Dubbelpendeln
Sambandet mellan utfallsvinkeln och tid till
kaotiskt beteende
Nawid Javid & Ali Al Bahadili
Skola: Bromma gymnasium
Kurs: Gymnasiearbete & Naturvetenskaplig specialisering
Klass: NA20A
Datum: 2023-05-20
Handledare: Marie Ståhl & Johan Lissel
Abstract
This study investigates the relationship between the initial angular displacement and
the time it takes for a double pendulum to exhibit chaotic behavior. By varying the
initial angular displacement and carefully observing the pendulum's behavior,
insights into its dynamics can be gained and how different parameters affect its
ability to exhibit chaos can be explored.
The study utilizes a simulation implemented in p5.js to model the double pendulum's
motion.
The results reveal several key findings. Firstly, an immediate transition to chaotic
behavior is observed when the initial angular displacement reaches a threshold angle
between 175 and 120 degrees. This suggests that the double pendulum system
quickly becomes unstable and enters a chaotic state at a certain threshold angle.
Secondly, the time to chaotic behavior increases exponentially within the angular
displacement range of 115 to 10 degrees. Lower initial angular displacements
correspond to longer times for the pendulum to reach a chaotic and unstable state.
Overall, the results suggest that the time it takes for a double pendulum to exhibit
chaotic behavior generally increases exponentially as the initial angular
displacement decreases, with some exceptions. The study also identifies intriguing
deviations from the overall trend, such as the immediate transition to chaos at
specific angular displacements and the absence of chaotic behavior at an initial
angular displacement of 5 degrees within the observed time frame.
Innehållsförteckning
1.
2.
3.
Inledning ..............................................................................................................2
1.1.
Syfte ..............................................................................................................2
1.2.
Frågeställning ................................................................................................2
Teori .....................................................................................................................3
2.1.
Dubbelpendel ................................................................................................3
2.2.
p5.js ...............................................................................................................4
2.3.
Härledning av dubbelpendeln rörelseekvationer...........................................4
Metod ...................................................................................................................7
3.2.
Tillvägagångssätt ..........................................................................................8
4.
Resultat ...............................................................................................................10
5.
Diskussion ..........................................................................................................13
5.1.
Utvärdering och tolkning av resultat ...........................................................13
5.2.
Avvikande resultat ......................................................................................13
5.3.
Utvärdering av metod..................................................................................14
6.
Slutsatser ............................................................................................................15
7.
Källförteckning ..................................................................................................16
1. Inledning
I en värld där kaos och komplexitet är en del av vår vardag är det viktigt att förstå och
analysera dynamiska system som uppvisar kaotiskt beteende. Ett sådant system är
dubbelpendeln, en fysikalisk konstruktion bestående av två länkade pendlar som rör sig under
påverkan av gravitationen. Detta fascinerande system har fångat forskarnas intresse och lockat
till sig uppmärksamhet på grund av sin komplexitet och dess potentiella tillämpningar inom
olika områden.
Detta ämne är både intressant och angeläget av flera skäl. För det första ger undersökningen
oss en djupare förståelse för kaos och dess manifestation i fysiska system. Genom att
undersöka dubbelpendelns beteende kan de komplexa interaktionerna mellan olika faktorerna
studeras och hur små förändringar i initiala villkor kan leda till dramatiska förändringar i
systemets beteende över tid kan utforskas.
För det andra har kunskapen om dubbelpendelns dynamik och kaospotential praktiska
tillämpningar inom olika områden. Exempelvis kan den bidra till att förbättra
förutsägbarheten och stabiliteten hos mekaniska system, optimering av robotarmar eller
utformning av strukturer som ska motstå yttre påverkan.
Slutligen kan denna undersökning också fungera som en pedagogisk resurs för att introducera
elever till kaosteori och dynamiska system. Genom att tillämpa matematiska och fysikaliska
principer i en experimentell kontext kan eleverna få en mer praktisk förståelse för abstrakta
koncept och utveckla sina förmågor inom problemlösning och modellering.
1.1. Syfte
Syftet med denna undersökning är att undersöka och analysera relationen mellan
utfallsvinkeln och tiden det tar för en dubbelpendel att uppvisa kaotiskt beteende.
Utfallsvinkeln är den vinkel som pendeln avviker från sitt jämviktsläge när den släpps från
vila. Genom att variera utfallsvinkeln och noggrant observera pendelns beteende kan insikter i
dess dynamik fås och utforska hur olika parametrar påverkar dess förmåga att visa kaos kan
utforskas.
1.2. Frågeställning
Hur relaterar utfallsvinkeln till tiden det tar för en dubbelpendel att uppvisa kaotiskt beteende?
2
2. Teori
2.1. Dubbelpendel
En dubbelpendel utgör en modell för att studera och beskriva
kaotiska processer inom området kaosteori, där två sammanlänkade
pendlar samtidigt genomgår rörelse (Svirin u.å.). Modellen består av
två pendlar, där den övre pendelns pendelarm är fastsatt vid en
upphängningspunkt och den nedre pendelns pendelarm i sin tur är
fäst vid änden av den första pendelarmen. De pendelkulor som utgör
dubbelpendelns massa hänger fritt i änden av respektive pendelarm
och har förmågan att röra sig fritt i en plan (Svirin u.å.). Detta kan
ses i figur 1.
Dubbelpendeln är ytterst känslig för de initiala villkoren som den
startas med (Svirin u.å.). Små förändringar i dessa initiala villkor
kan ge upphov till betydande konsekvenser för systemets rörelse
över tid. Följaktligen kan två nästan identiska dubbelpendlar med
endast marginella skillnader i initiala villkor, exempelvis
utfallsvinkeln, utveckla helt skilda rörelsemönster över tiden, vilket
illustrerar dubbelpendelns karakteristiska kaotiska beteende (Svirin
u.å.).
Figur 1 - Ett diagram av en dubbelpendel
Vid små vinklar uppvisar dubbelpendeln liknande beteende som ett linjärt system, liknande en
enkel pendel. Däremot blir dubbelpendeln icke-linjär och beteendet blir avsevärt mer
komplext när vinklarna ökar i storlek (Neumann 2016). Vid dessa större vinklar, där den
initiala förskjutningen ökas, resulterar dubbelpendeln i en ännu mer kaotisk rörelse (Harvard
University u.å.). Detta antyder att högre utfallsvinklar leder till snabbare uppkomst av kaotiskt
beteende i dubbelpendeln.
Figur 2 visar rörelsemönstret av en simulering av en
dubbelpendel på p5.js med en utfallsvinkel på 45 grader
efter 30 sekunder. Det är tydligt att figuren avbildar en
stabil och förutsägbar rörelse, som liknar rörelsemönstret
hos en enkelpendel. Detta indikerar att vid denna
utfallsvinkel uppvisar dubbelpendeln inte något kaotiskt
beteende, utan följer en förutsägbar bana under den givna
tidsperioden.
Figur 2 - Rörelsemönsret av en dubbelpendel med
utfallsvinkeln 45 grader efter 30 sekunder
3
Figur 3 visar rörelsemönstret av en simulering av en dubbelpendel på p5.js med en
utfallsvinkel på 115 grader efter 30 sekunder. Det är tydligt
att figuren avbildar ett kaotiskt och oförutsägbart
rörelsemönster. Pendeln har utfört snabba och slumpmässiga
svängningar i olika riktningar, vilket indikerar att den
befinner sig i ett kaotiskt tillstånd. Detta betyder att små
variationer i initiala förhållanden kan leda till betydande
förändringar i pendelns rörelse över tiden. Resultatet visar på
den instabilitet och brist på förutsägbarhet som kan uppstå
vid denna specifika utfallsvinkel.
Figur 3 - Rörelsemönsret av en dubbelpendel med
utfallsvinkeln 115 grader efter 30 sekunder
För att beskriva rörelsen hos en dubbelpendel antas
pendelstången vara masslös och stel, vilket innebär att dess massa ignoreras. Å andra sidan
betraktas massorna i pendelkulorna som koncentrerade till en enda punkt (Neumann 2016).
Genom denna förenklade modell och användningen av principerna inom Newtons andra lag
kan ekvationerna för dubbelpendelns rörelse härledas och analyseras (Neumann 2016).
2.2. p5.js
p5.js är ett JavaScript-bibliotek som ger möjlighet att skapa interaktiva och visuella program i
webbläsaren. Det bygger på koncepten från Processing, en programvarumiljö som används för
att skapa konstnärliga och interaktiva projekt (Wikipedia 2023). En av de tillämpningar som
kan utforskas med p5.js är simuleringen av en dubbelpendel.
Genom att använda p5.js kan man skapa en simulering av en dubbelpendel och representera
dess rörelsemönster grafiskt. Man kan definiera och animera pendelarmarna och
pendelkulorna i realtid, vilket ger en visuell representation av hur pendelsystemet beter sig
över tid. Dessutom kan man genom interaktion med simuleringen justera parametrar såsom
utfallsvinkel och observera hur dessa påverkar pendelns rörelse.
Med hjälp av p5.js kan man enkelt skapa en interaktiv upplevelse där läsaren kan utforska
olika aspekter av dubbelpendeln. Genom att manipulera utfallsvinkeln eller andra parametrar
kan man observera förändringar i pendelns beteende och utforska möjliga scenarier. Detta ger
en praktisk och illustrativ metod för att studera och förstå dubbelpendelns dynamik.
På grund av dessa möjligheter och fördelar är användningen av p5.js lämplig för att simulera
en dubbelpendel och erbjuda en interaktiv och visuell representation av pendelns
rörelsemönster.
2.3. Härledning av dubbelpendeln rörelseekvationer
Nedan presenteras härledningen av rörelseekvationerna för dubbelpendeln genom tillämpning
av Newtons direkta metod.
För att beskriva dubbelpendelns position används variablerna 𝑥, y och 𝜃 där 𝑥 är horisontella
4
positionen av pendelmassan, 𝑦 är vertikala positionen av pendelmassan och θ är
pendelvinkeln (Neumann 2016). Den övre pendeln betraktas med index 1 och den undre med
en index 2. Längden på pendelarmarna är konstant och betecknas med 𝐿. Origo placeras vid
fästpunkten för den övre pendeln och 𝑦 betraktas som ökande uppåt. Med hjälp av
trigonometri kan uttryck för 𝑥1 , 𝑦1 , 𝑥2 och 𝑦2 härledas i termer av vinklarna 𝜃1 och 𝜃2
(Neumann 2016).
𝑥1 = 𝐿1 sin 𝜃1
𝑦1 = −𝐿1 cos 𝜃1
𝑥2 = 𝑥1 + 𝐿2 sin 𝜃2
𝑦2 = 𝑦1 − 𝐿2 cos 𝜃2
För att beskriva dubbelpendelns rörelse används hastighet och acceleration. Hastigheten är
den första derivatan av positionen med avseende på tid och accelerationen är den andra
derivatan (Neumann 2016).
𝑥1′ = 𝜃1′ 𝐿1 cos 𝜃1
𝑦1′ = 𝜃1′ 𝐿1 sin 𝜃1
𝑥2′ = 𝑥1′ + 𝜃1′ 𝐿2 𝑐𝑜𝑠 𝜃2
𝑦2′ = 𝑦1′ + 𝜃2′ 𝐿2 𝑠𝑖𝑛 𝜃2
𝑥1′′ = −𝜃1′2 𝐿1 𝑠𝑖𝑛 𝜃1 + 𝜃1′′ 𝐿1 𝑐𝑜𝑠 𝜃1
𝑦1′′ = 𝜃1′2 𝐿1 𝑐𝑜𝑠 𝜃1 + 𝜃1′′ 𝐿1 𝑠𝑖𝑛 𝜃1
𝑥2′′ = 𝑥1′′ − 𝜃2′2 𝐿2 𝑠𝑖𝑛 𝜃2 + 𝜃2′′ 𝐿2 𝑐𝑜𝑠 𝜃1
𝑦2′′ = 𝑦1′′ + 𝜃2′2 𝐿2 𝑐𝑜𝑠 𝜃2 + 𝜃2′′ 𝐿2 𝑠𝑖𝑛 𝜃2
(1)
(2)
(3)
(4)
I dubbelpendeln behandlas massorna som koncentrerade i en enda punkt och krafterna på
massorna beskrivs med hjälp av variablerna 𝑇, 𝑚 och 𝑔 (Neumann 2016). Krafterna på den
övre pendelmassan är spännkraften i pendelarmen som fäster massan till den övre pendeln
(𝑇1 ), spännkraften i pendelarmen som fäster massan till den nedre pendeln (𝑇2 ) och
gravitationen (−𝑚1 𝑔). För att beskriva krafterna skrivs separata ekvationer för horisontella
och vertikala krafter, eftersom de kan behandlas oberoende av varandra. Den totala kraften på
massan är summan av dessa krafter. Newtons andra lag 𝐹 = 𝑚𝑎 kan användas (Neumann
2016).
𝑚1 𝑥1′′ = −𝑇1 sin 𝜃1 + 𝑇2 sin 𝜃2
𝑚1 𝑦1′′ = 𝑇1 cos 𝜃1 − 𝑇2 cos 𝜃2 − 𝑚1 𝑔
𝑚2 𝑥2′′ = −𝑇2 sin 𝜃2
𝑚2 𝑦2′′ = 𝑇2 cos 𝜃2 − 𝑚2 𝑔
(5)
(6)
(7)
(8)
Nu kan θ1'' och θ2'' lösas ut genom att lösa ekvationerna (7) och (8)
för T2 sin θ2 and T2 cos θ2 som sedan substitueras in i ekvationerna (5) och (6) (Neumann
2016).
𝑚1 𝑥1′′ = −𝑇1 sin 𝜃1 − 𝑚2 𝑥2′′
𝑚1 𝑦1′′ = 𝑇1 cos 𝜃1 − 𝑚2 𝑦2′′ − 𝑚2 𝑔 − 𝑚1 𝑔
(9)
(10)
5
Ekvation (9) multipliceras med cos θ1 och ekvation (10) med sin θ1 (Neumann 2016).
𝑇1 sin 𝜃1 cos 𝜃1 = − cos 𝜃1 (𝑚1 𝑥1′′ + 𝑚2 𝑥2′′ )
𝑇1 sin 𝜃1 cos 𝜃1 = sin 𝜃1 (𝑚1 𝑦1′′ + 𝑚2 𝑦2′′ + 𝑚2 𝑔 + 𝑚1 𝑔)
(11)
(12)
Detta leder till följande ekvation:
sin 𝜃1 (𝑚1 𝑦1′′ + 𝑚2 𝑦2′′ + 𝑚2 𝑔 + 𝑚1 𝑔) = − cos 𝜃1 (𝑚1 𝑥1′′ + 𝑚2 𝑥2′′ )
(13)
Ekvation (7) multipliceras med cos θ2 och ekvation (8) med sin θ2 (Neumann 2016).
𝑇2 sin 𝜃2 cos 𝜃2 = − cos 𝜃2 (𝑚2 𝑥2′′ )
𝑇2 sin 𝜃2 cos 𝜃2 = sin 𝜃2 (𝑚2 𝑦2′′ + 𝑚2 𝑔)
(14)
(15)
Detta leder till följande ekvation:
sin 𝜃2 (𝑚2 𝑦2′′ + 𝑚2 𝑔) = − cos 𝜃2 (𝑚2 𝑥2′′ )
(16)
Ekvationerna (13) och (16) löses ut för 𝜃1′′ , 𝜃2′′ och följande ekvationer erhålles (Neumann
2016):
𝜃1′′
′2
−𝑔(2 𝑚1 + 𝑚2 ) sin θ1 − 𝑚2 𝑔 sin(θ1 − 2 θ2 ) − 2 sin(θ1 − θ2 ) 𝑚2 (θ′2
2 𝐿2 + θ1 𝐿1 cos(θ1 − θ2 ))
=
𝐿1 (2 𝑚1 + 𝑚2 − 𝑚2 cos(2 θ1 − 2 θ2 ))
′2
2 sin(θ1 − θ2 ) (θ1 𝐿1 (𝑚1 + 𝑚2 ) + 𝑔(𝑚1 + 𝑚2 ) cos θ1 + θ′2
2 𝐿2 𝑚2 cos(θ1 − θ2 ))
′′
𝜃2 =
𝐿2 (2 𝑚1 + 𝑚2 − 𝑚2 cos(2 θ1 − 2θ2 ))
Dessa är vinkelaccelerationerna och rörelseekvationerna för en dubbelpendel (Neumann
2016).
6
3. Metod
3.1. Kod till simulation
Nedan presenteras koden till simuleringen av dubbel pendeln med spårning som kan simuleras
i p5.js:
// Tyngdacceleration (i m/s^2)
let g = 9.82;
// Massa av pendelkulor (i massenheter)
let massa1 = 10;
let massa2 = 10;
// Längd av pendelarmar (i längdenheter)
let längd1 = 125;
let längd2 = 125;
// Utfallsvinkel för båda pendlar (i grader)
let vinkel = 120;
// Startvinkel (i radianer)
let vinkel1 = vinkel * Math.PI / 180;
let vinkel2 = vinkel * Math.PI / 180;
// Startvinkelhastighet (i radianer/s)
let vinkelHastighet1 = 0;
let vinkelHastighet2 = 0;
// Startacceleration (i längdenheter/s^2)
let acceleration1 = 0;
let acceleration2 = 0;
let bana = [];
// Skapar en rityta på 600x400 pixlar
function setup() {
createCanvas(600, 400);
}
function draw() {
// Uppdaterar värdet av variablerna varje 0,28s
let dt = 0.28;
// Beräknar vinkelacceleration
acceleration1 = (-g * (2 * massa1 + massa2) * sin(vinkel1)
-massa2 * g * sin(vinkel1 - 2 * vinkel2) -2 * sin(vinkel1 -
7
vinkel2) * massa2 * (vinkelHastighet2 * vinkelHastighet2 *
längd2 + vinkelHastighet1 * vinkelHastighet1 * längd1 *
cos(vinkel1 - vinkel2))) / (längd1 * (2 * massa1 + massa2 massa2 * cos(2 * vinkel1 - 2 * vinkel2)));
acceleration2 = (2 * sin(vinkel1 - vinkel2) *
(vinkelHastighet1 * vinkelHastighet1 * längd1 * (massa1 +
massa2) + g * (massa1 + massa2) * cos(vinkel1) +
vinkelHastighet2 * vinkelHastighet2 * längd2 * massa2 *
cos(vinkel1 - vinkel2))) / (längd2 * (2 * massa1 + massa2 massa2 * cos(2 * vinkel1 - 2 * vinkel2)));
// Beräknar vinkelhastighet och vinkel
vinkelHastighet1 += acceleration1 * dt;
vinkel1 += vinkelHastighet1 * dt;
vinkelHastighet2 += acceleration2 * dt;
vinkel2 += vinkelHastighet2 * dt;
// Beräknar x- och y-koordinat av pendelarmars ände
let x1 = längd1 * sin(vinkel1);
let y1 = längd1 * cos(vinkel1);
let x2 = x1 + längd2 * sin(vinkel2);
let y2 = y1 + längd2 * cos(vinkel2);
// Ritar pendlar på en grå bakgrund
background(220);
translate(width / 2, height / 2 - 75);
line(0, 0, x1, y1);
fill(255, 0, 0);
circle(x1, y1, 20);
line(x1, y1, x2, y2);
fill(255, 0, 0);
circle(x2, y2, 20);
bana.push([x2, y2]);
stroke(255, 0, 0);
for (let i = 1; i < bana.length; i++) {
line(bana[i - 1][0], bana[i - 1][1], bana[i][0],
bana[i][1]);
}
}
3.2. Tillvägagångssätt
1. En simulering av en dubbelpendel skapades i p5.js genom att implementera
rörelseekvationerna för en dubbelpendel.
8
2. Utfallsvinkeln för dubbelpendeln bestämdes som den initiala vinkeln mellan de båda
pendelarmarna vid starten av varje simulering. Utfallsvinkeln systematiskt varierades i
steg om 5 grader, från 175 grader till 5 grader.
3. Simuleringen och tidtagning påbörjades samtidigt. En tidtagare användes för att
noggrant mäta tiden det tog för dubbelpendeln att uppvisa kaotiskt beteende från
början av simulationen.
4. Under varje simulering observerades dubbelpendelns beteende, och den exakta tiden
det tog för kaotiskt beteende att inträffa dokumenterades.
5. Steg 3 och 4 upprepades för varje utfallsvinkel, vilket resulterade i en serie av
mätningar av tiden för kaotiskt beteende för olika utfallsvinklar.
6. Alla mätningar registrerades och dokumenterades för att möjliggöra vidare analys.
9
4. Resultat
Nedan presenteras det erhållna resultatet av undersökningen. Tabell 1 är en tabell som visar
utfallsvinklarna i grader och motsvarande tid till kaotiskt beteende för dubbelpendeln. Figur 4
är en graf som visar utvecklingen av tiden till kaotiskt beteende för pendeln mellan
utfallsvinklarna 115–10 grader.
Utfallsvinkel
(grader)
Tid till kaotiskt beteende
(sekunder)
175
0
170
165
160
155
150
145
140
135
130
125
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
120
115
0
1,38
110
1,82
105
1,9
100
2,02
95
2,4
90
4,71
85
5,57
80
8,45
75
13,79
70
16,41
65
19,95
60
25,36
55
33,09
10
50
47,77
45
67,54
40
103,05
35
163,73
30
278,92
25
524,89
20
1115,32
15
2829,8
10
8592,4
5
-
Tabell 1 - Resultat av tid till kaotiskt beteende vid olika utfallsvinklar för dubbelpendeln. Försöket utfördes maj 2023.
Tabell 1 presenterar utfallsvinklarna i grader och motsvarande tid till kaotiskt beteende i
sekunder för dubbelpendeln. Undersökningen utfördes genom att observera pendelns beteende
mellan utfallsvinklarna 175 och 5 grader, vilket innebär totalt 35 försök.
En intressant observation är att mellan utfallsvinklarna 175 och 120 uppvisade dubbelpendeln
kaotiskt beteende omedelbart, vilket indikerar en snabb övergång till kaos. Däremot visade
pendeln ingen kaotiskt beteende vid en utfallsvinkel på endast 5 grader under en
övervakningstid på över 24 timmar. En generell trend i resultaten är att tiden till kaotiskt
beteende ökar successivt med lägre utfallsvinklar. Det tar längre tid för pendeln att uppvisa
kaotiskt beteende vid högre utfallsvinklar.
Tid till kaotiskt beteende i relation till utfallsvinkel
för en dubbelpendel
8592,4
1000
100
y = 3690,4e-0,075x
10
1,38
1
105
85
65
45
25
5
Tid till kaotiskt beteende (s)
10000
0,1
Utfallsvinkel (°)
Figur 4 - Graf av resultatet av tid till kaotiskt beteende vid utfallsvinkelintervallet 175–10 grader för
dubbelpendeln.
11
Figur 4 visar utvecklingen av tiden till kaotiskt beteende för dubbelpendeln mellan
utfallsvinklarna 115–10 grader. Figuren presenterar endast detta intervall eftersom
utfallsvinklarna 175–120 resulterade i en omedelbar övergång till kaos (tid = 0) och vid
utfallsvinkeln 5 uppvisade pendeln inget kaotiskt beteende.
På x-axeln representeras utfallsvinkeln av dubbelpendeln i grader, medan y-axeln
representerar tiden till kaotiskt beteende i sekunder. Det är viktigt att observera att y-axeln är
skalad i en logaritmisk skala. Detta innebär att varje steg på axeln representerar en
tiopotensökning i tiden. Med andra ord ökar tiden till kaotiskt beteende med en faktor av 10
för varje steg på y-axeln.
För att analysera trenden i figuren har en trendlinje baserad på funktionen 𝑦 =
3690,4𝑒 −0,075𝑥 skapats, där 𝑥 representerar utfallsvinkeln. Trendlinjen ser till synes linjär ut
på figuren men det beror på den logaritmiska skalan på y-axeln. I själva verket är trenden
exponentiell, vilket innebär att tiden till kaotiskt beteende minskar exponentiellt med ökande
utfallsvinklar.
12
5. Diskussion
5.1. Utvärdering och tolkning av resultat
Enligt resultatet observerades en omedelbar övergång till kaotiskt beteende från
utfallsvinklarna 175 till 120 grader. Detta tyder på att pendelsystemet snabbt blir instabilt och
uppvisar kaos när utfallsvinkeln når en viss tröskel.
Vidare visade resultaten att tiden till kaotiskt beteende ökade exponentiellt inom
utfallsvinkelintervallet 115 till 10 grader. Detta innebär att ju lägre utfallsvinkeln var, desto
längre tid tog det för pendeln att nå ett kaotiskt instabilt tillstånd.
För att kvantifiera trenden i tiden till kaotiskt beteende skapades en trendlinje baserad på en
exponentiell funktion. Trendlinjen visade sig vara en bra anpassning till data och följde
funktionen 𝑦 = 3690,4𝑒 −0,075𝑥 där 𝑥 representerar utfallsvinkeln. Den exponentiella formen
av trendlinjen bekräftar att tiden till kaotiskt beteende minskar exponentiellt med ökande
utfallsvinklar.
Dessa observationer är i överensstämmelse med teorin om att pendelsystemet blir mer
instabilt och uppvisar mer kaotiskt beteende vid mindre utfallsvinklar.
Därutöver noterades att vid en utfallsvinkel på 5 grader uppvisade pendeln inget kaotiskt
beteende under den observerade övervakningstiden på över 24 timmar. Detta tyder på att
utfallsvinkeln på 5 grader inte var tillräckligt för att pendeln skulle nå ett kaotiskt instabilt
tillstånd inom den givna tidsramen.
5.2. Avvikande resultat
De avvikande resultaten i denna undersökning, nämligen den omedelbara övergången till
kaotiskt beteende från utfallsvinklarna 175 till 120 grader samt frånvaron av kaotiskt beteende
vid en utfallsvinkel på 5 grader, är intressanta och ger upphov till ytterligare diskussion.
Den omedelbara övergången till kaotiskt beteende vid vissa utfallsvinklar kan förklaras av att
tiden det tog för pendeln att övergå till kaos var så kort att det inte gick att mäta noggrant. I
dessa fall kan övergången betraktas som omedelbar, vilket tyder på att pendelsystemet blir
snabbt instabilt och går in i ett kaotiskt tillstånd vid en viss tröskelvinkel. Detta fenomen kan
vara resultatet av komplexa interaktioner mellan olika faktorer, såsom pendelns initiala
förhållanden och systemets känslighet för störningar. Vid dessa specifika utfallsvinklar är det
möjligt att även små avvikelser i startvillkor kan utlösa kaosartade beteenden.
Å andra sidan visade resultaten att vid en utfallsvinkel på 5 grader uppvisade pendeln inget
kaotiskt beteende under den observerade övervakningstiden på över 24 timmar. Det är viktigt
att notera att denna observation kan vara beroende av den valda övervakningstiden. Det är
möjligt att pendeln skulle uppvisa kaotiskt beteende vid en längre övervakningstid, där
eventuella långsamma övergångar till kaos skulle kunna upptäckas. Därför kan det vara värt
att utforska längre övervakningstider för att noggrant utvärdera pendelns beteende vid denna
utfallsvinkel.
13
För att vidare förstå dessa avvikelser och deras mekanismer skulle det vara lämpligt att
genomföra kompletterande experimentella undersökningar. Det skulle vara intressant att
undersöka utfallsvinklarnas inverkan på pendelsystemet med högre noggrannhet och med
längre övervakningstider. Dessa ytterligare undersökningar skulle kunna ge en mer
omfattande bild av hur utfallsvinkeln relaterar till pendelns förmåga att uppvisa kaotiskt
beteende.
5.3. Utvärdering av metod
Metoden som användes i denna undersökning, med implementeringen av en simulering i p5.js
och systematisk variation av utfallsvinkeln, möjliggjorde en noggrann undersökning av
sambandet mellan utfallsvinkeln och tiden för kaotiskt beteende hos dubbelpendeln. Genom
att använda simuleringen hade forskarna full kontroll över pendelns rörelse och kunde
noggrant mäta tidpunkten för kaotiskt beteende. Variationen av utfallsvinkeln i steg om 5
grader gav en bred uppsättning av fall för att analysera pendelns beteende över ett stort
spektrum av utfallsvinklar.
Användningen av en tidtagare och noggrann observation av pendelns beteende bidrog till att
säkerställa korrekta mätningar och dokumentation av resultaten. Genom att kombinera
kvantitativa mätningar av tiden för kaotiskt beteende med kvalitativ observation av pendelns
beteende kunde forskarna objektivt bedöma och analysera resultaten.
Trots metodens styrkor finns det också begränsningar och felkällor som måste beaktas. En
potentiell begränsning är simuleringens noggrannhet. Trots att simuleringen i p5.js ger en bra
approximation av dubbelpendelns beteende, är det viktigt att erkänna att den inte kan
återskapa alla aspekter av det verkliga systemet. Förenklingar och antaganden kan ha gjorts,
vilket kan påverka giltigheten av resultaten och deras överförbarhet till verkliga fysiska
pendelsystem.
En annan felkälla är sensitiviteten mot de numeriska metoder och algoritmer som används i
p5.js. Felaktigheter eller approximationer i de numeriska beräkningarna kan påverka
resultaten. För att minimera denna felkälla kan olika numeriska metoder testas och jämföras
för att säkerställa tillförlitligheten av resultaten. Noggrannhetskontroller och validering av
simuleringens resultat kan vara användbara för att bedöma pålitligheten hos de numeriska
teknikerna som används.
Om möjlighet fanns att förbättra eller utvidga undersökningen skulle en längre
övervakningstid vara en viktig förbättring. En längre övervakningstid skulle ge möjlighet att
observera eventuella långsamma övergångar till kaos vid lägre utfallsvinklar som kanske inte
kunde upptäckas inom den tidigare övervakningstiden på 24 timmar. Detta skulle bidra till en
mer noggrann karaktärisering av pendelns beteende.
För att öka tillämpligheten och validera resultaten skulle en jämförelse med verkliga fysiska
pendelsystem vara en intressant utvidgning av undersökningen. Genom att genomföra
experiment med verkliga pendelsystem och jämföra resultaten med simuleringen skulle man
kunna bedöma i vilken utsträckning simuleringen återspeglar det verkliga beteendet och dra
slutsatser om deras överensstämmelse.
14
6. Slutsatser
Utfallsvinkeln har visat sig ha en tydlig relation till tiden det tar för en dubbelpendel att
uppvisa kaotiskt beteende. Resultaten av undersökningen avslöjade att det sker en omedelbar
övergång till kaos när utfallsvinkeln når mellan 175 och 120 grader. Detta indikerar att
pendelsystemet blir snabbt instabilt och går in i ett kaotiskt tillstånd vid en specifik
tröskelvinkel.
Vidare visade resultaten att tiden för kaotiskt beteende ökar exponentiellt med minskande
utfallsvinkel inom intervallet 115 till 10 grader. Det betyder att när utfallsvinkeln minskar tar
det längre tid för pendeln att nå det kaotiska instabila tillståndet.
Det noterades också att vid en utfallsvinkel på 5 grader uppvisade pendeln ingen kaotiskt
beteende under den observerade övervakningstiden på över 24 timmar. Detta antyder att en
utfallsvinkel på 5 grader inte var tillräcklig för att pendeln skulle nå ett kaotiskt instabilt
tillstånd inom den givna tidsramen.
15
7. Källförteckning
Harvard. (u.å). Chaotic Pendulum.
https://sciencedemonstrations.fas.harvard.edu/presentations/chaotic-pendulum (Hämtad 202305-18)
Neumann, Erik. (2021). Double Pendulum.
https://www.myphysicslab.com/pendulum/double-pendulum-en.html (Hämtad 2023-05-18)
Sverin, Alex. (u.å.) Double Pendulum.
https://math24.net/double-pendulum.html (Hämtad 2023-05-18)
Wikipedia. (2023). Processing.
https://en.wikipedia.org/wiki/Processing#p5.js (Hämtad 2023-05-18)
16