Método de Arandelas
Cap. 6.2
• Método de la arandela Sea R la región acotada por las gráficas de las funciones continuas y = f (x), y = g(x) y las
rectas x = a y x = b, como se muestra en la figura, que se hace girar alrededor del eje x. Entonces una rebanada
perpendicular al eje x del sólido de revolución en es una circular o anillo anular. Cuando el elemento rectangular de
ancho que se muestra en la figura gira alrededor del eje x, genera una arandela. El área del anillo es:
𝐴(𝑥𝑖∗ ) = á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑐í𝑟𝑐𝑢𝑙𝑜 − á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑜𝑟𝑖𝑓𝑖𝑐𝑖𝑜
𝐴(𝑥𝑖∗ ) = 𝜋[𝑓(𝑥𝑖∗ )]2 − 𝜋[𝑔(𝑥𝑖∗ )]2
𝐴(𝑥𝑖∗ ) = 𝜋([𝑓(𝑥𝑖∗ )]2 − [𝑔(𝑥𝑖∗ )]2 )
∗
∗ 2
∗ 2
𝑉
=
𝐴(𝑥
)∆𝑥
=
𝜋([𝑓(𝑥
)]
−
[𝑔(𝑥
𝑖
Y el volumen 𝑉𝑖 de la arandela representativa mostrada en la figura es: 𝑖
𝑖
𝑖
𝑖 )] )∆𝑥𝑖
En consecuencia, el volumen del sólido es:
𝑏
𝑉 = න 𝜋 𝑓(𝑥)
𝑎
2
− 𝑔(𝑥)
2
𝑑𝑥
Ejemplos:
1)
Encuentre el sólido generado al hacer girar alrededor del eje 𝑥 la región acotada por
𝑦 = 𝑥 + 2 ;𝑦 = 𝑥 ; 𝑥 = 0 & 𝑥 = 3
2)
Encuentre el sólido generado al hacer girar alrededor del eje 𝑥 la región acotada por
𝑦 = 𝑥 &𝑦 =𝑥
3)
Encuentre el sólido generado al hacer girar alrededor del eje 𝑦 la región acotada por
𝑦 = 𝑥 &𝑦 =𝑥
4)
Encuentre el sólido generado al hacer girar la región acotada por 𝑥 = −𝑦 2 + 2𝑦 ;
𝑥 = 0 & 𝑥 = 2 𝑎𝑙 𝑟𝑒𝑑𝑒𝑑𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑥 = 2
5)
Encuentre el sólido generado al hacer girar alrededor del eje 𝑥 la región acotada por 𝑦 = 𝑒 𝑥 ;
𝑦 =1& 𝑥 =2