ТАУ
Нелинейные САУ
Устойчивость нелинейных САУ
ФГБОУ ВПО ЧГУ им. И.Н. Ульянова.
Кафедра АУТС
д.т.н. В.С. Генин
1
Содержание
Часть 1

Понятие устойчивости нелинейных САУ

Устойчивость по Ляпунову

Абсолютная устойчивость

Контрольные вопросы
Часть 2

Частотный критерий В.М. Попова

Критерий В.М. Попова для неустойчивой ЛЧ

Применение критерия В.М. Попова

Контрольные вопросы
2014 г.
ФГБОУ ВПО ЧГУ им. И.Н.Ульянова. Кафедра АУТС
2
Литература
1. Теория систем автоматического управления /
В.А. Бесекерский, Е.П. Попов. - Изд. 4-е, перераб. и доп. - СПб, Издво «Профессия», 2003. - 752 с.
2. Попов Е.П. Теория нелинейных систем автоматического
регулирования и управления / Е.П. Попов. – М.: Наука. 1979.– 256 с.
3. Белов Г. А. Теория автоматического управления. Дискретные и
нелинейные системы автоматического управления: Учебное
пособие. Чебоксары: Изд-во Чуваш. ун-та, 2008. – 483 c.
4. Донской Н.В., /Теория автоматического управления: учеб. пособие
/Н.В. Донской, А.Г. Калинин. − Чебоксары: Изд-во Чуваш. ун-та,
2015. 230 с.
 Евсюков В.Н. Нелинейные системы автоматического управления:
учебное пособие для студентов вузов / В.Н. Евсюков. - Оренбург:
ГОУ ОГУ, 2007.- 172 с.
 http://www.math24.ru/основные-понятия-теории-устойчивости.html
Math24.ru. Дифференциальные Уравнения. Основные понятия
теории устойчивости.
2014 г.
ФГБОУ ВПО ЧГУ им. И.Н.Ульянова. Кафедра АУТС
3
Устойчивость нелинейных САУ
В общем случае устойчивость рассматривается как свойство
свободного движения системы после ее начального отклонения,
вызванного любыми причинами. При анализе устойчивости
рассматривают установившийся процесс работы системы или
невозмущенное движение xi*=0 и возмущенное движение x(t).
Методы теории ЛС м.б. применимы для анализа только
линеаризованных систем путем замены нелинейных
характеристик элементов линейными с использованием метода
малых отклонений.
Особенности физических явлений в нелинейных САУ привели
к выделению категорий устойчивости:
– асимптотическая устойчивость;
– устойчивость в малом;
– устойчивость в большом;
– устойчивость в целом (абсолютная устойчивость).
2014 г.
ФГБОУ ВПО ЧГУ им. И.Н.Ульянова. Кафедра АУТС
4
Устойчивость нелинейных САУ



Система устойчива «в малом» - констатируют лишь факт
наличия области устойчивости, но не определяют каким-либо
образом ее границы.
Систему называют устойчивой «в большом», когда определены
границы области устойчивости, т.е. определены границы
области начальных отклонений, при которых САУ
возвращается в исходное состояние, и выяснено, что реальные
начальные отклонения принадлежат этой области.
Когда САУ возвращается в исходное состояние при любых
больших начальных отклонениях, САУ называют устойчивой в
целом.
Устойчивость «в целом» для определенного класса
нелинейностей называют «абсолютной» устойчивостью.
2014 г.
ФГБОУ ВПО ЧГУ им. И.Н.Ульянова. Кафедра АУТС
5
Устойчивость нелинейных САУ
Некоторое явление описывается системой n ДУ с начальными
условиями:
dxi
 f i t , x1 , x2 , ..., xn , i  1, 2, ..., n
dt
xi t0   xi 0 ,
i  1, 2, ..., n
Считаем, что функции fi (t, x1, x2, …, xn) определены и
непрерывны вместе со своими частными производными.
В реальности начальные условия задаются с определенной
точностью. Вопрос: как малые изменения начальных условий
влияют на поведение решения во времени - в предельном случае
при t → ∞?
Если траектория движения системы мало изменяется при
малых возмущениях начального положения, то движение
системы является устойчивым.
2014 г.
ФГБОУ ВПО ЧГУ им. И.Н.Ульянова. Кафедра АУТС
6
Устойчивость нелинейных САУ
Невозмущенное (установившееся) движение можно
представить в виде прямой линии в пространстве состояния с
размерностью n с добавленной осью времени t, совпадающей с
данной осью. Возмущенное движение, вызванное начальным
отклонением при t = t0, изображается кривой x(t).
Невозмущенное движение
системы xi  0 называется
устойчивым, если, задав “трубку”
сколь угодно малого n-мерного
сечения , можно подобрать
в начальный момент времени t = t0
такую область отклонений  (t)
(зависящую от ), что с увеличением
времени t возмущенное движение
x(t) не выйдет из “трубки” .
2014 г.
ФГБОУ ВПО ЧГУ им. И.Н.Ульянова. Кафедра АУТС
7
Устойчивость по Ляпунову
Невозмущенное движение системы - решение φ(t) системы
дифференциальных уравнений X′ = f(t,X) с начальными
условиями X(0) = X0 называется устойчивым (в смысле
Ляпунова), если для любого ε > 0 сколь бы оно малым не было,
существует δ(ε) > 0 , что если
∥∥X(0) − φ(0)∥∥ < δ, то ∥∥X(t) − φ(t)∥∥ < ε
для всех значений t ≥ 0. В противном случае решение φ(t)
называется неустойчивым.
2014 г.
ФГБОУ ВПО ЧГУ им. И.Н.Ульянова. Кафедра АУТС
8
Устойчивость по Ляпунову
Если условия по Ляпунову выполнены и имеем xi(t)→0 при
t→∞, то невозмущенное движение x i  0
называется асимптотически устойчивым.
2014 г.
ФГБОУ ВПО ЧГУ им. И.Н.Ульянова. Кафедра АУТС
9
Устойчивость по Ляпунову
Алекса́ндр Миха́йлович Ляпуно́в (06.06.1857—
03.11.1918) — русский математик и механик,
академик Петербургской АН с 1901 г., член-корр.
Парижской АН, член Нац. Акад. деи Линчеи
(Италия) и ряда др. АН и научных обществ.
Выдающаяся заслуга А.М. Ляпунова —
создание теории устойчивости движения
механических систем с конечным числом
параметров. Математическая суть теории — исследование
предельного поведения решений систем обыкновенных
дифференциальных уравнений при стремлении независимого
переменного к бесконечности.
Работы А.М. Ляпунова служат сегодня глубоким научным
фундаментом теории разнообразных автоматических устройств,
в частности, систем управления полётом самолётов и ракет.
В 1962 г. АН СССР учреждена Золотая медаль им.
А.М. Ляпунова, 1993 г. — премия Российской АН.
2014 г.
ФГБОУ ВПО ЧГУ им. И.Н.Ульянова. Кафедра АУТС
10
Устойчивость нелинейных САУ
Если xi(t)→0 при t→∞ для любых начальных отклонений, то
система
называется устойчивой в целом.
Если же существует столь малая область начальных
отклонений δ, по отношению к которым система устойчива, но не
определены ее границы, то систему
называют устойчивой в малом.
2014 г.
ФГБОУ ВПО ЧГУ им. И.Н.Ульянова. Кафедра АУТС
11
Устойчивость нелинейных САУ
Орбитальная устойчивость описывает поведение замкнутой
траектории (орбиты) под действием малых внешних
возмущений.
В понятии орбитальной устойчивости рассматривается не
расстояние между точками исходной и возмущенной траекторий
в один и тот же момент времени, а минимальное расстояние от
изображающей точки возмущенной траектории до орбиты Г*,
соответствующей исходному движению.
2014 г.
ФГБОУ ВПО ЧГУ им. И.Н.Ульянова. Кафедра АУТС
12
Устойчивость нелинейных САУ
Такой тип движения реализуется, например, в системах,
имеющих предельный цикл. По аналогии с асимптотической
устойчивостью в смысле Ляпунова вводится также понятие
асимптотической орбитальной устойчивости.
Орбитально устойчивое движение может не быть устойчивым по
Ляпунову.
А.Пуанкаре на основе анализа результатов С.Пуассона по
устойчивости планетных орбит введено понятие устойчивость
по Пуассону.
Устойчивость движения по Пуассону предполагает, что
фазовая траектория при t  ∞ не покидает ограниченной
области фазового пространства. Находясь в этой области, она
будет возвращаться в сколь угодно малую окрестность
начальной точки. Времена возврата могут соответствовать
периоду или квазипериоду при регулярном движении, а могут
представлять собой случайную последовательность, если
решение отвечает режиму динамического хаоса.
2014 г.
ФГБОУ ВПО ЧГУ им. И.Н.Ульянова. Кафедра АУТС
13
Абсолютная устойчивость
Чаще всего нелинейность задается в угле (Гурвицев угол) I и
III квадрантов (см. рис.).
K1 и K2 связаны со статической характеристикой НЗ
неравенством
K1 
F  x 
x
 K2
Класс нелинейностей,
умещающихся в секторе широк,
это большинство нелинейностей
датчиков и приводов.
Сюда не попадает, например,
реле с гистерезисом.
2014 г.
ФГБОУ ВПО ЧГУ им. И.Н.Ульянова. Кафедра АУТС
14
Абсолютная устойчивость
Абсолютная устойчивость - означает асимптотическую
устойчивость в целом при любом характере нелинейности внутри
определенного класса нелинейностей.
Нелинейности считаются относящимися к одному классу,
если их характеристики f(xн) располагаются в секторе между
осью абсцисс и прямой с угловым коэффициентом kН
Это устойчивость для любой нелинейности внутри заданного
сектора
С другой стороны, устойчивость в целом является развитием
интуитивно понятной идеи: если график нелинейности F(x) зажат
границами сектора Кх, то коэффициент усиления нелинейности
не "превышает К", и если устойчива линейная система, в которой
вместо F(x) стоит Кх, то должна быть устойчива и нелинейная
система.
2014 г.
ФГБОУ ВПО ЧГУ им. И.Н.Ульянова. Кафедра АУТС
15
Абсолютная устойчивость
Тогда понятие абсолютной устойчивости формулируется
следующим образом: система, описываемая нелинейным
дифференциальным уравнением вида
Cn
d n x t 
n
 Cn 1
d n 1 x  t 
n 1
   C1
dx  t 
 C0 x  t   F  x   0
dt
dt
dt
при любых отклонениях будет абсолютно устойчива, если
известно, что при замене F(x) = K0ix, (K0i – любое число,
удовлетворяющее неравенству K1< K0i< K2), полученное в
результате линеаризации линейное дифференциальное
уравнение при значении K = K0i устойчиво.
Для определения допустимых величин начальных
отклонений необходимо сопоставить коэффициенты усиления
K0i всех участков нелинейной характеристики F(x) с заданными
значениями K1 и K2. Если на всех участках нелинейной
характеристики удовлетворяются неравенства K1< K0i< K2, то
система неограниченно (абсолютно) устойчива.
2014 г.
ФГБОУ ВПО ЧГУ им. И.Н.Ульянова. Кафедра АУТС
16
Абсолютная устойчивость
Если при некотором значении - x0 ≤ x ≤ x0
имеется некоторый участок нелинейной
характеристики F(x) x(t) > │x0│,
для которого K0i > K2 , то система
регулирования устойчива в малом.
Если диапазон изменения заданных
значений x(t) > │x0│, то система будет
устойчива в большом.
Как видно из рис. справа, малое
отклонение x(t) < │x0│вызывает нарушение
условия K1 < K0i < K2, т. е. система
неустойчива даже в малом.
2014 г.
ФГБОУ ВПО ЧГУ им. И.Н.Ульянова. Кафедра АУТС
17
Абсолютная устойчивость
Для практических расчетов вопрос об
абсолютной устойчивости нелинейной
САУ в угле [K1, K2] можно свести к ее
абсолютной устойчивости в угле [0, K],
где K = K2 – K1.
F(x) = K1,x + µF(x)
(7.31)
где µF(x) – нелинейная характеристика,
удовлетворяющая условию
,F ( x)
0

x
где  – малый параметр.
2014 г.
ФГБОУ ВПО ЧГУ им. И.Н.Ульянова. Кафедра АУТС
18
Абсолютная устойчивость
С учетом F(x) = K1,x + µF(x) НЗ с характеристикой y(t) = f(x) в
угле [K1, K2] можно представить как параллельное соединение
НЗ1 с характеристикой µF(x) в угле [0, K2 – K1] и линейное
усилительное звено с характеристикой y = F(x) = K1,x и
передаточной функцией W(p) = K1 .
При рассмотрении абсолютной устойчивости нелинейных САУ
полагают, что нелинейности удовлетворяют условию
F ( x)
0
K
x
2014 г.
ФГБОУ ВПО ЧГУ им. И.Н.Ульянова. Кафедра АУТС
19
Абсолютная устойчивость
Вновь отметим: под абсолютной устойчивостью
нелинейных САУ понимается асимптотическая
устойчивость в целом при нелинейностях системы,
принадлежащих к определенному классу
т. е. когда нелинейность задается не конкретной
характеристикой, а в более общем виде – с точностью до
определенного класса.
Основным случаем такого определения нелинейной
характеристики является задание статической нелинейной
характеристики в определенном угле между осью абсцисс и
некоторой прямой с наклоном.
Метод исследования НС при таком неконкретном задании
нелинейностей для упрощения задачи обоснован и с
практической точки зрения, когда нелинейности известны
неточно и могут изменяться.
2014 г.
ФГБОУ ВПО ЧГУ им. И.Н.Ульянова. Кафедра АУТС
20
Контрольные вопросы
1. Что такое устойчивость системы управления?
2. Как определяется невозмущенное движение системы?
3. Есть ли ограничение на вид невозмущенного движения
системы?
4. Можно ли принять в качестве невозмущенного движения
установившееся состояние системы?
5. Как определяется возмущенное движение системы?
6. Понятие асимптотически устойчивой системы по Ляпунову?
2014 г.
ФГБОУ ВПО ЧГУ им. И.Н.Ульянова. Кафедра АУТС
21