1)Пов-сти в пр-ве R3: отображения, осн. понятия и классифик.
Отображения. Пусть даны два экземпляра Rm и Rn евклидова пространства с
ортонормированными базисами
{𝑎⃗1 , 𝑎⃗2 , … , 𝑎⃗𝑚 } ⊂ R𝑚 {𝑒⃗1 , 𝑒⃗2 , … , 𝑒⃗𝑛 } ⊂ 𝑅 𝑛
соответственно. Векторы 𝑢
⃗⃗ ∈ 𝑅 𝑚 и 𝑥⃗ ∈ 𝑅 𝑛 в этих пространствах представляются в виде
𝑖
разложений 𝑢
⃗⃗ = ∑𝑚
⃗ 𝑖 , 𝑥⃗ = ∑𝑛𝑗=1 𝑥 𝑗 𝑒⃗𝑗 .
𝑖=1 𝑢 𝑎
Определим на области Ω ⊂ 𝑅 𝑚 функции 𝑚 переменных
𝑓 𝑘 (𝑢
⃗⃗) ≡ 𝑓 𝑘 (𝑢1 , 𝑢2 , … , 𝑢𝑚 ): Ω → 𝑅1 (𝑘 = 1, 2, … , 𝑛).
Тогда выражение
𝑥⃗(𝑢
⃗⃗) ≡ 𝐹̂ (𝑢
⃗⃗) = ∑𝑛𝑘=1 𝑓 𝑘 (𝑢
⃗⃗)𝑒⃗𝑘 , при всех возможных значениях
1
2
𝑚
переменных (𝑢 , 𝑢 , … , 𝑢 ) ∈ Ω задает отображение 𝐹̂ области Ω ⊂ 𝑅 𝑚 в пространство 𝑅 𝑛
специального вида, которое обозначим 𝐹̂ : Ω → 𝑅 𝑛 .
Функции 𝑓 1 , 𝑓 2 , … , 𝑓 𝑛 называются компонентами или координатными функциями
отображения 𝐹̂ . Если функции 𝑓 1 , 𝑓 2 , … , 𝑓 𝑛 непрерывны, то отображение называется
непрерывным; если функции 𝑓 1 , 𝑓 2 , … , 𝑓 𝑛 дифференцируемы, то отображение называется
дифференцируемым; если функции 𝑓 1 , 𝑓 2 , … , 𝑓 𝑛 непрерывно дифференцируемы, то
отображение называется непрерывно дифференцируемым.
Если отображение 𝐹̂ : Ω → 𝑅 𝑛 дифференцируемо в каждой точке 𝑢
⃗⃗ ∈ Ω, то для матрицы
̂ (𝑢
𝐷(𝑢
⃗⃗) линейного оператора 𝐷
⃗⃗) имеем следующее выражение:
𝜕𝑓 1
(𝑢
⃗⃗)
𝜕𝑢1
𝜕𝑓 2
(𝑢
⃗⃗)
𝜕𝑢1…
𝜕𝑓 1
(𝑢
⃗⃗)
𝜕𝑢2
𝜕𝑓 2
(𝑢
⃗⃗)
𝜕𝑢2…
𝜕𝑓 1
(𝑢
⃗⃗)
𝜕𝑢𝑚
𝜕𝑓 2
𝜕(𝑓 1 , … , 𝑓 𝑛 )
(𝑢
(𝑢
…
⃗⃗)
𝐷(𝑢
⃗⃗) ≡
⃗
⃗)
=
𝑚
𝜕𝑢
𝜕(𝑢1 , … , 𝑢𝑚 )
…
…
𝜕𝑓 𝑛
𝜕𝑓 𝑛
𝜕𝑓 𝑛
(𝑢
(𝑢
⃗⃗)
⃗⃗) …
⃗⃗))
( 𝜕𝑢1 (𝑢
𝜕𝑢2
𝜕𝑢𝑚
Матрица (1) называется матрицей Якоби отображения 𝐹̂ : Ω ⊂ 𝑅 𝑚 → 𝑅 𝑛 .
…
(1)
Для случая преобразования 𝐹̂ : 𝑅 𝑛 → 𝑅 𝑛 эта матрица является квадратной и обозначается
1
𝑛)
𝜕(𝑓 , … , 𝑓
(𝑢
⃗⃗) =
𝜕(𝑢1 , … , 𝑢𝑚 )
𝜕𝑓 1
(𝑢
⃗⃗)
𝜕𝑢1…
…
…
𝜕𝑓 1
(𝑢
⃗⃗)
𝜕𝑢𝑛…
𝜕𝑓 𝑛
𝜕𝑓 𝑛
(𝑢
(𝑢
⃗⃗) …
⃗⃗)
𝜕𝑢𝑛
( 𝜕𝑢1
)
,
а ее определитель
𝐽 ≝ 𝑑𝑒𝑡 (
𝜕(𝑓 1 , … , 𝑓 𝑛 )
(𝑢
⃗⃗))
𝜕(𝑢1 , … , 𝑢𝑚 )
называется якобианом преобразования.
Матрицы Якоби и якобианы называются также функциональными матрицами и
функциональными определителями, соответственно.
2) Пов-сти в пр-ве R3: опр-е поверхн. в пр-ве R3 ; касат. плоскость.
Рассмотрим два экземпляра пространствR2 и R3 с ортонормированными
базисами{a⃗⃗⃗⃗,
a2 и {e⃗⃗⃗⃗⃗
e2 , e⃗⃗⃗⃗}
⃗⃗ϵR2 и x⃗⃗ ∈ R3 в этих пространствах
1 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗}
1 , ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
3 соответственно. Векторы u
представляются в виде разложений u
⃗⃗ = ∑2i=1 ui ⃗⃗⃗⃗
ai , x⃗⃗ = ∑3j=1 x j ⃗⃗⃗
ej .
Пусть Ω ⊂ R2 - некоторая область и F̂: Ω → R3 - непрерывно дифференцируемое отображение.
Множество значений F̂(Ω) отображения называется F̂ наз. (2-мерной) элементарной
поверхностью в пространстве R3 .
Линейная оболочка векторов репера {M0 , ⃗⃗⃗⃗,
r1 ⃗⃗⃗⃗}
r2 называется касательной плоскостью поверхности
∂fj
⃗⃗
∂x
3
r⃗⃗⃗⃗(u
⃗⃗⃗⃗⃗)
⃗⃗⃗⃗⃗)e
1 ⃗⃗⃗⃗⃗)
0 = ∂u1 (u
0 = ∑j=1 ∂u1 (u
0 ⃗⃗⃗,
j
F̂(Ω) в точке x⃗⃗(u
⃗⃗⃗⃗⃗).
к
0 Задавая касательные векторы {
j
⃗⃗
∂x
3 ∂f
(u
∑
(u
r2 ⃗⃗⃗⃗⃗)
⃗⃗⃗⃗(u
=
⃗⃗⃗⃗⃗)
=
⃗⃗⃗⃗⃗)e
⃗⃗⃗
0
0
0 j
j=1 ∂u2
∂u2
соответствующим координатным линиям поверхности в каждой точке поверхности в виде ⃗⃗⃗⃗
rk =
∑3i=1 rki ⃗e⃗⃗i , (k = 1,2), можем записать параметрические уравнения касательной плоскости в
x1 = x10 + r11 t1 + r21 t 2 ,
виде {x 2 = x02 + r12 t1 + r22 t 2 ,
x 3 = x03 + r13 t1 + r23 t 2 ,
3) Пов-сти в пр-ве R3: 1-я квадр-я форма пов-сти; формулы для длины пути и угла между
путями на пов-сти.
Пусть 𝐹 ^ (Ω)– некоторая поверхность, порождённая непрерывно дифф-ым отобр-ем
𝐹 ^ (Ω) → 𝑅 3. Квадратичная форма 𝐺(𝑢→ , 𝑑𝑢→ )𝑑𝑒𝑓 = (𝑑𝐿)2 = ∑2𝑖=1 ∑2𝑗=1 𝑔𝑖𝑗 𝑑𝑢𝑖 𝑑𝑢 𝑗 (1)
назыв-ся первой квадр-ой формой, или римановой метрикой на поверхности.
Первая квадр. форма (1) по построению явл. положительно определённой, так как
определитель её матрицы – это определитель Грама для лин. независ. системы векторов.
Если известны ф. 𝑔𝑖𝑗 = 𝑔𝑖𝑗 (𝑢1 , 𝑢2 ) , то подстановка в формулу 𝐿(𝑊 ^ 𝑎,𝑡 ) =
𝑡
∫𝑎 ‖
𝑑𝑥 ⟶ (𝜉)
𝑑(𝜉)
‖приводит к след. результату для длины пути на поверхности:
𝑏
𝑖
𝑏
𝑗
𝑑𝑢
𝑑𝑢
𝐿(𝑊 ^ 𝑎,𝑡 ) = ∫𝑎 𝑑𝐿 = ∫𝑎 √∑2𝑖=1 ∑2𝑗=1 𝑔𝑖𝑗 (𝑢→ (𝑡) 𝑑𝑡 (𝑡) 𝑑𝑡 (𝑡)𝑑𝑡
Для двух путей, пересекающихся в т. M повер-ти 𝐹 ^ (Ω) , с помощью первой квадр.
формы, если известны ф. 𝑔𝑖𝑗 (𝑢1 , 𝑢2 ) , можно вычислить косинус угла между касат-ми
𝑑𝑥1→ 𝑑𝑥2→
, 𝑑𝑡 })
𝑑𝑡
векторами путей по формуле: cos({
𝑑𝑥1→ −1
=‖
𝑑𝑡
‖
𝑑𝑥2→ −1 𝑑𝑥1→ 𝑑𝑥2→
‖ ( 𝑑𝑡 , 𝑑𝑡 )
𝑑𝑡
∗‖
=
∑2𝑖=1 ∑2𝑗=1 𝑔𝑖𝑗 (𝑀)𝑑𝑢𝑖 1 𝑑𝑢𝑗 2
√∑2𝑖=1 ∑2𝑗=1 𝑔𝑖𝑗 (𝑀)𝑑𝑢𝑖 1 𝑑𝑢𝑗 1 √∑2𝑖=1 ∑2𝑗=1 𝑔𝑖𝑗 (𝑀)𝑑𝑢𝑖 2 𝑑𝑢𝑗 2
52) Лин. однор. сист. обыкн. дифф. ур-й: общ. реш. лин. однор. сист. обыкн. дифф. ур-й.
𝑑
Если линейная однородная система уравнений 𝐼 𝑑𝑥 |𝑦(𝑡)⟩ + 𝑃(𝑡)|𝑦(𝑡)⟩ = |0⟩, имеет в
промежутке t∈(a,b) фундаментальную систему решений {|𝒚𝟏 ⟩, |𝒚𝟐 ⟩, … , |𝒚𝒏 ⟩}, то линейная
комбинация |𝑦(𝑡)⟩ = ∑𝑚
𝑘=1 𝐶𝑘 |𝑦𝑘 (𝑡)⟩, где С𝟏 , С𝟐 , … , C𝒏 - произвольные постоянные
коэффициенты, являясь решени- ем (4) при любых значениях коэффициентов, будет
общим решением системы (4) в области t∈(a,b).
4) Пов-сти в пр-ве R3: неявн. ур-я пов-сти; множества уровня
Неявное ур-е гиперповерхности в пр-е R3 x3 =𝜑3 (x1, x2) называется неявным уравнениям
поверхности, разрешённым относительно координаты x3,и которое можно переписать в виде F(x1,
x2, x3)º j3(x1, x2)- x3 = 0 – неявным ур-ем повер-и, неразрешённым относительно координат.
Рассмотрим 𝑥 1 = 𝜑1 (𝑢1 , 𝑢2 ) ,
𝑥 2 = 𝜑2 (𝑢1 , 𝑢2 ),
По непрер. диф. ф. 𝜑1 , 𝜑2 :
𝑥 1 − 𝜑1 (𝑢10 , 𝑢02 ) ≈
𝜕𝜑1
(𝑢01 , 𝑢0 2 )∙
𝜕𝑢1
(𝑢1 − 𝑢01 ) +
𝜕𝜑1
(𝑢01 , 𝑢0 2 )∙
𝜕𝑢2
𝑥 2 − 𝜑2 (𝑢10 , 𝑢02 ) ≈
𝜕𝜑2
(𝑢01 , 𝑢0 2 )
𝜕𝑢1
∙ (𝑢2 − 𝑢0 2 ) + 𝜕𝑢2 (𝑢01 , 𝑢0 2) ∙ (𝑢2 − 𝑢0 2 )
(𝑢2 − 𝑢0 2 )
𝜕𝜑2
перепишем в виде СЛАУ
𝜕𝜑1
𝜕𝜑1
1
2)
(𝑢
(𝑢 1 , 𝑢 2 ) 𝑢1 − 𝑢 1
,
𝑢
𝑥 1 − 𝜑1
𝜕𝑢1 0 0
𝜕𝑢2 0 0
0
(
)
=
(
𝜕𝜑2
𝜕𝜑2
𝑢 2 − 𝑢0 2
𝑥 2 − 𝜑2
1
2)
1
2)
(𝑢
(𝑢
,
𝑢
,
𝑢
( 𝜕𝑢1 0 0
𝜕𝑢2 0 0 )
(𝑢10 , 𝑢02 )
)
(𝑢10 , 𝑢02 )
Сист однозн-о разрешима если
𝜕𝜑1
𝜕𝜑1
1
2
(𝑢0 , 𝑢0 )
(𝑢01 , 𝑢0 2 )
1
2
𝜕𝑢
𝜕𝑢
| 2
|≠0
𝜕𝜑
𝜕𝜑2
1
2
1
2
(𝑢 , 𝑢 )
(𝑢 , 𝑢 )
𝜕𝑢1 0 0
𝜕𝑢2 0 0
т.е якобиан преобраз-ия имеет r=2. разрешимость
приведённой системы
возможна только в достаточно малой окрестности точки (𝑢10 , 𝑢02 ) т.е явл
локальной.
Опр. Пусть 𝜑: 𝑈 ⊂ 𝑅 2 → 𝑅1 -ф. задающая поверх в пр-ве 𝑅 3 посредством уравнения
x3 =𝜑3 (x1, x2). Тогда (∀𝑐 ∈ 𝑅1 ) мн-ва𝜑−1 (𝑐) ={(𝑥 1 ,x2) ∈ 𝑈: 𝜑3 (x1,x2)=C} наз множествами уровня ф.
Число 𝑐 ∈ 𝑅1 из опр. Наз.высотой МУ, а о самом МУ говорят как как о МУ высоты c.
6) Базисн. векторн. поля и криволин. коорд. в 3-х мерном евкл. пр-ве: отображ-я и
криволин. коорд. в евкл. пр-ве; лемма о матр. Якоби.
Для координат 𝑥1 , 𝑥 2 , … , 𝑥 𝑛 ⊂ 𝑅 𝑛 зададим отображение 𝐹̂ : 𝑅 𝑛 → 𝐸 𝑛 вида: 𝑞1 =
𝑞1 (𝑥1 , 𝑥 2 , … , 𝑥 𝑛 ), 𝑞 2 = 𝑞 2 (𝑥1 , 𝑥 2 , … , 𝑥 𝑛 ), … , 𝑞 𝑛 = 𝑞 𝑛 (𝑥1 , 𝑥 2 , … , 𝑥 𝑛 ) – гомеоморфизм.
Наложим обратное отображение для криволинейных координат 𝑞1 , 𝑞 2 , . . , 𝑞 𝑛 : 𝑥1 =
𝑥1 (𝑞1 , 𝑞 2 , … , 𝑞 𝑛 ), 𝑥 2 = 𝑥 2 (𝑞1 , 𝑞 2 , … , 𝑞 𝑛 ),.., 𝑥 𝑛 = 𝑥 𝑛 (𝑞1 , 𝑞 2 , … , 𝑞 𝑛 ). Лемма Матрицы Якоби
отображений взаимно обратны и соотв. Якобианы не равны нулю. Док-во Опред.
отображение 𝑥 𝑘 = 𝑥 𝑘 (𝑞1 (𝑥1 , 𝑥 2 , … , 𝑥 𝑛 ), 𝑞 2 (𝑥1 , 𝑥 2 , … , 𝑥 𝑛 ), … , 𝑞 𝑘 (𝑥1 , 𝑥 2 , … , 𝑥 𝑛 )). Тогда
∑𝑛𝑗=1
𝜕𝑥 𝑘
𝜕𝑞 𝑗
= 𝛿𝑘𝑖 . Откуда
𝜕𝑞 𝑗 𝜕𝑥 𝑖
𝜕(𝑞 1 ,𝑞2 ,…,𝑞𝑛 ) 𝜕(𝑥 1 ,𝑥 2 ,…,𝑥 𝑛 )
𝜕(𝑥 1 ,𝑥 2 ,…,𝑥 𝑛 ) 𝜕(𝑞 1 ,𝑞 2 ,…,𝑞𝑛 )
=𝐼
видно матрицы взаимно обратны и несобственные:
𝜕𝑥 𝑘
𝜕𝑥 𝑖
=
5) Пов-сти в пр-ве R3: норм. вектор пов-сти, задан. неявным ур-ем; ур-я нормали и касат.
плоск.
Нормальный вектор поверхности, заданной неявным уравнением:
⃗⃗ (𝑢
Опр. Вектор 𝑁
⃗⃗), ортогональный касательной плоскости поверхности в точке М,
соответствующей значению параметрического вектора 𝑢
⃗⃗, называется нормальным
вектором плоскости в этой точке.
Прямая линия с направляющим вектором ⃗∇⃗𝐹(𝑀0 ) называется нормалью поверхности F
⃗⃗𝐹(𝑀0 ) называется нормальным вектором
(𝐹(𝑥1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 ) = 0) в точке 𝑀0 , а сам вектор ∇
поверхности.
Уравнения нормали и касательной плоскости:
𝑀0 (𝑥01 , 𝑥02 , 𝑥03 ) – т. на пов-ти, а 𝑀(𝑥1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 ) – т. на кас-ой плоскости пов-ти в т. 𝑀0 . Тогда
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑀0 𝑀 и кас. векторы к гауссовским координатным линиям пов-ти в т. 𝑀0 образуют ЛЗ
систему. Записывая вектор ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑀0 𝑀 в виде:
1
1
2
2
3
3
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑀0 𝑀 = (𝑥 − 𝜑 (𝑢
⃗⃗⃗⃗⃗))𝑒
⃗⃗⃗⃗⃗))𝑒
⃗⃗⃗⃗⃗))𝑒
0 ⃗⃗⃗⃗
1 + (𝑥 − 𝜑 (𝑢
0 ⃗⃗⃗⃗
2 + (𝑥 − 𝜑 (𝑢
0 ⃗⃗⃗⃗,
3
приравнивая нулю опред-ль, получаем уравнение кас-й плоскости пов-ти, заданной
уравнением 𝐹(𝑥1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 ) = 0 в пространстве 𝑅 3 :
𝑥1 − 𝜑1 (𝑢
⃗⃗⃗⃗⃗)
𝑥 2 − 𝜑 2 (𝑢
⃗⃗⃗⃗⃗)
(𝑥 3 − 𝜑 3 (𝑢
⃗⃗⃗⃗⃗)
0
0
0
||
𝜕𝜑 1
𝜕𝑢1
𝜕𝜑 2
(𝑢
⃗⃗⃗⃗⃗)
0
𝜕𝑢1
𝜕𝜑 1
(𝑢
⃗⃗⃗⃗⃗)
0
𝜕𝜑 2
𝜕𝜑 3
𝜕𝑢1
𝜕𝜑 3
(𝑢
⃗⃗⃗⃗⃗)
0
|| = 0
(𝑢
⃗⃗⃗⃗⃗)
(𝑢
⃗⃗⃗⃗⃗)
(𝑢
⃗⃗⃗⃗⃗)
0
0
0
𝜕𝑢2
𝜕𝑢2
Канонич. уравнение нормали в т. 𝑀0 (𝑥01 , 𝑥02 , 𝑥03 )
𝑥1 − 𝜑1 (𝑢
⃗⃗⃗⃗⃗)
𝑥 2 − 𝜑 2 (𝑢
⃗⃗⃗⃗⃗)
𝑥 3 − 𝜑 3 (𝑢
⃗⃗⃗⃗⃗)
0
0
0
=
=
𝜕𝐹
𝜕𝐹
𝜕𝐹
(𝑀 )
(𝑀 )
(𝑀 )
𝜕𝑥1 0
𝜕𝑥 2 0
𝜕𝑥 3 0
𝜕𝑢2
7) Базисн. векторн. поля и криволин. коорд. в 3-х мерном евкл. пр-ве: базисн. векторн.
поля, лемма о лин. независ. сист. базисн. векторн. полей натур. Базиса, ортогональность
Если радиус-вектор явл. ф-цией криволинейных координат, то есть 𝑥⃗ =
2 1 2
𝑥1 (𝑞1 , 𝑞 2 , … , 𝑞 𝑛 )𝑒⃗⃗⃗⃗+𝑥
(𝑞 , 𝑞 , … , 𝑞 𝑛 )𝑒⃗⃗⃗⃗2 + 𝑥 3 (𝑞1 , 𝑞 2 , … , 𝑞 𝑛 )𝑒⃗⃗⃗⃗.
1
3 то для дифференциала
𝜕𝑥⃗
𝜕𝑥⃗
радиус-вектора имеем 𝑑𝑥⃗ = ∑3𝑗=1 𝜕𝑞𝑗d𝑞 𝑗 ≡ d𝑞 𝑗 𝑔⃗𝑗 . → 𝑔⃗𝑗 = 𝜕𝑞𝑗-введены новые векторы,
которые зависят от криволинейных координат, явл. векторными полями. Лемма
𝜕𝑥 𝑘
𝜕𝑞 𝑗
векторные поля 𝑔⃗𝑗 при условии det( 𝜕𝑞𝑗 ) ≠ 0det( 𝜕𝑥 𝑖 ) ≠ 0 образуют базис Док-во
достаточно показать, что векторы декартова базиса {𝑒⃗⃗⃗⃗,
𝑒2 , ⃗⃗⃗⃗}можно
𝑒3
представить в виде
1 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝜕𝑥⃗
разложения по векторам системы {𝑔
⃗⃗⃗⃗⃗,
𝑔2 , ⃗⃗⃗⃗⃗}.
𝑔3 Составим СЛАУ вида 𝜕𝑞𝑗 = 𝑔⃗𝑗 которая
1 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝜕𝑞 𝑘
разрешима относительно ⃗⃗⃗
𝑒𝑗 и решение представится в виде:𝑒
⃗⃗⃗𝑗 = 𝜕𝑥 𝑗 𝑔⃗𝑘 . Если в каждой т.
пр-ва вып. усл.: (𝑔⃗𝑖 , 𝑔⃗𝑗 )=0, то натуральные базисные поля ортогональны. Док-во: 𝑔𝑖𝑗 =
𝜕𝑥⃗
𝜕𝑥⃗
𝜕𝑥 𝑚
𝜕𝑥 𝑛
(𝑔⃗𝑖 , 𝑔⃗𝑗 ) = (𝜕𝑞𝑖 , 𝜕𝑞𝑗 ) = ( 𝜕𝑞𝑖 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗,
𝑒𝑚 𝜕𝑞𝑗 ⃗⃗⃗⃗⃗)
𝑒𝑛 =
𝜕𝑥 𝑚 𝜕𝑥 𝑛
𝜕𝑞 𝑖
𝜕𝑞 𝑗
(𝑒⃗⃗⃗⃗⃗⃗,
𝑒𝑛
𝑚 ⃗⃗⃗⃗⃗)=
𝜕𝑥 𝑚 𝜕𝑥 𝑛
𝜕𝑞 𝑖
𝜕𝑞 𝑗
𝛿𝑚𝑛 =
𝜕𝑥 𝑚 𝜕𝑥 𝑚
𝜕𝑞 𝑖 𝜕𝑞 𝑗
8) Базисн. векторн. поля и криволин. коорд. в 3-х мерном евкл. пр-ве: криволин. коорд. в
евкл. пр-ве; натура. и взаимн. базисн. векторн. поля; контравар., ковар. и физ. комп.
Для координат 𝑥 1 , 𝑥 2 , … , 𝑥 𝑛 ⊂ 𝑅 𝑛
зададим отображение 𝐹̂ : 𝑅 𝑛 → 𝐸 𝑛 вида: 𝑞1 =
𝑞1 (𝑥1 , 𝑥 2 , … , 𝑥 𝑛 ), 𝑞 2 = 𝑞 2 (𝑥 1 , 𝑥 2 , … , 𝑥 𝑛 ), … , 𝑞 𝑛 = 𝑞 𝑛 (𝑥1 , 𝑥 2 , … , 𝑥 𝑛 ) – гомеоморфизм. Величины
𝑞1 , 𝑞 2 , … , 𝑞 𝑛 ∈ 𝐷 ⊂ 𝐸 𝑛 называются криволинейными координатами точки Q в области 𝐷 ⊂
𝐸 𝑛 . Радиус-вектор точки в пространстве 𝐸 3 (или в пространстве 𝐸 𝑛 ) можно рассматривать
как вектор-функцию декартовых или произвольных криволинейных координат. Если
радиус-вектор
является
функцией
криволинейных
координат
1 2 3)
1 (𝑞1 2 3 )𝑒
2 (𝑞1 2 3 )𝑒
3 (𝑞1 2 3 )𝑒
𝑥⃗ = 𝑥⃗(𝑞 , 𝑞 , 𝑞 = 𝑥
, 𝑞 , 𝑞 ⃗1 + 𝑥
, 𝑞 , 𝑞 ⃗2 + 𝑥
, 𝑞 , 𝑞 ⃗3 ,
то
для
дифференциала
радиус-вектора
имеем
3
𝑑𝑥⃗ = ∑
𝜕𝑥⃗
𝑑𝑞 𝑗 ≡ 𝑑𝑞 𝑗 𝑔⃗𝑗 ,
𝜕𝑞 𝑗
𝑗=1
𝜕𝑥⃗
где по определению положено 𝑔⃗𝑗 ≝
𝜕𝑞 𝑗
.
(2)
(3)
Введенные определением (3) векторные поля 𝑔⃗𝑗 – это базисные векторные поля
криволинейной системы координат. Линейная независимая система векторных полей
{𝑔⃗1 , 𝑔⃗2 , 𝑔⃗3 } называется натуральным (локальным) или ковариантным базисом
криволинейной системы координат, а сами векторные поля – натуральными базисными
векторными полями. В свою очередь, совокупность параметров {𝑞1 , 𝑞 2 , 𝑞 3 },
удовлетворяющих соотношениям (2), называют натуральными (локальными)
координатами криволинейной системы координат.Наряду с базисными векторными
полями натурального базиса рассматриваются и базисные векторные поля взаимного
⃗⃗𝑞 𝑖 .Каждое трёхмерное вектр. поле, заданное
базиса, которые определяются формулами 𝑔⃗𝑖 ≝ ∇
в криволинейной системе координат, м.б. в виде разложения по ковариантным векторным полям
натурального базиса 𝑢
⃗⃗ = 𝑢𝑖 𝑔⃗𝑗 или по контравариантным 𝑢
⃗⃗ = 𝑢𝑖 ⃗⃗⃗⃗
𝑔𝑖 . Если натуральный базис
1
ортогональный, то нормируя натуральные базисные поля, получаем орты ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑔⟨𝑖⟩ = ‖𝑔⃗⃗ ‖ 𝑔⃗𝑖 =
𝑖
𝑔⃗⃗𝑖
-наз.
√𝑔𝑖𝑖
𝑔⃗⃗𝑖
√(𝑔⃗⃗𝑖 ,𝑔⃗⃗𝑖 )
=
физическим базисом Компоненты вектора в физическом базисе м. получить по формуле:
𝑢⟨𝑖⟩ = √𝑔𝑖𝑖 𝑢𝑖
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
55) Лин. неодн. сист. обыкн. дифф. ур-й: ф-ция Коши и общ. вид реш-я задачи Коши для
неодн. сист. лин. обыкн. дифф. 1-го пор.
𝑑
Т: Если коэфф. и правая часть неоднород. сист. уравн. 𝐼 𝑑𝑡 |𝑦(𝑡) > +𝑃(𝑡)|𝑦(𝑡) >= |𝑓(𝑡) > явл.
непрерыв. ф. на всем промежутке (а,b) изменен. независимой переменной t и известна ФСР
𝑦𝑘1 (𝑡)
соответсв. однород. сист. уравнений: |𝑦𝑘 (𝑡) >= (𝑦𝑘2 (𝑡) ) (𝑘 = 1,2, . . 𝑛), то решение задачи Коши:
𝑦𝑘𝑛 (𝑡)
𝑑
𝐼 𝑑𝑡 |𝑦(𝑡) > +𝑃(𝑡)|𝑦(𝑡) >= |𝑓(𝑡) >, |𝑦(𝑡0 ) >= |𝑦0 > (9)
𝑡
задается формулой Коши: |𝑦(𝑡) >= 𝑌(𝑡)𝑌 −1 (𝑡0 )|𝑦0 > +𝑌(𝑡) ∫𝑡 𝑌 −1 (𝑠) |𝑓(𝑠) > 𝑑𝑠 (10)
0
условие теоремы, сост. в том, что ФСР соответ. однород. сист. должна быть известна, явл. весьма
существенным. При выполнении этого усл. для решения задачи Коши (9) можно прим. формулу
𝑑
Коши (10). Для общ. случ. однород. сист. уравнений 𝐼 |𝑦 > +𝑃(𝑡)|𝑦 >= |0 > , |𝑦(𝑡0 ) > = |𝑦0 >
𝑑𝑡
с перемен. элем. матрицы P(t) (коэфф. системы) фунд. сист. реш. может быть найдена только в
искл. случаях.
9) Базисн. векторн. поля и криволин. коорд. в 3-х мерном евкл. пр-ве: ортогон. сист.
криволин. коорд. в 3-х мерн.евкл. пр-е (полярн., цилиндр. и сферич. сист. координат).
Полярные координаты {𝑞1 ; 𝑞 2 } ≡ {𝑟; 𝜑} r- полярный радиус, 𝜑- полярный угол. 𝑥1 =
∂𝑥 1
∂(𝑥 1 ,𝑥2 )
𝑟 cos 𝜑 ; 𝑥 2 = 𝑟 sin 𝜑 Якобиан равен: det(
∂(𝑟,𝜑)
∂r
) = |∂𝑥 2
∂r
∂𝑥 1
∂φ
∂𝑥 2
|=
=
∂φ
cos 𝜑 −𝑟 sin 𝜑
|
| = 𝑟. Полярная сис-ма коорд-т не явл-ся регулярной, кроме того, не
sin 𝜑 𝑟 cos 𝜑
является взаимно однозначный преобр-ием пл-ти 𝑅 2 в пл-ть 𝑅 2 , т.к. точки (𝑟, 𝜑) и
(𝑟; 𝜑 + 2𝜋)совпадают.
Орты базисных вект-х полей полярной сис-мы коорд-т выражаются через орты декартовой
сис-мы коор-т след. форм-ми: 𝑔
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑒1 + sin 𝜑 ⃗⃗⃗⃗,
𝑒2 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑔⟨𝜑⟩ = − sin 𝜑 ⃗⃗⃗⃗
𝑒1 + cos 𝜑 ⃗⃗⃗⃗.
𝑒2
⟨𝑟⟩ = cos 𝜑 ⃗⃗⃗⃗
−1
3
3
1
2
3
Цилиндрические координаты задаются отобр-ем: 𝐹̂ : 𝑅 {𝑟; 𝜑; ℎ} → 𝑅 {𝑥 , 𝑥 , 𝑥 }, 𝑥1 =
∂(𝑥 1 ,𝑥 2 ,𝑥 3 )
𝑟 cos 𝜑 ; 𝑥 2 = 𝑟 sin 𝜑 ; 𝑥 3 = ℎ, Якобиан преобразования: det(
∂(𝑟,𝜑,ℎ)
)=
=
cos 𝜑 −𝑟 sin 𝜑 0
| sin 𝜑 𝑟 cos 𝜑 0| = 𝑟 Орты базисных вект-х полей илиндр-й сис-мы коорд-т
0
0
1
выражаются как: 𝑔
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑒1 + sin 𝜑 ⃗⃗⃗⃗;
𝑒2 , ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑔⟨𝜑⟩ = − sin 𝜑 ⃗⃗⃗⃗
𝑒1 + cos 𝜑 ⃗⃗⃗⃗;
𝑒2 𝑔
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗3
⟨𝑟⟩ = cos 𝜑 ⃗⃗⃗⃗
⟨ℎ⟩ = 𝑒
Сферические координаты: : 𝐹̂ −1 : 𝑅 3 {𝑟; 𝜑; 𝜃} → 𝑅 3 {𝑥1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 } 𝑥1 = 𝑟 sin 𝜃 ∙ cos 𝜑 𝑥 2 =
𝑟 sin 𝜃 ∙ sin 𝜑 ; 𝑥 3 = 𝑟 cos 𝜃 Якобиан преоб-я :
sin θcos 𝜑 −𝑟𝑠𝑖𝑛 𝜃 sin 𝜑 𝑟 cos 𝜃 cos 𝜑
∂(𝑥 1 ,𝑥 2 ,𝑥3 )
det( ∂(𝑟,𝜑,ℎ) ) = |sin 𝜃 sin 𝜑 𝑟𝑠𝑖𝑛 𝜃 cos 𝜑 𝑟 cos 𝜃 sin 𝜑 | = −𝑟 2 sin 𝜃 ;r-радиус, 𝜑cos 𝜃
0
−𝑟 sin 𝜃
долгота, 𝜃- широта.
Орты базисных вект-х полей илиндр-й сис-мы коорд-т выражаются
как: 𝑔
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
=
sin
𝜃
cos
𝜑
𝑒
⃗⃗⃗⃗
𝑒2 + cos 𝜃 ⃗⃗⃗⃗;
𝑒3 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑔⟨𝜑⟩ = − sin 𝜑 ⃗⃗⃗⃗
𝑒1 + cos 𝜑 ⃗⃗⃗⃗;
𝑒2 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑔⟨𝜃⟩ =
⟨𝑟⟩
1 + sin 𝜃 sin 𝜑 ⃗⃗⃗⃗
cos 𝜃 cos 𝜑 ⃗⃗⃗⃗
𝑒1 + cos 𝜃 sin 𝜑 ⃗⃗⃗⃗
𝑒2 − sin 𝜃 ⃗⃗⃗⃗.
𝑒3
12) Осн. теор. интегр-я в пр-ве R3: опр-е и св-ва квадр. плоск. мн-в.
Мера µ(G) множества G ⊂ 𝑅 2 существует в том и только в том случае, если для любого
сколь угодно малого ɛ ˃0 найдутся такие два многоугольника 𝑀𝑖𝑛 и 𝑀𝑜𝑢𝑡 , что для мер
ограниченных ими множеств выполняется условие µ𝑜𝑢𝑡 (𝐺) − µ𝑖𝑛 (𝐺)˂ɛ. Мера области G ⊂
𝑅 2 наз. также площадью измеримой области G, а сама измеримая область G
наз.квадрируемой.
Область G ⊂ 𝑅 2 измерима (квадрируема) в том и только в том случае, если её граница
имеет меру нуль.
Можно дать аналогичные определения и сформулировать аналогичную теорему для
случая области G в трёхмерном пространстве 𝑅 3 , если формально заменить
существительное “многоугольник” существительным “многогранник”, а
существительное “площадь” – существительным “объём”. В случае, когда G ⊂ 𝑅 3 , мера
измеримой области G называется её объёмом, а сама область называется кубируемой.
10) Криволин. интегралы 1 рода: опр-е кривол интегр. 1-го рода и его свойства; вывод ф-лы
выч-я криволин. интегр.
Опр.: Если при неограниченном измельчении разбиения ∏[𝛼,𝛽] промежутка 𝐽 = [𝛼, 𝛽]
изменения параметра t ∃предел послед-ти интегр-х сумм: 𝐼 = lim 𝑅𝑊𝛼,𝛽 ≡
𝑑(П)→0
lim ∑𝑛𝑘=1 𝑓(𝜉𝑘1 , 𝜉𝑘2 , 𝜉𝑘3 ) ∗ Δ𝑙𝑘 , то он называется криволинейным интегралом первого рода
𝑑(П)→0
от ф. 𝑓 = 𝑓(𝑥1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 ) по замкнут. пути 𝑊𝛼,𝛽 и обозначается ∫𝑊
𝛼,𝛽
𝑓(𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 )𝑑𝑙 =
̂ (𝐽) ⊂ 𝑅 3 - замкн.
lim ∑𝑛𝑘=1 𝑓(𝜉𝑘1 , 𝜉𝑘2 , 𝜉𝑘3 ) ∗ Δ𝑙𝑘 (1). Свойства: Теорема. Пусть 𝐽 = [𝛼, 𝛽] и 𝑊
𝑑(П)→0
3
п. в 𝑅 , 𝑥⃗(𝑡) = ∑3𝑗=1 𝑥 𝑗 (𝑡)𝑒
⃗⃗⃗𝑗 . Тогда, если в точках пути определены ф. 𝑓 = 𝑓(𝑥⃗) и 𝑔 = 𝑔(𝑥⃗),
для которых ∃ интеграл (1) то справедливы утверждения: 1) ∀ числа 𝑐 ∈
𝑅1 :∫𝑊
𝛼,𝛽
∫𝑊
𝑓(𝑥⃗)𝑑𝑙 ± ∫𝑊
𝛼,𝛽
𝑐 ∗ 𝑓(𝑥⃗)𝑑𝑙 = 𝑐 ∗ ∫𝑊
𝛼,𝛽
𝛼,𝛽
𝑓(𝑥⃗)𝑑𝑙. 2)Если ℎ(𝑥⃗)= (𝑓 + 𝑔)(𝑥⃗), то ∫𝑊
𝑘)
ℎ(𝑥⃗)𝑑𝑙 =
̂ (𝐽) ⊂ 𝑅 3 - это сумма подпутей: 𝑊𝑘 =
𝑔(𝑥⃗)𝑑𝑙. 3) Если путь 𝑊
̂ (𝐽𝑘 ), 𝐽𝑘 = [𝑡𝑘−1, 𝑡𝑘 ](𝑘 = 1,2, … , 𝑛) то есть 𝑊
̂ (𝐽) = ⋃𝑛𝑘=1 𝑊
̂ (𝐽𝑘 ) то ∫
𝑊
𝑊
∑𝑛𝑘=1 ∫𝑊
̂ (𝐽
𝛼,𝛽
𝑓(𝑥⃗)𝑑𝑙 ≡ ∫𝑊
̂ (𝐽
1)
𝑓(𝑥⃗)𝑑𝑙 + ∫𝑊
̂ (𝐽
2)
𝑓(𝑥⃗)𝑑𝑙 + ⋯ + ∫𝑊
̂ (𝐽
𝑛)
𝛼,𝛽
𝑓(𝑥⃗)𝑑𝑙 =
𝑓(𝑥⃗)𝑑𝑙. 4)Значение крив.
ин-ла 1 р. ∮Г 𝑓(𝑥⃗)𝑑𝑙 , вычисл. по замкн. п. не зав. от направления обхода: ∫𝑊
∫𝑊
𝛼,𝛽
𝑓(𝑥⃗)𝑑𝑙 =
𝑓(𝑥⃗)𝑑𝑙. 5) Значение крив. инт. ∮Г 𝑓(𝑥⃗)𝑑𝑙 1 р. выч. по замкн. контуру Г, не зав. от
𝛽,𝛼
начальной точки интегрирования.
̂ (𝐽) ⊂
Вывод формулы: кр. инт. 1 р. сводится к обыкновенному интегралу. Длина пути 𝑊
1
2
2
2
3
2
1
2
2
2
3
2
2
2
𝛽 𝑑𝑥⃗
𝛽
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑅 3 вычисляется: 𝐿(𝑊) = ∫𝛼 ‖ 𝑑𝑡 (𝑡)‖ 𝑑𝑡 = ∫𝛼 √[ 𝑑𝑡 (𝑡)] + [ 𝑑𝑡 (𝑡)] + [ 𝑑𝑡 (𝑡)] 𝑑𝑡.
̂ ([𝑡𝑘−1, 𝑡𝑘 ]): Δ𝑙𝑘 = ∫𝑡𝑘 √[𝑑𝑥 (𝑡)] + [𝑑𝑥 (𝑡)] + [𝑑𝑥 (𝑡)] 𝑑𝑡 =
Δ𝑙𝑘 частичного пути 𝑊
𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑘−1
2
1
2
2
2
3
2
1
3
2
√[𝑑𝑥 (𝑡𝑘∗ )] + [𝑑𝑥 (𝑡𝑘∗ )] + [𝑑𝑥 (𝑡𝑘∗ )] ∗ ∫𝑡𝑘 𝑑𝑡 = √[𝑑𝑥 (𝑡𝑘∗ )] + [𝑑𝑥 (𝑡𝑘∗ )] + [𝑑𝑥 (𝑡𝑘∗ )] ∗
𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑘−1
∆𝑡𝑘 . 𝑡𝑘∗ ∈ (𝑡𝑘−1, 𝑡𝑘 ). По т. о ср. зн. интегрального исчисления для опред. инт-ла имеем:
𝑅𝑊𝛼,𝛽 = ∑𝑛𝑘=1 𝑓(𝜉𝑘1 , 𝜉𝑘2 , 𝜉𝑘3 ) ∗ Δ𝑙𝑘 = ∑𝑛𝑘=1 𝑓(𝑥1 (𝑡𝑘∗ ), 𝑥 2 (𝑡𝑘∗ ), 𝑥 3 (𝑡𝑘∗ )) ∗
2
1
2
2
2
3
√[𝑑𝑥 (𝑡𝑘∗ )] + [𝑑𝑥 (𝑡𝑘∗ )] + [𝑑𝑥 (𝑡𝑘∗ )] ∗ ∆𝑡𝑘 . Это интегральная сумма Римана для
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
непрерывной на промежутке
𝑑𝑥 1
2
𝑑𝑥 2
2
𝑑𝑥 3
2
[𝛼, 𝛽]ф.𝑓(𝑥1 (𝑡), 𝑥 2 (𝑡), 𝑥 3 (𝑡))√[ 𝑑𝑡 (𝑡)] + [ 𝑑𝑡 (𝑡)] + [ 𝑑𝑡 (𝑡)] . Измельчая разб. промеж-а
измен. Парам. и, переходя к приделу при услов. 𝑑(П) = max(𝑡𝑘 − 𝑡𝑘−1 ) → 0
𝑘
получаем: ∫𝑊
𝛼,𝛽
1
(𝑥1 (𝑡),
2
2
𝑥
2
2 (𝑡),
3
𝑥 (𝑡))𝑑𝑙 ≡
3
𝛽
∫𝛼 𝑓(𝑥⃗(𝑡))
∗
2
√[𝑑𝑥 (𝑡)] + [𝑑𝑥 (𝑡)] + [𝑑𝑥 (𝑡)] 𝑑𝑡. Обобщ. на сл. замкн.п.в:∫̂ 𝑓(𝑥⃗(𝑡))𝑑𝑙 = ∫𝛽 𝑓(𝑥⃗(𝑡)) ∗
𝑊 (𝐽)
𝛼
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑘
2
√∑𝑛𝑘=1 [𝑑𝑥 (𝑡)] 𝑑𝑡 Естест. параметр-ия путь 𝑅 2 задан неявным ур-ем y=y(x):
𝑑𝑡
x=t.∫𝐿
𝑏
𝑎,𝑏
𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑙 = ∫𝑎 (𝑥, 𝑦(𝑥)) ∗ √1 + [
y=y(x),z=z(x). ∫𝐿
𝑏
𝑎,𝑏
𝑑𝑦(𝑥) 2
𝑑𝑥
] 𝑑𝑥. путь задан в𝑅 3
𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑙 = ∫𝑎 𝑓(𝑥, 𝑦(𝑥), 𝑧(𝑥)) ∗ √1 + [
𝑑𝑦(𝑥) 2
𝑑𝑥
] +[
𝑑𝑧(𝑥) 2
𝑑𝑥
] 𝑑𝑥
11) Криволин. интегралы 2 рода: : опр-е кривол интегр. 2-го рода и его свойства; вывод флы выч-я криволин. интегр.
Определение : Если при неограниченном измельчении разбиения П[𝛼,𝛽] промежутка
изменения параметра 𝐽 = [𝛼, 𝛽] существует предел последовательности интегральных
сумм, то он обозначается 𝐼𝑊𝛼,𝛽 = ∫𝑊 𝐹1 (𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 )𝑑𝑥1 + 𝐹2 (𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 )𝑑𝑥2 +
𝛼,𝛽
𝐹3 (𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 ) 𝑑𝑥3 ≝ lim ∑𝑛𝑘=1[𝐹1 (𝜉𝑘 , 𝜂𝑘 , 𝜃𝑘 ) ∙ ∆𝑥1𝑘 + 𝐹2 (𝜉𝑘 , 𝜂𝑘 , 𝜃𝑘 ) ∙ ∆𝑥2𝑘 + 𝐹3 (𝜉𝑘 , 𝜂𝑘 , 𝜃𝑘 ) ∙
𝑑(П)→0
∆𝑥3𝑘 ] и называется криволинейным интегралом второго рода. Cв-ва кривол-го интеграла
2го рода: 1) ∫𝑊
∫𝑊
∫𝑊
𝛼,𝛽
𝛼,𝛽
𝛼,𝛽
с ∙ 𝑓(𝑥⃗)𝑑𝑙 = 𝑐 ∙ ∫𝑊
𝛼,𝛽
𝑓(𝑥⃗)𝑑𝑙 ± ∫𝑊
𝛼,𝛽
𝑓(𝑥⃗)𝑑𝑙 2) Если ℎ(𝑥⃗) = (𝑓 ± 𝑔)(𝑥⃗), то ∫𝑊
𝛼,𝛽
ℎ(𝑥⃗) 𝑑𝑙 =
𝑔(𝑥⃗)𝑑𝑙 3) Если путь представлен в виде объединения подпутей
𝑓(𝑥⃗)𝑑𝑙 = ∑𝑛𝑘=1 ∫𝑊
⃗)𝑑𝑙 4) За положительное выбирается такое направление
̂ (𝐽 ) 𝑓(𝑥
𝑘
обхода, при котором область, заключенная внутри контура, остается слева от текущей
точки.5) Значение интеграла зависит от начальной точки интегрирования.
∫𝑊 𝐹1 (𝑥⃗)𝑑𝑥1 + 𝐹2 (𝑥⃗)𝑑𝑥2 + 𝐹3 (𝑥⃗)𝑑𝑥3 =
𝛼,𝛽
𝛽
= ∫𝛼 [𝐹1 (𝑥1 (𝑡), 𝑥2 (𝑡), 𝑥3 (𝑡))
𝐹3 (𝑥1 (𝑡), 𝑥2 (𝑡), 𝑥3 (𝑡))
𝑑𝑥3 (𝑡)
𝑑𝑡
𝑑𝑥1 (𝑡)
𝑑𝑡
+ 𝐹2 (𝑥1 (𝑡), 𝑥2 (𝑡), 𝑥3 (𝑡))
𝑑𝑥2 (𝑡)
𝑑𝑡
+
] 𝑑𝑡.Вывод формулы: Используя теорему Лагранжа, имеем ∆𝑥𝑘𝑖 =
𝑥 𝑖 (𝑡𝑘 ) − 𝑥 𝑖 (𝑡𝑘−1 ) = 𝑥 𝑖 (𝑡𝑘∗ )∆t k , где 𝑡𝑘∗ ∈ (𝑡𝑘−1 , 𝑡𝑘 ) . Далее ∫𝑊
⃗⃗⃗⃗⃗𝑘∗ ) ∙ ∆𝑥1𝑘 + 𝐹2 (𝑥
⃗⃗⃗⃗⃗𝑘∗ ) ∙ ∆𝑥2𝑘
lim ∑𝑛𝑘=1 [𝐹1 (𝑥
𝑑(П)→0
⃗⃗⃗⃗⃗𝑘∗ ) ∙ 𝑑𝑥2 (𝑡𝑘∗ ) + 𝐹3 (𝑥
⃗⃗⃗⃗⃗𝑘∗ ) ∙ 𝑑𝑥3 (𝑡𝑘∗ )] ∗ ∆𝑡𝑘 .
𝐹2 (𝑥
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑥1
𝑑𝑥2
𝛼,𝛽
𝐹1 (𝑥⃗)𝑑𝑥1 + 𝐹2 (𝑥⃗)𝑑𝑥2 + 𝐹3 (𝑥⃗) 𝑑𝑥3 =
⃗⃗⃗⃗⃗𝑘∗ ) ∙ ∆𝑥3𝑘 ] = lim ∑𝑛𝑘=1 [𝐹1 (𝑥
⃗⃗⃗⃗⃗𝑘∗ ) ∙
+ 𝐹3 (𝑥
𝑑(П)→0
𝑑𝑥1 ∗
(𝑡𝑘 ) +
𝑑𝑡
Мы пришли к пределу интегральной суммы для
𝑑𝑥
функции 𝐹1 (𝑥⃗) 𝑑𝑡 (𝑡) + 𝐹2 (𝑥⃗) 𝑑𝑡 (𝑡) + 𝐹3 (𝑥⃗) 𝑑𝑡3 (𝑡). Тогда видно, что формула для
вычисления криволинейного интеграла второго рода по пути с гладкой параметризацией
имеет вид: ∫𝑊
𝛼,𝛽
𝐹1 (𝑥⃗(𝑡))𝑑𝑥1 + 𝐹2 (𝑥⃗(𝑡))𝑑𝑥2 + 𝐹3 (𝑥⃗(𝑡))𝑑𝑥3 =
𝛽
∫𝛼 [𝐹1 (𝑥1 (𝑡), 𝑥2 (𝑡), 𝑥3 (𝑡))
𝑑𝑥1 (𝑡)
𝑑𝑥3 (𝑡)
𝑑𝑡
+ 𝐹2 (𝑥1 (𝑡), 𝑥2 (𝑡), 𝑥3 (𝑡))
𝑑𝑥2 (𝑡)
𝑑𝑡
+
𝐹3 (𝑥1 (𝑡), 𝑥2 (𝑡), 𝑥3 (𝑡)) 𝑑𝑡 ] 𝑑𝑡
Различные случаи параметризации: Если путь задан неявными уравнениями y=y(x),z=z(x)
, то переменная x является параметром и формула будет такая: 𝐼𝑊𝛼,𝛽 = ∫𝑊
𝑏
𝑄(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑦 + 𝑅(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑧 = ∫𝑎 [𝑃(𝑥, 𝑦(𝑥), 𝑧(𝑥)) + 𝑄(𝑥, 𝑦(𝑥), 𝑧(𝑥))
𝑑𝑧(𝑥)
𝑑𝑦(𝑥)
𝑑𝑥
𝛼,𝛽
𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑥 +
+
𝑅(𝑥, 𝑦(𝑥), 𝑧(𝑥)) 𝑑𝑥 ]𝑑𝑥 , где 𝑎 = 𝑥(𝛼), 𝑏 = 𝑥(𝛽) - пределы изменения переменной x. Для
переменных параметров y и z формулы получаются аналогично.
13) Осн. теор. интегр-я в пр-ве R3: опр-е и св-ва меры плоск. мн-в.
В диф. геом. пов-ть опр. как мн. зн. 𝐹̂ (𝛺) непр. диф. отобр. 𝐹̂ дву. обл. 𝛺 ⊂ 𝑅 2 в 𝑅 3 . Если
обл. 𝛺 замк. и огр-ая (компак.), то 𝐹̂ (𝛺) наз. простой пов.(пв). Пусть пв задана вект.
парам.(пар) ур-м 𝑥⃗(𝑢
⃗⃗) = 𝐹̂ (𝑢
⃗⃗) = ∑3𝑘=1 𝑓(𝑢
⃗⃗)𝑒⃗𝑘 или, что то же самое, соотв-ми скал. ур-ми
𝑥1 = 𝑓1 (𝑢, 𝑣),
{𝑥2 = 𝑓2 (𝑢, 𝑣), где u и v – коорд. пар век. 𝑢
⃗⃗ = 𝑢𝑎⃗1 + 𝑣𝑎⃗2 в базисе
(𝑢,
𝑥3 = 𝑓3 𝑣),
{𝑎⃗1 , 𝑎⃗2 } пар пр-ва 𝑅 2 . Рассм. на пов-ти “элемент. крив. паралл.”(экп) 𝑁0 𝑁1 𝑁2 𝑁3 – отобр.
Элем. разбиения 𝑀0 𝑀1 𝑀2 𝑀3 в пар пр-ве 𝑅 2 с дек. сист. коорд. 𝑈𝑂∗ 𝑉 в евкл. пр-во 𝑅 3 .В пар
пр-ве верш. элемент. прям-ка разб. имеют коорд: 𝑀0 (𝑢0 , 𝑣0 ), 𝑀1 (𝑢0 + 𝑑𝑢, 𝑣0 ), 𝑀2 (𝑢0 +
𝑑𝑢, 𝑣0 + 𝑑𝑣), 𝑀3 (𝑢0 , 𝑣0 + 𝑑𝑣). Соотв. им при отобр. 𝐹̂ верш. крив. паралл. имеют рад.-век.
𝑁0 : 𝑥
⃗⃗⃗⃗(𝑢0 , 𝑣0 ) = ∑3𝑘=1 𝑓𝑘 (𝑢0 , 𝑣0 )𝑒⃗𝑘 ; 𝑁1 : 𝑥
⃗⃗⃗⃗(𝑢0 + 𝑑𝑢, 𝑣0 ) = ∑3𝑘=1 𝑓𝑘 (𝑢0 +
𝑑𝑢, 𝑣0 )𝑒⃗𝑘 ; 𝑁2 : 𝑥
⃗⃗⃗⃗(𝑢0 + 𝑑𝑢, 𝑣0 + 𝑑𝑣) = ∑3𝑘=1 𝑓𝑘 (𝑢0 + 𝑑𝑢, 𝑣0 + 𝑑𝑣)𝑒⃗𝑘 ; 𝑁3 : 𝑥
⃗⃗⃗⃗(𝑢0 , 𝑣0 + 𝑑𝑣) =
3
∑𝑘=1 𝑓𝑘 (𝑢0 , 𝑣0 + 𝑑𝑣)𝑒⃗𝑘 ; Век. 𝑟⃗1 (𝑢0 , 𝑣0 )𝛥𝑢 и 𝑟⃗2 (𝑢0 , 𝑣0 )𝛥𝑣, явл. касат. век. к гаусс. коорд.
лин., проход. ч-з т. 𝑁0 (𝑢0 , 𝑣0 ) пов-ти. для дифф. длины дуги спр-ва форм. 𝑑𝐿 =
√𝑔11 𝑑𝑢 𝑑𝑢 + 𝑔12 𝑑𝑢 𝑑𝑣 + 𝑔22 𝑑𝑣 𝑑𝑣 найд. 𝑁0 𝑁1 и 𝑁0 𝑁3 экп, для чего зап-ая дифф. длин
дуг гаусс. коорд. линий 𝑑𝐿1 = √𝑔11 ∗ |𝑑𝑢| ≡ √(𝑟⃗1 , 𝑟⃗1 ) ∗ |𝑑𝑢|, 𝑑𝐿2 = √𝑔22 ∗ |𝑑𝑣| ≡
√(𝑟⃗2 , 𝑟⃗2 ) ∗ |𝑑𝑣|
Из формул видно, что длины 𝑟⃗1 и 𝑟⃗2, отл-ся от длин сторон экп на беск. мал. велич. при
𝛥𝑢 ⟶ 0 𝛥𝑣 ⟶ 0. Поэт. счит., что площ. экп прибл. равна площ. dS паралл., постр. на
век.х⃗⃗⃗𝑟1 и 𝑟⃗2 dS 2 = ‖[⃗⃗⃗𝑟1 , 𝑟⃗2 ]𝛥𝑢𝛥𝑣‖2 ≈ [(⃗⃗⃗𝑟1 , 𝑟⃗1 )(⃗⃗⃗𝑟2 , 𝑟⃗2 ) − (⃗⃗⃗𝑟1 , 𝑟⃗2 )2 ](𝑑𝑢)2 (𝑑𝑣)2 𝑑𝑆 =
√𝑔11 (𝑢
⃗⃗0 )𝑔22 (𝑢
⃗⃗0 ) − 𝑔12 2 (𝑢
⃗⃗0 ) 𝑑𝑢 𝑑𝑣. Полученное выражение называется Элементом
площади меры на пов-ти. Площадью простой пов-ти 𝐹̂ (𝛺) наз. двойной инт.
𝑆 (𝐹̂ (𝛺)) ≝ ∬ ‖[𝑟⃗⃗⃗⃗(𝑢,
𝑣), ⃗⃗⃗⃗(𝑢,
𝑟2 𝑣)]‖ 𝑑𝑢 𝑑𝑣 = ∬ √𝑔11 (𝑢
⃗⃗)𝑔22 (𝑢
⃗⃗) − 𝑔12 2 (𝑢
⃗⃗) 𝑑𝑢 𝑑𝑣
1
𝛺
𝛺
44) Ур-я высших пор.: ур-я, не сод. в прав. части иск. ф-ции и еѐ послед. пр-ных до порядка n1
𝑑𝑘 𝑦 𝑑𝑘+1 𝑦
𝑑𝑛 𝑦
Такие уравн. имеют вид 𝐹 (𝑥, 𝑑𝑥 𝑘 , 𝑑𝑥 𝑘+1 , … , 𝑑𝑥 𝑛 ) = 0 (1), где 1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛 − 1
𝑑𝑘 𝑦
Введем новую переменную: 𝑧 = 𝑑𝑥 𝑘 (2),
𝑑𝑘+1 𝑦
𝑑𝑧
𝑑𝑛 𝑦
𝑑𝑛−𝑘 𝑧
Тогда 𝑑𝑥 𝑘+1 = 𝑑𝑥 , … , 𝑑𝑥 𝑘+1 = 𝑑𝑥 𝑛−𝑘,
𝑑𝑧 𝑑2 𝑧
𝑑𝑛−𝑘 𝑦
Теперь уравн. (1) примет вид 𝐹 (𝑥, 𝑧, 𝑑𝑥 , 𝑑𝑥 2 , … , 𝑑𝑥 𝑛−𝑘 ) = 0 (3),
Порядок уравнения понизился на k единиц. Если можно найти общее решение уравн. (3)
𝑑𝑘 𝑦
𝑧 = (x, 𝐶1 , 𝐶2 , … , 𝐶𝑛−𝑘 ), то с учетом обозначений (2) приходим к уравнению 𝑑𝑥 𝑘 ==
(x, 𝐶1 , 𝐶2 , … , 𝐶𝑛−𝑘 ), (4)
𝑑𝑛 𝑦
Уравнение (4) имеет вид 𝑑𝑥 𝑛 = 𝑓(𝑥), и для нахождения его решения можно
1
𝑥
𝑥 𝑛−1
𝑥 𝑛−2
воспользоваться формулой: 𝑦(𝑥) = (𝑛−1)! ∫𝑥 𝑓(𝑡)(𝑥 − 𝑡)𝑛−1 𝑑𝑡 + 𝐶1 (𝑛−1)! + 𝐶2 (𝑛−2)! +
𝑥2
0
𝐶3 + ⋯ + 𝐶𝑛−2 2! + 𝐶𝑛−1 𝑥 + 𝐶𝑛 . Общее решение реш. уравнения (1) принимает вид: 𝑦 =
(x, 𝐶1 , 𝐶2 , … , 𝐶𝑛 ).
14) Осн. теор. интегр-я в пр-ве R3: понят. верхн. и нижн. интегр. сумм от ступенч. ф-ций.
Двойным интегралом от ступенчатой функции Т, определённой на носителе D, называется
действительное число:
I(T) = ∬𝐷 𝑇(𝑥, 𝑦)𝑑𝜇 ≝ ∑𝑖 ∑𝑗 𝑡𝑖𝑗 ∙ 𝜇(Pij), где 𝜇(Pij) = (xi – xi-1) ∙ (yj – yj-1).
Двойной интеграл I(T) = ∬𝐷 𝑇(𝑥, 𝑦)𝑑𝜇 ≝ ∑𝑖 ∑𝑗 𝑡𝑖𝑗 ∙ 𝜇(Pij) от ступенчатой функции T(x,y)
обладает следующими свойствами:
1) если T – ступенчатая функция и 𝛼 ∈ R1, то I(𝛼 ∙ T) = ∬𝐷 𝛼 ∙ 𝑇(𝑥, 𝑦)𝑑𝜇 = 𝛼 ∙ I(T);
2) если T1 и T2 – две ступенчатые функции, определённые на носителе D, то
I(T1+T2) = ∬𝐷 [T1(x,y) + T2(x,y)]𝑑𝜇 = ∬𝐷
T1(x,y)𝑑𝜇 + ∬𝐵
T2(x,y)𝑑𝜇 = I(T1) + I(T2);
3) если (∀(x; y) ∈ D) T(x,y) ≥ 0, то
I(T) = ∬𝐷 𝑇(𝑥, 𝑦)𝑑𝜇 ≥ 0;
4) если T1 и T2 – две ступенчатые функции, удовлетворяющие условию (∀(x; y) ∈ D)
T1(x,y) ≤ T2 (x,y), то ∬𝐷 𝑇1 (𝑥, 𝑦)𝑑𝜇 ≤ ∬𝐷 𝑇2 (𝑥, 𝑦)𝑑𝜇 ;
5) если ‖𝑇‖ ≝ 𝑠𝑢𝑝𝐷 |𝑇(𝑥, 𝑦)|, то |∬𝐷 𝑇(𝑥, 𝑦)𝑑𝜇 |≤∬𝐷 |𝑇(𝑥, 𝑦)|𝑑𝜇 ≤ ‖𝑇‖ ∙ 𝜇(𝐷)
18) Осн. теор. интегр-я в пр-ве R3: опр-е и выч-е тройного интеграла в дек. сист. коорд.;
замена перем.в тройном интеграле.
Если последовательность интегральных сумм 𝑇𝑛 = ∑𝑛𝑘=1 𝑓(𝜉𝑘 , 𝜂𝑘 , 𝜃𝑘 ) ∙ ∆𝜈𝑘 имеет предел
при измельчении разбиения области 𝑉, то этот предел называется тройным интегралом от
функции 𝑓 по области 𝑉 и обозначается
𝑛
𝐼 = ∭ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝜈 = ∭ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 ≝ lim ∑ 𝑓(𝜉𝑘 , 𝜂𝑘 , 𝜃𝑘 ) ∆𝜈𝑘 .
𝑑→0
𝑉
𝑉
𝑘=1
Если для функции 𝐼(𝑥, 𝑦) выполнены условия существования двойного интеграла, то
справедлива, например, формула перехода от двойного интеграла к повторному интегралу
𝑦=𝑔2 (𝑥)
𝑏
∬ 𝐼(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∫ 𝑑𝑥
𝐷
𝑎
∫
𝐼(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦.
𝑦=𝑔1 (𝑥)
Из последней формулы следует формула вычисления тройного интеграла через
последовательное вычисление трёх (одномерных) определённых интегралов:
𝑏
∭ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = ∫ 𝑑𝑥
𝑉
𝑎
𝑦=𝑔2 (𝑥)
∫
𝑦=𝑔1 (𝑥)
𝑧=𝑢2 (𝑥,𝑦)
𝑑𝑦
∫
𝑧=𝑢1 (𝑥,𝑦)
𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑧.
15) Осн. теор. интегр-я в пр-ве R3: опр-я и св-ва двойн. интеграла от непрер. ф-ции.
Общий предел последовательностей нижних и верхних интегралов Дарбу (𝐼𝑖𝑗 (𝐿)) и
(𝐼𝑖𝑗 (𝐻)) для непрерывной на компактном носителе 𝐷 ⊂ 𝑅 2 функции 𝑓: 𝐷 → 𝑓(𝐷)
∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝜇 ≝
𝐷
lim
𝑑(𝑃𝑖𝑗 )→0
∑ 𝑙𝑖𝑗 ∙ 𝜇( 𝑃𝑖𝑗 ) =
𝑖𝑗
lim
𝑑(𝑃𝑖𝑗 )→0
∑ ℎ𝑖𝑗 ∙ 𝜇( 𝑃𝑖𝑗 ),
𝑖𝑗
называется двойным (двукратным) интегралом от функции 𝑓 по замкнутому и
ограниченному носителю 𝐷 ⊂ 𝑅 2 .
Двойной интеграл от интегрируемой на компактном множестве 𝐷 ⊂ 𝑅 2 функции 𝑓 обладает
следующими свойствами:
1) если 𝛼 ∈ 𝑅 – некоторое действительное число, то ∬𝐷 𝛼 ∙ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝜇 = 𝛼 ∙ ∬𝐷 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝜇 ;
2) Если функции 𝑓 и 𝑔 интегрируемы на 𝐷, то ∬𝐷 (𝑓 + 𝑔)(𝑥, 𝑦)𝑑𝜇 = ∬𝐷 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝜇 +
∬𝐷 𝑔(𝑥, 𝑦)𝑑𝜇;
3) Если 𝐷 = 𝐷1 ∪ 𝐷2 и 𝐷 = 𝐷1 ∩ 𝐷2 = ∅, то ∬𝐷 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝜇 = ∬𝐷 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝜇 + ∬𝐷 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝜇;
1
4)
Если
(∀(𝑥; 𝑦) ∈ 𝐷)
выполняется
неравенство
2
𝑓(𝑥, 𝑦) > 0 (𝑓(𝑥, 𝑦) ≥ 0 ),
то
∬𝐷 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝜇 > 0 (∬𝐷 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝜇 ≥ 0) ;
5) если функция 𝑓 непрерывна на компактном множестве 𝐷 ⊂ 𝑅 2, то найдётся такая точка
(𝜉; 𝜂) ∈ 𝐷, что ∬𝐷 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝜇 = 𝑓(𝜉, 𝜂) ∙ 𝜇(𝐷).
41) Обыкн-е дифф. ур-я 1-го пор.: лин. обыкн. дифф. ур-я 1-го пор.; мет. вар-ции пр. пост
dy
 p ( x)  y  f ( x) наз.
Опр: Если x  ( a, b) выполнено усл. f ( x)  0 , то уравн.
dx
неоднородным уравнением, а если x  ( a, b) f ( x)  0 - однородным, соответ-им данному
dy
dy
неоднородному. Общее решение однородного уравнения:  p( x)  y  0 ;  p( x)  0
dx
y
 p ( x )dx
 p ( x )dx
 p ( x )dx
; ln y   p ( x)  dx  C ; ln y  ln e 
Найдем общее
 ln A ; y  Ae 
y  Ce 
решение неоднородного уравнения, используя метод вариации произвольной
постоянной:
 p ( x )dx dz
 p ( x )dx
dC ( x)   p ( x )dx
z ( x )  C ( x )e 
; 
e
 p ( x)  C ( x)  e 
zx
dx
 p ( x )dx
 p ( x )dx
p ( x )dx
dC ( x)   p ( x )dx
dC ( x)
e
 p ( x)  C ( x)  e 
 p( x)  C ( x)  e 
 f ( x);
 f ( x )e 
dx
dx
p
(
x
)

dx
p
(
x
)

dx

p
(
x
)

dx
C ( x )   f ( x )e 
dx  A; z ( x)    f ( x)e 
dx  A e 


16) Осн. теор. интегр-я в пр-ве R3: выч-е двойного интеграла по прямоуг.обл.
Сначала рассмотрим двойной интеграл от непрерывной ф. 𝑓:𝑃→𝑅, где P – некоторый
прямоугольник. Справедлива следующая теорема. Теорема 3.8. Пусть 𝑃={(𝑥;𝑦)⊂𝑅2:
𝑎≤𝑥≤𝑏;𝑐≤𝑦≤𝑑} – замкнутый прямоугольник, 𝑓:𝑃→𝑅1 – непрерывная функция и
∬𝑓(𝑥,𝑦)𝑑𝜇≡𝑃∬𝑓(𝑥,𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑃 – двойной интеграл от функции 𝑓:𝑃→𝑅 по прямоугольнику P.
Тогда, если для каждой точки 𝑥∈[𝑎,𝑏] существует определённый интеграл
𝐼(𝑥)=∫𝑓(𝑥,𝑦)𝑑𝑦𝑑𝑐(3.11), то существует и повторный интеграл от функции (3.11) вида
∫𝐼(𝑥)𝑏𝑎=∫𝑑𝑥𝑏𝑎(∫𝑓(𝑥,𝑦)𝑑𝑦𝑑𝑐), причём справедливо равенство: ∬𝑓(𝑥,𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑃=
=∫𝑑𝑥𝑏𝑎(∫𝑓(𝑥,𝑦)𝑑𝑦𝑑𝑐)(3.12). Двойной интеграл по прямоугольной области можно
вычислить также по формуле ∬𝑓(𝑥,𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑃=∫𝑑𝑦𝑑𝑐(∫𝑓(𝑥,𝑦)𝑑𝑥𝑏𝑎)(3.13). Д о к а з а т е л ь с
т в о. Разобьём прямоугольник P на частичные прямоугольники 𝑃𝑖𝑗, вводя разбиения по
осям координат 𝑂𝑋1и 𝑂𝑋2 ∏={𝑎≡𝑥0<𝑥1<⋯<𝑥𝑖−1<𝑥𝑖<𝑥𝑖+1<⋯<𝑥𝑛≡𝑏}1[𝑎,𝑏],
∏={𝑐≡𝑦0<𝑦1<⋯<𝑦𝑗−1<𝑦𝑗<𝑦𝑗+1<⋯<𝑦𝑚≡𝑑}2[𝑐,𝑑]. Всего получим 𝑚∙𝑛 частичных
прямоугольников вида 𝑃𝑖𝑗(𝑥1,𝑥2)={(𝑥;𝑦)⊂𝑅2: 𝑥𝑖−1≤𝑥≤𝑥𝑖;𝑦𝑗−1≤𝑦≤𝑦𝑗}, где 𝑖=1,2,…,𝑛 и
𝑗=1,2,…,𝑚. Обозначим ∆𝑥𝑖=𝑥𝑖−𝑥𝑖−1,∆𝑦𝑗=𝑦𝑗−𝑦𝑗−1 , а через 𝑙𝑖𝑗 и ℎ𝑖𝑗 , соответственно,
нижнюю и верхнюю грани ф. f на частичном прямоугольнике𝑃𝑖𝑗 . Тогда для (∀(𝑥;𝑦)∈𝑃𝑖𝑗)
всегда 𝑙𝑖𝑗≤𝑓(𝑥,𝑦)≤ℎ𝑖𝑗. Фиксируя некоторую точку 𝜉𝑖∈(𝑥𝑖−1,𝑥𝑖) и интегрируя данное
неравенство по y в пределах от 𝑦𝑗−1 до𝑦𝑗 , получаем: 𝑙𝑖𝑗∙∆𝑦𝑗≤∫𝑓(𝜉𝑖,𝑦)𝑑𝑦𝑥𝑗2𝑥𝑗−12≤ℎ𝑖𝑗∙∆𝑥𝑖.
Суммируя далее по всем 𝑗=1,2,…,𝑚 , имеем:
∑𝑙𝑖𝑗∙∆𝑦𝑗𝑚𝑗=1≤∑∫𝑓(𝜉𝑖,𝑦)𝑑𝑦𝑥𝑗2𝑥𝑗−12𝑚𝑗=1≤∑ℎ𝑖𝑗∙∆𝑥𝑖𝑚𝑗=1. Учитывая свойства
определённого интеграла, получаем ∑∫𝑓(𝜉𝑖,𝑦)𝑑𝑦𝑥𝑗2𝑥𝑗−12𝑚𝑗=1=∫𝑓(𝜉𝑖,𝑦)𝑑𝑦𝑑𝑐=𝐼(𝜉𝑖) .
Следовательно, имеем: ∑𝑙𝑖𝑗∙𝑚𝑗=1∆𝑦𝑗≤𝐼(𝜉𝑖)≤∑ℎ𝑖𝑗∙∆𝑥𝑖𝑚𝑗=1 . Умножим теперь последнее
неравенство на ∆𝑥𝑖 и просуммируем по 𝑖=1,2,…,𝑛:
∑∑𝑙𝑖𝑗∙∆𝑦𝑗∙∆𝑥𝑖𝑚𝑗=1𝑛𝑖=1≤∑𝐼(𝜉𝑖)∙∆𝑥𝑖𝑛𝑖=1≤∑∑ℎ𝑖𝑗∙𝑚𝑗=1𝑛𝑖=1∆𝑥𝑖∙∆𝑥𝑖 . Нетрудно видеть, что
∑𝐼(𝜉𝑖)∙∆𝑥𝑖𝑛𝑖=1 – интегральная сумма Римана для ф. 𝐼(𝑥).
Так как эти последовательности по условию имеют общий предел, равный двойному
интегралу ∬𝑓(𝑥,𝑦)𝑑𝜇≡𝑃∬𝑓(𝑥,𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑃 , то по теореме о трёх последовательностях
последовательность с общим членом ∑𝐼(𝜉𝑖)∙∆𝑥𝑖𝑛𝑖=1 также сходится к тому же пределу, и
получаем формулу для вычисления двойного интеграла (3.12), или (3.13) :
∫𝐼(𝑥)𝑏𝑎=∬𝑓(𝑥,𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑃=∫(∫𝑓(𝑥,𝑦)𝑑𝑦𝑑𝑐)𝑑𝑥𝑏𝑎 ≡∫𝑑𝑥𝑏𝑎(∫𝑓(𝑥,𝑦)𝑑𝑦𝑑𝑐).
54) Лин. неодн. сист. обыкн. дифф. ур-й: ст-ра общ. реш-я лин. неодн. сист. обыкн. дифф. урй, лемма и еѐ д-во.
𝑑
𝐼 |𝑦(𝑡) > +𝑃(𝑡)|𝑦(𝑡) >= |𝑓(𝑡) > (1)
𝑑𝑡
Пусть |𝑧(𝑡) > − некоторое част. реш. этой сист., а значит вып-ся тождество:
𝑑
𝐼 𝑑𝑡 |𝑧(𝑡) > +𝑃(𝑡)|𝑧(𝑡) >= |𝑓(𝑡) > (2)
Подставляем в (1) |𝑦(𝑡) >= |𝑈(𝑡) > +|𝑧(𝑡) > (3) , где |𝑈(𝑡) > - новая неизв. вектор-функция:
𝑑
𝑑
𝐼 |𝑈(𝑡) > +𝑃(𝑡) |𝑈(𝑡) > +𝐼 |𝑧(𝑡) > +𝑃(𝑡)|𝑧(𝑡) >= |𝑓(𝑡) > (4)
𝑑𝑡
𝑑𝑡
В силу (2) имеем:
𝑑
𝐼 𝑑𝑡 |𝑈(𝑡) > +𝑃(𝑡)|𝑈(𝑡) >= |0 > (5) - это лин. однород. сист., соответст. неоднород. сист. (1).
Если Y(t) – фунд. матрица системы (5), то общ. реш. системы нах-ся в виде:
|𝑈(𝑡) >= 𝑌(𝑡)|𝐶 > (6)
Подстановка в (6) и (3) дает:
|𝑦(𝑡) >= 𝑌(𝑡)|𝐶 > +|𝑧(𝑡) > (7)
Или:
𝑦1 (𝑡)
𝑦11
2
(𝑦 (𝑡) ) = ( 𝑦12
𝑦 𝑛 (𝑡)
𝑦1𝑛
𝑦21
𝑦22
𝑦2𝑛
𝑦𝑛1
𝐶1
𝑧1 (𝑡)
2 ) = ( 𝐶 ) + ( 2 (𝑡) ) (8)
𝑦𝑛
𝑧
2
𝑛 (𝑡)
𝑛
𝐶
𝑧
𝑦𝑛
𝑛
общее реш. лин. неоднор. сист. (1) равно сумме общего реш. (6) соотв. однород. сист. (5) и какоголибо частн. решения неод.сист.
17) Осн. теор. интегр-я в пр-ве R3: выч-е двойного интеграла по простой криволин. обл.
Рассмотрим криволинейную область D спец вида
𝐷 = {(𝑥; 𝑦) ⊂ 𝑅 2 : 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏; 𝑔1 (𝑥) ≤ 𝑦 ≤ 𝑔2 (𝑥)}, (1.1)
где y=g1(x) и y=g2(x) –непрерывные на промежутке [a,b] ф, удов при а ≤x≤b нерав
g1(x)≤g2(x). область наз. простой относ OY
Теор1. Пусть ф u=f(x,y) определена и непрерывна в области (1.1). Тогда , если существует
2х интеграл
∬𝐷 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 (∀х ∈ [𝑎, 𝑏]) сущ опред интег.
𝑔 (𝑥)
𝐼(𝑥) = ∫𝑔 2
1(𝑥)
𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦,
То существует и повторный интеграл
𝑏
𝑏
𝑔 (𝑥)
𝑏
𝑔 (𝑥)
2
2
∫𝑎 𝐼(𝑥)𝑑𝑥 = ∫𝑎 𝑑𝑥 ∫𝑔 (𝑥) 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 , ∬𝐷 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∫𝑎 𝑑𝑥 ∫𝑔 (𝑥) 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 (1.1)
2
2
Док-во: Заключим обл D в прямоуг
𝑚𝑖𝑛
𝑚𝑎𝑥
𝑃 = {(𝑥; 𝑦): 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏;
𝑔1 (𝑥) ≤ 𝑦 ≤ 1
𝑔2 (𝑥)}.
𝑥∈[𝑎,𝑏]
𝑥 ∈[𝑎,𝑏]
Продолжим ф f(x,y) на прямоуг P, положив по определению
𝑓(𝑥, 𝑦), (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐷
𝐹(𝑥, 𝑦) ≝ {
0, (𝑥, 𝑦)𝐷
Определённая так ф интегрируема в прямоуг P, так как она в обл D равна интегр по
условию ф f(x,y), а в области P-D эта ф тождественно =0 и => интегрируема . Поэтому
можем записать :
∬𝑃 𝐹(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑 = ∬𝐷 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 + ∬𝑃−𝐷 𝐹(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦. Учитывая
∬𝑃−𝐷 𝐹(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∬𝑃−𝐷 0 ∙ 𝑑𝑥𝑑𝑦 ≡ 0,=>
∬𝑃 𝐹(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∬𝐷 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦.
Получаем, что (∀ x ∈ [a,b]) существует интеграл
𝑑
𝑔1 (𝑥)
𝑔(𝑥)
𝑑
𝐹(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 + ∫𝑔(𝑥) 2 𝐹(𝑥, 𝑦)𝑑 + ∫𝑔
∫с 𝐹(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = ∫𝑐
𝑚𝑖𝑛
𝑚𝑎𝑥
1
2 (𝑥
1)
𝐹(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦,
(1.2)
Где 𝑐 = 𝑥 1 ∈[𝑎,𝑏] 𝑔1 (𝑥), 𝑑 = 𝑥 1 ∈[𝑎,𝑏] 𝑔2 (𝑥)
Действительно, [c, g1(x) ] и [g2(x), d] лежат вне D, а => на них F(x,y) ≡ f(x,y). Поэтому в
правой части (1.2) 1 и 3 интег равны 0.
2й интеграл существует по условию, так как в области D выполняется:
𝑑
𝑔 (𝑥)
𝑔 (𝑥)
F(x,y) ≡ f(x,y)=> ∫𝑐 𝐹(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = ∫𝑔 2(𝑥)
𝐹(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 ≡ ∫𝑔 2(𝑥)
𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦.
1
1
Тк для ф F(x,y) вып усл применимости теор о вычислении двойного интегр по
прямоугольной области, то имеем:
𝑏
𝑑
∬𝑃 𝐹(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∫𝑎 𝑑𝑥 ∫𝑐 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦Приходим к цепочке
𝑏
𝑑
∬𝐷 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∬𝑃 𝐹(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 => ∬𝑃 𝐹(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∫𝑎 𝑑𝑥 ∫𝑐 𝐹(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 =>
𝑑
𝑔 (𝑥)
2
(1.3)
∫𝑐 𝐹(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = ∫𝑔 (𝑥) 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦
1
Подставляя 3 из равенств (1.3.) во 2, а 2 в 1, получим:
Искомый интеграл.
Если обл интегр явл простой относительно оси ОХ, то формула выч 2х интегр принимает
вид :
𝑑
ℎ (𝑥)
2
∬𝐷 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∫𝑐 𝑑𝑦 ∫ℎ (𝑥) 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥
1
19) Выч-е кратн. интегр. в криволин. коорд: эл-т меры в криволин. коорд. в пр-ве R2
Определим элемент меры (площади) на пл-ть 𝑅 2 в крив-ых коорд. Для этого рассмотрим
элем-ый криволин-ый четырех-ник разбиения 𝐴1 𝐴2 𝐴3 𝐴4 который образован двумя парами
беск-но близких коорд-ых линий 𝜑1 (𝑥, 𝑦) = 𝜉, 𝜑1 (𝑥, 𝑦) = 𝜉 + 𝑑𝜉, 𝜓1 (𝑥, 𝑦) = 𝜂, 𝜓1 (𝑥, 𝑦) =
𝜂 + 𝑑𝜂, Вспоминая, что формула Тейлора
1
1
𝑚
𝑘
𝑚+1
𝑓(𝑥⃗) = 𝑓(𝑥
⃗⃗⃗⃗⃗)
⃗⃗⃗⃗⃗)
𝑓(𝜉⃗⃗⃗), для случая ф-и двух прем-ых
0 + ∑𝑘=1 𝑘! × 𝑑 𝑓(𝑥
0 + (𝑚+1)! × 𝑑
имеет вид 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑓(𝑥0 , 𝑦0 ) +
𝜕2 𝑓
(𝑥0 , 𝑦0 )𝑑𝑥𝑑𝑦 +
𝜕𝑥𝜕𝑦
𝜕2 𝑓
𝜕𝑦 2
𝜕𝑓
𝜕𝑥
(𝑥0 , 𝑦0 )𝑑𝑥 +
1
(𝑥0 , 𝑦0 )(𝑑𝑦)2 +
3!
1 𝜕2 𝑓
𝜕𝑓
(𝑥0 , 𝑦0 )𝑑𝑦 + [ 2 (𝑥0 , 𝑦0 )(𝑑𝑥)2 + 2 ×
𝜕𝑦
2 𝜕𝑥
𝑑3 𝑓(𝜉, 𝜂), запишем координаты вершин
криволин-го четырёх-ка 𝐴1 𝐴2 𝐴3 𝐴4 исходя из ур-й (4.40) и формулы Тейлора (4.41) с
точностью до линейных членов: 𝑥1 = 𝜑1 (𝜉, 𝜂), 𝑦1 = 𝜓1 (𝜉, 𝜂)-вершина 𝐴1 , 𝑥2 =
𝜕𝜑 (𝜉,𝜂)
𝜕𝜓 (𝜉,𝜂)
𝜑1 (𝜉 + 𝑑𝜉, 𝜂) ≈ 𝜑1 (𝜉, 𝜂) + 1𝜕𝜉 𝑑𝜉, 𝑦2 = 𝜓1 (𝜉 + 𝑑𝜉, 𝜂) ≈ 𝜓1 (𝜉, 𝜂) + 1𝜕𝜉 𝑑𝜉-вершина
𝐴2 , 𝑥3 = 𝜑1 (𝜉 + 𝑑𝜉, 𝜂 + 𝑑𝜂) ≈ 𝜑1 (𝜉, 𝜂) +
𝑑𝜂) ≈ 𝜓1 (𝜉, 𝜂) +
𝜕𝜑1 (𝜉,𝜂)
𝜕𝜂
𝜕𝜓1 (𝜉,𝜂)
𝜕𝜉
𝑑𝜉 +
𝜕𝜓1 (𝜉,𝜂)
𝜕𝜉
𝜕𝜑1 (𝜉,𝜂)
𝜕𝜉
𝑑𝜉 +
𝜕𝜑1 (𝜉,𝜂)
𝜕𝜉
𝑑𝜂, 𝑦2 = 𝜓1 (𝜉 + 𝑑𝜉, 𝜂 +
𝑑𝜂,- вершина 𝐴3 , 𝑥4 = 𝜑1 (𝜉, 𝜂 + 𝑑𝜂) ≈ 𝜑1 (𝜉, 𝜂) +
𝑑𝜂, 𝑦4 = 𝜓1 (𝜉, 𝜂 + 𝑑𝜂) ≈ 𝜓1 (𝜉, 𝜂) +
𝜕𝜓1 (𝜉,𝜂)
𝜕𝜂
𝑑𝜂,- вершина 𝐴4 . Из выписанных
формул легко видеть, что 𝑥2 − 𝑥1 = 𝑥3 − 𝑥4 , 𝑦2 − 𝑦1 = 𝑦3 − 𝑦4. Из последних рав-в
следует, что отрезки 𝐴1 𝐴2 и 𝐴3 𝐴4 равны и одинаково напр-ны. Аналог-но, равны и
одинаково направ-ны отрезки 𝐴1 𝐴4 и 𝐴2 𝐴3 . Итак, с точностью до беск малых величин
высших порядков четырёх-ик 𝐴1 𝐴2 𝐴3 𝐴4 является паралл-ом.
Из аналит геометрии известно, что площадь S(𝑎⃗, 𝑏⃗⃗) паралл-ма, построенного на привед-ых
к общему началу векторах 𝑎⃗ и 𝑏⃗⃗, численно равна норме (длине) вектора с⃗ = [𝑎⃗, 𝑏⃗⃗]– вектого произвед-я данных векторов, т.е S(𝑎⃗, 𝑏⃗⃗) = √𝑐1 2 + 𝑐2 2 + 𝑐3 2 , где 𝑐⃗ =
𝑒1 ⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗
𝑒2 ⃗⃗⃗⃗
𝑒3
|𝑎1 𝑎2 𝑎3 |=(𝑎2 𝑏3 − 𝑎3 𝑏2 )𝑒1 + (𝑎3 𝑏1 − 𝑎1 𝑏3 )𝑒2 + (𝑎1 𝑏2 − 𝑎2 𝑏1 )𝑒3. В нашем случае в
𝑏1 𝑏2 𝑏3
кач-ве векторов 𝑎⃗ и 𝑏⃗⃗, можно выбрать, напр, векторы
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴2 𝐴1 = −
𝜕𝜑1 (𝜉, 𝜂)
𝜕𝜓1 (𝜉, 𝜂)
𝜕𝜑1 (𝜉, 𝜂)
𝜕𝜓1 (𝜉, 𝜂)
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑑𝜉𝑒⃗⃗⃗⃗1 −
𝑑𝜉𝑒⃗⃗⃗⃗,
𝑑𝜂𝑒⃗⃗⃗⃗1 +
𝑑𝜂𝑒⃗⃗⃗⃗2
2 𝐴2 𝐴3 =
𝜕𝜉
𝜕𝜉
𝜕𝜉
𝜕𝜉
Тогда вект-ое произв-е опред-я рав-ом [𝐴2 𝐴1 , 𝐴2 𝐴3 ] =
𝑒1
⃗⃗⃗⃗
𝑒2
⃗⃗⃗⃗
𝑒3
⃗⃗⃗⃗
||
𝜕𝜑1 (𝜉,𝜂)
𝜕𝜉
𝜕𝜑1 (𝜉,𝜂)
𝜕𝜉
𝑑𝜉
𝑑𝜂
−
𝜕𝜓1 (𝜉,𝜂)
𝜕𝜉
𝑑𝜂
0 |=(𝜕𝜑1 𝜕𝜓1 − 𝜕𝜑1 𝜕𝜓1 ) 𝑑𝜉𝑑𝜂𝑒⃗⃗⃗⃗. Вычисляя длину этого вектора,
3
| 𝜕𝜂 𝜕𝜉
𝜕𝜉 𝜕𝜂
0
получаем для элемента меры (площади) в об- щих кривол-ых коорд-ах след выр-е: 𝑑𝜇 =
𝜕𝜑 𝜕𝜓
𝜕𝜑 𝜕𝜓
| 𝜕𝜂1 𝜕𝜉1 − 𝜕𝜉1 𝜕𝜂1 | 𝑑𝜉𝑑𝜂. Нетрудно видеть, что выр-е, стоящее под знаком абсолютной
величины, равно якобиану преоб-я от крив-х коорд-т к декартовым коорд-м вида (4.11) с
𝑥 = 𝜑1 (𝜉, 𝜂),
учётом обозначений крив-х координат 𝑞1 = 𝜉 и 𝑞 2 = 𝜂 т. е {
Таким образом,
𝑦 = 𝜓1 (𝜉, 𝜂).
получаем для элемента меры в крив-х координатах след выр-ие: 𝑑𝜇 =
𝜕𝜑1 𝜕𝜓1
| 𝜕𝜂
𝜕𝜉
−
𝜕𝜑1 𝜕𝜓1
𝜕𝜉 𝜕𝜂
| 𝑑𝜉𝑑𝜂 = |𝑑𝑒𝑡 (
𝜕(𝜑1 ;𝜓1 )
𝜕(𝜉,𝜂)
)| 𝑑𝜉𝑑𝜂.
𝜕𝜑1
𝜕𝜑1
𝜕𝑥
|𝜕𝜓
1
𝜕𝑦
|
𝜕𝜓1
𝜕𝑥
𝜕𝑦
=
20) Выч-е кратн. интегр. в криволин. коорд: ф-ла замен. перем. в двойном интеграле и еѐ
обобщ. на случ. пр-ва R3; замена перем. в тройном интеграле.
выпишем формулу замены перем-ой в двойном интеграле:
𝜕(𝜑1 ;𝜓1 )
∬Ω 𝑓( 𝜑1 (𝜉, 𝜂), 𝜓1 (𝜉, 𝜂)) |𝑑𝑒𝑡 (
2
𝜕(𝜉,𝜂)
)| 𝑑𝜉𝑑𝜂, где𝑓(𝜑1 (𝜉, 𝜂), 𝜓1 (𝜉, 𝜂)) – результат
подстановки в ф-ю 𝑓(𝑥, 𝑦) завис-тей (4.1). Сведём все ф-лы вместе, опуская индекс 1 у ф-й
𝜕(𝜑 ;𝜓 )
 и  : ∬Ω 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∬Ω 𝑓( 𝜑1 (𝜉, 𝜂), 𝜓1 (𝜉, 𝜂)) |𝑑𝑒𝑡 ( 1 1 )| 𝑑𝜉𝑑𝜂, где положено
2
2
𝜕(𝜉,𝜂)
𝑥 = 𝜑(𝜉, 𝜂),
{
𝑦 = 𝜓(𝜉, 𝜂).
|𝑑𝑒𝑡 (
𝜕(𝜑1 ;𝜓1 )
𝜕(𝜉,𝜂)
)| ≡
𝜕𝜙
𝜕𝜑
𝜕𝑥
|𝜕𝜓
𝜕𝑦
|
𝜕𝜓
𝜕𝑥
𝜕𝑦
Получим, формулу замены в двойном интеграле прямоуг-ых
дек-ых коорд-т полярными коорд-ми. Формулы, связ-ие декартовы и полярные
координаты в используемых обознач-ях имеют вид: 𝑥  𝑟 𝑐𝑜𝑠 , 𝑦  𝑟 𝑠𝑖𝑛. Вычисляем
якобиан перехода от полярных координат к дек-ым коорд-ам по формуле (4.5):
𝑐𝑜𝑠
𝜕(𝑥,𝑦)
𝑑𝑒𝑡 (𝜕(𝑟,𝜑)) = |
𝑟 𝑠𝑖𝑛
𝑠𝑖𝑛
| = 𝑟. Теперь формула замены перем-ых принимает вид:
𝑟 𝑐𝑜𝑠
∬Ω 𝑓( 𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∬Ω 𝑓( 𝑟 𝑐𝑜𝑠, 𝑟 𝑠𝑖𝑛. )𝑟𝑑𝑟𝑑𝜑. Замена перем-ых в тройном
2
2
интеграле. Для выч-я тройного интеграла удобно использовать замену дек-ых координат
криволин-ми коорд-ми. Замена дек-ых координат крив-ыми коорд-ми в тройном интеграле
произв-ся так же, как и в случае двойного интеграла, основные формулы:
∭𝑉 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = ∭𝑉′ 𝑓(𝑥(𝜉, 𝜂, 𝜃), 𝑦(𝜉, 𝜂, 𝜃), 𝑧(𝜉, 𝜂, 𝜃))|𝐽|𝑑𝜉𝑑𝜂𝑑𝜃,
𝜕𝑥
𝜕𝑥
𝜕𝑥
𝜕𝜉
|𝜕𝑦
𝑥 = 𝑥(𝜉, 𝜂, 𝜃)
{𝑦 = 𝑦(𝜉, 𝜂, 𝜃)= 𝜕𝜉
|
𝑧 = 𝑧(𝜉, 𝜂, 𝜃) 𝜕𝑧
𝜕𝜂
𝜕𝑦
𝜕𝜃
𝜕𝑦|
𝜕𝜂
𝜕𝑧
𝜕𝜃|
𝜕𝑧
𝜕𝜉
𝜕𝜂
𝜕𝜃
≠ 0,
где 𝜉, ,  – новые, криволинейные координаты.
53) Лин. однор. сист. обыкн. дифф. ур-й: интегрир. лин. однор. сист. обыкн. дифф. ур-й с пост.
коэфф. методом Эйлера
𝑑𝑦 𝑖 (𝑡)
+ ∑𝑛𝑗=1 𝑎𝑗𝑖 𝑦 𝑗 (𝑡) = 0 (1)– ОСОДУ, где 𝑖 = ̅̅̅̅̅
1, 𝑛. Полагая, что 𝑎𝑗𝑖 ∈ 𝑅1, решение данной системы
𝑑𝑡
будем искать в коор. виде
𝑦1 (𝑡) = 𝑥 1 𝑒 −𝜇𝑡 , 𝑦 2 (𝑡) = 𝑥 2 𝑒 −𝜇𝑡 , ... , 𝑦 𝑛 (𝑡) = 𝑥 𝑛 𝑒 −𝜇𝑡 (2)
или в век.виде
|𝑦(𝑡)⟩ = 𝑒 −𝜇𝑡 |𝑥⟩ (3)
В пред-ях (2) и (3) 𝜇 ∈ 𝑅1, а 𝑥 1 , 𝑥 2 , … 𝑥 𝑛 не равны нулю одновременно.
Подставляя (2) в (1), после сокр-я на 𝑒 −𝜇𝑡 :
(𝑎11 − 𝜇)𝑥 1 + 𝑎12 𝑥 2 + ⋯ + 𝑎1𝑛 𝑥 𝑛 = 0
𝑎12 𝑥 1 + (𝑎22 − 𝜇)𝑥 2 + ⋯ + 𝑎𝑛2 𝑥 𝑛 = 0 (4)
…………………………………………
{𝑎1𝑛 𝑥 1 + 𝑎2𝑛 𝑥 2 + ⋯ + (𝑎𝑛𝑛 − 𝜇)𝑥 𝑛 = 0
ОСЛАУ (4) нетривиально совместна
21) Выч-е кратн. интегр. в криволин. коорд: тройной интеграл в цилиндр. и сферич. коорд.
Переход от декар- товых координат к цилиндрич коорд-ам осущ-ся по форму- лам:
𝑟
𝜉
𝜑
𝑥  𝑟𝑐𝑜𝑠 , 𝑦  𝑟𝑠𝑖𝑛 , 𝑧  𝑧, (𝜂 ) = ( ) где 0  𝑟  , 0    2 ,    𝑧  . Якобиан
𝑧
𝜃
𝑐𝑜𝑠 𝑟 𝑠𝑖𝑛 0
перехода 𝐽 = | 𝑠𝑖𝑛 𝑟 𝑐𝑜𝑠 0|= r. Формула вычисления тройного интеграла в
0
0
1
цилиндрич координатах имеет
вид: ∭𝑉 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = ∭𝑉 𝑓( 𝑟 𝑐𝑜𝑠, 𝑟 𝑠𝑖𝑛, 𝑧)𝑟𝑑𝑟𝑑𝜑, 𝑧 =
𝜑
𝑟
𝑧
2
2
2
∫𝜑 𝑑𝜑 ∫𝑟 𝑟𝑑𝑟 ∫𝑧 𝑓( 𝑟 𝑐𝑜𝑠, 𝑟 𝑠𝑖𝑛, 𝑧)𝑑𝑧. Тройной интеграл в сферических
1
1
1
координатах. Переход от декартовых координат к сферич коорд-ам осущ-ся по формулам
𝑥 = 𝑟 𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑠, 𝜉
𝑟
{ 𝑦 = 𝑟 𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑠𝑖𝑛, (𝜂 ) = (𝜑), где 0  𝑟  , 0    2 , 0  . Якобиан перехода от
𝑧
𝑧 = 𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜃,
𝜃
𝑟 𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑠 −𝑟 𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑠𝑖𝑛 𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑐𝑜𝑠
сферич координат к декартовым коорд-ам 𝐽 = |𝑟 𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑠 𝑟 𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑠 𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑠𝑖𝑛 |
𝑐𝑜𝑠𝜃
0
−𝑟 𝑠𝑖𝑛𝜃
= - 𝑟 2 𝑠𝑖𝑛𝜃. Формула выч-я тройного интеграла в сферич координатах имеет вид:
: ∭𝑉 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = ∭𝑉 𝑓( 𝑟 𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑠 , 𝑟 𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑠𝑖𝑛, 𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜃)𝑟 2 𝑠𝑖𝑛𝜃𝑑𝜃𝑑𝜑, 𝑑𝑟 =
𝜑
𝜃
𝑟
1
1
1
2
2
2
∫𝜑 𝑑𝜑 ∫𝜃 𝑠𝑖𝑛𝜃𝑑𝜃 ∫𝑟 𝑟 2 𝑓(𝑟 𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑠 , 𝑟 𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑠𝑖𝑛, 𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜃)𝑑𝑟. (4.9)
22) Поверхн. интегр. 1-го рода: опр-е, св-ва и выч-е.
Если при измельчении разбиения области   𝑅 2 в параметрическом пространстве для
точек поверхности F при выполнении условия 𝑑 0 существует предел
последовательности интегральных сумм, то этот предел называется поверхностным
интегралом первого рода от функции 𝑓(𝑥1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 ) по поверхности F и обозначается
следующим символом:
𝑛
𝐼 = lim ∑ 𝑓(𝜉𝑘1 , 𝜉𝑘2 , 𝜉𝑘3 ) ∆𝑆𝑘 ≝ ∬ 𝑓(𝑥1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 ) 𝑑𝑆
𝑑 0
𝑘=1
𝐹
Свойства интеграла первого рода: Так как определение поверхностного интеграла
первого рода по существу идентично определению двойного интеграла, то все его
свойства аналогичны свойствам последнего.
1) 𝛼 ∈ R ; ∬𝐷 𝛼𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝜇 = 𝛼 ∬𝐷 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝜇
2) f и g интегрируемы на D; ∬𝐷 (𝑓 + g)(𝑥, 𝑦)𝑑𝜇 = ∬𝐷 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝜇 + ∬𝐷 g(𝑥, 𝑦)𝑑𝜇
3) D=𝐷1 ∪ 𝐷2 и 𝐷1 ∩ 𝐷2 = ∅; ∬𝐷 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝜇 = ∬𝐷 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝜇 + ∬𝐷 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝜇
1
2
4) 𝑓(𝑥, 𝑦) > 0; ∬𝐷 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝜇 > 0
5) fнепрерывна 𝐷  𝑅 2 ; ∬𝐷 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝜇 = 𝑓(𝜉, 𝜂) ∗ 𝜇(𝐷)
Формула вычисления поверхностного интеграла первого рода: ∬𝐹 𝑓(𝑥1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 ) 𝑑𝑆 =
=∬
𝐺 12
𝜕𝜑 1 2 2
𝜕𝜑 1 2 2 1 2
(𝑥
)]
(𝑥 , 𝑥 )] 𝑑𝑥 𝑑𝑥
,
𝑥
+
[
𝜕𝑥1
𝜕𝑥 2
𝑓(𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝜑(𝑥1 , 𝑥 2 ))√1 + [
23) Поверхн. интегр. 2-го рода: ориентир. пов-сти в пр-ве R3; опр-е, св-ва и выч-е поверхн.
интеграла 2-го рода.
Пусть F – простая гладкая поверхность, заданная неявным уравнением 𝑥 3 = 𝜑 3 (𝑥1 , 𝑥 2 ),a
⃗⃗ (𝑥1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 ) = 𝐻1 (𝑥1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 )𝑒⃗⃗⃗⃗1 + 𝐻2 (𝑥1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 )𝑒⃗⃗⃗⃗2 +
𝐻
𝐻3 (𝑥1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 )𝑒⃗⃗⃗⃗3 – непрерывная вектор функция, определённая в точках поверхности.
Ориентируем каким-либо образом поверхность, то есть зададимся одним из двух
возможных направлений её нормали, выбрав тем самым одну из её сторон. Если
всевозможные направления нормальных векторов поверхности составляют острый угол с
осью 𝑂𝑋 3 , то говорят, что выбрана верхняя сторона поверхности, если же всевозможные
направления нормальных векторов составляют с осью 𝑂𝑋 3 тупые углы, то – нижняя
сторона поверхности.
Определение
Если при измельчении разбиения области   𝑅 2 параметрического пространства
выполнение условия 𝑑 0 влечёт за собой существование предела последовательности
интегральных сумм , то этот предел называется поверхностным интегралом второго рода
от функции 𝐻3 (𝑥1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 )𝑒⃗⃗⃗⃗3 по выбранной стороне поверхности F и обозначается
следующим символом:
𝐼 ≝ lim 𝐻3 (𝜉𝑘1 , 𝜉𝑘2 , 𝜉𝑘3 ) ∆ϭ𝑘 = ∬𝐹 𝐻3 (𝑥1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 ) 𝑑𝑥1 𝑑𝑥 2
𝑑 0
(Аналогично для 𝐻1, 𝐻2 , по парам переменных 𝑥 2 , 𝑥 3  , и  𝑥 3 , 𝑥1 )
Свойства поверхностного интеграла второго рода при изменении ориентации
поверхности поверхностный интеграл второго рода меняет знак
1) 𝛼 ∈ R ; ∬𝐷 𝛼𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝜇 = 𝛼 ∬𝐷 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝜇
2) f и g интегрируемы на D; ∬𝐷 (𝑓 + g)(𝑥, 𝑦)𝑑𝜇 = ∬𝐷 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝜇 + ∬𝐷 g(𝑥, 𝑦)𝑑𝜇
3) D=𝐷1 ∪ 𝐷2 и 𝐷1 ∩ 𝐷2 = ∅; ∬𝐷 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝜇 = ∬𝐷 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝜇 + ∬𝐷 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝜇
1
2
4) 𝑓(𝑥, 𝑦) > 0; ∬𝐷 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝜇 > 0
5) fнепрерывна 𝐷  𝑅 2 ; ∬𝐷 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝜇 = 𝑓(𝜉, 𝜂) ∗ 𝜇(𝐷)
Формула вычисления
𝑥 3 = 𝜑 3 (𝑥1 , 𝑥 2 ) , в обл. 𝐺 12 . На каждой частичной поверхности выберем произвольно точку
𝑀𝑘 (𝜉𝑘1 , 𝜉𝑘2 , 𝜉𝑘3 ) и составим интегральную сумму вида
∑𝑛𝑘=1 𝐻3 (𝜉𝑘1 , 𝜉𝑘2 , 𝜉𝑘3 ) ∆ϭ𝑘 =𝑅(𝜉𝑘1 , 𝜉𝑘2 , 𝜑(𝜉𝑘1 , 𝜉𝑘2 ))∆ϭ𝑘
∬𝐹 𝐻3 (𝑥1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 ) 𝑑𝑥 1 𝑑𝑥 2= ∬𝐺12 𝐻3 (𝑥1 , 𝑥 2 , 𝜑(𝑥1 , 𝑥 2 )) 𝑑𝑥1 𝑑𝑥 2
24) Понят. поля: скалярн. и вект. поля; вект. сил. линии поля.
Опр: Пусть Ω ⊂ 𝑅 3 и J ⊂ 𝑅1 , если в каждой точке M ∈ Ω × 𝐽 задано значение опред.
ф-ции: 𝜑: Ω × 0𝐽 → 𝑅1, то задано вещественное скалярное поле или функция поля 𝜑 =
𝜑(𝑥⃗, 𝑡), Опр: -//- А: Ω × 𝐽 → 𝑅 3 задано вещественное векторное поле. Где
Ак (𝑥1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 , 𝑡) – полевые ф-ции. Пути в области Ω ⊂ 𝑅 3 , где в каждой точке касат.
⃗⃗(М) , называются векторными (силовыми) линиями в.п. Так
вектор ↑↑ с вектором поля А
как в U(M) путь с точностью до малых первого порядка по ∆t совпадает с касательной
𝑑𝑥⃗
пути, то ∆𝑥⃗(𝑀) ≈ (𝑀)𝑑𝑡 и 𝑑𝑥⃗(𝑀) = 𝑘𝐴⃗(𝑀), откуда, раскладывая по базису
𝑑𝑡
декартовой системы координат, получаем уравнения векторных линий
𝑑𝑥 3
⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴3 (𝑥)
𝑑𝑥 1
=
𝐴1 (𝑥⃗)
𝑑𝑥 2
𝐴2 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
(𝑥)
=
=𝑘
25) Скалярн. поле: град-т скалярн. поля и его св-ва; пр-я по напр. скал. поля, вывод формулы
для выч-я пр-ой по направл.
𝜕𝜑
⃗⃗𝜑(𝑥⃗), 𝑑𝑥⃗), где
Поверхность уровня: 𝜑(𝑥⃗)=C=const, Полный диф-циал 𝜑: 𝑑𝜑(𝑥⃗) = ∑ 𝜕𝑥 𝑘 (𝑥⃗) = (∇
⃗⃗, то есть производная
⃗⃗𝜑(𝑥⃗)-градиент с.ф. ∇
⃗⃗𝜑 = 𝜕𝜑𝑘 𝑒⃗𝑖 . Скорость изм. 𝜑 в направлении вектора ℎ
∇
по направлению
𝜕𝑥
⃗⃗ )−𝑓(𝑥
⃗⃗⃗⃗⃗+𝑡ℎ
⃗⃗⃗⃗⃗)
𝑓(𝑥
𝜕𝑓
0
0
есть ⃗⃗ (𝑥
⃗⃗⃗⃗⃗)
0 = lim
𝑡
𝜕ℎ
𝑡→0+0
или
𝜕𝜑
(𝑥
⃗⃗⃗⃗⃗)
0
⃗⃗
𝜕ℎ
⃗⃗) = 𝑃𝑟 ⃗⃗ {∇
⃗⃗𝜑(𝑥⃗), ℎ
⃗⃗ ⃗)}
= (∇
ℎ 𝜑(𝑥
26) Вект. поле: поток вект. поля через пов-сть, диверг. вект. поля и еѐ опр-е; Т-ма Остр-Гаусса
Потоком Ф векторного поля 𝐴⃗(𝑥⃗) через поверхность F наз-ся поверхностный интеграл
𝑑𝑠⃗
второго рода Ф ≝ ∬ (𝐴⃗, 𝑑𝑠⃗) = ∬ (𝐴⃗, 𝑛⃗⃗)𝑑𝑠, где 𝑑𝑠⃗ = ‖𝑑𝑠⃗‖
= 𝑑𝑠 ,𝑛⃗⃗ –вектор
𝐹
𝐹
‖𝑑𝑠⃗‖
элементарной части dF поверхности F, а 𝑛⃗⃗- орт вектора положительного направления
нормали поверхности и произвольной точке 𝑥⃗ ∈ 𝑑𝐹.
Не зависящая от выбора системы координат характеристика векторного поля 𝐴⃗(𝑀)
𝑑𝑖𝑣𝐴⃗(𝑀) ≝ lim
Ф𝐹
𝐴
∆𝑉⟶0 ∆𝑉
= lim
1
∆𝑉⟶0 ∆𝑉
= ∯𝐹 (𝐴⃗, 𝑛⃗⃗)𝑑𝑠 ,наз-ся дивергенцией или расхождением
векторного поля 𝐴⃗(𝑀) в точке M∈𝛺.
Т-ма О-Г: Поток векторного поля через замкнутую поверхность (в направлении внешней
нормали) равен тройному интегралу от дивергенции поля ,взятому по области ,
ограниченной этой поверхностью : ∯ (𝐴⃗(𝑥⃗), 𝑑𝑠⃗) = ∭ (𝛻⃗⃗ , 𝐴⃗(𝑥⃗)) 𝑑𝑉.
𝐹
𝑉
27) Вект. поле: ротор циркул. вект. поля, инвар. опр-е ротора; Т-ма Стокса.
Ротором или вихрем векторного поля 𝐴⃗(𝑥⃗) в точке M наз-ся (векторная) величина
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴(𝑥⃗), определяемая следующим соотношением (𝑟𝑜𝑡
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝐴(𝑥⃗)) =
𝑟𝑜𝑡
𝑛
𝐶𝐴
1
1
⃗⃗⃗⃗ ) = lim ∮ 𝐴𝑙 𝑑𝑙
∮ (𝐴⃗ , 𝑑𝑙
Г⟶М ∆𝑆 Г
Циркуляцией векторного поля 𝐴⃗(𝑥⃗) по замкнутому контуру Г наз-ся криволинейный
lim
Г⟶М ∆𝑆
= lim
Г⟶М ∆𝑆 Г
⃗⃗⃗⃗ ) = ∮ 𝐴𝑙 𝑑𝑙
интеграл второго рода 𝐶𝐴 ≝ ∮Г (𝐴⃗, 𝑑𝑙
Г
Теорема Стокса. Циркуляция векторного поля 𝐴⃗(𝑥⃗) замкнутому контуру Г равна потоку
векторного поля 𝑟𝑜𝑡𝐴⃗(𝑥⃗) = [𝛻⃗⃗, 𝐴⃗(𝑥⃗)] через поверхность ограничнную контуром Г :
𝑑𝑙 ) = ∬ ([𝛻⃗⃗, 𝐴⃗(𝑥⃗)], 𝑑𝑆⃗) = ∬ (𝑟𝑜𝑡𝐴⃗(𝑥⃗), 𝑛⃗⃗)𝑑𝑠.
∮ (𝐴⃗(𝑥⃗), ⃗⃗⃗⃗
Г
𝑆
𝑆
28) Вект. дифф. опер. Гамильт.: вект. дифф. опер. «набла» и его св-ва, симв. исчис.
⃗⃗ работает по правилу :
Векторный дифференциальный оператор ⃗𝛁
⃗∇⃗(𝜑 ∗ 𝜔 ∗ … ∗ 𝜓) = ⃗∇⃗(𝜑̌ ∗ 𝜔 ∗ … ∗ 𝜓) + ⃗∇⃗(𝜑 ∗ 𝜔
̌ ∗ … ∗ 𝜓) + ⋯ + ⃗∇⃗(𝜑 ∗ 𝜔 ∗ … ∗ 𝜓̌)
Знак “V” над ф-цией устанавливает порядок действия оператора ⃗∇⃗ на соответствующую
⃗⃗ действует на скаляр 𝜑 , то получаем градиент ∇
⃗⃗𝜑 ,если на
функцию. Если оператор ∇
⃗⃗, 𝐴⃗),или ротор [∇
⃗⃗, 𝐴⃗], в зависимости от
вектор-функцию ,то получаем или дивергенцию (∇
того, какие операции векторной алгебры и над какими ф-ями выполняются в скобка .
⃗⃗(𝜑 ∗ 𝜓) = 𝜑∇
⃗⃗𝜓 + 𝜓∇
⃗⃗𝜑 , 𝑑𝑖𝑣(𝜓𝐴⃗) = 𝜑𝑑𝑖𝑣𝐴⃗ + (𝐴⃗, ∇
⃗⃗𝜓) , 𝑑𝑖𝑣[𝐴⃗, 𝐵
⃗⃗ ] = (𝐵
⃗⃗ , 𝑟𝑜𝑡𝐴⃗) −
∇
⃗⃗ ) ,𝑟𝑜𝑡(𝜓𝐴⃗) = 𝜓 ∗ 𝑟𝑜𝑡𝐴⃗ + [∇
⃗⃗𝜓, 𝐴⃗] , ⃗∇⃗𝑓(𝜉) = 𝑓 ′ (𝜉)∇
⃗⃗𝜉 , 𝑟𝑜𝑡𝑟𝑜𝑡𝐴⃗ = ⃗∇⃗𝑑𝑖𝑣𝐴⃗ − 𝛻 2 𝐴⃗ ,
−(𝐴⃗, 𝑟𝑜𝑡𝐵
2
2
2
⃗⃗𝜓 ≡ (∇
⃗⃗, ⃗∇⃗𝜓) = (∇
⃗⃗, ⃗∇⃗)𝜓 = ⃗∇⃗2 𝜓 = 𝜕 1𝜓 2 + 𝜕 2𝜓 2 + 𝜕 3𝜓 2
𝑑𝑖𝑣∇
𝜕(𝑥 )
𝜕(𝑥 )
𝜕(𝑥 )
29) Осн. тенз. исч-я: ф-лы преоб-я вект. натур. базиса; взаимн. базис и св-ва его векторов, т-ма
о лин. незав. сист. вект. взаимн. базиса.
𝜕𝑥⃗
𝑔𝑗 = 𝜕𝑞𝑗 =
⃗⃗⃗⃗
𝜕𝑥⃗ 𝜕𝑞 𝑖
′
𝜕𝑞 𝑖
′
𝜕𝑞 𝑗
=
𝜕𝑞 𝑖
′
𝜕𝑞 𝑗
𝑔⃗𝑖 ′ и ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑔𝑗′ =
𝜕𝑥⃗
′
𝜕𝑞 𝑗
𝜕𝑥⃗ 𝜕𝑞 𝑖
= 𝜕𝑞𝑖
′
𝜕𝑞 𝑗
=
𝜕𝑞 𝑖
′
𝜕𝑞 𝑗
𝑔⃗𝑖 - формулы преобразования
векторов натурального базиса.
𝑔⃗𝑖 𝑑𝑒𝑓 = ⃗∇⃗𝑞 𝑖 и 𝑔⃗𝑖 𝑑𝑒𝑓 = 𝑔𝑖𝑗 𝑔
⃗⃗⃗⃗𝑗 – формулы, которые трактуются как формулы разложения
взаимных базисных векторных полей по векторным полям натурального базиса. Отсюда
не трудно увидеть, что взаимные и натуральные базисные векторные поля взаимно
ортогональны, и действительно:
𝜕𝑥⃗
𝜕𝑞 𝑖
𝜕𝑥 𝑛
𝜕𝑞 𝑖 𝜕𝑥 𝑛
𝜕𝑞 𝑖 𝜕𝑥 𝑛
𝜕𝑞 𝑖
⃗⃗ 𝑖
(𝑔⃗𝑖 , 𝑔
⃗⃗⃗⃗)
𝑒𝑚 𝜕𝑞𝑗 ⃗⃗⃗⃗⃗)
𝑒𝑛 = 𝜕𝑥 𝑚 𝜕𝑞𝑗 (𝑒⃗⃗⃗⃗⃗⃗,
𝑒𝑛 𝜕𝑥 𝑚 𝜕𝑞𝑗 𝛿𝑚𝑛 = 𝜕𝑞𝑗 = 𝛿𝑗𝑖 (1).
𝑗 = (∇𝑞 , 𝜕𝑞 𝑖 ) = (𝜕𝑥 𝑚 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗,
𝑚 ⃗⃗⃗⃗⃗)=
Здесь использована ортонормированность сис векторов декартова базиса
𝛿𝑘𝑖 = (𝑔⃗𝑖 , ⃗⃗⃗⃗⃗)
𝑔𝑘 = (𝑔𝑖𝑗 ⃗⃗⃗⃗,
𝑔𝑗 ⃗⃗⃗⃗⃗)
𝑔𝑘 = 𝑔𝑖𝑗 𝑔𝑗𝑘 , где 𝑔𝑗𝑘 𝑑𝑒𝑓 = (𝑔
⃗⃗⃗⃗,
𝑔𝑘
𝑗 ⃗⃗⃗⃗⃗)
𝑖𝑗
Отсюда можно заключить, что матрицы 𝑔 и 𝑔𝑗𝑘 взаимно обратные
Теорема: Контрвар векторные поля⃗⃗⃗⃗⃗
𝑔𝑖 𝑑𝑒𝑓 = 𝑔𝑖𝑗 ⃗⃗⃗⃗
𝑔𝑗 , где i,j=1,2,3, образуют базис
3
пространства E
Доказательство: Покажем, что сис {𝑔⃗1 , 𝑔⃗2 , 𝑔⃗3 } контрвар. векторных полей
⃗⃗⃗⃗⃗
𝑔𝑖 = 𝑔𝑖𝑗 ⃗⃗⃗⃗
𝑔𝑗 (i,j=1,2,3) линейно независима. Для этого сост лин комбинацию векторов ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑔𝑖
с некот коэф. И потребуем выпол. тождества:
𝛼1 ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑔1 + 𝛼2 ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑔2 + 𝛼3 ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑔3 = 0. Находя зн. скалярного произведения обеих частей этого
тождества последовательно с базисными векторными полями ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑔𝑘 (k=1,2,3) в качестве
второго аргумента, и используя (1), сразу получаем, что 𝛼𝑘 = 0 для всех k=1,2,3.
Последнее по определению и означает лин независимость сис векторов {𝑔⃗1 , 𝑔⃗2 , 𝑔⃗3 }
30) Осн. тенз. исч-я: контр-е, ковар-е и физ. комп. вект. полей.
Каждое трехмерное векторное поле, заданное в криволинейной сис коор, можно
представить в виде разложения по:
*ковариантным векторным полям натурального базиса 𝑢
⃗⃗ = 𝑢𝑖 ⃗⃗⃗⃗
𝑔𝑖 (1)
или
* контравариантным векторным полям взаимного базиса 𝑢
⃗⃗ = 𝑢𝑖 𝑔⃗𝑖
𝑢𝑖 – ковариантная компонента векторного поля
𝑢𝑖 – контравариантная компонента векторного поля
Если натуральный базис ортогональный, то нормируя натуральные базисные поля,
получаем орты ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑔⟨𝑖⟩
𝑑𝑒𝑓
1
= ‖𝑔⃗⃗⃗⃗⃗‖ ⃗⃗⃗⃗
𝑔𝑖 =
𝑖
⃗⃗⃗⃗⃗
𝑔𝑖
√(𝑔
⃗⃗⃗⃗⃗,𝑔
𝑖 ⃗⃗⃗⃗⃗)
𝑖
=
⃗⃗⃗⃗⃗
𝑔𝑖
√𝑔𝑖𝑖
(2). Данный базис называется физическим
базисом. Физический базис строится только для ортогональных систем криволинейных
координат. Если пространственный вектор представить в виде линейной комбинации
физических базисных векторных полей, то получим
𝑢
⃗⃗ = ∑3𝑖=1 𝑢⟨𝑖⟩ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑔⟨𝑖⟩ , (3)
где 𝑢⟨𝑖⟩ - физическая компонента векторного поля 𝑢
⃗⃗ относительно физ. базиса
Из формул (1),(2) и (3) видно, что:
𝑢
⃗⃗ = 𝑢𝑖 ⃗⃗⃗⃗
𝑔𝑖 = √𝑔11 𝑢1 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+
𝑔⟨1⟩ √𝑔22 𝑢2 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑔⟨2⟩ + √𝑔33 𝑢3 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑔⟨3⟩ = ∑3𝑖=1 𝑢⟨𝑖⟩ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑔⟨𝑖⟩ , отсюда получаем
𝑢⟨𝑖⟩ = √𝑔𝑖𝑖 𝑢𝑖 с контравар. компонентами
𝑢
𝑢⟨𝑖⟩ = 𝑔𝑖 с ковариантными компонентами
√ 𝑖𝑖
31) Осн. тенз. исч-я: опр-е тенз., контрав-е, ковар-е и смеш. тенз.; т-ма о сущ. базиса во мн-ве
геом. или физ. объек. 2-й вал-сти
Простейшим геометрическим или физическим объектом, обладающим свойствами тензора,
является вектор.
Опр.Инвариантный относительно изменения сист. коорд. геом. или физ.объект 𝑢
⃗⃗, имеющий в
𝑖
каждой сист. коорд. представление вида 𝑢
⃗⃗ = 𝑢 ⃗⃗⃗⃗наз.
𝑔𝑖
вектором.
Опр.Инвариантный геом. или физ. объект 𝑇 = 𝑇 𝑖𝑗 ⃗⃗⃗⃗𝑔
𝑔𝑖 ⃗𝑗 , компоненты которого при изменении сист
коорд{𝑞1 𝑞2 𝑞3 } → {𝑞1" 𝑞2" 𝑞3" }
преобразуются
𝑇𝑘"р" =
𝜕𝑞𝑘" 𝜕𝑞𝑝" 𝑖𝑗
𝑇
𝜕𝑞𝑖 𝜕𝑞𝑗
𝑝"
= 𝐵𝑖𝑘" 𝐵𝑗 𝑇 𝑖𝑗
наз
контравариантным тензором второй валентности.
Опр.Инвариантный геом. или физ. объект 𝑇 = 𝑇𝑖𝑗 ⃗⃗⃗⃗
𝑔𝑖 ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑔 𝑗 , компоненты которого при изменении сист
𝜕𝑞𝑖 𝜕𝑞𝑗
𝑗
коорд{𝑞1 𝑞2 𝑞3 } → {𝑞1" 𝑞2" 𝑞3" } преобразуются 𝑇𝑘"р" = 𝜕𝑞𝑘" 𝜕𝑞𝑝" 𝑇𝑖𝑗 = 𝐴𝑖𝑘" 𝐴𝑝" 𝑇𝑖𝑗 наз ковариантным
тензором второй валентности.
Опр. Инвариантный геом. или физ. объект, заданный в каждой сист. коорд. набором
𝑗1
𝑗2…𝑗𝑙
𝑛𝑙+𝑘 компонент 𝑇𝑖1 𝑖2…𝑖𝑘 занумерованных k индексами внизу и l индексами вверху и
преобразующихся при переходе от одной (новой) системы координат к другой
𝑗1
(старой) системе координат по закону 𝑇𝑖1
𝑗1
∙ 𝑇𝑖1
𝑗2…𝑗𝑙
𝑖2…𝑖𝑘
𝑗1"
𝑗2…𝑗𝑙
𝑖2…𝑖𝑘
𝑗2"
=
𝜕𝑞𝑗»1 𝜕𝑞𝑗»2
𝜕𝑞𝑗»𝒍 𝜕𝑞𝑖 𝜕𝑞 𝑖2
𝜕𝑞𝑖𝑘
…
…
𝜕𝑞𝑗1 𝜕𝑞𝑗2
𝜕𝑞𝑗𝒍 𝜕𝑞𝑖»1 𝜕𝑞𝑖»2
𝜕𝑞𝑖»𝑘
𝑗1𝑙"
𝑗1
𝑖2
𝑖𝑘
= 𝐵𝑗1 𝐵𝑗2 … 𝐵𝑗𝑙 𝐴𝑖1
𝑖1" 𝐴𝑖2" … 𝐴𝑖𝑘" 𝑇𝑖1
∙
𝑗2…𝑗𝑙
𝑖2…𝑖𝑘
Наз. l раз контравариантным и k раз ковариантным l + k валентным тензором. Компоненты тензора
𝑗1
𝑇𝑖1
𝑗2…𝑗𝑙
𝑖2…𝑖𝑘
наз. его коорд. в соответствующей коорд. сист.
2
Теор. Пусть в евклидовом пространстве 𝐸 3 заданы базисные векторные поля{𝑔
⃗⃗⃗⃗⃗𝑔
1 ⃗⃗⃗⃗⃗𝑔
2 ⃗⃗⃗⃗⃗}.
3 Тогда 3
диад, составленных из базисных векторных полей 𝑑𝑖𝑗 = ⃗⃗⃗⃗𝑔
𝑔𝑖 ⃗𝑗 где i,j = 1,2,3, в каждой точке
3
трёхмерного евклидова пространства 𝐸 образуют базис во множестве дважды контравариантных
геом. объектов 𝑇 = 𝑇 𝑖𝑗 ⃗⃗⃗⃗
𝑔𝑖 ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑔𝑗.
Док. Достаточно показать, что сист диад 𝑑𝑖𝑗 = ⃗⃗⃗⃗𝑔
𝑔𝑖 ⃗𝑗 (i,j = 1,2,3) линейно независима. Для этого
𝑖𝑗
представим объект 𝑇 в виде линейной комбинации системы диад и потребуем тождественного
выполнения равенства 𝑇 = 𝑇 𝑖𝑗 𝑑𝑖𝑗 = 𝑇 𝑖𝑗 ⃗⃗⃗⃗𝑔
𝑔𝑖 ⃗𝑗 = 0 где 0 – нулевой объект. Если система диад
линейно независима, то из этого тождества будет следовать одновременное равенство нулю всех
“коэффициентов” тождества – компонентов объекта𝑇 𝑖𝑗 . Находя скалярное произведение обеих
частей основного тождества и векторов взаимного базиса {𝑔
⃗⃗⃗⃗⃗𝑔
1 ⃗⃗⃗⃗⃗𝑔
2 ⃗⃗⃗⃗⃗}
3 и испол. св. аддитив. лин-го
функ-ла получим 𝑇 ∗ ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑔𝑘 = 𝑇 𝑖𝑗 ⃗⃗⃗⃗𝑔
𝑔 ⃗ ∗ ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑔𝑘 = 𝑇 𝑖𝑗 ⃗⃗⃗⃗𝛿
𝑔 𝑘 = 𝑇 𝑖𝑘 ⃗⃗⃗⃗
𝑔 = 0 где k=1,2,3. Здесь справа стоит
𝑖 𝑗
𝑖 𝑗
𝑖
нулевой вектор. В силу лин-ой незав векторов базиса получаем, что(∀𝑘 = 1,2,3)𝑇 𝑖𝑘 = 0 → {𝑑𝑖𝑗 } =
⃗⃗⃗⃗𝑔
{𝑔
𝑖 ⃗𝑗 }.
32) Осн. тенз. исч-я: опр-е осн. операц. тенз. алгебры; осн-я т-ма тенз. алгебры
1)Определение суммы тензорных полей. Пусть в пространстве размерности 𝑛 заданы 2
𝑗 𝑗 …𝑗
тензорн. поля одинак. строения (𝑙, 𝑚) 𝑇̂ = 𝑇𝑖11𝑖22…𝑖𝑚𝑙 ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑒𝑗1 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑒𝑗2 … ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑒𝑗𝑙 𝑒⃗ 𝑖1 𝑒⃗ 𝑖2 … 𝑒⃗ 𝑖𝑚 (1), 𝑄̂ =
𝑗 𝑗 …𝑗
𝑄 1 2 𝑙 ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑒𝑗 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑒𝑗 … ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑒𝑗 𝑒⃗ 𝑖1 𝑒⃗ 𝑖2 … 𝑒⃗ 𝑖𝑚 (𝟐), где ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑒𝑗 и 𝑒⃗⃗⃗𝑖 (𝑖, 𝑗 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
1, 𝑛) – не обязательно
𝑖1 𝑖2 …𝑖𝑚
1
2
𝑙
ортонорм.базис.вект. Определим в каждой точке пространства поле объекта типа (𝑙, 𝑚)
компоненты которого вычисляются как суммы соответствующих компонентов тенз.
𝑗 𝑗 …𝑗
𝑗 𝑗 …𝑗
полей (1) и (2): 𝑆̂ = 𝑆𝑖11 𝑖22…𝑖𝑚𝑙 ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑒𝑗1 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑒𝑗2 … ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑒𝑗𝑙 𝑒⃗ 𝑖1 𝑒⃗ 𝑖2 … 𝑒⃗ 𝑖𝑚 ≝ (𝑇𝑖11𝑖22…𝑖𝑚𝑙 ±
𝑗 𝑗 …𝑗
𝑄𝑖11 𝑖22…𝑖𝑚𝑙 ) ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑒𝑗1 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑒𝑗2 … ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑒𝑗𝑙 𝑒⃗ 𝑖1 𝑒⃗ 𝑖2 … 𝑒⃗ 𝑖𝑚 (3). Поле объекта (3) называется суммой тензорных
полей(1) и (2).( В дальнейшем используем обозначения (1), (2) вместо записи тензорных
полей). 2)Произведение тензора на скаляр 𝜶. Пусть в пространстве размерности 𝑛
задано поле тензора типа (𝑙, 𝑚) тенз. поле (1) и 𝛼 ∈ 𝑅1 – произвольный скаляр.
𝑗 𝑗 …𝑗
𝑗 𝑗 …𝑗
Объект 𝐺̂ = 𝐺𝑖11𝑖22…𝑖𝑚𝑙 ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑒𝑗1 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑒𝑗2 … ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑒𝑗𝑙 𝑒⃗ 𝑖1 𝑒⃗ 𝑖2 … 𝑒⃗ 𝑖𝑚 = (𝛼 ∙ 𝑇𝑖11𝑖22…𝑖𝑚𝑙 ) ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑒𝑗1 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑒𝑗2 … ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑒𝑗𝑙 𝑒⃗ 𝑖1 𝑒⃗ 𝑖2 … 𝑒⃗ 𝑖𝑚
компонент. котор. в каждой т.простраств. находятся как произв. тенз.поля 𝑇̂ на 𝛼,
называются произв тенз. на скаляр. 3)Умнож.тензоров. Пусть в пространстве
размерности n заданы 2 тенз.поля типов (𝑙, 𝑚) и (𝑘, 𝑝): (1) и 𝑄̂ =
𝑗 𝑗 …𝑗
𝑄𝑖11 𝑖22…𝑖𝑝𝑘 ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑒𝑗1 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑒𝑗2 … ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑒𝑗𝑘 𝑒⃗ 𝑖1 𝑒⃗ 𝑖2 … 𝑒⃗ 𝑖𝑝 (4). Определим в кажд. точ. пространства поле объекта
(𝑙 + 𝑘, 𝑚 + 𝑝) как тензор. произведение тенз.полей (1) и (4) 𝑅̂ =
𝑗 𝑗 …𝑗
𝑙+𝑘
𝑅𝑖11 𝑖22…𝑖𝑚+𝑝
𝑒𝑗1 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
𝑒𝑗2 … ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑒𝑗𝑙 𝑒⃗ 𝑖1 𝑒⃗ 𝑖2 … 𝑒⃗ 𝑖𝑚 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑒𝑗𝑙+1 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑒𝑗𝑙+2 … ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑒𝑗𝑙+𝑘 𝑒⃗ 𝑖𝑚+1 𝑒⃗ 𝑖𝑚+2 … 𝑒⃗ 𝑖𝑚+𝑝 ≝
𝑗 𝑗 …𝑗
𝑗
𝑗
…𝑗
𝑗 𝑗 …𝑗
𝑗
…𝑗
𝑙+1 𝑙+2
𝑙+𝑘
𝑇𝑖11𝑖22…𝑖𝑚𝑙 𝑄𝑖𝑚+1
𝑒𝑗1 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑒𝑗2 … ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑒𝑗𝑙 𝑒⃗ 𝑖1 𝑒⃗ 𝑖2 … 𝑒⃗ 𝑖𝑚 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑒𝑗𝑙+1 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑒𝑗𝑙+2 … ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑒𝑗𝑙+𝑘 𝑒⃗ 𝑖𝑚+1 𝑒⃗ 𝑖𝑚+2 … 𝑒⃗ 𝑖𝑚+𝑝 . (5)
𝑖𝑚+2 …𝑖𝑚+𝑝 ) ⃗⃗⃗⃗⃗
Поле (5) наз.тенз.произ.полей (1) и (4). Произведение некоммутативно. 4)Свертка
тензора. Пусть в простр. размер n задано поле тензора (1). Определим в кажд. точ.
Пространства поле объекта, компоненты которого вычисляются по формуле
𝑗 𝑗 …𝑗
𝑘𝑗
…𝑗
𝑗 𝑗 …𝑗
𝑘𝑗
…𝑗
𝑝−1 𝑝+1
𝑝−1 𝑝+1
𝑝−1 𝑝+1
𝑙
𝑙
𝑙
𝑇𝑖11𝑖22…𝑖𝑞−1
≝ 𝑇𝑖11𝑖22…𝑖𝑞−1
=∑nk=1 𝑇𝑖11𝑖22…𝑖𝑞−1
(6). Поле объекта 6
𝑖𝑞+1 …𝑖𝑚
𝑘𝑖𝑞+1 …𝑖𝑚
𝑘𝑖𝑞+1 …𝑖𝑚
называется свёрткой тенз. поля по паре индексов (jp , iq ). Результ. свертки – след.
5)Подстановка индексов. Пусть в простр.разм. 𝑛 задано поле типа (𝑙, 𝑚) (1). Выберем s
индексов, расположенных внизу 𝑗𝑝+1 , 𝑗𝑝+2 , … , 𝑗𝑃+𝑠 . Совершим перестановку
𝑖 𝑖 …𝑖
𝑖 𝑖 …𝑖
{𝑗𝑝+1 , 𝑗𝑝+2 , … , 𝑗𝑃+𝑠 } Говорят, что объект 𝑇𝑗11𝑗22…𝑗𝑝𝑙 𝑘1 𝑘2 …𝑘𝑠 𝑗𝑝+𝑠+1 = 𝑇𝑗 1𝑗 2…{𝑗𝑙 ,…,𝑗 }…𝑗
1 2
𝑝+1
𝑃+𝑠
𝑚
получен из исх.тензора (1) при помощи операции подстановки индексов 𝑗𝑝+1 , 𝑗𝑝+2 , … , 𝑗𝑃+𝑠
Основн. т. тензорн. алгебры. В результате операции сложения тенз., умножения тензора
на скаляр, тензорного умножения, свёртки тензоры и подстановки индексов тензора снова
получаются тензоры. Док-во: покажем что операция тенз.умнож. тензоров приводит
снова к тензору. Рассмотрим геометрическ.(или физическ.) объект, координаты которого
получены путём умножения координат тензоров типа (1) и (4)
𝑖 𝑖 …𝑖 𝑝1 𝑝2 …𝑝𝑘
𝑖 𝑖 …𝑖
𝑝 𝑝 …𝑝
𝑅𝑗11 𝑗22…𝑗𝑚
=𝑇𝑗11𝑗22…𝑗𝑛𝑚 𝑄𝑞11 𝑞22…𝑞𝑙𝑘 (7) причём для произв.тензор. примем порядок
𝑛 𝑞1 𝑞2 …𝑞𝑙
следования индексов такой же, как и в произв.тензор.сомножителей. Проверим, что (7)
при перех. к новой координат.системе преобр.по тензорному закону.Выпишем тензорный
𝑖′ 𝑖′ …𝑖′
𝑖′
𝑗
𝑖 𝑖 …𝑖
𝑖′
𝑖′
𝑗
𝑗
закон преобр. для сомножителей (7) 𝑇𝑗′ 1𝑗′22…𝑗′ 𝑚 = 𝐵𝑖11 𝐵𝑖22 … 𝐵𝑖𝑚𝑚 𝐴𝑗′1 𝐴 𝑗′2 2 … 𝐴𝑗′𝑛 𝑇𝑗11𝑗22…𝑗𝑛𝑚 (8)
𝑝′ 𝑝′ …𝑝′
𝑄𝑞′ 1 𝑞′22…𝑞′ 𝑘
1
𝑙
=
𝑝′
𝑝′
𝐵𝑝11 𝐵𝑝2 2
…
𝑝′
𝑞
𝑞
𝐵𝑝𝑘𝑘 𝐴𝑘′11 𝐴 𝑘′2 2
1
𝑛
1
𝑞
𝑝 𝑝 …𝑝
… 𝐴𝑘′𝑙𝑝 𝑇𝑘11𝑘22…𝑘𝑙𝑘 (9)
𝑛
.Перемножая (8) и (9), и учит.(7)
в старой и новой координатной сист.получаем
𝑝′
𝑖′ 𝑖′ …𝑖′ 𝑝′ 𝑝′ …𝑝′
𝑝′
𝑖′
𝑗
𝑞
𝑖 𝑖 …𝑖 𝑝1 𝑝2 …𝑝𝑘
𝑖′
𝑗
𝑞
𝑅𝑗′ 1 𝑗′22 …𝑗′𝑛𝑚 𝑞′ 1 𝑞′22…𝑞′ 𝑘 =𝐵𝑖11 … 𝐵𝑖𝑚𝑚 𝐵𝑝11 … 𝐵𝑝𝑘𝑘 𝐴𝑗′1 … 𝐴𝑗′𝑛 𝐴𝑞′1 … 𝐴𝑞′𝑙 ∙ 𝑅𝑗11 𝑗22…𝑗𝑚
(9).
𝑛 𝑞1 𝑞2 …𝑞𝑙
1
1
𝑙
1
𝑛
1
𝑙
Получ.результ. доказ,что в кажд.точке координатной сист. Величины (9) ялвяются коорд.
одного и того же тензора. Следствие из теоремы. В любой точке n-мерного пространства
тензоры типа (k,p) образуют относительно операций сложения тензоров и умножения
тензора на скаляры векторное пространство размерности 𝑛𝑘+1 .
33) Осн. тенз. исчисл.: инвар. тенз.; собст. векторы и главн. компон. симметр. тензора второй
валентности.
𝑖 ′ 𝑗 ′ ..
𝑖𝑗..
𝐹(𝑇..𝑘𝑝 ) = 𝐹 (𝑇...𝑘 ′ 𝑝′ ). Такие функции - инварианты тензора. Инварианты тензора
являются или числами, или числовыми функциями точек пространства. Составим
инвариант для векторного поля 𝑢
⃗⃗ = 𝑢𝑖 ⃗⃗⃗⃗
𝑔𝑖 = 𝑢 𝑗 ⃗⃗⃗⃗.
𝑔𝑗 Скалярный квадрат (𝑢
⃗⃗, 𝑢
⃗⃗) ≡ 𝑢
⃗⃗ ∗ 𝑢
⃗⃗ =
𝑖
𝑗
𝑖 𝑗
𝑖 𝑗
𝑖
2
𝑢 ⃗⃗⃗⃗
𝑔𝑖 ∗ 𝑢 ⃗⃗⃗⃗
𝑔𝑗 = 𝑢 𝑢 ⃗⃗⃗⃗
𝑔𝑖 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
∙ 𝑔𝑗 = 𝑢 𝑢 𝑔𝑖𝑗 = 𝑢 𝑢𝑗 = ‖𝑢
⃗⃗‖ .Полученная величина - инвариант.
′
𝑖
𝑖 𝑗
𝑢 𝑢𝑗 = 𝑢 𝑢 𝑔𝑖𝑗 =
′
𝜕𝑞 𝑘 𝜕𝑞 𝑝
𝑢𝑖 𝑢 𝑗 𝜕𝑥 𝑖 𝜕𝑥 𝑗
′
′
′
′
′
𝑔𝑘 ′ 𝑝′ = 𝐵∙𝑖𝑘 ∙ 𝐵∙𝑗𝑝 ∙ 𝑢𝑖 𝑢 𝑗 𝑔𝑘 ′ 𝑝′ = 𝑢𝑘 𝑢𝑝 𝑔𝑘 ′ 𝑝′ = 𝑢𝑘 𝑢𝑝′ что и
доказывает инвариантность скалярного квадрата вектора. Рассмотрим тензор
⃗⃗⃗⃗⃗𝑘 ⃗⃗⃗⃗⃗𝑝 ̂ ̂ ≝
специального вида 𝑔̂ = 𝑔𝑘𝑝 ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑔𝑘 ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑔𝑝 где 𝑔𝑘𝑝 = (𝑔
⃗⃗⃗⃗⃗,
⃗⃗⃗⃗⃗)
𝑘 𝑔
𝑝 = 𝑔 ∙ 𝑔 . 𝑇 ∙∙ 𝑔
⃗⃗⃗⃗⃗𝑘 ⃗⃗⃗⃗,𝑖 ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑇 𝑖𝑗 𝑔𝑘𝑝 (𝑔
⃗⃗⃗⃗,
𝑔𝑝 ) = 𝑇 𝑖𝑗 𝑔𝑘𝑝 𝛿𝑗𝑘 𝛿𝑖𝑝 = 𝑇𝑘𝑝 𝑔𝑘𝑝 = 𝑇∙𝑘𝑘 где мы воспользовались свойствами
𝑗 𝑔 ) (𝑔
векторных полей контравариантного (взаимного) базиса. Полученная свёртка -инвариант.
𝑗
𝑗∙
Инвариантами будут также и свёртки следующего вида:𝑇∙𝑗𝑖∙ 𝑇∙𝑖 ; 𝑇𝑗𝑖 𝑇∙𝑘 𝑇∙𝑖𝑘∙
Рассмотрим в пространстве 𝐸 3 вектор смещения 𝑑𝑥⃗ = 𝑑𝑞 𝑘 ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑔𝑘 из точки 𝑀0 в близкую точку
̂
M и произвольный симметрический тензор второй валентности 𝑇̂ = 𝑇 𝑖𝑗 ⃗⃗⃗⃗𝑔
𝑔𝑖 ⃗⃗⃗⃗⃗..
⃗𝑑𝑥⃗ =
𝑗 𝑇 ∶ 𝑑𝑥
𝑘
𝑝
𝑖𝑗
𝑘
𝑝
𝑖𝑗
𝑘
𝑝
𝑘
𝑝
𝑇 𝑖𝑗 ⃗⃗⃗⃗𝑔
𝑔𝑖 ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑔𝑘 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗,𝑖 ⃗⃗⃗⃗⃗)(𝑔
𝑔𝑘 ⃗⃗⃗⃗,
⃗⃗⃗⃗⃗)
𝑔𝑖𝑘 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑗 ∶ 𝑑𝑞 𝑑𝑞 ⃗⃗⃗⃗⃗𝑔
𝑝 = 𝑇 𝑑𝑞 𝑑𝑞 (𝑔
𝑗 𝑔
𝑝 = 𝑇 𝑑𝑞 𝑑𝑞 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝑔
𝑗𝑝 = 𝑇𝑘𝑝 𝑑𝑞 𝑑𝑞 .
Найденная свёртка -инвариант, то есть 𝑇 ′ 𝑘𝑝 𝑑𝑞 ,𝑘 𝑑𝑞 ,𝑝 = 𝐶 где C – некоторое число. Так как
в левой части уравнения имеем квадратичную форму, то в каждой точке малой
окрестности точки М0 это уравнение определяет некоторую поверхность второго порядка,
которая называется тензорной поверхностью. Собственные векторы оператора
𝑇̂ определяются как 𝑇̂ ∙ 𝑢
⃗⃗ = 𝜇 ∙ 𝑢
⃗⃗ Трактуя тензор второй валентности как оператор, и
переписывая левую и правую части этого уравнения, соответственно, в виде 𝑇̂ ∙ 𝑢
⃗⃗ =
𝑖∙ 𝑘
𝑖𝑗
𝑘
𝑖𝑗 𝑘
𝑖
𝑇 ⃗⃗⃗⃗𝑔
𝑔𝑖 ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑔𝑘 = 𝑇 𝑢 ⃗⃗⃗⃗𝑔
𝑔𝑖 𝑗𝑘 = 𝑇∙𝑘 𝑢 ⃗⃗⃗⃗
𝑔𝑖 , 𝜇 ∙ 𝑢
⃗⃗ = 𝜇𝑢 ⃗⃗⃗⃗
𝑔𝑖 получаем систему уравнений, для
𝑗 ∙ 𝑢 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
определения собственных векторов (𝑇∙𝑘𝑖∙ − 𝜇𝛿𝑘𝑖 )𝑢𝑘 = 0 или в стандартной матричной
𝑇∙11∙ − 𝜇
𝑇∙21∙
𝑇∙31∙
0
𝑢1
2∙
2∙
2∙
форме ( 𝑇∙1
𝑇∙2 − 𝜇
𝑇∙3 ) (𝑢2 ) = (0). Так как тензор 𝑇̂ симметрический, то в
0
𝑇∙13∙
𝑇∙23∙
𝑇∙33∙ − 𝜇 𝑢3
каждой точке 𝑀0 существует решение системы уравнений , которое определяет
ортонормированный базис. В указанном базисе 𝑇 𝑖𝑖 = 𝑇𝑖𝑖 = 𝑇∙𝑖𝑖∙ = 𝜇𝑖 где i=1,2,3, и
уравнение тензорной поверхности приводится к каноническому виду 𝜇1 (𝑑𝑥1 )2 +
𝜇2 (𝑑𝑥 2 )2 + 𝜇3 (𝑑𝑥 3 )2 = 𝐶. Базис, в котором уравнение тензорной поверхности приводится
к виду (2.24), определяет систему декартовых координат, оси которой называются
главными осями тензора 𝑇̂ . Три в общем случае различные компоненты 𝜇1 , 𝜇2 , 𝜇3 тензора
𝑇̂ называются его главными компонентами.
34) Осн. тенз. исч-я: транспонир. и ортогон. тенз. поля; лемма о связи компон. тенз. поля и
транспонир. тенз. поля
→
Если в пространстве E 3 фиксирован ортонормированный базис{e1→ , e→
2 , e3 } , то разница
между контравариантными и ковариантными компонентами тензоров исчезает и для поля
→
→ →
тензора, например, второй валентности, можем записать T ^ = T ij e→
i ej = Tij ei ej .
Определение: Пусть в пространстве 𝐸 3 задано поле тензора второй валентности
𝑇
𝑇 ^ = 𝑇 𝑖𝑗 𝑒𝑖→ 𝑒𝑗→ = 𝑇𝑖𝑗 𝑒𝑖→ 𝑒𝑗→ . Транспонированным тензором 𝑇 ^ называется поле тензора
второй валентности такое, что для любых двух векторных полей 𝑢→ , 𝑣 → ∈ 𝐸 3 справедливо
𝑇
соотношение (𝑇 ^ ∗ 𝑢→ ) ∗ 𝑣 → = 𝑢→ ∗ (𝑇 ^ ∗ 𝑣 → ).
(1)
Лемма о св. компонент. В ортонормированном базисе пространства Е3 компоненты
тензорного поля второй валентности связаны с компонентами транспонированного
тензорного поля соотношениями 𝑇𝑗𝑖 = 𝑇𝑖𝑗𝑇 .
𝑇
Доказательство. Для нахождения связи между компонентами тензоров 𝑇 ^ и 𝑇 ^ положим
𝑇
𝑇
→ →
𝑢→ = 𝑒𝑖→ , 𝑣 → = 𝑒𝑗→ , 𝑇 ∧ = 𝑇𝑚𝑛 𝑒𝑚
𝑒𝑛 , 𝑇 ∧ = 𝑇𝑘𝑝
𝑒𝑘→ 𝑒𝑝→ ,где {𝑒1→ , 𝑒2→ , 𝑒3→ }-ортонормированные
(декартовы) базисные векторные поля. Вычисляя левую и правую части равенства (1),
→ →
получаем: (𝑇 → ∗ 𝑢→ ) * 𝑣 → = (𝑇𝑚𝑛 𝑒𝑚
𝑒𝑛 ∗ 𝑒𝑖 → ) * 𝑒𝑗 → = 𝑇𝑚𝑛 𝛿𝑛𝑖 𝛿𝑚𝑗 =𝑇𝑗𝑖 ,
𝑇
𝑇 → →
𝑇
𝑢→ *(𝑇 ∧ ∗ 𝑣 → ) = 𝑒𝑖→ *(𝑇𝑘𝑝
𝑒𝑘 𝑒𝑝 ∗ 𝑒𝑗→ ) = 𝑇𝑘𝑝
𝛿𝑝𝑗 𝛿𝑖𝑘 =𝑇𝑖𝑗𝑇 .
Подставляя результаты вычислений в (1), получаем 𝑇𝑗𝑖 = 𝑇𝑖𝑗𝑇 , что и требовалось
доказать. Очевидно, что для симметрического тензорного поля справедливо равенство
𝑇
𝑇 ∧= 𝑇 ∧ .
Определение: Ортогональным тензорным полем называется такое тензорное поле 𝑄 ^ ,
что для любых двух векторных полей 𝑢→ , 𝑣 → ∈ 𝐸 3 справедливо равенство
(𝑢→ , 𝑣 → ) = 𝑢→ ∗ 𝑣 → = (𝑄 ^ ∗ 𝑢→ ) ∗ (𝑄 ^ ∗ 𝑣 → ).
Таким образом, ортогональное тензорное поле (валентности 2) сохраняет скалярное
произведение векторных полей и, следовательно, является ортогональным оператором в
пространстве𝐸 3 с ортонормированным базисом {𝑒1→ , 𝑒2→ , 𝑒3→ }. Поэтому оно обладает всеми
известными из линейной алгебры свойствами ортогональных операторов.
36) Осн. тенз. исч-я: деформ. в спл. среде, поле тензора деформ и напряж., усл-я равновес.
Пусть MN- малый элемент стержня, концы кот-го в недеформированном сост-ии
занимают положения M(x) и N(x+Δx). Под дейс-ем силы F стержень растягивается, и т. M
и N занимают положения M’(x+u(x)) и N’(x+Δx+u(x+Δx)).
1)Определение: Деформацией стержня в окр-ти т. M с коор-ой x назыв. величина 𝑆 ≝
lim
𝑢(𝑥+∆𝑥)−𝑢(𝑥)
∆𝑥
∆𝑥→0
𝑑𝑢
= 𝑑𝑥 .
Опр: Физч-ий объект второй валентности, который в каждой декартовой сист. Коорд.
представляется девятью компонентами, называется тензором деформации.
𝟑
𝟏 𝝏𝒖𝒊 𝝏𝒖𝒋
𝝏𝒖𝒌 𝝏𝒖𝒌
𝑺𝒊𝒋 ≝ ( 𝒊 + 𝒋 + ∑
∗
)
𝟐 𝝏𝒙
𝝏𝒙
𝝏𝒙𝒊 𝝏𝒙𝒋
𝒌=𝟏
Т.о, деформированное сост. сплошной упругой среды опис-тся полем
симметрических тензоров второй валентности.
∆𝐹
2)Опр: Напряжение 𝑻𝒊𝒌 называется величина, равная 𝑇𝑖𝑘 ≝ lim ∆𝑆 𝑖 (*)
∆𝑆𝑘 →0
𝑘
Опр : Двухвалентный тензор с компонентами 𝑻𝒊𝒌 (𝒊, 𝒌 = 𝟏, 𝟐, 𝟑), смысл которых
установлен в формуле (*), наз. тензором напряжений.
3) Условия равновесия: если мат. тело наход. в равновесии, то результ-ая сила и результий момент сил, дейст-ий на произвольный выделенный объем внутри тела, равен 0
вектору. Пусть напряжения в теле вызваны силами, приложенными к поверхности тела, то
по 3 закону динамики рез-ая сила равна 0. Поэтому сила, дейс-ая на выделенный объем,
⃗⃗ ∗ (𝑛⃗⃗)𝑑𝑠.
равна сумме сил, дейст-их со стороны окр. среды. Рез-ая сила равна 𝐹⃗ = ∯𝑆 𝑇
А)По т. Гаусса-Остроградского формула принимает вид 𝐹𝑖 = ∭𝑉
𝜕𝑇
𝜕𝑇𝑖𝑘
𝜕𝑋 𝑘
𝑑𝑣
Подынт-ая функция fi= 𝜕𝑋𝑖𝑘𝑘 - это плотность силы, то есть сила, действ. на единицу объема
деф-го тела.
Б) так как момент силы относ. начала системы координат M=[r,T], то он явл.
антисимметричным тензором второй валентности.
Оконч. вид формулы 𝑀𝑗𝑖 = ∭𝑉 (𝑇𝑗𝑘 𝛿𝑖 𝑘 − 𝑇𝑖𝑘 𝛿𝑗𝑘 )𝑑𝑣
48) Ур-я высших пор.: лин. неодн. дифф. ур-я 2-го пор. с пост. коэфф., док-во т-мы об общем
реш. неодн. ур-я.
Это уравнение вида:
𝑑2 𝑦
𝑑𝑥 2
𝑑𝑦
+ 𝑝1 𝑑𝑥 + 𝑝2 𝑦 = 𝑓(𝑥)(3.34)
𝑑2 𝑦
𝑑𝑥 2
𝑑𝑦
+ 𝑝1 𝑑𝑥 + 𝑝2 𝑦 = 0(3.35)-однородное уравнение
Т. Общее решение лин-го неоднородного обык-го дифф-го урав. второго порядка (3.34)
равно сумме общего решения соотв-го однородного уравнения (3.35) и некоторого
частного решения неоднородного уравнения (3.34). Док-во: Пусть y(x)=C1y1(x)+C2 y2(x) –
общее решение однородного уравнения (3.35), то есть выполняется тождество
𝑑𝑧(𝑥)
𝑑 2 𝑧(𝑥)
𝑑𝑥 2
+
𝑝1 𝑑𝑥 + 𝑝2 𝑧(𝑥) = 0 а z(x) – некоторое частное решение уравнения(3.34), то есть, для
него
также выполняется аналогичное тождество
𝑑 2 𝑧(𝑥)
𝑑𝑥 2
+ 𝑝1
𝑑𝑧(𝑥)
𝑑𝑥
+ 𝑝2 𝑧(𝑥) = 𝑓(𝑥)
Тогда, подставляя в уравнение (3.34) функцию u = y(x)+ z(x),
приходим к равенству
𝑑2 𝑦
𝑑𝑦
+ 𝑝1 𝑑𝑥 + 𝑝2 𝑦 +
𝑑𝑥 2
=0
𝑑 2 𝑧(𝑥)
𝑑𝑥 2
𝑑𝑧(𝑥)
+ 𝑝1 𝑑𝑥 + 𝑝2 𝑧(𝑥) = 𝑓(𝑥)
= f (x)
из которого и следует доказательство теоремы.
37) Обыкн-е дифф. ур-я 1-го пор.: осн. опр-я; поле напр.; т-ма сущ-я и единст. реш-я.
Основные определения: Обыкновенное дифф.ур-е 1-го порядка, не разрешённое относит-но
𝑑𝑦
производной искомой ф. 𝑦 = 𝑦(𝑥), имеет след. общий вид: 𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝑑𝑥 ) = 0, (1) ↓ где 𝐹 – известная
ф.. Каждая ф. 𝑦 = 𝑦(𝑥), кот. при подстановке в ур-е (1) обращает его в тождество, наз. реш-ем
этого ур-я, а её график – интегр-ой кривой ур-я (1). ↓ Ф. 𝑦  𝑦𝑥, 𝐶 наз. общим реш-ем ур-я (1),
если независимо от значения пост-ой 𝐶 подстановка этой ф. в ур-е (1) приводит к тождеству.↓
Уравнение 𝑥, 𝑦0 наз-ся интег-ом дифф. ур-я (1), если кажд. ф. 𝑦  𝑦𝑥, опр-ая этим ур-ем и
имеющая непр-ую 1-ю производную, явл. реш-ем ур-я (1).↓ Если можно ур-е (1) разрешить относ𝑑𝑦
но производной, то ур-е принимает вид↓ 𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥, 𝑦)(2) ↓где -новая изв-ая ф.↓ Поле
направлений. Пусть в области 𝐺 координатной пл-ти 𝑋𝑂𝑌 задано ОДУ вида (2). Так как значения
𝑑𝑦
производной 𝑑𝑥 – это значения 𝑡𝑔 угла наклона кас-ой к графику ф. 𝑦  𝑦𝑥 (интег-ой кривой) в т.
M графика с коорд-ми 𝑥; 𝑦 , то ур-е (2) опр-ет направ-я кас-ых к интег-ым кривым в этой т.. Эти
напр-ия изображаются отрезками прямых линий, проходящих через т-ки 𝑀𝑥; 𝑦 под соотв-ими
углами  к полож-ому напр-ию оси 𝑂𝑋 т.о., чтобы вып-ось усл. ↓ 𝑡𝑔  𝑓 𝑥, 𝑦. ↓ Совокупность
таких напр-ий образует поле напр-ий дифф. ур-я (2). ↓ Геом-ое место т-ек пл-ти с одинаковым
напр-ем кас-ых наз-ся изоклиной. Ур-е изоклины имеет вид: 𝑓 𝑥, 𝑦  𝑘 , где 𝑘  𝑡𝑔 – заданный
угловой коэфф. Т-ма: Пусть в некоторой окрестности точки 𝑀(𝑥0 , 𝑦0 ) 𝑈(𝑀0 ) = {(𝑥; 𝑦) ∈ 𝐺: |𝑥 −
𝑥0 | < 𝑎, |𝑦 − 𝑦0 | < 𝑏} вып-ны след-е усл-я: ↓ 1) функция 𝑓𝑥, 𝑦 непр-на в каждой т. окр-сти как фя двух перем-ых 𝑥; 𝑦 ; ↓ 2) частная произ-ая 𝑑𝑓(𝑥,𝑦)
в каждой т. 𝑀𝑥; 𝑦 окрестности 𝑈(𝑀0 ) огр-на. ↓
𝑑𝑦
𝑑𝑦
Тогда сущ-ет един-ое реш-е 𝑦𝑦𝑥 ОДУ 𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥, 𝑦), опред-ое в некот-ой  -окр-ти т. 𝑥0 ↓
𝑈𝜀 (𝑥0 ) = {𝑥 ∈ 𝑅: |𝑥 − 𝑥0 | < 𝜀}, ↓ удовл-щее начальному усл-ию 𝑦(𝑥0 ) = 𝑦0 , причём это реш-е
единственно.
49) Ур-я высших пор.: метод Лагранжа получ. общ. реш. неоднор. ур-я 2-го пор. с пост. коэфф.
Рассмотрим теперь метод Лагранжа получения общего решения неоднородного уравнения
d2 y
dx2
dy
+ p1 dx + p2 y = f(x) (3.4) Пусть {y1 (x), y2 (x)} ФСР однородного ур-я (3.5)
d2 y
dy
соответствующего неоднородному уравнению (3.4) dx2 + p1 dx + p2 y = 0 (3.5) Тогда
общее решение y(x)=C1 y1 (x)+ C2 y2 (x) причём вронскиан
y1 (x) y2 (x)
W[y1 , y2 ]=|dy1 (x) dy2 (x) | ≠ 0 для любых x∈ (a, b) z(x)= C1 (x)y1(x)+ C2 (x)y2(x), где
dx
dx
dz(x) d C1 (x)
C1 (x), C2 (x) ф − и
=
x
y1 (x)+
dx
d y1 (x)
dx
C1 (x)+
Потребуем чтобы выполнялось условие лагранжа
dz(x)
=
d y1 (x)
x
dx
d C1 (x) d y1 (x)
dx
{d y
dx
y1 (x)
{d Cdx(x)
2
dx
dx
+)+
d C1 (x)
1 (x) d C1 (x)
dx
d C1 (x)
C1 (x) +
dx
+
= φ(x)
= ψ(x)
d y2 (x)
C2 (x)
dx
(x)
(x)
d C2
d y2
dx
dx
dx
dx
d y2 (x)
y2 (x)+ dx
C2 (x)
dx
d C1 (x)
d C2 (x)
y1 (x)+ dx
y2 (x)=0
dx
диф-я несколько раз группируя слагаемые имеем
= f(x)
+ y2 (x) = 0
d y2 (x) d C2 (x)
d C2 (x)
= f(x)
Предполагая что решение системы найдено
C1 (x) = ∫ φ(x)+A1, где A1 A2 произвольные постоянные
C2 (x) = ∫ ψ(x)+A2
z(x)=A1y1 (x)+ A2y2 (x)+ y1 (x) ∫ φ(x)dx+y2 (x) ∫ ψ(x)
38) Обыкн-е дифф. ур-я 1-го пор.: ур-я, не сод. в прав. части иск. ф-ции и независ. перем; Их
реш.;
Урав-ия 1-го порядка, не содержащие в правой части искомой функции. Эти
уравнения имеют следующий вид:
𝑑𝑦
= 𝑓(𝑥)(1.1)
Уравнение (1.1) является простейшим ОДУ первого порядка.
Если f(x)-функция, непрерывная на некотором открытом промежутке (a,b) то по
определению неопределённого интеграла получаем решение уравнения (1.1):
𝑦 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + 𝐶. (1.2)
Это общее решение уравнения (1.1) в области
𝐺 = {(𝑥; 𝑦) ∈ 𝑅 2 : 𝑎 < 𝑥 < 𝑏, −∞ < 𝑦 < +∞}
Если интеграл в (1.2) находится в элементарных функциях, то говорят, что уравнение (1.1)
интегрируется в элементарных функциях, в противном случае говорят, что это
уравнение интегрируется в квадратурах.
Так как первообразная имеет также вид
𝑥
𝐹(𝑥) = ∫𝑥 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 (1.3)
0
где x0ab, что проверяется дифференцированием
𝑑𝐹(𝑥)
𝑑 𝑥
=
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥)
𝑑𝑥
𝑑𝑥 𝑥0
то общее решение, исходя из формул (1.2), (1.3), можно записать в форме Коши:
𝑥
𝑦 = ∫𝑥 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + 𝐶 (1.4)
0
Первообразная вида (1.3) называется первообразной Барроу. При x = x0
𝑑𝑥
𝑥0
𝑦(𝑥)|𝑥=𝑥0 ≡ 𝑦0 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + 𝐶 = 𝐶
𝑥0
Поэтому формула (1.4) принимает вид
𝑥
𝑦 = ∫𝑥 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + 𝑦0 (1.4’)
0
Это другая форма записи общего решения урав-ия (1.1).
Эта же функция (1.4) является и решением задачи Коши
𝑑𝑦
= 𝑓(𝑥), 𝑦(𝑥0 ) = 𝑦0
𝑑𝑥
Обозначим решение (1.4) так
𝑥
𝑦 = ∫𝑥 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + 𝑦0 ≡ 𝑦(𝑥, 𝑥0 , 𝑦0 )(1.6)
0
𝑑𝑦
Так, например, решение нулевой задачи Коши 𝑑𝑥 𝑓(𝑥), 𝑦(𝑥0 ) = 0
𝑥
записывается в виде: 𝑦 = ∫𝑥 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
0
Урав-я 1-го порядка, не содержащие в правой части независимой переменной.
𝑑𝑦
уравнения имеют вид: 𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥)
Пусть ф. f(x) непрерывна на промежутке y c,d,причём нигде на этом промежутке не
принимает нулевого значения, то есть, (yc,df(x)≠0. Тогда ура-ие (1.7)
𝑑𝑦
переписывается в виде 𝑓(𝑦) = 𝑑𝑥 (1.8)
Интегрируя последнее ура-ие, получаем:
𝑑𝑦
𝑥 = ∫ 𝑓(𝑦) + 𝐶 (1.9)
Или
𝑦 𝑑𝑦
𝑥 = ∫𝑦
0
𝑓(𝑦)
+ 𝐶 (1.10)
Где y0c,d
Формулы (1.9) или (1.10) дают общий интеграл уравнения (1.7).
39) Обыкн-е дифф. ур-я 1-го пор.: ур-я с разд. и раздаляющ. перем; Их реш-е
Уравнения с разделёнными переменными.
Уравнение вида
X(x)dx + Y(y)dy = 0 (2.16)
называются уравнением с разделёнными переменными, так как левая и правая части этого
уравнения зависят от разных переменных. Пусть X(x) и Y(y) функции, непрерывные при
всех допустимых значениях независимой переменной x . Тогда уравнение (2.16)
𝑥
𝑦
0
0
записывается в виде 𝑑 (∫𝑥 X(x)dx + ∫𝑦 Y(y)dy) = 0 (2.17)
В силу равенства (2.17) заключаем, что
𝑥
𝑦
∫𝑥 X(x)dx + ∫𝑦 Y(y)dy = C (2.18)
0
0
Формула (2.18) даёт общий интеграл уравнения (2.16). В формуле (2.18) значения
𝑥0 и 𝑦0 берутся из области определения и непрерывности функций X(x) и Y(x). Вместо
формулы (2.18) можно записать общий интеграл уравнения (2.16), используя
неопределённые интегралы:
∫ X(x)dx + ∫ Y(y)dy = 𝐶 (2.19). Решение задачи Коши находится из (2.18), если положить
𝑦(𝑥0 ) = 𝑦0 Дей- ствительно, подстановка в (2.18) даёт для произвольной постоянной
𝑥
𝑦
значение C  0 . Следовательно, имеем ∫𝑥 X(x)dx + ∫𝑦 Y(y)dy = 0 (2.20)
0
0
Уравнения с разделяющимися переменными.
Уравнения, имеющие вид
P(x)T(y)dx + Q(x)S(y)dy = 0 (2.21) Называются уравнениями с разделяющимися
переменными, так как они могут быть приведены к виду уравнений с разделёнными
переменными (2.16). Действительно, если все функции в (2.21) непрерывны и 𝑇(𝑦) +
𝑄(𝑥) ≠ 0 то, деля обе части уравнения (2.21) на это произведение, получаем:
P(x)
S(y)
𝑑𝑥 + 𝑇(𝑦) 𝑑𝑦 = 0 (2.22) . Применяя формулу (2.18), находим общий интеграл
Q(x)
уравнения (2.21) в виде :
𝑥 P(x)
∫𝑥
0
Q(x)
𝑦 S(y)
𝑑𝑥 ∫𝑦
0
𝑇(𝑦)
𝑑𝑦 = 𝐶 (2.23) .Формулу общего интеграла (2.23) можно записать,
используя неопределённые интегралы:
P(x)
S(y)
∫ Q(x) 𝑑𝑥 + ∫ 𝑇(𝑦) 𝑑𝑦 = 𝐶 (2.24)
40) Обыкн-е дифф. ур-я 1-го пор.: ур-я с однор. прав. частью и их реш-е.
Функция нескольких переменных 𝑢 = 𝑓(𝑥1 , 𝑥2 . . , 𝑥𝑛 ) называется однородной функцией
степени k,если при подстановке в формулу функции произведений 𝑡𝑥𝑗 (𝑗 = 1,2. . , 𝑛) имеет
место равенство 𝑓(𝑡𝑥1 , 𝑡𝑥2 , . . , 𝑡𝑥𝑛 ) = 𝑡 𝑘 𝑓(𝑥1 , 𝑥2 , . . , 𝑥𝑛 ) (1)
В частности функция двух переменных 𝑢 = 𝑓(𝑥, 𝑦) называется однородной функцией
нулевой степени,если выполняется условие 𝑓(𝑡𝑥, 𝑡𝑦) = 𝑓(𝑥, 𝑦) (2).Всякая однородная
функция нулевой степени зависит только от отношения своих аргументов.
Дифференциальное уравнение вида 𝑃(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑄(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 0 (4),где 𝑃(𝑥, 𝑦)и 𝑄(𝑥, 𝑦)однородные функции одной и той же степени,называется обыкновенным дифф.
𝑑𝑦
уравнением с однородной правой частью. Перепишем (4) в нормальном виде: 𝑑𝑥 =
𝑃(𝑥,𝑦)
𝑦
𝑃(𝑥,𝑦)
𝑑𝑦
𝑦
− 𝑄(𝑥,𝑦) (5).Полагая 𝜑 (𝑥 ) = − 𝑄(𝑥,𝑦),перепишем (5) в виде 𝑑𝑥 = 𝜑 (𝑥 )(6)
𝑦
Если функция 𝜑(𝑧) определена и непрерывна на промежутке (a,b),функция 𝜑 (𝑥 )
𝑦
определена и непрерывна в области,определенной двойным неравенством 𝑎 < 𝑥 < 𝑏.Из
этого неравенства следует,что 𝑎𝑥 < 𝑦 < 𝑏𝑥 при 𝑥 > 0, 𝑏𝑥 < 𝑦 < 𝑎𝑥 при 𝑥 < 0.Область
уравнения:
.
Каждая прямая линия с уравнением 𝑦 = 𝑘𝑥 при 𝑥 ≠ 0 и 𝑎 < 𝑘 < 𝑏 является изоклиной
уравнения(6) так как наклон отрезков поля направлений в любой ее точке
𝑑𝑦
одинаков: 𝑑𝑥 |
𝑦
𝑦=𝑘𝑥
= 𝜑 (𝑥 )|
𝑦=𝑘𝑥
= 𝜑(𝑘) = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡.Все интегральные кривые уравнения
пересекают полупрямую с уравнением 𝑦 = 𝑘𝑥 под одним и тем же углом. Введем новую
неизвестную функцию 𝑦 = 𝑧 ∙ 𝑥 (7),где 𝑧 = 𝑧(𝑥).Дифференцируя по x:
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=𝑥
𝑑𝑧
𝑑𝑥
+𝑧и
𝑑𝑧
подставляя результат в (6) получим 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑧 = 𝜑(𝑧) или 𝑥𝑑𝑧 + (𝑧 − 𝜑(𝑧))𝑑𝑥 = 0
(8).Уравнения (8)-это уравнение с разделяющими переменными. Если [𝑧 − 𝜑(𝑧)] ∙ 𝑥 ≠ 0,то
𝑑𝑧
получаем 𝑧−𝜑(𝑧)+
∫
𝑑𝑥
𝑥
𝑑𝑥
𝑥
𝑃(𝑥)
𝑆(𝑦)
𝑑𝑧
= 0.Используя формулу ∫ 𝑄(𝑥) 𝑑𝑥 + ∫ 𝑇(𝑦) 𝑑𝑦 = 𝐶,получаем ∫ 𝑧−𝜑(𝑧) +
𝑑𝑧
𝑦
= С, ∫ 𝑧−𝜑(𝑧) + ln|𝑥| = 𝐶.Возвращаясь к исходной к переменной ,получаем 𝜓 (𝑥 ) +
𝑑𝑧
ln|𝑥| = 𝐶 (9),где 𝜓(𝑧) = ∫ 𝑧−𝜑(𝑧)
42) Ур-я высших пор.: осн-е опр-я, задача Коши, т-ма сущ-я и единст. реш-я задачи Коши.
Ур-ие вида F(𝑥, 𝑦,
𝑑𝑦 𝑑 2 𝑦
𝑑𝑛𝑦
,
, … , 𝑛 )=0
𝑑𝑥 𝑑𝑥 2
𝑑𝑥
(1) называется обыкновенным дифференциальным
уравнением (ОДУ)порядка n. Таким образом, порядок дифференциального уравнения –это
наивысший порядок входящей в него производной. Каждая ф-ция y=y(x) которая при
подстановке в уравнение(1) обращает его в тождество, называется решением этого
уравнения. График решения y=y(x) наз. интегральной кривой ОДУ. Уравнение Ф(x,y)=0
(2)наз. интегралом ур-я (1), если кажд.ф-я y=y(x), опред-ая ур-ем (2) и имеющая
𝑑𝑦 𝑑2 𝑦
𝑑𝑛 𝑦
непрерывные производные 𝑑𝑥 , 𝑑𝑥2 , … , 𝑑𝑥𝑛 , явл.решением ур-ия (1). График ф-ии y=y(x),
опред-ой ур-ем (2) также наз. интегральной кривой. Если ур-ие (1) разрешено
𝑑𝑛 𝑦
𝑑𝑦 𝑑 2 𝑦
𝑑 𝑛−1 𝑦
относительно старшей производной , то оно имеет вид 𝑑𝑥𝑛 =f(𝑥, 𝑦, 𝑑𝑥 , 𝑑𝑥 2 , … , 𝑑𝑥 𝑛−1 ), (3) где fизвестная ф-ия.Форма записи ур-ия (3) наз. нормальной формой ур-я порядка n. Любое
ОДУ имеет бесконечное множество решений. Для выделения конкретного решения
ставятся начальные условия. Для уравнения (3) такие условия имеют следующий вид:
𝑑𝑦
𝑑𝑛−1 𝑦
y|𝑥=𝑥0 =𝑦0 ; 𝑑𝑥 |𝑥=𝑥0 =𝑦01 ;…; 𝑑𝑥𝑛−1 |𝑥=𝑥0 = 𝑦0𝑛−1 (4) В правых частях (4) стоят числа . Смысл
задания начальных условий –выделение из бесконечного множества решений ОДУ (3)
единственного решения , интегральная кривая которого проходит через точку 𝑀0 (𝑥0 ; 𝑦0 ),
𝑑𝑦 𝑑2 𝑦
𝑑𝑛−1 𝑦
таким образом, чтобы произвольные 𝑑𝑥 , 𝑑𝑥2 , … , 𝑑𝑥𝑛−1 в этой точке принимали заданные
значения (4) . задача решения ур-я (3) при начальных условиях (4) наз задачей Коши
теорема
Если ф-я в правой части ур-я (3) непрерывна в некот. Окр. Начальной точки
(𝑥0 ; 𝑦0 ; 𝑦01 ; … ; 𝑦0𝑛−1 ) пр-ва 𝑅 𝑛+1 и имеет в этой окрестности непрерывные частные
𝑑𝑦
𝑑𝑛−1 𝑦
производные по переменным y, 𝑑𝑥 , … , 𝑑𝑥𝑛−1 , то ур-ие (3) имеет и притом единственное
решение y=y(x), удовлетворяющее начальным условиям (4)
43) Ур-я высших пор.: ур-я, не сод. в прав. части иск. ф-ции и их реш-е.
ОДУ вида(*)
𝑑𝑛 𝑦
𝑑𝑥 𝑛
= 𝑓(𝑥) где f(x)– известная функция, непрерывная на некотором
промежутке изменения независимой переменной 𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏) не содержит в правой части
иско- мой функции и является простейшим ОДУ порядка n
Решение уравнения (*) можно найти, последовательно понижая порядок производной.
𝑑
𝑑𝑛−1 𝑦
[
] = 𝑓(𝑥)
𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑛−1
и проинтегрируем последнее уравнение один раз, получим:
𝑑𝑛−1 𝑦
𝑑𝑥 𝑛−1
𝑑
𝑑𝑛−2 𝑦
= ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + 𝐶1, . 𝑑𝑥 [𝑑𝑥 𝑛−2 ] = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + 𝐶1Интегрируя последнее уравнение,
𝑑𝑛−2 𝑦
получаем 𝑑𝑥 𝑛−2 = ∬ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑑𝑥 + 𝐶1(𝑥) + 𝐶2 , Интегрируя получим:
𝑑𝑛−3 𝑦
𝑑𝑥 𝑛−3
= ∬∫
𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑑𝑥𝑑𝑥 + 𝐶1
𝑥 𝑛−1
𝑥2
2
+ 𝐶2 𝑥 + 𝐶3 продолжая : 𝑦(𝑥) =
𝑥 𝑛−2
∬ … ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑑𝑥 … 𝑑𝑥 + 𝐶1 (𝑛−1)! + 𝐶2 (𝑛−2)! + 𝐶3 + ⋯ + 𝐶𝑛−2
𝑥2
2!
+ 𝐶𝑛−1 𝑥 +
𝐶𝑛 (1)Полученная формула даёт общее решение уравнения (*) в n- мерной области,
определённой условиями
𝑑𝑛−1
𝑑𝑦
a<x<b, |y|<+∞ |𝑑𝑥 | < +∞…..|𝑑𝑥 𝑛−1 | < +∞
Уравнение (*) можно проинтегрировать и с помощью интегралов с переменным верхним
пределом. Цепочка интегрирований имеет вид:
𝑥
𝑑 𝑛−1 𝑦
= ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + 𝐶1
𝑑𝑥 𝑛−1
𝑥0
𝑥
𝑑 𝑛−2 𝑦
=∫
𝑑𝑥 𝑛−2
𝑥0
𝑥
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑑𝑥 + 𝐶1 𝑥 + 𝐶2
𝑥0
…………………………………..
𝑥
𝑦(𝑥) = ∫𝑥
0
𝑥
𝑥
0
0
𝑥 𝑛−1
𝑥 𝑛−2
∫𝑥 … . ∫𝑥 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑑𝑥 … 𝑑𝑥 + 𝐶1 (𝑛−1)! + 𝐶2 (𝑛−2)! + 𝐶3 + ⋯ + 𝐶𝑛−2
𝑥2
2!
+ 𝐶𝑛−1 𝑥 +
𝐶𝑛 (**)
𝑥
Справедлива ф. Дирихле : ∫𝑥
0
𝑥
𝑥
0
0
1
𝑥
∫𝑥 … . ∫𝑥 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑑𝑥 … 𝑑𝑥 = (𝑛−1)! ∫𝑥 𝑓(𝑡)(𝑥 − 𝑡)𝑛−1 𝑑𝑡
0
Заменяя в (**) первое слагаемое по формуле , получаем общее решение уравнения (*) в
1
𝑥 𝑛−1
𝑥
𝑥 𝑛−2
виде:𝑦(𝑥) = (𝑛−1)! ∫𝑥 𝑓(𝑡)(𝑥 − 𝑡)𝑛−1 𝑑𝑡 + 𝐶1 (𝑛−1)! + 𝐶2 (𝑛−2)! + 𝐶3 + ⋯ + 𝐶𝑛−2
0
𝑥2
2!
+
𝐶𝑛−1 𝑥 + 𝐶𝑛 (2). В этой ф. первое слагаемое – это частное решение уравнения (*),
удовлетворяющее следующим нулевым начальным условиям:
𝑑𝑦
𝑑𝑛−1 𝑦
𝑦|𝑥=𝑥0 = 0, 𝑑𝑥 |𝑥=𝑥0 = 0, … , 𝑑𝑥 𝑛−1 |𝑥=𝑥0 = 0 Так как 𝐶𝑘 (𝑘 = 1,2, … , 𝑛) произвольные
𝐶
𝑘
постоянные величины, в формулах (1) и (2) отношения вида(𝑛−𝑘)!
можно заменить
величинами 𝐶𝑘 (умножение произвольной постоянной на любое действительное число,
равно как и добавление к ней произвольного числа, не влияет на её“произвольность”).
45) Ур-я высших пор.: осн-е понят. теор. лин. обыкн. дифф. ур-ий высш. пор.
𝑑
𝑑𝑛
𝑑𝑛−1
𝑑
𝐿𝑛 (𝑥, ) = 𝑝0 (𝑥) 𝑛 + 𝑝1 (𝑥) 𝑛−1 + ⋯ + 𝑝𝑛−1 (𝑥)
+ 𝑝𝑛 (𝑥)
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑥
; Действие этого оператора на функцию определяется правилом:
𝑑𝑛
𝑑
𝑑𝑛−1
𝑑
𝐿𝑛 (𝑥, 𝑑𝑥) 𝑦(𝑥) ≡ [𝑝0 (𝑥) 𝑑𝑥 𝑛 + 𝑝1 (𝑥) 𝑑𝑥 𝑛−1 + ⋯ + 𝑝𝑛−1 (𝑥) 𝑑𝑥 + 𝑝𝑛 (𝑥)] 𝑦(𝑥) =
𝑑𝑛 𝑦
𝑑𝑛−1 𝑦
𝑑𝑦
𝑝0 (𝑥) 𝑑𝑥 𝑛 + 𝑝1 (𝑥) 𝑑𝑥 𝑛−1 + ⋯ + 𝑝𝑛−1 (𝑥) 𝑑𝑥 + 𝑝𝑛 (𝑥)𝑦;
коэффициенты 𝑝𝑘 (𝑥), (k=0,1,2…n) – известные функции, непрерывные на промежутке 𝑥 ∈
(𝑎, 𝑏)изменения независимой переменной, причём 𝑝0 (𝑥) ≠ 0; Уравнение вида
𝑑
𝐿𝑛 (𝑥, 𝑑𝑥) 𝑦(𝑥) = 𝑔(𝑥) (*); где g(x) – заданная на соответствующем промежутке
изменения независимой переменной непрерывная функция, называется линейным
𝑑
неоднородным обыкновенным диффуром порядка n, а уравнение 𝐿𝑛 (𝑥, 𝑑𝑥) 𝑦(𝑥) = 0 –
линейным однородным обыкновенным диффуром порядка n, соответствующим
𝑑𝑛 𝑦
неоднородному уравнению (*) ; Запишем уравнения в развёрнутом виде: 𝑝0 (𝑥) 𝑑𝑥 𝑛 +
𝑑𝑛−1 𝑦
𝑑𝑦
𝑝1 (𝑥) 𝑑𝑥 𝑛−1 + ⋯ + 𝑝𝑛−1 (𝑥) 𝑑𝑥 + 𝑝𝑛 (𝑥)𝑦 = 𝑔(𝑥)
𝑝𝑛−1 (𝑥)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑑𝑛 𝑦
𝑑𝑛−1 𝑦
𝑝0 (𝑥) 𝑑𝑥 𝑛 + 𝑝1 (𝑥) 𝑑𝑥 𝑛−1 + ⋯ +
+ 𝑝𝑛 (𝑥)𝑦 = 0
Общее решение уравнений зависит от n произвольных постоянных и имеет вид
𝑦 = 𝑦(𝑥, 𝐶1, 𝐶2, … , 𝐶𝑛). Если {𝑦1(𝑥), 𝑦2(𝑥) … 𝑦𝑚 (𝑥)} – любые решения уравнения
𝑑𝑛 𝑦
𝑑𝑛−1 𝑦
𝑑𝑦
𝑝0 (𝑥) 𝑑𝑥 𝑛 + 𝑝1 (𝑥) 𝑑𝑥 𝑛−1 + ⋯ + 𝑝𝑛−1 (𝑥) 𝑑𝑥 + 𝑝𝑛 (𝑥)𝑦 = 0 , то их линейная комбинация
𝑦(𝑥) = 𝛼1𝑦1(𝑥) + 𝑎2𝑦2(𝑥) … 𝛼𝑚 𝑦𝑚 (𝑥) также является решением этого уравнения при
любых значениях коэффициентов линейной комбинации. Д о к а з а т е л ь с т в о.
𝑑𝑛 𝑦
𝑑𝑛−1 𝑦
Доказательство сводится к подстановке y(x) в уравнение 𝑝0 (𝑥) 𝑑𝑥 𝑛 + 𝑝1 (𝑥) 𝑑𝑥 𝑛−1 + ⋯ +
𝑑𝑦
𝑝𝑛−1 (𝑥) 𝑑𝑥 + 𝑝𝑛 (𝑥)𝑦 = 0 и учёту того, что каждая функция 𝑦𝑘 (𝑥) удовлетворяет этому
уравнению. Линейно независимая на промежутке (a,b) система {𝑦1(𝑥), 𝑦2(𝑥) … 𝑦𝑛 (𝑥)}
(𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏)) из n решений линейного однородного дифференциального уравнения
𝑑
𝐿𝑛 (𝑥, 𝑑𝑥) 𝑦(𝑥) = 0 называется фундаментальной системой решений этого уравнения в
промежутке(a,b ).
46) Ур-я высших пор.: лин. однор. дифф. ур-я с пост. коэфф., д-во леммы о лин. независ. сист.
ф-ций
𝑑𝑛 𝑦
𝑑𝑛−1 𝑦
Пусть дано лин неоднородное диф-е ур-е поряд- ка 𝑛 с пост коэф-ми 𝑝0 𝑑𝑥 𝑛 + 𝑝1 𝑑𝑥 𝑛−1 +
𝑑𝑦
⋯ + 𝑝𝑛−1 𝑑𝑥 + 𝑝𝑛 𝑦 = 𝑔(𝑥), которое, разделив обе части на 𝑝0 ≠ 0 , запишем в
𝑑𝑛 𝑦
𝑑𝑛−1 𝑦
𝑑𝑦
приведённой форме 𝑝0 𝑑𝑥 𝑛 + 𝑝1 𝑑𝑥 𝑛−1 + ⋯ + 𝑝𝑛−1 𝑑𝑥 + 𝑝𝑛 𝑦 = 𝑓(𝑥), где введены обознач:
𝑝
𝑝
𝑝1 ≡ 𝑝 1 , 𝑝2 ≡ 𝑝 2 , … , 𝑝𝑛−1 ≡
0
𝑑𝑛−1 𝑦
0
𝑝𝑛−1
𝑝0
, 𝑓(𝑥) ≡
𝑔(𝑥)
𝑝0
𝑑𝑛 𝑦
. Соотв однородное ур-е имеет вид 𝑝0 𝑑𝑥 𝑛 +
𝑑𝑦
𝑝1 𝑑𝑥 𝑛−1 + ⋯ + 𝑝𝑛−1 𝑑𝑥 + 𝑝𝑛 𝑦 = 0.
Сист. ф. {𝑒 𝑘1 𝑥 , 𝑒 𝑘2 𝑥 , … , 𝑒 𝑘𝑛𝑥 } линейно независима на любом промежутке(𝑎, 𝑏) ⊂ 𝑅.
Док-во: Сост из ф-ий сист лин комбинацию и потребуем, что- бы её значением было число
нуль: 𝑎1 𝑒 𝑘1 𝑥 + 𝑎2 𝑒 𝑘2 𝑥 + ⋯ + 𝑒 𝑘𝑛𝑥 = 0. Полагая в полученном тождестве 𝑥 = 0, получим
𝑎1 + 𝑎2 + ⋯ + 𝑎𝑛 = 0. Дифференцируя тождество по 𝑥 один раз, и полагая 𝑥  0 ,
получим: 𝑘1 𝛼1 + 𝑘2 𝛼2 + ⋯ + 𝑘𝑛 𝛼𝑛 = 0. Дифференцируем тождество два раза и полагаем
𝑥  0 , получим : 𝑘1 2 𝛼1 + 𝑘2 2 𝛼2 + ⋯ + 𝑘𝑛 2 𝛼𝑛 = 0. Продолжая процесс
дифференцирования до получения производных по- рядка n 1 включительно, получим
: 𝑘1 𝑛−1 𝛼1 + 𝑘2 𝑛−1 𝛼2 + ⋯ + 𝑘𝑛 𝑛−1 𝛼𝑛 = 0. Объединим получ р-ва в сист лин алг ур-ий
𝑎1 + 𝑎2 + ⋯ + 𝑎𝑛 = 0
𝑘1 𝛼1 + 𝑘2 𝛼2 + ⋯ + 𝑘𝑛 𝛼𝑛 = 0
относительно коэф-в 𝛼1 , 𝛼2 , … , 𝛼𝑛 :
: 𝑘1 2 𝛼1 + 𝑘2 2 𝛼2 + ⋯ + 𝑘𝑛 2 𝛼𝑛 = 0
…….
𝑛−1
𝑛−1
{: 𝑘1 𝛼1 + 𝑘2 𝛼2 + ⋯ + 𝑘𝑛 𝑛−1 𝛼𝑛 = 0
Это однородная СЛАУ порядка 𝑛 , причём её опр при усл 𝑘𝑖 ≠ 𝑘𝑗 𝑖, 𝑗 1, 2, … , 𝑛 не равен
1 1…1
𝑘1 𝑘2 … 𝑘𝑛
|
|
нулю:
≠ 0. Из критерия совместности однородной СЛАУ следует,
𝑘1 2 𝑘2 2 … 𝑘𝑛 2
|
|
…………..
𝑘1 𝑛−1 𝑘2 𝑛−1 … 𝑘𝑛 𝑛−1
что полученная система уравнений совместно тривиально, следовательно 𝛼1 , 𝛼2 , … , 𝛼𝑛 = 0
и система функций {𝑒 𝑘1 𝑥 , 𝑒 𝑘2 𝑥 , … , 𝑒 𝑘𝑛𝑥 } линейно независима
47) Ур-я высших пор.: характерис. ур-е, 3 случая сущ-я корней характ. ур-я.
коэффициентами
𝑑2 𝑦
𝑑𝑥 2
𝑑2 𝑦
𝑑2 𝑦
𝑑𝑥 2
+ 𝑝1
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑝2𝑦 = 𝑓(𝑥) соответствующее ему однородное уравнение
𝑑𝑦
+ 𝑑𝑥 2 + 𝑝1 𝑑𝑥 + 𝑝2𝑦 = 0 (*) Выясним, при каких условиях функция вида 𝑦(𝑥) = 𝑒 𝑘𝑥
является решением однородного уравнения Для этого дифференцируем эту функцию два
𝑑𝑦
𝑑2 𝑦
раза 𝑑𝑥 = 𝑘𝑒 𝑘𝑥 , 𝑑𝑥 2 = −𝑘𝑒 𝑘𝑥 подставим найденные производные и саму функцию 𝑒 𝑘𝑥 в
уравнение, получим
𝑘 2 𝑒 𝑘𝑥 + 𝑘𝑝1 𝑒 𝑘𝑥 + 𝑝2𝑒 𝑘𝑥 = 0 После умножения обеих частей на 𝑒 −𝑘𝑥 ≠ 0 приходим к
квадратному уравнению относительно коэффициента k
Уравнение k 2 + p1 k + p2 = 0 называют характеристическим уравнением для уравнения
k 2 ekx + kp1 ekx + p2 ekx = 0. Если характеристическое уравнение решаемо, то функция
y(x) = ekx является решением соответствующего однородного дифференциального
уравнения k 2 ekx + kp1 ekx + p2 ekx = 0.
Возможно три случая существования корней характеристического уравнения.
1.Если корни характеристического уравнения k 2 + p1 k + p2 = 0 вещественные и простые,
то общее решение в соответствии с {y1 , y2 } = {ek1x , ek2 x } и теоремой 3.5 имеет вид y(x) =
C1 ek1 x + C2 ek2 x ;
2.Если характеристическое уравнение k 2 + p1 k + p2 = 0 имеет кратный корень, то общее
решение в соответствии с {y1 , y2 } = {ekx , xekx } и теоремой 3.5 имеет вид y(x) = C1 ekx +
C2 ekx = (C1 + C2 )ekx ;
3.Если характеристическое уравнение k 2 + p1 k + p2 = 0 имеет комплексно сопряженные
корни, то общее решение в соответствии с {y1 , y2 } = {eαx cos βx, eαx sin βx} и теоремой 3.5
имеет вид
y(x) = eαx (C1 cos βx + C2 sin βx)
50) Сист. обыкн. диф. ур-й: опр-е и разл. формы записи системы ОДУ, однор. и неоднор. сист,
…
Система соотношений вида
F1 (t, y1 , y 2 … y n ,
dy1 dy2
,
…
dyn
)=0
t
t
t
1
2
dyn
1 2
n dy dy
F2 (t, y , y … y , t , t … t )
1
2
dyn
1 2
n dy dy
{Fn (t, y , y … y , t , t … t )
= 0 определённых на промежутке (a,b) изменения
=0
независимой переменной t, где y1 , y 2 … y n искомые ф-ции независимой
переменной t а ф-ции Fk (k=1,2,3..n) известные ф-ции своих аргументов, наз-ся системой
ОДУ 1го порядка. Сис-ма непрерывно дифференц-х на промежутке (a,b) ф-ций
{y1 = y1 (t), y 2 = y 2 (t) … y n = y n (t)} наз-ся решением системы ОДУ если при
подстановке этих ф-ций в уравнения системы последние обращаются в тождества на всём
промежутке (a,b) изменения независимой переменной
dy1
система вида
t
dy2
t
dyn
= f1 (t, y1 , y 2 … y n ) = 0
= f2 (t, y1 , y 2 … y n ) = 0 (0.1) называется системами ОДУ в нормальной
1 2
n
{ t = fn (t, y , y … y ) = 0
форме. Если функции в правой части системы ОДУ зависят от искомых функций, то
dy1
t
dy2
t
dyn
{
t
= ∑nj=1 p1j y j + g1 (t)
d
= ∑nj=1 p2j y j + g 2 (t) (*) или Idt |y(t)⟩ + 𝑃(t)|y(t)⟩ = |f(t)⟩ (0,2) где
= ∑nj=1 pnj y j + g n (t)
p11 (t) p12 (t) … . p1n (t)
0
d
2
2 (t)
2
…0. .) dt+(p1 (t) p2 … . p…n (t
.. )
dt
n
n (t)
p1 (t) a2 … pnn (t)
0 0…. 1
y1 (t)
f 1 (t)
2
2
|𝑦(𝑡)⟩=(y …(t)), |𝑓(𝑡)⟩=(f …(t)
. )
y n (t)
f n (t)
Видно, что n скалярных дифференциальных уравнений системы ОДУ (*) первого порядка
1
d
0
L=I +P(t)=(…
0…
1……
𝑑𝑦 𝑘
+∑𝑛𝑗=1 𝑝𝑗𝑘 𝑦 𝑗 =𝑓 𝑘 (t) заменили одним векторным диффуром, которое явл-ся системой
скалярных диффуров 1го порядка.
Фазовое пространство и фазовые траектории.
Запишем нормальную систему ОДУ в виде.
𝑑𝑡
dy1
t
dy2
t
dyn
= f1 (t, y1 , y 2 … y n )
= fn (t, y1 , y 2 … y n ) Пусть t время, а 𝑦1 , 𝑦 2 … 𝑦 𝑛 координаты точки в пр-ве 𝑅 𝑛
1 2
n
{ t = fn (t, y , y … y )
Пр-во переменных 𝑦 1 , 𝑦 2 … 𝑦 𝑛 - фазовое пр-во
̂ (𝑡): 𝑅1 → 𝑅 𝑛 , а путь который она проходит
Каждое решение системы задает движение 𝑊
называется фазовой траекторией
Теорема существования и единственности решения нормальной системы ОДУ.
Если правые части урав-й сис-мы (0.1) непрерывны в некоторой окр-и точки
(𝑡0 , 𝑦01 , 𝑦02 , 𝑦03 … 𝑦0𝑛 ) ∈ 𝑅 𝑛+1 и имеют в этой окр-ти непрерывные частные производные по
переменным 𝑦1 , 𝑦 2 … 𝑦 𝑛 то система ОДУ (0.1) имеет единственное решение
Общее и частное решение нормальной системы
Система непрерывно дифференцируемых относительно независимой переменной t
𝑦 1 = 𝜑(𝑡, 𝐶1 , 𝐶2 , . . 𝐶𝑛 )
функций { 𝑦 2 = 𝜑2 (𝑡, 𝐶1 , 𝐶2 , . . 𝐶𝑛 ) (0.2) определённых в некоторой области 𝐺 ∈ 𝑅 𝑛+1
𝑦 𝑛 = 𝜑𝑛 (𝑡, 𝐶1 , 𝐶2 , . . 𝐶𝑛 )
изменения переменных 𝑡, 𝐶1 , 𝐶2 , . . 𝐶𝑛 называется общим решением системы ур-й Если
выполнены следующие условия:
1)𝐶𝑘 =Ψ𝑘 (𝑦 1 , 𝑦 2 … 𝑦 𝑛 ) (0.3)
2) система функций (0.2) является решением системы уравнений (0.3)
при всех допустимых значениях произвольных постоянных
Чтобы решить задачу коши достаточно заменить (𝑡, 𝑦1 , 𝑦 2 … 𝑦 𝑛 ) начальныеми усл.
(𝑡0 , 𝑦1 0 , 𝑦 2 0 … 𝑦 𝑛 0 ) и разрешить систему отн-но 𝐶1 = С10 , 𝐶2 = С02 . . 𝐶𝑛 = С0𝑛 и получим
𝑦1 = 𝜑(𝑡, С10 , С02 , . . С0𝑛 )
{ 𝑦 2 = 𝜑2 (𝑡, С10 , С02 , . . С0𝑛 )
𝑦 𝑛 = 𝜑𝑛 (𝑡, С10 , С02 , . . С0𝑛 )
Связь уравнения высшего порядка с системой ОДУ первого порядка
dyn
t
= fn (t,
dy
dt
d2 y
dn−1 y
, dt2 … dtn−1 ) всегда можно привести к системе ОДУ в нормальной форме,
dy
dn−1 y
вводя доп.переменные y=y1 dt =y 2 … dtn−1 =y n Для вновь введённых функций, таким
образом, получаем систему диф. уравнений следующего вида
dy1
dt
dy2
dt
= y2
= y3
…
dn−1 y
dtn−1
= yn
dn y
1 2
n
{ dtn = f((t, y , y … y )
Линейные однородные системы обыкновенных дифференциальных Уравнений (0,2)
записывается как
𝑑𝑦 𝑖
𝑑𝑡
+∑𝑛𝑘=1 𝑝𝑘𝑖 (t)𝑦 𝑘 =𝑓 𝑖 (t) Однородная система уравнений, соответствующая
𝑑𝑦 𝑖
d
неоднородной системе 𝑑𝑡 +∑𝑛𝑘=1 𝑝𝑘𝑖 (t)𝑦 𝑘 =0 и в сокращ виде Idt |y(t) > +𝑃(t)|y(t)⟩ = |0 >
Решения линейной однородной системы уравнений образуют n мерное векторное
пространство, линейной однородной системы с произвольными коэффициентами 𝐶𝑘
𝑘
𝑦 𝑖 (t)=∑𝑚
𝑘=1 𝐶𝑘 𝑦𝑖 (t)
51) Лин. однор. сист. обыкн. дифф. ур-й: лин. незав. сист. частн. реш. однор. сист. ОДУ; фунд.
матр. и определитель Вронского
Линейные однородные системы обыкновенных дифференциальных уравнений. системы
дифференциальных уравнений в сокращённой индексной форме:
𝑑𝑦 𝑖
𝑑𝑡
𝑛
+∑
𝑘=1
𝑝𝑘𝑖 (𝑡)𝑘𝑦 = 𝑓 𝑖 (𝑡), (1).
Uде i= 1,n, рассмотрим линейную ОС обыкновенных диффуравнений. ОС уравнений,
соответствующая неоднородной системе (1), имеет вид:
𝑑𝑦 𝑖
𝑑𝑡
𝑛
+∑
𝑘=1
𝑝𝑘𝑖 (𝑡)𝑘𝑦 = 0 , (2). Где 𝑝𝑘𝑖 (𝑡) −
неизвестные непрерывные ф. В матричном виде система (2), записывается:
1 0
0 1
(
… …
0 0
𝑦1 (𝑡)
𝑝11 (𝑡) 𝑝21 (𝑡)
… 0
2
2
2
… 0 𝑑 𝑦 (𝑡)
) (
) + 𝑝1 (𝑡) 𝑝2 (𝑡)
… … 𝑑𝑡
…
…
…
… 1
𝑦 𝑛 (𝑡)
(𝑝1𝑛 (𝑡) 𝑎2𝑛 (𝑡)
… 𝑝𝑛1 (𝑡)
𝑦1 (𝑡)
0
2
… 𝑝𝑛 (𝑡) (𝑦 2 (𝑡) ) = ( 0 ) . (3).
…
…
…
…
0
… 𝑝𝑛𝑛 (𝑡)) 𝑦 𝑛 (𝑡)
В дальнейшем для
упрощения выкладок часто будем рассматривать векторно- матричную форму записи системы (2).
𝑑
𝐼 𝑑𝑥 |𝑦(𝑡)⟩ + 𝑃(𝑡)|𝑦(𝑡)⟩ = |0⟩, (4). Решения линейной ОС у-ий (2) или (3) образуют n-мерное
векторное про-тво, то есть если векторы-столбы
𝑦11 (𝑡)
|𝒚𝟏 ⟩ =
𝑦21 (𝑡)
…
𝑛
𝑦
( 1 ( 𝑡) )
𝑦12 (𝑡)
, |𝒚𝟐 ⟩ =
𝑦22 (𝑡)
…
𝑛
𝑦
( 2 (𝑡))
𝑦1𝑚 (𝑡)
, … , |𝒚𝒎 ⟩ =
𝑦2𝑚 (𝑡)
…
являются некоторыми частными
𝑛
(𝑦𝑚 (𝑡))
решениями системы ОДУ, то их линейная комбинация |𝒚(𝒕)⟩ = 𝑪𝟏 ∗
𝑦11 (𝑡)
𝑦21 (𝑡)
…
𝑛
(𝑦1 (𝑡))
+ 𝑪𝟐 ∗
𝟏
∑𝒎
𝒌=𝟏 𝑪𝒌 𝒚𝒌 (𝒕)
𝒎
𝟐
𝑦22 (𝑡)
𝑦2 (𝑡)
+ ⋯ 𝑪𝒎 ∗ 𝑚
= ∑𝒌=𝟏 𝑪𝒌 𝒚𝒌 (𝒕) , (𝟓), также является решением той же
…
…
…
𝑛
𝑛
𝒏
𝑪
(𝑦2 (𝑡))
(𝑦𝑚 (𝑡)) (∑𝒎
𝒌=𝟏 𝒌 𝒚𝒌 (𝒕))
системы уравнений. Действительно, прямой подстановкой (5) в (3) проверяется, что
линейная комбинация |𝑦(𝑡)⟩ = ∑𝑚
𝑘=1 𝐶𝑘 |𝑦𝑘 (𝑡)⟩ , (6), любого конечного числа частных
решений {|𝒚𝟏 ⟩, |𝒚𝟐 ⟩, … , |𝒚𝒎 ⟩ }линейной однородной системы с произвольными
коэффициентами 𝐶𝑘 (𝑘 = ̅̅̅̅̅̅
1, 𝑚)также является её решением. В индексной форме записи
𝑖
̅̅̅̅̅
для (6) имеем: 𝑦 𝑖 (𝑡) = ∑𝑚
𝑘=1 𝐶𝑘 𝑦𝑘 (𝑡)(𝑖 = 1, 𝑛). Линейная независимая система
{|𝒚𝟏 ⟩, |𝒚𝟐 ⟩, … , |𝒚𝒏 ⟩}из n частных решений системы уравнений (3),(4) называется
фундаментальной системой решений этой системы. Векторы ФСР можно расположить в
виде матрицы, составленной из их координат по столбцам:
𝑦11 (𝑡) 𝑦21 (𝑡) … 𝑦1𝑛 (𝑡)
2 (𝑡)
𝑦22 (𝑡) … 𝑦2𝑛 (𝑡) Эта матрица называется фундаментальной матрицей
Y(t)= 𝑦1
….
….
… ….
𝑛 (𝑡)
𝑛 (𝑡)
𝑦
𝑦2
… 𝑦𝑛𝑛 (𝑡)
( 1
)
однородной системы уравнений, её определитель есть определитель Вронского
𝑦12 (𝑡)
𝑦1𝑚 (𝑡)