LXXIV Olimpiada Matematyczna
Zadania konkursowe
zawodów stopnia pierwszego
I seria: do 17 października 2022 r.
1. Wyznaczyć wszystkie dodatnie liczby całkowite n, dla których istnieją
takie liczby s1 , s2 , . . . , sn ∈ {−1, 1}, że
1 · s1 + 2 · s2 + . . . + n · sn = 0.
2. Znaleźć wszystkie trójki liczb rzeczywistych (a, b, c) spełniające układ
równań

2
2

a + 4ab + b = 1
b2 + 4bc + c2 = 1

 2
c + 4ca + a2 = −2
3. Dany jest trójkąt ABC. Okrąg styczny do boku AC oraz do przedłużeń
boków AB, BC ma promień długości r1 . Okrąg styczny do boku BC oraz
do przedłużeń boków AB, AC ma promień długości r2 . Udowodnić, że jeżeli
r1 + r2 = AB, to trójkąt ABC jest prostokątny.
4. Wyznaczyć wszystkie pary dodatnich liczb całkowitych (m, n) o następującej własności: w każde pole nieskończonej szachownicy można wpisać
liczbę ze zbioru A = {1, 2, . . . , mn} w taki sposób, że w każdym prostokącie
o wymiarach m × n lub n × m (składającym się z mn pól) każda liczba ze
zbioru A występuje dokładnie raz.
Uwaga: W tym roku szkolnym zadania zawodów pierwszego
stopnia OM będą publikowane sukcesywnie: pierwsza seria 1 września 2022 r., druga seria 30 września 2022 r., a trzecia seria
28 października 2022 r.
Rozwiązania powyższych zadań (każde na osobnym arkuszu, pisane jednostronnie) należy wysłać listem poleconym na adres komitetu okręgowego Olimpiady właściwego terytorialnie dla szkoły, najpóźniej dnia
17 października 2022 r.
(decyduje data stempla pocztowego). Rozwiązania przesłane w terminie późniejszym nie
będą rozpatrywane. Rozwiązanie każdego zadania należy podpisać w lewym górnym rogu
pierwszej jego strony: imieniem i nazwiskiem, swoim adresem, swoim adresem elektronicznym oraz klasą, nazwą i adresem szkoły.
LXXIV Olimpiada Matematyczna
Zadania konkursowe
zawodów stopnia pierwszego
II seria: do 7 listopada 2022 r.
5. Rozstrzygnąć, czy istnieje nieskończenie wiele dodatnich liczb całkowitych, których nie można przedstawić w postaci n2 + p, gdzie n jest liczbą
całkowitą, a p liczbą pierwszą.
6. Dany jest czworokąt wypukły ABCD wpisany w okrąg. Przekątne AC i
BD przecinają się w punkcie P , przy czym BP = AD + DC. Punkt X leży
) BP X = <
) ADC.
na boku BC, przy czym BX = AC. Dowieść, że 2<
7. Udowodnić, że dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych zachodzi
nierówność
p
p
p
1p
ab2 (b + c)+ bc2 (c + a)+ ca2 (a + b) 6
(a + b + c)4 − (a2 + b2 + c2 )2 .
2
8. Dany jest okrąg, w którym zaznaczono pewną skończoną liczbę cięciw.
Łamaną zamkniętą złożoną z co najmniej trzech parami różnych zaznaczonych cięciw nazwiemy cyklem. Łamane uznajemy za takie same wtedy i tylko
wtedy, gdy składają się z tego samego zbioru cięciw. Okazało się, że istnieje
cykl C złożony z 2022 cięciw o następującej własności: każdy cykl ma co
najmniej jedną wspólną cięciwę z cyklem C. Wyznaczyć największą możliwą
liczbę cykli.
Rozwiązania powyższych zadań (każde na osobnym arkuszu, pisane jednostronnie) należy wysłać listem poleconym na adres komitetu okręgowego Olimpiady właściwego terytorialnie dla szkoły, najpóźniej dnia
7 listopada 2022 r.
(decyduje data stempla pocztowego). Rozwiązania przesłane w terminie późniejszym nie
będą rozpatrywane. Rozwiązanie każdego zadania należy podpisać w lewym górnym rogu
pierwszej jego strony: imieniem i nazwiskiem, swoim adresem, swoim adresem elektronicznym oraz klasą, nazwą i adresem szkoły.
LXXIV Olimpiada Matematyczna
Zadania konkursowe
zawodów stopnia pierwszego
III seria: do 30 listopada 2022 r.
9. Załóżmy, że 2(a2 + b2 + c2 ) = 5(ab + bc + ca) = d dla pewnych liczb
całkowitych a, b, c, d. Udowodnić, że 10d jest kwadratem liczby całkowitej.
10. Dany jest różnoboczny trójkąt ostrokątny ABC wpisany w okrąg Ω.
Punkt M jest środkiem dłuższego łuku BC okręgu Ω, a punkt N — środkiem
krótszego łuku BC okręgu Ω. Symetralna odcinka AN przecina odcinki AB
i AC odpowiednio w punktach X i Y . Oznaczmy przez Z różny od N punkt
przecięcia okręgu Ω i okręgu opisanego na trójkącie N XY . Dowieść, że prosta
M Z przechodzi przez ortocentrum trójkąta ABC.
11. Dana jest liczba całkowita n > 2. Dodatnie liczby rzeczywiste a1 , . . . , an
spełniają równość a21 + a22 + . . . + a2n = n. Oznaczmy przez A zbiór tych
indeksów i ∈ {1, 2, . . . , n}, dla których ai > 2. Udowodnić, że
!2
n
X
X
n·
a2i + 4 ·
ai
6 4n2 .
i∈A
i=1
12. Gra w (n, k)-kamienie rozgrywana jest na prostokątnej planszy składającej się z n pól ustawionych w rzędzie. Na początku gry na k-tym polu
od lewej znajduje się kamień, a pozostałe pola są puste. Pojedyncza tura
przebiega następująco. Na każdym kamieniu na planszy stawiamy kropkę.
Następnie kładziemy kamień (bez kropki) na każdym polu sąsiadującym z dokładnie jednym polem, na którym znajduje się kamień z kropką. Na koniec
tury zdejmujemy z planszy wszystkie kamienie z kropką. Gra kończy się porażką, jeżeli na planszy nie pozostały żadne kamienie. Znaleźć wszystkie pary
dodatnich liczb całkowitych (n, k), dla których gra w (n, k)-kamienie nigdy
nie zakończy się porażką, niezależnie od tego ile tur rozegramy.
Rozwiązania powyższych zadań (każde na osobnym arkuszu, pisane jednostronnie) należy wysłać listem poleconym na adres komitetu okręgowego Olimpiady właściwego terytorialnie dla szkoły, najpóźniej dnia
30 listopada 2022 r.
(decyduje data stempla pocztowego). Rozwiązania przesłane w terminie późniejszym nie
będą rozpatrywane. Rozwiązanie każdego zadania należy podpisać w lewym górnym rogu
pierwszej jego strony: imieniem i nazwiskiem, swoim adresem, swoim adresem elektronicznym oraz klasą, nazwą i adresem szkoły.
Adresy Komitetów Okręgowych Olimpiady Matematycznej
• Dla województwa pomorskiego: Komitet Okręgowy Olimpiady Matematycznej
— Instytut Matematyki Uniwersytetu Gdańskiego,
ul. Wita Stwosza 57, 80–952 Gdańsk.
• Dla województwa śląskiego: Komitet Okręgowy Olimpiady Matematycznej
— Instytut Matematyki Uniwersytetu Śląskiego,
ul. Bankowa 14, 40-007 Katowice.
• Dla województwa małopolskiego: Komitet Okręgowy Olimpiady Matematycznej
— Instytut Matematyki Uniwersytetu Jagiellońskiego,
ul. Łojasiewicza 6, 30-348 Kraków.
• Dla województwa lubelskiego: Komitet Okręgowy Olimpiady Matematycznej
— Instytut Matematyki Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej,
pl. M. Curie-Skłodowskiej 1, 20-031 Lublin
• Dla województwa łódzkiego i świętokrzyskiego: Komitet Okręgowy Olimpiady Matematycznej — Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytetu Łódzkiego,
ul. Banacha 22, 90-238 Łódź.
• Dla województwa wielkopolskiego: Komitet Okręgowy Olimpiady Matematycznej
— Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytetu Adama Mickiewicza,
ul. Uniwersytetu Poznańskiego 4, 61-614 Poznań.
• Dla województwa podkarpackiego: Komitet Okręgowy Olimpiady Matematycznej
— Wydział Matematyczno–Przyrodniczy, Uniwersytetu Rzeszowskiego
ul. Pigonia 1, 35-310 Rzeszów.
• Dla województwa lubuskiego i zachodniopomorskiego: Komitet Okręgowy Olimpiady Matematycznej — Instytut Matematyki Uniwersytetu Szczecińskiego,
ul. Wielkopolska 15, 70-451 Szczecin.
• Dla województwa kujawsko-pomorskiego i warmińsko-mazurskiego:
— Komitet Okręgowy Olimpiady Matematycznej — Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytetu Mikołaja Kopernika, ul. Chopina 12/18, 87-100 Toruń.
• Dla województwa mazowieckiego i podlaskiego: Komitet Okręgowy Olimpiady
Matematycznej — Instytut Matematyczny Polskiej Akademii Nauk,
ul. Śniadeckich 8, 00-656 Warszawa.
• Dla województwa dolnośląskiego i opolskiego: Komitet Okręgowy Olimpiady
Matematycznej — Instytut Matematyczny Uniwersytetu Wrocławskiego,
pl. Grunwaldzki 2/4, 50-384 Wrocław.
Zadania z poprzednich Olimpiad Matematycznych oraz bieżące informacje można znaleźć
w Internecie pod adresem: https://om.mimuw.edu.pl