d x , t> 0 »
Verificar si la función
probar que:
G '( 0 + 2G(/) = 0
v = C ,e /?arcscn* + C ^ ~ frarcscní es la solución de la ecuación
diferencial ( l - x 2 ) y " - .x y ,- 6 2y = 0 .
♦
( 29)
Verificar que ( y ') 2 = [ l + ( y ') 2 ]3 es la solución diferencial de las circunferencias de
radio r = 1
30;
Demostrar que: y - e
( C ,+ C 2 \ e
dx)
es
la solución de la ecuación diferencial
y " - 2 * y ’- 2 y = 0 .
(3 Í)
Probar
que
la
función
y " ( 0 + y (0 = f ( 0 f
y ( 0 = | sen( t - s ) f ( s ) d s
que satisface
Jo
es
una
solución en I de
y(0) = y '(0 ) = 0 , donde f es una función continúa
sobre el intervalo I , el cual contiene al cero.
32)
Demostrar
que
y ( / ) = | ------------ f ( s )
ds
es
solución de
y(0) = y '(0 ) = ...= y <n l) (0) = 0 donde f es continúa sobre un
al cero.
®
Comprobar que y
^ 1
dy e*r
= 2 I e 5 ds + c es solución de -=-■= —¡=
Jo
*
dx
4x.
f
y <R)( 0 = / ( 0
con
intervalo I que contiene
13
Conceptos Básicos
1.7.
ORIGEN
DE
ORDINARIAS.-
LAS
ECUACIONES
DIFERENCIALES
Las ecuaciones diferenciales aparecen no sólo a partir de las familias de curvas
geométricas, sino también del intento de describir en términos matemáticos, problemas
físicos en ciencias e ingeniería.
Se puede afirmar que las ecuaciones diferenciales son la piedra angular de disciplinas
como la física y la ingeniería eléctrica, e incluso proporcionan un importante instrumento
de trabajo en áreas tan diversas como la biología y la economía.
Veremos la obtención de ecuaciones diferenciales que se origina de diversos problemas
los cuales pueden ser geométricos, físicos o por primitivas.
1.7.1.
ECUACION DIFERENCIAL DE UNA FAMILIA DE CURVAS.Si se tiene la ecuación de una familia de curvas, se puede obtener su ecuación diferencial
mediante la eliminación de las constantes (o parámetros) y esto se obtiene aislando la
constante en un miembro de la ecuación y derivando.
También se puede eliminar la
constante derivando la ecuación dada, tantas veces como constantes arbitrarias tenga, y se
resuelve el sistema formado con la ecuación original.
Ejemplos.
Encontrar la ecuación diferencial cuya solución general es y = Cj
c o s
( jc+
C2).
Solución
y = C, cos(jc+.C2 )
=>
/ = - C j sen(x + C 2)
y ” = - C | cos( jc+ C 2)
donde
V
y " = - C | cos(x + C2)
y = Cj cos(.r + C2)
=>
y* + y = o
Encontrar la ecuación diferencial cuya solución general es y = A sen x + B eos x
Solución
,#3
14
Eduardo Espinoza Ramos
y = A sen x + B eos x
y '= A c o s * - f ? s e n *
y ' 1= - A sen x - B eos x
y "= - A sen x - B eos x
de donde
y m +y =
y = A sen * + 5 eos x
0
Otra manera de eliminar las constantes es, considerando el sistema siguiente:
y = - A sen x + B eos x
- y + A sen*+ Seos x = 0
y ' = A c o s * -Z ? s e n *
- y ' + A c o s * -fls e n * =
y "= - A sen x - B eos jc
-y "
0
-A s e n * -/? c o s * = 0
Este sistema de ecuaciones en dos incógnitas A y B tienen la solución sí y sólo sí:
©
se n *
e o s*
y
eos *
- sen *
y"
-sen *
-eo s*
=0
y" + y =
0
Encontrar la ecuación diferencial cuya solución general es y = C xe~x + C 2e -3*
Solución
y = C xe~x + C 2e
3jt
2
*
exy = C x+C2e 7x derivando exy'+exy = -2C2e
-3 x
3jt
e3Xy'+e3Xy = -2C 2
-
3jt
3 e 3x y ' + e 3Xy' '+3e3* y + e 3Xy ' = 0
y'*+4y'+3y = 0
3y'+ y"+ 3y + y' = 0
y = C,e~ + C 2e
Otra manera es:
3x
3*
-3*
-y + C,*--* + C2e~3x = 0
y ' = -C ,£,_Jt - 3C2€_3jI
-y ' -Cxe~x - 3C2e~3x = 0
y " = C,e-x +9C2e-3x
- y " +C\e~x + 9C7e~3x = 0
el sistema tiene solución sí y solo sí:
-y
e~x
-y'
-e’ x
-y'
e~x
de donde y " + 4 y ' + 3y = 0
e~3x
-3e~3x =
9e~3x
0
-y
=*
e*x
-v "
1
-1
1
1
-3 =
9
0
15
Conceptos Básicos
©
Encontrar
la ecuación
diferencial
v u ju
jv iu v iu ii
gviiviui
vj
circunferencias de radio fijo r, con centro en el eje x, siendo “a” arbitrario.
Solución
v*’
7
*>
( x - a ) " + y = rm
- a = \¡r2 - y 2
1 -0 — ^
de donde
©
derivando se tiene:
yy
r 2 - y 2 = y 2y '2
(1 -fr-
)y 2 = r 2
Encontrar la ecuación diferencial de la familia* de parábolas las que tienen sus vértices
en el origen y sus focos sobre el eje y.
Solución
De acuerdo a los datos del problema, la gráfica de estas parábolas es:
La ecuación de ésta familia de
parábolas es
x 2 = 4 py
.(1)
donde el vértice es v(0,0) y el foco F(0,p).
Como el parámetro es P entonces lo
eliminamos
2 ..»
— = 4 p,
derivando
y
simplificando
xy'=2y
©
se
tiene
—= 0
y2
ecuación diferencial pedida
Hallar la ecuación diferencial de la familia de circunferencia en el primer cuadrante,
tangentes a las rectas x =
0
e
y = 2x
Solución
De los datos del problema, el gráfico es:
16
Eduardo Espinoza Ram os
Sí c (h,k) el centro => r = h por ser tangente
el eje Y.
r 2 - d 2(c, p ) - d 1 (c, p) - ( a - h ) 2
(b-k)2
+, (U
( b - ki,\2
)
/„a - h )
r2_
—(
pero p(a,b) €
L: y = 2x => b = 2a
Luego r 2 = ( a - h } 2+ ( 2 a - k ) 2
... (1)
Además la ecuación de la circunferencia de radio r, centro c (h,k) es:
. . . ( 2)
( x —h ) 2 + ( y - k ) 2 = r 2
Ahora derivamos la ecuación (2) se tiene;
( x - h ) + ( y —k ) y' = 0
Como en el punto p (a,b) es tangente a la recta y = 2x
X ==Q
= 2 entonces
a -
(a - h) + 2 (2a - k) = 0 =>
h + 2k
y
5
Reemplazando (3) en (1) h 2 =
5a = h
+ 2k
2 /t . . .
b - —{h + 2k)
5
5
« .(3 )
-h )2 +(-(h +2 k)-k)2
5
l2 , 2 k - 4 h x2 1 ~ k ^2 • ,vrj
h =(
) + ( ---------) , simplificando
5h2 + 2 0 k h - 5 k 2 = 0
=*
h 2 + 4 k h - k 2 = 0 =»
h = (Js-2)k
ó
h
=> k =
■J 5 - 2
( x - h ) 2 + ( y — ^ — )2 = h 2
y¡5-2
(4)
La expresión (4) es la ecuación de la familia de circunferencias, para hallar la ecuación
diferencial, eliminamos el parámetro h de la ecuación (4) para esto derivamos:
17
Conceptos Básicos
h
2(x - h) + 2 ( v — ¡=— ) v ’ = O
V 5 -2
despejando h tenemos:
'
, ( y Í 5 - 2 ) ( x + yy')
h = ----- = --------------sfS-2+ y’
reemplazando en (4)
(S -2 ){x+ yy') 2
[X~
V 5-2 + /
J
Simplificando se tiene:
1.7.2.
(y/5-2)(x+yy')
^
,(yÍ5-2X x +yy')s
,
(V 5-2)(V 5-2+ / ) ,_ (
J5 -2 + /
*
( x - ( - j 5 - 2 ) y ) 2(l + y '2) = [(V5 - 2 ) U + y y ')]2
E C U A C IO N E S D IF E R E N C IA L E S D E P R O B L E M A S F ÍS IC O S .Las ecuaciones diferenciales de problemas físicos provienen de diferentes fuentes, tales
como la mecánica, eléctrica, química, etc.
Ejem plos:
Se sabe que los objetos en caída libre cercanos a la superficie de la tierra tiene una
aceleración constante g. Ahora bien, la aceleración es la derivada de la velocidad y esta a
su vez, es la derivada de la distancia S. Luego, si se toma como dirección positiva la
d 2s
dirección vertical hacia arriba, tenemos que la fórm ula.— =- = —g
es la ecuación
dt
diferencial de la distancia vertical recorrida por el cuerpo que cae. Se usa el signo menos
puesto que el peso del cuerpo es una fuerza de dirección opuesta a la dirección positiva.
(¿ )
Una masa m de peso w se suspende del extremo de una varilla de longitud constante L.
Suponiendo que el movimiento se realiza en un plano vertical, se trata de determinar el
ángulo de desplazamiento 0 , medido con respecto a la vertical, en función del tiempo t,
(se considera 0 > 0o a la derecha de op y 0 < 0o a la izquierda de op). Recuérdese que
el arco s de un círculo de radio L se relaciona con el ángulo del centro 0 por la fórmula
s = L 0.
d ^?
d
Por lo tanto, la aceleración angular es: a = — ^ = L — —
d t2
d t1
18
Eduardo Espinoza Ram os
por la segunda ley de
Newton:
F = tna = mL
d 2d
dr
En
la
figura
vemos
que
la
componente
tangencial de la fuerza debida al peso w es mg
sen
0,
si no se tiene en cuenta la masa de la
varilla y se igualan las dos expresiones de la
fuerza tangencial se obtiene:
d2e—= - mg sen 0a
mLi —
dr
dt
Una
lancha
que
+ — sen 0 = 0
L
pesa 500kg. se desliza por un plano inclinado a 5o. Si la fuerza
de rozamiento que se opone al movimiento es
20kg. y la resistencia de aire
expresado en
kilogramos equivale a 0.05 veces la velocidad en centímetros por segundo, hallar la
ecuación del movimiento.
Solución
En la figura mostramos a la lancha sobre un
plano
inclinado;
tomemos
los
siguientes
datos:
F = Componente de peso en la dirección del
movimiento.
F r = Fuerza de rozamiento
Fa = Resistencia del aire
De acuerdo a la segunda ley de Newton se tiene:
Suma de fuerzas en la dirección del movimiento = (masa) x (aceleración)
Luego se tiene:
F - F R - F a= m .a
donde F = 500 sen 5o = 43.6, FR = 20
... (1)
19
Conceptos Básicos
Fa = 0.05v,
981
siendo v = la velocidad, a = aceleración, m = la masa.
ahora reemplazamos en la ecuación ( 1)
4 3 .6 - 2 0 - 0 .0 5 v =
©
2 3 .6 -0 .0 5 v =
981
a
... ( 2 )
dv
a = — que al reemplazar en ( 2 )
dt
como
se tiene:
981
entonces
981 dt
+ 0.05v = 23.6 que es la ecuación diferencial del movimiento.
Considere el circuito simple conectado en serie que se muestra en la figura y que consta
de un inductor, un resistor y un capacitor. La segunda Ley de Kirchoff dice que la suma
de las caídas de voltaje a través de cada uno de los componentes del circuito es igual a la
tensión E(t) aplicada. Si llamamos q(t) a la carga del capacitor en un instante cualquiera,
entonces la corriente i(t) está dada por i =
Él
dt
, ahora bien, se sabe que las caídas del
voltaje son:
En un inductor
ó
’
= L— =
dt
dt"
En un capacitor =
En un resistor
=
iR = R
dq_
dt
en donde L, C y R son constantes llamadas induetancia, capacitancia y resistencia
respectivamente.
Para determinar q(t) debemos por lo tanto, resolver la ecuación diferencial de segundo
orden que se obtiene mediante la Ley de Kirchoff, es decir:
20
Eduardo Espinoza Ramos
Según la Ley de enfriamienio de Newton, la velocidad a la que se enfría una sustancia al
aire libre es proporcional a la diferencia entre la temperatura de la sustancia y la del aire.
Obtener la ecuación diferencial respectiva.
Solución
Consideremos los siguientes datos:
T
= Temperatura de la sustancia en el instante t
Ta = Temperatura del aire
dT
— = La velocidad a la que se enfría una sustancia
dt
dT
de la condición del problema se tiene: — = - k ( T - T ), k )
dt
0
que es la ecuación diferencial pedida donde k es la constante de proporcionalidad.
El signo negativo se debe a que la temperatura de la sustancia disminuye al transcurrir el
tiempo.
E JE R C IC IO S P R O P U E S T O S .Encontrar la ecuación diferencial cuya solución general es la familia de circunferencias:
( a - a ) 2 + ( y - b ) 2 = r 2 en el plano xy, siendo a, b y r constantes arbitrarias.
R pta.
( 2)
xy' ' - 2ny
Hallar la ecuación diferencial correspondiente a la cisoides,
_v2 =
+
xy
= 1
a- x
R p ta. 2 x 3y ’= y ( y 2 + 3 a 2 )
Hallar la ecuación diferencial correspondiente a las rectas con pendientes y la
R p ta. y '2 = xy'—y'
intercepción con el eje x iguales.
©
Hallar
la
ecuación
diferencial
de la familia de rectas cuyas pendientes y sus
intercepciones con el eje Y son iguales.
R p ta. ydx - (x + 1) dy =
6
21
Conceptos Básicos
©
Hallar la ecuación diferencial de la familia de rectas cuya suma algebraica de las
©
Hallar la ecuación diferencial correspondiente a las estrofoides y 2 = -- -a — a-x
intercepciones con los ejes coordenados es igual a k.
Rpta. (xy’- y X y -1 ) + ky' = 0
Rpta. (jc4 - 4 j c 2y 2 - y 4 ) d x + 4 x 3y d y = 0
©
Encontrar la ecuación diferencial cuya solución general es la familia de circunferencias
(jc- a ) 2 + ( y - b ) 2 = r 2 , de radio fijo r en el plano
xy
siendo a
y b constantes
arbitrarias.
n
a
✓i i
Rpta. (1 + y
©
<2 \ 3
)
2
112
= r y
Encontrar la ecuación diferencial cuya solución general es dada.
a)
y
=
x 2 + C , e x + C 2e 2x
Rpta. y " + y ' - 2 y
b)
y
=
C xx + C 2e~x
Rpta. (x
c)
y = r + C |í x + C 2e
d)
y ~ C xe 2x cos3x + C 2e 2x sen 3x
Rpta. / '- 4 /+ 1 3 ; y = 0
e)
y
=
A e lx
Rpta.
f)
y
=
exl (Cj + C 2 f e~x~dx\
g)
i
y = Ae^* + Be Tx
+
3*
Bxe2x
+
2(1
=
+
1) y " + x y ' - y
Rpta. y' ’4 4 /+ 3 .y
=
y " - 4 y '+ 4 y =
4
+
jt
=
- x 2)
0
3jc
0
Rpta. y " - 2 x y ' - 2 y = 0
Rpta. 4 x * y " +6 x 2y ' - y = 0
2
3
h)
y
- . + C 2x
2 .
Rpta. y " - x y ' + x y = 0
‘ c ' x S ‘í
i)
,2
(ax + b)(ay + b) = c, a. b, c constantes arbitrarias. Rpta. (x - y )y ' '+ 2 y '+ 2 y ' = 0
22
Eduardo Espinoza Ramos
j)
y =
e o sh>x + C 2e ax s e n b x %a, b parámetro. Rpta. y " - 2 a y ' + ( a 2 + b 2 )y = 0
k)
y = A (eos x + x sen x) + B (sen x - x eos x), A, B constantes
Rpta. x y " - 2 y ' + x y = 0
1)
m)
n)
d 2x
t
x = A sen (cot + p), co un parámetro, no debe ser eliminado, Rpta. — + (0 "x - 0
di
y - A e x+y + Be~x+y , A y B constantes arbitrarias Rpta. ( y - l ) y ,f+ y = ( y - 2 ) y ’
= A\j\ + x 2 + Bx
Rpta. (1 +
)y"+xy'-y = 0
Encontrar la ecuación diferencial que describa la familia de circunferencias que pasan por
el origen.
@
Rpta. ( a*2 + y 2 )y ,f+ 2 [y '2+ l](y - .vy') = 0
Encontrar la ecuación diferencial de la familia de rectas que pasan por el origen.
Rpta. xv’- y = 0
^ l)
Determinar la ecuación diferencial de la familia de circunferencias que pasan por el
origen y cuyos centros están en el eje X.
Rpta. 2xv y '= y* - x *
n i)
Halle la ecuación diferencial de la familia de circunferencias cuyos centros están en el eje
Y.
0
Encontrar la ecuación diferencial de la familia de parábolas con vértice en el origen y
cuyos focos están en el eje X.
Rpta. 2a> '= y
Halle la ecuación diferencial de la familia de tangentes a la parábola y 2 - 2x
0
Hallar la ecuación diferencial de la familia de circunferencias que tienen su centro sobre
el eje X.
0
Rpta. y ,2 + vy, '+ l = 0
Hallar la ecuación diferencial de la familúi de parábolas con el eje focal paralelo al eje X.
2 .. im
o..» - . " 2
Rpta. y ,¿ y ,M= 3 y , y M
23
Conceptos Básicos
7)
^
Obtenga la ecuación diferencial de la familia de parábolas cuyos vértices y focos están en
Rpta. yy,,+ y '“ = 0
el eje X.
©
Obtenga la ecuación diferencial de la familia de circunferencias que pasan por (0,-3)
y (0,3), y cuyos centros están en el eje X.
©
Hallar la ecuación diferencial de todas las circunferencias que pasan por los puntos
(2,2) y (-2,2).
Rpfa. ( a 2 - y 2 - 2 x y - 8 ) — —( jc2 - y 2 - 2 x y + 8) = 0
dx
Hallar la ecuación diferencial de todas las líneas tangentes a la curva y 2 = - j r .
@
Hallar la ecuación diferencial de todas las circunferencias tangentes a la recta y = -x
Rpta. ( a - y )y M[ 2 - ( A - y )y ” ] = 2 y '[l + y '2 ]2
( 22)
Por un punto p(x,y) de una curva que pasa por el origen, se trazan dos rectas paralelas a
los ejes coordenados, las que determinan un rectángulo con dichos ejes. Hallar la
ecuación diferencial de la curva, de modo que ésta divida al rectángulo formado en dos
regiones, donde el área de la parte derecha sea el triple del área de la parte izquierda.
Rpta. 3Ay'= y 1
Hallar la ecuación diferencial de todas las tangentes a la parábolas x 2 = 2y + 1 .
(23)
Rpta. 2xy' - y' 2 - 2y - 1 = 0
Hallar la ecuación diferencial de todas las normales de la parábola y 2 - x
©
Rpta. y ' ( 4 a*- y ' 2 ) = 4 y + 2y'
5)
^
Determinar la ecuación diferencial de todas las curvas planas y = f(x) tal que la ley que
incide en ellas, partiendo de una fuente puntual fija, es reflejada hacia un segundo punto
é
•
fijo. Suponer que los puntos fijos son (a,0) y (-a, 0).R pta. xyy'2 t ( x 2 - y 2 - a 2)y'= xy
4
24
(2ó)
Eduardo Espinoza Ramos
Hallar la ecuación diferencial de la familia de curvas que satisfacen la siguiente propiedad:
“El área de la región encerrada por la curva, los ejes coordenados x e y, y la coordenada
del puntop(x,y} de la curva es igual a ( x 2 + y 2 )"
27)
R p ta. 2 y y ' + 2 x —y = 0
Hallar la ecuación diferencial de la familia de curvas que cumple con la siguiente
propiedad: “Si por un punto cualquiera de una curva de la familia se trazan las rectas
tangente y normal a ella, el área del triángulo formado por dichas rectas con el eje y es
X~ Vn
igual a
- , donde y 0 es la coordenada del punto en que la tangente corta el eje y.
R p ta. y '2 (l + .v ) - y y '+ l = 0
(28)
Hallar la ecuación diferencial de la familia de curvas que satisface la condición siguiente:
“Si por el punto p(x,y) de una curva, en el primer cuadrante, se trazan las rectas tangente
y normal a ella, siendo T el punto de intersección de la tangente con el eje 0X y N el
punto de intersección de la normal con el eje 0Y, entonces el área del triángulo TON es
igual al — , donde 0 es el origen de coordenadas.
29)
R p ta. ( x ~ - y
)/= jc v
Hallar la ecuación diferencial de la familia de curvas que satisfacen la siguiente
condición: “Si por un punto cualquiera p(x,y) de una curva de la familia se trazan las
rectas tangente y normal a la curva, y si además A es el punto de intersección de la recta
normal con la recta y = x y B es la intersección de la recta tangente con la recta y = x
entonces el segmento A B tiene longitud y¡2 .
(5o)
R p ta. (>,,2- l ) 2 = U‘- v ) 2 (y ,2+ l ) 2
Hallar la ecuación diferencial perteneciente a las cardioides r = a(l - sen 0)
R p ta. (1 - sen 0) dr + r eos 0 d0 = 0
Hallar la ecuación diferencial perteneciente a la estrofoides, r = a (sec 0 + tg 0).
dr
Rpta. — = r sec 0
de
25
Conceptos Básicos
(32)
Encontrar la ecuación diferencial de las siguientes soluciones generales:
a)
(33)
, senh x n cosh x A „
y = A
+
<A.B constantes
J3
b)
tg h ( 4 + -^) = -n/3 tg(——a-+ C ), C constante.
4 2
c)
± (* + c) = 1Jk - y 2 -karc. cosh(—),k fijo y c arbitrario
d).
y = acosh (
e)
y = C je “
Encontrar
la
x “■b
a
\a,b
constantes arbitrarios.
+ C 2e “ +C$xe*' , C , , C 2 , C 3 constantes.
ecuación
diferencial
de la
familia de circunferencias de radio 1,
con centros en la bisectriz del prrtner y tercer cuadrante.
R p ta. ( j r - j o ’ a + y ) 2 = a + / ) 2
34)
Hallar
la ecuación diferencial
tangente a la recta y = x .
^5)
de
todas
las parábolas con eje paralelo al eje y, y
R p ta. y '2 = 2 y y " - 2 x y M+ 2 y ' - l
Hallar la ecuación diferencial de las curvas tales que la tangente en un punto cualquiera M
* forme un ángulo 0 con el eje OX y que verifique 9-<¡> = — siendo $ el ángulo que OM
4
forme con el eje OX.
^ó)
En la práctica, un cuerpo B de masa m que va cayendo
(tal como un hombre que
desciende en paracaídas) encuentra una resistencia del aire proporcional a su velocidad
instantánea v(t). Usar la segunda ley de Newton para encdhtrar la ecuación diferencial de
la velocidad del cuerpo en un instante cualquiera.
R p ta. - ; + - v = g
dt m
26
37
Eduardo Espinoza Ramos
Un circuito en serie contiene un resistor y un
inductor, tal como se muestra en la figura.
Determine
corriente
la
i(t)
ecuación
si
la
diferencial
resistencia
es
de
la
R,
la
inductancia es L y la tensión aplicada es E(t).
©
i•
Rpta. L — + Ri = £(r)
dt
38
Un circuito en serie contiene un resistor y un
capacitor, tal como se muestra en la figura,
encuentre la ecuación diferencial para la carga
q(t) del capacitor si la resistencia es R, la
capacitancia es C y el voltaje aplicado es E(t).
39
¿Cuál es la ecuación diferencial de la velocidad v de un cuerpo de masa m que cae
verticalmente a través de un medio que opone una resistencia proporcional al cuadrado de
la velocidad instantánea?
.
dv k
Rpta. — + — V = g
dt m
27
Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
CAPITULO II
2.
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
PRIMER ORDEN Y DE PRIMER GRADO
DE
A las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden y de primer grado,
representaremos en la forma:
La ecuación (1) nos indica la relación entre la variable independiente x, la variable
dependiente y, y su derivada —
dx
De la ecuación diferencial F(x, v,— ) = 0, despejamos la derivada — ; es decir en la
dx
dx
i
forma siguiente:
2.1.
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE VARIABLE
SEPARABLE.Si de la ecuación diferencial ordinaria de primer orden y primer grado que es:
d\
9
dx
= g (x,y), podemos expresar en la forma:
2
... ( )
donde M es una función sólo de x y N es una función sólo de y, entonces a la ecuación
(2) se le denomina "ecuación diferencial o rd in a ria de v ariab le se p a ra b le " y la
solución general se obtiene por integración directa, es decir:
28
Eduardo Espinoza Ram os
donde C es la constante de integración.
Ejemplos:
(!)
Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales:
( y 2 + x y 2) ^ + x 2 - x 2y = 0
dx
Solución
A la ecuación diferencial dada expresaremos en la forma:
y 2(* + l)¿/y -h jc2 (1 - y)dx = 0 , separando las variables
x 2dx
y2
— dy + ------- = 0, integrando se tiene:
-y
1+ a*
r v2
f x 2dx
I —— d \ + I
= C, de donde tenemos:
J 1- y ' J 1 + a
. (a + y ).(a - y - 2) + 2 Ln x + x - = k
i- y
a^1 + y 2 + yVl + x 2y ' = 0
Solución
A la ecuación diferencial expresaremos así:
>/l + y 2 dx + yyj 1+ x 2 dy = 0, separando las variables
adx
V l + A2
y
.
_ .
,
f xdx
+ —j=á==dy = 0, integrando se tiene: | ,
J
7 T + J 2"
donde tenemos
J V l + A2
1
V 1 + x 2 + y\ j l + y 2 = C
e* secyí¿x + (l + é’JC) s e c y t g y<¿v = 0 ,
y = 60° si x = 3
Solución
f ydy
+ | - jí--.
+J
J -y/*
_
= C,
29
Ecuaciones Diferenciales de Prim er Orden
e x sec y dx + (1 + e x ) sec y tg y ¿y = O, separando la variable.
+ tg ydy = 0, integrando.
Ln(
eos y
Cuando
| ------- + I tg ydy - C, de donde se tiene:
) = Lnk =* 1+ ex = k eos y
a
k
= 3, y = 60° => 1+ e = — => k = 2(1+ e )
2
l + e* = 2 ( l + e 3)c o s y
( 4)
y Ln y dx + x dy = 0, y | x=, = 1
Solución
y Ln y dx + x dy = 0, separando las variables se tiene:
— + ^
= 0, integrando ambos miembros.
x
yLny
f dx C dy
I
KI
J
a
J yLny
= C, de donde tenemos:
Ln x + Ln(Ln y) = C => Ln(x . Ln y) = C, Levantando el logaritmo: x Ln y *= k
Cuando x = 1, y = 1
L n l= k
x Ln y = 0 => Ln y = 0
=>
=> k = 0
.\ y = 1
U*y2 - y 2 + x - \ ) d x + ( x 2y - 2 x y + x 2 + 2 y - 2 j c + 2)dy = 0
Solución
(av 2 - y " + x —\)dx + ( a 2 y - 2xy + a 2 + 2y - 2a + 2)dy = 0 , agrupando
[ y 2 ( A - l ) + ( A - l ) ] í ü + [ A 2 ( y + l ) - 2 A ( y + l ) + 2 ( y + l)]¿/y = 0
30
Eduardo Espinoza Ramos
( y 2 +1)( jc—l)¿v + (.t2 —2 .v + 2 )(y + l)<iy = 0 , separando las variables
(x-\)dx
+
jr-2 .t + 2
(y + i)dy
y"+ l
- 1 )dx
£
- 0, integrando ambos miembros
2x + 2
<J\ = C, de donde tenemos:
+1
1
- L n x ~ - 2 x + 2 + — Ln v +1 + «re. tg y = C,
2
2
,
ln((x“ - 2 * + 2)(y* + l)) + 2arctg y = C .
ln((jc - 2
a
+ 2 ) ( y " + l)) = C - a r c t g y , levantando el logaritmo
( x 2 - 2 . v + 2 ) ( y 2 + 1 ) = ke-2ua* v , de donde se tiene:
.*. ( a 2 - 2 A + 2 ) ( y 2 + l)e 2lg v = k
EJERCICIOS PROPUESTOS.I.
©
Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales.
tg x. sen “ y.dx + eos * x.c tg y d y = 0
Rpta. c t g “ v = t g ' A + C
Rpta. x -
cy
©
*y-y =y
©
,
^ d\
■>
2
4 l + .r — = x y + x
dx
Rpta. 2>A + *3 = 3L/i(y + l) + C
©
e 2x~ydx + e y~2xdv = 0
Rpta. e 4 x + 2 e 2 y = C
\]l + y 2
©
(A ~ y-A “ + y-\)dx
©
e x*y sen.v¿iv + (2 y + l)e ' dy = 0
+ (xy + 2 x - 3 y - 6 ) d y = 0
x
Rpta. ^ + 3.v + y + L / ! U - 3 ) l0( y - l ) 3 = C
Rpta. e r( s e n A - c o s A ) - 2 e
-V
-V
=c
31
Ecuaciones Diferenciales de Prim er Orden
©
3?* tg y dx + ( \ - e x ) s e c ‘' y d y = O
R p ta. t g y = C (l-é> * )3
©
v,dv
,
e y (— + 1) = 1
dx
R p ta . \n{ey - \ ) = C - x
y '= l + .x + y 2 + .xy2
R p ta. are. t g - j r —
©
@
©
©
y - x v ,= a(l + x~y )
(l + y 2)dx = ( y - y ] l + y 2 )(1 + x 2)v 2 dy
R p ta. y =
R p ta. Ln
=C
a + cx
1 + av
^ +y
+c
V+ yj^ + y
( l - 3 ') « >> ' + - 7 — = 0
xLnx
e'
R p ta. C + — - L n ( L n x )
y
©
< r vo + y ’) = i
R p ta. e x = C ( l - e
©
e x vdx + e y xdy = 0
R p ta.
©
(1 + y + y 2 )dx + x(jc2 —4)dy = O t
®
y '= 10jr+v, a > O, a * l
©
©
dy
x
dx
y(l + j r )
dy
x-e
dx
y +e)
e 2x+ e2 y =C
1
jr-4
2
2v + l
R p ta. - L n (— — ) +—= a r c . tg( '
)= C
8
jr
V3
>/3
R p ta . 10jr +10~)’ = C
R p ta. 3 y 2 -2 1 n (l + ;c3) = C
-X
dy _ a x + b
dx
v)
ex+ d
R p ta. y 2 - j r 2 + 2 ( e y —e X) = C
, a,b,e,d e R
ax be - ad
R p ta. y = — +
Ln cjt + d| + £
32
20
Eduardo Espinoza Ramos
dy _ ay + b
dx
cv + d
, a.b.Cyd e R
R p ta. x = — +
y ( x 2dy + y 3dx) = A'Vy
22
@
24
R p ta . 3 x 2y - 2 x 2 + 3 y 2 = k x 2y 3
( jcv' - H = ( jc2_y2 + jc2 + y 2 -fcl)c/y
a 3*"* +2v d x - y ^ e x 2y dy - 0 ,
aJv + y¡\ + y 2 dx = 0
26
*> j
.v 'v
28
- 4x
j
= (x
? i
j
V" - 9 V ' ) —
30
R p ta. x + — Ln
4
A —3
a
+3
= y + Lti
y- 2
y +2
^
4
VÑV
+k
R p ta. ( a-~ - l)(v “ —1) = A
y “( l - A “ )2 dy = aresenA dx en el intervalo-1 < x < 1
AT ’ =
=C
( a —1)( y — 2 ) ( a + 3)
( x —y ~x ) dx + ( y - x ~ y ) d y — 0
^
R p ta . 25(3*2 - l)* 3jr + 9 (5 y 2 + l ) e 5'
R p ta. (.v -l)(y + 5)5 = Jk (^ -l)(jc + 3)5
dx
27
R p ta. In U 2 + 1) = y 2 - 2 y + 41n | k (y +1) |
R p ta. .v( v + \Jl + y 2 ) = k
dy _ ( y - O U - 2 ) ( y + 3 )
dx
Ln ay + b\ + k
A
R p ta. 2 y ‘ -3 (a rc s e n x )
=C
R p ta . y = sen (ln I x I + C)
xydx + ( jc2 + \ ) e y dy = 0
R p ta. Ln^jx^ + 1 +
~x+y
©
32
33
(34)
(x + 1)(y - 1)dx + (x - 1)(y + 1) dy = 0
R p ta. ( jc - l) ( y - 1 ) = ke 2
( e y + l)co s A ¿lr + e v(sen x + \ ) d y = 0
R p ta. (sen a + 1)(<?*V+1) = k
2 dy
,
xy+ v — = 6a
’ ' dx
R p ta . A'2 + y 2 + 1 2 y + 72 ln 16 - y |= C
y Ln x . Ln y. dx + dy = 0
R p ta. Ln (Ln y) + x Ln x - x = C
33
Ecuaciones D iferenciales de Prim er Orden
36
38
(xy + 2x + y + 2) dx + (x + 2x) dy = O
R p ta. V*2 +2x(_y+ 2) = k
e y (l + x 2 )dy - 2jc(1 + e y )dx = O
R p ta . l + e y = C ( l + x ¿)
dy
1+ c o sa
dx
sen y
dy
dx
R p ta. 2 y - s e n
y -A -sen a = C
x 2- x y - x + y
xy-y*
R p ta .
Vi —x 4dy
1 1-A
R p ta. y = —
+C
2 Vl + A
xdx -
= A'2 yjl + x*dy
(\ + y 2)dx = ( y - y ¡ l + y 2 )(1 + x 2 )3l2dy
y = ( a - 1)
= Ln
R p ta.
Vl + A2
®
42
®
yy = sen a . e
(4a
45
II.
R pta. 2y = 2e
+ Ay )dx-\-(y + x “y)dy = 0
( a + a Vy )¿y + y yf ydx = 0
cVT
i + VT+ V
*+2v
(eos a - sen a ) + k
R p ta . (1 + a 2 )(4 + y 2 ) = k
R p ta. — = + ln A y = c
V?
rfy _ x 2y ~ y
®
x+2v
+k
dx
y+1
;
y(3 ) =1
dy
3x2 - 6 x 2y 2
dx
y-x y
; y(3) = i
R p ta. a —3 a — 3 y —3 ln| y | = 21
R pta. U 3 - ! ) 4 = k ( 2 y 2 - \ )
Encontrar la solución particular de la ecuación diferencial, mediante las condiciones
dadas:
©
K
K
sen 2x . dx + eos 3y dy = 0, y(—) = —
2
3
R p ta . 2 sen 3y - 3 eos 2x = 3
34
©
Eduardo Espinoza Ram os
y’- 2 y . c t g x = 0 , y { ~ ) = 2
dy
x
x
©
dx
y
1+ v
©
jc(y6 +1 )dx+ y 2 ( x 4 +1 )dy - O, y(O) = 1
©
. y( 0) = l
1 - eos 2 x
, _
A
------------+ y = 0 , y(—) = 0
1 + se n y
4
y (-2) = -2,
R p ta . y ~ 2 sen x
+2 y
R p ta . 3y
=3x
+5
R p ta . 3arc. t gx2 + 2 a r c .tg y 3
R p ta. V 2 sen jc + sen y - eos y = 0
R p ta. y = x
©
y 2y ' - x 2 = 0 ,
©
x*dy + xydx = x 2¿y + 2y d r , y (2) = e
R p ta . jcy = 2( jc—
^ - = x y \ l + x 2r 112, y(0) = 1
dx
R p ta. y = ( 3 - 2 y j l + x 2 )-1/2
©
X
(5)
y 's e n x = y ln y , y (^ ) = e
tg—
Rpta. y = e 2
2/2
(l + e x ) y . y ' = e x-, y(0) = 1
R p ta. 2 e y
©
(Ay2 + x ) d x + ( x 2y - y ) d y = 0 , y (0) = 1
R p ta . 1+ y 2 = — 1—
\-x
©
(4x + x y 2 )dx + ( y + x 2y)dy = 0 , y (1) = 2
R p ta. (l + ;t2 ) ( 4 + y 2) = 16
©
=\ ¡ e( \ + ex )
u
x d x + y e ~ xdy = 0 ,
y (0) = 1
(m )
yey y '= x - l ,
y(2) = 0
@
y '+ 6 y .tg 2 * = 0 , y (0) = -2 ,
R p ta. y = [2 (l-jc )e jr- l ] í
R p ta. e y = x 2 - 2 x + l
R p ta . y = - 2 eos 2x
35
Ecuaciones Diferenciales de Prim er Orden
y 'jiin jc -y = 0 , y (2) = Ln 4
©
Rpta. y = 2 Ln x
Rpta. (l + y)^"^ = Ln(
(1 + e * ) y y ' = e \ y (0) = 0
®
2xdx + x 2dy = -dx*
1
7
v(— — ) = —
' Ln x
dr
sen 9 + e2r sen 9
— = --------------------- ,
d 9 3er +er co$ 9
©
dy = x (2ydx - xdy), y ( l )
(22)
Hallar y si:
f
a)
)+ l-x
Rpta. 2y +1 = 2e
2
k,
_
r(—) = 0
2
4 dy + y d x = x ~ d y , y (4) = -1,
@
) + ex
= 4
ydx = K ( y 3 - /? 3)
n
Rpta. 2arctg(*r) + arctg(cos0) = —
Rpta. (2 + Jt)y4 - 3 x + 6 = 0
Rpta.
_v
= 2x2 + 2
Rpta. 3Ky" - 2 x = 3Kb - 2 a
Ja
i.x-a)
b)
ydx = K ( y - b )
c)
| ydx = K ( y 2 - b 2)
Rpta. y = e K
Rpta.
-i
y = (2 /0 ( x - a ± 2 K b )
a
d
)
y dx = K ( y - b )
Rpta. y ( x - a ----- ) + / í = 0
b
y dx = K ( y ~ b )
Rpta. x —a = 2ÁTln(—)
x 2dy = x i ( y - b )
Rpta. (2y-3¿>)x2 = - a 2b
6
.
2
2
l .2
x y dx = x' ( y ¿ - b )
Rpta. ( 6 y 2 - l b 2)x 6 + a 6b 2 = 0
wt
J
-
íJa
f)
f
Ja
.
8
)
Je
í
36
2.2.
Eduardo Espinoza Ramos
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS REDUCIRLES A
VARIABLE SEPARABLE.Las ecuaciones diferenciales de la forma siguiente
donde a, b y c son constantes, no son de variable separable.
Para resolver estas ecuaciones diferenciales, se transforma en una ecuación diferencial de
variable separable, mediante la sustitución; z = ax + by + c, de donde - =
dx b dx
a),
que al reemplazar en la ecuación (1), se obtiene una nueva ecuación diferencial, que es de
variable separable.
es decir:
dz
a +bf(z)
1 dz
—(— - a ) = f ( z ) .
b dx
de
donde
dr
— = a +b f ( z \
dx
separando
la
variable
= dx ecuación de variable separable.
Ejemplos: Resolver las ecuaciones diferenciales siguientes:
Q)
U + y ) 2 y ’= a 2
Solución
dy dz
Sea z = x + y= > — = — - 1 ,
dx dx
(— - 1 ) =
dx
separando la variable —------ - = d x , integrando ambos miembros
z +a~
íJ #z +a~
T = Jf dx + C => z .*+ y - a .a r c tg (
reemplazando en la ecuación diferencial se tiene:
x+y
a
aarc. tg(—) = x + C , de donde
a
) = x + C, simplificando se tiene:
y
jc+ y = a tg ( — + k)
a
37
Ecuaciones Diferenciales de Prim er Orden
V = eos2 (ax + by + c ) , a , b constantes positivas y diferentes
Solución
Sea z = ax + by + c
dz
— = a + by \
dx
1 dz
de donde y 1= —(— - a ) ,
b dx
reemplazando en la
ecuación - ( — - a ) = eos2 z => — = a + ¿ c o s 2 z ,
b dx
dx
separando las variables se tiene: ----------- , = dx, integrando se tiene:
a + b eos" z
Í
2
J a + b eos z
=
f
í/r
+ <:= > i"
J
J a sen
dz
t
= x +k
z + (a + b) eos z
Tjdz
1 f sec 2 zíu
f.
.1
.l a/
i
v
i
— I ---------------—= x + k =>
— arctg J
tg(av + ¿v + c) = a*+ &
f l j t f 2 , , a + ft
y¡a(a+b)
Va +b
©
( x + y ) rrt
> '+ i =
(jr+ y y + U + y )'
Solución
S e a z = x + y =*
y ’ = —— - - l * reemplazando en la ecuación diferencial se tiene
dx
m
- - 1 + 1 = — ----- =* — = — -------,
dx
zn + zP
dx
zn + zp
zn + zp
separando las variables
dz = dx, integrando se tiene:
zm
+ zp
m
f
z nm+1
= I dx + C = * ------------ 1-------------- = x + C
1
n-m +1 p~m +1
(x + 3')"'m+l (* + y K '" '* 1
------------------ H------------------= x + C, n - m * - 1, p - m * - 1
n -w + 1
p -m + 1
38
( 4)
Eduardo Espinoza Ram os
x y 2( x y ' + y ) = a 2
Solución
x
Z
Sea z = xy
y=— ^
y
v '=
'
dz
z
dr
^—
reemplazando en la ecuación diferencia dada
xA
\
/
72 {X1
Z) -
— [x — —------ + —] = a 2t simplificando
X
x2
z } d z - a 1xcix
X
integrando se tiene:
1
1
Z
J X*
1 1
^ *>
— =«
+ C => 2 j r y =3a~x~ + K
(lnjc + y 3 )¿jc-3.xy2£/v = 0
Solución
Sea z = L / u + y 3 => — = —+ 3 y 2. y ’ , de donde 3xy2y' = x — - 1 , reemplazando en la
dx
x
dx
ecuación diferencial se tiene:
(^ )
variables.
— -
z+l=kx
=>
jc
=
z+ 1
d*
d**
z - ( x — - 1 ) = 0 => (z + l ) - . v — = 0, separando las
dx .
dx
0, integrando se tiene: Ln x - Ln(z + 1) = Ln C => x = C(z + 1)
l n j t + y 3 + l = fct
donde k = -
/.
y3 = kx-\nx-\
(6x + 4y + 3) dx + (3x + 2y + 2)dy = 0
Solución
La ecuación diferencial expresaremos en la forma: (2(3x + 2y)+3)dx + (3x+2y + 2)dy = 0
Sea z = 3x + 2y => dz = 3 dx + 2 dy => dy = ~ ( d z - 3 d x )
reemplazando en la ecuación diferencial
dz 3dx
(2jc + 3 )dx + (z + 2X---------- ) = 0
39
Ecuaciones Diferenciales de Prim er Orden
simplificando y separando la variable se tiene
dx + Z-* ^ dz = 0,
integrando ambos miembros z + 2 L n z + x = C d e donde:
.*.
4x + 2y + 2Ln (3x + 2y) = C
eos (x + y)dx = x sen (x + y) dx + x sen (x + y)dy
Solución
Sea z = x + y => dx = dz - dy , reemplazando en la ecuación diferencial se tiene
eos z dx = x sen z dx + x sen z (dz - d x ) , simplificando y separando la variable.
— = tg z dz integrando se tiene:
x c o s ( x + y) = C
EJERCICIOS PROPUESTOS.Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales
(l)
©
— = co s.(.v + v )
dx
Rpta. y = 2 arc.tg (x + C) - x
y ’= s e n 2( j c - y + l)
Rpta. tg (x - y + 1) = x + C
dy
x +y
dx
*+ y+ 2
Rpta. y + Ln I x + y + 1 I = x + C
y ' ln | x - y |= 1+ ln | x - y |
Rpta. (x - y) Ln I x - y | = C - y
(?)
y 1= ( j c + y ) 2
Rpta. x + y = tg (x + C)
^ )
(x + y - 1)dx + (2x + 2y - 3) dy = 0
Rpta. x + 2y + Ln | x + y - 2 | = C
i
^ )
(l + x 2y 2 ) y + ( A y - l) 2A y = 0
sug : xy = z
Rpta. y 2 =k e
X V --XV
40
©
Eduardo E spm oza Ramos
6
~
(x - 2 x
5 . *»._4
..3
+ 2* - y
2
,.3
+ 4 x~y)dx + (xy - 4 x )dy = 0 ,
3
3
Rpta. - — x 2 + 2x+-^-—~ — = C
3
3jc3
x
sug : y = xz
®
©
©
©
V ' =
y ~ x+l
y-A* + 5
Rpta. ( y —jc ) “ + 1 0 y - 2 ,v = C
A
í/ V *
ye*'3 ¿r + ( y ‘ - 2 x e " y )dy = O
Rpta. Iny + e v = C
y = sen(jc-y)
Rpta. x + C = ctg (——- + —)
2
4
y’=(8JC + 2y + l)
Rpta. 8x + 2y + 1 = 2 tg (4x + C)
(jr2y 3 + y + .* -2 )¿ v + (x 3y 2
©
(1 - xy eos jcy)d!x - a ‘ eos xy dy - 0
©
l-t2 s e n ( ^ - ) - 2 y c o s ( - ^ ) K v + Acos(-Y)í/y = 0 Rpta. .rsen(-rp) = C
JC"
X"
X
x~
e y y' = K ( x + e y ) - l
©
©
®
20
sug:
=0
Rpta. 3 * 2 -12A*+2A3y 3 + 6*y = C
©
Z = x +e y
I
x 2yy' = - l g { x 2y 2)-xy>2 sug: z - x 2y 2
y=flu* + 6y + c ,
Rpta. Ln x - sen xy = C
Rpta. y = ln(Ce
k-X
-x)
Rpta. sen(x~y ) = ke
¿A
a, b, c € R
2 ..2 + l)dx + 2 x 2d y = 0
Rpta. — -— + —Ln x = C
\-xy 2
(xy - 2xy ln fc y + y ln y)dx + ( 2 jT ln y + .*).// = 0
sug: z = x Ln y
Rpta. I x 1 + (2xln y + 1)2 = C
41
Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
(21)
(2x + 3y - 1)dx + (4x + 6y - 5) dy = O
R p ta. x + 2y + 3 Ln (2x + 3y - 7) = C
(22)
(2x - y)dx + (4x - 2y + 3) dy = O
R p ta. 5x + lOy +
(2)
(6x + 3y - 5)dx - (2x + y )d y = O
R p ta. 3x - y =
(2 )
(x 3y 4 + y 5x 3 +a:3y 2 + x 3y 5 + y 7 + y 5)í¿Jt-(x4y 3 + x 6y + x y 6 )dy = 0
C = 3 Ln | 10x-5y+ 6
C + Ln (2x + y - 1)
_
-
„ A x3
1
y 2 x -v3
-+ - +—r =C
R pta. — + jr
3
2x2 2x 2 y 3y
(2 )
Mediante una sustitución adecuada reducir la ecuación diferencial.
p ( x my n )y d x + Q ( x my tt )xdy = O, a una ecuación diferencial de variable separable.
3)
(2 )
N-x
(2 )
29)
( 30)
(2+ 4a*2<Jy)y
y(xv
dx+x*y[y dy = O
+ 1)dx + x(l + a*v + x 2 y 2 )dv = O
Rpta. x3y * = C
Rpta.
*¿x
yvmyvz
= LnKy
(y - x y 2 )dx - (x + x 2y)dy = O
Rpta. L n ( - ) - x y - C
( y - x y 2 + x 2y 3)<ix+(x3y 2 - x 2y)dy = 0
Rpta. 2 l n x + x 2y 2 - 2 x y = K
— = *+
1+ a y
dv
SUg; x + y = u, x y = v
e-V
Rpta. x 2 v 2 - 1 = Af(x + y ) 2
Rpta. y 2 = x e y + C
2v-ACé>'
(a
+ y)
^
dx
2 )
— = ---------- --------------2
dx L/i(2x+y+3)+l
Rpta. x - y - Ln |sen (x+y)+ cos(x+y)|= C
Rpta. (2x + y + 3) Ln 12x+y+3 I = x + C
42
\
34)
^5)
3ó)
Eduardo Espinoza Ramos
>}
dV
— = a “ + v - 1 , sug:
dx
( a'2 - y 4)— = A)\
dx
z-x
^
ry
R p ta. 2x + x m+ y + l = Ke
+ 2a+v
s u g : x = uv
R p ta. 2 y s =
-3 a 2 + K y 2
(3x - 2y + 1)dx + (3x - 2y + 3) dy = O
R p ta.
5(x+y + C) = 2 Ln |l5x - lOy + 111
( 37)
y f = —tg2(jc+2y)
R pta.
4y - 2x + sen (2x + 4y) = C
^8)
v 1= y¡2x + 3y
39)
(40)
2
t
R p ta. .6,j2x + 3y - 4 L n ( 3 y ¡ 2 x f 3 y +
.v1= -Jy + s e n x - c o s A ,J sug! z = J y + s e n x
y/x+ y + l y ' = y ¡ x + V - ]
R p ta. u 2
+2m-mVh2—1+ Lh m+ yfu2- l = 4
(a
(42)
(2 a -
2y + Ae* )¿ ¿ x-(2A -2y - l)</y = O
43)
[sen
x - tg (x -2y)] dx + 2 tg (x - 2y) dy =
45)
R p ta. yfy~+ se n x = —+
+ y —2 + —)í/a + (2 —a —y)¿y = O
m= a+ v
R pta. ( a - D e * + ( a - y 2 ) +
O
(1 - Ay + a*2 y 2 )¿/.t + ( A3 y - a 2 )dy = 0
y4a r c . t g V x ) d A
a +C;
Rpta. 2 1 n x -4 x + 4 y - ( A + y )2 = ¿
A*
( v*arc. sen /—
R p ta. - eos
(4ó)
2
vv'=
R pta. 21n x + a 2 y 2 - 2x> = C
+ rfy = 0
V a are. tg V a - L//Vi + a + Ln(—— - ) + ^ v
y2+
jc2
-2
a
y=C
x + Ln eos (x - 2y) = C
1+ A
R pta.
C
*'-'■-
( íl)
©
2 ) - 9 jc= C
6y
^
=C
R p ta. y 2 -c e * T -
a2
j
43
Ecuaciones D iferenciales de Prim er Orden
@
y'+ sen ( x + y ) = 0
R p ta. tg (x + y) = x + C
@
y'=(*+y)ln(x + y ) - l
R pta. l n | x + y | = ce
2(x2y + y 1 + x 4y 2 )dx + x 3dy = O
R p ta. x 2(x 2y + ^/l + x4y 2 ) = C
50
2
3
r
¿y
y a rc .tg x + y a rc .se c v * " + 1 + ^ = 0
dx
®
xy(x¿y + y ¿/x) = 6 y 3d y , cuando x = 2, y = 1 sug. z = xy
(52)
x 2( x ¿ x + y ¿y) = ( x 2 + y 2 ) d x , cuando x = 1, y = 2
sug.
z =x2+y2
dx)
sug. z = x + y, G) = —
x
R p ta. (2y + c x )(x + y ) + x = 0
( x 2 + y 2 )(x dy + y dx) - xy(xdy + y dx) = 0
sug. z = x 2y 2 ,
55
2 ,2
y (x
(0 = xy
3 .
+ 2 ) é£x + ( x '
R p ta. x 2y 2 = C ( x 2 + y 2 )
3
+y )(ydx-xdy) = 0
1
(6x - 3y + 2)dx - (2x - y - 1) dy = O
0
y
2x
1
R pta.
Él = -2 + e2x~y+l
R p ta. x + e
x dy = y (xy + eos re) dx
V
R p ta. 3x - y + C = 5 Ln I 2x - y + 4 |
^ - (A+ y - 3 r “ 2{x + y - 3 )
dx
dx
X
R p ta. — ----- + -Z— - L n x = C
x
56
y 2( x 2 - 3 y ¿ ) = 1
R p ta . ( X " + y ) (1 0 -9 x ) = 5x
dx + ¿/y = (x + yXl + —)2(x d y - y
x
©
R p ta .
60
x+y-4
= x+C
- 2x - y + l _
=c
dy = 2jf —3y + 4
í/x
3 x - 2 y —1
2
44
Eduardo Espinosa Ramos
(ó í)
w
( \ - x 2y)dx + x 2( y - x ) d v = 0
(62)
y ’= (8 jt + 2 y ) 2 + 2(8.r + 2y) + l
23.
sug. z = x - y R p ta. y 2 - 2 x y + 2x2 +— = k
x
R p ta . are tg (4x + y) = 4x + k
OTRAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS^
Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales
c o sy ' = 0
*
Solución
Como
^
eos y' = 0
=>
y ' = árceos 0 = y (2n +1)
= y ( 2 n + l) =* dy = y ( 2 n + l)dx,
integrando
| d y = |^ < 2 n + l)d* + / f , de donde se tiene:
J
©
J2
e1' = 1
2
Solución
£ y = 1 , tomando logaritmo se tiene y' = 0 ,
®
y = —(2n + l ) * + w e z
— = 0 => y = C, C constante
dx
ln / = x
Solución
lny'=j:
=>
integrando
y ~ e x => dy - e xdx
M
</>-=
exdx + C de donde se tiene:
A:2y ’c o s y + l = 0, y —»
;
x —» +®°
Solución
y -e x+C
45
Ecuaciones Diferenciales de Prim er Orden
j r y 'c o s y + 1 = 0
= c de donde se tiene: sen y - — = C , como y —>
eos y Jv + í ^
J
=*
1
dx
c o sy .y '+ — = 0 de donde c o s y 4 y + — = 0, integrando
x~
x~
*
jc'
_
16/r
C = sen
, por lo tanto:
sen
3
1
y
,16/r
— = sen (------)
3
©
cuando x —>+°°
.v
3
tgV ’=A
Solución
Como
tgy*=x
=»
y = a r c t g j c + «7c,
nez
M
dy = (arc.tg x + n n) dx, integrando \ d y = \ (are. tg jc + n7t)dx + C de donde se tiene
y = x a r c . i g x - ^ L n ( \ + x 2) + n n x + C
E JE R C IC IO S P R O P U E S T O S
Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales.
©© © © © © ©
e v =*x
R p ta. y = x (Ln x - 1) + C
tg y' = 0
e y
*
= e 4 vy' + 1 , y es acotada para x
sen v'=
—> +
jc
R p ta. y
0
=
nx+C
R pta. y = x a r c . s c n x - \ I \ - x 2 + n;rjc, n e z
jc
x 2y '+ c o s 2 v =
1,
y - » ^ ^ ,
3
c u a n d o
a* — > - h »
(.v+ l ) v' = y —1, y es acotada, para x —» +
v ' = 2 a (7 í
R p ta. y =
+ y ) , y es acotada, para x —»«>
R p ta. v =
a rc .tg
'
R pta. y = 1
R p ta. y = -n
*
( — + —^ = - ) + 3 ; r
X
yj3
46
Eduardo Espinoza Ramos
x 3y ' - s e n y = l f y —>5 71,
R pta. y = 2art'.tg (1------ - ) + —n
2x‘
2
x —>*>
v = ln(— )
dx
R pta. y = - Ln (C - x)
(1 + A2) y '- - ^ c o s 2 2 y = O, y —
^O )
a —>-«»
^
R pta. y = —are. tg ( y + a rc .tg x ) + —n
|
a.
Función H om ogénea:
Diremos que la función f (x,y) es homogénea de grado
k x e y , sí y solo si, cumple con la condición siguiente:
| f ( K x , k y ) = Xk f ( x , y )
E jem plo:
/(
a,
Determinar cuales de las siguientes funciones son homogéneas
y) = A 2 y - 4 y 3
v) = v 2 tg X es homogénea de grado 2 en x e y.
v
(T )
^
/
0
n x , y ) = ^ ~ -7
®
(a ,
m
/(
a)
/ ( a ,
^ )
es homogénea de grado 3 en x e y
es homogénea de grado 1 en x e y
a* 2 -— v2
y
= ------- 1— es homogénea de grado cero en x e y
ay
y) =
A 2
+ sen
a .
eos y , no es homogénea.
f ( x , y ) = e x , no es homogénea.
b.
Ejercicios Propuestos:
Determinar si las siguientes funciones son homogéneas o no
47
Ecuaciones Diferenciales de Prim er Orden
®
f(x,y) = ey
®
f ( x , y ) = (x2 + y 2)i
®
f(x,y) = x - 5 y + 6
( 4)
f ( x , y) = jcsen—- y s e n —
X
V
®
f ( x , y ) = x 3 - x y + y 3.
©
f(x,y) = x Ln x - x Ln y
3.v - 4 y
f(x,y) = x Ln x - y Ln y
j.t
(? )
c.
f ( x , y ) = (x 2 + v2) e y +4xy
®
/ U , y) = *arctg(—) + y a rc tg (-)
x
y
Definición:
Diremos que una ecuación diferencial ordinaria de primer orden y de primer
grado de la forma:
es homogénea si M y N son funciones homogéneas del mismo grado en x e y,
Ejem plo:
Las siguientes ecuaciones diferenciales ordinaria son homogéneas
( jc3 - y 3) d x + y 2x d y = 0
(3 )
(je3 + y 2yjx2 + y 2 ) d x - x v y j x 2 + y 2 dy = 0
( \ [ x ^ - y * “ y arcsen(—))<¿c =
d.
©
(^
dy
x — - y+2xe
dx
jccos( — ) d y
Solución de una E cuación D iferencial H om ogéneas.
Consideremos una ecuación diferencial ordinaria homogénea.
48
Eduardo Espinoza Ramos
entonces:
M(A x, Xy) = AK M(x,y) y N(Ax, Xy) = XK N(x,y)
... (2)
esto es porque la ecuación diferencial (1) es homogénea, haciendo; A = — en la
jc
ecuación (2) se tiene:
Af(l,^) =-j¡rMUv) =>
M ( x , y ) = x kM ( \ A
x
X x
M { x , y) = jca M (1,—) = x K M ( \ , u ) = x Ky / ( u ) , donde u = —
x
es
decir:
x
A/(jc,
l,^ ) = 4riV (.v,y) =>
x
xK
v)
=
k
jt (p(u) ,
w=
y
—
x
...(3 )
N (x, y) = x K N {],—)
N ( x , y ) = x K N ( \ , ( - ) ) = x KN ( l , u ) = x K N ( l , u ) = x K^ ( u ) , u = x
X
es decir:
como
¡c
y
N ( x , y) = a: \|/(m) , u = —
... (4)
y = ux => dy = udx + xdu
... (5)
*
reemplazando (3), (4), (5) en (1) se tiene:
x kip(u)dx + x K\\p(u)(udx + xdu) = 0, simplificando
tp(u)dx + \\f(u) (udx + xdu) = 0, agrupando y separando la variable se tiene:
dx
if/{u)
— + ---------------- (¡u = {j^ qUe es una ecuación diferencial de variable separable
x
<p(u)+uyf(u)
Análogamente se hace para
A= —,
y
u=—
y
49
Ecuaciones Diferenciales de Prim er Orden
e)
Ejercicios Desarrollados
Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales.
^1)
( x 2 + 3 x v + y 2 ) d x - x 2d y = 0
Solución
Sea y = ux
=$ dy = udx + xdu, reemplazando en la ecuación diferencial
( a “ + 3 x 2y + x 2 u~)dx —x 2( u d x + x d u ) = Q , simplificando
x 2 ( u 2 + 2 u +1 )dx - x * d u - 0 ,
para x * 0 se tiene:
( u 2 + 2u +1 ) d x - x d u - 0 de donde separando la variable — ----- — -r- = 0, integrando
x
(m +1)
se tiene:
í — - | — — - r = C,
J x
J (w + l)“
de donde Uve +
y+*
Solución
A la ecuación diferencial dada expresaremos así:
( y + yj y 2 ~ x 2 ) dx- xdy - 0
— (1)
Sea y = ux
... (2)
=> dy = udx + xdu
reemplazando (2) en (1) se tiene:
(ux + yju 2x 2 - x 2 )dx - x(udx + xdu) = 0, agrupando se tiene:
x\Ju 2 - 1 d x - x 2du = 0 ,
para x * 0 y además u * ±1, se tiene: — — = Q,
*
77^7
f dx f di
integrando | — - | ^ - = k y efectuando y simplificando: 2Cy = C 2A2 + l
J - “J
50
Eduardo Espinoza Ramos
(x - y Ln y + y Ln x)dx + x(Ln y - Ln x)dy = 0
Solución
A la ecuación diferencial podemos escribir en la forma
( x - y ln (—))dx + .vln(—)dy = 0
x
x
... (1)
Sea y = ux => dy = udx + xdu
... (2)
reemplazando (2) en (1) se tiene:
(x - ux Lnu)dx + x Ln(u) (udx + xdu) = 0, agrupando y simplificando
.
•
dx + x Ln(u)du = 0. separando la variable:
integrando
dx
— + ln u du - 0 ,
x
ÍM
I — + I Ln(u)du = C,
efectuando y simplificando
(x - y) Lnx + y Lny = Cx + y
(x - y arctg(—))dx + ,varctg(—)dy = 0
x
x
Solución
Sea y = u x =$ dy = udx + xdu, reemplazando en la ecuación diferencial se tiene:
(x - ux arctgu)dx + x arctgu (udx + xdu) = 0,
simplificando y separando las variables se tiene:
f — + | are. tgudu = LnC
J x J
Como
y
m= —
x
— + arctg u du = 0, integrando
x
=> Lnx + uarc. tg w - —Ln( 1+ u 2 ) = LnC
2
2
v
x + y4" ?
entonces 2y.arctg(—) - x \ n ( ---- j -— )C “
x
x
51
Ecuaciones D iferenciales de Prim er Orden
A
©
V
xe V dx + ye * dy = O
Solución
Sea y = ux ^
dy = udx + xdu, reemplazando en la ecuación diferencial dada se tiene:
i
i
x e udx + uxe 14(u dx + x du) = 0 agrupando y simplificando (e u + u meu )dx + xueadu = 0 ,
separando la variable.
dx
ueildu
= 0* integrando.
-+ -¡
2 .u
e u +u~e
—
©
te'dt
Lnx = i
a 7
e x + 1 et
fx
te'dt
Ja
■> ,
el + r e
Lnx
entonces
14
como u ——
x
v
y
v
( y cos(—) 4* x sen(—))dx = eos (—)¿/y
X
X
X
Solución
Sea y = ux
dy = udx + xdu, reemplazando en la ecuación diferencial dada se tiene
(ux eos u + x sen u)dx = x eos u (u dx + x du).
Agrupando y simplificando, se tiene: sen u dx = x eos u du, separando la variable
dx
= c t g u du
integrando
x = k sen u, como u = —
x
f.
I.
©
•J H
c tgudu + Lnk
y
x = k sen —
x
E J E R C IC IO S P R O P U E S T O S .
Resolver las siguientes Ecuaciones Diferenciales
(4,r~ + x y - 3 y “ )<¿x + (-5A-“ + 2jty + y “ )í/y = 0
R pta.
ln x + —ln ^ - i + l . n - - 2 - A ln —+ 2 = c
4
3
X
X
12
X
Lnx = Ln sen u + Lnk
52
Eduardo Espinoza Ramos
©
¿y
_y,
Qiyix)
d x
x
< p \y lx )
©
*y ' = 2 ( y - V ^ )
R p ta. 16 av = (y + 4 a —c a “ )
©
y
(acos£c(—) - x)dx + A* dv = O
A
R p ta . lnJfcx = cos(—)
R pta. .v =
k(p{~)
x
A
y
V*
©
y + 2 x e
Ay ' =
R p ta.
*
v
y
t
©
©
©
A
v 2 )dx -
2( 2 a 2 +
x
R p ta. a 4
a v ¿/v = 0
A- v*= 4 r - + 7 Ay + 2y
y
d x = (
=e
2V
R p ta. 2 v - Asen(—=-) + 4 a ln a =
d \ = (— - c o s é 'c " — )d x
A
]n (x"k)
a+
R pta. a “ ( y + 2a) =
a2) d y
-Jy 2 -
= c 2 (4 a 2
+ y 2)
c( y
+ a)
R pta. arcsen(—) = \n{kv)
v
2 .r
d x
_
_ v (2 aV 3)
a (2 a 3 - 3 y*1)
d x
©
R pta. y = ta€
A J v -
_v(a2
y
d x = ^ a 2 4- y 2
í/a
+ . y > ’ - 2 y 2 )¿ÍA + A ( 3 y 2 - x y - x 2 ) d y
=0
R pta.
y
+^a2+
R pta.
2 y 2
v 2
ln(“ -) +
A"
®
at V v
^
®
(6a“
— *“>
-
7y
” ) d x -
2x\
V=
3i a 2 - v 2
9
®
+ ( a 3 - y 3 Wa = 0
14 a t
d y =
= ca2
2 .ry
»1
R p ta . y 3 = - 3 a 3 ln a +
0
R pta. 2 a ' - 7
R p ta .
av2
+ A¿
=
c ( y 2 - A 2 ) =
c
y 3
ca3
= c v
k x
53
Ecuaciones Diferenciales de Prim er Orden
Rpta.
ax + 2bxy + cv + y ' ( b x +2cxy + f y
@
y dx + ( 2 -Jxy —x)dy = O
©
(jc^jc +
y2 -
( x + ( j c - y ) e * )í¿c + x e xdy = 0
®
23
Rpta. f y
V
Rpta.
+3 cxy +3 bx
jc Ln|jc| + yjx2 + y 2 = cjc
Rpta. jc(l + e*) = ¿
(jc + y sen(—))dx - jc sen(—)dy = O
JC
*
Rpta. ln jc+ cos(—) = c
x
* V = y 3 +3xy2 + 4 x 2y + x 3
Rpta. v =
(2xy + x 2) y ' = 3 y 2 +2xy
Rpta. y + xy = ex
—JC
'Jc —2Lnx
y
— = —+ sen(—)
dx jc
jc
25
2 xv‘(jc“ + y ) = y(y + 2 jc¿ )
Rpta. y 2 = cxex ,y
26
jc2 y ’=
Rpta. y =
27
jcy‘* r f y -( jr + y J )dx = 0
2
.
3(jc2 + y 2) a r c tg ( - ) + jcy
JC
y
jcsen(—) — = y sen(—) + jc
jc dx
JC
29
dx
x
V jc2
y
Rpta. eos ec(—) - c tg(—) = kx
JC
JC
2
y dy
y + ax = k
/— + Lny = c
24
©
S
0
Rpta.
y 2 )dx + jcy¿y = O
V
)=
y + yjy2 - jc2 = cjc3
Rpta.
jctg(Jkx )
y 3 = jc3(31n jc+ c)
Rpta. cos(—) + In(cjc) = O
JC
Rpta. y + y¡y2 - j c
= fcc2
54
Eduardo Espinoza Ram os
®
y 2dx + ( x ^ j y 2 - x 2 - xy)dy - O
R p ta . y ( a - 2 c ) + c
®
2 x 3 — + ( y 3 ~ x 2y ) = 0
R p ta. x y 2 - c ( x 2 + y 2)
x 2y ' - y 2 +xy = x 2
R p ta. y =
x 2 y'= y 2 + 3 x y + 2 A 2
R p ta. y = x tg (Ln x + c) - x
®
dx
(x sen(—) - y cos(—))dx + x cos(—)dy - O
X
X
X
35
yjx2
+ y 2 dx - x ( x +
y¡x
2 + y 2 )dy =
O
c —Lnx
“a
=0
+ A
R p ta. x sen(—) = k
x
R p ta . ex -
yjx2
+ v2 = xLn(y¡x 2 + y 2 - x)
36
a — = y(ln v - l n x)
dx
R p ta . ln(—) = 1 + ca
x
37
y dx + jc(ln(—) - 2 )dv = O
R p ta . v = r(l + L/i(—))
A*
y
y
y
y
( a c o s ( — ) + ysen(—))y dx + (ACOs(—) - ysen(—))x dy = O
X
®
(a
X
y
y
+ y e x )dx —x e xdy = O
y(ln(—) + \)dx —x in(—)dy = O
x
x
®
©
®
j
dy
x2 - y
dx
x~ + y
2
J J 7 ? ) d x - xyyj
d\
y
— = —+ are.tg ( y / x )
dx x
X
y
R pta. Aycos(—) = c
X
X
R pta. y = x Ln (Ln |x| + C)
R p ta. ln a
- — ln2(—)
2
x
=c
o
.
,
f
(u 2 + l)d u
R pta. ln x + c = I
J 1-n-M —m
n
*
R p ta.
u=
, 2 , 2.3/2
3 j , , 3.
(a + y )
= a L /i( f c x )
R p ta . ln a
= í —— — +
J arctg u
c
,
u = —
x
y
X
55
Ecuaciones Diferenciales de Prim er Orden
( 44)
45;
®
y¡xy dx = ( x - y + y[xy)dy
R pta.
x dy | 3x 2 - y 2
— T + T~ 2—
y dx 3 y 1 - x
, 2 , 2 ,2
R p ta . (x + y ) - k x y
v dv
V
jccos(—) — = }?cos(—) - j c
x dx
x
.3
®
(3 )
(49)
fy
y]x- y (yfx - y /y) = ke 'ly
„
2
R p ta. x = ke
O
x
R p ta . , ’ + , ’ = ^ U + > + 0
“ y 2 “ yarcsení—))dx + jcarcsen(—)dy - O
(x tg(—) + y) dx - x
dy = O
R p ta. ln jc + —(arcsen(—))2 ~ k
R pta.
sen(—) = kx
X
50)
-s e n (—)
..3
2y * -x y l -xr
y dx
y
X
(yjx + y + y j x - y )dx +
x - y - y j x + y ) d y = O R p ta. yjx+ y + y ] x - y = c
»
( S i)
(S )
(2x tg —+ y ) dx = x dy
R p ta. x 2 = k sen(—)
( 4 x 2 + 3xy + y 2)dx + ( 4 y 2 +3xy + x 2 )dy = 0
R pta.
x — - y = ----*
arctg(—)
R p ta. —arctg(—) = L n k J x 2 + y
x
*
( jc 2
+ y 2 ) * ( x + y )2 - c
JC
( 54)
xy'In — = x+_yln —
JC
R p ta. lnjc = —(ln(—) - l ) * f c
JC
JC
y
y
( jc + sen(—))dx - x sen(—)dy = O
X
(56)
X
y
R pta. ln x + eos — = c
,
X
y (x 2 + x y - 2 <y 2)¿lc + jc(3)>2 - x y - x 2)dy = 0
R pta. 2 y 2 ln(-^-) + 2jcy + jc 2 - c y 2
56
57)
(£5)
^
Eduardo Espinoza Ramos
(x3 + y 2 ^ x 2 + y 2 ) d x - x y ^ x 2 + y 2 dy = O
Rpta. (x 2 + y 2) 2 = x3 lncx3
(2xsen — + 2 x t g —- y e o s — - y sec2 — )dx + ( x c o s — + x sec2 —)dy = 0
x
x
x
x
x
x
Rpta. x 2(sen — + t g —) = c
x
x
59
x 2 + xy + y
dy
dr
y
Rpta. arctg— = lnx + c
x
x2
>/*2+y
(60)
( ó í)
©
Q
v -x
x(x2 +
y 2)dy
=
y (x 2 + y-^x2 + y 2 + y 2)d r
ry 3rfy = ( 2 y 4 + x 4 )dx
Rpta. y + y j x 2 + y 2 = c x 2e
Rpta. kx* = x 4 + y
y
4
X
dy
xy
dx
'J
7
X‘ - x y + y
Rpta. ( x - y ) e y = c
R p t.
- 3 ,) » = .« ,- 2 * ) ' ’
6x~ - 8 x y + y
dx
i
y2
(3 )
x^- = y - y jx 2 +
✓-n
(ó5)
d
x - ^ - = y + 2xe~ylx
(3 )
Demostrar que
( x + y ) fl+z>( x - y ) ° **=/;
Rpta.
y + ^x2+ y 2 = c
-
2
Rpta. ^^=111 Alt
es la solución de la ecuación diferencial
(ax - by) dx + (bx - ay) dy = 0
(3 )
( x - y )( 4 x + y)dx + x ( 5 x - y ) d y = 0
Rpta. x(y + x ) 2 = c ( y - 2 x )
(3)
(3x2 - 2 x y - 3 y 2)dx = 4xy dy
Rpta. ( y - x ) ( y + 3x)3 = c x 3
57
Ecuaciones Diferenciales de Prim er Orden
@
y
y
JC
.V
(x - y arctg —)dx + x arctg — dv = O
(y 3 - x 3 )dx = x y ( x d x + y d y )
( 7 l)
4 x 2 + . r y - 3 y 2 + (-5 jc2 + 2xy + y 2) — = O
dx
@
x3y — = jc4
73
(74)
IL
+3jc2_v2 + y4
(yfxy - x)dx + ydy = O
V
R p ta . 2 y arctg — = x ln
X
C “ ÍJ Í^ + V ^ )
-------
X
Rpta. 2 x 2 ln(jc+y) = cx2 + 2 x y - y
R p ta. ( y - * ) 8( y - 2 j c ) 9 = c(y + 2jc)
Rpta. y 2 = - * 2<1+ — ^ )
R pta. ln jc + — - 2 J — =
x
Yx
x y — = 2 x 2 + 3xy + 2 y 2
( 75)
(3jcy + y 2 )dx + ( x 2 +xy) dy = 0
Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales con las condiciones iniciales dadas
( y - VA'~ + y 2 ) d x - x d y = 0 , y(V3) = l
R p ta :
jc 2
= 9 -6 y
y
^
(*y' -y )a rc tg (—) =
JC
jc
, y (l) = 0
R p ta : J x 2 + y2 - e x arctg(—)
JC
..2
©
( 4)
dx
5
y ¿ + 2x y - x
Rpta: y = -x
V
x — = x e x + y , y ( l) = 0
dx
R p ta : ln jc + e * = 1
2
(s)
~ r ~ 1Xy y2 ’ y ( n = 2
dx
2x y - x 2
R p ta : xy (y - x) = 2
(ó )
(x c o s2(—) - y ) d x + x dv - O , y(l) = —
jc
4
R p ta : tg(—) = ln(—)
jc
x
58
Eduardo Espinoza Ramos
©
y 2dx + ( x 2 +3xy + 4 y 2 )dy = 0 , y ( 2 ) = 1
R p ta : 4 (2y + x) Ln x = 2y - x
©
y(A* + y “ )¿a + a ( 3 a
R p ta: 2y - 2 A fcy
~
5
- 5 y ‘ )¿/y = 0 1 y (2) = 1
(3x2 - 2 y 2 )y ’= 2 x y , y ( 0 ) = -l
@
- 3 a
,
0
)dy + 2 x y d x = 0 , y ( 0 ) = 1
R p ta : y 2 - xy + a 2 = 3(y + a)
R p ta : y 3 = y 2 - x 2
y + ACO&2(—)
Tdx ~
x
- - ^ >
R p ta : l + lnA = tg(—)
A
= 74
^ = sec(- ) + ( - ) , y(2) = n
dx
x x
®
(a 3 + y 3 )dx ~ x y 2dy = 0 , y (1) = 0
®
( 3 a 2 + 9 a y + 5 v 2 )</a - ( 6 a 2 + 4 A y ) ¿ y = 0
R p ta : y = x are.sen (Ln 2x - 1 )
,y
(0 ) =
-6
R p ta :
y 3 = 3 A 3 l n x
R p ta :
3a 4 + 4 ( y 2 + 3a - 3 a 2 ) = 0
®
( a 2 —3y 2 )a + 2Ay dy —0 , y (2) = 2,
R p ta : y =
®
( a 4 + y 4 )dx = 2 x * y d y , y (1) = 0
Rp , . ;
®
+ 3 a =
R p ta : a 2 = 2 y 2(y + l)
( a 2 + 2 x y - 2 y 2 )dx + ( y 2 + 2 x y ~ 2 x 2 )dy = 0 , y (0) = 3
(y
*>2.3
( a 2 + y 2M + A>’¿/y = 0 , y ( l ) = -l
3 , .3
( a ‘ + y )dx = 2 xy d y , y ( 2 ) = 1
¿ = 4+¿ +( M
dx
x x
y(¡) = 2
3a
A
J l -
Y
Ln\ex\
4 . ~
2..2
R p ta : x + 2 a y “ = 3
R p ta : v3 = a3
(7>/2 ax)
4
n
R p ta : arctg(— ) —2 ln | a | = —
2a
4
59
Ecuaciones Diferenciales de Prim er Orden
©
22
23
dy
“
x — = x e - ' + y , y( 1) = O
dx
R p ta : y = -x ln | 1 - Ln x
(jc4 + 6 x 2 y 2 + y 4 )dx + 4 x y ( x 2 + y 2 )dy = O, y (1) = O
i*)
2 xye v
dy_
dx
,
(-)
V
R p ta: y = k(l + e y )
. t-r
(-)
y + y “e y + 2jc~e -v
24
( 2 xy + y ~ ) d x - 2 x d y - 0 , y = e , x = e
25)
(x - 3 y sen —)dx + 3 x se n —dy = O, y(l) = —
x
jc
4
(2ó)
R p ta : * 5 + 1 0 x 3y 2 + 5jry4 = 1
R eso lv erla ecuación diferenciál
R p ta : 2x + y Ln x = 3y
(2jc2 + 3xy + 2 y 2 ) d x - x y d y = O de tal modo que la
solución pasa por el punto P(1,0).
y (l) = 2
27
x y ^ = yi - x \
29)
y
2.5.
ECUACIONES
HOMOGENEAS.-
dx
@
dx
x
= cosh(—), y ( l) = 0
dx + [ y c os {—) —jcJ¿/v = 0 , y(0) = 2
DIFERENCIALES
REDUCIBLES
A
Las ecuaciones diferenciales de la forma siguiente:
dy _
d*
ax + by + c
a ’jt + fc’y + c '
No son homogéneas, porque tanto en el numerador como en el denominador aparecen
dos constantes c y c ' , estas constantes se pueden eliminar mediante una traslación,
transformando a la ecuación (1) en una ecuación diferencial homogénea, para esto
consideremos las ecuaciones:
60
Eduardo Espinoza Ramos
... ( 2 )
donde el punió d*. intercepción es (h, k). Si trasladamos el origen de coordenadas al punto
(h,k) las ecua» iones de (2) se transforman en:
az'+b(ú =
de donue
0 a
dx
n ' z + b' io
= 0
y
haciendo el cambio x = z + h, y = ü) + k
= d/. dy = dw, se tiene de (1)
el (O _
dz
iiZ + tHO
a + b <T>
a,
= / ( --------- * - ) = F ( - )
a ' z + b'<o
a'+b\™)
z
•••
(3)
Z
que es una ecuación diferencial homogénea.
Cuando
Z,
njc+bv + c = 0 9 L 2 : í/'.v + fc‘ v + c' = 0
son paralelos no se aplica este
método, sin embanco se tiene:
a _ a
~b~~b'
a = Xa \ b = X b \ de donde se tiene:
d\
r / </A+¿>V + C* .
jP/A ( í / ’.V + ¿7’ v ) + c .
7d.r" = / ( a- r v—
+ bTi y + r :> = f <—o jt + b■, y"+ c . > =
/
.
.
Que es una ecuación diferencial reducible a variable separable.
►X
61
Ecuaciones Diferenciales de Prim er Orden
O bservación:
Otra forma de transformar a una ecuación diferencial homogénea, las ecuaciones
diferenciales que no son homogéneas, es mediante la sustitución de la variable y = Z " ,
ocurriendo esto cuando todos los términos de la ecuación son del mismo grado,
atribuyendo el grado 1 a la variable x, el grado a a la variable y, y el grado a -1 a la
derivada f
. Ademds ,e puede íram form a, a homogénea medíame susúmeíones
adecuadas de acuerdo al problema.
Ejem plos.-
Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales.
(x - 4y - 9) dx + (4x + y - 2) dy = 0
Solución
§ea L x : jc -4 _ v -9 = 0
»
a
L 2 : 4 ; e + y - 2 = 0 , como L xK L 2
=> 3p (h, k) e Lj n L2 , y para esto resolvemos el sistema
f* -4 y -9 = 0
<
=> x = 1, y = -2, es decir P( 1,-2)
[4 jc+ y - 2 = 0
Consideremos x = z + h, y = co + k de donde
x = z + 1,
y = o t)-2 ,
además
dx = dz,
reemplazando en la ecuación diferencial
dy = dw
dada: (z - 4co)dz + (4z + co) dto = 0
... (1)
que es una ecuación diferencial homogénea.
Sea z = uo) => dz = udto + codu
... (2)
reemplazando (2) en (1) y simplificando se tiene:
2
(u + l)dco+(w -4)(údu
f d (0 t u —4
I — + I —-— d u - C
J ú)
J m‘ +1
d(ú
u —4
= 0 , separando la v a r i a b l e
b — — du = 0, integrando
(o
1
=>
-i t
\na)’ (u~* l ) - 8 a r c t g u =
k
-..(3)
62
Eduardo Espinoza Ramos
Como z = u co =>
z
x —1
u = — = ------- reemplazando en (3)
co y + 2
ln[(x - I)2 + ( y + 2)2 ] - 8 a r c t g ( ^ ^ ) = k
y+2
dy _ x + 3 y - 5
©
dx
x -y -1
Solución
Sean L, : x + 3 y - 5 = 0
a
¿ 2 : x - y - l = 0 , como
entonces:
B p (h,k) e Li n L2 , y para esto resolvemos ebsistema.
x + 3y - 5 = 0
jc - y
- 1 =0
Consideremos
Í jc = 2
=> ]
=* P( 2,1)
[y = 1
>
x = z + 2, y = 0) + 1, dx = dz, dy = dco
...(1)
a la ecuación diferencial dada expresaremos así:
(x + 3y - 5) dx - (x ~ y - 1) dy = 0
...(2 )
«
reemplazando (1) en (2) y simplificando: (z + 3 (0) dz - (z - co) dco = 0
... (3)
es una ecuación diferencial homogénea:
Sea
o) = u z
=>
dco = u dz + z du, de donde al reemplazar en (3) y separando la
ui
•
dz
(u-\)du
variable, se tiene: — + —------------= 0 ,
z
u + 2 u +1
.
integrando
+ 2 m+ 1
*+ y -3
4 x y 2 dx + ( 3 x 2 y —\)dy = 0
Solución
Sea y = z a => dy = a z a_ld z , reemplazando en la ecuación diferencial se tiene:
4x z 2ad x + (3 x 2 z 20-1 - z * ~ l ) a d z = 0
...(1 )
63
Ecuaciones Diferenciales de Prim er Orden
Luego 2 a + 1 es el grado de 4 x z “
2 a + 1 es el grado de 3jc2z 2“h
a - 1 es el grado de z a_l
y para que la ecuación (1) sea homogénea debe cumplirse
2 a + l= a -l= > a = -2 ,
4x z~*dx + (3jc2z
■
~
2
- l)(-2 z
y = z a =>
como
"
3
)dz - 0
,
y = z ~2 =>
dy = - I z ^ d z
de donde
4xz dx - 2(3a 2 - z 2 )dz = 0 , que es una ecuación diferencial homogénea.
Sea z = u x => dz = u dx + x du, reemplazando en la ecuación diferencial homogénea se
tiene:
4 x 2 u d x - 2 ( 3 x 2 - u 2x 2)(u dx + x d u ) = 0
de donde simplificando y separando la variable se tiene
2
dx u - 3 .
.
— + —?
du = 0, integrando se tiene:
* * uó - u
— —du = C => Ln x + 3 Ln u - Ln (u" - 1) = C
Í
V
^
M
=
J IT -K
como
u = Z , y = z 2 se tiene:
x
y (l-A :2y ) 2 = K
( y 4 - 3 x 2)dy = - x y d x
Solución
Sea
y = za , a e
R => ¿y = a z a' lí/z
reemplazando en la ecuación diferencial dada: x z a dx + ( z 5a 1 —3jc2z a ') a í / z = 0 ...(1 )
para que la ecuación (1) sea homogénea debe cumplirse
64
Eduardo Espinoza Ramos
Como
y = z a => y = z U2
1 -=> d y ~ ~ z 2dz
*..(2)
reemplazando (2) en (1) y simplificando se tiene: 2x z d x + { z 2 - 3 x 2 )dz = 0
... (3)
que es una ecuación diferencial homogénea.
Sea
z = ux => dz = udx + xdu
... (4)
reemplazando (4) en (3) simplificando y separando la variable
dx m2 - 3 ,
— + —:-----du = 0.
x
u
como
.
integrando
[dx
f« 2- 3 .
^
I — + 1 —:----- du = C
J X
u = Z , y = Vz
x
J u
-w
, w3 . ^
=> ln x + ln(—-— ) = C
u
-1
x 2 = y A + K y fi
se tiene:
y eos x dx + (2y - sen x) dy = 0
Solución
Sea z = sen x => dz = eos x dx, reemplazando en la ecuación diferencial dada se tiene:
ydz + (2 y -z )d y = 0
.-.(1)
Que es una ecuación diferencial homogénea.
Sea
y=uz
dy = u dz + z du
... (2)
reemplazando (2) en (1), simplificando y separando la variable se tiene:
dz 2 u - 1
— + ' ■ ^ Á d u = 0. integrando f — + f ^ -,~du = C, de donde 2y Ln y + sen x = 2 cy
2u
J z J 2u 2
z
(ó )
(2x2 +3 y 2 - 7 ) x d x - { 3 x 2 + 2 y 2 - S ) y d y = 0
Solución
us x
=* du = 2x dx, v » y m=> dv = 2 \ jy
reemplazando en la ecuación diferencial dada.
65
Ecuaciones D iferenciales de Prim er Orden
( 2 m + 3 v —7 ) — —(3 m + 2 v —8 )— = 0 , de donde
2
2
... ( 1)
(2 u + 3 v - 7) du - (3u + 2 v - 8) dv = 0
Sean
L, : 2u + 3v - 7 = 0
como L,
L2 ^
a
L-> : 3w + 2v - 8 = 0
3 p (h,k) e L, n ¿ 2 y para esto resolvemos el sistema siguiente
2« + 3v - 7 = 0
w= 2
3w + 2 v - 8 = 0
v= l
p(2,l)
Sean u = z + 2, v = ü) + 1 reemplazando en (1)
(2z + 3(0) dz - (3z + 2(0) d (0 = 0
Sea
(ú = zn =*
...
variable se tiene:
... (2)
que es homogénea.
d(o = z dn + n dz, reemplazando en (1), simplificando y separando la
^dz
2/t + 3 f
_ .
2 — + —=
dn = 0, integrando
2 ^ + f e a * . *
z J « —i
z n
-1
n- 1
L n z 2 ( n 2 - 1 ) + —L n
2
n+1
y 4 - jc4 + 4jc2 - 2y ” - 3 ¿ L n
2
v■>
i
•> N>
+
£0
2
i
como n = — ,£ü = v - l = y - 1 , z = u - 2 = x " - 2
z
=K
y + x*~ - 3
E J E R C IC IO S PRO PU ESTO S.»
I. v
Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales
dy _ x + y + 4
©
dx
©
(x - 2y + 5)dx + (2x - y + 4)dy = 0
jc—y - 6
R p ta. arctg(^ + ^ ) = L n J ( x - l ) 2 + (y + 5)2 + C
jc-1
R p ta . y - j c - 3 = t f ( x + y - l )
66
Eduardo Espinoza Ramos
dy _ a + y —1
®
©
dx
R pta. arctg(——-) = L n J x 2 + ( y - \ ) ~ + C
*
x - v +1
( a + v 3 ) + 6 jt y 2 y ' =
0
R pta.
3
ex 1/2 - x
3
3 * + y - 2 + /( * - l) = 0
R p ta . ( x - l) ( 3 x + 2 y - 1) = K
dy
2 y - x +5
©
dx
2a - w
v -4
R p ta. ( jc + y + 1) 3 = K ( y - x - 3 )
©
( - 4 x + 3 y - 7 )d x - ( x + 1 )d y = 0
R pta. y - 2x —3 = C(jc + 1)3
(2 x + 3 y ) d x + ( y + 2 )d y = 0
R p ta. ( 2 j r + y - 4
)2
= * ( y - x - l)
( 6x + 4 y -
R pta. ( y + 3 . * - 5
)2
= C (/ + 2 x - 3 )
©
©
®
®
R p ta . ( 7 y + 3 jc + 6 ) 7 ( _ v - . t - 2 ) 4 = k ( x + 2 )
( 3 y - 7 x + 7 )d x - ( 3 x - 7 y - 3 )d y = 0
R pta. U + y - l ) 5 U - > - l ) 2 = C
( 2 x - 4 y ) d x + ( x + y - 3 )d y = 0
R pta. ( v - 2 a + 3 ) 3 = C ( y - ^ + l ) 2
( x - y + 3 ) d x + ( 3 x + y + 1)d y = 0
2x+2
R p ta. y = \ - x + cex+y_l
dx
dv
®
®
@
+ ( x + y - 1 )d y = 0
( 3 x + 5 y + 6 )d x = ( 7 y + x + 2 )d y
d +\
®
8 )d x
tlx
v - .v
w
2x - v
2
4.v + 3 v + 1 5
2x+ y +7
(x - 4 y - 9 )d x + ( 4 x + y - 2 )d y = 0
(x - 4y - 3 )dx - (x - 6y - 5)dy = 0
R p ta. | y - x | = c | y + x |3
R pta. | v + j : + 4 || v + 4a + 1 3 |2 = ¿
R p ta. In(( a* - 1)2 + ( y + 2)2 ) -
8 arcta(—— - ) =
v+ 2
R pta. ( j c - 2 y - l ) 2 = C { x - 3 y - 2 )
C
67
Ecuaciones Diferenciales de Prim er Orden
x-\
( l8 )
(x - 3y + 2)dx + 3(x + 3y - 4)dy = O R p ta. l n [ ( A - l ) 2 + 9 ( y - l ) 2] - 2 a r c tg (
©
(x + 2y - 1)dx - (2x + y - 5)dy = O
R p ta. (x - y - 4) = C (x + y - 2)
(20)
(x + y - 4)dx - (3x - y - 4 ) d y = O» y (4) = 1
R pta. 2 ( A + 2 y - 6 ) = 3 ( A - y ) l n ( - — - )
(2 l)
(2x - 3y + 4)dx + 3 (x - l)dy = O, y (3) = 2
R pta. 3 ( y - 2 ) = - 2 ( A - l ) l n (
)= C
3 (y -l)
)
,1
22
dy _ x - y + 2
dx
*>
R p ta. ( 2 y - 3 ) “ + 2 (2 y -3 (2 jc + l) + ( 2 . * + l r = K
x + y -1
dy _ 2x + 3y + l
dx
w
R pta. ln
x -2 y + l
2z2 +
2aw> +
= arctg
@
0
0
©
0
0
0
[ 2 z + mJ
w2
1
w = y--,
( 2z - w \
5
’=*+-
(4x + 3y + 2)dx + (5x + 4y + 1)dy = 0
R pta. 4 1 n ( .v + y - l) =
(x - 2y + 3)dy + (2x + y - 1)dx = 0
R pta. x 2 +.yy - y 2 - x + 3 . y = C
(x - y + 4) dy + (x + y - 2)dx = 0
R pta. x 2 + 2 x y - y 2 - 4 x + 8 y = C
(4x + 3y - 7) dx + (3x - 7y + 4)dy = 0
R pta. 4 x 2 + 6 x y - 7 y 2 - l 4 x + 8y = C
dy
2jr + 3y + l
dx
3 a —2y —5
JC+ 5 + C
x + y -1
1
R p ta . l n |( x - l ) 2 + ( y + l ) 2 | - 3 a r c t g ( ^ ^ - ) = C
a
-1
r
(5x + 2y + 1) dx + (2x + y + 1) dy = 0
(x - 2y - 3) dx
+
(2x
+
y
- 1)
dy
=
0
R pta.
R pta. 5 a*2 + 4xy + y 2 + 2A + 2 y
=
C
-
v
+
1
\ n C ( x 2 + y 2^ 2 . v + 2 y + 2) + 4 a rc tg (^ -^ -) + C
jc—1
*
68
Eduardo Espinoza Ramos
©
(2x - y - 1) dx + (3x + 2y - 5) dy = O
Rpta. Ln^Jy 2 + J t y - 3 y - 3 j r + 3 + -^ rtfrc.tg
V3
dy - ( X+y
di
v- /
(3 )
4 * -4
)2
* —- = C
4 x -4
Rpta. x = \ + ce x~Ay 2
(9x + 7y - 5) dx + (5x + 4y - 3) dy = O
Rpta. l n | l 4 y 2 + 1 2 x y + 9 * 2 - 4 4 y - 6 x + 4 1 | - - ^ ^ - a r c t g ( ^ ^ ( ——- + —)) = C
15
14 x + l 7
(3 )
(4x + 1 l y - 4 2 ) dx + (1 l x - 9 y - 3 7 ) dy = O
dy _ 6jc + y -1 2
dx
(3 )
6 jc -y -1 2
2 . . 2 _ ^ 2arc'S(¿ ¡ )
Rpta. (jc—1) + y = Ke
(4x + 3y + 2) dx + (5x + 4y + 1) dy = O
Rpta. 4 1 n |x + y - l | =
dx
39
Rpta. ( y - 2 * + 4 )4 = C ( y - 3 j t + 6 )3
¿/y _ x + y -1
dx jx—y —1
dy _ 1 ,-r + y - l 2
38
Rpta. 4 * 2 + 2 2 x y - 9 y 2 -8 4 jc -7 4 y = C
2
x+2
Rpta. 2 arctg(
v —3
jr + 2
jr+ y -1
) = In(jc + 2) + K
(2x - 3y + 4) dx + 3 (x - 1) dy = O, cuando x = 3, y = 2
Rpta. 3 ( y - 2 ) = - 2 ( * - l) ln ( —
II.
®
+C
,
)
Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales.
y Jdx + 2(jc2 - x y 2)dy = 0
Rpta. y = ;cln cy
U + y 3 Wx + (3y 5 - 3 y 2x)dy = O
Rpta. arctg(— ) = —ln | jc2 + y6 | +c
x
2
69
Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
(> '+ j V - O
©
©
’4 + 1
)<£* + 2 x d y =
R p ta . y j x 2y 4
0
d\
3a2v + v 2
.
- r = ------ ==— — ; v(l) = 2
dx
2 x + 3 x v«r
(1
- xy 2 )dx -
2a 2y
dy =
= cy2+ l
+1
R p ta . A3y 2 + x y 3 = - 4
R p ta . a v 2 = ln A + C
0
©
dx
x 2 (1 - a v ) — +
dx
©
(2 v 2 - 3 a ) d x + 2 x y d y = 0
R p ta .
©
( y 2 - 3 x 2y)d x + x *d y =
R p ta . y ( A - c ) = A 3
©
2 ( x y 2 + \ ) d y + y 3d x = 0
R p ta . a •v 2 +
@
-> d y
7
( 1 - A ~ y ) — + 2 . w fc = 0
dx
R p ta .
©
©
©
©
(1
+ av - x 2 v 2) =
R p ta . A 2 y
0
0
a
2
-2 A y -2 1 n a
V+ -
a
2
3 =
c
ln *v = c
1 - 2 a 2 *v
= c *v 2
y (3 - x y ) d x + x (2 - x y ) d y = 0
rv
R p ta . x v ' - c e ^
( a + 2 a 2 y ) d y + (2 y + 3 x y 2 ) d x = 0
R p ta . a 2 v ( 1 + a v ) = c
2
%d \ „ •y
~
( a 2> + A ) -7 - + ( A y - - y ) = 0
dx
R p ta . y = c x e ' ™
(a2
^
R p ta . y
- 2 y 3 )d A + 3 x y 2d v = 0
3
= A 2 ( c - ln a)
1
©
©
©
R p ta .
( A + y 3 )dA + 6 x y 2 d y = 0
dy
y jx + y + ^ J x -y
dx
^ jf+ y - ^ A - y
(2 + 3 a t 2 ) d v - 4 a 2 y d y = 0 su g . y =
——— + Kx~ ^
3
R p ta . * + ■J.v2 - y 2 = c
v a '1
5
R p ta . 2 + 5 x y 2 = e x *
70
Eduardo Espinoza Ramos
@
dv 2v Jt3
v.
— = — + — + x t g í - ^ ) sug. v = v.v
dx
x
y
x 1-
“
>
y
R pta. v" eos - + y sen
@
~ - — ,+
dx
2x v - 2 v
R pta. —Ln
20
v = e x•*
x
(xug.x = u p . y = i'*)
2
X 6 + V*
+ are.tg (— ) = c
^
*>
v“
(x + v )2( x d v - v¿/x) + [ v 2 - 2 x 2( x + x ) 2](dx + d \ ) = 0 , sug. z = x + y , u = —
x
R pta. ( y ~ x 2 - x y ) ( x + y ) J = c(y + 2 x ‘: + 2xy)
©
22
dy_
1
O
3x ~ y + y ~
dx
2x3 + 3xy
-
R pta. x 3y 2 + x y 3 = - 4
; y(l) = - 2
( y 2 - l n x y x + xy3í/v = 0 ,
sug. x = e ‘\
y = yJz
R pta. (3 —^ 3 ) L n y 2 +(1 —> Í 3 ) L i í x + (3 + V3)L/i v2 + (l + V3)L/i a = c
23
@
26
x 2 y d x - ( a 3 + y 5 )¿y = 0 ,
sug. x = uy
R pta. 3 y 5 - 2 x 3 = c y
2J r
x ( x + >¡ y ) d x + 2 %
Jy dy = 0. sug.y = u 2
R pta. lnx f 4 f
( 3 t g x - 2 c o s y ) s e c 2 x ¿ /x + tg x s e n y ¿y = 0
R pta. c o s y tg 2 x = tg 3 x + c
Jo
—j
4r
+r+ 1
=c
Pruébese que con la ayuda de la sustitución y = ux, podemos resolver cualquier ecuación
de la forma y n f ( x ) d x + H ( x %y ) ( y d x - x d y ) = 0 donde H (x,y) es fynción homogénea en
x e y.
27
( x V + A 4 V4 + x 4 v + x 2 v 4 + V4 + V5 )í¿U'--(X3 V2 + A3 + XV’4 ) d\ = 0
R pta. x 4 v 3 + 3 a 2 v 3 - 3 v 3 - 3 y 4 + 3 x 2 v 2 + x 4 = Kxy3
71
Ecuaciones Diferenciales de Prim er Orden
28)
( jc3 y 4 + x 5 y $ + x 5 y 2 + x 3y 5 + y 5 + y 7 ) ¿ * - ( x 4 y 3 + x * y + x y 6 ) dy = O
^
x
1
y" x x
R p ta. — + x ------ r ------ - + “ *+ — r = C
3
2*2 2 x 2 y 3y
29)
Demostrar que la ecuación diferencial — = --------------------^
y ^ 'f A 'x + f i'v " ')
Se puede
transformar en
una ecuación diferencial homogénea, haciendo el cambio de variable u = y m.
30)
Demostrar que la ecuación diferencial — = —— ( Ay + Bx ) ^ se puede transformar en
¿ ' v0 + 5 ' x m
una ecuación diferencial homogénea, haciendo el cambio de variable u = y m.
®
^32)
^ - = -^1—
dx
— dx
(33)
2xy
35)
®
R p ta . x = Ke x
- + _* , swg.z = x3
R pta. 3 y 2 - 6 y x 3 - x 6 = c
y-x*
( 2 x y - 4 x * ) d x - ( 2 y - x 2)dy = 0
y+
( 34)
W
sug.z = y 2,
R pta. y 2 - x 2y + x 4 =,c
x
R p ta. x 2 + 2xy3 - 3 y 6 = c
3— = — r~——
¿ r 3y - x
(4xy2 - 6 y ) + ( 4 y 2 - 3 x ) d y = 0 ,
Jx
'
dx
z = y2
R p ta. x2 - 3 x 7 2 + 2 y = C
Rp«.
jcy“ + l
yf)
sug.
y
y
=,
R p ta . l x + y f S - , 1 = c
x - 2 yvx
i
72
Eduardo Espinoza Ramos
@
(2 * - y 4 )¿c - 4 y 3 (* +12 y 4 )</y = 0
R p ta. x 2 - x y 4 - 6 v 8 = c
0
(xy2 + y ) d x - x d y = 0
R pta. x 2y + 2x = cy
(x —y 2 )dx + 2 xydy = 0,
R p ta. x e y2/x = K
(3*5 + 3.r2 y 2 )dx + (2 y 3 - 2 a 3 y)dy = 0
R pta. ln(x3 + y 2) - 2 a r c t g - ^ - =
2.6.
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS EXACTAS.a)
D IF E R E N C IA L T O T A L :
Si
/:
R2
R , es una función diferenciable en
( x , y ) e R 2 , entonces la
diferencial total de f es la función df, cuyo valor está dado por:
d f ( x , y ) = ---- 1------- dx + ----=-------dy
dx
dy
b)
D IF E R E N C IA L E X A C T A :
Una expresión de la forma M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0, se denomina exacta si
existe una función / :
D e / ? 2 —»/? tal que:
Es decir, que toda expresión que es la diferencial total de alguna función de x e y se
llama diferencial exacta.
c)
D E F IN IC IÓ N :
Consideremos la ecuación diferencial.
... (a)
M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0
Si existe una función z = f (x,y) tal que:
d f ( x , y)
- = A f(*,y)
dx
a
df(x,y)
dy
Kr/
= N(x,y)
diremos que la ecuación (a ) es una ecuación diferencial exacta
73
Ecuaciones Diferenciales de Prim er Orden
d)
TEOREM A:
La condición necesaria y suficiente para que una ecuación diferencial
M(x,y) dx + N(x,y)dy = 0, sea exacta, es que:
I
E jem plo: La ecuación diferencial ordinaria.
( e x sen y - 2 y s e n x)dx + ( e x eos y + 2cosjc)dy = 0 es exacta porque
x
~
M ( x, y ) = e sen y - 2 y sen
y ) = e x eos y + 2 eos
A
A
e)
=>
jc
r
----------------= e eos y - 2 sen x
dy
dyV(jc, y)
— —-— = e x eos y - 2 sen jc
de
d N ( x t y)
dx
A
de donde —
jc
dAÍ(jc,y)
dy
Solución de u n a Ecuación Diferencial E xacta
Consideremos la ecuación diferencial exacta.
| M (x,y) dx + N (x,y) dy = 0 |
... (1)
Entonces existe una función f (x,y) tal que
■'
dx
■
AJ/
v
= M { x , y ) --- y
df(x,y)
—^ -------= N ( x 9y )
ay
.-.(2)
reemplazando (2) en la ecuación (1) se tiene:
=
ax
= 0
dy
por otra parte, si z = f(x,y) entonces su diferencial total es:
..( 3 )
74
Eduardo Espinoza Ramos
_ (4)
dx
dy
Luego al comprobar (3) y (4) se tiene:
'
dz = 0 => z = c, es decir
f (x,y) = c
Que es la solución de la ecuación diferencial.
Com o
— = A /( jc, y) integramos con respecto a x.
f ( x ,. y)
y) =
- J M (a-,y) + g ( y )
... (a )
donde g (y) es la constante de integración, que es una función que depende sólo de
la variable y, puesto que la integración es con respecto a x, derivando la ecuación
(a ) con respecto a y es decir;
Como d
de donde
dv
^ / ( aO ) _
dy
dv
J a / ( v, y)dx + g '( y)
v) entonces se tiene: N( x , v) =
g '(y ) = N ( x . y) -
| M ( x 9y)dx + g ‘(v)
d í ...
J M (jc, y)dx] 'integrando
dy
g ( y ) = í [ ^ V ( ^ y ) - ^ j A f ( j : t y)£Íar] d y + /wj....(j3)
... (P)
Reemplazando (p) en ( a ) se tiene la solución general de la ecuación diferencial í 1);
^
en forma análoga se hace para el otro caso cuando se t o m a
y \
— = N ( x , y) y se
dv
0
integre con respecto a la variable y.
f)
(T )
Ejem plos: Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales:
( 2 xy 2 + 2 y ) dx + (2a 2y + 2 x)dy = 0
Solución
15
Ecuaciones Diferenciales de Prim er Orden
dM(x,y)
M (.v, v) = 2xy + 2 y
dy
= 4xv + 2
de donde
«*
dN(x,y)
N(x* y) = 2x~y + 2x
dx
dM(x,y)
dN(x,y)
dy
dx
= 4 av + 2
por lo tanto la ecuación diferencial es exacta;
d f (a, v)
------- -— = Af ( a , y ) , de donde
dx
entonces 3 f (x ,y ), tal que
fl f ( Y
dx
f
:— = 2 x y 2 + 2 y , integrando respecto a x se tiene: / ( x , y ) = I ( 2 x y 2 + 2y)<¿v + g ( y )
J
f ( x < y ) = x 2 y. 2 +2.vy + g (y ) derivando respecto a y.
5 ^ - v2 = 2 , V
dy
= A/U, V)
N ( x , y) = 2A“y + 2a.+ g '( y )
se tiene
2a"_v
2* - S W . pero como ¿ 4 ^
dy
+ 2 x + g ’(y) = 2x fcy + 2 x
=>
g'(y) = 0 ^
g(y) = c
x 2 v 2 + 2 xv = K
f ( x , y) = x ‘ y~ + 2 xy + c
©
(ex sen y - 2 y sen x)dx + ( e x eos y + 2 eos x)dy = 0
Solución
dM
M (x, y) = ex sen y - 2y sen x
(a,
y)
dy
d N ( a , y)
N (a, y) = ex eos y + 2 eos x
de donde
existe
una
= e* co sy -2 sen A
7) = d N (A ,y ) ^ por |Q tanto |a ecuac¡5n diferencial es exacta, entonces
dy
dx
función
<?/(*, y) = ex sen y dx
dx
= ex c o s y - 2 s e n A
f(x,y)
tal
que
d f ( x y)
-------------= M ( a , y ) .
dx
2y sen x , integrando respecto a x.
Luego
tenemos
76
Eduardo Espinoza Ramos
/ ( xX, yy ) == JI (ex
(*Jts e n y - 2 y s e n x ) d v + g (y )
f ( x , y) = e sen y + 2y co sx + g( y), derivando respecto a y.
d f ( x %y)
*
-*
^ v \
df(x,y)
— ------ = e c o sy + 2 c o sx + g ( y ) , c o m o --------------= 7v(x,y)
oy
dy
entonces N ( x , y) = e x eos y + c o sx + g ’(y)
e x e o s y + 2 c o s x + g ' ( y ) = e x c o sy + 2 c o s x
Luego
=> g '( y ) = 0 =*■ g (y ) = c
f { x , y ) = e JCs e n y + 2 y c o s x + c
e x seny + 2 y co sx = K
(2jcv 3 + y c o s x ) d x + ( 3 x 2y 2 + sen x)dy = 0
Solución
dM(x,y) ~
\
--------------=o,xy + co s x
dv
M (x, y) = 2xv3 + y eos .v
dN(x,y)
¿
------------ = 6 xv + eos x
<?x
N (x , y) = 3x“ y" + sen x
,
<?A/(x, y) ¿JV (x,y)
* • ,
de donde ---------- — = ----------— , por lo tanto la ecua 9ion diferencial es exacta, entonces,
dy
dx
existe una función f (x,y) tal que ------— — = A/fx, y ) ' Luego tenemos:
<?x
v . ‘ *¿ /U y )
,
-------------= 2xy + y c o sx , integrando respecto a x . . .
dx
.
/ ( x ,'.y)
y) =
= J|( 2 x y + ycosx)¿/x + g ( y ) , de donde
/(■** y)
2 1
= x y ' + y sen x +
g(y),
derivando respecto a y
<?/(*»>) = 3JC2y 2 + se n .Y+ g ’( v ) , como
ay
= W(x,y)
<?y
11
Ecuaciones D iferenciales de Prim er Orden
entonces N ( x , y ) = 3 x 2 y 2 + sen a + g ' ( y ) ; de donde
3a
..2..2
y " + s e n x + g ,(y)
'y i
= 3A‘ y “ + s e n A
g ( y ) = 0 => g(y) = c
1te i
Luego / ( a , v ) = a \ v * + y sen A + c
A*
@
1
a 2 y 3 + ysenA = K
1
- 4----i— )dx + (
(—. .
+- ~ ) d y = 0
yjx 2 + y 2
* .V
yjx2 + y 2
y y
Solución
A í(x,y) =
y¡x 2 + y 2
*
<9 A/( a, y)
-Ay
1
<9 y
(a + y **) *
y~
(9 * U y )
- ay
1
( a 2 + y 2 )3/2
y2
y
1 *
+ ---W U y) =
V -r + y2 y y
j j j
dM(x,y)
dN(x,y)
.
.
w ...
de donde ------------- = -------------- , por lo tanto la ecuación diferencial es exacta, entonces
dy
dx
existe
una función f (x,y) tal q u e
df(x,y)
x
1 1 .
+ —+ —, integrando respecto a x.
<Jx2 + y 2 x y
dx
f(x,y)=
J Jx2
V
df(x,y)
— 7------ =
¿y
dx
— = M ( a , y ) . Luego tenemos:
I
+ - + -)< fr+ g(y)
+ y2
x y
i
X
x + y “ +Ltix + — + g ( y ) ,
y
i ,
y
derivando respecto a y.
^
d f ( x , y ) kll
— ^ + « ( v ) como — ------- = N ( x , y )
V*2+ y2 y
¿y
y
jc
entonces N (a, y) = --------- — - + g ’(y); de donde
y¡x2 + y 2 y
78
Eduardo Espinoza Ramos
~^+g\y) =
+y2
y2
V
+ - - A r => g 'U ) = 0
yjx 2 + y 2 y y
i
X
x" + y" + Lnx + — + Lnv + c
g(y) = ln y + c
yjx2 + y 2 + Lnxy + — =
y
y
©
K
(sen y + ysen.v + —)dx + {xcos v - c o s x + —)dy = 0
*
y
Solución
M ( jc, y) = sen y + y sen x + —
x
y) = x c o s v - eos x + —
d M ( x , y)
dy
dN(x,y)
V
dx
= eos y + sen x
= eos v + sen jc
. , , d M ( x t y) d N ( x %y)
.
.
,.r
. .
de donde ----- :------- = -------------- , por lo tanto la ecuación diferencial es exacta, entonces
dy
dx
existe
una función f (x,y) tal que d / f o > ) __
dx
.
Luego tenemos
f(x< y) =
yy
d f ( x t y)
1
,
— -—— = sen v + y sen x + —, integrando respecto a x.
dx
'
xi
(sen y f y sen x + - )dx + g{ y )
f(x,y) = x sen y - y eos x + ln x + g(y), derivando respecto a y
d f ( x , y ) _ jrC0Sy _ c0SJt + g»(yj Como
dy
= N ( x , y ) , entonces
dy
N( x, y) = .veos y - c o s x + g ' ( y ) , de donde
1
x c o s y - c o s j r + g (y) = x c o s y - c o s . v + —
v
g'(y) = — => g(y) = ln y + c
79
Ecuaciones Diferenciales de Prim er Orden
Luego f (x,y) = x sen y - y eos x + L n x + L n y + c
x sen y - y eos x + Ln xy = K
x
(------^ + are. tg y)dx + (------- + are. tg x)dy =0
1+ j r
l + v-
y
©
Solución
v
M (x , y) = — —
'
+ arc.tg y
1+ x
x
N U* -V) = ------ 7 + a rc ' l§ v
1 + v“
dM(x,y)
dy
1
1
+—
1+ j r
1+ v2
♦
dN(x,y)
1
dx
1 + v2
+
I
1+ x 2
i j j
dM(x,y) dN(x.x)
.
.
w ...
. .
de donde ----- ;— — = -----:— — , por lo tanto la ecuación diferencial es exacta, entonces
dy
dx
existe
una función f (x,y) tal que — —
dx
=M
( j c , y ).
df(x,y)
v
Luego tenemos: — ----- — = ——- + arctg y integrando respecto a x
dx
1+ * “
+ arc.tg y)dx + g ( y ) f efectuando.
f(x
f (x,y) = y arc.tg x + x are. tg y + g (y), derivando respecto a y.
d f ( x , y)
dy
x
dM(x,y)
= arc. tg jc •+■------ - + # ( > ’) .C o m o —
dy
1+ r
entonces
N (jc, y) = arctg x + ------ + g ’( y ) , de donde
i+r
arctg jc +
*
+ g '( y ) =
* „ + arctg jc
1 + v2
Luego f (x,y) = y arc.tg x + x arc.tg y + c
dN(x,y)
dx
=> g ' ( y ) = 0 => g(y) = c
.*. y arc.tg x + x arc.tg y = K
80
Eduardo Espinoza Ramos
g.
I.
E J E R C IC IO S P R O P U E S T O S .
Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales en caso de ser exactas:
(2xy - tg y)dx + ( x 2 - x sec 2 y)dy = 0
R p ta : x 2 y - x tg y - K
(sen x sen y - xe y )dy = (e y + eos x eos y )dx
R p ta : x e ' + eos y sen x = K
(y + y eos xy) dx + (x + x eos xy) dy = 0
R p ta : xy + sen xy = K
(5 )
(— + 6 x)dx + ( L n x ~ 2 ) d \ = 0
x
R p ta : v l n x + 3 x 2 - 2 y = K
(5 )
(eos 2y - 3.v2y 2 )dx + (eos 2 y - 2x sen 2 y - 2jc3 y )dy = 0
©
„
sen2v
^
^
R p ta : -------- + A*cos2y-;t y * = c
e * ( x 2e x + e JC+ xy + y ) d x + ( x e x + y)dy = 0
v2 e 2x
,
R p ta: xve + — + — (2 x “ -2 jc + 3).í = c
F
2
4
v
(1 + y 2 + jn»2 )¿x + ( * 2y + y + 2xy)<£x = 0
©
(3jt^ tg y - ^ ~ ) d x + (.v3 sec2 y + 4 y 3 +
X'
(2.v + *
t
'V~)dx = *
)dy
x'y
xy“
X
R p ta: 2 * + y 2(l + jc)2 = c
)¿y = 0
R p ta : .v3 tg y + y 4 +
X’
=c
R p ta : x * y + x 2 - y 2 =c x y
®
sen 2 x
. ,
.
sen jr ,
_
(--------- + * ) ¿ t + ( y ------- -—)í/y = 0
v
v
(Í7 )
( ^2!— + 2 x y - —)rfx + (VT+jr2 + X2 - Lnx )dv = 0
_ A sen‘ * r + y ‘
R p t a : ---------+ ------- — = c
v
2
R p ta :
y v i + x 2 + x 2y - yLwx = c
81
Ecuaciones Diferenciales de Prim er Orden
©
©
©
©
©
©
4
4
( y - x 3)c¿x + (x + y 3)¿/y = 0
Rpta: 4 xy - a
(y + y eos xy) dx + (x + x eos xy) dy = 0
Rpta: xy
( x - 1 ) '1ydx + [ Ln(2x - 2) + —\dy = 0
y
Rpta: y Ln |2x -2|
(3x2 + 6xy 2 )dx + (6a 2y + 4y 3)¿y= 0
\
Rpia: x'
(9jc2 + v
Rpta: 3a3 + x y - A - 2 y 2 = c
- 1 ) - ( 4 v - D
—
dx
=0
(y sen x - sen y) dx - (x eos y + eos x) dy = 0
+y =c
+ sen xy = c
+ Ln y = c
»
1
+ 3a y* + y*
4
Rpta: x sen y + y eos x = c
3
3
-
2
■*
f -
3
?
(3x2 + 3xy2)¿x + (3A2.v-3y' ! + 2 y)dy = 0
Rpta:
— dv + (2 Ln5 y + —)dx = 0
Rpta: Ln x + 2x Ln y = c
e
K2
r
+
r
f
+
^
=c
x
2
(dy + 2xydx) = 3a dx
Rpta: yí>
a
2
2*
^
= a' + c
3 ,
= A +C
e 2x (dy + l y d x ) = x 2dx
Rpta: 3ve
r
©
y 3 sen 2 x d x - 3 y 2 eos2 x d y = 0
Rpta: y 3(1 + eos 2 a )
©
(ye ** eos 2 x - l e xy sen 2 x + 2x)dx + (xe xy eos 2x - 3)dy = 0
®
=c
1
y
©
a
Rpta:
e™
cos2x + x
c
=
2
-3 y = c
(24)
( ax 2 + 2bxy + c y 2 )dx + ( bx 2 +2cxy + y 2 )dy = 0 r
Rpta: o x 3 +3bx 2y + 3cy 2 + y 3 = c
(25)
(jc2 + y e 2y ) d x + ( l x y + x ) e 2ydy = 0
Rpta: x 3 + 3 x y e 2y = K
(26)
(sen x + sen y) dx + (x eos y + eos y) dy = 0
Rpta: (x + 1) sen y - eos x = K
Eduardo Espinoza Ramos
82
©
e x (y* + x y 3 + l)Jx + 3
©
4 x * - e * y ( y + x)>') = 0
©
®
,
dx-
y 2 (A £ *
ydx
x
I-A "y”
1 —x" y ”
r -r +
~ 6 )dy =
0
^~rdy
R p ta: x e x y* + e x
~ 6 y 3
-c
R p ta : x A - e * * = c
R p ta:
1 + xy
?J[
Ke~
\- x y
(3 a 2 + 6 a v - y 2)dx + {3x 2 - 2 x y + 2 y 2)dy = 0 R p ta : a*3 + 3 a 2 y —xy~ + y 3 = c
+ y
X+ V
+ ------]d x + [ l n ( A - v )
—]dy = 0 R p ta : (x + y) Ln (x - y) = c
x-y
x-y '
©
lln(A -y)
©
X
(— + Lny)dx -f (— + Lnx)dv = 0
x
y
©
sec.v(tgx íg y + y sec.v)í/.v + (sec x.sec" y + tgAWy = 0
©
(1 + tg(xy))¿¿x + (sec(xy). tg(xy) + a sec” ( a t ) ) . ( a dy + y ¿ a ) = 0
V
R p ta: y Ln x + x Ln y = c
R p ta: sec x. tg y + y ig x = c
R p ta : x + sec (xy) + x tg (xy) = c
©
(5 a 4 - 9 x 2y 2 + 5 y 4)¿A + 2xy(10y2 - 3 x 2)dy = 0
R pta: a 5 - 3 x 3y 2 + 5 x y 4 = K
©
x
(1 + Lnxy )dx + (1 + ~ ) d y = 0
V
R p ta : x Ln (xy) + y = K
©
(ye* + e y )dx + (e* + x e y ) d y - 0
R p ta : ye* + x e y = K
1
1
1 1
- ) d x + x ( - + --------- - ) d v = 0
(x-y)'
2 (x-y)-
xy
v
R p ta : — + —-— = K
2 x-y
©
>•(
©
>•(«■” + y) dx + x ( e xy + 2y) dy = 0
R p ta :
2
—d y - { - ^ — + x ) ¿ v = 0
x
2x 2
R p ta :
2
+ .vy 2 = K
y 2-
a 3 = ca
Ecuaciones Diferenciales de Prim er Orden
(42)
(xy " - y) dx + x(xy - 1 )dy = O
Rpta: Ln(Kxy) = -
(eos x. eos y - ctg x) dx - sen x.sen y dy = 0
Rpta: sen x eos y =Ln(K senx)
2 y d x + 3 xdy =
45
©
dx
dy
*v3
V4
.w
n
^3
Rpta: A"y = —+ e
a
.
(2x + y eos xy) dx + x eos xy dy = 0
Rpta: a " +sen(Ay) = c
(2xy +1 + ln x)dx + x~dy = 0
Rpta: x (xy + Ln x) = K
(2 y e 2x + 2 a e o s y)dx + ( e 2x - a 2 sen y)dy = 0
2.x .
2
Rpta: y e 2'
+ a 2 eos y = c
( 2 xy + a 3 )dx + ( a 2 + y 2 )dy = 0
A4 V3
2
Rpta: — + — + a y
4
3
( 2 x e v + y 2 e x +2x) dx + ( x 2e y + 2 y e x )dy = 0
Rpta: x 2e y + y 2 e x + x 2 - c
{ex sen y - 2y sen x)dx + (e* eos y + 2 eos x)dy = 0
50
1
.rv
= e
Rpta: e x sen y + 2y eos y
xx
(ye*3 eos 2 a - 2e'*-v sen 2a + 2x)dx 4- (xe*v eos 2 a - 3 )dy = 0
Rpta: e Ay eos 2 a + v“ - 3 v = <
51
(2 av ‘ + 2v)¿/a + (2 a " v + 2 x)dy = 0
Rpta: a " y “ + 2xy = c
52
O
( a “ + y “ + 2x)dA + 2*vdy = 0
v3
Rpta: ^ + x y 2 + a 2 = c
3a 2 zy 2
53
( a ‘ - 3 a t ” + 2)<¿y —( 3 a " y — y~)</v = 0
a4
♦
Rpta:
54
2xdx v2 - 3 a 2
—
+
T ~ dy = 0
v4
y
Rpta:
*
A ” - v ‘' = c >
55
va
Rpta:
a v = r
3
v-l
~ dx + A ln A ¿V = 0
V
_ ..
1
3
=c
84
®
57
58
Eduardo Espinazo Ramos
(sen v + y sen x + —)dx 4- (.veos y —eos x + —)¿/v = 0
JC
V
v ' f s e n jc. c o s ** w
y
1----------^-------'— dx + (— — + seny)rfy = 0
eos XV
eos XX
( —sen
y
y
R pta: x sen y - y eos x + Ln xy = c
R p ta: tg xy - eos x - eos y = c
1
.v
x
x.
I
cos(—) +1 )dx + (—cos(—) — - sen(—) + — )dy - 0
X
X
X
X
y~
y
y*
v
r
1
R p ta: sen(—) - c o s ( —) + .y— = c
x
y
y
(l + e y )dx + e y (1-----)dy = 0
R p ta : x + y e y —c
c x ( 2 x 2 + y 2)¿ Y + y (* 2 + 2 y 2 )dy = 0
n
y
©
^
R p ta:
4
.y
T I
+.Y"y + y
4
=c
[n eos (nx + my) - m sen (mx + ny)]dx + [m eos (nx + my) - n sen (mx + ny)] dy = 0
♦
R p ta : sen (nx + my) + eos (mx + ny) = c
(x + 3) 1c o s y ¿ r - ( s e n y.Ln(5x + 1 5 ) - —)dy = 0
2
63
@
65
..2
2y -.v
y“ - 2 ; r .
dx + 3
dy = Q
2
3 —
2 ”•
xy —jc
y —x y
— dx + (2yLn(— — ) + 3sen y)dy = 0
jT
+3
jc
R p ta : eos y . Ln (5x + 15) + Ln y = c
2 _ 2 /„2
R p ta : x ~ y (x~ - y “) = c
R p ta : y 2 Ln(— — ) - 3cos y = c
*+3
x
+ 3
2 .2
(c o s 2 y -3 jc y ) d x + ( c o s 2 y - 2 j t s e n 2 y - 2 j t y)dv = 0
3 .2
R p ta : 2 x c o s 2 y - 2 j t y
( - - Ln \ ) d x + (Lnx - - ) d y = 0
R p ta : y Ln x - x Ln y = c
+ sen2y = c
85
Ecuaciones Diferenciales de Prim er Orden
(67)
(x 3 + e x sen y + y 3 )¿x + (3xy2 + e x eos y + y * ) d y = 0
R pta: x 4 + y 4 + 4xv3 + 4 e x sen y = £
l n ( x - v) x - v
l n ( x - v) A'- y
69
©
II.
(I)
dvw
_
¿/.y
X- VCOS A
R p ta: a
sen x + y
( a 2 + —)dx + (Lux + 2 y)dy = 0
2
-y
2
-2 v s e n x = c
R p ta : a 3 + 3 y InA + 3 y 2 = c
A
Resolver las ecuaciones diferenciales con las condiciones iniciales dadas.
3 y (x 2 - l ) ¿ x + ( x 3 + 8 y - 3 x ) ¿ y = 0 , y (0) = 1 R p ta : xy(x2 - 3 ) = 4 ( l - y 2)
(1 - x y ) ”2¿/x + [ y 2 + x 2( l - x y ) ~ 2 ]dy = 0 ,
cuando x = 2, y =1
R p ta : xy4 - y 3 + 5 x y - 3 x = 5
©
(xy
+ x - 2 y + 3)dx + x
v ¿ y = 2 ( a + y)dy ,
cuando x = 1, y = 1
R p ta : ( x y - 2 ) 2 + ( x - 3 ) 2 = 2 y 2 +15
(7 )
v
(a + e v )dx + e y (1 - —)dy - 0 ,
y
2a .
y(0) = 2
v2 - 3a2
©
— dx + ------ — d y - 0, y | x=1= i
©
(4x - 2y + 3) dx + (5y - 2x + 7 ) dy , y (1) = 2
A
R p ta : — + y e v = 2
R p ta : y = x
R p ta : 4x - 4 x y + 5y + 6x = 5
(2xsen v + 2x + 3ycosx)<¿Y + ( x 2 eos y + 3sen a )í/ v = 0 Cuando x = ^ - , y = 0
R p ta: X" sen y + x ~ + 3 y s e n a =
n
86
Eduardo Espinozja Ramos
2x
_
( y e 2x - 3xe2y )dx + (--------3x 2e 2y - e y )dy = O, y(l) = O
R p ta : y e 2x - 3 x 2 e 2y - 2 e y + 5 = 0
( 2 x y - 3 ) d x + ( x 2 + 4 y ) d v = 0 , y ( l ) = 2,
(lo)
R p ta : x 2y - 3 x + 2 y 2 = 7
(2 y sen x c o s x + y 2 s e n x ) d x + (sen 2 x - 2 y e o s x)dy = 0 , y (0) = 3
*7
7
R p ta : y~ c o s x - y s e n x = 9
^
_
R p ta : - 3 y + 2.v + y 2 = 2xy
(ll)
- —- d x + - — J ~ d y = O, y ( - l ) = 2
x2
*>
(Í2 )
(3.v2 y 2 - y 3 + 2x)dx + (2 x 3 y - 3 ¿ y 2 +1 )</y = O , y (-2) = 1
III
Demostrar que la ecuación diferencial homogénea (Ax + By) dx + (Cx + Dy) dy = O es
exacta sí y solo sí B = C.
^
*}
Demostrar que la ecuación homogénea (Ax" +Z?.ry+Cy ) +(Dx~ +Exy+Fy“)dy = 0 es
exacta sí y solo sí B = 2D y E = 2 C.
Determinar los valores de a y b para que la ecuación diferencial sea exacta y
resolverla
a)
. _ . / _ „ . «...3
(y + x 3 w)dx
+ (ax + b y )dy = 0
R p ta : a = 1 , b e
b)
axydx + ( x " + e o s y ) ¿ / y = 0
R p ta : a = 2, x * 0
c)
3
1
^
xv dx + ax~ v “d \
3
R p ta: a - —
2
d)
=0
( ax + b ) v dx + ( x 2 + x + ~ )dv = 0
3’
R
R p ta: a = 2, b = 3
87
Ecuaciones Diferenciales de Prim er Orden
e) ¿7.v( y - eos y )dx *f x “ (1 + sen y)dy = 0
R p ta : a = 2
f)
(xy" + bx" y )dx + ( a* + y ) x 2dy = 0
R p ta: b = 3
g)
( ye 2xy + x)dx + bxe 2xydy = 0
R p ta: b = 1
(2x y - 3a“ ) d x + ( j r + y ) d y = 0
R p ta : x ~ v - x ' h
©
y(2xy¿ -3)<¿v + (3x2y 2 - 3 x + 4 y ) d y = 0
R p ta: y ( x * y ~ - 3 x + 2 y ) = C
©
(x + seny - cosy)dx + x (seny + cosy)dy = 0
R p ta : x~ + 2;c(sen y - e o s y) = C
©
A*(3xy-4y3 + 6)¿¿x + (x 3 - 6 j c 2 y 2 - 1 )dy = 0
R p ta : a:3 y - 2 a * 2 y 3 + 3 a 2 - y = C
©
9
©
(s e n
©
(xy" + y - x)dx + x(xy + \)dy = 0
@
-t
2x(3x-t-y —ye 1 )¿/a + ( a " + 3 y " ^
2.7.
y + 2 j c co s *
y)dx + x e o s y ( 2 x s e n
y + \)dy = 0
2
=C
9
9
R p ta : x s e n v — jc " eos** y = C
R p ta : x 2y 2 + 2 x y - x 2 = C
)í/y = 0
R p ta : X 2y + y 3 + 2a:3 + ye * = C
FACTOR DE INTEGRA CION.Consideremos la ecuación diferencial de la forma:
Si la ecuación (1) no es exacta, se puede transformar en exacta, eligiendo una función u
que pueda depender tanto de x como de y de tal manera que la ecuación
2
... ( )
sea exacta, entonces a la función u(x,y) se llama factor integrante o factor de integración
Como la ecuación (2) es exacta, entonces se cumple
du( x, y ) M ( a \ y)
d u ( x , y ) N ( x , y)
dv
dx
, de donde
88
Eduardo Espinoza Ram os
dy
dy
dx
dx
de donde agrupando se tiene;
du(x,y)
duU,y)
dN(x,v) dM(x,y)
MU , y ) —
~ N (x, y ) — — — = (-----——------------— — ) u(x, y)
dy
dy
dx
dx
... (3 )
Para determinar el factor integrante consideremos los siguientes casos
l e r . Caso: Si u es una función sólo de x.
¿)l4ÍX V)
e n to n c e s
— = 0 . Luego de la ecuación (3) resulta:
dy
hr/
du(x.y) ,d N (x.y) d M ( x , y ) y , y
~ N( x , y )
-------= (----- ^----------------— — )«(*)
dx
dx
dy
du(x,y) t d M U , y ) d N ( x , y ) , , ,
N(x, >’) -----;----- = (
r— 1----------- ;— — )uU)
dx
dv
dx
du(x)
u(x)
d M ( x , y ) d N ( x , y) .
(----- =--------------:— “ ) integrando
N(x,v)
dx
1
du( x
dM(x,y)
u(x)
donde
Como
d
f
d ^
-
J u(x)
=
f
dx
V
f ( x ) = — i—
N ( x yy)
dN(x,y)
dy
fU)dx
)dx = I / (x)dx
dx
Lnu(x) =
)
f(x)dx
•«
J
d u (x y )
2do, Caso: Si u es una función solo de y, entonces -------------- = 0
d x
Luego de la ecuación (3) resulta;
*#/
ydu{ y)
d N ( x , y ) ¿?M(.v,y),
^
a i a
M (a*, y ) — ------= (------ — -----------------— )u[ y ) , de donde
dy
dx
dv
89
Ecuaciones Diferenciales de Prim er Orden
du( y)
___ 1
u( y )
(
A/(.*,>»)'
/
k
donde g (y) =
a
(jr,y) d N ( x , y ) SJ
, w
r---------------r------ )dy = g ( y ) d y
dx
dy
1
,dAf(jr.y)
¿JVU.y)^
------ (----- — =-----------
a
AfU, y)
dx
dy
dlt(y} = g (ty )\dav integrando
*.
^ se .*
tiene: fí/«(v)
I
w<v)
J «(y)
3er. Caso: En
muchos
ejercicios
el
= fI g (, y )w
dx
ln w(y) =
J
factor
g(y)rfy
integrante está dado en un producto de
dos funciones f(x) y g(y), es decir, u(x,y) = f(x)g(y) que reemplazando en la
ecuación (3) se tiene:
dy
dx
Ai U , y ) J { x ) . g \ y ) - N ( x , y ) . / ’(*).g(y) = (—
dx
u*
dx
dx
y \ f { x )g(y)
esta expresión es lo mismo escribir en la forma:
( dA *l»»y)_
dy
3MU,y)
dy
N [ x ' y ^) f ( x ) g( y) = N ( x , y ) f \ x) g( <y ) - M ( x * y ) f ( x ) g ' ( y )
dx
iN í^y) _
dx
ro a
f(x)
,Xy)
g(y)
... (4)
donde M y N son funciones conocidas, de la ecuación (4) por inspección se puede
determinar las funciones f(x) y g(y).
4to. Caso: Para ciertos ejercicios su factor integrante es de-la forma w(.r, y) = x ny m ,
donde n y m se determinan mediante la condición necesaria y suficiente de
las ecuaciones diferenciales exacta.
90
Eduardo Espinoza Ramos
a.
Ejem plos: Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales
(1 - x " >’)dx + x * ( v - x)dy - 0
Solución
dM
M = 1~ x ~ y
dy
N = x 2{ y - x )
dN
dx
= -x
= - 3 x ‘ + 2xy
dM
dN
.,
com o
* ----- , la ecuación diferencial no es exacta
¿v
dx
2xy)
2
Sea f (x) = — (—------- — ) = ---------,-------------— = —
N dy
dx
x-(y-x)
x
e
„
x
1 ,<?M
<9A\
-A -2 - ( - 3 a 2 +
x
el factor integrante es u ( x ) = e J
u(x) = e
-2 Lnx
1
u(x) =
X~
al multiplicar a la ecuación diferencial por
w(.c) =
x
~
y) dx + ( y - x ) d y = 0 , que es exacta.
es decir:
x*
dM
M = \ - \
En efecto: <
x~
N = v- x
= -1
dy
dN
= -1
como ^ í . =
la ecuación diferencial es exacta
dy
dx
.dx
d f { x , y ) ljr . ,
df(x,v)
1
3 / ( x , v) tal que — --------- = M , de donde ---------— = — - v integrando respecto a x
dx
dx
jc"
/(*
■
f)"J(7‘
91
Ecuaciones Diferenciales de Prim er Orden
/(.v, v) = ——- av + g ( y ) , derivando respecto a y.
A
< 9/(x,y)
d f ( x , y)
— = —x + g ( y ) , como ------------- = N entonces
dy
dy
N = - x + g ' ( y ) => - x + g ' ( y ) = y - . v
1
v*
Luego / ( a\ v ) = ------- ,rv + — + C
.v
2
x v : - 2 x 2 v - 2 = Kx
«*
©
—dx + ( v3 - Lnx) d\ = 0
x
Solución
M
y
X
=>
dM
l
dy
x
dN
N - y - ln x
, dx
dM
dN .
., ...
. ,
com o
* ------, la ecuación diferencial no es exacta
1
dy
dx
x
c
, ,
1 dM
dN
1 1
i
Sea ¿?(v) = - — (—------- — ) = ---- (— (— ))
M ay
dx
y x
x
x 2
2
g(y) = — ( - ) = —
y
2
=> g (y ) = —
y
x
f
] S ( v )dy
Luego el factor integrante es, u( y) = eJ
u( y) = e 21nv =
f 2 dv
J ~
=e
, que multiplicado a la ecuación diferencial dada se tiene:
v“
l .
L hx k ,
— dx + ( v ----- —)dv = 0, que es exacta,
xy
r
M =
En efecto:
<
-
xy
N =y
1
dv
AV
dN
1
dx
AV
♦
Lux
—
dM
-
92
Eduardo Espinoza Ram os
Como
=
dv
n r/
dx
.
la ecuación diferencial es exacta
i
d / ( x, y ), tal q u e
< ?/(-Y , v )
dx
w
.
.
,
=— = M , de donde
d /(.V , V)
1 .
.
---------— = — integrando respecto a x
dx
xy
/ ( * , v ) = | — + g (v ) = - ^ * + g (v ) derivando
.TV
v
df(x,y)
Lnx .
(/ ^
df(x.y)
— -------= ------— + g ( v ) . Como —
= Ar, entonces
dy
v"
jsi -
+ £ ' ( y) de donde se tiene:
ym
Lnx
„ v
( v )= y
V
Lnx
-
v"
,
g (y )= y
=>
=>
y" „
g (y ) = ^ - + C
2
.
Lnx y m
Luego / ( . y, y) = ------ +
+C
o
(.' w• -k t 2»y + »y 3 )dlv + (A'2
+ 2 rv 2 )¿/v« = 0
'
Solución
j Af = jcy + jc2y + y
<9A/
t
- - — = x + x ‘ + 3v~
dv
[tf = x 2 + 2 y 2
dN
*»
. dx
= 2x
i
dM
dN
- ir
i
Com o
* ----- la ecuación diferencial no es exacta
dy
dx
Sea u (x,y) = f ( x ) . g (y) un factor integrante para esto, empleamos la ecuación (4)
dM
dv
dN
dx
V / ’U )
M g'iy)
/U )
g'iy)
93
Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
.v + .x" + 3 v : - 2 x = ( x 2 + 2 y 2) - ^ —^ - - { x y + x 2y + y 3) ^ ^
f{x)
giy)
x 2 + 3 y 2 —x = {x 2 + 2 y 2
f(x)
- U y + * 2.v + y 3) * Xy)
g(y)
f\x)
2x
f(x)
ln f ( x ) = 2 x
f(x) = e
g'(y) _ i
ln g ( y ) = ln y
g(.v) = y
g(y)
y
Como «(.v, v) = / ( * ) .£ ( v ) = ye
factor integrante ahora multiplicamos a la ecuación
diferencial por el factor integrante
¿y
w(a\ y )
= ye"x .
v e ^ j t y + jr2y + y* )dx+ ye~x ( x 2 + 2 y 2 )dy = 0
es una ecuación diferencial exacta, es decir:
M = \ e “ ( a*v + x “ y ■+• v
2.v • *> - ■»
N = ye~x( x ‘ + 2 y " )
<9Ai
3
<9y
¿W
dx
= e 2 r (2.vv + 2 a 2 y + 4 v'1)
= e 2 j (2jrv + 2.v2y + 4 v 3 )
<9M
dN
*-i
Como ------= ------ , la ecuación diferencial es exacta.
5y
3
<9a
/ ( a , v ), tal que
— 1= ^ / , de donde.
¿A
<?/( *» V) — \¡¿> 2.xI/ V\t _l_ V2 ............
. i
■____
= ye U y + A^y + y*)
dx
/(^ y ) =
J y e 2'1' ( A y +
y
^
integrando respecto a x.
A-2 y + y 3 W A - + ^ ( y ) =
- ^ - J ( / ( e 2v ( a 2 + y 2 ) ) + ^ ?(y)
^
/( A \y ) = — e~x (x~ + y “) + g{y) derivando respecto a y.
94
Eduardo Espinoza Ramos
<>f<*-yli y e 2 a - , , 2 + 2 v 2 ) + s '<v). Como Í
d v
2* •
N = ye“ ( a “
y =e
+
2jt
(a "+ 2
- *>
2 y ‘") + g ' ( y ) .
2 .x , . 2
= N «monees.
v
(a
+ 2 y " ) , simplificando g '( y ) = 0
g(y) = c
2.x
Luego f ( x , y ) = -
©
í
de donde
v ) + g '( y ) = ye"
,2
^
U 2 + >,2) + C
•.
yV
2 a*
U’ + v )= t
2 v d x —x d x = xy dy
Solución
2 v•d ! r — (*a + x *
v
v =
') d »
...d )
0
dM
M -2y
=
dv
2
N = - ( x + Ay’ )
<?A
¿/V/
¿A/
c o m o --— * —— la ecuación diferencial no es exacta
ov
dx
.
»
3
= -l-y
.
.
.
Sea m(a, y ) = x my " un factor integrante, entonces.
2 x' ”y n+' d x - ( x m+' y " + x m+' y"+3dy = 0
dM _ dN
para que sea exacta debe cumplirse
dy
d M
M - 2x
4
m _.n +l
y
dy
N - - ( x n,+1 y" + x m+l yn+3)
d N
d
igualando tenemos
Luego:
dx
= 2 (n + l)x
*
m . .n
}
= - ( m + 1)(x y + x y
x
2(rt + l)x my" = -(m + l)x '” y H- ( m + l)x my
2(« + l) = —(m + I)
-(/w + l) = 0
/? = - !
)
•
95
Ecuaciones Diferenciales de Prim er Orden
por lo tanto el factor integrante es
w (a ,
v) = —
que al multiplicar a la ecuación (1) se
-W
2
1
—< /* -(— + v2 ) d\ = 0,
x
v
tiene;
dM
M =x
^ v
d
N = - ( - + y 2)
V
i i ^
de donde
/U
que es exacta, en efecto:
=0
*
-n
d f ( x , y ) = M,
entonces
3 fs ,( a , v)w tali q u e ------------N
'
dx
dx
^ /U y )
2
— -------= —, integrando respecto a x.
dx
x
Hi
.
dx + g ( y ) = 2 Lnx + g( y), derivando
dfix.y)
df{x,y)
- = g ( y ) , pero como — :------d v
dy
N - g Xy)
( - + y2) = g'(y)
N
entonces
£ (y ) = - ( l n y + ^ - ) + C
y
Luego
©
3
f (x, y) = 2 1 n .v -ln y - - — + c
••
e xdx + (e V tg y + 2 y eos ecy)dy = 0
Solución
dM
A /= e A
| N = eAc tg y + 2y eos ery
dy
dN
dx
=0
e x cot y
„
dM
dN y
Como —— *
la ecuación diferencial es exacta,
dy
dx
3
2 ln A'- ln v ——— = K
%
Eduardo Espinoza Ramos
c
, ,
1 tdM
dN
0 - e xc t g y
Sea g ( y ) = - — ( - ----- — ) = -----------------M oy
ax
e
y )d \
g(y) = ctg y
Jm s e n .v )
<<(y) = e
= s e n v
_= e i
I
c
ig
yüy
u (y ) = sen y
ahora multiplicamos a la ecuación diferencial por u (y) = sen y, es decir:
e x sen y d x + {e* eos y + 2 y)dy = 0 ,
que es una ecuación diferencial exacta
dM
en efecto:
M = ex sen v
d y*
N = e x eos v + 2 v
dN
dx
Com o
dM
d
y
=
dN
dx
=
€X
COS V
= e x eos y
..
. ,
la ecuación diferencial es exacta.
entonces 3 / U \ v) tal que ^
^
j e j on(je
dx
df(x,y)
x
— -------= e sen \\ integrando respecto a x.
f ( x , y) = I eA sen ydx+ g ( y ) = ex sen y + g ( y ) derivando
df(x*y)
x
v x
d f ( x > y)
— -------= e eos y + g ( v), pero c o m o ------------- = N
dx
'
dy
entonces
N = e x eos y + g ' ( y ) de donde se tiene:
e* eos y + g ’(y) = e x eos y + 2y
Luego f { x , y ) = e* s e n v + y “ + C
g '( y ) = 2y
g (y)= v“ +C
.\
e sen v + v~ = K
97
Ecuaciones D iferenciales de Prim er Orden
*
_
(fc )
. ( x e o s y - y s e n ’^ y) d y + ( x sen y + y e o s y ) d x =
é
o
Solución
dM
M = x sen y + y e o s v
dy
N = jc e o s y - y sen y
dN
♦
• '
•
kd x
Com o
dy
•
dx
'1 \d M
S e a /U ) = r r ( —
N dy
0
= x e o s y + e o s y - y sen y
= eos v
la e c u a c ió n d ife re n c ia l n o es e x a c ta .
dN
r*r) =
dx
a*eos y
+ cos
y -
y sen
y
-eo s
x e o s y - y sen y
f/UMv
L u e g o e l fa c to r d e in te g ra c ió n es u(x)
v) = e]
=e
y
=
1
a h o ra a la e c u a c ió n d ife re n c ia l, lo
m u ltip lic a m o s p o r e l fa c to r in te g ra n te u(x) = e x , es d e c ir:
L y c o s y - ¿*vy sen y)dy + ( x e x sen y + y e A e o s y) dx = 0
»
q u e es u n a e c u a c ió n d ife re n c ia l e x a c ta , e n e fe c to .
dAf
¡ A / - e x se n y + e y e o s y
dy
{N = e *
dN
e o s y - ex y se n y
dx
= x e * e o s v + ex e o s y - \ e x se n y
= x e x e o s y + ex e o s y - \ e x se n v
•
C o m o d M _ - d N _ la e c u a c ió n d ife re n c ia l es e x a c ta .
dy
.
dx
3
y)
e n to n c e s 3 / ( a , y ) ta l q u e -------------------=
dx
d f(x ,y)
= xex sen y + ye* e o s y
m
9 de donde
in te g ra n d o re s p e c to a x .
f ( x . y) = J ( « * sen y + y e * e o s y ) d x + g ( y )
v
•
w
98
Eduardo Espinoza Ramos
f ( x, y) = xe
df(x,y)
dy
d f ( x * y)
dy
X
X
sen y - e
sen y + ye
X
eos v + g( y) derivando
= xex eos y - ex eos y + ex eos y - yex sen y + g Xy)
= xex eos y - yex sen y + £ '(y), p e ra cernió
df(x,y)
d v
i
=N
c
V = xe* eos y - ye* sen y + g' ( y ) , de donde se tiene:
ve* eos y - y e Asen y + g ' ( y ) = .ve Aeos y - e x v sen y
Luego
g '( y ) = 0 => g ( y ) = C.
/ (a\ y) = .ve* sen y - e* sen y + ye* eos y + C
X
x e A sen v - e * sen v + v e ' eos v = K
O bservación:
Veremos un caso particular de factor integrante, por ejemplo, hallar un
O
factor integrante
w = tp(jc + y )
de la ecuación diferencial
*1
X
‘•
(3y~ - jv)¿y + (2 y ‘ - 6 xy)dy = 0 y luego.resolver la ecuación.
*
Solución .»
T
dM
M = 3 y “ —x
d\
= 6y
*
jy = 2 y 3 - 6xy
dN
dx
= -6v
dM
dN
como ------* -----d v -dx
La ecuación no es exacta, ahora calculamos el factor integrante de la forma
-»
dz
dz ’
u = <(>(.*+ v 2).= tp(z) donde z = .v + y 2 =$ — = 1 ,
= 2y
• dx
¿y
<?Af d N
dtt \ M d u
C o m o --------------- = N --------- M —■
— entonces
udx'
ud y
dv
d
dM
5 v
dN
_,<9ln(w)
=N
d x _*
..d\nu
M —T
(1)
99
Ecuaciones Diferenciales de Prim er Orden
d ln u _ d ln u d z _ d ln u
dx
d ln u
dy
dz
dx
d ln u d z
= ------- . — =
dz
dy
dz
^ d\nu
2 v --------' dz
... ( 2 )
reemplazando (2) en (1) se tiene:
dM
dN
dlnu
dlnu
dM
dN
... . . . . d l n u
—------------= A; ----------- M 2 y
= > ----------------~ ( N ~ 2 y M ) -------dy
dx
dz
dz
dy
dx
dz
3
^
dlnu
6 y + 6 y = (2y —6 xy —6 y + 2 x y )
dlnu
d<.
—
3------ = —3
y4" +.v
t i
. dlnu
12y = —4y(y +.v)
dz
a
^
entonces d { \ n u ) = - 3
dz
—
z
^
integrando se tiene: ln u = - 3 ln z = ln ¿~3; levantando el logaritmo u -
^ — - ,
( y - +.v)
multiplicando a la ecuación diferencial se tiene:
^
X dx + ^ - — ^—-dv = 0
( y 2 +-*)3
( y 2 +-v)3
obtiene agrupando, tenemos d (
es una ecuación diferencial exacta.
X — V2
X
—
La solución se
v2
= ) = 0 integrando ------- C
( x - y 2?
U + v 2 )-
.\ x - v “ = c(x + y “)
a.
C om binación Integrable.
En una ecuación diferencial M (x,y) dx + N (x,y) dy'= 0. para encontrar un factor de
integración en muchos casos es dificultoso, sin embargo mediante el reconocimiento
de ciertas diferenciales exactas comunes, se puede obtener la solución en forma
mucho más práctica, a esta forma de agrupamiento de los términos de una ecuación
diferencial denominaremos combinación integrable.
Esta forma de resolver las
ecuaciones diferenciales es mucho más rápido, sin embargo requiere de un buen
conocimiento de diferenciales y una cierta pericia en determinar cómo deben
agruparse los ténninos y para esto daremos algunas 'sugerencias de diferenciales
exactas.
100
Eduardo Espinoza Ramos
1
x dy + y dx = d (xy)
—
xdy-ydx
xi
—
xdv-vdx
_0
5
----:— :—
xy
2o
y
=
d
(
~
x
4
, ,
y
)
y
= d ( L n ( —))
x
6°
A -y
JC - v
xdy-ydx
,
v.
■
' _ = ¿/(r/rc.sen(—))
=
8
a¿/v - ydx
■—
( x - y )2
10
Víü' - xdy
xdy + y di =d(__L)
2
A V
A¿/y +
13
2
vy/ a
12°
0
©
A+ y
XX
= í/(¿/?(Ay))
Resolver las ecuaciones diferenciales siguientes
*7
( a “ + y ~ ) ( A dy + y ¿/a) = xy(A dy - y dx)
Solución
La ecuación diferencial dada expresaremos así:
x d y + ydx x d y — ydx
----------- = — ------ — , de acuerdo a las sugerencias 6o y 13o se tiene:
AV
A + V
y
dLn(xy) = d (arctg(—)) integrando se tiene:
A
d ln(Av) = | c/(arctg(—))dx + C , de donde
A
1 ., a + y
-)
2
a - y
1 , a - y
2
.v+ y
dx + dy = d ( L n ( JC+v))
■yy
Ejemplos:
*
--------- 7“ = T " (----- “ )
(a + y )“
11 o
y
JC2 + vfc
o
,Q
xdx ± ydy = —d ( x 2 ± y 2 )
In(Ay) = arctg(—) + C
A
101
Ecuaciones Diferenciales de Prim er Orden
( 2)
3 v J a + 2 x J v + 4 a y 2J a + 3 a 2 y d y = 0
Solución
M u ltip lic a n d o a la e c u a c ió n d a d a p o r x 2y , es d e c ir
3 a 2 v 2d x
+
2 a 3 vdx
+
4 a 3 v 3J a
+
3a4
x 2d = 0
de a c u e rd o a la s u g e re n c ia I o se tie n e :
j*d(.vV ) +
^3^
xdy - ydx ~
I (J a 4y 3 ) - C
a 2y jx 2
J ( A 3 y 2 ) + J ( A 4 y 3 ) = 0 in te g ra n d o se tie n e :
de d ond e
a 3 v 2 + a 4y 3 = C
- y 2d x
Solución
A la ecuación diferencial dada, escribiremos así:
xd\
\ Ja _ ^
cje acuercj0 a | a sugerencia 9 o se tiene:
v
a2
J(arcsen(—)) = J ( — ) integrando se tiene:
2
A
V
r
v
r a”
I J(arcsen(—)) = I J ( — ) + C, de donde
J
A
J
2
A2
arcsen — = — + C
v
0
( 4^
a 3d y
-
a 2v dx
= a 5y dx
Solución
A la e c u a c ió n d ife re n c ia l d a d a e x p re s a re m o s :
a J v - y d x = a 3 >’J a , p a ra x * 0
— — — - = a 2 J a , d e a c u e rd o a la s u g e re n c ia 5 o se tie n e : J L / r ( — ) = J ( — ) in te g ra n d o .
xx
x
3
V
a3
L/i(—) = — + C
A
3
102
Eduardo Espinoza Ramos
>/y: -1(1 -
y\íx2
-\)dx +
V*: - U 1- XyJv 2 - 1)dy = 0
Solución
La ecuación diferencial dada expresaremos así:
\ ¡y 2 - 1 dx - y yj x 2 - \ \ j y 2 - I d x + yjx 2 - 1 dy - x\ ]x - \ \Jy 2 - 1 dy - 0
y j y 2 —-\dx + V*2 - 1 dy - Va*2 - 1 >/ v2 - 1 ( ví/.y + jy¿v) = 0
-
\¡.x2 - 1
dx
( vy/.v + a í / v ) = 0 , de acuerdo a las sugerencias del 1° se tiene:
J y 2 -1
dv
,
_ .
, f
+ ,—-= _ - d ( . \ y ) = 0 , integrando I
de donde:
ííx
f
I-
dy
f ,
I d(xx) = C
Ln | jc+ Va - 1 |- L / i 1^ + V) “ 1 | “ -*y = C
por lo tanto (1) expresaremos así: arccoshx - arccoshy = xy + C, de donde
cosh (arccoshx - arccoshy) = cosh fxy + C)
xy + senh (arccoshx). senh (arccoshy) = cosh (xy + C)
€ —C—X
además se sabe que , s e n h x = ----------- Luego se tiene:
^árceoshx _ ^ -a re c o s /u
^aresenhx _>^-aresenA \
) = cosh( xy + C)
xy + (--------------------------)(
®
dy
yU y + l)
— = --------dx y ( l - A 2) - j c
. Para x = 1; y = -2
Solución
... (I)
103
Ecuaciones Diferenciales de Prim er Orden
v dy - va - dy = x y " dx + y dx , agrupando y d y - ( y x " dy + xy *dx) = x d y + y dx
„
mediante la sugerencia de 1° se tiene:
-> 'y
y
ydy - d (— 1—) = d( x y) integrando
J y r f v - ) = J * r / ( . y y ) + , de donde
y 2 —x 2 y 2 = 2 x y + C
para x = 1, y = -2, se tiene 4 - 4 = -4 + C => C = 4
Luego la solución particular es:
@
( l - . v " ) y " - 2 a> = 4
( y + x ( x 2 + y 2 ))í/A +(y(x2 + y " ) - A ) í / y = 0
Solución
A la ecuación diferencial expresaremos así:
y dx + a(jc2 + >•2 )íü. + >’( x 2 + y 2 )dy - xdy - 0 , ahora agrupamos
x d x —ydx
— —5- + xdx + ydy = 0 , mediante la sugerencia de 2o y 6o se tiene:
A*“ + V"
-</(arc,tg(—)) + —d ( x 2 + y2) = 0 , integrando - |¿ ( a r c tg ( —)) + — \ d ( x 2 + y 2) = C
x
2
J
x
2J
/.
®
-2arctg(*V) + .v2 + v 2 = K
x
A + 2 w l - y 2 c o sy ,
are. sen ydx h
,
dy = 0
yj\-y2
Solución
A la ecuación diferencial dada expresaremos así:
d (x .are.sen y) + 2 eos y dy = 0, integrando
xdy
arc.sen ydx + —= =
Vi - r
+ 2 eos ydy = 0
104
Eduardo Espinoza Ramos
i/f jc arcscn
en y ) +
+ I I 22 eos v¿/y = C de donde x arc.sen y + 2 sen y = C
b.
E J E R C IC IO S P R O P U E S T O S .
R e s o lv e r la s s ig u ie n te s e c u a c io n e s d ife re n c ia le s
©
©
(A y 3
*y
+1
“ dx
+
R p ta . 2 a 3 y 3
) d x + x 2 y 2d y =
0
a 2 ¿ */v -
0
2
a +v c/ym =
R p ta . x y ~ y 2 = K x
R p ta . a 2
©
©
( 2 A y “ — 3 y 3 )¿¿v + ( 7 - 3 A y 2 )í/y
©
y dx
©
©
©
©
(y 4 +
x 3 )dx
(5 a 3 + 3xy
0
y e *v W y =
+
8 a>* 3 d y
2 y 2 )d x
+
+
0
(a v 2 + x 2y
e*
(x
+
l) d x
2
R p ta . a v 2
+ y 2 )dy =
+
2 a v )í/v
+ 3 )d x + x 2 y d y =
+
( e v y — x e * )d y
R p ta . a 5 + a 3 y + a ‘ y
2 =
3y2
——
2
+
R p ta . e 2 * ( x 2 v 2 + 3 ) = c
0
= 0
R p ta . 2 x e * _ y + y
2
=c
R p ta . 2 y
ca
i
(.v - x 2 y ) d y - y d v
®
(5 a 3 y 2 +
2 y )d x
+
= 0
(3 a 4 y
+
2xW y
=
0
-
xy
2 -
R p ta . a 5 y 3 + a 2 y
2
=
0
= c
ll
®
( e x + x e v )d x + x e y d y =
0
R p t a . e t+ v +
C*e2'
— dt =
Jo t
K
= c
R p ta . e ' v ( x J 4- 3) = c
%
2
K
+ x3) =
n .
r V + v 3
R p ta . — 1 1 —
3
= 0
0
= 0
Ky
=
y 2e y + 2 y e -v - 2 e v = K
-
R p ta . V x ( 7 y 4
= 0
(a 2
y = Kx
-
R p ta . x 2 v - 3 .r v 2 - 7
= 0
4
x ~ y 2d x + ( x 3 y + y + 3 W y
x 2d x - ( x 3 y
3a 2 = c
*
( x 2 + y )¿/a - a* d y =
+ ( 2a -
+
105
Ecuaciones Diferenciales de Prim er Orden
(3jc 2 v + 2xy + y*) dx + ( a 2 + y 2)dy = 0
Rpta. (3x2y + y 3)e 3* = c
x
dx + ( — sen y)dy ~ 0
y
Rpta. xy + y eos y - sen y = c
®
y dx + (2xy - e ~ 2v )dy = 0
Rpta. x e 2y —ln | y | = c
®
( x 2 + v 2 +2x) dx + 2 y d y = 0
Rpta. x 2 + y 2 ~ c e x
©
(3 * ‘ - y - )dy - 2xy dx = 0
Rpta. —r— —= c
15)
y3
y
y
20
(x y - l) í/x + (x~ - x y ) d y = 0
Rpta. x y - L n \ x \ ~ ~ - c
®
Zyíjr* - y + x)dx + ( * 2 - 2 y ) d y = 0
2
jt
Rpta. y(A“ - y ) = ce
®
y ( 4 x + y ) d x - 2 ( x ~ - y)rfy = 0
Rpta. 2jc2 + xy + 2y ln | y \ = c y
(2y + 3 x y - 2 y + 6x)dx + x(x + 2 y - l ) ¿ v = 0
Rpta. x ~ (y + x y - y + 2x) = c
y 2<¿x + (3xy + y 2 - 1 )dy = 0
2 /2
Rpta. y (y + 4 x y - 2 ) = c
25
2 y ( x + y + 2)<£t + ( y 2 -
Rpta.
a 2
+ 2xy + y 2 + 4 a + 1 =
26
2 (2 y 2 + 5 x y - 2 y + 4)¿x + x(2x + 2 y - l ) d y = 0 Rpta.
a 4
( y 2 + 2 x y - y + 2) = c
®
©
*
(27)
a 2
-4 x -l)í/y = 0
3 ( a 2 + y 2 )¿/x + x (x 2 + 3 y 2 + 6y)¿/y = 0
-
Rpta. x ( x ’" + 3- y,2,) = ce
4
(28)
y (8x - 9y) dx + 2x (x - 3y) dy = 0
Rpta. x '3 y ( 2 x - 3 y ) = c
V
29
y ( l + xy) dx - xdy = 0
«
A
Rpta.
a
o
2a
+ —
= c
y
30
dx + (x tg y - 2 secy) dy = 0
Rpta. x secy - 2 tg y = c
106
Eduardo Espinoza Ram os
(.v4 ln x - 2 x y 3)dx + 3 x 2 y 2dy = 0
R pta. y 3 + x 3(ln | x | -1 ) = e x 2
(x+y~)dx-2xydy = 0
R p ta. x l n | A | - y
®
(2 x “y + 2 y + 5)¿/x + (2 x 3 + 2x)dy — 0
R p ta. 5 arc.tg x + 2xy = c
®
(x + sen x + sen y) dx + eos y dy = 0
=cx
R pta. 2e x sen y + 2 e x ( a - l) + e *(sen x - c o s x ) = c
®
(1 + xv)dx + x(— + x)dy = 0
©
(sec x + y tg x) dx + dy = 0
®
2 ( x + y ( s e c 2 x+tgx)¿¿x + t g x J y = 0
®
— dx + ( y * —Lnx)dy = 0
R pta. K = x v e x>
y
R pta. y sec x + tg x = c
R pta. ( x + v ) t g 2 x = c
R pta. — + ^ ^
y
A
®
sen x(2 + 3y sen * a)¿¿v+sec a dy = 0
@
eos .vv
ysenxW x —(— ^ -^ --x se n x y W y = 0
v
®
3
ye4
:
—sen x
9
R p ta.
=c
3 4
-s e n x
+ 2 I (se n x co sx )e 4
dx + c
r
R p ta. y c o s x y = c
✓
(x eos y - y sen y) dy + (x sen y + y eos y ) dx = 0
R pta. (a sen y - y eos y - sen y)e
®
1
—¿Zv-(l + xv2)dv = 0
®
1
€V
R p ta. e y ( y 2 - 2 y + 2 + —) = c, u - —
A
(a“
A
+ 2 x + y ) d x + ( l - x 2 —y)dy = 0
(eos x - sen x + sen y) dx + (eos x
=c
A
R p ta . e x y ( x 2 + y ) = c , u = e x v
sen y + eos y) dy = 0
R pta. e x+ v (eos a + sen y ) = c , u = e t+ v
107
Ecuaciones Diferenciales de Prim er Orden
45
í sen }
_ 2 e
eos y + 2e~ x c o s a
X s e n x ) d x +
d x = 0
v
R pta.
©
©
®
(50)
©
52
@
sen y + 2 y co sA = c ,
9
(—3 y 4 +.v3 y ) d x
y (2 x ~
-3
+ (xy*
+ y ) d x + x ( y - x ~
a 4 )í/ v =
0
R pta.
v 3
)dy = 0
4 ,
x d y + 2 y d x = x 3 y 3d y
R pta. A2 y ( A 2 + c ) + 2 = 0
R pta.
' xdx
y
4
R pta. a y
y (4xy + 3 ) dx + x (3xy + 2) dy = 0
4xdy-3ydx =
,
+a y =C
3 , 3 2
2 y 4 + A
=
CA3
R pta. 31n(xy ) = a
y d x - 2 x d y = xx dx
R pta. 5 ln(xy 2 ) =
(sen a - acos x)dx + 2(— -
a sen a
i
+c
y 5 + c
)dy = 0
y
^
3y dx - 2 a dy = a y~dx
3dx
2ay — y “ sen a = ca , k(a\ y ) = a “ y *
. 7
3
R p ta. 1 1 a
2 -
ii
v a
2
= cy
R p ta. A3( y 4 - A 2) = c
57
(4Ay2 +6y)dA + (5A2 v + 8A)rfy = 0
58
( y 2 - 2 a 2( a + y ) 2 - y ( x + y ) 2]¿A + [ y 2 - 2 a 2( a + y ) 2 + a ( a + y ) 2 ]dy = 0
2 ..3
= x my "
c
v dx + 2 a dx = a 3 v dx
a*
y e
h ln x y = C
R pta. y 3 ( a 2 —1) =
3 y d A + 4 A ífy = 5 A 2 y
®
y
2 y d x + 3 a d y = 3 a “ 1d y
n
a =
9
+ a 3 = e x 4y
A'
R p ta .
R pta.
55
e x
R pta.
a 3 y 4 ( A y + 1)
( 2 y + 3 x £y*) dx + (3x + 5 x * y 2 )dy = 0 , « ( A , y ) =^ A^ vy-y1 3
=c
7
X
108
Eduardo Espinoza Ram os
( 2 x e y + y 2 e x +2x ) dx + ( x ~ e y + 2 y e x )dy = 0 R pta. x 2e v + y 2e* + x 2 = c
®
62)
63)
(¿ 4)
w
dy _ x 2 - y “ ~ 2 y
R p ta.
y 2 - x 2- 2x
dx
xdy - ydx = Xyjx 2 - y 2 dy
2
dx
3
- 2 a + 1) + ( a 2 v + y
©
3 + x y 2 )]dx -
x d y - y d x = x 2ydy
(a
R p ta. xy -2 .rv + l = 0
(x2 +
x y 2 + A 2 v)dV = 0
- 2 y 3 )dy = y dx
6 a 2 .v
+ 4a3 =cvj
R pta. 2 y = .xy2 + c
R p ta.
a
= cy - y 3
x dy + y dx = 3x~dx , y (2) = 1
R pta. xy =
(69)
x 2D x y ~ x y = x 2 - y 2 , y ( 1 ) = 0
R pta.
^o)
x d y - y d x + (y 2 -\)dy = 0
R pta. y 2 - A + l = cy
@
x d y + y d x = x 2y d y
R p ta. A“ l y~I + l n v = c
(72)
y (2 + xy) dx + x (1 + xy) dy = O
R pta. x 2 y e x y = K
xdx+ydy x d \ - y d x
—= = = r + —
— =0
p;
T y
R p ta. y¡x + y + — = c
68)
®
a +
a
- 6
y=
a 2(a
- y)
í v
dy _
dx
ey
2y - x e }
—y )
3
R pta. ( 3 a 4 + 4 . v 3 - 1 2 a 2 + 1 2 a ) v 3 + 1 2 . \ y 2 +
66)
c(a
R p ta. e x = v(l + 21n v)
V , y(0) = 1
ex + 2v
[v4(a3 + a 2
+ v)ex+y =
R p ta. y = x - sen (y + c)
y d x —( 2 x ~y —x) dy, y (1) = 1
— =
(a
<y
^
R p ta . y ' = x e y + c
109
Ecuaciones D iferenciales de Primer Orden
xdy = (a 2 + y
©
©
©
©
2
R p t a . y = x tg ( x + c )
+ y)d \
e x ( y 3 + A y 3 + l)¿£c + 3 v 2 ( a ^ * — 6 ) d y = 0
R p ta . x e Ay * + e x -
a dm
y + *x d x = •'y 2d x
R p t a . y (1 + e x ) = 1
a d y - y d.v + ( a 2 + y 2 ) d x -
®
3 x d y = 2 y d x - x y eos x d x
82
a
dy —y dx =
(1
R p t a . A 2 = c y V en*
0
+ y )d y
84
“
+ y
a" + y"
2
= c
X
X
R p ta. arc.tg ( - ) = - - — + c
y
83
a
R p ta . 2 xe *~ y + y
__ 4
A
1
R p ta . — = — + y + c
y
y
x d y - ( a 5 + x 3 y 2 + y)dx
y
=c
R p t a . y = x tg (c - x )
0
í*A (A + l)¿£r + (yé?y - x e x ) d y =
6y 3
y~
2.2
x dy - y d x = 2 x~ y dy , y (1) = -2
4
R pta. ^-r + are. tg (— ) = c
R p ta. 3 y - 2xy - 1 0 * = 0
..2
2 x —y 3 )¿/y = 0
85
y
86
y (A 3 — y 5 )dür —jc(jc3
®
88
89
(2 jc +
y
3 )dx -
a(
+ y 5)rfy = 0
R pta. — + xy = c
R p ta. A4 = y 4 (c + jcy)
(jc3 y 3 + I)í/a + a 4 y 2dy = 0
R p ta. jc3 y 3 = - 3 1 ii ( a c )
y ( y 3 - a ) ¿ ü ' + jc( y 3 + A)dy = 0
R pta. 2 x y '3 -
a 2 (x +
y )2 (dx + dy) = m ( x d y —y dx)
..2
a
= cy
•>
3
R p ta . A ( j r + y ) ‘ = 3 m y
(2* 2 + y 2 -3)(;cdy + yd;t) = (jn 0 3(4.*<ü-t-2yc/y) R pta. (x y ) '2 + 21n(2x2 + y 2 - 3 ) = c
110
(9l)
92
©
©
95J
(% )
©
98
Eduardo Espinoza Ramos
x dy —y dx = y 3 (jr2 + y 2 )dy
v y
R p ta. are.tg — = — + c
x
4
y ( x 4 - y 2)dx + a ( a 4 + y 2 )dy = 0
R p ta. y ( 3 a 4 + y 2 ) = e x 3
y ( A 3e ^ ’ - y)dx + x ( y +x^e'** )dy = 0
R pta. 2x ~ex> + y ~ = c x
y ‘ (1 - x~ )dx + a ( a " y + 2x + y)dy = 0
R p ta. A^y + A + y = cxy
y ( x 2y 2 ~ m ) d x + x ( x 2y 2 +n)dy = Q
x d x + y d y = (.v2 + y 2 ) y ( x d y - y dx)
y dx - a dy = ( a 2 + y 2 ) 2 (x dx + y dy)
-1 -1
R p ta. x y* = 2Ln {— n—)
y
1
x
(x~ + y y
R p ta. 6are. tg (—) + — ------ r r = c
JC
1 o
^ ^
R pta. are. tg ( —) = —( a “ + y “Y + c
V
Ady - ydx = ^ 4 x 2 + 9 y 2 (4xdx + 9 ydy)
m
CX
4
R pta. arctg— = 6 ( 4 a 2 + 9 v 2 ) 2 + C
2a
R p ta.
y (2 - 3xy) dx - x dy = 0
102)
a"
(1 - .rv) = cy
v ( 2 a + y " )dx + a ( y “ - A)dy = 0
R pta. .v(A + y “ ) = cy
2 x i y l = ) ’( 3 j t 4 + y 2 )
R p ta. A4 = y ¿ (l + CA)
#
1
( a ” v 0+i + f l y ) d A + (A n+ly" + bx)dy = 0
n+1.
R pta. s i n ^ O , x " y n = n ln(c^_“ v _i' ) , si n = 0, xy = cy “y h
103
(x"+y
+ a y ) d x + ( x.n" y, n+\ + ax)dy - 0
R pta. si n ^ l,(w -l)(A y )
x d y + y d x = xy dx
2 . .2
(a" + y “ - c ) = 2a , si n = 1, x “ + y - c = -2 a ln(Ay)
R pta.
(x y V
x
111
Ecuaciones Diferenciales de Prim er Orden
^
V
3
x d v - v d x = (xv)y~dv
R pta. 21n(—) = y + c
x
o
xd\' —y d x = (x~ + x y - 2 y “ )d\
x + 2y
R p ta. L/i(--------- ) = 3x + c
( y d x - xdv) + 3J y 4 - x4 ( ydx + xdy) = 0
x
-r
x
ye Vd v - ( x e > + v 1)dy = 0
R p ta. e v + — = c
e x (eos y dx - sen y d y ) - 0
R pta. e x eos y - c
(xyjx2 + y 2 + y )dx + (\yjx2 + y 2 + x)dy - 0
111J
-COS(x>) j
sen(xv)
+ y ¿ v) + ^senjt ^seny (CQS
R p ta .
+ ^ ^— + xy = /f
+ cos y^v) = 0
R pta. 21n(sen(xy)) + e scnj.esenv = c
(3x2 ln x + x 2 + y )d x + x d y = 0
(U 3)
w
v(
- *
+
1 , ----- -~ — - )dx + (- r — — —
W * - r
v*2- ? 2
-v
R p ta. xy + x 3 ln x = c
=o
-v
+
v
"
y
©
115)
y
R pta. arctg —+ aresen — = K
x
x
y [ sen (x + y) + x cos (x + y) ] dx + x [ sen (x + y) + y cos (x + y) ] dy = 0
R p ta. xy sen (x + y ) = c
(ydv + xdy) + —t J
^ ( x d x - y d y ) + yjx 2 - y 2 dy - 0
*yjx 2 - y 2
R p ta.
+ y^Jx 2 - y 2 = c
xy 2(x 6 - y 6 )(2 v d x + 3xdy) = 2 4 x 2y 3( x 5d * - y 3dy) R pta. x 2y 3 = (x 6 - v 6 )4 K
112
©
Eduardo Espinoza Ram os
[ 2xy sen (x + y) + y sec (x + y) ] dx + [ 2xy sen (x + y) + x sec (x + y) ] dy = O
R pta. sen " ( v + v) + ln(jcy) = c
^18)
2 y d x - x d y = xy*dy
«
y
x~ + y - ( x d x + ydy)
Probar
que
dM
dN
k
s i -------------- = N —
d v
dx
x
R p ta. 31n(jr2y * ) = v 3 + c
3
^
R p ta. 3xy = ( j t “ + y~ )2 + c
entonces
x
es un
factor
integrante de
M(x.y) dx + N (x,y) dy = 0
©
Demostrar que si la ecuación diferencial (axy - b ) ydx + (cxy - d) xdy = 0 es dividida
entre xy [(axy - b) - (cxy - d) *] entonces es exacta.
Resolver la ecuación diferencial usando el factor de integración
u(x\ v ) = [.w(2.v+ v ) ] '1. ( 3 x y + v : ) + Ay(2ji-+ v ) — = 0
dx
y [ 2 (x + y ) + (1 + x 2 ) arctg a*\dx + (jr3 + 2 a*2 y + x + 2 y ) are tg x dy - 0
Considerando una ecuación diferencial de la forma
[y + x / ( a 2 + y 2 )]dx + [ y f ( x 2 + y 2 ) - x ] d y = 0
a)
Demostrar que una ecuación diferencial de esta forma no es exacta.
b)
Demostrar que -r——^ es un factor integrante de una ecuación diferencial de esta
x~ + y fc
forma.
Resolver la ecuación diferencial [v + a*(a*“ + y " r }dx + [y(x~ + v*)" - x ] d y = 0
R p ta. 4are. tg — + ( jc2 + y 2 )2 = K
113
Ecuaciones Diferenciales de Prim er Orden
x*+ y
1271
(x 2 + y 2 + lW A-2xy¿/v = 0 ,
w(a
,
y) = <p(y2 - x 2 )
R pta. 1 + y '
= cx, m, = ------- ^
1 (1 + y —x )
, «, = 4 r
'
x-
7
0
xdx + ydy + x (xdy - ydx) = 0, u = <p (x ' + y*)
(X* + y 2 )3' 2
+ V
(3 y “ —x)dx + (2 y - 6 xy)dy = 0 J u=<p(x+y )
R pta. ( x + v 2)2c = x - v2, u = — -
1
(JC2 + V 2 ) 3
(y-xy
@
l n x)dx + x d y = 0 , u = <p(xy)
xy
a
- y
, y , ) d y + ( — -------- - *■ ; )¿y = 0
j r + y ¿
y-A*
(1 -
yjx1 +
y2
R pta. l n | A - y | - a r c t g — = c
x ' + y fc
[y-h jc( jc2 + y 2 )]¿A + [y(A2 + y 2 ) - .t] d y = 0
a
136
R pta. In(ÁCvy) = -
(xy" —y)dx + ( x y - l ) x d y = 0
+
1331
R pta. 2 + xyLn 2 y = cxy, u = —2 * 2
X V
)dx + ydy —0
a:
R p ta.
a2
+ y 2 - 2 a r c tg —= K
R pta. y¡ "x 2 + y = —
X +c
2
( l x 4 y - 3 y 8 )dx + ( 2 x 5 - 9 x y 7 )dy = 0
R pta. x 1 y 2 - x 3y 9 = K
Ofr.s e n , * + i l + ^ 5 2 i l , /v = o
R pta. x are.sen y + 2 sen y = c
7^7
dy _
y3 - a3
¿a
a3 - x
- x 2y
+
xy2 +
2 a
y 2 + A2y - y3 + 2y
(•*+>•)
R pta. K ( x 2 ~ y 2) = e 2
114
Eduardo Espinoza Ramos
Aplicando el ejercicio 122 resolver;
( y 4 + x*)dx + $xy*dy = 0
R pta.
139)
©
©
(5a3 + 3xy + 2 y “ )dx + ( A “ +2xy)dy = 0
Demostrar que
+ x ¿y + A¿y ¿ = c
Demostrar que ----- -------, donde Mx - Ny * 0, es un factor integrante para la ecuación
Mx + Ny
diferencial M (x,y) dx + N(x,y) dy = y f (xy) dx + x g (xy) dy
a
2
- x y - y 2)dy = 0
4a4 ln
R p ta. y 4 -
R p ta. U ' - y ) y 2 =
a
+
ca
4
c(A +y)
£
( y 2 -xy)¿A + A2dy = 0
R pta.
( a 3 - y 3 )dx + x y 2dy = 0
R pta. y 3 + 3 x3 lnibc = 0
( a 3 - 3 x y 2 )í¿x + ( y 3 - 3 a 2 y)dy = 0
R pta. A —6 a “ m
V + ♦
V = c
y(A + 3y)£¿v + A2í/y = 0
R pta.
y (2 x 3 - a 2 y + y 3 )dx - a( 2a 3 + y 3)rfy = 0
R pta. 2 a 2 v ln(cx) = 4 a 3 —y 3
©
(Í5 )
a*
1
v(a2
II
©
5 . ..2 .. . . 2 . 2
diferencial homogénea M (x,y) dx + N (x,y) dy = 0
>, 2 ¿¿v + (
©
y4 + a 3 ) = c
í
, donde Mx + Ny * 0, es un factor integrante de la ecuación
Ma + N \
(x 4 + y 4 )dx-xy*dy = 0
©
R p ta.
a 2 (7
a
4
^
**
4
2y
= c(2x+ 2y)
+ y 2 )dx + A(3A2 - 5 y 2)dy = 0 , y (2) = 1 R pta. 2 y 5 + 2 . * V + 3a = 0
7
(2 —— --— - ) d x + ( , X -v )d\ = 0
y x“+ y
A' + y '
y~
R pta. — + arctg — = c
,,
a
i
y (x 2 + y 2 + 2)dx + A (2 -2 A 2y 2)¿v = 0
R p ta. x = cy 2 e x y
115
Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
3.w +1
152
y(2xv +1 ) d x + x ( 1+ 2xy - x 3 y 3 )d y = O
v - xv 2 - X3
dx
x + X 2V+ v3
Demuéstrese que la ecuación
donde p, q, r, s, a ,p ,y ,5
R pta.
v = ce 3r ^
R pta.
a*“
+ y 2 + 2 arctg — = K
x
diferencial x * * 1 ( a y d x + f i x d y ) + x r y s ( * f y d x ' r 8 x d y ) = 0
son constantes conocidas, tienen un factor integrante de
la
forma x a y h en que a y b son constantes adecuadas.
( x 2 y + 2 y 4 )d x + ( x 3 +
dy
3x y J
)dy =
R pta. 5 x 2y 2 + 12xU)y 15 = c
0
y / y ” — " — 1)
Demuéstrese que — = ^— ----puede resolverse efectuando una transformación a
dx
x (y “ - x ~ + l )
coordenadas polares r y 0 en la cual x = r eos 0, y = r sen 0 y hallar su solución.
R pta. x" + cxy + v " = 0
Si ó es un factor integrante de la ecuación diferencial M (x,y) dx + N (x,y) dy = 0,
demostrar que 0 satisface a la ecuación de derivados parciales.
dy
dx
dy
dx
Demuéstrese que si la ecuación diferencial M (x,y) dx + N (x,y) dy = 0 es tal que
dN
dM
jVíMtfn
(—------- :— ) = F(xy) es decir una función del producto, entonces eJ
es
xM - ViV d x
d y
1
un factor integrante siendo u = xy.
160)
( y “ + xy + l)¿¿v + ( x “ + xy +1 )dy = 0
R pta. e ™ ( x + y ) = c
(x 3 + x y 2 + y)dx —x d y = 0
->
y
R p ta. x* - 2 arctg — = c
x
116
Eduardo Espinoza Ramos
( x - y j A*2 + y2 )dx + ( y - yjx 2 i - y 2 )dy = O
.3
( x' + y ) d x ■+■( a
(a’
- x)dy = O
+ y " + y)dx + (x~ +
(a* - j c 2
165)
(Jc2 v
+y
(a
+ A sen "
“
y “
- x)dy = O
- V1 ) ¿ A + ( V + A ~ + v " )dv = O
164)
t
v
3
- x ) d x + {.c3 + . v y 2 - y ) d y = Q
A -s e n
2 a ) ¿ / a - 2 > ’ í/y = 0
(5.vy + 4 y - + i)dx + (x " + 2 Ay )dy = O
168)
R pta. ^ x 2 + y 2 = a + v + c
R p ta.
a*3
+ x y 2 - 2 v = ex
R pta. jc + v - arctg — = c
x
R pta. ln | a ’ + y ’ | + 2 y - 2a* = c
R pta. 1n( x “ + y ) = 2jtv + c
R pta.
a
2
-2 1 n (y 2 + sen2 a )
R p ta. 4 a J y + 4 a 4 y 2 + a 4
=
c
= e
(3 + y + 2 y 2 se n 2 x)dx + { x + 2 x y - y s e n 2 x ) d y = 0
R p ta. y 2 sen 2 a = c + 2 a( 3 + y + y 2 )
eos0(l + 2 r c o s “ 0 ) r f r + r sen 0(1- r e o s ’ 0)¿/0 = O
->
R p ta. r~ e o s’ 0 + r = c.e o s 0
(l7 0 )
( r 2 s e n 0 - t g 0 } d r + r s e c 0 ( s e c 0 + r 2 tg0)¿/0 = O
R pta. r sec0 + tg 0 = r r
( n i )
(a3
+ a v 2 + v ) í / a + ( v 3 + a 2 y + x)dy = O
R pta.
+ a v 2 -y)¿/A + ( y
V
“i
R pta. 2 arctg — = c - a" - y
x
172)
(a 3
173)
( v 2 eos a - vWa + ( a + v 2 )dv = 0
(a +
a
~’
3
+ A 'v + A)í/y = 0
sen 2 y ) d \ - 2 x dx = 0
(a “
+
R p ta. y ’ -
a
y2 )2
= c-4 aa
= y(c - sen a )
R pta. a (r + co s2 y ) = 2y
y
(2 y sen a - eos * x)dx + eos a dy = 0
R pta.
(2a + 2 a a ‘ )dx + ( a 2 v 4- 2 y + 3 y 1)dy —0
R p ta. ( a 2 + v2 )yj 1+ y2 = c
y = (a +
c
)
cos
“
a
1)7
Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
©
Nx —My
Probar que si ---------- — = R .
xM - m\ N
donde R depende solo de xy. entonces la ecuación
diferencial Mdx + Ndy, tiene un factor integrante de la forma M (xy), Hallar una fórmula
general para este factor integrante.
Hallar un factor integrante y resolver la ecuación diferencial
(2 y 3
©
+ 2 x 2 y - by )dx - ( 2 a 3 + 2 x y 2 - 2 bx)dy =
0
(x + y )* (x d y - y d ) + [y “ - 2 x “(x + y )" ](dx + dy) = 0
f
j
Encontrar la solución general de la ecuación (.xy - jc )dx + (xy - y )dy = 0 , aplicando un
factor integrante de la forma u = tp(y - x)
*>
*>
Rpta. x " - y “ = c
Resolver la ecuación diferencial y(2xy + l)dx + ( x + 2 x 2 y - x Ay*)dy = 0 , sabiendo que u
es factor de la forma u = ----- ------ , donde Mx - Ny * 0.
M x-N y
1
1
.
R pta. - t -t + T T T + ln y = r
x~
182)
, ©
Resolver la ecuación diferencial
(3a
v' 3a* v
+ —Wjc + (— + — )dy = 0 encontrando un factor
y
y
x
í
^
2
integrante de la forma u = <p(x - y).
Rpta. A * y + y * + 3 A
o
dy
2A -ysen(.xy)4*(3y~-A senA y)— = 0
dx
t
i
Rpta. a " + v -se n jc y = A:
y e ^ '- 8 A
+ ( 2 y + A e JÍ>) — = 0
dx
Rpta. e™ - 4
a 2
=c
+ 2 y 2 =c
118
2.8.
Eduardo Espinoza Ramos
ECUACIONES
ORDEN.-
DIFERENCIALES
LINEALES
DE
PRIMER
Consideremos la ecuación diferencial ordinaria:
donde a¡, a 2 y f son funciones solamente de x ó constantes.
Suponiendo que ai (x) * 0, entonces, dividiendo a la-ecuación (1) por ai (x) se tiene
dy fliU )
f(x)
— + —=— y --------, de donde se tiene:
dx a{(x)
fljU')
... ( 2 )
a la ecuación (2) llamaremos ecuación diferencial lineal de primer orden en y
Si Q(x) = 0, la ecuación (2) toma la forma:
(3)
a la ecuación (3) llamaremos ecuación diferencial lineal homogénea y es una ecuación
diferencial de variable separable y su solución es:
Si Q(x) * 0, la ecuación (2) es decir:
llamaremos ecuación diferencial lineal no homogénea
Como Q(x) * 0, la ecuación (2) no es exacta.
Luego hallaremos un factor de integración para su solución
Si l(x) es un factor integrante solo de x a la ecuación (2) lo expresaremos así:
119
Ecuaciones D iferenciales de Primer Orden
| p (x) y - Q (x) ] dx + dy = O, al multiplicar por I(x).
f(x) f p (x) y - Q (x) ] dx + l(x) dy = 0, es una ecuación diferencial exacta,
. .
por lo tanto:
dI(x)(p(x)y-Q (x))
dl(x)
c
---- = --------- , efectuando:
dy
dx
¡(x)p(x) =
f de donde agrupando
i
/U)
dx
- p{x)dx, integrando con respecto a x.
¡(x)
= f p(x)d x => Ln¡(x) = Tp(jc)¿/.r de donde:
J
J
| p(x)tix
I ( x ) = eJ
, el factor de integración
ahora multiplicamos a la ecuación diferencial,
Í
í pt x )dx
[/H-OJ*
[ p ( x ) y - Q ( x ) ] d x + eJ
Í/H-O*/»
eJ
p ix u lx
p{x)ydx + eJ
dy = 0
agrupando
\p (x )d x
dy = eJ
Q{x)dx
í/í(x)¿ir
d(eJ
y) = eJ
\p ( x id x
Q ( x ) d x , integrando: eJ
f
y=le
Que es la solución general de la ecuación (2)
a.
(T )
W
Ejem plos:
Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales
dy
— + 2v = x 2 + 2 jc
dx
Q{x)dx + c , de donde:
120
Eduardo Espinoza Ramos
Solución
— + 2 y = x 2 + 2 x , de donde p (x) = 2. G(.v) = x 1 + 2.v
dx
-\pU)<h f
Como la solución general es: y = e J
[ Ie
- Í 2 dx C
v=e J
Q(x)dx + c]
,
( x ” + 2x)dx + c] efectuando.
[le
f lx ->
22 x^2+
= e~ T[ le* (x~ + 2,v)í/.v + c] integrando por partes se tiene: y = ----2
2
a
-1
+ ce -2.r
x í j i x .— - v = a ? ( 3 L h | a | - 1 )
Solución
AI
.,
..
...
, dy
1
a 2( 3 Z j i |a |- 1 )
A la ecuación diferencial escribiremos a s i : ---------------y= ----------------------,
dx x Lux '
Lux
lineal en y. Como la solución general de la ecuación es:
- i Pix,dx r Jpi*>d*
y=e J
[Je
Q( x )dx + c] reemplazando
v=
~ ilñ
W[
A-2( 3 ^ | A - | - l ) ^ tc]
Ln | x |
fi e
y=
JC
2(3/JI
I
jt
I
-1
)
.
.
.
.
.
.
.
---------- j—j------dx + c ) , simplificando
J
v = Ln | x | ( í V
J
Ln\x\
I v I—
íji I r I
+1.) ^ poniendo bajo un diferencial
ecuación
121
Ecuaciones D iferenciales de Prim er Orden
(5)
+
dx
< ¡>
\x)y -
xXt» \ x ) = O
Solución
A la ecuación diferencial expresaremos así: — + <¡>’(.x);y = <t>(x)<¡>'(*)
dx
-fpU X fr
Como la solución general es: y = e J
f //•<*«*
( le
Q(x)dx + c) reemplazando
-IVu*** f fax)**
y = e **
(le
<l>(x)<f>'d.v + c)
0(*)
y
©
=
<p(x)<f>Xx)dx + c) integrando por partes.
Ie
u = 0 (x)
ídu~(¡>\x)
rfv = e^(jr,0 Xjc)¿x
1v = e*{x)
dy
1
dx
xsen y + 2 s e n 2 y
Solución
d\
1
dx
dx
xseny + 2sen2y
dy
^
= xsen y + 2 se n 2 y
— = -(s e n y ) x = 2 sen 2v, ecuación lineal en x.
dy
- í-scnw/v f J-sen y d y
x=e J
(le
2 sen 2 y</y + c ) , calculando la integral
x = e~cosy J e cos v2sen2>Y/v + c de donde
122
Eduardo Espinoza Ram os
_
eos V
1
e
sen y. eos ydy + c) integrando por partes.
-cosy
jc = e _co sví - 4 c o s y e cosv + 4 e cosv + c ) , s im p lific a n d o
®
d\
^
>
,/r
"7 — ye tg * = 2.r - x mc tg a* , ) '( x )
dx
2
=
.\
x =
8
s e n 2 ~ + ce
eos y
tt" ,
“T + 1
4
Solución
La solución general de la ecuación diferencial es:
—f —C~lgJT dx
y =e J
f
7
( 2 a* - x ' c tg x)dx + c ] , e fe c tu a n d o la in te g ra l
[le
•
- L n senx
( 2 x - A 2 r t g . v ) ¿ v + c ) , s im p lific a n d o
y = e lj>itnx( I e
f 2 £ - £ r tg x
y = sen x( I — —
dx + c) integrando
J
sen x
,
v = senx(A~
+ cosec.v + c), = a ~ + csen,v, para
P
1
2
/T"
7t
+ 1 = — + c =» c = 1, por lo tanto
4
4
(ó )
K 2 +1i
x =n— , v = —
2
Solución
A la ecuación diferencial expresaremos así:
dx
2x
v=
( x 2 + l)L n(x 2 + 1 ) ’
2 a arctg x
1
1+
a2
(1 +
a2
4
y = * ~ + se n .v
(l + x 2)ln(l + .í2) — - 2 at = ln(l + .v2)-2 .v arctg A donde
dx
dv
'
>£/ i (1 +
La solución general de la ecuación diferencial es:
,
a2)
y - » - — cuando x
2
oo
123
Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
Í
f
-2x d x
f _ f_ <ir+i>¿«u2+i)j f
J
-2 xdx
u 2+ií/-n(-r2+ií ^ !____________ 2* arctg x
1 + x 2 (1 + x 2 ) L h (1 + . 1 “ )
V = ^ ( ^ < « --j ) [ | e
(_ L, _ ---------2?víMY'tar
jc arctg jc
1
1+ X "
, )t¿r + c]
(1 + . V )¿«(1 + X " )
y = Ln( 1+ -v2)[
I [--------------------- ;-----------2* arctg j
2 ) [ f [ -----(1 ++ x~)L
x " )Z -/i(l + x 2 ) (1 + x 2 ) L h 2 ( 1 + x 2 )
J (l
r
,v = Ln(l + •*")[
f
J
—
y
arctg x
~ 7t
c = ----------- ~---------------- 7- para y —>— , >
L n (l +J-
r = ——------ = 0 - 0 = 0 =» c = 0.
( 7)
^
+ f]
J S Í S £ _ ) * el = M I + ,= X - = 5 + O
¿j?(1 + x " )
Ln(l + x " )
y = arctg x + x ln d + x " ) de donde
OO
[^
)
L / j (1 + -v 2 )
Luego la solución particular es: y = arctgx
OO
— — 2xy = co sx —2x se n x , donde y es una función acotada, cuando x —
dx
Solución
d\
— dx
2xv = eos x - 2x sen x,
- [ - 2 * dx
y=e l
T-
2
X
y ~ e x [le
la solución general es:
r f-2xdx
[ I eJ
(eos x -
(eos x -
2x sen x)dx + c ] ,
2xsen x)dx + c ] ,
simplificando
poniendo bajo un diferencial
2 r
2
2 2
.2
y = eÁ ( I d(e~x sen x ) + c) = e* (e~* s e n x + ceA ))
y = senx + ce
, como sen x varía entre
Cuando x —> «> y c = , por lo tanto
2
-1 y 1 además y es acotado
y = sen x
—>00
124
©
Eduardo Espinoza Ramos
d\
1
dx
e- v —x
Solución
A la ecuación diferencial expresaremos así:
dy
1
—
J = -------v
dx e - x
=>
dx
y
—
J = e • - x de donde
dy
— + x = e y ecuación diferencial lineal en x cuya solución general es:
d\
-ídv f í *
x =e J l \e
e }y dy + c ] , integrando tenemos:
x=¡e v [ J e 2 ví/y + c] = e
b.
I.
por lo tanto x = ^ - + ce y
+
E J E R C IC IO S P R O P U E S T O S .
Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales.
.vtg" y d y + x d y = (2 x 2 + tg y)dx
®
dv
dx
(T )
x
1
1
v
1
e y - — sen — e e o s—
x"
x
x
R p ta. tg y = x (2senx + c)
- i;
.vsen0í/0 + ( x 3 - 2 x 2 c o s0 + cos0)¿¿v
i
-
R pta. v = cos —+ ce
x
R p ta . co.$0 = —+ cxe
^
x 2dy + x y d x = %x2 e o s 2 x d x
R p ta.
xy = 2 x 2 + 2 x s e n 2 x + c o s 2 x + c
( x 3 + 3y)</x-t x d v = 0
R p ta .
y = x 3(— + c)
@
í/v = .y-5 (4 x 4 y + 3x4 y -1 + 2 5 6 v 7 + 7 6 8 y 5 + 8 6 4 y 3 + 432y + 81 v ’ 1)dx
0
dv
sen(2.v)
— - v r tg x = ------------
dx
'
'
«
,,
■>
R pta. v = K sen x + sen * .y
2
eos y . dx = (x sen y + tg y) dy
R p ta . x = K secy - secy . Ln cosy
125
Ecuaciones Diferenciales de Prim er Orden
dy
®
(ío )
(2x — +
dx
dx
x(l - x 2 ) — - v + a x 3 = 0
dx
—
®
y)^JÍ+~x = I + 2.V
¿v
dx
c(y
©
+
veos x
(a eos
dx
— + y = sen
W
dx
®
©
dx
dx
a “d x -
sen
R p ta . y = ax +
= sen
sen
y 2 —l(L/i(y + ^ y
R pta. x -
R p ta . x-^1 +
y
a*e o s a
R pta. y = ce
- sen .x
2y) = 1
R p ta . x = c e xny - 2 a ( l
+ y 2 se n y - x y )dy
a
+ xx = 2a
dy _
®
(yj\
y+a
©
ex
-y/l-jr2
(y* - l ) d x = y ( x + y ) d y
(1 + y 2 )¿/x =
R pta. y=-^=- + \f\ + x
VI
2 a dx + 3av dx = 0
3 + xy
R p ta. y - c e
+ eos y = c
s
+ sen y)
+ — (sen x - c o sa )
R p ta . 4 a
2a e o s 2a
R p ta.
A -l
1
2 +2
= c sen
2a
y = rV I - —
A
2a2
dy
y
t
->
A—- H--- — = 1—A“
d r 1+ x
+ sen
R pta. y = c e
y +
- i ) + C )- y
R p ta. v = 1 + —- — + c(l + —)
2
2
a
( x + y ) “ ( x d y - y d x ) + [ y “ - 2 x ~ ( x + y ) ~ ] ( d x + rfy) = 0
R pta. ( y -
( x 2 + l)d y = ( x 3 + xy + x)<¿x
a
2
- x y ) ( x + y ) 3 = K ( y + 2 x 2 + 2xy)
R pta. y = x 2 + l + c ' J x 2 +1
126
22
©
24
©
26
Eduardo Espinoza Ramos
dx
X(
1 - xv
_
a
dy
R pta. y = x + c y ] l - x 2
dx
2 x dy = ( y - 3x ln x )dx
d\
— + x sen a
v
dx
dy
x
2y + ( 2 x - l ) e
dx
y _ x - y
dx
x
@
(A ‘
R pta. y = e* + c(2x + l)
R pta. (x - 2) y = x (x + c)
x -2
x 2 + 4x + 2
x 2Lnx + cy[x
X
2x+ 1
dy
R p ta. v =
2x*
R pta. y = x cos x + ex
= —
d y - { x + l)ydx
29
R p ta. av —ce* — x — 1
y )= rx - v
= dx
+ 2 A - l ) y , - ( A + l)v = A - l
R pta. y = ce
A+
2 - a -3
R pta. y = o / a + 2 a - 1 + ;
Sug. para la integral ¿/(—) = — ^ ^ ^
(a +1
a
32
)dy -
Lnx.
[ 2 y + ( a + i ) 4 ]í / a = 0
dy
yfx
(1 + Ln(x))v + — (2 + Lfix) = 0
2
dx
y ' - y = 2xe
\V =
v
+x
XXX
2
sen a
^ 1
d
R pta. y = c( a + 1)‘ + —(x+ 1)
i—
R p ta . v = cxL>?x + Vx
R pta. y = e t+ T + cex
R p ta. y = -x cos x + ex
127
Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
34
«R pta.
.
x ( A - l ) y ‘+ v = x " t 2 x - l )
cx
v = ------ +
a
*>
a”
-1
35
y'eos v-f sen v = x+ 1
R p ta. sen y = x + c e ~ x , sug. z = sen y
36
v’+ sen v + x eos v + a* = 0
R p ta. t g
sug:
sen 2y = 2 sen y eos y,
n
v-
0
a
eos2 y =
y = **(* + !)"
^ = ce
x —a
1
+
1 + eos 2 v
R pta. y = (x + l ) n (c + e x )
+ 1
38)
( y 3 - y)dx+{xy~ - x - y 2 +l)dy = 0
R pta. x ( y 2 - 1 ) = y 2 + l + c-y
39
dx
x — + y(xc tg x +1) = c tg x
dx
R p ta. (xy - 1) sen x = c
0
(x + sen y - 1)dy + eos y dx = 0
R p ta. x (sec y + tg y) = y + c
©
(e - 2xy)y,=: y
R p ta. x y ~ = e y +c
42
y - xy' = y' y 2 e y
R p ta. x = y e y +cy
43
o = x4
x d>' 3y
dx
R pta. y = x 4 + c x 3
y'+yc tg x = 2 a eos ecx
R p ta. y —x eos ecx + c. eos ecx
@
45
(46)
y '+ y =7 - ^ ü
1+ e ¿
R p ta. y = e x arctg e x + ce~x
y'+y = 2xe x + a 2
R p ta . y = x 2e * +
(1 + x )dy + 2 xy dx ~ c tg a dx
n
^
Lrt(sm x)
R p ta. ? = — i— ^ - +
1 + A2
a 2
-2
a
+ 2 + cé’
c
1 + A2
- x
128
48
Eduardo Espinosa Ramos
(x
5
'
+
3 y)d x
—x
dy
R p ta. 2y = A5 +cx^
= O
dy =
2(2.vy + 4 v - 3 ) í / j c + (jc + 2 )
R p ta . y
O
2
= --------- +
a
50
( 2 av +
2
a
+ x A ) d x — (1 + x 2 ) d y
®
(y -
(52)
(y - x + x y c tg x ) dx + x d y = 0
(
53)
54
eos 2
2y(v 2 -
(1 +
x)d x
+ eos
x dy
R p ta . y
=0
= Ü
xy)d x
— (1 +
a
2
)d y
a
) v '=
sen A(sen A + sen
a
.eos
59
©
(A-
+
1 ) . v ' - ( 1 - a ) ‘ >’ =
a
-y )
+
a
- arctg
a
)
y (s e c x + tg x ) = c + x - c o s x
R p ta.
xy senx = c + senx - x cosx
=
y
1+ c e
-
+ c(l +
R p ta.
x 2)2
y
=
-V
+
c
+ sen
y = (1 + c o s x ) ( c + x -
y
eos y
sen
x)
6
aí?
- .V
R p ta.
y -
c e * - ( 2 x+De~x
4 (a2 +1)
dy
A s e n A — + (senA +A C O SA *)y =
xe
R p ta.
y -
e*(x-l )+ c
AsenA
)(e x + c )
R p ta. y = (
X
V il?
dx
(1 + sen x ) — + (2cos a ) v = tg a
dx
-
7
©
x~ ){c
1
^
R p ta. y = —( a - 1 ) + / l, ( a - 1 ) “ + / l2
y + -^— = a -1
A -l
@
(a + 2 )
R p ta . 2 a e o s 2 y
d x - (1 + 2 x t g y ) d y = 0
(1 + c o s
= (1 +
R p ta . y - x
= 0
+ 2
R p ta.
R p ta. x
x)d y - dx
c
A(A + l ) / + y = A ( A + l )
e
2
x
R p ta. y =
sen a
+
L n (\
(1
-
sen a ) + c
+ sen a ) 2
Rpta. y = -^-(1 + —) ( c - e x~)
2
A
129
Ecuaciones D iferenciales de Prim er Orden
63
^4)
65
66
©
68
69
®
.
\
y »- (/ tg
x )y
= es e n 4
^
para rOi < x < —
y + 2 xy - xe
dy
dx
@
@
v = sec x.e**nx + eos ecx
«
x"
- r2 -X
R p ta. y = — e
+ce
+ my = e —mx
R pta. y = x e ’ "* + c e ’ "*
dx
— + (sen x)v = Kx
dx
R pta. y = ce
-> dx
( l - x ~)— + xy = Kx
dx
R p ta . y = K + r>/l + x2
dv
2x
— + —r------- V = X
dx x +1
x + 2x + c
R pta. y = — — — —
4 (x i' + l )
2 y ln y + y - x
x(x3 + l ) y ’+ ( 2 x 3 - l ) y =
COS X . zs _COS X
+Ke
lgil)dt
R p ta. x = y ln y + —
y
x3 - 2
_
ex
1
R p ta . v = —— + —
X
y*+ x s e n 2 y = xe x cosfc y
®
R p ta.
+ 1
X
x" _SL
R pta. tg y = (e + — )e
,
sug.z = tg y
xv' = x —y + tg x
R pta. xy eos x = c + eos x + x sen x
(sen x . sen y + tg x) dx - eos x eos ydy = 0
R p ta. eos x . sen y = Ln (cosec x)
x s e n x . y + ( s e n x - x c o sx )y = s e n x .c o s x - x
«
Kscnx
R p ta . y = -----------+ eo sx
(2 x -l)y -2 y =
l-4 x
R p ta . v = c ( 2 x - l ) + —
x
130
Eduardo Espinoza Ramos
y'+ sen x.y = 2 xe
0
©
@
80
®
©
83
eos
X
R pta. y = ( x ~ + c ) e
COSA
x 2dy + xy dx = Ex 2 eos 2 x d x
R p ta. xy = 2x 2 + 2x sen 2x + eos 2 + c
dy + 2ydx = sen 3x . dx
R p ta. y = — (2 sen 3 a - 3 eos 3a) + ce - 2 .T
13
dx - x dy = Ln ydy
^ Vd y
R pta. jr+ ln \ ~ e v If ---J v
(sen x + eos y)dx + eos xdx - senydy = 0
R p ta.
(.v2 +
a
+ l)y y '+ (2 A + l ) y 2 = 2 x - l
R pta.
+ eos
y 2 ( x 2 + a + 1)2 =
= ce
y
a4
+ —a 3 + 2 . v 2
- 4 a + //
n- 1
R pta. Q(x) = c £ H
0 (a x )¿ /a = « 0 ( a )
R pta. a = sen ‘ y(c - c tg y)
(1 + 2x . ctg y )dy = dx
f ( x ) d y + 2 y f (x)dx
sen a
= / ( a ) ./ ' (a
)dx
R p ta. 3y = / ( a ) + c . ( / ( x ))
R pta. 2x . f 3 (y) = f 2 (y) + c
85
.f \ y ) ^ - +3 f(y )f\y )x =f \ y )
dv
86
eos x.y' '+ sec x.y'+(sec x . tg x + eos x ) y = 2 sec“ a . tg a
R pta. y = cosA+r.<TtgJ: I e lg(ní/f + K'
o
©
eos x d \ + 3 y sen x d x —eos
a*¿/a
=
0
R p ta. y sec a = 2 tg a + c
88
dy
eos a.— + sen x = 1- y
dx
R pta. y (secx + tgx) = x + c
89
v’sen a = v eos x + sen 2 a
R p ta. y = (x + c) senx
131
Ecuaciones Diferenciales de Prim er Orden
0
Rpta. x *■y ~ = 2 sen a - 2 a eos a + c , sug. a = y
Avy’+ y “ = senA
a ( x 2 + l)y'+2y = ( a 2 + 1)3
Rpta.
0
y '= l + 3y tgA
Rpta. 3 j c o s 3 A = c + 3 s e n A - s e n 3 a
©
(x + a ) y ' = b x - n y , a, b, n constante, n * 0. n * -1
91)
a 2y
= —( a 2 + 1)3 + c ( a 2 + 1 )
4
Rpta. n(/7 + l)y = b(nx - a) + c (x + a)
®
95
96
sen2 a
(eos 2y - sen x) dx - 2 tg x sen 2y dy = 0
Rpta. sen a eos 2 y -
(3 a “ + 1 ) v ' - 2 a->’ = 6 a
Rpta. y = -3 + k(x" + 1)
( a 2 + l ) y '+ xy = (1 —2 a )V a 2~+T
Rpta. y =
-n
=c
A - A " +C
+1
X
98
dy
dX
y
K
yJ2X + ]
— 1+ y¡2x + 1
Rpta. y = (-^ -í-)[2 z -2 1 n | z + 11 + c ) ,
2 -1
dy
■>
sen a c o s a — + y = tg" a
Rpta. y = 1 + k ctg x
x~dy + ( 2 Ay -
1 1 ^
Rpta. y = --------+ i
dx
a
+ 1)¿/a = 0
2
X
Ay'+(l + x)y = e
z = V 2a+I
A"
Rpta. y = e *(1 + —)
A
V
2
V H---- :— = A - A
'
1 —A
Rpta. y =
/ = 2 2 L + (l + *)3
Rpta. y = (a + 1)2| a + 2 ^ + c ]
(l-A )(c — —)
1+ X
xdy = (2v + 3 a 4 + x 2)dx
Rpta.
v
=
2 3a
a [----- +
lnA +c]
132
Eduardo Espinoza Ramos
y'+2.rv + .v = e
106
dvw
~dx
-x
+ v t g x = f * (tg .v -l)
(l0 7 )
(5y - 2 r \ y 2 ) d x + x * y 2dy = 0
Supongamos que 0 es una función con derivada continua en 0 < x < 1 que satisface
<t>'(x)-2 <l>(x) < 1 y <1X0) = 1 probar que 0
y' ’+(tg jc)y‘+ sec x y ) = cos x
( jc ) <
3 7, 1
—e" - —
R pta. y = cos x [ln|sec x|+ c.Ln|sec x + tg x |+ k]
R p ta.
( jc 2
v = (jc +
\)nex
+ c ( ; c + 1)"
+ 2 x + sen(x“ + y 2) + 2.vcos(.v2 + y 2 )dx + 2 y c o s { x 2 + v2 )dy - 0
dy + ( 4 x ¿y - x 2e ~ x ) d x - 0
113)
s e n ( 2 ; c ) ^ + 2 se n 2 x y = 2sen
jc
y '+(— [— ) y = 3 x , y(3) = 4
jc- 2
II.
®
Hallar la solución particular de la ecuación diferencial con las condiciones dadas
dy 2
cos x
„
— + - y = — — , y ( ti) = 0, x > 0
dx x
jc“
R pta. y =
x y ' + y - e * = 0 , y (a) = b
ex + a b - e a
R pta. y = ----------------
y'
=
y(0) = 0
1 —JC**
®
®
y ' - y tgjc =
1
cos Y
, y(0) = o
y ' - ( l + —)y = x + 2, y(l) = e - l
JC
„R pta.
sen.t
i
r 2
fi
+
jc
y —— ( x \ l - x +arc. s e n x )J ------
R pta. y =
.v
COSJC
R p ta . y = x 3 e - jc
Ecuaciones Diferenciales de Prim er Orden
©
d\'
x—
dx
©
V— - 2a* = 3 v 2 - 2 .
dx
©
v dx - 4 x dy = y dy , y (4) = 1
®
y'—2xy = eos a*- 2 a sen
2- J x y
2V=
.V*
133
+ A, vil) - 1
R p ia. v = x~ ln x + 2x~ - x
v il) = 1
a
R p ta. x = 3 y * l n y + l
4 , 2
R p ta. 2.v= y (y
+ 7)
, y es una función acotada cuando x —»
y es acotada cuando x ■ 4 + 0 0
y = - sen y f i - e o s
2 a ‘ y ’—x y = 2 a e o s x - 3 s e n
a
, y —» O, cuando x —» + °°
y sen a
©
y ' - £ ’vy = “ -seii-— ex eos —, y —» 2.
©
y '- y ln a = -(1 + 2 ln a ) a ~a . y —> O, cuando x —» + ©©
R p ta.
y=
y=
sen
sen a
a
A
x -»-<»
R pta.
A
di
L— + £/ = £,
dt
©
cuando
y = 2 xnx
R pta.
R p ta .
scn~.r
- y eos a = --------— , v —> O, cuando x —>
A*
©
y = sen x
R p ta . y = eos T í
y ’- y ln 2 = 2 sen*(cos je-1) ln 2 , y es acotada cuando x —» + «s
©
Rpt a.
R p ta.
donde L, R, E son constantes, i (0) = O
di_
+ Ri = £ .sen co /,
dr
R p ta .
y =
a
—X
E
i = — (1 - e
R
cuando t = O, i=0
Rl
R pta. i = EZ* 2 (R.$en( 0 t- ( ú L c o s c o t +coLe L )
(3 a 4 y - 1 )dx ■+*a 5dy = 0 , y ( 1 ) = 1
R p ta.
donde Z 2 = R 2 +(ü 2 L 2
a4y
= 2a -1 ^
R¡
L)
134
®
Eduardo Espinoza Ramos
(y*+y tg x ) = sen 2a* , y (0) =
dx
@
~dt
+ x = e 2\
a
2
R pta. y =
4 eos a - 2 c o s “ a
2i ^ -/
n
e
2e
R p ta. y = — + ------
(0)=;1
Las Ecuaciones diferenciales de la forma:
Se conoce con el nombre de Ecuación Diferencial de Bemoulli.
La ecuación (1) no es una ecuación diferencial lineal.
Luego para resolver la ecuación (1), primero se transforma a una ecuación diferencial
lineal, mediante el procedimiento siguiente:
-
- dy
i
y n ------\- p ( x ) y n = Q ( x )
dx
Io
A la ecuación (1) se multiplica por y ” , es decir:
2o
A la ecuación diferencial del I o paso se multiplica por (1 - n), es decir
(1
-f- + (1 - n ) p ( x ) y 1i-w
-" = (1 - n)Q(x)
dx
3°
Sea z = y 1' " = » * = ( ! - n)y~” ^
dx
dx
4o
Se reemplaza el 3o paso en el 2° paso, es decir:
Que es uija ecuación diferencial lineal en z de primer orden y la solución es
conocida de acuerdo a 2.11.
a.
E jem plos: Resolver las ecuaciones diferenciales siguientes:
135
Ecuaciones Diferenciales de Prim er Orden
O
2 x ^ + 2 y = .xy3
dx
Solución
dy 1
y
,
_3
A la ecuación diferencial dada expresaremos así: — + —y = — ; multiplicando por y
dx x
2
, dy 1
1
y
— + — v “= —; multiplicando por (1 - n) es decir por -2.
2
dx x '
- 2y
-3
dy
2
dx
x
*
Sea z - y ~
2
y
_2
= -1
=> — = - 2 j
dx
— ; reemplazando en (1)
dx
— - — z = -1 , ecuación diferencial lineal en z, y la solución general es:
dx x
i*
x (-l)dA + c] efectuando
z ~ e 2L,vc[- I e 2Lnxdx + c]
= A: + c . x
Solución
dy
x
dx
x 2y + y 3
dx
jc2v + y 3
%
dy
x
dy
a— dx
■>
, , j
dy
, de d o n d e
dx
3
xy = y jc~ , multiplicando por x
3
= v , multiplicando por (1 - n) o sea por 2.
2 x — - 2 y x 2 = 2v
dx
Eduardo Espinoza Ramos
136
Sea z = x
dz
d\
2
dz ^ dx
=> — = 2 x — reemplazando en (U
dx
dy
.
_ 3
- 2 yz - 2 y , ecuación diferencial lineal en z, y la solución general es:
- í - 2 ydx
z =e J
f f-2> rfv ,
2 f _ ;
,
[ I eJ
2 y d y + c ] = e y [ t e ' 2 y d y + c] integrando por partes.
2 ^ _ . 2
2
z - e y [ - y e v - e ~ v + c] simplificando
®
->
_ ,2
( A '+ y “ + l)e y = c
,y2(>’6 - x 2 )v'= 2 x
Solución
v2(v 6 - j c 2) v ’ = 2a
i.- v
a por x:
multiplicando
=>
^
8
2 a — = y 2(y 6 - a 2) d ed o n d e — + — x = — a “ ^
dy
dy
2
2
i
dx + — x = y
x—
dx
2
multiplicando por (1 - *) o sea por 2 se tiene:
_
2
dz ~ dx
Sea z = x
=> — = 2a*—
dx
dy
2.v— + y~x~ = v
dy
reemplazando en (1)
— + v2z = y 8, ecuación diferencial lineal en z, y la solución general es:
dx
v3
v
- \ y 2dy r \ r “y
z=e J
[te
y dy + c], integrando se tiene: z = e 3 [ I e *’ y Hdy + c]
integrando por partes z - e
y6 2 y 3
^
3 [9(------------- + 2)e 3 + c] simplificando
v3
/.
a"
= y 6 - 6 y 3 +18 + c e
... (1)
137
Ecuaciones D iferenciales de Prim er Orden
3
(7)
ydx + ( a -
— )dy = O
Solución
dx 1
x3
. . . .
A la ecuación diferencial dada expresaremos así: — + — r = — , multiplicando por x
dy y
2
- i dx
X' —
dy
1
+ —A
y
= —
1
=>
, dx
2
2a *
2
H-----JC ~ = 1
dy
y
Sea z = x “ => — = -2.v * — , reemplazando.
dy
dy
— - + —z = l
dy y
=>
dy
—
y
1 ecuación lineal en z, Luego la solución es:
-f--rfv f f--< v
r
z=e
' 11 e 3 ( - l) d y + c ] , integrando z = e2Lny\— I e~2Ltiydy + c ] , simplificando
_7
->
a
= y + cy ‘
i . f dy
c - y ~ |- 1 —r + c]
^5)
3a dy = v(l + a sen x —3y 3 sen x)dx
Solución
3a dy = y(l + a sen x - 3 y 3 sen x)dx expresaremos así:
dy
3a — = y(l + Asen a - 3 v' sen a )
dx
de donde
dv I + x sen x
sen.v 4
.
--------------------- v = - ( ------- )v , multiplicando por
dx
3a
a
. dv 1 + a sen a
sen a
v —-------------------y = ---------dx
3a
a
y
138
Eduardo Espinoza Ramos
-3
z = y‘
Sea
_4
dy
=v — ,
dz
= >
3dx
reemplazando.
dx
'
dz
l + .vsenA*
sen a*
3dx
3a
x
dz
1+ a sen a
sen a
+ --------------z = 3 ------dx
x
x
que es una ecuación diferencial lineal en z, cuya solución general es:
fH .tsenx .
f 1+xsen x
0
-I — — * f J
\[ l\ ep"
e J
J X
*
7
J
sen a
S3 : ~~
'
A
¿JU - - C O S .V ^
¿/ a +
c]
,
integrando
C O SA *
dx + c ] , simplificando z = ------- [3 | e_COSJr sen az/a + c]
_ É,¿jufcosx[ i e
...
[3e cos,v + c]
. , 3
c.ecos*
y 3 = —+
A
©
A
3 4 - 2 . v= * ’
¿v
y“
Solución
el
2
A la ecuación diferencial expresaremos a s í : ----------- v = a 2 y~2* multiplicando por v
dx 3 a '
2 dy
dx
Sea
idx
3_ 2
2
•••
3a ^
3
z=y
— —
3a
z^= »
x*2
=>
—
dx
- — c = 3 a2,
x
ecuación lineal en
f
z =e ~ '~ [ \ e
de donde
dz ^
dy
— = 3y" — , reemplazando en (1)
dx
' dx
=>
f
(1)
*
2Ltix. I
3jr d x + c | =
_v3 = a 2 ( a + c )
=>
~ 2Ln x -» . 2
I e~í l j a Zx¿dx + c]
v3 = a 3 + ca2
z,
cuya solución general es
139
Ecuaciones Diferenciales de Prim er Orden
(2xy 3 - y)dx + 2,v dy = O
Solución
A la ecuación diferencial escribiremos en la forma:
^ dy ^ i
2 x — + 2 xy - v = 0
dx
dy
1
i
=> — ------ v = - y
d x lx
multiplicando por y'3 se tiene:
Sea z = y
dz
dy
==> — = - 2 y —
dx
dx
-2
dz
1
2dx
2x
z = -1
=»
reemplazando en (1)
—
z=
e - JJí -*x [f IIf eJí -*X 2dx + c]
z = e~{nx[ \ e ^ x2 dx + c]
==> z = —[x2 + c ]
J
X
v ' 2 = .v + —
¿y
->
2y = — + y"c tg x = eos ecx
dx
Solución
A la ecuación diferencial expresaremos en la forma:
dy c tg x
eos ecx
— + —- — .y = — - — y
,
multiplicando por y.
dy c t g x •> eos ecx
v — + — — .y = --------* dx
2
2
Sea
dz
2dx
z=y
+
2
ctgx
2
dz
dy
=> — = 2 y —
dx
dx
z -
eos ecx
2
... (1)
dz 1
— + —z = 2 ecuación lineal
dx x
Cuya solución general es:
(8 )
v~3 — — — v"2 = - 1
dx 2 x '
=>
reemplazando en (1)
dz
dx
Hctgx.z = eos ecx
X
140
Eduardo Espinosa Ram os
que es una ecuación diferencial lineal en z, cuya solución general es:
cosec x dx + c] = e - ‘n(sen^ t J e ln(w,Jr)cosecJC<ic + c]
z = cosé'cv[jc + c] => y
b.
= x c o s e c x + c .co s ec x .
E J E R C IC IO S P R O P U E S T O S .
Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales.
©
©
©
i
'y
(x~ + y ~ +1 )dy + xy dx = 0
dx
jc + 1
( jc2 + l ) y ' =
R p ta . y 4 + 2 x 2 y 2 + 2 y 2 = K
R p ta.
2
jc
4 sen“ y
©
dx
x"5 + jc tg y
©
(x2 +
y 2
+ (y + 2x)*
+ C ( jc+ 1)~
R p ta . jc4 ( t f - l n t g y ) = t g y
1 )dy - ( 2 ( a 2
+
y 2 ) + ( y + 2jc)jt
R p ta. ( y - 2
©
(* + !}
R p ta. — = ,_ !_ = •(—Ln {x + 'Jl + x 2 I - x \ ¡ l + x 2 + c)
y JÍ7 7 2
y +x 2y 2
dy
I
( ^ 2)'= (.ry )3(A-2 +1)
2 y)dx
i
a
)
2y
v
= -------+ 10arctg— sug: y= u x
JC
A'
45
R p ta . v =
45cyfx-5xs - 9
Ke -e o s*
dy - y sen a dx = v ln(yecos * )dx
R p ta. y = - e
©
( A + y 3) + 6jcy2y ’= 0
x
R p ta . y = - —+ c .a 2
©
(jcy ~ + x sen ~ x - sen 2 a)í¿c - 2 y dy = 0
R p ta . y 2 = s e n 2 x + c.e 2
©
3
a3
141
Ecuaciones Diferenciales de Prim er Orden
©
©
©
d\
1
r-j- +
- y = 5(x-2)-Jy
dx x - 2
R pta. y 2 = c ( x - 2 ) 2 + ( * - 2 )
3 v2 — + —------8( x +1) = O, y(O) = O
dx * + 1
Rpta. y3(jr + l) = ^[(* + l)3 - l ]
d\
d^
y
~>x
e + y~
R p ta. y 2 = ( c - 2 1 n | y | ) e 2jrsug: z = e
2 eos y dx - (jc sen y - * 3 )dy = 0
2x
d
z
dx =
Tz
R p ta. secy = x (c + tg y)
3*2
dy h— vdx = 3*2 v 2dx
R p ta. x y ( c
*5 r
d \ + y dx = 2xy~e' dx
R pta. 1 = y e x ( c - x 2)
®
i — + — y = 2-t1 V4
dx x
R p ta. x~3y~3 + x 2 = c
®
x xd x - { x s c n y - \ ) d y
R p ta . — ~ c e y + i (sen y + eos y)
x
2
©
®
®
®
20
@
dy
3*
dx
x + y +1
)=1
R p ta. * 3 ~ c . e y - y —2
8xy'-y =—r
7
==
y Jx+1
R p ta . y 4 = c-Jx + y/x + l
dy
^
2 s e n x.-----h y c o s * = y ( * c o s * - s e n x )
dx
R p ta .
d
y
y
X
+
dx
ln *
= * + K.sznx
*(* + ln*)
y 2 ln *
3 *2 -6 *
3jc2 — 12*
1 3*2 - 7 2 * + c *“
R pta. y = [ 3 * + —( -------) - - ( ------- =—) + —(------------ =----- )]3
2
\nx
2
Inx2
4
(lu x )3
142
Eduardo Espinoza Ram os
dv
(jc -1 )—— 2 y = yj(x 2 -l)_v
dx
R p ta. y = [(1 - x ) ( c + — L n ( x + ^ x 2 - 1 ) - \ i x 2 - 1 ]2
©
x sen y eos v .
dx + x r tg y.dy = — ------- -------- ’- d y
x " sen y + 1
@
¿
©
28
@
0
jc
+
(—) x d y = l x 2 y 2dy
2 = c-2 y
(12e 2jr y 2 - y )c¿c - d y ^ y (0) = 1
R p ta . y le x = 13 —12^
dy ^
i,
x — + y = y Ln x
dx
R p ta . cxy + y (Ln x + 1) = 1
2x y — - y2 +jc = 0
dx '
7
k
R p ta . y =jcln(—)
JC
y e * = { y * + 2 x e y )y'
R p ta .
jc
= y*(c-e y )
xy^dx = (jc2y + 2 )dy
R p ta.
jc
= 1 ----- + c.e
R p ta.
jc 4
= y 2 + cy
R p ta.
jc 3
= sen y + eos y + ce - y
dy
dx
4 jc y
jc4
+ y2
jc3¿ v - ( j c 4 + y 3)¿y = 0
yy'+ y
35
!y
jc
d x - 2 xy dy = 6x 2y 2e 2> dy
2
jc *¿/ v + 3jc dx - 2 c o % y dy
0
R p ta .
3
-2 2vR p ta. jc ~e~ = c - 4 y
3
0
R p ta . jc2 sen 2 y + 21n(jcseny) = s e n 2 y + c
= eos x
y ' = 5 * 2 y. 3 +■
y
2x
R p ta .
3
jc
= sen y + eos y + c. e
R p ta . y “ = c .e
—y
2
4
+ —s e n * + —c o s j t
5
R p ta . y ^ = — - 4;c3
5
143
Ecuaciones Diferenciales de Prim er Orden
36
©
dy
cosx
dx
ystnx+ y
dy
y _ x
dx
x
2
rx
=0
Rpta. — = sen jc+A\ cosx
Rpta. y e 2y = c
y
dy _ y ( 2 x + 3 y ‘ )
@
®
®
©
dx
Rpta. x 2 = ( c - 3 x ) y 2
x2
dy
2
eos x .— = y sen x + y tg x
dx
Rpta. y =
xi l - y =
dx
Rpta. jc2 = ( l + c.e* ) y 2
X y ' - X1)
Rpta. y 2 = ( j c - 2 ) 2 + e 2
2xy
2
x -y
2
-a
cosjc
K.cos2 JC—1
( 4 - x 2 + y 2 ) d x + Ay dy = 0 , y(2) = 1
v =
2
Rpta. x 2 + y 2 - a 2 = c y
2
x(3x2 - a 2) 1
2
2 * 2
x -a
y
®
* 2 + fl2
2 y
x(x~-a )
®
y d x = ( y - x)dy
Rpta. 4 xy = y + c
(x 2 - 1 ) d y - y ( 2 x - 3 y ) d x = 0
Rpta. x 2 -1 = y(3jc + c)
y d x + ( x 2y 4 - 3 x ) d y = 0
Rpta. l y 3 = x ( y 7 + c)
©
©
©
3 a:
3
Rpta. y =
~ ~
^
Rpta. y
3
x -a
2
+x
2 jc
2
= — + — + 4*
3
3
jc
Rpta. x 2 = y 2( 2 e x + c )
x 2 — - x y + y 3ex = 0
dx
x y 2y ' + y 3 = x c o s x
2
c x
18sen*
Rpta. y = 3sen jc-f ----------------,
9 c o sjc
X
x
18cos;t
c
— +—
x3
X
144
50
@
®
©
56
Eduardo E spinoza Ram os
6 y ~ d x - x(ax + y ) d y = 0
R pla. (2x - y Y - c y x
2 x 3y ' = y ( y 2 + 3 x 2)
R p ta . y 2(c-jc)jc3
2 y d x + x(x~ ln y ~ \ ) d y = 0
R p ta . y(l + jc2 - x 2 l n y ) = c c 2
2 x y y ' = y 2 - 2 x \ y (l) = 2
R p ta . y 2 = x { 5 - x 2)
( y 4 - 2xy)dx + 3x 2dy = 0 , y (2) = 1
R p ta. A2 = y 3(jc + 2)
(2 y 3 - x 3)dx + 3 x y 2dy = 0 , y (1) = 1
R p ta. 5 jc2 v 3 =
(.*“ + 6 y Á') d x - 4 x y d y = 0 , y (1) = 1
R p ta. 2 y 2 =
?
57
dy _ y sen x - y eos
dx
jc5
+4
jc2 ( 3 a
-1 )
7
jc
sen a. eos x
3.t
R p ta . y = (sen x. ln | eos e c 2 x + c tg 2 x | + sen x)
3 2
58
(Je2 +1) J y y ' = x e 2 + (l - x ) 2 yyfy
1
R p ta . y - e x {— + c ( x +1) 2 )3
59
y ' - 4 y = 2exy 2 , y(0) = 2.
R p ta . y = ( J 2 e lx + e 2x - e x )2
@
y '- y = - y - ( j c * + * + l ) , y (0) = l
®
x y ' - 2 y = 4jc3y 2 , y ( l ) = 0
l
R p ta . y jc
- j c + 2 - e -JC
R p ta . y = ( v 3 - x ) 2
l
R p ta . y =
jc2
©
yw 7 A") —y“
*_ ---------------- donde y (x ) es una función dada
y/(x)
+x -
R p ta. y =
a
2
ln a
V(x)
A+ C
nx
®
y n-'(ay'+y) = x
R p ta . nyn - ce a + /ix-í*
-i
N .
145
Ecuaciones D iferenciales de Prim er Orden
65
66
i
i
R pta. x~ = y “ ( c - y " )
xdx - ( - — y 3Wv
y
R p ta. y =
+ v2 = 0
A+l *
’
1
(1 + jc)[c + Ln 11 + A' |]
.8 -2
©
xdy - 2 ydx = — ^— [ 3 ( yx~~ )2 + 2 v a 2 \dx
R p ta. 6 va"2 - 4 1 n 1 3 y x 2 + 2 1= 3 a 2 + c
tgA + sec A
68
y - y' eos a = y “ eos x{ 1- sen a)
R pta! y =
69
y y '+ v 2 tg a = e o s2 a
R p ta. y " = ( 2 A + c)co s a
@
í/z + 2y
dx
x
c + sen a
n
c + ln lc o s x l
R p ta. y = (------------- — + tgx)
-
eos" x
x
2xyy'+(l + x )y 2 - e x , y(l) = >/e
©
_ dy
2v
a
A + l
2 -jr
1
) 2
2 ..3
R p ta. 12(A + l) " y
3— +
dx
R p ta. y - (
<? + e
_ ^ .A
=3a
. o
. * 1
+ 8a + 6 a
y
,
73
©
i
2 <2
-dy— xy = y 2xe
dx
R pta. 3y 2 = e x + c ¿ 4
3
dy
4
-x
y — + xy = xe x
R p ta. e 2x y 4 = 2 e x + c
dx
2
\ . .
1/2
l
_i_
R p ta. 3 y 2 +1 —a 2 = 4 ( 1 - a 2)4
75
( \ - x 2) ' ^ - + xy = x { \ - x í ) y u \ y(0) = l
dx
76
l y d x = (A2y 4 + jc)dy , y (1) = 1
R p ta. 10 a = (9 + ay 4 ) y 2
xy'+y = y " ln a
R p ta. y (1 + Ln x + ex) = 1
@
+c
146
Eduardo Espinoza Ram os
x Ln 2 | x K |
R p ta . y = —
x y ' - 4 y - x 2-N/y = 0
( 79)
^
(x + l)¿y = y[ v(x + l)L/i(x + l)-l]</x, y = - ,
e
x=e
-I
7
dy
dx
v tg x + y cos x = 0
. a y
ydy
(82)
bdx
dx = —
xdy = y (xy - y) dx
R p ta. y (x + c) = secx
R p ta .
2=
____-2a/*
c.e
a
R p ta . xe™ - c
1
2 ,2
dx
+ j. = 4 y 3
ex
R p ta : y -
1
c + 4e
( e y - 2 x y ) y '= y
4
1
xy + v = x v
R p ta : x y 2 = e y + c
3
R p ta : -Í7- = -jc4 + ex2
R p ta : x = y e y + cy
x y 2y ’+ y 3 = x c o s x
<fy + ( 4 y - 8 y
©
dx
2x
-3
4
-y .
)xdx- 0
R p ta : y = 3 s e n x +
9cosx
I8senx
18cosx
3
x
21
R p ta : y = [2 + 0 ? 8* ]4
R p ta : x 2y 4 = x 4 +15
+ ex
-3
147
Ecuaciones Diferenciales de Prim er Orden
92
93
y d x = (3a* + v3 - y 2 )dy ; y (1) = -1
R p ta : x = v"[l + y ln ( - y ) ]
¿y , i s , y
= 5a V + —
dx
2x
c - 4 x 3, y =
R p ta : w = —
u
dy
~dx
f y +y
R p ta : ( x 2 + y 2 + 1)¿ y = c
3
3xy’+ y + x 2y 4 = 0
R p ta : y 3 = x 2 +cx
(3 sen y - 5x)dx + 2x “c tg y dy = 0
2
_
R p ta : x 3( s e n y - x ) ¿ = c . s e n ¿ y
7
7
95
y 'tg x .s e n 2 y = sen x + c o s
96
c o s y .s e n 2 x d x + ( c o s 2 y - c o s
©
98
99
100)
R p ta : (sen “ x + 3 eos y) sen x = c
y
x ) d y = 0 R p ta: c o s“ x(l + s e n y ) = c o s y (y + c - c o s y )
y (x tg x + Ln y) dx + tg x dy = 0
dy _ 3 y " c tg x + s e n x c o s x
dx
103)
2
2
= (2 x + c)co s x
R p ta : y 2 + sen x = c.sen 3 x
2y
dx í + 1
/+1
— + ------ x = -----di
21
xt
2x
y
R p ta : sen x . Ln y = x eos x - sen x + c
R p ta : y
yy'+y*’ tg x = cos x
R p ta :
R p ta :
ydx + (xy + x - y ) d y = 0
102
1
1+ x
y=
arctg xy
1/2
x=
1+ c.e 2
R p ta : yfy = Vi + x 2 [arctg2 x + c]
vi + X
y 3 sec2 x d x —( l - 2 y 2 tgx)dy = 0
4
x =
4 + e *c
..3
x v dx + (3x - y )dy = 0
R p ta : y t g x = ln |c y
R p ta : 15x4 y 12 = 4 y 15 + c
148
Eduardo Espinoza Ram os
y dx = x(l + x y )dy
dyw
~dx
$*
R p ta : y(5 + x y 4 ) = cx
= t g y r t g x - s e c y. c o sx
dy
,
dx
1 - 2 xy
R p ta : sen y + sen x . Ln (c sen x) = 0
R p ta : x y 2 - ln | y | = 0
y (0 )= i
R p ta : (n + K - 1)}'1 " = (1 —n ) x K + c.x! ” , n ^ l , K + n ¿ l
108
dx
jr* =
ln | — | , n = 1 , K * 0 ;
y = c x 2, n = 1, K = 0,
X
l~n
y 1*” = ( l - / i ) x l " l n | c x | ,
0
110
( x 3 + c o s 2 x + 2 x 2y 2 + s e n 2 x ) d x Jt-2x3y d y = 0
dy
dx
( x + \)Lnx - x(3x + 4)y
n*l,
K+n=l
R p ta : Jt2y 2 = - ^ - - l n x + c
(ín )
SCn ^ X y '+ y = (1 + eos x)y 3
(x3 + 2 x 2 - 1 ) y 2
(x" + x + l)vy'+(2x + l)y “ = 2 x - l
113)
2(1 - x 2 )y '-(l - x 2 )y = xy V *
[ y eos x - y (x eos x - sen x)]dx + 2 sen x ¿y = 0
115)
(xy2 + x 2y 2 + 3)¿/x + ( x 2y)</y = 0
xy'-3y = 2 x , y ( l ) = 0
3y y '+ —
8x + 8 = 0
x+1
119,
*y(l + jcy2) ^ - = l , y ( l) = 0
dx
120)
3(\ + x 2) — = 2 x y ( y 3 - 1 )
dx
149
Ecuaciones Diferenciales de Prim er Orden
Consideremos la ecuación diferencial de la forma:
donde P ( x ) , Q(x) y R(x) son funciones sólo de x. t
A la ecuación (1) se conoce con el nombre de ecuaciones diferenciales de “RICCATT'.
Estas ecuaciones diferenciales no se puede resolver por métodos hasta este momento
estudiados,
pero sin embargo si se conoce una solución particular, se puede hallar la
solución de la ecuación diferencial suponiendo que y = \\f (x) sea una solución particular
entonces se puede hallar la solución de la ecuación diferencial, haciendo y = y (x) + z,
donde z es una función incógnita, que se va ha determinar con la ayuda de la ecuación
diferencial.
Es decir: y = yr(x) + z
dv
dz
— = y/ ’(jc) + — reemplazando en la ecuación (1) se tiene
dx
dx
V '(■*) + ^ r = /’UXV'U) + z) + Q{ jcXV'Ox) + z)2 + R(x)
dx
( 2)
Agrupando los términos de la ecuación (2)
dx
- P(x) + 2 Q(x)y/(x))z - Q(x)z + (y/ ’(x) - P(x)yf(x) - Q(x)y/2(x) - R(x)) = 0 . . . (3)
Como y = \|/ (x) es una solución de la ecuación diferencial de “R I C C A T r entonces se
tiene:
V* (x) - P U M * ) - G ( * ) v (x) - R ( x ) = 0
de las ecuaciones (4) y (3) se tiene:
.( 4 )
. (5)
Luego la ecuación (5) es una ecuación diferencial de Bemoulli y la solución de estas
ecuaciones ha sido estudiado en (2.12).
150
Eduardo Espinoza Ram os
a.
®
Ejem plos: Resolver las ecuaciones diferenciales siguientes
dy 1
1 ^
— = —y + — v" - 1 , donde una solución es y = y (x) = x
dx x
x2 '
Solución
Sea y = y (x) + z = x + z, la solución de la ecuación diferencial dada, donde z es una
función por determinarse, entonces — = 1 + — , reemplazando en la ecuación diferencial
dx
dx
dada.
1 + — = —(jc+ z) + - i r (x + z)2 - 1 simplificando
dx x
x
d" 3
1
— — z = —z z 2, ecuación diferencial de Bemoulli
dx x
x2
1 ->
.
„2
z = — z‘ , multiplicando por z
x
x“
dz
3
dx
_2 d £ _ 3 - i
_1
z —
z
= — , multiplicando por (1 - n ) o sea p o r -1
dx X Z
x2
Z
_2 dz
Sea
dx
3 _i
H— Z
—
jc
co = z
-i
1
t
^
••• (1 )
jc*
=*
d(0
-2
dz
— = -z —
dx
dx
reemplazando (2) en (1) se tiene:
y la solución general es:
(2 )
dtw 3
1
— + —z = —
dx x
x¿
ecuación lineal en 0).
- f—ílr f J**** —dx
(O = e J * [ l e
(——) + c] calculando la integral
151
Ecuaciones Diferenciales de Prim er Orden
1
~ =
z
2c-x
=— r ~
x3
2x
1
2x
z = -------- 7
2c-x~
c
2x
y = — ----- —
2 c - jc“
Luego la solución general es y = x + z
©
dy
1
2
— = a + (— A ' ) y + y “, donde una solución es y =\|/(jc) = jc*
dx
x
Solución
y = x~ + z * la solución de la ecuación diferencial dada, donde z es una función por
Sea
dy
dzz
determinarse, entonces — = 2x + — reemplazando en la ecuación diferencial dada.
dx
dx
2x + — = x + (—- x 2 )( a 2 + z ) + ( x 2 + z)2 simplificando
dx
x
1
2
2
(— x )z = z ecuación de Bemoulli
x
dz
dx
multiplicando a la ecuación diferencial por z -2
z 1 — - ( — + a 2 )z~*
dx
x
(0 = z~*
=1; de donde
se tiene
d(ú
_2 d
= z — , reemplazando obtenemos
dx
dx
d(0
¿
a
1
,
(
( — + a “ )(ú = 1
a*
=>
d<ú
1
dx
x
------- + ( — + a
2,
)cu = “ l
es una ecuación lineal en 0) cuya solución es:
co = e 3 x
f Í -íi +JT2)^
[ I eJ x
( - d x ) + c]
152
Eduardo Espinoza Ram os
b.
EJERCICIOS PROPUESTOS.
Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales
®
dy
2
1
— = y — y+l
dx
x
1
1
r , una solución es <p (x) = — + tg x
4.v"
2x
n
1 tfse n x + c o sx
Rpta: y = — + —---------------2 x K eos x - sen x
x y'= x 2y + y 2 - a 2 , una solución es <p (x) = x
2cxex + x
R p ta : y = ------ 2 C€x —1
'i
(5 )
w
R p ta : y -
a ( a - I ) — - ( 2 x + l)y + v2 + 2 a = 0, una solución es (p (x) = x
dx
y '~ *y 2 + ( 2 x - l ) y = x —1, una solución es ( p ( x ) = l
A+ C
1
R p ta: y = l +
1- a
®
A~ + C
+ ce
-JC
1
r> una solución
1 •' es <p (x)
/ ,= -------COS*
y - sen *>x.y 1 + -------------y + eos ’ x = 0,
- * fa
*
_
sen a
R p ta : v = ------- (1 +
eos a .
sen a c o s a
-
y*+y2 x - ( l + 2 e* )v + e 2t = 0 , una solución es y - e
„ n2 r
1
— )
.
2
X
y'+xy2 - 2 a 2v + a 3 = a + 1 , una solución es cp (x) = x - 1
(5 )
— = -8 x y 2 + 4x(4x + l) y - ( 8 A 3 + 4 a 2 - 1 ) una solución es (p (x) = x
dx
R p ta: y = {2 + ce~2* ]”' + a
®
da \
y
-i ?
<
— = —+ x y - x
una solución es <p (x) = x
dx x
2 5
R p ta : c.e5
=
y -x
y +x
)
153
Ecuaciones Diferenciales de Prim er Orden
•y
dy
@
©
©
©
*>
2senjc
t _
1
+ y~ se n x = ----- ;— , una solución es y = ------dx '
c o s 2 jc
^ cos x
^
3cos~.c
R p ta : y = sec:c + -----r
'
c - c o s 3 jc
¿V
c + 4e5x
R p ta : y =
5jt
c-e
T
— = 3y + y ' - 4, una solución es <p (x) = 1
dx
/ = jc+ ( 1 - 2 x ) .y - (1 - jr)y
dx
~dx
= ( l - j t ) v fc+
(2
jc
2
una solución es <p (x) = 1
, R p ta :
1
y = 1+ -----x+ce
-!)> > -.v, una solución es (p (x) = 1
R p ta: y = ( x - 2 + c e “ ) “ +1
dy_
©
2 eos2 j c - sen2 x + y 1
dx
2
, una solución es <p (x) = sen x
cosjc
1
R p ta : y = senjc + (A 'c o sJt- —sen*) -i
©
= —T“ ” + y 2’ una so^uc*ón es <p(x) = —
©
_v’= 1+ jc2 - 2 xy + y 2 una solución es <p(x) = x
©
©
2 .1 1 .
JC
dy
— = -y
dx
X
x
R p ta : y = x + ( c - x ) ‘ l
4
+ xy +1
una solución es cp(x) = x
dy
~
_ 2
— = e*" - ye + e y \
dx
ECUACIONES
CLAIROUTS*a)
R p ta: y = x 1+ 2 x ( x 2 + 2 jc) 1
una solución es
v-e
r
DIFERENCIALES
R p ta : y = e
DE
x
exp(2jr-et)
---------------------c + exp(.v - e x )
LAGRANGE
Las ecuaciones diferenciales de Lagrange son de la siguiente forma:
y = xf ( y' ) +g( y' )
...d )
Y
154
Eduardo Espinazo Ram os
Para resolver la ecuación diferencial de Lagrange se transforma en otra ecuación
dy
diferencial lineal en x como función de P, haciendo — = P de donde dy = P dx
dx
dy
Luego se sustituye — = P en la ecuación; (1)
dx
y = x f (P) + g (P)
diferenciando la ecuación (2) se tiene:
reemplazando en la
... (2)
dy = f ( P ) d x + x f ' ( P ) d p + g '( P ) d p
ecuación (3), dy = Pdx se tiene:
Pdx = f ( P ) d x + x f ' ( P ) d p + g'(P )d p
♦
... (3)
... (4)
s♦
f
La ecuación (4) se puede expresar en la forma:
dx
f(P)
gXP)
— + ------------- x = dp f ( P ) - P
f(P )-P
Que es una ecuación diferencial lineal en x, cuya solución general es x = <p(P,c)
donde Pds un parámetro y la solución general de la ecuación (1) se dá en forma
paramétrica.
* = <p(/\c)
y = < p (/V )/(P ) + g(P )
b)
,
P es un parámetro
Las ecuaciones diferenciales de Clairouts son de la siguiente forma
La solución de la ecuación diferencial de Clairouts se obtiene siguiendo el mismo
procedimiento del caso de la ecuación diferencial de Lagrange.
c)
(i)
E jem plos: Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales.
2y = xy'+ y'\n y'
Solución
A la ecuación diferencial expresaremos en la forma:
y' y 'ln y 1
y = x — + —^ —
2
2
.
... (1)
••
155
Ecuaciones Diferenciales de Prim er Orden
Sea
dy
y ’ = — = P => dy = P dx, reemplazando en (1)
dx
P
P lT X P
A C
I
*
v=x—
+ ---------,
diferenciando
se tiene:
2
2
dy = ^~dx + ^ d p +
dp + ^
, reemplazando dy = p dx
P
x
ln P
dp
pdx = — dx + —dp +
dp + — , simplificando
dx 1 x = --------I n P + 1, que es una ecuación
- diferencial
,.•*
nlineal.i
dp P
P
cuya solución de ésta ecuación es:
jc
=
e
p[Ie
p
dp + c] = - ln P - 2 + pe
x - pe-LnP -2
y la solución general de la ecuación diferencial es: -j
c
, P es un parámetro
y= -p--P
(T )
y = 2-cy’+ se n y'
Solución
dy
Sea y ' = — = P => dp = p d x , reemplazando en la ecuación diferencial se tiene:
dx
y = 2xp + senP, diferenciando se tiene: dy = 2xdp + 2pdx + cosPdp,
reemplazando dy = pdx, pdx = 2xdp + 2pdx + eos Pdp, simplificando
ite , 2
— +— x
dp P
eos P
.
.
,
---------- , que es una ecuación lineal cuya solución de esta ecuación es
P
ridp
[2 dP
j ~~i~_ i | ~
cosP .
x - e J p [\e p (
)dp + c] =
cosP
c
senP + —
P
156
Eduardo Espinoza Ramos
de donde la solución general de la ecuación diferencial es:
x --
cos P
- sen P +
~F~
P 2 , P es un parámetro
2c 2 c o s P
y = ------------------- sen P
P
P
y = *y'+
a
Solución
dv
Sea y ’ = ^ - = P
dx
dy = p dx,
reemplazando en la ecuación diferencial se tiene
a
y = * P + - p , diferenciando ambos miembros
dy = xdp + p d x
pdx - xdp + p d x
2a
de donde x = —P
©
y = x y '+ y
2a
- d p , reemplazando dy = p dx
2a
-dp
(x ~ ^)d p =0
P
x=
v dp = 0
P =c
2u
Luego
y = xc +
a
t2
Solución
dy
dy = p dx
reemplazando en la ecuación dada: y = xp + P m,
Sea y ' = — = P
dx
diferenciando ^ dy = xdp + pdx + 2pdp al sustituir dy = pdx se tiene:
pdx = xdp + pdx + 2pdp ^ (x + 2p) dp = 0 de donde
jc + 2 P = 0
dp = 0
x = -2P
P =c
;c = - 2 c
donde
y = xe + c
157
Ecuaciones Diferenciales de Prim er Orden
d.
E J E R C IC IO S P R O P U E S T O S .
Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales
_ c
©
y = 2xy'+ ln y*
R pta.
*
1
P2
P
y = - +LnP -2
R pta.
> = *(l + y') + /
at=
2(1 - P ) + ce -p
y = 2(1 —P) + ce~ p {\ + P) + P 1
©
©
®
©
y = - j c y , 2 + y ,2
+l
R pta. y = l + ( c - V T - x ) 2
y = 2jty’—2y' + l
R pta.
.V
* = 2at'*'
^ +v'
m'
x ( 2 P - lf = LnP-2P +c
y = 2xp2 + P
y = —xy'+e
R p ta.
>’ = 3C —2ep (\
2P
©
©
©
jc =
y
y = U + l)y
y=
.2
y = ;c sen y’+ eos y '
R pta.
R p ta.
cp“ + 2 / ? - l
2 pl {P-Y)2
R p ta.
, . ^ - 1
P
P
3
3
—+
P P‘
x=
cp2 +2/3 —1
2 (P -1 )2
P
2p-p~+ c
(p -o2
f'c o s w d u K f 's e n t í t/w
, f ' eo s*
dz)du
exp( -------------) =
exp(
Jo s e n t i - t i
Jo sen t i - u
J 0 sen z - z
y = jcsenP + c o s P
158
©
Eduardo Espinoza Ramos
y = 2xy'-2y* + l
R p ta . ( y - 1 )
= r(jc -l)
yy + ( 2 x - l ) y ’= y
R p ta . y
. . .2 +1
y = - x y 2~+y
R p ta. y = l + ( c - V l - * ) 2,y = 1
= 2(1 + 2c)(x + c)
®
y = (y '-ly v + flv'+¿>
R p ta . y = (x + a) Ln (x + a) + c (x + a) + b - x
®
y = mjty’+ ay' + b
R p ta. m (y - b) = (1 - m) (mx + a) Ln (mx + a)
©
x=
R pta.
y + xy' = y'
2p
4
+ cp 2
y - -xp + P
©
y -jc y '+ 2 y = 0
x = P(c - 3 P)
R pta. {
,
2y = P ( c - 4 P )
x = 4PLn{pc)
©
2y +*y‘- 2 y = 0
R pta.
y = P 2[\ + 2Ln(pc)\
[x = 2P(3P + c)
@
2y + jr y '- 2 y = 0
R pta.
©
y = xy'+ ?
R p ta .
©
y = xy'-3y
R p ta . y = ex - 3c
1
y = xy'+ —
1
,
@
©
2 y = P 2( 4 p + c)
v
=
cjc + c
R p ta . y = cx*+
y
y = jcy*+
ay
■Jl + y
y = xy '+ a-yjl + y ,2
, Jt3 + y 3 = a
R p ta. y = ex +
V ite 2
Rpta. y = cc + a v l + c 2 , j r + y 2 = < r
Ecuaciones Diferenciales de Prim er Orden
@
O
y = *y + y .
0
y
0
,
'
R p ta. y
a
= .w + —
c
R p ta.
y = ex + sen
y ’= \ n ( x y ' - y )
R p ta.
y =cx-ec
©
y = x y '-y '2
R pta. y
0
y = x y' +y ¡ \ - y ' 2
R pta. y = e x + ' J l - c 2
y —x y ' - e y
R p ta.
0
= ry' + sen y'
vY Awy
—
—
1
4 .... .
T
; ■
= e x —c 2
v =cx-er
1
R pta.
...
“ 'v ^ i
’
-árceos y '
0
y = xy'-y¡\ - y
0
y + y'2 =
0
y -x y '+ a ^ jl-y 6
0
x y '-y
0
'2
y x
c
R pta.
y = c x + V l- c 2 c. árceos c
R pta.
y=
c jc
—
c2
R pta. y - c x + a > J \ - c
R pta.
y = ex - Ln c
y = xy’- 3 y ’3
R pta.
y e x -3 c 3
0
y
R pta.
y = cx + c + c 2
0
y
R pta.
y cx + c c 2
0
y = U l ) y '- l
R pta.
y ex
0
y Ay -y/l y
R pta.
y = ex + v l + c
0
( y - y l + y ’2
= (jc
=
=
ln y1
+ l)y ’+ y'2
x y '+ y '-y '2
+
=
'+
+
'
-
xdy
=0
=
=
=
—
+ c -
1
R pta. y = cx + 'Jl + c 2
159
160
2.12.
Eduardo Espinoza Ram os
ECUACIONES
DIFERENCIALES
NO
RESUELTAS
CON
RESPECTO A LA PRIMERA DERIVADA.-_______________________
S
1°
Ecuación de primer orden y de grado n con respecto a y'
Las ecuaciones diferenciales de primer orden y de grado n con respecto a y ’ son de
la siguiente forma:
(y ’)n + P \ (x,
y ) ( y ' + P2 (x, y
) n -(2 y
'
(x, y ) ? + Pn (.x . y) = 0|
... (1)
Para encontrar la solución de estas ecuaciones diferenciales, se resuelve la ecuación
(1) con respecto a y '; como la ecuación (1) es de grado n, entonces se puede tener:
y ,= / i U * y ) . y = / 2
y = / 3 ( * * y ) * - ’ y = / * ( - * . y M K = n)
.-.(2)
que son las soluciones reales de la ecuación (1)
Luego el conjunto de las soluciones de la ecuación (2) es:
<p,>%c,) = 9, <p2U ,y,c2) = 0 , ...,
y,c* ) = 0
donde cp,(x, y, c ¿) = 0 , i = 1,2,..., K es la solución de la
ecuación
diferencial
y '= /.(.v, y) c, i=l,2,...K y que representa la solución general de la ecuación (1).
2o
Ecuaciones diferenciales de la forma f(y, y ') = 0
Cuando en esta ecuación diferencial se puede despejar y* se obtiene ecuaciones
diferenciales de variable separable, por lo tanto nuestro interés está en los demás
casos.
a)
Si en la ecuación diferencial / (y, y ') = 0 se puede despejar y es decir:
y = <p(y')
dx
entonces para obtener la solución se introduce un parámetro v' = — = P en la
dx
ecuación (1), es decir:
y = cp (P)
2
... ( )
161
Ecuaciones Diferenciales de Prim er Orden
ahora diferenciando la ecuación (2) se tiene:
dy
Como — = P
dx
se tiene:
dy - ty'(P)dp
... (3)
=> dy = pdx que a! sustituir en (3)
p d x = ty'(P)dp de donde
9\P)
dxdp
=>
jc
f<P(P)
= j - - - dp + c
y la solución de la ecuación diferencial se ha dado en forma paramétrica
dp + c
P
y-<pi P)
b)
Si en la ecuación diferencial f ( y , y ' ) = 0 , no se puede despejar ni y, ni y ' ,
pero estas últimas pueden expresarse en forma paramétricas mediante algún
parámetro t.
y = <p(t);
y ' = 9 ( 0 (P =
dy
y ' = ~ ~ = (p{t)
dx
V
dx
=> dy = <p(t)dx
Como y = <p(0 => dy = (f^Odt, de donde
(p(t)dx = tp(t)dt
=> dx =
9 (0
0 )dt
de donde x = í — — + c
JJ <P(0
y la solución de la ecuación diferencial es dada en forma paramétrica
J <p(o
y = <p(t)
3°
Ecuaciones diferenciales de la fo rm a f ( x ,y ') = 0
Si en la ecuación diferencial f ( x , y ' ) = 0 , se puede despejar x es decir:
jc= tp(y’)
... (1)
162
Eduardo Espinoza Ramos
de donde para obtener la solución se hace
/= P
de donde en la ecuación (1) se
tiene:
x = <p(P) => dx = cp(P)dp
— (2)
Además
— = P => dx = —
dx
P
... (3)
de (2) y (3) se tiene
dv
f
= <p\P)dp de donde dy = P<p'(P)dp => y = I P<p'(P)dp
Luego la solución general de la ecuación diferencial es dada en forma paramétrica:
x = <p{P)
y = \P<p\P)dp
a.
(T )
Ejem plos: Resolver las siguientes ecuaciones.
v,2- ( 2 x + y ) / + 0 r 2 -t-jcv) = 0
Solución
v,2
-(2
jc+
v)y* + ( x 2 + xy) = 0 , despejando y ' se tiene:
2 x + v ± J ( 2 x + y ) 2- M x ~ + x v )
2x+v±v , . .
y = -------:— *------ -----------------— = -------=— - de donde
,
%
Vj - c e
y'i =x +y
-* -1
Jt*
y-, = — + c
2
Á=*
©
X
xy'1 + 2xy'-y = 0
Solución
,2
- ,
jcv + 2 x y - y
~
,
= 0 , despejando v se tiene:
d ed o n d e z 2 - x + y
v' = - l í
yjx
~ 2 x ± y ¡ 4 x 2 + 4xy)
y = --------- 1--------------2*
,
simplificando
163
Ecuaciones D iferenciales de Primer Orden
,
- dz .
y =2z-— i
dx
2 s tdx = 1 + > ''
2dz = ±
de donde
2 z — -1 = - 1 ± - L
dx
yJX
2* — = + - ü 'd x
"V jt
integrando z = ±->/x + c
yJ x + y = ±Vx + c
- c 2 = ±2c\fx
x + v = x + c 2 ± 2c Vx
( y - K ) 2 = 4 Kx
.2 _ v
y =y c
Solución
dy = pdx, remplazando en la ecuación dada
Sea v' = P
y - p 2e p =>
dy = ( 2 p e p + p 2e p ) d p , de donde
dx = ( 2 e p + pe p )dp , integrando
p d x = ( 2 p e p + p 2e p )dp
x = e p + p e p +c
x = ep + pep + c
y = p 2e p
2
©
2
2
y 5 + y'5 = f l 5
Solución
y = a eos /
Sea
y' = asen5/ = P
dv
d x - —
= -
5a eos t sen /
dt = - 5 c tg4
cr sen t
dx = - 5 c tg4 tdt integrando
5c tg 3 r _
x = ---- =------ 5c tg t + 5t +
x=
- 5c tg t + 5 /+
164
®
Eduardo Espinoza Ramos
y 4 - y ,4- y y ' 2 = o
Solución
Sea y '= y f
reemplazando en la ecuación
y ( l - / 4) = r2 =*
como y ' - P
y=
diferenciando
1 -r4
dv =
+t^í dt
'
( l - / 4)2
=>
p = -^— 7 C o m o P = —
l-/4
dx
,3
dy = y— - dx
,
de (1) y (2) se tiene:
2/5 +2t
= ------- r - z d t
i - / 4 ( i - / 4)2
/ 3dx
,
2(/4 + l)df .
=> av = — --------— integrando
o -i)»
C
D
Et+ F
)dt
x = - 2 ( - + - + ----- + ------ + —
/ +! /-I
r +1
J t r
2 . . / +1 * _
x = — + ln | ----- - 2 arctg / + c
t
í-1
y=
(£ )
t2
i~ t4
x = l n y '+ s e n y '
Solución
Sea y ' - P
«-(1)
-=> y = — puesto que v'= vi
t
— =o
t
/4
y 4 - y 4t 4 - y 3f 2 = 0 => y - y t 4 - t 2 = 0
=»
dx = —
P
x = Ln P + sen P diferenciando se tiene:
dx = — + eos p A p como dx = —
P
P
... (2)
165
Ecuaciones Diferenciales de Prim er Orden
dy _ dp
~P~~P
+ eos pdp
dy= dp + P eos pdp. integrando
x = LnP + senP
y = P + P sen P + eos P + c
b.
y = P + P sen P + cosP + c
E J E R C IC IO S P R O P U E S T O S .
Resolver los siguientes ejercicios
x/2
©
y ' 2- 2 y y ' ~ y 2( e x - 1 )
R p ta. Ln (K y) = x ± 2 e
©
x 2y ' 2+3xyy'+2y‘í = 0
R p ta. xy = c, x 2y = K
xy'--2yy'+x = 0
ex
1
R pta. y = — + — . y = ±Jr
©
.2
2
_t
2c
y - - x 2+ K
©
y - 2 y '- 8 x * = 0
R pta. y = 2 x 2 + c ,
©
y '3+ U + 2 )ey = 0
R p ta. 4e 3 = ( x + 2) 3 + c
X2
x2
R pta. y = — + c , y = — — + A' , y = Ae
0
y'3- y y ' 2- x 2y'+x 2y = 0
©
y - ( x + 2 y + l)y +(x + 2 y + 2xy)y -2xyy’= 0
M
A
R pta. y = c 1, y = x + c 2 , 2 y = x + c 3 , y = c 4c r
sug:
©
xyy,2+ (x 2 + *y + y 2)y ’+ * 2 + xy = 0
y'(y'-\)(y'-x)(y-2y) = 0
R p ta : 2xy + x 2 - c = 0 , x 2 + y 2 = c
( x 2 + x )y ,2+ ( x 2 + x - 2 x y - y ) y ’+ y 2 - x y = 0 R p ta : y = c (x + 1), y = -x - Ln c x
®
x 2y ,2+xyy’- 6 y 2 = 0
R p ta : y = cx~, y =
166
Eduardo Espinoza Ramos
©
jcy,2+ ( y - l - j r ) y ’- j c ( y - l ) = 0
R p ta : 2 y - x
©
yy'~+ (x-y)y'-x = 0
R p ta : y = x + c, y 2 + jc2 = C
©
@
.2
xy' - 2 y y ’+4jc = 0
= c,xy-x = c
R p ta: y + >Jy2 - x 2 = ex2 ( y + y /y 2 - x 2 ) =
y'4 - ( x + 2 y + l)y '3 + ( jc + 2y + 2xy)y’2 -2jty.y’= O
R p ta: y = c, y - x = c, 2 y - x
= c , y = ce
©
jcyy,2+(jc2 + Jty + y 2)y'+jc2 + xy = 0
©
( jc 2
©
jc2y ,2+Jtyy'-6y2 = 0
®
*y'2 + (y ~ jc2 -
©
xy’‘ -2yy'+4jc = 0
R p ta : cy = x 2 + c 2
3jc4y '2 -jr y '- y = 0
R p ta : xy = c (3 c x - 1)
©
@
22
R p ta : 2.rv +
jc 2
-c
=
2x
O , jc2 + y 2 - c = 0
+ x )y ’2+(jc2 - j c - 2 j c y - y ) y '+ y 2 - xy - O R p ta : y - c ( x + 1) = O, y + x Ln (ex) = O
1)y '-* ( y - 1) = o
dy ■>
dy i
y = a(-j-) + ¿(-f-) , a,b constantes
dx
dx
y = y' ln y'
R p ta : y - c j c 2 = 0 ,
y = c x ‘3
R p ta : 2 y - jc 2 + c = 0 , xy - x + c = O
R p ta:
x - 2ap +
3bp
+c
y = PLnP
R p ta:
(LnP + i r .
x = ---------------+ c
y = PLnP
x = LnP + sen P + P.cos P + c
@
©
y = y'(l+y'cosy')
R p ta:
y = p + P 2 eos P
jc =
y = ( y '- i) * y
e +c
R p ta :
y = ( P - l ) e , y = -1
167
Ecuaciones Diferenciales de Prim er Orden
25
.2
y = arcsen y' + ln( 1 + y ’ )
R p ta:
x = 2 arctg P - ln |
i+ V í^
|+ c
y = arcsen P + in(l + P )
jc = ln(ln P) + —
V
26
y'= ey
ln P
R p ta:
v=
27
v’- + e v = 2
R p ta:
+c
ln p
1 ln
. ------- =• +c
* = —=
V2
P + V2
y = l n ( 2 - P 2)
2
@
2
y 3 + y ’3 = 1
R p ta :
jc = 3/ + 3c tg í + c
y = eos 3 1
* = P 2 -2/> + 2
@
jc =
/ 2- 2 v ,2+2
R p ta :
> = - P 3- / ,2+c
3
30
©
*o + / ‘ ) = i
R p ta : y + c = ± ( y / x - x 2 + arcsen>/x)
1
v ’2 jc = e y
R p ta :
y=
©
Jt(l + / 2)2 = a
R pta:
P2
1
^ ( P + l)
+c
jc = a c o s i
y = -a s e n t+ c
jc
jc = y'+ sen y'
R p ta:
= P + sen P
P
2
y = — + P se n P + eos P + c
168
Eduardo Espinoza Ramos
P
x=
®
x<J\ + y ' 2 = y*
R p ta :
yJl + P 2
1
v- - +c
Vl + P 2
x = P2- P
(35)
j r = y ' 3- y '
R pta:
3P4 P 2
V= --------------+ C
4
2.13.
2
SOLUCIONES SINGULARES.Consideremos una ecuación diferencial de la forma: F ( a , y, y ’) = 0
... (1)
Llamaremos solución singular a y = <p(x) de la ecuación (1) si en cada punto se infringe
la propiedad de unicidad, es decir, si por cada uno de sus puntos (*0 , y 0 ) además de esta
solución pasa también otra solución que tiene en el punto (x0 , y 0 )
la misma tangente
que la solución y = cp (x), pero no coincide esta última en ningún entorno del punto
(*0 *y o )
arbitrariamente pequeño.
A la gráfica de una solución singular se denomina curva irtegral singular de la ecuación
( 1).
Si
F ( jc, v, y ') = 0
dF
dF
y sus derivados parciales — y — , son continuas con respecto a
dy
dy'
todos sus argumentos x, y, y*.
Entonces cualquier solución singular de la ecuación (1).
También satisface a la ecuación:
d F ( x , y, y 1) _ ^
^^
dy'
Por lo tanto para hallar las soluciones singulares de la ecuación (1) se elegirá y ' entre las
ecuaciones (1) y (2) obteniendo la ecuación.
169
Ecuaciones Diferenciales de Prim er Orden
A la ecuación (3) se denomina P - discriminante de la ecuación (1) y la curva determinada
por la ecuación (3) se denomina curv a P - discriminante (C.P.D.) siempre ocurre que una
curva P - discriminante se descompone en unas cuantas ramas, en este caso debe
averiguarse si cada una de estas ramas por separado es solución de la ecuación ( I ) si es
afirmativo se debe comprobar si es solución singular, es decir, si se infringe la unicidad
en cada uno de sus puntos.
Llamaremos envolvente de una familia de curvas.
0 (x, y, c) = 0
... (4)
a la curva que en cada uno de sus puntos es tangente a una de las curvas de la familia (4)
siendo cada segmento de la misma tangente a una infinidad de curvas de la familia (4).
Si la solución (4) es la integral general (1), la envolvente de la familia de curvas (4), en
caso que exista, será una curva integral singular de esta ecuación.
En efecto, en los puntos de la envolvente los valores x, y, y' coinciden con los valores
correspondientes de la curva integral que es tangente a la envolvente en el punto (x,y), por
lo tanto en cada punto de la envolvente los valores
x,y, y* satisfacen a la ecuación
F ( jc, y, y ') = 0 es decir la envolvente es una curva integral.
Además en cada punto de la envolvente se infringe la unicidad, puesto que por cada punto
de la misma pasan al menos dos curvas integrales en una misma dirección, la envolvente
y la curva integral de la familia (4) que es tangente a esta en el punto considerado.
En consecuencia, la envolvente es una curva integral singular, además por el curso de
análisis matemático se conoce que la envolvente forma parte de la curva c - discriminante
(C.C.D.) determinada por el sistema de ecuaciones:
0 U ,y ,c ) = O
y,c)
de
=
0
... (5)
Una rama de la curva c * discriminante es envolvente, cuando en ella se cumple las
condiciones siguientes.
170
Eduardo Espinoza Ramos
dó dó
I o Que las derivadas parciales — ,-r1- existan y sus módulos están acotados.
dx dv
;
,
i
i
i 00 i
| — I < M , I —3- 1£ N
2o — * 0 ó sino
dx
dx
dy
dy
donde M y N son constantes
*0
O bservaciones
a)
Las condiciones I o y 2o solamente
son
suficientes,
por
io cual pueden ser
envolventes también las ramas de la curva c - discriminante en las que no se cumple
algunas de estas condiciones.
b)
En el caso general, el P - discriminante contiene:
i)
A la envolvente (E)
ii)
Al lugar geométrico de los puntos de contacto al cuadrado ( C 2 )
iii) Al lugar geométrico de los puntos cúspides (ó de retroceso) (R)
A p = E . C 2.R
c)
El c - discriminante contiene:
i)
A la envolvente (E)
ii)
Al lugar geométrico de los puntos Anocdales al cuadrado (A 2 )
iii)
Al lugar geométrico de los puntos cuspidales (o de retroceso) al cubo ( f l3)
Ac = E. A 2 .R*
Entre todos los lugares geométricos solamente la envolvente es solución (singular)
de la ecuación diferencial.
Esta figura tanto en la curva P - discriminante como en la curva c - discriminante a
la primera potencia, circunstancií* que facilita la averiguación de la solución
singular.
171
Ecuaciones Diferenciales de Prim er Orden
a)
Ejemplos:
Encontrar la solución general y también la solución singular, si ella existe, de la ecuación:
dv -> A ^ dv , ^ 4
(— )• + 4 x —— 12 a v = 0
dx
dx
Solución
dv
Sea — = P => dx = pdx
dx
2 f. 4, x5
p
p
~ 1 2 a y = 0 diferenciando
2 p d p + 20x p d x + 4 x '5d p —4&x y d x - 1 2 a d y - 0
2
2
pdp
+
2 0 x 4 p d x
+
4 x 5d p
-
4 8 a 3(
^
^
^ )d x - 1 2 x 4 p d x
=
0
12a 4
( 2 p + 4 a 5 )dp + 2 0 a 4 pdx - 4
+ 4x p ) ^
( 2 p + 4 a 5 )dp + 8 a 4 pdx —
¡ 2y *
dx —l 6 a 4 pdx = 0
(2 p + 4x5) d p - ( ^ “ + 8x4p ) d r = 0
=>
2 x (p + 2x5)— - 4 p ( p + 2x5) = 0
¿x
a
( p + 2x5)(x— - 2 p ) = 0
dx
Si
x— = 2p
dx
=> — =
p
p¿¡x = q
<=> ( p + 2x5) = 0 v
=>
x— ~2p = 0
dr
Lnp = 2 L n x + L n K
=> Lnp = L nK x 2 => P = Kx~
A
reemplazando p = K x 4 en la ecuación p 2 + 4 x 5p - 1 2 x 4 y = 0
setien e tf 2 x 4 + 4 Ka 7 = 12x4y
/.
=>
2 + 4 /£ c 3 = 12y
AT(AT h- 4 a ) = 12y solución general.
172
Eduardo Espinoza Ramos
Si p + 2 x 5 = O =>
p = - 2 x 5 reemplazando este valor en la ecuación dada tenemos:
4.v10 - 8 x 10 = 12** => 3y = - x D solución singular.
Encontrar la solución general y también la solución singular, si ella existe, de la ecuación
2 dv t _
x (— ) + x y — + 1 = 0
dx
dx
Solución
dy
Sea — = p
dx
==> dy = p d x , reemplazando en la ecuación dada
1
x p + x ~ p v + 1 = 0 => \ = - x p — — diferenciando
x P
^
^
^
dy - —xdp — pdx +
; pero dy = pdx
jc p
pdx = -x d p -
pdx
p x
2 dx
dp
x p
p^x*"
+ - r — + ——
M \ -----\-—)^j~ + 2 p { \ — T " t ) = 0
p V dx
x 3p 2
=>
(2 /7
2 . ,
— — )dx +
x p
1 v,
( x ------ — )dp
p x
=» (1— ^ T ) ( x - ^ + 2 p ) = 0
x 3p 2
dx
1— - ^ - = 0 v x — + 2 p = 0
x3/;2
dx
dp
^
_
dp - d x
^
Si .r
(-2/7 = 0 = > ----- (-2— = 0
dx
p
x
Ln p + 2 Ln x = Ln K =>
ln p x 2 = ln A'
reemplazando en la ecuación x p
=> p x2 = A' => p = —
x
+ x ‘ py + l = 0
+ Ay + 1 = 0 =» K 2 + Axy + x = 0 solución general.
x2
rv
= 0
173
Ecuaciones Diferenciales de Prim er Orden
1
Si 1— — - = 0
x p
=>
-> 1
p " = —x
p - x 2 reemplazando
=>
_3
en la ecuación x * p 2 + x 2py + \ = 0
v = — j=
y/x
=>
1 + jc2 jc 2y + \ = 0
se tiene
=»
2 + Vxy = 0
y 2x - 4 = 0 solución singular
Encontrar la solución general y también la solución singular, si ella existe, de la ecuación
*(— )3 - 2 ; y ( — )2 - 1 6 a : = 0
dx
dx
Solución
Sea — = p =* dy = pdx
dx
V
-16,1=0
=>
2
diferenciando dy = - d p + — d x - d x + - 4 - dp
2
2
p2
p*
_
,
,
Como dy = pdx
.
x
.
P , 16* j
I6*
pdx = —dp + — d x -----y d x + ----- -—
2
2
p2
p
=>
.x 16 a 2
t p 16 a w
.
( - + — y ) d p - ( y + — r ) d x = 0 , factorizando
2
p3
2 p2
,1
16 a . , dp
,
n
( - + —- ) ( A - f - p ) = 0
2
Si
p
dx
x— -p = 0
¿x
1 16 a
<=> - + —
2
=> —
P
x
.
0
v
a
= 0 integrando
Ln p - ln x = ln K => ln — = ln K
JC
p
=
a
=> p = Kx
,1
16 x dp
1 16 a
( - + — )- — p ( - +— ) = 0
2 p* dx
2 pi
dp
n
-j-~ P = 0
dx
174
Eduardo Espinoza Ramos
reemplazando en la ecuación y =
Kx2
8x2
se tiene y = — ---------------- =>
2
K 2x 2
v=
—y
Kx2
8
2 K 2y = K * x 2 - 1 6 es la solución general
3
Si i + 1 5 í = 0 =>
2
p 3
p 3
3 = —32jc =>
y
^p
=—
8
jtr2
p2
2
=
=> i . = - 2
2
16
jc
p = -2 y¡4 x 3 reemplazando en la ecuación
i
se tiene
‘
i
x(-2lÍ4 x*)
> = ------2
»x2
f
1
4 y l6 x 3
=>
-
.r
3
y = - V 4 * 3 - - -=■
3 /7 7
2
¡I2
4
y = - ( ^ 7=^) =>
V2
b.
2 y 3 = - 2 7 *4
2y 3 + 2 7 x 4 = 0
solución singular
E JE R C IC IO S PR O P U E S T O S .
Encontrar la solución general (S.G) y también la solución singular (S.S.) si ella
existe de las siguientes ecuaciones diferenciales.
T)
©
©
y = x — - 2 ( — )1
dx
dx
dx
dx
R p ta : S.G.: y = k x - 2 k 2 ; S. S.: 8v = x 2
'
.d v .2 ^ dy A
x(— y - 2 y — + 4 x = 0
dx
m dx
R p ta : S .G .:y 3 + 3 k x ~ k 2 = 0 ;S .G .:9 x 2 + 4 y 3 = 0
. ..2
R p ta : S.G.: k 2 x 7 -fry + 1 ; S.S.: y ¿ - 4 x ‘L = 0
175
Ecuaciones Diferenciales de Prim er Orden
©
d \ -y
dx
*(— )2 - 2 y — + * + 2 .y = 0
dx
dx
R p ta: S.G.: 2 x 2 + 2 k ( x - y ) + k 2 = 0
S.S.: x~ + 2 x y —y 2 = 0
©
(1 + / * ) y 2 -4 y y '-4 .v = 0
R p ta : S.S.: y
©
v ~4y = O
R p ta : S.S.; y = O
©
©
= 4 jc + 4
4
i
y -4jcyy'+8y~ = 0
R p ta : S.S.: v = O, y - — jc
y '2- y 2 = 0
R p ta : No hay S.S.
©
(— )2 + x3 — - 2x2>' = O
dx
dx
R p ta : S.G.: k 2 + k x 2 = 2 y ; S.S.: 8v = -.v
@
2.v(— ) - 6 y ( — ) + .Í = 0
dx
dx
R p ta : S.G.: 2 k 3x 3 = \ - 6k * p ; S.S.: 2y = jc
,dy 2
¿y
«
(— y - x — + y = 0
rfjc
R p ta: S.G.: y = k x - k 2 ; S.S.: 4 y = jc
@
y = x — + K {— )2
dx
dx
R p ta: S.G.: y = kx + k 2c ; S.S.: x* = - 4 ky
©
•A—
)2 + 3 x — + 9 y = 0
dx
dx
©
* ( ^ ) 2 - 2 y — + 4* = O
dx
di
©
dy
3 jc4 (— ) ¿ -
dy
jc— - y = O
x Á 2+ (x - y ) ^ + l- y = 0
dx
dx
7
27
R p ta: S.G.: jc3(y + it¿ ) + it = 0 = 0 ; S.S.: 4jcDy = l
R p ta : S.G.: jc = k ( y - k ) ; S.S.: y = 2x, y = -2x
2
R p ta : S.G.: xy = k (3 kx - l) S.S.: I2jc2y = - l
R p ta : S.G.: x k 2 + ( jc - y ) k + l - y = 0
S.S.: ( x + y)
=4
jc
176
Eduardo Espinoza Ramos
@
*6(— )3 - 3 x ^ - 3 y = 0
dx
dx
R p t a : S.G.: 3xy = k ( x k 2 - 3 ) ; S.S.: 9 x * y 2 = 4
®
, =
R p ta : S.G.: k x y - k ( k 2x - l ) ; S.S.: 2 7 x 3y 2 = 4
©
^
@
©
©
dx
dy
«ÉL,
dx
dx
dy
- l y i f f + 12*> = O
dx
R p ta : S .G .: 2 k 3y = k * x 2 + 1 2 ; S .S .:3 y 2 = ± 8 x 3
dx
- y ( ~ ) +1 = 0
dx
R p ta : S.G.:*¿t3 -yfc-: + l = 0 ; S . S . : 4 y J = 27*
dx
dx
x(— y + y — = 3y
dy
dy
R p ta : S.G.: 3y = k (1+ k x y ) ; S.S.:12xy2 = - 1
*(— >J - 2 y í— )2 + 4.v2 = O
dx
dx
R p ta : S .G .: x 2 = 4 k ( y - i k 2) ; S .S .:8 y 3 = 2 7 * 4
4 x 5(— )2 + 1 2x4 y — + 9 = 0
dx
dx
—k
z,¿
2 ;. S.S.:
c c . x
^ .J3y, 2¿ =1
R p ta : S.G.: x * ( 2 k y - \ ) =
4 +i)> o -4 )= i
dx
dx
R p ta : S.G.: ( * + 1)‘ (y -fc * ) = 1
S.S.: 4 (x + v )3 = 2 7 x 2
4y(— )2 - 2 x — + y = O
dt
dx
R p ta : S.G.: kx = y 2 + k 2 ; S.S.: x = ± 2 y
177
Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales
3.
APLICACIONES
DIFERENCIALES.-
DE
LAS
ECUACIONES
Consideremos una curva C descrita por la ecuación
C : F (x, y) = 0
y tomemos un punto P0 ( x 0 , y0 ) de la curva C
y la ecuación de la recta tangente es:
La pendiente de la recta normal es: m L xt —
*
y la ecuación de la recta normal es:
1
1
y o
2
... ( )
178
Eduardo Espinoza Ramos
ahora calculamos el punto de intersección de la recta tangente con el eje x.
«
•
Sea A e L t
a
eje x => y = 0, de la ecuación de la tangente se tiene:
-y o -
*=
yn
V
r de donde A(x0 — =—,0)
yo
También calcularemos el punto de intersección de la recta normal y el eje x.
Sea B g L n
a
eje x => y = 0, de la ecuación (2) se tiene:
=> x = xQ+ yoy'n
- 3’0 = —
ded o n d e B(.v0 + y 0yjpO)
>o
La longitud del segmento de la tangente entre el punto P0 y el eje x es Lr = d( A, P)
L r = l(xó - ( J « b - “T "))2 + (% - O)2 = ^
V
y o
Vi + ^ o2
La longitud de la sub tangente es la proyección del segmento tangente AP 0 sobre el eje x
es decir:
V
____
= d { A , c ) = l(xí)- ( x Q- ^ - ) ) 2 + 0 = ^ -
__2
?o _
La longitud del segmento de la normal entre el punto /q y el eje x es: L N = d (B , P0 )
l n = >/(*o -(-* 6 + >'()>’ ’o ))2 +(.Vq - ° ) 2 = >’o-\/í + y'o2
La longitud de la sub normal es la proyección del segmento normal BPQ sobre el eje x,
es decir
LSn = d ( C , B ) = ^ ( x 0 + y 0y ' 0- x 0)2 + ( 0 - 0 )2 = y 0y ’0
Generalizando estas longitudes en cualquier punto p(x,y) de la curva
C: F (x,y) = 0 se tiene:
179
Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales
£
•H
II
£ r = ^ V 1 + y ’2
V
w
£
*
II
LN = y y l \ + y '2
=
longitud de la tangente
=
longitud de la sub tangente
s
longitud de la normal
=
longitud de la sub normal
para el caso en que la curva está dado en coordenadas polares. Consideremos la curva:
C: r = f (0) y P (r ,0) e C entonces:
C: r*f(0)
N
tg a =
dr
donde a es el ángulo comprendido entre el radio vector y la parte de la
tangente dirigida hacia el origen de la curva.
r tg a = r 2 — t
dr
re t g a =
dr
~dQ
es la longitud de la sub tangente polar
es la longitud de la sub normal polar
r s e n a = r 2 — , es la longitud de la perpendicular desde el polo a la tangente
ds
180
Eduardo Espinoza Ramos
ds = yj(dr )2 + r 2 (d 0 )2 = ^ r 2
r dO
a.
es un elemenío de longitud de arco.
es un elemento de área.
PROBLEM AS RESUELTOS
Hallar la ecuación de las curvas, tales que la parte de cada tangente, comprendida entre el
eje Y, y el punto de tangencia, queda dividido en dos partes iguales por el eje de las X.
Solución
Y*
y=f(x)
En el A M A P rectángulo se tiene:
AP
tg 0 = —
MA
v
=> t g 0 = y
x
2
2y
igO = — , además se tiene
x
A(x,0)
dy
dx
¿/y _ 2 y
dx
©
x
dv
= 2dx integrando
= tg 6 de donde
Jf-J
2 dx
+c
ln y = 2 1 n x + c => v = Kx~
Hallar la ecuación de las curvas, tales que la parte de cada tangente, comprendida entre el
eje de las x y el punto de tangencia, está dividido en dos partes iguales por el eje de las y.
Solución
En el A M A P se tiene:
tg 0 =
AP
M A ~ 2x
Como tg 6 =
2x
181
Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales
Además — = tg 0
dx
dy
dx
,
= — , integrando se tiene:
v
2x
dy_ = _y_
dx 2 x
Lnx
2 ^
Lny = ------ + c => y = Kx
,
©
La tangente en cualquier punto de una curva y la recta que une ese punto con el origen
forman un triángulo isósceles con base en el eje de las x. Hallar la ecuación de la curva
sabiendo que pasa por el punto (2,2)
Solución
Como L N J_ Lr —> tg a . tg 0 = -1 —» tg 0 = - c t g a = —
x
dy
dy
y
además — = tg 0 = - c t a —>— = — , de donde
dx
dx
x
dx
dy
+ — = 0, integrando Ln xy =Lnk, es decir: C: xy=k
x
v
pero (2,2) € C —> k = 4,
©
xy = 4
Hallar la ecuación de una curva tal que, si en un punto cualquiera de ella, se trazan la
normal y la ordenada, el segmento que ambos interceptan sobre el eje de las x es una
constante a.
Se conoce que
— = tg 0 = ± c t g a
dx
para c t g a = —
v
182
Eduardo Espinoza Ramos
dv
dy
a
Luego — = ± c t g a —>— = ± —, de donde
dx
dx
y
y dy = ± a dx integrando se tiene:
©
y “ ± 2ajt = c
Hallar una curva para la cual el área a Q, limitada por la curva, el eje OX y las dos
ordenadas.
x = 0, x = x, sea una función dada de y: Q = a2 Ln —
a
Solución
Yt
r
,
y
Q = I y d x = a ~ L n — ;\ derivando se tiene
y = f(x)
Jo
a
É >1
dx
y = a 2 - 2 - -> y
0
X= x
a
dy
av dx
a
i
i
i
a~ .
_ .
,
o"
a"
entonces: d x — - dy = 0, integrando se tiene: x + — = c —» — =
yy
de donde y =
a
‘
V a
»
V
v
(hipérbolas)
c — JC
©
Demostrar que la curva, que posee la propiedad de que todas sus normales pasan por un
punto constante es una circunferencia.
Solución
Sin perdida de generalidad podemos asumir que
c(h,k) = c (0,0).
Sea LN: y = bx, donde m L N, además mLi =
y como LN 1 LT, entonces:
1
mLN = —
mLt
dx
dx
— es decir que b = -----dv
dv
dy_
dx
183
Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales
dx
2
2
como y —bx —>/? = — de donde — = ----------> xdx + xdx - 0 integrando x + y = R
x
x
dx
V
©
V
Hallar la curva para la cual, la razón del segmento interceptado por la tangente en el eje
OY, al radio vector es una cantidad constante positiva.
Solución
d
Por dato se tiene: —- = c
d
tangente es:
La ecuación de la recta
Lt : y - y 0 = m (x - jc0 ) , de donde
L, : y = y' (x0 )x - y ’(Jf0 )x0 + y 0
para x = 0 se tiene </, = .yo - y 'U 'o )
.v0 además d 2 = y¡-Xg + Vq , luego
y o - y ’(-*0).T0
■■
,
.•
— -------- -— - = c, generalizando se tiene:
\¡xo + >'0
v - x y ' = Cyjx2 + y
Sea
=>
y -y 'x
=c
+ V
(cyjx 2 + y 2 - y)dx + xdy = 0
y = ux —> dy = udx + xdu
(c-Jx 2 + u 1 x 1 - ux)dx + x(udx + x d u ) = 0, para x * 0
(rV l + M2 - u)dx + udx + xdu = 0
=> c^j\ + u 2dx + xdu = 0, separando las variables.
dx
du
c— +
= 0 integrando cLn(x) +Ln(u + y l + u 2 ) = Lnk
X
/- ■-2
y j \
+
u
L n x c(u + V l + w2 ) = L n k
y + yjx 2 + y 2 = kxl~
I 2
2
x c (u + yj\ + u 2 ) = k, de donde : x c(— + — ---- — ) = k
y]x2 + y = kx]~c - y, elevando al cuadrado
184
Eduardo Espinoza Ramos
jt2 + y 2 = k 2x 2^
) - 2 i kyxXc + y 2 , de donde
y - —kxl' c - — x [+c
fe
2
©
Hallar la línea para la cual la subnormal en cualquier punto sea a la suma de la abscisa y
la ordenada como la ordenada de este punto es a la abscisa.
Solución
Sea P (x,y) un punto cualquiera de la línea
La subnormal en el punto P(x,y) es y
dy
dx
Luego de acuerdo a las condiciones del problema se tiene:
dy
x — = x+ y
dx
(x+ y)dx-xdy = 0
x dy - y dx = x dx
de donde
xdy - ydx
dx
J
v
dx
d (—) = —
x
x
®
integrando
y
— = Ln(xc)
x
-»
y = xLn(xe)
Hallar la línea para la cual la distancia que media entre la normal en cualquier punto suyo
el origen de coordenadas y la que media entre la misma normal y el punto (a,b) están en
razón constante e igual a k.
Solución
Yt
Sea Lt : y = mx + A —>mLN : y = ----- + c
m
7y= f(x)
b +a
dy =
| ±c
1+
X
l
m
y
d2 =
m —c
1
1+
m
condición del problema: — = k de donde </, = k d 2 considerando c positivo
d*>
185
Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales
* ,,
c = k(b
+
se tiene:
1
1+
1+
m
Luego:
=>
C = V+
m
m
y + — = k(b + ------v ------ )
m
m
m
my + x = k (bm + a - my - x)
[ak - (k + 1) x] + [kb - (k + 1) y ] m = 0
[ak ~ ( k + l).v] + [ k b - ( k + ])y]— = 0
dx
[ak - (k + 1) x] dx + [kb - (k + 1) y] dy = 0
.
integrando:
.*“ + y
@
1
—c) como y = - -x + c
m
"
m
a
2
k +l o
k +l o
a k x --------- jT + k b y --------- y* = cx
2*
(ax + by) = c
k+1
,
Hallar la curva que posee la propiedad de que la magnitud de la perpendicular bajada del
«
origen de coordenadas a la tangente sea igual a la abscisa del punto de contacto.
Solución
y * f(x)
Por dato del problema se tiene:
d = xo
además m Lt\p = y ’í x 0 ) , y la ecuación de la
recta tangente es: L r . : y - y 0 = m L t ( x - x 0 )
Es decir: r : * y ’( * < ) ) - y + y0 - yx 0. y ' ( x 0 ) = 0
d( 0 r,) _
M
, por condición del problema se tiene: ¿ (0 , Lr) = ;t0
V [y'(^0)] + i
I >'o - xi>y ’(xn) I =
_ *0 generalizando en cualquier punto
V1+ [ y '^ o ) ] 2
\y -x y '\ _
y - x y ' \ = yjl + (y ')2}
V i+ o o
1
186
Eduardo Espinoza Ramos
2
y - 2 xyy'+x~y
.2
2..r2
= x “ + x y'~ de donde y* - x
—2 xyy' = 0 => (y - . t '
- Ix yd y = 0
Sea y = ux —» dy = udx + xdu
^ 2 2
2
(m\x —x ) d x - 2 x u ( u d x - x d u ) = 0 para x * 0
->
2
(iT - Defcc - 2 u dx - 2 uxdu = 0
=> - ( u
2
+ 1)dx —2 uxdx - 0, separando las variables
— +
_ o integrando Lux + L/i(w2 + 1) = Ln/:
*
u2 + 1
de donde se tiene:
*(w2 + !) = *
Lnx{u +1) = ¿/i*
y"
^
reemplazando u se tiene: x (— + 1) = Jc => .v ~ + y
Dada la figura adjunta,
determinar
y
= fc.x
todas las curvas para las cuales PR es tangente y
al mismo tiempo es QR ortogonal al radio vector OP
Solución
tg 0 =
OR
OR
r = _OR
TO
OT
OT
t g a = — => R Q :
x
1
=> 0 7 = -
OR
Y'
r
( x - x ) - - —i x - x )
y=tg a
y
» . ( 1)
187
Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales
RQ a eje .y
*=0
o/? =
y =
x
de (1) y (2) se tiene: O T = - - —
yy'
(3)
... ( 2 )
... (3)
T-. y - > 0 = y u - A - 0 )
T
a
eje y
=$
x
~
de (2) y (4) se tiene:
0 => O/? = y -
... (4)
A y'
= y-xy
■>
(jT —y" )dx + xydy = 0
Sea y = ux => dy = udx + xdu
(jc2 - u 2 x l )dx + x 2 y(u dx-\-xdu) = 0
dx + ux du = 0
©
(1 —u*)dx + u dx + xudu = 0
— + udu = 0 , integrando
x
Lux + — = c
2
Calcular la curva para la cual la longitud de la porción de la normal comprendida entre la
curva y el eje X es proporcional al cuadrado de la ordenada.
Solución
PB = segmento normal con longitud
y y 'V' + y ' 2
condición del problema L = ky~ entonces
( y y ' V' + y - 2 )2 = * V
a
2..2
+1
—= ^ ¿ = = dx integrando —ln I kv + J k 2 v2 +1 | = jc + c
yfkW T l
*
‘
.2
1
i 2
y - y u +y- = k y
188
Eduardo Espinoza Ramos
In | y + 1/ y 2 + X r | = kx + kc
j l n | y + J y 2 + p - ! = * + <?,
b.
©
PROBLEMAS PROPUESTOS.
La normal en el punto p(x.y) de una curva corta el eje de las x en M y al eje de las y en
N. Hallar la ecuación de las curvas para las cuales p es el punto medio de MN.
2
0
Rpta* y - x~ = k
©
Determinar una curva tal que si por un punto M de ellas se traza la tangente MA a la
2
——
parábola y = 2 p x , la tangente M T a la curva buscada es paralela a OA.
/
x = co c +
Rpta.
>’ =
©
El eje de las x. la tangente
y la ordenada en
(O
~2
/
c+
2p A
3(ú 3 /
2p 1
3íü3
cada punto
,G> =
+
dy
dx
€0
de una curva forman un
triángulo de área constante k. Hallar la ecuación de la curva, obteniendo los valores
correspondientes de k y de la constante de integración, suponiendo que pasa por los
puntos (0,4) y ( 1,2).
©
R p ta. y + xy - 4 = 0
Hallar la ecuación de la curva que pasa por el punto (1.2) y tal que la tangente en un
punto cualquiera
p
y la recta
que
une este punto con
ángulo complementario con el eje de las x.
©
el origen determinan
el
Rpta* y~ - .v~ = 3
La parte de la normal comprendida entre el punto p (x.yt de una curva y el eje de las
x tiene una longitud constante k. Hallar la ecuación de la curva. Rpta. y" + (.y - c )“ = k "
©
La normal en el punto p (x,y) de una curva corta al eje de las x en M y al eje de las y en
N. Hallar la ecuación de las curvas, para las cuales N es el punto medio de PM.
Rpta. y 2 + 2.v2 = k
©
Las normales en todo punto de una curva oasan por un punto fijo. Hallar la ecuación de
la curva.
Rpta. ( x ~ h )2 + ( y - k )2 = R
189
Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales
©
Hallar la ecuación de una curva, tal que el área comprendida entre la curva, el eje de las
x, una ordenada fija y una ordenada variable, sea proporcional a la diferencia entre estas
X
R p ta . y = A e k
ordenadas.
El área del sector formado por un arco de una curva y los dos radios que van desde el
origen a sus extremos, es proporcional a la diferencia de esos radios. Hallar la ecuación
de la curva.
R p ta.
£ ( d + c ) +2 k = 0
El arco de una curva es proporcional a la diferencia de los radios trazados desde el origen
L n (í) -
a sus extremos. Hallar la ecuación de la curva. R p ta.
+°
yjk 2 + 1
El área limitada por y = f(s), el eje de las x, y dos ordenadas es igual al producto de
las ordenadas. Comprobar que f(x) = 0 es la única solución.
@
El área limitada por el eje de las x, una curva y dos ordenadas es igual al valor medio
de las ordenadas multiplicado por la distancia entre ellas. Hallar la ecuación de la curva.
M
R p ta. y - y 0 = c ( x - x 0 ), y = v0
©
Hallar la línea que pase por el punto (2,3) y cuya propiedad sea la siguiente: el segmento
de cualquier tangente suya comprendido entre los ejes de coordenadas se divide en dos
partes iguales en el punto de contacto.
©
Hallar la ecuación de una curva tal que la suma de los intersectos de la tangente
en cualquier punto es una constante k.
15)
©
R p ta. xy = 6
R p ta. y = ex + kc
La tangente a una curva en cualquier punto, forma con los ejes de coordenadas
ck
un triángulo de área 2k. Hallar la ecuación de tal curva.
R p ta . y - ex ± . -----v l + c2
Por cada punto de una curva se trazan paralelos a los ejes para formar un rectángulo
con dos lados sobre los ejes.
Hallar la ecuación
de la curva
sabiendo
que
rectángulo de esta clase queda en dos partes cuyas áreas son el doble una de la otra.
n
.
R p ta. y
2
-ex
o x
2
- cy
cada
190
©
Eduardo Espinoza Ramos
Hallar la ecuación de la curva cuya normal en cualquier punto pasa por el origen.
•y
'f
2
R p ta. jt~ + y~ = c
Si el producto de las distancias de los puntos (-a,0) y (a,0) a la tangente de una curva
en cualquier punto en una constante k. Hallar la ecuación de dicha curva.
R p ta. y - e x ± ^ k + ( k + a 2 )c2
@
Hallar una curva que
pasa por el punto (0,-2) de modo que el coeficiente angular de
la tangente en cualquier de sus puntos sea igual a la ordenada del mismo punto,
aumentada tres veces.
R p ta. y = - 2 e 3x
Hallar la línea que pase por el punto (2,0) y cuya propiedad sea la siguiente: el segmento
de la tangente entre el punto de contacto y el eje de ordenadas tiene la longitud constante
e igual a dos.
R pta. y = y ¡ 4 - x 2 + 2 ln | ——
--
x2
X
Hallar la curva para la cual la pendiente de la tangente en cualquier punto es n
veces mayor que la pendiente de la recta que une este punto con el origen de coordenadas.
R p ta. y = kx
22)
n
Hallar todas las líneas para las cuales el segmento de la tangente comprendida entre
el punto de contacto y el eje de las abscisas se divide en dos partes iguales en el
punto de intersección con el eje de ordenadas. R p ta. parábolas y 1 = ex
R p ta. y 1 = 2 kx + c
(23)
Encontrar las curvas cuyas subnormales son constantes.
(24)
Hallar todas las líneas para las cuales la subtangencias sea proporcional a la abscisa
del punto de contacto.
R p ta. y
= ex
Empleando coordenadas rectangulares, hallar la forma del espejo si los rayos que parten
de un punto dado, al reflejarse, son paralelos a una dirección dada.
R p ta. y 2 = 2ex + c “
191
Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales
26)
Hallar la curva para
la cual
la longitud
del
segmento
interceptado en el eje de
ordenadas por la normal a cualquiera de sus punto, es igual a la distancia desde este
R p ta. y = —(ex2 - —)
2
c
punto al origen de coordenadas.
(27)
Hallar la curva para la cual el producto de la abscisa de cualquiera de sus puntos por la
magnitud del segmento interceptado en el eje O y por la normal, es igual al duplo del
*7
*7
J
cuadrado de la distancia desde este punto al origen de coordenadas. R p ta . x ’ + y * = ex
28)
Hallar
la
línea
que pase por el punto (a ,l) y cuya subtangente tenga la longitud
_
R p ta. y
constante a.
(29)
e(x —a)
=Q
Hallar la línea para la cual la longitud de la normal sea la magnitud constante a.
R p ta. (jc —c )“ + y 2 = a “
30)
0
Hallar la curva cuya tangente forma con los ejes coordenadas
7
2
área constante S = 2 a ' .
R p ta. xy — ±a
Hallar la curva por la cual el
segmento de la tangente comprendido
2 2 2
ejes coordenadas tiene una longitud constante a.
34)
Encontrar
de las coordenadas del punto de
R p ta. y = —ln | c ( k 2x 2 - 1) |
k
contacto.
(33)
de
Hallar la línea para la cual la suma de las longitudes de la tangente y de la subtangente en
cualquier punto suyo sea proporcional al producto
32)
un triángulo
la curva
que
pasa
entre los
R p ta. jc3 + y 3 = o 3
por
el punto (1,2) cuya normal en cualquier punto
7
2
(excepto en x = 0) se biseca por el eje x.
R p ta. y ^ + 2 * = 6
Hallar una curva que pase por el punto (0,1) y que la subtangente sea igual a la suma de
X
las coordenadas del punto de contacto.
R p ta. v = e y
192
Eduardo Espinoza Ramos
(35)
En todo punto P en uná curva, la proyección de la normal sobre el eje x y la abscisa de
P son de longitud igual. Encontrar la curva que pasa por un punto (2,3).
R p ta. y 2 - x 2 = 5 ó x 2 + y 2 = 13
3ó)
Hallar la línea para la cual el cuadrado de la longitud de un segmento
recortado
por cualquier tangente del eje de ordenadas, sea igual al producto de las coordenadas del
punto de contacto.
( 37)
Hallar la curva, sabiendo que
R p ta.
.v
-ce
vv
la suma de los segmentos que intercepta la tangente a
la misma en los ejes de coordenadas es constante e igual a 2 a.R p ta. y = (\Í 2 a ± \ f x )2
38)
La suma de las longitudes de la normal, y de la subnormal es igual a la unidad. Hallar la
*7
ecuación de la curva, sabiendo que esta por el origen de coordenadas. R p ta . y~ = 1 - e
( 3$)
-x
Encontrar la curva en el punto (0,2) tal que la proyección de la tangente sobre el eje
2
¿ jt
x siempre tenga la longitud 2.
R p ta. y = 4e
Hallar la curva, para la cual, ángulo formado por la tangente con el radio vector del punto
de contacto es constante.
©
Hallar
R p ta. r = c e
la línea por la cual la ordenada inicial de cualquier tangente es igual a la
subnormal correspondiente.
R p ta. x = y Ln (cy)
©
Encontrar la familia de curvas que tienen las siguientes propiedades: la perpendicular del
^
2
origen a la tangente y abscisa de tangencia son de igual longitud.
R p ta. x~ + y = ex
@
Encontrar la curva que pasa por el punto (2,1) tal que la intersección del eje X
2-< ->
con la tangente es el doble de la ordenada del punto de tangencia.
©
R p ta. y = e
v
Hallar la curva, sabiendo, que el área comprendida entre los ejes de coordenadas,
esta curva y la ordenada de cualquier p u r.o situado en ella, es igual al cubo de esta
ordenada.
R p ta. 3y~ - 2.v = k
193
Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales
45)
Hallar la curva, para la cual, el segmento que intercepta la tangente en el eje OX,
2
2
^
a la longitud de la propia tangente.
R p ta. x + ( y - 6 ) =b~
Hallar la línea
para
la cual
la
ordenada
inicial
de
es igual
cualquier tangente sea dos
unidades de escala menor que la abscisa del punto de contacto. R p ta. y = ex - x Ln |x| - 2
©
48)
Hallar la curva, para la cual, el segmento de tangente, comprendido entre
los ejes de
0
O
coordenadas se divide en dos partes iguales por la parábola y “ = 2 x . R p ta. y" + 16* = 0
Encontrar las curvas
para
las cuales cada normal y sus intersección con x tiene la
R pta. x 2 + y 2 = ex
misma longitud.
©
Hallar
las curvas
en
el
tangente, comprendido entre
tangencia.
50)
plano XY
para
los ejes de coordenadas, es bisecado por el punto de
R p ta. xy = c
Hallar las curvas en el plano xy para las cuales, la pendiente de las normales en todos sus
puntos es igual a la razón de la abscisa a la ordenada.
©
las cuales, el segmento de cada
R p ta. xy = c
Hallar la línea para la cual la longitud de su normal sea proporcional el cuadrado de la
ordenada. El coeficiente de proporcionalidad es igual a k. R p ta. y = 2k
(52)
Hallar la curva, para la cual, la normal a cualquiera de sus puntos es igual a la distancia
^ 2
o
^
desde este punto hasta el origen de coordenadas.
R p ta. v “ - x - c ó x “ + y~ = c
53)
Hallar la línea para la cual el área comprendida entre el eje de abscisa, la misma línea
»
y dos ordenadas una de las cuales es constante y la otra variable, sea igual a la relación
2
2 3
0
del cubo de la ordenada variable a la abscisa variable. R p ta. (2 y - . r )* = c.v~
54)
Hallar la ecuación de las curvas que corta al eje de abscisas en x = 1 y que tiene
la siguiente propiedad: la longitud de Ja subnormal en cada punto de la curva es igual al
promedio aritmético de las coordenadas en este punto. R p ta. ( jc + 2 y ) ( x - y ) 3 = 1
194
Eduardo Espinoza Ramos
Una curva que se halla en el primer cuadrante pasa por el punto A(0,1), si la
longitud del arco comprendido entre A(0,1) y un punto de la curva p(x,y) es
numéricamente igual al área limitada por la curva, el eje X, el eje Y y la coordenada del
x
punto p(x,y). Encontrar la ecuación de la curva.
56)
La normal en cada punto de
R p ta . y =
,
e +e
-x
una curva y la recta que un dicho punto con el origen
de coordenadas forma un triángulo isósceles cuya base está en el eje de abscisas.
2
2
Hallar la ecuación de la curva.
R p ta. a* —y = c
(57)
Hallar la ecuación de la familia de curvas en el plano xy de tal manera que el triángulo
formado por la recta tangente a la curva, al eje de las abscisa
y la recta vertical que
pasa por el punto de tangencia siempre tiene una área igual a la suma de los cuadrados de
las coordenadas del punto de tangencia.
R p ta.
2
a + 4y
ln cy = - = r a r c t g ( —7= —)
> /l 5
58)
Hallar la curva para lo cual el segmento de tangente comprendida entre los ejes
coordenados se divide en partes iguales por la parábola yr =
(£ 9)
v i 5a
2
a
.
R p ta . y “ + 16a = 0
Hallar la línea para la cual el área del rectángulo construido sobre la abscisa de cualquier
punto y sobre la ordenada inicial de la tangente en ese punto es una magnitud constante
e igual a ( a ~).
R p ta.
v= ±
a2
hac
2a
60)
Encontrar la ecuación de una curva tal que si se traza una normal en un punto M
cualquiera de ella encuentra al eje x en el punto P, y la línea que une los puntos medios de
2
MP describe una parábola de ecuación y = 3 6 a .
©
Hallar la ecuación de la curva que pasa por el punto (1,0) y goza de
la siguiente
propiedad: “si por un punto cualquiera P de ella se traza la tangente geométrica y la
normal respectiva, la tangente corta el eje Y en T y la normal corta al eje x en N resulta
2
2
TN perpendicular a, OP, siendo O el origen de coordenadas. R p ta . x + y = x
195
Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales
62)
Hallar la ecuación de la curva que pasa por el punto (2,1) y para la cual el área del
triángulo que forma el eje x de abscisas, la tangente a la curva en cualquiera de los
puntos y el radio vector de dicho punto, sea constante e igual a 4 unidades cuadradas.
4
R p ta. x = ----- 2 v
v
63)
Determinar la ecuación de una curva que pasa por (1,1) y tenga la siguiente propiedad:
por un punto P de ella se traza la recta tangente y la recta normal de modo que la primera
corta al eje de las y en
el punto
A y la segunda al eje de las x en el punto B,
cumpliéndose la siguiente condición OA = O B , donde O es el origen de coordenadas.
R p ta. ln(jc2 + v2) + 2 arctg — = c
x
@
Supongamos que un halcón H, se encuentra en el punto (1,0) y divisa una paloma Q en el
origen volando en dirección del eje y, con una velocidad V,
inmediatamente
en dirección de la paloma con una velocidad
el halcón vuela
w = 2V ¿Cuál es la
trayectoria que debe seguir el halcón y en que punto alcanzaría a la paloma?
x x - 2a
R pta. y = (—).(—)2 - ( a x)2 + —
3 a
3
65)
Determinar la ecuación
de
la
la
ecuación trayectoria (0 ,— ) es el punto pedido.
3
familia de
curvas
que
gozan
de la
siguiente
propiedad: El área del trapecio por lo ejes coordenados, la tangente en un punto
cualquiera de la curva y la ordenada del punto de tangencia sea siempre igual a, b
unidades cuadradas.
66)
R p ta. 3(cjc3 - xy) = 2b
El triángulo formado por la tangente a la curva, el eje de las abscisas y la recta vertical
que pasa por el punto de tangencia siempre tiene un área igual a la suma de los cuadrados
de las coordenadas del punto de tangencia.
®
El área del triángulo formado por la tangente a la curva, el eje de abscisas y la normal a la
curva es igual a la mitad del valor de la abscisas de intersección de la recta tangente.
68)
La normal en cada punto de una curva y la recta que une dicho punto con el origen de
coordenadas forma un triángulo isósceles cuya base está en el eje de abscisas. Hallar la
ecuación de la curva.
196
Eduardo Espinoza Ramos
69)
Hallar la ecuación de la curva que pasa por el punto (3,5), que tiene la siguiente
propiedad: “La normal en cualquiera de sus puntos y la recta que une el punto
considerado con el origen de coordenadas forman un triángulo isósceles con base en el eje
de abscisas
R p ta :
y 2 - * 2 =16
Sea una curva C en que la tangente y la normal de la curva C en un punto P(x,y) corten al
eje X en A y A, y al eje Y en B y fí, respectivamente. Además considere el punto E
(x,0) y 0 el ángulo que forma AP con el eje X. Considere a los segmentos como distancias
dirigidas. Determine la ecuación de la curva si el área del triángulo PEAX es igual a una
constante k.
^ l)
R p ta : y* = 6kx + c
Hallar la curva cuya propiedad consiste en que el producto del cuadrado de la distancia
entre cualquiera de sus puntos y el origen de coordenadas por el segmento separado en el
eje de las abscisa de ese punto.
©
R p ta : v 4 + 2 * V = c
Encontrar la ecuación de la curva que pasa por el punto (2, 4) y es tal que: “La abscisa del
centro de gravedad de la figura plana limitada por los ejes coordenados, la curva y por la
3
ordenada de cualquiera de sus puntos, sea igual a — de la abscisa de este punto” .
4
R p ta: y = .v2
@
Encontrar la ecuación de una curva tal que si se traza una normal en un punto M
cualquiera de ella encuentra al eje X en el punto P, y la línea que une los puntos medios
de M P describe una parábola de ecuación y 2 = ax
©
R p ta: y 2 = a v + fl2 + cxe a
Encontrar la ecuación de la curva que pasa por el punto (1 ,3 ) para la cual: "La ordenada
PN de cualquier punto P(x,y) corta a la recta 2x + y - 10 = 0 en un punto Q y si sobre PN
tomemos un punto M tal que PM = NQ entonces la recta OM resulta paralela a la recta
tangente a la curva en P’\
75)
R p ta : y = 2x ln x + 10 - 7x
Hallar la ecuación de la curva que pasa por el punto (4, 8) y es tal que: “La tangente de la
curva en un punto P(x, y) cualquiera de ella corta al eje X en un punto M equidistante del
punto P y del punto A(0.4)’\
r 2 16
R p ta : :— + — + v = c
y
y
197
Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales
@
Se da un punto sobre el eje y, M (0,b); se pide calcular la ecuación de una curva que goza
de la siguiente propiedad:
“Si un punto P(x,y) cualquiera de la curva, se traza una
tangente a la curva, esta corta al eje X en el punto R, que equidista de M y P, además la
curva pasa por el punto (7,5).
R p ta : x + y + b = y {
1 4 +b
5
©
)
Hallar la ecuación de las curvas para las que el radio de curvatura proyectado sobre el eje
X, es el doble de la abscisas. Haga el correspondiente gráfico.
R p ta : y = \ j x ( c l - x ) + — arctg
(78)
Si X ( t ) = f (7 - s)e~(!~ ^esds . Calcular el valor de:
©
Determinar la curva tal que:
Jo
a)
X " ( / ) + 2 X '( í ) + A-(/)
Cuya subnormal es la media aritmética de la abscisa y la ordenada del punto de esta
curva.
b)
C| —x
+ <o
R p ta : ( y - x ) ( j c + 2 y ) = c
Cuya subtangente es la media aritmética de la abscisa y la ordenada del punto de
esta curva.
R p ta : ( y —x ) ~ = k y
Hallar la curva para la cual el segmento de tangente comprendida entre los ejes
coordenadas se divide en partes iguales por la parábola
y 2 = 2 x
.
R p ta :
y 1 +
16 a=
0
©
a)
Graficar y hallar la ecuación diferencial de las curvas tales que la tangente en un
punto cualesquiera M forme un ángulo 0 con el eje OX y que se verifique
$ - 0 = — , siendo $ el ángulo que Om forme con OX.
4
b)
Resolver la ecuación diferencial hallada en (a).
c)
Hallar, partiendo de la ecuación diferencial, la relación entre el radio de curvatura en
M y OM.
Eduardo Espinoza Ramos
198
Sea Q el punto de corte de la tangente a una curva en P(x,y) y el eje y. Si la circunferencia
cuyo diámetro es QP pasa por un punto fijo F(a.O). Hallar la ecuación y resolver.
Graficar.
83
La normal en un punto P de una curva encuentra al eje X en Q. Encontrar la ecuación de
la curva si pasa por el punto (0,b) y si el lugar geométrico del punto medio de PQ es
y 2 = Lc.
©
Sea A el punto de corte de la tangente a una curva en P(x,y) y el eje Y, si la
circunferencia cuyo diámetro es AP, pasa por un punto fijo (a,0). Hallar la ecuación de la
curva.
Consideremos una familia de curvas planas.
- .( 1 )
donde cada valor del parámetro c representa una curva.
Los problemas que se presentan en los campos tales como Electrostática, Hidrodinámica
y termodinámica es de encontrar una familia de curvas que dependen de un parámetro k.
... (2)
Con la propiedad que cualquier curva de (1) al interceptar a cada curva de la familia (2)
las rectas tangentes a las curvas sean perpendiculares.
A
\
a las familias de las curvas (1) y (2) se denominan trayectorias ortogonales
199
Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales
O bservación. Como ejemplo veremos los casos siguientes:
©
En el campo Electrostático, a una familia de curvas se denomina curvas Equipo­
tenciales y la otra familia de curvas denominan líneas de fuerza.
©
En el campo Hidrodinámico, a una familia de curvas se denomina curvas de
potencial de velocidad y otra familia se denomina líneas de corriente o líneas de
flujo.
.
©
En el campo Termodinámico a una familia de curvas se denomina líneas isotermas
y a la otra familia de curvas denomina líneas de flujo de calor. Si se tiene la
familia de curvas (1), para encontrar la familia de curvas (2), primero se encuentra la
ecuación diferencial de la familia dada en (1) y despejamos y ' obteniendo.
y '= F (x ,y )
...(3 )
Como la pendiente de las trayectorias ortogonales debe ser la inversa negativa de la
pendiente (3) es decir:
... (4)
Luego las trayectorias ortogonales de la familia dada se obtiene resolviendo la
ecuación diferencial (4).
a.
(l)
E jem plos
Encontrar las trayectorias ortogonales de todas las parábolas con vértice en el origen y
foco sobre el eje X.
Solución
La ecuación de la familia de parábola es de la forma: y 2 = 4 p x
— = 4 p diferenciando se tiene:
x
— =—
dx 2 x
2.xy¿y y dx _ ^
x
,
p* 0
2 x d y -y d x = 0
y la ecuación diferencial de las trayectorias ortogonales son: — = ——
dx
y
donde 2 x d x + y d y = 0 resolviendo esta ecuación diferencial se obtiene
2
jc
de
y2
+ — = c,
2
c * 0 luego las trayectorias ortogonales a la familia de parábolas son las elipses de centro
en el origen.
200
Eduardo Espinoza Ram os
Encontrar las trayectorias ortogonales de la familia de circunferencias de centro en el
origen de coordenadas.
Solución
La ecuación de la familia de circunferencias de centro en el origen es de la forma:
^
2
x~ + y = c , su ecuación diferencial se obtiene diferenciando.
se tiene x dx + y dy = 0
dy
X
dx
y
y la ecuación diferencial de
las trayectorias
ortogonales es — = — resolviendo esta ecuación
dx x
se obtiene:
dy _ dx
y
ln y = ln kx => y = kx,
x
Luego las trayectorias ortogonales a la familia de
circunferencias son la familia de rectas y = kx.
©
Encontrar las trayectorias ortogonales de todas las hipérbolas equiláteras de centro en el
origen de coordenadas.
Solución
2
La ecuación que corresponderá una familia de hipérbolas es: x - y
*
2
= c, c * 0, st
♦ ♦
ecuación diferencial se obtiene diferenciando a la ecuación, x dx - y dy = 0 de donde
— = — , y la ecuación diferencial de las trayectorias ortogonales es:
dx y
201
Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales
dy
dx
dy dx
— + — = \n k t
v
x
x
y
de donde Ln yx = Ln k => xy = k ecuación de la familia de las trayectorias ortogonales
Encontrar las trayectorias ortogonales de las circunferencias que pasan por el origen
con centro en el eje X.
Solución
La ecuación que corresponde a esta familia de circunferencias es: x
2
+y
2
- c x f su
ecuación diferencial se obtiene diferenciando a la ecuación
l x v — = y 2 —x 2 => ^ - = 2 !— —
' dx
dx
2x \
ortogonales es:
— =
dx
v** “ x
j
i
2.
2 xydx - x~dy = - y dy
y la ecuación diferencial de las trayectorias
resolviendo esta ecuación
2x y d x - x ~ d y
,
=> — -—
= -ay
y2
=>
.,x
, .
,
d (— ) = - a y integrando se tiene
y
i
X~
y
- = - y + ¿ => x 2 + y 2 = Jfcy ecuación que corresponde a las trayectorias ortogonales
que son circunferencias con centro en el eje Y.
b.
E JE R C IC IO S P R O P U E S T O S .
Encuéntrese la trayectoria ortogonal que pase por (1,2) de la familia x 2 + 3 y 2 = cy
R p ta: y 2 = jc2(3jc+ 1)
202
©
Eduardo Espinoza Ramos
Encontrar las trayectorias ortogonales de a x 2 + y 2 = kx donde a es un parámetro fija y
k es una constante.
©
R p ta : y = c[(a - 2 ) x 2 - y 2 ], a * 2 ;
yey =c
para a = 2
Encontrar las trayectorias ortogonales de eos y - acoshx = k senhx, donde a es una
constante fija y k es un parámetro.
©
Probar que las trayectorias ortogonales de y ~ ln | tg(x + sen x + k ) | es 2senh x + t g ^ = c
Encontrar las trayectorias ortogonales de la familia de curvas dadas.
©
2
a)
y = a x n , a es un parámetro
^
R p ta : x + n y * = k
b)
x2 + ^ - = a2
R p ta : y 2 = 2bx
c)
7 V2
,
x~ -— -a
R p ta : xy = b
d)
x^-xy +y^= c
R p ta : x - y = k ( x + y )3
3
Encontrar las trayectorias ortogonales, que pasan através del punto especificado, de
cada una de las siguientes familias de curvas.
a)
y" = /lt,(-2 ,3 )
R p ta : 2x~ + y “ = 17
b)
y 2 = x 2 + ky,( 1,-2)
R p ta : .v3 + 3xy2 = 13
y 2 = 2a*+ 1 + ke2x>(o,e)
R p ta: x = v 2[ 1- Lny]
. c)
Encontrar las trayectorias ortogonales de la familia de elipses con centro en (0,0) y
dos vértices en (1,0) y (-1,0)
R p ta : jc~ + y~ = 2 Ln(kx)
Encontrar las trayectorias ortogonales de las siguientes familias de curvas.
203
Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales
a)
**
2
R p ta : 3a" + y - e x
£■
+
3
= ex
*V
d)
* . ~v
e +e
= c
R pta: 2 x “ + 3 y 2 = T
R p ta: e y - e ~ x - k
1
*
II
f)
R p ta : jr2 + y 2 —1 = cy
-
n
2
c)
e)
( 9)
H
r\
H
b)
(.v—l ) 2 + y 2 + kx = 0
R pta: y = >j2x + k
__ 4
x sen 2 a ,
R p ta : v = ---------------- + k
2
4
y = tg x + c
2
2
3
= ex'
g)
a" + 3 y 2 = ky
R p ta : y - x
h)
y = k(sec x + tg x)
R p ta : y" = 2 ( c - s e n A )
Hallar las trayectorias ortogonales de la familia de circunferencias que pasan por los
puntos P(0.-3) y Q (0,0). Hacer la gráfica para ambas familias.
R p ta:
©
*2
—5-----+ v -3 L /? 12 y + 3 1= c
2v + 3
y = x l g ^ ( y + k)
Encontrar las trayectorias ortogonales de la familia de curvas
n
¿
2
2
R p ta: a + v = ce
X
©
Hallar las trayectorias ortogonales de la familia de curvas P 2 = ¿ ( P s e n 0 — 1)
©
Encontrar la ecuación de la familia de trayectorias ortogonales a la familia de curvas
2
R p ta: r =
r = 4 ¿ 7 c o s0 tg 0
cos2 0 + 2 se n 2 0
©
La
temperatura de una placa delgada está dada por T { x , y ) - e v c o s a . Encontrar
la ecuación de las líneas de flujo de calor.
R p ta : y = Ln |sen x| + k
4
** *
©
Hallar las trayectorias
puntos (0,0) y (2,0).
ortogonales
a la familia de circunferencia que pasan por los
R p ta: v"
+
y2
+
&(1 -
a *)
=
0
204
©
Eduardo Espinoza Ramos
Hallar la ecuación de la familia de trayectoria ortogonales a todas las circunferencias
que pasan por el origen de coordenadas y cuyo centro está en la recta y = x.
*)
1
R p ta: a “ + y" = ( y —x ) k
Hallar
las
trayectorias
ortogonales
de
la
familia
de
curvas
que
satisface
la
siguiente propiedad; la recta tangente a las curvas en cualquier punto P. es la bisectriz
del ángulo determinado por la recta vertical que pasa por P y la recta que une P con
el origen de coordenadas.
X^C
R p ta: v = —— +
c
©
Hallar el valor de "m ” de modo que x m + v™ + 25 = /a sea las trayectorias ortogonales
O
1
de las circunferencias x “ + y “ - 2cy = 25
R p ta: m = 2
©
Una familia de curvas goza de la siguiente propiedad: si por un punto cualquiera P(x,y),
de cualquiera de las curvas que componen la familia, se traza la recta normal, el segmento
de normal comprendido entre los ejes
coordenados tiene una
longitud constante de 4
unidades de longitud; se pide hallar la
ecuación de la curva,
que pasa por elpunto
(4,0) y es ortogonal a la familia de curva que se menciona.
©
Hallar la ecuación de la familia de trayectoria ortogonal a la familia de curvas, que
cumple la propiedad “si por un punto cualquiera de las curvas de la familia, se trazan la
recta tangente y normal a la curva, el área del triángulo formado por las rectas tangente y
kx2
normal con el eje y es igual a — donde k es la ordenada del punto, en que la tangente
intercepta al eje y.
©
Demostrar que la familia de trayectorias de la familia ( x - y ) ( 2 x + y ) 2 = k x 6 con una
rotación de 90° en el origen está dado por (* + y ) ( x - 2 y ) 2 = 0 * h *
@
Hallar la ecuación de la curva que pasa por el punto P (2 ,l) y para la cual el área del
triángulo que forman el eje X, la tangente a la curva en cualquiera de sus puntos y el radio
vector de dicho punto es una constante e igual a k u ~ .
(22)
Determinar una curva tal que si por un punto M de ella se traza la tangente MA a la
parábola y 2 = 2 p x , la tangente a la curva buscada es paralela a CA.
205
Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales
(23)
Determinar una curva tal que si por un punto M de ella se traza la tangente MA a la
parábola y 2 = 2 p x , la tangente M T a la curva buscada es paralela a OA.
24)
Encontrar
las
trayectorias
ortogonales
a
la
familia
de
curvas definida por
( jc—1)2 + y 2 +Ajc = 0
25)
Encontrar las trayectorias ortogonales de la familia y = x t g ^ ( y + k)
(2ó)
Hallar la curva que pasa por el punto (1,1) y corta a las parábolas semicúbicas y 2 =kx
@
Encontrar las trayectorias ortogonales de y = ln tg(x + senx + k)
28)
Hallar la familia de curvas ortogonales a la familia de circunferencia que pasan por el
origen y con centro en el eje Y.
29)
Hallar las trayectorias ortogonales de la función de curvas C : l a y 2 = jc(jc2 + y 2 ) donde
a > 0 es una constante.
30)
©
Hallar las trayectorias ortogonales a la familia de curvas y = l a x 2 +1
Hallar las trayectorias ortogonales de la familia de curvas
a*2
- ay 2 = 1
32)
Determinar las trayectorias ortogonales de la familia de curvas ( - a —x ) y ¿ = x 2 ( x - 3 a )
33)
Hallar las trayectorias ortogonales de la familia de curvas que satisfacen la siguiente
propiedad: “La recta tangente a una de la curva en un punto cualquiera P, es la bisectriz
del ángulo determinado por la recta vertical que pasa por P y la recta que une P con el
origen de coordenadas” .
34)
Hallar la ecuación de las trayectorias ortogonales de la familia de curvas que satisfacen la
propiedad: “Si por un punto cualquiera P(x,y) de una de las curvas se trazan la recta
tangente y la recta normal a ella, entonces el área del triángulo formado por la recta
y
tangente, el eje x, y la recta normal es siempre igual a -----
206
Eduardo Espinoza Ramos
35)
Una familia de curvas goza de la siguiente propiedad: ‘*Si por un punto cualquiera P(x,y),
de cualquiera de las curvas que componen la familia, se traza la recta normal, el segmento
de normas comprendido entre los ejes coordenados tiene una longitud e igual a 6
unidades”. Se pide hallar la ecuación de la curva que pasa por el punto (6,0) y es
ortogonal a la familia de curvas que se menciona.
3.3.
CAMBIO DE TEMPERATURA.La ley de enfriamiento de Newton establece, que la rapidez de cambio de temperatura de
un cuerpo en cualquier tiempo t, es proporcional a la diferencia de las temperaturas del
cuerpo y del medio circundante en el tiempo t. Consideremos a T la temperatura del
cuerpo en el tiempo t y a Tm la temperatura del medio circundante y a T0 temperatura
inicial del cuerpo (t = 0).
Como la variación de la temperatura puede ser que aumente o disminuya.
Luego de acuerdo a la Ley de enfriamiento de Newton se expresa mediante la ecuación
diferencial.
dT
dT
— = k ( T - T m ) ó — = - K ( T - T m ) ya sea que aumente o disminuya, donde k es el
di
di
factor de proporcionalidad.
dT
dT
Si — = - k ( T —Tm) => — + K T = kTm
di
di
primer orden y su solución es:
que es una ecuación diferencial lineal de
T = e~ki[J e * ' JcTm dt + r] de donde T = T m + Ae
-kt
además se debe cumplir que para t = 0, T = T 0. Luego T = Tm + (T0 - T m ) e ~ kl
3.4.
DESCOMPOSICIÓN,
QUÍMICAS.-
CRECIMIENTO
Y
REACCIONES
La rapidez de descomposición de una sustancia radiactiva en un tiempo particular t es
proporcional a la cantidad presente en ese tiempo.
207
Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales
La rapidez de crecimiento del número de bacterias en una solución es proporcional al
numero de bacterias presente. Si S representa la masa de una sustancia radiactiva presente
en el tiempo t, o el número de bacterias presente en una solución en el tiempo t, entonces
dS
la Ley de descomposición y de crecimiento, esta expresado por — ~ - K S
dt
dS
descomposición y — = KS
dt
para el crecimiento, en donde K
para la
es un factor de
proporcionalidad.
dS
dS
Como — = KS , las variables s y t son separables. Luego: — = k d t , integrando
dt
s
Ln(s) = kt + c —» S = A e kt que es la solución general. Si S 0 representa a la cantidad
inicial es decir: S = S0, cuando t = 0, S0 = A
PR O B L E M A S R E SU E L T O S
Según la Ley de Newton, la velocidad de enfriamiento de un cuerpo en el aire es
proporcional a la diferencia en la temperatura T del cuerpo y la temperatura Tm del aire.
Si la temperatura del aire es de 20°C y el cuerpo se enfría en 20 minutos desde 100°C a
60°C.¿En cuanto tiempo su temperatura descenderá hasta 30°C?
Solución
Sean T = temperatura del cuerpo ; Tm = Temperatura del aire = 20°C
7¿= Temperatura inicial
dT
La descripción matemática es: — = - k ( T - Tm)
dt
y la solución de acuerdo a lo descrito es: T = T m + (Tq - Tm)e~kt
i
para t = 20° , T = T0 = 60°C Entonces:
60= 20+ (100-20)e 2<U =>
40 = m e ~ 20K
=>
K=+—
20
208
Eduardo Espinoza Ramos
) f
por lo tanto
♦
para t = ?
7 = 20 + 80*
20
2 0
=> 7 = 2 0 + 80*
i n
=>
n
7 = 2 0 + 80.2 " 2Ü
7= 30°C
30 = 2 0 + 80.2~í/20
—= 2 ' ,/20
8
( 2)
2"3 = 2 " f/20
/ = 601
Determinar el camino S recorrido por un cuerpo durante el tiempo t. Si su velocidad es
proporcional al trayecto, sabiendo que en 10 seg. el cuerpo recorre 100 mts. y en 15 segs.
200 mts.
Solucién
ds
Sean S = el camino recorrido ; t = tiempo en segundos ; V= — = velocidad del cuerpo
dt
La descripción matemática es: ~ - = ks
La solución de la ecuación diferencial es: S = A e kt, para t = 10 seg. S = 100 mts.
reemplazando se tiene:
K
100
100 = A e ]0k —» A = -----10K
para t = 1 5 s e g . S = 200 mts., reemplazando se tiene: 200 = A e l5k —» A =
... (1)
200
...(2 )
*
ii 2)
igualando (1) y (2) se tiene: K = ---------, reemplazando en (1) o en (2) se tiene: A = 25.
Luego el camino recorrido es:
( 3)
S = 25.25
Cierta cantidad de una sustancia indisoluble que contiene en sus poros 2 Kgr. de sal
se somete a la acción de 30 litros de agua. Después de 5 minutos se disuelve 1 Kgr. de
sal. Dentro de cuanto tiempo se disolverá el 99% de la cantidad inicial de sal?
Solución
209
Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales
Sea S = cantidad de sal por disolverse
La descripción matemática es:
ds
— = ks , k factor de proporcionalidad
dt
La solución de la ecuación diferencial es:
S = A e h \ determinaremos A. para t = 0, s = 2 k g r. -» A = 2
Luego S - 2 e kt, determinaremos k, para t = 5 min. s = 1 kgr. —> k - —Ln(—)
3
2
é
-Ln(-)
por lo tanto S - 2e 5 2
1 —¥ S = 2(—)5
*
para determinar t, se tiene que buscar el 99% de s es decir: S = 1.98 kgr.
entonces: 1.98 = 2(—)*
—> 0.99 = (—)^ . Luego: t -
2
min.
L n(f
2
Un termómetro que marca 18°F, se lleva a un cuarto cuya temperatura es de 70°F,
un minuto
después
la
lectura
del
termómetro
es
de
31°F.
Determínese
temperaturas medidas como una función del tiempo y en particular
encontrar
las
la
temperatura que marca el termómetro cinco minutos después que se lleva al cuarto.
Solución
Sean
T
= temperatura del cuerpo ;
Tm = temperatura del cuarto = 70°F
dT
La descripción matemática es: — = K ( T - Tm) , K es el factor de proporcionalidad. La
dt
solución de la ecuación diferencial es:
T = Tm + (T0 - T )ekl para determinar k se tiene:
t = 1 min., T = 31°, Tm = 70°F
*:
. _* 39
Luego 31 = 70 + ( 1 8 - 7 0 y —>e = —
6
52
39.
. .3
de donde k = Ln{— ) = L n ( - )
52
4
210
Eduardo Espinoza Ramos
por lo tanto: T = 7 0 - 5 2 e
Mn(^)
4
para t = 5 min. T = ? se tiene:
D
T = 1 0 - 5 2 ( - ) 5 - 58°F ,
4
T = 58°F
A la 1 p.m. un termómetro que marca 70°F, es trasladado al exterior donde el aire
tiene una temperatura de - 10°F a las 1.02 p.m. la temperatura es de 26°F a las 1.05
p.m. el termómetro se lleva nuevamente adentro donde el aire está 70°F, ¿Cuál es la
lectura del termómetro a las 1.09 p.m.?
Solución
Sean
T
= temperatura del cuerpo ;
La descripción matemática es:
T m = temperatura del aire = -10°F
dT
— = K (T -T m )„ k el factor de proporcionalidad
dt
La solución de la ecuación diferencial es: T = Tm+ A e kt para t = 0, T = T0 se tiene:
T = Tm + (T0 - T m)eki
26 = - 1 0 + 80e2*
esto es a la lp.m . y a la 1.02 p.m. t = 2, t = 26°F
k = —ln(— )
2
20
-ln(—)
9 Luego T = - 1 0 + 80e2 80 es decir T = - 1 0 + 80(— )2
20
*
a la 1.05 p.m., t = 5 min. se tiene:
F
9 ~
T = - 1 0 + 80(— ) 2
20
—> 7 = 0.88°/r
Supóngase que una reacción química se desarrolla con la ley de descomposición si la
mitad de la sustancia A ha sido convertida al finalizar 10 seg. Encuéntrese en cuánto
tiempo se transforma nueve décimos de la sustancia.
Solución
Sea x = cantidad de la sustancia A
211
Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales
La descripción matemática es: — = - k x
dt
La solución de la ecuación diferencial es: x = B e kl, determinaremos B
para t = 0, x ~ .v0 —> B = v0
x = x 0e
- kt
Determinaremos k, para esto se tiene: l = 1 0 s e g . x = '-~. Entonces:
:0
-I0A
.
1 '* .-=-10k
.
_ ln(2)
/ .)n(.2)•
9x
Es decir, x = x0e 10
, ahora para t = ?, x =
entonces:
üv
-----—
O
— - = .v0é l01n2 —> — = 2 10
10
0
10
101n(— )
9
t
10
ln — = ------ ln(2) —> / = ---------------- « 3 3 seg.
10
10
ln(2)
©
Luego: t = 33 seg.
La conversión de una sustancia B sigue la Ley de descomposición. Si sólo una cuarta
parte de la sustancia ha sido convertida después de diez segundos. Encuéntrese cuanto
9
tardan en convertir — de la sustancia.
10
Solución
Sea x = cantidad de sustancia B. Según los datos del problema se tiene:
*0
1
0
3*o
4
10
*0
10
t
La descripción ipatemática es: — = - k x , k factor de proporcionalidad
212
Eduardo Espinazo Ramos
|q
La solución es:
Jh .
X
10
i*10 J
f
Jx,,
®
/• 10
- *= - * Jf o
dx
f 4 — = -.v0 í
k = - — ln(—)
10
4
J o
10ln(— )
10
dt => t =
. 3
in (-)
4
t = 80 seg
Una cierta sustancia radiactiva tiene una vida media de 38 horas. Encontrar que tanto
tiempo toma el 90% de la radiactividad para disiparse.
Solución
Sea x = cantidad de la sustancia radiactiva. Según los datos del problema se tiene:
X
*0
2
.4
0
t
La descripción matemática es:
r- j
La solución es
io dx
L n (
2)
38
®
— = -kx,
dt
k factor de proporcionalidad
r**
i: f - i
•
38
10
t
dt —> k =
Ln( 2)
38
381n(— )
dt
10
—> t = -
/.
ln(2)
t = 126 años
Una población bacteriana B se sabe que tiene una taza de crecimiento proporcional
a B misma, si entre el medio día y las 2 p.m. la población se triplica.
A que tiempo, si no
se efectúa ningún control, B será 100 veces mayor que el medio día?
Solución
Sea x = cantidad de la población bacteriana B. Según datos del problema se tiene:
X
*0
3*o
100;t0
t
0
2
t
213
Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales
— = kx, k factor de proporcionalidad.
dt
La descripción matemática es:
— = & í dt =>
La solución de la ecuación es: í
ln 3 f '
^
@
Se
_ „o
dt
=>
^
Jo
k =
2 ln( 100) _
t = -------------« 8.38hrs.
ln(3)
2
,
t = 8.38 horas
sabe que un cierto material radiactivo decae a una velocidad proporcional a su
cantidad de material presente. Un bloque de ese material tiene originalmente una masa
de 100 gr. y cuando se le observa después de 20 años, su masa ha disminuido a 80 grs.
Encuentre una expresión para la masa de ese material como función del tiempo.
Encuentre también la vida media del material.
Solución
Sea x (t) = cantidad de sustancia radiactiva en cualquier t la descripción matemática es:
dx(t)
— — = -k x ( t)
dt
Resolviendo la ecuación se tiene: *(/) = Ae~kt determinaremos la constante A, para esto
se tiene:
Para t = 0, x (t) = 1 0 0 g r . —>A = 100, Luego reemplazando se tiene: jc(/) = lOOe- *'
determinaremos la constante k, para esto se tiene:
para t = 20 años, x (20) = 80 entonces:
F
80 = lOOe-20*
—» k = — ln(—)
20 4
Luego x(t) = 100exp[--^ln(-^-)]
^ l)
Un isótopo radiactivo del carbono, conocido como carbono 14 obedece a la Ley del
decaimiento radiactivo
presente en el tiempo t.
dt
- K Q , donde Q(t) denota la cantidad de carbono 14
214
Eduardo Espinosa Ramos
a)
Determínese K, si la vida media del carbono 14 es de 5568 años.
b)
Si Qfí representa la cantidad de carbono 14, presente al tiempo t = 0. Encuentre una
expresión para Q como función del tiempo.
v
En años recientes se ha hecho posible hacer medidas que conducen a conocer la
c)
razón
para
algunos
restos
de
maderas
y
plantas
que
contienen
Qi)
cantidades residuales de carbono 14. Los resultados de a, y b, pueden usarse
entonces para determinar el tiempo pasado desde la muerte de estos restos, esto es,
el período durante el cual ha tenido lugar el decaimiento. Encuentre una expresión
para t en términos de Q, Q 0 y K. Encuéntrese el intervalo desde que principió el
decaimiento, sí el valor actual de — es 0.20.
Qo
Solución
El carbono 14, obedece a la Ley de decaimiento radiactivo.
dt
= KQ (t) y la solución de esta ecuación
es: Q{t) = c e kl 1 de donde para t = 0, 0 (0 ) = £?0
c = Q 0 Luego Q(t) = Q 0e kl
a)
Determinaremos k, para esto se tiene que:
La vida media del carbono es 5,568 años es decir
para t = 5,568 Q(t) = —
2
5,568
b)
entonces: —- = C í 5,568jt
^
= - L245JC10"4 =>
¿ = - 1 .2 4 5 - n o -4
Hallaremos Q como función del tiempo.
215
Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales
0 (t)
fio
0
t
tLni 2)
,“4
de la parte (a), se tiene: G í/) = 0 oe AT ó Q(t) = Q0e 5,568
c)
£?(/) = (?u <l 245jfl°
>r
Hallaremos una expresión para t en términos de: Q, Q 0 y K
t t M l)
de la parte b) se tiene Q = Q^e
ln í0 ) = ln«2o)
0
t=
— ln(2)
5.568
5.568
=>
5,568
=
Q
=>
/=l^ ln ( ^ )
ln(2)
Q
Ln(— ) - - —
¿n(0,20) d e d o n d e / = ^ ^ ^ ¿ « ( 5 ) = 12,930 años
¿«(2)
Q{)
Ln( 2)
Ln{ 2)
^
“Isótopo.- Cuerpo que tiene igual número atómico y ocupa el mismo lugar que otro en la
tabla periódica de los elementos, pero que se distinguen de aquel por la diferente
constitución y peso de sus átomos” .
^2)
Un
cuerpo cuya
temperatura es de 30°C requiere de 2 minutos, para descender
su temperatura a 20°C,
si
es colocado en un medio refrigerante con temperatura
constante de 10°C. Cuanto tiempo tardará el mismo cuerpo para bajar su temperatura de
40°C a 35°C, si ahora el medio está a la temperatura constante de 15°C?
Solución
Llamemos:
T
= Temperatura del cuerpo en el instante t.
Tm = Temperatura del medio exterior (refrigerante)
T0
= Temperatura inicial del cuerpo (t = 0)
Suponiendo que se cumpla la Ley de Newton, para el intercambio de temperaturas,
entonces:
dT
— = - K ( T - Tm) donde K es el factor de proporcionalidad.
dt
216
Eduardo Espinoza Ramos
La solución para la ecuación diferencial es: T = Tm +ce
~kl
determinaremos c, para esto se tiene: para t = 0, T = T{),
por lo tanto: T = Tm + (T0 + T )e~kt
C = T0 ~ T m
determinaremos k, para esto se tiene:
t = 2 min. T = 20°C, T0 = 30° C , Tm = 10°C
de donde T = Tm + (T0 + Tm )e
-kl
- 2k
20 = 10 + (3 0 “ 10)e“‘ , que al despejar k se tiene: k « 0.348
por lo tanto: T = Tm + (T0 + Tm )e u 3487'
,
t
I
de donde ai despejar t se tiene: t = 0.64 minutos.
©
Una sustancia radiactiva A se descompone dando lugar a una sustancia radiactiva B, la
que a su vez se desintegra para dar un producto estable C, según el esquema siguiente:
B
En el instante t = 0, se tiene 10 mgrs. de A, mientras que B y C no se tiene cantidad
alguna. La vida media (es decir el tiempo que debe transcurrir para que la cantidad
original de sustancia se reduzca a la mitad) de A es de 2 horasTmientras que la de B es 1
hora, ¿Cuál es el valor de B y C después de 2 horas?
Solución
Llamemos m {, m 2 y
a las cantidades de sustancias radiactivas de A, B y C
respectivamente en el instante t.
Entonces la ecuación diferencial que gobierna a: m x es:
— - = - K xm x
dt
cuya solución es conocida: m x = m 0 .e~k'1
siendo K x
... (1)
... (2)
Ljti. 2)
-------- con T = 2 horas es la vida media y w 01 = 1 0 mgrs. es la cantidad
inicial de A. Para la sustancia B, la ecuación es:
dt
= - K 2m 2 + K xmx
... (3)
217
Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales
y para la sustancia C es:
úttx
— - = K->nh
dt
“ ‘
... (4)
estas ecuaciones se resuelven del modo siguiente: de (2) en (3) se tiene:
dm,
-u
- j ^ + K 2m2 = K ]m0le 1
y la solución de esta ecuación es:
4
m2 =
k~> k x
e
+ ce kl¡, c constante de integración
usando las condiciones iniciales de que en : t = 0, m 2 = 0
por lo tanto:
m 2 - ^ /W° l [e ^ - e
k 2 —k j
.
. ...
ahora de (5) en (4) se tiene:
—> c = - ^|Wo1
k2 - k }
]
... (5)
dm-,
k^k. r - u
- L f,
— - = — =-*—[e 1 - e - ]
dt
k 2 - k¡
integrando directamente, usando la condición inicial de que en t = 0, m3 = 0 se tiene
m3 = /n 0i.[l— =— ----- -1
k2 - k t
]
... (6)
finalmente podemos reemplazar valores numéricos en:
, c,
f
¿«(2)
Ln{ 2)
,
Ln{ 2)
(5) y (6) con fcj = -------- = ---------- y
=
= Ln{2) y m 0l = 1 0 mgrs.
r 1
2
t 2
obteniéndose:
m 2 = 2 .5 mgrs.; m 3 = 2 .5 mgrs. y también de (2), m x = 5 mgrs.
E JE R C IC IO S P R O P U E S T O S .l)
Supongamos que la razón a que se enfría un cuerpo es proporcional a la diferencia entre
la temperatura del cuerpo y la temperatura del aire que lo rodea un cuerpo originalmente a
120°F se enfría hasta 100°F en 10 minutos en aire a 60°F. Encontrar una expresión para la
temperatura del cuerpo en un instante cualquiera t.
2 —
R p ta : T = 60 + 60(—) lü Vf
*
218
©
Eduardo Espinoza Ram os
Para
una sustancia
C, la velocidad de variación con el tiempo es proporcional al
cuadrado de la cantidad X de sustancia no convertida. Sea k el valor numérico de la
cantidad de sustancia no convertida en el tiempo t = 0. Determinar X, V t > 0
R p ta : X =
^
. V/ > 0
1+ xQkt
Un químico desea enfriar desde 80°C hasta 60°C una sustancia contenido en un matraz
se coloca el dispositivo en un recipiente amplio por el que circula agua a 15°C.
Se
observa que después de 2 minutos la temperatura ha descendido a 70°C. Estimar el
tiempo total de enfriamiento.
R p ta : t = 4.45 minutos.
i'
Un termómetro que marca 75°F se lleva fuera donde la temperatura es de 20°F.
Cuatro minutos después el termómetro marca 30°F. Encontrar:
a)
La lectura del
termómetro siete minutos después de que este ha sido llevado
al exterior y ?
b)
El tiempo que le toma el termómetro caer desde 75°F hasta más o menos medio
grado con respecto a la temperatura del aire.
©
Dentro
de
cuanto tiempo
la
R p ta :
T = 23°, t = 11 minutos.
temperatura de un cuerpo calentado hasta 100°C
descenderá hasta 30ÜC. Si la temperatura del local es de 20°C y durante los primeros
20 minutos el cuerpo en cuestión se enfría hasta 60°C. R p ta : t = 60 minutos.
Si el 45% de una sustancia radiactiva se desintegra en 200 años. ¿Cuál es su vida media?
En cuanto tiempo se desintegrará 60% de la cantidad original?.
R p ta: t = 319.4 años
Se tienen dos recipientes con soluciones a temperaturas constantes, la primera a 30°C y
la segunda a 25°C un termómetro que marca la temperatura de la primera solución es
puesto en
contacto con la segunda,
cuatro
minutos
después marca 27°C más
adelante el termómetro es puesto nuevamente en contacto con la primera solución, 10
minutos después del comienzo del experimento el
termómetro indica 28°C, ¿Cuándo
fue llevado el termómetro del segundo al primer recipiente? R p ta:
Un
cierto
material
t = 4.73 minutos.
radiactivo tiene una vida media de dos horas.
Encuentre
el
intervalo de tiempo requerido para que una cantidad dada de este material decaiga hasta
un décimo de su masa original.
R p ta : t =
horas
ln(2)
%
219
Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales
Suponer que una gota de lluvia esférico se evapora a una velocidad proporcional a su
área superficial. Si originalmente el radio es de 3 mm., 1 hora después se ha reducido a
2 mm. Encontrar una expresión para el radio de la gota como función del tiempo.
R p ta : r = 3 - 1 mm, 0 < t < 3
@
El azúcar se disuelve en el agua con una rapidez proporcional a la cantidad que queda
sin diluir. Si 30 Ibs. de azúcar
habrá diluido el 95% del azúcar?
©
sereduce
a 10 Ibs. en 4 horas. ¿En cuánto tiempo se
R p ta : t =
Ln( 3)
El radiactivo tiene una vida promedio de 5600 años aproximadamente. ¿En cuantos
años desciende el 20% de su cantidad original? ¿Al 10% ?Rpta: / =
©
^ 0 0 L n (0 .2 0 )
Ln( 2)
El radio se descompone con una velocidad proporcional a la cantidad de radio presente.
Supóngase que se descubre que en 25 años aproximadamente 1.1% de una cierta cantidad
de radio se ha descompuesto. Determínese aproximadamente que tanto tiempo tomará el
radio para que se descomponga la mitad de la cantidad original.
©
R p ta : 1,566.7 años
Dos sustancias A y B se convierten en un sólo compuesto C, en el laboratorio se ha
mostrado que para estas sustancias se cumple la siguiente ley de conversión. La velocidad
de variación con el tiempo de la cantidad x del compuesto C es proporcional al producto
de las cantidades de las sustancias no convertidas A y B, supóngase que las unidades de
medida se eligen de tal forma que una unidad del compuesto C esta formado de la
combinación de una unidad A con una unidad B. Si el tiempo t = 0, hay “a” unidades de
sustancia A ,“b’\ unidades de sustancia B y ninguna del compuesto C presente. Muéstrese
dx
que la ley de conversión puede expresarse con la ecuación — = k(a - x)(b - x)
dt
,
®
(
„ .
,.................................
esta ecuación con la condición inicial dada. R p ta :
resolver
ab[cxp(a-b)kt-\]
x = ----------------bexp(a-b)kt - a
.
,c t * b
Cierta cantidad de sustancia, que contenía 3 kgrs. de humedad, se colocó en una
habitación de 100m3 de volumen donde el aire tenía al principio el 25% de humedad. El
aire saturada, a esta temperatura, contiene 0.12 kgr. de humedad por l m \ si durante el
primer día la sustancia perdió la mitad de su humedad.
quedará al finalizar el segundo día?
¿Qué cantidad de humedad
ds
R p ta : 0.82kg. S u g .— = ks(s + 6)
dt
220
©
Eduardo Espinoza Ramos
La salmuera de un primer recipiente pasa a otro, a razón de 2 decalitros/min., y la
salmuera del segundo recipiente pasa al primero a razón de 1 decalitro/min. En un
principio hay 1 hectolitro de salmuera, conteniendo 20 kgrs. de sal, en el primer
recipiente, y 1 hectolitro de agua en el segundo recipiente. Cuanta sal contendrá el primer
recipiente al cabo de 5 minutos. Se supone que en todo momento es homogénea la mezcla
de sal y agua en cada recipiente.
2
R p ta : 6 —kgr
Salmuera que contiene 2 kgr. de sal por decalitro entre un primer tanque a razón de 2
decalitros/min. del primer tanque pasa la salmuera a un segundo tanque a razón de 3
decalitros/min., y sale de éste segundo tanque a razón de 3 decalitros/min.
En un
principio, el primer tanque contiene 1 hectolitro de salmuera con 30 kgrs. de sal, y el
segundo tanque contiene
1 hectolitro de agua pura. Suponiendo las soluciones
homogéneas en cada tanque. Hallar la cantidad de sal en el segundo tanque al cabo de 5
minutos.
©
R p ta : 19.38 kgr.
Se ha descubierto que una bola de naftalina que tenía originalmente un radio de ~ de
pulgadas, tiene un radio de — de pulgada al cabo de un mes. Suponiendo que se evapore
8
a un índice proporcional a su superficie. Encuéntrese el radio en función del tiempo;
después de cuántos meses más desaparecerá por completo.
R p ta : r = (2 - 1) 8 después de 1 mes más
©
El Presidente y el primer Ministro piden café y reciben tazas a igual temperatura y
al mismo tiempo. El Presidente agrega inmediatamente una pequeña cantidad de crema
fría; pero no se toma café hasta 10 min. después. El primer Ministro espera 10 min. y,
luego añade la misma cantidad de crema fría y comienza a tomarse su café. ¿Quién
tomará el café más caliente?
©
R p ta : El Presidente.
Supongamos que un elemento radiactivo dado A, se descompone en un segundo elemento
B y que, a su vez B se descompone en un tercer elemento, C. Si la cantidad de A presente
inicialmente es de X 0 f si las cantidades de A y B presentes en un momento posterior son
X y Y respectivamente y si K {, K 2 son las constantes de rapidez de esas dos reacciones.
JL'
Encuéntrese y en función de t.
R p ta: 5 :
.
* at2 v = _ ! V q_ ( ¿- V _ ^ o' )
K<j —K\
221
Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales
20
Se desea enfriar una solución contenida en un matraz y que está a 90° C. Se coloca el
dispositivo en un recipiente amplio por el que circula agua a 18° C y se observa que
©
después de 2 min. la temperatura desciende 10° C. Halle el tiempo total de enfriamiento.
Se mezclan "a'* grs. de sustancia A y “b” grs. de sustancia B para formar el compuesto X
con m partes en peso de A y n partes de B. Encontrar la cantidad de X formado durante el
tiempo t.
Consideremos circuitos eléctricos simples compuestos de un resistor y un inductor o
condensador en serie con una fuente de fuerza electromotriz (f.e.m.), a estos circuitos
mostraremos en la figura a) y b) y su funcionamiento es simple de entender.
(a
Ahora estableceremos las relaciones siguientes.
1
Una fuerza electromotriz (f.e.m) E (Volts) producido casi siempre por una batería
o un generador, hace fluir una carga eléctrica Q (coulombios) y produce una
corriente I (Amperios). La corriente se define como la rapidez de flujo de la carga Q
y puede escribirse:
I =
dQ
...(1 )
dt
Un resistor de resistencia R (ohms) es una componente del circuito que se opone
a la corriente y disipa energía en forma de calor. Produce una caída de voltaje
que está dada por la ley de ohm.
... (2)
E R = Rl
Un inductor de inductancia L (henrios) se opone a cualquier cambio en la
corriente produciendo una caída de voltaje de: EL = L
di
dt
... (3)
222
Eduardo Espinoza Ram os
4o
Un condensador de capacitancia C (farandios) acumula o carga. Al hacerlo se resiste
al flujo adicional de carga, produciendo una caída de voltaje de: Ec = — ... (4)
c
Las cantidades R, L y C son generalmente constantes dependientes de los componentes
específicos del circuito; E puede ser constante o una función del tiempo. El principio
fundamental que gobierna estos circuitos es la ley de los voltajes de Kirchoff. '‘La suma
algebraica de todas las caídas de voltaje alrededor de un circuito cerrado es cero”.
En e! circuito de la figura (a), el resistor y el inductor produce caídas de voltaje E R y
E L, respectivamente, pero la f.e.m. produce un aumento de voltaje E. (es decir, una caída
de voltaje de -E). Entonces la ley de los voltajes de Kirchhoff da:
ER +EL - E = 0
reemplazando (3), (4) en (5) se tiene;
-..(5)
L — + RI = E
dt
E JE R C IC IO S D E SA R R O L L A D O S
Una inductancia de 2 henrios y una resistencia de 10 ohms se conecta en serie con
una f.e.m. de 100 volts, si la corriente es cero cuando t = 0. ¿Cuál es la corriente después
de 0.1 seg?
Solución
Como L = 2, R = I 0 y E = 100 entonces la ecuación que gobierna es:
L ^-^R I-E
reemplazando tenemos: 2 ^ - + 1 0 /= 1 0 0 simplificando
— + 5 / = 50 ecuación lineal en I.
dt
/(r) = <f5^ ' [ J V W'5 0 dt + c] =
/( /) = f - 5'[1 0^5' + c ]
5 0 t5'í/f + c]
=» / (I) = 10 + f.<>~5' Como 1(0) = 0
223
Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales
i {J) = 1 0 ( l - e 5')
0 = 1 0 + c =* c = - 1 0
ahora para t = 0.1
(í)
=> 7(0.1) = 10(1 - e -05) = 3.93 amp.
Un circuito en serie consiste de una resistencia de 120 ohms. y una inductancia de
— henrios un generador de cc. de 220 voltios, se encuentra en serie con un generador
n
de c.a. de 220 voltios (frecuencia de 60 ciclos) y de combinación conectada a un circuito
por medio de un interruptor. Encontrar:
a)
La corriente en el tiempo t después que se ha cerrado el interruptor.
b)
La corriente después de —
c)
La corriente en estado permanente (o estacionaria)
d)
El voltaje en la inductancia y el voltaje en la resistencia cuando t =
20;r
seg.
seg.
Solución
Datos: V0 = 220 voltios ; V = V0 sen o)/ = 220 sen cor
W = 2 tc f = 120 ra d /se g .; R = 120 ohms.
.
L = — henrios
7T
a)
La ecuación que gobierna la corriente en el circuito al cerrar el interruptor S, es
dado por la segunda Ley de Kirchoff.
1
♦
1
L — + /? = VQ+ V = V0(l + senw /) =>
dt
«
1
^
— + —/ = — (1 + senw /)
dt L
L
...(1 )
La solución de esta ecuación diferencial es:
£
1 R sen wt - Lw eos wt
' = v ol~-+ -------------- .7 ,------- + «
1
u
-
(2)
224
Eduardo Espinoza Ramos
aplicamos ahora la condición inicial, evidente de que para t = 0 -» i = 0
1
Lw
c = V0[-------- ------ — -] y reemplazando en (2)
R R ¿ + Lrw¿
■eos w/] + V0 ( 2 L *2 , - l)e u
R 2 + L2 w 2
R* + L2w 2
' = -~ r + , V°
[ ,
R
sen w l
R 4 r 2 + L2 J r 2 + L2 w 2
definimos el ángulo 6 del modo siguiente:
tg 6 = ^ - , co sg = - p
- ■■■, sen 6 =
R '
y¡R 2 + L2 w 2 '
y¡R 2 + L2 w 2
entonces:
V
V
Lw
1 —
i = ( - ) + - = = = = = s e n ( w f - 0 ) + V0(— ----- -—- --- ) e L ... (3)
R
\ ] r 2 + [}w2
° R2 + l W
R
que es la solución final.
Reemplazando los valores numéricos dados, en (3)
4
é
i = — [1 + —jL r sen(l 20itt - arctg 6) — e ~ ^ m ]
6
V37
37
b)
... (4)
reemplazando en (3) t = —í— seg.
20n
i = ^ [ 1 + -~ j= sen(6 - arctg 6) ~ f ~*138 0.969 amp.
observe que el argumento de la serie es dado en radianes
c)
La corriente permanente (o estacionaria) corresponde a t muy grande, entonces
e ~20m y por lo tanto la ecuación (4) se reduce.
i = — (1 + — sen(l 20;rr - arctg 6)]
6
V37
d)
VR = iR = 0.969 jrl 20 * 116.3 voltios.
225
Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales
VL = 42.3 vlts
V, - L — [6 cosí 120nt - are. tg 6) + 2 L c-20'" ]í = —
L
dt
V37
737
20n
En un circuito RC el condensador tiene una carga inicial q0 y la resistencia R varía
> Oy
linealniente de acuerdo a la ecuación. /? = Jfcj+/r2f , con
k2 >0
La segunda Ley de Kirchoff, que suponemos válida pese a que R no es constante asegura
u
da 1
que:
/?/ + — = E0 estoes: (k} + k 2t ) — h— q = £ 0
c
dt c
Encontrar i cuando t = 0.3 segundos.
Si q$ = 2 coulombios, k¡ = 1, k 2 = 0,1, c = 0.05 farandios , E 0 = 50 voltios
Solución
De
dq
o -
dt
^
-
í
-
d'-
q =e
,
| e
r
i,t)
la
+
ecuación
1
c(k] + k 2t)
q=
dada
o
k} + k 2t
se
tiene:
y la solución de
esta ecuación diferencial es:
¡¡o dt + C0]
L +k*,t
i
i
<*2lnUt+*,/>[ I eck,\n(k^k2t)
+ ^ j
+ * 2f
°
-o
q = [kl + k 2t) r*> [ I (* + kt) ck‘ E0dt + C0] => q = CEÜ+ktck2 (q0 - C £ (1)(¿, + *2r)
da
i
q
( )
y derivando para hallar la corriente eléctrica. i = — = (&, )c 1 (E{) — -)(k¡ + k^t) c dt
C
ahora reemplazando los valores numéricos:
t = 0.3 seg. q Q = 2 coul, k x = 1 1 k 2 = 0.1, c = 0.05 farad. E 0 = 50 voltios
encontrándose: i ~ 0.0244 amperios
226
®
Eduardo Espinoza Ramos
Hallar la intensidad de corriente que circula por un circuito RL impulsada por la
V' = V0e~2t cos 2r cuando L = 0.4 henrios.
fuerza electromotriz:
R = 5 ohmios, V0 = 1 0 0 voltios, i = 0 p a ra t = 0
Solución
De acuerdo a la segunda ley de Kirchoff, la
corriente en el circuito es gobernada por la
© V
R
ecuación:
di
/?/ + L — = V y reemplazando V = V0e~2t cos2f
L
reemplazando los valores numéricos:
di h— / = S(—o )e
, - * cos *2/
—
dt L
L
— = 12.5
L
henrios
y
YLa.s 250 henrios
'y-O ™
di
_2
entonces — 4* 12.5/ = 250e cos 2nt y la solución de esta ecuación es
dt
3
i = tr '12-5,|
el2Sl 250e~2' cos 2 dt + c]
siendo C una constante de integración efectuando la integral se tiene:
i = é>'l25'[2 5 0 e105' l 10-5cos2?rf + 27rsen 2 n i1 + C]
f(10.5)2 + (2 tt)2]
i = l.66e 21 10.5cos2jff + 2 n sen27rr + ce 1251
usando ahora las condiciones iniciales de que para t = 0, i = 0, entonces: C = -17.43
Por tanto:
/ = 1.66(105c o s 2 m + 2n sen2;rr]e 21 - 17.43e 12,51
Se introduce una f.e.m. en un circuito que contiene en serie una resistencia de 10 ohsms.
y un condensador no
cargado cuya capacidad es de 5 a 10*4 faradios.
corriente y la carga en el condensador cuando:
t = 0.0! seg.
Encontrar la
227
Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales
a)
b)
Si V = 100 voltios
Si V = 100 sen 120 t volts.
Solución
La ecuación para el circuito se pbtiene de la segunda Ley de Kirchoff. /?/ + — = V
c
r
V
dt
HL
di
y la solución de esta ecuación diferencial es:
C
Siendo C 0 una constante de integración
a)
Si V = 100 voltios constantes, entonces en (1) e integrando, q = VC + CQe RC
y usando la condición inicial de que para t = 0, q = 0, se halla C 0 , luego:
q = V C [ l - e *c ]
y la corriente eléctrica i es dado por:
dq V _
i =— =—e
dt
R
... ( 2 )
(3)
reemplazando valores numéricos en (2) y (3) para t = 0.01 seg. se encuentra:
q = 0.043 coul.
b)
;
i» 1 .3 5 a m p .
Si V = 100sen207tt volt, entonces reemplazando en (1) e integrando y a la vez
reemplazando los valores numéricos salvo, t se tiene:
q = 0.0022(5 sen 12 0 ro -3 0 icco s 120rc/) + C 0é*-200' y usando la condición:
t = 0 -» q = 0 se halla C 0 = 0.0207 , de modo que:
q = 0.0022(5 sen 120 nt - 30n eos 120rtf) + 0.0207e~2m'
228
Eduardo Espinoza Ramos
i = — = 0.83(5 eos 120nt +
dt
sen 120;r/) - 4 .14e~l m
y para t = 0.01 seg. se tiene: q = 0.0131 coul. ; i = -8 .5 amperios.
el signo menos en i indica que el sentido de la corriente en el circuito es contraria al
caso (a)
i )
Una
f.e.m. de 100
voltios
se introduce en un circuito que contiene en serie una
resistencia de 10 ohsms y un condensador no cargado cuya capacitancia es de 5-rlO -4
faradios. Cuando se ha alcanzado el estado permanente (o estacionario), se desconecta la
f.e.m. del circuito. Encontrar la corriente y la carga del condensador 0.01 seg. después de
la desconexión de la f.e.m.
Solución
Este problema en su primera parte es decir cuando está conectado V, es igual a la parte (a)
del problema anterior y por lo tanto se cumple:
q = V C [ \ - e RC ] ,
y
i = (— ) e * c
R
el estado permanente (o estacionario se cumple cuando t es un tiempo muy grande y
i
entonces: e RC tiende a cero, por tanto los valores finales de carga y corriente serán:
q = VC = 0.05 Coulb., i = 0.
i
R
En la segunda parte, cuando se desconecta la fuente
en f.e.m. V del circuito (instante inicial t = 0, H) se
tiene: para t = 0
<7 = <7o = 0.05 coulb. y la ecuación
Q
para el circuito de acuerdo a la segunda ley de
Kirchoff, con V = 0 será:
Q
da
1
R i + i = o es decir: — +
q = 0, de donde:
c
dt
RC
Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales
229
t
i=
*L = - *
L e
RC
dt
RC
... ( 2 )
Reemplazando los valores numéricos en (1) y (2) para: t = 0.01 seg. se encuentre
q = 0.00677 coul, i = - 1.354
El signo menos en i se refiere a que ahora el sentido de la corriente es contrario al caso en
que la fuente de f.e.m. estaba conectada al circuito.
©
Una inductancia de 1 henry y una resistencia de 100 ohms. están conectadas en serie
con una fuente constante E (volts.) por medio de un interruptor. El interruptor se cierra y
0.01 seg. más tarde la corriente es 0.5 amp. Encontrar E.
Solución
Cuando se cierra el interruptor la ecuación diferencial
L
para la corriente de acuerdo a la segunda ley de
Kirchoff es:
R
L — + Ri =
di
— + —/ = —
dt L
L
Luego la solución de esta ecuación diferencial
o
dt + C]
Siendo C constante de integración de donde: / = — + Ce L
£
tiene: p a ra t = 0, i = 0 —> C =
de donde
R
por condiciones iniciales se
£
_(*),
por tanto: i = — [l - e 1 ]
R
aquí reemplazando los valores para t = 0.01 seg.
valores numéricos y despejando E: E =
50
l - e -t
i = 0.5 amp., junto con el resto de
* 79.4 volts.
230
Eduardo Espinoza Ramos
En el movimiento de un objeto a través de un cierto medio (aire a ciertas presiones es
un ejemplo) el medio efectúa una fuerza de resistencia proporcional al cuadrado de la
velocidad del objeto móvil, supóngase que el cuerpo cae por acción de la gravedad, a
través de tal medio. Si t representa el tiempo y v la velocidad positiva hacia abajo, y g es
la aceleración de la gravedad constante usual, y w el peso del cuerpo, usando la ley de
Newton, fuerza igual a masa por aceleración, concluir que la ecuación diferencial del
• •
w dv
movimiento e s : ------- =
g dt
donde kv
es la magnitud de la fuerza de resistencia
efectuada por el medio.
Solución
dv
La descripción matemática es: — = - k v , además F = w ^ k v
dt
dv
para F = m.a, también a = —
dt
w
y m ~ — Luego:
g
F =
w dv
g dt
W
Por lo tanto se tiene: “fuerza viscosa es obteñida en forma experimental” .
w dv
g dt
,2
= W-KV
Resuélvase la ecuación diferencial del ejercicio (8) con la condición inicial que
v = v0 cuando t = 0 introducir la constante or = — para simplificar las fórmulas.
k
Solución
Como la ecuación diferencial es:
>v dv
?
(—)— = w - A r
g dt
dv
(—) -------- j - d t
g w -kv
,
w ^ dv
,
-> w
a 2dv
(— ) ---------= dt, como a~ = — se tiene: ------------= gdt
gk w
2
k
a -v
k
v
= g /+ c ,
23!
Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales
a+v
a —\*
= ce °
para t = O, v; = v()
a + v0
- =r
a - v0
©
Hay
<7 + v
que
2gr
------- =
-exp(
)
a - v a - v0
a
—> para t > 0 ;
medios
a + v0
oponen una fuerza de resistencia al paso de los cuerpos que los
atraviesa proporcional a la primera potencia de la velocidad. Para tales medios plantear y
resolver problemas similares a los ejercicios 8 y 9, excepto que, por conveniencia, debe
W
.
escogerse una constante fr = — para reemplazar a la constante a
k
2
del ejercicio 9. Mostrar
que b tiene las dimensiones de una velocidad.
Solución
La descripción matemática es:
dv
— = - k v , además F = ma de donde
dt
,
wdv
.
(—)— = vv’-Arr —» --------- = g d t , integrando
g dt
w -kv
gdt + c\
=> U í ( b - v ) -
Qf
b
+ c,
w f dv
C
— | -------- = I gdt + c,
ys
pero b = —
k
gt
—> b - v = ce h
para t = 0, v = v0 se tiene: b - v Q ~ c
Luegc
(n )
-ML
-EL
v = b - ce h
v ^ b - ( b —v0)e h
-EL
\*=*b + (v0 —b)e
t> 0
Dos cc ientes están conectados mediante una cañería, tal como se muestra en la
figura i junta. Cada uno contiene 50 lts. de solución, con 10 gr. de soluto al tanque No, I
y 5 grs il tanque No. 2. Se abren las tres cañerías, haciéndose entrar agua a través de A.
Por A, 3 y C circula líquido a razón de 2 litros/min. Encontrar la cantidad de soluto de
ambos 'ccipiente después de 30 minutos (las soluciones se mantienen homogéneas
median * agitadores).
232
Eduardo Espinoza Ramos
1
B
Solución
Antes de proceder a resolver el problema consideremos el caso más simple de un sólo
recipiente de v litros de agua en el que se encuentra una mezcla de agua y sal (soluto). Se
accionan simultáneamente las llaves de A y B haciéndose ingresar agua pura por A a
razón de 5 litros/min. y se extrae solución por B en la misma proporción, para describir la
cantidad de sal (soluto) x en función del tiempo se razona del modo siguiente:
V
B
Consideremos un intervalo de tiempo muy pequeño At minutos, entonces
A
S A t = cantidad de solución que sale por B en A t minutos.
= concentración uniforme de sal en la solución (gr/lts)
(— )SAt = cantidad de sal que sale por B en t minutos por tanto la variación de sal el
recipiente Ax durante el At es dado por:
x
S
Luego — = - ( —) X
5
Ax = - ( —) X Aí
y en el límite en que At —>0:
íix
S
— = - ( —)X que será la ecuación que gobierna X en el recipiente:
dt
V
233
Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales
Si en el lugar de agua pura entra una solución salina con una concentración constante
de c gr/lts por B, un análisis similar conduce fácilmente a la ecuación diferencial:
— = S C --X
dt
V
... (2)
Usando estas ideas es inmediato plantear el problema dado:
Llamemos:
Vx = volumen del recipiente No. 1.
X ] = Cantidad de soluto del recipiente No. I en el instante t.
X-y = Cantidad de soluto del recipiente No. 2 en el instante t.
V 2 = Volumen del recipiente No. 2.
entonces se cumple:
dx
dt
S
— - = - ( — )X,
V,
... (3)
La ecuación (3) se puede integrar directamente reemplazando:
S
1
— = 0.004------ y usando la condición inicial que
V¡
m in .
para t = 0, X l = X {){ = 10grs. de soluto
Luego:
X . = 10e-004í gr. de soluto
reemplazando (5) en (4) con
...(5 )
S
1
— = 0.04
V2
min
^ + 0.04*2 = 0 .4 e “° 04' de donde la solución es: x 2 =e~°M '[ I (eOO4,)(0M ~ * m *)dt + c\
dt
234
Eduardo Espinoza Ramos
donde C es una constante de integración, integrando esta ecuación, usando la condición
inicial de que para t = 0, X-, = x 0, — 5grs. se tiene:
x 2 = (0.4/ + S)^"004'
... (6)
finalmente reemplazando en (5) y (6).
t = 30 minutos se encuentra:
X { = 3.01 gr. de soluto y
X 2 = 5 .1 2 gr. de soluto
E J E R C IC IO S P R O P U E S T O S .Supongamos que el circuito RL de la figura (a) tiene los valores dados para la resistencia,
la inductancia, la f.e.m. y la corriente inicial.
Halle una fórmula para la corriente en cualquier tiempo t y calcule la corriente después
de un segundo.
©
©
a)
R = 10 ohms.,
L = 1 henrios.
E = 12 volts..
1(0) = 0 amp.
b)
R = 8 ohms..
L = I henrios.
E = 6 volts..
1(0) = 1 amp.
c)
R = 50 ohms.,
L = 2 henrios,
E = 100 volts..
1(0) = 0 amp.
d)
R = 10 ohms..
L = 5 henrios.
E = lOsen t, volts..
1(0) = 1 amp.
e)
R = 10 ohms..
L = 10 henrios.
1(0) = 0 amp.
E = er volts..
Use la resistencia, la capacitancia, la f.e.m. y la carga inicial dada para el circuito R C de
la figura (b). Halle una expresión para la carga en cualquier tiempo t.
a)
R = 1 ohms..
C = 1 farad.,
E = 12 volts.,
Q(0) = 0 coulomb.
b)
R = 10 ohms.,
C = 0.001 farad.,
E = 10 eos 6 0 1 volts,
,Q(0) = 0 coulomb.
c)
R = 1 ohms.,
C = 0.01 farad.,
E = sen 6 0 1 volts.,
Q(0) = 1 coulomb.
d)
R = 100 ohms.,
C = 1 0 4 farad..
E = 100 volts..
Q(0) = 1 coulomb.
e)
R = 200 ohms.,
C = 5 x l0 '5 farad., E = 1000 volts.,
Q(0) = 1 coulomb
Se conecta en serie una inductancia de 1 henry y una resistencia de 2 ohms, con una
batería de ó e -0 0001' volts, inicialmente no fluye ninguna corriente. ¿Cuándo llegará la
corriente a 0.5 amperios?
235
Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales
C i)
Una resistencia variable /? = —í— ohms. y
5+f
una capacitancia de 5 + 10"6 farad, se
conecta en serie con una f.e.m. de 100 volts. ¿Cuál es la carga del condensador
después de un minuto si Q(0)= 0?
( 5)
Halle la corriente de estado estacionario, si se conecta en serie una resistencia de
2.000 ohms. y una capacitancia de 3 x 1 o -6 farad, con un alternador de 120 eos 2t volts.
Un condensador de capacitancia 4.V10"4 faradios descarga a través de una resistencia de
100 ohms, si al corriente es 1 amp. al final de 0.01 seg. ¿Cuál
era la carga inicial del
condensador?. ¿Cuanta resistencia debe sacarse del circuito para obtener la mitad de
la corriente en el mismo tiempo?
R p ta : q = 0.0487 coulomb., R = 2.49 ohms.
Un condensador sin carga, de capacitancia c (farads) se descarga una fuente de voltaje
constante a través de una resistencia R (ohms) ¿Cuando será la corriente (amps) igual
en magnitud a la carga (coulomb) del condensador?
R p ta : / = /?cln(- ¿ —- )seg
Re
Una f.e.m. de 100 sen 1207tt volts, se introduce en un circuito que contiene en serie una
resistencia de 100 ohms. y un condensador con capacitancia de 5 jcIO-4 faradios se tiene
una carga inicial en el condensador al tiempo t = 0, cuando la f.e.m. se introduce, tal que
la corriente en el tiempo cero es 1 amp. (positiva) encontrar la corriente 0.1 seg. más
tarde.
(9 )
'
R p ta : 0.181 amp.
Una resistencia de 10 ohms. se conecta en serie con una inductancia de L henrios. El
i
circuito está conectado por medio de un interruptor a una fuente constante de E voltios si
3
la corriente alcanza las — de su valor de estado permanente en 0.1 seg. Encontrar L.
4
R p ta : 0.721 henrios.
@
Un cierto relevador (o interruptor magnético que está diseñado de manera que cierre
un circuito cuando se aplica 60 voltios a sus terminales (es decir, cuando y = 60 voltios).
La bobina del relevador tiene una inductancia de i
henry y opera de una fuente de
120 voltios c - c. Si el circuito se cierra 0.05 seg. después de conectado a la fuente.
Encontrar:
236
Eduardo Espinoza Ramos
a) La resistencia del relevador.
b) La corriente cuando se cierra el circuito
Despreciar la resistencia de los puntos
R p ta :
a)
R = 6.95 ohms.
b)
i = 8.63 amperios.
Una bobina de impedencia que tiene una resistencia de 14 ohmios y una inductancia
de 0.05 henrios, y una rama que tiene una resistencia no inductiva de 15 ohmios y un
condensador de capacidad 10
faradios en serie, están conectados en paralelo a través de
los terminales de una f.e.m. de 220 voltios. Hallar las expresiones en función del tiempo
para la carga del condensador, la corriente en la bobina de impedencia, la corriente en la
resistencia no inductiva y la corriente total. Ver figura.
2. 000/
i
R p ta:
44
q - 0.022(1 —e
2. 000/
3
R * 15 Í2
n i1/ i( l - e “28°* ^)
¡{ = iI 5c .7
E * 220 v
©
C = 1 04
i =¿ i + N = 1 5 , 7 1 ( 1 —e
*ioo<
2.000/
44 ■* _
)H
e
3
3
Para el sistema representado en la figura No. I obtener mediante la ley de la corriente en
el punto A, i = ¿, + i 2 y por la ley de la f.e.m. aplicando a los circuitos A R H G y A B H
G.
di
L = — - = E s c n w ’t , Ri? = E s e n wt
dt
resolver estas ecuaciones para t,, i-, e i en
función de t, determinar una constante de integración teniendo en cuenta la condición
i = 0 cuando t = 0.
A
9
I
R pta:
L - — sen wt
2 R
ca>
u>
ui
ii
|
u
B
237
Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales
©
De la figura No. 2. deducir las leyes de Kirchoff. / = /. +
1— If
9
íV / í = —= F sen wr
cL "
Hallar ¿/.
, /2 e y en función de t.
i ~ /, + i 2
;
Deducir para el sistema indicado en la
figura, tres ecuaciones aplicando las leyes
■
i
condensador es nula cuando t = 0 y
dedúzcase que siempre i 2 = 2 amperios y
JL ^ iO '
1 1
=
teniendo
10
tanto
rápidamente a cero.
Si al principio la carga del condensador
la
figura
indicada
es q{) e il = 0.
L
Demostrar
que
q=
ff.COS J
'
y t
I 2
■‘Observación e = 0".
©
Hallar i en función del tiempo t en el
sistema
representado
en
la
figura
indicada, si con cero todas las corrientes
iniciales y la carga del condensador.
a
m
O
T—
de Kirchoff, supóngase que la carga del
de
= E sen w7
/, = — sen vr/, q - c E sen \vt
] R
i2 = cEw eos wt
que
R i,
c
R p ta:
©
i1 ,
!2
33
H
H
OI
O
cc
¡0
e = 100v
C, = 10
238
^7)
Eduardo Espinoza Ramos
Un punto material de masa igual a 1 gr. se mueve en línea recta debido a la acción de una
fuerza que es
directamente proporcional altiempo, calculando desde el instante t = 0, e
inversamente
proporcional a la velocidad del punto. En el instante
t = 10 seg. La
velocidad tendrá el punto al cabo de un minuto del comienzo del movimiento?
R p ta: V = 1(W725—
seg
18)
Sug. — = 2 0 dt
v
Suponiendo que la velocidad de gasto de agua (volumen por unidad de tiempo) a través
de un orificio en el fondo de un tanque sea proporcional al producto del área del orificio
por la raíz cuadrada de la profundidad del agua, la ecuación diferencial es;
A — = - K B - J h , donde h (m) es la profundidad del agua y A (/w2 ) es el área de la
dt
superficie del agua en cualquier tiempo t (seg.) y B (/ h ") es el área del orificio. La
constante de proporcionalidad, K{
seg
) se puede determinar empíricamente. Encontrar el
tiempo requerido para vaciar un tanque cúbico de 1.20 m. por lado. El tanque tiene un
agujero de 5 cm. de diámetro en el fondo y originalmente está lleno de agua (tomar
k = 2.65)
R p ta : t ~ 10.2 minutos.
©
A un tanque contiene 400 Its. de agua fresca, se le incorpora salmuera que contiene
I ks
ít
— — de sal a razón de 8 ----- y la mezcla mantenida uniforme por agitación, abandona el
8 //
min
tanque a razón de 4 - ^ — . Encontrar;
min
20)
a)
La cantidad de sal presente cuando el tanque contiene 500 lts. de salmuera.
b)
La concentración de sal en el tanque al final de 1 hora.
Un tanque originalmente 100 galones de agua fresca. Se vierte agua que contiene media
libra de sal por galón dentro del tanque a una velocidad de 2 - ^ - , y se permite que salga
min
la mezcla con la misma rapidez. Después de diez minutos se para el proceso, se vierte
gal
agua fresca dentro del tanque a la velocidad de 2 ------ , dejando salir también la mezcla a
min
la misma velocidad. Encontrar la cantidad Le sal en el tanque al final de los 20 minutos.
R p ta: Q = 5 - e ~ ° ' i ( \ - e 9 2 )lb
239
Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales
Un tanque con capacidad de 500 galones contiene originalmente 200 galones de agua
con 100 libras de sal en solución. Se introduce dentro del tanque agua que contiene una
gal
libra de sal por galón, a la velocidad de 3 ----- y se permite que la mezcla fluye afuera del
min
gal
tanque a una velocidad de 2 -------. Encuéntrese la cantidad de sal en el tanque para
min
cualquier tiempo (en libras por galón), anterior al instante cuando la solución principia a
exceder la capacidad del tanque.
22)
Un
cuerpo
de
Q = 2004 -1 - ^9 9 ^ .^
libras, t < 300
(2 0 0 + r)2
masa constante m se proyecta verticalmente hacia arriba con una
velocidad inicial v0 suponiendo que la atracción gravitacional de la tierra es constante, y
despreciando todas las otras fuerzas que actúan sobre el cuerpo. encontrar:
a)
La máxima altura alcanzada por el cuerpo.
b)
El tiempo en el que se alcanza la máxima altura.
c)
El tiempo que tarda el cuerpo en retomar al punto de partida.
R p ta:
a)
—
2
^
3)
b)
#
^
c)
g
§
Un cuerpo es dejado caer verticaimente hacia abajo, con un velocidad inicial V() en un
medio que ofrece una resistencia proporcional a la magnitud de la velocidad. Encuéntrese
una relación entre la velocidad v y el tiempo t; y también la velocidad límite v, que
kt
alcanza después de un largo tiempo.
24)
mg
mg —
R p ta: V = ----- + (Vq------- )e m
K
K
Un objeto de masa m se deja caer desde el reposo en un medio que ofrece una resistencia
proporcional a la magnitud de la velocidad. Encuéntrese el intervalo de tiempo que
transcurre antes de que la velocidad del objeto alcance el 90% de su valor límite.
m
R p ta : t = — LnlO
K
240
Eduardo Espirtoza Ramos
25)
Un hombre y un bote de motor pesan juntos 320 libras . Si el empuje del motor es
equivalente de 10 Ib. en la dirección de movimiento que si la resistencia del agua al
movimiento es numéricamente igual a dos veces la velocidad en Ps/seg. y si el bote está
inicialmente en reposo encontrar:
a)
La velocidad del bote al tiempo t.
R p ta:
26)
a)
b)
b - 5(1- e -0'2' ) —
seg
La velocidad límite.
b)
lim V = 5 —
seg
Un cuerpo con masa m es lanzado verticalmente hacia ^bajo con una velocidad inicial
es un medio que ofrece una resistencia proporcional a la raíz cuadrada de la magnitud de
la velocidad. Encuéntrese la relación entre la velocidad V y el tiempo t; así como la
velcKidad límite.
27)
R p ta: 2 - l yj v ¿ - y ¡ V ) + 2 ^ ; ln |
~ * ' ^ 2 . \ = t ; Vx = (— )2
K
K’
mg-KyJV
A'
Un cuerpo de masa m cae desde el reposo en un medio que ofrece una resistencia
proporcional al cuadrado de la velocidad. Encuéntrese la relación entre la velocidad v y el
tiempo t. así como la velocidad límite.
28)
e - m - i
R p ta : V = ( M )
^
; lim = J —^
v K
Comenzó a nevar una mañana y la nieve siguió cayendo continuamente durante todo
el día. Al medio día, un quitanieves comenzó a limpiar una carretera a un ritmo constante,
en términos del volumen de nieve retirado a cada hora. El quitanieves limpió 2 millas
para las 2 de la tarde y una milla más para las 4 de la tarde ¿Cuando comenzó a trabajar?
R p ta: (y¡5 - 1) antes del medio día.
29)
Un depósito
contiene 100 gl. de agua pura. A partir del tiempo t = 0 se introduce
salmuera que contiene 1 Ib. de sal. por galón a razón de 1 gal. por minuto, la mezcla se
mantiene uniforme ya que se resuelve il mismo ritmo ¿Cuando habrá 50 Ib. de sal
disuelta en el depósito?
R p ta : Después de 100 en 2 minutos.
241
Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales
30)
Un gran depósito contiene 100 gl. de salmuera en la que están disueltas 200 Ib. de sal.
A partir del tiempo l = 0, se introduce agua pura a razón de 3 galones por minuto y la
mezcla (que se mantiene uniforme resolviéndola) sale del depósito a razón de 2 gl. por
minuto. ¿Cuanto tiempo se necesitará para reducir la cantidad de sal que hay en el
depósito a razón de 2 gl. por min. ¿Cuánto tiempo se necesitará para reducir la cantidad
R p ta : 100( n/ 2 —1) min.
de sal que hay en el depósito de 100 Ib.?
3.6.
APLICACIONES A LA ECONOMÍA.Para el planteamiento de las ecuaciones diferenciales aplicadas a la economía, es
necesario dar algunos conceptos de los términos económicos.
a)
Costo.-
Sea uyMel
de una
costo total de producir y comercializar ux” unidades
mecánica, está dado por la función y = F(x), Entonces:
El costo promedio por unidad es:
y— = -------E (jc )
.
JC
JC
Si la producción total se incrementa en una cantidad A x a partir de un cierto nivel
“x” y si el correspondiente incremento en costo A y, entonces el incremento
Ay
promedio del costo por unidad de incremento en la producción es —=-. Luego el
Av
costo marginal definiremos por:
lim
—
Av
= —
dx
- F \ x ) y es decir que el costo
marginal es la derivada del costo total y = F(x).
b)
Ingreso.-
Sea y = f (x) cualquier función de demanda donde “y” representa el
precio unitario y “x” el número de unidades.
El ingreso total R es el producto de ‘V por “y” es decir:
R = x y = x f (x)
El ingreso marginal con respecto a la demanda es la derivada del ingreso total con
respecto a x.
dx
242
Eduardo Espinoza Ramos
c)
Elasticidad.-
La elasticidad de punto de la función y = f(x) en el punto x está dado
como la razón del cambio proporcional y con respecto al cambio
unitario x.
dy
Ey
Ex
d)
_y_
dx
R enta Nacional, C onsum o y A horro.-
x dy
y dx
Se llama función de consumo a la relación
entre la recta nacional (total) disponible y
el consumo nacional (total).
Luego la función consumo expresaremos mediante la ecuación:
donde c representa el consumo
nacional total y
la renta nacional (total),
entonces la propensión marginal al consumos es:
mediante una análisis teórico se tiene, la renta nacional es igual 1 consumo más el
ahorro la cual se expresa.
La propensión marginal al consumo es:
de
— = / '(jc)
dx
La propensión marginal del ahorro es:
— = \ ——
dx
dx
Ejemplos.
©
La relación
entre
el
precio P y la cantidad demandada X es tal que la tasa de
disminución
en la demanda, a medida que el precio aumenta, es proporcional a la
cantidad demanda e inversamente proporcional a la suma del precio más una constante.
Encontrar la-función de demanda si. P ~ P 0 cuando X = X 0 .
Solución
243
Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales
Sea X = X(P) la función de la demanda, de acuerdo al problema la descripción
dX
bx
. . .
dx
dp
matemática es: — = ------- de donde — = ------- integrando
dp
p +a
x p +a
V
ln X = \n(p + a)bc => X = ( p + a)hc =>
C=
( p + a)
Luego la función de demanda es: X =
ahora para P0 = P , X = X {)
+
(P0 + a ) b
La tasa de incremento del costo total y, a medida que crece el número de
unidades fabricadas, es proporcional a la suma de las unidades fabricadas más una
constante e inversamente proporcional el costo total. Hallar la función de costo si y = v0
cuando x = 0, graficar la relación hallada.
Solución
Sean
X = unidades fabricadas.
Y = Y(x) costo total de las unidades fabricadas,
de acuerdo al problema la descripción matemática es:
— =
dx
y
^ de donde y dy = a (x + b) dx
y 2 a(x + b )2 _ .
_
— = ------------- + C , determinaremos C para esto:
2
y = y0 cuando x = 0 —> — = a b 1 + C —»
1
v2
. ,x2 ..2
a(x + b)
Jq ab
-------------+ —----------=>
2
1
1
Supóngase
que
una
y
2
,2
C=— - -—
?
?
1 -* » 2
= ax + l a b +
2
Es decir:
I ^ ^ T*
2
=> y = d a x + l a b + y 0
suma de dinero está colocado a
un
interés
que
se
acumula continuamente. Si la cantidad es S0 . ¿Cuándo el capital alcanzará la suma
•*
S = 2S0 si el grado de interés anual es 3%, 4%, 5%?
244
Eduardo Espinoza Ramos
Soiución
Llamemos:
S(t) = inversión en cualquier momento ; S(0)= inversión original, K= interés
La descripción matemática es:
dt
determinaremos A, para esto se tiene:
luego S ( T ) = S (0 )e k l,
= KS(t) —» S(t) = A e kt
para t = 0 —» S (0) = A,
para un interés del 2%, (k = 0.02),
S (0 = 2S (0) , 2S(0) = S (0)eao2' -> L n (2 ) = 0 .0 2 t
;=
t = 34.66 ,
0.02
para un interés del 3%, k = 0.03
f - ^ ( 7 ) —> / = 23.10 ,
0.03
^_ ¿n (2 )
0.04
^
para un interés del 4%, k = 0.04
/ = 17.33
para un interés del 5%, k = 0.05
K
L/i(2)
t = -------- —> t = 32.19 anos
0.05
,
( 4)
Un cierto hombre tiene una fortuna que aumenta a una velocidad proporcional al
cuadrado de su riqueza presente. Si tenía un millón de pesos hace un año, y ahora tiene
dos millones. ¿Cuánto tendrá dentro de seis meses?. ¿ D e n ro de dos años?.
Solución
Sea S (t) = fortuna del hombre.
La descripción matemática es:
-7
S'(t) = K S ~ ( t ) , que resolviendo se t i e n e .
para t = 0, S (0) = S, luego C = -----—
5(0)
1
S(í)
= Kt + C , encontraremos C.
, entonces
— -— - Kt - ^
S(t)
Si 0)
245
Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales
1
1 . C o m o ------1 = --------1
k = ------------------kt»
tS( 0) tS(í)
5(f) S(O)
5(0
5(0)
l-JfcíS(O)
además S(0) = 1 jc10006 pesos = cantidad original
S (t) = cantidad actual en t años.
Como K = —---- — = —i —
í— = - 1 0 " 6
fS(0) tS(t) 1a:106 2atIO
2
a)
A los 6 meses = 0.5 años.
Si hace un año tenía 106 pesos, entre seis meses ha transcurrido t= l+ 0.5 = 1.5 años.
106
S(1.5) = ------2
b)
A los 2 años,
oM
106
= — —= 4.106
. 5)
l- i
4
S (2) = ? para t = 2 años
5(2) = ------- ----------- = —
,-H Í,0 ‘2
Un
=> S(1.5) = 4'000,000 de pesos
fabricante ha
= oo => S (2) = oo pesos
°
encontrado que el cambio en el costo de distribución D, a
medida que aumenta las ventas S, es igual a una constante multiplicada por las ventas, m
es otra constante Si D = 0, cuando S = 0. Hallar D como una función de S y diagramar la
relación obtenida.
Solución
Sean
D = costo de distribución D , S = las ventas
— = cambio en el costo de distribución D
dS
i
246
Eduardo Espinoza Ramos
a medida que aumenta las ventas S. Según el problema, la descripción matemática es
— - = aS + b
dS
de donde: dD = (aS + b) dS integrando
D = — — + bS + C
2
La relación entre el costo de manufactura por artículo, M, y el número de clases de
artículos fabricados, N, es tal que la tasa de incremento del costo de manufactura, a
medida que aumenta el número de clases, es igual a la razón del costo por artículo más el
número de clases, dividido todo entre el número de clases de artículos que se
manufactura. Obtener la relación entre el costo de fabricación por artículo y el número de
clases de productos fabricados. Si M = Af0 cuando M = 1.
Solución
M = costo de manufactura por artículo
N = número de clases de artículos fabricados.
La descripción matemática del problema es:
— = - - - dN
N
de donde N dM = (M + N) dN
que es una ecuación diferencial homogénea de donde
M = uN => dM = u dN + N du
N(u dN+ N du) = (uN + N)dN, simplificando
U dN + N du = u dN + dN de donde
x1 i
j
dN ■
^
[dN
. XT
M
N du = dN =* du = — , integrando u - — + c => u = ln N + c como u - —
N
N
N
J
M
— = ln N + c como M = M n cuando N = 1
N
0
Aí0 = 0 + c
^■ = \nN + M 0
c = M0
=>
M = N ( l n N + M 0)
247
Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales
©
Supóngase que la tasa de crecimiento en el costo “y” de elaborar un pedido y
supervisarlo, a medida que crece la magnitud o extensión del pedido a surtir, es igual a la
razón de la suma de los cuadrados del costo y la magnitud dividida entre el doble
producto del costo y la extensión o tamaño del pedido. Determinar la relación entre el
costo de ordenar y controlar, y el tamaño o magnitud de la orden si y = 3 cuando s = 1.
Solución
y = costo de elaborar y controlar un pedido
s = magnitud de la orden o pedido
La descripción matemática del problema es
i
dy
ds
v +s
2
sy
Esta ecuación es equivalente escribir así:
2^v dy = (y “ + s~ )ds ecuación diferencial homogénea
Sea y = us => dy = u ds + s du, de donde
2ws“( u ds + s d u ) = ( n r + s )ds simplificando 2 u (u ds + s d u ) = (u~ +1)í/¿
*7
7
2 u~ds + 2 usdu = u~ds + ds =>
ds 2 u d u
.. .
— + —— = 0 , integrando
s
ir-1
7
( i r - l ) d s + 2 usdu = 0 , separando las variables
f ds
f 2 u du
I — + I —— = c
Jí
Jir-1
ln s + ln ( ir - 1 ) = c
248
Eduardo Espinoza Ramos
ln s(u~ -1 ) = c
5(A t - 1) = *
y
s(u “ - \) = ec = k 9 como u = —
s
y 2 - s 2 = fcs
y = ( s 2 + ¿ s )2
5“
como y = 3, s = 1
3 = (1 + * ) 2
k=8
V = (52 + 8 a*)2
El cambio en el precio “y” según el cambio en la cantidad demandada x, de una cierta
d \
2av + 2 4 a
. Determine la relación entre el precio y la
— = -----dx
jc +16
cantidad demandada, si el valor del primero es 7.5 cuando la segunda vale 4.
mercancía, está dado por:
Solución
A la ecuación diferencial dada expresaremos en la forma (2xy+ 24 a )¿¿c+ (.í 2 + 16)¿ v = 0
2.u_y+ 12)d.v + (.v +16)</v = 0 , separando las variables
2x d x
dv
n .
,
f 2x d x
f dy
+ — 1— = 0 , integrando se tiene: I —------- + I --------- = c , de donde
.v2 + 16 >' + 12
J a * + 16 J y + 12
ln(.v~ +16) + ln(v+ 12) = c
(a"
+ 16)(y +12) =
c
InU^ + lóX v + 12) = c
, para y = 7.5, x - - 4
(32)(13.5) = c => c = 432
249
Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales
(x~ + 16)(y +12) = 432 es la solución particular
®
Una empresa fabricante ha encontrado que el costo c de operar y mantener su equipo esta
relacionado con la amplitud x del intervalo existente entre las revisiones generales del
de b - 1
ba
,
mismo por la e c u a c ió n ------------- c = — - en donde a y b son constantes, obtener c como
dx
x
xfunción de x si c = c0 cuando x = *0 .
Solución
A la ecuación dada expresamos en la forma
de ¿7-1
ba
,
------------- c = — - , es una ecuación lineal en c cuya solución es
dx
X
x~
P{x)dx
r
\Pix)dx
[ | e'
Q(x)dx + k]
c = e i b - o I l n x | | e - i h - 1 ,ln .v { _
^
)d x + k ]
250
Eduardo Espinazo Ramos
Y
>»
c
o
O *52
2 S
*1
c=
a . c0x0 - a M
o
O
0
x=
0
ax,
(b -1 )(c0x0 - a)
Intervalo entre
revisiones del
equipo
X
La unidad de control de costos de una importante firma de contadores públicos ha
encontrado que, a medida que se ampliaba la empresa, el costo promedio mensual "y” de
los artículos de oficina está relacionado con el número x de empleados (además del jefe o
director de la oficina) por medio de la ecuación — + 2 y = y 2e ' x , obtener y como función
dx
de x si y = 3 cuando x = 0.
Solución
— + 2v = y 2e~x es una ecuación de Bemoulü
dx
'
2 dy
i
y” — +2 y = e
dx
z~y
_i
, hademos un cambio de variable
dz
dy
— = - y - — =>
dx
dx
v
dy
dz
— = -----dx
dx
- — + 2 z = e x => - - 2 z = - e x (lineal en z)
dx
dx
donde la solución es:. z = e J
[ \r eJ J- 5* {~e~x )dx + A:]
251
Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales
V v + c]
z ~ e l x \ ^ e 2x {—e~x )dx + c]
-3 a
‘>
t
J
z = e~ (------ + c) = ------ + c.e~
1 1
—+ —= c
3 3
-x
1 .
-I *
**X
r\
-»
de donde y = ------ +C£ , para x = 0, y = 3
^
=> c = 0 por lo tanto
y
_i
e - .t
= -
v = 3e
X
P R O B L E M A S P R O P U E S T O S .-
©
La razón del incremento de las ventas S, a medida que crece la gestión de propaganda X
es igual a una constante menos la venta divididas por una constante más la gestión de
propaganda. Hallar la relación entre las ventas y gestión de propaganda, si S = S0
cuando X = 0 graficar la relación obtenida.
©
R p ta : S - S 0 -
a - S 0x
Supóngase que la tasa de incremento en el costo de ordenar y sostener y, a medida
que crece la magnitud de la orden S, es igual a la relación entre la suma de los cuadrados
del costo y la magnitud, dividida por el doble producto del costo y el tamaño. Hallar la
relación entre el costo de ordenar y sostener y el tamaño de la orden si y = 3 cuando s = 1
graficar la relación obtenida.
R p ta : y = (85 + s ) 2
252
©
Eduardo Espinoza Ramos
La
relación
entre el ingreso R y la cantidad demandada X es tal que la tasa de
incremento en el ingreso, a medida que aumenta la cantidad demandada, es igual al doble
del cubo del ingreso menos el cubo de la cantidad demandada, todo dividido por el triple
del producto de la cantidad demandada y el cuadrado del ingreso. Encontrar la
entre
relación
ingreso y la cantidad demandada si R = 0 cuando X = 10, graficar la relación
l
obtenida.
R p ta : R = (I0.v2 - jc3 ) 3
(J)
el
La relación entre el costo de fabricación por cada ítem M y el número de clases de
ítem fabricados N es tal que la tasa de incremento del costo de fabricación, a medida que
aumenta el número de las clases de ítem, es igual a la razón del costo por ítem más el
número de clases de ítem dividido por el número de clases de ítem. Hallar la relación
entre el costo de fabricación
N = M {) cuando N = l .
por ítem y el número de clases de ítem fabricados
si
R p ta : M = N ( M 0 + l n N )
La relación entre el costo de operar un almacén de depósito y el número de galones de
acete almacenados en el depósito está dado por £ = K , + « donde y es el costo mensual
de operar el depósito (en dólares) y x es el número de galones de aceite almacenados. Si
y = v0 (costo fijo) cuando x = 0, hallar y como función de x, y graficar.
R p ta: y =
(ó )
kx2
+ ax + c
La relación entre la utilidad neta P y el gasto de propaganda x es tal que la tasa de
incremento de la utilidad neta a medida que crece el gasto de propaganda, es proporcional
a la diferencia entre una constante y la utilidad neta. Hallar la relación entre la utilidad
neta y el gasto de propaganda, si P = P0 cuando x = 0 y graficar.
R pta: P = a - ( a - P 0 )e~kx
La razón del incremento en el costo y a medida que crece el
número de unidades
fabricados x es igual del doble del cuadrado del costo menos el cuadrado del número de
unidades dividido por el producto del costo y el número de unidades. Hallar la relación
*
entre el costo y el número de unidades fabricadas si y = 3 cuando x = 1.
R p ta: y = V8x4 + .r2
253
Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales
La razón de crecimiento del volumen de ventas S, a medida que el precio P decrece,
es proporcional al volumen de ventas e inversamente proporcional a la diferencia entre el
precio y una constante. Hallar la relación entre el volumen de ventas y el precio, si
5 = 50 cuando P = P 0 .
(9^
R p ta : 5 = 50(-^ —~ ) a
La relación entre la utilidad neta P y el gasto de propaganda X es tal que la tasa de
incremento de la utilidad neta, a medida que crece el gasto de propaganda es proporcional
a la diferencia entre ur.a constante y la utilidad neta. Hallar la relación entre la utilidad
neta y el gasto de propaganda, si P = P0 cuando x = 0.
R p ta : P = a - ( a —P0 )e
La relación entre el costo promedio "y " y el número de unidades producidas “x” es tal
que el cambio en el costo promedio, a medida que crece el número de unidades es igual a
la relación del número menos el costo promedio, dividido por el número de unidades.
Determinar la relación entre el costo promedio y el número de unidades producidas, si
— 9
v = — cuando x = l , graficar la relación obtenida.
2
^ l)
— x 4
R pta. y = —+ —
2
.y
El arrendamiento de un apartamento (dos alcobas, muebles “estándar” ) en un colegio
varía con la distancia del apartamento al campus. Supóngase que esta relación está dada
por:
— = - ( — + a ) , 1 < x < 10
dx
x
en que “y” es el arrendamiento mensual (en dólares) y "x” es la distancia (en millas), K y
a son una constantes, si y = 225 cuando x = 1. Hallar “y” como una función de “x” y
diagramar la relación obtenida.
©
R p ta: y = 225 + a - ax - K Lnx
La* tasa del incremento de las ventas v a medida que crece el gasto en publicidad x, es
igual a una constante más el gasto publicitario. Halle la relación entre las ventas y dicho
costo si v = v0 cuando x = 0. Grafique la relación obtenida.
X2
Rpta. v = <tjc+— + v0
254
©
Eduardo Espinoza Ramos
La renta de los apartamentos para estudiantes (con dos recamaras y muebles comunes) en
lugar cercano a una universidad, varía según sea la distancia de la vivienda con respecto a
al institución educativa. Suponga que tal relación está dado por — = —(—+ ¿7) , 1 < x ^ 10
dx
x
en donde y es la renta mensual (en unidades monetarias determinadas) y x es la distancia
(en kilómetros) a la universidad; k y a son constantes. Exprese a “y” como una función de
x si y = 225 cuando x = 1, grafique la relación obtenida.
©
R p ta. y = 225 + a - ax - k ln x
La tasa de incremento en el costo “y” a medida que crece el número x de unidades
fabricadas, es igual al doble del cuadrado del costo menos el cuadrado del número de
unidades, dividido todo entre el producto del costo y el número de unidades. Determine la
relación entre el costo y el número de unidades fabricadas si y = 3 cuando x = 1. Grafique
R p ta. y = yjsx 4 + x 2
la relación obtenida.
©
El cambio en la utilidad neta P a medida que cambia el gasto en publicidad x, está dado
por la ecuación — = k - a(P + .v), en donde a y k son constantes. Establezca P como una
dx
k+1
k +1
R p ta. P = ---------x + (P0 + -------)e ax
a
a
función de x, si P = P0 cuando x = 0.
©
La tasa de crecimiento del volumen de ventas v, a medida que decrece el precio P, es
proporcional al volumen de ventas e inversamente proporcional al precio menos una
constante. Halle la relación entre dicho volumen de ventas y el precio, si v = v0 cuando
v0(p0 - c r
R p ta. v = —— ------(P -cf
P = PQ.
(n )
Un fabricante ha descubierto que el cambio en el costo de distribución D a medida que
aumentan las ventas V, es igual a una constante multiplicada por las ventas más otra
constante. Halle la relación entre el costo de distribución y las ventas si D = 0 cuando
R p ta. D = — v2 + k 2v
V = 0, trace la gráfica de la relación obtenida.
@
El cambio en el costo c de elaborar un pedido (u orden) y supervisado, a medida que
cambia la cantidad x, está dado por la ecuación — = a - - , en donde a es una constante.
dx
x
Halle c como función de x, si c = c0 cuando
jc
=
.
*+ 2
R pta. c = —-------
-2
9 r
255
Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales
Si el interés es capitalizado continuamente,
a)
b)
Determine !a cantidad de que se dispone a los 10 años si se depositan $ 5000 al 4%
Evalué el monto disponible a los 20 años si se depositan $ 20000 al 6%.
/
R pta.
20)
a)
$ 7 4 6»
0
b)
$66402
Si el crecimiento de una población es continua a razón de 5 % al año, y el número original
de irfdividuos es 200, ¿Cuál será el tamaño de la población a los 10 años?
©
R p ta. 329.8
Si el incremento de población es continua y la tasa r es proporcional al número N de
individuos presente en una población, entonces — = /7V, r > 0 crecimiento, r < 0
dt
decrecimiento. Si N = N 0 , cuando t = 0, obtenga una fórmula para el número de
individuos de la población al tiempo t.
22)
R pta. N = ; V "
Los costos c de fabricación y comercialización están relacionados con el número x de
de
productos según la ecuación — + ac = b + k x , en donde a, b y k son constante. Establezca
dx
c como función de x si c = 0, cuando x = 0.
23)
R pta. c =
* fl -
—x
o
El cambio en £l consumo c de una cierta mercancía, a medida que cambia el ingreso L
de
está dado por la ecuación — = c + kel , en donde k es una constante. Obtenga c como
di
función de I si c = c0 cuando I = 0.
24)
R p ta. c = e l (kl + c0 )
La productividad marginal de un proceso está dado por — = ——^ , donde x representa
dx 3 2 - 4 a*
la inversión (en miles de dólares). Encuentre la productividad para cada una de las
siguientes inversiones si la productividad es de 100 unidades cuando la inversión es de
$ 1000.
J9
a)
$ 3000
b)
$ 5000
c)
¿Pueden las inversiones alcanzar $ 8000 de acuerdo con este modelo? ¿Por qué?
256
25)
Eduardo E spino’z a Ramos
Suponga
que
el
producto
nacional
bruto
(PNB)
de
un
£aís
particular crece
exponencialmente, con un incremento constante de 29c por año, hace diez años, el PNB
era de
26)
105
dolare ¿Cuál será el PNB en
5
años?
R p ta. aprox. $
1 .3 5 . y 1 0 s
La razón a la que el número de bacterias en un cultivo está cambiando desde la
dx
introducción de un bactericida, está dado por: - = 5 0 - y , dondp y es el número de.
dx
bacterias (en miles) presentes en el tiempo x. Encuentre el número de bacterias presentes
en cada uno de los siguientes tiempos si habia 1000 miles de bacteroas presentes en el
tiempo x = 0.
a)
x=2
R pta.
27)
%
a)
b)
178.6 mil
x=5
b)
c)
56.4 mil
x = 10
c)
50 mil
Una compañía ha encontrado que la razón a la que una persona mueVe en la línea de
dx
ensamble produce artículos es — = 7.5e~°*3>\ donde x es el número de días que la
dx
persona ha trabajado en la línea ¿Cuantos artículos cabe esperar que un trabajador nuevo
produzca en el octavo día si no produjo ninguno cuando x = 0?
28)
R p ta . aprox. 10
Se depositan $ 10,000 en una cuenta de ahorros al 5% de interés compuesto
continuamente. Suponga que se hacen retiros continuos de $ 1000 por año.
a)
Escriba una ecuación diferencial que describa la situación.
b)
¿Cuánto quedara en la cuenta después de 1 año?
R pta.
29)
a)
— = 0.05 A - 1000
dt
b)
$9487.29
La razón a la que un nuevo trabajador de cierta fabrica produce artículos está dado por:
d\
— = 0 .2 (1 2 5 - v ) , donde y es el número de artículos que el trabajador produce por día, x
dx
es el número de días trabajados y la producción máxima por día es de 125 artículos.
Suponga que el trabajador produzca 20 artículos el primer día en su trabajo (x = 0).
257
Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales
a)
Encuentre el número de artículos que el nuevo trabajador producirá en 10 días.
b)
De acuerdo con la función de solución de la ecuación diferencial ¿Puede el
trabajador producir 125 artículos en un día?
R pta.
30)
a)
aprox. 11 artículos
b)
no exactamente
El ritmo al que la gente oye hablar sobre un nuevo aumento de tarifas postales es
proporcional al número de personas del país que no han oído hablar sobre el. Exprese el
número de personas que han oído hablar sobre el aumento como una función del tiempo.
R p ta . Q ( t ) = B - A e ~ kl
(Q = número de personas, B = población total del país, A = constante)
i
*
258
Eduardo Espinoza Ram os
CAPITULO IV
4.
ECUACIONES
DIFERENCIALES
DE
ORDEN
SUPERIOR.. - J-------------------------- . ----------------------------- --------- ----------------------------------------------En las ecuaciones diferenciales de orden superior consideraremos dos tipos especiales:
(1)
I o caso: Las ecuaciones diferenciales de la forma:
donde f (x) es una función sólo de x.
La solución de la ecuación (1) se obtiene por integración sucesivas, es decir;
d"-' V
=
/(.V) dx + C,
dx
d
dx2
) dx + c, ]dx + c 2
- i ' b
bu
/ (x)dx + c¡... .]dx + c;I
2
2o caso: Las ecuaciones diferenciales de la forma:
... ( )
donde g es una función solo de y.
para obtener la solución de la ecuación (2) se hace del modo siguiente:
d v dy'
—~=
dx
dx
dx’ d\
,dx’
= v - 1—, pero como
dy
dy dx
*
259
Ecuaciones Diferenciales de Orden Superior
d "v
dy1
— r = £ (y ) entonces y ' ^ — = g ( v ) , de donde
dx"
dy
,2
y ' d f - g ( y ) d y integrando se tiene: J * y 'd y t = Já K y jd y + q
y ' = J 2(
=»
|g ( y ) d y + c,
g ( y ) d y + c, J separando las variables
dy = j 211 g (y )dy + c, ]dv , de donde
i
, .
= i dx + c 2
*
g ( V)dy + c, ]
= g(y)
en forma similar si se tiene
dx'
i a
*i *d 2 y ' t d v ' s ,
se deduce que — - = >’ [ v — - + (-:—)"]
dx'
' d~y
dy
3o caso: Las ecuaciones diferenciales de la forma.
F ( a\
v
, v
..... y
) = 0 ...(3 )
donde la ecuación (3) no contiene a y, se puede rebajar el orden de la ecuación tomando
como nueva función incógnita la derivada de orden inferior de la ecuación dada, ó sea
v U| = c . Obteniéndose la ecuación F í .v ,z ,z \ ..., 2 tM **) = 0
a)
Ejem plos.- Resolver las siguientes diferenciales
d v = xe
—
dx
Solución
d*v
x
d 2v
f
— = xe => — = I xe
dx3
dx^ J
x
x
v
dx + c, = xe - e + c,
260
©
Eduardo Espinoza Ram os
d~y
+ ay - 0
dx2
Solución
_
d “v
tdv'
Como — ~ = y —
dy
dx~
,dv'
A
v
+ av = 0
' dy
-
y
->y
,2
jV ¿ v ’+
y dy = cx
- — + a~ — = c
¿y
1
tfV
—arcsen ' = A*+
>/2q
ay
= sen(av +
y' dy' + ay dy = 0 , integrando se tiene:
= dx
ay
arcsen(
) = ax + ac 2
yjlc)
)
y = K¡ sen ¿a +
eos ax
n/2
©
* v " = y ' ln(— )
x
Solución
V = z
x z ' = z ln ( - )
.v
x
x
es una ecuación homogénea z = ux de donde dz = udx + xdu entonces
= —ln(—)dx
X
u dx + x du = u ln u dx
X
xdu = (u Ln y u - u) dx, separando la variable.
du
u ln u - u
u-e
\-c x
_ dx
x
ln (ln u - 1) = ln ex => Ln u - 1 = ex => Ln u = 1 + ex
;1
+
C
JC
I + cjc
=> — = e
=> z = xe
x
261
Ecuaciones Diferenciales de Orden Superior
—• = x e l+cx =^> dx• = x e [+r*dx integrando
w
dx
^4)
*y
= —eWcx
c
1
c"
+k
Resolver xy*(yy"—{y ' )2 - y ( y ’) 2 ) = -v4 v 3
Solución
\z{x)dx
=> y ' = Z(x)e^
Sea: y - e ^
fz(x)t/A
- \Z(x)dx
_v" = Z ’(x)e*
-f(Z(*))
a
\Z(x)dx ]Z(x)dx
\Z{x)dx
- |Z U ͣ /*
- l\7.(x)dx
XZ(x)e^
[e*
( z ’(-*)*
+(z(x))~e¿
) - ( z ( x ) ) “e
]
Luego:
fZ(x)dx
- 2ÍZ(x)dx
3fz(.r)<fr
-e*
(z(x)Ye J
=x e
ZU)dc
3ÍZ(A)dt
«
*j
0
íl 3|Z(.X
)CÍA
^
,
.......................
[.VZ(*)z’(-*
)-U U ))¿] = *
■J
[x z U íz U Í + J f í r U J r - J c í z W ^ - W x M - l ^ j f 4^ J
z ’(.v ) -( —)z(.v) = A'3(z (.v ) r l . Ecuación Diferencial de Bemoulli en z c o n n = -l
x
,
-af-Ur
2 f-i-í/x
z ~ = e J-4 [ 2 c ^ x d x + c ] = x (a*~+c) =*
r [~2
v = eJ ’
-
0
j
J x y ¡x ¿ u-dx _
z = x\x~ + c
-(A‘”+Í*)2
_3
= e
y 2> • 3 y y ' y "+ 2(y ’)3 + Z ( y y ( v f ) =
^7
Solución
ír(x)£¿t
Í c(a )Ja
Sea: y = eJ
I Z dx
v m= z ' V
Í c(.v)í/x
y ' = ¿(a*)^
I z dx
+zz'e*
I Z dx
+ 2 ze*
y*= z\x)eJ
a
.
h
dx
z '+ z e*
Reemplazando en la Ecuación Diferencial dada:
? íc<x)<ir
+z~eJ
262
Eduardo Espinoza Ramos
2 í :
^
dx
í
Z d .\
f
z
+ 3 zz'e^
(zV*'
dx
,
f
z d .\
í ;
dx
f
[jr~ V
Sea:
/ = z*
=>
- 3 c 3
Z tl\
)-(3e
+ :r
.
d' [z ”+ 3zz '+3 - 3 z z
2 f
+ 2 z 3 + jc
Z dx
) ( z ’e^
z dx
(eJ
f
[z dx
(zV
-1 »
Jz +
.
í ;
dx
+ze^
í c
dx
_
dx
) + 2 z'e *
,
2
f ;
))-z e ^
+zV
3 1f ;
-I *> _l T .
-2 ^1 z d x
a lz ~ - x
z~\ = x e J
dx
+
-
]= X
„
3 í ;
~e
1 ,
=> Z + ~ Z
A
= A “
f '= z "
Luego la ecuación diferencial es de la fomia: / '+ —/ = x 2 ecuación diferencial en t
A
-[-¿/.y
~
i * [-a*
ri*
t = e 1x [ f ' J + A ~ d x + c| =
f
A
( I
a
í /a
+ c)
=
in v c
----- + —
A
z=
ln a ,
A
J(hr r+ ln -t
f ¿a
dx + c _
y = y ’t g A - ( y ’) sec x
Solución
dx
Sea: z = sen x - » z = ( c o sa ) —
dy
;
y ,
^ 4
Sea:
(^ ^ - (TT)2é
z ^ / 5 =>
/*“ —
dz
(z = — )
dy
_z_
1
.
)2
y'(Zf - Z Z ' + \ = 0
+ 1 = 0 de donde
P2 + 2 y P ^ — P ^ - z ^ r = 0
dv
dv
dy
P2 + 2 \ P ^ f - - P 2 - z ~ = 0
’ dv
dy
i
#
dp
(2 y P -z) = 0
dv
dp_
= 0 => P = c, => z = q y + c2
dy
2
en; y q - ( s e n a ) í , +1 = 0
2
es decir: c, y - q senx + 1 = O
d x,
senA = C]y + r 2
263
Ecuaciones Diferenciales de Orden Superior
( 7)
z
2yP - z = O => P = —
2y
d 7 dy
=> — = —
z 2y
1
L n z = — Lny + LnK
z —Ky2
=$
integrando se tiene:
i
sen“ jt= A f,y
x y y " - x ( y ' )2 - y y ' = 0
Solución
=>
Sea: y '= y z
y " = y ' z + y z ' = y z ~ + y z \ es decir:
y " = y ( z “ + z')
Reemplazando en la ecuación diferencial
x y 2 ( z 2 + z ' ) - x y 2 z 2 - y 2z = 0 de donde * z 2 + jcz'- jcz2 - z = 0
xz - z = 0
de donde — - — = 0 integrando
z
x
y '
y 1
y
y*
Como: z = — => — = c,
Luz - Lx = Le,
dy
=>
— = c,*é/aintegrando se tiene
.v
y
es decir: — = c,
.x
2
ln y = — x + c 2
c*i
2
y = k xe k'*2
(?)
x 2 y y " = ( y - xy')
Solución
Sea: y ' = y z
=$
y " = y ( z 2 + z') => x 2 y 2 = ( z 2 + z’) = [ y - x y ( z ) ]
es y 2 [ x 2 z 2 + z 2 + z] = y 2[ l - * z ] 2
2
1
z ’+ —z = —
x
=> z = e J r
x~
Z = JT2 [ a + c ]
Ct
=>
=>
r [-*
[ | e jjf
J
— = A*+CA2
y
=>
1
jr
jc2 z
2 +
dx + c]
—
y
a' 2 z '
=
1 + ;c 2 z 2 - 2
az
integrando
= ( a " 1 + CA~2 )dA
c,
ln y = lnA + — + c2 => y = x k e x La solución:
1 . ■»
y = c 2e 3
3/2
)
»
. *
264
Eduardo Espinosa Ramos
O bservación.-
Cuando la ecuación diferencial es homogénea para la función y sus
v'= *vz
♦
derivadas, la sustitución
í ~dx
v = e*" reduce el orden de una
W
ó
ecuación diferencial una unidad.
(?)
4.v2 v y '= 9 jo '2 + 6 jc+ 5 4 v 6 +108.V4 + 7 2 y 2 +16
Solución
4.y2 vv’= 3 * (3 y 2 -h2)+2(3y2 + 2 )3
Sea:
z = 3v2 + 2
=*
* '* 6 yy' =*
—x 2 z ' = 3xz + 2 z 3
3
=> z'— — z = ~ ^ z
2.v
x~
Bemoulli en z con: n = 3
7
^
2 Í~ íftr
f -2 í - ~ ¿ *
3
ü
X*
‘ =e J
[-2 | e *
— - dx + c ] = x ( - 6 . — + r ) =»
ecuación:
2
1
(3v + 2 ) = —--------------3 _|
_q
X
+C.V
4
.\
@
=>
/-» *>
(3y’ + 2)" =
3
x
.
-fcx
_u
9
—3 V** + 4c
(3 v 2 + 2 ) 2( - 3 a-8 + 4 c ) - 4 , r ° = 0
,rvy"+A(y’)2 = 2 yy’
Solución
Sea: y '= yz
y " = v (z 2 + z')
=»
2
2xz + x z - 2 z = 0
=>
2
=» * y 2( z 2 + z') + x y 2z 2 = 2 y “ c
7
z'— z = -2 z~
,v
Bemoulli con n = 2
— - ^ ^ = 0 , integrando se tiene: l n z - 2 1 n x = l n c
=> z = cx2
r.
y'
¿y
j
»
c 3
Pero: z - — =* — = cx~dx integrando se tiene: L/tv = - . v + Cj
.V
y
' 3
i ¿y*3
y - k xe -
265
Ecuaciones D iferenciales de Orden Superior
©
vy’' - 2 vy'ln y - y '2 = O
Solución
Sea: P = y '
=>
v " = P — => y P - - 2 \ P L n y - P 2 = 0 t factorizando se tiene:
dy
dy
P( y — - 2Lny - P) = 0
dy
ó
=> P - 0 => y ~ c x
— —- P = 21n v ; lineal en P
dy y
JJJL f \J y
2
Luego: P = e
v[Je
v .2 ln y dy + c, ] = y[—ln2 y + cx]
dx
— = y ln y +
dx ’
y integrando
dy
= dx =>
y in 2 y + c1v
b.
f
I
-
rfy
J y h ry +qy
= dx
ln v
arctg(— - ) = x + c 2 => ln y = c, tg(A + c 2 )
c,
E J E R C IC IO S P R O P U E S T O S .
Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales.
•i
n
r4
R p ta: x = — + c*t + c 1
12
®
d x
^
—- = r
dr
( 2)
d2
®
— 7" ~ eos” x. VÍ0) = 2 ¿/a*
32
— ^ =
v(0) = l, y'(0) = 0
y'(0), y"(0) = L
8
R p ta:
y
= ( a- + 2)e~x + a - 1
y"’(0) = 0
x 4 x 2 eos 2^ a
R p ta : y = — + — +
48 8
32
266
Eduardo Espinoza Ram os
rf3v
©
=
a
sen a ,
-f
y ( 0 ) = O,
dx
©
vM= 2 sen x eos" a*- sen a*
©
y '” = A e~ v,
®
y" = ( 2 y + 3) —2 y ’~ = 0
©
©
@
R p ta: y = a e o s a - 3 sen x + a*’ + 2a
y ’(O ) = O
y(0) = 0,
R p ta : y =
v'íO) = 2,
+ C1A+ C*
y ” (0) = 2 R p ta : y = -(A + 3)e”ar +■ 3— + 3
R p ta : —¿//(2y + 3) = c1A+ ci>,
l + y"=»y"
yy ~y'~ = O,
sen3 a
R p ta: y = A' cosh(
y(0) = h y,(0) = 2
R p ta : y = e
V+ c
K
)
2x
-X
R p ta : Lny = c xe x + c->e
yy"-y'2 = y 2Lny
X+C
X+Ci
©
vi 1- L n y )>•"+( 1+ L n y ) y " = O
R p ta: y = e
@
v’ ,i + y) = y ,2+y'
R p ta: D ? |r,(y + 1 ) - 1 ] = c¡( a, + e2 )
R p ta :
©
©
A* =
-s/ y - - ^ l n ( 2 >/ y + q ) + e2
fy
y
=
a
( a - 1),
y ( 2 ) = 1,
y '(2 ) = - 1
A -l
R p ta: y = — ( 3 a 4 —4 a 3 - 3 6 a 2 + 7 2 a + 8)
24
@
©
(1 —a 2 ) y " - x y ' = 2
(1 + x 2 ) y " + l + y ’2 = 0
R p ta : y = (arcsen a )“ + c, arcsen a + e2
1
A*
R p ta : y = (1 + — )L/r(l+ q A ) ------+ c2
267
Ecuaciones Diferenciales de Orden Superior
©
y " ' ( x - l ) - y " = O f y{ 2 ) - 2,
y ’(2) = 1, y " ( 2 ) = l
R p ta : y =
y
2
c o s j c ( c o s jc
22
24
26
-3 jc ^ +
-
sug: y
2
=
6
jc +
z,
4)
sen jc =
cu
R p ta : y £‘ - 2 y - 2 e x v = 2 . x - 3
'y
-»
Hallar la ecuación de una curva que satisface a la ecuación diferencial: yy” = 2(y*)~ + y
y tenga pendiente
©
6
+ 2v y ') = 2y senjc(cosjc + 2yy, ) y '- 4 y y ,cosjc
y " - / 2+ xy,3 = 0, y(0) = l. y '(0 ) = !
20
1-3
— ( jc
en el punto (0,1)
n
R p ta : 2y = s e c (* + —)
( y " + y )ex + (cosjc + jc2)y '+ (2 jc - sen jc)y = - senjc + 2 x
2yy’'—3y'“ = 4y
>’2 v
23)
3 vv ’ v ”+ 2 v '3+ —( v>’
y
y ,2) = —
25
y y '( y y " - y '2 ) - y y ' 2 = * 4y 3
d 'y
dx
3
= jc+ se n x
d my _ a + bx
dx2
x2
dx~
28
y " '= xLnx, y (l) = y '(I) = y ” (l) = 0
30
v"' =
@
y
I %t
= x + eos x
y"= aey
, y(l) = y ’(l) = y"(l) = 0
( a + 2)
d~ y
a
! 7 ~ 7
34
2v
y " = e ~ m, y(0) = 0,
36
dx2
=
y '(0 ) = 1
y \ 0) = - l ,
§
y(0) = 0
®
y3 y " = -l,
®
y T = | y 2- y'(D = y ü ) = *
d x “ 2.
®
1
y ’ =-
2y
y (l) = 1, y ' (!) = 0
268
3§)
Eduardo Espino za Ram os
y " y 3 = l,
y - 1,
y ' - 1 para x = ^-
y " = sen y eos y, y(0) = ^ ,
0
42)
y ' ” — xe *2 ,
y '(0) = —1
y ( 0 ) = y '(0 ) = y ” (0) = 0
0
y " - y ' 2 + y y '3 =
@
x 2 y " 2 - x 2 y ' y ' " —y '2 =
(3$)
y y " - y ’2 = yy
(4 l)
y ? " - / 2 = y 2 y'
(
(y'+2)e V ’ = 1
)
0
0
@
4 |)
a 2y"2 = 1+ v '2, ± (jr+ c ,) = aln [- + C |+ -^ y * C|)a
M
491
d 'y
■>
,
. _
;r
— - = sec~ v .tg y , y = - 1 , * = ln2, y = —
dx4
50)
cos^ y —— = sen y, v' = V2,
v = 0, x = 0
( * 2 + y 2 ) y " = (1 + y '2 )(*y'-y)
“ | ó v + c, = ± acosh
2
269
Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden n
C A P IT U L O
5.
ECUACIONES
ORDEN n
V
DIFERENCIALES
LINEALES
DE
Las ecuaciones diferenciales lineales de orden n son de la forma siguiente
( 1)
donde a 0, a , ,
y R son funciones solo de x ó constante
La ecuación diferencia! ( ! ) se puede escribir en la forma:
... ( 2)
La ecuación (2) nos indica que están relacionadas, la variable independiente x, la variable
dependiente y, y las derivadas y ’, y ” ,...,y <«)
Si en la ecuación (1) la función R(x) = 0, se obtiene:
d*\
<1" W Í
d '-'y
+ Ú " - | W d x n-l
dy
dx
... (3)
A la ecuación diferencial (3) se denomina ecuación diferencial lineal homogénea.
Si en la ecuación (1), la función R (x) * 0, la ecuación diferencial (1) se denomina
ecuación diferencial lineal no homogénea.
Si Vi»y 2 son soluciones de la ecuación diferencial (3) y si c { y c 2 son constantes
arbitrarias, entonces y = e, y, + c 2y 2 es una solución de la ecuación (3).
Como y , , y 2 son soluciones de la ecuación (3) entonces:
270
Eduardo Espinoza Ramos
+«„_|(-v)y¡" U+...+ a , U ) y ’,+ fl0(jf)y, = 0
fl,1(.r)yi'” + a n_1(.v)yín"ll+...+ a | (.t)y'2+ a0U)>'2 = 0
sumando y agrupando se tiene:
a n(A)(cIy 1(n) +c■2y 2',)) + a„_1(A)(cly 1<'l“1, + c 2>’2,_1>) + a 0(A)(c,y, + c 2y , ) = 0
a„ (*)(<:,}>, + c , y 2 )in) + fl„ _ ,(A )(c l )'1 + c 2 >'2 )(" " l> +
( a ) ( c , y, + c 2 y 2 ) = 0
entonces c { 'y, + c 2y 2 es una solución de la ecuación diferencial (3)
En
general
si,
y¡, i = 1 ,2 , . . . , n
lineal homogénea de (3)
y
si
son
c,*,
soluciones
de
i = 1, 2,..., n
la
ecuación
diferencial
son constantes, entonces
v = c ,y , + c 2 y 2 + ...+ c #Iy „ , es una solución de la ecuación diferencial (3).
5.1
INDEPENDENCIA LINEAL DE LAS FUNCIONES,Consideremos un sistema finito de n funciones: / [ ( . v ) , / 2(.v)....,/„(.v) definidas en algún
intervalo (a.b), diremos que estas funciones son linealmente independientes si existen
a ,,a 2
ot„ escalares tal que:
ot1/ 1(.Y) + a 2/ 2(.Y) + . . . + a , , / n(Jc) = 0 entonces « j = a 2 = ... = a n = 0
Si alguno de los a , , a 2
a ;í es diferente de cero, entonces diremos que / p / 2 ....../ „
son funciones linealmente dependientes.
Ejem plos: Averiguar si las funciones dadas son linealmente independientes.
(T )
f t (x) = x , / 2(a) = 2 x , f i (x) = x 2
Solución
Por determinar si a ,/|(jY ) + a 2/ 2(x) + (x3/ 3(jt) = 0 entonces a , = a 2 = a 3 = 0 .
Luego
aijc + a 2 2jt + a . x 2 = 0 , derivando
*
271
Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden n
a , + + 2 a 2 + 2 a 3Jc = O, derivando nuevamente.
2 a 3 = 0 —> a 3 = 0
-> a , = - 2 a 2
Como a 3 = 0 y a , = - 2 a 2 —» / , ( . * ) , / 2(jr) y f $ ( x ) no son linealmente independientes
5.2.
EL WRONSKIANO.Suponiendo que las n funciones: f ]( x \ f 2 (x)t. . . , f n (x) son diferenciables cada uno al
menos (n -
1) veces en un intervalo a < x < b, entonces de la ecuación
C |/| + c 2/ 2 +... + c „ / n = 0 por diferenciación sucesiva se tiene:
í-,/i+c2/ 2+...+f„X,=0
<’l / ' l + C 2 / ' 2 + - + C n / ' v =
°
Ct f ’i+C2f ’2+~ + cnf ’n = 0
. (a)
C\f\
rt—
t)
Consideraremos a ( a ) como un sistema de ecuaciones en c , , c 2,...,c„
El sistema de ecuaciones ( a ) no tiene solución, excepto cuando todos los c l , c 2,...,c„
son ceros.
Si el determinante de los coeficientes de c l , c 2,...,cn no es nulo es decir:
f\
h
fn
f'n
= 0 , entonces diremos que las funciones
rÍM -I)
J\
f i n - 1)
J2
f i n - 1)
Jn
272
Eduardo Espinoza Ramos
f \ (•*)» f i (*).•■ * f n ( a ) son linealmente independientes, al determinante de los coeficientes
del sistema ( a ) denotaremos por W, es decir:
/.
fn
f l
f
\
W=
•
*
fin -»
s
f i n - 1)
Jn
!)
r
Llamaremos el Wronskiano de las funciones: f x ( * ) , f 2 (jc )
Ejemplo N °l:
Demostrar
que
las
funciones
/ „ (x )
e x , e 2x , e 3x
son
linealmente
independiente.
Solución
e
x
e
2x
e
W = ex
2elx
3eix = 2e6 x , V x e R
ex
4e2x
9e3'
entonces las funciones e
Ejemplo N°2:
x
2x
Demostrar
,e
que
, son linealmente independiente.
las
funciones
e * ,c o s A ,s e n *
son
linealmente
independiente.
Solución
e
eos x
sen x
ex
- sen a-
eos a
ex
-
cosa
= 2e2x * 0 , V x e R
-sen a
Entonces las funciones e*, c o s a , sen a son linealmente independiente.
Ejemplo N°3:
Hallar el Wronskiano de las funciones: / , ( a ) = a , / 2 ( * ) = —
A
Solución
273
Ecuaciones D iferenciales Lineales de Orden n
W =
X
f 2 (x)
/l( A - )
f ' 2 (x)
f\M
I
—
1
A
1
----
1
1
= 2—
X X
A
para x * O
X
X
Luego W = — ; para x * 0
.Y
O B SE R V A C IO N
Que el Wronskiano W * 0, para que las funciones sean linealmente independiente es una
condición necesaria pero no suficiente, por ejemplo las funciones:
ÍY
f\ U ) =
X"
SI
-1 < x < 0
0
si
0<x<1
0
M x) =\ ^
\x2
son
-1
1
f1
f
X
si
si
-1 <
.Y <
0
0<x <l
linealmente
independiente
Wranskiano es cero.
Este sistema de funciones es linealmente independiente puesto que para
a , = a 2 = 0 , se cumple la identidad: a , / ¡ + a 2/ 2 = 0 .
En efecto:
a , / , ( A ) + a 2/ 2(A) = 0
Si x e [-1,0]
Y2 + a 2.0 = 0 =>
a ,..v 2 = 0 => a , = 0
S i x e [0,1] => otl/ 1(A) + a 2/ 2 (^) = 0
a , . 0 + a 2..Y2 = 0
a 2..Y2 = 0
=>
a 2 =0.
Luego a , = a 2 = 0
Consideremos el Wronskiano en [-1,0] y en [0.1]
W =
*2
0
2x
0
= 0.
W =
0
jc2
0
2x
= 0.
Por lo tanto: W [ / 1(/ 2] = 0 en [-1,1]
y
su
274
Eduardo Espinoza Ramos
E J E R C IC IO S P R O P U E S T O S .-
I.
Obténgase el Wronskiano de las siguientes funciones indicadas:
©
e mx , e nx, donde m y n son enteros y m * n
R p ta
W = ( n - m ) e <m+")Jt
©
senhx, coshx
R p ta
W = -l
©
x,xex
R p ta
W = x 2 e*
e x s e n x , e x c o sx
R p ta
W = - e 2x
©
eo s2 x, l + c o s2 x
R pta W = 0
©
e~\xe~x
R p ta
©
e x ,2 e \ e ~ x
R p ta w = o
©
2, eos x, eos 2x
R p ta
W = - 8 sen 3 x
e~3x sen 2x, e~u eos 2x
R pta
W = - 2 e~*x
©
©
@
II.
1
*
R p ta W = 0! 1! ... ( n - 1)!
II
I , * , * 2,...,*'1" 1 p a r a n > 1
Mediante el Wronskiano, demostrar que cada uno de los siguientes conjuntos son
linealmente independiente.
©
U - * ¿ e lx
i
i
©
x ^
©
l,s e n 2 x , l - c o s x
©
©
©
Ln x, x Ln x
V i - a:2 , x
x 2, x 4 ( x 8
©
e cix sen bx, e ax e o s bx,
©
iln ------,
A' - 1
1i
©
X
2
s e n —eos x
2
x+1
x V
* 0
275
Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden n
III.
Demostrar que las funciones dadas son linealmente independiente y su Wronskiano es
cero, construir las gráficas de estas funciones.
©
©
0< x <2
.0 si
fi (*) = i
(x -2 )
f,M =
si
/ 2W =
2<x<4
si
0
0
0
/2 (* )= H ->
x"
si - 2 < x < 0
x*
(x —2 ) '
0 < .v < 1
si
0 < jc < 2
si
2 <x <4
si - 2 < x < 0
si
0< x <1
/ , (X ) = X 2 , / , (X ) = X I X I , -1 < X < 1
IV.
©
Demostrar que el Wronskiano de las funciones: e kxXe*2* . . . e kfík es
1
*1
(*, +k, +...+km)x
1
...
i
k,
b
*n
*2
kn
•
•
•
. n-[
K\
©
Demostrar
que
las
funciones:
e
~
x
k n~1
...
krl
f xe
"
x
,e
‘
x
sen .v, e
~
x
independiente.
©
Demostrar que el Wronskiano de las funciones: x a ,
x.a+fl+y-3
1
1
1
a
¡i
y
a(a-l)
p(P-\)
7
(7 -
1)
, x y es:
eos x
son
linealmente
276
5.3.
Eduardo Espinoza Ramos
ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES HOMOGENEAS DE
COEFICIENTES CONSTANTES.Las ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de coeficientes constantes son de la
forma:
...
donde a 0 , a {
( 1)
a n son constantes.
Para resolver estas ecuaciones diferenciales, primero consideramos el polinomio
característico de la forma siguiente:
Como el polinomio característico P(r) = 0 es de grado n entonces se puede obtener las
siguientes raíces
los cuales pueden ser, reales distintos, reales de
multiplicidad o números complejos.
Luego para dar la solución de la ecuación (1) consideremos los siguientes casos:
I o C aso Cuando las raíces de la ecuación polinómica P(r) = 0 son reales y distintos:
/•j < r2 < ...< rn entonces el sistema fundamental de soluciones de la ecuación (1) tiene la
forma siguiente £ r|* , e r2JC, . . . , £ v ' , y la solución general de la ecuación diferencial lineal
homogénea (1) es:
2o C aso Cuando
son de
las
raíces de la ecuación polinómica P(r) = 0 alguna de las raíces
multiplicidad, consideremos
r, = r2 = . . . = rk = r
y donde r es la raíz de
multiplicidad k, y n - k son las demás raíces y distintas.
Luego el sistema fundamental de soluciones tiene la siguiente forma:
277
Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden n
y la solución general de la ecuación diferencial (1) es:
3°Caso Cuando las raíces de la ecuación polinómica P(r) = 0 alguna de eslas raíces son
complejas: r, =otj + /P ,, r2 = a , - / p t ,
= o t 2 + $ 2 * r4 “ a 2 “ ^2
y las demás raíces supongamos que sean reales y distintas.
Luego el sistema fundamental de soluciones son de la forma siguiente:
y la solución general de la ecuación diferencial (1) es:
Vg = c xe a{X cosPjx + c 2ea[X s e n P jJ t+ C je ^ cosP2:*+C4e a2r sen p 2;t+ c 5e r5JC+,..+cne rnX
a.
©
Ejem plos:
Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales
j|- v = 0
dx
Solución
f y
El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial - —^ - y = 0
dx
P(r) = r 2 - 1 = 0 ,
soluciones es:
dx“
es
y sus raíces r{ = 1 , r2 = - 1 , de donde el sistema fundamental de
e r]* , e r2t es decir e x ,e~x y la solución general es: y
= c xe x + c 2e~x
dx
Solución
El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial
d 2v
dx
*)
— ^ - - 3 - ^ + 2 y = 0 es P(r) = r 2 - 3 r + 2 = 0
dx“
dx
de donde r, = 1 , r2 = 2 , luego el sistema fundamental de soluciones es: e x , e 2x y la
solución general y
~ c xe x + c 2 e 2x
278
0
Eduardo Espinoza Ram os
y"-4 v'+ 4 v = 0
Solución
El polinomio característico a la ecuación diferencial:
y ’' - 4 y ' + 4 y = 0 es P(r) = r 2 - 4 r + 4 = 0
de donde r = 2 de multiplicidad 2
Luego el sistema fundamental de soluciones es: e ~x , xe x y la solución general es:
y R = c ]e 2x + c 2 x e 2x
0
y' ’+y = 0
Solución
El polinomio característico de la ecuación diferencial:
y"+ y = 0 es P{r) = r 2 + 1 = 0 de donde: r, = i , r2 = - i .
Luego el sistema fundamental de soluciones es: eos x, sen x, y la solución general es:
yg =
0
eos a + c 2 sen x
v' '+>''+y = 0
Solución
El polinomio característico a la ecuación diferencial.
y,,+ y'+ y = 0 , es P(r) = r 2 + r +1 = 0 ,
Luego el sistema de solución es:
y
0
~
y¡3
de donde r, = ——+
1
2
2
_£
e 2 co s-^-a,
-f
V3
= c ,e ¿ eo s — A + c 2e ¿ sen —
a
y " ’- 2 y " - y '+ 2 y = 0
Solución
"
-2 ^ /
2
2
e 2 sen -^ -A y la solución general es:
279
Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden n
El polinomio característico a la ecuación diferencial es:
P (r) = r 3 - 2 r 2 - / ‘ + 2 = 0 , de donde: r, = - 1 , r2 - l , r3 = 2 , luego
el sistema fundamental de soluciones es: e~x , e x , e 2x y la solución general es:
y g = c xe~x + c 2<?v + c 3é'2v
(7 )
y " ' + 3y" + 3 y '+ y = 0
Solución
El polinomio característico de la ecuación diferencial es:
P(r) = r + 3 r ‘ + 3r + l = 0 , de donde r, = - 1
de multiplicidad 3, luego el sistema
fundamental de soluciones es: e~x , x e “x , x 2 e~x y la solución general es:
•y_
g
®
= c xe~x
+c->xe~x
+c*x~e~x
i
j
v '" - v " + y '- y = 0
Solución
El polinomio característico de la ecuación diferencial es:
P(r) = r 3 - r 2 + r - 1 = 0 ,
de donde:
fundamental de soluciones es:
y
(5 )
r, = 1,
r2 = i ,
r3 = - / , luego el
sistema
, eos x, sen x, y la solución general es:
- c xe x + c 2 cosjt + r 3 se n x
y " 1- 6 y '' +11 y ' - 6_y = 0
Solución
El polinomio característico a la ecuación diferencial es:
P(r) = r 3 - 6 r 2 +1 I r - 6 = 0 , de donde:
r, = 1 , r2 = 2 ,
r3 = 3 . luego el sistema
fundamental de soluciones es: e x , e 2x <eXv y la solución general es:
y g = c xe x + c 2e lx + 0^ *
280
@
Eduardo Espinoza Ramos
v '1 - y =
0
Solución
El polinomio característico de la ecuación diferencial es:
P{r) = r 4 - 1 = 0 ,
de donde:
= -1 ,
' 4 = -*’ *
r2 = 1,
luego el sistema
fundamental de soluciones es: e ~x, e x , eos x, sen x y la solución general es:
y^ = c }e x + c 2e A + c 3 c o s x + c 4 s e n x
@
y - 4 y " ’+ 6y’'-4 y '+ y = 0
Solución
El polinomio característico de la ecuación diferencial es;
P (r) = r
j
^
-4 r
+ 6 r “ - 4 r + l = 0 , de donde: r = 1 de multiplicidad 4, luego el sistema
fundamental de soluciones es:
e'\ xex*x2e'\ xiex
y la solución general es:
y x = c , e A + c 2 x e x + c $ x 2 e x + c 4x * e x
@
y lV- 8 y " + 1 6 y =
0
Solución
El polinomio característico a la ecuación diferencial es
P(r) = r 4 r, =
-2
8r : +16 = 0 ,
de multiplicidad
de donde: ( r z - 4
2
;
r2 =
2
)2 = 0
de multiplicidad
-2.V
Luego el sistema fundamental de soluciones es: e~
general es:
@
y 11 + 2 y " + v =
y
= c ]e"2x +
c - > x c ' 2 a + c 3 ^ 2a'
+c4x c 2v
0
Solución
El polinomio característico a la ecuación diferencial es
2
_ -2.v
, xe~~' .
_2.v
..^2x
, xeM
w y la solución
281
Ecuaciones Diferenciales ¡Jneales de Orden n
P(r) =
r4
+ I r 1 +1 = O ,
d e d o n d e : r,
=i
d e m u ltip lic id a d
L u e g o el siste m a fu n d a m e n ta l d e so lu c io n e s es:
y
g e n e ra le s:
©
= c ¡ c o s , v + c 2A'CosA* + t*3 s e n
2
y
r2 = —/
d e m u ltip lic id a d
2
e o s x. x c o s x , s e n x , x s e n x y la s o lu c ió n
x + c4x s e n x
d n v , d Ay „ d 2\
:_ + 6 —a A1- + 9 —. ^+ 4 y* = 0
i
dx*
dx
Solución
El polinomio característico de la ecuación diferencial es:
P(r) - r 6 + 6 r 4 + 9 r 2 + 4 = 0 , de donde:
rj - i de multiplicidad 2 ; r2 = - f
de multiplicidad 2 ; r3 = 2 / , r4 = - 2 /
De acuerdo al tercer caso, el sistema fundamental de soluciones es: eos x, sen x, x eos x,
x sen x, eos 2x, sen 2x y la solución general es:
v\, = c | e o s x + c s senA' + c*3 .v c o s .v + c 4A*senx + c 5 c o s 2 . y + c 6 se n 2 a
b)
E J E R C IC IO S PR O P U E S T O S .-
©
d~ y
—“
dx-
dv
3— + 2v = 0
dx
©
d 'y
dv ,
— f - 4 — + 4v = 0
dx~
dx
d 2\
©
©
©
R p ta : v = c {e x + c 1 e lx
dy
R p ta : y = e mX(c}x + c 2)
R p ta : y = c x e o s
dx~
d 'y
dx'
T
^
dv
+
dx
l~
+
y
=
d mx ^ d y ^
— r + 2—
¿Ir
0
+ 2v = 0
¿ a*
d p ta
♦ : y = e “í¿r[c,
R
a+
c2
cos- ^
sen
x
- a ^+ c2 s e n -^^ - A ]i
R p ta ; y = e~x (c, eos x + c 2 sen a )
282
Eduardo Espinoza Ram os
©
y " '- 2 y " - y '+ 2 y = 0
2
a
R p ta : y ~ c xe + c 2e ' + c 3e
©
y , , ’+3y’’- 3 y ,+ y = 0
R p ta : e~x {c] + c 2a + c 3a ) = v
©
y'"-y"+ y'-y = 0
R p ta : y ~ c ]e x + c 2 c o s a + c 3 se n *
-X
y¡3
V3
R p ta : y = c]ex +e 2[c2 c o s - ^ - a + c3 se n -^ -]
-
1
©
y ' " —y = 0
©
yil -
©
y lv - 4 y '" + 6 y " - 4 y ’+ y = 0
R p ta : y = e T(c, + c 2a + c3a 2 + c4a 3 )
©
6 y ' " - y " —6 y '+ y = 0
R p ta : y = c }e* + c 2e~x + c 3e x/6
R p ta : y = c xe x + c 2 e~x + c 3 c o s a + c 4 sen jc
y=0
©
y '" - y " - 3 y '- y = 0
©
y ”‘ - y = 0
R p ta : y = c,e x + c 2e
(I+\ 2 )A
(1-\2)a
R p ta: y = c ic.^ r +
2ec A+ £ 2 L
[c,
eos — A*+ c4 s e n - — A] + e 2 [c5 cos —— A+ ^ s e n - ^ A ]
t- rc2
u3 wwo
2
©
Ja
J a2
Ja
©
d y
d y
Jv *
t- + 4
r- + 4 — = 0
Ja
J a3
J a2
©
¿ 4v
@
©
1?
=y
J 4v
J 2y
-^ - + 2—f + y = 0
Ja
Ja
J 4y
J 2v
— f + 3— = --4 y = 0
Ja
J a"
2
R p ta : y = c x + c 2e x + c 3e 3x
-2*
R p ta : y = c , + ( c 2 + c 3A)é>
R p ta: y = c , e jr+ c 2e A+ c 3 cosa + c 4 sen a
R p ta: y = (c, + c 2a ) cosa + ( c3 + c 4A)sen a
R p ta : y = c xe x + c 2e x + c 3 e o s 2 a + cA sen 2a
283
Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden n
dxA
©
W
dx*
x
d * v d 2v ^ d \
2^ - - — Í--2^- + v= 0
' 2
dx
dx** dx
R p ta : y = cxe* + c2e x + c$e 2
75
75
7
(-I + — ).T
(-1—- ) *
R p ta : y = c¡e~ + c 2e
- + ¿ 3*
@
24
25
í/4y
..< / =
- 14
• ■— 2- + v = O
~
4
d
x
¿
dx
¿ “v
—
J a*2
d - x
,->
_
+A: y = O
_ í/v
.
(2-73)* . „ A-2+73)* +, c*e
^ J-2-75) x
+ Cie
' M
R p ta : y = A coskx + B senkx
_
— ' - - 2 — + 4y = 0
¿v 2
¿v
26
4 ^ +5^
—9 v - 0
¿V4
J a'
27
—+ 4 v = 0
¿v4
28
. y = ^c,e„<2+73>jr
R
p
ta
:
~ ' r ------ '
"I*'
' ^
R p ta : _v = é, r (Acos>/3.v + 6senV3A)
3
3
R p ta : > = c , e ' + c: e r + c3 eos —a + r 4 sen —a
R p ta: y = e * ( c } eos a + c 2 sen x) + e~*(ei eos a + c 4 sen a)
J 4*v _ „O J 3y j J 2v
. Jv
*
+—f+ 2 ---2 y = 0
¿/a4
¿ a 3 dx ’
dx
R pta: y = c!^ v + r 2e * + é, x ( c 3 c o s a + c 4 sen x)
d* y
d*y
rf2 v
- ^ + 2 - ^ + i0 —
d r2
dr5
d t3
dv
— + 10y = 0
dx
-2a
R p ta : y = c ,€ ~ * + c 2 cosa + c 4 sen A + e (c4 cos 2 a + c5 sen2x)
2v”-3 y '+ y = 0
Rpta: y = c]e 2 -bc2e
284
©
32
Eduardo Espinoza Ramos
v "-9 v '+ 9 v = O
R p ta: y = c{e
>*’’+ y '- 2 y = O. y(O) = 1, y ’(0) = l
R p ta : y = e
2
I9-3V5)
+ <"2e
2
3*
y1'-6 y '+ 9 y = O, y(O) = O, y ’( 0 ) = 2
R p ta : v = 2xe
©
v,,+ 8y’- 9 y = 0 , y ( l ) = 1, y '(l) = 0
R p ta: y = —
0
y"+4y = 0 , y(0) = 1, y ’(0) = 1
R p ta : y = ^ s e n 2 jt
.V’'+4y'+5y = O , y(0) = 1, y ' (0) = O
R p ta : v = e ~~x cos x + l e ~“ x sen jc
v” - v M- v '+ v = 0
R p ta: v = c le x + c 2 x e x + c 3e
y ,v- 5 y " + 4 y = 0
R p ta : y = c xe x + c 2e x + c ^ e 2x + c 4e~2x
36
©
©
39
@
0
@
y vt —3 y ,v + 3y"—y = 0
10
10
-A
_
—X
~X
z
.x
R p ta : y —c xe x + c 2xe* + r 3.t~eJ + c Ae * + c 5xe~* + c 6.r’ e*
y v - 3 v ÍV+ 3 y " '- 3 y " + 2 y ?= O
v ,v - 8 v ’= 0
+ — ex~'
R p ta : y = c , + c 2e JÍ + c 3e 2jc + c4 cosjc + c 5 sen jc
R p ta : y = C| + c 2 e 2x + e x ( c 3 c o s VJjc + c 4 se n V 3 * )
y 17" + 8 y ‘v + 1 6 y = 0
R p ta: y = e x l(c¡ + c 2a*)cosa* + (c3 + c 4Jt)sen] + e x[(c5 + c 6jc)cos jc + (c7 + c 8jc)sen jc]
@
y ,v + 6 y M,+ 9yM= 0
R p ta :
©
4 y ’" - 3 y ’+ y = 0
R p ta : y = eje * + (c2 + c3jr)e2
y
=
C j +
c
2
jc
+ (c 3
+ c 4 x)e
-3*
3.r
45
@
4 v ÍV - 4 y ,,,- 2 3 y ” + 1 2 y ,+36y = O
y -y
o
R p ta: y = (c, + c2jc)^21 + (c 3 + c 4jc)e> 2
Rpta: y = q + c2jc+ c3.x" + c4e * - c 5e - X
285
Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden n
R p ta : v = (c{ + c 2 x)e x + ( c 3 + c 4x ) e 2'
©
y iV - 2 v ,M—3 v " + 4 v ’+4y = O
@
y " + 2 v’" - 6 y , '- 1 6 y '- 8 y = O
(49)
y ” ,- 3 y - 2 y = O cuando x = O, y = O, y '= 9 , y ” = 0
50J
R p ta : y = (c, + c 2x)e~2x +
y " + 3 y , " + 2 y " = 0 cuando x = O, y = O, y ' = 4 ,
+ c 4eil- ^ )x
R p ta: y = l e 2x +(3.v-2)é*
-X
y " = - 6 R p ta : y = 2(x + e~x - e 2x)
y , " + y " - y ’- y = o , cuando x = O, y = 1, cuando x=2. y=0 y también cuando x —> «>
y -» 0.
R p ta: y = ~ { 2 ~ x)e~x
52)
y " - 6 y ’+25y = O
R p ta : v = e 3x (c{ c o s 4 a + c 2 sen 4a)
53)
y* ' - y = O, cuando x = O, y = y0 , y ’ = O
R p ta: y = y 0 cosh a
54)
y " + y = 0 , cuando x = O, y = y 0 » y ’= 0
R p ta : y = y0 c o sx
55)
y ,,,+ 5y”+ 1 7 y ,+ 13y = O , cuando x = O, y = O, y '= 1, y " = 6
R p ta : y = e~x - e ~ " x eos 3a
(Íó )
w
í - ^ - + k 2 x = O, k real cuando t = O, x = 0, y — = vn
dt2
dt
0
57)
y M,+ y " + 4 y ’+4y = O , cuando x = O, y = O, v’= - 1 ,
58)
i2
j
— * + 2 6 — + A2 x = O,
dt"
dt
R p ta :
y"=5
@
Rpta: y = e * - c o s 2
1
k > b > O cuando t = 0 , x = O y - = v0
dt
Rpta: a = (— ) e - b t s e n at
a
59)
x = (— )se n ¿ /
K
y*, '+ 6 y "+ 1 2 y ,+8y = O , cuando x = O, y = l ,
y" + 2 y ',,+ 4 y , '- 2 y ,- 5 y = O
donde:
a - >Jk2 - b 2
y '= -2 , y" = 2
Rpta: y = c ^ x + c ^ x +Cje~xcos2x+c^e *sen2A
286
©
62
Eduardo Espinoza Ramos
y = c, +
c 2e x
cosa
+
c^ex sen a*
v vm + 8 v ,v + 16v = 0
R pta: y
63
R p ta :
v '" - 2 v M+ 2 v ’= 0
= e J [(Ci + c 2 a ) c o s a + ( c 3 +
c 4A)senA] +
y h - 4 y '" + 4 y " = O
e
x \(cs
r xA)senA]
+ c6a ) c o sa + (c7 +
R p ta: y = C j + r 2x + c 3e “* + c 4Ae
R p ta :
v ,v - v" = 0
y = c , + c 2 A + r 3e T + c 4 ^ ’ JC + c 5
eosa
+ c6
65
v,v - 8 v = 0
66
2 y ’,,- 4 y " —2 y'+ 4y = 0
R p ta : y = <:,£* + c 2 e lx +c$e *
y " ' - 3 y ' —y = O
Z x
R p ta : y - c xe + c 2xe + c 3x~e
68
y ,v - 5 y "+ 4 y = O
R p ta : y = c xe
69
y " - 3 y ” '+ 3 y " - y = O
©
2x
sen
a
R p ta : y = q + c2e 2jr + e *[c3CosV3A + c4 sen->/3x]
+ c 2e
2x
~ +c$e~
+c4e - 2 x
R p ta : y = c xe x + c 2 x e x + c 2ix ' ' e x + c 4e * + c 5Ae x + c hx~e
y +y=O
R p ta: v=qcosx+c2senx+e^/2
*(c3cos-í+c4sen^)+e“^/lr(c5cos^+c6sen^)
0
72
@
©
75
y 1 - 3 y ÍV-f 3 y '" - 3 y " + 2 y ,=
O
R p ta : y
= c , + c 2 e x + c 3e Jf + c 4 e x + c 5 c o s a + c 6
y ,M+ y '= O, y ” (0) = 1, y " ( 0 ) = 1, y(0) = O R p ta : y = 2 - 2 eos x + sen x
v " ’- y " + v '- v = O
R p ta : y = i4 c o sA + físe n A + cé>
y "*+ y ' = O
R p ta : y = A eos x + B sen x + c
—
A
v '”- vM- v ,+ v = 0
R p ta : v = ( c , + c 2a )^ x + c 3e
y'"-6y’'+12y-8y = O
Rpta: y = ( c , + e 2A+ c3A2)é’2r
sen a
287
Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden n
y - 6 y ”+ l l y - 6 y = 0
R p ta : y —c te x + c 2e 2* + c3e
©
«v"* -12y'+35y = 0
R p ta : y = c {e 5x + c 2e 7'x
©
.vív - 8y' ’ '+42 y’ 10 4 y '+ 169y = 0
3x
5x
R p ta : v = (c, + c 2x)e 3
y 1' - 6 y ,M+ 7y,,+ 6y’- 8 y = 0
R p ta : y = c ¡ e x + c 2e x + c 3e 2x + c 4e 4x
y " -4 y '+ 2 y = 0
T
V2
72
R p ta : y = e 3 [c, sen — x + c 2cos — x |
.v.’ ’ - 2 y ,,+ 3y,- 6 y = 0
R p ta :
v'V - 4 y M,+ 5 y "-4 y '+ 4 y = 0
R p ta : y = (c} + c 2 x ) e 2x + c 3
V
(D
®
9 / '- 3 0 y ’+25y = 0
®
®
®
®
®
®
®
»v " ’'+9y'= 0
y=c,
R p ta :
e 2x + c 2 s e n
7 3 x + c3 eos 7 5 x
senx + c4 cosx
_v = C! c o s 3 x + c 2 s e n 3 x + c 3
R p ta : y = c ,£ 2* + c 2e 2jf + c 3e 3v + c 4¿ 3j:
y iv -1 3 y " + 3 6 y = 0
R p ta :
v ,v + 2 y ’,,+ y " = 0
y = c , + c 2x
+ c 3e x + c 4xe *
/^
y v = 8 »y*" —16vw
R p ta : y = (c¡ + c 2 x)e~ + ( c 4 + c 3x)e
y
R p ta : y = c le x + c 3e 2x + c 3e 4x
'-1 3 y '-1 2 y = 0
X
y* + y = 0
x
x
x
(c3 e o s—= + r 4 se n —= )
72
72
+ c2 sen —pr) + £
¿2
V2
R p ta : y = e ^ (c,
64 y v"i + 4 8 y vl + 12yív + y ” = 0
R p ta:
y = ( c , + c 2 x + c3 x 2) c o s — + (c4 + c5 x + c6 x 2)s e n — + c7 x + c8
2
2
¿.V
288
92
Eduardo Espinoza Ram os
(«)
n (n-1)
+-v
r
J+
W(rt-l) (n-2»
1.2
-y
n ,
n
' + ...+ —y + y = 0
i
R p ta : y = t' *(<;, Jt c 2x + c 3x 1 +... + c nJc" l )
93
y ’" = y \ y (0) = 2, y'(0) = 0 ,
94
*d~x ^ n dx ^
4 --------2 0 — + 25x = 0
dt
dr
95
y vt + 8 y ,v + 16y” = 0
R p ta : y = c, + c 2x + (c3 + c 4 a ) c o s 2 a + ( c*5 + c6x )s e n 2 x
96
y ,v + 4 y , "+ 8 y r+4y = 0
R p ta : y = £ x[(cj + c 2.v)cosjt + (c3 + c4x ) s e n x]
97
y ,v + 4 y ' ,,+ 5 y "+ 4 y ,+ y = 0
98
99
2
R p ta: y = 1 + eos x
R p ta : x = (cx + c 2t)e
-3 -V 5
-3 + V 5
R pta: y = r,e
y ” (0) = - 1
*
+ c2£ 2
y 'v + 4 y ,v + 4 y ” = 0
y ,M- 2 y " + 4 y ’- 8 y = 0
x
-x/2
+ Cae
"
V 3
" eos
e o s—
—
2
-xf2
*x ++c4
c„e
‘
'"sen
2.5/
V3
— x
2
R p ta : y - c x + c2x + (c3 + c4Jt)cos>/2jt + (c5 + c6x )s e n J l x
2 a:
R p ta : y = c xe~ + c 2 co s2 x + c 3 se n 2 x
y' ’ '+2y* ’= 0 , cuando x = 0, y = -3, y* = 0 , y''' = 12
5.4.
ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES NO HOMOGENEAS
DE COEFICIENTES CONSTANTES.»
•Tj
Las ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas con coeficientes constantes son de
la forma siguiente:
...
donde a n , a n_x
a 0 son constantes reales
(1)
289
Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden n
Para obtener la solución general de las ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas
de coeficientes constantes, primero se determina la solución general de la ecuación
diferencial lineal homogénea Yg , y después se busca una solución particular cualquiera
de la ecuación diferencial no homogénea Yp , y la solución general
de la ecuación
diferencial lineal no homogénea es igual a la suma de la solución general de la ecuación
diferencial homogénea más la solución particular de la ecuación diferencial no
homogénea, es decir:
Es decir que el problema se reduce a encontrar una solución particular Yp de la ecuación
diferencial lineal no homogénea. Cuando la función R(x) de la ecuación (1) tiene la
forma:
R(x) = e™\(Pn ( a ) c o s ( P a ) + Qm (x) sen((k)]
donde
( jc)
y
(? „ ,(* )
solución particular Y
son polinomios de grado n y m respectivamente, entonces la
de la ecuación (1) es de la forma:
Yp = x setu[P K {x)cos(^x)-¥QK (x)sen(pJt)]
donde K = máx {n,m} y s es el orden de multiplicidad de la raíz r = a ± i£;
PK(;c) y
O k (*) son polinomios en x de grado K, de coeficientes indeterminados, para determinar
la solución particular de la ecuación diferencial no homogénea.
Consideremos los siguientes casos:
I o Caso:
Cuando el segundo miembro de la ecuación diferencial (1) es la
función
R(x) = Pn (x) entonces:
a)
Si r = 0, no es raíz de la ecuación característica P(r) = 0, entonces la solución
particular es:
yp
=K w
290
Eduardo Espinoza Ramos
b)
Si r = 0, es raíz de la ecuación característica P(r) = 0 entonces la solución particular
es:
yp = * sK w
donde s es la multiplicidad de r = 0
2o C aso: Cuando el segundo miembro d é la ecuación diferencial (1) es la función
R(x) = e a t Pn ( jc ) donde a es real, entonces:
a)
Si r = a no es raíz de la ecuación característica P(r) = 0 entonces la solución
particular es:
i
b)
Si r = a es raíz de la ecuación característica P(r) = 0, entonces la solución particular
es:
donde s es la multiplicidad de r = a
3 o Caso: Cuando
función
el
segundo miembro
R(x)
=
de
la ecuación diferencial
Pn (x) eos Pa + Q m ( jc) sen Pa
donde
Pn ( a )
y
(1) es la
Q m( a )
son
funciones polinómicas de grado n y m respectivamente, entonces:
a)
Si r = ± ¿P no son raíces de la ecuación característica P(r) = 0 entonces la solución
particular de la ecuación diferencial es:
YP - h W cos<P*)+ Q k l* ) sen<Ax)
donde K = máx {n,m}
b)
Si r = ±
ip es raíz de la ecuación característica P(r) = 0, entonces la solución
particular de la ecuación diferencial es:
Yp = x s [(PK { x ) c o s f í x + Q K ( x ) s e n ¡3x)]
donde K = máx {n,m} y s es la multiplicidad de r = ± ip
291
Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden n
4 o Caso:
Cuando el segundo miembro de la ecuación diferencial (1) es la función
/?(*) - e
x[Pn (.v) eosp.v + Qm U ) sen p.v] ] donde
Pn (x )
y
Qm U )
son
funciones polinómicas de grado n y m respectivamente, entonces:
a)
Si r = a ± ip no es raíz de la ecuación característica P(r) = 0 entonces la solución
particular de la ecuación diferencial es:
donde K. = máx {n ,m }
b)
Si r = a ± ¡P es raíz de la ecuación característica P(r) = 0 entonces la solución
particular de la ecuación diferencial es:
donde K = máx {n,m} y s es la multiplicidad de r = a ± ip
a)
©
Ejemplos:, Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales
d ' > \ ) Jd - = 3
dx
dx1
Solución
Sea P(r) = r + 3r = 0
la ecuación característica donde r, = 0 ,
r2 = - 3 , luego la
solución general de la ecuación diferencial homogénea o solución complementaria es:
Y = c ,+ c 2 t
-3 *
para la solución particular se obtiene de acuerdo a la parte b) del I o Caso, es decir
Yp = A x
M
Como Yp —Ax
Yp = A
Y = 0 , reemplazando en la ecuación
de donde 0 + 3A = 3 = * A = l , por lo tanto Yp = x y la solución general de la ecuación
diferencial no homogénea es:
es decir: y = c x + c 2e~3x +jc
r = y'g + v'„
292
©
Eduardo Espinoza Ram os
^ - 2 — - 1 5 v = —(1 5 jc2 + 4 * + 13)
dxdx
Solución
Sea P(r) - r " - 2 r - 15 = 0 el polinomio característico, de donde:
r, = —3 y r2 = 5 ,
luego la solución complementaria o solución general de la ecuación diferencial
-3r
5l
homogénea es:
y = c ,e
+ c 2e*x
Para la solución particular de la ecuación diferencial no homogénea, se obtiene de
acuerdo a la primera parte del primer caso es decir:
9
y p = 2 A r+ 5
de donde
y
•i
y
=
+ 5x + C
= 2 A , que reemplazando en la ecuación diferencial
dada se tiene:
2A-4Av-2B-15Ax2 -15Bx-í5C = - ( 1 5 jt2 + 4 jc-h 13)
- 1 5 A f - ( 4 A + 15B) x + 2 A - 2 B - 1 5 C = - ( 1 5 x 2 + 4 ^ + 13)
de donde por identidad se tiene:
- \ 5 A = -1 5
A=1
-(4,4 + 155) = —4
5 = 0.
2 A - 2 5 - 1 5 C = —13
C=1
Luego:
y
= ji 2 +1
por lo tanto la solución general de la ecuación es: y = y g + y
©
^
- 3
+ c 2e 5x + x 2 +1
y ~ c xe
es decir:
^
-
4 v = - 4 .v 5 + 390.V
</.r
Solución
El polinomio característico es:
r,
= - 2 ,
r2 =
2 ,
r3 =
/
y r4 =
P(r) = r - 3 r
- 4 = 0 de donde
- i
y la solución complementaria o solución general de la ecuación homogénea es:
293
Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden n
y g = c xe ~ x + c 2e * + c 3 eos * + c 4 sen *
Para la solución particular se debe tener en cuenta la primera parte del I o Caso de donde
se tiene: y p - A a 5 + B x 4 + C a 3 + D a 2 + Ex + F , de donde derivando y reemplazando en
la ecuación diferencial dada se tiene:
-4 A = - 4
-4 5 = 0
A= 1
- 6 0 A - 4C = 0
de donde
-3 6 5 -4 D = 0
120A - 1 8C - 4 £
C = —15
B=D=E=F=0
390
2 4 5 -1 2 D -4 F = 0
Luego y _ =
a 5 - 15a 3
y la solución general es:
y = c , e ‘2jc + c 2e 2x + c 3 c o s a
+
c4
sen
a
+
a
5
-1 5 a 3
y M+ 3 / = e
Solución
El polinomio característico es P ( r ) ~ r
+ 3 r = 0 , de donde
rx = 0 , r2 = - 3 t luego la
solución complementaria de la ecuación diferencial homogénea es:
y 8 = c, + c 2e ‘ 3x y de acuerdo a la parte a, del segundo caso la solución particular es:
y _ = Ae X
J
A .X
de donde
y. . . = Ae
como yM+ 3 y * = e x =>
_
Ay, x
y D - Ae
A ex + 3 A e x = e x
A -i
4
Luego la solución particular y » = —
y la solución general de la ecuación no homogénea
A
es:
y=
es decir:
y = C j+c2*
+—
294
@
Eduardo Espinoza Ramos
y"-
4 y'= xe *x
Solución
El polinomio característico es: P(r) = r 2 - 4 r = 0 de donde r, = 0 , r2 = 4 , luego la
solución general de la ecuación diferencial homogénea es: y g = c x + c 2e 4* y de acuerdo
a la parte b, del segundo caso se tiene la solución particular de la forma:
y p - x ( A x + B ) e 4*
y p = (A *2 + B x)eAx
Es decir:
homogénea es:
(ó )
y la solución general de la ecuación diferencial no
y = yg + yp
y ' + y = sen J t- c o s jr
Solución
El polinomio característico es: P(r) = r~ +1 = 0 , de donde: r, = / , r2 = —í . Luego la
solución
complementaria
y g = Cj eos jc + c 2 sen x
de
la
ecuación
diferencial
homogénea
es:
La solución particular de acuerdo a la parte b, del 3er. caso es de la forma:
y D —x(A eos jc +
Es decir:
y p =
homogénea
sen jc)
Ax eos jc + Bx sen x y la solución general de la ecuación diferencial no
es: y = yJ?+yp es decir:
y '' ~ 4y'+8 y = e lx (sen
2 jc -
y = c { c o s j c + c2 sen;c + Axcosjc+ZÍA'sen
jc
eos 2 x)
Solución
•y
El polinomio característico es: P(r) - r
r} =
es:
®
2
y
+ 2/ ,
2 = 2 —2 / ,
*
l u e g o la s o l u c i ó n g e n e r a l d e la e c u a c i ó n d i f e r e n c i a l h o m o g é n e a
= Jce2jt( A c o s 2 j c + Z ? s e n 2 j c )
y ”- y ' - 2 y = e* + e
-
- 4 r + 8 = 0 , de donde:
de donde
2x
Solución
y = y P +y„
295
Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden n
El polinomio característico es: P(r) = r~ - r - 2 = 0 , de donde: rx = - i , r2 - 2
Luego la solución general de la ecuación diferencial homogénea es:
y g ~ c xe
+ c 2e
y
forma:
y de acuerdo a la parte a, del 2do. caso la solución particular es de la
= A e x + Be~2x
¿X
y ," - 4 y '= x e 2" + sen x + x
Solución
El polinomio característico es: P(r) = r 3 - 4 r = 0 , de donde: r, = 0 , r2 = - 2 , r3 = - 2 ,
luego
la
solución
general
de
la ecuación
diferencial
homogénea
es:
—7r
^r
y g = c, + c 2c
+ c 3^
y de acuerdo al 1er y 2do. y 3er. caso la solución particular es
de la forma:
n»______ _
y p = a ( A t + B)e~2x +. ^C c______
osx+D
senx+x(Ex
+ K x + G)
y D - 2 { A x 2 -¥Bx)e2x + ( 2 A x + B ) e 2x - C s e n A + D c o s A + 3£A2 + 2 Fx + G
^
^
Ow
y „ = 8 ( A a ‘ + Z?A)e* + 1 2 ( 2 A j c + f í ) e * + 1 2 A e
+ C senA -D cosA + 6 £
W
reemplazando en la ecuación diferencial e igualando coeficientes se tiene:
12A + 8B = 0
- 5D = 0
16A = 1
- 12E = 1
5C = 1
- 8F = 0
de donde:
6 E -4 G = 0
A = — , B = — , G = —, D = F = 0 , £ = — —, G = - - ,
16
32
5
12
8
ce ~ X /n
/-i 2
2
->
-> ^x . COSA
VW3A A3
a
A
a
V’ = -----(2a -3 a ) + --------------------'p
32
5
12 8
Es decir
»
\
i
Por lo tanto la solución general de la ecuación diferencial no homogénea es: y = y g + y p
296
Eduardo Espinoza Ramos
y ’’+2y'+2y = e x eos x + xe x
Solución
El polinomio característico es:
P ( r ) = r “ + 2 r + 2 = 0 de donde r{ = -1
+ 1,
r2 = -1 - i ,
luego la solución general de la ecuación diferencial homogénea es:
y* = e ^ (cT| eos x + c 2 sen jc) y de acuerdo al 2do. y 4to. caso la solución particular es:
y _ = x e ~x ( A eos x
+
B sen jc) + ( Ca + D ) e
-X
derivando y reemplazando en la ecuación diferencial e igualando coeficientes se tiene
que:
1
>4 = 0,
2
C = 1, D = 0
y;> - —e
e s d e c ir :
general de la ecuación diferencial no homogénea es:
b.
L-
©
©
©
©
y = vp+ y
E JE R C IC IO S P R O P U E S T O S .
d y
dy
dx 2
dx
_
2
d y
dy
— f - 4 — - 5 y = 5x
dx 2
dx
dy
— f — ~ = A+ l
dx
dx
d y
Ady
dx~1
d y
©
s o lu c ió n
Resolver las ecuaciones diferenciales siguientes:
d y
©
y la
x s e n A + Ae x
- 4 — + 4 y = 4 (a - 1 )
dx
~ dy
+ 2 — + 2y = 2(A + l)
dx“
y '" + y " + y' + y = a + 2 a - 2
R p ta :
y
= Cj + c2e
R p ta : y = c¡e
Y
X
x
5x
- 2 a
4
+ C j£ -jc + —
R p ta : y - c x + c 2ex - c ^ e x — -
R p ta: y = e
R p ta: y = e
2x
-
a
(cxx + c2 ) + x
(q cosa
+
c2
sen a )
+ a
Rpta: y = cxe x + c2 eos a + c 3 sen a + x" - 4
297
Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden n
©
v /v + 4 v,,= 8(6 jc +5)
©
v’" - 3 / ’+ 3 y ‘- y = (2 + jc)(2 - jt)
®
R p ta :
=
R p ta :
©
y lv - 3 y M+ 2 y '= 6 j r ( j r - 3 )
dx2
dx
d v
_ dv
— ^ - - 2 — + 5y = 25* +12
©
= e x ( c , jc~ + c2x +
R p ta : y = e (c {x + c2) + e
v ,v - 2 v " + v = jcx - 5
dx
y
c3)
+ x* + 6x + 8
R p ta : y = C |e 2 + c 2e HX + 1 - *
2 / ’- 9 y ’+ 4 y = 1 8 * - 4 jc
< /-v
2 +1 C3JC 0 S 2 JC + C , s e n 2 * + jc ( a " + 2 )
c,
4.t
@
©
v
-X
( c 3jc + c 4 ) +
- 1
R p ta : y = f j + e (c2.t + c3) + r 4e
+*
R p ta : y = e* { c xeos 2* + c2 sen2jc) + 2 + 4 * + 5*
•
- 2 — = 1 2 * -1 0
R p ta:
y
=
C | + c 0e “
+2jc —jc
—
2jt
®
^ H r + — - 2 v = 2*( v(0) = 0, v ‘(0) = l
d x - ¿v
R p ta : v = e *
©
y, " + 4 y ,= * ,
R p ta : y = — (l-c o s 2 .v ) + x 2
16
©
y iV + 2 y ” + y = 3 a + 4 , y(0) = y ’(0) = 0 ,
R pta:
©
ytv
v(0) = / (O) = O , y " (0 ) = 1
y = (a - 4 )
+ y M,= JC
c osa
2
a: —
1
2
y " (0 ) = y ,M(0) = 1
- ( —.x + 4)sen * + 3x + 4
U
2
S
S
. Xa
R pta: y = c, + c2x + c3a + c4é> + e - ( c 5 co s-^-;c + c6 s e n - ^ - jt) + —
y ''+ 2 y ' + 3y = 9 a
R p ta : y - c xe x eos V2a + c2e * sen > /2 a + 3 a - 2
©
y " + y ' - 2 y = 14 a + 2 a - 2 a.2
R p ta : y =
@
yM+ y = j r + 2 , y(0) = y'(0) = 2
R pta: y = a~ + 2 sen x
+ c2e lx + x 2 - 6
298
Eduardo Espinoza Ram os
y ' + y ' + y = jr4 +4.v3 +12.v2
22
23
R p ta :
y ,M—3y" + 3y' —y = 2 x 2 —3 jc — 17
y ,r-6 y * + 9 y = 2 jc - . v+ 3
y = cxe xil eos— x + c2e t / 2 sen — x + .v
R p ta: y = ( q +
c 2 jc
+
c 3 jc 2
)e* -
2
jc 2
- 9x + 2
2
5
11
R p ta: y = ( q +c~>x)e*x + —a:2 + — x + —
F
J
1 9
27
27
- 5 jt
24
v’+ 4 y '- 5 v = 1
R pta: y = q e
25
*v,,,- 4 ym " + 5 v* ,- 2 v+ = 2.v + 3
R p ta : y — ( q + q ¡ x ) e x + c 2e 2* —x —4
y v + y M’= j t 2 - l
27
y ,M- y ' = 3 ( 2 - j c ) , y(0) = y'(0) = y " (0 ) = 1
28
29
@
. »
—0.2
x 5 jc3
R p ta : y = - ---------- + q j r + c ,jc + cs + c , eos jc + c* sen jc
60
2
2
3
4
26
• ti
+ c2e
R p ta: y = e * + jc 3
R p ta: q + c 2ex + c3e
~^~= ^
y ” - 2 y ,+ y = - 2
R p ta : y =
y ,, + 9 y - 9 = 0
R p ta : y = q sen 3 jc + c2 eos 3 jc + 1
(q+q>jc)e
* -2
R p ta : y = q + c2jc + c3e * +
32
©
35
5y," - 7 y ,,- 3 = 0
R p ta : y = q + c 2 Jc +
v ' v - 6 y ' M+ 6 = 0
R p ta : y =
3 y 'v + y ‘” = 2
y ,v- 2 y M,- 2 y ’+ y = l
R p ta : y
q +
e 3e T5 — 3*
—2
c 2 jc + c 3 jc2
+ r 4 e 6'í + —
6
-= q +
c 2 jc + c 3 x í'
+ c4e
x3
3 + —
R pta: y = q eos jc + q> sen x + (c3 + c4x )e x - 1
299
Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden n
36
y "+ 2 y ’+2y = 1+ jc
R p ta : y - e
ly "-y'= l4 x
R p ta : y = c{ + c 2 ^
y,M- y " + y = r
39
©
y"-4y'+4y
=
+*
®
©
45
©
y
+y =x
+jc
R p ta : y =
ryr
3
+ — + —+ —
4
2 8
jc“
X
X
y
= (c, + c 2 x ) e x -h jc3 -h 6.c2 + 18 jc + 24
+ --------2
8
jc4
c,
+ c , jc + c , cos x + c d sen jc + — +
4
12
R p ta : y - ( I
4r l
y ' " - y = 2jc,
= jc3 + 6
jc
jc3
6
jc2
+¿
+7
ém /
+ 2jc
R p ta : y = (c{ +c 2x )e2x + —( 2 x 2 + 4 jc + 3)
y"—4 y ’+ 4y = x
y M- / + y
7
4 -F\
R p ta : y = — - = e 2 sen —
V3
-2
y(0) = y'(0) = 0 , y "(0 ) = 2
jc
-Rv
6 y + 9 y = j r - J + 3 . y(0) = ^ . y'(0) = ^ -
8
R p ta: v = e 2 (cx c o s j c - —“ +
2
y " - y = 2 - x " , y(0) = 2, y ’(0) = 0
49
3-v
jc + — + ------ + x
3
2
a
^
R p ta : y = c , + c , e
1
R p ta :
+ —
- 7 jc 2 -9 8 jc
R p ta : y = (c,+ c\jc)e
1 2
jc
y " - 2 y '+ y = jc
42
7
^
n/3
R p ta : v = c»£2 co s— x + c ? e 2 se n —
2
2
2
y”+ 8 y '= 8 *
IV . . . I I
(c, sen * + c2 cos jc)
y '' '+ 3 / W + , y = x 4 + 4jc3 + IOjc2 + 20a: +1
48)
c> s e n
V3
jc - t -
)
+ jc3 + 3jc
y"+6y'+10y = * 4 + 2 * 2 + 2
^
300
Eduardo Espinosa Ram os
II.-
Hallar la solución general de las ecuaciones diferenciales:
(D
v’ - T v•»' + ^ v ^ c 4'
•
R p ta : y = c xe
©
y ” —2 y' + y = 2 e x
R p ta : y - e x (cx + c2x + x )
vr
wv " = x e x + «
x
-x
( x 1 —x)ex
R p ta : cxe + c 2e + ------ -------
y " - 4 y ' + 4 y = x e 2x
x3
R p ta : y = (c, + c2x + — )e2x
6
©
©
©
©
©
©
©
®
©
©
©
0
.
+ c2e
- xe
_
■i_
ex
+—
y ' ' - 6 y' + 9 y = e x
R p ta : y = (C |+ c 2Jt)e
y - 3 y _ 4 j = 30el
R p ta : y = cxe4x + c 2e~x - 5ex
wv " - 3 v
+ ' - 4 v•' = 30c4*
R p ta : y = (cx + 6 x )e4jc + c2e x
y " - y = %xex
R p ta : y = c xe~x + e x (c2 - 2 x + 2 x 2 )
y , v - y = e~x
R p ta : y = cxex + (c2 - ~ ^ e~X ~
/ ^ ^ l O í ’2’ cuando x = 0, y = 0
a
y '= 0
c3 cos x + c4 sen x
R p ta : y = 2(e~x - c o s x - 2 senx)
é^x
y " + 3 y ' - \ 0 y = 6e Ax
R p t a : y = cxe2x + c 2e~5x +
y " +1 Oy' + 25 y = 14c ~5*
R p ta : y = c xe~5x + c2e 5x + 1 x 1 e 5x
y " - y ' - 6 y = 20c_2jr
R p ta: y = c xe*x + c9e~2jc - 4xé* 2jc
2 +v " - 4 y»' - 6 v = 3 c2*
_
R p ta : y = cxe
3jr
e 2x
——
+ c2*
X
©
Zy" + y ' - y = 2ex
R p ta : y = C|£-Jc + c 2e 2 + e x
301
Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden n
©
©
y l, + 4 / + 2 v
6y
©
R p ta : y = c, eos ax + c 2 sen ax +
y " +a~y = e
' +
2 /-y
= jc*
-*
2
= 7 jc(jc +
a 1 +1
R p ta : y = yg —
l)e
R p ta :
.y
= yg +
30
( x 2 - 3 x
+ — )e
_
x —1 .
R p ta : y = y + — — e
v " ' - 2 y " + 10y' = 3>xe
A’
20
@
y " - y '+ - = *e2
R p ta : y = q e 2 + c2e 2 + y
y " - y '= 6 x V
R p ta :
=
c,
+ (x 6 -
6x5
X
+ 30x4
- 102x3 + 360x2 - 720x
+ c 2 )e
R p ta : y = c ]e x + c 2 e x + x e x
22
y " - y = 2e
23
y - 4 y + 3v = 4^
24
y *+ y+ >= e
2
y
3*
R p ta : y = c¡e3x + c 2 e x + 2 x e Xx
-2 x
R p ta : y = (C]+c 2 x)e x +e 2x
í y iv +8y" +6y*=(jc3- 6 x 2 + \ 2 x - 2 4 ) e
-A
y¡2
y¡í
■>
->
R p ta : y = t’| + r 2x + e 3jt[c3 s e n - y + c4 c o s y x] + (x - 6x ~ + \ 2 x ) e
“
26
27
28
£ 2 - 2 ^ + , = 2 .:'
dx
dx
c/ y . dy . x
7 + 2 — = 3xex
dx
dx 2
R p ta : y = (C| + /nc2jt)e* + 2 e 2*
R p ta : y = Cj + c 2e 2x + x e x ~ ^ €*
A
y ''-2 k y ' + k 2y = e x , k * l
R pta: y - (c¡ + c2.x)e¿1 +
(k -
1)
302
29
Eduardo Espinoza Ramos
y"-4_v' + 3y = 9e
- 3 jc
R p ta: y = c]e 3x + c 2e~x - - x e 3x
y"
•
' + 3 mvf '= 3;ce
©
R p ta : y = cx + c 2e“3* - ( - £ - +
y "+ 5 y ' + 6y = 10(1 -;c)e ~2*
32
y " + y ' + y = ( * + JC2 ) e v
33
y " - 3 y ' + 2 y = xe
v " + v ' - 2 y = x 2 e 4x
35
*>
3*
y " - 3 y , + 2>, = ( j f +x)e
36
v iV - 2 y M,- 2 v ’+ y = e
+
R p ta : y = i \ e x + c*é~2x +
F
1
2
38
y " - 2 y ' —3y = ( x - 2 )e X
42
18
1
(jc2 —jch-— )
18
R p ta : y = cxex + c 2x e lx + c3 e o s x + c 4 sen x + — ex
y " - 5 y ' + b y = ( \ 2 x - l ) e x , y(0) = y'(0) = 0 R p ta : y = e~ - e
©
e^x
R p ta: y = cxex +c 2e"x + - — ( ; T - a + 2) *
2x
y " - 5 y ' + 6 = ( x + \ ) 2 e~2x
+
R p ta : y - c,e 2x +(c 2 - x - — )e
37
©
3x
R p ta : y = c,<? 2x+ c 2e 2x + ( 2 0 x - 5 x 2x
x)e -2*
R p ta : y = e 2 (c, s e n - j- .v + c2
34
■r
3at .
+xe
-x
R p ta : y = cxeix + e 2e x + (--^ + -^)e*v
R p ta : y = cxe
2x . _ J3x
+ c2e
jT
29
441 ~2x
+ (— + ------x +
)e
20 200
4000
X
”
X
\
x
~
4 y " - 4 y '+ y = ( x - \ ) e 2
R p ta : y = e 2 (clx + c2) + x~(—
y " - 2 y ' + y = (jr+ l)e
•>.x 1
R p ta : y = e (c,Jt + c2) + j t ( —+ —)e
6 2
y,M+ 2 / ' = ( 4 j r + 6 x - l ) e
Rpta: y = c , + c 2* + c3e 2jf 4 ~ ( ; c - l ) e 2*
A
)e2
303
Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden n
y ” - A y = 6e x ,
45
y " + 4y' + 5 y = \0e
III.-
R e s o lv e r las e c u a c io n e s d if e r e n c ia le s s ig u ie n te s :
©
v '' + v = 3 sen 2 x +
©
y ' '+ y = eos
©
y " + 9 y = e o s 3.v
©
©
x
Rpta: y
y ''+ y' - 6 y = sen a. eos a
Rpta:
y
a+
a
sen
senA -2cosA
Rpta:
Rpta:
y =
c,e + c 2e
©
©
+ c2 sen a + —(eos a + sen
c2 cos3A +
o
i
cxe~* + c \ e ~ x
y =
1
2
e
—sen
x)
3*
(5 s e n 2a + cos2a)
104
1
(c, + c :A )“ — ( 3 s e n 2 a + 4 eo s2 a)
2x
(cx e o s a + c2 s e n a) +
COSA
+c,3 cosA +c4 senA+ — (cosA+2senA)
4
d 'y
Rpta:
— - + y = senA
y =
q cosa + c2 s e n a - —cosa
d x **
Rpta:
7 *+ 4 y = e o s a
dx“
¿ 4y
©
x
y = cI se n 3 x +
Rpta: y = e
d 2\
©
y =
= c, e o s
1
2a
©
- y =
y' = 0
Rpta:
y '' - 4 y '+ 5y = eos
4.r
x
5
R p ta : y = c, eos x + c sen x — eos 2 x — sen 2x
3
9
a*e o s x
©
©
3jc, c u a n d o x = 0 , y = 0 ,
- sen X
y " + 2 y ’+ y = s e n
y ' " + y ' - l 0 y = 29e
(2 )
y (0 ) = -1, / ( 0 ) = 0
¿/“y
— f - 2 — f + y = 5sen2A
Rpta:
d~ y
« *
Rpta:
dx
dx~
— - + 9y = 4
dx~
y
..
- ,
a
sen a
~
+ 4 y —2 y = 8 s e n 2 a
Rpta:
y =
y = c 1co s2 A + c 2 se n 2 A +
COSA
y = (c¡ + c 2 a ) c r + ( c 3 + c 4 A ) e * +
y =
c ,c o s 3 A + c ,
1
3
-
sen3A +
A
s e n 2a
COSA
— se n a -------------
2
8
-iJh+^x
íJ6-2íi 1 2sen 2A + ló eo s 2 a
cxe < v * + c 2e
---------------------------------------25
304
®
Eduardo Espinoza Ramos
y " + y = 4 * eos „v
®
,,
.
R p ta : y = c, cos.c + r 2 sen.r + jc2 sen x + jc eos x
,
^
v - 2 m v + m ‘ v = se n (/u c )
^
v
y = ( c x + c 2x ) e
R p ta :
( /« “2 - «..2 ) s e n ( n x ) + 2 /n n e o s rúe
— ------------------+ -----------------------(m2 + ; r ) “
y ” + a 2 >’ = 2 c o s ( w u ) + 3 se n (/« jc ) r m * a
„ 4
.
, . 2cos(mx) + 3sen(mx)
R pta: y = cxcos(ax) + c 2 szn(ax)-\----------
161
^
4y" +
8
y " + _v =
®
v ’ = .v s e n A
jc 2
R p ta : y = c ,+ c -,e
1
2
-2x
7
X
1
- ( --------------- ) s e n * - ( -------V — ) c o s x ’
■X
20
50
10
50
x
x~
R p t a : y = ( c , + - ^ - — )cos.v + (c2 + — )sen jc
sen x
R p t a : y = c1e í + e
y " ' - y = senjc
2 ( c 2 cos — x + c3 -^-jc) + —(c o sjc-se n )
R p t a : y = eos x + x senx
©
y " + y = 2cosjc, y ( 0 ) = l ,
y'(0 ) = 0
@
y ” + 4y = s e n jc ,
( 5 l)
y " + 4 y = 4(sen2jc + cos2jc), y(7t) = y'(7t) = 2
y{0) = y'(0) = 1
R p t a : y — c o s 2 jc+ — (s e n 2 jc + se n jc)
R p t a : y = 3 x eos 2x + ~ sen 2 x + ¿(sen 2jc — e o s 2jc)
22)
R p t a : Y = Acos2x + Bsen2x + 3xcos2x
y" + 4y = -1 2 se n 2 x
y ” + y = - 9 c o s 2 jc , y ( 0 ) = 2 ,
y *(0 ) = 1
R p ta : y = senx - cosx + 3cos2x
24)
y " + 2y' + 2 y = - 2 e o s 2.v - 4 se n 2a , y ( 0 ) = l ,
y ’(0) = l
25)
y " + 2 y ' + 2 y = 2 s e n 2 jc -4 c o s2 jc , y ( 0 ) = 0 , y ’ ( 0 ) = 0 .R pta: y = 2 é ~ * se n jc + se n 2 x
26)
y" + 4y' + 3y = 4senjc + 8cosjc, y (0) = 3,
y'(0) = - l .
R p ta : y = e * se n x + e o s 2 x
R pta: y = 3e x + 2senjc
305
Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden n
27
y " + y = 2cosx
28
v' *-
29
R p ta: y = c, sen x + c 2 c o s x + x s e n x
3 y' + 2 v = 14 sen 2x -
18 eos 2a*
R p ta : v = c¡ex + c 2e ‘x + s e n 2 x + 3 c o s 2 x
v
v,,- 7 v ’+ 6v = se n x
©
32
33
y ' ' + y' +
sen
2x = 0 ,
R p ta : y = c]e
y (7 t)
= v ’ (7t) =
¿
+ c 2e +
5 sen x + 7 eos x
74
w» .
1
sen x
R p ta : y = —s e n 2 x ------------ co sx
3
3
1
R p ta : y = c le + c 2e
3x
+cosx
R p ta : y = c ¡e x + ( c 2 + x ) c o s x + (c3 - x ) s e n x
v " ’- y " + v '“ v = 4 s e n x
R p ta: y = (c + x)senx
y(0) = 0, y(n) = 0
R p ta : y = cte x + c 2e*x + 2 c o s x - 4 s e n x
y M- 4 y ' + 3y = 20 eos x
0
6x
eos 2x
R p ta : y = e~x (c¡ eos 2x + c 2 sen 2 x ) -------------2 sen 2x
v '' - 4y* + 3y = 2 eos x + 4 sen x
y"+ y = 2cosx,
sen (bx)
R p ta : v = c, sen(Jfcx) + c> cos(fcx) + — ----- k2~b2
y” + /:“ v = sen (¿u ), k * b
17
y "+ 2 y '+ 5y = — —eos 2x
, .
vM+ y ' - 2 y = --6(sen2x + 3 c o s 2 x ) , y ( 0 ) = 2, y'(0) = 2
©
y " + y = - 6 0 s e n 4 x , y ( 0 ) = 8,
©
y " + 4y' + 5 = 8 ( s e n 3 x - 3 c o s 3 x ) ,
IV.-
y ’(0) = 14
y (0) = 1, y*(0) = - 7 .
Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales.
©
d y „ dy „ 2 r
— - - 3 — = 2 e sen x
dx~
dx
©
4 y " - 5 y '+ y = e ‘ ( s e n 2 x -c o s 2 x )
R p ta :
y = C j+ c 2e
3*
3 2,
2x
s e n x — — c o sx
R pta: y ~ c xex + c 2e*/4 +-^— (-1 lsen 2 x + 5cos2x)
146
306
©
Eduardo Espinoza Ramos
y
+ y _ 2 y = e x( 2 cosa + A senA )
R p ta: y = cxe x +e
y" + 4y' + 4y =
®
-2x
é~
sen
x
ex
®
©
y ” ' + 4 y , , - 1 2 y ’=
R p ta: y = e 2x (cx c o s a + c 2
sen a) +
v" + 2v' + v =
sen a
R p ta : y = e (Cj c o s A + c 2 s e n A )
cosa
Se2x e o s
a
xe
-2x
sen
x
xe
+ ------- s e n x
sen a
R p ta : y = c, + c->e2x + c?e 6x,— —e 2* (5 s e n 2 a +
68
®
-X
R p ta : y = e 2x ( c xx + c 2) - e 2 x s c n x
y M+ 4 y ' + 5 y = e 2 a c o s a
y "-2 y ' + 2y =
A( c 2 c o s A + c 3 s e n A ) -
xe
R p ta :
ex c o sa
v = c , e “ T + c^xe~x
1
-
+—
25
3 eos 2a)
(3 co s.v + 4 s e n a )
-x
©
yM+ 2 y ' + 5y = e x
sen
2a
R p ta :
@
y " - y ' = e x sen
®
y ” + 2y' + y = a V * cosa
©
V.-
©
©
xe
R p ta : y = e‘ A(c,cos2A + c2 sen2A )--------- eos 2 a
a
y M,- 3 y " + 3 y ' - y =
ex
R p ta :
e o s2a
y =
y = c , + c 2 eA- — (sen a + e o s a)
cxe~* +
R p ta :
c 2 xe~x ( - x ~ e o s a + 4 a s e n a + 6 e o s a )
e
( c , + c 2a + c 3a )e — — s e n 2 a
i
y =
x
Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales.
y" + 9.y = x 2 e u + 6
y '' + 2 y ' = 3 + 4 sen 2 a
1
2
1
2
R p ta : y = c, c o s 3 a + c:) sen 3 a h
( a 2 — a + —)ehx + —
1
2
18
3
9
3
3a
sen 2 a
2
2
R pta: y = cl + c 2e 2x + ------
eos 2a
307
Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden n
0
y'' + 4 y = x 2 + 3 e x , y ( 0 ) = 0, / ( O ) = 2
7
„
19
„
*2 1 3 ,
R p ta : y = — s e n 2 x ------ c o s 2 jc + --------- + —e
10
40
4 8 5
( 4)
y " - 2 y ' + y = xe* + 4 ,
y (0) = y '(0 ) = l
jc3
R p ta : y - 4xex - 3ex + — ex + 4
X
©
2 y " + 3 y '+ y = x 1 + 3 s e n x R p ta : y = c¡e x +c2e 2 +(je2 - 6 j t + 14)
,
„
2
.
y + y + y = sen x R p t a : y = c,e
H
1
®
- x /2
y' '+2y'+5y =
R p ta:
W
jc + c2£ 2 sen -------x + -----
©
6
4
x ( 2 x + sen 2 x )
jc*
*
^
jc _X
y - e *(c, cos2jc + c 2 sen2jc)---------- .cos2jc + —e
y v - y %v -
-1
R p ta :
y " 1—4 y ' = x e 2x + sen jc +
R p ta:
F
M
R p ta : y = c,e x + c 2e2x +
4
(íí)
10
cosx
y¡3
l s e n 2 x 3 c o s2 x
eo s— x+c-,e 2 se n — x-\------------------1----------^
2
2 2
13
26
y " - y ' - 2 y = co sh 2 x
®
10
sen*
9
~
R p ta : y = cxe ~xt2 c o s
y ,!+ y '+ y = 2 s e n h x
3
jc
7
y = — + C|jc3 + c 2x 2 + c3.* + c4 + (—— 4 x + c5)e
24
2
2
3
2jt
y = c, + c 2 e 2* + c3g~2* + C° S* - - — —+ - — (2jc 2 - 3 j c )
7
1 2
3
5
12 8
2
y " + 2 y ’+2y = e~ x
cosjc
+ xe
- X
R pta: y = ~ e x ®en x + xe~x + e x (Cj cos jc+ c2 sen x)
8
308
13
Eduardo Espinoza Ramos
y v + 2 v '"+ 2 y " + 2 y ' + y = x e x +
1
Rpta:
©
%
. .».
+ (ci + ci x )e~x +(<3
y=
»
y + y — eos
2
,
x + e
cosa:
x t
+ x
2
) c o s j c + c 4 sen jc
ex
se n *
jc2 + 2 jc ) + — +
Rpta: y = cx + c 2e x + (
2
eos 2 *
20
10
y V + 4 y " ’= e x + 3 sen 2* + 1
«
.
Rpta:
©
2
y ”- y ' = x - e
- x . _x
©
@
y ’!- 4 y ' = 4 jc + sen jc + sen 2 jc
3
jc
Rpta: y - c x + c 2e
jc
3
+
e
— —+
2 x + xe~ + —
2
e o s* —2 sen jc
2
1
eos 2 jc
y = ( c } + c 2x ) e x + x + l + — (4 c o s x + 3sen jc) + ---------25
8
y M-4 y '+ 5 y = 1 + eos 2 jc + e 2x
Rpta:
@
Rpta: \ = c x + c ^ e ~ +
+e
y ’ - 3 y ’= 1 + e x + c o s jc + senje
(jj)
3a
* 3
y = C i+c^* + c^jc + cAeos 2* + c* sen 2 x h----- + — + — sen 2*
1 2 3
4
5
5
24 32
2
Rpta:
e*
~
2X
3
y = (c, eos jc + c* sen jc + \ ) e AX + — +
1
2
10
c o s 2 jc
4sen2jc
130
65
y ” ' - 2 y + 4 y - e x c o s jc + jc + s e n 2 jc
Rpta:
y = c,¿ 2x + ( c 2 cosjc + c 3 sen*)e'r + —( 2 x 2 + 2 x + l) +
8
xex
+ — (sen 2x + 3 eos 2jc) + ------ (3 sen jc - eos x )
1
40
y 1f+2y1= 3 + 4 sen 2 jc
Rpta:
20
y = c, + c 2e
_2 *
3*
se n 2jc
+ -------
eos 2 x
309
Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden n
22)
(3 )
24)
y " - 2 y '+ y = x e x + 4 , y(0) = 1, y'(0) = l
2y"+3y'+y = x 2 + 3 sen jc
Rpta:
y " - 8 y ' + 1 5 y = ( 1 5 x 2 + 14jc + 1) + í?x
jc3£*
y = 4xex - 3ex + -------+ 4
Rpta:
y —cxe ' x + c 2xe~x + ^ - ( 3 c o s
Rpta:
y = c }e3x + c 2 e 5jc +
jc
+ 4sen
( jc + 1) 2
jc)
+^-
2 -2 x
y'"+4y'+4y = e 2jc+8(;t + l)
26)
y = cx + e~l x {c2x + c3) +x 2
y = c, + c2x + e*[c 3 c o s ^ - x + c4 s e n ^ - x ] + ( x 4 -12jc2) + ^ -
y n - 8 / ■+16 y = jc senh x ( 2 x)
Rpta:
F
y = e 2x (clx ^ c 1) + e
J
2* ( c * j c
3
+ c 4 ) + Jt2e 2jc( — --------— ) - x * e
-4
192 128
2x
Q í)
y ” 1—y '= (x + e x) 2
Rpta:
(T )
128
2
3
2
e
y = c ,e “ + c 2 e o s* + c 3 se n x + —
( jc -
3
x
— ) + —(jc + 2 )e
y' ' 1+ 2 y 1' + y ’= sen jc+ 2 eos 2*
«
Rpta:
VI.-
192
+ —í— )
/ " + / ' + / + > > = x cosh(-jc)
Rpta:
30)
2* ( - ^ -
y = Cj + c 2ex + c 3e~x + --------x (— + 2) + —( x ~ 3 ) e x
6
(29)
---------
y ív - y ’ ’ ’+ y * ’ = 12 * 2 - 24jc + é>* r
R p ta;
(¿7)
Rpta:
y = cx +e
se n x
1
^
x
(c2x + c3) -----------— .(3sen2jc + 4cos2;t)
Dar la forma de la solución particular de las siguientes ecuaciones diferenciales
y M- 4 y ' = jc2^ 2^
Rpta:
y p = x e 2x ( A x 2 + Bx + C)
y’*+9y = cos2;c
R pta:
y p = A eos 2jc + i3 sen 2jc
310
($)
Eduardo Espinosa Ramos
y M- 4 y ’+ 4 y = sen2;c + e 2j
y M+ 2y' + 2y = e* sen jc
©
^6)
y M- 5 y ' + 6y = ( * 2 + l)e x + x e 2x
R p ta:
y p = A c o s2 x + fisen l x + c x 2 e 2x
R p ta :
y p = e x (A c o s * + ¿?sen*,)
R p ta :
y p = e x ( A x 2 + Bx + C) + x e 2x(Dx + E )
y " - 2 y ' + 5y - x e x c o s 2 * - * 2e x sen 2*
R pta:
®
R p ta :
y p = x e x [(Ax 2 + Bx + C) eos 2 x + ( D x 2 + E x + F ) s e n 2 x ]
y + 3 y* = 2 x 4 + * V 3x + sen 3x
y p = * (A |* 4 + A2* 3 + A3* 2 + A 4x + A s ) + x ( B ¡ x 2 + B 2 x + B 3 )e~3x + D s e n 3 x + E c o s 3 x
y " + y = *(l + sen x )
R p ta : y p = A,x + Á 2 + x ( B lx + B 2) s e n x + x ( D lx + D 2 ) c o s x
y " + 5 y ’+ 6 y = e x eos 2jc + e 2x (3* + 4) sen x
R pta:
y p = e x (A co s2 * + fís e n 2 x ) + (Dj + D 2x )e 2t sen jc-#-(fTjjr-f- £*2
2^ eo s*
y " + 2 y '+ 2 y = 3e~x + 2e~x e o s * + 4 e ”Jt* 2 se n *
R p ta:
II)
y» = Ae~x + *(Z?,x2 + B 2x + B 3 )e~x c o s * + * ( C |* 2 + C 2* + C 3)£_X se n x
y ''+ 3 y '+ 2 y = e x ( x 2 + I)s e n 2 * + 3ex c o s * + 4 e x
i
R p ta:
y P = ( A xx 2 + A 2x + A 3 ) e x s e n 2 * + ( £ , * 2 + Z?2* + t f 3)ex c o s2 * +
+ e 3x(£>cos* + £ s e n *) + Fe
y" + 4 y '= *
2
sen 2 * + (6 * + 7) eos 2*
- '
^
t
o
R p ta:
y p = * ( A j * 2 + A2x + A3)s e n 2 x + (fí1* 2 + B 2 x + B 3 ) c q $ 2 x
y " - 4 y ' + 4 y = 2* + 4xe
R p ta:
y
\
2x
+ *sen2*
= A,x¿ + A2x + A3 + * ¿ (fi1x + f í 2)e 2x + (C 1x + C 2 ) s e n 2 x + (D ,x + £>2) c o s 2 x
311
Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden n
yM_ 4 y + 4 = x( 2 e 2x + x $ e n x)
y " + 2 y '+ 2 y = x 2 —3xe 2 í cos5x
15
y ’" —3 v ’- 2 y = e A(l + x e x )
©
y tv + 5 y ” + 4 y = 2cos;c
18
y " - 4 y ' + 8y = e 2v(l + sen 2 x)
©
y M' —y M+ y = 2(JC + 2^”Jt)
20
y ,,, + 3 y ,,- 4 y = 9jce“^ + 4 j r
©
-2x
Consideremos una ecuación diferencial no homogénea de coeficientes constante de tercer
orden.
... ( 1)
donde a l , a 2, a 3 son constantes y f (x) es una función sólo de x ó constante.
Suponiendo que la solución general de la ecuación diferencial homogénea es:
Luego la solución particular de la ecuación (1) es:
^ = w Iy , + « 2y 2 + M3y3
donde w, , m2, w3 son funciones incógnitas que satisfacen a las condiciones siguientes
u ’i yj + u \ y 2 + u '3 y3 = 0
u \ y \ + u 'i
u \ y '\+ u
y '2 + «
3
y
3
=
... ( 2)
°
2 y h2 + u 3 y "3 =
/(* )
La ecuación (2) es un sistema de ecuaciones en u \ , m'9,
1ro
el método consiste en
Escribir la solución general de la ecuación diferencial homogénea.
y g = C l>'l+C2>,2 +C‘33;3
312
Eduardo Espinoza Ramos
2 00 Reemplazar
C |,c 2 , c 3 por las funciones incógnitas
I
solución particular de la ecuación (1).
©
3ro
Formar el sistema bajo las condiciones de la ecuación (2)
4to
Por medio de integración obtenemos í4¡,«2 y
a)
Ejem plos.-
M3 •
Resolver las ecuaciones diferenciales siguientes
d y
—+ y = cosec x
dx~
Solución
Hallaremos la solución general de la ecuación homogénea para esto se tiene
p(r) = r +1 = 0
= i , r2 - - i
de donde
la solución particular de la ecuación diferencial es:
y g = c { eos jc + c 2 sen x
y
=m,
cos^
+ m2 s e n x , tal que
u ’j eos x + u '2sen x = 0
u '¡sen jc + m’2 eos jc = eos ec x ;
0
eos ecx
u , =
eos X
- s e n jc
w2 =
sen x
COSJC
= -1
sen x
COSJC
cosjc
0
-senje
cosecx
eos jc
sen jc
- senje
cosjc
de donde
=3> u \ = -1
= c tg x
m '2
=>
M, = - x
= c tg a-
y p = -jc eos x + sen x. ln(sen jc)
La solución general de la ecuación diferencial es:
= L/i(sen jc)
313
Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden n
y
= y g + y p = c ¡ cosa
c 2 sen
+
a
-
a
cosx
y = c x cos .v+ c 2 sen a -
©
+
sen
a cos jc +
a
. ln(sen
jc )
sen x ln(sen jc)
vM+ 4v = 4 s e c 2 x
Solución
Hallaremos la solución general de la ecuación diferencial homogénea, para esto se tiene:
P(r) = r 2 + 4 = 0
/*] = 2 i , r2 = - 2 i por lo tanto
y
la solución particular de la ecuación diferencial es: y
=
=>
u f| cos 2 x + u \s e n
= c x c o s 2 j c + c 2 sen 2jc
cos2 a
+ u 2 s e n 2 a , tal que
2 a* = 0
... (a)
| - 2 « s e n 2x + 2m '2 cos 2 a = 4 sec2 x
reemplazando el sistema ( a ) se tiene:
0
u ,=
4 sec “
sen 2 a
a
cos 2 a
2a
= -2
sen 2 a
- 2 sen 2 a
4 sec"
a
4 sec"
a
. cos 2 a
sen 2 a
2
cos 2 a
u \ = 2 sec2 a ( cos 2 a - s e n 2 a ) = 2 - 2 t g 2 a
Como
ux = 4 L / i ( c o s a )
0
U 2 =
cos 2 a
sec2 a . sen 2 a
cos 2 a
2
cos 2 a
-2
- 4 s e c “ a sen
sen 2 a
sen 2 a
-2
2 cos 2 a
y „ = w| cos a
+
=>
u 2 = 4 a - 2 tg a
u 2 sen 2 a , al reemplazar se tiene:
y o = 4 cos 2 a . ln(cos a ) 4- ( 4 a - 2 tg a ) sen 2 a
Luego la solución general de la ecuación diferencial dada es: y = y g + y
314
Eduardo Espinoza Ram os
d 2v
t
— ir + v = sec" *
dx 2 '
Solución
Hallaremos la solución general de la ecuación diferencial homogénea, para esto se tiene
P(r) = r~ +1 = 0
r\ - i * r2 = — ’ de donde y
la solución particular de la ecuación diferencial es
= c j eos * + c 2 sen jc
y
= « | c o s* + m2 s e n * , donde
u l , u 2 son funciones incógnitas, que cumplen la condición siguiente:
u eos x + u ’2sen jc =
0
-m ',sen * + m’2 eos jc = sec
... (a)
jc
resolviendo el sistema (a ) se tiene
sen x
0
u ,=
sec
jc
eos jc
eos jc
sen jc
- sen jc
eos jc
eo s*
0
-sen *
sec"*
eos *
sen *
-sen *
c o sjc
Como v
= —tgjc.secjc
= secjc
=>
u,
= - sec jc
w =ln(secjc+tgjc)
2
= u { c o s* + w2 se n * reemplazando se tiene: y p = - l + s e n * ln | s e c * + t g *
y la solución general de la ecuación diferencial es: y = y £ + y D
®
d 2y
— —+ y = eos ecx.c tg *
dx"
Solución
Hallaremos la solución general de la ecuación diferencial homogénea, para esto se tiene
P (r) = r " +1 = 0
rx = i , r2 = —i . Por lo tanto y
=
eos * + c 2 sen *
315
Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden n
la solución particular de la ecuación diferencial es
y
= u { eos x + u 2 sen x , donde
«, ,m2 son funciones incógnitas, que cumplen la condición siguiente:
m
eos jc+ m 2sen x = 0
... (a)
-M ’,sen x + tí ’2 eos x = eos ecx.c tg x
resolviendo el sistema ( a ) se tiene:
« ,=
Luego
0
sen x
eos eexe tg x
eos x
cosx
sen x
-sen x
cosx
= -c tg x
c o sx
0
- sen x
eos ecx.c tg x
y
eos x
sen x
-sen x
co sx
= c tg ~ x
tí, = - ln ( s e n x )
tí2 = - C t g X - X
= - c o s x .l n | sen x | - ( c t g x + x ) se n x y la solución general de la ecuación
diferencial es
b.
©
E J E R C IC IO S P R O P U E S T O S .
d 2y
—+ y = c tg x
dx~
d^y_
dx2
R p ta: y = cx co sx + c2 s e n x - senx. L«|cosec x - c t g x |
+ y = sec x
R p ta: y = c, co sx + c2 se n x + x s e n x + cosx. Ln\cosx
d 2y
i - + 4 y = 4c tg 2x
dx
©
©
R p ta: y = c, se n 2 x + c 2 co s2 x + sen2x. L n |c o s c c 2 x - c t g 2 x |
y ” + 2y'+2y = e x secx
y " + 4 y '+ 4 y = X
V
2 *
R p ta : y ~ e x (c{ + x ) s e n x + e x [c 2 + ln (c o sx )]c o sx
R pta: y = e 2jf[ c , - l + c 2x - l n x ]
316
Eduardo Espinoza Ram os
y=yg+senjc.ln sec.r+ tgjc
sen2 *
©
y M+ y = tg x
©
y M+ y = sec x . c s c x
R p ta : y = y . - s e n * .ln (c sc2 jc -c tg 2 jc)
©
y M—2 y '+ y = e 2* ( e x + 1) 2
R p ta : y = y_ + * x ln(l + *x )
R p ta :
2 eos x
-1
2x
®
®
©
©
©
y " - 3 y '+ 2 y =
1+ e
R p ta : y = y ge + * varctg(* * ) - - — Ln(\ + e 2x)
2jc
y ”+ y = sec x
R p ta : y = v +
/ ’+ ? = tg *
R p ta : y = y g - eos jc. ln(sec jc + tg jc )
11
2 x j jc v
y -y = e
sen(* )
R p ta : y = y g - s e n * x - * x cos*
y ” - 3 y ’+2y = cos(*~*)
2a
R p ta : y = y g - e * * cos(e~x )
9 y n+ y = sec(—)
X X
X X
R p ta : y = [cj + —]s e n —+ [c2 + ln(cos—)]co s—
3
3
3
3
y' ' - y = sen
2 sen2 jc
R p ta : y - c xe* + c 2e x ------5
5
jc
y- y
M
©
secjc
2
=x e*
-jr
R p ta : y = clex + c 2e~x + e 2
y ’ - 2 y '+ 2 y = 3* + ** tg jc
R p ta : y = (cj se n * + [c2 - L n ( s e c * + tg * )]co s* )* x +
y”+y =
©
JC COSJC
y M,- 7 y f- 6 y = 26* 2* eos*
3 jc
+
3
x~
x
R p ta : y = (C |+ — )s e n * + (c2 + —)c o s*
Rpta: y = c,* x + ( c 2 + 2 s e n * + 3cos*)* 2x+ c 3*3x
317
Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden n
©
@
y* '+4 y = sec 2x
@
y " + 2 y '+ y = e x ln(x)
©
y = ( c x + c 2x ) e
+ x
+
x
—sen 2 x
2
e
( — ln(jc) ——)
-e
-2x
y " - 2 y '+ y = ~ e x sen x
R p ta : y — ( c x + c 2 x ) e x - c o & x ¿
y " '- y " - y '+ y = 4xex
@
y M,- 3 y " - y + 3 y = 1 + e*
y " '- 2 y " =
4 ( jc + 1 )
y " ' - 3 y ' - 2 y = 9e~x
y ' ”- 7 y'+6 y = 2sen;c
•. 1*'
0
v
R p ta : y
y ' " —y' = sen jc
0
^
L n ( cos 2 x )
4
R p ta :
,
e~2x
y "+ 4 y '+ 4 y = — —
X
©
0
co s2 jc ,
R p ta:
y M- 4 y '4 4 y = (3 x 2 + 2)e
@
R p ta : y = c xe x + ( c 2 + s e n e x ) e ~ 2x
y "+ 3 y ’+ 2y = sen(£*)
R p ta : y = c , e 2x
R p ta : y = c l e
c xe
+
+ c2xe
c 1 x e 2x
—2x
+ (3
x2
x
y
+ ( c 2 + c 7lx ) e
.
+ 12x +
x2
\n x -e
20)ex
x
i ,
+ (—— — + - - - ) « ■
R p ta : y = cl + c 2e x + c 3e x +
-2x
,
cosx
R p ta : y = c xe x + c 2e x + c $ e 3 x - — e 3 x - e 2x
„
.
R p ta : y = c , + c ?x + c,£
1 2
3
2x
,X
-(
.3
3
3 2 3
3X
x + —* + —)
2
2
4
R p ta : y = cxe x + c 2x e x + c ze
7
R p ta : c xe x + c 2e + c ¡ e
^
3x
e
1
+ — (4cosx+ 3senx)
* 1•.
y , " - y ' = sen x
y
=
—2x
IV
vf
a X
- y - 2 xe
R p ta : y = cx + c 2e x + c3e x
R pta: y = c2 + c3x + c4e
-X
+
c o sx
x
5
+ ( - j - —j x + Ci)e
318
Eduardo Espinoza Ram os
y " - 5 y ’+6y - 2 e x
y - y - 2y = le
36
—X
K
yM+4y = 3 c s c 2 x , 0 < x < —
R p ta : y = y + e
o p ta
* : y = yg - —
2X e -X
R
3
3
R p ta : y = y g + —se n 2 x .L /i(se n 2 x )-—x c o s 2 x
-2 x
y " + 4 y ’+ 4 y = — — , x > 0
y"+ 2y '+y = 3e
-X
y M- / = x
y " - 2 y'+y = x
R p ta : y = c }e
-2x
"v
^^xé*
D
. : y = y g + ~3*
R p ta
e
-2x
-2 x
In x -e
-2 x
-Jf
R p ta : y = >4 + Zte*+ce‘ jr
+1
R p ta : y = e * (c 1x + c 2 ) + ( x 2 + 4 x + 7)
2x, _
. xr 2 _2x
. . x . e
R p ta : y = e ¿ (.clx + c2) - ^ - - + — e
®
@
y ' M- 2 y ” - 3 y ,= 9 (x + l)
R p ta : y = Cj + c 2e3jr+ c 3e
y ,,,+ 2 y " - y '= cosh(x)
R p ta: y = c,e +c?e
1 2
x
x . * .x
+c*e - 2~~
+ — e~ —* é_ -x
3
12
4
y '- S y '+ n y = 4xsenh2x
x
R p ta : y = c,e2* + c 7e6x — (2x + l )
1
2
8
y ' ”+ y " - y ' - y = senhx
* x
R p ta : y = cle + c 2e'~ + c 3xe~-X + —e
y,, + 5 y '+ 6 y = U + l)
*
(3x + 2)
1
128
( 8x + 3)e~2*
. *
--x
R p ta : y = q e ' 2* + c2e ' 3j: - — (18a:2 + 6 a: + 7)
1.8
319
Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden n
©
48
49
y ,,+ 5 v , + 6 v = U + l )
1
R p ta : y - c xe 2x -\-c2e 3jf— — (1 8jc^
1.8
y ',+ 4y' —5 y = 12cosh x
-5x .
3
R p ta : y = cxe + c 2e " + x e ' - —e
y ,M- 2 y " - y ' + 2y =
1
^
R p ta : y = cxe~x + c 2ex + c 3e ‘ * + — (2x~ + 6 * + 9)
(a* + 1)
x . _~3x
R p ta : y = c .e ' + c2e~x + c3<r 3j; + V
y'" +3 y " - y ' - 3 y = e x +e
0
-h 6a* h- 7)
+ | e ~ 3jt
,
JtV
R p ta: y = c¡ex + c2xex + c3x ex + -------
y ' " —3 y ” + 3 y ' —y = é,v +1
y” + 2 y ' + 2y = sen 2 a: + eos 2 a: , y(0) = 0, y'(0) = l
11
sen 2x
10
10
R p ta : v = e x + (— cos;t + — senx) +
10
y " - y ' - 2 y = e 3x, y ( 0 ) = l ,
y'(0) = 2
3
— —cos2x
10
e~* l e 2x e 3x
+
R p ta : y = ----- +
12
3
4
v' ’+ 2 y '’—3y = I + xe
\
?
r I
R p ta : y = y « + — (2x - x)e —
P
* 16
3
v” + 4 y = 3xcos 2 x
R p ta : y = y 5 + A x c o s 2 * + & vsen2x
56
y ,,+ y ' - 2 y = 2 x - 4 0 eos 2x
R p ta : y = c¡ex + c2e~2x - —c o s j c
57
y " + 3 / + 2 y = 1+ 3 * + *
R p ta : y - c xe * + c 2£
54
y '" + y " - 4 y ' - 4 y = 3e~x - 4 x —6
2x . .
-2x
+—
R p ta : y - c xe ÍX + c 2e ** + ( c 3 - x ) e
+
1
320
5.6.
Eduardo Espinoza Ram os
ECUACIONES DIFERENCIALES DE EULER.Las ecuaciones diferenciales de Euler son de la forma:
... (a)
donde a Q , a ¡ , a 2,...,a„ son constantes.
Para resolver la ecuación diferencial (a ) se transforma a una ecuación diferencial
homogénea de coeficientes constantes, mediante la sustitución.
x-e
=> t = Ln x, además
— = e'
dt
dv*
también — =
■= e~* —
dt
dx
dt
dt
d y _ df_ = d y ' f d t _ ^
dx"
dx
dxldt
^ ^ = e *(e ' — -he '
dt
dx"
dt
de donde
d y _ ^ €~tdy_
dt
dt
4 / _ e~t d _ ^ - t dy^
dt
dt
dt
de donde
en la misma forma se hace los cálculos si la ecuación diferencial es de orden 3, 4, etc
También son ecuaciones diferenciales de Euler las ecuaciones de la forma siguiente:
n-\
» d ny
n - i d ”: y
an(ax + b) — - + a n_x(ax + b)
djc
dx n~l
dy
4- at (ax + b ) -----h cir\ y —0
1
dx
0
... (p)
Para obtener la solución de la ecuación diferencial (P) se transforma en forma similar al
caso anterior mediante la sustitución:
ax + b = e
t = Ln (ax + b).
Además
dx _ e 1
dt
a
321
Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden n
dy
dy
dt
-t dv
— = — = ae —
dt
ax
dt
dt
^ j j
de donde se tiene
dv
— —ae
dt
dy
—
dt
dy'
d 2y d y '
¿t
-t dy'
-t d .
d\\
->
dy
_¡ d 2 y^
— f = — = - ^ - = ae 1 — - a e 1— (ae 1 — ) =a~e ' (e 1 — + e r —
dx
dx
dx^
dt
dt
dt
dt
dt
dt
d 2y
2 ~2t rd 2y d y .
— — - a e [— ------- ]
dxdr
dt
a a a
de donde:
Las ecuaciones diferenciales no homogéneas de Euler son de la forma:
... (y)
donde m es el grado de Pm (ln(jc))
Para resolver la ecuación diferencial (y) se transforma en forma similar a los casos
anteriores.
a.
Ejem plos.-
dx 2
W
dx
Resolver las ecuaciones diferenciales siguientes
'
Solución
Sea x - e
r
.
' dv
=> t = Lnx, ademas — = e
dx
dy
d zy
- 7 t t d 2y dv
— ; — —= e
(— ------—)
dt
dx2
d t 2 dt
reemplazando en la ecuación diferencial.
e2t .e 21
d 2v
7
?
- — ) + é .e~* — —y = 0 , simplificando
d t 2 dt
dt
p
— y = 0 , ecuación diferencial homogénea de coeficientes constantes
322
Eduardo Espinoza Ram os
Sea P(r) = r 2 - 1 = O =>
r, = 1, r2 = -1 .
Luego la solución es y(t) = c}e l +c^,e~r , de donde
0
y = c{x + —
x
Qt + 2 ) V ’+ 3(;t + 2).y’—3>’ = 0
Solución
Sea
x + 2 = e l —> t = Ln (x + 2) además: — =
dx
dt
dt2
= e~2
t - —)
dt2
dt
Reemplazando en la ecuación diferencial se tiene:
dt2
. 3 ,= o
dt
dt
d~ y
dy
de donde al simplificar se tiene: — —+ 2 -------3y = 0 , que es una ecuación diferencial
dr
dx
homogénea de coeficientes constantes:
Sea P(r) = r 2 + 2 r - 3 = 0 , de donde: r , = —3 , r, = 1
Luego la solución es:
y(t) = c ]e~3t + c 2e '
y = ------ -—- + c2(jc + 2)
U + 2)J
x 2y" + xy' + y = jc(6 —ln a)
Solución
Sea
x * ' 1 -> 1 = Ln (x)adem ás:
Í L = ' - ‘- * ■, l l l .
dx
dt
dt2
dt2
dt
Reemplazando en la ecuación diferencial se tiene:
O
e 2t .e~2
t —— ) + ex£ ' — + y = ^ ( 6 - 0 * al simplificar se tiene:
dt2
dt
dt
— -r- + y - ( 6 - / ) ^ , ecuación diferencial no homogénea de coeficientes constantes
dr
Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden n
Sea P(r) = r 2 +1 = O, de donde:
323
rx = i , r2 = - i
Luego la solución complementaria es:
v . = Cj eos / + c 2 sen / y la solución particular es
y p = ( A t + B)er => y
= A e r + ( A t + B ) e r =>
d y
como — —+ y =
dr
entonces
= 2A ef +(Af+ B)er
2 A e ‘ + 2(At + B)e* + ( A t + B)e* = ( 6 - r ) e '
A= - - , B =~
2
2
2At + 2A + 2B = 6 - 1 =>
Luego y p =
y
, y la solución general es: y(í) = y g + y p = Cj co sí + c 2 sen /
+
+
v = c , cos(lnjt) + c? s e n ( ln x ) - —( l n j t - 7 )
i
0
(2.V + 1)2 y ' ' ’+ 2(2* + 1) v" + y' = 0
Solución
Sea
2
2.v+ 1 = e l —> t = L n ( 2 x + l ) , además: — = 2 e ' — ; ^-%- = 4e
¿v
¿í
¿x 2
Reemplazando en la ecuación diferencial dada:
e - .8 ,-3 . ( £ >
dt 3
. 3
^
'dt 2
+ 2 * ) + 2 , 1^
dt2
dt
+ 2< - *
dt
♦
. 0
dt
,
»
dt3
dt2
dt
di2
dt
4 |^ f _ 3 ^ f + 2 ^ ] + 4 C ^ - ^ )+ ^ = 0
dt'
dt2
dt
dr
dt
dt
dt
=, 4 ^ - 8 ^ + 5 ^ = 0
dt
dt2
¿t
¿ í2
¿í
)
324
Eduardo Espinoza Ramos
Sea P (r) = 4 r 3 - 8 r 2 + 5 r = 0 , de donde: r . = 0 , r7 = 1+ —. n = 1- —
2
2
y la solución general de esta ecuación es:
y(f) =
v
y = cx +
+ c 2ef eo s—+ c3ef sen —
2
2
„
ln (2 x + i y
,ln (2 x + lV
c 2 ( 2 x + 1 ) c o s ( -----------------) + c 3 ( 2 x + l ) s e n ( -----------------)
E J E R C IC IO S P R O P U E S T O S .Resolver los siguientes ejercicios:
-2
®
x 2 y"+ 2 x y ' - 2 y = 0
R p ta : y = c, | jc | + c 2
©
x 2y + x ) ’'+9>- = 0
R p ta : v = c, sen(3 ln | jc | ) + c 2 cos(3 ln | jc | )
3
©
|
jc
3
4 x 2 y ’'-Sxy'+9y = 0
R p ta : y =
jc2y ,,-3jty,+7y = 0
R p ta : y = c . x 2 eos V31nx + c0 x^ sen V31njr
x 2 y " + x y ' - p 2¿y., _
= 0,
3 ..m
+ c2x 2 lnjc
R p ta : y = c } \ x \ p + c 2 | j c |
p es una constante.
/-i ..2
c , jc 2
p ,
p*0
©
x y M,- 2 x y " -1 7 jty '-7 y = 0
R p ta : y = | x |~ ! (c, + c 2 l n | x | ) + c 3 | x | 7
®
x 3 v " ’+ 4 x 2 v " - 2 v = 0
R p ta : y = q | x | 1 +c2 | x
®
2 * V ’+.xy’- ; y = 0
R p ta : y = c,x +
®
j-3v " ’-3A:2y ' + 6 ^ ’- 6 y = 0
R p ta : y = C |X + c 2x + c 3x
©
x 2y ',+3xy'+y = 0
R p ta : y = —(r, +c->Ln\x\)
x
©
+c3 | x | ^
Vi
jc2y"+2xy'+6y = 0
R pta: y =
1
\¡23
cosí-1— ln(x)) + c2 sen(-— ln(x))]
325
Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden n
@
©
®
®
xy"+y'=
0
R p ta : y = c, + c 2 ln | jc |
( 2 a + 1)2 v " - 2 ( 2 a + I)y’+ 4 v = 0
R p ta: y = Ci(2A + l) + c 2(2A + l)ln (2 A + l)
a 2 y ’" - 3xy' ’+ 3 y ' = 0
R p ta: v = c , + c 2 x 2 +C 3A4
(a + 1)2 y M,-
£
R p ta: y = C, + ---- ^ r + C3(A + l )5
(A + l)-
12y '= 0
4v'
2
y"+ — + — y =
A
A"
®
V
y"— y ' + - r = o
A
X-
®
rv* "+ —-v
0
R p ta: y = c\ + c22
x X
1
v7 » =
jr
a
3
R pta: y =
0
9 wv ”+ — *v '+ ~~r
n= O
20
©
22
23
24
R p ta : y -
x~
4
3
X
A'
Ui a
R p ta: y = - ^ [ c ,
A*
v
x
a(c,
a
c o s(L /i(a ))
+ c , sen(Ln(A))]
3 (C j l n A + c 2 )
~
\ m+ - y ' + — y = O
+ c2)
R p ta : y = x 2 [c ,
y¡3
V3
c o s ( — In(jc)) + c 2 s e n ( — ln(A'))]
4 .. 8 v ’ v A
y + —y
+
=O
x
ajr
R p ta :
4v" y
v
_
y-+ — + -V + ^ t = 0
■V
X- A
R p ta : y = c,.v+.v_1 (c2 lnA + c 3)
mi
ni
v +
*
+
y*
A2
+
= C |A -1
+c2
c o s(ln
a
)
+c3
se n (ln A )
R p ta : y = A[c,(ln(A)) + c 2 In(A) + c 3]
v -+ 4 - 4 = o
X
X'
3v"
v
v
A3
=
O
R p ta :
y = c, a
'
-1
*1
^3
1 ^ / 3
+
a
2 [c ,
co s(—
2
ln
a
)
+ c , sen(—
‘
2
ln
a
)]
Eduardo Espinoza Ramos
326
©
v "+-------v'+
T y =o
x
'
(x-\y
7v'
12v
y + —: h------1—r- = O
x-2
(jc —2)
@
v
4 y "+
R p ta : y = ( jc—1)2[c, ln (jc -l) + c 2 ]
R p ta : y = x 3[c, cos(>/31n(jc-2) + c2 sen(V3 ln(jc-2))]
=0
R p ta : y ~ y j x - a [ c lL n { x - a ) + c1]
(* -ar
8y
0
©
y ”+ —
X+0
@
, - +2 » l + _ í _ — > _ =0
x + a (x + a)
( x + a)
R p ta:
0
@
jc
jc
y
0
R p ta : y = c, (jc + a) + c 2(jc + a)
(jC+fl)
-l
3
3
= c, ( jc + a) + ( jc + a) 2 [c2 cos(—ln( * + a)) + c3 sen(—ln( jc + a))]
2
^
y ' - j c y ' + y = 2 jc
R p ta : y - jclc, + c 2 ln(jc) + c 3 ln (jc)]
y " + 4A'y' + 2 y = 21n
c
c
3
R p ta : y = — + —^- + Lux —
jc jc
2
x 2 y " - x v ' —3y = -
@
=
jc
161n jc
1
A
O
R p ta : y = —( q + c 2Jc + L/ i ( jc) + 2 L h ( jc))
x
1
x 2 y ' + jcy’1+ 9 y - sen(ln jc3 )
R p ta : y = y p — (Ln(x))cos(Ln x )
* 6
' +« 4jc
a ..2
Jc 3 y,."
,M
y M+ j c y '+ y =
R p ta : y = y g + ^
jc2y" + 4 ; c y ' + 2 y = 2 1 n 2
jc
jc +
12 jc
c
c
R p ta : y = — + -^- + ln2 j c - 3 l n x + 2* + 7
JC
0
.
x y M+ jcy*—y = jcm , |m| * 1
n
JC
.m
JC
u2
Rpta: y = —-— +qjc + —
m -1
A'
327
Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden n
37
jc
v " - 2 jc y '+ 2 y = jc - 2 jc+ 2
dy
dx2
dy
+ jc —
- y = 0
dx
R p ta : y - c xx Jr c 2 x 1 + l + ( x 2 + 2jc)lnjc
R p ta : y = c,jc +
d ~ y 2 dy 2v
. , .
— ---- — + - r = xLn(x)
d x ¿ x d x x~
3x
“t X
R p ta : y = c{x + c 2x~ h
(Ln(x))-
•*2>’"
m' - 2 jr v
+ ' + 2v
* = 0
R p ta : y = c,jc + c 2jc
x 2 y " - 6y = 0
R p ta : y = c,jc
x V '+ - = 0
4
R p ta : y = (c, + c 2 Ln(x))\[x
©
x 2y "-x y ' + y = 0
R p ta : y =[c¡ + c 2 ln(jc)]jc
©
2.
jc*y,f-4jcy' + 4 y = 0 , y ( l ) = 4, y '(l) = 13
©
42
y "-3 jcy ' + 3y = 0 , y (1) = 0, .v'(l) = - 2
45
jc
46
* y "-3-cy' + 4y = 0 , y ( 1 ) = 1. y '(l) = 3
©
x 3y,M+ * fcy M- 2 x y ’+ 2 y = 0
©
2
d y . dy
x — - +3x— + y = 0
dx2
dx
©
c
2 jc
R p ta : y = jc + 3jc
R p ta : y = jc-jc
R p ta : y = (l + ln(jc))x
c,
R p ta : y = — + c 2 jc +
c 3 jc
R p ta : y = (c, + c 2 Lnx) —
x
R p ta : y = c{x 2 +, c 2
®
50
+
2 +. —
*
x y " - 4 x y ' + 6y = x
R p ta : y =
(1 + jc) 2 / '+ 3(1 + a : ) / + 4y = (1 + x) 3
R pta: y = (jc + 1)2[c, + c 2 ln(x + l)] + (;c + l) 2
c , jc3
+
c 2 jc¿
328
Eduardo Espinoza Ramos
©
x 2y"+xy' + 4y = 0
R p ta : y = Cj cos(2 ln(jc) + c 2 sen(2 + ln(jc))
©
jc2y ', + 4jcy,+ 2y = O
R p ta : y - c }x ~ l + c 2x 2
©
( j c - l ) 2 y " + 8 ( j c - l ) y , + 12y = 0
R p ta : y = C ]( jc- 1 ) ”3 + c 2 ( jc- 1 ) ~ 4
2jc2y " -4 jc y ' + 6y = 0
( jc - 2 )
R p ta : y = c{ \ x \2 c o s ( ^ - l n | j c |) + c 2 \ x \2 s e n ( ^ - l n |j c |)
y " + 5 (jc -2 )y ' + 8y = 0
R p ta : y = c , ( x - 2 ) 2 c o s ( 2 1 n |j c - 2 |) + c 2(jc -2 ) -2¿ s e n ( 2 1 n |x - 2 |)
x 2y " + l x y ' + 5 y = x
©
jc
R p ta : y ~ c {x
©
3jc2y ,,+ 12j*y' + 9 y = 0
©
2
d
2y
.
dy
x" — - + 4 jc— + 2 y
dx
dx
+ c 2 jc
+
—
5
c 2 jc
X
' + —
■>
\
\
R p ta: y - c xx + c 2x" ln jc + —ln jc + —
4
4
y " - 3 jc y '+ 4 y = ln jc
jc2y ,, + jcy' + 4y = sen(ln
—
5
7
x 2 y " - 2 x y ' + 2 y = 3 x 2 + 21n
@
—I
jc
R p ta : y = c2Jt + c2Jc2 + x 2 lnx + lnjc + —
R p ta: y = c, cos(21n jc) + c 2 sen(21njc) + - s e n ( l n jc)
jc)
_3
~
3
R p ta : y = cxx 2 cos(—ln jc) + c 2 ln x + c2x 2 sen(—lnjc)
1
= eos x + —
x
n A
c, c 7 cosjc Ln x
R p ta : y = -L + -JL---------- _ + X
X¿
xl
X
3
(3 )
fct + t)V + 3 (.« -H > ! /-M .t-H >f = 61n<.< + l> Rpta: , = V t í l i l i i l i i l i f j f l »
X+l
- 3 jc
dx 3
R pta: y = CjX+c2x + c 3x
329
Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden n
3
65)
a
2
3 ^ - ^ —a 2 ^ - —- 6
í¿v
66 )
6SJ
a ‘ — :- +
dx 2
(2a -
—
dy
a
—
A
„ ,
+ 4 v = 2 a1 ii
dx
dx 2
- 6(2a -
@
jrV - : c y ’+ - y = O
@
.vv',, + 3 y " = 0
a
,
a
+c2
1i i a ) a 3 +
c
3a -2
> O
) + c2 cos(lnA‘') +
3) -f- +1 2y = O
a
ln a 2
5
4a
25
R p t a : y = c {( 2 a -
dx
@
@
@
75j
A “ y M, + A>,,r
+ 4_v'= l + cos(21n a )
76
(3 + x )3
+ 3(3 + x f
dx3
= (c!
'
3? = CjSen(lnA
3)" — f
R p ta : y
+ 18y = 0
dx
¿a"
->¿/2y
R pta:
a
+ (6 + 2.v) — = O
dx2
¿v
3) +
c
2 (2 a
-
3)
;c3y"'-3jc2y" + 6;ry'-6y = O
x3
dx
+ 4x2
. c 3 y ' ' '+4x 2 y '
^ —5jc— —15y = x 3
dx~
dx
'-8jry'+8y = O
Eduardo Espinoza Ram os
330
CAPITULO VI
6.
OPERADORES DIFERENCIALES.Supongamos que D denota la diferenciación con respecto a x,
D
la segunda
diferenciación con respecto a x y así sucesivamente, es decir, para el entero k positivo.
dx
Luego a la expresión:
k
ti
n~ 1
L ( D ) = a 0D + a {D
+...+an_{D + a n
se le llama OPERADOR DIFERENCIAL DE ORDEN ”n” ; y es tal que, al aplicarse a
i
cualquier función 4ky” produce el resultado siguiente:
{L ( D ) } ( y ) = a 0D ny + a 1 D n~'y+...+an^ D y + a ny
donde los coeficientes aü t a l
pueden ser funciones de x ó constantes.
O bservación.- Dos operadores L x y L 2 son iguales si y sólo si producen el mismo
resultado sobre alguna función.
es decir:
O bservación.-
( L v L 2 ) y = L ,( L 2 (y )), y si los operadores
coeficientes constantes entonces se cumple.
L {. Z<2
6.1.
L,
y
L 2 tienen
f ^ . L|
LEYES FUNDAMENTALES DE OPERADORES.-
¿^2 “ ¿2
(L 1,L 2).L 3 = L1.(L 2. ¿ 3)
®
Si m. rae Z + => D m+" = D m. D n
¿2 ) + Lj
©
( Lj +
©
Lj. ( Lj +
= Lj + ( L 2 +
= Zq.Lj + LjL^
^3)
331
Operadores Diferenciales
6.2.
PROPIEDADES.Sean m. n, r, k constantes reales r, k € Z+ , entonces se cumple
1r o
r\k / rx \
D
(e ) = r k e r x
ahora deduciremos el efecto de un operador L sobre e
mx
para esto, Sea: L(D ) = a 0D tt + a xD n 1+ ...+ a n_,D + ¿i/J
l , /(D
n )){e
\w fnx \) = a 0 D
n ”e
{L
e
+ a tD
n mx
= a0 m e
,
+ a {m
n-1 m x
e
,
r\ ,nx +, a ne MX
a n_xDe
,
+...+an„xme
a m n +a m n 1
+
0
1
L(m)
mx
,
+ tfne
mx
m+í* )
«-1
n
Es decir: {L ( D ) ) ( e ,nx) = e " " L ( m ) ; por lo tanto se tiene:
2du
{ L ( D ) ) ( e mx) = e'nxU »D
Si m es raíz de L (m) = O, entonces L (D ) e
O bservación.-
=O
Determinar el efecto del operador ( D - m ) k sobre x ke,nx, es decir:
/ rv
w
i
m .T \
(D -m )(x e
.
) = kx
*- !
e
m.v
k
.
+/w.t e
mx
k
-tnx e
mx
,
= kx
Jt - 1
( D - r n ) 2 ( x ke mx) = k { k - l ) x k- 2 emx
( D - /M)3U * e "ot) = *(* - IX* - 2 ) x k~i e"li
,
n
3
ro
. k . k m x .
(D ~ m )
/n
( jc e
* t
) = A:!e
\ k / k mx
( D - m )
O bservación.-
( jc e
mx
= e
mx ^ k
k
,
D x , p o rlo ta n to :
. . mx
) = *!e
Si, n > k => ( D - m ) rt(jc*ewir) = O
e
mx
332
Eduardo Espinoza Ram os
4to
Para cada función con “n” derivando se cumple:
5*°
Si L ( D ) = (D —r )*(p (D) entonces
n y mx
v
« tr » n
( D - m )n (ernAu) = e™ D"u
L ( D ) ( x ke rx) = ( D - r ) k <p ( D ) ( x ke rx) = k l(ea )q> ( D)=k\<p ( r ) e rx
1
„
JC**"
=>
.€ =
L(D)
k\<p(r)
Ejem plo.
D( D - 2 )3 ( D + l)y = e 2x
Si L es un polinomio => U D X e ^ u ) = e rxL ( D + r ) u
6*°
Ejem plo.-
( D - 3 ) Z( D + l ) 3(y ) = x V *
Laecuación ( D —r ) n y = e rx(b0 + b íx +
1ro
+bD* P)> bD * 0
= x ne rxRp (x)
tiene una solución particular única de la forma:
donde R (jc)es un polinomio de grado p, dado por:
p
1.2.3
n
2.3
(n + 1)
2do La ecuación ( D - r)n y =
( p + l)(p + 2)
( jc ), r * s , r , s e
( p + /i)
donde
Q
( jc)
es un polinomio de
grado “p” ; tiene una solución particular única de la forma:
y
= e rxu donde u = e ax(bQ+b¡x+...+b x F )
donde a = s - r y luego aplicamos el método de los coeficientes indeterminados.
3ro
La ecuación
( a 0D n + a ]D n~l +...+an_l D + a n ) y = R 0 con
an * 0 ; tiene como solución particular a y
”
=—
/i
R 0 = constante y
333
Operadores Diferenciales
La ecuación ( a 0D n + a }D n x+...+ak D n k ) y = R()con R 0 = constante y a k * 0 ;
4*°
tiene como solución particular a y
^
- —*
a*.
Aplicamos ahora el operador inverso: — -— , definido por —-— (L (D ))y = y ahora
F
^
L(D)
F
L(D)
5ln
91
si aplicamos este operador a: (a 0D + a xD
91-1
+...+nn )y = b ( x ) se obtiene:
y ' - ü 5 - ) -m x y '
es decir: v = — -— .— -— .— -— ...— ^— b(x)...(*)
■ D —fj D - r 2 D - r ¡
D -rn
La ecuación (*) se resuelve de acuerdo al siguiente cuadro
Hacer
z = — — ¿H.r)
D~r„
' h.
v = er*',x J e “r- ,xz(jr)dv
%
•
•
•
•
•
w(x)
v=
II
•
•
•
Obtener
z = ev | e r"'Xb{x\dx
z ' - r nz= b(x)
7
i*
1
v = — ----- -Z(.v)
D -rn- 1
Por Resolver
| e~r,xw(x)dx
y - r\ y = M -r)
D ~ r\
Obtenemos
6
y = er'x j e ir‘' r')x
e (r- - r~')x j e - r-K)*b(x)(dx)n
Suponiendo que / ( D ) = ( D - r , ) ( D - r 2 ) . . . ( D - r /I) en el cual los factores son todos
distintos, entonces existe el desarrollo de fracciones parciales.
A
A,
A,
= — -— + — — + ...+ — — , en el que
f(D )
D -/¡
D -r2
D -r„
I
son constantes. Entonces:
334
Eduardo Espinoza Ramos
V= A ^ ' * ^ b(x)e~r,xdx + A 2er2* ^ b(x)e r*x + ...+ \ ^ nX^ é ~ r*xb(x)dx
f
al calcular tanto las integrales de 5to , 6tó se descartaran las constantes de integración
cuando aparecen, de otro modo estaríamos calculando la primitiva en vez de la integral
particular de la ecuación diferencial.
7to
Una integral particular de una ecuación diferencial lineal F(D)(y)
= b(x) con
v
coeficientes constante está dado por ó n = — -— b(x) y para ciertas formas de b(x)
p F (D )
se abrevian el cálculo de éste operador.
a)
S i b ( x ) = eax =* <pB = — !— eax = —i - eax\ F ( a ) * 0
p F(D)
F {a)
b)
Si b ( x ) = sen(ctc+ /? ) ó b ( x ) = cos(ctt + p ) entonces
1
o
ón =
r - s e n ( a jc + f l) = ------- r - s e n ( a x + p ) ; F ( - a ) * 0
p F ( D 2)
F (- a )
1
1
1
?
6 <t>nT - c o s ( a x + P) = -------- —e o s ( a x + 5 ) ; F ( - a ) * 0
p F(D )
F (-a )
c)
Si b(x) = x p => (¡> = — -— x p = ( a 0 + a {D + a->D2 +... + a D p ) x p ,a 0 * 0
p F(D)
"
p
Obtenido desarrollando
, según potencias crecientes de D y suprimiendo
todos los términos potencias D p , puesto que D nx p = 0 para n > p
d)
Si b{x) = eaxR(x) => ó = — — eaxR{x)
p F(D)
c)
Si b(x) = x R(x) = > 0 = — i— xR(x) = x — ^— R ( x ) — ^
R(x)
Yp F ( D )
F(D)
(F(D))
H x ) = — — — — b{x) => <¡>p — — [— — b ix)\
Fy(D)F 2 (D)
Fxi D ) F2 (D)
Yp FX{D) F2 {D)
-
f)
K
335
Operadores Diferenciales
g)
^ senh(ax) =
senh( ax) si F ( a ) . F(-a) * O
F(D )
F(a).F(-a)
h)
* cosh(ar) = - ?.~ P 2 — cosh(ox) si F ( a ) . F(-a) * 0
F(D )
F(a).F(-a)
1
x
n
n
n
i)
sen ax = -----------sen(ax-------)
(D 2 + a 2)"
(2 a)"n\
2
j)
71
,
nn x
cos ax = ---------- co s(a* -------)
(D 2 + a 2)"
(2a)" n!
1
jc"
Observación:
¿ p * + e-'P *
cos p
^ * = c o s /J .r + is e n ¡3x
r'fi * =
_ cos/Ja - / s e n p x
¿P X + e-ifi *
sen P x =
senh P x =
x = cosh P x + senh P x
x = cosh P x - s e n P x
a)
Ejemplos.-
x=
cosh P x —
2i
e rP * -- *e- P
e * x +e-fi*
Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales
(D* - 8 D 2 + 16)(v ) = xe
2x
Solución
F ( D ) — D 4 —8 D “ +16 = 0 => r, = r2 — 2, r3 = r4 = —2
Luego la solución general de la ecuación homogénea es:
<¡>c(x) =
(c j + c ,jc )e
2jc
* + (c2 +
c 3Jc )e "
xe
2jc
para la solución particular se tiene
2x
( D - 2 ) (D + 2)
donde
r, = 2 , r2 = 2, r3 = —2, r4 = - 2
336
Eduardo Espinoza Ram os
<PP(X) = er’* j e ir'-'' )x j e (r>-r' )x j e ir^ >xj V r^ ( * ) ( ¿ x ) 4
<pp (x) = e2x
JV>J
e * x j e ° j e 2xx e 2x ( dx )4 = e 2xj j e ~ 4x
fJ
xe4x (dx)
2
.
,
3*\
r
S
♦ 'w = '
A3
3a 2
96
64
y = <t>c(x) + <t> p ( x ) = (c0 +cxx )e 2x +(c 3 +c 4x)e 2x + e l x (------------ )
©
D ( D - l ) \ y ) = (x 2 +2x) = ex
Solución
P{r) = r ( r - l ) 3 = 0
=>
r, = 0, r2 = r3 = r4 = 1, entonces
2
*
0 r(x ) = c, + (c2 + c 3.x + c4x )c ; ahora calcularemos la solución particular:
<t>p(x) =
í
- ( x 2 + 2x)e2r = ------ ----- - [ —— ( x 2 + 2 x )ex ]
D (D -l)
D(D-Y) D - 1
haciendo z =
1
D -1
f
(a
d~
— - z=
dx
+ 2 x)e x entonces:
(a 2
+ 2 x)ex cuya solución es
(x 2 + 2x)ejr¿x] = ej:J ( x 2 + 2x)í/x = ( ^ - + x 2)c't reemplazando en (1)
1
r x3 2 x
1
r 1 ,* 3
<pp(x) = - --------- -r [t — + x x ]ex = ------------ [------- ( - + x ¿)ex ]
D (D -l)
3
D (D -l) D - 1 3
1
dz
A3
Sea z = —— (— + x 2 )ex e n t o n c e s
D -1 3
dx
— f
z =e J
-dx
... (1)
r
[I
A3
z = (— + A2)e * t cuya solución es
3
Í-d x
+x
=
+
reemplazando en (2)
...(2 )
337
Operadores Diferenciales
/
0J. p (x
)=
*
/ A'4
T\
^ r
1 z^4
(— + —
)e* = —
[--------(—
+*V\
— )eJT1
D ( D - l ) 12
3
D D - 1 12
3
/**X
...(3
)
1
x4 x 3
dz
x4 x3
Sea z = ------ (— + — )e* e n t o n c e s
z = (— + — )ex cuya solución es
D - 1 12
3
¿x
12
3
_
z =e J
e f-í¿> ^
^
^
[\eJ
(— + — )exdx 1 = ex{— + — ) , reemplazando en (3).
12 3
60 12
J
\ x* x*
0 » ( * ) = — (— + — te* =*
p
D 60
12
f x5 x4
0 n ( x ) = I (— + — )exdx =
60
60
p
J
12
<p(x) = 0 C(x) + $ p (x)
La solución general de la ecuación es:
s
o
X
<t> (x) = Cj + (c2 + c 3x + c4x )ex + — ex
60
0
( D - l ) 3 ( D - 2 ) 3y = x 2e ÍX
Solución
Sea P ( r ) = ( r - l ) 3( r - 2 ) 3 = 0 => r, = 1 de multiplicidad 3 y r2 = 2 de multiplicidad 3
y c = ( q + c , + c 3x 2 )e* + (c4 + c5x + c6x 2 ) e 2jr
ahora calcularemos la solución particular.
_
Vp
1
( D - l ) 3( D - 2 ) 3
2 3t _
3x
¿
1
2
(D + 2)3(D + 1)3 *
= <?3* — -— [------------!------------ x 21
(D + 2)3 D 3 + 3D 2 + 3D + 1
3> = e 3jI
í— (1 - 3D + 6 D 2 )jt2 = € 3j
í— - ( jc2 - 6 jt + 12)
p
( D + 2)
(D + 2 )3
y
= e3x — ------- y ------------- ( x 2 - 6 x + \ 2 )
p
D + 6D +12D + 8
338
Eduardo Espinoza Ram os
8
— D + — D 1 )( x 2 - 6 x + \ 2 )
16
16
La solución general es:
y
=>
= e3x( - — p
8
8
y - yc + y p
t
@
( D 3 - 4 D 2 + 3D )(y) = x 2
Solución
i
Sea P(r) = r 3 - 4 r + 3 r = 0 => r, = 0, r2 = l, r3 = 3
♦
d edo n d e <pc ( x ) =
+ c 2e
+ c3e * ;
ahora calcularemos la solución particular.
i
<Pp (x) = — --------x2 = - L —
)JC2
p
D —4D + D)
D D -4£> + l
t \
1 A
4 n *3 2\ 2
1 , ' * 2 8jc 26
0_(.<) = — ( - + - / ) + — D ¿) x ¿ = — (— + — + — ) =>
D 3 9
27
D 3
9
27
a.
jc3 4 x 2 26
<pa(x) = — + ----- + — x
p
9
9
27
^3
y = cx + c2e* + c3e 3* + — + —— + — x
Luego la solución general de la ecuación es:
©
26
(D 2 - l) ( y ) = x 2
Solución
Sea P(r) = r 2 - 1 = 0 => r j = l , r2 = —1; d e d o n d e <pc (*) = c xe* + c2e x
calculando la solución particular se tiene:
|
^
^ ^
^
A (*) = — -— x = (-1 - D )x = - x - 2
p
D —\
Luego la solución general es <¡>(x) = <Pc ( x ) + $ p (x)
<¡>(x) = c xe x +c*>e x - x 2 - 2
©
D4(D 2 -1X}0 = *
2
Solución
Sea P(r) = r * ( r 2 - \ ) = 0 => r{ = 0
multiplicidad 4 y r2 = 1,
r3 = - 1 de donde
339
Operadores Diferenciales
2
x
3
<¡>c(x) = Cj + c2x + Cjjc + c4x + c5e + c6e
<Pp «
p
=
; ahora calcularemos la solución particular
x 2 = - V (-1 - D 2 )x2 = - L ( - x 2 - 2)
D 4(D 2 - 1 )
d4
d4
1 . x 2
.
1
X4
1
x5
x3
D2
12
D
60
3
0»(jc) = — - ( --------- 2 jc) = — (--------- JC ) = — (--------------- ) =*
p
D
3
y la solución general es
<¡> ( j c )
.
0 ( jc) = -
p
X6
X4
360
12
= <pc( x ) + <pp (x)
( D 4 + 10D2 + 9)(y) = cos(4jc + 6) + sen(2.t + 3)
Solución
Sea P(r) = r 4 + 10r2 + 9 = 0 =* ( r 2 + l ) ( r 2 + 9) = 0
de donde
= i, r2 =
r3 = 3i, r4 = -3 t entonces
yc = c x cos jc + c 2 sen jc + c3 cos 3jc + r 4 sen 3jc ; calculando la solución particular.
v .. = — :------ -— r
'p
( cos ( 4 jc+ 6) + sen(2jc + 3))
D +10D + 9
y . = — ;--------- :------ co s(4 x + 6) + — ----- — --------sen(2x+3)
p (D~ + !)(£> + 9 )
(D + 1)(D + 9 )
vn = ----------- í------------ cos ( 4 jc + 6 ) + ----------- ----------- sen(2jc + 3)
' p (-1 6 + 1X-16 + 9)
(—4 + l) ( - 4 + 9)
yp - -
®
^ - ~rz sen( 2 jc + 3 ); y la solución general es y = y r + y
105
15
(D 4 + 3D 3 - 1 5 D 2 - 19D + 30)(y) = e
4.t
Solución
Sea P(r) = r 4 + 3 r 3 —15r2 - 19r + 30 = 0 de donde
r\ = lt r2 = 3, r3 = —2. r4 = —5 entonces
yc = cxe + c2e
+ c^e
+ c4e
340
Eduardo Espinoza Ramos
calculando la solución particular se tiene:
y»
=
1
4,
■
g
( D - l ) ( D - 3 ) ( D + 2)(D + 5)
=
y_ =-—---------;------í—=----------------e4x
' p D4 +3Di - 1 5 D 2 - 1 9 D + 3 0
1
4*
g
( 4 - l ) ( 4 - 3 ) ( 4 + 2)(4 + 5)
Luego la solución general de la ecuación es:
(5 )
- 162
€4x
y = c}ex + c 2e3* + c3e~2x + c4e”5x + ----162
( D 8 + 39 £>6 + 138D4 + 126D2 + 900)(y) = sen(4jt + 1) + cos(6* + 2)
Solución
P(r) = r 8 + 3 9 r6 + 1 3 8 r4 + 1 2 6 r 2 + 900 = 0 de donde
( r 2 + l) ( r 2 + 9 ) ( r 2 + 4 ) ( r 2 + 25) = 0 => se tiene
r\ = '> r2 =
r3 1 3i, r4 - -3 i, r5 = 2/, r6 = -2i, r7 = 5t, rg = -5 /
yc = c, cosjc + c2 senjc + c3 c o s 3 a + c 4 sen3jc + c5 c o s 2 a + r 6 sen2:c + c7 c o s 5 a + c8 sen 5 a
ahora calculando la solución particular:
y
= — ------------
p
yp
p
[sen(4A + 1 )
í— --------------
+ c o s ( 6 a + 2)]
D + 39 D 6 + 1 38D 4 + 1 2 6 D 2 + 900
= — 5---------;------- ^
---------- 5-------- se n (4 x + l) +
(D 2 + 1)(D + 9)(D 2 + 4 )(D 2 + 2 5 )
+ ---- =----------- r------------------------- z----------COS(6a + 1)
(D 2 + 1)(D + 9)(D + 4)(D
+ 25)
sen( 4 a +1)
cos(6 a +1)
y a = ■; : j
^ — ■..................■+
(-1 6 + 1 )(-16 + 9 ) ( - 16 + 4 ) ( - 16 + 2 5 ) ( - 3 6 + 1)(-36 + 9 )(-3 6 + 4 )(-3 6 +
v
' p
------- 1— s e n ( 4 A + l ) + — -— c o s ( 6 a + 1)
11340
332640
La solución general es 0 ( a ) = y c + y
25)
341
Operadores Diferenciales
( D 2 + 3D + 2 )(y) = *cos2jr
Solución
Sea P ( r ) - r 2 + 3 r + 2 = 0 =» r, = -1 , r2 = - 2
entonces
+ c 2e 2x
yr =
ahora hallaremos la solución particular
1
^
1
2D+3
= — -------------- XCOS2X = X — r---------------C O S 2 *
y
p
D +3D + 2
D +3D+ 2
r----------------- -C O S 2 jt
( D 2 + 3 D + 2)2
co s2 x
2D + 3
_
y = x — -------------------------------- .eos 2*
p
D + 3 D + 2 D + 6D + 1 3D + 1 2D + 4
I
2D+3
eos 2 x
y _ x
eos 2^x --------- ---------------------------------------p
- 4 + 3D + 2
(—4) + 6(—4)D + i 3 (-4 ) + 1 2D + 4
1
„
2D + 3
„
3D + 2
.
(2D + 3 X 3 D - 8 )
v„ = x --------- co s2 x + ------------- c o s 2 jc = x — ------ c o s 2 jth------------=----------- cos2*
3D -2
4(3D + 8)
9D2 - 4
4(9D 2 - 6 4 )
X
~
1 6 D 2 —7 D - 2 4
y . = ------(3D + 2 )co s2 x + —(------------------- )co s2 x
p -4 0
4
-1 0 0
x
1
y = ------(3 sen 2x - eos 2x) + ----- ( 2 4 c o s 2 * - 7 s e n 2 jt)
p -2 0
200
(n )
.\
ó (jr)= y - + y
f
( £)4 + 8 D 2 + 9)(y) = eos 3jc + e 2*
Solución
Sea P(r) = r 4 + 8 r 2 - 9 = 0 => rx = l t r2 = -1 , r3 = 3i, r4 = - 3 /
<¡>c(x ) = cxe x + c2e x + c3 eos3jc + c4 sen3jc ; calculando la solución particular se tiene
Í . W = - 7—
p
D +8D
(cos3jc+¿2v) = — ----- !—
-9
(D 2 + 9 X D 2 -1 )
cos3x + — =----- — =------ e 2x
(D 2 + 9 X D
, ,
1 c o s2 x ' e2x
.
*
_ ,
é n(x) = — -------------- + — ; pero se observa que e o s 3x = Re(e
p
D2 +9
10
39
^
M
-1)
) entonces
342
Eduardo Espinoza Ramos
i
eJ2x
l e ^3**
e„2x
<pn(x)---------- =------- eos 3jc + — = - — ---------+
K X /r+ 9 )
39
10(D + 3 / r + 9
39
«
I
1
i
i
<t>a(x) = -----------:----------- + — e 2x
p
10 D + 6/D 39
ao(D + 6 0 = l =>
=>
On= —
6i
*
^
, Re(c3u) e lx
, / eos 3jc - sen 3 j t e 2x
0 p W = — TT— + — = *^(-------- 77----------) + —
60/
39
60
39
. . .
*sen3jv e2x
=> < U * ) = -------77
^
p
60
39
Luego la solución general es: y = 0 C( jc) + <¡>p ( jc)
(l2 )
(D + 1 ) ( D - 2 ) 3(.y) = x 2e 2x + x e x
Solución
Sea P(r) = ( r + l ) ( r - 2 ) 3 = 0 => rx = - 1 , r2 - 2 multiplicidad 3.
z
v
entonces y c( x ) = cle
-jc ,
+ c 2e
2jc .
+ c 3xe
2x .
2 2x
+ c 4x e
calculando la solución particular se tiene:
T ( x 2e 2x+ x e x )= ------- 1- ^ — ( x 2e2x + x e x )]
(D + l ) ( D - 2 ) D - 2
y p = -------------p (D + l ) ( D - 2 ) 3
— - 2 z = x 2e 2x + jee*, ecuación lineal en z.
dx
Sea z = — í— (jc2e 2jc + jce*) de donde:
D -2
Z~ € ^
{x 2e 2x + jce*)dx]
... (1)
=>
z = e 2* [ J e “2*(jc2e2* + x e x )dx]
z = e2 x \ ( x 2 + x e - x )dx = e 2x(— - x e ‘ x - e - x ) = — e 2x - j e e " - e 2*
3
3
...(2 )
reemplazando (2) en (1) se tiene:
V = ------------!------------------ ^
p
(D + lX D -2)
3
- » * - e 2 1 ) = ------------- --------- [— -— ( — e 2*
(D + 1 X D -2 ) D - 2
Sea z = — -— (— e2x - xex - e 2x) de donde
D -2 3
3
-Jce1 - e 2x)}... (3)
343
Operadores D iferenciales
d-T
£3
— - 2 z = — e 2x —x e * - e 2xecuación lineal en z
dx
3
- í- 2 dx f
z=e J
[U
\ -2 d x
v3 *
*
(— e2x - exx - e2x )dx]
3
4
z = e 2x[ | ( - — jce_x - \ ) d x ] = e 2x (—— xé~x - e ~ x - x )
3
1^
reemplazando (4) en (3) se tiene:
=_ J
- 1
•'P " ( D + 1 ) ’ D - 2 ' I 2
Sea z
2x
...(4)
1
JC
y„ = --------------------[— e2x - x e x - e x - x e 2xl
p (D + 1 X D -2 ) 12
x
2jc
1
X^
------- (— e2x - .te* - ex - xe2*) de donde
D - 2 12
dz
X^
— - 2z = (
dx
12
x)e
|"
2
| -2 d x
- (x + l)e* ecuación lineal en z
x
4
5
2
z = e~2x | (—— x - (x + l)e~x)dx = (—— — )e2x + (2 + x)e~x
12
60 2
...(6)
y = — -— [ ( - — — )e2 x + ( x + 2 )e x]
p (D + l) 60
2
- 1-£- + y D = ( —
dx
r
60
=
* [J
yB= (
e
p
180
e*
2
[(^
)e2 x + ( x + 2 )e~x lineal en z
-
J
y ) , 2x + ( j c + 2)cTx Jí/jc] = e"x[ [ ( ^ - y ) e 3x + ( j c + 2 )e2x ]dx]
+ — )e
108 81
- ( —+ —)e ;
2 4
La solución general es
6
y= v +y
7 /c 7
344
@
Eduardo Espinoza Ramos
( D 2 - 4 D + 3 ) ( y ) = 1 0 0 a V x + 3 4 0 e x eos 2x
Solución
Sea P(r) = r 2 - 4
r + 3
=
0
=>
r,
=
1, r 2
=
3
entonces
y c = c xe x + c 2e 3*
calculando la solución particular se tiene:
y n = — — !----------( 1 0 0 a 4 í 3x + 3 4 0 e * e o s 2x) = ---------- ?-----------( 1 0 0 a V
P
D -4 D + 3
(D -3 X D -1 )
x
+ 3 4 0 e ' eos 2 a )
y = I00e3x------------- -l--------------x4 + 340<?*--------------!------------- eos 2x
' p
( D - 3 + 3 ) ( D - l + 3)
( D - 3 + 1 X O - 1 + 1)
y„ = 100e3x
í
x 4 + 3 4 0 e* -------------eos 2x
p
D ( D + 2)
D ( D - 2)
y = lOOe3'
p
D 2
a4
4
+ 340<?r ——!------ eos 2x
o -2D
1 *4
■
y„ = 100eix — (----- a 3 ) + 340ex (------------ eos 2x)
p
D 2
-4 -2 D
3* f , * 4
340et ( D - 2 )
y„ = lOOe I (------ x ) d x --------------- ------ c o s 2 a
"
2
2
D -4
J
y _ = 100e3x
p
10
4
110ex ( D ~ 2) eos 2 a = 100e31
-4 -4
10
4
4
(D - 2 ) eos 2 a
y = \ 0 x 5e3x -2 5 A 4e3x - — eos 2 a - — sen 2 a
p
4
4
La ecuación general es:
@
y = cxe x + c2e3* + (10x5 - 2 5 jc4 ) c3j: - — (sen 2 jc +
( D 2 + D + l)(y) = e 3x + 6e* - 3e~2* + 5
Solución
c o s 2 jc)
345
Operadores Diferenciales
o
, „
Sea P(r) = r " + r +1 = 0
=>
l + >/3«
r{ = ------------ , r2
1 - V3i
— entonces
yf$
V3
0 (.v) = (c, eos — .r + c, sen — x)e x/2 , ahora calcularemos la solución particular
2
2
'
1
Ij. , v . _2v 1
-?r
Óéf*
l
_2í
5
Í „ ( .V ) = U T + f e ' -3 e +5) = —
err + — --------------;---------* + — -------¿r+ D + 1
Z^+D +l
¿ T + D + l Dr +D+1
£>-+D+l
í 3x
p
6ev
*~2a
c
í 3* „ ,
e’ 2* .
( a) = ------------ i-------------------------- 1-5 —-------H2 e -------- + 5
9 + 3 + 1 1+ 1+ 1
4 -2 + 1
13
3
" I " +5
D -+ D + 1
5í"
5,."
D2 + D + l
0 + 01
= 5. Luego la solución general es: y = </>c(x ) + 0
(O* + D 2 + D + l)(y) = e x + e x + s e n 2 x
Solución
Sea P(r) = /*3 + r 2 + r +1 = 0 => /■, = -1 , r 2 = /, r3 = —/ entonces
0 (x) = Cje
-x
+ c% eos jc + c3 sen x
1
<pu (jr) = ---------(é + e
p
D3+D 2 +D + 1
+ sen 2 x) , entonces
4>n(x) ~ — :—
ex + — -— !----------- e • ' + — -— i--------- sen 2 a
P
( D 2 +1)(D + 1)
( D 2 +1)(D + 1)
( D 2 +1)(D + 1)
^ =—
^ + ------1 e -x
á. n(x)
p
-4
2(D + 1)
Sea z = — ----(D + l)
=>
1 1 sen 2*
3 D +1
— + z = e x , cuya solución es:
dx
... (1)
(a)
346
Eduardo Espinoza Ramos
z = e - JK 1 f1 e- K
J e- Xd x } = e Xx
=> z = xe x
... (2)
e x xe~x i D - 1
0 p (x) = ~ + — -----” (—ñ— ) sen
reemplazando (2) en (1) se tiene:
A
, ex xe x 1 ( D - 1)
^
1 , x ^ -jr,
1 ^
0 (x) = — + ----------------------sen2jc = -*(e + 2jcc ) + — (2cos 2 jc -se n 2jc)
p
4
2 3 -5
4
15
La solución general es:
6.4
0 ( x ) = 0 C(x) + 0 p (x)
SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE EULER MEDIANTE EL
OPERADOR D.-________________________________________________
Para resolver las ecuaciones diferenciales de Euler mediante el operador D, se tiene en
cuenta el criterio siguiente:
2 ..
7
d y
x2^ -
.3
= D (D -\)y
dx2
generalizando se tiene:
Ejem plo:
;
■>d y
x3 — f = D ( D - l ) ( D - 2 ) ; y
dx3
d ny
x n ------ = D ( D - 1)(£> d t"
2
Resolver la ecuación x y"+xy'+y =
- n +1); n = 1 , 2 , y x = e'
jc
Solución
2 ..
jc
(D ! + l W
= * => ( D ( D - l ) + D + l)y = *#
=»
y = cx cos jc + c2 sen
E jem plo:
=,
yr ^ -
X
jc + —
Resolver la ecuación
2
jc
3
y"-xy'+y = x t n x
Solución
347
Operadores Diferenciales
2
3
x y " - x y ' + y = xLn x pasando a operadores
( D ( D - \ ) - D + l) y = t i e ’ =*
( D 2 - 2 D + \) y = P e '
cuya solución complementaria es y c = c xe l + c 2te*
y c = c , jc + c 2 a:L/u :
,
La solución particular es y„ = ------— - f V = el —— f3
D2
P ( D - 1)2
y
p
=e
, 1 í4
DA
/ í5
Ln5x
= e — - x -------
20
20
La solución general de la ecuación es
b)
E J E R C IC IO S P R O P U E S T O S
I.
Encuentre una solución particular de
-2x
y - yc + yp ~ cix +c 2 x L n x + x
= 2 x 3e ~ 2x
©
(D + 2 ) y = \2xe
©
( D - 2)3y = 6 x e 2x
R p ta : y p = ^ e 2x
4
( D + 3 ) 3 v = 15jcV 3*
R p ta :
D 2 ( D - 2 ) 2 y - \ 6 e 2x
R p ta : y p = 2 x 2e 2x
©
©
©
©
©
R p ta : v
(D " - D - 2 ) y = 18jcí
- jt
3*
R p ta : y p = (3jc2 + 2x)e~ x
«•i
(D -2 ) y = 20-3xe
(£> + l ) ' y = e "* + 3jc
2x
R p ta :
y
R pta: v
X
=5-— e
x 2e~x
i¿ X
+ 3jc- 6
Ln5x
20
348
Eduardo Espinoza Ramos
©
( D 2 - 4 ) y = \ 6 xe 2x + 8jc + 4
^ P ía: y p = - ( 2 jc+ ix*¿~ 2jc + 1)
©
( D 2 - 4 D + 4 )y = 6x~e2x
X 4 2x
R p ta : y p = — e
(ÍO)
( D - 3 )2 y = e*x
D ( D —2 ) y = e
2x
D 2 ( D + \) y = e
(Í2 )
R p ta : >'P = ^ e 2x
—JC
R p ta : y p = xe
( D 2 + 4£> + 5)y = 4e 2x c o s x
^3)
( D 2 - 4 D + 13)y = 24e2* sen3x
( D 2 - 3 D + 2 ) y = 72xe
©
R p ta : y p = - 4 x e
2x
se n x
eos 3jc
R p ta : y p = 2(6jt + 5)e
-JC
( D 2 + 4 )y = 12(sen jc + sen 2 * )
R p ta : y n - 4 se n jc -3 ;c c o s2 jc
( £ > 2 + 4 ) v = 2 0 ( é’* - c o s 2 jO
R p ta :
©
( D 2 + 16) y = 8(jc+ sen x)
1
R p ta : y p = x . ( - - c o s 4 x )
2
©
( D + 4 )y = 8 sen jrcos.t
R p ta : y p
= - j t c o s 2 jc
(2$)
( D 2 + 4)>> = 8 co s2 jc
R p ta : y
= 1 + * s e n 2 jt
@
{ D 3 + D 2 + D + l ) y = 2 e2'
R p ta : y P = Y ^ e2'
@
( D —1)3( D + l)y = - 2 e
R pta: y„ = - / i *
3!
(j7 )
f
/
—X
R p ta: y p = 2xe
—2x
k/
= 4 e * - 5 jc s e n 2 jr
349
Operadores Diferenciales
tí
24
( D 2 + 4 ) y = e"
R p ta : y n =
(D - l ) y = 2 sen h f
R p ta : y/ l = -^ .co sh r
t_
26
@
D~(D + 2)y = 2 + e - t I 2
V *
Í2 16
R p ta : v = — + — *>
y
4
4
( D 2 +1) v = 3t4
R p ta : v = 3 / 4 - 3 6 í + 72
(2 D + l ) y = ( t - 3 ) e
-t
R p ta : y p = (1 - t ) e
2
-t
1-2í
(D 2 - 3 D + 2 ) y = 2 + t
R p ta : y =
(D 4 + 2 D 2 + l)y = cosr
R p ta : y p
30
(D + l)y = 3sen 2t - 2 co s2 f
R p ta : y p = - s e n 2 r + —cos2;
II.
Hallar la solución general de las ecuaciones diferenciales siguientes:
(g )
( D 3 - 5D 2 + 8D - A)y = e 2x
( D 2 - 3 D + 2 ) y = e* + e 2'
®
®
®
®
D 2( D ~ 2 ) i y = 4Se
2x
(D + 16)y = 14cos3*
( D 3 + 3 D 2 - 4 ) y = JttT2*
(D 2 ~-ÁD + \ 3 ) y = 24<?2jt cos3x
O
.cosí
R p ta : y = cxe x + c 2e2x +czx e lx + - ^ e 2x
R p ta: y = (c, - x ) e x + (c2 + x )e
R p ta : y = c, +
c 2 jc
R p ta : y =
+ ( c3 +
c 4 jc + c 5 jc
Cj c o s 4 jc + c 2
2
2x
3
+2jc )e
se n 4 x +
2
2x
e o s 3*
R p ta : y = ctex + c 2e 2* + c 3jc£ 2* - - ^ ( . x 3 + Jt2)e_2jc
R pta: y ~ e
2*
(cx cos3x + c2 sen3x +3cos;c)
350
©
©
Eduardo Espinoza Ram os
(D2 -4 D +
(D
= 2Aelx
R p ta :
cos3a
2 5 )y
=
= e l x ( q eo s 3 a; + c2 s e n 3 a + 4 a s e n 3 a )
R p ta :
sen5A
D(D2 + l ) y =
y
^
^
x
e o s4 a
R p ta : v = c, e o s 2 a + c> sen 2 a + —sen 2 a ----------1
2
4
12
+ 4 ) y = 2 eos a eos 3a
(D +
@
1 3 )y
sen a
y = q co s5a
R p ta : y =
©
©
D 2( D 2 +
©
R p ta : y =
q + q > c o s a + ( c 3 — —) s e n a
3x
)e6x
q ? J* + ( c 2 +
R p ta : y = q + c 2 a + ( c 3 + —) c o s a + c 4
l) y = sen a
n
( D 2 + D + 2 ) y = 2(\ + x - x 2)
.
jr
R p ta: y = cxe + c 2e
~2x
,
+a
sen a
2
1 eos 2 a
R p ta : y = cxex + c 2e x - — +
sen2 a
@
( D 2 - l)y =
©
( D 2 - l ) y = (l + e~x )~2
©
s e n 5a - 0 . 1 a e o s 5 a
-3.í
-3-t
( D 2 —9 D + 18)v = ee
+ c2
2
( D 2 - 2>D + 2 ) y = sene
10
R p ta : y = c¡ex + c 2e x - \ + e * 111(1+ ^ )
-X
.
R p ta : y = c le
x
,
+ c 2e
2x
-e
2x
sene
-x
3x
©
(D + D + l ) y = e
3x
+6e
-3e
©
( D 3 + 2 D 2 - 6 D + S)y = xe~3x
®
( D 3 + l)y =
cosa
(D + 4 )y = sen2A
-2 x
+ 15
R p ta : y n = — + 2e' - é ~
p
13
2x
+5
-3*
R p ta : y = c¡ex + c2e4x + c3e~2 x - — (2 8 * + 3 4 )
R p ta : y = 0 c (A) + -^(cosA -senA )
R pta: y = <pAx)-
acos2a
351
Operadores Diferenciales
( 2 l)
( D 3 + D 2 + D + l)y = e x + e * + sen.x
1
_
x
R p ta : y = <¡>r ( A ) + —(ex + 2xe x ) — (senA +cosA )
4
22)
2^2
^
R p ta : y = cxe~x+ c xe~x ------- — s e n 3 A - — c o s 3 a
( D 2 - l)y = x 2 sen3jc
30 jc 7
5 jc 12
R p ta: v = cxe~x +c^e~2 x -------— eos 2 a —
sen 2jc
'
1
“
200
100
( D 2 + 3 D + 2)v = .r sen 2.x
®
24)
251
@
4
D 4 ( D 2 - l)y = x 2
R p ta : y = <l>c( x ) — — ( jc6 + 3 0 jc4 )
360
( D 2 - 2 D - l ) y = e* c o s jc
R p ta : y = <¡>c( x ) -
( D 2 - 4 D + 3)y = 2xeXx + 3<?x eos 2 a
3x
R p ta:
27)
e x eos x
(D 3- 2 D + 4
)
v
y
jt *
/ ..2 + — (jc
= c , e * +c2e3'x
3
3
a ) - — eJC(cos2jc
= / + 3.x 2 - 5 + 2
R p ta :
y = c ,e
2x + e x (c2 c o s a
a4
a3
( D 2 + 2)y = a 3 + a 2 + e~‘"r
+
0 f (A)
A ( l + 2tgA )
29)
(D 2 +5D + 6 ) y
30)
( D 2 + D ) ( D - 2 ) 3(y ) = e 2x + e x sen3x
+ —( a 3 + a 2
2
R p ta :
y =
<p
2
2
- 3
(a)
a
-1)
7
a
2
+6
+
¿
o
a3
e -jr
R p ta : y = c0 + c l e " ‘r + (c> + c 3A + c 4A 2 ) e 2* + — e~2x + -----------( 6 e o s 3 a - 3
■>
36
©
5
8
cos3a
R p ta: y =
= e -2 * sen*
3a2
+ c3 s e n a ) + — + — +
4
28)
+ 5en2;c)
(D 2 + 6 D + 9)(v) = 2xeix + 9 x 2 - 3
eos 3a
7
tg a
sen3 a )
7860
R pta: y = (c0 + c 1Jc)e3jr + — e?* + *2
3
+{
3 3
352
Eduardo Espinoza Ram os
^2)
( D 2 + 6D + 9 )(y ) = l e 2x sen *
@
( D 3 + 6 D 2 + 9 D ) ( y ) = x 3 +e*
R p t a : y = (c 0 + C | x)e 3x—e~2 x c o s x
v
R p ta: y = c0 + (cx + c2x)e
(34)
35)
3*
e* X 4 2x3 3 x 2
24
+ — + — + ----- + ------ +
4
36
27
27
2165
[ ( D - 1 ) ( 3 - D)(4 + D)(6 + D ) - 4 0 ] ( y) = éT*jccos(-2,x)
yíl2> + 12ytl0) + 48y(8> + 65yí6í + 12yí4) + 48y(2) + 64y = c o s 3 j c - sen x
(6 4 D 8 + 4 8 D 6 + 12D4 + D 2 )(y) = sen(jc/ 2) + cos(.x/ 2) + e 4
37)
(3 )
(5 $ )
D 2( D 4 - 4 D 3 + 6 D 2 - 4 D + l)(y ) = (jc2 + l ) ( l - e ' JC)
( D 3 - D 2 - D + 1)(>0 = 7 - 6x - 3 x 2 + x 3 + x V *
( D * —2 D
(D
4+
l)(y ) =
2 + 6 4 ) 30( y )
(2x
—l)co sh
= cosh x + eos
8+
2 jc
^ 0 )
sen
y (100) + l O O y = c o s a : +
x
10 0
8x
@
( D - l f ( D - 2 ) 4 ( D - 3 ) 3( y ) = e * ( 2 - 3 x + 4 x 2) + e 2x( 3 - 2 x + x 2 - x i ) + x i e ix
0 )
( D - 2 ) ( D 2 - 2 D + 5)2( y ) = xe* c o s 2 x
%
(
44)
(
45)
(46)
®
2- 2 D
(D
2
' p
6
+ 2 ) ( y ) = ¿ JC( 2 j c c o s j c - 6 s e n j c ) + .x ~Jf
1
y (5) - - 4 y í4> + 1 4 y (3) + 6 2 y (2) + 1 4 9 y (l) + 1 4 9 y + 1 3 0 y =
ex
y V / / / - 2 y /v + y = c o s 4 j c + s e n ó j e
y
V7
+ 9y
(ÍS )
y VW +
(S )
y ,X
+3
IV
^
// . i £
2x
12
+ 24 y
+16 y = ¿
+ jc
. ^ a
13yW
y vm
+ jc
+
+8
6 0 y /V
yW
+
1 1 2 y ;/
+
64y
= e~4x + e o s
+16y W +23yV +29 y "
jc
+ 1 8 y W/
+
s e n jc + c o s h
+
2 0 y ,/
5jc
+ 1 2 y ' + 4 y = e~x + 4 s e n h
jc
353
Operadores Diferenciales
50
y (l2> + 2 1 y ° 0) + 147y(8) + 344y(6) + 21y<4) + 147y(2) + 343y = 4 + co s2 x
(D 2 + l)y = 2sec3 x
@
( D 5 + 2 D 3 + 10D2 + D + 10)y = 0
(53)
( D 9 - 4 D ) y = 6e x - 3 e x , y = 7,
54
D 2y = 19
Dy = 9,
( D 4 - D 3 - I D 2 + 3 D ) y = e 3xx 2
( D + 4 D ) v = 8 cos 2x + 4
59
(3 D 4 + 8 D 3 + 6 D 2 )y = ( x 3 - 6 x 2 + \ 2 x - 2 A ) e
—JC
^0)
( D 8 + 8 D 4 +17) = e 2x + cos3x
( ó í)
(D 5 + 4 D 4 + 14D 3 + 62 D 2 + 149D + 130)y = 60e
III.
Resolver las ecuaciones diferenciales siguientes:
x 2y"+xy'+4y ~ sen( Lnx)
©
®
®
x**y”-3jíy'44y = lnA:
D 3( D 2 + l) 4 y = sen x + cosx + 1
100*
R p ta : y - cx cos(2 ln x ) + c2 sen(2 ln jc) + - sen(ln x)
3
_
Rpia: y =
x 2y"+7xy'+5y = x
3.r‘ y"+12.xy,+9y = 0
( D 3 - D ) y = 1+ x 5
@
(D 4 - 2 D 3 + 2 D 2 - 2 D + \) y = e x c o s lx
®
C u an d o x = L n 2
R p ta : y =
c,
R p ta :
y
4
5
= ( c { + c 2jc + c 3a: + c 4x + c 5jc + c6jc )s e n 2 *
c o s 5 jc
yP
3
216
+ jr
6 se n (2 ;c -3 ff)
4 .6!
+
e -3 *
(13)'
5
+
12
V3
V3
cos(— ln I jc I ) + — ^ s e n ( — ln I jc I )
_
2
2
xR
( D 4 + 8 D 2 + 16)3(y ) = cos5;c + sen 2 * + e 3x
2
c
;
y = yg +yP
354
Eduardo Espinoza Ramos
x 2y " - 2 x y ' + 2 y
(5 )
w
y '"+ —
= 3a 2
—+ —
@
x 2y"+xy'+4y
------------------------ = (x
A+a
(jc + a )
A2y "+ 4 A y '+ 2 y
@
+2Lnx
=
= sen(L w x)
+ a ) “ 1 cos(3Ln(x + a))
(a + «)
c o s a
^0)
+ —
x 2 y"+xy'+4 y = cos(2 Lnx)
(jc + 1)3 y "’+ (x + 1)2 y " +
3 ( jc +
@
l ) y 8^
=
A3y '"+ 2 A 2y " —j c y ' + y
=
x 2 Lnx
x 2 y"+4xy'+2y = 2 L n 2 x + I2x
X
l
(* + l) 2
©
( 2 a + l ) 4 y ’ ’+ 3 ( 2 a + l ) 3 y'+{2x + l ) 2 y = 6 L w( 2 a + 1)
(l5 )
A3y '" - 4 A 2y ”+ 8A y-8y = 4 L«a + cos(¿>ia 4 ) + sen(2Ln.\)
©
x 2y"+xy'+9y = sen ( L n x 3) +
^8)
A 3 D 3y
^9)
A4y 7^ - 6A3y /7/ + 15A2y 77 + 9Ay’- 9 y = cos( L«a ) + a "4 + sen(¿«A3)
(20)
( D 4 —l)(y ) = c o s a + c o s a sen a + x^ e x
(2 l)
( D 4 + 8 D 2 + 32) = Ae* + 1
(22)
y W + 9 y IV
^ 3 )
( D 6 + l ) 2(y ) = e x + a ~ 4 )
©
(3a - 1)3 y ^ + (3 - 9 a ) 2 y ' ' ’+ (3 a - l) y ’ ’= 3 6 a 2 - 24a + 4
cos ( L « a
3)
17
A2y ,M+Jcy,,-t-4 /= 1 +
cos ( 2 L / ja)
- 3x 2D 2y + 6xDy - 6 y = 6 0 a 6 + 1 2 a 18
+
24y"+ 16y
= e 2* + a 7
( D 2 + 8 1 )8(y ) = cos(9 a + 6 3) + sen(9A + 2 -¿ > 3), donde b es cualquier constante real
355
Ecuaciones Diferenciales de Coeficientes Variables
CAPITULO VII
7.
ECUACIONES DIFERENCIALES DE COEFICIENTES
VARIABLES
Las ecuaciones diferenciales de orden n, de coeficientes variables son de la forma:
d ny
d n *y
dy
*
+V iW —
+ *-+ÍIi W T +flo W ^ = / ( * )
dx
dx1
dx
donde a 0 ( A ) , t f I ( x ) , . . . t f rt( x ) , / ( x ) son funciones de variable real x,y continuas en un
intervalo.
Suponiendo que a n (a ) * 0, entonces la ecuación (1) se puede expresar en la forma
d ny
, \ d n ly
dy
, . .
, .
Td xT + *1 U ) Td xn
T T1 + " +bn-i W dx
j + bn ( * ) y =
l
... ( 2)
La solución de la ecuación (2) es la suma de la solución general y g de la ecuación
diferencial homogénea correspondiente, más una solución particular de la ecuación
diferencial correspondiente.
Si
— ^
es un sistema fundamental de soluciones de la ecuación (2) entonces la
solución particular de la ecuación (2) es:
» •
donde c, ( x )....... cn (a ) son funciones incógnitas de x por determinarse
Para determinar las funciones incógnitas se forma el siguiente sistema:
Sea c l ( x ) y l + c 2 (x )y 2 + ...+ c#J(x )y ít = 0 , entonces:
. (a)
356
Eduardo Espinoza Ramos
VjC\ (x) + y 2c \ (jc) +... + ync *„( jc) = O
y \ c \ ( x ) + y ' 2 c ’2(x) + ...+ y ' n c \ ( x ) = 0
(0 )
al resolver el sistema ((}) se obtiene:
dx
= f.(x\
/=
donde
c¡ ~ J f \ ( x ) d * . este resultado se sustituye en ( a ) obteniéndose la solución particular y p
Veremos para una ecuación de 2do. orden.
= ^(jc), donde y i,y 2 , es un sistema de soluciones.
y r,+ p ( j c ) y ’+ G ( j c ) y
Luego la solución particular es: y p = c, (jr)y, + c 2 ( x ) y 2
donde Cj(jr)* c 2( x ) son funciones por determinarse para esto formaremos el sistema
siguiente:
y,
de donde W[ yI, y 2 ] = t
y i
0
V i
y7
t = y }y V- y y 2 Entonces
y 2
y2
0
Ejemplo:
l)
Resolver la ecuación diferencial siguiente:
x
(eos x - sen x)y' +2 sen *. y*-(sen jc + eos x ) y = e (eos j
2
; -
x
sen*) , y ¡ = e » y2 = sen*
357
Ecuaciones Diferenciales de Coeficientes Variables
Solución
La ecuación diferencial dada se puede escribir en la forma
sen a*
. sen a + eos a
x,
v + ----------------- y - ----------------v = e (eos x - sen x)
eos x —sen x
eos x - sen x
2
La solución particulares y p = c x( x ) y x + c 2( x ) y 2
donde c, ( a ) , c 2 ( a ) son funciones incógnitas de x por determinarse
Luego:
y|C',(A)+ y2c \(A ) = 0
y \ c \ (a-) + y '2 c \ (x) = e x (eosx - sen a )
e \ c \ (x) + sen a.c'2(x)
X
(e C 1ix) + cos x r ' 2(.t)
c\(x) =
0
senx
e x(cos x —sen a)
COSA
= -se n
a:
c, ( a )
= eos x
sen a
eT
eos X
0
c\(x) =
ex
ex (eos a - s e n
ex
sen a
ex
eos a
a
)
= ex
Luego la solución particular es y
—> c2(x) = e
= e * eos x + ex sen x y la solución general es:
y = cxe x + c2 sen x + e x eos x + e x sen x
2
©
Resolver la ecuación diferencial:
2
jcv1—y '- 4 x y = 16 a: e x , y, = e x , y 2 = e ~x
Solución
y " - — y ' - 4 ; c ¿ y = 16 a V ^
X
; La solución particular es: y p - c x{ x ) y x + c 2( x ) y 2
2
358
Eduardo Espinoza Ramos
donde Cj Í jc^ c-^ jc) son funciones por determinarse:
Luego:
ex c \ ( x ) + e * c ' 2(.v) = 0
2x e x c \ ( x ) —2xe * c
'2 ( a )
3
, , de donde se tiene
= I6x3e
0
c\{x) =
\6x*ex
X
2xex
.t
c\(x) =
2xex
-2xe
—X
2xe
—> q
( jc)
= 2x"
—X
0
3 _ <*
\ 6 x Je
-x
2xex
= 4a
= - 4 x e 2x
—> es (jc) = - e 2x
2xe -X'
-2 x1
x*
Luego y p ~ 2 x e - e
y la solución general es:
T E O R E M A .-
y = c¡e
Mostrar que la ecuación diferencial
x^
+ c 2e
^ 1
T
—e
^~ ^^^
+ 2 jc e
d 2y
dy
— - + P(x)— + Q(x)y = 0
dx
dx
d 2u
- + / (x)u = 0 ,
haciendo el cambio
transforma
en
dx~
variable y = u(x).v(x), y escogiendo V(x) en forma apropiada
D em ostración
Sea y = u v
ahora reemplazamos en la ecuación diferencial dada.
d u - du dv
d v r„
du
dv.
^
v — - + 2 ——— + U— t + P( x )( v — + u — ) + Q ( x )uv = 0
dx‘
dx dx
dx
dx
dx
se
de
359
Ecuaciones Diferenciales de Coeficientes Variables
d*u , d v n/ vdv
x ,
/fw x - d v . d u
~
v — - + (— T + P ( x ) — + 0(x)v)w + ( />(x)v + 2 — ) — = 0
dx2
dx2
dx
dx dx
d 2u . 1 d 2v P ( x ) d v ... ..
,
. 2 d \\d u
— - + ( ------ + Q(x))u + {P(x) + — - ) — = 0
v dx dx
v dx
dx
v dx
n
ahora daremos la forma deseada, escogiendo v(x) de modo que
d 14
Luego la ecuación (1) se reduce a:
dx2
1d V
P(x)dv
----- + ( ---------------4 - — ---- -----
v
P (x)
h
v dx
= 0 , de
- f P{x)dx
P(x)dx de donde v = e 2J
. . 1 dv
1 n/ ,
donde
= —P(x) entonces
vdx
2
haciendo f ( x ) = —
v dx'-
2 dv
dx
y dx2
dx
V
+ Q{x))u = 0
(2 )
+ Q ( x ) , la ecuación (2)
queda en la forma:
d 2u
d'
Ejemplo.- Resolver la ecuación diferencial x — - + 2 — + xy = 0
dx‘
dx
Solución
d y 2dy
— —h------- + y = 0
dx‘ x d x
A la ecuación diferencial dada escribiremos así:
(2)
donde P(x) = — y Q (x )= 1; haciendo el cambio y = uv
x
Jt
donde v = e
/ ( x ) = — + / > . - + 0 (x )
V
V
r3
I
2
l
*2
*r1 +£(-r-)+1
x
*
2
—
x“
—
2 , .
^ + 1= 1
x
i
( 1)
0
Eduardo Espinoza Ramos
360
2
^2
como la ecuación (1) se transforma en la forma — r-+ /(* )M = 0 entonces — t- + m = 0
dx
dx2
de donde P (r) = r 2 +1 = 0 , cuyas raíces son rx = i , r2 = - i
La solución es u = Cj eos x + c-yX como y = u v - U => u - xy
x
La solución es xy = c { eos x + c 2 sen
O bservación:
Si
y!
es
una
jc
solución
y"+p(x)y'+Q(x)y = R(x)
de
la
ecuación
diferencial
se puede determinar la segunda solución
y 2 de la ecuación diferencial mediante la expresión:
y 2 = v(x)yl
donde v(x) es una función por determinar.
Teorema.-
Si Yx es la solución particular de la ecuación diferencial
^ - 4 + P ( x ) ^ + Q(x)y = 0
dxdx
P(x)d x
Demostrar que
r¡
Y7 = cYx I
r---- dx
J y,2
es también solución de la ecuación diferencial
D em ostración
Como K, es una solución de la ecuación diferencial entonces
Y] + P (x )Y { 4- Q (x )Y l = 0 ( lo verifica)
de acuerdo a la observación se tiene Y ~ Y xz es la solución general donde z es la función
incógnita derivando se tiene
Y'= Yxz ' + Y x z
Y " = Y xz " + 2 Y x z' + Yx" z
ahora reemplazando en la ecuación diferencial
yIz,,+2K1’2' + r I Mz + P(jt)(K1z,+ f I , z) + 0 U )> '1z = O
Ecuaciones Diferenciales de Coeficientes Variables
361
YlZ •+ (2Yx'+ P{x)Y¡ ) z '+ (K, + P(x)Y¡'+ Q(x)Yl ) z = O
“V*
o
y1z,,+(2Kl ,+ /»U )í'1)z,= 0
haciendo ¿ ~ u
=>
z " + ( 2 ^ - + P(x))z' = 0
Ȓ
...(1 )
=> zM= w' reemplazando en (1) se tiene:
2y •
u ' +(— —+ P(x)+)u = 0
Y\
i 2Y*
f
— = (— —+ P{x)) integrando ln u = 2LnYx I P(x)dx + cx
u
Yx
J
P(x)dx + cx levantando el logaritmo
-fp(jr)dK+c,
-Íp(.í)í¿x
—ea JJ
—
uYt2 =
=c.ezj JJ
entonces
e /
uii —
= ca ___
-------—
l'.2
-í/>U)<fr
z ■= c ------ —
Y{
Yx
pero m = z
-ÍPUtf*
z - c I ------- — dx + c,
J
Yx
integrando se tiene:
~ jp (x )d x
Y = Yx[ c \ e
j
puja*
como Y = K, z
- J p < jr) d r
dx + cl }=c.Y] \ e
j
dx + cxYx
y,
Se observa que la segunda solución de la ecuación diferencial es dada por;
P (x)d x
-s
yi=c.Yl \ ^ - ^ - d x
M
E jem plo.- Hallar la solución general de la ecuación diferencial
2
(1 - x ¿ ) — ~r - 2 x — + 2 y = 0 donde Y x = x es la solución particular
dx
dx
Solución
x)tL c
de acuerdo al teorema anterior la segunda solución es:
rí«
Y2 = c.Yx | — —— d x ... (1)
362
Eduardo Espinoza Ramos
Luego a la ecuación diferencial expresaremos en la forma.
d *v
2jc dy
2
—2 v
— --------+ ------ - y = 0 de donde P ( jc) = ---------, ahora reemplazamos en (1)
dx
1 - j x2 dx \ - x 2
l-x2
y
1
’ cY' i -
^
-
f e-*—
ix - “ J ~ ~ F ~
=“ J “ T -
f
*
* ’ “ J Í W
T
r,-cM f[-L + I(-L -)+ '
J x
2 1—jc
2 1+ ,v
K, = c 4 - - - - i n ( l - J r ) + - l n ( l + ^)]
x
2
2
Luego la solución general es
=*
K, = d - 1 + - l n ( — )]
‘
2
l - .x
X
+c2y2
Y=
1 + JC
Y = C|X + c2( - l h— ln(------ ))
2
\-x
Ejem plos:
©
Hallar la segunda solución de la ecuación diferencial; y ,,-4jcy' + (4 x 2 - 2 ) y = 0
donde
$ [( x ) = e x‘'
Solución
1
donde v’=m derivando se tiene: <¡>'2 ( x ) = v'e
Sea ^ 2(x ) = ve
0 " 2 (x ) = e
2
.2
2
v'*+4;ce
,
2
2
v, / (4 x + 2 ) e
2
2
v, reemplazando en la ecuación diferencial
2
,
2
2
e * v"+4*e* v '+ ( 4 jc + 2 ) e x v - 4 x e * v ' S x ^ e * v — 2 e x v = 0
e*2 v' ’+(4jc - 4 j t ) e '2 v’+ (8 * 2 - 8 *2 + 2 - 2 ) e '2 v = 0
ded o n d e e x v" = 0 —> V '= 0 -» u ~ 0
é
u = 1 pero v’= n
Luego la segunda solución es:
+ 2jrve
—> v’= l
<t>2( x ) = xe
X2
—> v = x
Ecuaciones D iferenciales de Coeficientes Variables
y la solución general es: y = c,e
x2
+ c2xe
363
X2
Resolver la ecuación diferencial: y**.y'+ye2x = x e 2x - 1 , y x = sen e x
Solución
Sea y2 = y¡v, la segunda solución de la ecuación diferencial homogénea.
y 2 = se n e * .v => y \ = v 'sen e* + c o s e * . e x v
y ' \ = s e n e x .v"+2ex eos e*.v'+ e* (cose* - e x se n e * )v = 0
Luego:
sen e * V '+ 2e * eos e^.v'+e* [cose* - e x sen e* ]v = 0
simplificando se tiene:
s e n e '.w " + (2 e
cose
Lnu + L/i sen2 e x =
a
sen e* .v "+ (2 ex cose* - s e n e * ) v ’= 0 , v '= w
-sen e
=>
) m' = 0
=> — + 2 e * c t g e * - l = 0 , integrando se tiene
u
L/ím.sen2 e* =
jc
—» w sen2 e v = e x
n = e Ac sc 2 e Jf —> v '= e * c s c 2 e*
. ^
jr
v = - c t g e como y , = sene . v
'
x cose
=> y2 = - sen e .-------sene*
Luego la solución complementaria es:
Ahora hallaremos y
y
= c j sene
Y
=> y-, = - cose
+ c2 cose
Jt
por método variación de parámetro:
sen exu + eos exu '2= 0
ex eos exu - ex sen exu \ - xe2x - 1
,
x
k cose*
,
*
* cose*
.
,
u , = xe eos e -------------- => u ¡ = x e eos e ------------ , mtegrando se tiene
ex
ex
*
364
Eduardo Espinoza Ramos
x
sene
u j = xsene - I e
X
u2 = a:sene
x
COSe
+ --------- ,
cose* dx,
como
y
Luego la solución general es:
r
cose*
= x sen e -------x
x
= u{ sene + u2 cose
x
..
se tiene:
y
i
al simplificar
=x
y = x + cx se n e x + c7 cose*
E JE R C IC IO S PR O P U E S T O S .Resolver las siguientes ecuaciones:
X
-Jt
2
©
x y " - y ' - 4 x 3y = 16x*ex , y = e x , y = e
R p ta : y = cxe"
©
Artl-.tLnxjy+d + AC^LrtJfjy-ÍAr+ l)^ = (l-.vLwJc)2e'r, >'i=eA,
+ c2e
~X
2
2
+. (2jc2 —«x
l)e X
y 2 =Lnx
R p ta: y = cxe x + c 2Lnx + e * ( x + x L n x + L n x )
©
jr‘ ( L n jc - l) y + jr v ,+>' = 0 , y x - x
©
y*±(tg x - 2c tg x)y+2c tg x . y = 0 , y , = s e n x
©
x y - x y - 3 y = 5x , y l = -
©
2
ti
* ^
¿
4
^
R p ta : v = Cj Lux + c2x
R p ta: y = c, sen x + c 2 se n ' x
R p ta: y = cjjc2 + — +‘ A'4
ém
3
R p ta : y = x + c,x + c2( 2 x - l )
x ( x - l ) y ”- ( 2 x - l ) y '+ 2 y = jc ( 2 x - 3 ) , y x = x
JC
©
( x - l ) y ”-x y '+ y = ( x - l ) .e , >’j = e
R p ta : y = q x + c ^ e * + ( — - x ) e *
©
y " - 2 x y ' + 2 y = 0 , y, = x
R p ta : y 2 - x
©
- t y '- U + l);y’+ y = 0 , y, = «•
®
xy', + 2y' + xy = 0
(Ñ j)
jc2 y " - 7 j t y ' + 1 5 y = 0 , y , = x
^
c, eos x c7 sen x eos x
R pta: y = —--------+ —----------------2
2
2
365
Ecuaciones D iferenciales de Coeficientes Variables
2)s e n x y " + 2 c o s x y '.s e n x y = 2 eos 2* .
^
(l3 )
©
tal que y(—) = 1 , y '(—) = 0
2
2
1
- eos 2*
Rpta; y =
2 se n *
y \ = e 6x
y ’- 4 / - 1 2 ; y = 0 ,
R p ta : c {e 6x + c 2e
x 2y " + 2 x y ' - 2 y = Q, y ¡ = x
R p ta : y = cxx +
c2
*
^5)
eos 2 x y " - s e n * eos*, y '- y = se n * ,
3^
2x
2
= sec* , y 2 = tg *
- *D
- + -2 )y _= x..3 ln * , sabiendo que y g = c , * + c 2* es la solución de la ecuación
(* “D “ - 2
homogénea
©
(.v4 - A-3 ) y "+ ( 2 a 3 - 2 a 2 - a:)y 'y =
, y, = X
@
A 7 " - v '- 4 A 3y - 0 ,
©
(2
^ l )
y " + y ' t g A + y c o s 2
a
+ 1)v" +
(4
a
X
y, = e x'
( 1 -
©
(1 - A2 ) y " - 2 A y ’+ 2y
a
2
)y "-2x y'+ 2y = 0 , y, =
©
a
—2)y' + 8 y = 0 , Y, = e nL(
a = 0,
Yl =
eos
A (se n
a)
22)
a4 y' '+2a3y'+y = a-2 ,
23
(l +
25)
(a + 1 ) 2 y " —2 (a +
7.1.
APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE
SEGUNDO ORDEN.-
2A )y"
+4A
1er P ro b lem a.-
y '-4 y
=
l)y' +
Yy = sen(-)
0,
(a 2
Yx
=e~lx
= 0
+2a + 3)v = 0
Trayectoria de un proyectil.-
Consideremos un proyectil de peso p lanzando con un ángulo a sobre el plano vertical.
Estudiaremos la forma de una trayectoria, despreciando la resistencia del aire.
366
Eduardo Espinoza Ram os
►X
A causa de la dirección de la velocidad inicial v0, el proyectil tiende a elevarse pero como
consecuencia de la fuerza vertical de la gravedad p = mg., la trayectoria se curva hacia el
suelo, ubiquémonos en el punto M de la trayectoria, al cabo del tiempo t después del
lanzamiento, y sean x e y las coordenadas de ese punto. Como se observa en la figura.
Como la única fuerza aplicada al proyectil es la gravedad, proyectamos éste sobre los dos
ejes aplicando la fórmula fundamental F = ma:
Sobre el eje horizontal
d 2x
m — —= 0
dt
Sobre el eje vertical
d “y
m — — = —p = - m g
Con el signo
dr
puesto que la fuerza p actúa en sentido contrario al positivo de y, resulta*
•y
d x ^ . . .
dx
— —= 0 , de donde — = c = v0 c o s a
dt
dt
x = Vq c o sa ./ + c
entonces, para t = 0, x = 0 de donde c = 0
x = v()í c o s a
Obteniendo:
iAn •
También:
d 2y_
dt
~ —
» .(1 )
dy
- j - = ’ gt + c
dt
dy
para t = 0, y como — que es la proyección vertical de la velocidad v0 es igual a v0 es
dt
dy
= - g r + v0 s e n a
igual a v0 sen a de donde:
v0 sen a = 0 + c
dt
367
Ecuaciones Diferenciales de Coeficientes Variables
t
que al integrar se tiene - g — + v0 sen a + K
para t = O, y = O se tiene k = O de donde
... ( 2)
y = ~ g — + v0 s e n a
de la ecuación (1) y (2) se elimina el parámetro t
1
8X
2 .
y=- - ,
, + jr tg a = - a x +bx
2
eos a
que representa una parábola de eje paralelo al eje y, pasando por un máximo
2a0 Problema.- Problema del resorte vertical.Un peso p es atraído por un punto fijo A proporcionalmente a la distancia. Cuando este
peso se coloca en “O ” a una distancia OA = a y debajo del punto A. la atracción de A
sobre el peso p es igual y opuesto al peso p.
Hallar la ecuación del movimiento del peso p.
Suponiendo que se le abandone sin velocidad inicial en el punto A. ¿Cual es la duración
de la oscilación del peso p y cual es su velocidad cuando llegue a O? No se considera
resistencia « d e l aire.
Llamamos x a la distancia del peso p al origen A, en
A
un instante cualquiera y contemos positivamente hacia
abajo se tiene p = mg. Además la fuerza atractiva hacia A es de la forma -kx,
o
dirigida en sentido inverso al peso, y la ecuación
fundamental es:
de las fuerzas = mr, nos da:
m g-kx = m
p
d 2x
dt2
por otra parte, de acuerdo con el enunciado, se tiene en O m g - k a ^ k ~
mg
a
de donde
368
Eduardo Espinoza Ram os
d x mg
m —r +
x = mg
dt2
a
+- x = g
dt¿ a
ecuación fundamental de segundo orden incompleto, cuya solución es
2
¡2
x = M e o s . —/ + N s e n . I—t + a
a
a
dx
para t = 0, x = 0, así como — se tiene M = -a y N = 0 , de donde
dt
x =
(1)
dx
dt
= yfga sen
J —t
a
por lo tanto el movimiento x = f(t) es sinusoidal y el peso p oscila de 0 a 2a. el período es
T = —— =
= 2k I g
¡a
EnO, x = a y de acuerdo a la ecuación ( l ) se tiene: r = — —
2 VS
k
de donde la velocidad es v = — = J a g
d t y
3
P ro b lem a,-
Movimiento de un punto atraído o repelido por un centro fijo o,
proporcionalmente a la distancia.-
En este problema consideremos dos casos:
a)
El primer caso de atracción
Ecuaciones D iferenciales de Coeficientes Variables
369
Sea Pq la posición normal de la abscisa x 0 , v Q la velocidad inicial dirigida hacia el
entero O, y llamaremos m a la masa del cuerpo.
La fuerza que actúa sobre el cuerpo es:
Como el signo
2
F = -k x
^
(k“ es una constante positiva)
puesto que f se dirige en sentido inverso de x.
2
La fórmula fundamental del movimiento F = ma dá m — ~ - - k 2x
dr
. . .
quehaciendo
7
k~
to" = — setiene:
w
d x
2
r\
— —+ g tjc = 0
dr
ecuación diferencial de segundo orden y su solución es:
x = A eos cot + B sen cot que es sinusoidal.
Ahora calculando A y B se tiene: para t = 0, x = xo se tiene A = x<>
Además v = — = -Acó sen cot + Bco sen cot
dt
y para t = 0, v = v0 se tiene v0 = Bto => B = —
(O
de donde se tiene:
vn
x = jc0 eos cot + — sen m ~ M sen(o)/ - <p)
co
el coeficiente de t es la pulsación ío, de donde el período
T es: T = - = 2 n ^ (O
k
siendo independiente de las condiciones iniciales.
La frecuencia es / = ^ , se tiene un movimiento periódico sinusoidal: es decir, el más
sencillo de todos los movimiento periódico, se llama también movimiento pendular o
movimiento armónico.-
370
Eduardo Espinoza Ramos
La cantidad x se denomina elongación o amplitud instantánea de la vibración, M es la
amplitud de y, (p la fase.
Si en un fenómeno vibratorio, la amplitud instantánea viene dado por; x = A sen co t la
velocidad es: v = — = Acó eos cot y la aceleración.
dt
dv
2
2
r = — = -Acó sen tot = -co x
la fuerza que produce el movimiento (o la fuerza
resultante), es, llamado m a la masa del cuerpo en movimiento y “a” a la aceleración:
F - m a - -meo2x = kco1
resultando proporcionalmente al cuadrado de la frecuencia.
b)
Segundo caso de repulsión
F = +Jfc2jc
Siendo la fuerza
La ecuación del movimiento es:
m ^ —£- = F = ^—^-~co2x = 0 , (co2 = — )
dt2
dt
m
u 2A.
y la solución de ^ —^ - c o 2x = 0, es:
dt2
jc = Ae°* + Be
Con las condiciones del primer caso se calcula A y B obteniendo finalmente
, -(Ot . v0 e (Ot - e -0)¡
€ (Ot +e
jc = .Cn(--------------) + — (-------------- )
^
2
co
2
v0
=> jc = .XXeos (Ot + — senh cot
^
co
410 P roblem a.- Sólido girando alrededor de un eje.d 20
Sea I el momento de inercia con relación al eje y — — la aceleración angular entonces la
dt 0
fórmula fundamental de los cuerpos que giran alrededor de un eje es:
I
<¡t2
^
de los momentos de las fuerzas
Sea 0 el ángulo de desviación de la posición de equilibrio y c 0 el momento resultante de
las fuerzas aplicadas.
Ecuaciones D iferenciales de Coeficientes Variables
371
Momento que supondremos proporcional al ángulo 0.
Como este momento actúa en sentido inverso al del ángulo 0, es negativo, de donde la
ecuación.
,d2
0
n
I — - = -c0
dr
al resolver la ecuación se tiene:
=>
./ —d2—0+ c6n= 0n
dr
6 = 0O sen(
el movimiento resulta perpendicular ó sinusoidal, y como el coeficiente de t representa la
pulsación o) se deduce el período.
que es independiente de la amplitud.
Esto es lo que se produce cuando el par c 0 es debido a la torsión de un hilo elástico y un
resorte espiral o un muelle, como ocurre en el balanceo en espiral o un reloj, o en el
cuadro móvil de un aparato eléctrico de medida.
7.1.1
APLICACIÓN AL PÉNDULO SIMPLE.Tomemos el ángulo 0, el momento de la fuerza p = mg, que tiende a volver al estado de
equilibrio, es momento = p . í sen 0 = m g ( sen 0, y si se supone que el ángulo 0 es lo
bastante pequeño para que se puedan confundir el seno y el ángulo (0 < 1 0 o a 2 0 o),
i
podrá escribirse.
momento = m g i 0 = c 0
0
>i
4
372
Eduardo Espinoza Ramos
Por otra parte, el momento de inercia con respecto al eje es ! = m 2 , el periodo T es, por
consiguiente
5*° Problema.- Oscilaciones forzadas de un sistema oscilante cualquiera, resonancia.Considerando el caso general de una masa de peso m, sometida a una fuerza proporcional,
con la amplitud x del desplazamiento, dirigida en sentido inverso y sin amortiguación.
/
2
m — —= - k 2x ,
La ecuación del movimiento es:
( k 2 > 0)
d t2
m
d 2x
+ k 2x = 0
dt2
en consecuencia, el sistema es oscilante y la amplitud instantánea es:
k2
x = Xq sen x¡— t es decir, una sinusoide sin amortiguar.
m
Sea ú)2 = — y supongamos ahora que este sistema, capaz de oscilar, está sometido a
m
una causa exterior, sinusoidal y de pulsación ü>, será pues, una fuerza impuesta que va a
actuar sobre el sistema, y si x 0 es la amplitud máxima, la ecuación del movimiento se
convierte en:
d 2X , 2
i2
m — —+ * x = x XftSencot
dr
ecuación de segundo orden, cuya solución es:
dx
.
.
— = Acócos(cot + <p)
di
x = A sen (cot + tp)
d 2x
. 2
.
2
=> — r = - A o ) sen ( g x + <p) = -a) x
dt2
reemplazando en la ecuación (1) se tiene:
2
2
^
- Amo) sen(cot + (p) + k Asen(£üf + (p) = k ~ x 0 sentar
•••(1)
I
373
Ecuaciones D iferenciales de Coeficientes Variables
A(k
2
2
^
- m e o )sen(ü# + <p) = jfc~jc0 s e ñ o r, por lo tanto
Si k < meo u(ú < oíq , A =
k %
k 2 - meo2
k 2Xty
Si k 2 > m (O2u ( ú > ( ú 0 , A - -------
mar -Z:2
resulta que:
, <p = 0
, <p=7T
para co < 6>0 el movimiento está en fase
para O) > (O0 el movimiento está en operación
Si co = G>0 , A =
hay resonancia: la amplitud del movimiento crece considerablemente,
y hay de enormes fuerzas.
Así la resonancia (mecánica aquí) permite, con fuerzas pequeñas, obtener intensos e
incluso violentos efectos.
i*
En radio y con circuitos oscilantes se obtiene efectos análogos, lo que permite corregir
intensas y de tensiones muy altas o sobretensiones útilísimas para amplificadores ó
emisiones.
d 20 S
— —+ — sen 6 = 0 (cuando 9 no es pequeño)
dt
E
6'° P ro b lem a.-
Establecimiento de la fórmula fundamental de resistencia de materiales
(flexión de vigas).
Suponemos una viga horizontal apoyada en dos puntos, pero, por razones de simplicidad
y claridad, tomemos antes una viga horizontal sujeta a un extremo y sometido a otro a una
fuerza p.
P
374
Eduardo Espinoza Ram os
Sea O ó la fibra neutra, donde el esfuerzo es nulo, es decir, donde la longitud no cambia,
encima la materia se estira y debajo se comprime.
Llamemos, asimilando la viga curvada a un arco de círculo.
S
la sección de la viga.
p
el radio de curvatura de la fibra neutra.
1
la longitud inicial de la viga.
y
la distancia de una fibra cualquiera encima de la línea neutra.
Se tiene para la fibra media.
0
i
y para la fibra a la distancia y, de la longitud ha aumentado en d (
t +dt = (p+ y)6
de donde d t = y 9 = y —
P
el alargamiento unitario i es i = — = —
t
P
denominemos “a” el espesor de la viga (perpendicular al plano de la figura) y sea dy un
pequeño aumento de y.
Sobre la superficie a.dy se ejerce una fuerza d F
375
Ecuaciones Diferenciales de Coeficientes Variables
Sea n e! esfuerzo por unidad de superficie,
dF
dF
n = — = ----ds
ady
ahora bien, i es proporcional a n, en tanto que no sobrepasa el límite de elasticidad (la Ley
de Hooke), y puede escribirse, n = ki donde k es una constante, que ha sido calificada
módulo de elasticidad E.
Sea, por consiguiente
n=Ei
ÉH. — £ ( —) de donde dF =
ydv
ady
p
p
... (1)
es la suma de todos los dF sustituida la parte izquierda de la viga supuesta elevada, y
equilibrando con la fuerza de la derecha.
En efecto, estando en equilibrio todo el sistema, tomemos los momentos con respecto al
punto “O ” de todas las fuerzas, y escribamos que la suma algebraica de todos los
momentos es nula, o incluso que: Z de los momentos de las fuerzas de la izquierda = Z de
los momentos de las fuerzas de la derecha.
Es decir J ydF = M
que se llama también momento de flexión.
Multiplicando la ecuación (1) por y se tiene:
ydF = — y 2dy , integrando
P
f y d F - M = — í ay 2dy
Jo
PJ
ahora bien, ay~dy es el momento de inercia de la lámina dy con respecto a la línea neutra
y si se llama Y el momento de inercia de la sección s con respecto al eje que pasa por O y
por G.
376
Eduardo Espinoza Ramos
2
ax dx
El
(1 + y '2) 2
se tendrá M = — , por otra parte el radio de curvatura es: p = ----pero como las
P
y"
flexiones de las vigas son siempre muy ligeras,
prácticamente nula en cada punto, por lo tanto p =
es decir:
y' que es la pendiente, resulta
, lo que dá
M = £ /v "
d 2y
dx2
El
Fórmula fundamental de la flexión en resistencia de materiales.
7mo P roblem a.- Cálculo de la flexión de una viga.Consideremos una viga horizontal apoyada en dos puntos en sus extremos, esta viga se va
a flexionar, para esto tomemos el eje de la viga como eje de las x y llamemos y la
desnivelación vertical de la viga en un punto cualquiera, es decir la flexión.
Si se considera:
I = momento de inercia de la sección de la viga con respecto a su centro de gravedad.
E = el módulo de elasticidad del metal.
M = suma de los momentos de todas las fuerzas situadas a la derecha (o a la izquierda) de
la sección considera a la distancia x, comprendido los momentos debidos a la
reacciones de los puntos de apoyo.
P = radio de curvatura de la viga, en un punto cualquiera de la abscisa x.
Se tiene la misma fórmula que en el caso de la viga sujeta:
cuya solución da la flexión y en un punto cualquiera.
d y
M
— —= -----dx2 E l
377
Ecuaciones D iferenciales de Coeficientes Variables
8
P ro b lem a.- Vibraciones de una masa pendiente de un muelle.-
Para formular la ecuación diferencial de este problema se necesita dos leyes de la física,
la segunda de Newton y la ley de Hooke.
La segunda Ley de Newton establece que la variación de la cantidad de movimiento de un
cuerpo por unidad de tiempo es proporcional a la fuerza resultante que actúa sobre el
cuerpo y su sentido es la de la fuerza resultante.
Expresando en forma matemática es:
dt
(mv) = KF
donde m es la masa del cuerpo, v su velocidad, F la fuerza resultante que actúa sobre él, K
una constante de proporcionalidad.
m — = KF
dt
Si m se considera constante
de donde F = K m a, donde a -
dv
~dt
La ley de Hooke establece que la magnitud de las fuerzas necesarias para producir una
cierta elongación en un muelle es directamente proporcional a la elongación, supuesto que
ésta no es demasiado grande, en forma matemática se tiene:
| F | = Ks
donde F es la magnitud de la fuerza, s la elongación y K es una constante de
proporcionalidad a la que llamaremos constante del muelle.
Para formular el problema consideremos lo siguiente:
378
Eduardo Espinoza Ramos
a) longitud natural L
b) masa en equilibrio,
c) masa a una distancia x
muelle con deforma­
por debajo de posición
ción L + l
de equilibrio; longitud
del muelle con deforma­
ción L + í + x.
Ahora consideremos las fuerzas que actúan sobre la masa m.
Io
La fuerza de gravedad Fx = mg
2o
La fuerza recuperadora del muelle, por la ley de Hooke se tiene F2 = - K ( x + í ) por
g es la aceleración debido a la gravedad.
ser la fuerza recuperadora F 2 igual a la magnitud pero de sentido opuesto a las
fuerzas de gravedad, y que para la posición x = 0, se tiene:
- m g = - K ( 0 + O => mg = K í por lo tanto
F2 = - K x - mg
3o
La fuerza de resistencia del medio llamado fuerza de amortiguamiento, que
ir
dx
„
expresa asi:
r, = -a —
,a>0
dt
4o
Cualesquiera fuerzas exteriores que actúan sobre la masa que será expresado por
F4 = F ( t ) ahora aplicando la segunda ley de Newton F = ma, donde
2
F = F, + F2 + F^ + F4 se tiene: m
= mg - K x - m g - a — + F (t) de donde:
dt
Que es la ecuación diferencial del movimiento de la masa sujeta al muelle.
9no P ro b lem a.- Movimiento libre no amortiguado.-
para el caso del movimiento libre no amortiguado
se
379
Ecuaciones Diferenciales de Coeficientes Variables
+ Kx = 0 si. A2 = —
d r
m
se tiene a = O y F(t) = O V t entonces:
d r
+ A2.v = O , cuya solución es:
x = c« eos Xt + es sen Xt
donde c ], c 2 constantes arbitrarias y para
vn
-v(0) = A'0 , x'(Q) = v0 se tiene c, = -y- , C2 = x 0
,v = — cosA / + ;tn senA t
A
0
v0
1
expresaremos en la forma siguiente:
^
x = c(— cosA/ + — sen A/)
c
v
o
donde c = J ( — )2 +
>0
A
vo
siendo — = - s e n 0
c
v
/ A!”
— = cos0 obteniendo x = c eos (A t + <(>) => x = ccos( —/ + 0 )
r
ym
por lo tanto el movimiento libre no amortiguado de la masa es un movimiento armónico
simple.
10
P roblem a.-
Movimiento libre amortiguado.-
De la ecuación diferencial del movimiento
2
^
m — —+ £/ — + Kx — F ( t ) , para el caso del
dt"
dt
movimiento libre amortiguado se tiene: F(t) = 0 V t resultando la ecuación diferencial
d 2x
dx „
. , , , d 2x _, ¿/jc -->
f.
, _i
a
*2 K
m — —+ fl — + K x = 0 de donde — —+ 2/?— + A'.v = 0 siendo 2b = — , A = —
dr
dt
dr
dt
m
m
para la solución de este problema se presenta tres casos que dependen del signo de
b 2 ~X2 .
380
Eduardo Espinoza R am os
C aso 1.- Movimiento Oscilatorio Amortiguado.Si b < A entonces la solución es:
x = e~hl[c{ sen V a 2 - b 2t + c2 eos V a 2 ~ b 2t]
que también se puede expresar en la forma: x - e ht cos[VA2 - b 2t + <¡>] donde
c = J e 2 + c 2 > 0 y <J>está determinado por las ecuaciones:
,
- sen <p =
C,
*
f y'-.... ; eos <p =
C2
C aso 2.- Amortiguador Crítico.- Si b = A; La solución es a- = (Cj + c 2t)e~ht
Caso 3.- Amortiguamiento Super Crítico.- Si b > A
Entonces la solución es: x = c¡er]I +
donde r, = —b + yjb2 —A2 ,
r, = - b - yjb2 - A2
l l v o P ro b lem a.- Circuitos eléctricos.En las aplicaciones de las ecuaciones diferenciales a circuitos en serie contiene una fuerza
electromotriz, elementos de resistencia, inducción y capacidad.
Una fuerza electromotriz (por ejemplo una batería o un generador) produce un flujo de
corriente en un circuito cerrado y que esta corriente produce lo que se llama caída de
tensión (o voltaje).
Para la caída de tensión en cada elemento de resistencia, inducción y capacidad se tiene
las tres leyes siguientes:
Io
La caída de tensión en un elemento de Resistencia es dado por E R = Ri donde R es
una constante de proporcionalidad llamada resistencia e i la intensidad de la
corriente.
Ecuaciones Diferenciales de Coeficientes Variables
2o
381
dt
La caída de tensión en un elemento de inducción es dado por: E¡ - L — s donde L
^
L
dt
es una constante de proporcionalidad llamada inductancia e i la intensidad de la
corriente.
3°
La caída de tensión en un elemento de capacidad o condensador es dado por;
Ec = —q donde c es una constante de proporcionalidad llamada capacitancia y q es
c
la carga eléctrica instantánea en el condensador.
Como i = — entonces
dt
dt
Las leyes fundamentales en el estudio de los circuitos eléctricos son:
a)
Ley de Kirchoff (forma 1).- La suma algebraica de las caídas instantáneas de
tensión* a lo largo de un circuito cerrado en un sentido específico es cero.
b)
Ley de Kirchoff (forma 2).- La suma de las caídas de tensión en los elementos
de inducción, resistencia y capacidad, es igual a la fuerza electromotriz total en
un circuito cerrado.
Consideremos el circuito siguiente:
En este diagrama y en los posteriores emplearemos los siguientes símbolos
convencionales.
R
A iw m
vQ M M Lr
E fuerza electromotriz (batería o generador)
—
—
\SLSMs
R resistencia
L
inductor
C
Condensador
Eduardo Espinoza Ramos
382
Aplicando la ley de Kirchoff, al circuito y utilizando las leyes de caídas de tensión se
di
1 i
obtiene la ecuación: L — + /?*+” q = E
dt
c
di
Como i = —
dt
di
d 2q
d 2q
dq 1
=> — = — — entonces: L — ~ + / c ----- v —q = E
dt
dt2
dt2
dt c
,
.,
, d 2i n di
1 . dE
de esta ecuación se tiene: L — - + R — + —i = —
dt
dt c
dt
Por lo tanto se tiene las dos ecuaciones.
Ecuaciones diferenciales para la carga q y la corriente i:
di
Si el circuito no tiene condensador la ecuación se reduce a: L — + Ri = E
dt
y así se tiene inductor, la ecuación se reduce a:
R — + —q = E
dt c
Ejercicios Propuestos.En el extremo de un muelle espiral sujeto al techo, se coloca un peso de 8 libras. El peso
queda en reposo en su posición de equilibrio, en la que el muelle se ha alargado 6
pulgadas. A continuación, el peso se desplaza 3 pulgadas por debajo de la posición de
equilibrio y se abandona en t = 0 con una velocidad inicial de 1 pie/seg., dirigida hacia
abajo. Despreciando la resistencia del medio y suponiendo que no existen fuerzas
exteriores, determinar la amplitud, periodo y frecuencia del movimiento resultante:
Amplitud del movimiento
R pta:
el periodo 2 ( ^ ) = ^
J — pie
seg.
frecuencia es — oscilaciones/seg.
7t
Ecuaciones Diferenciales de Coeficientes Variables
(2 )
383
En el extremo inferior de un muelle espiral sujeto al techo se suspende un peso de 12
libras. El peso queda en reposo en su posición de equilibrio, en la que el muelle queda
alargado 1.5 pulgadas. A continuación se lleva el peso 2 pulgadas por debajo de su
posición de equilibrio y se abandona partiendo del reposo en
t = 0. Hallar el
desplazamiento del peso en función del tiempo. Determinar la amplitud, periodo y
- t i
•
i
frecuencia del movimiento resultante.
.
COSI Ó/
1
7t
6
6
8
..
.
R p ta : x = ---------- , —pies , — oscilaciones/seg.
Al extremo inferior de un muelle espiral suspendido del techo se liga un peso de 4 Ibs. El
peso queda en su posición de equilibrio en la que el muelle está alargado 6 pulgadas. En
el instante t = 0 se golpea el peso de modo que se pone en movimiento con una velocidad
inicial de 2 pies/seg. dirigida hacia abajo.
a)
Determinar el desplazamiento resultante y la velocidad del peso en función del
tiempo.
b)
Hallar la amplitud, período y frecuencia del movimiento.
c)
Determinar los instantes en los que el peso se encuentra 1.5 pulgadas por debajo de
su posición de equilibrio y moviéndose hacia abajo.
d)
Determinar los instantes en que se encuentra 1.5 pulgadas por debajo de su posición
de equilibrio y movimiento hacia arriba.
R p ta:
a)
.v = _ i£ ü * í.
4
C)
t =— +—
48
4
b)
— pies; — seg, — oscilaciones/seg.
4
4
7T
(n =,0,1,2,...)
d)
/ = — + — (n =,0,1..... )
48
4
La naturaleza de un muelle espiral es tal que un peso de 225 lbs. le deforma 6 pulgadas.
El muelle se encuentra suspendido del techo, a su extremo inferior se liga un peso de 16
lbs. que, a continuación, queda en su posición de equilibrio. Entonces se lleva a una
posición 4 pulgadas por debajo de la del equilibrio y se abandona en
velocidad inicial de 2 pies/seg. dirigida hacia abajo.
a)
Determinar el desplazamiento resultante como función del tiempo.
t = 0 con una
384
Eduardo Espinoza Ramos
b)
Hallar la amplitud, período y frecuencia del movimiento resultante.
c)
¿En qué instante atraviesa el peso su posición de equilibrio y cuál es su velocidad en
ese instante?
0
R p ta:
©
.
a)
sen 10/ cos 10/
x = ------------ +
5
3
c)
0.103 s e g ;-3.888 pies/seg.
>/34 .
b)
15
n.
,5
...
.
pies:—(seg), — oscilaciones/seg.
5
7T
De un resorte vertical cuya constante de rigidez es igual a 300 Kg/m. se suspende un peso
de 118 Kg. Si el peso se levanta 76.6 nun. sobre su posición de equilibrio y luego se le
suelta, calcular el instante en que el peso se halla a 38.3 mm. debajo de su posición de
equilibrio y moviéndose hacia abajo. Halle también la amplitud, período y frecuencia del
R pta: x = 7.66sen(5/ + — ), amplitud 7.66 cm
movimiento.
El período
, la frecuencia
ciclos/seg.
Un peso de 1.84 Kg suspendido de un resorte lo estira 76.5 mm. se tira del peso hasta
bajarlo 153 mm. de su posición de equilibrio y luego se le suelta. Suponiendo que el peso
actúa una fuerza de amortiguamiento numéricamente igual a 3 v kg. siendo v la velocidad
instantánea en m/seg, hallar la ecuación del movimiento dei peso después de haberlo
soltado.
R p ta: .v = 0.153V íe -8' sen(8/ + —)
Una masa de 100 gr. se suspende de un extremo de uiW esorte y el otro extremo se
suspende de un soporte fijo dejando que el sistema alcancé el reposo. En la posición de
equilibrio el resorte se estira 5 cm. La masa se tira 5 cm. hacia abajo y se suelta con una
velocidad de 7 cm/seg. Encuentre la ecuación del movimiento de este sistema para las
siguientes fuerzas de amortiguamiento.
a)
b)
2.800 Í L E Z 2 1
dt
ui
R pta:
a)
x = (5 + 71t)e 14'
b)
3,50o * £ ^ ! =
dt s e g ui
x = l e - Jl - 2 c " '8'
385
Ecuaciones D iferenciales de Coeficientes Variables
Una masa ni se proyecta verticalmente hacia arriba desde “O ” con una velocidad inicial
v0 . Hallar la altura máxima alcanzada, suponiendo que la resistencia del aire es
proporcional a la velocidad.
R p ta : altura máxima
jc
=
1
—[v0
k
o
k
ln(
p ^ lc\*
-)]
g
Se ha colocado una cadena sobre una clavija pulida, colgando, de un lado 8 dm. y del otro
12 dm. Hallar el tiempo que la cadena tarda, al resbalar, en caerse.
a)
Si se prescinde del rozamiento.
b)
Si el rozamiento es igual al peso de 1 dm. de cadena.
R p ta:
10
1 .
Í10.
2
V8
a)
t = j— arc.cosh —(x + 2 ) = I— Ln
b)
/=
8
— Ln —{x + —+ J x 2 +
8
©
.
3
x + 2 + y]x2 + 4 x
3a)
2
En el extremo inferior de un muelle sujeto al techo se fija un peso de 32 libras. El peso
queda en reposo en su posición de equilibrio, en la que el alargamiento del muelle es de
2 pies. A continuación se lleva dicho peso 6 pulgadas por debajo de la posición de
equilibrio y se abandona t = 0, no existe fuerzas exteriores, pero la resistencia del medio
dx
dx
en libras es numéricamente igual a 4 — , donde — es la velocidad instantánea en pies
dt
á
por segundo. Determinar el movimiento resultante para el peso pendiente del muelle.
R p ta:
^ í)
jc
= — e~2t cos(2>/3 1 - —)
Al extremo inferior de un muelle espiral suspendido del techo se sujeta un peso de 8 lbs.
que queda en reposo en su posición de equilibrio con el muelle alargado 0.4 pies, se lleva
4 1
entonces el peso 6 pulgadas por debajo de dicha posición de equilibrio y se abandona
en t = 0. La resistencia del medio es, en libras, numéricamente igual a
la velocidad instantánea en pies por segundo.
i
donde — es
dt
dt
2 —
Eduardo Espinoza Ram os
386
a)
Escribir la ecuación diferencial del movimiento, así como las condiciones iniciales.
b)
Resolver el problema de valores iniciales planteado en la parte a) para determinar el
desplazamiento del peso en función del tiempo.
R p ta :
©
a)
1 ^ + 2 — + 20* = 0, jc(0) = - , * ’(0) = 0
4 dr
dt
2
Lv
b)
^4, , s e n 8/ co s 8r
x = e (--------+ ---------)
En el extremo inferior de un muelle espiral suspendido de un soporte fijo se coloca un
peso de 8 lbs. El peso queda en reposo en su posición de equilibrio, posición en la que el
muelle se encuentra deformado 6 pulgadas. A continuación se desplaza el peso 9 pulgadas
por debajo de dicha posición y se abandona en t = 0. El medio ofrece una resistencia que
dx
d x*
es, en libras, numéricamente igual a 4 — , siendo — la velocidad instantánea en pies por
dt
dt
segundo. Determinar el desplazamiento del peso en función del tiempo.
Rpta:
©
j: = (6r + —)¿~8'
4
Se ha suspendido un peso de 7.26 Kg. cuya constante de rigidez es 7.44 Kg/m. se aplica
una fuerza externa dada por F(t) = 10.9 senlOt, t > 0, se supone que actúa una fuerza de
amortiguamiento que expresada en Kg. es numéricamente igual a 5.95 v, siendo v la
velocidad instantánea del peso en m/seg. inicialmente el peso se encuentra en reposo en
su posición de equilibrio. Halle la posición del peso en cualquier instante.
R p ta:
©
x = 0.2925<? 155' - 0 . 2 ] 2 e ~ * 45' -0 .0 9 1 5 se n 1 0 /- 0 .0 8 1 3 eos 1Oí
Se suspende un peso de 14.5 Kg. de un resorte vertical cuya constante de rigidez es
5.95 Kg/m. se aplica una fuerza F(t) = 7.26 sen2t,
t > 0. Suponiendo que cuando t = 0
el cuerpo se encuentra en reposo en su posición de equilibrio y que la fuerza
amortiguadora es despreciable, determine la posición y la velocidad del peso en cualquier
instante.
R p ta: x = 0.61 sen 2t - 1.22t eos 2t ; y = 2.44 sen 2t
387
Ecuaciones Diferenciales de Coeficientes Variables
( l5 )
Una viga horizontal de 2 t metros de longitud está apoyada en sus extremos. Hallar la
ecuación de su curva y su máxima deformación vertical (flecha) cuando tiene una carga
uniformemente distribuida de ío Kg/m.
R p ta: y =
^ (4l.r3 - x 4 - 8 f 3x) ; - y m a x =
24 El
7
24 El
Resolver el problema 15) si actúa, además, una carga de W Kg en medio de la viga.
R p ta:
y = - ^ — ( 4 t x 3 - x 4 - W 3x ) + - ^ - ( 3 f c r - | t - x p - 6 f 2x + t 3)
24 E l
\2EI
5a>(4 W t 3
- y m a x = ------- + ------24E7
6EI
^7)
Una viga horizontal de í metros de longitud está empotrada en un extremo y libre en el
otro. Hallar la ecuación de su curva elástica y la flecha máxima si la carga uniformemente
R p ta : y = ------- (4£x3
24£7
repartida es co Kg/m.
^
-
jc4
)
;
ü)(!*
- vmax = — —
' 8
El
Una viga horizontal de l metros de longitud está empotrada en ambos extremos. Hallar la
ecuación de la curva elástica y la flecha máxima si tiene una carga uniformemente
distribuida de 0) Kg/m.
@
Resolver el problema 18) si además actúa un peso W Kg. en el punto medio de la viga
R pta:
y =
_£?—.(2f,x3 —£ 2 x 2 - jc4)+
24 E l
48 E l
- y max =
(20)
2
rA
R p ta : y = — ■( 2 f x - f 2 - x 2) , - y m a x = W
24£/
384£V
í
384 E l
- 6 t 2x + 9?x2 ~ 4 .t3), - < x < ¿
2
(<o f * + 2 W Ü 3 )
Una viga de longitud 3 ^ está libremente apoyada en los extremos. Hay una carga
uniforme (ú por unidad de longitud y carga
(0 aplicada a una distancia
í de cada extremo.
Tome el origen en el punto medio de la viga y halle la ecuación de la curva elástica y la
máxima de flexión.
388
Eduardo Espinoza Ram os
0 .
R p ta :
1
r< y , 9 . 2
2
y = — [— ( - Í \ t
El 2 8
1
- y max =
384£/
®
v,
,3
. i
JC3
.
í
,
)] + ct)(—O r ----- + — ) , — < x < —
12
4
6
8
48
2
.3 1
2
(405(0^ + 3 6 8 © r )
Un circuito eléctrico consta de una inductancia de 0.1 henrios, una resistencia de 20
ohmios, y un condensador cuya capacidad es de 25 microfaradios (1 microfaradio = 10"*
faradios). Hallar la carga de q y la corriente y en el tiempo t, siendo las condiciones
iniciales:
a)
q = 0.05 coulombios, / = — = 0 ,
dt
b)
q = 0.05 coulombios, i = -0.2 amperios para t = 0
R p ta:
q = e~100,(0.05cos6245/ + 0 .0 0 8 se n 6 2 4 5 0 ; / = -0 .3 2 e "IOOf s e n 6245/
a)
b)
q =e
/= e
22
para t = 0
-
-
100 /
100/
(0.05 eos 6 2 4 5 /+ 0.0077 sen 6 2 4 5 0
( - 0 .2 co s6 2 4 5 / - 32.0se n 6 2 4 5 0
Un circuito consta de una inductancia de 0.05 henrios, una resistencia de 20 ohmios, un
condensador cuya capacidad es de 100 microfaradios y una f.e.m. de E = 100 voltios.
Hallar i y q siendo las condiciones iniciales q = 0 i = 0 para t = 0.
R p ta:
= e_200í(-0 .0 Ic o s 4 0 0 /- 0 .0 0 5 sen 4 0 0 /)+ 0.01 i í = 5e~200/sen400/
Sea L = 10 henry (h), R = 250 ohms (r), C = 10~3 farads (f) y E = 900 volts, (v) en el
circuito de la figura. Suponga que no hay carga presente y que no está fluyendo corriente
en el momento t =0 en que se aplica E, calcule la corriente y la carga para todo valor t> 0.
m r n -----------------R p ta :
¡(t) = 6(<f5' - e 20' )
Q(t) = — (9-12<T 5' +3e~20' )
10
389
Ecuaciones Diferenciales de Coeficientes Variables
©
En los ejercicios, halle la corriente de estado estacionario en el circuito RLC de la figura
de 23) donde:
25
a)
L = 5 henrys.
R = 10 ohms.
C = 0.1 farad,
E = 25 senl volts.
b)
L = 10 henrys,
R = 40 ohms,
C = 0.025 farad,
E = 100 cos5t volts.
c)
L = 1 henrys,
R = 7 ohms,
C = 0.1 farad.
E = 100 senlOt volts
d)
L = 2.5 henrys,
R = 10 ohms,
C = 0.08 farad,
E = 100 cos5t volts
Halle la corriente transitoria en el circuito RLC de la figura de 23) para los ejercicios de
24).
26
Dado que L = 1 henrys, R = 1200 ohms, C = 10'6 farad, Y(0)=Q(0) = 0 y E = 100 sen
600 t, volts, determine la corriente transitoria y la corriente de esta estacionario.
Rpta:
27
-600/
i
I T ~ --------(2 9 7 se n 8 0 0 / - 9 6 eo s8 00 0 ; / ¿ = — (2 4 e o s6 0 0 / - 2 7 se n 600/)
2320
580
Se conecta una inductancia de L henrios, una resistencia R ohms. y una capacitancia C
farads, en serie con una f.e.m. de £ 0 sen co/ volts, suponga que Q(0) = 1(0) = 0 y
4 L > R 2C .
a)
Halle la expresión para Q(t) y l(t).
b)
¿Qué valor de o) producirá resonancia?
R p ta :
28
Resuelva el ejercicio 27) para 4 L < R 2C
R p ta :
b)
b)
co =
2L
ningún íd produce resonancia.
390
8.
Eduardo Espinoza Ramos
SISTEMA DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE
COEFICIENTES CONSTANTES.-_____________________
Un sistema de “n” ecuaciones diferenciales lineales de primer orden en las funciones
incógnitas, a, =»//,(/), x 2 = y/2
es de la forma siguiente:
— 2-= / j ( / , * , , * , ........ X„)
dt
dx2
~dt
dx
= / 2(r,ApA2í...,An)
~ = fn(*’X[>X2y...yXn)
dt
N O T A C IO N V E C T O R IA L
A —(Ai , A2 , . . . , A ) G Vn , f
(^1» ^2»•**» fn ) •> .
dt
f (f* -O
donde a, = y/l ( f A n = \¡/n (t)s o n diferenciables y con derivadas continuas en (a,b)
llamadas solución del sistema.
Un sistema de “n” ecuaciones diferenciales lineales de primer orden de “n” funciones
n
dx:i V
incógnitas se puede escribir en la forma:
= > ai t (t) + b¿(t);
dt
m
J
j=\
Si b¡(t) = 0, el sistema se llama homogénea y si b ¡ ( t ) * 0 el sistema se llama no
homogénea. Para resolver un sistema de ecuaciones diferenciales existen los siguientes
métodos:
Sistema de Ecuaciones Diferenciales
M ETODO:
391
Reducción de un Sistema a una Ecuación Diferencial de n-Esimo O rden.dx
Tt
dy
Consideremos un sistema de dos ecuaciones:
dt
= ax + by + / (t)
d)
= cx + ¿/y + g (/)
(2)
donde a, b, c ,d, son constantes f(t), g(t) son funciones conocidas: x(t), y(t) son funciones
incógnitas de la ecuación (1) despejamos
v=- a.\ - f ( t ) )
b dt
reemplazando y en (2) se obtiene:
d r l ,dx
r , Vv,
d ,dx
r,
— [—(—— ax - / ( / ) ) ] = cx + —(—— a x - f ( t ) ) + g(t)
dt b dt
b dt
1 d~x
adx d .
t
d dx
r.
. . A
— ------ 7 ( f ( t ) ) - c x - - ( — - a x - f ( t ) ) - g ( t ) = 0
b dr
dt dt
b dt
+
simplificando se tiene:
+ c x = R(t)
dr
dt
donde A, B, C son constante que es una ecuación diferencial de coeficientes constantes
Ejcm plo.-
R eso lv er:
dx
~dt
dx
= 2 . í - 2f
dt
(1)
(2)
Solución
De (1) se tiene y = —( 3 - — ) Reemplazando en (2)
2
dt
d .3 1 dx. *
.
— (----------- ) = 2 x - 2 f
dt 2 2 dt
=>
es una ecuación no homogénea.
1 d 2x
2 dr
= 2x-21
=>
d 2x
dr
+ 4* = 4r
392
Eduardo Espinoza Ram os
+ 4 = 0 —» r, = 2/, r2 = - 2 i.
El polinomio general de la ecuación homogénea es:
= c { cos2f + c2 sen 2/.
La solución general de la ecuación homogénea es: a
La solución particular es:
x
p
= A —» a
•9
p
= At + B
jc
0 - » 0 + 4(A / + £ ) = 4/
=
4A = A —> A = 1, B = 0 —> X n = (
La solución general de la ecuación no homogénea es:
dx
©
~dt
dy
Resolver:
7t
= x —2 y
(1)
= A + 3}’
(2)
a
=
a
+
a
= c, eos2/ + c2 sen 2r + 1
Solución
De (1) se tiene ;y = ^ - ( A - ^ ) reemplazando en (2)
- [ — ( a - — )] =
dt 2
a
dt
2
*
1 dx 1 d “x
--------------- —=
2 dt 2 d t 2
+ — ( a* - —
a
3
+ —a
2
dt
), calculando la derivada
i
3 dx
t .
d"x
Adx .
, al simplificar se tiene: — - - 4 — + 5 a
2 dt
dr
dt
El polinomio característico es P(r) = r “ - 4 r + 5 = 0
La solución general es: x
es decir:
©
5 = cxe
1 lx eos
a„
dx
Resolver:
dt
+ 3a +
a
de donde
= c^e0* eos fix + c2e** sen fix
+ c^e2x sen a
v = 0
- - x+ y = 0
di
(1)
*(0) = >-(0) = 1
(2)
= 0
^ = 2 + /,
r7 = 2 - i
Sistema de Ecuaciones Diferenciales
393
Solución
de (2) despejamos x es decir
dy
x = y + — , reemplazando en (1)
dt
d ,
Jv, ^
dy.
c
, . , . ,
— ( v + — ) + 3( v + — ) + y = 0 , efectuando la derivada se tiene:
dt
dt
dt
d ~ y Adv
.
—~ +4 — +4v = 0
dr
dt
Polinomio característico P(r) = r 2 + 4 r + 4 = 0 , de donde r = -2 de multiplicidad 2.
A' = c,e
—2f
/
+ c 2/e “ ,
a(0 )
= 1 —» c, = 1, remplazando en (1)
- 2 c {e~2t - 2c0te~2t + c2e 2‘ + 2>exe~2* + 3c ^ i e 2t + y (/) = 0
i
_*);
CjC “ + c 2/ e ‘
+c^e
_T/
“ + v (/) = 0
e -2* -fc 2íe- *'/ + c 2e~"r +1 = 0
la solución es
a
= e~~* - 2te~2’ , análogamente para
Ja
©
Resolver:
=> l + c 2 + l = 0 => c, = - 2
-
1
y = e~2t (1 + 2t)
- *> 1 3
— = 3a — y - 3 /“— t + —
2
2 2
...
— = 2 v - 2/ - 1
... (2 )
(1)
.d t
Solución
— y = 3 a - — - 3 r - —r + — , reemplazando en ( 2 )
2
2
'
2dt
2 dr
2
_i_ = i2 a - 4 — - 1 2 / 2 - 2 í + 6 - 2 r - l , al simplificar
4
dt
« vV . A dX | A
| A?
y
í/
« dx /
^
^
^ »
✓ /\
2 — -— 1 0 — + 1 2 a = 12 r - 8/ - 6 => — r— 5 — + 6 a = 6 r - 4 / - 3 r ’ - 5 r + 6 = 0
dr
r
a
dt
= 2, r = 3;
_ = A/" + Bf + c
dt'
a
=
=*
C |C 2/ +
a
dt
c-,e^. la solución particular es:
=9v4í + 5
=>
a
. = 2 i4
394
Eduardo Espinoza Ramos
reemplazando en la ecuación diferencial:
2 A - 1 0 A / - 5 5 + 6 A r + 6 f l r + 6c = 6 /2 - 4 / - 3
6A = 6
A= 1
(-10A + 6B) = -4
B= 1
2A - 5B + 6C = -3
2 - 5 + 6C = -3
C=0
A = JC + X n
8
x - c xe
2/
+ c ,e
P
2
+ / +/
M E T O D O : Matricial para Sistema de Primer Orden con Coeficientes Constantes.dx
= an xx + a ]2x2 +
+ «i nxñ
~dt
dx->
~ = al \ x \ +°22X2 + .......+ a2nxn
dt
Consideremos el siguiente sistema:
O)
dx
dt
= anlxx +a,l2x 2 + .......+ annxn
Las soluciones de este sistema de ecuaciones es de la forma:
a, = p xe n , x 2 = P 2ef1
X]= P ^
x2 ~
x n ~ fin6 * ' donde P¡* i ~
son constantes
dx
dt
dx
dt
= /W '
Como
•••
= P„en
dx
- = A, re"
dt
(2)
395
Sistema de Ecuaciones Diferenciales
Reemplazando (2) en (I) se obtiene:
P\re" =a\\P\en+aí2P2erl+...+ainP„er'
P2ren=a2lP2en+a22P2e"+...+a2np„en
Pnre"
+a«2p2*" +- +an„P„er'
simplificando se obtiene:
P \ r — a \ \ P\ + a \ 2p2
nPn
P2r ~ a 2iP\ + a22P 2 + ...+ a 2„P„
=
+ «n2^2 + - + <»mA
(«II ~r)P¡ +axlP2+...+ainP„=0
a 2i 0 ,+ ( f l 12- r ) / J 2 + ...+ « ,„ £ „ = 0
(a )
0»lP\+«m/}2+-+(ann-r)P„ =0
a es un sistema de ecuaciones homogéneas y tiene solución no nula sí y solo sí:
flii
fli|
r
a1n
a¡2
#22n
•••
a2n
=0
a ní
a n2
•••
a un
r
Luego P(r) = 0 valores propios del sistema y cada valor de r determinará p t
3%
Eduardo Espinoza Ram os
Veremos para el caso de 3 ecuaciones.
dx
= a x + b \ + cz
dt
dy
= a íx + b ¡y + c]z
dt
dz
= a 1x + b 1y + c 1 z
dt
Las soluciones son x = Xe r t, y - u e " , z = n e rt, donde X, u, n. r, son constantes.
II
*
—
»
y = u e rt
—>
n
—>
z = ne
dx
= k re
~dt
dy
= u e rt
dt
dz
= u e rt
dt
.(3 )
Reemplazando (3) en (1) se obtiene:
Aren = a k e ‘7 +buer1 + ene
, simplificando se tiene
//re" = ¿i|Ae" + fc|Me"
n re " = ^ A e rf + byuert +c^nerí
*
Ar = «A + ¿>m + e n
(a —r)A + 6M+c/i = 0
- u r = a]k + b]u + c ]n
nr
=
a2X + b2u + c 2n
a
Luego:
t
igualando a cero
p (r) =
r
a 2 A + b2u
b
c
a\
b\ ~ r
C\
a l
b2
c2 - r
—
• a {X + (b { —r ) M + £ 7 i
=0
->
P (r)
=
+
=
(c2 - r)n
0
Si rp r2, r3 son las raíces del polinomio
P(r) = 0 Si r = rx , se resuelve el sistema y se obtiene: X , , u { , ^
Si r = r2, se resuelve el sistema y se obtiene: X2, n 2>n 2
=
0
397
Sistema de Ecuaciones Diferenciales
Si r = r3, se resuelve el sistema y se obtiene: Á,3, w3, n 3
Obteniéndose las soluciones particulares
,
ry
ry
ry
“ • Z2 =
"
*2 = *2e " ' y 2 =
ry
a 3 = A*3é»
~,
ry
a3
ry
= u 3e •’ , z3 = n 3e J
a=
La solución general es:
c¡ Aj + c 2y, + c 3Zj
y = c,A2 + c 2y2 + c 3Z2
r = Cl.r3 + c 2y3 + c 3Z3
Ejemplos.dx
na
- 2a - y + 3 z
ÉL = A + V-*Z
Resolver:
dt
dz
= y -z
dt *
Solución
2-r
P (r) =
1
0
-1
3
'1=1
1- r -1 = 0 -» * h = - 1
I —1—r
3=2
dx
Tt
©
Resolver:
= 2a-
y + 3z
ÉL = x + y - z
dt
ÉL =
v - z
dt
Solución
398
Eduardo Espinoza Ram os
/H/-) =
a-r
b
c
a\
bx—r
r,
a2
b2
c 2~~r
2 -r
-1
3
1
1 -r
-1
0
1
-1 -r
= 0 reemplazando se tiene: p (r) =
=
0
(2 - r)(-1(1 - r)(l+ r) + !] + (-! - r) + 3 = 0
( 2 - r ) [ - ( l - r 2 )+ l] + 2 - r = 0 —> ( 2 - r ) r 2 + ( 2 - r) = 0 -» ( r 2 + l ) ( 2 - r ) = 0 -> r = 2
(íj - r ) k + bu + en = 0
a, A + (fy - r)w + c,/i = 0 , reemplazando los datos se tiene:
a->k + b2u + c 2n = 0
0A - it + 3/i = 0
m=
3/1
k-u-n= 0
X - 4/i, n = 1
0A + u —3/í = 0
u = 3, X = 4
Ejercicios Propuestos.Resolver los siguientes ejercicios
dx
dt
dy
©
dt
©
=y +z
= z +x
dt
dz
=x +y
dt
dx
dx
dt
<fy
©
= 8y
dx
dt
©
=3x-4y
— = 2jc —3y
[dt
=6x-y
dy_
= 3x + 2 y
dt
dz
= 2x + 8 y - 2 z
dt
dt
= 3* + z
dz
= 3x + y
dt
dy_
= -2 z
dt
dx
dt
= y+z
= 2 * -y
©
¿y
= 9x + 2y
Jr
Sistema de Ecuaciones Diferenciales
( dx
T
dyw
=x -v +/
= x - 2 y + 2t
[dt
dx
®
dy _
¿7”
2¿/a </y
m
= sen / - 2 v
■2 — = 6a: - v - 6t2 - / + 3
®
dx
©
dt
dy
dt
dx
T
dym
dx
=- -
v(0) = - 2
@
v(0) = 2
©
©
*
i dt
1dt
dy
= 2 jc + 3 j
dt
- -2a*
©
= -3a + v
v+r+1
18
= 2a + y + f - l
©
y
= A-1- 4 v
= a*+ y
= A1+ 3}
= \
dx
T
dx
¿7
í/ a
20
= 7* + 4y
= - v + 3y
dx
= .v —3 y + e'
T
dy
-1
= 2v+ e
.dt
r
1 dx
¡ V = 5 .v -4 y
) dt
dy .
— = 2.v+ v
.d t
v<;r) = 0
( dx __
dt
¡dt
dv
dt
dy
¿7
= 2 a*+ y
(¿1 = 4 a -
dt
dy
T
y(0) = 3
A(7T ) = —1
[ d t~ lt'X
dx
y( 0) = 1
= V
T
dx _ dy _
m - -f
e f -y
dt
dy
= 2 v -2 r-l
dt
399
Tt
di
{dt
a + 4 v + 3 te1
= .v + y + e
= 2a - 3
y
= 3.v + 2 y
400
Eduardo Espinoza Ramos
dx
©
~dt
dy_
dt
- x - 3v
22
= 3.x + v
dt
* dy
2 x + 2 — = 2 - 4 e 2/
dt
^d “v
dv
— + x - 2 ^ - = 2t
dt
dt
o2 dx
27
,^
x+
©
26
J (/) + 2)jc -¥(D + l) y —í
(D -l)A : + (D + 3)y = ew - 1
2í
(D + 2)x + (D + l)y = e +t
= 5.x + 2v
dx
= 5x + 4 y
~dt
dy
= -.x + v
dt
D x - ( D + l)y = e -r
.x + ( D - l ) y = e2í
^2y =
\ 5 x + (D + 3)y = t 2
29’
dv
. dt
2 — - 3.V+ 3 — - v = 0
dt
dt
25
¡7t
4 x -2 v
’
dx
23
| dx _
28’
(D + [)x + (2D + l ) y - e' +2
- 2 x + (D + 3)y = e' - 1
401
Resolución p o r Series de Potencias
C A P IT U L O
9.
IX
RESOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES
MEDIANTE SERIES DE POTENCIAS
Procedim ientos.-
El método para obtener la solución de una ecuación diferencia! en
.serie de potencias es similar a ia técnica de los coeficientes indeterminados para ello se
necesita conocer la derivada de una serie de potencias y de las propiedades de series de
potencias.
©
©
oo
a„x" = ^
n-2
a„+2x"+2 =
n-0
aU 2 x k+2
k=0
oo
a..x
n
h+2
=
n- O
y ° n- 2 x
n=2
OO
n
OO
* » + / >
©
-
X
mh+iw*
" *
/
n=k
n
J f 4n + m + k A'
«=()
El proceso para obtener la solución en serie de potencia de una ecuación diferencia]
veremos mediante el siguiente ejemplo.
Hallar la solución en serie de potencias de la ecuación diferencial — - 2 av = O .
dx
Solución
Suponiendo que la solución de la ecuación diferencial
dy
dx
- 2xy - O
...
(1)
oo
en serie de potencia es:
y=
► cnx
n
... ( 2)
402
Eduardo Espinoza Ramos
ahora determinaremos los coeficientes ca , para que (2) converja a una función que
satisfaga (1) para esto derivamos (2) término a término, es decir:
OO
M
V ’
„
v = > i ' x entonces
'
¿-i ”
dv
V 1
— = > nc„x
dx Z - í 11
»=l
ahora reemplazamos en la ecuación diferencial (1)
oo
£ - 2xy = ^
oo
nc„ x n ' - 2 - v ^ f c„ x" = 0
h=I
n-0
enseguida debemos de igualar las potencias y se obtiene aplicando las propiedades de las
series de potencias
oc
dx
dx
- 2xv = ^
oo
(n + l)cn+1 x n - 2 ^ T c„_, x" = 0 , ahora igualamos los inicios es decir:
n=0
u=|
oo
oo
dy
— - 2xv = c, + ^ ( / i + l)cn+1.r" - ^ 2 c „ V
dx
'
1
=0
n=\
Luego efectuamos la suma de las series
c, + i
((/1 + 1)C,I+1 - 2 c n_i )x" = 0
n=l
aplicando el método de los coeficientes indeterminados e igualamos término a término se
tiene: C\ = 0
(n +1 )cn+l - 2c/(_, = 0 para n = 1, 2, 3,
c
para
n= 1
n=2
” 1 se llama fórmula de recurrencia
H+ l
c2 =
,
,
c3 =
2c0
= c0
=0
403
Resolución p o r Series de Potencias
c ’ 4
n=3
n=4
,
n=5
,
n=6
,
- Cl - Cq = C°
4
2
2
2!
2ci
c5 = — - = 0
6
6
=
2.3
3!
2c
c1 = — - = 0
_ 2 C*
8
8
Cn
Ct
3!4
4!
60
v ~ ^ ^ cnxfl = c ü + c (a + c2 a 2 + c 3jt3 + c4 a 4 +
n=0
como
V=
'
*)
c0
C0 + Cn A * + —
0
0
2!
X
4
c0
6
c0
8
+ — A ° + — A + ...
3!
4!
.4
6
.8
2!
3!
4!
..
}
A
A
A
.
V
}’ = C0 (1 + A" + ---- + -----+ -----+ ...) = C0 >
0
u=0
„2n
X‘
— O
*n
Que es la solución de la ecuación diferencial.
9.1.
SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
SEGUNDO ORDEN ENTORNO A PUNTOS ORDINARIOS.-
DE
Consideremos la ecuación diferencial lineal de segundo orden
( 1)
la ecuación (1) se escribe en la forma.
(2)
404
Eduardo Espinoza Ramos
donde P(x) = —----- y £>U) = —---¿M a )
¿M-v)
para obtener la solución de la ecuación diferencial (1) entorno a puntos ordinarios
daremos las siguientes definición.
Función A nalítica.- Una función f(x) se dice que es analítica en
a
=
a
0,
si se puede
representar en serie de potencia en ( x - x 0 ) con radio de convergencia R > 0.
O bservación G eneral.-
Las funciones elementales (todas las funciones que conocemos)
se puede escribir como una serie de Taylor y por lo tanto serán analíticas.
Definición.- Se dice que x - x0 es una punto ordinario de la ecuación (1) si P(x) y Q(x)
tienen una serie de potencia en ( x - x 0 ) con un radio de convergencia R > 0.
Si un punto no es punto ordinario, se dice que es un punto singular de la ecuación.
d “y
d\
Ejem plo.- En la ecuación diferencial — —+ e x — + (sen x ) y = 0 , todo valor finito de x
dx 2
dx
es un punto ordinario. En particular vemos que x = 0 es un punto ordinario puesto que
JC
JC
2
3
X
ex = 1+ — + — +
l! 2!
5
JC*
y sen * = * + — + — +... convergencia para todo valor finito de x
3! 5!
E jem plo.- Le ecuac.6„
^
dx
2
+< se„„, = 0
sen x
x = 0 puesto que se puede demostrar que (?U*) = ------x
2
JC
JC
4
X
i™
.
tiene el desarrollo en serie de
6
potencias (?(.y) = 1------+ ------------ + ... que converge para todos los valores finitos de x.
3.
5. 7.
Ejem plo.- La ecuación diferencial
d 2y
— +
dx
A*)y
= 0,
tiene un punto singular en
x = 0, puesto que Q(x) = Ln x no tiene un desarrollo en serie de potencia de x.
405
Resolución p o r Series de Potencias
O bservación.d~ y
¿M x)—
Estudiaremos
dy
+
—
+
0q ( * ) v
primeramente
= O,
sus
el
caso
en
que
la
ecuación
coeficientes son polineales y no tiene factores
dx~
dx
comunes, un punto x = .y0 es.
i)
Un punto ordinario sí a 2 (x0 ) * 0
ii)
Un punto singular sí
)=0
Ejem plo.'r
a)
Los puntos singulares de la ecuación diferencial (x~ - 4 )y "+ 2 x y '+ 6 y = 0 son las
soluciones de
- 4 = 0 es decir x
jc 2
=
± 2. todos los otros valores finitos de x son
puntos ordinarios.
b)
Los puntos singulares no necesariamente son números reales. La ecuación
1
1
(x~ + 4 )y ,’+xy’- y = 0 , tiene puntos singulares para las soluciones de a " + 4 = 0
es decir x = ± 2i, todos los otros valores finitos de x, reales ó-complejos, son puntos
ordinarios.
Notas.- Ahora encontraremos soluciones en serie de potencia entorno a puntos ordinarios
para ecuaciones diferenciales de tipo (1) y para esto enunciaremos el siguiente
teorema sin demostrarlo.
T eorem a.-
Si
x=
a
0
es
un
punto
ordinario
de
, siempre
la
ecuación
diferencial
podemos encontrar
dos
oe
soluciones distintos en serie de potencias, que son de la forma y =
cn ( a
- a 0 )" .
*i=0
Una solución en serie converge por lo menos para | a - a 0 |< R x, donde R { es la distancia
al punto singular más cercano, para resolver una ecuación diferencial de segundo orden
d 2y
¿ M x )— ^ +
dx~
dy
— + ¿Jo (x)y = 0 , buscamos
dx
c nde modo que se tenga
dos series
dos conjuntos diferentes
de coeficientes
de potencias linealmente independientes
y 2 ( a ) , ambas desarrolladas entorno al mismo punto ordinario
a
=
x0.
.Vi(x) y
406
Eduardo Espinoza Ramos
Luego la solución general de la ecuación diferencial es
Ejem p\o.- Resolver la ecuación diferencial de segundo orden.
d~y
— —- 2xy = 0
dx*
Solución
Nota.-
Para simplificar, supondremos que un punto ordinario está siempre localizado
en x = 0, ya que* si no la está, la sustitución t = x - x 0 traslada el valor
x = jcq a 1 = 0.
00
Si x = 0 es un punto ordinario de la ecuación diferencial entonces y =
cnx n es la
r?=0
solución en serie de potencias de Ú ecuación dada de donde.
>’ = X C" A"
n=0
=*
£
= X ' ?Cn*',~1
n- 1
^
n—2
^
por lo tanto al reemplazar se tiene:
OO
^-^--Ixy =
dx
OO
n { n ~ \ ) c nx n 2
n=2
2cfl.vrM = 0
n=0
ahora debemos de igualar las potencias y para esto se aplica las propiedades de las series
oo
de potencias:
oo
^ ( n + 2)(« + l)cn+2x n -
2
n-0
n=0
cn_xx" = 0
OO
Luego igualando los inicios es decir:
OO
(« + 2)(/i + l)cn+2x tl -
1.2.c2 + Y
2c.
2c„_
n
=0
ahora efectuaremos la suma algebraica de las series
co
1 .2.c2 + ^
((n + 2)(n + 1 )cn+2 - 2 c n_, )xn = 0
n=1
aplicando el método de los coeficientes indeterminados e igualando término a término se
tiene:
.2 C2 = 0
=>
ci = 0
(n + 2)(/i + l)cn+2 -2c„_, = 0
para n = 1,2, 3,'4,...
407
Resolución p o r Series de Potencias
La ultima expresión es equivalente a.
.
.
.
.
ahora iterando se tiene:
t
n = 1,
-
n = 1, 2. 3,
2 c0
2 c0
= ------ = — 3 2.3
2.3
2ci
3.4
o
11
°4
n = 3,
2 Cn
cs = — - = 0
5 4.5
_ 2 f3 _ 2^ ^0
=
6 5.6
2.3.5.6
n = 4,
como
2c
cM_-> = -------- —------ ,
- <n + 2X« + l)
2 c4
2 2 c,
6.7
3.4.6.7
n = 5,
c7 =
n = 6,
c8 =
- —
^ - 0= 0. ,
8 7.8
etc.
v = > cnA” = c 0 + c) a + c2j :2 + c 3x 3 + c4j :4 +
w=0
2 íO
O 31
2cl 4
4 . ^
2 ~ cl
CI
7
V = Cn + C , J t + — -.Y * 4 —X + ---------— .V -r •••
0
1
2 í-0
2.3
1
3.4
2 ~^0
3.4.6.7
6
2
C0
V = Cn + — “ •* + --------— * + ------------ “------ X
0
2.3
2.3.5.6
2.3.5.6.8.9
9
2 ^1
4
4 -... + C,JC + ----- L .X
1
+
3.4
r c » -jc 7 +
3.4.6.7
Íf!
A' 10 +
3.4.6.7.9.10
3
y = c0(l + — jc3 + — - ------ jc6 + ------- -------- jc9 +...)
0
2.3
2.3.5.6
2.3.5.6.8.9
,
2x4
22
7
23
io
+ C , (X+ --------+
X 4 - ----------------------- .X
1
3.4 3.4.6.7
3.4.6.7.9.10
+ ...)
408
Eduardo Espinoza Ramos
Ejem plo.-
+x— +y =0
dx“
dx
Resolver la ecuación de segundo orden
Solución
de acuerdo a la nota el punto ordinario se tom a x = 0 entonces la solución en serie de
O
O
potencia es y - y * cn x n
A
— = ' ^ ' n c nx n 1
=*
n-0
X
oo
—~
=>
n { n - l ) c t¡x n~2 ¿
n-2
«=l
reemplazamos en la ecuación diferencial
d^y
oo
oo
oo
dy
+ x - J - + y = ' ^ > ^ n { n - l ) c nx n~2 + x ^ ^ n c nx n 1
dx~
«= 2
n=l
«= 0
oo
en una misma potencia i
^ 0 , ahora ponemos las x
oo
(n
+ l)(/i + 2)cn+1x n +
oo
m c„ a
/i=0
oo
y
"
+
/I=0
oo
;icrtx n = 0 igualando los inicios de las series se tiene.
t(H + 1)(/1 + 2 ) c n+2 + C„ ]An +
n-1
/i=0
oo
0
2 c 2 + Cn + ^
oo
[(« + 1)(m + 2 )c^3 + c„ ] a " +
n=l
nc„ a " =
0
n=l
efectuando la suma algebraica de la serie:
2c2 + cno + ^
l(n + l)(n + 2)c,1+3 + (/? + l)cn ]xtl = 0
aplicando el método de los coeficientes indeterminados e igualando términos a término
se tiene.
2c2 +
c0
= 0
(n + l)(/t + 2)cn+2 + (n + l)c„ = 0
c2
^
_
cn
409
Resolución p o r Seríes de Potencias
c2
4
n = 2,
_
n = 3.
_
5
_
7
Q)
2.4.6
*3
7
rGeneralizando
.. . se tiene:
.
q
3.5.7
_
(
l)
"
c
0
c*%n = --------------—
2.4.6....(2n)
y = C0 t C | A ' - I - C 2 *
( - i r
1.3.5..... (2/i-hl)
oo
C0X2n
ü
(-IV'CjA-2''"1
+ x
2.4.6...(2«)
M=()
=
3
,
2n
2/i-rl ,
+ C 3 A: + . . . + C 2 n A*
+ C 2 #i+iA
+ ...
-i.
y
y
(D V ,
2 ,
oe
y -
q
3.5
¿4
6
n = 4,
como
r0
2.4
H=0
1.3.5...(2/i +1)
Ejemplo.- Resolver la ecuación diferencial — = 1+ y2, mediante series de potencia de
dx
x, sabiendo que y (0) = O
Solución
oo
Tomamos a x0 = 0 como punto ordinario, por lo tanto la solución es y = y * cna '1 ,
ahora
determinaremos
los
oo
y= ^
cnx tl entonces
mediante
n€nx n 1 * reemplazando en la ecuación dada se tiene:
M=1
oo
oo
ncnx"~l = 1+
n=l
oo
c„xn)2
«=U
on
77=1
c n , obteniéndose
oo
W=0
^
coeficientes
n-o
la derivada
=>
oo
ncnx"~l - ^
n-\
oo
c„x"
/i—
O
cnx n = 1
w=0
o o /|
ncnx n 1 - y
72=0
(y
ckcn_k )xn = I ; ahora ponemos las x en una misma potencia.
Eduardo Espinoza Ramos
410
(n + l ) r ll+1,v" - I ' I
ck .cn_k ) x n = 1 ; efectuando la suma algebraica de la serie
«=o
n»o **o
©o
ct r„ .* )x" = 1
((« + l)cn+1 -
como se tiene un término independiente en ei segundo miembro entonces desarrollamos
o
para n = 0 en la serie:
ck .c_* +
c, -
n
O©
[(/i +1 )cn+I -
n=l
Jt=0
c* .cn_* J.v" = 1
*=<)
aplicamos el método de los coeficientes indeterminados e igualando términos a término
n
2
s e tie n e :
c , — C0 = 1
y
( n + l ) c „ +l -
'C n - k
=
0
*=0
q = i+ c 0
n
Luego:
aplicando la condición inicial y(0)= 0 se tiene.
n-H
v" 2 '
k=0
= c o + qJC +
=
CSJt" + . . . + Cn JCn + ...
n=K)
>•(0) = c0 = 0
para:
c0 = 0 de donde
n=l,
c2
n -2 ,
c3 - —
c»i - 1
=i[c0-c,+c,.c0]=0
.c2_jt - - [ c 0.c, + q .q + c2.c0] - *=o
i
n = 3,
c
= ^ cA.c3_*=^[c0.c2+q.c2+c2.q+c3.c0]=0
*=0
4
n = 4,
c
>41
Ck r 4-*
fc=0
Ir
- [ c 0 474 + q
2
.c3+c2x2+c3r, +c4r0], =—
Resolución p o r Series de Potencias
n = 5,
411
c6 = - ck
=O
A=0
n=A
6,
6
1>V c,r h_k = ----17
c7 = —
7
7^
* 6 * 315
k=0
y-
Luego la solución queda en la forma:
- c() + c,jc + r 2-c2 + ... + cn.v" -r
«=o
v=
jr +
1 i
—jt
3
+
2 ^ 17 7
— r +
jc +
15
315
...
/.
y
=
te x.
el" v
¿/y
Ejemplo.- Hallar la solución general de la ecuación diferencial — ' - - 2 x ------ 3v = 0
' dx"
dx
Solución
Tomemos a x0 = 0 como punto ordinario, por lo tanto la solución en serie de potencias
oo
alrededor de x&= 0 es:
cnx n
y=
n=o
oo
~
de donde
1
^
n=!
oo
~
2
’
n=2
ahora reemplazamos en la ecuación diferencial dada.
0 9
OO
n ( n - l ) c njc" 2 - 2 x ^ ^ n c nx n 1 - 3 ^ ^ c nx tt = 0
n=\
n=2
09
/i=0
90
n(n - l)cnx n 2 - y 2nc,r vn - 3 ^ ^ cnx n = O poniendo las x en una misma potencia
n=2
n=i
n-O
^
09
y
(n + 2)(n + 1)c„+2a:'' -
^
OO
2 nc„xn -
^
n-O
n=l
«= 0
3cnx" = O
ahora poniendo los inicios iguales se tiene:
oo
2c, - 3c0 +
oo
(n + 2X« + l)£-n+2 *'1 -
/r=l
oo
2/ic„x" n -\
3c(1jr" = O
n=l
412
Eduardo Espinoza Ramos
e fe c tu a n d o la s u m a a lg e b ra ic a d e la s e rie .
oo
2c 2 - 3c0 + ^
[ ( n + 2 ) ( n + l ) c n+2 - ( 2
+ 3 ) c „ ]x" = 0
n
n=l
e fe c tu a n d o e l m é to d o d e lo s c o e fic ie n te s in d e te rm in a d o s e ig u a la n d o té r m in o a té r m in o .
2 c2
- 3c 0
= 0
y
c-, = —3co
- y
‘
( n
+ 2 ) ( n + l) c „+2 - ( 2 n + 3 )c ,( =
c_+, =
2
n+-
p a ra
(2w+ 3)c„2— , wV n > 1.
(H + 2XH + 1)
n = l,
5c,
c3 = —
n = 2,
3 .7
c 4 = ------- = ---------------cn
4
3 .4
2 .3 .4 .5 0
n =
0
7c2
-
9 c3
5 .9
Ce = ------- = ---------------c,
3,
5
4 .5
n = 4,
6
2 .3 .4 .5
1
11
3 .7 .1 1
= — c 4 = ------------------- cn
5 .6 4 2 .3 .4 .5 .Ó 0
re e m p la z a n d o e n la s o lu c ió n se tie n e ,
y = ^
=
c0 + c, .x + c2Jt2 + c3jc3...
5
3.7.1
Icq
^
+
a: + ...
n=0
3
v = cn + c , j c + — CnJt
0
,
V = C0 (1 +
0
2
1
2
3
h— l jc +
2 .3
3 *>
3 .7
— JC~ +
2
2 .3 .4 .5
4
X +
„ V " 1.3.7.44»-1)
((2.1!
2 n )\
2 .3 .4 .5
x
4
h
3 .7 .1 1
6
JC +
2 .3 .4 .5 .6
V
00
-, I C “n * 2 .
n=0
3.7
5.9.C|— x
2 .3 .4 .5
\
...)+
c,
1
/
( jc+
2 .3 .4 .S .6
5 3
5 .9
5
------- JC + --------------- JC
2 .3
2 .3 .4 .5
1
*
00
*
1 .5 .9 ....(4 « + l)
----------------------------- jc
1+ C''¿ ml á
(2 n + l) !
«=0
w i
'
.
+ ...)
Resolución p o r Series de Potencias
413
->
d ~y
dy
Ejemplo.- R e s o lv e r la e c u a c ió n d ife re n c ia l ( j r + 1 ) — — + a* ---------- v = 0 , m e d ia n te s e rie s
dx
de p o te n c ia s de \ .
Solución
T o m a n d o c o m o p u n to o r d in a r io a x 0 = 0 e n to n c e s la s o lu c ió n es;.
OO
*
>*
Jy = ^/
OO
cn x n v =>
OO
^ 1 = : ^ n c n x tl
dx
w=0
1
e n to n c e s
f T
dx-
n—1
> n ( n - \ ) c nx n ¿ ,
n=2
a h o ra re e m p la z a m o s a la e c u a c ió n d ife re n c ia l d ad a.
OO
OO
(x2 + \ ) ^ ^ n ( n - \)cnx rt~2
OO
^ncttx n~]
n =2
n-1
OO
n=0
OO
« ( « - l ) c ír v" + A ^ T
n=2
OO
7 t(/I - l) C rtA " “ 2 +
n -2
OO
«C„ a ” -
Crt A* = 0
n=\
n= 0
p o n ie n d o la s x e n u n a m is m a p o te n c ia .
OO
oo
n (n - 1 )cn x "
+ £
11=2
OC
( n + 1 ) ( n + 2 )c h+ 2 x " +
n =0
OO
c n x "
/íc„.v " -
«=1
/i=0
a h o ra p o n ie n d o lo s in ic io s ig u a le s se tie n e :
oo
«o
/ j( / 7 - l ) c n . í " +
1 (H
m=0
n=2
oo
+ !)(« + 2 )c n+2 - cn ].vn + ^ n c „ x “
n=l
OO
=0
OO
n ( n - 1 )c„a" + 2 c2 - c 0 +
[ ( « + l ) ( n + 2 ) c nl_-¡ - c „ + « c „ ] a " = 0
n=l
/i—
2
OO
2c2 - c 0 + 6 .c3 a
+ ^ [ / i ( « -
1) c „
+ ( n + l)(w
+ 2)crt+2 “ c« +
n c n ]A"
2c2 - c0 +6.c3A+ ^ ^ l( /i - l) ( w + 2)cn+2 +(n + l X « - l ) c II]An = 0
«=2
=0
= 0
Eduardo Espinoza Ramos
414
aplicando el método de los coeficientes indeterminados e igualando término a término se
tiene:
0
2
c2 - c
0
= 0
c-j = 0
6 c3 = 0
( n + !)(w + 2)crt+2 + (n + !)(/* - I)c„ = 0
para
n = 2,
1
c4 = 4 Cl
n = 3,
Ce = - —c3 = 0
5 3
n -1
c «+2
”
w+ 2
c.., Vn > 2
o
22.2 !
o
24
3c4 1.3c,o
6
23.3!
4r.
r7 = --------= 0
n = 5,
n = 6,
Co = —
1i3«S»Cq
8
2 .4!
6c7
c0 = --------= 0
n = 7,
n —8,
c10 —-
7c«
10
1.3.5.7.Co
, etc
25.5!
oo
como
y = ^ ^ c rtA*w = c0 +
c ,a
+ c 2a 2
+ c 3 j c 3 + c 4 x 4 + ... + c „ x ”
+ ...
x
1
4
1.3
6
1.3.5
g
1.3.5.7
io
.
y = C|Jf + c0(l + -----------— * + - v - A - ----- ;— .V® + —
r
+ ...)
,,
2
2- 2 !
2 4!
255!
, ,
x2
1 4 1-3 6 1-3.5 8 1.3.5.7 io
y,(jt) = í-0( l + --------r— jc + —r ~ x — r— A + — í— * +•••>
1
-°
2 2 2!
2 3!
244!
255!
Resolución p o r Series de Potencias
415
00
y1U ) = f 0( I + ^ + y (-I)"-'
2
A2" ), |x |< 1
Á -á
2
n=2
y -> (x ) = c {x
n\
y = k xy { ( x ) + k 2 y 2 ( x )
Ejemplo.- D e te r m in a r
d ~v
—
dx~
ei
v a lo r
dv
— -rry =
dx
0
de
r
p a ra
que
la
ia s o lu c ió n g e n e ra l.
e c u a c ió n
d ife re n c ia l
, te n g a s o lu c io n e s e n s e rie s d e p o te n c ia s d e x d e la
00
fo r m a y =
cnx n
«=o
Solución
to m a n d o
a
x0 =
©o
com o
0
p u n to
o r d in a r io
e n to n c e s
la
s o lu c ió n
es
00
dx
V' __ n-l
—1
d
'
y
n . d}
c . . x " => —
= 7>» ct i „c . . x " ' , e n to n c e s — T~ ~
¡á i H
— =
«=0
«si
rr=2
d
x
H
d
n - \ ) c nx n
2 , a h o ra re e m p la z a n d o
x
e n la e c u a c ió n d ife re n c ia l d ad a.
00
n{n -
\ ) e „ x n~ 2 -
nc„ a"*1 +
2 x £
n=2
*
00
00
c,,*" i
0
«=i
DO
«O
OO
rc n .v" =
n~2
«=)
OO
0
p o n ie n d o la s x e n u n a m is m a p o te n c ia
n=0
OO
(« + D ( « + 2)í n+2x" - y 2nc„x" + ^ rc„x" = 0
«=0
«=1
n=0
y
OO
y t c + !)(» + 2 )c ,l+2 + rc„ ].*" - ^ ^ 2 cn .vn
«=0
M=1
oo
2 c2
a h o ra p o n ie n d o lo s in ic io s ig u a le s se tie n e
=0
oo
+ rc 0 + y K » + 1)Í/1 + 2 )cn+2 + rc„ ] * " - ^
2 ncnx n
e fe c tu a n d o la s u m a a lg e b ra ic a d e la s s e rie s .
2c2 + rc0
[(/* + !)(« + 2)cn+2 + ( r - 2 n ) c n]x" = 0
=0
416
Eduardo Espinoza Ram os
a p lic a n d o e l m é to d o d e lo s c o e fic ie n te s in d e te rm in a d o s e ig u a la n d o té r m in o a té r m in o se
tie n e :
co
—
2c2 + rc0 = 0
r-2n
(« + lKn + 2)cn+2 + ( r - 2 /i) c n = 0
p a ra
com o
c.. V/i > 1
(w+ !)(* + 2 ) "
n = 1,
r-2
c3 = 2.3
n = 2,
r -4
r ( r - 4)
cA
A=
”*-------C-» —----------4
3.4 2.3.4 0
n = 3,
r —6
c, = 4.5
.
n = 4’
r (r -4 )(r -8 )
r -8
o
C 6= - T T C 4 = 2.3A 5.6
.
n = 5.
( r - 2X r - 6) ( r r - 19
c 7 = --------------- c , = 7
6 .7 5
2.3.4.5.6.7
y=
7
C3 =
( r - 2) ( r - 6)
2.3.4.5
10 )
Ci, etc
ff
Tí
c „J t = c 0 + c ,.r + c 2j r + c 3.r + . . . + c (l.r + ..
n=0
r 2
'-2
y = c 0 + c ,A - - — .v c 0 3!
r (/-4 X r -8 )
6!
3
6
c0 j :
r ( r - 4)
4 (r -2 X r -6 )
c0.v +
4!
5!
r(r-2X >— 6 X r -1 0 )
----------------------------------------- c , a
7!
7
C,Jt
s
+ ...
I»•
„
y = cn ( l
1
0
r 2 . ' 0 - 4 ) 4 r (r -4 X r -8 ) 6 , , .
.v + ------------ x ---------------------------------- x + . .. ) +
2!
4!
6 !
+c,U
r - 2 „3 , ( r - 2 X ' - 6 )
3!
5!
s
r ( r - 2 X r - 6 X r - 1 0 ) _7 _ ^
7!
Resolución p o r Series de Potencias
417
oo
n+i r ( r - 2 ) ( r - 6 ) ( r - 1 0 ) . . . ( r - ( 4 n + 2 ))
2n+i
(2 n +1)!
»=0
oo
+ c1( jc+ ^ ( - 1)"+1 r (r " 2)(r" 6X r" 1° ) - ( r - ( 4” + 2))A.2#i+i )
(2n + l)J
«=o
L o s v a lo re s d e r s o n p a ra to d o r * 0 , 2 n , d o n d e n e z +
y
— r - — ( * + l ) y = 0 m e d ia n te s e rie s de
dx
Ejemplo.- R e s o lv e r la e c u a c ió n d ife re n c ia l
p o te n c ia d e x .
Solución
oo
Sea
y ~ ^ ^ c n x '1
n=0
s o lu c ió n e n s e rie d e p o te n c ia d e x d e riv a n d o se tie n e
oo
oo
~ r = ^ n { n - \ ) c „ x n~2 a h o ra re e m p la z a n d o e n la e c u a c ió n
dx^
/i=2
— = ^"' ncnxH * ^
dx ¿md
«=1
d ife re n c ia l d ad a.
oo
oo
y^ n ( n - l ) c nx n~2 - ( x + l f ^ c nx" = 0
r?=2
n=0
OO
OO
n í n - l) ^ * "
n- 2
2
-
c „ .v”* 1 -
c „ jc " =
n=0
oo
^
OO
1)(/1
+ 2 )c „+2.r " -
n=0
oo
C „_,jc'1
;i=l
oo
; p o n ie n d o la s x e n u n a m is m a p o te n c ia
n=0
oo
(« +
0
c „a ” = 0
w=0
oo
((» +
1)( n + 2)cn+2 -c „ ) x n - ^
rt=0
c „ . , jc " =
0
«= |
OO
2c 2 - r0 + ^
[(« +1)(« + 2)c„+2 - c„ - c„_, ]xn = 0
M=1
a p lic a n d o e l m é to d o d e lo s c o e fic ie n te s in d e te rm in a d o e ig u a la n d o té r m in o a té r m in o se
tie n e :
Eduardo Espinoza Ramos
418
C, =
2 c2 - c0 = O
(« + l)(H + 2 )d-n+ 2 - c n - c
„_1 = 0
o
^ + <Vl
Cn+2 “
(rt + l) ( n + 2 )
p a ra s im p lific a r e n e s to s c a so s, p r im e ro p o d e m o s e le g ir c 0 *
u n a s o lu c ió n ; la o tra s o lu c ió n p ro v ie n e d e e le g ir r 0 =
0
, c] *
V /i > 1
0
0
, c{ =
0
, y e s to n o s d a rá
.
P a ra e l p r im e r c a s o se tie n e :
p a ra
n = 1,
c> =
n = 2,
Ca =
n = 3,
c5 =
C] + c 0
c0
2 .3
2 .3
0
3 .4 2 .3 .4
C2 + c l
c 2
3 .4
4 .5
2 .3
co
3 , c o „4 , c o ..5
24
la o tra s o lu c ió n es p a ra c 0 =
n = 1,
n = 2,
n = 3,
c , = co
2 .3
c4 =
c5 =
30
0
= —o- e tc
4 .5 3 0 ’
n
y = c 0 -^ cl x + C2X 2 + C 3-v 3 + ...+ c n jr''+ .
lu e g o u n a s o lu c ió n e n s e rie s e s:
o
2
c0
24
, ct *
0
*2
.V3
2
6
JC4
24
••
c5
30
.
ro
6
^ Cj
3 .4
C|
C|
_ I4 ~ I2
c, + c .
4 .5
2 .3 .4 .5
120
, etc
OO
L u e g o la s o lu c ió n e n s e rie es:
n
.3
y - s C„X =- * -C0n +C,A'
■m + C'>^“ +C,A' + ... + cn x*1 + ...
n=0
Resolución p o r Series de Potencias
V * ( x ) = C,X
'2
1
1 . 3 . cl
+ — A' +
6
12
419
.4 .
X +
L\
5
X'
120
X3
+ . . . = C i(A H
1
.v4 X5
+ ------+ ---------- H ...)
6
12 120
L a s o lu c ió n g e n e ra l d e la e c u a c ió n d ife re n c ia l es.
y —¿*o (1 +
x~-
jx r¿ +yx
h— ~ + ~
6 + 24
+
x5
30
,
,
+ ...) + C| ( a
jc3
x*
— -— h —
6
24
a*5
——120
+
+ ...)
i
d 2y
Ejemplo.- R e s o lv e r la e c u a c ió n d ife re n c ia l (x + x ) — r -+ (* -2 ).v = 0 , m e d ia n te s e rie s
dx
de p o te n c ia s d e x - 1 .
Solución
L o s p u n to s o rd in a rio s s o n V
e n to n c e s
la
e c u a c ió n
x * 0 , x * - 1 , c n p a r tic u la r es p u n to o r d in a r io
d ife re n c ia l
a d m ite
una
s o lu c ió n
en
s e rie
de
a
0
=
1,
p o te n c ia
09
oo
v = > c„ ( a — l ) n
jL é * v
'
de
donde
sus
d e riv a d a s
dy
—
dx
son
nc„( a — l ) n
1
y
n -0
00
d y
— = y n ( w l ) c n ( A - l ) " " , p a ra q u e e l p ro c e d im ie n to sea m á s s e n c illo h a re m o s e l
dx
s ig u ie n te c a m b io d e v a ria b le .
u = x -
x = u +
1
1
de donde
dy
dy du
dy
dx
du dx
du
^
d~y _ d y '
dy' du _ d y ' _ d ¡ d y ^ _ d ~ y
dx2
du dx
0
dx
du
du du
du2
oo
oo
d#
\
dy_
-I
du = X ' íc,,m"
n -\
Tx
com o:
n-\
d 2y
dx
oc
d 2y
n-2
^ ^ n ( n - \ ) c nu
du
n -2
n=2
n -2
i
a l re e m p la z a r e n la e c u a c ió n d ife re n c ia l
>
a(a
d 2y
+ 1) — - +
dx2
(a
-
2 )y
=
0
420
Eduardo Espinoza Ramos
d 2\
(h + 1)(m + 2) — '- + ( u - \ ) y = 0 , de donde
du~
oo
oo
(w + 1)(m -i- 2 ) ^ T n ( n - 1 )cnu n~2 + (m - 1 ) ^ * n c n/<n = 0
n=2
n=0
Oo
oo
n { n - \ ) c nu n + 3 ^ n ( n - U c y - ' +
n -2
oo
2 ^ ^ n { n - \ ) c t¡u n~2 + ( M - l ) ^ ^ m ’;iwn = 0
n =2
n~2
n=0
poniendo en una misma potencia a u.
oo
+
n=2
/í=1
OO
oo
~ ^ ^ c nu "
2 ( / i + 1 ) ( / j + 2 ) c >1+2h "
n=0
OO
oo
/i=0
OO
n=0
oo
n ( n - l ) c nu " + ^ 3 ; i ( n + l)cn+lM" + ^ ( 2 ( n + l)(« + 2)cn+2- c n )u”
^
n~2
n=1
oo
= 0
n= 0
=0
w=l
oo
n ( « - l) c nu" + ^ ( 3 /í( w + l)c(I+| -c„_|)m'1 + ^ T (2(/i + 1Xh + 2)c„+2 - c n )un = 0
n=2
n-I
n=0
ahora poniendo los inicios iguales se tiene.
4c2 - c 0 + (12c3 + 6 c 2
- c ,
+ c0 )« + ^ ( / t ( n - l ) - l ) c /t + c„_, +
«=2
3m( h + I)cn+, +2(/j + lX/i + l)crf+2J«M= 0
aplicando el método de los coeficientes indeterminados e igualando término a término se
tiene:
1 2 c3
+ 6c 2 - C | + c 0
=0
3«(n + l)cn+l + 2 ( m + IX » + 2) c ;i+2 + ( / i ( / i - l ) - l ) c n + r„_, = 0
de donde
c2 = ^ -
y
c3 = ^ ( c , - | c 0 )
421
Resolución por Series de Potencias
= T,-----^ -----r - ( - c » - |- í " 2 - « “ 1)cB-3 « (« + l)c1I+1) , V n > 2
2(n + !)(« + 2)
p a ra
n = 2 -
n=3
Ce =
1 , 107
10 i
(
co - T
r,>
2.4.5
24
1
263
(2.5.6
24
n = 4,
421
c,)
48
oo
como la solución en serie será.
y(«) =
= co + ciw +c 2u2.+ c3m3 + c 4m4 + •*•
n=0
ahora reemplazando los valores de c n .
+
1 /
^
3 1 .7
( C , -----C0 )W + ( — C0
12
2
24 2
5 ,4
C,)/l +
2
-
V<u) = C n+C }W+
^0
II
4
107 c0 + ----c
10 )M-s + i----(------c
,
263
+ 1 (------40
24 0 3 1
60
24 0
421 c )w
, 6+
48 1
u2 5
7 4 107 5
„
,
m3
V(w) = C n ( l + ------------- U' + ----- U --------- U + . . . ) +Ci (M +
0
4
24
48
960
1
12
„
5 4 M5
M + ------+ ...)
48
12
como u = x - 1 entonces al sustituir se tiene:
n ( * “ 1)*
v(*) = cn[l +
0
4
5
..3 7 ,
107
1
( A —1) + ----(,V“ 1 ) -------- (A*“ l ) ‘ +...]
24
48
960
. . 4
'
12
48
12
dy
Ejemplo.- Hallar la solución de la ecuación diferencial ( 1 - * ) — + y = l + .t, que
dx
satisface la condición inicial y (0) = 0.
r
422
Eduardo Espinoza Ramos
Solución
oo
aplicando la serie de Taylor y(jr) = ^ ^ cnx n solución en serie ahora derivamos
OO
dy
, reemplazando en la ecuación diferencial dada se tiene.
~chc
n=\
oo
oo
cnx n = l + .t
(1 - a)^ T ncn.v" 1 +
«=1
oo
oo
=> y ^ ncnx n ' - y ' ncnx" +
n=0
«=l
u=]
OO
oo
poniendo las x en una misma potencia. 5 > +
r
/i~0
09
oo
ik
cnx ” = l + .r
n-0
oo
c.. x n = \ + x
+í,'' n~\
n=0
OO
^ K » + 1)C„+, +c„Un - I
«= 0
ncnx n = 1+ x ; ahora poniendo los inicios iguales.
n= l
90
c, +
c0
+ (2
c2
+C
j
- c , U - t - ^ | ( n + l)c„+1 +cn -wcJjt"
= l+ .v
n=2
q+c0 = 1
2 c-,
=
C» _ I
=>
1
(n + 1)cn+x+cn - n c n = 0 ,
para
V ;t > 2
T
n = 2,
C2 = 1
c-, = —
3
2.3
n = 3,
c4 = - c 3 =
2
1
4
3 .4
3
1
7
^
n = 4’
C5 = T C4 =
5
*
c-> = —
2
~
^n+l
c0
, Cn
H+ l
4 .5
aplicando la condición inicial y(0) = O se tiene: c0 = O, c, = 1, de donde, por lo tanto, si
la solución en serie de potencia es
423
Resolución p o r Series de Potencias
v (a *) = c 0 + c ,a ; + C vV 2 + c ' 3.v 3 + ...+ c rtw, l+ ... es d e c ir
2
V ( a ) = A + -—
i
V(a ) = A +
H=l
y”
5
+ -------A 3 + ------- + --- ---- + ...
2
00
4
2 .3
3 .4
4 .5
i
rt (/2 + l)
Ejemplo.- Halla la solución en serie de potencia de la ecuación diferencial
( x 2 - 1 ) ^ - ^ - + 3 a — + .ry =
dx’
dx
y ( 0 ) = 4 , v * (0 ) =
que
0
s a tis fa c e
la s
c o n d ic io n e s
in ic ia le s
6
Solución
Tomando a Xo = 0 como punto ordinario, entonces la solución en serie de potencia es
oo
oo
oo
, derivando se tiene — =
ncnx ,l~x y
n=0
*r »=]
ahora reemplazamos en la ecuación dada.
n(n - l)cna ;i~ 2
v=
oo
oo
oo
n(/2 - l)C| r v ” " 2 4-3A^^ZZC„A n ~ 1 + A^
(A" - 1
/i=2
«=]
OO
' CnXH = 0
»»0
oo
^ n (/i-l)c„.v'J- ^ T n(/j-l)cn.r" 2 +
n=2
n=2
n=2
3wc„.v" + ^
n=0
c„.y'i+i
=0
n=0
poniendo las x en una misma potencia.
oo
oe
oo
/i(n-l)(„.v" - ^ T ( n +1)(m + 2 )c„ +2.y" + x ^
/i= 2
oo
hncltx" +
n=l
«= 0
c„_, jc" = 0
/i=l
poniendo los inicios iguales se tiene:
oo
oo
n(n - I ) c#1a " - 2 c2 - ^ ( / j + !)<« + 2)cn+2x n + ^ ( 3 n c „ + c#j_ , ) a " = 0
n~2
-2 c 2 +
w «|
(3c, + c0 - 6c3).x + ^
rt» l
[{n2 + 2n)cn + c„_, - (n + 1X« + 2)c„_2 ].v" = 0
Eduardo Espinoza Ramos
424
aplicando término a término se tiene:
-2 c , =0
3 c ,+ c 0 - 6 c , = 0
r2
°
1
c 3 = (c0 + 3 c ,)
O
(n“ + 2 / i ) c n + cw_ , - ( « + l)(n + 2 ) r fl+, = 0 para V n > 2
^
^
^
de donde
para
c n_ , + / i( / í
+ 2 ) c„
n+¿ = - 2-J--------------- —
(H + 1)(« + 2)
Vn> 2
n = 2.
c, + 8c,
c,
c, = —------ = —L4
3.4
3.4
n = 3.
c ,+ 1 5 c 3 3
1 ,
, ,
c. =
= —c , = — (c„ + 3 c.)
5
4.5
4 ' 2.4 0
1
n = 4,
_ c3 + 24c4 _ cQ+15r,
c6 =
5.6
5.62
de las condiciones iniciales se tiene y(0) = c0 = 4
>''(0) = c x = 6 entonces se tiene:
Ci —
11
,
3
l
Ca — —
4 2
, Ce —
como la solución es:
5
11
4
,
C
c0 = 6 , c, = 6 , c 2 = 0
47
—
6 90
y(Jt) = c0 + c 1.v + c 2 a “ + c v v 3 + c4 .y4 + c 5a 5
. , . ,
11 3 *4 11 5 47 6
y(A) = 4 + 6.* + — x + — + — x + — x + ...
3
2
4
90
Observación.- El método de solución de las ecuaciones diferenciales por medio de series
de potencia, se puede aplicar cuando los coeficientes
♦no son polinomios.
Ejemplo.- Hallar la solución de la ecuación diferencial por medio de series de potencia.
y + fe o s-v jy = 0
Solución
Resolución p o r Series de Potencias
425
x2
v4
jc6
Se conoce que eos x = 1-------1- -----------+ ..., como x 0 = 0 es un punto ordinario entonces
2 > 4« 6«
oo
la solución en serie de potencia es y =
cnx n
n- 0
oo
de donde sus derivados son:
— = >
dx
°°
2
y
—
dx-
1
> n(/i-l)c„A
¿rf
»7=2
ahora reemplazamos en la ecuación diferencial dada
“
y "+ (eos x ) y =
.2
.4
m ” \
.6
n(n -1 )t’„.v"~2 + ^ - ^T + ^ T - ^ 7 +
n=2
“’
*
’
= (2 c 2 + 6
c
c»x" = 0
n=0
3 a + 1 2 c 4 . t “ + 2 0 c ?;. v 3 + . . . ) +
,, A*2 *4 JC6
w
2
*
y
+ (1------+
+ ...X¿n + C.A + C?A* + C,.V + ...)
2!
4! 6!
0
1
2
3
c
-
(c 0 + 2 c 2 ) + (c,
c
+ 6 c 3) x + ( -
+ c 2 + 1 2 c 4 ).v 2 + ( 2 0 c 5 + c 3 -
por el método de los coeficientes indeterminados
„
__£o_
c2 “ 2
cn + 2c2 = 0
í*i
6r 3
+
c[
= 0
co
-
3
f
+ r 3 + 12c4
= 0
=»
^
l
6
c0
1*c3 + 20c5 —0
2
3
C4
12
5
30
2
3
4
5
como y = c0 +Cjjc + C2.v +c$x + c4a* + c5;t ...
Cn
V = {CV\ —
0
V=
'
C<i ( i -
ü
-i
.Y~
2
Cn
+ —“
12
4
X + .♦♦) +
C|
(C i x — ——
1
6
2
X'
Ci
+ “ “
30
X2 X4
X3 X5
: — + :---- h...) + C, ( x - :— + -----h...)
2
12
1
6
30
<
X
+
. ••)
~“
) A' 3 + — = 0
Eduardo Espinoza Ramos
426
Ejemplo.- Hallar la solución de la ecuación diferencial ^ - ~ + y = sen* cn serie de
dx~
potencias que satisface las condiciones iniciales y(0) = y' (0) = 0 .
Solución
M
como x 0 = 0 es un punto ordinario, entonces suponemos que y =
cna" es la
oo
solución de la ecuación diferencial dada, de donde sus derivados son ^ ^
dx
nc„x” 1
y
n-l
OO
— - = V n (n -l)c„j:
ademas se
conoce
dx2
/i=2
reemplazando en la ecuación diferencial se tiene:
oo
OO
_ -M =
/i(/i-l)c„ * n-2 +. '’>l cnx
n=2
n=0
n=0
sen a — > •—
— - 1 ahora
— * (2 /t+ l)!
( - l ) r t.v2" +l
(2n + l)!
a las seríes del primer miembro ponemos en la misma potencia.
£ ( « ♦ 1 X .+ Z K .,,,«=0
oo
«=0
rt=l)
oe
^ [ ( « + l)(/I + 2,c„+2+ c j A ' - = ^( - ií y^ -v2w
_ +l
n=0
n=0
La serie del primer miembro lo expresaremos como la suma de una serie de potencias
impares de x en una serie de potencias pares de x, puesto que la serie de potencias del
segundo miembro contiene solo potencias impares de x.
j .
oo
oo
OO
> [(2/1 + 2 X211 + 3 ^ 3 +c,„+t l.v-2n+l + Y [(2/1 + 1)(2 #1 + 2kSl+, + r,„ ]a2'' = Y _ Í= 1 L _
~
~ ‘
"
¿ ^ ( 2 n + \)'.
n=0
n=0
n=0
por el método de los coeficientes indeterminados se tiene:
427
Resolución p o r Series de Potencias
1
r (-O "
,
r?„. * = -------------------- [--------------c7n.ij,
2"+3
( 2 /i + 2 ) ( 2 /i + 3) ( 2 // + 1)! 2,1+1
cC 2 n -~
para
w
V n> O
«
,
fórmula de recurrencia
C2n
(2n + \)(2n + 2)
n = 0,
c3 = - L [ l - c,] , c2 =
n = ,1,
2 +ci—i ], c4 (_ l) =co
c5 = —1 r[--------5 4.5
3! 3! 4 1.2.3.4
_
„
7
6.7 5!
como la solución
ión •*y =
5!
6
M ) 3q>
1.2.3.4.5.6
c„x" = c0 + c , x + c , a 2 + C 3X3 +
n~0
V(A) =
C0 + C , X
+ ^ C 0A2 + - i [1 - C, lA3 +
c0a4
+ _ L [ _ 2 + £ l ] ^ + 2 ± 1 c0a6 + - L [ 2 _ £ L ]jc7 +
4.5 3! 3!
6! 0
6.7 5! 5!
•• •
v U ) = co(1+ ^
^ + 1 ^ + 2 2 1 /+ ...)
0
2!
4!
6!
.
+Ci ( a
1
00
X
x3
x5 x 1
V
2 a 5 3a7
.
1----------- +...) +[— —------+ ------ + ...]
3!
5! 7!
3!
5!
7!
n+1
(“ 1) W
-------------- a 2,,+1 ,
( 2/1 + 1)
n=\
Vxe R
(2/i + ü!
como y (0)= v'(0) = 0 => c0 = 0 y c, = 0
00 t
»
n X..2n+l
y ( a) = ^
(2/i+ 1)!
n=l
Eduardo Espinoza Ramos
428
Ejemplo:
Hallar la solución de la ecuación diferencial ^ - + x ^ - 2 y
dxdx
potencia que satisface las condiciones iniciales y(0) = y’(0)
ex en serie de
0.
Solución
oo
como Xo = 0 es un punto ordinario, entonces suponemos que y = ^ ^ crrx ' es la solución
«=o
de la ecuación diferencial dada, de donde sus derivadas son:
O
O
oo
dy
_. d ~y v ^
— , luego al
— = > nc„xn , — r-= > n ( n - \ ) c „ x n~~ además se tiene: ex =
i n\
dx
n
dx1
"
n=I
n=2
n='
reemplazar en la ecuación diferencial dada se tiene:
oo
oo
oo
íi=!
n —0
n= 0
n
^ n ( n - l ) c nx n- 2 + x ^ n c „ x " 1 - 2 ^ c „ x ” = ^ ^ 7
n=2
ahora ponemos en potencias de x iguales.
00
00
(n + l)(n + 2)cn+2x n + ^
n=0
00
ncnx ” - ^
n=l
OO
r? = 0
00
2cnx" =
2/i= 0
OO
^ [ ( w+ l)(w+ 2 )í-n+2 - 2 cJj:'' + ' £ n c llx n = ^ ^ 7
n=0
h=1
n=0
poniendo los inicios iguales se tiene.
00
2c2 - 2Cno + ^
n=l
00
[(« + 1X« + 2)cn+2 - 2c„ + ncn \x" = 1+ ^
«=J
aplicando el método de los coeficientes indeterminados.
~
429
Resolución p o r Series de Potencias
1
1
— í— + ( 2 - « )c „ l , V n> 1
+ 2) ni
OO
aplicando las condiciones iniciales en la solución
v(0) = y'(0) = 0 = c0 = c,
para
n = 1,
”
2-
i
n = 3.
1 = 1
' • - ¿ ‘i * 01- 2.3.4 “ 4!
c5 = —1 í 1
4.5 6
i
1 hr1- r 1 = 0n
4.5 6 6
1
-2 c ,
5.6 24
1
Cn =
6.7
como la solución es
9.1.1
c-, =
1
i
1
c* = — II+ c, 1= — = —
2.3
02.3^ 3!
^
n = 4,
n = 5,
entonces
cnx a = c0 + cíx + C2.x‘' +
y=
1
120
-5 c
6!
7!
3
y = c0 +C|A*+c2.t“ + c 3.r'...
X2
V =
A'3
+
2
A4
A6
A7
+ ------ — --------- H ------- + . .
3!
4!
6!
7!
SOLUCION ENTORNO A PUNTOS SINGULARES.Se ha estudiado la solución en series de potencias de la ecuación diferencial
d 2y
d\
dx"
dx
Onix ) — —+ ¿31 ( a ) — + fl0 (.Y)y = 0 en tomo a un punto ordinario .v = .v0 sin mayores
dificultades , sin embargo cuando x = .x0 es un punto singular no siempre es posible
oo
encontrar una solución de la forma y =
; entonces nuestro problema será
n=0
OO
vif+r
de encontrar una solución en series de potencias de la forma y -
ctt (.v - .v0 )
n = 0
donde r es una constante que se debe determinar.
*
430
9.1.2
Eduardo Espinoza Ramos
PUNTOS SINGULARES REGULARES E IRREGULARES.-
d 2y
dx
Un punto singular x = x () de la ecuación diferencial — ^ + P ( . t ) — t 0 ( . v ) ) ’ = O se
'■
.
dxdx
denomina punto singular regular si( x - x 0 )P(x)
y ( x - x 0) 2Q(x) son ambas analíticas
en x0 , en otros términos ( x - x 0 )P (x) y ( x - x 0 ) 2£?(x) tienen una serie de potencia
en (x - x0 ) con radio de convergencia R > 0.
Un punto singular que no es regular se denomina punto irregular de la ecuación.
Observación:
d 2y
dy
Cuando en la ecuación diferencial ch(x)— - + a](x) — + a 0(x)v = 0 los
dx2
dx
coeficientes son polinomios sin factores comunes, la definición anterior es equivalente a:
Sea ¿ M x 0 ) = 0 , obtenga P(x) y Q(x) simplificando
hasta que
y a<)^
respectivamente
a2(x)
a 2(x)
estas sean fracciones racional irreducible. Si el factor
x - x 0 es a lo más de
primer grado en eldenominador de P(x) y a lo más de segundo grado en el denominador
de Q(x) entonces x = x0 es un punto singular regular.
Ejemplo:
En laecuación diferencial
singulares
son
x
=
-1,
(x2 - l ) 2 = ( x + l ) 2( x - l ) 2
x
=
obtiene
->
( x '- l )
1,
al
2
d y
dv
— —+ ( x - l ) — + v = 0 , los
dx~
dx
dividir
a
la
ecuación
P(x) = ---------?---------( x - l ) ( x + l)~
diferencial
puntos
entre
y Q(x) = --------- ^ -------- -
( x - 1) ( x + 1) "
analizando a P(x) y Q(x) en cada punto singular para que x = -1 sea un punto singular
regular, el factor x + 1 puede aparecer a lo sumo elevado a la primera potencia en el
denominador de P(x) y a lo sumo elevado a la segunda potencia en el denominador de
Q(x) observamos que P(x) y Q(x)
no
cumple
la
primera
condición
concluimos que x = -1 es un punto singular irregular, para que x = 1
por lo tanto
sea un punto
singular regular, el factor x - 1 puede aparecer a lo sumo elevado a la primera potencia en
el denominador de P(x) y a lo más elevado a la segunda potencia en el denominador de
Q(x) por lo tanto analizando P(x) y Q(x) ambas verifican la condición. Luego x = 1 es un
punto singular regular.
Resolución p o r Series de Potencias
Ejemplo:
431
2 ,...
„ d—y + 2 v = 0 dividimos
A la ecuación diferencial jr(jr
+ l)“ — ^- +. (,..2
.v ~ - l)
dxdx
2
^
*»
d \
x —\ dv
2
=0
entre x ~ ( x + \) ~ , es decir: — r + ~ ;-------------- +
d x “ JC ( J C + 1 ) * JC“ (AT-f-l)
Luego x = 0 es un punto singular irregular, puesto que (x - 0) aparece elevado a la
segunda potencia en el denominador de P(x) pero x = -1 si es un punto singular regular.
Ejemplo:
^2
^
A la ecuación diferencial (1-jc2) — —
' —2x — + 30>* = 0 dividimos entre
dx2
dx
i
2
.
1- x , es decir:
d 2y
2x
dy
30
— ------------------------ + ----------------- y = 0
dx~ (1-jcXI + x) dx ( l - x ) ( l + .v)
Los puntos x = 1, x = -1 son puntos singulares regulares.
Ejemplo:
%d 2 v
dy
En la ecuación diferencial x — h - - 2 x — + 5v = 0 x = 0 es un punto
dx~
dx
singular irregular puesto que £>(.v) =
.
x
d 2y
dy
La solución de las ecuaciones diferenciales a*, ( j c ) — “ + a, ( j c ) — + « 0
'
dx2
dx
(jr)y
= 0 en serie de
potencia entorno a un punto singular regular, se obtiene mediante el siguiente teorema
debido a “Ferdinand George Frobenius”.
Teorema: Si
*=*o
es un
punto
singular
regular
la
ecuación diferencial
d 2y
dy
a-,(x) — —+ a,(jc)— + í/0(^r)y = 0 existe almenos una solución
dx*
dx
oo
en series
oo
de potencias de la forma y = (A--A0 )r ^ ^ c #I(jc-jc0 )/l = 1^ c H( x - x 0 )n*r donde el
n-0
n=0
número r es una constante a determinar.
La serie convergerá al menos en algún intervalo 0 < | x - jc0 | < R .
432
Eduardo Espinoza Ram os
Ecuación Indicial:
A
la ecuación
d 2v
—
dx“
escribiremos en la forma
d 2v
dx
a*,(x)— r- + tf,(.v) — + tf0(-r);y = 0
dx2
dx
diferencial
dy
P (x) — + Q(x)y = 0
dx
... (1)
Si x = .r0 es un punto singular de la ecuación diferencial (1), entonces quiere decir que x
p(x) y jrQ(jt) son analíticas en .r0 = 0 y en consecuencia admite desarrollo en series de
potencias, a la ecuación cuadrática en r dado por r ( r - l ) + P0 r + q 0 = 0 se denomina
“Ecuación
Indiciar
de
la
ecuación
diferencial
(1)
donde
Pn = lim x P ( x )
y
q0 = lim x 2 Q ( x ) a los valores r, y r2 de la ecuación indicial se le llama raíces indiciales
v->0
ó exponentes de la singularidad.
Teorema: Demostrar
que
la
ecuación
d 2v
dy
— jp + P(x) — + Q{x)y = 0
dx"
dx
indicial
alrededor
de
del
la
ecuación
punto
diferencial
singular
regular
.v0 = 0 es r ( r - l ) + P 0 r + q 0 = 0 .
Demostración
como x 0 = 0 es un punto singular regular entonces por el teorema de Frobenius existe
oo
oo
una solución en serie de potencias de la forma y = A r ^ T cn x n =
^
ahora
0
n~0
oo
+r
oo
= ^ ( n(n +
+ r)c„xn+r~1
r)cnx n+r’ x ; —
- 2 ^- = ^ ( n + r)(n + r - \)x,1+r- 2
calculamos las derivadas — =
dx
dx
«=0
n=0
por otra parte, como jc0 = 0 es un punto singular regular, entonces x p(x) y x 2 Q ( x ) son
analítica .v0 = 0 en consecuencia admiten desarrollo en series de potencias es decir:
oo
xp {x) =
oo
Pn x n ,
x 2Q ( x
)~
intervalo | x | < R, centrado en
,
jc0
donde
ambas
series
convergen
en
= 0 , ahora reemplazando en la ecuación diferencial:
un
Resolución p o r Series de Potencias
433
* l l + P ( x ) É L + Q(x)y = Q
dx
dx
oo
oo
oo
oo
(„ + r)(n + r - \)c,¡X"+r^ + i ] T / > " £
£
n=0
n =0
n=0
oo
*
oe
j
(rt + r)0; + r-l)c„.*"*'f“2 +
(" + r)c„xn+r-' + - L £
n ~O
oo
^ ( ? ; + r)(n + r - l ) c n.r',+'' 2 + x r
n-0
«=0
cy^ ' =0
/i=0
oo
90
P„x n ^
h=0
00
qnx" £
oo
^
oo
(n + r)cnx" +
n=0
<?„x n ^
^
n=0
oo
oo
c„ x" = 0
n=0
oo
[ / (r + k)c„Pn_k ]xn + x r 2 ^
ckqn_k ]*" = O
n=0 ;i=0
*=0 ¿=0
[(« + r)( /j + r -1 )c„ + ^ (k + r)ck Pn_k + ^ c* ^
n=0
*=0
*=0
lx"+r 2 = O
por el método de los coeficientes indeterminados se tiene:
n
(// + r)(n + r - l)c„ +
*=o
[(* + ^ n - * + <?„-* lc* = 0 • V n > O
perón = O, se tiene; r ( r - l ) r 0 +(rP0 +<?0)c0 = 0
como c0 * O, entonces r(r - 1) + rPQ+ q 0 = O.
Que es la ecuación indicial de la ecuación diferencial.
d~ v
dy
Resolver la ecuación diferencial x — í- + 3 ------ y = O aplicando el método de
d!.t~
dx
Frobenius.
Solución
Ejemplo:
Sea
jc 0 = O
un punto singular regular de la ecuación diferencial entonces por Frobenius la
oe
solución en series de potencias es y = ^ T c #I.r,1+#’ , cuyas derivadas son
n=0
OO
^
f
dx
=
^
'
(
«=O
A
n
+
r ) c „
x n + r ~ t
y
oo
= ^T
d x'
11=0
{ n
+
r ) ( n
+
r
-
\
)
c
n x
n + r
2
434
Eduardo Espinoza Ramos
ahora reemplazamos en la ecuación diferencial dada.
oo
Xí
oo
^ ( n + r){n + r - \ ) c nx n*r' 2 + 3 ^ ( n + r)cnx n^ ' 1 - Y c „ / " = 0
*=0
n=Q
n=0
OO
oo
(n + r)(n + r - l ) c n.v"+r 1 +
n=0
3(/i + r)cnxn+r 1 —
n=0
+r = 0
«=0
DO
OO
.vr[ ^ [ ( n + r)(n + r - l ) c n + 3(/i + r)cn 1a"'1 - ^ c„x" ] = 0
n=0
n=()
OO
OO
Vr[ £ [(« + /-)((« + r -1 ) + 3)cn ]jr"-' - £
cn_, y - 1] = 0
n=0
[(>1 + rKw + r + 2)c„
x r [r(r + 2- C°- + y
]r" 1] = 0
n=l
fr(r + 2)c0 = 0
{
0
, Vn> 1
[(n + r)(n + r + 2)cn - c n_, = 0
Luego r(r + 2) = 0 =» r, = 0 ,
r2 = - 2 .
para
*«-1
r, = 0 , c = ----1—
1
" n(* + 2)
Vn> 1
para
n = 1,
c, = co
«n _—ojl%
„ —__ ci
c-i —
——_ co——_- --^co
2 2.4 1.2.3.4 214!
n = 3,
c3 = C2
3.5
2C°
3!5Í
n = 4.
, 4 = C>
4.6
4! 6!
... (a)
Resolución p o r Series de Potencias
435
c„ = — ^ — , V n = 1,2,3,...
1 w!(n + 2)!
, • - en serie es: V
2c0x " = cn V> — 2x"
, para |x| <
por lo tanto una solución
/, = V> ------------1 J L * n \in
!(w +
+ 2)!
% « m! !(/i + 2)!
n~0
0
cuando r> = - 2 , la ecuación (a) se transforma en
( n - 2 ) n .c lt - c
j=0
para n = 1 y n = 2,
n = 3,
r3 =
3 1.3
n = 4,
_ C3
c4 =
2.4
n = 5,
cs =
n = 6,
c6 =
4
3.5
V n > 1 => cM= C"~!
" (w -2 )n
- r ,- c 0 =0
c0 = 0
V2 - q = 0
lct = 0
C2 _ l c 2
1.2.3.4 2!4!
.
2 c 2
3! 5!
2c,
3.5
3!5!
2c2
r = ------- — ,
" (n-2)\n\
Luego la otra solución es:
n = 3,4,5...
y=
/*=2
-----2C2— *"-2
(n-2)\nl
436
Eduardo Espinoza Ramos
Para aplicar el método de Frobenius se distinguen tres casos de acuerdo con la naturaleza
de las raíces indicíales; para simplificar, supongamos que rx y r2 son las soluciones
reales de la ecuación indicial, donde rx es mayor que r2 . La solución cn series de
potencias de la ecuación diferencial entorno a un punto singular regular lo trataremos en
el siguiente teorema.
Teorema.-
Sea
jr0 = 0 un punto singular regular de la ecuación diferencial de segundo
d 2\
dy
2
orden — - + P(x) — + Q(x)y = 0 , supongamos que x p(x) y x Q(x) son
dx2
dx
analíticas en el intervalo |x | < R y sean rx y r2 las raíces reales de la ecuación indicial
r ( r - l ) + />0r + ^0 = q , donde r, > r2 , entonces la ecuación diferencial dada tiene dos
soluciones linealmente independientes T,(^) y T2(* ), validez para |x |< R donde la
90
primera
solución
es
Yx{*) =
jc '1
0Ú
= ^ ^ Cíí'Jcl+r * donde co = * y *a segunda
solución TtW depende de r, —r2 es decir:
00
a)
Si r, ~ r 2 no es un entero positivo, entonces: Y2(x) = x r2^ ^ b nx ft =
«aO
donde b0 = 1.
b)
Si
r.
es un entero positivo, entonces:
oo
’
Y2( x ) ~ x r7^ ^ b nx n + cYxU )L/i|a*|,
n = ()
donde b{) = 1.
c)
Si
rx = r 2 , entonces la segunda solución es:
Y2 (x ) = Yx(x)Lnx +
bn x n ,
«»o
donde b0 = O.
Nota:
En la parte b) del teorema se tiene si r, - r 2 es un entero la segunda solución se
r e -P {x)d x
puede obtener en la forma
Y2 (*) = Yx(x) I — r------ dx
J tfí* )
siempre que Yx(x) sea una
d 2y
dy
solución conocida de la ecuación diferencial — —+ P(.x)— + G(x)y = 0.
dx1
dx
Resolución p o r Series de Potencias
Ejemplo:
437
d 2v
dy
Resolver la ecuación diferencial 2 x — ¿- + (* + 1) — + y = 0. aplicando el
dx
dx
método de Frobenius.
Solución
como x 0 = 0 es un punto singular regular entonces existe solución en series de potencia
oo
de la forma, y =
cnx n+r , donde r es constante por calcularse.
w=0
Calculando las derivadas se tiene:
2
00
^
JLd
dx
+
°°
= ^ (n + r)(n + r - l ) c nx ,l+r~2 reemplazando en la
y
dx~
ecuación diferencial dada.
oo
oo
oo
2.v^^(rt + r)07 + r - l ) c n.Y,,"r_:í + ( x + l) ^ ^ ( n + r)crtx',+r~l + ^ ^ cn-v"+r
«=0
n=Q
n=0
oo
oo
oo
oo
] T 2(n + r)(n + r - \ ) c nx"+r~' + £ ( " + r)c„xn+r + ^ ( n + r)cnx n + r + ^ c nx n+r = 0
/i=0
;í=0
/i=0
n=0
oo
o©
' ^ ( n + r)(2n + 2 r - \ ) c nx n+r~i + ^ M n + r + l)cnJc"+'' = 0
n=0
n=0
poniendo las x en potencias iguales se tiene:
oo
oo
(;i + r)(2n + 2r - l)c„.v"+r_l +
/r= 0
(n + r)cn_,xn+r 1 = 0 ; poniendo los inicios iguales
n= l
oo
r í 2 r - l ) c 0 .Yr
1+ ^
oo
(n + r)(2n + 2 r -
«=1
l ) c n x n* r
(« + r)cn^ x n+r 1 = 0
1+
n=l
OO
r ( 2 r - l ) x r~I + x r 1( ^ ^ [ ( n + r)(2« + 2 r - l ) c n + (n + r)cn_,]x") = 0
n=\
ahora aplicando el método de los coeficientes indeterminados
Eduardo Espinoza Ramos
438
j r(2r- ' ) = °
|(/j + r)(2n + 2 r -l)t',I +(/i + /-)cn_, = 0
paran*.
r(2r - 1) = 0 entonces r, = — , r-, = 0 .
1 i
Q
c =
—
ia fórmula de recurrencia
2/i + 2 r - l
para
1
c ,
r, = — se tiene cn = — — , n = 1,2,3A ..,
2
2h
para r n = il,
c,
1
co
------
2.1
n = 2.
^ = -1 1 - = -^ 2.2 2 2 !
n = 3,
c, = - c2
3
2.3 ~
c3
C0
23.3!
c0
" = 4-
íl!> %
2".n!
I
,
»•«
1
—
1
— (-i)"
1 ' x")
= X c«jf,,+r= * 2 (co + X ^ jc"}=jr2c«>( i + X t Í í
n=0
n-\
n=\
°°
H
t
(—
1)
n+(-1)"
yj(jr) = c0 y
a* 2 es la primera solución,
n=o ^
solución,
c = ------—
2«-l
para n = 1,2,3,4...
para r2 = 0 , se tiene la segunda
439
Resolución p o r Series de Potencias
p a ra
co
n = 1,
q = -
n = 2,
Cj
c0
c 2 = ---------=
2
3
1.3
n = 3
r _ _ £ i = __£o_
3
5
1 .3 .5
n = 4,
c4 = - ^ - = C°
7
1 .3 .5 .7
c = --------------------------- p a ra n = 1 ,2 ,3 ,...
"
1 . 3 . 5 .. .( 2 « - 1 )
oo
Y2 ( a ) =
oo
cn xn r =
n=0
^
Cn a m
p u e s to q u e
r = r2 = 0
n=0
oo
OO
w = < - 0 + £ c„ y = c » + c » S i j S r ^ ' r' para | x | < “
n=]
n=l
L u e g o la s o lu c ió n g e n e ra l e s:
Ejemplo:
F ( a ) = c ¡K , ( a ) + c 2 K 2 ( a )
H a lla r la s o lu c ió n g e n e ra l d e la e c u a c ió n d ife re n c ia l
í/2 v
dv
a— - + 3— - y = 0
dx2
dx
Solución
D e l e je m p lo ,
e l m é to d o d e F ro b e n iu s p ro p o rc io n a s o la m e n te u n a s o lu c ió n d e e s ta
e c u a c ió n d a d o p o r
F i( a ) = ^ ' -------------1
¿ * n \ ( n + 2 )l
«=o
x n= 1 +
d e la o b s e rv a c ió n se tie n e u n a s e g u n d a s o lu c ió n .
— + — + -^ — + ...
3 24 360
Y*> ( a ) = K
(a )
rI —&
J y,2(x)
dx
440
Eduardo Espinoza Ramos
- ñ dx
Y, U ) = Yx(x) I t - J — dx =
K2 ( j c )
1
17 / v /
=^
1X
2
[1 + — XH
3
(x)
dx
J i ri x x 2 x 3
x*[l + - + — +
+ ...]"
3 24 360
dx
.. . , f 1 ,,
7 X :^+ WJK...1
7 " - r +t
36
x2
2
-
19
,
, ,
+--vfc
30
= K (Jt) í (-^--------- + —-----— + ...)dv = K (x)(----- í—+ — + —ln x — — x + ...)
3x
4x 270
iV
2x
3x 4
270
JV
1
1 2
19
= —Yi (x) ln x + K (x)(--------- 1--------------x +...)
4 1
2x
3x 270
Luego la solución general en el intervalo 0 < x < °° es
1
1 2
19
Y (x) = c. Yr (x) + c2[—y, (x) ln x + y. (x)(----- + -------------x +....)]
1 1
2 4 1
2x 3x 270
Ejemplo:
d 2y dy
x — —+ — - 4 v = 0
dbr dx
Hallar la solución general de la ecuación diferencial
Solución
como
x0 = 0
es un punto singular regular, entonces la solución en series es
oo
y =
oo
c n x n+r , de donde sus derivadas es
dx
n=0
(n + r )c nx ”+r*1
«=0
d T = y (n + r)(n + r - \ ) c f¡x n+r~2
dx
n=0
ahora reemplazamos en la ecuación diferencial dada
oo
oo
x £ (n + r)(n + r —l)cnxn+r~2 + ^
n=0
OO
^ (h + r )(n + r - l)c„
n=0
oo
(n + r)cn xn+r_1 —4 ^ ^ cnx n+r = 0
n=0
oo
n=0
oo
^
(n + r)cnx"+'"1 - ^ 4c„ x n+r = 0
n=0
n=0
y
441
Resolución de Series de Potencias
oo
oo
^ ( n + r)2cnx ^ - '
/!=()
oo
=0
oo
=* £ (n + r)2c „ x ^ - ‘ - £ 4cn_,xn+'-' = 0
n=4)
n=l
n=0
OO
2cüjrr 1 + ^ [ ( « + r)2c„ - 4 í-„_, ].v"+r 1 = 0
r2c0jrr 1 + .vr ' ^ [ ( H + r)2c „ - 4 c , = 0
;i=I
ahora aplicando el método de los coeficientes indeterminados. r “ = 0 = >
r, = 0 , r2 = 0
4C
(w + r )2c rt-4 c „ _ 1 = 0
=> cn =
como r , = r i = 0
~
(/? + r)"
para
4 cq
cx = - j -
n = l,
„ = 2.
n = 3.
entonces
c, = % = Ü S l = i ! S t
‘
2(1.2)- (2!)
4 c, 43cQ
c, = —f - = ----- 3(3!)-
4V
"
( « !)2
Oo
V
1
n ..fi
4 jc
Luego la solución resulta. Yx(,v) = c0 > ----in
o <n!)
n=0
i i
para | x | <
para obtener la segunda solución linealmente independiente hacemos c0 = 1
Pix)dx
como se conoce K, ( jc)
f .-/■
= Yx( jc) I —
dx
J Y2 (x )
4c*
cw = —
/?fc
Eduardo Espinoza Ramos
442
Y2 ( x )
=
i7, (.x)
'Í t
f ^—^
^
—dx
dx
= F¡ ( a )
^
a[
1+ 4 x + 4 a 2 +
—
a 3 + ...] 2
= y , ( A ) | ------------------------ — -------------------------- = K , ( . r ) [ - ( 1 - 8 a +
jcI1+ 4 a
= K (a )
24 jc2 -t- — .t3 +...]
9
40a2 - Í ^ a 3 +
J v
...)dx
9
(—- 8 -t- 4.y - Ü Z i. j,-2 + )(¡x = K (.0 [ln .v -8 .t+ 2 * 2 - ^ ^ - v 3 +...]
J jc
9
27
f
1, ( a ) = Y, ( a ) ln x + Y, ( a ) ( - 8 a + 2x2 -
v-* + ___)
27
Luego la solución general de la ecuación diferencial es:
. 147^ ,
Y(x) = C, y, (JC) ln JC + y, (JC K -8.V + 2 a 2 a 3 +...)
Ejemplo:
Encontrar
la
solución
general
de
la
ecuación
diferencial
d “y
dy
2 x ~ — -— jc— + (l + *)v = 0 alrededor del primer punto singular regular
dxdx
x0 = 0
Solución
como x 0 = 0 es un punto singular regular, entonces la primera solución diferencial dada
oo
es:
oo
y¡(jt)= > cnjc"+r , calculando sus derivadas
/i=0
K'1( .v ) = ^
(« + r)cwjr"‘fr‘ l
n=0
OO
y, (-y) - ' y (n + r)(n + r - \ ) c „ x
n+r - 2
ahora reemplazando en la ecuación diferencial dado.
oo
2
jc 2
y (w + r){n + r - 1)c„xn+r~2 n=0
oo
(n + r)c„x”+r~' +(l + x ) £ c „ x n+r = 0
«=0
n=0
y
443
Resolución de Series de Potencias
oo
oo
11=0
+ r){n + r - \)cnx"*r - ^ (n + r)c„x”+r + ^ c«-v"+r + ^ ^ cnJr""rr+l = 0
n=0
n=0
«=O
[2(n + r)(n + r - \ ) c „ - ( n + r)cn +c„ ].tn+r +
c„ x n+r+' = O
n-Q
«-0
OO
OO
^ ( n + r -l)(2 /i + 2 r - l ) r n.t',+r + V
n~0
cn_1.v',+r = 0
/i=l
OO
oo
( r - l ) ( 2 r - l ) c (, y
(n + r-l)(2 w + 2 r -l)c „ x n+r + > c„xn*r = 0
n=I
n=l
OO
[(« + r - l)(2n + 2 r - \ ) c n + e „ _ i
( r - \)(2r- l ) c 0.vr +
]A'"+ r
=0
n=l
aplicando el método de los coeficientes indeterminados.
(r -l)(2 r -l)c 0 =0,
rl = l -
c0 * 0
r2 = \
entonces
(/i + r -l)(2 /i + 2 r - l ) c n +c,(M = 0
cn = ------------- ^
+ r - l)(2;i + 2r —1)
( n
r. = 1 se tiene cn
para
í’n-l
------------------para n > 1
«(2/i + D
n = l,
ci = - ^
n = 2,
cl
_
co
c-, = 2.5 1.2.3.5
n = 3,
c3 = - c2
3.7
n = 4,
r4 = -
c3
4.9
co
1.2.32.5.7
co
1.2.32.4.5.7.9
é«
•
•
444
Eduardo Espinoza Ramos
c4
c0
5.11
1.2.32.4.52.7.9
c5 = -
n = 5,
OO
como Kj ( j c )
oo
Cn
C n X n +r = ^
=
OO
n-0
CnX "
=
it~0
«=0
oo
Yl (x) = .r(l + Y
— (--1)n
x n)
/i=l 1.2.3 .4.5 .6.7 .8.9.. ••
w !(2 n + l)
#1=1
para c» = l ' 0 '
ahora calculamos la segunda solución.
como rx - r 2 = -^ no es un entero entonces de la parte a) del teorema se tiene
oo
Y2 ( x )
= x 2
y ^bnx n donde bQ = 1.
n=Q
bn = ------ ^
— = -----^ 1 — ,
(n. í )2„
n ( 2 n - l)
para
n = 1,
bn
b{ - — ^
n —2,
L —
_ b\
_—-----bo
b2
——
2
2.3
1.2.3
n = 3,
b^--
'o
1.2.32.5
3.5
n = 4,
=
_
Í
L
4.7
=
K
1.2.32.4.5.7
Vn> 1
Resolución de Series de Potencias
n = 5,
445
b , = - b*
5.9
1.2.32.4.52.7.9
b =
” 1.2.32.4.52.6.72.8...
1
00
Y2(.x) = x 2{ba + \
(-D > o
n !(2 n -l)
(“ IV x bt
' 11 para b() =\ * 0
n\(2n-\)
oo
-
x r ' (—ivl y 1
-------------------]
V 2 (a-) = a*2 [1 + \
¿Jn \(2 n-\Y
2
Luego la solución general es dado por:
Ejemplo:
Y(x) =
Cj ^ ( jc) -h ¿^2^2 (A)
Aplicando Frobenius, hallar la solución general de la ecuación diferencial
d 2 v dv
x — t- + — + y = 0
dx
dx
Solución
como
_t0 = 0
es un punto singular regular, entonces la primera solución es:
00
OO
Y\ (* ) ~
* calculando las derivadas
^
(n + r ) c fl jcrt+ r-1
y
•>
00
d 'y
Y(n + r)(n + r -1 )cn,tn*r 2 reemplazando en la ecuación diferencial dada se
dx*
«=o
00
00
(n + r)(n + r - \ ) c nx n+r 2 +
tiene;
«=0
00
n=0
00
(n + / - ) c n A n + r ~ l + " V *
ns=0
c n A'n + r
=
0
n=0
00
00
+ r)(n + r - l)cnx n+r 1 + ^ T (/i + r)c„ x"+r 1 + Y e r v"+' = 0
n=Ü
n=0
oo
oo
(n + r)2 cnx n+r 1 +
poniendo las x en igual potencias se tiene:
n=0
cn_xx n+r 1 = 0
n=l
Eduardo Espinoza Ram os
446
poniendo los inicios iguales.
oo
V
oo
r- ‘ + ^ ( n + r)2 cnx n+'-' + £ c „ _ I*n+r- 1 = 0
n=l
n=l
OO
2c0x r 1 + .vr ‘ ^ [ ( n + r)2cn + c n_1].v" = 0
n- 1
aplicando el método de los coeficientes indeterminados
r cn = 0
0
(n
+
rYc„
+
c„
,
=
0
V
n n-\
=>
para r = r1 = r 2 = 0 ,
para
n = 1,
r, = r, = 0
1 2
c_ = - ,
x
2
(n + r)¿
cn
V n> 1
c¡ = - co
l2
= £o_
22 22
C 1
n = 2,
1
II
C 2
n = 3,
22.32
32
_
C3
n = 4,
42
co
22.32.4
(-D ^ o
cn = ------ r (« 0
,
para c0 = l
OO
2
ahora calculamos la segunda solución Y2 (x) pero como ri = r = 0 por la parte c) del
teorema se tiene
Resolución de Series de Potencias
447
oo
Y2 (x) =
oo
bn* T r + Y\ ( a ) ln x
«=0
OO
bn.vM+ F¡ ( x) ín .v, donde r = 0
=> Y2 (.r) —
n=0
oo
n
jí
X""* (“ 0 *
K x ’1 + ( 7
^
(w!)2
n=ü
«= 0 v '
X
ín x ; calculando las derivadas se tiene:
..«-1I' ,
Voo
—* (-1)
/ 1 í
VOO , „-i
VOO «(-1) « v"
V
Y2(x) = 2 ^ n b nx
+ ( ^ — — --- )ln x +
( „ !r
j - é (n!) 2
1
*=1
«-0
OO
oo
^
n- 2
n= 2
* d M
^
I»')2
0
0
—
)ln , +y
*
^
-n =Vl
(«!)
00
+y ; t ! í |
(«!)
n=l
ahora reemplazamos en la ecuación diferencial
.«-i , , V n ( n - l ) ( - \ T x n- 1 „
, xp
y « ( « - D 6 / ' ' + ( Y n(n ) ( , * ) i n ^ + y
^«=2
(«!)“
n=2
«=1
+y « M ) ^ +y
fl=l
(»!)-
oo
(«!)
,
2
y
/Í=l
«
M
=l
oo
^
)k ,
(» !r
oo
V (-1) *
’v , ,,
,v ( - 1 ) x" ,
y —
— + y K x + < / -■ - - —) ínA~—o
^
( n !)
Xa
L a („!)*
n=0
/i=0
«=0
agrupando las series se tiene:
oo
oo
oo
( ' S ' n ( n - \ ) b nx " ^ + yy ' n b nx"~l + ' S ' b nx" +
n ~2
n =I
n -0
h ( m - 1) ( - 1)
y
V
+ ( > ------------- 5---------+ >
La
(n!)2
La
n- 2
n-I
Y
+ An = 2f
1) y ,1
5---- + > --------— )lnac +
(„ ! f
L a (w!)n-0
n (-\)" x "
n c -iy y -1 | y
(« o 2
poniendo las x en una misma potencia
1
( -
» (-D n. v : y
n= 1
(ni)2
An - ¡0
(-ir y
(ni)2
Eduardo Espinoza Ramos
,448
oo
ec
oo
"(« - \ ) b n^ x n + ^ ( " + l)¿Vi-v" + ^ bnx " ) +
n-I
n=0
«-0
1 y 1 ( w + i x - i ) " * 1* " l y
+ ¿« -s ii
( ( « + l)!)2
| (y
n= 0
((/i + l)!)2
[y
+
<(/; + l)!)2
i)( i)f,+1 -V^ | y
¿-f
n=0
OO
( » + i ) ( - i ) ,,TV
( - 1)',;r' ' ) |n v
(n !)2
n- 0
tt(-p', y i [ y
(ni)1
/r=I
(—i ) " x "
k-0
q
(n!)2
oo
rHn + l)bn+xx ” + ^
(('* + !)/>„+] + b n ) x n ) +
{y
n=0
«=0
oo
,
oo
+ (y
( » .^ ) ( - » r '- v n + y
{ i " + ' * - ' r \ £ } y L )X' ) ] n x +
L*
((n + 1 )!)
((/i + 1)!)
(« !)n~l
n—\)
oo
¿-¡
/I=U
.
((H +1)!)
oo
¿~¡ («!)"
(n !)-
rt=l
poniendo los inicios iguales tenemos
rt+1,
( ¿ , + A + Y ((n + l f b n+{+bn)xn) + Y (—— ------- ;— + ---- - y ) x nA n x
((« + 1)!)
(n!)
oo
oo
#I=1
/7= 1
( o , + i ) ( - in+
r 1- + (W+i)(- i ) " )v„ = o
( n !)
((7I + 1)!)2
oo
bi + ¿b + Y
^
^
oo
L(« + 1)2/>w+1 + />,, + ( - 1)" jy '+ V (” 1)(
y ln x = 0
(n + l)(n !r
¿ i (n + l)(/i!)2
aplicando el método de los coeficientes indeterminados.
b} + ¿?0 = 0
=>
,
(n + l ) - V i + ^ +
¿?, = -6 0
h2
M
■
, (-1) = 0
(n + lK/i!)-
para 6n = l
b, = -1
Resolución de Series de Potencias
449
1 = - ----—
“ 1 [b„+-------—
tu
n~+2n T ,( - lxm
bn^
l ) n]
(n + 1)
(n + !)(«!)
para
w n> 1
V
•
1 r.
3. 5
b2 = - — [fe, - - ] = 2“
l
o
n=l,
1. .
8 . l r5 2.
31
—[¿?«5 “I ] —---- [--- 1--- ]—-------9 12 9 8 3
216
11
\_
bA = *3"
24
16
n = 3,
K , f A ) = (1 — JC -H — JC"
2
8
—
15
24
83
1728
A3 + - ^ - A 4 + ...) + K ( A ) l n A
216
1728
Luego la solución general es / ( a ) =
Ejemplo:
16
31
216
1
< r ,y , ( a ) + c 2 L 2 ( a )
Aplicando Frobenius, hallar la solución general de la ecuación diferencial.
-> d 2 v
-?
d\
jr — f + (x2 -2jc) — + 2y = 0
dx~
dx
Solución
oo
como x o = 0 es un punto singular regular, la primera solución es Yl (x) =
cnx
n+r
n=0
o
”
dx
cuyas derivadas son: — = > (n + r)cll.tn+r“1 y í/'-V
^ = ^ ( „ + r)(» + r - l ) c IIAn+r- 2
dx
dx/;=0
n=0
oo
reemplazando en la ecuación diferencial dada.
oo
x ^ í n + rXn + r - D c ^
n=0
oo
oo
0
2 + (x 2 - I x ) ^ (n + r)cnx ',+r' 1+ 2 > c-A*,,+r=
n
n=0
tt=0
oo
oo
=0
^ ( « + r)(/7 + r - l ) c ,tA,,+r + ' ^ ( n + r)cnx n+r+i ~ ^ T 2(n + r)c„x "+r+ 2 > c„.v"+r
n
n=0
n-0
n-0
oo
^
[(/I + r)( n + r - 3 ) + 2]c„ x n+r + ^ (n + r)cn An+r+1 = 0
/i=0
Eduardo Espinoza Ramos
450
poniendo las x en una misma potencia.
de
oo
[(n + r)(n + r - 3) + 2 ]cnx n*r +
n=0
(n + r —l)c„_| x n+r = 0
/i=l
poniendo los inicios iguales se tiene.
oo
[r ( r - 3 ) + 2]c*0Jtr + ^
oo
[(n
+ r)(n + r -3 ) + 2]c„ x n*r +
n=l
+ r - l ) c n_1* 'I+r = 0
n=]
OO
[ r ( r — 3 ) + 2 ]c 0 x r + .vr ^ T ( [(« + r ) ( n + r - 3 ) + 2 ]c n + (w + r - l ) c „ _ , )xn = 0
n=i
[r2 - 3r + 2]c0x r + ,vr ^
[(« + r - \)(n + r - 2)cn + (n + r - l)c„_, ].x" = 0
rt=l
aplicando el método de los coeficientes indeterminados
r2 - 3 r + 2 = 0
=>
r, = 2 ,
r2 = l
[(« + r - 1)(« + r - 2)cn + (n + r - l)crt_! = 0
c =
n + r- 2
Vn> 1
cn-1
cn = ~
n
Para
n = 1,
Cj = - ^
n = 2,
c, = - ^ = C°
n = 3,
2
c3
3
3
'
1.2
-
1.2.3
Resolución de Series de Potencias
n = 4,
C->
Cn
c4 = — - =
4
1.2.3.4
eo
com o
451
y, ( jc ) = ^
oo
c „ jc" 42 = c 0 ac2 +
n=0
<■„jc” +2
n=\
w=l
para
;»=0
c 0 = i * u , y .t - ij = jr 7 ------------= jt2e *
«=o
ahora calculamos la segunda solución y 2(x)
pero como r, - r2 = 2 - 1 = 1 es un entero, entonces la solución es
00
y2(x )= / A * " + 2 + c o 3Ti
l n-v ^ donde
n=0
"
'
=1
para calcular bn y c 0 utilizaremos un método alternativo en lugar de usar el método de
derivar y reemplazar en la ecuación diferencial.
El método alternativo consiste en lo siguiente:
00
se
SeaKjU) = ^ - [ ( r - r , V(r,.v)l r=r , donde los coeficientes de y(r| jc) = ^ c„xn+r
n
dr
“
*—4
n-0
Cn 1
mantiene en función de r, de acuerdo a la fórmula de recurrencia. c„ =■-------------- V n > 1
r + n —2
452
Eduardo Espinoza Ram os
o
n = 2,
cx
c2 = — L =
-i
n _—3,
„C3 —
_
^2
r +1
(-1 )^ 0
r ( r - l) ( r + l)
n = 4,
c4 = -
Ca
r+ 2
( 1)4C°
r ( r - l) ( r + l)(r + 2)
r
(-D
r (r -l)
K(r,x)\ = c0jcr +, CjXr + l +. c2x r + 2
1/ /
r+3 ,
c3jc
+ c4x r+4 +...
Y(.r{x) = c0x r + ^ - c 0* r+1 + ( V
q /-2+
( ^ x n V - 3+
r -1
r ( r - 1)
r ( r - l) ( r + l)
( r - r 2 )y(r,A c) =
( r - l) y ( r iJ :)
= c Q [ ( r - \ ) x r + ( - l ) ‘ x r+l + ^— ^ - . v r + 2 +
r
dr
(
^
*
■
+ ...]
r(r + 1)
(r -l)(r ,x ) = c0[xr + ( r - l ) x r ln x + ( - ! ) ' x r+I ln x — —x r+2
1 r+ 2 1
2r ^ 1 r+3
1
r+ 3 i
+ —*
ln jM— ------ —x----- — *-----x
ln +
r
(r2 + r )2
r2 + r
d
' i r 4
K (x) = — [(r -l)y (r.x )]
= c 0[ x - x 2 l n x - x 3 + x3 ln x + —x4
ln x + ...]
dr
r- 1
4
2
3
x4
y2(x) = c0( x - x 3 + —x4 + ...) + c0( - x 2 + jc3 — — +
lnx
K (x) = cnx( 1- x2 + —x3 +...) + cnx2 (-1 + x - — +
ln x
4
para
2
= 1 * 0 se tiene.
2
y2(x) = x ( l - x 2 + —x3 + . . . ) - x 2(l —x + —— ...) = x(l - x2 + —x3 + . . . ) - Yx(x) lnx
'
*— ^
'
Yi(x)
i
453
-> Resolución de Seríes de Potencias
Luego la solución general de la ecuación diferencial es: K(x) =
Ejemplo:
+
•
-t
d 2y
dy
3
Resolver la ecuación diferencial
( j r - x ) — —+ 3 — - 2 y = x + — ,
dx~
dx
x2
alrededor del punto singular regular x0 = 0 .
Solución
í
En primer lugar hallaremos la solución en series de potencias de la ecuación diferencial
homogénea
y después hallaremos una solución particular ^ ( x ) de la ecuación
diferencial no homogénea.
Entonces calcularemos la solución en series de potencia de la ecuación diferencial
d~y
dy
( x ~ - x ) ---------h3— - 2 y
cbr
ck
=0
la solución I o en series de potencias es Lt ( x ) = > c
¿ -i
n=0
donde
sus derivadas son:
oo
^ = V
dx ¿ -d
/j=0
-
+
y
oo
= Y („ + rXn + r - \ ) c „ x n+r- 2
dx“
>i=0
ahora reemplazamos en la ecuación diferencial
oo
oo
(x2 - x ) ^ T (/2 + r)(/i + r - l ) c nx'I+r 2 + 3 ^ ^ ( /i + r)cwxrt+r 1 —
cnx ,1+r = 0
n=0
«=0
n~0
oo
oo
(« + r)(n + r - l)cnx'J+r n=0
oo
(n + r)(n + r - l)cnx"+r_1 + ^
n=0
3(n + r)cnxH+r~'
n=0
OO
2c„x /i+r = 0
n=0
oo
oo
[(n + r )(w + r - 1 ) - 2]cnx n+r + y
y
[3(h + r )- (>i + r)(/i + r - t)]c„x"*r 1 = 0
n-0
n=0
oo
oo
^
n=0
[(« + r)(n + r -1 ) - 2}cnx n+r - ^
(n + r)(n + r - 4) ] c X +r_1 = 0
m=0
o
454
Eduardo Espinoza Ramos
oo
oo
^ [ ( « + r - lX « + r - 2
) - 2 ] c „ . 1Jr” + r - 1
4 ) c 0 Jrr “ l
- ^ ( n +r)(n + r - A ) c nx n*'~' = 0
n~\
/i—I
r (r -4 )c 0.tr 1 +
+ r)(/i + r - 3 ) c n_,Jtn+r 1
n-\
(« + r)(n + r-4)c„Jt"+r 1 = 0
n~\
OO
r (r -4 )c 0xr ' + ^ [ ( H + r)(n + r - 3 ) c >,_l - ( n + r)(n + r - 4 ) c „ ] x n*r 1 = 0
rt=l
aplicando el método de los coeficientes indeterminados
ír ( r - 4 ) = 0
=>
r2 = 0 ,
rx = 4
{(/i + r)(/i + r - 3)cn_, - (n + r)(n + r - 4)cn = 0
(■. + - 3 ) c . _ ,
Vn5|
n+ r-4
para r = r, = 4 , c„ =
para
n
n = l,
c , = y c 0 = 2 c0
n —2,
Cj — C| —3c0
a
4
c3 = 3 c 2 = 4c0
n = 3>
OO
^
Vn>l
=^
60
OO
cn-<n+r = * r ^
c"-í " = *4 ^
n=0
n= 0
(« + l)c0x" para c0 = 1
n=0
OO
y¡ (x) = x 4 ^ ( n + 1)*"
n=0
OO
Se conoce que
^
¿-é
n=0
x n = —— =>
\-X
^
¿-é
/i=l
OO
/ir" 1 =
í—-
(1-^ )2
=>
^
(m+ 1)jcm ----- -—Z -í
(]_ * )n=0
455
Resolución de Series de Potencias
1
v4
(1 - JC)2
(1-x)2
K,(x) = x4
ahora calculamos la segunda solución Y2(x) como rx - r 2 = 4 entero, entonces la
oo
segunda solución es: y2(*) = J —[('*_ 0)y(rx)]|r=ü, donde
Y(rx) =
de la
c + r —3
fórmula de recurrencia se tiene: c„n = -----------a c„_t
Vn> 1
n
i
n+ r -4
para
i
n = I,
c¡ = r _ 2 c0
r -3
_~
n - 2,
_ r - 1 _ r -1
c2 - - c, r —2
r -3
n - 3,
c3 —
4
n = 4,
r+1
r+1
c4 =
c3 = ---- - c 0
r
r -3
_
n = 5,
r+ 2
r+ 2
c5 = — — c4 =
-c 0
r+1
r -3
c0
-c 2 — - c 0
r -1
r -3
y(rx) = x r(c0 + C|X + c 2x^ + c3x 3 + ...)
r/
= *< c0 +
r -2
r -1
i ‘ co-v + r - 3r
r -3
->
co*~ +
r
r -3
i
r+1
4 r+ 2
5
.
+—
^ 0* + r —37 co* + •••)
r -3
r Y i r t = c„(r,' +
r -3
y 2 (A -)
r -3
r -3
+ £ < i± i> í "* + 1 ^ ^
r -3
r -3
= -^-[rK(rx)]
= c 0(l + | x + 4 ~ ) para c0 = 1
oír
r- u
3
3
2
x
jc"
Y2{x ) = 1+ — + — ; Luego la solución general de la ecuación homogénea.
+ .„)
456
Eduardo Espinoza Ram os
X4
.. 2x x l
= c.
+ c? ( 1+ — h------- ) ;
(1 —jc)
2
3
3
K, ( jc)
ahora calculamos una solución particular
12
a
j
Y d ( x ) de la ecuación (jc 2 - j c ) — ^ + 3 — - 2 y = jc + —
p
dx2
dx
x2
La solución particular K
( jc )
se puede calcular por cualquiera de los métodos anteriores,
variación de parámetros ó reducción de orden, en particular lo calcularemos por series,
para esto aplicaremos el método de superposición.
oo
Sea Yp¡
=
( jc )
cn x n+r una solución de la ecuación diferencial
«=o
( jc“ -
jc)
d y
— —+
dx'
d\
3 — - 2 y = x calculando sus derivadas se tiene:
dx
*
OO
=£< " +
X
v
” '"
y
!
OO
^
= £ ( „ + „<„ +
n=0
n=0
reemplazando en la ecuación diferencial (Ver la parte de la primera solución)
oo
—r(r —4)c0x r 1 + ^ [ ( n + r)(n + r - 4)c„ - ( n + r)(n + r - 3 ) c n_x]xM + r - 1
La igualdad se cumple sí y sólo sí.
=
r - 1 = 1 y n + r - 1 = 1, de donde r = 2, n = 0
se observa que n no admite más valores entonces:
1
- r ( r - 4 ) c 0 = l =* 4c0 = 1 => c0 = — como
4
x2
Y (x) = c0x r = —
n
4
oo
en la misma forma calculamos Yp^ (jc )
=
^
cn x n+r
n=0
la solución
( jc
-
jc)
— —+ 3 ------ 2y = — ; haciendo todos los cálculos anterior se tiene
dx~
dx
x~
457
Resolución de Series de Potencias
oo
- r ( r - 4 ) c 0x r~l
[(n +r)(n + r - 4 ) c n - ( n +r)(n + r - 3 ) c n_x]xn+r 1 = 3 a
n=l
la igualdad se cumple sí y sólo sí r - 1 = -2 y n + r - 1 = -2 de donde r = -1 y n = 0
además - r ( r - 4 ) c 0 = 3 para r = -1 => -5 c0 = 3
Yp2 (x) =
c 0 Ar = -
3
=> c0 = —
3a _ i
A'2
3a 1
4
5
La solución particular es Yp(x) = ------
La solución general es Y(x) = Ye ( a ) + Y _ (x)
Y( a )
2x
c,a4
x2 .
a2
= ----------- — + c 2 (1 + — - + — - ) + -------(1 — a )
3
3
4
3a"1
5
93.
DOS ECUACIONES DIFERENCIALES ESPECIALES.-
9.3.1
ECUACIÓN DE BESSEL Y FUNCIÓN DE BESSEL DEL PRIMER TIPO.-
La ecuación diferencial
se llama ecuación de Bessel de
orden P con P > 0, la ecuación de Bessel es una ecuación diferencial de segundo orden.
La ecuación de Bessel surgió en el estudio de la radiación de energía y aparecen
frecuentemente en estudios avanzados de matemática aplicada, física e ingeniería y
particularmente en aquellos en que el modelo matemático se expresa naturalmente en
coordenadas cilindricas; ahora buscaremos las soluciones en serie de potencias alrededor
oo
del punto
a
0
= 0 el cual es un punto singular regular; sea
Ypx( a ) =
V
n=0
primera solución, calculando las derivadas se tiene:
la
458
Eduardo Espinoza Ramos
oo
oo
dJ L = y {n + rK x — ' y ^ l = Y (n + r)(n + r - l ) c „ x n+r- 2
dx
dx 2
^
n=-0
n=0
ahora reemplazamos en la ecuación diferencial dada.
oo
oo
x 2^ ( n + r)(n + r - l ) c nx"+r- 2 + x ^ ( n +r)c„xn+r~l + ( x 2 - p 2) ^ c nx n+r = 0
n~ 0
n=0
n=0
oo
^
oo
(n + rXn + r - l)c„ Jt"+r +
n =0
oo
oo
p 2cnx"+r = 0
(n + r)c„xn"r + ^¡T C(1ar"+,+2 - ^
n-0
^
oo
n=0
n=ü
oo
((n + r )2 - p 2 )cnx n+r + ^
n=
n= 0
c„ JfB+r+2 = 0
0
oo
oo
[(n + r)2 - p 2 ]cnx n+r
poniendo las x en una misma potencia.
cn_2xn+r = 0 ,
n=0
n=2
poniendo los inicios iguales.
.
oo
(r 2 - p 2 )c0 x r + ( ( 1 + r ) 2 - p 2 )Cix r+l +
oo
[(« + r )2 - p 1 ]cnx n+r + ^
n=2
cn_2 x n+r = 0
n=2
OO
(r 2 - p 2 )c0 x r +[(1 + r )2 - p 2 \c]x r+i +
[((« + r )2 - p 2 )c„ +cn_2 ]xn+r = 0
2
aplicando el método de los coeficientes indeterminados
(r~ —p )cQ = 0
- , 7
((1 + r y - p )c, = 0
,
,
[(/i + r) - p k„ + en_2 = 0
de donde:
para
r, = p
rt = p, r, = - p
=>
.
,
( r + 2 r + \ —p ~ )c x = 0
c„ = -------------,
(n + r) - p 1
V n>2
*>
*>
=> ( p ' + 2 / > + l - p fc) q = 0
=> (2 /? + I)t'j= 0
==> Cj = 0
459
Resolución de Series de Potencias
cn =
como
para
——
n(2p + n)
V n>2
n = 2,
c7 = ----- co
2
2(2/7 + 2)
n = 3,
c-> = ------- —------= 0
A
n = 4,
c4 - -
n = 5,
cs =
5
3
3(2/743)
^
C 0
4(2p + 4)
2.4(2p + 2)(2p + 4)
=0
5(2p + 5)
— A
n—
o,
z'
—
C4
C
e—
6
6(2/> + 6)
n = 7,
c7 = -------=0
7(2p + 7)
n = 8,
c* = C&
8
8(2p + 8)
n = 9,
Co = -------—------= 0
n
9
_
C0
2.4.6(2 p + 2)(2p + 4)(2 p + 6)
C°
2.4.6.8(2p + 2)(2p + 4)(2p + 6)(2p + 8)
9(2p + 9)
Luego la solución Yx(x ) queda expresado así
n w - f
n=0
^n=0
12n
nirn-UlVn-OVn-U
2 .n
!(/74 l)(p 4 2)(/7 4 3)...(p 4 n)
donde cn es una constante arbitraria. En particular tomamos cn = — — ------
2r r ( p 4 l )
anterior se transforma en la siguiente solución particular.
»
la solución
460
Eduardo Espinoza Ramos
YAx)
-I
_________________ M T __________________ x 2„+p
22n+p.n!(p + 1)(p + 2)(p + 3)...( p + n ) U p +1)
En forma simplificada queda en la forma:
Y. ( j c ) = ^
1
-----------------------( £ ) 2 « + p
^ r ( / 7 + l).r(n + p + l) 2
n=0
La cual se denomina “Función de Bessel de orden P de primer tipo, y denotaremos por
oo
J (x ) , es decir:
p
Observación:
J
(x) = \ ' ----------- ^-----------(—)2n+p
p
j L ¿ r ( n + l ) . n n + p + \) 2
n=0
t
Como casos particulares
oo
(l)
Si r = p = 0 se tiene J 0(x) = ^
(^ )2n
„=o <» !>
od
(? )
Si r = m = entero no negativo, nos queda:
J m (jc ) = ^
— ——------ ( £ ) 2 n+m
n L.(/i + /n)! 2
ahora calculamos la segunda solución F2(jc), en este caso debemos tener cuidado en la
solución Y2( x ) , para dar la solución general de la ecuación de BESSEL.
Io caso. Si rx - r 2 = 2 p * de un entero y P > 0 entonces estamos en la parte a) del
teorema anterior por lo tanto una segunda solución se obtiene sustituyendo P por
J
-P es decir:
( a ^ ^ V * ------------- ^------------(—)2n p
p
¿ w r ( n + l).r(n-/7 + l) 2
n-0
Luego la solución general de la ecuación de BESSEL de orden P es:
Y(x) = c xJ p (x) + c 2J _ p {x)
2° caso. Si r, = r2 =/? = 0 se observa que J p (x) y J . p {x) son iguales.
3o caso. Cuando r, - r 2 - 2 p
, donde Y ( jc)
F
'
Y = c xJ p (x) + c 2J p (x)
J 2 (jc)
es:
es un entero y P es un entero. La segunda solución es
= /_
( jc)
=
e o s Pk J ( x ) - J _ A x )
------------------- , y la solución general
sen P k
Resolución p o r Series de Potencias
Nota:
461
eos P n J A x ) - J _ A x )
A la función Yn(:c) = ----------------------------- se denomina funciones de Bessel
p
sen Pn
de segundo tipo.
Ejemplo:
Hallar la solución general de la ecuación
, í/2v
dv
*» 1
x — —+ x — + ( j c — )>, = 0 en 0 < x < oo.
dx"
dx
4
Solución
Identificamos que
P 2 - — =>
4
p = —
2
p = - i2
Luego la solucióngeneral de la ecuación diferencial es:
Ejemplo:
K(*) = c¡J ± (x) +c2J j (x )
2
~2
■>d 2y
dy
jc“ — —+ x — + (jr - 9) v = 0
dx"
dx
Hallar la solución general de la ecuación
Solución
identificamos que P 2 = 9 de donde P = 3; la solución general es:
f U ) = c 1y 3 U ) + c 2 K3 U )
2 d 2y
dv
Ejemplo: Resolver la ecuación diferencial 4x — —+ 4* — + (;c -4 )y = 0
dx2
dx
Solución
Lo transformamos a una ecuación de Bessel mediante la sustitución u = 4 x => x= u 2
mediante la regla de la cadena se tiene:
dy_^dy_ ( du_) = _}_ ( dy.
dx du dx
2u dy
d 2y = d ( dy.
dx2
dx dx
d dy du_
du dx dx
d 2v
d \ dy
1
—
dx~T = T"
du <T2u (■du/» • T2u" =
1 dy
l d 2y
1
T" du u T“
2uT 1^du + 2u
2u
t
d 2y _
dx2
1 _ dy |
4w3 du
1 d 2y
4u 2 du2
462
Eduardo Espinoza Ramos
ahora reemplazamos en la ecuación diferencial
4«4 ( - L (^ H r)
4u2 d u 2
du
K (— )) + 4u2. 4 - ( — ) + (u2 - 4 ) y = 0
2 u du
4u3 du
du
2 d y
dy
2
u — -* + u — + (u - 4)y = 0 es la ecuación de Bessel de orden 2
du
du
Ahora identificando P = 4 de donde P = 2
Luego la solución general de la ecuación es:
Y(u) = c íJ 2(u) + c2J 2 (u )
Y(x) = clJ 2('Jx) + c2J 2(-Jx)
ECUACIÓN PARAMÉTRICA DE BESSEL.-
La ecuación diferencial de la forma:
se denomina “Ecuación paramétrica de Bessel” y la solución general es dado por
Y (*) = c, J (Xx) + c 2y . (Xx)
Ejemplo: Resolver la ecuación diferencial,
x 2 — y +' x ^^- + (9x¿ - 4 ) y = 0
dx2
dx
Solución
Identificamos que X2 = 9 y P 2 = 4 de donde X = 3, P = 2.
Luego la solución general es:
Ejemplo:
Y(x) = c^J 1O x ) Jt c 2Y1{3x)
Resolver la ecuación diferencial
x
2d y ,
dx
Solución
1
dy
+ x — + (4x — )y = 0
dx
9
463
Resolución p o r Series de Potencias
Identificamos que
=4 y P
2
1
1
= — de donde X = 2, P = —
M
9
3
Y(x) = c, J, (2jt) + c2>'r|(2x)
Luego la solución general es:
3
3
A la ecuación diferencial de la forma:
se denomina Ecuación de Legendre de orden n.
93.3.1 SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE LEG ENDREComo
jc0
= 0 , es un punto ordinario de la ecuación de Legendre
entonces admite una solución en serie de potencia Y (x ) = ^ * ckx k ,
o*
QO
derivadas son
dy
dx
de donde sus
h x k-i
kct
y
*=1
«y
dx
*-2
ahora reemplazamos en la ecuación diferencial
oo
— 1 ) c a jc* 2 — 2 a ^ ^
kck x k
'+ n (n
c¡.x = 0
+ l)
k~2
oo
oo
oo
- l ) c ¿a.*-2 A=2
- l)c¿ x k -
2kck x k +
*=i
k=2
oo
n(/7 + l)c¿ x k = 0
A=0
poniendo las x en un mismo exponente.
oo
oo
£ ( * + l X * - l ) c t+2Jr* - ^ k ( k - l ) c kx k - ^ 2 k c í X k + I n(n+l)ckx k = 0
*=0
*=2
464
Eduardo Espinoza Ramos
poniendo los inicios iguales se tiene.
oo
oo
[(£ + l)(k + 2)ck+2 +M(rt + l)c* ]xk - ^ ^ k ( k - l ) c kx k - i
k-()
2 kck x k = 0
k =1
k=2
2 c2 + n(« + l)c0 + (6c3 + n(n + l)c, );t - 2cjX +
oo
oo
[(k + l)(k + 2)ck+2 + n(rt + l)c*]x* -
+
k -2
oo
2kckx k = 0
-l)c¿jr*
k=2
k~2
2 c2 +n(/i + l)cQ+ (6c3 +[n(n + 1)-2]Cj)jc +
+ £ ((A: + 1)(¿ + 2)c¿+2 + trt(n + ! ) - * ( £ + l)]cA)jc* = 0
*=2
ahora aplicamos el método de los coeficientes indeterminados
2 c 2 + n ( / i + l) c 0 = 0
6c3 + (n (/i + l ) - 2 ) c 1 = 0
(k + 1XA: + 2 ) c fc+2 + ( n ( w + 1 ) “ k{k + l)c ¿ = 0
. , ,
de donde se tiene que:
w(n + l)
«(* + 1)
c2 = ------- — c0 = -------—— c0 ,
/i(n + l ) - 2
:
ci “
c3 ~
_
Ck+2 ~
(n + 2)(/i -1 )
r:
3!
n (/i + l)-A :(A :+ 1 )
(* + !)(*+ 2)
_
°k ~
c , - (" : f f i + h l).c
k+2
(k + l)(k + 2)
c
\
( n - A : ) ( n + A: + l )
(* + !)(*+ 2)
Ck
vk^2
*
es la fórmula de recurrencia.
Par.
1c = 2,
J 4
. 3)
3.4
(« ^ X» * ÍM » *
2
4! .
3)
0
Resolución p o r Seríes de Potencias
(n - 3)(w + 4)
(n - 3 )(n - l)(n + 2 )(« + 4)
= ---------------------c, = -----------------------------------q
5
4.5
3
5!
1
k = 3,
.
.
k = 4,
.
_
k = 5,
465
(/;-4)(/7 + 5)
(n - 4 ) ( « - 2 ) « ( /i + 3)(w + 5)
--------------------cA = ---------------------------------------Ci,
5.6
4
6!
c,
6
c7 =
7
(n-5X «+6)
6.7
(h—5X«—3Xh-1X w+ 2Xh+4X w+6)
c\ = ------------------------------------------------c'i
5
7!
1
etc., así, por lo menos para ¡ x | < 1 se obtiene dos soluciones en series de potencia
linealmente independiente.
n(n + l) ,
(n-2)n(w + l)ín + 3) 4
(/i -4 X w-2 )« (/ i +3X w+5) 6
r,(.v) = Co
— X C0 + -------------X c0 ----------------------.V cn + . . .
(/¡-l)(« + 2 ) 3
(« —3)(n—l)(n+2)(n+4) ,
jr q
Y2( a ) = q x ------------------ r c j +
3!
5!
(n —5)(n —3)(« —\)(n + 2X« + 4)(/t + 6) 7
x q +
7!
v>,U)
/ , = c0[ol
+
—
(/i-2
)«
l«
+
lXn
+
3)
4
(n
-4
)(/í-2
)«
(n
+
3)(/i
+
5)
6
x r + --------x ---------------------a- +...]
v , ,
r ( ii —l)(n + 2) 3 ( /í- 3 ) ( n - l) ( n + 2)(/7 + 4) ,
>^(.r) = q[jc------------------- x + ---------------------------------- r 3!
5!
(« - 5){n - 3)(/i - l)(/i + 2)(n + 4)(n + 6) x 7 + _ ]
7!
Luego la solución general de la ecuación de Legendre es:
Y(x) = a {Y{(x) + a 2Y2 (x)
observemos que si n es un entero par, la primera serie termina, y la segunda Y2 ( a ) es una
serie infinita en forma similar cuando n es un entero impar la serie Y2 ( a ) termina con
a",
es decir,
Legendre.
que se obtiene una solución polinomial de grado n de la ecuación de
466
Eduardo Espinoza Ramos
En la solución de la ecuación de Legendre se acostumbra a elegir valores específicos para
c0 y c, dependiendo si n es entero positivo par ó impar respectivamente, para n = 0,
elegimos c0 = 1, y para n = 2, 4, 6 ,..., c0 =
n = 1 elegimos c { = 1 , y para n =3,5,7,...,
—11 f en tanto que para
2.4.6.. .n
—
= (-1 ) 2
13 n
L-1 ------ por ejemplo para
2 .4 .6 ...(n -l)
n = 4 se tiene.
4
i */ , i i \ ^ 1.3
«y-» ^ 35 4,
3
y,(^r) = (—l) 2 — ( l- 1 0 j r + — a ) =
1
2.4
3
8
30 2 35 4 1. a» 4
^
Afc + — a4 = - ( 3 5 * - 3 0 * “ +3
8
8
8
9.3,3.2 POLINOMIOS P E LEGENDRE.A las soluciones polinomiales especificas de grado n de la ecuación de Legendre se
denominan “Polinomios de Legendre” y denotaremos Pn(x) con las series obtenidas
para J'j(.v), L2(a) y los valores dadas para c0 y c , , encontramos que, los primeros
polinomios de Legendre son:
AoU) = l
,
P\ (a) = x
/>,(*) = - ( 3a:2 -1 )
2
,
P, (a) = —(5,í2 - 3x)
2
PA(x) = - (3 5.v4 - 30a:2 + 3)
8
,
P ¿ x) = - (63.t5 - 70.v3 +15*)
8
Observemos que P0 (a), Px(a), P2( x ), P3(a),... son a su vez soluciones particulares de las
ecuaciones diferenciales.
n = 0,
d~ v
dv
( I - a2) — f - 2 x - ^ = 0
dx2
dx
n = 1,
(1-
at2)-^—
dx2
+2y = 0
dx
467
Resolución p o r Series de Potencias
n = 2.
(1- a-2 ) ^ - 2 . v^ + 6>- = 0
dx
dx
n = 3,
(1- a-2) ^ - ^ - 2 a. — + 12y = 0
dx'
dx
i
El polinomio general de Legendre se expresa en forma general por:
\n/2)
,
P(rt =_L V
2"
k~0
-2*)!
,,-2í
k\(n -k)\(n -2 k)í
donde [n ] es el mayor entero menor ó igual a ~
EJERCICIOS PROPUESTOS..
I.
Resuelva cada ecuación diferencial mediante series de potencias de la forma
oo
n-0
©
©
©
dx
{\ + x ) - - 2 v - 0
dx
'
— +xi v = 0
dx
dy
2) ’ + v = 0
dx
©
(x
®
dy
x— + v= 0
dx '
11.
©
©
dy
(l-A)-f-V = 0
dx
©
dy
( 2 x - \ ) - j - + 2y = 0
dx
©
dy
(1+A*) — - n y = 0
dx
©
dv
2( a*—1) —
f—= 3 y
dx
x3 — = 2y
dx
Resolver cada ecuación diferencial por medio de las series de potencias.
(2x
d 2v
1) ;
dx~
3
dy
dx
=0
©
, d 2y ^ dy ^
(1 ~ x~ ) — '——2x-~- + 2y
dx"
dx
0
Eduardo Espinoza Ram os
468
®
®
®
©
III.
-f-y = o
dx
®
■ ,¡L l+± , n
dx*
©
2 .d
( l + -v2 )
®
d 2v
T +xy = °
d x'
d 2v
d V
y dv
„
— r- + a — + 2 a y =
¿v2
+ x— - v = 0
dx
—
d 'y
2 dy
— - - jc
dx
dx'
0
'
dt
d\
dx
dx‘
í/2 v
dy
— - +x — + v = 0
dx2
dx •
y
3 xv = 0
Encuentre en cada ecuación diferencial dos soluciones en series de potencias entorno al
punto ordinario x = 0 que sean linealmente independiente.
®
(x2 - l ) y " + 4 A y '+ 2 y = 0
®
( x 2 + l ) y " + 6jry' + 4 y = 0
©
(a
®
( 2 - A 2 ) y " - J c y ’+ 1 6 y
®
v" + .w
•*
9 '+ 2v
9 = 0
©
y"+2xy' + 4y
©
y
©
=0
®
(jc 2 - 3 ) y " + 2 j c y '
©
( a - 2 - l ) y ” + 8jcy’ + 1 2 y
=0
©
(a
+ 3 ) y " - 7 jc y ' + 16y
=0
©
y , , - A 2y'-3A>-
©
(a
2
- 4 ) y ” + 3 A y '+ y = 0
©
(a
2
+ 2 ) y " + 4;cy' + 2 y
©
3 y ' , + Ay, - 4 y
5y"-2xy+10>* = 0
©
y " = Ay
©
y " - x v ' + 2y = 0
®
y " + A2 y '
©
(x2 + 2 )y ” + 3 A y -y
©
(.V2 + l ) y " - 6 y = 0
2
-l)y " -6 jty '+ 1 2 y = 0
=0
=0
+ x y ’+ ^ O
=0
(a
2
2
=0
=0
+ Ay = 0
—l ) y " + Ay'—y
*
®
y ,,- ( A + l ) y ,- y = 0
=0
=0
469
Resolución p o r Seríes de Potencias
0
y ” -A y '-(A + 2 )y = 0
0
( . r + 2 ) y " + x y ’- y = 0
0
v " + (I + A + A 2 ) y = 0
0
( l- x ) y " + ( 2 + x ) y '- 2 y
0
(1 + j c ) y ” + 2 v ' - y = 0
0
( l - x 2 ) y " - 2 j c y ’+2_v = 1
0
-Yy"*
@
(l +
0
( 2 . v : - 3a- + 1 ) y M+ 2 . \ y ' - 2 y = 0
0
y " - ( l + .v)y = 0
0
(x1
0
y "+ 2 x y ' + 2y = 0
IV.
y '+ x y
= 0
( 2 x - l) y " - 3 .v y '= 0
+ l ) 2 y " - 4 x ( x 2 + l)y ' + (6;t2 - 2 ) y = 0
0
( x —l ) y " +
y '= 0
M e d ia n te series d e p o te n c ia s re s u e lv a los p r o b le m a s c o n c o n d ic io n e s iniciales.
2 x y '- 2 y
y ' (0)
©
(1 + .v2 ) v " +
©
U + l ) y " - ( 2 - x ) y ’ + >' = 0 ,
©
y"+4y = 0,
©
v " - 2 y '+ y = 0 ,
y (0 ) = 0.
y '(0 ) = l
©
y” + v '- 2 y = 0 ,
y (0 )= l.
> '(0 ) = - 2
©
y " + x y '- 2 y = 0 ,
y (0 )= l,
y '(0 ) = 0
©
x 2 )y " + jty '-y = 0
(x 2
= 0 , y(0) = 0,
y(0) = 0,
y (0 ) = 2.
= i
y '(0 ) = - l
y '(0 ) = 3
+ 6 j c ) y " + ( 3 j r + 2 ) y ' - 3 y = 0 , y ( - 3 ) = 0 , y ' ( - 3 ) = ■2
©
y" + ( x - l) y '+ y = 0 .
©
y " - 2 x y ' + 8y = 0 ,
y ( l ) = 2, y '( l) = 0
y (0 ) = 3,
y'
(0) = 0
%
2xy' =
@
(x 2 +1)y " +
0 , y(0) = 0, y '(0 ) = r
©
( 2 x —x 2 ) v " - 6 ( x - l ) y ' —4 y = 0 , y ( l ) = 0 . y ' ( l ) = 1
470
Eduardo Espinoza Ramos
©
(jt2 - 6 * + 1 0 ) / ’- 6 ( . r - l ) / - 4 y = 0 , y ( l) = 0, y '(l) = l
©
y" -
©
(4 jc2 +16A + 1 7 )v " = 8 y , y(-¿) = 1, y '( - 2 ) = O
a tv ' +
y - 1= 0 ,
y(0)
=
y'(0)
0
=
X
Resuelva las siguientes ecuaciones mediante series de potencias.
y ' + (senof)y = 0
©
®
c o s ;t .v M+ y = 0, 1
7
■'
•I
\í\"
i
y y M- x y = 1
®
*r. M
jrv” + s e n x y * + xy = 0
f
-
ll
o
<\
+*
1
V.
H
K
<
•
®
y'' + e x y ' - y = 0
©
A y " + (sen
®
y " -4 A y '-4 y - e x
a )£
= 0
* R esu elva las siguientes ecuaciones aplicando el método de F R O B E N I U S .
&
l x y " + ( l - 2 . í 2 ) y ,-4 jc y = 0
®
jr v " -y '+ 4 A 2y = 0
9•
©
0
xy" + 2 y '+ 9 x y = 0
A y " + y ' + A(l + A )y = 0
9Ay” + 9 y ’ + Ay = 0
JCV"+— y ’+ — v = 0
2
4'
©
®
x>’" + y' + 4jry = 0
®
xy"+ 2 y'-A x y = 0
®
2 x y " - y ' + 2y = 0
©
3 A y " + (2 -A )y '-y = 0
©
A2 y ”+ A ( A - i ) y ' + i y = 0
%
)
2 a ( 1 - 2 A ) y M+ ( 4 a 2 + l ) y ’ - ( 2 a + l ) y = 0
®
Ay" + 2 y ’ + Ay = 0
®
2 a •v " + 5 ¥
v ' + xv = 0
®
A2y" + A ( A -l) y '+ y = 0
®
4 x y " + 8y' + jcy = 0
©
3A2 y " + 2 A y ' + A 2y = 0
a
2 y " + (1 + 3A)Ay’ - (1 + 6 A )y = 0
471
Resolución p o r Series de Potencias
2A y" +
@
(A
+ l ) y '+ y
= 0
@
2 a 2 y " + xy' -
(1 + 2 . v 2 ) v = 0
2 a 2y
(3 -
2a
®
2 )y = 0
®
5 a) y = 0
®
2A '2 y " + 3 y y ’4 -(2 A — l ) v = 0
®
2 A 2 y " + A U
®
'
©
(1 -
3a
A 2 y ’' + (2 A + 3 A 2 ) y ' - 2 y
2a(1
0
-
®
+ l)y '-(2 A - + l)y =
.v2 v ’' + a (1 + x ) y ' -
A ) y " ■+ ( 1 -
2a ) y '
a ) v ’-
(1 + a
2 a v ' 1+
(1 -
A 3 (A -
l ) v ' ' ■+ ( A -
+ 6
a
0
2 )y =
0
= 0
+ (2 +
)y
a) y
= 0
l ) v ’+ 4 a t = 0
A 2 y " -2 .x y ' + 4 (A 4 — l)y = 0
x 2 y " + ( x 2 - 3 x ) y ' + 4 y
®
VII.
= 0
3 v =
«•
6 x z y " + l x y ' - ( x 2 + 2 ) y
2 x 2y " + 3 x y '-
2
v ' ' + 3 A y ' + (1 +
a
=
0
0
( x 2 + l ) v
A ( A - 2 ) y " + y ' - 2 y
0
= 0
= 0
3
©
a
0
4 A 2 y " - 4 A y ' + ( 3 - 4 A 2 )y = 0
0
A 2 y " - A y ' + (A Í + l)y = 0
= 0
( 2 a 2 + 5 A 3 ) v " + ( 3 A - A 2 ) y ’- ( l + A )y = 0
®
2a 2 y ''+ 7 a (1+ A )y' -
2 A y " - ( 3 + 2 A ) y '+ y =
= 0
2 .t2 y " + ( - 7 + 2 x )x y ' + (7 -
®
®
®
2 a 2 _v " - a > ’’ + ( a 2 + l ) v
®
= 0
2 x y " + ( l - 2 x 2 ) y ' - 4 x y = 0
3 x y " + 2 y '+ 2 _ v = 0
" + A y’-
2 A y " + 3 y ’- y
+ a
)y = 0
A ( A - 2 ) 2 y " - 2 ( A - 2 ) y ' + 2 y
®
A 2 y " + (2 A 2 - 3 A ) y ' + 3 y = 0
0
2A 3 v " - A ( 2 - 5 A ) y '+ y
0
9 a ( 1 - a ) v " — 1 2 y ’+ 4 y
®
0
= 0
2 A 2 y " - A ( A - l ) y ’- y
a
(1 - A ) y " - 3 y ' + 2 y
= 0
= 0
=
0
= 0
M e d ia n te series d e p o te n c ia s e n c u e n tre la s o lu c ió n g e n e ra l d e la e c u a c ió n d ife re n c ia l
dada» e n 0 <
x <
oo
(B essel)
472
Eduardo Espinoza Ram os
,
a 2 v "+ - W '+
©
x2
——)y = 0
9
V " + X V '+ (.v2 - - )
4
V = 0
A v " + y ' + Ay = 0
©
x 2y
©
"+
xy'+
( 4 a 2 -
i ) y
= 0
4 A 2 y " + 4 A y ,+ (4 A 2 - 2 5 ) y
©
©
( jc2
T
,
x 2y " + xy' + ( 9 x 2 -
4 ) y
©
x 2 y " + x V + ( x 2 - l ) y
©
a
©
4 ( A
©
=
0
@
= 0
©
2 y "+ A y '+ ( a 2 ” — )>’ = 0
y ’) + ( - í - - ) y
dx
x 2v
A y " - y ’+ 3 6 A 3 y = 0
®
2 A 2 y " + 3Ay’- 2 ( 4 - A 5 )y = 0
©
A 2 _v" + 3 A y ’ + ( l + A 2 ) y = 0
©
3 6 a 2 y ' ' + 6 0 Ay' + ( 9 a 3 -
©
= 0
x
”+ A y ' + ( 3 6 a 2 -
—) y = 0
4
1 6 x 2 y M+ 1 6 x y ’+ ( 1 6 x 2 - l ) y
= 0
•
a v ' ' + 3 y ’+
xy
A 2 y ,,-5 A y ' +
©
= 0
= 0
(8 +
A )v = 0
4 a 2 y " - 1 2 A y ' + ( 1 5 + 16 a ) y = 0
1 6 A 2 y " + 2 4 A y ,+ (l + 4 4 A 3 ) y = 0
5 )y = 0
©
x 2y " + x y '+ x 2 y = 0
VIII.
©
C o m p ro b a r
q u e
la
solución particular
©
C o m p ro b a r
q u e
la
e cu ac ió n
y =
diferencial
x y " + (l-- 2 « ) y ' + x y = 0 ,
x
>
0,
tiene
x ” J „ (x )
ec u ac ió n
diferencial
x } ’” + ( l + 2 / z ) / + x y
=
0,
x
>
0,
tiene
solución particular y = x~nJ „ (x)
(^
Comprobar que la ecuación diferencial x2y" +(A2x2 - v2 + —) , y = 0, x > 0 , tiene la
solución particular y = J x J v (A x), X > 0.
473
Ecuaciones en Diferencias
CAPITULO X
10.
ECUACIONES EN DIFERENCIAS.Suponiendo que y = f(x) es una función definida para valores enteros de x, o sea
x = 0,1,2,3,... y para el estudio de las ecuaciones en diferencias, a la función y = f(x)
denotaremos por: y ,
El cambio en y cuando x varia de x a x + 1, es:
la primera diferencia de y x y que
expresamos así:
se observa que Ay, es también función de x.
A es un operador que proporciona la regla para evaluar y x .
9
Las diferencias de orden superior se obtiene como diferencias de diferencias aplicando el
operador A.
t
La primera diferencia de yx , es:
Ay, = y , ^ - y ,
La segunda diferencia de y , es:
Ay \ = A(Ay,) = A (y,+1 - y ,) = Ay,+1 - Ay,
=(Xr+2 - x*+i) - (yx+1 -yx) =y*+2 -
2yx+¡ +yx
La tercera diferencia de y , es:
Ay* = A(Ay*) = A (y ,+2 - 2 y ,+1 + y ,) = Ay,+2 - 2Ay,+1 + Ay,
=( y x*3 -
yx*i ) - 2(y*+2- yx+t )+(y*+i - yx )
Eduardo Espinoza Ramos
474
= 3 ^ 3 -3 ^ 2 + 3 )^ !-y
La k-esima diferencia de y
k
A * ,.- 4 , A » , . , =
es
k\
. , (* -0
1= 1
Una ecuación en diferencias es una ecuación que relaciona varios términos de una
sucesión y0»
Ejem plos.- Son ecuaciones en diferencias las siguientes ecuaciones dadas
®
v,+3 - 4 ^ +2 + y * + \ ~ 6 y x = x
©
yx+2 + 4 >’x+l - COS X . y x = 0
2
El orden de una ecuación en diferencias es la diferencia entre el índice mayor y el índice
menor que aparece en la ecuación.
Ejem plo.-
Indicar el orden de las siguientes ecuaciones en diferencias.
y x+2 ~ 7 y x+\ + 5yx = 3* , es de orden 2
©
3yx+2 + ^^jc+i = 2jc , es de orden 1
Una ecuación en diferencias se dice que es lineal si es expresado en la forma:
fln
+ ú n - l ( * ) 3 W l + - + fli(*b'x+1 + a Q W y * ~ R(-x ’>
en donde aXi, a ^ . . . tan y R son funciones solo de x, definidas para x = 0,1,2....
- í 1)
475
Ecuaciones en Diferencias
La ecuación (1) es de gado n
Las siguientes ecuaciones son ecuaciones lineales en diferencias.
O
18yx+2 - 6 y* = 5jc , es de orden 2.
(D
8 ‘ y *+3 - 3 ' yx +2 + 9 ' > r+i + 2.'V = 3 . es de orden 3
a una ecuación en diferencias de orden n, puede escribirse como función implícita en la
forma.
r»
también puede expresarse como función de y y sus primeras n diferencias.
F ( A " y x ,A »'1y ,
10.4.
¿ V ,, y , ) = Q
^
SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES EN DIFERENCIAS
i
Una solución de una ecuación en diferencias es una funcional definida para enteros
positivos y que satisfacen a la ecuación en diferencias.
La solución general de una ecuación en diferencias de orden n es la que contiene n
constantes arbitrarios, una solución particular de una ecuación en ^diferencias se obtiene
de la solución general asignando valores particulares a las constantes arbitrarias de una
ecuación en diferencias que son determinados por medio de condiciones de frontera o
condiciones iniciales.
10.5.
EJERCICIOS DESARROLLADOS.-
v
Determine el orden de cada una de las siguientes ecuaciones lineales en diferencias.
a>
3y*+2 - 3.va.+| = 3*
solución
El orden de una ecuación en diferencias se obtiene de la diferencia del índice mayor
con el índice menor, es decir:
El orden es: (x + 2) - (x + 1) = l, es de orden 1.
476
Eduardo Espinoza Ram os
b> 8^+3- yx = 4
solución
El orden es: (x + 3) - x = 3, es de orden 3
«>
7y ^ i - 5y* = 5*
solución
El orden es: (x + 1) - x = i, es de orden 1
«*>
6 yx+2 - f y x = 5x
solución
El orden es: (x + 2) - x = 2, es de orden 2
x 2 + 2 x , evalué A2 y x
Si
solución
A2y x = A(Ay x ) = A(yx+I - y x ) = Ay x+{ - A y x
= ( y * 2 “ v.r+i ) - ( vt+, - y x ) = yx+2 - 2yx+, + yx
= [ ( x + 2)2 + 2(* + 2)] - 2[(jc + 1)2 + 2(jc +1)] + *2 + 2 x
- ( x 2 + 4x + 4 + 2a*+ 4) - 2(.v2 + 2jc +1 + 2jc + 2) + x 2 + 2 x
= (a~ + 6
=
a
+ 8 ) - 2 ( j c ‘ + 4 x + 3) + jc“ + 2 a
x 2 +6.V + 8-2.V 2 - 8 . X
- 6 + A:2
+2*
=
2
A2yx = 2
Si v = ex , determine A2y v
solución
Se conoce: A2yx = yx+2 - 2y x+1 + yx
= e**2 - 2ex+l + ex = e x (e2 - 2 e + \) = ex ( e - 1)2
Pruebe que yx = c ( + c2.2 x - jc, es una solución de yx+2- 3 y x+| + 2 yx = 1 y determine
una solución particular si y0 = 0 , y, = 3
477
Ecuaciones en Diferencias
solución
y«+2 - 3 ^ 1 + 2 ^ =[c, + c 22 t+2 —(x + 2)] —3[C| + c 22't+l - ( j r + l)] + 2(c, + c 2e x - x )
= c, + 2c22 r —a.. —2-3C[ -3 c 22~ x + l
+1
+ 3x+3+2cl
+2c22
-2
x
= 3c. + 3jc - 2 x + 3 - 2 + 3c7 2 x*[ - l e , ! * * ' =1
por lo tanto y = c, + c2 2X - x es solución de la ecuación diferencias
Como y x = c l + c 2 2* —a , y0 = 0 , y, = 3
0 —c* ^ c*
1 2
3 = c, + 2 c2 - 1
®
c —“ 4
de donde 1
por lo tanto
c2 = 4
y t = - 4 + 4.2* - a = 4(2* - 1 ) - a
C
V
y = -------- , es una solución de vt+1 = —^ — y obtenga una solución
1 + ex
''
1+ yx
Demuestre que
particular si y0 = - 4 .
solución
‘ T+I
y\
1 + >’jr
1+C(A +1)
... ( 1)
1 + C + CA
i + ex
_
\ \
- <
C
l + o\
2
)
1+C + CX
al comparar (1) y (2) se obtiene:
y x+] =
v*
1+v
como yn = - 4
0
por lo tanto
(?)
entonces se tiene:
—4
>’ =
* 1- 4 a
c
- 4 = ------
1+0
=> c = -4
4
4a - l
Demuestre que yx = c, + c 2x + c y 3X , es una solución de 3 jt+3 -6>-^+2+11>-x+i - 6 ^ = 0
y obtenga una solución particular si y0 = 1, y, = 1, y2 = —1 v
478
Eduardo Espinoza Ram os
solución
y x+3 = c , + c 2 .2Jr+3 + c 3.3x+3 = c , + 8c2 2* + 27c3.3
= -6 c ,
- 6 y x+1
- 6 c 2 .2x+ 2-
b
c
^
2
X
= -6 c , - 2 4 c 2.2A- 5 4 c 3.3
X+I
l l y x+, = 1 le, +1 lc2.2r+l + l l c 3.3A+I = llc , + 2 2 c 2.2r + 33c3.3
- 6 y x = —ÓC| —6c2.2JC—6c$.3x = - 6 ^ —6c2.2A—6c3.3
= 0 + 0 + 0=0
Luego
y x
= c , + c 2. 2 v + c3.3A es la ecuación en diferencias
Como yx = c, + c 2.2X + c3.3A, y0 = 1 - v, = 1, y 2 = -1
1 = c, + c 2 + c .
1 = c, + 2c2 + 3c3
Pruebe
c3 = - 1
que
y x = c \ + ^ 2 JC + c 3 * 2 + c 4 x 3 •
y x+4 - 4 v Jt+3 y, = 5 ,
y = 2.2X —— = 2x+i - 3 1-1
de donde c2 = 2
- l = c ,+ 4 c2 +9c3
©
=0
C,
6 ^ 2 -S y ^ i
y 2 = 9 , v3 = 7 .
+yx
=0
?x+4 = c i + c 2(-x + 4) + c3(;c + 4 r + c 4 (.v + 4)
4 c 2 (x + 3 ) - 4 c $ (x
+ 3)2 - 4 c 4(.r + 3)3
6yx+2 = 6 q + 6c2 ( jc+ 2) + 6c3 ( jc+ 2) + 6c4 ( jc+ 2)
“^ - v x+i
=
y x = q
+
“ 4<^>( ^
c 2 jc
+
c 3 jc2
+
+
1) “ 4c-, ( jc + 1)2 -
c 4 jc3
>>*+4 “ 4^+3 +6>xf2 - ^ x + l + X* = °
una
solución
de
y encuentre una solución particular si y 0 = l,
solución
- 4 y A.+3 = -4 c , -
es
4
c4
( jc + 1 ) 3
479
Ecuaciones en D iferencias
Luego y* = c{ + c 2x + r 3.v“ +c4x 4 , es solución de la ecuación en diferencias.
Como y x = c, + c2x + c^x2 + c4x 3 , y0 = 1, y, = 5 , y2 = 9 , y3 = 7
1- c i
5 c{ + c 2 + c3 + c4
9
c, + 2c2 + 4 c3 + 8 c 4
7
q + 3c2 + 9 c3 + 27
c, =1
c, = 2
de donde
c-, = 3
C
a
=
por lo tanto
yx
= 1 +2jc +3 j t
-
x 3
-1
Escriba cada una de las siguientes ecuaciones de diferencias en términos de valores de y
a)
Ayx
=10
solución
^
b)
= y,+1 - y, = io
A y . -3 A y
-5 = 0
solución
A‘y, = y,+2 - 2y^i + x
-3Ay = - 3 y +I + 3 y ^ , sumando
A 3 ',-3 A y jt- 5 = yJ+2- 5 y jC+] + 4 y , - 5 = 0
^ +2 “ 5 >’, +i + 4 > ' , - 5 = 0
C)
A y —4 y = 2
solución
A ^ = vx+2 - 2 y J+i + y
A>* = y*+i - >*
A y, - 4Ay, = y,+2-2y,+i +y, -4y,+i +4y, =2
•••
y , +2 - 2 y x+, - 3 y , = 2
480
Eduardo Espinoza Ramos
d)
A3_Vj, + 5Ayx = y x
solución
A3? = A(A2;y) = A(y x+2 - 2 y x+] + y x )
= (X.+3 - yx+2) - 2( ^ +2 - y ^ i ) + 2( ^ +i - yx )
= >’^ 3 - 3>’x+2 + 3 >’x+| - ^
A3vjr+5Avx = v,+3 - 3 ^ 2 + 3 ^ , - y , + 5 y ,+I -5.V , = yx
)’í+3 - 3>’x+2 + 8y ^ i - 7 )’Jt= 0
10.6.
ECUACIONES LINEALES EN DIFERENCIAS
ORDEN CON COEFICIENTES CONSTANTES.-
DE
PRIMER
Una ecuación en diferencias lineal y de prim er orden se expresa en la forma
a\yx+\ + a o>'j = b '
como a x * 0 , aQ * 0 , entonces se tiene:
x = 0 , 1,2,3.....
y x4.x =
a
yx +
a
yx+] = A yx + B , por lo tanto la ecuación general lineal en diferencias de primer orden y
con coeficientes constantes es:
.(a)
La solución de esta ecuación se puede obtener por inducción
y = Ay0 + B
3^2 —
+ B —A(Ay^ + £?) + B —A^y$ + A B + B
y3 = ¿4^2 + B =
A^Á^y^
+ A B + B )+ B =
B
+AB +B
481
Ecuaciones en Diferencias
yA = Ay3 + B = A(Ai y0 + A 2B + AB + B ) + B = AAy0 + A 2B + A 2B + AB + B
yx = Axy0 + A'~'B + A x~2B + A X~3B + A X~4B + ...+ AB + B
= Ax y0 + B(l + A + A 2 + A 2 +...+ Ax~])
+vx = A vy0 + B (
1~ A X
1- A
) , por lo tanto la solución de la ecuación (a ) es:
para A * l , x = 0,1,2,..., es yx = A x y0 + B(
1- A *
1- A
)
para A = l , x = 0,1,2,..., es y x = y0 + Bx
como se puede observar esta solución obtenida por inducción, satisface a la ecuación
y*+i = A y x + B .
En efecto:
Para A * l ;
y ,+I = Avx + £ = A(Ax yQ+B(
=
.jt+i
1 - A*
1- A
)) + B
„ A - A X+'
„
.*+i
n A - A x+' + l - A s
y0 +
) + B = A**' yQ+ B{--------— -------- )
1—A
1—A
1—Ax+*
= A x*ly 0 + B (— — )
1 -A
para A = 1; y t+1 = y x + B = (y0 + B x) + B = y 0 + B (x + 1)
En el análisis de datos de Administración y Economía en la ecuación y x+l ~ A yx + B se
presenta tres casos especiales.
Ira. La diferencias de primer orden es una constante y t+1 - y x ~ B y
y*
=yo+Bx
la solución es
482
Eduardo Espinoza Ramos
2do. La diferencia de primer orden es proporcional a la variable y x+{ - y x = &yx+\ (caso
1
1 ,
especial A = ------- , B = 0) y la solución es v = (------ ) y0 .
1 -a
'
1- a
3er. La diferencia de primer orden es función lineal de la variable.
y x+1- y x = a v +l + P
(caso especial
A = — — , B = — — ) y la solución es:
1 -a
1- a
v , = ( r L )Jcy0 + - [ ( r L - ) Jr- i ]
1 -a
a 1 -a
Ejem plo.- Resolver cada una de las siguientes ecuaciones en diferencias.
©
3yx+1 = 2 y x + 3
solución
A la ecuación dada expresaremos así:
2
2
y x+{ = —y x + 1 , de donde A = — , B = l
2
1—A x
como A = —* 1, la solución es y r = A* yn + B{
)
3
Jx
1 -A
2
que al reemplazar A = — y B = 1 se obtiene:
yx
l - ( —)x
n
% + » ( — y -) = ( | ) x % + 3(i - ( | ) ' )
1_3
y , = ( | ) ' ( y 0 - 3) + 3
©
= ( |) * ( y 0 - 3) + 3
yx+i + yJt - 2 = 0
Solución
Como y x+1 = —yx + 2 , de donde A = -1, B = 2
como A = -1 * 1, la solución es y x = A x y0 + B(
•»
1—A x
1—A
)
*
483
Ecuaciones en D iferencias
que al reemplazar A = 1 y B = 1, se obtiene:
yJ = (-i)x(y0 - l ) + i
©
2 ^ , + y ,-3 = 0
Solución
A la ecuación dada escribiremos en la forma
1
1—A
com o A - — * 1, la solución es y x - A xyQ+ B(
)
2
1- A
1 - ( - —)*
y * = ( ~ \ ) x y0 + 1 (--------f — ) = ( ~ ) x % + 1 - ( - { ) '
1+2
••• y* =( - \ n y 0-n+'
@
y** + 3 y , = 0
Solución
Como y x+¡ = - 3 y * , de donde A = -3, B = 0
com o A = -3 * 1, la solución es: y x = A xy 0 + B(
1- A x
1 —A
)
••• y x = ( - i ) x yo
33*+i ~ ^ y x + 7 = 0 y encontrar una solución particular para y0 = 3
Solución
484
Eduardo Espinoza Ramos
A la ecuación dada escribiremos en la forma
7
7
y x + \ = y * - y de donde A = 1, * = "
7
como A = 1, la solución es y x = y0 + Bx de donde y x = >0 — x si > 0 = 3
.\
©
y x = 3 - —jc , la solución particular
3y x+1 “ 9 ^ + 8 = 0 y encontrar la solución particular para y0 = Solución
A la ecuación dada escribiremos en la forma:
yx+i = 3 ^ - | , de donde A = 3, B =
1—A*
como A = 3 * 1, la solución es: y x - A x v0 +7?(-------- )
1- A
g
al reemplazar A = 3, B = - -
se obtiene:
^ = 3 í > 'o - ^ ( 'Y ^ - ) = 3í y0 + j ( l - 3 Jt) de donde
+t
1
4
para y0 = — se tiene: y x = — 3X, es la solución particular.
3
3
10.7.
COMPORTAMIENTO DE LA SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN
EN DIFERENCIAS._____________________________________________
La solución de una ecuación en diferencias es una función definida para valores enteros
positivo de la variable independiente, por lo tanto la solución de una ecuación en
diferencias es una sucesión y cuando la variable independiente es el tiempo, a dicha
sucesión se llama a veces “Trayectoria de tiempo” de la variable dependiente.
485
Ecuaciones en Diferencias
Para el caso de una ecuación en diferencias lineal y de primer orden, la especificación de
v0 genera una sucesión de solución
— * donde ca<^a término se determina a
partir de la ecuación en diferencias y x+l = A y x + B , x = 0,1,2,.,.
O en forma equivalente, a partir de la solución.
y x ~ A xy 0 + B(
1—A x
1- A
) , para A * l , x = 0,1.2,...
y x = y Q+ B x y para A = l , x = 0,1,2,3...
El comportamiento de la sucesión que es una solución particular de una ecuación en
diferencias es de un interés muy importante en muchas aplicaciones, donde dicho
comportamiento depende de los valores de >*0 , A, B tal como se muestra en la tabla
siguiente.
‘'El Comportamiento de la solución de y x+l = A y x + B es"
a)
A*
1
.V() = y *
b)
A
1
y0
>
> >’ *
x = 1,2....
Comportamiento de la solución
Constante: y x
*
yx ,
yo
ll
B
*
Caso A
Diverge
y x > y*
=
en
y
*
+<*>
(M onótona
-©o
(M onótona
en
y*
(Monótona
en
y*'
(Monótona
en
y*
(Oscilatoria
decreciente)
> 1
y0 < y *
*
A
V
c)
Diverge
en
decreciente)
y0 > v*
Converge
*
0< A< 1
>>
A
d)
<
1
y„ < y *
f)
-1
<
A
<
0
Converge
creciente)
i
A
1
<
*
0
1i
e)
*
A
decreciente)
Converge
y0 * y *
Amortiguadora)
h)
A < -1
i)
A = 1
ca
j)
A= 1
B>0
= -1
y0 * y *
Diverge (Oscila finitamente)
y o * y*
Diverge (Oscila infinitamente)
y0
Diverge
en
+°©
(M onótona
en
-©©
(M onótona
o
ii
Constante y x =
A
A
o
II
g)
O
creciente)
k)
A
=
1
B <0
yx <yo
Diverge
decreciente)
486
Eduardo Espinoza Ramos
Mediante el siguiente teorema recurriremos los resultados de la presente tabla.
La ecuación en diferencias lineal y de primer orden y v+1 = A y x + B ,
T E O R E M A .-
x = 0,1,2,3 .., tiene la solución
y x = A * (y 0 - y * ) + y * si A * l , x = 0 ,l,2,3
=
+
donde y* =
si A = l , x = 0,1,2,3...
B
1 -A
si -1 < A < 1, la solución converge a y*; de lo contrario diverge, a no
ser que y , = y0 •
Ahora daremos un esquema de cada tipo de comportamiento en la figura siguiente.
a)
y
o
c)
1 2
3
4
5
6
Y “
y*
o 1 2 3 ^5
6 X
X
487
Ecuaciones en Diferencias
e)
O
1
2
3
4
5
6
X
O
3
4
5
6
h)
g) Y t
o
1 2
Xt
f)
1 2
3 4
5
6
X
1 2
3 4
5
1 2
3
5
j)
O
k)
Y
1
2
3
4
5
6
X
O
4
X
488
Eduardo Espinoza Ramos
Ejem plos.-
Resolver cada una de las siguientes ecuaciones en diferencias y determine el
comportamiento de la solución y calcule los primeros valores de la solución.
©
v ^ i - y , - 1 0 = 0 , Jo = 2
Solución
A la ecuación dada escribiremos en la forma:
>x+i = >?x +10 , de donde A = 1, B = 10
La solución es: y x = y0 + Bx - y0 +10* como y0 = 2 entonces y x = 2 + \0 x
Como A = 1, B = 10 > 0 del cuadro la parte (j) se tiene que diverge a +«> y es
monótona creciente y así mismo se tiene: x = 0. y0 = 2 ; x = 1, y\ = 12; x = 2,
y2 = 22 ; x = 3, y3 = 32 ; x = 4, y4 = 4 2 ; x = 5, y5 = 52
Solución
Como y x+1 = 7 ^ + 6 de donde A = 7, B = 6
t
Como A * 1 la solución es y x = A xy0 + B(
1- A x
1—A
)
De donde y x = V yQ + ^ i - ^ j - ) - ! 1 y0 - ( \ - l )
vv = l x ( vn + 1 )-1 = 2 .7 " - 1
0
del cuadro de la parte
c)
además v*= ^
'
1 -A
A = 7 > 1
y
= _ É_ = - i
1 -7
y()= l > y * = - l , entcfnces el
comportamiento de la solución diverge en +<» y es monótona creciente, así mismo se
tiene: y0 = 1, y, = 13 , y 2 = 9 7 ,
©
y3 = 685 , y4 = 2400
8 y v+, + 4 j x - 3 = 0 , y0 = i
'
Solución
489
Ecuaciones en Diferencias
A la ecuación dada escribiremos en la forma:
1
3 ^ ,1 1 4
1 D 3
y x+\ = - - y . ' + - ’ d ed o n d e A = - ~ , B = -
1
1 —A x
como A - — * 1, la solución y = A xy0 + B(
)
2
1 -A
1_ ( _ ! ) *
d ed o n d e yx = ( - ^ ) A)’0 + | ( -------f — ) = ( " ) * ^ o + ^ í 1- <—j ) x>
1+ 2
/
Kx,
1
1,
U*
1
B
«
1
y* = ------- = —2-r = — de acuerdo a la parte (f) del cuadro se tiene que -1 < A < 0,
1- A
l + J_ 4
2
y0 ^ y *
entonces el comportamiento de la solución Xr
converge en y* (oscilatoria amortiguada),
.
so lu c o n
1
1
5
7
así mismo se tiene los valores de la
17
,4= -
1
Solución
A la ecuación dada expresaremos en la forma
3
1
J
y r .. = —
yr + —
,
J+1 8 *
16
A
A
3
»
1
de donde
AA = —,
B
=—
8
16
3
1 —A x
como A = - * 1, la solución es: y x = A xy0 + B(
)
8
1 -A
de donde , , = ( í ) '
=
8
* es Que
<f>' *>
~<¡>*>
490
Eduardo Espinoza Ram os
1 =—
1
vA= A
( - *) /( v()— K ) + —
■A
8
0
10
10
10
ahora analicemos el comportamiento de la solución
y* = ■— - = ~~~zr = —
1- A
j_3
10
de la parte (a) del cuadro
A=-*l,
8
8
1
y, = —
*
©
10
es constante.
3 ^ |- 2 y ,- 3
= 0 ,
>>0=5
Solución
A la ecuación dada escribiremos en la forma:
2
1—A x
como A = —* 1 , la solución es y x = A xy0 + B(
)
3
1 -A
de donde y x = ( ^ ) ’t + ----------- = Á * +3(1 - A ) * )
_3
••• 3 ' , = ( |) Jr(v0 -3 ) + 3 = 2 ( | r + 3
ahora analicemos el comportamiento de la solución
B
1
y* = ------- = — —= 3 , de la parte (d) del cuadro 0 < A < 1
1—A . ^
1—
y0 = 5 > y* = 3 , converge en y* y es monótona decreciente
13
35
97
275
además se tiene: y0 = 5 , y i = ~ . ^ 2 “
’ y * = t f ' ^ " “g T
y0 = — = > * ,
0 10
491
Ecuaciones en Diferencias
©
3>',+1- 2 v ,
.vo = |
Solución
A la ecuación dada escribiremos en la forma
2
2
2
2
vr_, = — v r + —, de donde A = — , B = —
3
5
3
5
2
1— A x
como A = — * 1, la solución es: y , = A x vn + B(
)
3
x
1- A
2 ^ .. . - }
A .x .. .
de donde v t = ( - ) y0 + - ( —
)= (-r.v o V
3
5 i_ ±
3
/ 2 xJr
- (ln
ahora analizamos el comportamiento de la solución
B
v* = -— —=
6
^ = —, de la parte (e) del cuadro se tiene:
0 < A <
1_3
y0 = “ < “ = y * « la solución converge en y* = j y es monótona creciente.
©
Determine el orden de cada una de las siguientes ecuaciones lineales en diferencias.
3^+ 3 + 2 y ,+, + 5yx+l + l y x = 3
a)
5 ^ + 4 ^ 2 + y^, =4 ‘
b)
c>
yx+2 - y x+\ - 3 v , = i
d> y x+2 + y*+i = 4
«)
y « .2 + s y* = 4
R pta.
a)
Orden 3
b)
Orden 3
d)
Orden 1
e)
Orden 2
c)
Orden 2
1,
492
Eduardo Espinoza Ramos
Escriba cada una de las siguientes ecuaciones en diferencias en términos de valores de y
^3 ^
a)
Ayx = 7
b)
&2y + 2Ayx - 7 = 0
c)
A 2y x - 7 A y x = 3
d)
A >y x +7Ayx = y x
W
y x+i= - 3 y x
Resuelve cada una de las ecuaciones en diferencias
a)
c)
2 v<+1 = 3X.
d) yx+l - 2 y x = 3
e)
2yx+1 + 2 y x = 6
f) 5 y x+l + 4 y x = 14
g)
2 y , +1 = 4 ^ + 3
h) 3yx+1 = 3yx - 7
«)
6 y ^ i + 2yjr = 0
j) 3yJt+1- 9 y Jt + 8 = 0
R p ta.
1
yJt = y0( x ) '
2
y , = y Q(~3)x
c)
d) y x = - 3 + y0 2*
e) y , = | + y0( - l ) x
f)
g)
b) y x = y0 - ^ x
i)
a)
y ,= (y o + | ) 2 ' - |
b)
y x = y0¿ )
X
2
= ^ + y ° (- | ) JI
yx = (“
) 'y 0
j)
Resuelve cada una de las siguientes ecuaciones en diferencias y determine el
comportamiento de la solución y calcule los primeros valores de esta solución.
a)
3yJt+l- 2 y x - 6 = 0 , y0 = 4
c> y.v+1 + 4 y x + 12 = 0 , y0 = 6
e)
7 >’, +i + 2 y , - 7 = 0 , y0 = l
•
b)
4 y í+1- y x - 3 = 0 , y0 = i
d)
15yJ+I- l O y ^ - S s O , y0 =1
f)
2y/+ l- y x = 2 , y0 = 4
493
Ecuaciones en Diferencias
g)
vr+, = 3 ^ - 1, y0 = i
R p ta .
(?)
3 y x+l- 2 y x = ^ ,
h)
.V o = !
a)
2
y x = - 2 ( —)* + 6 , monótona creciente, converge a y* = 6
3
b)
yx =
c)
42
12
y x = — ( - 4 ) A— - , diverge, oscila de modo infinito.
3
5
d)
2 2
3
3
y x = —(—)x + —, monótona decreciente, converge a y* = —
3 3
3
3
+ *1 monótona creciente, converge a y* = 1
2
2
7
7
> oscilatoria amortiguada, converge a y* = ~
e)
yx =
f)
y x = 2(-^)JC+ 2 , monótona decreciente, converge a y* = 2
g)
1
y x = - , constante.
h)
y x = (—)x + —, monótona creciente, converge a y* = —
5 3
5
5
Resolver y determinar el comportamiento de cada ecuación.
a>
Xr+i+ 3yx + 1 = 0 , y0 = l
b)
y ,+l = y x - 1 , y0 = 5
c>
y*+i + y , + 2 = 0 . ,v0 = 3
d)
5yJC+1- y x - 6 0 = 0 , y0 = 15
e )
8
e )
4
g)
y
«
i
9 y x+i
+
y
*
+ 5y
-
4
=
°
.
> ’o
=
^
-18.= 0 , y0 = l
y
^
,
+
3
y
,
-
4
=
0
.
y
0
=
1
494
Eduardo Espinoza Ram os
R p ta. a)
4
monótona decreciente, converge a y* =
b)
y = 5-
c)
y x = 4 ( - l ) x - 1 , oscila finitamente y diverge
d)
y_ = 5 , constante
e)
1 1 4
y x = - —( - —)x
f)
3 3
4
4
y x = — 4 ^ + " ’ oscilatoria amortiguada, converge a y* = —
g)
10.9.
yx = (-3 )* (y 0 + —)
4
yx =
jc
4
, monótona decreciente y diverge a -oo
2
5
4
, oscilatoria amortiguada, converge a y* = —
9
9
’ oscilatoria amortiguada, converge a y* = y
APLICACIONES DE LAS ECUACIONES EN DIFERENCIAS EN
MODELOS ECONOMICAS.Estudiaremos algunos modelos económicos sencillos utilizando las ecuaciones en
diferencias de primer orden, entre los modelos económicos que estudiaremos tenemos: el
modelo de Harrod, el modelo general de Cobweb, un modelo de consumo y un modelo
del ingreso - consumo - inversión.
4
_
(T)
I
M O D E L O D E H A R R O D .Para el análisis del ingreso nacional, el presente modelo fue propuesto por Harrod.
»
5, = a y ,
y 0 = y 0 (valor conocido en t -
0)
a > 0 , j8 > 0
té
donde s es el ahorro, I es la inversión, y es el ingreso, y cada una de estas variables
es función del tiempo t. ^
Ecuaciones en Diferencias
495
De las tres primeras ecuaciones del modelo se obtiene la siguiente ecuación en
diferencias.
O
a -V/ = s ¡ = ¡t = P(y¡ - y,_i) , de donde
ay, - p y t = ~ P )U
=> yt =
como A = —- — * 1, la solución es y. = A* y0
P~a
o
y, = (~~~— Y yQ, de donde se obtiene: /, = sf = a y , =
n
— )f -vo
Suponiendo que y0 > 0 , el comportamiento de la solución depende del valor de la
constante —- — , pero como y representa el ingreso, y se supone que no es negativo
13-a
o
o
> 0 , pero por el modelo, a > 0, (i > 0, entonces ——— > 1
/i-a
r
r
r
/i-a
£
Como v* = ------- = 0 (por la parte b) se tiene que la solución ( v ,) es monótona
1 -A
creciente, diverge a +°°
N O TA .- Es un modelo clásico utilizando para estudiar el crecimiento del ingreso
nacional en una economía cn expansión.
©
M O D E L O G E N E R A L D E C O B W E B .El ajuste de la oferta y de la demanda se puede estudiar con el siguiente modelo.
Oferta :
qt = a + ¡i
D em ad a: p , = Y + 8 q t
... (1)
...(2 )
qQ = q0 (valor conocido en / = 0)
/i > 0 , S < 0
donde p es el precio, q es cantidad y ambas son funciones del tiempo.
La ecuación (1) reemplazamos en la ecuación (2)
pt = y + ¿ ^ , = Y + S { a + PPj- \ ) , ded o n d e
496
Eduardo Espinoza Ramos
p t = 8 / i p í_l + y + a ¿
d e d o n d e A = 5p y B = y + a 5
B
v + a5
P* = ---------- - - - - 1 -A
l-S fi
ahora reemplazamos (2) en (1) obteniéndose
qt = a + p ( y + 8 q t_}) , lo que es igual escribir
qt = p ó q !_] + a + /Jy de donde A = P5 y B = a + Py
q* =
B
cc + P y
1 -A
1- p »
q* =
a + Py
\-p 8
nos interesa ver el comportamiento de la solución en cada caso, como P > 0, 8 < 0
entonces P8 < 0 por lo tanto la solución es siempre oscilante.
El punto de equilibrio s: ( p *, q*) = ( ^
,y
Si -1 < P 5 < 0, las sucesiones {/?,}, (qt ) son amortiguadas y convergen a(p*,q*).
Si P5 = -1, la sucesión oscila de manera finita.
Si P 8 < - 1 , las sucesiones oscila de modo infinito.
Por lo tanto, el equilibrio es estable solo si -1 < P8 < 0
Q )
M O D E L O D E C O N SU M O .Es un modelo simple de consumo.
c,
+
j
# = y f
y, = a s t_i
ct =yyt
= yQ (valor conocido en t = 0)
a > 0 , 0 < y <1
donde c es el consumo, s el ahorro, y es el ingreso y cada una de estas variables es
función del tiempo t; y e s la propensión marginal al consumo
497
Ecuaciones en Diferencias
s,=—a
como y = a s r_x
y
c, =yy,
que al reemplazar en la primera ecuación
ry,+—a = y,
« y y, + y ,+1 = a y f
Y,+l = ct( 1 - y ) y t de donde A = a ( 1 -
y la solución es yt = a 1y0 + B(
com o
c,
=
y y,
además ct +
1- A 1
1- A
y ( a - a y ) ' ,v0
=
7),
B=0
) de donde
com o
c 0
=
y
>
’0
:
c ,= (a -a y )'c 0
s>=y,
=y
s, = ( a - ( X Y ) ' y 0 - r ( a - a y ) ' y 0 = ( \ - Y ) ( a - a y ) ' y 0
y como s0 = v0 - c0 =
como
0
<
7 < 1,
(1 -
y)y0 ;
a - a7 >
crecientes y divergen a
convergen a y* =
si a ( 1 @
7) < 1;
0,
si
s, = (a - a y ) ' s0
las sucesiones {y,}, {c,} y {sf } son monótonas
a ( l - y) >
0
y son constantes en y* =
0
1;
si a ( 1 -
son monótonas decrecientes y
7) = 1
M O D E L O D E IN G R E S O - C O N SU M O - IN V E R SIÓ N .El modelo de ingreso - consumo - inversión se considera cuando los cambios en el
tiempo ocurre periódica y no continuamente, en este el modelo puede ser planteado
en términos de ecuaciones en diferencias en la forma siguiente:
c, = a y , + l3
... (1)
i,=yy,+g
... ( 2 )
Ay,., =0[c,_,
... (3)
^0 = %
0 < a < l , 0<y<l , O<0<1
498
Eduardo Espinoza Ram os
como
Ay,_j = }’,
ent onces a la ecuación (3) escribiremos en la forma:
ahora reemplazamos (1) y (2) en (4)
y, = d l a y l_l + P + yy,_l + g ] + ( l - 0 ) y ,_ , = [0 (a + 0 ) + ( l - 0 ) ] y (_, + 0 ( P + g)
Luego la solución de esta ecuación en diferencias es:
l-[fl(g + r) + ( l- e ) ] f
y, = [ 0 ( a + /3) + ( l - 0 ) ] 'v o + 0(j3 + £ )
l - [ 0 ( a + y) + ( l - 0 ) ]
y es estable si -1 < 0 ( a + y) + (1 - 0) < 1
— < a + y + — 1<1
e
e
1
2
1 - —< a + v < l
e
'
como 0 < 0 < 1 y ot + y > 0 se verifica la desigualdad 1— < a + y , de donde la
9
condición de estabilidad es a + y < 1.
10.10. EJERCICIOS PROPUESTOS.I)
Encuentre la solución del modelo de Kahn
C
,
=
«>',-1
+
P
en donde c es consumo, y es
i
y, = c, + 1,
ingreso e I es inversión.
D
Resuelva el modelo siguiente de crecimiento de ingreso nacional en una economía en
y, = C, + I,
c, = a + Py,
expansión:
< y t+l - y, = y /,
>*o ~
« co —co ’ A) ~ 'o
a > 0 , 0</3 <1, y >0
inversión.
en donde y es el ingreso, c el consumo e I la
499
Ecuaciones en Diferencias
y ; = M, + vo
©
Resuelva el modelo siguiente de inventario simplificado de Metzler
u, = P . v ,
en
% = y0
0</ 3<l
donde y es el ingreso producido, y es el numero de unidades producidas para la venta (se
han seleccionado apropiadamente las unidades de medición), v0 es la constante de
inversión no inducida, y P es la proporción marginal a consumir de un año con respecto al
ingreso del año anterior.
Resuelva el modelo siguiente, determine el comportamiento de la solución para y, e /, y
establezca
algunas
restricciones
“lógicas”
adicionales
para
los
parámetros
i , = ay, + /3
i , = Y ( y , - y t- ,)
5, = SI,
en donde s es ahorro, y es ingreso e I es inversión.
>o = >o
a > 0 , / 3 > 0 , y > 0 , <5 > 0
10.11. ECUACIONES EN DIFERENCIAS LINEALES Y -D E SEGUNDO
ORDEN CON COEFICIENTES CONSTANTES.La ecuación en diferencias lineales, de segundo orden y con coeficientes constantes es
expresado en la forma:
yx+ i+ \ y x+i + A i y x = í W
... (*)
si g(x) = 0, la ecuación (*) toma la forma
...
(**)
La ecuación (**) se llama ecuación en diferencias lineales homogénea de segundo orden
de coeficientes
constantes.
4
4
* »•
Si g(x) * 0, la ecuación (*) se llama ecuación en diferencias lineales homogénea de
segundo orden de coeficientes constantes.
500
Eduardo Espinoza Ram os
Para obtener la solución de la ecuación (**) es decir:
y x+2 + A 3Vn + -A yx = 0
- (**)
se forma la ecuación auxiliar
donde las raíces puede ser reales diferentes, reales iguales, o bien numero complejos y la
solución de la ecuación (**) depende las raíces de m 2 + Axm + Á2 = 0
1ro. Si ml y m2 son las raíces reales y diferentes
* m 2)
La solución es:
2do. Si m, y m2 son reales e iguales
=m2 =m)
La solución es:
3ro. Si m} y in, son complejos (ra¡ = a + ¿?i, m 2 = a - b i , i = \ ¡ ^ \ )
La solución es: y - r*(c, e o s# x + c2s e n d x \ donde r = \ l a 2 + b 2 , 6 = a r c t g ( - )
-------------------------------------- 1
a
Ejem plos.©
Obtenga la solución general para cada una de las ecuaciones en diferencias
2 >*+2 —5 ^ , + 2 y x = 0
Solución
"S
Formamos la ecuación auxiliar: 2m - 5m + 2 = 0
Ahora calculamos sus raíces, para esto factorizamos
(2m - 1)(m - 2) = 0 de donde m, = —, m-, = 2
2
La solución general es: y x = cx(—)x + c2 (2)*
2
©
yx +2 + 2 ^ +i + y x = 0
Solución
501
Ecuaciones en Diferencias
Formamos la ecuación auxiliar: m 2 + 2m +1 = 0
Ahora calculamos sus raíces, para esto a la ecuación dada expresamos así:
(m + 1)2 = 0 de donde m = -1 es una raíz de multiplicad 2 y la solución general es
y x = c , ( - \ ) x + c 2x ( - l ) x
®
+ 4 ^ =0
Solución
Formando la ecuación auxiliar: 3m 2 - 6m + 4 = 0
?
1
^
1
de donde m - 2m +1 = — => ( t n - i y = —
3
3
>/3 . , , ,
i ^
*
m = 1 ± — i ; de donde m, = 1 + — i , nu = 1------- 1
3
3
3
i i
-
Luego la solución general es:
. - f
yx = ( j ) 2[c, e o s^ - + c2s e n ^ - ]
Halle la solución general para la ecuación en diferencias yJ+2 + 2yx = 0
solución particular para y0 = 1, y x - S
Solución
La ecuación auxiliar es: m 2 + 2 = 0 de donde m, = S i , m2 = - S i
¡2
tg 6 = — =
0
=> 0 = — , r = S
La solución general es:
2
y x - ( S ) xlcx e o s— + c2sen — ]
como y0 = 1 es decir x = 0, y = 1
y la
502
Eduardo Espinoza Ram os
l = c, + 0
de donde
n/
2 = 0 +
c2
V2
Luego la solución particular es:
y x = (y¡2)x[cos — + se n — ]
10.12. COMPORTAMIENTO DE LA SOLUCIÓN.El comportamiento de la solución particular de una ecuación diferencial depende de las
condiciones iniciales de las raíces de la ecuación auxiliar, es decir:
1ro. Si las raíces reales y diferentes
cuando \m l |> | ^
| => | — 1< 1 => -1 < — < 1
m
m
y la solución es y x = cxm * + c2m \
m
m
El comportamiento en el limite expresamos así:
Si
| m, |< 1,
la solución converge
Si
| mx |> 1, la solución diverge
Si -1 < mx < 0 , la solución es oscilatoria amortiguada
Si m] < - 1 , la solución oscila infinitamente.
2do. Si las raíces reales son iguales m] = m2 = t n ,
Si | m | > 1, la solución diverge, a menos que q = c2 = 0
Si | m | = 1, también diverge, a menos que c2 = 0
Si | m | < 1, la solución converge a cero.
503
Ecuaciones en Diferencias
3ro. Si las raíces son complejas mx = a + b i ,
= a - b i la solución es oscilatoria.
0 < v a 2 + £ 2 < 1 , converge a cero
si yja2 + b 2 > 1, diverge
Existe un caso en el que la solución para que la ecuación en diferencias lineal homogénea
de segundo orden converge en cero para cada posible par de valores iniciales, que
daremos en el segundo teorema.
T E O R E M A .- Si p = max{| mx |,|
j ) , en donde
y
son las raíces de la
ecuación auxiliar de la ecuación en diferencia lineal homogénea de
segundo orden yx+2 + A\yx+i + ^ 2y* = 0» entonces:
Si p < 1, es una condición necesaria y suficiente para que la sucesión {yx } conveija con
limite igual a cero, para todos los valores iniciales y09y x.
Luego la definición de p es de la forma siguiente.
1ro. Si m x y
son reales y diferentes p = m ax{|m 1 (,|
|}
2do. Si mx y m2 son reales e iguales, mx = m, = m entonces p = | m |
3ro. Si m x y
son números complejos: m x = a + bi> m ^ - a —bi
p = <v/a2 + ¿>2
Ejem plos.-
Resolver cada una de las ecuaciones en diferencias y determine el
comportamiento de la solución y calcule los primeros valores de la solución.
©
>,x +2 - 5 ^ +i + 6 >’j = 0 ;
yo = 2’ >1 = 5
Solución
La ecuación auxiliar es: m 1 - 5m + 6 = 0 , de donde m, = 3 , n %2 = 2
como p = max {| 3 |, | 2 |) = 3 > 1
504
Eduardo Espinoza Ramos
La solución diverge y como y0 = 2 1 Vj = 5 entonces
y = c , 3 * + c 22x =>
2=
c, = 1
C, + C-,
c2 =1
5 = 3 q + 2c2
y , = 3a + 2*
©
>>0 = 2 , y, = 5 , y 2 = 13, >>3 = 35 , y4 = 97 y así sucesivamente
y *+2 ~ 4 vt+1 + 4 y , = 0 ; y0 = 1, y, = 6
Solución
La ecuación auxiliar es:
m 2 - 4m + 4 = 0 de donde m = 2 de multiplicidad 2 y la
solución general es: y x = q 2* + c2x l x
Como wi| = m2 = 2 entonces p = 2 > 1, la solución es divergente, como podemos
observar de los valores
y0 = l = q ,
Luego
>,l = c r 2 + c2.2 = 6 => c{ + c 2 =3
es = 3
y , = 2* + 2x2*, y0 = 2 , y1 - 6 , v2 = 2 0 , y3 = 5 6 , y4 = 144, y5 = 352 y
asi sucesivamente.
®
- - v, +i + \y.K = o ; >0 = 3 , y, = |
Solución
La ecuación auxiliar: m 1 - m + — = 0 de donde
2
2
1
1
m - m + —= —
entonces m, = —+ —;
1 2 2
/( m —1 *2
) = —1 =>
2
4
" 2 2
l—±
, í—
2 2
y la solución general es:
7TJC
7TX
y^ = (— ) [q eos — + c2sen — ]
4í
505
Ecuaciones en Diferencias
J_
donde p =
p4
+i =
lge = l = \ „
=
# ,£
< . . .a solución es oscUmorln y converge . cero, com o se puede oóservnr .
partir de los primeros valores de la solución particular.'
.^¡2 x
nx
7rx
yx = ( — ) [3cos — + 2sen— ]
y0 = 3i , y, = -5 , y2= 1, y3 = - - 1, y4 = - - ,3 y5= - 5- y asi sucesivamente
2
4
4
8
10.13. ECUACIONES EN DIFERENCIAS DE SEGUNDO
HOMOGÉNEAS.La
ecuación
>’*+ 2 + A X c + i +
en
^
2
=
diferencias
£ W
l*ene
ORDEN NO
lineal
de
segundo
orden
no
homogénea:
solución general yx + yp> donde y x es la solución
de la ecuación en diferencias homogénea y y
es una solución particular de la ecuación
en diferencias no homogénea. La forma y p depende de la función g(x)
S ig (x ) = c, c constante entonces y p = k
Si y D ~ k
es solución de la ecuación y x+2 + A^ yx+i + A2y x = c entonces
k + Ajfc + A2k = c => k =
C
1 + A¡ + A2
Resumiendo si g(x) = c es una constante tiene una solución particular y
c
y„ = -------------- si 1+ A, + Ay * 0
' p 1 + A ,+ A 2
1 ^
y = —-— * 0
p A, + 2
si A + 2 * 0
1
y p = ~ * 2 s> 1+ A , + A 2 = 0 ; A, + 2 = 0
506
Eduardo Espinoza Ram os
E jem plo.-
En cada una de las ecuaciones en diferencias, determine la solución general
y la solución particular para los valores especificados.
©
X,+2 + 4 Vx+i + 8 Xr = 26 ; y 0 = 6 , y, = 3
Solución
La ecuación auxiliar es: »i“ + 4 m + 8 = 0 , ded o n d e
m + 4 m + 4 = -4
=> (m + 2) = - 4
=> m + 2 = ± 2 i
entonces m, = - 2 + 2i , m-, = - 2 - 2i
r = yÍ4 + 4 = 2 j 2 , tg e = - = -2
1 => 0 = ——
4
y r = ( 2 >/2 )'lc , c o s ^ ^ - c 2i f n — ] es la solución general de la ecuación en
4
4
I
diferencias homogénea, calculando la solución particular de la ecuación no
homogénea, y„ = — —— =
p 1+4+8
Luego
yp = 2
homogénea es:
>*0 =
6 = r, -
2.
es la solución particular por lo tanto la solución general no
>
y x = (2 \¡ 2 )x[c] cos — + c2s e n — ] +
0 + 2 =>
c, = 4
J- y¡2
y¡2
y, = 3 = 2 > /2 [ - y C| + c 2
+ 2 , de donde
/.
©
^
/T , r , -
2
KX
1
KX.
3 = 2c, + 2c 2 + 2
_
y_ = ( 2 v 2 ) ‘ [4 c o s----------s e n — ] + 2
4 2
4
2 + 8^ 1
+ 16yx = 2 5 ; y 0 = 0 , y, = 4
r
Solución
La ecuación auxiliar es: /n + 8m +16 = 0 , de donde
,K
7
c
2
=
------------------
2
Ecuaciones en Diferencias
507
0
m = -4, de multiplicidad 2, y la solución general de la ecuación
(» i+ 4 r =
en diferencias homogénea es: y x = c, ( - 4 ) * + c 2a*(-4)
ahora calculamos la solución particular y_ se tiene:
25
Jo =
1 + 8 + 16
J* = 1
25
Luego la solución general de la ecuación en diferencias no homogénea es:
y* = c 1( - 4 ) r + c 2A‘( - 4 j x + l
y0 = 0 = c, + 0 + 1
1
y x = “ ( - 4 ) A+ —( - 4 ) x +1
4
c\ - —
y, = 4 = -4 c, - 4 c2 +1
Solución
La ecuación auxiliar es: m - 8 w - 9 = 0 , de donde
(m - 9)(m + 1) = 0 entonces
= - 1 , m7 = 9
Luego la solución general de la ecuación homogénea es:
y x = c, ( - l ) 'v + c29 v
ahora calculamos una solución particular de la ecuación no homogénea
24
Jo =
1 -8 - 9
y0 = 2 = c , + c 2 - -
c, = 3
de donde
y, = 0 = - C , + 9
t
c2
- |
co j fN
Luego la solución general de la ecuación no homogénea es: y v = c, (-1)* + c2 9X -
1
C l~ 2
y ,= 3 (-l)* + i . 9 ' - |
508
Eduardo Espinoza Ramos
10.14» EQUILIBRIO Y ESTABILIDAD.^ea
+ ^2
y x+2 +
solución
de
= * ' una ecuación en diferencias no homogénea, entonces la
la ecuación
homogénea correspondiente
2 ± .4, > 1- A2 > 0 , lo cual implica que
1+
converge
a cero
solo
si
+ A2 * 0 ; por lo tanto la solución de la
ecuación homogénea converge a cero solo cuando la ecuación no homogénea tiene una
k
solución particular y a = --------------- , es decir: Si la solución de la ecuación homogénea
1+ A, + ¿42
correspondientes converge en cero, la solución de la ecuación no homogénea
),J t i + 4 v v+|+ A i ) 'J = í:
converge en
------------- :
1+ A{ + A ,
si la solución de la ecuación
homogénea correspondiente divcrgera, también diverge la ecuación no homogénea.
Si la ecuación en diferencias y x+2 + A.v*+i
l*ene una solución particular
k
v =
entonces y _ es un valor de equilibrio de y, y se denotara por y*.
‘ F 1+ A, + A2
‘'
Diremos que el valor de equilibrio se dice que es estable, o que la ecuación en diferencias
>*jr+2
es estable, si toda solución de dicha ecuación converge en y*
para cada conjunto posible de condiciones iniciales y0 y Vj.
,
k
Una condición necesaria y suficiente para que él valor de equilibrio y* = -------------- sea
1+ y4| + A2
estable es p < 1,
donde p = m ax{|w | |,|/w2 |)
donde m]%
son las raíces de la
ecuación auxiliar m 2 + A¡m + Á2 = 0.
»
E jem plo.-
Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones en diferencias, determine el
comportamiento de la solución particular.
©
+ 5 >í+i - .v* = 20 -
yo = 3 - -vi = 8
Solución
La ecuación auxiliar esr 6 m2 + 5m -1 = 0 , de donde
509
Ecuaciones en Diferencias
(6m - 1)(m + 1) = 0 entonces m, = —1, m-> = —
6
Luego la solución general de la ecuación homogénea
*
1
y x = q ( - l ) + c*>(—)
6
,
20
calculando la solución particular de la ecuación no homogénea: y p = ——- — - = 2
por lo tanto la solución general de la ecuación no homogénea es:
y x = ^ ( - l ) * + c 2(-V c+ 2 ,
“ 6
ahora calculamos los valores de cx y c->
y0 = 3 = c , + c 2 + 2
fc = -5
cde donde ^ 1
= 8 = - c1+-^- + 2
[ c2 = 6
O
.
v, = —5(—1)'*' + 6(—) ' + 2
•
6
ahora determinaremos el comportamiento de la solución particular, como mx * m2 y
p = max{ | Wj |,| m2 | } = 1 entonces es divergente (oscilatoria)
©
4 y r+2 - y x = 15 . v0 = 5 , .y, = 10
Solución
La ecuación auxiliar es: 4/n2 - 1 = 0 , de donde m, =
i
?
=o
la solución de la ecuación homogénea es: y x = c ¡ ( - —)A+ c 2(—)*
2
2
calculando una solución particular de la ecuación no homogénea
yp =
Luego la solución general de la ecuación en diferencias no homogénea es:
Ir
1 t
y x = c x( — ) + c2(—)*
2
2
+ 5,
calculando los valores de c x y c 2
=^
510
Eduardo Espinoza Ramos
V0 = 15 = c, + c2 + 5
c,=0
c, r»
de donde
y. = 1 0 = — - + — + 5
1
2
2
10^ ) ' + 5
y, =
le-, = 10
como m { * m2, p = max {| m x |, | m2 | } = —< 1 entonces converge
2
d )
8>a+2
+ y , = 9 , .V0 = 1 0 , > 1 = 5
.
Solución
««»•
La ecuación auxiliar es: 8m" - 6m + 1 = 0 d é ’dpnde
.f 0
.
1
•**!•
(2m - 1)(4m - 1) = 0 entonces m, = —,• rih-- — •
*4
•J
|
La solución general de la ecuación homogénea y x = c, (—)* + c 2(—)*
•*2
4
>
Calculando una solución particular y n de la ecuación en diferencias no homogénea
9
= -9 = 3^
v = ----------’ p 8 -6 + 1
3
y p =3
Luego la solución general de la ecuación no homogénea
yv = c, (—)* + Cj (“ )* + 3 ,
ahora calculamos los valores de c. y c*>
r
1
y0 = 1 0 = c , + c 2 + 3
c, „
Vi —5 —— K——+ 3
1
2
4
C,
,
de donde
=1
1
c2 = 6
•••
y , = ( ^ +6^
ahora determinaremos el comportamiento de la solución particular.
Como m{ * m 2 y p = max{ | m} |,| m 2 1) = ^ < 1 entonces es convergente
®
y x + 2 -4 y « i + 4 ^ = 1’ % = o . y ,
=1
Solución
+3
511
Ecuaciones en D iferencias
La ecuación auxiliar es: m ~ - 4 m + 4 = O , de donde
(m -2 )
=0
=> m = 2, de multiplicidad 2
Luego la solución general de la ecuación homogénea y x
=
c x 2 X + c 2x 2 x
calculamos una solución particular y D de la ecuación en diferencia no homogénea
1
yn =
1-4 + 4
por lo tanto la solución general de la ecuación en diferencias no homogénea.
y x = c, 2 X + c 2x l x + 1 ,
ahora calculamos los valores de c Y y c 2
Va = 0 = C, + 0 + 1
íc , = -1
0
1
de donde \ J
y¡ = 1 = 2 c { + 2 c 2 + 1
[c 2 = 1
/.
yx = -2 X
+
x2x
+1
ahora determinaremos el comportamiento de la solución particular.
Como | m | = | 2 | = 2 > l , la solución es divergente.
10,15. EJERCICIOS PROPUESTOS*©
Obtenga la solución general para cada una de las ecuaciones en diferencias siguientes
yx = 0
a)
y*+2
b)
3’x+2 + 2 >’^ i - 3^ = °
-
R p ta . y x
=C|
+c2( - l ) x
R p ta . y x = c, (1)* + c2 (-3)*
c)
R p ta . y x = (c, + c 2 x ) A x
d)
yx+2 + 4 ^
.
« i.
xn
R p ta . y x = 2 [c{ co s— + c
e)
^ +2 + 4 ^ +l - 12^ = °
R p ta . y x = cx( - 6 ) x + c22x
0
y» 2 -6y*+i +9:y, =o
R p ta . y x
=
0
=
c x3 x + c2*3x
nx
]
512
Eduardo Espinoza Ram os
g)
+i + 2yx =
o
R p ta. y x = c , ( - l ) x + c 2(—3)
X
h>
^+2 -
2^+ i +
')
^ +2 +
2y x+1+ 2yjt = 0
j)
^ +2 - 36^ = °
D
(l)
yx+2 + 4 ^
R p ta. y;t = 2 2 [c ,c o s —- + c2s e n - í ]
¿
l
=O
.
A
n
R Pta -
k>
y ^ 2 - 13>’^ i + 4 2 ^ = 0
a
.
^ +2 + 8 ^ +6 +
^
16^ = °
••) y*+2 + 2 ^ +i + y* = 0
Obtenga la solución general para la ecuación en diferencias y x+2 + 3 y x+1 + 3yx = 0 y la
solución particular si y0 = 3 , >’[ = 0 .
(§)
37?AT
= 2 IC1e o s— - + c2s e n — — ]
A
R p ta.
y x = (V3)x[3cos —
6
-3\¡3sen— ]
6
Obtenga la solución general para la ecuación en diferencias 3y x+2 - 1 0 y x+l + 3 y x = 8 y la
solución particular si y0 = 5 , y x = 3.
R p ta.
Resuelva el problema con valores iniciales.
a>
^
~ ^ x + l + 8Xlr = 0 , y0 = 1, y, = 0
*»
yx +2 - 9 yx+i + 20yx = 0 , y0 = 1, y, = 4
c>
yx +2 + 10yx+1 + 2 5yx = 0 , y0 = y, = 2
d)
^ +2 - 4 ) 'x +i + 4 >’x = 0 * >’o = 1* y\ =>/8
«)
y*+2+ 2 y * H - 8y * = 0 » y0= 2 ’ y , = i
0
yx*2 + 2 yx+ i + 2 yx =
e)
yx+2 + 2 ^ +i + 2 y x = o , ,y0 = y, = 2
W
yJt+2 - 16>’x+i + 6 4 >'i = 0 . 3 - 0 = ° .
0,
y0 = 6 , y¡ = 0
61 1 , 4
r
yx = — (-)
h— (3)* —8
5 3
5
513
Ecuaciones en D iferencias
Resuelva cada una de las ecuaciones en diferencias y determine el comportamiento de la
solución particular y calcule los primeros valores de esta.
a)
^ - h 2 - 3^ +i +3) a = 5 y o = 5 * y\ = 8
R p ta. y x = 2 ( ^ ) x sen — + 5 , divergente (oscilatoria)
b)
6 ^ 2 + 5 ^ , - ^ . = 2 0 , y0 = 3 , y, = 8
X
. A
x x -l
R p ta . y * = - 5 ( - l ) + (—)
6
c)
+ 2 , divergente (oscilatoria)
8 x ^ - 6 ^ , + ^ = 9 , y0 = 10, >-1=5
R p ta. y x = 6( ~ ) x + (-i)x + 3 , convergente
d>
y x+ 2 - 5 yx+\ + 6 y x = 4 ’ ) o = 0 ’ ^ i = 5
R p ta. y x = 3JC+1 - 5 (2 )v + 2 , divergente
«)
V x +2 - 2 ^
i
+2^ = 3 » % = 5 * »
= 6
R p ta . y x = (V 2);r(2 c o s — + sen — ) , divergente (oscilatoria)
0
12^ +2 “ 7 ^ +i + >,x = í 8 » y o = 0 9 y { =3
1
1
R p ta . y x = - 1 2 ( —)* + 9 (-)* + 3 , convergente
4
3
Resuelva cada una de las ecuaciones en diferencias y determine el comportamiento de la
solución particular y calcule los primeros valores de esta.
a)
9^
+2 - 6^ +i + y A = i 6 » Vo= 0 » :Vi = 3
l x
\x
R p ta . yx = - 4 ( - ) + * ( - ) + 4 , convergente
3
3
514
Eduardo Espinoza Ram os
b>
* y x * - i - y x = 1 5 - yo = 1 5 ’ y\ = 10
Rpta. yx = 10 (^ )* + 5 . convergente
c>
^ +2 - 7 ^ +i + 1 2 3'a = 2 , y0 = ° - ?i =1
Rpta. y x = - 2 .3 T+ ^ 4 * + - j , divergente
d)
y*+2 ~ 4 > \ = 9 - y o = ° - Vi =1
Rpta. yx = ^ ( - 2 ) x + ^ 2 X - 3 , divergente
«)
3>x*2+ 5 -'\+ i+ 2 yx = 4 • y0 = 0 - vi = i
Rpta. yx = | ( —|) * - ( - 0 * + | , divergente
515
Apéndice
©
sen (A ± B) = sen A eos B ± eos A sen B
©
eos (A ± B) = eos A eos B í
sen A sen B
eos 2 A = eos2 A - sen2A
©
sen2A = —( l- c o s 2 A )
©
eos2 A = —(1 + eos 2A)
1
sen mA. eos nA = ~[sen(m + n)A + sen( m - n) A]
1
sen mA.sen nA = ^-[cos(m - n ) A - eos(m + n)A]
©
. ©
eos mA. eos nA = —[cos(m - n) A + cos(m + n)A]
sen (?t - A) = sen A ; eos (tc - A) = -eos A
♦ \
*
(fi)
sen A = cos( A - —) = cos(— - A)
(Íí)
eos A = sen{A + —) = s e n ( ^ - A)
©
sen (-A) = - sen A ; eos (-A) = eos A
,A + B v , A - B K
sen A + sen B = 2 sen (--------) cos(
)
^
9 M \
151
eos A + eos B = 2 cos(------)eos(
A
n
^
sen 2A = 2 sen A eos A
)
516
Eduardo Espinoza Ramos
eos A - eos 0
©
©
_
A+B
A —B
= 2 sen (-------- ).sen(
)
tg(A + B ) = t? A- + ' ? B
1 -tg A .tg B
a
©
serth A =
e —e
A
tg h A =
e -e
-a
cosh A =
-A
@
A . - A
cosh2 A - s e n h 2A = 1
,
e +e
A ,
-A
-A
e -he
ctgh A = ~Á ~~PÁ
e —e
l - f g / i 2A = secfc2A
1- c t g h 2A = - eos ech2A
III.
1+ t g A . t g B
a
e +e
^5)
tg{A -B )=
©
v - ”'
tg A —tg B
cosh 2A = cosh2 A + senh2A
©
LOGARITMOS.ax - N, a > 0 «
x = \oga N
x - e y <=> y = \oge x = Lnx
( 7 ) loga AB = logfl A + loga B
©
@
l«ga A" = n loga A
log¡, N = log¡, a.loga N =
loga N
®
lo8a ^ = loga A - loga B
©
logfl V a = - loga A
n
(cambio de base)
log b b
n
n
I=
©
^ V = ^ ( « + l)(2« + l)
517
Apéndice
n
n (n + 1)
( 4)
1=1
n
^ í 4 = ^ - ( n + l)(6n3 + 9 n 2 + n - l )
1=1
n
w
A
©
k\(n -k)\
(a + b)n = ^ ^ ) a n- k bk
A=O
ECUACIONES CU ARTICAS.a4 + 2pA3 + #a2 + 2rv + s= 0, sumando (ax + ¿?)2
a + 2px + qx2+ 2rx + s + (a* + ¿>)2 = (ax + ¿>)2
a4 + 2pxl + (a2+ q)>r + 2 (r + aZ?)A + s + ¿r = (o r + b )2
(a 2 +
pA + A)2 = ( o a + b )2
+ 2pA3 + (p 2+ 2A )a2 + 2pAA + A-2 = (ax + b)1
a4
p 2 + 2A = a 2 + q
2pk = 2 (r + a6)
2pA - 2 r = 2ab
pk~ 4-ab
A2 = s + ¿>2
fl2 = p 2 + 2 A - ^
( p k - r f = a 2b 2 =>i
/>“ = A 2 - í
(pA - r )2 = a 2 ¿r = (p 2 + 2Ap - <7) (A2 - s)
simplificando: 2A3 - qk2 + (2pr - 2s)A - p 2 s - r 2 + ^s = 0
Hallando las raíces de A se tiene:
(a 2 + p A
a
a’
+ A)2 =
(h a + fc)
+ (p -n )A +
2
k-b = Q
+ pA + A= ± (a* + ¿) de donde
a
2
+ ( p + a ) A + A+¿>
= 0
518
Eduardo Espinosa Ramos
VI.
ECUACIONES CUBICAS.jc3
+ p x 2 + qx + r = 0 haciendo x - y - -j
2
3
se transforma en y3 + (< ? -— )y + — — — + r = 0
3
27
3
y + Qy + R = 0
se hace v = A + B
^ ^ A^3 —-h «I—
* , hI * 2
donde.
4
Q3 ,
R ./ -----X 2 1----Q3
Bni —-------2 V4
27
27
VIL DERIVADAS ELEMENTALES.0
©
®
y = f ( * ) = c => £
=
= / '( * ) =
o
(jr) = c => ^ - = k f \ x )
dx
®
y = / ( * ) ± * ( x ) => £
= / ' ( x ) ± í (x )
©
? = / ( * ) = *" =* ^ = f ' ( x ) = nxn-'
dx
®
y = f(x)-s(*)
=* ^ j= /'(*)-s(jc) +/(-í )s '(* )
/O ,
/W
dy
g ( * ) - / ' ( » ) - / ( - t ) - g (< )
^
íW
*
s (,)’
©
y = (/(* ))’ => f = » (/'« )" " 'r w
’ *%
519
Apéndice
VIII. DERIVADAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS Y
SUS INVERSAS.©
y = sen ( / ( * ) ) => ^
= cosf ( x ) . f ' ( x )
©
y = c o s ( /( .v ) ) =»
= -s e n (/(x)).f'(x)
©
>’ = tg ( / (jc)) =»
©
y = ctg ( / ( * ) ) => — = - c o s e c 2 ( / ( a ) ) . /
dx
©
y = sec ( / ( a ) ) ^
©
y
©
y = are. sen ( / ( a )) => ^ = —
*
V l - / 2 ( x)
©
y=
®
y = arc. t g ( / (jc)) => ^
= c o s e c ( / ( a ) )
a rc .c o s (/(A r))
- jd x
= sec2 ( f ( x ) ) . f ' ( x )
^
=>
=>
V= a r c .s e c ( f
( a ) )
a
)
= s e c ( / ( j r ) ) . t g ( / ( j t ) ) . / '( j r )
^ d x
= - c o s e c ( / ( A ) ) . c t g ( / '( A ) ) . / '( A )
^ -=
¿Y
©
' (
¿y
l + /
“ (jt)
/ ( A)
520
Eduardo Espinoza Ram os
( l2 )
y = arc.cosec (/■ (*)) => — = --------- 4 = = = = =
w
IX.
DERIVADAS DE LAS
LOGARITMICAS.©
X.
*
l/wiVT7^
FUNCIONES
y = loga ( / ( x ) ) => f í j U i S I a l . / • ( * ) ,
EXPONENCIALES
Y
f l * 0’1
( 3)
^
y = a f{x) =* ^ = a f{x) A n a . f ' ( x )
dx
@
y = e /{x) => ^ - = e f { x ) . f ' ( x )
©
>- = (/( - v ) ) gW => ^ = g ( . r ) ( / ( x ) ) ^ H . / V ) + ( / W r W l n ( / W ) ^ ' W
DERIVADAS DE LAS FUNCIONES HIPERBOLICAS Y SUS
INVERSAS.©
y = s e n h ( / (* )) => ^
= co sh ( f ( x ) ) . f ’( x)
©
>>= c o sh ( / ( * ) ) => ^
= senh ( / ( * ) ) . / ' ( * )
©
v = t g h ( / ( A ) ) => Q - = s e c h2 ( f ( x ) ) . f ' ( x )
©
y = ctgh ( / ( * ) ) => ^
= - c o s e c /i2 ( / ( x ) ) . f ' ( x )
(?)
y = sec ( / ( * ) ) => ^
= - s e c / t ( / ( x ) ) . t g h ( / ( * ) ) ./ '( * )
521
Apéndice
v = c o s e c h ( /( .v ) ) =$ — = - c o s e c h ( / ( j : ) ) . c t g h ( / ( j i ) ) . / ,(jc)
dx
©
dv
v = a r c .s e n h ( / ( . y))
/■ ( * )
í/.V
V / 2 (* )+ 1
>’ = n r r . c o s h ( / ( x ) )
d-v
®
> =
@
are. t g h
( / (.v ))
=>
^
=
f
dr
1—/
y = «rc.ctgh ( / ( jc)) = j> ^
- <
/
( jc) < 1
( jc)
i* I ,
1 / (JCj
/ ( jc) > 1
v = «rc.cosech ( / (.y))
dv
dx
XI.
,
4>’
y = a rc .se c / * ( / ( * ) )
@
V / 2W -1
\ f ( x ) \y l\ + f 2 (x)
TABLA DE INTEGRALES.adx =■ ax + c
( 2 )
®
| d ( / U ) ) = /(jc ) + c
®
J
(/(jc ) ± g(A ))¿r =
í — = Z.n|«
+ c
kf(x)dx
=
/(jO ¿ /a
J f ( x ) d x ± jg { x ) d x
/J*-l
( 7)
J
O )
fw
nd u =
- —
W
J
(5 )
J V d u ^ + c
+ c,
n +1
w * - l
522
Eduardo Espinoza Ramos
u
a
a lid u = ------+ c,
ln¿7
@
a*l
du
1
u
----- = —arctg —+ c
a
a ’ +u~
a
du
@
©
©
a>0,
1
2a
du
Ln
u+a
u-a
+c
= Ln u + \4Ü2
u~ +a
u-a
®
^
f - J ü - = -L ln
u +a
J u 2 - a 2 2a
^3)
[
+c
A U— = are. sen(—) + c
+c
Vw2 + a 2
du
= Ln u + \ j u 2 - a 2 + c
'J u 2 - a
u
r~2
~
^
i
^
^
^
\ a - u ~ d u ~ —y¡a' - u ~ + — arc.sen —+ c
2
2
a
©
n>
T,
u
T
\ u ~ - a ~ d u = —\ u ~ - a ’
i
©
. = —y
u nu
v¡« i +a 2du
2
a~ r
Ln
i
u
+
yju2 - a
«**,Ln
+a~~ + —
u + yju2 + a 2 \ + c
2
senudu = - c o s w +c
©
tg udu - -L/r|cosw + c
@
sec udu = Ln |sec u + tg w| -tt c
24
©
+c
eos udu = sen u + c
(22)
J ctg udu = Ln |sen u\ + c
cosec udu = Ln |cosec m- ctg u \ + c
sec“ udu — t g u + c
(26) j*cosec2«¿M =- C t g M +C
523
Apéndice
©
(28)
j sec u tg u du = sec u +
JcosecH.ctgw du = sec u +c
cosh udu = senh u + c
senh udu = cosh u + c
J tgh udu = Ln |cosh u\ + c
©
J ctgh udu = Ln |sec hu\ + c
®
¡ sec /j2udu = tgh w + c
( 34 )
Jcosech2 udu = -ctg h u + c
(35)
J sec hu. tgh udu = - sec hu + c
Jcosech w.ctgh udu = —cosech u + c
©
f,w
J
®
j
e
a u
o2 +¡>2
(acos(¿?«) + ¿>sen(¿r/))
a»
+C
cos(bu)du = e
Zj = n + b i . z2 = c +<//
©
®
+c
números complejos
( 2)
Z\ + z 2 - ( a + c) + (b + d)i
Zx
ac + bd
be - ad
z2
c +d“
c ~+d ~
1
XIII. FORMULA DE MOIVRE.(a + bi)H = r n feos n6 + i sen n d )
yja + bi = r n [cos(^ + ~^7r>+ / sen(
9 + 2kn
n
)]
zv Z2 = (ac - b d ) + (be - ad)i
524
Eduardo Espinoza Ram os
BIBLIOGRAFIA
©
®
©
Matemáticas Superiores para Ingeniería
por: C .R . - W Y L IE , J R .
Matemática Avanzada para Ingeniería. Volumen I
por: E R W IN K R E Y S Z IG .
Ecuaciones Diferenciales
por: K R E ID E R - K U L L E R - O S T B E R G .
Problemas de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
por: A. K IS E L IO V - M . K R O SN O V - G. M A K A R E N K O .
©
®
©
©
©
Ecuaciones Diferenciales
por: D O N A LO - L. K R E ID E R .
Ecuaciones Diferenciales
por: R A L P H P A L M E R A G N EV .
Ecuaciones Diferenciales Aplicadas
por: M .R. - S P IE G E L .
Ecuaciones Diferenciales Elementales
por: L.M . K E L L S .
Ecuaciones Diferenciales y Problemas con valores en la frontera
por: W IL L IA N E. B O Y C E - R IC H A R D C. P R IM A .
©
©
©
©
©
©
Matemáticas Avanzadas para Ingeniería
Ecuaciones Diferenciales
por: E R W IN K R E Y S Z IG T om o II
por: T A K A U C H I - R A M IR E Z - R U IZ.
Ecuaciones Diferenciales
por: K A JL N IE L SE N .
Ecuaciones Diferenciales
por: S H E P L E Y L. ROSS.
Ecuaciones Diferenciales Elementales
por: E A R L D. R A IN V IL L E .
Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones
por: W IL L IA N R. D E R A IC A - ST A N L E Y Y G R O SSM A N .
©
©
@
Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones
por: F. SIN M O N S.
Curso Elemental de Matemática Superior. Tomo V por: J . Q U IN E T .
Ecuaciones Diferenciales
por: FR A N K AYRES.
525
Bibliografía
©
Introducción a las Ecuaciones Diferenciales
por: W IL L IA N E. B O Y C E Y R IC H A R D C. D IP R IM A .
(20)
Ecuaciones Diferenciales y Calculo Variacional
por: L. E L SG O L T S.
(2 ^
Introducción a las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias por: E A R L Y. C O D D IN G T O N .
( 22)
Problemas y Ejercicios de Análisis Matemático
por: G . B A R A N E N K O V - B. D E M ID O V IC H .
(23)
Ecuaciones Diferenciales
( 0
Ecuaciones Diferenciales
(25)
Introducción al Análisis Lineal
por: H. B. P H IL L IP S .
por: H A R R Y W . R E D D IC K y D O N A LD E. K IB B EY .
por: K R E 1D ER - K U L L E R - O S T B E R G - P E R K IN S . T om o II.
(2ó)
Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones
por: B E T Z B U R C H A M E W IN G .
(2 ^
Ejercicios y Problemas de Matemática Superior
por: P. D A N K O y A. P O P O V .
(28)
Matemática Superior en Ejercicios y Problemas
por: T. y A. K O Z H E ’V N IK O V A .
(29)
Problemas y Ejercicios de Análisis Matemático
por: G.N. B E R M A N .
( 30)
Matemática para Administración y Economía
por; JE A N E. D R A P E R , JA N E S. K L IN G M A N . JE A N W E B E R .
@
Matemática para Economistas
por: T A R O Y A M A N E.
(3 ^
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
(33)
Matemática Superior para Matemáticos, Física
por: C A R L O S IM O Z - Z O E N E K V O R E L .
e Ingenieros. Volumen II
por: R. R O T H E .
(2 )
Análisis Matemático
por: P R O T T E R - M O R R E Y .
(35)
Análisis Matemático. Volumen II
(36)
Calculus. Volumen II
(l7 )
Ecuaciones Diferenciales
por: H A A SE R - L A SA L L E - S L L L IV A N .
por: T O M M . A P O S T O L .
por: F. M E R C E L L A N , L. C A SA SIA S, A. Z A R Z O .
526
Eduardo Espinoza Ram os
(38)
Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones
por; D EN N IS G. Z IL L .
(39)
Matemáticas Avanzadas para Ingeniería
por: P E T E R V. O ’N E IL.
(40)
Ecuaciones Diferenciales
@
Matemáticas para Administración y Economía
por: S.T. T an
Matemáticas para Administración y Economía
por: E rn e st F. H aeussler
®
Matemáticas para Administración y Economía
por: Lia! H u b m e rfo rd
@
Matemática Aplicada a la Administración
por: C .H .E D W A R D S, J R . DAVID E. PE N N E Y .
y Economía
por: Ja g d ish A rya, R obin L a rd n e r
( 45)
Cálculo Aplicado para Administración y Economía por: L au ren ce D. H offm ann
®
Matemáticas para Administración y Economía
©
Matemáticas Finitas para Economistas y
Administración
por: G . H adley, M .C . K em p
@
Métodos Fundamentales de Economía matemática
@
Matemática, Aplicaciones a la Ciencias
Económica - Administrativas
(50)
Métodos Matemáticos para Economistas
por: J e a n E. W eber
por:
A lpha C . C hian g
por: M ichael L. K ova Cic
por: J . Colin Glass
Matemáticas y métodos Cuantitativos,
para Comercio y Economía
por: S tephen P. S hao; C ristin a R odríguez