Cálculo Integral
Matemática I
Margarida Macedo
Cálculo Integral
Índice
1. Integral indefinido ................................................................................................
3
1.1. Primitiva .......................................................................................................
3
1.2. Integral indefinido ........................................................................................
4
1.3. Regras de integração .....................................................................................
5
1.3.1. Integral da potência .............................................................................
5
1.3.2. Integral de 𝑥 −1......................................................................................
6
1.3.3. Integral de 𝑒 𝑥 ........................................................................................
..............................................
6
1.3.4. Outras fórmulas de integração ..............................................................
6
1.3.5. Propriedades do integral indefinido .....................................................
8
1.3.6. Integral quase-imediato ........................................................................ 10
1.4. Aplicações do integral indefinido .................................................................. 15
1.5. Técnicas de integração ................................................................................... 23
1.5.1. Integração por partes ............................................................................. 23
1.5.2. Integração de fracções racionais ........................................................... 28
1.5.3. Integração por mudança de variável ...................................................... 38
...........................................................................
3
1.5.4. Integração de certas classes de funções trigonométricas .....................
45
1.5.5. Transformações trigonométricas para integrais irracionais .................
48
1.6. Exercícios globais ……………………………………………………………….
51
2. Integral definido ................................................................................................... 57
2.1. Abordagem teórica ........................................................................................ 57
2.2. Teorema Fundamental do Cálculo ................................................................. 58
2.3. Propriedades do integral definido .................................................................. 59
2.4. Valor médio de uma função ........................................................................... 59
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1
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2.5. Mudança de variável no integral definido ...................................................... 60
2.6. Cálculo de áreas ............................................................................................. 62
2.7. Integrais impróprios ....................................................................................... 69
2.7.1. Integrais impróprios de 1ª espécie ......................................................... 69
2.7.2. Integrais impróprios de 2ª espécie ......................................................... 72
2.8. Aplicações do integral definido ..................................................................... 74
2.9. Exercícios globais ……………………………………………………………….
76
Bibliografia ..................................................................................................
84
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2
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3
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1. Integral indefinido
1.1. Primitiva
Seja f (x) a derivada de uma função real de variável real, F(x), ou seja, 𝐹′(𝑥) = 𝑓(𝑥). Então,
a F (x), chama-se Primitiva de f (x).
Por exemplo, se é conhecida 𝐹′(𝑥) = 2𝑥, F(x) pode ser 𝑥 2 ; mas também pode ser 𝑥 2 + 1 ou
𝑥 2 − √5, já que a derivada de qualquer uma das funções apresentadas admitem 2x como
derivada. Ou seja, 𝑥 2 , 𝑥 2 + 1, 𝑥 2 − √5 são primitivas de 2x.
Exemplos:
1
1) Verificar que F (x) = 3 𝑥 3 + 5𝑥 + 2 é uma primitiva de f (x)= 𝑥 2 + 5:
F(x) é uma primitiva de 𝑓(𝑥) ⇔ 𝐹′(𝑥) = 𝑓(𝑥)
𝐹′(𝑥) = 𝑥 2 + 5 = f (x)
Assim, derivando F(x), temos:
4
2) Verificar que
4⋅ √(𝑒 𝑥 +1)7
7
4
−
4⋅ √(𝑒 𝑥 +1)3
3
7
𝑒 2𝑥
8
√𝑒 𝑥 +1
+ é uma primitiva de 4
4
Deverá ser verificada a igualdade (
4
(
4⋅ √(𝑒 𝑥 +1)7
7
4
−
4⋅ √(𝑒 𝑥 +1)3
3
7
′
4⋅ √(𝑒 𝑥 +1)7
7
4
+ ) = ⋅
8
7
=
=
4
−
4⋅ √(𝑒 𝑥 +1)3
3
7 𝑒 𝑥 (𝑒 𝑥 +1)6
4 √(𝑒 𝑥 +1)
𝑒 𝑥 (𝑒 𝑥 +1)6
4
(𝑒 𝑥 +1)5 ⋅ √𝑒 𝑥 +1
𝑒 𝑥 (𝑒 𝑥 +1)
4
√𝑒 𝑥 +1
−4
−
′
+ ) =
8
4
3𝑒 𝑥 (𝑒 𝑥 +1)2
3
4 √(𝑒 𝑥 +1)9
− ⋅
21
4
7
4
𝑒 𝑥 (𝑒 𝑥 +1)2
4
(𝑒 𝑥 +1)2 ⋅ √𝑒 𝑥 +1
𝑒𝑥
√𝑒 𝑥 +1
=
∶
𝑒 2𝑥
4
√𝑒 𝑥 +1
;
=
=
𝑒 2𝑥
4
√𝑒 𝑥 +1
Está verificado.
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4
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1.2. Integral Indefinido
Em geral, se F for uma primitiva de f, qualquer função obtida ao acrescentarmos uma
constante a F também será uma primitiva de f. Na realidade, podemos obter todas as
primitivas de f somando constantes a qualquer primitiva de f.
Assim, se F e G forem primitivas de f, existe uma constante k tal que G(x) = F(x) + k.
Geometricamente, a explicação para o facto de duas primitivas quaisquer de uma função
diferirem entre si de um valor constante, é simples:
se F for uma primitiva de f, então F’(x) = f (x). Isto significa que, para cada valor de x, f (x)
é o declive da reta tangente ao gráfico de F(x). Se G for outra primitiva de f, o declive da sua
reta tangente também é f (x). Logo, o gráfico de G é “paralelo” ao gráfico de F e pode ser
obtido através de uma translação vertical do gráfico de F. Assim, existe uma constante k, tal
que G(x) = F(x) + k. A figura a seguir ilustra esta situação para várias primitivas da função f
(x) = 3x2:
Surge assim o conceito de Integral Indefinido de uma função f (x) que, na prática, é a
família de primitivas da função f (x):
 f ( x) dx = F ( x) + k
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k R
5
Cálculo Integral
em que f (x) é a função integranda, dx assegura que x é a variável de integração, F(x) é uma
qualquer primitiva da função f (x) e k é a constante de integração cujo significado já foi
estabelecido.
( k  R ).
Por exemplo, ∫ 3𝑥 2 𝑑𝑥 = 𝑥 3 + 𝑘
De acordo com o que foi dito anteriormente, ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥) + 𝑘 ⇔ 𝐹′(𝑥) = 𝑓(𝑥) para
todos os pontos pertencentes ao domínio de f (x).
1.3. Regras de integração
Sendo a integração a operação inversa da diferenciação, podemos formular várias regras de
integração partindo das correspondentes (porém no sentido inverso) regras de derivação.
1.3.1. Integral da potência
𝑥𝑛 ′
Segundo a regra de potência: (𝑥 𝑛 )′ = 𝑛 ⋅ 𝑥 𝑛−1 ⇔ ( ) = 𝑥 𝑛−1 ; consequentemente
𝑛
∫ 𝑥 𝑛 dx =
1
𝑛+1
⋅ 𝑥 𝑛+1 + 𝑘
para n  −1 e k  R
Exemplos:
1) ∫ 𝑥 3 𝑑𝑥 =
𝑥 3+1
3+1
+𝑘 =
𝑥4
4
+𝑘
2) ∫ 𝑑𝑥 = ∫ 1 𝑑𝑥 = ∫ 𝑥 0 𝑑𝑥 =
1
2
3) ∫ √𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 𝑥 𝑑𝑥 =
(k R)
𝑥 0+1
0+1
1
+1
𝑥2
1
+1
2
+𝑘 =
𝑥1
1
+𝑘 =𝑥+𝑘
3
+𝑘 =
𝑥2
3
2
2
3
+ 𝑘 = 𝑥2 + 𝑘
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3
(k R)
(k R)
6
Cálculo Integral
2
3
2
4) ∫ 𝑥 𝑑𝑥 =
5) ∫
1
√𝑥
𝑥3
5
+1
+𝑘 =
2
+1
3
−
1
2
𝑑𝑥 = ∫ 𝑥 𝑑𝑥 =
𝑥3
5
3
5
1
− +1
𝑥 2
1
2
5
3
+ 𝑘 = . 𝑥3 + 𝑘
− +1
(k R)
1
+𝑘 =
𝑥2
1
2
+ 𝑘 = 2 √𝑥 + 𝑘
(k R)
1.3.2. Integral de 𝑥 −1
Pretende-se determinar uma função cuja derivada é
1
. Quando x é positivo, a função ln x,
x
verifica essa condição. Quando x é negativo, conclui-se que ln |x| é a primitiva de
′
−1
1
, pois,
x
1
sendo x negativo, |x| = - x e (ln(−𝑥)) = −𝑥 = 𝑥. Assim,
1
 dx = ln |x| + k
x
k R
1.3.3. Integral de 𝑒 𝑥
A integração da função exponencial 𝑒 𝑥 é trivial, pois 𝑒 𝑥 é a sua própria derivada. Assim,
x
x
 e dx = e + k
k R
1.3.4. Outras fórmulas de integração
Consequência das respetivas regras de derivação, apresenta-se o quadro com as fórmulas de
integral imediato, incluindo os casos analisados anteriormente:
(em todas as fórmulas a constante de integração 𝑘 ∈ 𝑅)
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7
Cálculo Integral
∫ 𝑐 dx = 𝑐𝑥 + 𝑘
∫ 𝑥 𝑛 dx =

1
𝑛+1
𝑥 𝑛+1 + 𝑘
( 𝑛 ∈ 𝑅\{−1})
1
dx = ln |x| + k
x
x
x
 e dx = e + k
 sen x dx = − cos x + k
x
 a dx =
ax
+k
ln a
 cos x dx = sen x + k

1
dx = tg x + k
cos 2 x


1
dx = arctg x + k
1 + x2

1
dx = −cotg x + k
sen 2 x
1
1 − x2
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dx = arcsen x + k
8
Cálculo Integral
1.3.5. Propriedades do Integral Indefinido
Resultam das propriedades análogas para a derivação:
 c  f (x) dx = c   f ( x) dx
, ∀𝑐 ∈ 𝑅\{0}
  f ( x)  g ( x) dx =  f(x)dx   g(x) dx
Exemplos:1
1) ∫ 5 𝑑𝑥 = 5 ∫ 1 𝑑𝑥 = 5𝑥 + 𝑐
(𝑐 ∈ 𝑅)
2) ∫(𝑥 2 + 𝑒 𝑥 )𝑑𝑥 = ∫ 𝑥 2 𝑑𝑥 + ∫ 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 =
2
𝑥3
3
+ 𝑒𝑥 + 𝑐
1
(𝑐 ∈ 𝑅)
1
3) ∫ (3𝑒 𝑥 + 𝑥 − 2 𝑥 2 ) 𝑑𝑥 = 3 𝑒 𝑥 + 2 ln | 𝑥| − 6 𝑥 3 + 𝑐
4) ∫(𝑥 2 + 5) 𝑑𝑥 =
5) ∫
6) ∫
𝑥3
3
+ 5𝑥 + 𝑐
1
𝑥 1/2
√
1/2
𝑑𝑥 = ∫ 𝑥 −1/2 𝑑𝑥 =
𝑥
3𝑥 5 +2𝑥−5
𝑥3
(𝑐 ∈ 𝑅)
+ 𝑐 = 2 √𝑥 + 𝑐
2
1
𝑥 2 +3𝑥−2
√𝑥
(𝑐 ∈ 𝑅)
𝑑𝑥 = 3 ∫ 𝑥 2 𝑑𝑥 + 2 ∫ 𝑥 −2 𝑑𝑥 − 5 ∫ 𝑥 −3 𝑑𝑥 = 3
5
= 𝑥 3 − 𝑥 + 2𝑥 2 + 𝑐
8) ∫
(𝑐 ∈ 𝑅)
𝑥3
3
+2
𝑥 −1
−1
−5
𝑥 −2
−2
+𝑐 =
(𝑐 ∈ 𝑅)
2
𝑑𝑥 = ∫(𝑥 3/2 + 3𝑥1/2 − 2𝑥 −1/2 ) 𝑑𝑥 = 5 √𝑥 5 + 2√𝑥 3 − 4√𝑥 + 𝑐
(𝑐 ∈ 𝑅)
No cálculo de somas ou diferenças de integrais, ao invés de adicionarmos uma constante 𝑐1 , 𝑐2 , . .. a cada uma
das primitivas que constituem as parcelas, basta adicionar uma única constante c ao final do resultado
encontrado.
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9
Cálculo Integral
1
2
2
3 
1
 1
9)   − 2 +
 dx = ln x − 2 x − 2 dx + 3 x −1 / 2 dx = ln x + + 6 x + c
2
x
2
x
 2x x
(cR)
 3 1 −1

2 5
1
 3

x − x + 2x+c
10)   x −
+ 2  dx =   x 2 − x 2 + 2  dx =


5
2
2 x




(cR)
 1
3
x
1
 3 −2 1 1/ 2 
2
11)   − 2 + e 2 +
 dx = ln x + e x +   − x + x  dx =
3
2
2 
 2

 3x 2 x
=
1
3
1 3
ln x +
+ e2 x +
x +c
3
2x
3
(
cR
)
5 t 4 11t 3 2
1 
+
−t +c
12)  ( t 3 − 2t 2 )  − 5  dt =  t 2 − 2t − 5t 3 + 10 t 2 dt = −
4
3
t

13)  2 px dx = 2 p  x1 / 2 dx = 2 p
14)  (ny )
1− n
n
dy =
( m− n)
15)  x x
2
x
1− n
n n
dx = 

1− n
y n dy
=
1− n
n n
2
x3 / 2
2 px3 + c
+c =
3
3/ 2
1− n
(cR)
(cR)
+1
y n

+ c = n1/n y1/ n + c
1− n
+1
n
(cR)
1
1
 2m − 1
m+n−
2n − 
x 2m − 2 x m + n + x 2n
2 +x
2  dx =
 x 2 − 2x
dx
=

1/ 2


x


=
𝑥 2𝑚+1/2
𝑥 2𝑛+1/2
𝑥 𝑚+𝑛+1/2
− 2𝑛+1/2 − 2 𝑚+𝑛+1/2 + 𝑐
2𝑚+1/2
(cR)
x
 3x e x 
16)  
 dx =
x
5





 3e 
x


3e 
5
+c
 dx = 
 3e 
5
ln 

 5
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(cR)
10
Cálculo Integral
17)
x3 − 8
 x − 2 dx
Fazendo a divisão indicada, tem-se:
x3 + 0 x 2 + 0 x − 8
− x3 + 2 x 2
2x2
−8
2
− 2x + 4x
4x − 8
− 4x + 8
0
x − 2
x2 + 2x + 4
Assim:
∫
𝑥 3 −8
𝑥−2
18) ∫
𝑑𝑥 = ∫(𝑥 2 + 2𝑥 + 4) 𝑑𝑥 =
𝑥 6 −2𝑥 5 +7𝑥 3 −17𝑥 2 +7𝑥−2
𝑥−2
𝑥3
3
+
2𝑥 2
2
+ 4𝑥 + 𝑐 =
𝑥3
3
+ 𝑥 2 + 4𝑥 + 𝑐
(cR)
𝑑𝑥
Fazendo a divisão indicada através da Regra de Ruffini, temos:
1
−2
0
7
−17
7
−2
2
0
0
14
−6
2
0
0
7
−3
1
0
2
1
∫
𝑥 6 −2𝑥 5 +7𝑥 3 −17𝑥 2 +7𝑥−2
𝑥−2
𝑑𝑥 = ∫(𝑥 5 + 7𝑥 2 − 3𝑥 + 1) 𝑑𝑥 =
𝑥6
6
+
7𝑥 3
3
−
3𝑥 2
2
+ 𝑥 + 𝑐 (𝑐 ∈ 𝑅)
1.3.6. Integral imediato/quase-imediato
Considera-se que um integral é quase-imediato quando, não sendo a aplicação imediata de
uma fórmula, a sua resolução não se enquadra em nenhuma técnica mais sofisticada de entre
as que irão ser abordadas a seguir, necessitando apenas de pequenas alterações numéricas
para se transformar num integral imediato. Por vezes, esta diferença não é considerada na
literatura, sendo um integral nestas condições considerado imediato.
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11
Cálculo Integral
Para a resolução deste tipo de integrais, devem ser consideradas as generalizações das
fórmulas listadas anteriormente.
(em todas as fórmulas a constante de integração k  R )
u
n u '=
1
un +1 + k
n +1

u'
= ln |u| + k
u
( 𝑛 ∈ 𝑅\{−1})
e
u  u ' = eu + k
 sen u  u ' = − cos u + k
1
 cos 2 u  u ' = tg u + k
1
 1 + u 2  u ' = arctg u + k
a
u
u u '= a
+k
ln a
 cos u  u ' = sen u + k
1
 sen 2u  u ' = −

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1
1− u2
cotg u + k
 u ' = arcsen u + k
11
Cálculo Integral
Exemplos:
1) ∫(𝑥 + 1)5 𝑑𝑥 =
(𝑥+1)6
6
(𝑘 ∈ 𝑅)
+𝑘
1
2) ∫(2𝑥 + 1)3 𝑑𝑥 = 2 ∫(2𝑥 + 1)3 ⋅ 2 𝑑𝑥 =
1
(2𝑥+1)4
8
+𝑘
(𝑘 ∈ 𝑅)
2
3) ∫ √5𝑥 + 7𝑑𝑥 = 5 ∫ √5𝑥 + 7 ⋅ 5 𝑑𝑥 = 15 √(5𝑥 + 7)3 + 𝑘
1
4) ∫(2𝑥 3 + 1)7 . 𝑥 2 𝑑𝑥 = 6 ∫(2𝑥 3 + 1)7 . 6𝑥 2 𝑑𝑥 =
1
3
(2𝑥 3 +1)8
3
48
5) ∫ 𝑥 . √7-6𝑥 2 𝑑𝑥 = − 12 ∫(−12𝑥) . √7-6𝑥 2 𝑑𝑥 = −
𝑥 2 −1
(𝑘 ∈ 𝑅)
+𝑘
(𝑘 ∈ 𝑅)
3
√(7-6𝑥 2 )4
16
1
6) ∫ (𝑥 3 −3𝑥+1)6 𝑑𝑥 = 3 ∫ 3(𝑥 2 − 1) (𝑥 3 − 3𝑥 + 1)− 6 𝑑𝑥 = −
(𝑘 ∈ 𝑅)
+𝑘
1
15(𝑥 3 −3𝑥+1)5
+𝑘
(𝑘 ∈ 𝑅)
7) ∫ 9(𝑥 2 + 3𝑥 + 5)8 (2𝑥 + 3) 𝑑𝑥 = 9 ∫(𝑥 2 + 3𝑥 + 5)8 (2𝑥 + 3) 𝑑𝑥 = (𝑥 2 + 3𝑥 + 5)9 + 𝑘 (𝑘 ∈ 𝑅)
𝑥
1
2𝑥
8) ∫ 1+𝑥 2 𝑑𝑥 = 2 ∫ 1+𝑥 2 𝑑𝑥 =
3𝑥
3
2𝑥
9) ∫ 𝑥 2 −1 𝑑𝑥 = 2 ∫ 𝑥 2−1 𝑑𝑥 =
𝑥
10) ∫ 1+𝑥 𝑑𝑥 = ∫
3𝑥+6
𝑥+1−1
1+𝑥
3
ln |1+𝑥 2 |
2
+ 𝑘 = ln √1 + 𝑥 2 + 𝑘
3⋅ln |𝑥 2 −1|
2
+𝑘
1
4𝑥+8
12) ∫ 𝑒 7𝑥 𝑑𝑥 = 7 ∫ 7 𝑒 7𝑥 𝑑𝑥 =
13) ∫ 𝑥 3 . 𝑒 𝑥
4 +2
1
(𝑘 ∈ 𝑅)
𝑑𝑥 = ∫ (1 − 1+𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑥 − 𝑙𝑛 |1 + 𝑥| + 𝑘
11) ∫ √2𝑥 2
𝑑𝑥 = 4 ∫ √2𝑥 2
𝑑𝑥 =
+8𝑥+3
+8𝑥+3
1
(𝑘 ∈ 𝑅)
𝑒 7𝑥
7
𝑑𝑥 = 4 ∫ 4𝑥 3 . 𝑒 𝑥
+𝑘
4 +2
3√2𝑥 2 +8𝑥+3
2
+𝑘
(𝑘 ∈ 𝑅)
(𝑘 ∈ 𝑅)
(𝑘 ∈ 𝑅)
𝑑𝑥 =
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4
𝑒 𝑥 +2
4
+𝑘
(𝑘 ∈ 𝑅)
12
Cálculo Integral
1
14) ∫ cos( 4𝑥) 𝑑𝑥 = ∫ 4 cos( 4𝑥) 𝑑𝑥 =
4
sen (4𝑥)
4
1
15) ∫ 𝑥. cos (𝑥 2 ) 𝑑𝑥 = 2 ∫ 2𝑥. cos (𝑥 2 ) 𝑑𝑥 =
16) ∫
cos √𝑥
√𝑥
𝑑𝑥 = 2 ∫ cos √𝑥 ⋅ 2
1
(𝑘 ∈ 𝑅)
+𝑘
sen (𝑥 2 )
𝑑𝑥 = 2sen √𝑥 + 𝑘
√𝑥
(𝑘 ∈ 𝑅)
+𝑘
2
(𝑘 ∈ 𝑅)
1
𝟏𝟕) ∫(cos3 (5𝑥) ⋅ sen (5𝑥)) 𝑑𝑥 = − ∫ (cos 3(5 𝑥) ⋅ (−5 sen (5𝑥))) 𝑑𝑥 = −
5
18) ∫
(ln 𝑥)2
𝑥
1
𝑑𝑥 = ∫(ln 𝑥)2 ⋅ 𝑥 𝑑𝑥 =
1
𝟏𝟗) ∫ 𝑥 . ln 𝑥 𝑑𝑥 = ∫
1
𝑥
3
11
2
3
20) ∫ 3+2𝑥 𝑑𝑥 = ∫ (− 2 +
𝑥2
) 𝑑𝑥 = − 2 𝑥 +
2
21) ∫ 𝑥 2+2 𝑑𝑥 = ∫ (1 − 𝑥 2 +2) 𝑑𝑥 = 𝑥 − ∫
22) ∫
𝑒 1/𝑥
23)  e
𝑥2
24)  e
1
𝑥 2
1+( )
√2
−2bx
𝑥
dx = −
1

b
25) ∫ cotg 𝑎−𝑏 𝑑𝑥 = ∫
1

b
( −be x )
−be
(
1+ e
)
−bx 2
𝑥
𝑎−𝑏
𝑥
sen
𝑎−𝑏
cos
−bx
𝑑𝑥 = 𝑥 − √2 arctg
(
2
a − be x
3b
1
dx = − arctg e−bx + c
b
𝑑𝑥 = (𝑎 − 𝑏) ∫
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𝑥
√2
+𝑐
(𝑐 ∈ 𝑅)
(𝑐 ∈ 𝑅)
a − be x dx = −
1
𝑎−𝑏
(𝑐 ∈ 𝑅)
ln|2𝑥 + 3| + 𝑐
4
1
−bx
1+ e
11
𝑑𝑥 = − ∫ 𝑒 1/𝑥 (− 𝑥 2 ) 𝑑𝑥 = −𝑒 1/𝑥 + 𝑐
a − b e x dx = −
x
(𝑘 ∈ 𝑅)
(𝑘 ∈ 𝑅)
3
2𝑥+3
𝑘
(𝑘 ∈ 𝑅)
+𝑘
𝑑𝑥 = ln| ln 𝑥 | + 𝑘
ln 𝑥
1−3𝑥
(ln 𝑥)3
cos4(5𝑥)
+
20
𝑥
𝑎−𝑏
𝑥
sen
𝑎−𝑏
cos
)
3/ 2
+c
(𝑐 ∈ 𝑅)
(𝑐 ∈ 𝑅)
𝑥
𝑑𝑥 = (𝑎 − 𝑏) ln |sen 𝑎−𝑏| + 𝒄 (𝑐 ∈ 𝑅)
13
Cálculo Integral
𝑥3
𝑥3
1
26) ∫ 𝑥 8+5 𝑑𝑥 = 5 ∫
2
𝑥4
1+(
√5
dx
27) 
e
28) ∫
x
√1−𝑥 2
arcsen𝑥
(
30)  e
31) ∫
1−𝑥 2
x/a
𝑎2𝑥 −1
√𝑎𝑥
)
𝑑𝑥 = 5 ⋅
√5
∫
4
4𝑥3
√5
2
𝑥4
1+(
√5
=  e− x / 2 dx = −2e − x / 2 + c = −
arcsen𝑥+𝑥
29) ∫ √
1
arcsen𝑥
2
e
)
+c
x
𝑥4
√5
arctg
20
√5
+𝑐
(𝑐 ∈ 𝑅)
(𝑐 ∈ 𝑅)
(arcsen 𝑥)2
𝑥
𝑑𝑥 = ∫ √1−𝑥2 𝑑𝑥 + ∫ √1−𝑥 2 𝑑𝑥 =
2
− √1 − 𝑥 2 + 𝑐
2(arcsen𝑥)3/2
1
⇌ 𝑑𝑥 = ∫ √arcsen𝑥 ⋅ √1−𝑥2 𝑑𝑥 =
3
(𝑐 ∈ 𝑅 )
+ 𝒄 (𝑐 ∈ 𝑅)
+ e − x / a ) dx =  ( e 2 x / a + 2 + e −2 x / a ) dx = e 2 x / a + 2 x − e −2 x / a + c
2
2
a
2
2
𝑑𝑥 = ∫(𝑎3𝑥/2 − 𝑎−𝑥/2 )𝑑𝑥 = 3 ⋅
𝑒𝑥
32) ∫ 𝑒 𝑥 −1 𝑑𝑥 = ln |𝑒 𝑥 − 1| + 𝑐
𝑎3𝑥/2
𝑙𝑛 𝑎
+
2𝑎−𝑥/2
𝑙𝑛 𝑎
a
+𝑐
(𝑐 ∈ 𝑅)
(𝑐 ∈ 𝑅)
(𝑐 ∈ 𝑅)
1
33) ∫ 𝑥sen(1 − 𝑥 2 ) 𝑑𝑥 = 2 cos (1 − 𝑥 2 ) + 𝑐
5
𝑑𝑥 =
5
34) ∫ 𝑥 ⋅ √5 − 𝑥 2 𝑑𝑥 = − 12 ⋅ (5 − 𝑥 2 )6/5 + 𝑐
(𝑐 ∈ 𝑅)
(𝑐 ∈ 𝑅)
1
35) ∫ √1 + 3 cos2 𝑥 ⋅ sen(2𝑥)𝑑𝑥 = − 3 ∫ √1 + 3 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 (−6sen𝑥 cos 𝑥)𝑑𝑥 =
2
= − 9 (1 + 3 cos2 𝑥)3/2 + 𝑐
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(𝑐 ∈ 𝑅)
14
Cálculo Integral
36) ∫
3−𝑥√2+3𝑥 2
2+3𝑥 2
3
𝑑𝑥 = ∫ (2+3𝑥 2 −
=
𝑑𝑥
√6
arctg
2
1
𝑥 √2+3𝑥 2
√3
(
√2
2+3𝑥 2
√3
√2
3√2
) 𝑑𝑥 =
∫
2√3
√3
1+( 𝑥)
√2
1
𝑥) − 3 √2 + 3𝑥 2 + 𝑐
1
37) ∫ 𝑥⋅ln2 x = ∫ (ln−2 𝑥 ⋅ 𝑥) 𝑑𝑥 = − ln 𝑥 + 𝑐
𝑥
2
𝑑𝑥 − ∫ √2+3𝑥 2 𝑑𝑥 =
(𝑐 ∈ 𝑅)
(𝑐 ∈ 𝑅)
1.3. Aplicações em contexto económico
Nos exemplos que se seguem, a taxa de variação é conhecida; o objetivo é calcular a
expressão geral (analítica) da função em causa. Como a taxa de variação é a derivada da
função, calculamos a sua expressão por integração.
1) Estima-se que, daqui a t meses, devido um novo produto que a empresa X começou a
fabricar e pretende colocar à venda no próximo ano, o stock variará segundo a taxa de
2 + 6√𝑡 unidades por mês. O stock atual é de 5000 unidades. Qual o stock daqui a 9
meses?
Resolução:
Seja P (t) o número de unidades em stock daqui a t meses. Então, a derivada de P é a taxa de
variação do número de unidades armazenadas em relação ao tempo, ou seja,
𝑑𝑃
𝑑𝑡
= 2 + 6√𝑡.
Então a função população, P(t), é uma primitiva de 2 + 6√𝑡, ou seja,
𝑑𝑃
3
𝑃(𝑡) = ∫ 𝑑𝑡 𝑑𝑡 = ∫(2 + 6√𝑡)𝑑𝑡 = 2𝑡 + 4𝑡 2 + 𝑘, para alguma constante k.
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15
Cálculo Integral
Para determinar k, usamos o valor inicial dado, ou seja, a informação de que o número de
unidades atual (quando t = 0) é de 5000; assim:
3
5 000 = 20 + 402 + 𝑘 ⇒ 𝑘 = 5 000
3
logo 𝑃(𝑡) = 2𝑡 + 4𝑡 2 + 5 000 e o stock daqui a 9 meses será:
3
𝑃(9) = 2 ⋅ 9 + 4 ⋅ 92 + 5000 = 5126
2)
Um fabricante estimou que o custo marginal da produção de q unidades de um
determinado bem é de 3𝑞 2 − 60𝑞 + 400 euros por unidade. O custo de produção das
duas primeiras unidades foi de 900€. Qual será o custo total de produção das cinco
primeiras unidades?
Resolução:
O custo marginal de produção é a derivada da função custo total c(q). Logo,
𝑐′(𝑞) = 3𝑞 2 − 60𝑞 + 400; assim,
𝑐 (𝑞) = ∫ 𝑐′(𝑞) 𝑑𝑞 = ∫(3𝑞 2 − 60𝑞 + 400) 𝑑𝑞 = 𝑞 3 − 30𝑞 2 + 400𝑞 + 𝑘,
𝑐(2) = 900 ⇔ 23 − 30 × 22 + 400 × 2 + 𝑘 = 900 ⇔ 𝑘 = 212
Então,
𝑐 (𝑞) = 𝑞 3 − 30 𝑞 2 + 400 𝑞 + 212
e o custo de produção das 5 primeiras unidades é de
𝑐 (𝑞) = 53 − 30 × 52 + 400 × 5 + 212 = 1587€
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16
Cálculo Integral
3) Supondo que a função receita marginal é dada por 𝑅𝑀𝑔(𝑥) = 80 − 𝑥 + 𝑥 2 , em que x é o
preço unitário da venda de um determinado produto, determinar a função receita total e a
função procura.
Resolução:
•
Função receita total:
𝑅(𝑥) = ∫ 𝑅𝑀𝑔(𝑥)𝑑𝑥 = ∫(80 − 𝑥 + 𝑥 2 )𝑑𝑥 = 80𝑥 −
𝑥2
2
+
Para x = 0, R (0) = 0 ⇒ c = 0 e portanto 𝑅(𝑥) = 80𝑥 −
•
𝑥3
𝑥2
2
3
+𝑐
+
𝑥3
3
Função procura:2
𝑃(𝑥) =
𝑅(𝑥)
𝑥
=
80𝑥 −
𝑥2
2
𝑥
+
𝑥3
3
𝑥
= 80 − 2 +
𝑥2
3
4) A produtividade marginal de uma fábrica em relação à produção diária de automóveis P
é dada por
𝑑𝑃
𝑑𝑥
= 2 − 0,1𝑥, onde x representa o número de vendedores. Supondo que a
empresa possui 15 vendedores, quantos vendedores são necessários contratar para
atingir uma produção de 20 carros por dia?
Resolução:
𝑑𝑃
𝑑𝑥
= 2 − 0,1𝑥 ⟺ 𝑃 = ∫(2 − 0,1𝑥)𝑑𝑥 = 2𝑥 −
0,1 𝑥 2
2
+ 𝑘 = 2𝑥 − 0,05𝑥 2 + 𝑘
Como a produtividade é nula se o número de vendedores é zero, 𝑃(0) = 0 ⇔ 𝑘 = 0, donde
𝑃(𝑥) = 2𝑥 − 0,05𝑥 2
𝑃(𝑥) = 20 ⇔ 20 = 2𝑥 − 0,05𝑥 2 ⇔ 2𝑥 − 0,05𝑥 2 − 20 = 0 ⇔ 𝑥 2 − 40𝑥 + 400 = 0 ⇔
𝑥 = 20
Como a empresa já tem 15 vendedores, a empresa necessita contratar mais 5 vendedores.
2
A procura (quantidade procurada) corresponde à razão entre a receita total e o preço unitário de venda.
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17
Cálculo Integral
Exercícios propostos
1. Calcule:
𝑑𝑥
a) ∫ 5𝑎2 𝑥 6 𝑑𝑥
b) ∫ 𝑥 2
3
c) ∫ √𝑥 2 𝑑𝑥
d) ∫ 10𝑥 𝑑𝑥
e) ∫ 𝑒 𝑥 𝑎 𝑥 𝑑𝑥
f) ∫
2
𝑑ℎ
√2𝑔ℎ
2𝑥
g) ∫ 3𝑥−5 𝑑𝑥
h) ∫ 3−𝑥 2 𝑑𝑥
i) ∫(√𝑥 + 1)(𝑥 − √𝑥 + 1)𝑑𝑥
j) ∫ 𝑥(1+𝑥 2) 𝑑𝑥
k) ∫
√𝑥−𝑥 3 𝑒 𝑥 +𝑥 2
𝑑𝑥
𝑥3
m) ∫(𝑎 + 𝑏𝑥 3 )2 𝑑𝑥
o) ∫ 3
𝑒𝑥
√1+2𝑒 𝑥
(1+𝑥)2
l) ∫ (
1−𝑧 2
) 𝑑𝑧
𝑧
n) ∫ √𝑥 + 1𝑑𝑥
2𝑎
𝑑𝑥
p)∫ (𝑎−𝑥)2 𝑑𝑥
𝑥3
𝑥
q) ∫ 𝑥 4+𝑎4 𝑑𝑥
r) ∫ 𝑥 4 +𝑎4 𝑑𝑥
s) ∫ sen3 𝑥 ⋅ cos3 𝑥 𝑑𝑥
t) ∫ √1−𝑒 2𝑥 𝑑𝑥
u) ∫ cos2𝑥
x) ∫
1
√tg𝑥−1
sen(arctg 𝑥)
1+𝑥 2
𝑑𝑥
dx
𝑑𝑥
w) ∫ √16−9𝑥 2
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𝑒𝑥
v) ∫ 3
sen(5𝑥)
√cos4 (5𝑥)
𝑥
y) ∫ √𝑎4
z) ∫
−𝑥 4
√1+𝑥
√1−𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑥
18
Cálculo Integral
2. Calcule:
𝑎𝑥+𝑏
a) ∫ 𝑎2 𝑥 2+𝑏2 𝑑𝑥
arcsen 𝑥
c) ∫ √
e) ∫
1−𝑥 2
𝑥
2
4+𝑥 2
arctg
b) ∫
𝑑𝑥
d) ∫
𝑑𝑥
𝑥−√arctg(2𝑥)
1+4𝑥 2
𝑑𝑥
𝑥 𝑑𝑥
√(1+𝑥 2 )3
𝑑𝑥
f) ∫
√(1+𝑥 2 ) ln(𝑥+√1+𝑥 2 )
sen𝑥 cos𝑥
g) ∫ √cos2
𝑥−sen2 𝑥
3𝑥−5
𝑑𝑥
h) ∫ √1−𝑥2 𝑑𝑥
2
j) ∫ √1 + 3 cos2 𝑥 ⋅ sen(2𝑥)𝑑𝑥
i) ∫(cos(𝑎𝑥) + sen(𝑎𝑥)) 𝑑𝑥
1
2
3. a) Sabendo que 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) + 3 + 𝑥 − 3𝑥 2 e que uma primitiva de g(x) é 𝑒 𝑥 , calcule:
a.2) ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
a1) f (1)
b) Determine a função y = f (x) que verifica as condições:
𝑥
b.1) 𝑓 ′ (𝑥) = 1+𝑥 4
𝑒
𝑓(0) = 2.
b.2) O gráfico de f passa pelo ponto ( 0,1 ), x + 2y = 2 é uma equação da tangente ao
gráfico nesse ponto e verifica-se a condição 𝑦 ″ = 𝑥 2 + 1.
1
4. O custo marginal do fabrico de x unidades do produto A tem como modelo a função 20
√𝑥
+
4, existindo um custo fixo de 750 u.m. Determine a função custo.
5. A taxa de crescimento da população de uma cidade é dada por 500𝑡1,06 , em que t é o
tempo em anos. A população da cidade é, no momento atual, de 50000 habitantes. Qual
será a população daqui a 10 anos?
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19
Cálculo Integral
6. A taxa de depreciação de uma máquina,
𝑑𝑣
𝑑𝑡
, é inversamente proporcional a (𝑡 + 1)2 , onde
v é o valor atual da máquina t anos após a sua aquisição. O valor inicial da máquina é 500
mil euros. Ao fim do 1º ano, a máquina sofreu um decréscimo no seu valor de 100 mil
euros. Estime o seu valor ao fim de 4 anos.
7. Em determinado momento verificou-se que o número T de transações em ATM (caixas
multibanco) em milhões, nos Estados Unidos, varia à razão de
𝑑𝑇
𝑑𝑡
= 23,23𝑡 3/2 − 7,89𝑡 2 + 44,71𝑒 −𝑡 ,
em que t = 0 corresponde a 1986. Em 1992 havia 600 milhões de transações. Determine
o número de transações ATM em 1987.
8. O custo marginal de um determinado produto, y' é dado em função das unidades
produzidas x através da expressão 𝑦′ = 2 + 60𝑥 − 5𝑥 2 . Determine as funções de custo
total e custo médio, sabendo que o custo fixo é igual a 65.
9. Uma função de receita marginal é dada por 𝑅 ′ (𝑥) = 12 − 8𝑥 + 𝑥 2 , em que x é o preço
unitário. Determine as funções de receita total e de procura.
Soluções:
1. a)
5 2 7
a x + c (𝑐 ∈ 𝑅)
7
3
c) 3 x 5 + c (𝑐 ∈ 𝑅)
5
e)
g)
i)
e xa x
+c
1 + ln a
2
3
(𝑐 ∈ 𝑅)
ln|3𝑥 − 5| + 𝑐
2 2
x x + x + c (𝑐 ∈ 𝑅)
5
k) −
2
− e x + ln x + c (𝑐 ∈ 𝑅)
3x x
1
b) − 𝑥 + 𝑐 (𝑐 ∈ 𝑅)
10 x
+ c (𝑐 ∈ 𝑅)
d)
ln10
2ℎ
f) √ 𝑔 + 𝑐 (𝑐 ∈ 𝑅)
h) − ln|3 − 𝑥 2 | + 𝑐
(𝑐 ∈ 𝑅)
j) ln | x | + 2arctg x + c (𝑐 ∈ 𝑅)
l) −
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1
𝑧
− 2 ln|𝑧| + 𝑧 + 𝑐 (𝑐 ∈ 𝑅)
20
Cálculo Integral
m) a 2x +
o) 3
3
4
q)
1
4
ab 4 b 2 7
x + x + c (𝑐 ∈ 𝑅)
2
7
(1+ 2e x )
2
+c
n)
(𝑐 ∈ 𝑅)
p)
ln(𝑥 4 + 𝑎4 ) + 𝑐 (𝑐 ∈ 𝑅)
r)
1
1
cos 4x + cos 6x + c (𝑐 ∈ 𝑅)
4
6
s) −
v)
x) - cos (arctg x) + c (𝑐 ∈ 𝑅)
y)
1
arcsen
3
3𝑥
4
2. a) 1 ln ( a 2 x 2 + b 2 ) + 1 arctg ax + c (𝑐 ∈ 𝑅)
a
(𝑥 + 1)√𝑥 + 1 + 𝑐 (𝑐 ∈ 𝑅)
2𝑎
𝑎−𝑥
+ 𝑐 (𝑐 ∈ 𝑅)
2
 x
arctg  + c
2
a
2a
1
(𝑐 ∈ 𝑅)
3
3
5 √cos(5𝑥)
+ 𝑐 (𝑐 ∈ 𝑅)
1
x2
arcsen 2 + c (𝑐 ∈ 𝑅)
2
a
z) arcsen 𝑥 − √1 − 𝑥 2 + 𝑐 (𝑐 ∈ 𝑅)
+ 𝑐 (𝑐 ∈ 𝑅)
2a
3
t) arcsen(𝑒 𝑥 ) + 𝑐 (𝑐 ∈ 𝑅)
u) 2√tg𝑥 − 1 + 𝑐 (𝑐 ∈ 𝑅)
w)
2
(
)
b) 1 ln 1 + 4 x 2 −
b
8
c) 2 (arcsen x )3 + c (𝑐 ∈ 𝑅)
d) −
3
1
1+ x
2
+c
( arctg( 2 x ) )3
3
+ c (𝑐 ∈ 𝑅)
(𝑐 ∈ 𝑅)
2
e)
x

 arctg 
2

+c
4
f) 2√ln(𝑥 + √1 + 𝑥 2 ) + 𝑐 (𝑐 ∈ 𝑅)
(𝑐 ∈ 𝑅)
1
h) −3√1 − 𝑥 2 − 5arcsen𝑥 + 𝑐 (𝑐 ∈ 𝑅)
g) − 2 √cos(2𝑥) + 𝑐 (𝑐 ∈ 𝑅)
1
j) −
i) 𝑥 − 2𝑎 cos(2𝑎𝑥) + 𝑐 (𝑐 ∈ 𝑅)
√𝑥
10
3
+ c (𝑐 ∈ 𝑅)
2
1
arctg x 2 + 2
2
4. 𝐶(𝑥) =
(1+ 3cos2 x )
a.2) e x + 3x + ln x − x3 + c (𝑐 ∈ 𝑅)
3. a.1) 2e + 1
b.1)
2
9
b.2)
+ 4𝑥 + 750
x4 x2 1
+ − x +1
12 2 2
5. 77 868 habitantes
5
6. 340 mil euros
5
8. 𝐶𝑡 = 2𝑥 + 30𝑥 2 − 3 𝑥 3 + 65; 𝐶𝑚 = 2 + 30𝑥 − 3 𝑥 2 +
3
9. Rt = 12 x − 4 x 2 + x ; P = 12 − 4 x + x
3
7. ≈339 milhões
65
𝑥
2
3
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21
Cálculo Integral
1.5. Técnicas de integração
1.5.1. Integração por partes
Permite integrar certos produtos de duas funções. Assim, dado um produto de duas funções,
estas devem ser identificadas tendo em conta que:
- uma das funções vai ser integrada
- a outra função vai ser derivada
Por vezes essa escolha é única, já que uma delas não tem integral possível. Outra vezes
ambas são integráveis (deriváveis são sempre), mas a escolha leva a uma continuação
impossível ou que conduz a integrais cada vez mais complicados.
Na fórmula que se apresenta a seguir, 𝑢′ representa a função que vai ser integrada e v a que
vai ser derivada:
∫ 𝑢′ 𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑢𝑣 ′
função a derivar
função a integrar
Esta fórmula deduz-se facilmente da regra de derivação do produto:
Sejam f e g funções definidas e deriváveis num intervalo I. Pela regra do produto, tem-se
[𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥)]′ = 𝑓′(𝑥)𝑔(𝑥) + 𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥) ⟺ 𝑓′(𝑥)𝑔(𝑥) = [𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥)]′ − 𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥)
Supondo, então, que 𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥) admite primitiva em I e observando que f(x)g(x) é uma
primitiva de [f(x).g(x)] ' , então 𝑓′(𝑥)𝑔(𝑥) também admitirá primitiva em I e
∫ 𝑓′(𝑥)𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥) ⋅ 𝑔(𝑥) − ∫ 𝑓(𝑥) ⋅ 𝑔′(𝑥) 𝑑𝑥
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22
Cálculo Integral
Exemplos:
1) ∫ 𝑥 ln 𝑥 𝑑𝑥
Como não sabemos integrar ln x, temos que considerar
{
𝑢′ = 𝑥
𝑣 = ln 𝑥
𝑢=
⇒{
𝑥2
2
1
𝑣′ = 𝑥
Então usando a fórmula, fica
∫ 𝑥 ln 𝑥 𝑑𝑥 =
𝑥2
2
𝑥2
1
ln 𝑥 − ∫ ( 2 ⋅ 𝑥) 𝑑𝑥 =
𝑥2
2
1
ln 𝑥 − 2 ∫ 𝑥 𝑑𝑥 =
𝑥2
2
ln 𝑥 −
𝑥2
4
+ 𝑐 (𝑐 ∈ 𝑅)
2) ∫(𝑥 2 + 2𝑥) 𝑒 𝑥 𝑑𝑥
Neste caso ambas são possíveis de integrar e de derivar; no entanto, quer ao derivar quer ao
integrar a exponencial fica igual, enquanto que a potência fica mais complicada se
integrarmos (aumenta o grau). Então deverá ser:
𝑢′ = 𝑒 𝑥
𝑢 = 𝑒𝑥
{
⇒{
𝑣 = 𝑥 2 + 2𝑥
𝑣′ = 2𝑥 + 2
Usando a fórmula, fica
∫(𝑥 2 + 2𝑥) 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 = (𝑥 2 + 2𝑥) 𝑒 𝑥 − ∫(2𝑥 + 2) 𝑒 𝑥 𝑑𝑥=
E temos que repetir o processo
𝑢′ = 𝑒 𝑥
𝑢 = 𝑒𝑥
{
⇒{
𝑣 = 2𝑥 + 2
𝑣′ = 2
= (𝑥 2 + 2𝑥) 𝑒 𝑥 − ((2𝑥 + 2) 𝑒 𝑥 − ∫ 2 𝑒 𝑥 𝑑𝑥) =
= (𝑥 2 + 2𝑥) 𝑒 𝑥 − (2𝑥 + 2) 𝑒 𝑥 + 2𝑒 𝑥 + 𝑐 = 𝑥 2 𝑒 𝑥 + 𝑐
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(𝑐 ∈ 𝑅 )
23
Cálculo Integral
3) ∫ arctg𝑥 𝑑𝑥 = ∫ arctg𝑥 ⋅ 1 𝑑𝑥
{
𝑢=𝑥
𝑢′ = 1
𝑣 = arctg𝑥
⇒{
1
1 + 𝑥2
𝑣′ =
Usando a fórmula fica
𝑥
1
∫ arctg𝑥 ⋅ 1𝑑𝑥 = 𝑥arctg𝑥 − ∫ 1+𝑥 2 𝑑𝑥 = 𝑥arctg𝑥 − 2 ln|1 + 𝑥 2 | + 𝑐
(𝑐 ∈ 𝑅)
Este exemplo ilustra a utilização da integração por partes em integrais de ln(u), arctg(u) ou
arcsen(u), para os quais não existe fórmula nem outra técnica. A segunda função
interveniente no processo será a constante 1.
4) ∫ 𝑒 𝑥 sen𝑥 𝑑𝑥
{
𝑢′ = 𝑒 𝑥
𝑣 = sen 𝑥
⇒{
𝑢 = 𝑒𝑥
𝑣′ = cos 𝑥
Usando a fórmula, fica
∫ 𝑒 𝑥 sen𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒 𝑥 sen𝑥 − ∫ 𝑒 𝑥 cos𝑥 𝑑𝑥 = ∗
e repetindo o processo, vem
{
𝑢′ = 𝑒 𝑥
𝑣 = cos 𝑥
⇒{
𝑢 = 𝑒𝑥
𝑣′ = −sen𝑥
pelo que
∗ = 𝑒 𝑥 sen𝑥 − (𝑒 𝑥 cos𝑥 + ∫ 𝑒 𝑥 sen 𝑥 𝑑𝑥);
ou seja,
∫ 𝑒 𝑥 sen𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒 𝑥 sen𝑥 − 𝑒 𝑥 cos𝑥 − ∫ 𝑒 𝑥 sen 𝑥 𝑑𝑥 ⟺
⟺ 2 ∫ 𝑒 𝑥 sen𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒 𝑥 sen𝑥 − 𝑒 𝑥 cos𝑥 ⟺ ∫ 𝑒 𝑥 sen𝑥 𝑑𝑥 =
𝑒 𝑥 sen𝑥−𝑒 𝑥 cos𝑥
2
+𝑐
(𝑐 ∈ 𝑅)
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24
Cálculo Integral
5) ∫
𝑥 arcsen 𝑥
√1−𝑥 2
𝑑𝑥
Neste exemplo, deve-se procurar uma associação entre duas das funções que possibilite a
utilização da técnica. Assim:
𝑥
𝑢 = −√1 − 𝑥 2
𝑢′ = √1−𝑥 2
{
⟹{
1
𝑣 ′ = √1−𝑥 2
𝑣 = arcsen𝑥
Usando a fórmula, fica
∫
𝑥∙arcsen𝑥
√1−𝑥 2
𝑑𝑥 = −arcsen𝑥 ∙ √1 − 𝑥 2 − ∫
−√1−𝑥 2
√1−𝑥 2
𝑑𝑥 = −arcsen𝑥 ∙ √1 − 𝑥 2 + 𝑥 + 𝑐
Exercícios propostos
a) ∫ 𝑥 ln 𝑥 𝑑𝑥
b) ∫ arcsen 𝑥 𝑑𝑥
c) ∫ 𝑥 arctg𝑥𝑑𝑥
d) ∫ √1−𝑥 2 𝑑𝑥
e) ∫ 𝑥 arctg√𝑥 2 − 1 𝑑𝑥
f) ∫ 𝑥 3 ln 𝑥 𝑑𝑥
g) ∫
ln(ln𝑥)
𝑥
𝑑𝑥
𝑥3
h) ∫
ln 𝑥
𝑥3
𝑑𝑥
𝑥
i) ∫ 𝑒 𝑥 (𝑥 2 − 4)𝑑𝑥
j) ∫ ln 𝑥 2 +1 𝑑𝑥
k) ∫ 𝑥 sen 𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥
l) ∫ arctg 1+𝑥 𝑑𝑥
m) ∫ 𝑥 2 ∙ arctg(3𝑥)𝑑𝑥
n) ∫ ln(𝑥 + √1 + 𝑥 2 ) 𝑑𝑥
o) ∫(𝑥 2 − 2𝑥 + 5)𝑒 −𝑥
p) ∫
1
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ln 𝑥
√𝑥
𝑑𝑥
25
Cálculo Integral
Soluções:
a)
1 2
1
x
 ln x −  + c (𝑐 ∈ 𝑅)
2 
2
b) x arcsenx + 1 − x2 + c (𝑐 ∈ 𝑅)
c) 1 (x2 + 1)arctg x − x + c (𝑐 ∈ 𝑅)
2
d) − 1 − x 2  x 2 + 2 (1 − x 2 ) + c (𝑐 ∈ 𝑅)

e)
1
2

3
1
𝑥 2 arctg√𝑥 2 − 1 − 2 √𝑥 2 − 1 + 𝑐 (𝑐 ∈ 𝑅)
4
f) x  ln x − 1  + c (𝑐 ∈ 𝑅)
4 
4
(
)
1
g) e xarctg e x − ln 1 + e2 x + c (𝑐 ∈ 𝑅)
2
h) −
1
2𝑥 2
ln 𝑥 −
1
4𝑥 2
+ 𝑐 (𝑐 ∈ 𝑅)
i) e x (x 2 − 2 x − 2)+ c (𝑐 ∈ 𝑅)
𝑥
j) 𝑥ln 𝑥 2 +1 + 𝑥 − 2arctg𝑥 + 𝑐 (𝑐 ∈ 𝑅)
k) −
𝑥cos(2𝑥)
4
sen(2𝑥)
+
8
+ 𝑐 (𝑐 ∈ 𝑅)
l) x arctg 1 + 1 ln 1 + ( x +1) 2  − arctg ( x + 1) + c (𝑐 ∈ 𝑅)
1+ x
2


(
)
3
x2
1
m) x arctg ( 3x ) −
+
ln 9 x 2 + 1 + c (𝑐 ∈ 𝑅)
3
18 162
(
)
n) x ln x + 1 + x 2 − 1 + x 2 + c (𝑐 ∈ 𝑅)
(
)
o) − e − x x 2 + 5 + c (𝑐 ∈ 𝑅)
p) 2√𝑥 ln 𝑥 − 4√𝑥 + 𝑐 (𝑐 ∈ 𝑅)
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26
Cálculo Integral
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27
Cálculo Integral
1.5.2. Integração de frações racionais
𝑃(𝑥)
Fração racional é um quociente de polinómios na mesma variável, 𝑄(𝑥).
1º caso: grau 𝑃(𝑥) ≥ grau 𝑄(𝑥)
Deve ser efetuada a divisão𝑃(𝑥) por 𝑄(𝑥) e decompor o integral usando a igualdade
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)
𝑟(𝑥)
= 𝑞(𝑥) + 𝑄(𝑥)
em que q (x) e r (x) são respetivamente o quociente e o resto da referida divisão.
𝑃(𝑥)
𝑟(𝑥)
Assim, ∫ 𝑄(𝑥) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑞(𝑥) 𝑑𝑥 + ∫ 𝑄(𝑥) 𝑑𝑥; ∫ 𝑞(𝑥) 𝑑𝑥é o integral de um polinómio; e
𝑃(𝑥)
assim o problema reduz-se ao cálculo de∫ 𝑄(𝑥) 𝑑𝑥, em que agora se tem grau𝑃(𝑥) <
grau𝑄(𝑥) (ou se trata de um integral imediato).
2º caso: grau 𝑃(𝑥) < grau 𝑄(𝑥)
𝑃(𝑥)
O objetivo é transformar a fração 𝑄(𝑥), cujo integral não é conhecido, numa soma algébrica
de várias frações com integrais imediatos ou quase-imediatos. Só serão objectivo do nosso
estudo frações em que o denominador admite uma fatorização em factores do tipo
•
𝑥−𝑎
•
(𝑥 − 𝑎)𝑛
•
𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 (sem raízes reais, caso contrário reduz-se aos casos anteriores)
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28
Cálculo Integral
1º passo: Fatorizar o denominador 𝑄(𝑥) em fatores dos tipos anteriores
(recorde-se que essa fatorização é feita com recurso a técnicas estudadas no ensino
secundário ou por identificação de casos notáveis da multiplicação)
𝑃(𝑥)
2º passo: Escrever 𝑄(𝑥) como uma soma de frações (na literatura chamadas frações simples
ou elementares) do tipo:
•
•
•
𝐴
𝑥−𝑎
(por cada fator do tipo 𝑥 − 𝑎 no denominador)
𝐴1
𝐴
𝐴
2
𝑛
(𝑥 − 𝑎)𝑛 no denominador)
+ (𝑥−𝑎)
2 +. . . + (𝑥−𝑎)𝑛 (por cada fator do tipo
𝑥−𝑎
𝐴𝑥+𝐵
𝑎𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐
(por cada fator do tipo 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 sem raízes reais no denominador)
Embora possam existir pontualmente outras decomposições facilmente integráveis, apenas
usando os elementos anteriores existe a garantia de que a decomposição é possível, daí ser
esta a decomposição sugerida.
As constantes 𝐴, 𝐵, 𝐴𝑖 , . .. são calculadas com recurso ou ao método dos coeficientes
indeterminados, ou ao métoda da variação dos parâmetros, ambos fundamentado na
igualdade de polinómios e que podem ser suportados pelas fórmulas que se seguem
(generalizáveis a qualquer número de fatores do denominador):
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29
Cálculo Integral
𝑚𝑥+𝑛
=
(𝑥−𝑎).(𝑥−𝑏)
𝑚𝑥+𝑛
(𝑥−𝑎)2
𝑚𝑥+𝑛
(𝑥−𝑎)3
=
=
𝐴
𝑥−𝑎
𝐴
𝑥−𝑎
𝐴
𝑥−𝑎
+
+
+
𝐵
𝑥−𝑏
𝐵
(𝑥−𝑎)2
𝐵
(𝑥−𝑎)2
𝑚𝑥+𝑛
(𝑥−𝑑)⋅(𝑎𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐)
=
+
𝐴
𝑥−𝑑
𝐶
(𝑥−𝑎)3
+
𝐵𝑥+𝐶
𝑎𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐
em que 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 não tem raízes reais
As fórmulas anteriores não esgotam as possibilidades de combinações necessárias para
decompor o integral. No entanto, ilustram a metodologia que se pretende sugerir para a
resolução de qualquer fração racional do tipo indicado.
3º passo: Calcular o integral resultante, soma de integrais imediatos ou quase-imediatos:
𝐴
•
∫ 𝑥−𝑎 𝑑𝑥 = 𝐴 ln|𝑥 − 𝑎| + 𝑐
•
1
2
𝑛
) 𝑑𝑥 = 𝐴1 ln|𝑥 − 𝑎| + 𝐴2
+ (𝑥−𝑎)
+. . . + (𝑥−𝑎)
∫ (𝑥−𝑎
2
𝑛
•
∫ (𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+𝑐) 𝑑𝑥 = ln|𝑓(𝑥)| + arctg (𝑔(𝑥)) + 𝑐
𝐴
𝐴
A1 ln x − a +
𝐴
(𝑥−𝑎)−1
−1
+. . . +𝐴𝑛
(𝑥−𝑎)−𝑛+1
−𝑛+1
𝐴𝑥+𝐵
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30
+c
Cálculo Integral
Exemplos:
2𝑥+1
1) ∫ 𝑥 2−1 𝑑𝑥
cálculo auxiliar (pelo método dos coeficientes indeterminados):
2𝑥+1
2𝑥+1
𝐴
𝐵
= (𝑥−1)(𝑥+1) = 𝑥−1 + 𝑥+1 =
𝑥 2 −1
𝐴(𝑥+1)+𝐵(𝑥−1)
(𝑥−1)(𝑥+1)
=
𝐴𝑥+𝐴+𝐵𝑥−𝐵
(𝑥−1)(𝑥+1)
=
(𝐴+𝐵)𝑥+(𝐴−𝐵)
(𝑥−1)(𝑥+1)
⇔
(*)
3
𝐴=2
⇔{
⇔{
1
𝐵=2
𝐴−𝐵 =1
𝐴+𝐵 =2
cálculo auxiliar (pelo método da variação dos parâmetros):
a partir de (*), conclui-se que 2𝑥 + 1 = 𝐴(𝑥 + 1) + 𝐵(𝑥 − 1); substituindo valores
(arbitrários) convenientes de x:
1
•
𝑥 = −1 ⟹ 2 × (−1) + 1 = 𝐴 × 0 − 2𝐵 ⟺ 𝐵 = 2
•
𝑥 = 1 ⟹ 2 × 1 + 1 = 2𝐴 × 0 + 𝐵 × 0 ⟺ 𝐴 = 2
3
Então, fica
3
2
2𝑥+1
∫ 𝑥 2 −1 dx=∫ ( 𝑥−1 +
1
2
𝑥+1
3
1
) dx= 2 ∫ 𝑥−1 𝑑𝑥 +
1
2
1
3
1
∫ 𝑥+1 𝑑𝑥 = 2 𝑙𝑛 | 𝑥 − 1| + 2 𝑙𝑛 | 𝑥 + 1| + 𝑐
(𝑐 ∈ 𝑅)
𝑥 2 +3𝑥+1
2) ∫ 𝑥 2−2𝑥−3 𝑑𝑥
Como o grau do numerador é igual ao grau do denominador, deve-se começar por efectuar
a divisão:
𝑥 2 + 3𝑥 + 1
−𝑥 2 + 2𝑥 + 3
|𝑥 2 − 2𝑥 − 3
1
5x + 4
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donde resulta
𝑥 2 + 3𝑥 + 1
5𝑥 + 4
=1+ 2
2
𝑥 − 2𝑥 − 3
𝑥 − 2𝑥 − 3
31
Cálculo Integral
cálculo auxiliar:
5𝑥+4
5𝑥+4
𝑥 2 −2𝑥−3
𝐴
𝐵
= (𝑥−3)(𝑥+1) = 𝑥−3 + 𝑥+1 =
⇔{
𝐴+𝐵 =5
𝐴 − 3𝐵 = 4
⇔{
𝐴=
𝐵=
𝐴(𝑥+1)+𝐵(𝑥−3)
(𝑥−3)⋅(𝑥+1)
=
(𝐴+𝐵)𝑥+(𝐴−3𝐵)
(𝑥−3)⋅(𝑥+1)
⇔
19
4
1
4
Substituindo no enunciado do integral,
19
4
𝑥 2 +3𝑥+1
∫ 𝑥 2 −2𝑥−3 𝑑𝑥 = ∫ (1 +
𝑥−3
+
1
4
𝑥+1
) 𝑑𝑥 = 𝑥 +
19
4
ln | 𝑥 − 3| +
1
4
ln | 𝑥 + 1| + 𝑐 (𝑐 ∈ 𝑅)
𝑥 2 −𝑥+2
3) ∫ 2𝑥 (2+𝑥 2) 𝑑𝑥
cálculo auxiliar:
𝑥 2 −𝑥+2
2𝑥 (2+𝑥 2 )
𝑥2
2
𝐴
𝑥 2 −𝑥+2
𝐵𝑥+𝐶
= 𝑥 + 𝑥 2+2
𝑥
− 2 + 1 = 𝐴 (𝑥 2 + 2) + (𝐵𝑥 + 𝐶) 𝑥
𝐴+𝐵 =
1
2
{𝐶 = − 1
2
1
1
1
1
∫ 𝑥 (2+𝑥 2 ) 𝑑𝑥 = 2 ∫ 𝑥 𝑑𝑥 − 2 ∫ 2+𝑥 2 𝑑𝑥 =
1
1
1
= 2 ln|𝑥| − 2 ⋅ 2 ⋅ √2 ∫
1
√2
𝑥 2
1+( )
√2
𝑑𝑥 =
𝐴 = 1/2
1
= 2 ln |𝑥| −
⇔ {𝐵 = 0
𝑥
√2
arctg +
4
√2
𝑐
(𝑐 ∈ 𝑅)
𝐶 = −1/2
2𝐴 = 1
𝑥 3 +𝑥+1
4) ∫ 𝑥 2−2𝑥+1 𝑑𝑥
Analogamente ao exemplo anterior, temos que começar por efectuar a divisão:
𝑥3 + 𝑥 + 1
−𝑥 3 + 2𝑥 2 − 𝑥
|𝑥 2 − 2𝑥 + 1
𝑥+ 2
2𝑥 2 + 1
−2𝑥 2 + 4𝑥 − 2
4𝑥 − 1
donde resulta
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𝑥 3 +𝑥+1
𝑥 2 −2𝑥+1
4𝑥−1
= 𝑥 + 2 + 𝑥 2−2𝑥+1
32
Cálculo Integral
cálculo auxiliar:
4𝑥−1
(𝑥−1)2
𝐴
𝐵
= 𝑥−1 + (𝑥−1)2 =
𝐴(𝑥−1)+𝐵
(𝑥−1)2
=
𝐴𝑥+(−𝐴+𝐵)
(𝑥−1)2
𝐴=4
𝐴=4
⇔{
⇔{
−𝐴 + 𝐵 = −1
𝐵=3
Substituindo no enunciado do integral,
𝑥 3 +𝑥+1
1
1
∫ 𝑥 2 −2𝑥+1 𝑑𝑥 = ∫(𝑥 + 2) 𝑑𝑥 + 4 ∫ 𝑥−1 𝑑𝑥 + 3 ∫ (𝑥−1)2 𝑑𝑥 =
=
𝑥2
2
3
(𝑐 ∈ 𝑅)
+ 2𝑥 + 4 ln | 𝑥 − 1| − 𝑥−1 + 𝑐
1
5) ∫ 𝑥 (5+𝑥 2) 𝑑𝑥
cálculo auxiliar:
1
𝐴+𝐵 =0
1
𝑥 (5+𝑥 2 )
𝐴
𝐵𝑥+𝐶
= 𝑥 + 5+𝑥 2 =
𝐴(𝑥 2 +5)+(𝐵𝑥+𝐶)𝑥
𝑥 (5+𝑥 2 )
=
(𝐴+𝐵)𝑥 2 +𝐶𝑥+5𝐴
𝑥 (5+𝑥2 )
⇔ {𝐶 = 0
𝐴=5
⇔ {𝐵 = − 1
5
5𝐴 = 1
𝐶=0
Substituindo no enunciado do integral,
1
∫ 𝑥 (5+𝑥2) 𝑑𝑥
1
5
1
𝑥
5
1
= ∫ ( 𝑥 − 5+𝑥 2) 𝑑𝑥 = 5 ∫
1
𝑥
1
𝑥
1
2𝑥
1
1
𝑥
𝑑𝑥 − 5 ∫ 5+𝑥 2 𝑑𝑥 = 5 ln|𝑥| − 5 ∫ 5+𝑥 2 𝑑𝑥 =
1
1
1
1
= 5 ln|𝑥| − 5 ⋅ 2 ∫ 5+𝑥 2 𝑑𝑥 =
= 5 ln|𝑥| − 10 ln (5 + 𝑥 2 ) + 𝑐
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(𝑐 ∈ 𝑅)
33
Cálculo Integral
Existe um outro caso de fator possível no denominador – (𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐)2 em que o
polinómio 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 não admite raízes reais. A decomposição adequada é
𝑚𝑥+𝑛
(𝑎𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐)2
𝐴𝑥+𝐵
𝐶𝑥+𝐷
= 𝑎𝑥 2+𝑏𝑥+𝑐 + (𝑎𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐)2
mas as técnicas indicadas para a resolução geral deste tipo de integrais não é abordada no
programa da disciplina. No entanto, em casos específicos, há artifícios de cálculo que, ao
fazer transformações no aspeto da função, possibilitam a resolução do integral por métodos
conhecidos. Apresentam-se dois exemplos:
6) ∫
𝑥 2 +1
(𝑥 2 +2𝑥+3)2
𝑑𝑥
cálculo auxiliar:
𝑥 2 +1
(𝑥 2 +2𝑥+3)2
=
𝐴𝑥+𝐵
𝑥 2 +2𝑥+3
𝐶𝑥+𝐷
+ (𝑥2
+2𝑥+3)2
𝐴=0
𝑥 2 + 1 = (𝐴𝑥 + 𝐵)(𝑥 2 + 2𝑥 + 3) + 𝐶𝑥 + 𝐷 ⟺
𝐵=1
𝐶 = −2
e portanto
{𝐷 = −2
𝑥 2 +1
1
2𝑥+2
1
∫ (𝑥2 +2𝑥+3)2 𝑑𝑥 = ∫ (𝑥2 +2𝑥+3 − (𝑥2 +2𝑥+3)2) 𝑑𝑥 = ∫ (𝑥+1)2+2 𝑑𝑥 −
=
7) ∫
−𝑥 3 +2𝑥 2 −𝑥+1
𝑥(𝑥 2 +1)2
𝑥+1
1
√2
arctg ( ) + 2
2
𝑥 +2𝑥+3
√2
𝑑𝑥 = ∫
𝑥 2 +1+𝑥 2 −𝑥 3 −𝑥
𝑥(𝑥 2 +1)2
1
= ∫ (𝑥(𝑥 2 +1) +
1
+𝑐
1
−1
−1
=
(𝑐 ∈ 𝑅)
𝑥 2 +1
𝑑𝑥 = ∫ (𝑥(𝑥 2+1)2 +
−𝑥 2 +𝑥−1
) 𝑑𝑥
(𝑥 2 +1)2
(𝑥2 +2𝑥+3)
𝑥(−𝑥 2 +𝑥−1)
1
𝑥(𝑥 2 +1)2
= ∫ (𝑥(𝑥 2+1) +
) 𝑑𝑥 =
−(𝑥 2 +1)+𝑥
(𝑥 2 +1)2
) 𝑑𝑥 =
𝑥
= ∫ (𝑥(𝑥 2+1) − 𝑥 2 +1 + (𝑥 2+1)2) 𝑑𝑥 = ∗
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34
Cálculo Integral
cálculo auxiliar:
𝐴+𝐵 = 0
1
𝑥 (1+𝑥 2 )
𝐴
𝐵𝑥+𝐶
= 𝑥 + 1+𝑥 2 =
𝐴(𝑥 2 +1)+(𝐵𝑥+𝐶)𝑥
𝑥 (1+𝑥 2 )
=
(𝐴+𝐵)𝑥 2 +𝐶𝑥+𝐴
𝑥 (1+𝑥 2 )
⇔ {𝐶 = 0
𝐴=1
1
1
𝑥
𝐴=1
⇔ {𝐵 = −1
𝐶=0
1
donde ∫ 𝑥 (1+𝑥 2) 𝑑𝑥 = ∫ (𝑥 − 1+𝑥 2) 𝑑𝑥 = ln|𝑥| − 2 ln (1 + 𝑥 2 ) + 𝑐
Consequentemente,
∫
−𝑥 3 +2𝑥 2 −𝑥+1
𝑥(𝑥 2 +1)2
(
)
−1
1
1 (𝑥 2 +1)
2
ln
x
−
ln
1
+
x
𝑑𝑥 =
− arctg𝑥 + 2 ∙ −1 + 𝑐 =
2
1
1
= ln|𝑥| − 2 ln (1 + 𝑥 2 ) − arctg𝑥 − 2(1+𝑥 2) + 𝑐
(𝑐 ∈ 𝑅)
Exercícios propostos:
1. Calcule:
𝑑𝑥
a) ∫ 𝑥(𝑥 2+1)
b) 
2𝑥−1
c) ∫ 𝑥 2 −3𝑥+2 𝑑𝑥
d) 
𝑑𝑥
e) ∫ (𝑥+𝑎)(𝑥+𝑏)
f) 
x4
dx
(x − 1)(x + 1)(x + 2)
g)

i)
3x − 7
dx
 3 2
x + x + 4x + 4
k) ∫
6𝑥 4 −5𝑥 3 +4𝑥 2
2𝑥 2 −𝑥+1
𝑑𝑥
dx
x( x + 1)
2
x2 + 2
( x +1) 3 ( x − 2 )
dx
dx
x
4− 2
x
𝑥
h) ∫ 2𝑥 2 +2𝑥+5 𝑑𝑥
x 4 + 8x
dx
2 x3 − 2 x 2 + 18 x − 18
2
j) 
3
2
4
l)  x − 6 x + 12 x + 6 dx
2
3
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x − 6 x + 12 x − 8
35
Cálculo Integral
2. Determine a função f tal que f ( x) =
2x − 5
( 3 − x )( x − 2)
e f (2,5) = 3 .
2
3. Determine a função f, definida em ]−1, +∞[ e que verifica
2x
f ( x) =
(1 + x ) (1 + x2 )
lim f ( x) = 0 .
para x> -1 e
x→ + 
Soluções:
|𝑥|
1. a) ln √𝑥 2
c)
e)
f)
g)
h)
+1
( x −2 )
ln
3
x −1
1
𝑥
+ 𝑐 (𝑐 ∈ 𝑅)
(𝑐 ∈ 𝑅)
+c
2
d)
9
𝑥−2
1
1
ln |𝑥+1| − 3(𝑥+1) + 2(𝑥+1)2 + 𝑐 (𝑐 ∈ 𝑅)
𝑥+𝑏
𝑎−𝑏
ln |𝑥+𝑎| + 𝑐 (𝑐 ∈ 𝑅)
1
1
𝑥
1
b) ln |𝑥+1| + 𝑥+1 + 𝑐 (𝑐 ∈ 𝑅)
𝑥−1
+ 2 ln |𝑥+1| + 𝑐 (𝑐 ∈ 𝑅)
𝑥2
2
1
1
− 2𝑥 + 6 ln|𝑥 − 1| − 2 ln|𝑥 + 1| +
16
3
1
1
 2x +1 
ln 2 x 2 + 2 x + 5 − arctg 
+c
4
6
 3 
(
)
𝑥 2 +4
1
ln|𝑥 + 2| + 𝑐 (𝑐 ∈ 𝑅)
(𝑐 ∈ 𝑅)
𝑥
i) ln |(𝑥+1)2| + 2 arctg 2 + 𝑐 (𝑐 ∈ 𝑅)
(
)
2 x
9
9
3
x
j) x + + ln | x − 1| −
ln x 2 + 9 −
arctg + c (𝑐 ∈ 𝑅)
4 2 20
40
20
3
k) 𝑥 3 −
l)
𝑥2
2
𝑥2
2
1
1
+ 4 ln|2𝑥 2 − 𝑥 + 1| + 2√7 arctg
11
4𝑥−1
√7
+𝑐
(𝑐 ∈ 𝑅)
8
− (𝑥−2)2 − 𝑥−2 + 𝑐 (𝑐 ∈ 𝑅)
𝑥−2
1
2. ln |3−𝑥| + 𝑥−2 + 1
3. ln
√1+𝑥2
𝑥+1
+ arctg𝑥 −
𝜋
2
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36
Cálculo Integral
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37
Cálculo Integral
1.5.3. Integração por mudança de variável
Sejam f e u funções reais de variável real, f integrável e u derivável nos seus domínios. Então,
∫ 𝒇(𝒖(𝒙)) ⋅ 𝒖′(𝒙) 𝒅𝒙 = ∫ 𝒇(𝒖) 𝒅𝒖, sendo que 𝒅𝒖 = 𝒖′(𝒙)𝒅𝒙.
Quando o primeiro integral é substituído pelo segundo, diz-se que foi feita mudança de
variável (ou substituição) no integral.
Através de uma mudança de variável adequada, muitos integrais podem ser calculados com
recurso às técnicas anteriores. O objetivo desta técnica é transformar a função integranda,
que é uma função composta, numa função simples.
Exemplo:
∫ 2𝑥 ⋅ (2𝑥 + 1)5 𝑑𝑥
∫ 2𝑥 ⋅ (2𝑥 + 1)5 𝑑𝑥 =
mudança de variável:
1
𝑢 = 2𝑥 + 1 ⇔ 2𝑥 = 𝑢 − 1
1
𝑑𝑥 = 2 𝑑𝑢
1
= ∫(𝑢 − 1) ⋅ 𝑢5 ⋅ 2 𝑑𝑢 = 2 ∫(𝑢6 − 𝑢5 ) 𝑑𝑢 =
𝑢7
𝑢6
= 14 − 12 + 𝑐 =
(2𝑥+1)7
14
−
(2𝑥+1)6
12
+c
(𝑐 ∈ 𝑅)
Como foi visto no exemplo anterior, esta técnica desenvolve-se em 4 passos:
(1) Define-se u(x) para substituir alguma expressão em x que seja considerada conveniente
para simplificar o integral. Determina-se dx em função de u.
(2) Substitui-se, no integral, x e dx, de modo que apareça exclusivamente em função de u.
(3) Calcula-se o integral resultante.
(4) Volta-se à variável original, fazendo a substituição de u por x.
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38
Cálculo Integral
Exemplos:
dx
x −1
x
1)
m.v. :
 x − 1 = t 2

dx = 2 t dt
2) 
x
(c  R)
dx
2t
= 2
dt = 2 arctg t + c = 2 arctg x − 1 + c
t +1 t
x −1
(
2 + arcsen2 x
 1 − x 2  ( arcsen x + 1)




)
dx
mudança de variável :
cálculo auxiliar:
arcsen x = t
1
1− x

2
1
-1
dx = dt
1
2 + arcsen2 x
 1 − x 2  ( arcsen x + 1)




dx = 
=
3) 
e x − e2 x
1− 4e
2x
dx = 
(
ex 1 − ex
1− 4e
2
-1
1
-1
3
2 + t2
3 
t2

dt =   t − 1 +
 dt = − t + 3 ln t + 1 + c =
t +1
t +1
2

(arcsen x)2 − arcsen x + 3 ln arcsen x + 1 + c
2
) dx =
2x
0

1− t
1 − 4t
2
dt = 
1
1 − 4t
2
dt − 
t
1 − 4t
2
(c  R)
dt =
m.v. :
=
e x = t
 x
e dx = dt
1
2
1
−8t
1
1
dt + 
dt = arcsen ( 2t ) +
1 − 4t 2 + c =

2 1 − 2t 2
8 1 − 4t 2
2
4
( )
=
1
1
arcsen 2e x +
1 − 4e2 x + c
2
4
( )
(c  R)
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39
Cálculo Integral
4)

ex ( ex − 2)
e2 x + 2
m.v. :
2
dx = 
(t − 2)2
t2 + 2
= t − 2 log
ln
dt = 
t 2 − 4t + 4
− 4t
2 

dt =  1 + 2
+ 2
 dt =
2
t +2
 t +2 t +2
t2 + 2 + 
ex = t
e x dx = dt
= e x − 2 log
ln
dt
 t 
1+ 

 2
2
e 2 x + 2 + 2 arctg
ln
= t − 2 log
ex
t 2 + 2 + 2 arctg
t
2
+c =
+c
2
(c  R)
5)
e2 x
 4 e x + 1 dx
m.v. :
x
4

e + 1 = t
 x
3

e dx = 4t dt
e2 x
 4 ex +1
dx = 
(
)
 t7 t3 
t 4 −1 3
 4t dt = 4 t 6 − t 2 dt = 4 −  + c =
t
7 3
(
)
(
)
7
3
4 x
4
ex +1
 e +1
= 4
−
7
3




+c


(c  R)
6)  ( x − 1) 2 (1 + x ) 100dx
m.v. :
1 + x = t

dx = dt
2 100
2
100
2
100
 ( x − 1) (1 + x ) dx =  (t − 2)  t dt =  (t − 4t + 4) t dt =
=
t103
t102
t101
−4
+4
+c =
103
102
101
(1 + x)103 2(1 + x)102 4(1 + x)101
=
−
+
+c
103
51
101
(c  R)
x1 / 6 + 1
7) 
dx
x 7 / 6 + x5 / 4
m.v.:
x=t
Ao fazermos x = t
m.m.c.( 4,6 )
, são eliminadas simultaneamente
12
todas as raízes da expressão e resulta uma fração racional:
dx = 12t11 dt
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40
Cálculo Integral
( )
( ) ( )
1/ 6
x1 / 6 + 1
t12
+1
t 2 + 1 11
11
 x 7 / 6 + x5 / 4 dx = t12 7 / 6 + t12 5 / 4 12t dt = 12 t14 + t15  t dt =
= 12
t2 +1
t2 +1
dt
=
12
 t 3 (1 + t ) dt
t3 + t4
cálculo auxiliar:
t2 +1
A B C
D
At 2 (t + 1) + Bt (t + 1) + C (t + 1) + D t 3
= + + +
=
=
t 3 (1 + t ) t t 2 t 3 1 + t
t 3 (1 + t )
=
( A + D ) t 3 + ( A + B ) t 2 + (B + C ) t + C
t 3 (1 + t )
A + D = 0 A = 2
A + B = 1
 B = −1




B
+
C
=
0

C = 1
C = 1
 D = −2
t2 +1
−1
1
−2 
 2
12 3
dt = 12   dt +  2 dt +  3 dt + 
dt  =
4
1+ t 
t 1+ t
t
t
 t
(
)
= 24 ln t − 12
= 24 ln t +
= 24 ln
12
t −1
t −2
+ 12
− 24 ln 1 + t + c =
−1
−2
12 12
−
− 24 ln 1 + t + c =
t 2t 2
x
12
6
+
−
+c
1 + 12 x 12 x 6 x
(c  R)
8) ∫
3ln𝑥+1
𝑥(ln2 𝑥+4)
𝑑𝑥
m.v. :
ln x = t
1
dx = dt
x
3ln𝑥+1
3t+1
3
2t
1
3
1
∫ 𝑥(ln2𝑥+4) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑡 2 +4 𝑑𝑡 = 2 ∫ 𝑡 2 +4 𝑑𝑡 + ∫ 𝑡 2 +4 𝑑𝑡 = 2 ln(𝑡 2 + 4) + 2 ∫
3
1
𝑡
3
1
ln𝑥
= 2 ln(𝑡 2 + 4) + 2 arctg (2) + 𝑐 = 2 ln(ln2 𝑥 + 4) + 2 arctg (
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2
)+𝑐
1
2
𝑡 2
1+( )
2
𝑑𝑡 =
(c  R)
41
Cálculo Integral
Exercícios propostos:
1. Calcule, fazendo uma mudança de variável conveniente:
4𝑥 +1
c)

( 2e
ex
x
dx
b) 
a) ∫ 2𝑥+1 𝑑𝑥
) ( 4e
+1
2x
)
− 4e + 1
x
dx
ln 𝑥
x x +1
𝑒 2𝑥 +2𝑒 3𝑥
d) ∫
1−𝑒 𝑥
𝑑𝑥
e) ∫ 𝑥 𝑑𝑥
√
f) ∫ 𝑥√𝑥 − 1𝑑𝑥
g) ∫ 𝑥√1 + 3𝑥𝑑𝑥
h) 
ln(2𝑥)
i) ∫ 𝑥 ln(4𝑥) 𝑑𝑥
j) 
1+ x
dx
1+ x
l) 
k) 
m) 
1
x − 3 3x − 2
dx
1
e x −1
dx
1
t +5 t +4
dt
2
dx
ex +1
1
n) 
ex
dx
3
10
o) ∫ 𝑥(2𝑥 + 5) 𝑑𝑥
q) 
e2x
ex + 1
p) ∫
√1+ 4√𝑥
√𝑥
𝑑𝑥
3
dx
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r) ∫
√1+ 4√2𝑥−1
√2𝑥−1
𝑑𝑥
42
Cálculo Integral
2. Calcule, utilizando a substituição proposta:
𝑑𝑥
𝑥=
a) ∫
𝑥√𝑥 2 −2
1
3
c) ∫
1+ √𝑥−1
𝑥 − 1 = 𝑡6
𝑑𝑥
√𝑥−1
1
b) ∫ 𝑒 𝑥 +1 𝑑𝑥
𝑡
𝑑𝑥
d) ∫
√𝑥(1−𝑥)
𝑥 = − 𝑙𝑛 𝑡
𝑥 = sen2 𝑡
Soluções:

1  x
2x
1. a)
+
ln
2
ln 2 
2 x +1


(
)


+ c (𝑐 ∈ 𝑅)
2


√𝑥+1−1
| + 𝑐 (𝑐 ∈ 𝑅)
b) ln |
√𝑥+1+1
c)
1 2e x + 1
1
ln x
−
+ c (𝑐 ∈ 𝑅)
8 2e − 1
4 2e x − 1
(
)
d) −e2 x − 3 e x − 3ln 1 − e x + c (𝑐 ∈ 𝑅)
e) 2√𝑥 𝑙𝑛 𝑥 − 4√𝑥 + 𝑐 (𝑐 ∈ 𝑅)
f)
2
5
2
√(𝑥 − 1)5 + √(𝑥 − 1)3 + 𝑐 (𝑐 ∈ 𝑅)
3

2
g)
9

(1+ 3x ) 5
5
−
(1+ 3x ) 3 
3


+ c (𝑐 ∈ 𝑅)
h) 2arctg√𝑒 𝑥 − 1 + 𝑐 (𝑐 ∈ 𝑅)
i) ln(2x) - log2 ln |ln (4x )| + c (𝑐 ∈ 𝑅)
j)
(
ln 3
(
) +c
2
t +1)
t +4
8
(𝑐 ∈ 𝑅)
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43
Cálculo Integral
k) 2 [
𝑥 √𝑥
3
𝑥
− 2 + 2√𝑥 − 2 ln(1 + √𝑥)] + 𝑐 (𝑐 ∈ 𝑅)
l) −2 ln(1 + 𝑒 −𝑥 ) + 𝑐 (𝑐 ∈ 𝑅)
m)
4
5
3
3
ln| √3𝑥 − 2 + 2| + 3 ln| √3𝑥 − 2 − 1| − 3
3
1
√3𝑥−2−1
+ 𝑐 (𝑐 ∈ 𝑅)
n) −2𝑒 −𝑥/2 + 𝑐 (𝑐 ∈ 𝑅)
o)
1 (2𝑥+5)12
[
4
12
12
7
p)
(
(
3
1+ 4 x
)
q)
2 x
e +1
3
r)
6

7
16.a) −
(
1
√2
3
5(2𝑥+5)11
−
11
] + 𝑐 (𝑐 ∈ 𝑅)
) (
7
− 3 3 1+ 4 x
) +c
4
(𝑐 ∈ 𝑅)
e x + 1 − 2 e x + 1 + c (𝑐 ∈ 𝑅)
1+ 4 2 x −1
arc s en
√2
𝑥
)
7
3
− 
2
(
3
1+ 4 2 x −1
)
4
(𝑐 ∈ 𝑅)
+ 𝑐 (𝑐 ∈ 𝑅)
b) − ln(1 + 𝑒 −𝑥 ) + 𝑐 (𝑐 ∈ 𝑅)
66
c) 2√𝑥 − 1 + 5 √(𝑥 − 1)5 + 𝑐 (𝑐 ∈ 𝑅)
d) 2arcsen√𝑥 + 𝑐 (𝑐 ∈ 𝑅)
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44
Cálculo Integral
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45
Cálculo Integral
1.5.4. Integração de certas classes de funções trigonométricas
Neste ponto irão ser abordados os integrais de algumas funções trigonométricas, redutíveis
a integrais imediatos ou a integrais de frações racionais após uma mudança de variável
adequada.
Limita-se a análise à identificação da estratégia mais eficaz para a resolução dos integrais
em causa, cada uma delas caso particular de técnicas desenvolvidas nos pontos anteriores
(sendo que, em alguns casos, é necessária a utilização de fórmulas trigonométricas que se
supõe serem do conhecimento dos alunos)
∫ sen𝒖 ⋅ 𝒖′ ou ∫ cos𝒖 ⋅ 𝒖′
são integrais imediatos: ∫ sen𝑢 ⋅ 𝑢′ = − cos 𝑢 + 𝑐
∫ cos𝑢 ⋅ 𝑢′ = sen𝑢 + 𝑐
Exemplos:
1) ∫
sen (ln 𝑥)
𝑥
𝑑𝑥 = − cos(ln 𝑥) + 𝑐
(𝑐 ∈ 𝑅)
1
2) ∫ cos(2𝑥 5 + 4𝑥) ⋅ (5𝑥 4 + 2)𝑑𝑥 = 2 ∫ cos(2𝑥 5 + 4𝑥) ⋅ (10𝑥 4 + 4)𝑑𝑥 =
1
= 2 sen(2𝑥 5 + 4𝑥) + 𝑐 (𝑐 ∈ 𝑅)
∫ tg𝒖 ⋅ 𝒖′ ou ∫ cotg𝒖 ⋅ 𝒖′
sen𝑢
reduzem-se a integrais imediatos: ∫ tg 𝑢 ⋅ 𝑢′ = ∫ cos 𝑢 ⋅ 𝑢′ = − ln|cos 𝑢| + 𝑐
cos𝑢
∫ cotg𝑢 ⋅ 𝑢′ = ∫ sen𝑢 ⋅ 𝑢′ = ln|sen𝑢| + 𝑐
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(𝑐 ∈ 𝑅)
(𝑐 ∈ 𝑅)
46
Cálculo Integral
∫ 𝑹(sen𝒙) ⋅ 𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝒅𝒙
(em que R (u) é uma função racional em u)
Fazendo a mudança de variável sen𝑥 = 𝑡 ⇔ cos 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑑𝑡, resulta um integral de função
racional na variável t.
Exemplos:
1) ∫
sen2 𝑥+1
sen 𝑥
⋅ cos 𝑥 𝑑𝑥 = ∫
=
2) ∫
cos3 𝑥
sen4 𝑥
𝑑𝑥 = ∫
cos2 𝑥
sen4 𝑥
1
𝑡 2 +1
𝑡
(sen 𝑥)2
2
1
𝑑𝑡 = ∫ (𝑡 + 𝑡 ) 𝑑𝑡 =
1
= ∫ (𝑡 4 − 𝑡 2 ) 𝑑𝑡 =
𝑡 −3
−3
−
1−sen2 𝑥
sen4 𝑥
𝑡 −1
−1
2
+ ln|𝑡| + 𝑐 =
(𝑐 ∈ 𝑅)
+ ln|sen 𝑥| + 𝑐
× cos 𝑥 𝑑𝑥 = ∫
𝑡2
× cos 𝑥 𝑑𝑥 = ∫
+𝑐 =−
(sen𝑥)−3
3
1−𝑡 2
𝑡4
𝑑𝑡 =
+ (sen𝑥)−1 + 𝑐
(𝑐 ∈ 𝑅)
3) ∫ sen10 𝑥 ⋅ cos 3 𝑥𝑑𝑥 = ∫ sen10 𝑥 ⋅ cos2 𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥 = ∫ sen10 𝑥 ⋅ (1 − sen2 𝑥) cos 𝑥 𝑑𝑥 =
= ∫ 𝑡 10 ⋅ (1 − 𝑡 2 )𝑑𝑡 =
∫ 𝑹(cos𝒙) ⋅ sen𝒙𝒅𝒙
𝑡 11
11
−
𝑡 13
13
+𝑐 =
(sen𝑥)11
11
−
(sen𝑥)13
13
+𝑐
(𝑐 ∈ 𝑅)
(em que R(u) é uma função racional em u)
Fazendo a mudança de variável cos𝑥 = 𝑡 ⇔ sen𝑥𝑑𝑥 = −𝑑𝑡, resulta um integral de função
racional na variável t.
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47
Cálculo Integral
Exemplos:
1) ∫
cos𝑥+1
cos2 𝑥
⋅ sen𝑥𝑑𝑥 = − ∫
𝑡+1
𝑡2
1
𝑑𝑡 = − ∫ (𝑡 −2 + 𝑡 ) 𝑑𝑡 = − (ln|𝑡| +
1
= − ln|cos 𝑥| + cos 𝑥 + 𝑐
sen3 𝑥
sen2 𝑥
1−cos 2 𝑥
3
=
(cos 𝑥)2
2
1
1+cos(2𝑥)
2
2
1
1
2
4
2+𝑡
𝑑𝑡 = ∫
𝑡 2 −1
2+𝑡
𝑑𝑡 =
− 2𝑡 + 3 ln|𝑡 + 2| + 𝑐 =
1
(𝑐 ∈ 𝑅)
1
1
1
1
(𝑐 ∈ 𝑅)
1
𝑑𝑥 = 2 ∫(1 − cos(2𝑥)) 𝑑𝑥 = 2 (𝑥 − 2 ∫ 2 cos(2𝑥) 𝑑𝑥) =
= 𝑥 − sen(2𝑥) + 𝑐
3
1−𝑡 2
𝑑𝑥 = 2 ∫(1 + cos(2𝑥)) 𝑑𝑥 = 2 (𝑥 + 2 ∫ 2 cos(2𝑥) 𝑑𝑥) =
1
1−cos(2𝑥)
)+𝑐 =
3
= 2 𝑥 + 4 sen(2𝑥) + 𝑐
∫ sen2 𝑥 𝑑𝑥 = ∫
2
− 2 cos 𝑥 + 3 ln|2 + cos 𝑥| + 𝑐
∫ cos𝟐 𝒙 𝑑𝑥 ou ∫ sen𝟐 𝒙 𝒅𝒙
∫ cos2 𝑥 𝑑𝑥 = ∫
𝑡2
−1
(𝑐 ∈ 𝑅)
2) ∫ 2+cos 𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 2+cos 𝑥 ⋅ sen𝑥𝑑𝑥 = ∫ 2+cos 𝑥 ⋅ sen𝑥𝑑𝑥 = − ∫
= ∫ (𝑡 − 2 + 2+𝑡) 𝑑𝑡 =
𝑡 −1
(𝑐 ∈ 𝑅)
Note-se que cos(2𝑥) = cos 2 𝑥 − sen2 𝑥 = cos 2 𝑥 − (1 − cos 2 𝑥) = 2cos 2 𝑥 − 1 ⟺ cos 2 𝑥 =
De modo análogo se conclui que sen2 𝑥 =
1+cos(2𝑥)
2
.
1−cos(2𝑥)
2
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.
48
Cálculo Integral
Exercícios propostos:
Calcular:
a) 
sen 3 x
dx
2 + cos x
3x
b)  cos dx
sen 4 x
c) ∫ sen10 𝑥 ⋅ cos3 𝑥𝑑𝑥
d)  cos 2(3x)  sen 4(3x) dx
3x
e)  sen dx
cos x
f)  sen 3 x  cos 4 / 3 x dx
(
)
Soluções:
a)
cos 2x
− 2cos x + 3ln (cos x + 2) + c (𝑐 ∈ 𝑅)
2
1
1
b) − 3sen3𝑥 + sen𝑥 + 𝑐 (𝑐 ∈ 𝑅)
c)
d)
e)
sen11x sen13x
−
+ c (𝑐 ∈ 𝑅)
11
13
1
1
16
(
1
𝑥 − 192 sen(12𝑥) − 144 sen3 (6𝑥) + 𝑐 (𝑐 ∈ 𝑅)
)
2
cos 2 x − 5 cos x + c (𝑐 ∈ 𝑅)
5
3
3
f) − cos 7 / 3 x + cos13 / 3 x + c (𝑐 ∈ 𝑅)
7
13
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49
Cálculo Integral
1.5.5. Transformações trigonométricas para integrais irracionais
𝒂
∫ 𝑹(𝒙, √𝒂𝟐 − 𝒃𝟐 𝒙𝟐 ) 𝒅𝒙
mudança de variável: 𝒙 = 𝒃 sen 𝒕
∫ 𝑹(𝒙, √𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 𝒙𝟐 ) 𝒅𝒙
mudança de variável: 𝒙 = 𝒃 tg 𝒕
∫ 𝑹(𝒙, √𝒃𝟐 𝒙𝟐 − 𝒂𝟐 ) 𝒅𝒙
mudança de variável: 𝒙 = 𝒃 𝒔𝒆𝒄 𝒕
𝒂
𝒂
(em que R(u) é uma função racional em u)
Exemplos:
1) 𝐴 = ∫ √4 − 𝑦 2 𝑑𝑦
2
2
 4 − y dy =  4 − 4 sen t  2 cos t dt =
m.v. :
y = 2 sen t  t = arcsen
1


= 4 cos 2 t dt = 2 (1 + cos ( 2t ) ) dt = 2  t + sen ( 2t )  + c
2


y
y

= 2 arcsen + sen  2arcsen  + c
2
2

y
2
dy = 2 cos t dt
(c  R)
2) ∫
√𝑥 2 +1
𝑥4
𝑑𝑥
m.v. :
x = tg t  t = arctg x
1
dx =
dt
cos 2t
∫
√𝑥 2 +1
𝑥4
𝑑𝑥 = ∫
cos 𝑡
= ∫ sen4𝑡 𝑑𝑡 =
3)
x
1
x2 − 3
√tg2 𝑡+1
tg4 𝑡
(sen𝑡)−3
−3
1
⋅ cos2𝑡 𝑑𝑡 = = ∫
+𝑐 =−
1
cos 𝑡
sen4 𝑡
cos 4 𝑡
1
⋅ cos2𝑡 𝑑𝑡 =
1
3(sen(arctg 𝑥))
3
+𝑐
(𝑐 ∈ 𝑅)
dx
m.v. :
x=
3 sec t =
dx =
3 sen t
cos 2t
 3
3

 t = arccos 

cos t
 x 
dt
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50
Cálculo Integral
1
1
∫ 𝑥√𝑥 2−3 𝑑𝑥 = ∫
3
√3
√
−3
cos 𝑡 cos2 𝑡
=∫
sen 𝑡
√3 sen t
√3sen 𝑡
cos 2 𝑡
𝑑𝑡 = ∫
1
√3
𝑑𝑡 = ∫
𝑑𝑡 =
sen 𝑡⋅cos 𝑡
3−3 cos2 𝑡
cos 2 𝑡⋅√
cos2 𝑡
1
√3
1
𝑡+𝑐 =
√3
𝑑𝑡 = ∫
sen 𝑡
3⋅sen2 𝑡
cos𝑡⋅√
2
𝑑𝑡
cos 𝑡
√3
arccos ( 𝑥 ) + 𝑐
(𝑐 ∈ 𝑅)
Exercícios propostos:
Utilize transformações trigonométricas para calcular os integrais:
a)  a 2 − x 2 dx
2
2
c)  a − x dx
2
d) 
x
x
e) 
2 − x2 +1
1
b) 
f) ∫
dx
( 4− x )
2 3
dx
x2 −1
(1 + x )
1−𝑥
𝑥√2−𝑥 2
2 − 4 x2
dx
𝑑𝑥
Soluções:
2
a) a  arcsen x + 1 sen  2arcsen x   + c (𝑐 ∈ 𝑅)
2
a 2
a


b)
1
4

𝑥
tg (arcsen 2) + 𝑐 (𝑐 ∈ 𝑅)
𝑥
𝑥
c) −cotg (arcsen 𝑎) − arcsen 𝑎 + 𝑐 (𝑐 ∈ 𝑅)
d) −
√2
cos (arcsen(√2𝑥))
4
e) −√2 cos (arcsen
𝑥
1
− 2 arcsen(√2𝑥) + 𝑐 (𝑐 ∈ 𝑅)
) + ln |cos (arcsen
√2
𝑥
)+
√2
1
| + 𝑐 (𝑐 ∈ 𝑅)
√2
𝑥
f)
cos(arcsen )−1
√2
√2
ln
|
|
𝑥
4
cos(arcsen )+1
√2
− arcsen
√2𝑥
2
+𝑐
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51
Cálculo Integral
1.6. Exercícios globais
1. Calcule, sem utilizar mudança de variável:
a)
2 arcsen x − 3
arcsen 2 x − (2 − x )
b)  e
dx
1 − x2
 x+4

+ e − sen x  cos x  dx
 2
 x +3

e ln x + ln x + ( x + 2)
dx
x
2
c) 
e) ∫
g) 
2
(𝑥 2 +2) 𝑒 2𝑥+3 + 𝑥 3
)
2
e arctgx + x ln 1 + x + 1
1+ x
𝑙𝑛2 𝑥+𝑠𝑖𝑛(𝑙𝑛 𝑥)+𝑥 𝑐𝑜𝑠3 (3𝑥)
𝑥
2
𝑑𝑥
𝑥 2 +2
(
d)∫
2
dx
𝑥
h) ∫ 3
3𝑎𝑥
j) ∫
𝑙𝑛( 𝑙𝑛 𝑥)
𝑥
3
1+ √𝑥−1
√𝑥−1
𝑒 2𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑥
3𝑥−5
𝑑𝑥
𝑒 𝑥 −𝑒 2𝑥
m) ∫ √1−4
𝑠𝑒𝑛(6𝑥)
√sen2 (3𝑥)+1
i) ∫ 𝑏2+𝑐 2𝑥 2 𝑑𝑥
k) ∫
3
2+𝑥 2 𝜋 𝑒 𝑥 + √𝑥 2
f) ∫
𝑑𝑥
l) ∫ √1−𝑥 2 𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑥
n) ∫ (1+4𝑥 2)⇌arctg(2𝑥)
p) ∫
o) ∫ ln( cos 𝑥) tg𝑥 𝑑𝑥
1
1
sen(√𝑥) + (ln 𝑥)3
2
√𝑥
√𝑥
dx
2. Calcule:
a) ∫
c) 
2+arcsen2 𝑥
(√1−𝑥2 ) (arcsen𝑥+1)
x
( x +1) 1/ 2 + ( x +1) 1/ 3
𝑑𝑥
b) 
dx
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d)

dx
(
x ( log 2 x − 1) log 2 x + 3
4
x3  1 + x
1 + x4 + 1
2
)
dx
52
Cálculo Integral
√𝑡+1
e) ∫ 4
√(𝑡+1)3 +1
ln3 𝑥+1
𝑑𝑡
f) ∫ 𝑥 ln2 𝑥+2𝑥 𝑑𝑥
3 ln 𝑥−1
g) ∫ 𝑥(ln2 𝑥+4) 𝑑𝑥
h) 
42x + 4 x
( )
x
42x + 2 4 + 2
dx
3. Calcule:
a) ∫
c) 
𝑑𝑥
cos 𝑥
b) ∫ sen 𝑥(1+sen 𝑥+sen2𝑥) 𝑑𝑥
√𝑥+1+2√(𝑥+1)3
sec 2x
dx
2 + tgx + tg 2 x
d) ∫
2x
e)  e + 2e dx
3x
x
e
f) 
−1
ln(𝑥+1)
√𝑥+1
𝑑𝑥
1
2e
x + 3x
dx
e
(𝑥−2)2
4. Calcule ∫ 𝑥 2+𝑥+1 𝑑𝑥
5. Calcule  x n ln(ax) dx
6. Resolva 
e4x
( e 2 x + 1) ( 2e4 x + 4 )
dx
2
7. Calcule  x x − 3 dx
2
x +1
8. Calcule os integrais
ln(tg𝑥)
a) ∫ sen(2𝑥) 𝑑𝑥
3
9. Calcule ∫
𝑥+ √1−𝑥
√(1−𝑥)3
b) ∫
𝑒 𝑥 (𝑒 𝑥 −2)2
𝑒 2𝑥 +2
𝑑𝑥
𝑑𝑥, fazendo a mudança de variável 1 − 𝑥 = 𝑡 6
10. Considere a função 𝐼(𝑥) = ∫(𝑥 − 1)112 (1 + 𝑥) 𝑑𝑥:
a) Calcule I (x) utilizando a técnica de integração por partes.
b) Efectue uma mudança de variável adequada e calcule I (x).
c) Calcule I (2), sabendo que I (1) = 0.
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53
Cálculo Integral
11. A função custo marginal de uma empresa que fabrica determinado produto é dada, em
milhares de euros, por
𝑑𝐶
𝑑𝑄
= 5 − 6𝑄 + 6𝑄 2 , quando Q milhares de unidades são
produzidas. O custo de mil unidades é 5 mil euros. Determine o custo de 2 mil unidades.
12. Determine f , definida em 𝐼𝑅, que verifica as seguintes condições:
𝑓 ′′ (𝑥) = (1 + sen𝑥). cos𝑥, 𝑓 ′ (0) = 1 e 𝑓(0) = 3.
13. Considere a função 𝐼(𝑥) = ∫(𝑥 − 1) ⋅ ln (𝑥 − 2) 𝑑𝑥:
a) Utilizando a técnica de integração por partes, verifique que
𝑥2
𝐼(𝑥) = ( 2 − 𝑥) ln( 𝑥 − 2) −
𝑥2
4
+ 𝑐.
b) Calcule I (4), sabendo que I (3) = 0.
14. Comente a afirmação:
"  f ( x) dx = sen x − x cos x −
1 2
𝜋
𝜋 √2
x + c (com 𝑐 ∈ 𝑅) ⟹ 𝑓 ( ) = ( − 1) "
4
4 2
2
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54
Cálculo Integral
Soluções:
(
)
1. a) 1 ln x 2 + 3 + 4 3 arctg x − e − sen x + c (𝑐 ∈ 𝑅)
2
3
3
e 2arcsen x
2
−
arcsen 3x − 2 arcsen x − 1 − x + c (𝑐 ∈ 𝑅)
2
3
b)
c) 𝑥 +
d)
3
ln2 𝑥
2
(ln 𝑥)3
3
+
𝑥2
2
+ 4𝑥 + 4 ln 𝑥 + 𝑐 (𝑐 ∈ 𝑅)
sen(3𝑥)
− cos(ln 𝑥) +
f) 2 ln x +

2
2
ex +
3
−
sen3 (3𝑥)
9
+ 𝑐 (𝑐 ∈ 𝑅)
33 2
x + c (𝑐 ∈ 𝑅)
2
(
)
1
g) earctg x + ln 2 1 + x 2 + arctg x + c (𝑐 ∈ 𝑅)
4
(
)
13
2
sen 2 (3x) +1 + c (𝑐 ∈ 𝑅)
2
h)
3a
i)
2c
2
(
)
ln b 2 + c 2 x 2 + c (𝑐 ∈ 𝑅)
j) 𝑙𝑛 𝑥[𝑙𝑛( 𝑙𝑛 𝑥) − 1] + 𝑐 (𝑐 ∈ 𝑅)
66
k) 2√𝑥 − 1 + 5 √(𝑥 − 1)5 + 𝑐 (𝑐 ∈ 𝑅)
l) −3√1 − 𝑥 2 − 5 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝑐 (𝑐 ∈ 𝑅)
m)
1
2
1
arcsen (2e𝑥 ) + 4 √1 − 4𝑒 2𝑥 + 𝑐 (𝑐 ∈ 𝑅)
1
n) 2 𝑙𝑛|arctg(2𝑥)| + 𝑐 (𝑐 ∈ 𝑅)
o) −
𝑙𝑛2 (cos𝑥)
2
+ 𝑐 (𝑐 ∈ 𝑅)
p) − cos(√𝑥) +
(ln 𝑥)4
4
+ 𝑐 (𝑐 ∈ 𝑅)
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55
Cálculo Integral
b)
c)
d)
ln2
4
log2 𝑥−1
(ln |
√log2 2 𝑥+3
2
√(𝑥
3
𝑥 4 +1
4
log 𝑥
√3
arctg ( 2 )|)
3
√3
33
+ 𝑐 (𝑐 ∈ 𝑅)
66
66
33
+ 1)3 − 4 √(𝑥 + 1)4 + 7 √(𝑥 + 1)7 − (𝑥 + 1) + 5 √(𝑥 + 1)5 − 2 √(𝑥 + 1)2 + 𝑐
−
√𝑥 4 +1
1
+ 2 ln|√𝑥 4 + 1 + 1| + 𝑐 (𝑐 ∈ 𝑅)
2
4
( √𝑡+1)
e) 4 (
−
3
1
3
4
− 3 ln |( √𝑡 + 1) + 1|) + 𝑐 (𝑐 ∈ 𝑅)
3
(
)
2x
2
ln x
f) ln − ln ln 2x + 2 +
arctg
+ c (𝑐 ∈ 𝑅)
2
2
2
(
)
g)
3
1
ln x
ln ln 2x + 4 − arctg
+ c (𝑐 ∈ 𝑅)
2
2
2
h)
1
ln 4 2 x + 2  4 x + 2 + c (𝑐 ∈ 𝑅)
2 ln 4
(
)
3. a) √2arctg√2𝑥 + 2 + 𝑐 (𝑐 ∈ 𝑅)
|sen𝑥|
b) ln √sen2
c)
2√7
7
−
𝑥+sen𝑥+1
arctg
2tg𝑥+1
√7
2sen𝑥+1
√3
arctg (
)+
3
√3
(𝑐 ∈ 𝑅)
+ 𝑐 (𝑐 ∈ 𝑅)
x + 1 ln ( x+1)2 − 4 x + 1 + c (𝑐 ∈ 𝑅)
d)
𝑒 𝑥 −1
e) 𝑙𝑛 √𝑒 2𝑥
f) −
1
2e x
+𝑒 𝑥 +1
−
−
2𝑒 𝑥 +1
√3
arctg
(
)
3
√3
+ 𝑐 (𝑐 ∈ 𝑅)
2
ex
arctg
+ c (𝑐 ∈ 𝑅)
4
2
5
4. 𝑥 − 2 𝑙𝑛(𝑥 2 + 𝑥 + 1) − 5√3arctg (
5.
𝑐
𝑥 𝑛+1
𝑛+1
(𝑙𝑛(𝑎𝑥) −
1
𝑛+1
2𝑥+1
√3
) + 𝑐 (𝑐 ∈ 𝑅)
) (𝑐 ∈ 𝑅)
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56
Cálculo Integral
6.

1 
e4 x + 2
e2 x 
ln
+
2
arctg
+ c (𝑐 ∈ 𝑅)
2x
12 
2
e
+
1


7. √𝑥 2 − 3 − 2 arctg
8. a)
𝑙𝑛2 (tg𝑥)
4
√𝑥 2 −3
2
+ 𝑐 (𝑐 ∈ 𝑅)
+ 𝑐 (𝑐 ∈ 𝑅)
𝑒𝑥
b) 𝑒 𝑥 − 2 𝑙𝑛 | 𝑒 2𝑥 + 2 | + √2 arctg ( ) + 𝑐 (𝑐 ∈ 𝑅)
√2
9. 2√1 − 𝑥 + 6
6
√1−𝑥
10. a)
b)
(𝑥−1)114
114
(𝑥−1)114
114
1
+
+2 ⋅
+2 ⋅
2
√1−𝑥
+ 𝑐 (𝑐 ∈ 𝑅)
(𝑥−1)113
113
(𝑥−1)113
113
+ 𝑐 (𝑐 ∈ 𝑅)
+ 𝑐 (𝑐 ∈ 𝑅)
2
c) 114 + 113
11. 15000€
7
13. 4ln2 − 4
14. Afirmação verdadeira
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57
Cálculo Integral
2. Integral definido
2.1. Abordagem teórica
Seja f(x) uma função contínua e positiva no intervalo [a,b]. Pretendemos calcular a área
definida pelo gráfico da função f, pelo eixo dos xx e pelas retas verticais x = a e x = b.
Começamos por dividir o segmento [a,b] em n intervalos de igual amplitude, x1, x 2, ..., x n ,
em que x1 e x n correspondem aos pontos a e b respetivamente. Nessas condições, é possível
inscrever n retângulos de área
b−a
 f ( x i ) , conforme a figura que se segue:
n
y
f(x)
0
a
𝑥2 𝑥3 𝑥4
𝑥𝑛−2 𝑥𝑛−1 b
x
Reconhece-se que a área pretendida é aproximadamente igual à soma das áreas dos
retângulos representados e essa aproximação é tanto maior quanto menor for a amplitude
dos intervalos (quanto maior for o número de intervalos). Ou seja,
n
b−a

A = lim  
 f ( xi) 
n → i =1
 n

Prova-se (a demonstração não é do âmbito do programa desta cadeira) que aquele limite é
𝑏
dado por ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥. Consequentemente,
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58
Cálculo Integral
Teorema:
Se f é integrável e 𝑓(𝑥) ≥ 0, ∀𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏], então a área A da região sob o gráfico de f limitada
pelo eixo dos xx e pelas retas verticais x = a e x = b é dada por
𝑏
A = ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
2.2. Teorema Fundamental do Cálculo
Se f é contínua em [a,b] e F uma primitiva de f(x), então
 f ( x)dx =  F ( x)a = F (b) − F (a)
b
b
a
Exemplos:
𝑥3
0
1) ∫−1(𝑥 2 − 2𝑥 + 𝑒 𝑥 ) = [ 3 − 𝑥 2 + 𝑒 𝑥 ]
3
8 𝑒 √𝑥
2) ∫1
3
√𝑥 2
3
8
𝑑𝑥 = 3 ⋅ ∫1 𝑒 √𝑥 ⋅
−1
1
7
1
= (0 − 0 + 𝑒 0 ) − (− 3 − 1 + 𝑒 −1 ) = 3 − 𝑒
3
1
3⋅
0
8
𝑑𝑥 = 3 ⋅ [𝑒 √𝑥 ] = 3(𝑒 2 − 𝑒)
3
√𝑥2
1
𝑒
3) ∫1 𝑙𝑛 𝑥 𝑑𝑥
∫ ln 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 ln 𝑥 − ∫ 1𝑑 𝑥 = 𝑥 ln 𝑥 − 𝑥 + 𝑐
{
𝑢′ = 1
𝑣 = ln 𝑥
𝑢=𝑥
⇒{
1
𝑣′ = 𝑥
𝑒
∫1 ln 𝑥 𝑑𝑥 = [𝑥 ln x − 𝑥]1𝑒 = 𝑒 ln 𝑒 − 𝑒 − (1 ln 1 − 1) = 1
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59
Cálculo Integral
2.3. Propriedades do integral definido
Consequência do Teorema Fundamental do Cálculo e das propriedades dos integrais
anteriormente referidas, tem-se que:
𝑎
(1) ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 0
𝑏
(2) 𝑓(𝑥) ≥ 0, ∀𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] ⇒ ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≥ 0
𝑏
𝑎
(3) f é integrável em [a,b] ⇒ ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = − ∫𝑏 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑏
(4) c é um número real ⇒ ∫𝑎 (𝑐𝑓(𝑥))𝑑𝑥 = 𝑐 ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑏
(5) f e g são funções integráveis em [a,b] ⇒ ∫𝑎 [𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)] 𝑑𝑥 = ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ±
𝑏
∫𝑎 𝑔(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑐
𝑏
(6) 𝑎 ≤ 𝑐 ≤ 𝑏 ⇒ ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫𝑐 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
2.4. Valor médio de uma função
O valor médio de uma função f no intervalo [a,b], em que f é contínua nesse intervalo, é dado
por
fm=
1 b
 f ( x)dx .
b−a a
Exemplo:
Seja 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 2𝑥 + 𝑒 𝑥
1
(𝑓𝑚 )[−1,1] =
𝑥3
2
𝑥
[
𝑥 )𝑑𝑥
− 2𝑥 + 𝑒
3 − 𝑥 + 𝑒 ]−1
=
1 − (−1)
2
1
∫−1(𝑥 2
=
1
1
(3 − 1 + 𝑒) − (− 3 − 1 + 𝑒 −1 )
2
=
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=
1 𝑒 1
+ −
3 2 2𝑒
60
Cálculo Integral
2.5. Mudança de variável no integral definido4
Quando um integral definido é resolvido através de uma mudança de variável, a nova função
terá limites de integração diferentes; assim:
𝑏
𝛽
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑓 [𝜙 (𝑡)] ⋅ 𝜙′(𝑡) 𝑑𝑡
𝑎
em que 𝑥 = 𝜙 (𝑡) e {
𝛼
𝜙 (𝛼) = 𝑎
𝜙 (𝛽) = 𝑏
Exemplo:
4
Pretende-se calcular ∫1
𝑥
√2+4𝑥
𝑑𝑥.
Mudança de variável proposta:
2 + 4𝑥 = 𝑡 2 ⇔ 𝑥 =
𝑡 2 −2
4
𝑡
⇔ 𝑑𝑥 = 2 𝑑𝑡
calculando os limites de integração da variável t, vem
𝛼2 −2
{𝛽24−2
4
= 1 ⇔ 𝛼 = √6
= 4 ⇔ 𝛽 = √18
finalmente,
t2 − 2
18
4
18
18 t 2 − 2

x
t
1  t3
3 2
4
dx = 
 dt = 
dt =  − 2t 
=

t
2
8
83
2
1 2 + 4x
 6
6
6
4
Note-se que pode ser calculado o integral indefinido correspondente através da mudança de variável acima
e, após voltar à variável original, calcular o valor do integral definido com os limites de integração iniciais.
No entanto, mudar a variável no integral definido, permite, geralmente, simplificar os cãlculos.
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61
Cálculo Integral
Exercícios propostos:
1. Calcule o valor dos integrais seguintes:
5
√2
a) ∫0
3𝑥 2 +6
3 √𝑥+1
c) ∫0
𝑥+2
0
 e
e)
𝜋/2 sen𝑥⋅𝑐𝑜𝑠 𝑥
𝑑𝑥
b) ∫0
1+sen4 𝑥
𝑑𝑥
2
d) ∫0 ln(𝑥 2 + 1) 𝑑𝑥
𝑑𝑥
−1
2 x +1 dx
f) ∫−𝑒 𝑙𝑛2(−𝑥) 𝑑𝑥
−1/ 2
𝑎
2. Determine, se existir, o valor do número positivo a, de modo que ∫1
2𝑥+1
√2𝑥 2 +2𝑥
𝑑𝑥 =
2(√3 − 1).
𝑙𝑛3
3. Considere o integral definido 𝐼 = ∫𝑙𝑛2
1
1
𝑒 𝑥 (𝑒 𝑥 −1)
𝑑𝑥.
1
a) Mostre que ∫ 𝑡 3 −𝑡 2 𝑑𝑡 = −ln|𝑡| + 𝑡 + ln|𝑡 − 1| + 𝑐, 𝑐 ∈ 𝐼𝑅.
3
b) Mostre que fazendo a substituição 𝑒 𝑥 = 𝑡 , com 𝑡 > 0, 𝐼 = ∫2
1
𝑡 2 (𝑡−1)
dt.
c) Calcule o valor de 𝐼.
Soluções:
1. a)
5 2
24
c) 2 +

− 2 arctg2
2
b)

8
d) 2 ln 5 - 4 + 2 arctg 2
f) e – 2
e) 1
2. a = 2
4
1
3. ln 3 − 6
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62
Cálculo Integral
2.6. Aplicação do integral definido ao cálculo de áreas
No início deste capítulo, foi estabelecido que a área A da região sob o gráfico de f limitada
pelo eixo dos x e pelas retas verticais x = a e x = b (de acordo com a figura abaixo) é dada
por
b
A =  f ( x )dx
a
Este conceito pode ser estendido ao cálculo de áreas para outros subconjuntos do 2:
𝑏
como 𝑓(𝑥) ≤ 0 em [a , b] ⇒ ∫𝑎 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 ≤ 0
b
A = − f ( x) dx
a
E, numa conjugação dos dois casos anteriores:
A
b
b
b
a
a
a
A =  f ( x) dx −  g ( x) dx =  [ f ( x) − g ( x)] dx
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63
Cálculo Integral
Exemplos:
1) Calcular a área do domínio plano limitado pelas retas x = 1, y = 0 e pelo gráfico da função
f(x) = x2.
Resolução:
1
 x3 
1
A =  x dx =   =
0
 3 0 3
1 2
2) Calcular a área da região limitada pelo gráfico da função f(x) = x3, pelo eixo das abcissas
e pelas retas x = –1 e x = 1.
Resolução:
0
1
−1
0
A = A1 + A2 = −  x 3 dx +  x 3dx =
1 1 1
+ =
4 4 2
3) Calcular a área da região limitada pelo gráfico da função𝑓(𝑥) = 𝑥 2 e pelas retas x = 0,
x = 1 e y = 2.
Resolução:

x3 
2
A =  (2 − x ) dx = 2 x −

0
3

1
1
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=
0
5
3
64
Cálculo Integral
4) Calcular a área da região limitada pelos gráficos das funções 𝑦 = 𝑥 2 , y = x e x = 2.
Resolução:
2
Os pontos em que as curvas y = x e y = x se intercetam são
as soluções do sistema

y = x
 x 2 = x  x 2 − x = 0  x (x − 1) = 0  x = 0  x = 1

2

y = x
1
𝑥2
2
Assim, 𝐴 = ∫0 [𝑥 − 𝑥 2 ]𝑑𝑥 + ∫1 [𝑥 2 − 𝑥]𝑑𝑥 = [ 2 −
𝑥3
1
𝑥3
] +[3 −
3
0
𝑥2
2
] =1
2
1
5) Calcular a área da região limitada pelos gráficos das funções 𝑦 = (𝑥 − 1)2 + 1, y = x
e x = 0.
Resolução:
c.a. :
2

x = 1 x = 2
( x − 1) + 1 = y



y =1 y = 2

y = x
c.a. :
( x − 1) 2 + 1 = y  ( x − 1) 2 = y − 1  x = 1 
Assim,
1
2
𝐴 = ∫ [ 1 + (𝑥 − 1)2 − 𝑥]𝑑𝑥 + ∫ [𝑥 − (1 + (𝑥 − 1)2 ) ]𝑑𝑥 =
0
1
1
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65
y −1
Cálculo Integral
Exercícios propostos:
1. Calcule a área definida pelos gráficos das funções enunciadas:
𝑦 = −𝑥 2 + 𝑥 + 2
𝑦 = ln|𝑥|
a) {𝑦 = 𝑥 2 − 3𝑥 − 4
b) {𝑦 = 0
𝑦=1
𝑦 =𝑥+1
2 y 2 = x + 4
c) 
2
 y = x
2. Calcule o valor da área representada a tracejado na figura:
a) Limitada pelas retas e parábola representadas:
b) limitada pelas linhas representadas, de
𝑒
𝑒
equações 𝑦 = 2 , 𝑦 = 𝑥 e 𝑦 = ln 𝑥:
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66
Cálculo Integral
c) limitada pelas linhas y =
x
2
e y = x ( x -1) :
9
d) limitada pelas linhas y = 1 +
1
x
2
, y = x2 + 1 e y = 8x + 1:
e) limitada pelas linhas 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − 2𝑥 2 e 𝑔(𝑥) = − |𝑥 − 2|:
𝑥
f) limitada pelas linhas 𝑥𝑦 = 1 , 𝑦 = 𝑥 2 +1 , 𝑦 = 2𝑥 𝑒 𝑥 = 1:
g) limitada pelas linhas 𝑦 = 𝑥 4 − 4𝑥 2 e y = √4 − 𝑥 2
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67
Cálculo Integral
3
h) limitada pelas linhas 𝑦 = 8, 𝑥 − 𝑦 = 2 𝑒 𝑥 = √𝑦 2 :
3. Calcule o valor das áreas limitadas pelas linhas:
a) y = 0, x = 0, x = e, y = ln x e y = e x
b) 𝑥 = −3𝑦 2 + 4 𝑒 𝑥 = 𝑦 3
c) 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − 6𝑥 2 + 8𝑥 e pelo eixo dos x
d) 𝑥 = 1, 𝑥 + 𝑦 = 6 e 𝑦 = √𝑥
e) 𝑦 = 𝑥 2 , 𝑥𝑦=1 e 𝑦=4
f) 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 𝑒
𝑔(𝑥) = 𝑥 2
g) 𝑦 = 𝑥 2 + 1 , 𝑥 − 𝑦 = 2 e |𝑥| < 2
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68
Cálculo Integral
4. Seja 𝑅 a região limitada pelas curvas de equação 𝑦 = 𝑥 2 , 𝑦 = −𝑥 2 + 1 e pelas rectas
𝑥=0e𝑥=
√2
.
2
a) Faça o esboço de 𝑅.
b) Calcule a sua área.
Soluções:
b) 2e – 2
1. a) 20
c)
2. a)
32
3
11
3
−
d)
4√2
3
53
6
b) 2e − e ln2
c)
8
81
d)
5
3
e)
91
12
f)
1
2
g) 2  +
128
15
3. a) 𝑒 𝑒 − 2
c) 8
e)
g)
4. b)
14
3
− 𝑙𝑛 4
h)
297
10
b)
27
4
d)
35
6
f)
1
12
52
3
√2
3
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69
Cálculo Integral
2.7. Integrais impróprios
Um integral definido considera-se impróprio se verifica alguma das condições:
•
pelo menos um dos limites de integração é infinito
•
a função integranda não é limitada em pelo menos um dos limites de integração,
ou num ponto de intervalo de integração, sendo contínua nos restantes pontos do
referido intervalo
2.7.1. Integrais impróprios de 1ª espécie
Um integral impróprio é de 1ª espécie, se pelo menos um dos limites de integração é infinito.
Nessas condições, tem-se que
+∞
∫
𝑘
𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = lim ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
𝑘→+∞ 𝑎
𝑎
𝑏
𝑏
∫ 𝑓(𝑥) dx = 𝑙𝑖𝑚 ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
𝑘→−∞ 𝑘
−∞
+∞
𝑎
𝑘
∫−∞ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑙𝑖𝑚 ∫𝑘 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 + 𝑙𝑖𝑚 ∫𝑎 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 (𝑎 ∈ 𝑅)
𝑘→−∞
𝑘→+∞
Se o limite em causa existe e é finito, dizemos que o integral é convergente e o limite será
o valor do integral. Se o integral não é convergente, diz-se que é divergente.5
Exemplos:
+∞ 1
1) ∫1
𝑥2
𝑘 1
𝑑𝑥 = lim ∫1
𝑘→+∞
𝑥2
𝑥 −1
𝑘
1
1
𝑑𝑥 = lim [ −1 ] = lim (− 𝑘 + 1) = 1
𝑘→+∞
1
𝑘→+∞
O integral converge para 1.
5
Se um integral definido é soma de dois ou mais integrais, um dos quais é divergente, então o integral inicial
é divergente.
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70
Cálculo Integral
+∞ 1
𝑘1
𝑑𝑥 = lim ∫1
𝑥
2) ∫1
𝑘→+∞
𝑥
𝑑𝑥 = lim [𝑙𝑛 𝑥]1𝑘 = lim (𝑙𝑛 𝑘 − 𝑙𝑛 1) = +∞
𝑘→+∞
𝑘→+∞
O integral diverge.
+∞
3) ∫1
𝑑𝑥
𝑥√𝑥−1
𝑘
= lim ∫1
𝑘→+∞
1
𝑥√𝑥−1
𝑑𝑥
𝑚. 𝑣. :
𝑥 − 1 = 𝑡2 ⇔ 𝑥 = 𝑡2 + 1
𝑑𝑥
𝑑𝑥 = 2𝑡𝑑𝑡
1
1
∫ 𝑥√𝑥−1 = ∫ 𝑡(𝑡 2+1) ⋅ 2𝑡 𝑑𝑡 = 2 ∫ 𝑡 2 +1 𝑑𝑡 =
= 2arctg𝑡 + 𝑐 = 2arctg√𝑥 − 1 + 𝑐
+∞
∫
1
𝑑𝑥
𝑥√𝑥 − 1
𝑘
= lim [2arctg√𝑥 − 1] 1 = lim [2arctg√𝑘 − 1 − 2arctg0] = 2 ⋅
𝑘→+∞
𝑘→+∞
𝜋
=𝜋
2
O integral é convergente para 𝜋.
+∞
Interpretação geométrica: Se f é não-negativa, o integral impróprio ∫𝑎 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 pode ser
interpretado como sendo a área da região sob o gráfico de f à direita de x = a:
Embora esta região não seja limitada, a sua área pode ser finita ou infinita; se a área for
infinita, diremos, analogamente ao integral que lhe dá origem, divergente. Esta
interpretação pode ser generalizada a qualquer tipo de áreas não limitadas.
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71
Cálculo Integral
Exemplo:
Determinar, se existir, a área da região não limitada representada a cinzento na figura abaixo,
definida, entre outras, pelas linhas de equação 𝑦 = 𝑒 𝑥 + 1 e 𝑦 = 1 − 𝑥 2 .
Cálculo das coordenadas de A:
y = 0 → 1 − x 2 = 0 → x = 1  x = −1
No caso, x = −1
Assim, a expressão de cálculo da área, fica:
0
0
1
𝐴 = ∫−∞((𝑒 𝑥 + 1) − 1)𝑑𝑥 + ∫−1(1 − (1 − 𝑥 2 ))𝑑𝑥 + ∫0 (1 − 𝑥 2 )𝑑𝑥
ou6
0
1
𝐴 = ∫−∞((𝑒 𝑥 + 1) − 1) 𝑑𝑥 + ∫0 1𝑑𝑥
0
0
∫−∞((𝑒 𝑥 + 1) − 1)𝑑𝑥 = ∫−∞ 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 = lim [𝑒 𝑥 ]0𝑎 = 𝑒 0 − lim 𝑒 𝑎 = 1 − 0 = 1
𝑎→−∞
𝑎→−∞
O integral impróprio é convergente. Uma vez que os restantes integrais delimitam áreas
finitas podemos afirmar que a área assinalada no gráfico a sombreado é convergente, ou
finita e o seu valor é 2.
6
0
Note-se que a área definida pelo integral ∫−1(1 − (1 − 𝑥 2 ))𝑑𝑥 , completa um quadrado de lado 1 no 1º
quadrante.
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72
Cálculo Integral
Exercícios propostos
Classifique os integrais que se seguem, calculando o valor daqueles que são convergentes:
+
+∞ 𝑑𝑥
1. ∫1
𝑥
+∞ 2𝑥
4. ∫0
𝑥 2 +1
+∞ 𝑑𝑥
2.  e − xdx
3. ∫0
1
+∞
𝑑𝑥
5. ∫0
+∞ √𝑥
𝑑𝑥
𝑥+1
𝑥
1+𝑥 4
1
7. ∫0
+∞
𝑑𝑥
6. ∫0
1+𝑥 2
𝑑𝑥
𝑥 2 +2𝑥+2
1
𝑑𝑥
9. ∫−∞ 𝑒 𝑥 𝑑𝑥
8. ∫−∞ 𝑥(𝑥 2+𝑥+1)
Soluções:
1. divergente
2. 1/e
4. divergente
5.
7. divergente
8. − 2 𝑙𝑛 3 +
3.  /2

4
6.
1
2√3
9
𝜋

4
9. e
2.7.2. Integrais impróprios de 2ª espécie
𝑏
São integrais do tipo ∫𝑎 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 em que:
f(x) é uma função contínua e não limitada em ]a, b]; nessas condições
𝑏
𝑏
∫𝑎 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = lim+ ∫𝑘 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 ou
𝑘→𝑎
f(x) é uma função contínua e não limitada em [a, b[; nessas condições
𝑏
𝑘
∫𝑎 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = lim− ∫𝑎 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
𝑘→𝑏
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73
Cálculo Integral
Exemplos:
2 1
1) ∫0
𝑥2
1 2
1
1
1
1
𝑑𝑥 = lim+ 𝑥 2 𝑑𝑥 = lim+ [− 𝑥] = lim+ (− 2 + 𝑘) = − 2 + ∞ = +∞
𝑘→0
𝑘→0
𝑘→0
𝑘
O integral é divergente.
0
𝑘
2) ∫−1 𝑙𝑛( − 𝑥)𝑑𝑥 = lim− ∫−1 𝑙𝑛(−𝑥) 𝑑𝑥
𝑘→0
∫ 𝑙𝑛(−𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑥 𝑙𝑛(−𝑥) − ∫ 1𝑑 𝑥 = 𝑥 𝑙𝑛(−𝑥) − 𝑥 + 𝑐
; então,
0
∫−1 𝑙𝑛( − 𝑥)𝑑𝑥 = lim− [𝑥 𝑙𝑛(−𝑥) − 𝑥]𝑘−1 = lim+ (𝑘 𝑙𝑛(−𝑘) − 𝑘 − (0 + 1)) =
𝑘→0
𝑘→0
= lim+ 𝑘 𝑙𝑛(−𝑘) − 1 = lim+
𝑘→0
𝑙𝑛(−𝑘)
𝑘→0
1
𝑘
−1
−𝑘
1
𝑘→0+ − 2
𝑘
− 1 = lim
−1=
= lim+ (−𝑘) − 1 = −1
𝑘→0
O integral converge para − 1.
Regra de Cauchy para levantamento de indeterminações7
2.8. Aplicações em contexto económico
O integral definido pode permitir resover problemas contextualizados, nomeadamente, nas
áreas da Economia e da Gestão, como ilustram os exemplos que se seguem:
7
Sejam f e g funções diferenciáveis em ]𝑎, 𝑏[, com 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅̅ = 𝑅 ∪ {±∞} tais que lim 𝑓(𝑥) = lim 𝑔(𝑥) = 0
𝑥→𝑎
ou lim 𝑓(𝑥) = lim 𝑔(𝑥) = ±∞. Se existir
𝑥→𝑎
𝑥→𝑎
lim
𝑓´(𝑥)
𝑥→𝑎 𝑔´(𝑥)
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então
lim
𝑓(𝑥)
𝑥→𝑎 𝑔(𝑥)
𝑥→𝑎
𝑓´(𝑥)
= lim 𝑔´(𝑥).
𝑥→𝑎
74
Cálculo Integral
1) Um fabricante introduziu uma nova técnica, o que possibilitou o fabrico de um produto
mais perfeito, pelo que decidiu esgotar completamente as reservas do produto
anteriormente fabricado, contabilizadas em 16 toneladas. As vendas (em toneladas)
ocorrem a uma taxa mensal de 𝑉 '(𝑡) = 1,6 ⋅ 𝑒 0,05𝑡 . Quanto tempo necessita o fabricante
para vender todo o produto referido?
Resolução:
𝑛
1,6
∫0 1,6 ⋅ 𝑒 0,05𝑡 𝑑𝑡 = 16 ⇔ 0,05 ⋅ [𝑒 0,05𝑡 ]𝑛0 = 16 ⇔ 𝑒 0,05𝑛 − 1 = 0,5 ⇔ 𝑛 =
𝑙𝑛 1,5
0,05
≈8
R: Necessita de, aproximadamente, 8 meses.
2) O custo marginal associado à produção do produto A, é dado por 𝐶 ′ (𝑥) =
3500
𝑥2
, em que x
é o número de unidades produzidas. Qual a variação total do custo, quando o número de
unidades produzidas varia de 1000 para 1003?
Resolução:
1003
∫
1000
3500
1 1003
1
1
(−
) = 0,01046
𝑑𝑥
=
3500
[−
]
=
3500
+
𝑥2
𝑥 1000
1003 1000
R: O custo aumenta 0,01046 u.m.
3) A receita marginal associada à produção do produto B, é dada por 𝑅 ′ (𝑥) =
1,3(32 − √𝑥 + 10), em que x é o número de unidades produzidas. Qual a variação total
da receita, quando o número de unidades produzidas varia de 100 para 101?
Resolução:
101
101
∫
100
(𝑥 + 10)3/2
1,3(32 − √𝑥 + 10) 𝑑𝑥 = 1,3 [32𝑥 −
]
=
3/2
100
2
2
= 1,3 (32 ⋅ 101 − ⋅ 1113/2 − 32 ⋅ 100 + ⋅ 1103/2 ) = 27,93
3
3
R: A receita aumenta 27,93 u.m.
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75
Cálculo Integral
4) O custo unitário C(x) para produzir um certo artigo num período de 10 anos é dado por
𝐶(𝑥) = 25 − 0,2𝑥 + 0,5𝑥 2 + 0,03𝑥 3 , onde x é o tempo em meses. Qual o custo unitário
médio durante o período em causa?
Resolução:
120
𝐶𝑚 =
120
∫0 (25
− 0,2𝑥 + 0,5𝑥 2 + 0,03𝑥 3 )𝑑𝑥
120
[25𝑥 − 0,1𝑥 2 +
=
0,5𝑥 3 0,03𝑥 4
3 + 4 ]0
120
= 15373
R: O custo unitário médio é 15373 u.m.
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76
Cálculo Integral
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77
Cálculo Integral
2.9. Exercícios globais
1
1
2
1. Dado o integral 𝐼 = ∫1/𝑒 𝑙𝑛 (𝑥) 𝑑𝑥, verifica-se que 𝐼 = 1 − 𝑒. Justificando devidamente,
indique se cada uma das afirmações seguintes está correta ou incorreta:
2
a) Verdadeiro, porque aplicando-se a integração por partes, verifica--se que 𝐼 = 1 − 𝑒.
1
b) Falso, pois aplicando as propriedades dos logaritmos, 𝐼 = − ∫1/𝑒 𝑙𝑛 𝑥 𝑑𝑥 pelo que I será
2
negativo e não pode valer 1 − 𝑒 , visto que 1 −
2
𝑒
> 0.
1
c) Verdadeiro, porque 𝐼 = − ∫1/𝑒 𝑙𝑛 𝑥 𝑑𝑥 e, efetuando uma mudança de variável, obtém2
se 𝐼 = 1 − 𝑒.
2. Classifique os seguintes integrais e calcule o valor dos convergentes:
𝑒
a) ∫1 sen(ln𝑥) 𝑑𝑥
+∞ 𝑙𝑛(𝑙𝑛 𝑥)
b) ∫𝑒
𝑥
+
c)
𝑑𝑥
x  e − x dx

0
d)
+
2x + 1
2
(1 − x )(1+ x ) 2

dx .
+
e)
2 x2
 4 dx
2 x −1
+∞
f) ∫0
𝑥
𝑑𝑥
(1+𝑥)3
3. Determine a área representada, limitada pelas linhas
y = e x , y = ln x, x = 0, x = 1, y = 0 e y = 1
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78
Cálculo Integral
4. O tanque da rede de incêndio de um prédio, com 20 metros cúbicos de capacidade,
apresenta uma fuga. A água escoa-se, através dessa fuga, a uma taxa de 2𝑒 −𝜆𝑡 m3 /dia
(𝑡 ∈ 𝑅). Suponha que essa fuga se prolonga indefinidamente, após o tanque ter sido
completamente cheio. Ao fim de quanto tempo se encontra o tanque meio vazio (ou meio
cheio)?
5. A taxa de reação ou de sensibilidade de uma pessoa a determinado medicamento, t horas
após a sua administração é dada por f (t ) =
1
et
+
2
t2
(t  R) . A reação só se faz sentir
a partir do final da 1ª hora (t  1 ). Calcule a intensidade até ao final da 8ª hora, em
percentagem da reação total.
6. Suponha que, quando tem x anos (x real não negativo), uma máquina gera proveitos a uma
taxa de 6216 − 10𝑥 2 euros/ano e origina custos que se acumulam à taxa de 4000 + 14𝑥 2
euros/ano. Quais serão os ganhos líquidos gerados pela máquina durante os três primeiros
anos?
√𝑒−1
7. a) Calcule ∫0
𝑥−1
arctg 𝑥+1 𝑑𝑥.
𝑥−1
4
b) Calcule g(x), sabendo que 𝑔(𝑥) = ∫ arctg 𝑥+1 𝑑𝑥 e 𝑔(1) = ln √8.
8. Seja f uma função contínua em [𝑎, 𝑏] com a < b. Considere as seguintes condições:
𝑏
𝑏
(1) ∫𝑎 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 =0
(2) ∫𝑎 |𝑓(𝑥)|𝑑𝑥 = 0
(3) ∃𝑐 ∈ [𝑎, 𝑏] ∶ 𝑓(𝑐) = 0
(4) ∫𝑎 [𝑓(𝑥) + 2] 𝑑𝑥 = 2𝑏 − 2𝑎
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𝑏
79
Cálculo Integral
Justifique a veracidade ou falsidade (neste caso é suficiente um exemplo) das seguintes
implicações:
a) (1)  (2)
b) (1)  (3)
c) (1)  (4)
9. Mostre que o valor médio da função f(x) = x, num qualquer intervalo, é igual ao valor
médio desse intervalo.
1 𝑙𝑛(1+𝑥)
10. Sabendo que ∫0
1 arctg𝑥
𝜋
𝑑𝑥 = 8 𝑙𝑛 2, calcule ∫0
1+𝑥 2
1+𝑥
𝑑𝑥.
11. Calcule a área do domínio limitado por 𝑥 = 0, 𝑥 = 2, 𝑦 = 𝑒 −𝑥 − 1 e 𝑦 = 𝑥.
+
(n − 1)!
0
kn
12. Dado o integral: I n =  x n  e − kx dx (k > 0), em que I n−1 =
, calcule 𝐼𝑛 .
13. Seja f uma função diferenciável em [𝑎, 𝑏] ⊂ 𝐼𝑅. Calcule 𝑓(𝑏) sabendo que 𝑓(𝑎) = 4
𝑏 𝑓′ (𝑥)
e que ∫𝑎
𝑓2 (𝑥)
1
𝑑𝑥 = .
5
14. Determine a área limitada pelas linhas y = 2( x + 1), y 2 = x e x 2 + y 2 = 2 :
15. Calcule a área da região do plano que está limitada pelas linhas de equações 𝑦 = 𝑥 3 , 𝑦 =
0, 𝑦 = 1 e 𝑦 = 𝑙𝑛 𝑥.
16. Sabendo que
𝑒 arctg 𝑥
∫1
𝑥
𝑒 ln 𝑥
∫1
1+𝑥 2
𝑑𝑥 = 𝑘 (𝑘 ∈ 𝑅), determine, em função de k, o valor de
𝑑𝑥.
𝑥
17. Resolva a equação ∫𝑙𝑛 2
𝑑𝑡
√𝑒 𝑡 −1
𝜋
= 6.
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80
Cálculo Integral
1

y = 1+ 2
x


2
y = x +1
 y = 8x + 1

 x  0
18. Determine a área limitada pelas curvas de equações
19. Considere a área de valor A representada na
figura ao lado; determine o valor de b de
+∞ 1
modo que 𝐴 = ∫1
𝑥2
𝑑𝑥.
20. As vendas de um determinado produto
variam em função do tempo t (em dias)
segundo a expressão t 2  e −t / 30 . Determine o volume de vendas nos primeiros 10 dias.
21. Seja A a área da região plana a tracejado, representada na figura abaixo. Indique,
justificando, se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas:
a) 𝐴 = 0 ;
⥄⥄𝑒
⥄⥄𝑒
b) |∫⥄⥄1 𝑙𝑛(𝑥) ⥄ 𝑑𝑥|=∫⥄⥄1 |𝑙𝑛(𝑥)|𝑑𝑥;
𝑒
c) 𝐴 = ∫1 2 𝑙𝑛(𝑥) 𝑑𝑥
0
d) 𝐴 = 2 ∫−∞ 𝑒 𝑥 𝑑𝑥
22. O valor médio de 𝑓(𝑥) no segmento [𝑎, 𝑏]
1
𝑏
𝑥+2
é dado por 𝑏−𝑎 ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥. Sabendo que o valor médio de 𝑓(𝑥) = 𝑥+1 em [𝑎, 𝑏], de
comprimento 3, é igual a 1 +
𝑙𝑛 2
3
, determine a e b.
𝑎
23. Calcule, se existir, um número real a de modo que ∫0
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𝑥2
√16−𝑥 6
𝜋
𝑑𝑥 = 6 .
81
Cálculo Integral
1
24. Calcule a área definida pelas linhas 𝑦 = ln(−𝑥) , 𝑦 = − , 𝑦 = 0 e 𝑦 = −1.
𝑥
25. Calcule a área limitada pelas linhas de equação 𝑦 = 𝑒 |𝑥| , ⇌⇌ 𝑥 2 + 𝑦 2 = 1, ⇌ 𝑥 = −1
e 𝑥 = 1.
26. Comente as afirmações seguintes:
1
(1) Existe uma função f definida em 𝑅 + tal que 𝑓′′(𝑥) = 𝑥 e f’(1) = f(1) = 1.
𝑏
𝑏
𝑥
(2) ∫𝑎 (𝑓(𝑥) + 𝑘) 𝑑𝑥 = ∫𝑎 𝑓(𝑥 + 𝑘) 𝑑𝑥com 𝑎, 𝑏, 𝑘 ∈ ℜ e 𝑓(𝑥) = 2.
+∞ 𝑙𝑛 𝑥
(3) O integral 𝐼 = ∫1
(4) As funções
𝑥 2 +𝑥
(√𝑥)
3
𝑥
𝑑𝑥 é convergente.
e 2𝑥 2 + 2 admitem uma primitiva comum.
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82
Cálculo Integral
Soluções:
1.a) e c) corretas; b) incorreta
𝑒
1
2. a) 2 (𝑠𝑒𝑛 1 − 𝑐𝑜𝑠 1) + 2
3
1
b) divergente
𝜋
d) − 4 𝑙𝑛 3 − 6
e) 2 + 𝑙𝑛 √3 − arctg2
c) 4
f)
3
2
3. 3
4. 6,93 dias
5. 89,42 %
6. 6432
7. a) √𝑒 − 1 ⋅ arctg
√𝑒−1−1
√𝑒−1+1
b) g ( x) = x  arctg
1
−2
x −1
24 2
+ ln
4 2
x +1
x +1
8. falso, verdade, verdade respetivamente
𝜋
10. 8 𝑙𝑛 2
11.3 + 𝑒 −2
12.
n!
k n +1
13. 20
14. arcsen
2√2
3
+
2√2−1
3
𝜋
+2
15. e – 7/4
16. arctg(𝑒) − 𝑘
17. ln 4
18. 5/3
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83
Cálculo Integral
3
19. 𝑏 = √3
20. 260,15
21. 36. a) f
b) v
c) v
d) v
22. a = 2 e b = 5
3
23. 𝐴 = √4
24.
A área é divergente.
𝜋
25.𝐴 = 2 (𝑒 − 1) − 2
26. (1) 𝑓(𝑥) = 𝑥 𝑙𝑛 𝑥 + 1, logo a afirmação é verdadeira.
(2) A afirmação é falsa, apenas seria válida se 𝑎 = 𝑏 ∨ 𝑘 = 0.
(3) A afirmação é falsa, o integral é divergente.
(4) ∫
𝑥 2 +𝑥
(√𝑥)
3
2
𝑑𝑥 = ∫(𝑥1/2 + 𝑥 −1/2 ) 𝑑𝑥 = 3 𝑥 3/2 + 2𝑥1/2 + 𝑐
∫(2𝑥 2 + 2) 𝑑𝑥 = 𝑥 3 + 2𝑥 + 𝑐
A afirmação é falsa, já que não existe qualquer valor de c de modo que as funções
sejam iguais.
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Cálculo Integral
Bibliografia:
Larson, R. e Edwards, B. Cálculo com aplicações. Livros Técnicos e Científicos Editora.
Swokowski, E. Cálculo com Geometria Analítica. Makron Books.
Hoffmann, L. e Bradley, G. Calculus for Business, Economics, and the Social Sciences.
McGraw-Hill.
Weber, J. Matemática para Economia e Administração. Harbra.
Pires, C. Cálculo para Economistas. McGraw-Hill.
Piskounov, N. Cálculo Diferencial e Integral (volume I). Lopes da Silva Editora.
Dowling, E. Matemática Aplicada à Economia e Administração. McGraw-Hill.
Demidovitch, B. Problemas e Exercícios de Análise Matemática. McGraw-Hill.
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