Примеры автоматич систем. Обратная связь. Символика.
Проблемы науки об упр-ии. Тест сигналы, их мат св-ва.
Регулятор скорости паровой машины, система стабилизации
угловой скорости вращения вала паровой машины,
автопилот, стабилизирующий курс ЛА. Структурная схема –
схема, с помощью кот можно изобразить работу сис-мы,
построенной на основе разрыва физич вел-н.
- схематичное изобр АС
3. Гармонич ф-я. X(t)=A*sin(wt)=A*cos(wt) или x(t)=A*e^(jwt)
Исследование частотных св-в эл-тов и САУ. Моделирование
повторяющихся возд-ий (вибраций).
4. Степенные ф-ии времени (**рис прямой под углом /**)
X(t)=k*t^a, k-пост коэфф, a-константа. При a=1 обеспеч-ся
лин ф-я времени, как на рисунке. Моделирование
непрерывного возд-я на систему (исслед-е следящих сис-м)
Организованную через цепочку элементов связь выходного
сигнала системы с входным, при которой отклонение
выходного сигнала системы вызывает соответствующее
изменение ее входного сигнала, называют обратной связью.
Различают обратную связь отрицательную и положительную.
Отрицательная обратная связь (ее условное изображение –
сумматор с нижней черной четвертинкой) — это такая связь
выходного сигнала системы с входным, при которой
отклонение выходного сигнала одного знака вызывает
изменение входного сигнала противоположного знака.
Например, при увеличении температуры выше заданной
требуется уменьшить подачу топлива.
Положительная обратная связь (ее условное изображение
такое же, как отрицательной, но без зачернения сектора
крута) — это такая связь выходного сигнала системы с
входным, при которой отклонение выходного сигнала
одного знака вызывает изменение входного сигнала такого
же знака.
Понятие частотного оператора линейной системы, понятие
передаточной функции.
ЧО описывает свойство линейной дин системы. Для получ
выражения ЧО подадим на вх лин сис-мы входное тестовое
гармонич выр-е: g(t) = e^(jwt) = cos(wt)+sin(wt)
И попробуем найти выход величину в форме:
x(t) = W(jw)*e^(jwt). Дифференц по времени получаем
выр-е для ЧО: W(jw) = (b0(jw)^m + … + bm)/(a0(jw)^n +…+an)
ЧО представляет собой дробно-рациональную функцию jw,
w – частота входн тестового гармонического воздействия.
Сам оператор – комплексная функция, может быть записан в
виде: W(jw) = A(w)*e^(j*ϕ(w)),
A(w) – модуль ЧО, амплитудная частотн. хар-ка, четная функя частоты.
ϕ(w) – аргумент ЧО, фазо-частотная характеристика,
нечетная функция частоты.
СВОЙСТВО ФИЗ ОСУЩЕСТВИМОСТИ:
Порядок знаменателя выше порядка числителя, поэтому с
увелич частоты вх возд-я амплитуда на вых убывает.
ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ ЗВЕНА – отношение изображ-я
вых величины к изображ вх величины, при нулевых н.у.
W(s) = X2(s)/X1(s) = Xвых(s)/Xвх(s)
Классификация элементарных звеньев линейных систем с
наименованиями
Знаменатель передат функции: a0*s^n + … + an = a0(s-λ1)(sλ2)…(s- λn)
λk (k=1…n) – корни уравнения
1. Интегрирующий элемент. λ = 0; W(s) = X(s)/G(s) = 1/s
2. Апериодический элемент. λ =-1/T; W(s) = 1/(Ts+1)
3. Колебательный элемент. (Пара комплексных корней) λi =
a+jb; λk = a - jb; W(s) = 1/((s – a)^2 + b^2); a=-ξ/T; W(s) =
1/((T^2)*(s^2)+2ξTs+1); ξ – коэфф демпфирования
Числитель передаточной функции: b0*s^m + … + bm
4. Дифференц элемент 1-го порядка. W(s) = 1 + Ts
5. Дифф элемент 2-го порядка. W(s) = 1+2ξTs+(T^2)*(s^2)
6. Усилительный элемент. W = b0/a0 = k
Реальные характеристики элементов и систем, приемы
линеаризации с целью дальнейшего теоретич иссл
Линеаризация проводится через разложение в ряд Тейлора
и графически. Тейлор: Уравнение динамики системы в
общем случае: F(x1, x1*, x2, x2*, x2**). x1°, x2° – установив
зн-я переменных x1, x2. Тогда x1 = x1°+Δx1(t), x2 = x2°+Δx2(t),
x1*=Δx1*, x2*=Δx2*, x2**=Δx2**, где Δ – обознач отклон в
процессе регулир. В установ сост F(x1°,0, x2°,0,0)=0.
Разложим левую часть в ряд Тейлора: F°+(dF/dx1)°Δx1 +
(dF/dx1*)°Δx1*+(dF/dx2)°Δx2+….=0. Из данного выражения
вычитаем F(x1°,0,…) и отбросив последующие члены
разлож-я как малые высшего порядка, придем к a0(d^2 x2/d
t^2) + a1(d x2/d t) + a2x2 = b0(d x1/d t)+b1x1
Графическая линеаризация – проводим касательную к
заданной кривой F(x1) в т. x1°; тангенсом угла наклона касат
будет знач-е коэфф (dF/dx1)°.
Приемы преобразования многоконтурных систем
управления к одноконтурным.
Параллельное соединение заменяется на сумму звеньев
Последовательное – на их произведение
ПОС заменяется на Wэ=W1(p)/(1-W1(p)*Woc(p))
ООС заменяется на Wэ=W1(p)/(1+W1(p)*Woc(p))
Перестановка различных элементов схемы:
понятие критерия уст;
Решение ϕ(t) сис дифф уравнений X’=f(t,X) с н.у. X(0)=X0
устойчиво, если для любого ε>0 найдется число δ= δ(ε)>0,
такое, что если ||X(0)-ϕ(0)||< δ, то ||X(t)-ϕ(t)||<ε для всех
знач t>=0. В противном случ реш-е ϕ(t) назыв неустойчивым.
Опред устойчивости движения по Ляпунову;
Движение x(t)=0 назыв уст, если для любого положит ε и T
существ δ, такая что||X(0)||<δ -->||X(t)||< ε для любого t<T
Исследование устойчивости АС;
Если реш-е ϕ(t) сис дифф уравнений не только уст в смысле
Ляпунова, но и удовл lim(t->endless)||X(t)-ϕ(t)||=0 при
условии ||X(0)-ϕ(0)||<δ, то реш-е ϕ(t) явл ассимптотич уст.
В этом случае все реш-я, дост близкие к ϕ(0) в нач момент
времени, пост сход к ϕ(t) при увел t.
Если реш-е ϕ(t) ассимпт уст и из условия||X(0)-ϕ(0)||< δ
следует, что ||X(t)-ϕ(t)||<=a||X(0)-ϕ(0)||*e^(-bt) для всех
t>=0, то реш-е ϕ(t) явл экспоненциально уст. В таком случае
все реш-я, близкие к ϕ(0) в нач момент, сходятся к ϕ(t) со
скоростью, кот опред-ся экспоненц функ-ей с пар-рами a, b
т Ляпунова;
Для того, чтобы ур-е вида dx/dt=Ф(х) обладало уст тривиал
реш-ем НиД, чтобы корни характер ур-я det(A-λЕ)=0 имели
отриц веществ части. xi(t)=C1i*e^(λ1*t)+…+Cni*e^(λn*t), i=1.n
исслед уст без вычисл корней характ ур-я;
Устойчивость по первому приближ-ю. Рассм сист X’=f(X).
Предпол, что сист имеет нулевое реш-е X=0, кот будем
исслед на устойчив. Считая ф-ии fi(X) дважды непрерыв
дифференц в некоторой окрестности нач коорд, можно разл
правую часть в ряд Маклорена: dx1/dt=d’f1/d’x1(0)*x1+..
+R1(x1,xn), **написать n кол-во рядов**, где Ri – опис члены
второго(и выше) порядка малости относит коорд ф-ий x1..xn.
X’=J*X+R(X), где якобиан J опред формулой **таблица из
коэфф-в рядов**. Знач-я част произв в этой матрице вычисл
в точке разлож-я ряда (в нуле). Уст-ть такой сис-мы опред:
1.Если все собств знач-я якобиана имеют отриц действ
части, то Х=0 исход сис-мы и линеаризованной явл асимптот
устойчивым; 2.Если хотя бы одно собств знач-е якобиана
имеет положит действит часть, то нулевое реш-е Х=0 исход
сис-мы и линеариз сис-мы явл неуст.
алгебр критерии уст;
НиД алгебраическими критериями уст явлеются критерии
Рауса и Гурвица. Характ ур-е системы: D(p)=a0*p”n”+..+an
Раус: таблица, в первой стр записыв коэфф уравн-я с
четными индек-ми в порядке возраст-я; во второй-с
нечетными; остальные эл-ты таблицы опр: C’k,i’=C’k+1’,’i-2’ri*C’k+1’,’i-1’, где ri=C’1,i-2’/ C’1,i-1’
i>=3 – номер стр, k – номер столбца. Число строк табл на
единицу больше порядка характер ур-я.
Критерий: Для того, чтобы САУ была уст, НиД, чтобы коэффты первого столбца таблицы были положительными. Если
это не выполн – сис-ма неустойч, а кол-во правых (с положит
веществ частью) корней равно числу перемен знака в 1-ом
столбце.
Гурвиц: из коэфф-ов характ ур-я строится определитель
Гурвица Δ по алгоритму: по главн диаг слева-направо
выставл все коэфф-ты характ ур-я от а1 до an; от кажд эл-та
диаг вверх и вниз достраиваются столбцы опред-ля так,
чтобы индексы убывали сверху вниз; на место коэфф-ов с
индексами меньше 0 или больше n ставятся нули. Критерий:
для того, чтобы САУ была уст, НиД, чтобы все n диаг мин-ов
опред-ля Гурвица были положит. Эти миноры назыв опред
Гурвица
частотн крит уст;
Два частотн критерия уст – Михайлова и Найквиста. МИХ:
Характеристич полином САУ: D(λ)=a0*(λ-λ1)*..*(λ-λn)=0,
λ->jw; D(jw) измен при изм w от –endl до +endl **рисунокромб на мнимой положит оси, справа λк, слева λi, вектор по
оси – jw. Вектор изм на +180гр, если в левой полуплоск. В
правой -180гр. ΔargD(jw)=(n-m)π-mπ=(n-2m)π, m-число
корней с положит Re. Если все корни имеют отриц часть Re
(m=0), то приращ arg составит nπ. Годограф D(λ) симметрич
отн Re -> можно рассмотреть только положит зн-я частоты,
т.е. ΔargD(jw)= nπ/2. Для того, чтобы характерист полином
имел все корни с отриц веществ частью, НиД, чтобы его
годограф монотонно проходил n квадрантов комплексной
пл-ти.
НАЙК: W(s)=M(s)/N(s); Ф(s)=W(s)/(1+W(s))=M(s)/(N(s) +M(s)) =
X(s)/G(s); 1+W(s)=(N(s)+M(s))/N(s); Δarg(1+W(jw))=Δarg(N(jw)+
M(jw))- Δarg(N(jw)); Δarg(1+W(jw))=nπ/2-(n-2m)*π/2
Годограф левой части в случае устойч замкнут сис-мы охват
начало коорд m/2 раз. Отлич простым сдвигом на 1 вдоль
веществ оси от годографа разомкн сис-мы. Для того, чтобы
замкнутая автоматич сис-ма была уст, НиД, чтобы годограф
ее ПФ в разомкнут сост-ии охватывал точку (-1;j*0) m/2 раз,
где m-число корней с положит веществ частью характерист
полинома разомкнутой сис-мы.
Понятие коэфф-ов ошиб при воспроизв плавных вх воздий; приемы их определения; понятие передат ф-ии по
отнош-ю к ошибке
Для оценки точн воспроизвед-я непрерывных возд исп
коэфф-ты ошибок. Наиболее точно – для полиномов.
W(s)=X(s)/E(s); Фe(s)=E(s)/G(s)=1/(1+W(s)) **рисунок следящ
сис-мы со вхG, звеномW, выхX, ошибE и сумматором**
ε(t)=**интеграл 0 t** kε(t)g(t-τ)dτ; g(t-τ)=g(t)-τ*g’(t)+…(-1)^n*
((τ^n)/n!)*g(t)”(n)”; ε(t)=C0g(t)+C1*g’(t)+…(Cn/n!)*g(t)”(n)”;
Cr=(-1)^r **интеграл 0 endl** kε(τ)*τ^r*dτ – коэфф-ты ош-ки;
W(s)=k*M(s)/(S^ν*N(s)), ν-порядок астатизма; система с
нулевым порядк астатизма – статич; W(s)=k/(s*(1+Ts)(1+τs));
Фε(s)=1/(1+W(s))=( s*(1+Ts)(1+τs))/( s*(1+Ts)(1+τs)+k);
Фε(s)=0+s/k+(k(T+τ)-1)*(s/k)^2+(τTk^2-2(τ+T)k+1)*(s/k)^3+
+0*(s/k)^4; В получ разлож-ии отсутств нулевой коэфф
ошибки → при пост вх возд после перех процесса сис-ма не
имеет ошибки. Чем больше k – тем меньше ошибка; k –
добротность следящей системы
Задача синтеза систем автоматического управления;
традиционные и современные приемы синтеза систем
автоматического управления; примен комп технологий
для реш-я задач синтеза систем автоматич управл
Осн задача синтеза САУ – опред структ и пар-ров системы на
основе требований к качеству процесса управления. САУ,
наилучшим образом удовлетворяющую этим требованиям,
называют оптимальной. Часто задача синтеза линейн стац
АС при детерминир возд-ях сужается до задачи синтеза
корректир ус-в(КУ), включаемых в нескорректированную
сис-му. При этом, если нескорректир сис-ма удовл
требованию точности, то задачей синтеза КУ явл опред типа
корректир ус-ва, его схемы и пар-ров по известным хар-кам
нескорректир сис-мы и треб-ям к динам хар-кам проектир
АС. Обычно используется след алгоритм: 1. Выбор
функционально необход эл-тов управл ус-ва и ист питания;
2. Опр-е пар-ров функц-но необх эл-тов управл ус-ва и
составл структ-динамич схемы исход АС; 3. Статистич расчет
сис-мы по структ-динамич схеме; 4. Динамич расчет сис-мы.
Заключительным этапом разраб и расчета АС явл установл
оконч структ скорректир сис-мы и опр-е показат ее качества.
///В настоящее время, в связи с развит компьютерных
информац технологий актуальными становятся аналитич
методы синтеза одномерных и многомерных САУ.
Появляются новые оригиналь-е методы аналит-ого синтеза
САУ с примен-ем нового принципа управл-я: по выходу и
возд-ям, который явл обобщением управл по отклонению,
по сост-ю и возд-ям. Это позволяет синтез-ть как одномер,
так и многомер САУ с заданными показат-ми кач-ва в перех
и установив-ся режимах
Дискрет принципы управл-я, способы моду-ции; модифи-я
критериев устойчивости для дискретных систем;
Дискрет сис-мы содержат звенья дискр-ого действия
(импульсные, релейные и цифровые). Релейн-е САУ –сис-мы
с квантованием по ур-ню, имп-ные – по времени, а цифр-ые
– с примен-ем обоих видов квантов-я. Сигнал сущ только в
определенные (дискрет) моменты времени. T – период
квантования. **рисунок звена, в котором _|_, на вх f(t), на
вых f(n) – решетчатая ф-я**
Амплитудно-имп модуляция. **ступенчат график «лестница
вниз», уходящий в отриц полуплоскость; каждый шаг – T,
вместе с ним есть волновой убыв график** Знач-е
решетчатой ф-ии в левом конце каждого интервала
продлевается на весь период квантов-я. S(t)-прямоуг имп
единич высоты; y(t)=Σ’n’ (x*(nT)*s(t-nT) – АИМ
Широтно-имп модул-я. Меняется длит-ть, кот пропорц зн-ю
модулируемой ф-ии в левом конце каждого интервала.
S(t)=1(t)-1(t-γn*T), 0<γn<T; γn=(1/M)*x(nT); M=sup{x(nT)} -точн
верхняя грань мн-ва знач-ий решетчатой ф-ии на всем мн-ве
знач-ий n. М ввод-ся для того, чтобы избежать перемод-ции.
y(t)=c Σ’n’ (s(t-nT)sgn(nT); **график на котором изобр неск
положит импульсов (высота С) и неск отриц (высота -С),
отмеч периоды T,2T,.., также есть огибающая синусоида**
Wф(s)=1/s-(1/s)*e^(-γTs)=( 1-e^(-γTs))/s (при γ=1-для АИМ);
k(t)=*интеграл 0,t*kn(t-τ)*s(τ)dτ –весовой коэфф-т; t=nT+εT,
0<ε<1, n=0,1,2..; x(t)=x(n, ε)= Σ’m=0’ “n” g(m)*k(n-m, ε);
D(g(n, ε))= Σ’n=0’ “endl” g(n, ε)*e^(-q*n) = G*(q,ε);
W*(q, ε)=X*(q, ε)/G*(q, ε), q=jwT; dx/dt →(x(n+T)-x(n))/T;
Дифф ур-е → рекурентное соотн-е; Ɵdx/dt+x=0; Ɵ(x(n+T)x(n))/T +x(n)=0; x(n+T)=(1-T/Ɵ)x(n); x(n+T)=λ*x(n); |λ|<1 –усл-е
устойч-ти (для дискрет)
понятия управляемости и наблюдаемости как
обобщенные свойства САУ, изуч в современн науке об
управл; исслед управл-ти и наблюд-ти с исп аппарата
матричной алгебры.
dX/dt = AX+BG, A – квадр-я матрица, В - **матрица коэфф-ов
bnm, где n-стр, m-столбцов**; Y=C*X, Y=(y1,y2,..yq)^T –
вектор измеренных координат.
Сис-ма назыв-ся управл-ой, если сущ огранич вектор управл
G=(g1,g2,…gm)^T, под действ которого она переводится за
конечное время из любого нач сост-я Х в начало координат.
Если это св-во относ не ко всем компонентам вектора сост-я
X=(x1,x2,..xn)^T, то сис-ма назыв-ся неполностью управл-ой.
Крайний случай – полностью неуправл-я.
Т.Калмана: K=[B⁞A*B⁞(A^2)*B⁞…⁞(A^(n-1))*B] – матр Калмана.
(n строк и n*m стобцов) Сис-ма будет полностью управл-ой,
если ранг матрицы k равен n.
Система назыв-ся полностью наблюдаемой, если при измер
знач компонент Y при зад управлении G(t) можно опр-ть нач
значение вектора сост-я Х. Т.Калмана: H=[C^T⁞A^T*C^T⁞
(A^T)^2*C^T⁞..⁞(A^T)^(n-1)*C^T]. Система полностью
наблюдаема, если rangH = n.
Исследование на основе реш-я волнового уравн-я в форме
Даламбера.
(δ^2)u/δt^2 = (a^2)*(δ^2)u/δx^2 – волновое уравн-е
колебания однород струны. Введем переменные ε=x-at,
η=x+at, тогда ур-е примет вид: (δ^2)u/(δε*δη)=0, реш-е
которого имеет вид: u(ε, η)=Ɵ1(ε)+ Ɵ2(η), где Ɵ1(ε), Ɵ2(η)
произвольные дифф-емые ф-ии. Тогда реш-е u(x,t) = Ɵ1(xat)+ Ɵ2(x+at)
Проблема исслед-я сис-м с распределенными пар-рами;
системы с запаздыванием;
Волновод (трубопр, газопр, водопр, ЛЭП) – линия с распред
пар-рами. Динамич эл-ты, опис ДУ в частных производных,
характеризуются пар-рами, распред по одной, двум или
трем пространств коорд-там. Основной особенн-ю ПФ сис-м,
содерж распред пар-ры, явл их трансцендентность.
X(s)/E(s) = W(s)*e^(-sτ). Миним фазовые – сис-мы, у кот есть
взаимооднозначное соотв между АЧХ и ФЧХ. Сис-мы с
распред пар-рами и с запазд-ем таковыми не явл.
N(s)+M(s)* e^(-sτ)=0.
Сис-мы с медленно развив-мися пар-рами. Пример сис-мы
с почти пост-ой матрицей. Примение леммы ГронуоллаБеллмана в наиболее общей векторно-матричной форме.
Нелинейные элементы в САУ. Типичные НЭ: усилитель с
насыщ-ем, детектор, реле с гистерезисом, с зоной
нечувств-ти. Способы математич моделир НЭ
САУ явл нелин, если хотя бы один ее конструктив эл-т (или
одно ее алгоритмическое звено) опис-ся нелин уравнением.
Если переменные y(t), x(t) и их производные входят в ДУ в
виде произв-ий, частных или степеней, то ур-е является
нелинейным. Обобщенная алгоритмич схема таких сис-м:
Линейная часть вкл в себя все линейные звенья сис-мы и
может иметь структуру любой слож-ти. Нелин часть
образована одним НЭ, выход вел-на yн которого может
быть выражена как ф-я вход вел-ны xн и ее производной:
yн=f(xн, xн’). На схеме НЭ выполн ф-ии управл ус-ва. Иногда
НЭ выполн одновременно и ф-ии блока сравнения.
Усил с насыщ-ем.
Реле с гистерезисом
----------------------------------------{x2=c*sgn(x-x0) при x1>0
х – полов ширины петли гист-са;
{ x2=c*sgn(x+x0) при x1<0 y = dx1/dt; x2 = c*sgn(x1-sgn(y)*x0)
Реле с зоной насыщ-я
x0 – половина зоны
нечувствительности
x2=(1/2)*(c*sgn(x1-x0) +
c*sgn(x1+x0))
Детектор
x1=(1+m*sin(w0*t+ϕ))*cos(we*t)
x2=k*x1^2
x2=(1+2*m*sin(w0*t+ϕ)+
m^2*sin(w0*t+ϕ)^2)*(1+cos(we*t))/2
Детектирование – выдел-е огибающей,
кот промодулир несущ-ая ч-та
Квадратичный
|cos(w0*t)|=(2/π)+Σ’k=1’ “endl”
ak*cos(k*w0*t)
x2=k*|x1|
Линейный
Фаз-е портреты динамич сис-м. Скользящий реж автоколий.
Фазовый портрет нелинейной системы, обладающей
кусочно-линейной или разрывной характеристикой, состоит
из нескольких областей с различными фазовыми
траекториями. Линии, отделяющие на плоскости одну
область от другой, называются линиями переключения.
Уравнения линий переключения определяются по
математическому описанию нелинейного элемента.
При рассмотрении сис-мы
двух лин ур-ий:
dx/dt = ax+by
dy/dt=cx+dy
x=A*e^(λ*t)
y=B*e^(λ*t)
λ*A=aA+bB
λ*B=cA+dB
**матрица, чей опред-ль
ниже**
λ^2-(a+d)λ+(ad-bc)=0
λ1, λ2, - корни
Скользящий режим — вид
движ-я динамич системы,
когда её правая
часть разрывна и точка
«скользит» по кривой
разрыва. Поскольку в
реальных сис-ах управл-я
бывает запаздывание
и гистерезис, скользящий
режим переходит в автоколебания.
Метод гармонической линеаризации
Знакопостоянные и знакоопред функции. Доказательство т
Ляпунова. Применение метода Ляпунова.
Системы с настраиваемыми пар-рами. Возм-ть осуществл
затух колеб путем перестройки пар-ров для консервативн
сис-мы. Пример осуществл скользящего режима в сис-ме
выше второго порядка.