Equations di¤érentielles ordinaires
Introduction
Dans l’étude de nombreux phénomènes physiques on est confronté à la résolution d’équations di¤érentielles.
Une équation di¤érentielle est une équation entre une fonction et ses dérivées.
Dans ce chapitre, on s’interesse à la résolution de quelques types simples
d’équations di¤érentielles.
1
Equations di¤érentielles du premier ordre
1.1
Dé…nitions
Une équation di¤érentielle du premier ordre est une équation de la forme
y 0 = f (x; y) ..........(E)
Où f est une fonction dé…nie sur une partie U de R2 à valeur dans R et y 0
est la dérivée de y par rapport à x.
Une solution de (E) sur I
R est une fonction y de classe C 1 sur I
0
telle que, 8x 2 I : y (x) = f (x; y (x)).
Une solution de (E) sur I
I sinon elle est dite maximale.
J
1.2
R peut être prolongeable à un intervalle
Equations di¤érentielles à variables séparables
Ce sont des équations que l’on peut écrire sous la forme:
f (y) y 0 = g (x) .............(E1)
Où f et g sont des fonctions réelles continues dé…nies sur des intervalles.
Règle de résolution
On écrit l’équation (E1) avec la notaion di¤érentielle
f (y)
dy
= g (x)
dx
D’où on obtient l’équation suivante
f (y) dy = g (x) dx ............(1)
1
R
R
On intègre l’équation (1) f (y) dy = g (x) dx, si F et une primitive de f
et G et une primitive de g, on aura
F (y) = G (x) + c ..............(2)
Où c est une constante réelle. On cherche, si possible, une expression de y
en fonction de x à l’aide de (2).
Exemples
1/ Résoudre dans R l’équation suivante y 0 = ky........(1), k 2 R.
dy
pour y 6= 0 on a y 0 = ky ()
= ky
dx
dy
= kdx
()
y
() ln jyj = kx + c par integration
() jyj = ekx+c
() y = ec ekx
kx
D’où y = e , 2 R car y = 0, fonction nulle, est une solution de l’équation
(1).
r
y2
avec y (0) = 1.
x2
dy
La fonction y prend ses valeurs dans I. Comme dy = y 0 dx alors y 0 =
et
dx
r
2
1 y
dy
en remplaçant dans l’équation, on obtient:
=
.
dx
1 x2
dy
dx
Donc p
= p
(on a obtenu une équation ou le y est séparé du
1 x2
1 y2
x)
Z
Z
dy
dx
p
.
on intégre
= p
2
1 x2
1 y
Finalement on obtient l’équation suivante:parcsin (y) = arcsin (x) + c, d’où
y (x) = sin (arcsin (x) + c) = cos (c) x + sin (c) 1 x2 .
p
comme y (0) = 1 alors sin (c) = 1 et cos (c) = 0 d’où y (x) = 1 x2 .
0
2/ Résoudre sur I = ] 1; 1[ l’équation suivante y =
1.3
1
1
Equations di¤érentielles homogènes
Ce sont les équations di¤érentielles que l’on peut écrire sous la forme:
y0 = f
y
x
où f est une fonction continue sur un intervalle I.
Règle de résolution
On pose y = xz où z est une fonction de x.
2
Donc on obtient l’équation z + xz 0 = f (z) qui est une équation à variables
séparables.
Exemple
Résoudre sur ]0; +1[ l’équation suivante: xy 0 (2y
pour y 6=
x
, on a xy 0 (2y
2
x)
y2 = 0
y 2
y 2 = 0 () y 0 = yx
, équation ho2
1
x
x)
mogène.
On pose y = xz où z est une fonction de x qui véri…e l’équation suivante:
z2
.
xz 0 + z =
2z 1
dx
1 2z
z2
()
= 2
dz
On a xz 0 + z =
2z 1
x
z
z
() ln (jxj) = ln z 2 z + k k 2 R
c
() x = 2
où c = ek , c 2 R
z
z
8
c
< x=
2
z
z , c 2 R dans ce cas les solutions sont paramétrées
Finalement,
: y= c
z 1
on calcule z en fonctionpde x et on remplace dans
p y.
x + x2 + 4cx
x2 + 4cx
x
On trouve y =
où y =
,c2R
2
2
1.4
Equations di¤érentielles linéaires
Ce sont les équations de la forme:
y 0 + a (x) y = b (x)........(E)
où a et b sont des fonctions de la variable x.
La fonction b est appelé second membre de l’équation (E).
Si b est la fonction nulle, l’équation y 0 +a (x) y = 0....(H) est dite sans second
membre.
Règle de résolution
Pour résoudre (E) on doit, d’abord, résoudre l’équation sans second membre
(H) qui est une équation à variables séparables.
1.4.1
Proposition
1/ les solutions de l’équation (H) sont: y (x) = ke A(x) , où A0 (x) = a (x) et
k 2 R.
2/ Si y1 est une solution particulière de (E) alors y (x) = y1 (x) + ke A(x)
est la solution générale de (E).
3
Exemple 1
Résoudre dans R l’équation suivante: y 0 + y = sin (!x) (1).
L’équation sans second membre: y 0 + y = 0 (2).
La solution générale de (2) est : y (x) = ke x , k 2 R.
On cherche une solution particulière de (1) de la forme: y1 (x) = a cos (!x)+
b sin (!x).
Donc y10 (x) + y1 (x) = (a +8b!) cos (!x) + (b a!) sin (!x) = sin (!x).
!
>
< a=
!
a + b! = 0
1
+
! 2 donc y (x) =
cos (!x) +
D’où
()
1
1
b a! = 1
>
1 + !2
: b=
2
1+!
1
sin (!x).
1 + !2
!
1
Donc la solution générale de (1) est: y (x) =
cos (!x)+
sin (!x)+
1 + !2
1 + !2
ke x , k 2 R.
Exemple 2
Résoudre dans R l’équation suivante: y 0 y = x......(1).
L’équation sans second membre: y 0 y = 0......(2).
La solution générale de (2) est : y (x) = kex , k 2 R.
On cherche une solution particulière de (1) de la forme: y1 (x) = ax + b.
Donc y10 (x) + y1 (x) = (a b) ax = x, d’où a = b = 1, donc y1 (x) =
x 1.
La solution générale de (1) est: y (x) = x 1 + kex , k 2 R.
Remarque
Dans cetaines équations le second membre appartient à un sous espace véctoriel de fonctions stable par dérivation, c’est à dire que la fonction et sa dérivée
appartiennent au même espace comme dans les deux exemples ci-dessus.
Cela nest pas toujours vrai, donc on va donner une méthode qui permet de
donner la solution générale sans passer par la solution particulière.
1.4.2
Méthode de variation de la constante
Pour résoudre l’équation di¤érentielle y 0 + a (x) y = b (x).....(E) :
1/ On résoud l’équation sans second membre y 0 + a (x) y = 0, sa solution
générale est: y (x) = ke A(x) , où k est une constante et A une primitive de a.
2/ On fait varier la constante k, c’est à dire qu’on cherche la solution générale
sous la forme: y (x) = k (x) e A(x) , où k est une fonction de classe C 1 .
Donc y 0 (x) = k 0 (x) e A(x) k (x) a (x) e A(x) = b (x) k (x) a (x) e A(x) ,
d’où k 0 (x) = b (x) eA(x) .
3/ On déduit k (x) par un calcul de primitive.
4
Exemple
Résoudre dans ] 1; 1[ l’équation suivante: y 0 +
x
x2
1
y=
1
x2
La solution générale de l’équation sans second membre est : p
1
k
.......(1)
, k 2 R.
1 x2
Maintenant, on cherche la solution générale de (1) sous la forme y (x) =
k (x)
p
, où k est une fonction de classe C 1 .
1 x2
1
, d’où k (x) = arccos (x) + c, c 2 R.
On trouve k 0 (x) = p
1 x2
arccos (x) + c
p
Donc la solution générale est : y (x) =
, c 2 R.
1 x2
1.5
Equations di¤érentielles de Bernoulli
Ce sont des équation de la forme
y 0 + f (x) y + g (x) y = 0, où
2R
f1g.
Où f; g sont deux fonctions continues.
Règle de résolution
1/ Pour y 6= 0, on divise l’équation par y , on obtient:
y0 y
+ f (x) y 1
2/ On pose z = y 1 , d’où z 0 = (1
On obtient l’équation suivante:
1
1
=
g (x).
) y0 y
z 0 + f (x) z =
.
g (x)
qui est une équation linéaire d’inconnue z.
Exemple
résoudre l’équation suivante: y 0 y = xy 2 ......(1).
Pour y 6= 0, on divise par y 2 on obtient:
y0
y2
1
=x
y
1
y0
, donc z 0 = 2
y
y
On obtient l’équation linéaire suivante:
On pose z =
z0 + z =
5
x....(2)
La solution générale de l’équation sans second membre est: z (x) = ke x ,
k2R
On cherche, maitenant, une solution paticulière de (2), on pose z (x) = ax+b,
donc z 0 + z = ax + (a + b) = x, d’où a = 1 et b = 1
Donc z (x) = x + 1 est une solution particulière de (2), d’où la solution
générale de (1) est: z (x) = x + 1 + ke x , k 2 R
1
,
Donc la solution générale de l’équation (1) est: y (x) =
x + 1 + ke x
k 2 R. On a y = 0, la fonction nulle, est une solution singulière de (1).
1.6
Equations de Riccati
Ce sont des équations de la forme:
y 0 = f (x) y 2 + g (x) y + h (x).........( )
Où f; g; h sont des fonctions continues.Pour résoudre l’équation ( ), il faut
avoir une solution particulière, dans ce cas on se ramène à une équation de
Bernoulli.
Soit y1 une solution particulière de ( ) et posons z = y y1 .
donc z 0 = y 0 y10 = f (x) y 2 y12 + g (x) (y y1 )
Donc z 0 = f (x) (y y1 ) (y + y1 ) + g (x) z () z 0 = f (x) z (z + 2y1 ) + g (x) z
() z 0 = (g (x) + 2f (x) y1 ) z +f (x) z 2
La dernière équation est une équation de Bernoulli, pour la résoudre on pose
1
u= .
z
Exemple
1
1
Résoudre sur R+ l’équation suivante: y 0 = 2 y 2
y + 1.....(1)
x
x
On remarque que y1 = x est une solution particulière, alors on pose z = y x.
1
1
y
Donc z 0 = y 0 1 = 2 y 2
x
x
1
1
= 2 y 2 x2
(y x)
x
x
1
1
= 2 (y x) (y + x)
(y x)
x
x
1
1
= 2 z (z + 2x)
z
x
x
1
1
= 2 z2 + z
x
x
1
1
Donc on obtient une équation de Bernoulli: z 0 = 2 z 2 + z....(2)
x
x
1
1
1
On pose u = on obtient une équation linéaire: u0 + u =
.....(3).
z
x
x2
k
La solution générale de l’équation sans second membre est: u (x) = , k 2 R.
x
6
Pour résoudre (3) on applique la méthode de variation de la constante, alors
k 0 (x) 1
k (x)
k 0 (x) k (x)
0
,
d’
où
u
(x)
=
on pose u (x) =
, donc u0 (x) =
u (x),
x
x
x2
x
x
1
on déduit que k 0 (x) =
.
x
k x ln (x)
Donc la solution générale de (3) est: u (x) =
, x 2 R+ et k 2 R.
x
x
, x 2 R+ et k 2 R.
D’où la solution générale de (2) est: z =
k x ln (x)
x
ainsi la solution générale de (1) est: y = x +
, x 2 R+ et k 2 R.
k x ln (x)
2
Equations di¤érentielles d’ordre 2
2.1
Dé…nition
Une équation di¤érentille du second ordre est une équation de la forme:
y 00 = f (x; y; y 0 )
Où f est une fonction dé…nie dans une partie U 2 R3 à valeurs dans R. y est
la fonction inconnue de la variable x et y 0 ; y 00 sont respectivement la première
et la seconde dérivée de y.
2.2
Equations linéaires d’ordre 2 à coe¢ cients constants
Une équation di¤érentielle linéaire du second ordre à coe¢ cients constants est
de la forme:
y 00 + ay 0 + by = f (x)....(E)
Où a et b sont des constantes réelles et f une fonction continue de I dans
R.
Pour résoudre l’équation (E), on doit, d’abord, résouydre l’équation sans
second membre suivante:
y 00 + ay 0 + by = 0.....(H)
À l’équation (H) on associe l’équation algébrique du second degré suivante:
r2 + ar + b = 0......(C)
L’équation (C) est appelée équation caractéristique.
7
2.2.1
Théorème
On pose = a2 4b.
1/ Si > 0, alors (C) admet deux solutions réelles distinctes r1 et r2 .
Les solutions de (H) sont:
y (x) = k1 er1 x + k2 er2 x , k1 ; k2 2 R.
2/ Si = 0, alors (C) admet une solution unique r.
Les solutions de (H) sont:
y (x) = (k1 x + k2 ) erx , k1 ; k2 2 R.
3/ Si
< 0, alors (C) admet deux solutions complexes conjuguées r1 =
+ i et r2 =
i avec 6= 0.
Les solutions de (H) sont:
y (x) = (k1 cos ( x) + k2 sin ( x)) e
x
, k1 ; k2 2 R.
Exemple
1/ Résoudre l’équation suivante: y 00 5y 0 + 6y = 0......(H)
L’équation caractéristique (C) est: r2 5r + 6 = 0
(C) admet deux racines r1 = 2 et r2 = 3
Donc les solutions de (H) sont: y (x) = k1 e2x + k2 e3x , k1 ; k2 2 R.
R.
2/ Résoudre l’équation suivante: y 00 + 2y 0 + 2y = 0......(H)
L’équation caractéristique (C) est: r2 + 2r + 2 = 0
(C) admet deux racines complexes conjuguées r1 = 1 + i et r2 = 1 i
Donc les solutions de (H) sont: y (x) = (k1 cos (x) + k2 sin (x)) e x , k1 ; k2 2
3/ Résoudre l’équation suivante: y 00 4y 0 + 4y = 0......(H)
L’équation caractéristique (C) est: r2 4r + 4 = 0
(C) admet une racine double r = 2
Donc les solutions de (H) sont: y (x) = (k1 x + k2 ) e x , k1 ; k2 2 R.
2.3
Dé…nition
Soient f et g deux fonctions dérivables sur I R.
On appelle wronskien de f et g la fonction:
wf;g (x) = f (x) g 0 (x)
f 0 (x) g (x) =
8
f (x) g (x)
.
f 0 (x) g 0 (x)
2.4
Proposition
Deux fonctions f et g sont linéairement indépendant sur I
si 8x 2 I : wf;g (x) 6= 0.
2.5
R si et seulement
Méthode de variation des constantes
On choisit deux solutions de (H) linéairement indépendantes sur R
Alors 1/ Si > 0, on choisit y1 = er1 x et y2 = er2 x , où r1 ; r2 sont solutions
se (C).
er1 x
er2 x
= (r2 r1 ) e(r2 +r1 )x 6= 0.
Donc 8x 2 R : wy1 ;y2 (x) =
r1 x
r1 e
r2 er2 x
= 0, on choisit y1 = erx et y2 = xerx , où r est la solution de (C).
erx
xerx
Donc 8x 2 R : wy1 ;y2 (x) =
= e2rx 6= 0.
rx
re
(1 + rx) erx
2/ Si
x
3/ Si < 0, on choisit y1 = e
est une solution de (C).
Donc 8x 2 R : wy1 ;y2 (x) =
e2
x
e
cos ( x) et y2 = e
x
sin ( x), où +i ;
x
cos ( x)
e cos ( x)
x
e
e
x
sin ( x)
x
e
6= 0
sin ( x)
cos ( x) + e
x
6= 0.
Résolution de (E) Èquation avec second membre
Pour cela, on cherche les solution sous la forme:
y = gy1 + hy2 ......(1)
Où g et h sont des fonction de classe C 1 à déterminer véri…ant:
g 0 y 1 + h0 y 2 = 0
On a alors, y 0 = gy10 + hy20 , donc y 00 = gy100 + hy200 + g 0 y10 + h0 y20
En substituant dans (E) on obtient:
g (y100 + ay10 + by1 ) + h (y200 + ay20 + by2 ) + g 0 y10 + h0 y20 = f (x)
g 0 y 1 + h0 y 2 = 0
On aboutit au système:
qui admet pour solution:
g 0 y10 + h0 y20 = f (x)
g 0 (x) =
y2 f (x)
y1 f (x)
et h0 (x) =
wy1 ;y2 (x)
wy1 ;y2 (x)
On intégre puis on remplace g et h par leur expression dans (1).
Exemple
Résoudre sur ]0; [ l’équation suivante:
y 00 + y =
1
.......(E)
sin (x)
9
x
sin ( x)
=
L’équation sans second membre est:
y 00 + y = 0........(H)
On a (C) est: r2 + 1 = 0, donc r = i est une solution de (H)
On choisit y1 = cos (x) et y2 = sin (x) deux solutions linéairement indépendantes.
cos (x) sin (x)
= cos2 (x) + sin2 (x) = 1, pour tout
On a wy1 ;y2 (x) =
sin (x) cos (x)
x 2 R.
On cherche les solutions de (E) sous la forme: y = gy1 +hy2 avec g 0 y1 +h0 y2 =
0
8
< g 0 (x) cos (x) + h0 (x) sin (x) = 0
1
On obtient le système suivant:
: g 0 (x) sin (x) + h0 (x) cos (x) =
sin (x)
8
< g 0 (x) = 1
g (x) = x + k1
cos (x) , donc
ce qui donne
h (x) = ln (sin (x)) + k2
: h0 (x) =
sin (x)
D’où y (x) = ( x + k1 ) cos (x) + (ln (sin (x)) + k2 ) sin (x), k1 ; k2 2 R.
10