MATEMÁTICA ANALÍTICA 3 (MA654)
Sesión 6.2:
Plano tangente.
LOGRO DE LA SESIÓN
Al finalizar la sesión presencial, el estudiante aplica las derivadas
parciales para efectuar la regla de la cadena, derivación implícita y el
plano tangente.
Bibliografía básica:
• STEWART James, (2012) Cálculo de varias variables. Trascendentes tempranas. Séptima
edición. México, D.F.: Cengage Learning. Revisar las páginas desde 900 hasta 915 y 924
hasta 940.
• Canal de YouTube: https://tinyurl.com/y7h9qqr4
PLANO TANGENTE
Idea intuitiva
La ecuación del plano es 𝐴(𝑥 − 𝑥0 ) + 𝐵(𝑦 − 𝑦0 ) + 𝐶(𝑧 − 𝑧0 ) = 0
0
PLANO TANGENTE
Gradiente de una función
Sea F: 𝐷 ⊂ ℝ𝑛 → ℝ tal que existen sus derivadas parciales en un punto 𝑃0 ∈ 𝐷. El gradiente de 𝐹 en el
punto 𝑃0 , que se denota: 𝛻𝐹 𝑃0 , es el vector:
𝜕𝐹
𝜕𝐹
𝜕𝐹
𝛻𝐹 𝑃0 =
𝑃 ;
𝑃 ;……;
(𝑃 )
𝜕𝑥1 0 𝜕𝑥2 0
𝜕𝑥𝑛 0
Otra notación para el gradiente es: 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝐹.
0
PLANO TANGENTE
Gradiente de una función
Plano tangente
Sea 𝑆: 𝐹 𝑥; 𝑦, 𝑧 = 0 la ecuación de una superficie, donde 𝐹(𝑥; 𝑦; 𝑧) es una función con primeras derivadas
parciales continuas, si 𝐹𝑥 , 𝐹𝑦 y 𝐹𝑧 no son todos ceros en el punto 𝑃0 𝑥0 ; 𝑦0 ; 𝑧0 ∈ 𝑆, entonces el vector 𝑁 =
𝛻𝐹(𝑥0 ; 𝑦0 ; 𝑧0 ) es normal al plano tangente a la superficie 𝑆 en 𝑃0 , tal como se observa en la figura 1 adjunta.
El plano que pasa por 𝑃0 y tiene por vector normal al gradiente de 𝐹
en el punto 𝑃0 definido por: 𝛻𝐹 𝑃0 = 𝐹𝑥 (𝑃0 ); 𝐹𝑦 𝑃0 ; 𝐹𝑧 𝑃0 , se
denomina plano tangente a 𝑆 en 𝑃0 y tiene por ecuación general:
𝑃𝑇 : 𝐹𝑥 (𝑃0 )(𝑥 − 𝑥0 ) + 𝐹𝑦 (𝑃0 )(𝑦 − 𝑦0 ) + 𝐹𝑧 (𝑃0 )(𝑧 − 𝑧0 ) = 0 … … (1)
0
PLANO TANGENTE
Gradiente de una función
Plano tangente
Suponga que la función 𝑓 de dos variables tiene derivadas parciales continuas. La
ecuación del plano tangente a la superficie 𝑧 = 𝑓 (𝑥; 𝑦) en el punto
𝑃0 𝑥0 ; 𝑦0 ; 𝑧0 es:
𝑧 − 𝑧0 = 𝑓𝑥 (𝑥0 ; 𝑦0 )(𝑥 − 𝑥0 ) + 𝑓𝑦 (𝑥0 ; 𝑦0 )(𝑦 − 𝑦0 ) … … (2)
Ejemplo: Dada la función 𝑓 𝑥; 𝑦 = 𝑦+3𝑥 2 , calcule la ecuación del
plano tangente a la superficie z = 𝑓 𝑥; 𝑦 , en el punto (1; −1; 2)
REGLA DE LA CADENA, DERIVACIÓN IMPLÍCITA
Derivación en forma implícita
1 Determine la ecuación general del plano tangente para la superficie definida por la ecuación:
𝑥 5 + 𝑦 5 + 𝑧 5 = 30 − 𝑥𝑦𝑧 en el punto 𝑃(2; 1; −1).
REGLA DE LA CADENA, DERIVACIÓN IMPLÍCITA
Derivación en forma implícita
2
Dada la función 𝑓 𝑥; 𝑦; 𝑧
superficie de nivel 𝑓 𝑥; 𝑦; 𝑧
𝑥2
3𝑦 2
𝑧2
1
−1
= sen
+
+ −
6
6
24
2
𝜋
1
= , en el punto (1; ; −4)
6
3
, calcule la ecuación del plano tangente a la