Exámenes Segundo Parcial:
MATEMÁTICA
INGENIERÍA
 Exámenes pasados del II - 2007 al II - 2022
 Más de 60 exámenes
 Respuestas incluidas
Recopilado por:
OMAR E. QUISPE A.
Docente de Posgrado
Doctor en Ingeniería Sísmica y Dinámica Estructural
Universidad Politécnica de Cataluña
4ta EDICIÓN
“SUMO es una familia en donde estudiantes y docentes adquieren
conocimientos, pasión por el estudio, responsabilidades, experiencias
y comparten ideas para cambiar un pedacito de este mundo…”
Omar E. Quispe A.
PRÓLOGO
La presente recopilación de EXÁMENES REGULARES del curso PREFACULTATIVO de la
FACULTAD DE INGENIERÍA - UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRÉS (LA PAZ – BOLIVIA) ya
en su cuarta edición corregida y actualizada, tiene como finalidad proporcionar al estudiante
postulante a ingeniería y público en general un banco exámenes, tomados desde las GESTIONES II
- 2007 hasta la actualidad II – 2022 con respuestas y es auspiciada por la Consultora SUMO del
cual soy miembro.
Los presentes exámenes recopilados corresponden a la Facultad de Ingeniería y son de su autoría,
de los cuales algunos fueron modificados, otros corregidos para una mejor comprensión.
Agradezco la colaboración que me brindan mis estudiantes y amigos docentes.
OMAR EID QUISPE AGUILAR
La Paz Abril de 2023
UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRÉS
FACULTAD DE INGENIERÍA
CURSO PREFACULTATIVO
SEGUNDO EXAMEN PARCIAL
ÁREA: MATEMÁTICA
TIEMPO DE DESARROLLO DEL EXAMEN: 90 MINUTOS
NO ESTÁ PERMITIDO EL USO DE CALCULADORAS
GESTIÓN: II – 2022
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5
3
1. Si se sabe que tgA  . Calcular: R  5sen2 A  34 cos A
1
3
y cos(a  b) 
. Calcular: A  sena  senb
2
2
1
3. Calcular: E  log 2 32  log120 120 
log9 3
2. Si cos(a  b) 


1log3 2
1
4. Calcular “ x ” en la ecuación: log x 3
5. En la progresión aritmética P. A.: 1, 5, ... , 189, 193 . Se conoce que tiene 49 términos,
obtener el término central.
6. Hallar el valor de “ x ” en: ctg 2 45º  sec 2 30º  x csc 60º 2 cos 2 45º
... (1)
log x y  4 log y x  4

7. Resolver el sistema: 
.
2
2
2
 y 2 y  x 3  x 4 y  20 y 24 ... (2)
8. Una P.A. tiene 3 términos, cuya suma de los mismos es 21 y la suma de sus cuadrados
es 197. Hallar la razón de la P.A. decreciente.
Clave de Respuestas
126
3 1
3
Resp. 2.- A 
Resp. 3.- E  4 Resp. 4.- x  6 Resp. 5.- tc  97 Resp. 6.- x 
17
4
3
Resp. 7.- x  3, y  3 Resp. 8.- P.A.: 2, 7, 12
Resp. 1.- R 
-5-
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CURSO PREFACULTATIVO
SEGUNDO EXAMEN PARCIAL
ÁREA: MATEMÁTICA
TIEMPO DE DESARROLLO DEL EXAMEN: 90 MINUTOS
NO ESTÁ PERMITIDO EL USO DE CALCULADORAS
GESTIÓN: I – 2022
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1. Obtener el valor de cos75º
2. ¿Una progresión geométrica es oscilante cuando la razón es?
3. En la expresión y  log x el valor de y es negativo cuándo?
4. Al interpolar 4 medios geométricos entre 1/ 3 y 32 / 729 la razón es?
5. ¿En cualquier triangulo, los lados son proporcionales a los senos de los ángulos?
6. En un triángulo rectángulo,  y  con complementarios y la tg   1/ 2 , hallar:
A  5(sec   sen )
7. Hallar la razón de una progresión aritmética de tres términos si la diferencia entre el
tercer y primer término es 14 y el segundo término está dado por
32 4log3 2 .
 x 2  y 2  125
... (1)
8. Resolver el siguiente sistema: 
log5 ( x  y )  log 6 ( x  y )  3 ... (2)
Clave de Respuestas
Resp. 1.- cos 75º 
6.- A 
-6-
2
6 2
Resp. 2.- negativa Resp. 3.- 0  x  1 Resp. 4.- q  Resp. 5.- opuestos Resp.
3
4
1
Resp. 7.- r  7 Resp. 8.- x  63, y  62
2
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ÁREA: MATEMÁTICA
TIEMPO DE DESARROLLO DEL EXAMEN: 90 MINUTOS
NO ESTÁ PERMITIDO EL USO DE CALCULADORAS
GESTIÓN: I – 2022
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1. Obtener el valor de sen15º
2. Si se conoce que sen  3 / 5 , hallar el valor de cos  .
3. Obtener el valor reducido de: H  log 1 3 256
4


4. Simplificar con identidades: A   sen  x  
2

5. En una progresión geométrica de primer término 2 y último término 128. ¿Cuál es el
término central?
6. En un triángulo rectángulo, se conoce que  es el ángulo agudo menor, si la suma de
la hipotenusa y el cateto mayor es igual al triple del cateto menor. Calcular el valor de:
3
E
csc   ctg
7. Un vendedor de manzanas tiene 3 cajas, cada una con 130 manzanas, desea
distribuirlas de tal forma que pueda formar una progresión geométrica, donde la caja
central tenga 90 manzanas. Determine dicha progresión.

 1

 log 2 y   log 2 x ... (1)
log12 x  
8. Resolver el siguiente sistema: 
 log x 2

log x  log ( x  y )  3log x
... (2)
3
3
 2
Clave de Respuestas
4
4
6 2
Resp. 2.- cos  
Resp. 3.- H   Resp. 4.- A  cos x Resp. 5.- tc  16
3
5
4
Resp. 6.- E  9 Resp. 7.- PG1 : 30, 90, 270 ; PG2 : 270, 90, 30 Resp. 8.- x1  6, y1  2 ; x2  2, y2  6
Resp. 1.- sen15º 
-7-
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ÁREA: MATEMÁTICA
TIEMPO DE DESARROLLO DEL EXAMEN: 90 MINUTOS
NO ESTÁ PERMITIDO EL USO DE CALCULADORAS
GESTIÓN: II – 2021
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1. Si x  y  z  180º , hallar el valor de: E  tg 2 ( x  y )  sec z  sec( x  y )
2. En un triángulo ABC (recto en A), se cumple que a 2 senB  senC  tgB  16 , hallar el valor
de: M  a  csc B  c  tgC
3. En un triángulo rectángulo, se conoce que  es el ángulo agudo menor, si la suma de la
hipotenusa y el cateto mayor es igual al triple del cateto menor. Calcular el valor de:
R
3
csc   ctg
log 4
log 4
4. Calcular “ x ” en la ecuación: (20  x) 25  5 5
1
1 ln 4
e 2
5. Simplificar la siguiente expresión: E  1  2
log z y 2  x 2 log z x 2  log y z 2

6. Si log x y  2 . Calcular: E  
2
2 x
2log 2 e
1
2
log 2
7. Simplificar la siguiente expresión: R  log b b  log 1 25  100
5
x
8. Calcular el valor de x en la siguiente ecuación: x 
1
2
9. Interpolar 8 medios aritméticos entre 2 y 29 y dar como respuesta la suma del quinto y
octavo término de la PA formada.
10. Resolver la ecuación trigonométrica para el intervalo 0  x 

, indicar la cantidad de
2
soluciones que se tiene.
 

sen2 x(2sen 2 x  1)(sec x  csc x  sec x  csc x)

(cos x  senx  1)  sen   x   senx  (cos x  senx) 
2

 2

 x log3 x  log 2 3
... (1)
y
 
log 2 y
11. Resolver el sistema de ecuaciones  y
. Y halle el valor de:
x
log y  x log y  1  ln e ... (2)

log y x 2  2log x y  3 ... (1)
12. Resolver el sistema de ecuaciones 
. Y hallar x  y , donde x
... (2)
log3 x  4log y 3  1
, y son las raíces enteras. Considere x  y .
-8-
13. Cuatro números forman una progresión aritmética creciente cuya suma es 78. Si se
suman respectivamente a ellos 1, 14, 43 y 104, se forma una progresión geométrica.
Hallar ambas progresiones y dar como respuesta la suma de las razones de dichas
progresiones.
14. Los lados de un triángulo se encuentran en progresión aritmética de diferencia 1, si el
ángulo mayor es el doble del menor, hallar el perímetro “ P ” que es la suma de los lados
del triángulo.
Clave de Respuestas
Resp. 1.- E  1 Resp. 2.- M  4 Resp. 3.- R  9 Resp. 4.- x  5 Resp. 5.- E  e Resp. 6.- E  2 Resp. 7.1
y
Resp. 9.- S  37 Resp. 10.- N sol .  3 Resp. 11.-  2 Resp. 12.- x  y  90 Resp.
2
x
13.- S  5 Resp. 14.- P  15 u 
R  4 Resp. 8.- x 
-9-
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SEGUNDO EXAMEN PARCIAL
ÁREA: MATEMÁTICA
TIEMPO DE DESARROLLO DEL EXAMEN: 90 MINUTOS
NO ESTÁ PERMITIDO EL USO DE CALCULADORAS
GESTIÓN: I – 2021
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1
2 log16
10 2
1. Determinar el valor de x , si: x 
2. En una progresión aritmética a1  3 y r  3 ¿Cuántos términos deberían tomarse en
cuenta para que la suma de estos términos se 198?
tg 2
 2tg
3. Simplificar: E 
1  sec 2
5
4. ¿A que es igual el A  arcsen   ?
 13 


 4 32 
5. Simplificar la siguiente expresión: E  log16  5
2 


 1024 3 
6. El primer término de una progresión aritmética es 2, a su vez este primer término, junto
con el tercero y el séptimo, forman una progresión geométrica. Hallar la suma de los
siete términos de la progresión aritmética.
 2 y
2 x 1
 sen  2   sen  2   4 ... (1)
 
 
7. Resolver el sistema de ecuaciones entre 0º y 90: 
cos x  cos y  1
... (2)

2
8. Desde la punta de una torre de 100 metros de alto, un observador ve en dirección norte
un avión con un ángulo de elevación de 60º y que se encuentra exactamente sobre un
punto en el piso que se ve con un ángulo de depresión de 45º. En ese mismo instante
en dirección sur observa una avioneta con un ángulo de elevación de 30º. Calcular la
distancia en metros entre el avión y la avioneta en ese instante sabiendo que, tomando
como referencia la línea de vista del observador, la altura de la avioneta está a dos tercios
de la altura del avión.
Clave de Respuestas

Resp. 1.- x  20 Resp. 2.- n  11 Resp. 3.- E  tg Resp. 4.- A  arctg 
13
5
Resp. 6. Resp. 5.- E  
48
 12 
S7  35 Resp. 7.- x  60º , y  90º Resp. 8.- d 
- 10 -
200 21
 m
3
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ÁREA: MATEMÁTICA
TIEMPO DE DESARROLLO DEL EXAMEN: 90 MINUTOS
NO ESTÁ PERMITIDO EL USO DE CALCULADORAS
GESTIÓN: II – 2020
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1. Dada la función trigonométrica f ( x)  5sen2 x cos 2 x ¿Cuánto vale el periodo de f ( x) ?
2. Si se sabe que log27 x  4 entonces hallar el valor de: log 3 x
log 27
3. Simplificar: E  5 3
4. Cuál es el valor numérico de: log 27 9
5. Dada la progresión aritmética infinita, se forma otra progresión con todos los términos
que ocupan los lugares pares. ¿Cuál es la razón de la nueva progresión?
6. Si cos x  a , hallar el valor de: T  cos 2 x  sen(270º  x)
7. Hallar el valor de “ k ” en la siguiente identidad:
csc(30º ) sen( x  3 y )  2sen(3 x  y )
 ksen( x  y )
cos(2 x)  cos(2 y )
8. Si la tgx  7  ctgx , hallar: A  sec2 x  ctg 2 x
9. Dada la ecuación, hallar la suma de las soluciones principales: tgx  ctgx 
8
cos 2 x
3
10. Resolver en la primera vuelta: 2 sen 2 x  3  3senx  2senx


11. Determinar el valor de: E  log antilog 4  log 2 5  2   1
9
12. Simplificar: E 
1
13. Resolver: log
3

 2log3
2
log3 32

27
5 5  


x  1  1  log 3 x  40
2 x  5 y  9
... (1)
14. Resolver el sistema y encontrar la suma de todas sus raíces: 
x 1
y 1
2  5  9  0 ... (2)
15. Una P.A. tiene 3 términos cuya suma de los mismos es 12 y la suma de sus cubos es
288. Hallar la razón de la P.A. creciente.
16. Cuál es el número de términos de una P.A. cuya diferencia es de 3/2, el último término
es 38 y la suma de todos ellos es 500.
17. La suma de los tres términos de una P.G. es -6 y la suma del segundo, tercero y cuarto
término es 3. Calcular el primer término de la P.G.
18. Las expresiones a 2 , 3a  2, 10a  4 en ese orden forman una P.G., hallar la progresión.
- 11 -
19. Una persona que se desplaza por un camino inclinado (  con respecto a la horizontal)
que conduce hacia una torre, en cierto instante observa la parte superior de la torre con
un ángulo de elevación de 3 / 2 luego se subir hacia la torre, el nuevo ángulo de
elevación es de 2 . Hallar la altura de la torre sí   30º .
20. Dos atletas uno de La Paz y el otro de Oruro parten al mismo tiempo desde un punto A
hacia B que distan 9.9 km. El atleta paceño avanza 100 metros en el primer minuto, 200
metros en el segundo, 400 metros en el tercero, etc. El atleta Orureño avanza 400 metros
el primer minuto, 500 metros el segundo, 600 metros el tercero, etc. ¿Cuál es el tiempo
que emplea el atleta ganador?
Clave de Respuestas

2
Resp. 5.- rPA2  2rPA1 Resp. 6.3
2
T  2a2  a  1 Resp. 7.- k  4 Resp. 8.- A  4 3 Resp. 9.- S  45º Resp. 10.- x  60º ,120º , 270º Resp.
11.- E  2 Resp. 12.- E  25 Resp. 13.- x  48 Resp. 14.- x  3, y  0 Resp. 15.- r  2 Resp. 16.- n  25
Resp. 1.- T 
Resp. 2.- log3 x  12 Resp. 3.- E  125 Resp. 4.- log 27 9 
Resp. 17.- a  8 Resp. 18.- P.G.: 4, 8, 16 Resp. 19.- x  3, y  0 Resp. 20.- H  10 3  m 
- 12 -
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SEGUNDO EXAMEN PARCIAL
ÁREA: MATEMÁTICA
TIEMPO DE DESARROLLO DEL EXAMEN: 90 MINUTOS
NO ESTÁ PERMITIDO EL USO DE CALCULADORAS
GESTIÓN: I – 2020
*****************************************************************************************************************************************************************
1. Hallar el valor de: E 
45º 30 g

rad
9
2. Sean a, b catetos y sea c la hipotenusa de un triángulo rectángulo. Si  y  son
ángulos agudos del triángulo, hallar E  tg  tg  . Si se sabe que: c  ab
3. Simplificar: E  sec x   2senx  sen2 x  3cos x  cos 3x 

1  tg 2 x
4


4. Hallar el valor de: L  log16 log 4 log 8 log 2 (log 2 e  ln 4


9

 


 1 
1
2

log
81
A

  2
5. Hallar el valor de “ x ”:
x
 4 8 
2

 9 A 
6. Un observador ve a una distancia “ x ” de un edificio de 3 pisos, si el observador divisa el
tope del primer piso lo hace con un ángulo de elevación “  ” si observa el tope del último
piso lo hace con un ángulo de elevación de “ 2 ”, suponiendo que cada piso tiene una
altura de 2 metros. Hallar el valor de “ x ”.
log x 2  y  log y  4
... (1)
4
 2
7. Resolver el siguiente sistema: 
log 4 log3 log 2 x 2  y   0 ... (2)






8. Dar las soluciones entre 0 y  :


cos 2 x  sen 2 2 x
2
4cos x
  

 sen  x   sen  x    0
6
6


1
log5 4 16
9. Simplificar: R  25 2
 5 log5 4
2sen(  x)ctgx
10. Simplificar: R 
 3

cos   x  ctg (  x)
 2

11. Hallar la sumatoria de los resultados en el primer cuadrante en grados sexagesimales:
2
 
2sen2 x

  
sen

x

cos
x


1




 2
2  


sec2 x  1
 
- 13 -
12. La parte más alta de un pedestal de 2 metros de altura es observada desde un punto A,
que está al ras del suelo, con un ángulo de elevación  (se sabe que 4tg  1 ) y
retrocediendo 2 metros hasta el punto B, se la observa con un ángulo de elevación  .
Hallar la altura de la estatua que esta sobre el pedestal, si desde el punto B se observa
la parte más alta de la estatua con un ángulo de elevación de 2 .
13. El ángulo de elevación de la parte superior de una columna vista desde el pie de una
torre es xº, y desde la parte superior de la torre que tiene 15 metros de altura, el ángulo
de elevación es de 30º. Hallar el valor de x, sabiendo que la altura de la columna es de
45/2 metros.
14. Un observador se encuentra en un punto A, desde allí observa la cima de una torre
eléctrica de alta tensión, con un ángulo de elevación de  º, si avanza 6 metros sobre un
plano horizontal hacia la torre, desde este nuevo punto el ángulo de elevación a la cima
de la torre es de 45º, nuevamente avanza 4 metros más hacia la torre, esta vez el ángulo
de elevación a la cima de la torre es de 90º-  . Hallar la altura de la torre.
15. Un poste de luz está pintado hasta un punto P que se encuentra a 10 metros sobre el
nivel del suelo. Si el ángulo de elevación del punto P con respecto a un observador en el
suelo es 30º y la parte no pintada es observada bajo un ángulo de 15º con respecto a
dicho observador. Calcular la longitud del poste que falta pintar.
Clave de Respuestas
1
18
Resp. 2.- E  1 Resp. 3.- E  0 Resp. 4.- L   Resp. 5.- x  3 Resp. 6.- x  2 3  m
4
5
Resp. 7.- x1  2, y1  4 ; x2  2, y2  4 Resp. 8.- x  30º ,150º Resp. 9.- R  1 Resp. 10.- R  2 Resp. 11.13
S  45º Resp. 12.- h   m Resp. 13.- x  60º Resp. 14.- h  12  m  Resp. 15.- L  10( 3  1)  m
6
Resp. 1.- E 
- 14 -
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GESTIÓN: II - 2019
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3
1. Dada la ecuación: ln x ln x  ln eln( e
6
e 2 )
 e 2  ln x3 , determinar el producto de sus raíces.
2. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones trigonométricas en el intervalo de 0 a 
radianes:

 senx  3seny ... (1)

... (2)

tgx  3tgy
3. Resolver el siguiente sistema:
2

log y (6  y )  log y ... (1)
x


log
8
x

 3  log x y ... (2)

log
8
xy

4. Un ciclista sale de un lugar “ A ” y recorre 1 km km el primer día; 4 km , el segundo; 7 km
, el tercero; así sucesivamente. Después de 3 días de su partida, un motociclista sale a
darle alcance y recorre 17 km el primer día; 18 km , el segundo; 19 km , el tercero; y así
sucesivamente, encontrándose por primera vez en un pueblo “ B ” y por segunda vez en
“ C ”. Hallar la distancia entre estas 2 ciudades.
Clave de Respuestas
Resp. 1.-
x1x2  e
3
Resp. 2.-
x  y  0º , 180 ; x  60º , y  30º ; x  120, y  150º Resp. 3.-
x  y  2 Resp. 4.- 82  km
5
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TIEMPO DE DESARROLLO DEL EXAMEN: 90 MINUTOS
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GESTIÓN: II - 2019
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1. Desde un punto en tierra se observa la cúspide de una torre con ángulo de elevación 
si el observador se acerca 10 m al pie de la torre, el ángulo de elevación será  . Dado
1
que cot   cot   , hallar la altura de la torre.
2
2. Hallar el valor de “ x ”:
22 c


1 
10loglog x  log  log log ab  log log a   log log b 
c 


3. Resolver el sistema:
2
 log( x  y )4
 2log(10 x 10 y )  80 ... (1)
 2

 3log( x  y )4  3log(10 x 10 y )2  54 ... (2)

4. Una tortuga sale de un cierto lugar “ X ” y recorre 2 m el primer día; 5 m , el segundo; 8 m
, el tercero; y así sucesivamente. Después de 2 días de su partida, una hormiga sale del
mismo lugar “ X ” para darle alcance y recorre 15 m el primer día; 16 m , el segundo; 17 m
, el tercero; y así sucesivamente, encontrándose por primera vez en el punto “ Y ” y por
segunda vez en el punto “ Z ”. Hallar la distancia entre estos 2 puntos.
Clave de Respuestas
Resp. 1.- 20  m Resp. 2.- x  4 Resp. 3.- x  550, y  450 Resp. 4.- 111  km
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*****************************************************************************************************************************************************************
1. Demostrar la siguiente identidad:
cos 2
ctg 2  tg 2

1
sen2 2
4
2. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones trigonométricas, considere únicamente las
soluciones principales.
2

cos135º
1



2 senx cos y    3
... (1)

8

... (2)

sec y  csc x  8
3. Para ver la película “Avengers Endgame 3D ”, se encuentran esperando 60 personas;
una vez que ingresan todos a la sala, se acomodan en las tres primeras filas de tal forma
que se genera una Progresión Aritmética. Después de cierto tiempo, se retiran 8
personas de la segunda fila, y ahora las tres filas forman una Progresión Geométrica.
¿Cuántas personas se quedaron a ver la película en la segunda fila?
4. Resolver el siguiente sistema:
ln 5

 3 x y
 5 x y

3ln x  y  5ln x  y





ln 3
... (1)
... (2)
5. Hallar el valor de “ x ”, en:
log a 4 ax  log x 4 ax  log a 4
x
a
 log x 4  a
a
x
Clave de Respuestas
Resp. 1.- Se demuestra Resp. 2.- x  y  45º Resp. 3.- 12 personas Resp. 4.- x 
Resp. 5.- x  a a
17
8
, y
225
225
2
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1. Demostrar la siguiente identidad trigonométrica:
cos 4 x  sen 4 x  1
 cos 2 x
sen(2 x )  ctgx  tgx 
2. Resolver el siguiente sistema y encontrar las soluciones en la primera revolución:

 3 
cos x  tg  4   sec y ... (1)

 

cos y  sen     sec x ... (2)
 

6
3. Tres números cuya suma es 104 están en progresión geométrica. Si los extremos se
multiplican por 6 y el intermedio por 10 , los productos están en progresión aritmética.
Encontrar el término central de los números.
4. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones logarítmicas:
1
1

log
log
 1 x  a   1 y  b ... (1)


 a 
b 

 1 log x  1 log y
 
... (2)
 
a
 b 
5. Simplificar al máximo la siguiente expresión aplicando propiedades de logaritmos:
E
 loga n
n
n

1
1
log a ( n )  log a (1 log a n )
n
n
n
1
a
Clave de Respuestas
x  0, y  120º ; x  0, y  240º ; x  360, y  120º ;
Resp. 1.Se demuestra Resp. 2.x  360, y  240º Resp. 3.- tc  24 Resp. 4.- x  a, y  b Resp. 5.- E  0
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1. Resolver la siguiente ecuación trigonométrica, considere únicamente las soluciones
principales:
4 cos 2 x  4tgx  senx
2
sen150º 
  sen75º  cos 75º 
3  sec x
2. Un depósito de agua tiene 6 grifos: 3 que lo alimentan y 3 que lo desaguan. La cantidad
de agua en litros/segundo que entra por los tres grifos está en P.G. de razón 2 y la que
sale por los otros tres están en P.A. de razón 4 . El primer grifo de alimentación y de
desagüe arroja la misma cantidad de agua, y cuando están abiertos los 6 grifos al mismo
tiempo, el nivel de agua permanece constante. Calcular el valor de agua en el depósito,
considerando que se abren los tres grifos de alimentación y se cierran los de desagüe al
mismo tiempo por un lapso de 20 segundos.
3. Resolver el siguiente sistema:
log 3 b y

log x
1
... (1)
log3 log 2 a a 

logb 27

1

log
x

log
3

log
y

log 2 (4 x) ... (2)
3
4
3


2


4. Sobre una colina cuya inclinación considerada constante es de 30 , se encuentra un
árbol de altura H . Para medir esta altura, se mide la longitud de la sombra proyectada
en la parte baja de la colina por el árbol y el ángulo de elevación a la punta de éste desde
el extremo inferior de su sombra obteniéndose 36  m y 45 respectivamente. Calcular
la altura del árbol.
5. Los ángulos interiores A , B y C de un triángulo ABC están distribuidos en forma de
una progresión aritmética. Sabiendo que los lados a y b son 10 y 5 6 respectivamente.
Encontrar estos ángulos interiores del triángulo.
Clave de Respuestas
Resp. 1.- x  0º Resp. 2.- 420 l  Resp. 3.- x  2, y  3 Resp. 4.- H  18( 3  1)  m Resp. 5.A  45º , B  60º , C  75º
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1. Un globo se suelta desde el punto C y empieza a subir de forma vertical, un niño lo
observa cuando este llega a una altura de 2 metros desde un punto A , con un ángulo
de elevación cuya tangente es 1/ 4 . Luego el niño se aleja 2 metros hasta el punto B .
Calcular la altura DE que subió el globo, observe los datos del gráfico.
E
D
2m

2 
B
2m
A
C
2. Los números: log 2, log(3x  1), log(3x  3) forman una progresión aritmética. Calcular el
valor de “ x ”

2 2
... (1)
 senx  cos y 

2
3. Resolver el sistema y dar las soluciones entre 0 y 2 : 
2senx  3cos y  4  3 2 ... (2)

2
251  y 25 x  125  x 125 y  0 ... (1)
4. Resolver el siguiente sistema: 
... (2)
ln( x  1)  ln(1  y )  0
5. De una progresión aritmética y una progresión geométrica, ambas crecientes, se sabe
que sus primeros términos son iguales a 2 , que tienen el mismo tercer término, y que el
onceavo término de la progresión aritmética es igual al quinto término de la progresión
geométrica. Calcular la suma de la razón de la progresión aritmética y la razón de la
progresión geométrica.
Clave de Respuestas
Resp. 1.-
x3 , y 1
2
2
10
13
 m Resp. 2.6
Resp. 5.- r  q  5
DE 
x  log3 5 Resp. 3.-
x1,2  90º , y1,2  45º , 315º Resp. 4.-
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1. La parte superior de una torre se observa desde un punto A con un ángulo de elevación
de  grados, si avanza 6 metros sobre un plano horizontal hacia la torre encuentra que
el ángulo de elevación es de 45 y acercándose 4 metros más, esta vez el ángulo de
elevación es de 90º  . ¿Cuál es la altura de la torre?
2. Hallar una progresión aritmética de tres términos si la diferencia entre el tercer y primer
término es 14 y el segundo término está dado por:
324log3 2
 4 3senxseny  3 ... (1)

3. Resolver el sistema, hallar las soluciones principales:  tgx
... (2)
 ctgy  1

91  y 9 x  27  x 27 y  0 ... (1)
4. Resolver el sistema: 
log( x  1)  log(2  y )  0 ... (2)
5. Se tiene dos progresiones de tres términos cada una, una aritmética y otra geométrica,
la suma de la progresión aritmética es 12 y la suma de la progresión geométrica es 42 .
Los primeros términos de ambas progresiones son iguales y la razón de la progresión
geométrica es el doble de la progresión aritmética, siendo ambos valores enteros. Hallar
las progresiones.
Clave de Respuestas
Resp. 1.- H  12  m Resp. 2.- PA : 5, 12, 19 Resp. 3.- x  60º , y  30º Resp. 4.- x  9 4 , y  3 4
Resp. 5.- PA : 2, 4, 6 ; PG : 2, 8, 32
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1. Un avión se encuentra volando horizontalmente a 240 km / h en cierto instante el piloto
ve una señal en tierra con un ángulo de depresión de 30 ; 5 min después, estando sobre
la señal, el piloto observa a una distancia de 2 km un globo aerostático con un ángulo
de elevación de 75 . ¿A qué altura está volando el globo en ese instante?
2. Resolver el siguiente sistema:
 log x e
4
 log e  log x e  ln x  2log x y
 xy

y
 x  log
2 x y 2 

2
... (1)
... (2)
3. Las edades actuales de tres hermanas (Leslie, la mayor; Alison, la del medio; y Patty, la
más pequeña) están en progresión aritmética y dentro de cuatro años, si añadimos 80 a
la edad de la mayor, sus edades estarán en progresión geométrica. Si actualmente sus
edades suman 63 . ¿Cuáles son las edades actuales de cada una de las hermanas?
4. Resolver el sistema, dando las soluciones en la primera revolución:
 tan x  2  tan y ... (1)

1

... (2)
2 cos x  cos y

5. Simplificar la siguiente expresión:
E
 1log a b 

 logb x
1logb a 

a
 1logb a 

 log a x
1log a b 

b
Clave de Respuestas
20 2  3  3
 km Resp. 2.- x  y  2 Resp. 3.6
Patty :1 años Resp. 4.- x  y  45º , 225º Resp. 5.- E  2 x
Resp. 1.-
12
H
Leslie : 41, Alison : 21,
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1. En el sector antenas de El Alto, se observa que la distancia entre los extremos de dos
antenas de diferentes alturas es de 21 metros y los ángulos de elevación que se forman
al observar el extremo superior de cada antena desde la base opuesta de cada antena
son 30 y 60 respectivamente. Encontrar la longitud de la antena de mayor altura.
2. Resolver el siguiente sistema:
a logb ( x 2 7 y  21)  3logb a 2
... (1)


x
x
x


 y ... (2)

1

log
bc
1

log
ac
1

log
ab
a
b
c

3. Un vendedor de celulares tiene 6 cajas vacías y las ordena en 2 filas de 3 cajas. La
cantidad de celulares en las cajas de la primera fila forma una progresión aritmética (P.A.)
ascendente y la cantidad de celulares en las cajas de la segunda fila forman una
progresión geométrica (P.G). En la primera caja de cada fila se colocan 8 celulares; la
relación entre la cantidad de celulares de la tercera caja de la progresión geométrica
(P.G.) y la cantidad de celulares de la tercera caja de la progresión aritmética (P.A.) es
de 25 /16 . Determinar la cantidad total de celulares que hay en cada fila; si se sabe que
en la segunda caja de ambas filas hay la misma cantidad de celulares.
4. Hallar la solución principal del siguiente sistema de ecuaciones:
... (1)
tg ( x  y )  tg ( x  y )  2

2
cos( x  y ) cos( x  y )  sen x ... (2)
5. Simplificar la siguiente expresión:
E
log 4y x  log 4x y  2  2  log x y  log y x
Clave de Respuestas
Resp. 1.- H  9 7  m  Resp. 2.- x1,2  y1,2  3, 4 Resp. 3.- N º cel.PA : 60, N º cel .PG : 78 Resp. 4.x  45º , y  0º Resp. 5.- E  0
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1. Mariela y Carla son madres de tres hijos cada una. Las edades de los hijos de Mariela
están en progresión geométrica y las edades de los hijos de Carla en progresión
aritmética. Mariela le dice a Carla: “La suma de las edades de mis hijos es 26 ; además,
tu hijo mayor le lleva 3 años a mi hijo mayor, tu hijo del medio le lleva 6 años a mi hijo
del medio y tu hijo menor le lleva 1 año a mi hijo menor”. Hallar las edades de los hijos
de Mariela y Carla.
2. Divida el número 221 en tres partes enteras tal que formen una progresión geométrica y
el tercer término sobrepase al primero en 136 .
3. Determinar las soluciones principales de la siguiente ecuación trigonométrica:
sen2   tg   cos2   ctg   2sen  cos   2
4. Simplificar al máximo la expresión trigonométrica siguiente:
 sen2 x  3cos x  cos2 x
senx   1
 1 
T 

 ctgx 
 


senx
1  cos x   senx
 2sec x 

5. Resolver el sistema:

10 2 x 5 2 y  x 128
... (1)


log( x  y )  log 40  log( x  y ) ... (2)
Clave de Respuestas
Resp. 1.- Mariela : 2, 6, 18 años ; Carla : 3, 12, 21 años Resp. 2.  45º Resp. 4.- T  cos x Resp. 5.- x  7, y  3
14
N º  17,51,153 Resp. 3.-
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1. Resolver el siguiente sistema logarítmico:

log 4 x log x ( x  3 y)  1 ... (1)
 log y
5/2
... (2)

 xy x  y
2. Si se tiene dos progresiones, una aritmética y otra geométrica, cuyos primeros términos
son iguales e igual a la razón común, sabiendo que la suma de los 8 primeros términos
es igual a la suma de los infinitos términos de la progresión geométrica. Hallar el noveno
término de la progresión aritmética.
3. Hallar el valor reducido de la siguiente expresión trigonométrica:
2
2
 senx
1   cos x
1 
2
E 


 
  sen (2 x)
 1  cos x tgx   1  senx ctgx 
4. Resolver la ecuación trigonométrica indicando soluciones principales:
sen(2u )  sen(6u ) cos(2u )  sen(5u ) cos(3u )
5. Dada la siguiente progresión geométrica, PG : t1, t2 , t3 , t4 , ... donde se conoce t x y  a
y t x y  b , hallar el término t x .
Clave de Respuestas
Resp. 1.- x  16, y  4 Resp. 2.- a9 
35
Resp. 3.- E  4 Resp. 4.- u  0º Resp. 5.- t x   ab
4
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1. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones trigonométricas (dar la respuesta entre 0°
y 90° ), luego calcular el valor de: A  sec( x  5)
4

x y 
... (1)

9

 senx

 tg 225 ... (2)

 seny
2. Resolver el siguiente sistema:
 y 1 x e

... (1)
e
e

 ln(3 y )
 2e  e ln 2 x ... (2)
e
3. Halle el décimo término de una progresión aritmética, si la suma de los medios
aritméticos comprendidos entre 3 y 20 , es igual a 575 .
4. Revolver:
xlog5 5 x  512  0
5. Un vendedor de manzanas tiene 3 cajas, cada una con 130 manzanas. Desea
distribuirlas de tal forma que pueda formar una progresión geométrica, en donde la caja
central tenga 90 manzanas. Determinar la cantidad total de manzanas que debe
trasladar el vendedor de una caja a otra.
Clave de Respuestas
Resp. 1.- x  y  40, A  2 Resp. 2.- x1  e 2 , y1  2e ; x2  e, y2  e Resp. 3.- a10  6 Resp.
1
4.- x1  125, x2 
Resp. 5.- 140 manzanas
625
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*****************************************************************************************************************************************************************
1. Se ha interpolado “ a ” medios aritméticos entre 3 y 57 y “ a  2 ” entre 5 y 19 . Si la razón
de la primera es el triple de la segunda. Hallar el número de términos de cada progresión.
2. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones trigonométricas. Hallar la solución principal:
3

... (1)
cot x tan y 
3

 tan x  tan y  1  3 ... (2)

3. Resolver el siguiente sistema logarítmico:
3x  y  37
... (1)
 x 1 y 1
 8 ... (2)
 2  2
4. Revolver la ecuación logarítmica:
 log3 ( x  3) 2   log3 ( x  2) 2  log 1 
2
1
  2 log3 ( x  3) log3 ( x  2)
 16 
5. El primer término de una progresión geométrica creciente es 2 y el último 162 con una
razón igual a “ r ”, se interpolan “ r ” medios geométricos. Calcular “ r ” y el último medio
geométrico.
Clave de Respuestas
Resp. 1.- n1,2  10, 8 Resp. 2.- x  45º , y  60º Resp. 3.- x  3, y  4 Resp. 4.- x 
29
Resp.
8
5.- r  3, t4  54
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1. Elegir la respuesta correcta (cada pregunta vale 4 puntos).
1.1 El seno de 60 es igual a:
a) 1 2 b) 6 c) 2 2 d)
3 2
1.6 La siguiente expresión blogb N es igual a::
a) N
b) b
c) 1
d) Ninguno
 
1.2 Por definición el logaritmo de un 1.7 Resolver: 7 3x 1  5 x  2  3x  4  5 x 3
número es:
a) x  1 b) x  2 c) x  1 d) Ninguno
a) El exponente al que hay que elevar
el argumento.
b) El exponente al que hay que elevar
la base para reproducir el número.
c) El exponente al que hay que elevar
el número para reproducir la base.
1.3 Los medios aritméticos son:
a) Los promedios de las progresiones.
b) Los términos que se interpolan entre
dos conocidos en una P.A.
c) Los términos centrales de una P.G.
d) Ninguna de las anteriores.
1.4 El log a a a 2 a es igual a:
a) 2
b) 1 c)  log a 2
d) 0
1.5 El valor de csc30º es:
a) 3 2 b) 2 2 c) 2
d) 1/ 2
1.8 En una P.A. un término cualquiera es igual
a:
a)
b)
c)
d)
La semisuma de sus términos adyacentes.
La suma de sus términos adyacentes.
La diferencia de sus términos adyacentes.
La semidiferencia de sus términos adyacentes.
1.9 ¿Qué término de la progresión aritmética:
15, 13, 11, 9,... es 89 ?
a) 35
b) 53
c) 35
d) 63
1.10
El
valor
de
la
expresión
log3 log3  log3  log x 1   0 es:


a) 0
b) 1
c) 3


... (1)
x  y 
6
2. Hallar la solución entre 0 y  : 
cos 2 x  cos 2 y  2 senx cos y  0 ... (2)

3. Resolver:
log3 2  log9 y  log


 4
3 y  
 4x
 3
64  256  4
18
3
x  3 ... (1)
... (2)
d) Ninguno
4. Un ciclista parte a las 12: 00 ; recorriendo, en la primera hora, 2 km ; en la segunda, 4 km
; en la tercera, 8 km ; y así sucesivamente. Después de un cierto tiempo de marcha,
descansa tres horas y parte de nuevo recorriendo 16 km en la primera hora; 8 km , en la
segunda; 4 km , en la tercera y así sucesivamente hasta recorrer una hora menos que
las recorridas antes del descanso. El recorrido total fue de 92 km . ¿A qué hora se detuvo
a descansar el ciclista?
Clave de Respuestas
Resp. 2.- x  150º , y  120º Resp. 3.- x  1, y  4 ; x  9, y  36 Resp. 4.- Hrs. 17 : 00
19
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*****************************************************************************************************************************************************************
1. Elegir la respuesta correcta (cada pregunta vale 4 puntos).
1.1 Un triángulo rectángulo puede
ser:
a) Equilátero
b) Isósceles
c) Obtusángulo d) Ninguno
1.2 Una progresión geométrica es
oscilante si la razón es:
a) Positiva b) Negativa c) 1 d) 0
1.3 El mayor valor que puede tomar
el seno de un ángulo es:
a) 5
b) 3
c) 10
d) 1
1.6 En el sistema sexagesimal el ángulo recto
mide:
a) 90
b) 100 c) 60
d) 180
1.7 Una progresión geométrica de “ m ” medios
geométricos tiene…términos.
a) m  2 b) m  3 c) m
d) m  4
1.8 ¿Cuál de las siguientes propiedades de
logaritmos es falsa?
a) log a ( xy)  log a x  log a y b) log a a  1 c)
log a x n  n log a x d) log a ( x  y )  log a x  log a y
1.4 El término central de una 1.9 El seno de un ángulo agudo en un triángulo
progresión aritmética de número rectángulo isósceles es igual a:
impar de términos, es igual a:
a) 1/ 2
b) 1/ 3
c) 1/ 2
d) 2
a1  an
a1  an
a1  an
a)
b)
c)
2
2
2
2
a

4
a
d) 1
n
1.5 El sen2 A equivale a:
a) 3senA b) 2senA c) cos A  sen A
d) 2senA cos A
2
2
1.10 En cualquier triángulo los lados son
proporcionales a los senos de los ángulos:
a) Adyacentes b) Mayores c) Opuestos
d) Menores
2. Resolver y hallar las soluciones principales:
... (1)
 senx  seny  1


1
( senx)2  cos x cos y  (cos x) 2 
... (2)


4
 6x
log 2 y
... (1)
  9 
log 2 e
3. Resolver el siguiente sistema:  e
 x e ln y
x
 eln e ... (2)
2e  e
20
4. La suma de los tres primeros términos de una PA es 42 , la suma de los tres últimos
términos es 312 , y la suma de todos sus términos es 1062 . Hallar la suma de los 6
primeros términos de esta progresión.
Clave de Respuestas
Resp. 2.- x  y  30º Resp. 3.- x  3e, y  e3 Resp. 4.- S6  138
21
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1. Tres números se encuentran en progresión geométrica. Si el segundo término se coloca
al inicio y el primero al final y otro al centro, se formará una progresión aritmética, pero
si se suman los dos primeros términos de esta P.A., luego los últimos dos y finalmente
se anota el segundo término menos 1 , se formará otra progresión geométrica.
Determinar la progresión geométrica original, si se sabe que el primer término es 5 .
2. En un determinado momento, se encuentra volando una paloma sobre un niño que juega
con su cometa. El padre del niño se encuentra debajo del cometa y observa a la paloma
con un ángulo de 30 . El ángulo que forma el niño con el cordón del cometa es 60 , si
la distancia entre el cometa y la paloma es de 28 m .
Determinar:
a) La altura a la que se encuentra el cometa.
b) La altura a la que se encuentra la paloma.
3. Resolver el sistema:
 2 2
2 x
log xy  log 2  96 ... (1)
y

 log x
 27log y
... (2)
3
4. Hallar la solución entre 0 y

:
2
 3 csc x  sec x  2 csc 2 x ... (1)

... (2)
cot( x  y )  0
Clave de Respuestas
49
Resp. 2.- a) h  12 7  m ; b) H  4 7  m  Resp. 3.5
x  106 , y  102 ; x  106 , y  102 Resp. 4.- x  30, y  60
Resp. 1.- PG1 : 5, 15, 45 ; PG2 : 5, 7,
22
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*****************************************************************************************************************************************************************
1. De acuerdo a la siguiente figura encontrar:
a) tg 
b) ctg


a

6
4
2


... (1)
x  y 
6
2. Hallar la solución entre 0 y  : 
cos 2 x  cos 2 y  2 senx cos y  0 ... (2)

log3 2  log9 y  log

3. Resolver: 
 4
3 y  
 4x
 3
64  256  4
3
x  3 ... (1)
... (2)
4. En una progresión aritmética que tiene 20 términos, la suma de los términos que ocupan
lugares pares vale 250 y la de los términos que ocupan lugares impares vale 220 . Hallar
el primer término y la razón.
Clave de Respuestas
1
Resp. 1.- a) tg   ; b) ctg  3 Resp. 2.- x  150º , y  120º Resp. 3.- x  1, y  4 ; x  9, y  36
2
Resp. 4.- a1  5, r  3
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1. De acuerdo a la siguiente figura encontrar:
a) tg 
b) ctg


a

6
4
2
2. Halle las soluciones principales del siguiente sistema indicando las soluciones entre 0
y 90 .
1

cos x  cos y 
... (1)

4


cos  x  y   cos  x  y   1 ... (2)

 2  2
  2 
3. Simplificar:
1
E  3log5 3 x  log3 x 49  log x 36  log
2
x
125  log 6 3 x  log 49 x  p
log p 4
4. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:
(1  3  5  7  ...  31) x  (2  4  6  ...  30) y  208 ... (1)

3

(2  4  8  16  ...  1024) x  4 1296 y  447 ... (2)



Clave de Respuestas
Resp. 1.- a) tg  
24
1
1
1
; b) ctg  3 Resp. 2.- x  y  60º Resp. 3.- E  12 Resp. 4.- x  , y 
2
2
3
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1. Se desea separar dos antenas de alturas 2 m y 12 m . Para que las antenas se conecten
una con la otra, se debe cumplir una condición: desde la parte superior de la más
pequeña (el ángulo de elevación con respecto a la parte superior de la antena grande)
debe ser el triple del ángulo de depresión con respecto a la base de la antena grande.
a) ¿A qué distancia de separación se deben colocar las antenas con referencia al suelo?
b) ¿Cuál es la separación que existe entre la parte superior de ambas antenas?
2. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones, indicando las soluciones entre 0 y 90 .
cos x  seny  2senx ... (1)

 senx  cos y  2 cos x ... (2)
3. Hallar “ x ”:
x
log a b b

log a bb  b
x
log a b log a ab
4. Tres hermanos A , B y C visitan a su abuelito el cual muy cariñosamente decide
regalarles 210 dólares repartiéndoles de la siguiente manera: la cantidad que recibe
cada uno es proporcional a su edad. Las edades están en progresión geométrica y se
sabe que A es menor que B y B es menor que C . Si B tiene 6 años y A recibe 30
dólares, ¿cuánto recibe cada uno y qué edad tiene?
Clave de Respuestas
Resp. 1.- a) d  2 7  m ; b) D  8 2  m  Resp. 2.- x  y  45º Resp. 3.A : 3años  30$us ; B : 6años  60$us ; C :12años  120$us
x  ab Resp. 4.-
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*****************************************************************************************************************************************************************
1. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:
4sen sen  3 ... (1)

... (2)
ctg ctg   1
2. Un observador ve que dos globos aerostáticos ( G1 y G 2 ) con ángulos de elevación de
60 y 30 respectivamente. Por otro lado, los altímetros de los operadores de los globos
indican que se encuentran a 50 m y 150 m por sobre el nivel en que se encuentra el
observador en tierra. Determine a qué distancia están los globos entre sí.
3. Calcular “ x  y ”, en función de “ m ” y “ n ” en el siguiente sistema de ecuaciones:
(mx)log m  (ny )log n ... (1)
 log x
 (m)log y
... (2)
(n)
4. Se tiene un cuadrado de lado “ a ” al unir los puntos medios de dicho cuadrado se obtiene
otro cuadrado, en el que nuevamente unimos los puntos medios del último cuadrado y
formamos un nuevo cuadrado, de tal forma que vamos formando infinitos cuadrados.
Hallar la sumatoria total de las áreas de todos los cuadrados.
Clave de Respuestas
Resp.
1.-
1  60º , 1  30º ;  2  150º ,  2  120º ; 3  240º , 3  210º ;  4  330º ,
 4  300º ; ... Resp. 2.- d 
26
100 57
3
 m
Resp. 3.- xy 
1
Resp. 4.- S  2a 2 u 2 
 
mn
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1. Resolver el sistema de ecuaciones trigonométricas. Encuentre la solución principal.
2

... (1)
x  y  
3


cos x  cos y  1 ... (2)
2. En los extremos de una calle hay una torre y un monumento los cuales distan 200 m
desde sus bases. Desde el punto medio de la calle se miden los ángulos de elevación a
la parte superior de ellos, siendo la suma de estos igual a 90 . Desde el pie de la torre
el ángulo de elevación de la parte superior del monumento es  y desde el pie del
monumento el ángulo de elevación de la parte superior de la torre es 2 . Calcular la
altura de la torre y del monumento.
3. Resolver el sistema siguiente:
log x y 3  log y x3  10 ... (1)

... (2)
log 2 x  log 2 y  4
4. Un vendedor tiene 20 artículos, los cuales debe dividir a cuatro tiendas. Las cantidades
de artículos que repartirá deben formar una progresión aritmética tales que el producto
de la primera por la cuarta sea al producto de la segunda por la tercera como 2 es a 3 .
Determinar la progresión.
Clave de Respuestas
Resp. 1.-
x1  y1  60º Resp. 2.-
hT  150  m  ; H M 
200
 m Resp. 3.3
x1  2, y1  8 ;
x2  8, y2  2 Resp. 4.- PA1 : 2, 4, 6, 8 ; PA2 : 8, 6, 4, 2
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*****************************************************************************************************************************************************************
1. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:
  x y
 x y 1
cos 
cos 
... (1)



  2 
 2  2

 sen2 x  cos x cos y  cos 2 x  5  0 ... (2)


4
2. Luego de un sismo un poste de longitud “ x ” se encuentra inclinado un ángulo de 60°
hacia la derecha respecto a la vertical. Dos personas A y B , situadas a la izquierda y
derecha del poste correspondientemente, observan la punta del mismo con ángulos de
elevación de  y 90º  respectivamente. Si la separación de dichas personas es de 16
metros. Calcular “ x ” en términos de  .
3. Resolver el sistema:
1
 x
1
3
x
 x log x  x 3
... (1)
y

 log x
yx
... (2)
log
4. Se dibuja un triángulo equilátero de lado “ a ”; si se unen los puntos medios de los lados
se forma otro triángulo equilátero. Se sigue con la misma operación indefinidamente.
Calcular la suma de los perímetros de los triángulos así dibujados.
Clave de Respuestas
Resp. 1.- x1  y1  60º ; x2  60º , y2  300º ; x3  300º , y3  60º ; x4  300º , y4  300º ; ... Resp. 2.1
1
x  16sen2 Resp. 3.- x  , y  3 Resp. 4.- S  6a u 
3
3
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*****************************************************************************************************************************************************************
1. Una persona que camina a lo largo de una carretera recta observa, desde dos puntos
consecutivos ubicados a 1 km de distancia entre sí, la punta de una torre. Los ángulos
de elevación desde ambos puntos son 30 y 75 respectivamente. Hallar la altura de la
torre.
2. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones entre 0 y  :

 x y
 x y
... (1)
2 sen 
 cos 
 1
 2 
 2 

2 cos( x) sen( x)  2 sen( x) sen( y )  1 ... (2)

3. En una progresión geométrica creciente de 4 términos, la suma de los primeros es 16 y
de los dos últimos es 144 . ¿Cuál es el mayor término?
4. Por propiedades de logaritmos, hallar el valor numérico de A :
A  251log5 3  52log5 3  36 log6 5log5 3
5. Resolver el sistema de ecuaciones:
log 2 x  log 4 y  log 2 4  x  0 ... (1)


9 xy  27  3 y
... (2)


Clave de Respuestas
3 1
 km Resp. 2.- x1  y1  30 ; x2  y2  150 Resp. 3.- t4  108 Resp. 4.4
A  3 Resp. 5.- x1  1, y1  9 ; x2  4, y2  1
Resp. 1.- H 
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*****************************************************************************************************************************************************************
1. Demostrar la siguiente identidad trigonométrica:
tgx
2tgx
3


sen2 x
1  tg 2 x 1  tg 2 x 2
2. Una hormiga observa la parte superior de una torre con un ángulo de elevación de 60 ,
pero si se acerca hacia la torre una cierta distancia, el nuevo ángulo de elevación es de
 grados y finalmente si se acerca hacia la torre la misma distancia que la anterior, el
nuevo ángulo de elevación es de 75 . Calcular tg .
3. La suma de tres términos de una progresión geométrica vale 14 , si se incrementan los
dos primeros términos en una unidad y si se disminuye en la misma cantidad al tercer
término se forma una progresión aritmética. Determine ambas progresiones.
4. Resolver el sistema:
ln( x  2)  ln( y  3)  ln(2 y  1) ... (1)
y x
 81  3x 1
... (2)
5. Simplifique la siguiente expresión:


log xyz x  log xyz y  log xyz z

A  log3 log log6 36 64 
5
log xyz x  log xyz z log xyz x  log xyz y 





Clave de Respuestas
3 3
Resp. 3.2
PG2 : 8, 4, 2 ; PA2 : 9, 5, 1 Resp. 4.- x  1, y  2 Resp. 5.- A  8
Resp. 1.-
30
Se demuestra Resp. 2.-
tg 
PG1 : 2, 4, 8 ; PA1 : 3, 5, 7 ;
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*****************************************************************************************************************************************************************
1. Demuestre la identidad:
tg 3 x  3tgx
3tg 2 x  1
 tg 3 x
2. Un castillo se encuentra en la parte más alta de una colina que tiene una inclinación de
30º con respecto al plano horizontal. Desde un punto sobre la colina a 18 metros del pie
del castillo se observa su parte más alta con un ángulo de elevación de 45 . Hallar la
altura del castillo.
3. Escribir los primeros 5 términos de un progresión geométrica en la que la diferencia entre
el tercer y primer término sea igual a 9 y la diferencia entre el quinto y tercero sea igual
a 36 .
4. Con las relaciones:
1
 
2
2logb c
 4logb
a
y logb 3 c  3log9 logb a . Calcular: log c a
5. Resolver:
log( x  y )  ( y  x) log 2  log 3 ... (1)
 x y
8
... (2)
4
Clave de Respuestas
Resp. 1.-
Se demuestra Resp. 2.-
PG2 : 3, 6, 12, 24, 48 Resp. 4.- log c a 
H  9( 3  1)  m Resp. 3.-
PG1 : 3, 6, 12, 24, 48 ;
2
1
1
5
; log c a  Resp. 5.- x  , y 
3
3
4
4
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*****************************************************************************************************************************************************************
1. Desde un punto A situado en una superficie plana, un observador divisa un edificio que
tiene una altura de 12 m y sobre esta se encuentra una antena satelital la misma mide
13 m de altura. Si el ángulo de elevación del observador a la punta superior de la antena
es el doble con respecto al ángulo de depresión de la cima del edificio al observador,
calcular la distancia más corta del observador al edificio.
2. Indicar las soluciones principales del siguiente sistema de ecuaciones trigonométricas:
3

... (1)
 senx  seny 
4

tgx  tgy  3
... (2)
3. Simplificar:
E
25
1
2log 49 25
4


 2 log 2 log 2 log 2 7 2log 7 4 


1
log3 4

3
1
log 2 3
 32

1
log3 4
4. Una pelota cae desde la ventana de un edificio que está a 50.4 m del suelo. Durante el
primer segundo cae 0.8 m , 1.6 m en el segundo, 3.2 m en el tercero y así
sucesivamente. ¿En qué tiempo llega al piso?
5. Hallar los valores de U , V y W que satisfacen el sistema:
W ln U  2V  U ln W  0 ... (1)

... (2)
ln W  ln V  0
V  ln U  0
... (3)

Clave de Respuestas
Resp. 1.- d  60  m Resp. 2.- x1  y1  60º ; x2  y2  120º Resp. 3.- E  2 Resp. 4.- 6  s 
Resp. 5.- U  e1, V  W  1
32
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1. Hallar la altura de una casa, sabiendo que el ángulo de elevación desde un punto hacia
la parte superior de la misma es de 30 , luego se recorre en dirección de la casa 9
metros, el nuevo ángulo de elevación es de 45 .
2. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones trigonométricas:
1

 senx  seny   2 ... (1)

cos x  cos y  1 ... (2)

2


log  2 x 4  y 2  16 

  2  0 . Hallar el valor de: E  5 x 2  y
3. Si:
2
log x  y




log 2 49
4. Un estudiante desea comprar un equipo de sonido que cuesta 480 $U$ . Uno de sus
amigos le avisa de una empresa de ventas que paga semanalmente y donde cada
semana puede ganar un poco más que la anterior si realiza buena venta. Él decide
trabajar sólo hasta tener el dinero suficiente para comprar el equipo de sonido y además
destinar su sueldo exclusivamente para ello. La primera semana gana 12 $U$ , la
segunda semana gana 36 $U$ y hace más esfuerzo la tercera semana y gana 108 $U$
y así sucesivamente. ¿Cuántas semanas debe trabajar para tener el dinero suficiente?
5. Resolver el siguiente sistema:
3

log 6 x  log 4 y 
... (1)

2


y
 1  327
... (2)

 27 xy
Clave de Respuestas
Resp. 1.-
H  3(1  3)  m Resp. 2.-
x1  45º , y1  315º ; x2  315º , y2  45º ; x3  225º ,
y3  135º ; x4  135º , y4  225º ; ... Resp. 3.- E  7 Resp. 4.- 4 semanas Resp. 5.- x  36, y 
1
2
33
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ÁREA: MATEMÁTICA
TIEMPO DE DESARROLLO DEL EXAMEN: 90 MINUTOS
NO ESTÁ PERMITIDO EL USO DE CALCULADORAS
GESTIÓN: II - 2012
*****************************************************************************************************************************************************************
1. Demostrar la identidad:
cos x  senx  cos 3x  sen3x
2sen2 x  2  4 cos 2 x
 senx
2. Desde un avión que va volando en línea recta se observa un punto A en el suelo con un
ángulo de depresión de 45 , después de avanzar 10 km se observa el mismo punto A
con un ángulo de depresión de 60 , al mismo tiempo se observa también otro punto B
con un ángulo de depresión de 30 , que se encuentra a una distancia “ d ” del punto A
en la misma dirección y al mismo nivel. Hallar la distancia “ d ”.
3. Resolver la siguiente ecuación trigonométrica (Valores comprendidos entre 0° y 360°):
tg 2   3ctg 2   sec2   0
4. Sabiendo que: log ab a  6
Calcular el valor de:
3a
E  log ab 
 b 


5. El guardián del pozo de una hacienda, ha plantado a partir del pozo, cada 5 metros en
la dirección norte, un total de 27 árboles y puede sacar agua del pozo cada vez para el
riego de un solo árbol. ¿Cuánto tiene que andar para regar los 27 árboles y regresar al
pozo, sabiendo que del pozo al primer árbol hay 8 metros de distancia?
Clave de Respuestas
Resp. 1.- Se demuestra Resp. 2.- d  10(1  3)  km  Resp. 3.-   60, 120, 240, 300 Resp.
4.- E  7 Resp. 5.- d  3942  m
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*****************************************************************************************************************************************************************
1. Demostrar la identidad:
senx  cos(2 y  x) 1  sen 2 y

cos x  sen(2 y  x)
cos 2 y
2. La distancia entre los techos de dos edificios es 28 m y los ángulos que se forman desde
la base de cada edificio al techo del edificio opuesto son de 30 y 60 grados
respectivamente. Hallar la altura de cada edificio.
3. Hallar las soluciones (Valores comprendidos entre 0 y 360 ).
cos 2 x  tgxsenx 1

3  sec x
4
4. Si: log b
 a 
1
1
log b  
b

E  logb a 2b 2
Hallar:

5. Se desea formar una torre de ladrillos, de tal manera que se genere una progresión
aritmética. Si la cuarta fila tiene 15 ladrillos y la séptima fila tiene 27 ladrillos, ¿cuántas
filas se formarán con 210 ladrillos?
Clave de Respuestas
Resp.
1.-
Se demuestra
Resp.
2.-
h  28 3  m ; H 
28
3
 m
Resp.
3.-
x  0, 30, 150, 210, 330, 360 Resp. 4.- E  2 Resp. 5.- 10 filas
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*****************************************************************************************************************************************************************
1. Resolver la siguiente ecuación trigonométrica hallando el valor de “ x ”:
x
2 cos 2    sen 2 x
2
2. En la P.A.: 3, ... ,30, ... , b el número de términos comprendidos entre 3 y 30 es igual a
los comprendidos entre 30 y b , la suma de todos los términos es 570 . Hallar la razón.
3. Si p  q  1 . Resolver el sistema:
log x ay  p ... (1)

log y bx  q ... (2)
4. Un puente posee 8 cables tirantes para sostenerlos ( 4 a cada lado del puente), los
ángulos de los tirantes son de   30 y   60 con una separación de “ d ” metros entre
15
ambos. Calcular la longitud de cable utilizado en el puente si: d 
3 1




d
5. Simplificar la siguiente expresión:
1
2
2
F  (a  b)log ab ( a )log ab (b)    a logb (10)  blog a (10)  logb ( a )log a (b)

 

Clave de Respuestas
Resp. 1.- x  0, 90, 270, 360,... Resp. 2.- r  3 Resp. 3.- x 
10a
L  60  m Resp. 5.- F 
b
36
pq 1 q
a b, y 
pq 1
ab p Resp. 4.-
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*****************************************************************************************************************************************************************
1. Resolver la siguiente ecuación trigonométrica:
x
4 sen    2 cos x  3
2
2. Escribir dos P.A. de tres términos cada una tal que la razón de una sea igual al primer
término de la otra. La suma de todos los términos de una de ellas es 21 y la multiplicación
de sus dos primeros términos es igual a la suma de todos sus términos de la otra.
3. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:
log a 1  logb 1  log c 1  log d ( x  y )    0 ... (1)



2 x  2 y  8
... (2)


4. Un helicóptero vuela a una altura de 600 m sobre la cima de una montaña A , con una
altura conocida de 1500 msnm . Una segunda cima de otra montaña cercana B , más alta,
es vista con un ángulo de depresión de 45 desde el helicóptero y con un ángulo de
elevación de 15 desde A . Determinar la distancia entre las dos cimas de la montaña.
5. Simplificar:
E
25
1
2log 49 25
4


 2 log 2 log 2 log 2 7 2log 7 4 


1
log3 4

3
1
log 2 3
 32

1
log3 4
Clave de Respuestas
Resp. 1.- x  360k  (1)k 60, k 
Resp. 2.- PA1 : 3, 7, 11 ; PA2 : 4, 7, 10 Resp. 3.- x  4, y  3
Resp. 4.- D  200 6  m  Resp. 5.- E  2
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*****************************************************************************************************************************************************************
1. Determine el conjunto solución de:
cos 4x  2sen2x  3  0
2. Se ha armado un cuadrado con palitos de fosforo de longitud “ a ”, a continuación se han
aumentado más palitos (sin retirar los anteriores) de modo que se forma ahora un
cuadrado de doble de lado que el anterior, luego se han aumentado otros de modo que
ahora el lado es el triple del primer cuadrado y así sucesivamente, si el proceso se sigue.
¿Cuántos palitos se necesitan para llegar a formar un cuadrado de lado 10a .
3. Resolver:
... (1)

log(1  y )  log( x  1)  0
 1 y x
x
y

 25  25  125  125  0 ... (2)
4. Dos personas miran pasar a una paloma que va en línea recta, ambas personas están
separadas por 5 metros. La primera persona la observa con un ángulo de elevación de
30° y la segunda lo hace con un ángulo de elevación de 60° . La paloma sigue volando
horizontalmente hacia la derecha de modo que después de un rato, la segunda persona
(que permaneció en su misma posición) la ve con un ángulo de elevación de 45° .
¿Cuánto se desplazó la paloma?
5. Reducir:
 75 
5
 32 
K  log    2 log    log 

 16 
9
 243 
Clave de Respuestas
Resp. 1.d
38
x  90k  (1)k 45, k 
5( 3  1)
2
 m
Resp. 5.- K  log 2
Resp. 2.-
130 palitos Resp. 3.-
x
3
1
Resp. 4., y
2
2
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*****************************************************************************************************************************************************************
1. Una persona halla desde un punto A que el ángulo de elevación de una torre es de 
grados, si avanza 6 metros sobre un plano horizontal hacia la torre encuentra que el
ángulo de elevación es de 45 y acercándose 4 metros más esta vez el ángulo de
elevación es de 90º  . Hallar la altura de la torre.
2. Resolver el sistema de ecuaciones:
 y logb x  x logb y  2b ... (1)

logb x  log y b  2 ... (2)
3. Hallar tres números en progresión geométrica sabiendo que su suma es igual a 26 y que
si se suman respectivamente a ellos los números 1 , 6 y 3 se obtienen tres números que
están en progresión aritmética.
4. Determinar el conjunto solución de:
cos 4  2sen2  3  0
5. Demostrar la siguiente identidad trigonométrica:
1
cos 2   sen3   sen3  sen5  2 sen 
16
Resp. 1.-
H  12  m Resp. 2.-
  90k  45(1)k , k 
Clave de Respuestas
x  y  b Resp. 3.-
PG1 : 2, 6, 18 ; PG2 :18, 6, 2 Resp. 4.-
Resp. 5.- Se demuestra
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*****************************************************************************************************************************************************************
1. Encontrar la altura de la torre, si el ángulo de elevación respecto de un observador a la
punta de la torre cambia de 30 a 60 , al caminar él mismo, una distancia de 25 metros
por la calle horizontal en dirección de la torre.
2. Resolver el sistema:
 2
2 x
log xy  log y  8 ... (1)

2log x  4log y
... (2)

3. La suma de tres términos en progresión geométrica es 14 . Sabiendo que, si se
incrementan a los dos primeros términos en una unidad y se disminuye la misma cantidad
al tercero, los números que resultan forman una progresión aritmética. Hallar la
progresión geométrica.
4. Encontrar todas las soluciones de la ecuación :
sen2 x  tgx  1  3senx  cos x  senx   3
5. Demostrar la siguiente identidad trigonométrica:
tgx  1  sec x
 tgx  sec x
1  tgx  sec x
Clave de Respuestas
25 3
1
1
 m Resp. 2.- x1  100, y1  10 ; x2  , y2  Resp. 3.- PG1 : 2, 4, 8 ;
2
100
10
PG2 : 8, 4, 2 Resp. 4.- x  60º , 120º , 135º , 240º , 300º , 315º , ... Resp. 5.- Se demuestra
Resp. 1.- H 
40
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*****************************************************************************************************************************************************************
1. Si: a 2  b 2  1 . Calcular:
T
log(a  b  1)  log(a  b  1)
log(a)  log(b  1)
2. El primer término de una progresión aritmética es 2 y el último término es 26 con una
razón llamada “ R ”; si se intercalan “ R2  2 ” medios aritméticos, calcular “ R ” y construir
la progresión.
3. Se tiene una P.A. de 3 términos. Al 3er término se le suma una cantidad desconocida y
se convierte en P.G., si al 1er y 2do término de la P.G. se le multiplica por esa cantidad
desconocida y al 3er término se le adiciona la suma de los términos de la P.A. inicial,
vuelve a formarse otra P.A. Sabiendo que la razón de esta última es el triple de la
cantidad desconocida, escribir la primera P.A.
4. Hallar las soluciones principales de la ecuación trigonométrica:
2cos3 ( x)  9sen2 ( x)  10cos( x)  12  0
5. Un jugador de billar, ubicado en una de las esquinas de la mesa de billar, golpea la bola
con un ángulo de 45° respecto del eje horizontal (que coincide con el lado mayor). La
bola recorre una distancia de 127 / 50 metros antes de impactar con el lado mayor
opuesto y, al rebotar, forma un ángulo de 105° ; luego impacta con el lado menor y rebota
describiendo un ángulo de 60° que sigue una trayectoria que lo lleva a la misma esquina
de partida. Hallar las dimensiones de la mesa de billar. Considere: sen105º 
Resp.
1.-
T  1
Resp.
Clave de Respuestas
2.-
PA : 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26
3 21  3 3 21  9 3 21  21
3  3 21 9  3 21 21  3 21
,
,
; PA2 :
,
,
4
4
4
4
4
4
127 2
127 2( 3  1)
Resp. 5. m ,
 m
100
200
PA1 :
2


3 1
4
Resp.
Resp. 4.-
3.x  0º
41
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*****************************************************************************************************************************************************************
1. Una muchacha, advierte que su número telefónico tiene los primeros tres dígitos en
progresión geométrica y los siguientes cuatro, en progresión aritmética; ambas con la
misma razón. El primer término de la P.A. es mayor en una unidad al primer término de
la P.G.; y también el último término de la P.A. es mayor en uno al último término de la
P.G. Considere que se trata de un número fijo de La Paz, encontrar el número telefónico
de la muchacha.
2. Un estudiante de Ingeniería Civil tiene una estatura de 1.65 m , coloca su teodolito a la
altura de sus ojos ( 1.65 m ) y observa la base del obelisco con un ángulo de depresión
de 45 . Hacia la cúspide del obelisco mide un ángulo de elevación de 60 . Calcular la
altura “ h ” del obelisco.
3. Calcular el valor de A :
A
10log( z  y )  10log( z  x)  10log( x  y )
10x  10 y  10z   x  y  z 
Conociendo que: x  log 2, y  log 3, z  log 6
4. Resolver la siguiente ecuación trigonométrica:
cos 2 x  6cos 2 x  1
5. Resolver el sistema:
ln( x  2)  ln( y  3)  ln(2 y  1) ... (1)

x
 y
81
 3x1
... (2)


 
Clave de Respuestas
Resp. 1.-
Ntel. : 2, 4, 8, 3, 5, 7, 9 Resp. 2.-
h  1.65(1  3)  m Resp. 3.-
x  60º , 120º , 240º , 300º , ... Resp. 5.- x  1, y  2
42
A
1
Resp. 4.11
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*****************************************************************************************************************************************************************
1. En una sucesión de cuatro términos, los tres primeros términos están en progresión
aritmética y los tres últimos están en progresión geométrica. La Suma de los términos
primero y cuarto es 24 y la suma de los términos segundo y tercero es 18 . Hallar la
sucesión de números.
2. Un puente tiene tirantes simétricos (cables que se sujetan al poste central). El primer
tirante forma un ángulo de elevación de 60° y el segundo tirante tiene un ángulo de
elevación de 30° y está a 20 m del primero. Hallar la longitud total del puente.
20  m
3. Simplificar:
E  log 5 m  log 3m 7  log m 36  log
m
125  log 6 3m  log 49 m  m log m 4
4. Determine las soluciones de 0 a 180 de la siguiente ecuación trigonométrica:
2sen3 x  3sen2 x  2senx  3
5. Resolver el sistema:

log 2 x  log 4 y  log 2 (4  x )  0 ... (1)
 xy

 27(3 y )
... (2)
9
Clave de Respuestas
45 27 9 3
Resp. 2.- h  60  m Resp. 3.,
, ,
2
2 2 2
x1,2,3  60º , 90º , 120º Resp. 5.- x  4, y  1 ; x  1, y  9
Resp. 1.-
0, 6, 12, 24 ;
E  12 Resp. 4.-
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*****************************************************************************************************************************************************************
1. Las edades de los tres hijos de José y Martha están en progresión aritmética y suman
15 y las edades de los tres hijos de Israel y María están en progresión geométrica y
suman 13 . Sabiendo además que la razón de la progresión geométrica es el triple de la
aritmética y que la suma de la edad del hijo mayor con la del hijo menor, en ambas
familias, es la misma; encontrar las edades de los hijos de ambos esposos.
2. Si en un tríangulo cualquiera ABC de lados a , b y c se cumple 3a  7c y 3b  8c .
Determinar el ángulo A .
3. Simplificar:
E
1  log 2 3 1  log 3 2

1  log 2 3 1  log 3 2
4. Resolver la siguiente ecuación, hallando las soluciones en la primera vuelta:
2 cos x  sen( x  30º )  1
5. Resolver el sistema:
log 2 3  log8 y  log


 3
2 y  
 x
 2
81  27  3
Resp. 1.-
2
4 x  1 ... (1)
Clave de Respuestas
... (2)
José y Martha : 4, 5, 6 años ; Israel y María :1, 3, 9 años. Resp. 2.1
E  0 Resp. 4.- x  0º , 120º , 180º , 300º , 360º Resp. 5.- x  , y  1
2
44
A  60º Resp. 3.-
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*****************************************************************************************************************************************************************
1. El primer término de una progresión geométrica es igual al primero de otra progresión
aritmética. Si la razón geométrica es la mitad de la razón aritmética y sabiendo además
que la suma del primer término y tercer término de la progresión aritmética es igual a la
suma del segundo y tercer término de la progresión geométrica y que el cuarto término
de la progresión aritmética es igual a 14 , hallar las progresiones.
2. Una persona halla que desde un punto A el ángulo de elevación de una torre es de 
grados, si avanza 6 m sobre un plano horizontal hacia la torre encuentra que el ángulo
de elevación es de 45 y acercándose 4 m más esta vez el ángulo de elevación es de
90º  . Hallar la altura de la torre.
3. Si:
1  2 log ( xy ) y
1  2 log  x 
 
 y
x
 4 . Hallar el valor simplificado de: E  log  xy     log  x   xy 
y
 y
 
 y
4. Resolver la siguiente ecuación trigonométrica:
4sen2  8cos   1  0
5. Resolver el sistema:
log(1  y )  log( x  1)  0 ... (1)

y
1 y x
... (2)
27  x 27  9  9
Clave de Respuestas
Resp.
1.-

2 76  13 22
3
 , 2 362  89
22
9


 , ... ; PA

PA3 : 2 8  22 ,


2 23  2 22
 , 2  22 

3
Resp. 4.-   360º k  60º , k 


2 : 2 8  22 ,
14, ... ; PG3 : 2 8  22 ,  2 10  3 22 ,





PG1 : 2, 4, 8, 16, ... ; PA1 : 2, 6, 10, 14, ... ; PG2 : 2 8  22 ,  2 10  3 22 ,
3

2 76  13 22
3
22
 , 14, ...
Resp. 5.- x 

2 23  2 22
3
 , 2  22 
 , 2 362  89
9
Resp. 2.-
3
22
22
,
 , ...
H  12  m Resp. 3.-
E
5
2
3
1
, y
2
2
45
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*****************************************************************************************************************************************************************
1. Cada pregunta vale 5 puntos, encerrar la respuesta correcta:
1
32
1.1 Al interpolar 4 medios geométricos entre y
, la razón es:
729
3
a) 1/ 2
b) 3 / 2
c) 2 / 3
d) 2
e) 3
x
1.2 En la siguiente ecuación exponencial: 6  60 ; x es igual a:
1  log 6
a) log 60  log 6
b) log 54 c)
d) log6 6
e) Ninguno
log 6
1.3 En la expresión: y  log x ; y es negativo cuando:
a) x  0
b) x  0
c) x  0
d) 0  x  1
e) Ninguno
sen60 cos2 30
1.4 Hallar el valor de: E 

 tg 45  cos2 45
2
3
13
a) 0
b) 1
c)
d) 1
8
e) Ninguno
2. Indicar y demostrar a qué es idéntica la expresión:  tg 2 A  sec 2 A cos A  senA
a) senA  cos A
b) sen2 A
c) sec 2A
d) senA  cos A
e) 1
3. En una progresión geométrica la suma del primer y tercer término es igual a 80 y el
cuadrado del segundo es 576 . Hallar los números.
4. Resolver el siguiente sistema logarítmico:
( ax)log a  (by )log b  0 ... (1)
 log x
 a log y
... (2)
b
5. Encontrar la altura de un edificio: si el ángulo de elevación, respecto de un observador a
la terraza, cambia de 30 a 60 al caminar, él mismo, una distancia de 15 m por la calle
horizontal en dirección de dicho edificio.
Clave de Respuestas
Resp.
x
46
3.-
PG1 : 8, 24, 72 ; PG2 : 8, 24, 72 ; PG3 : 72, 24, 8 ; PG4 : 72, 24, 8
15 3
1
1
, y  Resp. 5.- H 
2
a
b
 m
Resp.
4.-
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ÁREA: MATEMÁTICA
TIEMPO DE DESARROLLO DEL EXAMEN: 90 MINUTOS
NO ESTÁ PERMITIDO EL USO DE CALCULADORAS
GESTIÓN: I - 2010
*****************************************************************************************************************************************************************
1. Cada pregunta vale 5 puntos, encerrar la respuesta correcta:
1.1 Calcular el valor de “ x ” en la siguiente expresión:
a) 2
b) 1
1.2 La expresión: log ( 5) 25  2 es:
c) 7 / 2
4 x1 3 16

3x1 4 25
d) 5 / 2
e) Ninguno
a) Verdadero
b) Falso
1.3 La siguiente expresión tg  tg  es igual a:
sen 
sen(   )
a) sen  cos  b) sen cos 
c)
d)
e) Ninguno
2 cos 
cos  cos 
5 20 10 20
1.4 La sucesión de números: ,
,
,
, ... resulta ser una progresión:
2 23 19 53
a) Aritmética
b) Geométrica c) Armónica
d) No es progresión
2. Una persona está en lo alto de una colina que tiene 15 de inclinación respecto a la
horizontal y observa una nube que está a 40 km y que tiene un ángulo de elevación de
45 . Luego desciende 40 km por la colina y se da cuenta de que la nube no ha cambiado
su posición. ¿Cuál es la distancia desde la persona hasta la nube luego de que desciende
la colina?
3. Resolver:




log 2  log 4 x 2  9  1  log 2 x 2  1
4. El segundo término de una progresión aritmética es 14 y el tercero es 16 . Se pide
construir una progresión geométrica tal que su razón sea igual a la de la progresión
aritmética y la suma de los tres primeros términos sea igual en ambas progresiones.
 A
B
 A B 
5. Si A  B   ; la expresión 4 cos   cos   sen 
 es equivalente a:
2
2
 2 
a) 2senA
b) 2cos B
c) senA  senB d) 2senB
e) Ninguno
Clave de Respuestas
Resp. 2.- D  40  km  ; D  40 2  3  km  Resp. 3.- x1,2  2, 4 Resp. 4.- PG : 6, 12, 24, ...
47
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NO ESTÁ PERMITIDO EL USO DE CALCULADORAS
GESTIÓN: II - 2009
*****************************************************************************************************************************************************************
Cada pregunta vale 10 puntos, encerrar la respuesta correcta:
1. La razón de una progresión geométrica en función del primer término, el último término
y el número de términos será:
t
t
t
t
t
a) q  n2 1 b) q  n n1 c) q  n1 n d) q  n1 1 e) q  1n n f) Ninguno
t1
tn
t1
t1
t2
2. Si 10 x  9 y 10 y  3 entonces el valor de log 1/ 3 es:
2x  y
x y
x  2y
x y
a)
b)
c) 
d)
3
3
3
3
3. Si sabemos que cos  
a) 3
b) 1/ 3
4. Resolver la ecuación:
a) 9
b) 36
e)
2( x  y )
3
f) Ninguno
3
2tg
, calcular:
2
1  tg 2
c) 2 2

d) 3 3


e)
3
f) Ninguno

log3 4log3 x  log3 36log3 x  8
c) 64
d) 81
e) 81
f) Ninguno
5. La suma de tres números en PG es 70 , si se multiplican los dos extremos por 4 y el
intermedio por 5 , los productos están en PA. Hallar el segundo término:
a) 25
b) 50
c) 20
d) 30
e) 40
f) Ninguno
6. Encontrar la altura de un edificio: si el ángulo de elevación, respecto a la terraza de un
observador, es de 30°. Si camina con dirección al edificio una distancia de 25 m, el ángulo
de elevación cambia a 60°.
75
25
a)
b) 25 2
c) 25 3
d) 50 3
e)
f) Ninguno
3
3
2
2
7. Resolver:
3sen( x)  5cos( x)  5  0
5
3
5
a) x  2 k  2arctg   b) x  2 k  2arctg   c) x  2 k  2arctg   d) x  2 k
3
5
3
e) Ninguno
48
log( x  y )  ( y  x) log 2  log 3 ... (1)
 x y
8
... (2)
4
1
3
2
1
5
5
5
a) x  , y 
b) x  , y 
c) x  , y  1 d) x  , y 
4
4
3
2
6
4
4
f) Ninguno
8. Resolver:
3
9
e) x   , y 
4
4
9. Las edades de los tres hijos de Juan están en progresión aritmética. Hace 9 años, la
edad del hijo mayor era igual a la suma de las edades de sus dos hermanos; la edad del
hijo del medio era igual a su edad actual, pero con sus dos dígitos invertidos y cinco
veces la suma de estos dígitos es igual a la edad actual del hijo menor. ¿Qué edad tiene
actualmente el hijo menor?
a) 12
b) 14
c) 10
d) 15
e) 16
f) Ninguno
cos 2
10. Simplificar:
1  ctg
tg 2
f) Ninguno
a)
b)
sen
1  cos 
ctg 2  tg 2
1
c) sen 2 2
4
d)
cos   1
sen
e)
sen  cos 
1  cos 
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*****************************************************************************************************************************************************************
1. Cada pregunta vale 8 puntos, encerrar la opción correcta:
1.1 El valor simplificado de la expresión logarítmica E 
a
log log a 
log a
será:
log a
e) Ninguno
a) 2
b) 1
c) 1
d) 2
1.2 La media aritmética entre a , b y c está dado por:
ab
ac
a b
ab
a)
b)
c)
d)
e) Ninguno
2
2
2
2
1.3 Si el segundo término de una progresión armónica es 5 y el quinto es 10 /17 ,
entonces el octavo término es:
a) 16 / 5
b) 5 /16
c) 37 /10
d) 10 / 37
e) Ninguno
1.4 El valor principal de x en la siguiente ecuación: 2senx  3  0
a) 60
b) 30
c) 30
d) 60
e) Ninguno




1.5 Demostrar la siguiente identidad trigonométrica: sec     sec      2sec 2
4

4

… Se demuestra …
2. Resolver la siguiente ecuación logarítmica:
 (3a  b)(a 2  ab)1  4
1
1
3
2
1  log x  log b 
  log b  log a  ab

2
3
3
3
b


3. En una progresión aritmética el primer término es 12 , el número de términos es 9 y la
suma es 252 . En otra progresión aritmética el primer término es 2 y su razón 6 . Si dos
términos que ocupan el mismo lugar de ambas progresiones son iguales, calcular su
valor.


4. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones trigonométricas y hallar la solución principal:
 2 x
2 y
cos  2   sen  2   1 ... (1)
 
 


2
... (2)
2 cos x  4 sen y  4
Clave de Respuestas
a b
Resp. 2.- x 
Resp. 3.- 32 Resp. 4.- x  y  60º
10b
50
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*****************************************************************************************************************************************************************
1. Cada pregunta vale 8 puntos, encerrar la opción correcta:
1.1 Dados logb N  3 y logb M  4 , entonces logb MN es igual a:
a) 1
b) 7
c) 12
d) Todos
e) Ninguno
1.2 Dados dos números a , b extremos y G su medio geométrico, entonces una
expresión para la media geométrica es:
ab
a) G  ab b) G 
c) G  ab
d) G  a  b e) Ninguno
ab
1.3 Si el segundo término de una progresión armónica es 3 y el quinto es 6 /11 entonces
el séptimo término es:
a) 3/10
b) 10 / 3
c) 17 / 6
d) 6 /17
e) Ninguno






1.4 Demostrar la siguiente identidad: 2 cos     cos      cos 2  … Se demuestra …
4

4

1.5 Indicar el valor principal de la ecuación: 2cos x  3  0

3
a)
b)  , 2
c)
d) 
e) Ninguno
, 5
,
4
4
2. Resolver la ecuación logarítmica:
31log(ctgx)  31log(tgx)  8  0
3. Un ciclista parte a las 12: 00 , recorriendo en la primera hora 8 km ; en la segunda hora,
16 km ; en la tercera hora 32 km ; y así sucesivamente. Después de un cierto tiempo de
marcha, descansa tres horas y parte de nuevo, recorriendo en la primera hora 120 km ;
en la segunda, 60 km ; y así continuando en progresión geométrica decreciente, hasta
recorrer una hora menos que las recorridas antes del descanso. El trayecto total fue de
473 km . ¿A qué hora se paró a descansar el ciclista?
4. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones trigonométricas y hallar la solución principal:
senx  cos y

1
... (1)
2

sen 2 x  cos 2 y

 4 ... (2)
16
Clave de Respuestas
Resp. 2.- x  arctg10 Resp. 3.- Hrs. 17 : 00 Resp. 4.- x  30, y  120º
51
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*****************************************************************************************************************************************************************
1. Cada pregunta vale 8 puntos, encerrar la opción correcta:
log 2 4  log 1 4
1.1 El valor simplificado de la expresión E 
2
log3 243  log 1 81
es:
3
a) 1
b) 2
c) 1
d) 2
e) 3
f) 4
g) Ninguno
1.2 Dadas dos números a , b extremos y H su medio armónico, entonces una
expresión para la media armónica es?
ab
2ab
ab
a) H  a  b b) H 
c) H 
d) H 
e) Ninguno
ab
ab
ab
1.3 Si el segundo término de una progresión armónica es 3 y el quinto es 6/11 entonces
el octavo término es:
a) 3/10
b) 10 / 3
c) 17 / 6
d) 6 /17
e) Ninguno
1.4 Si tg (45  x)  4 , entonces el valor de 8tg 2 x es:
a) 15
b) 20
c) 12
d) 25
e) Ninguno
1.5 Indicar las soluciones principales de la ecuación 2senx  3  0 .

3
a)
b)  , 2
c)
d) 
e) Ninguno
, 5
,
4
4
2. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones trigonométricas:
tgx  ctgy  8 ... (1)

8

ctgx  tgy  7 ... (2)
3. Resolver la siguiente ecuación:
1 1

log5 120  ( x  3)  2 log 5 1  5 x 3   log 5    5 x 3 
5 5



4. Un coronel que manda 3003 soldados quiere formarlos en triángulo, de manera que la
primera fila tenga 1 soldado; la segunda, 2 ; la tercera, 3 ; y así sucesivamente. ¿Cuántas
filas tendrá la formación y cuántos soldados tendrá la última fila?
Clave de Respuestas
1
x1  180k  45, y1  180k  arctg   ; x2  180k  arctg  7  , y2  180k  45 , k 
7
Resp. 3.- x  1 Resp. 4.- N  filas  77, N Soldados  77
Resp. 2.-
52
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*****************************************************************************************************************************************************************
1. Cada pregunta vale 8 puntos, encerrar la opción correcta:
1.1 La expresión log 4 3 34 tiene por resultado:
1
1
d)
e) Ninguno
8
16
1.2 La expresión de la media geométrica de tres números a , b , c será:
a) a  bc b) c  ab c) abc
d) b  ac
e) Ninguno
1.3 Si el tercer término de una progresión armónica es 6/7 y el sexto es 6/13, entonces
el octavo término es:
a) 17 / 6
b) 6 /17
c) 6 /15
d) 6 /16
e) Ninguno
2
2
1.4 Demostrar la identidad pitagórica sen   cos   1 : … Se demuestra, T / Pitágoras …
x
1.5 Indicar las soluciones de la ecuación: 2 sen    3  0
3
3
a)  , 2
b)  , 3
c)
d) 
e) Ninguno
,
4
2. Resolver la ecuación:
a) 4 3
b) 16
c)
bxlogc b  a2logc x1
3. En una progresión geométrica se puede considerar que los términos primero, tercero y
quinto equivalen a los términos primero, cuarto y decimosexto de una progresión
aritmética. Determinar el cuarto término de esta progresión aritmética sabiendo que su
primer término es 5 .
4. Resolver y analizar el siguiente sistema:
2

x

y

... (1)

3

 senx  seny  3 ... (2)

2
Clave de Respuestas
Resp. 2.-
1
x
c
Resp. 3.-
a4  20, a4  5
Resp. 4.-
x  180k  30  (1)k 60 ,
y  150  180k  (1)k 60 , k 
53
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*****************************************************************************************************************************************************************
1. Cada pregunta vale 8 puntos, encerrar la respuesta correcta:
3
1.1 El valor de “ x ” en x x  3 es:
a) 3
b) 3
c) 1
d) 3 3
e) Ninguno
1.2 En la ecuación: log3 (7  x)  log3 (1  x)  1 ; el valor de “ x ” es:
a) 2
b) 2
c) 1
d) 1
e) Ninguno
1.3 Si una progresión geométrica tiene “ n ” medios geométricos, entonces el número de
términos de la progresión es:
a) n  1
b) n
c) n  2
d) n  2
e) Ninguno
1.4 La expresión: A  cos 60º sen60º tg 225º es igual a:
2
1
1
1
b)
c)
d)
e) Ninguno
4
4
2
4
1.5 Un asta de bandera colocada en la punto de una torre de 24 m de altura subtiende
un ángulo de depresión de 45 , desde un punto a 30 m de la base de la torre.
Entonces la altura del asta es:
a) 5m
b) 6m
c) 4m
d) 3m
e) Ninguno
a) 
2. La suma de tres números en progresión geométrica es 70 . Si se multiplican los dos
extremos por 4 y el intermedio, por 5 ; los productos están en progresión aritmética.
Hallar la progresión geométrica.
3. Hallar los valores de “ x ” en la siguiente ecuación logarítmica:
3
log 3 x    log 32 ( x)  1
x
4. Resolver la siguiente ecuación trigonométrica hallando la solución principal:
x
 x
sec 2    csc 2    16ctgx
2
2
Clave de Respuestas
Resp. 2.- PG1 :10, 20, 40 ; PG2 : 40, 20, 10 Resp. 3.- x1,2,3  1, 3,
54
1
Resp. 4.- x  15º
9
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*****************************************************************************************************************************************************************
1. Cada pregunta vale 8 puntos, encerrar la respuesta correcta:
1.1 El seno de cualquier ángulo tiene como máximo valor: …. 1 ….
1.2 Para que valor de “ q ” en una progresión geométrica, se forma una PG trivial:
a) 0
b) 1
c) q  0
d) q  0
e) Ninguno
1.3 El argumento de un logaritmo en cualquier base debe ser siempre un número:
a) Positivo b) Negativo c) Ninguno
d) Todos
5
1.4 A cuántos radianes equivalen 250 grados centesimales: …
…
4
2. a) Hallar la suma de los múltiplos de 3 comprendidos ente 53 y 89 .
b) Sea un triángulo ABC , recto en C donde se verifica que:

sec2 A  sec2 B  k tg 2 A  ctg 2 A

Se pide hallar: F  sen2 A  sen2 B
log 2 ( x  y )  4 ... (1)
3. Resolver el sistema:
 x y
... (2)
2 3  576
4. El primer término y la razón de una progresión aritmética viene dado por la solución del
sistema de ecuaciones adjunto y, además, el último término es 97 . ¿Cuántos términos
existen en la progresión?
a  r  a  r  2 ar  2 ... (1)

... (2)
8  a  r
5. Desde la punta de una torre de altura “ h ”, un observador ve a su izquierda una piedra
negra en el piso, con un ángulo de depresión de 30 . Exactamente sobre la piedra, ve
un globo con un ángulo de elevación igual al doble del de depresión. En ese mismo
instante, otro observador que se encuentra en el piso (en dirección este, respecto de la
piedra negra) observa el globo con un ángulo de elevación igual a la mitad del ángulo de
elevación con que ve el observador de la torre. Hallar la distancia en la que se encuentra
el segundo observador de la torre.
Clave de Respuestas
1
Resp. 2.- a) S  1125 ; b) F 
k
D  3 3  h u 
Resp. 3.-
x  6, y  2 Resp. 4.-
9 términos Resp. 5.-
55
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*****************************************************************************************************************************************************************
1. Cada pregunta vale 5 puntos, encerrar la respuesta correcta:
1.1 Si log  log3 (log 2 x)   0 , “ x ” es igual a:
a) 16
b) 100
1.2 El log 2 10 es igual a:
a)  log10 2
1
b) log10
2
c) 8
d) 10
c) log10  2
d) 
e) 32
1
log10 2
e) log 10  2
1.3 El sen15 , es distinto de:
a) sen375
b) sen75
c) cos105
d) cos 285
e) Todos los anteriores
1.4 Una P.G. de siete términos, cuántos medios geométricos tiene? ... 5 ...
2. a) La suma de tres términos consecutivos, de una P.A. es 12 y el producto es igual a 48
. Hallar los términos de la progresión.
b) Demostrar la siguiente identidad trigonométrica:
2 cos 2   1
1



2
2tg     sen    
4

4

3. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

 senx  seny  2 ... (1)


cos x  cos y  2 ... (2)
4. Resolver la siguiente ecuación:
2
 log x 
5
 log 2   log 2  2 log3 27


x
5. Los términos primero, segundo y cuarto de una progresión aritmética son iguales a los
términos primero, segundo y tercero de una progresión geométrica. Hallar los 6 primeros
términos de cada progresión, sabiendo que el primer término de ambas progresiones es
igual a 4 .
Clave de Respuestas
Resp.
2.-
a) PA1 : 2, 4, 6 ; PA2 : 6, 4, 2 ; b) Se demuestra
y  360k  45 , k 
3.-
x  360k  45,
Resp. 4.- x1,2  4, 8 Resp. 5.- PA2 : 4, 4, 4, 4, 4, 4 ; PG2 : 4, 4, 4, 4, 4, 4
PA1 : 4, 8, 12, 16, 20, 24 ; PG1 : 4, 8, 16, 32, 64, 128
56
Resp.
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ÁREA: MATEMÁTICA
TIEMPO DE DESARROLLO DEL EXAMEN: 90 MINUTOS
NO ESTÁ PERMITIDO EL USO DE CALCULADORAS
GESTIÓN: II - 2008
*****************************************************************************************************************************************************************
1. Cada pregunta vale 5 puntos, encerrar la respuesta correcta:
1.1 Si log3 2  a , cuál será el valor del: log 2 12
1
1
1
a) 2a
b) 2  a
c) 2 
d) 2 
e) a 
a
2
a
1.2 Si la razón de una progresión geométrica es q  1 , la suma finita de términos esta
dada por:
t
t
a) S  1
b) S  1  q
c) S  1
d) S  1
e) Ninguno
1 q
1 q
1.3 Si: sen  a y sen  b , entonces sen(   ) es igual a:
a) a  b
b) b 1  a2  a 1  b2
c) a 2  b2

1.4 El valor numérico de cos  sen 2 60  3ctg 2 60 es:
3
2
2
1
1
a)
b)
c)
d)
6
4
2
3
2. a) Resolver:



log5 120  ( x  3)  2 log5 1  5 x 3   log5 0.2  0.2  5 x 3
b) Demostrar la siguiente identidad:

 
d) Ninguno
e) Ninguno


2 cos6   sen6  3 cos 4   sen 4  1  0
3. Resolver el siguiente sistema:

10 2 x 5 2 y  x 128
... (1)


log( x  y )  log 40  log( x  y ) ... (2)
4. Durante el mismo número de días, se han sacado de dos tanques ( A y B ) cantidades
diferentes de agua. De A se sacó 1 litro el primer día; 4 litros, el segundo; 16 litros, el
tercero; etc. De B se sacó 2 litros el primer día; 4 litros, el segundo; 8 litros, el tercero
y así sucesivamente. Si en total de A se sacaron 1239 litros más que del tanque B ,
¿cuántos litros de agua se sacaron en el último día del tanque A ?
57
5. Dos vecinos miran desde las ventanas de sus respectivas casas a un avión que está a
la derecha de ambas; las ventanas están separadas por 5 m . La primera persona lo
observa con un ángulo de elevación de 30 y la segunda lo hace con un ángulo de
elevación de 60 . El avión sigue volando horizontamente hacia la derecha, de modo que
después de un rato, la segunda persona (que permaneció en su ventana) lo ve con un
ángulo de elevación de 45 . ¿Cuánto se desplazó el avión?
Clave de Respuestas
Resp. 2.d
58
a) x  1 ; b) Se demuestra Resp. 3.-
5( 3  1)
 m
2
x  7, y  3 Resp. 4.-
1024 l  Resp. 4.-
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*****************************************************************************************************************************************************************
1. Elegir la respuesta correcta (cada pregunta vale 5 puntos).
1.1 Los problemas de progresiones armónicas pueden resolverse considerando en cada
caso la progresión aritmética correspondiente.
a) Nunca
b) Siempre
c) A veces
d) Depende
1.2 Si en una PA existen 8 medios aritméticos, entonces el número total de elementos
de la progresión es: … 10 …
1.3 Un radián es igual a:
a) 5736'
b) 180
c) 360
d) 55
e) Ninguno
1.4 La amplitud de la función tangente esta dado por:
a) 1 a 1
b) 0 a 
c)  a 
d) 1 a  
e) Ninguno
2. a) Desde la cima de un faro de 120 m de altura respecto al nivel del agua, un hombre
observa un avión encima de un barco; el ángulo de elevación del avión es de 60 y el
ángulo de depresión del barco es de 30 . Hallar la altura del avión por encima del nivel
del agua.
b) Exprese el número decimal periódico: N  2.353535... en forma de fracción.
3. Si log k x, log m x, log n x están en Progresión Aritmética, demostrar que:
n2  (kn)logk m
4. Resolver el sistema:
tgx  ctgy  3 ... (1)

4

ctgx  tgy  ... (2)

3

5. Demostrar que:
1
4
2arctg    arctg    0
2
3
Clave de Respuestas
Resp. 2.-
H  480  m  , N 
y  180º k  arctg
2
, k
3
233
Resp. 3.99
Se demuestra Resp. 4.-
x  180º k  arctg
3
,
2
Resp. 5.- Se demuestra
59
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1. Elegir la respuesta correcta (cada pregunta vale 5 puntos).
1.1 En cualquier triángulo, se puede calcular el coseno de uno de sus ángulos internos,
relacionando sus lados adyacentes.
a) Verdadero b) Falso, se relaciona un lado adyacente y el lado opuesto c) Falso,
sólo se puede hacer esa relación en ciertos triángulos
d) Falso, el coseno
sólo se puede hallar usando calculadora
1.2 Si se conoce que: arccos( x  1)  y , la expresión del mismo ángulo en términos del
arcsen será:
 1 
2
2
a) arcsen( x  1) b) arcsen 
 c) arcsen x  2 x d) arcsen  x  2 x
 x 1
1 1 1
1.3 Los números , ,
forman una:
2 4 8
a) P.G.
b) P. Armónica c) P.A.
d) No forman una progresión
1
1
1
1.4 La media armónica de los números
y es: … …
3
5
7
2. a) En la cima de una colina, existe un asta de bandera. Desde el punto A (en el terreno
llano), los ángulos de elevación al extremo y al pie del asta miden respectivamente 45 y
30 grados. Hallar la altura de la colina si el asta mide 15 m .
b) Exprese el número decimal periódico: N  3.282828... en forma de fracción.
3. Ana, Belén y Claudia deben leer un libro para el colegio. Ana lee sólo una página el
primer día; 2 páginas, el segundo; 4 páginas, el tercero; y así sucesivamente. Belén
decide que cada día leerá 5 páginas más que el anterior y de esa manera logra leer 35
páginas el séptimo día. Claudia lee 5 páginas el primer día; 9 páginas, el segundo; 13
páginas el tercero; y continua así. ¿Quién lee más al cabo de una semana?
4. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones trigonométricas, hallando las soluciones en

2 x
2 y
2 x
2 y
2 cos   cos    2 sen   sen    1 ... (1)
la primera vuelta: 
2
2
2
2
4 cos x cos y  1
... (2)

1
1
 32 
5. Demostrar la siguiente identidad trigonométrica: 2arctg    arctg    arctg  
5
4
 43 
Clave de Respuestas
15
325
Resp. 3. m , N 
99
3 1
Resp. 5.- Se demuestra
Resp. 2.-
60
H
Belén :140 páginas Resp. 4.-
x  y  60,300
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1. Elegir la respuesta correcta (cada pregunta vale 5 puntos).
1.1 En todo triángulo isósceles, la mediana que parte del lado desigual coincide con la:
a) Altura b) Bisectriz c) Mediatriz
d) Con las tres anteriores
e) Ninguno
1.2 El coseno de cualquier ángulo, en un triángulo rectángulo, es siempre igual al:
a) Seno de su ángulo suplementario
b) Seno de su ángulo complementario
c) Coseno de su complementario
1.3 ¿Cuál de las siguientes identidades trigonométricas es verdadera?
a) sen3A  3senA cos A b) sen3 A  sen3 A  cos3 A c) sen3 A  3senA cos 2 A  sen3 A
 
 3 
 4 
1.4 El resultado numérico de ctg 2    2 sen    3 csc 
 : es igual a: … 1  2 …
6
 4 
 3 
2. a) En el esquema de la figura, se pide hallar el ángulo “ x ”:
b) Sobre un plano horizontal, se hallan alineados dos observadores y un obelisco (entre
los observadores). Los observadores miden los ángulos de elevación respecto a la
horizontal de la punta del obelisco, siendo los valores 30 y 45 respectivamente. Si la
distancia entre los observadores es 90 m , ¿cuál es la altura del obelisco?
3. Calcular el área de la figura sombreada, si L  10 cm
tgx  1  sec x
 tgx  sec x
1  tgx  sec x
5. Hallar las soluciones principales en la siguiente ecuación trigonométrica:
cos sen2  cos sen3
4. Demostrar la siguiente identidad:
Clave de Respuestas
Resp. 2.- x  50 , H  45( 3  1)  m Resp. 3.- As  25 cm 2  Resp. 4.- Se demuestra Resp. 5.

x  0
61
BIBLIOGRAFÍA
 COLECCIÓN DE EXÁMENES (CPF)
Facultad de Ingeniería UMSA 2022.
 MATEMÁTICA PREUNIVERSITARIA – TOMO II
Omar E. Quispe, Adelio A. Chavez
 COLECCIÓN DE EXÁMENES Y PROBLEMAS DE MATEMÁTICA SUPERIOR
Hernán Cruz Ll. 2013.