SEMINARIO DE INGRESO
FÍSICA
Agustín Ozores Paci
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Prólogo
El material aquí presentado fue elaborado como una guía de estudio y de práctica para
la evaluación de ingreso a las carreras de Tecnicatura Superior en Disciplinas Industriales
y de Profesorado en Matemática de nuestro Instituto. Como objetivo central del Seminario
nos hemos planteado brindar a los alumnos un conjunto de conocimientos y herramientas
teórico-prácticas que consideramos fundamentales para sus trayectos académicos. Es en
función de este objetivo que han sido seleccionados los contenidos de este Seminario.
El texto se divide en cuatro capítulos, en los que se desarrolla una introducción a las
magnitudes físicas y sus unidades de medida (Cap. 1), la cinemática del punto material
(Cap. 2), la dinámica del punto material (Cap. 3) y los conceptos de trabajo, energía y
potencia (Cap.4). Los capítulos 2, 3 y 4 están organizados del mismo modo: una
introducción teórica, un conjunto de ejercicios resueltos y una guía de ejercicios
propuestos. Al final del texto se encuentra un Anexo con las respuestas a los ejercicios
propuestos.
El texto fue elaborado tratando de dar la mayor claridad posible a las explicaciones. Si
bien no se alcanza un gran nivel de profundidad en varios de los temas tratados, todos
los contenidos que formarán parte de las evaluaciones de Física del Seminario de Ingreso
están vertidos en este apunte. El alumno verá que las principales ecuaciones están
recuadradas. También verá que en las exposiciones teóricas hay textos en recuadros con
letra de menor tamaño; estos recuadros son aclaraciones que acompañan a las
explicaciones y que permiten comprender con mayor profundidad algunos aspectos
conceptuales sobre los temas trabajados.
Esperamos que el material les resulte ameno y que les sea de ayuda para poder afrontar
las evaluaciones sin mayores dificultades.
Desde la Coordinación del Seminario de Ingreso y desde la Carrera de Física y Física
Aplicada les damos una cordial bienvenida y les deseamos éxito en sus carreras.
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Introducción
El conocimiento actual de la naturaleza es posible gracias al estudio metódico y minucioso
que llevan a cabo los científicos desde hace siglos. Gracias al avance en ciencias, hoy es
posible tener una explicación de ciertos fenómenos que han inquietado a la humanidad
desde sus orígenes. Por qué se producen las olas en el mar, por qué el cielo es azul, por
qué caen los cuerpos, o por qué brillan las estrellas, son algunas de las preguntas a las
cuales la ciencia ha dado respuesta. La ciencia es mucho más que un conjunto de
conocimientos estructurado, organizado, jerarquizado; la ciencia es una actividad
humana, y como tal forma una parte esencial de nuestra cultura.
Las Ciencias Naturales, como su nombre lo indica, tienen como objeto de estudio a la
naturaleza. Dentro de las Ciencias Naturales, que incluyen a la Física, la Química, la
Biología, las Ciencias de la Tierra y la Astronomía, nos vamos a dedicar a la Física,
disciplina que comprende el estudio de los componentes básicos de la naturaleza, de las
propiedades físicas del universo material y sus relaciones, de las diversas
manifestaciones de energía y de las formas de interacción entre materia y energía.
El campo de estudio de la Física es sumamente amplio, desde las interacciones entre las
partículas subatómicas hasta el comportamiento de galaxias lejanas. Podemos dividir a
la Física en dos grandes áreas: la Física Clásica y la Física Contemporánea. Dentro de
la Física Clásica encontramos la Mecánica, el Electromagnetismo, la Termodinámica, la
Óptica, entre otras importantes ramas. La Física Contemporánea incluye la Mecánica
Cuántica, la Relatividad, la Cosmología, entre otras disciplinas.
En este manual se desarrollan algunos aspectos básicos de Mecánica Clásica. A grandes
rasgos, la Mecánica comprende el estudio de los movimientos. Podemos dividir a la
Mecánica en dos ramas: la Cinemática y la Dinámica. Mientras que la Cinemática
constituye un estudio descriptivo del movimiento, la Dinámica incluye las leyes físicas
fundamentales que rigen los movimientos de los cuerpos. La Dinámica aborda también el
concepto de energía, un concepto fundamental para todas las ciencias.
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Capítulo 1:
Magnitudes físicas y unidades de medida
Antes de comenzar con la exposición de los temas principales del Seminario, es
conveniente desarrollar un conjunto de conceptos fundamentales para toda la Física, a
saber: las magnitudes físicas, su clasificación y sus unidades de medida. Las definiciones
y contenidos que se presentan a continuación son necesarios para estudiar temas de
todas las ramas de la Física, así como para resolver ejercicios y problemas de Física en
general. Probablemente el alumno esté familiarizado con muchos de los conceptos aquí
que se exponen, pero no estará demás una revisión de los mismos.
Magnitudes físicas
Para poder estudiar cualquier fenómeno natural se necesita recoger información de la
experiencia de manera objetiva y concreta. Esta objetividad se logra a partir de datos
cuantitativos obtenidos a través de procesos de medición de alguna propiedad o atributo
del objeto o fenómeno en estudio. Estas propiedades, susceptibles de ser medidas, se
conocen con el nombre de magnitudes físicas. La longitud, el tiempo, la velocidad, la
fuerza, la presión, etc. son ejemplos de magnitudes, y cada una de ellas tiene asociada
una unidad de medida (y en muchos casos varias), que sirve como parámetro de
comparación. Así, la longitud se mide en metros (o bien, en kilómetros, yardas, leguas,
millas, etc.), la fuerza se mide en newton (también en kilogramos fuerza, dinas, libras), la
velocidad se mide en metros por segundo (kilómetros por hora, millas por hora, etc.).
La medida de cualquier magnitud supone su comparación con un patrón establecido
previamente. En primera instancia podemos decir que medir es comparar, y para que
todos los observadores puedan coincidir en su resultado, y con el fin de hacer
predicciones con exactitud, debe existir un acuerdo sobre el patrón adoptado. Así, han
surgido diferentes sistemas de medida, provenientes de diferentes culturas, cada uno con
sus propios patrones. Desde el año 1960 la comunidad científica adoptó el Sistema
Internacional de Unidades y Patrones (SI), derivado del sistema métrico (MKS). Existen
también otros sistemas, como el CGS, el sistema de unidades inglés (FPS), etc. y sus
unidades son utilizadas en muchas áreas técnicas y científicas.
Unidades básicas y derivadas
Muchas unidades de medida surgen de la combinación entre unidades más
fundamentales. Pensemos, por ejemplo, en la velocidad. Estamos acostumbrados a
medir la velocidad en “kilómetros por hora”, o en símbolos, “km/h”. Como podemos ver,
la unidad de medida de la velocidad es la combinación (en este caso, un cociente) entre
unidades de longitud y de tiempo. Muchas otras unidades de medida son combinaciones
de otras unidades. En este punto podemos establecer una primera clasificación de
unidades, a saber: unidades básicas y unidades derivadas.
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Son unidades básicas aquellas que son independientes unas de otras. En el cuadro 1 se
muestran las siete unidades básicas del SI, de las cuales, en este curso, usaremos solo
las primeras tres. Las unidades derivadas son aquellas que pueden expresarse como
combinaciones entre estas siete unidades básicas. Las unidades de medida de la
velocidad, de la fuerza, de la presión, etc., son ejemplos de unidades derivadas.
Magnitud
Unidad
Símbolo
Longitud
Metro
m
Masa
Kilogramo
kg
Tiempo
Segundo
s
Kelvin
K
Cantidad de materia
Mol
mol
Intensidad luminosa
Candela
cd
Amper
A
Temperatura
Intensidad de corriente eléctrica
Cuadro n°1: Unidades básicas del SI
Existen también muchas unidades que poseen un nombre propio. La unidad de fuerza del
SI, por ejemplo, se llama newton, pero es en realidad una combinación entre las unidades
kilogramo, metro y segundo. El cuadro 2 muestra solo algunas unidades derivadas y su
expresión en términos de las unidades del Sistema Internacional.
Magnitud
Derivada
Unidad de
medida
Símbolo
En unidades
del SI
En unidades
básicas del SI
velocidad
-
-
-
m/s
aceleración
-
-
-
m/s2
newton
N
-
kg·m/s2
-
-
-
kg/m3
energía
joule
J
N·m
kg·m2/s2
potencia
watt
W
J/s
kg·m2/s3
fuerza
densidad
Cuadro n°2: Algunas magnitudes y sus unidades del SI.
Siempre debe tenerse presente que en la expresión del resultado de una medición, o de
un cálculo entre diferentes cantidades físicas, es tan importante el valor numérico como
la unidad de medida.
Conversión de unidades
Como dijimos, una misma magnitud física puede expresarse utilizando distintas unidades
de medida, y en muchos casos, es necesario realizar una conversión de unidades para
expresar el resultado de una medición en unidades convenientes. Hay varias formas de
realizar pasajes de unidades; aquí vamos a analizar algunas de ellas mediante ejemplos.
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Supongamos que queremos expresar en horas un intervalo de tiempo de 24 minutos.
Para ello necesitamos conocer la equivalencia entre el minuto y la hora. La equivalencia
es la siguiente: 1 h = 60 min. Conocida la equivalencia, podemos proceder utilizando un
factor de conversión. Para hacerlo hay que recordar que, si una expresión matemática se
multiplica y se divide por el mismo valor, la igualdad no se altera. En nuestro caso, para
realizar el pasaje de unidad, al valor que queremos convertir en horas lo podemos
multiplicar por 1 h y dividir por 60 min. Resolviendo se obtiene el resultado:
24 min = 24 min ∙ (
1h
) = 0,4 h
60 min
En este procedimiento, el factor que está entre paréntesis es el factor de conversión. Ya
que el minuto como unidad de medida está multiplicando y dividiendo en el mismo
término, puede cancelarse, obteniendo el resultado en horas. Si se hubiese querido hacer
el pasaje inverso (es decir, de horas a minutos) el factor de conversión habría estado
invertido, para que la unidad resultante sea el minuto. Podemos comprobarlo realizando
el planteo:
0,4 h = 0,4 h ∙ (
60 min
) = 24 min
1h
Veamos ahora cómo utilizar una regla de tres simple para efectuar pasajes de unidades
mediante un ejemplo con unidades de potencia. Existen muchas unidades para medir
potencia, entre ellas el watt (W) y el caballo-vapor (CV). La equivalencia entre el W y el
CV es la siguiente:
1 CV = 735 W
Supongamos que la potencia de trabajo de un motor es 7,40 CV y que se quiere expresar
esta potencia en W. Esta conversión se puede plantear mediante una regla de tres simple:
1 CV
735 W
7,40 CV
𝒫=
7,40 CV∙735W
1 CV
= 5440 W
Esto es, 7,40 CV equivalen a 5440 W.
Finalmente, para convertir unidades derivadas podemos recurrir a los métodos vistos.
Para hacerlo, vamos a trabajar con unidades de velocidad. Si quisiéramos convertir
180 km/h a m/s, por ejemplo, podríamos utilizar la equivalencia entre estas unidades y
trabajar con un factor de conversión. La equivalencia entre km/h y m/s es la siguiente:
1 m/s = 3,6 km/h
de modo que el pasaje puede ser planteado de la siguiente manera:
m
1 s
km
m
180
∙(
) = 50
km
h
s
3,6
h
El planteo con una regla de tres simple nos llevaría al mismo resultado (se deja al alumno
la tarea de realizar esta comprobación). Sin embargo, en este caso podemos hacer algo
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más simple. Sabiendo que 1 km = 1000 m y que 1 h = 3600 s, podemos reemplazar
directamente estas unidades y luego realizar el cálculo correspondiente:
180
1 km
1000 m
m
= 180 ∙
= 50
1h
3600 s
s
Lo que hicimos fue reemplazar 1 km por 1000 m, reemplazar 1 h por 3600 s y hacer la
cuenta, con lo que se obtiene el mismo resultado. Para terminar este apartado, podemos
utilizar este último método para comprobar la equivalencia entre km/h y m/s. Para hacerlo,
vamos a convertir 3,6 km/h a m/s:
3,6
km
1 km
1000 m
m
= 3,6
= 3,6
=1
h
1h
3600 s
s
Notación científica
Sucede con frecuencia que los científicos y técnicos se encuentran con cantidades muy
pequeñas o muy grandes de alguna cantidad física. La distancia de la Tierra al Sol, por
ejemplo, es de 150.000.000.000 m; el diámetro de un átomo es de alrededor de
0,0000000001 m. En estos casos, en lugar de escribir tantos ceros (lo cual puede ser
incómodo tanto para su escritura como para su lectura) se suele utilizar la notación en
potencias de diez, conocida en general como notación científica.
Utilizando esta notación, la distancia de la Tierra al Sol es 1,5∙1011 m. Pero ¿Cómo se
obtiene este resultado? En este caso, la distancia de 150.000.000.000 m puede ser
escrita como 1,5∙100.000.000.000 m, y ya que 100.000.000.000 es igual a 1011 , se
obtiene la expresión final 1,5∙1011 . De modo similar, el diámetro de un átomo se expresa
como 1∙10-10 m, ya que 1∙10-10 =
1
1010
1
= 10.000.000.000 =0,000000001.
Expresar el resultado de una medición con notación científica hace fácilmente visible su
orden de magnitud, siendo el orden de magnitud, la potencia de diez más cercana al
número en cuestión. Así, el orden de magnitud de la distancia Tierra-Sol es de 1011 m, el
del tamaño de un átomo es 10-10 m, la longitud de una cuadra es del orden de 102 m, y la
cantidad de segundos en un día es del orden de 105 s.
Múltiplos y submúltiplos de unidades
Otra forma muy útil y cómoda para expresar cantidades físicas consiste en utilizar prefijos
que hacen referencia a los múltiplos o submúltiplos de las unidades. Hay muchos prefijos
que son muy comunes, como el “kilo” que lo usamos en nuestro quehacer diario para
medidas de peso o longitud (kilogramo, kilometro). Pero hay otras no tan comunes, como
los prefijos “pico”, “femto” o “peta”. En el cuadro 3 se muestran estos prefijos, cada uno
con su símbolo y factor de multiplicación.
En la última columna del cuadro, nombrada como “Factor”, se indica un número para cada
prefijo. Pero ¿qué representan estos números? Para explicarlo vamos a trabajar con un
prefijo conocido: el “kilo”. Es sabido que el prefijo “kilo” representa mil veces la unidad de
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medida: 1 km = 1000 m, 1 kg = 1000 g, etc. En
notación científica, estas igualdades se pueden
escribir así: 1 km = 103 m, 1 kg = 103 g, etc. Ahora
bien, como se ve en el cuadro, el factor
correspondiente al kilo es el número 103. O sea
que el factor es precisamente un factor de
conversión: indica el número por el que hay que
multiplicar a la unidad para obtener el múltiplo o
submúltiplo correspondiente. En base a esta tabla
podemos plantear los siguientes ejemplos:
1 cm = 10-2 m, 1 nm = 10-9 m, 1 MW = 106 W, etc.
Una cuestión más. ¿Qué sucede si queremos
convertir unidades entre dos múltiplos?
Supongamos que queremos convertir 20 km en
hm. La regla sencilla para obtener el factor de
conversión es restar los exponentes de las
potencias de diez (o sea, dividir los factores
correspondientes). En este caso, tenemos que
1 km = 103 m y que 1 hm = 102 m; al restar los
exponentes se obtiene que el factor de
equivalencia es 101, es decir, 1 km = 101 hm. Así,
20 km = 20·101 hm = 200 hm.
Prefijo
Símbolo
Factor
pico
p
10-12
nano
n
10-9
micro
µ
10-6
mili
m
10-3
centi
c
10-2
deci
d
10-1
-
-
-
deca
da
101
hecto
h
102
kilo
k
103
mega
M
106
giga
G
109
tera
T
1012
peta
P
1015
Cuadro 3: prefijos de unidades
Cifras significativas
Las cifras significativas son los dígitos que se conocen con certeza en una medición, y
que, por ende, tienen significado físico. La cantidad de cifras significativas de una
medición nos da una idea de la precisión de dicha medición. Para comprender esto,
supongamos que queremos dividir una muestra de 500 g de arena en 6 partes iguales y
que disponemos de una balanza que mide con una apreciación de 1 g. ¿Cuántos gramos
corresponden a cada fracción del sistema? Si hacemos la cuenta obtendremos que dicha
cantidad es
500
g=
6
83,3333333... g. Ahora bien, ¿es posible medir con tal precisión? Con
la balanza mencionada podremos, a lo sumo, lograr algunas partes con 83 gramos y otras
con 84 gramos, de modo que la respuesta a la pregunta anterior es 83 g (y no
83,333333...). En este ejemplo, la respuesta (83 g) contiene dos cifras significativas.
Supongamos ahora que se quiere determinar la longitud total de una pista circular de
105 m de diámetro. Para ello hay que calcular la longitud de la circunferencia, es decir,
𝑙 = 𝜋 𝑑, pero el número 𝜋 es irracional, o sea que tiene infinitos decimales. Si bien al
multiplicar 105 por el valor de 𝜋 obtenemos como resultado 329,86722…, lo más
apropiado es acotar en número de cifras significativas. En este caso, ya que para calcular
la longitud de la pista usamos el diámetro con tres cifras significativas (105 m), el resultado
tendrá (como máximo) tres cifras significativas, es decir, 330 m.
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Ecuaciones con unidades
Muchas veces, para determinar si una ecuación es dimensionalmente correcta se plantea
una ecuación de unidades. Veamos de qué se trata esto. Primero, vamos a usar la
siguiente nomenclatura: si una magnitud está encerrada entre corchetes, lo que se está
representando es la unidad de medida de esa magnitud. Así, al escribir [𝐹] estamos
representando “la unidad de medida de la magnitud 𝐹”. Por lo anterior, y utilizando las
unidades del SI, podemos plantear que
[𝐿] = m
[𝑡] = s
[𝑚] = kg
donde 𝐿, 𝑡 y 𝑚 simbolizan longitud, tiempo y masa, respectivamente. Esto permite
plantear varias ecuaciones dimensionales. Por ejemplo, ya que la unidad de velocidad se
obtiene como cociente entre unidad de longitud y unidad de tiempo, podemos plantear la
ecuación
[𝐿]
[𝑡]
[𝑣] =
Luego, para el área tenemos
[𝐴] = [𝐿]2
siendo que la unidad de longitud elevada al cuadrado funciona como unidad de área. Lo
mismo sucederá con el volumen, donde
[𝑉] = [𝐿]3
Observemos ahora que en el cuadro nº2 la unidad de fuerza del SI es el newton (N). En
términos de unidades básicas, el newton puede escribirse como kg·m/s2. La
correspondiente ecuación de unidades es
[𝐹] =
[𝑚] [𝐿]
[𝑡]2
Esta ecuación de unidades no solo funciona para el SI, sino que es válida para otros
sistemas. De este modo, la validez de cualquier ecuación (validez en términos de
unidades) podrá verificarse planteando la correspondiente ecuación de unidades.
Finalmente, esta herramienta también permite identificar la unidad de medida de algún
parámetro o constante que figure en una ecuación. Así, por ejemplo, si dos magnitudes
A y B están relacionadas a través de una constante k mediante la siguiente ecuación,
𝐴 = 𝑘𝐵
la unidad de esta constante se obtendrá haciendo
[𝑘] =
[𝐴]
.
[𝐵]
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Magnitudes vectoriales y escalares
Existen determinadas magnitudes que quedan perfectamente definidas a través de un
número y su correspondiente unidad de medida. A este tipo de magnitudes se las llama
escalares. La masa de un cuerpo, la temperatura o la densidad, son ejemplos de
magnitudes escalares.
Por otra parte, hay magnitudes que necesitan de alguna información extra para quedar
totalmente definidas. Por ejemplo, si dos automóviles viajan con una rapidez de 30 km/h,
uno de ellos hacia el norte y otro hacia el este, sería incorrecto decir que la velocidad de
ambos es la misma, ya que la dirección en la que se mueven es diferente. La información
extra que se necesita para este tipo de magnitudes es una dirección y un sentido. A este
tipo de magnitudes, que poseen dirección y sentido, se las llama magnitudes vectoriales.
El desplazamiento, la velocidad, la fuerza, son ejemplos de magnitudes vectoriales.
Características de un vector
Toda magnitud vectorial se representa a través de un vector. Un vector es un segmento
orientado que tiene tres características básicas: módulo, dirección y sentido. El módulo
es el valor numérico (con la correspondiente unidad de medida) de la magnitud que
representa el vector. Por ejemplo, si un automóvil se mueve a 30 km/h hacia el norte, el
módulo de la velocidad es 30 km/h. Cuando se grafica el vector, su longitud debe ser
proporcional a su módulo. La dirección corresponde a la orientación del vector en el
espacio. La recta que indica la dirección se llama recta de acción. El sentido es uno de
los dos posibles sobre la recta de acción. En el ejemplo anterior, la dirección de la
velocidad es norte-sur y el sentido es hacia el norte.
Para indicar que una magnitud es vectorial, se dibuja una pequeña flecha sobre la letra
que la identifica (por ejemplo, 𝐹⃗ para la fuerza, o 𝑣⃗ para la velocidad). En el siguiente
esquema se muestra un vector genérico y sus tres características básicas.
Los vectores pueden sumarse o restarse (si representan una misma magnitud física) y
ser multiplicados por un escalar, etc. Asimismo, las operaciones de suma de vectores
pueden ser trabajadas en forma gráfica o analítica. Por otra parte, así como dos vectores
pueden sumarse para dar un tercero (el vector suma de ambos), un vector puede ser
pensado como la suma de otros dos vectores, los cuales reciben el nombre de
componentes de un vector. Si bien estos temas serán desarrollados en el Cap. 3, será
útil tener un primer acercamiento a estas ideas.
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Supongamos que sobre un cuerpo actúan simultáneamente dos fuerzas, 𝐹⃗1 y 𝐹⃗2 , como
se muestra en la siguiente figura (izquierda). Estas dos fuerzas sumadas dan como
resultado una fuerza a la que llamaremos resultante (fuerza 𝑅⃗⃗ en la imagen de la
derecha). Conceptualmente, podemos pensar en esta fuerza resultante como la fuerza
que produce un efecto equivalente al que generan las fuerzas 𝐹⃗1 y 𝐹⃗2 actuando
simultáneamente.
Análogamente, cuando actúa una única fuerza sobre un cuerpo, esta puede ser pensada
como la suma de otras dos fuerzas. La siguiente imagen muestra una fuerza 𝐹⃗ aplicada
sobre un cuerpo. Si bien se pueden encontrar infinitos pares de fuerzas cuya suma de
como resultado la fuerza 𝐹⃗ , generalmente es útil trabajar con los vectores que se obtienen
como sus proyecciones sobre los ejes coordenados. La imagen de la derecha muestra
las proyecciones sobre los ejes 𝑥 e 𝑦. Estas proyecciones se conocen como
componentes del vector 𝐹⃗ . Como veremos más adelante, escribir un vector en términos
de sus componentes es muy útil para analizar todo tipo de problemas.
Veamos un último ejemplo. Supongamos que un futbolista ejecuta un tiro libre. La
siguiente imagen muestra la velocidad inicial de la pelota, representada por el vector 𝑣⃗.
Como se ve en la imagen, la velocidad inicial de la pelota forma un ángulo 𝛼 con respecto
a la horizontal (figura a).
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Si se establece un sistema de coordenadas con un eje 𝑥 horizontal y un eje 𝑦 vertical,
podremos proyectar el vector 𝑣⃗ sobre estos ejes (figura b), obteniendo así las
componentes de la velocidad. En este caso particular, conocer las componentes de la
velocidad nos permitiría trabajar el problema del movimiento de la pelota en cada eje por
separado, lo cual simplificaría su resolución. Por ahora no vamos a dar las fórmulas para
calcular las componentes de un vector, pero podemos observar algunas relaciones
importantes.
Imaginemos que el futbolista patea la pelota modificando el ángulo inicial del disparo. Si
el ángulo es cercano a 90°, la componente vertical de la velocidad, 𝑣𝑦 , (figura c) tendrá
un valor próximo al módulo del vector velocidad, mientras que la componente horizontal
será relativamente pequeña. En el caso límite en el que la pelota se patee verticalmente
hacia arriba (𝛼 = 90°), la componente vertical de la velocidad sería coincidente con el
vector velocidad y la componente horizontal sería nula.
Análogamente, si el pateador ejecutara un disparo con un ángulo pequeño con respecto
a la horizontal (figura d), el valor de la componente horizontal de la velocidad sería
próxima al módulo de la velocidad, mientras que la componente vertical se aproximaría a
cero. En el caso de un disparo horizontal, la componente vertical de la velocidad sería
nula.
En este ejemplo, según el sistema de coordenadas elegido, las componentes de la
velocidad se consideran positivas, dado que apuntan (en cada caso) en el sentido positivo
del eje correspondiente. Es decir, la componente horizontal de un vector será considerada
positiva si apunta en el sentido positivo elegido para el eje horizontal y será negativa si
apunta en sentido opuesto al elegido como positivo. De manera análoga, las
componentes verticales de los vectores serán consideradas como positivas cuando estén
dirigidas en el sentido positivo elegido para eje vertical.
Es necesario aclarar que los vectores de por sí no llevan signo, es decir no son positivos
ni negativos. Muchas veces podremos hablar de velocidades negativas, o bien, de
considerar a una fuerza como positiva o como negativa según lo requiera el problema,
pero en estos casos hay que tener en cuenta que nos referimos a las componentes de
los vectores y no a los vectores en sí.
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Ejercicios propuestos para el Capítulo 1
(Nota: Los siguientes ejercicios no son obligatorios, sino que se proponen como una
herramienta de repaso para quienes necesiten revisar estos temas. En las evaluaciones
del Seminario no habrá ejercicios como los que se proponen para este primer Capítulo.)
Notación científica
Exprese los siguientes números con notación científica:
a) 100.000
b) 154.000.000
c) 602.000.000.000.000.000.000.000
d) 0,00079
e) 0,0130
f)
0,000000081
Pasajes de unidades
Convierta a las unidades pedidas (*):
a) 20 m a cm, mm, dam y km
i)
20 m2 a hm2, km2
b) 3,56 dm a km, cm, mm y m
j)
3,70 cm3 a m3, dm3, mm3
c) 11 μs a s, ms y ns
k) 720 hm2 a m2
d) 45 l a hl, dal y ml
l)
e) 0,9 N a kN y dN
m) 315 GW a W
f)
1,7 g a kg, mg, μg y dg
215 g a kg
n) 410 nm a cm y a m
g) 780 nm a m, mm, cm y μm
o) 72 km/h a m/s
h) 150 kW a W y MW
p) 340 m/s a km/h
Ecuaciones con unidades
1. Según la ley de gravitación universal de Newton, el módulo de la fuerza de atracción
gravitatoria entre dos cuerpos de masas 𝑚 y 𝑀, separados una distancia 𝑟, viene dada
por la ecuación
|𝐹⃗ | = 𝐺
𝑚𝑀
𝑟2
donde 𝐺 es la constante de gravitación universal. ¿Cuáles son las unidades del SI de la
constante 𝐺?
2. Si 𝑥 se refiere a la posición, 𝑣0 y 𝑣 representan velocidades, 𝑎 es aceleración y 𝑡 es
tiempo, ¿cuál(es) de las siguientes ecuaciones es (son) dimensionalmente correcta(s)?
(a) 𝑥 = 𝑣0 𝑡 − 𝑎 𝑡 3
(b) 𝑣 2 = 𝑣0 + 2 𝑎 𝑡
(c) 𝑥 = 𝑎 𝑡 + 𝑣 𝑡 2
(d) 𝑣 2 = 𝑣02 + 2 𝑎 𝑥
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Capítulo 2:
Cinemática del punto material
La Cinemática es la rama de la Mecánica que se ocupa del estudio de los movimientos
sin considerar las causas que los producen. En principio, un cuerpo puede moverse de
muy diversas formas. Puede trasladarse de un punto a otro por diferentes caminos, puede
efectuar una rotación alrededor de un eje o moverse en forma de vaivén alrededor de una
posición de equilibrio. Incluso un cuerpo podría realizar todos estos movimientos en forma
simultánea, pero su descripción matemática seguramente sería muy complicada. En este
curso solo vamos a trabajar con el movimiento de traslación. En nuestra descripción,
comenzaremos por estudiar situaciones simples. Por ello, vamos a iniciar con el
movimiento en línea recta del punto material.
¿A qué llamamos punto material?
En general, la Mecánica se ocupa del estudio del movimiento de cuerpos de un
determinado tamaño finito (cajas, libros, personas, vehículos, etc.). Sin embargo,
especificar cómo es el movimiento de cada uno de los puntos que forman un cuerpo sería
una tarea casi imposible. No obstante, si el cuerpo en movimiento es muy pequeño
comparado con las distancias involucradas (o bien, si sus dimensiones son similares a
los errores que pueden ser considerados como aceptables para las distancias medidas),
entonces podremos describir su movimiento como el de un punto perteneciente al cuerpo.
Es decir, un cuerpo será considerado como cuerpo puntual o como un punto material si
sus dimensiones son suficientemente pequeñas como para tenerlas en cuenta en el
problema. Generalmente, el punto del cuerpo que se elige para describir su movimiento
es su centro de masas.
Sistema de referencia
El movimiento de traslación implica que un cuerpo se desplace de un punto a otro. Sin
embargo, este movimiento es siempre relativo a la persona que lo observa. Si, por
ejemplo, en un vagón de tren hay un niño durmiendo, otra persona sentada a su lado diría
que el niño está quieto. Sin embargo, para alguien que se encuentre esperando para
cruzar la barrera, el niño se mueve con la misma velocidad del vagón. Este ejemplo nos
muestra que la descripción del movimiento es relativa a quién lo observa. Por esta razón,
para estudiar el movimiento de un cuerpo, o de un conjunto de cuerpos, es fundamental
establecer un sistema de referencia.
Establecer un sistema de referencia consiste en elegir un punto conocido y fijar en él un
sistema de coordenadas. En el caso de movimientos en línea recta, el sistema de
coordenadas más simple posible se reduce a un único eje (generalmente será un eje 𝑥 si
el movimiento es horizontal y un eje 𝑦 si el movimiento es vertical), cuyo origen se ubica
en un punto conocido. Una vez que se ha establecido el sistema de referencia, el
movimiento puede ser descrito sin ambigüedades.
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Definiciones preliminares: posición, desplazamiento y distancia recorrida
Para estudiar el movimiento de cualquier punto necesitamos fijar claramente su posición,
esto es, su ubicación en el espacio. En general, la posición de un cuerpo queda indicada
con un vector: el vector posición, 𝑟⃗. Si el cuerpo en cuestión se mueve, lógicamente el
vector que indica su posición cambiará con el tiempo.
La imagen siguiente muestra un cuerpo puntual que se mueve desde el punto 𝑃 hasta el
punto 𝑄 siguiendo la línea curva mostrada. Esta curva, es decir, la línea imaginaria que
une todas las posiciones sucesivas por las que pasó el cuerpo en movimiento, se conoce
como trayectoria.
Como vemos, el cuerpo se movió siguiendo una trayectoria curva. Definimos la distancia
recorrida como la longitud de su trayectoria entre los puntos considerados. En este caso,
la distancia recorrida es igual a la longitud de la curva entre los puntos 𝑃 y 𝑄.
En la imagen se observa que las posiciones de los puntos 𝑃 y 𝑄 se establecen mediante
los vectores posición 𝑟⃗𝑃 y 𝑟⃗𝑄 . Para indicar cuál fue el cambio de posición del cuerpo, se
define el desplazamiento, que no es otra cosa que el vector que une la posición inicial
(en este caso, la del punto 𝑃) con la posición final (punto 𝑄). El vector desplazamiento
está indicado como ∆𝑟⃗. La letra griega “delta” (Δ) se utiliza en física para representar la
variación de una magnitud. En este caso, utilizamos ∆𝑟⃗ para indicar la variación en el
vector que indica la posición. Si el movimiento se diera solo a lo largo del eje 𝑥, podríamos
indicar la componente del desplazamiento como ∆𝑥. Del mismo modo, ∆𝑡 indica la
variación en el tiempo, ∆𝑣⃗ indica la variación de la velocidad, etc.
Las trayectorias seguidas por un cuerpo en movimiento pueden ser rectas o curvas, y en
este último caso, las curvas pueden ser regulares o irregulares. Cuando la trayectoria es
recta, decimos que el movimiento es rectilíneo. En general, los movimientos que siguen
trayectorias curvas se denominan curvilíneos, siendo el movimiento circular un caso
particular de movimiento curvilíneo. En este Seminario, sólo desarrollaremos la teoría de
los movimientos rectilíneos.
Finalmente, si bien la posición de un cuerpo, su desplazamiento, la velocidad y la
aceleración son magnitudes vectoriales, los ejercicios y problemas que desarrollaremos
en este cuadernillo serán trabajados matemáticamente en forma escalar, pero siempre
recordando, desde un punto de vista conceptual, que estamos trabajando con vectores.
16
Movimiento rectilíneo
Supongamos que queremos estudiar el movimiento de una persona que camina en línea
recta. La siguiente imagen muestra a la persona desplazándose desde una posición inicial
hasta una posición final, en un determinado tiempo. Para estudiar el movimiento debemos
establecer el sistema de referencia. Primero, fijamos un eje de coordenadas de modo que
coincida con la dirección del movimiento de la persona; a este eje lo vamos a llamar
eje 𝑥. En el esquema se ve que el eje tiene sentido positivo hacia la derecha, pero se
debe aclarar que la elección queda a criterio de quien esté estudiando el problema en
cuestión. El eje también posee un origen de coordenadas. En este caso, el origen (𝒪)
coincide con la posición del farol.
𝒪
𝑥0 = 2 m
𝑥 =8m
(+) 𝑥
Con el sistema de referencia ya establecido podemos indicar las posiciones inicial y final
de la persona:
•
Posición inicial:
𝑥0 = 2 m
•
Posición final:
𝑥 =8m
donde el subíndice 0 (cero) hace referencia a las coordenadas iniciales.
El desplazamiento viene dado por la diferencia (la resta) entre la posición final y la
posición inicial, se indica como ∆𝑥 y queda definido del siguiente modo:
•
Desplazamiento:
∆𝑥 = 𝑥 − 𝑥0 = 6 m
Dado que la persona demoró un cierto tiempo en desplazarse desde su posición inicial
hasta la posición final, podemos definir al intervalo de tiempo transcurrido como
∆𝑡 = 𝑡 − 𝑡0
donde 𝑡0 es el instante inicial (o sea, el momento en el que comienza a estudiarse el
movimiento) y 𝑡 es el instante final (el momento en el que alcanza la posición final).
Si, por ejemplo, consideramos que el instante inicial es 𝑡0 = 0 s, el cual podría coincidir
con el inicio de la cuenta de un cronómetro, y que el instante al llegar a la posición final
es 4 s, tendremos:
•
Intervalo de tiempo transcurrido:
∆𝑡 = 4 s − 0 s = 4 s.
Vemos entonces que la persona se desplazó 6 m en 4 s.
17
El signo del desplazamiento. De la definición recién dada para el desplazamiento, vemos que
este puede ser positivo, negativo o nulo. En el ejemplo recién ilustrado, el desplazamiento es
positivo, ya que la persona camina “en el sentido positivo” del sistema de referencia elegido. Si el
movimiento fuese en el sentido opuesto al del sistema de referencia, el desplazamiento sería
negativo. En el caso de un cuerpo que retorne al punto de partida, al ser iguales las posiciones
inicial y final, el desplazamiento neto será nulo.
No obstante, hay que tener presente que el desplazamiento es una magnitud vectorial. Al hablar
del signo del desplazamiento estamos hablando del signo de la componente del desplazamiento
en el eje 𝑥, no del vector desplazamiento en sí, ya que los vectores no poseen signo.
Velocidad media
El estudio de cualquier movimiento requiere de conocer cómo varía la posición de un
cuerpo con el paso del tiempo. La magnitud física que representa el cambio de posición
como función del tiempo es precisamente la velocidad. Ya que el cambio en la posición
de un cuerpo se representa mediante un vector, la velocidad es una magnitud vectorial,
es decir, posee módulo, dirección y sentido. En general, la velocidad de un cuerpo puede
cambiar con el tiempo (ya sea en módulo o en dirección), y en muchos casos su variación
puede ser matemáticamente muy complicada. No obstante, si se conocen las posiciones
inicial y final, se puede definir una magnitud muy importante: la velocidad media.
Cuando un cuerpo se desplaza desde un punto a otro en un cierto intervalo de tiempo,
podemos determinar la velocidad media como el cociente entre el desplazamiento y el
tiempo que demora en efectuarlo. Definimos entonces a la velocidad media de un cuerpo
como el desplazamiento dividido el intervalo de tiempo empleado:
𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 =
𝑑𝑒𝑠𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜
𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜
o, en símbolos,
𝑣⃗𝑚 =
∆𝑟⃗
∆𝑡
(Velocidad media)
Dado que sólo estudiaremos movimientos rectilíneos, podemos hablar de la componente
de la velocidad media en el eje 𝑥 como el desplazamiento en dicho eje dividido el tiempo:
𝑣𝑥 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 =
∆𝑥
∆𝑡
(Velocidad media)
Con esta definición, la velocidad media de la persona del ejemplo ilustrado más arriba es:
𝑣𝑥 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 =
6m
m
= 1,5 .
4s
s
Unidades de velocidad
La unidad de medida de la velocidad puede obtenerse como un cociente entre la unidad
de longitud y la unidad de tiempo. En principio, cualquier cociente entre unidades de
18
longitud y de tiempo puede funcionar como unidad de velocidad, pero algunas
combinaciones son más útiles que otras.
Las unidades más comunes son el kilómetro por hora (km/h) y el metro por segundo (m/s).
La equivalencia entre estas unidades es la siguiente:
1
m
km
= 3,6
s
h
Según esta equivalencia, un vehículo que se mueva con una velocidad de 36 km/h tendrá
una velocidad de 10 m/s.
El signo de la velocidad. Primero que nada, recordemos que al hablar del signo de la velocidad
debemos tener siempre presente que le adjudicamos el signo a sus componentes y no al vector
velocidad en sí. La componente de velocidad podrá ser positiva o negativa dependiendo de hacia
dónde se mueva el cuerpo. De la definición de velocidad media vemos que, si el desplazamiento
es positivo, la velocidad será positiva y viceversa. Entonces, la velocidad será considerada como
positiva si el sentido del movimiento coincide con el sentido positivo del sistema de referencia,
mientras que será negativa si el movimiento es opuesto al sentido positivo del sistema de
referencia.
Rapidez media
Como hemos visto, existen movimientos en los que el desplazamiento no coincide con la
distancia recorrida, tales como los movimientos en trayectorias curvas o los movimientos
en línea recta en los que hay retrocesos. En estos casos, además de conocer la velocidad
media, generalmente es útil saber cuál fue la rapidez con la que se desarrolló el
movimiento. Para ello, definimos la rapidez media como el cociente entre la distancia
recorrida y tiempo demorado en recorrerla:
𝑟𝑎𝑝𝑖𝑑𝑒𝑧 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 =
𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑑𝑎
𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜
Dado que no hay un símbolo generalmente aceptado para la rapidez, en este texto
utilizaremos la letra 𝑢, de modo que la relación matemática anterior puede expresarse en
símbolos del siguiente modo:
𝑢𝑚𝑒𝑑 =
𝑑
∆𝑡
(rapidez media)
Cuando el movimiento de un cuerpo se da en línea recta y sin volver sobre el camino
andado, la distancia recorrida en un cierto tiempo será igual al módulo del desplazamiento
en ese tiempo, y como consecuencia, la rapidez media será igual al módulo de la
velocidad media para ese intervalo de tiempo.
Por otra parte, dado que la distancia recorrida es, por definición, un valor positivo, la
rapidez media será también positiva. Por el contrario, como ya explicamos, el
desplazamiento puede ser positivo o negativo, dependiendo del sistema de referencia
elegido. Podemos agregar que, si un cuerpo en movimiento retorna al punto de partida,
la velocidad media será nula, mientras que la rapidez media tendrá un valor no nulo.
19
Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU)
En general, los cuerpos en movimiento varían su velocidad permanentemente, pero
existen muchas situaciones en las que la velocidad puede considerarse constante. Si un
cuerpo se desplaza en línea recta manteniendo constante su velocidad, decimos que
desarrolla un movimiento rectilíneo uniforme (MRU). El movimiento se llama rectilíneo
debido a que se desarrolla en una trayectoria rectilínea, y es uniforme porque la posición
cambia uniformemente con el tiempo, lo que significa que, en iguales intervalos de tiempo,
los desplazamientos son iguales. Podemos agregar que, para un cuerpo que se mueve
con MRU, su velocidad en todo momento es igual a la velocidad media, esto es
𝑣𝑚 = 𝑣
(𝑠𝑜𝑙𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑙 𝑀𝑅𝑈)
Ecuaciones para el MRU
Como ya mencionamos, la cinemática se ocupa de describir el movimiento, y una forma
de hacerlo es establecer una ecuación de posición en función del tiempo. Para obtener
esta ecuación partimos de la definición de velocidad media
𝑣=
∆𝑥
∆𝑡
Reordenando esta ecuación podemos escribir
∆𝑥 = 𝑣 ∙ ∆𝑡
Y recordando que ∆𝑥 = 𝑥 − 𝑥0 y que ∆𝑡 = 𝑡 − 𝑡0 , planteamos
𝑥 − 𝑥0 = 𝑣 ∙ (𝑡 − 𝑡0 )
Finalmente, si despejamos 𝑥 obtenemos
𝑥 = 𝑥0 + 𝑣 ∙ (𝑡 − 𝑡0 )
(Ecuación horaria para
para el MRU)
Esta es la ecuación de la posición para un MRU, generalmente llamada ecuación horaria
del MRU. En esta ecuación encontramos tres valores fijos (constantes) y dos variables.
Los valores constantes son 𝑡0 , 𝑥0 y 𝑣, dado que quedan establecidos al comienzo del
movimiento. Las variables son 𝑥 y 𝑡. En la ecuación horaria no se considera a 𝑡 como el
instante “final”, o a 𝑥 como la posición “final”; en lugar de ello, 𝑥 y 𝑡 representan las
variables posición y tiempo. La ecuación horaria puede entenderse como una función que
relaciona una variable dependiente (en este caso, 𝑥) con una variable independiente (en
este caso, 𝑡). Dicho en otras palabras, la posición depende del tiempo.
En muchos casos puede pasar que el instante inicial sea nulo, o bien, que no sea
necesario considerarlo. Haciendo 𝑡0 = 0, la ecuación horaria toma la forma.
𝑥 = 𝑥0 + 𝑣 ∙ 𝑡
20
(Ecuación horaria para 𝑡0 = 0)
Gráficos del MRU
En física trabajamos con representaciones gráficas con mucha frecuencia. Los gráficos
son muy útiles porque se puede extraer mucha información de ellos. En cinemática, los
gráficos más utilizados son los de posición en función del tiempo y los de velocidad en
función del tiempo.
Gráfico de velocidad en función del tiempo
Hemos dicho que para en MRU la velocidad es constante en todo momento. Teniendo
esto presente, su representación gráfica es la de una función constante. La gráfica
siguiente muestra un ejemplo. Como se observa, la velocidad será la misma para
cualquier instante de tiempo.
Además de conocer la velocidad, podemos obtener más información de un gráfico de
𝑣 = 𝑓(𝑡). Para ello, observemos el siguiente gráfico.
Vamos a calcular ahora el área que queda determinada entre la función y el eje de los
tiempos, para el intervalo que va desde t1 hasta t 2 (área sombreada). El área es la de un
rectángulo cuya base es ∆𝑡 y su altura es 𝑣, con lo cual podemos plantear
Á𝑟𝑒𝑎 = 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 ∙ 𝑏𝑎𝑠𝑒 = 𝑣 ∙ ∆𝑡
O sea que el área sombreada es igual al producto entre la velocidad y el intervalo de
tiempo. Al trabajar con las ecuaciones del MRU vimos que el desplazamiento puede
escribirse como ∆𝑥 = 𝑣 ∙ ∆𝑡, que coincide con lo que acabamos de plantear. Esta
importante conclusión no solo es válida para el MRU, sino que se puede generalizar para
cualquier tipo de movimiento:
La medida del área que queda encerrada entre la gráfica de 𝑣 = 𝑓(𝑡) y el eje de los
tiempos, para un intervalo de tiempo definido, es numéricamente igual al
desplazamiento en dicho intervalo.
21
Gráficos de posición en función del tiempo
Pasemos ahora a los gráficos de posición en función del tiempo. Para realizar un gráfico
de este tipo, volvamos a la ecuación horaria del MRU:
𝑥 = 𝑥0 + 𝑣 ∙ 𝑡
Esta ecuación es la de una función lineal, lo que implica que la representación gráfica es
una recta. Las siguientes figuras muestran dos gráficas de posición en función del tiempo,
una con velocidad positiva (gráfica de la izquierda) y una con velocidad negativa (gráfica
de la derecha). En ambos casos el movimiento comienza desde el origen, dado que, a
tiempo 𝑡0 = 0, la posición es 𝑥0 = 0. Es importante notar que esta gráfica no representa
la trayectoria, sino que indica la forma en la que 𝑥 cambia con el paso del tiempo.
Vamos a determinar la pendiente de una gráfica de 𝑥 = 𝑓(𝑡). En el siguiente gráfico se
distinguen dos instantes de tiempo, 𝑡0 = 0 y 𝑡. Las correspondientes posiciones para
dichos instantes son 𝑥0 y 𝑥. Para calcular la pendiente vamos a efectuar el cociente (la
división) entre la variación en ordenadas (eje de la posición) y la variación en abscisas
(eje de los tiempos) entre estos dos puntos.
La variación en abscisas viene dada por el intervalo ∆𝑡 = 𝑡 − 𝑡0 . La correspondiente
variación en ordenadas será ∆𝑥 = 𝑥 − 𝑥0 . Al realizar el cociente obtenemos la pendiente:
𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 =
∆𝑥
∆𝑡
¡Pero este cociente es la velocidad del MRU! Esto quiere decir que,
la pendiente de una gráfica de posición en función del tiempo es numéricamente
equivalente a la velocidad (con las unidades utilizadas en la gráfica).
Podemos notar que esto también es válido si tuviéramos un movimiento en sentido
opuesto al del sistema de referencia; en tal caso, tanto ∆𝑥 como la velocidad tendrían
signo negativo. (Los ejercicios resueltos 1, 2 y 3 son ejercicios de MRU, los ejercicios 4
en adelante son de MRUV).
22
Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado (MRUV)
Hasta ahora se ha analizado el movimiento sin cambios de velocidad. Sin embargo, como
ya hemos dicho, la velocidad de un móvil generalmente cambia con el tiempo. La forma
más simple de movimiento con cambios de velocidad es el movimiento rectilíneo
uniformemente variado (MRUV). En este tipo de movimientos, la velocidad cambia
uniformemente con el tiempo. Dicho de otro modo, en iguales intervalos de tiempo se
producen iguales cambios de velocidad.
Dado que la velocidad ya no es constante, deberíamos definir alguna magnitud que nos
diga cómo cambia la velocidad a medida que transcurre el tiempo. Esta magnitud se llama
aceleración, se denota con la letra 𝑎 y se define matemáticamente del siguiente modo:
𝑎𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 =
𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑
𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜
La aceleración es una magnitud vectorial, lo que implica que tiene módulo, dirección y
sentido. Sin embargo, ya que estamos analizando un movimiento rectilíneo, no será
necesario utilizar los símbolos de vectores en las ecuaciones siguientes, sino que será
suficiente recordar el carácter vectorial de la aceleración y tener presente que estamos
trabajando con la componente del vector aceleración en la dirección del movimiento.
Dicho esto, podemos definir matemáticamente la aceleración del siguiente modo,
𝑎=
∆𝑣
∆𝑡
(Aceleración en el MRUV)
o bien,
𝑎=
𝑣 − 𝑣0
𝑡 − 𝑡0
Esta es, en realidad, la definición de aceleración media. En general la aceleración puede
cambiar con el tiempo, tanto en módulo como en dirección. No obstante, en el MRUV la
aceleración es constante. En este Seminario no se trabajará con movimientos de
aceleración variable. Se podrán encontrar situaciones en los que el movimiento se
desarrolle en etapas, cada una de ellas con una aceleración diferente, pero en todos los
casos podremos utilizar la definición anterior.
Unidades de medida.
A partir de la definición de aceleración, podemos ver que su unidad de medida debe ser
un cociente entre la unidad de velocidad y la unidad de tiempo:
[𝑎] =
[𝑣]
[𝑡]
En unidades del SI, la aceleración se mide en m/s2. Podemos interpretar esta unidad del
siguiente modo: si la aceleración de un móvil es 1 m/s2, su velocidad cambia a razón de
1 m/s en cada segundo.
23
El signo de la aceleración. De modo similar a lo que ocurre con la velocidad, la componente de
la aceleración en la dirección del movimiento puede ser tanto positiva como negativa, dependiendo
del sentido del sistema de referencia elegido. Se considera a la aceleración como positiva si está
dirigida hacia el sentido positivo del sistema de referencia elegido y viceversa.
Relación entre velocidad y aceleración
Para saber si el módulo de la velocidad crece o disminuye, no es suficiente con observar
el signo (o bien, el sentido) de la aceleración, sino que debemos también considerar el
signo (sentido) de la velocidad. Un simple análisis del problema permite establecer la
siguiente regla general:
Si la aceleración y la velocidad tienen el mismo signo (misma dirección y sentido)
entonces el módulo de la velocidad crece. Si la aceleración y la velocidad tienen signos
contrarios (misma dirección, pero sentidos opuestos) entonces el módulo de la
velocidad disminuye.
Ecuación de velocidad
Vamos ahora a obtener una ecuación que indica cómo cambia la velocidad con el paso
del tiempo para un móvil que describe un MRUV. Partimos de la fórmula de aceleración
𝑎=
𝑣 − 𝑣0
.
𝑡 − 𝑡0
Reordenando los factores obtenemos
𝑎 ∙ (𝑡 − 𝑡0 ) = 𝑣 − 𝑣0 ,
y despejando la velocidad, se obtiene
𝑣 = 𝑣0 + 𝑎 ∙ (𝑡 − 𝑡0 )
(Ecuación de velocidad
para el MRUV)
Esta es la ecuación horaria de la velocidad para el MRUV y permite conocer la velocidad
de un móvil en cualquier instante. A esta velocidad se la llama velocidad instantánea. En
aquellos problemas en los que 𝑡0 = 0, la ecuación queda escrita de la siguiente manera:
𝑣 = 𝑣0 + 𝑎 ∙ 𝑡
(Ecuación de velocidad
para 𝑡0 = 0)
Gráficos de velocidad en función del tiempo para el MRUV
En el MRU vimos que la velocidad era constante, con lo cual la representamos
gráficamente con una recta de pendiente nula. En el caso del MRUV, dado que la
velocidad cambia uniformemente con el tiempo, la representación gráfica vendrá dada
por una recta. Esta recta puede ser de pendiente positiva o negativa, dependiendo del
signo de la aceleración.
24
Para graficar la velocidad como función del tiempo hay que tener en cuenta que la
velocidad inicial (𝑣0 ) coincide con la ordenada al origen de la recta, mientras que la
pendiente equivale a la aceleración. Las imágenes siguientes muestran dos gráficas de
velocidad en función del tiempo para un móvil que describe un MRUV. En la gráfica de la
izquierda la aceleración es positiva mientras que en la gráfica de la derecha la aceleración
es negativa; luego, en ambas gráficas la velocidad inicial es positiva.
Podríamos encontrarnos con gráficas similares, pero de movimientos que comiencen con
velocidad negativa. Las siguientes dos gráficas muestran el caso de movimientos con
aceleración positiva (izquierda) y negativa (derecha), ambas con velocidad inicial
negativa. Debe tenerse presente que, a pesar de ser negativa la aceleración, el módulo
de la velocidad puede crecer, como ocurre en la gráfica de la derecha. Asimismo, la
aceleración puede ser positiva y disminuir el módulo de la velocidad, como en la gráfica
de la izquierda. Esto implica que un movimiento con aceleración negativa no
necesariamente es desacelerado, mientras que un movimiento con aceleración positiva
no siempre representa un movimiento en el que el módulo de la velocidad crece.
Para obtener la aceleración, conocidas las coordenadas de dos puntos cualesquiera de
la recta, se puede efectuar el cociente entre el cambio de velocidad (∆𝑣) entre esos puntos
y el intervalo de tiempo transcurrido (∆𝑡). Este cociente nos dará la pendiente de la gráfica:
𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 =
25
∆𝑣
∆𝑡
.
Como vemos, este cociente coincide con la definición dada para la aceleración.
Ecuación de desplazamiento para MRUV
Al trabajar con MRU vimos que el área encerrada debajo de la gráfica de la función de
velocidad es numéricamente igual al desplazamiento. Vamos a aplicar este método para
el MRUV en base al gráfico siguiente. Para determinar el desplazamiento desde 𝑡0 = 0
hasta 𝑡, se puede calcular el área debajo de la gráfica (área sombreada). Para hacer el
cálculo vamos a dividir la figura en un triángulo y un rectángulo. El área total será la suma
de las áreas de estas dos figuras.
El área del rectángulo se calcula como la base por la altura:
𝐴𝑟𝑒𝑐𝑡á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 = 𝑏𝑎𝑠𝑒 ∙ 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 = ∆𝑡 ∙ 𝑣0
El área de un triángulo se determina como el producto de la base y la altura dividido 2:
𝐴𝑡𝑟𝑖á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 = ½ ∙ 𝑏𝑎𝑠𝑒 ∙ 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 = ½ ∙ ∆𝑡 ∙ (𝑣 − 𝑣0 )
De la definición de aceleración vimos que 𝑣 − 𝑣0 = 𝑎 ∙ ∆𝑡. Reemplazando en la última
expresión y sumando las áreas, podemos escribir el área total como
𝐴𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑣0 ∙ ∆𝑡 + ½ ∙ ∆𝑡 ∙ (𝑎 ∙ ∆𝑡),
y ya que el área total coincide con el desplazamiento, obtenemos finalmente la ecuación
∆𝑥 = 𝑣0 ∙ ∆𝑡 + ½ ∙ 𝑎 ∙ (∆𝑡)2
26
(Ecuación del desplazamiento para el MRUV)
Recordando que el desplazamiento es la diferencia entre la coordenada de posición 𝑥 y
la posición inicial, 𝑥0 , la ecuación anterior también se puede escribir como
𝑥 = 𝑥0 + 𝑣0 ∙ ∆𝑡 + ½ ∙ 𝑎 ∙ (∆𝑡)2
(Ecuación de la posición
para el MRUV)
que es la ecuación horaria de la posición para el MRUV.
Fórmulas alternativas para el MRUV
Las ecuaciones vistas hasta aquí permiten analizar cualquier problema de MRUV siempre
que se conozcan los datos suficientes, pero en muchos casos su aplicación puede ser
algo complicada. Para simplificar la resolución de problemas, muchas veces se recurre a
fórmulas que se derivan de las ecuaciones del movimiento. Debe tenerse presente que
las ecuaciones que se desarrollan a continuación solo son válidas para movimientos con
aceleración constante.
Velocidad media en el MRUV
Al trabajar con MRU definimos la velocidad media mediante la relación
𝑣𝑚 =
∆𝑥
∆𝑡
Esta definición sigue siendo válida para el MRUV, pero nunca debe olvidarse que la
velocidad media no equivale a la velocidad instantánea.
Dado que en el MRUV la velocidad cambia uniformemente con el tiempo, podemos
escribir la velocidad media como un promedio entre la velocidad inicial y la velocidad final:
𝑣𝑚 =
𝑣0 + 𝑣
2
Así, el desplazamiento puede calcularse mediante la relación
∆𝑥 = (
𝑣0 + 𝑣
) ∙ ∆𝑡
2
(solo para el MRUV)
Esta ecuación puede usarse cuando no se conozca la aceleración del movimiento
Fórmula independiente del tiempo
Otra expresión útil es aquella que relaciona todas las variables del MRUV, con excepción
del tiempo. Para obtener esta expresión, primero despejamos el tiempo de la ecuación
de la velocidad
∆𝑡 =
𝑣 − 𝑣0
.
𝑎
Hemos visto recién que podemos escribir el desplazamiento en la forma
∆𝑥 =
𝑣0 + 𝑣
∙ ∆𝑡
2
27
𝑣−𝑣0
)
𝑎
Si en esta última expresión sustituimos el tiempo ∆𝑡 por (
∆𝑥 =
obtenemos
(𝑣0 + 𝑣) (𝑣 − 𝑣0 )
∙
2
𝑎
Luego, aplicando la propiedad distributiva y operando, tenemos
∆𝑥 =
𝑣 2 − 𝑣0 2
2∙𝑎
(Ecuación independiente del
tiempo o fórmula recurrente)
Si bien en esta ecuación se pierde información sobre el sentido de las velocidades (ya
que están elevadas al cuadrado), es muy útil en problemas en los que no se tiene
información sobre el tiempo transcurrido.
Movimientos verticales: caída libre y tiro vertical
Hasta ahora hemos analizado movimientos rectilíneos en forma general. En este apartado
vamos a plantear una discusión sobre movimiento verticales. Veremos que estos
movimientos constituyen casos particulares de movimientos con aceleración constante,
siendo esta aceleración constante, la aceleración de la gravedad.
Si soltamos dos cuerpos de pesos y formas distintas desde una misma altura, ambos
desde el reposo, veremos que llegan al suelo al mismo tiempo1. Esto se debe a que los
dos cuerpos se mueven con la misma aceleración constante: la aceleración de la
gravedad (𝑔⃗). Podemos afirmar que la aceleración de ambos es la misma ya que, además
de llegar al suelo simultáneamente, durante la caída ninguno de los cuerpos adelanta al
otro, por el contrario, las alturas de ambos cuerpos es la misma en todo momento. Por
otra parte, sabemos que el movimiento es acelerado, ya que la velocidad de ambos crece
en módulo durante la caída, siendo nula al momento de soltarlos.
La imagen de la derecha muestra un cuerpo que comienza a caer
desde la altura inicial 𝑦0 partiendo del reposo. Como se observa en
la imagen, a medida que el cuerpo cae, su velocidad aumenta en
módulo. La aceleración de la gravedad se representa mediante el
vector 𝑔⃗.
Si en vez de soltar un cuerpo con velocidad inicial nula, este fuese
lanzado verticalmente hacia arriba, veríamos que su velocidad iría
disminuyendo hasta anularse en el punto más alto de la trayectoria,
para luego caer nuevamente hacia el suelo. Este comportamiento
responde a un movimiento con aceleración vertical, pero dirigida
hacia abajo, precisamente la aceleración de la gravedad.
1
Esta afirmación será válida siempre y cuando el peso y la forma del cuerpo hagan que el
rozamiento con el aire pueda despreciarse. No será aplicable para una hoja de papel extendida o
para una pluma, pero sí lo es para la mayoría de los cuerpos compactos que recorren distancias
no muy grandes.
28
Los movimientos de caída libre y tiro vertical son esencialmente el mismo tipo de
movimiento, con la única diferencia de que en uno de ellos se considera una velocidad
inicial (tiro vertical) mientras que en el otro se considera sólo el movimiento de caída
(caída libre). Ya que ambos movimientos son casos particulares de MRUV, podemos
utilizar todas las ecuaciones vistas hasta ahora, con unas ligeras modificaciones.
Primero, dado que los movimientos se dan sobre la vertical, es más adecuado utilizar un
eje 𝑦 en vez de un eje 𝑥 para indicar las posiciones. Por otra parte, la aceleración del
movimiento es la aceleración de la gravedad. Esta aceleración, como vimos, se denota
con la letra 𝑔 y tiene (en el planeta Tierra) un módulo de 9,8 m/s2. Así, podemos escribir
las ecuaciones para los movimientos verticales del siguiente modo:
𝑦 = 𝑦0 + 𝑣0 ∆𝑡 + ½ 𝑔 (∆𝑡)2
𝑣 = 𝑣0 + 𝑔 ∆𝑡
donde 𝑦0 es la coordenada de altura inicial, 𝑣0 es la velocidad inicial del movimiento y 𝑣
es la velocidad que posee el cuerpo en el instante 𝑡.
En estas ecuaciones, los signos de 𝑦0 , 𝑣0 y 𝑔 dependerán del sistema de referencia que
se haya elegido. Si se toma un sistema de referencia con el eje 𝑦 positivo hacia arriba, la
aceleración de la gravedad se debe tomar como negativa, es decir, 𝑔 = −9,8 m/s2 , dado
que esta aceleración siempre apunta hacia abajo (o sea, hacia el centro de la Tierra).
Para tal sistema de referencia, tendremos las siguientes ecuaciones:
𝑦 = 𝑦0 + 𝑣0 ∆𝑡 + ½ (−9,8 m/s2 ) (∆𝑡)2
𝑣 = 𝑣0 + (−9,8 m/s2 ) ∆𝑡
Por otra parte, las ecuaciones de alternativas también son válidas para este movimiento,
siempre teniendo en cuenta los signos correspondientes en función del sistema de
referencia adoptado:
𝑣 2 − 𝑣02 = 2 ∆𝑦 𝑔
y
∆𝑦 =
𝑣+𝑣0
2
∆𝑡.
Algunas claves para la resolución de ejercicios de movimientos verticales
✓ En muchos problemas de tiro vertical no se indica cuál es la altura inicial del lanzamiento. En
tales casos es conveniente tomar el punto del lanzamiento como origen del sistema de
referencia, esto es, considerar 𝑦0 = 0. De este modo, la altura en cualquier instante se medirá
con respecto al punto de lanzamiento.
✓ Un aspecto importante para tener en cuenta al resolver problemas de tiro vertical es que la
velocidad del móvil en el punto más alto de la trayectoria es nula. Al lanzar un cuerpo hacia
arriba su rapidez va disminuyendo gradualmente con la altura. Al llegar al punto de máxima
altura, el cuerpo se frena por un instante y comienza a caer. Lógicamente, la velocidad en el
punto más alto debe ser nula, ya que, de no ser así, el cuerpo seguiría subiendo.
✓ Por otra parte, si el sistema de referencia tiene origen en el suelo (o en el punto del lanzamiento)
y el cuerpo en movimiento retorna a ese punto, su posición final será nula, lo cual puede ser
útil para calcular la altura inicial en el caso de una caída libre, o bien, el tiempo total de vuelo
en el caso de un tiro vertical.
29
Ejercicios resueltos del Capítulo 2
Ejercicio 1
Un tren se desplaza por una vía rectilínea, recorriendo 400 kilómetros en 5 horas. Calcular
su velocidad media en km/h y en m/s.
Resolución
Para resolver el problema, utilizamos la definición de velocidad media y luego
reemplazamos por los datos:
𝑣𝑚 =
400 km
km
= 80
5h
h
Para convertir esta velocidad en m/s, planteamos la conversión entre km y m, y la
conversión entre h y s:
1000 m
km 1 km
𝑣𝑚 = 80
∙
h 3600 s
1h
1000 m
= 80
3600 s
m
= 22 .
s
Ejercicio 2
Un corredor recorre un trayecto de 4 km en línea recta con una rapidez constante de
14 km/h. Luego, camina de regreso hasta el punto de partida, demorando 48 minutos.
a) ¿Cuánto tiempo tarda en recorrer los 4 km de ida? b) ¿Cuál es la rapidez media para
el trayecto de regreso? c) ¿Cuál es la rapidez media para el movimiento completo (ida y
vuelta)? ¿Cuál es la velocidad media para el movimiento completo?
Resolución
a) Para resolver el problema utilizaremos las ecuaciones del MRU. De la ecuación horaria
del MRU podemos despejar el tiempo:
∆𝑥 = 𝑣 ∙ ∆𝑡
⇒
∆𝑡 =
∆𝑥
𝑣
Reemplazando por los datos del problema,
∆𝑡 =
4 km
= 0,286 h.
km
14
h
El corredor tarda 0,286 h en recorrer los 4 km, lo que equivale aproximadamente a
17 minutos.
30
b) La rapidez media en el regreso podemos calcularla por definición:
4 km
48 min
4 km
=
0,8 h
𝑢𝑚 (𝑟𝑒𝑔𝑟𝑒𝑠𝑜) =
=5
km
h
c) La rapidez media durante todo el trayecto se calcula como la distancia total recorrida
dividida por el tiempo total empleado:
4 km + 4 km
17 min + 48 min
8 km
=
65 min
km
= 0,123
min
km
= 7,4
h
𝑢𝑚 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 =
d) La velocidad media para el movimiento de ida y vuelta será nula, ya que la posición
inicial y la posición final son iguales. Esto significa que el desplazamiento para el
movimiento completo es nulo, lo que hace que la velocidad media sea nula.
Ejercicio 3
En una carrera de rally, un automóvil marcha por una ruta rectilínea con una velocidad
constante de 180 km/h. Al pasar junto a un cartel indicador el piloto lee que 500 m más
adelante hay un puesto de control. Se pide: a) Determinar la posición del automóvil
7 segundos después de pasar junto al cartel indicador. b) Calcular el tiempo que demora
en llegar al puesto de control, desde que pasa junto al cartel indicador. c) Hallar el tiempo
que demorará en cruzar la línea de llegada situada 7500 m más allá del puesto de control.
d) Representar gráficamente 𝑥(𝑡) y 𝑣(𝑡).
Resolución.
El siguiente esquema muestra la situación. Para la resolución, adoptamos como origen
del sistema de referencia la posición del puesto de control. Con este sistema de
referencia, la posición del cartel indicador es 𝑥0 = −500 m y la de llegada es 𝑥 = 7500 m.
31
Como el sentido del movimiento es el del eje 𝑥 la velocidad del automóvil será positiva.
Para expresar la velocidad en m/s, esta vez utilizaremos el factor de conversión:
m
km 1 s
m
𝑣 = 180
∙
= 50
h 3,6 km
s
h
La ecuación horaria queda planteada del siguiente modo:
𝑥 = 𝑥0 + 𝑣 ∙ ∆𝑡
⇒
𝑥 = −500 m + 50
m
∙ ∆𝑡
s
a) Para obtener la posición a los 7 segundos, reemplazamos 𝑡 = 7 s en la ecuación
𝑥 = −500 m + 50
m
∙7s
s
= −500 m + 350 m
= −150 m
El signo negativo indica que a los 7 s estará 150 m antes del Puesto de Control.
b) Una forma de averiguar el tiempo que tarda en llegar al puesto de control, es
reemplazar el valor 𝑥 = 0 en la ecuación, ya que esa es la coordenada de posición del
puesto de control.
0 = −500 m + 50
⇒
∆𝑡 =
m
∙ ∆𝑡
s
500 m
m = 10 s
50 s
c) En este caso, la posición en la llegada es 𝑥 = 7500 m, por lo que reemplazamos este
valor en la ecuación horaria resultando:
7500 = −500 m + 50
⇒
∆𝑡 =
m
∙ ∆𝑡
s
8000 m
m = 160 s
50 s
d) Gráficos 𝑥(𝑡) y 𝑣(𝑡)
32
Ejercicio 4
a) Hallar la aceleración de un móvil sabiendo que su velocidad varía de 36 km/h a 54 km/h
en 20 segundos. b) Calcular la distancia recorrida en ese tiempo.
Resolución.
a) Para averiguar la aceleración, utilizamos la definición:
𝑎=
∆𝑣
∆𝑡
Las velocidades inicial y final, expresadas en m/s, son respectivamente:
𝑣0 = 36
km
m
= 10
h
s
𝑦
𝑣 = 54
km
m
= 15
h
s
de modo que la aceleración será
m
m
15 s − 10 s
𝑎=
20 s
m
= 0,25 2
s
La distancia recorrida en los 20 segundos puede calcularse con la ecuación horaria del
MRUV:
∆𝑥 = 10
m
1
m
∙ ∆𝑡 + ∙ 0,25 2 ∙ ∆𝑡 2
s
2
s
Reemplazando ∆𝑡 por 20 s, obtenemos
∆𝑥 = 10
m
1
m
∙ 20 s + ∙ 0,25 2 ∙ (20 s)2
s
2
s
= 250 m.
Ejercicio 5
Un automóvil que marcha en línea recta a una velocidad de 72 km/h, comienza a frenar y
se detiene en 20 s. a) Calcular la aceleración media. b) Determinar el desplazamiento
desde que comienza a frenar hasta que se detiene.
Resolución
a) En este caso, la velocidad inicial es de 72 km/h (o 20 m/s) y la velocidad final es nula,
dado que el automóvil se detiene. La aceleración será:
m
m
0 s − 20 s
𝑎=
20 s
m
= −1 2
s
33
b) El desplazamiento durante el frenado lo podemos calcular con la ecuación horaria,
considerando la velocidad inicial de 20 m/s, la aceleración negativa de 1 m/s2 y el tiempo
de 20 s:
∆𝑥 = 20
m
1
m
∙ 20 s + ∙ (−1 2 ) ∙ (20 s)2
s
2
s
= 200 m.
Ejercicio 6
Un móvil se desplaza sobre el eje 𝑥 con movimiento uniformemente variado de
m
m
aceleración 𝑎 = 2,5 s2. En el instante inicial su velocidad es 𝑣0 = 4 s y su posición,
𝑥0 = 20 m. a) Escribir las ecuaciones horarias del movimiento. b) Representar
gráficamente la velocidad en función del tiempo. c) Hallar la posición y la velocidad para
𝑡 = 4 s.
Resolución
a) Como la velocidad inicial es positiva, el móvil se desplaza en el mismo sentido que el
del eje 𝑥, por lo tanto, las ecuaciones horarias quedarán planteadas de la siguiente forma:
m
1
m
∙ ∆𝑡 + ∙ 2,5 2 ∙ ∆𝑡 2
s
2
s
m
m
𝑣 = 4 + 2,5 2 ∙ ∆𝑡
s
s
𝑥 = 20 m + 4
b) El siguiente gráfico muestra la velocidad como función del tiempo. En el gráfico, la
ordenada al origen es la velocidad inicial, mientras que la pendiente es igual a la
aceleración.
14
4
c) Para 𝑡 = 4 s será:
𝑥 = 20 m + 4
m
1
m
∙ 4 s + ∙ 2,5 2 ∙ (4 s)2 = 56 m
s
2
s
𝑣=4
m
m
m
+ 2,5 2 ∙ 4 s = 14
s
s
s
34
Ejercicio 7
Un vehículo que parte del reposo, comienza a moverse con aceleración constante hasta
alcanzar una velocidad de 54 km/h en 5 segundos, en un camino rectilíneo. a) Exprese la
velocidad final del vehículo en m/s y determine su aceleración en m/s2. b) Calcule la
distancia recorrida por el vehículo en los 5 segundos que dura el movimiento. c) ¿Cuál
será la velocidad del vehículo en t = 2 s? d) Represente gráficamente, en un par de ejes
cartesianos, la velocidad del vehículo en función del tiempo.
Resolución
Ya que el vehículo se mueve con aceleración constante, podemos utilizar las ecuaciones
del MRUV. Antes de resolver, es conveniente expresar la velocidad final en m/s
1000 m
km 1 km
m
𝑣 = 54
∙
= 15
3600
s
h
s
1h
a) La aceleración del automóvil es
m
∆𝑣 15 s − 0
m
𝑎=
=
=3 2
∆𝑡
5s
s
b) Siendo nula la velocidad inicial, la ecuación horaria del desplazamiento será:
1 m
∆𝑥 = (3 2 ) 𝑡 2
2 s
Reemplazando los datos, podemos calcular la distancia recorrida en los 5 segundos:
1 m
∆𝑥 = (3 2 ) (5 s)2 = 37,5 m
2 s
c) La ecuación de la velocidad es
𝑣=3
m
∙𝑡
s2
con lo cual, la velocidad en t = 2 s es
𝑣=3
m
m
∙
2
s
=
6
.
s2
s
d) Gráfica de velocidad en función del tiempo
35
Ejercicio 8
Un automóvil que se desplaza por un camino rectilíneo con una velocidad de 18 km/h,
acelera uniformemente hasta alcanzar una velocidad de 54 km/h en 5 segundos. Luego,
el automóvil mantiene su velocidad constante durante otros 10 segundos más. a) Calcule
la aceleración del automóvil en los primeros 5 segundos. b) Determine la distancia
recorrida en los primeros 5 segundos. c) Calcule la distancia total recorrida por el
automóvil. d) Represente gráficamente la velocidad como función del tiempo (en un par
de ejes cartesianos), para los 15 segundos que dura el movimiento.
Resolución
El movimiento está compuesto por dos movimientos simples: un MRUV durante los
primeros 5 segundos y un MRU durante los siguientes 10 segundos. Esto deberá tenerse
presente para la resolución
a) Primero, las velocidades inicial y final expresadas en m/s son
1000 m
km 1 km
m
𝑣0 = 18
=5
h 3600 s
s
1h
y
1000 m
km 1 km
m
𝑣 = 54
= 15
h 3600 s
s
1h
La aceleración en los primeros 5 s es
𝑎=
∆𝑣
∆𝑡
m
m
−5
s
s
=
5s
m
=2 2
s
15
b) La distancia recorrida en los primeros 5 segundos es
∆𝑥𝑀𝑅𝑈𝑉 = 5
m
1
m
∙ 5 s + ∙ 2 2 ∙ (5 s)2
s
2
s
= 50 m
c) La distancia recorrida durante los 10 segundos finales es
∆𝑥𝑀𝑅𝑈 = 15
m
∙ 10 s = 150 m.
s
mientras que la distancia total recorrida será
∆𝑥 = ∆𝑥𝑀𝑅𝑈𝑉 + ∆𝑥𝑀𝑅𝑈
m
= 50 m + 15 ∙ 10 s
s
= 200 m
36
d) Para la construcción del gráfico debe tenerse en cuenta que el movimiento se realiza
en dos etapas. Una primera etapa con aceleración (los primeros 5 segundos) y una
segunda etapa con MRU.
Ejercicios 9
La rapidez media de una ciclista en un camino plano y horizontal es 5,0 m/s. a) ¿Cuánto
tiempo le tomará recorrer 80 m en línea recta con esa rapidez? b) Suponga ahora que la
ciclista parte del reposo, que alcanza la rapidez de 5,0 m/s en un tiempo de 10 s, y que
luego mantiene constante la rapidez de 5,0 m/s. ¿Cuánto tiempo le tomará recorrer 80 m
en línea recta?
Resolución
a) Para calcular el tiempo, lo podemos despejar de la definición de velocidad media:
𝑣=
∆𝑥
∆𝑡
⇒
∆𝑡 =
∆𝑥
𝑣
Reemplazando los datos:
∆𝑡 =
80 m
m = 16 s
5s
b) En este caso tenemos un movimiento que podemos descomponer en dos etapas, una
primera etapa en la que se desarrolla un MRUV y una segunda etapa de MRU. Podemos
calcular la distancia recorrida por la ciclista durante los primeros 10 segundos utilizando
la ecuación horaria del MRU:
1
∆𝑥 = 𝑣0 ∙ ∆𝑡 + ∙ 𝑎 ∙ ∆𝑡 2
2
En esta ecuación, la velocidad inicial es nula, ya que parte del reposo. La aceleración no
es un dato, pero puede ser calculada del siguiente modo:
𝑎=
=
∆𝑣
∆𝑡
m
m
5,0 s − 0 s
10 s
m
= 0,5 2
s
37
Luego, reemplazando en la ecuación anterior,
∆𝑥 =
1
m
∙ (0,5 2 ) ∙ (10 s)2
2
s
= 25 m
Habiendo recorrido 25 m, a la ciclista le quedan 55 m por recorrer (recordemos que
queremos averiguar cuánto tiempo tarda en recorrer 80 m). El tiempo demorado en
recorrer 55 m puede calcularse del mismo modo que en el punto a) del problema:
∆𝑡 =
55 m
m = 11 s
5s
Finalmente, el tiempo total que demora en recorrer los 80 m es
∆𝑡 = 10 s + 11 s = 21 s.
Lógicamente, tarda más en recorrer esa distancia partiendo del reposo que moviéndose
siempre con la rapidez de 5 m/s.
Ejercicio 10
Un tren subterráneo parte de una estación y acelera con 𝑎1 = 1,2 m/s2 durante 15 s, luego
sigue moviéndose con velocidad constante durante 30 s, y posteriormente frena con una
aceleración constante 𝑎3 = −1,4 m/s 2 hasta detenerse en la próxima estación. Calcular:
a) la velocidad en el movimiento uniforme, b) el tiempo empleado en el movimiento de
frenado y el tiempo total. c) Representar gráficamente la velocidad en función del tiempo.
d) Hallar la distancia entre las estaciones.
Resolución
Podemos considerar tres movimientos simples: una primera etapa con MRUV, una
segunda etapa con MRU, y la tercera y última etapa del movimiento, con MRUV de
aceleración negativa. Para la resolución consideramos un sistema de referencia con
origen en la estación.
1º Etapa del movimiento. Sabiendo que la velocidad inicial es nula, el desplazamiento
en el tiempo ∆𝑡1 será:
1
∙ 𝑎 ∙ ∆𝑡1 2
2 1
1
m
= ∙ (1,2 2 ) ∙ (15 s)2
2
s
∆𝑥1 =
= 135 m
38
La velocidad final de esa etapa del movimiento será:
𝑣1 = 𝑎1 ∙ ∆𝑡1
m
= 1,2 2 ∙ 15 s
s
m
= 18
s
2º Etapa del movimiento: la velocidad en este tramo es igual a la velocidad recién
calculada (𝑣1 = 𝑣2 ). El desplazamiento será
∆𝑥2 = 𝑣2 ∙ ∆𝑡2
m
= 18 ∙ 30 s
s
= 540 m
3º Etapa del movimiento: El desplazamiento ∆𝑥3 puede calcularse a partir de la ecuación
complementaria o fórmula de recurrencia, ya que se conoce la aceleración, la velocidad
inicial y la velocidad final (𝑣3 = 0). Tendremos entonces:
∆𝑥3 =
𝑣3 2 − 𝑣2 2
2 ∙ 𝑎3
m 2
0 − (18 s )
=
m
2 ∙ (−1,4 2 )
s
= 116 m.
m
a) De los planteos efectuados, vemos que la velocidad en la etapa con MRU es de 18 s .
b) El tiempo que demora en recorrer el último tramo puede calcularse a partir la ecuación
de la velocidad. Siendo
𝑣3 = 𝑣2 + 𝑎3 ∙ ∆𝑡3
El tiempo despejado será
𝑣3 − 𝑣2
𝑎3
m
0 − 18
s
=
m
−1,4 2
s
= 13 s
∆𝑡3 =
El tiempo total empleado en estos movimientos será:
∆𝑡𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = ∆𝑡1 + ∆𝑡2 + ∆𝑡3
= 15 s + 30 s + 13 s
= 58 s
39
c) Gráfico 𝑣(𝑡)
d) La distancia entre estaciones será la suma de los tres desplazamientos
∆𝑥𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = ∆𝑥1 + ∆𝑥2 + ∆𝑥3
= 135 m + 540 m + 116 m
= 791 m.
Otra forma de determinar el desplazamiento total sería hallando el área total encerrada
bajo la gráfica de 𝑣(𝑡). Se deja al alumno la tarea de corroborar que el área debajo del
gráfico coincide numéricamente con el desplazamiento calculado.
Ejercicio 11
Se deja caer libremente un objeto desde una altura de 20 m. Calcular: a) el tiempo de
caída, b) la velocidad con que llega al suelo.
Resolución
En los problemas de movimientos verticales, como la caída libre y el tiro vertical, resulta
conveniente adoptar el sistema de referencia con el eje 𝑦 vertical positivo con sentido
hacia arriba y con origen en el suelo. Como la aceleración de la gravedad siempre apunta
hacia abajo (sentido opuesto al del eje) la vamos a considerar negativa: 𝑔 = −9,8 m/s 2.
a) Planteo de las ecuaciones horarias: como el cuerpo se
deja caer libremente la velocidad inicial es nula, por lo tanto:
1
m
𝑦 = 20 m + ∙ (−9,8 2 ) ∙ ∆𝑡 2
2
s
m
𝑣 = (−9,8 2 ) ∙ ∆𝑡
s
En el suelo, la altura es nula. Poniendo 𝑦 = 0 en la ecuación
de la posición podremos calcular el tiempo que dura la caída.
1
m
0 = 20 m + ∙ (−9,8 2 ) ∙ ∆𝑡 2
2
s
40
+𝑦
𝑦0 = 20 m
2 ∙ 20 m
∆𝑡 = √
m
9,8 2
s
∆𝑡 = 2,02 s
b) Reemplazando el tiempo hallado en la ecuación de la velocidad, será
m
) ∙ 2,02 s
s2
m
= −19,8
s
𝑣 = (−9,8
Obsérvese que la velocidad calculada es negativa, pues su sentido es opuesto al del eje
adoptado.
Ejercicio 12
Desde el suelo se lanza un objeto verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial
𝑣0 = 42 m/s. Hallar: a) la altura máxima alcanzada, b) el tiempo total desde que se dispara
hasta que llega nuevamente al suelo, c) la posición y velocidad del objeto para 𝑡 = 3 s y
para 𝑡 = 5 s, d) la velocidad del objeto cuando se encuentra a la altura de 40 m.
Resolución
En este problema, nuevamente adoptamos un sistema de referencia con el eje vertical
con origen en el suelo y positivo hacia arriba, por lo que será 𝑦0 = 0 y 𝑔 = −9,8 m/s2 .
Como la velocidad inicial tiene el mismo sentido que el eje, su valor será 𝑣0 = 42 m/s.
Planteando las ecuaciones horarias queda:
m
1
m
∙ ∆𝑡 + ∙ (−9,8 2 ) ∙ ∆𝑡 2
s
2
s
m
m
𝑣 = 42 + (−9,8 2 ) ∙ ∆𝑡
s
s
𝑦 = 42
a) Para el cálculo de la altura máxima debemos tener en cuenta que en dicha posición la
velocidad es nula. Poniendo 𝑣 = 0 en la ecuación de la velocidad, obtenemos:
m
m
+ (−9,8 2 ) ∙ ∆𝑡
s
s
m
42 s
⇒ ∆𝑡 =
m
9,8 2
s
0 = 42
= 4,3 s
y reemplazando en la ecuación de la posición, resulta:
𝑦𝑚á𝑥 = 42
m
1
m
∙ 4,3 s + ∙ (−9,8 2 ) ∙ (4,3 s)2
s
2
s
= 90 m.
41
Otra forma de hallar la altura máxima sería utilizando la fórmula complementaria o fórmula
de recurrencia,
𝑣 2 − 𝑣0 2
2∙𝑔
Para la resolución, debe tenerse especial cuidado con los signos. Dado que la altura inicial
es nula, tendremos que ∆𝑦 = 𝑦. Reemplazando los datos en la fórmula, tendremos
∆𝑦 =
𝑦𝑚á𝑥
m 2
02 − (42 s )
=
m
2 ∙ (−9,8 2 )
s
= 90 m
b) Cuando el objeto llega nuevamente al suelo su posición es 𝑦 = 0, por lo tanto:
0 = 42
m
1
m
∙ ∆𝑡 + ∙ (−9,8 2 ) ∙ ∆𝑡 2
s
2
s
En esta ecuación, una solución trivial es ∆𝑡 = 0, pero esta solución no nos interesa.
Resolviendo para ∆𝑡 ≠ 0,
m 1
m
+ ∙ (−9,8 2 ) ∙ ∆𝑡
s 2
s
m
2 ∙ 42 s
⇒ ∆𝑡 =
m
9,8 2
s
0 = 42
∆𝑡 = 8,6 s
c) En este caso, solo debemos reemplazar el tiempo en las ecuaciones de posición y
velocidad:
Para 𝑡 = 3 s:
m
1
m
∙ 3 s + ∙ (−9,8 2 ) ∙ (3 s)2
s
2
s
𝑦 = 82 m
𝑦 = 42
m
m
+ (−9,8 2 ) ∙ 3 s
s
s
m
𝑣 = 12,6
s
𝑣 = 42
Para 𝑡 = 5 s:
m
1
m
∙ 5 s + ∙ (−9,8 2 ) ∙ (5 s)2
s
2
s
𝑦 = 87,5 m
𝑦 = 42
m
m
+ (−9,8 2 ) ∙ 5 s
s
s
m
𝑣 = −7,0
s
𝑣 = 42
42
Se aprecia que para 𝑡 = 3 s la velocidad es positiva, pues se trata de un movimiento de
ascenso, mientras que, para 𝑡 = 5 s la velocidad es negativa, debido a que el objeto ya
está descendiendo (sentido opuesto al del eje).
c) Para hallar la velocidad cuando 𝑦 = 40 m, se reemplaza este valor en la ecuación
horaria quedando:
40 m = 42
m
1
m
∙ ∆𝑡 + ∙ (−9,8 2 ) ∙ ∆𝑡 2
s
2
s
Esta es una ecuación de segundo grado. Resolviendo la ecuación se obtienen dos
tiempos: 𝑡1 = 1,09 s y 𝑡2 = 7,48 s. Reemplazando estos valores en la ecuación de
velocidad se obtendrán las velocidades buscadas (en este caso, hablamos de
velocidades porque el objeto pasa dos veces por dicha posición). El alumno puede
comprobar que los resultados para dichas velocidades son
𝑣 = 31,3
m
s
𝑦
𝑣 = −31,3
m
s
Sin embargo, esta forma de resolución es algo complicada ya que implica resolver la
ecuación de segundo grado. Podemos reducir el número de pasos si utilizamos la fórmula
de recurrencia. Despejando la velocidad de dicha fórmula, tendremos:
𝑣 2 = 𝑣0 2 + 2 ∙ ∆𝑦 ∙ 𝑔
y, reemplazando por los valores:
m 2
m
) + 2 ∙ (40 m) ∙ (−9,8 2 )
s
s
2
m
𝑣 2 = 980 2
s
𝑣 2 = (42
|𝑣| = √980
m2
s2
Resolviendo se obtienen los resultados
𝑣 = 31,3
m
s
𝑦
𝑣 = −31,3
m
s
Se observa que a la ida y a la vuelta la velocidad es la misma, pero con sentido opuesto.
43
Ejercicios propuestos para el Capítulo 2
1. Un automóvil marcha a una velocidad constante de 72 km/h. a) ¿Qué distancia
recorrerá en 10 minutos? b) ¿Cuánto tiempo tardará en recorrer un trayecto de 180 km?
2. Una atleta da una vuelta completa a una pista de 400 m de longitud en 52 s. a) ¿Cuál
es la rapidez media? b) ¿Cuál es la velocidad media?
3. Indicar cuál de las siguientes gráficas (A o B) representa un movimiento con mayor
velocidad. Justificar la respuesta.
4. Indicar cuál de las siguientes gráficas (A o B) representa un movimiento con mayor
velocidad. Justificar la respuesta.
5. Una persona corre con rapidez constante a lo largo de una línea recta desde el punto
A al punto B y luego, de regreso a lo largo de la misma línea, desde B hacia A, también
con rapidez constante. El tiempo que le toma ir desde el punto A al punto B es de 30 s,
mientras que el tiempo que tarda en regresar desde B hasta A es de 50 s. La distancia
entre el punto A y el punto B es de 150 m. a) ¿Cuál es la rapidez media para ir desde A
hasta el punto B? b) ¿Cuál es la rapidez media para ir de regreso desde B hasta A?
c) ¿Cuál es su rapidez media durante todo el viaje? d) ¿Cuál es su velocidad media
durante todo el viaje?
6. Dos corredores parten simultáneamente del mismo punto de una pista de 200 m de
longitud. Uno corre con una rapidez constante de 6,20 m/s, y el otro, con rapidez
constante de 5,50 m/s. a) Calcule estas velocidades en km/h, b) ¿Cuánto tiempo demora
el corredor más rápido en llegar a la meta? c) ¿Qué distancia habrá recorrido el segundo
corredor cuando el primero haya llegado a la meta? d) ¿Cuánto tiempo debe esperar el
primer corredor en la meta hasta que llegue el segundo?
44
7. Partiendo de un pilar, usted corre 200 m hacia el este (la dirección +𝑥) con una rapidez
media de 5,00 m/s. Luego corre 280 m hacia el oeste con una rapidez media de 4,00 m/s
hasta llegar a un poste de luz. a) ¿Cuál es el tiempo total empleado para ir desde el pilar
hasta el poste? b) ¿Cuál es su rapidez media en el recorrido completo? c) ¿Cuál es su
velocidad media del pilar al poste?
8. En una tormenta eléctrica, una descarga produce un destello luminoso (un relámpago)
seguido de un gran estruendo (el trueno). Una persona nota que el tiempo entre el
relámpago y el trueno es de 6 s. Sabiendo que la velocidad del sonido en el aire es de
1230 km/h, hallar: a) la velocidad del sonido en m/s, b) la distancia a la que se produjo la
descarga, considerando que la luz del relámpago llega instantáneamente a la persona,
c) el tiempo que demora en oírse el trueno al producirse una segunda descarga, esta vez,
cuando la tormenta se encuentra justo encima de la persona, a una altura de 1200 m.
9. Un camión viaja a 72 km/h. Cuando está a 3000 m de una vía el reloj del conductor
marca las dos en punto de la tarde en punto. a) ¿A qué hora cruzará la vía? b) ¿A qué
distancia de la vía se encontrará el camión cuando el reloj marque las 2:20 de la tarde?
10. Un punto móvil se mueve sobre el eje 𝑥 con sentido positivo a una velocidad de 5 m/s.
Sabiendo que 𝑥0 = −15 m, represente gráficamente la posición y la velocidad como
funciones del tiempo.
11. Un muchacho que tiene un cronómetro en su mano ve que se acerca hacia él una
camioneta. Cuando la camioneta se encuentra a 150 m del joven, este acciona su
cronómetro. Doce segundos después, la camioneta pasa por al lado del joven. a) Calcule
la velocidad de la camioneta en m/s y en km/h. b) Escriba la ecuación horaria de la
camioneta considerando que el joven se halla en el origen y que la velocidad es positiva.
c) Determine la distancia a la que se encontrará la camioneta con respecto al joven
cuando el cronómetro marque t = 30,0 s. d) Represente gráficamente la posición de la
camioneta en función del tiempo.
12. Para cada uno de los siguientes gráficos, determinar:
a)
b)
c)
d)
i)
La coordenada de posición inicial (𝑥0 ).
La velocidad con su respectivo signo.
La ecuación horaria del movimiento.
¿Dónde estará el móvil a los 12 segundos?
ii)
iii)
Ejercicio 12
45
13. La figura siguiente muestra la gráfica de posición en función del tiempo de una
partícula en movimiento. Calcule: a) la velocidad en los primeros 6 segundos, b) la
velocidad en entre t = 6 s y t = 14 s, c) la velocidad media en todo el recorrido y d) la
rapidez media en todo el recorrido.
Ejercicio 13
14. En la figura siguiente se muestra la gráfica de posición en función del tiempo de dos
móviles, A y B. a) Calcule la velocidad de cada móvil. b) Exprese las ecuaciones horarias
de cada móvil. c) Calcule la posición y el instante de encuentro y compare su resultado
con lo observado en la gráfica (Sugerencia: para averiguar la posición y el instante de
encuentro, iguale la posición de ambos móviles).
Ejercicio 14.
15. Un vehículo se mueve con MRUV, con una aceleración de 5 m/s2, partiendo de
reposo. Calcule: a) el desplazamiento durante los primeros 3 segundos, b) la velocidad a
los 3 segundos, c) el tiempo que demora en recorrer los primeros 10 m.
16. La velocidad de un automóvil aumenta uniformemente desde 18 km/h hasta 54 km/h
en 5 segundos. a) ¿Cuál es su aceleración? b) ¿Qué distancia recorre en ese tiempo?
c) Calcule la velocidad a los 3 s y exprésela en km/h. d) Represente gráficamente la
velocidad en función del tiempo para los primeros 5 segundos.
17. Un colectivo que marcha a 45 km/h aplica los frenos, disminuyendo su velocidad a
18 km/h al cabo de 5 segundos. Calcule: a) la aceleración del colectivo, b) la distancia
recorrida en esos 5 segundos, c) el tiempo que total desde que aplica los frenos hasta
46
que se detiene si mantiene constante su aceleración, y d) La distancia total recorrida
desde que aplica los frenos hasta que se detiene totalmente.
18. a) Calcular la velocidad que adquiere un automóvil que parte del reposo con una
aceleración de 3 m/s2, luego de recorrer 120 m. b) Hallar el tiempo empleado en recorrer
los 120 m.
19. a) Calcular el tiempo que debe transcurrir para que un móvil que marcha a 10 m/s
alcance una velocidad de 24 m/s si su aceleración es de 0,40 m/s2. b) Calcular el
desplazamiento del móvil en ese tiempo. c) Representar gráficamente la velocidad en
función del tiempo y determinar el desplazamiento a partir del gráfico.
20. Un avión jet se aproxima para aterrizar con una rapidez de 100 m/s. La aceleración
máxima que puede desarrollar en el frenado es de 5,00 m/s2 (de sentido opuesto a la
velocidad). a) Desde el instante en el que el avión toca la pista, ¿cuál es el intervalo de
tiempo mínimo necesario para detenerse? b) ¿Este avión puede aterrizar en el aeropuerto
de una pequeña isla tropical donde la pista mide 800 m de largo? Explique su respuesta.
21. Un automóvil que se mueve a 90 km/h por una ruta necesita como mínimo una
distancia de 40 m para detenerse completamente. a) Calcule la aceleración para que se
produzca el frenado en estas circunstancias. b) Determine el tiempo que demora el
frenado.
22. Un electrón en un tubo de rayos catódicos acelera desde una rapidez de 2,00·104 m/s
a 6,00·106 m/s en 1,50 cm. a) ¿En qué intervalo de tiempo el electrón recorre estos
1,50 cm? b) ¿Cuál es su aceleración?
23. La figura siguiente representa la velocidad de un motociclista que se mueve en una
línea recta. Calcule a) la aceleración del motociclista durante los primeros 6 segundos,
b) la distancia recorrida en los primeros 6 segundos, c) el desplazamiento total en los
12 segundos. d) Represente gráficamente la aceleración de la motocicleta en función del
tiempo para los 12 segundos.
Ejercicio 23.
24. Un ciclista que parte del reposo, acelera hasta alcanzar una velocidad de 27 km/h en
10 segundos. Luego mantiene constante su velocidad durante los siguientes 5 segundos.
Finalmente, desacelera hasta que se detiene en 7,5 segundos. Todo el movimiento se
desarrolla en línea recta. a) Calcule la aceleración del ciclista en cada etapa del
movimiento. b) Calcule el desplazamiento total del ciclista, c) Realice un gráfico de
47
𝑣 = 𝑓(𝑡), d) Obtenga el desplazamiento total a partir del gráfico de 𝑣 = 𝑓(𝑡), y compárelo
con el resultado del punto c).
25. Un vehículo se mueve en un camino rectilíneo con una velocidad inicial 𝑣0 . El vehículo
comienza a frenar, haciendo que su velocidad disminuya hasta un valor de 6 m/s en un
lapso de 4 s. Si la distancia recorrida en los 4 s es de 40 m, a) ¿Cuál es la velocidad
inicial? b) ¿Cuál es la aceleración del movimiento?
26. Un cuerpo cae libremente desde el reposo y llega al suelo en 6 s. Calcular: a) la
velocidad con que llega al suelo y b) la altura desde la cual cayó.
27. Un cuerpo se deja caer desde una altura de 10 m. a) ¿Cuánto tarda en recorrer los
primeros 5 m de caída? b) ¿Cuánto tarda en recorrer los últimos 5 m de caída? c) ¿Cuál
será la velocidad al llegar al suelo?
28. Se lanza un cuerpo hacia arriba con una velocidad de 40 m/s. a) ¿Cuál será la máxima
altura alcanzada? b) ¿En qué instante será su velocidad de 8 m/s hacia arriba? c) ¿A qué
altura se encontrará cuando su velocidad sea de 8 m/s?
29. Se lanza una pelota hacia arriba que tarda 1,40 segundos en alcanzar la altura
máxima. a) ¿Con qué velocidad inicial fue lanzada? b) ¿Cuál es la altura máxima
alcanzada? c) ¿Cuál es el tiempo total de vuelo?
30. Desde una altura de 10 m se deja caer una pelota. Simultáneamente se lanza
verticalmente hacia arriba otra pelota. ¿Cuál debe ser la velocidad inicial de la segunda
pelota para que ambas lleguen al suelo al mismo tiempo?
48
Capítulo 3:
Dinámica del punto material
En el Capítulo anterior vimos que la Cinemática se encarga de la descripción del
movimiento. Sin embargo, nada hemos dicho sobre las causas que pueden producir
movimiento, o cambios en el estado de movimiento de un cuerpo. Esto es, ¿qué
deberíamos hacer para poner en movimiento a un cuerpo que se encuentra en reposo?
O bien, ¿qué deberíamos hacer para acelerar un cuerpo, o para frenarlo, o para modificar
su trayectoria? Las respuestas a estas preguntas las encontramos en la Dinámica.
La Dinámica es, en efecto, la rama de la física que se ocupa de estudiar las causas que
producen (o pueden producir) cambios en el estado de movimiento de un cuerpo. Como
vimos en el capítulo anterior, y como veremos a lo largo de este capítulo, las magnitudes
físicas asociadas al movimiento de un cuerpo son magnitudes vectoriales. Por otra parte,
no sólo en mecánica se trabaja con magnitudes vectoriales, por el contrario,
encontraremos vectores en prácticamente toda la física. Por estos y otros motivos, antes
de comenzar con el desarrollo de la Dinámica, será necesario presentar las operaciones
básicas entre vectores.
Operaciones con vectores colineales
Son vectores colineales aquellos vectores que se encuentran sobre la misma recta de
acción. Para ilustrar las distintas operaciones entre vectores, se trabajará con dos
⃗⃗, de igual dirección, como los de la figura 1.
vectores genéricos, 𝐴⃗ y 𝐵
Figura 1
Al trabajar con vectores hay que tener en cuenta dos cuestiones: 1) aunque las
propiedades de la suma y de la resta son las mismas que las de los números reales, los
resultados varían dependiendo de la dirección de los vectores que se suman. 2) solo
pueden sumarse vectores que representen la misma magnitud (esto significa, por
ejemplo, que no se puede sumar un vector que representa una fuerza con un vector que
representa una velocidad).
Suma de vectores
Para sumar dos vectores colineales, basta con trasladar uno de ellos hasta que su origen
⃗⃗.
coincida con el extremo del otro. En la figura 2 se muestra la suma de los vectores 𝐴⃗ y 𝐵
El vector resultante es un vector cuyo origen coincide con el origen de 𝐴⃗, y su extremo
⃗⃗. El módulo del vector resultante es igual a la suma de los
coincide con el extremo de 𝐵
49
módulos de los vectores que se suman. Nótese que el orden en que se suman los
⃗⃗ = 𝐵
⃗⃗ + 𝐴⃗.
vectores no altera el resultado: 𝐴⃗ + 𝐵
Figura 2
Vectores opuestos
Por definición, dos vectores son opuestos si tienen igual módulo y dirección, pero sentido
⃗⃗ y −𝐵
⃗⃗. Cabe destacar que el
contrario. En la figura 3 se muestran los vectores opuestos 𝐵
sentido del vector está asociado con el signo del mismo: si se establece un sistema de
referencia con sentido positivo hacia la derecha, todo vector que apunte hacia la izquierda
tendrá sentido negativo, y viceversa.
Figura 3
Resta de vectores
Para resolver una resta entre vectores se debe tener en cuenta la siguiente propiedad:
⃗⃗ = 𝐴⃗ + (−𝐵
⃗⃗). Es decir, una resta entre vectores equivale a una suma en la que los
𝐴⃗ − 𝐵
sumandos son el vector minuendo y el vector opuesto al sustraendo. En la figura 4 se
⃗⃗. Lógicamente, el módulo del
muestra el resultado de la resta entre los vectores 𝐴⃗ y 𝐵
vector resultante es igual a la resta entre los módulos de ambos vectores.
Figura 4
50
Multiplicación de un vector por un escalar
Al multiplicar un vector por un número positivo, su módulo aumenta o disminuye en forma
proporcional al factor que lo multiplica, sin modificarse la dirección ni el sentido. Al
multiplicar un vector por un factor negativo, no solo se modifica su módulo, sino que
también se invierte su sentido. En la figura 5 se muestra un ejemplo de cada una de las
⃗⃗.
situaciones anteriores, referidas al vector 𝐵
Figura 5
Suma de vectores concurrentes
Son vectores concurrentes aquellos que tienen un origen común (mismo punto de
aplicación). El trabajo con vectores de distintas direcciones no es tan sencillo como lo
anterior, por lo cual, si se quiere sumar o restar dos (o más) vectores cuyas direcciones
no coinciden, se debe recurrir a otros métodos.
Métodos gráficos
Para resolver gráficamente una suma de vectores existen, en principio, dos métodos, los
cuales se describen a continuación.
Método del paralelogramo
Consiste en formar un paralelogramo cuyos lados sean rectas paralelas a los vectores
que desean sumarse. Para ello, se traza una recta paralela a cada vector que pase por
el extremo del otro vector. La diagonal del paralelogramo que parte del origen común
entre ambos vectores es el vector resultante de la suma (figura 6), indicado como 𝑅⃗⃗.
Figura 6
51
Método de la poligonal
Consiste en trazar uno de los vectores de manera que su origen coincida con el extremo
del otro vector (figura 7.a). Al unir el origen del primer vector con el extremo del trasladado
se obtendrá el vector resultante de la suma (figura 7.b).
Figura 7.a
Figura 7.b
Cuando se necesita efectuar la suma de varios vectores se van trazando uno a
continuación del otro; el vector resultante de la suma tiene origen en el primer vector y
extremo en el del último vector trazado. La figura 8 muestra un sistema de tres fuerzas
concurrentes (izquierda) y la suma gráfica (derecha).
Figura 8
Suma analítica de dos vectores
Como vimos en el método del paralelogramo, el vector resultante tiene la dirección de la
diagonal del paralelogramo formado por los vectores que se suman. Para determinar el
módulo del vector resultante se puede utilizar el teorema del coseno. No vamos a dar el
desarrollo completo, sino solamente la expresión que permite calcular el módulo. Sean 𝐹⃗1
y 𝐹⃗2 los vectores que se suman y sea 𝛼 el ángulo que forman entre sí, el vector resultante,
𝑅⃗⃗ = 𝐹⃗1 + 𝐹⃗2 (figura 9) tiene un módulo dado por la relación:
2
2
⃗⃗⃗⃗1 | + |𝐹
⃗⃗⃗⃗⃗2 | + 2 |𝐹
⃗⃗⃗⃗1 | |𝐹
⃗⃗⃗⃗⃗2 | cos 𝛼
|𝑅⃗⃗ | = √|𝐹
52
Figura 9
Suma de vectores concurrentes: solución general
El método anterior es muy cómodo para obtener el módulo de la suma entre dos vectores.
Pero ¿Cómo podríamos calcular analíticamente la suma de varios vectores? A
continuación, veremos que podemos sumar varios vectores simultáneamente, y que la
forma de operar no solo permite resolver sumas de vectores, sino que es de gran ayuda
para analizar problemas de cinemática, de dinámica y de otras áreas de la física. Lo
primero que debemos hacer es aprender a determinar los componentes de un vector.
Componentes de un vector
Así como pudimos sumar dos vectores, también podemos pensar a cualquier vector como
⃗⃗ . Como se ve en la
la suma de otros dos vectores. En la figura 10 se muestra un vector 𝑉
figura, este vector puede obtenerse como la suma de otros dos vectores, 𝑉𝑥 y 𝑉𝑦 .
⃗⃗ sobre los
Gráficamente, los vectores 𝑉𝑥 y 𝑉𝑦 pueden hallarse como las proyecciones de 𝑉
⃗⃗ .
ejes coordenados 𝑥 e 𝑦. Estos vectores se conocen como componentes de 𝑉
Las relaciones entre el módulo del vector, sus
componentes y el ángulo 𝛼 son las siguientes:
cos 𝛼 =
𝑉𝑥
⇒
𝑉
𝑉𝑥 = 𝑉 ∙ cos 𝛼
sen α =
𝑉𝑦
⇒
𝑉
𝑉𝑦 = 𝑉 ∙ sen α
𝑉 = √𝑉𝑥 2 + 𝑉𝑦 2
donde representamos al módulo del vector con la
⃗⃗ |) para facilitar la lectura.
letra 𝑉 (en vez de |𝑉
Figura 10
El signo de los componentes de un vector viene determinado por el sistema de
coordenadas. Para el sistema de coordenadas planteado, el componente en 𝑥 se
considera positivo si apunta hacia la derecha, y negativo si apunta hacia la izquierda. Del
mismo modo, el componente en 𝑦 se considera positivo si apunta hacia arriba y negativo
si apunta hacia abajo. En la figura 10 se ve que ambos componentes son positivos.
53
Suma de vectores en forma analítica
Cuando se necesita resolver una suma entre varios vectores, primero deben obtenerse
los componentes de cada uno. Luego, lo que se hace es sumar todos los componentes
en 𝑥 y todos los componentes en 𝑦, obteniendo así los componentes del vector resultante.
La figura 11 muestra tres fuerzas, 𝐹⃗1 , 𝐹⃗2 y 𝐹⃗3 que forman respectivamente los ángulos 𝛼,
𝛽 y 𝛾 con el eje 𝑥. Las componentes de las fuerzas, con sus respectivos signos, son:
𝐹1𝑥 = 𝐹1 ∙ cos 𝛼
𝐹1𝑦 = 𝐹1 ∙ sen 𝛼
𝐹2𝑥 = − 𝐹2 ∙ cos 𝛽
𝐹2𝑦 = 𝐹2 ∙ sen 𝛽
𝐹3𝑥 = − 𝐹3 ∙ cos 𝛾
𝐹3𝑦 = − 𝐹3 ∙ sen 𝛾
Una vez calculadas las componentes de estos
vectores, pueden hallarse las componentes de la
fuerza resultante, 𝑅𝑥 y 𝑅𝑦 . Para hacerlo, se deben
sumar todas las componentes de cada eje, esto es,
calcular la suma de las componentes en 𝑥 y la suma
de las componentes en 𝑦:
Figura 11
Σ𝐹𝑥 = 𝑅𝑥 = 𝐹1𝑥 + 𝐹2𝑥 + 𝐹3𝑥
Σ𝐹𝑦 = 𝑅𝑦 = 𝐹1𝑦 + 𝐹2𝑦 + 𝐹3𝑦
En estas sumas debe respetarse el signo de las
componentes. La expresión final para el cálculo para
el ejemplo de la figura será la siguiente:
𝑅𝑥 = 𝐹1 ∙ cos 𝛼 − 𝐹2 ∙ cos 𝛽 − 𝐹3 ∙ cos 𝛾
𝑅𝑦 = 𝐹1 ∙ sen 𝛼 + 𝐹2 ∙ sen 𝛽 − 𝐹3 ∙ sen 𝛾
Obtenidas las componentes, el módulo de la fuerza
resultante se calcula usando la relación de Pitágoras:
2
2
Figura 12
⃗⃗⃗⃗⃗𝑥 | + |𝑅
⃗⃗⃗⃗⃗
|𝑅⃗⃗ | = √|𝑅
𝑦|
La figura 12 muestra la fuerza resultante. Si 𝜑 es el ángulo que forma la fuerza resultante
con el semieje positivo 𝑥, su relación con las componentes 𝑅𝑥 y 𝑅𝑦 viene dada por:
tg 𝜑 =
𝑅𝑦
𝑅𝑥
Finalmente, se puede hallar el ángulo mediante la función inversa de la tangente:
𝜑 = arctg (
54
𝑅𝑦
).
𝑅𝑥
Leyes del movimiento
La naturaleza del movimiento de los cuerpos puede resumirse en tres leyes, conocidas
como las Leyes de Newton del movimiento. Pero antes de enunciar estas leyes, primero
vamos a analizar algunas situaciones cotidianas que pueden ayudarnos a comprender
algunos aspectos importantes sobre el movimiento.
Concepto de inercia
Para poder mover una mesa necesitamos empujarla; si dejamos de empujar, la mesa se
frena. Puede parecer, en una primera observación, que para que exista movimiento
debemos aplicar una fuerza (en este caso, empujar la mesa). Sin embargo, la situación
sería diferente si en lugar de empujar una mesa, empujamos un carro con ruedas. En
este caso, si dejamos de empujar el carro cuando está en movimiento, seguirá
moviéndose algunos metros hasta detenerse. Esto significa que el carro continúa
moviéndose aun cuando no es impulsado por una fuerza. Pero entonces, ¿Por qué sigue
moviéndose el carro? Decimos que el carro, o cualquier otro cuerpo, posee una cierta
inercia. La inercia es la resistencia que ofrece un cuerpo a modificar su estado de
movimiento, o dicho en palabras más simples, es la resistencia al cambio de velocidad.
Primera ley de Newton: ley de inercia
Diversos experimentos realizados inicialmente por Galileo y posteriormente por I. Newton,
condujeron al planteo de la primera de las leyes del movimiento, conocida como la ley de
inercia. Esta ley enuncia que:
“todo cuerpo tiende a permanecer en el estado de movimiento en el que se
encuentra si no interactúa con otros cuerpos”,
o dicho de otro modo,
“todo cuerpo tiende a permanecer en reposo o con movimiento rectilíneo y
uniforme si no actúan fuerzas sobre él”.
Fuerzas e interacciones
Para comprender en profundidad las leyes de Newton debemos entender a qué llamamos
fuerza. Si queremos desplazar un mueble, sostener una pesa, tirar de una cuerda o
levantar una carga debemos aplicar una fuerza determinada. En general, asociamos las
fuerzas con acciones concretas, como empujar, levantar o tirar. Sin embargo, en muchos
casos no hace falta una acción concreta para que existan fuerzas. Un libro apoyado sobre
una mesa recibe una fuerza por parte de la mesa, llamada fuerza normal. Un péndulo
soportado por un hilo está sometido a la fuerza ejercida por el hilo. Muchas otras fuerzas
no necesitan de un contacto directo entre dos cuerpos, sino que actúan “a distancia”.
Tales son los casos de la fuerza de gravedad, la fuerza electrostática o las fuerzas
magnéticas. En estos casos las fuerzas (de atracción o de repulsión) estarán presentes
a pesar de que los cuerpos que las experimentan nunca se pongan en contacto.
55
Como vemos, todas las fuerzas conocidas surgen a partir de la interacción entre cuerpos.
Se puede definir a la fuerza como la medida de la interacción entre dos cuerpos. En
realidad, la fuerza es la magnitud física con la cual modelamos los distintos tipos de
interacciones. La fuerza es, entonces, una magnitud vectorial que mide la intensidad con
la que dos cuerpos interactúan entre sí.
La fuerza y su medida
La unidad de fuerza adoptada por el SI es el newton (N). En términos de unidades básicas,
el newton se obtiene como el producto entre la unidad de masa (el kilogramo) y la unidad
de aceleración (m/s2):
1 N = 1 kg · m/s2.
Existen otras unidades para medir fuerza. Entre ellas destacamos el kilogramo fuerza
(kgf), la dina y la libra. Estas últimas dos unidades pertenecen (respectivamente) al
sistema CGS y al sistema inglés (FPS). Las equivalencias con el newton son:
1 N = 0,102 kgf
= 105 dina
= 0,225 lb
Si bien en muchas disciplinas se usan todas estas unidades de medida de fuerza, en este
curso utilizaremos casi exclusivamente el newton para la unidad de fuerza.
Segunda ley de Newton: ley de las masas
La primera ley de Newton nos dice que la velocidad de un cuerpo no cambia si no actúan
fuerzas sobre él. Entonces, ¿qué sucede cuando sí actúan fuerzas sobre un cuerpo? La
experiencia muestra que si se aplican varias fuerzas sobre un cuerpo este adquiere una
aceleración de la misma dirección y sentido que la fuerza resultante, y cuyo módulo es
proporcional al módulo de la fuerza resultante aplicada.
La aceleración adquirida por el cuerpo dependerá de la masa del mismo: mientras menor
sea la masa, mayor será la aceleración y viceversa. La relación entre la fuerza resultante
aplicada, la aceleración adquirida por el cuerpo y la masa del mismo viene dada por la
segunda ley de Newton, que establece que
“la aceleración que adquiere un cuerpo es directamente proporcional a la fuerza
resultante aplicada, tiene la misma dirección y sentido que dicha fuerza y es
inversamente proporcional a la masa del cuerpo.”
La formulación matemática de la segunda ley de Newton es la siguiente:
∑ 𝐹⃗ = 𝑚 ∙ 𝑎⃗
(Segunda Ley de Newton)
donde ∑ 𝐹⃗ representa la sumatoria de fuerzas (es decir, la fuerza resultante aplicada
sobre el cuerpo), 𝑚 es la masa del mismo, y 𝑎⃗ es la aceleración adquirida por el cuerpo.
56
El newton. Podemos ver que la forma matemática de la segunda ley de Newton es consistente
con las unidades de medida de fuerza. En términos de unidades podemos plantear la ecuación:
[𝐹𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎] = [𝑚𝑎𝑠𝑎] ∙ [𝑎𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛]
Siendo el newton la unidad del SI, obtenemos la relación dada previamente:
1 N = 1 kg · m/s2.
Podemos interpretar esta unidad de medida del siguiente modo: 1 N es la fuerza que debe
aplicarse a un cuerpo de 1 kg de masa para que adquiera una aceleración de 1 m/s 2.
Para ilustrar la segunda ley de Newton, en la figura se muestra un cuerpo sobre el cual
hay dos fuerzas aplicadas. Se observa que la aceleración tiene la misma dirección y
sentido que la fuerza resultante aplicada.
De la segunda ley de Newton se desprende el hecho de que, si observamos que un
cuerpo está acelerado, indefectiblemente existe una fuerza resultante aplicada sobre él.
Por otra parte, si la fuerza resultante fuese nula, la aceleración sería nula también. Esta
es la condición de equilibrio para el punto material:
∑ 𝐹⃗ = 0
(Condición de equilibrio para
el punto material)
El hecho de que la sumatoria de fuerzas sea nula implica (sí o sí) que la suma de fuerzas
en cada dirección sea nula también:
∑ 𝐹𝑥 = 0
𝑦
∑ 𝐹𝑦 = 0
Masa y Peso
Hasta aquí hemos hablado de la masa de un cuerpo sin definirla con precisión. ¿Qué
entendemos por masa? Desde el punto de vista de la dinámica, podemos definir a la
masa como la medida de la inercia de un cuerpo: mientras mayor sea la masa de un
cuerpo, mayor será su inercia, y, por ende, más difícil será cambiar su velocidad. La masa
definida de este modo es la masa inercial, y su unidad es el kg.
¿Qué podemos decir sobre el peso? El hecho de que un cuerpo que se suelta desde el
reposo sea acelerado hacia el suelo nos hace pensar que debe existir una fuerza que
impulsa su caída. Esta fuerza, que ya ha sido mencionada previamente, es la fuerza de
atracción gravitacional entre el cuerpo en cuestión y el planeta Tierra, fuerza a la que
comúnmente llamamos peso.
57
Para obtener una expresión que nos permita calcular el peso de un cuerpo, podemos
aplicar la segunda ley de Newton para un cuerpo en caída libre. Sabemos que la suma
de fuerzas es igual a la masa por la aceleración:
∑ 𝐹⃗ = 𝑚 ∙ 𝑎⃗
Mientras el cuerpo cae, la aceleración de caída es la aceleración de
la gravedad. Por otra parte, la única fuerza que actúa es el peso, es
decir, la fuerza de gravedad. Entonces, la suma de fuerzas se reduce
únicamente al peso, con lo cual podemos plantear
𝑃⃗⃗ = 𝑚 ∙ 𝑔⃗
De este modo, el peso de un cuerpo se obtiene como:
|𝑃⃗⃗ | = 𝑚 ∙ |𝑔⃗|
o simplemente
𝑃 =𝑚∙𝑔
Dado que la masa se expresa en kg y la aceleración de la gravedad, en m/s2, el peso así
calculado quedará expresado en N. Así, por ejemplo, el peso de una persona de 80 kg es
𝑃 = 80 kg ∙ 9,8
m
= 784 N.
s2
Al hablar de las unidades de medida de fuerza hemos mencionado el kilogramo-fuerza.
La equivalencia dada entre el newton y el kilogramo-fuerza es 1 N = 0,102 kgf, o bien,
1 kgf = 9,8 N. El peso de la persona del ejemplo anterior, expresado en kgf, será
𝑃 = 784 N ∙ (
1 kgf
) = 80 kgf.
9,8 N
Vemos entonces que el peso de la persona, expresado en kgf, coincide numéricamente
con su masa, expresada en kg. ¿Significa esto que la masa y el peso de una persona son
iguales? Definitivamente no. El hecho de que los valores numéricos coincidan es una
consecuencia de las unidades elegidas, pero bajo ningún punto de vista podemos igualar
la masa de un cuerpo con su peso. Es muy importante distinguir los conceptos de masa
y peso: la masa es una propiedad del cuerpo relacionada con su inercia, mientras que el
peso es la medida de la fuerza de atracción entre el cuerpo y la Tierra.
Tercera ley del movimiento: ley de acción y reacción
Hemos visto que las fuerzas están ligadas a las interacciones entre cuerpos.
Lógicamente, cualquier tipo de interacción entre dos cuerpos es una interacción mutua:
si un cuerpo interactúa con otro, este otro interactúa con el primero. Newton no solo logró
comprender esta forma de obrar de la naturaleza, sino que, además, advirtió que estas
interacciones serían iguales en un cuerpo y en el otro. La tercera ley de Newton dice que:
“Si un cuerpo ejerce una fuerza sobre otro, este segundo cuerpo ejerce una fuerza
de igual módulo y dirección, pero de sentido opuesto sobre el primero.”
58
De la tercera ley de Newton se desprende el hecho de que las fuerzas no aparecen en
forma aislada, sino que siempre vienen de a pares, cada una aplicada sobre uno de los
cuerpos que participan de la interacción. A estos pares de fuerzas se los llama pares de
acción-reacción. Es importante notar que para exista un par de acción-reacción se
necesitan dos cuerpos que interactúen entre sí. Esto es, los pares de acción-reacción
nunca aparecen sobre el mismo cuerpo.
Aplicaciones de las leyes de Newton
A continuación, se veremos algunos conceptos e ideas que nos ayudarán a plantear
problemas de dinámica.
La fuerza normal.
Cuando un cuerpo se apoya sobre una superficie, este ejerce una fuerza sobre la misma.
A partir de la tercera ley de Newton podemos concluir que la superficie de apoyo ejerce
sobre el cuerpo una fuerza igual y opuesta a la que el cuerpo ejerce sobre ella. Esta
fuerza, la fuerza que una superficie ejerce sobre un cuerpo que se encuentre apoyado
sobre ella, se la conoce como fuerza normal. En algunos casos particulares, la fuerza
normal coincide numéricamente con el peso, pero en la mayor parte de los problemas, la
fuerza normal tomará un valor diferente para cada situación.
Diagrama de cuerpo libre.
Para resolver problemas de dinámica, debemos ser capaces de plantear correctamente
la segunda ley de Newton, y para hacerlo, lo primero y principal es identificar las fuerzas
que obran sobre el (los) cuerpo(s) bajo estudio. La forma más práctica de hacerlo consiste
en dibujar un diagrama que muestre todas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo. A este
diagrama lo llamamos diagrama de cuerpo libre. Realizar un diagrama de cuerpo libre
supone dibujar en forma aislada cada uno de los cuerpos que intervienen en el problema,
y representar todas las fuerzas que actúan sobre ellos. Este diagrama es fundamental,
ya que nos basamos en él para el planteo de la segunda ley de Newton. En los ejercicios
resueltos se presentan algunos ejemplos de diagramas de cuerpo libre.
Principio de independencia de los movimientos
Dado que en la mayor parte de los problemas de dinámica las fuerzas actúan en
diferentes direcciones, muchas veces es conveniente analizar separadamente lo que
sucede en cada dirección. Es decir, podemos plantear la sumatoria de fuerzas (y/o
componentes de fuerzas) para el eje 𝑥 en forma independiente de la sumatoria de fuerzas
en el eje 𝑦. Esto es posible porque los movimientos que ocurren a lo largo de cada eje
son independientes entre sí. Puede darse el caso de que la suma de fuerzas sea nula en
uno de los ejes y no en el otro, con lo cual habrá aceleración solo en la dirección para la
cual la suma de fuerzas es diferente de cero. Esta característica de la naturaleza de los
movimientos recibe el nombre de principio de independencia de los movimientos: cuando
se desarrolla un movimiento compuesto (aquel donde se superponen dos o más
movimientos simples) cada uno se realiza como si el otro no existiese.
59
Descomposición de fuerzas en el plano inclinado.
Para concluir este Capítulo, vamos a aplicar los conceptos vistos al problema de un
cuerpo que se deja en libertad en un plano inclinado sin fricción. Cuando un cuerpo o un
conjunto de cuerpos se encuentra en un plano inclinado, es conveniente elegir un sistema
de referencia con un eje 𝑥 paralelo al plano y un eje 𝑦 perpendicular al mismo. Con ello,
si hay aceleración, solo se dará en la dirección del eje 𝑥, habiendo equilibrio en el eje 𝑦.
La siguiente figura (izquierda) muestra un cuerpo apoyado sobre un plano inclinado un
ángulo 𝛼 con respecto a la horizontal. Las fuerzas que actúan sobre el cuerpo se
representan en el diagrama de cuerpo libre (figura de la derecha); ellas son el peso (𝑃⃗⃗) y
⃗⃗). Como vemos, el peso actúa parcialmente en la dirección 𝑥 y
la fuerza normal (𝑁
parcialmente en 𝑦, con lo cual, necesitamos realizar la descomposición vectorial.
Según el esquema, vemos que el peso forma un ángulo con el eje 𝑦 que es igual al ángulo
de inclinación del plano. En función de este ángulo las componentes del peso son:
𝑃𝑥 = 𝑃 ∙ sen 𝛼
𝑃𝑦 = 𝑃 ∙ cos 𝛼
Siendo 𝑃 = 𝑚 ∙ 𝑔
Si quisiéramos determinar la aceleración en este ejemplo, deberíamos plantear la
segunda ley de Newton para el eje 𝑥. Observando el diagrama de cuerpo libre, vemos
que la única fuerza (componente, en este caso) que actúa sobre el eje 𝑥 es 𝑃𝑥 . Por lo
tanto, la segunda ley de Newton puede plantearse así:
∑ 𝐹𝑥 = 𝑚 ∙ 𝑎𝑥
⇒ 𝑃𝑥 = 𝑚 ∙ 𝑎
En este último paso hemos eliminado el subíndice de la aceleración porque sabemos que
es la única existente (dado que no hay aceleración en el eje 𝑦). Resolviendo se encuentra:
𝑎=
𝑃𝑥 𝑃 ∙ sen 𝛼
=
𝑚
𝑚
60
Como se observa, mientras mayor sea la inclinación del plano, mayor será 𝑃𝑥 y, por ende,
mayor será la aceleración. Hay que aclarar que este resultado será válido siempre y
cuando no actúen otras fuerzas. En el caso de que haya otras fuerzas aplicadas, estas
deben agregarse al planteo.
Veamos ahora cómo calcular la fuerza normal. Nuevamente debemos plantear la
segunda ley de Newton, pero en este caso, para el eje 𝑦. En el diagrama de cuerpo libre
se observa que las únicas fuerzas que actúan en este eje son la componente 𝑃𝑦 y fuerza
la normal. Dado que debe existir equilibrio en este eje, por ser nula la aceleración (es
decir, que el cuerpo no pega saltos ni se hunde en el plano), ambas fuerzas deben ser de
igual módulo, de modo que se compensen mutuamente. Esto es,
∑ 𝐹𝑦 = 0
⇒
𝑁 − 𝑃𝑦 = 0
𝑁 = 𝑃𝑦
𝑁 = 𝑃 cos 𝛼
¿Cómo se resuelven los problemas de física? Para resolver la mayoría de los problemas de
dinámica conviene seguir una serie de pasos, que sin ser rigurosa, puede ayudar a no cometer
errores:
1. Identificar los conceptos principales que intervienen en el problema. Esto implica comprender
la situación que se está analizando, poder identificar las variables implicadas, cuáles de ellas
son datos y cuales son incógnitas del problema.
2. Realizar un esquema de la situación. Este esquema puede ser un simple dibujo en el que se
representen los cuerpos bajo estudio y las características principales del problema. Sobre este
mismo dibujo puede representarse el sistema de referencia elegido.
3. Realizar el diagrama de cuerpo libre para cada cuerpo del problema. En cada diagrama deben
figurar las fuerzas aplicadas sobre el cuerpo en cuestión. Hay que recordar que el
planteamiento de la segunda ley de Newton se efectúa en base a estos diagramas. En los
diagramas pueden dibujarse también las componentes de las fuerzas que actúen en
direcciones diferentes a las de los ejes coordenados, siempre que sea claro que no son fuerzas
nuevas, sino una descomposición vectorial de las ya representadas.
4. Plantear las ecuaciones y resolver. Dependiendo del problema con el que se esté trabajando,
puede ser necesario plantear la segunda ley de Newton para cada eje coordenado, o bien,
plantear la suma de fuerzas solo en la dirección del movimiento.
5. Interpretar la respuesta. La interpretación de la respuesta obtenida en un problema implica,
entre otras cosas, corroborar que las unidades de medida sean las adecuadas, verificar si la
respuesta es coherente con la situación que se analiza, chequear el número de cifras
significativas en el resultado.
61
Ejercicios resueltos del Capítulo 3
Ejercicio 1
En la figura se muestran dos fuerzas concurrentes, 𝐹⃗1
y 𝐹⃗2 , cuyos módulos son 50 N y 25 N respectivamente.
𝑦
La fuerza 𝐹⃗1 forma un ángulo de 37° con el semieje
positivo 𝑥, mientras que la fuerza 𝐹⃗2 forma un ángulo
𝐹⃗2
de 90° con dicho semieje. Hallar: a) la fuerza
resultante, en forma gráfica, b) las componentes
cartesianas de ambas fuerzas (es decir, 𝐹1𝑥 , 𝐹1𝑦 , 𝐹2𝑥 y
𝐹2𝑦 ), en forma analítica, c) el módulo de la fuerza
resultante, en forma analítica, y d) el ángulo que forma
la fuerza resultante con el semieje positivo 𝑥.
𝐹⃗1
𝑥
Resolución
a) Para determinar gráficamente la fuerza resultante,
se puede utilizar el método del paralelogramo.
Trazando un paralelogramo cuyos lados sean los
vectores que se quieren sumar, la fuerza resultante
se obtiene como la diagonal del paralelogramo, cuyo
origen es común al de los vectores. La figura de la
derecha muestra la resolución gráfica.
𝑦
𝐹⃗2
𝑅⃗⃗
𝐹⃗1
b) Las componentes de la fuerza 𝐹⃗1 son
𝑥
𝐹1𝑥 = 𝐹1 ∙ cos 𝛼1 = 50 N ∙ cos 37° = 40 N.
𝐹1𝑦 = 𝐹1 ∙ sen α1 = 50 N ∙ sen 37° = 30 N.
En el caso de la fuerza 𝐹⃗2 , ya que forma 90° con el eje 𝑥, la componente horizontal será
nula. Sus componentes serán:
𝐹2𝑥 = 0
𝐹2𝑦 = 25 N
y
c) Para hallar el módulo de la fuerza resultante primero calculamos sus componentes
𝑅𝑥 = 𝐹1𝑥 + 𝐹2𝑥
= 40 N + 0 N = 40 N
𝑅𝑦 = 𝐹1𝑦 + 𝐹2𝑦
= 30 N + 25 N = 55 N
2
2
Luego, el módulo será
⃗⃗⃗⃗1 | + |𝐹
⃗⃗⃗⃗⃗2 | = √(40 N)2 + (55 N)2 = 68 N
|𝑅⃗⃗ | = √|𝐹
d) Luego, el ángulo es
𝛼𝑅 = arc tg ( 𝑦 ) = 54°.
𝑅
𝑅𝑥
62
Ejercicio 2
En la figura se muestran dos fuerzas concurrentes, 𝐹⃗1 y
𝐹⃗2 , cuyos módulos son 40 N y 30 N respectivamente. La
fuerza 𝐹⃗1 forma un ángulo de 53° con el semieje positivo
𝑥, mientras que la fuerza 𝐹⃗2 forma un ángulo de 30° por
debajo de dicho semieje. a) Obtenga la fuerza resultante,
en forma gráfica. b) Calcule en forma analítica las
componentes cartesianas de ambas fuerzas (es decir,
𝐹1𝑥 , 𝐹1𝑦 , 𝐹2𝑥 y 𝐹2𝑦 ). c) Determine el módulo de la fuerza
resultante, en forma analítica. d) Calcule el ángulo que
forma la fuerza resultante con el semieje positivo 𝑥.
Resolución
a) La imagen de la derecha muestra la resolución
gráfica mediante el método del paralelogramo.
b) Las componentes de las fuerzas 𝐹⃗1 y 𝐹⃗2 son:
𝐹1𝑥 = 𝐹1 ∙ cos 𝛼1 = 40 N ∙ cos 53° = 24 N.
𝑅⃗⃗
𝐹1𝑦 = 𝐹1 ∙ sen 𝛼1 = 40 N ∙ sen 53° = 32 N
𝐹2𝑥 = 𝐹2 ∙ cos 𝛼2 = 30 N ∙ cos 30° = 26 N.
𝐹2𝑦 = − 𝐹2 ∙ sen 𝛼2 = −30 N ∙ sen 30° = −15 N
Como vemos, la componente 𝐹2𝑦 es negativa, dado
que es opuesta al sentido positivo del eje 𝑦.
c) La fuerza resultante puede hallarse de dos maneras. Un camino es usar el teorema del
coseno. Otro camino es hallar las componentes de la fuerza resultante y calcular el
módulo por Pitágoras. En este ejemplo vamos a mostrar los dos caminos.
Cálculo mediante el teorema del coseno. Los módulos de las fuerzas que se suman son
40 N y 30 N y el ángulo que forman entre sí es 83°. Con estos datos planteamos
2
2
⃗⃗⃗⃗1 | + |𝐹
⃗⃗⃗⃗⃗2 | + 2 ∙ |𝐹
⃗⃗⃗⃗1 | ∙ |𝐹
⃗⃗⃗⃗⃗2 | ∙ cos 𝛽
|𝑅⃗⃗ | = √|𝐹
|𝑅⃗⃗ | = √(40 N)2 + (30 N)2 + 2 ∙ 40 N ∙ 30 N ∙ cos 83° = 52,8 N
Cálculo de la resultante a partir de sus componentes. Las componentes de la fuerza
resultante se calculan del siguiente modo:
𝑅𝑥 = 𝐹1𝑥 + 𝐹2𝑥
𝑅𝑦 = 𝐹1𝑦 + 𝐹2𝑦
= 24 N + 26 N
= 32 N − 15 N
= 50 N
= 17 N
63
Luego, el módulo de la fuerza resultante será
2
2
⃗⃗⃗⃗1 | + |𝐹
⃗⃗⃗⃗⃗2 |
|𝑅⃗⃗ | = √|𝐹
= √(50 N)2 + (17 N)2
= 52,8 N
Lógicamente, ambos métodos llevan al mismo resultado.
d) Para hallar el ángulo de la fuerza resultante, conocidas sus componentes, planteamos
la relación
𝛼𝑅 = arc tg (
𝑅𝑦
) = 18,8°
𝑅𝑥
Ejercicio 3
Un carrito de 50 kg masa está situado sobre un plano de 20° de inclinación. a) ¿Qué
fuerza paralela al plano inclinado habrá que aplicarle para mantenerlo en equilibrio?
b) ¿Cuál es el módulo de la fuerza normal?
a) La figura muestra la fuerza 𝐹⃗1 que mantiene en equilibrio al carrito. Para hallar el módulo
de esta fuerza conviene descomponer a la fuerza peso en dos componentes, una de ellas
paralela al plano inclinado y la otra, perpendicular al mismo. La figura siguiente muestra
el diagrama de cuerpo libre. Aplicando la segunda ley de Newton para el eje 𝑥 resulta:
∑ 𝐹𝑥 = 𝑚 ∙ 𝑎𝑥
⇒ 𝐹1 − 𝑃𝑥 = 𝑚 ∙ 𝑎
Si el cuerpo está en equilibrio, 𝑎 = 0, de modo que
𝐹1 = 𝑃𝑥
= 𝑚 ∙ 𝑔 ∙ sen 𝛼
m
= 50 kg ∙ 9,8 2 ∙ sen 20°
s
= 168 N.
64
b) Para averiguar el módulo de la fuerza normal planteamos la sumatoria de fuerzas en
el eje 𝑦. Al al ser 𝑎𝑦 = 0, se tiene
∑ 𝐹𝑦 = 0
𝑁 − 𝑃𝑦 = 0
Con lo cual,
𝑁 = 𝑃𝑦
y
Luego,
𝑁 = 𝑚 ∙ 𝑔 ∙ cos 𝛼
m
= 50 kg ∙ 9,8 2 ∙ cos 20°
s
= 460 N.
Ejercicio 4
Sobre un cuerpo se aplican dos fuerzas concurrentes, 𝐹⃗1 y 𝐹⃗2 , cuyos módulos son 40 N y
20 N respectivamente. La fuerza 𝐹⃗1 forma un ángulo de 53° con el semieje positivo 𝑥,
mientras que la fuerza 𝐹⃗2 tiene la dirección y sentido de dicho semieje. Determine las
componentes y el módulo que debería tener una tercera fuerza que haga que el cuerpo
se mantenga en equilibrio.
Resolución
Para determinar las componentes y el módulo de la tercera fuerza, deberíamos plantear
que el sistema completo, formado por las fuerzas 𝐹⃗1 , 𝐹⃗2 y 𝐹⃗3 se encuentre en equilibrio,
es decir, que la sumatoria de fuerzas sea nula:
∑ 𝐹⃗ = 0
y para cada eje:
∑ 𝐹𝑥 = 0
𝑦
∑ 𝐹𝑦 = 0
Para el eje 𝑥 tenemos:
𝐹1𝑥 + 𝐹2𝑥 + 𝐹3𝑥 = 0
⇒
𝐹3𝑥 = −𝐹1𝑥 − 𝐹2𝑥
Teniendo en cuenta que
𝐹1𝑥 = 𝐹1 ∙ cos 53° = 24 N
Obtenemos
y
𝐹2𝑥 = 20 N
𝐹3𝑥 = −24 N − 20 N = −44 N.
De modo similar, para el eje 𝑦 tenemos:
𝐹1𝑦 + 𝐹2𝑦 + 𝐹3𝑦 = 0
⇒
65
𝐹3𝑦 = −𝐹1𝑦 − 𝐹2𝑦
En este caso, es
𝐹1𝑦 = 𝐹1 ∙ sen 53° = 32 N
De modo que
y
𝐹2𝑦 = 0
𝐹⃗1 + 𝐹⃗2
𝑦
𝐹⃗1
𝐹3𝑥 = −32 N
El módulo de la tercera fuerza es
|𝐹⃗3 | = √𝐹3𝑥 2 + 𝐹3𝑦 2
=
√(−44 N)2
+
𝐹⃗2
(−32 N)2
𝑥
𝐹⃗3
= 54,4 N
La figura de la derecha muestra la suma
entre las fuerzas 𝐹⃗1 y 𝐹⃗2 y la fuerza 𝐹⃗3 , que
es opuesta a la suma entre 𝐹⃗1 y 𝐹⃗2 .
Ejercicio 5
Un automóvil de 1000 kg se encuentra en reposo en un camino horizontal. ¿Cuál debe
ser la fuerza neta que debe aplicarse para que adquiera una aceleración de 2,30 m/s2?
Resolución
Para resolver, primero identifiquemos los datos. Según el enunciado, la masa del
automóvil es 𝑚 = 1000 kg y la aceleración es 𝑎 = 2,30 m/s2 . En este ejemplo solo nos
interesa averiguar la fuerza neta, y para hacerlo, podemos usar la segunda ley de Newton.
Si llamamos 𝐹 a la fuerza neta, podemos plantear
𝐹 =𝑚∙𝑎
Luego,
𝐹 = 1000 kg ∙ 2,30
m
s2
= 2300 N.
Ya que el producto entre kg y m/s2 da como resultado el newton, la respuesta final es
2300 N.
Ejercicio 6
Determinar cuál debe ser la intensidad de la fuerza que debe aplicarse para que el
automóvil del ejercicio anterior (𝑚 = 1000 kg) se detenga completamente luego de
5 segundos, si se mueve con una velocidad inicial de 54 km/h.
Resolución
Nuevamente, podemos aplicar la segunda ley de Newton. En este caso la masa es
conocida, pero la aceleración no es un dato conocido. Sin embargo, podemos averiguar
66
la aceleración, dado que conocemos las velocidades inicial y final y también sabemos
cuánto tiempo debe transcurrir para que el auto se frene.
Para evitar problemas con las unidades de medida, es conveniente convertir todas las
unidades al SI al comenzar con la resolución. La velocidad inicial es:
54
km
1000 m
m
= 54
= 15
h
3600 s
s
Ya que el automóvil se detiene completamente, la velocidad final será nula. Con la
velocidad inicial conocida, podemos plantear el cálculo de la aceleración:
m
m
0 s − 15 s
𝑎=
5s
m
= −3,00 2
s
La aceleración tiene signo negativo porque es opuesta a la velocidad inicial, a la cual la
consideramos como positiva. Finalmente, la fuerza necesaria para frenar al automóvil es:
𝐹 =𝑚∙𝑎
= 1000 kg ∙ (−3,00
m
)
s2
= −3000 N.
Al igual que la aceleración, la fuerza es negativa, ya que es una fuerza opuesta al sentido
inicial del movimiento.
Ejercicio 7
Determinar la fuerza necesaria para que el automóvil del ejercicio anterior (𝑚 = 1000 kg)
se frene completamente luego de recorrer un trayecto de 90 m en línea recta, partiendo
de la misma velocidad inicial de 54 km/h.
Resolución
Para determinar la fuerza necesaria para detener al automóvil, primero calculamos la
aceleración. Para hacerlo, podemos utilizar la fórmula de recurrencia. Despejando la
aceleración de dicha fórmula, obtenemos
𝑎=
𝑣 2 − 𝑣02
2 ∙ ∆𝑥
Reemplazando los valores del ejercicio nos queda
m 2
m 2
(0 s ) − (15 s )
𝑎=
2 ∙ 90 m
m
= −1,25 2
s
Con la aceleración calculada, podemos determinar la fuerza neta aplicando la segunda
ley de Newton:
67
𝐹 =𝑚∙𝑎
= 1000 kg ∙ (−1,25
m
)
s2
= −1250 N.
Ejercicio 8
Hallar la fuerza de empuje que deben ejercer las turbinas de un avión Jumbo 747
plenamente cargado, cuya masa es de 340 toneladas, si necesita desplazarse 2200 m
sobre la pista para poder alcanzar la velocidad de despegue de 342 km/h partiendo del
reposo.
Resolución
Este ejercicio es muy similar al anterior. Para averiguar la fuerza previamente debe
hallarse la aceleración del avión, para lo que resulta aconsejable utilizar la fórmula de
recurrencia.
𝑎=
𝑣 2 − 𝑣02
2 ∙ ∆𝑥
La velocidad de despegue de 342 km/h equivale a 95 m/s. Como la fuerza que impulsa al
avión tiene la misma dirección y sentido que la aceleración, puede trabajarse con los
módulos. Lo que haremos en este caso será remplazar la expresión de la aceleración en
la segunda ley de Newton, de modo de resolver un único cálculo. Con los datos del
ejercicio planteamos:
𝐹 =𝑚∙𝑎
=𝑚∙(
𝑣 2 − 𝑣02
)
2 ∙ ∆𝑥
m 2
m 2
(95 s ) − (0 s )
= 340 000 kg ∙ [
]
2 ∙ 2200 m
= 697 000 N.
Ejercicio 9
Sobre un cuerpo de 30 kg que se mueve a 54 km/h actúa una fuerza de 50 N en la misma
dirección y sentido que la velocidad. Calcular: a) el tiempo que demorará en alcanzar la
velocidad de 72 km/h. b) la distancia necesaria en la que deberá actuar la fuerza para
duplicar su velocidad inicial.
Resolución
En primer lugar, convertimos las unidades de las velocidades:
𝑣0 = 54
1000 m
m
= 15
3600 s
s
68
1000 m
m
= 20
3600 s
s
m
2 𝑣0 = 30
s
𝑣 = 72
a) Como la fuerza tiene la misma dirección y sentido que la velocidad, se puede trabajar
la segunda ley de Newton en forma escalar:
𝐹 =𝑚∙𝑎
𝑣−𝑣0
)
∆𝑡
Reemplazando la aceleración por la expresión (
obtenemos
𝑣 − 𝑣0
𝐹 =𝑚∙(
)
∆𝑡
De esta última expresión podemos despejar el tiempo
∆𝑡 =
𝑚 ∙ (𝑣 − 𝑣0 )
𝐹
y, reemplazando por los valores, obtenemos
m
m
30 kg ∙ (20 s − 15 s )
∆𝑡 =
= 3, 0 s.
50 N
b) Utilizando la fórmula de recurrencia se puede averiguar el desplazamiento:
∆𝑥 =
𝑣 2 − 𝑣02
2∙𝑎
y teniendo en cuenta que podemos expresar la aceleración como 𝑎 = 𝐹/𝑚, planteamos:
∆𝑥 =
𝑣 2 − 𝑣02
𝐹
2 ∙ (𝑚)
o bien,
∆𝑥 = 𝑚 ∙
𝑣 2 − 𝑣02
2∙𝐹
Reemplazando por los valores,
m 2
m 2
(30 s ) − (15 s )
∆𝑥 = 30 kg ∙ [
]
2 ∙ 50 m
= 203 m.
La distancia recorrida para duplicar su velocidad inicial es 203 m.
69
Ejercicio 10
Un cuerpo de 4 kg es tirado hacia arriba por medio de una soga imprimiéndole una
aceleración de 0,40 m/s2. Hallar la tensión de la soga.
Resolución
Sobre el cuerpo actúan dos fuerzas de sentidos opuestos, como se indica en el diagrama
de cuerpo libre. Las fuerzas son la tensión del hilo y el peso del cuerpo. Aplicando la ley
de Newton para el sistema de referencia indicado, obtenemos:
∑𝐹 = 𝑚 ∙ 𝑎
⇒
𝑇−𝑃 =𝑚∙𝑎
Despejando la tensión y resolviendo obtenemos:
𝑇 =𝑃+𝑚∙𝑎
= 𝑚 ∙ |𝑔⃗| + 𝑚 ∙ 𝑎
m
m
= 4 kg ∙ 9,8 2 + 4 kg ∙ 0,4 2
s
s
= 40,8 N.
Ejercicio 11
Una locomotora de 12 000 kg tira de un tren de 68 000 kg a lo largo de una vía horizontal
con una aceleración 𝑎1 = 1,20 m/s2 . Hallar la aceleración con la que tirará de un tren de
36 000 kg aplicando la misma fuerza.
Resolución
Como la fuerza que impulsa al tren tiene la misma dirección y sentido que la aceleración,
puede trabajarse con los módulos. Planteando la segunda ley de Newton queda:
𝐹𝐿 = 𝑚 ∙ 𝑎
Para hallar la aceleración del segundo tren, primero debemos conocer la fuerza que
ejerce la locomotora. Reemplazando en lo anterior obtenemos:
𝐹𝐿 = (𝑚𝐿 + 𝑚1 ) ∙ 𝑎1
= (12 000 kg + 68 000 kg) ∙ 1,2
m
s2
= 96 000 N.
Conocida la fuerza, calculamos la aceleración del segundo tren.
𝐹𝐿 = (𝑚𝐿 + 𝑚2 ) ∙ 𝑎2
⇒
𝑎2 =
𝐹𝐿
(𝑚𝐿 + 𝑚2 )
𝑎2 =
96 000 N
(12 000 kg + 36 000 kg)
𝑎2 = 2,0
70
m
s2
.
Ejercicios propuestos para el Capítulo 3
Vectores
1. Obtener gráficamente la resultante de un sistema formado por dos fuerzas, de 15 N y
25 N respectivamente, para los siguientes casos: a) ambas fuerzas son de la misma
dirección y sentido, b) ambas son de la misma dirección, pero de sentido contrario, c) las
fuerzas son perpendiculares, d) forman un ángulo de 60°.
2. Una fuerza de 40 N forma un ángulo de 37° con el semieje positivo x. a) Calcular sus
componentes. b) Elegir una escala conveniente y graficar.
3. Para la fuerza graficada en la figura se pide, a) obtener gráficamente las componentes
horizontal y vertical, y b) determinar el valor de la fuerza y de las componentes tomando
una escala de 1 cm = 5 kgf.
Ejercicio 3
4. a) Calcular la velocidad de un pájaro si sus alas le imprimen una rapidez de 40 km/h
hacia el este, y el viento lo empuja desde el sur con una rapidez de 30 km/h. b) ¿Cuál es
el ángulo que forma con la dirección oeste-este? c) Obtener la velocidad resultante
gráficamente y comparar el resultado con el resultado calculado.
5. Sobre un mismo cuerpo se aplican dos fuerzas. La primera fuerza, de 40 N tiene la
dirección y sentido del eje +𝑥. La segunda fuerza forma 53° con el semieje positivo 𝑥 y
tiene un módulo de 50 N. a) Grafique ambas fuerzas y obtenga la resultante en forma
gráfica. Determine el módulo de la fuerza resultante a partir de la escala elegida y mida
el ángulo con respecto al eje 𝑥. b) Determine las componentes y el módulo de la fuerza
resultante en forma analítica. c) Calcule el ángulo que forma la fuerza resultante con el
semieje positivo 𝑥. Compare los resultados de los incisos b) y c) con los resultados de a)
¿Coinciden los resultados?
6. Se tiene un sistema formado por dos fuerzas. La primera, 𝐹⃗1 , de 60 N, forma un ángulo
de 53° con el semieje positivo 𝑥, y segunda, 𝐹⃗2 , de 45 N, que forma un ángulo de 127°,
también con el semieje positivo 𝑥. Se pide: a) descomponer las fuerzas según los ejes
cartesianos, b) hallar el módulo y el ángulo la fuerza resultante del sistema analíticamente
y c) graficar ambas fuerzas y obtener el módulo de la resultante a partir del gráfico.
71
7. La figura siguiente (izquierda) muestra tres fuerzas concurrentes, donde |𝐹⃗𝐴 |= 20 N,
|𝐹⃗𝐵 |= 40 N, y |𝐹⃗𝐶 |= 30 N. Calcule a) las componentes cartesianas de cada vector, b) el
módulo de la fuerza resultante, y c) el ángulo que forma el vector resultante con el eje 𝑥.
𝐹⃗𝐴
𝐹⃗𝐵
𝐹⃗𝐶
Ejercicio 7
Ejercicio 8
8. Dos personas empujan una caja, con fuerzas de módulos |𝐹⃗1 |= 100 N y |𝐹⃗2 |= 150 N.
La figura de la derecha muestra la caja vista desde arriba. ¿Cuál es el módulo y el ángulo
de la fuerza que debería aplicar una tercera persona para que la resultante aplicada sobre
la caja sea nula?
9. Un cuerpo de 300 N de peso se apoya sobre un plano inclinado sin rozamiento, tal
como se muestra en la figura. Sabiendo que el ángulo del plano inclinado es de 30°, se
pide: a) descomponer el peso del cuerpo según las direcciones paralela y perpendicular
al plano; b) Determinar cuál debe ser la tensión en la cuerda para mantener el equilibrio.
Ejercicio 9
10. Un semáforo de 40,0 kgf se sostiene mediante dos cables que forman 15° y 25°
respectivamente con la horizontal. Hallar las tensiones en los cables.
Ejercicio 10
72
Leyes de Newton
11. Un automóvil de 960 kg en reposo arranca y al cabo de 10 segundos su velocidad es
de 25 m/s. Determinar el módulo de la fuerza que acelera al automóvil.
12. Si un cuerpo de masa de 8 kg se encuentra en reposo y se le aplica una fuerza de
modo que recorra 14 m en 4 segundos, ¿Qué valor tendrá la fuerza resultante aplicada?
13. Un automóvil de 1100 kg de masa acelera desde 30 km/h hasta 57 km/h en
3 segundos. ¿Cuál es la fuerza que actuó sobre el automóvil?
14. a) ¿Cuál es la masa de un cuerpo si adquiere una aceleración de 5 m/s2 cuando se le
aplica una fuerza de 250 N? b) Si se agrega una fuerza de 100 N de sentido opuesto a la
anterior ¿Cuál será su nueva aceleración?
15. Una fuerza horizontal de 125 N actúa sobre una caja de 38 kg que inicialmente está
en reposo en el piso de una bodega. a) ¿Que aceleración adquiere la caja? b) ¿Que
distancia recorrerá la caja en 2,0 s? c) ¿Qué rapidez tendrá la caja en t = 2 s?
16. a) ¿Cuál es la fuerza que debe aplicarse sobre un vehículo de 1200 kg de masa para
que adquiera una aceración de 4 m/s2? b) ¿Cuál será la aceleración de este vehículo si
es remolcado por una cinta que ejerce una fuerza horizontal de 840 N?
17. Una camioneta de 1500 Kg de masa avanza en línea recta a una velocidad constante
de 90 Km/h. En determinado instante, el conductor aplica suavemente los frenos,
produciendo una desaceleración que hace que el vehículo se detenga al cabo de medio
minuto. Calcule: a) la fuerza de frenado, b) la distancia de frenado, c) la fuerza que se
necesitaría para detener al vehículo en 5 s para la velocidad inicial de 90 km/h, y d) la
distancia de frenado en este caso.
18. Se desea aplicar una aceleración de 0,7 m/s a un cuerpo de 600 N de peso. Hallar el
módulo de la fuerza necesaria.
19. Hallar la masa de un cuerpo inicialmente en reposo, sabiendo que al aplicarle una
fuerza 𝐹 = 50 N a lo largo de un desplazamiento de 2,2 m alcanza una velocidad de
1,5 m/s.
20. La aceleración de la gravedad en Marte es 3,7 m/s2. a) ¿Cuál es el peso de una
persona de 70 kg de masa en Marte? b) Si el peso de esa persona en la Luna es 112 N,
¿Cuál es la aceleración de la gravedad en la Luna?
21. a) Calcular la fuerza que debe aplicarse a un cuerpo de 4,5 kg de masa para que su
velocidad aumente desde 3,0 m/s hasta 8,0 m/s, recorriendo un trayecto rectilíneo de
15 m. b) ¿Cuánto tiempo demora en recorrer dicho trayecto?
22. Un cuerpo cuya masa es de 4,0 kg, se mueve con una velocidad de 5,0 m/s ¿Qué
fuerza es necesaria para que en los próximos 10 s recorra una distancia igual a: a) 80 m;
b) 60 m; c) 45 m?
23. Un cuerpo de 8,00 kg se encuentra sobre un plano inclinado 30,0°. a) ¿Cuál es la
fuerza que debe aplicarse sobre el cuerpo, paralela al plano, para mantenerlo en
equilibrio? b) ¿Cuál es la fuerza que debe aplicarse sobre un cuerpo, paralela al plano,
73
para que ascienda por el plano con una aceleración de 2 m/s2? c) ¿Cuál es la fuerza
normal aplicada sobre el cuerpo?
24. Un esquiador de 70 kg comienza a deslizarse hacia abajo por una pendiente nevada
de 20° con la horizontal. Determinar: a) la aceleración, b) la velocidad que alcanza a los
10 segundos de iniciar el descenso, c) el desplazamiento en ese tiempo.
25. a) Determinar la intensidad de la fuerza vertical que debe aplicarse sobre una carga
de 4 kg para elevarla con una aceleración de 1,5 m/s hacia arriba. b) Determinar la
intensidad de la fuerza vertical necesaria para que la misma carga descienda con una
aceleración de 1,5 m/s hacia abajo.
26. Un hombre de 70 kg de masa se halla en un ascensor. Hallar la fuerza que hace el
ascensor sobre el hombre: a) si sube con velocidad constante; b) si baja con velocidad
constante; c) si sube con aceleración de 2m/s2; d) si baja con aceleración de 2 m/s2.
27. Una estudiante coloca en el piso del ascensor una balanza de baño y sube sobre ella.
Observa que cuando el ascensor arranca hacia arriba la balanza indica 600 N, cuando se
mueve con velocidad constante indica 490 N y cuando está deteniéndose indica 380 N.
Hallar: a) la masa de la estudiante, b) la aceleración cuando el ascensor arranca,
c) la aceleración cuando el ascensor está deteniéndose.
28. Una camioneta tipo 4x4 de 2.200 kg de masa sube una cuesta de 30° de inclinación.
Calcular la fuerza que ejerce el motor si la velocidad pasa de 36 km/h a 48 km/h en
2 minutos.
29. Un tren está formado por una locomotora de 30.000 kg y dos vagones iguales de
12.000 kg cada uno. Parte del reposo y al cabo de un minuto tiene una velocidad de
54 km/h. Hallar: a) la aceleración del tren. b) la fuerza ejercida por la locomotora. c) la
fuerza ejercida en el gancho de unión entre la locomotora y el primer vagón. d) ídem entre
los dos vagones.
30. Un astronauta con su traje espacial tiene una masa de 100 kg. La masa del
transbordador en el que se encuentra tiene una masa de 12.000 kg. Para alejarse del
transbordador, el astronauta lo empuja apoyándose sobre él, aplicando una fuerza de
200 N. ¿Cuál es la aceleración que adquiere el astronauta? ¿Y el transbordador?
74
Capítulo 4:
Trabajo, Energía y Potencia
Introducción al concepto de energía
La energía es una de las magnitudes físicas de mayor importancia tanto en ciencias como
en ingeniería, incluso en el ámbito económico, político y social (hoy en día, el consumo y
la producción de energías, así como la eficiencia energética son asuntos centrales de
política nacional e internacional). Los balances energéticos son utilizados para analizar
una innumerable y variada cantidad de problemas, tales como el consumo energético de
bacterias, el aprovechamiento en sistemas mecánicos, hidráulicos o electromagnéticos,
el análisis de interacciones entre partículas elementales, o el desarrollo de sistemas de
generación de energía eléctrica, solo por mencionar algunos. En este Capítulo
desarrollaremos los conceptos de Trabajo, Potencia, Energía y su conservación, desde
el punto de vista de la Mecánica Clásica.
Unidades de medida más frecuentes
Al producirse algún proceso o transformación que implica intercambios de energía,
podemos valorar los efectos sobre la materia, esto es, podemos evaluar cambios
tangibles en la condición o estado de un sistema material, los cuales pueden
representarse a través de la medición de magnitudes físicas. La energía es una magnitud,
y como tal, es susceptible de ser medida. La unidad de energía del SI es el joule (J), pero
hay muchas otras unidades de medida: el ergio (erg), la caloría (cal), el electrón-volt (eV),
el kilowatt-hora (kWh), entre otras. Las equivalencias son las siguientes:
1 erg = 1 × 10-7 J
1 cal = 4,19 J
1 eV = 1,60 × 10-19 J
1 kWh = 3,60 × 106 J
Ya que el trabajo es una forma de intercambio de energía, es importante destacar que
tiene las mismas dimensiones que la energía. En los próximos párrafos veremos cómo
se expresa el J en términos de unidades más simples.
Trabajo realizado por una fuerza constante
En física, el trabajo se define en función de los efectos que produce la aplicación de una
fuerza. Al arrastrar un mueble, levantar un bolso o empujar un vehículo estamos
realizando un trabajo. De hecho, si al aplicar una fuerza sobre un cuerpo, este se
desplaza, decimos que esta fuerza ha realizado un trabajo. Este trabajo puede ser difícil
de calcular en el caso de fuerzas que varían en módulo y dirección a lo largo de la
trayectoria en la que actúan, pero en el caso de fuerzas constantes, su determinación no
es complicada.
75
En la figura siguiente se muestra un cuerpo que se desplaza horizontalmente, sobre el
que actúa una fuerza 𝐹⃗ . Como puede verse, esta fuerza forma un ángulo 𝛼 con la
dirección en la que se produce el movimiento.
El trabajo efectuado por la fuerza 𝐹⃗ , denotado por 𝑊𝐹 , puede definirse matemáticamente
mediante la siguiente ecuación:
𝑊𝐹 = |𝐹⃗ | ∙ |∆𝑟⃗| ∙ cos 𝛼
(Trabajo realizado por una
fuerza constante)
donde |𝐹⃗ | es el módulo de la fuerza aplicada, |∆𝑟⃗| es el módulo del desplazamiento del
objeto y 𝛼 es el ángulo formado entre los vectores fuerza y desplazamiento.
Como puede verse en esta ecuación, el trabajo es máximo cuando la fuerza y el
desplazamiento son paralelos, mientras que el trabajo es nulo si la fuerza es
perpendicular al desplazamiento. Se observa también que el trabajo es positivo si el
ángulo entre los vectores se encuentra entre 0° y 90°, mientras que es negativo si el
ángulo se encuentra entre 90° y 180°. La figura siguiente muestra cada una de estas
posibles situaciones. (Debemos aclarar que, si bien pueden estar actuando muchas otras
fuerzas, de momento solo nos interesa analizar lo que ocurre con la fuerza 𝐹⃗ .)
Nota 1: La definición dada de trabajo solo es válida cuando la fuerza aplicada es constante. Si el
módulo de la fuerza varía, o bien, si el ángulo entre los vectores cambia con el tiempo, se debe
utilizar una definición más general de trabajo. En este curso, solo se estudian problemas con
fuerzas constantes, de modo que la definición dada será siempre válida.
Nota 2. El trabajo es una magnitud escalar, no es un vector. Esto implica que no posee dirección
y sentido. El hecho de que el trabajo realizado por una fuerza pueda ser positivo o negativo está
relacionado con el aumento o disminución de algún tipo de energía, como veremos más adelante.
76
De la definición de trabajo se desprende lo siguiente. Ya que el producto entre el módulo
de la fuerza aplicada y el coseno del ángulo que forma con el desplazamiento equivale a
la componente de dicha fuerza en la dirección del movimiento (es decir, 𝐹𝑥 = |𝐹⃗ | ∙ cos 𝛼),
el trabajo puede ser expresado simplemente como
𝑊𝐹 = 𝐹𝑥 ∙ ∆𝑥
donde ∆𝑥 es la componente en 𝑥 del vector desplazamiento. Si 𝐹𝑥 fuese opuesta a la
dirección del movimiento, el trabajo será negativo y viceversa. La figura siguiente, similar
a las anteriores, muestra la componente 𝐹𝑥 actuando en la dirección del desplazamiento.
Dado que el desplazamiento no siempre ocurre en el eje 𝑥, la ecuación anterior puede
ser escrita en una forma más general si se considera la componente de fuerza paralela
al desplazamiento, 𝐹∥ . Así, podemos escribir
𝑊𝐹 = 𝐹∥ ∙ |∆𝑟⃗|
Esta ecuación será válida siempre y cuando la componente 𝐹∥ incluya el correspondiente
signo (positivo si acompaña el movimiento y negativo si se opone).
Unidades SI
Ya hemos dicho que las unidades de medida de trabajo son las mismas que las de la
energía. En este curso, vamos a utilizar solamente el joule (J) como unidad de trabajo.
Para ver cómo se puede escribir el joule en unidades más simples, vamos a plantear la
correspondiente ecuación de unidades. De la definición de trabajo, podemos escribir
[𝑊] = [𝐹] ∙ [𝐿] ∙ [cos 𝛼]
Ya que el coseno de un ángulo no tiene unidad, la unidad de trabajo se obtiene como el
producto entre la unidad de longitud y la unidad de fuerza. Utilizando las unidades del SI,
la fuerza se mide en newton (N) y la longitud se mide en metros (m), con lo cual, el trabajo
puede ser escrito como el producto entre newton y metro. A este producto se le asigna el
nombre joule, esto es:
1J = 1N∙m
Luego, ya que el newton puede ser escrito como el producto entre kg y m/s2, puede
representarse al joule en términos de unidades básicas de la siguiente manera:
1 J = 1 kg ∙
77
m2
s2
Potencia media desarrollada por una fuerza
En muchas situaciones no solo tiene importancia el trabajo realizado, sino también
importa la rapidez con la que se efectúa dicho trabajo (o dicha transformación de energía).
En estos casos se recurre al concepto de potencia.
Si una fuerza realiza cierto trabajo 𝑊 en un intervalo de tiempo Δ𝑡, la potencia
desarrollada por la dicha fuerza será
𝒫=
𝑊
∆𝑡
(Potencia media)
En general, la potencia se denota con la letra 𝑃, sin embargo, vamos a usar la letra 𝒫 (de
estilo manuscrita) para evitar confundir la potencia con el peso.
Existe una forma alternativa de determinar la potencia desarrollada por una fuerza. Si
sobre un cuerpo actúa una fuerza 𝐹⃗ a lo largo de un desplazamiento ∆𝑟⃗, el trabajo
efectuado por la fuerza es, como hemos visto, 𝑊𝐹 = |𝐹⃗ | ∙ |∆𝑟⃗| ∙ cos 𝛼 o bien, 𝑊𝐹 = 𝐹∥ ∙ |∆𝑟⃗|.
Utilizando esta última expresión, podemos escribir la potencia como
𝒫=
𝐹∥ ∙ |∆𝑟⃗|
∆𝑡
Pero el cociente |∆𝑟⃗|/Δ𝑡 es el módulo de la velocidad media, por lo que podemos plantear
𝒫 = 𝐹∥ ∙ |𝑣⃗𝑚 |
Esta fórmula es muy útil en muchas situaciones físicas clásicas.
Nota 3: Las definiciones recién dadas son definiciones de potencia media. Si se quisiera
determinar la potencia en un instante determinado habría que recurrir a otros métodos. Son
muchos y variados los problemas en los que la potencia desarrollada por una fuerza no es
constante en el tiempo. De todos modos, los problemas de este Seminario podrán resolverse con
las definiciones dadas.
Unidades de potencia
La unidad del SI en la que se mide la potencia es el watt (W). Una fuerza desarrolla una
potencia de 1 watt si realiza un trabajo de 1 joule en cada segundo. Matemáticamente,
1 W = 1 J/s
Existen muchas otras unidades utilizadas frecuentemente, entre ellas, el kgm/s
(kilográmetro por segundo), el CV (caballo-vapor), el HP (horse-power), erg/s. Las
equivalencias son las siguientes:
1 kgm/s
1CV
1 HP
1 erg/s
=
=
=
=
78
9,8 W
735 W
746 W
10−7 W.
Trabajo realizado por la fuerza resultante
Hasta ahora hemos hablado del trabajo realizado por una única fuerza. Si al actuar varias
fuerzas sobre un cuerpo se produce un desplazamiento, se puede calcular el trabajo
realizado independientemente por cada una de ellas con cualquiera de las expresiones
anteriores. Como se verá más adelante, es muy útil determinar el trabajo total realizado
sobre el cuerpo. Este trabajo puede determinarse sumando todos los trabajos efectuados
por las fuerzas aplicadas durante el desplazamiento considerado:
𝑊𝑅 = 𝑊𝐹1 + 𝑊𝐹2 + 𝑊𝐹3 + ⋯ = ∑ 𝑊𝐹𝑖
𝑖
Pero este trabajo no es otra cosa que el trabajo realizado por la fuerza resultante. Si
llamamos 𝑅⃗⃗ a la fuerza resultante, el trabajo realizado será:
𝑊𝑅 = |𝑅⃗⃗ | ∙ |∆𝑟⃗| ∙ cos 𝛼
Energía cinética y energía potencial
Definimos a la energía de un cuerpo como la capacidad que tiene este cuerpo de efectuar
algún trabajo. Esto significa que, si un cuerpo posee una cierta cantidad de energía, esta
energía puede ser utilizada para realizar un trabajo. La energía puede presentarse de
muchas formas (mecánica, química, eléctrica, etc.), pero en este texto solo vamos a
analizar dos tipos de energía: la energía cinética y la energía potencial gravitatoria.
Energía cinética
Cuando un cuerpo se encuentra en movimiento tiene la capacidad de efectuar trabajo.
Como ejemplo, podemos pensar un generador eólico, que transforma la energía de
movimiento del viento en energía eléctrica, o en el movimiento de una raqueta utilizada
para acelerar una pelota. Los cuerpos en movimiento poseen energía, y a esta energía
de movimiento la llamamos energía cinética.
Si un cuerpo de masa 𝑚 se mueve con una velocidad 𝑣, entonces la energía cinética (𝐸𝐶 )
puede calcularse mediante la siguiente relación:
𝐸𝐶 =
1
∙ 𝑚 ∙ 𝑣2
2
(Energía cinética)
En esta ecuación se observa que la energía cinética es directamente proporcional a la
masa, y es directamente proporcional al cuadrado de la velocidad (esto implica que, si la
velocidad de un cuerpo se duplica, su energía cinética aumentará cuatro veces). La
ecuación de dimensiones permite corroborar que la unidad de medida en el SI es el joule:
[𝐸𝐶 ] = [𝑚] ∙ [𝑣]2
m2
[𝐸𝐶 ] = kg ∙ 2
s
[𝐸𝐶 ] = J
79
Energía potencial gravitatoria
Todo cuerpo que se encuentre a alguna determinada altura con respecto a un sistema de
referencia posee cierta energía potencial gravitatoria. Esto quiere decir que, si un
cuerpo se encuentra a una cierta altura, al descender puede realizar un trabajo sobre otro
cuerpo. Pensemos, por ejemplo, en el agua almacenada en un dique, cuya energía
potencial puede ser convertida en energía de movimiento de una turbina.
La energía potencial gravitatoria (a la que a partir de ahora llamaremos simplemente
energía potencial) depende de la altura a la que el cuerpo se encuentre, de la masa del
cuerpo y de la aceleración de la gravedad del lugar. La energía potencial (𝐸𝑃 ) puede
calcularse como el producto entre la masa del cuerpo (𝑚), la aceleración de la gravedad
(|𝑔⃗|) y la altura a la que se encuentra (ℎ):
𝐸𝑃 = 𝑚 ∙ |𝑔⃗| ∙ ℎ
(Energía potencial)
De esta definición se ve que, a mayor altura, mayor será la energía potencial y viceversa.
Asimismo, mientras mayor sea la masa del cuerpo mayor será su energía potencial. Es
importante recordar que para el cálculo de la energía potencial utilizamos el módulo de la
aceleración de la gravedad, es decir, usamos siempre el valor positivo.
De la fórmula anterior, se desprende que la unidad de medida en el SI es el joule. Para
verificarlo, podemos plantear la correspondiente ecuación de unidades:
[𝐸𝑃 ] = [𝑚] ∙ [𝑔] ∙ [ℎ]
m
= kg ∙ 2 ∙ m
s
m2
= kg ∙ 2
s
=J
En los problemas de mecánica, en general no es tan importante el valor de la energía
potencial, sino que lo más importante es su variación. De hecho, el valor de la energía
potencial depende del origen elegido para el sistema de referencia, pero la variación de
energía potencial no depende del sistema de referencia elegido.
Si un cuerpo se encuentra inicialmente a una altura ℎ0 y su posición cambia hasta que su
altura final es ℎ, la variación de energía potencial será la energía potencial final menos la
inicial, esto es:
∆𝐸𝑃 = 𝐸𝑃 − 𝐸𝑃0
= 𝑚 ∙ |𝑔⃗| ∙ ℎ − 𝑚 ∙ |𝑔⃗| ∙ ℎ0
= 𝑚 ∙ |𝑔⃗| ∙ (ℎ − ℎ0 )
= 𝑚 ∙ |𝑔⃗| ∙ ∆ℎ
Como se puede ver, la variación de energía potencial solo depende de la diferencia de
alturas, la cual es independiente del sistema de referencia elegido.
80
Trabajo realizado por el peso y energía potencial
Habiendo definido la energía potencial podemos preguntarnos, ¿De dónde proviene la
fórmula para calcularla? La respuesta a esta pregunta está en la relación entre la energía
potencial y el trabajo que realiza el peso de un cuerpo cuando cambia su altura.
En la imagen se muestra un cuerpo que se encuentra
inicialmente en el punto A, a una altura ℎ0 , y es
desplazado hacia una posición final B, a la altura ℎ. El
vector desplazamiento está indicado como ∆𝑟⃗. El cuerpo
está dibujado en una posición intermedia entre A y B,
donde se ve que el peso (𝑃⃗⃗) y el desplazamiento (∆𝑟⃗)
forman entre sí el ángulo 𝛼. Hay que señalar que puede
haber otras fuerzas aplicadas sobre el cuerpo, sin
embargo, en este análisis solo nos interesa el peso.
El trabajo realizado por el peso para ir del punto A al B puede ser escrito mediante la
definición del trabajo de una fuerza constante:
𝑊𝑃 = |𝑃⃗⃗ | ∙ |∆𝑟⃗| ∙ cos 𝛼
De la figura se ve que |∆𝑟⃗| ∙ cos 𝛼 = ℎ0 − ℎ, y recordando que el peso de un cuerpo se
escribe como |𝑃⃗⃗| = 𝑚 ∙ |𝑔⃗|, el trabajo es:
𝑊𝑃 = 𝑚 ∙ |𝑔⃗| ∙ (ℎ0 − ℎ)
Aplicando la propiedad distributiva, obtenemos
𝑊𝑃 = 𝑚 ∙ |𝑔⃗| ∙ ℎ0 − 𝑚 ∙ |𝑔⃗| ∙ ℎ
En el segundo miembro, el primer término corresponde a la energía potencial inicial,
mientras que el segundo es la energía potencial final. Esto significa que el trabajo
realizado por el peso es igual a la variación de energía potencial, pero cambiada de signo:
𝑊𝑃 = −∆𝐸𝑃
En este ejemplo, el cuerpo desciende, por lo que su energía potencial disminuye. El
trabajo realizado por el peso es positivo, debido a que el peso acompaña el movimiento.
Si el cuerpo hubiese seguido el trayecto inverso (o sea, desde B hacia A) el trabajo
hubiese sido negativo, pero la variación de energía hubiese sido positiva, de manera que
la relación seguiría siendo válida. Podemos decir que cuando un cuerpo cambia su altura,
la variación de energía potencial es igual al trabajo necesario para modificar dicha altura.
Pero notemos que un aumento de energía potencial requiere del trabajo de una fuerza
externa, mientras que una disminución puede ser provocada por el trabajo del peso.
Por último, es importante señalar que el trabajo que realiza el peso cuando un cuerpo
cambia de posición, es independiente de la trayectoria seguida. Del mismo modo, la
variación de la energía potencial solo depende de las alturas inicial y final, y no del camino
seguido para ir desde el punto inicial al final.
81
Teorema del trabajo y la energía cinética
Vamos ahora a establecer una relación entre el trabajo realizado por la fuerza resultante
y la variación de la energía cinética. Para ello, pensemos en un cuerpo de masa 𝑚 que
se encuentra moviéndose en una trayectoria rectilínea con una rapidez inicial 𝑣0 , y sobre
el cual actúa una fuerza resultante 𝑅⃗⃗ en la dirección del movimiento. Si la fuerza resultante
se aplica a lo largo de un desplazamiento Δ𝑟⃗, el trabajo efectuado por dicha fuerza será
𝑊𝑅 = |𝑅⃗⃗ | · |Δ𝑟⃗| · cos 𝛼
donde 𝛼 podrá ser 0° o 180°, según la fuerza resultante sea del mismo sentido o de
sentido opuesto al movimiento. Si se considera que el movimiento se efectúa a lo largo
del eje 𝑥, podemos escribir Δ𝑥 en vez de Δ𝑟⃗. Luego, de la segunda ley de Newton
podemos escribir |𝑅⃗⃗ | = 𝑚 · |𝑎⃗|, de modo que el trabajo realizado por la fuerza 𝑅⃗⃗ es
𝑊𝑅 = 𝑚 · 𝑎 · Δ𝑥
donde la aceleración puede ser positiva o negativa, según 𝛼 sea 0° o 180°. Por otro lado,
al estudiar la cinemática vimos que, para un cuerpo que se mueve con aceleración
constante, vale la fórmula de alternativa:
∆𝑥 =
𝑣 2 − 𝑣0 2
2∙𝑎
Si reemplazamos el desplazamiento en la definición de trabajo, tendremos
𝑊𝑅 = 𝑚 ∙ 𝑎 ∙ ∆𝑥
𝑣 2 − 𝑣02
=𝑚∙𝑎∙(
)
2∙𝑎
𝑚 𝑣 2 𝑚 𝑣02
=
–
2
2
⇒
𝑊𝑅 = 𝐸𝐶 − 𝐸𝐶0
Como se ve, el último miembro de la igualdad es la diferencia entre la energía cinética
final y la energía cinética inicial. Luego, ya que la fuerza resultante aplicada es la
responsable de la variación de la velocidad, podemos concluir que el trabajo efectuado
por dicha fuerza se emplea en modificar la energía cinética del cuerpo; o en otras
palabras,
“el trabajo efectuado por la fuerza resultante aplicada sobre un cuerpo es igual a
la variación de energía cinética del mismo.”
Este enunciado corresponde al teorema del trabajo y la energía. La forma matemática de
este teorema es:
𝑊𝑅 = Δ𝐸𝐶
(Teorema del trabajo y la
energía cinética)
donde el subíndice 𝑅 indica que se está hablando del trabajo de la fuerza resultante.
82
Obsérvese que si la sumatoria de las fuerzas que actúan sobre un cuerpo es nula
(𝑅 = 0) no habrá aceleración, con lo cual la velocidad permanecerá constante. Desde el
punto de vista del teorema del trabajo y la energía, si la fuerza resultante es nula, el
trabajo de la fuerza resultante también será nulo, y por lo tanto, no habrá variación de
energía cinética, lo que significa que la velocidad se habrá mantenido constante.
Lógicamente, ambas descripciones llevan a las mismas conclusiones.
Notemos también que el trabajo realizado por la fuerza resultante puede ser positivo o
negativo. Si el trabajo neto es positivo (esto es, si la fuerza resultante es del mismo sentido
que el desplazamiento) la energía cinética aumenta, mientras que, si el trabajo neto es
negativo, la energía cinética disminuye.
Energía mecánica y su conservación
Se define a la energía mecánica de un cuerpo como la suma de sus energías potencial
y cinética
𝐸𝑀 = 𝐸𝐶 + 𝐸𝑃
En muchos problemas simples de la mecánica, como los que trabajaremos en este texto,
los únicos tipos de energía que intervienen son la energía cinética y la potencial. En estos
casos, la energía mecánica no es otra cosa que la energía total del sistema.
Es de gran importancia conocer la energía mecánica de un sistema, ya que muchos
problemas de la física se centran en su conservación. Para comprender qué implica la
conservación de la energía mecánica, tomemos como ejemplo el movimiento de caída
libre.
En la figura se muestra una piedra que cae desde una altura hA.
Ya que durante la caída la altura con respecto al piso es cada vez
menor, la energía potencial va a disminuir. No obstante, como la
caída libre es un movimiento acelerado, la velocidad se
incrementa en forma permanente, lo que significa que la energía
cinética va en aumento. Si la fricción con el aire se considera
despreciable, no habrá disipación de energía de ningún tipo, con
lo cual puede decirse que la energía total del cuerpo se mantiene
constante (nada le agrega energía y nada le quita energía). Ya
que la energía total viene dada por la energía mecánica, decimos
que la energía mecánica se conserva.
Otra forma de ver el problema consiste en pensar que, durante la caída, la energía
potencial se transforma gradualmente en energía cinética. Así, cuando la piedra llega al
piso, toda la energía potencial que tenía en un principio se transformó en energía cinética.
Matemáticamente, la conservación de la energía mecánica se plantea en la forma
Δ𝐸𝑀 = 0
83
Esta expresión nos dice que la variación de la energía mecánica del sistema bajo estudio
es nula, lo que significa que la energía mecánica no cambia (es decir, se conserva). Si la
energía mecánica se conserva, entonces, la energía mecánica inicial será igual a la
energía mecánica en cualquier momento posterior:
Δ𝐸𝑀 = 0 ⇒ 𝐸𝑀 − 𝐸𝑀0 = 0
𝐸𝑀 = 𝐸𝑀0
Veamos cómo utilizar estas ideas. Para el ejemplo de la figura, la velocidad inicial de la
piedra (esto es, al momento de soltarla desde la altura hA) es nula, con lo cual la energía
cinética inicial es nula. La energía mecánica inicial será igual a la energía potencial inicial.
Siendo 𝑚 la masa de la piedra, para el instante inicial podemos plantear
𝐸𝑀𝐴 = 𝐸𝐶𝐴 + 𝐸𝑃𝐴
= 0 + 𝑚 · 𝑔 · ℎ𝐴
 𝐸𝑀𝐴 = 𝑚 · 𝑔 · ℎ𝐴
Supongamos que queremos conocer la velocidad con la que la piedra choca contra el
suelo (hB = 0). Para hacerlo, podemos plantear que la energía mecánica en A es igual a
la energía mecánica en B:
𝐸𝑀𝐴 = 𝐸𝑀𝐵
Ya que en el suelo la altura es nula, la energía potencial en ese punto es nula también,
con lo cual, cuando la piedra llegue al punto B solo tendrá energía cinética.
Matemáticamente:
𝐸𝑀𝐵 = 𝐸𝐶𝐵 + 𝐸𝑃𝐵
1
= · 𝑚 · 𝑣2 + 0
2
1
 𝐸𝑀𝐵 = · 𝑚 · 𝑣 2
2
Igualando las energías mecánicas en A y en B obtenemos
𝑚 · 𝑔 · ℎ𝐴 =
1
· 𝑚 · 𝑣𝐵 2 ,
2
y despejando la velocidad 𝑣𝐵 se obtiene
𝑣𝐵 = √2 · 𝑔 · ℎ𝐴
De este modo, si se conoce la altura desde que se dejó caer la piedra, se puede
determinar la velocidad con la que impacta con el suelo. Dos observaciones más sobre
este ejemplo. Primero, nótese que la masa no figura en la expresión final de la velocidad.
Esto significa que no importa si la piedra es más pesada o más liviana, la velocidad con
la que llegará al suelo será la misma (siempre que la fricción con el aire sea despreciable).
Segundo, este mismo método se podría utilizar para determinar la velocidad en cualquier
punto intermedio de la caída, pero teniendo en cuenta que para cualquier otro punto de
la trayectoria que no sea el inicial o el suelo, habrá tanto energía cinética como potencial.
84
Fuerzas conservativas y no conservativas
Vamos a finalizar este capítulo con una breve discusión sobre fuerzas conservativas y no
conservativas. Las fuerzas conservativas son aquellas cuyo trabajo al desplazar un
cuerpo entre dos puntos es el mismo cualquiera sea la trayectoria seguida. El peso, las
fuerzas eléctricas, las fuerzas elásticas, entre otras, son ejemplos de fuerzas
conservativas. Las fuerzas conservativas reciben este nombre porque, si bien pueden
realizar trabajo (positivo o negativo), este trabajo no modifica la energía total del sistema.
Por el contrario, las fuerzas cuyo trabajo depende del camino seguido (es decir, las
fuerzas cuyo trabajo será diferente para distintas trayectorias) son fuerzas no
conservativas. Las fuerzas de rozamiento, por ejemplo, son fuerzas no conservativas.
Generalmente, cuando actúan fuerzas no conservativas sobre un cuerpo, la energía
mecánica no se conserva.
Para definir la conservación de la energía mecánica de un sistema en forma precisa,
habría que identificar cuáles son las fuerzas que actúan sobre dicho sistema y determinar
si son o no fuerzas de tipo conservativas. De lo dicho recién, si todas las fuerzas que
actúan sobre un sistema son conservativas, entonces la energía mecánica se conserva;
de lo contrario, se producirá una variación de energía mecánica. Esta variación de energía
mecánica será igual al trabajo efectuado por las fuerzas no conservativas.
Si denotamos 𝐹⃗𝑁𝐶 a las fuerzas no conservativas y llamamos 𝑊𝑁𝐶 al trabajo total realizado
por este tipo de fuerzas, podemos plantear:
𝑊𝑁𝐶 = ∆𝐸𝑀
Como hemos analizado, las situaciones en las que no actúan fuerzas no conservativas
(es decir, cuando 𝑊𝑁𝐶 = 0) se conserva la energía mecánica.
85
Ejercicios resueltos del Capítulo 4
Ejercicio 1
Hallar el trabajo realizado por una fuerza constante 𝐹 = 50 N, sabiendo que actúa a lo
largo de un desplazamiento de 8 m y que el ángulo α formado por las direcciones de la
fuerza y el desplazamiento es de: a) 0, b) 30, c) 90, d) 120, e) 180.
Resolución
Si la fuerza actuante es constante el trabajo realizado por la fuerza puede calcularse
utilizando la definición de trabajo: 𝑊𝐹 = |𝐹⃗ | ∙ |∆𝑥⃗| cos 𝛼 . Para cada situación, tendremos:
a) 𝑊𝐹 = 50 N ∙ 8 m ∙ cos 0°
⇒
𝑊𝐹 = 400 J
b) 𝑊𝐹 = 50 N ∙ 8 m ∙ cos 30°
⇒
𝑊𝐹 = 346 J
c) 𝑊𝐹 = 50 N ∙ 8 m ∙ cos 90°
⇒
𝑊𝐹 = 0
d) 𝑊𝐹 = 50 N ∙ 8 m ∙ cos 120°
⇒
𝑊𝐹 = −200 J
e) 𝑊𝐹 = 50 N ∙ 8 m ∙ cos 180°
⇒
𝑊𝐹 = −400 J
Ejercicio 2
Un cuerpo de 12 kg es elevado con velocidad constante hasta una altura de 4 m por
medio de una fuerza 𝐹⃗1 . Calcular el trabajo realizado por: a) la fuerza 𝐹⃗1 ; b) el peso del
cuerpo.
Resolución
a) Para calcular el trabajo realizado por la fuerza 𝐹⃗1 utilizamos nuevamente la definición
de trabajo. El esquema muestra el diagrama de cuerpo libre del cuerpo y la dirección del
⃗⃗). Ya que la velocidad de elevación es
desplazamiento (en este caso, indicado como ∆ℎ
constante, la aceleración es nula, y por lo tanto la fuerza resultante será nula.
Matemáticamente,
∑ 𝐹⃗ = 0
⇒
⃗⃗1 | − |𝑃⃗⃗| = 0
|𝐹
⃗⃗1 | = |𝑃⃗⃗| = 𝑚|𝑔⃗|
|𝐹
Cuando el cuerpo es elevado, la fuerza 𝐹⃗1 y el
desplazamiento tienen el mismo sentido, de modo que
el ángulo que forman entre sí es nulo. El trabajo será:
⃗⃗| ∙ cos 𝛼
⃗⃗1 | ∙ |∆ℎ
𝑊𝐹1 = |𝐹
⃗⃗| ∙ cos 0°
𝑊𝐹1 = 𝑚 ∙ |𝑔⃗| ∙ |∆ℎ
m
𝑊𝐹1 = 12 kg ∙ 9,8 2 ∙ 4 m ∙ 1
s
𝑊𝐹1 = 470 J
86
b) Para calcular el trabajo realizado por el peso se debe tener en cuenta que el ángulo
que forma el desplazamiento con el peso es 𝛼 = 180°.
⃗⃗| ∙ cos 180°
𝑊𝑃 = 𝑚 ∙ |𝑔⃗| ∙ |∆ℎ
m
𝑊𝑃 = 12 kg ∙ 9,8 2 ∙ 4 m ∙ (−1)
s
𝑊𝑃 = −470 J
Ejercicio 3
Un hombre de 80 kg sube una escalera de 3 m de altura. Hallar el trabajo de la fuerza
peso: a) en el ascenso, b) en el descenso, c) en el recorrido completo de subida y bajada.
Resolución
a) En el ascenso, el ángulo entre el peso y el desplazamiento es 𝛼 = 180°, con lo cual:
⃗⃗| ∙ cos 180°
𝑊𝑃𝑎 = 𝑚 ∙ |𝑔⃗| ∙ |∆ℎ
m
𝑊𝑃𝑎 = 80 kg ∙ 9,8 2 ∙ 3 m ∙ (−1)
s
𝑊𝑃𝑎 = −2352 J
b) En el descenso, el ángulo entre el peso y el desplazamiento es 𝛼 = 0° por lo que será:
⃗⃗| ∙ cos 180°
𝑊𝑃𝑑 = 𝑚 ∙ |𝑔⃗| ∙ |∆ℎ
m
𝑊𝑃𝑑 = 80 kg ∙ 9,8 2 ∙ 3 m ∙ 1
s
𝑊𝑃𝑑 = 2352 J
c) En el recorrido completo de ascenso y descenso el trabajo de la fuerza peso será igual
a la suma de los trabajos anteriores, por lo que será:
𝑊𝑛𝑒𝑡𝑜 = 𝑊𝑃𝑎 + 𝑊𝑃𝑑 = 0
Este resultado es coherente, ya que para el recorrido completo el desplazamiento es nulo.
Ejercicio 4
Un cuerpo cuya masa es de 12 kg se encuentra sobre un plano inclinado un ángulo
 = 30° con respecto a la horizontal. Sobre el cuerpo se aplica una fuerza 𝐹⃗1 de 200 N en
dirección horizontal (como se indica en la figura). Cuando el cuerpo se desplaza 4 m sobre
el plano, determinar el trabajo realizado por: a) la fuerza horizontal; b) la fuerza peso;
c) la fuerza normal, d) fuerza neta.
Resolución
a) Como la fuerza es horizontal y el desplazamiento del cuerpo se realiza sobre el plano
inclinado, el ángulo que forman estos vectores es de 30°. El trabajo de la fuerza 𝐹⃗1 será:
𝑊𝐹1 = |𝐹⃗1 | ∙ |∆𝑥⃗| cos 𝛼
𝑊𝐹1 = 200 N ∙ 4 m ∙ cos 30° = 693 J
87
b) Para calcular el trabajo realizado por el
peso podemos descomponerlo en dos
direcciones perpendiculares entre sí: una
paralela al plano inclinado y la otra
perpendicular al mismo. Al descomponer la
fuerza peso se puede apreciar que la única
componente del peso que realiza trabajo es
la componente en 𝑥. Como el sentido del
desplazamiento es hacia arriba y la
componente del peso en la dirección
paralela al plano es 𝑚 ∙ |𝑔⃗| ∙ sen 𝜃, con sentido hacia abajo, el ángulo determinado entre
ambos es 180° y el trabajo será igual a:
𝑊𝑃 = (𝑚 ∙ |𝑔⃗| ∙ sen 𝜃) ∙ |∆𝑥⃗| ∙ cos 180°
m
𝑊𝑃 = (12 kg ∙ 9,8 2 ∙ sen 30°) ∙ 4 m ∙ cos 180°
s
𝑊𝑃 = −235 J
c) Como la fuerza normal y el desplazamiento determinan un ángulo de 90° el trabajo de
la fuerza normal es nulo.
d) El trabajo de la fuerza neta puede calcularse como el trabajo realizado por la fuerza
resultante, o bien, como la sumatoria de los trabajos de las fuerzas actuantes. A partir de
los trabajos ya calculados podemos plantear
𝑊𝑛𝑒𝑡𝑜 = 𝑊𝐹1 + 𝑊𝑃 + 𝑊𝑁
𝑊𝑛𝑒𝑡𝑜 = 693 J + (−235 ) + 0
𝑊𝑛𝑒𝑡𝑜 = 458 J
Ejercicio 5
Un montacargas tiene un motor de 20 CV y debe elevar una carga de 2000 kg de masa
hasta una altura de 42 m. Calcular el tiempo necesario para lograrlo despreciando todo
tipo de pérdidas y considerando que la carga es elevada con velocidad constante.
Resolución
La potencia del motor expresada en W será igual a:
735 W
1 CV
= 14 700 W
𝒫 = 20 CV ∙
A partir de la definición de potencia, podemos despejar el tiempo:
𝒫=
𝑊
∆𝑡
⇒
∆𝑡 =
𝑊
𝒫
88
Ya que la carga se sube con velocidad constante, la fuerza que realiza el montacargas
es igual (en módulo) a la fuerza peso. El trabajo realizado por el montacargas será:
⃗⃗| = (𝑚 ∙ |𝑔⃗|) ∙ |∆ℎ
⃗⃗|
𝑊𝐹𝑀 = |𝐹⃗𝑀 | ∙ |∆ℎ
y tiempo empleado será:
∆𝑡 =
𝑊𝐹𝑀
𝒫
⃗⃗|
(𝑚 ∙ |𝑔⃗|) ∙ |∆ℎ
𝒫
m
2000 kg ∙ 9,8 2 ∙ 42 m
s
=
14 700 W
=
= 56 s
Ejercicio 6
El anuncio publicitario de un automóvil dice que este puede alcanzar la velocidad de
100 km/h en un tiempo de 8,2 segundos, partiendo del reposo. Si la masa es de 980 kg,
hallar la potencia del motor en kW y en CV.
Resolución
Comenzamos transformando la unidad de la velocidad final: 100
km
h
= 27,8
Utilizando el teorema del trabajo y la energía cinética, podemos plantear
𝑊 = 𝐸𝐶 − 𝐸𝐶0
y dado que la velocidad inicial es nula, tendremos 𝑊 = 𝐸𝐶
La potencia será:
𝑊
∆𝑡
𝐸𝐶
=
∆𝑡
½ 𝑚 𝑣2
=
∆𝑡
𝒫=
Reemplazando por los valores del problema,
m 2
½ ∙ 980 kg ∙ (27,8 s )
𝒫=
8,2 s
𝒫 = 46,2 kW
y en CV,
𝒫 = 62,8 CV
89
m
s
Ejercicio 7
Un automóvil con su carga tiene una masa de 1200 kg y sube una pendiente de 20° a
una velocidad constante de 54 km/h. Calcular la potencia que debe desarrollar el motor.
Resolución
Ya que el automóvil sube con
velocidad constante la aceleración
será igual a cero, de modo que la
fuerza resultante aplicada también
será nula. Esto significa que, en la
dirección del eje 𝑥, la fuerza hacia
arriba debe ser igual a la componente
del peso paralela al plano. Esta
componente es 𝑚 ∙ |𝑔⃗| ∙ sen 𝜃, con lo
cual, la fuerza 𝐹⃗𝑀 será:
|𝐹⃗𝑀 | = 𝑚 ∙ |𝑔⃗| ∙ sen 𝜃
m
= 1200 kg ∙ 9,8 2 ∙ sen 20°
s
= 4022 N
En este caso, la fuerza y la velocidad tienen la misma dirección y sentido, con lo cual, la
potencia media puede ser calculada como el producto entre la fuerza hacia arriba y la
velocidad del automóvil. Expresando la velocidad en m/s, podemos plantear:
𝒫 = |𝐹⃗𝑀 | ∙ |𝑣⃗𝑚 |
𝒫 = 4022 N ∙ 15
m
s
𝒫 = 60330 W
Ejercicio 8
Determinar: a) la energía cinética final de un cuerpo de masa 𝑚 = 5 kg cuando es
empujado por una fuerza constante 𝐹 = 100 N en un trayecto de 10 m, partiendo del
reposo, y b) la velocidad final del cuerpo.
Resolución
a) Primero, podemos ver que la energía cinética inicial es nula ya que el cuerpo parte del
reposo. En base al teorema del trabajo y la energía cinética, se puede plantear que
𝑊𝐹 = 𝐸𝐶
El trabajo efectuado por la fuerza 𝐹 será
𝑊𝐹 = 𝐹 ∙ Δ𝑥 = 100 N ∙ 10 m = 1000 J
90
Ya que el trabajo que realiza la fuerza es igual a la energía cinética final, se puede escribir
𝐸𝐶 = 1000 J
b) Planteando la definición de energía cinética se tiene
1000 J =
1
∙ 5 kg ∙ 𝑣𝑓 2
2
y despejando la velocidad,
1000 J
m
𝑣𝑓 = √
= 20
1
s
∙ 5 kg
2
Finalmente, la velocidad final es 20 m/s.
Ejercicio 9
Sobre un cuerpo de 20 kg que se mueve sobre un camino horizontal a la velocidad de
54 km/h actúa una fuerza 𝐹⃗1 de 150 N en la misma dirección y sentido que la velocidad.
Calcular: a) la energía cinética inicial; b) la energía cinética para una velocidad final de
72 km/h; c) la distancia necesaria en la que deberá actuar la fuerza para alcanzar dicha
velocidad.
En primer lugar, las velocidades inicial y final, expresadas en m/s son:
𝑣0 = 15
m
s
y
𝑣 = 20
a) La energía cinética inicial es:
1
∙ 𝑚 ∙ 𝑣0 2
2
1
m 2
= ∙ 20 kg ∙ (15 )
2
s
𝐸𝐶0 =
= 2250 J
b) La energía cinética final será:
1
∙ 𝑚 ∙ 𝑣2
2
1
m 2
= ∙ 20 kg ∙ (20 )
2
s
𝐸𝐶 =
= 4000 J
91
m
s
c) Para hallar la distancia en la que debe actuar la fuerza podemos utilizar el teorema del
trabajo y la energía cinética que establece que:
𝑊𝑛𝑒𝑡𝑜 = ∆𝐸𝐶
Dado que la única fuerza que actúa en la dirección del movimiento es 𝐹⃗1 , tendremos que
𝑊𝑛𝑒𝑡𝑜 = |𝐹⃗1 | ∙ |∆𝑥⃗|
y teniendo en cuenta que la variación de energía cinética es 𝐸𝐶 − 𝐸𝐶0 , obtenemos
|𝐹⃗1 | ∙ |∆𝑥⃗| = 𝐸𝐶 − 𝐸𝐶0
Resolviendo:
|∆𝑥⃗| =
=
𝐸𝐶 − 𝐸𝐶0
|𝐹⃗1 |
4000 J − 2250 J
150 N
= 11,7 m
Ejercicio 10
Un cuerpo de 2 kg es arrojado desde el suelo verticalmente
hacia arriba con una velocidad inicial de 30 m/s. Calcular las
energías potencial, cinética y mecánica en los siguientes
casos:
a) en el momento del lanzamiento.
b) dos segundos después de lanzarlo.
c) en el punto más alto de su trayectoria.
d) al llegar al suelo.
Resolución
a) En el momento del lanzamiento la altura es hA = 0 m y la
m
velocidad inicial, 𝑣𝐴 = 30 s , por lo que será:
𝐸𝑃𝐴 = 𝑚 ∙ |𝑔⃗| ∙ ℎ = 0,
1
∙ 𝑚 ∙ 𝑣0 2
2
1
m 2
= ∙ 2 kg ∙ (30 )
2
s
𝐸𝐶𝐴 =
= 900 J
𝐸𝑀𝐴 = 𝐸𝑃𝐴 + 𝐸𝐶𝐴 = 900 J
92
b) Si queremos calcular las energías cinética y potencial a los dos segundos, debemos
calcular la posición y la velocidad en ese instante. Para hacerlo, utilizamos las ecuaciones
del tiro vertical. Para la altura, tenemos:
𝑦𝐵 = 30
= 30
m
1
m
∙ ∆𝑡 + ∙ (−9,8 2 ) ∙ ∆𝑡 2
s
2
s
m
1
m
∙ 2 s + ∙ (−9,8 2 ) ∙ (2 s)2
s
2
s
= 40,4 m
Para la velocidad, planteamos:
𝑣𝐵 = 30
m
m
m
+ (−9,8 2 ) ∙ 2 s = 10,4
s
s
s
Las energías son:
𝐸𝑃𝐴 = 2 kg ∙ 9,8
𝐸𝐶𝐴 =
m
∙ 40,4 m = 792 J
s2
1
m 2
∙ 2 kg ∙ (10,4 ) = 108 J
2
s
𝐸𝑀𝐴 = 792 J + 108 J = 900 J
c) En el punto más alto de su trayectoria la velocidad es nula, con lo cual, la energía
cinética en ese punto es nula también.
𝐸𝐶 ℎ𝑚á𝑥 = 0
Planteando la conservación de la energía mecánica, tendremos:
𝐸𝑀 ℎ𝑚á𝑥 = 𝐸𝑀𝐴 = 900 J
y considerando que toda la energía cinética inicial ha tomado la forma de energía
potencial, podemos plantear
𝐸𝑃 ℎ𝑚á𝑥 + 𝐸𝐶 ℎ𝑚á𝑥 = 𝐸𝑃𝐴 + 𝐸𝐶𝐴
⇒
𝐸𝑃𝐴 = 𝐸𝑃 ℎ𝑚á𝑥 = 900 J
d) Nuevamente, dado que la energía mecánica se conserva, podemos decir que la
energía mecánica en el suelo es
𝐸𝑀𝐷 = 900 J
En ese punto, la altura es nula, con lo cual:
𝐸𝑃𝐷 = 0
y la energía cinética es
𝐸𝐶𝐷 = 900 J.
93
Podemos justificar esta afirmación teniendo en cuenta que, al llegar al suelo, su velocidad
será igual a la velocidad con la que fue lanzado. Utilizando la fórmula de recurrencia,
siendo ∆ℎ = 0
2 ∙ |𝑔⃗| ∙ ∆ℎ = 𝑣𝐷2 − 𝑣𝐴2
0 = 𝑣𝐷2 − 𝑣𝐴2
𝑣𝐷2 = 𝑣𝐴2
⇒
|𝑣𝐷 | = |𝑣𝐴 |
Ejercicio 11
Un cuerpo se encuentra en la parte inferior de un plano inclinado de 20 sin rozamiento.
Se le imprime una velocidad de 5,0 m/s en una dirección paralela al plano inclinado y con
sentido hacia arriba. Hallar la distancia que avanzará sobre el plano hasta detenerse.
Resolución
En el esquema se muestran dos puntos, un punto A (desde donde se lanza el cuerpo) y
un punto B (el punto en el que el cuerpo se detiene). La distancia recorrida sobre el plano
hasta detenerse es 𝑑. Para determinar esta distancia procederemos a calcular la altura
máxima alcanzada (ℎ𝐵 ) y luego determinaremos la distancia 𝑑 usando la trigonometría.
Como no hay rozamiento la energía mecánica se conserva, por lo tanto:
𝐸𝑀𝐵 = 𝐸𝑀𝐴
𝐸𝑃𝐵 + 𝐸𝐶𝐵 = 𝐸𝑃𝐴 + 𝐸𝐶𝐴
Siendo ℎ𝐴 = 0 y 𝑣𝐵 = 0 nos queda:
𝐸𝑃𝐵 = 𝐸𝐶𝐴
𝑚 ∙ 𝑔 ∙ ℎ𝐵 =
1
∙ 𝑚 ∙ 𝑣𝐴 2
2
Despejando la altura máxima, tenemos:
1
∙ 𝑣𝐴 2
2
ℎ𝐵 =
𝑔
94
1
m 2
∙ (5,0 )
s
=2
m
9,8 2
s
= 1,3 m
La altura calculada está referida al suelo. En base a la figura, podemos plantear:
sen 𝜃 =
ℎ𝐵
𝑑
⇒
𝑑=
1,3 m
sen 20°
𝑑=
ℎ𝐵
sen 𝜃
= 3,8 m
Ejercicio 12
Sobre un cuerpo de 20 kg que se mueve horizontalmente, actúa una fuerza de 60 N
durante 5,0 s en la misma dirección y sentido del movimiento del cuerpo. Si la velocidad
inicial del cuerpo era de 4,0 m/s, calcular: a) el trabajo efectuado por la fuerza; b) la
potencia desarrollada; c) la energía cinética final.
Resolución
a) Como la fuerza y el desplazamiento tienen la misma dirección y sentido, el trabajo de
la fuerza puede expresarse como:
𝑊 = 𝐹 ∙ ∆𝑥
El desplazamiento puede ser calculado por cinemática:
1
∆𝑥 = 𝑣0 ∙ ∆𝑡 + ∙ 𝑎 ∙ ∆𝑡 2
2
Siendo en este caso 𝑎 = 𝐹/𝑚, tendremos
1 𝐹
∆𝑥 = 𝑣0 ∙ ∆𝑡 + ∙ ( ) ∙ ∆𝑡 2
2 𝑚
m
1 60 N
= 4,0 ∙ 5,0 s + ∙ (
) ∙ (5,0 s)2
s
2 20 kg
= 58 m
Finalmente, el trabajo será
𝑊 = 60 N ∙ 58 m = 3500 J
b) La potencia desarrollada se determina a partir del trabajo calculado:
𝒫=
3500 W
5,0 s
𝒫 ≅ 700 W
95
(Nota: en esta resolución los resultados fueron redondeados a dos cifras significativas.
Utilizando todos los decimales en los cálculos el resultado hubiese sido 690 W, lo que no
varía apreciablemente del resultado presentado.)
c) Aplicando el teorema del trabajo y la energía cinética, es
𝑊𝑛𝑒𝑡𝑜 = ∆𝐸𝐶
De aquí podemos despejar la energía cinética final:
𝐸𝐶 = 𝐸𝐶0 + 𝑊𝑛𝑒𝑡𝑜
y resolviendo:
1
2
m 2
s
𝐸𝐶 = ∙ 20 kg ∙ (4,0 ) + 3500 J ≅ 3700 J
96
Ejercicios propuestos para el Capítulo 4
1. Sobre un cuerpo de 30 kg se aplica una fuerza constante de 100 N. Considerando
un desplazamiento de 20 m, calcule el trabajo realizado por dicha fuerza para los
siguientes casos.
a) La fuerza se aplica en la misma dirección y sentido que el desplazamiento.
b) La fuerza forma un ángulo de 45° con la dirección del desplazamiento.
c) La fuerza forma un ángulo de 90° con la dirección del desplazamiento.
d) La fuerza forma un ángulo de 120° con la dirección del desplazamiento.
e) La fuerza se aplica en la misma dirección y en sentido opuesto al desplazamiento.
2. Hallar el trabajo realizado por una fuerza constante de 120 N para desplazar a un
cuerpo una distancia de 7,50 m, si la fuerza forma un ángulo de 20° con la dirección de
desplazamiento.
3. Un carrito es arrastrado sobre una superficie horizontal por una fuerza que forma un
ángulo de 12° con la horizontal. Determinar el módulo de la fuerza si lo desplaza 3,2 m
realizando un trabajo de 3600 J.
4. Una fuerza constante de 50 N desplaza un cuerpo y forma con la dirección del
movimiento un ángulo de 37°. El trabajo realizado es de 800 J. ¿Cuál será el
desplazamiento?
5. Mediante una fuerza vertical, se logra elevar una carga de 40 kg a velocidad
constante, hasta una altura de 10 m medida desde el suelo. Calcular: a) el trabajo
efectuado por la fuerza, b) el trabajo realizado por el peso, y c) el trabajo neto efectuado
sobre la carga.
6. a) Hallar el trabajo que es necesario para sacar un balde con agua de 10 kg de masa
total desde un aljibe, en el que la superficie del agua se encuentra a 3 m de profundidad.
b) ¿Qué trabajo efectúa el peso del balde con agua?
7. Una camioneta 4x4 remolca un automóvil en un trayecto de 8 km por una ruta de ripio.
La fuerza media que ejerce la cinta de remolque que une ambos vehículos es de 1100 N.
El tiempo empleado en recorrer los 8 km es de 50 minutos. Calcule: a) el trabajo efectuado
por la fuerza que ejerce la cinta si tira del automóvil horizontalmente, y b) la potencia
media desarrollada por la fuerza que ejerce la cinta de remolque.
8. Una grúa es capaz de elevar una masa de 5000 kg a una altura de 42 m en un minuto
a velocidad constante. Hallar la potencia necesaria que debe suministrar el motor.
Expresar el resultado en kW y en C.V.
9. Un obrero se encuentra cargando cajas de 16 kg, desde el suelo, hasta el acoplado
de un camión a 1,20 de altura. El obrero logra cargar 25 cajas en 1 minuto. a) ¿Cuál es
el trabajo realizado para cargar cada caja? b) Cuál es la potencia desarrollada por el
obrero?
97
10. Un automóvil tiene una masa de 1000 kg y sube una pendiente de 20 con una
velocidad constante de 72 km/h. Calcular la potencia que debe desarrollar el motor en kW
y en C.V.
11. Determine la energía cinética de: a) una persona de 70,0 kg cuando camina a
5,0 km/h, b) la misma persona y su bicicleta de 10,0 kg cuando esté andando con una
rapidez de 30,0 km/h, c) un automóvil de 900 kg, manejado por la misma persona, que se
mueve a 30,0 km/h, y d) el mismo automóvil y la persona, si marchan a 90,0 km/h.
12. a) Calcule la energía potencial que adquiere un andinista de 80 kg al hacer cumbre
en el volcán Lanín (3776 m.s.n.m.) con respecto a la base del volcán. b) ¿Cuál fue el
trabajo realizado por el andinista en contra de su peso durante el ascenso? c) ¿Cuál fue
el trabajo realizado por el peso del andinista durante el ascenso? Para la resolución,
considere que partió desde la base del volcán, a una altura de 1200 m.s.n.m.
13. a) Calcular la energía potencial gravitatoria (con respecto al suelo) de un paracaidista
de 95 kg cuando se encuentra a una altura de 1000 m sobre la superficie. b) Si en esa
altura posee una velocidad de 80 m/s, ¿Cuál es su energía cinética? c) ¿Cuál es su
energía mecánica?
14. Un cuerpo de 10 kg se eleva a velocidad constante desde un punto situado a 2 m de
altura, hasta otro punto ubicado a 8 m respecto del suelo. Calcular: a) el trabajo de la
fuerza que lo eleva; b) el trabajo de la fuerza peso; c) el aumento de la energía potencial.
15. Un mecánico empuja un automóvil de 1000 kg en un trayecto de 40 m. El automóvil
parte del reposo, y al final del recorrido tiene una velocidad de 10 km/h. a) ¿Cuál es la
energía cinética final del automóvil? b) ¿Cuál es el trabajo efectuado por el mecánico?
c) ¿Cuál es el módulo de la fuerza aplicada por el mecánico?
16. Sobre un cuerpo de 12 kg inicialmente en reposo, se aplica una fuerza horizontal de
40 N a lo largo de un trayecto recto de 15 m. Calcule: a) el trabajo realizado por la fuerza,
b) la energía cinética final, c) la velocidad final del cuerpo.
17. Hallar: a) la energía cinética de un automóvil de 1 000 kg de masa que se mueve con
una velocidad de 72 km/h; b) la potencia del motor para que alcance esa velocidad en
20 s, si parte del reposo.
18. Un avión comercial de 400 toneladas (400.000 kg) necesita alcanzar una velocidad
de 250 km/h para poder despegar. Si la pista en la que se efectúa el despegue tiene una
longitud de 1100 m, calcule: a) la energía cinética al momento de despegar, b) el trabajo
necesario para alcanzar esta velocidad partiendo del reposo, c) la fuerza que ejercen los
motores del avión durante el despegue.
19. Una bala de 40 g sale del caño de un fusil a una velocidad de 600 m/s. Calcular:
a) la energía cinética máxima, b) la fuerza media ejercida por los gases en expansión
sobre la bala cuando ésta recorre el caño de 0,60 m de longitud.
20. Se aplica una fuerza de 12 N a un cuerpo de 50 kg inicialmente en reposo durante
20 s. Calcule: a) el trabajo realizado por la fuerza, b) la velocidad final del cuerpo,
c) la energía cinética final, d) la potencia desarrollada.
98
21. a) Calcule la máxima altura que alcanzará una pelota de voley (m = 270 g) si se la
lanza hacia arriba con una velocidad de 18 m/s. b) Calcule su velocidad cuando haya
alcanzado una altura de 10 m. c) ¿A qué altura su velocidad es de 9 m/s?
22. Un cuerpo es lanzado hacia la parte superior de un plano inclinado sin rozamiento.
Si se detiene a una altura de 2,3 m, determinar: a) ¿Cuál era la velocidad en parte inferior
del plano? b) ¿A qué altura, medida desde la parte inferior del plano, su velocidad es de
3 m/s?
23. Una fruta madura cae desde una rama, a 4 m de altura. a) Determine la velocidad con
la que llega al suelo. b) ¿Cuál es su velocidad a los 1,5 m de altura?
24. Un skater comienza a caer desde la parte superior de un plano inclinado. Si
inicialmente estaba en reposo y al llegar abajo su velocidad es de 7 m/s, ¿cuál es la altura
del plano inclinado?
25. Una deportista de salto con garrocha corre a 10 m/s y salta sobre la barra. Su
velocidad cuando está arriba de la barra es de 1 m/s. Despreciando la resistencia del aire
y la energía absorbida por la garrocha, determinar la altura que alcanza cuando cruza la
barra.
26. Un esquiador de masa 70 kg es arrastrado hacia arriba por una pendiente de 30° con
la horizontal mediante un cable accionado por un motor. Calcular: a) el trabajo necesario
para desplazarlo 50 m por la pendiente; b) la potencia del motor para realizar ese trabajo
si la velocidad es de 2,0 m/s.
27. Un hombre empuja un carro de 20 kg que carga una bolsa de cal de 60 kg, aplicando
una fuerza horizontal de 80 N. a) Calcule el trabajo efectuado por el hombre en un trayecto
de 10 m. b) Si el carro parte del reposo, ¿cuál es la velocidad final luego de haber recorrido
los 10 m? c) Determine la aceleración del carro si el rozamiento se considera
despreciable. d) Calcule el tiempo empleado en recorrer los 10 m.
28. Resuelva nuevamente los ítems del ejercicio anterior, considerando ahora que la
fuerza de 80 N forma un ángulo de 20° sobre la horizontal.
29. Un automóvil de 1000 kg alcanza una velocidad de 100 km/h en 9 s partiendo del
reposo. Calcular la potencia media que debe desarrollar el motor para alcanzar esta
aceleración.
30. Un futbolista patea una pelota de 0,6 kg de masa verticalmente hacia arriba con una
velocidad de 8 m/s, desde el suelo. Calcular la energía potencial, cinética y mecánica en
los siguientes casos: a) en el momento del lanzamiento, b) al segundo de lanzarlo, c) en
el punto más alto de la trayectoria.
99
Anexo: Respuestas a los ejercicios propuestos
Respuestas a los ejercicios del Capítulo 1
Notación científica
a) 105
b) 1,54 · 108
c) 6,02 · 1023
d) 7,9 · 10-4
e) 1,30 · 10-2
f) 8,1 · 10-8.
Pasajes de unidades
a) 20 m = 2.000 cm = 20.000 mm = 2 dam = 0,020 km
b) 3,56 dm = 3,56·10-4 km = 35,6 cm = 356 mm = 0,356 m
c) 11 μs = 1,1·10-5 s = 0,011 ms = 11 000 ns
d) 45 l = 0,45 hl = 4,5 dal = 45.000 ml
e) 0,9 N = 9·10-4 kN = 9 dN
f)
1,7 g = 1,7·10-3 kg = 1.700 mg = 1,7·106 μg = 17 dg
g) 780 nm = 7,8·10-7 m = 7,8·10-4 mm =7,8·10-5 cm = 0,780 μm
h) 150 kW = 150.000 W = 0,150 MW
i)
20 m2 = 0,0020 hm2 = 2,0·10-5 km2
j)
3,70 cm3 = 3,7·10-6 m3 = 3,7·10-3 dm3 = 3.700 mm3
k) 720 hm2 = 7,20 ·106 m2
l)
215 g = 0,215kg
m) 315 GW = 3,15·1011 W
n) 410 nm = 4,10·10-5 cm = 4,10·10-7 m
o) 72 km/h = 20 m/s;
p) 1224 km/h
Ecuaciones con unidades
m2
m3
1. [𝐺] = N · kg2 = kg s2
2. (a) incorrecta
(b) incorrecta
(c) incorrecta.
100
(d) correcta.
Respuestas a los ejercicios del Capítulo 2
1. a) 12 km, b) 2,5 h.
2. a) 7,7 m/s, b) 0.
3. El gráfico B.
4. El gráfico A.
5. a) 5 m/s. b) 3 m/s. c) 3,75 m/s. d) 0 m/s.
6. a) 22,3 km/h y 19,8 km/h, b) 32,3 s, c) 178 m, d) 4,1 s.
7. a) 110 s. b) 4,36 m/s. c) – 0,73 m/s.
8. a) 342 m/s, b) 2050 m, c) 3,5 s.
9. a) A las 2:02:30 de la tarde. b) Se encontrará a 21 km de la vía.
11. a) 12,5 m/s = 45,0 km/h, b) 𝑥 = 150 m + 12,5 m/s ∙ 𝑡, c) 525 m.
12. Gráfico i) a) 10 m, b) 3,3 m/s, c) 𝑥 = 10 m + 3,3 m/s ∙ 𝑡, d) 50 m.
Gráfico ii) a) 20 m, b) – 5 m/s, c) 𝑥 = 20 m − 5 m/s ∙ 𝑡, d) – 40 m.
Gráfico iii) a) -20 m, b) 5 m/s, c) 𝑥 = −20 m + 5 m/s ∙ 𝑡, d) 40 m.
13. a) 5 m/s, b) – 2,5 m/s, c) 0,71 m/s, d) 3,6 m/s.
14. a) 𝑣𝐴 = 2,5 m/s y 𝑣𝐵 = −4,0 m/s, b) 𝑥𝐴 = 50 m + 2,5 m/s ∙ 𝑡 𝑥𝐵 = 400 m − 4,0 m/s ∙ 𝑡
c) 𝑡𝐸 = 53,8 s, 𝑥𝐸 = 185 m.
15. a) 22,5 m, c) 15 m/s, c) 2 s.
16. a) 2 m/s2, b) 50 m, c) 40 km/h, d) (Gráfico).
17. a) – 1,5 m/s2, b) 44 m, c) 8,3 s, d) 52 m.
18. a) 27 m/s, b) 9 s.
19. a) 35 s, b) 595 m, c) (Gráfico).
20. a) 20 s. b) No, necesita como mínimo 1000 m de pista.
21. a) 7,8 m/s2. b) 3,2 s.
22. a) 4,98·10-9 s b) 1,20·1015 m/s2.
23. a) 2,5 m/s2. b) 105 m. c) 255 m. d) (Gráfico).
24. a) 0,75 m/s2 para los primeros 10 s y – 1 m/s2 para los últimos 7,5 s, b) 103 m.
25. a) 14 m/s, b) -2 m/s2.
26. a) 59 m/s, b) 176 m.
27. a) 1,01 s, b) 0,42 s, c) 14 m/s.
28. a) 82 m, b) 3,3 s. c) 78 m.
29. a) 13,7 m/s. b) 9,6 m, c) 2,8 s.
30. 7 m/s.
101
Respuestas a los ejercicios del Capítulo 3
1. (Grafico)
2. a) Fx = 32 N, Fy = 24 N.
3. (Grafico)
4. a) 50 Km/h, b) 37°.
5. b) Rx = 70 N, Ry = 40 N, R = 80,6 N. c) 29° 45’.
6. a) F1x = 36 N, F1y = 48 N, F2x = -27 N, F2y = 36 N, b) R = 84,5 N, 𝛼𝑅 = 83,9°.
7. a) FAx = 0 N, FAy = 20 N, FBx = 28,3 N, FBy = 28,3 N, FCx = 21,2 N, FCy = -21,2 N,
b) R = 56,4 N, c) 28,7°.
8.
F3 = 201 N con α3 = 164°.
9. a) |Px|=150 N, |Py|=260 N, b) T = 150 N.
10. T1 =56,4 kgf, T2 = 60,1 kgf.
11. 2400 N
12. 14 N.
13. 2750 N.
14. a) 50 kg, b) 3 m/s2.
15. a) 3,3 m/s2, b) 6,6 m, c) 6,6 m/s.
16. a) 4800 N, b) 0,70 m/s2.
17. a) 1250 N, b) 375 m, c) 7500 N, d) 62,5 m.
18. 43 N.
19. 98 kg.
20. a) 259 N, b) 1,60 m/s2.
21. a) 8,3 N. b) 2,7 s.
22. a) 2,40 N, b) 0,80 N, c) -0,40 N.
23. a) 39,2 N. b) 55,2 N. c) 67,9 N.
24. a) 3,35 m/s2, b) 33,5 m/s c) 168 m.
25. a) 45,2 N, b) 33,2 N.
26. a) 686 N, b) 686 N, c) 826 N, d) 546 N.
27. a) 50 kg, b) 2,2 m/s2 (hacia arriba) c) 2,2 m/s2 (hacia abajo).
28. 10840 N.
29. a) 0,25 m/s2; b) 13500 N, b) 6000 N, d) 3000 N.
30. a) 0,0167 m/s2 , b) 2,00 m/s2.
102
Respuestas a los ejercicios del Capítulo 4
1. a) 2000 J, b) 1414 J, c) 0 J, d) -1000 J, e) -2000 J.
2. 846 J.
3. 1150 N.
4. 20 m.
5. a) 3920 J, b) -3920 J, c) 0 J.
6. a) 294 J, b) -294 J.
7. a) 8800 kJ, b) 2933 W.
8. 34,3 kW, 46,6 CV.
9. a) 188 J, b) 78,4 W.
10. 67 kW, 91 CV.
11. a) 67,5 J, b) 2,78 kJ, c) 33,7 kJ, d) 303 kJ.
12. a) 2,02·106 J, b) 2,02·106 J, c) – 2,02·106 J
13. a) 931 kJ, b) 304 kJ, c) 1235 kJ.
14. a) 588 J, b) -588 J, c) 588 J.
15. a) 3,86 kJ, b) 3,86 kJ, c) 96,5 N.
16. a) 600 J, b) 600 J, c) 10 m/s.
17. a) 200 kJ, b) 10 kW.
18. a) 9,65·108 J, b) 9,65·108 J, c) 8,77·105 N.
19. a) 7200 J, b) 12.000 N.
20. a) 576 J, b) 4,8 m/s, c) 576 J, d) 28,8 W.
21. a) 16,5 m, b) 11,3 m/s, c) 12,4 m.
22. a) 6,7 m/s, b) 1,84 m.
23. a) 8,9 m/s, b) 7,0 m/s.
24. 2,5 m.
25. 5,05 m.
26. a) 17150, b) 686 W.
27. a) 800 J, b) 4,5 m/s, c) 1 m/s2, d) 4,5 s.
28. a) 752 J, b) 4,3 m/s, c) 0,94 m/s2, d) 4,6 s.
29. 42,9 kW
30. a) EP = 0, EC = 19,2 J, EM = 19,2 J; b) EP = 18,2, EC = 0,97 J, EM = 19,2 J;
c) EP = 19,2, EC = 0 J, EM = 19,2 J;
103
Índice
Prólogo
3
Introducción 4
Capítulo I: Magnitudes físicas y unidades de medida ..................................................... 5
Magnitudes vectoriales y escalares........................................................................... 11
Ejercicios propuestos para el Capítulo 1 ................................................................... 14
Capítulo 2:
Cinemática del punto material ............................................................... 15
Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU) .................................................................... 20
Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado (MRUV) ........................................... 23
Ejercicios resueltos del Capítulo 2 ............................................................................ 30
Ejercicios propuestos para el Capítulo 2 ................................................................... 44
Capítulo 3:
Dinámica del punto material .................................................................. 49
Leyes del movimiento ............................................................................................... 55
Primera ley de Newton: ley de inercia ....................................................................... 55
Segunda ley de Newton: ley de las masas ................................................................ 56
Tercera ley del movimiento: ley de acción y reacción ................................................ 58
Ejercicios resueltos del Capítulo 3 ............................................................................ 62
Ejercicios propuestos para el Capítulo 3 ................................................................... 71
Capítulo 4:
Trabajo, Energía y Potencia .................................................................. 75
Trabajo realizado por una fuerza constante .............................................................. 75
Energía cinética y energía potencial ......................................................................... 79
Teorema del trabajo y la energía cinética .................................................................. 82
Energía mecánica y su conservación ........................................................................ 83
Ejercicios resueltos del Capítulo 4 ............................................................................ 86
Ejercicios propuestos para el Capítulo 4 ................................................................... 97
Anexo: Respuestas a los ejercicios propuestos ...........................................................100
Respuestas a los ejercicios del Capítulo 1 ...............................................................100
Respuestas a los ejercicios del Capítulo 2 ...............................................................101
Respuestas a los ejercicios del Capítulo 3 ...............................................................102
Respuestas a los ejercicios del Capítulo 4 ...............................................................103
104